MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Ctirad Kratochvíl – Pavel Heriban – Lubomír Houfek – Martin Houfek

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Ctirad Kratochvíl Pavel Heriban Lubomír Houfek Martin Houfek

Vysoké učení technické v Brně

Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky Centrum mechatroniky FSI

Brno, prosinec 2008

Inženýrská Akademie České republiky Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky – Centrum mechatroniky Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY

Ctirad Kratochvíl Pavel Heriban Lubomír Houfek Martin Houfek

Vysoké učení technické v Brně Ústav mechaniky těles mechatroniky a biomechaniky – Centrum mechatroniky FSI

BRNO, prosinec 2008

Prof. Ing. Ctirad Kratochvíl, DrSc., FEng. Inženýrská akademie České republiky a Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky – Centrum mechatroniky, FSI VUT v Brně

Ing. Pavel Heriban, PhD. Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky, FSI VUT v Brně

Ing. Lubomír Houfek, PhD., Ing. Martin Houfek Ústav mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky – Centrum mechatroniky, FSI VUT v Brně

Recenzenti :

Prof. Ing. Jiří Skalický, CSc., ÚVEE FEKT – VUT v Brně Prof. RNDr. Jan Šklíba, CSc., KM FS TU v Liberci Ing. Jiří Náprstek, DrSc., ÚTAM AV ČR v Praze

Poděkování : Práce byla podpořena úkolem Grantové agentury ČR č. GA 101/08/0282 a Výzkumným záměrem MŠMT ČR č. 0021630518

Vydavatel :

Vysoké učení technické v Brně, ÚMTMB – Centrum mechatroniky, FSI

Vydání :

druhé, rozšířené

Tiskárna :

MLOK, s.r.o., Brno, 2008

ISBN :

978-80-214-3790-6

OBSAH

i

Obsah Předmluva ke druhému vydání ......................................................................................................... 1 1 Netradiční pohled na mechatroniku............................................................................................. 5 1.1 Co je to mechatronika a jak ji definovat.............................................................................................. 5 1.2 Dekompozice mechatronických soustav ............................................................................................. 7 1.2.1

Funkční dekompozice mechatronických technických soustav .....................................................................8

1.2.2

Strukturální dekompozice mechatronických soustav..................................................................................10

1.2.3

Vzájemné vazby a interakce mezi subjekty mechatronických technických soustav ..................................12

1.2.4

Ilustrativní příklad .......................................................................................................................................13

1.3 Obsah a rozdělení mechatroniky. Další pokus o její definici ............................................................ 16 1.4 Systémové pojetí mechatroniky a mechatronický přístup k projektování ........................................ 17 1.4.1

Cíl současného pojetí mechatroniky............................................................................................................17

1.4.2

Mechatronický přístup k projektování.........................................................................................................18

1.5 Co není mechatronika ....................................................................................................................... 19

2 Modelování vlastností a chování mechatronických soustav...................................................... 21 2.1 Tradiční a mechatronický přístup při návrhu pohonových soustav ................................................... 21 2.1.1

Zkvalitňování vlastností mechanismů .........................................................................................................21

2.1.2

Zjednodušování mechanismů ......................................................................................................................22

2.1.3

Náhrady mechanismů ..................................................................................................................................24

2.1.4

Syntéza mechanismů ...................................................................................................................................25

2.1.5

Funkční a prostorová integrace....................................................................................................................25

2.2 Řízení mechatronických technických soustav................................................................................... 26 2.2.1

Porovnání řízení klasických a mechatronických soustav............................................................................26

2.2.2

„Inteligence“ mechatronických soustav ......................................................................................................28

2.3 Pohony mechatronických soustav - jejich popis, struktura a řízení................................................... 30 2.3.1

Obecný popis mechatronických pohonových soustav ................................................................................30

2.3.2

Modely mechanické struktury pohonových soustav (včetně mechatronických) ........................................32

2.4 Příklad modelování klasické řízené pohonové soustavy ................................................................... 33 2.5 Modelování elektronického řízení mechatronických soustav............................................................ 37 2.5.1

