PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum Untuk menyelesaikan Persoalan Program Linier dengan Metode Simpleks untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan caranya berbeda. Model matematika dari Permasalahan Program Linier dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem Persamaan Linier (AX = B) sebagai berikut : *) Fungsi Tujuan (Z = CX): X1
Z = [C1 C 2
Cn ]
X2 Xn
↓ C = [cj]
↓ X = [xj]
*) Fungsi Kendala (AX ≤ atau ≥ B): a 11
a 12
a 1n
X1
a 21
a 22
a 2n
X2
a m1
a m2
a mn
Xn
bm
↓ X = [xj]
↓ B = [bi]
↓ A = [aij]
b1
≤ atau ≥
b2
Berikut ini langkah-langkah penyelesaian Persoalan Program Linier fungsi tujuan memaksimumkan dengan Metode Simpleks. 1.
Mengubah semua kendala ke Bentuk Kanonik (yang semula menggunakan tanda pertidaksamaan menjadi persamaan) dengan menambah perubah (variabel) Slack S. Perubah-perubah slack yang ada dimasukkan (ditambahkan) ke fungsi sasaran dan diberi koefisien 0.
2.
Apakah dalam matriks A = [aij] (pada fungsi kendala) sudah terbentuk Matriks Identitas (In) ? 2.1
Apabila dalam matriks A sudah terbentuk Matriks Identitas maka disusun tabel awal simpleks sebagai berikut :
Ci
Cj
Xj
C1 X1
C2 X2
... Cn ... Xn
0 S1
0 S2
... –M …. ... V1 ……
bi
Ri
C1
Xi
. . . Cm
X1 . . . Xm Zj Zj - Cj
a11 . . . am1 Z1 Z1-C1
a12 . . . am2 Z2 Z2-C2
... ... ... ... ... ...
a1n 1 . . . . amn 0 Zn ... …. Zn-Cn
0
... 0
.
...
0
... 0 ...
b1 . . . bm
R1 . . . Rm
Keterangan : *) Baris Cj diisi dengan para koefisien Fungsi Tujuan (sasaran) *) Baris Xj diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. *) Kolom Xi diisi dengan nama-nama perubah yang menjadi basis (variabel yang menyusun matriks Identitas) . *) Kolom Ci diisi dengan para koefisien perubah yang menjadi basis *) Kolom bi diisi dengan para konstanta fungsi kendala (Nilai Sebelah Kanan/NSK). m
*) Baris Zj diisi dengan rumus Zj =
C i a ij
, untuk j = 1, 2, ..., n
i =1
*) Kolom Ri diisi dengan rumus Ri =
bi a ik
kunci, dan Ri dihitung hanya untuk aik
(aik = elemen-elemen yang berada dalam kolom 0)
Selanjutnya dilanjutkan ke langkah 3, 2.2
Jika belum terbentuk matriks identitas, maka matriks identitas ditimbulkan (dimunculkan) dengan menambah perubah semu dan diberi notasi (V). Perubah semu yang ada dimasukan di fungsi sasaran, sedangkan koefisien dari variabel semu pada fungsi sasaran diberi nilai (M), dengan M adalah bilangan yang cukup besar. Dilanjutkan ke langkah 2.1 3. Penelitian terhadap nilai Zj - Cj. (Tabel sudah maksimum jika semua Zj - Cj ≥ 0). 3.1 Jika untuk semua Zj - Cj ≥ 0 dilanjutkan ke langkah 4, 3.2 Jika ada Zj - Cj < 0, maka dibuat tabel baru dengan cara sebagai berikut : 3.2.1
Menentukan kolom kunci yaitu memilih nilai Zj - Cj yang terkecil (Min{ Zj - Cj}. Sebut dengan Zk - Ck maka kolom ke-k disebut kolom kunci.
3.2.2
Pada kolom ke-k dilakukan pemeriksaan terhadap nilai aik. 3.2.2.1 Jika untuk semua aik negatif maka jawab tidak terbatas (Unbounded).
3.2.2.2 Jika terdapat aik yang positif hitung nilai Ri, (untuk aik yang positif saja) kemudian dilanjutkan ke langkah 3.2.3, 3.2.3
Menentukan baris kunci, yaitu dengan memilih nilai Ri yang terkecil (diantara yang positif) Min{ Ri}, namakan Rr, maka baris ke-r disebut baris kunci.
