Středové promítaní
všechny promítací paprsky procházejí jedním bodem (vlastní) – střed promítání nezachovává se rovnoběžnost vzdálenost objektů od středu promítání ovlivňuje velikost jejich průmětů
vzdálenější objekty mají menší průměty
středové (perspektivní) promítání vytváří obrazy podobné těm, které vidí lidské oko
realistické zobrazení větších objektů používáno v aplikacích, které kladou důraz na podobnost s reálným světem (virtuální realita, 3D modelování)
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní
určeno středem promítání a průmětnou
Lineární perspektiva
S
Středové promítání
pouze speciální případ středového promítání
Počítačová geometrie
B
A
B S
S - střed promítání d - vzdálenost středu promítání od průmětny distance
A
d
S1 Petra Surynková
Středové promítaní z
dáno:
S
A3 A2
A A3s
OH A2s
střed promítání S[0,0, d ] průmětna - rovina ( x, y )
A
s
A[ x A , y A , z A ] A A A [ x ,0, z ] yy 2
A3[0, y A , z A ]
x x Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní z
S
A3 A2
hledáme průsečík promítacího paprsku p a průmětny ( x, y )
A A3s
OH A2s
x x Počítačová geometrie
y y
As p - promítací paprsek bodu A Petra Surynková
Středové promítaní z
p SA - promítací přímka u A S (x A, y A, z A d )
S[0,0, d ] A3 A2
A[ x A , y A , z A ] A3s
OH A2s
x x Počítačová geometrie
As
p : x x At y y At A z d z d t y y t
p - promítací paprsek bodu A Petra Surynková
Středové promítaní S[0,0, d ] A3 A2
přímka
z
A
p : x x At y y At z d z A d t A
A[ x , y , z ]
A2s
x x Počítačová geometrie
( x, y )
t
A
s 3
OH
rovina
A
z0 y y
As p - promítací paprsek bodu A Petra Surynková
Středové promítaní přímka
z
rovina
d z A d t 0
S
A2
d d t A z d d zA
A A3
d
průmětna
xy OH A
s 2
A3s As
d A d A A x , y ,0 A A d z d z s
pohled zpředu
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní y
s 3
A
O
d d s A A A[ x A , y A , z A ] ,y A x A d z A dz
A
A2s
A d A x ,0 A dz s 2
s
x
d A A 0, y d z A s 3
x, y- souřadnice ve 2D Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní
nezachovává se rovnoběžnost
průměty přímek, rovnoběžných v trojrozměrném prostoru, jsou obecně různoběžné
výjimkou jsou přímky, které jsou rovnoběžné s průmětnou – zde se rovnoběžnost zachová úběžníky
rozlišujeme
jednobodová (jednoúběžníková) perspektiva dvoubodová (dvojúběžníková) perspektiva trojbodová (tříúběžníková) perspektiva
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní
Jednobodová perspektiva
objekt, který zobrazujeme schématicky nahradíme krychlí průmětnu volíme rovnoběžnou s jednou stěnou krychle u přímek rovnoběžných s průmětnou se zachovává rovnoběžnost přímky kolmé na průmětnu se zobrazí na přímky protínající se v jednom bodě – hlavním bodě
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní
Dvoubodová perspektiva
objekt, který zobrazujeme schématicky nahradíme krychlí průmětnu volíme rovnoběžnou s jednou hranou krychle (nikoliv se stěnou) u přímek rovnoběžných s průmětnou se zachovává rovnoběžnost dva hlavní úběžníky
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Středové promítaní
Tříbodová perspektiva
objekt, který zobrazujeme schématicky nahradíme krychlí průmětnu volíme obecně tři hlavní úběžníky
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Nelineární perspektivy
cylindrická a sférická perspektiva není zachována linearita
projekce mají dvě části
zobrazovaný objekt je středově promítnut na válcovou nebo kulovou plochu poté jsou jednotlivé body plochy promítnuty do roviny
tyto metody nacházejí mnohá uplatnění
přímky se obecně nezobrazují na přímky
kartografie geologie
důvody
schopnost zachytit mnohem větší část zobrazovaného prostoru vznikají též zajímavé obrazy zobrazované scény
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Cylindrická perspektiva
sestrojíme středový průmět zobrazovaného prostoru na válcovou plochu plášť válce rozvineme a dostáváme tak cylindrickou perspektivu můžeme tak zobrazit např. větší skupinu budov (za cenu pouze menších deformací - nelinearita) průmětna
střed promítání
válcová plocha leží na ose válcové plochy
poloměr válcové plochy
= distanci
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z
dáno:
rotační válcová plocha (osa splývá s osou z ) s poloměrem d střed promítání umístíme do počátku soustavy souřadnic
OS
x x Počítačová geometrie
y Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z
