RENDSZER ÉS MODELLEZÉS

Rendszer és modellezés

RENDSZER ÉS MODELLEZÉS előadásvázlat

Összeállította: Kővári Istvánné dr.

Kővári Istvánné dr.

BDF Technika Tanszék Szombathely http://www.bdf.hu 1 Fólia

Készült a Nemzeti Fejlesztési Terv HEFOP 3.3.1 Operatív Programja keretében

RENDSZER ÉS MODELLEZÉS Rendszer és modellezés

Ipari termék- és formatervező mérnök alapszak Tervezés- és alkalmazástechnika szakirány

Neptunkód: Heti óraszám: 1 óra előadás Félév zárása: kollokvium Kredit: 1





Tananyag modulok: Rendszerelmélet

A modell fogalmi megközelítése

Rendszerelmélet és a megismerési folyamat

Modellek csoportosítsa

Rendszerszemlélet Rendszer és környezete Rendszerfunkciók

Feladat és probléma Geometria modell Folyamatok hasonlósága Matematikai modell

Rendszer szerkezete

Dimenzióanalízis

Rendszer folyamatai Rendszerelemzés Rendszertípusok Kővári Istvánné dr.




Irodalom: Szűcs Ervin /1996/: Rendszer és modell I. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Szűcs Ervin /1990/:Rendszer és modell II. Tankönyvkiadó, Budapest

Ajánlott irodalom: Bouling: Az általános rendszerelmélet a tudomány csontváza. In.: Rendszerelmélet. Közg. és Jogi Kiadó Checkland/l987/: A rendszerszemlélet elmélete és gyakorlata. Statisztika, Bp. Farkas /l993/ : Technikaszociológia. Műegyetemi Kiadó, Fazekas Gábor /l979/: Bevezetés a rendszerelméletbe. Tankönyvkiadó, Budapest Fejlődési tanulmányok(8): A jövő esélyei Josph O’Connor /1998/: A rendszerelvű gondolkodás művészete. Bioenergetic Kft., Piliscsaba Kocsondi András /l976/ : Modell-módszer. A modellek helye és szerepe a tudományos megismerésben. Akadémiai Kiadó, Budpest





László E./2001/:A rendszerelmélet távlatai. Magyar Könyvklub, Budapest M.Peschel/1985/:Jelek és rendszerek modellezése. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Petrik /1987/: Rendszertechnika. Tankönyvkiadó, Budapest Pitrik J /1998/:Légszennyezés modellezése. Tankönyvkiadó, Budapest Stoff /l973/: Modell és filozófia. Kossuth Könyvkiadó, Budapest Zadeh /1972/: Rendszerelmélet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest A világ helyzete c. sorozat.




Rendszerelmélet Rendszer és modellezés

„Ha sok cseresznyepaprikát madzagra fűzünk, abból lesz a paprikakoszorú. Ha viszont nem fűzzük fel őket, nem lesz belőlük koszorú. Pedig a paprika ugyanannyi, éppoly piros, éppoly erős. De mégse koszorú. Csak a madzag tenné? Nem a madzag teszi. Az a madzag, mint tudjuk, mellékes, harmadrangú valami. Hát akkor mi? Aki ezen elgondolkozik, s ügyel rá, hogy gondolatai ne kalandozzanak összevissza, hanem helyes irányban haladjanak, nagy igazságoknak jöhet a nyomára”. (Örkény István: Az élet értelme – egyperces novellák) Kővári Istvánné dr.




Általános rendszerelmélet kialakulása a 20. század ötödik évtizedében Tudománytörténeti előzmények Kibernetika szerepe az ÁRE kialakulásában Ludwig von Bertalanffy az általános rendszerelmélet atyja Általános rendszerelmélet a rendszerelméletek egy specifikuma, mert törekvése nem egy tudományágra vagy területre vonatkozik, hanem minden rendszerre érvényes általános elmélet kifejlesztését tűzi ki célul. Ez a célkitűzés interdiszciplináris kutatási területet jelöl ki, amely a rendszer összességének felépítési, viselkedési, működési és fejlődési törvényszerűségeinek kimunkálását és elméleti kifejtését foglalja magába. Kővári Istvánné dr.




LUDWIG VON BERTALANFFY biológus, egy általános rendszerelmélet megalkotója 1901. szeptember 19-én született Atzgersdorfban, Ausztriában. A bécsi, majd az innsbrucki egyetemen tanult, 1928-ban alapvetõ munkát publikált Berlinben Kritische Theorie der Formbildung (A formaképzés kritikai elmélete) címmel. Lipcsében jelent meg az élet szerkezetét tárgyaló könyve (1937). Elõbb az élõ organizmust, mint fizikai rendszert kísérelte meg tanulmányozni, majd 1945-ben az általános rendszerelmélet idõszerüségét fogalmazta meg. 1949-tõl 1954-ig Kanadában, a Biológiai Kutatóközpont igazgatója. Az Amerikai Filozófiai Társaság szimpóziumán Az általános rendszerelmélet problémái címmel alapvetõ jelentõségű elõadást tartott (1950). Megalapította a több szakterület tudósait összefogó Általános Rendszerkutató Társaságot. A hatvanas évektõl a modern világ problémái, a modern kor pszichológiai kihívásai felé fordult. A „második ipari forradalom" által hozott átalakulások következményeirõl fontosabb elvi felismeréseit a Robotok, emberek és elmék című könyvében (1967) adta közre. Azt vallotta, a modern ember robotizálódását a tudomány humanizálásával lehet megállítani. Bertalanffy Edmontonban hunyt el 1972. június 13-án. Kővári Istvánné dr.




Alapelvek - alapfogalmak A technika tudománya egységes szemléletben tárgyalja a technikai környezetet, a technikai rendszereket. A szemléletmód megértéséhez a következő alapelveket (és az általuk értelmezett alapfogalmakat) kell előrebocsátani: 1° Minden ismeretrendszer, minden elmélet az objektív világgal foglalkozik. (Pontosabban: minden tudatforma - ismeretrendszer, tudomány, művészet, filozófia, vallás s i. t. - az objektív világ tudati visszatükröződése.) 2° Minden, ami létezik végtelen. Paradoxonnak tűnik: minden, ami létezik, végtelen, csak az emberi megismerőképesség véges. (Mégsem paradoxon, mert a létezőn most csak az objektív világot értjük.)





3° A térben és időben végtelent Univerzumnak nevezzük. 4° Bármely kis részét is vesszük az Univerzumnak, az végtelen sok tulajdonsággal rendelkezik. A végtelen sok tulajdonság együttesét (egy reprezentációját) állapotnak nevezzük. 5° Az emberi ismeretszerzés mindig elhanyagolás: a létező végtelenből - meghatározott szempontok szerinti - végest emel ki. Azt, ami az eredetihez - meghatározott szempontok szerint hasonló, modellnek nevezzük. 6° A tér végtelenségéről a végesre áttérve jutunk el a rendszer és köryezet fogalmához. 7° Az idő végtelenségéről a végesre áttérve jutunk el a folyamat fogalmához. 8° A tulajdonságok végtelenségéről a végesre áttérve jutunk el az állapotjellemzők fogalmához. (Ezek segítségével a folyamatot is mint az állapotjellemzők változását írhatjuk le.) Kővári Istvánné dr.




Rendszer az egyik legáltalánosabban használt fogalom. Téves nézetek: • Minden „rendszer” /berendezés, szerkezet, csoport, szervezet, rend/ • Minden mindennel összefügg /rend és káosz, rendszer és nem rendszer/ • Metaelmélet • Üres fecsegés • Dilettantizmus minden interdiszciplináris törekvés





Ludvig von Bertalanffy: a rendszer kölcsönhatásban lévő f1, f2,….fn elemek együtteseként értelmezhető. Elem az a fizikai vagy fogalmi entitás, amely kölcsönhatásai révén részt vesz a rendszerhez tartozó új minőségek létrehozásában. Elem és rendszer általános rendszerelméleti fogalom, amely jellemzi, hogy az elemek kölcsönhatása új, a rendszerhez tartozó minőséget hoz létre. Rendszer meghatározások többségére jellemző állítások: - Kölcsönösen összefüggő, - Kölcsönhatásban lévő elemek összessége. Kővári Istvánné dr.




Rossel L. Ackoff: „A rendszer kölcsönös kapcsolatban álló elemek halmaza” „A rendszer olyan entitás, amely legalább két elemből áll és rajta olyan reláció értelmezett, amely az entitást képző halmaz minden egyes eleme és legalább egy másik elem között fennáll. A rendszer minden egyes eleme közvetlenül vagy közvetve kapcsolatban áll a rendszer összes többi elemével.”

Entitás: valamely dolgok tulajdonságainak összessége. Kővári Istvánné dr.




Halmazelméleti megközelítés két jellemző felfogása: 1.Mesarovic a rendszert relációként értelmezi. A halmaz bizonyos szempontból összetartozó dolgok összességét jelöli. A dolgokat a halmaz elemeinek nevezzük. Ha a h a H halmaz eleme, akkor így jelöljük h ЄH (h eleme H-nak). Reláción kapcsolatot, viszonyt, összefüggést, vonatkozást értünk

Alkalmazásuk gyakorlatában bináris vagy kétváltozós reláción értünk egy olyan halmazrendszert, amelynek tagjai rendezett párok. E reláció értelmezési tartományán tagjai első komponensének halmazát értjük, értékkészletén pedig második komponensének halmazát. Ha A egy R reláció értelmezési tartománya, B pedig értékkészlete, továbbá aЄA és bЄB, akkor azt mondjuk, hogy a a b-vel az R relációban áll: aRb. R reláció értelmezve van A halmazon Kővári Istvánné dr.




2. A rendszer olyan halmaznak tekinthető, amelyben az elemek /komponensek, részek, műveletek, tárgyak, objektumok, stb./ meghatározott feltételek kielégítése alá rendeltek. V. N. Szadovszkij: „Rendszernek, elemek meghatározott módon rendezett halmazát nevezzük, amelyek kölcsönösen összefüggnek egymással és valamilyen totális egységet képeznek.” A két felfogásbeli különbség nem kérdőjelezi meg a halmazelméleti felfogást. Halmazelmélet mint módszertani eszköz, jelentős segítségül szolgál a modern rendszerkép megalkotásához.





Filozófiai Kislexikon Magyar Nyelv Értelmező Szótára Révai Nagy Lexikona Szinoníma Szótár

Jövőkutatási fogalomtár Pesti Hírlap Lexikona Römpp KÉMIAI Kislexikon Természettudományi Lexikon

Mindenki Lexikona és a Műszaki Lexikon: Operációs folyamatot végrehajtó, azaz valamilyen módon valamit létrehozó egység. A rendszer valamilyen berendezés, eljárás vagy séma, ami bizonyos leírásoknak megfelelően működik. Feladata, hogy műveleteket végezzen információn és/vagy energián és/vagy anyagon…miközben információt és/vagy energiát és/vagy anyagot szolgáltat.





