ARIP3 Cv 9 Celá čísla, početní výkony s celými čísly Příklady: 1. Určete, za jakých podmínek je rozdíl čísel a, b číslo přirozené.
a − b dvou přirozených
Zavedeme obor celých čísel - jsou to například čísla: ….,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … (jedná se o čísla přirozená, nulu a záporná celá čísla). Celá čísla umožňují vyjádřit změny počtů objektů, jejich porovnání, změny jejich stavů apod. Pro množinu celých čísel používáme označení pro množinu přirozených čísel označení N . Platí N ⊂ Z ( N je podmnožinou Z ).
Z,
2. a) Uveďte příklady celých čísel, která nejsou přirozenými čísly. b) Nakreslete Vennův diagram pro množiny celých a přirozených čísel. c) Rozhodněte, zda každé přirozené číslo je zároveň číslo celé. d) Rozhodněte, zda každé celé číslo je zároveň číslo přirozené. Pro každá tři celá čísla
a , b, c
platí:
Součet a + b je celé číslo. Součin a.b je celé číslo. Rozdíl a − b je celé číslo.
(U)
(a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) a + (b + c ) = (a + b ) + c a+b = b+a a ⋅b = b⋅a 0+a = a 1⋅ a = a a (b + c ) = ab + ac
(A) (K) (N) (D)
3. Vypočtěte: a) 24 − 45 , b)
− 16 + 37 ,
4. Vypočtěte: a) 12 ⋅ ( −3) b)
c)
( −7).(−12) ,
− 19 + (−21) c)
d)
− 28 − (−39)
( −6).(−15).(−20)
Čísla navzájem opačná: Ke každému celému číslu
a
existuje číslo
( −a ) takové, že platí
a + ( −a ) = 0 . Čísla a , ( −a ) se nazývají čísla navzájem opačná.
5. Doplňte tvrzení: a) Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo ……………. b) Opačné číslo k číslu ………...………. je číslo kladné. c) Opačné číslo k číslu zápornému je číslo ……………. d) Opačné číslo k číslu 0 je číslo ………… 6. Rozhodněte, zda výraz ( − x ) nabývá vždy záporné hodnoty, jestliže proměnná x je libovolné celé číslo. 7. Určete čísla opačná k číslům: a) 5 , b) − 13 , c) 0 , d) − (7 + 13) , e) 8. Vypočtěte zpaměti: a) 8 − ( −7) − (7 − 9) , b)
(14 − 9).(9 − 14) , e) ( −3).(−7) − 15 : 3 , g) 3 ⋅ 125 − 5 ⋅125 ,
c)
d) f) h)
− (2 ⋅16) , f) ( 2 − 7)
− 9 − ( −3) − (5 − 17) , (13 + 12).(12 − 13) , 24 : 6 − 8 , (7 − 3).314 + (6 − 11).314 .
9. Seřaďte daná čísla od nejmenšího k největšímu: a) 6, − 3, − 6, 3 b) − 10, 7, 0, − 3, 2 .
10. Znázorněte celá čísla na číselné ose a demonstrujte na ní následující operace s celými čísly: a)
7 − 4,
f)
− 6 + 4,
b)
3 − 5, g)
c)
− 2 + 7 , d) − 3 − 4 ,
− 3 + (−2) ,
h)
5 + (−8) ,
i)
e)
0 − 5,
−4+4
Motivační příklady k zavedení celých čísel a k vysvětlení operací s nimi: • Údaje na teploměru v Celsiově stupnici, rozdíly teplot, možné činnosti při daných teplotách (možno nechat žáky vyrobit papírový model teploměru). • Dluhy a výpůjčky peněz, jejich splácení, případné další půjčování. • Rozdíly mezi nadmořskou výškou míst na povrchu Země a míst pod hladinou moře. • Stav zásob ve skladu nějaké obchodní firmy, pokud je objednávka vyšší než aktuální zásoba. • Změny směru a změny velikosti rychlosti přímočarého pohybu (motivace pro násobení záporným číslem). • Znázorňování bodů v kartézské soustavě souřadnic (případně míst na zemském povrchu v zeměpisných souřadnicích). 11.
