posuzování shody Évaluation des données de mesure Le rôle de l incertitude de mesure dans l évaluation de la conformité

Spoleˇ cn´ y v´ ybor pro n´ avody v metrologii

JCGM 106 2014

Vyhodnocov´ an´ı namˇ eˇ ren´ ych dat – role nejistoty mˇ eˇ ren´ı pˇ ri posuzov´ an´ı shody

´ Evaluation des donn´ ees de mesure — Le rˆ ole de l’incertitude de mesure dans l’´ evaluation de la conformit´ e

© JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

JCGM 106:2014

© JCGM 2014 Autorsk´ a pr´ ava k tomuto n´ avodovému dokumentu JCGM jsou spoleˇcnˇe sd´ılena ˇclensk´ ymi organizacemi JCGM (BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP a OIML). Autorsk´ a pr´ ava Ekonomick´ a a mor´ aln´ı autorsk´ a pr´ ava vztahuj´ıc´ı se ke vˇsem publikac´ım JCGM jsou mezinárodnˇe chránˇena i pˇresto, ˇze je jejich elektronick´ a verze dostupn´ a bez poplatku na webové stránce jedné nebo v´ıce ˇclensk´ ych organizac´ı JCGM. Bez p´ısemného povˇeˇren´ı JCGM nepovoluje tˇret´ım stranám upravovat ˇci vydávat tento dokument pod sv´ ym jménem, prod´ avat kopie veˇrejnosti, pouˇz´ıt dokument ve vys´ılán´ı médi´ı nebo je pouˇz´ıt v on-line publikac´ıch. JCGM má rovnˇeˇz n´ amitky k pˇr´ıpadn´ ym distorz´ım, rozmnoˇzov´ an´ı nebo komolen´ı sv´ ych publikac´ı vˇcetnˇe názv˚ u, hesel a log sv´ ych ˇci sv´ ych ˇclensk´ ych organizac´ı. Ofici´ aln´ı verze a pˇ reklady Jedin´ ymi ofici´ aln´ımi verzemi jsou dokumenty publikované JCGM ve sv´ ych p˚ uvodn´ıch jazyc´ıch. Publikace JCGM lze pˇrekl´ adat do jin´ ych jazyk˚ u neˇz tˇech, ve kter´ ych byly p˚ uvodnˇe publikovány JCGM. Pˇred proveden´ım takového pˇrekladu je tˇreba si vyˇz´ adat svolen´ı od JCGM. Vˇsechny pˇreklady mus´ı respektovat p˚ uvodn´ı a ofici´ aln´ı form´ at vzorc˚ u a jednotek. (bez jak´ ychkoliv konverz´ı na jiné vzorce ˇci jednotky) a mus´ı obsahovat následuj´ıc´ı sdˇelen´ı (pˇreloˇzené do pˇredmˇetného jazyka): Vˇsechny produkty JCGM jsou mezin´ arodnˇe chr´ anˇeny autorsk´ ymi právy. Tento pˇreklad p˚ uvodn´ıho dokumentu JCGM byl poˇr´ızen se svolen´ım JCGM. JCGM si plnˇe podrˇzuje mezinárodnˇe chránˇená autorská práva na návrh ˇ a obsah tohoto dokumentu a na n´ azvy, hesla a loga JCGM. Clensk´ e organizace JCGM si také podrˇzuj´ı plnˇe mezin´ arodnˇe chr´ anˇen´ a autorsk´ a pr´ ava na n´ azvy, hesla a loga obsaˇzená v tomto dokumentu. Jedinou oficiáln´ı verz´ı je dokument publikovan´ y JCGM v p˚ uvodn´ıch jazyc´ıch. JCGM nenese ˇz´ adnou odpovˇednost za platnost, správnost, u ´plnost a kvalitu informac´ı a materiál˚ u obsaˇzen´ ych v jakémkoliv pˇrekladu. V dobˇe publikace je nutné poskytnout JCGM jednu kopii pˇrekladu. Poˇ rizov´ an´ı kopi´ı Z publikac´ı JCGM mohou b´ yt poˇrizov´ any kopie, je-li k dispozici pˇr´ısluˇsné povolen´ı od JCGM. Jeden vzorek jakéhokoliv zkop´ırovaného dokumentu mus´ı b´ yt poskytnut JCGM v dobˇe, kdy je kopie poˇr´ızena a mus´ı obsahovat následuj´ıc´ı sdˇelen´ı: Z tohoto dokumentu byla poˇr´ızena kopie se svolen´ım JCGM, kter´ y drˇz´ı plnˇe mezinárodnˇe chránˇená autorsk´ a ˇ pr´ ava na n´ avrh a obsah tohoto dokumentu a na názvy, hesla a loga JCGM. Clensk´ e organizace JCGM si také podrˇzuj´ı plnˇe mezin´ arodnˇe chr´ anˇen´ a autorská práva na názvy, hesla a loga obsaˇzená v tomto dokumentu. Jedin´ ymi ofici´ aln´ımi verzemi jsou p˚ uvodn´ı tˇechto dokument˚ u publikované JCGM. Zproˇ stˇ en´ı odpovˇ ednosti za ˇ skodu JCGM a jeho ˇclenské organizace publikovaly tento dokument ve snaze zlepˇsit pˇr´ıstup k informac´ım o metrologii. Snaˇz´ı se pravidelnˇe aktualizovat tento dokument, nemohou ale garantovat jeho pˇresnost v kaˇzdém ˇcase a nejsou odpovˇedné za jakoukoliv pˇr´ımou ˇci nepˇr´ımou ˇskodu, kter´ a by mohla b´ yt d˚ usledkem jeho pouˇzit´ı. Jak´ ykoliv odkaz na komerˇcn´ı produkty jakéhokoliv druhu (vˇcetnˇe, ale ne v´ yluˇcnˇe, SW, dat ˇci HW) ˇci odkazy na webové stránky, nad kter´ ymi nem´ a JCGM a jeho ˇclenské organizace ˇz´ adnou kontrolu a za které nenesou ˇzádnou odpovˇednost, neznamenaj´ı ˇz´ adn´ y souhlas, schv´ alen´ı nebo doporuˇcen´ı ze strany JCGM a jeho ˇclensk´ ych organizac´ı.

ii


JCGM 106:2014

Obsah

Strana

Pˇ redmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

´ Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 C´ıl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2 Normativn´ı odkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3 Pojmy a definice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Pojmy se vztahem k pravdˇepodobnosti 3.2 Pojmy se vztahem k metrologii . . . . . . 3.3 Pojmy se vztahem k posuzov´ an´ı shody

. . . .

2 2 3 5

4 Ujedn´ an´ı a znaˇ cen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 Toleranˇ cn´ı meze a toleranˇ cn´ı intervaly . . . . . . . . . . 5.1 Mˇeˇren´ı v posuzov´ an´ı shody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dovolené a nedovolené hodnoty: toleranˇcn´ı intervaly 5.3 Pˇr´ıklady toleranˇcn´ıch mez´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. 8 . 8 . 9 . 10

6 Znalost mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 Pravdˇepodobnost a informace . . . . . . . . . . . 6.2 Bayes˚ uv teorém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Souhrnn´ a informace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Nejlepˇs´ı odhad a standardn´ı nejistota 6.3.2 Intervaly pokryt´ı . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

10 10 10 11 11 12

7 Pravdˇ epodobnost shody se stanoven´ ymi poˇ zadavky . . . . 7.1 Obecné pravidlo pro v´ ypoˇcet pravdˇepodobnosti shody . . . . 7.2 Pravdˇepodobnosti shody s norm´ aln´ımi PDF . . . . . . . . . . . 7.3 jednostranné toleranˇcn´ı intervaly s normáln´ımi PDF . . . . . 7.3.1 Jednoduch´ a spodn´ı toleranˇcn´ı mez . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Jednoduch´ a horn´ı toleranˇcn´ı mez . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Obecn´ y pˇr´ıstup k jednoduch´ ym toleranˇcn´ım mez´ım 7.4 Dvoustranné toleranˇcn´ı intervaly s normáln´ımi PDF . . . . . 7.5 Pravdˇepodobnost shody a intervaly pokryt´ı . . . . . . . . . . . . 7.6 Index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı Cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı a pravdˇepodobnost shody . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

12 12 13 13 13 14 15 15 16 17 18

8 Intervaly pˇ rijatelnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1 Meze pˇrijatelnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Rozhodovac´ı pravidlo zaloˇzené na jednoduchém pˇrijet´ı . 8.3 Rozhodovac´ı pravidla zaloˇzen´ a na ochrann´ ych pásmech 8.3.1 Obecné u ´vahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Chr´ anˇené pˇrijet´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Chr´ anˇené odm´ıtnut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

19 19 20 20 20 21 22

9 Rizika spotˇ rebitele (odbˇ eratele) a v´ yrobce (dodavatele) . . . . . . . . . . 9.1 Obecnˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 PDF pro v´ yrobn´ı proces a mˇeˇric´ı systém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Moˇzné v´ ystupy inspekˇcn´ıho mˇeˇren´ı s binárn´ım rozhodovac´ım pravidlem 9.4 Sdruˇzen´ a PDF pro Y a Ym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 V´ ypoˇcet glob´ aln´ıch rizik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.1 Historick´ y kontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2 Obecné vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.3 Speci´ aln´ı pˇr´ıpad: Bin´ arn´ı rozhodovac´ı pravidlo . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

23 23 24 25 25 26 26 26 27


. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

iii

JCGM 106:2014

9.5.4 Nastaven´ı mez´ı pˇrijet´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 9.5.5 Obecn´ y grafick´ y pˇr´ıstup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 9.5.6 Hodnota sn´ıˇzené nejistoty mˇeˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Pˇ r´ılohy A (informativn´ı) Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1 Norm´ aln´ı funkce hustoty pravdˇepodobnosti . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Integr´ aly norm´ aln´ıch PDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Pravdˇepodobnosti pokryt´ı pro norm´ aln´ı PDF . . . . . . . . . . . . . . A.4 Norm´ aln´ı proces a hustoty pravdˇepodobnosti mˇeˇren´ı . . . . . . . . . A.4.1 Apriorn´ı PDF g0 (η) pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y . . . . . . . . . . A.4.2 PDF h (ηm |η) pro Ym , je-li d´ ana hodnota Y = η . . . . . . . A.4.3 Margin´ aln´ı PDF h0 (ηm ) pro Ym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.4 N´ asledn´ a PDF (po mˇeˇren´ı) g (η|ηm ) pro Y . . . . . . . . . . . A.5 V´ ypoˇcty rizik s norm´ aln´ımi PDF a bin´ arn´ı rozhodovac´ı pravidlo

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

33 33 33 34 34 34 34 34 35 36

B (informativn´ı) Apriorn´ı znalost mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1 Statistické ˇr´ızen´ı proces˚ u ....................... B.2 Pˇredmˇet n´ ahodnˇe vybran´ y z mˇeˇreného vzorku pˇredmˇet˚ u B.3 Kladn´ a vlastnost v bl´ızkosti urˇcitého fyzik´ aln´ıho limitu .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

37 37 37 39

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

C (informativn´ı) Slovn´ık hlavn´ıch symbol˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iv


JCGM 106:2014


v

JCGM 106:2014

Pˇ redmluva V r. 1997 byl vytvoˇren Spoleˇcn´ y v´ ybor pro n´ avody v metrologii (JCGM) za pˇredsednictv´ı ˇreditele Mezinárodn´ıho u ´ˇradu pro v´ ahy a m´ıry (BIPM) 7 mezin´ arodn´ımi organizacemi, které p˚ uvodnˇe v r. 1993 pˇripravily N´ avod pro vyjadˇrov´ an´ı nejistot mˇeˇren´ı (GUM) a Mezin´ arodn´ı slovn´ık z´ akladn´ıch a obecných pojm˚ u v metrologii (VIM). JCGM pˇrevzal odpovˇednost za tyto 2 dokumenty od Technické poradn´ı skupiny 4 ISO (TAG4). Spoleˇcn´ y v´ ybor je tvoˇren BIPM s Mezin´ arodn´ı elektrotechnickou komis´ı (IEC), Mezinárodn´ı federac´ı klinické chemie (IFCC), Mezin´ arodn´ı organizac´ı pro standardizaci (ISO), Mezinárodn´ı uni´ı pro ˇcistou a aplikovanou chemii (IUPAC), Mezin´ arodn´ı uni´ı pro ˇcistou a aplikovanou fyziku (IUPAP) a s Mezinárodn´ı organizac´ı legáln´ı metrologie (OIML). Dalˇs´ı organizace se pak pˇripojila k tˇemto sedmi organizac´ım, totiˇz Mezinárodn´ı spolupráce pro akreditaci laboratoˇr´ı (ILAC). JCGM m´ a 2 pracovn´ı skupiny. Pracovn´ı skupina 1, ”Vyjadˇrován´ı nejistot pˇri mˇeˇren´ı”, má za u ´kol propagovat pouˇz´ıv´ an´ı n´ avodu GUM a pˇripravovat Dodatky a dalˇs´ı dokumenty pro jeho ˇsiroké vyuˇz´ıván´ı. Pracovn´ı skupina 2, ”Pracovn´ı skupina pro Mezin´ arodn´ı slovn´ık z´ akladn´ıch a obecn´ ych pojm˚ u v metrologii (VIM)”, má za u ´kol provádˇet revize a propagovat pouˇz´ıv´ an´ı slovn´ıku VIM. Pro dalˇs´ı informace o ˇcinnosti JCGM viz www.bipm.org Dokumenty jako tento jsou urˇceny k tomu, aby poskytly pˇridanou hodnotu ke GUM t´ım, ˇze poskytnou návod k tˇem aspekt˚ um v´ yvoje a pouˇz´ıv´ an´ı nejistot mˇeˇren´ı, které nejsou explicitnˇe obsaˇzeny v GUM. Tento návod je v maxim´ aln´ı moˇzné m´ıˇre konzistentn´ı s obecnou pravdˇepodobnostn´ı základnou GUM. Tento dokument byl pˇripraven Pracovn´ı skupinou 1 JCGM s vyuˇzit´ım detailn´ıch studi´ı ˇclensk´ ych organizac´ı JCGM a n´ arodn´ıch metrologick´ ych institut˚ u.

vi


JCGM 106:2014

´ Uvod Posuzov´ an´ı shody (viz 3.3.1) je ˇsiroce definováno jako jakákoliv ˇcinnost provádˇená za u ´ˇcelem stanoven´ı, pˇr´ımo nebo nepˇr´ımo, zda v´ yrobek, proces, systém, osoba ˇci organizace splˇ nuj´ı pˇr´ısluˇsné normy a vyhovuj´ı stanoveným poˇzadavk˚ um (viz 3.3.3). ISO/IEC 17000:2004 uv´ ad´ı obecné pojmy a definice vztahuj´ıc´ı se k posuzován´ı shody vˇcetnˇe akreditace org´ an˚ u posuzov´ an´ı shody a vyuˇzit´ı posuzov´ an´ı shody pro usnadnˇen´ı obchodu. V urˇcitém druhu posuzov´ an´ı shody , nˇekdy naz´ yvaném inspekce (viz 3.3.2) stanoven´ı, ˇze v´ yrobek splˇ nuje stanovené poˇzadavky se op´ır´ a o mˇeˇren´ı jako hlavn´ı zdroj informac´ı. ISO 10576-1:2003 [22] uvád´ı návody pro kontrolu shody se stanoven´ ymi mezemi v pˇr´ıpadˇe, ˇze veliˇcina (viz 3.2.1) se mˇeˇr´ı a v´ ysledn´ y ‘interval pokryt´ı (viz 3.2.7) (nazvan´ y ‘interval pokryt´ı’ v ISO 10576-1:2003) se porovnává s toleranˇcn´ım intervalem (viz 3.3.5). Dan´ y dokument rozˇsiˇruje tento pˇr´ıstup o zahrnut´ı explicitn´ıch u ´vah o rizic´ıch a rozv´ıj´ı obecné postupy pro rozhodován´ı o shodˇe zaloˇzeném navýsledc´ıch mˇeˇren´ı (viz 3.2.5) s pˇrihlédnut´ım ke kl´ıˇcové roli rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti (viz 3.1.1) jako vyj´ adˇren´ı nejistoty a ne´ uplnosti informace. Vyhodnocen´ı nejistoty mˇeˇren´ı je technick´ ym problémem, jehoˇz ˇreˇsen´ı je pˇredmˇetem dokumentu JCGM 100:2008, N´ avod pro vyjadˇrov´ an´ı nejistoty pˇri mˇeˇren´ıch (GUM) a jeho Dodatky JCGM 101:2008, JCGM 102:2011 a JCGM 103 [3]. Tento dokument pˇredpokl´ ad´ a, ˇze pˇredmˇetn´ a veliˇcina, mˇeˇren´ a veliˇcina (viz 3.2.4), byla zmˇeˇrena s v´ ysledkem mˇeˇren´ı vyj´ adˇren´ ym zp˚ usobem, kter´ y je kompatibiln´ı s principy popsan´ ymi v GUM. Zejména se pˇredpokládá, ˇze byly uplatnˇeny korekce pro zapoˇcten´ı vˇsech zn´ am´ ych v´ yznamn´ ych systematick´ ych jev˚ u. V´ ysledek mˇeˇren´ı je v posuzov´ an´ı shody pouˇzit k rozhodnut´ı, ˇze pˇredmˇet zájmu vyhovuje stanovenému poˇzadavku. T´ımto pˇredmˇetem m˚ uˇze b´ yt, napˇr´ıklad, koncová mˇerka ˇci ˇc´ıslicov´ y voltmetr, které maj´ı b´ yt kalibrovány v souladu s ISO/IEC 17025:2005 [23] nebo ovˇeˇreny podle ISO 3650 [24], nebo vzorek pr˚ umyslov´ ych odpadn´ıch vod. Zm´ınˇen´ y poˇzadavek m˚ uˇze m´ıt formu jedné nebo dvou toleranˇcn´ıch mez´ı (viz 3.3.4), které definuj´ı interval dovolen´ ych hodnot naz´ yvan´ y toleranˇcn´ı interval (viz 3.3.5), mˇeˇritelné vlastnosti pˇredmˇetu. pˇr´ıklady takov´ ych vlastnost´ı zahrnuj´ı délku koncové mˇerky, chybu indikace voltmetru a hmotnostn´ı koncentraci rtuti ve vzorku odpadn´ıch vod. Jestliˇze prav´ a hodnota vlastnosti leˇz´ı v toleranˇcn´ım intervalu, ˇr´ıkáme, ˇze vyhovuje a jinak nevyhovuje. ´ POZNAMKA Pojem ‘toleranˇcn´ı interval’ pouˇz´ıvan´ y v posuzov´ an´ı shody m´ a jin´ y v´ yznam jako stejn´ y pojem pouˇz´ıvan´ y ve statistice.

Rozhodnut´ı o tom, zda pˇredmˇet vyhovuje, bude obecnˇe záviset na urˇcitém poˇctu mˇeˇren´ ych vlastnost´ı a s kaˇzdou vlastnost´ı m˚ uˇze b´ yt spojen jeden ˇci v´ıce toleranˇcn´ıch interval˚ u. M˚ uˇze téˇz existovat nˇekolik moˇzn´ ych rozhodnut´ı ve vztahu ke kaˇzdé vlastnosti, m´ ame-li v´ ysledek mˇeˇren´ı. Zmˇeˇr´ıme-li urˇcitou veliˇcinu, napˇr´ıklad, m˚ uˇzeme se rozhodnout (a) pˇrijmout dan´ y pˇredmˇet, (b) odm´ıtnout dan´ y pˇredmˇet, (c) provést dalˇs´ı mˇeˇren´ı atd. Tento dokument se zab´ yv´ a pˇredmˇety s jednoduchou skal´ arn´ı vlastnost´ı a s poˇzadavkem dan´ ym jednou ˇci dvˇema toleranˇcn´ımi mezemi a bin´ arn´ım v´ ystupem, ve kterém jsou pouze dva moˇzné stavy pˇredmˇetu, vyhovuj´ıc´ı a nevyhovuj´ıc´ı, a dvˇe moˇzná odpov´ıdaj´ıc´ı rozhodnut´ı, pˇrijet´ı nebo odm´ıtnut´ı. Pˇredkl´ adané koncepty lze rozˇs´ıˇrit na obecnˇejˇs´ı rozhodovac´ı problémy. Pˇri vyhodnocov´ an´ı namˇeˇren´ ych dat je znalost moˇzn´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny obecnˇe zakódována a obsaˇzena ve funkci hustoty pravdˇepodobnosti (viz 3.1.3), nebo v numerické aproximaci takové funkce. Tato znalost je ˇcasto shrnuta ud´ an´ım nejlepˇs´ıho odhadu (braného jako hodnota mˇeˇrené veliˇciny (viz 3.2.6)) spolu s pˇr´ısluˇsnou nejistou mˇeˇren´ı , nebo intervalem pokryt´ı, kter´ y obsahuje hodnotu mˇeˇrené veliˇciny s udanou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı (viz 3.2.8) . Posouzen´ı shody se stanoven´ ymi poˇzadavky je tak z´ aleˇzitost´ı pravdˇepodobnosti zaloˇzené na informaci, která je k dispozici po proveden´ı mˇeˇren´ı. Pˇri typickém mˇeˇren´ı nen´ı pˇredmˇetn´ a mˇeˇrená veliˇcina sama o sobˇe pozorovatelná. Délku ocelové koncové mˇerky, napˇr´ıklad, nelze pˇr´ımo pozorovat, m˚ uˇzeme pouze pozorovat indikaci mikrometru s jeho dotykov´ ymi ˇcelistmi v kontaktu s koncov´ ymi plochami mˇerky. Takov´ a indikace poskytuje informaci o délce mˇerky prostˇrednictv´ım modelu mˇeˇren´ı, kter´ y zahrnuje vlivy ovlivˇ nuj´ıc´ıch veliˇcin jako je teplotn´ı roztaˇznost a kalibrace mikrometru. V posuzován´ı shody je rozhodnut´ı pˇrijato/odm´ıtnuto zaloˇzeno na pozorovateln´ ych datech (hodnoty mˇeˇrené veliˇciny, napˇr.), které vedou k odvozen´ı moˇzn´ ych hodnot moˇzn´ ych hodnot nepozorovatelné mˇeˇrené veliˇciny [37]. V d˚ usledku nejistoty mˇeˇren´ı existuje vˇzdy riziko nesprávného rozhodnut´ı, jestli urˇcit´ y pˇredmˇet vyhovuje nebo nevyhovuje stanovenému poˇzadavku na z´ akladˇe namˇeˇrené hodnoty vlastnosti pˇredmˇetu. Taková nesprávn´ a rozhodnut´ı © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

vii

JCGM 106:2014

jsou dvoj´ıho typu: pˇredmˇet pˇrijat´ y jako vyhovuj´ıc´ı m˚ uˇze b´ yt ve skuteˇcnosti nevyhovuj´ıc´ı a pˇredmˇet odm´ıtnut´ y jako nevyhovuj´ıc´ı je ve skuteˇcnosti vyhovuj´ıc´ı. Definov´ an´ım intervalu pˇrijet´ı (viz 3.3.9) dovolen´ ych namˇeˇren´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny lze rizika nesprávného rozhodnut´ı pˇrijet´ı/odm´ıtnut´ı spojen´ a s nejistotou mˇeˇren´ı vybalancovat tak, aby náklady spojené s takov´ ymi nesprávn´ ymi rozhodnut´ımi byly minim´ aln´ı. Tento dokument se zab´ yvá t´ımto technick´ ym problémem v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti shody (viz 3.3.7) a pravdˇepodobnost´ı tˇech dvou typ˚ u nesprávn´ ych rozhodnut´ı, je-li dána funkce hustoty pravdˇepodobnosti (PDF) pro mˇeˇrenou veliˇcinu, toleranˇcn´ı meze a meze intervalu pˇrijet´ı. Urˇcit´ y interval pˇrijet´ı jeho vztah k odpov´ıdaj´ıc´ımu toleranˇcn´ımu interval je znázornˇen na Obr.1.

Interval přijetí

TL

AU

AL

TU

Toleranční interval

Obr´ azek 1 – Bin´ arn´ı posuzov´ an´ı shody, kde jsou rozhodnut´ı zaloˇ zena na namˇ eˇ ren´ ych hodnot´ ach veliˇ ciny. Prav´ a hodnota mˇ eˇ riteln´ e vlastnosti (mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny) pˇ redmˇ etu je stanovena tak, ˇ ze m´ a leˇ zet v toleranˇ cn´ım intervalu definovan´ em mezemi (TL , TU ). Pˇ redmˇ et je pˇ rijat jako vyhovuj´ıc´ı, leˇ z´ı-li namˇ eˇ ren´ a hodnota vlastnosti v intervalu definovan´ em mezemi pˇ rijet´ı (viz3.3.8) (AL , AU ), a jinak odm´ıtnut jako nevyhovuj´ıc´ı.

V´ ybˇerem toleranˇcn´ıch mez´ı a mez´ı pˇrijet´ı jsou obchodn´ımi ˇci politick´ ymi rozhodnut´ımi, která závis´ı na d˚ usledc´ıch spojen´ ych s odchylkami od zam´ yˇslené kvality v´ yroby. Obecn´ y v´ yklad povahy takov´ ych rozhodnut´ı je mimo r´ amec tohoto dokumentu; viz, napˇr´ıklad, odkazy [14, 15, 34, 35, 36, 44].

viii


JCGM 106:2014

Vyhodnocov´ an´ı namˇ eˇ ren´ ych dat – role nejistoty mˇ eˇ ren´ı pˇ ri posuzov´ an´ı shody 1

C´ıl

Tento dokument poskytuje n´ avod a postupy pro posouzen´ı shody nˇejakého pˇredmˇetu (entita, objekt nebo systém) se stanoven´ ymi poˇzadavky. T´ımto pˇredmˇetem m˚ uˇze b´ yt, napˇr´ıklad, koncová mˇerka, váha v obchodˇe nebo vzorek krve. Tyto postupy lze pouˇz´ıt, pokud jsou splnˇeny následuj´ıc´ı podm´ınky: —

pˇredmˇet se vyznaˇcuje jednoduchou skal´ arn´ı veliˇcinou (viz 3.2.1) (mˇeˇritelná vlastnost) definovaná s takovou u ´rovn´ı detailu, kterou lze dostateˇcnˇe dobˇre reprezentovat v podstatˇe jednoznaˇcnou pravou hodnotou; ´ POZNAMKA GUM poskytuje zd˚ uvodnˇen´ı pro nepouˇz´ıv´ an´ı pojmu ‘prav´ a’, nicménˇe v tomto dokumentu bude pouˇz´ıv´ an tehdy, mohli-li by doj´ıt k moˇznosti vzniku nejednoznaˇcnosti ˇci z´ amˇenˇe.

—

interval dovolen´ ych hodnot vlastnosti je dán jednou nebo dvˇema toleranˇcn´ımi mezemi;

—

tauto vlastnost lze mˇeˇrit a výsledek mˇeˇren´ı (viz 3.2.5) lze vyjádˇrit zp˚ usobem konzistentn´ım s principy GUM, takˇze znalost hodnoty této vlastnosti lze dostateˇcnˇe popsat (a) funkc´ı hustoty pravdˇepodobnosti (viz 3.1.3) (PDF), (b) rozdˇelovac´ı funkc´ı (viz 3.1.2), (c) numerick´ ymi aproximacemi tˇechto funkc´ı, nebo (d) nejlepˇs´ım odhadem, spolu s intervalem pokryt´ı a souvisej´ıc´ı pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı.

