Stochastické finanční modely Otázky: A1. Wienerův proces A2. Stochastický integrál A3. Lineární stochastické diferenciální rovnice A4. Stochastický diferenciál A5. Difúzní procesy B1. B2. B3. B4. B5. B6.
Black-Scholesova formule Replikační portfolio Cena rizika Kontrakty s výplatou v cizí měně Difúzní model okamžité úrokové intenzity Deflátory
Odkazy na literaturu: [PM] P. Mandl: Pravděpodobnostní dynamické modely. Academia, Praha, 1985 [PREPR] P. Mandl: Preprint FAP012 [BR] M. Baxter, A. Rennie: Financial Calculus. Cambridge University Press, Cambridge, 1996 Poznámka: V textu jsou přehozeno pořadí otázek A3 a A4 - především kvůli návaznosti problematiky.
1
A1. Wienerův proces - také bílý šum - objasňuje se na Brownově pohybu molekul. Síla F působící na molekuly jako náhodná veličina má charakter bílého šumu. Jde o proces, jehož hodnoty jsou nezávislé náhodné veličiny měnící se s vysokou frekvencí. t
Bílý šum si lze představit jako
∫ F ds , t ≥ 0 , přitom s
0
t ′′
1)
∫ F ds s
mají nulovou střední hodnotu (nárazy pro kladný i záporný směr jsou rovnocenné)
t′
2) přírůstky na vzájemně disjunktních intervalech jsou nezávislé, jejich rozložení je invariantní vůči posunu času 3) Integrál je spojitou funkcí t Náhodný proces mající vlastnosti integrálu bílého šumu nazýváme Wienerovým procesem. Definice: Wienerův proces je náhodný proces {Wt ; t ≥ 0} splňující: 1) Pro t ≥ 0 , s > 0 mají přírůstky Wt + s − Wt normální rozdělení s nulovou střední hodnotou s rozptylem b ⋅ s , kde b je kladná konstanta. 2) Pro libovolné časy 0 ≤ t1 < t 2 < K < t n jsou přírůstky Wt 2 − Wt1 , Wt3 − Wt 2 , … vzájemně nezávislé náhodné veličiny. 3) W má spojité trajektorie. Obvykle se předpokládá, že b = 1 a W0 = 0 . Vlastnosti 1) a 2) pak znamenají, že pro 0 ≤ t1 < t 2 < K < t n má Wt1 ,…, Wt n hustotu sdruženého rozložení pravděpodobností ( x 2 − x1 ) 2
x12
f t1 ,K,tn ( x1 , K, x n ) =
( xn − x n −1 ) 2
− − − 1 1 1 ⋅ e 2t1 ⋅ ⋅ e 2(t 2 −t1 ) ⋅ K ⋅ ⋅ e 2(tn −tn −1 ) 2πt1 2π (t 2 − t1 ) 2π (t n − t n −1 )
f t1 ,K,tn ( x1 ,K, x n ) je hustota n-rozměrného normálního rozdělení, W je gaussovským procesem se střední hodnotou 0 a kovarianční funkcí pro 0 ≤ s ≤ t : EWsWt = E (Wt − Ws ) ⋅ (Ws − 0) + EWs2 = E (Wt − Ws ) ⋅ (Ws − W0 ) + EWs2 = = E (Wt − Ws ) ⋅ EWs + EWs2 = E (Wt − Ws ) ⋅ 0 + s = s = min( s , t ) (Využili jsme nezávislosti přírůstků a jejich nulové střední hodnoty a vlastnosti 1), která říká, že EWs2 = s . Wienerův proces má velmi oscilující trajektorii. Tvrzení: Nechť t > 0 . Označme pro n = 1, 2,K , n − 1 : ∆W jt / n = W( j +1)t / n − W jt / n Označme nξ = ∑ (∆W jt / n ) 2 . j
Platí: l.i.m. ξ = t (limita v kvadratickém středu - viz dále) n
n→∞
Důkaz: ∆W jt / n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením N (0, t / n) .
2
Proto E nξ = ∑ E (∆W jt / n ) 2 = n ⋅ j
t =t n
Vypočtěme rozptyl nξ (s ohledem na nezávislost (∆W jt / n ) 2 ): t t E ( nξ − t ) 2 = E (∑ ((∆W jt / n ) 2 − )) 2 = ∑ E ((∆W jt / n ) 2 − ) 2 = n n j j t t t 2t 2 = ∑ ( E (∆W jt / n ) 4 − ( ) 2 ) = n ⋅ (3 ⋅ ( ) 2 − ( ) 2 ) = n n n n j t (Pozn.: Vztah E (∆W jt / n ) 4 = 3 ⋅ ( ) 2 plyne z vlastností normálního rozdělení s nulovou střední n hodnotou. V takovém případě 4. moment rovný trojnásobku kvadrátu rozptylu. Navíc 4. moment se díky nulové střední hodnotě rovné střední hodnotě 4. mocnin. Důkaz se najde asi v každé elementární učebnici teorie pravděpodobnosti.) Pro n → ∞ jde tedy E ( n ξ − t 2 ) k nule, tzn. limita podle kvadratických středů je t. Předchozí tvrzení vyjadřujeme slovy: W má na intervalu délky t kvadratickou variaci rovnou t. Variace prvního řádu je přitom nekonečná, jak plyne z nerovnosti n ξ ≤ max ∆W jt / n ∑ ∆W jt / n j
Pravá strana této nerovnosti pro spojitou trajektorii s ohraničenou trajektorií konverguje k 0. To s ohledem na předchozí tvrzení říká, že jde o jev s nulovou pravděpodobností.
Dynamika ve Wienerově procesu Wienerův proces se může definovat i ve vztahu k dynamice systému. ~ Mějme neklesající posloupnost jevových polí Ft , t ≥ 0 . Tuto posloupnost chápeme tak, že zaznamenáváme všechny hodnoty, jichž náhodná veličina nabyla do času t .
{
}
Definice: Za Wienerův proces vzhledem k neklesající posloupnosti jevových polí ~ Ft , t ≥ 0 označujeme proces, pro který platí: 1) Pro t ≥ 0 , s > 0 mají přírůstky Wt + s − Wt normální rozdělení s nulovou střední hodnotou
{
}
s rozptylem s 2 . ~ ~ 2) Pro t ≥ 0 je Wt na základě Ft známa a pro u > t je Wu − Wt nezávislé na Ft . 3) W má spojité trajektorie. r-rozměrný Wienerův proces definujeme jako r-rozměrný (sloupcový) vektor Wt = (Wt1 ,K, Wt r )′ , kde složky vektoru tvoří r vzájemně nezávislých Wienerových procesů.
3
A2. Stochastický integrál Pro modelování cen akcií se často používá model dS t = S t ⋅ ( µ t ⋅ dt + σ t ⋅ dWt ) , kde µ t je označováno jako posun (drift) - má význam deterministického (trendového) růstu - a σ t je volatilita, která do růstu vnáší prvek nejistoty. Tento vztah nás vede k potřebě umět řešit takové diferenciální rovnice zahrnující v sobě bílý šum. K tomu budeme potřebovat zavést pojem integrálu s bílým šumem - tedy stochastický integrál. Výsledkem stochastického integrování je náhodná veličina „zašuměná“ Wienerovým procesem. Budeme pracovat podobně jako při odvozování deterministických integrálů (limita integrálních součtů). Vzhledem k tomu, že Wienerův proces je velmi oscilující, nebudeme moci použít beze změny deterministický přístup (na dostatečně krátkém intervalu je funkce „skoro“ lineární). Stochastickým integrálům se podrobně věnuje kniha [PM], ke zkoušce potřebuje pouze část výkladu. Na přednášce se popisovaly dva důležité integrály. t
Pro spojitou funkci ϕ (s ) hledáme stochastický integrál ∫ ϕ ( s )dWs 0
Postupujeme jako v deterministickém případu - rozdělíme interval: 0 = s 0 < s1 < K < s n = t n −1
Počítáme integrální součet I = ∑ ϕ ( s j )(Ws j +1 − Ws j ) j =0
Platí: EI = 0 (nezávislé přírůstky vynásobené konstantou, přírůstky s nulovou střední hodnotou) VarI = E ∑ ϕ (s j ) 2 (Ws j +1 − Ws j ) 2 = ∑ ϕ (s j ) 2 (s j +1 − s j ) (součet variací nezávislých j j náhodných veličin, přitom variace přírůstku Wienerova procesu je rovna délce intervalu). Dále se uvádí bez důkazu (je v knize): t
Protože max (s j +1 − s j ) → 0 , konverguje I → ∫ ϕ (s )dWs podle kvadratických středů. j
0
Víme tedy: t
t
t
E ∫ ϕ ( s )dWs = 0 , E ( ∫ ϕ ( s )dWs ) = E ∫ ϕ ( s ) 2 ds 2
0
0
0
(u rozptylu je na pravé straně střední hodnota formální - jde o integrál deterministické funkce; při integrování náhodné funkce má střední hodnota ve výrazu své místo) t
t
0
0
2 ∫ ϕ ( s)dWs ≈ N (0, ∫ ϕ ( s) ds) (součet nezávislých násobků N (0,1) by měl mít normální
rozdělení) Konstrukce integrálu je pak zakončena tím, že se přejde k I definovanému s hodnotami t
θ (ζ j ) ležícími uvnitř intervalu [s j , s j +1 ] a opět se dojde k tomu, že I → ∫ θ ( s )dWs . 0
4
t
Druhým důležitým integrálem je ∫ Ws dWs . 0
Zde je situace komplikovanější: Postupujeme opět cestou integrálních součtů: n −1 n −1 1 2 1 1 2 1 n−1 I = ∑ Wtj / n ⋅ (Wt ( j +1) / n − Wtj / n ) = ∑ Wtj / n ⋅ ∆Wtj / n = Wt − ∑ (∆Wtj / n ) 2 → Wt − t 2 2 2 2 j =0 j =0 j =0 t (poslední suma se blíží n -krát rozptylu Wienerova procesu na intervalu délky ) n Ukažme si podrobněji použitou úpravu sumy - pro zkrácení zápisu použijeme označení W( j ) = Wtj / n : n −1 1 1 n 1 n −1 1 1 n −1 2 2 2 2 W( n ) − ∑ (∆W( j ) ) 2 = W( n ) − ∑ W( j ) + ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) = 2 2 j =1 2 j =0 2 2 j =0 j =0 n −1 1 1 n 1 1 n −1 2 2 2 2 = ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) − ( W(0 ) + ∑ W( j ) − W( n ) ) = 2 2 j =1 2 2 j =0 j =0 n −1 n −1 n −1 n −1 n −1 1 1 2 2 2 = ∑ W( j )W( j +1) − ∑ W( j ) − ∑ W( j ) = ∑ (W( j )W( j +1) − W( j ) ) = ∑ W( j ) (W( j +1) − W( j ) ) 2 j=0 2 j =0 j =0 j =0 j =0 (Použili jsme také toho, že 0 = W0 = W0⋅t / n = W(0) )
Na druhou stranu ale můžeme použít jiný integrální součet: n −1 1 2 1 n −1 1 2 1 J = ∑ Wt ( j +1) / n ⋅ ∆Wtj / n = Wt + ∑ (∆Wtj / n ) 2 → Wt + t 2 2 j =0 2 2 j =0 Z toho ovšem vyplývá, že pro řešení stochastických diferenciálních rovnic bude nutné použít jiné mechanismy. Z Itôova kalkulu plyne, že správně jde na věc integrální součet I. Podrobněji konstrukci popisuje [PM].
