Přednáška 2, ve které se dozvíme, jak kvantová fyzika doopravdy pracuje

Pavel Cejnar

Ústav částicové a jaderné fyziky MFF UK

Přednáška 2

,

ve které se dozvíme, jak kvantová fyzika doopravdy pracuje …

Principy kvantové fyziky Fyzika jako dobrodružství poznání MFF UK v Praze, letní semestr 2016

Čáry ve spektrech Jedním z prvních úkolů kvantové fyziky bylo vysvětlit podstatu absorpčních a emisních čar, které byly již od počátku 19. století pozorovány ve spektrech Slunce a dalších kosmických i pozemských zdrojů (později též plynových výbojových trubic)

neon

B.Niece, J.Chem.Educ. 2006, 83, 761

kyslík

vodík

© Wikipedia

Čáry ve spektrech V roce 1885 nalezl matematik J. Balmer empirickou formuli popisující sérii čar ve spektru vodíku:

Balmerova formule byla v roce 1888 zobecněna Johannesem Rydbergem (1854-1919):

B.Niece, J.Chem.Educ. 2006, 83, 761

vodík

Johann Balmer (1825-98)

© Wikipedia

Čáry ve spektrech

Sluneční spektrum ve viditelné oblasti (zdroj: National Optical Astronomy Observatory)

1) Stará kvantová teorie 2) Kvantování v Hilbertově prostoru 3) Kontinuum, pole, relativita …

Bohrův model atomu

Chyba!

V roce 1913 publikuje N. Bohr články pokládající základy kvantové mechaniky atomů. Dnes víme, že jeho předpoklady byly chybné, přesto Bohrův model funguje v mnoha směrech překvapivě dobře... Předpoklad kvantování hodnot orbitálního momentu hybnosti elektronu na kruhové dráze kolem jádra:

L  mvr  n

• Niels Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I“ ; Philosophical Magazine 26 (1913) 1 • Niels Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus“ ; Philosophical Magazine 26 (1913) 476 • Niels Bohr, "On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III Systems containing several nuclei“ ; Philosophical Magazine 26 (1913) 857 • Niels Bohr, "The spectra of helium and hydrogen" ; Nature 92 (1914) 231 (73 stránek)

n  1,2,3...

Niels Bohr (1885 - 1962)

© Wikipedia

Bohrův model atomu

Chyba!

V roce 1913 publikuje N. Bohr článek pokládající základy kvantové mechaniky atomů. Dnes víme, že jeho předpoklady byly chybné, přesto Bohrův model funguje v mnoha směrech překvapivě dobře... Předpoklad kvantování hodnot orbitálního momentu hybnosti elektronu na kruhové dráze kolem jádra: rovnováha sil: dostředivé & odstředivé

+

elektron

e2

rychlost

1 c vn   137  n e2 4 0 c

vzdálenost

rn  137

n  1,2,3...

e 2 1 mv2  2  4 0 r r

−

jádro

L  mvr  n

 n mc

r1  5.29 1011 m Bohrův poloměr

Vyjádření Rydbergovy konstanty

1 vn   4 0 n

Niels Bohr (1885 - 1962)

4 0 2 2 rn  n me 2

mvn2 e2 1 En   2 4 0 rn me 4 1  2(4 0) 2 n 2 13.6 eV

© Wikipedia

Bohrův model atomu

Chyba!

V roce 1913 publikuje N. Bohr článek pokládající základy kvantové mechaniky atomů. Dnes víme, že jeho předpoklady byly chybné, přesto Bohrův model funguje v mnoha směrech překvapivě dobře... Předpoklad kvantování hodnot orbitálního momentu hybnosti elektronu na kruhové dráze kolem jádra:

L  mvr  n

L

Fázový prostor rotačního pohybu elektronu = povrch válce

Plochy

n  1,2,3...

e 2 1 mv2  2  4 0 r r e2

1 vn   4 0 n

Niels Bohr (1885 - 1962)

4 0 2 2 rn  n me 2

mvn2 e2 1 En   2 4 0 rn

φ

me 4 1  2(4 0) 2 n 2 13.6 eV

© Wikipedia

Semiklasické kvantování Po r.1913 je Bohrův přístup zdokonalován a zobecňován na širší třídu vázaných systémů. Vůdčím principem zůstává vyjádření plochy ve fázovém prostoru uzavřené periodickou trajektorií v násobcích Planckovy konstanty. Jednoduché příklady: (a) harmonický oscilátor (b) částice mezi stěnami

S  n 2  n  1,2,3...

