NÁVODY K LABORATORNÍM CVIČENÍM Z FYZIKY II

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA CHEMICKO-TECHNOLOGICKÁ Ústav aplikované fyziky a matematiky

NÁVODY K LABORATORNÍM CVIČENÍM Z FYZIKY II

RNDr. Jan Z a j í c , CSc. a kol.

Pardubice 2010 1

Obsah:

A) LABORATORNÍ ŘÁD ...................................................................................................

3

B) ZÁSADY PRO VYPRACOVÁNÍ PROTOKOLŮ .........................................

5

C) ÚLOHY LABORATORNÍCH CVIČENÍ .......................................................... 10 Rovnoměrně zrychlený pohyb ..................................................................................... 10 Měření modulu torze statickou a dynamickou metodou .............................................. 16 Měření elektrostatického pole ..................................................................................... 23 Měření impedancí ....................................................................................................... 26 Rezonance v RLC obvodu střídavého proudu ............................................................. 33 Magnetický moment proudové smyčky........................................................................ 41 Pohyb elektronu v silovém poli (elektrickém a magnetickém) ..................................... 46 Měření Planckovy konstanty ...................................................................................... 53 Stefanův-Boltzmannův zákon ..................................................................................... 58 Hallův jev v polovodičích ........................................................................................... 62 Studium rentgenového záření ...................................................................................... 68 Difrakce světelného záření a elektronů ........................................................................75

2

LABORATORNÍ ŘÁD posluchačských laboratoří z fyziky

1.

Účast na laboratorních cvičeních z fyziky je povinnou formou výuky. Chybí-li někdo pro nemoc nebo jinou závažnou příčinu, bude mu v závěru semestru poskytnuta možnost náhradního cvičení. Počet úloh je stanoven katedrou na 10 prací, a to zpravidla tak, že první týden se konají úvody do laboratorních cvičení, od druhého týdne se provádí vlastní měření jednotlivých úloh a zbývající týdny semestru jsou vyhrazeny na náhrady zameškaných prací a vykonání zkoušky z předmětu.

2.

Posluchačská laboratoř se nachází v prostorách katedry fyziky v Polabinách−Stavařově, Studentská 84, v 6. podlaží budovy EA (místnost 06026). V prostorách posluchačských laboratoří je nutné se přezouvat, šatnu mají posluchači k dispozici přímo na patře. Na pracoviště si nosí pouze nezbytné potřeby pro záznamy z měření a pro provádění výpočtů.

V posluchačské laboratoři je zakázáno kouřit a konzumovat potraviny.

3.

Po příchodu do laboratoře si každá skupina nejprve zkontroluje své pracoviště podle seznamu přístrojů a pomůcek k dané úloze a případné nedostatky ihned nahlásí přítomnému učiteli.

4. Každý posluchač se musí na úlohu předem připravit. Je třeba, aby znal teoretický základ úlohy a pracovní postup měření. Zjistí-li přítomný učitel nepřipravenost studenta ke cvičení, nedovolí mu je měřit a určí mu náhradní termín.

5.

Po kontrole pracoviště začne dvojice měřit.

U elektrických úloh však bez výjímky až po kontrole každého obvodu učitelem. Pouze učitel také provede připojení obvodu ke zdroji elektrického proudu! Po skončení elektrického měření ponechá dvojice obvod zapojený, učitel provede opět jeho kontrolu, odpojí zdroj, a pak teprve smí posluchači rozebrat příslušné zapojení. Tento postup je bezpodmínečně nutno dodržet i když se během jedné úlohy provádí měření na více elektrických obvodech !!!

3

6.

Každý posluchač si vede laboratorní deník (obvykle sešit formátu A4), do něhož si zapisuje poznámky nutné k přípravě měření a během měření samotného pak i všechny naměřené hodnoty, jež mu slouží ke zpracování protokolu z dané úlohy.

7.

Po skončení všech úkolů dané úlohy a kontrole naměřených hodnot učitelem skupina uklidí pomůcky a přístroje na pracovišti a podepíše předávací protokol (ten je v deskách na stole).

Uklizené pracoviště nechá překontrolovat přítomnému učiteli a teprve s jeho svolením opustí fyzikální laboratoř.

8.

Dojde-li ke ztrátě nějakého přístroje nebo pomůcky, případně k jejich poškození hrubou nedbalostí posluchače, hradí jejich ztrátu či opravu příslušný viník. Každou zjištěnou závadu jsou posluchači povinni okamžitě nahlásit svému vyučujícímu.

9.

Na základě měření se z laboratorní úlohy se zpracovává protokol (viz „Zásady pro zpracování protokolu z laboratorních cvičení”). Protokol zásadně odevzdá

každý

posluchač vždy na začátku příštího laboratorního cvičení. Pokud posluchač tuto svou základní studijní povinnost nesplní a protokol na začátku příští práce neodevzdá, práce mu nebude uznána a měření následující úlohy musí provést v náhradním termínu.

10.

Změření všech úloh a vypracování protokolů z nich je nutnou podmínkou pro získání zkoušky z předmětu.

4

ZÁSADY PRO VYPRACOVÁNÍ PROTOKOLŮ Na základě měření dané laboratorní úlohy se zpracovává protokol. I když posluchači pracují zpravidla ve dvojicích, odevzdává laboratorní protokol k a ž d ý sám za sebe, a to zásadně před začátkem dalšího laboratorního cvičení! Protokol se vypracovává výhradně na bílý papír formátu A4, grafické závislosti (pokud nejsou zpracovány na počítači) se rýsují na milimetrový papír téhož formátu. Jednotlivé listy protokolu se pak sešívají sešívačkou (jež je k dispozici v laboratoři). Text protokolu, všechny obrázky, schémata, tabulky a grafy musí být vyhotoveny jen trvanlivou formou zápisu (zásadně nepoužíváme obyčejnou tužku!).

Každý protokol musí být výrazně členěn na jednotlivé části, jimiž jsou: A) Záhlaví obsahující následující podstatné údaje: → → → → →

číslo a název měřené úlohy (podle příslušného seznamu pro daný předmět); jméno a příjmení posluchače s uvedením spolupracovníka; datum měření úlohy; datum odevzdání protokolu; u mechanických úloh pak i laboratorní podmínky (teplota, tlak, vlhkost).

Např.:

2. M Ě Ř E N Í

HUSTOT

Zpracoval: .................. Spolupracovník: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Studijní skupina: 6 Dvojice: 4

KAPALIN

Měřeno: Odevzdáno: Teplota: Tlak: Vlhkost:

24°C 98,76 kPa 66 %

B) Úkol (-y) : → jsou uvedeny v návodech, případně ještě doplněny či upřesněny v deskách přímo na měřícím stole nebo přítomným učitelem.

C) Potřeby : → zde platí totéž co v bodě B).

D) Obecná část : → v ní by měl posluchač stručně a výstižně přiblížit fyzikální podstatu dané měřící metody, uvést všechny vztahy a vzorce, jež bude potřebovat k početnímu zpracování, včetně popisu použitých symbolů fyzikálních veličin;

5

→ u některých úloh připojí, kde je třeba, i vysvětlující obrázek, u elektrických měření pak vždy schéma příslušného zapojení obvodu.

E) Postup měření : → v tomto bodě student konkrétně popíše jednotlivé etapy měření příslušné úlohy, uvede přístroje a pomůcky, jichž používal při zjišťování potřebných údajů. F) Naměřené hodnoty : → hodnoty získané měřením obvykle zapisujeme (zejména tehdy, když měření provádíme opakovaně) do tabulek, jejichž vzor je vždy v návodech u každé úlohy předtištěn; → každá tabulka musí být nadepsána a orámována (ne však tužkou!), její záhlaví musí obsahovat normalizovaná označení měřených či počítaných veličin včetně příslušné fyzikální jednotky (tu obvykle píšeme do závorky - viz připojený vzor tabulky); → do sloupců pod záhlavím se potom vypisují již jen prosté číselné hodnoty dané veličiny; tyto hodnoty v každém sloupci uvádíme vždy na stejný počet desetinných míst; → pro vyšší přehlednost hodnot můžeme čísla v daném sloupci vyjádřit pomocí vhodné mocniny, buď volbou násobných nebo dílčích jednotek (mA, kΩ, µm, ...), případně vypsáním příslušného mocninného součinitele přímo do záhlaví tabulky, např.:

Cejchování stupnice galvanometru: n 1 2 3 4 5 6 . .

ϕ (dílek) 3,75 5,25 7,00 9,50 12,75 16,50

.... ....

I (A) 3,77.10-6 5,29.10-6 7,03.10-6 8,58.10-6 12,80.10-6 16,62.10-6

I (µA) 3,77 5,29 7,03 8,58 12,80 16,62

I (A).106 3,77 5,29 7,03 8,58 12,80 16,62

→ všechny fyzikální veličiny, jejichž rozměr není roven jedné, musí být všude mimo tabulku vyjádřeny s odpovídající jednotkou !!!

G) Výpočty : → při počítání určité fyzikální veličiny musí být vždy uveden vzorec, do něhož dosazujeme příslušné hodnoty; → u správně vyčísleného výsledku nesmí nikdy chybět fyzikální jednotka počítané veličiny; → vypočítanou hodnotu je třeba zaokrouhlit s ohledem na přesnost použité měřící metody, což znamená, že počet platných cifer výsledku by měl respektovat nejméně přesnou hodnotu ze všech, jež do vzorce dosazujeme (obvykle tak uvádíme výsledek na tři, maximálně na čtyři platné číslice!), např.: Výpočet měrné tepelné kapacity železa: c Fe =

(m

1

)

⋅ c H 2 0 + c kal ⋅ (t − t1 ) m 2 ⋅ (t 2 − t )

=

(3 ⋅ 4186,8 + 1270) ⋅ (24,51 − 22,34 ) J.kg −1 .K −1 = 1,146 ⋅ (82,5 − 24,51)

6

452 J.kg −1 .K −1

→ celistvé výpočty uvádějte do protokolu obvykle tehdy, jsou-li jedinečné, opakované výpočty se pokaždé nevypisují, ty zpravidla sumarizujeme v některém sloupci předtištěné tabulky; vzorce použité k výpočtu však musí být v tomto případě uvedeny v obecné části protokolu; → zvláštní pozornost je třeba věnovat zápisům výsledků statistických souborů, kdy vždy počítáme: a) průměrnou (neboli střední) hodnotu výsledku, b) pravděpodobnou chybu tohoto průměru, c) relativní chybu měření (jež vyjadřuje poměr pravděpodobné chyby průměru a tohoto průměru vyjádřený v procentech); → jak průměr, tak i chyba musí být zaokrouhleny na stejný počet desetinných míst (u chyby se zaokrouhluje vždy nahoru!) a obě veličiny musí mít i stejnou fyzikální jednotku; → po zaokrouhlení by pravděpodobná chyba měla mít jednu, maximálně dvě platné číslice (chyba uvedená na více platných číslic vždy znamená menší přesnost daného měření!); → používáme-li při zápise výsledku mocnin deseti, je pravidlem uvádět průměrnou hodnotu měření i její pravděpodobnou chybu se stejným mocninným součinitelem, např.:

!!

C = (1,012 ± 0,004).10-6 A/dílek Příklad zpracování opakovaného měření:

Určení hustoty lihu metodou spojitých nádob: ρ H 2O = 996,732 kg.m-3

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h (cm) 32,5 30,8 28,7 26,1 23,6 21,0 19,8 18,8 17,0 16,3

H (cm) 40,7 38,8 35,8 33,1 30,0 26,4 24,6 23,6 21,7 20,4

ρ (kg.m-3) 796 791 799 786 784 793 802 794 781 796

∆ρ (kg.m-3) -4 +1 -7 +6 +8 -1 - 10 -2 + 11 -4 −3

ρ = 792 kg.m

Pravděpodobná chyba průměru: → počítaná metodou pomocí kvadrátů odchylek: ϑρ =

2 ⋅ 3

∑ (∆ρ )

2

i

n ⋅ (n − 1)

=

2 408 ⋅ kg.m −3 =& 1,419 kg.m −3 =& 2 kg.m −3 3 10.9

→ počítaná metodou kladných odchylek:

∑

∆ρ i + 5 5 26 ϑρ = ⋅ = ⋅ kg.m −3 =& 1, 444 kg.m −3 =& 2 kg.m −3 3 n ⋅ n −1 3 10 ⋅ 3

7

Hustotu počítáme s přesností na tři platné číslice – stovky, desítky a jednotky kg.m−3, a tudíž i chybu měření zaokrouhlíme nahoru na jednotky !!! - jak je patrné, dávají nakonec oba uvedené postupy výpočtu pravděpodobné chyby průměru stejný výsledek. Ten potom zapíšeme ve tvaru ρ C 2H5OH = (792 ± 2) kg.m-3 nebo ρ

C 2 H 5 OH

= 792 kg.m-3 ± 2 kg.m-3.

Relativní chyba tohoto měření činí 0,25 % .

H) Závěr: → v něm by měl posluchač zhodnotit dosažené výsledky měření, pokud aplikoval více metod, pak je třeba porovnat jednotlivé výsledky navzájem, zdůvodnit přednosti i nedostatky každé použité metody; → pokud je to možné, provede posluchač srovnání svých naměřených nebo vypočítaných hodnot s údaji uvedenými ve fyzikálních tabulkách a vysvětlí příčiny případných rozdílů; → u statistických měření vysvětlí velikost dosažené chyby výsledku; → v případě grafického zpracování určitého měření vyhodnotí průběh jednotlivých závislostí.

I) Grafy: → pokud nepoužíváme při tvorbě grafických závislostí počítačového zpracování, pak grafy zásadně rýsujeme na milimetrový papír formátu A 4; logaritmické závislosti lze vynášet též na semilogaritmický papír; → grafy (stejně jako ostatní části protokolu) musí být zásadně vypracovány trvanlivou formou zápisu, tedy v žádném případě pouze obyčejnou tužkou!!! ; → každý graf musí mít všechny potřebné náležitosti, t.j.: a) souřadnicové osy s řádným popisem a měřítkem (rovnoměrně vynesenou stupnicí), b) viditelně vynesené body naměřené nebo vypočítané závislosti, c) narýsovanou příslušnou funkční závislost (křivku nebo přímku), d) nadpis, z něhož je patrné, o jaké měření se jedná; → graf rýsujeme tak, že bílý okraj milimetrového papíru zůstává nepopsaný, souřadnicové osy vynášíme z tohoto důvodu alespoň 1 cm od okraje rastru; → k popisu os patří označení nanášené veličiny - na ose x nezávisle, na ose y závisle proměnná, dále její jednotka a příslušné měřítko; → stupnici hodnot dané veličiny vynášíme na souřadnicové osy vždy rovnoměrně (nikdy na osy nenanášíme přímo naměřené nebo spočítané údaje jednotlivých měření !!! - ty jsou zapsány v příslušné tabulce, kde je vždy najdeme); → body, z nichž je příslušná závislost sestrojena, musí být v grafu vždy dobře patrné, a proto je znázorňujeme pomocí křížků, koleček, čtverečků a pod. (× , + , ° , • , , *); → k řádnému vynesení příslušné grafické závislosti je třeba změřit (nebo vypočítat) alespoň 10 - 15 hodnot, v místech maxim, minim či větších zakřivení čár je třeba počítat s větší hustotou bodů, a tedy i s větší frekvencí jednotlivých měření; → křivku rýsujeme před první a za poslední vynesený bod maximálně do poloviny průměrné vzdálenosti bodů, extrapolace křivky do větších vzdáleností pak znázorňujeme zásadně přerušovanou čarou (čárkovaně);

8

→ výslednou závislost nikdy nekreslíme jako lomenou čáru případně vlnovku s řadou inflexí “bod od bodu”, ale vynesenými body vždy proložíme křivku či přímku podle křivítka nebo pravítka (viz obr. na následující straně); → proložení grafické závislosti mezi naměřenými body totiž představuje určité zprůměrování hodnot a eliminaci chyb, kterými je pochopitelně zatížena každá měřící metoda; → →

→

na jeden milimetrový papír formátu A 4 rýsujeme ve většině případů jen jeden graf (nebo jednu soustavu závislostí téhož charakteru při různých hodnotách nějakého parametru); je třeba dbát na to, aby graf pokrýval celou plochu papíru, proto je nutné vhodně volit měřítka na jednotlivých osách a též je dobré si uvědomit, že není vždy nejvhodnější umístit počátek souřadnicového systému do průsečíku os (tedy začínat vynášet hodnoty na osy vždy „od nuly”); a závěrem - ke každé vynesené grafické závislosti patří nadpis !!!, z něhož je patrné, o jakou závislost se jedná.

Závislost dynamické viskozity destilované vody na teplotě

Kalibrační křivka galvanometru s otočnou cívkou

η.103 (Pa.s) 1,0

I (µA) 20

°

°

15

°

0,8

° 0,6

°

°

°

0,4

°

0,2 20

°

10

40

°

60

5

°

° 80

° t (oC)

0

°

°

5

10

15

20

d (dílek)

Poznámka: Jestliže použijete ke zpracování protokolu z laboratorní úlohy počítač, pak zásady vyjádřené v bodech A) až H) platí naprosto stejně. Stejně tak platí i zásady, jež jsou vyslovené v bodě I), pro grafické zpracování naměřených závislostí jen s jediným rozdílem, že v takovém případě pochopitelně nepoužíváte milimetrový papír. Jinak veškeré požadované náležitosti musí váš graf zkonstruovaný počítačem obsahovat (zde se nejvíce chyb zejména objevuje při prokládání křivek vynesenými body).

9

Rovnoměrně zrychlený pohyb Úkol:

Studovat dynamiku rovnoměrně zrychleného pohybu posuvného i rotačního, zjistit závislost dráhy tělesa na čase, změřit zrychlení pohybu a moment setrvačnosti tělesa.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část:

Uspořádání pokusu je schématicky nakresleno na obr. 1.

Setrvačník (moment setrvačnosti J) Měřítko Kladka Hřídel o poloměru r Lanko Osa otáčení hřídele i setrvačníku

Závaží o hmotnosti m

Obr. 1

Na lanku je zavěšeno závaží o hmotnosti m, jehož konstantní tíhová síla FG uvádí celé zařízení do pohybu. Lanko je vedeno přes kladku k hřídeli o poloměru r, upevněnému otočně kolem svislé osy. S hřídelem je pevně spojen setrvačník o momentu setrvačnosti J. Na lanku je připevněna značka, jejíž pohyb můžeme sledovat na měřítku. Pohyb závaží směrem dolů je posuvný (závaží nerotuje), přímočarý rovnoměrně zrychlený, zatímco setrvačník vykonává pouze rotační rovnoměrně zrychlený pohyb kolem svislé osy procházející jeho geometrickým (a současně i hmotným) středem. Pohyb závaží se zrychlením a lze snadno studovat na základě pohybu značky upevněné na lanku. Změříme-li čas t, za který urazí značka na lanku dráhu s, musí platit . s=

1 2 at 2

,

(1)

neboť počáteční poloha značky v čase to = 0 s je na nule stupnice (so = 0 m) a pohyb začíná z klidu (tudíž i jeho počáteční rychlost vo je nulová!). Pro zrychlení pohybu závaží tak platí jednoduchý vztah a=

2s t2

10

.