5
A4. Stochastický diferenciál Zaveďme si pro neklesající soustavu jevových polí pojem neanticipativní náhodné funkce (v [BR] se uvádí tato vlastnost jako „previsible“). Mějme W = {Wt , t ≥ 0} Wienerův proces vzhledem k neklesající soustavě jevových polí F = {Ft , t ≥ 0}. O náhodné funkci Y = {Yt , t ≥ 0} řekneme, že je neanticipativní vzhledem k F , pokud platí, že pro t ≥ 0 je hodnota Yt určena pouze jevy, které nastaly do času t . Taková funkce je náhodná, protože její hodnota je proměnlivá s tím, jakou trajektorií se ubíral podkladový proces. Pokud už ale historii známe, umíme tuto hodnotu určit. 1 Jako příklad (naprosto umělý) může sloužit Yt = (Wmax( 0,t −1) + Wt ) 2 Neanticipativní funkce se používají např. při konstrukci samofinancujících portfolií - např. při odvozování Black-Scholesovy formule (viz) jsou veličiny θ t a ψ t neanticipativními. Upozorníme na to, že neanticipativita je vždy vázána na neklesající soustavu jevových polí. Stochastický diferenciál se definuje pomocí stochastického integrálu: Definice: Nechť W = {Wt , t ≥ 0} je Wienerův proces vzhledem k neklesající soustavě jevových polí F = {Ft , t ≥ 0}. Nechť A = {At , t ≥ 0} a B = {Bt , t ≥ 0} jsou neanticipativní procesy splňující T
∫ 0
T
2 As ds < ∞ a ∫ Bs ds < ∞ . 0
Potom řekneme, že náhodný proces X = {X t , t ≥ 0} má stochastický diferenciál dX t = At dt + Bt dWt , t ∈ [0, T ] , když platí: t
t
0
0
X t = X 0 + ∫ As ds + ∫ Bs dWs , t ∈ [0, T ] . Jak plyne z definice, proces, který má stochastický diferenciál, je neanticipativní. Pro diferenciální diferenciály platí zásadní Itôova formule, která upravuje „diferenciální“ aritmetiku. K ní se dostaneme přes toto tvrzení: Věta: Nechť X je proces se stochastickým diferenciálem dX t = µdt + σdWt . Nechť f je (deterministická) funkce se spojitou 2. derivací. Označme Yt = f ( X t ) . Pak Yt má stochastický diferenciál 1 dYt = σf ′( X t )dWt + ( µf ′( X t ) + σ 2 f ′′( X t ))dt 2 Odvození tvrzení vychází z Taylorova rozvoje: 1 Yt + h − Yt = f ′( X t )( X t + h − X t ) + f ′′( X t )( X t + h − X t ) + K = 2 1 = f ′( X t )(µh + σ (Wt + h − Wt )) + f ′′( X t )( µ 2 h 2 + 2 µ σh(Wt + h − Wt ) + σ 2 (Wt + h − Wt ) 2 ) + K 2 6
n −1
t
n→ ∞ j = 0
0
Při použití l.i.m. ∑ ∆W jt2 / n = t = ∫ ds a při zanedbání členů řádu o(h) vyjde pro h → 0+ dostaneme dokazované tvrzení. Poznámka: Pokud f ( x) = e x , pak Itôova formule dá následující (velmi známý) vztah: 1 de X t = X t ( µ t + σ t2 )dt + X t σ t2 dWt 2 Poznámka: Při násobení diferenciálů se používají následující pravidla: (dt ) 2 = 0 , dt ⋅ dWt = 0 , (dWt ) 2 = dt Pro vícerozměrný Wienerův proces a pro k ≠ l platí: dWt k ⋅ dWt l = 0 Tento poslední vztah si dokážeme: n −1 t E (∑ ∆W jtk / n ⋅ ∆W jtl / n ) 2 = n ⋅ ( ) 2 → 0 n j=0 Konečně si uveďme vlastní Itôovo lemma, k jehož odvození jsme si řekli to nejdůležitější v předchozím: Tvrzení: Nechť náhodné procesy X ti , t ∈ [0, T ] , i = 1,K, m mají stochastický diferenciály, nechť
{
}
∂2 f ∂f ∂f funkce f (t , x1 ,K , x m ) má spojité derivace f& = , fi = , f ij = . ∂xi ∂x j ∂t ∂x i Potom Yt = f (t , X t1 , K, X tm ) , t ∈ [0, T ] má stochastický diferenciál m
m
1 dYt = f& ⋅ dt + ∑ f i ⋅ dX ti + ∑ f ij ⋅ dX ti ⋅ dX t j , t ∈ [0, T ] . 2 i , j =1 i =1
7
A3. Lineární stochastické diferenciální rovnice Nejdříve si zopakujeme, jak řešíme soustavy obyčejných diferenciálních rovnic: Mějme matici a(t ) = a ij norma matice ( a =
T
n
splňující technickou podmínku
i , j =1
(∑ a ) 2
∫ a(t ) ⋅ dt < ∞ , kde
a(t ) je
0
¨1
2
ij
).
′ Nechť z (t ) = z 1 (t ),K, z n (t ) je vektorová funkce splňující technickou podmínku
(
)
T
∫ z (t ) ⋅ dt < ∞ . 0
Nechť y je počáteční vektor.
′ Nechť x(t ) = x 1 (t ), K, x n (t ) označuje vektorovou funkci. Řešme rovnici d x = a (t ) x + z (t ), z (0) = y . dt Tuto rovnici chápeme jako integrální rovnici
(
)
t
t
0
0
x(t ) = y + ∫ a (s ) ⋅ x ( s ) ⋅ ds + ∫ z (s ) ⋅ ds, t ∈ [0, T ] Pro řešení zavedeme pojem fundamentální matice F (t ) = f ij (t )
n i , j =1
, která je řešením rovnic
d F = a (t ) F , F (0) = I . dt Řešením naší soustavy diferenciálních rovnic je t x(t ) = F (t ) y + ∫ F ( s ) −1 ⋅ z ( s ) ⋅ ds , t ∈ [0, T ] 0 Skutečnost, že jde o řešení, lze ověřit derivováním. Nyní přejdeme k stochastickým diferenciálním rovnicím. Uvažujme následující matice: ′ h(t ) = h1 (t ), K, h n (t ) , a(t ) = a ij
(
(
)
)
n i , j =1
, b(t ) = bij
n ,r i , j =1
, t ∈ [0, T ] .