Postupy rozv´ıjené v tomto dokumentu lze pouˇz´ıt ke konstrukci intervalu naz´ yvaného interval pˇrijet´ı dovolen´ ych hodnot mˇeˇren´ı vlastnosti, kter´ a n´ as zaj´ım´ a. Meze pˇrijet´ı lze vybrat tak, aby vyváˇzila rizika spojená s pˇrijet´ım neshodn´ ych pˇredmˇet˚ u (riziko odbˇeratele) nebo odm´ıtnut´ım shodn´ ych pˇredmˇet˚ u (riziko dodavatele). Pozornost je vˇenov´ ana dvˇema druh˚ um posouzen´ı shody. Prvn´ım je nastaven´ı mez´ı pˇrijet´ı tak, aby zabezpeˇcily, ˇze poˇzadované pravdˇepodobnosti shody u jednoduchého pˇredmˇetu mˇeˇren´ı bude dosaˇzeno. Druh´ ym je nastaven´ı mez´ı pˇrijet´ı tak, aby byla v pr˚ umˇeru zajiˇstˇena pˇrijatelná u ´roveˇ n spolehlivosti pˇri mˇeˇren´ı ˇrady (nominálnˇe identick´ ych) pˇredmˇet˚ u. Je poskytnut n´ avod pro ˇreˇsen´ı tˇechto problém˚ u. Tento dokument obsahuje pˇr´ıklady pro ilustraci poskytovaného návodu. Uvedené koncepty lze rozˇs´ıˇrit na obecnˇejˇs´ı problémy posuzov´ an´ı shody zaloˇzené na mˇeˇren´ı souboru skalárn´ıch mˇeˇren´ ych veliˇcin. Sektorovˇe specifick´ ym aspekt˚ um posuzov´ an´ı shody se vˇenuj´ı dokumenty jako odkazy [19, 13]. Z´ ajmovou obec tohoto dokumentu tvoˇr´ı manaˇzeˇri jakosti, ˇclenové normalizaˇcn´ıch organizac´ı, akreditaˇcn´ı autority a person´ al zkuˇsebn´ıch a metrologick´ ych laboratoˇr´ı, inspekˇcn´ıch orgán˚ u, certifikaˇcn´ıch orgán˚ u, regulaˇcn´ıch agentur, akademick´ a sféra a v´ yzkumn´ıci.

2

Normativn´ı odkazy

Dokumenty, na které je n´ıˇze odkazov´ ano, jsou nepostradatelné pro pouˇzit´ı tohoto dokumentu. JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). JCGM 101:2008. Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the ”Guide to the expression of uncertainty in measurement”— Propagation of distributions using a Monte Carlo method. JCGM 102:2011. Evaluation of measurement data — Supplement 2 to the ”Guide to the expression of uncertainty in measurement”— Extension to any number of output quantities. JCGM 200:2012. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM3). © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

1

JCGM 106:2014

ISO/IEC 17000:2004. Conformity assessment — Vocabulary and general principles. ISO 3534-1:2006. Statistics – Vocabulary and symbols – Part 1: Probability and general statistical terms. ISO 3534-2:2006. Statistics – Vocabulary and symbols – Part 2: Applied statistics.

3

Pojmy a definice

Pro u ´ˇcely tohoto dokumentu plat´ı definice z JCGM 100:2010, JCGM 101:2008 a JCGM 200:2012, nen´ı-li vyznaˇceno jinak. Nˇekteré definice s nejvˇetˇs´ı relevanc´ı z tˇechto dokument˚ u jsou struˇcnˇe uvedeny n´ıˇze. Dodateˇcné informace vˇcetnˇe pozn´ amek a pˇr´ıklad˚ u lze nalézt v normativn´ıch odkazech. Jsou uvedeny dalˇs´ı definice vˇcetnˇe definic´ı pˇrevzat´ ych ˇci upraven´ ych z jin´ ych zdroj˚ u, které jsou zvláˇst’ d˚ uleˇzité v posuzov´ an´ı shody. ´ U definic, které cituj´ı jiné dokumenty, je souˇc´ ast´ı citovaného vstupu POZNAMKA, která je um´ıstˇena pˇred takovou ´ citaci; jiné POZNAMKY jsou pro tento dokument specifické. V tomto dokumentu se pojmy “indikace”a “maximáln´ı dovolená chyba (indikace)”povaˇzuj´ı sp´ıˇse za veliˇciny neˇz za hodnoty, v rozporu s JCGM 200:2012. ´ POZNAMKA Citace ve tvaru [JCGM 101:2008 3.4] jsou k uveden´ ym (pod)odstavc˚ um citovaného odkazu.

3.1

Pojmy se vztahem k pravdˇ epodobnosti

3.1.1 rozdˇ elen´ı pravdˇ epodobnosti rozdˇelen´ı pravdˇepodobnostn´ı m´ıra indukovan´ a (vyvolan´ a) n´ ahodnou promˇennou ´ POZNAMKA Existuje mnoho ekvivalentn´ıch matematick´ ych vyj´ adˇren´ı urˇcitého rozdˇelen´ı vˇcetnˇe rozdˇelovac´ı funkce (viz odstavec 3.1.2), funkce hustoty pravdˇepodobnosti, pokud existuje (viz odstavec 3.1.3), a charakteristické funkce.

[Upraveno z ISO 3534-1:2006 2.11] 3.1.2 rozdˇ elovac´ı funkce funkce, kter´ a pro kaˇzdou hodnotu ξ ud´ av´ a pravdˇepodobnost, ˇze náhodná promˇenná X je menˇs´ı nebo rovná ξ: GX (ξ) = Pr(X ≤ ξ) [JCGM 101:2008 3.2] 3.1.3 funkce hustoty pravdˇ epodobnosti PDF derivace, pokud existuje, rozdˇelovac´ı funkce gX (ξ) = dGX (ξ)/dξ ´ POZNAMKA gX (ξ) dξ je tzv. ‘pravdˇepodobnostn´ı ˇclen’ gX (ξ) dξ = Pr(ξ < X < ξ + dξ).

[Upraveno z JCGM 101:2008 3.3]

2


JCGM 106:2014

3.1.4 norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti spojité n´ ahodné promˇenné X, která má funkci hustoty pravdˇepodobnosti " 2 # 1 1 ξ−µ , gX (ξ) = √ exp − 2 σ σ 2π pro −∞ < ξ < +∞ ´ POZNAMKA 1

µ je oˇcek´ avan´ a hodnota (viz 3.1.5) a σ je smˇerodatn´ a odchylka (viz 3.1.7) X.

´ POZNAMKA 2

Norm´ aln´ı rozdˇelen´ı je téˇz zn´ amo jako Gaussovo rozdˇelen´ı.

[JCGM 101:2008 3.4] 3.1.5 oˇ cek´ avan´ a hodnota pro spojitou n´ ahodnou promˇennou X charakterizovanou PDF gX (ξ), w∞ E(X) = ξgX (ξ) dξ −∞

´ POZNAMKA 1

Oˇcek´ avan´ a hodnota je téˇz zn´ ama jako stˇredn´ı hodnota.

´ POZNAMKA 2

Ne vˇsechny n´ ahodné promˇenné maj´ı oˇcek´ avanou hodnotu.

´ POZNAMKA 3

Oˇcek´ avan´ a hodnota n´ ahodné promˇenné Z = F (X) pro danou funkci F (X) je w∞ E(Z) = E(F (X)) = F (ξ)gX (ξ) dξ −∞

[JCGM 101:2008 3.6] 3.1.6 rozptyl pro spojitou n´ ahodnou promˇennou X charakterizovanou PDF gX (ξ), w∞ 2 V (X) = [ξ − E(X)] gX (ξ) dξ −∞

´ POZNAMKA Ne vˇsechny n´ ahodné promˇenné maj´ı rozptyl.

[JCGM 101:2008 3.7] 3.1.7 smˇ erodatn´ a odchylka kladn´ a odmocnina z rozptylu [JCGM 101:2008 3.8]

3.2

Pojmy se vztahem k metrologii

3.2.1 veliˇ cina vlastnost jevu, tˇelesa nebo l´ atky takov´ a, ˇze tato vlastnost má velikost, kterou lze vyjádˇrit jako ˇc´ıslo a referenci. [JCGM 200:2012 1.1] © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

3

JCGM 106:2014

3.2.2 hodnota veliˇ ciny hodnota ˇc´ıslo a reference spoleˇcnˇe vyjadˇruj´ıc´ı velikost veliˇciny [JCGM 200:2012 1.19] 3.2.3 prav´ a hodnota veliˇ ciny prav´ a hodnota skuteˇcn´ a hodnota hodnota veliˇciny, kter´ a je ve shodˇe s definic´ı veliˇciny [JCGM 200:2012 2.11] 3.2.4 mˇ eˇ ren´ a veliˇ cina veliˇcina, kter´ a m´ a b´ yt mˇeˇrena [JCGM 200:2012 2.3] ´ POZNAMKA V tomto dokumentu je mˇeˇren´ a veliˇcina mˇeˇritelnou vlastnost´ı pˇredmˇetu naˇseho z´ ajmu.

3.2.5 v´ ysledek mˇ eˇ ren´ı soubor hodnot veliˇciny pˇriˇrazen´ y mˇeˇrené veliˇcinˇe spoleˇcnˇe s jakoukoliv dalˇs´ı dostupnou relevantn´ı informac´ı ´ POZNAMKA V´ ysledek mˇeˇren´ı lze vyj´ adˇrit ˇradou zp˚ usob˚ u, napˇr. uveden´ım (a) zmˇeˇrené hodnoty veliˇciny s pˇr´ısluˇsnou nejistotou mˇeˇren´ı; (b) intervalu pokryt´ı pro mˇeˇrenou veliˇcinu s pˇr´ısluˇsnou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı; (c) PDF; or (d) numerickou aproximac´ı PDF.

[JCGM 200:2012 2.9] 3.2.6 namˇ eˇ ren´ a hodnota veliˇ ciny namˇeˇren´ a hodnota hodnota veliˇciny reprezentuj´ıc´ı v´ ysledek mˇeˇren´ı ´ POZNAMKA Namˇeˇren´ a hodnota veliˇciny je zn´ ama také jako odhad ˇci nejlepˇs´ı odhad veliˇciny.

[JCGM 200:2012 2.10] 3.2.7 interval pokryt´ı interval obsahuj´ıc´ı se stanovenou pravdˇepodobnost´ı soubor prav´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny zaloˇzen´ y na dostupné informaci [JCGM 200:2012 2.36] 3.2.8 pravdˇ epodobnost pokryt´ı pravdˇepodobnost, ˇze soubor prav´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny je obsaˇzen ve specifikovaném intervalu pokryt´ı [JCGM 200:2012 2.37]

4


JCGM 106:2014

3.2.9 indikace hodnota veliˇciny poskytnut´ a mˇeˇridlem nebo mˇeˇric´ım systémem ´ POZNAMKA 1 Indikace je ˇcasto d´ ana polohou ukazatele pro analogov´ y v´ ystup nebo zobrazen´ ym nebo vytiˇstˇen´ ym ˇc´ıslem u digit´ aln´ıch v´ ystup˚ u. ´ POZNAMKA 2

Indikace je také zn´ ama jako ˇcten´ı.

[Upraveno z JCGM 200:2012 4.1]

3.3

Pojmy se vztahem k posuzov´ an´ı shody

3.3.1 posuzov´ an´ı shody ˇcinnost prov´ adˇen´ a za u ´ˇcelem stanoven´ı, zda jsou stanovené poˇzadavky vztahuj´ıc´ı se k v´ yrobku, procesu, systému, osobˇe ˇci organizaci splnˇeny [Upraveno z ISO/IEC 17000:2004 2.1] 3.3.2 inspekce posouzen´ı shody pozorov´ an´ım a u ´sudkem doprovázené, jak pˇr´ısluˇs´ı, mˇeˇren´ım, zkouˇsen´ım nebo kalibrován´ım [Upraveno z ISO 3534-2:2006 4.1.2] ´ POZNAMKA Mˇeˇren´ı prov´ adˇené jako souˇca ´st posuzov´ an´ı shody se nˇekdy naz´ yv´ a inspekˇcn´ı mˇeˇren´ı.

3.3.3 stanoven´ y poˇ zadavek potˇreba ˇci oˇcek´ av´ an´ı, které je veˇrejnˇe deklarováno ´ POZNAMKA Stanovené poˇzadavky mohou b´ yt deklarov´ any v normativn´ıch dokumentech jako jsou regulaˇcn´ı pˇredpisy, normy ˇci technické specifikace.

[ISO/IEC 17000:2004 3.1] ´ POZNAMKA 1 Pojem ‘oˇcek´ av´ an´ı’ v kontextu stanoveného poˇzadavku nem´ a vztah k oˇcek´ avané hodnotˇe n´ ahodné promˇenné; viz definice 3.1.5. ´ POZNAMKA 2 V tomto dokumentu m´ a typick´ y stanoven´ y poˇzadavek formu deklarovaného intervalu dovolen´ ych hodnot mˇeˇritelné vlastnosti urˇcitého pˇredmˇetu. ˇ ÍKLAD 1 Vzorek pr˚ PR umyslov´ ych odpadn´ıch vod (the item) nesm´ı m´ıt hmotnostn´ı koncentraci rozpuˇstˇené rtuti (vlastnost) vyˇsˇs´ı neˇz 10 ng/L. ˇ ÍKLAD 2 V´ PR aha v obchodˇe (pˇredmˇet) mus´ı m´ıt indikaci R (vlastnost) v intervalu [999, 5 g ≤ R ≤ 1 000, 5 g] pˇri mˇeˇren´ı etalonového z´ avaˇz´ı 1 kg.

3.3.4 toleranˇ cn´ı mez specification limit stanoven´ a horn´ı nebo spodn´ı hranice dovolen´ ych hodnot urˇcité vlastnosti [Upraveno z ISO 3534-2:2006 3.1.3] 3.3.5 toleranˇ cn´ı interval © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

5

JCGM 106:2014

interval dovolen´ ych hodnot urˇcité vlastnosti [Upraveno z ISO 10576-1:2003 3.5] ´ POZNAMKA 1

Nen´ı-li uvedeno ve specifikaci jinak, patˇr´ı toleranˇcn´ı meze k toleranˇcn´ımu intervalu (jsou jeho souˇc´ ast´ı).

´ POZNAMKA 2 Pojem ‘toleranˇcn´ı interval’ tak, jak je pouˇz´ıv´ an v posuzov´ an´ı shody, m´ a jin´ y v´ yznam neˇz stejn´ y pojem pouˇz´ıvan´ y ve statistice. ´ POZNAMKA 3

Toleranˇcn´ı interval se naz´ yv´ a ‘z´ ona specifikace’ v ASME B89.7.3.1:2001 [2].

3.3.6 tolerance stanoven´ a tolerance rozd´ıl mezi horn´ı a doln´ı toleranˇcn´ı mez´ı 3.3.7 pravdˇ epodobnost shody pravdˇepodobnost, ˇze urˇcit´ y pˇredmˇet splˇ nuje stanoven´ y poˇzadavek 3.3.8 mez pˇ rijet´ı stanoven´ a horn´ı nebo spodn´ı hranice dovolen´ ych namˇeˇren´ ych hodnot veliˇciny [Upraveno z ISO 3534-2:2006 3.1.6] 3.3.9 interval pˇ rijet´ı interval dovolen´ ych namˇeˇren´ ych hodnot veliˇciny ´ POZNAMKA 1

Nen´ı-li ve specifikaci uvedeno jinak, patˇr´ı meze pˇrijet´ı do intervalu pˇrijet´ı.

´ POZNAMKA 2

Interval pˇrijet´ı se naz´ yv´ a ‘z´ ona pˇrijet´ı’ v ASME B89.7.3.1 [2].

3.3.10 Interval odm´ıtnut´ı interval nedovolen´ ych namˇeˇren´ ych hodnot veliˇciny ´ POZNAMKA 1

Interval odm´ıtnut´ı se naz´ yv´ a ‘z´ ona odm´ıtnut´ı’ v ASME B89.7.3.1 [2].

3.3.11 ochrann´ y p´ as interval mezi toleranˇcn´ı mez´ı a odpov´ıdaj´ıc´ı mez´ı pˇrijet´ı ´ POZNAMKA Ochrann´ y p´ as zahrnuje tyto meze.

3.3.12 rozhodovac´ı pravidlo dokumentované pravidlo, které popisuje, jak´ ym zp˚ usobem bude vzata v u ´vahu nejistota mˇeˇren´ı ve vztahu k pˇrijet´ı ˇci odm´ıtnut´ı pˇredmˇetu pˇri daném stanoveném poˇzadavku a v´ ysledku mˇeˇren´ı [Upraveno z ASME B89.7.3.1-2001 [2]] 3.3.13 specifick´ e riziko odbˇ eratele pravdˇepodobnost, ˇze urˇcit´ y pˇrijat´ y pˇredmˇet nevyhovuje

6


JCGM 106:2014

3.3.14 specifick´ e riziko v´ yrobce pravdˇepodobnost, ˇze urˇcit´ y odm´ıtnut´ y pˇredmˇet vyhovuje 3.3.15 komplexn´ı riziko odbˇ eratele consumer’s risk pravdˇepodobnost, ˇze nevyhovuj´ıc´ı pˇredmˇet bude pˇrijat na základˇe budouc´ıho v´ ysledku mˇeˇren´ı 3.3.16 komplexn´ı riziko v´ yrobce producer’s risk pravdˇepodobnost, ˇze vyhovuj´ıc´ı pˇredmˇet bude odm´ıtnut na základˇe budouc´ıho v´ ysledku mˇeˇren´ı 3.3.17 index zp˚ usobilosti mˇ eˇ ren´ı tolerance dˇelen´ a n´ asobkem standardn´ı nejistoty mˇeˇren´ı spojená s mˇeˇrenou hodnotou vlastnosti pˇredmˇetu ´ POZNAMKA V tomto dokumentu se za tento n´ asobek bere 4; viz odstavec 7.6.3

3.3.18 maxim´ aln´ı dovolen´ a chyba (indikace) MPE pro mˇeˇr´ıc´ı pˇr´ıstroj, je maxim´ aln´ı rozd´ıl povolen´ y specifikacemi ˇci regulacemi mezi indikac´ı pˇr´ıstroje a mˇeˇrenou veliˇcinou ´ POZNAMKA 1 Je-li stanoven v´ıce neˇz jeden maxim´ aln´ı rozd´ıl, je pouˇzit pojem “maxim´ aln´ı dovolené chyby”; napˇr. stanoven´ y maxim´ aln´ı z´ aporn´ y rozd´ıl a stanoven´ y maxim´ aln´ı kladn´ y rozd´ıl. ´ POZNAMKA 2 Chybu indikace lze ps´ at jako E = R − R0 , kde R je indikace a R0 znaˇc´ı indikaci ide´ aln´ıho mˇeˇr´ıc´ıho pˇr´ıstroje mˇeˇr´ıc´ıho stejnou mˇeˇrenou veliˇcinu Y . Pˇri zkouˇsen´ı a ovˇeˇrov´ an´ı mˇeˇr´ıc´ıho pˇr´ıstroje se chyba indikace obvykle vyhodnocuje na z´ akladˇe zmˇeˇren´ı kalibrovaného referenˇcn´ıho etalonu.

4

Ujedn´ an´ı a znaˇ cen´ı

Pro u ´ˇcely tohoto dokumentu se pˇrij´ımaj´ı n´ asleduj´ıc´ı konvence, znaˇcen´ı a terminologie. 4.1 V GUM je standardn´ı nejistota spojená s odhadem y mˇeˇrené veliˇciny Y psána jako uc (y). Spodn´ı index “c”, znaˇcen´ a “kombinovan´ a” standardn´ı nejistota, je povaˇzován za nadbyteˇcn´ y a nen´ı pouˇz´ıván v tomto dokumentu. (Viz JCGM 101:2008 4.10). 4.2

V´ yraz psan´ y jako A =: B znamen´ a, ˇze B je definováno pomoc´ı A.

4.3 Neexistuje-li prostor pro omyl, bude pouˇzit symbol u, sp´ıˇs neˇz u(y), pro jednoduchost znaˇcen´ı. Rozˇs´ıˇren´ a nejistota U se obecnˇe bere jako U = ku uˇzit´ım faktoru rozˇs´ıˇren´ı k = 2; hodnota k je explicitnˇe udána, existuje-li prostor pro omyl. 4.4 Vlastnost, kter´ a je pˇredmˇetem z´ ajmu (mˇeˇrená veliˇcina), se povaˇzuje za náhodnou promˇennou Y s moˇzn´ ymi hodnotami η. Je-li Y mˇeˇrena, vyhodnocen´ı namˇeˇren´ ych dat dá namˇeˇrenou hodnotu veliˇciny ηm , která bude br´ ana za realizaci pozorovatelné n´ ahodné promˇenné Ym . Obecnˇe se namˇeˇrená hodnota ηm bude liˇsit od Y o nezn´ amou chybu E, kter´ a, ˇreknˇeme,z´ avis´ı na n´ ahodn´ ych a systematick´ ych vlivech. 4.5 Toleranˇcn´ı interval stanov´ı dovolené hodnoty mˇeˇrené veliˇciny Y . Rozhodnut´ı o posouzen´ı shody je zaloˇzeno na namˇeˇrené hodnotˇe ηm a vztahu ηm k definovanému intervalu pˇrijet´ı. 4.6 Znalost veliˇcin Y a Ym je podchycena a zprostˇredkována podm´ınˇen´ ymi PDF, jejichˇz tvary závis´ı na dostupn´ ych informac´ıch. Podm´ınˇené PDF jsou ps´ any se svislou ˇcarou, s informac´ı napravo od ˇcáry povaˇzovanou za danou. PDF © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

7

JCGM 106:2014

pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y pˇred mˇeˇren´ım je gY |I (η|I), kde symbol I znaˇc´ı apriorn´ı (poˇcáteˇcn´ı) informaci. 4.7 Po mˇeˇren´ı pˇredmˇetné vlastnosti, které poskytne pozorovanou namˇeˇrenou hodnotu ηm , PDF po mˇeˇren´ı Y je gY |ηm ,I (η|ηm , I). 4.8 Analogické PDF pro moˇzné hodnoty ηm v´ ystupn´ı veliˇciny Ym mˇeˇr´ıc´ıho systému jsou (a), gYm |I (ηm |I), skrytˇe zahrnuj´ıc´ı v´ıru v moˇzné namˇeˇrené hodnoty pˇri existenci pouze apriorn´ı informace I, a (b), gYm |η,I (ηm |η, I), analogick´ a PDF, kdyˇz, spolu s apriorn´ı informac´ı I, m´ a mˇeˇren´ a veliˇcina pˇredpokládanou danou pravou hodnotu Y = η. 4.9 V z´ ajmu struˇcnosti je v tomto dokumentu explicitn´ı uveden´ı dané apriorn´ı informace I vˇetˇsinou vynech´ ano. Také PDF pro Y a Ym jsou vyj´ adˇreny pomoc´ı symbol˚ u g a h respektive, pouˇzit´ım následuj´ıc´ıho znaˇcen´ı, ve kterém jsou spodn´ı indexy v´ yraznˇe potlaˇceny: —

Pro znalost Y pˇred mˇeˇren´ım, gY |I (η|I) =: g0 (η) ;

—

Pro znalost mˇeˇrené veliˇciny Y po mˇeˇren´ı, gY |ηm ,I (η|ηm , I) =: g (η|ηm ) ;

—

Znalost moˇzn´ ych namˇeˇren´ ych hodnot, jeli d´ ana pouze apriorn´ı informace I, gYm |I (ηm |I) =: h0 (ηm ) ;

—

Znalost Ym za pˇredpokladu, ˇze, spolu s informac´ı I, je dána hodnota Y = η mˇeˇrené veliˇciny, gYm |η,I (ηm |η, I) =: h (ηm |η) .

Tyto PDF nejsou nez´ avislé, jejich vztah je d´ an Bayesov´ ym teorémem (viz odstavec 6.2.) 4.10 Podle Usnesen´ı 10 22. konference CGPM (2003) “ . . .symbol pro desetinnou znaˇcku je bud’ teˇcka na ˇr´ adku nebo ˇc´ arka na ˇr´ adku . . . ”. JCGM se rozhodl ve sv´ ych dokumentech v angliˇctinˇe zvolit teˇcku na ˇrádku.

5 5.1

Toleranˇ cn´ı meze a toleranˇ cn´ı intervaly Mˇ eˇ ren´ı v posuzov´ an´ı shody

5.1.1 Uvaˇzujme situaci, kdy vlastnost pˇredmˇetu zájmu, jako je chyba indikace voltmetru, je mˇeˇrena za u ´ˇcelem rozhodnut´ı, zda pˇredmˇet splˇ nuje ˇci nesplˇ nuje stanoven´ y poˇzadavek. Taková zkouˇska shody zahrnuje sled tˇr´ı operac´ı: —

mˇeˇren´ı vlastnosti z´ ajmu;

—

porovn´ an´ı v´ ysledku mˇeˇren´ı se stanoven´ ym poˇzadavkem;

—

rozhodnut´ı o n´ asledné akci.

5.1.2 V praxi, v okamˇziku, kdy byl v´ ysledek mˇeˇren´ı z´ıskán, jsou operace porovnán´ı/rozhodnut´ı typicky realizov´ any pouˇzit´ım pˇredem vytvoˇren´ ym a ustanoven´ ym rozhodovac´ım pravidlem (viz 3.3.12), které závis´ı na v´ ysledku mˇeˇren´ı, na stanoveném poˇzadavku a na d˚ usledc´ıch nespr´ avného rozhodnut´ı. 5.1.3 N´ avod t´ ykaj´ıc´ı se formulace rozhodovac´ıho pravidla je k dispozici. ISO 14253-1 [21] a ASME B89.7.3.1 [2] poskytuj´ı n´ avody pro dokumentaci vybraného rozhodovac´ıho pravidla a pro popis role nejistoty mˇeˇren´ı pˇri nastaven´ı mez´ı pˇrijet´ı. Tyto dokumenty se zab´ yvaj´ı rozhodovac´ımi pravidly, které zahrnuj´ı dvˇe nebo v´ıce moˇzn´ ych rozhodnut´ı a bin´ arn´ı rozhodovac´ı pravidlo, kter´ ym se zab´ yv´ a tento dokument, obsahuj´ı jako zvláˇstn´ı pˇr´ıpad.

8


JCGM 106:2014

5.1.4 Mˇeˇren´ı prov´ adˇené jako souˇc´ ast posuzován´ı shody je navrhováno tak, aby byla z´ıskána informace dostateˇcn´ ak tomu, aby umoˇznila proveden´ı rozhodnut´ı s pˇrijatelnou u ´rovn´ı rizika. Vhodná strategie mˇeˇren´ı vyváˇz´ı náklady spojené se sn´ıˇzen´ım nejistoty mˇeˇren´ı v porovn´ an´ı s pˇr´ınosem jistˇejˇs´ı znalosti pravé hodnoty mˇeˇrené veliˇciny. 5.1.5 Inspekˇcn´ı mˇeˇren´ı spolu s pˇr´ısluˇsn´ ym rozhodovac´ım pravidlem je tak u ´zce spojeno s takov´ ymi z´ aleˇzitostmi jako n´ aklady a rizika. Jako takov´ y nen´ı ˇcasto návrh uspokojivého posouzen´ı shody ˇcistˇe technická záleˇzitost. Je-li c´ılem minimalizovat n´ aklady, pak pˇri daném ekonomickém modelu lze problém redukovat na pˇr´ım´ y v´ ypoˇcet.

5.2

Dovolen´ e a nedovolen´ e hodnoty: toleranˇ cn´ı intervaly

5.2.1 V tomto dokumentu se stanovené poˇzadavky pro mˇeˇrenou veliˇcinu zájmu skládaj´ı z limitn´ıch hodnot nazvan´ ych toleranˇcn´ı meze , které oddˇeluj´ı intervaly dovolen´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny od interval˚ u nedovolen´ ych hodnot[22]. Intervaly dovolen´ ych hodnot naz´ yvané toleranˇcn´ı intervaly jsou dvoj´ıho druhu: —

jednostrann´ y toleranˇcn´ı interval s bud’ horn´ı nebo spodn´ı mez´ı;

—

dvoustrann´ y toleranˇcn´ı interval, kter´ y má souˇcasnˇe horn´ı a spodn´ı toleranˇcn´ı mez.

