UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATIKY A DIDAKTIKY MATEMATIKY

Zlatý řez kolem nás Golden section around us Vedoucí bakalářské práce: Doc. RNDr. Jaroslav Zhouf, Ph.D. Autor: Michala Černá

PRAHA 2013

Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně pod vedením Doc. RNDr. Jaroslava Zhoufa, PhD. V práci jsou použity informační zdroje uvedené v seznamu zdrojů. Všechny použité prameny a literatura jsou řádně citovány. Práce nebyla využita k získání jiného nebo stejného titulu. Souhlasím s trvalým uložením této práce v databázi Theses. V Praze dne 22. dubna 2013 Michala Černá

Děkuji zvláště Lukáši Slavatovi, který mne naučil nespokojit se s neúplnými informacemi a polopravdami. Děkuji mu za jeho čas, který věnoval čtení této práce a pomáhal mi ji vylepšit. Dále děkuji své mamince, která též přispěla svými připomínkami k vylepšení této práce. A především děkuji svému školiteli Doc. RNDr. Jaroslavu Zhoufovi, PhD. za odborné a profesionální vedení práce.

Abstrakt Tato bakalářská práce pojednává o zlatém řezu. Jedná se o komentovanou rešerši, již představuje průřez současně dostupnou literaturou. Pojem zlatý řez je nejprve definován. Následně je uvedeno, v jakých formách se může zlatý řez vyskytovat (př. Fibonacciho posloupnost, zlatý obdélník a jiné geometrické útvary, které se zlatým řezem úzce souvisejí). Hlavní podstatou práce je pak seznámení čtenáře s tím, v jakých oblastech se můžeme se zlatým řezem setkat. Dvě největší oblasti jsou příroda a umění, které se dále člení na další odvětví. Míra náročnosti textu je přizpůsobena co nejširšímu záběru potencionálních čtenářů. Cílem práce je vytvořit ucelený soubor oblastí souvisejících se zlatým řezem. Přínosem práce je kritický a faktografický vhled do problematiky výskytu zlatého řezu, který je v zainteresované literatuře vzácný. Klíčová slova: Zlatý řez, číslo , Fibonacciho posloupnost

Abstract This bachelor thesis deals with the golden section. This a guided background research already represents a cross-section of the currently available literature. The term golden section is first defined. Subsequently, the states in which forms can appear golden section (eg Fibonacci sequence, golden rectangle and other geometric shapes that are closely related to the golden section). The very essence of the work is to inform the reader with the disciplines in which we can meet the golden section. The two largest sectors are nature and art, which are further subdivided into other sectors. Degree of difficulty of the document is adapted to a wide scope of potential readers. The aim is to create a comprehensive set of disciplines related to the golden section. Contribution of the thesis is critical and factual insight into the problems of the golden section, which is interested in literature rarely about. Key words: Golden section, number Fibonacci sequence

Obsah Úvod..................................................................................................................................... 8 1

Zlatý řez ..................................................................................................................... 9 1.1

1.1.1

Definice zlatého řezu podle Eukleida .............................................................. 9

1.1.2

Výpočet čísla

1.1.3

Definice zlatého řezu pomocí Fibonacciho posloupnosti .............................. 10

1.2

............................................................................................... 9

Zlaté útvary ....................................................................................................... 12

1.2.1

Zlatý obdélník ................................................................................................ 12

1.2.2

Zlatý trojúhelník ............................................................................................ 13

1.2.3

Pravidelný pětiúhelník a pentagram .............................................................. 14

1.2.4

Zlatá spirála ................................................................................................... 15

1.2.5

Pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn ......................................... 16

1.2.6

Zlatý úhel ....................................................................................................... 17

1.3

2

Definice zlatého řezu a výpočet čísla  .......................................................... 9

Stručná historie zlatého řezu ......................................................................... 17

Zlatý řez v přírodě ............................................................................................... 20 2.1

Zlatý řez a flóra................................................................................................. 20

2.2

Zlatý řez a fauna ............................................................................................... 24

2.2.1

Nautilus.......................................................................................................... 24

2.2.2

Kly a rohy ...................................................................................................... 24

2.2.3

Sokol stěhovavý............................................................................................. 24

2.2.4

Fibonacciho čísla mezi živočichy .................................................................. 25

2.2.5

Rodokmen včel medonosných ....................................................................... 25

2.3

Zlatý řez a člověk .............................................................................................. 25

2.3.1

Vlastní ověření některých tvrzení výše ......................................................... 26

5

2.3.2

Lidské tělo jako míra ..................................................................................... 27

2.3.3

Lidská DNA................................................................................................... 27

2.4

3

Zlatý řez a přírodní jevy ................................................................................. 28

2.4.1

Víry, tornáda a oblaka ................................................................................... 28

2.4.2

Vesmír ........................................................................................................... 28

2.4.3

Fraktály .......................................................................................................... 29

Zlatý řez v umění .................................................................................................. 32 3.1

Zlatý řez v architektuře .................................................................................. 32

3.1.1

Velká pyramida.............................................................................................. 33

3.1.2

Parthenón ....................................................................................................... 36

3.1.3

Skalní dóm ..................................................................................................... 37

3.1.4

Lomené oblouky ............................................................................................ 37

3.1.5

Zakázané město ............................................................................................. 39

3.2

Zlatý řez v obrazech......................................................................................... 40

3.2.1

Leonardo da Vinci ......................................................................................... 40

3.2.2

Další renesanční malíři .................................................................................. 42

3.2.3

Kubisté ........................................................................................................... 42

3.2.4

Le Corbusier .................................................................................................. 43

3.2.5

Salvador Dalí ................................................................................................. 43

3.2.6

Karel Březina ................................................................................................. 44

3.2.7

Horizont ......................................................................................................... 44

3.3

Zlatý řez v hudbě .............................................................................................. 44

4

Zlatý řez a všední maličkosti ............................................................................ 47

5

Závěrečné shrnutí ................................................................................................. 49

Závěr ................................................................................................................................. 52 Zdroje ............................................................................................................................... 53 6

Literatura ...................................................................................................................... 53 Elektronické zdroje .................................................................................................... 54 Zdroje obrázků ............................................................................................................ 55

Příloha 1 (obrazová) .................................................................................................... 58 Příloha 2 ........................................................................................................................... 62 Poměr délek částí lidského těla ................................................................................ 62 Výpočet průměrného poměru výšky vejce k jeho šířce ...................................... 63 Poměr délek stran knih .............................................................................................. 64

7

Úvod Vždy mne zajímalo, jak by měl vypadat správný obdélník, resp. jaký by měl být poměr jeho stran. První co mne napadlo, bylo 2 : 1 a s touto odpovědí jsem si na dlouhé roky vystačila. Pak mi můj správný obdélník začal připadat příliš dlouhý a poměr správného obdélníku jsem přehodnotila na 3 : 2. Postupem času jsem jej ještě poupravila na 5 : 3 a později na 8 : 5. V prvním semestru při Syntetické geometrii I se mi nakonec dostalo odpovědi: nejlíbivější obdélník je ten, který má své strany v poměru zlatého řezu. V práci se mimo jiné dozvíme, že mé postupně se vyvíjející představy o správném obdélníku vlastně ke zlatému řezu směřovaly. Následně jsem se dozvěděla, že zlatý řez není jen obdélník, ale oblasti, ve kterých se vyskytuje, jsou různorodé – matematika, biologie, astronomie, architektura, výtvarné umění, hudba, psychologie, mystika… Zlatý řez mne zaujal a chtěla jsem se o něm dozvědět více, proto jsem si jej zvolila jako téma pro svou bakalářskou práci. Na téma zlatý řez bylo v minulosti vypracováno několik studentských prací, ale daná problematika byla zpracována převážně v matematickém kontextu a výskyt zlatého řezu v jiných oblastech než v matematice, byl zmiňován jen velmi stručně. Zlatému řezu se věnuje i několik publikací, ale až na jedinou výjimku, v této literatuře postrádám objektivitu, fakta a nezaujatost. Práce je tedy pojata jako komentovaná rešerše současně dostupné literatury věnující se dané problematice. Cílem práce je vytvořit ucelený soubor oblastí, ve kterých se zlatý řez vyskytuje. Přínosem práce je kritický a faktografický vhled do dané oblasti. Míra náročnosti textu je přizpůsobena potencionálnímu okruhu čtenářů. Text je provázen názornými obrázky, které jsou umístěny přímo v textu, nebo v obrazové příloze.

8

1 Zlatý řez 1.1 Definice zlatého řezu a výpočet čísla  1.1.1 Definice zlatého řezu podle Eukleida První jednoznačnou definici zlatého řezu podal alexandrijský matematik Eukleides kolem roku 300 př. n. l. Eukleides definoval zlatý řez jako dělicí poměr úsečky. Úsečka je rozdělena v poměru zlatého řezu právě tehdy, když se její celá délka má k delšímu dílu jako delší díl ke kratšímu dílu úsečky. [Livio, s. 11] Zlatý řez postupem času získal různé názvy: zlatý poměr, zlaté číslo dokonce i božský poměr. Zlatý řez bývá nejčastěji označován písmenem  . V některých případech se můžeme setkat i s dalším písmenem  . V této práci budeme výhradně používat značení pomocí písmene .

1.1.2 Výpočet čísla Mějme úsečku AB, jež je rozdělena bodem C ve zlatém poměru. Dále zvolme délku úsečky BC rovnou jedné a délku úsečky AC rovnou

(obr. 1).

x

1

C

A

B

Obr. 1: Úsečka rozdělená v poměru zlatého řezu

Podle Eukleidovy definice a podle obr. 1 platí rovnost

9

Úpravou rovnice dostaneme kvadratickou rovnici

která má dvě řešení

Jelikož uvažujeme délky úseček, tedy kladná čísla, rovnice má jediné řešení

, což je hle-

dané číslo Platí tedy:

 Číslo  je tedy polovina ze součtu jedničky a druhé odmocniny z pěti, tudíž je iracionální. Zlaté číslo má mnoho zajímavých vlastností. Zmíníme pouze dvě z nich. Číslo  umocněné na druhou je rovno

[Livio, s. 75 – 76] Tedy pořadí číslic za desetin-

nou čárkou je totožné jako u čísla . Obdobně je tomu u převrácené hodnoty , která je rovna 0

[Livio, s. 75 – 76] Opět vidíme, že číslice za desetinnou čárkou

se nezměnily. Zmíněné vlastnosti vyjádřené rovnostmi jsou:

1.1.3 Definice zlatého řezu pomocí Fibonacciho posloupnosti Fibonacciho posloupnost je nekonečná posloupnost přirozených čísel, začínající čísly 0, 1, kde každý další prvek posloupnosti (počínaje třetím) je součtem dvou předchozích. [Bulisová, s. 355] Rekurzivní definice Fibonacciho posloupnosti (Fn), kde n ≥ 2, je:

10

Fibonacciho posloupnost tedy začíná těmito členy: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1 597, … Prvky Fibonacciho posloupnosti se někdy nazývají Fibonacciho čísla. Pokud budeme mezi sebou postupně dělit dvě sousední čísla Fibonacciho posloupnosti tak, že větší z nich bude dělenec a menší dělitel, jejich podíl se bude limitně blížit k číslu . (Samozřejmě nebereme v úvahu první dvojici 0, 1, jelikož není definované dělení nulou.) Zde uvádíme prvních šestnáct podílů, které vzniknou dělením podle popsaného postupu výše:

Pro lepší názornost skutečnosti, že tyto podíly oscilují kolem hodnoty  a zároveň se k ní blíží, přikládáme obr. 2 (s. 12).

11

Obr.. 2: Grafické znázornění prvků Fibonacciho posloupnosti a čísla 

Vidíme, že Fibonacciho posloupnost a zároveň i Fibonacciho čísla jsou velice úzce spjata se zlatým řezem, což dokazuje i vzorec pro výpočet kteréhokoliv Fibonacciho čísla Fn, kde n je jeho pořadí ve Fibonacciho posloupnosti:

Vzorec obsahuje oba kořeny kvadratické rovnice

, kterou jsme používali

při výpočtu zlatého čísla. [Livio, s. 99]

1.2 Zlaté útvary Pojmem zlatý útvar budeme mít na mysli souhrnný název pro následující útvary: zlatý obdélník, zlatý trojúhelník, pravidelný pětiúhelník, pentagram, zlatou spirálu, pravidelný dvanáctistěn, pravidelný dvacetistěn a zlatý úhel. Tyto útvary mají společné to, že nějakým způsobem úzce souvisejí se zlatým poměrem. Níže se podrobněji věnujeme definici a popisu vztahů ke zlatému číslu jednotlivých zlatých útvarů.

1.2.1 Zlatý obdélník Zlatým obdélníkem nazýváme obdélník, jehož dvě sousední strany jsou v poměru zlatého řezu. Pro zlatý obdélník platí: pokud z něho oddělíme čtverec, jak je znázorněno na obr. 3,

12

zbylý obdélník je také zlatý. [Boček, Zhouf, s. 123] Z menšího zlatého obdélníku můžeme dále oddělit čtverec a zůstane opět zlatý obdélník. Takto můžeme pokračovat neomezeně. Pokud sestrojíme úhlopříčky ve všech zlatých obdélnících, jako je tomu na obr. 3, tyto úhlopříčky se protnou v jednom bodě, do kterého zároveň konvergují i zmenšující se zlaté obdélníky. Tomuto bodu se říká boží oko. [Livio, s. 80]

Obr. 3: Oddělování čtverců ve zlatém obdélníku [50]

1.2.2 Zlatý trojúhelník Zlatý trojúhelník je rovnoramenný trojúhelník, pro který platí, že poměr délky ramene a základny je roven zlatému číslu. Úhly při základně mají velikosti 72° a úhel při hlavním vrcholu má velikost 36°. [Boček, Zhouf, s. 123] Mějme zlatý trojúhelník DBA, kde přímka DC je osa úhlu

A

ADB (obr. 4). Vznikl tedy další zlatý trojúhelník BCD. Z definice zlatého trojúhelníku víme, že poměr délek úse-

36°

ček CD a BC (v tomto pořadí) je zlatý (1). Trojúhelník ADC je rovnoramenný, tedy délky úseček CD a AC jsou C

si rovny (2). Z tvrzení (1) a (2) plyne, že bod C dělí úsečku AB v poměru zlatého řezu. V rovnoramenném trojúhelníku ADC platí, že poměr délky ramene a základny je roven 1/ Takovéto trojúhelníky se nazývají zlaté gnó-

D

36° 36°

72° 72°

B

Obr. 4: Zlatý trojúhelník

mony. [Livio, s. 74] Stejně jako ve zlatém obdélníku můžeme postupně oddělovat menší zlaté obdélníky, tak i u zlatého trojúhelníku lze postupně oddělovat menší zlaté trojúhelníky. Rozdělením jednoho z úhlů o velikosti 72° na polovinu, získáváme menší zlatý trojúhelník. Tímto způsobem můžeme opět donekonečna oddělovat menší zlaté trojúhelníky.

