UNIVERSITAS INDONESIA GRUP DARI SIMETRI PADA POLYHEX CARBON NANOTORUS ARMCHAIR DAN ZIG-ZAG SKRIPSI HENDRY TANUWIJAYA

UNIVERSITAS INDONESIA

GRUP DARI SIMETRI PADA POLYHEX CARBON NANOTORUS ARMCHAIR DAN ZIG-ZAG

SKRIPSI

HENDRY TANUWIJAYA 0806452186

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2012

Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

UNIVERSITAS INDONESIA

GRUP DARI SIMETRI PADA POLYHEX CARBON NANOTORUS ARMCHAIR DAN ZIG-ZAG

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains

HENDRY TANUWIJAYA 0806452186

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JULI 2012


HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS

Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua

sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.

Nama

: Hendry Tanuwijaya

NPM

: 0806452186

Tanda Tangan

:

Tanggal

: Juni 2012

iii


HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi

: : Hendry Tanuwijaya : 0806452186 : Matematika : Grup dari Simetri pada Polyhex Carbon Nanotorus dan Zig-zag Armchair

Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

DEWAN PENGUJI

Pembimbing

: Dra. Nora Hariadi, M.Si.

(

)

Pembimbing

: Dra. Suarsih Utama, M.Si.

(

)

Penguji

: Dr. Kiki Ariyanti S, M.Si.

(

)

Penguji

: Drs. Frederik M P, M.Kom.

(

)

Ditetapkan di Tanggal

: Depok : Juni 2012

iv


KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas

berkat dan rahmat-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulisan skripsi ini dilakukan dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Penulis menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan skripsi ini, sangatlah sulit bagi penulis untuk menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada berbagai pihak antara lain: (1) Tuhan Yesus Kristus yang telah memberi penulis kekuatan dan juga atas rahmat yang diberikan-Nya sehingga penulis bisa menyelesaikan tugas akhir ini. (2) Pembimbing tugas akhir penulis, Dra. Nora Hariadi, M.Si, dan Dra. Suarsih Utama, M.Si yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan pikiran untuk mengarahkan serta membimbing penulis dalam penyusunan skripsi ini. Terima kasih juga untuk kesabaran, nasehat, doa, dan dukungan yang telah diberikan selama penyusunan skripsi ini. (3) Dra. Saskya Mary S., M.Si, selaku pembimbing akademik penulis yang telah memberikan masukan dan dukungan selama 4 tahun masa perkuliahan penulis. (4) Dr. Yudi Satria dan Rahmi Rusin, M.ScTech, selaku ketua dan sekretaris

Departemen Matematika, atas segala bantuan dan dukungan yang telah diberikan.

(5) Keluarga penulis yaitu kedua orang tua penulis dan kedua adik penulis, yang telah memberikan bantuan material maupun dukungan selama penulis menjalani masa perkuliahan. Terima kasih atas segala doa, perhatian, kasih sayang, kesabaran, dan berbagai nasehat yang telah diberikan kepada penulis. (6) Teman-teman Matematika angkatan 2008 yang telah memotivasi penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. v


(7) Resti, Agy, Luthfir, Ines, Sita, dan May yang telah meminjamkan laptop kepada penulis untuk mengerjakan skripsi maupun presentasi.

(8) Seluruh staf Tata Usaha, staf Perpustakaan, serta karyawan Departemen bantuannya. Matematika, terima kasih atas segala

(9) Teman-teman penulis lainnya baik yang di depatemen Matematika, MIPA, maupun UI yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah mendoakan penulis.

Akhir kata, penulis berharap Tuhan Yang Maha Esa berkenan membalas segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga skripsi ini membawa manfaat bagi pengembangan ilmu pengetahuan.

Penulis 2012

vi


HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, penulis yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama NPM Program Studi Departemen Fakultas Jenis karya

: Hendry Tanuwijaya : 0806452186 : Sarjana : Matematika : MIPA (Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam) : Skripsi

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah penulis yang berjudul : Grup dari Simetri pada Poyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zig-zag beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir penulis selama tetap mencantumkan nama penulis sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini penulis buat dengan sebenarnya. Dibuat di : Depok Pada tanggal : Juni 2012 Yang menyatakan

(Hendry Tanuwijaya)

vii


ABSTRAK

Nama : Hendry Tanuwijaya Program Studi : Matematika Judul : Grup dari Simetri pada Poyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zig-zag

Carbon nanotorus adalah struktur yang diperoleh dengan menekuk sebuah carbon nanotube hingga kedua ujungnya bertemu. Jika yang ditekuk adalah armchair nanotube, maka yang terbentuk adalah armchair nanotorus. Jika yang ditekuk adalah zig-zag nanotube, maka yang terbentuk adalah zig-zag nanotorus. Operasi simetri pada nanotorus adalah rotasi dan refleksi. Operasi-operasi simetri dari armchair atau zig-zag nanotorus, dapat dinyatakan dalam bentuk permutasi, membentuk sebuah grup yang disebut grup dari simetri pada nanotorus armchair atau zig-zag. Pada skripsi ini, dibuktikan bahwa grup ini isomorfik dengan semidirect product dari grup dihedral dengan grup . Kata Kunci

: polyhex carbon nanotorus armchair, polyhex carbon nanotorus zig-zag, grup dari simetri, grup dihedral xi+46 halaman ; 19 gambar Daftar Pustaka : 12 (1974-2012)

viii Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

Universitas Indonesia

ABSTRACT

Name : Hendry Tanuwijaya Program Study : Mathematics Title : The Group of Symmetries on Polyhex Carbon Nanotorus Armchair and Zig-zag obtained by bending a carbon nanotube A carbon nanotorus is a structure that is untl both ends meet. If the bended nanotube is an armchair one, it become an armchair nanotorus. If the bended nanotube is a zig-zag one, it become zig-zag nanotorus. There are two types of symmetrical operations on nanotorus, which are rotation and reflection types. The operations, that can be expressed by permutations, form a group called group of symmetry on armchair or zig-zag nanotorus. In this skripsi it is proved that this group is isomorphic to the semidirect product of dihedral group and group .

Keywords xi+46 pages Bibliography

: polyhex carbon nanotorus armchair, polyhex carbon nanotorus zig-zag, group of symmetries, dihedral group. ; 19 pictures : 12 (1974-2012)

ix Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


DAFTAR ISI

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN............................................................................... iv KATA PENGANTAR ............................................................................................ v

HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR ............................................................. vii UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ABSTRAK ........................................................................................................... viii ABSTRACT ........................................................................................................... ix DAFTAR ISI ........................................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xii 1. PENDAHULUAN .............................................................................................. 1 1.1 Latar Belakang ........................................................................................ 1 1.2 Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup ................................................... 5 1.3 Tujuan Penelitian ..................................................................................... 5 1.4 Metode Penelitian..................................................................................... 5 2. LANDASAN TEORI......................................................................................... 6 2.1 Grup ......................................................................................................... 6 2.1.1 Pendahuluan grup ............................................................................ 6 2.1.2 Grup simetri .................................................................................... 8 2.1.3 Homomorfisma grup ..................................................................... 10 2.1.4 Faktorisasi grup ............................................................................. 11 2.2 Grup Dihedral......................................................................................... 15 3. PEMBAHASAN .............................................................................................. 23 3.1 Simetri pada Polyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zig-zag. ......... 23 3.2 Grup dari simetri pada Polyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zigzag .......................................................................................................... 34 4. KESIMPULAN ................................................................................................ 45 DAFTAR REFERENSI ........................................................................................ 46

x Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3 Gambar 1.4 Gambar 1.5 Gambar 1.6 Gambar 1.7 Gambar 3.1 Gambar 3.2 Gambar 3.3 Gambar 3.4 Gambar 3.5 Gambar 3.6 Gambar 3.7 Gambar 3.8 Gambar 3.9 Gambar 3.10 Gambar 3.11 Gambar 3.12 Gambar 3.13 Gambar 3.14

