PIKOMAT MFF UK. Milí přátelé!

PIKOMAT MFF UK Milí přátelé! Jako každým rokem touto dobou i letos vám přinášíme pokračování matematického korespondenčního semináře Pikomat MFF UK s novým příběhem, novými úlohami a také spoustou nových řešitelů. Touto sérií zahajuje Pikomat již svůj 31. ročník. Připravují jej pro vás převážně studenti Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze a přátelé Pikomatu pod záštitou Oddělení pro vnější vztahy a propagaci MFF UK. Kdo může řešit? Korespondenční seminář je určen pro žáky šestých až devátých tříd základních škol a pro studenty odpovídajících ročníků víceletých gymnázií. Pokud to zvládnou, mohou Pikomat samozřejmě řešit i mladší žáci. Jak se řeší? Každý měsíc budete dostávat poštou domů, do školy nebo mailem zadání sedmi úloh, které jsou zakomponovány do pohádkového příběhu. Poté, co úlohy dané série vyřešíte, pošlete nám je zpět na adresu Pikomatu nebo odevzdáte elektronicky prostřednictvím naší webové stránky http://pikomat.mff.cuni.cz/, kde budou zveřejněna také zadání a vzorová řešení. My vám úlohy opravíme a ohodnotíme body. S další sérií úloh dostanete zpět své opravené úlohy i se vzorovým řešením a komentáři opravovatelů. Bodování Za každou úlohu můžete získat 0 až 5 bodů. Za plnohodnotné řešení nepovažujeme pouhé výsledky, proto nám pište celé postupy, aby bylo zřejmé, jak jste se k výsledku dopracovali. Pošlete-li nám řešení s popsaným jasným postupem, který vede ke správnému výsledku, získáte plný počet bodů. Pokud nedojdete ke správnému řešení nebo jste úlohu nedořešili, ale pošlete nám zajímavou úvahu či postup, můžete také získat nějaké body. Pokud nevyřešíte všechny úlohy, nic se neděje; pošlete jen ty, u kterých uspějete. Za sérii dostanete součet bodů získaných za jednotlivé úlohy, přičemž se započítává pouze šest nejlepších úloh. V jedné sérii tedy můžete získat maximálně 30 bodů. pikomat.mff.cuni.cz

Podmínky účasti Pokud chcete být řešitelem Pikomatu, je nutné se přihlásit pomocí internetového formuláře na adrese http://pikomat.mff.cuni.cz/prihlaska/. Přihlásit se lze jen a pouze elektronicky a řešitelé, kteří se sami nepřihlásí do Pikomatu pomocí tohoto formuláře, nebudou zařazeni. Elektronicky je nutné se přihlásit i v případě, že budete řešení posílat poštou. Každopádně doporučujeme dokončit kompletní registraci, abyste mohli odevzdat i elektronicky, pokud si to třeba někdy během roku rozmyslíte. Bez dokončení registrace není možnost odevzdávat elektronicky. Součástí přihlášky je udělení souhlasu se zpracováním osobních údajů. Pokyny ke zpracování řešení Řešení úloh posílejte na papíře A4, každou úlohu pište na samostatný papír. Pokud použijete více papírů na jednu úlohu, sepněte je a stránky označte, aby bylo jasné, která k čemu patří. Na každý papír s řešením napište své jméno, příjmení a číslo úlohy. Svá řešení odesílejte nejpozději v den, na který bude pro tuto sérii stanoven termín odeslání. Opožděná řešení se postihují strhnutím jednoho bodu za každý den zpoždění; elektronicky po termínu odeslání již nelze odevzdávat vůbec. Dejte si pozor, aby obálka s řešeními měla správnou hodnotu známky, jinak se může stát, že nám vaše řešení nebudou doručena. Řeším sám Budeme rádi, když si budete mezi sebou diskutovat nápady a řešení úloh, nicméně Pikomat je soutěž jednotlivců a jedním z našich cílů je naučit vás své myšlenky formulovat samostatně. Proto, pokud obdržíme více řešení s výraznými shodami, je možný bodový postih. Jak odevzdávat řešení? Odevzdávat řešení lze buď elektronicky prostřednictvím internetu, nebo tradičně, klasicky poštou na adresu uvedenou v zápatí. Elektronické odesílání má výhodu, že nejenže ušetříte za poštovné, ale řešení lze odevzdat až do 23:59:59. Papírové řešení je třeba posílat s předstihem, abychom jej obdrželi včas. Rozhodující je datum na razítku od České pošty. Elektronickou cestou můžete svá řešení odevzdávat na stránkách Pikomatu prostřednictvím systému zvaného TEP. Řešení může být buď zpracované v některém editoru, anebo naskenované ručně psané řešení. Nahrávat lze ovšem pouze soubory ve formátu PDF. Velikost souboru je omezena na 20 MB. Strana 2

Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8

Jak vytvořit PDF? Soubor PDF lze vytvořit ve většině editorů, včetně MS Word a Open Oﬃce. Většina moderních skenerů také umožňuje výstup do PDF. Máte-li řešení v jiném formátu, použijte tzv. PDF tiskárnu (např. PdfCreator nebo DoPDF). Podrobný návod najdete na našich stránkách. Nestačí pouze změnit příponu souboru. Co s obrázky? Pokud chcete odevzdávat elektronicky řešení s obrázky, vložte obrázky přímo do dokumentu ke zbytku svého řešení. Obrázky můžete tvořit v GeoGebře, malování, GIMPu či dalších graﬁckých editorech. Obrázek uložte ve formátu jpg, bmp, png či gif. Obrázky lze také nakreslit ručně a naskenovat. I v tomto případě vložte obrázek do zbytku řešení. Jak řešení nahrát? Na našich stránkách lze vstoupit do aplikace TEP, jejímž prostřednictvím se řešení odevzdávají. Pokud ještě nejste přihlášeni, je třeba vyplnit přihlášku a na vámi zadaný mail vám přijde heslo k prvnímu přihlášení. Pokud vám heslo nepřijde, ozvěte se nám. Po přihlášení se dostanete do samotné aplikace. Pokud jste již elektronicky řešili a účet máte založený, budete při přihlášení vyzváni k obnovení účtu (a to z důvodu nutnosti udělit nový souhlas se zpracováním osobních dat). Je třeba aktualizovat ročník, popřípadě můžete upravit i jiná nastavení účtu, pokud se změnila vaše adresa nebo škola atd. Co dalšího je Pikomat? Podstatnou část Pikomatu tvoří také každoroční jarní soustředění, letní tábor a vánoční besídka. Na soustředění jsou pozváni nejlepší řešitelé z každého ročníku; je to pro ně odměna za píli, snahu a bystrou mysl. Letní tábor Pikomatu je dostupný všem řešitelům či příznivcům matematiky a dobré nálady. O akcích vás budeme v průběhu roku informovat a doufáme, že se s mnohými z vás na některé z nich potkáme. Adresa a kontakty Poštovní adresa: Pikomat, KPMS MFF UK, Sokolovská 83, 186 75 Praha 8. Pro komunikaci s organizátory či případné dotazy můžete použít e-mailovou adresu [email protected] . Přejeme vám spoustu dobrých nápadů a těšíme se na vaše originální řešení. Vaši organizátoři