V obou pˇr´ıpadech je pˇredmˇet ve shodˇe se stanoven´ ym poˇzadavkem, jestliˇze pravá hodnota mˇeˇrené veliˇciny leˇz´ı uvnitˇr toleranˇcn´ıho intervalu a jinak nevyhovuje. V´ yˇse uvedené toleranˇcn´ı intervaly jsou ilustrovány na Obrázku 2. 5.2.2 Zd´ anlivˇe jednostranné toleranˇcn´ı intervaly ˇcasto v sobˇe skr´ yvaj´ı dalˇs´ı meze, z fyzikáln´ıch ˇci teoretick´ ych d˚ uvod˚ u, které nejsou explicitnˇe uvedeny[22]. Takové toleranˇcn´ı intervaly jsou ve své podstatˇe dvoustranné, maj´ıc´ı jednu stanovenou mez a jednu implicitn´ı mez; viz pˇr´ıklady 4 a 5 n´ıˇze.


TL

(a)


(b)

TU


TL

(c)

TU

Obr´ azek 2 – Toleranˇ cn´ı intervaly. (a) Jednostrann´ y interval s jednoduchou spodn´ı toleranˇ cn´ı mez´ı TL ; (b) jednostrann´ y interval s jednoduchou horn´ı toleranˇ cn´ı mez´ı TU ; (c) dvoustrann´ y interval se spodn´ı a horn´ı toleranˇ cn´ı mez´ı. Rozd´ıl TU − TL se naz´ yv´ a tolerance.

´ POZNAMKA 1 V nˇekter´ ych pˇr´ıpadech jako je bezpeˇcnost potravin nebo ochrana ˇzivotn´ıho prostˇred´ı m˚ uˇze stanoven´ı toleranˇcn´ıch mez´ı v mˇeˇren´ıch pro posuzov´ an´ı shody zahrnovat nejistoty, které souvis´ı s obt´ıˇznost´ı posouzen´ı d˚ usledk˚ u nespr´ avn´ ych rozhodnut´ı [29]. Podobn´ y problém v anal´ yze spolehlivosti naz´ yvan´ y nejistota u ´plnosti souvis´ı s neanalyzovan´ ymi pˇr´ıspˇevky k riziku [31]. ´ POZNAMKA 2 Z´ aleˇzitosti jako nejistota u ´plnosti nemaj´ı ˇza ´dn´ y vztah k nejistotˇe mˇeˇren´ı spojené s odhadem mˇeˇrené veliˇciny, kter´ y je v´ ysledkem inspekˇcn´ıho mˇeˇren´ı. V tomto dokumentu se toleranˇcn´ı meze berou jako pevné konstanty.


9

JCGM 106:2014

5.3

Pˇ r´ıklady toleranˇ cn´ıch mez´ı

ˇ ÍKLAD 1 PR

Jednoduch´ a horn´ı toleranˇ cn´ı mez

Z´ avˇerné napˇet´ı Vb pro urˇcité typy Zenerov´ ych diod je stanoveno tak, ˇze nesm´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz −5, 4 V. U vyhovuj´ıc´ı diody leˇz´ı Vb v otevˇreném intervalu Vb ≤ −5, 4 V. ˇ ÍKLAD 2 PR

Jednoduch´ a spodn´ı toleranˇ cn´ı mez

U kovové n´ adoby na nealkoholické n´ apoje se poˇzaduje, aby mˇela pevnost v protlaˇcen´ı B ne menˇs´ı neˇz 490 kPa. Vyhovuj´ıc´ı hodnoty B leˇz´ı v otevˇreném intervalu B ≥ 490 kPa. ˇ ÍKLAD 3 PR

Explicitn´ı horn´ı a spodn´ı toleranˇ cn´ı meze

Z´ avaˇz´ı 1 kg tˇr´ıdy OIML E1 [25] m´ a specifikaci maxim´ aln´ı dovolené chyby (MPE) 500 µg. To znamen´ a, ˇze hmotnost m z´ avaˇz´ı je stanovena tak, ˇze nesm´ı b´ yt menˇs´ı neˇz 0, 999 999 5 kg a vˇetˇs´ı neˇz 1, 000 000 5 kg. Vyhovuj´ıc´ı z´ avaˇz´ı 1 kg je takové, u nˇehoˇz je chyba hmotnosti E = m − m0 s m0 = 1 kg leˇz´ı v intervalu −500 µg ≤ E ≤ 500 µg. ˇ ÍKLAD 4 PR

Explicitn´ı horn´ı a implicitn´ı spodn´ı toleranˇ cn´ı meze

Regulace v oblasti ˇzivotn´ıho prostˇred´ı vyˇzaduje, aby hmotnostn´ı koncentrace X rtuti v toku pr˚ umyslov´ ych odpadn´ıch vod nebyla vyˇsˇs´ı neˇz 10 ng/L, coˇz je explicitn´ı horn´ı toleranˇcn´ı mez. Protoˇze vˇsak hmotnostn´ı koncentrace nem˚ uˇze b´ yt menˇs´ı neˇz nula, je tady implicitn´ı spodn´ı toleranˇcn´ı mez 0 ng/L. Vzorek odpadn´ıch vod je v souladu s touto regulac´ı, leˇz´ı-li hmotnostn´ı koncentrace rtuti ve vzorku v intervalu 0 ng/L ≤ X ≤ 10 ng/L. ˇ ÍKLAD 5 PR

Explicitn´ı spodn´ı a implicitn´ı horn´ı toleranˇ cn´ı meze

U pr´ aˇskového benzo´ atu sodného pouˇz´ıvaného jako konzervaˇcn´ı l´ atka do potravin je poˇzadov´ ana ˇcistota P , vyj´ adˇren´ a jako hmotnostn´ı zlomek v suchém stavu v procentech, ne menˇs´ı neˇz 99,0 %, coˇz je explicitn´ı spodn´ı toleranˇcn´ı mez. Tato ˇcistota vˇsak nem˚ uˇze b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 100 %, coˇz je implicitn´ı horn´ı toleranˇcn´ı mez. Vyhovuj´ıc´ı vzorek benzo´ atu sodného je takov´ y, u kterého ˇcistota vzorku leˇz´ı v intervalu 99,0 % ≤ P ≤ 100 %.

6 6.1

Znalost mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny Pravdˇ epodobnost a informace

6.1.1 V mˇeˇren´ıch prov´ adˇen´ ych jako souˇc´ ast posuzován´ı shody se znalost pˇredmˇetné vlastnosti (mˇeˇrené veliˇciny) modeluje pomoc´ı podm´ınˇené funkce hustoty pravdˇepodobnosti (PDF), jej´ıˇz tvar závis´ı na dostupn´ ych informac´ıch. Takové informace maj´ı vˇzdy dvˇe sloˇzky: tu, kter´ a je k dispozici pˇred proveden´ım mˇeˇren´ı (naz´ yvaná apriorn´ı informace), a pˇr´ıdavnou informaci poskytnutou t´ımto mˇeˇren´ım [38]. 6.1.2 PDF pro pˇredmˇetnou vlastnost (mˇeˇrenou veliˇcinu) obsahuje a vyjadˇruje v´ıru v jej´ı moˇzné hodnoty pˇri dané u ´rovni znalost´ı. M´ alo zn´ am´ a mˇeˇren´ a veliˇcina m´ a obecnˇe ˇsirokou PDF, ve vztahu k poˇzadavk˚ um posuzován´ı shody, ukazuj´ıc´ı na ˇsirok´ y interval moˇzn´ ych hodnot kompatibiln´ıch s touto skrovnou informac´ı. Proveden´ı mˇeˇren´ı poskytne ˇcerstvou informaci, kter´ a m˚ uˇze poslouˇzit k zostˇren´ı této PDF a k z´ uˇzen´ı intervalu moˇzn´ ych hodnot mˇeˇrené veliˇciny. ´ cinkem mˇeˇren´ı je tak aktualizace u 6.1.3 Uˇ ´rovnˇe znalost´ı pˇred mˇeˇren´ım, coˇz vytváˇr´ı u ´roveˇ n znalost´ı po mˇeˇren´ı (neboli a posterior), kter´ a zahrnuje namˇeˇren´ a data. Pravidlo pro tuto transformaci se naz´ yvá Bayes˚ uv teorém a odpov´ıdaj´ıc´ı z´ akladn´ı matematick´ y r´ amec je zn´ am jako bayesovská teorie pravdˇepodobnosti. V tomto dokumentu jsou v´ ysledky této teorie pouˇzity bez detailn´ıho v´ ykladu ˇci d˚ ukaz˚ u. K dispozici je rozsáhlá literatura; viz, napˇr´ıklad, odkazy [4, 5, 16, 26, 27, 39].

6.2

Bayes˚ uv teor´ em

6.2.1 V posuzov´ an´ı shody je mˇeˇriteln´ a vlastnost Y pˇredmˇetu, o kterou se zaj´ımáme, povaˇzována za náhodnou promˇennou s moˇzn´ ymi hodnotami oznaˇcen´ ymi jako η. Pˇred mˇeˇren´ım Y, je rozumná v´ıra v jej´ı moˇzné hodnoty charakterizov´ ana apriorn´ı (pˇred mˇeˇren´ım) PDF g0 (η) jej´ıˇz tvar je nezávisl´ y na mˇeˇr´ıc´ım systému (viz odstavec 4.9).

10


JCGM 106:2014

6.2.2 Apriorn´ı PDF g0 (η) je ˇcasto volena na základˇe znalost´ı z´ıskan´ ych pˇredchoz´ımi mˇeˇren´ımi podobn´ ych pˇredmˇet˚ u. Metody pˇriˇrazov´ an´ı apriorn´ıch PDF pˇredmˇetné vlastnosti jsou diskutovány v Pˇr´ıloze B. 6.2.3 Pˇri typickém inspekˇcn´ım mˇeˇren´ı je veliˇcina Y mˇeˇrena pouˇzit´ım postupu, kter´ y je navrhován tak, aby poskytl dostatek informac´ı pro posouzen´ı shody se stanoven´ ym poˇzadavkem. ´ POZNAMKA 1 Pozn´ amka 1]).

Pro veliˇcinu a pro n´ ahodnou promˇennou, kter´ a ji reprezentuje, je pouˇzit stejn´ y symbol. (viz [GUM 4.1.1

´ POZNAMKA 2

N´ avod pro volbu PDF v nˇekter´ ych bˇeˇzn´ ych situac´ıch je uveden v JCGM 101:2008 a Pˇr´ıloze B.

6.2.4 V´ ystupem mˇeˇr´ıc´ıho systému je veliˇcina povaˇzovaná za náhodnou promˇennou Ym s moˇzn´ ymi hodnotami oznaˇcovan´ ymi jako ηm . Zmˇeˇren´ı Y poskytuje jednu urˇcitou realizaci, namˇeˇrenou hodnotu veliˇciny ηm (viz odstavce 3.2.6 a 4.4), a v´ yslednou n´ aslednou (po mˇeˇren´ı) PDF pro Y , je-li k dispozici tato nová informace, p´ıˇseme jako g (η|Ym = ηm ) =: g (η|ηm ) . 6.2.5

Vztah apriorn´ı a n´ asledné PDF je dán Bayesov´ ym teorémem

g (η|ηm ) = Cg0 (η) h (ηm |η) , (1) r∞ ˇ kde pˇri dané namˇeˇrené hodnotˇe ηm je C konstanta vybraná tak, ˇze −∞ g (η|ηm ) dη = 1. Clen h (ηm |η) ve v´ yrazu (1) je PDF pro moˇzné hodnoty Ym pˇri dané urˇcité hodnotˇe Y = η mˇeˇrené veliˇciny. 6.2.6 Vyj´ adˇrena jako funkce η pro zmˇeˇrenou hodnotu ηm , naz´ yvá se tato PDF h (ηm |η) vˇerohodnost´ı η pˇri daném ηm , a p´ıˇse se jako h (ηm |η) =: L (η; ηm ) . Na mˇeˇren´ı lze pohl´ıˇzet jako na stimul a odezvu nebo jako na vstup a v´ ystup. Z tohoto pohledu vˇerohodnostn´ı funkce L (η; ηm ) charakterizuje rozdˇelen´ı pravdˇepodobn´ ych stimul˚ u ˇci vstup˚ u (hodnoty η), které mohly zp˚ usobit pozorované odezvy ˇci v´ ystupy (namˇeˇren´ a data ηm ). 6.2.7 Tvar vˇerohodnostn´ı funkce bude z´ aviset jak na specifickém problému mˇeˇren´ı a mˇeˇric´ım systému tak, jak je to pops´ ano v matematickém modelu, tak na dalˇs´ıch relevantn´ıch informac´ıch jako jsou historická data, kalibrace pˇr´ıstroje a v´ ysledky mˇeˇren´ı na kalibrovan´ ych artefaktech nebo certifikovan´ ych referenˇcn´ıch materiálech a na zkuˇsenostech s podobn´ ymi systémy. V mnoha pˇr´ıpadech praktického zájmu lze vˇerohodnostn´ı funkci charakterizovat pomoc´ı norm´ aln´ıho (Gaussova) rozdˇelen´ı. 6.2.8 Bayes˚ uv teorém ukazuje, jak se n´ asledn´ y stav znalost´ı (po mˇeˇren´ı) odvozuje z kombinace apriorn´ı informace (pˇred mˇeˇren´ım) podchycené v apriorn´ım rozdˇelen´ı a informace poskytnuté mˇeˇren´ım reprezentované vˇerohodnostn´ı funkc´ı. 6.2.9 V mnoha pˇr´ıpadech je mˇeˇric´ı systém nasazen za u ´ˇcelem doplnˇen´ı relativnˇe chudé apriorn´ı znalosti mˇeˇrené veliˇciny pˇresnou informac´ı z mˇeˇren´ı. V takovém pˇr´ıpadˇe je PDF následné u ´rovnˇe znalost´ı (po mˇeˇren´ı) v podstatˇe definov´ ana vˇerohodnostn´ı funkc´ı (podchycuj´ıc´ı informaci z mˇeˇren´ı), tj., g (η|ηm ) = Ch (ηm |η) v dobré aproximaci, kde C je konstanta.

6.3 6.3.1

Souhrnn´ a informace Nejlepˇ s´ı odhad a standardn´ı nejistota

V´ ysledek mˇeˇren´ı je ˇcasto prezentov´ an tak, ˇze se udá odhad mˇeˇrené veliˇciny a parametr, kter´ y charakterizuje rozptyl pravdˇepodobn´ ych hodnot veliˇciny kolem tohoto odhadu. V tomto dokumentu se za odhad y vlastnosti Y bere oˇcek´ avan´ a hodnota (viz 3.1.5) E(Y |ηm ). Za pˇr´ısluˇsn´ y disperzn´ı parametr u(y) = u naz´ yvan´ y standardn´ı nejistota se © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

11

JCGM 106:2014

bere smˇerodatn´ a odchylka (viz 3.1.7) Y , kladn´ a odmocnina rozptylu (viz 3.1.6) V (Y |ηm ). E(Y |ηm ) a V (Y |ηm ) jsou d´ any takto w∞ w∞ E(Y |ηm ) = y = ηg (η|ηm ) dη, V (Y |ηm ) = u2 = (η − y)2 g (η|ηm ) dη. −∞

−∞

6.3.1.1 Standardn´ı nejistota u charakterizuje rozptyl Y kolem odhadu y. Je-li PDF pro Y s jedn´ım maximem (unimod´ aln´ı) a symetrick´ a, je odhad y téˇz nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotou Y, tj. modem rozdˇelen´ı. 6.3.1.2 U mˇeˇren´ı analyzovaného podle JCGM 100:2010 (GUM) poskytuje vyhodnocen´ı namˇeˇren´ ych dat odhad mˇeˇrené veliˇciny (zmˇeˇrenou hodnotu veliˇciny) ηm a pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotu um . Pˇredpokládá se, ˇze apriorn´ı informace je natolik chud´ a, ˇze n´ aslednou PDF g (η|ηm ) lze struˇcnˇe vyjádˇrit pomoc´ı odhadu y = ηm a pˇr´ısluˇsné standardn´ı nejistoty u = um (viz odstavec 7.6.1). 6.3.2

Intervaly pokryt´ı

6.3.2.1

Po proveden´ı mˇeˇren´ı je pravdˇepodobnost toho, ˇze Y nen´ı vˇetˇs´ı neˇz daná hodnota a wa Pr (Y ≤ a|ηm ) = G(a) = g (η|ηm ) dη, −∞

kde G(z) = 6.3.2.2

rz

−∞

g (η|ηm ) dη je rozdˇelovac´ı funkce Y , je-li udáno ηm .

Odtud plyne, ˇze pravdˇepodobnost p, ˇze Y leˇz´ı v intervalu [a, b], s a < b, je p = Pr (a ≤ Y ≤ b|ηm ) =

wb a

g (η|ηm ) dη = G(b) − G(a).

(2)

6.3.2.3 Interval tvaru [a, b] se naz´ yv´ a interval pokryt´ı pro Y a p je s t´ım spojená pravdˇepodobnost pokryt´ı. Návod na konstrukci intervalu pokryt´ı s poˇzadovanou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı vˇcetnˇe pˇr´ıpadu diskrétn´ı aproximace rozdˇelovac´ı funkce z´ıskan´ y metodou Monte Carlo je uveden v JCGM 101:2008. 6.3.2.4 je-li PDF pro Y symetrick´ a a unimod´ aln´ı, pak d˚ uleˇzit´ y a ˇsiroce pouˇz´ıvan´ y interval pokryt´ı má sv˚ uj stˇred na nejlepˇs´ım odhadu y s délkou rovnou urˇcitému n´ asobku standardn´ı nejistoty u. GUM definuje dalˇs´ı m´ıru nejistoty nazvanou rozˇs´ıˇren´ a nejistota , U , kterou z´ısk´ ame vynásoben´ım standartn´ı nejistoty u faktorem rozˇs´ıˇren´ı k: U = ku.

(3)

6.3.2.5 Faktor rozˇs´ıˇren´ı je vybr´ an tak, abychom dosáhli poˇzadované pravdˇepodobnosti pokryt´ı spojené s intervalem pokryt´ı [y − U, y + U ]. Vztah mezi k a pˇr´ısluˇsnou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı závis´ı na PDF pro Y . ´ POZNAMKA 1

Interval pokryt´ı ve tvaru [y−U, y+U ] se nˇekdy naz´ yv´ a interval nejistoty, jako napˇr. v ISO 10576-1:2003 3.7 [22].

´ POZNAMKA 2 Je-li PDF pro Y asymetrick´ a, je vhodnˇejˇs´ı urˇcit nejkratˇs´ı interval pokryt´ı pro danou pravdˇepodobnost pokryt´ı. Viz JCGM 101:2008 5.3.4 pro n´ avod k tomuto v´ ypoˇctu.

7 7.1

Pravdˇ epodobnost shody se stanoven´ ymi poˇ zadavky Obecn´ e pravidlo pro v´ ypoˇ cet pravdˇ epodobnosti shody

7.1.1 Urˇcit´ y pˇredmˇet vyhovuje stanovenému poˇzadavku, leˇz´ı-li pravá hodnota pˇr´ısluˇsné vlastnosti Y v toleranˇcn´ım intervalu. Znalost Y je d´ ana PDF g (η|ηm ) , takˇze v´ yrok o shodˇe má vˇzdy charakter dedukce (´ usudku), která je spr´ avn´ a pouze s urˇcitou pravdˇepodobnost´ı. Oznaˇc´ıme-li soubor dovolen´ ych (vyhovuj´ıc´ıch) hodnot Y C , je pravdˇepodobnost shody znaˇcen´ a jako pc d´ ana takto w pc = Pr (Y ∈ C |ηm ) = g (η|ηm ) dη. (4) C

12


JCGM 106:2014

7.1.2 V´ yraz (4) je obecn´ ym pravidlem pro v´ ypoˇcet pravdˇepodobnosti, ˇze urˇcit´ y pˇredmˇet vyhovuje stanovenému poˇzadavku na z´ akladˇe mˇeˇren´ı odpov´ıdaj´ıc´ı vlastnosti tohoto pˇredmˇetu. Máme-li dvoustrann´ y toleranˇcn´ı interval pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y , napˇr. se spodn´ı mez´ı TL a horn´ı mez´ı TU , C = [TL , TU ] je pravdˇepodobnost shody w TU g (η|ηm ) dη. pc = TL

7.1.3

Protoˇze pˇredmˇet bud’ vyhovuje nebo nevyhovuje poˇzadavku, je pravdˇepodobnost, ˇze nevyhovuje, rovna pc = 1 − pc .

7.2

Pravdˇ epodobnosti shody s norm´ aln´ımi PDF

7.2.1 Pravdˇepodobnost shody z´ avis´ı na stavu znalost´ı o mˇeˇrené veliˇcinˇe Y jak je podchycena a zprostˇredkov´ ana pomoc´ı PDF g (η|ηm ). V mnoha pˇr´ıpadech je rozumné charakterizovat znalost Y pomoc´ı norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı (viz 3.1.4) a tuto pravdˇepodobnost je moˇzné vypoˇc´ıtat. Je-li apriorn´ı rozdˇelen´ı normáln´ı a mˇeˇric´ı systém (tj. vˇerohodnostn´ı funkce) je charakterizov´ an norm´ aln´ım rozdˇelen´ım, pak je rozdˇelen´ı g (η|ηm ) téˇz normáln´ı. 7.2.2 Obecnˇeji, je-li vˇerohodnostn´ı funkce charakterizována normáln´ım rozdˇelen´ım a apriorn´ı informace je chud´ a, pak bude n´ asledn´ a PDF (po mˇeˇren´ı) pˇribliˇznˇe normáln´ı. V takovém pˇr´ıpadˇe g (η|ηm ) lze pˇrimˇeˇrenˇe charakterizovat norm´ aln´ım rozdˇelen´ım s oˇcek´ avanou (stˇredn´ı) hodnotou a smˇerodatnou odchylkou, které jsou dány nejlepˇs´ım odhadem y a standardn´ı nejistotou u vypoˇctenou jako v odstavci 6.3.1. ´ POZNAMKA 1

Norm´ aln´ı rozdˇelen´ı je u ´plnˇe urˇceno svou oˇcek´ avanou (stˇredn´ı) hodnotou a smˇerodatnou odchylkou.

´ POZNAMKA 2

Nˇekteré vlastnosti norm´ aln´ıch PDF jsou posuzov´ any v Pˇr´ıloze A.

7.2.3 Z d˚ uvodu vˇseobecné zn´ amosti a ˇsirokého pouˇzit´ı budou normáln´ı PDF pouˇzity pro ilustraci v´ ypoˇctu pravdˇepodobnost´ı shody v mnoha pˇr´ıkladech v tomto dokumentu. Takové v´ ypoˇcty lze rozˇs´ıˇrit i na pˇr´ıpad, kdy mal´ y poˇcet indikac´ı (mˇeˇren´ı) d´ av´ a vznik rozˇs´ıˇrenému a posunutému t-rozdˇelen´ı (viz JCGM 101:2008 6.4.9). 7.2.4 Pˇredpokl´ adejme, ˇze PDF g (η|ηm ) pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y je dána (nebo je dobˇre aproximována) norm´ aln´ım rozdˇelen´ım urˇcen´ ym nejlepˇs´ım odhadem (oˇcekávanou hodnotou) y a standardn´ı nejistotou (smˇerodatnou odchylkou) u. Pak je g (η|ηm ) d´ ana vztahem " 2 # 1 η−y 1 =: ϕ η; y, u2 . (5) g (η|ηm ) = √ exp − 2 u u 2π 7.2.5 Obecnˇe odhad y z´ avis´ı na ηm , tj. y = y(ηm ). Je-li znalost Y pˇred mˇeˇren´ım chudá, pak obvykle y ≈ ηm ; viz odstavec A.4.4 s pˇr´ıkladem, kdy to nen´ı tento pˇr´ıpad. 7.2.6 je

Z krok˚ u, které vedly k v´ yrazu (2), plyne, ˇze pravdˇepodobnost, ˇze Y leˇz´ı v intervalu [a, b], je-li d´ ana PDF (5), Pr (a ≤ Y ≤ b|ηm ) = Φ

b−y u

−Φ

a−y , u

(6)

kde y = y(ηm ) a

1 wz Φ(z) = √ exp(−t2 /2) dt 2π −∞ je funkce normalizovaného norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı (viz Pˇr´ılohu A).

7.3 7.3.1

jednostrann´ e toleranˇ cn´ı intervaly s norm´ aln´ımi PDF Jednoduch´ a spodn´ı toleranˇ cn´ı mez

Obr´ azek 3 zn´ azorˇ nuje jednostrann´ y toleranˇcn´ı interval s jednoduchou spodn´ı tolerannˇcn´ı mez´ı TL . Vyhovuj´ıc´ı hodnoty pˇredmˇetné vlastnosti Y leˇz´ı v intervalu η ≥ TL . Znalost Y po proveden´ı inspekˇcn´ıho mˇeˇren´ı je zprostˇredkov´ ana © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

13

JCGM 106:2014

norm´ aln´ı PDF, kter´ a je pˇreloˇzena pˇres toleranˇcn´ı interval. Nejlepˇs´ı odhad y leˇz´ı v toleranˇcn´ım intervalu; st´ınovan´ a oblast nalevo od TL indikuje pravdˇepodobnost, ˇze dan´ y pˇredmˇet nevyhovuje specifikaci. Z v´ yrazu (6) s a = TL , b → ∞, a vezmeme-li v u ´vahu, ˇze Φ(∞) = 1, pravdˇepodobnost shody je

pc = 1 − Φ

TL − y . u

(7)

Protoˇze Φ(t) + Φ(−t) = 1, lze pravdˇepodobnost (7) psát takto

pc = Φ

y − TL . u

(8)

u Toleranční interval

TL

y

؈

Obr´ azek 3 – Toleranˇ cn´ı interval s jednoduchou spodn´ı toleranˇ cn´ı mez´ı TL . Znalost veliˇ ciny Y (mˇ eˇ riteln´ a vlastnost z´ ajmu) po proveden´ı mˇ eˇ ren´ı je charakterizov´ ana norm´ aln´ı PDF nejlepˇ s´ım odhadem y a pˇ r´ısluˇ snou standardn´ı nejistotou u. Vyhovuj´ıc´ı hodnoty Y leˇ z´ı v intervalu η ≥ TL .

7.3.2

Jednoduch´ a horn´ı toleranˇ cn´ı mez

Obr´ azek 4 zn´ azorˇ nuje norm´ aln´ı PDF vepsanou do jednoduchého toleranˇcn´ıho intervalu s jednoduchou horn´ı toleranˇcn´ı mez´ı TU . Vyhovuj´ıc´ı hodnoty pˇredmˇetné vlastnosti Y leˇz´ı v intervalu η ≤ TU . V tomto pˇr´ıpadˇe st´ınovaná oblast napravo od TU pˇredstavuje pravdˇepodobnost, ˇze pˇredmˇet nevyhovuje specifikaci. Z v´ yrazu (6), s a → −∞, b = TU , a vezmeme-li vu ´vahu, ˇze Φ(−∞) = 0, pravdˇepodobnost shody je

pc = Φ

14

TU − y . u

(9) © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

JCGM 106:2014

u


y

؈

TU

Obr´ azek 4 – Stejn´ e jako v Obr´ azku 3, tady s jednoduchou horn´ı toleranˇ cn´ı mez´ı TU . Vyhovuj´ıc´ı hodnoty Y leˇ z´ı v intervalu η ≤ TU .