jam pada segitiga .................................... 1 Rotasi searah jarum Molekul dan .................................................................... 2 Lembaran grafit .............................................................................. 2 Zig-zag nanotube ............................................................................. 3 Armchair nanotube .......................................................................... 3 Chiral nanotube ............................................................................... 3 Zig-zag nanotorus ............................................................................ 4 Penomoran pada lembaran nanotorus zig-zag ................................ 24 Penomoran pada lembaran nanotorus armchair............................. 25 Lembaran nanotorus zig-zag dengan sumbu refleksi m ................ 26 Lembaran nanotorus armchair dengan sumbu refleksi m ............. 26 Lembaran nanotorus zig-zag dengan sumbu refleksi l .................. 27 Lembaran nanotorus armchair dengan sumbu refleksi l............... 28 Lembaran awal nanotorus ............................................................. 35 Lembaran nanotorus setelah dikenakan ..................................... 36 Lembaran nanotorus setelah dikenakan ......................... 36 Lembaran nanotorus setelah dikenakan yang seharusnya ………………………………………………………………..…..37 Lembaran nanotorus setelah dikenakan ....................... 38 Lembaran awal nanotorus ............................................................. 39 Lembaran nanotorus setelah dikenakan ..................................... 49 Lembaran nanotorus setelah dikenakan ................................... 40

xi Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


BAB 1 PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang

Suatu obyek dikatakan simetris jika suatu pergerakan atau operasi mengakibatkan obyek tersebut berada pada posisi yang tidak dapat dibedakan

dengan posisi asal. Pergerakan atau operasi tersebut dinamakan simetri. Contohnya adalah suatu segitiga sama sisi yang dirotasi sejauh

searah jarum

jam. Dari Gambar 1.1 dapat dilihat bahwa posisi pada segitiga setelah dirotasi tidak dapat dibedakan dengan posisi segitiga sebelum dirotasi. Sehingga rotasi merupakan simetri pada segitiga sama sisi.

Gambar 1.1 Rotasi

searah jarum jam pada segitiga

Kesimetrisan dari suatu benda banyak digunakan dalam aplikasi. Salah satu aplikasi dari kesimetrisan yang banyak digunakan adalah kesimetrisan dari suatu molekul. Kesimetrisan pada molekul dan zat padat adalah salah satu cara untuk memahami sifat-sifat ikatan dan sifat fisis yang selanjutnya akan digunakan untuk memprediksi sifat dari orbital molekul. Ahli kimia dan fisika

mengklasifikasikan molekul berdasarkan kesimetrisan molekul tersebut. Molekulmolekul yang memiliki bentuk yang sama akan memiliki sifat-sifat yang sama (Yavari & Ashrafi, 2009). Sebagai contoh molekul air, dioksida,

, dan molekul sulfur

, yang memiliki simetri yang sama dan kedua molekul tersebut juga

memiliki 3 jenis vibration yang sama dimana ketiganya IR active dan Raman active. (Housecroft, 2008)

1 Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


2

[Sumber : “Science Fair Water” dan “Sulfur Dioxide (Department of

Environment and Resource Managament)”] Gambar 1.2 Molekul

dan molekul

Salah satu materi yang banyak digunakan adalah carbon nanotube. Carbon nanotube merupakan materi yang mempunyai daya renggang yang besar dan ringan.Sehingga nanotube banyak digunakan untuk kegiatan di luar angkasa. Selain itu, nanotube juga bisa bersifat semikonduktor ataupun bersifat metalik tergantung dari strukturnya. Nanotube dapat digunakan sebagai bahan untuk membuat alat-alat berukuran nano, tapi hingga saat ini pembuatannya belum bisa dilakukan. Namun saat ini nanotube sudah digunakan untuk mikroskop dan alat pendeteksi. Carbon nanotube adalah suatu lembaran grafit yang digulung dengan arah tertentu. Jika nanotube ini ditekuk hingga ujung-ujungnya tersambung, maka terbentuk suatu nanotorus. (“Nanotorus nets giant magnetic moment”). Arah penggulungan, atau chiral vector, biasa dinyatakan sebagai dimana ,

bilangan bulat nonnegatif dan

,

adalah vektor seperti pada

Gambar 1.1 di bawah ini. Chiral vector biasa ditulis sebagai

.



3

[Sumber : “Carbon Nanotubes”] Gambar 1.3 Lembaran nanotorus Jika chiral vector adalah

, maka lembaran grafit digulung sehingga

verteks dengan label

berada tepat di atas verteks dengan label

. Jika

chiral vector adalah

, maka yang terbentuk adalah zig-zag nanotube. Contoh

zig-zag nanotube dapat dilihat pada Gambar 1.4 di bawah ini.

[Sumber : “Type of Nanotubes”] Gambar 1.4 Zig-zag nanotube Jika chiral vector adalah

, maka yang terbentuk adalah armchair

nanotube. Contoh armchair nanotube dapat dilihat pada Gambar 1.5 di bawah ini.

[Sumber : “Type of Nanotubes”] Gambar 1.5 Armchair nanotube



4

Selain dari cara penggulungan di atas, maka yang terbentuk adalah chiral chiral nanotube dapat dilihat pada nanotube (“Carbon Nanotubes”). Contoh

Gambar 1.6 di bawah ini.

[Sumber : “Type of Nanotubes”] Gambar 1.6 Chiral nanotube Ketiga nanotube di atas, yaitu zig-zag nanotube, armchair nanotube, dan chiral nanotube, memiliki arah penggulungan yang berbeda-beda. Jika nanotube ini ditekuk hingga ujung-ujungnya tersambung, maka terbentuk suatu nanotorus. Nanotorus yang terbentuk tergantung dari jenis nanotube yang ditekuk. Sebagai contoh, gambar di bawah ini adalah gambar zig-zag nanotorus yang diperoleh dari zig-zag nanotube yang ditekuk.

[Sumber : “(IUCr) Full Symmetry of Nanotori”]

Gambar 1.7 Zig-zag nanotorus

Simetri dari nanotorus dapat diperoleh dengan merotasi nanotorus ataupun merefleksi nanotorus terhadap sumbu tertentu. Kumpulan simetri dari suatu molekul membentuk grup dari simetri molekul tersebut. (Faghani & Ashrafi, 2009) Sehingga kumpulan simetri dari nanotorus juga akan membentuk grup. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai grup dari simetri pada nanotorus armchair dan zig-zag. Universitas Indonesia


5

1.2

Rumusan Masalah dan Ruang Lingkup dirumuskan masalah sebagai berikut: Dari latar belakang di atas, dapat

1.2.1 Bagaimanakah mengkonstruksi grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan grup dari simetri pada polyhex

carbon nanotorus zig-zag? 1.2.2 Grup apakah yang isomorfik dengan grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan grup dari simetri pada polyhex

carbon nanotorus zig-zag? Ruang lingkup dari penelitian ini hanya membahas mengenai struktur aljabar grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan zig-zag namun tidak membahas mengenai sifat-sifat fisis dari polyhex carbon nanotorus armchair maupun zig-zag.

1.3

Tujuan Penelitian Tujuan yang ingin dicapai dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai

berikut: 1.3.1 Menunjukkan cara mengkonstruksi grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus zig-zag. 1.3.2 Menentukan grup yang isomorfik dengan grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus zig-zag.

1.4

Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur.



BAB 2 LANDASAN TEORI

Skripsi ini membahas grup dari simetri pada nanotorus. Oleh karena itu diperlukan pembahasan mengenai grup dan teori-teorinya terlebih dahulu yang dibahas di Bab 2 ini. Pada Subbab 2.1 terlebih dahulu dibahas mengenai grup abstrak. Setelah itu pada Subbab 2.2 akan dibahas mengenai grup yang lebih spesifik, yaitu grup dihedral. 2.1

Grup Subbab 2.1 dibagi menjadi 4 bagian. Definisi grup, subgrup, dan subgrup

normal yang dibahas pada Subbab 2.1.1. Pada Subbab 2.1.2 dibahas mengenai grup permutasi dan pada Subbab 2.1.3 dibahas mengenai homomorfisma. Subbab 2.1.4 membahas mengenai pemfaktoran grup. 2.1.1

Pendahuluan grup Pertama-tama diberikan definisi grup.

Definisi 2.1 Suatu himpunan tak kosong

disebut grup jika di

terdefinisi suatu

operasi, disebut perkalian dan dilambangkan dengan , dimana 1.

Untuk setiap

2.

Untuk setiap

dan

anggota , maka

anggota

(sifat tertutup)

dan anggota , maka

(sifat

asosiatif) 3.

Ada

anggota

dimana

untuk setiap

anggota

(keberadaan elemen identitas di ) 4.

Untuk setiap

anggota , ada

anggota

dimana

(keberadaan invers di ) (Herstein, 1996)

6 Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


7

Untuk mempersingkat penulisan Berikut diberikan contoh grup.

akan ditulis sebagai

saja.