Értelmező szótár 56 összetételt tartalmazó jegyzékéből vett példák: adórendszer, államrendszer, árrendszer, ásványrendszer, bérrendszer, céhrendszer, csatornarendszer, csillagrendszer, egyenletrendszer, egypártrendszer, élő rendszer, érrendszer, géprendszer, információs rendszer, iskola rendszer, katonai rendszer, kristályrendszer, mértékrendszer, naprendszer, nyelv mint rendszer, tanácsrendszer, termelési rendszer, valutarendszer, zárt rendszer. Rendszerfogalom meglehetősen általános. Határai térben és időben, állandó feloszthatóságában, illetve állandó – magasabb szintű – beépüléseiben a végtelent súrolják. A mindig, mindenütt és mindenben jelenlevő rendszert a tudati vagy az anyagi formájától elvonatkoztatott lényegi összefüggések azonossága teheti a megismerés alkalmas eszközévé. Kővári Istvánné dr.




Rendszerekről szóló elméletek fejlődése és gyakorlati alkalmazása Rendszerkutatás

RENDSZERKUTATÁS IRÁNYA

Általános rendszerelmélet

Rendszerszemlélet ELMÉLETEK FEJLŐDÉSÉNEK IRÁNYA

GYAKORLATI ALKALMAZÁS IRÁNYA

Rendszerekre vonatkozó konkrét tudományos, műszaki, gazdasági ismeretek Valós jelenségek rendszerbe foglalása

Rendszerelmélet

Specifikus rendszerelmélet ISMERETSZERZÉS IRÁNYA




Rendszerelmélet és a megismerési folyamat Rendszer és modellezés

ÁLTALÁNOS RENDSZERELMÉLET

RENDSZERKÉPZÉS

ELMÉLETI FÁZIS

ÁLTALÁNOS RENDSZERTULAJDONSÁGOK Totalitás

CSELEKVÉS

Hierarchia

Rendezés

RENDSZERMODELL

TULAJDONSÁG SZINT

LEKÉPZÉS

TULAJDONSÁGOK MEGISMERÉS

RENDSZERKÉPZÉS

Struktúra

JELENSÉG (VALÓSÁG)

RENDSZER SZINT

TULAJDONSÁG SZINT ELMÉLETI FÁZIS VALÓSÁG SZINT





RENDSZERELEMEK HALMAZA (MODELL) G=g1, g2, g3,…,gn g1

g2

g3

……

gn

TULAJDONSÁGOK HALMAZA C=s1, s2, s3,…,sk s1

s2

s3

Rendszeralkotó

……

RENDSZER KÉPZÉS MEGISMERÉS

JELENSÉG Kővári Istvánné dr.


sk



Ember környezete

Ismeret

Magatartás

Olyan célszerű ismeretek és magatartások rendszerezett összességét kell biztosítani, amelyekkel az egyén • képes a környezetében tájékozódni • környezetéhez aktívan alkalmazkodni • környezetét óvni és fejleszteni • környezetéről újabb ismereteket szerezni • ismeretei alapján magatartását fejleszteni Kővári Istvánné dr.




Az ember környezetének részrendszerei

Természeti környezet

Társadalmi környezet EMBER

Technikai környezet





A környezetéhez alkalmazkodó személyiség ideális modellje




Rendszerelmélet és a megismerési folyamat Rendszer és modellezés Rendszerelmélet

A célszerű cselekvés elmélete

Rendszerkutatás

Döntéskutatás

Alapvető ismeretek kimunkálása a reális rendszerek struktúráiról, megszervezéséről és tulajdonságairól. Rendszerelemzési módszerek kifejezése ilyen ismeretek megszerzéséhez

Alapvető ismeretek kimunkálása az ésszerű viselkedésről reális választási helyzetekben

Operációkutatás Rendszerekben végbemenő funkcionális folyamatok optimalizálását lehetővé tevő módszerek kifejlesztése tapasztalati és elméleti vizsgálatok alapján

Döntéselmélet

Rendszerelmélet

Ésszerű magatartásmódok magyarázat a döntési modellek útján ideáltipikus döntési helyzetekhez

Rendszer elvi jellegű viselkedésmódjainak magyarázata rendszermodellek segítségével

Rendszertechnika

Gyakorlati módszerek és eljárások rendelkezésre bocsátása bonyolult módszerek megfogalmazásához és megvalósításához, elemzéséhez, kiválasztásához és megvalósításához az általános rendszertudományi ismeretek alapján





Rendszerkutatás problémára orientált interdiszciplináris kutatás,

amely a problémákat a rendszerösszefüggésekre és tulajdonságokra vonatkozó információk szemszögéből tárgyalja. Célja és feladata: o A rendszerek módszeres vizsgálatára alkalmas általános módszertan kifejlesztése /rendszerelemzési módszerek/; o Az anyagi és nem anyagi rendszerek általános rendszerstruktúrájának feltérképezése. Az anyagi rendszerek funkcionális típusainak megismerése logikai, matematikai, numerikus analízissel; o A rendszer szempontjából hatást gyakorló értékek előrejelzése jövőbeli rendszerek hosszú távú tervezéséhez /iteráció, jövőkutatás, stb./ Jellemző munkafogalmak:struktúra, szervezés-szervezet, irányításvezérlés, szabályozás, ellenőrzés, funkció, hatást kifejtő paraméterek, ellenőrzési változó, cél. Kővári Istvánné dr.




Döntéskutatás és döntéselmélet Rendszertudomány egyik súlyponti területe a döntési folyamat. Döntési folyamat az információfeldolgozásnak a a döntési helyzetben szükséges logikája. Célja az optimális cselekvési alternatíva kiválasztása, az ideáltipikus helyzetben az ésszerű viselkedési módokat döntésmodellekkel megmagyarázni. Jellemző munkafogalmak: kockázat, stratégia, értékelés, súlyozás, hasznosság, elvárás, fölény, döntési szabály és döntési ismérv





Operációkutatás Research Quartely mottója szerint: „a modern tudomány alkalmazása emberekből és gépekből, anyagokból és pénzeszközökből álló ipari, gazdasági, közigazgatási vagy hadügyi nagyrendszerek komplex problémáinak megoldásában, amely problémák a rendszerek irányításában és vezetésében merülnek föl. Jellegzetes közelítési módja a rendszer tudományos modelljének megalkotása, olyan tényezők beépítésével, mint véletlen és a kockázat; így a tudományos modell segítségével előre megállapíthatók és összehasonlíthatók a döntési, stratégiai vagy kontrolásási alternatívák eredményei. Az operációkutatás célja, hogy segítse a vezetést, politikáinak és akcióinak tudományos megalapozásában” Kővári Istvánné dr.




Rendszertechnika A rendszerek tervezési, kivitelezési módszereinek összessége. G. F. Franklin szerint a módszertan folyamata: 1. Állapotelemzés, rendszerelemzés /emberi igény/ 2. A probléma meghatározása /igények és lehetőségek összevetése/ 3. A koncepció kidolgozása /rendszerszintézis/ 4. A koncepciók elemzése /rendszermodellek/ 5. Használati érték elemzése 6. Kiválasztási döntés 7. Fejlesztéstervezés 8. A végrehajtás megtervezése





Az emberi alkotás folyamata 1.Igény, probléma megfogalmazása 2.Célkitűzés 3.Tervezés 4.Döntés 5.Szervezés 6.Kivitelezés 7.Kipróbálás 8.Értékelés




Rendszerszemlélet Rendszer és modellezés

Tudományos megismerés ¾A tudomány speciális szempontrendszere: rögzítve a figyelembe veendő állapotjellemzők ¾A tudományos szaknyelv: lehetővé teszi a szakemberek közti kommunikációt ¾A tudomány speciális módszerei: a meglevő ismeretek rendszerezéséhez, az ismeretek szerzéséhez és értékeléséhez. Mennél mélyebbre akar behatolni a szaktudós a világ megismerésében, annál szűkebbre kell vonnia a vizsgálat szempontrendszerét.





Az analitikus szemlélet előnyei

hátrányai

szempont

mélyreható ismeretszerzés feltétele

szűklátókörűség, szakbarbárság veszélye; „mindent tud a semmiről”

módszer

pontos és reprodukálható vizsgálatok

elfogultság a saját és hitetlenség a mások módszerével szemben

belső kommunikáció minimális redundanciával

csoportzsargon, „szelektív süketség” a másik tudóssal szemben

nyelv





Tudományközi kapcsolatok típusai

multidiszciplináris interdiszciplináris

pluridiszciplináris

keresztdiszciplináris transzdiszciplináris Kővári Istvánné dr.




A szintetikus szemlélet előnyei

hátrányai

szempont

a természet egységes; közös alaptörvények

felületesség, „semmit tud mindenről"

módszer

kombinációk, hasonlóság felismerése és alkalmazása

üres sémák, káros analóg

team-munka, tudományközi kommunikáció

műnyelv, redundáns önálló nyelvek háttérbe szorítása

nyelv





Antagonisztikus-e az analitikus és a szintetikus szemlélet? Sikeres alkotómunka érdekében 9 Felismerjük az általunk vizsgált rendszer összefüggéseit egy magasabb hierarchiaszintű rendszerrel; megtanuljuk részrendszerként szemlélni vizsgálatunk tárgyát és ebből következően beilleszteni saját céljainkat /érdekeinket/ a célok /értékek/ hierarchiájába; 9 Felismerjük a világ komplexitását; megtanuljuk az általunk rögzített vizsgálati szempontok egyeztetését másokéval és ennek eredményeként közös munkát más szakemberekkel; 9 Felismerjük, keressük a tudományközi alaptörvényeket, ezek hasonlóságát és különbözőségét; 9 Nyitottak vagyunk mások módszereivel eredményeivel szemben /tolerancia/; 9 Szakmaközi kommunikációra nyitottság Kővári Istvánné dr.




Rendszerszemlélet egyszerre jelent vertikális /szaktudományi/ mélységet és horizontális /szakmaközi/ szélességet. Rendezett

Rendszerszemléletű gondolkodás

hierarchia

osztályozás

részrendszer

komplexitás

szelektív vizsgálat

sokszempontú együttműködés

törvények

ok-okozati kapcsolat

hasonlóság

nyitottság

örökös változás

tolerabcia

kommunikáció

szaknyelv

szakmaközi





Rendszerszemléletnek át kell hatnia az emberi cselekvések során:

a célmeghatározást a tervezést a szervezést az ellenőrzést

„A rendszerszemlélet ott kezdődik, amikor a világot a másik szemén keresztül kezdjük látni” (Churchman, 1974)








Rendszer és környezete Rendszer és modellezés

Rendszervizsgálatok mindig egy véges térrészre vonatkoznak. Véges térrészen belül megkülönböztetjük a vizsgálat közvetlen tárgyát képező rendszert és annak környezetét. A környezet az adott vizsgálatra nézve a rendszer komplementere. Rendszernek és környezetének együtt van értelme. Jelölje V a véges térrészt, amire a vizsgálat kiterjed; R a vizsgálat tárgyát képező rendszert; K a környezetet V=RUK Rendszer és környezete nem diszjunktak Közös részük a rendszer pereme, amely a rendszert a környezettől elválasztja P P=R∩ K A rendszer és környezet kapcsolatát a perem anyagi tulajdonsága határozza meg. Kővári Istvánné dr.




