PEMBUATAN TABEL MORTALITA MELALUI MODEL LEE-CARTER

PEMBUATAN TABEL MORTALITA MELALUI MODEL LEE-CARTER

TESIS Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Matematika Institut Teknologi Bandung

Oleh Taofik Hidayat 20107103

Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2009

Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee- Carter

1

PEMBUATAN TABEL MORTALITA MELALUI MODEL LEE-CARTER TESIS Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Matematika Institut Teknologi Bandung

Oleh Taofik Hidayat 20107103

Telah Diperiksa dan Disetujui Dosen Pembimbing Tesis, Bandung Oktober 2009

DR. Udjianna S. Pasaribu NIP. 131679351

Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2009

Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter

2

PEMBUATAN TABEL MORTALITA MELALUI MODEL LEE-CARTER Taofik Hidayat 20107103 Program Studi Magister Matematika Institut Teknologi Bandung Pembimbing: DR. Udjianna S. Pasaribu ABSTRAK

Model Lee-Carter, diusulkan tahun 1992, adalah salah satu metodologi yang paling terkenal untuk pemodelan tingkat mortalita. Model ini terkenal karena sederhana dan telah sukses digunakan di Amerika, Jepang, dan Australia. Pada dasarnya, model LeeCarter adalah sebuah model regresi. Akan tetapi, variabel bebasnya tidak diberikan secara eksplisit sehingga dilakukan hampiran. Mereka mengusulkan dekomposisi nilai singulir. Sebagai studi kasus, diambil data sekunder dari tugas akhir yang ada di Departemen Matematika ITB. Kata kunci: Model Lee-Carter, Dekomposisi nilai singulir


3

” LIFE TABLE CONSTRUCTION WITH LEE-CARTER MODEL” Taofik Hidayat 20107103 Magister Program. Mathematics Departemen Institut Technology of Bandung Advisors: DR. Udjianna S. Pasaribu ABSTRACT The Lee-Carter model, proposed in 1992, is one of the most popular methodologist for modeling mortality rates. The models is widely known to be simple and has been used very successfully in U.S., Japan, and Australia. Basically, the Lee-Carter model is a regression model. However, the independent variable unknown explicitly so to find a solution of the model they approximate the parameter. They suggested singular value decomposition as an approximation. As a case study, secondary data is taken from final project in Mathematics Departement of ITB. Keywords: Lee-Carter model, Singular value decomposition.


4

PRAKATA Segala puji dan syukur Penulis sampaikan kepada Allah SWT, pemilik segala kehendak. Atas segala rahmat dan hidayah-Nya, alhamdulilah penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Solawat serta salam bagi Nabi Muhammad SAW. Tugas akhir yang berjudul ”Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model LeeCarter” ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika Institut Teknologi Bandung. Dalam menyusun tesis ini, penulis memperoleh dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Ibu Udjianna S. Pasaribu selaku pembimbing tugas akhir, terima kasih bu atas segala ketabahannya membimbing kami, 2. Bapak (Almarhum) dan mamah yang tiada henti memberikan dorongan moril dan materiil, 3. Istri dan kedua putri tercinta, yang selalu memberikan motivasi lebih bagi penulis, 4. Menteri Pendidikan Nasional yang telah memberikan dukungan pembiayaan melalui Program Beasiswa Unggulan sampai penyelesaian tesis berdasarkan DIPA Sekretariat Jenderal Depdiknas tahun anggaran 20072009, 5. Bapak Sutawanir Darwis dan Ibu R.A.D. Kooswinarsinindyah selaku dosen penguji dalam seminar tesis, 6. Bapak Janson Naiborhu sebagai Ketua Program Pasca Sarjana Matematika ITB, 7. Bapak Robert Saragih selaku dosen wali, 8. Seluruh dosen Departemen Matematika ITB atas segala ilmu dan nilai yang diberikan, 9. Pak Mulyadi dan Pak Nuri dari P.T. Asuransi Bumiputera atas kesediaannya memberikan data pemegang polis kepada penulis,


5

10. Rizki Irawan yang memberikaan kesediaan untuk mengolah data yang ia peroleh, 11. Randi Mahera dari P.T. Asuransi Jiwasraya yang telah membantu mencarikan data pemegang polis, 12. Teman-teman S2 Matematika angkatan 2007: Kurnia, Yadi, Erik, Arif, Gerson, Taufan, dan lain-lain. 13. Bu Diah, Kang Yana, Kang Adam, dan seluruh staf Program Studi Matematika. Semoga Alloh SWT memberikan balasan yang besar atas kebaikan Bapak/Ibu dan teman-teman, jazakallohu khairon katsiro. Amien. Akhir kata, Penulis mengharapkan tulisan ini memberi manfaat bagi orang yang membacanya.

