Méréselmélet és mérőrendszerek

Méréselmélet és mérőrendszerek 1 . E L ŐA DÁ S K ÉS ZÍ TET TE: DR . F Ü V ES I V I K TOR

2 0 1 6. 1 0 .

1

Bemutatkozás Dr. Füvesi Viktor ME AFKI – Alkalmazott Földtudományi Kutatóintézet Műszerfejlesztési és Informatikai Osztály

Email: [email protected], [email protected] Tel.: 565-255/25-12

Web: fuvesi.afki.hu

2

Tantárgyi követelmények Aláírás feltétele o Előadásokon és gyakorlaton való részvétel o 1 db Zh elégséges megírása (lehetséges kérdések listája elérhető a honlapomon)  Pontozás     

1: 0p – 26p 2: 27p – 32p 3: 33p – 38p 4: 39p – 44p 5: 45p – 50p

 Időpontja: gyakorlaton, 3. alkalommal

Gyakorlati jegy o Zh eredménye

3

Féléves tematika Előadás o Mérés és modellezés o Metrológia alapjai o Jelek o DAC és ADC típusai o Digitális jelfeldolgozás alapjai o Szűrés o Mintavételezés

o PC o PLC o DCS

o Buszrendszerek

o Szenzorok és távadók felépítése, működési elveik Gyakorlat o Labview bemutató

o Különféle mérőrendszerek felépítése, működése

4

Magyar irodalom (2016. 08. 29) o Dr. Huba Antal és dr. Lipovszki György: Méréselmélet, kézirat, 2014, ISBN 978-963-313-171-8 http://mogi.bme.hu/TAMOP/mereselmelet/ http://www.mogi.bme.hu/letoltes/MECHATRONIKAI%20&%20IR%C3%81NY%C3%8DT%C3%81STEC HNIKAI%20T%C3%81RGYAK/JELFELDOLGOZAS/IRODALOM/_M%C3%A9r%C3%A9selm%C3%A9let.p df

o Balog László, dr. Kollár István, dr. Németh József, dr Péceli Gábor és dr. Sujbert László: Digitális jelfeldolgozás, kézirat, 2008 https://www.mit.bme.hu/system/files/oktatas/targyak/8635/Digit_jelfeldolg_jegyzet.pdf o Gerzson Miklós: Méréselmélet, Egyetemi tananyag, 2011, ISBN 978 963 279 502 7 http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0008_gerzson/Gerzson_Mereselmelet.pdf o Gerzson Miklós: Méréselmélet példatár, Pécs, 2015 http://virt.uni-annon.hu/index.php/component/docman/doc_download/1779mereselmpldt160214

5

Angol irodalom (2016. 08. 29) o Steven W. Smith: The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd Edition, San Diego, California, ISBN 0-9660176-6-8 http://ft-sipil.unila.ac.id/dbooks/The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Process.pdf o Dimitris Manolakis and Vinay Ingle: Applied Digital Signal Processing, Cambridge, 2011, ISBN 978-0521-11002-0 http://itl7.elte.hu/~zsolt/Oktatas/Applied_Digital_Signal_Processing.pdf o Measurement Computing: Data Acquisition Handbook, 3rd Edition http://www.mccdaq.com/pdfs/anpdf/Data-Acquisition-Handbook.pdf o Sophocles J. Orfandis: Introduction to Signal Processing, Rutgers University, 2010 http://eceweb1.rutgers.edu/~orfanidi/intro2sp/orfanidis-i2sp.pdf

6

Mai témáink o Feladatok kiosztása o Mérés o Alapfogalmak

o Modellezés o Modell típusok

o Metrológiai alapjai o Mértékegység rendszerek o SI egységek o SI prefixumok

7

Mérés célja és fogalma o Mérés célja o Egy rendszer vagy folyamat valamely jellemzőjének meghatározása. o Mérnöki tevékenység alapeleme.

o Mérés fogalma o A mérendő mennyiség (fizikai, kémiai, stb.) és az alapul választott mértékegység összehasonlítása. o Mérés közben azt állapítjuk meg, hogy a mért mennyiség hányszorosa az egységnek (etalonnak):

Mennyiség = mérőszám · mértékegység Például: l = 3 m

8

Mérés fogalmai o Mérés általános definíciója A mérés a mért jellemzők közötti viszony kifejezése szimbólumok közötti viszonnyal.

o mért jellemzők viszonyának kifejezése a többi lehetséges kimenetelhez képest o szimbólum készlet elemei tetszőlegesek o nagyság kifejezése mellett az azonosítás is

9

Mérés fogalmai o Mérési eredmény: egy szimbólum és a skálainformáció együttese. o A skálainformáció: az adott méréshez kapcsolódó megállapodások (konvenciók) együttese.

o Mérési hiba: a valóságos és az ideális mérési eredmények között az adott szimbólum halmazon értelmezett távolság: o A távolság két pont közé eső szakasz hossza. A fizikában, vagy a mindennapi életben a távolságot többnyire különböző hosszúságegységekben adják meg. A matematika ezt a fogalmat általánosítja, különböző mértékeket, metrikákat vezetve be. o A távolság egy nem negatív skalármennyiség, aminek nincs iránya (az elmozdulásra, mint vektormennyiségre jellemző annak iránya is).

10

Mérés fogalmai o Hasonlóság o annak a számszerű mértéke, hogy mennyire egyforma két adat objektum o értéke annál nagyobb, minél egyformább a két objektum o gyakran a [0,1] tartományba esik

o Különbözőség o o o o

annak a számszerű mértéke, hogy mennyire különbözik két adat objektum értéke annál kisebb, minél egyformább a két objektum a különbözőség legkisebb értéke gyakran 0 a felső korlát változó lehet

o A távolság értéke a hasonlóság és a különbözőség mértékétől függ.

11

Távolságok o Koordinátageometria o az xy sík két pontja (x1, y1) és (x2,y2) akkor a d távolság 𝑑=

𝑥2 − 𝑥1

2

+ 𝑦2 − 𝑦1

(1)

2

o a tér két pontja (x1, y1, z1) és (x2,y2, z2) akkor a d távolság 𝑑=

𝑥2 − 𝑥1

2

+ 𝑦2 − 𝑦1

2

+ 𝑧2 − 𝑧1

2

(2)

o Euklideszi norma o Az euklideszi norma az adott p pont origótól mért távolság 𝑝 =

𝑝12 + 𝑝22 + ⋯ + 𝑝𝑛2

(3)

12

Távolságok o Euklideszi térben mért távolságok (x1, y1, … ,zn) és (x2,y2, … ,zn) n dimenziós pontok o 1 normán alapuló távolság (Manhattan-metrika)

𝑛

𝑝

1

=

𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

(4)

𝑖=1 𝑛

o 2-normán alapuló távolság (euklideszi metrika)

𝑝

o P-norma távolság

𝑝

2

=

1/2

𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

2

𝑖=1 𝑛 𝑝

=

(5) 1/𝑝

𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

𝑝

(6)

𝑖=1

1/𝑝

𝑛

o Végtelen normán alapuló távolság (Csebisev-metrika)

𝑝

∞

= lim

𝑝→∞

𝑥𝑖 − 𝑦𝑖

𝑝

(7)

𝑖=1

13

Mérés fajtái o Közvetlen mérés o A keresett mennyiséget mérjük meg és a mérés eredményét közvetlenül a mérőeszközről kapjuk. o pl.: kétkarú mérleg

o Közvetett mérés o A keresett mennyiséggel egyértelműen összefüggő másik mennyiséget mérjük, és ebből számítással határozzuk meg a keresett mennyiséget. o pl.: hőellenállás, piezoelektromos gyorsulásmérő

14

Modellezés és modell fogalmai o Modellezés feladata: A jellemzők kiválasztása és valamilyen formalizmussal történő leírása. o A modellek segítségével lehetővé válik: o a valóság egy részének kiemelése, o jelenségek leegyszerűsítése, o az ismeretek rögzítése, átadása.

o Egy jelenség → több modell o Tudományos modellalkotás objektív, alapjai: o fizikai, kémiai, gazdasági törvények, o matematikai formalizmusok.