(2)

Rovnoměrně zrychlenou rotaci setrvačníku zase můžeme studovat na základě počtu jeho otáček (sledujeme přitom rysku namalovanou na setrvačníku) v závislosti na čase. Při rovnoměrně zrychleném rotačním pohybu setrvačníku platí pro úhel otočení ϕ setrvačníku za odpovídající čas t závislost 1 ϕ = αt 2 , (3) 2 kde α je úhlové zrychlení setrvačníku. Stejně jako při pohybu závaží i pro setrvačník platí, že počáteční podmínky pohybu jsou nulové (ωo = 0 s-1 ; ϕo = 0). Jelikož se obecný úhel otočení ϕ při rotaci měří jen obtížně, je vhodné měřit pouze celé otáčky (t.j. násobky úhlu 2π). V takovém případě platí, že 2π N =

1 α t2 2

,

(4)

kde N je počet otáček setrvačníku za čas t. Úhlové zrychlení pohybu setrvačníku tak lze snadno určit ze vztahu α=

4πN t2

.

(5)

Známe-li hodnoty zrychlení obou pohybů, můžeme pak vypočítat i poloměr hřídele, na němž se otáčí setrvačník, neboť platí a r= . (6) α Pohyb soustavy závaží – setrvačník lze snadno řešit na základě zákona zachování energie. Klesajícímu závaží se zmenšuje potenciální energie v tíhovém poli Země a tento úbytek je kompenzován vzrůstající kinetickou energií jak setrvačníku, tak i závaží samotného. Urazí-li závaží dráhu s (jež je stejná jako délka dráhy značky, kterou měříme na stupnici měřítka), musí platit 1 1 m v2 + Jω 2 , (7) mgs = 2 2 v kde v = 2as je okamžitá rychlost posuvného pohybu závaží a ω = okamžitá úhlová rychlost r rotačního pohybu setrvačníku, jehož moment setrvačnost vzhledem k rotační ose je J. Řešením rovnice (7) pak můžeme např. získat vztah pro zrychlení pohybu závaží a=

g J +1 mr 2

,

(8)

z něhož vyplývá, že se skutečně jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený se stálým zrychlením menším, než je zrychlení tíhové. Dále z něj vidíme potvrzení dvou známých skutečností:

→ →

zrychlení závaží je menší při větším momentu setrvačnosti J setrvačníku, zrychlení závaží je větší, když použijeme závaží větší hmotností m.

11

Na základě rovnice (7) lze však také stanovit moment setrvačnosti J setrvačníku při známých hodnotách zrychlení (a i α) obou pohybů. Po krátké úpravě (proveďte si sami) dostaneme výraz J=

ma ⋅ ( g − a ) α2

.

(9)

Úkoly: 1) Studovat kinematiku posuvného pohybu závaží. 2) Studovat kinematiku rotačního pohybu setrvačníku. 3) Vypočítat velikost zrychlení a posuvného pohybu závaží i velikost úhlového zrychlení α rotačního pohybu setrvačníku. 4) Vypočítat momenty setrvačnosti J a poloměry setrvačnosti RS setrvačníků.

Postup práce: Vyučující určí kombinace setrvačníků a závaží, jež mají být proměřeny. Na vahách s váživostí alespoň 1 kg zvážíme setrvačníky S1 a S2 a závaží Z1 až Z4. Jejich hmotnosti označíme mS1 až mZ4. Ocelovým měřítkem změříme průměry setrvačníků So, S1 a S2 a označíme Do až D2. Tyto průměry pak použijeme k porovnání s velikostí vypočtených poloměrů setrvačnosti RS.

1) Studium kinematiky posuvného pohybu závaží Na lanko, vedené přes kladku zavěsíme určené závaží a na točnu umístíme příslušný setrvačník. Po odbrždění setrvačníku navineme lanko na hřídel (otáčením proti směru hodinových ručiček) tak, aby značka na lanku byla v poloze 0. Stiskem tlačítka nulování na točně vynulujeme stopky. Odbrzdíme setrvačník a sledujeme pohyb značky na lanku. Při přechodu značky přes rysku se zvolenou délkou s uvolníme páku brzdy, což současně zastaví stopky. Změřený čas t pak zaznamenáme do tabulky I. Toto měření provádíme postupně pro dráhy délky s = 10, 20, 30, až 80 cm. Tabulka I: Kinematika rovnoměrně zrychleného posuvného pohybu Setrvačník: ....... s (cm) 10 20 .. .. 80

t (s)

Závaží: ....... t2 (s2)

12

2) Studium kinematiky rotačního pohybu setrvačníku Po odbrždění setrvačníku navineme lanko na hřídel tak, aby značka na setrvačníku byla v poloze nula. Stiskem tlačítka nulování na točně vynulujeme stopky. Setrvačník odbrzdíme a sledujeme pohyb značky na něm namalované. Počítáme průchody této značky nulovou polohou (počet otáček setrvačníku). Při zvoleném počtu N otáček uvolníme brzdu, což současně zastaví stopky. Změřený čas t pak zaznamenáme do tabulky II. Toto měření postupně provádíme pro počet otáček N = 1, 2, až 6. Tabulka II: Kinematika rovnoměrně zrychleného rotačního pohybu Setrvačník: ....... N

Závaží: .......

ϕ (rad) = 2πN

t (s)

t2 (s2)

1 2 . . 6

3) Výpočet zrychlení obou typů pohybů Tento výpočet provedeme na základě vyhodnocení grafických závislostí uskutečněných měření. Jelikož jak dráha s posuvného pohybu závaží, tak i počet otáček N rotujícího setrvačníku jsou kvadratickými funkcemi času (viz vztahy (1) a (4)), je výhodné vynést do příslušných grafů právě závislosti s = f (t2) , resp. N = f (t2) . Tyto závislosti musí mít lineární průběh a směrnice příslušných přímek pak odpovídají velikostem hledaných zrychlení a a α . Nejprve pro každou kombinaci setrvačníků a závaží vyneseme naměřenou závislost s = f (t2) . Přitom je vhodné do jednoho grafu zpracovat všechny kombinace závaží s jedním setrvačníkem. Naměřenými body proložíme přímky tak, jak je naznačeno v obr. 2. Z každé z těchto přímek pak stanovíme velikost příslušného zrychlení a posuvného pohybu určitého závaží tak, že z grafu odečteme odpovídající dvojici přírůstků hodnot ∆(t2) , ∆s a dosadíme do vztahu (2). Stejně pak postupujeme i při výpočtu velikosti úhlového zrychlení α . Do grafu N = f (t2) vyneseme naměřené hodnoty z tabulky II a závislosti opět proložíme přímkami. Z každé z těchto přímek pak stanovíme velikost příslušného úhlového zrychlení α rotačního pohybu určitého setrvačníku tak, že z grafu odečteme odpovídající dvojici přírůstků hodnot ∆(t2) , ∆N a poté dosadíme do vztahu (5). Ze změřeného zrychlení a posuvného pohybu závaží a úhlového zrychlení α rotačního pohybu setrvačníku pak můžeme pro příslušnou kombinaci setrvačník − závaží vypočítat podle vztahu (6) poloměr r hřídele.

13

Závislost dráhy rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu na druhé mocnině času

Závislost počtu otáček rovnoměrně zrychleného rotačního pohybu na druhé mocnině času N (otáček)

s (cm)

°

80

°

4

°

° °

60

°

∆s

°

40 20

°

2

°

°

∆(t2) 20

40 a = 2

∆N

°

1

° 0

°

3

∆(t2) 60

0

80

∆s ∆ t2

20

40

α = 4π

( )

60

80

∆N ∆ t2

( )

Obr. 2

4) Výpočet momentů setrvačnosti J a poloměrů setrvačnosti RS jednotlivých setrvačníků Každá kombinace setrvačníků má úhrnný moment setrvačnosti Jcelk , jenž určíme ze vztahu (9). Protože se moment setrvačnosti tělesa složeného z více částí vůči dané ose rotace rovná součtu momentů setrvačnosti těchto částí vůči stejné ose, vypočteme momenty setrvačnosti jednotlivých setrvačníků prostým odečtením takto: JS1 = JS0+S1 − JS0 pro setrvačník S1, JS2 = JS0+S2 − JS0 pro setrvačník S2. K tomu ovšem musíme znát (tedy musíme také změřit) moment setrvačnosti setrvačníku S0, jenž je základem otáčejícího se kotouče. Pro setrvačníky S1 a S2 tak můžeme nakonec vypočítat jejich poloměry setrvačnosti. Tato veličina udává jistou střední vzdálenost R, v níž by musela být soustředěna hmotnost tělesa, aby pro jeho moment setrvačnosti J platilo J = m . R2 . (10)

14

Kdyby šlo přetvarovat těleso, jehož poloměr setrvačnosti R určíme ze vztahu (10), vzniklo by těleso o téže hmotnosti m ve tvaru prstence nebo tenkostěnné roury (resp. tenkostěnného válce). Lze snadno dokázat, že poloměr setrvačnosti tělesa musí být vždy menší než jeho skutečné rozměry . Na základě vztahu (10) musí pro poloměry setrvačnosti setrvačníků S1 a S2 platit RS1 =

J S1 mS1

,

RS2 =

J S2 mS2

,

(11)

kde mS1 a mS2 jsou hmotnosti příslušných setrvačníků. Takto vypočítané poloměry setrvačnosti v závěru porovnejte se skutečnými geometrickými poloměry daných těles.

15

Měření modulu torze Úkol :

Změřit modul torze statickou i dynamickou metodou

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. Úvod: Pružné vlastnosti látek charakterizují jejich moduly pružnosti. V případě smykového namáhání je závislost mezi eleastickou poměrnou deformací (posunutím) γ a tečným napětím τ vyjádřena jednoduchou přímou úměrností ϕ τ = γ . G , kde γ = . (1) l Fyzikální veličina G (konstanta úměrnosti ve vztahu (1)) je modul pružnosti ve smyku daného materiálu; v případě deformace kroucením bývá také nazýván modul pružnosti v torzi, případně zkráceně jako modul torze. -F ϕ γ

d

F l

Obr. 1.

Tento důležitý materiálový parametr má stejnou fyzikální jednotku jako napětí τ, jež je vlastní příčinou deformace; v mezinárodní soustavě jednotek (SI) je jí jeden Nm−2 (neboli jeden Pa). Měření modulu torze lze vhodně provést vyhodnocením torzní (kroutivé) deformace drátů nebo tenkých tyčí (u nichž je splněna podmínka d << ℓ). Při kroucení je totiž každá část tyče namáhána pouze smykem, a přitom, i když smyk v každé části tyče je poměrně malý, takže leží hluboko pod mezí úměrnosti deformace a napětí, může být výsledný úhel stočení tyče značný, a tedy i dobře měřitelný. K měření je přitom možné požívat tyčí, jejichž průřez má nejrůznější tvar. Z hlediska vyhodnocování výsledků je ale nejvýhodnější kruhový průřez tyče, pro nějž je vypočet modulu torze relativně nejsnažší.

Stáčíme-li tyč kruhového průřezu, jež je upevněna na jednom konci, kolem její osy dvojicí sil Fa −F s momentem M (viz obr. 1), pak je stočení koncového průřezu tyče o úhel ϕ přímo úměrné velikosti tohoto kroutícího momentu. Platí M=K.ϕ , (2) kde veličina K je tzv. direkční moment (event. torzní konstanta) tyče, jenž lze pro tento případ vyjádřit jako K=

π.G.d 4 32l

,

(3)

kde ℓ je délka tyče a d její průměr. Z kombinace obou posledních vztahů pak vyplývá pro modul torze výraz 16

G =

32 l M πϕ d4

.

(4)

Tento vztah využijeme při stanovení modulu torze tzv. statickou metodou. V takovém případě stačí znát velikost M momentu působící vnější dvojice sil, úhel ϕ stočení, průměr d a délku ℓ drátu (resp. tyče). Je-li deformace pružná (elastická), má zkroucený konec drátu samozřejmě „snahu” vrátit se do původní polohy. Jestliže pak na něj zavěsíme vhodné těleso jednoduchého geometrického tvaru (obvykle to bývá kotouč nebo tyč, jež uchytíme v jejich těžišti kolmo k ose drátu), začne těleso i drát vykonávat po uvolnění periodický pohyb, tzv. torzní kmity. Tento kruhový kmitavý pohyb můžeme popsat pohybovou rovnicí pro rotační pohyb M=J.α = −

π G d 4ϕ 32 l

,

(5)

kde J je moment setrvačnosti s drátem spojeného kmitajícího tělesa počítaný vzhledem k ose drátu a α úhlové zrychlení jeho pohybu. Řešením této diferenciální rovnice získáme nakonec pro dobu t kyvu torzního kyvadla vztah t = T/2 = π

32 l J π d 4G

,

(6)

z něhož už lze jednoduchou úpravou vyjádřit modul torze drátu jako G=

32 π l J t2d4

(7)

Tento vztah pak využívá pro měření modulu torze tzv. dynamická metoda.

d

a

m

Pokud ale není známá hmotnost kývajícího tělesa (kotouče), nelze přímo vypočítat jeho moment setrvačnosti J. V takovém případě se využívá toho, že definovaným zvýšením momentu setrvačnosti kotouče (např. nějakým přívažkem) na hodnotu J' se prodlouží i doba jeho kyvu z hodnoty t na t'. Snadno si můžete výpočtem ověřit, že musí platit t ′2 J ′ = J t2

D

Obr. 2

.

.

(8)

Uvedenou změnu lze provést např. přidáním dvou válečků o průměru D a známé hmotnosti m symetricky na okraj kotouče (viz vedlejší obr. 2).

17

Potom bude platit, že moment setrvačnosti J′ = J + Jv , kde Jv je moment setrvačnosti válečků vzhledem k rotační ose, jenž lze pomocí Steinerovy věty vyjádřit jako  d2 1 d2 2 Jv = 2 ⋅  m + 2a 2  + ma  = m    4 2 4

,

(9)

kde a je vzdálenost mezi geometrickou osou válečků a osou drátu (jež je současně i rotační osou celého torzního kyvadla). Postupnou úpravou vztahů (7), (8) a (9), kterou si ostatně můžete sami provést, nakonec získáme výsledný vztah pro hledaný modul torze G drátu ve tvaru G=

8π .l m D 2 + 8a 2 t′ − t 2 ⋅ d 4

(

2

(

)

)

,

(10)

přičemž všechny veličiny, jež v tomto vztahu vystupují, jsou již přímo měřitelné.

2. Postup měření: 2.1. Dynamická metoda K měření modulu torze použijeme torzní váhy Pierron MT 2076 − viz příloha. Pečlivě změříme všechny fyzikální veličiny potřebné k výpočtu podle rovnice (10).

1) Zvláště pečlivě měříme mikrometrem alespoň v deseti různých místech průměr krouceného 2) 3) 4) 5)

6) 7)

drátu d. Vzdálenost a mezi osou válečků a osou drátu měříme posuvným měřítkem rovněž desetkrát. Průměr každého z dvojice válečků D stačí změřit jednou posuvným měřítkem a pro výpočet mudulu G torze pak použijeme průměrnou hodnotu. Délku drátu ℓ měříme jen jednou, ale s přesností na jednotky milimetrů. Hmotnost m obou válečků zvážíme s přesností na destiny gramu a do rovnice (10) opět dosadíme průměrnou hodnotu z těchto dvou vážení. Zahájíme měření doby kyvu t (tedy půlperiody) prázdného kotouče. K dosažení dostatečné přesnosti přitom měříme dobu trvání deseti kyvů a navíc každé měření doby deseti kyvů provádíme postupně desetkrát. Při měření je nutno dbát na to, aby soustava nekonala jiné než torzní kmity. Výchylka ϕ kotouče z rovnovážné polohy by neměla přesáhnout 30°, aby nedošlo k překročení meze pružnosti zkoumaného materiálu. Na kotouč nasadíme dvojici válečků a provedeme měření doby kyvu t' stejným způsobem jako v bodě 6. Toto měření provedeme postupně s třemi dvojicemi válečků. Povšimněte si přitom, jak se projevuje změna hmotnosti válečků na hodnotě doby kyvu t'. Všechny naměřené hodnoty zapisujte přehledným způsobem, např. do tabulky podle následujícího vzoru: 18

Druh materiálu......................... Délka drátu l = ......………… válečky č.1 válečky č.2 válečky č.3 m (g) D (cm) n

d (mm)

a (cm)

10t (s)

10 t′1 (s)

10 t′2 (s)

10 t′3 (s)

1 2 . . 10 ∅

8) Nakonec dosazením do vztahu (10) vypočítejte modul G torze zkoumaného drátu postupně pro všechna měření s různými dvojicemi válečků. Výsledky jednotlivých experimentů porovnejte navzájem a rovněž proveďte porovnání těchto hodnot s hodnotou uvedenou pro příslušný materiál ve fyzikálních tabulkách!

2.2. Statická metoda Princip měření je znázorněn na vedlejším obr. 3. Drát ze zkoumaného materiálu o průměru d kroutíme působením momentu dvojice sil, jež jsou realizované závažími Z, zavěšenými přes kladky. Z průměru kotouče dm a ze známé hodnoty m závaží vypočteme velikost M momentu silové dvojice. Platí

d

M = m.g.dm

kladka

.

Z

m.g

.

dm

. Obr. 3

kladka

.

Stejně jako u předchozího úkolu (dynamické metody) změříme pečlivě průměr d drátu, jeho délku l, průměr dm kotouče a úhel otočení ϕ pro tři až pět závaží různých hmotností m. Měření navíc provedeme I pro různé hodnoty průměru dm kotouče.

Z

m.g K tomuto měření použijeme torzní váhy Pierron MT 02076 (viz přiložený návod). Naměřené hodnoty zapisujeme do následující tabulky:

19

Druh materiálu: …………………. l = ………. d = ………. dm (mm)

m (g)

ϕ

G (Mpa)

S pomocí rovnice (4) vypočteme modul torze pro různé kombinace experimentálních hodnot a jeho průměrnou hodnotu, kterou nakonec porovnáme s hodnotou tabelovanou. Pokuste se také zjistit direkční moment drátu K ze závislosti úhlu stočení ϕ na momentu M event. na hmotnosti m závaží (při neznalosti G !).

T O R Z N Í VÁH Y Pierron MT 2076

Popis pomůcky 7 2

8

6 9

1 3

10 1 1 1 4

1

5

20

1. Podpůrná konstrukce z ocelových profilů o průřezu 20 mm x 20 mm jejíž základnu tvoří trojúhelník se stavěcími šrouby a vodováhou. 2. Trubice se sklíčidlem. 3. Dvě úchytky (sklíčidla) pro upevnění ocelového drátu. Horní úchytka je nasazena na trubici, která je souosá s kotoučem a je s ním pevně spojená pomocí pojistného šroubu. Spodní úchytka může být připevněna na opačné straně pomocí bavlněného provázku ke konstrukci. 4. Stavěcí šrouby pro nastavení náklonu vah při použití ve svislé poloze. 5. Vodováha. 6. Vroubkovaná matice pro aretaci otáčení kotouče (8). 7. Pojistný šroub pro zajištění trubice / úchytky oproti kotouči. 8. Bílý kotouč s úhlovou stupnicí o rozsahu 360° s průměrem 250 mm, který se pohybuje podél své rotační osy souběžně s ukazatelem, který umožňuje odečítat torzní úhel. 9. Ocelový drát, jehož vlastnosti se studují. 10. Rameno s úchytkou uprostřed, s otvory pro zavěšení lanek nesoucích závaží (statická metoda) event. pro nasazení válcovitých závaží (dynamická metoda), a s kotoučem se stupnicí o průměru 250 mm. 11. Pojistné šrouby pro zajištění třmenu. 12. Třmen se dvěma příčnými rameny, na která se upevňují dvě kladky, otáčející se okolo kuličkových ložisek. 13. Odnímatelná závaží, která se zavěšují přes kladku na vahadlo. 14. Spodní úchytka pro upevnění bavlněného provázku.

A) Příprava torzních vah pro měření dynamickou metodou 1.

