MODEL PEREDAMAN GELOMBANG LAUT YANG MENYEBABKAN EVOLUSI TERHADAP WILAYAH PANTAI Skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Progam Studi Matematika
Oleh : Ahmad Bahrul Ms 4150404023
MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2009
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa isi skripsi ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya yang diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dirujuk dalam skripsi ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Semarang, Februari 2009
Ahmad Bahrul Ms NIM. 4150404023
ii
PENGESAHAN Skripsi ini telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada Hari
:
Tanggal
: Panitia Ujian
Ketua
Sekretaris
Drs. Kasmadi Imam S, M.S. NIP. 130781011
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd. NIP. 131693657
Penguji
Isnaeni Rosyida, S. Si, M. Si. NIP. 132205927
Penguji/Pembimbing I
Penguji/ Pembimbing II
Drs. Moch. Chotim, M.S NIP. 130781008
Dr. St. Budi Waluya NIP. 132046848
iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto: 1. Pergunakanlah baik-baik lima hal sebelum datangnya lima hal. Yaitu masa mudamu sebelum masa tuamu, sehatmu sebelum sakitmu, kekayaanmu sebelum miskinmu, waktu luangmu sebelum waktu sibukmu, dan hidupmu sebelum matimu. 2. Dan janganlah kamu berputus asa, sesungguhnya putus asa adalah sahabat dari setan. Teruslah berusaha untuk cita-citamu. 3. Berdoa’alah kamu untuk akhiratmu dan bekerjalah kamu untuk duniamu seakan-akan kamu akan mati besok.
Persembahan:
Kupersembahkan skripsi ini dengan sepenuh cinta karena Allah kepada: Kedua orangtuaku: Isro’dan Khoiriyah atas pengorbanan tulus yang selama ini mereka curahkan. Untuk adik-adikku: Fadlilah Malik, Abu Thoyyib, dan Khosyi Falaqiya yang selalu menjadi pendukung diriku. Kupersembahkan pula buat nenekku: Hj. Salamah yang selalu memberiku dukungan dalam belajar. Juga semua pihak yang turut membantu atas selesainya Skripsi ini.
Semoga karya ini dapat menjadi pemicu dalam mengukir berjuta prestasi yang diridhoi-Nya, amin.
iv
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat Rahmat, Hidayah dan Karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Model Peredaman Gelombang Laut yang Menyebabkan Evolusi terhadap Wialayah Pantai” sebagai syarat mendapat gelar Sarjana Sains. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis mendapat dukungan, bantuan dan bimbingan dari beberapa pihak. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1.
Prof. Dr. Soedijono Sastroatmojo, M.Si, Rektor Universitas Negeri Semarang (UNNES).
2.
Drs. Kasmadi Imam S, M.S, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) UNNES.
3.
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.
4.
Drs. M. Chotim, M.Si, Dosen Pembimbing Utama Skripsi.
5.
Dr. ST. Budi Waluya, M. Si, Dosen Pembimbing Pendamping Skripsi.
6.
Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal ilmu yang tak ternilai selama belajar di Jurusan Matematika.
7.
Ayah dan Ibu tercinta atas doa dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
8.
Sahabat-sahabatku di Cost Fress yang telah memberi semangat dan dorongan dalam penulisan Skripsi ini.
9.
Teman-teman
angkatan
2004
matematika
v
yang
selalu
meberikan
kebersamaan dan semangat belajar untuk menyelesaikan Skripsi ini. 10. Semua pihak yang telah ikut memberikan semangat pada diriku untuk berjuang dalam menyelesaikan Skripsi. Penulis menyadari Skripsi ini masih jauh dari sempurna dan banyak kekurangannya. Untuk itu dengan segala kerendahan hati penulis akan menerima segala kritik dan saran demi kesempurnaan penulisan skripsi ini. Besar harapan penulis semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua. Amin.
Semarang,
Penulis
vi
Februari 2009
ABSTRAK
Ahmad Bahrul Ms. 4150404023. Model Peredaman Gelombang Laut yang Menyebabkan Evolusi terhadap Wilayah Pantai. 2008. 83 halaman. Ilmu matematika memiliki peran penting dalam kehidupan. Salah satunya adalah pemanfaatan persamaan diferensial, salah satu contoh fenomena alam yang memerlukan persamaan diferensial sebagai persamaannya adalah gelombang laut. Gelombag laut dapat terjadi karena adanya pengaruh gaya luar yang secara kontinu yaitu angin yang selalu bertiup di atas permukaan air laut yang menimbulkan getaran pada permukaannya sehingga terjadilah gelombang. Hal tersebut dapat dipelajari dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial parsial terdapat tiga kondisi batas yaitu Dirichlet, Neuman, dan Robin. Merujuk dari latar belakang di atas maka tujuan dari skripsi ini adalah (a) Mencari bentuk pemodelan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi terhadap wilayah pantai, (b) Mencari bentuk penyelesaian persamaan gelombang tersebut, (c) Mencari bentuk peredamaan dari persamaan gelombang laut tersebut yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap wilayah pantai. Landasan teori yang digunakan dalam skripsi ini adalah (a) Hukum Newton, (b) Gelombang, (c) Model-model Gelombang, (d) Persamaan Diferensial Biasa, (d) Persamaan Diferensial Parsial, dan (e) Masalah-masalah Nialai Awal dan Syarat Batas. Metode penulisan skripsi ini yaitu kajian pustaka dengan langkahlangkah (a) Kajian Pustaka, (b) Perumusan Masalah, (c) Analisis dan Pemecahan Masalah, dan (d) Penarikan Simpulan. Berdasarkan analisis diperoleh hasil (a) Persamaan gelombang laut yang disebabkan oleh pengaruh gaya luar yaitu angin adalah utt − c 2u xx = Px (t ) . (b) Solusi dari model persamaan gelombang laut dengan suatu kondisi u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) yang diberikan dan Px (t ) sebagai pengaruh gaya luar diberikan oleh x + ct 1 1 1 (c) Bentuk u ( x, t ) = [φ ( x + ct ) + φ ( x − ct ) ] + ∫ ψ ( s)ds + ∫ ∫ Px (t )dxdt . 2
2c
x − ct
2c
Δ
persamaan peredaman gelombang laut tersebut yaitu utt + c 2u xx = − Px (t ) , dan solusi dari persamaan peredaman gelombang laut dengan kondisi awal dan syarat yang sama adala ∞ 1 nπ cn π ⎫ ⎧ dengan sin( t ) ⎬ sin x− u ( x, t ) = ∑ ⎨( An + Bn ) cos( t ) + ( An − Bn ) ∫ ∫ Px (t )dxdt 2c Δ L L ⎭ ⎩ L L 1 ⎞ nπx , dan ⎛1 1 ⎞ nπx . n = 1,2, L . ⎛1 An = ⎜ + dx Bn = ⎜ − dx ⎟ ∫ φ ( x) sin ⎟ ∫ (φ ( x) − ψ ( x) )sin L L ⎝ L cnπ ⎠ 0 ⎝ L cnπ ⎠ 0 n =1
Kata Kunci : persamaan differensial, waves with a source, gelombang laut
vii
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ………………………………………………………...
i
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN……………………... ii HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………. iii MOTTO DAN PERSEMBAHAN …………………………………………... iv KATA PENGANTAR……………………………………………………….. v ABSTRAK …………………………………………………………………... vii DAFTAR ISI …………………………………………………………………viii DAFTAR GAMBAR ………………………………………………………... x BAB 1
PENDAHULUAN …………………………………………......... 1 3.1 Latar Belakang ……………………………………………… 1 3.2 Rumusan Masalah …………………………………………... 7 3.3 Tujuan ………………………………………………………. 8 3.4 Manfaat ……………………………………………………... 8 3.5 Sistematika ………………………………………………….. 9
BAB 2
LANDASAN TEORI ……………………………………………. 11 2.1 Hukum Newton ……………………………………………... 11 2.1.1 Hukum Pertama Newton ……………………………... 11 2.1.2 Hukum Kedua Newton ………………………………. 11 2.1.3 Hukum Ketiga Newton ………………………………. 12 2.2 Gelombang ………………………………………………….. 12 2.2.1 Pulsa Gelombang …………………………………….. 13 2.2.2 Laju Gelombang ……………………………………… 15 2.3 Model-model Gelombang …………………………………... 15 2.3.1 Persamaan Gelombang Banjir ………………………... 15 2.3.2 Masalah Cauchy untuk Persamaan Gelombang ……… 16 2.3.3 Persamaan Gelombang Umum ………………………. 17 2.4 Persamaan Diferensial Biasa ………………………………... 18 2.4.1 Persamaan Diferensial Linear Order Satu ……………. 21 viii
2.4.2 Persamaan Diferensial Linear Order Dua ……………. 22 2.4.3Persmaan
Diferensial
Biasa
Linear
Order
Dua
Homogen dengan Koefisien Konstan ………………... 23 2.5 Persamaan Diferensial Parsial ………………………………. 27 2.6 Masalah-masalah Nialai Awal dan Syarat Batas …………… 28 BAB 3
METODE PENULISAN SKRIPSI ……………………………… 30 3.1 Kajian Pustaka ……………………………………………… 30 3.2 Perumusan Masalah ………………………………………… 30 3.3 Analisis dan Pemecahan Masalah …………………………... 30 3.4 Penarikan Simpulan ………………………………………… 30
BAB 4
PEMBAHASAN ………………………………………………...... 32 4.1 Pemodelan Persamaan Gelombang …………………………. 32 4.2 Solusi Persamaan Gelombang ………………………………. 36 4.3 Model Peredaman pada Persamaan Gelombang ……………. 40 4.4 Inteprestasi Persamaan Gelombang Sebelum dan Sesudah Peredaman ………………………………………………….. 46
BAB 5
PENUTUP ………………………………………………………. 50 5.1 Simpulan ……………………………………………………. 50 5.2 Saran ……………………………………………………….. 51
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………. 52 LAMPIRAN ………………………………………………………………… 54
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1. Gelombang Laut ………………………………………………….
