PERTEMUAN 5 Metode Simpleks Kasus Minimum Untuk menyelesaikan Persoalan Program Linier dengan Metode Simpleks untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan caranya berbeda. Model matematika dari Permasalahan Program Linier dapat dinyatakan dalam bentuk Sistem Persamaan Linier (AX = B) sebagai berikut : *) Fungsi Tujuan (Z = CX):
*) Fungsi Kendala (AX ≤ atau ≥ B):
Berikut ini langkah-langkah penyelesaian Persoalan Program Linier fungsi tujuan meminimumkan dengan Metode Simpleks. 1.
Mengubah semua kendala ke Bentuk Kanonik Simpleks (yang semula menggunakan tanda pertidaksamaan menjadi persamaan) dengan menambah perubah (variabel) Slack S. Perubahperubah slack yang ada dimasukkan (ditambahkan) ke fungsi sasaran dan diberi koefisien 0.
2.
Apakah dalam matriks A = [aij] (pada fungsi kendala) sudah terbentuk Matriks Identitas (In) ? 2.1
Apabila dalam matriks A sudah terbentuk Matriks Identitas maka disusun tabel awal simpleks sebagai berikut :
Cj
Ci C.1 .. Cm
C1 C2 X2 Xi Xj X1 X.1 a.11 a.12 .. .. .. Xm am1 am2 Zj Z1 Z2 Zj – Cj Z1 – C1 Z2 – C2
… 0 Cn … Xn S1 … 1. a.1n .. .. … … 0 amn … Zn … Zn – Cn
0 S2 0. .. 0
… … … … … … …
–M V1 0. .. 0
… … … … …
bi b.1 .. bm
Ri R.1 .. Rm
Keterangan : *) Baris Cj diisi dengan para koefisien Fungsi Tujuan (sasaran) *) Baris Xj diisi dengan nama-nama perubah (variabel) yang ada. *) Kolom Xi diisi dengan nama-nama perubah yang menjadi basis (variabel yang menyusun matriks Identitas) . *) Kolom Ci diisi dengan para koefisien perubah yang menjadi basis *) Kolom bi diisi dengan para konstanta fungsi kendala (Nilai Sebelah Kanan/NSK). *) Baris Zj diisi dengan rumus Zj =
m
C i a ij
, untuk j = 1, 2, ..., n
i =1
*) Kolom Ri diisi dengan rumus Ri =
bi a ik
kunci, dan Ri dihitung hanya untuk aik
(aik = elemen-elemen yang berada dalam kolom 0)
Selanjutnya dilanjutkan ke langkah 3, 2.2
Jika belum terbentuk matriks identitas (In) , maka matriks identitas ditimbulkan (dimunculkan) dengan menambah perubah semu dan diberi notasi (V). Perubah semu yang ada dimasukan di fungsi sasaran, sedangkan koefisien dari variabel semu pada fungsi sasaran diberi nilai (+M), dengan M adalah bilangan yang cukup besar. Dilanjutkan ke langkah 2.1 3. Penelitian terhadap nilai Zj - Cj. (Tabel sudah mainimum jika semua Zj - Cj ≤ 0). 3.1 Jika untuk semua Zj - Cj ≤ 0 dilanjutkan ke langkah 4, 3.2 Jika ada Zj - Cj > 0 (positif), maka dibuat tabel baru dengan cara sebagai berikut : 3.2.1
Menentukan kolom kunci yaitu memilih nilai Zj - Cj yang terbesar yaitu (Max{ Zj - Cj}. Sebut dengan Zk - Ck maka kolom ke-k disebut kolom kunci.
3.2.2
Pada kolom ke-k dilakukan pemeriksaan terhadap nilai aik. 3.2.2.1 Jika untuk semua aik negatif (aik < 0) maka jawab tidak terbatas (Nilai
Fungsi Tujuan tidak Terbatas)/(Unbounded). 3.2.2.2 Jika terdapat aik yang positif hitung nilai Ri, (untuk aik yang positif saja) kemudian dilanjutkan ke langkah 3.2.3, 3.2.3
Menentukan baris kunci, yaitu dengan memilih nilai Ri yang terkecil (diantara yang positif) Min{Ri}, namakan Rr, maka baris ke-r disebut baris kunci.