Arnold Sommerfeld

(a)

h

(1868–1951)

En   n

n  1,2,3...

Skoro správně! Skutečnost:

En   (n  12 ) n  0,1,2,...

(b)

E

En 

x

 2 2

2 n 2 mL2

n  1,2,3...

Zcela správně!!!

„Všichni souhlasíme s tím, že vaše teorie je šílená. Rozcházíme se jenom v tom, zda je dostatečně šílená, aby bylo pravděpodobné, že je pravdivá. Mám pocit, že tato teorie není dostatečně šílená.“ Niels Bohr výrok z r.1958 týkající se návrhu nelineární polní teorie W. Pauliho a W. Heisenberga

Stará kvantová teorie nebyla dostatečně šílená ! … nedokázala se vzdát trajektorií

1) Stará kvantová teorie 2) Kvantování v Hilbertově prostoru 3) Kontinuum, pole, relativita …

Joan Miró, 1964

© Jaromír Čejka, Jižní město (80.léta)

Máme Hilbertův prostor, nastěhovali jsme do něj stavové vektory…

…ale chybí nám infrastruktura!

„Infrastruktura“ Hilbertova prostoru Operátory

Zobrazení Hilbertova prostoru (příp.jen jeho husté podmnožiny) na sebe:

Linearita

 

  

  

Oˆ : H  H   '  Oˆ 

 Oˆ    Oˆ    Oˆ   

Spolu se skalárním součinem dávají operátory řadu možností vytváření nejrůznějších čísel …

Aˆ 

 Aˆ   číslo1  Bˆ   číslo 2 Cˆ    číslo 3 Bˆ  Aˆ   číslo 4 …………

Bˆ  

John von Neumann (1903-1957)

Hilbertův prostor 1) komplexní vektorový prostor 2) se skalárním součinem

David Hilbert (1862-1943)

(aby byl definován „překryv“) 3) úplný (každá konvergující posloupnost má limitu uvnitř prostoru – pro jistotu…)

H



Operátory jako pozorovatelné

A A

  Aˆ 



„směrodatná odchylka“

P (a)

… střední hodnota

2 

  Aˆ 2 

A

hodnota



… střední hodnota

2 

A2

A   Aˆ n 



 A

střední hodnota

… střední

 An

A2

An

 momenty náhodné veličiny



a

Operátory jako pozorovatelné

A A

  Aˆ 



„směrodatná odchylka“

hodnota

2 

  Aˆ 2 

P (a)

… střední

A

hodnota



2 

→0

střední hodnota

A2

A   Aˆ n 



 A

… střední

 An

A2

… střední hodnota An

 momenty náhodné veličiny

2 A  A Rozptyl  vlastní vektory



2 

→0

Aˆ a  a a

a pro

Operátory jako pozorovatelné

„směrodatná odchylka“

2 1   ˆ Př. Transformace A   1 2  představuje natažení roviny v diagonálním směru:

P (a)

A2

A 2 vlastní vektory: 1 1   2  1  1  1    2   1 

a1 = 3 a2 = 1

…a jejich libovolné násobky Ostatní vektory

mění směr

2 A  A Rozptyl  vlastní vektory



 A



2 

→0

Aˆ a  a a

2 

→0

a pro

Operátor spinu ½

(např. elektron)

V roce 1922 provedli Otto Stern & Walther Gerlach experiment, který byl později interpretován jako důkaz existence spinu (vlastní točivosti) elektronu. Projekce spinu elektronu (částice se spinem ½) do libovolné osy nabývá jen dvou  možných hodnot: ± ½ ħ | e |2  1  Operátor projekce spinu elektronu do obecného směru e  (e1 , e2 , e3 )

 ˆ  Se   2  e1  ie2 e3

1  z     0

e1  ie2    e3 

Projekce do osy z   1 0   vlastní čísla ± ½ ħ

Sˆ z 

 0  z    1

Korespondenční lístek Gerlacha Bohrovi. “Přiložen experimentální důkaz prostorového kvantování. Blahopřejeme k důkazu Vaší teorie.”

