Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh ( lekce)

Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potuˇ ˚ cková, Dana Stesková, Lubomír Sedláˇcek Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín

Zlín, 15. záˇrí 2011

Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh Pˇríklad 1

Pˇríklad 1 ˇ Na schodišti vysokém 3,6 m by se poˇcet schodu˚ zvetšil o tˇri, kdyby se ˇ výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodu˚ má schodište? Jak jsou schody vysoké?


Pˇríklad 1 ˇ Na schodišti vysokém 3,6 m by se poˇcet schodu˚ zvetšil o tˇri, kdyby se ˇ výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodu˚ má schodište? Jak jsou schody vysoké? ˇ Rešení:

výška schodu . . . . . . x cm poˇcet schodu˚ . . . . . . y ks x x 360 x x


Pˇríklad 1 ˇ Na schodišti vysokém 3,6 m by se poˇcet schodu˚ zvetšil o tˇri, kdyby se ˇ výška jednoho schodu zmenšila o 4 cm. Kolik schodu˚ má schodište? Jak jsou schody vysoké? ˇ Rešení:

výška schodu . . . . . . x cm poˇcet schodu˚ . . . . . . y ks x x 360 x x

Soustava:

x·y (x − 4) · (y + 3)

= =

360 360


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

360 +

1080 y

− 4y − 12


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

=

12

360 +

1080 y

− 4y − 12 1080−4y y

2


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

=

12 / · y

=

0

360 +

1080 y

− 4y − 12 1080−4y y

2

2

−4y − 12y + 1080


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

=

12 / · y

−4y − 12y + 1080

=

0

y 2 + 3y − 270

=

0

360 +

1080 y

− 4y − 12 1080−4y y

2

2

/ : (−4)


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

=

12 / · y

−4y − 12y + 1080

=

0

y 2 + 3y − 270

=

0

360 +

1080 y

− 4y − 12 1080−4y y

2

2

y1 = −18 y2 = 15 x =

360 15

= 24

/ : (−4)

nevyhovuje zadání úlohy


x·y

=

360

(x − 4) · (y + 3)

=

360

x

=

360 y

xy + 3x − 4y − 12

=

360

=

360

=

12 / · y

−4y − 12y + 1080

=

0

y 2 + 3y − 270

=

0

360 +

1080 y

− 4y − 12 1080−4y y

2

2

y1 = −18


y2 = 15 x =

360 15

/ : (−4)

= 24

Schodišteˇ má 15 schodu˚ o výšce 24 cm.


Pˇríklad 2 ˇ vypoˇcítat 70 úloh. Kdyby denneˇ vyˇrešila o dveˇ více, než si Jana mela ˇ puvodn naplánovala, skonˇcila by o 4 dny dˇríve. Za kolik dní chtela ˚ eˇ všechny úlohy vypoˇcítat?


Pˇríklad 2 ˇ vypoˇcítat 70 úloh. Kdyby denneˇ vyˇrešila o dveˇ více, než si Jana mela ˇ puvodn naplánovala, skonˇcila by o 4 dny dˇríve. Za kolik dní chtela ˚ eˇ všechny úlohy vypoˇcítat? ˇ Rešení:

poˇcet úloh na den . . . . . . x poˇcet dní . . . . . . . . . . . . . . y


Pˇríklad 2 ˇ vypoˇcítat 70 úloh. Kdyby denneˇ vyˇrešila o dveˇ více, než si Jana mela ˇ puvodn naplánovala, skonˇcila by o 4 dny dˇríve. Za kolik dní chtela ˚ eˇ všechny úlohy vypoˇcítat? ˇ Rešení:

Soustava:

poˇcet úloh na den . . . . . . x poˇcet dní . . . . . . . . . . . . . . y x·y (x + 2) · (y − 4)

= =

70 70


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

=

70

70 −

280 y

+ 2y − 8


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

+ 2y − 8

=

70 / · y

70y − 280 + 2y − 8y − 70y

=

0

70 −

280 y 2


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

+ 2y − 8

=

70 / · y

70y − 280 + 2y − 8y − 70y

=

0

2y 2 − 8y − 280

=

0

70 −

280 y 2


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

+ 2y − 8

=

70 / · y

70y − 280 + 2y − 8y − 70y

=

0

2y 2 − 8y − 280

=

0

=

0

70 −

280 y 2

2

y − 4y − 140

/:2


x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

+ 2y − 8

=

70 / · y

70y − 280 + 2y − 8y − 70y

=

0

2y 2 − 8y − 280

=

0

=

0

70 −

280 y 2

2

y − 4y − 140 y1 = −10 y2 = 14 x =

70 14

=5

/:2



x·y

=

70

(x + 2) · (y − 4)