Stavěcími šrouby (4) s využitím vodováhy (5) ustavíme podpůrnou konstrukci (1) do svislé polohy (toto během dalšího měření kontrolujeme).

2.

Kotouč (8) natočíme tak, aby nulová hodnota ležela proti červené značce. Pokud nelze otáčet kotoučem přiměřenou silou, povolíme event. utáhneme vroubkovanou matici (6).

3.

Zkoumaný drát (známého průměru) uchytíme nejprve do horního sklíčidla (3) a pak na něj zavěsíme rameno (10) s kotoučem uchycením do sklíčidla (drát vsuneme do sklíčidla do hloubky alespoň 10 mm, k utahování je možno použít "klíč" - utahujeme s citem!). Při manipulaci s drátem dbáme na to, aby nedošlo k jeho ohnutí!!!

4.

Posunem trubice (2) při uvolněném šroubu (7) nastavíme rameno (10) s kotoučem do takové výšky, aby se horní plocha kotouče nacházela několik milimetrů pod horní vodorovnou tečnou kladek (tím je kotouč připraven i pro měření statickou metodou). Současně přitom dbáme na to, aby rameno zaujímalo směr spojnice mezi stojinami podpůrné konstrukce (1), tj. aby mířilo proti modré značce.

5.

Natočíme rameno (10) o zvolený úhel (ne více než o 30°) a po uvolnění měříme dobu kyvu event. kmitu podle návodu. Dbáme přitom, aby rameno s kotoučem vykonávalo co nejméně jiných kmitů než jsou torzní.

6.

Do otvorů v rameni (10) nasadíme dvě stejná závaží do zvolené vzdálenosti symetricky od osy otáčení a provedeme měření podle předchozího bodu.

21

B) Příprava torzních vah pro měření statickou metodou 1. 2.

3.

Torzní váhy připravíme stejným způsobem jako pro měření dynamickou metodou. Dvě stejná závaží (13) zavěsíme s pomocí lanka přes kladky tak, že druhý konec každého lanka je zasunut do otvoru v rameni (10) ve zvolené (na obě strany stejné) vzdálenosti od osy otáčení. Kladky přitom musí být nastaveny do stejné vzdálenosti od středové značky na příčných ramenech třmenu (12). Otáčením kotouče (8) vrátíme rameno (10) do klidové polohy (bez závaží) a odečteme úhel zkroucení drátu vyvolaný závažími. Ustavení rovnovážného stavu podporujeme mírným poklepáváním na příčná ramena nesoucí kladky.

22

Měření elektrostatického pole Úkol:

Proměřit rozložení potenciálu elektrostatického pole v proudové vaně a graficky zobrazit průběh ekvipotenciálních čar a elektrických siločar tohoto pole.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část: Elektrostatické pole je v každém bodě prostoru charakterizováno buď vektorem intenzity E nebo skalární veličinou potenciál ϕe, mezi nimiž platí vztah E = - grad ϕe

.

(1)

Podrobněji viz skripta J. Zajíc „Fyzika II“ (UPa 2004), str. 23-25. Ke znázornění daného elektrického pole slouží elektrické siločáry. Jsou to orientované čáry (křivky), jejichž orientované tečny mají v každém bodě směr intenzity E elektrického pole v tomto bodě. Hustota siločar pak odpovídá velikosti této vektorové veličiny. Rozložení potenciálu ϕe elektrického pole v prostoru pak charakterizují tzv. ekvipotenciální plochy, množiny všech bodů v prostoru, v nichž je potenciál daného pole konstantní. Pro elektrické pole uvažované pouze v dané rovině – což je případ i vašeho měření této laboratorní úlohy – se pak zavádí pojem ekvipotenciální čára (též ekvipotenciála), což je rovinná čára ve stacionárním elektrickém poli, jejíž všechny body mají týž potenciál. Elektrické siločáry jsou k ekvipotenciálám ortogonální (kolmé). Navíc hustota ekvipotenciál odpovídá hustotě elektrických siločar. Nachází-li se v elektrostatickém poli vodič, tvoří pak jeho povrch ekvipotenciální plochu (potenciál je konstantní a stejně velký jako na povrchu i v celém objemu vodiče) a siločáry pole jsou k povrchu vodiče kolmé. Jednoduché studium průběhu elektrostatického pole v rovině se dá snadno provést pomocí tzv. proudové vany, jejíž schéma včetně celé měřící aparatury je znázorněno na obr. 1 na následující straně. Proudová vana je vlastně obyčejná nevodivá nádoba naplněná vodivou kapalinou – hodí se dobře např. voda z vodovodu. Do kapaliny jsou ponořeny dvě vodivé elektrody A a B připojené ke zdroji napětí. Potenciál na povrchu elektrody A je ϕA (obvykle pokládáme rovný 0 V), potenciál na povrchu elektrody B pak ϕB. V praxi se zpravidla měření provádí při střídavém napětí mezi elektrodami A a B, aby se omezila elektrolýza vodivého roztoku v proudové vaně a nežádoucí jevy na povrchu elektrod při průchodu elektrického proudu.

23

Potenciálová sonda

B

A

° ° ° ° ° ϕB ° ° ° ° ° ° ° Propojovací ° ° ϕA

°∼ °

Zdroj napětí

panel

Proudová vana

Osciloskop Obr. 1 – Schéma aparatury s proudovou vanou

Potenciál ve vaně na ploše mezi oběma elektrodami pak mapuje potenciálová sonda, což je vlastně tenký zahnutý vodič svisle ponořený do kapaliny a vodivě spojený s voltmetrem. Ten pak měří napětí (rozdíl potenciálů) mezi místem, kde se nachází sonda a jednou z elektrod (obvykle elektrodou A). Místo voltmetru lze pro měření tohoto potenciálového rozdílu také použít osciloskopu, což bude i případ vašeho měření.

Úkoly:

1) Přímou metodou proměřte rozložení potenciálu ϕe elektrického pole v proudové vaně a graficky zobrazte průběh ekvipotenciálních čar

a) Sestavte

měřící aparaturu podle obr. 1. Výběr elektrod a jejich uspořádání v proudové vaně určí vyučující.

b) K určení

rozložení potenciálu ϕe elektrického pole v proudové vaně využijeme čtvercovou souřadnicovou síť. Potenciálovou sondu nastavíme na určitou x-ovou souřadnici (začneme u x = 1 cm, a pak postupně měření zopakujeme pro x = 2 cm, 3 cm, ....., 14 cm) a posouváním sondy ve směru osy y vyhledáme polohu bodů s určitým potenciálem. Pro dokonalé zmapování pole stačí určit polohu bodů, v nichž je elektrický potenciál roven 2V, 4 V, 6 V, 8 V a 10 V.

Pozor !!! V dané

x-ové poloze sondy se pochopitelně nemusí vždy nacházet všechny uvedené hodnoty elektrického potenciálu!

c) Naměřené hodnoty zapisujte do následující tabulky:

24

Tabulka: Rozložení potenciálu elektrického pole v proudové vaně

x (cm) 1,0 2,0 3,0 4,0 ... ... 14,0

ϕe = 2 V y (cm)

ϕe = 4 V y (cm)

ϕe = 6 V y (cm)

ϕe = 8 V y (cm)

ϕe = 10 V y (cm)

d) Naměřené body jednotlivých ekvipotenciálních čar s potenciály ϕe = 2 V, 4 V, 6 V, 8 V, 10 V vyneseme do grafu a proložením plynulou křivkou tyto ekvipotenciály sestrojíme. V grafu současně vyznačíme tvar a polohu obou elektrod A a B.

2) Graficky

zpracujte průběh siločar daného elektrického pole. Ty zakreslete do grafu se systémem ekvipotenciál a využijte přitom následujících skutečností (viz obr. 2):

→ → → →

siločáry jsou všude kolmé k ekvipotenciálním čárám; hustota siločar je úměrná velikosti intenzity pole, a tedy i velikosti gradientu potenciálu; největší hustota siločar je vždy u elektrody v místě její nejvyšší křivosti; povrchy obou elektrod jsou také ekvipotenciální plochy.

y (cm)

5 ϕe = 4 V

ϕe = 2 V

2

ϕe = 0 V 2

A

5

8

Obr. 2 – Konstrukce elektrických siločar

25

11

x (cm)

Měření Úkol:

impedancí

Pomocí osciloskopu změřit amplitudy napětí a proudu v různých obvodech střídavého proudu a vypočítat komplexní impedance těchto obvodů.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část: Střídavý elektrický proud je takový proud, jenž periodicky mění svou velikost a směr, přičemž jeho střední (tedy průměrná) hodnota Ip za jednu periodu je rovna nule. Časový průběh obecného střídavého proudu může být popsán libovolnou periodickou funkcí i ( t ) = i ( t + k.T ) , kde T je perioda a k libovolné celé číslo. Jedním z příkladů střídavého proudu je harmonicky proměnný proud, jehož závislost na čase i ( t ) je dána jednoduchou harmonickou funkcí sinus nebo kosinus lineárního argumentu, např. i = Im sin (ω t + ϕ )

,

(1)

přičemž jednotlivé konstanty v tomto vztahu představují: Im

→

maximální hodnotu (neboli amplitudu) harmonického střídavého proudu;

ω

→

jeho úhlovou frekvenci, pro níž platí ω = 2π f =

2π ; T

Výraz ω t + ϕ pak označuje tzv. fázi, přičemž ϕ je počáteční fáze v čase to = 0 s . Je-li v čase to = 0 s okamžitá hodnota harmonického střídavého proudu nulová, bude ϕ = 0 a časovou závislost proudu lze psát ve tvaru i = Im sin ω t

.

(2)

Průchod harmonického střídavého proudu obvodem je dán připojením zdroje harmonického střídavého napětí téže frekvence f, jako je frekvence proudu. Časový průběh tohoto napětí pak charakterizuje vztah u = Um sin (ω t + ϕ )

,

(3)

v němž opět představuje: Um

→

maximální hodnotu (neboli amplitudu) harmonického střídavého napětí;

ω

→

úhlovou frekvenci střídavého napětí ........ ω = 2π f =

ωt + ϕ ϕ

→

→

2π ; T

fázi střídavého napětí;

počáteční fázi v čase to = 0 s .

Je-li časový průběh střídavého harmonického proudu dán vztahem (2), pak konstanta ϕ ve vztahu pro průběh napětí představuje tzv. fázový rozdíl (fázový posun) mezi napětím a proudem. 26

Je-li hodnota fázového rozdílu ϕ ve vztahu (3) kladná, předchází se napětí fázově před proudem, bude-li ϕ záporné, bude se naopak napětí za proudem fázově zpožďovat. Řešení obvodů střídavého proudu mnohem složitější než řešení obvodů ustálených stejnosměrných proudů. Nejen, že se proud a napětí neustále periodicky mění, ale dochází mezi nimi k různým fázovým posuvům podle toho, jaké prvky jsou ve střídavém obvodu zapojeny. Proto je třeba mít k dispozici poměrně jednoduchý matematický model, v němž by bylo možno jak stránku „velikostní“, tak i „fázovou“ spojit v jednom vyjádření příslušné střídavé veličiny. Jak je známo z matematiky z teorie funkcí komplexní proměnné, lze exponenciální funkci (t) = e jkt vyjádřit ve tvaru f (t) = e jkt = cos k t + j . sin k t

f

,

kde j je imaginární jednotka. Na druhou stranu lze pak provést tzv. komplexní vyjádření harmonicky proměnné veličiny (a tudíž i harmonicky proměnného střídavého proudu a napětí). To se provede tak, že původní harmonická veličina bude reálnou, resp. imaginární částí takto vytvářené komplexní funkce.

Komplexní vyjádření harmonického střídavého proudu tvar

i = Im sin (ω t + ψo) tak bude mít

j ⋅(ω .t + ψ ) o iˆ = I m ⋅ cos (ωt + ψ o ) + j ⋅ sin (ωt + ψ o ) = Im . e

(

)

a

(4)

komplexní vyjádření harmonického střídavého napětí u = Um sin (ω t + ϕo) pak podobně

(

)

uˆ = U m ⋅ cos (ωt + ϕ o ) + j ⋅ sin (ωt + ϕ o ) = Um . e

(

j ⋅ ω .t + ϕ

o

)

.

(5)

V těchto dvou vztazích představuje j imaginární jednotku, t čas, ω úhlovou frekvenci, ψo a ϕo počáteční fáze proudu a napětí v čase to = 0 s, Im a Um pak maximální hodnoty (amplitudy) proudu a napětí.

Pozn.: Veličiny vyjádřené v komplexním tvaru budeme pro odlišení zapisovat tučnou kurzívou se stříškou nad symbolem dané veličiny; velikost (absolutní hodnotu) příslušné veličiny pak budeme označovat obvyklým způsobem, t.j. kurzívou obyčejnou. Vztahy (4) a (5) lze dále upravit: j .ψ iˆ = Im . e o . e j .ωt = Iˆm . e j .ωt

uˆ = Um . e přičemž výrazy

Iˆ m = Im . e

j .ψ

o

a

j .ϕ

o

, resp.

. e j .ωt = Uˆ m . e j .ωt ,

Uˆ m = Um . e

harmonického proudu, resp. napětí.

27

j .ϕ

o

jsou tzv. komplexní amplitudy

Takto zavedené komplexní amplitudy harmonického střídavého proudu a napětí se označují termínem fázory. Příslušný fázor vynásobený činitelem e j .ωt se pak označuje jako rotující fázor. Fázor tedy představuje určité komplexní číslo v Gaussově rovině. Vedle takto definovaných komplexních fázorů se často uvažují jim jednoznačně přiřazené orientované průvodiče nazývané též geometrické fázory. Geometrický fázor je vlastně orientovaná úsečka (neboli vektor) mající počáteční bod v počátku soustavy souřadnic a jeho koncový bod pak splývá s polohou komplexního fázoru. Ke geometrickému znázornění fázorů se pak používá tzv. fázorových diagramů. Komplexní fázory reprezentují příslušné body Gaussovy roviny, geometrické fázory pak dvourozměrné vektory v R2. Pomocí komplexních amplitud harmonicky proměnného svorkového napětí a proudu na určitém prvku nebo na určité části střídavého elektrického obvodu lze pak definovat příslušnou

komplexní impedanci Uˆ Zˆ = m Iˆ

(6)

m

daného prvku (resp. určité části obvodu). Tuto komplexní impedanci Zˆ lze vyjádřit v algebraickém i exponenciálním tvaru Zˆ = Re Zˆ + j ⋅ Im Zˆ = Z.cos ϕ + j . Z.sin ϕ = Z. e jϕ ,

(7)

přičemž ϕ je fázový posun napětí vůči proudu (jenž je dán rozdílem ϕ = ϕo - ψo) a Z impedance, jež je absolutní hodnotou impedance komplexní Zˆ . Platí, že Z =  Zˆ  =

(Re Zˆ ) + (Im Zˆ ) 2

2

.

(8)

Reálná část komplexní impedance se nazývá rezistance (RZ = Re Zˆ ) , jež bývá obvykle rovna odporu obvodu R , imaginární část pak reaktance (X = Im Zˆ ) . Současně ale také musí platit, že impedance Z je podle Ohmova zákona rovna podílu amplitud napětí a proudu U Z = m . (9) Im U jednoduchých obvodů střídavého proudu s odporem R, indukčností L a kapacitou C pro komplexní impedance těchto prvků tak dostáváme:

1) Odpor R Fázový posun napětí vůči proudu ϕ = 0 ⇒ Zˆ R =

28

Uˆ R = R . e j.0 = R . Iˆ

(10)

2) Indukčnost L π Fázový posun napětí vůči proudu ϕ = 2

π j⋅ Uˆ L ˆ ⇒ ZL = = ωL .e 2 = Iˆ

π π  = ω L.  cos + j ⋅ sin  = j.ω L 2 2 

.

(11)

3) Kapacita C π Fázový posun napětí vůči proudu ϕ = 2

π − j⋅ Uˆ C 1 ˆ ⇒ ZC = = ⋅e 2 = ˆI ωC

=

1   π   π ⋅  cos  −  + j ⋅ sin  −   = ωC   2   2

= −

j ω .C

.

(12)

Postup práce: Měření amplitud harmonicky proměnného proudu a napětí a vzájemný fázový posun těchto dvou veličin lze snadno provádět pomocí dvoukanálového osciloskopu s napěťovou a proudovou sondou. Na obrazovce osciloskopu současně pozorujeme časový průběh obou veličin a pomocí čtvercové stupnice pak odečítáme potřebné hodnoty. Amplitudy sinusového napětí Um a proudu Im určíme snadno – jeden celý dílek čtvercové sítě odpovídá hodnotě napětí, resp. proudu na námi nastaveném rozsahu na osciloskopu. Fázový posun mezi napětím a proudem určíme jednoduchou aplikací trojčlenky (viz obr. 1). Půlperioda sinusového signálu odpovídá fázovému rozdílu ϕ = π , resp. ve stupních ϕ = 180o. Té odpovídá v obrázku vzdálenost d (dílků).

i,u Im Obr. 1 – odečítání amplitud napětí Um a proudu Im a fázového posunu ϕ

Um

0

T/2

x d

29

t

Bude-li fázový posun ϕ mezi napětím a proudem x (dílků) – viz obr. 1 , musí platit x ϕ = d π a odtud pak hned dostáváme ϕ=

x ⋅π d

.

(13)

Úkoly: 1)

Proměřte postupně čtyři základní zapojení RC obvodu střídavého proudu podle uvedených schémat. Naměřené a vypočítané hodnoty pak zapisujte do připojených tabulek.

Napětí měříte pomocí napěťové sondy → dbejte na to, aby červená svorka sondy byla připojena na levou svorku prvku (rezistoru nebo kondenzátoru) a svorka zelená na pravou svorku měřeného prvku !!! Proud protékající větví s měřeným prvkem (prvky) měřte proudovou sondou; šipka na této sondě musí vždy souhlasit se směrem od červené k zelené svorce napěťové sondy !!!

a) RC obvod sériový Pro měření je vhodná kombinace R3 , C3 (je však možné podle pokynů učitele zkusit zapojení i s jinými prvky). V obvodu měříte tři různá napětí: U celkové, UR na odporu a UC na kapacitě a jediný C proud I a též příslušná fázová posunutí napětí vůči R proudu. Hodnoty zapisujete do tabulky, v níž dále I dopočítáte podle (9) příslušné impedance a poté dle (7) i jejich reálné a imaginární složky. UC

UR

Prvek

U

U (V)

I (mA)

ϕ ( o)

Z (Ω)

Re Z Im Z (Ω) (Ω)

R C RC

b) RC obvod paralelní Opět je nejvhodnější kombinace R3 , C3 (zkuste však i jiné!). V obvodu tentokráte měříte tři různé proudy: I celkový od zdroje, IR tekoucí větví C s odporem a IC větví s kapacitou a pouze jediné napětí U. Současně nezapomeňte odečítat i příslušná IC fázová posunutí mezi napětím a proudy. I • • Hodnoty zapisujete opět do níže připojené tabulky,

R

IR

příslušné impedance vypočítejte a určete jejich reálné a imaginární složky.

U 30

Prvek

U (V)

I (mA)

ϕ ( o)

Z (Ω)

Re Z Im Z (Ω) (Ω)

R C RC

c) kombinované zapojení dvou rezistorů a jednoho kondenzátoru

IC •

Obvodem protékají tři různé proudy I, IR a IC a na prvcích jsou tři různá napětí U, UR a URC.

C1 R1

•

IR R3

I

U (V)

I (mA)

ϕ ( o)

Z (Ω)

Re Z Im Z (Ω) (Ω)

R3 C1 R3C1 R1 Komb.