Analogové a digitální řízení mechatronických soustav...............................................................................39

2.5.2

Algoritmy řízení a způsoby řízení MTS......................................................................................................39

2.6 Využití neuronových sítí v regulačních strukturách mechatronických soustav................................. 40 2.6.1

Charakteristika umělých neuronových sítí ..................................................................................................40

2.6.2

Identifikace dynamické soustavy pomocí neuronové sítě...........................................................................44

2.6.3

Příklad modelování asynchronního elektrického motoru pomocí neuronových sítí ..................................44

2.6.4

Neuronový model stejnosměrného motoru s cizím buzením......................................................................47

2.6.5

Víceúrovňové řízení mechatronických soustav...........................................................................................50

2.6.6

Příklady aplikací víceúrovňového řízení v pohonových soustavách ..........................................................52

2.7 Využití stochastických evolučních algoritmů pro modelování dynamických soustav ...................... 54 2.7.1

Přehled vybraných evolučních algoritmů....................................................................................................54

2.7.2

Genetické algoritmy (GA) ...........................................................................................................................54

2.7.3

Algoritmus simulovaného žíhání (ASZ) .....................................................................................................55

2.7.4

Hybridní algoritmy, metody (HA)...............................................................................................................56

ii


3 Základy modelování mechanických částí pohonových soustav ............................................... 57 3.1 Úvodní poznámka ............................................................................................................................. 57 3.2 Modelování tuhých těles ................................................................................................................... 57 3.3 Volba počtu stupňů volnosti diskretizovaného modelu technické soustavy...................................... 58

4 Komplexní pohonové soustavy ................................................................................................. 59 4.1 Úvodní poznámka ............................................................................................................................. 59 4.2 Modelování komplexních pohonových soustav ................................................................................ 63 4.3 Formulace stavového prostoru .......................................................................................................... 67 4.3.1

Transformace pohybových rovnic pohonových soustav do stavového prostoru........................................69

4.3.2

Poznámka k výběru integračních metod......................................................................................................70

4.4 Matematické modelování mechanických subsoustav a vazeb komplexních pohonových soustav .............................................................................................................................................. 73 4.4.1

Modelování rotujících částí pohonových soustav .......................................................................................73

4.4.2

Modelování vnějšího prostředí pohonových soustav ..................................................................................76

4.4.3

Modelování ložiskových vazeb v pohonových soustavách ........................................................................78

4.4.4

Modelování zubových vazeb .......................................................................................................................84

5 Automatické řízení pohonových soustav................................................................................... 89 5.1 Stavová teorie automatického řízení ................................................................................................. 89 5.2 Řízení se zpětnou vazbou.................................................................................................................. 90 5.2.1

Závislost akčních veličin na regulační odchylce.........................................................................................91

5.3 Lineární proporcionální regulátor ..................................................................................................... 92 5.4 Lineární proporcionální regulátor bez zpoždění................................................................................ 93 5.5 Řiditelnost, pozorovatelnost a robustnost řízených pohonových soustav.......................................... 94 5.5.1

Podmínky řiditelnosti soustavy ...................................................................................................................96

5.5.2

Podmínky pozorovatelnosti řízené soustavy ...............................................................................................96

5.5.3

Robustnost řízených pohonových soustav ..................................................................................................97

5.6 Digitální řízení .................................................................................................................................. 97 5.7 Stabilita řízených soustav................................................................................................................ 100 5.7.1

Úvodní poznámka ......................................................................................................................................100

5.7.2

Ljapunovská stabilita triviálního řešení ....................................................................................................101

5.7.3

Ljapunovova stabilita rovnovážných (klidových) stavů ...........................................................................102

5.7.4

Stabilita lineárních soustav podle Ljapunova............................................................................................103

5.7.5

Vybraná kritéria stability lineárních soustav.............................................................................................105

5.7.6

Kritéria stability nelineárních soustav .......................................................................................................106

