PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI BERUPA NORMA CAMPURAN H

PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI BERUPA NORMA CAMPURAN H 2 DAN H ∞

Robertus Heri Soelistyo Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, Tembalang Semarang.

H 2 / H ∞ standard problem. Specifically an LQG control design problem involving a constraint on H ∞ disturbance attenuation is addressed. It is shown that the H 2 / H ∞ dynamic compensator gains are completely characterized via coupled Abstract. This paper considers the mix-norm

Riccati/Lyapunov equation. The principle result involves a sufficient condition for characterizing full order guaranteeing closed loop stability, a constrained H ∞ disturbance attenuation and an optimized

H 2 performance bound.

Keywords: mixed-norm optimized

H 2 / H ∞ , closed loop stability, H ∞ disturbance attenuation, an

H 2 performance bound.

1. PENDAHULUAN Sistem kontrol berumpan balik (feedback control sistem) adalah sistem kontrol yang menjaga hubungan antara masukan dan keluaran dan membandingkannya dengan menggunakan selisihnya sebagai alat pengontrolan. Sedangkan sistem kotrol lup tertutup merupakan sistem kontrol yang sinyal keluarannya berpengaruh langsung pada aksi pengontrolan. Jadi sistem kontrol lup tertutup termasuk sistem kontrol berumpan balik. Dalam sistem kontrol lup tertutup, fungsi pengontrol sangatlah penting untuk memperkecil kesalahan dan membuat agar keluaran sistem mendekati harga yang diinginkan. Salah satu cara untuk mencari pengontrol adalah dengan teori kontrol campuran H 2 / H ∞ . Latar belakang yang mendasari kontrol campuran H 2 / H ∞ , adalah adanya dua persoalan utama dalam desain sistem kontrol. Pertama optimisasi performansi yang diinginkan. Kedua, penting untuk disadari bahwa model selalu menyatakan suatu nominal sistem sementara sistem yang sebenarnya merupakan subyek ketidakpastian. Untuk keperluan itulah, kedua aspek ini harus diako98

modasi dalam desain sistem kontrol yang sama yaitu sistem kontrol campuran H 2 / H ∞ , yang terdiri dari optimasi norma H 2 dari suatu fungsi alih lup tertutup, sementara norm norma H ∞ dari fungsi alih yang lain dipaksa untuk kurang dari suatu konstanta yang telah ditentukan. Situasi tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 1.

Z2 Z∞

Σ

y

w u

Σc Gambar 1. Desain kontrol campuran H2 / H∞ Dimana ∑ adalah sistem time invariant dan ∑ c merupakan pengontrolnya. Masalah optimal campuran H 2 / H ∞ adalah mencari pengontrol ∑ c sedemikian se-

Robertus Heri Soelistyo (Penentuan Suatu Pengontrol dengan Indeks Performansi Berupa …)

hingga

{

min Tzw

γ >0

untuk 2 2

: Tzw

∞

<γ

}

2. PERMASALAHAN Misalkan diketahui plant P(s) order n yang stabilizable dan detectable, dengan model dinamik sebagai berikut. xɺ (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + D1 w(t )

A E1 E1∞ C

Z∞

D1 0 E∞ D2

w

B E2 E 2∞ D

y

Masalah teori kontrol LQG dengan kendala H ∞ adalah menentukan pengontrol order n xɺ c (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ),

u (t ) = C c xc (t ), yang memenuhi syarat: i. Sistem lup tertutup dari model (2.1) dinamik stabil asimtotik. ii. fungsi alih nonstrictly proper q∞ × d ~ ~ ~ H ( s ) = E∞ ( sI n~ − A) −1 D + E∞ dari w(t ) ke z ∞ (t ) = E1∞ x(t ) + E 2∞ u (t ) + E ∞ w(t ) memenuhi kendala H ( s) ∞ ≤ γ , γ > 0 . iii. Performansifungsional

{

Z2

(2.1)

y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) + D2 w(t ).