  2  0  1

očekávaný změřený obrazec obrazec

 vlastní vektory

1  0  ,    0 1

svazek atomů

↑ ↓

pícka

z

gradient magnetického pole

Wikipedia

Operátor spinu ½

(např. elektron)

Vypočteme vlastní hodnoty operátoru spinové projekce:

Sˆe   s     e1  ie2      e3            e3    2  e1  ie2 2  



  e3   Det  2  e1  ie2



Aˆ a  a a  | e |2  1

 e  (e1 , e2 , e3 )

e1  ie2   2 2  2    2  (  | e | )0  e3    1

  1

 s

  2

Vlastní vektory odpovídající těmto vlastním číslům:

e

 e i cos 2       sin 2  

s   2

 -e i sin 2   e     cos 2  s   2

 vztah mezi spiny orientovanými v různých  x směrech, např.:

   

1 2 1 2

   

1 2

z 

1 2

z

Diskrétní a spojité spektrum Vlastní hodnoty pro komplexní hermitovskou (Oij  O*ji ) matici konečné dimenze jsou kořeny polynomu – jejich počet je roven dimenzi matice  je garantováno diskrétní spektrum!

Det (O−o I )

o

Jak to je u nekonečných matic? Mohou mít diskrétní i spojité spektrum!

n=100

Př.: Matice s diskrétním spektrem v limitě n → ∞

Oˆ 

 n 1   1( n1)   1 2      

1( n  1)

0

n 1

2( n  2)

2( n  2)

n 1

3( n  3)

3( n  3)

n 1

4( n  4)

4( n  4)

n 1

5 ( n  5)

5( n  5)

n 1

0 n

            

n

o

Diskrétní a spojité spektrum Vlastní hodnoty pro komplexní hermitovskou (Oij  O*ji ) matici konečné dimenze jsou kořeny polynomu – jejich počet je roven dimenzi matice  je garantováno diskrétní spektrum!

Det (O−o I )

o

Jak to je u nekonečných matic? Mohou mít diskrétní i spojité spektrum!

Př.: Matice se spojitým spektrem v limitě n → ∞ 2 1  1 2 1  1 2 1  1 1 2 1 1 2 1 4  1 2    

0

Oˆ 

0

n

           

150

100

n 50 40 30 20 10

o

Komutující a nekomutující operátory Působení operátorů závisí na pořadí – operátory obecně nekomutují. To má zásadní důsledky!

Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ

Veličiny, jejichž operátory a) komutují, jsou kompatiblilní b) nekomutují, jsou nekompatiblilní

„komutátor“

a) Kompatibilní veličiny [ Aˆ , Bˆ ]  0 mají společné vlastní vektory!

a b

Důkaz pro nedegenerovaná vlastní čísla: Nechť   (1D vlastní podprostor operátoru  ) Co lze říct o vektoru

Bˆ 

?

Aˆ   a 

a    Aˆ Bˆ   Bˆ Aˆ   aBˆ 

ˆ  je vlastním vektorem   Také B  Díky nedegenerovanosti musí platit   je také vlastním vektorem ˆ

B

Bˆ   b 

ˆ Bˆ  Bˆ Aˆ  0 A    [ Aˆ , Bˆ ]

a´

b´

Při postupném měření kompatibilních veličin na stejném systému výsledky nezáleží na pořadí měření.

Komutující a nekomutující operátory b) Nekompatibilní veličiny [ Aˆ , Bˆ ]  0 např. souřadnice x hybnost splňují relace

neurčitosti

Vlastní vektory Aˆ a vlastní vektory Bˆ jsou vzájemně pootočené Zvětšování přesnosti A vede ke snižování přesnosti B a naopak!

 x  p 

 2

p´

x´

p Werner Heisenberg (1901-1976)

x  „Heisenbergův tlak“: hmota se brání zahušťování (stlačování nerozlišitelných fermionů vede ke vzrůstu neurčitosti hybnosti, a tedy kinetické energie) bílý trpaslík Ne/relativistická QM dává vztah pro tlak P   5 / 3 resp.  4 / 3