=

70

x

=

70 y

xy − 4x + 2y − 8

=

70

+ 2y − 8

=

70 / · y

70y − 280 + 2y − 8y − 70y

=

0

2y 2 − 8y − 280

=

0

=

0

70 −

280 y 2

2

y − 4y − 140 y1 = −10


y2 = 14 x =

70 14

/:2

=5

ˇ puvodn Všechny úlohy chtela ˚ eˇ vypoˇcítat za 14 dní.


Pˇríklad 3 ˇ Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtel ˇ postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvetšil o ˇ Kolik kostek mel ˇ ve jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybelo. stavebnici?


Pˇríklad 3 ˇ Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtel ˇ postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvetšil o ˇ Kolik kostek mel ˇ ve jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybelo. stavebnici? ˇ Rešení:

poˇcet kostek celkem . . . . . . . . . . . . . . x kusu˚ poˇcet kostek v hraneˇ krychle . . . . . . y kusu˚ objem krychle: V = a3


Pˇríklad 3 ˇ Malý Pavel skládal kostky stavebnice (kostka má tvar krychle). Chtel ˇ postavit velkou krychli. Zbylo mu však 75 kostek, proto hranu zvetšil o ˇ Kolik kostek mel ˇ ve jednu kostku. Potom mu ale 16 kostek chybelo. stavebnici? ˇ Rešení:

Soustava:

poˇcet kostek celkem . . . . . . . . . . . . . . x kusu˚ poˇcet kostek v hraneˇ krychle . . . . . . y kusu˚ objem krychle: V = a3 y 3 + 75 (y + 1)3 − 16

= =

x x


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y − 15

=

y 3 + 75


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y − 15

=

y 3 + 75

3y 2 + 3y − 90

=

0


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y − 15

=

y 3 + 75

3y 2 + 3y − 90

=

0

y 2 + y − 30

=

0

/:3


y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y − 15

=

y 3 + 75

3y 2 + 3y − 90

=

0

y 2 + y − 30

=

0

y1 = −6 y2 = 5 x = 53 + 75 x = 200

/:3



y 3 + 75

=

x

(y + 1)3 − 16

=

x

y 3 + 75

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y + 1 − 16

=

x

y 3 + 3y 2 + 3y − 15

=

y 3 + 75

3y 2 + 3y − 90

=

0

y 2 + y − 30

=

0

y1 = −6

/:3


y2 = 5 x = 53 + 75 x = 200 ˇ ve stavebnici 200 kostek. Pavel mel


Pˇríklad 4 ˇ Zvetšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, ˇ zmenší se obsah obdélníku o 36 cm2 . Zvetšíme-li obeˇ strany o 1 cm, ˇ obdélníku. ˚ rozmery bude obsah 143 cm2 . Urˇcete puvodní


Pˇríklad 4 ˇ Zvetšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, ˇ zmenší se obsah obdélníku o 36 cm2 . Zvetšíme-li obeˇ strany o 1 cm, ˇ obdélníku. ˚ rozmery bude obsah 143 cm2 . Urˇcete puvodní ˇ Rešení:

délka jedné strany . . . . . . x cm délka druhé strany . . . . . . y cm obsah obdélníku . . . . . . S = x · y


Pˇríklad 4 ˇ Zvetšíme-li jednu stranu obdélníku o 2 cm a druhou zmenšíme o 4 cm, ˇ zmenší se obsah obdélníku o 36 cm2 . Zvetšíme-li obeˇ strany o 1 cm, ˇ obdélníku. ˚ rozmery bude obsah 143 cm2 . Urˇcete puvodní ˇ Rešení:

Soustava:

délka jedné strany . . . . . . x cm délka druhé strany . . . . . . y cm obsah obdélníku . . . . . . S = x · y (x + 2) · (y − 4) (x + 1) · (y + 1)