Beberapa contoh sederhana, misalnya, himpunan bilangan real tanpa nol membentuk grup terhadap perkalian. Kemudian himpunan bilangan bulat terhadap

penjumlahan juga merupakan grup. Contoh lainnya, misalkan himpunan semua pemetaan bijekif dari himpunan

adalah

ke , maka

ini

membentuk grup terhadap operasi komposisi.

Apabila banyaknya elemen pada grup adalah hingga, maka grup tersebut disebut grup hingga. Banyaknya elemen pada grup hingga . Suatu grup setiap

disebut order dari

dikatakan komutatif apabila memenuhi sifat

untuk

. Jika

adalah

, maka

, seperti contoh sebelumnya, disebut

grup simetri dengan operasi komposisi dan dinyatakan dengan elemen

adalah hingga. Grup

.

Banyaknya

akan dibahas lebih lanjut pada Subbab 2.1.2.

Contoh grup hingga lain adalah himpunan bilangan bulat modulo , dengan n adalah bilangan bulat. Operasi pada

,

adalah penjumlahan modulo .

adalah grup hingga karena banyak anggotanya hingga. Selain itu, grup

terhadap operasi penjumlahan dan grup

penjumlahan modulo

terhadap operasi

adalah grup komutatif.

Subhimpunan tak kosong dari suatu grup

juga dapat membentuk grup

terhadap operasi yang sama dengan . Subhimpunan yang demikian disebut dengan subgrup. Berikut diberikan definisi dari subgrup.

Definisi 2.2 Himpunan tak kosong jika

dari suatu grup

disebut subgrup dari

membentuk grup terhadap operasi yang sama di . (Herstein, hal 51) Salah satu contoh dari subgrup adalah himpunan bilangan genap yang

membentuk subgrup dari . Ini karena himpunan bilangan genap membentuk grup dengan operasi yang sama dengan operasi di

yaitu penjumlahan.

Untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan bagian dari grup membentuk subgrup dapat digunakan Lemma berikut. Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

8

Lemma 2.3 Himpunan bagian tidak kosong jika dan hanya jika invers di

dari grup

operasi di tertutup terhadap

adalah subgrup di

dan tiap anggota

memiliki

. (Herstein, 1996)

Dari cara pembentukkan subgrup, dikenal suatu subgrup yang disebut

subgrup siklik. Misal

, maka himpunan

membentuk grup terhadap operasi di dan disebut sebagai subgrup siklik. Elemen

disebut sebagai generator dari

. Contoh subgrup siklik adalah

himpunan bilangan genap dengan operasi penjumlahan. Himpunan ini merupakan subgrup siklik dari

karena semua elemennya dapat ditulis sebagai

sebanyak Suatu grup Misalkan

kali. (Herstein, 1996) juga dapat dibangkitkan oleh lebih dari satu generator.

adalah subhimpunan dari .

disebut membangkitkan

hipunan generator untuk , jika setiap , dimana dinotasikan

atau

dapat dinyatakan dalam bentuk

atau

. Jika

dibangkitkan oleh

maka

. (Lang, 2002)

Berikut ini akan diberikan definisi dari suatu subgrup yang lebih khusus yaitu subgrup normal.

Definisi 2.4 Suatu subgrup setiap

, maka Misalkan

normal di

dari grup

disebut subgrup normal jika untuk

. (Herstein, 1996)

adalah himpunan bilangan genap.

karena untuk setiap bilangan genap

berlaku

Karena

merupakan subgrup

dan bilangan bulat adalah anggota

selalu

, maka

subgrup normal di . 2.1.2

Grup simetri Permutasi dari suatu himpunan

adalah suatu pemetaan bijektif dari

ke

dirinya sendiri. Definisi formal dari permutasi adalah sebagai berikut. Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

9

Definisi 2.5 Permutasi dari himpunan dirinya sendiri. (Rotman, 2002)

adalah pemetaan bijektif dari

Pada skripsi ini hanya dikaji permutasi pada himpunan

Jika

, maka permutasi

berikut

ke

pada

yang hingga.

didefinisikan sebagai

dengan

. Permutasi ini biasa ditulis sebagai

Himpunan permutasi pada

yang dilengkapi dengan operasi komposisi

membentuk suatu grup yang disebut grup permutasi. Pada skripsi ini, komposisi dilakukan dari kanan ke kiri. Sehingga

.

Sebagai contoh, misalkan

dimana Permutasi

Misalkan pula Komposisi dari

pada

adalah

adalah permutasi lain pada .

dan , yaitu

dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut.

Sehingga,

Dengan cara yang serupa didapat juga bahwa

Dapat dilihat bahwa

.

Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

10

Pada contoh di Subbab 2.1.1 telah dibahas mengenai grup himpunan semua pemetaan bijektif dari

ke . Jika

yaitu , maka

akan membentuk grup yang disebut grup simetri dan ditulis sebagai

.

Berdasarkan definisi dari permutasi di atas maka masing-masing anggota dari disebut sebagai permutasi. Masing-masing permutasi adalah pemetaan yang

mengubah urutan dari himpunan permutasi yang terjadi adalah Misalkan Permutasi dari

sehingga banyak kemungkinan

. , maka

adalah himpunan semua permutasi dari .

adalah sebagai berikut.

Identitas pada

adalah

yaitu permutasi identitas atau

identitas dapat juga ditulis sebagai

. Pada contoh

. Permutasi

di atas, jumlah anggotanya

adalah 2.1.3

Homomorfisma grup Jika diketahui dua buah grup

pemetaan

dari

maka pemetaan

ke

. Jika

dan

, maka dapat didefinisikan untuk setiap

,

tersebut disebut homomorfisma grup. Selanjutnya akan disebut

homomorfisma saja. Berikut diberikan definisi formal dari homomorfisma.

Definisi 2.7 Misalkan

dan

disebut homorfisma jika . Jika

adalah bijeksi maka

isomorfik, dinotasikan dengan

adalah grup, maka fungsi untuk setiap disebut isomorfisma. Grup

dan dan

anggota disebut

jika terdapat isomorfisma dari

ke

.

(Rotman, 2002)


11

Jika

adalah homomorfisma satu-satu, maka

disebut monomorfisma.

(Herstein, 1996) Relasi isomorfik membentuk relasi ekivalen, sehingga jika

isomorfik dengan

maka

isomorfik dengan

juga.

Contoh dari homomorfisma, misalkan

dengan

.

karena Pemetaan ini merupakan homomorfisma,

.

Contoh isomorfisma adalah sebagai berikut. Misalkan a adalah anggota dari suatu grup

dimana

yang dibangkitkan oleh

tapi

yaitu

. Sehingga didapatkan subgrup siklik Misalkan

dimana

. Dapat dilihat bahwa . Sehingga

adalah homomorfisma. Lebih lanjut pemetaan

pemetaan1-1 karena jika

, maka

adalah

. Akibatnya

untuk suatu bilangan bulat . Sehingga

Pemetaan didapatkan

juga pemetaan pada, karena untuk setiap dimana

bijektif, maka

. Karena

, bisa

merupakan homorfisma yang

merupakan isomorfisma. Oleh karena itu

.

Beberapa sifat yang dimiliki oleh homomorfisma grup adalah sebagai berikut.

Lemma 2.8 Jika φ adalah homomorfisma dari 1.

ke

, maka

, identitas di

2. (Herstein, 1996) 2.1.4

Faktorisasi grup Dari grup yang sudah ada, dapat dibentuk grup baru. Salah satu cara

pembentukannya akan dijelaskan sebagai berikut. Dari dua buah grup

dan

,


12

dapat dibentuk grup yang baru yaitu grup . Pembentukan ini dapat dilakukan yaitu dengan menggunakan Cartesian product, dengan perkaliannya didefinisikan sebagai perkalian antar komponen yaitu

.

Selain cara pembentukan di atas, suatu grup menjadi perkalian dua buah subgrup

dan

sebagai product dari dua buah subgrup

dapat juga difaktorkan

dari . Grup

dan

seperti ini disebut

atau

Product yang dikenal adalah semidirect product dan direct product. Di bawah ini akan diberikan definisi dari semidirect product.


grup,

subgrup di , dan

disebut semidirect product dari

subgrup normal di .

dan

jika

dan

.

dan

biasa dinotasikan dengan

(Algebra; Lang, hal 76) Semidirect product

dari

juga subgrup normal di , maka product dinotasikan dengan

disebut direct product dari

dan

. Jika . Direct

.