(
)
Nechť Wt = Wt1 ,K , Wt r , t ∈ [0, T ] je n-rozměrný Wienerův proces a ξ = ξ 1 , K , ξ n je vektor počátečních podmínek. Pod stochastickou diferenciální rovnicí dX t = (h(t ) + a (t ) X t )dt + b(t )dWt , t ∈ [0, T ] , X 0 = ξ ′ rozumíme úlohu najít X t = X t1 ,K , X tn , t ∈ [0, T ] , které splňuje
(
)
t
t
0
0
X t = ξ + ∫ (h(s ) + a ( s ) X s )ds + ∫ b( s )dWs pro t ∈ [0, T ]
8
Tvrzení: T
Pokud
T
T
∫ h(t ) ⋅ dt < ∞ , ∫ a(t ) ⋅ dt < ∞ , ∫ b(t ) 0
0
2
⋅ dt < ∞ , pak stochastická diferenciální rovnice
0
dX t = (h(t ) + a (t ) X t )dt + b(t )dWt , t ∈ [0, T ] , X 0 = ξ má jediné řešení t
t
X t = F (t )(ξ + ∫ F ( s ) h( s )ds + ∫ F ( s ) −1 b( s )dWs ) −1
0
0
Důkaz: Podmínky na konečnost integrálů zaručují existenci integrálů ve vyjádření X t . Ověřme, že máme opravdu řešení - integrováním per partes a dosazením z definice d d fundamentální matice ( F = a(t ) F , resp. a(t ) = F ⋅ F (t ) −1 ): dt dt t t s s d −1 −1 −1 ξ ( ) F ( s ) F ( s ) F ( s )( F ( y ) h ( y ) dy F ( y ) b ( y ) dW a s X ds = ⋅ + + s y ds = ∫0 ∫0 ds ∫0 ∫0 s s d −1 = ∫ F ( s ) ⋅ (ξ + ∫ F ( y ) h( y )dy + ∫ F ( y ) −1 b( y )dW y ds = ds 0 0 0 t
t
t
t
t
0
0
= F (s ) − ∫ F ( s ) F (s )h( s )ds − ∫ F (s ) F (s )b(s )dWs = X t − ξ − ∫ h( s )ds − ∫ b( s )dWs t 0
−1
0
−1
0
Po úpravě převedením na příslušné strany dostaneme t
t
0
0
X t = ξ + ∫ (h(s ) + a ( s ) X s )ds + ∫ b( s )dWs , tzn. X t je hledaným řešením stochastické diferenciální rovnice.
~ Jednoznačnost se dokáže tak, že předpokládáme, že existuje další řešení X t . Pak musí platit: t ~ ~ X t − X t = ∫ a( s )( X s − X s )ds 0
To je s pravděpodobností 1 lineární homogenní soustava obyčejných lineárních rovnic ~ s počáteční podmínkou X 0 − X 0 = 0 . Té vyhovuje pouze nulové řešení, proto ~ X t = X t , t ∈ [0, T ] .
Z předchozího tvrzení je možné odvodit momenty X t . Označíme e(t ) = EX t , r ( z , t ) = E ( X z − e( z ))( X t − e(t ))′ , r (t , t ) = q(t ) , t ∈ [0, T ] . Předpokládejme, že E ξ 1 < ∞ . Potom platí: d e = a (t )e + h(t ) , t ∈ [0, T ] , e(0) = E (ξ ) dt d r = a ( z )r , z ∈ [t , T ] dz d q = a (t )q + qa ′(t ) + b(t )b ′(t ) , t ∈ [0, T ] dt
9
q(0) = E (ξ − Eξ ))(ξ − Eξ ))′ Důkazy jsou opět v [PM] a na zkoušku se nepožadují.
10
A5. Difúzní procesy ′ Nechť a(t , x) = a1 (t , x), K, a n (t , x ) , b(t , x) = bij
(
lokálně integrovatelné.
)
n
r
i =1, j =1
, t ∈ [0, T ] jsou maticové funkce,
′ Nechť W = (Wt1 ,K, Wt r , t ∈ [0, T ] je r-rozměrný Wienerův proces vzhledem k neklesající soustavě jevových polí F = {Ft , t ∈ [0, T ]} ′ Pak náhodný proces X = X t = ( X t1 ,K, X tn , t ∈ [0, T ] nazveme difúzním procesem, pokud má stochastický diferenciál dX t = a (t , X t )dt + b(t , X t )dWt , t ∈ [0, T ] . V [PREP] není k difúzním procesům nic dalšího uvedeno, pouze odkaz na příklad (otázky řady B).
{
}
{
}
11
Doplňkové informace Následující pasáž se přímo nevztahuje k žádné otázce. Informace v ní uvedené pomohou při odvozování Black-Scholesova modelu i při dalších praktických aplikacích. Většinou jde o tvrzení bez důkazů.
Postup odvození v modelech Všechny postupy vykládané v [BR] jsou postaveny na následujících třech krocích: 1. Ke stochastickému procesu se nalezne míra Q , pro kterou je náhodná veličina cena akcie S t martingalem. 2. Vytvoří se nový proces Et = EQ ( X Ft ) , který je martingalem ( X označuje např. výplatu z opce, ale může znamenat i cokoliv jiného - třeba v případě výpočtu ceny forwardu diskontovanou cenu akcie) - proces označuje očekávanou střední hodnotu příslušné náhodné veličiny; E 0 pak označí počáteční hodnotu odpovídající tomuto procesu - např. aktuální cenu opce). To, že jde o martingal, ukážeme níže. 3. Využije se toho, že cena akcie i nový proces jsou martingalu pod stejnou pravděpodobnostní mírou. Pak je možné najít neanticipativní proces φ t takový, že dEt = φ t dS t Definice: Proces X = ( X t , t ≥ 0) nazýváme stochastickým procesem, jestliže platí t
t
0
0
X t = X 0 + ∫ σ s dWs + ∫ µ s ds , kde σ a µ jsou neanticipativní procesy vzhledem k neklesající t
soustavě jevových polí F takové, že ∫ (σ s2 + µ s )ds je konečné s pravděpodobností 1. 0
Poznámka: Stochastický diferenciál stochastického procesu lze psát dX t = σ t dWt + µ t dt Definice: O stochastickém procesu M t řekneme, že je martingalem vzhledem k pravděpodobnostní míře P , pokud platí: i) E P ( M t ) < ∞ , ∀t ii) E P (M t Fs ) = M s pro s ≤ t Brownův pohyb je martingalem: E P (Wt Fs ) = E P (Ws Fs ) + E P (Wt − Ws Fs ) = Ws + 0 ( Wt − Ws je nezávislé na Fs ) Velmi přirozeným martingalem je proces střední hodnoty: Tvrzení: Jestliže náhodný proces výplat X má hodnoty závislé pouze na událostech do času T (to je horizont sledování - např. čas vypořádání opce) a jestliže je splněna technická podmínka E P X < ∞ , je náhodný proces N t = E P (X Ft ) martingalem. Důkaz: Potřebujeme dokázat, že E P (N t Fs ) = E P (E P (X Ft ) Fs ) = E P (X Fs ) = N s , s ≤ t .
Hledáme střední hodnotu náhodné veličiny na intervalu 0, T , ale je pro případy, kdy máme fixovánu historii do doby t, následně navíc za podmínky, že historie je fixována dokonce do času s. To je ale totéž, jako rovnou počítat střední hodnotu s fixací historie už do času s. 12
To, že proces má normální rozdělení, je možné ověřit pomocí charakteristické funkce. Charakteristická funkce je definována jako ψ (t ) = Ee itX . Charakteristická funkce normálního 1 rozdělení N ( µ , σ 2 ) je ψ (t ) = exp(iµt − σ 2 t 2 ) . 2 Tvrzení: Pro P-Brownův pohyb Wt je X t = Wt + γt je P-martingalem, právě když γ = 0 Důkaz: Pro γ = 0 jde o Brownův pohyb, který je podle předchozího martingalem. Pokud γ ≠ 0 , pak E (X t Fs ) = E (Wt Fs ) + γt = Ws + γt´= X s + γ (t − s ) Pokud tedy γ ≠ 0 , není X t martingal, protože podmíněná pravděpodobnost není rovná okamžité hodnotě. Dále se používá Cameron-Martin-Girsanovova věta: Tvrzení: Pokud Wt je P-Brownův pohyb a γ t je neanticipativní proces vůči neklesající T
posloupnosti jevových polí F , která splňuje omezující podmínku E P exp(
1 2 γ t dt ) < ∞ , pak 2 ∫0
existuje pravděpodobnostní míra Q , pro kterou platí: i) Q je pravděpodobnostní míra ekvivalentní k P (tzn. P( A) > 0 ⇔ Q( A) > 0 ) ii) Pro Radon-Nikodymovu derivaci platí T 1T dQ = exp − ∫ γ t dWt − ∫ γ t2 dt 20 dP 0 t
~ iii) Wt = Wt + ∫ γ s ds je Q-Brownovým pohybem. 0
Jinými slovy Wt je Q-Brownovým pohybem s driftem − γ t . Radon-Nikodymova derivace je popsána dále v této kapitole. V dalším budeme používat iii): Pomocí něj budeme očišťovat Brownův pohyb o drift. Víme že existuje nějaká pravděpodobnostní míra Q, pro kterou je nový Brownův pohyb bez driftu. Platí další tvrzení (martingalová reprezentační věta): Tvrzení: Nechť M t je Q-martingalový proces, jehož volatilita σ t je s pravděpodobností 1 nenulová. Nechť N t je nějaký jiný Q-martingalový proces. Pak existuje neanticipativní T
proces φ t vzhledem k neklesající soustavě jevových polí F takový, že ∫ φ s dM s < ∞ 0
t
s pravděpodobností 1 a pro který N t = N 0 + ∫ φ s dM s . Navíc je proces φ t určen jednoznačně. 0
(Tvrzení je opět bez důkazu.) Definice: Řekneme, že portfolio Vt = φt S t + ψ t Bt je samofinancující, jestliže platí dVt = φ t dS t + ψ t dBt .