= =

xy − 36 143


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0

y

=

2x − 14


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0

y

=

2x − 14

x · (2x − 14) + x + (2x − 14) + 1

=

143


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0

y

=

2x − 14

x · (2x − 14) + x + (2x − 14) + 1 2

2x − 11x − 156

=

143

=

0


(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0

y

=

2x − 14

x · (2x − 14) + x + (2x − 14) + 1 2

2x − 11x − 156 x1 =

− 13 2

x2 = 12 y = 24 − 14 y = 10

=

143

=

0



(x + 2) · (y − 4)

=

xy − 36

(x + 1) · (y + 1)

=

143

xy − 4x + 2y − 8

=

xy − 36

xy + x + y + 1

=

143

−4x + 2y + 28

=

0

y

=

2x − 14

x · (2x − 14) + x + (2x − 14) + 1 2

2x − 11x − 156 x1 =

− 13 2

=

143

=

0


x2 = 12 y = 24 − 14 y = 10 ˇ obdélníku byly 12 a 10 cm. Puvodní ˚ rozmery


Pˇríklad 5 ˇ let však bude jen dvakrát Jana je tˇrikrát starší než Martin. Za pet ˇ ˇ starší. Kolik let je nyní obema detem?


Pˇríklad 5 ˇ let však bude jen dvakrát Jana je tˇrikrát starší než Martin. Za pet ˇ ˇ starší. Kolik let je nyní obema detem? ˇ Rešení:

ˇ Martina . . . . . . x let vek ˇ Jany . . . . . . . . 3x let vek



Rovnice:

ˇ Martina . . . . . . x let vek ˇ Jany . . . . . . . . 3x let vek 3x + 5

=

2 · (x + 5)



Rovnice:


=

2 · (x + 5)

3x

=

2x + 10 − 5



Rovnice:


=

2 · (x + 5)

3x

=

2x + 10 − 5

x = 5, 3x = 15 Martinovi je 5 let a Janeˇ 15 let.


Pˇríklad 6 ˇ ˇ se obsah o 21 %. O kolik procent Zvetšíme-li stranu cˇ tverce, zvetší ˇ jsme zvetšili stranu cˇ tverce?


Pˇríklad 6 ˇ ˇ se obsah o 21 %. O kolik procent Zvetšíme-li stranu cˇ tverce, zvetší ˇ jsme zvetšili stranu cˇ tverce? ˇ Rešení:

strana cˇ tverce . . . . . . x cm obsah cˇ tverce . . . . . . S = x2




Volíme napˇr. x1 = 5 cm, pak S1 = 52 = 25 cm2 . 25 cm2 . . . . . . 100 % y cm2 . . . . . . 21 %




Volíme napˇr. x1 = 5 cm, pak S1 = 52 = 25 cm2 . 25 cm2 . . . . . . 100 % y cm2 . . . . . . 21 % y=

21·100 25

= 5,25





21·100 25

= 5,25

S2 = 25 + 5,25 = 30,25 cm2





21·100 25

= 5,25

S2 = 25 + 5,25 = 30,25 cm2 √ x2 = 30,25 = 5,5 cm


5 cm . . . . . . 100 % 5,5 cm . . . . . . z %


5 cm . . . . . . 100 % 5,5 cm . . . . . . z % z=

100·5,5 5

z = 110 %

⇒

ˇ o 10 %. Strana cˇ tverce se zvetší

110 % − 100 % = 10 %


Pˇríklad 7 ˇ klesla o 10%. O kolik a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? ˇ vzrostla o 20%. O kolik b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné?


Pˇríklad 7 ˇ klesla o 10%. O kolik a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? ˇ vzrostla o 20%. O kolik b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? ˇ Rešení: a) puvodní ˚ cena

......

x

......

100%


Pˇríklad 7 ˇ klesla o 10%. O kolik a) Cena zboží nejprve vzrostla o 20%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? ˇ vzrostla o 20%. O kolik b) Cena zboží nejprve klesla o 10%, pozdeji ˇ procent se zmenila puvodní ˚ cena vzhledem ke koneˇcné ceneˇ zboží? c) Jsou úlohy a), b) stejné? ˇ Rešení: a) puvodní ˚ cena ˇ 1. zmena

......

x

......

100%

......

1,2 · x

......

120%



ˇ 2. zmena

......

......

x

......

100%

......

1,2 · x

......

120%

1,2 · x − 0,1 · 1,2 · x = 1,08x

......

108%



ˇ 2. zmena

......

......

x

......

100%

......

1,2 · x

......