6 Bifurkace a chaos v pohonových soustavách .......................................................................... 109 6.1 Úvodní poznámka ........................................................................................................................... 109 6.2 Chaos a jeho možný vznik .............................................................................................................. 111 6.3 Atraktory dynamických systémů..................................................................................................... 111 6.4 Tzv. bazény přitažlivosti ................................................................................................................. 112 6.5 Deterministický chaos a bifurkační analýza dynamických soustav................................................. 112 6.6 Typy bifurkací................................................................................................................................. 113 6.7 Feigenbaumova konstanta............................................................................................................... 114 6.8 Bifurkace a chaos v mechatronických pohonových soustavách ...................................................... 114

OBSAH

iii

6.9 Konstrukce bifurkačního diagramu ................................................................................................. 116 6.10 Příklad analýzy globálního chování modelu disipativní soustavy................................................... 118 6.10.1 Vznik chaosu v disipativních soustavách a jeho modelování ...................................................................118 6.10.2 Globální chování pohonové soustavy........................................................................................................118 6.10.3 Model mechanické části pohonové soustavy ............................................................................................118 6.10.4 Dílčí poznatky............................................................................................................................................124 6.10.5 Závěrečná poznámka .................................................................................................................................124

7 Příklad bifurkační analýzy modelu elektromechanické soustavy............................................ 127 7.1 Sestavení pohybové rovnice............................................................................................................ 127 7.2 Kritérium použitelnosti mechanické části pohonu .......................................................................... 134 7.3 Stabilita a bifurkace rovnovážných stavů........................................................................................ 137 7.4 Možnosti vzniku bifurkací rovnovážných stavů pohonu................................................................. 141 7.4.1

Reálná bifurkace rovnovážného stavu pohonu..........................................................................................142

7.4.2

Komplexní bifurkace rovnovážného stavu pohonu...................................................................................150

8 Příklady užití neuronových sítí v mechatronických technických soustavách.......................... 159 8.1 Neuronové sítě v řízení elektrických pohonů.................................................................................. 159 8.2 Robustní řízení robotické osy.......................................................................................................... 160 8.3 Řízení servopohonu robota s neuronovou předkorekcí ................................................................... 162 8.4 Řízení inverzního kyvadla............................................................................................................... 166 8.5 Identifikace nelineárních dynamických systémů pomocí neuronových sítí .................................... 169 8.5.1

Některé modely používané při identifikaci soustav ..................................................................................169

8.5.2

Identifikace nelineárních soustav ..............................................................................................................170

8.5.3

Využití neuronové sítě při identifikaci parametrů mechanické soustavy – příklad.................................171

8.6 Automatizovaný návrh neuronové sítě pro řízení nelineární dynamické soustavy.......................... 174 8.6.1

Úvodní poznámka ......................................................................................................................................174

8.6.2

Evoluční ANN ...........................................................................................................................................177

8.6.3

Použitý koncept řízení ...............................................................................................................................181

9 Genetické algoritmy a genetické programování...................................................................... 183 9.1 Biologické kořeny genetických algoritmů....................................................................................... 183 9.2 Matematický popis genetického algoritmu ..................................................................................... 184 9.3 Modifikace a praktické aplikace genetických algoritmů ................................................................. 187 9.4 Závěrečná doporučení ..................................................................................................................... 189

10 Využití fuzzy logiky v mechatronických soustavách .............................................................. 191 10.1 Úvodní poznámka ........................................................................................................................... 191 10.2 Regulace rychlosti pohonů s využitím fuzzy logiky ....................................................................... 191 10.3 Návrh fuzzy regulátoru Mamdaniho typu ....................................................................................... 193 10.4 Návrh neuro-fuzzy regulátoru ......................................................................................................... 195 10.5 Výsledky numerické simulace ........................................................................................................ 195