Vypočtěte výsledné teploty: a) Venku svítí sluníčko a je +27°C . Když slunce zajde za mrak, poklesne teplota to 3°C . b) Ráno bylo 5°C , pak se ale ochladilo, začalo sněžit a teplota poklesla o 5°C . c) Na Lipně bylo v sobotu odpoledne −3°C , přes don ale klesla teplota o 8°C . d) Na Špicberkách naměřili v lednu −19°C , v únoru se teplota zvýšila o 7°C .
12. Martina si půjčila od bratra Petra 570 Kč na vánoční dárky. Petr jí připravil splátkový kalendář ve třech variantách: a) Pokud bude splácet 50 Kč měsíčně, může si poslední splátku ponechat. b) Pokud bude splácet 30Kč měsíčně, nebude po ní chtít žádnou odpěnu za půjčení. c) Pokud bude splácet 20 Kč měsíčně, bude odměna za půjčení 30 Kč. Kolik měsíců bude Martina splácet půjčku v jednotlivých případech? 13. Mariánský příkop je nejhlubší místo zemského povrchu. Leží na 11°21′ s.š. a 142°12′ v.d. poblíž ostrova Guam v Mariánských ostrovech. Jeho hloubka je 11 034 m pod hladinou severního tichého oceánu. Jaký je význam zeměpisných souřadnic? Jak byste Mariánský příkop hledali na mapě světa? Jaký je rozdíl mezi nejhlubším a nejvyšším místem zemského povrchu?
14. Majitel obchodu s elektronikou měl v pátek na skladě 60 DVD. První zákazník koupil 40 DVD, pak přišel student a koupil 5 DVD, po něm přišel člověk z reklamní agentury objednat 50 DVD. Kolik DVD musí majitel obchodu objednat, chce-li mít po vyřízení objednávky na skladě 50 DVD? 15. Chlapec si hraje s elektrickým vláčkem s dálkovým ovládáním. Může měnit směr pohybu dopředu a dozadu a také rychlost jízdy. Nejprve jel vláček rychlostí v = 0,1 m/s dopředu, pak změnil směr jízdy a jel dvakrát větší rychlostí dozadu, pak opět změnil směr a ztrojnásobil svou rychlost. Jakým směrem a jakou rychlostí nakonec jel? 16. Vyznačte na časové ose příslušné údaje a vypočtěte, jakého stáří se dožily historické osobnosti: a) Caesar (100 př.n.l. – 44 př.n.l.) b) Augustus (63 př.n.l. – 14. n.l.) c) Marcus Aurelius (121 n.l. – 180 n.l.) 17. Dne 18.2. byla v Kodani naměřena teplota tabulku:
Město Rozdíl proti Kodani Výsledná teplota Brno +2°C Oslo −3°C Madrid +15°C Tunis +17°C Paříž +9°C Londýn +4°C Stockholm −7°C Rijád +21°C Nairobi +27°C
−3°C . Doplňte
18. Vypočtěte: a) −( −5) − ( −19) + ( −17) + 2 ,
4 − (−17) − (−5 + 2) − 21, c) −11 − ( −19) + ( −15 − ( −3)) , d) ( −19 + 2) − 7 − ( −8 + 13) , e) −( −8 + ( −7) − (10 − ( −7))) , f) ( −9 + 2 − 7) − ( −3 + 2 − 13) .
b)
19. Doplňte čísla do tabulky tak, aby součet čísel ve všech řádcích, sloupcích i obou úhlopříčkách byl stejný: 1 -5 -7
-9 20. Vypočtěte: a) ( −20) ⋅ 20 ⋅ ( −20) , b) d)
( −34) ⋅ (−6) , c) 15 ⋅ (−56) , ((−144) : (−12)) : (−3) , e) ( −72) : (( −21) : (−7)) .
21. Doplňte pyramidu, pokud v každé kolonce je součet kolonek z předchozí řady pod ní: xxxxx xxxxx xxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 4,2 xxxxx xxxxx 2 xxxxx xxxxx -3,7 xxxxx -1,3 xxxxx xxxxx 0,8 xxxxx xxxxx
xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx
22. Vypočtěte a) (−11,7 + 4,6) ⋅ (−6,4 − (−4,4)) , b) c)
−8,1 − (−7,3 − (−4,5))
(−3 − (−9)) (4 + (−16)) , d) ( −7 − ( −3)) ( −15 − 3) − : (−8) (−5 − (−15) (−8 − 4) −( −5 + (−19))
