Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis

2

2.1. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum:

y′ =

f ( x) , g ( y)

f dan g fungsi sembarang.

b. Metode dan Tahapan Penyelesaian: 1. Gantikan

y ′ atau gunakan: y ′ =

dy dx

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

g ( y ) dy =

f ( x) dx

3. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh:

∫

g ( y ) dy =

∫

f ( x) dx

c. Contoh soal: 1. Selesaikan atau cari ‘primitif’ dari: 2. Selesaikan PD orde-1 berikut:

x 2 y′ − y = 0 dy + 3y = 0 dx 2 xy ′ + y = 0 , dengan harga awal pada

3. Cari penyelesaian dari PD berikut: 4. Cari penyelesaian PD orde-1 saat

x = 2 memiliki y = 1

x + yy ′ = 0

x

Lampiran Bab 2-A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order-1 dengan Metode Analitis

(halaman 1 dari 28)

d. Penyelesaian soal: 1. Gantikan

y

y′

dengan

dy , sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai: dx

dy = − x atau y dy = − x dx , sehingga dapat diintegrasikan menjadi dx

∫ y dy = − ∫ x dx dan hasilnya adalah

y2 x2 = − + C 2 2 dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrary), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

y2 + x2 = 2C sebagai persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga C > 0. 2.

PD dimaksud dapat ditulis sebagai x

2

dy = y , dan dengan penulisan ulang dx

yang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabelvariabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan

dy dx = 2 y x bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai

∫

dy = y

∫x

dx 2

menghasilkan


(halaman 2 dari 28)

ln y = −

1 + C x

dan bentuk akhirnya:

y

 1  = exp  − + C  = e C e −1 / x  x 

sebagai persamaan yang mirip dengan persamaan Arrhenius, yang banyak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia. 3. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisannya menjadi:

dy dx = − 3 , jika y ≠ 0 y x dan bentuk integrasinya adalah:

∫

∫

dy dx = −3 y x

dan hasilnya:

ln

y 1 = − 3 ln x = ln 3 h x

dan

y =

±h x3

=

K x3

Dalam hal ini, K merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrary), yang hanya dapat ditentukan harganya berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, yaitu y = y 0 pada saat x = x0 .


(halaman 3 dari 28)

4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah

∫

dy 1 = − 2 y

∫

dx , jika y ≠ 0 x

dan hasilnya:

ln

y = ln x h

−1 / 2

= ln

1 x

atau

K

y =

x

Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, yaitu pada saat x = 2 harga y = 1 , akan diperoleh 1 = K

2 atau K = 2 , sehingga hasil

akhirnya menjadi

y =

2 x

e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (sesuai dengan yang diberikan): 1.

y = −

2.

3t

3. 4. 5.

2y , dengan primitif y = x

K x2

di − i = 0 , dengan primitif i = K t 1 / 3 dt di 3 t + i = 0 , dengan primitif i = K t −1/ 3 dengan t ≠ 0 dt y ′ cos x + y sin x = 0 , dengan primitif y = K cos x dθ 1− t2 + t θ = 0 , dengan primitif θ = K 1 − t 2 dt

(

)


(halaman 4 dari 28)

2.2. Persamaan Diferensial Homogen terhadap y dan x a. Bentuk Umum:

y′ =

 y f   , f merupakan fungsi sembarang.  x

b. Metode dan Tahapan Penyelesaian: 1. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, u =

y (atau y = u x ), sehingga x

diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,

2. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk:

y′ = t ′ x + t 3. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan y ′ di atas dengan persamaan f ( y x ) = f (t ) , akan diperoleh persamaan dalam bentuk:

t ′ x + t = f (t ) 4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut:

x

dt = f (t ) − t dx

atau

dx dt , = x f (t ) − t

5. Jika fungsi F ( x ) dimisalkan sebagai PRIMITIF dari

jika

f (t ) ≠ t

1 , maka akan f (t ) − t

diperoleh hasil integrasi sebagai berikut:

ln

x = F (t ) = h

∫

dt f (t ) − t

yang berarti

x = K e F ( y x) atau dalam bentuk penjabaran parametrik


(halaman 5 dari 28)

 x = K e F (t ) , dengan K sebagai konstanta sembarang  F (t )  y = K t e c. Contoh soal: 2

