BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menentukan kapan seseorang akan meninggal dunia. Walaupun demikian, kita dapat menghitung peluang meninggal seseorang dari data-data sebelumnya. Peluang meninggal seseorang ada yang dibuat dalam bentuk tabel, disebut tabel mortalita. Menurut Soenardi [11], tabel mortalita (Tabel 1.1) merupakan suatu tabel (daftar) yang terdiri atas kolomkolom usia, dinotasikan dengan x; banyak orang yang hidup pada usia x, yaitu lx; banyak orang yang meninggal pada usia x, yaitu dx, serta peluang seseorang berusia x meninggal sebelum mencapai usia x+1, yaitu qx. Tabel 1.1 Contoh tabel mortalita. Tabel 1.1a merupakan tabel mortalita yang dibuat bangsa Indonesia tahun 1993. Tabel 1.1b merupakan tabel mortalita yang dibuat bangsa Amerika tahun 1980.
Tabel Mortalita Indonesia (TMI) I
x
lx
dx
qx
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
946710 945536 944127 942446 940552 938539 936493 934433 932359 930280 928150
1174 1409 1681 1894 2013 2046 2060 2074 2079 2130 2107
0.00124 0.00149 0.00178 0.00201 0.00214 0.00218 0.00220 0.00222 0.00223 0.00229 0.00227
(a)
Tabel CSO 1980
x
lx
dx
qx
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
96637.30 96549.54 96459.92 96368.27 96274.36 96178.01 96078.95 95976.93 95871.68 95762.86 95650.15
87.76 89.62 91.65 93.91 96.35 99.06 102.02 105.25 108.82 112.71 116.98
0.00091 0.00093 0.00095 0.00097 0.00100 0.00103 0.00106 0.00110 0.00114 0.00118 0.00122
(b)
Keterangan: x lx dx qx
: usia seseorang dalam tahun : banyak orang yang masih hidup pada usia x : banyak orang yang meninggal pada usia x : peluang seseorang yang berusia x meninggal sebelum mencapai usia x+ 1
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
12
Dari tabel mortalita di atas, kita dapat menghitung beberapa statistik berikut. 1. Peluang seseorang berusia x akan meninggal t tahun lagi, yaitu t qx . 2. Peluang seseorang berusia x masih hidup t tahun lagi, yaitu t px . 3. Harapan (ekspektasi) lama hidup yang dapat dicapai oleh bayi yang baru lahir, yaitu e0 . 4. Harapan (ekspektasi) lama hidup yang dapat dicapai oleh seseorang yang berusia x, yaitu ex . Statistik-statistik tersebut dimanfaatkan oleh perusahaan asuransi untuk menentukan besar premi yang harus dibayar nasabah dan cadangan yang harus disediakan perusahaan. Adapun bagi ahli demografi, statistik tersebut digunakan untuk memperkirakan banyak penduduk di masa yang akan datang. Saat ini, ada beberapa tabel mortalita standar yang telah dibuat. Tabel mortalita tersebut adalah tabel CSO (Commissioner Standar Ordinary) dan Tabel Mortalita Indonesia (TMI). Tabel CSO merupakan tabel mortalita untuk bangsa Amerika yang dibuat sekitar tahun 1958. Tabel ini diperbaiki lagi pada tahun 1980. Adapun tabel TMI dibuat oleh para aktuaris indonesia sekitar tahun 1993. Data yang digunakan untuk membuat TMI I ini adalah data dari penduduk Indonesia. Tabel ini kemudian diperbaiki lagi pada tahun 1999 oleh Dewan Asuransi Indonesia menjadi Tabel Mortalita Indonesia II (TMI II). Menurut majalah investor (1999), ada beberapa perbedaan di antara dua tabel tersebut.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
13
Tabel 1.2 Perbedaan TMI I dan TMI II TMI I
TMI II
Pemroses
Jepang
KTM – DAI
Metode
Seriatim
Grup
Sumber Data
Bumiputera dan Jiwasraya tahun 1983 – 1985
1993: Bumiputera dan Jiwasraya; 1994: 14 perusahaan; 1995: 16 perusahaan
Jenis Data
Uniseks
Pria dan Wanita
Populasi
1.781.438 jiwa
Pria : 4.499.590 jiwa Wanita: 2.083.126 jiwa
Sumber: Majalah Investor, Desember 1999 (diolah kembali)
Jika kita menggambarkan tingkat mortalita qx untuk setiap tabel mortalita tersebut, diperoleh gambar berikut.
Perbandingan Beberapa Tabel Mortalita 0.04
tingkat mortalita qx
0.035 0.03 CSO80
0.025
TMI I
0.02
TMI II(prmpn) TMI II(laki)
0.015 0.01
0.005 0
umur (tahun) Keterangan: Tabel CSO80 dibuat pada tahun 1980, TMI I dibuat tahun 1993, dan TMI II dibuat tahun 1999
Gambar 1.1 Perbandingan nilai tingkat mortalita qx untuk beberapa tabel mortalita standar, yaitu CSO80, TMI I, dan TMI II.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
14
Dari Gambar 1.1 tampak nilai tingkat kematian qx untuk TMI II lebih rendah dibandingkan TMI I. Begitu juga nilai qx untuk TMI II (perempuan) lebih rendah dari pada tabel CSO 1980. Berarti ada tren penurunan tingkat kematian (mortalita) dari tahun ke tahun. Hal ini sama dengan yang terjadi di negara-negara lain, seperti Italia dan Inggris [11]. Dalam prakteknya, perusahaan asuransi di Indonesia menggunakan tiga tabel mortalita
atau mengkombinasikannya dengan data sejarah perusahaan [11].