UR

URC

Prvek

U

d) kombinované zapojení dvou kondenzátorů a jednoho rezistoru

UC

UR

C3 •

I tímto obvodem protékají tři různé proudy I, IRC a IC a na prvcích jsou tři různá napětí U, UR a URC.

Prvek

R1 I RC C1

IC

•

I

U (V)

I (mA)

ϕ ( o)

Z (Ω)

Re Z Im Z (Ω) (Ω)

R1 C3 R1C3 C1 Komb.

U

2)

Proveďte kontrolní výpočet impedancí v každém z měřených obvodů na základě hodnot odporu (resp. kapacity) jednotlivých součástek naměřených na automatickém mostě RLCG. Porovnejte tyto výsledky s hodnotami získanými měřením napětí a proudu v úkole 1).

3)

Graficky znázorněte komplexní impedanci obvodu v Gaussově rovině komplexních čísel. Jako příklad je na obr 2 uveden fázorový diagram sériového RC obvodu – úkol 1a).

31

) Im Z (Ω)

) ZR

) Re Z (Ω)

°

0

°Z)

°

) Z RC

C

Obr. 2 - fázorový diagram sériového RC obvodu střídavého proudu

4) Podle vztahu P =

1 2

Um Im cos ϕ

,

(14)

v němž Um a Im představují amplitudy střídavého napětí zdroje a celkového střídavého proudu tekoucího od zdroje napětí k příslušné kombinaci, vypočítejte střední výkon spotřebovaný v každém měřeném obvodu.

32

Rezonance v RLC obvodu střídavého proudu (PC varianta) Úkol:

Studovat vlastnosti sériového a paralelního zapojení odporu, indukčnosti a kapacity v okolí sériové (napěťové) a paralelní (proudové) rezonance.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část: Složené obvody střídavého proudu vznikají spojením několika prvků s odlišnými parametry (odporem R , indukčností L , kapacitou C) do různých kombinací. Jejich řešení je obvykle složitější, spočívá nejčastěji v určení efektivních hodnot proudů protékajících jednotlivými větvemi daného zapojení, celkového proudu tekoucího od zdroje k příslušné kombinaci (a tím pádem i impedancí jednotlivých větví a celkové impedance obvodu) a rovněž výsledného fázového posuvu ϕ mezi napětím a proudem. Při příslušných výpočtech lze využít různých matematických modelů − viz ve skripta J. Zajíc „Fyzika II“ (UPa 2004), články 5.2.3 – 5.2.8, str. 153 – 165. V této laboratorní úloze budete měřit dvě základní zapojení obvodů střídavého proudu s odporem, indukčností a kapacitou, a to RLC obvod sériový a LC obvod paralelní.

A) Obvod s RLC sériový Zapojení tohoto střídavého obvodu je patrné z následujícího obr. 1.

U

°∼° R •

• L

C

•

V UR

°

•

•

V UL

•

A •

V UC

Obr. 1. Sériový RLC obvod střídavého proudu Při průchodu střídavého proudu obvodem vznikají na jeho jednotlivých prvcích napětí, jež mají různou velikost a jsou navzájem fázově posunuta. Napětí UR na odporu je ve fázi s proudem I, zatímco napětí UL na indukčnosti se předbíhá fázově o π/2 (měřeno v radiánech) a napětí UC na kapacitě se naopak o stejnou hodnotu π/2 rad za proudem zpožďuje. 33

Sériová kombinace představuje vždy napěťový dělič, ale pro celkové napětí U na kombinaci nebude v tomto případě (právě díky různým fázovým posunům jednotlivých napětí) platit prostý součet tak, jak tomu bylo například v obvodech ustáleného proudu stejnosměrného. Vztahy mezi veličinami v obvodu charakterizuje fázorový diagram efektivních hodnot napětí a proudu tohoto typu zapojení střídavého obvodu (viz obr. 2).

UL Obr. 2. Fázorový diagram sériového RLC obvodu střídavého proudu

U ϕ

I

UR

UC

Celkové napětí získáme složením jednotlivých svorkových napětí na odporu, indukčnosti a kapacitě a jednoduchým postupem pak získáme celkovou impedanci Z tohoto zapojení i výsledný fázový posun ϕ napětí vůči proudu. Z fázorového diagramu (obr. 2) vyplývá, že pro napětí platí vztah U = UR + UL + UC

.

Pro jejich velikosti pak dostáváme U =

U R + (U L − U C ) 2

2

,

Po dělení proudem získáme pro celkovou impedanci Z sériového zapojení RLC výraz U 1   2 Z = = R 2 + ( X L − X C ) = R 2 +  ω .L −  I ω.C  

2

(1)

Protože induktivní reaktance (induktance) cívky XL = ω.L se s rostoucí frekvencí zvyšuje zatímco kapacitní reaktance (kapacitance) kondenzátoru XC = 1/ω.C klesá (obr. 3), může v obvodu dojít při jistých hodnotách L, C a ω k situaci, kdy se induktance rovná kapacitanci (XL = XC). V tomto případě (viz rov. 1) dosahuje impedance svého minima a její hodnota je totožná s odporem rezistoru, který na frekvenci nezávisí. Tato situace se nazývá rezonance (v případě sériového obvodu též rezonance napěťová). Obvod se v takovém případě chová stejně, jako kdyby byl ke zdroji zapojen jen odpor R ; celkové napětí U je ve fázi s proudem I a zdroj dodává do obvodu jen činný výkon. Napětí na indukčnosti a na kapacitě jsou v každém čase t stejně velká, ale mají vždy opačnou polaritu, a tudíž se anulují. Stejně velké jsou i efektivní hodnoty těchto dvou napětí UL = UC . Z rovnosti XL = XC pak dostáváme podmínku pro rezonanční úhlovou frekvenci střídavého proudu 1 ωr = 2π fr = . LC 34

Z,Ω

induktance impedance kapacitance odpor

f,Hz

fr

Obr. 3. Závislost zdánlivého odporu v sériovém RLC obvodu na frekvenci

Samotná rezonanční frekvence fr je dána vztahem fr =

1 1 ⋅ 2π LC

.

(2)

Ze skutečnosti, že při napěťové rezonanci je celková impedance Z obvodu minimální (a rovna pouze odporu obvodu R), rovněž vyplývá, že při rezonanci protéká sériovým obvodem RLC největší proud. To ovšem v konečném důsledku znamená, že při malých hodnotách odporu R a relativně velkých hodnotách induktance XL a kapacitance XC může napětí na indukčnosti a kapacitě dosáhnout poměrně vysokých hodnot, jež mohou mnohonásobně překročit napětí U zdroje. Pro velikost proudu v obvodu můžeme psát s využitím vztahu (1) rovnici I=

U = Z

U 1   R 2 +  ω .L −  ω .C  

2

.

(3)

Graf této funkční závislosti se nazývá rezonanční křivka. Jako proměnnou obvykle volíme frekvenci f event. obloukovou frekvenci ω. V našem případě však budeme měřit závislost proudu na kapacitě C nebo indukčnosti L přičemž zbývající veličiny budou konstantní. Rezonanční frekvenci fr odpovídající maximu křivky vypočteme podle rovnice (4). Jak potvrzuje i vztah (5), bude mít při menším odporu R rezonanční křivka výraznější (tj. vyšší) maximum (viz obr. 3 na předcházející straně) a jeho hodnota by měla být I max =

35

U R

.

(4)

I Obr. 4 – Průběh rezonanční křivky v závislosti na kapacitě C, resp. indukčnosti L pro různý odpor R sériového RLC obvodu střídavého proudu

R1

R1 < R2 < R3 R2

R3 L,C

Lr ,Cr Fázové posunutí celkového napětí U vůči proudu I vyjadřují ekvivalentní vztahy

tg ϕ =

ω .L −

1 ω .C

R

, resp.

cos ϕ =

R Z

.

(5)

Vidíme, že fázové posunutí napětí vůči proudu závisí na induktanci XL = ω.L a kapacitanci XC = 1/ω.C obvodu. Podle toho, která z obou hodnot je větší, se celkové napětí U buď předchází (XL > XC), nebo zpožďuje (XL < XC) za proudem I. Příklad frekvenční závislosti fázového posunu ϕ je na obr. 6. Kapacitní charakter obvodu (ϕ → π/2) se s rostoucí frekvencí mění na induktivní (ϕ → +π/2 ). +π/2

ϕ 0 Obr. 6. Závislost fázového posunu proudu a napětí na frekvenci v sériovém RLC obvodu střídavého proudu.

-π / 2

36

fr

f,Hz

B) Paralelní zapojení cívky a kondenzátoru Jednoduché paralelní zapojení kondenzátoru s kapacitou C a cívky je na obr. 7 Je však nutné mít na paměti, že reálná cívka má kromě indukčnostli L vždy i určitý odpor R. Ve střídavých obvodech taková reálná cívka vlastně představuje sériovou kombinaci RL s celkovou impedancí Z RL = R 2 + (ω .L) 2

(viz laboratorní úloha měření indukčností).

Tudíž uvedené zapojení už není čistě paralelním zapojením, ale představuje − sice ne příliš složitý, ale přeci jen − kombinovaný obvod střídavého proudu.

C

IC •

•

L

R

°

∼ ° U

I

A IRL

•

°

Obr. 7. Paralelní zapojení kondenzátoru a cívky v obvodu střídavého proudu Za předpokladu, že ohmický odpor R cívky je ve srovnání s její induktancí ω.L zanedbatelný (R << XL) dostaneme pomocí Ohmova zákona vyjádření celkového proudu I v jednoduchém tvaru I = U ⋅ Y = U ⋅ ωC −

1 ωL

,

kde Y je celková vodivost (neboli admitance) pro kterou platí Y = 1/Z. Rozdíl v závorce se nazývá susceptance nebo také jalová vodivost. 1/XC = ω.C je kapacitní vodivost, 1/XL = (ω.L)-1 je induktivní vodivost a jejich závislost na frekvenci je spolu s odpovídající impedancí Z graficky znázorněna na obr. 8. V ideálním případě by tedy v případě rovnosti induktance a kapacitance neměl protékat obvodem žádný proud. Ve skutečnosti má cívka určitý ohmický odpor R díky němuž není impedance nikdy nulová. Maximu impedance při XL = XC odpovídá minimální proud a tak jako v případě sériového obvodu nastává rezonance (v tomto případě proudová).

Z,Ω 1/ωL

Obr. 8. Závislost zdánlivého odporu v paralelním RLC obvodu na frekvenci

37

Z ω.C

R fr

f,Hz

Graf vystihující frekvenční závislost proudu představuje rovněž rezonanční křivku, jež na rozdíl od sériového zapojení vykazuje proudové minimum. To nastává při rezonanční frekvenci fr střídavého proudu, pro kterou platí úplně stejná podmínka jako v obvodu sériovém, tj. rovnice (2). Fázové posunutí napětí vůči proudu je dáno vztahem ωL cos ϕ = 2 R + (ωL) 2 Příklad frekvenční závislosti fázového posunu ϕ je na obr.9. Induktivní charakter obvodu (ϕ → +π/2) se s rostoucí frekvencí mění na kapacitní (ϕ → −π/2 ). +π/2

ϕ 0

Obr. 9. Závislost fázového posunu proudu a napětí na frekvenci v paralelním RLC obvodu.

fr f,Hz

-π / 2 Stejně jako u sériové rezonance se i u rezonance paralelní obvod chová jako samotný odpor R; celkový proud I je ve takovém případě ve fázi s napětím a zdroj opět dodává do obvodu jen činný výkon. Proud ve větvi s indukčností a proud ve větvi s kapacitou jsou v každém čase t stejně velké, ale mají vždy opačný směr! Jejich výsledná hodnota je tedy nulová. Při proudové rezonanci se totiž periodicky „přeměňuje“ elektrická energie kondenzátoru v magnetickou energii cívky a naopak (vznikají tak oscilace v LC obvodu) a rezonanční proud tekoucí od zdroje odpovídá jen nutnému minimu elektrické energie, jež je potřebná k pokrytí nevratných ztrát v důsledku vývinu Joulova tepla na odporu R tohoto obvodu.

Postup měření: Před samotným měřením na obvodech střídavého proudu je nutné znát parametry všech prvků, jež budete do obvodů zapojovat !!!

a) Kapacita C kondenzátoru K dispozici máte panel se sadou kondenzátorů, jejichž kapacita je na panelu vyznačena a není nutné jí měřit. Pro měření pak používejte pouze dva největší rozsahy (jednotky µF a stovky nF).

b) Indukčnost L cívky K dispozici máte cívku se zasouvatelným feromagnetickým jádrem. Její indukčnost lze měnit právě postupným zasouváním jádra a na připojené stupnici lze přibližné hodnoty indukčnosti L odečítat. Aby vaše měření bylo přesné, je nutné stupnici přesně ocejchovat. Cejchování provádíme pomocí automatického mostu RLCG. Aby byla chyba, k níž dochází v důsledku závislosti relativní permeability µr feromagnetického jádra na frekvenci měřícího napětí, co nejmenší, měřte indukčnost cívky zásadně při frekvenci 100 Hz (a při napětí 1 V) !!! 38

c) Odpor R obvodu Podle typu střídavého obvodu je odpor R obvodu dán jen odporem cívky (při paralelním zapojení) nebo součtem odporu cívky a odporu k ní sériově připojeného rezistoru (při sériovém zapojení).. K měření obou těchto hodnot použijeme zásadně některou ze stejnosměrných metod; nejjednodušší je ve vašem případě měření odporu přímo na jednom z digitálních univerzálních měřících přístrojů (v režimu ohmmetru).

Úkoly:

1) Proměřte sériový RLC obvod střídavého proudu zapojený podle obr. 1. Kapacitu C kondenzátoru nastavte na konstantní hodnotu v rozmezí 10 − 11 µF, indukčnost L cívky pak měňte postupným zasouváním jádra do cívky. Při každé poloze jádra změřte hodnotu proudu I v obvodu a také trojici napětí UR (pozor, jedná se o napětí pouze na části odporu obvodu - na rezistoru!), UL a UC. Tyto veličiny zapisujte do následující tabulky I. Tabulka I: Sériový RLC obvod střídavého proudu (f = 50 Hz) s proměnnou indukčností C = ........... µF

n 1 2 3 ... ... ... ...

L (H)

I (mA)

UR (V)

UL (V)

UC (V)

2) Proměřte tentýž sériový RLC obvod střídavého proudu, ale tentokráte měňte jeho kapacitu C od 1 µF do 11 µF po jednom mikrofaradu, v okolí rezonance pak hodnoty nastavujte po desetinách. Indukčnost L obvodu bude v tomto případě konstantní, její hodnota bude dána maximálním zasunutím jádra. Měřte stejné veličiny jako v předcházejícím úkole a zapisujte je do tabulky II. Tabulka II: Sériový RLC obvod střídavého proudu (f = 50 Hz) s proměnnou kapacitou L = ........... H

n 1 2 3 ... ... ... ...

C (µF) 1,0 2,0 3,0 ... ... ... ...

I (mA)

UR (V)

39

UL (V)

UC (V)

3) Zapojte

paralelní obvod s kondenzátorem a cívkou podle obr. 7. Měření proveďte pouze při proměnné indukčnosti L obvodu. Opět nastavte konstantní kapacitu C v rozmezí 10 - 11 µF; jádro postupně zasouvejte do cívky a zaznamenávejte pouze celkový proud, jenž teče od zdroje napětí k paralelní kombinaci. Hodnoty pak zapisujte do tabulky III. Tabulka III: Paralelní LC obvod střídavého proudu (f = 50 Hz) s proměnnou indukčností C = ........... µF

n 1 2 3 ... ... ... ...

L (H)

I (mA)

4) Ve všech třech případech zpracujte měření graficky jako závislost proudu I v obvodu na příslušné proměnné veličině (buď na indukčnosti L − úkoly 1,3, nebo na kapacitě C− úkol 2).

5) Podle vztahu (2) vypočítejte rezonanční frekvence fr vašich obvodů. Příslušné hodnoty kapacity C, resp. indukčnosti L dosazujte pouze pro okamžik rezonance – u každé závislosti počítáte tedy jen jednu hodnotu !!!)

!!

Získaný výsledek pokaždé porovnejte s frekvencí zdroje střídavého napětí (50 Hz) a případné rozdíly pak v závěru úlohy vysvětlete !!!

6) U

měření sériového obvodu – úkoly 1) a 2) – rovněž ověřte platnost vztahu (4) pro proudové maximum v rezonanci. Do celkového odporu R sériového obvodu musíte zahrnout jak odpor rezistoru, tak i odpor cívky, ale navíc je třeba k těmto dvěma hodnotám připočítat i hodnotu vnitřního odporu použitého analogového ampérmetru – ta je nezanedbatelná a činí 15,2 Ω (při použití měřícího rozsahu 60 mA pro střídavý proud)

40

Magnetický moment proudové smyčky Úkol :

Proveďte kalibraci Helmholtzových cívek a změřte magnetický moment proudové smyčky.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. ÚVOD: 1.1. Kalibrace Helmholtzových cívek V řadě fyzikálních měření je zapotřebí vytvoření prostoru, v němž bude magnetické pole s konstantní magnetickou indukcí. Tento požadavek není možné splnit prakticky nikdy, a proto se spokojíme s méně náročným požadavkem – vytvořením prostoru, ve kterém se magnetická indukce nemění příliš výrazně. Vhodným zařízením pro tento účel jsou tzv. Helmholtzovy cívky (obr. 1). Skládají se z dvojice cívek umístěných rovnoběžně na společné ose ve vzájemné vzdálenosti a, jež je rovna jejich poloměru (r = d/2). Za předpokladu, že rozměry b ,c vinutí jsou zanedbatelné vůči poloměru cívek, lze aplikací Biotova-Savartova-Laplaceova zákona odvodit vztah pro velikost vektoru magnetické indukce mezi oběma cívkami na jejich ose ve tvaru B( x) =

µ0 N d 2   d 2   8   + x2    2  

3

⋅I +

µ0 N d 2  d 2   8    + ( a − x) 2  2 

   

3

⋅I

,

(1)

kde d je průměr cívek, N počet závitů v každé z nich, a vzdálenost obou cívek, μ0 = 4π.10−7 H.m je permeabilita vakua, x vzdálenost bodu, ve kterém měříme indukci od průsečíku osy cívek s rovinou cívky (obr. 1) a I proud procházející cívkami. Cívky jsou zapojeny v serii a orientovány tak, aby magnetická indukce, kterou každá z nich vyvolává, měla stejný směr. Tento vztah je platný na ose cívek i v prostoru mimo cívky.

d

r

a

B

x

r

x

a

A b c

Obr. 1. Helmholtzovy cívky 41

x

V okolí bodu A uprostřed mezi cívkami je magnetické pole prakticky homogenní a pro maximální hodnotu indukce tohoto pole (pro x = a/2) platí B(a 2) =

2µ 0 N d 2

(d

2

+a

2

)

3

⋅I

,

(2)

1.2. Magnetický moment smyčky Prochází-li smyčkou umístěnou v magnetickém poli elektrický proud I a osa, kolem které se r smyčka může otáčet, je kolmá ke směru indukce B , potom na smyčku působí silový moment, jenž se snaží stočit rovinu smyčky tak, aby byla kolmá ke směru vektoru magnetické indukce. Smyčka může být pravoúhlá, kruhová apod. a může být jednoduchá nebo tvořena n závity. Ke stáčení smyčky r dochází vlivem interakce magnetického momentu smyčky m s magnetickým polem, r charakterizovaným indukcí B . Magnetický moment smyčky je definován vztahem r r m = n.I s .S , (3)

r

kde n je počet závitů smyčky, Is je proud procházející smyčkou a S je vektor kolmý k závitu plochy S, mající velikost této plochy. Potom moment dvojice sil, stáčejících smyčku, lze vyjádřit jako r r r (4) D = m× B .