11 Polohové řízení víceosých servopohonů mechatronických soustav ........................................ 199 11.1 Úvodní poznámka ........................................................................................................................... 199 11.2 Přímé a nepřímé odměřování při řízení polohy ............................................................................... 200 11.3 Dynamické vlastnosti polohového řízení ........................................................................................ 201

iv

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY 11.4 Dynamická odchylka při sledování polohy. .................................................................................... 202 11.5 Simulace odezvy polohového řízení na skok řízení a na skok poruchy – zatěžovacího momentu ......................................................................................................................................... 209

12 Využití levitačních elektromagnetů v mechatronických soustavách ....................................... 213 12.1 Úvodní poznámka ........................................................................................................................... 213 12.2 Optimalizace tvaru elektromagnetu................................................................................................. 213 12.3 Návrh magnetického obvodu .......................................................................................................... 214 12.4 Užitné vlastnosti elektromagnetu .................................................................................................... 215 12.5 Návrh regulace elektromagnetu ...................................................................................................... 216 12.6 Regulace magnetického ložiska ...................................................................................................... 218

13 Mikroprocesory a jejich využití v mechatronických soustavách............................................. 221 13.1 Úvodní poznámka ........................................................................................................................... 221 13.2 Struktura mikroprocesorů................................................................................................................ 222 13.3 Digitální komunikační systémy....................................................................................................... 223 13.4 Mikroprocesorové soustavy ............................................................................................................ 224 13.5 Příklady mikroprocesorových soustav ............................................................................................ 225 13.5.1 Čtyřnohý experimentální robot..................................................................................................................225 13.5.2 Autonomní všesměrový mobilní robot OMR III.......................................................................................227 13.5.3 Příklad složité multiprocesorové soustavy ................................................................................................229

14 Místo závěru: problémy rozvoje mechatroniky....................................................................... 231 14.1 Současný stav mechatroniky ........................................................................................................... 231 14.2 Co nás čeká v budoucnosti.............................................................................................................. 232

Použitá literatura ........................................................................................................................... 233

PŘEDMLUVA KE DRUHÉMU VYDÁNÍ

1

Předmluva ke druhému vydání V souvislosti s návrhy nových vyspělých přístrojů, zařízení či pohonových soustav moderních strojů se stále častěji setkáváme s pojmy mechatronika, mechatronické soustavy, či mechatronický přístup k řešení problémů inženýrské praxe. Je to důsledek rychle se rozšiřujících aplikací nové vědní oblasti – mechatroniky, jejíž počátky lze nalézt v Japonsku v 70. letech minulého století. Bouřlivý rozvoj nové vědní oblasti vedl k tomu, že se brzy začalo mluvit o novém „japonském nebezpečí“ a tato skutečnost vyvolala okamžitou a rychlou odezvu ve vyspělých průmyslových zemích, především v USA, Anglii. Německu, Francii a ve skandinávských zemích, zejména ve Finsku. Záhy také Poradní komise pro průmyslový výzkum a rozvoj Evropského společenství označila mechatroniku za jednu z nejperspektivnějších složek evropských vzdělávacích programů a přisoudila ji prioritní postavení [57, 58]. Je zajímavé, že i v podmínkách tržní ekonomiky se tato vědní oblast těší významné státní podpoře a ekonomické restrikce se jí dotýkají jen minimálně. Je to výsledek poznání, že mechatronický přístup k řešení, uplatňovaný při výzkumu, konstrukci a výrobě nových technických soustav, prokazatelně vede ke značným úsporám ve všech aspektech návrhového procesu, zvyšuje jejich technické a provozní parametry a tím i konkurenční schopnosti nových děl. Je tedy významným nástrojem růstu ekonomické úrovně. Mechatronika přináší mnoho nových podmětů i v „klasických“ vědních oborech. Například v mechanice (vyšší rychlosti pohybů, extrémně malé a přesné polohování mechanismů, tzv. aktivní tlumení, používání magnetických ložisek pro ukládání rychloběžných hřídelí apod.) nebo v elektrotechnice a elektronice (rozvoj nových elektronických a mikroelektronických prvků s mikročidly a mikroměřiči na jediném čipu, komunikace a přenosy informací uvnitř technických soustav, například pomocí optických vláken a podobně). Samostatnou kapitolu tvoří rozvoj inteligentních řídících algoritmů a jejich implementace do řídících struktur mechatronických technických objektů a uplatnění tzv. „inteligentních materiálů“. Prvé vydání monografie Mechatronické pohonové soustavy v roce 2006 [1] se u čtenářů, kteří se zajímají o problematiku mechatroniky, setkalo s velkým zájmem a bylo záhy rozebráno. Jsme neustále žádání o její další vydání, ovšem vzhledem k tomu, že mechatronika jako vědní disciplína se neustále vyvíjí a formy a obsah toho, co považujeme za mechatroniku se neustále proměňují s dalšími a dalšími analýzami jevů, které mají určité společné rysy, jsme nepovažovali za vhodné vydat tuto monografii v původní formě a rozsahu. Předkládáme proto čtenářům druhé, přepracované a podstatně rozšířené vydání, ve kterém reagujeme jak na nové poznatky tak i na připomínky a návrhy našich čtenářů. Většina badatelů, zabývajících se mechatronikou, se již smířila s tím, že nedojdou k jedné všeobecně závazné definici mechatroniky. Představa o tom co je a co není mechatronika se neustále proměňuje s dalšími a dalšími analýzami subjektů a jevů, které se buď za mechatronika označují, nebo mají s tím, čemu se mechatronika obvykle říká, určité společné rysy. Pochopení