Perusahaan asuransi di Indonesia belum memiliki tabel mortalita sendiri yang sesuai dengan kondisi tertanggung perusahaan. Dari dua kondisi ini, sebaiknya perusahaan asuransi di Indonesia membuat tabel mortalita sendiri. Dengan memiliki tabel mortalita sendiri, tingkat mortalita yang digunakan akan sesuai dengan kondisi tertanggung perusahaan. Dalam pembuatan tabel mortalita, kita dapat menggunakan dua pendekatan, yaitu numerik (non parametrik) dan analitik (parametrik). Pada tulisan ini, penulis akan menggunakan pendekatan analitik. Dari beberapa model pendekatan analitik, penulis akan menggunakan model yang dikembangkan oleh Lee dan Carter tahun 1992. Ada beberapa alasan mengapa penulis menggunakan model ini dalam pembuatan tabel mortalita. Alasan pertama, metode ini telah berhasil diaplikasikan di beberapa negara, di antaranya di jepang (Wilmoth 1993), negara-negara G7 (Tuljapurkar 2000), Austria (Carter dan Prskawetz 2001), Belgia (Brouhn 2002). Alasan kedua, model ini sederhana, hanya melibatkan 3 parameter. Berbeda dengan model Heligman-Pollard (Metode Mcnown dan Rogers) yang terdiri atas 9 parameter. Untuk mengaplikasikan model Lee-Carter, penulis menggunakan data mutasi klaim sebuah perusahaan asuransi di Jawa Barat.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
15
1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, masalah-masalah yang dibahas dalam penelitian ini meliputi: 1. bagaimana menentukan asumsi untuk usia pecahan yang akan digunakan dalam penaksiran tingkat mortalita kasar, 2. bagaimana menentukan metode yang digunakan dalam penurunan parameter estimasi tingkat mortalita, 3. bagaimana menaksir parameter pada model Gompertz, 4. bagaimana menaksir parameter pada model Lee-Carter, 5. bagaimana membuat tabel mortalita melalui model Gompertz, dan 6. bagaimana membuat tabel mortalita melalui model Lee-Carter.
1.3 Tujuan dan Manfaat Penulisan Secara umum tujuan dari penulisan ini adalah membuat sebuah tabel mortalita dengan model Lee-Carter. Adapun tujuan khususnya adalah sebagai berikut. 1. Mempelajari dan menerapkan model Gompertz dan Lee-Carter pada data sampel pengamatan. 2. Menentukan laju mortalita (force of mortality) dari suatu data sampel pengamatan. 3. Menentukan estimasi tingkat kematian dengan menggunakan metode kemungkinan maksimal (maximum likelihood estimators). 4. Membuat tabel mortalita untuk suatu data sampel pengamatan. Adapun manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut. 1. Penulis atau pembaca dapat mengaplikasikan model Lee-Carter untuk data pemegang polis asuransi lainnya. 2. Memberikan masukan kepada perusahaan asuransi dalam menentukan kebijakan perusahaan sesuai dengan angka mortalitanya. 3. Memberikan wawasan kepada mahasiswa yang akan melakukan penelitian dalam pembentukan tabel mortalita.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
16
1.4 Sistematika Penyajian Pembahasan dalam tesis ini dimulai dengan Bab 1 sebagai pendahuluan. Pada bab ini diuraikan latar belakang masalah penulisan tesis ini. Masalah yang melatarbelakangi adalah adanya tren penurunan tingkat mortalita setiap tahunnya sehingga diperlukan sebuah tabel mortalita yang merepresentasikan keadaan tersebut. Masalah kedua adalah belum adanya tabel mortalita yang sesuai dengan kondisi tertanggung sebuah perusahaan asuransi. Dari latar belakang masalah ini, tujuan tesis ini adalah membuat sebuah tabel mortalita yang dapat mengakomodasi kedua hal tersebut. Bab 2 menjelaskan teori dasar yang berkaitan dengan model Gompertz. Pembahasan dimulai dengan definisi dari peubah acak waktu hidup T. Fungsi distribusi dari T inilah yang menyatakan tingkat mortalita pada usia x, dalam aktuaria disimbolkan dengan qx . Di bab ini dibahas pula laju mortalita (force of mortality). Laju mortalita ini dapat menentukan secara spesifik distribusi dari T, sama seperti fungsi distribusi dan fungsi kehidupan. Selain itu, pada bab ini dibahas beberapa hipotesis distribusi dari sisa waktu hidup T. Hippotesis distribusi dari T yang cukup terkenal adalah model Gompertz. Walaupun sudah lama, sekitar 1980, model ini dapat merepresentasikan tingkat mortalita umur 20-60 tahun. Untuk lebih jelas, prosedur pembuatan tabel mortalita dengan menggunakan model Gompertz dibahas pula di bagian akhir Bab2. Bab 3 menjelaskan model Lee-Carter. Model ini merupakan modifikasi dari model Gompertz. Pada model Gompertz, komponen yang mempengaruhi tingkat mortalita hanya umur. Adapun pada Model Lee-Carter komponen yang mempengaruhinya adalah komponen umur x dan komponen waktu t. Setelah itu, dibahas metode untuk menyelesaikan model Lee-Carter. Oleh karena model ini mengandung variabel bebas yang tidak diketahui, maka digunakan metode aproksimasi. Metode aproksimasi yang digunakan adalah metode dekomposisi
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
17
nilai singular. Terakhir, dibahas algoritma model Lee-Carter untuk membuat table mortalita. Bab 4 menjelaskan aplikasi dari model Gomperz dan Lee-Carter untuk data mutasi klaim kecelakaan suatu perusahaan asuransi di Jawa Barat. Bab terakhir, yaitu Bab 5 merupakan kesimpulan dari permasalahan yang dibahas di sini dan saran.
Pembuatan Tabel Mortalita Melalui Model Lee-Carter
18