15

Modellezés és modell fogalmai o Modellek osztályozása: o funkcionális (térképek, tervrajzok, áramköri rajzok, blokkvázlat, folyamatábra) o fizikai (kicsinyített, áramköri, makettek, egyszerűsített prototípusok, számítógépes szimulációs modellek) o matematikai (egyenletek, egyenletrendszerek, függvények)

o A modellezés alapfogalmai: o szeparáció (objektumok) – körülhatárolás o szelekció (jelenségek) – válogatás o gazdaságosság (egyszerűség)

T 34/85 makett

o A modellhez felhasznált információnak két forrása lehet: o a priori (a vizsgálat megkezdésekor rendelkezésre áll) o a posteriori (a megfigyelés során nyert új információk) 16

Modellek típusai o A modell típusának kiválasztása: o cél szempontjából lényeges vonások o alkalmazható modellezési eljárások o rendelkezésre álló ismeretanyag o Törvények

o Egyenletek típusa o Struktúra o Egyenletek/tagok száma

Statikus ismeretek

o Paraméterek o Együtthatók értéke

o Állapot o Időbeni működés leírása

Dinamikus ismeretek

17

Modelltípusok és struktúra kapcsolata Ismert

Ismeretlen Struktúra

Identifikációs folyamat Paraméterek

Modell típusa

Példa

Fekete doboz modell

Átviteli függvények

Szürke doboz modell

Differenciál egyenletek heurisztikus nemlinearitással

Fehér doboz modell

Differenciál egyenletek

Struktúra identifikáció Struktúra

Struktúra

Paraméterek

Paraméterek Paraméter identifikáció

Struktúra

Paraméterek

18

Modellezés lépései

19

Metrológia - alapfogalmak o Mérhető mennyiség: Jelenség, tárgy vagy anyag minőségileg megkülönböztethető és mennyiségileg meghatározható tulajdonsága. o Mennyiségrendszer: Egymással összefüggésben lévő, általános értelemben vett mennyiségek összessége. o Alapmennyiség: Egy mennyiségrendszer olyan mennyiségeinek egyike, amelyeket megállapodásszerűen egymástól függetlennel tekintenek. o Származtatott mennyiség: Egy mennyiségrendszerben a rendszer alapmennyiségeinek függvényeként definiált mennyiség. 20

Metrológia - alapfogalmak o Mennyiség dimenziója: Kifejezés, amely egy mennyiségrendszer valamely mennyiségét a rendszer alapmennyiségeit reprezentáló tényezők hatványainak szorzataként adja meg. o Egység dimenziójú mennyiség, dimenziótlan mennyiség: Mennyiség, amelynek dimenzió-kifejezésében az alapmennyiségek dimenzióinak hatványkitevői mind zérusok. o Mértékegység: Megállapodás alapján elfogadott és definiált konkrét mennyiség, amellyel az ugyanolyan fajtájú más mennyiségek az e mennyiséghez viszonyított nagyságuk kifejezése céljából összehasonlíthatók. o Mértékegység-rendszer: Egy adott mennyiségrendszerhez tartozó alapegységek és adott szabályok szerint meghatározott származtatott egységek összessége. 21

Metrológia - alapfogalmak o Koherens mértékegység: Az alapegységek hatványainak szorzataként kifejezhető olyan származtatott egység, amelyben az arányossági tényező 1. o Koherens mértékegységrendszer: Olyan mértékegységrendszer, amelynek minden származtatott egysége koherens.

22

Mértékegységrendszer - Történelem o 1791 Párizsi akadémia 3 alapmennyiséget határoz meg o Hosszúság – méter o Tömeg – kilogramm o Idő – másodperc

o Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) o német matematikus o 1832-ban kidolgozza a cgs rendszert (centiméter gramm secundum) o 1881. évi párizsi konferencián véglegesítették

10 német márka

23

Mértékegységrendszer – Történelem o MKSA nemzetközileg is elismert rendszer o Méter, kilogramm, másodperc, amper mennyiségekből kapat a nevét o 1948 - kiegészítették: erő (newton);energia (joule) teljesítmény (watt)

o 1960 – 11. Általános Súly- és Mértékügyi Konferencia SI rendszer megszületése o Általános metrológia definíciója o Alap és kiegészítő egységek definiálása o Prefixumok meghatározása

24

SI előnyei o Összehangol (koherens) o Számítási egyenletek egyszerűek o Megkönnyíti a gazdasági és tudományos összehasonlítást o Egyetemes o Megtartotta a korábban alkalmazott egységeket o Tömeg és erő szétválasztása

o Ellentmondás mentes

25

SI rendszer elemei o Mennyiség értéke: Valamely konkrét mennyiség nagyságának kifejezése egy szám és egy egység szorzataként. o Mérőszám – számérték: Megadja, hogy egy mennyiség hányszorosa / hányadrésze a választott mértékegységnek. o Dimenzióegyenlet: Megadja egy származtatott mennyiségét visszavezethetőségét az alapmennyiségekre. o Prefixumok: Alkalmazásuk célja a nagy vagy kis mennyiségek kifejezésének egyszerűsítése, a decimális szorzó helyettesítése.

26

SI egységek mértékegység neve

jele

mennyiség neve

mennyiség jele

méter

m

hossz

l (kis L)

kilogramm*

kg

tömeg

m

másodperc

s

idő

t

amper

A

elektromos áramerősség

I (nagy i)

kelvin

K

abszolút hőmérséklet

T

mól

mol

anyagmennyiség

n

kandela

cd

fényerősség

Iv

radián

rad

síkszög

α,β

szteradián

sr

térszög

Ω

*A tömeg SI-alapegysége viszont a kilogramm, amely a nevének megfelelően pontosan 1000 grammot jelent. Az SI rendszer megalkotói nem egy természeti állandóra alapítva rögzítették a tömeg alapegységét, hanem azt a Sèvres-ben (sevr) gondosan őrzött etalon tömegeként definiálták, és magát a grammot is ebből kell visszaszármaztatni. A név eredetileg a grave volt, de ez a szó rosszul hangzott a forradalmárok számára, mert a német Graf (gróf) szóra emlékeztetett.