13

1.2.3 Pravidelný pětiúhelník a pentagram Pokud do pravidelného pětiúhelníku vyneseme dvě sousední úhlopříčky jako na obr. 5, plocha, jež vyplňovala tento pětiúhelník, se rozdělí na tři rovnoramenné trojúhelníky. Jelikož v pravidelném pětiúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 108°, snadno dopočítáme, že velikosti úhlů při základnách dvou postranních trojúhelníků jsou 36°. Odtud už plynou i velikosti úhlů trojúhelníku uprostřed: 72°, 72° a 36°. Jedná se tedy o zlatý trojúhelník. (Trojúhelníky po stranách jsou zlaté gnómony.) Z této skutečnosti můžeme vyvodit, že v pravidelném pětiúhelníku platí: poměr délky úhlopříčky ku délce jeho strany je .

36° 72° 72° Obr. 5: Pravidelný pětiúhelník a jeho dvě sousední úhlopříčky

Pentagram je obrazec, který má pro mnoho náboženství magický význam a byl používán už v antickém Řecku. Jedná se o pěticípou hvězdu nakreslenou jedním tahem. [Bulisová, s. 207, 2. svazek] Pentagram je velice úzce spjat s pravidelným pětiúhelníkem. Vznikne, pokud v pětiúhelníku spojíme navzájem všechny jeho vrcholy úhlopříčkami. [Livio, s. 37] Nás více než jeho magický význam zajímá jeho souvislost se zlatým řezem. Mějme tedy pravidelný pětiúhelník, ve kterém spojením úhlopříček vznikne pentagram. Tyto úhlopříčky vytvoří menší pětiúhelník, ve kterém lze opět propojením jeho vrcholů vytvořit menší pentagram (obr. 6). Platí, že každá ze stran a, b, c, d, e, f je kratší než předešlá v poměru zlatého řezu, tedy v poměru .

f c

e a d

b Obr. 6: Dva pravidelné pětiúhelníky vložené do sebe se všemi svými úhlopříčkami

14

1.2.4 Zlatá spirála Mějme zlatý obdélník ABCD, který postupně rozdělujeme na čtverce a zlaté obdélníky jako na obr. 7. Přibližnou podobu zlaté spirály získáme propojením bodů AEGIJKL křivkou, přičemž oblouky mezi jednotlivými body jsou čtvrtkružnice. Například oblouk AE je částí kružnice

se středem v bodě F a poloměrem

se středem v bodě H a poloměrem

, oblouk EG je částí kružnice

atd. [Vincent, s. 63]

D

E

C k2

k1 K

H J

L F

A

G L

I

B

Obr. 7: Zlatá spirála [Vincent, s. 63]

Spolu s tím, jak se donekonečna oddělují zlaté obdélníky, pokračuje i zlatá spirála, která se zavíjí směrem k pólu, kterým je již zmíněné boží oko. [Livio, s. 108] Zlatou spirálu lze obdobným způsobem zakreslit i do série zmenšujících se zlatých trojúhelníků jako na obr. 8.

Obr. 8: Zlatá spirála nakreslená pomocí zlatých trojúhelníků [50]

Musíme mít na paměti, že v obou případech se jedná pouze o přibližnou podobu zlaté spirály. Skutečná zlatá spirála není složena z částí kružnic a blíží se ke středu (nebo se od něj vzdaluje) plynule.

15

Zlatá spirála se někdy nazývá růstová spirála. [22] Podle mne si tento název zasloužila díky tomu, že se podle ní řídí mnoho růstových jevů v přírodě. Růstové jevy ovšem nejsou jediné, kde se příroda nechala inspirovat zlatou spirálou. Podrobněji se o významu zlaté spirály v přírodě budeme zabývat v kapitole Zlatý řez v přírodě.

1.2.5 Pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn V této kapitole budeme pracovat s pojmy čtyřstěn, šestistěn, osmistěn a zejména dvanáctistěn a dvacetistěn. Vždy budeme mít na mysli pravidelná geometrická tělesa; pro přehlednost textu však slovo pravidelný budeme vynechávat. Dvanáctistěn a dvacetistěn spolu se čtyřstěnem, šestistěnem a osmistěnem tvoří pět Platónských těles. Tato tělesa jsou jediná geometrická tělesa, jejichž stěny jsou tvořeny totožnými, pravidelnými mnohoúhelníky. Další vlastností Platónských těles je to, že kolem každého z nich lze opsat kouli (na které leží všechny vrcholy tělesa). [Livio, s. 64] Dvanáctistěn a dvacetistěn mají tu vlastnost, že lze vložit jeden do druhého v libovolném pořadí tak, že středy stěn dvacetistěnu (resp. dvanáctistěnu) budou zároveň vrcholy dvanáctistěnu (resp. dvacetistěnu), obr. 9. Tímto způsobem lze do sebe tělesa vkládat donekonečna. Poměr délek hran těchto dvou těles (jednoho vloženého do druhého) je možné vyjádřit pomocí zlatého poměru jako 

. [Livio, s. 67] Číslo se objevuje i ve vyjádření

povrchu a objemu dvanáctistěnu a ve vyjádření objemu dvacetistěnu. Povrch dvanáctistěnu s jednotkovou délkou hrany je roven



 a jeho objem je roven 

Objem dvacetistěnu s jednotkovou délkou hrany je roven 

.

. [Livio, s. 67]

Obr. 9: Dvanáctistěn vložený do dvacetistěnu [44]

Další pozoruhodnou souvislostí dvanáctistěnu a dvacetistěnu se zlatým řezem jsou zlaté obdélníky, jež se v nich ukrývají. Dvanáct vrcholů dvacetistěnu lze rozdělit do tří skupin po čtyřech vrcholech, jež jsou zároveň vrcholy zlatého obdélníku. Tyto tři obdélníky jsou 16

vůči sobě postaveny v pravém úhlu a mají jediný společný bod – střed dvacetistěnu (obr. 10). Analogicky můžeme tvrdit, že lze rozdělit do tří skupin po čtyřech dvanáct středů stěn dvanáctistěnu, které budou též tvořit vrcholy tří zlatých obdélníků (obr. 11). [Livio, s. 68]

Obr. 10: Zlaté obdélníky ve dvacetistěnu [44]

Obr. 11: Zlaté obdélníky ve dvanáctistěnu [44]

1.2.6 Zlatý úhel Mějme kruh a v něm kruhovou výseč. Menší úhel (středový) označme , větší úhel má tedy velikost 360°  . Pro kruhovou výseč platí, že velikost plného úhlu se má k velikosti většího úhlu, jako se má velikost většího úhlu k velikosti menšího úhlu, tedy

Z tohoto vztahu dostaneme, že velikost úhlu  se rovná přibližně 137,5°, což je zlatý úhel. [28] (Druhou hodnotu, jež vyjde pro úhel , neuvažujeme, jelikož jsme nadefinovali úhel  jako menší (středový) úhel.)

1.3 Stručná historie zlatého řezu V této podkapitole zmíníme několik podstatných milníků v historii zlatého čísla. 6. stol. př. n. l.

Pythagorejci pravděpodobně objevili zlatý řez. [Livio, s. 38]

5. stol. př. n. l.

Platón ve své Ústavě čtenáře vyzývá, aby „udělali čáru a nestejnoměrně ji rozdělili na dva díly“. [Olsen, s. 10] (Úloha je vysvětlena v závěru této kapitoly.)

17

cca 300 př. n. l.

Objevuje se první jednoznačná definice zlatého řezu, již podal alexandrijský matematik Eukledies ve svých Základech1. Rozdělení úsečky ve zlatém řezu Eukleides nazýval rozdělením v krajním a středním poměru. [Chmelíková, s. 79]

cca 1170

V italské Pise se narodil Leonardo Pisánský, známý pod jménem Fibonacci. [20] Popsal posloupnost, již dodnes nese jeho jméno. [Bulisová, s. 355]

1509

Vyšla kniha De divina proportione (Božská proporce), ve které její autor Luca Pacioli označil rozdělení v krajním a středním poměru jako božskou proporci. Zároveň v knize zdůvodňuje, proč právě toto označení. Vydáním knihy De divina proportione zlatý řez získal teologickofilozofický rozměr. Navíc, kromě matematiků, se začaly o božský poměr zajímat různorodější skupiny intelektuálů. Zlatý řez začal také přispívat k vysvětlování přírodních jevů. [Livio, s. 119, 123]

1571 – 1630

V těchto letech žil německý astronom, matematik a fyzik Johannes Kepler, který objevil vztah mezi Fibonacciho čísly a zlatým řezem. [Livio, s. 137] Zlatý poměr označil za drahokam matematiky. [Hemenway, s. 11] Jedná se zároveň o období pozdní renesance, kdy zlatý řez dosahoval téměř mystického postavení. [T. Crilly, s. 50]

cca 1638

Francouzský filozof, fyzik a matematik René Descartes se jako první zabýval problémem zlaté spirály. [Bulisová, s. 268; Jarešová, Zhouf, s. 6]

počátek 19. stol. Německý matematik Martin Ohm2 pravděpodobně jako první použil termín zlatý řez. [Olsen, s. 10] počátek 20. stol. Americký matematik Mark Barr označil zlaté číslo jako

podle řecké-

ho sochaře Feida (490 – 430 př. n. l.), který ve svých dílech údajně zlatý řez často a puntičkářsky používal. Jeho největšími díly byly sochy Athény Parthenonské v Aténách a Dia v Olympii. [Livio, s. 12] 1

Základy „je kniha, která byla prakticky 2 000 let učebnicí matematiky a do současnosti je nepřekonaným pramenem znalostí starověké matematiky“. [Bulisová, s. 337] 2 Martin Ohm byl mladším bratrem fyzika George Ohma, podle něhož byla pojmenována jednotka elektrického odporu. [Hemenway, s. 24]

18

V závěru stručné historie vysvětlíme Platónovu úlohu, uvedenou výše, neboť není na první pohled zřejmé, co tím Platón myslel. Pro pochopení této úlohy musíme vědět, co znamenají pojmy poměr a úměra. Poměr je vztah jednoho čísla k druhému, např. 5 : 3 (čteme pět ku třem). Úměra je pak řada po sobě jdoucích rovných poměrů a obvykle se sestává ze čtyř členů, např. 5 : 3 ∷ 10 : 6 (čteme pět ku třem se má jako deset ku šesti). [Olsen, s. 12]. Platón po nás chce, abychom rozdělili úsečku nestejnoměrně na dva díly. Podle Olsena musí vznikat úměra menší část k větší části se má jako větší část k celku. Takové rozdělení lze provést jediným způsobem, zlatým řezem. Právě zlatý řez nám zaručí úměru. Jinak řečeno celek k delší části se bude mít jako delší část ke kratší části.

19

2 Zlatý řez v přírodě Zlatý řez jsme si v úvodní kapitole nadefinovali jako rozdělení úsečky a je fascinující, že právě „toto prosté rozdělení čáry je pravděpodobně hnacím motorem přírody samé, která se fraktalizuje3, formou soběpodobnosti rozděluje do všech svých částí a svůj proces růstu pohání spirálovitě rotujícími zlatými úhly a Fibonacciho čísly.“ [Olsen, s. 34] V kapitole Zlatý řez v přírodě se dozvíme, kde a v jakých formách se zlatý řez v přírodě vyskytuje. Ovšem je velmi důležité uvědomit si, že se v přírodě nesetkáme s pravidelnými a dokonalými geometrickými tvary, jakými jsou pětiúhelník či zlatá spirála, ale jen s tvary, které se jim velice podobají.