3.2.4
Kemudian disusun tabel baru sebagai berikut (dimulai dari baris kunci baru): 3.2.4.1 Untuk elemen baris r baru = elemen baris r lama dibagi ark , atau a rj =
a rj a rk
3.2.4.2 Untuk elemen baris i yang lain, elemen baris i baru = elemen baris i lama - (aik x elemen baris r baru) atau a ij = a ij − (a ik x a rj ) Kemudian tentukan lagi nilai Xi, Ci, Zj , Zj - Cj. Kembali ke langkah 3. 4. Apakah pada tabel terakhir terdapat nilai Vk yang positip ? 4.1 Jika ada nilai Vk yang positif maka soal asli tidak fisibel (Infeasible Solution). 4.2 Jika tidak ada nilai Vk yang positif maka akan diperoleh penyelesaian yang maksimum. Contoh Soal : Memaksimumkan : Z = 3X1 + 3X2 (dalam ribuan) yang memenuhi kendala : 1). 2X1 + X2 ≤ 30 2). 2X1 + 3X2 ≤ 60 3). 4X1 + 3X2 ≤ 72 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0. Penyelesaian : *) Bentuk kanonik : 1). 2X1 + 1X2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 30 2). 2X1 + 3X2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 60 3). 4X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 72 dan fungsi tujuannya menjadi : Memaksimumkan : Z = 3X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 +0S3 Bentuk matriksnya adalah sebagai berikut :
X1 X2 S1 S2 S3
2 1 1 0 0 2 3 0 1 0 4 3 0 0 1
↓ A = [aij]
30 60 dan Z = [3 3 0 0 0] 72
=
↓ X = [xj]
↓ B = [bi]
↓ C = [cj]
X1 X2 S1 S2 S3
↓ X = [xj]
*) Tabel awal simpleks : Ci
Xi
0 0 0
S1 S2 S3
Cj Xj
Zj Zi - Ci
3
3
X1 2 2 4 0 -3
0
0
0
X2 S1
S2
S3
bi
Ri
1 3 3 0 -3
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
30 60 72 0
30 20 24
1 0 0 0 0
*) Menentukan kolom kunci dengan memilih nilai dari min {Zj - Cj}, yaitu pada kolom-1 dan 2 yang nilainya adalah -3 (dapat dipilih salah 1). Dipilih kolom ke-2 sebagai kolom kunci, sehingga k = 2. (Tugas: Selesaikan tabel di atas jika yang dipilih sebagai kolom kunci adalah kolom ke-1) Karena elemen-elemen dalam kolom kunci ada tidak semuanya nol (ada yang positif) maka dapat ditentukan nilai dari Ri yaitu : R 1 =
60 72 30 = 30, R 2 = = 20, dan R 3 = = 24 1 3 3
*) Menentukan baris kunci dengan memilih nilai dari Ri yang terkecil dan nilai aik > 0 (positif). Terdapat pada baris yang ke-2 yaitu R2 = 20, sehingga r = 2 *) Membuat tabel baru sebagai berikut : Baris kunci baru (baris 2 yang baru) mempunyai elemen-elemen : a 2 a 21 = 21 = a 22 3 b2 =
, a 22 =
a a 22 3 a 0 1 = = 1 , a 23 = 23 = = 0 , a 24 = 24 = a 22 3 a 22 3 a 22 3
, a 25 =
a 25 0 = = 0, a 22 3
b2 60 = = 20 a 22 3
atau elemen-elemen baris 2 baru = elemen-elemen baris 2 lama dibagi dengan 3 =
[2
3 0 1 0 60] 3
=
2 1 1 0 3 3
0 20
Untuk baris yang lain (baris ke-1 dan 3)
âij = aij - (aik x ârj)
Untuk baris 1 baru â11 = a11 - (a12 x a21 ) = 2 - (1 x (2/3)) = 4/3 â12 = a12 - (a12 x a22 ) = 1 - (1 x 1) = 0 â13 = a13 - (a12 x a23 ) = 1 - (1 x 0) = 1 â14 = a14 - (a12 x a24 ) = 0 - (1 x(1/3)) = -1/3 â15 = a15 - (a12 x a25 ) = 0 - (1 x0) = 0 b1 = b1 - (a12 x b2 ) = 30 - (1 x20) = 10