Környezet szintjei

Rendszer

Mikrokörnyezet Mezokörnyezet

Makrokörnyezet





Vizsgált rendszer a tárgyrendszer és ennek hatásai tartják fenn az un. célrendszer biztonságos állapotát

tárgyrendszer

célrendszer

klímaberendezés

Klimatizált helyiség

kazán

Fűtési rendszer

számítógép

Információs rendszer Robot CNC





Technikai rendszerek mint input-output rendszerek környezeti hatásai: Környezet

Bemenet

Rendszer

(a környezet hatása a rendszerre)

Kimenet (a rendszer válasza a környezeti hatásra)

A rendszer határa

Az input-output kapcsolat alapján a rendszer olyan transzformátor amely a környezeti inputot környezetre outputtá alakítja át Kővári Istvánné dr.




A rendszer és a környezet közötti kölcsönhatás a peremen keresztül érvényesül. A környezet ismert hatásait a rendszerre inputnak, az ismeretlen, véletlenszerű hatásokat zavarásnak nevezzük. A rendszer hatása a környezetre az output. Az input-output kapcsolat alapján a rendszert olyan transzformátornak tekinthetjük, amely az inputot outputtá alakítja.





Kölcsönhatások Áramló Kölcsönhatás

/Extenzív/

mennyiség

Áramlást előidéző /intenzív/

mennyiség

Energiaváltozás

Termikus

S entrópia

T hőmérséklet

TΔS

Mechanikai

V térfogat

-p feszültség

-pΔV

Kémiai anyagi

m tömeg

μ kémiai potenciál

μΔm

φ elektrosztatikus feszültség

φΔq

Elektrosztatikus q töltés




Rendszerfunkciók Rendszer és modellezés

Technikai rendszerek funkciója mindig meghatározott emberi célok szolgálata. I/O kapcsolat alapján a rendszerfunkciók Az állapot előírt értéken tartása bármilyen környezeti feltétel mellett

Az output előírt értéken tartása bármilyen környezeti feltételek mellett

Biztonságos (input-output) átalakítás bármilyen környezeti feltétel mellett





Állapottartó rendszerek: a rendszer állapotjellemzőinek értéke csak egy rögzített tartományon belül változhat • • • •

Légkondicionáló berendezés: a helyiség légállapotát az un. beállított követelménytartományon belül tartja Hűtőgép: a hűtőtér hőmérsékletét az előírt értéken tartja Robotpilóta: a repülőgépet az útiránynak (előírt útvonalnak) megfelelően irányítja Hasadási reakciót szabályozó rendszer (atomerőmű) a reaktort a biztonságos működési tartományban tartja.





Output tartó rendszerek: a kimenő jellemzők értéke csak egy rögzített tartományon belül változhat. • • • •

Feszültségszabályozó: változó bemeneti feszültség mellett is állandó kimeneti feszültséget ad. Szívritmus adó: rendszeres kimenő impulzusokat ad Városi gázszolgáltatás: a gáznyomást előírt intervallumon belül tartja Víztisztító: a nyersvíz bármilyen szennyezettsége mellett ivóvíz tisztaságú kimenetet szolgáltat





„Átalakító”

rendszerek: minél hatékonyabb átalakítás

•

Váltóáramú transzformátor: a kimeneti és bemeneti feszültség viszonya állandó

•

Mérő-átalakító: a mért állapotjellemzőkből értékelhető (továbbítható) jeleket állít elő

•

A/D konverter: analóg jeleket digitális jelekké alakít át

•

Villamos erőmű: minél kevesebb veszteséggel kell villamos energiává alakítani a tüzelőanyagban kémiailag kötött energiát.





A rendszerfunkció típusa mindig szempontfüggő.

A magasabb hierarchiaszintű rendszer céljait is figyelembe kell venni pl. fakitermelés célja első megközelítésben …..outputtartó, de az erdők állapotát tekintve állapottartó. ipari termelés: output előírt értéken tartása és biztonságos átalakítás együttesen.





Mindenfajta technikai rendszer funkciója végső soron állapotváltoztatás. Az ipari termelés az anyagi tulajdonságok állapotterében hoz létre olyan változást, amelynek eredményeként a végállapot az emberi céloknak jobban megfelel, mint a kezdeti állapot. A szállítás a helyzetben (a geometriai térben) hoz létre olyan változást, amelynek eredményeként a végső helyzet az emberi céloknak jobban megfelel, mint a kezdeti, s közben az anyagi tulajdonságok általában nem változnak. A technikai rendszerek funkciójára, működésére (működtetésére) is igaz, hogy a kvantitatív jellemzők mellett közvetlenül nem (vagy: ma még nem) számszerűsíthető olyan kvalitatív (többségében emberi) tényezők is jelentős (sokszor döntő!) hatással vannak, mint erkölcsi színvonal, szakmai felkészültség, szervezettség, kultúra, a társadalmi értékrend és egyéni értékrendek harmóniája vagy diszharmóniája. Kővári Istvánné dr.




A funkciók matematikailag jellemezhető tulajdonságai:

A rendszer folyamatainak leírásához induljunk ki az általános mérlegegyenletből. A rendszer egészének viselkedését vizsgálva leíráshoz elegendő a globális mérlegegyenlet.

ahol xi az i-edik extenzív mennyiség, Qi az i-edik extenzív mennyiségnek forrása, Ii a rendszer peremén keresztüli eredő árama, n a lehetséges kölcsönhatások száma (a vizsgálati szempontok szerinti állapottér dimenziója). Kővári Istvánné dr.




Az I áramot felbonthatjuk az ui bemenő és vi kimenő áramok különbségére:

Vektoriális alakban: ahol

x az extenzív mennyiségek, Q a forrás, v az outputáram, u az input áram (n dimenziós) vektora. A felsorolt vektorok az állapottérben értelmezettek. Az állapottér Rn lineáris tér; amelyet az ei (i = 1,...,n) egységvektorok - mint bázis - feszítenek ki. Kővári Istvánné dr.



Rendszerfunkciók Rendszer és modellezés Az állapottér dimenziója n, vagyis az állapot leírásához szükséges és elegendő állapotjellemzők száma, ill. - ami ezzel azonos - a rendszer és környezete közötti lehetséges kölcsönhatások száma. Az állapotvektor az állapottér eleme:

A bemeneti ill. kimeneti vektorok dimenziója (az egymástól független jellemzők száma) n-nél kevesebb is lehet, vagyis a bemeneti vektor: és a kimeneti vektor: ahol Rb a bemeneti tér, Rk a kimeneti tér. Megjegyezzük, hogy esetenként szükséges ún. részfolyamatokat is vizsgálni, amelyeknél figyelembe vett állapotvektor az ún. parciális állapottér Rp eleme. A rendszer állapotváltozása - általában - az állapot és a bemenet időfüggvénye . Hasonló (általános) alakban adható meg az output is: Kővári Istvánné dr.




E két egyenlet együttesen írja le a rendszer működését. Szokás az előbbit főegyenletnek, az utóbbit kimeneti egyenletnek nevezni. Ezek segítségével a rendszerfunkció-típusokat jellemzése: a) állapottartó rendszernél a követelmény: ill. miután kisebb ingadozások mindig fellépnek ahol ε a biztonsági tartomány “sugara”, x0 az előírt érték (a biztonsági tartomány “középpontja”).

Másként kifejezve: állapottartó egy rendszer, ha az állapotvektor minden időpontban az Rn állapottér B biztonsági résztartományának eleme marad: Kővári Istvánné dr.




b) output-tartó rendszereknél a követelmény az előírt kimeneti érték, ε a még megengedhető ahol eltérés. Ezek a csatolt (fogadó) rendszertől függő, ún. követelményértékek. c) input-output átalakító rendszernél a cél

vagyis minden egyes bemenethez a lehető legnagyobb kimenet előállítása. Van, amikor ehhez még az input kötöttsége járul, amely rögzíti a bemeneti vektor megengedett (lehetséges) alsó és felső értékhatárait. Valós rendszereknél ugyanis a bemeneti térnek csak egy résztartománya állítható elő, nemcsak műszaki, hanem pl. gazdasági, társadalmi okok miatt is. Egy rendszer u input- és v outputvektora között nem mindig egyértelmű a kapcsolat; lehetséges, hogy több inputhoz is tartozhat ugyanazon output ill. egy inputhoz több output. Kővári Istvánné dr.




Gyakran n darab állapotjellemző közül kiválasztunk (valamilyen szempontból szignifikáns) egy kimeneti és egy bemeneti jellemzőt, és csak az ezek közötti kapcsolatot vizsgáljuk. A kettő viszonyát nevezzük transzfer paraméternek ahol vi a v kimeneti vektor i-edik komponense, ui az u bemeneti vektor jedik komponense Néhány ismertebb transzfer paraméter: •termelékenység = termékek mennyisége/felhasznált munkaidő; •“gépkocsi fogyasztása” = felhasznált benzin/megtett út; •fajlagos költség = összköltség/termék; •taxiköltség = forint/megtett út vagy idő; •számítógép sebessége = művelet/idő. A rendszertranszfer karakterisztikája a vi= f(uj) függvénykapcsolat az uj teljes értelmezési tartományára. E karakterisztika tájékoztat a bemeneti jellemzőnek (az adott cél szempontjából) mi az optimális értéke. Pl. a gépkocsimotor teljesítmény- és nyomaték-görbéje transzfer karakterisztika: a fordulatszám (mint bemenő jellemző) függvényében ábrázolja a kimenő jellemzőket. Kővári Istvánné dr.



Rendszer szerkezete Rendszer és modellezés

Minden rendszer részekből áll.

A részrendszerek maguk is rendszerek, tehát további részekre bonthatók. A felbontási sorozat végét a vizsgálat célja határozza meg. Megkülönböztetjük a részrendszert és az elemet: A részrendszer a vizsgált rendszer olyan része, amely maga is rendszer, tehát részekből tevődik össze. Az elem is része a vizsgált rendszernek, de maga nem rendszer, további részekre nem bontjuk. A vizsgálat szempontjaitól, céljaitól függ, hogy mit tekintünk elemnek. /Pl. egy integrált áramkör a számítógépgyártó számára elem, míg a szilárdtestfizikus számára bonyolult rendszer./ Az elem tehát nem azt jelenti, hogy nem lehet, hanem, hogy (az adott szempontok szerint!) nem érdemes további részekre bontani. A vizsgálat szempontjából legkisebbnek tekintett részek az elemek, vagyis olyan részek: 9 amelynek van állapota; 9 képes szomszédjaival kölcsönhatásba lépni, de egységes, tovább nem bontható (nem bontandó!) egész; 9 működésének leírására koncntrált praméterű modellekkel történik. Kővári Istvánné dr.




Rendszer hierarchiája 0. szint 1. szint 2. szint 3. szint . . . j. szint Kővári Istvánné dr.