2.1 Zlatý řez a flóra Švýcarský přírodovědec Charles Bonnet (1720 – 1793) prokázal, že Fibonacciho čísla, která velmi úzce souvisí se zlatým

8

řezem, se velmi hojně objevují ve výstavbě rostlin, konkrétně ve fylotaxi4. [Hemenway, s. 21] Listy mohou být na stonku se-

7 6

staveny třemi způsoby, jedním z nich je postavení střídavé, nebo též, spirální a právě u tohoto postavení listů se setkáváme s členy Fibonacciho posloupnosti. Listy na stonku rostou směrem zespodu vzhůru, tedy nahoře jsou nové menší listy a dole starší a větší listy. Pokud propojíme listy zespodu směrem

4

5 3

2 1

vzhůru podle pořadí, ve kterém vyrostly, zjistíme, že opisují kolem stonku spirálu nazývanou genetická spirála (obr. 12). [Kavina, s. 107]

Obr. 12: Genetická spirála [Livio, s. 100]

Pokud listy, které se na stonku nacházejí přímo nad sebou, propojíme pomyslnou přímkou, vzniknou nám na stonku rovnoběžky, které nazýváme orthostichy. Skupiny listů, mezi dvěma listy, jež se nacházejí na stonku přímo nad sebou, se nazývají cykly. [Kavina, s. 108]

3

O fraktálech se v práci zmiňujeme na straně 28. Fylotaxe je botanický termín pro postavení listů na stoncích rostlin. [23] Zabývá se i skladbou semen, například ve slunečnici či sedmikrásce. [Olsen, s. 20] 4

20

Spirální postavení listů lze vyjádřit zlomkem, kterému se říká fylotaktický poměr, kde ve jmenovateli je počet listů v jednom cyklu (odpovídá počtu orthostichů) a v čitateli se udává počet otáček genetické spirály kolem stonku v jednom cyklu. [Kavina, s. 109] Například listy lípy se většinou vyskytují na dvou protilehlých stranách, má tedy dva listy v jednom cyklu a genetická spirála udělá jednu otočku. Fylotaktický poměr je tedy 1/2. Listy na dubu jsou rozmístěny tak, že v jednom cyklu se nachází pět listů a genetická spirála se otočí dvakrát. Fylotaktický poměr dubu je tedy 2/5 (tento poměr je nejběžnější u našich stromů a keřů). Další příklady fylotaktických poměrů různých rostlin jsou 1/3, 3/8, 5/13, 8/21 atd. Čísla 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 jsou členy Fibonacciho posloupnosti. Dokonce vidíme, že zlomky jsou ve tvaru

S tímto postavením listů souvisí i tzv. divergenční úhel, což je úhel, který svírají dva orthostichy. [Kavina, s. 108] Nejlépe je divergenční úhel vidět při pohledu na rostlinu ze shora, jak ukazuje schéma na obr. 13. Čísla ve schématu udávají pořadí listů, ve kterém rostou. Divergenční úhel je tedy úhel, který svírá nultý a první list, první a druhý list atd. Čím větší jsou čísla ve zlomku, tím více se divergenční úhel blíží zlatému úhlu. [Olsen, s. 23]

Obr. 13: Divergenční úhel [Livio, s. 101]

Právě toto postavení listů zajišťuje každému listu maximum slunečního svitu, vláhy, vzduchu a květy jsou vystaveny co nejlépe opilování. Přibližně u 80 % druhů vyšších rostlin jsou listy umístěny vůči sobě ve spirálním postavení [Olsen, s. 22] Podobné zákonitosti lze pozorovat například u šupin šišky borovice nebo semen slunečnic. [Livio, s. 100]

21

Zde uvádíme některé rostliny a jejich fylotaktické poměry: fylotaktický poměr

název rostlin

1/2

bříza, jilm, lípa, réva vinná, četné trávy, obiloviny

1/3

buk, líska, olše, ostružina, tulipán, ostřice, některé trávy

2/5

akát, dub, cesmína, hořčice, jabloň, meruňka, švestka, topol, třešeň hledík, hruška, chlupáček, jestřábník, jitrocel, len, ohnice, ploník, řed-

3/8

kev, smuteční vrba, vavřín, zelí brusinka, divizny, jasmín, mandloň, pórek, rozchodník, smetanka, štět-

5/13

kovec, vrba jíva

8/21

šupiny v šiškách smrku a jedle borovice, jehlice jedlí, šupiny v šiškách sosny černé, květy v úboru

13/34

Rudbeckie

21/55

okvětní plátky u sazaníku květnatého

55/144

slunečnice, listy na kmeni cykasu

[Kavina, s. 110, 113] Pokud počet orthostichů nelze určit, například je-li divergenční úhel příliš malý, vynikají spirály příkřejší tzv. parastichy, které jsou dobře vidět na šiškách či ananasu jako na obrázku 14. [Kavina, s. 111]

Obr. 14: Parastichy na ananasu [Livio, s. 101]

Každý dílek kůry ananasu je součástí tří různých spirál zároveň. Každá spirála má odlišný sklon. Většina ananasů má na sobě osm, třináct a dvacet jedna těchto spirál o vzrůstající strmosti. [Livio, s. 101] Parastichů u šišky smrku je pět otáčejících se jedním směrem a tři méně příkré druhým směrem nebo osm jedním směrem a pět méně příkrých opačným směrem. [Kavina, s. 111; Olsen, s. 22] Spirály najdeme i u artyčoku v poměru osm ku pěti. [Olsen, s. 22] Další rostliny, u kterých můžeme najít obdobné počty spirál, jsou kukuřice, pšenice, ostružiny, maliny nebo jahody. [Hemenway, s. 137]

22

Semínka slunečnice rostou tak, aby co nejefektivněji využila prostoru na květu slunečnice. Jsou uspořádána do zlatých spirál, které se vinou jak po směru hodinových ručiček, tak opačným směrem. Počty těchto spirál závisejí na velikosti slunečnice. Nejčastějším vzorem bývá 55 spirál jdoucích jedním směrem a 34 spirál jdoucích opačným směrem. Nejsou výjimkou slunečnice s počtem spirál 89 a 55. Našly se i slunečnice, které měly 144 a 89 spirál, a dokonce byla popsána slunečnice s 233 a 144 spirálami. [Livio, s. 102] Díky tomuto uspořádání se vejde do terče nejvíce semen. [Chmelíková, s. 129] Na obr. 15 vidíme, jaké by bylo nedokonalé zabalení semen v květu slunečnice, kdyby úhel otočení byl 137,3° nebo 137,6°. [Olsen, s. 20  22]

Obr. 15: Uspořádání semen v květu slunečnice [Olsen, s. 20]

Podobně jako slunečnice má svůj terč i sedmikráska chudobka. Počet jejích okvětních lístků odpovídá počtu spirál vyvinutých v květním lůžku, kterých bývá 13 jedním a 21 druhým směrem, nebo 21 jedním a 34 druhým směrem. [Livio, s. 103] Tedy vidíme, že Fibonacciho čísla lze najít i v počtu plátků různých květin; např. jeden plátek má kala, dva plátky euforbia, tři plátky najdeme u kosatce (příloha 1, obr. I) a lilie, pět pak u pomněnky (příloha 1, obr. II), osm plátků můžeme vidět na celandine (příloha 1, obr. III), třináct na třapatce, jedenadvacet plátků má čekanka nebo astra a čtyřiatřicet plátků například kopretina. [Chmelíková, s. 129, Hemenway, s. 136] Rostliny, které mají pět okvětních plátků, mají tyto plátky rovnoměrně rozložené okolo středu, a připomínají tak pravidelný pětiúhelník. Např. ovocné stromy, planá růže, blatouch nebo pomněnka. [Chmelíková, s. 129] Na jabloni se pětiúhelník nevyskytuje pouze v květu, ale i v plodu. Vzpomeňme si, jak vypadá jablíčko, když ho o Štědrý den rozkrojíme na polovinu, jadérka jsou rozmístěna do tvaru pěticípé hvězdy. [Hemenway, s. 15] Počty plátků se samozřejmě mohou lišit od výše uvedených, ale je pozoruhodné s jakou převahou tento model převládá.

23

2.2 Zlatý řez a fauna Zlatý řez se u zvířeny vyskytuje v různých formách. Jendou z nich je zlatá spirála, kterou můžeme najít převážně na částech, jako jsou zobáky, zuby, rohy, parohy nebo schránky měkkýšů.

2.2.1 Nautilus Snad nejvíce zmiňovaný živočich v souvislosti se zlatým řezem je mořský měkkýš ze třídy hlavonožců, loděnka hlubinná, známá též pod názvem Nautilus (příloha 1, obr. IV). [Bulisová, s. 720] S tím, jak loděnka roste, buduje svou ulitu. Když je jí komůrka malá, přistaví další a tu starou, menší uzavře a již ji nepoužívá. Ulita Nautila má tvar zlaté spirály. Jak již víme zlatá spirála má vlastnost zvanou soběpodobnost, tedy loděnka nemusí během svého růstu měnit tvar, jen velikost. [Livio, s. 106] Na tomto příkladu je krásně vidět důvod, proč příroda ke zlatému poměru inklinuje. Méně známý živočich je oxygurus (příloha 1, obr. V), volně plovoucí oceánský hlemýžď. [Hemenway, s. 129] Domnívám se, že bližší prozkoumání tohoto hlemýždě, by mohlo vést k neméně zajímavým závěrům, jakých bylo zjištěno u loděnky hlubinné.

2.2.2 Kly a rohy Víme, že sloní kly jsou zatočené a na první pohled se může zdát, že jsou částí pomyslné kružnice, ale není tomu tak. Sloní kly, stejně jako beraní rohy, jsou zatočeny do zlaté spirály. [Livio, s. 106] Ovšem nádhernou ukázku prostorové zlaté spirály nám svými rohy předvádí kudu velký (příloha 1, obr. VI). Zlatou spirálou se může pyšnit i mořský savec narval (příloha 1, obr. VII), který má levý špičák přeměněný v rovný kel dlouhý až tři metry. Na povrchu tohoto klu je vyryta zlatá spirála. [27]

2.2.3 Sokol stěhovavý Zlatá spirála se neobjevuje jen ve stavbě těl organismů, ale může být využívána i jinými způsoby. Jako příklad uveďme sokola stěhovavého. Tito dravci jsou známí jako velmi rychlí letci. Při lovu nalétávají na svou kořist rychlostí okolo 300 kilometrů za hodinu. Ovšem neloví střemhlav, ale při sestupu opisují zlatou spirálu. Proč, když let střemhlav by byl jistě rychlejší? Sokoli mají oči na straně, tedy by neviděli na kořist a museli by hlavu 24

otočit o 40 stupňů, což by je výrazně zpomalilo. Při opisování zlaté spirály mohou mít hlavu přímo a zároveň kořist vidí. To vše při maximální rychlosti. [Livio, s. 109] Údajně zlatou spirálu opisuje i hmyz, když se přibližuje ke světlu. [23]

2.2.4 Fibonacciho čísla mezi živočichy Pokud bychom chtěli hledat mezi živočichy Fibonacciho čísla, můžeme spočítat rohovinové pláty na želvím krunýři. Zjistili bychom, že jich má třináct, pět uprostřed a osm při kraji (příloha 1, obr. VIII). Tělo pavouka je rozděleno do osmi článků nesených osmi nohama, na každé noze je pět článků. Hyena má 34 zubů, zmije gabunská 144 obratlů a delfín 233 zubů. [Olsen, s. 18].

2.2.5 Rodokmen včel medonosných Poměrně zajímavý je rodokmen včel medonosných, konkrétně trubců. Zatímco včelí samička se vyvine z oplodněného vajíčka, včelí samec neboli trubec, se vyvine z vajíčka neoplodněného. [Hemenway, s. 135 ] Jinými slovy, včela má matku i otce a trubec má jen matku. Nyní se zaměříme na rodokmen jednoho trubce. Jeden trubec má jednoho rodiče (matku), dva prarodiče (rodiče své matky), tři praprarodiče (dva rodiče od pramatky a jednoho od praotce), pět prapraprarodičů (dva rodiče od každé prapramatky a jednoho od prapraotce). Tedy zatím máme posloupnost 1, 1, 2, 3, 5. Není těžké si ověřit, že posloupnost bude pokračovat členy 8, 13, 21, 34… Tedy se jedná o Fibonacciho posloupnost.

2.3 Zlatý řez a člověk Na člověku můžeme najít zlatý řez většinou ve formě poměrů jedné části těla k jiné. Hemenway dokonce píše, že se zlatý poměr odráží ve vyvíjejícím se tvaru lidského embrya. [Hemenway, s. 5] (Dále tento jev nespecifikuje.) Výška lidské postavy k výšce od podlahy k pupku (předpokládáno ve stoje) by měla být v poměru zlatého řezu. [Olsen, s. 28] Tedy můžeme říci, že pupek dělí postavu člověka v poměru zlatého řezu. Tento poměr je dodržen i u řecké sochy Venuše Milétské [Vincent, s. 12]. Zápěstí by mělo rozdělovat ve zlatém řezu ruku s prsty od předloktí. [Olsen, s. 28] Nezpochybnitelný je počet prstů na každé končetině. Většina lidí má na každé končetině po pěti

25

prstech. Prsty ruky jsou rozděleny třemi články. V zápěstí je pak osm kůstek. [26] Čísla 3, 5, 8 jsou prvky Fibonacciho posloupnosti. Hlava by měla tvořit jednu osminu výšky celé postavy dospělého člověka. [Flint, s. 87] Lidský obličej nabízí nespočet kombinací, jakým způsobem lze porovnávat různé jeho části, a tudíž měřit poměry. Zmíníme jen to, že mezi výškou a šířkou lidského obličeje by měl být poměr tedy zlatý řez[Vincent, s. 12] Dokonce i v ústech lze najít zlatý řez, a to v podobě Fibonacciho čísel. V každé čtvrtině chrupu se vystřídá za život třináct zubů, pět v dětství a osm v dospělosti. [Olsen, s. 28] Číslo pět se také pojí s počtem něčeho, co nelze vidět. Každý člověk má zpravidla pět smyslů. Ve světě umění existuje mnoho kánonů, které nám říkají, jak se má ztvárňovat lidská postava. Nedílnou součástí těchto pravidel jsou i proporce. Jeden ze známějších kánonů se nazývá Vitruviánský kánon, který sestavil Leonardo da Vinci v 15. století. Jeho Vitruviánského člověka s rozpaženými horními končetinami v kruhu viděl aspoň jednou snad každý. Proporce Vitruviánského člověka se zakládají na zlatém řezu. Právě Vitruviánský kánon bývá často používán i dnes zejména v reklamě. [Vincent, s. 12] Mnohem dříve před Da Vincim, v antickém Řecku si lidé všimli jakési stavební rovnováhy lidského těla, jež se řídí zlatým řezem. [Vincent, s. 12]

2.3.1 Vlastní ověření některých tvrzení výše Abych mohla potvrdit nebo naopak vyvrátit některá tvrzení uvedená výše, provedla jsem měření na pěti osobách. Podle Olsena pupek dělí postavu člověka v poměru zlatého řezu. Toto tvrzení ověřoval Markowsky na čtyřech členech své rodiny. Přestože ve svém článku existenci zlatého řezu v různých oblastech spíše vyvrací, toto tvrzení o pupku naopak potvrzuje. Stejně jako Markowsky jsem přeměřila členy své rodiny. Na rozdíl od něho nemohu souhlasit. Průměrný poměr délky lidské postavy ku vzdálenosti od země k pupku jsem stanovila na 1,71. Všechny naměřené poměry jsou větší než zlaté. Nejmenší poměr, zároveň tedy nejbližší zlatému číslu, je 1,68, což je stále značně vzdálené od zlatého poměru. Druhé, mnou ověřované tvrzení je opět Olsenův výrok. Podle něj by mělo zápěstí rozdělovat ruku s prsty od předloktí ve zlatém řezu. U tohoto měření vycházejí naopak všechny

26

poměry menší než zlaté. Ten nejbližší zlatému číslu je 1,58. Průměr všech naměřených poměrů jsem stanovila na 1,31, což rozhodně není zlaté číslo. Vincent uvádí, že výška lidského obličeje k jeho šířce je ve zlatém poměru. Podle hodnot, které jsem naměřila, nemohu souhlasit ani s tímto třetím tvrzením. Průměrný poměr jsem stanovila na 1,37, přičemž nejbližší zlatému číslu je poměr 1,44. Všechny naměřené hodnoty v rámci ověřování těchto tří tvrzení jsou uvedeny v příloze 2, A. Vzhledem k tomu, že se mi nepodařilo potvrdit ani jedno ze tří tvrzení, velice pochybuji o tom, že by se stavba lidského těla nějakým způsobem řídila zlatým poměrem.

