Partikel Dirac dalam Sumur Potensial Dinamis

Jurnal EduMatSains, 1 (1) Juli 2016, 29-38

Partikel Dirac dalam Sumur Potensial Dinamis Yuant Tiandho* Fakultas Rekayasa Industri, Universitas Telkom Jl. Telekomunikasi No. 1, Terusan Buah Batu, Bandung, Indonesia *e-mail: [email protected] Abstract Infinite square well potential is one of the most elementary quantum mechanical system. The calculation of this case is not too complicated, however, it can show the differences between quantum world and classical world with clearly. In this letter, we expand the discussion about the infinite square well potential for dynamic potential well by involving relativistic corrections. The dynamic potential is defined as potential wall that depend on time because the potential can moving with constant velocity. The Dirac equation is used to describe condition in the potential well. By this consideration, we hope the result will be useful in the development of nanoelectronic devices. To obtain solution of probability density of Dirac particles that depend on space and time, we transform the Dirac equation into hyperbolic coordinates and the differential equations can be solved by separation variables method. Keywords: quantum relativistic, Dirac equation, time dependent potential

PENDAHULUAN

& Guechi, 1989), second quantization (Oh, et al., 1989), representasi Heisenberg (Ji, et al.,

Kajian tentang partikel dalam sumur potensial

tak

merupakan dipelajari

hingga

permasalahan untuk

Schrodinger.

1995),

(non-relativistik)

invarian (Lewis

Jr.

&

umum Riesenfeld, 1969), dan transformasi Lorentz persamaan (Hamil & Chetouani, 2016).

yang

memahami

Pembahasan

metode

ini

Adapun untuk permasalahan sumur

cukup

memberikan potensial dinamis yang melibatkan koreksi aproksimasi yang cukup baik dari beberapa relativistik saat ini belum begitu banyak permasalahan untuk sistem kuantum (Zettili, dipelajari. Padahal tinjauan tersebut kelak sederhana

dan

dapat

2009). Tetapi apabila pembahasan diperluas akan sangat bermanfaat dalam berbagai khususnya dalam divais untuk potensial yang bergerak atau potensial aplikasi, yang bergantung waktu maka hal ini menjadi nanoelektronik seperti graphene. Pembawa jauh lebih kompleks dan lebih sulit. Kasus ini muatan dalam graphene mengikuti dinamika pertama kali diusulkan oleh Fermi untuk pseudorelativistik dari partikel Dirac mempelajari sinar kosmik yang dipercepat (Savel'ev, et al., 2012). Sehingga beberapa (Fermi, 1949). Beberapa metode yang telah konsekuensi dari hal ini misalkan adalah dilakukan untuk menyelesaikan kasus terjadinya fenomena Klein tunneling yang waktu awalnya hanya dikenal dalam teori mekanika diantaranya adalah: path integral (Chetouani kuantum relativistik (Katsnelson, et al., potensial

yang

bergantung

pada

29

Yuant Tiandho 2006).

Jurnal EduMatSains, Juli 2016 | Vol. 1 | No. 1

Berdasarkan

hal tersebut,

maka

dalam sumur potensial sebagai fungsi ruang

dengan mempelajari kasus sumur potensial dan waktu. Di dalam pembahasan selanjutnya dinamis untuk partikel Dirac (relativistik)

makalah ini menggunakan sistem satuan

diharapkan dapat menambah referensi untuk natural unit dimana ħ = c = 1. proses rekayasa material graphene atau PARTIKEL DIRAC DALAM SUMUR

berbagai divais nanoteknologi selanjutnya. Di dalam makalah ini, sumur potensial

Sumur potensial digambarkan sebagai

dinamis dideskripsikan sebagai suatu sumur potensial tak berhingga yang salah satu

berada

menggunakan

didalamnya.

transformasi

ke

Kami dalam

diselesaikan

menggunakan

metode

secara

analitis

separasi

variabel.