Gráf-terminológiával: a hierarchiaséma mindig fa, vagyis olyan gráf, amelyben nincsen hurok. Ez következik az eddigiekből; azt jelenti, hogy egyetlen olyan rész sincs, amely egyidejűleg két rendszer közvetlen része lenne. Ennek nem mond ellent az, hogy “ugyanazon rendszer több nagyobb rendszer része is lehet”. Ugyanis a hierarchiasémához mindig hozzá kell tenni, hogy milyen szempont szerinti felosztást ábrázol. A gráf élei mindig a rögzített szempontok szerinti tartalmazási reláció szerinti összeköttetéseket adják. Egy adott rendszer rögzített szempontok szerint csak egy nagyobb rendszer része lehet. Hierarchiasémában ábrázolják pl. az egyes vállalatok szervezeti felépítését is. Figyelembe véve azt, amit a tartalmazási relációról és a rész-egész kapcsolatról mondottunk, a szervezeti felépítést csak akkor tekinthetjük hierarchiasémának, ha az egyes megnevezések nem a személyekre, hanem a hatáskörökre vonatkoznak. Ebben az értelmezésben a szervezeti sémában nem “vezérigazgató --- műszaki igazgató” rangsorról (még kevésbé: tartalmazási relációról vagy rész-egész kapcsolatról) van szó, hanem a “vezérigazgatói hatáskör --- műszaki igazgatói hatáskör”, s í. t. hierarchiát ábrázoljuk. Kővári Istvánné dr.




A részek összessége, a közöttük fennálló kapcsolatokkal: a rendszer szerkezete. Ismerve a rendszer hierarchiáját még csak azt tudjuk, hogy milyen az összetétele (milyen elemek alkotják). Ugyanazon elemi összetétele azonban különféle tulajdonságú rendszereknek is lehet. A tulajdonság ugyanis nemcsak az összetételtől, hanem attól is függ, hogy milyen módon kapcsolódnak egymáshoz az egyes elemek, milyen a szerkezet.

ÖSSZETÉTEL-SZERKEZET-TULAJDONSÁG-FUNKCIÓ az összetétel az alkotóelemek arányát, a szerkezet az alkotóelemek összekötését jelenti. a funkciók ellátása pedig attól függ, hogy sikerült-e az összetétel és szerkezet megfelelő megválasztásával a szükséges tulajdonságú rendszert létrehozni. Az összetétel és a szerkezet csak látszólag statikus fogalmak. A rendszer és a környezet közötti, ill. a rendszeren belüli kölcsönhatások, folyamatok eredményeként ugyanis megváltozhat a rendszer összetétele és/vagy szerkezete is.





A rendszer szerkezete az alkotórészek és a közöttük lévő relációk

r 12

x1

x2

r1

r1j

r2

r2k

j

k

xj

r jk

xk





Rendszer részekre bontásának szükséges és elégséges feltétele Felbontásnak olyan műveletet nevezünk, amelynek eredményeként kapott részek uniója az egész rendszert adja és a részek diszjunktak. Feltétel, hogy a rendszert olyan részekre bontsuk, amelyek kitöltik az egész rendszert és köztük egyetlen egy sincs, amelyik egy másikkal fedésbe lenne /szükséges feltétel/. A vizsgált szempontok szerinti relációnak a kijelölt peremen belül erősebbnek kell lennie, mint kifelé. Vagyis a rendszer bármely elemének erősebben kell kötődnie a rendszer más részéhez, mint a környezetéhez. Adott relációtól függően úgy kell kijelölni a rendszer peremét, hogy minden belső elem között legyen összeköttetés, de egyetlen külső elem se kapcsolódjék belső elemhez. Kővári Istvánné dr.




Rendszerszerkezet ábrázolása Rendszerek felbonthatók: tartalmazás, alá és fölérendelés szerint>>hierarchia ábra szerkezetük alapján >> szerkezeti ábra folyamat alapján >> folyamatábra





Szerkezeti ábra gráf terminológiával: /Elemek a csúcspontok, relációk a gráf élei/

Lineáris /egydimenziós/szerkezet: ha létezik két olyan csúcs, amelyhez csak egy él tartozik, míg az összes többi csúcshoz pontosan két él illeszkedik. pl. autópálya, egy tekercsrugó, kéttámaszú tartó, DNS molekula





Síkbeli /kétdimenziós/ a szerkezet, ha van legalább egy olyan csúcs benne, amelyhez kettőnél több él illeszkedik, a gráf síkban rajzolható anélkül, hogy élei metszenék egymást. pl.: lemezrugóköteg födémszerkezet metánszerkezet város utcahálózata /alul- és felüljárók nélkül/





Térbeli /háromdimenziós/ a szerkezet, nem rajzolható síkban anélkül, hogy legalább két éle ne metssze egymást pl.: gépkocsi alváza, vasúti híd, kristályrács





Szerkezeti kapcsolatok jellege szerinti szerkezettípusok: Törvényszerű kapcsolat: amelynek megváltoztatásával a rendszer nem tudja ellátni funkcióját /pl. egyenáramú hálózatoknál póluscsere/; Konvencionális kapcsolat: megváltoztatása veszélyezteti a rendszer és környezete közti célszerű összeköttetést /pl. közutak haladási iránya/; Tradicionális kapcsolat: megváltoztatása a rész és egész kapcsolatával a rendszer egyensúlyi állapotát befolyásolja /pl. számítógép billentyűzet betűelrendezése/.





Ropohl nyomán az R technikai rendszert értelmezhetjük, mint négy tényezőből alkotott sorozatot: ahol αR az R rendszer összes tulajdonságainak halmaza; ΦR az R rendszer összes funkcióinak halmaza; σR az R rendszer összes részrendszerének (ill. elemeinek) halmaza; πR az elemek között értelmezett összes reláció halmaza. Itt σR ill. πR az R rendszer “összetétele” ill. “szerkezete”, αR pedig a “tulajdonság” modelljének tekinthető. A rendszer tehát olyan totalitás, amely adott σR összetételű, πR szerkezetű és e kettőből következően αR tulajdonsággal rendelkezik; ezért alkalmas meghatározott ΦR funkciók ellátására. Kővári Istvánné dr.



Rendszer folyamatai Rendszer és modellezés

A rendszer folyamatai azok a transzformációk, amelyekkel a rendszer a bemeneti anyagot, energiát, információt átalakítja vagyis az emberi céloknak, igényeknek megfelelő állapotot hozza létre.

A rendszer szerkezete és a kölcsönhatások dinamikája elválaszthatatlan egymástól, s így a hierarchia és a szerkezet csak a rendszerleírás statikus közelítésének tekinthető. A dinamikus működés megismeréséhez ill. leírásához a rendszeren belüli kölcsönhatási folyamatokat is fel kell tárni. A szerkezet, a hierarchia és a folyamatok ismerete együttesen szükséges nemcsak a meglevő rendszer használatához, hanem (különösen) egy új technikai rendszer létrehozásához. Kővári Istvánné dr.



A rendszer folyamatai Rendszer és modellezés





Folyamatkapcsolatokat részrendszerek és elemek közt hatásvázlatokkal modellezhetjük. Hatásvázlatok mint irányított gráfok lehetnek: • Tömbvázlat vagy folyamatábra, elemek téglalapok, áramok nyilak • Jelfolyam-ábra Elemek és elemi csatolások modellezik az összetett kapcsolatokat. Soros kapcsolásnál:





Párhuzamos kapcsolásnál az állapotjellemzők típusa szerint különbözik a számítás. Az intenzív mennyiségek értéke az elágazásban megegyezik, vagyis:

ahonnan (az összegzés előjelétől függően): Az extenzív mennyiségek az elágazásban c ill. (1-c) arányban oszlanak meg, vagyis:

ahonnan:





Visszacsatolásnál az u1 bemeneti jellemző az egész rendszer u bemenetének és a visszacsatolási alrendszer v2 kimenetének összege (ill. különbsége), vagyis:

Igy:

ahonnan:





Kromatikus gráfok segítségével lehet megkülönböztetni, szemléltetni az egyes részrendszerek, elemek közti kapcsolatokban jellemző extenzív mennyiségeket.

1:gáz főelzáró 5: gázégő 9: csőkígyó

2:gázcsap 6: égéstér 10: kifolyószelep

3:gyujtóégő 4: membránszelep 7: víz főelzáró 8: vízvezeték a: gyújtóégő elágazás





A rendszereket működésük során külső hatások zavarok, zajok érik: determinisztikus ismert és a rendszer transzformációs (vagy transzfer) hatása sztochasztikus hatások, külső zavarások, amelyek miatt a transzformációk csak valamilyen valószínűségi függvénnyel adhatók meg. A célrendszer optimális működését befolyásoló esetek: a) A zavaró hatások oly mértékűek, hogy a rendszer működésképtelen. Beavatkozás nélkül a rendszer tönkremegy. b) A zavaró hatások miatt a rendszerállapot kilép az ún. követelménytartományból. Beavatkozás nélkül a rendszer nem képes funkcióját ellátni. c) A zavaró hatások miatt a rendszerállapot labilissá válik, a követelménytartomány határára kerül. Beavatkozás nélkül a rendszer átléphet a működésképtelen állapotba.





A zavaró hatások elleni védekezésnek lehetőségei: 1. Szigetelés, amelynek célja a zavaró hatások terjedésének, a véletlenszerű kölcsönhatások lehetőségének kiküszöbölése. 2. Stabilitás (az ún. passzív biztonság) növelése; aminek célja a rendszer zavarással szembeni ellenállásának fokozása. Ehhez vagy a rendszer szerkezetét kell úgy kialakítani, módosítani, hogy a biztonságos működés tartománya viszonylag nagy legyen, vagy az outputot fogadó rendszert kell “rugalmasabbá” tenni. 3. Szabályozás, amelynek célja a zavaró hatások kompenzálása. Ehhez irányítási alrendszerre van szükség, tehát mindig visszacsatolás (pontosabban: negatív visszacsatolás), amely a vezérlési programban előírt értékektől való eltérés abszolút értékét minimalizálja Kővári Istvánné dr.



Rendszerelemzés Rendszer és modellezés

Mikor végzünk rendszerelemzést? A meglévő rendszert szeretnénk optimálisan működtetni A meglévő rendszer működésének tapasztalatai alapján egy új rendszert kívánunk létrehozni.





Fejlesztés folyamata igények

működtetés nő a tudásunk

„gyártás” „gyártás”terv

tanulás

megfelel

?

ismerethiány

kevesebb

Meglévő rendszer

„gyártmány”terv részek cseréje „gyártmány”? terv bővítés új rendszer

elemhiba

oka?

rendszer hiba





A rendszerek elemzésére (a részekre bontás a dekompozíció műveletére) kidolgozott matematikai módszerek állnak rendelkezésre. A rendszer céljától (is) függ, hogy ezek közül melyiket “gazdaságos” választani. Általában a rendszeranalízis gyűjtőfogalma alá sorolják azokat a módszereket, amelyek növelik az egyéni (vagy csoportos) döntésekben az objektivitást, figyelembe veszik a döntési változatok várható következményeit (a térben és az időben távolabbi hatásokat is), elősegítik a meghatározott szempontok szerinti optimális változat kiválasztását. Kővári Istvánné dr.




A rendszerelemzés olyan eljárások összessége, amelynek során 1. leírjuk a vizsgált rendszert, meghatározva a rendszer célját, funkcióját, amire az ember megalkotta; a funkció ellátásához szükséges részeit és azok kapcsolatait; a rendszer és a környezet közötti kapcsolatokat; a rendszer működésének, működtetésének erőforrásait; irányítási alrendszerét; 2. értékeljük a rendszer lehetséges állapotait, állapotterének az optimális, a biztonsági, az átmeneti, a működésképtelen és a tönkremeneteli résztartományait; Kővári Istvánné dr.