-F Is

B

F

Obr. 2 Silové působení magnetického pole na smyčku protékanou proudem

r

r

Vektor m má tendenci orientovat se do směru vektoru B indukce magnetického pole, a tehdy je jejich vektorový součin nulový. V takovém případě je potenciální energie systému minimální. Pro velikost momentu silové dvojice můžeme psát D = n . I s . S . c. I .sin α

42

,

(5)

kde c je konstanta, související s uspořádáním Helmholtzových cívek, vytvářejících magnetické pole, Is proud smyčkou, n počet závitů smyčky, S plocha smyčky, I proud Helmholtzovými cívkami a α úhel, jenž svírá normála ke smyčce s vektorem magnetické indukce. Protože v našem měření bude rovina smyčky kolmá k ose Helmholtzových cívek, je možno určit velikost magnetického momentu m ze vztahu m=

D B

.

(6)

2. POSTUP MĚŘENÍ K měření použjeme torzní dynamometr PHYWE (obr. 3) doplněný Teslametrem s Hallovou sondou (obr. 4), proudovými zdroji a měřením proudu (obr. 5).

2.1. Kalibrace Helmholtzových cívek Cílem tohoto měření je zjistit, jak se mění magnetická indukce podél osy Helmholtzových cívek při různě velkém proudu protékajícím těmito cívkami. Měření velikosti magnetické indukce provádíme pomocí měřicího systému s Hallovou sondou Před zahájením vlastního měření Teslameter (T) vynulujeme tak, že nastavíme přepínačem (1) rozsah přístroje na 20 mT a potenciometrem (2) nastavíme hodnotu 0. Pak proměříme magnetickou indukci ve směru osy x při třech proudech I cívkami, např. 1, 2 a 3 A přičemž ukazatelem místa měření je křížek na sondě. Hodnoty proudu nastavíme knoflíkem (1) na zdroji pro Helmholtzovy cívky (H) přičež ovladač napětí (2) je nastaven na maximum. Polovodičový krystal, jenž je základem Hallovy sondy, musí být orientován svojí čelní rovinou kolmo k magnetické indukci. Během měření v dané poloze x proto při kolmé orientaci osy sondy k ose cívek opatrně otáčíme sondou (3) tak, až najdeme maximální hodnotu, kterou zapíšeme do tabulky I. Sondu posunujeme po pravítku, které je vloženo do osy cívek, po 1 cm a naměřené hodnoty zaznamenáme do Tabulky I. Do téže tabulky zaznamenáme i hodnoty vypočtené podle vztahu (1). Počet závitů cívek N = 154. Velikost d a a měříme jako vzdálenost mezi středy svazku závitů. Získané výsledky zpracujte graficky. Tabulka I.

I = …. A x [cm]

I = …. A

I = …. A

Bexp

Bteor

Bexp

Bteor

Bexp

Bteor

[mT]

[mT]

[mT]

[mT]

[mT]

[mT]

0 1 2 ... 43

2.2. Měření magnetického momentu

1) Dozírající učitel nasadí do držáku smyčku, obsahující 1 – 3 závity. 2) Bez zapnutých zdrojů napětí nastavíme raménko dynamometru tak,

aby při pohledu shora procházelo mezi značkami na nosiči – zpravidla je v tomto případě ukazatel na hodnotě 0. Pokud tomu tak není, požádejte učitele o úpravu.

3)

Zapneme zdroj pro Helmholtzovy cívky (H) a nastavíme proud protékající cívkami na hodnotu 1 A. Odpovídající magnetickou indukci pro x = a/2 zjistíme z předchozího kalibračního měření. Hodnoty zapisujeme do Tabulky II.

4)

Zapneme zdroj proudu (S na obr. 5) pro smyčku a potenciometrem (3) postupně zvyšujeme

proud Is smyčkou po 1 A až do maximální hodnoty, kterou vám určí přítomný učitel (v žádném případě ale ne více jak do 8 A !!!). Po každém nastavení proudu se raménko dynamometru (rovina smyčky) vychýlí z rovnovážné polohy vymezené značkami. Do této polohy ho vrátíme ovladačem dynamometru, který je spojen s ukazatelem velikosti torzního momentu D, jehož stupnice je cejchována v jednotkách 10−4 Nm. Výsledky pak zaznamenáme do Tabulky II.

5) 6)

Měření opakujeme pro hodnoty proudu I v Helmholzových cívkách 2 A a 3 A. Z torzního momentu vypočítáme pomocí vztahu (6) magnetický moment mexp a zaznamenáme ho do Tabulky II. Tento moment porovnáme s teoretickou hodnotou momentu, počítaného ze vztahu (3). Výsledky zpracujte také graficky.

Ovladač dynamometru Ukazatel dynamometru

Raménko dynamometru

Držák smyčky Smyčka

Helmholtzovy cívky

Obr. 3. Torzní dynamometr s Helmholtzvými cívkami

44

Tabulka II.

I=… A ; Is [A]

D [10-4 N.m]

B=…T;

n=…

mexp [A.m2]

mteor [A.m2]

1 2 …

H

2 1

H S 0.0 1

3

T 2 Regulace

napětí Regulace

proudu

3

Obr.4. Teslameter

A

Obr. 5. Zdroje a měření proudu

45

Pohyb elektronu v Úkol:

silovém poli

Pozorujte pohyby elektronu v elektrostatickém a magnetickém poli, vyhodnoťte je a využijte ke stanovení hodnoty specifického náboje e/me elektronu.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. ÚVOD Pohybující se elektron, elementární částice nesoucí záporný elementární náboj −e o velikosti 1,602.10–19 C, je výrazně silově ovlivněn elektrostatickým i magnetickým polem. Přitom vzhledem k jeho nepatrné hmotnosti (me = 9,108.10–31 kg) můžeme naprosto zanedbat vliv na něj působícího gravitačního pole Země. V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí B působí na elektron pohybující se rychlostí v síla Fm = −e.[v x B] , (1) pro jejíž velikost platí Fm = e.v.B.sinα . (2) Jak je patrné, velikost této síly závisí mimo jiné I na úhlu α, jenž svírá vektor rychlosti v elektronu s vektorem B indukce magnetického pole. Tyto zákonitosti byly pozorovány a měřeny již v rámci laboratorní úlohy „Specifický náboj elektronu“ v Laboratorních cvičeních z fyziky I. Stručně shrnuto, vletí-li elektron do homogenního magnetického pole kolmo k indukčním čarám (tak, jak je naznačeno na obr. 1a), bude se pohybovat rovnoměrně stálou rychlostí v po kružnici o poloměru m .v r= e (3) e. B s dobou oběhu T=

2π 2π . me = ω e. B

,

(4)

jež nezávisí na rychlosti částice ani na poloměru kružnice, po níž se pohyb děje. Síla působící na elektron (jak v klidu, tak i v pohybu) v homogenním elektrostatickém poli s intenzitou E je dána vztahem Fe = −e.E . (5)

B

v

. .

r

a)

.

v

F

E

°

Obr. 1.

b)

Vletí-li elektron do elektrostatického pole intensity E kolmo k siločarám rychlostí v (viz obr. 1b), začne se odchylovat proti směru siločar a pohybuje se po parabolické trajektorii, jež je popsána rovnicí 46

y=

1 e. E ⋅ x2 2 2 me . v

,

(6)

kde y je odchylka elektronu v kolmém směru vzhledem k původnímu směru jeho pohybu ve vzdálenosti x od počátku působení elektrického pole. Teoreticky i prakticky zajímavý je případ kombinovaného působení obou polí. Pokud jsou obě pole na sebe kolmá, vychylují pohybující se elektron ve stejné rovině a proti sobě působící síly Fe a Fm je možno vykompenzovat. V takovém případě platí E.e = B.e.v

,

(7)

takže velikost v rychlosti elektronu je určena jen poměrem E . v= B

(8)

Z uvedených rovnic lze pak snadno vyjádřit specifický náboj elektronu

e pomocí měřitelných me

veličin, a tedy stanovit jeho hodnotu experimentálně.

II. METODA K pozorování a měření vlivu magnetického a elektrického pole na elektrony použijeme trubici s elektronovým svazkem PIERRON MT 01360 (obr. 3). Trubice (1) obsahuje elektronové dělo vysílající do evakuované baňky ve vodorovném směru úzký paprsek elektronů, jejichž rychlost v lze měnit anodovým napětím Ua (od 1,5 kV až do 5 kV). Po urychlení elektrickým polem s příslušným potenciálovým rozdílem Ua získají elektrony kinetickou energii Ua . e = ½ mv2

.

(9)

Uprostřed trubice je kolmo upevněna tenká slídová destička pokrytá z jedné strany luminiscenční látkou zviditelňující trajektorii elektronů. Pro vyhodnocení této trajektorie je na destičce nanesena souřadnicová (čtvercová) síť s krokem 1 cm (obr. 2). Rovnoběžně s osou elektronového děla jsou nad a pod trajektorií elektronů umístěny ve vzdálenosti d = 5,4 cm vychylovací elektrody umožňující vytvářet vkládáním napětí Up elektrostatické pole s intenzitou o velikosti Up . E= d Baňka trubice je umístěna mezi Helmholtzovými cívkami (2) umožňujícím vytvářet uvnitř baňky změnou proudu Ib homogenní magnetické pole s indukcí o velikosti B = 0,004 . Ib

[T,A]

,

jež je orientována vodorovně, kolmo k vektoru E intenzity elektrického pole a navíc i k ose elektronového děla.

47

přední Helmholtzova cívka, Ib slídová destička 9

8

7 6

5 4

anoda, Ua

3 2

2 1

Up -1 -2

žhavená katoda elektronové dělo vychylovací elektroda, Up baňka

y x

Obr. 2.

Na obrázku 3 je celkové uspořádání aparatury pro pozorování pohybu elektronu v elektrickém a magnetickém poli, která se skládá z :

-

trubice s elektronovým svazkem (1) dvojice Helmholtzových cívek (2) zdroje anodového (urychlovacího) napětí (5) zdroje proudu pro Helmholtzovy cívky vytvářející magnetické pole (3) zdroje vysokého napětí pro vytváření elektrostatického pole mezi vychylovacími elektrodami (4) dělič napětí (6) - používá se v případě, že není k dispozici samostatný zdroj vysokého napětí. V tomto případě se pomocí děliče oddělí část urychlovacího napětí a vede se na vychylovací elektrody

6

2

3

4

5

Obr. 3. 48

1

Postup práce:

A) Pozorování a kvalitativní popis trajektorie elektronů v silovém poli Pozorujte a kvalitativně popište tvar a změny trajektorie elektronů při změně jejich rychlosti, při změně magnetické indukce a při změně intenzity elektrostatického pole. 1. Po kontrole zapojení učitelem nastavte ovládací prvky na minimum a zapněte přístroje. 2. Nastavte anodové napětí Ua na hodnotu v rozmezí 2 500 V až 4 500 V a pozorujte změny trajektorie při změně proudu Ib. 3. Pozorujte změny trajektorie při změně anodového napětí a konstantní hodnotě Ib. 4. Při nulovém magnetickém poli ovlivněte elektronový svazek účinkem elektrostatického pole s intenzitou E = Up/d , kde d = 5,4 cm. (před zahájením experimentu konzultujte zapojení s učitelem) 5. Pokuste se posoudit kombinovaný vliv elektrostatického a magnetického pole.

B) Určení specifického náboje elektronu vyhodnocením dráhy elektronů v magnetickém poli Kombinací rovnic (3) a (9) lze získat pro stanovení hodnoty specifického náboje elektronu výraz 2Ua e = 2 2 , (10) me B r v němž jsou všechny potřebné veličiny měřitelné. Hodnotu velikosti magnetické indukce vypočítáme podle vztahu B = k . Ib , kde k = 0,004 TA–1, a odpovídající poloměr r kruhové trajektorie podle vztahu (x 2 + y 2 ) r= , (11) 2y kde x a y jsou souřadnice zvoleného bodu na kruhovém oblouku např. [10 ; ±2] (viz obr. 4). K potlačení systematické chyby provádíme měření pro každou hodnotu Ua při dvou opačných směrech magnetické indukce a uvažujeme průměrné hodnoty. y 2 1 9

x

8

7

6

5

4

3

2

-1 -2

Obr. 4

1. Po kontrole zapojení učitelem nastavte ovládací prvky na minimum a zapněte přístroje. 2. Nastavte počáteční hodnotu Ua = 2 500 V.

49

3. Nastavte takovou hodnotu Ib (y+), aby trajektorie elektronů procházela bodem s dobře odečitatelnými souřadnicemi v dostatečné vzdálenosti od počátku, např. (10; 2). 4. Změňte polaritu proudu a nastavte jeho hodnotu Ib (y–) tak, aby trajektorie elektronů procházela bodem (10; –2). Pro výpočet podle rovnice (10) použijte hodnotu B odpovídající průměrné hodnotě Ib. 5. Měření podle bodů 3, 4 opakujte postupně pro hodnoty napětí Ua = 3 000 V, 3 500 V, 4 000 V a 4 500 V. Výsledky zapisujte do tabulky (např.): Ua [V]

|y| [cm]

x [cm]

r [cm]

Ib(+y) [A]

Ib(∅) [A]

Ib(-y) [A]

e

B [T]

me

⋅ 10 −11 [C.kg–1]

6. Z vypočítaných hodnot specifického náboje určete jeho průměrnou hodnotu a chybu měření. Výsledek porovnejte s tabelovanou hodnotou této veličiny (1,759 . 1011 C.kg–1).

C) Určení

specifického náboje elektronu magnetického a elektrického pole

s využitím

kombinovaného

účinku

Působí-li na pohybující se elektron kromě magnetického pole s indukcí B (jako v předchozí úloze) také na ně kolmé elektrické pole s intensitou E, působí na elektron současně magnetická síla Fm a elektrická síla Fe ve stejné rovině. Pokud mají navíc obě pole (oba vektory) vhodný vzájemný směr, působí obě síly proti sobě. V takovém případě lze nalézt E a B takové velikosti, že se obě síly přesně vykompenzují, viz rov. (7) a (8). Kombinací rovnic (3) a (8) lze pak ifický náboj elektronu vyjádřit v měřitelných veličinách jako e E E = = 2 2 me r B r k 2 Ib

.

(12)

1) Nastavte hodnotu proudu Ib tak, aby trajektorie elektronu procházela při nulové intenzitě elektrického pole (Up = 0) bodem s dobře odečitatelnými souřadnicemi x, y; např. (9, ±2) . 2) Vykompenzujte odchýlení elektronů v magnetickém poli účinkem elektrického pole intezity E vhodné polarity, tj. nastavením potřebné hodnoty napětí Up (o potřebnou změnu polarity požádejte učitele). Při výpočtu velikosti intensity E používejte hodnotu d = 5,4 cm. 3) Měření proveďte pro několik různých hodnot Ib , vždy pro kladnou i zápornou odchylku elektronů v magnetickém poli. Výsledky zapisujte do tabulky. 4) Z vypočítaných hodnot specifického náboje určete jeho průměrnou hodnotu a chybu měření. Výsledek porovnejte s tabelovanou hodnotou (1,759 . 1011 C.kg–1). Ib [A]

B [T]

x [cm]

|y| [cm]

r [cm]

50

Up [V]

E [V/cm]

e me

⋅ 10 −11 [C.kg-1]

D) Určení specifického náboje elektronu s využitím jevu „elektronové zrcadlo“ Při současném působení magnetického a elektrického pole na pohybující se elektron ve stejném uspořádání jako v předchozím případě, může jeho trajektorie nabýt tvaru cykloidy (obr. 5). Podmínkou je, aby magnetická síla Fm byla větší než opačně působící síla elektrická Fe. V takovém případě se dráha letícího elektronu zakřivuje účinkem magnetické síly a poté, co urazí určitou vzdálenost sm narazí na vychylovací elektrodu a jeho rychlost klesne na nulu. V tomto okamžiku začne elektrostatické pole urychlovat elektron v opačném směru, takže je postupně vystaven rostoucímu účinku magnetické síly, která po překonání vzdálenosti sm převáží a děj se opakuje. sm 2 1 9

8

7

6

4

5

3

2

-1 -2

Obr. 5 Pro vzdálenost sm platí rovnice sm =

2 E me eB 2

,

(13)

jež obsahuje měřitelné veličiny a umožňuje vypočítat specifický náboj elektronu podle vztahu 2E e = 2 . (14) me B s m

1) K měření použijeme stejné zapojení jako v předchozí úloze, které umožňuje současné

2) 3) 4) 5)

působení elektrického a magnetického pole na letící elektrony. Polarita obou napájecích napětí musí zaručovat, aby magnetická a elektrická síla působily proti sobě (o kontrolu požádejte učitele). Zvyšte proud Ib procházející cívkami na hodnotu v rozmezí 1 A až 2 A. Nastavte hodnotu napětí tak, aby trajektorie elektronů měla tvar cykloidy podle obr.5. Změřte vzdálenost sm a spolu s hodnotami Ib a Up ji zapiště do tabulky. Měření proveďte pro několik kombinací Ib a Up a výsledky statisticky vyhodnoťte.

Poznámka Uspořádání cívek podle Helmholtze je znázorněno na obr. 6. Průchod proudu I oběma cívkami ve stejném směru generuje magnetické pole, které je v široké oblasti mezi cívkami homogenní jestliže vzdálenost mezi dvěma stejnými paralelně uspořádanými cívkami je rovna polovině jejich průměru. Vektor B magnetické indukce je kolmý k rovině cívek, jeho velikost B 51

lze měnit změnou velikosti proudu a jeho směr převracet změnou polarity napájecího napětí. Ačkoliv u každé cívky klesá velikost indukce magnetického pole se vzdáleností od její roviny, součet polí ze dvou cívek je téměř konstantní v celé oblasti mezi nimi. Velikost magnetické indukce mezi cívkami lze vypočítat podle rovnice 2µ 0 N .d 2

⋅I 3  2 d2    d +   4   –7 kde N je počet závitů v každé cívce a µ0 = 4π.10 H.m–1 permeabilita vakua. B=

B

d

d/2

Obr. 6

52

Měření Planckovy konstanty Úkol:

Na základě studia zákonitostí vnějšího fotoelektrického jevu ověřit hodnotu Planckovy konstanty a určit výstupní práci elektronů z materiálu fotokatody.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část: Fotoelektrický jev patří k nejdůležitějším jevům kvantové optiky – je důkazem kvantové povahy elektromagnetického záření. Tento jev nastává při vzájemném působení (interakci) elektromagnetického záření a látky, při němž je energie záření předávána elektronům v látce. Pozorujeme jej zejména u látek pevných (u kovů a polovodičů) a podle jeho podstaty rozlišujeme vnitřní a vnější fotoelektrický jev.

Vnitřní fotoelektrický jev je typický pro polovodiče a dielektrika. Působením dopadajícího elektromagnetického záření se uvnitř těchto látek uvolňují elektrony, dochází ke generaci párů elektron-díra a ke zvýšení vodivosti daného materiálu (tzv. fotovodivost). Při vnějším fotoelektrickém jevu dojde k tomu, že elektrony v látce (obvykle v kovu) získají působením dopadajícího elektromagnetického takovou energii, že látku úplně opustí a pohybují se v okolním prostředí nebo vakuu. Nastává fotoemise elektronů. Vnější fotoelektrický jev byl objeven koncem 19. století. Princip experimentálního studia tohoto jevu je patrný z obr. 1.