Kiegészítő egységek

SI egységek

27

SI egységek 1 méter

A fény által vákuumban 1/299 792 458 s idő alatt megtett út.

1 kilogramm

1889 óta Sèvres-ben őrzött platinum-iridium henger, mint a kilogramm nemzetközi ősetalonja, (az egyetlen prototípus alapú alapetalon!)

1 másodperc

Az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusának időtartama.

1 amper

1 A konstans áram folyik két párhuzamos, végtelen hosszú, egymástól 1 m távolságban lévő, elhanyagolható keresztmetszetű vezetőben, ha közöttük vákuumban, méterenként 2x10-7 N erő mérhető.

1 Kelvin

A víz hármaspontja termodinamikai hőmérsékletének 1/273.16-szorosa.

1 mól

Egy rendszer anyagának azon mennyisége, amely ugyanannyi elemi egységet tartalmaz, ahány atom van a 12-es tömegszámú szén 0,012 kg-jában.

1 kandela

Olyan fényforrás fényerőssége adott irányban, amely 540×1012 Hz frekvenciájú monokromatikus sugárzást bocsát ki, és sugárerőssége ebben az irányban 1/683 W/steradian. 28

SI egységek jövője (jelene) o 2011 október 16 – 22.: XXIV általános Súly- és Mértékügyi Konferencia o Jelentős változások a mértékegység rendszerrel kapcsolatosan o mértékegységeket általános fizikai állandókkal definiálása o hét általános természeti állandó értékének használata o a cézium-133 által kibocsátott fény frekvenciája ν = 9 192 631 770 Hz

o a fény sebessége c = 299 792 458 m/s o a Planck-állandó h = 6,62606·10−34 J s o az elemi töltés nagysága e = 1,60217·10−19 C o a Boltzman-állandó k = 1,3806·10−23 J/K o az Avogadro állandó NA = 6,02214·1023 mol−1 o a fényhasznosítás értéke Kcd = 683 lm/W

29

SI-prefixumok Szorzó hatvánnyal számnévvel Y 1024 kvadrillió Z 1021 trilliárd E 1018 trillió 15 P 10 billiárd T 1012 billió 9 G 10 milliárd M 106 millió k 10³ ezer h 10² száz da (dk) 101 tíz 0 – 10 egy

Előtag Jele yottazettaexapetateragigamegakilohektodeka–

Előtag Jele – decicentimillimikronanopikofemtoattozeptoyokto-

– d c m µ n p f a z y

Szorzó hatvánnyal számnévvel 100 egy −1 10 tized 10−2 század −3 10 ezred −6 10 milliomod 10−9 milliárdod −12 10 billiomod 10−15 billiárdod −18 10 trilliomod −21 10 trilliárdod 10−24 kvadrilliomod

30

Továbbikban o Mérési struktúrák o Mérési eljárások o Explicit o Implicit o Mérési módszerek csoportosítása o Jelek o Fogalmak o Felosztás o Jelátalakítók

o Jelek feldolgozásának alapjai o Alapfogalmak o Kovariancia o Korreláció o Regresszió o Fourier sorok

31

Mérési struktúrák o Mérés művelete: o Jel- és rendszerelméleti aspektus: A mérendő jellemző és a szimbólum halmaz közötti leképezés megvalósítása o Metrólógiai aspektus: Skálainformáció konstruálása

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje 32

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje o Mérendő objektum o a mérést magában foglaló modellezés tárgya o kimenő/bemenő jelei hordozzák az információt

o Mérőeszköz o o o o o

kimenetén a szükséges mérési eredményt kapjuk bemenetén a zajjal terhelt információ van kölcsönhatásba kerül a mérendő objektummal szelektív módon gyűjti be az információt elsődleges adatfeldolgozása 33

Mérés jel- és rendszerelméleti modellje o Jelátviteli csatorna o az objektum és a mérőeszköz közötti kölcsönhatás nem közvetlen o a megfigyelt jelekre zajok szuperponálódnak o ezek reprezentálására alkalmas a jelátviteli csatorna o ismerete a mérés tervezése szempontjából lényeges

34

Mérési eljárás o Jelölések és definíciók o α a mérendő jellemzők vektor o M(α) az előzetes modell o Mα az α tartozó valamennyi lehetséges modell v. modell osztály o M(a) az optimális modell o Mérés célja: Annak a M(α*) ϵ Mα modellnek a megtalálása, amelyik a leginkább hasonló M(a) optimális modellhez. o „megtalálás”: a mérési eljárásban fizikailag vagy koncepcionálisan meglévő modell változtatása o M(a) és M(α*) közti különbség: mérés során elvi és gyakorlati okok miatt nem érhetők el az ideális paraméterek o „leginkább hasonló”: hasonlósági kritérium C = [M(a), M(α)]

35

Mérési eljárás o Optimális mérési eljárás: Olyan mérési eljárást, amely a modellezési feladathoz hozzárendelt Ma modellosztályból kiválasztja a C hasonlósági kritérium minimumát biztosító M(α*) modellt, a mérendő objektum megfigyelése útján. o Az α* paramétereket az a paraméterek optimális becslésének nevezzük. o mérési eljárások csoportosítása a mérőeszköz beépítése, az elsődleges adatfeldolgozás jellege alapján: o Explicit o implicit

36

Explicit mérési eljárás Zavarás Gerjesztés

Zajmentes kimenet

Zajjal terhelt megfigyelés

Optimális megfigyelés

Előzetes modell

Explicit(közvetlen, egy lépéses, nemrekurzív) 37

Explicit mérési eljárás o Mérés menete: Elvégezzük a szükséges számú mérést, majd ezeket egy lépésben kiértékelve megkapjuk a mérési eredményt. o Információs szempont o Nagy mennyiségű adat o Nincs időkorlát o Példa: Az explicit mérési eljárásra a legegyszerűbb példa egy olyan mérés, ahol a mérés során fellépő hibák miatt több párhuzamos mérést kell elvégezni a mérőrendszer ugyanolyan beállításánál. Ekkor elvégezzük a párhuzamos méréseket, majd átlagolás segítségével meghatározzuk a keresett paraméter becsült értékét.

38

Implicit mérési eljárás Implicit (rekurzív, iteratív, modelljavító)

Zajmentes kimenet

Gerjesztés

Zavarás Zajjal terhelt megfigyelés

Előzetes modell

Aktuális modell Optimális megfigyelés

Választás kritériuma Modell kimenete

(i) az i-dik lépésre/mérési ciklusra utal 39

Implicit mérési eljárás o Mérés menete: A hasonlósági kritérium lépésenkénti kiértékelése, és ennek alapján a modell paramétereinek változtatása a mérendő objektum és a beépített modell egyre nagyobb hasonlósága érdekében.

o Információs szempont o Kevés adat o Szoros időkorlát o Példa: A kétkarú mérleggel történő tömegmérés. Az M(a) a mérendő tárgy, az a meghatározandó paraméter ennek az ismeretlen tömege. Az n mérési zaj származhat a mérleg mechanikájából, de érzékeny mérleg esetében lehet ez légáram vagy rezgés is. Az M(α) modell a méréshez használt súlyok. Az iterációt itt a súlyok felrakása vagy levétele jelenti. Amíg a két oldalt megfelelő mértékben egyensúlyba nem hoztuk, addig végezzük a súlyok felrakását/levételét.