Seperti disebutkan di atas, salah satu cara pembentukan grup dari dua buah grup adalah dengan menggunakan Cartesian product. Lemma di bawah ini menyatakan bahwa jika Lemma 2.10 Jika

dan

, maka

isomorfik dengan , dan

.

isomorfik dengan , maka

isomorfik dengan Bukti. Diketahui maka ada isomorfisma

, maka ada isomorfisma dari

dari

ke . Karena

ke . Misalkan

dengan

dimana . Akan dibuktikan bahwa

pemetaan ini merupakan isomorfisma. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa dimana

adalah fungsi. Misalkan . Karena itu

dan


13

. Berdasarkan definisi pemetaan

diperoleh

. Karena

dan

dan

fungsi, maka

. Dengan cara yang serupa didapat juga bahwa

. Oleh karena

itu terbukti bahwa pemetaan

. Sehingga

merupakan fungsi.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pemetaan

homomorfisma. Misalkan

merupakan

, maka

. Jadi

Terbukti bahwa

untuk setiap . Sehingga

adalah homomorfisma dari

ke

. Sekarang akan dibuktikan bahwa

adalah fungsi 1-1. Misalkan

dimana

. Karena

, , maka

, dan dan

fungsi 1-1, maka

dan

. Karena

dan

. Sehingga

, maka

adalah . Karena jika

, terbukti bahwa

adalah

fungsi 1-1.

Berikutnya akan dibuktikan bahwa . Akan dicari dan

dimana

adalah fungsi pada, maka ada . Dengan memilih

adalah fungsi pada. Misalkan

dan

Maka

dimana

dan

, maka didapatkan bahwa . Terbukti bahwa

Sehingga terbukti bahwa

. Karena

adalah fungsi pada.

merupakan isomorfisma dari

ke

.

.■ Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

14

Lemma berikutnya menyatakan bahwa jika dari

dengan

dan

dimana

subgrup

, maka Cartesian product

dari dua buah subgrup tersebut,

, isomorfik dengan product dari dua buah

grup,

, yaitu

.

Lemma 2.11 Misalkan dan

grup,

subgrup

untuk setiap

dimana

. Pemetaan

dengan

adalah isomorfisma. (Lang, 2002) Bukti. Akan dibuktikan bahwa pemetaan Misalkan

dengan maka

dari kiri dan

. Karena

. Dengan mengalikan kedua ruas ini dengan

dari kanan, maka diperoleh

Akibatnya

.

.

Karena

dan

juga dengan

adalah elemen di

, maka

elemen

adalah elemen . Karena

juga. Tapi, karena . Sehingga dari bahwa

adalah pemetaan 1-1.

dan

, maka

didapat bahwa

. Karena itu

. Karena

dan

. Terbukti bahwa

didapat adalah pemetaan 1-1.

adalah pemetaan pada. Misalkan

maka terdapat

dicari

, maka

dan dari

Berikutnya akan dibuktikan bahwa

juga. Begitu

dan

sehingga

sehingga

. Pilih

dan

dan

. Akan , maka

. Terbukti bahwa

adalah pemetaan pada. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa bahwa

untuk setiap

maka

adalah homomorfisma. Diketahui

. Misalkan

,

. Berdasarkan definisi pemetaan , maka dengan , untuk setiap

, maka

dan

. Karena

. Sehingga


15

Terbukti bahwa

adalah homomorfisma. Karena sudah diketahui bahwa

adalah pemetaan bijektif dari ke

atau

ke

, maka

adalah isomorfisma dari

.■

2.2

Grup Dihedral

Pada subbab ini dibahas mengenai grup yang dibangun dari simetri suatu

benda dan grup dihedral.

Seperti pada pembahasan di Subbab 2.1.2 mengenai grup , maka

dapat dinyatakan sebagai

adalah permutasi dari . Operasi pada

, jika

dengan anggotanya

adalah komposisi dan bersifat tidak

komutatif. Salah satu permutasi di

adalah (2.1)

dan (2.2) Lemma di bawah ini akan menyatakan sifat dari

Lemma 2.12 Misalkan

dan .

dan , maka

dan

. (Hungerford,

1974)

Dari a dan

ini, dapat dibentuk suatu grup yang disebut grup dihedral.

Berikut definisi dari grup dihedral.


atau

.

disebut sebagai grup dihedral derajat n. (Hungerford, 1974)


16

Grup dihedral

isomorfik dengan suatu grup yang dibentuk oleh dua

elemen yang memiliki sifat yang sama dengan

dan

seperti pada Lemma 2.12.

Lemma 2.14 Misalkan maka

dimana

dan

isomorfik dengan

,

. (Hungerford, 1974)

Bukti. Definisikan pemetaan

dimana

Pertama-tama

akan dibuktikan bahwa pemetaan ini adalah suatu fungsi. Ambil

dibangkitkan oleh

dan

, maka ada bilangan bulat

. Misalkan

Karena sehingga

maka

dan

. Sehingga

. Karena untuk didapatkan

maka

adalah fungsi.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pemetaan ini adalah homomorfisma. Misalkan

Ada bilangan bulat

. Karena

sehingga

, maka nilai yang mungkin adalah

atau .

dan

. Akan

dibuktikan bahwa Kasus 1 (

. Ada 2 kasus untuk nilai j yaitu 0 atau 1.

)

Jika

, maka

Maka

Sehingga terbukti bahwa untuk Kasus 2 ( Jika

,

merupakan homomorfisma.

) maka

berdasarkan sifat yang dimiliki oleh

dan

. Maka Universitas Indonesia


17

Terbukti bahwa untuk

,

merupakan homomorfisma.

Karena untuk kedua kasus nilai terbukti bahwa Berikutnya akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang . Karena

dan

dan

, maka ada bilangan bulat

Karena

dan , maka

persamaan ini, dapat disimpulkan bahwa

. Dari

. Karena itu

adalah pemetaan 1-1.

Akan ditunjukkan bahwa Karena

.

adalah fungsi 1-1. Misalkan

. Maka

. Terbukti bahwa

ke

anggota , akan ditunjukkan bahwa

dibangkitkan oleh

sehingga

homomorfisma dari

adalah fungsi bersifat pada. Misalkan

.

dibangkitkan oleh a dan b, maka ada bilangan bulat i dan j sehingga Akan dicari

sehingga

. Karena x dibangun oleh Karena untuk sebarang , maka

anggota

Misal dan

dapat dicari

maka , maka

anggota

anggota .

sehingga

adalah fungsi pada.

Karena terbukti bahwa adalah isomorfisma dari

ke

adalah homomorfisma yang bijektif, maka . Sehingga terbukti bahwa

isomorfik dengan

.■ Selanjutnya akan dilihat bahwa grup dihedral dari simetri pada poligon

isomorfik dengan grup

. Suatu pemetaan disebut simetri jika pemetaan

tersebut mempertahankan jarak verteks dan sifat kebertetanggan antar verteks. Pada poligon

, verteks adalah titik sudut. Verteks

dan

pada

bertetangga jika ada sisi yang kedua titik ujungnya adalah verteks

dikatakan dan .


18

Definisi 2.15 Misalkan adalah bijeksi

adalah poligon beraturan sisi-n. Simetri pada yang mempertahankan jarak antar verteks dan memetakan

verteks yang bertetangga pada verteks yang bertetangga juga. (Hungerford,

1974)

Salah satu simetri dari persegi adalah rotasi sejauh 90 o searah jarum jam. Rotasi ini akan mempertahankan jarak antar verteks pada segiempat dan juga sifat

kebertetanggan dari verteks-verteks tersebut. Semua simetri pada

membentuk suatu himpunan yang dinyatakan oleh

. Apabila pada himpunan ini didefinisikan operasi komposisi maka akan membentuk grup seperti dinyatakan pada Lemma 2.17.

Definisi 2.16

adalah himpunan semua simetri dari Pn. (Hungerford, 2002)

Lemma 2.17

dengan operasi komposisi adalah grup. (Hungerford, 2002)

Bukti. Untuk membuktikan bahwa

adalah grup, maka perlu dibuktikan bahwa

bukan himpunan kosong, memenuhi sifat tertutup terhadap operasi komposisi, operasinya memenuhi sifat asosiatif, memiliki identitas, dan setiap anggotanya memiliki invers di dalam

.

