PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID 2 DIMENSI MENJADI 3 DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA

Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid 2 Dimensi Menjadi 3 Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola

Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 2014 Semarang Hal.326-336

PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID 2 DIMENSI MENJADI 3 DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA Purwoto 1), Hanna Arini Parhusip2), Tundjung Mahatma3) Program Studi Matemarika,Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen SatyaWacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1) [email protected], 2)[email protected], 3) [email protected] 1)3)

Abstrak Hyplocycloid merupakan ku rva parametrik yang ditentukan oleh nilai parameternya. Berbagai macam bentuk kurva hypocycloid yang dihasilkan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola, dimana setiap titik dari permu kaan mempunyai jari-jari dan sudut. Hasil persamaan perluasan diturunkan terhadap masingmasing parameternya dan diko mbinasikan untuk mendapatkan hasil perluasan yang lain. Hasil perluasan 3 dimensi digambarkan atau divisualisasikan dengan menggunakan program MATLAB. Hasil visualisasi ini merupakan persamaan hypocycloid yang telah di generalisasikan terhadap sistem koordinat bola. Kata kunci: Hypocycloid, persamaan parametrik, sistem koordinat bola, 3 d imensi

A. Pendahuluan Beberapa bentuk kurva di dalam matematika sudah banyak dikenal dan disajikan, baik dalam bentuk persamaan kartesian maupun persamaan parametrik. Contohnya adalah lingkaran, ellips, hiperbola, dan parabola. Persamaan-persamaan tersebut dapat diperluas ke dalam 3 dimensi atau sebagai permukaan kuadrik berturut-turut menjadi bola, ellipsoida, hiperboloida, dan paraboloida. Bentuk-bentuk kurva lain dalam persamaan kartesian dan persamaan parametrik sudah banyak divisualisasikan di dalam bentuk 2 dimensi dan diberikan nama. Beberapa diantaranya adalah astroid, cycloid, hypocycloid, dan masih banyak lagi (Web1). Hypocycloid merupakan salah satu persamaan parametrik yang mempunyai bentukbentuk beranekaragam tergantung parameternya. Persamaan hypocycloid ini yang kemudian akan dicari bentuk perluasan 3 dimensi dengan beberapa bentuk parameter yang berbeda. Dalam satu persamaan hypocycloid akan dihasilkan beberapa bentuk perluasan 3 dimensi sesuai dengan parameternya. Penyusunan perluasan hypocycloid ke dalam 3 dimensi kmenggunakan sistem koordinat bola yang digeneralisasikan terhadap persamaan parametriknya. Persamaan baru yang dihasilkan diturunkan terhadap parameter  dan  . Perluasan yang sudah terbentuk kemudian divisualisasikan secara grafis dengan menggunakan program MATLAB. Hasil turunan yang didapat juga dikombinasikan dan divisualisasikan sehingga akan diperoleh bentuk-bentuk perluasan lain yang bermacam- macam dari satu persamaan hypocycloid. ISBN 978-602-1034-06-4



B. Tinjauan Pustaka Visualisasi 2 dime nsi dalam model dekoratif Beberapa visualisasi kurva parametrik klasik, seperti hypocycloid telah dipelajari dan digunakan di dalam menyusun motif dekoratif. Persamaan parametrik yang berbentuk x  x(t ) dan y  y(t ) mempunyai pasangan titik ( x, y) sehingga membentuk motif- motif dekoratif. Persamaan hypocycloid merupakan salah satu dari persamaan parametrik. Persamaan hypocycloid telah dipelajari sebagai domain dari beberapa pemetaan seperti pemetaan kompleks dan pemetaan Voronoi (Parhusip,2014). Sebagai contoh pemetaan fungsi 1 kompleks yang digunakan adalah fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Hasil visualisasi dibuat dengan menggunakan program MATLAB (Suryaningsih,dkk,2013). Hasil yang diperoleh ditunjukkan sebagai berikut

Gambar 1. Ko mposisi transformasi 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) terhadap 𝐹 𝑧 = 1 𝑧 yang kemudian di gabungkan (Suryaningsih,dkk,2013)

Selain itu terdapat juga pemetaan kurva parametrik hypocycloid oleh fungsi kompleks 1 f z   cosz  , f z   , f z   sinz  dan dipetakan dengan pemetaan voronoi z (Parhusip,2014). Hasil yang diperoleh ditunjukan sebagai berikut

