Soal dan Pembahasannya. 1. Perhatikan tabel di bawah ini! p
q
B
B
B
S
S
B
S
S
( p ® q ) Ú ~ q
Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ( p ® q ) Ú ~ q pada tabel di atas adalah Jawaban : p
q
( p ® q )
~ q
( p ® q ) Ú ~ q
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
2. Ingkaran dari pernyataan “ Jika saya lulus ujian, maka saya dibelikan motor” adalah Jawaban : Misalkan p : saya lulus ujian dan q : saya dibelikan motor Ingat kembali bahwa ~ ( p ® q ) º p Ù ~ q sehingga ingkarannya adalah “saya lulus ujian dan saya tidak dibelikan motor” 3. Perhatikan premis‑premis berikut! Premis 1 Jika A berseragam abu‑abu putih maka A pelajar SMA. Premis 2 Jika A siap memasuki dunia kerja maka A bukan pelajar SMA. Kesimpulan yang sah dari kedua premis di atas adalah … Jawaban : Premis 1 dapat ditulis p ® q Premis 2 dapat ditulis r ® ~ q º q ® ~ r Kesimpulan p ® ~ r atau Jika A berseragam abu‑abu putih maka A belum siap memasuki dunia kerja æ (3 a )3 . b - 2 . c ö 4. Bentuk sederhana dari çç -1 -2 ÷÷ adalah … è 9 a . b . c ø Jawaban : æ (3 a ) 3 . b -2 . c ö 27 a 3 . b -2 . c 3 a 4 . c 3 ç -1 -2 ÷ = ç 9 a . b . c ÷ 9 a -1 . b . c - 2 = b 3 è ø
[email protected]
Page 1
5. Bentuk sederhana dari : 125 + 9 45 - 500 = ... Jawaban : 125 + 9 45 - 500 = 5 5 + 27 5 - 10 5 = 22 5 6. Bentuk sederhana dari 3 log5. 7 log 6. 25 log 7. 6 log 27 adalah … log 5 log 6 log 7 log 27 log 5 log 27 3 Jawaban : x x x = x = log 3 log 7 log 25 log 6 log 25 log 3 2 7. Koordinat titik puncak grafik fungsi dengan persamaan y = 2x 2 – 8x + 4 adalah … Jawaban : absis titik puncak : x =
- b 8 = = 2 2a 4
ordinat titik puncak : y = 2.2 2 – 8.2 + 4 =
‑ 4, jadi puncaknya (2, ‑ 4)
8. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar berikut ini adalah … y 0 2
x (3,2)
Jawaban : Grafik tersebut melalui (3, ‑2). Jika x = 3 disubstitusikan ke pilihan‑pilihan jawaban hanya y = 2x 2 – 12x + 16 yang memberikan nilai y = ‑2 9. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1dan g(x) = 3x ‑2, maka rumus fungsi (fog)(x) = … Jawaban : (fog)(x) = 2(3x ‑ 2) + 1 = 6x ‑ 3 2 - 5 x 1 10. Invers dari fungsi f(x) = , x ¹ - adalah f ‑1 (x) = … 3 x + 1 3 ax + b - dx + b Jawaban : Jika f ( x ) = maka f - 1 ( x ) = . Berdasarkan hubungan cx + d cx - a 2 - 5 x - x + 2 5 tersebut invers dari f ( x ) = adalah f - 1 ( x ) = , x ¹ - . 3 x + 1 3 x + 5 3 2 11. Himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat 5x + 3x ‑ 6 = 0 adalah … Jawaban : Perhatikan pemfaktoran berikut 5 x 2 + 13 x - 6 = (5 x - 2 )( x + 3 ) = 0 . Penyelesaiannya adalah x =
[email protected]
2 dan x = ‑ 3. 5
Page 2
12. Persamaan kuadrat 2x 2 + 6x ‑ 1 = 0, mempunyai akar‑akar α dan β, nilai dari α 2 + β 2 = … 2
æ - 6 ö æ 1 ö Jawaban : α 2 + β 2 = (α + β) 2 ‑ 2 α β = ç ÷ - 2 . ç - ÷ = 10 è 2 ø è 2 ø
13. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 12 ‑ 4x – x 2 < 0 adalah … Jawaban : pembuat nol 12 ‑ 4x – x 2 = (‑x + 2)(x + 6) adalah x =2 dan x = ‑6.
