České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická
Semestrální práce z předmětu Pravděpodobnost, statistika a teorie informace Životnost LED diod
Autor: Joel Matějka
Praha, 2012
Obsah 1 Úvod
3
2 Měření dat
4
3 Hypotéza
6
4 Výpočet parametrů Weibullova rozdělení
8
5 Testování hypotézy
9
6 Závěr
10
2
1 Úvod Přemýšlel jsem nad nějakým užitečným a zajímavým tématem, které bych mohl případně později v oboru využít, a nebylo by to pouze kopírování a testování dat z internetu. Proto jsem si zvolil následující zadání semestrální práce. Provedu zrychlené testování životnosti LED diod a ověřím zda má životnost Weibullovo rozdělení. Dle přednášek jsem se domníval, že se jedná o rozdělení exponenciální, protože LED diody jsou polovodičové součástky, avšak po změření dat jsem zjistil, že se projevilo opotřebení. Pátral jsem po jiném, příhodnějším, rozdělení. Nalezl jsem Weibullovo rozdělení, které je široce používáno pro testování životností - bezporuchovostí. Toto rozdělení pokrývá exponenciální a Rayleighovo rozdělení, a aproximuje normální a logaritmicko-normální rozdělení.
Obrázek 1.1: Jedna z testovacích destiček.
3
2 Měření dat Na dvě destičky jsem připájel celkem 47 LED diod, které jsem v elektrické troubě vystavil teplotě 150°C a nadměrnému proudu (cca 10-ti násobek doporučeného). Tyto podmínky jsem stanovil z přibližného odhadu, že zvýšení provozní teploty o 10°C sníží životnost cca na 1/2 a zvýšení proudu o 10mA sníží životnost na cca 2/3. K testování jsem použil „no name“ LED diody z Číny bez informace o životnosti od výrobce. Životnosti LED diod se pohybují kolem 100 000 - 1 000 000h. Předpokládal jsem, že levné čínské diody budou mít životnost značně kratší. Životnost LED diod udávaná výrobci neznamená střední hodnotu do vysvícení, ale znamená to, že po udané době musí pracovat více než 50 % diod se svítivostí 70 %. Při svém měření jsem si stanovil referenční hranici svítivosti, po které jsem považoval diodu za mrtvou. Před diody jsem dal do vzdálenosti 1cm papír, který osvětlovaly a na obrázku 2.1 jsou vidět různé svítivosti.
Obrázek 2.1: LED dioda: plně svítící, ještě svítící, mrtvá. Původně jsem odhadoval životnost na cca 5 minut při nastavených podmínkách, po prvních testech jsem došel ke 2 minutám. Kratší čas jsem uvítal, protože se za 2 minuty „dala zanedbat“ změna teploty v troubě, která by se mohla při delším čase negativně promítnout. Při vlastním měření se mi nejspíše podařila nastavit větší teplota v troubě, jelikož všechny diody odešly 1,5 minuty. Zapojení bylo dle schématu na obrázku 2.2.
Obrázek 2.2: Schéma zapojení.
4
2 Měření dat
Použil jsem odpory s tolerancí 1 %, které zapojením paralelně získaly toleranci 0,5 % a větší maximální ztrátový výkon. Celý proces destrukce diod byl zaznamenán kamerou se 30fps. Při analýze záznamu jsem se omezil pouze na jedno desetinné místo sekund. Naměřené a seřazené hodnoty jsou v tabulce 2.1: 48,7 53,1 54,0 58,9 62,3 62,3 64,4 64,8 65,1 65,2
65,3 65,5 65,6 67,1 67,1 67,9 68,2 68,2 68,3 68,4
68,6 69,0 69,5 69,8 70,2 71,2 71,9 71,9 72,4 72,7
73,2 73,9 74,5 74,5 74,6 74,6 75,0 75,2 75,6 76,1
76,4 76,6 77,7 77,9 78,4 79,6 80,4
Tabulka 2.1: Tabulka naměřených hodnot.
5
3 Hypotéza Hypotéza H0 - Naměřené hodnoty mají na hladině významnosti 0,05 Weibullovo rozdělení s parametry1 k a λ, případně mají normální rozdělení2 . Na obrázku 3.1 jsou pro porovnání podobnosti hustot obou zmíněných rozdělení s danými parametry a na obrázku 3.2 jsou empirické distribuční funkce pro Weibullovo a normální rozdělení.
Distribution Plot 0,07
Distribution M ean S tDev N ormal 69,61 6,855 Distribution S hape S cale Thresh Weibull 13,19 72,47 0
0,06
Density
0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 40
50
60 70 80 LED lifetime [sec]
90
Obrázek 3.1: Porovnání hustot Weibullova a normálního rozdělení.
1 Parametry
jsou vypočtené v kapitole Výpočet parametrů Weibullova rozdělení. se naměřené hodnoty také podobaly normálnímu rozdělení, rozhodl jsem se je otestovat také na normální rozdělení.