1. Carilah ‘primitif’ dari: x y ′ = x

2

+ y2 − x y

2. Selesaikan PD orde-1 berikut: 2 x y y ′ = x 3. Cari penyelesaian dari PD berikut:

2

+ y2

( y 2 − 5 x 2 ) y y ′ = x (x 2 − 5 y 2 )

d. Penyelesaian soal: 2

1. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda =) dibagi dengan x , maka akan didapatkan PD dalam bentuk:

 y y′ = 1 +    x

2

−

y x

yang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel y ′ merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel y x . Dengan memisalkan

y = t x , untuk mendapatkan y ′ = t ′ x + t dan 2

ungkapan y ′ dari PDnya adalah y ′ = 1 − t + t , maka kesamaan kedua ungkapan y ′ yang didapatkan adalah sebagai berikut:

t′ x + t = 1 − t + t 2 atau

t ′ x = (t − 1)2

sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH yang dimaksud adalah

x

dt = (t − 1)2 dx


(halaman 6 dari 28)

yang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut:

∫ (t − 1) ∫ dt

2

=

dx , jika t ≠ 1 x

yang hasilnya

−

1 = ln K x t −1

atau

t −1 = −

1 ln K x

dengan

K sebagai konstanta sembarang Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalnya, yaitu y x , maka persamaan di atas akhirnya menjadi PRIMITIF dari PD yang dimaksudkan:

y = x −

x ln K x

Catatan: Jika harga t = 1, maka akan diperoleh suatu INTEGRAL yang SINGULAR, karena y = x . 2. Bagilah semua suku dengan x y , maka akan didapatkan PD Homogen dalam bentuk seperti di bawah ini:

x2 + y2 1 x y y′ = =  + 2x y 2 y x

  

Dengan memisalkan y = t x , maka kesamaan kedua ungkapan y ′ yang didapatkan adalah sebagai berikut:


(halaman 7 dari 28)

1 2

y′ = t ′ x + t =

1  t +  t 

atau jika disederhanakan akan menjadi

dt x = dx

1 2

1 −t2 1   − t = 2t t 

Pisahkan variabel-variabelnya, kemudian integralkan

∫1 − t ∫ 2 t dt

2

=

dx , jika t ≠ ± 1 x

sehingga

1 − t2 − ln h

= ln x

atau

1 − t2 =

K x

atau juga

t2 −1 = −

K x

Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai yang sesungguhnya ( y x ), akan diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut:

y2 − x2 + K x = 0 Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila K ≠ 0 maupun K = 0 , yang memiliki persamaan-persamaan garis simetri

y = ± x atau yang sebanding dengan t = ± 1 .


(halaman 8 dari 28)

Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan menggunakan KOORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat yang sesuai, yaitu r = f (θ ) . Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitungannya lebih panjang dan tidak praktis. 3. Coba kita gunakan KOORDINAT POLAR berikut:

 x = r cosθ   y = r sin θ dan bentuk diferensiasinya secara berturut-turut adalah:

dx = cosθ dr − r sin θ dθ dy = sin θ dr − r cosθ dθ dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut:

(y 2 − 5 x 2 ) y dy

(

)

= x x 2 − 5 y 2 dx

dan, dengan melakukan penyusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut:

(sin 4 θ − cos 4 θ ) dr

(

)

= 4 sin 3 θ cosθ + sin θ cos 3 θ r dθ

dengan penyederhanaan, selanjutnya diperoleh:

(sin 2 θ − cos 2 θ ) dr

= 4 r sin θ cosθ dθ


(halaman 9 dari 28)

dalam hal ini, PD dalam r dan

θ yang memiliki KONFIGURASI TERPISAH

adalah sebagai berikut:

2 sin 2θ dr = − dθ r cos 2θ sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut:

r = K cos 2θ e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan ‘primitif’-nya (perhatikan PRIMITIF yang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!): 1.

x2 + K x y ′ = x − y , dengan primitif y = 2x

2.

x 2 y ′ = x y + x 2 + y 2 , dengan primitif y = x tan (ln K x

3.

x y′ − y = x 1 − e − y

4.