13
Lemma: Nechť Bt je proces s nulovou volatilitou a X t libovolný stochastický proces. Potom d (Bt X t ) = Bt dX t + X t dBt Důkaz: Pro stochastické diferenciály obou procesů platí: dBt = β t dt (nulová volatilita z předpokladu) dX t = σ t dWt + µ t dt Potom: 1 2 d ( Bt X t ) = d (Bt + X t ) − Bt2 − X t2 2 Pomocí Itôovy věty upravíme: 1 1 d (Bt X t ) = (Bt + X t )(dBt + dX t ) + σ t2 dt − Bt dBt − X t dX t + σ t2 dt = Bt dX t + X t dBt 2 2
(
)
Radon-Nikodymova derivace Připomeňme si, že při stanovování cen opcí i jiných finančních instrumentů se používá přechod od přirozené pravděpodobnosti P k pravděpodobnosti Q, pod kterou je popisovaný proces martingalem. Pravděpodobnostní míra Q deformuje pravděpodobnostní míru P. K popisu míry deformace je možné použít vhodně definovaného poměru měr. Používá se k tomu Radon-Nikodymova derivace, popisovaná v obecné teorii míry a integrálu. Radon-Nikodymova derivace se vztahuje na popis míry v omezeném časovém horizontu [0, T ]. Podívejme se nejdříve pro názornost na diskrétní případ popsaný následujícím diagramem (převzatým z článku Mathematical Theory of Finance autora J. Brodyho):
Chápejme diagram jako popis přirozené pravděpodobnostní míry P. Vycházíme z následující úvahy: Pokud na konci časového horizontu známe pravděpodobnost, se kterou se dostaneme do jednoho určitého koncového stavu a pokud známe i cestu, po které jsme se do tohoto stavu dostali, pak jsme schopni najít zpětně i pravděpodobnosti pro přechod z jednoho vrcholu do vrcholu následujícího. Ukažme si to na příkladu: Předpokládejme, že známe všechny hodnoty ρ i . Jak vypočteme p 2 a p3 a pravděpodobnosti, že dojdeme do vrcholů o úroveň před horizontem? p 2 vypočteme ze soustavy: ρ1 = p1 p 2 ρ 2 = p1 (1 − p 2 ) ρ1 Řešením je p 2 = a pravděpodobnost, že se dostaneme do příslušného předchozího ρ1 + ρ 2 vrcholu je p1 = ρ1 + ρ 2 . Analogicky postupujeme pro ostatní vrcholy.
14
Nyní si představme situaci, kdy máme jinou pravděpodobnostní míru Q na tomtéž stromu. Pokud bychom věděli na „nejpravější“ vrstvě, jaký je poměr mezi ρ i pro míru Q a pro míru P ρ iQ platný pro tuto vrstvu ( P ), uměli bychom dopočítat už všechny Q-pravděpodobnosti na ρi předchozích vrstvách. Jak? Z poměru bychom dopočetli Q-pravděpodobnosti na nejpravější vrstvě a pak už bychom se analogicky jako v případě P vraceli vždy o vrstvu doleva. Navíc: pro každou předchozí vrstvu bychom si mohli spočítat poměr Q- a P-pravděpodobností. V tuto chvíli si můžeme říct, že náš poměr je něčím, čemu odpovídá ve spojitém případě Radon-Nikodymova derivace. V [BR] se popisuje Radon-Nikodymova derivace takto: Rozdělíme si [0, T ] na n intervalů a určíme pro P a Q hustoty f t0P,K,t n ( x1 ,K , x n ) a f t0Q,K,t n ( x1 , K , x n ) . Uvažujeme poměr
f t0Q,K,t n ( x1 ,K, x n ) f t0P,K,t n ( x1 ,K, x n )
. Tento poměr s jemnějším dělením
konverguje k náhodné veličině, nazývané Radon-Nikodymova derivace Q vzhledem k P, dQ . Jde o náhodnou veličinu, neboť její hodnota závisí na tom, jakou kterou označíme dP trajektorii hlavní proces vykoná. Pokud trajektorii známe, můžeme určit tuto hodnotu. Zatím jsme uvažovali hodnotu RN derivace v čase T. Můžeme ji ale rozšířit na hodnoty t ∈ [0, T ] . V [BR] se označuje tato hodnota ζ t . dQ ~ Často se používá vztah ζ t = E P Ft . dP Pokusme se najít představu, proč tento vztah funguje. f t0Q,K,t k ( x1 ,K , x k ) K ζ t je možné konvergovat pomocí P . f t0 ,K,t k ( x1 , K , x k ) dQ ~ Pokud chceme počítat ζ t = E P Ft , pak počítáme integrál součinu P-pravděpodobností dP dQ (od času t; pravděpodobnost výskytu události) a koncových hodnot (koncových = v čase dP T): f t0Q,K,tk ,tk +1 ,K,t n ( x1 ,K , x k , x k +1 ,K, x n ) P ∫∫∫ f tk +1 ,K,tn ( xk +1 ,K, xn ) ⋅ f t P,K,t ,t ,K,t ( x1 ,K, xk , xk +1 ,K, xn ) = k k +1 n 0 = ∫∫∫ f t k +1 ,K,tn ( x k +1 ,K , x n ) ⋅ P
= ∫∫∫
f t0Q,K,t k ( x1 , K, x k ) f t kQ+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n ) f t0P,K,t k ( x1 , K, x k ) f t kP+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n )
f t0Q,K,tk ( x1 ,K , x k ) f tkQ+1 ,K,t n ( x k +1 ,K , x n ) f t0P,K,t k ( x1 ,K , x k )
=
=
= ζ t ∫∫∫ f t kQ+1 ,K,tn ( x k +1 ,K, x n ) = ζ t ⋅ 1 = ζ t Upozornění: Toto „odvození“ je velmi intuitivní a neobstojí jako plnohodnotný důkaz.
15
Vícenásobné integrály jsou spíše jen grafickou zkratkou, která znázorňuje, že bychom měli integrovat přes xi . Nakonec se využije toho, že v čase t je už ζ t známé a fixní a že je ho tedy možné vytknout před integrál. A úplně nakonec využijeme toho, že integrál hustoty přes celý pravděpodobnostní prostor dá 1. Použili jsme také toho, že hustotu bylo možno díky nezávislosti přírůstků (pozor - to je určité omezení, které ale v našich modelech platí) napsat jako součin dvou „podhustot“. Dalším důležitým vztahem s RN derivací je ~ ~ EQ X T Ft = E P ζ T X T Ft ζ t
{
}
{
}
Pokusme se tento vztah interpretovat: Podmíněnou Q-střední hodnotu v čase T bychom počítali jako součet součinu možných hodnot X T vynásobených pravděpodobností od času t, že náhodná veličina této hodnoty nabude. f t0Q,K,t k ( x1 , K, x k ) ~ Celou pravou stranu interpretované rovnosti lze při značení ζ t = P zapsat: f t0 ,K,t k ( x1 , K, x k ) ~ f t0Q,K,tk ,tk +1 ,K,tn ( x1 , K , x k , x k +1 , K, x n ) P XT ζt = f tk +1 ,K,tn ( x k +1 , K, x n ) ⋅ P ∫∫∫ f t0 ,K,tk ,tk +1 ,K,tn ( x1 , K , x k , x k +1 , K, x n ) P Q f t ,K,t ( x1 , K, x k ) f t0 ,K,t k ,t k +1 ,K,t n ( x1 , K , x k , x k +1 , K , x n ) XT = = ∫∫∫ f t kP+1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n ) 0Q k ⋅ P f t0 ,K,t k ( x1 , K, x k ) f t0 ,K,t k ,t k +1 ,K,t n ( x1 , K , x k , x k +1 , K , x n ) P P Q Q f t ,K,t ( x1 , K , x k ) f tk +1 ,K,tn ( x k +1 , K , x n ) f t 0 ,K,tk ( x1 , K , x k ) f tk +1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n ) = X = ∫∫∫ 0 k ⋅ T Q P P f x x f x x f x x ( , , ) ( , , ) ( , , ) K K K t 0 ,K,t k k t 0 ,K,t k k t k +1 ,K,t n k +1 n 1 1 ~ = ∫∫∫ X T ⋅ f tkQ+1 ,K,t n ( x k +1 , K , x n ) = EQ X T Ft
(
)
{
}
16
B1. Black-Scholesova formule Black-Scholesova formule je výsledkem modelu popisujícího oceňování call opcí. Vychází se z binomického modelu, na jehož základě je pak postaven i spojitý model, z něhož formule vychází.
