Platónská tělesa Hana Amlerová, 2010
Co to je platónské těleso? • Platónské těleso je pravidelný konvexní mnohostěn (polyedr) v prostoru = z každého vrcholu vychází stejný počet hran a všechny stěny tvoří stejný pravidelný n-úhelník • Existuje jen pět těles, která mají tuto vlastnost: tetraedr, hexaedr, oktaedr, dodekaedr a ikosaedr
Historie • Platónská tělesa znali již ve starověku. Nazývají se podle řeckého filosofa Platóna (427 – 347 př. n. l.), který krychli, osmistěn, čtyřstěn a dvacetistěn považoval za představitele čtyř základních živlů: země, vzduch, oheň a voda. Dvanáctistěn byl představitelem jsoucna neboli všeho, co existuje.
Platón (427 př. n. l. – 347 př. n. l.) • řecký filozof • roku 387 př. n. l. založil v Athénách školu, která dlouhá staletí po jeho skonu měla existovat pod jménem Platónská Akadémie • Platón dosáhl úctyhodného věku 80 let, a zemřel uprostřed práce
Johannes Kepler (27.12.1571 Weil der Stadt – 15.11.1630 Řezno) • německý matematik a astronom • několik let působil v Praze na dvoře císaře Rudolfa II. • v Praze také formuloval dva ze tří Keplerových zákonů • zabýval se astronomií, matematikou, mechanikou a krystalografií
Historie • Johannes Kepler se pokusil mezi šest sfér tehdy známých planet vložit těchto pět platónských těles. Mezi Merkur a Venuši dal osmistěn, mezi Venuši a Zemi dvacetistěn, mezi Zemi a Mars dvanáctistěn, mezi Mars a Jupiter čtyřstěn a mezi Jupiter a Saturn krychli. Tato tělesa měla představovat vzdálenosti mezi jednotlivými planetami. Bohužel, časem se ukázalo, že to tak jednoduché není…
Přírodní vědy • Vzhledem k vysoké symetrii se platónská tělesa objevují běžně v současné krystalografii, krystalochemii a molekulární fyzice a chemii. Řada tvarů krystalů s vysokou symetrií krystalové mřížky nabývá forem platónských těles (např. krystaly běžné kuchyňské soli mají tvar krychle, u sfaleritu někdy tvar čtyřstěnu apod.). • Také symetrické molekuly mají mnohdy tvar těchto těles: metan má čtyři vodíkové atomy ve vrcholech pravidelného čtyřstěnu s uhlíkovým atomem v jeho těžišti, molekula hexafluoridu sírového má tvar pravidelného osmistěnu atp.
Vyšší dimenze • Pravidelné mnohostěny existují i ve vyšších dimenzích – ve čtyřrozměrném prostoru jich je šest (5-nadstěn, teserakt, 16-nadstěn, 24-nadstěn, 120-nadstěn, 600-nadstěn) – v prostorech dimenze vyšší než čtyři existují vždy právě tři pravidelné mnohostěny (zobecnění čtyřstěnu, zobecnění krychle a její duální těleso - zobecnění osmistěnu)
Platónská tělesa se představují…
Tetraedr • Pravidelný čtyřstěn počet stěn počet hran počet vrcholů počet hran u vrcholu
4 6 4 3
• Typ stěn: pravidelný trojúhelník
Hexaedr = krychle • Pravidelný šestistěn počet stěn 6 počet hran 12 počet vrcholů 8 počet hran u vrcholu 3
• Typ stěn:
čtverec
Oktaedr • Pravidelný osmistěn počet stěn počet hran počet vrcholů počet hran u vrcholu
8 12 6 4
• Typ stěn: pravidelný trojúhelník
Dodekaedr • Pravidelný dvanáctistěn počet stěn 12 počet hran 30 počet vrcholů 20 počet hran u vrcholu 3
• Typ stěn: pravidelný pětiúhelník
Ikosaedr • Pravidelný dvacetistěn počet stěn 20 počet hran 30 počet vrcholů 12 počet hran u vrcholu 5
• Typ stěn: pravidelný trojúhelník
Projekt Modely platónských těles
Tvorba modelů platónských těles • Co si procvičíte: – – – – – – –
orientaci v rovině a prostoru prostorové vidění jemnou motoriku přesnost pečlivost trpělivost manuální zručnost…
Jak na to • Úkol: Vytvořit papírový model platónského tělesa • Postup: – ve složce „Sítě platónských těles“ vybrat a otevřít pdf soubor se sítí vybraného platónského tělesa – vytisknout síť na karton formátu A4 – vystřihnout či lépe vyřezat síť i s pomocnými (šedými) lepicími hranami – slepit model tělesa
Pomůcky a rady aneb potřebujete: • čtvrtku A4 bílou nebo barevnou, do tiskárny je lépe koupit bílý nebo barevný karton A4 o gramáži 160g/m2 – lépe se s ním pracuje a také tiskárny ho mají raději
• ostré nůžky nebo nůž s ulamovací čepelí, podložka a pravítko – umožňuje přesnější výrobu sítě a následně snazší slepení modelu
• lepidlo (nejlépe Herkules) a tenký štětec – lepidlo nanášet podle pravidla „čím méně, tím lépe“
… a další nápady • po vystřižení nebo vyřezání sítě vezměte pravítko a propisovačku s vypsanou náplní • obtáhněte podle pravítka všechny hrany budoucího modelu hrotem propisky, silně tlačte • „zlomte“ podle pravítka karton v místě „projeté“ hrany modelu • lepidlo nanášejte v tenké vrstvě na lepicí hrany, pečlivě rozetřete a co nejpřesněji slepte • lepicí hrany patří dovnitř modelu!
Závěrem „Dokonalost spočívá v maličkostech, ale dokonalost není maličkost.“ (Michelangelo Buonarroti)
Hodně trpělivosti při výrobě modelů a radosti z výsledku Vašeho snažení!