(1 + C x ) > 0

(

x

),

)

dengan primitif y = x ln (1 + C x ) dan

x 2

4 x 2 y ′ + x 2 + 4 y 2 = 0 , dengan primitif y = − +

x dan ln K x

bilamana solusi mencapai SINGULAR? 5.

(x 2 − y 2 ) y ′ = 2 x y ,

x 2 + y 2 − K y = 0 dan

dengan primitif

bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR? 6.

(x 4 + y 4 ) y ′ = 2 x 3 y ,

x =

dengan primitif

koordinat CARTESIAN atau r =

Kt 4

K sin θ cos 2θ

dalam

dan bilamana solusi-solusi

t −1 tersebut mencapai SINGULAR?


(halaman 10 dari 28)

2.3. Persamaan Diferensial LINIER order 1 a. Bentuk Umum:

a (x ) y ′ + b (x ) y = c (x ) dengan

a , b , c merupakan fungsi-fungsi dalam x . a( x ) dan b( x ) disebut KOEFISIEN c( x ) disebut SUKU RUAS KANAN

Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh:

a (x ) y ′ + b (x ) y = 0 yang (seharusnya) IDENTIK dengan PD yang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH. b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penyelesaian: Teorema Dasar SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order-1 merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUKU RUAS KANAN dan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD secara lengkap. 1. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL KHUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap dengan RUAS KANANnya, adalah y 0 2. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi yang tak dikenal sebagai: y = y0 + z 3. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk:



a( x ) [ y 0′ + z ′] + b( x ) [ y 0 + z ] = c( x ) 4.

Karena y 0 adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga harus dipenuhi:

a( x ) y 0′ + b( x ) y 0 = c( x ) 5.

Setelah dilakukan penyederhanaan, akan diperoleh persamaan

a ( x ) z ′ + b( x ) z = 0 Sehingga akan diperoleh z , sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUKU RUAS KANAN. c. Contoh soal: Selesaikan PD Linier berikut:

L

di + Ri = E dt

L , R , dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan KONDISI AWAL pada saat t = 0 , harga i = 0 . Penyelesaian: Fungsi yang melibatkan konstanta-konstanta E R merupakan SOLUSI KHUSUS dari persamaan secara lengkap. INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUKU RUAS KANANnya adalah:

 R  i = C exp  − t   L  Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah: i =

E  R  + C exp  − t  R  L 



Dengan menerapkan KONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh:

0 =

E + C R

sehingga

C = −

E R

dan, solusi akhirnya adalah

i =

E R

  R  1 − exp − L t    

e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi khusus dan solusi umumnya sebagai acuan dasar untuk mencari penyelesaian!): 1.

y ′ + y = cos x + sin x , dengan solusi khusus y = sin x dan solusi umumnya y = sin x + K e − x

2.

y ′ cos x + y sin x = cos x + x sin x ,

dengan solusi khusus y = x

dan solusi umumnya adalah y = x + K cos x 3.

x y ′ − y = ( x − 1) e x , dengan primitif y = e x + K x

4.

y ′ − 2 x y = sinh x − 2 x cosh x , dengan primitif y = cosh x + K e x

2

f. Metode VARIASI KONSTANTA dan Tahapan Penyelesaian: 1. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut,

a (x ) y′ + b (x ) y = c (x ) dan bentuk PD di atas, jika TIDAK menyertakan SUKU RUAS KANAN:

a (x ) y′ + b (x ) y = 0



2. Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir dapat disusun ulang menjadi:

dy b (x ) = − dx y a (x ) 3. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS KANAN dapat dituliskan sebagai berikut:

 y = K z ( x ) = K exp  − 

∫

b ( x )  dx a ( x ) 

4. Definisikan suatu FUNGSI (yang menggantikan tetapan K dengan suatu fungsi dalam variabel x , K ( x ) ), sehingga diperoleh PRIMITIF y ( x ) yang berbentuk persamaan berikut:

y (x ) = K (x ) z (x ) sehingga turunannya dapat dituliskan sebagai:

y ′( x ) = K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) z ′( x ) 5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap:

a ( x ) { K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) z ′( x ) } + b ( x ) { K ( x ) z ( x ) } = c ( x ) atau

a ( x ) K ′( x ) z ( x ) + K ( x ) { a ( x ) z ′( x ) + b ( x ) z ( x ) } = c ( x )