7.3.3

Obecn´ y pˇ r´ıstup k jednoduch´ ym toleranˇ cn´ım mez´ım

Pravdˇepodobnosti (8) a (9) maj´ı stejn´ y tvar a lze je psát jako pc = Φ(z),

(10)

kde z = (y − TL )/u pro spodn´ı mez a z = (TU − y)/u pro horn´ı mez. V obou pˇr´ıpadech je pc vˇetˇs´ı neˇz nebo rovn´ a 1/2 pro odhad y v toleranˇcn´ım intervalu (z ≥ 0) a menˇs´ı neˇz 1/2 jinak. Tabulka 1 uvád´ı hodnoty z pro nˇekolik hodnot pravdˇepodobnosti shody pc . epodobnosti pro jednostrann´ e toleranˇ cn´ı intervaly Tabulka 1 – Shodn´ e (pc ) a neshodn´ e (pc = 1 − pc ) pravdˇ a norm´ aln´ı PDF. Pro spodn´ı mez z = (y − TL )/u; pro horn´ı mez z = (TU − y)/u. V obou pˇ r´ıpadech je z ≥ 0 pro odhad y v toleranˇ cn´ım intervalu

pc

pc

z

0, 80

0, 20

0, 84

0, 90

0, 10

1, 28

0, 95

0, 05

1, 64

0, 99

0, 01

2, 33

0, 999

0, 001

3, 09

ˇ ÍKLAD 1 Je zmˇeˇreno z´ PR avˇerné napˇet´ı Vb Zenerovy diody d´ avaj´ıc´ı nejlepˇs´ı odhad vb = −5, 47 V s pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotou u = 0, 05 V. Specifikace diody vyˇzaduje Vb ≤ −5, 40 V, coˇz je horn´ı mez z´ avˇerného napˇet´ı. Pak z = [−5, 40 − (−5, 47)]/0, 05 = 1, 40 a z v´ yrazu (10), pc = Φ(1, 40) = 0, 92. Je tedy 92 % pravdˇepodobnost, ˇze tato dioda vyhovuje specifikaci. ˇ ÍKLAD 2 Kovov´ PR a n´ adoba je destruktivnˇe zkouˇsena pouˇzit´ım tlakové vody pˇri mˇeˇren´ı jej´ı pevnosti v protlaˇcen´ı B. Mˇeˇren´ı poskytlo nejlepˇs´ı odhad b = 509, 7 kPa s pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotou u = 8, 6 kPa. Specifikace n´ adoby poˇzaduje B ≥ 490 kPa, coˇz je spodn´ı mez pevnosti v protlaˇcen´ı. Pak z = (509, 7 − 490)/8, 6 = 2, 3 a z v´ yrazu (10), pc = Φ(2, 3) = 0, 99. Je tedy 99 % pravdˇepodobnost, ˇze n´ adoba vyhovovala specifikaci pˇred proveden´ım destruktivn´ı zkouˇsky.

7.4

Dvoustrann´ e toleranˇ cn´ı intervaly s norm´ aln´ımi PDF

Obr´ azek 5 zn´ azorˇ nuje dvoustrann´ y toleranˇcn´ı interval s toleranˇcn´ımi mezemi TL a TU a délkou T = TU − TL , kter´ a definuje toleranci T . Jako dˇr´ıve pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze znalost mˇeˇrené veliˇciny Y je zprostˇredkována normáln´ı PDF. Odhad y leˇz´ı v toleranˇcn´ım intervalu a je patrné, ˇze zˇretelná ˇcást pravdˇepodobnosti leˇz´ı v oblasti η > TU za horn´ı toleranˇcn´ı mez´ı. © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

15

JCGM 106:2014

u Toleranční interval

T

y

TL

TU

؈

Obr´ azek 5 – Stejnˇ e jako 3, zde s dvoustrann´ ym toleranˇ cn´ım intervalem. D´ elka TU − TL tohoto intervalu je rovna toleranci T . Vyhovuj´ıc´ı hodnoty Y leˇ z´ı v intervalu TL ≤ η ≤ TU .

Pouˇzit´ım v´ yrazu (6) s b = TU a a = TL dostaneme pravdˇepodobnost shody

pc = Φ

TU − y u

−Φ

TL − y . u

(11)

ˇ ÍKLAD Vzorek motorového oleje SAE Grade 40 m´ PR a m´ıt podle specifikace kinematickou viskozitu Y pˇri 100 ◦ C ne menˇs´ı 2 2 neˇz 12, 5 mm /s a ne vˇetˇs´ı neˇz 16, 3 mm /s. Kinematick´ a viskozita vzorku je zmˇeˇrena pˇri 100 ◦ C, coˇz poskytlo nejlepˇs´ı odhad y = 13, 6 mm2 /s a pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotu u = 1.8 mm2 /s. Na z´ akladˇe v´ yrazu (11) vytvoˇr´ıme veliˇciny

(TU − y)/u = (16, 3 − 13, 6)/1, 8 = 1, 5,

(TL − y)/u = (12, 5 − 13, 6)/1, 8 = −0, 6,

takˇze pc = Φ(1, 5) − Φ(−0, 6) = 0, 93 − 0, 27 = 0, 66. Je tedy 66 % pravdˇepodobnost, ˇze vzorek motorového oleje vyhovuje specifikaci.

7.5

Pravdˇ epodobnost shody a intervaly pokryt´ı

7.5.1 V´ ysledek mˇeˇren´ı lze struˇcnˇe vyj´ adˇrit udán´ım intervalu pokryt´ı s pˇr´ısluˇsnou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı (viz odstavec 6.3.2) sp´ıˇs neˇz pomoc´ı explicitn´ı PDF pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y . V takovém pˇr´ıpadˇe lze uˇcinit v´ yrok o pravdˇepodobnosti shody porovn´ an´ım intervalu pokryt´ı s toleranˇcn´ım intervalem. Jestliˇze interval pokryt´ı s pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı p leˇz´ı cel´ y uvnitˇr toleranˇcn´ıho intervalu, pak pc nem˚ uˇze b´ yt menˇs´ı neˇz p. Tento poznatek je ilustrov´ an na obr´ azku 6, kter´ y zn´ azorˇ nuje dva 95 % intervaly pokryt´ı v bl´ızkosti horn´ı toleranˇcn´ı meze. 7.5.2 Interval (a) pˇresahuje mimo toleranˇcn´ı mez a bez znalosti tvaru PDF pro Y nelze definitivn´ı v´ yrok o pravdˇepodobnosti shody uˇcinit.

16


JCGM 106:2014


O shodě nelze rozhodnout

(a)

(b)

pc ≥ 95%

TU

Obr´ azek 6 – Dva 95 %-n´ı intervaly pokryt´ı pro mˇ eˇ renou veliˇ cinu Y v bl´ızkosti horn´ı toleranˇ cn´ı meze TU . Interval (a) pˇ resahuje mimo toleranˇ cn´ı mez a o shodˇ e nem˚ uˇ ze b´ yt rozhodnuto bez znalosti PDF pro Y . Interval (b) leˇ z´ı cel´ y uvnitˇ r toleranˇ cn´ıho intervalu; pro tento interval pc ≥ 95 %.

7.5.3 Vˇsechny hodnoty v intervalu (b) jsou menˇs´ı neˇz toleranˇcn´ı mez a existuj´ı vyhovuj´ıc´ı hodnoty Y , které do tohoto intervalu nepatˇr´ı, takˇze pc ≥ 95 %. 7.5.4

Obecnˇe jestliˇze [ηlow , ηhigh ] je interval pokryt´ı for Y s pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı p, pak

–

pro jednoduchou horn´ı toleranˇcn´ı mez TU , pc ≥ p, jestliˇze ηhigh ≤ TU ;

–

pro jednoduchou spodn´ı toleranˇcn´ı mez TL , pc ≥ p, jestliˇze ηlow ≥ TL ;

–

pro dvoustrann´ y interval s horn´ı a spodn´ı toleranˇcn´ı mez´ı TU a TL , pc ≥ p, jestliˇze ηlow ≥ TL a ηhigh ≤ TU .

´ POZNAMKA 1 Porovn´ an´ı intervalu pokryt´ı pro pˇredmˇetnou vlastnost s intervalem dovolen´ ych hodnot je z´ akladem pro rozhodnut´ı o shodˇe se specifikac´ı, jak je pops´ ano v ISO 10576-1 [22]. ´ POZNAMKA 2 Je-li d´ ana PDF pro Y , pak lze pravdˇepodobnost pokryt´ı vˇzdy vypoˇc´ıtat. PDF pro mˇeˇrenou veliˇcinu m´ a vyˇsˇs´ı informaˇcn´ı obsah neˇz interval pokryt´ı s pˇr´ısluˇsnou pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı. ´ POZNAMKA 3 Prov´ ad´ı-li se posouzen´ı shody mˇeˇric´ıho pˇr´ıstroje — zejména je-li posouzen´ı regulov´ ano specifick´ ymi normami — nemus´ı b´ yt definice mˇeˇrené veliˇciny a v d˚ usledku toho i vyhodnocen´ı nejistoty jednoduché a m˚ uˇze si to vyˇza ´dat zvl´ aˇstn´ı pozornost.

7.6

Index zp˚ usobilosti mˇ eˇ ren´ı Cm

7.6.1 Uvaˇzujme pˇr´ıpad, kdy je apriorn´ı informace tak chudá, ˇze znalost moˇzn´ ych hodnot mˇeˇrené vlastnosti Y m˚ uˇzeme povaˇzovat za dodanou v´ yhradnˇe proveden´ ym mˇeˇren´ım. Jestliˇze v takovém pˇr´ıpadˇe pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze rozdˇelen´ı pro Y m´ a tvar norm´ aln´ı PDF g (η|ηm ) = ϕ η; y, u2 , pak y ≈ ηm a u ≈ um (viz odstavec A.4.4.3). V n´ asleduj´ıc´ıch pododstavc´ıch se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze tento pˇr´ıpad nastal, a v´ ysledek mˇeˇren´ı je struˇcnˇe vyjádˇren pomoc´ı 2 parametr˚ u (ηm , um ), za které se bere oˇcek´ avaná hodnota a smˇerodatná odchylka normáln´ı PDF. 7.6.2 Parametr, kter´ y charakterizuje kvalitu mˇeˇren´ı relativnˇe ve vztahu k poˇzadavku stanoveném toleranc´ı, se naz´ yv´ a index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı (viz 3.3.17) definovan´ y jako Cm =

T T TU − TL = = , 4um 4um 2U

(12)

kde U = 2um je rozˇs´ıˇren´ a nejistota s faktorem pokryt´ı k = 2. 7.6.3 Faktor 4 ve v´ yrazu (12) je libovoln´ y; tato konkrétn´ı volba je motivována ˇsirok´ ym pouˇz´ıván´ım intervalu pokryt´ı [ηm − 2um , ηm + 2um ] pˇri oznamov´ an´ı v´ ysledku mˇeˇren´ı. V pˇr´ıpadˇe, ˇze g (η|ηm ) je normáln´ı PDF, je pravdˇepodobnost pokryt´ı pro takov´ y interval pˇribliˇznˇe 95 %. © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

17

JCGM 106:2014

7.6.4 Existuje u ´zk´ a vazba mezi Cm a ostatn´ımi odvozen´ ymi parametry, které jsou pouˇz´ıvány k charakterizaci kvality mˇeˇren´ı v r˚ uzn´ ych kontextech. Mezi nimi jsou mˇeˇric´ı pomˇer, pravidlo v´ yrobce mˇeˇridla, pomˇer nejistot pˇri zkouˇsce (TUR) [32] a pomˇer pˇresnost´ı pˇri zkouˇsce (TAR) [1]. Takové parametry jsou obvykle udávány ve tvaru pomˇeru jako pravidlo 10-ku-1 nebo TUR 4:1. Naraz´ıte-li na taková pravidla, je tˇreba opatrnosti, protoˇze jsou nˇekdy nejednoznaˇcnˇe ˇci ne´ uplnˇe definov´ ana. Definice (12), na druhé stranˇe, nedává ˇzádné pochybnosti, ˇze v´ yrok jako Cm ≥ 4 znamen´ a, ˇze um ≤ T /16. 7.6.5 Pˇri kalibraci nebo ovˇeˇrov´ an´ı mˇeˇric´ıho pˇr´ıstroje je stanoven´ y poˇzadavek ˇcasto vyjádˇren pomoc´ı maxim´ aln´ı dovolené chyby (indikace) (viz 3.3.18). Takov´ y poˇzadavek znamená, ˇze je-li tento pˇr´ıstroj pouˇzit k mˇeˇren´ı veliˇciny Y , mus´ı chyba indikace leˇzet v intervalu definovaném horn´ı a spodn´ı mez´ı. V obvyklém pˇr´ıpadˇe symetrického intervalu [−Emax , Emax ], je tolerance rovna T = 2Emax a index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı je

Cm =

Emax 2Emax = . 2U U

V tomto v´ yrazu je U rozˇs´ıˇren´ a nejistota pro faktor pokryt´ı k = 2 spojená s mˇeˇren´ım chyby indikace pˇr´ıstroje.

7.7

Index zp˚ usobilosti mˇ eˇ ren´ı a pravdˇ epodobnost shody

7.7.1 Pro norm´ aln´ı PDF v´ yraz (11) ud´ av´ a pravdˇepodobnost shody pc pomoc´ı urˇcitého páru toleranˇcn´ıch mez´ı (TL , TU ) a urˇcitého v´ ysledku mˇeˇren´ı struˇcnˇe vyj´ adˇreného jako (y, u). Vezmeme-li y = ηm a u = um , lze tento v´ yraz pˇrepsat do tvaru vhodného pro obecn´ y problém mˇeˇren´ı definován´ım veliˇciny

ye =

ηm − TL . T

(13)

Pro odhad ηm v toleranˇcn´ım intervalu leˇz´ı ye v intervalu 0 ≤ ye ≤ 1. 7.7.2 takto

yraz (11) psát pouˇzit´ım v´ yraz˚ u (12) a (13) Pro norm´ aln´ı n´ aslednou PDF (po mˇeˇren´ı) ϕ η; ηm , u2m , lze pak v´

pc = Φ [4Cm (1 − ye)] − Φ(−4Cm ye) = pc (e y , Cm ),

(14)

takˇze pc je u ´plnˇe urˇcena dvˇema veliˇcinami ye a Cm . ˇ 7.7.3 Casto nast´ av´ a pˇr´ıpad, ˇze standardn´ı nejistota um spojená s odhadem ηm má pevnou hodnotu, která z´ avis´ı na konstrukci mˇeˇric´ıho systému, ale je nez´ avisl´ a na ηm . M˚ uˇzeme, napˇr´ıklad, provést inspekci série vzork˚ u vody s c´ılem stanovit u kaˇzdého vzorku koncentraci rozpuˇstˇené rtuti pouˇzit´ım mˇeˇric´ıho postupu, kter´ y dává r˚ uzné odhady, pˇriˇcemˇz kaˇzd´ y z nich m´ a stejnou pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotu um . V takovém pˇr´ıpadˇe je index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı Cm = T /4um zafixov´ an a ot´ azku, zda mˇeˇren´ a vlastnost vyhovuje specifikaci s pˇrijatelnou pravdˇepodobnost´ı nebo ne, lze rozhodnout na z´ akladˇe odhadu ηm pouˇzit´ım v´ yraz˚ u (13) a 14) s Cm zafixovan´ ym. ´ POZNAMKA O pˇr´ıpadu, kdy je standardn´ı nejistota um u ´mˇern´ a odhadu ηm , je pojedn´ ano v [13, Dodatek A].

18


JCGM 106:2014

Cm =T (4um ) 40 30 20

pc = 95 % na křivce

10 9 8 7 6 5

pc > 95 % v této oblasti

4

p c < 95 % ve šrafované oblasti

3 2

1 0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y‫( = ׅ‬؈m −TL ) T Obr´ azek 7 – Index zp˚ usobilosti mˇ eˇ ren´ı Cm = T /(4um ) versus ye = (ηm − TL )/T , zn´ azorˇ nuj´ıc´ı geometrick´ e

m´ısto bod˚ u s konstantn´ı 95 %-n´ı pravdˇ epodobnost´ı shody pc . Tato kˇ rivka oddˇ eluje oblasti shody a neshody pˇ ri 95 % u ´ rovni spolehlivosti. Za n´ asledn´ e rozdˇ elen´ı (pomˇ eˇ ren´ı) pro mˇ eˇ renou veliˇ cinu Y se bere norm´ aln´ı PDF ϕ η; ηm , u2m .

7.7.4 Existuje nekoneˇcn´ y poˇcet p´ ar˚ u (e y , Cm ), které poskytuj´ı danou pravdˇepodobnost shody pc pˇres v´ yraz (14). Obr´ azek 7 ukazuje z´ avislost Cm versus ye podél kˇrivky konstantn´ı 95 %-n´ı pravdˇepodobnosti shody pro odhady ηm s toleranˇcn´ım intervalem 0 ≤ ye ≤ 1. Kˇrivka oddˇeluje oblasti shody (nest´ınované) a neshody (st´ınované) pˇri 95 %-n´ı u ´rovni spolehlivosti. 7.7.5 Vodorovn´ a osa na Obr´ azku 7 odpov´ıdá Cm = 1 neboli um = T /4. Pro tuto relativnˇe velkou standardn´ı nejistotu m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze pc ≥ 95 % je pro 0.45 ≤ ye ≤ 0.55. Poˇzaduje-li se, aby mˇeˇrená vlastnost vyhovovala specifikaci s alespoˇ n 95 %-n´ı u ´rovn´ı spolehlivosti, pak mus´ı pˇrijateln´ y odhad ηm leˇzet ve stˇredn´ıch pˇribliˇznˇe 10 % toleranˇcn´ıho intervalu.

8 8.1

Intervaly pˇ rijatelnosti Meze pˇ rijatelnosti

8.1.1 Rozhodnut´ı pˇrijmout dan´ y pˇredmˇet jako vyhovuj´ıc´ı ˇci odm´ıtnout jako nevyhovuj´ıc´ı specifikaci je zaloˇzeno na zmˇeˇrené hodnotˇe ηm vlastnosti pˇredmˇetu ve vztahu k udanému rozhodovac´ımu pravidlu, které stanov´ı roli nejistoty mˇeˇren´ı pˇri formulaci kritéria pˇrijet´ı. Interval namˇeˇren´ ych hodnot vlastnosti, jehoˇz d˚ usledkem je pˇrijet´ı pˇredmˇetu, se naz´ yv´ a interval pˇrijet´ı (viz 3.3.9) definovan´ y jednou nebo dvˇema mezemi pˇrijet´ı (viz 3.3.8). ´ 8.1.2 Jak je naznaˇceno v Uvodu, jsou meze pˇrijet´ı a odpov´ıdaj´ıc´ı rozhodovac´ı pravidla vyb´ırána s c´ılem zvl´ adnout neˇz´ adouc´ı d˚ usledky nespr´ avn´ ych rozhodnut´ı. Existuje ˇrada ˇsiroce pouˇz´ıvan´ ych rozhodovac´ıch pravidel, kter´ a lze snadno realizovat. Lze je aplikovat, je-li znalost pˇredmˇetné vlastnosti struˇcnˇe vyjádˇrena pomoc´ı nejlepˇs´ıho odhadu a odpov´ıdaj´ıc´ıho intervalu pokryt´ı. Dvˇe takov´ a rozhodovac´ı pravidla jsou popsána v následuj´ıc´ıch pododstavc´ıch. © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

19

JCGM 106:2014

8.2

Rozhodovac´ı pravidlo zaloˇ zen´ e na jednoduch´ em pˇ rijet´ı

8.2.1 D˚ uleˇzité a ˇsiroce pouˇz´ıvané rozhodovac´ı pravidlo je známo jako jednoduché pˇrijet´ı [2] neboli sd´ılené riziko [20]. Podle takového pravidla v´ yrobce a uˇzivatel (spotˇrebitel) v´ ysledku mˇeˇren´ı souhlas´ı, implicitnˇe nebo explicitnˇe, s pˇrijet´ım jako vyhovuj´ıc´ıho (a jinak s odm´ıtnut´ım) pˇredmˇetu, jehoˇz vlastnost má namˇeˇrenou hodnotu v toleranˇcn´ım intervalu. Jak alternativn´ı n´ azev ‘sd´ılené riziko’ napov´ıd´ a, s jednoduch´ ym rozhodovac´ım pravidlem pˇrijet´ı se v´ yrobce a uˇzivatel (nebo dodavatel a odbˇeratel) pod´ılej´ı rovn´ ym d´ılem na d˚ usledc´ıch nesprávn´ ych rozhodnut´ı. 8.2.2 V praxi se v z´ ajmu toho, aby se moˇznost nesprávn´ ych rozhodnut´ı podaˇrilo udrˇzet na u ´rovn´ıch pˇrijateln´ ych jak pro v´ yrobce, tak pro uˇzivatele, obvykle stanov´ı poˇzadavek, ˇze nejistota mˇeˇren´ı byla vzata v u ´vahu a shled´ ana pˇrijatelnou pro zam´ yˇslen´ yu ´ˇcel. 8.2.3 Jedn´ım z pˇr´ıstup˚ u k takov´ ym u ´vah´ am je poˇzadovat, pˇri daném odhadu mˇeˇrené veliˇciny, aby pˇr´ısluˇsná rozˇs´ıˇren´ a nejistota U, pro faktor pokryt´ı k = 2, musela vyhovovat vztahu U ≤ Umax , kde Umax je vzájemnˇe odsouhlasen´ a maxim´ aln´ı pˇrijateln´ a rozˇs´ıˇren´ a nejistota. Tento pˇr´ıstup lze ilustrovat na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. ˇ ÍKLAD V leg´ PR aln´ı metrologii [40] se rozhodovac´ı pravidlo zaloˇzené na jednoduchém pˇrijet´ı pouˇz´ıv´ a pˇri ovˇeˇrov´ an´ı mˇeˇr´ıc´ıch pˇr´ıstroj˚ u. Uvaˇzujme takov´ y pˇr´ıstroj, u kterého je poˇzadov´ ana chyba indikace v intervalu [−Emax , Emax ]. Pˇr´ıstroj je pˇrijat jako vyhovuj´ıc´ı stanovenému poˇzadavku, splˇ nuje-li n´ asleduj´ıc´ı kritéria: (a)

pˇri mˇeˇren´ı kalibrovaného etalonu nejlepˇs´ı odhad e chyby indikace E pˇr´ıstroje vyhovuje vztahu |e| ≤ Emax , a

(b)

rozˇs´ıˇren´ a nejistota pro faktor pokryt´ı k = 2 spojen´ a s t´ımto odhadem e splˇ nuje vztah U ≤ Umax = Emax /3.

Z pohledu indexu zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı je kritérium (b) ekvivalentn´ı poˇzadavku, ˇze Cm ≥ 3 (viz odstavec 7.6).

8.2.4 Jiné v praxi pouˇz´ıvané rozhodovac´ı pravidlo pro pˇrijet´ı plyne z toho, co se naz´ yvá “metoda pˇresnosti”popsané v IEC N´ avodu 115 [19]. V tomto pˇr´ıstupu se pouˇzije dobˇre charakterizovaná zkuˇsebn´ı metoda a zdroje nejistoty jsou minimalizov´ any (a) pouˇzit´ım mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ u s maximáln´ı dovolenou chybou v rámci stanoven´ ych mez´ı, (b) vlivy okoln´ıho prostˇred´ı jako je teplota a relativn´ı vlhkost jsou udrˇzovány ve stanoven´ ych mez´ıch, (c) dobˇre dokumentovan´ ym ˇr´ızen´ım laboratorn´ıch postup˚ u, a (d) dobˇre dokumentovanou zp˚ usobilost´ı personálu provádˇej´ıc´ıho mˇeˇren´ı. ˇ ızen´ım zdroj˚ 8.2.5 R´ u variability tak, aby byly v rámci pˇredepsan´ ych mez´ı, lze pˇredpokládat, ˇze nejistota mˇeˇren´ı spojen´ a s nejlepˇs´ım odhadem mˇeˇrené veliˇciny je zanedbatelná, nen´ı explicitnˇe vyhodnocena a nehraje ˇzádnou roli v rozhodnut´ı o pˇrijet´ı ˇci zam´ıtnut´ı. Pˇr´ıstup v IEC N´ avodu 115 Postup 2 (“metoda pˇresnosti”) formalizuje souˇcasnou praxi elektrotechnick´ ych zkuˇsebn´ıch laboratoˇr´ı pˇri pouˇzit´ı nejmodernˇejˇs´ıho mˇeˇric´ıho zaˇr´ızen´ı a rutinn´ıch, dobˇre provˇeˇren´ ych zkuˇsebn´ıch metod. 8.2.6 V z´ avislosti na relativn´ı ˇs´ıˇrce toleranˇcn´ıho intervalu a intervalu pokryt´ı m˚ uˇze jednoduché rozhodovac´ı pravidlo pro pˇrijet´ı ˇci podobné rozhodovac´ı pravidlo ˇcasto podpoˇrit c´ıle kvality mˇeˇren´ı a kalibrac´ı provádˇen´ ych na podporu posuzov´ an´ı shody.

8.3 8.3.1

Rozhodovac´ı pravidla zaloˇ zen´ a na ochrann´ ych p´ asmech Obecn´ eu ´ vahy

8.3.1.1 Pˇrijet´ı ˇci odm´ıtnut´ı pˇredmˇetu, je-li zmˇeˇrená hodnota jeho stanovené vlastnosti v bl´ızkosti toleranˇcn´ı meze, m˚ uˇze m´ıt za n´ asledek nespr´ avné rozhodnut´ı a vést k neˇzádouc´ım d˚ usledk˚ um. Taková nesprávná rozhodnut´ı jsou obecnˇe dvoj´ıho druhu v pˇr´ıpadˇe jednoduché horn´ı toleranˇcn´ı meze [ilustrováno na Obrázku 8, v´ ystupy (b) a (c)]. 8.3.1.2 U rozhodovac´ıho pravidla zaloˇzeného na jednoduchém pˇrijet´ı a obvyklém pˇr´ıpadu symetrické unimod´ aln´ı PDF (jako je norm´ aln´ı rozdˇelen´ı) pro mˇeˇrenou veliˇcinu , m˚ uˇze b´ yt pravdˇepodobnost pˇrijet´ı nevyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu [Obr´ azek 8, (b)] nebo odm´ıtnut´ı vyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu [Obrázek 8, (c)] aˇz 50 %. To nastane, napˇr´ıklad, kdyˇz zmˇeˇren´ a

20


JCGM 106:2014

Naměřená hodnota Platné přijetí

Pravá hodnota

(a) (b)

Chybné přijetí (c)

Chybné odmítnutí Platné odmítnutí

(d)

TU = AU

Obr´ azek 8 – Jednoduch´ e rozhodovac´ı pravidlo pro pˇ rijet´ı v bl´ızkosti horn´ı toleranˇ cn´ı meze TU , se ˇ ctyˇ rmi 95 %-n´ımi intervaly pokryt´ı. U takov´ eho rozhodovac´ıho pravidla se mez pˇ rijet´ı AU shoduje s toleranˇ cn´ı mez´ı. Rozhodnut´ı pˇ rijmout ˇ ci odm´ıtnout inspektovan´ e (kontrolovan´ e) pˇ redmˇ ety jsou zaloˇ zena na namˇ eˇ ren´ ych hodnot´ ach (troj´ uheln´ıky); prav´ e hodnoty (krouˇ zky) jsou nezn´ am´ e. Pˇ r´ıpady (b) a (c) vedou k nespr´ avn´ ym rozhodnut´ım naz´ yvan´ ym chybn´ e pˇ rijet´ı a resp. chybn´ e odm´ıtnut´ı (viz odstavec 9.3.2). V pˇ r´ıpadˇ e (c) leˇ z´ı prav´ a hodnota mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny (aniˇ z o tom v´ıme) mimo 95 %-n´ı interval pokryt´ı.

hodnota vlastnosti leˇz´ı velmi bl´ızko toleranˇcn´ı mezi. V takovém pˇr´ıpadˇe ca 50 % PDF pro mˇeˇrenou veliˇcinu bude leˇzet na kaˇzdé z obou stran´ ach meze, takˇze at’ je pˇredmˇet pˇrijat ˇci odm´ıtnut, vˇzdy bude ca 50 % ˇsance nespr´ avného rozhodnut´ı. 8.3.1.3 Kaˇzdou z tˇechto pravdˇepodobnost´ı lze redukovat, na u ´kor zv´ yˇsen´ı té druhé, volbou mez´ı pˇrijet´ı vzd´ alenˇejˇs´ıch od toleranˇcn´ıch mez´ı, rozhodovac´ı strategie shody zvaná vytváˇren´ı ochrann´ ych pásem; viz odkazy [6, 7, 8, 9, 12, 17, 44]. 8.3.2

Chr´ anˇ en´ e pˇ rijet´ı

8.3.2.1 Riziko pˇrijet´ı nevyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu lze sn´ıˇzit vhodn´ ym nastaven´ım meze pˇrijet´ı AU uvnitˇr toleranˇcn´ıho intervalu, jak je uk´ az´ ano na Obr´ azku 9. Interval definovan´ y pomoc´ı TU a AU se naz´ yvá ochranné p´ asmo (viz 3.3.11) a v´ ysledné rozhodovac´ı pravidlo se naz´ yv´ a chránˇené pˇrijet´ı. ´ POZNAMKA Chr´ anˇené pˇrijet´ı je zn´ amo téˇz jako pˇr´ısné pˇrijet´ı [2] a pozitivn´ı shoda pro pˇrijet´ı [18].

w> 0 Interval přijetí

Ochranné pásmo

AU

TU

Obr´ azek 9 – Rozhodovac´ı pravidlo zaloˇ zen´ e na chr´ anˇ en´ em pˇ rijet´ı. Horn´ı mez pˇ rijet´ı AU uvnitˇ r horn´ı toleranˇ cn´ı meze TU definuje interval pˇ rijet´ı, kter´ y sniˇ zuje pravdˇ epodobnost chybn´ eho pˇ rijet´ı nevyhovuj´ıc´ıho pˇ redmˇ etu (riziko odbˇ eratele - spotˇ rebitele). Dohodou je stanoveno, ˇ ze rozmˇ erov´ y parametr w spojen´ y s ochrann´ ym p´ asmem pˇ rijet´ı se bere jako kladn´ y: w = TU − AU > 0.