ISBN 978-602-1034-06-4



Gambar 2.Hasil pemetaan persamaan hypocycloid dalam f ( z )  cos( pemetaan voronoi (Parhusip,2014)

z ) dan dipetakan dengan

Visualisasi 3 dime nsi Tim IMAGINARY oleh sebuah badan Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach di Jerman mengumpulkan berbagai macam ilustrasi yang didapatkan dari geometri. Geometri yang merupakan salah satu bidang dalam matematika dipandang sebagai sesuatu yang sangat menarik dan diekspresikan dalam sebuah gambar dengan program computer untuk matematika. Program-program matematika yang digunakan dalam memvisualisasikan beberapa diantaranya adalah 3D_XplorMath , Cinderella, dan Surfer. 3D_XplorMath merupakan program yang paling luas di dalam memvisualisasikan objek matematika (Greuel,2008). Beberapa objek oleh tim IMAGINARY ditunjukkan

Gambar 3. Hasil v isualisasi Algebraic sculptures yang diornamenkan oleh t im IMA GINA RY (Greuel,2008)

C. Metode Penelitian Mengenal bentuk dan pe rsamaan hypocycloid. Hypocycloid terbentuk oleh sebuah titik P pada keliling sebuah lingkaran kecil dengan radius b yang menggelinding di dalam lingkaran yang lebih besar dengan radius a (a>b) (Hsu,et.al,2008). Bermacam ukuran dari lingkaran menghasilkan hypocycloid yang berbeda. Secara umum persamaan dapat dituliskan sebagai  a  b    a  b   x  a  b  cos   b cos  (1)  ; y  a  b sin   b sin   ;  b    b   Persamaan (1) tersebut pada dasarnya merupakan persamaan umum dari epicycloid dan juga hypocycloid. Parameter b menjadi parameter yang menentukan bentuk yang diperoleh. Ketika b bernilai positif akan menghasilkan epicycloid dan ketika b bernilai negatif akan menghasilkan hypocycloid. Hypocycloid mempunyai beberapa bentuk yang berbeda-beda tergantung dari parameter yang diberikan. Dengan ditetapkan a=1 sebagai p radius lingkaran besar dan b sebagai radius lingkaran kecil yaitu b  bentuk hypocycloid q akan dijumpai ketika p < q . Sedangkan ketika p>q akan terbentuk kurva epicycloids sekalipun b bernilai negatif. Secara umum untuk persamaan hypocycloid itu sendiri dapat dituliskan sebagai berikut

ISBN 978-602-1034-06-4



 a  b    a  b   (2) x  a  b  cos   b cos   ; y  a  b sin   b sin   ;  b    b   Sistem Koordinat bola Sistem koordinat bola merupakan salah satu dari banyak cara pemerincian posisi titik di ruang 3 dimensi. Jenis koordinat bola  , ,   ini memainkan peranan penting di dalam kalkulus (Purcell,1987).

Gambar 4. Tit ik P di dalam sistem koord inat bola (Purcell,1987)

Sebuah titik P mempunyai koordinat bola  , ,   jika  adalah jarak |OP| dari titik asal ke P,  adalah kutub yang berhubungan dengan proyeksi P’ dari P ke bidang xy, dan  adalah sudut antara z positif dan ruas garis OP. Hasil yang diperoleh dari perluasan kurva parametrik hypocycloid oleh sistem koordinat bola memberikan persamaan dengan dua parameter yaitu  dan  . Hasil persamaan yang diperoleh diturunkan terhadap parameter-parameter tersebut . Turunan Persamaan Parametrik Diasumsikan persamaan parametrik x  f u  dan y  g u  maka turunan pertama dy persamaan parametrik adalah (Ayres,2009) . Turunan persamaan parametrik dirumuskan dx dy  dy   dx      (3) dx  du   du  Contoh 1: dy Persamaan parametrik x  a cos 4  dan y  a sin 4  ; tentukan dx Penyeleseian dy  4a cos 3  sin  d ISBN 978-602-1034-06-4