6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah 1 di atas!):

a ( x ) z ′( x ) + b ( x ) z ( x ) = 0 yang berarti bahwa

K ′( x ) =

c (x ) a (x ) z (x )



7. Solusi atau primitif dari K ( x ) dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil akhir dari solusi

y (x ) = K (x ) z (x ) dapat diketahui. g. Contoh soal: 1. Selesaikan PD Linier berikut:

x y′ − 2 y = x3 Penyelesaian: ⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: x y ′ − 2 y = 0 ⇒ Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga

dy dx = 2 , jika y ≠ 0 y x jika diintegrasikan,

∫

dy = 2 y

∫

dx x

sehingga dihasilkan,

ln

y = 2 ln x = ln x 2 h

dan,

y = K x2 ⇒ Asumsikan, bahwa K adalah fungsi dari x , sehingga hasil turunan dari y (atau sama dengan y ′ ) adalah:

y′ = K ′ x 2 + 2 K x



⇒ Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh:

K ′ x3 + 2 K x 2 − 2 K x 2 = x3 ⇒ Perhatikan, bahwa term perkalian dengan K ternyata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh:

K ′ x3 = x3 atau K′ = 1

⇒ Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah:

K = x + λ , λ merupakan konstanta integrasi ⇒ Kemudian, jika kita substitusikan K ke dalam persamaan y = K x 2 di atas, akan diperoleh sebagai solusi umum:

y = ( x + λ ) x 2 = x3 + λ x

2. Selesaikan PD Linier berikut: y ′ − y tan x = sin 2 x

Penyelesaian: ⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah:

dy − y tan x = 0 dx

⇒ Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka

∫

dy = − y

∫

sin x dx cos x

sehingga dihasilkan,

ln

y = ln cos x h



dan,

y = K cos x ⇒ Asumsikan, bahwa K = K ( x ) , sehingga hasil turunan dari persamaan di atas adalah: y ′ = K ′ cos x − K sin x

⇒ Substitusikan ke dalam PD Linier asalnya, akan diperoleh: K ′ cos x − K sin x + K cos x tan x = sin 2 x

⇒ Perhatikan, bahwa term faktor K ternyata saling menihilkan, sehingga: K ′ cos x = sin 2 x = 2 sin x cos x

atau K ′ = 2 sin x

⇒ Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara:

∫

K = 2 sin x dx = − cos x + λ ⇒ Kemudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan K di atas ke dalam persamaan y = K cos x , diperoleh solusi unum berikut:

y = − 2 cos 2 x + λ cos x

3. Selesaikan persamaan diferensial berikut:

(

)

y′ x 2 − 1 + x y = 1 Penyelesaian: ⇒ PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah:



(

)

y′ x 2 − 1 + x y = 0 ⇒ Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh:

− x dx dy = 2 y x −1 ⇒ Kemudian integrasikan:

∫

dy = − y

∫

ln

y 1 = − ln x 2 − 1 2 h

x 2

x −1

dx

sehingga dihasilkan

atau

y =

K x2 − 1

⇒ Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga x , yang lebih besar dari 1 ataupun lebih kecil dari 1. Kasus #1:

x >1

⇒ Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

y =

K x2 − 1

⇒ Turunan dari fungsi apabila K adalah fungsi dari x , adalah sbb: y′ =

K′ x2 − 1

−

Kx

( x 2 − 1 )3



⇒ Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh:   K′ −  2 − 1 x  

(x

Kx 2

−1

)

3

   2  x − 1 + x    

(

)

  =1 2 x − 1 

K

atau

Kx

K ′ x2 − 1 −

( x2 − 1 )

+

Kx x2 − 1

=1

⇒ Sehingga diperoleh fungsi K ′ dalam x , sebagai berikut:

K′ =

1 x2 − 1

⇒ Dan, primitifnya adalah:

K = ln x + x 2 − 1 + λ ⇒ Solusi akhirnya menjadi:

y =

Kasus #2:

ln x + x 2 − 1 + λ , jika

2

x −1

x >1

x <1

⇒ Solusi PD Linier yang tidak melibatkan suku ruas kanannya, adalah sbb:

y =

K 1 − x2

⇒ Dengan metode yang sama seperti pada kasus #1 di atas, diperoleh:



K′

y′ =

dan

K = −

1 − x2

∫

dx 1− x

Kx

+

2

(1 − x 2 )3

= − arcsin x + λ

⇒ Sehingga solusi akhirnya adalah sbb:

y =

− arcsin x + λ 1− x

2

x <1

, jika

h. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi kuncinya untuk mempermudah mencari penyelesaian!): 1.

y ′ cos x + y sin x = 1 (kunci: K ′ =

2.