2.3.2 Lidské tělo jako míra V románském období byly ve stavebnictví používány míry podle lidského těla. Bylo pět vzdáleností, jež se daly snadno změřit některou částí těla: handbreadth, vzdálenost mezi kořeny malíku a ukazováčku, palme, vzdálenost mezi špičkou malíku a ukazováčku roztažené dlaně, empan, vzdálenost mezi špičkou palce a malíku roztažené dlaně, foot, neboli stopa, vzdálenost mezi patou a špičkou palce u nohy, a cubit, neboli loket, vzdálenost mezi loktem a špičkou prostředníčku. Pokud budeme brát empan jako jednotku, pak handbreadth je 1/palme se rovná 1/, empan = 1, foot = , cubit = 2. Tedy platí: cubit / foot = foot / empan = empan / palme = palme / handbreadth = . [Vincent, s. 32] Bohužel opět musím znevážit Vincentovo tvrzení. Myslím, že má ruka a chodidlo se nijak výrazně neliší od průměru, a tak jsem přeměřila výše zmíněné jednotky pouze na sobě: cubit / foot = 1,9; foot / empan = 1,1; empan / palme = 1,4; palme / handbreadth = 1,9. Ani jeden ze čtyř poměrů není zlatý. Tedy nemyslím, že by zlaté poměry výše zmíněných částí těla byly v populaci nějakým pravidlem, od kterého by se pouze poměry jednotlivých jedinců odchylovaly.

2.3.3 Lidská DNA Zlatý řez se vyskytuje v molekule lidské DNA, konkrétně ve formě B-DNA. Molekula B-DNA měří 34 Å5 na délku a 21 Å na šířku v jednom cyklu své dvojité šroubovicové spi5

Ångström (značka Å) je jednotka délky používaná zejména v atomové fyzice. Ångström je pojmenován po švédském fyzikovi a astronomovi J. A. Ångströmovi. Platí 1 Å = 10-10 m. [Bulisová, s. 53]

27

rály. [Hemenway, s. 140] Čísla 34 a 21 jsou čísla Fibonacciho posloupnosti. Forma B-DNA má ve své dvojité šroubovici dvě rýhy. Velká rýha měří 21 Å a malá rýha 13 Å [Hemenway, s. 140], což jsou opět čísla Fibonacciho posloupnosti. Je důležité zmínit, že se jedná o ideální model molekuly DNA, tedy skutečné molekuly DNA bývají zdeformované.

2.4 Zlatý řez a přírodní jevy 2.4.1 Víry, tornáda a oblaka Každý ví, jak vypadá vodní vír. Můžeme jej například vidět, když vypouštíme vanu s vodou. Podobný vodnímu víru je vír vzdušný, neboli tornádo. Oba tyto víry mají jedno společné. Točí se do zlaté spirály. [Livio, s. 107] Do zlaté spirály se údajně seskupují i oblaka, [Chmelíková, s. 127] což je dobře vidět na snímcích Země pořízené družicemi (příloha 1, obr. IX).

2.4.2 Vesmír Zlatý poměr můžeme vidět nejen na Zemi. Naše planeta patří do Sluneční soustavy, kde spolu s dalšími planetami obíhají kolem slunce po eliptických drahách. Tvar elipsy souvisí s přitažlivostí hmotných objektů. Podle Newtonova gravitačního zákona6 zdvojnásobení vzdálenosti oslabuje gravitační sílu čtyřikrát (síla je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti). Kdyby se při zdvojnásobení vzdálenosti gravitační síla snižovala osmkrát (síla by byla nepřímo úměrná třetí mocnině vzdálenosti), podle Newtona by tvar oběžné dráhy kolem Slunce mohl vypadat jako zlatá spirála. To by znamenalo, že Planety by buďto mířily do Slunce, nebo by se od něho vzdalovaly směrem do vesmíru. [Livio, s. 111  112] Tedy pro jednou můžeme být rádi, že příroda dala přednost elipsám před zlatou spirálou. Zlatý poměr můžeme také najít ve vztahu Země-Venuše. Venuše každých osm let vykreslí okolo planety Země pětičetnou rozetu (příloha 1, obr. X). Osm let na Zemi je třináct let na Venuši. [Olsen, s. 54] 5, 8, 13 jsou prvky Fibonacciho posloupnosti. Číslo  je také ukryto v poměru perigea a apogea Venuše. Poměr je roven s přesností[Olsen, s. 54] Poměr velikosti naší planety k Merkuru je přibližně 2: 1. [Olsen, s. 55] 6

Dva hmotné body o hmotnosti m1 a m2 ve vzájemné vzdálenosti r jsou navzájem přitahovány gravitační silou Fg, jejíž velikost je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti r; , kde je gravitační konstanta. [Bulisová, s. 420]

28

Sluneční soustava je součástí galaxie zvané Mléčná dráha. Mléčná dráha má tvar zploštělé spirály, říkáme tedy spirální galaxie. Jistě bychom se zde o této skutečnosti nezmiňovali, kdyby spirála nebyla zlatá. Mléčná dráha není jediná galaxie, která má tvar zploštělé spirály. Co způsobuje fakt, že některé galaxie včetně naší Mléčné dráhy se točí ve zlaté spirále? Tyto galaxie neustále rotují kolem takzvaného galaktického jádra. Rychlost rotace závisí na vzdálenosti od jádra. Při malé vzdálenosti je rychlost otáčení vyšší než při větší vzdálenosti. Například v okolí Slunce je rychlost rotace 220 kilometrů za sekundu a jedno otočení trvá přibližně 225 milionů let. Právě kvůli různé rychlosti rotace částí disku má galaxie tvar zlaté spirály. Jiný velkoplošný tvar by se po delším časovém období rozpadl. [Livio, s. 110  111] Vesmír si představujeme jako nekonečný prostor, pokud si vůbec lze něco takového představit. Francouzský astrofyzik Jean-Pierre Luminet přichází se zcela převratnou hypotézou, týkající se tvaru vesmíru. Podle něj vesmír je konečný a jeho tvar je údajně pravidelný dvanáctistěn. Tento uzavřený vesmír by měl měřit napříč přibližně 30 miliard světelných let. Na tomto objevu je navíc pozoruhodná skutečnost, že Luminet není první, kdo tuto teorii vyslovil. Přibližně před 2 400 lety se Platón domníval, že vesmír má tvar dvanáctistěnu. [Hemenway, s. 148]

2.4.3 Fraktály Na závěr této kapitoly věnované přírodě se zmíníme o fraktálech. Z mnoha definic fraktálu je zde vybrána jedna z Ottovy všeobecné encyklopedie: „Fraktál je velmi členitý geometrický útvar, jehož základní motiv se opakuje v nekonečně mnoha velikostech (při jakémkoliv zvětšení detailu).“ [Bulisová, s. 372] Jeden z nejjednodušších fraktálů může vypadat takto: představme si vertikální úsečku, jež se na jednom svém konci rozvětví na další dvě úsečky, které mezi sebou svírají úhel 120°. Z každé z těch dvou úseček vyjdou opět dvě úsečky, které mezi sebou budou svírat úhel 120°, takto můžeme pokračovat do nekonečna. Pokud zvolíme poměr 0,5 větší úsečky k menší, pak výsledný fraktál bude vypadat jako na obr. 16 (s. 29). Pokud zvolíme poměr například 0,7, větve se budou překrývat jako na obr. 17 (s. 29). Při poměru 1/se větve budou dotýkat (ne překrývat) avznikne tzv. Zlatý strom (obr. 18, s 29).

29

Obr. 16: Fraktál Úsečky (0,5) [Livio, s. 197]

Obr. 17: Fraktál Úsečky (0,7)

Obr. 18: Fraktál Úsečky (1/) [Livio, s. 197]

Pro zajímavost, pokud bychom zvolili poměr 1, vznikla by soustava vedle sebe ležících pravidelných šestiúhelníků tedy včelí plástev. Další fraktál může vzniknout tak, že začneme čtvercem. Na každý z jeho čtyř vrcholů připojíme další čtverec (čtverce se dotýkají jen vrcholy). Pokud poměr délek většího čtverce k menšímu zvolíme 1/ vznikne obr. 19. Díky poměru 1/ se každý čtverec dotýká vrcholy jiných čtyř čtverců. Nevyplněné obdélníky jsou zlaté. Při menším poměru by se čtverce nedotýkaly a při větším poměru by se překrývaly (podobně jako tomu bylo u úseček). [Livio, s. 197  198]

Obr. 19: Fraktál Čtverce (1/) [Livio, s. 198]

Fraktály objevil Benoît Mandelbrot (1924 – 2010), vědecký pracovník a profesor na Yaleské univerzitě. [Hemenway, s. 125] Ač se může zdát, že fraktály mohou existovat jen na papíře či v počítačových programech, není tomu tak. Fraktály se objevují například u větvení stromů, větvení průdušnic a průdušinek v plících člověka [Walser, s. 8], u růstu mořských organismů (např. korálů a hub), 30

také rozšiřování moderních měst je podobné fraktálnímu růstu. [Crilly, s. 103] Překrásným přírodním fraktálem je též jedlá rostlina druhu brukev zelná nazývaná romanesco. V obrazové příloze je uvedena jednak fotografie celé rostliny (příloha 1, obr. XI), ale hlavně její detail (příloha 1, obr. XII), na kterém je dobře viditelné, jak se rostlina fraktalizuje. Mimochodem její rozvětvený meristém7 tvoří zlaté spirály. [21]

7

Meristém je dělivé pletivo rostlin. [Kraus, Petráčková, s. 490]

31

3 Zlatý řez v umění Zlatý řez se s uměním pojí velmi úzce. Různá dělení na základě zlatého řezu by měla být nejlíbivější. Toto tvrzení se pokusil experimentálně dokázat i průkopník experimentální estetiky Gustav Theodor Fechner, který měřil veškeré obdélníky, jež mu přišly do cesty, např. hrací karty, knihy, rámy v galeriích či okna. Jeho experiment spočíval v tom, že dotazovaný vybral z deseti obdélníků ten, který mu připadal nejlíbivější. Závěrem tohoto experimentu bylo, že nejlíbivějším obdélníkem byl právě zlatý obdélník. [Hemenway, s. 25] Britský psycholog Chris McManus tento experiment důkladně zopakoval a uveřejnil výsledky v roce 1980. Souhlasil s tím, že zlatý obdélník je skutečně líbivý, ovšem nijak zvláště význačně v porovnání s obdélníky s poměry 1,5 či 1,75. [Livio, s. 161  164] Věrohodnost tohoto experimentu zpochybňuje autor článku Misconceptions about the Golden Ratio (Mylné představy o zlatém poměru) George Markowsky. Tvrdí, že obdélníky, z nichž Fechner dával na výběr, byly seřazeny podle velikosti, a tudíž respondenti nejčastěji vybírali ten uprostřed. [Markowsky, s. 13] Markowsky učinil podobný experiment, ovšem se 48 obdélníky stejné výšky a různé šířky. Obdélníky uspořádal do tabulky (příloha 1, obr. XIII) o 6 řádcích a 8 sloupcích náhodně, bez ohledu na jejich šířku. Pak vytvořil ještě jednu tabulku, ve které byly tytéž obdélníky, ale tentokrát byly uspořádány podle šířky. Nechal vybírat dotazované postupně z obou tabulek. Došel k závěru, že lidé si vybírali odlišné obdélníky v závislosti na jejich uspořádání v tabulce. Jinými slovy lidé upřednostňují různé obdélníky podle toho, z jakého sortimentu mají na výběr. Na závěr kapitoly Markowsky dokonce zpochybňuje význam zlatého poměru v umění. [Markowsky, s. 14  15] Protože umění je velmi široký pojem, tato kapitola je rozdělena na tři podkapitoly, ve kterých se budeme postupně zabývat architekturou, obrazy a hudbou.

3.1 Zlatý řez v architektuře V této podkapitole se budeme věnovat známým stavbám. Nebudeme jen tvrdit, že zlatý řez je tu a tam, protože to jednoduše nejde. Právě s tímto jednoznačným rozhodnutím musíme být velice opatrní. Na světě je spousta nadšenců, kteří hledají zlatý řez i tam, kde není. Tu a tam si nějaký ten centimetr přidají, či uberou, aby se poměr blížil zlatému číslu. Pak publikují knihy a čtenáři jsou klamáni. Jsou stavby, o kterých dodnes nemůžeme s jistotou říci,

32

jestli jejich architekti do plánů zahrnuli zlatý řez. Jsou i případy, kdy se zlatý řez ve stavbě vyskytuje, ale architekt neměl takový záměr.