berhingga

dengan

bagian

dalamnya tidak terdapat potensial eksternal. Di dalam sumur, kondisi partikel Dirac dapat dipandang berada pada keadaan bebas (free

koordinat hiperbolik agar persamaan Dirac dapat

suatu daerah yang dibatasi oleh suatu dinding potensial tak

dindingnya dapat bergerak dan partikel Dirac diasumsikan

POTENSIAL STATIS

particle). Karena dinding potensial memiliki nilai yang sangat besar maka efek tunneling

Solusi yang diperoleh dari kajian ini adalah

tidak akan muncul. Adapun skema dari sumur potensial ditunjukkan oleh Gambar 1.

gambaran rapat probabilitas partikel Dirac

Gambar 1. Skema sumur potensial statis Minkowskian dan I adalah matriks identitas.

Untuk meninjau kondisi partikel Dirac

tak bermassa di dalam sumur potensial Terdapat banyak variasi matriks gamma dan digunakan persamaan Dirac sebagai berikut,

     0 dimana 



memenuhi dengan

(1)

0 1  0 1 0  ; 1    1 0 1 0 

adalah matriks gamma yang hubungan



di sini kami memilih matriks gamma sebagai,



adalah





Untuk memperoleh solusi dari persamaan

,     2   I

invers

(2)

tersebut,

metrik

maka

dapat

modifikasi persamaan, 30

dilakukan

sedikit

Partikel Dirac dalam Sumur Potensial

         0

(3)

          0

(4)

hanya akan dikaji solusi untuk komponen  saja. Secara umum fungsi gelombang partikel Dirac dapat diuraikan dalam komponen

Pada ruang-waktu Minkowskian perkalian waktu dan ruangnya, antara matriks gamma dengan invers-nya (7)   T t  X  x     akan menghasilkan nilai 1 jika dan Definisi ini dipilih agar persamaan Dirac akan bernilai 0 jika    . Selain itu, pada pers. (6) dapat diselesaikan secara perkalian antara turunan kovarian dan sederhana dengan menggunakan metode kontravariannya memenuhi sifat operator separasi variabel. Melalui substitusi pers. (7) d’Alembert,  . dalam pers. (6) dan membaginya dengan TX   2      0 (5) maka akan diperoleh,





  0

1  2T 1  2 X  0 T  t 2 X x 2

(6)

Operator d’Alembert merupakan generalisasi

Kemudian dengan menyatakan,

dari operator Laplacian yang berlaku tidak

1  2T 1  2 X    m2 T t 2 X x 2

hanya untuk koordinat 3D, melainkan juga untuk

koordinat

ruang-waktu.

(8)

Secara

eksplisit operator d’Alembert didefinisikan

(9)

Maka dapat diperoleh solusi dari persamaan

diferensial untuk fungsi gelombang  2  2 sebagai,   2  2 . Bentuk persamaan komponen waktu secara umum adalah, t x T  t   C1 exp  imt   C2 exp  imt  (10) Dirac untuk partikel bebas dalam pers. (6) memiliki

bentuk

yang

dengan Kedua suku pada solusi di atas (eksponensial

identik

persamaan Klein-Gordon yang berlaku untuk positif dan negatif) berkaitan dengan partikel (eksponensial

partikel tak berspin. Untuk tinjauan non-

negatif)

dan

anti-partikel

relativistik tampak bahwa solusi persamaan (eksponensial positif). Adapun solusi untuk Dirac akan kembali pada bentuk persamaan komponen ruang dapat dinyatakan sebagai, X  x   D1 cos  mx   D2 sin  mx  (11)

Schrodinger. Secara ansatz, fungsi gelombang 

Dengan menerapkan syarat batas yaitu pada

 dinding potensial x  0 dan x  L tidak dapat dinyatakan sebagai     . Tetapi    terdapat partikel Dirac, maka solusi karena

komponen



dan



akan komponen ruang di atas dapat direduksi sebagai,

menghasilkan solusi yang analogi maka 31

Yuant Tiandho

Jurnal EduMatSains, Juli 2016 | Vol. 1 | No. 1 X  x   D sin mx

  i   t  t  

(12)

n dan diperoleh m  dimana n  1, 2,3,... . L Dengan demikian, secara lengkap fungsi