Binomický model Mějme akcii s okamžitou cenou S , o které předpokládáme, že za časovou jednotku („tick“) změní s pravděpodobností p svoji cenu na S u = S ⋅ u a s doplňkovou pravděpodobností 1 − p na cenu S d = S ⋅ d . Předpokládá se, že d < r < u , kde r odpovídá bezrizikovému zhodnocování. Nemusí nutně platit, že d < 1 . (Značení vychází z anglického up a down.) U call opce se dohodne, že v čase T (odpovídajícím n tickům) může držitel opce koupit u emitenta akci za vypořádací („strike“) cenu K . Užitek z opce v čase vypořádání T je ( S T − K ) + (držitel koupí akcii od emitenta opce a prodá ji za aktuální cenu. Pokusíme se modelovat cenu opce po jednom ticku. Nechť dnešní cena opce je C a nechť po skoku „u“ je cena opce C u a po skoku „d“ je cena opce C d . Myšlenka: Pokusíme se zkonstruovat portfolio složené z podkladových akcií a z bezrizikových bondů, jehož hodnota bude nezávisle na vývoji akcie rovná hodnotě opce. Předpokládejme, že v portfoliu máme φ akcií a že jsme si na jejich nákup půjčili ψ peněžních jednotek. Pak pro ceny opce platí: C = φ ⋅ S −ψ Cu = φ ⋅ S ⋅ u − ψ ⋅ r Cd = φ ⋅ S ⋅ d − ψ ⋅ r Z druhých dvou rovnic vychází: C − Cd φ= u Su − Sd 1 C − Cd 1 C Sd − C d Su Su − C u = ⋅ u ψ = u r Su − Sd Su − Sd r Dnešní hodnota portfolia je pak: C − Cd 1 C Sd − C d Su 1 Sr − Sd Su − Sr = Cu + Cd C = φ ⋅ S −ψ = u S− ⋅ u = Su − Sd r Su − Sd r Su − Sd Su − Sd 1 r −d u−r 1 = Cu + Cd = (qC u + (1 − q )C d ) , u−d r r u−d r −d . kde q = u−d Z předpokladů vyplývá, že 0 < q < 1 , navíc qu + (1 − q )d = r . Důkaz: (r − d )u + (u − r )d (u − d )r qu + (1 − q )d = = =r u−d u−d Poznámka: Právě jsme vytvořili něco, co se tváří jako pravděpodobnost, i když nemáme racionální výklad, o pravděpodobnost jakého jevu by mohlo jít. Později uvidíme, že jde o jeden z používaných obratů ve finanční matematice - vytvoříme pravděpodobnostní míru, pro kterou je proces martingalem. 17
Tímto způsobem můžeme postupně napočítávat cenu opce. Počáteční (neznámá) se spočte jako q-kombinace cen po 1 ticku, každá z těchto dvou z následujících dvakrát dvou cen atd. Na konci máme 2 n cen opcí, které se už rovnají zisku (chceme-li výplatě) z opce v případě, že historie se vyvine zrovna k té které ceně po té které cestě (tím rozumíme posloupností up a down skoků). Za našich předpokladů vidíme, že výplata z opce po n časových jednotek (v čase T ) může být ( Su n − K ) + , ( Su n −1 d − K ) + , …, ( Sd n − K ) + Tyto hodnoty postupně dosazujeme do našich rovnic, až zpětně vypočteme počáteční cenu opce (samozřejmě nebudeme dosazovat - od toho máme kombinatoriku; ta nám říká, že pokud cena akci je Su j d n − j , pak na cestě došlo k j skokům nahoru a tím i k j-násobnému použití q , analogicky k n − j down skokům s (n − j ) -násobnému použití 1 − q ; k Su j d n − j můžeme dojít nj cestami; a nezapomeňme, že kromě q se uplatním v každém kroku r ).
()
Přitom dopočítáváme φ t a ψ t (kolik akcií máme držet a kolik si na to půjčit). Tyto φ t a ψ t jsou neanticipativními náhodnými veličinami. Dnešní hodnota opce je n
C = r −n ∑ j =0
( )q n j
j
(1 − q) n − j (u j d n − j S − K ) +
Pokud označíme jako a první j , u kterého je u j d n − j S − K > 0 , můžeme cenu opce psát n
C = r − n (∑ j =a
n
= S ⋅∑ j =a n
= S ⋅∑ j =a
( )q n j
( )q′ n j
(1 − q ) n − j u j d n − j S − ∑ j =a
(1 − q )d r
( ) qur n j
n
j
j
n− j
n j
n
− Kr − n ∑ j =a
n
j
( )q
(1 − q ′) n− j − Kr − n ∑ j =a
( )q n j
j
j
(1 − q ) n − j K ) =
( )q n j
j
(1 − q) n− j =
(1 − q) n− j =S ⋅ B(a, n, q ′) − Kr − n ⋅ B(a, n, q )
(B označuje příslušné sumy.) Poznámka: Úprava do konečného tvaru se může zdát zbytečně složitá, ale konečný tvar pěkně odpovídá spojitému Black-Scholesovu modelu. u Připomeňme si dále, že při zavedení označení q ′ = q jsme využili dříve dokázaného vztahu r qu + (1 − q )d = r . Začneme-li tedy s portfoliem příslušným k počátku, pak po n krocích máme portfolio, jehož cena přesně odpovídá výplatě z opce. Přitom jsme nemuseli do portfolia přidávat peníze „zvenku“. Naše strategie byla taková, že pokud cena akcie stoupla, půjčili jsme si peníze, za které jsme dokoupili akcie, naopak při poklesu ceny jsme prodali kus akcií a utrženými penězi splatili kus dluhu. Binomický model je prvním přiblížením pro oceňování opcí. Přechodem do spojitého případu dostaneme všeobecně používaný Black-Scholesův model. S (k ) Při analýze cen akcií se používá posloupnost log , k = 0,1, K , představující náhodnou S (0) procházku s krokem velikosti log u a log d . S (0) je známá konstanta a odpovídá ceně akcie
18
1 . Limitním n přechodem se dostaneme do spojitého případu. Náhodná procházka je součtem nezávislých stejně rozložených náhodných veličin, proto očekáváme, že limitní proces {Bt , t ≥ 0} bude gaussovským procesem s nenulovými přírůstky, časově homogenním. To znamená: 1. Pro t1 < t 2 < K < t n jsou přírůstky Bt 2 − Bt1 , Bt3 − Bt2 , K , Btn − Btn −1 vzájemně nezávislé náhodné veličiny. 2. Pro s > 0 mají Bt + s − Bt normální rozdělení nezávislé na t ≥ 0 . v čase 0. Předpokládáme, že v diskrétním modelu je doba mezi kroky
Protože jsou přírůstky nezávislé a protože B0 = 0 , je EBt = µt a VarBt = σ 2 t ( t ≥ 0 ) Do času t se v diskrétním modelu uskuteční [nt ] kroků, proto pro n → ∞ by mělo být: u E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ]( p log u + (1 − p ) log d ) = [nt ] p log + log d → µt d
(
)
VarP log S ([nt ]) = [nt ] p log 2 u + (1 − p ) log 2 d − ( p log u + (1 − p) log d ) =
( = [nt ]( p (1 − p ) log
2
)
= [nt ] p log 2 u + (1 − p) log 2 d − p 2 log 2 u − 2 p (1 − p) log u log d − (1 − p) 2 log 2 d = 2
)
u + p(1 − p) log 2 d − 2 p(1 − p ) log u log d =
(
2
)
u = [nt ]p (1 − p) log 2 u − 2 log u log d + log 2 d = [nt ]p (1 − p ) log → σ 2 t d Ukážeme si, že tyto rovnosti platí např. pro u = exp(σ n ) , d = exp( − σ n ) a p = 1 1 µ E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ] + ⋅ 2 ⋅ σ 2 2 σ n µ = [nt ] σ n + − σ n → µt n
n −σ
1 1 µ + : 2 2σ n
n =
u 1 µ2 σ2 VarP log S ([nt ]) = [nt ]p (1 − p) log = [nt ] ⋅ ⋅ 1 − 2 ⋅ 4 ⋅ = d n 4 σ n 2
σ 2 µ2 = [nt ] − 2 → σ 2 t n n Poznámka: u, d a p nejsou určeny jednoznačně. V [BR] se vychází z u = exp( µ n + σ n ) , d = exp( µ n − σ n ) a p = 1 . To možná lépe odpovídá představě náhodné procházky - skok 2 nahoru i dolů mají stejnou pravděpodobnost. Přitom ale jsou splněny předpoklady pro střední hodnotu a rozptyl (vzhledem k pravděpodobnostní míře P ): µ 1 E P log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ] ⋅ 2 ⋅ σ n + − σ n → µt n 2 u 1 σ2 VarP log S ([nt ]) = [nt ] p(1 − p) log = [nt ] ⋅ ⋅ 4 ⋅ → σ 2t d 4 n 2
19
Toto pozorování potvrzuje to, co jsme dělali v binomickém modelu a co se bude používat i ve spojitých případech: Pravděpodobnostní míru můžeme deformovat při souběžné úpravě modelu pohybu cen. V [BR] je použita „neutrální“ pravděpodobnost 1/2 a růstový trend ceny akcií je zabudován v růstech resp. poklesech cen akcií. Naopak v [PREP] je trend z pohybů cen akcií hodně odpreparován a je zahrnut v pravděpodobnosti růstu resp. poklesu (tzn. pravděpodobnost z náhodné procházky je tímto trendem „deformována“). Označíme-li ρ = log r , můžeme psát q=
r
1
ρ
−d e = σ u−d e n
n n
−e
−σ
−e
−σ
ρ n
=
n
1 2 1 2 − σ +K ρ − σ n 1 1 n 2 2 = + ⋅ + O( 1 ) n σ 2 2 n σ 2⋅ +K n
+σ
n
Potom po dosazení: 1 ρ− σ2 1 1 2 ⋅2⋅σ EQ log S ([nt ]) − log S (0) = [nt ] + ⋅ 2 2 σ n 1 → ρ − σ 2 t 2
n
−σ
2 = [nt ] ρ − σ → n n 2n
1 ρ − σ 2 1 σ2 2 4 VarQ log S ([nt ]) = [nt ] ⋅ ⋅ 1 − ⋅ ⋅ = 4 n σ 2n 2 σ 1 1 = [nt ]⋅ − 2 ρ 2 + ρσ 2 − σ 4 → σ 2 t 4 n n Nyní bychom potřebovali dokázat, že log( S ([nt ]) konverguje k normálnímu rozdělení. Důkaz provedeme přes charakteristickou funkci (viz předchozí kapitola) - dokážeme, že 1 2 E P exp (iτ log S ([nt ])) → exp iτ (log S (0) + µt ) − τ σ 2 t (což je charakteristická funkce 2 2 rozložení N (log S (0) + µt , σ t ) ). Platí:
(
E P exp (iτ (log S ([nt ]) − log S (0))) ≈ p exp(iτσ / n ) + (1 − p) exp( −iτσ / n )
)[ ] = nt
1 1 µ 1 1 µ σ τ2 σ2 σ τ2 σ2 = + 1 + iτ − + K + − 1 − iτ − + K n 2 n n 2 n 2 2 σ n 2 2 σ n [nt ]
[nt ]
=
1 2 2 iτµ − τ σ 3 − 1 2 = 1 + + O(n 2 ) → exp iτµ − τ 2σ 2 t 2 n Zcela analogicky se dá dokázat, že log( S ([nt ]) konverguje vzhledem k pravděpodobnostní 1 míře Q k N (log S (0) + ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t ) . 2 20
Cena aktiva (akcie) má hodnotu S t = exp Bt , t ≥ 0 . Počítejme očekávanou diskontovanou hodnotu aktiva: 1 ( x + σ 2 h) 2 1 2 dx = r −h EQ {S t + h S t = s} = EQ {s exp( − ρh + Bt + h − Bt } = s ∫ exp x ⋅ ⋅ exp − 2 2 2 σ h 2πσ h −∞ 1 − 2 xσ 2 h + ( x + σ 2 h) 2 ∞ 1 2 dx = =s∫ ⋅ exp − 2 2 2 σ h − ∞ 2πσ h 1 ( x − σ 2 h) 2 ∞ 1 2 dx = s =s∫ ⋅ exp − 2 2 2 σ h − ∞ 2πσ h (poslední integrál = 1, protože jde o pravděpodobnost, že x nabude nějaké reálné hodnoty - a to je jev jistý) Logaritmický Brownův pohyb, který studujeme, je markovský proces, protože {Bt , t ≥ 0} má ∞
nezávislé přírůstky. Platí tedy pro něj P(S t + h ∈ A S t ) = P(S t + h ∈ A S u , u ≤ t ) Pro očekávanou diskontovanou hodnotu tedy platí EQ r − ( t + h ) S t + h S u , u ≤ t = r −t S t , t ≥ 0, h > 0 .
