Čtyřleté gymnázium
MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu:
Obsahové vymezení: Vyučovací předmět matematika pokrývá vzdělávací oblast Matematika a její aplikace, stanovenou RVPGV. Vzdělávací cíle předmětu matematika vycházejí z tradicí ověřeného rozvoje kognitivních a komunikačních schopností a dovedností žáků gymnázií na českém území. Důraz klademe na dobré porozumění pojmům a souvislostem, na bezpečné zvládnutí základních dovedností, na správné používání symbolického jazyka matematiky, na rozvoj logických schopností a geometrického vnímání světa. Výuka matematiky zohledňuje aktuální rozvoj výpočetní techniky. Vzdělávací cíle rovněž odrážejí současné pojetí vzdělávacího procesu a zejména akcentují schopnost tvořivě pracovat s informacemi, dovednost kultivovaně formulovat a argumentovat. Absolvent se v matematice pohybuje na dobré evropské úrovni.
Časové a organizační vymezení: První ročník je pro všechny žáky společný. Od druhého ročníku se matematika vyučuje ve dvou úrovních. Základní (informační) úroveň si volí žáci, kteří se zejména věnují jiným vzdělávacím oborům, nemají v úmyslu absolvovat školní maturitu z matematiky ani skládat přijímací zkoušky z matematiky na vysokou školu. Rozšířenou (výkonnostní) úroveň si volí žáci, kteří matematiku a příbuzné obory studují intenzivněji a vyžadují vyšší nároky a větší rozsah učiva. Hodinová dotace je zachycena v tabulce úroveň
1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník
základní 4
4
4
2
rozšířená
4
4
4
Jedna hodina v každém ročníku má formu cvičení, třída (skupina) je dělená na polovinu. Na povinné hodiny matematiky navazují volitelné semináře, které dávají prostor nadstandardní látce i metodám práce. Jejich cíle i učivo se aktuálně obměňují podle zaměření a požadavků žáků.
Výchovné a vzdělávací strategie: Kompetence k učení – učitel: uspořádá učivo v čase, respektuje návaznosti a vztahy uvnitř učiva, dbá na rovnoměrné zatížení žáků v průběhu školního roku seznamuje žáky s učivem živým způsobem, motivuje žáky vhodnými otázkami a problémovými úlohami vytváří ve třídě atmosféru podporující soustředěnou práci systematicky oceňuje dobrou práci žáků – přesnost, vytrvalost, duševní činorodost, koncepční schopnost; netoleruje ledabylost a malou snahu vede postupně žáky k samostatné práci s matematickými informacemi podporuje nadané žáky v účasti v matematických soutěžích a ve vzdělávacích aktivitách mimo vyučování (korespondenční semináře, přednášky apod.) Kompetence k řešení problému – učitel: vedle standardních metod vytváří příležitosti k investigativní a aplikační činnosti žáků poskytuje žákům pomoc a zpětnou vazbu při hledání formulace problému a jeho řešení diskutuje s žáky o verifikaci řešení problému, o příčinách a důsledcích chyb poskytuje prostor k prezentaci řešení problému Kompetence komunikativní – učitel: vyjadřuje se v hodinách kultivovaně, přesně a srozumitelně a totéž vyžaduje od žáků vede žáky k užívání symbolického jazyka matematiky, k přesné formulaci tvrzení moderuje žákovské debaty, klade důraz na kvalitní argumentaci využívá matematický software, internet, video a další informační technologie Kompetence sociální – učitel: organizuje činnost žáků ve dvojicích, skupinách, vede žáky k vlastní organizaci práce skupiny, k zodpovědnosti za činnost skupiny
1 z 14
oceňuje projevy úcty k práci druhých Kompetence občanské – učitel: podporuje zodpovědný vztah k plnění povinností, ke studiu vede žáky k toleranci, ale také ke kritickému hodnocení názorů jiných
2 z 14
1. ROČNÍK výstupy RVP GV – žák:
výstupy ŠVP - žák:
Učivo:
Souvislosti:
odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí účelně využívá kalkulátor
rozezná a zdůvodní chybu ve výpočtu
upravuje efektivně výrazy s proměnnými, určuje definiční obor výrazu rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců
zapisuje výrazy s Výrazy s proměnnou, fyzika - vzorce proměnnými mnohočleny, lomené výrazy zná zpaměti vzorce A2