8.3.2.2 viz.

Rozd´ıl mezi toleranˇcn´ı mez´ı a odpov´ıdaj´ıc´ı mez´ı pˇrijet´ı definuje rozmˇerov´ y parametr w pro ochranné p´ asmo, w = TU − AU .


21

JCGM 106:2014

Pro rozhodovac´ı pravidlo chr´ anˇenného pˇrijet´ı je rozhodovac´ı pravidlo w > 0. 8.3.2.3 V mnoha aplikac´ıch je za rozmˇerov´ y parametr w brán urˇcit´ y násobek rozˇs´ıˇrené nejistoty pro faktor pokryt´ı k = 2, U = 2u, viz. w = rU, s n´ asobitelem r vybran´ ym tak, aby zajiˇst’oval urˇcitou minimáln´ı pravdˇepodobnost shody pro pˇredmˇet, kter´ y je pˇrijat. Obvyklou volbou je r = 1, kdy w = U . ˇ ÍKLAD ISO 14253-1 [21] zav´ PR ad´ı jakési v´ ychoz´ı rozhodovac´ı pravidlo ochranného pˇrijet´ı pro prok´ az´ an´ı shody se specifikac´ı. Obr´ azek 10 je pˇrevzat z ISO 14253-1, obr´ azek 7. V pˇr´ıpadˇe dvoustranného toleranˇcn´ıho intervalu, jsou horn´ı a doln´ı mez pˇr´ıjet´ı odsazeny od pˇr´ısluˇsn´ ych toleranˇcn´ıch mez´ı o ochrann´ a p´ asma s rozmˇerov´ ym parametrem w = U = 2u. C´ılem zaveden´ı ochrann´ ych p´ asem s w = 2u je zajistit, aby pro kaˇzdou zmˇeˇrenou hodnotu leˇz´ıc´ı uvnitˇr intervalu pˇrijet´ı byla pravdˇepodobnost pˇrijet´ı nevyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu nanejv´ yˇs 2.3 % za pˇredpokladu norm´ aln´ı PDF pro mˇeˇrenou veliˇcinu. Tato maxim´ aln´ı pravdˇepodobnost nastane, souhlas´ı-li zmˇeˇren´ a hodnota vlastnosti s mez´ı pˇrijet´ı. Pro namˇeˇrené hodnoty vzd´ alené od mez´ı pˇrijet´ı bude pravdˇepodobnost chybného pˇrijet´ı menˇs´ı neˇz toto maximum.

U = 2u

U = 2u Interval přijetí

AL TL

AU Toleranční interval

TU

Obr´ azek 10 – Dvoustrann´ y interval pˇ rijet´ı vytvoˇ ren´ y redukc´ı toleranˇ cn´ıho intervalu na obou stran´ ach o k = 2 rozˇ s´ıˇ ren´ e nejistoty U = 2u. To je v´ ychoz´ı rozhodovac´ı pravidlo zaveden´ e v ISO 14253-1 [21].

V ISO 14253-1 se interval pˇrijet´ı naz´ yv´ a z´ onou shody a toleranˇcn´ı interval se naz´ yv´ a z´ onou specifikace. Znaˇcen´ı na obr´ azku 10 odpov´ıd´ a konvenc´ım tohoto dokumentu.

8.3.3

Chr´ anˇ en´ e odm´ıtnut´ı

8.3.3.1 Vnˇe toleranˇcn´ıho intervalu, jak je ukázáno na Obrázku 11, lze vybrat takovou mez pˇrijet´ı, aby pravdˇepodobnost, ˇze odm´ıtnut´ y pˇredmˇet je skuteˇcnˇe nevyhovuj´ıc´ı, byla zv´ yˇsena. Takové rozhodovac´ı pravidlo chr´ anˇeného odm´ıtnut´ı se ˇcasto pouˇz´ıv´ a, pokud chceme jasn´ y d˚ ukaz, ˇze mez byla pˇrekroˇcena, pˇredt´ım, neˇz uˇcin´ıme negativn´ı akci. ´ POZNAMKA Chr´ anˇené odm´ıtnut´ı je také zn´ amé jako pˇr´ısné odm´ıtnut´ı [2] a pozitivn´ı neshoda pro odm´ıtnut´ı [18].

8.3.3.2

Rozmˇerov´ y parametr w pro ochranné p´ asmo chránˇenného odm´ıtnut´ı je w = TU − AU < 0.

w< 0 Ochranné pásmo Interval přijetí

TU

AU

Obr´ azek 11 – Rozhodovac´ı pravidlo zaloˇ zen´ e na chr´ anˇ en´ em odm´ıtnut´ı. Horn´ı mez pˇ rijet´ı AU vnˇ e horn´ı toleranˇ cn´ı meze TU definuje interval pˇ rijet´ı, kter´ y sniˇ zuje pravdˇ epodobnost chybn´ eho odm´ıtnut´ı vyhovuj´ıc´ıho pˇ redmˇ etu (riziko v´ yrobce ˇ ci dodavatele). Rozmˇ erov´ y parametr w spojen´ y s ochrann´ ym p´ asmem chr´ anˇ en´ eho odm´ıtnut´ı je w = TU − AU < 0.

22


JCGM 106:2014

ˇ ÍKLAD 1 PR

Kontrola rychlostn´ıch limit˚ u

Pˇri vym´ ah´ an´ı silniˇcn´ı legislativy policie mˇeˇr´ı rychlost motorist˚ u pouˇzit´ım pˇr´ıstroj˚ u jako jsou radary a lidary [42]. Rozhodnut´ı o udˇelen´ı pokuty, coˇz m˚ uˇze vést i k ˇr´ızen´ı pˇred soudem, je tˇreba uˇcinit s vysok´ ym stupnˇem pˇresvˇedˇcen´ı, ˇze rychlostn´ı limit byl ve skuteˇcnosti pˇrekroˇcen. Pouˇzit´ım urˇcitého dopplerovského radaru lze prov´ adˇet mˇeˇren´ı rychlosti v terénu s relativn´ı standardn´ı nejistotou u(v)/v rovnou 2 % v intervalu od 50 km/h do 150 km/h. Pˇredpokl´ adejme, ˇze znalost mˇeˇrené rychlosti v v tomto intervalu lze charakterizovat norm´ aln´ı PDF s oˇcek´ avanou hodnotou v a smˇerodatnou odchylkou 0, 02v. Za tˇechto podm´ınek se m˚ uˇzeme pˇri rychlostn´ım limitu v0 = 100 km/h pt´ at, jak´ a hraniˇcn´ı rychlost vmax (mez pˇrijet´ı) m´ a b´ yt nastavena tak, aby pro zmˇeˇrenou rychlost v ≥ vmax byla pravdˇepodobnost, ˇze v ≥ v0 , alespoˇ n 99,9 %? Tento matematick´ y problém je ekvivalentn´ı v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti shody pro jednostrann´ y toleranˇcn´ı interval (viz odstavec 7.3). Zde potˇrebujeme zn´ at hodnotu z = (vmax − v0 )/(0, 02vmax ), pro kterou s 99,9 %-n´ı pravdˇepodobnosti leˇz´ı v oblasti V ≥ v0 . Z tabulky 1 na stranˇe 15 m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze z = 3, 09, takˇze vmax =

v0 100 = km/h ≈ 107 km/h. 1 − 0, 02z 1 − 0, 02 × 3, 09

Interval [100 km/h ≤ v ≤ 107 km/h] je ochrann´ ym p´ asmem, které zajiˇst’uje s pravdˇepodobnost´ı alespoˇ n 99,9 %, ˇze rychlostn´ı limit byl pˇrekroˇcen pro mˇeˇrenou rychlost 107 km/h a vyˇsˇs´ı. ˇ ÍKLAD 2 PR

Drogy v ˇ ziv´ ych zv´ıˇ ratech a v ˇ zivoˇ ciˇ sn´ ych v´ yrobc´ıch

Anabolick´ y steroid nandrolon patˇr´ı do skupiny l´ atek zak´ azan´ ych jako podporovatelé r˚ ustu ve zv´ıˇratech urˇcen´ ych pro v´ yrobu potravin. Tato l´ atka se vyskytuje v nˇekter´ ych ˇziv´ ych zv´ıˇratech pˇrirozenˇe a byla zde proto ustanovena hraniˇcn´ı (toleranˇcn´ı) mez T rovn´ a 2, 00 µg/L. V provˇeˇrovac´ı zkouˇsce na nandrolon je zmˇeˇren´ a koncentrace pˇrekraˇcuj´ıc´ı hraniˇcn´ı hodnotu s pravdˇepodobnost´ı 95 % nebo vyˇsˇs´ı povaˇzov´ ana za podezˇrelou a mˇel by n´ asledovat postup pro potvrzen´ı tohoto z´ avˇeru. Pˇri prov´ adˇen´ı provˇeˇrovac´ı zkouˇsky si laboratoˇr pˇreje nastavit rozhodovac´ı (pˇrej´ımac´ı) mez A rovnou A = T + g, kde g = |w| je ochranné p´ asmo (viz Obr´ azek 11) takové, ˇze pro zmˇeˇrenou hodnotu koncentrace y ≥ A je pravdˇepodobnost, ˇze Y ≥ T , menˇs´ı neˇz 95 %. Dan´ a laboratoˇr validuje sv˚ uj postup mˇeˇren´ı t´ım, ˇze spajkov´ an´ım (umˇelé pˇrid´ av´ an´ı pˇr´ımˇes´ı) deseti ˇcist´ ych vzork˚ u na koncentraˇcn´ı u ´rovni bl´ızké dané hranici. Vzorky jsou pak mˇeˇreny za podm´ınek vnitrolaboratorn´ı reprodukovatelnosti a dostaneme tak smˇerodatnou odchylku z pozorované reprodukovatelnosti s (ISO 3534-2, 3.3.12) rovnou 0, 20 µg/L. Ze spajkovac´ıho experimentu uˇcin´ı laboratoˇr z´ avˇer, zda jsou jej´ı mˇeˇren´ı prosta v´ yznamn´ ych systematick´ ych chyb. V nejistotˇe mˇeˇren´ı dominuj´ı vlivy reprodukovatelnosti a za PDF pro koncentraci nandrolonu Y se tak bere rozˇs´ıˇrené a posunuté t-rozdˇelen´ı (viz JCGM 101:2008 6.4.9) s ν = 9 stupni volnosti. Z tabulek ˇci pomoc´ı vhodného softwaru pro t-rozdˇelen´ı (jednostranné, ν = 9 stupˇ n˚ u volnosti, 95 % pravdˇepodobnost) vypoˇcteme, ˇze hodnota ochranného p´ asma je g = t0,95;9 × s = 1, 83 × 0, 20 µg/L = 0, 37 µg/L. Vzorek s namˇeˇrenou hodnotou y koncentrace nandrolonu vˇetˇs´ı neˇz nebo rovné A = (2, 00 + 0, 37) µg/L = 2, 37 µg/L se tak povaˇzuje za podezˇrel´ y.

9 9.1

Rizika spotˇ rebitele (odbˇ eratele) a v´ yrobce (dodavatele) Obecnˇ e

9.1.1 Pˇri posuzov´ an´ı shody pouˇzit´ım bin´ arn´ıho rozhodovac´ıho pravidla je vlastnost pˇredmˇetu zmˇeˇrena a pˇredmˇet je pˇrijat jako vyhovuj´ıc´ı, leˇz´ı-li namˇeˇren´ a hodnota vlastnosti v definovaném intervalu pˇrijet´ı. Namˇeˇren´ a hodnota © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

23

JCGM 106:2014

mimo interval pˇrijet´ı vede k odm´ıtnut´ı pˇredmˇetu jako nevyhovuj´ıc´ıho. Obrázek 12, kter´ y je reprodukc´ı obr´ azku 1 na stranˇe viii, ilustruje pˇredmˇetné intervaly a ukazuje toleranˇcn´ı interval (vyhovuj´ıc´ıch hodnot) a interval pˇrijet´ı (dovolen´ ych namˇeˇren´ ych hodnot). 9.1.2 Pouˇzit´ı ochrann´ ych p´ asem nab´ız´ı cestu, jak omezit pravdˇepodobnost proveden´ı nesprávného rozhodnut´ı o shodˇe na z´ akladˇe informace z mˇeˇren´ı struˇcnˇe vyj´ adˇrené intervalem pokryt´ı. Tento odstavec se zab´ yvá pˇresnˇejˇs´ım vyhodnocen´ım takov´ ych pravdˇepodobnost´ı u v´ yrobn´ıho procesu. Vyhodnocované pravdˇepodobnosti závis´ı na dvou faktorech, v´ yrobn´ım procesu a mˇeˇric´ım systému. 9.1.3 Kdyby byl mˇeˇric´ı systém dokonale pˇresn´ y, byla by vˇsechna rozhodnut´ı o shodˇe správná a vˇsechna rizika rovna nule. N´ ar˚ ust nejistoty mˇeˇren´ı znamen´ a zv´ yˇsen´ı pravdˇepodobnosti nesprávného rozhodnut´ı a tato pravdˇepodobnost je pˇritom nejvˇetˇs´ı v bl´ızkosti toleranˇcn´ıch mez´ı. 9.1.4 Tato rizika téˇz z´ avis´ı na povaze v´ yrobn´ıho procesu. Pokud tento proces zˇr´ıdka vyprodukuje pˇredmˇet, jehoˇz z´ ajmov´ a vlastnost je v bl´ızkosti toleranˇcn´ıch mez´ı, je pˇr´ıleˇzitost pro proveden´ı nesprávn´ ych rozhodnut´ı menˇs´ı. Opaˇcnˇe, jestliˇze proces produkuje pˇredmˇety s vlastnostmi, které maj´ı tendenci b´ yt v bl´ızkosti toleranˇcn´ıch mez´ı, jsou nejistoty spojené s tˇemito mˇeˇren´ımi vneseny do hry. Zb´ yvaj´ıc´ı ˇcást tohoto odstavce ukazuje, jak mohou b´ yt pˇr´ıspˇevky obou faktor˚ u vyhodnoceny.

Interval přijetí

TL

AU

AL

TU


Obr´ azek 12 – Bin´ arn´ı posuzov´ an´ı shody, kdy jsou rohodnut´ı zaloˇ zena na namˇ eˇ ren´ ych hodnot´ ach veliˇ ciny. Prav´ a hodnota mˇ eˇ riteln´ e vlastnosti (mˇ eˇ ren´ a veliˇ cina) pˇ redmˇ etu m´ a podle specifikace leˇ zet v toleranˇ cn´ım intervalu definovan´ em mezemi (TL , TU ). Dan´ y pˇ redmˇ et je pˇ rijat jako vyhovuj´ıc´ı, jestliˇ ze namˇ eˇ ren´ a hodnota vlastnosti leˇ z´ı v intervalu pˇ rijet´ı definovan´ em mezemi (AL , AU ), a jinak odm´ıtnut jako nevyhovuj´ıc´ı.

9.2

PDF pro v´ yrobn´ı proces a mˇ eˇ ric´ı syst´ em

9.2.1 Uvaˇzujme proces, kter´ y produkuje sekvenci pˇredmˇet˚ u, z nichˇz kaˇzd´ y má mˇeˇritelnou vlastnost Y s moˇzn´ ymi hodnotami η. T´ımto procesem m˚ uˇze b´ yt stroj vyr´ abˇej´ıc´ı odpory s normáln´ı rezistanc´ı 10 kΩ nebo proces vzorkov´ an´ı poskytuj´ıc´ı n´ adobky s moˇrskou vodou obsahuj´ıc´ı rozpuˇstˇenou rtut’. U pˇredmˇetu náhodnˇe vybraného z tohoto procesu je znalost vlastnosti Y pˇredt´ım, neˇz je zmˇeˇrena, zprostˇredkována apriorn´ı PDF g0 (η). O této PDF g0 (η) lze ˇr´ıci, ˇze charakterizuje v´ yrobn´ı proces a nˇekdy se naz´ yv´ a hustota pravdˇepodobnosti procesu. Tvar g0 (η) se obvykle pˇriˇrazuje na z´ akladˇe znalosti z´ıskané mˇeˇren´ım pˇredmˇetné vlastnosti na vzorku vyroben´ ych pˇredmˇet˚ u. ´ POZNAMKA Pˇriˇrazov´ an´ı apriorn´ı PDF na z´ akladˇe zmˇeˇren´ ych vzork˚ u pˇredmˇetu je diskutov´ ano v Pˇr´ıloze B.

9.2.2 Posuzov´ an´ı shody vyrobeného pˇredmˇetu se provád´ı mˇeˇren´ım vlastnosti, o kterou se zaj´ımáme. V´ ystupem mˇeˇric´ıho systému je veliˇcina povaˇzovan´ a za pozorovatelnou náhodnou promˇennou Ym jej´ıˇz moˇzné hodnoty ηm , za pˇredpokladu zn´ amé vstupn´ı hodnoty Y = η, jsou podchyceny a zprostˇredkovány funkc´ı PDF h (ηm |η). Tvar h (ηm |η) je pˇriˇrazen na z´ akladˇe konstrukce mˇeˇric´ıho systému, informac´ı z´ıskan´ ych z kalibrac´ı a znalosti pˇr´ısluˇsn´ ych ovlivˇ nuj´ıc´ıch veliˇcin jako jsou parametry okoln´ıho prostˇred´ı a vlastnosti materiál˚ u.

24


JCGM 106:2014

9.3

Moˇ zn´ e v´ ystupy inspekˇ cn´ıho mˇ eˇ ren´ı s bin´ arn´ım rozhodovac´ım pravidlem

e znaˇc´ı intervaly 9.3.1 Necht’ C a Ce znaˇc´ı intervaly vyhovuj´ıc´ıch resp. nevyhovuj´ıc´ıch hodnot Y, a necht’ A a A pˇrijateln´ ych resp. nepˇrijateln´ ych hodnot Ym . V obrázku 12, napˇr´ıklad, C odpov´ıdá hodnotám Y v intervalu TL ≤ Y ≤ TU , a A odpov´ıd´ a hodnot´ am Ym v intervalu AL ≤ Ym ≤ AU . 9.3.2 U bin´ arn´ıho rozhodovac´ıho pravidla jsou ˇctyˇri moˇzné v´ ystupy zkouˇsky posuzován´ı shody, která d´ av´ a hodnotu mˇeˇrené veliˇciny ηm : Platn´ e pˇ rijet´ı: pˇredmˇet je pˇrijat (Ym = ηm ∈ A) a vyhovuje specifikaci (Y ∈ C ). To je ˇz´ adan´ y v´ ystup zkouˇsky posuzov´ an´ı shody, kter´ y vede k pˇrijet´ı vyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu. Chybn´ e pˇ rijet´ı: pˇredmˇet je pˇrijat (Ym = ηm ∈ A), ale nevyhovuje specifikaci (Y ∈ Ce ). To je nespr´ avné rozhodnut´ı, jehoˇz pravdˇepodobnost se naz´ yvá riziko spotˇrebitele (odbˇeratele), protoˇze náklady spojené s takov´ ym omylem ˇcasto nese spotˇrebitel (odbˇeratel) nebo uˇzivatel, kter´ y pˇredmˇet pˇrijal jako hod´ıc´ı se pro jeho u ´ˇcel a podle toho se zachoval. ´ POZNAMKA Chybné pˇrijet´ı se také naz´ yv´ a chyba schv´ alen´ı nebo chybnˇe pozitivn´ı.

U urˇcitého mˇeˇreného pˇredmˇetu pˇrijatého jako vyhovuj´ıc´ı pˇri dané zmˇeˇrené hodnotˇe Ym = ηm ∈ A se pravdˇepodobnost chybného pˇrijet´ı naz´ yvá specifické riziko spotˇrebitele (viz 3.3.13) [38], oznaˇcované ∗ ∗ jako RC . Z definice (4) pravdˇepodobnosti shody m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze RC je dáno jako ∗ RC = 1 − pc ,

pro namˇeˇrenou hodnotu ηm v intervalu pˇrijet´ı. U pˇredmˇetu vybraného náhodnˇe z v´ yrobn´ıho procesu se pravdˇepodobnost, ˇze bude chybnˇe pˇrijat po mˇeˇren´ı, naz´ yvá komplexn´ı riziko spotˇrebitele (viz 3.3.15) [38], oznaˇcované jako RC . V´ ypoˇcet RC je vyloˇzen v odstavci 9.5. e a nevyhovuje specifikaci (Y ∈ Ce ). To je Platn´ e odm´ıtnut´ı: pˇredmˇet je odm´ıtnut (Ym = ηm ∈ A) ˇz´ adan´ y v´ ystup zkouˇsky posuzován´ı shody , které vede k odm´ıtnut´ı nevyhovuj´ıc´ıho pˇredmˇetu. e ale ve skuteˇcnosti vyhovuje specifikaci Chybn´ e odm´ıtnut´ı: pˇredmˇet je odm´ıtnut (Ym = ηm ∈ A), (Y ∈ C ). To je dalˇs´ı nespr´ avné rozhodnut´ı, jehoˇz pravdˇepodobnost se naz´ yvá riziko v´ yrobce (dodavatele), protoˇze n´ aklady spojené s takov´ ym omylem ˇcasto nese v´ yrobce, kter´ y nem˚ uˇze prodat pˇredmˇet, kter´ y nevyhovˇel ve zkouˇsce shody. ´ POZNAMKA Chybné odm´ıtnut´ı je také zn´ amé jako chyba neschv´ alen´ı nebo jako chybnˇe negativn´ı.

e U urˇcitého mˇeˇreného pˇredmˇetu odm´ıtnutého jako nevyhovuj´ıc´ı pˇri dané zmˇeˇrené hodnotˇe Ym = ηm ∈ A se pravdˇepodobnost chybného odm´ıtnut´ı naz´ yvá specifické riziko výrobce (viz 3.3.14) [38], oznaˇcované ∗ ∗ jako RP . Z definice (4) pravdˇepodobnosti shody m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze RP je dáno jako ∗ RP = pc ,

pro zmˇeˇrenou hodnotu ηm mimo interval pˇrijet´ı. U pˇredmˇetu vybraného náhodnˇe z v´ yrobn´ıho procesu se pravdˇepodobnost, ˇze bude chybnˇe odm´ıtnut po mˇeˇren´ı, naz´ yvá glob´ aln´ı riziko výrobce (viz 3.3.16) [38], oznaˇcované jako RP . V´ ypoˇcet RP se prob´ırá v odstavci 9.5.

9.4

Sdruˇ zen´ a PDF pro Y a Ym

∗ ∗ 9.4.1 Jak je patrné z odstavce 9.3.2, specifické riziko spotˇrebitele a specifické riziko v´ yrobce RC a RP maj´ı jednoduch´ y vztah k pravdˇepodobnosti shody pro urˇcit´ y zmˇeˇren´ y pˇredmˇet, je-li dán v´ ysledek mˇeˇren´ı. Je-li hodnota vlastnosti Y mimo toleranˇcn´ı interval a namˇeˇrená hodnota Ym je uvnitˇr intervalu pˇrijet´ı, pak vznik´ a riziko spotˇrebitele. Pravdˇepodobnost, ˇze nastanou obˇe tyto události, tj. globáln´ı riziko spotˇrebitele je dáno sdruˇzen´ ym rozdˇelen´ım pravdˇepodobnosti, které z´ avis´ı na v´ yrobn´ım procesu a mˇeˇric´ım systému.


25

JCGM 106:2014

9.4.2 Sdruˇzenou hustotu pravdˇepodobnosti lze psát jako souˇcin hustot, které jsou jiˇz známy. Slovnˇe, pravdˇepodobnost, ˇze hodnota mˇeˇrené veliˇciny Y je mimo toleranˇcn´ı interval a namˇeˇrená hodnota Ym je uvnitˇr intervalu pˇrijet´ı, je d´ ana pravdˇepodobnost´ı, ˇze v´ yrobn´ı proces vyprodukuje pˇredmˇet s pravou hodnotou Y mimo toleranˇcn´ı interval n´ asoben´ a pravdˇepodobnost´ı, ˇze mˇeˇric´ı systém vyprodukuje namˇeˇrenou hodnotu Ym uvnitˇr intervalu pˇrijet´ı, je-li d´ ano, ˇze mˇeˇren´ a veliˇcina Y je mimo toleranˇcn´ı interval. 9.4.3 Obdobnˇe je glob´ aln´ı riziko v´ yrobce definováno pomoc´ı téhoˇz sdruˇzeného rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti. Povaˇzujeme-li toleranˇcn´ı interval, v´ yrobn´ı proces a mˇeˇric´ı systém za pevnˇe dané, jsou globáln´ı riziko spotˇrebitele a glob´ aln´ı riziko v´ yrobce urˇceny mezemi pˇrijet´ı. Meze pˇrijet´ı lze tedy nastavit tak, abychom dosáhli pˇrijatelné rovnov´ ahy mezi obˇema druhy tˇechto rizik. Obecnˇe nen´ı moˇzné nastavit meze pˇrijet´ı tak, abychom souˇcasnˇe minimalizovali jak riziko spotˇrebitele, tak riziko v´ yrobce: zmenˇsen´ı jednoho zv´ yˇs´ı u ´roveˇ n toho druhého. 9.4.4 V literatuˇre o ˇr´ızen´ı kvality a posuzov´ an´ı shody jsou pojmy ‘riziko spotˇrebitele’ a ‘riziko v´ yrobce’ obecnˇe pouˇz´ıv´ any ve smyslu glob´ aln´ıch rizik tak, jak je popsáno v´ yˇse. 9.4.5 Pro dan´ y v´ yrobn´ı proces a mˇeˇric´ı systém je znalost moˇzn´ ych v´ ystup˚ u zkouˇsky posuzován´ı shody náhodnˇe vybraného pˇredmˇetu pops´ ana sdruˇzenou funkc´ı hustoty pravdˇepodobnosti. U takto náhodnˇe vybraného pˇredmˇetu je pravdˇepodobnost toho, ˇze (a) hodnota mˇeˇrené veliˇciny Y leˇz´ı v intervalu η ≤ Y ≤ η + dη a ˇze (b) zmˇeˇren´ı Y poskytne namˇeˇrenou hodnotu Ym v intervalu ηm ≤ Ym ≤ ηm + dηm je dána vztahem Pr (η ≤ Y ≤ η + dη and ηm ≤ Ym ≤ ηm + dηm ) = f (η, ηm )dη dηm ,

(15)

kde f (η, ηm ) je sdruˇzen´ a PDF Y a Ym . 9.4.6 Pouˇzit´ım pravidla n´ asoben´ı (souˇcinu) z teorie pravdˇepodobnosti lze sdruˇzenou hustotu f (η, ηm ) vyjádˇrit jako souˇcin (faktorizovat) dvˇema zp˚ usoby podle f (η, ηm ) = g0 (η) h (ηm |η)

(16a)

f (η, ηm ) = h0 (ηm ) g (η|ηm ) .

