JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 23 - 29
REPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI ππ Yosafat Eka Prasetya Pangalela Institut Teknologi Bandung
[email protected] Hendra Gunawan Institut Teknologi Bandung ABSTRACT. In this paper, the concept of 2-functionals will be introduced. The concept of bounded linear 2-functionals will be studied as an extension. We also discuss the 2-dual space of π π , which is the space of bounded linear 2-functionals of π π completed by some norm.
Keywords: 2-functionals, 2-dual space, ππ spaces. ABSTRAK. Di dalam makalah ini, konsep mengenai fungsional-2 akan diperkenalkan. Lebih jauh, konsep fungsional-2 linear terbatas akan dipelajari sebagai perluasan. Kita juga akan mendiskusikan ruang dual-2 dari π π , yakni ruang semua fungsional-2 linear terbatas pada π π yang dilengkapi dengan norm tertentu.
Kata Kunci: Fungsional-2, ruang dual-2, ruang ππ .
1. PENDAHULUAN Di ruang norm, kita telah mengenal konsep mengenai fungsional yang selanjutnya dikembangkan menjadi fungsional linear terbatas dan ruang dual. Berdasarkan hal tersebut, kita akan mendefinisikan fungsional-2 yang akan dikembangkan juga menjadi fungsional-2 linear terbatas dan ruang dual-2. Konsep mengenai fungsional-2 linear terbatas sendiri sebenarnya telah dibahas oleh White (1969), Gozali dkk (2010) dan GΓΌrdal dkk (preprint), tetapi definisi fungsional-2 linear terbatas yang mereka gunakan mengharuskan domain ruang norm-2. Di sini, kita akan mengembangkan definisi fungsional-2 linear terbatas yang telah ada dan dilanjutkan dengan mendefinisikan ruang dual-2.
24
Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
Pertama-tama, akan diberikan definisi mengenai norm-2 terlebih dahulu:. Definisi 1.1. Misal π adalah ruang vektor real berdimensi π β₯ 2. Fungsi bernilai real β β,β β pada π 2 yang memenuhi keempat sifat berikut: 1) βπ₯1 , π₯2 β β₯ 0 untuk setiap π₯1 , π₯2 β π; βπ₯1 , π₯2 β = 0 jika dan hanya jika π₯1 , π₯2 bebas linear; 2) βπ₯1 , π₯2 β = βπ₯2 , π₯1 β untuk setiap π₯1 , π₯2 β π; 3) βΞ±π₯1 , π₯2 β = |Ξ±|βπ₯1 , π₯2 β untuk setiap Ξ± β β dan π₯1 , π₯2 β π; 4) βπ₯ + π₯β², π₯2 β β€ βπ₯, π₯2 β + βπ₯β², π₯2 β untuk setiap π₯, π₯β², π₯2 β π, disebut norm-2 pada π, dan pasangan (π,β β,β β) disebut ruang norm-2. Sebagai contoh, π = β2 dengan norm-2 berikut: π₯11 π₯12 βπ₯1 , π₯2 β βΆ= |det (π₯ )| 21 π₯22 dimana π₯π = (π₯π1 , π₯π2 ) , i β {1,2}, merupakan ruang norm-2. Konsep norm-2 sendiri dikembangkan oleh GΣhler (1964) sebagai perluasan dari konsep norm yang telah ada. Berbagai sifat mengenai norm-2 telah diteliti oleh White (1969) dan GΓΌrdal dkk (preprint). Selanjutnya, kita definisikan fungsional-2 yang kemudian akan diperluas menjadi fungsional-2 linear maupun fungsional-2 linear terbatas. Definisi 1.2. Misal π adalah ruang vektor real. Fungsi π dari π Γ π ke β disebut fungsional-2. Selanjutnya, fungsional-2 π yang memenuhi sifat-sifat berikut: 1) π(π₯1 + π₯2 , π¦1 + π¦2 ) = π(π₯1 , π¦1 ) + π(π₯1 , π¦2 ) + π(π₯2 , π¦1 ) + π(π₯2 , π¦2 )
untuk
semua π₯1 , π₯2 , π¦1 , π¦2 β π; 2) π(Ξ±π₯, Ξ²π¦) = Ξ±Ξ²π(π₯, π¦), untuk semua π₯, π¦ β π dan Ξ±, Ξ² β β, disebut fungsional-2 linear. Definisi 1.3. Misal π adalah fungsional-2 pada ruang norm (π,β β β) (ruang norm-2 (π,β β,β β)).