J   i        

Sehingga dengan asumsi rapat arus J=0 maka rapat probabilitas partikel dan antipartikel,

gelombang dari partikel dan anti-partikel

2

Dirac adalah,

 n  Cn exp  imt  sin  mx   m  Cn exp  imt  sin  mx  Di

dalam

persamaan

Dirac

Dengan (13)

 0 t

    Cn m sin 2  mx 

(16)

melakukan

rapat

normalisasi

probabilitas fungsi gelombang di atas maka

persamaan

kami dapat menyimpulkan bahwa konstanta Cn adalah,

kontinuitas didefinisikan sebagai,

.J 

(15)

Cn 

(14)

2 mL

(17)

Tidak seperti persamaan Schrodinger, dimana

    , dalam persamaan Dirac rapat probabilitas dan rapat arus didefinisikan oleh,

(a)

(b)

(c) (d) Gambar 2. Rapat probabilitas partikel  n pada empat keadaan terendah dalam sumur potensial ( L  1) . 32

Partikel Dirac dalam Sumur Potensial

Sehingga secara eksplisit fungsi gelombang

rapat

dalam pers. (13) dapat dituliskan sebagai,

Schrodinger.

 n  Apabila

2  in t   n x  exp   sin   (18) n  L   L 

rapat

probabilitas

probabilitas

untuk

persamaan

PARTIKEL DIRAC DALAM SUMUR

telah POTENSIAL DINAMIS

yang

diperoleh dalam persamaan (16) diplot dalam

Sumur potensial tak berhingga dinamis

grafik sebagai fungsi ruang maka tampak

yang ditinjau dalam makalah ini adalah

seperti pada Gambar 2. Jika diperhatikan sumur

potensial

dengan

salah

satu

hasil yang telah diperoleh ini memiliki dindingnya bergerak secara konstan dengan bentuk grafik yang analogi dengan solusi dari kecepatan v. Secara sederhana skema dari kondisi tersebut tampak pada Gambar 3.

Gambar 3. Skema sumur potensial tak berhingga non-statis dengan kecepatan v . Agar

persamaan

Dirac

dapat

ds 2  d 2 

diselesaikan dengan metode separasi variabel

2 d 2 2

(21)

maka dibutuhkan transformasi koordinat (t, x) Berdasarkan definisi interval garis di atas menjadi koordinat hiperbolik (α, β) yang

maka dapat disimpulkan metrik tensor dan

didefinisikan sebagai,

invers metrik tensornya adalah,

  t  x   d   d   dt  dx (19)  d d tx   2  dt  dx    Sehingga

dengan

mengalikan

g 

kedua

dalam koordinat hiperbolik maka untuk

2

 d  2  dt 2  dx 2 2 

(22)

Karena telah dilakukan transformasi ke

persamaan di atas maka dapat diperoleh,

d 2 

0  1 0  1        2 ; g   2  0  2  0  2      

menghitung

(20)

bermassa)

dan interval garis dapat dituliskan sebagai,

solusi dalam

partikel sumur

Dirac potensial

(tak tak

berhingga non-statis digunakan persamaan 33

Yuant Tiandho Dirac

yang

Jurnal EduMatSains, Juli 2016 | Vol. 1 | No. 1 berlaku

untuk

sembarang

2 f 

koordinat yaitu,

  D  0

dengan

(23)

1  g

g  det g 



.

 gg   f Dengan



(27)

demikian

dimana    ea  a dengan e a adalah tetrad operator Laplace-Beltrami koordinat (α, β) adalah,

yang memenuhi hubungan antara metrik g    dengan metrik Minkowski, g  ea ebab .