3. elkészítjük a rendszer (létrehozásának és/vagy üzemeltetésének) tervváltozatait; 4. döntéssel kiválasztjuk a megvalósítandó változatot. Jól strukturált feladatnál a döntés egy skalár szerinti sorba rendezéssel vagy ún. célfüggvény szerinti optimalizálással matematikai feladatmegoldásra egyszerűsödik. Rosszul (vagy nem) strukturált problémáknál a matematikai módszerek csak a döntés-előkészítést segíthetik, maga a döntés szubjektív ítélet eredménye.





A rendszerelemzés egyes lépései: 1) adott rendszer optimális, biztonsági, átmeneti, működésképtelen és tönkremeneteli állapottartományainak meghatározása; 2) a folyamatot (és az állapotot) leíró tulajdonságok, jellemzők feltárása és ezek osztályokba sorolása; 3) a rendszer megfigyelése, a meghatározott osztályokba sorolt jellemzők szerint; 4) a tapasztalatok alapján döntés arról, hogy a rendszer biztonsági vagy átmeneti állapotban van-e; 5) az átmeneti, ill. a működésképtelen állapotok okainak feltárása; 6) a biztonsági (optimális) állapot létrehozásához szükséges “kezelés”; 7) ellenőrzés és prognózisadás arra, hogy a rendszer megmarad-e a biztonsági vagy visszaesik a működésképtelen állapotba. Kővári Istvánné dr.




A döntési folyamat •

strukturált, ha van vagy készíthető olyan algoritmus, amely szerint egyértelműen lehet sorba rendezni a változatokat;

•

nem strukturált, ha ilyen algoritmus nem lehetséges.

Rendezési relációk: Sorba rendezés Névleges skála Sorrendi skála Intervallumskála Arányskála Kővári Istvánné dr.




Rendszerdiagnosztika a rendszerek diszfunkcióival foglalkozik /Diszfunkció – a funkciónak nem megfelelő működés/ A természetben is előfordulnak diszfunkciók pl. vulkánkitörés, földrengés, árvíz /ezeket az ember megismerheti, de meg nem tudja változtatni/

A diszfunkció bekövetkezése a főesemény, amely összetett esemény és mint ilyen részeseményekre valamint elemi eseményekre bontható. A főesemény bekövetkezte elemi események logikai rendjével elemezhető, modellezhető.





Hibafa

Légtartály felrobban v

00 Üzemeltetési hiba 02 v

Kivitelezési hiba 01 x1

Szabotázs

Túlnyomás

Rossz a szelep x2

07

x4 Nyomás van v

v Biztonsági szelep nem nyit 05 v

03

06

Nyomás kapcsoló Kompresszor Rossz a nem nyit jó szelep beállítás 09 10 08 x5 x6 x3 Kővári Istvánné dr.



04


Hiba modellezése - árvíz modell

Főesemény

00 = 01V02 01 = X1 Feleltessünk meg minden elemei eseménynek egy kapcsolót az áramkörben 02 = 03V04 03 = 05Λ06 X3 04 = X4 X5 X6 05 = 07V08 X2 06 = 09Λ10 07 = X2 08 = X3 09 = X5 X4 10 = X6 00=X1VX4V(X2ΛX5ΛX6)V(X3ΛX5ΛX6) X1

A technikai rendszereket úgy kell tervezni, kivitelezni és üzemeltetni, hogy az árvízmodellen „ne világítson a lámpa”. Kővári Istvánné dr.



Rendszertípusok Rendszer és modellezés

Minden technikai rendszer • csak környezetével együtt értelmezhető, • térben és időben egzisztál, • irányított állapotváltoztatást hajt végre.









A rendszer tulajdonságai: 1. a környezettel való kapcsolat szerint – nyílt, ha a peremen bármely kölcsönhatás lehetséges; – szigetelt, ha egyes kölcsönhatásokra nézve a perem vezetési tényezője igen kicsiny (közel zérus); – passzív, ha csak “tudomásul veszi” a hatásokat; – aktív, ha visszahatva a környezetre, befolyással van annak állapotára, ill. módosítja az onnan érkező hatásokat; – adaptív (az aktív rendszerek egy sajátos típusa), ha elsősorban nem a környezeti hatások módosításával, hanem azokra jól reagálva, hozzájuk alkalmazkodva biztosítja működőképességét.





2. térbeli jellegzetessége a szerkezet, amely lehet – lineáris (egydimenziós); – síkbeli (kétdimenziós); – térbeli (háromdimenziós). A szerkezet ismeretében leírható a rendszer hierarchiája, a részrendszerek és (végső soron) az elemek tartalmazási relációja. Ezek típusától, számától és kapcsolatrendszerüktől függően a rendszer lehet – egyszerű vagy bonyolult; – merev vagy flexibilis; – centralizált vagy decentralizált (előbbinél van egy olyan részrendszer, amelynek a működés szempontjából kiemelt) Kővári Istvánné dr.




3. Időbeli jellegzetesség a folyamat, amely lehet – stacioner (időben állandó), – instacioner (időben változó), – kvázistacioner (átlagos jellemzőit tekintve időben állandó). Az időbeliség azonban nemcsak a folyamatokra, hanem a szerkezetekre is vonatkozhat. Az ún. fejlődő rendszerekben az elemek száma ill. a köztük levő kapcsolatok az időben változnak. Tipikusan ilyen a legtöbb élő rendszer, de a valóban hatékonyan működő nagy technikai rendszerek is ide sorolhatók.

Az input-output kapcsolattól függően a folyamat lehet sztochasztikus és/vagy determinisztikus.





4. irányított állapotváltoztatása – vezérlés vagy – szabályozás. A cél mindkét esetben a stabil, biztonságos (vagy még inkább: optimális) tartományon belüli működés. Amennyiben a külső zavarok ettől nem képesek eltéríteni: a rendszer stabil. Ha gyakran kerül az átmeneti tartományban: a rendszer instabil.





Boulding féle rendszerszintek

1. A vázak szintje: a statikus struktúra. Szellemesen így nevezi: “A világegyetem földrajza és anatómiája”. Ide sorolja az elektronoknak a mag körüli elhelyezkedési sémáit, az atomok sémáját egy-egy molekulaképletben vagy egy kristályban, a gén, a sejt, a növény, az állat anatómiáját, a föld, a naprendszer, a csillagvilág térképét ... 2. Az egyszerű dinamikus rendszer, az óraművek szintje. Ide sorolja a gépek jó részét (az emelőtől a dinamóig). 3. A vezérlő mechanizmus vagy kibernetikai rendszer, a “termosztát szintje”. Az előbbi szinttől főleg abban különbözik, hogy lényeges része az információ továbbítása és feldolgozása: a rendszer bizonyos egyensúly fenntartására törekszik 4. A “nyit rendszer” vagy önfenntartó struktúra. Ezen a szinten kezd az élő elválni az élettelentől. (Az önfenntartás tulajdonságával szorosan összefügg az önreprodukció tulajdonsága). Kővári Istvánné dr.




5. A genetikai társadalom szintje, ennek tipikus alakja a növény. 6. Az “állati” szint. Jellemzői: a növekvő mozgékonyság, a célszerű viselkedés; specializált információ-felvevők, idegrendszer és végeredményben az agy, mint az a szerv, amely a felvett információt strukturált tudássá vagy “képpé” szervezi. 7. Az “emberi” szint, az egyedi emberi lény. 8. Az emberi társadalom. Boulding végül még a “transzcendens rendszerszintet” is megemlíti, majd így folytatja: “Ez a fajta ábrázolás többek között azzal az előnnyel jár, hogy némi fogalmat nyújt jelenlegi mind elméleti, mind tapasztalati tudásunk hézagairól... Kővári Istvánné dr.




Rendszerek osztályozása Csáki szerint Osztályozási szempontok A rendszer feladata

A rendszer működésmódja

A rendszer jellege

A szabályozott szakasz sajátsága A paraméterek időbeli viselkedése

A rendszer bonyolultsága

A változók száma

Változat Szabályozás Optimum keresés Folytonos-folyamatos Szakaszos-szaggatott Lineáris Nemlineáris Koncentrált paraméterű Elosztott paraméterű Állandó paraméterű Változó paraméterű Egyhurkos Többhurkos Egyváltozós Többváltozós Determinisztikus

A jelek tulajdonsága

Sztochasztikus (statisztikus) Rögzített

A struktúra

Adaptáló (alkalmazkodó) Tanuló Önszervező




A modell fogalmi megközelítése Rendszer és modellezés

Mindennapi és minden irányú (különösen tudományos) gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei. Olyan ismeret és szemlélet szükséges, amelynek segítségével felismerhető és leírható •a modell és a modellezett viszonya, •a rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, •a modellezés lehetőségei és korlátai. A hasonlóság és a modell fogalma, a modellezés módszere messze túlnő egy tantárgy vagy egy szakterület keretein





Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak. Szent-Györgyi Albert: “A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az ‘új’ miben különbözik a már ismert ‘régi’-től. ” Ezt az utat követi a műszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója, alkalmazója is. A már ismerttel való megegyezésből indul ki a vizsgálat és a már ismerttől való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt).





Szó szerinti fordításban a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent. A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése. A modell szóval jelölik például: •azt a rendszert, amely egy másik rendszerben (a modellezettben) végbemenő jelenséghez hasonló jelenséget valósít meg; •egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell); •közlekedési eszközök kicsinyített másolatát (pl. Matchbox); •épületek geometriailag hű kisebbítését, amelyek rendszerint szemléltető célt szolgálnak és inkább kell makettnak nevezni; •az olyan szemléltető eszközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon kicsiny) objektum oktatási bemutatására szolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje, vagy a planetárium). Gyakran szinonimaként használják a jel és a modell szót. Kővári Istvánné dr.




Műszaki Lexikon 1. Valamilyen rendszer leképezése hasonló viselkedésű, de más eszközökkel. A fizikai modell hasonló fizikai elveket használ, pl. áramló közegek helyett villamos áramokat, tároló elemek helyett kondenzátorokat. A matematikai modell a rendszer matematikai leírása, olyan matematikai összefüggések felírása, mely hasonló eredményt ad a számítás során, mint a rendszer a benne folyó átalakítással … 2. (építészet): Épület-együtteseknek (településeknek), épületeknek és építményeknek, valamint fontosabb részleteiknek valósághű kicsinyített mása … 3. (textilipar) Új ruházati cikkek bemutatásra készített mintadarabja …





Természettudományi Lexikon 1. (fizika) bonyolult fizikai rendszerek egyszerűsített, minden részletében áttekinthető, gyakorlatilag megvalósított vagy szemléletesen elképzelt, arányosan lekicsinyített vagy felnagyított, matematikailag szabatosan leírható, idealizált mása, amely többékevésbé helyesen szemlélteti a vizsgált rendszer vagy folyamat geometriai, kinetikai, dinamikai vagy más fizikai, illetve sztochasztikus sajátosságait. A modellalkotásnál tudatában kell lenni annak, hogy a modell nem azonos a vizsgált rendszerrel vagy folyamattal, és nem tükrözi maradéktalanul összes tulajdonságait. A helyesen alkotott modell mégis magán viseli az objektív anyagi világban meglevő rendszer vagy lejátszódó folyamat fontos ismérveit, és így alkalmas a döntő törvényszerűségek feltárására és szemléltetésére. A kutatás megfelelő stádiumában a modellalkotásnak nagy a heurisztikus jelentősége, és a modelleknek a fizika fejlődése során mindig fontos szerepe volt. … 2. Valamely tárgynak (rendszerint kicsinyített) mása. Kővári Istvánné dr.




