perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI
oleh AMELIA FEBRIYANTI RESKA M0109008
SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
commit to user SURAKARTA 2016
i
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRAK Amelia Febriyanti R. 2016. PERBANDINGAN PENYELESAIAN SISTEM OREGONATOR DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL DAN METODE ITERASI VARIASIONAL TERMODIFIKASI. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Persoalan yang melibatkan model matematika berupa sistem persamaan diferensial sering dijumpai di berbagai bidang. Salah satunya adalah sistem Oregonator yang merupakan model matematis dari reaksi-reaksi kimia berupa sistem persamaan diferensial nonlinear. Secara umum, sistem persamaan diferensial nonlinear sulit ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga pendekatan numerik sebagai alternatifnya. Metode iterasi variasional (MIV) adalah metode pendekatan numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial. MIV mempunyai karakteristik khusus yaitu adanya penentuan fungsi koreksi yang langsung dikonstruksi dari persamaan sistem yang diberikan. Secara khusus, dalam kasus sistem persamaan diferensial orde satu MIV dapat dimodifikasi. Pada modifikasi ini, fungsi koreksi diperoleh berdasarkan transformasi x = P y. Selanjutnya, metode ini dikenal sebagai metode iterasi variasional termodifikasi (MIVT) . Pada Penelitian ini ditentukan penyelesaian sistem Oregonator dengan MIV dan MIVT. Selanjutnya, dibandingkan hasil penyelesaian sistem Oregonator yang diperoleh dari kedua metode tersebut dengan simulasi penerapan contoh. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MIV dan MIVT dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem Oregonator. Dari simulasi contoh, hasil penyelesaian sistem persamaan diferensial tiga variabel yang nilai eigennya real lebih baik menggunakan MIVT. Sedangkan, sistem Oregonator mempunyai nilai eigen real dan kompleks yang hasil penyelesaiannya lebih baik menggunakan MIV. Kata kunci: sistem Oregonator, metode iterasi variasional, metode iterasi variasional termodifikasi.
commit to user
iii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
ABSTRACT Amelia Febriyanti R. 2016. SOLUTION COMPARISON OREGONATOR SYSTEM WITH VARIATIONAL ITERATION METHOD AND MODIFIED VARIATIONAL ITERATION METHOD. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. The issues involving the mathematical model in the form of a system of differential equations are often founded in various fields. One of them is a Oregonator system that states a mathematical model of chemical reactions in the form of a system of nonlinear differential equations. In general, a system of nonlinear differential equations is difficult to determine exact solution, so that the numerical approach as an alternative. The Variational iteration method (VIM) is a numerical method that can be used to solve a system of differential equations. The VIM has special characteristic of determination the correction function which directly constructed of he equation system. Specifically, in the case of a system of first order differential equation, the VIM can be modified. In the modification, correction function is obtained by the transformation x = P y. Furthermore, this method is known as a modified variational iteration method (MVIM). In this research will be implemented to show the Oregonator system. Furthermore, comparing the solutions of the Oregonator system obtained from both methods with the simulation application examples. The results show that the VIM and MVIM can be implemented to solve the Oregonator system. From the simulations, the MVIM is better than the VIM for the system of differential equation with three variables with real eigen values. Moreover, the VIM is better than the MVIM for Oregonator system because it has the complex eigen values. Key words: Oregonator system, variational iteration method, modified variational iteration method
commit to user
iv
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
PERSEMBAHAN
Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk keluarga dan teman-temanku. Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya.
commit to user
v
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Bapak Dr. Sutanto, S.Si., DEA selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini. 2. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan. Surakarta, Februari 2016
Penulis
commit to user
vi
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
HALAMAN PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
I
DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
PENDAHULUAN
1
1.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
II LANDASAN TEORI 2.1
4
Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Sistem Oregonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Variasi Gˆateaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.4
Metode Iterasi Variasional . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.5
commit tountuk user Sistem Persamaan DifeMetode Iterasi Variasional rensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
8
perpustakaan.uns.ac.id
2.1.6 2.2
digilib.uns.ac.id
Metode Iterasi Variasional Termodifikasi . . . . . . . . . .
9
Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
III METODE PENELITIAN
14
IV PEMBAHASAN
16
4.1
Penyelesaian dengan Metode Iterasi Variasional (MIV) . . . . . .
4.2
Penyelesaian dengan Metode Iterasi Variasional Termodifikasi (MI-
4.3
16
VT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Contoh Penerapan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.1
Contoh 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
4.3.2
Contoh 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
V PENUTUP
28
5.1
Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
DAFTAR PUSTAKA
29
commit to user
viii
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR TABEL
4.1
Penyelesaian Contoh 1 dengan MIV dan MIVT . . . . . . . . . .
24
4.2
Penyelesaian Contoh 2 dengan MIV dan MIVT . . . . . . . . . .
27
commit to user
ix
perpustakaan.uns.ac.id
digilib.uns.ac.id
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL
J
:
matriks Jacobian
D
:
matriks diagonal
L
:
operator linear
N
:
operator nonlinear
n
:
jumlah iterasi
Y
:
ruang linear
t
:
waktu
R
:
himpunan bilangan real
N
:
himpunan bilangan asli
δ
:
variasi terbatas
λ
:
nilai eigen
v
:
vektor eigen
µ
:
pengali Lagrange
commit to user
x