Komutující a nekomutující operátory b) Nekompatibilní veličiny [ Aˆ , Bˆ ]  0 např. souřadnice x hybnost splňují relace

neurčitosti

Vlastní vektory Aˆ a vlastní vektory Bˆ jsou vzájemně pootočené Zvětšování přesnosti A vede ke snižování přesnosti B a naopak!

 x  p 

 2

p´

x´

p Werner Heisenberg (1901-1976)

x  „Heisenbergův tlak“: hmota se brání zahušťování (stlačování nerozlišitelných fermionů vede ke vzrůstu neurčitosti hybnosti, a tedy kinetické energie) Ne/relativistická QM dává vztah pro tlak P   5 / 3 resp.  4 / 3 bílý trpaslík

 Scénáře gravitačního kolapsu hvězd • bílý trpaslík: hvězdy hmotnosti M<1.4 M☉ elektron-jaderné plazma, hustota ρ ~ 109 kg/m3 • neutronová hvězda: hvězdy v rozmezí M ~1.1-3 M☉ jaderná hmota (kvark-gluon plazma), ρ ~ 1017 kg/m3 • černá díra: hmotnosti M >3 M☉, gravitační singularita

Eskimo Nebula (Hubble SpaceTelescope)

„Maticová mechanika“ Nekomutující proměnné do fyziky zavedl W. Heisenberg v r.1925 (na ostrově Helgoland). Opustil představu trajektorií elektronů v atomu a polohu & hybnost reprezentoval 2-indexovými entitami:

X nm (t )  e

i ( E E )t n m 

X nm (0)

Pnm (t )  e

i ( E E )t n m 

Pnm (0)

Tyto entity se daly kombinovat na nové se stejnou časovou závislostí: 

( XP) nm   X nk Pkm k 0

Heisenbergovy myšlenky rozvinuli M. Born a P. Jordan s použitím maticového počtu. Helgoland, circa 1890–1900 (zdroj: US Congress Library)

"It was about three o'clock at night when the final result of the calculation lay before me. At first I was deeply shaken. I was so excited that I could not think of sleep. So I left the house and awaited the sunrise on the top of a rock."

Werner Heisenberg (1901-1976)

Max Born Pascual Jordan (1882-1970)

(1902-1980)

• W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). • M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, 34, 858-888, 1925 (received Sept. 27, 1925). • M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II, Zeitschrift für Physik, 35, 557-615, 1926 (received Nov.16, 1925).

Klasická analogie nekompatibility Kvantová nekompatibilita má analogii v klasické fyzice, pokud místo „čistých stavů“ uvažujeme statistické distribuce ve fázovém prostoru Lokální vychýlení „ploch“ A=const a B=const veličin A(q,p) a B(q,p) ve fázovém prostoru se dá vyjádřit pomocí tzv. Poissonových závorek

A, B  Aq Bp  Bq Ap 

,   ,    A q

A p

 A

B p

q=const „stav“ s neurčitostí Δp „stav“ s neurčitostí Δq i Δp

B q

  B

Pro souřadnici q a hybnost p :

p

q, p  qq pp  pq qp  1  kvantový komutátor  qˆ, pˆ   i Obecně platí relace: A, B  C  [ Aˆ , Bˆ ]  iCˆ

p=const „stav“ s neurčitostí Δq

„čistý“ stav s nulovou neurčitostí

q zobecněná souřadnice q a hybnost p

Harmonický oscilátor „Nejdůležitější fyzikální systém všech dob“ S využitím komplexní veličiny

Řešení kvantového oscilátoru: 1)

  

b

m 2 2

q i

1 2 m

p

b* 

m 2 2

q i

1 2 m

p

En   (n  12 )

b  bˆ b* bˆ 

2)

H

1 2m

p  2

m 2 2

q

2

se dá zapsat ve tvaru:

H  b*b

ε = libovolná

konstanta

|b|2

n (q)

2

n7 n6

ˆ ]  i  [bˆ, bˆ ]  1 3) [qˆ, p 

bˆ bˆ  1

4)H ˆ

 

n5

nˆ

bˆ bˆ  bˆ bˆ   ( bˆbˆ  1 ) 2

2

bˆ bˆ 1  5) bˆbˆ n  n n ( bˆ bˆ ) bˆ n  (n  1) bˆ n ( bˆbˆ ) bˆ n  (n  1) bˆ n bˆ bˆ 1