J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x(t ) t →∞ T

Perhatikan blok diagram masalah baku campuran H 2 / H ∞ seperti Gambar 2 berikut.

}

+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u (t ) R2 u (t ) adalah minimal.

3. PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI BERUPA NORMA CAMPURAN H 2 DAN H ∞ 3.1. Teori Kontrol LQG dengan kendala Pelemahan Gangguan H ∞ Dalam sub bab ini dibahas teori kontrol LQG dengan kendala pelemahan gangguan H ∞ . Tanpa criteria performansi H 2 , masalah yang dibahas di sini adalah masalah kontrol baku H ∞ [3,4,5]. Keseluruhan tulisan ini membahas pengontrol berdimensi n dan lup tertutup berdimensi n~ = 2n .

u Ac

Bc

Cc 0 Gambar 2. Lup Tertutup masalah baku norma campuran H 2 / H ∞ Misalkan diketahui plant P (s ) order n yang stabilizable dan detectable dengan model dinamik sebagai berikut. xɺ (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + D1w(t ) , (3.1) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) + D2 w(t ) , (3.2) dimana: w : input sebagai disturbance. u : input dari pengontrol. z 2 : output dari plant untuk kasus H 2 . z ∞ : output dari plant untuk kasus H ∞ . y : input pengontrol/output yang terukur. Permasalahan teori kontrol LQG dengan kendala H ∞ adalah menentukan pengonrol order n : xɺc (t ) = Ac xc (t ) + Bc y (t ), (3.3)

u (t ) = C c xc (t ),

(3.4)

A B  K = c c ,  Cc 0  yang memenuhi syarat: i. sistem lup tertutup dari model (2.1) dinamik stabil asimtotik. (3.5) ii. fungsi alih nonstrictly proper q∞ × d ~ ~ ~ H ( s ) = E∞ ( sI n~ − A) −1 D + E∞ dari w(t ) ke

99

Jurnal Matematika Vol. 10, No.3, Desember 2007:98-104

z ∞ (t ) = E1∞ x(t ) + E 2∞ u (t ) + E ∞ w(t ) memenuhi kendala H ( s )

∞

Pelemahan gangguan H ∞ ( H ∞ disturbance attenuation) ini dilakukan dengan mengganti persamaan aljabar Liapunov dengan persamaan aljabar Riccati, seperti dinyatakan dalam Lemma 1.

≤ γ,γ > 0. (3.6)

iii. performansi fungsional

{

J ( Ac , Bc , C c ) = lim E x T (t ) R1 x(t ) t →∞

}

+ 2 x T (t ) R12 u (t ) + u T (t ) R2 u (t ) adalah minimal. (3.7) Sebelum menemukan pengontrol yang memenuhi syarat (3.5)-(3.7), dibahas terlebih dulu beberapa hal sebagai berikut. Substitusikan (3.4) ke (3.1) dan (3.2) dihasilkan persamaan: ~ ~ ~ xɺ (t ) = A~ x (t ) + Dw(t ) . (3.8) ~ y (t ) = C~ x (t ) + D w(t ) 2

Kemudian performansi fungsional (3.7) menjadi ~~ J ( Ac , Bc , C c ) = trQR , (3.9) ~ dengan Q ≅ lim E ~ x (t ) ~ x T (t ) , (3.10) t →∞

[

]

memenuhi persamaan aljabar Lyapunov n~ × n~ ~ ~ ~~ ~ A Q + QA + V = 0 . (3.11) Fungsi alih lup tertutp dari w(t ) ke z 2 (t ) = E1 x(t ) + E 2 u (t ) adalah: z ( s) ~ ~ ~ ~ (3.12) H ( s) = 2 = E ( sI n~ − A) −1 D. w( s ) Menurut [8], pengontrol (3.3) dan (3.4) admissible (diperkenankan) di H 2 sehingga 2 ~ J ( Ac , Bc , C c ) = H ( s ) . (3.13) 2

Dari uraian di atas ternyata performansi fungsional (3.7) identik dengan fungsi alih dari w(t ) ke z 2 (t ) , sehingga masalah kontrol LQG dengan kendala H ∞ identik dengan masalah campuran H 2 / H ∞ . Artinya, ketika meminumkan performansi (3.7) sama dengan meminimmkan fungsi alih (3.12) Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah kontrol LQG dengan kendala H ∞ adalah melemahkan gangguan H ∞ .