3.1.1 Velká pyramida Cheopsova pyramida, známá také pod názvem Velká pyramida, byla postavena okolo roku 2500 př. n. l. Se svou původní výškou 146,5 m (dnes 138 m) se jedná o největší pyramidu na světě. [Bulisová, s. 284, 2. svazek] Podle zápisků řeckého filozofa Hérodota8 (cca 485  425 př. n. l.) platí, že obsah každé stěny pyramidy se rovná obsahu čtverce, jehož strana má délku rovnající se výšce pyramidy. [Chmelíková, s. 119  120] Jednoduchý náčrtek Velké pyramidy je na obr. 20. Markowsky jako průměrnou délku strany základny uvádí 755,79 stop, výška pyramidy je pak 481,4 stop. [Markowsky, s. 6] Pomocí Pythagorovy věty snadno dostaneme i velikost výšky stěny (v obr. 20 značeno s) 612 stop.

h

s

b

Obr. 20: Náčrtek Velké pyramidy

Z Hérodotova tvrzení a Pythagorovy věty dostáváme následující soustavu dvou rovnic:

Dělením obou rovnic výrazem b2 dostáváme:

8

Hérodotos (asi 484 – 425 př. n. l.) byl řecký historik. Je považován za zakladatele historiografie, bývá nazýván otec dějepisu. [Bulisová, s. 452, 1. svazek]

33

Položme s/b = x:

Z druhé rovnice soustavy jsme dostali kvadratickou rovnici o jedné neznámé x. Jedná se o tutéž rovnici, kterou jsme používali při výpočtu čísla . Tedy už víme, že její jediný kladný kořen je roven Tento výpočet nám říká, že poměr výšky stěny pyramidy k polovině délky její základny je ve zlatém řezu. Můžeme se přesvědčit dosazením konkrétních hodnot za s a b:

I přes tento důkaz přítomnosti  pomocí výpočtu existují spory o tom, zda  ve Velké pyramidě skutečně figuruje. Výpočet se totiž zakládá na interpretaci Hérodotova tvrzení, jež spousta autorů automaticky převzala. George Markowsky ovšem interpretaci Hérodota zpochybňuje, a tudíž i možnost, že by  nějakým způsobem ve Velké pyramidě figurovalo. O tom, zda je Hérodotovo tvrzení pravdivé, se můžeme přesvědčit sami. Podle Hérodota platí rovnost

Dosazením příslušných délek dostáváme tyto výsledky:

Vidíme, že výsledky jsou různé. Tím, jsme ale nedokázali, že Hérodotovo tvrzení je nepravdivé. Platilo by to v případě, že hodnoty, jež uvádí Markowsky (a se kterými jsme počítali), jsou správné. Zlatý poměr ve Velké pyramidě je velmi diskutabilní téma a různí autoři představují široké spektrum odpovědí: od rezolutního NE přes polemiku až po jednoznačné ANO. Robert Vincent nazývá Cheopsovu pyramidu dokonce „zlatou pyramidou“ nebo také „zlatým polyedrem“, protože kromě poměru výšky stěny k polovině délky podstavné hrany, lze v pyramidě údajně nalézt spoustu dalších trojúhelníků obsahujících nějakým způsobem

34

číslo [Vincent, s. 12] Pokud budeme předpokládat, že Hérodotovy spisy jsou pravdivé, můžeme si pohrát s čísly a vyjádřit ještě délku hrany Velké pyramidy. Víme, že výška stěny pyramidy je rovna číslu Položme délku podstavné hrany rovnou dvěma. Pomocí Pythagorovy věty snadno dopočítáme, že délka hrany se rovná

2 =  + 1, můžeme délku hrany zapsat jako 

. Jelikož platí

.

Mario Livio, autor knihy Zlatý řez, rozhodně nezpochybňuje existenci zlatého čísla v pyramidě, dokonce píše, že zlatý řez se ve stavbách skutečně objevuje. Dodává ale, že se neobjevuje záměrně. Údajně nebyly nalezeny žádné dochované projekty staveb, které by dokazovaly záměrné využití znalostí o zlatém řezu. Navíc, jak uvádíme v kapitole Stručná historie zlatého řezu, zlatý řez

byl

objeven pravděpodobně až

Pythagorejci

v 5. stol. př. n. l. Z tohoto hlediska tedy nemohl být při stavbě pyramid zlatý řez použit záměrně. Dle mého mínění pyramidy byly jistě navrhovány tak, aby byly oku libé, a zlatý poměr oku libý je. Tedy není divu, když při zkoumání různých poměrů „na nás zlaté číslo někde vyskočí“. Livio o jednom nadšenci jménem Robert Lawlor, který se snažil zlatý řez ve starověkých stavbách najít, píše: „Lawlorovy analýzy mě nepřesvědčily, třebaže jsou vizuálně velmi působivé. Nejenže čáry, které mají svědčit o proporcích spojené se zlatým řezem, vycházejí ze zcela libovolných bodů, ale také výsledné pětiúhelníky podle mého názoru poněkud násilně interpretují něco, co má v podstatě tvar obdélníku.“ [Livio, s. 59] Pyramidy v Gíze jsou jen jeden z mnoha případů, kdy je mystická síla zlatého řezu silnější než přesvědčivé důkazy vědců. Velká pyramida v Gíze se stala předlouhou pro nejednu novodobou stavbu. Na hlavním nádvoří palácového komplexu Louvru v Paříži stojí prosklená pyramida, sloužící jako hlavní vstup do muzea Louvre. Tato pyramida je zmenšenina Cheopsovy pyramidy v Gíze. [Vincent, s. 86] Hotel Luxor v Las Vegas, který je zároveň i kasinem, je dokonalá napodobenina egyptské stavby. Rozměry Luxoru téměř přesně odpovídají Velké pyramidě v Egyptě. [Mimořádné projekty] Pyramidové město, které má v budoucnu stát v zálivu hlavního města Japonska Tokiu, bude proporcionálně podobné Velké pyramidě. Pyramida, v níž bude schované celé město, je navržena padesátkrát větší než Velká pyramida. [18] Tedy stejný vztah, který má Velká pyramida ke zlatému poměru, mají i tyto tři novodobé pyramidy. Skutečnost, že se projektanti zajímají o Velkou pyramidu, když chtějí postavit

35

svou vlastní, není podle mne jen v její kráse. Rozhodně jde především o stabilitu. Nač vymýšlet jiný tvar pyramidy, když víme, že ten egyptský je stabilní a časem prověřený. Zde se nabízí myšlenka, jestli není maximem nějaké funkce popisující závislost zkosení pyramidy na době její existence.

3.1.2 Parthenón Od pyramid v Gíze se nyní přeneseme v čase zhruba o tři tisíce let blíže do starověkého Řecka. V Aténách, hlavním městě Řecka, se na Akropoli dodnes tyčí Parthenón. Chrám je zasvěcen bohyni Athéně Parthenos (Panenské). Architekty chrámu byli Iktinus a Kallikratos. Parthenón byl budován mezi lety 447 – 438 př. n. l. Feidas, který je často milně uváděn jako architekt, vytvořil figurální výzdobu včetně kultovní sochy bohyně Athény. [Bulisová, s. 197, 2. svazek] Stejně jako u Cheopsovy pyramidy musíme být i u Parthenónu opatrní s jednoznačným tvrzením ohledně zlatého čísla. Situace je obdobná. Ve spoustě literatury se můžeme dočíst o užití zlatého řezu při výstavbě chrámu. Po zadání výrazu parthenón golden section do internetového vyhledavače, se zobrazí nespočet obrázků tohoto chrámu prokresleného skrz na skrz zlatými proporcemi a útvary. Velmi často je brána na mušku právě přední strana Parthenónu. Většina prací o zlatém řezu uvádí, že rozměry přední strany chrámu v době, kdy byl štít neporušen, odpovídají zlatému obdélníku. Původem těchto úsudků může být opět Hérodotos, který též tvrdí, že plány Parthenónu jsou založeny na zlatém poměru. [Hemenway, s. 22 ] Rozpor do této problematiky přináší opět matematik George Markowsky, který existenci zlatého řezu v Parthenónu vyvrací. Upozorňuje na opomíjení faktu, že pokud opíšeme zlatý obdélník přední straně Parthenónu, pak podstavec stavby přesahuje zlatý obdélník. [Markowsky, s. 7] Naproti tomu Scott Olsen v Záhadném zlatém řezu vůbec nepochybuje o použití zlatého čísla při stavbě chrámu. [Olsen, s. 10] Stejně tak Hemenway uvádí Parthenón jako příklad stavby, která byla navržena na základě zlatého řezu. [Hemenway, s. 7] O Parthenónu se také zmiňuje Tony Crilly, který naopak nepřipouští možnost, že by v Parthenónu zlatý řez figuroval. Vyjadřuje se i o zmiňovaných proporcích šířky k výšce předního průčelí. Pokud budeme počítat k výšce Parthenónu i fronton (trojúhelníkovitý štít), pak je poměr roven 1,74. Bez frontonu dokonce celé číslo 3. [T. Crilly, s. 50]

36

Mnohdy bývá zmiňován i půdorys chrámu. Půdorys má být tvaru obdélníku s poměrem stran 1 : 5. [Hemenway, s. 100] Pokud do středu tohoto obdélníku vložíme čtverec o straně délky jedna, pak obdélníky, které vzniknou po stranách, jsou zlaté. [Hemenway, s. 101] Dle mého názoru toto rozčlenění půdorysu je velmi umělé. Neodděluje žádné části stavby ani neurčuje důležité prvky, je tedy zřejmě bezvýznamné. Pokud bychom chtěli hledat odpověď v historii zlatého řezu, není to tak jednoznačné jako u Velké pyramidy. V době výstavby Parthenónu bylo zlaté číslo sice známo, avšak většina pouček týkajících se zlatého poměru byla formulována až po výstavbě chrámu. Tedy s úplnou jistotou, zda byl v Parthenonu použit zlatý řez, se odpovědět nedá.

3.1.3 Skalní dóm Nyní uděláme velký skok po časové ose o zhruba jedenáct století kupředu. V 7. století n. l. byla postavena asi nejznámější pamětihodnost Jeruzaléma Skalní dóm. Zde se dá také nalézt zlatý poměr. V okně této mešity si můžeme všimnout zlatého obdélníku (příloha 1, obr. XIV). [Vincent, s. 98]

3.1.4 Lomené oblouky Opět se přesouváme dál po časové ose, kdy v Evropě architekturu určoval sloh románský a zejména gotický. Pro románskou a gotickou architekturu je zlaté číslo charakteristické. [Vincent, s. 12] Lomený oblouk se stal typickým znakem gotické architektury. Útvarem, složeným ze dvou kruhových oblouků, uzavírali stavitelé okna i dveře. Těchto oblouků je mnoho druhů, některé se zakládají na zlatém poměru. Dva z nich jsou tzv. lomený oblouk nad pravidelným pětiúhelníkem a lomený oblouk v pravidelném pětiúhelníku. Lomený oblouk nad pravidelným pětiúhelníkem KLMNO (obr. 21) sestává z částí dvou kružnic. Jedna má střed v bodě L a protíná přímku KL v bodě A. Druhá má střed v bodě L a protíná přímku KL v bodě B. Obě kružnice mají poloměr roven Výsledný lomený oblouk prochází body A, O, N, M, B a platí

 Znamená to, že bod K (resp. L) dělí úsečku AL (resp. BK) v poměru zlatého řezu. 37

N

O

A

M

K

L

B

Obr. 21: Lomený oblouk nad pětiúhelníkem

Lomený oblouk v pravidelném pětiúhelníku KLMNO (obr. 22) též sestává z částí dvou kružnic. Jedna má střed A v průsečíku přímek KL a NO. Druhá kružnice má střed B v průsečíku

přímek

KL

a

MN.

Obě

kružnice

mají

poloměr

roven

. Výsledný lomený oblouk prochází body K, N, L. [Chmelíková, s. 122  125] N

O

A

M

K

L

B

Obr. 22: Lomený oblouk v pětiúhelníku

Lomené oblouky nad pětiúhelníkem se vyskytují na Svatovítské katedrále v Praze. [Chmelíková, s. 122  125] Lomené oblouky v chrámu sv. Víta nejsou jedinými zástupci zlatého čísla v této stavbě. Číslo  lze nalézt i v půdorysu chrámu. [Crhák, s. 135] (Podrobněji se o tom Crhák nezmiňuje.) Další z lomených oblouků je tzv. tupý oblouk (obr. 23), který lze sestrojit jednoduchou konstrukcí: Začneme libovolně dlouhou úsečkou AB, jež rozdělíme na třetiny tak, aby platilo v bodě C a poloměrem

. Nyní už jen nakreslíme dvě kružnice. Jednu se středem a druhou se středem v bodě D a poloměrem 38

. Tyto dvě

kružnice se protnou v bodě E (uvažujeme pouze polorovinu nad přímkou AB), což je vrchol tupého oblouku. Výsledný tupý oblouk prochází body A, E, B. [Vincent, s. 90] V tupém oblouku platí

E

A A

D

C

B

Obr. 23: Tupý oblouk

3.1.5 Zakázané město Zatímco v Evropě vrcholí gotika a chrámy zdobí lomené oblouky, v Pekingu vládne dynastie Ming (1368–1644). [19] Za její vlády je v samotném nitru Pekingu vybudován komplex budov známý pod názvem Zakázané město. Půdorys tohoto komplexu je ve tvaru podlouhlého obdélníku, který je složen ze tří zlatých obdélníků ležících vedle sebe a dotýkajících se delšími stranami. Tyto zlaté obdélníky jsou pomocí oddělování čtverců rozděleny ještě na menší zlaté obdélníky a čtverce, které určují polohu dalších prvků ve městě (příloha 1, obr. XV). [Olsen, s. 36] V kapitole Zlatý řez v architektuře jsme se dočetli, že jsou stavby, o kterých, zejména díky dochovaným plánům, můžeme tvrdit, že při jejich výstavbě byl zlatý řez použitý. Jedná se především o novější nebo o středověkou architekturu, kdy byli lidé pod vlivem náboženství zlatým řezem doslova posedlí. Více nás však přitahují stavby starší, konkrétně pyramidy v Gíze nebo Parthenón v Athénách. Bylo by hezké věřit tomu, že i v těchto stavbách bylo počítáno se zlatým řezem, ale to už se pravděpodobně s jistotou nikdy nedozvíme. Mě osobně skutečnost možného nezáměrného použití poměru, pouze na základě estetického cítění, připadá přinejmenším pozoruhodná.