A
dáno:
střed promítání S[0,0,0] průmětna – rotační válcová 2 2 2 plocha x y d
As
A[ x A , y A , z A ]
OS
x x Počítačová geometrie
y Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z p - promítací paprsek bodu A A
As
OS
x x Počítačová geometrie
hledáme průsečík promítacího paprsku p a rotační válcové plochy
y Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z p - promítací paprsek bodu A
A[ x A , y A , z A ]
A
p SA - promítací přímka u A S (x A, y A, z A )
s
OS
x x Počítačová geometrie
y
p : x x At y y At z z At polopřímka SA
t 0 Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z p - promítací paprsek bodu A
A[ x A , y A , z A ]
As OS
x x Počítačová geometrie
polopřímka
p : x x At y y At A z z t y
rotační válcová plocha
x2 y 2 d 2
t 0 Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z p - promítací paprsek bodu A
A[ x A , y A , z A ]
A
OS
x Počítačová geometrie
y
rotační válcová plocha
2 x t y t d 2
A
x
polopřímka
s
x
A
t
2
A
y
A
2
2
t2 d 2 pro
d2
x y A
2
A
2
t 0 bod
Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z p - promítací paprsek bodu A A
t
As OS
x x Počítačová geometrie
d
x y A
As x A
d
x y A 2
A 2
, yA
2
A
d
x y A 2
A 2
,zA
2
d
x y A 2
A 2
y Petra Surynková
Cylindrická perspektiva y
z
rozvineme válcovou plochu do tečné roviny y d
řežeme podél přímky
q A
q: x 0 yd z s, s
As OS
x x Počítačová geometrie
x, y- souřadnice ve 2D y Petra Surynková
Cylindrická perspektiva A B
B
x Počítačová geometrie
rozvineme válcovou plochu do tečné roviny y d
řežeme podél přímky
A
Bs
y
As q OS z
y
A[ x A , y A , z A ] A B[ x B , y B , z B ] B x
q: x 0 yd z s, s
pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva délka oblouku
d
1) y 0 y
Oz
q
y
x
Počítačová geometrie
x
x arctg y
x arctg y
pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva
2) x 0, y 0 y
q Oz
y
x arctg y
x
Počítačová geometrie
x
pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva
3) x 0, y 0 y
Oz
q
y
x arctg y
x
Počítačová geometrie
x
pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva
2
4) y 0, x 0 5) y 0, x 0
y
Oz
q
2 2
y
x
Počítačová geometrie
x
2 pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva A B
B
A
Bs
y
x Počítačová geometrie
As q OS z
x
y
A[ x A , y A , z A ]
A A x A d arctg A , z y
d
x y A
2
A
2
pohled shora Petra Surynková
Cylindrická perspektiva A B
B
A
Bs
y
x Počítačová geometrie
As q OS z
x
y
B[ x B , y B , z B ]
B x B d arctg B y
B , z
d 2 2 B B x y
pohled shora Petra Surynková
Sférická perspektiva
sestrojíme středový průmět zobrazovaného prostoru na kulovou plochu kulovou plochu promítneme do roviny (nelze rozvinout)
průmětna
rozlišujeme různé typy zobrazení (př. stereografická projekce) kulová plocha
střed promítání
střed kulové plochy
Počítačová geometrie
Petra Surynková
Sférická perspektiva z
dáno:
kulová plocha s poloměrem a se středem S střed promítání umístíme do počátku soustavy souřadnic
d
OS
x
Počítačová geometrie
y
Petra Surynková
Sférická perspektiva z
dáno:
A
x2 y 2 z 2 d 2
As OS
x
Počítačová geometrie
střed promítání S[0,0,0] průmětna – kulová plocha
A[ x A , y A , z A ] y
Petra Surynková
Sférická perspektiva z p - promítací paprsek bodu A A
As
OS
x
Počítačová geometrie
hledáme průsečík promítacího paprsku p a kulové plochy
y
Petra Surynková
Sférická perspektiva z p - promítací paprsek bodu A A
p SA - promítací přímka u A S (x A, y A, z A )
As OS
x
Počítačová geometrie
y
p : x x At y y At z z At polopřímka SA
t 0
Petra Surynková
Sférická perspektiva z p - promítací paprsek bodu A A polopřímka
As OS
x
Počítačová geometrie
y
p : x x At y y At z z At
kulová plocha
x2 y 2 z 2 d 2
t 0
Petra Surynková
Sférická perspektiva z p - promítací paprsek bodu A A polopřímka
As
x
A
2
2
A
y
y
t Počítačová geometrie
kulová plocha
2 x t y t z t d 2
A
OS
x
A
2
z
2
A
A
2
d2
x y z A
2
A
2
A
2
t2 d 2
pro
t 0 bod
Petra Surynková
Sférická perspektiva z p - promítací paprsek bodu A A
d
t
x y z 2
A
As
As x A
OS
yA
x
y
Počítačová geometrie
x y z 2
A
A
2
A
x y z 2
A
2
A
2
d
x y z A
A
d
d A
zA
2
A
2
A
2
A
2
2
2
,
,
Petra Surynková
Sférická perspektiva z
A
OS
Počítačová geometrie
z
- ová souřadnice =0
nebo
As
x
promítneme kolmo do roviny rovníku
y
promítneme středově do roviny rovníku (střed – jižní pól)
stereografická projekce – průnik přímky a roviny parametricky Petra Surynková