2
Gambar 2. Gambar Analisa Gelombang Laut ……………………………….. 32 (a) Gelombang mula-mula diam sebagai asumsi adalah sebuah batang yang homogen ..............................................................
32
(b) Gelombang yang bergerak setelah dipengaruhi oleh gaya luar berupa angin yang secara kontinu bertiup di atas permukan air Laut ..................................................................................... 32 Gambar 3. Pemodelan Gelombang Laut …………………………………….. 33 (a) Permukaan mula-mula mendapat gaya luar dan terdapat tegangan permukaan ................................................................
33
(b) Pergerakan Gelombang setelah memperoleh gaya dan perubahan tegangan permukaan...............................................
33
(c) Gaya-gaya yang bekerja pada Gelombang .............................
34
Gambar 4. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 sebelum teredam ………………. 46 Gambar 5. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 sebelum teredam ………………. 47 Gambar 6. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) sebelum teredam …………. 47 Gambar 7. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 setelah teredam ………………… 48 Gambar 8. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 setelah teredam ………………… 48 Gambar 9. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) setelah teredam …………… 49
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Ilmu matematika bersifat universal sangat erat kaitannya dengan kehidupan
nyata. Peran matematika pada masalah kehidupan nyata maupun dengan ilmuilmu lain disajikan dalam bentuk pemodelan matematika. Salah satu aplikasi dalam ilmu matematika adalah model matematika yang berupa persamaan diferensial. Banyak fenomena alam yang menggunakan model matematika berupa persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006:2). Salah satu contoh fenomena alam yang memerlukan persamaan diferensial sebagai persamaannya adalah gelombang laut. Proses terjadinya gelombang laut yang dikemukakan di dalam catatan Rovicky tentang “Gelombang Laut” menyatakan bahwa, “gelombang laut itu lebih dipengaruhi oleh proses atmospheric dari pada proses dari geologic”. Artinya proses-proses serta kondisi udara lebih berpengaruh terhadap kondisi gelombang laut dari pada proses dari dasar laut. Gelombang pada air sebenarnya merupakan gelombang permukaan yang bergerak di perbatasan antara air dan udara. Gerakan setiap partikel air di permukaan berbentuk lingkaran atau elips. Sedangkan di bawah permukaan juga ada gerakan gelombang transversal ditambah gelombang longitudinal seperti digambarkan di bawah ini (Giancoli, 2001:386). 1
2
Gambar 1. Gelombang
Udara yang bergerak akan mempengaruhi tegangan permukaan pada air laut, sehingga ketika permukaan air laut tidak mampu mempertahankan kesetimbangan tegangan permukaannya, maka air laut akan membentuk gelombang dan terbawa oleh arah angin. Hal ini, ditegaskan oleh Helmholts tentang prinsip dasar terjadinya gelombang laut, yaitu: “jika ada dua massa benda yang berbeda kerapatannya (densitasnya) bergesekkan satu sama lain, maka pada bidang gerakannya akan terbentuk gelombang. Gerakan permukaan gelombang dapat dikelompokkan sebagai berikut: a. Gerak Osilasi, yaitu gelombang akibat molekul air bergerak melingkar. Gerak osilasi biasanya terjadi di laut lepas, yaitu pada bagian laut dalam. Adanya gelombang dibangkitkan oleh kecepatan angin, lamanya angin bertiup, luas daerah yang ditiup angin (fetch), dan kedalaman laut. Gelombang ini memiliki tinggi dan lembah gelombang. Puncak gelombang akan pecah di dekat pantai yang disebut breaker atau gelora. b. Gerak Translasi, yaitu gelombang osilasi yang telah pecah lalu seperti memburu garis pantai, bergerak searah dengan gelombang tanpa
3
diimbangi gerakan mundur. Gelombang ini tidak memiliki puncak dan lembah yang kemudian dikenal dengan istilah surf. Gelombang ini dimanfaatkan untuk olah raga surfing. c. Gerak Swash dan Back Swash berbentuk gelombang yang telah menyentuh garis pantai. Kedatangan gelombang disebut swash, sedangkan ketika kembali disebut back swash. Oleh karena itu, hampir tidak pernah terlihat permukaan laut dalam keadaan tenang sempurna, selalu saja ada gelombang, bisa berupa riak kecil ataupun gelombang yang besar. Setiap gelombang mempunyai tiga unsur yang penting yakni panjang, tinggi dan periode. Antara panjang gelombang dan tinggi gelombang tidak terdapat hubungan yang pasti, tetapi gelombang yang mempunyai panjang yang jauh akan mempunyai kemungkinan mencapai gelombang yang tinggi pula. Gelombang yang ditemukan di permukaan laut pada umumnya terbentuk karena adanya proses alih energi dari angin ke permukaan laut, atau pada saat-saat tertentu disebabkan oleh gempa di dasar laut. Gelombang ini merambat ke segala arah membawa energi tersebut yang kemudian dilepaskannya ke pantai dalam bentuk hempasan gelombang. Gelombang yang terhempas ke pantai akan melepaskan energi. Makin tinggi gelombang makin besar tenaganya memukul ke pantai. Pasir laut atau terumbu karang yang membuat dangkalnya suatu perairan berfungsi sebagai peredam pukulan gelombang. Oleh sebab itu, pegambilan pasir laut atau perusakan terumbu karang memberikan kesempatan lebih besar bagi gelombang untuk
4
menggempur dan merusak kestabilan garis pantai. Gelombang yang datang menuju pantai dapat menimbulkan arus pantai yang berpengaruh terhadap proses sedimentasi/abrasi di pantai. Pola arus pantai ini ditentukan terutama oleh besarnya sudut yang dibentuk antara gelombang yang datang dengan garis pantai. Jika sudut datang itu cukup besar, maka akan terbentuk arus menyusur pantai (longshore current) yang disebabkan oleh perbedaan tekanan hidrostatik. Jika sudut datang relatif kecil atau sama dengan nol (gelombang yang datang sejajar dengan pantai), maka akan terbentuk arus meretas pantai (rip current) dengan arah menjauhi pantai di samping terbentuknya arus menyusur pantai. Diantara kedua jenis arus pantai ini, arus menyusur pantailah yang mempunyai pengaruh lebih besar terhadap transportasi sedimen pantai. Aktifitas gelombang di pantai adalah faktor utama yang aktif menyebabkan erosi pantai. Dengan demikian, hembusan angin menjadi faktor penting yang menentukan terjadi akan tidaknya erosi pantai di tempat-tempat atau segmensegmen pantai tertentu dan pada musim-musim tertentu. Arah angin menentukan segmen-segmen pantai yang akan tererosi, sedangkan kecepatan angin atau “fetch” menentukan kekuatan gelombang yang terbentuk dan memukul ke pantai. Arus dekat pantai menentukan arah pergerakan muatan sedimen di sepanjang pantai. Arus itu memindahkan muatan sedimen dari satu tempat ke tempat yang lain di sepanjang pantai atau membawa muatan sedimen dari satu sel pantai ke sel pantai yang lain atau membawa muatan sedimen keluar dari perairan lepas pantai. Pola arus dekat pantai perkembanganya ditentukan oleh gelombang
5
yang bergerak menghampiri pantai. Dengan demikian, faktor angin juga secara tidak langsung mempengaruhi transportasi muatan sedimen. Menurut Dauhari(1996), ombak merupakan salah satu penyebab yang berperan besar dalam pembentukan pantai. Ombak yang terjadi di laut dalam pada umumnya tidak berpengaruh terhadap dasar laut dan sedimen yang terdapat di dalamnya. Sebaliknya ombak yang terdapat di dekat pantai, terutama di daerah pecahan ombak mempunyai energi besar dan sangat berperan dalam pembentukan morfologi pantai, seperti menyeret sedimen (umumnya pasir dan kerikil) yang ada di dasar laut untuk ditumpuk dalam bentuk gosong pasir, di samping mengangkut sedimen dasar, ombak berperan sangat dominan dalam menghancurkan daratan (erosi laut). Daya pengahancur ombak terhadap daratan/batuan dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain keterjalan garis pantai, kekerasan batuan, rekahan pada batuan, kedalaman laut di depan pantai, bentuk pantai, terdapat atau tidaknya penghalang di muka pantai dan sebagainya. Bebeda dengan ombak yang bergerak maju ke arah pantai, arus laut, terutama yang mengalir sepanjang pantai merupakan penyebab utama yang lain dalam membentuk morfologi pantai. Arus laut terbentuk oleh angin yang bertiup dalam selang waktu yang lama, dapat pula terjadi karena ombak membentur pantai secara miring. Berbeda dengan peran ombak yang mengangkut sedimen tegak lurus terhadap arah ombak, arus laut mampu membawa sedimen yang mengapung maupun yang terdapat di dasar laut. Pergerakan sedimen searah dengan pergerakan arus, umumnya menyebar sepanjang garis pantai. Bentuk morfologi spit, tombolo, beach ridge atau akumulasi sedimen di sekitar jetty dan
6
tanggul pantai menunjukkan hasil kerja arus laut. Dalam hal tertentu arus laut dapat pula berfungsi sebagai penyebab terjadinya abrasi pantai. Keseimbangan antara sedimen yang dibawa sungai dengan kecepatan pengankutan sedimen di muara sungai akan menentukan berkembangnya dataran pantai. Apabila jumlah sedimen yang dibawa ke laut dapat segera diangkut oleh ombak dan arus laut, maka pantai akam dalam keadaan stabil. Sebaliknya apabila jumlah
sedimen
melebihi
kemampuan
ombak
dan
arus
laut
dalam
pengangkutannya, maka dataran pantai akan bertambah. Semua gejala mekanika klasik dapat digambarkan hanya dengan tiga hukum sederhana yang dinamakan hukum Newton tentang gerak (Tipler, 1998: 87). Hukum pertama Newton menyatakan bahwa benda dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konsatan akan tetap diam atau terus pada benda itu. Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempunyai kelembaman. Hukum pertama Newton dikenal juga dengan hukum kelembaman. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan massanya dan sebanding dengan gaya eksternal yang bekerja padanya (Tipler, 1998: 88). Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya. Massa adalah sifat intrisik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Hukum ketiga Newton menggambarkan sifat penting dari gaya, yaitu bahwa gaya-gaya selalu terjadi perpasangan (Tipler, 1998: 97). Hukum ketiga Newton dikenal juga dengan hukum interaksi atau hukum aksi reaksi. Ketiga hukum Newton tersebut digunakan untuk menemukan bentuk
7
pemodelan persamaan gelombang, setelah diperoleh persamaannya kemudian akan dicari solusi dari persamaan tersebut. Solusi persamaan diferensial parsial adalah fungsi yang memenuhi persamaan diferensial parsial yang diberikan. Dikatakan solusi umum jika fungsi tersebut masih memuat konstanta, dan disebut solusi khusus jika tidak terdapat konstanta, yang didapatkan dengan mensubtitusikan nilai-nilai awal dan syarat batas, yaitu: (1) Kondisi Dirichlet (D), jika u telah ditentukan. (2) Kondisi Neuman (N), jika turunan normalnya
(3) Kondisi Robin (R), jika
∂u = u n telah ditentukan. ∂n
∂u + au telah ditentukan, dengan a adalah ∂n
fungsi dari x, y, z, t . Dari pemaparan di atas maka penulis menekankan pada permasalahan yang mempelajari persamaan gelombang dalam menyelesaikan masalah peredaman gelombang laut yang dapat menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai. 1.2
Rumusan Masalah Dalam penelitian ini ada beberapa masalah yang akan diungkapkan untuk
mengetahui model-model matematika yang digunakan untuk mencari persamaan gelombang yang menyebabkan wilayah pantai menjadi tervolusi. Masalahmasalah yang akan diungkap adalah: 1) Bagaimana
mencari
bentuk
pemodelan
gelombang
laut
yang
mengakibatan evolusi terhadap wilayah pantai? 2) Bagaimana bentuk penyelesaian persamaan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi terhadap wilayah pantai yang telah diperoleh?