100

Lemma 1. Misalkan diberikan ( Ac , Bc , Cc ) dan asumsikan terdapat

θ ∈ ℜ n×n yang memenuhi θ ∈ Ν n dan

~ ~ ~ T ~ ~ T ~T T ~ A θ + θA T + γ −2 ( DE ∞ + θE ∞T ) M −1 ( DE ∞ + θE ∞ ) +V = 0

(3.14) dengan Ν adalah matriks simetris n~ × n~ yang definit non negative. ~ ~ Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya ~ jika A stabil asimtotik. Dalam kasus ini ~ H (s ) ≤ γ dan Q ≤ θ .(3.15) (3.16) n

Sehingga J ( Ac , Bc , C c ) = ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) , (3.17) ~ dimana ℑ( Ac , Bc , C c ,θ ) ≅ trθR . (3.18)

Bukti. (⇒) Dari sistem lup tertutup (3.1)-(3.4) ~ ~ diketahui bahwa ( A, D) stabilizable dan ~ ~ ( A, C ) detectable. Hal ini mengakibatkan ~ A stabil asimtotik. ~ (⇐) Karena A stabil asimtotik, maka ~ ~ ~ ( A, D, C , D2 ) stabil asimtotik. Sehingga ~ ~ ( A, D) stabilizable. Untuk membuktikan ~ ~~ (3.15), V diganti dengan DD T dimana V12 BcT  ~  V1 ~  D  V = , D= 1 , T T   Bc D2   BcV12 BcV2 Bc  V1 = D1 D1T , V2 = D2 D2T , V12 = D1 D2T , dan mengurangi serta menambahkan jωI nθ ke (3.14) sehingga menjadi ~ ~ ~T DD = (−A + jωIn)θ ~ ~ T ~T −1 ~ T ~T T +θ (−A − jωIn) −γ −2(DE∞ +θE∞)M (DE∞ +θE∞) .

(3.19) Mengalikan kedua ruas (3.19) dengan ~ ~ E ∞ ( j ω I n − A ) −1 dari kiri dan ~ −1 ~ T ( jωI n − A) E ∞ dari kanan diperoleh:


~ ~~ ~ ~T ~ E∞ ( jωI n~ − A)−1 DDT ( jωI n~ − A)−T E∞ ~ ~T ~ ~ ~ ~T = E∞θ ( jωI n~ − A)−T E∞ + E∞ ( jωI n~ − A)−1θE∞ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ − γ −2 E∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE∞T + θE∞T ) M −1 ( DE∞T + θE∞T )T ( jωI n~ − A) −T E∞T

(3.20) Kemudian dengan menjumlahkan kedua ruas (3.20) dengan

~ ~ ~ ~ ~ ~ E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ E ∞T

diperoleh Untuk memenuhi syarat ketiga dari masalah kendali LQG dengan kendala H ∞ , yaitu meminimalkan performansi fungsi-

onal J ( Ac , Bc , Cc ) , akan dibahas terlebih dahulu Lemma 2 berikut, yang menjamin eksistensi solusi tunggal yang definit non negative untuk (3.14) jika (3.15) terpenuhi. Lemma 2. Misal diberikan ( Ac , Bc , C c ) , ~ dan A adalah stabil asimtotik dan asumsikan pelemahan gangguan (3.15) dipenuhi. Maka terdapat solusi tunggal θ yang definit non negative yang memenuhi (3.14)