Jika
terdapat
konstanta
K>0
sedemikian
sehingga
|π(π₯, π¦)| β€ Kβπ₯ββπ¦β (|π(π₯, π¦)| β€ Kβπ₯, π¦β) untuk setiap π₯, π¦ β π, maka π dikatakan terbatas di (π,β β β) (terbatas di (π,β β,β β)).
Representasi Fungsional-2 di ππ
25
Sebagai contoh, bila π = β2 maka fungsi π pada π Γ π yang didefinisikan dengan π(π₯1 , π₯2 ) = (π₯11 + π₯12 ) (π₯21 + π₯22 ) dimana π₯π = (π₯π1 , π₯π2 ) , i β {1,2}, merupakan fungsional-2 linear pada β2 . Lebih jauh, bila kita melengkapi β2 dengan norm βββ yang didefinisikan dengan βπ¦β β βy1 2 + y2 2 dimana
π¦ = (π¦1 , π¦2 ),
maka
kita
dapat
membuktikan
bahwa
|π(π₯1 , π₯2 )| β€ 2βπ₯1 ββπ₯2 β untuk setiap π₯1 , π₯2 anggota β2 dengan menggunakan pertidaksamaan CauchySchwarz. Akibatnya, π adalah fungsional-2 linear terbatas di (β2 ,β β β). Tetapi π bukan fungsional-2 linear terbatas di (β2 ,β β,β β) dimana β β,β β adalah norm-2 pada β2 yang diberikan sebagai contoh di atas. Kita dapat melihat bahwa fungsional-2 linear terbatas di π yang didefinisikan oleh White (1969), Gozali dkk (2010) dan GΓΌrdal dkk (preprint) sebenarnya adalah fungsional-2 linear terbatas di ruang norm-2 (π,β β,β β). Di sini, kita tidak akan membahas lebih lanjut mengenai fungsional-2 linear terbatas di ruang norm-2 (π,β β,β β), tetapi kita akan membahas mengenai fungsional-2 linear terbatas di ruang norm (π,β β β). Diilhami oleh ruang dual di ruang norm, himpunan dari fungsional2 linear terbatas pada ruang norm (π,β β β) akan membentuk ruang vektor, yang selanjutnya disebut ruang dual-2 dari (π,β β β). Ruang ini akan menjadi ruang norm dengan norm βββ yang didefinisikan sebagai berikut: βπβ βΆ=
sup
π₯,π¦βπ βπ₯β,βπ¦ββ 0
|π(π₯, π¦)| . βπ₯ββπ¦β
Kita telah mengetahui bahwa ruang dual dari π1 adalah π β dan ruang dual π π adalah π π , dimana 1 < π < β dan
1
1
+ π = 1 (Kreszig (1978)). Berdasarkan itu, kita π
akan membahas mengenai ruang dual-2 dari (π π ,β β βp ).
26
Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
2. RUANG DUAL-2 DARI (π π ,β β βp ). Untuk mengidentifikasi ruang dual-2 tersebut, kami akan memberikan definisi sebuah ruang barisan ganda terlebih dahulu. 1
Definisi 2.1. Misal 1 β€ π < β dan
π
1
+ π = 1. Barisan ganda real π₯ = (π₯ππ )
π dikatakan berada di πβΓβ jika β
1 π π
β
sup [β |β ππ π₯ππ | ] < β
βπβπ =1
π=1 π=1
dimana β β βq adalah norm di π π berdasarkan Kreszig (1978). Selanjutnya, β
βπ₯βπ π
βΓβ
β
1 π π
βΆ= sup [β |β ππ π₯ππ | ] . βπβπ =1
π=1 π=1
β Untuk π = β, barisan ganda real π₯ = (π₯ππ ) dikatakan berada di πβΓβ jika β
sup sup |β ππ π₯ππ | < β.
βπβ1 =1 πββ
π=1
Selanjutnya, β β βΆ= sup sup |β ππ π₯ππ |. βπ₯βπβΓβ
βπβ1 =1 πββ
π=1
Sekarang kita akan masuk ke inti pembahasan, yaitu hubungan antara π ruang dual-2 dari (π π ,β β βp ) dengan ruang πβΓβ .