8
3) Bagaimana cara mencari bentuk peredaman persamaan gelombang dan arus laut tersebut yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap wilayah pesisir pantai? 1.3
Tujuan Penelitian ini dimaksudkan dengan tujuan untuk mengetahui: 1) Bentuk pemodelan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi terhadap wilayah pantai. 2) Bentuk penyelesaian persamaan gelombang laut yang mengakibatkan evolusi wilayah pantai yang telah diperoleh. 3) Cara menemukan bentuk peredaman persamaan gelombang dan arus laut tersebut yang sekaligus dapat mengurangi evolusi terhadap wilayah pesisir pantai.
1.4
Manfaat Penelitian ini dimaksudkan untuk memberikan manfaat bagi mahasiswa
maupun masyarakat luas, diantaranya: 1.4.1
Manfaat Umum bagi masayarakat luas)
1) Agar masyarakat mengetahui bagaimana pentingnya menjaga daerah pantai dari arus laut dan gelombang yang mengevolusi wilayah pantai. 2) Agar masyarakat dapat saling menjaga dan melestarikan budi daya daerah pesisir pantai supaya dalam jangka waktu yang lama tidak terjadi kerusakan yang lebih parah. 3) Memberikan solusi tentang evolusi yang terjadi di wilyah pantai.
9
4) Untuk
menghindari
dan
mengidentifikasi
masalah-masalah
gelombang laut yang menyebabkan kerusakan dan bencana bagi masa depan. 1.4.2
Manfaat Khusus (bagi mahasiswa)
1) Agar
mahasiswa
mampu
menerapkan
ilmunya
khususnya
matematika untuk mengatasi masalah yang sering terjadi di wilayah pantai. 2) Agar mahasiswa daapt mempelajari model-model persamaan diferensial sebagai penyelesaian dan pengatasan gelombang dan arus laut yang mengevolusi wilayah pantai. 1.5
Sistematika Dalam skripsi yang berjudul “Model Peredaman Gelombang Laut yang
Menyebabkan Evolusi terhadap Wilayah Pantai” secara garis besar memiliki tiga bagian, yaitu : (1) Bagian awal Bagian awal skripsi ini terdiri dari halaman sampul, halaman judul, abstrak, lembar pengesahan, motto dan pengesahan, kata pengantar, daftar isi, dan daftar gambar. (2) Bagian isi Bagian isi skripsi terdiri dari tiga bab yaitu bab I Pendahuluan yang berisi latar belakang, permasalahan, tujuan, dan sistematika penulisan skripsi; bab II Landasan Teori, bab III Metode Penulisan Skripsi, bab IV pembahasan, dan bab V Simpulan dan saran.
10
(3) Bagian akhir Bagian akhir skripsi terdiri dari daftar pustaka dan lampiran.
BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1
Hukun Newton
2.1.1 Hukum pertama Newton Hukum pertama Newton menyatakan bahwa suatu benda tetap pada keadaan awalnya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama kecuali benda tersebut dipengaruhi oleh suatu gaya tidak seimbang atau gaya eksternal neto (jumlah vektor semua gaya yang bekerja pada benda tersebut) (Tipler, 1998: 87). Kecenderungan ini menggambarkan bahwa suatu benda mempunyai kelembaman atau keajegan, sehingga hukum pertama Newton seringkali dinamakan hukum kelembaman. 2.1.2 Hukum kedua Newton Gaya eksternal neto sebuah benda adalah penyebab benda mengalami percepatan. Percobaan menunjukkan bahwa jika kombinasi gaya-gaya diberikan pada sebuah benda, maka benda tersebut akan memiliki percepatan (besar dan arah). Arah percepatan tersebut sama dengan arah gaya eksternal neto. Newton mengemas semua hubungan ini dan digabungkan dengan hasil percobaan dalam sebuah pernyataan singkat yang dikenal dengan hukum kedua Newton tentang gerak, yaitu: “jika suatu gaya eksternal neto bekerja pada sebuah benda, maka benda akan mengalami percepatan tersebut sama dengan arah gaya eksternal neto. Vektor gaya total sama dengan massa benda dikalikan dengan
11
12
percepatan benda. Dalam bentuk persamaan,
(Hukum kedua
Newton). 2.1.3
Hukum ketiga Newton Sebuah gaya yang bekerja pada sebuah benda merupakan hasil dari
interaksi benda tersebut dengan benda yang lain, jadi gaya selalu berpasangan. Apabila dilakukan sebuah gaya pada sebuah benda, maka benda tersebut juga melakukan gaya yang arahnya berlawanan dengan arah gaya yang diberikan. Suatu percobaan menunjukkan bahwa ketika dua benda bersentuhan, kedua gaya yang diberikan kepada masing-masing benda selalu memiliki besar yang sama dan arah yang berlawanan. Hukum ketiga Newton tentang gerak mengatakan bahwa jika seuah benda A melakukan sebuah gaya pada benda B (sebuah aksi), maka benda B melakukan sebuah gaya pada benda A (sebuah reaksi). Kedua gaya ini memiliki besar yang sman tetapi arahnya berbeda (Young and Freedman, 2000: 106). Hukum ketiga Newton dikenal dengan hukum aksi reaksi. 2.2
Gelombang Getaran dan gelombang merupakan subyek yang saling berhubungan erat.
Apakah itu gelombang laut, gelombang pada senar, gelombang gempa bumi, gelombang cahaya, gelombang radio, gelombang listrik, atau gelombang suara di udara mempunyai getaran sebagai sumbernya. Amplitudo adalah tinggi maksimum dari sebuah gelombang atau jarak maksimum antara puncak dan titik nol-nya. Amplitudo akan sama besarnya walaupun diukur dari puncak ataupun dari dasar lembah suatu gelombang. Sebuah siklus penuh suatu gelombang (satu
13
periode) adalah dimulai dari titik nol ke puncak gelombang, lalu ke titik nol, dilanjutkan ke dasar lembah, dan kembali lagi ke titik nol. Fase adalah titik waktu tertentu dalam sebuah siklus gelombang. Fase diukur dalam satuan derajat, dengan
mewakili awalan dari siklus tersebut dan
mewakili akhir dari siklus tersebut. Titik puncak pada diantara puncak positif dan puncak negatif, yaitu adalah
, titik nol berada
, dan titik puncak negatif
. Frekuensi adalah jumlah siklus gelombang yang muncul dalam satu
detik. Frekuensi diukur dalam hertz (Hz). 2.2.1 Pulsa Gelombang Bila seutas tali (atau pegas) yang diregangkan diberi suatu sentakkan bentuknya berubah sepanjang waktu secara teratur. Lengkungan yang dihasilkan oleh sentakkan tali menjalar menyusuri tali sebagai suatu pulsa gelombang. Dalam hal ini, gangguan dalam medium merupakan perubahan bentuk tali dari bentuk kesetimbangannya, yakni perubahan bentuk tali tegang. Pulsa gelombang menjalar pada tali dengan laju tertentu yang bergantung pada tegangan tali dan rapat massanya (massa per satuan panjang). Begitu bergerak pulsa gelombang dapat berubah bentuk. Misalnya, pulsa gelombang dapat tersebar (terurai) secara perlahan. Efek ini disebut dispersi. Biasanya dispersi diabaikan dan dianggap pulsa gelombang menjalar dengan bentuk yang hampir konstan. Pulsa gelombang pada ujung lainnya bergantung pada bagaimana tali diikatkan di ujungnya. Jika tali diikat pada suatu penopang tegar, pulsa gelombang akan terpantul dan akan dikembalikan secara terbalik. Ketika tiba
14
dipenopang tetap, pulsa gelombang mengerjakan gaya ke atas pada penopang. Penopang tetap mengerjakan gaya yang sama, namun berlawanan arah pada tali, sehingga menyebabkan pulsa terbalikkan pada peristiwa pemantulan. Jika tali diikatkan pada suatu gelang licin yang massanya dapat diabaikan yang bebas bergerak secara vertikal pada tiang, susunan ini mendekati kondisi ujung bebas bagi tali. Bila pulsa gelombang tiba, mka pulsa gelombang tersebut mengerjakan gaya ke atas pada gelang dan gelang bergerak ke atas. Gelang melampui tinggi pulsa gelombang, sehingga pulsa gelombang yang terpantul tidak dikembalikan secara terbalik. Jika tali diikatkan pada tali tali lain yang rapat massanya berbeda, maka sebagian pulsa gelombang akan ditransmisikan (diteruskan) dan sebagian lagi akan dipantulkan. Pada dasarnya yang dipindahkan dalam gerak gelombang bukanlah elemen massa tali melainkan gangguan terhadap bentuk tali yang disebabkan oleh sentakkan pada salah satu ujungnya. Sebenarnya, elemen massa tali bergerak dalam arah tegak lurus tali dan dengan demikian tegak lurus adalah arah gerak pulsa gelombang. Gelombang dengan gangguan yang tegak lurus arah penjalaran disebut gelombang transversal. Sedangkan gelombang dengan
arah
gangguan
sejajar
arah
penjalaran
disebut
gelombang
longitudinal. Gelombang air bukan sepenuhnya gelombang transversal maupun sepenuhnya gelombang longitudinal, melainkan suatu kombinasi antara keduanya. Partikel air bergerak menurut lintasan melingkar kedua komponen transversal dan longitudinal.