120%

1,2 · x − 0,1 · 1,2 · x = 1,08x

Puvodní ˚ cena vzrostla o 8%.

......

108%


b)

puvodní ˚ cena

......

x

......

100%


b)

puvodní ˚ cena

......

x

......

100%

ˇ 1. zmena

......

0,9 · x

......

90%


b)

puvodní ˚ cena

......

x

......

100%

ˇ 1. zmena

......

0,9 · x

......

90%

ˇ 2. zmena

......

0,9 · x + 0,2 · 0,9 · x = 1,08x

......

108%


b)

puvodní ˚ cena

......

x

......

100%

ˇ 1. zmena

......

0,9 · x

......

90%

ˇ 2. zmena

......

0,9 · x + 0,2 · 0,9 · x = 1,08x

Puvodní ˚ cena vzrostla o 8%.

......

108%


b)

puvodní ˚ cena

......

x

......

100%

ˇ 1. zmena

......

0,9 · x

......

90%

ˇ 2. zmena

......

0,9 · x + 0,2 · 0,9 · x = 1,08x

Puvodní ˚ cena vzrostla o 8%. c)

Úlohy a) a b) jsou stejné.

......

108%


Pˇríklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li ˇ oba spoleˇcne?


Pˇríklad 8 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. Za jak dlouho složí hromadu uhlí, pracují-li ˇ oba spoleˇcne? ˇ Rešení:

za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce



za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce

x 3

+

x 2

= 1



za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce

x 3

+

x 2

= 1

2x + 3x = 6



za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce

x 3

+

x 2

= 1

2x + 3x = 6 5x = 6



za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce

x 3

+

x 2

= 1

2x + 3x = 6 5x = 6 x =

6 5

= 1 h 12 min



za 1 h

za x h

Petr sám za 3 h

1 3

práce

x 3

práce

Pavel sám za 2 h

1 2

práce

x 2

práce

x 3

+

x 2

= 1

2x + 3x = 6 5x = 6 x =

6 5

= 1 h 12 min

Spoleˇcneˇ složí hromadu uhlí za 1 h 12 min.


Pˇríklad 9 Petr a Pavel skládali uhlí. Petr by sám uhlí složil za 3 hodiny. Pavel by sám pracoval 2 hodiny. a) Nejprve pracuje Petr sám pul ˚ hodiny, pak teprve pˇrijde Pavel a ˇ Za jak dlouho práci dokonˇcí? zbytek uhlí složí spoleˇcne. b) Chlapci nejprve pracují spoleˇcneˇ 20 minut, potom Pavel odejde. Jak dlouho ješteˇ bude muset Petr pracovat, aby zbytek hromady uhlí sklidil?


ˇ Rešení:

a)

doba spoleˇcné práce – x hodin


ˇ Rešení:

a)

doba spoleˇcné práce – x hodin za 1 h Petr celkem pracuje x + Pavel celkem pracuje x h

1 2

h

celkem práce

1 3

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

práce

práce


ˇ Rešení:

a)

doba spoleˇcné práce – x hodin za 1 h Petr celkem pracuje x +

1 2

h

Pavel celkem pracuje x h x+ 12 3

+

x 2

celkem práce

1 3

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

= 1

práce

práce


ˇ Rešení:

a)


1 2

h

Pavel celkem pracuje x h x+ 12 3 2x+1 6

+ +

x 2 x 2

celkem práce

1 3

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

= 1 = 1

práce

práce


ˇ Rešení:

a)


1 2

h


+ +

x 2 x 2

celkem práce

1 3

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

= 1 = 1 /·6

2x + 1 + 3x = 6

práce

práce


ˇ Rešení:

a)


1 2

h


+ +

x 2 x 2

celkem práce

1 3

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

= 1 = 1 /·6

2x + 1 + 3x = 6 5x = 5

práce

práce


ˇ Rešení:

a)


1 2

h


+ +

x 2 x 2

práce

x+ 21 3

1 2

práce

x 2

= 1 = 1 /·6

2x + 1 + 3x = 6 5x = 5 x = 1 Hromadu uhlí složí za 1 hodinu.