~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ E ∞ ( jωI n~ − A ) −1 DD T ( jωI n~ − A) −T E ∞T + E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + E ∞ D T ( jωI n~ − A ) −T E ∞T + E ∞ E ∞T ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T = E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE ∞T + θE ∞T + DE ∞T + θE ∞T ( jωI n~ − A ) −T E ∞T + E ∞ E ∞T ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ − γ −2 E ∞ ( jωI n~ − A) −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) M −1 ( DE ∞T + θE ∞T ) T ( jωI n~ − A) −T E ∞T (3.21) bahwa syarat pertama dan kedua telah Sementara ruas kiri dan ruas kanan dari dipenuhi. (3.21) berturut-turut sama dengan * H ( jω ) H ( jω ) dan Sedemikian sehingga nilai eigen S + S * − γ −2 SM −1 S * + γ 2 ( I q∞ − M ) , ~ −2 ~ T −1 ~ −2 T −1 ~ A + γ DE ∞ M E ∞ + γ θE ∞ M E ∞ dimana berada di bagian real sebelah kiri. ~ ~ ~ ~ S ≅ E ∞ ( jωI n~ − A) −1 DE∞T + θE ∞T dan

[

] [

[

M = I q∞ − γ E∞ E . Sehingga (3.21) menjadi −2

]

]

T ∞

(

Bukti. Bentuk (3.14) ekivalen dengan

)(

)

1 − −1 1 − −1 *   H ( jω ) H * ( jω ) = −  γM 2 γ −1SM 2 γM 2 γ −1SM 2   

+ γ 2 I q∞ ≥ 0

. Untuk membuktikan (3.16) kurangkan (3.11) ke (3.14), diperoleh: ~ ~ ~ ~ A(θ − Q ) + (θ − Q ) A T ~ T ~T ~ T ~T T + γ − 2 ( DE ∞ + θE ∞ ) M −1 ( DE ∞ + θE∞ ) =0 . ~ Karena A stabil asimtotik, hal ini ekivalen ~ dengan θ − Q ≥ 0 , sehingga J ( Ac , Bc , C c ) ≤ ℑ( Ac , Bc , C c , θ ) . ~ Jadi terbukti ℑ( Ac , Bc , C c ,θ ) ≅ trθR . ■

Lemma 1 menunjukkan bahwa pelemahan ganguan H ∞ dengan sendirinya menguat ketika solusi definit untuk (3.14) ada ~ dan A stabil asimtotik. Hal ini berarti

(A~ + γ

) (

~ ~ T −1 ~ ~ T −1 ~ DE ∞ M E ∞ θ + θ A + γ − 2 DE ∞ M E∞ ~ −1 ~ T −2 ~ T −1 ~ T + γ θE ∞ M E ∞ θ + DN D −2

)

T

. Misalkan θ adalah solus yang definit nonnegative, menurut [2, Teorema 23-3] ~ ~ ~ dengan A T = A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ dan T −2 ~ T −1 ~ - KBB = γ E ∞ M E ∞θ .Akan dibuktikan Reλ (A - BB T K) = Reλ (A - BB T K) T < 0 . Misalkan terdapat θ1 dan θ 2 dengan θ1 ≠ θ 2 sedemikian sehingga ~ ~ ~ ~ ~ A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ 1 dan ~ ~ ~ ~ ~ A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2 E ∞T M −1 E ∞θ 2 memiliki nilai eigen di sebelah kiri sumbu imajiner, sehingga menurut [2, Teorema 23-2] solusi dari

101


~ ~ T −1 ~ xɺ (t ) = A + γ −2 DE∞ M E∞ ~ ~ T + γ − 2 E∞ M −1 E∞θ i , i = 1,2 dengan x(0) = x0 mendekati nol untuk t →∞. Menurut [2,Teorema 22-2 dan Lemma 211], t ~ −1 ~ T T  T  ∫  u (σ )u (σ ) + x (σ ) DN D x(σ ) dσ   0 t 2 = x T (0)θ1 x(0) − x T (t )θ1 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt 0

t 2 = x T (0)θ 2 x(0) − x T (t )θ 2 x(t ) + ∫ u (t ) + B T θ1 x(t ) dt 0

Karena θ1 ≠ θ 2 dan keduanya simetris sehingga terdapat x0 sedemikian sehingga x0T θ1 x0 ≥ x0T θ 2 x0 .