Nilai‑nilai tersebut menghasilkan tiga interval, interval yang memenuhi pertidaksamaan adalah {x/x < ‑ 6 atau x > 2} 14. Jika 4x + 5y = 2 dan 3x + 2y = 5 mempunyai himpunan penyelesaian {(x,y)}, maka nilai x 2 – y 2 = … Jawaban : Dengan menggunakan metode eliminasi padat diperoleh x = 3 dan y = ‑ 2 sehingga x 2 – y 2 = 5 15. Budi membeli 3 buku tulis dan 2 pensil dengan harga Rp 9.000,00. Jika harga sebuah buku Rp 500,00 lebih mahal dari harga sebuah pensil, maka harga sebuah buku dan sebuah pensil adalah ... Jawaban : misalkan harga satuan buku adalah x dan harga satuan pensil adalah y. Berdasarkan data pada soal dapat dibuat sistem persamaan linier ; 3x + 2y = 9.000 dan x – y = 5000. Jika SPL tersebut diselesaikan akan diperoleh harga sebuah pensil dan sebuah buku adalah Rp 3.500,00 16. Daerah yang diarsir pada gambar merupakan penyelesaian
suatu
pertidaksamaan.
sistem Nilai
maksimum untuk 5x + 4y dari daerah
y
himpunan
penyelesaian
adalah …
6 4
tersebut 0
4
8
x
Jawaban : garis yang melalui (0,4) dan (8,0) adalah 2x + 4y = 16, sedangkan garis yang melalui (0,6) dan (4,0) adalah 3x + 2y = 12. Titik potong kedua garis tersebut adalah (2,3). Jika kita substitusika titik‑titik (0,4), (2,3), dan (4,0), ke fungsi tujuan 5x + 4y maka diperolh nilai maksimum adalah 22.
[email protected]
Page 3
17. Daerah
penyelesaian
sistem
pertidaksamaan linier : 2x + y ³ 8 ; x + 2y ³ 12 ; y ³ 3 ; x ³ 0 yang ditunjukkan
8 6 I II
gambar berikut adalah … Jawaban : perhatikan bahwa tanda
IV 3
pada SPL adalah “³”. Ini berarti daerah yang dimaksud adalah daerah di
III
VI 0
V 4
12
kanan dan di atas semua garis. Jadi daerah penyelesaiannya adalah II 18. Ari memiliki modal Rp 10.000.000,00. Ia membeli sepeda jengki dengan harga satuan Rp 300.000,00 dan sepeda mini dengan harga satuan Rp 250.000,00. Kiosnya hanya mampu menampung 16 sepeda. Model matematika dari persoalan di atas adalah … Jawaban : Misalkan banyak sepeda jengki dan sepeda mini yang dibeli Ari berturut‑turut adalah x dan y. Kiosnya hanya mampu menampung 16 sepeda berarti x + y £ 16; modalnya Rp 10.000.000,00 sehingga ia tidak akan berbelanja lebih dari modalnya tersebut. Ini berarti 300.000x + 250.000y £ 10.000.000 atau dapat disederhanakan menjadi 6x + 5y £ 200. 19. Seorang pedagang minuman membeli dua jenis minuman tidak lebih dari 25 buah botol minuman. Harga sebuah botol minuman jenis A adalah Rp 6.000,00 dan minuman jenis B Rp 8.000,00 per botol. Modal yang dimilikinya hanya Rp 168.000,00. Jika laba penjulan sebuah minuman jenis A dan B masing‑masingRp 2.000,00 dan Rp 3.000,00 maka laba maksimum yang diperoleh jika terjual semua adalah … Jawaban : Masalah program linier yang harus diselesaikan adalah : x + y ≤ 25 ; 6.000x + 8.000y ≤ 168.000; 0 ≤ x ; 0 ≤ y, sedangkan fungsi tujuannya adalah Z = 2.000x + 3.000y daerah penyelesaian masalah di atas dapat dilihat pada gambar berikut.