dx  4a sin 3  cos  d dy  cos 2   dx sin 2 

D. Hasil dan Pe mbahasan Persamaan (1) mempunyai bentuk yang bermacam- macam dipengaruhi oleh nilai parameter a dan b. Dengan parameter a=1 sebagai radius lingkaran besar maka bentukp bentuk hypocycloid hanya tergantung parameter b. Dengan b  akan dibuat pola q perubahan bentuk hypocycloid dengan parameter yang ditentukan. Dengan menggunakan program MATLAB diperoleh hasil Tabel 1. Program Matlab untuk mencari bentuk hypocycloid dan parameternya clear close all n=100; %banyaknya titik p=1; for q=1:9; %Pengulangan terhadap nilai q a=1;b=-(p/q); % b bernilai negative sebagai persa maan hypocycloid syms theta x=(a+b).*cos(theta)+ b.*co s((a+b)./b.*theta); y=(a+b).*sin(theta)+ b.*sin((a+b)./b.*theta); subplot(3, 3, 3*(p -1) + q) ; ezplot(x, y, [0 2*p*pi]); end 1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1 -2

0

0

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.8 0.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

0.4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-3 -3

-1 -1

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.5

0

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-1 -1

0.8

1.5

4 1

3 2

0.5

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-1 -1

0

1

1 0.8

1

0.6

0.8

1

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0

-0.4

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1.5 -2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

-0.5

0

0.5

0.4

0.6

0.2 0

-0.6

-0.2 -0.4

-0.6

-0.8

-0.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5

0

0.5

-0.8

-1 -1

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 -1

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Gambar 6. Bentuk hypocycloid untukp=2 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4) 3

8 6

2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

4 2

-0.2

-1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.6

-0.6

-2

-1 -1

1

-0.4

-0.4

-4

-0.8

-0.6

-0.2

-0.2

-2

-0.4

-0.8

0

0

0

0

-1.5

-0.2

-0.4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-8 -8

2

-0.8

-0.8

-6

-3

-0.4

0.4

0.2

-0.2

-0.4

0

0

-0.6

-4

-0.6

1

-0.2

-1 -1

-0.6 -0.8 -0.8

0.8

0.4

0 -0.2

-0.6

-1

-5 -5

-1

0

-1 -1

1

0.2

-0.8

-1.2

0.2

-0.8

-0.8

0.6

-0.4

-1.4

-0.6

0.4

-1

-1.6

-0.2

-0.6

0.8

-0.5

-1.8

0.6

0.2

-2

-4

-0.4

-0.6 -0.8

-1 -2

1.5

0.4

0

0

1

0

1

-3

0.5

0.8

Gambar 5. Bentuk hypocycloid untukp=1 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4) 5

0

0.2

-0.8

-0.8 -0.8

0.5

-0.5

0.6

-0.4

-0.6

-0.6

-1 -1

-1

-0.2

-0.4

-0.8

-1.5

0.6

0 -0.2

-0.2 -0.4

-2

0.4

0.4 0.2

0

-2.5

1

1 0.8

0

-0.2

-0.4

-0.8

-0.8

0.2 0.2

0

-0.2

-0.6

-2

-0.6

1

-0.2

-0.6

0.2

0

-0.4

-0.2

0.6

0.4

0.4

0.2

0 -0.2

-0.4

0.8

-0.4

0.8 0.6

0.4

0.2

-1

-0.4

-0.6

-0.6

1

0.8 0.6

0.4

0 -0.2

-0.4

-0.8

1 0.8

1

0.8 0.6

1

0.2

-0.8 -1.8

2

0.6 0.4

-0.2

-1 -1

0.6

1

3

1 0.8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -3

8

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5

0

0.5

1

1 0.8

1

2

0.8

0.6

0.6 0.4

-0.2

0

-0.4

-0.5

-0.4 -0.6

-1

-0.8

-0.8 -1 -1 -1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-0.8 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-0.6

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.8

1

0.8

Gambar 7. Bentuk hypocycloid untukp=3 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4)

ISBN 978-602-1034-06-4

0 -0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8

-1.5

-0.6 -0.8

0 -0.2

0 -0.2 -0.4

-0.6

-0.4

0.2

0.2

0.2

-0.2

-0.6

-1 -2

0.4 0.5

0 0

0 -0.2

0.4

0.4

1

0.2 0.2

0.2

0

0.8 0.6

0.6

0.4

0.4 0.2

0.8 0.6

0.8

1.5

0.6

0.4 0.6

-0.2 -0.4

1

1

1

0.8 1 0.8

-2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -2

-1 -1

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

Gambar 8. Bentuk hypocycloid untukp=4 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4)