 2 

1      2        

(28)

Adapun turunan kovarian didefinisikan oleh Secara ansatz fungsi gelombang  dapat

i D     ab ab 4

ab adalah didefinisikan

dengan

memiliki

dua

komponen

     sehingga persamaan Dirac di atas koneksi spin dan  ab   a ,  b  . Berdasarkan   secara eksplisit dapat dituliskan sebagai,

definisi metrik tensor pada pers. (22) maka

1          2          0   (29) 1         2          0  

tetrad dan inversnya dapat dituliskan sebagai, 1 0  1 0      e  ; e   0   a  0         a 

(24)

Tetapi

dan matriks gamma   diberikan oleh,

mengkaji

0 1   0 1    ;     (25)    1 0  1 0



saja

karena

Dengan mengurai fungsi gelombang sebagai,



syarat   ,   2g  I

  A   B   

(30)

dikalikan dengan  2 dan 1/ AB maka pers.

Seperti pada kasus sumur potensial statis,

(29) dapat dinyatakan sebagai,

persamaan Dirac pada pers. (23) juga dapat

    a A     b B   0 (31) A B

dituliskan sebagai,

    D D   0      0 

2

Dengan demikian pers. (31) dapat diperoleh

(26)

solusinya melalui metode separasi variabel,

 sehingga D D dapat didefinisikan sebagai

operator Laplace-Beltrami yang merupakan generalisasi

komponen

komponen  memiliki solusi yang analogi.

dimana matriks gamma tersebut memenuhi



dalam makalah ini kami hanya

dari

operator

Laplace

dan

didefinisikan oleh, 34

    A       B   k 2 A B yang memiliki solusi berupa,

(32)

Partikel Dirac dalam Sumur Potensial

A    C1 exp  ik ln    C2 exp  ik ln  

1 v 1 v

(35)

n ln  R

(36)

 R2 

B     C3 exp  ik ln    C4 exp  ik ln  

dan dapat disimpulkan,

(33)

kn 

Adapun pada syarat batas dinding sumur potensial maka fungsi gelombang akan lenyap. Dengan mengalikan kedua pers. (19)

tx akan diperoleh  2  . Untuk dinding tx

Dari persamaan di atas tampak bahwa kecepatan maksimum dari dinding potensial adalah

1.

Hal

ini

berkaitan

dengan

penggunaan sistem satuan natural unit c = 1.

sebelah kiri yang statis pada t  t0 dan x  0

Sehingga pada penggunaan praktis perlu

maka  L2  1 sehingga dipenuhi kondisi

dilakukan penskalaan nilai kecepatan dinding

C3  C4

potensial v terhadap nilai c. Dengan definisi

dan solusi fungsi gelombang

bagian koordinat  adalah,

B     Y sin  k ln  

 2  t 2  x 2 maka secara eksplisit fungsi gelombang pada pers. (30) dapat dituliskan

(34)

Sedangkan dengan menggunakan syarat batas

sebagai,

pada dinding sebelah kanan yang memenuhi

x  L  t   L0  v  t  t0  maka,

  X exp  ikn ln   sin  n ln        Y exp  ik ln   sin  n ln    R   Apabila dalam kotak potensial yang bergerak

Melalui

tidak terdapat arus probabilitas J  0 maka

menyesuaikan

dapat dilakukan normalisasi,

partikel  m akan diperoleh,

3

 d x  1

(38)

substitusi

2km X m

pers.

konjugatnya

2



R

L

i

L

X m  (39)

d  1 (41) 

1 n

(42)

Sedangkan dengan cara yang sama fungsi

dan fungsi eigennya adalah,

m  X m exp  ikm ln  sin  km ln  

untuk

dan dapat disimpulkan,

koordinat  ,   adalah,

 d    n  m   m   n    mn 

dengan

maka

sin 2  k m ln  

dimana rapat probabilitas yang berlaku dalam

R

(40)