39

3.2 Zlatý řez v obrazech Tato kapitola je věnovaná vybraným malířům a jejich obrazům. Stejně jako je tomu v architektuře, i mezi obrazy se najdou takové, o kterých víme s jistotou, že v nich zlatý řez zakomponován byl. Pak jsou obrazy takové, o kterých se dá spekulovat. Velká část je věnována Leonardu da Vinci, který mimo jiné byl i malířem. Tvrzení o tom, že ten či onen umělec použil ve svém díle zlatý řez, vyrůstají neustále jako houby po dešti. V tomto ohledu musíme být opatrní a přemýšlet o tom, co čteme. V tomto kontextu ke spekulacím o užití zlatého řezu přímo vybízí holandský malíř Piet Mondrian. Ve svých obrazech používá pouze vertikální a horizontální linie, obdélníky a čtverce. Používá jen základní barvy. Někdy pouze černou, šedou a bílou. Ukázka jeho díla je v příloze (příloha 1, obr. XVI, XVII). Mondrianovy obrazy podnítily už spoustu spekulací o použití zlatého řezu, avšak Livio píše: „Myslím, že zlatý řez je, co se týče Mondriana, úplně falešnou stopou“. [Livio, s. 160] Naproti tomu František Crhák má ve své knize z roku 1967 Mondrianův obraz jako názorný příklad toho, jak má kompozice svůj základ právě v členění zlatého řezu. Podle mého názoru, vzhledem ke skutečnosti, že Piet Mondrian nakreslil nesčetně obrazů, které se skládají pouze z vertikálních a horizontálních linií, ten, kdo chce v nich zlatý řez najít, jej zcela jistě nalezne. Jak už víme, rozdělení ve zlatém řezu je oku příjemné, umělec tedy nemusí mít o něčem, jako je zlatý řez, tušení, a přesto jej může nevědomě používat.

3.2.1 Leonardo da Vinci Leonardo da Vinci (1492 – 1519) byl velice všestrannou renesanční osobností a mimo jiné také malířem. Nejen, že byl současníkem Pacioliho, autora knihy De divina proportione, byl dokonce jeho přítelem. Díky vydání knihy De Divina Proportione došlo ke zdokonalení matematického základu v umělecké činnosti. Leonardo spolupracoval spolu s Paciolim na jeho knize. Obohatil ji více než 60 ilustracemi. [Livio, s. 120] Právě tato spolupráce s Paciolim mohla zapříčinit to, že se dnes spousta nadšenců snaží najít zlatý poměr i v jeho dalších obrazech, které s knihou De Divina Proportione nesouvisí. Nyní se postupně zmíníme o pěti Leonardových obrazech, o kterých se vedou spory vzhledem k použití zlaté proporce. Všechny tyto obrazy jsou v obrazové příloze. První a zároveň nejslavnější z obrazů je Mona Lisa. Na internetu lze dohledat nesčetně obrázků Mony Lisy,

40

které jsou prorýsované všemi směry zlatým řezem, jsou do nich vkresleny sledy do sebe vložených zlatých obdélníků, zlaté spirály, pentagramy kolem obličeje apod. Příkladem za všechny je video [40], na kterém je postupně kolem obličeje Mony Lisy rýsován pentagram, okolo něj kružnice, pak další přímky, až z toho vznikne nepřehledná směsice čar a kružnic (příloha 1, obr. XIII). Tento obrázek (resp. video) může být učebnicovým příkladem toho, jak vidíme to, co vidět chceme tam, kde to není. Můžeme si totiž všimnout, jak úsečky, na kterých se výsledný obrazec zakládá, vedou odnikud nikam. Zkrátka magická síla tohoto obrazu je silnější než racionální uvažování. Livio o obrazu píše, že existuje mnoho navzájem si odporujících dohadů o tom, zda je zlatý řez v obrazu použit či nikoli. Tedy dojít k nějakým jednoznačným závěrům je prakticky nemožné. Pro zajímavost uvádí, že obdélník konstruovaný kolem tváře Mony Lisy má být zlatý, ale nikde se už nedovíme, kde přesně má obdélník být. [Livio, s. 147] Další dva obrazy od Leonarda da Vinci, o kterých se mluví, jsou dvě verze obrazu Madona ve skalách (příloha 1, obr. XIX). Poměr výšky a šířky těchto dvou maleb jsou přibližně 1,64 a 1,58. Přesto je Mario Livio opět skeptický k tomu, že by byl v obrazech užit zlatý řez. Protože obrazy byly údajně namalovány dřív, než se da Vinci začal zabývat zlatým řezem spolu s Paciolim. [Livio, s. 148] Pokud zlatý řez v obrazu skutečně záměrně použit není, je to jen další důkaz toho, že zlatý poměr je poměrem z nějakého důvodu přitažlivým. Poměry 1,64 a 1,58 se od zlatého čísla 1,618 liší pouze o setiny, což je pro lidské oko zanedbatelné. Stejné je tomu i u čtvrtého obrazu s názvem Svatý Jeroným (příloha 1, obr. XX). Některé práce tvrdí, že se kolem svatého Jeronýma dá udělat zlatý obdélník. [Livio, s. 148] Ve skutečnosti umístění zlatého obdélníku je velmi nahodilé. Je skoro až zbytečné upozorňovat na pravou ruku Jeronýma, která zasahuje daleko za obdélník. Leonardo vytvořil Svatého Jeronýma třináct let před tím, než potkal Pacioliho, díky kterému se o zlatém řezu dozvěděl. Poslední obraz nese název Hlava starce, pravděpodobně se jedná o autoportrét (příloha 1, obr. XXI). [Markowsky, s. 10] Z obrazu je patrné, že se Leonardo zajímal o proporce tváře. Ovšem tvrdit, že obdélníky jsou zlaté, je příliš troufalé. Da Vinci zjevně načrtával pouze rukou, navíc úhly v obdélnících nejsou ani pravé.

41

3.2.2 Další renesanční malíři Leonardovým současníkem byl mimo jiných i italský renesanční malíř Piero della Francesca (asi 1412 – 1492). Kromě malování výborně ovládal matematiku. Tyto dvě, na první pohled odlišné, vědy dokázal propojit. Della Francesca hojně využíval zlatý řez a jeho obrazy měly velmi důsledně propracovanou výstavbu perspektivy. Vypracoval velice pečlivou analýzu toho, jak nakreslit pětiúhelník v perspektivě (obr. 24). [Livio, s. 114  116] Další renesanční malíři, kteří jsou v literatuře zmiňováni v souvislosti se zlatým řezem, jsou Cimabue, Duccio a Giotto. Tito tři umělci opět rozdělují ty, jež se zajímají o zlatý řez, na ty, kteří jsou přesvědčeni o jeho aplikaci v dílech zmiňovaných umělců, a na ty, jež střízlivě tvrdí, že neexistují žádné seriózní studie, které by existenci zlatého řezu v jejich malbách dokazovaly. [Livio, 145  146]

Obr. 24: Pětiúhelník v perspektivě [Livio, s. 116]

3.2.3 Kubisté Obrazy kubistických malířů přímo vybízejí ke zkoumání přítomnosti zlatého řezu. Na rozdíl od Mondriana zde jsme na správné stopě. Jako příklad může sloužit italský futurista a kubista Gino Severini. Chtěl „vytvořit prostřednictvím obrazu objekt se stejně dokonalou zručností jako truhlář, když vyrábí nábytek“. [Livio, s. 154] Tato snaha vedla Severiniho k aplikaci zlatého řezu v jeho obrazech. 42

Kubističtí umělci uspořádali v Paříži roku 1912 výstavu nazvanou Section d´Or, což v překladu znamená zlatý řez. Paradoxně na této výstavě nebylo vystaveno jediné dílo, které by v sobě zlatý řez nějakým způsobem zahrnovalo. Název výstavy měl spíše ukázat na to, že umění je spojeno s vědou a filozofií. [Livio, s. 153] Pokud se zmiňujeme o kubismu, nesmíme vynechat nejznámějšího představitele tohoto uměleckého směru, Pabla Picassa, který též zlatý řez ve svých dílech aplikoval. [Livio, s. 154]

3.2.4 Le Corbusier Velmi významným architektem 20. století byl Švýcar Le Corbusier, velký zastánce zlatého řezu. Le Corbusier zavedl Modulor (příloha 1, obr. XXII), což byl nový poměrový systém. Modulor bylo měřítko lidské míry, které se dalo aplikovat v různých odvětvích, např. i v architektuře. Modulor je založen na obrazu muže zasazeného do čtverce. „Muž je vysoký 183 centimetrů a se vztyčenou rukou do výšky 226 cm. Poměr mužovy výšky (183 cm) k výšce jeho pupku (113 cm) je přesně ve zlatém řezu. Celková výška postavy (od paty ke konci zdvižené ruky) je na úrovni zápěstí svěšené ruky rovněž rozdělena zlatým řezem (140 a 86 cm)“. Postava muže je dále rozdělena do menších částí. Tyto části jsou rozděleny podle Fibonacciho posloupnosti. [Livio, s. 157] Z obrázku vyčteme, že posloupnost začíná číslem šest, pak následuje devítka. Poté už se pokračuje jako ve Fibonacciho posloupnosti, tedy každé další číslo je součtem předchozích dvou. Einstein o Moduloru napsal: „Je to škála proporcí, díky níž je těžké udělat něco špatně, a naopak je snadné udělat to dobře“. [Livio, s. 158] Livio o poměru délek 183 a 113 píše, že jsou přesně ve zlatém řezu. Poměr těchto dvou délek je roven přibližně 1,6194. Zatímco o jiných poměrech, které se vyskytují v okolí čísla , se vyjadřuje skepticky, u Moduloru je tolerantnější.

3.2.5 Salvador Dalí Španělský surrealista Salvador Dalí (1904 – 1989) kromě jiných namaloval obraz Svátost poslední večeře (příloha 1, obr. XXIII). Nad stolem si můžeme všimnout části dvanáctistěnu, který má se zlatým řezem mnoho společného. Podle Livia, Dalí v této malbě nápaditě obdivuje právě zlatý řez. Toto tvrzení umocňuje fakt, že obraz má rozměry 105,5 x 65,75 palců, tedy poměr stran je zhruba 1,6 [Livio, s. 15].

43

3.2.6 Karel Březina Český umělec, který jistě zlatý řez používal, byl akademický malíř Karel Březina (1922  2004). Zlatý řez mnohdy používal sice nepřesně, jen odhadem, ale je jisté, že šlo o jeho záměrné použití. [Chmelíková, s. 117]

3.2.7 Horizont Pokud budeme chtít na nějakém obrazu objevit zlatý poměr, kromě přeměření jeho stran, můžeme zjistit, v jakém poměru je obraz rozdělen horizontem. Na mnoha obrazech leží horizont ve zlatém poměru. [Olsen, s. 44] Jako shrnutí podkapitoly věnované obrazům se zmíníme o podobnosti, kterou můžeme zaznamenat mezi architekturou a obrazy. U obojího totiž narážíme na tutéž otázku, zda byl zlatý řez v daném díle použit, či nikoliv. Dostává se nám trojího druhu odpovědí: pravděpodobně ano, pravděpodobně ne, a ano, zlatý řez se v díle objevuje, avšak nikoliv záměrně. Třetí odpověď dle mého názoru nejvíce vyjadřuje skutečnost, že zlatý poměr nás něčím přitahuje, aniž bychom si toho byli vědomi. A to je mnohem pozoruhodnější, než když si umělec předem rozmyslí, že zlatý řez aplikuje. Člověk se neubrání otázce, proč tomu tak je? Co způsobuje, že zlatý řez je pro naši mysl přitažlivější než jiné poměry? V knize Matematika kolem nás můžeme najít možnou odpověď: „Výsledky prací z nedávného období9 nasvědčují, že tato skutečnost souvisí s činností mozku. Přesněji s tím, že při pozorování předmětů obsahujících poměry zlatého řezu vyvolávají vzniklé mozkové elektrické signály mimořádně příznivou informační rezonanci, ale podrobným vysvětlováním tohoto procesu se vzhledem k jeho složitosti zabývat nemůžeme.“ [Opava, s. 269] Dle mého názoru upřednostňování věcí obsahujících zlatý řez může být způsobeno tím, že tento poměr je velmi úzce spjat s přírodou.

3.3 Zlatý řez v hudbě Hudba má k matematice mnohem blíž než se na první pohled může zdát. Ve starověkém Řecku byla hudba dokonce součástí výuky matematiky. Pythagorův objev celočíselných vztahů mezi různými tóny v hudbě dodnes využívají smyčcové kvartety a symfonické orchestry. [Livio, s. 164] 9

Zdroj je z roku 1989.