Pemetaan identitas, id, adalah pemetaan bijektif dan merupakan simetri untuk

. Karena itu

. Terbukti bahwa

Berikutnya akan ditunjukkan bahwa ditunjukkan bahwa

. Karena

tidak kosong. tertutup. Misalkan

adalah pemetaan bijektif, maka

juga pemetaan bijektif. Selanjutnya, misalkan verteks x dan y. Karena

dan

, akan

menyatakan jarak antara

mempertahankan jarak antar verteks maka

Maka

untuk x, y sembarang verteks di

. Terbukti bahwa

mempertahankan jarak

antar verteks.


19

Sekarang akan ditunjukkan bahwa kebertetanggan verteks pada

mempertahankan sifat

. Telah diketahui bahwa

dan

mempertahankan

sifat kebertetanggan verteks. Misalkan x bertetangga dengan y, maka Begitu juga dengan

bertetangga dengan bertetangga dengan

, maka

Karena

dan

juga bertetangga dengan

. Karena

juga akan bertetangga dengan

, maka didapatkan bahwa jika

maka

akan

. Sehingga

.

bertetangga dengan , mempertahankan sifat

kebertetanggan verteks. Karena

merupakan pemetaan bijektif yang mempertahankan jarak antar

verteks, dan mempertahankan sifat kebertetanggan verteks, maka

juga simetri

pada

didapat

atau

. Karena untuk sembarang

, maka terbukti

yaitu

anggota

tertutup terhadap operasi komposisi.

Pemetaan identitas, juga merupakan anggota

dan

, adalah identitas terhadap operasi komposisi. . Sehingga terbukti bahwa

mempunyai identitas

. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa untuk setiap anggota

invers di

. Ambil

. Karena

bijektif, maka sudah dijamin bahwa ada

yang bijektif sedemikian sehingga ditunjukkan bahwa

memiliki

. Misal

. Berikutnya akan dan

adalah fungsi pada, maka ada verteks

dan

. Sehingga didapat

adalah verteks pada di

. Karena

sehingga

dan

dan

. Karena

mempertahankan jarak, maka

Karena

dan

adalah sembarang verteks pada

, maka

merupakan

pemetaan yang mempertahankan jarak. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa juga mempertahankan sifat kebertetanggaan. Misal x dan y adalah verteks pada, maka ada verteks

dan

di

yang bertetangga. Karena sehingga

adalah fungsi

dan

. Karena

adalah pemetaan yang mempertahankan sifat kebertetanggan verteks, maka bertetangga juga dengan . Karena didapatkan jika x dan y adalah verteks

dan

, maka

yang bertetangga, maka Universitas Indonesia


20

bertetangga juga dengan

. Jadi

verteks.

mempertahankan sifat kebertetanggan

Karena

pemetaan bijektif yang mempertahankan jarak antar verteks

dan juga sifat kebertetanggaan verteks, maka untuk sembarang

, terdapat

. Sehingga terbukti bahwa sehingga

.

Operasi komposisi adalah operasi yang memenuhi sifat asosiatif. Karena terbukti

memenuhi kriteria grup, maka

adalah grup terhadap operasi

komposisi. ■

Lemma berikut memberikan hubungan antara Lemma 2.18 Untuk setiap f anggota pemetaan

dengan

.

terdapat

yang tunggal dan

mendefinisikan monomorfisma

. (Hungerford,

1974) Bukti. Misalkan

anggota

himpunan verteks

.

adalah fungsi bijektif yang memetakan

ke dirinya sendiri. Karena himpunan verteks pada

himpunan hingga yaitu hanya terdiri dari tersebut dapat dinyatakan sebagai sebagai permutasi Misalkan

adalah

verteks, maka himpunan verteks . Karena itu

, yang merupakan anggota

dapat dinyatakan

dan

.

adalah permutasi yang lain bagi . Karena

untuk setiap Relasi

maka dimana

untuk masing-masing , diperoleh

. Dengan kata lain

merupakan suatu fungsi. Ini karena yang tunggal.

Akan dibuktikan bahwa pemetaan homomorfisma. Ambil

maka

, maka itu

tunggal.

dimana dan

adalah . Karena

untuk setiap . Terbukti bahwa

. Karena adalah suatu

homomorfisma. Berikutnya akan ditunjukkan bahwa dimana

merupakan monomorfisma. Ambil

. Maka didapat bahwa

. Karena

,


21

maka

untuk setiap . Terbukti bahwa

. Sehingga didapat

adalah monomorfisma.■

Dari Lemma 2.18 di atas terlihat bahwa semua anggota dinyatakan sebagai permutasi yang merupakan anggota di

menyatakan bahwa semua simetri dari suatu poligon

dapat

. Lemma 2.19 berikut

hanya dapat diperoleh

dengan melakukan refleksi dengan sumbu simetri adalah garis yang melalui

verteks 1 dan titik pusat poligon

, rotasi sejauh

searah jarum jam, atau

komposisi dari keduanya.

Lemma 2.19

dibangkitkan oleh

derajat verteks

searah jarum jam dan dan pusat

dan , dimana

adalah rotasi dengan

adalah refleksi pada sumbu yang melalui

. (Hungerford, 1974)

Berikut ini diberikan ilustrasi Lemma 2.19 untuk simetri-simetri pada segitiga sama sisi atau

. Dalam hal ini

adalah rotasi sejauh

dan

refleksi dengan sumbu refleksi adalah garis l yang melalui verteks

adalah

dan pusat

segitiga sama sisi.

Rotasi searah jarum jam

2 kali rotasi searah jarum jam



22

Pencerminan pada sumbu l

l


Rotasi searah jarum jam

l



l

Rotasi dan refleksi yang disebutkan di Lemma 2.19 dapat dinyatakan sebagai permutasi

dan

seperti pada persamaan (2.1) dan (2.2), yaitu

dan

. Sehingga

dan

. Karena

dibangkitkan oleh rotasi dan refleksi yang memiliki sifat yang sama dengan dan

pada

, maka menurut Lemma 2.14

Teorema 2.20

dan

,

isomorfik dengan

, dan

.

. (Algebra;

Hungerford, hal 52) Bukti. Setiap anggota

, menurut Lemma 2.18, dapat dinyatakan sebagai

permutasi. Rotasi yang disebut pada Lemma 2.19, yaitu , jika dinyatakan sebagai permutasi diperoleh bahwa

. Refleksi yang disebut pada Lemma 2.20,

yaitu , jika dinyatakan sebagai suatu permutasi diperoleh dibangkitkan oleh permutasi adalah lain

dan , dan juga karena representasi dan , maka

. Karena

dibangkitkan oleh

. Karena dan

sebagai

dan . Dengan kata

, maka pemetaan

adalah

pemetaan yang pada. Berdasarkan Lemma 2.18, pemetaan ini juga monomorfisma. Sehingga pemetaan ini merupakan isomorfisma dari

ke

.■


BAB 3 GRUP DARI SIMETRI PADA POLYHEX CARBON NANOTORUS ARMCHAIR DAN ZIG-ZAG

Pada bab ini dibahas mengenai grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan zig-zag. Pada Subbab 3.1 dibahas mengenai konstruksi dari simetri pada nanotorus armchair dan zig-zag, yaitu rotasi dan refleksi. Pada

Subbab 3.2 dibahas mengenai grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair dan zig-zag. 3.1

Simetri-simetri dari Polyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zig-zag

Suatu nanotorus armchair atau zig-zag dapat dikembalikan menjadi nanotube armchair atau zig-zag. Nanotube tersebut juga dapat dikembalikan menjadi lembaran grafit. Misalkan

adalah banyak kolom pada lembaran dan

adalah banyak baris pada lembaran, maka

dan

haruslah bilangan genap. Ini

dikarenakan jika salah satu ganjil maka, saat lembaran digulung, ada verteks yang berimpitan verteks lain. Berdasarkan Definisi 2.15, simetri adalah pemetaan bijektif yang mempertahankan jarak antar verteks dan memetakan verteks yang bertetangga pada verteks yang bertetangga juga. Pada nanotorus, verteks yang dimaksud adalah atom karbon pada nanotorus. Himpunan simetri-simetri dari nanotorus armchair atau zig-zag akan membentuk grup Misalkan

dengan operasi komposisi.

adalah simetri pada nanotorus. Jika nanotorus tersebut dikembalikan

menjadi lembaran, maka

akan memetakan verteks-verteks pada lembaran

nanotorus ke verteks pada lembaran tersebut juga. Karena setiap simetri adalah pemetaan bijektif antar verteks, maka simetri bisa dinyatakan sebagai permutasi antar verteks. Sehingga

dapat dinyatakan sebagai permutasi antar verteks pada

lembaran nanotorus. Namun, karena

juga harus mengawetkan jarak antar

verteks dan juga sifat kebertetanggaan pada verteks di nanotorus, maka

dapat

dipandang sebagai permutasi antar heksagon pada lembaran nanotorus. Misalkan menyatakan heksagon pada baris ke- dan kolom ke- dengan 23 Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012


24

dan

. Penomoran pada lembaran nanotorus dapat dilihat pada

Gambar 3.2 untuk nanotorus armchair Gambar 3.1 untuk nanotorus zig-zag dan

dengan

genap.