Bandung, Oktober 2009

Penulis


6

DAFTAR ISI Abstrak

iii

Abstract

iv

PRAKATA

v

DAFTAR ISI

vii

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang.................................................................................. 1

1.2

Rumusan Masalah............................................................................. 5

1.3

Tujuan dan Manfaat Penulisan......................................................... 5

1.4

Sistematika Penyajian ....................................................................... 6

BAB 2 MODEL GOMPERTZ 2.1

Pendahuluan ................................................................................... 7

2.2

Sisa Waktu Hidup T.......................................................................... 8

2.3

Laju Mortalita (Force of Mortality) ................................................ 10

2.4

Tingkat Kematian Pusat (Central Death Rates)…………………….12

2.5

Distribusi Sisa Waktu Hidup T…………………………………….. 12

2.6

Karakteristik Model Gompertz…………………………………….. 14

2.7

Algoritma Model Gompertz ……………………………………….. 16

BAB 3 MODEL LEE-CARTER 3.1

Model Lee-Carter……………………………………………………18

3.2

Taksiran Parameter Model Lee-Carter ……………………………..19

3.3

Algoritma Model Lee-Carter………………………………………. 21


7

BAB 4 STUDI KASUS 4.1

Data………………………………………………………………….23

4.2

Hasil Pengolahan dan Analisa Data ……………………………….. 25

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1.

Kesimpulan………………………………………………………... 32

5.2.

Saran…………………………………………………………........ .32

DAFTAR PUSTAKA

33

LAMPIRAN A LAMPIRAN B LAMPIRAN C LAMPIRAN D

Daftar Tabel Daftar Grafik


8

Daftar Tabel Tabel 1.1 Contoh tabel mortalita.................................................................. 1 Tabel 1.2 Perbedaan TMI I dan TMI II .......................................................3 Tabel 4.1 Nilai mx untuk tahun 2006 dan 2007...........................................24 Tabel 4.2 Perbandingan tingkat mortalita hasil model Gompertz dan Lee-Carter ........................................................................................... 29

Daftar Gambar Gambar 1.1 Perbandingan nilai tingkat mortalita qx untuk beberapa tabel mortalita standar, yaitu CSO80, TMI I, dan TMI II............................. 3 Gambar 2.1 Peubah acak T menyatakan sisa waktu hidup dari (x). Peubah ini dapat dipandang sebagai waktu menunggu (x) sampai meninggal.......................................................................................... 8 Gambar 4.1 Hasil pengeplotan taksiran parameter αx untuk data mutasi klaim sebuah perusahaan asuransi jiwa. Parameter αx menyatakan besarnya tingkat kematian menurut komponen umur saja...................................................................................... 25 Gambar 4.2 Hasil pengeplotan taksiran parameter κt untuk data mutasi klaim sebuah perusahaan asuransi jiwa. Parameter κt menyatakan level mortalita secara umum.............................. 26


9

Gambar 4.3 Hasil pengeplotan taksiran parameter β x untuk data mutasi klaim sebuah perusahaan asuransi jiwa. Parameter β x menyatakan kecenderungan perubahan tingkat mortalita akibat perubahan κt ................................................................................................. 27

Gambar 4.4 Hasil pengeplotan nilai qx Model Lee-Carter untuk tahun 2006 dan 2007........................................................................... 28

Gambar 4.5 Perbandingan antara nilai tingkat mortalita kasar (qxdata) dengan tingkat mortalita hasil model Gompertz (qxgompertz) dan Lee-Carter(qxlee)......................................................................................... 30


10

Simbol dalam Matematika Aktuaria Misalkan x = usia seseorang dalam tahun (x) = seseorang yang berusia x tahun l0 = banyaknya orang yang berusia 0 tahun lx = banyaknya orang yang berusia x tahun dx = banyaknya orang yang berusia x tahun yang meninggal sebelum mencapai usia x + 1 tahun d x = lx − lx+1 Ex = total ekposur yang disumbangkan setiap orang pada selang (x, x+1] mx = tingkat kematian pusat orang berusia x

mx = t

dx Ex

qx = peluang orang yang berusia x akan meninggal sebelum mencapai usia x + t tahun t qx

=

t dx

lx

=

lx − lx+t lx

0 ≤ t qx ≤ 1 t

px = peluang orang yang berusia x akan hidup sampai usia x + t tahun t

p x = 1− t q x = 1−

lx − lx+t lx+t = lx lx


11

PEMBUATAN TABEL MORTALITA MELALUI MODEL LEE-CARTER

Recommend Documents