44

Zlatý řez se v hudbě vyskytuje například u čistého ladění tónů. Frekvence tónů, které spolu tvoří velkou sextu, jsou v poměru 5 : 3. Frekvence tónů tvořících malou sextu, jsou v poměru 8 : 5. U kvinty je poměr frekvencí 3 : 2 a u oktávy 2 : 1. Všechny tyto poměry se sestávají ze dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho posloupnosti, a tudíž se blíží zlatému řezu. [Olsen, s. 46] Zlatý poměr lze využít i při způsobu strukturování hudebního díla. Grafická ukázka je znázorněna na obr. 25. Jedná se o větu Hudba pro smyčce, bicí a celestu, jež složil maďarský hudební skladatel Béla Bartók (1881 – 1945). Věta má 89 taktů. Nejhlasitější moment přichází po 55 taktech, tedy 34 taktů zbývá. Odstranění a zpětné nasazení dusítka na smyčce je též významný mezník, přicházející v okamžiku daném zlatým poměrem. Z této grafické interpretace se můžeme domnívat, že Bartók zlatý řez s největší pravděpodobností při tvoření skladeb využíval. Přesto jsou skeptici, kteří tvrdí, že tomu tak není. [Livio, s. 169  170]

Obrázek 25: Hudba pro smyčce, bicí a celestu [Livio, s. 169]

Stejně jako láká objevit zlatý řez ve Velké pyramidě nebo v obrazu Mony Lisy, je lákavé nalézt jej ve skladbách známých hudebních skladatelů. Podle ruského muzikologa Sabanějeva se zlatý řez projevuje v 97 % Beethovenových10 skladeb, v 97 % Haydnových11 skladeb, v 95 % Arenského12 skladeb, v 92 % Chopinových13 skladeb, v 91 % Schubertových14 10

Ludwig van Beethoven (1770 – 1827), německý hudební skladatel a přední světový hudebník. [Bulisová, s. 120, 1. svazek] 11 Joseph Haydn (1732 – 1809), rakouský hudební skladatel, jeden z nejvýznamnějších skladatelů klasicismu. [Bulisová, s. 445, 1. svazek] 12 Anton Arenskij (1861 – 1906), ruský hudební skladatel a profesor hudby. [17] 13 Fryderik Chopin (1810 – 1849), polský hudební skladatel a klavírista období romantismu. [Bulisová, s. 501, 1. svazek]

45

skladeb, v 91 % Mozartových15 skladeb a v 90 % skladeb Skrjabina16. [Olsen, s. 46] Jakým způsobem se má zlatý řez projevovat, se už Olsen nezmiňuje. Složení skladby na základě zlatého řezu u Mozarta není dle mého názoru zcela scestná myšlenka, vzhledem k tomu, že byl posedlý čísly. [Livio, s. 168] Kdo ale beze sporu zlatý řez vkládal do svých skladeb, byl skladatel, učitel a matematik Joseph Shillinger. Vypracoval systém skladby, kde každá následující nota byla položena výše, či níže než předchozí nota o počet půltónů, který byl dán Fibonacciho posloupností. [Livio, s. 173] Například druhá byla od první o půltónu výš, třetí od druhé o dva půltóny níž, sedmá od šesté o 13 půltónů níž atd. Zlatý řez nefiguruje jen v hudbě samotné, ale lze jej vidět v provedení hudebních nástrojů. Nejvěhlasnější výrobce houslí Antonio Stradivari používal zlatý řez při jejich zhotovování. Otvory tvaru f jsou velice důkladně umístěny na místa určená zlatým řezem. [Livio, s. 165  166] Pokud se podíváme na klapky klavíru a zaměříme se na jednu oktávu, napočítáme jich 13, 8 bílých a 5 černých. Černé klávesy jsou pak uspořádány ve dvou skupinách po dvou a po třech. Čísla 2, 3, 5, 8 a 13 jsou čísla Fibonacciho posloupnosti. Livio ovšem tuto skutečnost usazuje na pravou míru a píše, že uspořádání klapek na klavíru je mnohem starší než kniha De divina proportione. Jinými slovy velmi zpochybňuje fakt, že by mezi uspořádáním klapek klavíru a zlatým řezem byla nějaká souvislost. [Livio, s. 165  166] Fakt, že jejich počty popsané výše odpovídají Fibonacciho číslům, je přinejmenším zajímavý. A opět se tím potvrzuje pozoruhodná vlastnost zlatého čísla, samovolně se objevovat ve věcech krásných a přirozených. Matematika je důležitou součástí hudby. Ne nadarmo se říká, že matematici bývají také dobří hudebníci. Nemůžeme obecně říci, že každý, kdo při skládání hudby pracoval s matematikou, uplatňoval zlatý řez. Ve 20. století s nástupem techniky se objevil nový zájem o čísla v hudbě. Spolu s tímto zájmem se v některých dílech zlatý poměr vyskytl. [Livio, s. 173]

14

Franz Schubert (1797 – 1827), rakouský hudební skladatel, představitel raného romantismu. [Bulisová, s. 380, 2. svazek] 15 Wolfgang Amadeus Mozart (1756 – 1791), rakouský hudební skladatel, představitel klasicismu. [Bulisová, s. 94, 2. svazek] 16 Alexandr Nikolajevič Skrjabin (1872 – 1915), ruský hudební skladatel a klavírista. [Bulisová, s. 380, 2. svazek]

46

4 Zlatý řez a všední maličkosti Tato kapitola je věnována všedním věcem a předmětům, se kterými denně můžeme přijít do kontaktu a zároveň nějakým způsobem souvisejí se zlatým řezem. Pokud postavíme vejce na špičku, pak jeho šířka (myšleno v nejširším místě vejce) k vzdálenosti od podložky k nejvyššímu místu by měla být v poměru zlatého řezu. [Crhák, s. 135]. Podrobila jsem měření osm vajec a nemohu souhlasit s tímto tvrzením. Průměrný poměr výšky vejce k jeho šířce jsem stanovila na 1,330 (příloha 2, B). Tento poměr je příliš vzdálený od zlatého poměru na to, abychom mohli tvrdit, že se mu blíží. Aby zmiňovaný poměr vejce byl zlatý, vajíčko by muselo být vyšší (nebo užší), tím by ale paradoxně ztratilo svůj charakteristický vzhled. Plastikové kartičky, kterých máme každý v peněžence hned několik, mají rozměr 86 x 54 mm, což dává poměr velikosti stran 1,59. S kazetou do magnetofonu už tak často do styku nepřicházíme, přesto jí uvádím pro její poměr 1,6 velikostí stran. Sportovci si mnohdy ani neuvědomují, že běhají takřka po dokonalém zlatém obdélníku. Rozměry volejbalového hřiště jsou 18 m x 9 m. Pokud k rozměrům samotného hřiště přičteme ještě volnou zónu17, dostáváme tím rozměry 24 m x 15 m. [24] Tento poměr velikostí stran je roven 1,6. Rozměry fotbalového hřiště jsou ještě zlatější oproti hřišti na volejbal. Do roku 1999 rozměry fotbalového hřiště byly 105 m na 65 m. To dává poměr dokonce 1,615, což není daleko od Od roku 1999 jsou rozměry změněny na 105 m x 68 m.) [Vincent, s. 96] Čepel nože na plech má tvar zlaté spirály. Tím je dosaženo konstantního úhlu, který svírá tečna s vektorem poloměru křivosti v libovolném bodě. [Jarešová, Zhouf, s. 6  7] Olsen uvádí, že hrací karty mají zlatý poměr. Jaké karty to jsou, už ale neuvádí. Na různé karetní hry existují různé hrací karty, s různými poměry. Karty na kanastu mají poměr 1,53, karty na poker dokonce 1,4. V literatuře, věnující se zlatému řezu, se můžeme dočíst, že knihy mívají zlaté rozměry. Po přeměření knih z jedné police v mé knihovně jsem došla k jinému závěru. Za knihu, která má strany ve zlatém poměru, budeme považovat takovou, jejíž poměr délek stran je

17

Volná zóna je plocha okolo hřiště, která musí být aspoň 3 metry široká.

47

z intervalu

. Tento požadavek splňuje jediná kniha. Menší než zlatý poměr má

76 % knih. (Jednotlivé naměřené poměry délek stran knih s názorným grafem jsou v příloze 2, C.) Jako příklad časopisu, jenž se svými rozměry blíží zlatému poměru, Olsen uvádí National Geographic. Vzhledem k tomu, že tento časopis má ve znaku obdélník, který je nadto žlutý, vybízí k zamyšlení nad zlatým poměrem. Poměr velikostí stran obálky časopisu bez žlutého rámečku je roven 1,53, s rámečkem dokonce 1,44. Tedy nevidím důvod, proč jej Olsen uvádí. Poměr všech délek, které jsem v rámci svých minivýzkumů naměřila, jsem počítala na kalkulačce o rozměrech 9 cm x 5,6 cm, což dává poměr 1,61. V našem všedním životě narážíme na předměty obsahující zlatý poměr, ale myslím, že je víc takových, které jej neobsahují. Pokud nebudeme brát v úvahu designové a umělecké předměty, myslím, že předměty všedního života, jako magnetofonová kazeta, kalkulačka apod., obsahují zlatý poměr jen náhodou.

48

5 Závěrečné shrnutí Do této práce jsem se vrhla s velkým nadšením, ale také s jistou mírou naivity. Myslela jsem si, že skutečnost, zda se někde zlatý řez vyskytuje, nebo ne, je jednoznačná. Neměla jsem tušení o tom, že velký počet témat, týkajících se problematiky zlatého řezu, je sporný. Skutečnost, že internet je plný lží o zlatém řezu, mne nijak nezaskočila, ale že jsou na trhu publikace, které klamou, je velmi tristní. Záhy poté, co jsem se o zlatý řez začala zajímat, jsem ze své naivity vystřízlivěla a koncepci celé práce jsem musela přehodnotit. Ke každému tématu, o kterém jsem v této práci psala, jsem se snažila na základě vlastního stanoviska vyjádřit. Tato kapitola slouží ke sjednocení mých úsudků o zlatém řezu. V přírodě má, podle mne, zlatý řez svůj velký význam. K tomuto tvrzení jsem nedospěla na základě nějakého cítění, ale na základě faktů. Fylotaxe rostlin, divergenční úhel, nautilus, to vše není smyšlenka člověka, ale přírody. Za skutečnost, že fraktály, o kterých se zmiňujeme v podkapitole 2.4, se dotýkají právě tehdy, když jsou menší části k větším ve zlatém poměru, může matematika, ne člověk. Ke zlatému číslu se limitně neblíží jen podíly členů Fibonacciho posloupnosti. Nadefinujeme-li posloupnost čísel tak, že každý její prvek (počínaje třetím) je vždy součtem dvou předchozích, pak se podíly dvou následujících prvků budou vždy blížit zlatému číslu, a to bez ohledu na to, jaké si zvolíme první dva členy. (Fibonacciho posloupnost má jen tu vlastnost, že ke zlatému číslu spěje nejrychleji.) [Livio, s. 95] Chci tím říct, že zlaté číslo rozhodně není jen uměle vytvořený poměr. Podle mne si zlatý řez pozornost zasluhuje. Co se přírody týče, dospěla jsem k následující myšlence: Protože spirálovité postavení listů je tím efektivnější, čím více se divergenční úhel blíží zlatému úhlu (137,4° je málo, 137,6° je hodně), protože loděnka nemusí měnit svůj tvar pří zatočení ulity právě do zlaté spirály, protože sokol letící na kořist při opisování zlaté spirály letí nejrychleji, protože  figuruje v tom, když se fraktály dotýkají (při poměru 1,6 se nikdy nedotknou, při poměru 1,7 se překryjí), proto si myslím, že  je maximem funkcí, které popisují tyto jednotlivé jevy a mnoho dalších spojených s přírodou. Naopak v umění, podle mne, zlatý řez nemá takový význam, jaký je mu přikládán. Nemyslím si, že by zlatý řez byl nějakou pevně danou estetickou normou. Bohužel se stalo to, že jej lidé začali hledat ve všech možných lidských výtvorech. Zvláště v případě Velké pyramidy, Parthenónu a Mony Lisy a dalších obrazů od Leonarda da Vinci se jedná až o jakési zlaté šílenství.

49

Problém nacházení zlatého čísla v objektech obecně může spočívat v jejich měření. Skutečné stavby totiž nejsou dokonalé geometrické útvary, a je tedy nutné počítat s možnými odchylkami v měření. Pokud budeme měřit s odchylkou např.

1 %, pak nám v poměru

může vyjít odchylka až 2 %. Např. Pokud dvě strany objektu mají délku 1, jejich měřením, s přípustnou odchylkou, můžeme dostat délky 0,99 a 1,01, ale také 1,01 a 0,99. V prvním případě obdržíme přibližný poměr 0,98 a ve druhém případě 1, 02. Tedy vidíme, že zanedbání odchylek při měření, nebo naopak jejich zneužívání může některé nadšence vést k žonglování s čísly. Z přečtení několika publikací věnované zlatému číslu můžeme nabýt dojmu, že v mnohých případech, kdy se někdo snaží za každou cenu objevit zlatý řez v nějakém uměleckém díle, používá následující dvě metody. Řekněme, že se jedná o obraz. Hledač si tento obraz přeměří a poté jej rozdělí v poměru zlatého řezu. Na úsečce, která dělí obraz ve zlatém poměru, se jistě nachází nějaký objekt. Hledač, pak může prohlásit například: „Všimněme si, jak důmyslně tento objekt dělí obraz ve zlatém poměru.“ Jako příklad uveďme obraz Spící myslivec od malíře Josefa Lady. Když jej rozdělíme ve zlatém poměru vzhledem k výšce (obr. 26), můžeme „prohlásit“: „Josef Lada ve svých obrazech využíval zlatý poměr, jak je vidět na obr. 26. Pupek spícího myslivce dělí obraz přesně ve zlatém řezu.“ Tato ukázka se může zdát přehnaná, ale přesně takto podle mého názoru působí některé vážné závěry publikované v knihách o zlatém řezu.

Obr. 26: Spící myslivec [36]

Druhá metoda, jestli je to vůbec možné, je ještě méně vědecká než předchozí. Hledač si na obrazu vybere svůj cíl a ten umístí do některého ze zlatých útvarů (obdélník, trojúhelník, spirála atd.), ovšem za cenu, že zlatý útvar vychází odnikud nikam. Hledač pak může popi50

sovat, jak jeho cíl opisuje zlatý útvar. Jako příklad uveďme obraz Mony Lisy (obr. 27), který je v tomto ohledu velice diskutovaný. Kolem Mony Lisy je vytyčen zlatý obdélník, který se dále člení na menší zlaté obdélníky. Na závěr je pak na základě obdélníků vykreslena zlatá spirála. Ale smysl dle mého názoru má jen horní strana obdélníku, která ohraničuje Monu Lisu shora. Levá, pravá a dolní strana největšího z obdélníků už takový smysl nedává. Proč právě tudy? Proč například pravá strana nemůže vést o kousek více vlevo? Stejně tak členění obdélníku neohraničuje žádné významné prvky. Podobných nesmyslných obrázků, na kterých je Mona Lisa prokreslována zlatými útvary, najdeme na internetu desítky.

Obr. 27: Mona Lisa [51]

Ti, kteří vytvářejí podobné obrázky, žonglují s čísly, snaží se zlatý řez objevit za každou cenu a nakonec o tom všem publikují, ti všichni mají, podle mne, na svědomí to, že lidé racionálně uvažující mohou být tím vším zprotiveni. Velmi mne mrzí, že tomu tak je. Zlaté číslo se nemusí hanobit tím, že je mu připisován větší význam, než který má.