40

Mérési módszerek csoportosítása o Etalon: Mérték, mérőeszköz, anyagminta vagy mérőrendszer, melynek az a rendeltetése, hogy egy mennyiség egységét, illetve egy vagy több ismert értékét definiálja, megvalósítsa, fenntartsa vagy reprodukálja és referenciaként szolgáljon. o Példák: o l kg-os tömegetalon; o 100 Ω-os normálellenállás; o etalon ampermérő; o cézium frekvencia etalon; o standard hidrogén elektród; o bizonylatolt koncentrációjú, emberi szérumban oldott kortizont

41

Mérési módszerek csoportosítása o fizikailag azonos természetű etalon van jelen o előny: pontos mérés o hátrány: hosszadalmas eljárás, nem minden esetben megvalósítható

o Etalon jelenléte szerint o Közvetlen összehasonlítás o Közvetett összehasonlítás o Differencia módszer

o A közvetett és a közvetlen módszerek előnyeinek egyesítése o pontosabb, mint a közvetett o gyorsabb, mint a közvetlen o pontosság feltétele: a segédskáláról leolvasott mennyiség jóval kisebb legyen, mint az etalon alapján meghatározott mennyiség

o o o o

etalon nincs jelen, mérés átalakítás alapján előny: gyors, széleskörű alkalmazhatóság hátrány: kevésbé pontos kalibráláskor az etalonra szükség van

42

Jelek a világban Jel: valamely fizikai mennyiség (jelhordozó) A jel által átvitt információ és a jellemző érték kapcsolatát a kódolás szabja meg. egy jellemző értékének alakulása (többnyire időbeli változása). A jelhordozó típusa lehet: Jel (vagy jel kód o elektromos, információ) o pneumatikus, kódolás dekódolás o fény, o stb. A jelek csoportosítása: o analóg A jelhordozó lehet a jel o nagysága, o digitális o frekvenciája, o fázisa, o stb.

43

Jelek felosztása Időbeni lefolyás szerint

Értékkészlet szerint

AMPL. \ IDŐ

Példa

FOLYAMATOS

DISZKRÉT

Legtöbb fizikai v. kémiai állapothatározó (pl.: nyomás, hőmérésélet)

FOLYTONOS T0

A/D átalakító jele

DISZKRÉT T0

1

1

kapcsoló

BINÁRIS 0

0 T0

44

Jelek felosztása o Értékkészlet szerint: o Folytonos: értékkészletük összefüggő tartomány. o Diszkrét: csak kitüntetett értékeket vehetnek fel o Bináris: o diszkrét jelek speciális esete o csak két különböző értéket vehet fel o Időbeni lefolyás szerint: o Folyamatos: vizsgált időintervallumon belül bárholt meghatározható. (pl.: analóg műszerek) (8) y=f(t), tϵR -∞ < t < ∞ t: időváltozó o Diszkrét vagy szaggatott: csak kitüntetett időpontokban (mintaételezéskor) ismert az értéke. (pl: digitális műszerek) (9) y=f[k], kϵZ kϵ [-∞, …, -1, 0, 1, 2, …, ∞] k: diszkrét idő 45

Jelek osztályozása Szinuszos Periodikus (ismétlődik) Determinisztikus (meghatározott) Villamos jelek

Általános periodikus

Kvázi periodikus Nem periodikus (nem ismétlődik) Tranziens

Sztochasztikus (nem meghatározott) 46

Jelek osztályozása o Meghatározottság szerint: o Determinisztikus: egyértelműen, meghatározott időfüggvénnyel megadhatók. Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha értékét minden t időpillanatra előre ismerjük. Pl.: y(t) = t vagy y[k] = sin[k] o Sztochasztikus: Idő függvénnyel nem megadható jel. Általában a rendszerben fellépő zajok, zavarások okozta véletlenszerű hatások miatt a jel ebben az esetben csak valószínűségszámítási módszerekkel írható le. Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha időfüggését nem ismerjük előre, de meg tudjuk határozni bizonyos statisztikai jellemzőit. Pl.: Tipikus sztochasztikus jelek a különböző zajok. Melyek időfüggvény formájában nem adhatók meg, de statisztikai tulajdonságaik ismertek.

47

Jelek osztályozása o Szinuszos jel 𝑔 𝑡 = 𝐴 sin(2𝜋𝑓1 𝑡 + 𝜑)

Amplitudó (A)

(10)

g(t) t

Periódusidő (T) 1 Frekvencia: 𝑓 = [𝐻𝑧] 𝑇

Körfrekvencia: 𝜔 = 2𝜋𝑓1 48

Jelek feldolgozása o Alapfogalmak o Determinisztikus kapcsolat: függvénykapcsolatot jelent két adatsor között. Az egyik ismérv (változó) bármely értékéhez a másik változó egy adott értéke tartozik. o Sztochasztikus kapcsolat: nincs egyértelmű függvénykapcsolat a két ismérv értékei között, de fennáll egy tendenciajellegű kapcsolat, mint pl a testmagasság és a testsúly között. Két változó esetén ez jól szemléltethető pontdiagrammal. o Korrelálatlanság: már tendenciajellegű kapcsolat sem állapítható meg.

49

Jelek feldolgozása o Kovariancia (együttingadozás) o Képezzük az egyes összetartozó x és y értékek eltérését az x-átlagtól, ill. az y-átlagtól. A két eltérést szorozzuk össze. Minden egyes (x, y) értékpárra kiszámítható az eltérésszorzat, és a kovariancia nem más, mint ezen eltérésszorzatok átlaga.

Cov( X , Y )  C XY





1 n   xi  x  yi  y n i 1 dx



(11)

1 n x   xj n j 1

1 n y   yj n j 1

d  C

dy

x

dy

n

o Kiszámítása: C XY

1 n   xi  y i  x  y ; n i 1

(12)

50

Jelek feldolgozása o Kovariancia tulajdonságai o Az előjele mutatja a kapcsolat irányát. o Az ismérvek függetlensége esetén a C = 0. (Megfordítva nem áll: ha C=0, akkor a kapcsolat korrelálatlan, de nem feltétlenül független, a függetlenség szigorúbb feltételeket jelent, mint a korrelálatlanság) o C abszolút értéke akkor maximális, ha x és y között lineáris függvénykapcsolat áll fenn, ekkor: C max   x   y (13) 1 n    xi  x 2 n i 1 2 x

1 n     yi  y 2 n i 1 2 y

51

Jelek feldolgozása o Kovariancia tulajdonságai o Mivel C mértékegység-függő, ezért célszerű elosztani a maximális értékkel, és akkor egy előjeles mutatót kapunk: a lineáris korrelációs együtthatót:

rxy 

C xy

 x  y

rxy 

d d d d x

y

2 x

2 y

(14)

o A kovariancia x és y szempontjából szimmetrikus: rxy=ryx o Egy változó esetén az önmagára vonatkozó kovariancia a variancia, azaz szórásnégyzet. A szórásnégyzet tehát a kovariancia speciális esete: C xx   2x

52

Jelek feldolgozása Ha x átlag feletti értékei társulnak y átlag feletti értékeivel, az átlag alattiak meg az átlag alattival, akkor pozitív különbséget szorzunk pozitívval, vagy negatívat különbséget negatívval, a szorzatok pozitívak lesznek, ezek átlaga is pozitív!