15
2.2.2 Laju Gelombang Sifat umum gelombang adalah lajunya bergantung pada sifat-sifat medium, tetapi tidak bergantung pada gerak relatif sumber gelombang terhadap medium. Misalnya, laju gelombang pada tali hanya bergantung pada sifat-sifat tali. Demikian pula laju gelombang bunyi yang dihasilkan oleh terompet kereta api hanya bergantung pada sifat-sifat udara dan tidak bergantung pada gerak kereta api. Jika pulsa gelombang dikirimkan melalui tali yang panjang dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa laju penjalaran pulsa gelombang bertambah bila tegangan tali ditinggikan. Selanjutnya, jika dipunyai dua tali ringan dan tali berat, dengan tegangan yang sama, maka pulsa gelombang akan menjalar lebih lambat pada tali yang berat. Jadi, laju penjalaran gelombang pada tali berhubungan dengan tegangan dan massa per satuan panjang. 2.3
Model-model Gelombang
2.3.1 Persamaan Gelombang Banjir Pada waktu J.J. Stoker mempelajari sifat gelombang banjir di sungai, Stoker menurunkan persamaan diferensial sebagai berikut:
(v0 + c0 )2
dc1 1 2 gB 2 − 3c1 + c1gS ( − )=0 dξ v0 3c0 gB + 2c0 2
Dalam persamaan ini g menyatakan percepatang gravitasi ( g = 32,16
(1)
kaki ). B det 2
menyatakan lebar sungai (setiap penampang melintang yang lurus pada arah aliran sungai dianggap sebagai siku empat lebar B tetap, tetapi kedalaman
y merupakan peubah), S menyatakan kemiringan dasar sungai, v0 adalah
16
kecepatan gelombang, c0 c0 = ( gy 0 )
1 2
dihubungkan dengan kedalaman awal y0 oleh
(ingat bahwa c0 mempunyai satuan kecepatan), c1 merupakan
fungsi yang tidak diketahui yang dihubungkan dengan kedalaman y dari waktu, x menyatakan peubah tempat yang sumbunya sejajar dengan arah aliran sungai. Persamaan (1) merupakan persamaan Bernoulli dan karena itu dapat diselesaikan dengan metode yang berkaitan dengan tipe persamaan diferensial tersebut. Tetapi hasilnya tidak praktis, jadi metode numeris mungkin lebih tepat sebagai suatu alat penyelesaian. 2.3.2 Masalah Cauchy untuk Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang homogen dalam dimensi satu adalah:
utt − c2uxx = 0
(2.a)
persamaan tersebut adalah sebuah persamaan hyperbolik dan satu dari tiga pokok persamaan dalam persamaan differensial parsial. Persamaan (2.a) adalah dibawah transformasi oleh variable sebagai berikut :
ξ = x − ct , τ = x + ct persamaan gelombang itu ditransformasi kedalam bentuk
Uτξ = 0,
U = U (ξ ,τ )
yang dapat terintegrasi dua kali diperoleh solusi umum
U (ξ , τ ) = F (ξ ) + G (τ ) dimana F dan G adalah fungsi sebarang. Jadi, solusi umum untuk (2.a) adalah:
17
u ( x, t ) = F ( x − ct ) + G ( x + ct )
(2.b)
karenanya, solusi dari persamaan gelombang adalah superposisi dari kanan dan kiri perjalanan gelombang yang berpindah pada kecepatan c . Masalah Cauchy untuk persamaan gelombang adalah :
utt − c2uxx = 0 , x ∈ ℜ , t > 0 , u ( x ,0 ) = f ( x ),
(2.c)
ut (x,0) = g(x), x ∈ ℜ.
(2.d)
dimana f didefinisikan jarak awal dari tali tak hingga dan g didefinisikan sebagai percepatan awal. Persamaan ini adalah orde dua dalam t , jadi kedua posisi dan percepatan harus ditetapkan pada awalnya. Ada rumusan analisis sederhana untuk solusi masalah Cauchy (2.c) dan (2.d). itu disebut rumusan D’Alembert dan itu diberikan oleh : x + ct
u ( x, t ) =
1 1 g ( s ) ds . ( f ( x − ct ) + f ( x + ct )) + 2c x −∫ct 2
(2.e)
2.3.3 Persamaan Gelombang Umum
Persamaan differensial yang mengatur kasus dalam dimensi satu sering dikenal sebagai “persamaan gelombang”: ∂σ x ∂ 2u = ρ 2 + Px (t ) ∂x ∂t
dengan
(3.a)
σ x adalah tegangan aksial dalam arah x , ρ adalah kerapatan massa
dari bahan dan u adalah perpindahan aksial. Persamaan diatas adalah sebuah pernyataan kesetimbangan dinamis pada suatu saat dan dapat diturunkan dengan memakai hukum ke-2 Newton. Suku sisi kiri menyatakan gaya internal
18
sedangkan suku ρ (
∂ 2u ) = ρ u tt menyatakan gaya inersia atau gaya kinetik ∂t 2
terhadap perubahan gerak gelombang, utt adalah percepatan dan Px (t) adalah gaya eksternal dari gelombang. Jika bahan diasumsikan elastic linear, maka
σ x = Eε x = E
hukum tegangan–regangan adalah:
jika diturunkan terhadap x , maka diperoleh:
∂u ∂x
∂σ x ∂ 2u E 2 ∂x ∂x
(3.b)
(3.c)
dengan E adalah modulus elastik dan Ex adalah gradien u atau regangan aksial. Subtitusikan persamaan (3.c) ke persamaan (3.a), maka diperoleh: E
Besaran 2.4
∂ 2u ∂ 2u = ρ + Px (t ) ∂t 2 ∂x 2
E
ρ
(3.d)
= Cx dinamakan kecepatan perambatan gelombang elastik.
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan (diferensial) dari fungsi yang tidak diketahui (Waluyo, 2006: 1). Berikut adalah contoh-contoh persamaan diferensial: (1)
.
(4.a)
.
(2) (3) (4)
(4.b)
.
(4.c) .
(4.d)
19
Jika terdapat variabel bebas tunggal seperti persamaan (4.a) dan (4.b) maka turunannya merupakan turunan biasa dan persamaannya disebut persamaan diferensial biasa. Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas seperti persamaan (4.c) dan (4.d) maka turunannya merupakan turunan parsial (sebagian) dan persamaannya disebut persamaan diferensial parsial. Bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah: .
(4.e)
Persamaan (4.e) menyatakan hubungan antara variabel bebas terikat
dan variabel
dan berbagai variasi turunannya (Waluyo, 2006: 2).
Order persamaan diferensial adalah derajat atau pangkat tertinggi dari turunan yang muncul dalam persamaan (Kreszig, 1999: 4). Persamaan diferensial pada persamaan (4.e) berorder n, pada persamaan (4.a) dan (4.c) adalah persamaan diferensial berorder satu, sedangkan pada persamaan (4.b) dan (4.d) adalah persamaan diferensial berorder dua. Bentuk umum persamaan diferensial order satu adalah: .
(4.f)
Untuk memudahkan notasi, digunakan notasi turunan, seperti .
dan seterusnya serta
Solusi persamaan diferensial (4.f) pada interval terbuka sebuah fungsi
,
sedemikian sehingga
persamaan (4.f) untuk setiap
pada interval
adalah
ada dan memenuhi . Sehingga persamaan (4.f)
20
menjadi sebuah persamaan jika diganti fungsi yang tak diketahui dengan
dengan ,
(Kreszig, 1999: 4).
Jadi solusi persamaan diferensial berorder n pada persamaan (4.e) pada interval
adalah sebuah fungsi
sedemikian sehingga
ada dan memenuhi persamaan (4.e) untuk setiap
pada interval
. Sehingga persamaan (4.e) menjadi
sebuah persamaan jika diganti fungsi yang diketahui
dengan ,
dengan
dan
seterusnya. Contoh 1. Dipunyai
.
Jelas , dengan
.
Solusi yang diperoleh pada Contoh 1 masih memuat konstanta sebarang sehingga disebut Solusi umum (general solution). Jika diganti C dengan bilangan tertentu (C = 2 atau yang lain) maka didapatkan solusi khusus (Kreszig, 1999: 5). Persamaan diferensial (4.e) dikatakan linear jika F adalah linear dalam . Secara umum persamaan diferensial biasa linear
variabel-variabel order n adalah
.
(4.g)
Persamaan yang tidak dalam bentuk persamaan (4.g) merupakan persamaan tak linear (Waluyo, 2006: 6). Contoh persamaan tak linear adalah persamaan pendulum
.
21
. Persamaan diferensial
Persamaan tersebut tak linear karena suku juga tak linear karena suku
dan
.
2.4.1 Persamaan Diferensial Linear Order Satu
Persamaan diferensial linear order satu adalah persamaan yang berbentuk: (4.1.a) dengan
kontinu pada suatu interval. Jika
maka persamaan
defferensial tersebut merupakan persamaan homogen, sebaliknya jika maka persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan tak homogen (Kreszig, 1999: 33). Untuk menemukan solusi persamaan (4.1.a), kalikan dengan sebuah fungsi yang belum diketahui
, maka diperoleh persamaan: .