Modellként használt kifejezések axiómarendszert kielégítő agyag-forma matematikai objektumok rendszere elmélet élő alak forma

formula

képlet

hasonló viselkedésű eszköz képmás

leképezés

makett

matematikai kifejezés

minta

gipsz alak

egyszerűsített arányos más folyamat főbb tulajdonságok tükrözése helyettesítő objektum kicsinyített más matematikai leírás mintadarab

munkaeszköz

munkatárgy

ruhaminta személy űrlap

séma szemléltető leírás verbális kifejezés

rendszer tudományos leírása szabásminta tevékenység viasz-forma





A modell információt adó rendszer: • célja az emberi megismerési folyamat elősegítése, újabb ismeretek szerzése; • egymással kölcsönhatásban lévő részekből (a modell elemeiből) összeálló (összeállított) szerves egész; • meghatározott “környezetével” (az ún. modellezettel) hasonlósági összefüggésben van, nélküle nem is értelmezhető.

Minden modell információt adó rendszer, de nem minden információt adó rendszer modell





Modell általában nem létezik, a modell és modellezett együtt értelmezhető a köztük lévő hasonlósági feltételt kielégítve. A technikában sohasem korlátozódik a modell egyetlen modellezettel való kapcsolatra. A hasonlósági reláció ekvivalencia reláció vagyis • Reflexív A~A •

Szimetrikus A ~ B B ~A

•

Tranzitív

A ~B, B ~C akkor A ~C





Minden osztályozás definiál egy ekvivalencia relációt és - megfordítva minden ekvivalencia reláció definiál egy osztályozást. Így értelmezzük a “modellezettek egész csoportját” mint egymással (valamely i. szempont szerinti) ρi hasonlósági relációban lévő elemek Ri osztályát (részhalmazát). Ugyanazon H halmazon egy másik (j. szempont szerinti) ρj hasonlósági reláció egy másik Rj osztályt definiál.

A kétféle szempont szerint definiált halmazok viszonya egymáshoz a következő lehet: a) Rj részhalmaza Ri-nek: ami azt jelenti, hogy a j. szempont szűkebb az i-ediknél (pl. Ri a paralelogrammák, Rj a négyzetek halmaza). b) Ri részhalmaza Rj-nek: ami azt jelenti, hogy a j. szempont tágabb az i-ediknél; c) Rj és Ri metszete üres: vagyis a szempontok kizárják egymást, a részhalmazok diszjunktak. Ha még is igaz, akkor a szempontok egymás komplementerei.

d) de egyik sem valódi részhalmaza a másiknak. A hasonlósági szempontok nem diszjunktak. Vannak tehát olyan elemek is, amelyek

mindkét szempont szerint hasonlóak egymáshoz. (Pl. Rj a háromszögek, Ri a derékszöget tartalmazó síkidomok halmaza. A derékszögű háromszögek alkotják a két halmaz metszetét.) Kővári Istvánné dr.




A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is. • •

Newton fogalmazta meg két szilárd test hasonló mozgásának feltételeit. Fourier (1822) hívta fel a figyelmet arra, hogy a fizikai jelenségeket leíró egyenletek tagjai azonos dimenziójúak (dimenzionális homogenitás). • Kirpicsov (1874) foglalkozott a geometriailag hasonló testekben végbemenő rugalmas jelenségekkel. • Bertrand (1878) kimutatta, hogy a fizikai egyenletek dimenzionális homogenitása lehetővé teszi a fizikai változók közötti matematikai kapcsolat előállítását, a változókból alkotott dimenzió nélküli hatványszorzatok alakjában. A XX. században a jelenségek hasonlóságával foglalkozó tudomány két irányban fejlődött: A)a jelenségek matematikai leírásán alapuló egyenletanalízis B)az adott jelenséget jellemző változók dimenziójának analízise a dimenzióanalízis.





A hasonlósági szempontok főbb típusai: • • •

szerkezeti (vagy strukturális) működési (vagy funkcionális) és formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság.

A strukturális, a funkcionális és a geometriai hasonlóság halmazai egymásnak nem részhalmazai. A metszet eleme maga a modellezett rendszer

Lehet két rendszer geometriailag hasonló (pl. egy gépkocsi és annak makettje), anélkül, hogy funkcionálisan hasonlók legyenek. Lehet két rendszer funkcionálisan hasonló (pl. egy hőcserélő és annak villamos modellje), anélkül, hogy geometriailag hasonlók legyenek.

A geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak nem szükséges, nem elegendő, akár kizáró feltétele Kővári Istvánné dr.



Modellek csoportosítása Rendszer és modellezés

Rendszertípusok

A IIASA 1976. rendszertípusai

Közgazdasági rendszerek: • • •

nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés.

Emberi és társadalmi rendszerek: • • • • • • • •

népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás.





Erőforrások és környezeti rendszerek: • • • • • •

ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság /az erdőgazdaság, állattenyésztés i/

Ipari rendszerek: • • • • • • • • • •

kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia. Kővári Istvánné dr.




Biológiai rendszerek: • • •

elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.

Információs és számítógép rendszerek: • • • •

távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek.

Integrált rendszerek: • • • • •

mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek.

Mindegyikükhöz többféle modell is rendelhető. Vizsgálatukra, leírásukra verbális, matematikai, képi, fizikai, s í. t. modelleket használunk.









A csoportosítási hierarchia első szintje meghatározza 1.a modellezett típusát 2.a modell típusát 3.a hasonlóság szempontját

MIT? MIVEL?

MI A HASONLÓSÁG FELTÉTELE?

1.A modellezett rendszer lehet pl. •termelési, •társadalmi, •pszichikai, •fizikai stb. Ebben az értelemben a csoportosítás arra vonatkozik, amit modellezünk.

2.A modell típusa szerint a modell lehet pl. •anyagi (elektromos, mechanikus, termikus, s í. t., ) vagy •gondolati (szimbolikus, ikonikus, verbális, s í. t.)





3.A modellezési szempont szerint a modell lehet pl. • • •

szerkezeti, működési, formai.

Ebben az értelemben a csoportosítás arra vonatkozik, amiben hasonló a modell a modellezetthez.

A modell funkciója (a modellezés célja) lehet például a modellezett leírása, szemléltetése, elemzése, létesítésével (működésével) kapcsolatos előírás, működésével, várható tulajdonságaival kapcsolatos probléma megoldása.





A modellezett folyamat jellege szerint a modell • statikus vagy • dinamikus.

A modell jellege lehet • Kvalitatív, amikor “csak” minőségi jellemzésre vagy elemzésre szolgál /pl.verbális és a gondolati modellek/

• Kvantitatív, amikor mennyiségi következtetések levonására vagy bemutatására alkalmas /szimulációs modellek/








Feladat és probléma Rendszer és modellezés

problémafeltárás

Kezdeti állapot

Problémahelyzet

?

!

!

1. végállapot

?

2. végállapot

...

! Algoritmizálható döntés ? Nem algoritmizálható döntés Kővári Istvánné dr.



n. végállapot


Honnan?

Hová?

Jelen állapot

a.)

Hogyan?

Helyzet elemzés

Jövő állapot

b.)

Cél megjelölés

Célba jutás módjai c.)





Feladatról beszélünk akkor, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, általában a célállapot és algoritmizált a célhoz vezető út

Problémáról beszélünk akkor, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.

Feladat és a probléma megoldása olyan gráf, amelynek csúcsai az események, élei a tevékenységek





probléma felismerés

Kiindulási állapot

megfogalmazás

új, még ismeretlen részek

feltételek saját tapasztalat

ismert részek

szükséges ismeretek szükséges ismeretek

elemzés

biztos!

bizonytalan

tervváltozat

kísérlet

igen Van legfontosabb nem szempont? kiemelés

bizonytalan döntés végrehajtás

végállapot





Tartalmilag lényeges különbség a két típus között: •

A tevékenység háló minden élét végig kell járni, egyetlen elmaradt tevékenység is lehetetlenné teszi a gyártmány elkészültét

•

A feladat (ill. a probléma) gráfban csak egy úton lehet (és kell!) végighaladni, a sokféle lehetséges út közül kell egy végrehajtandó utat kiválasztani!

Feladat esetében minden szakasznak (és döntési pontnak) van algoritmusa, az addigi eredményekből egyértelműen meghatározható a következő lépés. Amennyiben akár egyetlen olyan szakasz is van, amelynek nincs (vagy nem ismert az) algoritmusa, már problémáról beszélünk.

A probléma és a feladat nem szinonima és így megoldásuk különféle módszereket (is) igényel. Kővári Istvánné dr.




Feladattípusok

Feladat

X

Y

T

Y

T

X

Direkt feladat

?

ismert

adott

Indirekt feladat

ismert

?

ismert

Induktív feladat

előírt

adott

?

Példa mérés minősítés kutatás irányítástechnika tervezés fejlesztés

X egyértelműségi feltételek (input) T transzformációs tulajdonságok Y a rendszer viselkedése (output) Kővári Istvánné dr.




A direkt feladat esetében ismerjük a matematikai modellt és keressük annak megoldását. Ideális esetben: ismerjük a rendszert, annak minden (a vizsgálat szempontjából lényegesnek tartott) tulajdonságát, és valamennyi bemenő jellemzőjét. A feladat “csak” az, hogy • ismereteket szerezzünk a rendszer viselkedéséről, arról, hogy a bemenő jellemzők nagyságának változása esetén milyen(ek) lesz(nek) a kimenő jellemző(k), • a külső hatásokra hogyan fog válaszolni a rendszer.





Az indirekt feladat esetében ismerjük a rendszer outputját és a benne végbemenő folyamatok törvényszerűségeit. Adott tehát egy rendszer, és az is rögzített, hogy milyen legyen annak viselkedése. “Csak” éppen azt nem tudjuk, hogy az adott rendszer ezt a viselkedést milyen bemenő jellemző(k) esetén produkálja. Meg kell határozni: • milyen legyen a rendszer geometriai kialakítása, szerkezete, • hogyan módosítsuk a kívülről érkező hatásokat, milyen legyen a rendszer szigetelése, • milyen tulajdonságú anyagi közeggel kell dolgoznunk, hogy előállíthassuk a rendszer előírt viselkedését. Gyakori módszer: próbálgatás, kísérlettervezés





Induktív feladatnál a rendszer transzformációs tulajdonságairól nincs előzetes ismeret Cél: információt szerezni a rendszer viselkedéséről, következtetni egyesből az általánosra /indukció/; a kapott eredmény viszonyítása az ismert hasonló rendszerhez /identifikácó/





Feladattípusok megoldási folyamata Előzetes ismeretek DIREKT

INDIREKT előírt: OUTPUT

nem

INDUKTÍV

Matematikai modell

Meglévő berendezés

egyértelm. felt. vált.