Misalkan

x0T θ 1 x0 > x0T θ 2 x0

u (t ) = − B T θ 2 x(t ) . dihasilkan

Untuk ∞

dan t →∞, 2

x0T θ 2 x0 = x0T θ1 x0 + ∫ B T (θ1 − θ 2 ) x(t ) dt . 0

x0T θ1 x0 ≥ x0T θ 2 x0 . Kontradiksi dengan Sehingga pengandaian salah. Jadi terdapat dengan tunggal θ yang definit non negatif yang memenuhi (3.14) sedemikian sehingga nilai eigen ~ ~ ~ ~ ~ A + γ −2 DE ∞T M −1 E ∞ + γ −2θE ∞T M −1 E ∞ berada di bagian real sebelah kiri. ■ Dari Lemma 1 dan Lemma 2, diketahui bahwa penggantian (3.11) dengan (3.14) membuktikan kestabilan lup tertutup, pengurangan/pelemahan gangguan H ∞ , dan batas atas untuk criteria performansi H2 . Artinya, misalkan diberikan pengontrol ( Ac , Bc , C c ) dimana terdapat solusi definit non negative untuk (3.15), criteria performansi J ( Ac , Bc , C c ) dari pengontrol dijamin tidak lebih buruk dari J ( Ac , Bc , C c , θ ) . Karena itu J ( Ac , Bc , C c , θ ) dapat diinterpretasikan se-

102

bagai alat bantu untuk mengarahkan pada problem optimasi berikut ini, yaitu menentukan ( Ac , Bc , C c , θ ) yang meminimalkan J ( Ac , Bc , C c , θ ) dengan kendala (3.14) dimana θ ∈ Ν n .

3.2. Syarat Cukup untuk Pelemahan Gangguan H ∞ Dalam subbab ini akan dinyatakan syarat cukup untuk karakterisasi pengontrol order penuh yang menjamin kestabilan lup tertutup, pelemahan gangguan H ∞ dan batas atas untuk criteria performansi H 2 . Untuk Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n dan α , β ≥ 0 didefinisikan notasi Qa ≅ QC T + V12 ∞ , T DT + γ −2 RT (Q + Qˆ ) P + RT Pa ≅  BT + γ −2 R02 ∞ 1 02∞ 12  

(

, S ≅ α 2 I n + β 2 γ −2 Qˆ P nya ada.

)

−1

, dimana invers-

Remark 1. Misalkan ( Ac , Bc , C c , θ ) memenuhi masalah minimasi J ( Ac , Bc , C c , θ ) , maka terdapat Q, P, Qˆ ∈ ℜ n×n yang memenuhi

(

)

(

0 = A + γ − 2 D1 R01∞ Q + Q A + γ − 2 D1 R01∞

)T

+ γ − 2 QR1∞ Q + V1∞ − QaV2−∞1QaT , (3.22) − 1 − 2 0 = A − BRˆ 2 Pa S + γ Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S

(

[

[

])

+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S Qˆ + Q A − BRˆ 2−1 Pa S + γ −2 Q R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S

(

[

[

])

T

+ γ − 2 D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S T + γ −2 Qˆ R1∞ − R12∞ Rˆ 2−1 Pa S − S T Pa Rˆ 2−1 R12 ∞

(

)

+ β 2 S T Pat Rˆ 2−1 Pa S Qˆ + QaV2−∞1QaT , (3.23) dengan Ac = A − BRˆ 2−1 Pa S − QaV2−1C − QaV12−1∞ DRˆ 2−1 Pa S

] ]


[(

(

)

+ γ −2 QR1∞ + D1 R01∞ − D1 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S

J ( Ac , Bc , C c ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ

− QR12∞ Rˆ 2−1 Pa S − QaV2−∞1 D2 R01∞

+ S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ ■ 4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa, syarat cukup untuk mendesain pengontrol dengan kendala H ∞ pada suatu fungsi alih lup tertutup terdiri dari tiga persamaan aljabar Riccati yang dimodifikasi dalam variable Q, P, Qˆ .