celkem práce

1 3

práce

práce


ˇ Rešení:

b)

doba spoleˇcné práce – 20 minut =

1 3

h


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem

1 3

h

1 3

h

x+ 13 3 1 3

2

práce

práce


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem x+ 13 3

1 3

h

+

2

1 3

1 3

h

x+ 13 3 1 3

2

= 1

práce

práce


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem

1 3

1 3

h

1 3

h

1 x+ 13 3 3 + 2 3x+1 + 16 9

x+ 13 3 2

= 1 = 1

práce

práce


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem

1 3

1 3

h

1 3

h

1 x+ 13 3 3 + 2 3x+1 + 16 9

x+ 13 3 2

práce

= 1 = 1 / · 18

2 · (3x + 1) + 3 = 18

práce


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem

1 3

1 3

h

1 3

h

1 x+ 13 3 3 + 2 3x+1 + 16 9

x+ 13 3 2

práce

= 1 = 1 / · 18

2 · (3x + 1) + 3 = 18 6x = 13

práce


ˇ Rešení:

b)


1 3

h celkem práce

Petr sám x h

celkem x +

Pavel

celkem

1 3

1 3

h

1 3

h

1 x+ 13 3 3 + 2 3x+1 + 16 9

x+ 13 3 2

práce

práce

= 1 = 1 / · 18

2 · (3x + 1) + 3 = 18 6x = 13 x =

13 6

Hromadu uhlí složí za 2 h 10 min.

= 2 61 h = 2 h 10 min

Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav pˇri ˇrešení slovních úloh Cviˇcení

Cviˇcení ˇ ˇ 1. Zvetšením strany cˇ tverce se zvetšil jeho obsah asponˇ o 10,25 %. ˇ O kolik procent se zvetšila strana cˇ tverce? 2. Šíˇrka obdélníku je rovna 78 % jeho délky, obdélník má obsah ˇ 48 cm2 . Urˇcete jeho rozmery. 3. Obdélník má obvod 28 cm a úhlopˇríˇcku 10 cm dlouhou. Urˇcete ˇ obdélníku. rozmery ˇ než šíˇrku. Zvetšíme-li ˇ 4. Obdélník má délku o 2 cm vetší každý jeho ˇ o 10 cm, získáme obdélník s obsahem 1224 cm2 . rozmer ˇ puvodního Vypoˇcítejte rozmery ˚ obdélníku. 5. Délky stran daného trojúhelníku jsou 13, 20 a 21 cm. Každou stranu máme zmenšit o stejnou délku, aby ze zkrácených stran bylo možno sestrojit pravoúhlý trojúhelník. O kolik cm budeme zkracovat? h

1. [asponˇ o 5 %],

2.

h

√ 20· 26 13

cm;

6·

√ 5

26

i cm ,

3. [8 cm; 6 cm] ,

4. [24 cm; 26 cm] ,

5. [o 8 cm]

i


Cviˇcení ˇ 6. Tetiva kružnice má od stˇredu kružnice vzdálenost 8 cm a je o ˇ než polomer ˇ kružnice. Urˇcete polomer ˇ kružnice. 2 cm vetší ˇ ˇ 7. Pravoúhlý trojúhelník, jehož odvesny mají velikosti v pomeru ˇ 5 : 12, má pˇreponu 26 m. Jak velké jsou odvesny? ˇ 8. Souˇcet velikostí odvesen pravoúhlého trojúhelníka je 35 cm a výška pˇríslušná k pˇreponeˇ má velikost 12 cm. Vypoˇcítejte strany trojúhelníku. 9. Který mnohoúhelník má o 42 úhlopˇríˇcek více než stran? 10. Jsou dány dva cˇ tverce; rozdíl délek jejich stran je 3 cm a souˇcet jejich obsahu˚ je 65 cm2 . Urˇcete délky stran cˇ tvercu. ˚ [6. [10 cm],

7. [10 m; 24 m] ,

8. [15 cm; 20 cm; 25 cm] ,

9. [12 − úhelník] ,

10. [7 cm; 4 cm]]


Cviˇcení 11. Rovnoramenný trojúhelník má rameno 13 cm dlouhé, souˇcet délky základny a k ní pˇríslušné výšky je 22 cm. Urˇcete délku základny. 12. Pravoúhlý trojúhelník má pˇreponu dlouhou 17 cm. Zmenšíme-li ˇ obeˇ odvesny o 3 cm, zmenší se pˇrepona o 4 cm. Urˇcete délky ˇ odvesen. [11. [10 cm nebo 25,2 cm],

12. [15 cm; 8 cm]]

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh ( lekce)

Recommend Documents