1 cos 2 x

dan y = sin x + λ cos x )

x y ′ − y = ln x (kunci: K ′ =

3. t

ln x x2

dan y = − ln x − 1 + λ x )

di + 2 i = sin t dt

(kunci: K ′ = t sin t dan i = 4.

(1 + x ) y′ +

− t cos t + sin t + λ

y = 1 + ln ( x + 1)

t2

(kunci: K ′ = 1 + ln (x + 1) dan y = ln ( x + 1) + 5.

x y ′ + y = arctan x (kunci: K ′ = arctan x dan y = arctan x −

)

λ x +1

)

(

)

1 λ ln 1 + x 2 + ) 2x x



2.4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI a. Bentuk Umum:

y′ + a (x ) y = b (x ) y m dengan

a merupakan fungsi (sembarang) dalam x , a = a ( x ) b merupakan fungsi (sembarang) dalam x , b = b ( x ) m merupakan tetapan bilangan nyata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan 1 (nilai-nilai yang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER).

Jika m > 0 , akan diperoleh persamaan-persamaan yang jelas lebih mudah untuk diselesaikan. b. Metode Penyelesaian: 1. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, yaitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor y m , sehingga

y′ y

m

+ a (x )

1 y

m −1

= b (x )

2. Lakukan substitusi fungsi yang dicari, yang didefinisikan sebagai:

z = 1 y m −1 3. Karena y merupakan fungsi dari x , maka turunan dari fungsi z adalah:

z′ = (1 − m)

y′ ym

4. Sehingga, solusi dari PD yang dimaksudkan dapat ditulis sebagai:



z′ + a (x ) z = b (x ) 1− m Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder 1. c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut, yang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI:

x y′ + 3 y = x 2 y 2 Penyelesaian: Persamaan di atas memiliki harga m = 2 . Bagilah kedua suku dengan y 2 sehingga diperoleh:

x y′ y2

+

3 = x2 y

Dimisalkan,

z =

1 y

dengan turunannya terhadap variabel z ,

z′ = −

y′ y2

sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel z :

− x z′ + 3 z = x 2 sebagai PD Linier berorder 1, dengan solusi sebagai berikut:

z = (1 + λ x ) x 2 Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut:

y =

1

(1 + λ x ) x 2



d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penyelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncinya. 1.

y′ + y = x y 3 (kunci: y 2 =

2.

λ e2 x + x +

)

1 2

y ′ = y (1 + x y ) (kunci: y =

3.

1

1

λ e− x − x + 1

x y′ = y 2 (kunci: y = ( 1 + λ x )2 ) y −

4. 2 x y y ′ + y 2 = x (kunci: y 2 = 5.

λe

2x

+ x+

1 2

)

y′ − y = x y 6 (kunci: y 5 =

6.

1

1

λ e − 5 x − x + 15

)

y ′ + y tan x + y 2 = 0 cos x (kunci: y = ) sin x + λ

7. Carilah KURVA INTEGRAL yang melalui titik x = 1, y = 1 dari PD yang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut:

x y′ + y = x y 3 (kunci: y 2 =

1 2 x + λ x2

, dan λ = −1)



2.5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI a. Bentuk Umum:

y′ = a (x ) y 2 + b (x ) y + c (x ) dengan

a , b , dan c merupakan fungsi-fungsi dalam x .

b. Metode Penyelesaian: 1. PD yang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFIK y1 , sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi yang akan dicari berbentuk:

y = y1 + z 2. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi:

y1′ + z ′ = a ( x )( y1 + z )2 + b ( x )( y1 + z ) + c ( x ) 3. Karena y1 merupakan SOLUSI SPESIFIK (khusus) dari Persamaan RICCATI, maka:

y1′ = a ( x ) y12 + b ( x ) y1 + c ( x )