2 Protože
6
3 Hypotéza
Empirical CDF of LED lifetime Weibull Shape 13,19 Scale 72,47 N 47
100
Percent
80
60
40
20
0 50
55
60
65 70 LED lifetime [sec]
75
80
85
Empirical CDF of LED lifetime Normal Mean StDev N
100
69,61 6,855 47
Percent
80
60
40
20
0 50
60
70 LED lifetime [sec]
80
90
Obrázek 3.2: Empirické distribuční funkce Weibullova a normálního rozdělení.
7
4 Výpočet parametrů Weibullova rozdělení Parametry Weibullova rozdělení jsem si, po neúspěšných pokusech v ruce, nechal vypočítat statistickým softwarem. Získal jsem následující výsledky: k = 13.19 (shape) a λ = 72.47 (scale). Pro normální rozdělení vyšlo E( X ) = 69.61 a σ = 6.855.
Histogram of LED lifetime Weibull 14
Shape 13,19 Scale 72,47 N 47
12
Frequency
10 8 6 4 2 0 48
56
64 LED lifetime [sec]
72
80
Obrázek 4.1: Histogram rozdělení (první čtyři a poslední dvě části byly sloučeny).
8
5 Testování hypotézy Pro testování hypotézy jsem zvolil χ2 test dobré shody. Naměřené hodnoty jsem rozdělil do 5-ti částí tak, aby splňovaly podmínky použitelnosti testu. Grafické znázornění je na obrázku 4.1. V tabulce jsou četnosti v jednotlivých kategoriích a vypočítaný χ2 dle vzorce ( X − N p )2
χ2 = ∑ik=1 i N pi i kde k je počet částí, Xi jsou naměřené četnosti v dané části, N je velikost vzorku a pi jsou očekávané pravděpodobnosti v dané části. Části 0 - 62 62 - 66 66 - 70 70 - 74 74 a více celkem
Xi 4 9 11 8 15 47
N pi 5,634094428 6,242183721 10,16514307 12,36905377 12,58952501 47
pi 0,11987435 0,13281242 0,21627964 0,263171357 0,267862234 1
∑ 0,473947434 1,218411852 0,068566284 1,543257166 0,461525729 3,765708465
Části 0 - 62 62 - 66 66 - 70 70 - 74 74 a více celkem
Xi 4 9 11 8 15 47
N pi 6,273073845 7,790630031 10,50247687 10,16900279 12,26481646 47
pi 0,133469656 0,165758086 0,223456955 0,216361761 0,260953542 1
∑ 0,823657561 0,18773523 0,023568656 0,462638589 0,6099748 2,107574836
Tabulka 5.1: Tabulka četností pro Weibullovo rozdělení a pro normální rozdělení. P-hodnotu jsem určil ze vzorce p = 1 − Fχ2 (η ) (χ2vyp ), přičemž jsou 4 stupně volnosti. P-hodnota vyšla pro Weibullovo rozdělení 0,438641274 a pro normální 0,715980887. Pro oba výsledky platí p > 0, 05 a tudíž H0 na hladině významnosti 0,05 nezamítáme.
9
6 Závěr V této práci jsem získal číselná data provedením zrychleného testu životnosti. Dále jsem data zpracoval a aplikoval na ně χ2 test dobré shody. Na hladině významnosti 0,05 jsem hypotézu, že naměřená data odpovídají Weibullovu rozdělení, nezamítl. Vzhledem k parametrům Weibullova rozdělení je toto rozdělení podobné normálnímu, pro které jsem hypotézu na hladině významnosti 0,05 také nezamítl. Tento výsledek je ovšem zatížen mnohými chybami, které jsem se snažil při počítání a měření eliminovat. Mezi možné chyby by mohlo patřit nevhodné rozdělení na části při χ2 testu, nevyváženost teploty v troubě a proudění vzduchu, běžným multimetrem nezměřitelná tolerance rezistorů či nepatrné změny napětí generovaného spínaným zdrojem. V domácích podmínkách se mi nepodařilo přesně definovat teplotu v troubě. Termostat teplotu řídí ±15°C a ještě k tomu reaguje pomalu na změny teploty, proto jsou naměřené teploty cca poloviční než jsem původně předpokládal, nicméně hypotézu se nepodařilo zamítnout ani s těmito daty. Bohužel se nedá nic říct o skutečné životnosti LED diod v normálním podmínkách, protože nebyla jasně definovaná teplota a svými prostředky nedokážu změřit svítivost tak, abych mohl říci, že je právě na 70 % původní svítivosti.
10
Literatura [1] Barlow, R. a kol.: Mathematical Theory of Reliability. John Wiley & Sons 1967, 256 s. [2] NAVARA, Mirko. Pravděpodobnost a matematická statistika. Vydání první. Praha: Nakladatelství ČVUT, 2007. 240 s. ISBN 978-80-01-03795-9. [3] Loveday, G: Electronic Testing and Fault Diagnosis. Longman Scientific and Technical London 1989, 257 s.
11