Operátor n ˆ  bˆbˆ má vlastní čísla 0, 1, 2, 3, … Operátory bˆ & bˆ realizují krok nahoru & dolů 0

n4 n3 n2 n 1 n0

q

Harmonický oscilátor „Nejdůležitější fyzikální systém všech dob“ S využitím komplexní veličiny Kvantový harm.oscilátor představuje soustavu s proměnným počtem neinteragujících částic,

  bˆ bˆ bˆ bˆ bˆ bˆ

6



5

bˆ

4

bˆ

3

bˆ

2



bˆ

1

bˆ

0

bˆ

b

m 2 2

q i

1 2 m

p

b* 

m 2 2

q i

1 2 m

p

En   (n  12 )

H

1 2m

p  2

m 2 2

q

2

se dá zapsat ve tvaru:

H  b*b

ε = libovolná

konstanta

|b|2

n (q)

2

n7

tzv. fononů (kvant „zvuku“)

n6

počet fononů

nˆ Hˆ   ( bˆ bˆ  12 ) 

kreuje anihiluje fonon Operátor n ˆ  bˆbˆ má vlastní čísla 0, 1, 2, 3, … Operátory bˆ & bˆ realizují krok nahoru & dolů 0

n5 n4 n3 n2 n 1 n0

q

1) Stará kvantová teorie 2) Kvantování v Hilbertově prostoru 3) Kontinuum, pole, relativita …

Kvantování kmitů tyče

okamžitá podélná výchylka (deformace tyče) v bodě x

 ( x, t )

x xdx

Celková energie tyče



L

E   dx A( 0

periodická okrajová podmínka

 2 t

)

kinetická

 B(

 2 x

)

potenciální

Fourierova transformace kl   ( x, t )  [1l (t ) L2 cos( 2Ll x)  2l (t ) 

l 1



=L

délka tyče

 2

dV  (  x )  ( dx1) [ (x  dx)  ( x) ] 2 2

Potenciální člen obsahuje vazby mezi lokálními oscilátory…

soustava nezávislých oscilátorů kl  2l 2 L sin ( L x)]





2 2 2  E  [ A  Bk  ] il

i 1, 2 l 1

l

kinetická

il

potenciální

Diskrétní verze problému:  i21  i2  2 i i 1 soustava vázaných oscilátorů

 2 E  [ m2 i  K2 (i 1i ) 2 ]

i

i1

i

a

Kvantování kmitů tyče

periodická okrajová podmínka

okamžitá podélná výchylka (deformace tyče) v bodě x … operator !

ˆ ( x, t )

délka tyče

Operátor energie 



=L

Bk A l



2 2 ˆ2  ˆ 1 ˆ ˆ ˆ H  [ 4 A  il  Bkl il ]    l (bil bil  12 ) i 1, 2 l 1

kinetická

i 1, 2 l 1

potenciální

soustava nezávislých oscilátorů kl  ˆ ( x, t )  [ˆ1l (t ) L2 cos( 2Ll x)  ˆ2l (t ) 

l 1

kl  2l 2 L sin ( L x)]

Součet „nulových kmitů“ všech oscilátorů dá ∞, to musíme odečíst…



E    l (nil  12 )  i 1, 2 l 1 Bk A l

0,1,2,3…

…

…

kl

Kvantování kmitů tyče

okamžitá podélná výchylka (deformace tyče) v bodě x … operator !

ˆ ( x, t )

délka tyče

Operátor energie 

2 2 ˆ2 1 ˆ ˆ H  [ 4 A  il  Bkl il ]  i 1, 2 l 1

kinetická

„Chytrá transformace“

bˆl  bˆl 

(bˆ1l  ibˆ2l ) bˆl  1 ˆ   ibˆ  ) bˆ   ( b 1l 2l l 2

1 2

potenciální

(bˆ1l  ibˆ2l ) 1 ˆ   ibˆ  ) ( b 1l 2l 2 1 2

Součet „nulových kmitů“ všech oscilátorů dá ∞, to musíme odečíst…





l  



Bk A l



 ˆ 1 ˆ   ( b b   l l l 2)

l  

0,1,2,3…



ˆ  [bˆl eik x  bˆl eik x ]

 l (nl  12 ) …  Bk A l

=L

soustava nezávislých oscilátorů

nahradí dvojice operátorů s i=1,2 dvojicemi s +l a –l

E

periodická okrajová podmínka

l

l

l  

…

kl

Kvantová teorie pole

V. Weisskopf (1908-2002)

Základní kámen „teorie všeho“… Geneze kvantové teorie pole: 1928: P. Jordan, E. Wigner 1930: W. Heisenberg, W. Pauli 1934: W. Furry, R. Oppenheimer W. Pauli, V. Weisskopf …… ………………..