(4.1.b)
Nyatakan ruas kiri persamaan (4.1.b) sebagai turunan dari sebuah fungsi yaitu . Jadi haruslah
sama dengan
Jelas
. (4.1.c)
. Pilih Jadi
. .
(4.1.d)
22
Karena
memenuhi persamaan (4.1.c) maka persamaan (4.1.b)
dapat disederhanakan menjadi: (4.1.e) Integralkan kedua ruas persamaan (4.1.e), maka diperoleh: atau
.
(4.1.f)
Contoh 2. Temukan solusi masalah nilai awal , Penyelesaian. Jelas
.
Jadi
. Jelas Jadi
. .
2.4.2 Persamaan Diferensial Biasa Linier Order Dua
Persamaan diferensial linear order dua adalah persamaan diferensial dengan bentuk (4.2.a)
23
dan
Dengan interval I. Jika jika
adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu maka persamaan diferensial tersebut homogen, tetapi
maka persamaan diferensial tersebut tidak homogen (Kreszig,
1999: 65). Berikut adalah contoh-contoh persamaan diferensial biasa linear order dua. 1. 2. Jika persamaan (4.2.a) dengan
dab
adalah fungsi-fungsi
konstan maka persamaan (4.2.a) merupakan persamaan diferensial biasa linear order dua dengan koefisian konstanta yang dapat dinyatakan sebagai .
(4.2.b)
2.4.3 Persamaan Diferensial Biasa Linear Order Dua Homogen Dengan Koeffisien Konstanta
Persamaan (4.2.b) dengan
adalah persamaan diferensial biasa
linear order dua homogen dengan koefisien konstanta. .
(4.3.a)
adalah solusi persamaan (4.3.a).
(4.3.b)
Dipunyai Tulis Jelas
dan
.
(4.3.c)
Jadi
.
(4.3.d)
24
Jadi persamaan (4.3.b) merupakan solusi persamaan (4.3.a) jika m memenuhi persamaan (4.3.d). Persamaan (4.3.d) merupakan persamaan karakteristik dari persamaan (4.3.a). Dari persamaan (4.3.d) didapatkan nilai m yaitu dan
(4.3.e)
Jadi solusi persamaan (4.3.a) adalah: dan Kasus
(4.3.f)
:
Jelas Jelas
dan
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Jadi
.
Bukti: dan
Jelas
(
.
)
Jelas ay'' + by' + cy = a Am1 em1 x + Bm2 em2 x + 2
2
(
) (
b Am1e m1x + Bm2 e m2 x + c Ae m1 x + Be m2 x
(
)
(
)
)
= am1 + bm1 + c Ae m1 x + am2 + bm2 + c Be m2 x 2
2
= 0 Aem1 x + 0 Be m1 x = 0. :
Kasus Jelas
.
Jelas
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis Bukti:
.
25
dan
Jelas
.
Jelas
. Karena persamaan (4.3.a) adalah persamaan diferensial order dua maka perlu dipunyai dua solusi untuk membangun solusi umumnya. Untuk mencari solusi kedua yang bebas liniear, misalkan solusinya dalam bentuk (4.3.g) yaitu dengan mengganti konstanta
dengan suatu fungsi
. Metode ini
dikenal sebagai metode reduksi dari order (reduction of order). dan
Jelas
.
(4.3.h)
Jelas ay '' + by ' + cy = 0
( ⇔ v (ay
) (
)
⇔ a v '' y1 + 2v ' y ' + vy1 + b v ' y1 + vy1 + cvy = 0 '' 1
''
)
'
+ by '1 + cy1 + av '' y1 + 2av ' y ' + bv ' y1 = 0
⇔ av '' y1 + 2av ' y ' + bv ' y1 = 0 ⎛ y '' b ⎞ ⇔ v '' + v ' + ⎜⎜ 2 1 + ⎟⎟ = 0 ⎝ y1 a ⎠ b − ⎛ ⎞ ⎜ − b e 2a ⎟ b⎟ '' '⎜ 2 a ⇔ v +v 2 + =0 b ⎜ ⎟ − a e 2a ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ '' ⇔ v = 0. .
Jadi Jadi Kasus
adalah solusi umum persamaan (4.3.a). :
26
Jelas Tulis
dan
Jadi
.
dan
.
Tulis
dan .
Jelas
dan
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis Jelas
dan dan
.
adalah solusi persamaan (4.3.a).
Tulis Jelas
. adalah solusi persamaan (4.3.a).
Bukti: Jelas dan
[(
)
(
]
)
Y ' ' = e ax αβ B − β 2 A cos β x − αβ A − β 2 B sin β x +
[
e ax (α 2 B − αβ A)sin β x − (α 2 A − αβ B )cos β x
[
]
]
[
]
= e ax { (α 2 − β 2 )A + 2αβ B cos β x + (α 2 − β 2 )B − 2αβ A sin βx}
{[(
)
]
[(
)
Jelas pY '' + qY ' + rY = peαx α 2 − β 2 A + 2αβ B cos β x + α 2 − β 2 B
− 2αβ A]sin β x} + qeαx [(αB − β A)sin β x +(αA + βB )cos β x ] + reαx ( A cos βx + B sin β x )
27
[
]
[
= eαx { p (α 2 − β 2 ) + qα + r A cos β x + p (α 2 − β 2 ) + qα + r ]}+
(2 pα + q )β (B cos βx − A sin βx ) = 0. Contoh 3. Selesaikan
.
Penyelesaian. Tulis
.
Persamaan karakteristik :
.
Akar-akar karakteristiknya adalah
.
Jadi solusi umumnya adalah
.
Contoh 4. Selesaikan
,
Penyelesaian. Persamaan karakteristik
.
Jadi solusi umumnya adalah 2.5
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial dari suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas (Kreyszig, 1999: 582). Persamaan diferensial dengan peubah bebas x dan y merupakan suatu identitas yang menghubungkan peubah bebas dengan peubah tak bebas u ( x , y ) dan turunan parsial dari u ( x , y ) (Strauss,1973: 1). Order suatu persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai turunan tertinggi dari suatu persamaan diferensial parsial (Strauss, 1973: 1). Beberapa contoh bentuk persamaan diferensial parsial linear orde dua yang penting:
28
(1)
2 ∂ 2u 2 ∂ u = c ∂t 2 ∂x 2
persamaan gelombang dimensi satu
(5.a)
(2)
∂u ∂ 2u = c2 2 ∂t ∂x
persamaan panas dimensi satu
(5.b)
(3)
∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2
persamaan laplace dimensi satu
(5.c)
(4)
∂ 2u ∂ 2u + = f ( x, y ) ∂x 2 ∂y 2
persamaan poison dimensi dua
(5.d)
(5)
2 ∂ 2u ⎞ ∂ 2u 2⎛ ∂ u ⎜ c + = ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟⎟ ∂t 2 ⎝ ⎠
persamaan gelombang dimensi dua
(5.e)
(6)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
persamaan laplace dimensi tiga
(5.f)
Untuk memudahkan notasi, digunakan pangkat bawah untuk menotasikan turunan parsial, seperti u x =
∂u ∂u , u xy = . Konsep penting dari persamaan ∂x ∂y∂x
diferensial parsial adalah kelinieran. Menurut Strauss (1973: 2) suatu fungsi dikatakan bersifat linier jika untuk setiap u, v di domain dan sembarang konstanta c berlaku : f (u + v ) = f (u ) + f (v ) dan f ( c ⋅ u ) = c ⋅ f (u ) .
(5.g)
Solusi dari sebuah persamaan diferensial adalah sebuah fungsi yang mempunyai turunan parsial yang memenuhi persamaan diferensial yang diberikan. 2.6
Masalah-masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Suatu persamaan diffrensial memiliki lebih dari satu solusi. Agar dapat diperoleh solusi tunggal dari persamaan diferensial tersebut, maka ditentukanlah suatu kondisi. Kondisi itu sendiri terdiri dari dua bagian yaitu kondisi awal dan
29
kondisi batas. Suatu kondisi awal biasanya berhubungan dengan waktu t0 (Strauss, 1973, 19). Kondisi awal pada kasus getaran dawai adalah u(x, t0 ) = φ(x) dan
ut (x, t0 ) =ψ (x) dengan φ ( x ) adalah posisi awal dan ψ (x) adalah kecepatan awal. Masalah mencari solusi dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal adalah masalah nilai awal (MNA). Dalam masalah fisika selalu dikerjakan pada suatu daerah domain D (Strauss, 1973, 19). Pada kasus getaran yang terjadi pada seutas dawai daerah domainnya adalah 0 ≤ x ≤ l dengan l adalah panjang dawai. Jadi batas dari domain terdiri dari dua titik yaitu x = 0 dan x = l . Terdapat tiga jenis kondisi batas yang penting yaitu: (1) Kondisi Dirichlet (D), jika u telah ditentukan. (2) Kondisi Neuman (N), jika turunan normalnya
(3) Kondisi Robin (R), jika
∂u = u n telah ditentukan. ∂n
∂u + au telah ditentukan. ∂n
Contoh kondisi batas pada domain 0 ≤ x ≤ l (1) Kondisi Dirichlet, u ( 0, t ) = f (t ) dan u (l , t ) = g (t ) (2) Kondisi Neuman,
(3) Kondisi Robin,
∂ ∂ u (0, t ) = h(t ) dan u(l , t ) = i(t ) ∂n ∂n
∂ ∂ u (0, t ) + a ⋅ u (0, t ) = j (t ) dan u (l , t ) + a ⋅ u (l , t ) = k (t ) ∂n ∂n
Selanjutnya masalah mencari solusi dari suatu persamaan diferensial yang memenuhi kondisi batas disebut masalah nilai batas (MNB).