[email protected]
Page 4
Titik‑titik sudut daerah yang diarsir adalah (0,0), (0,21),(25,0), dan (16,9). Jika tiap‑tiap titik disubstitusikan ke fungsi tujuan maka akan diperoleh laba maksimum sebesar Rp 63.000,00. é x 4 ù é2 z - 3 y 2 x + 1 ù é- 17 6 ù 20. Diketahui matriks A = ê , B = ê , dan C = ê ú ú ú y + 7 û ë2 y 3 z û ë x ë 2 - 2 û Jika B t adalah transpos matriks B dan A – 2B t = C maka nilai x + y + z = … 2 x ù é - 17 6 ù é x 4 ù é4 z - 6 y Jawaban : A – 2B t = C Û ê -ê ú ú=ê ú ë2 y 3 z û ë 4 x + 2 2 y + 14 û ë 2 - 2 û Dari hubungan di atas dapat dilihat bahwa : 4 – 2x = 6 Û x = ‑2 sehingga selanjutnya diperoleh y = 0 dan z = 4. Jadi x + y + z = 3 é2 1 ù é 1 0 ù 21. Diketahui matriks A = ê dan B = ê ú ú . Jika AB = C maka nilai ë3 2 û ë 2 3 û determinan C adalah … Jawaban : Perhatikan bahwa A B = C . Det A = 2.2 – 1.3 = 1, Det B = (‑1).(‑3) – 0.2 = 3. Jadi Det C = 1 . 3 = 3 é- 12 14 ù 22. Diketahui matriks A = ê ú. ë - 3 4 û Jika A ‑1 adalah invers matriks A maka = A ‑1 .. é 2 7 ù 4 14 ê- 3 3 ú é ù 1 Jawaban : A - 1 = = ê ú ( -12 . 4 ) - ( 14 . - 3 ) êë- 3 - 12 úû ê- 1 2 ú ë 2 û 23. Diketahui barisan aritmetika dengan suku kelima adalah 17 dan suku ke‑12 adalah 38. Jumlah 15 suku pertama barisan tersebut adalah … Jawaban : a + 4b = 17 a + 11b = 38 ‑ ‑7b = ‑21 àb = 3 dan a = 5 15 S15 = ( 2 . 5 + ( 15 - 1 ) 3 ) = 390 2 24. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 8 dan suku ke‑6 adalah ¼. Suku ke‑10 barisan tersebut adalah … Jawaban : a = 8, ar 5 = ¼ 1 9 ar 5 4 1 1 1 æ 1 ö = Û r 5 = ® r = sehingga U 10 = ar 9 = 8 . ç ÷ = a 8 32 2 64 è 2 ø
[email protected]
Page 5
1 + ... adalah … 4 1 a 4 16 Jawaban : a = 4, r = sehingga S ~ = = = 4 1 - r 1 - 1 3 4
25. Jumlah tak hingga 4 + 1 +
26. Nilai dari lim x ® -3
Jawaban : lim x ® -3
9 x 2 = ... x 2 - 3 x - 18 9 x 2 (3 x)(3 + x) 3 - -3 2 = lim = =2 x - 3 x - 18 x ®-3 ( 3 + x )( x - 6 ) - 3 - 6 3
)
(
27. Nilai dari lim x 2 + x - x 2 - x = ... x ® ¥
Jawaban : Ingat bahwa lim ax 2 + bx + c - px 2 + qx + r = x ® ¥
)
(
Jadi lim x 2 + x - x 2 - x = x ® ¥
28. Jika diketahui f ( x ) =
b - q 2 a
asalkan a = p
1 - -1 = 1 2 1
x 2 + 4 1 , x ¹ maka turunan pertama f(x) untuk x = 2 2 x - 1 2
adalah f’(2) = … Jawaban : f ' ( x ) = f ' ( 2 ) =
( 2 x - 1 ).( 2 x ) - ( x 2 + 4 )( 2 ) ( 2 x - 1 ) 2
( 2 . 2 - 1 ).( 2 . 2 ) - ( 2 2 + 4 )( 2 ) 4 =2 ( 2 . 2 - 1 ) 9
5 yang melalui titik A(3,1) adalah .. x + 2 Jawaban : misalkan gradien garis singgung adalah m. 5 1 m = y ' = . Di tit1k A gradiennya bernilai - , sehingga persamaan 2 (x + 2) 5
29. Persamaan garis singgung kurva y =
garis singgung dengan gradien m dan melalui titik A adalah : 1 y - 1 = - ( x - 3 ) Û x + 5 y = 8 5 30. Nilai minimum dari fungsi f(x) = 2x 2 ‑ 6x + 7 adalah … b Jawaban : nilai minimum dicapai saat x = ‑ 2 a 2
1 æ - 6 ö æ 3 ö æ 3 ö æ 3 ö f ç - ÷ = f ç ÷ = 2 ç ÷ - 6 ç ÷ + 7 = 2 2 è 2 . 2 ø è 2 ø è 2 ø è 2 ø
[email protected]
Page 6