11

12

1j

21

22

2j

q/4 1

q/42

q/4 j

q/4+1 1

q/4+12

q/4+1j

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

m

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

q/4j+1

q/4p/2-1

q/4p/2

q/4+1j+1

q/4+1 p/2-1

q/4+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

Gambar 3.1 Penomoran pada lembaran nanotorus zig-zag


25

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

21

22

2j

q/2-11 q/2-1 2

q/2 1

q/2 2

q/2-1 j q/2-1j+1

q/2 j

q/2j+1

q/2-1 q/2-1 p/2-1

p/2

q/2p/2-1 q/2 p/2

Gambar 3.2 Penomoran pada lembaran nanotorus armchair Salah satu simetri pada nanotorus zig-zag atau armchair dapat diperoleh dengan cara melakukan rotasi sejauh

searah jarum jam pada nanotorus.

Dengan cara seperti ini, maka pada baris pertama, heksagon heksagon heksagon

, heksagon

akan berpindah ke heksagon

berpindah ke heksagon


, dan seterusnya hingga

. Sedangkan pada baris kedua, heksagon

, heksagon

dan seterusnya hingga heksagon

akan berpindah ke



heksagon


, heksagon

heksagon

, dan seterusnya hingga heksagon

,

. Pada baris ke- ,

akan berpindah ke


Dapat dilihat bahwa heksagon pada masing-masing baris di lembaran akan

.

berpindah ke heksagon di sebelah kanannya. Jika rotasi ini dinyatakan sebagai permutasi, misalkan sebagai , maka (3.1) Selanjutnya perhatikan Gambar 3.3 dan Gambar 3.4 di bawah ini untuk refleksi lembar grafit pada sumbu horizontal m.


26

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2j

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

q/4j+1

q/4p/2-1

q/4p/2

q/4+1j+1

q/4+1 p/2-1

q/4+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

q/4 1

q/42

q/4 j

q/4+1 1

q/4+12

q/4+1j

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

m

m Gambar 3.3 Lembaran nanotorus zig-zag dengan sumbu refleksi m

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2j

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

q/2-11 q/2-1 2

q/2 1

q/2 2

q/2-1 j q/2-1j+1

q/2 j

q/2j+1

q/2-1 q/2-1 p/2-1

p/2

q/2p/2-1 q/2 p/2

m Gambar 3.4 Lembaran nanotorus armchair dengan sumbu refleksi m


27

Apabila dilakukan refleksi pada lembaran nanotorus dengan sumbu refleksi adalah garis m, yaitu garis vertikal yang melalui kolom 1, seperti pada

Gambar 3.3 dan 3.4 di atas, maka dapat diperoleh simetri pada nanotorus. Setelah dilakukan refleksi tersebut, maka pada baris pertama, heksagon berpindah tempat, heksagon

bertukar tempat dengan

bertukar tempat dengan heksagon heksagon

, heksagon

, dan seterusnya. Pada baris kedua,

tidak akan berpindah tempat, heksagon

, heksagon

bertukar tempat dengan

bertukar tempat dengan heksagon

Pada baris ke- , heksagon tempat dengan

tidak akan

, dan seterusnya.

tidak akan berpindah tempat, heksagon

, heksagon

bertukar


, dan

seterusnya. Jika refleksi terhadap garis m ini dinyatakan sebagai permutasi, misalkan , maka (3.2) Selanjutnya perhatikan Gambar 3.5 dan 3.6 di bawah ini untuk refleksi pada lembar grafit terhadap sumbu horizontal l.

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2j

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

q/42

q/4 j

q/4j+1

q/4p/2-1

q/4p/2

q/4+1j+1

q/4+1 p/2-1

q/4+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

q/4 1 q/4+1 1

q/4+12

q/4+1j

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

m

l

Gambar 3.5 Lembaran nanotorus zig-zag dengan sumbu refleksi l Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

28

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

21

22

2j

l

q/2-11 q/2-1 2

q/2 1

q/2-1 j q/2-1j+1

q/2 2

q/2 j

q/2j+1

q/2-1 q/2-1 p/2-1

p/2

q/2p/2-1 q/2 p/2

Gambar 3.6 Lembaran nanotorus armchair dengan sumbu refleksi l Dengan melakukan refleksi pada lembaran nanotorus dengan sumbu refleksi adalah garis l, yaitu garis yang melewati tengah lembaran nanotorus, seperti pada Gambar 3.5 dan 3.6, maka diperoleh simetri lainnya dari nanotorus. Setelah dilakukan refleksi tersebut, maka pada kolom pertama, heksagon bertukar tempat dengan

, heksagon


, dan seterusnya. Pada kolom kedua, heksagon dengan

, heksagon

heksagon

akan bertukar tempat


seterusnya. Pada kolom ke- , heksagon

akan

, dan

akan bertukar tempat dengan


,

, dan seterusnya. Jika

refleksi ini dinyatakan sebagai permutasi, misalkan , maka

(3.3) Untuk lembaran nanotorus armchair dan nanotorus zig-zag dengan yang sama maka permutasi permutasi dan

dan

dan

dan pada nanotorus armchair sama dengan

pada nanotorus zig-zag. Dapat ditunjukkan bahwa permutasi

memenuhi sifat berikut,


29

(3.4a)

(3.4b) (3.4c)

adalah grup dari simetri pada nanotorus armchair atau zig-zag. Misalkan

adalah himpunan bagian dari

dapat ditulis

yang dibangkitkan oleh . Karena

dan , atau

adalah

permutasi yang dilakukan pada masing-masing kolom lembaran dan anggota merupakan permutasi yang dilakukan pada masing-masing baris lembaran, maka . Lebih lanjut

membentuk subgrup dari . Ini dibuktikan pada lemma di

bawah ini. Lemma 3.1 Jika

adalah himpunan yang dibangkitkan oleh

dan

dengan

, maka

adalah

dan

atau dapat ditulis subgrup dari . (Yavari & Faghani, 2009) Bukti. Untuk membuktikan

subgrup di , maka cukup dibuktikan

kosong, tertutup, dan setiap anggota a.

.

tidak kosong dan

b.

mempunyai invers di

tidak

adalah anggota

, maka

tidak kosong.

tertutup terhadap operasi komposisi Misalkan sembarang terdapat bilangan bulat , dimana

. Karena

dibangun dari

dan

sedemikian sehingga dan

maka dan

atau . Maka

. Terdapat 2 kasus untuk nilai , yaitu

dan

.

Kasus 1 Misal

, maka Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

30

maka

Karena maka

Jika

. Sedangkan jika

,

, maka

. Sehingga dengan sifat pada persamaan (3.4a)

dimana diperoleh

Karena

maka diperoleh

. Sehingga

dan

untuk

, maka

dibangun dari

.

Kasus 2 Misal

, maka

Menurut sifat pada persamaan (3.4b), maka persamaan di atas menjadi

, maka –

Karena

. Jika . Sedangkan untuk –

, maka

,

maka dengan sifat pada persamaan (3.4a) diperoleh

Karena

maka . Karena untuk nilai

. Sehingga dibangun dari

dan , maka

. Karena untuk kedua kasus didapat

, maka

tertutup terhadap

operasi komposisi. c. Setiap anggota Misalkan

mempunyai invers di , maka ada bilangan bulat

dan

, sehingga

dimana

atau .

Kasus 1 Misal

, maka

. Dengan memisalkan dan

. Sehingga

, didapat adalah invers

dari . Dengan sifat dari persamaan (3.4a) diperoleh bahwa Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

31

Untuk

, maka

Oleh karena itu

untuk

. Sedangkan untuk

maka

. Sehingga diperoleh

dan

untuk kasus

.

Kasus 2

Misal

, maka

. Misalkan

, maka

, dan Sehingga

adalah invers dari . Berdasarkan sifat pada persamaan

(3.4b) maka

.