provádí operace s mocninami a odmocninami, upravuje číselné výrazy odhaduje výsledky numerických výpočtů a efektivně je provádí
aplikuje pravidla pro Mocniny a odmocniny, semilogaritmický počítání s mocninami celočíselný a racionální kalkulačce počítá s velkými a exponent fyzika - výpočty malými čísly používá semilogaritmický tvar čísla převádí operace s odmocninami na operace s mocninami s racionálním exponentem
operuje s intervaly
zapisuje a určí Množiny , základní operace, množinové diagramy jako množinu výčtem intervaly metoda řešení slovních úloh prvků, charakteristickou vlastností a množinovými operacemi rozlišuje a zdůvodňuje vztah inkluze a rovnosti množin určuje sjednocení a průnik množin
používá správně logické spojky a kvantifikátory
rozezná, kdy je věta výrok, a určí pravdivostní hodnotu užívá výroky obsahující slova každý, žádný, aspoň, právě, nejvýše a neguje je čte a zapisuje matematická tvrzení s proměnnou a kvantifikátorem určí strukturu složeného výroku
Základní logické pojmy , zápisy a čtení kvantifikátory, disjunkce, symbolickém konjunkce, negace, matematiky implikace, ekvivalence
řeší lineární a kvadratické rovnice, nerovnice a jejich
užívá pojmy funkce, nezávisle a závisle proměnná, definiční
Pravoúhlá soustava aplikační úlohy souřadnic Funkce, základní vlastnosti,
Výrazy numerické, fyzika – výpočty aritmetické operace, odhady kalkulátor
-B2 , A3 ±B3 , (A±B)2 , (A±B)3 a dokazuje jejich správnost dělí mnohočleny tvar
na
textu v jazyce
3 z 14
soustavy načrtne graf funkce y
obor, obor hodnot, graf určí z grafu vlastnosti a druh funkce ověřuje správnost řešení rovnice, nerovnice, soustavy vhodně zapisuje množiny kořenů aplikuje vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice řeší rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru, strukturuje řešení na základě logické úvahy vyjadřuje neznámou ze vzorce
graf Lineární rovnice a nerovnice Vyjádření neznámé ze vzorce Lineární funkce Soustavy lineárních rovnic , početní a grafické řešení Slovní úlohy Kvadratické funkce, rovnice, nerovnice Vietovy vzorce Soustavy dvou rovnic o dvou neznámých do 2. stupně Slovní úlohy Rovnice a nerovnice v součinovém a podílovém tvaru Rovnice s neznámou pod odmocninou
v jednodušších případech diskutuje řešitelnost a počet řešení lineární a kvadratické rovnice
rozliší pojem proměnná, parametr, konstanta diskutuje řešitelnost rovnic v závislosti na parametru
Rovnice diskuse
aplikuje geometrický význam absolutní hodnoty
řeší lineární a kvadratické rovnice s absolutní hodnotou načrtne graf funkce s absolutní hodnotou využívá grafu k řešení rovnic a nerovnic člení úlohu a provádí syntézu závěru
Absolutní hodnota , rovnice porovnání početního a a nerovnice s absolutní grafického řešení, ověřování hodnotou správnosti Grafy funkcí lineárních a kvadratických s absolutní hodnotou
načrtne graf funkce y
odhaduje chování funkce pro velká x aplikuje základní transformace grafu funkcí
Lineární lomená funkce
= ax+b, y = ax2 +bx+c formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce rozlišuje ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic a nerovnic využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích a nerovnicích
= , formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce načrtne graf funkce y n
= x , nÎ Z formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic a nerovnic, při určování kvantitativních vztahů
s
parametry, jednodušší typy
asymptotické pojem nekonečno
chování,
rozezná sudou a lichou Mocninné funkce s funkci celočíselným mocnitelem , vysvětlí vztah inverzní funkce inverzních funkcí a využívá jejich vlastností
4 z 14
geometricky znázorňuje řešení rovnic a nerovnic interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích
5 z 14
2. ROČNÍK
výstupy RVP GV – žák:
výstupy ŠVP - žák: výstupy ŠVP - žák: Učivo: (základní) (základní úroveň) (rozšiřující úroveň)
určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v rovině, na základě vlastností třídí útvary využívá náčrt při řešení planimetrických problémů
užívá symbolický jazyk geometrie
řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím množin bodů dané vlastnosti
ověřuje Konstrukční řešení úlohy, úlohy řešené diskutuje množinami bodů řešitelnost úlohy
dokazuje a vyvrací rovnost množin bodů
Množiny bodů daných vlastností (základní)
Souvislosti:
Tečnové a Opakování tětivové ze ZŠ, čtyřúhelníky sjednocení značení a zápisů
Složitější úlohy, argumentace
teorie množin software
Úhly v kružnici, výpočet a konstrukce
řeší planimetrické úlohy motivované praxí řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí konstrukce délek úseček daných výrazem pracuje s iracionálními čísly
Základní planimetrické pojmy: úhly, trojúhelníky, čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, kružnice
Učivo: (rozšiřující)
diskutuje Náročnější řešitelnost úlohy úlohy v závislosti na vstupních parametrech
Euklidovy věty
graficky znázorní iracionální čísla ověřuje řešení úlohy
Konstrukční úlohy řešené výpočtem
řeší pravoúhlý trojúhelník v aplikovaných úlohách
Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku
aplikace početní i konstrukční diskutuje Náročnější řešitelnost úlohy úlohy v závislosti na vstupních parametrech
Pythagorova věta, Euklidovy věty, podobnost
fyzika – mechanika zeměpissouřadnice
převádí míry Orientovaný úhlů úhel, oblouková míra načrtne grafy goniometrických funkcí formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkce využívá poznatky o funkcích k řešení rovnic, při určování
využívá efektivně kalkulátor a matematický software aplikuje transformace grafů funkcí korektně zapisuje
Goniometrické funkce, definice, hodnoty, vlastnosti, grafy, transformace grafů
umí zpaměti základní goniometrické vzorce řeší rovnice a nerovnice aplikací vzorců dokazuje rovnost goniometrických
kalkulačky, software, fyzika mechanika
6 z 14
kvantitativních vztahů geometricky znázorňuje řešení rovnic modeluje závislosti reálných dějů pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích, rovnicích, nerovnicích v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravu výrazů
množiny kořenů rovnic
využívá náčrt při řešení planimetrického problému v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy a trigonometrii
umí zpaměti základní vzorce pro výpočet obsahu a obvodu
Výpočet obsahů a obvodů rovinných útvarů
určuje geometrické pojmy využívá náčrt při řešení geometrického problému
rozlišuje vektorové a skalární veličiny provádí operace s vektory
Vektory v rovině , souřadnice, sčítání, násobení reálným číslem, skalární součin Rozklad vektoru na složky
výrazů aplikací vzorců
Goniometrické vzorce
Rovnice řešené aplikací vzorců, goniometrické nerovnice
Goniometrické rovnice (základní)
Sinová a kosinová věta
využívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině, využívá geometrický význam koeficientů řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině využívá charakteristických vlastností kuželoseček k analytickému vyjádření z analytického
Vztahy mezi funkcemi Sinus a kosinus dvojnásobného úhlu
zdůvodňuje a aplikuje vlastnosti kuželoseček užívá středovou a obecnou
zdůvodňuje správnost vzorců pro výpočet obsahu
přehled vzorců pro plochu trojúhelníku
fyzika – vektorové veličiny
Analytické vyjádření přímky v rovině Polohové a metrické úlohy v rovině
užívá metody Analytická analytické metoda řešení geometrie k úloh řešení problémů
Kuželosečky , definice, vlastnosti, analytické vyjádření Vzájemná poloha přímky a
užívá středovou a obecnou rovnicí kuželoseček užívá analytickou metodu k
Vyšetřování aplikace množin bodů technické, analytickou umělecké metodou
7 z 14
vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o kuželosečce řeší analyticky úlohy o vzájemné poloze přímky a kuželosečky (diskusí znaménka diskriminantu) rozlišuje analytické vyjádření útvaru od zadání funkce předpisem využívá náčrt při řešení geometrického problému řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy pomocí zobrazení řeší geometrické úlohy motivované praxí