(37)

gelombang anti-partikel  m diperoleh, (40)

X m   35

1 n

(43)

Yuant Tiandho

Jurnal EduMatSains, Juli 2016 | Vol. 1 | No. 1

Secara eksplisit, rapat probabilitas dari fungsi 4. Melalui skema tersebut tampak bahwa gelombang partikel  m pada pers. (40) dapat

grafik rapat probabilitas akan memiliki jarak

didefinisikan sebagai,

yang makin rapat pada area yang makin dekat



2km sin 2  km ln   m

dengan dinding yang bergerak. Adapun untuk (44)

nilai rapat probabilitasnya lebih rendah

Sehingga apabila diplot dalam grafik rapat dibandingkan dengan area yang berdekatan probabilitasnya tampak seperti pada Gambar dengan dengan dinding yang diam.

(a)

(b)

(c) (d)  Gambar 4. Rapat probabilitas fungsi gelombang partikel  m pada empat keadaan terendah terhadap fungsi ruang dan waktu (v  0.5) . yang bergantung waktu adalah menyebabkan

KESIMPULAN

Di dalam makalah ini kami telah rapat

probabilitas

partikel

Dirac

yang

menunjukkan bahwa tinjauan sumur potensial diperoleh juga turut bergantung pada waktu dinamis

untuk

diselesaikan

persamaan

secara

Dirac

sederhana

dapat

(selain bergantung pada ruang). Perubahan

melalui rapat probabilitas terhadap waktu muncul

transformasi ke dalam koordinat hiperbolik.

akibat

adanya

perubahan

lebar

sumur

Implikasi dari penggunaan dinding potensial potensial. Semakin lama dinding potensial 36

Partikel Dirac dalam Sumur Potensial bergerak maka semakin lebar pula celah Katsnelson, M., Novoselov, K. & Geim, A. sumur potensial sehingga menyebabkan rapat

2006. Chiral tunneling and the Klein

probabilitasnya pun akan semakin landai. Di

paradox in graphene. Nature Physics

dekat dinding yang dapat bergerak rapat

2(9): 620-625.

probabilitas partikel Dirac lebih fluktuatif Lewis Jr., H. & Riesenfeld, W. 1969. An dibandingkan di area dinding yang diam.

exact quantum theory of the time-

Melalui kesimpulan ini maka menarik untuk

dependent harmonic oscillator of a

memanfaatkan hasil perhitungan teoritis ini

charged particle in a time-dependent

dalam aplikasi nanoteknologi.

electromagnetic

field.

Journal

of

Mathematical Physics 10(8)L 1458DAFTAR PUSTAKA Chetouani,

L.

&

1473. Guechi,

L.

1989.

Oh, H. G., Lee, H. R., George, T. F. & Um,

Generalized canonical transformations

C. I. 1989. Exact wave functions and

and path integrals. Physical Review A 40(3): 1157-1164.

harmonic oscillator. Physical Review

Fermi, E. 1949. On the origin of the cosmic radiation.

Physical

coherent states of a damped driven

Review

75(8):

1169-1174.

A 39(11): 5515-5522. Savel’ev, S., Hausler, W. & Hanggi, P. 2012. Current resonances in graphene with

Hamil, B & Chetouani, L. 2016. Moving potential for Dirac and Klein-Gordon equations. Pramana Journal of Physics

time-dependent

potential

barriers.

Physical Review Letters 109: 22602(1)226602(5).

86(4): 737-746.

Zettili,

Ji, J. Kim, J. & Kim, S. 1995. Heisenberg-

N.

2009.

concepts

picture approach to the exact quantum motion of a time-dependent harmonic oscillator. Physical Review A 51(5): 3767-3772.

37

and

Quantum

mechanics:

applications

(2nd

edition). United Kingdom: John Wiley & Sons, Ltd.

Yuant Tiandho

Jurnal EduMatSains, Juli 2016 | Vol. 1 | No. 1

38