3.2.4
Kemudian disusun tabel baru sebagai berikut (dimulai dari baris kunci baru): 3.2.4.1 Untuk elemen baris r baru = elemen baris r lama dibagi ark , atau a rj =
a rj a rk
3.2.4.2 Untuk elemen baris i yang lain, elemen baris i baru = elemen baris i lama - (aik x elemen baris r baru) atau a ij = a ij − (a ik x a rj ) Kemudian tentukan lagi nilai Xi, Ci, Zj , Zj - Cj. Kembali ke langkah 3. 4. Apakah pada tabel terakhir terdapat nilai Vk yang positip ? 4.1 Jika ada nilai Vk yang positif maka soal asli tidak fisibel (Infeasible Solution). 4.2 Jika tidak ada nilai Vk yang positif maka akan diperoleh penyelesaian yang maksimum. Jadi langkah-langkah Metode Simpleks Kasus Meminimumkan hampir sama dengan kasus Maksimum, hanya ada beberapa perbedaaan yaitu : 1. Pengubahan bentuk kanonik, koefisien dari peubah (variabel) semu (V) pada fungsi sasaran adalah +M (positif M) dimana M bilangan yang sangat besar. 2. Tabel sudah minimum jika semua nilai dari Zj -Cj ≤ 0. 3. Penentuan kolom kunci berdasarkan nilai dari Zj -Cj yang paling besar yaitu (maks {Zj - Cj }). Contoh Soal : Meminimumkan : Z = 40 X1 + 80X2 dengan syarat ikatan : a). X1 + X2 ≥ 4 b). X1 + 3X2 ≥ 6 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0
Penyelesaian : *) Bentuk Kanonik : X1 + X2 - 1S1 + 0S2 + 1 V1 + 0V2 = 4 X1 + 3X2 + 0S1 - 1S2 + 0 V1 + 1V2 = 6 Meminimumkan : Z = 40 X1 + 80X2 + 0S1 + 0S2 + MV1 + MV2 *) Tabel simpleks : 40
80
0
0
M
M
X1
X2
S1
S2
V1
V2
1 3 4M
X2
1 1 2M 2M−40 2/3 1/3
0 −1 −M −M 1/3 −1/3
0 1 M 0 −1/3 −1/3
Zj Zi - Ci
(2M+80)/3 (2M− −40)/3
X1
1 0 40 0
1 0 M 0 1 0 M 0 3/2 −1/2 20 20−M
Cj
Ci M M
Xi
Xj V1 V2
Zj Zi - Ci M 80
V1
40 80
X2
Zj Zi - Ci
−1 0 −M 4M− −80 −M 0 −1 1 0 80 −M 0 −M 1 −3/2 0 1/2 80 −20 0 −20
(M− 80)/3 (M− 80)/3
1/2 −1/2 −20 −20
(80− M)/3 (80− 3M)/3
−1/2 1/2 20 20−M
bi 4 6 10M
Ri 4 2
2 2 2M+160
3 6
3 1 200
Karena semua Zj – Cj ≤ 0, maka tabel sudah minimal, dengan nilai X1 = 3, dan X2 = 1, dan Zminimalnya = 200. Contoh Soal: Selesaikan Persoalan Program Linier berikut dengan Metode Simpleks. 1. Meminimumkan F = 22 X1 + 6 X2 Fungsi Kendala : a. 11X1 + 3 X2 ≥ 33 b. 8X1 + 5X2 ≤ 40 c. 7X1 + 10X2 ≤ 70 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0,
2. Meminimumkan Z = 20 X + 30 Y Fungsi Kendala: a). 2 X + Y
10
d). X − 8 Y ≤ 0
b). X + 2 Y ≤ 14
e). X
c). X + 4 Y
dan X
12
≤ 8 0, Y
0
3. Meminimumkan Z = 6X1 + 8 X2 Fungsi Kendala: a). 3X1 + X2
4
b). 5X1 + 2X2 ≤ 10 c). X1 + 2X2 = 3 dan X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, 4. Meminimumkan Z = 2 X1 + 3 X2 + 5 X3 + 6 X4 Fungsi Kendala: a). 2X1 + 4X2 + 6X3 + 2X4 4 b). −2X1 + X2 − X3 + 3X4 ≤ −3, dan X1
0, X2
0, X3
0, X4
0.
5. Meminimumkan Z = 4 X1 + 2 X2 − 2 X3 + 5 X4 Fungsi Kendala: a). 3X1 + X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 25 b). 2X1 − X2 + X3 + 2X4
15,
c). X1 + 2X2 + 3X3 + X4 = 20, dan X1
0, X2
0, X3
0, X4
0.