rovnicí kružnice
kuželosečky
Shodná zobrazení rovině (posunutí) Podobná zobrazení stejnolehlost
vyšetřování množin bodů dané vlastnosti a k řešení aplikačních úloh ověřuje řešení problému
v
,
Konstrukční úlohy řešené pomocí zobrazení volí efektivní metodu řešení problému ověřuje a obhajuje řešení problému
Smíšené úlohy řešení z planimetrie analytickou i syntetickou metodou
8 z 14
3.ROČNÍIK
výstupy RVP GV – žák: načrtne graf funkce y = ax , y = loga x formuluje a zdůvodňuje vlastnosti funkcí využívá vlastnosti funkcí při řešení rovnic a nerovnic aplikuje vztahy mezi hodnotami exponenciálních a logaritmických funkcí a vztahy mezi těmito funkcemi modeluje závislosti pomocí funkcí řeší aplikační úlohy s využitím poznatků o funkcích
určuje geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v prostoru zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol a jehlan
výstupy ŠVP - žák: (základní úroveň) využívá vlastností inverzních funkcí ověřuje řešení rovnic a nerovnic
Učivo: (základní)
výstupy ŠVP - žák: (rozšiřující úroveň)
Exponenciální a logaritmické funkce, rovnice, nerovnice Vlastnosti logaritmů Přirozený logaritmus Aplikace
Učivo: (rozšiřující)
Souvislosti:
Složitější rovnice Nerovnice
kalkulátor, software fyzika – modelování rozpadu biologie – modelování růstu
Příčky mimoběžek, náročnější úlohy
rovnoběžnost vzájemná poloha tří rovin a řešení soustavy lin rovnic o 3 neznámých
Základní stereometrické pojmy, volné rovnoběžné promítání
určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů v prostoru využívá náčrt při řešení problému sestrojí a zobrazí rovinný řez hranolu a jehlanu nebo jejich průnik s přímkou
Vzájemné polohy přímek a rovin v prostoru, řezy
využívá náčrt při řešení problému určuje vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru v úlohách početní
Metrické úlohy v prostoru , vzdálenosti, odchylky
rozlišuje mezi definicí a kriteriem rovnoběžnosti a kolmosti analyzuje a řeší komplexní stereometrické problémy metrické a polohové ověřuje řešení problému
kolmost, kriteria
9 z 14
geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické problémy motivované praxí aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii řeší stereometrické problémy motivované praxí, aplikuje poznatky z planimetrie ve stereometrii
aplikuje vzorce pro objemy a povrchy těles efektivně využívá kalkulátor
Tělesa, objemy, povrchy Eulerova věta
provádí operace s vektory vysvětlí geometrický význam operací
Souřadná soustava prostoru Vektory, operace vektory
určuje vzájemnou polohu, vzdálenosti a odchylky lineárních útvarů v prostoru analytickou metodou užívá analytické metody k řešení komplexních úloh v prostoru užívá analogie mezi kružnicí a kulovou plochou volí syntetickou nebo analytickou metodu řešení problému a kriticky hodnotí jejich výhody a nevýhody
Analytické vyjádření přímky v prostoru
dokazuje jednoduchá tvrzení matematickou indukcí
Matematická indukce
v
s
Analytické vyjádření roviny prostoru
Řešitelnost soustavy lin. rovnic o třech neznámých
Polohové a metrické úlohy analytickou metodou Analytické vyjádření kulové plochy Smíšené Porovnání metod úlohy ze stereometrie
10 z 14
řeší reálné problémy s kombinatorickým podtextem (charakterizuje možné případy, vytváří model pomocí kombinatorických skupin a určuje jejich počet) upravuje výrazy s faktoriály a kombinačními čísly
řeší rovnice s Faktoriály a faktoriály a kombinační čísla kombinačními čísly
upravuje efektivně číselné výrazy a výrazy s proměnnými
čte a zapisuje výrazy s indexy a sumou
využívá kombinatorické postupy při výpočtu pravděpodobnosti
Kombinatorika, základní pojmy a úvahy Kombinace, variace, permutace opakování Variace opakováním
pravidlo souč a součtu
Kombinace, slovní úlohy permutace s opakováním