Ha x átlag feletti értékei társulnak y átlag alatti értékeivel, akkor pozitív különbséget szorzunk negatívval, a szorzatok negatívak lesznek, ezek átlaga is negatív!

Megfigy.

Cov(x,y) > 0

Ha x, y rendszertelenül mozognak, a két fenti eset keveredik, a szorzatok hol pozitívak lesznek, hol negatívak, így az átlaguk 0 lesz!

Megfigy.

Cov(x,y) < 0

Megfigy.

Cov(x,y) ≈ 0 53

Jelek feldolgozása o Korreláció (Pearson Correlation, Product Moment Correlation): Kovariancia osztása x és y változók szórásának szorzatával. Corr ( x, y ) 

Cov( x, y )       xj   xj m j 1  j 1  m

o o o

m

2

   m    y j   y j m  j 1  j 1  m

m



2

Cov( x, y )  x  y

(15)

m

Értéke maximum +1, ha a két változó teljesen együtt mozog Értéke maximum -1, ha a két változó teljesen ellentétesen mozog Értéke 0, ha a két változó közt nincs kapcsolat

54

testmagassá

BMI

30 20 10

Jelek feldolgozása

20 10

200 190 180 170 160 150 140 130

0

25

50

75

100

50

kor (év)

erős negatív korreláció

A kapcsolat erőssége

0 - 0,25

Nincs vagy igen gyenge

0,25 - 0,50

Gyenge 2

2

1

L-koleszterin (mmol/l)

L-koleszterin (mmol/l)

Corr(x,y) > 0

Korrelációs koefficiens

3

150

testsúly (kg)

Corr(x,y) > 0 nincs korreláció

100

140

25

50

75

100

50

3

2

1

0 140

165

100

150

testsúly (kg)

erős negatív korreláció

nincs korreláció

HDL-koleszterin (mmol/l)

testmagasság (cm)

BMI

30

150

kor (év)

210

40

160

130

0

erős pozitív korreláció

50

170

HDL-koleszterin (mmol/l)

gyenge pozitív korreláció

180

190

testmagasság (cm)

Corr(x,y) ≈ 0

3

2

1

0 35 50 65 80 95 110125140

testsúly (kg)

Corr(x,y) < 0

3

0,50 - 0,75

Mérsékelten erős vagy erős

0,75 - 1,00

1 erős Igen

55

Jelek feldolgozása o Regresszió o a változók közötti kapcsolat elemzésének elterjedt eszköze. o Alapesetben azt vizsgálja, hogy egy kitüntetett, a vizsgálat tárgyát képező változó, amelyet eredményváltozónak (vagy függő változónak) nevezünk, hogyan függ egy vagy több ún. magyarázó (vagy független) változótól. o A regresszió számításkor: o keressük azt a függvényt, amelyik leírja a magyarázó változó(k) és az eredményváltozó kapcsolatát, o értelmezzük a függvény paramétereit és egyéb jellemzőit, o elemezzük az egyes befolyásoló tényezők hatását, o a kapcsolat szorosságát, o az előrejelzés lehetőségeit. 56

Jelek feldolgozása o Regressziós függvények o lineáris regresszió, o hatványkitevős regresszió, o exponenciális regresszió, o parabolikus regresszió, o hiperbolikus regresszió. 57

Jelek feldolgozása o Regresszió modellje Tételezzük fel, hogy X lineáris törvényszerűség szerint fejti ki hatását Y-ra, illetve közrejátszik egy véletlen mozzanat is.

(16)

58

Jelek feldolgozása o Regressziós együtthatók becslése o A lineáris regresszió ismeretlen β0 és β1 paramétereinek becsléséhez kizárólag az (xi , yi ) adatpárokkal (megfigyelési eredményekkel) rendelkezünk.

o Jelöljük a regressziós együtthatók becsléseit rendre b0 és b1 szimbólumokkal, a becsült regressziófüggvény pedig legyen: A becsült regressziós együtthatók kiszámításához a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazzuk. (17) Keressük f(b0, b1) fgv-t. Minimum! 59

Jelek feldolgozása o Regressziós együtthatók becslése (18)

b0 és b1 meghatározása (19)

A b0 regressziós együttható jelentőségét az adja meg, hogy az X = 0 helyen a függvény éppen ezt az értéket veszi fel. Értelmezése tehát attól függ, hogy a nulla beletartozik-e azon X értékek halmazába, amelyből a regressziót számítottuk, vagy legalábbis logikailag az értelmezési tartomány részének tekinthető-e?

A b1 regressziós együttható geometriai értelemben az egyenes meredekségét meghatározó iránytangens, azaz dy /dx . A korrelációs kapcsolat elemzésekor ebből azt olvashatjuk le, hogy a tényezőváltozó egységnyi változása mekkora hatással jár együtt az eredményváltozóban.

60

Fourier sorok o Történelem o o o o o o

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) matematikus es fizikus A hő terjedését tanulmányozta 1807-ben írt dolgozatában a hő eloszlását szinuszokkal próbálta közelíteni A dolgozat bírálói: J. L. Lagrange (1736-1813) és P. S. Laplace (1749-1827) A dolgozatot Lagrange kérésére visszautasították 15 évvel később, Lagrange halála után, megjelenik a dolgozat

61

Fourier sorok Az f(t) periodikus, állandó amplitúdójú jel harmonikus összetevőkre bontható, azaz elméletileg végtelen számú, különböző amplitúdójú és frekvenciájú szinusz és koszinusz jelek összegeként írható fel.

Egy periodikus jel ugyanúgy, mint a fehér fény - összetevőkre bontható, amelyek összege szolgáltatja az eredeti jelet.