31. Hasil penjualan x buah tas sekolahdinyatakan oleh fungsi f(x) = 80x – 2x 2 (dalam ribuan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang dicapai adalah … b Jawaban : nilai maksimum dicapai saat x = ‑ 2 a 80 f ( - ) = f ( 20 ) = 80 . 20 - 2 ( 20 ) 2 = 800 (dalam ribuan rupiah). Jadi 2 ( -2 ) penjualan maksimum yang dicapai adalah Rp 800.000,00 32. Di sebuah taman terdapat 3 kursi yang disusun sebaris. Ada 5 orang yang akan duduk di kursi‑kursi tersebut. Bila sebuah kursi hanya boleh diduduki oleh satu orang, maka banyak cara mereka dapat duduk di kursi‑kursi tersebut adalah … 5! Jawaban : 5P3 = = 60 cara ( 5 - 3 )! 33. Banyak susunan huruf yang terdiri atas 4 huruf yang diambildari huruf‑ huruf pada kata “PELUANG” adalah … Jawaban : kata “PELUANG” terdiri dari 7 huruf, sehingga susunan 4 huruf 7! yang dapat dibuat adalah 7P4 = = 840 susunan ( 7 - 4 )! 34. Banyak pasangan pemain bulu tangkis ganda putri yang dapat disusun dari 6 pemain putri adalah … Jawaban : dari 6 pemain akan dipilih dua‑dua sehingga banyak pasangan 6! ganda yang dapat dibentuk adalah 6C2 = = 15 pasang ( 6 - 2 )!. 2 ! 35. Berdasarkan hasil penelitian penduduk suatu daerah tertentu, 40% berpenghasilan rendah, 20 % berpenghasilan sedang, dan 15% berpenghasilan lebih. Jika dipilih satu warga secara acak, maka peluang warga yang berpenghasilan rendah atau sedang adalah … Jawaban : P( R atau S) = 40% + 20% = 60% = 0,6 36. Pada percobaan lempar undi dua buah dadu sebanyak 1.080 kali, besarnya frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 6 adalah … Jawaban : X = {(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}, n(X) = 5 5 F(X) = P(X) x banyak lemparan = x 1 . 080 = 150 kali 36
[email protected]
Page 7
37. Diagram lingkaran berikut menyatakan jenis ekstrakurikuler yang diikuti 600 siswa. Banyak siswa yang mengikuti kegiatan PMR adalah … Jawaban :
Pramuka 40%
Bela Diri 10%
Olah Raga 30%
Paskibra 5% PMR
Persentase peminat PMR = 100% ‑ 85% = 15% Banyak siswa yang mengikuti kegiatan PMR adalah 15% x 600 = 90 orang 38. Perhatikan tabel nilai ulangan matematika di bawah ini! Nilai
Frekuensi
20 – 24
2
25 – 29
5
30 – 34
7
35 – 39
10
40 – 44
9
45 ‑ 49
7
Median dari nilai ulangan matematika adalah … Jawaban : Nilai
Frekuensi
Fk
20 – 24
2
2
25 – 29
5
7
30 – 34
7
14
Fkb = 14
35 – 39
10
24
Tempat Q2; f = 10
40 – 44
9
33
Tb = 35 – 0,5 = 34,5
45 ‑ 49
7
40
Panjang interval (i) = 5
Median ( Q 2 ) = Tb + (
1 Sf - Fkb 2 ). i = 34 , 5 + ( 20 - 14 ) 5 = 34 , 5 + 3 = 37 , 5 f 10
[email protected]
Page 8
39. Kuartil bawah dari distribusi frekuensi berikut adalah … Nilai
Frekuensi
50 – 53
4
54 – 57
5
58 – 61
3
62 – 65
2
66 – 69
6
Jawaban : Nilai
Frekuensi
Fk
50 – 53
4
4
Fkb = 4
54 – 57
5
9
Tempat Q1; f = 5
58 – 61
3
12
Tb = 54 – 0,5 = 53,5
62 – 65
2
14
Panjang interval (i) = 4
66 – 69
6
20
Q 1 = Tb + (
1 Sf - Fkb 4 ). i = 53 , 5 + ( 5 - 4 ) 4 = 53 , 5 + 0 , 8 = 54 , 3 f 5
40. Nilai ragam dari data : 2, 2, 3, 3, 3, 5, 4, 5, 6, 7 adalah …
(
)
2
å x - x Jawaban : Rumus ragam adalah v = . Sebelum mencari simpangan (n ) baku dari data, kita tentukan dulu rata‑rata data tersebut. x = x
(x ‑ x )
(x ‑ x )2
2
‑2
4
2
‑2
4
3
‑1
1
3
‑1
1
3
‑1
1
4
0
0
5
1
1
5
1
1
6
2
4
7
3
9
(
å x 40 = = 4 n 10
)
2
26 13 å x - x v = = = (n ) 10 5
2 å ( x - x ) = 26
[email protected]
Page 9