2


dnešního obsahu a formy mechatroniky je tedy možné jen v „plurálu“. Mechatronika v singuláru se dnes jeví „jen“ jako akademická konstrukce. Je nutné poznávat a hodnotit nejen reálné technické (ale dnes i jiné soustavy), ale i zobecňující faktory a abstraktní systémy. Jen tak může mechatronika zůstat tím, čím od svého počátku v 70. letech minulého století byla – hybnou pákou vývoje lidské společnosti. Mechatronika, má-li tedy plnit své poslání, musí být dialogem a ne snůškou často subjektivních pravd a koncepcí. Skutečný dialog ale vždy vyvolá více otázek než odpovědí a vede člověka k tomu, že dodatečně přemýšlí mnohem hlouběji o věcech, které pro něj byly dosud samozřejmé a které až při diskusi uvidí v jiném světle. To přináší jak nové šance, tak i rizika – člověk může to dosud nereflektované hlouběji pochopit a přijmout, nebo to naopak zpochybnit či opustit. Tato idea je i základním motivem této monografie, která si neklade primárně za cíl být „učebnicí“ mechatroniky a návodem jak přistupovat k řešení určité třídy problémů či encyklopedickou příručkou, nýbrž má podněcovat čtenáře k tomu, aby si při konfrontaci s množstvím alternativních pojetí řešení problémů dokázali vybrat právě ty podněty, které vedou k sebereflexi a k obohacení svého aktivního přístupu k řešení technického problému. Z toho důvodu také nezachovává strukturu, obvyklou u většiny knih o mechatronice, viz například výtečné publikace [2, 3, 4, 5], ale snaží se spíše o globální pohled na mechatroniku jako celek. Je také vhodné poznamenat, že výběr témat je ovlivněn problémovými okruhy, které byly řešeny v Ústavu mechaniky těles, mechatroniky a biomechaniky – Centru mechatroniky, FSI, VUT v Brně a v Ústavu výkonové elektroniky a elektrotechniky, FEKT, VUT v Brně v letech 1996–2006. Výzkum a vývoj v oblasti mechatroniky v naší zemi je v současné době omezen jen na několik málo tématických okruhů, např. na vývoj servopohonů s inteligentním řízením, na vybrané aplikace aktivního řízení, na ukládání rotorových soustav na magnetická ložiska či problematiku uplatňování paralelních mechanismů v robotice a při konstrukci některých obráběcích strojů a center a dá se charakterizovat jako izolovaný a neúplný, tedy diametrálně odlišný od vyspělých hospodářských zemí, ve kterých je rozvoj mechatroniky podporován státem. Zkušenosti těchto zemí ukazují, že má-li být u nových výrobků dosaženo špičkových technických i provozních parametrů, předepsané provozní spolehlivosti i ekonomie provozu při respektování ekologických a kulturních předpisů a doporučení, musí se problematika návrhu a vývoje nových konstrukcí řešit hned od počátku komplexně, tj. jako interaktivní problém využívající aplikace nových poznatků a netradiční spojování různých vědních oborů, nových technologií a především nového myšlení inženýrských a technických (i jiných) pracovníků. A právě k podpoře posledního z těchto aspektů je zaměřena předkládaná práce. V současné době zaznamenáváme zvýšený zájem o mechatroniku u některých průmyslových a projekčních organizací. Je zájem o absolventy, o doktorské studium i o krátkodobé a účelové kurzy. Je to odraz zvýšených konkurenčních tlaků, uvědomování si toho, že klasické inženýrské soustavy z konce minulého století již nejsou schopny plnit perspektivní požadavky, že současná doba vyžaduje rychlou změnu výrobního sortimentu a využívání nových technologií, což vše je