{
}
{
}
To znamená, že při rozložení Q je r − t S t , t ≥ 0 martingalem. Jinak zapsáno,
EQ {S t + h S u , u ≤ t} = r S t . Při rozložení Q je očekávaný výnos shodný s výnosem bezrizikové investice! (Srovnej: V binomickém modelu platilo qu + (1 − q )d = r ) h
Chceme-li vypočíst hodnotu call-opce, počítáme C = r −T EQ {( S T − K ) + s} 1 Ukázali jsme si, že S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení N ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t . 2 Připomeňme si, že pro standardizované normální rozdělení píšeme x y2 1 Φ ( x) = exp ∫ − dy . 2π −∞ 2
21
Platí: 2 1 2 x + σ T ∞ 1 2 − ρT ρT + x C=e ∫−∞ se − k + 2πσ 2T exp − 2σ 2T dx = 2 1 2 x + σ T ∞ 1 2 dx = se x − ke − ρT exp − ∫ 2 2 2σ T 2πσ T kog ( K / s ) − ρT Integrál si rozdělíme na dva sčítance. Ten první upravíme:
(
)
(
)
2 1 2 x + σ T ∞ 1 2 dx = x se exp − ∫ 2 2 2σ T 2πσ T kog ( K / s )− ρT 1 x − σ 2T 2 dostaneme: Substitucí y = σ T ∞ y2 s dy − exp ∫ 1 2 2π 2
∞
s 2π
2 x − 1 σ 2 T 1 2 dx exp − 2 2 2σ T σ T
∫
kog ( K / s ) − ρT
log( k / s ) − ( ρ + σ )T 2 σ T
Ze symetrie integrované funkce kolem nuly a z rovnosti 1 1 log( K / s )±( ρ + σ 2 )T log( s / K )m ( ρ + σ 2 )T 2 2 − = dostaneme σ T σ T s 2π
∞
y 1 − dy = s exp ∫ 1 2π 2 log( K / s ) − ( ρ + σ 2 )T 2
1 log( s / K ) + ( ρ + σ 2 ) T 2 σ T
∫
−∞
2
σ T
s 1 log + ρ + σ 2T y K 2 dy = sΦ exp − σ T 2 2
Analogicky pak dostaneme i druhý sčítanec do integrálu. Black-Scholesova formule pak má konečný tvar s 1 s 1 log + ρ + σ 2 T log + ρ − σ 2 T K 2 K 2 V (s, T ) = sΦ − ke − ρT Φ σ T σ T Pro srovnání si uveďme výklad z [BR], který dává určitý návod, jak se postupuje i v dalších případech (akcie s dividendou, výplaty v cizí měně apod.): Všechny postupy vykládané v [BR] jsou postaveny na následujících třech krocích:
22
1. Ke stochastickému procesu se nalezne míra Q , pro kterou je náhodná veličina cena akcie S t martingalem. 2. Vytvoří se nový proces Et = EQ ( X Ft ) , o které se ví, že je martingal ( X označuje např. výplatu z opce, ale může znamenat i cokoliv jiného - třeba v případě výpočtu ceny forwardu diskontovanou cenu akcie) - proces označuje očekávanou střední hodnotu příslušné náhodné veličiny; E 0 pak označí počáteční hodnotu odpovídající tomuto procesu - např. aktuální cenu opce). 3. Využije se toho, že cena akcie i nový proces jsou martingalu pod stejnou pravděpodobnostní mírou. Pak je možné najít neanticipativní proces φ t takový, že dEt = φ t dS t . Ten se pak využije ke stanovení investiční strategie, tzn. určí strukturu replikačního portfolia v čase. Uvažujme obecně používaný model cen akcií S t = S 0 ⋅ e σWt + µt . Budeme pracovat s diskontovanou cenou akcií, tedy s procesem Z t = e − rt S t = S 0 ⋅ eσWt + ( µ −r )t 1 Stochastickým diferenciálem je dZ t = Z t dWt + ( µ − r + σ 2 )Z t dt 2 Aby se Z t stalo martingalem, musíme zrušit v jeho stochastickém diferenciálu drift - složku 1 ~ µdt . To se povede zavedením Wt = Wt + γt , kde γ = ( µ − r + σ 2 ) / σ . 2 ~ ~ Pokud Wt dosadíme do stochastického diferenciálu výše, dostaneme dZ t = Z t dWt . Tím, že v stochastickém diferenciálu není drift, mohlo by jít o martingal. Ověřit to lze z jednoho tvrzení o martingalech (opět bez důkazu): Jestliže pro proces dX t = σ t X t dWt , kde σ t je neanticipativní pro nějakou soustavu F , platí 1 T E exp ∫ σ s2 ds < ∞ , pak X je martingal. 2 0 Tato podmínka je pro konstantní σ splněna. Podle Cameron-Martin-Girsanovovy věty existuje pravděpodobnostní míra Q, vzhledem k níž ~ je Wt martingalem. Nyní můžeme proces X (později si upřesníme, jak X nadefinujeme v případě call opcí nyní pracujeme s obecnou výplatní funkcí) převést na martingal vzhledem ke Q . Definujeme Et = EQ ( X Ft ) . Et a Z t jsou Q-martingaly. Proto podle martingalové reprezentační věty existuje φ t : t
Et = EQ ( X ) + ∫ φ s dZ s , neboli dEt = φ t dZ t . 0
Tento proces φ t nám definuje replikační strategii: - budeme držet φ t akcií - zbytek ψ t = ( Et − φ t S t ) budeme investovat do bezrizikových dluhopisů (resp. budeme si půjčovat)
23
Ukažme si, že toto portfolio je samofinancující. Pro Vt = φ t S t + ψ t Bt potřebujeme ukázat, že dVt = φ t dS t + ψ t dBt , nebo ekvivalentně dEt = φ t dZ t . Víme, že Vt = φ t S t + ψ t Bt = Bt Et . V předchozí kapitole bylo dokázáno lemma o stochastickém diferenciálu součinu procesu bez volatility a stochastického procesu. Jeho použitím dostaneme: dVt = d (Bt Et ) = Bt dEt + Et dBt = Btθ t dZ t + (φ t Z t + ψ t )dBt = φ t (Bt dZ t + Et dZ t ) + ψ t dBt = = φ t d (Bt Z t ) + ψ t dBt = φ t S t + ψ t dBt q.e.d. Zvolme za X diskontovanou výplatu z opce při vypořádací (strike) ceně K v čase T , která je e − rT (S T − K )+ .
Potom ale cena opce je V0 = e − rT EQ ((S T − K )+ ) , kde Q je martingalová míra pro proces Bt−1 S t . Označíme-li s = S 0 , je cena akcie S t = s ⋅ e Cena akcie k datu vypořádání je S T = s ⋅ e
~ 1 σWt + r − σ 2 t 2
~ 1 σWT + r − σ 2 T 2
. . Marginální distribuce S T je tedy rovna
počáteční ceně násobené exponentem normálního rozdělení se střední hodnotou rozptylem σ 2 T . Označíme-li Z normální rozdělení ∞
1 2πσ T 2
∫
kog ( k / s ) − rT
(se
x
− ke − rt
)
1 N r − σ 2 ,σ 2T 2
((
, pak e − rT EQ se Z + rT − ke − rt
1 2 r − σ T 2
a
) ) je možné psát: +
2 x + 1 σ 2 T 2 dx exp − 2 2σ T
Úpravou (viz výše) dostaneme Black-Scholesovu formuli.