BAB 3 METODE PENULISAN SKRIPSI
3.1
Kajian Pustaka Dalam penulisan skripsi ini, metode penulisan yang dilakukan penulis
adalah melalui kajian pustaka. Penulis mengambil beberapa pustaka yang relevan untuk digunakan sebagai literatur dalam menentukan pemodelan dan solusi dari persamaan gelombang laut serta mencari model peredaman persamaan gelombang laut terebut. 3.2
Perumusan Masalah Perumusan masalah diperoleh melalui uraian pada latar belakang dengan
mengacu pada beberapa pustaka yang ada. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan teoritik maka dapat ditemukan jawaban dari permasalahan sehingga tercapai tujuan skripsi. 3.3
Analisis dan Pemecahan Masalah Pada analisis dan pemecahan masalah penulis terlebih dahulu membuat
suatu pemodelan dari suatu batang homogen yang dianggap sebagai suatu keadaan permukaan air laut. Kemudian berdasarkan pendapat para ahli melalui penelusuran
pustaka,
maka
penulis
mendapatkan
asumsi-asumsi
untuk
memperoleh suatu persamaan gelombang laut yang bersifat non-homogen. 3.4
Penarikan Simpulan Untuk penarikan simpulan penulis menggunakan teknik induksi, yaitu
berdasarkan uraian pada pembahasan maka akan diperoleh jawaban dari permasalahan. Selanjutnya, penulis dapat menuliskan beberapa saran yang 30
31
digunakan untuk pengembangan masalah persamaan peredaman gelombang laut agar dapat digunakan untuk menyelasaikan masalah-masalah pada dunia nyata.
BAB 4 PEMBAHASAN
4.1
Pemodelan Persamaan Gelombang Bila ada sebuah gaya yang tergantung pada waktu yang disebabkan oleh
faktor-faktor seperti tumbukkan, ledakan maupun pembebanan karena gempa bumi dan lain-lain yang mengenai sebuah medium, maka gaya ini akan dipancarkan melalui medium sebagai gelombang (tegangan). Pada umumnya gelombang semacam ini merambat dalam ketiga arah ruang (spatial). Pada keadaan dan asumsi tertentu, adalah untuk melakukan idealisasi medium tersebut sebagai medium satu-dimensi. Gambar 2 di bawah ini adalah menunjukkan pergerakan gelombang sebelum dan sesudah mendapat pengaruh gaya luar.
(a)
(b)
Gambar 2. Gambar Analisa Gelombang Laut (a) Gelombang mula-mula diam sebagai asumsi adalah sebuah batang yang homogen. (b) Gelombang yang bergerak setelah dipengaruhi oleh gaya luar berupa angin yang secara kontinu bertiup di atas permukan air Laut.
32
33
Sebuah asumsi bahwa lautan yang luas sebagai sebuah batang homogen dengan luas penampang sebarang (Gambar 3). Sebuah gaya yang tergantung pada waktu Px (t ) yang bekerja pada batang akan menyebabkan terjadinya getaran dalam batang tersebut, sehingga ada sebuah sebuah gelombang yang merambat bolak-balik di dalam batang. Asumsi bahwa jika gaya tersebut bekerja pada permukaan laut adalah angin yang selalu berhembus di atas permukaan laut. Gaya-gaya yang bekerja pada gelombang yang bergerak dapat diketahui dengan memperhatikan potongan kecil gelombang pada permukaan (yaitu dari titik x sampai
) pada sumbu X. Perhatikan gambar 3 di bawah ini:
Px(t)
(a)
Px(t)
(b)
34
F2
u
β
Q
F2 sin( β )
F2 cos(β )
(c) F1 cos(α ) F1 sin(α )
α
P
F1
x
x + Δx
X
Gambar 3. Pemodelan Gelombang Laut (a) Permukaan mula-mula mendapat gaya luar dan terdapat tegangan permukaan. (b) Pergerakan Gelombang setelah memperoleh gaya dan perubahan tegangan permukaan. (c) Gaya-gaya yang bekerja pada Gelombang.
Persamaan diferensial pada gelombang laut dapat diperoleh dengan memperhatikan gaya-gaya yang bekerja pada bagian permukaan air laut tersebut (pada selang ( x, x + Δx) ). Gaya tegang pada permukaan laut merupakan garis singgung pada setiap titik di permukaan laut tersebut. Tulis F1 : gaya yang bekerja pada titik P dan F2 : gaya yang bekerja pada titik Q .
Gaya-gaya yang bekerja pada arah horizontal adalah F1 cos(α ) dan F2 cos( β ) . Perhatikan bahwa setiap titik pada permukaan merupakan hanya
bergerak secara vertikal dan tidak ada yang bergerak secara horizontal, maka gaya yang bekerja pada arah horizontal harus konstan (Kreyszig, 1999: 586).
35
Jelas F1 cos α = F2 cos β = F = konstan . Gaya-gaya yang pada arah vertikal adalah − F1 sin(α ) dan F2 sin( β ) . Berdasarkan hukum kedua Newton, jumlah dari kedua ini sama dengan massa dari bagian air laut ( ρ Δx ) dikalikan dengan percepatan ( utt ).
Jelas F2 sin(β ) − F1 sin(α ) = ( ρ Δx) ⋅ utt ⇔
F2 sin( β ) F1 sin(α ) ρ Δx − = ⋅ u tt F2 cos( β ) F1 cos(α ) F
⇔ tan( β ) − tan(α ) =
ρ Δx F
⋅ u tt .
karena tan( α ) dan tan( β ) adalah merupakan gradien pada x dan x + Δx , maka dan Jadi tan( β ) − tan(α ) =
.
ρΔx F
⋅ u tt
⇔ u x ( x + Δx, t ) − u x ( x, t ) = ⇔
ρ Δx F
⋅ u tt
1 [u x ( x + Δx, t ) − u x ( x, t )] = ρ ⋅ utt . Δx F
karena Δx → 0 , maka Jadi u xx = Tulis c 2 =
ρ F F
ρ
⋅ u tt .
.
Jadi utt − c 2u xx = 0 .
.
36
Asumsi bahwa persamaan utt − c 2u xx = 0 adalah gaya reaksi yang terjadi pada gelombang, sedangkan berdasarkan hukum ketiga Newton gaya aksi sama dengan gaya reaksi, dimana gaya reaksi pada gelombang laut ditimbulkan adanya angin yang berhembus di atas permukaan laut. Gaya aksi pada kasus ini dilambangkan dengan Px (t ) yang juga disebut sebagai gaya luar atau gaya eksternal dari gelombang. Jadi diperoleh gaya gelombang laut sebelum terjadi peredaman adalah utt − c 2u xx = Px (t ) . 4.2
Solusi Persamaan Gelombang
Pada kasus persamaan gelombang dengan suatu sumber atau sering dikenal dengan persamaan gelombang non-homogen yang dapat ditulis sebagai: utt − c 2u xx = Px (t )
(6.a)
dengan suatu kondisi u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) , dimana Px (t ) dapat di interprestasikan sebagai pengaruh gaya luar pada sebuah getaran yang sangat panjang sampai tak hingga. Oleh karena, L = ∂ t − c 2∂ x adalah operator linear, 2
2
maka solusinya akan di jumlahkan dari tiga bagian, satu untuk ϕ , ψ dan Px (t ) . Dua bagian pertama adalah persamaan gelombang homogen, dimana dapat diselesaikan sebagai berikut: Tulis persamaan gelombang sebagai: utt − c 2u xx = 0
untuk − ∞ < x < ∞
ini adalah persamaan orde dua paling sederhana, kemudian difaktorkan sebagai
berikut :
∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ utt − c 2u xx = ⎜ − c ⎟⎜ − c ⎟u = 0 ∂x ⎠ ∂x ⎠⎝ ∂t ⎝ ∂t
37
maka solusi umum dari persamaan di atas adalah: u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) dengan menggunakan nilai awal u ( x,0) = ϕ ( x) dan ut ( x,0) = ψ ( x) , dimana ϕ dan ψ adalah sebarang fungsi dari x . Solusi dari persamaan gelombang utt − c 2u xx = 0 dengan kondisi awal
u (x,0) dan ut (x,0) ditemukan dari rumusan umum u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) , dengan meletakkan t = 0 dalam u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) , maka diperoleh:
ϕ ( x) = f ( x) + g ( x)
(6.b)
kemudian persamaan u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) diturunkan terhadap t dan dengan meletakkan t = 0 , maka diperoleh:
ψ ( x) = cf ' ( x) − cg' ( x)
(6.c)
Sekarang persamaan (6.b) diturunkan dan dieliminasi dengan persamaan (6.c), maka diperoleh:
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)
dan
1 ψ ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) c