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 3

Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série

Zadání úloh 1. série 31. ročníku Termín odeslání: 12. října 2015 Denu vzbudilo klepání na okno. Už potřetí tenhle týden usnula nad prací. Vstala z křesla a masírujíc si ztuhlý krk otevřela okno. Dovnitř vešlo černé opeřené stvoření, které jistým podivným způsobem připomínalo ptáka. Mělo dvě tlusté nohy, kterým chyběly prsty a klouby, křídla havrana a nehybnou úzkou hlavu, jež trčela mezi rameny, jakoby tam nepatřila. „Co zas teď chtějí?“ bručela si Dena pro sebe vytahujíc svitek papíru z tobolky na zádech černého stvoření. Úloha č. 1: Na papíře byla posloupnost symbolů, v níž se poměrně často opakoval symbol ∗. Kromě něj se v posloupnosti vyskytovaly jen symboly #, % a O. Dena ví, že každá posloupnost symbolů mezi dvěma symboly ∗, která má délku dva až pět symbolů, představuje jeden znak zprávy. Kolik různých znaků může být tímto způsobem zakódováno, když předpokládáme, že každý znak se kóduje právě jedním způsobem? Po chvilce dovedla zprávu rozšifrovat. Stálo v ní: „Potřebujeme tvou pomoc. Přijeď okamžitě. Erik.“ Dena unaveně vzdychla a vyhodila černého posla oknem ven. Ten mávnul křídly a odletěl pryč. Takoví poslové byli poslední dobou velice oblíbení, zejména u policie, kde pracoval i Erik. Byli to jednodušší astrální konstrukti, obyčejnými lidmi často nesprávně zvaní „démoni“. Dena rychle sbalila své nádobíčko do kufříku a vydala se na policejní stanici. Úloha č. 2: Dena si ovšem nevšimla, že svůj kufřík zapomněla doma. Jela drožkou po rovné silnici rychlostí 30 mil za hodinu. Po 15 minutách se v jejím domě aktivovala „Pomněnka“ – okřídlený konstrukt, který za ní s kufříkem přiletěl. Když kufřík odevzdala, vrátila se zpět domů. Jakou rychlostí „Pomněnka“ letěla, když se vrátila domů 35 minut po odchodu Deny? „Pomněnka“ byla jedním z mnoha konstruktů, které Dena vytvořila pro vlastní potřebu. Kvůli své roztržitosti by bez ní nemohla existovat. Byla jednou z nejlepších konstruktérek na celém světě, ale pokud se jednalo o život mimo knih a čísel, byla absolutně nespolehlivá. Zanedlouho dorazila na policejní stanici. „Čarodějnice přišla!“ ohlásil její příchod vrátný, za což ho Dena odměnila vražedným pohledem. Neměla ráda tohle pojmenování. Strana 4


Termín odeslání: 12. října 2015 Erik ji očekával v místnosti pro návštěvy. Byl to vysoký, černovlasý, asi třicetiletý muž s dlouhou jizvou pod pravým okem. Neztráceli čas pozdravem a přešli k věci. Úloha č. 3: Erik jí ukázal kus pergamenu. Z nápisu zjistila, že by na něm měl být pravidelný sedmiúhelník. Pergamen byl ovšem poškozený: zbyly na něm pouze tři vrcholy. Z těchto zbylých vrcholů žádné dva v původním sedmiúhelníku nesousedily. Dena potřebuje zjistit přesnou polohu všech vrcholů. Ve svém kufříku má kružítko a pravítko bez měřítka. Jak to má udělat? Poté, co úspěšně doplnila chybějící vrcholy, přečetla si zbylé nápisy na pergamenu. Ty popisovaly jistý rituál. Na sedm vrcholů bylo potřeba položit sedm hermetických svíček, ty v přesných intervalech zapálit a přitom odříkávat zaklínadla. Dena nikdy nic podobného neslyšela. Seriózní hermetika totiž nikdy žádná zaklínadla nepoužívala. „Kde jste to našli?“ zeptala se Erika, který mlčky stál a pozoroval ji. „To je tajné. Proč to potřebuješ vědět?“ odpovídal otázkou. Dena teatrálně vzdychla. Nikdy jí nechtěl říct ani o kousek víc, než bylo nutné. „Netuším, co to je,“ ukázala na pergamen, „mohlo by mi to pomoct.“ Erik chvíli váhal, ale nakonec jí dal za pravdu. Pokynul jí, aby ho následovala, a vedl ji do své kanceláře. Dena si cestou všimla strážníků, kteří o přestávce zabíjeli čas divnou hrou. Úloha č. 4: Hra začínala tím, že každý ze strážníků napsal na papír nějaké číslo. Potom náhodně vybrali den v kalendáři a vynásobili vzájemně čísla sedmi následujících po sobě jdoucích dnů (ale ne číslo měsíce ani roku). Strážníci, kteří napsali na papír dělitele tohoto součinu, vyhráli. Jaké je největší číslo, které vždycky vyhraje? „Zdá se, že opravdu nemáte co dělat,“ neodpustila si Dena ironický komentář. „To není tak úplně pravda. Máme příkaz nevycházet.“ Dena se podivila, ale neměla dost odvahy zeptat se. Když dorazili do Erikovy pracovny, zavřel za sebou dveře a pokynul jí, aby se posadila. „Dnes ráno došlo k vloupání u jednoho klenotníka. Kvalitní práce, neponechali nic náhodě. Uspali stráže, deaktivovali strážní démony…“ „Konstrukty,“ opravila ho Dena. Erik se na ni zamračil a pokračoval: „…deaktivovali démony a sebrali všechny rubíny. Zvláštní je, že se nedotkli ničeho jiného. Safírů, zlata ani perel. Klenotnictví mělo i zmrazující pohár. A to je ta nejzáhadnější část,“ řekl a strhnul hadr, jenž zakrýval nádobu vznášející se nad stolem. pikomat.mff.cuni.cz