Akcie se spojitou výplatou dividend Zatím jsme se zabývali akciemi, z nichž se nevyplácely dividendy. Obecnějším případem jsou akcie se spojitou výplatou dividendy - za interval t , t + dt se vyplácí dividenda δ S t dt , kde δ je konstantní intenzita výplaty. Tento případ je poněkud umělý - pokud ale za akcii označíme dostatečně komplexní akciový index, jde o dobré přiblížení. Při modelování takových akcií se používá mechanismus reinvestice dividendy do téhož aktiva (za dividendy okamžitě nakoupíme další akcie). Původní hodnota akcie S t = S 0 exp(σ Wt + µ t ) se tak modifikuje na ~ S t = S 0 exp(σ Wt + ( µ + δ )t ) Diskontovaná cenu pak je ~ Z t = exp( − ρ t ) S t = S 0 exp(σ Wt + (µ + δ − ρ )t )
24
se stochastickým diferenciálem 1 dZ t = Z 0 (σ dWt + ( µ + δ − ρ + σ 2 )dt ) 2 −ρ t ~ Najdeme rozložení Q tak, aby e S t bylo martingalem (obvyklý postup v těchto modelech 1 µ +δ − ρ + σ 2 ~ 2 - Cameron-Martin-Girsanovova věta) pro Wt = Wt + t. σ Pak ale platí: ~ ~ 1 Z t = S 0 exp(σ Wt − σ 2 t ) 2 a ~ ~ ~ dZ t = Z t σ dWt Potom 1 ~ ~ S t = exp( ρ t ) Z t = S 0 exp(σ Wt + ( ρ − δ − σ 2 )t ) 2
{
}
Jak se nám situace liší od standardního Black-Scholesova modelu? V tomto bezdividendovém modelu jsme ukázali, že S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení 1 N ( ρ − σ 2 )t , σ 2 t . 2 1 V modelu s dividendami je S T = s exp( ∆B) , kde ∆B má rozložení N ( ρ − δ − σ 2 )t , σ 2 t . 2 Platí: 2 1 2 x + σ T ∞ 1 2 dx = − ρT ( ρ −δ ) T + x C=e −k + exp − 2 ∫−∞ se 2σ T 2πσ 2T 2 1 2 x + σ T ∞ 1 2 dx − ρT δT + x se = − ke exp − ∫ 2 2σ T 2πσ 2T kog ( K / s ) − ( ρ −δ ) T
(
)
(
)
Následné úpravy probíhají stejně jako v modelu bez dividend a výsledný tvar formule je: E S E S 1 1 log Q T + r + σ 2 T log Q T + r − σ 2 T K 2 K 2 − kΦ , V (s, T ) = e − ρT EQ S T ⋅ Φ σ T σ T − ( ρ −δ ) T kde EQ S T = s ⋅ e .
Akcie s diskrétní výplatou dividend Je-li dividenda ve výši rovné podílu δ z ceny akcie vyplácena v časech T1 , T2 , K , máme
25
(
)
S t = S 0 (1 − δ ) exp σ Wt + µ t , t ≥ 0 , kde n(t ) je počet výplat do času t (předpokládáme, že po výplatě dividendy se sníží cena o vyplacenou dividendu). Vyloženou teorii použijeme na proces ~ − n (t ) S t = (1 − δ ) S t = S 0 exp σ Wt + µ t , t ≥ 0 n (t )
(
Označíme-li F = S 0 (1 − δ )
n(t )
)
e ρt , dostaneme formuli
F F 1 1 log + r + σ 2T log + r − σ 2T K K 2 2 − kΦ V (s, T ) = e − ρT FΦ σ T σ T (Srovnej se spojitou výplatou dividendy a se standardním Black-Scholesovým modelem.)
26
B2. Replikační portfolio Portfolio je dvojice procesů (φ t ,ψ t ) , která popisuje počet držených aktiv (obecně může jít o n-tici - v našich aplikacích používáme pouze dvojice). φ t v našich modelech reprezentuje počet držených podkladových aktiv a jde o neanticipativní proces (jeho hodnota je spočtena deterministickou funkcí z hodnot, kterých hlavní proces nabyl). Pro portfolio z našich modelů definujeme jeho hodnotu Vt = φ t S t + ψ t Bt ( S t je cena akcie, Bt cena bezrizikového bondu). Definice: Portfolio je samofinancující, právě když je splněna podmínka dVt = φ t dS t + ψ t dBt . To, že portfolio je samofinancující, znamená, že změna jeho hodnoty je dána pouze změnou cen podkladových aktiv. Definice: Nechť B je bezrizikový bond a S je rizikové aktivum s volatilitou σ . Nechť X označuje výplatní funkci na události do času T. Replikační strategií pro X je samofinancující T
portfolio (φ t ,ψ t ) takové, že ∫ σ t2φ t2 dt < ∞ a VT = φT S T + ψ T BT = X . 0
Replikaci nám tedy zajistí portfolio, které po úvodním pořízení můžeme upravovat tak, aby k datu vypořádání dalo hodnotu výplatní funkce. Příkladem je třeba portfolio, kterým replikujeme hodnotu call-opce - na začátku pořídíme určitý počet akcií a půjčíme si určitý počet (bezrizikových) peněz (rozdíl mezi cenou akcií a vypůjčenými penězi je rovný ceně opce) a toto portfolio upravujeme tak, že podle potřeby zakupujeme nové akcie proti zapůjčení peněz nebo naopak prodáváme akcie se současným splacením dluhu. Na konci období je hodnota portfolia rovna výnosu z opce. Cenu závazku v čase t za to, že vyplatíme v čase T částku f ( S T ) , jsme vyjádřili jako (*) V (t , s ) = e − ρ (T −t ) EQ { f ( S T ) S t = s} Pro tuto funkci odvoďme parciální diferenciální rovnici. Sestrojíme okrajovou podmínku pro diferenciální rovnici: V (T , s ) = e − ρ (T −T ) EQ {f ( S T ) S T = s} = f ( s ) Hodnotu akcie jsme v Black-Scholesově modelu definovali 1 ~ ~ S t = S 0 exp σWt + ( ρ − σ 2 )t ( Wt je Wienerův proces odpovídající martingalové míře Q) 2 Stochastický diferenciál tohoto procesu je ~ dS t = ρS t dt + σS t dWt Označme s = S t . Za určitých technických předpokladů pro f máme z Itôovy formule T
e − ρT f ( S T ) − e − ρt V (t , s ) = ∫ d (e − ρtV (u, S u )) = t
T
= ∫e t
− ρu
1 2 2 ∂2 ∂ ∂ ∂ ~ (− ρV + V + ρS u V + σ S u 2 V )du + ∫ σS u e − ρu VdWu ∂t ∂s 2 ∂s ∂s t T
Střední hodnota levé strany za podmínky s = S t a tedy i střední hodnota stochastického integrálu je 0. Proto: 27
T
0 = ∫ E (e − ρu (− ρV + t
∂ ∂ 1 ∂2 ∂ ~ V + ρS u V + σ 2 S u2 2 V ))du + ∫ σS u e − ρu VdWu ∂t ∂s 2 ∂s ∂s t T
Tento vztah derivujeme podle t a s použitím s = S t dostaneme: ∂ ∂ 1 ∂2 V − ρV + ρs V + σ 2 s 2 V = 0 (**) ∂t ∂s 2 ∂s Tento vztah spolu s podmínkou V (T , s ) = f ( s ) tvoří parciální diferenciální rovnici. Tato rovnice je v obecném případě špatně řešitelná, obvykle se proto používá numerický výpočet vztahu (*) (numerický výpočet integrálu vzhledem k hustotě normálního rozdělení). V Black-Scholesově modelu je situace jednodušší. Následující text sleduje výklad z [BR]: ~ Při dříve ukázaném stochastickém diferenciálu dS t = ρS t dt + σS t dWt je stochastický diferenciál procesu V (t , s ) = e − ρ (T −t ) EQ { f ( S T ) S t = s} roven:
∂ ∂2 ∂ ∂ ~ 1 dVt = d (V (t , S t )) = σS t V dWt + ρS t V + σ 2 S t2 2 V + V dt ∂s ∂t ∂s 2 ∂s Na druhou stranu ale z toho, že portfolio je replikační, platí dVt = φ t dS t + ψ t dBt = φ t dS t + ρBt dt ( Bt je bezrizikové, proto dBt = ρBt dt ). Aby mohly obě rovnosti platit, musí být rovné složky s volatilitou, tedy φ t =
∂ V. ∂s
Podle Black-Scholesova modelu je S S 1 1 log t + ρ − σ 2 (T − t ) log t + ρ + σ 2 (T − t ) K K 2 2 (***) − ke − ρ (T −t ) Φ V (t , S t ) = S t Φ σ T −t σ T −t Potom platí: S 1 log t + ρ + σ 2 (T − t ) ∂ K 2 φ t = V = Φ ∂s σ T −t (Tady je to trochu nejasné: V je součinem S t a Φ , které je závislé na S t . Při derivování je pravděpodobně přírůstek Φ nulový a je možné ho zanedbat.) Po dosazení tohoto vztahu do (***) dostaneme: S 1 log t + ρ − σ 2 (T − t ) K 2 ψ t = − ke − ρ (T −t ) Φ σ T −t
28
B3. Cena rizika Ceny akcií modelujeme jako S t = S 0 exp(σWt + µt ) , čemuž odpovídá stochastický diferenciál 1 dS t = S t (σdWt + ( µ + σ 2 )dt ) 2 Někdy je ale pohodlnější definovat proces pomocí jeho stochastického diferenciálu, typicky 1 dS t = S t (σdWt + µdt ) , čemuž odpovídá proces S t = S 0 exp(σ Wt + ( µ − σ 2 )t ) 2 Obě formy je možné rovnocenně používat, ta druhá ale dovoluje jednodušeji pracovat s širokou třídou modelů. Předpokládejme, že máme dvě riziková obchodovatelná aktiva S t1 a S t2 , popsaná stochastickými diferenciály dS ti = S ti (σ i dWt + µ i dt ) Najdeme-li pro S t1 martingalovou pravděpodobnostní míru Q, pak by táž míra měla být martingalová i pro S t2 . Pokud ne, pak v místě, kde není martingalem, je možné najít arbitráž s pomocí prvního aktiva (blíže [BM], strana 117). Máme tedy (z Cameron-Martin-Girsanovovy věty) µ −ρ µ −ρ ~ Wt = Wt + 1 t = Wt + 2 t σ1 σ2 µ − ρ µ2 − ρ = představuje míru rizika trhu. Odtud ovšem γ = 1 σ1 σ2 Vzhledem k tomu, že platí EQ S ti = EQ S 0i e − ρt , je Q často označována jako pravděpodobnost neutrální k riziku (pod ní se chovají aktiva jako bezriziková).