E = hf

A

K Obr. 1 – K vnějšímu fotoelektrickému jevu

G

+ °

°

Záporná katoda K je ozařována zdrojem světla. Po dopadu záření na katodu se z ní uvolňují elektrony (fotoelektrony), jež jsou přitahovány ke kladné anodě A, a obvodem začne procházet proud registrovaný galvanometrem G.

Zákony vnějšího fotoelektrického jevu: 1) Pro každý materiál existuje jistá mezní frekvence fm záření, při níž se ještě z materiálu uvolňují elektrony. Jestliže je frekvence f záření menší než frekvence mezní (f < fm), fotoelektrický jev nenastává. 53

2) Velikost fotoproudu (počet uvolněných elektronů) je úměrná intenzitě dopadajícího záření. 3) Energie fotoelektronů je přímo úměrná frekvenci záření a nezávislá na jeho intenzitě. Tyto zákony vyložil roku 1905 Albert Einstein na základě Planckovy teorie záření. Za objasnění teorie fotoelektrického jevu pak obdržel v roce 1921 Nobelovu cenu.

Einsteinův zákon pro vnější fotoelektrický jev: Maximální kinetická energie elektronu uvolněného při vnějším fotoelektrickém jevu je rovna rozdílu energie fotonu dopadajícího záření a výstupní práce elektronu. Tento zákon pak vyjadřuje Einsteinova rovnice vnějšího fotoelektrického jevu 1 m v2 = h f – Wv 2

,

(1)

kde m je hmotnost elektronu, v maximální rychlost elektronu emitovaného z látky, h Planckova konstanta, f frekvence dopadajícího záření a Wv výstupní práce elektronu. Výstupní práce Wv je veličina, jež udává práci potřebnou na uvolnění elektronu z materiálu (kovu). Je tím větší, čím pevněji je elektron vázán ve struktuře kovu. Nejmenší hodnoty výstupních prací mají alkalické kovy (viz fyzikální tabulky). V kvantové a atomové fyzice se obvykle energie uvádějí v jednotkách elektronvolt (eV). Je to energie, kterou získá částice s elementárním nábojem (e =& 1,602.10–19 C) při přechodu mezi místy s potenciálovým rozdílem 1 V. Musí platit 1 eV =& 1,602.10–19 J

.

(2)

Ve speciálním případě, kdy ještě dochází k fotoefektu, je energie dopadajícího záření právě rovna výstupní práci elektronu z kovu. Elektron vystupuje z materiálu s nulovou kinetickou energií. Platí h fm = Wv . (3) Pro mezní vlnovou délku λm fotoemise, jež je vlastně největší vlnovou délkou dopadajícího elektromagnetického záření, při níž ještě k jevu dochází, pak dostáváme vztah λm =

c c⋅h = fm Wv

,

(4)

kde c je rychlost světla ve vakuu. Pozn.: Vnější fotoelektrický jev lze pozorovat při použití viditelného světla jen u těch materiálů, jejichž výstupní práce Wv je maximálně 3,1 eV, což odpovídá mezní vlnové délce z modrého okraje viditelného spektra (λm = 400 nm). Při vyšší hodnotě výstupní práce Wv je tento jev pozorovatelný pouze při ozáření látky ultrafialovým zářením.

54

Princip měření: V našem případě používáme pro měření fotobuňku (fotocelu), jejíž citlivá fotokatoda je pokryta tenkou vrstvou sulfidu olovnatého (PbS). Na fotokatodu necháme dopadat světlo rtuťové výbojky, jehož spektrum omezujeme použitím různých optických filtrů. Elektrony emitované z katody přecházejí na anodu. Pokud nebude uzavřen elektrický obvod, vytvoří se po krátké době následující rovnovážný stav:

→ → → →

katoda K se v důsledku úbytku elektronů nabije kladně; atoda A se naopak díky přebytku elektronů nabíjí záporně; mezi oběma elektrodami vzrůstá elektrické napětí až k jisté mezní hodnotě Um ; toto mezní napětí Um pak zabrání přechodu dalších elektronů (i těch s maximální kinetickou energií) z fotokatody na anodu.

V takovém případě musí mezní napětí Um nutně splňovat podmínku (viz vztah (1)) Um . e =

1 m v2 = h f – Wv , 2

(5)

z níž ihned dostáváme W h ⋅f − v e e

Um =

.

(6)

Změříme-li hodnoty mezního napětí Um při různých frekvencích f (resp. různých vlnových délkách λ) dopadajícího záření, dostaneme v grafu (viz obr. 2) lineární závislost mezi mezním napětím Um a frekvencí f záření. Vyhodnocením této závislosti pak vypočítáme hodnotu Planckovy konstanty h, i hodnotu výstupní práce Wv elektronu daného materiálu. Osy se ale nutně musí protínat v nule !!! Um (V)

° °

∆Um

° °

Obr. 2 – Grafické zpracování naměřených hodnot

∆f 0

f (Hz)

fm

55

h vyjadřující funkční závislost (6) je – jak je patrné z obr. 2 - současně dána e ∆U m . Z této rovnosti odpovídajícími přírůstky mezního napětí ∆Um a frekvence ∆f dopadajícího záření ∆f

Směrnice přímky

vyplývá, že Planckova konstanta

h =

∆U m ⋅e ∆f

.

(7)

Extrapolací přímky dostáváme na vodorovné ose hodnotu mezní frekvence fm (protože při mezní frekvenci je hodnota mezního napětí nulová !!!). Výstupní práci elektronu z materiálu pak snadno spočítáme podle vztahu h fm = Wv

.

(3)

Postup měření: Měřící aparatura PHYWE této laboratorní úlohy je trvale sestavena (obr. 3) a polohy jednotlivých knoflíků na přední desce zesilovače zřetelně označeny. Tyto hodnoty neměňte!!!

ZT NK ZESILOVAČ ZDROJ

VÝBOJKA

FOTOCELA

Š VOLTMETR

Obr. 3.

1)

FILTR

Zapneme napájecí zdroj rtuťové výbojky i zesilovač – síťové vypínače jsou na zadní straně obou přístrojů.

Vyvarujte se přímého pozorování světla rtuťové výbojky !!! hrozí poškození zraku !!! 2) 3)

Průzor do fotocely uzavřeme šoupátkem a na vstupní otvor fotocely nasadíme zvolený optický filtr. Po krátké době stiskneme na zesilovači bílé zkratovací tlačítko a nulovacím knoflíkem uprostřed nastavíme nulu na voltmetru. Poté otevřeme šoupátkem světelný průzor do fotocely a po ustálení hodnoty na displeji voltmetru odečteme příslušné mezní napětí Um. Měření s jedním filtrem můžeme provést opakovaně. 56

4)

Provedeme výměnu filtru a pokračujeme v měření dalších hodnot mezního napětí Um při jiných vlnových délkách dopadajícího záření.

Před výměnou filtru nezapomeňte vždy uzavřít průzor do fotocely !!! 5)

Naměřené hodnoty zapisujte do následující tabulky: Tabulka: Měření mezního napětí Um při vnějším fotoelektrickém jevu n 1 2 3 4 5

6)

λ (nm) 578 546 436 405 366

f.10–14 (Hz)

Um (V)

Graficky zpracujte závislost mezního napětí Um na frekvenci f dopadajícího záření (viz obr. 2), proveďte výpočet Planckovy konstanty a výstupní práce elektronu z materiálu fotokatody; výsledek, jenž získáte výpočtem pak porovnejte s tabulkovou hodnotou Planckovy konstanty h =& 6,626.10–34 J.s .

57

Stefanův - Boltzmannův zákon Úkol:

Studovat závislost energie vyzařované černým tělesem na jeho teplotě a ověřit platnost Stefanova – Boltzmannova zákona.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

Obecná část: Každé těleso vyzařuje elektromagnetické záření různých vlnových délek s různou intenzitou. Tepelným zářením se rozumí veškeré elektromagnetické záření v rozsahu vlnových délek 800 nm až 1 mm. Toto záření vyzařují všechna tělesa zvláště pak ta, jejichž teplota je vyšší než 800 K. Základní veličinou k popisu tepelného záření je intenzita vyzařování M, jež představuje zářivý výkon vyzářený jednotkovou plochou zdroje tepelného záření do celého poloprostoru. Její fyzikální jednotkou je W.m–2. Pokud se zkoumají spektrální vlastnosti vyzařování tepelného záření, zavádí se veličina spektrální intenzita vyzařování dM Mν = , (1) dν jež vlastně charakterizuje relativní díl intenzity vyzařování dM připadající na spektrální interval frekvencí od ν do ν + dν . Intenzitu vyzařování M můžeme naopak získat integrací spektrální intenzity vyzařování přes všechny frekvence ∞

M =

∫ Mν

dν

.

(2)

0

Nejjednodušší závislosti vyzařování platí pro tzv. černá tělesa. Černé těleso je ideální fyzikální těleso, jež pohlcuje záření celého elektromagnetického spektra a má tedy absolutně černý povrch a jeho koeficient absorpce je roven jedné. V přírodě neexistuje dokonale černé těleso, každé skutečné těleso vyzařuje při dané teplotě méně než černé těleso. Poměr spektrálních hustot vyzařování reálného (Mν) a černého (Mνo) tělesa se nazývá spektrální emisivita εν . Platí Mν

εν =

(3)

Mν o

a je to veličina, jejíž hodnota je větší nebo rovna nule a menší nebo rovna jedné. Pokud je spektrální emisivita konstantní v celém spektru, hovoříme o šedém zářiči (šedém tělese). Spektrální intenzita vyzařování povrchu černého tělesa o termodynamické teplotě T je dána Planckovým vyzařovacím zákonem (1900) Mν =

h ⋅ν 3 2

4π ⋅ c

2

⋅

1  hν  exp  − 1  kT 

,

(4)

kde h =& 6,626.10–34 J.s je Planckova konstanta a k =& 1,380.10–23 J.K–1 je konstanta Boltzmannova. Planck vycházel z předpokladu, že světlo je vyzařováno a pohlcováno nespojitě, v tzv. kvantech, jejichž energie je h.ν . Objev tohoto zákona znamenal vlastně začátek kvantové mechaniky. 58

Intenzitu vyzařování M černého tělesa pak charakterizuje zákon Stefanův – Boltzmannův, (1879) podle nějž tato veličina závisí jen na termodynamické teplotě T černého tělesa a to tak, že je přímo úměrná její čtvrté mocnině. Platí M = σ.T

4

,

(5)

kde σ =& 5,670.10–8 W.m–2.K–4 je Stefanova – Boltzmannova konstanta. Tento zákon byl nejprve odvozen na základě experimentů a teprve později byl teoreticky zdůvodněn pomocí zákonů termodynamiky. Integrací Planckova zákona vyzařování (4) přes celé spektrum je možno dokázat, že Stefanova - Boltzmannova konstanta není konstantou fundamentální → dá se vyjádřit pomocí základních fyzikálních konstant jako 2π 5 k 4 , (6) σ = 15c 2 h 3 kde c =& 2,998.108 m.s–1 je rychlost světla ve vakuu. I pro reálné zářiče, jež nejsou černé, ale pouze šedé, platí, že intenzita jejich vyzařování M závisí jen na vlastní termodynamické teplotě T. Tuto závislost je možno rovněž vyjádřit jako přímou úměrnost na čtvrté mocnině termodynamické teploty M ∼ T

4

.

(7)

Jako zářící těleso slouží ve vašem případě wolframové vlákno žárovky, jehož teplotu měníme změnou napětí na žárovce. Teplotu T vlákna určíme pomocí odporu žárovky. Z Ohmova zákona určíme odpor žárovky, pro jehož teplotní závislost platí vztah R (t) = Ro ( 1 + α t + β t2 )

,

(8)

kde Ro je odpor vlákna žárovky při teplotě 0oC, t teplota vlákna měřená ve stupních Celsia a α , β teplotní součinitele odporu vlákna žárovky. Pro wolfram jsou jejich hodnoty: α = 4,82.10–3 K–1 , β = 6,76.10–7 K–2 . Odpor vlákna Ro při nulové teplotě je uveden v laboratoři u úlohy.

Ze závislosti (9) pak snadno zpětně určíme teplotu vlákna žárovky. Jeho absolutní teplota je T = 273,15 +

1 2β

 ⋅ 

 R(t )  α 2 + 4 β ⋅  − 1 − α  Ro 

  

.

(9)

Detektorem intenzity vyzařování je u vaší úlohy termočlánek, jehož stejnosměrné napětí UT je úměrné rozdílu intenzit vyzařování zářícího tělesa (žárovky) a okolních těles, jež mají teplotu místnosti tM (resp. termodynamickou teplotu TM). Musí tedy platit UT ∼ (T 4 – TM 4)

.

Vzhledem ke čtvrté mocnině teploty lze však člen s pokojovou teplotou TM zanedbat a pro napětí na termočlánku pak dostáváme UT = konst. . T 4 , (10) případně po zlogaritmování log UT = log (konst.) + 4 . log T

.

(11)

Naměříme-li závislost napětí UT na teplotě T a vyneseme-li jí do grafu jako funkci log UT na log T, měli bychom dostat přímku se směrnicí rovnou čtyřem. 59

Postup práce: 1) Měřící aparatura PHYWE (viz foto) je již sestavena a její schéma je na obr. 1. Potenciometr P1 regulující stejnosměrné napětí na žárovce musí být v nulové poloze (U1 = 0) !!! Kryt žárovky a čidla Zdroj

Čidlo

Ampérmetr Zesilovač Voltmetr Voltmetr

P1

Žárovka P2 P3

Zdroj napětí pro žárovku

•

P1

Detektor záření

=V

0-12 V =

° °

= U1

UT

• Zesilovač

=A

= I1

P2 P3

°° Obr. 1 – Schéma měřící aparatury pro ověření platnosti Stefanova – Boltzmannova zákona

=V

°° = UZ

2) Zapneme zdroj žárovky i zesilovač – síťové vypínače jsou na zadní straně obou přístrojů. Zesílení A zesilovače nastavíme přepínačem P3 na hodnotu A = 104.

3) Při nulovém napětí U1 na žárovce vynulujeme potenciometrem P2 stejnosměrné napětí UZ na výstupních svorkách zesilovače. Ostatní ovládací prvky nastavíme podle pokynů učitele. Tím máme aparaturu připravenou k vlastnímu měření. 60

4) Potenciometrem P1 postupně nastavujeme na žárovce napětí U1 od jednoho voltu do sedmi voltů po jednom voltu a při každém napětí odečítáme příslušný proud I1 protékající žárovkou a současně i napětí UZ . Hodnoty I1 a UZ odečítáme vždy po uplynutí stejného času po nastavení napětí U1 (vyčkejte alespoň 3 minuty). Při měření se nelze vracet zpět k nižším hodnotám. Navíc hodnota napětí U1 nesmí překročit 7,0 V !!! Měření musíte rovněž ukončit, pokud proud I1 dosáhne hodnoty 5,0 A !!!

5) Skutečné napětí UT na termočlánku zjistíme ze vztahu UT =

UZ A

,

kde A je velikost zesílení určená polohou přepínače P3 na zesilovači. Překročí-li během měření napětí UZ hodnotu 10 V, snížíme zesílení zesilovače A pomocí přepínače P3 . Pozn.: Hodnotu napětí UZ pro napětí U1 = 4 V lze pro kontrolu zpravidla změřit při obou zesíleních (104 i 103).

6) Z naměřených hodnot napětí U1 a proudu I1 vypočítejte podle Ohmova zákona odpor R (t) žárovky, a poté podle (9) i absolutní teplotu T jejího vlákna. Naměřené i vypočítané hodnoty zapisujte do následující tabulky: Tabulka: Ověření platnosti Stefanova – Boltzmannova zákona n

U1 (V)

I1 (A)

T (K)

R(t) (Ω)

UZ (V)

A

UT (mV)

1 2 … 7 7) Graficky zpracujte závislost směrnici získané přímky.

log UT = f (log T) a postupem naznačeným v obrázku 2 určete

log UT (V)

° °

∆ log UT

Obr.2 – Grafické zpracování závislosti vyzařování tělesa na jeho absolutní teplotě

° ° k = ∆ log T log T (K) 61

∆ log U T ∆ log T

Hallův jev v polovodičích Úkol:

1) Změřit teplotní závislost vodivosti a určit aktivační energii v monokrystalu n-Ge 2) Změřit Hallovo napětí a určit Hallovu konstantu, koncentraci nositelů náboje a jejich pohyblivost v závislosti na teplotě

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. ÚVOD 1.1. Pohyb nabité částice v magnetickém poli Na elektricky nabitou částici pohybující se v magnetickém poli působí síla r r r Fm = q (v × B) , (1) r r kde q je náboj částice, v je její rychlost a B je indukce magnetického pole. Tato síla způsbuje zakřivení trajektorie pohybující se nabité částice a její směr lze určit pravidlem levé ruky. V případě, r r že jsou vektory v a B rovnoběžné, je působící síla nulová.

1.2. Hallův jev Uvažujme elektricky vodivou destičku tloušťky d, která je připojena ke zdroji elektromotorického napětí Ue. Na elektrony působí síla, která způsobí jejich pohyb zprava doleva driftovou rychlostí v (obr. 1a). V případě, že se destička nenachází v magnetickém poli se složkou magnetické indukce kolmou ke směru driftové rychlosti, elektrony se pohybují od záporné elektrody k elektrodě kladné s driftovou rychlostí, která nemění ani svoji velikost ani směr. Zapojíme-li nyní magnetické pole kolmé ke směru driftové rychlosti, začne na elektrony působit magnetická síla Fm určená vztahem (1). Ta nutí elektrony měnit směr driftové rychlosti a elektrony se nyní pohybují po obloukové trajektorii směrem k přední straně destičky vzhledem k tomu, že jejich náboj je záporný (obr. 1b). Z tohoto důvodu se zadní strana destičky stává vůči přední kladnou a mezi oběma lze naměřit tzv. Hallovo napětí UH, kterému odpovídá intenzita elektrického pole EH = UH / b, působící proti vychylování elektronů elektrickou silou Fe = e.EH . Po vyrovnání obou sil a po vyjádření driftové rychlosti v pomocí proudu I = n.e.v.S , který protéká vzorkem o průřezu S=b.d (obr. 1) při koncentraci nositelů náboje n platí pro Hallovo napětí rovnice UH =

BI 1 BI = RH ne d d

⇒

RH =

UHd 1 = BI ne

.

(2)

Veličina RH se nazývá Hallova konstanta. Její jednotka je m3A-1s-1. Pro koncentraci nositelů náboje n pak platí 1 BI 1 n= = . (3) UHe d e RH Velikost Hallovy konstanty je výrazně závislá na teplotě. Projevuje se v ní měnící se koncentrace a pohyblivost nositelů uvolněných z příměsových center a roli hrají rovněž nositelé, uvolnění v oblasti vlastní vodivosti.

62

1.2.1. Polovodiče Zásadní význam má studium Hallova jevu u polovodičů. Je tomu tak zejména proto, že určení Hallovy konstanty umožňuje zjištění jedné ze základních veličin daného materiálu, a to koncentrace volných nositelů náboje. Z určení znaménka Hallovy konstanty je rovněž možno posoudit, zda jsou v daném polovodiči většinovými nositeli náboje záporně nabité elektrony či kladně nabité díry, takže je možno rozhodnout, zda se jedná o polovodič typu „n“ či typu „p“. Předpokládejme, že vložíme destičku z polovodiče typu „n“ do obvodu znázorněnému na obr. 1 a,b. Obdobně jako v kovu i zde dochází k pohybu volných nositelů náboje proti směru elektrického pole a vlivem magnetického pole pak vzniká Hallovo napětí. Příslušná intenzita Hallova elektrického pole je orientována zezadu dopředu. Vzhledem k zápornému náboji elektronu je znaménko Hallovy konstanty RH v tomto případě záporné. Máme-li pak např. polovodič s koncentrací nositelů náboje n = 1026 m–3, potom dostáváme hodnotu RH = –6,25.10–8 m3A–1s–1. Předpokládejme nyní, že do příslušného obvodu vložíme polovodič typu „p“. V tomto případě budou nositeli náboje kladné díry, které se nyní pohybují zleva doprava. Podle uvedeného pravidla levé ruky se bude nyní přední povrch vůči zadnímu nabíjet kladně. Znamená to, že v obou případech jsou nositelé náboje odchylováni dopředu. V reálných polovodičích jsou však vždy přítomny jak volné elektrony tak díry.