Terbukti bahwa invers dari sembarang Karena itu terbukti bahwa Diketahui dari

.

anggota

ada di

juga.

subgrup dari . ■

berdasarkan persamaan (3.4c), maka himpunan bagian

yang dibangkitkan oleh

yaitu

. Himpunan

membentuk

subgroup dari . Ini dibuktikan pada teorema di bawah ini. Diketahui sebelumnya bahwa

, maka

Lemma 3.2 Jika

maka

.

adalah himpunan yang dibangkitkan oleh dengan

subgrup dari . (Herstein, 1996)

Bukti. Untuk membuktikan bahwa ditunjukkan bahwa invers di dalam a.

tidak kosong, tertutup, dan setiap anggotanya mempunyai juga.

tidak kosong karena

b.

adalah subgrup di , maka cukup

dan berada di

.

tertutup terhadap operasi komposisi Semua kemungkinan operasi yang dapat dilakukan dengan anggota , hanya

,

,dan

adalah

. Dapat dilihat bahwa hasil operasinya

dan c yang merupakan anggota

juga. Maka

tertutup Universitas Indonesia


32

c. Tiap anggota

mempunyai invers di

Dari pembahasan pada (b), dapat dilihat bahwa

sendiri dan invers dari

dan

. Sehingga

invers dari

adalah

hanya ada

dan , maka invers dari masing-masing anggotanya ada di dalam

.

adalah . Karena anggota

Terbukti bahwa

adalah subgrup di . ■

Lemma di bawah ini menunjukkan hubungan antara permutasi dan permutasi

dan ,

dan .

Lemma 3.3 Dengan

dan dengan

dan

maka

dan

.

Bukti. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa


33

Sehingga terbukti bahwa

.

Berikutnya akan ditunjukkan bahwa

Terbukti bahwa

.■


34

3.2

Grup dari Simetri pada Polyhex Carbon Nanotorus Armchair dan Zig-zag

Dari pembahasan di atas, diperoleh bahwa rotasi nanotorus sejauh

searah jarum jam yang dilambangkan dengan , refleksi terhadap garis vertikal m yang dilambangkan dengan , dan refleksi terhadap garis horizontal l yang dilambangkan dengan

simetri pada nanotorus. Grup dari merupakan

simetri pada nanotorus armchair atau zig-zag dikonstruksi dari simetri

dan

tersebut. Teorema 3.4 Jika maka

adalah grup dari simetri pada nanotorus dan

,

. (Yavari & Faghani, 2009)

Bukti. Untuk menunjukkan bahwa dan

, akan ditunjukkan bahwa

. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa

sembarang

. Karena

dan

Karena untuk sembarang

. Misalkan

adalah subgrup di , maka

didapatkan bahwa

.

, maka

. Akan dibuktikan juga bahwa ditunjukkan bahwa

. Misalkan

merupakan hasil komposisi dari anggota-anggota di

. Ini dapat ditunjukkan dengan mencari mencari elemen di

dimana

atau

juga, maka

. Ini artinya

.

, maka

. Karena

dan

.

Misalkan

dan

. Karena lagi. Artinya

dan

yang mengembalikan nanotorus ke posisi semula.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa Jika

. Akan

dan

, maka heksagon

. Berikutnya karena

dipindahkan ke kolom-1 lagi. Artinya

memindahkan heksagon

ke . Maka

tidak akan dipindahkan ke baris-1 , maka heksagon . Karena

tidak akan

adalah permutasi simetri

yang dan mempertahankan sifat kebertetanggan pada verteks, maka atau

.


35

Kasus 1 Misalkan

lembaran awal nanotorus sebelum . Pandang

dilakukan permutasi. 11

12

1j

21

22

2j

i1

i2

ij

i+11

i+12

i+1j

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i

i p/2-1

i p/2

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

m

j+1

Gambar 3.7 Lembaran awal nanotorus Heksagon

dan

diberi tanda untuk memperlihatkan pergerakan dari

heksagon tersebut. Jika dari lembaran awal tersebut dilakukan permutasi , dihasilkan lembaran seperti di bawah ini.


36 11

12

1j

21

22

2j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i

i p/2-1

i p/2

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

i1

i2

ij

i+11

i+12

i+1j

m

j+1

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

Gambar 3.8 Lembaran nanotorus setelah dikenakan

Dari lembaran tersebut, jika dilakukan permutasi berlawana arah jarum jam yang membawa heksagon

, yaitu rotasi

ke heksagon

, maka

didapatkan lembaran sebagai berikut.

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2j

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i1

i2

ij

i

i p/2-1

i p/2

i+11

i+12

i+1j

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 1

q/22

q/2 j

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

m

j+1



37

Sehingga didapat dan

dan

. Karena

. Karena

grup maka

suatu simetri, maka

jarak antar heksagon dipertahankan, yaitu

Tapi karena heksagon

dan

berada pada lingkaran luar dari nanotorus, maka

hanya terpenuhi jika

, maka haruslah

atau

. Namun karena

lembaran tersebut seharusnya berbentuk . Sehinggaa

seperti berikut.

11

12

1j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2j

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i1

i2

ij

i

i p/2-1

i p/2

i+11

i+12

i+1j

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 1

q/22

q/2 j

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

m

j+1


yang seharusnya

Untuk mengembalikan heksagon ke posisi awal, yaitu mengembalikan heksagon

ke heksagon

maka dilakukanlah permutasi

terhadap lembaran

tersebut. Sehingga didapat lembaran sebagai berikut yaitu latice yang sama dengan posisi awal sebelum dilakukan permutasi.


38 11

12

1j

21

22

2j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i

i p/2-1

i p/2

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

i1

i2

ij

i+11

i+12

i+1j

m

j+1

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

Gambar 3.11 Lembaran nanotorus setelah dikenakan Komposisi dari permutasi-permutasi ini dapat dituliskan sebagai atau dengan kata lain

Karena

dan

, maka

.

Kasus 2 Misalkan

. Seperti pembuktian di atas, pandang lembaran

awal sebelum dilakukan permutasi.


39 11

12

1j

21

22

2j

1 j+1

1 p/2-1

1 p/2

2 j+1

2 p/2-1

2 p/2

i

i p/2-1

i p/2

i+1j+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-1j+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 j+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

i1

i2

ij

i+11

i+12

i+1j

m

j+1

q/2-11

q/2-12

q/2-1 j

q/2 1

q/22

q/2 j

Gambar 3.12 Lembaran awal nanotorus Setelah dilakukan permutasi

terhadap lembaran tersebut, dihasilkan lembaran

seperti di bawah ini.

11

12

1j-1

1

j

1 p/2-1

1 p/2

21

22

2 j-1

2

j

2 p/2-1

2 p/2

i1

i2

i j-1

i

i p/2-1

i p/2

i+11

i+12

i+1 j-1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-11

q/2-12

q/2-1j-1

q/2-1

q/2 1

q/22

q/2j-1

q/2 j

m

j

i+1

j

j

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 p/2-1

q/2 p/2

Gambar 3.13 Lembaran nanotorus setelah dikenakan Pada lembaran awal, dapat dilihat bahwa dari

adalah tetangga sebelah kanan

. Sedangkan setelah dilakukan permutasi , dapat dilihat bahwa heksagon Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

40

adalah tetangga sebelah kiri dari

. Untuk mengembalikan

urutan kebertetanggan dari kedua heksagon tersebut, maka dilakukan permutasi

(pencerminan pada lembaran terhadap sumbu m) pada lembaran tersebut.

Sehingga didapatkan

dan

untuk

suatu bilangan asli . Sehingga akan didapatkan lembaran seperti berikut. 11

12

1k

21

22

2

i1

1k+1

1 p/2-1

1 p/2

k

2 k+1

2 p/2-1

2 p/2

i2

ik

i k+1

i p/2-1

i p/2

i+11

i+12

i+1 k

i+1k+1

i+1p/2-1

i+1p/2

q/2-11

q/2-12

q/2-1k

q/2-1k+1

q/2-1p/2-1

q/2-1p/2

q/2 1

q/22

q/2 k

q/2k+1

q/2 p/2-1

q/2 p/2

m

Gambar 3.14 Lembaran nanotorus setelah dikenakan Dengan memisalkan

, didapatkan bahwa

dan

. Berdasarkan kasus 1 di atas, maka

dengan

. Maka berdasarkan Lemma 3.3 dan sifat pada persamaan (3.4b), . Karena

dan

, maka

. Karena untuk kedua kasus terbukti bahwa jika maka terbukti bahwa Karena

maka

,

.

dan

maka terbukti bahwa

Dari Teorema 3.4, maka

dikonstruksi oleh

.■ dan , atau dapat ditulis

. Untuk lembaran nanotorus armchair dan nanotorus zig-zag dengan banyak verteks kolom, yaitu , dan banyak verteks baris, yaitu , yang sama maka permutasi

dan pada Universitas Indonesia


41

nanotorus armchair sama dengan permutasi

dan

pada nanotorus zig-zag.