(16b)

a

9.4.7 Ty dvˇe PDF na pravé stranˇe v´ yrazu (16a) jsou hustoty pravdˇepodobnosti popsané v odstavci 9.2. Jsou-li d´ any tvary tˇechto PDF, ty dvˇe hustoty pravdˇepodobnosti na pravé stranˇe v´ yrazu (16b) lze vypoˇc´ıtat, je-li to poˇzadov´ ano. Takov´ y v´ ypoˇcet je ilustrov´ an v Pˇr´ıloze A (viz odstavce A.4.3 a A.4.4).

9.5 9.5.1

V´ ypoˇ cet glob´ aln´ıch rizik Historick´ y kontext

9.5.1.1 V n´ asleduj´ıc´ıch odstavc´ıch jsou odvozeny vzorce pro v´ ypoˇcet globáln´ıch rizik nesprávn´ ych rozhodnut´ı. Takové v´ ypoˇcty byly tradiˇcnˇe prov´ adˇeny pouˇzit´ım namˇeˇren´ ych frekvenˇcn´ıch rozdˇelen´ı r˚ uzn´ ych v´ ysledk˚ u po zmˇeˇren´ı velkého vzorku nomin´ alnˇe identick´ ych pˇredmˇet˚ u. V rámci tohoto pˇr´ıstupu je globáln´ı riziko spotˇrebitele je rovno pod´ılu pˇredmˇet˚ u ve zmˇeˇreném vzorku, které byly pˇrijaty k pouˇz´ıván´ı, ale nevyhovuj´ı stanovenému poˇzadavku. Takov´ a neshoda u daného pˇredmˇetu mus´ı b´ yt po zjiˇstˇen´ı tohoto faktu prokázána zvláˇstn´ım mˇeˇren´ım s nejistotou mnohem menˇs´ı neˇz mˇel mˇeˇric´ı systém pouˇzit´ y k prokazov´ an´ı shody. 9.5.1.2 Glob´ aln´ı rizika uveden´ a n´ıˇze se poˇc´ıtaj´ı sp´ıˇs s vyuˇzit´ım rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti neˇz frekvenˇcn´ıch rozdˇelen´ı, takˇze nen´ı nutné uvaˇzovat urˇcit´ y soubor zmˇeˇren´ ych pˇredmˇet˚ u, kter´ y ve skuteˇcnosti nemus´ı ani existovat. Numericky budou vypoˇctené pravdˇepodobnosti vˇzdy souhlasit s namˇeˇren´ ymi frekvencemi v´ yskytu. Meze pˇrijet´ı tak mohou b´ yt vybr´ any tak, aby v pr˚ umˇeru poskytly pˇrijateln´ y pod´ıl chybnˇe pˇrijat´ ych ˇci odm´ıtnut´ ych pˇredmˇet˚ u pˇri posuzov´ an´ı shody pˇredmˇet˚ u ve vzorku. 9.5.2

Obecn´ e vzorce

9.5.2.1 Jsou-li d´ any sdruˇzen´ a PDF (16a) a obˇe hustoty pravdˇepodobnosti g0 (η) a h (ηm |η), lze vypoˇc´ıtat pravdˇepodobnosti kaˇzdého ze ˇctyˇr moˇzn´ ych v´ ystup˚ u popsan´ ych v´ yˇse (viz odstavec 9.3). Tˇemito pravdˇepodobnostmi

26


JCGM 106:2014

jsou jednoduˇse obsahy ploch pod sdruˇzenou hustotou pravdˇepodobnosti f (η, ηm ), integrované pˇres tyto ˇctyˇri oblasti, které popisuj´ı vˇsechny moˇzné v´ ystupy. 9.5.2.2 —

Zvl´ aˇstn´ı v´ yznam maj´ı glob´ aln´ı riziko spotˇrebitele a globáln´ı riziko v´ yrobce poˇc´ıtané následuj´ıc´ım zp˚ usobem:

Pro namˇeˇrenou hodnotu v intervalu pˇrijet´ı a hodnotu Y mimo toleranˇcn´ı interval je globáln´ı riziko spotˇrebitele rovno w w RC = g0 (η) h (ηm |η) dηm dη. (17) e C

—

A

Pro namˇeˇrenou hodnotu mimo interval pˇrijet´ı a hodnotu Y uvnitˇr toleranˇcn´ıho intervalu je globáln´ı riziko v´ yrobce rovno w w RP = g (η) h (ηm |η) dηm dη. (18) e 0 C

A

9.5.2.3 V´ yrazy (17) a (18) jsou obecn´ ymi vzorci pro v´ ypoˇcet globáln´ıch rizik spotˇrebitele a v´ yrobce. V z´ avislosti na daném tvaru PDF g0 (η) a h (ηm |η)se m˚ uˇze ukázat jako nutné provést explicitn´ı vyhodnocen´ı RC a RP ˇc´ıslicovˇe. 9.5.3 9.5.3.1

Speci´ aln´ı pˇ r´ıpad: Bin´ arn´ı rozhodovac´ı pravidlo Speci´ alnˇe pro bin´ arn´ı posuzov´ an´ı shody ilustrované na obrázku 12 maj´ı vzorce (17) a (18) tvar w w ∞ w AU TL RC = + g0 (η) h (ηm |η) dηm dη, −∞

a RP =

w

AL

−∞

TU

+

AL

w ∞ w TU AU

TL

g0 (η) h (ηm |η) dη dηm .

(19)

(20)

9.5.3.2 Pouˇzit´ı v´ yraz˚ u (19) a (20) v pˇr´ıpadˇe, kdy je sdruˇzená PDF (15) produktem normáln´ıch rozdˇelen´ı, lze ilustrovat na n´ asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Vlastnosti normáln´ıch rozdˇelen´ı vˇcetnˇe konkrétn´ıch tvar˚ u v´ yraz˚ u (19) a (20) jsou diskutov´ any v Pˇr´ıloze A. ˇ ÍKLAD V´ PR yroba pˇ resn´ ych odpor˚ u Dodavatel elektronick´ ych souˇca ´stek vyr´ ab´ı vinuté pˇresné odpory o jmenovité rezistanci 1 500 Ω. Pro kaˇzd´ y odpor (pˇredmˇet) je stanoveno, ˇze rezistance Y (vlastnost, kter´ a n´ as zaj´ım´ a) m´ a leˇzet v toleranˇcn´ım intervalu definovaném mezemi TL = 1 499, 8 Ω a TU = 1 500, 2 Ω. Stroj vyr´ abˇej´ıc´ı takové odpory je vyhodnocov´ an tak, ˇze se mˇeˇr´ı vzorek jeho produkce pouˇzit´ım vysoce pˇresného ohmmetru se zanedbatelnou nejistotou mˇeˇren´ı. Histogram namˇeˇren´ ych hodnot se jev´ı jako norm´ alnˇe rozdˇelen´ y se stˇredem na jmenovité hodnotˇe se smˇerodatnou odchylkou σ = 0, 12 Ω. Na z´ akladˇe této informace pˇriˇrad´ıme modelu v´ yrobn´ıho procesu norm´ aln´ı PDF g0 (η) = ϕ η; y0 , u20 s y0 = 1 500 Ω a u0 = σ = 0, 12 Ω. U typického odporu vyrobeného t´ımto strojem je pravdˇepodobnost shody rovna w TU w 1 500,2 pc = g0 (η) dη = ϕ η; 1 500, 0, 122 dη ≈ 0, 90 = 90 %. TL

1 499,8

(21)

Pokud dodavatel prostˇe distribuuje kaˇzd´ y vyroben´ y odpor, tak ca 10 % z nich bude neshodn´ ych, coˇz lze z ekonomick´ ych d˚ uvod˚ u posoudit jako nepˇrijatelné. Koup´ı draˇzˇs´ıho v´ yrobn´ıho stroje lze variabilitu v´ yrobn´ıho procesu sn´ıˇzit. V tomto pˇr´ıpadˇe bylo uˇcinˇeno rozhodnut´ı, pˇri uv´ aˇzen´ı pˇr´ısluˇsn´ ych n´ aklad˚ u, zachovat existuj´ıc´ı stroj a implementovat inspekˇcn´ı proces pro detekci a odstranˇen´ı neshodn´ ych odpor˚ u. Ve v´ yrobˇe jsou odpory kontrolov´ aln´ı any na shodu se specifikac´ı pouˇzit´ım kalibrovaného vysokorychlostn´ıho ohmmetru. Norm´ PDF h (ηm |η) = ϕ ηm ; η, u2m a um = 0, 04 Ω, je tomuto procesu pˇriˇrazena pro podchycen´ı a zprostˇredkov´ an´ı v´ıry v takov´ y interval namˇeˇren´ ych hodnot, kter´ y by byl pozorov´ an pˇri mˇeˇren´ı zn´ amé rezistance Y = η. Toto pˇriˇrazen´ı je zaloˇzeno na modelu mˇeˇric´ıho systému a na vyhodnocen´ı nejistoty mˇeˇren´ı vˇcetnˇe nejistoty spojené s kalibrac´ı ohmmetru. S c´ılem sn´ıˇzit pravdˇepodobnost dod´ avky odpor˚ u, které nevyhovuj´ı specifikaci (riziko spotˇrebitele - odbˇeratele), zvol´ıme meze pˇrijet´ı AL = 1 499, 82 Ω, AU = 1 500, 18 Ω tak, aby leˇzely uvnitˇr toleranˇcn´ıho intervalu(viz Obr´ azek12, strana 24), ˇc´ımˇz vytvoˇr´ıme interval chr´ anˇenného pˇrijet´ı se symetrick´ ymi ochrann´ ymi p´ asy délky w = (1 500, −1 500.18) Ω = 0, 02 Ω = 0, 25U. © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

27

JCGM 106:2014

Rizika spotˇrebitele a v´ yrobce pak vypoˇcteme z v´ yraz˚ u (A.15)–(A.17) s √ ϕ0 (z) = (1/ 2π) exp (−z 2 /2) a F (z) = Φ

AU − y0 − u0 z um

−Φ

AL − y0 − u0 z um

= Φ(4, 5 − 3z) − Φ(−4, 5 − 3z).

Numerickou integrac´ı dostaneme

RC =

w −1,667 −∞

F (z)ϕ0 (z) dz +

and RP =

w 1,667

−1,667

w∞

1,667

F (z)ϕ0 (z) dz = 0, 01 = 1 %,

[1 − F (z)]ϕ0 (z) dz = 0, 07 = 7 %.

Zaj´ımavé rysy tohoto postupu posuzov´ an´ı shody m˚ uˇzeme zaznamenat, budeme-li uvaˇzovat pr˚ umˇern´ y vzorek 100 odpor˚ u vyroben´ ych dan´ ym strojem, zmˇeˇren´ y a pˇrijat´ y nebo odm´ıtnut´ y jako vhodn´ y pro zam´ yˇslené pouˇzit´ı: —

pˇri dan´ ych vlastnostech v´ yrobn´ıho procesu 90 odpor˚ u vyhovuje specifikaci a 10 nevyhovuje (viz v´ yraz (21));

—

z tˇech 90 vyhovuj´ıc´ıch odpor˚ u je 83 pˇrijato a 7 chybnˇe odm´ıtnuto jako nevyhovuj´ıc´ı;

—

z tˇech 10 nevyhovuj´ıc´ıch odpor˚ u je 9 odm´ıtnuto a jeden chybnˇe pˇrijat jako vyhovuj´ıc´ı;

—

84 z tˇechto odpor˚ u je pˇrijato; z nich 83/84 ≈ 99 % vyhovuje, s ca 1 % mimo toleranci. To bylo c´ılem inspekˇcn´ıho mˇeˇren´ı, sn´ıˇzit mezi tˇemi pˇrijat´ ymi pro dané pouˇzit´ı pod´ıl nevyhovuj´ıc´ıch odpor˚ u z 10 % na 1 %;

—

ze 16 odpor˚ u, které byly odm´ıtnuty, 7/16 ≈ 44 % ve skuteˇcnosti vyhovuje specifikaci. To je vˇsak cena, kterou mus´ıme zaplatit za to, ˇze sn´ıˇz´ıme riziko pˇrijet´ı nevyhovuj´ıc´ıch v´ yrobk˚ u.

9.5.4

Nastaven´ı mez´ı pˇ rijet´ı

9.5.4.1 Ve v´ yˇse uvedeném pˇr´ıkladu byla glob´ aln´ı rizika RC a RP vypoˇctena pˇri znám´ ych mez´ıch pˇrijet´ı AL a AU . Ve vˇetˇsinˇe re´ aln´ ych aplikac´ı je poˇzadovan´ au ´roveˇ n rizika vybrána na základˇe anal´ yzy náklad˚ u a meze pˇrijet´ı jsou vypoˇcteny tak, aby bylo zajiˇstˇeno, ˇze bude dosaˇzena poˇzadovaná u ´roveˇ n rizika. Takové v´ ypoˇcty vˇsak nejsou jednoduché. Praktick´ y pˇr´ıstup k takov´ ym problém˚ um spoˇc´ıv´ a v grafickém ˇreˇsen´ı tak, jak je to ilustrováno na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladu. ˇ ÍKLAD V´ PR yroba kuliˇ ckov´ ych loˇ zisek Urˇcit´ y v´ yrobce vyr´ ab´ı velk´ y poˇcet kuliˇckov´ ych loˇzisek. Specifikace v´ ykonnosti tˇechto loˇzisek (pˇredmˇety) poˇzaduje, aby u kaˇzdého z nich byl parametr zvan´ y radi´ aln´ı h´ azen´ı (vlastnost, kter´ a n´ as zaj´ım´ a) menˇs´ı neˇz 2 µm. Radi´ aln´ı h´ azen´ı loˇziska pˇredstavuje neˇza ´douc´ı pohyb kolm´ y na osu rotace. U dokonalého loˇziska by bylo radi´ aln´ı h´ azen´ı nulové; kaˇzdé re´ alné loˇzisko vˇsak m´ a urˇcité kladné radi´ aln´ı h´ azen´ı. Za u ´ˇcelem charakterizace v´ yrobn´ıho procesu bylo zmˇeˇreno radi´ aln´ı h´ azen´ı velkého vzorku loˇzisek pouˇzit´ım vysoce pˇresného zkuˇsebn´ıho zaˇr´ızen´ı se zanedbatelnou nejistotou mˇeˇren´ı. U tohoto vzorku bylo pr˚ umˇerné pozorované radi´ aln´ı h´ azen´ı rovno y = 1 µm s pˇr´ısluˇsnou v´ ybˇerovou smˇerodatnou odchylkou s = 0, 5 µm. Pˇred expedic´ı jsou loˇziska testov´ ana na shodu se specifikac´ı. Pˇri tˇechto zkouˇsk´ ach je radi´ aln´ı h´ azen´ ı mˇeˇreno pouˇzit´ım kalibrovaného zkuˇsebn´ıho zaˇr´ızen´ı. Mˇeˇric´ı systém necht’ je charakterizov´ an norm´ aln´ı PDF ϕ ηm ; η, u2m se standardn´ı nejistotou um = 0, 25 µm. Z ekonomick´ ych d˚ uvod˚ u mus´ı b´ yt pod´ıl nevyhovuj´ıc´ıch loˇzisek prodan´ ych z´ akazn´ık˚ um jako vyhovuj´ıc´ı (glob´ aln´ı riziko spotˇrebitele) udrˇzov´ an na u ´rovni 0,1 % nebo menˇs´ı. Jak zvolit mez pˇrijet´ı A tak, abychom vyhovˇeli tomuto poˇzadavku?

28


JCGM 106:2014

toleranční interval

ochranné pásmo

w= rU = 2rum

interval přijetí

A

0

؈

T

Obr´ azek 13 – Toleranˇ cn´ı intervaly a intervaly pˇ rijet´ı pro posuzov´ an´ı shody kuliˇ ckov´ ych loˇ zisek. Dovolen´ e hodnoty radi´ aln´ıho h´ azen´ı Y leˇ z´ı v intervalu 0 ≤ η ≤ T . Mez pˇ rijet´ı A je oddˇ elena od toleranˇ cn´ı meze T ochrann´ ym p´ asmem s rozmˇ erov´ ym parametrem w = rU = 2rum . Rozhodovac´ım pravidlem je v tomto pˇ r´ıpadˇ e chr´ anˇ en´ e pˇ rijet´ı s w > 0.

Tento problém posuzov´ an´ı shody je ilustrov´ an na Obr´ azku 13. Vyhovuj´ıc´ı kuliˇckové loˇzisko m´ a m´ıt podle specifikace radi´ aln´ı h´ azen´ı Y v intervalu 0 ≤ η ≤ T . Protoˇze radi´ aln´ı h´ azen´ı je vˇzdy kladné s namˇeˇren´ ymi hodnotami v bl´ızkosti nuly, budeme apriorn´ı PDF pro radi´ aln´ı h´ azen´ı Y modelovat hustotou pravdˇepodobnosti rozdˇelen´ı gamma (viz Pˇr´ıloha B, odstavec B.3). Na z´ akladˇe zmˇeˇren´ı vzorku (v´ ybˇeru) pˇriˇrad´ıme oˇcek´ avané hodnotˇe a standardn´ı nejistotˇe apriorn´ı PDF hodnoty y0 = y = 1 µm a u0 = s = 0, 5 µm. Pouˇzit´ım v´ yraz˚ u (B.14) vypoˇcteme parametry α and λ: α=

12 = 4, (0, 5)2

λ=

1 = 4. (0, 5)2

Z definice (B.11) hustoty pravdˇepodobnosti gamma je pak apriorn´ı PDF pro radi´ aln´ı h´ azen´ı loˇziska Y rovna g0 (η) = gamma (η; 4, 4) =

128 3 −4η η e , 3

η ≥ 0.

(22)

1.00

Hustota pravděpodobnosti/ µm

-1

y0 = y =1 μm 0.75

0.50

toleranční mez

2 μm

0.25

pravděpodobnost 4,2 % 0.00 0

1

2

Radiální házení

3

4

5

؈/ μ

Obr´ azek 14 – Apriorn´ı PDF rozdˇ elen´ı gamma dan´ a v´ yrazem (22) pˇ riˇ razen´ a na z´ akladˇ e frekvenˇ cn´ıho rozdˇ elen´ı namˇ eˇ ren´ ych radi´ aln´ıch chybov´ ych pohyb˚ u na vzorku kuliˇ ckov´ ych loˇ zisek. Toleranˇ cn´ı interval tvoˇ r´ı oblast 0 ≤ η ≤ 2 µm. Oˇ cek´ avanou hodnotou rozdˇ elen´ı je apriorn´ı odhad y0 = 1 µm s pˇ r´ısluˇ snou standardn´ı nejistotou u0 = 0.5 µm. Protoˇ ze dan´ e rozdˇ elen´ı nen´ı symetrick´ e, nen´ı nejpravdˇ epodobnˇ ejˇ s´ı hodnota Y (modus rozdˇ elen´ı, zde rovn´ y 0.75 µm) rovna y0 .

Tato PDF je zn´ azornˇena na Obr´ azku 14. Pravdˇepodobnost, ˇze z v´ yrobn´ıho procesu n´ ahodnˇe vybrané kuliˇckové loˇzisko bude vykazovat radi´ aln´ı h´ azen´ı vyˇsˇs´ı neˇz 2 µm je zn´ azornˇena vyˇsrafovanou oblast´ı. Tato pravdˇepodobnost neshody je w∞ pc = gamma (η; 4, 4) dη = 0.042, 2

coˇz znamen´ a, ˇze kdyby vˇsechna vyroben´ a kuliˇckov´ a loˇziska byla expedov´ ana bez mˇeˇren´ı, ca 4,2 % z nich by bylo neshodn´ ych. Mˇeˇric´ı systém pro kontrolu v´ yroby je navrˇzen tak, aby byl schopen detekovat neshodn´ a loˇziska tak, aby nebyla expedov´ ana. © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

29

JCGM 106:2014

Hled´ ame mez pˇrijet´ı tak, aby se riziko spotˇrebitele RC sn´ıˇzilo na 0,1 % nebo menˇs´ı. Pro rozhodovac´ı pravidlo posuzov´ an´ı shody zn´ azornˇené na Obr. 13 odpov´ıd´ a toleranˇcn´ı interval 0 ≤ Y ≤ T a interval pˇrijet´ı 0 ≤ Ym ≤ A. Zp˚ usobem analogick´ ym ke krok˚ um vedouc´ım k v´ yraz˚ um (19) a (20) vyhodnot´ıme glob´ aln´ı rizika spotˇrebitele a v´ yrobce takto w∞wA wT w∞ RC = g0 (η) h (ηm |η) dηm dη, RP = g0 (η) h (ηm |η) dηm dη. T

0

0

A

Kdyˇz u mˇeˇric´ıho systému charakterizovaného norm´ aln´ı PDF h (ηm |η) = ϕ ηm ; η, u2m provedeme z = (ηm − η)/um , dz = dηm /um , a provedeme integrace pˇres z, dostaneme z tˇechto v´ yraz˚ u w ∞ A − η wT η A−η RC = Φ −Φ − g0 (η) dη, RP = g0 (η) dη. 1−Φ T 0 um um um

substituce

Z Obr´ azku 13 lze vidˇet, ˇze A = T − 2rum . Zde T = 2 µm a um = 0, 25 µm. Kdyˇz pak poloˇz´ıme g0 (η) rovné gamma PDF v´ yrazu (22), dostaneme explicitn´ı v´ ysledky 128 w ∞ [Φ (8 − 2r − 4η) − Φ(−4η)] η 3 e−4η dη, (23) RC (r) = 3 2 RP (r) =

128 w 2 [1 − Φ (8 − 2r − 4η)] η 3 e−4η dη. 3 0

(24)

1

/

6 RC % Riziko6spotřebitele

10

0.1

0.01

r≈

-1.0

-0.5

0.0

0.65 0.5

1.0

Násobitel6ochranného6pásma r/jednotka

Obr´ azek 15 – Glob´ aln´ı riziko spotˇ rebitele RC versus n´ asobitel ochrann´ eho p´ asma r. Pro r ≈ 0, 65, je mez pˇ rijet´ı A = T − 2(0.65)um = 1.7 µm, a poˇ zadovan´ e riziko RC = 0.1 % je tak dosaˇ zeno.

Tyto integr´ aly nelze vyhodnotit v uzavˇreném tvaru (analyticky), ale lze je pro jakoukoliv vybranou hodnotu n´ asobitele r ochranného p´ asma vypoˇc´ıtat numericky. Obr´ azek 15 zn´ azorˇ nuje glob´ aln´ı riziko spotˇrebitele RC pro −1 ≤ r ≤ 1. Kladné r odpov´ıd´ a A < T (chr´ anˇené pˇrijet´ı) a z´ aporné r odpov´ıd´ a A > T. Pˇri r = 0 ˇza ´dné ochranné p´ asmo neexistuje (A = T ), jde o rozhodovac´ı pravidlo zvané sd´ılené riziko neboli jednoduché pˇr´ıjet´ı (viz odstavec 8.2). Obr´ azek ukazuje, ˇze poˇzadovan´ a u ´roveˇ n rizika, RC = 0.1 %, se dos´ ahne pˇri n´ asobiteli ochranného p´ asma r ≈ 0, 65. To m´ a za n´ asledek interval chr´ anˇeného pˇrijet´ı s mez´ı pˇrijet´ı A = T − 2rum = (2 − 2 × 0, 65 × 0, 25) µm ≈ 1, 7 µm. V´ ybˇer meze pˇrijet´ı ˇreˇs´ı dan´ y problém rozhodov´ an´ı. Pˇri posuzov´ an´ı shody s bin´ arn´ım rozhodovac´ım pravidlem kaˇzd´ a akce s c´ılem sn´ıˇzit riziko spotˇrebitele vˇzdy zv´ yˇs´ı riziko v´ yrobce. Toto obecné pravidlo je pˇeknˇe ilustrov´ ano Obr´ azkem 16, kter´ y zn´ azorˇ nuje vztah RP versus RC vypoˇcten´ y numericky ze vzorce (23) a (24) pro pˇr´ıpad kuliˇckov´ ych loˇzisek. Pro r = 0, 65 je glob´ aln´ı riziko v´ yrobce RP ca 7,5 %. To znamen´ a, ˇze ca 75 z kaˇzdého 1000 kuliˇckov´ ych loˇzisek, které neprojdou kontrolou, ve skuteˇcnosti vyhovuje specifikaci, coˇz m´ a za n´ asledek ztr´ atu pˇr´ıjm˚ u, které by byly z´ısk´ any, kdyby byla ta dobr´ a loˇziska prod´ ana.

30


JCGM 106:2014

Vytv´ aˇren´ı zvyˇsuj´ıc´ıho se mnoˇzstv´ı odpadu je cenou za chr´ anˇené pˇrijet´ı, jej´ımˇz c´ılem je sn´ıˇzit pˇrijet´ı a expedici nevyhovuj´ıc´ıch v´ yrobk˚ u. V praxi mus´ı dodavatel zvolit urˇcit´ y operaˇcn´ı bod na podobné kˇrivce, kter´ a je zn´ azornˇena na Obr´ azku 16, kter´ y vyv´ aˇz´ı tato rizika a poskytne optim´ aln´ı v´ ystup. V´ ybˇer takového operaˇcn´ıho bodu je obchodn´ı nebo politické rozhodnut´ı, které vyˇzaduje ekonomickou anal´ yzu tohoto problému rozhodov´ an´ı.

15

Riziko výrobceí RP/%

r = +1

10

r = +0.65: pracovní bod pro příkladaoakulič.ložisku

r = +0.5

5

r =0 r = −0.5 0

0

1

2

r = −1 3

Riziko a spotřebitele R C/% Obr´ azek 16 – Glob´ aln´ı rizika RP versus RC pro pˇ r´ıklad kuliˇ ckov´ ych loˇ zisek. Kaˇ zd´ y bod na t´ eto kˇ rivce odpov´ıd´ a urˇ cit´ e hodnotˇ e r, n´ asobiteli ochrann´ eho p´ asma, s uveden´ım nˇ ekolika konkr´ etn´ıch hodnot. Snaha sn´ıˇ zit riziko spotˇ rebitele posunut´ım meze pˇ rijet´ı d´ ale dovnitˇ r toleranˇ cn´ıho intervalu (zv´ yˇ sen´ım r) vˇ zdy zvyˇ suje riziko chybn´ eho odm´ıtnut´ı vyhovuj´ıc´ıch loˇ zisek. Pro zvolen´ı optim´ aln´ıho rozhodovac´ıho pravidla je tˇ reba prov´ est ekonomickou anal´ yzu. Otevˇ ren´ y krouˇ zek znaˇ c´ı operaˇ cn´ı bod v dan´ em pˇ r´ıkladu.