1



10

4

8

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

2

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

4

1

4

0

0.8

0.4

0.6

1

5

-0.2

1

0.5

3 10

2 1

2 0

0.2

0

0

-0.2

0

0

-2

-0.4

-1

-4

-0.6

-0.8

-3

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -4

-1 -2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-0.5 -0.4

-2

-5

-0.8 -1.8

-0.2

-1

-0.4

-0.6

-2 -6 -8 -10 -10

1.5

5 15

3

6

-0.8

-10 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.6

-1

-3

-1 -1

-4

1

4

-15 -15

-10

-5

0

5

10

-5 -5

15

-1.5 -1.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

5

1 1

2.5

1

0.8

1.5

0.8

1.5

0.6

2

0.6

0.6

0.4

1

0.4 0.2

0.5

0

-0.2

0

-0.4

-0.6 -0.8

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1.5 -1.5

0

-0.2 -0.2 -0.4

-0.6

-0.8

-0.6

-0.8

-1 -1

-1.5

0

-0.5

-0.6

-1 -2

-2

0

0

-1

-0.4

-0.5

-1.5

-2.5 -2.5

0.4

0.5

1

-0.2

-0.4

0.2

0.2

0

0

-1

0.4

2

0.2

1 0.5

-0.5

0.8

0.8

3

0.6

1

1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2

1

-1

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.5 -3 -3

Gambar 9. Bentuk hypocycloid dengan p=5 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

-1.5 -2

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Gambar 10. Bentuk hypocycloid dengan p=6 dan q=1,2,3,4 (kolo m 1-2) ,q=5,6,7,8 (ko lo m 3-4)

Persamaan (1) dengan p  6 dan q  8 didapatkan beberapa hal mengenai hypocycloid dan juga epycicloid. Berikut diantaranya adalah (Rovenskii,2000) a. Apabila parameter b bernilai positif maka bentuk kurva epycicloid b. Apabila parameter b bernilai negatif maka bentuk kurva hypocycloid p p  0 maka kurva berbentuk epyicloid , sebaliknya jika  0 kurva c. Jika nilai q q berbentuk hypocycloid d. Gambar kosong diperoleh ketika p=q sedang nilai a=1 dan parameter b negatif sehingga nilai persamaan x=0 dan y=0 e. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva hypocycloid. Namun jika nilai p dan q dapat disederhanakan ,maka nilai q yang paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid. Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid. Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola 1 1

0.8

0.8

1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.8

0.6

0.6 0.4

0.2

0.2

0

0

0

0

-0.2

-0.2 -0.2

-0.2

-0.4

-0.4 -0.4

-0.4

-0.6

-0.6 -0.6

-0.8 -1 -1

-0.8

-0.6

-0.5

0

0.5

-0.8 -0.8

-1 -1

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.8

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar 11. Bentuk hypocycloid yang akan diperluas ke 3 dimensi dengan sistem koordinat bola

Persamaan (1) akan dibentuk ke dalam persamaan 3 dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap titiknya mempunyai jari-jari  dan juga sudut  dari pusat bola. Demikian pula setiap titik di permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari- jari dan juga sudut.Persamaan hypocycloid menjadi    a  b    a  b   x  sin   a  b  cos   b cos    ; y  sin   a  b  sin   b sin    ; (4)  b    b     r dengan r  x 2  y 2 ;   maka dikonstruksi sin  z   cos  (5)

ISBN 978-602-1034-06-4



Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan (4) dan (5) yaitu  dan  . Dari hasil turuna n persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai bentuk perluasan yang baru. Persamaan (4) diturunkan terhadap      a  b    dy  a  b   dx  cos   (a  b) cos   b cos   cos   (a  b) sin   b sin        d b d  b          

Persamaan (4) diturunkan terhadap   dy  a  b    sin   (a  b) cos   (a  b) cos    ; d  b   

  a  b   dx  sin    (a  b) sin   (a  b) sin    ; d  b    Persamaan (5) diturunkan terhadap  dz    sin  d