értelmezési tartomány

értelmezési tartomány

kísérlet vagy számítás

kísérlet vagy számítás

kísérlet

megoldás: „INPUT”

megoldás: „OUTPUT”

megoldás: TRANSZFER

opti- igen mális?

kicsi

hiba?

nagy

igen

kielégítő?

Y=T:X nem elfogadható

hiba?

elfogadható

STOP




nem


A rendszer matematikai leírásának fő részei: • a rendszer belső tulajdonságait kifejező egyenletrendszer, • az egyértelműségi feltételek, • a matematikai modell megoldása (az input függvényében az állapot ill. az output változása). Teljes a kép a rendszerről, amikor mindhárom rész ismert





A problémamegoldás folyamata




Geometriai modell Rendszer és modellezés

A geometriai hasonlóság a funkcionális hasonlóságnak nem szükséges, semmi esetre sem elegendő, sőt gyakran kizáró feltétele Geometriai hasonlóság felhasználásának jelentősége: •számos esetben a modellnek a modellezett geometriai tulajdonságaira kell információt adnia (pl. szerkezeti elrendezések, esztétikai elemzések, formatervezés); •a geometriailag is hasonló modellek megvalósítása gyakran egyszerűbb (és szemléletesebb); •a funkcionális hasonlóság meghatározásához is felhasználható a geometriai hasonlóság meghatározásához szükséges (és ott szemléltető erejű) fogalmakat, természetesen értelemszerűen alkalmazva azokat a geometriai változók helyett az állapotjellemzőkre.





Geometriai hasonlóság Hasonlósági transzformáció: egyik idomnak geometriai hasonlóságot kielégítő leképzése egy másikra α = α’, β = β’; … ; ω = ω´,

(ahol c= állandó), vagy másképen a = ca'; b = cb'; ... ; n = cn'.

A c (arányossági) tényező hasonlósági (transzformációs) szorzó





A hasonló idomok megfelelő koordinátái ugyanúgy transzformálódnak, mint maga az idom Legyen az A pont koordinátája A(x1 , y1 ). Az x és y irányú méreteket c-vel szorozva A' pont az A pont megfelelője A'(x'1 , y'1 ) = A'(cx1 , cy1 ). Ha ugyanez igaz a B, ill. a B’ pontra, akkor az távolság megfelelője a távolságnak, a két távolság hasonló. A két kör egyenlete: x2 + y2 = r2; illetve x'2 + y'2 = r'2 Vegyük a dimenzió nélküli változókat: X = x/r; Y = y/r Helyettesítsük be a körök egyenletébe. Mindkét esetben az

X2 + Y2 = 1 A hasonló idomokat leíró egyenletek dimenzió nélküli formában tehát azonosak Kővári Istvánné dr.




Megkülönböztettünk transzformációs szorzót (c), amellyel egyik idomnak a másikra való leképezésekor valamennyi méretet meg kell szorozni. Ez a megfelelő méretek arányát adja. Adott értéke azt fejezi ki, hogy az egymáshoz hasonló idomok halmazában a reprezentáns elem méreteit mennyivel kell szorozni, hogy a halmaz egy másik elemének méreteit megkapjuk. A transzformációs szorzó a halmazon belüli két elem viszonyát (arányosságát) fejezi ki (egy idom minden méretére értéke azonos egy más érték a halmaz egy másik idomát adja); dimenzió nélküli változót (X, Y), amely a koordináta és egy meghatározott jellemző méret (ún. paraméter) hányadosa, illetve dimenzió nélküli számot, amely két jellemző méret hányadosa. Ezek értéke a hasonló idomok halmazán univerzális, a halmazon belüli minden elemre érvényes (minden, a halmazhoz tartozó idom megfelelő pontjaiban értéke azonos); dimenzió nélküli egyenletet, amely a dimenzió nélküli változók közötti kapcsolatot fejezi ki, s a hasonló idomok halmazának (minden elemére érvényes) univerzális jellemzője.

A geometriai hasonlóság feltétele a dimenzió nélküli számok megegyezése, illetve a dimenzió nélküli egyenletek azonos alakja. Kővári Istvánné dr.




Kollineáció - projektív transzformáció

A 0 és a t helyzetétől függően ¾középpontos hasonlóság, ha a 0 a végesben, t pedig a végtelenben van; ¾affin leképezés, ha a 0 a végtelenben, t pedig a végesben van.





Affin idomok az affin transzformációs szorzó irányonként konstans Az ellipszis egyenlete: Legyenek a transzformációs szorzók:

A kör és az ellipszis egyenlete azonos:

Dimenzió nélküli változókkal: Az ellipszis és a kör egyenlete: Kővári Istvánné dr.




Affin transzformáció x = 2x'+y'; y =x'+3y', vagyis

A transzformációs szorzókat négyzetesen elrendezve az ún. transzformációs mátrixot kapjuk:

A T mátrix segítségével határozhatjuk meg valamely pontnak megfelelő pont koordinátáit. rC = T rC’ Az inverz transzformáció mátrixának jele: T-1 Kővári Istvánné dr.




Az affin transzformációval a térbeli alakzatok szélesebb körét tudjuk azonos alakra hozni. Az affinitás is ekvivalencia reláció, s így a geometriai alakzatok osztályozását jelenti. Háromdimenziós idomok esetében a leképezési mátrix:

Ennek speciális esete a diagonális mátrix transzformáció

Amikor a diagonális mátrix mindhárom eleme azonos, geometriai hasonlósági transzformációt kapunk





Teljes általánosságban is beszélhetünk geometriai leképezésről A leképezés lehet bármilyen mátrixtranszformáció vagy függvény. Feltétel: kölcsönösen egyértelmű és környezettartó legyen. a H halmaz H'-re való leképezése során minden S є H pontnak (amely a P є H ε sugarú környezetében volt) egy S' є H' pont felel meg, amely a P pontnak megfelelő P' pont ε΄ sugarú környezetén belül van; és megfordítva (Például: egy körlap leképezése egy körgyűrűre nem környezettartó, de környezettartó egy négyzetre való leképezése.)




Folyamatok hasonlósága Rendszer és modellezés

Két rendszer működése akkor hasonló egymáshoz, ha az egyik állapotváltozóinak (jellemzőinek) értékéből (és azok változásából) a másik állapotváltozóinak értéke (és változása) kölcsönösen egyértelműen meghatározható.

Hasonlóak az olyan rendszerek, amelyek megfelelő jellemzői arányosak. Legyenek az állapotjellemzők az egyik rendszerben: x1 , x2 , ..., xn ; a másik rendszerben: x1', x2', ..., xn'. rendszer állapotát (a vizsgálati szempontok által rögzített állapottérben!) az n db állapotjellemző térbeli eloszlása jellemzi, vagyis azok az xi = fi (r); (i = 1, ..., n) függvények, amelyek megadják a tér minden P(r) pontjára (pontosabban a P ponttal jelölt véges térfogatelemre) xi értékét. Kővári Istvánné dr.




Eloszlásfüggvények jellemzik a másik rendszer állapotát is: xi’ = fi’ (r’); (i = 1, ..., n) Ezen függvények ismeretében meghatározhatók az ún. izofelületek, vagyis azon pontok mértani helye, amelyekben egy adott állapotjellemző azonos értékű. Két rendszeren - ha azok geometriailag hasonlóak - az izofelületek hasonlósága alapján is megállapítható a hasonlóság. Ugyanis ekkor a megfelelő pontokban A és A’, ill. B és B’ pontokban a megfelelő állapotjellemzők hányadosa (aránya) állandó, a két rendszer (megfelelő) állapota arányos, vagyis hasonló.





Az olyan rendszerek, amelyeknek valamennyi (az adott vizsgálati szempontból szignifikáns) i = 1, ..., n állapotjellemzőjére fennáll összefüggés, egymáshoz hasonlóak Ekkor a két rendszer állapotjellemzői közötti kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot a K (diagonális) mátrix adja, amelynek i. sorában és i. oszlopában álló szám azt fejezi ki, hogy az R(2) rendszer bármely pontjában mért xi' értékének hányszorosa az R(1) rendszer megfelelő pontjában levő xi értéke. A K mátrix (illetve annak K-1 inverze) a két rendszer állapot jellemzőinek kölcsönösen egyértelmű leképezési függvénye: x = K x' illetve x' = K-1x, idővel kiegészítve az állapotjellemzést Tmátrix x = T x' illetve x' = T-1 x ahol x az n-dimenziós állapotvektor, melynek komponensei x1, ..., xn.

Két rendszer hasonló, ha fennáll közöttük az x = T x', illetve: x' = T -1 x kölcsönösen egyértelmű leképezési kapcsolat Kővári Istvánné dr.




Rendszerek funkcionális hasonlósága Jelölje

az inputot, az egyértelműségi feltételek vektorát X, az outputot, a rendszer válaszának vektorát Y belső transzformációs tulajdonságait matematikailag Y = R(X) Ugyanígy Y’ = R’(X’) függvénykapcsolat, ha a kölcsönösen egyértelmű T leképezési kapcsolat fennáll mind az X és X’, mind az Y és Y' között

Azonban az X és X', illetve az Y és Y’ bármely értékpárja között akkor és csakis akkor állhat fenn a T leképezési kapcsolat (illetve annak inverze), ha az R rendszer D differenciálegyenleteit a leképezés az R' rendszer D' differenciálegyenleteibe viszi át. Kővári Istvánné dr.




Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy leíró differenciálegyenleteik és a hozzájuk tartozó egyértelműségi feltételek egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek. Mivel a rendszert leíró differenciálegyenlet (egyenletrendszer) a hozzá tartozó egyértelműségi feltételekkel együtt (definíció szerint) a rendszer matematikai modellje, a főtétel így is fogalmazható:

Két rendszer hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele, hogy

matematikai modelljeik egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatók legyenek.





Feltételi egyenlet A hasonló rendszerek matematikai modelljei a hasonlósági transzformációval szemben változatlanok (invariánsak). Így a két rendszer differenciálegyenletének (ha a rendszerek hasonlóak) meg kell egyezniük ha xi' = cixi

Az egyes transzformációs szorzók közötti függvénykapcsolat

Annak feltétele tehát, hogy két rendszer egymáshoz hasonló legyen az, hogy a transzformációs szorzók közötti függvénykapcsolat értéke 1 legyen. Ezt az egyenletet ezért feltételi egyenletnek nevezzük. Kővári Istvánné dr.




Hasonlósági invariánsok és kritériumok A dimenzió nélküli egyenletekben a hasonlósági transzformációkkal nem változó dimenzió nélküli jellemzők a hasonlósági invariánsok. Invariánsok egy része függő változó, más része független változó vagy másként hasonlósági kritériumok. Ezek számát a szabadsági fok határozza meg. Hasonlósági kritériumban csak az egyértelműségi feltételek változói lehetnek. Ha n a változók és k a független dimenziók száma, akkor a kritériumok száma csak (n-k) lehet





Hasonlósági tételek A folyamatot leíró differenciálegyenlet megoldását F(x1, x2, ...xn) = 0 Ha a függő invariánsok Pi, a függetlenek Ps (s = 1, 2, ..., n-k), Pi = Pi (P1, P2, ..., Pn-k) minden egymáshoz hasonló rendszert kielégítő egyenlet. Így tehát elegendő az egyik rendszerben a Pi kapcsolatok meghatározása, a többi hasonló rendszerre is érvényes az összefüggés.