9.5.5

Obecn´ y grafick´ y pˇ r´ıstup

9.5.5.1 U v´ yrobn´ıho procesu s danou toleranc´ı T , danou normáln´ı apriorn´ı PDF g0 (η) = ϕ η; y0 , u20 a mˇeˇric´ım systémem s danou norm´ aln´ı PDF h (ηm |η) = ϕ ηm ; η, u2m lze jako pom˚ ucku pro nastaven´ı mez´ı pˇrijet´ı vytvoˇrit podobn´ y graf jako na Obr´ azku 17. 9.5.5.2 V tomto pˇr´ıkladu se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze apriorn´ı informace je chudá v tom smyslu, ˇze u2m u20 , takˇze odhad y ≈ ηm s pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotou u ≈ um (viz odstavec A.4.4.3). 9.5.5.3

Obr´ azek zn´ azorˇ nuje RP versus RC pro zvláˇstn´ı pˇr´ıpad, kdy u0 = T /6.

9.5.5.4 Tˇech 5 kˇrivek na obr´ azku odpov´ıdá hodnotám indexu zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı Cm = T /(4um ) v rozsahu od 2 do 10 a plné body podél kaˇzdé kˇrivky lokalizuj´ı ochranná pásma s r˚ uzn´ ymi rozmˇerov´ ymi parametry od w = −U do w = U s rozˇs´ıˇrenou nejistotou U rovnou 2u. 9.5.5.5

K pouˇzit´ı tohoto konkrétn´ıho grafu je nutné poznamenat, ˇze

—

o v´ yrobn´ım procesu se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze je centrovan´ y, takˇze apriorn´ı odhad y0 mˇeˇrené veliˇciny leˇz´ı ve stˇredu toleranˇcn´ıho intervalu;

—

o rozmˇerov´ ych parametrech horn´ıho a spodn´ıho ochranného pásma se pˇredpokládá, ˇze jsou si rovny v absolutn´ı hodnotˇe (symetrick´ y interval pˇrijet´ı);

—

RP a RC jsou vypoˇctena za pˇredpokladu, ˇze PDF v´ yrobn´ıho procesu a mˇeˇric´ıho systému maj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı;


31

JCGM 106:2014

—

pro mˇeˇric´ı schopnosti jiné neˇz tˇech 5 uveden´ ych hodnot je moˇzné provést interpolaci;

—

je téˇz moˇzné interpolovat podél tˇechto kˇrivek pro z´ıskán´ı odhadu ochrann´ ych pásem.

w =U Cm=C2

w = 0,5U 10

Cm=C4 Cm=C6

w = 0,25U

Cm=C8

Riziko výrobce RP/%

w=0

Cm=10

w = - 0,25U

1

w = - 0,5U 0.1

w = - 0,75U w=-U

0.01

1E-3 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Riziko spotřebitele RC/%

Obr´ azek 17 – Glob´ aln´ı rizika RP versus RC pro bin´ arn´ı posuzov´ an´ı shody s apriorn´ı standardn´ı nejistotou u0 = T /6. Pˇ et uveden´ ych kˇ rivek odpov´ıd´ a hodnot´ am indexu zp˚ usobilosti mˇ eˇ ren´ı Cm = T /(4um ) v intervalu od 2 do 10. Pln´ e body lokalizuj´ı ochrann´ a p´ asma s rozmˇ erov´ ymi parametry od w = −U do w = U s U = 2u. Kladn´ e hodnoty w odpov´ıdaj´ı chr´ anˇ en´ emu pˇ rijet´ı s mezemi pˇ rijet´ı uvnitˇ r toleranˇ cn´ıch mez´ı tak, jako na Obr´ azku 12 na stranˇ e 24.

9.5.6

Hodnota sn´ıˇ zen´ e nejistoty mˇ eˇ ren´ı

9.5.6.1 Sn´ıˇzen´ı nejistoty spojené s v´ ysledkem mˇeˇren´ı pro posuzován´ı shody sn´ıˇz´ı téˇz pravdˇepodobnost proveden´ı nespr´ avného rozhodnut´ı pˇrijmout/odm´ıtnout. Tato skuteˇcnost je dobˇre ilustrována na Obr. 17 teˇckovan´ ymi ˇcarami, které vyznaˇcuj´ı um´ıstˇen´ı r˚ uzn´ ych ochrann´ ych p´ asem. 9.5.6.2 U rozhodovac´ıho pravidla jednoduchého pˇrijet´ı (w = 0) lze vidˇet, ˇze, napˇr´ıklad, kdyby nejistota mˇeˇren´ı byla takov´ a, ˇze Cm = T /(4um ) = 2, pak by riziko spotˇrebitele bylo RC ≈ 0, 1 % a odpov´ıdaj´ıc´ı riziko v´ yrobce by bylo RP ≈ 1, 5 %. 9.5.6.3 Investice do zlepˇsen´ı mˇeˇric´ıho systému s Cm = 10 by sn´ıˇzilo tato rizika na RC ≈ 0, 04 % a resp. RP ≈ 0, 07 %. Zda takové sn´ıˇzen´ı nejistoty mˇeˇren´ı je ekonomicky ˇzádouc´ı, závis´ı na pomˇeru mezi náklady na lepˇs´ı metrologii a finanˇcn´ımi u ´sporami z menˇs´ıho poˇctu rozhodovac´ıch omyl˚ u. 9.5.6.4 Zlepˇsen´ı v´ yrobn´ıho procesu (sn´ıˇzen´ı apriorn´ı standardn´ı nejistoty u0 ) bude m´ıt podobn´ y efekt sn´ıˇzen´ı rizik jak spotˇrebitele, tak v´ yrobce a bude zahrnovat obdobnou u ´vahu o pomˇeru náklady/v´ ynosy.

32


JCGM 106:2014

Pˇ r´ıloha A (informativn´ı) Norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı

A.1

Norm´ aln´ı funkce hustoty pravdˇ epodobnosti

A.1.1 Pˇredpokl´ adejme, ˇze bylo provedeno mˇeˇren´ı veliˇciny Y , která je pˇredmˇetem naˇseho zájmu, jehoˇz v´ ysledkem je nejlepˇs´ı odhad y a odpov´ıdaj´ıc´ı standardn´ı nejistota u(y) = u. V mnoha pˇr´ıpadech je rozptyl pravdˇepodobn´ ych hodnot η veliˇciny Y kolem odhadu y, pˇri namˇeˇrené hodnotˇe ηm , velmi dobˇre charakterizována hustotou pravdˇepodobnosti norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı (PDF) danou takto " 2 # 1 η−y 1 g (η|ηm ) = √ exp − =: ϕ(η; y, u2 ), (A.1) 2 u u 2π kde y = y(ηm ). V mnoha mˇeˇren´ıch charakteru posuzován´ı shody je y ≈ ηm , ale nen´ı tomu tak vˇzdy; viz odstavec A.4.4.

A.2

Integr´ aly norm´ aln´ıch PDF

A.2.1 Pˇri v´ ypoˇctu pravdˇepodobnost´ı pokryt´ı, pravdˇepodobnost´ı shody a/nebo rizik spotˇrebitele a v´ yrobce je tˇreba ˇcasto vyhodnotit integr´ aly norm´ aln´ıch PDF v koneˇcn´ ych ˇci polo-nekoneˇcn´ ych mez´ıch. Takové integrály vˇsak nelze vyhodnotit (vyˇc´ıslit) analyticky a jsou tedy vyhodnocovány numericky a tabelovány. V zájmu zjednoduˇsen´ı znaˇcen´ı je vhodné zavést standardizovanou norm´ aln´ı PDF, ϕ0 (t), definovanou takto 1 ϕ0 (t) = √ exp(−t2 /2) = ϕ(t; 0, 1). 2π A.2.2 (a)

(b)

(A.2)

Existuj´ı 2 obvyklé zp˚ usoby, kter´ ymi jsou integrály normáln´ıch PDF vyjadˇrovány:

standardizovan´ a norm´ aln´ı rozdˇelovac´ı funkce, Φ(t), definovaná jako wz 1 wz Φ(z) = √ exp(−t2 /2) dt = ϕ0 (t) dt, −∞ 2π −∞ a

(A.3)

chybov´ a funkce, erf(z), definovan´ a jako 2 wz erf(z) = √ exp(−t2 ) dt. π 0

Mezi tˇemito funkcemi je jednoduch´ y vztah; z definic´ı (A.3) a (A.4) m˚ uˇzeme vidˇet, ˇze h √ i 1 Φ(z) = 1 + erf(z/ 2) . 2

(A.4)

(A.5)

A.2.3 Uvaˇzujme pravdˇepodobnost, ˇze Y leˇz´ı v intervalu a ≤ Y ≤ b pˇri namˇeˇrené hodnotˇe ηm . Pro norm´ aln´ı PDF v´ yrazu (A.1) je tato pravdˇepodobnost d´ ana takto " 2 # 1 wb 1 η−y Pr(a ≤ Y ≤ b|ηm ) = √ exp − dη. 2 u u 2π a Poloˇz´ıme-li z = (η − y)/u a dz = dη/u, nabude tento v´ yraz tvaru w (b−y)/u b−y a−y ϕ0 (z)dz = Φ Pr(a ≤ Y ≤ b|ηm ) = −Φ , (a−y)/u u u

(A.6)

pouˇzit´ım v´ yraz˚ u (A.2) a (A.3). © JCGM 2014— Vˇsechna pr´ ava vyhrazena

33

JCGM 106:2014

A.3

Pravdˇ epodobnosti pokryt´ı pro norm´ aln´ı PDF

A.3.1 V bˇeˇzném speci´ aln´ım pˇr´ıpadˇe body a a b definuj´ı interval pokryt´ı (nebo interval nejistoty) ˇs´ıˇrky 2U kolem odhadu y, kde U = ku je rozˇs´ıˇren´ a nejistota pro dan´ y faktor pokryt´ı k (viz odstavec 6.3.2). Pak a = y − ku, b = y + ku a v´ yraz (A.6) nabude tvaru √ Pr(|Y − y| ≤ ku|ηm ) = Φ(k) − Φ(−k) = erf(k/ 2) = P (k). Pravdˇepodobnosti pokryt´ı (nebo u ´rovnˇe spolehlivosti) pro k = 1, 2, a 3 pak jsou: √ P (1) = Φ(1) − Φ(−1) = erf(1/ 2) = 0, 683 = 68, 3 %, √ P (2) = Φ(2) − Φ(−2) = erf(2/ 2) = 0, 955 = 95, 5 %, √ P (3) = Φ(3) − Φ(−3) = erf(3/ 2) = 0, 997 = 99, 7 %.

A.4 A.4.1

Norm´ aln´ı proces a hustoty pravdˇ epodobnosti mˇ eˇ ren´ı Apriorn´ı PDF g0 (η) pro mˇ eˇ renou veliˇ cinu Y

A.4.1.1 Pˇred proveden´ım mˇeˇren´ı je znalost mˇeˇrené veliˇciny Y ˇcasto dobˇre charakterizována normáln´ı apriorn´ı PDF. Oznaˇc´ıme-li nejlepˇs´ı odhad jako y0 a pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotu jako u0 , je apriorn´ı PDF dána vztahem g0 (η) = ϕ

η; y0 , u20

=

u0

1 √

"

1 exp − 2 2π

η − y0 u0

2 #

r =

h w i w0 0 2 exp − (η − y0 ) . 2π 2

(A.7)

V posledn´ım v´ yrazu byla zavedena v´ aha w0 = 1/u20 pro zjednoduˇsen´ı následuj´ıc´ıho v´ ykladu.

A.4.2

PDF h (ηm |η) pro Ym , je-li d´ ana hodnota Y = η

A.4.2.1 Pˇredpokl´ adejme, ˇze mˇeˇric´ı systém pouˇzit´ y pro posouzen´ı shody je charakterizován, pˇres vˇerohodnostn´ı funkci, norm´ aln´ı PDF. Je-li takov´ y systém pouˇzit k mˇeˇren´ı vlastnosti, která nás zaj´ımá, s pˇredpokládanou hodnotou Y = η je pak PDF vyjadˇruj´ıc´ı v´ıru v moˇzné hodnoty Ym dána takto h (ηm |η) = ϕ

ηm ; η, u2m

=

um

1 √

"

1 exp − 2 2π

ηm − η um

2 #

r =

h w i wm m 2 exp − (ηm − η) , 2π 2

(A.8)

kde wm = 1/u2m . A.4.2.2 Norm´ aln´ı PDF v´ yrazu (A.8) rozumnˇe charakterizuje mˇeˇren´ı analyzované pouˇzit´ım postupu popsaného v GUM v tom pˇr´ıpadˇe, kdy existuj´ı podm´ınky pro platnost Centráln´ı limitn´ı vˇety. GUM nepˇredpokládá ˇz´ adnou apriorn´ı znalost mˇeˇrené veliˇciny, takˇze rozptyl hodnot, které lze rozumnˇe pˇriˇradit mˇeˇrené veliˇcinˇe na základˇe mˇeˇren´ı, je charakterizov´ an standardn´ı nejistotou um .

A.4.3

Margin´ aln´ı PDF h0 (ηm ) pro Ym

A.4.3.1 Je zaj´ımavé se pt´ at, a d˚ uleˇzité z praktick´ ych d˚ uvod˚ u znát, jakou namˇeˇrenou hodnotu ηm m˚ uˇzeme realizovat, jestliˇze byl pˇredmˇet n´ ahodnˇe vybr´ an z v´ yrobn´ıho procesu a vlastnost Y , která nás zaj´ımá, byla zmˇeˇrena. Pro proces charakterizovan´ y apriorn´ı PDF v´ yrazu (A.7) a mˇeˇric´ı systém charakterizovan´ y PDF v´ yrazu (A.8) lze poˇzadovanou

34


JCGM 106:2014

PDF vypoˇc´ıtat jako margin´ aln´ı hustotu pravdˇepodobnosti pouˇzit´ım v´ yrazu (16a) takto: h0 (ηm )

=

w∞

g0 (η) h (ηm |η) dη w0 wm w ∞ 1 2 2 w0 (η − y0 ) + wm (ηm − η) dη exp − −∞ 2π 2 r 1 w0 wm 1 w0 wm 2 √ exp − (ηm − y0 ) 2 w0 + wm 2π w0 + wm " 2 # 1 ηm − y0 1 √ exp − 2 uηm uηm 2π ϕ ηm ; y0 , u2ηm , −∞

√

= = = =

(A.9)

kde r uηm =

w0 + wm = w0 wm

q

u20 + u2m .

(A.10)

A.4.3.2 Je vidˇet, ˇze PDF h0 (ηm ) m´ a normáln´ı rozdˇelen´ı s oˇcekávanou hodnotou y0 a pˇr´ısluˇsnou standardn´ı nejistotou uηm danou v´ yrazem (A.10). A.4.3.3 Oˇcek´ avan´ a hodnota E(Ym ) = y0 plyne z pˇredpokladu, ˇze dan´ y mˇeˇric´ı systém byl korigován na vˇsechny zn´ amé v´ yznamné systematické vlivy a je tak prost´ y vych´ ylen´ı. A.4.3.4 Vid´ıme, ˇze standardn´ı nejistota uηm ve v´ yrazu (A.10) je souˇctem ˇctverc˚ u standardn´ıch nejistot spojen´ ych s PDF procesu a mˇeˇric´ıho systému. Tyto dva zdroje nejistoty (v´ yrobn´ı proces s rozptylem a nedokonal´ y mˇeˇric´ı systém) se ve sv´ ych vlivech na znalost moˇzn´ ych namˇeˇren´ ych hodnot vlastnosti, která nás zaj´ımá, pˇrirozen´ ym zp˚ usobem skl´ adaj´ı. M´ ame-li vysoce pˇresn´ y mˇeˇric´ı systém ve smyslu, ˇze um u0 , pak uηm ≈ u0 a nejistota kolem moˇzn´ ych namˇeˇren´ ych hodnot veliˇciny je témˇeˇr v´ yhradnˇe d´ ana ne´ upln´ ymi informacemi o v´ yrobn´ım procesu.

A.4.4

N´ asledn´ a PDF (po mˇ eˇ ren´ı) g (η|ηm ) pro Y

A.4.4.1 Poloˇz´ıme-li rovn´ ymi pravé strany v´ yraz˚ u (16a) a (16b) na stranˇe 26, dostaneme po u ´pravˇe PDF mˇeˇrené veliˇciny Y po proveden´ı mˇeˇren´ı, které poskytlo namˇeˇrenou hodnotu ηm : g (η|ηm ) =

g0 (η) h (ηm |η) . h0 (ηm )

(A.11)

Porovn´ an´ı s v´ yrazem (1) na stranˇe on page 11 ukazuje, ˇze tento v´ ysledek má tvar Bayesova teorému se jmenovatelem h0 (ηm ) dan´ ym v´ yrazem (A.9). Dosazen´ı normáln´ıch PDF v´ yraz˚ u (A.7)–(A.9) do v´ yrazu (A.11) dává " 2 # w0 + wm w0 y0 + wm ηm w0 + wm exp − η− g (η|ηm ) = 2π 2 w0 + wm " 2 # 1 1 η−y √ exp − = 2 u u 2π = ϕ η; y, u2 , r

(A.12)

kde y=

w0 y0 + wm ηm , w0 + wm

(A.13)

a u= √


1 =q w0 + wm

1 1 u20

+

1 u2m

u0 um . =p 2 u0 + u2m

(A.14)

35

JCGM 106:2014

A.4.4.2 Bayes˚ uv teorém vyjadˇruje vliv nové informace o mˇeˇrené veliˇcinˇe Y dodané namˇeˇrenou hodnotou ηm a s n´ı spojenou standardn´ı nejistotou um . Je vidˇet, ˇze následná hustota pravdˇepodobnosti (A.12) má tvar norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı, jehoˇz oˇcek´ avan´ a hodnota (nejlepˇs´ı odhad) y, v´ yraz (A.13), je váˇzen´ ym pr˚ umˇerem y0 a ηm s vahami rovn´ ymi reciproˇcn´ım hodnot´ am odpov´ıdaj´ıc´ıch, s nimi spojen´ ych rozptyl˚ u. A.4.4.3 Z v´ yrazu (A.14) je vidˇet, ˇze standardn´ı nejistota u spojená s odhadem y je vˇzdy menˇs´ı neˇz jak u0 tak um . Existuj´ı dva pˇr´ıpady zvl´ aˇstn´ıho z´ ajmu, se kter´ ymi se lze bˇeˇznˇe setkat v praxi. —

Je-li apriorn´ı znalost natolik chud´ a, ˇze nelze ani uˇcinit pokus pˇriˇradit explicitn´ı apriorn´ı PDF mˇeˇrené veliˇcinˇe Y , pak um u0 , takˇze wm w0 . Z v´ yrazu (A.14) pak plyne, ˇze y ≈ ηm ,

u ≈ um ,

a lze ˇr´ıci, ˇze veˇsker´ a odpov´ıdaj´ıc´ı znalost moˇzn´ ych hodnot Y je odvozena ze samotného mˇeˇren´ı. Taková mˇeˇren´ı jsou pˇredmˇetem GUM, kter´ y pˇredstavuje n´ avod pro vyhodnocen´ı um na základˇe vhodného modelu mˇeˇren´ı. —

Pˇri typické kalibraci je pouˇzit mˇeˇric´ı pˇr´ıstroj k mˇeˇren´ı referenˇcn´ıho etalonu, kter´ y nám poskytuje odhad y0 veliˇciny Y s malou odpov´ıdaj´ıc´ı nejistotou u0 . U takové kalibrace je systematická chyba mˇeˇric´ıho pˇr´ıstroje m´ alo zn´ ama a priori v tom smyslu, ˇze u0 um , neboli w0 wm . Následná PDF pro Y je pak taková, ˇze opˇet pouˇzit´ım v´ yrazu (A.14), y ≈ y0 , u ≈ u0 . ´ V souladu se zdrav´ ym rozumem nem˚ uˇze b´ yt znalost referenˇcn´ıho etalonu zmˇenˇena kalibraˇcn´ım mˇeˇren´ım. Udaj pˇr´ıstroje vˇsak poskytuje informaci o chybˇe indikace tohoto pˇr´ıstroje, coˇz je veliˇcina, o kterou se pˇri kalibraci zaj´ım´ ame.

A.5

V´ ypoˇ cty rizik s norm´ aln´ımi PDF a bin´ arn´ı rozhodovac´ı pravidlo

A.5.1 Obecné vzorce pro v´ ypoˇcet glob´ aln´ıch rizik spotˇrebitele a v´ yrobce byly odvozeny v odstavci 9.5 a zvl´ aˇstn´ı pˇr´ıpad posuzov´ an´ı shody s bin´ arn´ım rozhodovac´ım pravidlem byl pˇredmˇetem v´ ykladu v odstavci 9.5.3. Je zaj´ımavé odvodit v´ yrazy pro glob´ aln´ı rizika v bˇeˇzném pˇr´ıpadˇe binárn´ıho rozhodovac´ıho pravidla, jsou-li apriorn´ı znalosti o mˇeˇrené veliˇcinˇe a moˇzn´ ych v´ ystupech mˇeˇric´ıho systému v obou pˇr´ıpadech popsány normáln´ımi rozdˇelen´ımi. A.5.2 Za pˇredpokladu norm´ aln´ıch rozdˇelen´ı, v´ yrazy (A.7) a (A.8) pro PDF charakterizuj´ıc´ı v´ yrobn´ı proces a mˇeˇric´ı systém, je sdruˇzen´ a PDF f (η, ηm ), (v´ yraz (16a) na stranˇe 26), pro v´ ysledek mˇeˇren´ı rovna " ( 2 2 #) 1 η − y0 ηm − η 1 exp − + . f (η, ηm ) = g0 (η) h (ηm |η) = 2πu0 um 2 u0 um Poloˇz´ıme-li v = (ηm − η)/um , dv = dηm /um a z = (η − y0 )/u0 , dz = dη/u0 a dosazen´ım do v´ yraz˚ u (19) a (20) dostaneme po zjednoduˇsen´ı tyto vztahy pro glob´ aln´ı rizika spotˇrebitele a v´ yrobce: RC =

w

TL −y0 u0

−∞

a RP =

F (z)ϕ0 (z) dz + w

TU −y0 u0 TL −y0 u0

w∞

TU −y0 u0

F (z)ϕ0 (z) dz

(1 − F (z)) ϕ0 (z) dz.

(A.15)

(A.16)

√ V tˇechto v´ yrazech je ϕ0 (z) = (1/ 2π) exp (−z 2 /2) standardizovaná normáln´ı PDF a AU − y0 − u0 z AL − y0 − u0 z F (z) = Φ −Φ , um um

(A.17)

kde Φ(t) je standardizovan´ a norm´ aln´ı rozdˇelovac´ı funkce.

36


JCGM 106:2014

Pˇ r´ıloha B (informativn´ı) Apriorn´ı znalost mˇ eˇ ren´ e veliˇ ciny

B.1

Statistick´ eˇ r´ızen´ı proces˚ u

B.1.1 U mnoha posuzov´ an´ı shody znalost mˇeˇrené veliˇciny Y pˇred proveden´ım mˇeˇren´ı nen´ı explicitnˇe pˇri prov´ adˇen´ı rozhodnut´ı pˇrijmout/odm´ıtnout uvaˇzov´ ana. V takov´ ych pˇr´ıpadech, které jsou typické pro mˇeˇren´ı analyzovan´ a na z´ akladˇe princip˚ u obsaˇzen´ ych v GUM, existuje implicitn´ı pˇredpoklad, ˇze apriorn´ı znalost Y je natolik slab´ a, ˇze m´ a zanedbateln´ y vliv na v´ ystup procesu rozhodován´ı. B.1.2 U procesu, ve kterém je za urˇcité obdob´ı vyroben urˇcit´ y poˇcet nominálnˇe identick´ ych v´ yrobk˚ u, lze charakter procesu studovat periodick´ ym mˇeˇren´ım vzorku jeho v´ ystupu. Statistiky vytvoˇrené v pr˚ ubˇehu takov´ ych mˇeˇren´ı jako je pohybliv´ y pr˚ umˇer vzorku (v´ ybˇeru) a v´ ybˇerová smˇerodatná odchylka poskytuj´ı informaci o stabilitˇe procesu tak, ˇze m˚ uˇze b´ yt zmˇenˇeno jeho nastaven´ı pro dosaˇzen´ı kritéri´ı kvality v´ yroby. Vytváˇren´ı a vyuˇzit´ı informac´ı z mˇeˇren´ı t´ımto zp˚ usobem tvoˇr´ı z´ aklad statistického ˇr´ızen´ı proces˚ u (SPC). Je k tomu k dispozici rozsáhlá literatura; viz napˇr´ıklad odkazy [33, 43]. B.1.3 Chov´ an´ı procesu v SPC se obvykle vyhodnocuje za pˇredpokladu, ˇze vzorek pˇredmˇet˚ u mˇeˇren´ y pro u ´ˇcely ˇr´ızen´ı kvality zahrnuje soubor realizac´ı stabiln´ıho frekvenˇcn´ıho rozdˇelen´ı. Odhady stˇredn´ı hodnoty µ a smˇerodatné odchylky σ tohoto rozdˇelen´ı jsou z´ısk´ av´ any z v´ ybˇerov´ ych statistik. ´ POZNAMKA Proces, u kterého stˇredn´ı hodnoty a smˇerodatné odchylky vzorek od vzorku vykazuj´ı pˇrijatelné variability ve vztahu ke stanoven´ ym mez´ım, je zn´ am jako stabiln´ı proces.

B.1.4 Apriorn´ı PDF g0 (η) mˇeˇrené veliˇciny Y pak má matematickou formu frekvenˇcn´ıho rozdˇelen´ı naznaˇcenou histogramem namˇeˇren´ ych hodnot veliˇciny. Vlastnosti, která nás zaj´ımá u pˇredmˇetu náhodnˇe vybraného z procesu, bude pak pˇriˇrazen nejlepˇs´ı odhad y0 = µ a odpov´ıdaj´ıc´ı standardn´ı nejistota u0 = σ. B.1.5 Tento typick´ y postup SPC m´ a dva z´ asadn´ı nedostatky: (a) spolehliv´ y proces modelován´ı pouˇzit´ım histogramu obvykle vyˇzaduje velké v´ ybˇery, které nemus´ı b´ yt k dispozici, a (b) nejistota spojená s mˇeˇren´ımi na v´ ybˇerech je ignorov´ ana a nehraje ˇz´ adnou roli v pˇriˇrazen´ı PDF g0 (η). Následuj´ıc´ı pˇr´ıstup ˇreˇs´ı oba z tˇechto problém˚ u a redukuje se na obvykl´ y v´ ysledek SPC ve vhodn´ ych mez´ıch.

B.2

Pˇ redmˇ et n´ ahodnˇ e vybran´ y z mˇ eˇ ren´ eho vzorku pˇ redmˇ et˚ u

B.2.1 Uvaˇzujme vzorek n pˇredmˇet˚ u, kaˇzd´ y z nich maj´ıc´ı vlastnost Y , o kterou se zaj´ımáme pro posuzov´ an´ı shody. Vzorek je z v´ yrobn´ıho procesu, o kterém se pˇredpokládá, ˇze je stabiln´ı, a je shromáˇzdˇen za vhodnou ˇcasovou periodu. Pˇr´ıklady mohou b´ yt: —

vzorek n délkov´ ych etalon˚ u (kostek), kaˇzd´ y charakterizovan´ y délkou L;

—

vzorek n ˇc´ıslicov´ ych voltmetr˚ u, kaˇzd´ y charakterizovan´ y chybou indikace E, je-li mˇeˇreno etalonové referenˇcn´ı napˇet´ı;

—

vzorek n konektor˚ u vl´ aknové optiky, kaˇzd´ y charakterizovan´ y vloˇzenou ztrátou Λ.