Bentuk 1 (Deltoid) Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan (1) dengan parameter a=1 dan b mempunyai 1 2 bentuk sederhana bernilai − 3dan − 3 . Bentuk umum deltoid ini kemudian diperluas dengan sistem koordinat bola . Hasil turunan dari masingmasing parameternya dikombinasikan sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.5

0

0.5

Gambar 12. Deltoid dan perluasan 3 dimensi dengan sistem koordinat bola d ilan jutkan visualisasi dari

ISBN 978-602-1034-06-4



 dx dy dz   dx dy   dx dy   , , ,  , , z ,  , , z  dan  d d d   d d   d d   dx dy   dx dy dz   dx dy dz   dx dy dz   , , z ,  , , ,  , , ,  , ,   d d   d d d   d d d   d d d 

ko mbinasi turunannya

Bentuk 2 (Astroid) Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan (1) dengan parameter a=1 dan b mempunyai 1 3 bentuk sederhana bernilai − dan − . Hasil perluasan ditunjukan 4

4

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8




Bentuk 3 (Star) Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan (1) dengan parameter a=1 dan b mempunyai 2 3 bentuk sederhana bernilai − dan − . Hasil perluasan ditunjukkan 5

ISBN 978-602-1034-06-4

5



1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1




Bentuk 4 Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan (2) dengan parameter a=1 dan b mempunyai 2 5 bentuk sederhana bernilai − 7dan − 7 . Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar

ISBN 978-602-1034-06-4



1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1




Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk 3 dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk 3 dimensi yang bermacam- macam. E. Simpulan dan Saran Hypocycloid merupakan persamaan parametrik yang mempunyai berbagai bentuk tergantung nilai parameternya. Bentuk-bentuk dasar hypocycloid dapat diperluas kedalam bentuk 3 dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan perluasan hypocycloid 3 dimensi yang diturunkan terhadap parameter-parameternya membentuk persamaan baru yang dapat dikombinasikan dan membentuk perluasan baru. Setiap gambar yang diperoleh dengan masingmasing bentuk dasarnya didapatkan kemiripan dalam setiap kombinasi yang dibuat. Setiap kombinasi hypocycloid yang diperluas dengan sistem koordinat bola tersebut dipolakan ke dalam bentuk 3 dimensi dan menjadi satu bentuk keluarga. Hypocycloid merupakan satu dari berbagai persamaan parametrik, sehingga sangat dimungkinkan persamaan-persamaan yang lain untuk diperluas ke dalam 3 dimensi dengan sistem koordinat bola. Terdapat banyak program komputer yang dapat digunakan sebagai alat bantu visualisasi 3 dimensi. F. Daftar Pustaka ISBN 978-602-1034-06-4



[1] Ayres.F., Mendelson.E. 2009. Schaum’s Outlines Calculus, Fifth Edition. McGraw-Hill, Singapore. [2] Hsu MH, Yan HS, Liu JY, Hsieh LC (2008). Epicycloid (Hypocycloid) Mechanisms Design Proceedings of the International Multi Conference of Engineers and Computer Scientists, IMECS, Hong Kong,(2). [3] Greuel G.M, Matt A.D ,” IMAGINARY-Through the eyes of mathematics” Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2008),ISBN 978-3-00-026939-4, Oberwolfach-German. [4] Parhusip H.A, 2014. Arts revealed in calculus and its extension. International Journal of Statistics and Mathematics, 1(3): 002-009, Premier-Publisher,(online). :https://www.academia.edu/8236790/Arts_revealed_in_calculus_and_its_extension or https://www.facebook.com/premierpublisher/posts/788548327863008 or http://premierpublishers.org/ijsm/articles [5] Purcell,Edwin J. Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis jilid 2, edisi kelima,Terj. I Nyoman Susila, Jakarta: Erlangga. [6] Rovenskii, Vladimir Y.,2000. Geometry of Curves and Surfaces with Maple. New York: Birkhauser Bolton [7] Suryaningsih, V, Parhusip,H.A, Mahatma, T, 2013. Kurva Parametrik dan Transformasinya untuk Pembentukan Motif Dekoratif, Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 Nov, ISBN:978-979-16353-9-4,hal. MT – 249-258. [8] Web 1: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html (Di akses pada 29 September 2014)

ISBN 978-602-1034-06-4

PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID 2 DIMENSI MENJADI 3 DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA

Recommend Documents