PŘEDMLUVA KE DRUHÉMU VYDÁNÍ

3

podmíněno existencí speciálně vyškolených pracovníků. A nebojíme se přiznat, že je to i důsledek módního trendu – označení „mechatronický výrobek“, i když bez jakéhokoliv obsahu mechatroniky, se lépe prodává. Bude-li ale potenciální zájemce vědět, co vlastně mechatronika obnáší, doufejme, že nakonec „přinutí“ výrobce nabízet skutečné mechatronické výrobky. A možná i to přispěje k tomu, že se naše ekonomika co nejdříve „odrazí ode dna“ primitivního kapitalismu z počátku 20. století směrem k moderním variantám tržního hospodářství.

Autoři Prosinec, 2008

4


NETRADIČNÍ POHLED NA MECHATRONIKU

5 „Mechatronics is a natural stage in the evolutionary process of modern engineering design. The development of the computer, and then the microcomputer, embedded computers, and associated information technologies and software advances, made mechatronics an imperative in the latter part of the twentieth century. Standing at the threshold of the twenty-first century, with expected advances in integrated bio-electro-mechanical systems quantum computers, nano- and pico-systems and other unforeseen developments, the future of mechatronics is full of potential and bright possibilities.“ The Mechatronics Handbook, CRC Press, Washington D.C., New York, London, 2002

1

Netradiční pohled na mechatroniku

1.1

Co je to mechatronika a jak ji definovat [2, 3, 4, 5, 6]

Definici mechatroniky, respektive její hledání, můžeme s jistou nadsázkou považovat za „konečnou tajenku“ nekonečně komplikované a spletité křížovky, v níž zbývá určit ještě mnoho nezodpovězených otázek. Zda toto hledání budeme moci někdy prohlásit za ukončené, to dnes nikdo neví a patrně to možné nebude. Na dané úrovni poznání a v daném čase ale můžeme formulovat „jisté přiblížení“ k tomu, co pod pojmem mechatronika dnes chápeme. Odpověď na otázku „co je mechatronika“ pak můžeme nalézt i v úvodním mottu. Větším problémem zůstává její definice. Hned na počátku se musíme smířit s tím, že obecnou definici nenajdeme. Nejčastěji se mechatronika definuje jako „synergetická kombinace přesného strojírenství, elektroniky, řízení a počítačových věd“ nebo obecněji je chápána jako „soustava idejí, metod a prostředků k vytvoření počítačově řízených a programovatelných technických (i jiných) soustav s předem nastavenými funkcemi (eventuálně účelově měnícími se či optimalizovanými funkcemi), týkajícími se výkonových a silových i funkčních interakcí mechatronického objektu s okolím“. Podívejme se ale na mechatronické technické soustavy (dále jen MTS) z jiného úhlu pohledu. Co vidíme, když se na MTS podíváme jako pozorovatelé nezatížení snahou vše jednoznačně popsat, kategorizovat a definovat. Vidíme, že tyto soustavy obsahují : • struktury s inteligentním chováním, • prvky, resp. substruktury vyrobené z inteligentních materiálů, • inteligentní řídící subsoustavy, využívající inteligentní řídící algoritmy a