Ha ezt a felbontást hagyományos módon az idő függvényében, az időtartományban végezzük, akkor az eredeti jel egymáshoz képest kötött fázisviszonyú (helyzetű) szinuszos (koszinuszos) jelekből állítható össze. A legkisebb összetevő frekvenciája megegyezik az eredeti jel ismétlődési frekvenciájával, és az egyes összetevők frekvenciája ennek az alapfrekvenciának egész számú többszöröse. 62

Négyszög közelítése

63

Fourier-sorfejtés (20) Periódusidő: Alapharmónikus: Körfrekvencia:

64

Komplex alak Felhasználva az Euler-formulát, az összefüggés átírható:

(21)

65

2 T 

Frekvencia [Hz] f (t ) 

Idő

Intenzitás [db]

Intenzitás [db]

Idő

Amplitúdó

Amplitúdó

Jelek közelítése

(22)

4 1 1 1   sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t  ....  3 5 7 

(23) Frekvencia [Hz] 8  1 1 1  f (t )  2  sin t  2 sin 3t  2 sin 5t  2 sin 7t  ....   3 5 7  66

Következőkben o Jelfeldolgozás o Fourier transzformáció o Frekvencia analízis o Jelek mintavételezése o Shannon-törvény o Aliasaing

o Szűrés o o o o o

Ideális szűrők Valós szűrők FIR IIR Szűrők fizikai megvalósítása

67

Jelfeldolgozás o Időtartományban o Az időben zajló folyamatok elemzését idősoros analízisnek (time series analysis) is nevezik, mely során az idősor karakterisztikáját próbálják leírni matematikai modellekkel. Az idősor az időben zajló folyamatokról azonos időközökben gyűjtött adatokat jelenti (mintavételezett jel), mellyel az idő függvényében lehet vizsgálni különféle folyamatokat. Az idő alapú jelfeldolgozás elején a mért jelet rektifikálják (egyenirányítás) valamint normalizálják (standardizálás). o Frekvenciatartományban o A mért jelet időtartományból frekvenciatartományba transzformálják (DFT, FFT, stb.), a jel eltérő frekvenciájú és amplitudójú periodikus jelekből álló frekvencia spektrumát vizsgálják, szűrik.

68

Jelfeldolgozás időtartományban o Az idősor mutathat: o trendet (hosszú távú tendencia), o szezonális ingadozást (rövid távú ismert periódusú ismétlődés) o ciklust (szabálytalan, ismeretlen hosszúságú hullámzás)

leírhatóak determinisztikus modellekkel

o Leginkább két hasznosítása van az idősorok elemzésének: o előrejelzés (predikció, extrapoláció) o adatpótlás (interpoláció)

69

Jelfeldolgozás - Szűrés o Időtartományban: o Átlagolással o Minta csökkentéssel o Frekvenciatartományban: o Aluláteresztő szűrő o Felüláteresztő szűrő o Sávzárő szűrő o Sáváteresztő szűrő o Egyéb szűrő felhasználásával o Mintacsökkentés itt is lehetséges o Ablakozási módszerek

70

Középértékek alkalmazása Középértékek meghatározása Cél azonos fajta adatok helyettesítése egy jellemző számértékkel o Követelmények: o közepes helyet foglaljanak el o számszerű adatok halmazának legyenek tipikus értékei o könnyű matematikai meghatározhatóság o értelmezhetőség o robosztusság – érzéketlenség kiugró adatokra o Középértékek: o Számított átlag: számtani, harmonikus, mértani, négyzetes o Helyzeti átlag: módusz, medián

71

Számított középérték Mozgó átlag ◦ az ideális és a rekurzív átlagban az egyes tagok egyforma súllyal szerepelnek

◦ a súlyozott átlagban a súlyok nem azonosak, de egy adott átlagolás során állandóak ◦ ha az adatok időben lassan változnak, akkor az átlagolásban nem célszerű minden tagot egy forma súllyal szerepeltetni; célszerű a régebbi tagokat egyre kevésbé figyelembe venni: ◦

Abalakos átlagolás: a régi értékek elhagyása, az átlagképzést csak az utolsó meghatározott számú mérésre hajtják végre

◦

Felejtő átlagolás: a régi értékek fokozatosan (exponenciálisan) csökkenő súllyal szerepelnek az átlagolásban

72

Számított középérték (24)

(25)

73

Számított középérték (26)

(27)

(28)

74

Ismétlés

75

Ismétlés

76

Spektrum – Alapfogalmak

77

Spektrum – Alapfogalmak

78

Spektrum – Alapfogalmak

79

U[V]

Frekvencia analízis

T[ms]

Tvalós_jel

1 𝑇𝑣𝑎𝑙ó𝑠_𝑗𝑒𝑙

= 𝑓𝑣𝑎𝑙ó𝑠_𝑗𝑒𝑙 = 𝑓1

alapharmónikus 80

Frekvencia analízis

Tvalós_jel

Nem ismert pontosan!

T[ms]

Analízisre kijelölt regisztrátum a periódikus jel 1 periódusa!

Tvalós_jel=Tregisztrátum=T1 81

Frekvencia analízis N darab mintát fmv mintavételezési frekvenciával megmérünk, akkor a regisztrátum időtartama:

𝑓𝑟𝑒𝑔

𝑓𝑚𝑣 = = 𝑓1 𝑛

Treg a jel periódusideje

82

Frekvencia analízis Adott egy ideális szinuszjel, aminek frekvenciája f1. Amennyiben mintavételezéskor egy egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mérünk, a spektrum 1 komponensból áll

83

Frekvencia analízis Abban az esetben, ha nem egész periódust, vagy annak egész számú többszörösét mértük, a kivágott regisztrátumot egymás mögé illesztve nem az eredeti jelet kapjuk

Ennek következtében az eredeti jel hiába ideális szinusz, a spektrum nem egy összetevőt ad, hanem egy „sátor” jellegű spektrumképet!!

84

Frekvencia analízis Következtetés: Ha a mért jel frekvenciájának és a spektrum alapharmónikusának hányadosa nem egész szám, akkor a frekvencia spektrum nem létező oldal-harmónikusok jelennek meg.

𝑓𝑗𝑒𝑙 ∈𝑍 𝑓1

EGÉSZ!!

𝑓𝑗𝑒𝑙 ∙𝑛

𝑓𝑚𝑣

= egész szám

85

Frekvencia analízis – Shannon-törvény Lehetőségek: 𝑇𝑟𝑒𝑔

𝑓𝑟𝑒𝑔

𝑓𝑚𝑣

𝑓1

Spektrum frekvencia tengelyének felbontását

Shannon-féle mintavételi törvény

86

Frekvencia analízis

87

Frekvencia analízis - Aliasing A mintavételi frekvencia csökkentésével növekszik az un. Aliasing jelenség kockázata, nélküle is lehet ilyen jelenség.

Ha a mintavételezési törvényt nem tartjuk be, akkor a mintavételezett jelben nem létező összetevők jelenhetnek meg. Ezek az alias jelek.

88

Frekvencia analízis - Aliasing

89

Frekvencia analízis - Aliasing

90

Frekvencia analízis - Aliasing Védekezés: antialiasing szűrővel, ami egy aluláteresztő szűrő, nagy vágási meredekséggel, a mintavételi frekvencia felére beállított felső határ frekvenciával.

91

Frekvencia analízis - Aliasing Antialiasing szűrővel

Antialiasing szűrő nélkül

92

Frekvencia analízis - Probléma A jel frekvenciája nem állandó, időben változó, és/vagy a jel kváziperiodikus.

1. Ablakozó függvény alkalmazása 2. Szinkronizálni kell a mért jel frekvenciájához a spektrum alapharmonikus frekvenciát az f1 értékét.

93

Ablakozás Ablakozás során a regisztrátum szélet „előtorzítjuk” a minta szélein. Ekkor a jel spektruma elfogadhatóan közelít az ideálishoz. Logikusan a jelet úgy kell torzítani, hogy az időfüggvény szélei „el legyenek nyomva”.