−

−

− A

+

−

−

+ S

−

b

d

V

−

UH = 0

−

Obr. 1a. Pohyb elektronů bez vlivu magnetického pole S

B

N

+ − − A

+

− −

d

+

− −

+ S

b

UH −

V

−

Obr. 1b. Pohyb elektronů zlomek sekundy po vložení magnetického pole 63

1.2.2. Konduktivita Při studiu polovodičů je obvykle zároveň měřena konduktivita (dříve též „měrná elektrická vodivost“) ve směru vkládané intenzity elektrického pole. Tato fyzikální veličina závisí výrazně na teplotě. Při vyšších teplotách, kdy jsou pro její hodnotu určující přechody elektronů z valenčního energetického pásu do pásu vodivostního, tj. v oblasti vlastní vodivosti, platí pro závislost konduktivity na teplotě vztah Eg ) γ = γ 0 exp( − , (4) 2kT kde Eg je šířka zakázaného pásu energií (tzv. aktivační energie), k je Boltzmannova konstanta a T je absolutní teplota. Změříme-li odpor vzorku v závislosti na teplotě a znázorníme-li graficky závislost ln(1/R ) na 1/T , obdržíme v oblasti vlastní vodivosti přímku, z jejíž směrnice lze šířku zakázaného pásu energií odečíst. Pokud požijeme k výpočtu dvou bodů této přímky, lze tuto veličinu určit ze vztahu (11), kde, jak je obvyklé, je šířka zakázaného pásu energií vyjádřena v elektronvoltech. R ln 1 R2 (eV) Eg = 1,724 ⋅ 10 − 4 ⋅ 1 1 − T1 T2

.

(5)

V případě polovodičů obohacených o určitou příměs v závislosti ln(γ) – 1/T mohou být patrné dvě přímkové části. Ta, která je patrná při vyšších teplotách, odpovídá zmíněným mezipásovým přechodům nositelů náboje. Druhá, ze které lze rovněž vypočítat aktivační energii, odpovídá příměsovým prvkům, což mohou být buď donory, nebo akceptory.

1.2.3. Pohyblivost nositelů náboje Konduktivita γ je určena kromě koncentrace nositelů náboje také jejich pohyblivostí, jež je definována jako poměr mezi driftovou rychlostí nositelů příslušného typu a intenzitou elektrického pole. Při převládající koncentraci nositelů náboje jednoho typu platí γ = neµn , resp. γ = neµp , kde n resp. p jsou koncentrace volných elektronů resp. děr a µ n resp. µ p jsou jejich pohyblivosti. V obecném případě se na elektrické vodivosti podílejí oba druhy nositelů náboje, jejichž pohyblivost může být rozdílná. Pohyblivost nositelů – jedná se o tzv. Hallovu pohyblivost – může být vypočítána ze změřené Hallovy konstanty a elektrické vodivosti podle vztahu

µ H = RH γ

.

(6)

Tento vztah je platný pro oba typy elektrické vodivosti. Nepřihlíželi jsme ovšem k závislosti elektrické vodivosti na velikosti magnetické indukce.

2. POSTUP MĚŘENÍ A ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ Měření bude prováděno na aparatuře PHYWE vyobrazené na následujícím obr. 2, která obsahuje:

Obr. 2. Aparatura pro měření Hallova jevu

→ → → → → → →

desku s krystalem n – Ge (1), jež je navíc vybavena topným elementem pro zahřívání krystalu, elektromagnet (2), stojan pro uchycení desky s krystalem (3), zdroj napětí pro vyvolání proudu krystalem a pro napájení elektromagnetu (4), usměrňovač napětí pro napájení krystalu (5), měřící přístroje pro sledování proudu Ik krystalem (6), proudu IB elektromagnetem (8), napětí vkládaného na krystal (9) a Hallova napětí (10), regulátor teploty (7).

Zapojení obvodu bude provedeno trvale. Po ukončení měření obvod nerozpojujte !! Desku s krystalem ponechte trvale mezi póly magnetu!

Cena křehkého krystalu je asi 40 tis. Kč, pracujte proto s maximální opatrností! 65

Závislost magnetické indukce na proudu procházejícím magnetem, která není zcela lineární, je k dispozici u přístroje. Vyššími proudy se cívky magnetu výrazně zahřívají, proto proudy od 4 A

používejte krátkodobě !!! Proud magnetem měníme pomocí potenciometru P2 na zdroji (4). Potenciometr P3 slouží k nastavení maximálně přípustné hodnoty proudu. Teplota krystalu je měřena zabudovaným termočlánkem a nastavuje se a odečítá přímo na regulátoru (7). Konduktivitu γ určíme z rozměru krystalu a změřeného elektrického odporu. Platí: l l = γ = , (7) R ⋅ S R ⋅b⋅d kde l je délka krystalu a rozměry b, d, jsou patrné z obr. 1a resp. 1b. V našem případě jsou rozměry následující: l ≅ 16 mm, d = 1 mm, b = 10 mm.

Pracovní postup: 1) Měření teplotní závislosti konduktivity a Hallovy konstanty Při teplotě blízké pokojové a při nulovém magnetickém poli nastavíme potenciometrem (P1) pomocí měřidla (6) konstantní proud Iv vzorkem (mezi 30 až 40 mA) a na voltmetru (9) odečteme napětí Uv na vzorku. Hodnotu R elektrického odporu vzorku určíme z Ohmova zákona a ze známých rozměrů vzorku pak zjistíme jeho konduktivitu γ (viz vztah (7)) a dále vypočítáme k ní příslušnou hodnotu ln γ . Stále při nulové hodnotě magnetické indukce (IB = 0 A) zkontrolujeme údaj voltmetru (10) pro měření halova napětí UH. Pokud voltmeter ukazuje (v důsledku nedokonalých kontaktů) nenulovou hodnotu, zapíšeme ji jako U0. Poté nastavíme potenciometrem (P2) zvolenou hodnotu proudu IB magnetem (8) (např. 3 A) a odečteme údaj na voltmetru (10) jako napětí U. Příslušné Hallovo napětí je pak UH = U − U0 . Velikost B indukce magnetického pole přitom odečteme či vypočítáme z kalibračního grafu u přístroje. Následně zvyšujeme teplotu po 10 °C – 20 °C pomocí regulátoru (7) do maximální hodnoty 150 °C a výše popsané měření opakujeme. Hodnoty ale odečítáme vždy až po dostatečném ustálení teploty (cca po deseti minutách) a zapisujeme je do tabulky I.

Hodnotu 150 °C v žádném případě nepřekračujte !!! Graficky znázorněte závislost ln γ na 1/T, zjistěte její směrnici a vyčíslete hodnotu Eg aktivační energie vzorku. K jejímu výpočtu je možno použít např. i rovnici (5). Protože se při teplotách pod 100 °C uplatňuje výrazně příměsová vodivost, počítejte aktivační energii v teplotním oboru mezi 100 °C až 150 °C. Přitom nepřekračujte proud vzorkem 40 mA !!!

Po ukončení měření vraťte regulátor teploty na hodnotu 20 °C. 66

Tabulka I. Určení Hallovy konstanty a veličin s ní souvisejících v závislosti na teplotě Proud vzorkem Iv = …… A Proud magnetem IB = …… A Magnetická indukce B = …… T t [°C]

1/T [K−1]

Uv [V]

R [Ω]

γ [S]

ln γ [S]

Uo [mV]

U [mV]

UH RH 3 −1 −1 [mV] [m A s ]

n

µH [m ] [m V−1s−1] −3

2

2) Měření magnetorezistence (nepovinné) Ke studiu magnetorezistence, kterou budeme sledovat po ochlazení vzorku na pokojovou teplotu, je opět paralelně se vzorkem připojen voltmetr ke sledování napětí Uv na vzorku. Z proudu procházejícího vzorkem a napětí na vzorku určíme jeho elektrický odpor v závislosti na magnetické indukci B. Do tabulky II pak zaznamenáváme proud IB procházející magnetem, odpovídající magnetickou indukci B, napětí Uv na vzorku, vypočítaný elektrický odpor a veličinu β(B), definovanou vztahem β(B) = (RB - R0)/R0 . Tabulka II Změna elektrického odporu v magnetickém poli Proud magnetem [A]

Magnetická indukce [T]

Proud vzorkem [mA]

Napětí na vzorku [V]

67

Elektrický odpor [Ω]

(RB - R0)/R0

Studium rentgenového záření Úkol:

Ověření Duaneova –Hunteova zákona, zjištění vlnových délek charakteristického záření Cu anody a výpočet Planckovy konstanty.

Potřeby: Podle seznamu na pracovišti - zkontrolovat úplnost - podepsat převzetí

1. ÚVOD -10

Rentgenové záření je elektromagnetické záření, jehož vlnová délka je řádu angströmů

(10 m). Vzniká, je-li terč z pevné látky (anoda) bombardován svazkem elektronů o kinetické energii řádově tisíc elektronvoltů. Dělíme je na brzdné a charakteristické.

Brzdné záření vzniká náhlým nebo postupným zbrzděním urychleného elektronu v elektronovém obalu atomu anody. Při jednorázové ztrátě energie se veškerá energie elektronu vyzáří ve formě fotonu o energii, kterou elektron získal urychlením v elektrickém poli mezi katodou a anodou. Za této situace je vyzářena nejkratší vlnová délka λmin. Kromě ní je vyzařována celá škála delších vlnových délek, což odpovídá postupné ztrátě energie brzděného elektronu a záření je možno považovat za spojité (obr. 1). V případě jednorázové ztráty energie pak platí rovnice: E = eU =

hc , λ min

(1)

kde e = 1,602.10-19 C je náboj elektronu, h = 6,626.10-34J.s je Planckova konstanta a c = 2,998.108 m.s-1 je rychlost světla, U je urychlovací napětí [V]. Pro vlnovou délku λmin pak dostáváme: λ min =

hc 1 ≅ 1,24.10 − 6 [m]. eU U

(2)

Tento vztah bývá nazýván Duaneův – Hunteův zákon. Povšimněte si, že hodnota prahové vlnové délky vůbec nezávisí na materiálu anody.

Charakteristické záření vzniká tak, že elektron z vnitřní hladiny atomu anody je vyražen urychleným elektronem emitovaným katodou a na jeho místo přechází elektrony z vyšších energetických hladin. Rozdíl energií je pak vyzářen. Dostaneme spektrální série, jež jsou obdobou sérií pozorovaných u excitovaného atomu vodíku. Jestliže se přechod uskutečňuje na hladinu s hlavním kvantovým číslem n = 1, značíme ji série K , pro přechody na hladinu n = 2 dostaneme sérii L, atd. Spektrum charakteristického záření se překládá přes spektrum záření brzdného a jeho spektrální čáry (píky) ze spojitého spektra brzdného záření vyčnívají (obr. 1). V našem případě budeme určovat píky charakteristického záření pro rentgenovou lampu s měděnou anodou. Vlnovou délku charakteristického rentgenova záření umožňuje zjistit Braggova rovnice. Podle ní dochází k maximálnímu zesílení rentgenového záření na krystalové mříži, je-li splněna podmínka 2d sin ϑ = nλ ,

68

(3)

kde d je mezirovinná vzdálenost, ϑ je úhel mezi dopadajícím paprskem a krystalovou rovinou, λ je vlnová délka dopadajícího záření, n je malé celé číslo, které udává řád maxima intenzity a může nabývat jen takových hodnot, aby vlnová délka vyhovující rovnici (3) nebyla v rozporu s s rovnicí (1). Volíme-li např. urychlující napětí U = 12,4 kV, je λmin 10-10 m. Pro krystal LiF, na kterém dojde k difrakci, je d = 201 pm. Zvolíme-li úhel ϑ = 20˚, pak z rovnice (3) pro n = 1 vyplývá λ = 1,375.10-10 m. Je zřejmé, že pro n = 2 již dostaneme vlnovou délku kratší, než je λmin a tedy v daném směru při voleném napětí se šíří záření jen jediné vlnové délky. Krystal v tomto případě slouží jako monochromátor. Kα

relativní napětí intenzita

10

8

brzdné záření

6

U1 >U2

Kβ

4

2ϑmin

2

0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

úhel 2ϑ Obr.1. Spektra závislostí intenzity rentgenového záření na dvojnásobku Braggova úhlu pro dvě různá urychlující napětí

Jelikož rentgenovo záření je elektromagnetické, platí pro jeho energii Planckův vztah E = h.c/λ

(4)

S pomocí Braggovy rovnice pak můžeme psát sin ϑmin = h.c/2.d.E

(5)

a s ohledem na vztah E = e.U můžeme napsat rovnici sin ϑmin =

h.c 1 1 ⋅ = a⋅ , kde a = h.c/2d.e 2.d .e U U

(6)

Hodnotu a můžeme určit jako směrnici experimentálně zjištěné přímkové závislosti sin ϑmin - 1/U a Planckovu konstantu vypočítat ze ze vztahu h = a⋅

2.d .e . c

2. POPIS APARATURY Měření bude prováděno na aparatuře PHYWE (viz obr. 2), která obsahuje: - zdroj rentgenového záření, - krystal, na kterém dochází k difrakci, - ovládací prvky k nastavení polohy krystalu - ukazatele polohy krystalu a difraktovaného paprsku, - Geiger – Müllerovu trubici a s ní spojený čítač impulsů, - regulační systém k nastavení urychlujícího napětí, - automatické vypínání urychlujícího napětí při otevření ochranného krytu. 69

(7)

Intenzita záření se měří pomocí Geiger – Müllerovy trubice, která registruje elektrické pulzy doprovázející generaci iontů přítomného plynu. Jejich počet za jednotku času, který je úměrný intenzitě rtg záření, lze měřit pomocí Geiger-Müllerova čítače (Phywe Geiger- Müller Zahler/GM Counter). S pomocí zařízení Phywe Impulsratenmesser / Pulse Rate Meter (obr. 3) je možno počet impulsů za jednotku času převádět na ss napětí, jehož hodnota je úměrná intenzitě rtg záření, a které lze po digitalizaci zpracovávat počítačem. Tato varianta bude v této úloze používána.

Ukazatel polohy krystalu

Clonka na zdroji rtg záření

G-M trubice s ukazatelem polohy Krystal

Ovládací panel (viz obr. 2)

Čítač impulsů

1 1) 2) 3) 4) 5)

2

3

4

5

diplej čítače impulsů (GM Counter) start/stop registrace impulsů nulování nastavení doby registrace vypínač zvukové indikace

Obr. 2. Rentgenová aparatura PHYWE

4 3 2 5

1

Obr. 3. Impulsratenmesser / Pulse Rate Meter 70

1) 2) 3) 4) 5)

výstup stejnosměrného napěťového signálu vypínání/zapínání zvuku časová konstanta (Zeitkonstante) rozsah (Bereich) vstup signálu od rtg přístroje

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10 11 12

Obr. 4. Ovládací panel rtg přístroje 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

Ukazatel urychlovacího napětí Snižování/zvyšování urychlovacího napětí Rychlost otáčení krystalu (V1 minimální) Zvětšování úhlu ϑ Zmenšování úhlu ϑ Nastavení vodorovné polohy obou ukazatelů Automatické otáčení krystalu Způsob ovládání ukazatelů úhlu Výstup pro registrační přístroj Přepínač elektronické registrace úhlu nastavení GM trubice nebo krystalu Vstup pro napětí k měření změny vodivosti plynu vlivem rtg záření Výstup pro čítač GM trubice

POSTUP PRÁCE A) Měření charakteristického záření rtg lampy s Cu anodou.

Určete úhlyϑ odpovídající píkům charakteristického záření. Vypočítejte jeho vlnové délky a energii odpovídající pozorovaným přechodům. Výsledky porovnejte s tabelovanými hodnotami. Měření proveďte pro urychlující napětí 11 a 15 kV.

Přípravné práce 1) Zapnout počítač (učitel zadá heslo), upravit jas displeje 2) Spustit program Logger Lite 1.4 3) Zapnout datalogger Vernier LABQUEST 4) Nastavit parametry měření a grafu - v menu Experiment vybrat Data Collection a nastavit dobu měření Length na hodnotu 90 sec - v menu Options (po předchozím kliknutí do grafu) vybrat Graph Options… a následně otevřít Axes Options a nastavit time na hodnoty od 0 do 90 sec. V kolonce Scaling vybrat Manual - v menu pro osu Y nastavit napětí (Potential) od 0 do 10 V (Bottom 0 V, Top 10 V) – toto napětí je úměrné počtu impulsů za sekundu resp intenzitě záření 71

5) Při uzavřeném předním krytu zapnout měřící přístroje (Impulsratenmesser a rtg aparaturu) 6) Na čítači (IMPULSRATEMESSER) nastavit - BEREICH 103 - ZEITKONSTANTE 0,5 7) Na rtg aparatuře nastavit tlačítky 4 event. 5 při nulovém napětí ( 0 kV) !!! úhel 10° pro G-M trubici (tj. 5° pro krystal) Urychlující napětí lze nejrychleji snížit na 0 kV pootevřením předního krytu. 8) Nastavit rychlost otáčení na V2 (tlačítko 3) 9) Nastavit urychlující napětí na 15 kV (tlačítka 2)

Doporučené hodnoty bezpodmínečně dodržujte ! Zahájení měření 10) Na obrazovce klikněte na zelené tlačítko Collect Na obrazovce začne časový záznam intenzity záření. Jakmile dosáhne hodnotu 10s stiskněte tlačítko (7) AUTO na rtg aparatuře. 11) Protože úhel sondy se automaticky zvětší konstantní rychlostí od 0° na 90° za cca 90 sec, lze v tomto případě pokládat časovou závislost za úhlovou závislost (přesněji platí 90° = 88 s) Záznam se ukončí automaticky do dosažení 90 s. 12) Klikněte na ikonu Store, čímž se stopa záznamu na obrazovce ztenčí a je možno zaznamenat další měření 13) Pro urychlující napětí 11 kV proveďte měření podle bodů 5 až 11 14) S pomocí kurzorů (po konzultaci s učitelem) určete časy (úhly), při kterých nastávají maxima charakteristického záření a zapište je do tabulky I. Kromě toho odečtěte a zapište i (časy) úhly 2 ϑ min při kterých začíná brzdné záření vypočítejte odpovídající energii. 15) Exportujte záznam na flashdisk (File, Export as…) jako InspireData (CSV) event. uložte pod svým jménem na HD počítače (do Experiments). Pro zpracování dat v Excelu je nutné změnit české prostředí (místní jazykové nastavení) na anglické (USA). Případné další měření podle instrukcí učitele.

Mějte stále na paměti, že při G-M trubici v poloze menší než 3° musí být napětí na nule!!! (pokud není vložena stínící clonka) Do programu Logger Lite nijak nezasahujte!!! Tabulka I. U, kV

2 ϑ , /°

sin ϑ

λ, 10-10 m

Eexp, eV

11 15

72

Etab, eV

spektr. čára

B) Ověření Duaneova – Huntova zákona.