6

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • komponenty a subsoustavy, obecně různé fyzikální podstaty, pro které se již vžilo pojmenování „mechatronické“. K jejich výzkumu, vývoji i výrobě se využívají nebo nově vytvářejí moderní integrované

návrhové metody pro vývoj, výzkum i výrobu, produkující synergický efekt a tak mohou vznikat a fungovat nové koncepce inteligentních strojů a zařízení, které již můžeme nazývat mechatronickými technickými soustavami. Používání označení jako „inteligentní“ je zde plně na místě, neboť chování těchto MTS vykazuje jisté rysy umělé inteligence, to znamená, že MTS zajišťují své funkce tak, jak by je vykonával člověk. Tyto skutečnosti pak vedou k přehodnocování vzájemných vztahů člověk stroj a ve svých důsledcích k problémům známým jako „prométheovský komplex soudobé technologie“, což chápeme jako uvědomění si důsledků toho, co může zavedení nových technologií způsobit v technickém i společenském životě, viz například Černobyl. Přiřaďme nyní výše uvedených pojmům konkrétní technický obsah. Struktury s inteligentním chováním Mezi tyto struktury (resp. substruktury) můžeme zařadit například • soustavy strojů s tzv. nadbytečnými pohony a paralelními kinematickými substrukturami, • inteligentní manipulátory (které dokážou podle měnících se vnějších podmínek měnit některé funkce) a roboty, • soustavy s aktivní tuhostí, obsahující ve své struktuře aktivní prvky, většinou piezoelektrické, elektrodynamické, magnetostrikční, hydraulické nebo magnetorheologické, • poddajné struktury s inteligentním řízením pohybu, • struktury s řízeným tlumením vibrací, například pomocí tzv. inteligentních dynamických hltičů a • řada dalších zařízení. Inteligentní materiály Zde můžeme uvést například • materiály s integrovanými snímači, propojenými se zdrojem signálu, přijímačem a jednotkou pro zpracování odezev, • kompozitní materiály s aplikovanými optickými vlákny, • materiály, které využívají vzájemné interakce mezi elektromagnetickým polem a strukturální integritou kompozitu, • materiály s aktuátory integrovanými ve svých strukturách, • nekonvenční kombinace materiálů vykazující kvaziinteligentní chvění nebo • materiály, které mění svůj tvar, polohu nebo i vlastnosti v důsledku řízené změny magnetického nebo elektromagnetického pole či teploty.


7

Inteligentní řídící subsoustavy Do této skupiny můžeme například zařadit řídící subsoustavy, které k realizaci svých zásahů využívají • řídící algoritmy vytvořené na bázi umělých neuronových sítí • genetické algoritmy, • algoritmy umělého žíhání, horolezecké algoritmy nebo jiné či • řídící algoritmy založené na prognostických odhadech, tolerančních analýzách či metodikách paralelní simulace řízených procesů. Mechatronické komponenty a subsoustavy Sem patří například • subsoustavy zajišťující stabilitu pohybu automobilů v závislosti na rychlosti, stavu vozovky, při brzdění a pod., • subsoustavy zajišťující optimalizaci spalovacího procesu v motorech vozidel a přenosy výkonu mezi motorem a koly, • subsoustavy zajišťující stabilitu letu v závislosti na okamžitých vnějších i provozních podmínkách, • řízení pohybů výrobních strojů při větším, resp. menším počtu pohonů vzhledem k počtu jejich stupňů volnosti (underactuated, overactuated). Patří sem také komponenty využívající tzv. ploché řízení, Ljapunovské řízení, nelineární prediktivní řízení, inverzní simulace a další, • subsoustavy řízení tlumení celých konstrukcí (křídel letadel, stožárů, výškových staveb, mostů), • inteligentní řízení teplotních stavů strojů, například s využitím umělých neuronových sítí i • subsoustavy zajišťující spojitou detekci chyb (poruch) strojů a konstrukcí a vyjasňování jejich vlivů na řízení provozní spolehlivosti.

