PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI
TESIS
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR 097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh
TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR 097021074/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI Nama Mahasiswa : Tohom Paha Mei Banjarnahor Nomor Pokok : 097021074 Program Studi : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Ketua
(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 15 Juni 2011
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 15 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Prof. Dr. Tulus, M.Si
Anggota
:
1. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Drs. Marwan Harahap, M.Eng
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Tesis ini membahas tentang bagaimana memperkirakan solusi dari persamaan non linear pada ruang Banach dengan menggunakan metode Newton Raphson. Oleh karena adanya kesalahan pembulatan pada barisan yang dihasilkan oleh komputer sehingga berbeda dengan barisan yang dihasilkan secara teori, maka digunakan hipotesis Lipschitz pada turunan Frechet ke-m (m ≥ 2, bulat) sebagai pengganti dari barisan tersebut. Hal ini akan memenuhi syarat cukup konvergensi dan selanjutnya akan dapat mempercepat rasio konvergensi. Kata kunci : Ruang banach, Metode newton, Turunan frechet, Syarat lipschitz.
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT This thesis discusses how to estimate the solution of non linear equations in Banach space using Newton Raphson method. Due to rounding errors in the sequence generated by a computer different with a sequence generated analytically, then used the hypothesis on the Lipschitz Frechet derivative mth (m ≥ 2, integer) instead of the sequence. This convergence will be qualified enough and then will be able to accelerate the convergence ratio. Keywords : Banach space, Newton’s method, Frechet derivative, Lipschitz condition.
ii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan, karena berkat kasih dan karunia-Nya jualah penulis dapat menyelesaikan perkuliahan tepat waktu dan menyelesaikan Tesis dengan judul ”PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI”. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Bapak Prof. Dr.dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada Program Studi Magister Matematika. Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan juga selaku Ketua Komisi Panitia Penguji tesis ini, yang telah dengan penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis hingga selesainya tesis ini dengan baik. Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar selama masa perkuliahan. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si, selaku pembimbing tesis yang telah banyak memberikan saran dan masukan, juga motivasi belajar masa perkuliahan. Bapak Prof. Dr. Opim Salim, M.Sc dan Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku pembanding dan penguji atas segala saran dan petunjuk yang diberikan. Gubernur Sumatera Utara, yang telah memberi bantuan beasiswa pendidikan kepada penulis melalui BAPPEDASU. iii Universitas Sumatera Utara
Bapak Drs. Open Darnius, M.Sc ; Drs. Marihat Situmorang, Mkom; Drs. S. Arriswoyo, M.Si; Drs. Sawaluddin, M.IT dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si sebagai staf pengajar yang telah memberikan ilmunya kepada penulis selama perkuliahan. Bapak Kepala Dinas Pendidikan, Sekretaris, Kabid SLTP / SM/PT dan jajarannya, Kepala UPT Disdik dan Camat Kecamatan Sirandorung dan rekan rekan Kepala Sekolah dalam lingkungan dinas pendidikan Kabupaten Tapanuli Tengah Rekan mahasiswa angkatan 2008 dan 2009 atas kerjasama dan kebersamaan yang indah selama perkuliahan dan rekan-rekan guru dan staf SMA Negeri 1 Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah yang turut memberi motivasi kepada penulis. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada istri tercinta Masda Br. Situmorang yang selalu mendukung penulis dalam menyelesaikan kuliah dan kepada Anak-anakku tersayang Teresia Imelda, Blessinta, Anugerah dan Ruth Realita. Secara khusus penulis menyampaikan terima kasih dan sayang yang mendalam kepada orangtua penulis ayahanda Alm. M. Banjarnahor dan Ibunda K. Br. Siregar, kakak, adik-adik, ipar dan semua keponakan saya yang senantiasa memberikan dukungan dan mendoakan keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini. Kepada seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan, semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalaskan segala kebaikan yang telah diberikan, Amin. Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.
Medan, 15 Juni 2011 Penulis,
Tohom Paha Mei Banjarnahor iv Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Tohom Paha Mei Banjarnahor dilahirkan di Bakara pada tanggal 15 Mei 1971 anak ke-7 dari 9 orang bersaudara. Nama Ayah Alm. Madang Banjarnahor dan Ibu Kristina Br. Siregar. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri Marbun tahun 1984, melajutkan pendidikan ke Sekolah Menengah Pertama Negeri Bakara tamat tahun 1987, kemudian melanjut ke Sekolah Menengah Atas Negeri Barus dan tamat tahun 1990. Pada tahun 1990 kuliah di Institut Keguruan dan ilmu Pendidikan Negeri Medan jurusan Pendidikan Matematika tamat tahun 1995.
Pada tahun 1997
penulis menjadi guru di SLTP Negeri 2 Manduamas Kabupaten Tapanuli Tengah, dan pada tahun 2005 menjadi guru di SMA Negeri 1 Sirandorung dan mendapat tugas tambahan sebagai kepala sekolah sampai dengan sekarang. Sebagai seorang kepala rumah tangga, penulis tinggal bersama isteri dan anak di Desa Siordang Kecamatan Sirandorung Kabupaten Tapanuli Tengah.
v Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
KATA PENGANTAR
iii
RIWAYAT HIDUP
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR TABEL
viii
DAFTAR GAMBAR
ix
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Kontribusi Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
4
2.1 Aplikasi Metode Iterasi Variasional He dalam Menyelesaikan Persamaan Orde ketujuh Swada-Kotera
4
2.2 Metode Iterasi Variasional He
4
2.3 Aplikasi Variational Iteration Method (VIM) untuk Ordo ke 7 Sawada Kotera (sSK) dan Lax’s Seventh Korteweg-de Vries (LsKdV)
5
2.4 Penerapan dalam Contoh
6
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
9
3.1 Kesalahan Pembulatan (Round off error) 3.2 Metode Iterasi (Iterative Method)
9 12
vi Universitas Sumatera Utara
3.3 Metode Newton Rapshon dalam Sistem Persamaan Non Linier
14
3.3.1 Fungsi dan Himpunan Konveks
15
3.3.2 Ruang Banach (Banach Space)
16
3.3.3 Turunan Frechet
18
3.3.4 Lipschitz Kontinu
19
BAB 4 PEMBAHASAN
20
4.1 Pengaruh Kesalahan Pembulatan
20
4.2 Analisis Konvergensi
21
4.3 Penerapan dalam Kasus
25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
30
5.1 Kesimpulan
30
5.2 Saran
30
DAFTAR PUSTAKA
31
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
3.1
Representase Kesalahan
10
3.2
Jumlah Iterasi dan Kesalahan ε = |xn − L|
12
4.1
Iterasi metode newton
27
4.2
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
28
4.3
Iterasi newton Raphson (pembulatan 5 desimal)
29
viii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Solusi hampiran u(x, t)
7
2.2
Solusi eksak u(x, t)
7
2.3
Solusi hampiran u(x, t)
8
2.4
Solusi eksak u(x, t)
8
ix Universitas Sumatera Utara