dari persamaan di atas maka:
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x) 1 ψ ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) c 1 c
ϕ ' ( x) − ψ ( x) = 2 g ' ( x)
⇔ g ' ( x) =
1 1⎛ ' ⎞ ⎜ ϕ ( x) − ψ ( x) ⎟ 2⎝ c ⎠
dan
ϕ ' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x) ⇔ f ' ( x) = ϕ ' ( x) − g ' ( x) ∴ f ' ( x) =
1 1⎛ ' ⎞ ⎜ ϕ ( x) − ψ ( x) ⎟ 2⎝ c ⎠
38
kemudian f ' ( x) dan g ' ( x) diintegralkan, diperoleh:
1⎛ 1 ⎞ f (s ) = ∫ ⎜ϕ ' ( s) + ψ ( s) ⎟ds 2⎝ c ⎠ 0 s
s
1 1 = ϕ (s) + ∫ψ (s)ds + A 2 2c 0
dan
1⎛ 1 ⎞ g (s) = ∫ ⎜ϕ ' ( s) − ψ ( s) ⎟ds 2⎝ c ⎠ 0 s
s
1 1 = ϕ ( s) − ∫ψ ( s)ds + B 2 2c 0 dimana A dan B adalah suatu konstanta, karena dari persamaan (6.b) diperoleh A + B = 0 . Ini mengatakan bahwa f dan g adalah rumusan umum persamaan
(6.a). Subtitusikan s = x + ct ke dalam fungsi f dan s = x − ct ke dalam fungsi g , maka diperoleh: u ( x, t ) = f ( x + ct ) + g ( x − ct ) x + ct
x − ct
1 1 1 1 = ϕ ( x + ct ) + ψ ( s)ds + ϕ ( x − ct ) − ψ ( s)ds ∫ 2 2c 0 2 2c ∫0 x + ct
1 1 = [ϕ ( x + ct ) + ϕ * x − ct )] + ψ ( s)ds 2 2c x −∫ct Jadi solusi homogen dari persamaan gelombang di atas adalah: x + ct
1 1 u( x, t ) = [ϕ ( x + ct ) + ϕ ( x − ct )] + ψ ( s)ds 2 2c x −∫ct kemudian akan ditunjukkan solusi karakteristik dari persamaan gelombang utt − c 2u xx = Px (t ) dengan kondisi awal yang sama pada persamaan gelombang
39
homogen, untuk menyelesaikan persamaan karakteristik pada persamaan gelombang ini adalah dengan menggunakan metede operator, dimana metode ini sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan difusi dengan suatu sumber dan disini akan dicoba untuk menyelesaiakan persamaan gelombang. Penyelesaian dengan metode operator ini adalah kembali ke bentuk ODE. Bentuk persamaan ODE adalah: d 2u + A2u (t ) = f (t ) 2 dt
u (0) = ϕ ,
du (0) = ψ dt
(6.d)
dimana A 2 adalah suatu konstanta positif (atau bilangan genap positif matrik persegi). Solusi dari persamaan (6.d) adalah: t
u (t ) = S (t )ϕ + S (t )ψ + ∫ S (t − s) f (s)ds '
0
dengan
S (t ) = A−1 sin tA dan S ' (t ) = costA
(6.e)
adalah solusi dari masalah (6.d) S (t )ψ dalam kasus ϕ = 0 dan f = 0 . Setelah itu dikembalikan ke PDE, maka penyelesaian dari utt − c 2u xx = f ( x, t )
dengan
u ( x,0) = ϕ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x)
dari ODE diberikan operator dasar oleh bentuk ψ , sehingga
ζ (t )ψ =
1 x + ct ψ ( y )dy = v( x, t ) 2c ∫x − ct
dengan v ( x, t ) merupakan penyelesaian dari bentuk vtt − c 2vxx = 0 , untuk
v( x.0) = 0 ,
vt ( x,0) = ψ ( x) , dimana ζ (t ) adalah operator sumber. Dari (6.e)
diharapkan bentuk ϕ adalah
∂ (ζ (t )ϕ ) , kenyataannya adalah: ∂t
40
∂ ∂ 1 x + ct 1 ζ (t )ϕ = ϕ ( y )dy = [cϕ ( x + ct ) − (−c)ϕ ( x − ct )] ∫ − x ct ∂t ∂t 2c 2c untuk mendapatkan bentuk solusi dari
Px (t ) ,
maka pada persamaan
t
u (t ) = S ' (t )φ + S (t )ψ + ∫ S (t − s ) f ( s )ds dengan φ = ψ = 0 , maka analog untuk 0
persamaan tersebut menjadi bentuk t
u (t ) = ∫ ζ (t − s ) f ( s )ds 0
dari persamaan ζ (t )ψ =
1 x + ct ψ ( y )dy = v( x, t ) dengan mengganti t menjadi 2c ∫x − ct
t − s , maka diperoleh ζ (t − s)ψ =
1 x + c (t − s ) ψ ( y )dy dan di subtitusikan ke dalam 2c ∫x − c (t − s )
t
persamaan u (t ) = ∫ ζ (t − s ) f ( s )ds , maka diperoleh solusi untuk Px (t ) adalah 0
u ( x, t ) =
t
⎡1
∫ ⎢⎣ 2c ∫ 0
x + c (t − s )
x − c (t − s )
1 ⎤ f ( y , s ) dy ⎥ds = Px (t ) dxdt 2c ∫ ∫Δ ⎦
Jadi solusi total untuk persamaaan gelombang utt − c 2u xx = Px (t ) adalah u ( x, t ) =
x + ct 1 [φ ( x + ct ) + φ ( x − ct )] + 1 ∫x − ctψ (s)ds + 1 ∫ ∫Δ Px (t )dxdt . 2 2c 2c
Contoh Soal. Dipunyai
persamaan
Gelombang
utt − c 2u xx = Px (t ) ,
dengan
u ( x,0) = x ,
ut ( x,0) = sin(x) , tunjukkan Solusi dari persamaan tersebut jika Px (t ) = 0 , Px (t ) = 1 , dan P (t ) = cos( x) (Lihat lampiran).
4.3
Model Peredaman pada Persamaan Gelombang
Pada permukaan air laut mempunyai tegangan permukaan, dimana tegangan tersebut adalah gaya untuk mempertahankan dari pengaruh gaya luar. Jika
41
tegangan permukaan tersebut ditinggikan, maka untuk merumuskan dalam permasalahan persamaan Gelombang Laut di atas yaitu dengan cara menurunkan percepatan atau memperkecil percepatannya, dalam hal ini untuk menurunkan percepatan, maka dalam rumus tersebut dengan menegatifkan percepatan ( − utt ), artinya dalam tanda negatif tersebut menandakan percepatannya mengecil, maka diperoleh: − u tt − c 2 u xx = Px (t ) ⇔ u tt + c 2 u xx = − Px (t ) . Penyelesaian persamaan tersebut akan diselesaiakan dengan metode variabel pemisah pada selang 0 < x < L , dimana dipunyai persamaan utt + c 2u xx = Px (t ) dan
diberikan
kondisi
awal
u ( x,0) = φ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x) ,
dan
u (0, t ) = u ( L, t ) = 0 . Solusi homogen dengan variabel pemisah persamaan di atas adalah: Tulis u tt = −c 2 u xx , untuk 0 < x < L ,
u (0, t ) = u ( L, t ) = 0, ∀t ≥ 0 , dan u ( x,0) = φ ( x) ,
ut ( x,0) = ψ ( x) .
Tulis u ( x, t ) = X ( x)T (t ) . Jelas utt = X ( x) T " (t ) dan u xx = X " ( x)T (t ) . Jadi u tt = −c 2 u xx ⇔ X ( x)T " (t ) = −c 2 X " ( x)T (t ) ⇔
Tulis
T " (t ) X " ( x) . =− 2 X ( x) c T (t )
T " (t ) X " ( x) =− =k. 2 X ( x) c T (t )
(8.a) (8.b) (8.c) (8.d)
42
Jelas X " ( x) + k X ( x) = 0 dan T " (t ) − c 2 k T (t ) = 0 .
(8.e) (8.f)
Penyelesaian persamaan (8.e): Jelas u (0, t ) = 0 ⇔ X (0)T (t ) = 0 dan u ( L, t ) = 0 ⇔ X ( L)T (t ) = 0 Pilih T (t ) ≠ 0 . Jelas X (0) = 0 dan X ( L) = 0 . Kasus k < 0 : Tulis k = − p 2 . Jelas X " ( x) − p 2 X ( x) = 0 . Jadi X ( x) = Ae px + Be− px . Karena X (0) = 0 dan X ( L) = 0 maka A = B = 0 . Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial). Kasus k = 0 : Jelas X " ( x) = 0 . Jadi X ( x) = ax + b . Karena X (0) = 0 dan X ( L) = 0 maka a = b = 0 . Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial). Kasus k > 0 : Tulis k = μ 2 . Jelas X " ( x) + μ 2 X ( x) = 0 . Jadi X ( x) = A cos(μx) − B sin( μx) .
(8.g)
43
Jelas X (0) = A = 0 dan X ( L) = B sin( μL) = 0 . Kasus B = 0 : Jadi X ( x) = 0 dan u ( x, t ) = 0 (bukan solusi nontrivial). Kasus B ≠ 0 : Jelas sin( μL) = 0
⇔ μL = nπ ⇔μ=
nπ . L
(8.h)
Pilih B = 1 : Jadi X ( x) = X n ( x) = sin
nπ x, L
n = 1,2,L
(8.i)
Penyelesaian persamaan (8.f) : ⎛ nπ ⎞ Jelas k = μ = ⎜ ⎟ . ⎝ L ⎠ 2
2
Tulis λ n =
cnπ . L
Jadi T " (t ) − λ n T (t ) = 0 . 2
Jadi Tn (t ) = An e
λn t
+ Bn e
− λn t
, dengan
e λnt = cos(t ) + λn sin(t ) e −λnt = cos(t ) − λn sin(t )
.
cnπ cnπ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ Jadi Tn (t ) = An ⎜ cos( t ) + sin( t ) ⎟ + B n ⎜ cos( t ) − sin( t ) ⎟ . L L ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ nπ cnπ ⎧ ⎫ Jadi u n ( x, t ) = ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n ) sin( t ) ⎬ sin x , n = 1,2,L .(8.j) L L ⎩ ⎭ ∞ ∞ nπ cnπ ⎧ ⎫ Jadi u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n ) sin( t ) ⎬ sin x. L L ⎭ n =1 n =1 ⎩
44
adalah solusi homogen dari persamaan (8.a) pada selang 0 < x < L . ∞
Jelas u ( x,0) = ∑ ( An + B n )sin n =1
nπ x = φ ( x) . L
(8.k)
Persamaan (8.k) adalah deret Fourier sinus untuk φ ( x ) .