B.2.2 U kaˇzdého z n pˇredmˇet˚ u je zmˇeˇrena vlastnost, která nás zaj´ımá, coˇz vytváˇr´ı soubor odhad˚ u y1 , . . . , y n a pˇr´ısluˇsn´ ych standardn´ıch nejistot mˇeˇren´ı u e. Nejistota u e závis´ı na postupu, kter´ y byl pro mˇeˇren´ı vzork˚ u pouˇzit, a pˇredpokl´ ad´ a se, ˇze je stejn´ y pro vˇsechna mˇeˇren´ı. Vlastnosti vzork˚ u jsou pak vyjádˇreny v´ ypoˇctem v´ ybˇerové stˇredn´ı ybˇerového rozptylu s2 definovan´ ych takto hodnoty y a v´ n

y=

1X yk , n

(B.1)

k=1


37

JCGM 106:2014

a n

s2 =

1X (yk − y)2 . n

(B.2)

k=1

P 2 ´ ıˇs neˇz n. Lze dok´ azat, ˇze v´ ysledn´ a POZNAMKA V´ ybˇerov´ y rozptyl je ˇcasto definov´ an jako pod´ıl souˇctu n k=1 (yk − y) a n − 1 sp´ 2 veliˇcina je nevych´ ylen´ ym odhadem rozptylu σ frekvenˇcn´ıho rozdˇelen´ı, ze kterého se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze je vzorek vybr´ an. Pˇri definov´ an´ı s2 ve v´ yrazu (B.2) nen´ı c´ılem z´ıskat odhad nezn´ amého rozptylu, ale sp´ıˇs charakterizovat rozloˇzen´ı hodnot ve v´ ybˇeru kolem jejich stˇredn´ı hodnoty. M˚ uˇzeme-li pˇredpokl´ adat, ˇze data jsou n´ ahodn´ ym v´ ybˇerem z norm´ aln´ıho frekvenˇcn´ıho rozdˇelen´ı ϕ η; µ, σ 2 , pak lze uk´ azat, ˇze v´ ybˇerov´ y rozptyl (B.2) je odhadem maxim´ aln´ı pravdˇepodobnosti σ 2 [10].

B.2.3 Jeden ze zmˇeˇren´ ych pˇredmˇet˚ u je n´ ahodnˇe vybrán (s pravdˇepodobnost´ı 1/n) jako pˇredstavitel v´ yrobn´ıho procesu. Necht’ Yr znaˇc´ı vlastnost, kter´ a n´ as zaj´ım´ a, u tohoto náhodnˇe vybraného pˇredmˇetu. Informace maj´ıc´ı vztah k moˇzn´ ym hodnot´ am η veliˇciny Yr je tvoˇrena pouze v´ ybˇerov´ ymi statistikami (B.1) a (B.2), individuáln´ı odhady y1 , . . . , yn jsou odloˇzeny ihned po ukonˇcen´ı mˇeˇren´ı. Sum´ arn´ı vlastnosti PDF Yr lze vypoˇc´ıtat následuj´ıc´ım zp˚ usobem. B.2.4 Necht’ fr (η) je PDF Yr a oznaˇcme PDF pro n veliˇcin v´ ybˇeru Y1 , . . . , Yn jako fk (η), k = 1, . . . , n. Bereme-li vu ´vahu, ˇze kaˇzd´ y z n pˇredmˇet˚ u m´ a stejnou pravdˇepodobnost, ˇze bude vybrán, lze fr (η) psát jako margináln´ı PDF n

fr (η) =

1X fk (η), n

(B.3)

k=1

vhodnˇe naz´ yvanou rozdˇelen´ı koneˇcné smˇesice [41]. B.2.5 Tvar urˇcité PDF fk (η) nen´ı obecnˇe zn´ am, ale protoˇze poskytuje urˇcitou znalost hodnoty vlastnosti Yk k-tého mˇeˇreného pˇredmˇetu, w∞ E(Yk ) = yk = ηfk (η) dη, (B.4) −∞

a V (Yk ) = u e2 =

w∞

−∞

(η − yk )2 fk (η) dη.

(B.5)

Jsou-li d´ any tyto v´ ysledky a PDF fr (η) v´ yrazu (B.3), lze pak vypoˇc´ıtat odhad yr vlastnosti Yr a s t´ım spojené standardn´ı nejistoty ur . B.2.6

Pro odhad yr podle definice m´ ame yr =

w∞

−∞

ηfr (η) dη =

1X 1 Xw∞ ηfk (η) dη = yk , −∞ n n n

n

k=1

k=1

kde v´ yraz (B.4) byl pouˇzit v posledn´ım kroku. Porovnán´ı tohoto v´ ysledku s v´ yrazem (B.1) ukazuje, ˇze a priori odhad Y je roven v´ ybˇerové stˇredn´ı hodnotˇe: yr = y. (B.6) B.2.7

Pˇr´ısluˇsn´ y rozptyl Y , jehoˇz kladn´ a odmocnina je standardn´ı nejistota, je pak dán vztahem u2r

w∞

1 Xw∞ = (η − y) fr (η) dη = (η − y)2 fk (η) dη. −∞ −∞ n n

2

(B.7)

k=1

P´ıˇseme-li nyn´ı (η − y)2 = (η − yk + yk − y)2 = (η − yk )2 + (yk − y)2 + 2(η − yk )(yk − y), a pouˇzijeme-li v´ yrazy (B.4) a (B.5), vede dosazen´ı do v´ yrazu (B.7) k tomuto v´ ysledku n

u2r = u e2 +

1X (yk − y)2 . n

(B.8)

k=1

38


JCGM 106:2014

Vid´ıme, ˇze souˇcet na pravé stranˇe v´ yrazu (B.8) je v´ ybˇerov´ ym rozptylem s2 [viz v´ yraz (B.2)], takˇze

B.2.8

u2r = u e2 + s2 ,

(B.9)

a standartn´ı nejistota spojen´ a s apriorn´ım odhadem y0 je p ur = u e2 + s2 .

(B.10)

B.2.9 Vid´ıme, ˇze standardn´ı nejistota ur daná v´ yrazem (B.10) je kvadraturn´ı kombinac´ı [neboli odmocninou ze souˇctu ˇctverc˚ u (RSS)] dvou sloˇzek, kter´ ymi jsou právˇe ty dva parametry, které charakterizuj´ı v´ ybˇerová data: ˇclen u e2 2 jako d˚ usledek bˇeˇzné standardn´ı nejistoty spojené s mˇeˇren´ımi na vzorku, a ˇclen s , kter´ y charakterizuje variabilitu odhad˚ u y1 , . . . , yn . ´ POZNAMKA Variabilita z rozptylu procesu a nedostateˇcn´ a opakovatelnost mˇeˇren´ı se v pozorovaném v´ ybˇerovém rozptylu s2 kombinuj´ı. Standardn´ı nejistota u e by mˇela obsahovat sloˇzku, kter´ a podchycuje vliv rozptylu mˇeˇren´ı.

B.2.10 Vypoˇcten´ y odhad a v´ ybˇerov´ y rozptyl pro náhodnˇe vybran´ y pˇredmˇet, v´ yrazy (B.6) a (B.7), jsou pak pouˇzity k charakterizaci budouc´ı produkce procesu za pˇredpokladu, ˇze je stabiln´ı a bez driftu. Logick´ y model uvaˇzov´ an´ı metrologa ˇci kontrolora by mˇel b´ yt n´ asleduj´ıc´ı: “Vybral jsem budouc´ı pˇredmˇet z v´ yrobn´ıho procesu. Co mohu ˇr´ıci o vlastnosti Y tohoto pˇredmˇetu pˇred t´ım, neˇz bude zmˇeˇren? Na z´ akladˇe v´ ysledk˚ u v´ ybˇerov´ ych mˇeˇren´ı vˇeˇr´ım, ˇze nejlepˇs´ı odhad Y je y0 = yr , dan´ y v´ yrazem (B.6), s pˇr´ısluˇsn´ ym rozptylem u20 = u2r dan´ ym v´ yrazem (B.9). To je rozsah m´ ych znalost´ı. Pˇri existenci této informace a principu maximáln´ı entropie (viz JCGM 101:2008 6.3 a odkaz [45]) zvol´ım norm´ aln´ı PDF, aby pˇredstavovala a podchytila moji apriorn´ı znalost vlastnosti Y u tohoto pˇredmˇetu.” B.2.11

To vede k n´ asleduj´ıc´ımu norm´ aln´ımu (ˇci Gaussovu) rozdˇelen´ı pro podchycen´ı apriorn´ı znalosti vlastnosti Y : " 2 # 1 η − y0 1 = ϕ η; y0 , u20 , g0 (η) = √ exp − 2 u u0 2π 0

e2 + s2 . with y0 = y a u20 = u B.2.12 V obvyklém pˇr´ıpadˇe, kdy s2 u e2 , u nejistoty hodnoty vlastnosti pˇredmˇetu náhodnˇe vybraného z v´ yrobn´ıho procesu dominuje variabilita procesu. Pak u0 ≈ σ ≈ s, kde je proces modelován frekvenˇcn´ım rozdˇelen´ım se smˇerodatnou odchylkou σ, jej´ımˇz odhadem je v´ ybˇerov´ a smˇerodatná odchylka s.

B.3

Kladn´ a vlastnost v bl´ızkosti urˇ cit´ eho fyzik´ aln´ıho limitu

B.3.1 Norm´ aln´ı PDF m´ a nekoneˇcn´ y rozsah hodnot. V pˇr´ıpadˇe vlastnosti (mˇeˇrené veliˇciny), která nab´ yv´ a pouze kladn´ ych hodnot, pˇriˇrazen´ a norm´ aln´ı PDF rozprostˇre ˇcást své pravdˇepodobnosti pˇres záporné (tud´ıˇz nedosaˇzitelné) hodnoty této vlastnosti. U vlastnosti, jej´ıˇz nejlepˇs´ı odhad leˇz´ı uvnitˇr nˇekolikanásobku své pˇr´ısluˇsné standardn´ı nejistoty nuly, m˚ uˇze b´ yt tato ˇc´ ast pravdˇepodobnosti v´ yznamná. V takovém pˇr´ıpadˇe by bylo pˇriˇrazen´ı normáln´ı PDF takové veliˇcinˇe nevhodn´ ym zp˚ usobem pro podchycen´ı znalosti o mˇeˇrené veliˇcinˇe. B.3.2 Mnoho zn´ am´ ych PDF je omezeno pouze na kladné hodnoty sv´ ych nezávisle promˇenn´ ych. V z´ avislosti na disponibiln´ıch informac´ıch m˚ uˇze takov´ a PDF slouˇzit jako model znalosti mˇeˇrené veliˇciny Y v bl´ızkosti urˇcité fyzik´ aln´ı meze. V pˇr´ıpadˇe, kdy je znalost Y ≥ 0 omezena na odhad a s n´ım spojen´ y rozptyl jako v odstavci B.2, vede princip maxim´ aln´ı entropie k pˇriˇrazen´ı norm´ aln´ıho rozdˇelen´ı, které je oˇrezáno v nule [11]. M˚ uˇzeme-li pˇredpokládat, ˇze hodnoty Y v bl´ızkosti nuly maj´ı zanedbatelnou pravdˇepodobnost, m˚ uˇze se ukázat jako vhodné pˇriˇradit této veliˇcinˇe apriorn´ı PDF g0 (η) kter´ a se bl´ıˇz´ı nule, kdyˇz η → 0. Jedn´ım z takov´ ych rozdˇelen´ı je PDF ve tvaru funkce gamma, jej´ıˇz pouˇzit´ı n´ am poslouˇz´ı jako pˇr´ıklad. B.3.3

Gamma PDF, s kladn´ ymi parametry α a λ je definována jako gamma (η; α, λ) =


λα α−1 −λη η e , Γ(α)

η ≥ 0,

(B.11)

39

JCGM 106:2014

kde Γ(α) je gamma funkce: Γ(α) =

w∞ 0

xα−1 e−x dx.

´ POZNAMKA 1 Speci´ aln´ı pˇr´ıpad gamma PDF zahrnuje gamma (η; 1, λ) (exponenci´ aln´ı PDF s parametrem λ) a gamma (η; n/2, 1/2) (a chi-ˇctverec PDF s n stupni volnosti). ´ POZNAMKA 2 Je moˇzné definovat 3-parametrické gamma rozdˇelen´ı nahrazen´ım η (η − γ) ve v´ yrazu (B.11), kde se parametr γ st´ av´ a lev´ ym koncov´ ym bodem a rozdˇelen´ı je omezeno na interval η ≥ γ.

Hustota pravděpodobnosti/jednotka-1

2.0

α=5 λ = 10

1.5

1.0

α=4 λ=4 α=4 λ=2

0.5

0.0

0

2

α=8 λ=2

4

6

8

10

η/jednotka

Obr´ azek B.1 – Nˇ ekolik gamma (η; α, λ) PDF vypoˇ cten´ ych podle v´ yrazu (B.11) pro vybran´ e p´ ary parametr˚ u (α, λ).

40


JCGM 106:2014

B.3.4 Obr´ azek B.1 zn´ azorˇ nuje ˇctyˇri gamma PDF pro urˇcité hodnoty α a λ. Oˇcekávaná hodnota a rozptyl gamma PDF jsou d´ any vztahy α α (B.12) E(Y ) = y0 = , V (Y ) = u20 = 2 , λ λ a maxim´ aln´ı hodnota (modus) rozdˇelen´ı nastává, kdyˇz η=

α−1 . λ

(B.13)

B.3.5 V z´ avislosti na stavu apriorn´ıch informac´ı lze vhodné hodnoty α a λ odhadnout na základˇe tˇechto v´ yraz˚ u. V pˇr´ıpadˇe, ˇze znalost vlastnosti (mˇeˇrené veliˇciny) Y je z´ıskána zmˇeˇren´ım vzorku v´ yrobk˚ u, lze apriorn´ı odhad a pˇr´ısluˇsn´ y yraz˚ u (B.12) lze pak urˇcit parametry rozptyl obdrˇzet pomoc´ı statistik odvozen´ ych ze vzorku: y0 = y a u20 = s2 . Z v´ gamma PDF: y2 y α = 2, λ = 2. (B.14) s s Tyto odhady jsou tzv. odhady ‘metody moment˚ u’, a mohou b´ yt neuspokojivé u mal´ ych velikost´ı vzork˚ u. Alternativou jsou zde odhady maxim´ aln´ı vˇerohodnosti, ty vˇsak vˇetˇsinou vyˇzaduj´ı nˇejakou formu ˇc´ıslicové optimalizace nebo ˇreˇsen´ı systému neline´ arn´ıch rovnic. B.3.6

Pˇr´ıklad pouˇzit´ı gamma PDF pˇri v´ ypoˇctu rizik spotˇrebitele a v´ yrobce je uveden v odstavci 9.5.4.

B.3.7 Uˇziteˇcné informace o vlastnostech a uˇzit´ı rozdˇelen´ı pravdˇepodobnosti lze nalézt v knihách Evans, Hastings a Peacock [30] a Johnson, Kotz a Balakrishnan [28].


41

JCGM 106:2014

Pˇ r´ıloha C (informativn´ı) Slovn´ık hlavn´ıch symbol˚ u ´ POZNAMKA Pro term´ın funkce hustoty pravdˇepodobnosti je pouˇzita zkratka PDF.

A

interval pˇrijateln´ ych namˇeˇren´ ych hodnot Ym

e A

interval nepˇrijateln´ ych namˇeˇren´ ych hodnot Ym

AL

spodn´ı mez pˇrijet´ı

AU

horn´ı mez pˇrijet´ı

a

spodn´ı mez intervalu, o nˇemˇz je známo, ˇze v nˇem leˇz´ı náhodná promˇenná

b

horn´ı mez intervalu, o nˇemˇz je známo, ˇze v nˇem leˇz´ı náhodná promˇenná

C

interval shodn´ ych hodnot vlastnosti, která nás zaj´ımá (mˇeˇrené veliˇciny) Y

Ce

interval neshodn´ ych hodnot vlastnosti, která nás zaj´ımá (mˇeˇrené veliˇciny) Y

Cm

index zp˚ usobilosti mˇeˇren´ı

E(X)

oˇcek´ avan´ a hodnota n´ ahodné promˇenné X

E(Y |ηm )

podm´ınˇen´ a oˇcek´ avan´ a hodnota mˇeˇrené veliˇciny Y,, je-li dána urˇcitá hodnota mˇeˇrené veliˇciny ηm

Emax

maxim´ aln´ı dovolen´ a chyba indikace mˇeˇric´ıho pˇr´ıstroje

erf(z)

chybov´ a funkce promˇenné z

f (η, ηm )

sdruˇzen´ a PDF s promˇenn´ ymi η a ηm pro veliˇciny Y a Ym

GX (ξ)

rozdˇelovac´ı funkce s promˇenn´ ymi ξ pro veliˇcinu X

gamma(η; α, λ) gamma PDF s promˇennou η a parametry α a λ g (η|ηm ) g0 (η)

42

PDF s promˇennou η pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y , je-li dána urˇcitá hodnota mˇeˇrené veliˇciny ηm PDF s promˇennou η pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y pˇred mˇeˇren´ım

g0 (η|I)

apriorn´ı PDF s promˇennou η pro mˇeˇrenou veliˇcinu Y s explicitn´ım znázornˇen´ım apriorn´ı informace I; stejné jako g0 (η)

gX (ξ)

PDF s promˇennou ξ pro veliˇcinu X

h (ηm |η)

PDF s promˇennou ηm pro v´ ystupn´ı veliˇcinu Ym mˇeˇric´ıho systému, daná jako pˇredpokl´ adan´ a prav´ a hodnota η mˇeˇrené veliˇciny Y

h0 (ηm )

margin´ aln´ı PDF s promˇennou ηm pro v´ ystupn´ı veliˇcinu Ym mˇeˇric´ıho systému

k

faktor pokryt´ı

L (η; ηm )

vˇerohodnost pravé hodnoty η, je-li dána urˇcitá hodnota mˇeˇrené veliˇciny ηm

p

pravdˇepodobnost pokryt´ı

pc

pravdˇepodobnost shody

pc

pravdˇepodobnost neshody

RC

glob´ aln´ı riziko spotˇrebitele

∗ RC

specifické riziko spotˇrebitele

RP

glob´ aln´ı riziko v´ yrobce


JCGM 106:2014

∗ RP

specifické riziko v´ yrobce

s2

v´ ybˇerov´ y rozptyl

T

tolerance

TL

spodn´ı mez tolerance

TU

horn´ı mez tolerance

U

rozˇs´ıˇren´ a nejistota

u

standardn´ı nejistota

u0

standardn´ı nejistota s odhadem y0 mˇeˇrené veliˇciny Y pˇred proveden´ım mˇeˇren´ı

um

standardn´ı nejistota spojená s urˇcitou hodnotou mˇeˇrené veliˇciny ηm je-li apriorn´ı znalost mˇeˇrené veliˇciny zanedbatelná

V (X)

rozptyl n´ ahodné promˇenné X

V (Y |ηm )

podm´ınˇen´ y rozptyl mˇeˇrené veliˇciny Y,, jeli dána urˇcitá hodnota mˇeˇrené veliˇciny ηm

w

rozmˇerov´ y parametr ochranného pásma

Y

mˇeˇriteln´ a vlastnost (mˇeˇrená veliˇcina) urˇcitého pˇredmˇetu povaˇzovaná za n´ ahodnou promˇennou

Ym

v´ ystup mˇeˇric´ıho systému povaˇzovan´ y za náhodnou promˇennou

y¯

v´ ybˇerov´ a stˇredn´ı hodnota

y0

oˇcek´ avan´ a hodnota Y pˇred proveden´ım mˇeˇren´ı

y˜

hodnota mˇeˇrené veliˇciny ve vhodném mˇeˇr´ıtku

α

parametr gamma PDF

Γ(z)

gamma funkce s promˇennou z

η

promˇenn´ a vyjadˇruj´ıc´ı moˇzné hodnoty mˇeˇrené veliˇciny Y

λ

parametr gamma PDF

Φ(z)

funkce standardizovaného normáln´ıho rozdˇelen´ı s promˇennou z

ϕ0 (z) ϕ η; y, u

standardizované normáln´ı PDF s promˇennou z 2

norm´ aln´ı (Gaussova) PDF s promˇennou η, oˇcekávaná hodnota y a rozptyl u2


43

JCGM 106:2014

Bibliografie [1]

Agilent Technologies. Metrology Forum. 2001. http://metrologyforum.tm.agilent.com/terminology.shtml.

[2]

American Society of Mechanical Engineers. ASME B89.7.3.1:2001 Guidelines for decision rules: Considering measurement uncertainty in determining conformance to specifications. New York, NY, 2001.

[3]

BIPM, IEC, IFCC, ILAC, ISO, IUPAC, IUPAP, and OIML. Evaluation of measurement data — Supplement 3 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement”— Modelling. Joint Committee for Guides in Metrology, JCGM 103, in preparation.

[4]

Box, G. E. P., and Tiao, G. C. Bayesian Inference in Statistical Analysis. Wiley Classics Library. John Wiley and Sons, 1992.

[5]

D’Agostini, G. Bayesian Reasoning in Data Analysis. World Scientific Publishing, 2003.

[6]

Deaver, D. How to maintain your confidence (in a world of declining test uncertainty ratios). 1993 NCSL Workshop and Symposium (1993), 133–53.

[7]

Deaver, D. Guardbanding with confidence. 1994 NCSL Workshop and Symposium (1994), 383–94.

[8]

Deaver, D. Managing calibration confidence in the real world. 1995 NCSL Workshop and Symposium (1995), 1–17.

[9]

Deaver, D. Guardbanding and the world of ISO Guide 25: Is there only one way? 1998 NCSL Workshop and Symposium (1998), 319–32.

[10]

DeGroot, M. H. Probability and Statistics. Addison-Wesley, 1975.

[11]

Dowson, D. C., and Wragg, A. Maximum entropy distributions having prescribed first and second order moments. IEEE Trans. IT 19 (1973), 689–693.

[12]

Eagle, A. R. A method for handling errors in testing and measuring. Ind. Qual. Control 10, 3 (1954), 10–15.

[13]

EURACHEM/CITAC Guide. Use of uncertainty information in compliance assessment, 1st ed., 2007. http://www. eurachem.org/guides/Interpretation_with_expanded_uncertainty_2007_v1.pdf.

[14]

Fearn, T., Fisher, S. A., Thompson, M., and Ellison, S. A decision theory approach to fitness for purpose in analytical measurement. The Analyst 127 (2002), 818–824.

[15]

Forbes, A. B. Measurement uncertainty and optimized conformance assessment. Measurement 39 (2006), 808–814.

[16]

Gregory, P. Bayesian Logical Data Analysis for the Physical Sciences. Cambridge University Press, 2005.

[17]

Grubbs, F. A., and Coon, H. J. On setting test limits relative to specification limits. Ind. Qual. Control 10, 3 (1954), 15–20.

[18]

Hibbert, D. B. Quality Assurance in the Analytical Chemistry Laboratory. Oxford University Press, 2007.

[19]

International Electrotechnical Commission. IEC GUIDE 115 Application of uncertainty of measurement to conformity assessment activities in the electrotechnical sector. 2007. Edition 1.0.

[20]

International Laboratory Accreditation Cooperation. ILAC-G8:1996 Guidelines on assessment and reporting of compliance with specification. Silverwater, Australia, 1996.

[21]

International Organization for Standardization. ISO 14253-1:1998 Geometrical Product Specifications GPS — Inspection by measurement of workpieces and measuring equipment — Part 1: Decision rules for proving conformance or non-conformance with specifications. Geneva, 1998.

[22]

International Organization for Standardization. ISO 10576-1:2003(E) Statistical methods — Guidelines for the evaluation of conformity with specified requirements — Part 1: General principles. Geneva, 2003.

[23]

International Organization for Standardization. ISO/IEC 17025:2005 General requirements for the competence of testing and calibration laboratories. Geneva, 2005.

44


JCGM 106:2014

[24]

International Organization for Standarization. ISO 3650 Geometrical Product Specifications (GPS) — Length standards — Gauge blocks, 2nd ed. Geneva, 1998.

[25]

International Organization of Legal Metrology. OIML R 111-1 Edition 2004(E) Weights of classes E1 , E2 , F1 , F2 , M1 , M1−2 , M2 , M2−3 , M3 — Part 1: Metrological and technical requirements. Paris.

[26]

Jaynes, E. T. Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press, 2003.

[27]

Jeffreys, H. Theory of Probability, 3rd ed. Clarendon Press, Oxford, 1983.

[28]

Johnson, N. L., Kotz, S., and Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1, 2nd ed. John Wiley & Sons, New York, NY, 1994.

[29]

¨ llgren, H., Lauwaars, M., Magnusson, B., Pendrill, L., and Taylor, P. Role of measurement uncertainty in Ka conformity assessment in legal metrology and trade. Accred. Qual. Assur. 8 (2003), 541–47.

[30]

M. Evans, N. H., and Peacock, B. Statistical Distributions, 3rd ed. Wiley, 2000.

[31]

Modarres, M., Kaminskiy, M., and Krivtsov, V. Reliability and Risk Analysis. Marcel Dekker, New York, 1999.

[32]

NCSL International. ANSI/NCSL Z540-3:2006 Requirements for the Calibration of Measuring and Test Equipment. Boulder, Colorado USA, 2006.

[33]

Oakland, J. S. Statistical Process Control, 6th ed. Butterworth-Heinemann, 2007.

[34]

Pendrill, L. R. Optimised measurement uncertainty and decision-making when sampling by variables or by attribute. Measurement 39 (2006), 829–840.

[35]

Pendrill, L. R. Optimised measurement uncertainty and decision-making in conformity assessment. NCSLI Measure 2, 2 (2007), 76–86.

[36]

¨ llgren, H. Exhaust gas analysers and optimised sampling, uncertainties and costs. Accred. Pendrill, L. R., and Ka Qual. Assur. 11 (2006), 496–505.

[37]

Possolo, A., and Toman, B. Assessment of measurement uncertainty via observation equations. Metrologia 44 (2007), 464–475.

[38]

Rossi, G. B., and Crenna, F. A probabilistic approach to measurement-based decisions. Measurement 39 (2006), 101–19.

[39]

Sivia, D. S. Data Analysis - A Bayesian Tutorial. Clarendon Press, Oxford, 1996.

[40]

Sommer, K.-D., and Kochsiek, M. Role of measurement uncertainty in deciding conformance in legal metrology. OIML Bulletin XLIII, 2 (April 2002), 19–24.

[41]

Titterington, D. M. Statistical analysis of finite mixture distributions. Wiley, 1985.

[42]

van der Grinten, J. G. M. Confidence levels of measurement-based decisions. OIML Bulletin XLIV, 3 (July 2003), 5–11.

[43]

Wheeler, D. J., and Chambers, D. S. Understanding Statistical Process Control, 2nd ed. SPC Press, 1992.

[44]

Williams, E., and Hawkins, C. The economics of guardband placement. In Proceedings of the 24th IEEE International test Conference (Baltimore, 1993).

[45]

¨ ger, W. Probability assignment to systematic deviations by the principle of maximum entropy. IEEE Trans. Inst. Wo Meas. IM-20, 2 (1987), 655–8.


45

posuzování shody Évaluation des données de mesure Le rôle de l incertitude de mesure dans l évaluation de la conformité

Recommend Documents