)

+ QaV2−∞1 D2 R02∞ Rˆ 2−1 Pa S B = Q V −1 , C = − Rˆ −1 P S , c

2∞

a

c

2

a

Q + Qˆ Qˆ  θ =  ˆ Q  Q (3.24)-(3.27) Lebih lanjut auxiliary cost diberikan dengan J ( Ac , Bc , C c , θ ) = tr Q + Qˆ R1 − 2 R12 Rˆ 2−1 Pa SQˆ

[(

+S

)

T

PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ

(3.28) ~ Sebaliknya jika tedapat Q, P, Qˆ ∈ Ν n yang memenuhi (3.22, 3.23), maka ( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27) memenuhi (3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.28).

Teorema 1. Misalkan terdapat n~ ˆ Q, P, Q ∈ Ν yang memenuhi (3.22,3.23) dengan ( Ac , Bc , Cc , θ ) seperti (3.24-3.27). ~ ~ Maka ( A, D) stabilizable jika dan hanya ~ jika A stabil asimtotik. Dalam kasus ini, fungsi alih lup tertutup H (s ) memenuhi kendala pelemahan gangguan H ∞ ( H (s) ≤ γ ) , dan performansi fungsional (3.7) memenuhi batas J ( A , B , C ) = tr Q + Qˆ R − 2 R Rˆ −1 P SQˆ c

c

c

[(

)1

12 2 a + S T PaT Rˆ 2−1 R2 Rˆ 2−1 Pa SQˆ

.

Bukti. Bagian sebaliknya dari Remark 1 menunjukkan bahwa θ dari (3.32) memenuhi (3.14) dengan auxiliary cost seperti (3.32). Hal ini berarti menurut Lemma 1, ke~ ~ stabilan ( A, D ) ekivalen dengan kestabil~ an asimtotik dari A . Sehingga pelemahan gangguan H ∞ terpenuhi dan performansi fungsional (3.7) memenuhi batas

]

]

]

5. DAFTAR PUSTAKA [1] Bernstein D.S, Haddad. (1989), LQG Control with an H ∞ Performance Bound: A Riccati Equation Approac’, IEEE Trans. Automat. Control (34), pp:293-305. [2] Brockett, R.W. (1970), Finite Dimensional Linear System, John Willey and Sons, New York. [3] Colaneri, P, Locatelli, A. (1997), Control Theory and Design: An H 2 and H ∞ Viewpoint, Academic Press. [4] Doyle, J.C., Glover, K, Khargoneker, P.P. (1989), State Space Solution to Standard H 2 and H ∞ Control Problem, IEEE Trans. Automat. Control (34), pp:831-847. [5] Doyle, J.C., Glover, K. (1988), State Space Formulae for All Stabilizing Controller that Satisfy and H ∞ Norm Bound and Relation to Risk Sensitivity, System Control Lett (11), pp: 161-171. [6] Glover, K, Limebeer, Doyle, A Charecterization of All Solution to The Four Block General Distance Problem. Preprint. [7] Wonham, W.M. (1979), Linear Multivariable Control: A Geometric Approach, Springer-Verlag, New York. [8] Zames, G. (1981), Feedback and Optimal Sensitivity: Model Reference Transformation, Multiplicative Seminorm and Approximate Inverses, IEEE Trans. Automat. Control (26), pp:301320. 103


[9] Zhou, K, Doyle. (1998), Essentials of Robust Control, Prentice Hall International.

104

PENENTUAN SUATU PENGONTROL DENGAN INDEKS PERFORMANSI BERUPA NORMA CAMPURAN H

Recommend Documents