29
B4. Kontrakty v cizí měně Kurzy cizích měn Kurzy cizích měn se analyzují přes bezrizikové bondy v jednotlivých měnách a směnný kurz, který je stochastickým procesem. Označme: Dt = exp(ut ) [GBP] librový dluhopis Bt = exp( ρ t )
[EUR]
dluhopis v euro
C t = C 0 exp(σ Wt + µ t ) [EUR/GBP] směnný kurz - cena 1 EUR v GBP Cena librového dluhopisu (vyjádřená v EUR) v čase t je S t = Dt C t = C 0 exp(σ Wt + ( µ + u )t ) , jeho (v euro-sazbě) diskontovaná hodnota je pak Z t = Bt−1C t Dt = S t exp( − ρ t ) = C 0 exp(σ Wt + (µ − ρ + u )t ) Položíme 1 µ − ρ +u+ σ2 ~ 2 Wt = Wt + t σ Najdeme rozložení Q, pro které je diskontovaná hodnota Z t martingalem: ~ 1 Z t = C 0 exp(σ Wt − σ 2 t ) , 2 1 ~ tzn. C t = C 0 exp(σ Wt + ( ρ − u − σ 2 )t ) 2
(*)
Forward na kurz Za jakou cenu bychom měli prodávat libru v budoucím čase T? Pokud dohodneme, že koupíme 1 GBP za k EUR, pak naše výplata (zisk) v čase T je X = CT − k (koupíme za k EUR jednu libru, za kterou podle platného kurzu dostaneme nazpět CT liber). Povšimněme si: X je vyjádřeno v EUR - proto ho při diskontování musíme diskontovat euro-sazbou. Forward bychom měli prodávat za cenu k = EQ {CT } , neboli: 1 ~ k = F = EQ C 0 exp(σ WT + ( ρ − u − σ 2 )T ) = e ( ρ −u )T C 0 2 V čase t je (současná, euro-sazbou diskontovaná) hodnota výplaty V (t , C t ) = e − ρ (T −t ) EQ {CT − k C t } = e − ρ (T −t ) C t e ( ρ −u )(T −t ) − e ( ρ −u )T C 0 =
(
(
)
)
= e −uT e ut C t − e ρt C 0 K tomu raději výklad: Pokud víme, že v čase t je směnný kurz C t , pak lze očekávat, že do času T průměrně poroste na hodnotu C t e ( ρ −u )(T −t ) (viz (*) - lokální posun = drift je ρ − u ). Jak vypadá investiční strategie? Diskontovaná hodnota portfolia je Et = Bt−1V (t , C t ) = e − ρt e − uT e ut C t − e ρt C 0 = e − uT e − ρt e ut C t − e −uT C 0 = e − uT Z t − e − uT C 0
(
)
30
(definice Z t viz na začátku této kapitoly, v odstavci Kurzy cizích měn). Odtud vyplývá, že dEt = e − uT dZ t . Z této diskontované hodnoty portfolia lze odvodit investiční strategii (viz též kapitola Replikační portfolio). Budeme držet stále konstantní portfolio: dE - ϕ t = t = e −uT dZ t
(
)
- ψ t = Et − ϕ t Z t = e − uT Z t − e −uT C 0 − e −uT Z t = −e − uT C 0 Jinými slovy: - nakoupíme librový bond, který nám k datu vypořádání dá 1 GBP - na tento nákup si půjčíme podle aktuálního kurzu příslušný počet euro; druhá strana musí ve formě ceny tohoto forwardového kontraktu uhradit dnešní hodnotu rozdílu euro-výnosů a librových výnosů ( e ( ρ −u )T C 0 )
Call opce na kurz Předpokládejme opci na koupi 1 GBP za cenu k EUR (v čase T). Použijeme označení 1 ~ F (t ) = EQ {CT C t } = EQ C t exp(σ Wt + ( ρ − u − σ 2 )(T − t )) = e ( ρ −u )(T −t ) C t , 2 tzn. forwardová cena v čase t. Postupem obvyklým pro oceňování opcí pak dostaneme, že cena call opce v čase 0 je F (0) 1 2 F (0) 1 2 + σ T − σ T log log k 2 k 2 − kΦ e − ρT F (0)Φ σ T σ T Přitom replikační strategie je F (t ) 1 2 + σ (T − t ) log k 2 φ t = e −uT Φ σ T −t F (t ) 1 2 − σ (T − t ) log k 2 ψ t = e − ρT kΦ σ T −t
Kontrakty s výplatou v jiné měně Tento úsek se zabývá konstrukcí cenných papírů nazývaných „quanto“, kterým je v [BR] věnována kapitola 4.5. Quanto si představujeme kontrakty „s chybnou měnou“, např. jako kontrakt, který v případě, že akcie má cenu 5,20 GBP, vyplatí 5,20 EUR. Cena akci v GBP je popsána jako S t = S 0 exp σ 1Wt1 + µ t [GBP]
(
)
31
Směnný kurz je popsán jako
(
)
C t = C 0 exp σ 2 (rWt1 + r Wt 2 ) + υ t , kde r = 1 − r 2 Dále zavádíme bezrizikové bondy:
[EUR/GBP]
Dt = exp(ut )
[GBP]
Bt = exp( ρ t )
{ }, {W } se předpokládají být vzájemně nezávislé. 1 t
Procesy W
[EUR]
2
t
{
}
Lemma: Proces Wt = rWt1 + r Wt 2 je rovněž Wienerovým procesem. Důkaz: Přírůstek Wt + s − Wt by měl mít rozdělení N (0, s ) , což je splněno, protože jde o nezávislé procesy s nulovou střední hodnotou a pro rozptyl platí: r 2 s + (1 − r 2 )s = s . Vzhledem k nezávislosti přírůstků v Wt1 i v Wt 2 jsou nezávislé i přírůstky Wt . Spojitost trajektorií je triviální.
{ }
{ }
{ }
Pro korelaci platí: corr (Wt , Wt1 ) = r , corr (Wt , Wt 2 ) = r Cena bezrizikového librového dluhopisu vyjádřená v EUR a diskontovaná euro-sazbou je Yt1 = e − ρt C t Dt Proto stochastický diferenciál je: 1 dYt1 = Yt1 rσ 2 dWt1 + r σ 2 dWt 2 + (υ + σ 22 + u − ρ )dt 2 Cena akcie vyjádřená v EUR a diskontovaná euro-sazbou je Yt 2 = e − ρt C t S t Proto stochastický diferenciál je: 1 1 dYt 2 = Yt 2 (σ 1 + rσ 2 )dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ + υ + σ 12 + rσ 1σ 2 + σ 22 − ρ )dt 2 2 V dalším budeme značit: 1 ′ ′ µ1 = (υ + σ 22 + u ) , tzn. dYt1 = Yt1 rσ 2 dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ1 − ρ )dt 2 1 1 ′ µ 2 = ( µ + υ + σ 12 + rσ 1σ 2 + σ 22 ) , tzn. 2 2 ′ dYt 2 = Yt 2 (σ 1 + rσ 2 )dWt1 + r σ 2 dWt 2 + ( µ 2 − ρ )dt Nyní se potřebujeme dostat k martingalové míře. Budeme chtít najít takovou míru Q, aby driftové složky zmizely z obou diferenciálů najednou. Chceme tedy najít γ 1 a γ 2 : dYt1 = Yt1 rσ 2 (dWt1 + γ 1 dt ) + r σ 2 (dWt 2 + γ 2 dt )
( = Y ((σ
)
2 1 2 dYt 2 t 1 + rσ 2 )( dWt + γ 1 dt ) + r σ 2 ( dWt + γ 2 dt ) Porovnáním obou zápisů dostaneme rovnice:
32
)
′ rσ 2γ 1 + r σ 2γ 2 = µ1 − ρ
′ (σ 1 + rσ 2 )γ 1 + r σ 2γ 2 = µ 2 − ρ Pak ale: 1 µ + σ 12 + rσ 1σ 2 − u 2 γ1 = σ1 1 υ + σ 22 + u − ρ − rσ 2γ 1 2 γ2 = rσ 2 ~ A konečně po dosazení Wt i = Wt i − γ i t : 1 ~ S t = S 0 exp σ 1Wt1 + (u − rσ 1σ 2 − σ 12 )t 2 1 ~ ~ C t = C 0 exp σ 2 (rWt1 + r Wt 2 ) + ( ρ − u − σ 22 )t 2 exp( rσ 1σ 2 t ) − 1 Poznámka: corr ( S t , C t ) = exp(σ 12 t ) − 1 ⋅ exp(σ 22 t ) − 1 Cena call opce se stanovuje podle formule V (t , S t , C t ) = e − ρ (T −t ) EQ {(CT S T − k ) + S t C t }
33