94

Ablakozó függvények

95

Ablakozó függvények Exponenciális/Poisson ablak ◦ Mint sok ablakozó függvénynek, ennek is sok fajtája létezik 𝑁−1 1 − 𝑖− 2 𝜏 𝑒

𝑤 𝑖 = Ahol 𝜏 a függvény időállandója Az exponenciális függvény e ≃ 2.71828 szerint cseng le, megközelítőleg 8.69 dB időkonstansonként. Azaz D dB értékú lecsengéshez, hogy az ablak fele alatt csengjen 𝑁 8.69 le, 𝜏 = 2 𝐷 értékű kell, hogy legyen

96

Ablakozó függvények Exponenciális ablak ◦ Egy másik megoldás exponenciális ablakozásra: 𝑖∙𝑙𝑛 𝑓 𝑁−1

◦

◦

◦ ◦

𝑖 𝑁−1

𝑤 𝑖 =𝑒 =𝑓 Az ablakfüggvény kezdő értéke 1 és fokozatosan 0-ra csökken. Az exponenciális ablak végső értéke 0 és 1 között beállítható tranziens válaszfüggvények elemzéséhez használhatók, melyek hossza nem nagyobb, mint az ablak hossza csillapítja a jel végét, ezáltal biztosítva, hogy a jel teljesen lecsengjen a minta-blokk végére olyan jeleknél is használható, melyek exponenciálisan csökkennek, mint például az alak válasz enyhe csillapítással, amit egy külső hatás, mint például egy kalapácsütés gerjeszt

97

Ablakozó függvények Blackman ablak 𝑤 ◦ ◦

◦

2𝜋𝑖 4𝜋𝑖 𝑎 − 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 + 𝑎2 cos 0≤𝑖 ≤𝑁−1 𝑖 = 0 𝑁−1 𝑁−1 0 𝑒𝑔𝑦é𝑏𝑘é𝑛𝑡 Általános értelmezésben a „Blackman” ablak Blackman „nem túl komoly javaslatára” vonatkozik (a0 = 0,42, a1 = 0,5, a2 = 0,08) Ez nagyban közelíti a „pontos Blackman”-t a0 = 7938/18608 ≈ 0.42659 a1 = 9240/18608 ≈ 0.49656 a2 = 1430/18608 ≈ 0.076849 Karakterisztikája hangtechnikában jó, habár nem optimális

• További hasznos információk a Blakman ablakról: http://www.ijcset.com/docs/IJCSET13-04-08-030.pdf 98

Javasolt ablakok Ablakozó függvényekből számtalan létezik, ezért a teljesség igénye nélkül került megemlítésre néhány kiemelt típus. Az alábbi táblázatban jellemző jelekhez ajánlott ablakozó függvények láthatóak

A jel típusa

Javasolt ablak függvény

Olyan tranziensek, melyek időtartama rövidebb, mint az ablak hossza

Négyszögletes

Olyan tranziensek, melyek időtartama hosszabb, mint az ablak hossza

Exponenciális, Hanning

Általános célú alkalmazások

Hanning

Spektrális analízis (frekvenciaválasz mérések)

Hanning (véletlenszerű gerjesztésre), Négyszögletes (pszeudorandom gerjesztésre)

Két nagyon közeli frekvenciájú, de nagyon különböző amplitúdójú jel szétválasztása

Kaiser-Bessel

Két nagyon közeli frekvenciájú, de majdnem azonos amplitúdójú jel szétválasztása

Négyszögletes

Pontos egy frekvenciájú amplitúdó mérés

Flat top

Szinusz hullám vagy szinusz hullámok kombinációja

Hanning

Szinusz hullám, az amplitúdó pontosság fontos

Flat top

Keskenysávú zavarjel (rezgés adatok)

Hanning

Szélessávú zavarjel (fehérzaj)

Uniform

Közeli térközű szinusz hullámok

Uniform, Hamming

Gerjesztő jelek (kalapács ütés)

Exponenciális

Válasz jelek

Exponenciális

Ismeretlen tartalom

Hanning

99

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Mi a szűrés? ◦ Jelet alkotó frekvencia komponensek amplitúdóinak megváltoztatása ◦ Például: mély hangszín szabályzó a sztereo rendszereken megváltoztatja a jel alacsony frekvenciáinak amplitúdóját, a magas hangszín szabályzó a magas frekvenciás komponensek amplitúdóit. A mély és magas szabályzók beállításával kiszűrhetjük vagy kiemelhetjük a különböző frekvenciájú hang jeleket ◦ A szűrési folyamat lehetővé teszi, hogy a jel számunkra lényeges részeit kiválasszuk a nyers (zajos) jelből. Egy klasszikus lineáris szűrő a frekvencia tartományban kiemeli a lényeges részeket az eredeti jelből. ◦ Két általános szűrő alkalmazás csökkenti a zajt és csonkítja a sávszélességet. A csonkítás egy aluláteresztő szűrőt tartalmaz, és csökkenti a mintavétel frekvenciáját.

100

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása Előnyei az analóg szűréssel szemben: ◦ analóg szűrők tervezéséhez komoly matematikai ismeretek szükségesek, és ismerni kell a szűrők rendszerekben kifejtett hatásának bonyolult folyamatát is ◦ nagyobb pontosság érhető el velük, mint R-L-C áramkörökkel, ◦ olyan szűrők is megvalósíthatók, amelyeknek nem létezik valós, R-L-C elemekből készíthető megfelelőjük, ◦ paraméterei programozhatók, így könnyen változtathatók és az eredmény gyorsan tesztelhető. ◦ egyszerű számtani műveletekkel dolgoznak, amelyek az összeadás, kivonás, szorzás, osztás. ◦ nem érzékenyek a környezeti hatásokra, ezért a rendszeres utánhangolásokra nincs szükség.

101

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása További előnyök: ◦ nem tartalmaznak különleges pontosságot igénylő alkatrészeket ◦ különlegesen jó a teljesítmény/költség arányuk. ◦ tulajdonságaik nem függnek a gyártási verzióktól és tulajdonságaik nem "öregszenek". ◦ készíthetők ún. adaptív, vagyis a feladathoz automatikusan alkalmazkodó szűrők is ◦ nagyon alacsony frekvencián is használhatóak az analóg szűrőkkel ellentétben, ugyanis azok használata a nagyon alacsony frekvenciákon az induktivitások miatt már problémás ◦ a hardver sokszorozása nélkül is szűrhetünk több bemenő jelet ugyanazzal a szűrővel ◦ egyaránt tárolhatjuk a szűrt és a szűretlen jeleket a további feldolgozásra

102

Digitális szűrő gyakorlati alkalmazása A digitális szűrők hátrányai: ◦ sebességhatár ◦ a véges szóhosszból adódó problémák ◦ tervezési idő

Egyszerűsített blokkvázlatuk:

103

Ideális szűrő jellemzői Az ideális szűrőt nem lehet megvalósítani! Az ideális szűrők lehetővé teszik egy megadott frekvenciasáv teljes (veszteségmentes) áteresztését, míg a nem kívánt frekvenciatartomány jeleit teljes egészében (maximálisan) elnyomják. Következő csoportosításban aszerint osztályozzuk a szűrőket, hogy egy frekvenciatartomány jeleit átengedik vagy elnyomják. Aluláteresztő szűrők: átengedik az alacsony, és levágják a magas frekvenciájú jeleket Felüláteresztő szűrők: átengedik a magas, és levágják az alacsony frekvenciájú jeleket Sáváteresztő szűrők : egy bizonyos frekvenciatartomány jeleit átengedik Sávvágó szűrők: egy bizonyos frekvencia tartomány jeleit nem engedik át

104

Ideális szűrők frekvencia válaszai

Az aluláteresztő szűrő f c alatt minden frekvenciát átenged.