Teorema 2.2. Bila 1 < π < β dan
1 π
1
+ π = 1, maka ruang dual-2 dari (π π ,β β βπ )
π adalah πβΓβ . π Bukti. Ambil π = (πππ ) β πβΓβ . Ambil π, π β π π dimana βπβπ = 1, selanjutnya tulis β π = ββ π=1 ππ ππ dan π = βπ=1 ππ ππ , kita definisikan
Representasi Fungsional-2 di ππ
27 β
β
π(π, π) = β β ππ ππ πππ . π=1 π=1
Jelas bahwa π adalah fungsional-2 linear pada (π π ,β β βp ) jadi cukup ditunjukkan keterbatasan dari π. Perhatikan bahwa β
|π(π, π)| =
β
|β β ππ ππ πππ | π=1 π=1 β
=
β
|β [ππ β ππ πππ ]| π=1
π=1 1 π π
β
β€
1 π π
β
[β|ππ | ] [β |β ππ πππ | ] π=1
π=1 π=1 β
=
β
1 π π
β
βπβπ [β |β ππ πππ | ] . π=1 π=1
Akibatnya, β
1 π π
β
β
β
1 π π
|π(π, π)| β€ [β |β ππ πππ | ] β€ sup [β |β ππ πππ | ] . βπβπ βπβπ βπβπ =1 π=1 π=1
π=1 π=1
Jadi π adalah fungsional-2 linear terbatas pada (π π ,β β βp ) dengan β
β
1 π π
βπβ β€ sup [β |β ππ πππ | ] . βπβπ =1
(1)
π=1 π=1
Misal π adalah fungsional-2 linear terbatas pada (π π ,β β βp ), akan dibuktikan π (π(ππ , ππ )) β πβΓβ . Definisikan fungsional ππ pada (π π ,β β βp ) dimana βπβπ = 1
dengan ππ (π) βΆ= π(π, π) untuk setiap π β π π .
28
Yosafat Eka Prasetya Pangalela dan Hendra Gunawan
Jelas bahwa ππ adalah fungsional linear pada (π π ,β β βp ), dan keterbatasan dari ππ didapat berdasarkan |ππ (π)| |π(π, π)| = β€ βπβ. βπβπ βπβπ βπβπ Karena ππ adalah fungsional linear terbatas (π π ,β β βp ) maka 1 π
β π
[β|π(π, ππ )| ] = βππ β β€ βπβ. π=1
Jadi β
1 π π
β
sup [β |β ππ π(ππ , ππ )| ] β€ βπβ.
βπβπ =1
(2)
π=1 π=1
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa norm pada π adalah norm pada ruang π πβΓβ . Perhatikan bahwa π juga memenuhi persamaan (2), jadi kita memiliki β
1 π π
β
sup [β |β ππ π(ππ , ππ )| ] β€ βπβ.
βπβπ =1
π=1 π=1
Dari ini dan persamaan (1), maka β
β
1 π π
βπβ = sup [β |β ππ π(ππ , ππ )| ] . βπβπ =1
π=1 π=1
π Jadi pemetaan linear bijektif dari ruang dual-2 dari (π π ,β β βp ) ke πβΓβ yang
didefinisikan dengan π β¦ (π(ππ , ππ )) adalah sebuah isomorfisma.
β‘
3. KESIMPULAN Kita telah melihat bahwa bila 1 < π < β maka ruang dual-2 dari (π π ,β β βp ) π adalah πβΓβ dengan
1 π
1
+ π = 1. Kita juga dapat memeriksa ruang dual-2 dari (π1 ,β β
Representasi Fungsional-2 di ππ
29
β β1 ) adalah πβΓβ . Jika kita berbicara ruang dual dari π π , maka kita memiliki ruang 1
1
dual dari π1 adalah π β dan ruang dual π π adalah π π dimana 1 < π < β dan π + π = 1. Dari sini kita dapat melihat semacam keterkaitan antara ruang dual dari π π dengan π ruang dual-2 dari (π π ,β β βp ). Lebih jauh, apabila kita memandang anggota dari πβΓβ
sebagai sebuah matriks maka kita dapat melihat bahwa barisan yang dibentuk oleh π elemen-elemen πβΓβ dengan cara menetapkan sebuah baris dan menggerakkan
kolomnya adalah anggota dari π π .
UCAPAN TERIMAKASIH Terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan kontribusi pada penelitian dan penulisan naskah artikel.
DAFTAR PUSTAKA GΣhler, S. (1964) Lineare 2-normierte Roume, Mathematische Nachrichten 28 (1964), 1-43. Gozali, S. M; Gunawan, H; dan Neswan, O. (2010) On n-norms and bounded nlinear functionals in a Hilbert space, Annals of Functional Analysis 1, 72-79. GΓΌrdal, M; Sahiner, A; dan AΓ§ik. n-Banach Spaces and Bounded Linear n-Functional (preprint). Kresyzig, E. (1978) Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons, Inc. White, A. G. (1969) 2-Banach Spaces, Mathematische Nachrichten 42 (1969), 43-60.