Mindazon rendszerek, amelyek leíró egyenletei ugyanazon dimenzió nélküli egyenletrendszerre kölcsönösen egyértelműen leképezhetők, a hasonló rendszerek osztályát képezik. Ezen belül azonos alakúak a (függő) hasonlósági invariánsok. Az egy osztályba tartozó rendszerekre kielégül a hasonlóság szükséges feltétele. Az osztályon belül a hasonló rendszerek csoportját alkotják azok a rendszerek, amelyeknek egyértelműségi feltételei is leképezhetők egy közös dimenzió nélküli egyértelműségi feltétel rendszerre. Az egy csoportba tartozó rendszerekre kielégül a hasonlóság elégséges feltétele is. Ezen belül azonos értékűeknek kell lennie a hasonlósági kritériumoknak és ennek következtében azonos értékű a többi invariáns is.





Hasonlósági tételek •

Az első tétel: ha két jelenség hasonló, akkor az őket leíró differenciálegyenletekből és egyértelműségi feltételekből képezett invariánsok számértéke mindkét jelenségre megegyezik (azonos).

•

A második tétel: a hasonlósági kritériumok és a dimenzió nélküli függő változók közt egyértelmű összefüggések állnak fenn.

• A harmadik tétel azt mondja ki, hogy e két feltétel együttesen a jelenségek hasonlóságához már elégséges is: A rendszerek hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele a leíró egyenletek és az egyértelműségi feltételek dimenzió nélküli formájának, vagyis a dimenzió nélküli matematikai modellnek a megegyezése. Kővári Istvánné dr.



Matematikai modell Rendszer és modellezés

A matematikai modell (a kvantifikálható jellemzéséhez szükséges összefüggések rendszere) tükrözi a rendszeren belüli folyamatok törvényszerűségeit, a rendszer helyzetét és kapcsolatát környezetével.

A matematikai modell típusa A technikai rendszerekben végbemenő folyamatok leggyakrabban parciális differenciál egyenletekkel - a hiperbolikus, a parabolikus, ill. az elliptikus -írhatók le.





•

Hiperbolikus (vagy másképpen hullám-) egyenletek írják le pl. a húr, a vékony rugalmas membrán, a rúd torziós rezgését, a hanghullám terjedését folyadékban (gázban), az elektromágneses hullámok terjedését a térben. Hiperbolikus egyenletek a kvantummechanika alapegyenletei is.

•

Parabolikus (másként Fourier) egyenletek az ismert általános (instacionárius) mérlegegyenletek, amelyek széles körű felhasználási területéről már szó volt. Itt csak példaként említjük, hogy a diffúzió, a hővezetés, a szárítás, a hidrodinamika instacionárius folyamatait, a gazdasági változásokat ilyen egyenletek írják le.

•

Elliptikus egyenletek a stacionárius mérlegegyenletek. Elliptikusak a kondenzátorok, az elektrolitok és az elektroncsövek elektrosztatikus terét, a stacionárius hővezetést és diffúziót, a mágneses és gravitációs tereket, az örvénymentes folyadékáramlás és a porózus közegben áramló folyadék törvényszerűségeit leíró ún. Laplace-egyenletek. Kővári Istvánné dr.




Matematikai modell és a mérlegegyenletek kapcsolata

Anyagi tulajdonságok

Exkluzív m. Intenzív m.

Áram

Vezetési tényezők Forrás Értelmezési tartomány Kezdeti feltételek Peremfeltételek Állapot egyenletek Analitikus Numerikus Kísérlettervezés Kísérlet Hasonlósági módszer

Mérlegegyenletek

Alapegyenletek

+ Egyértelműségi feltételek + Megoldási módszerek = Eloszlásfüggvények




Matematikai modell

Kölcsönatás típusa






A matematikai modell megoldásának módszerei Alapegyenletek

+

Egyértelműségi feltételek

Matematikai modell + Megoldási módszerek

Analitikus Numerikus

Algoritmus Számítási modell

Kísérlettervezés Kísérleti

Fizikai modell

Hasonlósági módszer

Eloszlásfüggvények Kővári Istvánné dr.



Megoldás


Matematikai modell ANALITIKUS

NUMERIKUS

KÍSÉRLETI

elhanyagolások

diszkretizálás

hasonlósági transzformációk

transzformáció

algoritmus

Kísérleti berendezések, mérőeszközök

blokkséma programnyelv?

integrálás

program

hibabecslés nem ellenelfogad- őrzés ható

gép? lehetőségek?

elfogadható

hiba hiba

kísérletterv

szintaxis

jó

faktorok

szeman- jó tika

futtatás Y=T:X nem elfogadható

ellenőrzés

szintek kísérlet eredmény

elfogadható

STOP





Az analitikus megoldás legfontosabb lépései ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, a megoldás ellenőrzése.





A numerikus megoldás legfontosabb lépései: a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, a matematikai modell megalkotása, a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, a blokkséma összeállítása, számítási modell megoldását adó program megírása, és annak futtatása, a megoldás ellenőrzése.





A kísérleti megoldás legfontosabb lépései (tevékenységei): - a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, - a matematikai modell megalkotása, - a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasztása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, - a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, - a kísérletek lefolytatása és értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, - a megoldás ellenőrzése.





A megoldási módszerek legfontosabb jellemzői lépés

Analitikus

Kísérleti

1

A feladat verbális megfogalmazása

2

A matematikai modell megalkotása

Numerikus

3

Transzformáció megoldásra alkalmas formára

Hasonlósági transzformáció

Diszkretizálás

4

A megoldás egymás utáni lépéseinek rögzítése

A kísérleti terv összeállítása

Algoritmus és blokkséma

5

A megoldást jelentő összefüggés meghatározása

Kísérletek és azok értékelése

Gépi program futtatása, eredménye

6

A megoldás ellenőrzése

A megoldási módszerek nem diszjunktak, általában együtt kell alkalmazni Kővári Istvánné dr.



Dimenzióanalízis Rendszer és modellezés

Dimenzióanalízis a dimenzió nélküli számok meghatározásával foglalkozik A dimenzióanalízis segítségével az eredeti változók számánál kevesebb (dimenzió nélküli) változót kapunk és - a kísérlek során - ezek közötti összefüggéssel jellemezhetjük a vizsgált folyamatot illetve rendszert. A dimenzióanalízis tárgya: a vizsgált rendszer jellemző változóiból dimenzió nélküli hatványszorzatok képzése.





A dimenzióanalízis akkor és csakis akkor alkalmazható, ha • nem ismert a rendszer matematikai modellje, • ismertek a rendszerben végbemenő folyamatok jellemzői nem szabad használni a dimenzióanalízist, ha • ismert a matematikai modell: mivel a dimenzióanalízis a hasonlósági módszernél lényegesen megbízhatatlanabb. • amikor nem ismertek a folyamatjellemzők





Dimenzionális homogenitás A dimenzionális homogenitás egyfajta szimmetria-tulajdonságra utal: az egyenletek idő- és térkoordináták szerinti transzformációjával szembeni szimmetria -tulajdonságai és a megmaradási törvények, a koordináta-transzformációkkal szembeni szimmetriatulajdonságok és a tenzoriális homogenitás, a kölcsönösen egyértelmű transzformációval szembeni szimmetria és a rendszerek hasonlósága között mértékegységrendszer transzformációjával szembeni szimmetria Az egyenletek ezen tulajdonságát a Fourier-feltétel rögzíti: kötelező, hogy egy egyenletben szereplő minden tag dimenziója azonos legyen





Dimenzió nélküli változók A fizikai mennyiségek csoportosításakor megkülönböztetjük az egynemű és az egynevű mennyiségeket. Egynemű a tágabb fogalom: az azonos dimenziójú elemek halmaza, egynevű ennek részhalmaza, amelynek elemei nemcsak dimenzióban, hanem értelmükben is azonosak, egymástól csak nagyságukban (“számértékükben”) különböznek Egyneműek lehetnek különböző fizikai mennyiségekből képezett hatványszorzatok is. Így például az impulzus (a tömeg és a sebesség szorzata) dimenzionálisan megegyezik az erő és az idő szorzatával: [m][v] = [F][t] . Két egynemű fizikai mennyiség hányadosa természetesen dimenzió nélküli.

.





Szimplexnek nevezzük a dimenzió nélküli számot, ha az két egynevű mennyiség hányadosa. Minden más esetben a dimenzió nélküli hatványszorzat elnevezést használjuk. A dimenzió nélküli számok számértéke nem függ a mértékegységrendszer megválasztásától. Szimplexek esetében ez a megállapítás triviális, hiszen két azonos nevű mennyiség hányadosa független a választott mértékegységrendszertől. A jelenségeket nemcsak az egyes állapotjellemzőkkel, hanem az azokból alkotott dimenzió nélküliváltozókkal is jellemezhetjük, amelyek értékei a hasonló rendszerek hasonló pontjaiban azonosak. A dimenzió nélküli változók képzésekor a dimenzionális homogenitás módot ad arra, hogy - a változók összevonásával - explicite kevesebb változóval tudjuk a rendszert, elemezni. Kővári Istvánné dr.




Dimenzióanalízis módszere A dimenzióanalízis módszerének alkalmazásakor kiindulunk a vizsgált rendszer jellemzőiből és felírjuk ezekre a változókra a dimenziómátrixot A dimenziómátrix alapján már meghatározhatók a dimenzió nélküli számok. Többféle módszer ismeretes. Pl. A bázisfaktor-módszer lényege, hogy a dimenziómátrixot ún. bázisfaktorokra bontjuk, azaz olyan két mátrix szorzatára, amelyek közül az elsőnek oszlopai, a másodiknak pedig sorai lineárisan függetlenek. A bázismátrixból azután a fizikai mennyiségek báziselemei (a π számok) meghatározhatók.





A dimenzióanalízis és a hasonlósági módszer ¾dimenzióanalízis direkt feladat: a kísérleték során azt vizsgáljuk, hogy a szabadon megválasztható fizikai változókból képezett (független) dimenzió nélküli számok értékének változtatásával milyen lesz a vizsgált berendezésben a többi (függő) dimenzió nélküli szám eloszlása, ¾dimenzióanalízis indirekt: a mérések során úgy változtatjuk a független dimenzió nélküli számok értékét, hogy közben egy adott helyen a függő dimenzió nélküli szám értéke ne változzék (ha ismert valamely függő változó optimális értéke, és keressük: a független dimenzió nélküli számok milyen variációi esetén lehet ezt az optimumot elérni)





A dimenzióanalízis önmagában nem képes a hasonlóságot sem definiálni, sem betartásának feltételeit megszabni. A dimenzió nélküli összefüggések érvényességi körét előzetesen csak az egyenletanalízis alapján lehet meghatározni. A hasonlósági módszer egyértelmű definícióját adja a hasonlóság fogalmának, szükséges és elegendő feltételének. Ennek ismerete nélkül, pusztán a dimenzióanalízisre támaszkodva súlyos hibákat követhetünk el.




RENDSZER ÉS MODELLEZÉS

Recommend Documents