51

Závěr V úvodu jsem předesílala, že tato práce bude uceleným souborem oblastí, ve kterých se zlatý řez vyskytuje. Poté, co jsem získala určitý vhled do problematiky zlatého řezu, jsem zjistila, že nelze jen popisovat, kde se zlatý řez objevuje. Zvláště v některých oblastech je zlatý řez velmi diskutované téma a nelze jednoznačně určit jeho přítomnost. Po přečtení několika neobjektivních publikací, jsem musela zvolit jiný přístup k dané problematice. Zaujala jsem pochybovačné stanovisko k získaným informacím a snažila se je ověřovat. Došla jsem k závěru, že zlatý řez má své místo a význam v přírodě, ale není pevně danou estetickou normou pro lidské tělo ani pro umění. Práce tedy není jen popisem věcí obsahujících zlatý řez, ale také vybízí čtenáře k zamyšlení a na základě faktů dává prostor pro utvoření vlastního názoru. V publikacích věnujících se zlatému řezu chybí hlubší vhled do konkrétní problematiky. Mnohdy se jen dočteme např.: Zlatý řez se vyskytuje v lidské DNA. Jakým konkrétním způsobem se zlatý řez má vyskytovat, už popsáno není. Naopak v publikacích zabývajících se podrobně jednotlivými obory se jen málokdy dočteme o zlatém řezu. Hlavním přínosem této práce je tedy její široký záběr a snaha o hlubší zjištění konkrétních souvislostí v jednotlivých případech výskytu zlatého řezu. Během zpracovávání práce jsem mnohdy musela studovat i na první pohled s matematikou nesouvisející obory. Případná navazující diplomová práce může spočívat v zaměření na užší oblast související se zlatým řezem, její hlubší prozkoumání a propojení s didaktickým záměrem. Jestli jsem náhodou opomenul něco více či méně náležitého nebo nezbytného, prosím o odpuštění, protože nikdo není bez chyby a nikdo nemůže myslet na všechno. Leonardo Fibonacci

52

Zdroje Literatura [1]

BULISOVÁ, Jiřina. Ottova všeobecná encyklopedie ve dvou svazcích. Vyd. 1. Praha: Ottovo nakladatelství - Cesty, 2003, 751 s. ISBN 80-7181-959-X.

[2]

CRHÁK, František. Výtvarná geometrie. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1967, s. 129  159.

[3]

CRILLY, A. Matematika: 50 myšlenek, které musíte znát. Vyd. 1. Praha: Slovart, 2010, 208 s. ISBN 978-80-7391-409-7.

[4]

FLINT, Tom. Anatomie pro výtvarníky: dynamika lidských forem: [charakteristiky a tvůrčí možnosti ztvárnění lidského těla]. 1. české vyd. Praha: Svojtka, 2005, s. 87-103. ISBN 80-7352-243-8.

[5]

HEMENWAY, Priya. Tajný kód: záhadný vzorec v umění, přírodě a vědě. 1. vyd. Praha: Slovart, 2009, 203 s. ISBN 978-80-7391-253-6.

[6]

CHMELÍKOVÁ, Vlasta. Zlatý řez nejen v matematice. Vyd. 1. V Praze: Matfyzpress, 2009. Dějiny matematiky, sv. 39. ISBN 978-807-378-078-4.

[7]

JAREŠOVÁ, Miroslava a Jaroslav ZHOUF. Spirály a jejich význam v praxi. Rozhledy matematicko-fyzikální: časopis pro studující středních škol a zájemce o matematiku, fyziku a informatiku. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 2009, roč. 84, č. 3, 5  19. ISSN 0035-9343.

[8]

KAVINA, Karel. Morfologie rostlin. 1. vyd. Praha: nakladatelství českých zemědělců Brázda, 1950, s. 107  117.

[9]

KRAUS, Jiří a Petráčková VĚRA. Akademický slovník cizích slov: [A-Ž]. 1. vyd. Praha: Academia, 2001, 834 s. ISBN 80-200-0607-9.

[10]

LIVIO, Mario. Zlatý řez. 1. vyd. Praha: Dokořán / Argo, 2006. Edice zip. ISBN 80-7363-064-8 (Dokořán). ISBN 80-7203-808-7 (Argo).

53

[11]

MARKOWSKY, George. Misconceptions about the Golden Ratio. The College Mathematics Journal. 1992, roč. 23, č. 1, 2  19. ISSN 07468342. DOI: 10.2307/2686193. Dostupné z: http://www.jstor.org/stable/2686193?origin=crossref

[12]

OLSEN, Scott. Záhadný zlatý řez. 1. vyd. Praha: Dokořán, s. r. o., 2009, 68 s. ISBN 978-80-7363-195-6.

[13]

OPAVA, Zdeněk. Tajemství zlatého řezu. Matematika kolem nás. 1. vyd. Praha: Albatros, 1989, s. 269  270.

[14]

VINCENT, Robert. Geometry of the golden section. 2nd English ed. Marseille: Chalagam publ, 2007. ISBN 29-519-6073-5.

[15] WALSER, Hans. The golden section. Washington, D.C.: Mathematical Assocation of America, c2001, xvi, 142 p. MAA spectrum. ISBN 08-8385-534-8. [16] ZHOUF, Jaroslav a Leo BOČEK. Planimetrie. 1. vyd. Praha: Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy v Praze, 2009. ISBN 978-80-7290-404-4.

Elektronické zdroje [17]

Anton Arensky. In: Wikipedia: The free encyclopedia [online]. [cit. 2013-01-29]. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Anton_Arensky

[18]

City in a Pyramid. YouTube [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: https://www.youtube.com/watch?v=6p_8nNc9QxU

[19]

Dynastie Ming. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2012-09-10]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Dynastie_Ming

[20]

Leonardo Pisánský. Leccos - Leonardo Pisánský [online]. [cit. 2013-03-05]. Dostupné z: http://leccos.com/index.php/clanky/leonardo-pisansky

[21]

Romanesco (zelenina). In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2013-03-20]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Romanesco_%28zelenina%29

54

[22]

Spirála: Logaritmická spirála. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2013-03-03]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Spir%C3%A1la

[23]

Užití zlatého řezu v biologii. Zlatý řez [online]. [cit. 2012-10-05]. Dostupné z: http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka6.html

[24]

Volejbal. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Volejbal

[25]

Zakázané město. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2012-09-10]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Zak%C3%A1zan%C3%A9_m%C4%9Bsto

[26]

Zápěstí. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2012-11-10]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Z%C3%A1p%C4%9Bst%C3%AD

[27]

Zlatý řez. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2012-06-28]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez

[28]

Zlatý úhel. In: Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. [cit. 2012-07-14]. Dostupné z: http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C3%BAhel

Zdroje obrázků [29]

Antelope pictures. African Safari Pictures [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.african-safari-pictures.com/antelope-pictures.html

[30]

Atlantidae. SEAPY. Tree of life web project [online]. 2010 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://tolweb.org/Atlantidae

[31]

Close View Of Chambered Nautilus. Fineart america [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://fineartamerica.com/featured/close-viewof-chambered-nautilus-victor-r-boswell-jr.html

[32]

Collin Ellard [online]. 2009 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://colinellard.typepad.com/my_weblog/2009/03/rethinking-lecorbusier.html

55

[33]

Fractal food. Fourmilab [online]. 2005 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.fourmilab.ch/images/Romanesco/Lcr2.html

[34]

Jane's Allotment In January. Dudswell.net [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://dudswell.net/allotment/January/JanuaryPictures.htm

[35]

Jeruzalém se Slezanem. Hanele: Blízký východ mojí duše [online]. 2010 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://hanele-zrzele.blogspot.cz/2010/01/jeruzalem-se-slezanem.html

[36]

Josef Lada - Spící myslivec (Veselý přírodopis). Artbohemia [online]. 2005  2013 [cit. 2013-03-10]. Dostupné z: http://www.artbohemia.cz/3822-spici-myslivec

[37]

Kosatec. Magazín Zahrada [online]. 2011 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.magazinzahrada.cz/rostliny/kosatec-kvetina-bohu-iafrodisiakum.html

[38]

Leonardo. Dagli studi di proporzioni al Trattato della Pittura. Arte.go [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.arte.go.it/eventi/2007/e_2741.htm

[39]

Madona ve skalách, Da Vinci. Společenstvo Sv. Makaria [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://makareus.blog.cz/galerie/krestanske-umeni/obrazek/46343992

[40]

Mona Lisa -- Da Vinci's Use of Sacred Geometry. YouTube [online]. [cit. 2013-03-25]. Dostupné z: http://www.youtube.com/watch?v=JFTSAjZEqPw

[41]

Mona Lisa -- Da Vinci's Use of Sacred Geometry. YouTube [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.youtube.com/all_comments?v=JFTSAjZEqPw&page=2

[42]

Mondrian, Piet. WebMuseum, Paris. Piet [online]. 2002 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.ibiblio.org/wm/paint/auth/mondrian/

56

[43]

Narval jednorohý. Nie sme tu sami [online]. 2013 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.saveme.estranky.sk/fotoalbum/narval-jednorohy/narvaljednorohy/narval-13.jpg.html

[44]

Pět Platónových těles. Zlatý řez [online]. [cit. 2013-03-03]. Dostupné z: http://www.volny.cz/zlaty.rez/diplomka4.html

[45]

Poslední večeře. Carpe diem! [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://adrien555.blog.cz/galerie/salvador-dali/obrazek/29758870

[46]

Ramblers - East Radnor Group. Beacon Info [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://thebeaconbenefice.org.uk/blog/blog/_archives/2011/2/28/4760823.html

[47]

Saint Jerome by Leonardo da Vinci, 1452-1519. [online]. [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://personal.denison.edu/~karian/goldensection/page3.html

[48]

Tapeta Pomněnka lesní. Tapety na plochu [online]. 2004  2013 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://tapety.superhry.cz/flora/pomnenka-lesni/

[49]

Varování před velkými bouřemi. OrgoNet [online]. 2011 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://orgo-net.blogspot.cz/2011/06/varovani-pred-velkymi-bouremi.html

[50]

Zlatý obdélník a logaritmická spirála. Encyklopedie fyziky [online]. 2006  2013 [cit. 2013-03-02]. Dostupné z: http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1465-zlaty-obdelnik-a-logaritmickaspiralaobr.

[51]

Zlatý řez. DiGiNEFF [online]. 1999 [cit. 2013-03-10]. Dostupné z: http://www.digineff.cz/art/pojmy/zlat-ez.html

[52]

Želvy. GamePark [online]. 2010 [cit. 2013-03-30]. Dostupné z: http://www.gamepark.cz/zelvy_39602.htm

57

Příloha 1 (obrazová)

Obr. I: Kosatec [37]

Obr. II: Pomněnka [48]

Obr. III: Celandine [46]

Obr. IV: Nautilus [31]

Obr. V: Oxygurus [30]

Obr. VI: Kudu velký [29]

58

Obr. VIII: Želví krunýř [52]

Obr. VII: Narval [43]

Obr. IX: Družicový snímek [49]

Obr. X: Pětičetná rozeta [Olsen, s. 55]

Obr. XI: Romanesco [34]

Obr. XII: Romanesco (detail) [33]

59

Obr. XIII: Markowského tabulka obdélníků [Markowsky, s. 14]

Obr. XIV: Okno Skalního dómu [35]

Obr. XVI: Mondrian, Broadway Boogie-Woogie [42]

Obr. XV: Zakázané město [Olsen, s. 37]

Obr. XVIII: Mona Lisa [41]

Obr. XVII: Mondrian, Composition with Red, Yellow and Blue [42]

60

Obr. XIX: Da Vinci, Madona ve skalách [39]

Obr. XX: Da Vinci, Svatý Jeroným [47]

Obr. XXI: Da Vinci, Hlava starce [38]

Obr. XXII: Modulor [32]

Obr. XXIII: Dalí, Svátost poslední večeře [45]

61

Příloha 2 A.

Poměr délek částí lidského těla

Naměřené hodnoty: osoba 1

osoba 2

osoba 3

osoba 4

osoba 5

A [cm]

164,5

168,0

178,0

160,0

171,0

B [cm]

98,0

100,0

105,0

94,0

95,0

A/B

1,679

1,6800

1,6952

1,702

1,800

C [cm]

25,5

23,0

28,5

21,5

20,0

D [cm]

17,5

19,0

18,0

16,5

20,0

C/D

1,457

1,211

1,583

1,303

1,000

E [cm]

17,5

18,0

18,0

19,5

19,0

F [cm]

12,3

13,0

12,5

14,0

15,5

E/F

1,423

1,385

1,440

1,393

1,226

Vysvětlivky: A

výška lidské postavy

B

výška od země k pupku (ve stoje)

C

délka předloktí (od zápěstí po loket)

D

délka od zápěstí po koneček prostředníku

E

výška obličeje (od brady po kořínky vlasů)

F

šířka obličeje (v nejširším místě)

62

průměr

1,71

1,31

1,37

B.

Výpočet průměrného poměru výšky vejce k jeho šířce

Naměřené hodnoty:

vejce 1 vejce 2 vejce 3 vejce 4 vejce 5 vejce 6 vejce 7 vejce 8

výška [cm] 5,800 5,965 6,150 6,065 6,195 6,360 6,250 6,680

šířka [cm] 4,640 4,610 4,730 4,545 4,620 4,675 4,590 4,780

Aritmetický průměr:

Závěr Průměrný poměr výšky vejce k jeho šířce je roven 1,330.

63

poměr xn 1,2500 1,2939 1,3002 1,3344 1,3409 1,3604 1,3617 1,3975

C.

Poměr délek stran knih

Naměřené hodnoty:

kniha 1 kniha 2 kniha 3 kniha 4 kniha 5 kniha 6 kniha 7 kniha 8 kniha 9 kniha 10 kniha 11 kniha 12 kniha 13 kniha 14 kniha 15 kniha 16 kniha 17 kniha 18 kniha 19 kniha 20 kniha 21 kniha 22 kniha 23 kniha 24

výška [cm] 18,6 31,0 13,5 29,5 20,0 28,4 29,6 28,7 28,5 28,2 30,2 32,6 21,6 33,5 20,3 14,5 24,0 20,5 19,7 36,0 21,2 19,9 19,3 19,0

šířka [cm] 16,7 26,0 11,0 23,4 15,8 22,0 22,8 22,0 21,7 21,4 22,4 23,5 15,4 23,8 14,4 10,2 16,7 13,5 12,9 22,5 12,7 11,9 11,5 11,2

poměr xn 1,11 1,19 1,23 1,26 1,27 1,29 1,30 1,30 1,31 1,32 1,35 1,39 1,40 1,41 1,41 1,42 1,44 1,52 1,53 1,60 1,67 1,67 1,68 1,70

Graf 1: četnost knih v jednotlivých intervalech poměrů

64

65