bez s
formuluje a ověřuje vlastnosti kombinačních čísel a faktoriálů
Důkazy vlastností kombinačních čísel
Binomická věta
Základní pojmy pravděpodobnosti, definice
rozlišuje klasickou a statistickou definici pravděpodobnosti
Pravděpodobnost sjednocení, průniku, doplňku jevů
užívá analogii mezi množinovými operacemi a výpočtem pravděpodobnosti
množinové pojetí pravděpodobnosti
11 z 14
4. ROČNÍK výstupy RVP GV – žák:
výstupy ŠVP - žák: (základní úroveň)
užívá diskutuje a kriticky symbolický zhodnotí jazyk statistické matematiky pracuje s informace a indexy daná statistická sdělení vytváří a vyhodnocuje závěry a předpovědi na základě dat volí a využívá vhodné statistické metody k analýze a využívá software zpracování dat
Učivo: (základní) Základní statistické pojmy, třídění dat, charakteristiky polohy
výstupy ŠVP - žák: Učivo: (rozšiřující úroveň) (rozšiřující) interpretuje výsledky výpočtů, porovnává soubory na základě charakteristik
Souvislosti:
Charakteristiky variability , další charakteristiky
interpretuje závislost dat Dvourozměrné soubory, korelace software Podrobnější grafické Grafické zpracování zpracování dat, tabulky, diagramy
reprezentuje graficky soubory dat, čte a interpretuje tabulky, diagramy a graf, rozlišuje rozdíly v zobrazení obdobných souborů vzhledem k odlišným charakteristikám formuluje a zdůvodňuje vlastnosti posloupností modeluje závislosti posloupnostmi řeší aplikační úlohy využitím poznatků o posloupnostech interpretuje z funkčního hlediska složené úrokování, aplikuje exponenciální funkci a geometrickou posloupnost ve finanční matematice
užívá správně vzorec pro n-tý člen a rekurentní zadání posloupnosti
Posloupnosti, definice, vlastnosti, grafy, rekurentní zadání
aplikační úlohy
Aritmetická posloupnost
Geometrická posloupnost
Aplikace, finanční matematika
jednoduché a složené úrokování
12 z 14
odhaduje a Limita zdůvodňuje posloupnosti chování posloupností pro velká n používá symbolický jazyk matematiky diskutuje konvergenci a divergenci posloupností a určuje limity
užívá správně logické spojky a kvantifikátory, objasní stavbu matematické věty
rozlišuje předpoklad, závěr a důsledek tvrzení formuluje obrácenou a obměněnou implikací rozlišuje mezi obecným důkazem a ověřením jednotlivého případu užívá základní důkazové metody
Logika, práce s výroky, důkazové metody
užívá symbolický zápis řady diskutuje konvergenci a divergenci řady a určuje součet řady řeší aplikační úlohy
Nekonečná řada , aplikace
formuluje a užívá základní pojmy diferenciálního počtu užívá a zdůvodňuje význam derivace pro průběh funkce derivuje elementární a složené funkce řeší aplikační úlohy pomocí diferenciálního počtu vyšetřuje průběh funkcí
Základní pojmy diferenciálního počtu
určuje pravdivostní hodnotu složených výroků a neguje je dokazuje základní matematické věty gymnaziální matematiky
Složitější úlohy
práce s nekonečnem
nekonečně velké a nekonečně malé veličiny
Limita funkce Asymptota ke grafu funkce Derivace funkce fyzika – a její význam vztahy mezi veličinami Extrémy funkce Druhá derivace Vyšetřování průběhu funkce
13 z 14
k důkazu jednoduchého matematického tvrzení vyvrací jednoduchá matematická tvrzení, uvádí protipříklady formuluje a užívá základní vlastnosti dělitelnosti přirozených čísel pracuje s iracionálními a reálnými čísly
užívá symbolické Teorie čísel zápisy číselných oborů dokazuje věty o dělitelnosti
zapisuje komplexní čísla v algebraickém i goniometrickém tvaru provádí operace s komplexními čísly znázorňuje komplexní čísla v Gaussově rovině
řeší kvadratické rovnice v C početně i graficky řeší binomické rovnice v C řeší jednodušší rovnice vyšších stupňů v C
Komplexní čísla Algebraický a goniometrický tvar Operace s kompl.čísly Moivreova věta význam vícenásobných kořenů pro průběh Řešení rovnic v polynomické komplexním funkce oboru Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty Binomické rovnice Rovnice vyšších stupňů
14 z 14