untuk baris 3 baru â31 = a31 - (a32 x a21 ) = 4 - (3 x(2/3)) = 2 â32 = a32 - (a32 x a22 ) = 3 - (3 x1) = 0 â33 = a33 - (a32 x a23 ) = 0 - (3 x0) = 0 â34 = a34 - (a32 x a24 ) = 0 - (3 x(1/3)) = -1 â35 = a35 - (a32 x a25 ) = 1 - (3 x0) = 1 b3 = b3 - (a12 x b2 ) = 72 - (3 x20) = 12
Atau dengan cara lain sebagai berikut : elemen-elemen baris 1 baru = elemen-elemen baris 1 lama – (a12 x â2j) = [ 2 1 1 0 0 30] → baris 1 lama 1 [ 2/3 1 0 1/3 0 20]→baris kunci baru − [ 4/3 0 1 -1/3 0 10] elemen-elemen baris 3 baru = elemen-elemen baris 3 lama – (a13 x â2j) = [4 3 0 0 1 72] → baris 3 lama 3 [ 2/3 1 0 1/3 0 20]→baris kunci baru − [2 0 0 -1 1 12] Sehingga tabel dihasilkan tabel baru sebagai berikut: Ci 0 3 0
Xi
Cj
3 Xj X1 S1 4/3 X2 2/3 S3 2 Zj 2 Zi - Ci -1
3 X2 0 1 0 3 0
0 S1 1 0 0 0 0
0 0 S2 S3 -1/3 0 1/3 0 -1 1 1 0 1 0
bi 10 20 12 60
Ri 15/2 30 6
*) Karena nilai dari Zj - Cj masih ada yang negatif maka tabel belum maksimum, sehingga harus ditentukan kolom kunci, baris kunci dan perhitungan untuk menyusun tabel baru seperti langkah di atas, dan diperoleh tabel baru sebagai berikut : Ci 0 3 3
Cj
3 Xi Xj X1 S1 0 X2 0 X1 1 Zj 3 Zj - Cj 0
3 X2 0 1 0 3 0
0 S1 1 0 0 0 0
0 S2
0 S3
1/3
-2/3
2/3
-1/3
-1/2
½
½
½
½
½
bi 2 16 6 66
Ri
*) Karena semua nilai dari Zj - Cj ≥ 0 maka tabel sudah maksimum dengan nilai dari X1 = 6 dan X2 = 16 dan Zmaks adalah 66. Sehingga hasil akhir dari tabel simpleks persoalan di atas adalah sebagai berikut:
Ci 0 0 0 0 3 0 0 3 3
Xi S1 S2 S3
Cj Xj
Zj Zi - Ci S1 X2 S3 Zj Zi - Ci S1 X2 X1 Zj Zj – Cj
3
3
X1
X2 S1
2 2 4 0 -3 4/3 2/3 2 2 -1 0 0 1 3 0
1 3 3 0 -3 0 1 0 3 0 0 1 0 3 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0
0
S2
S3
bi
Ri
0 1 0 0 0 -1/3 1/3 -1 1 1 1/3 2/3 -1/2 ½ ½
0 0 1 0 0
30 60 72 0
30 20 24
10 20 12 60
15/2 30 6
0 0 1 0 0 -2/3 -1/3 ½ ½ ½
2 16 6 66
Contoh Soal: Selesaikan Persoalan Program Linier berikut dengan Metode Simpleks. 1.
Memaksimumkan Z = 2 X1 + X2 Fungsi Kendala : a. X1 + 2 X2 ≤ 80 b. 3X1 + 2 X2 ≤ 120 c. 2X1
≤ 360 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
2. Memaksimumkan Z = 2 X1 + 3X2 Fungsi Kendala : a. 5X1 + 6X2 ≤ 60 b.
X1 + 2X2 ≤ 16
c.
X1
≤ 10
d.
X2 ≤ 6, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
3. Memaksimumkan Z = 2 X1 − 7X2 Fungsi Kendala : a. −2X1 + 3X2 = 3 b.
4X1 + 5X2 ≥ 16
c.
6X1 + 7X2 ≤ 3
d.
4X1 + 8X2 ≥ 5, dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0.
4. Memaksimumkan Z = 4 X1 + 5 X2 Fungsi Kendala : a). 5X1 + 4X2 ≤ 200 b). 3X1 + 6X2 = 180 c). 8X1 + 5X2
160, dan X1
0, X2
0
5. Memaksimumkan Z = 4 X1 + 2 X2 − X3 + 5 X4 Fungsi Kendala: a). 3X1 + X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 25 b). 2X1 − X2 + X3 + X4
15
c). X1 + 2X2 + 3X3 + X4 = 20, dan X1
0, X2
0, X3
0, X4 0.