Strana 5

Pikomat MFF UK, 31. ročník, 1. série Úloha č. 5: Pohár měl tvar válce o průměru podstavy 10 cm a výšce 30 cm. Původně byl plný zmrazující kapaliny. Byl ovšem nakloněn, a tak část kapaliny odtekla. Nyní byla nejmenší vzdálenost mezi hladinou a dnem jen 22 cm. Kdyby se povedlo pohár narovnat a položit na stůl, do jaké výšky by kapalina dosahovala? Zmrazovací pohár byl nejnovějším výdobytkem konstrukční technologie. Jeho úkolem bylo, aby se v případě hrozby krádeže převrátil a vylil na zem zmrazující kapalinu, která by zlodějovy nohy přimrazila k podlaze. Tento pohár to ovšem z nějaké příčiny neudělal a jenom se vznášel nad zemí. Dena jej uchopila a dokázala si jej přisunout k sobě, ale převrátit jej se jí nepovedlo. „Samozřejmě, to jsme již zkoušeli,“ řekl Erik nezúčastněně. „Pokud potřebuješ, vezmu tě na místo činu.“ Dena přikývla a bez dalšího slova směřovala ven. Během cesty ke vchodu si všimla, že strážníci již skončili s hrou a teď hloubali nad nějakou křížovkou. Úloha č. 6: Máme trojúhelníkovou síť jako na obr. 1 a v ní vepsané některé číslice. Doplňte do ostatních políček číslice od 1 do 6 tak, aby v žádném z řádků (ani těch šikmých) ani v žádném pravidelném šestiúhelníku nebyla některá z číslic dvakrát.

3

5

4

1

2

Obr. 1

Jen co se usadili v drožce, začala Dena vysvětlovat inspektorovi svou teorii: „Myslím, že zloději vytvořili neviditelného konstrukta…“ „Démona,“ skočil jí do řeči. Zamračila se na něj a pokračovala: „… konstrukta, který poháru nedovolí, aby se naklonil. Možná k tomu použili ten pergamen, co jsi mi ukazoval. Předpokládám, že jste jej našli přímo pod pohárem, že?“ Přikývl. „Musím se tedy porozhlédnout po obchodě, oskenovat astrální signaturu, zjistit, kde penetrovali wardové bariéry…,“ pokračovala sama pro sebe. Erik nerozuměl ani slovu, tak zavřel oči a zdříml si. Když přišli ke klenotnictví, hned si všimli velikého okna výlohy. Strana 6


Termín odeslání: 12. října 2015 Úloha č. 7: Okno vypadalo jako na obr. 2. Vybarvená část byla vyplněná zlatem. Jaký obsah měla tato část, je-li strana každého ze čtyř čtverců dlouhá 1 stopu?

Obr. 2

Hned po vstupu do obchodu Dena rozbalila svůj kufřík, vyndala kožený váček a vysypala z něj asi pět malinkých třínohých konstruktů na hledání ztracených věcí. Ti se rozeběhli po podlaze na všechny strany. Dena je nechala pracovat a už chtěla vyndat další nástroj, když najednou jeden z hledačů vydal pronikavý zvuk. Šla se podívat, co našel. Když to uviděla, zavolala na Erika. Ten vypustil pár slov, za která by se styděl i námořník, a dodal: „Co to, k čertu, je?“ Autorem příběhu je Martin Smolík.

pikomat.mff.cuni.cz

Strana 7

Taktická porada při hře na jarním soustředění

I takhle může vypadat hodina matematiky. Z tábora Pikomatu

PIKOMAT MFF UK. Milí přátelé!

Recommend Documents