4. Melalui penyederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah 2 dan 3) di atas akan menghasilkan:

z ′ = a ( x ) z 2 + [ 2 a( x ) y1 + b( x ) ] z yang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan m = 2 . 5. Langkah-langkah selanjutnya adalah sesuai dengan penyelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-2A.4 di atas.



c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut yang berbentuk Persamaan RICCATI:

y2  1 y′ = −  2+ y + x + 2 x x  Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFIK y1 = x . Penyelesaian: Periksa terlebih dahulu bahwa y1 = x merupakan SOLUSI SPESIFIK, yaitu dengan memisalkan:

y = x+ z sehingga turunanya:

y′ = 1 + z′ kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas. Setelah disederhanakan, akan diperoleh:

x z′ − z 2 + z = 0 Untuk penyelesaiannya, bagilah kedua suku dengan z 2 sehingga diperoleh:

x z′ z

2

+

1 =1 z

Kemudian, misalkan:

u =

1 z

sehingga

u′ = −

z′ z2

dan

− x u′ + u = 1 mengarah pada solusi PD Linier, dalam u , sebagai berikut:

u = Kx +1



atau, solusi yang dikembalikan dalam variabel y :

1 Kx +1

y = x+

d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, yang disertakan pula persamaan atau solusi kuncinya. a.

x 3 y ′ + y 2 − 5 x 2 y + 2 x 4 = 0 , dimisalkan y1 = x 2 x3 (kunci: y = x + ) λ + x 2

cos x 2 sin x 1 + 2 sin 2 x b. y ′ = y + y − , dengan pemisalan integral sin x cos x 4 sin x cos 3 x 1 spesifiknya adalah y1 = 2 cos 2 x 1 1 (kunci: y = − + 2 2 cos x 1 − λ sin x

(

(y

)

c.

− y ′)cos x + y 2 cos 2 x + sin x = cos 3 x , dengan y1 = cos x cos x (kunci: y = cos x + ) λ − sin x

d.

y ′ = 5 y 2 e 3 x + 2 y + e x 1 + 5 e 4 x , dengan y1 = − e x 1 (kunci: y = − e x + ) λ e − 2 x − e3x

e.

y′ + y 2 =

(

1

)(

)

, dengan pemisalan y1 =

4 x4 1 1 1 (kunci: y = ) + + x 2 x2 x 2 λ e −1 x − 1

(

1 1 + x 2 x2

)



[P-2.1] PROYEK #1: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order 1 Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order 1 di bawah ini: a.

dy = e − xy dx

b.

y′ = y − x y 2

c.

cos x 2 sin x 1 + 2 sin 2 x dy = y − y + sin x cos x dx 4 sin x cos 3 x

secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [0, 1] dengan harga awal y (0 ) = 1 . Format jawaban: Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman 1 sampai dengan 26). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI yang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut. Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-KUTTA order 2 titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab 2 (halaman 8 sampai 12). Formula Runge-Kutta order-2 titik-tengah:

k1 = h f ( xi , yi ) k  h  k 2 = h f  xi + , yi + 1  2 2   yi +1 = yi + k 2 Formula Runge-Kutta order-2 nilai rerata:

k1 = h f ( xi , yi ) k 2 = h f ( xi + h, yi + k1 ) yi +1 = yi +

1 2

(k1 + k 2 )

Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel yang berbentuk



seperti di bawah ini: Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 TITIK-TENGAH

xi

yi

k1

k2

y * (xi )

0,0

1

....

...

...

0,1

....

....

...

...

0,2

....

....

...

...

0,3

....

....

...

...

0,4

....

....

...

...

0,5

....

....

...

...

0,6

....

....

...

...

0,7

....

....

...

...

0,8

....

....

...

...

0,9

....

....

...

...

1,0

....

....

...

...

dan, seperti di bawah ini: Metode Solusi: Runge-Kutta order-2 KELANDAIAN RERATA

xi

yi

k1

k2

y * (xi )

0,0

1

....

...

...

0,1

....

....

...

...

0,2

....

....

...

...

0,3

....

....

...

...

0,4

....

....

...

...

0,5

....

....

...

...

0,6

....

....

...

...

0,7

....

....

...

...

0,8

....

....

...

...

0,9

....

....

...

...

1,0

....

....

...

...



Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Recommend Documents