W. Heisenberg (1901-76)

R. Oppenheimer (1904-1967)

E. Wigner (1902-95)

anihiluje/kreuje částice pole (bosony/fermiony) 

ˆ  [bˆl eik x  bˆl eik x ] l

l

l  

Excitace pole jsou elementární částice ! Elementární částice jsou excitace pole !

…

…

kl

Kvantová teorie pole Speciální Teorie Relativity

&

relativita

+ Kvantová Teorie = Kvantová Teorie Pole

1) Přeměny hmota–energie umožňují rození/zánik částic

E  mc

2

Relativistická kvantová teorie musí mít neurčitý počet částic:

H  H(0)  H(1)  Η( 2)  H( N )  

Fokův prostor

vakum

1 částice 2 částice

…

N částic

…..

anihiluje/kreuje částice pole (bosony/fermiony) 

ˆ  [bˆl eik x  bˆl eik x ] l

l

l  

…

…

kl

Kvantová teorie pole

komplexní pole

Komplexní pole popisuje částice s „nábojem“ (ne nutně elektrickým) Vyjádření polních operátorů vyžaduje 2 druhy operátorů, které kreují a anihilují

částice & antičástice

Zákon zachování náboje souvisí se symetrií   i f ( x ,t ) systému vůči transformaci  ( x ,t)  e  ( x, t )

Proto komplexní pole vždy nese nějaký náboj… anihiluje/kreuje částice pole (bosony/fermiony)

1928, P. Dirac: předpověď pozitronu



ˆ  [aˆl eik x  bˆl eik x ] l

l  

e+



Pb

B

l

ik x   ik x ˆ ˆ ˆ   [ al e  bl e ] l

l  

1932, Carl Anderson: detekce pozitronu v kosmickém záření pomocí mlžné komory

l

Kvantová teorie pole Speciální Teorie Relativity

&

relativita

+ Kvantová Teorie = Kvantová Teorie Pole

1) Přeměny hmota–energie umožňují rození/zánik částic

E  mc

2

Relativistická kvantová teorie musí mít neurčitý počet částic:

H  H(0)  H(1)  Η( 2)  H( N )  

Fokův prostor

vakum

1 částice 2 částice

…

N částic

2) Bez antičástic by byl princip neurčitosti ve sporu s existencí mezní rychlosti šíření ct

…..

 x  p  2

Lokalizovaná částice šířící se |x|=ct rychlostí blízkou c se může v důsledku principu neurčitosti dostat vně „světelného kuželu“. Ve skutečnosti musela x „akauzální částice“ vzniknout až při měření. Tvorba takových částic neporušuje zákon zachování náboje z důvodu současného vzniku kompenzujících antičástic…

Antičástice

γ e–

Každá elementární částice má svou antičástici (v některých případech, např. pro foton, částice = antičástice)

Antičástice má stejnou hmotnost a spin jako původní částice, ale opačný náboj (nejen elektrický, ale také „barvu“ u silně interagujících částic a „slabý izospin“ u slabě interagujících částic) Při srážce hmoty a antihmoty dochází k anihilaci, v níž nejčastěji (v důsledku zachování „náboje“) vzniká záření. Zdá se, že na počátku vývoje vesmíru vznikl malý přebytek hmoty nad antihmotou, takže antihmota zmizela a zbyla jen hmota.

e+

v mag. poli se antičástice ohýbá na opačnou stranu než částice

e–

Antičástice se rodí při srážkách částic, ale také při β+ rozpadu některých atomových jader zdroj obrázků: Wikipedia

Antičástice Anihilace pozitronu v látce probíhá při malých rychlostech a dává vzniknout 2 fotonům o energii 511 keV, letícím do opačných směrů. To je základem tomografické metody PET využívané v lékařství a klinickém výzkumu…