2 nπx dx , Jadi An + Bn = ∫ φ ( x) sin L0 L L
n = 1,2,L
(8.l)
∞ cnπ ⎧ Jelas u t ( x, t ) = ∑ ⎨− ( An + B n ) sin( t ) + ( An − Bn ) cos(t )⎫⎬ sin nπ x . L L ⎭ n =1 ⎩
cnπ ( An − Bn )sin nπ x = ψ ( x ) , L n =1 L ∞
Jelas u t ( x,0) = ∑
n = 1,2,L
(8.m)
Persamaan (8.m) adalah deret Fourier sinus untuk ψ ( x ) .
cnπ (A n − Bn ) = 2 ∫ψ ( x) sin nπx dx . Jadi L L0 L L
(8.n)
Dari (8.l) dan (8.n), maka diperoleh:
1 ⎞ nπx ⎛1 An = ⎜ + dx , dan ⎟ ∫ φ ( x) sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
1 ⎞ nπx ⎛1 Bn = ⎜ − dx . ⎟ ∫ (φ ( x) −ψ ( x) )sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
n = 1,2,L
Jadi solusi homogen persamaan Gelombang Laut yang teredam adalah ∞ ∞ nπ cnπ ⎧ ⎫ sin( t ) ⎬ sin x, u ( x, t ) = ∑ u n ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n ) L L ⎭ n =1 n =1 ⎩
1 ⎞ nπx ⎛1 dx , dan dengan An = ⎜ + ⎟ ∫ φ ( x) sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
1 ⎞ nπx ⎛1 Bn = ⎜ − dx . ⎟∫ (φ ( x) − ψ ( x))sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
n = 1,2,L
45
Sekarang akan dicari solusi partikular persamaan peredaman gelombang yang diberikan oleh bentuk Px (t ) . Solusi dari persamaan non-homogen persamaan tersebut dapat dicari menggunakan rumusan D’Alembert, dimana solusi untuk Px (t ) diberkan oleh u ( x, t ) =
t
⎡1
∫ ⎢⎣ 2c ∫ 0
x + c (t − s )
x − c (t − s )
1 ⎤ f ( y , s ) dy ⎥ds = Px (t ) dxdt . 2c ∫ ∫Δ ⎦
Jadi solusi partikular persamaan Gelombang Laut yang teredam adalah sama dengan persamaan sebelum teredam dikarenakan faktor dari Px (t ) adalah pengaruh gaya dari luar jadi solusinya tetap. Persamaan total dari persamaan Gelombang Laut yang teredam adalah jumlah dari persamaan homogen dengan partikular. Jadi solusi totalnya adalah u ( x, t ) =
∞
⎧
∑ ⎨⎩( A n =1
n
+ Bn )cos( t ) + ( An − Bn )
cnπ nπ 1 ⎫ x+ Px (t ) dxdt , sin( t ) ⎬ sin L L 2c ∫ ∫Δ ⎭
1 ⎞ nπx ⎛1 dx , dan dengan An = ⎜ + ⎟ ∫ φ ( x) sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
1 ⎞ nπx ⎛1 Bn = ⎜ − dx . ⎟∫ (φ ( x) − ψ ( x))sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
n = 1,2,L
Contoh Soal. Pada kasus yang sama dengan permasalahan contoh soal di atas dimana diberikan persamaan peredaman Gelombang dan dengan kondisi yang sama sebagai berikut utt + c 2u xx = Px (t ) ,dengan u ( x,0) = x , ut ( x,0) = sin(x) , dan u (0, t ) = u (l , t ) = 0
46
tunjukkan Solusi dari persamaan tersebut jika Px (t ) = 0 ,
Px (t ) = 1 , dan
Px (t ) = cos( x ) (Lihat lampiran).
4.4
Inteprestasi Persamaan Gelombang Sebelum dan Sesudah Peredaman
Pengolahan persamaan Gelombang menggunakan maple sebelum terjadi peredaman yang tidak dipengaruhi gaya luar ketinggian gelombang hanya mencapai 1, sedangkan setelah dipengaruhi oleh gaya luar menunjukkan perubahan ketinggian yang semakin meninggi dikarenakan pengaruh gaya luar yang secara kontinu bergerak di atas permukaan laut. Jadi dengan kata lain gaya luar berpengaruh terhadap pergerakan permukaan air laut yang terjadi. Perhatikan gambar di bawah ini:
Gambar 4. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 sebelum teredam
47
Gambar 5. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 sebelum teredam
Gambar 6. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) sebelum teredam
48
Persamaan Gelombang setelah terjadi peredaman dengan menggunakan maple dapat terlihat bahwa pergerakan gelombang terjadi perlambatan yang diperlihatkan oleh gambar berikut:
Gambar 7. Plot Gelombang pada f(x,t) = 0 setelah teredam
Gambar 8. Plot Gelombang pada f(x,t) = 1 setelah teredam
49
Gambar 9. Plot Gelombang pada f(x,t) = cos(x) setelah teredam
Gambar tersebut di atas mempelihatkan pergerakan gelombang menjadi lebih rendah ketinggiannya dibandingkan sebelum terjadi peredaman. Oleh karena itu,
pergerakan
ketinggian
gelombang
yang
menjadi
semakin
rendah
menyebabkan pergerakan gelombang lebih cepat menghilang dari pada sebelumnya. Jadi dengan begitu evolusi wilayah pantai menjadi semakin kecil. Selain plot di atas juga diperlihatkan dalam lampiran pada kasus faktor gaya luar yang lain. Seperti sin(x), sin(-x) dan cos(-x), kasus tersebut juga memberikan arti yang sama seperti sebelumnya dimana pada kasus peredaman pergerakan gelombang menjadi semakin rendah dari pada gelombang sebelum teredam.
BAB 5 PENUTUP
5.1 Simpulan Dari pembahasan di atas dapat ditarik simpulan sebagai berikut: 1.
Persamaan diferensial parsial gelombang laut yang dapat menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai adalah u tt − c 2 u xx = Px (t ) .
2.
Solusi persamaan diferensial parsial gelombang laut yang dapat menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai dengan formula D’Alembert adalah
u ( x, t ) = 3.
x + ct 1 [φ ( x + ct ) + φ ( x − ct )] + 1 ∫x −ct ψ (s)ds + 1 ∫ ∫Δ Px (t )dxdt 2 2c 2c
Model peredaman persamaan gelombang laut yang menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai dan solusi dari model peredaman tersebut adalah
u tt + c 2 u xx = − Px (t ) solusi dari persamaan tersebut dengan kondisi Dirichlet adalah ∞ nπ cnπ 1 ⎧ ⎫ u ( x, t ) = ∑ ⎨( An + B n ) cos( t ) + ( An − B n ) x− Px (t ) dxdt sin( t ) ⎬ sin L L 2c ∫ ∫Δ ⎭ n =1 ⎩
nπx 1 ⎞ ⎛1 dengan An = ⎜ + dx , dan ⎟ ∫ φ ( x) sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
1 ⎞ nπx ⎛1 Bn = ⎜ − dx . ⎟ ∫ (φ ( x) − ψ ( x) )sin L ⎝ L cnπ ⎠ 0 L
n = 1,2, L
Melalui persamaan diferensial parsial dapat diketahui model persamaan gelombang laut yang menyebabkan evolusi terhadap wilayah pantai serta bentuk peredaman persamaan gelombang laut tersebut yang dapat
50
51
dilihat bentuk model gelombangnya melalui maple. Maple memberikan bentuk model gelombang dan animasinya yang dapat digunakan untuk suatu penelitian dalam keadaan nyata. 5.2 Saran
Berdasarkan pembahasan, penulis mengajukan saran agar aplikasi persamaan diferensial parsial dapat dilanjutkan dengan persamaan order diferensial yang lebih tinggi sehingga dapat lebih detail bentuk-bentuk persamaan gelombang yang lainnya. Selain itu dapat juga dicari bentuk pemodelan persamaan peredaman gelombang laut yang lain dengan penelitian yang lebih nyata penerapannya dalam kehidupan. Melalui persamaan diferensial parsial tersebut dapat diketahui persamaan gelombang laut serta dapat dicari model peredamannya sehingga dapat memberikan manfaat bagi kehidupan.
DAFTAR PUSTAKA
Chorin, A.2005.Minyak Redakan Badai. University of California, Berkeley, AS http://www.kompas.com/teknologi/news/0507/27/202955.htm tgl : 1/10/2007 Desai, C.S.1996.Dasar-dasar Metode Elemen Hingga.Jakarta: Erlangga. Finizio, N. dan Ladas, G.1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, (2rd Edition).Alih Bahasa oleh Santoso, W.Jakarta:Erlangga. Giancoli, D.C.2001.Fisika.Alih Bahasa oleh Hanum, Y.Jakarta: Erlangga. Haberman, R. 1998. Elemntary Aplied Partial Differential Equation: With Fourier Series and Boundari Value Problems. (3rd Edition). USA: Prentice-Hall. Hadi, S. dkk. Pemodelan Evolusi (Erosi-Akrasi) Pantai Akibat Pengaruh Gelombang dan Arus Laut. ITB. Departemen Geofisika dan Meteorologi. http://www.dikti.depdiknas.go.id/p3m/abstrakHB/AbstrakHB01.pdf tgl: 18/04/2007 Haeqal, Y.A.2003. System Architechture (Data and Network Communication Technology).buku karangan Stephen Burd. Thompson Course of Technology.http://bebas.vlsm.org/v06/Kuliah/MTIPSOKS/2005/PSOSK-08-Teknologi_dan_Data_Jaringan_Komputer. pdf tgl:29/04/2007 Kreyszig, E. 1999. Advance Engeneering Mathematics, (8th edition). New York: John Wiley & Sons, Inc. Logan. J.D.1998.Applied Partial Differentian Equations. New York: SpringerVerlag. Nagle, R. E & Saff, E. B. 2006. Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems. New York: Addison-Wesley Publishing Company. Purba, M. 2003. Pertimbangan Ekologi dan Abrasi/Erosi Pantai. IPB, Bogor http://www.kompas.com/kompas-cetak/0312/10/bahari/728562.htm tgl : 2/10/2007
52
53
Rossing, T.D. 1983. The Science of Sound. London: Addison-Wesley Publishing Company. Rovicky.2007.Gelombang Laut. http://rovicky.wordpress.com/2007/01/10/ gelombang-laut/ tgl: 29/04/2007 Tipler, P.A. 1998. Fisika : untuk Saint dan Teknik. (Jilid 1). Jakarta: Erlangga. Tung, K.Y. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika dengan Aplikasi Program Maple. Yogyakarta: Andi Sneddon, I.1957.Element of Partial Differential Equations. New York: McGraw-Hill Kogakusha, Ltd. Strauss, W.A.1992.Partial Differentian Equations an Introduction. New York: John Wiley and Sons, Inc. Waluya, S.B. 2006. Persamaan Differensial. Yogyakarta: Graha Ilmu. Young, H.D. and Roger A.F. 2000. University Physics (Ninth Edition). USA: Addison Wesley Publishing Company, inc.
> > > > >
> > >
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
> > > > >
> >
>
>
>
>
>
>
> >
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
>
>
> > > > >
> > > >
>
>
>
>
>
>