A felüláteresztő szűrő f c felett minden frekvenciát átenged.

A sáváteresztő szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát átenged.

A sávvágó szűrő f c1 és f c2 között minden frekvenciát csillapít (levág).

105

Valóságos szűrők Ideális esetben egy szűrőnek egységnyi az erősítése az átviteli sávban, és nulla az erősítése a vágási sávban. A valóságos szűrők nem tudják teljesíteni egy ideális szűrővel szemben támasztott követelményeket. A gyakorlatban mindig van egy véges átmeneti sáv az átviteli és vágási sáv között. Az átmeneti sávban a szűrő erősítése fokozatosan változik egytől nulláig átviteli sávtól a vágási sávig.

106

Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Véges impulzus válasz szűrők ( FIR szűrők ) olyan digitális szűrők, amelyeknek időben véges hosszúságú impulzusválaszuk van. A véges impulzus válasz szűrők működésükkor csak az aktuális és az előző bemeneti értéket veszik figyelembe a szűrő algoritmusában. Az ilyen típusú szűrőket a legegyszerűbb megtervezni. A véges impulzus válasz szűrők más néven is ismertek, mint nem visszatérő (nem rekurzív), konvolúciós , vagy mozgó átlag (MA) szűrők .

A véges impulzus válasz szűrők a szűrő-együtthatók konvolúcióját végzik a bemenő értékek egy sorozatán, és létrehozzák a kimeneti értékek (azonosan sorszámozott) sorozatát.

107

Véges impulzus válasz (FIR) szűrők Az alábbi egyenlet a véges impulzus válasz szűrő véges konvolúcióját adja meg: Nb

Ahol:

y  k    bi  x  k  i  i 0

x[k-i] a szűrő bemeneti jelének értéke a [k-1]-ik időpillanatban y[k] a szűrt jel értéke a [k]-ik időpillanatban

bi a szűrő (FIR szűrő) i-ik együtthatója Nb a szűrő együtthatóinak száma (fokszáma)

108

FIR szűrők tulajdonságai A FIR szűrők lineáris fázismenetet valósítanak meg, mert a szűrő együtthatói szimmetrikusak. A FIR szűrők mindig stabil működésűek. A FIR szűrők a jelek szűrését a konvolúció alkalmazásával teszik lehetővé. Ezért általában a kimenő sorozat mindig tartalmaz késleltetést , amelyet a következő egyenletben láthatunk

A kimenő jel késleltetése mintavételi lépésben =

Nb  1 2

109

Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A végtelen impulzus válasz szűrők (IIR = Infinite Impulse Response), más néven rekurzív vagy autoregresszív mozgó átlag (ARMA) szűrők az aktuális és a korábbi bementi értékek, valamint a korábbi kimeneti értékek szerint működnek. Egy IIR szűrő impulzusválasza alatt értjük az általános IIR szűrőnek egy olyan impulzusra adott válaszfüggvényét, amelyet a következő dián lévő egyenlet definiál. Elméletileg egy IIR szűrő impulzusválasz függvénye soha nem éri el a nulla értéket, ez tehát egy végtelen válaszfüggvény.

110

Végtelen impulzus válasz (IIR) szűrők A következő általános differencia-egyenlet az IIR szűrő működését írja le:

ahol:

Na  1  Nb y  k     b j  x  k  j    ai  y  k  i   a0  j 0 i 1 

bj az előreható szűrőegyütthatók halmaza Nb az előreható szűrőegyütthatók száma

ai a visszafelé ható szűrőegyütthatók halmaza Na a visszaható szűrőegyütthatók száma

111

Butterworth-szűrők A Butterworth-szűrők a következő jellemzőkkel rendelkeznek: Csillapított amplitúdó függvény minden frekvencián Az amplitúdó függvény monoton csökkenő egy adott határfrekvenciától Maximális laposság, az átviteli sávban a válaszfüggvény egységnyi értékű, a vágási sávban pedig nulla. Fél-teljesítmény frekvencia vagy 3 dB-s csökkenési frekvencia összefüggés-ben van a vágási frekvenciával. A Butterworth-szűrők előnyei, a simaságuk és monoton csökkenő frekvencia függvényük. Aluláteresztő Butterworth-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye 112

Csebisev-szűrők A Csebisev szűrőknek a következő jellemzőik vannak: Minimális csúcshiba az átviteli sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény az átviteli sávban

Monoton csökkenő amplitúdó függvény a vágási sávban Élesebb frekvencia levágású, mint a Butterworthszűrők

Aluláteresztő Csebisev-szűrő amplitúdó-frekvencia függvénye

A Butterworth-szűrőhöz hasonlítva egy Csebisev-szűrő élesebb frekvencia levágás valósít meg az átviteli és vágási sáv között, alacsonyabb fokú szűrővel. A Csebisev-szűrő éles átmenete kisebb abszolút hibát, gyorsabb végrehajtást eredményez, mint egy Butterworth-szűrőé. 113

Elliptikus szűrők Az elliptikus szűrők jellemzői:

Minimális csúcshiba a vágási és átviteli sávban Egyenletes ingadozású amplitúdó függvény a vágási és átviteli sávban Összehasonlítva a Butterworth vagy Csebisevszűrőkkel, az Elliptikus szűrők adják a legélesebb átmenetet az átviteli és vágási sáv között, amely megmagyarázza, hogy miért annyira elterjedtek. Aluláteresztő Elliptikusszűrő amplitúdófrekvencia függvénye

114

Bessel szűrők Egy aluláteresztő Besselszűrő amplitúdó-frekvencia függvénye

A Bessel-szűrők a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: Maximálisan lapos amplitúdó- és fázisfüggvény Közel lineáris fázisfüggvény az átviteli sávban

A Bessel-szűrőket arra használhatjuk, hogy az összes IIR szűrőre jellemző nemlineáris fázistorzítást lecsökkentsük a segítségével. A nagy rendszámú IIR szűrőknek határozott, meredek lefutású nemlineáris fázistorzításuk van, különösen a szűrők átmeneti tartományában. Előállíthatjuk a lineáris fázisfüggvényt FIR szűrőkkel is.

115

Szűrők fizikai megvalósítása RLC szűrőáramkörök

Aluláteresztő szűrők

Felüláteresztő szűrők

116

Szűrők fizikai megvalósítása RLC szűrőáramkörök

Sáváteresztő szűrők (Párhuzamos rezgőkör előtét ellenálással)

Sávzáró szűrők (Soros rezgőkör előtétellenállással)

117

Köszönöm a figyelmet! TALÁLKOZUNK JÖVŐHÉTEN

118