Najděte pro urychlující napětí 10 kV – 20 kV úhel ϑmin při kterém začíná být emitováno brzdné záření. 1) Nastavit parametry měření a grafu - v menu Experiment vybrat Data Collection a nastavit dobu měření Length na hodnotu 43 sec - v menu Options (po předchozím kliknutí do grafu) vybrat Graph Options… a následně otevřít Axes Options a na ose X nastavit time na hodnoty od 0 do 90 sec (Left 0; Right 90). V kolonce Scaling vybrat Manual - v menu pro osu Y nastavit napětí (Potential) od 0 do 10 V (Bottom 0 V, Top 10 V) 2) Na čítači (IMPULSRATEMESSER) nastavit - BEREICH 103 - ZEITKONSTANTE 0,5 3) Na rtg aparatuře nastavit tlačítky 4 event. 5 při nulovém napětí ( 0 kV) !!! úhel 10° pro G-M trubici (tj. 5° pro krystal) Urychlující napětí lze nejrychleji snížit na 0 kV pootevřením předního krytu. 4) Nastavit rychlost otáčení na V2 (tlačítko 3) 5) Nastavit pomocí tlačítek (2) urychlující napětí na 10 kV

Doporučené hodnoty bezpodmínečně dodržujte ! Zahájení měření 6) Na obrazovce klikněte na zelené tlačítko Collect. Na obrazovce začne časový záznam intenzity záření. Jakmile dosáhne hodnotu 10s stiskněte tlačítko (7) AUTO na rtg aparatuře. 7) V tomto případě platí přibližně 1 sec = 1° . (přesně 90° = 88 s) Záznam se ukončí automaticky do dosažení 43 s. 8) Klikněte na ikonu Store, čímž se stopa záznamu na obrazovce ztenčí a je možno zaznamenat další měření 9) Pro urychlující napětí 10, 12, 14, 16, 18 a 20 kV proveďte měření podle bodů 5 až 10 10) S pomocí kurzorů (po konzultaci s učitelem) určete pro jednotlivé závislosti hodnoty mezního Braggova úhlu θmin (při kterém se začíná projevovat brzdné záření) 11) Exportujte záznam na flashdisk (File, Export as…) jako InspireData (CSV) event. uložte pod svým jménem na HD počítače (do Experiments). Pro zpracování dat v Excelu je nutné změnit české prostředí (místní jazykové nastavení) na anglické (USA).

Případné další měření podle instrukcí učitele. Výsledky měření zaznamenáme do Tabulky II. Z nalezeného úhlu ϑmin , při kterém začíná být emitováno brzdné záření, vypočteme z rovnice (3) vlnovou délku λexp min a porovnáme ji s vlnovou délkou teoretickou λmin , určenou z rovnice (2). Obdobný výpočet provedeme pro energii E.

73

Tabulka II. U, kV

2 ϑmin , /° sin ϑmin

-10 -10 λexp m λexp m min , 10 min , 10

Eexp, eV

Eteor, eV

10 12 . . 20

C) Stanovení Planckovy konstanty exp −1 Nakreslete grafy závislostí λexp ) . Určete směrnici a s jejíž pomocí vypočtěte min (U ) a λ min (U Planckovu konstantu.

74

Difrakce světelného záření a elektronů Úkol:

Pozorovat a měřit difrakci světla a difrakci elektronů.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. Ú V O D Při průchodu vlnění otvorem nebo kolem překážky se často setkáváme s tím, že vlnění (bez ohledu na jeho podstatu) se více či méně šíří i do míst, kam by se podle zákonů geometrické optiky šířit nemělo (tedy do oblasti geometrického stínu). Nastává ohyb neboli difrakce vlnění, jev, jehož podstatu vysvětluje Huygensův princip. Zjednodušeně řečeno, každý bod vlnoplochy, která dospěla k překážce, je zdrojem elementárního vlnění, které se šíří všemi směry, tedy i do prostoru za překážku. Za ní dochází k interferenci vedoucí ke zvětšení, případně ke zmenšení amplitudy výsledného vlnění, což se v případě monochromatického (monofrekvenčního) vlnění projevuje na stínítku umístěným překážkou vznikem difrakčních (ohybových) obrazců v podobě světlých a tmavých proužků různé šířky. Interferující svazky vlnění musí být ovšem koherentní.

Difrakční obrazec na kruhovém otvoru

Difrakční obrazec na hraně

Paprsk

Obecně platí, že difrakce souvisí jak s rozměrem překážky, tak s vlnovou délkou dopadajícího vlnění. Pro případ šíření otvorem je to schematicky znázorněno na následujícím obrázku. Některé zákonitosti budou stručně diskutovány při popisu konkrétních úloh, úplnější popis pak naleznete v učebnicích fyziky.

a

Rovinné vlnoplochy

λ << a

λ≈a

75

λ >> a

Podle charakteru šíření vlnění za překážkou rozlišujeme difrakci Fresnelovu (v těsné blízkosti překážek) a difrakci Fraunhoferovu. V rámci této úlohy se budeme zabývat jen Fraunhoferovou difrakcí, která probíhá v dostatečně velké vzdálenosti mezi clonkou a rovinou pozorování a týká ohybu svazku rovnoběžných paprsků s rovinnými vlnoplochami. Podle fyzikální podstaty lze vlnění rozdělit do tří skupin: na vlnění mechanické (např. zvuk), vlnění elektromagnetické (např. světlo) a na hmotové de Broglieovy vlny (např. pohybující se elektrony). V této laboratorní úloze se budeme zabývat právě posledními dvěma druhy vlnění.

A) Difrakce světla na optické mřížce Úkol:

Pozorovat ohyb světla na štěrbině proměnné šířky a změřit mřížkovou konstantu optické mřížky pomocí difrakce monochromatického světla.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. ÚVOD Při šíření světla v blízkosti překážek nastává jev nazývaný ohyb nebo difrakce světla. Světlo se šíří za překážkou i do míst, kam by se při přímočarém šíření podle zákonů geometrické optiky nemělo dostat. Příčinou je vlnová povaha světla, platnost Huygensova principu a interference světelných paprsků z různých míst základní vlnoplochy. Vzhledem k malé vlnové délce viditelného světla jsou ohybové jevy výrazné pouze při překážkách malých rozměrů nebo při pozorování v dostatečné vzdálenosti za překážkou.

b δ

α Obr. 1

Případ ohybu světla na štěrbině je znázorněn na obr. 1. Na štěrbinu o šířce b dopadá kolmo rovnoběžný svazek paprsků monochromatického (monofrekvenčního) světla vlnové délky λ . Podle Huygensova principu vycházejí z každého bodu štěrbiny paprsky na všechny strany. Pokud pro dráhový rozdíl krajních paprsků štěrbiny platí δ = b sin α k =

λ (2k + 1) 2

k = 0,1,2,3 …

,

(1)

pak ve směru úhlů, pro něž je splněna podmínka sin α k =

λ (2k + 1) 2b

k = 0,1,2,3, … řád maxima,

(2)

vznikají okolo centrálního tzv. hlavního interferenčního maxima (α = 0) tzv. maxima vedlejší, jejichž intenzita s rostoucím úhlem rychle klesá.

76

Soustava velkého počtu rovnoběžných stejně vzdálených velmi tenkých štěrbin se nazývá difrakční (optická) mřížka. Může to být např. planparalelní skleněná destička pokrytá velkým počtem pro světlo neprůchozích vrypů, oddělených průhlednými proužky (štěrbinami). Vzdálenost mezi štěrbinami se nazývá mřížková konstanta (perioda mřížky). Hustota štěrbin, tj. jejich počet na 1 mm činí pro případ viditelného světla řádově 102 – 103. Je-li mřížka osvětlena rovnoběžným svazkem paprsků, dopadajícím na ni kolmo, je dráhový rozdíl paprsků vycházejících pod stejným úhlem α z různých štěrbin δ = d.sin α (viz obr. 2). Tyto paprsky se maximálně zesilují ve směrech, jež jsou určeny úhly αk splňujícími podmínku sin α k =

λ k d

k = 0,± 1, ±2, ±3, …

(3)

V těchto směrech tedy vznikají interferenční maxima, která jsou tím ostřejší, čím je větší hustota štěrbin. Číslo k se nazývá řád maxima. Dopadá-li na mřížku bílé světlo, je maximum nultého řádu bílé zatímco ve vedlejších interferenčních maximech pozorujeme rozklad světla. d δ α

d

α

δ α

δ

Obr. 2

2. PRINCIP MĚŘENÍ

Zdroj světla Mřížka ev. štěrbina l >> d,b α2 k= 2

1

α1 0

r1

1

r2

2

Stínítko

K pozorování a měření difrakce světla použijeme zařízení uspořádané podle schématu na vedlejším obr. 3. Zdroj světla vysílá rovnoběžný svazek paprsků koherentního monochromatického světla známé vlnové délky. Paprsek prochází kolmo buď štěrbinou měnitelné šířky b, nebo optickou mřížkou s mřížkovou konstantou d, jejíž hodnota má být určena. Po průchodu štěrbinou event. mřížkou dopadá světlo na stínítko ve vzdálenosti l od mřížky, na němž můžeme pozorovat hlavní a vedlejší maxima vzniklá interferencí.

Obr. 3.

77

U difrakční mřížky lze pro výpočet její mřížkové konstanty využít rovnici (3) upravenou do tvaru d=

λ ⋅k sin α k

.

(4)

Šířku štěrbiny pak lze vypočítat na základě úpravy vztahu (2) jako b=

λ ⋅ (2k + 1) 2 sin α k

.

(5)

Úhel αk lze vypočítat na základě podobnosti trojúhelníků (viz obr. 1,2,3) s využitím vztahu tgα k =

rk l

.

(6)

Pokud je ovšem úhel αk malý (menší než cca 10°) lze mřížkovou konstantu vypočítat přibližně také podle rovnice λl d= ⋅k . (7) rk

3. POSTUP MĚŘENÍ

LASER

K měření použijte aparaturu sestavenou na vertikálním stojanu (obr. 4), v níž je zdrojem světla laserové ukazovátko vysílající tenký prakticky rovnoběžný svazek červeného světla s vlnovou délkou λ = 635 nm.

ŠTĚRBINA

MŘÍŽKA NOSIČ STOJAN

STÍNÍTKO

Přestože používaný laser má velmi nízký výstupní výkon (<1 mW) vyvarujte se přímého pohledu do zdroje světla! S laserem vysílajícím světelný paprsek kolmo dolů proto nijak nemanipulujte! Do směru paprsku nevkládejte lesklé předměty, od nichž by mohlo dojít k zrcadlovému odrazu!

Obr. 4.

78

Difrakce na štěrbině

1. Uzavřete štěrbinu nastavením bočního mikrometrického šroubu na nulu. 2. Při vypnutém laseru posuňte štěrbinu do výšky cca 60 cm nad stínítkem a změřte tuto vzdálenost 3. 4.

5. 6.

l co nejpřesněji pásmovým metrem. Po zapnutí laseru zkontrolujte míří-li světelný paprsek na střed štěrbiny. Otáčením mikrometrického šroubu pomalu otevírejte štěrbinu a pozorujte difrakční obraz na stínítku. Pozorované změny kvalitativně popište. Pootevřete štěrbinu tak, aby vznikl ostrý difrakční obrazec s více maximy, zapište šířku štěrbiny (podle údaje na mikrometrickém šroubu) a změřte na stínítku vzdálenost rk několika maxim od středu obrazce (nejlépe tak, že změříte vzdálenost dvou maxim stejného řádu umístěných symetricky vůči nultému maximu a vypočtete průměrnou hodnotu). Zmenšete postupně výšku štěrbiny nad stínítkem dvakrát o cca 20 cm a opakujte měření podle předchozího bodu. Spočítejte šířku štěrbiny b a vypočítanou hodnotu porovnejte s údajem šířky podle nastavení mikrometrického šroubu.

Difrakce na mřížce

1. Otáčením mikrometrického šroubu otevřete štěrbinu na maximum (cca 3 mm), aby mohl laserový 2. 3. 4. 5. 6. 7.

paprsek volně procházet. Nosič mřížky nastavte do výšky cca 15 cm nad stínítkem (na výšce laseru ani mřížky přitom nezáleží!). Na nosič položte rámeček s difrakční mřížkou (podle zadání učitele) a změřte co nejpřesněji vzdálenost mřížky od stínítka. Zapněte laser a změřte vzdálenost jednoho či více (pokud je to možné) difrakčních maxim od centra obrazce. Změňte výšku mřížky nad stínítkem a měření opakujte (celkem proveďte měření pro tři různé výšky). Spočítejte mřížkovou konstantu podle rovnic (4) a (7) a výsledky porovnejte. Spočítejte průměrnou hodnotu všech měření a z ní vypočítejte hustotu štěrbin na mřížce. Porovnejte počet pozorovaných interferenčních maxim mřížky s teoreticky maximálně možným počtem (resp. maximálně možný řád spektra) pro zjištěnou mřížkovou konstantu a danou vlnovou délku.

Při měření vzdálenosti interferenčních maxim je účelné položit na stínítko bílý list papíru, na kterém se poloha maxim vyznačí a pak po vypnutí laseru pohodlně změří. Při všech délkových měřeních posuďte účelnost jejich opakovaného provádění a statistického vyhodnocení za účelem dosažení co nejpřesnějšího výsledku. Výsledky zpracovávejte přehledně to tabulek.

79

B) Difrakce elektronů na krystalové mřížce Úkol:

Změřit s pomocí elektronové difrakce mezirovinné vzdálenosti v polykrystalickém grafitu.

P o t ř e b y : Viz seznam v deskách u úlohy na pracovním stole.

1. ÚVOD Hypotézu, že nejen fotony ale i ostatní částice mikrosvěta (a konec konců i tělesa z nich vytvořená) se mohou při pohybu chovat zároveň jako vlny, vyslovil v roce 1924 francouzský fyzik Louis de Broglie (čti de broj). Znamená to například, že pohybující se elektrony projevují takové vlastnosti jako je difrakce a interference. Experimentálně bylo toto spojení vlnových a částicových vlastností, tzv. korpuskulárně vlnový dualismus, potvrzeno v roce 1927 při pozorování interakce urychlených elektronů s monokrystalem niklu. Podle de Broglieovy hypotézy platí pro částice nenulové hmotnosti pohybující se rychlostí v λ=

h h = p m.v

,

(1)

kde m je hmotnost částice (buď klidová, nebo – při vysokých rychlostech – relativistická), h je Planckova konstanta. K tomu, aby došlo k difrakci a ke vzniku interferenčních maxim, je nutné, aby vlnová délka λ vlnění byla srovnatelná se vzdálenostmi d stavebních částic krystalové mřížky (tj. řádově 10–10 m). Maxima potom vznikají, podobně jako při difrakci paprsků X, je-li splněna Braggova podmínka 2.d.sinθ = k.λ

, k = 1,2,….

,

(2)

kde θ je úhel mezi rovinou obsazenou atomy a elektronovým svazkem. K získání svazku elektronů s dostatečně krátkou vlnovou délkou je nutné elektrony urychlit v elektrickém poli, přičemž platí λ=

h = me v

h 1,225 = 2emeU U

[nm]

,

(3)

jestliže napětí U dosazujeme ve voltech. Při znalosti vlnové délky elektronového svazku lze z polohy interferenčních maxim určovat parametry (mezirovinné vzdálenosti) krystalové mřížky, na které dochází k difrakci a naopak.

2. PRINCIP MĚŘENÍ K pozorování difrakce elektronů na krystalické mřížce použijeme uspořádání podle obr. 1 na následující straně.

80

Evakuovaná baňka obsahuje žhavenou katodu K jako zdroj elektronů, systém mřížek G pro úpravu elektronového paprsku a urychlovací anodu A. Paprsek elektronů prochází po urychlení na požadovanou rychlost zkoumaným vzorkem, v našem případě polykrystalickým grafitovým filmem a difraktované elektrony dopadají na fluorescenční stínítko S v kulovité části baňky o poloměru R = 65 mm.

S A

K

Obr. 1

Pro polykrystalické materiály je typické, že v důsledku nahodilého uspořádání individuálních vrstev vůči paprsku elektronů vytvářejí dopadající elektrony na stínítku obrazec interferenčních maxim v podobě soustředných kruhů (obr. 2). Jejich poloměry rk umožňují vypočítat hodnoty mezirovinných vzdáleností d, tj. vzdálenosti mezi rovinami obsazenými atomy vzorku podle rovnice 2R d= ⋅ k. λ . (4) r

Obr. 2.

d2 d1

d1

Obr. 3.

V našem, případě se jedná o mezirovinné vzdálenosti d1 a d2, jež jsou „odpovědné“ za vnik dvou intenzívních interferenčních kruhů odpovídajících maximům prvního řádu (viz obr. 3). Intenzita interferenčních kruhů vyšších řádů je mnohem nižší a v pozorovaném uspořádání jsou prakticky nerozlišitelné. Některé kruhy navíc splývají. V tabulce jsou pro ilustraci uvedeny teoeretické hodnoty poloměrů ri (mm) odpovídající různým mezirovinným vzdálenostem di (obr. 4) a různému řádu k při urychlovacím napětí UA = 7 kV.

81

Teoretické poloměry r (mm)

difrakčních kruhů při anodovém k=1 k=2 k=3 k=4 d1 d2 d3 d4

? ? 23,2 31,0

17,7 29,9

26,1

d4

34,1

Mezirovinné vzdálenosti v grafitu d3 = 80,5 pm d4 = 59,1 pm d5 = 46,5

d5

d3

d2

d1

Obr. 4

3. POSTUP MĚŘENÍ K měření použijeme aparaturu PHYWE pro pozorování elektronové difrakce sestavenou podle obr. 5. ( s

propojovacími kabely nemanipulujte !!! ) G4

G1

Zdroj žhavícího a mřížkového napětí

Zdroj a měřidlo anodového napětí Ovladač anodového napětí Elektronová trubice se vzorkem Stínítko

Obr. 5.

Pracovní postup:

1. Po kontrole správného propojení kabelů učitelem nastavte ovladače mřížkového napětí G1 na 2. 3. 4. 5. 6.

hodnotu cca 30 V , napětí G4 na hodnotu cca 200 V, anodové napětí na nulu a zdroje zapněte (vypínače jsou na zadní straně). Nastavte hodnotu anodového napětí na 4 kV a upravte hodnoty napětí na mřížkách G1 a G4 tak, aby difrakční obrazec byl přiměřeně jasný a co nejostřejší. Určete průměr dvou nejmenších difrakčních kruhů tak, že posuvným měřítkem (z umělé hmoty!) změříte jejich vnitřní a vnější průměr a vypočítáte průměrnou hodnotu. Proveďte další měření při zvyšování anodového napětí po 0,5 kV až do hodnoty 7,5 kV a výsledky přehledně zapisujte do tabulky. Vypočítejte z anodového napětí příslušné vlnové délky, jim odpovídající mezirovinné vzdálenosti d1 a d2, jejich průměrnou hodnotu chybu měření. Graficky znázorněte závislosti poloměru r na vlnové délce λ a pokuste se využít tyto závislosti k výpočtu mezirovinných vzdáleností di .

82

Poznámky:

-

Viditelnost difrakčních kruhů vyšších řádů závisí na intenzitě okolního osvětlení v laboratoři a jas a kontrast obrazce může být ovlivněn napětím na mřížkách G1 a G4.

-

Jasná skvrna v centru stínítka má nepříznivý vliv na fluorescenční vrstvu. K potlačení tohoto vlivu snižujte intenzitu obrazce ihned po každém vyhodnocení (zvýšením napětí na mřížce G1).

83