Sehingga grup dari simetri pada nanotorus armchair sama dengan grup dari

simetri pada nanotorus zig-zag. Setelah didapatkan bahwa , dan , berikutnya akan dibuktikan bahwa

dikonstruksi oleh ,

adalah subgrup normal di .

Lemma 3.5 dari . (Yavari & Faghani, 2009) Bukti. Misalkan

dan

terdapat bilangan bulat dibangun oleh

Karena

adalah subgrup normal

. Karena

menurut Teorema 3.4, maka

sehingga

. Karena

dan , maka terdapat bilangan bulat

dan

, maka nilai

beberapa kasus untuk nilai

dan

dan

sehingga

adalah

.

atau . Terdapat

dan .

Kasus 1 Misalkan

, maka

adalah anggota

. Karena

, maka

. Kasus 2 Misalkan

maka berdasarkan sifat (3.4b) dan Lemma 3.3 diperoleh

Karena

, maka

maka

. Untuk

. Untuk

,

, maka , dengan

.

Sehingga diperoleh Sedangkan untuk

, maka Universitas Indonesia


42

Sehingga diperoleh

dengan

Terbukti

untuk

.

Kasus 3

Misalkan

dan dan

. Maka

. Sehingga

karena

subgrup di .

Kasus 4 Misalkan

, maka berdasarkan sifat (3.4b) dan Lemma 3.3 diperoleh

Karena

, maka

. Untuk

, maka dengan sifat pada persamaan (3.4a) diperoleh

Karena

, maka

. Sehingga

Untuk Untuk

, maka , maka

dimana

. Sehingga

Sehingga diperoleh

untuk kasus

Terbukti untuk setiap kasus nilai dan . Sehingga

. yang mungkin, didapat bahwa

adalah subgrup normal di . ■


43

Dari Lemma 3.1 dan Lemma 3.2, diperoleh bahwa subgrup dari . Dari Lemma 3.5 diketahui bahwa

Diketahui juga bahwa

adalah

subgrup normal dari .

. Sehingga berdasarkan Definisi 2.9, maka dan , atau dapat ditulis

adalah semidirect product dari & Faghani, 2009)

. (Yavari

Selanjutnya akan ditunjukkan untuk dibuktikan pada Lemma berikut.

Bukti. Karena

, maka

maka

dan

dibangun oleh

. Karena

. Sifat ini

.

dan , maka terdapat

, maka

. Sehingga Sedangkan untuk

di

Lemma 3.6 Untuk setiap

sehingga

dan

atau

. Untuk

.

, maka

. Berdasarkan Lemma

3.3 diperoleh

. Sehingga

Terbukti bahwa

, maka

untuk setiap

.

■

Sifat pada Lemma 3.6 akan digunakan untuk membuktikan Teorema 3.7 yang menyatakan Teorema 3.7

isomorfis dengan

isomorfik dengan

Bukti Menurut Lemma 3.1, Teorema 3.2, dan Teorema 3.5 didapatkan bahwa dan

subgrup di

dan

. Karena

, maka

Teorema 3.6, didapat

. Misalkan

. Berdasarkan Teorema 2. 11, ke . Maka

isomorfik dengan

Setelah diketahui bahwa akan dibuktikan bahwa

Lemma 3.8

dimana

adalah isomorfisma dari

.■ isomorfik dengan

isomorfik dengan

isomorfik dengan

Bukti Misalkan

. Dari

dimana

, maka berikutnya .

. dan

. Karena

, Universitas Indonesia Grup dari..., Hendry Tanuwijaya, FMIPA UI, 2012

44

,

,

dan

adalah homomorfisma. Karena

dan

di memiliki prapeta

maka setiap anggota

, maka pemetaan serta

. Sehingga

adalah pemetaan

pada. Lebih lanjut lagi, karena untuk masing-masing anggota

memiliki hasil pemetaan yang berbeda, maka isomorfisma dari Lemma 3.9 Bukti

ke

. Maka

,

yang berbeda

pemetaan 1-1. Sehingga

isomorfik dengan

.■

isomorfik dengan

dibangun oleh

dan

yang memiliki sifat

. Berdasarkan Lemma 2.14, maka Teorema 3.10

isomorfik dengan

dan

isomorfik dengan

(Yavari & Faghani, 2009)

Bukti Berdasarkan Lemma 3.8 dan Lemma 3.9, berdasarkan Lemma 2.10, diketahui bahwa

.■

dan

, maka

. Karena dari Teorema 3.7 , maka

.■

Dari pembahasan di atas pada Teorema 3.4, diperoleh bahwa dikonstruksi oleh Grup

dan

yang diberikan oleh persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3).

tersebut isomorfik dengan

menurut Teorema 3.10.


BAB 4 PENUTUP armchair atau zig-zag dibentuk dari Suatu polyhex carbon nanotorus

lembaran grafit dengan

verteks kolom dan

verteks baris. Operasi-operasi

simetri pada nanotorus adalah rotasi sejauh

, yang dilambangkan oleh

, refleksi terhadap sumbu refleksi vertikal m, yang dilambangkan oleh , dan

refleksi terhadap sumbu refleksi horizontal l, yang dilambangkan oleh . Himpunan

yang terdiri dari semua simetri pada polyhex carbon nanotorus

armchair atau zig-zag ini membentuk grup yang disebut sebagai grup dari simetri pada polyhex carbon nanotorus armchair atau zig-zag. Himpunan rotasi dan refleksi terhadap garis vertikal membentuk subgrup dari

yaitu

(Lemma 3.1) dan himpunan refleksi terhadap sumbu horizontal juga membentuk subgrup

yaitu

(Lemma 3.2). Menurut Teorema 3.4, grup

simetri-simetri pada nanotorus merupakan product dari Lebih lanjut,

adalah semidirect product dari

Menurut Teorema 3.7, isomorfik dengan

dan

isomorfik dengan

(Lemma 3.8), dan

yang terdiri dari

dan

, yaitu

.

. . Lebih lanjut, karena

isomorfik dengan

(Lemma

3.9), maka menurut Teorema 3.10 grup dari simetri pada nanotorus armchair dan zig-zag, yaitu

isomorfik dengan semidirect product

.

45



DAFTAR REFERENSI

Faghani, M., & Ashrafi, A. R. (2009). The Symmetry Group of Nanotubes. Digest Journal of Nanomaterials and Biostructures, Vol. 4, No 3, 593-596. Herstein, I. N. (1996). Abstract Algebra 3rd edition, Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Housecroft, Catherine E., & Alan G. Sharpe. (2008). Inorganic Chemistry, third edition, London: Pearson Education Limited. Hungerford, Thomas W., (1974). Algebra, New York: Springer-Verlag New York, Inc. Lang, Serge., (2002). Algebra Revised 3rd edition, New York: Springer-Verlag New York, Inc. Rotman, Joseph J., (2002). Advanced Modern Algebra, Upper Saddle River, New Jersey: Pearson, Inc. Yavari, M., & Ashrafi, A. R. (2009). On the Symmetry Group of a Zig-zag and an Armchair Polyhex Carbon Nanotorus. Symmetry, 145-152. “(IUCr) Full Symmetry of Nanotori”, http://journals.iucr.org/a/issues/2009/03/00/pz5061/pz5061fig1.html, (diakses tanggal 29 Februari 2012) “Science Fair Water”, http://sciencefairwater.com/ (diakses tanggal 24 Mei 2012) “Sulfur Dioxide (Department of Environment and Resource Managament)”, http://www.derm.qld.gov.au/air/pollution/pollutants/sulfur-dioxide.html (diakses tanggal 24 Mei 2012) “Type of Nanotubes”, http://www.ncnr.nist.gov/staff/taner/nanotube/types.html, (diakses tanggal 23 Januari 2012) “Carbon Nanotubes”, http://www.personal.reading.ac.uk/~scsharip/tubes.htm, (diakses tanggal 23 Januari 2012)

46



UNIVERSITAS INDONESIA GRUP DARI SIMETRI PADA POLYHEX CARBON NANOTORUS ARMCHAIR DAN ZIG-ZAG SKRIPSI HENDRY TANUWIJAYA

Recommend Documents