1.2

Dekompozice mechatronických soustav

Dekompozice technických (tj. nejen mechatronických) soustav je základním krokem k následnému poznání jejich projevů a vlastností a vytvoření jejich modelů a k provádění simulačních experimentů na těchto modelech. Dekompozice technických soustav (dále jen TS) umožňuje poznat jejich strukturu, funkce, které v nich probíhají a vazby a interakce mezi prvky TS i mezi TS a jejich okolím. Mechatronické TS (dále MTS) ale mají jisté specifické vlastnosti, které je nutné při jejich dekompozici respektovat. Pro mechatronické soustavy je typické, že obsahují komponenty a subsoustavy různé fyzikální podstaty a při jejich realizaci nedochází „jen“ k pouhé kombinaci jejich vlastností a projevů, ale že

8


se objevuje synergický efekt vyplývající z integrované, komplexní, paralelní a synchronizované činnosti a z odvahy kombinovat stávající i nové výrobní postupy a technologie v netradičních souvislostech. Můžeme si připomenout známé skutečnosti : • MTS obsahují prvky, komponenty a subsoustavy různé fyzikální podstaty, což zásadně ovlivňuje vazby a interakce mezi nimi i MTS a okolím, • fyzikální integrace těchto struktur vede ke zmenšování jejich rozměrů, snižování jejich hmotností a následně k menším energetickým nárokům na jejich činnost, • rozšíření parametrů použitých pro řízení MTS vede k využívání inteligentních funkcí, které výrazně kompenzují „slabosti“ základních struktur (mechanických, elektrických, elektronických, hydraulických, atd.) a tím se také omezuje existující separace klasických řídících substruktur „od“ základní struktury, • některé prvky nebo komponenty MTS jsou vyrobeny z inteligentních materiálů, jejichž vlastnosti a projevy se mohou měnit v závislosti na vnějších ale i vnitřních podmínkách (změny teploty, tlaku, změny magnetického nebo elektromagnetického pole a další). Je tedy zřejmé, že v řadě případů budeme muset využívat při sestavování matematických modelů expertních souborů, databázových souborů znalostí ale zkušeností a intuice řešitelů. Nezbytnou podmínkou pak je znalost funkcí MTS a procesů v nich probíhajících.

1.2.1

Funkční dekompozice mechatronických technických soustav [7, 35]

Pro MTS je typická modulární koncepce jejich činnosti využívající všech kladů a předností sériového i paralelního inženýrství. Jedna z možných variant koncepce MTS je znázorněna na obr. 1.1. Rozeberme si tuto koncepci podrobněji tím, že k jednotlivým modulům přiřadíme konkrétní činnosti. Modul vnějšího prostředí obsahuje především všechny externí požadavky a parametry, kladené na TS, vnější zatěžovací faktory mající vliv na normy, standarty, pracovní předpisy i ekologické požadavky. Model prostředí by měl v odůvodněných případech zahrnovat i zdroje a prostředky materiální, energetické a informační. Sestavovací modul definuje všechny podmínky a okolnosti nutné pro fyzikální realizaci mechanických, elektrických, elektronických a jiných strukturálních komponent a substruktur. Je primárně vázán i s rozměrovými a hmotnostními parametry, s vlastnostmi použitých materiálů a musí obsahovat i požadavky na chování navrhovaných TS. Vstupní modul zpracovává všechny vstupy definované v sestavovacím modulu s ohledem na podmínky a předpisy definované v modulu vnějšího prostředí.Představuje „mechanismy“ požadovaných změn systémových podmínek s cílem formulovat požadované pohyby nebo činnosti.


9

Měřící modul shromažďuje a zpracovává všechny informace, týkající se chování a vlastností MTS. Vstupy do tohoto modulu představují výstupní parametry sestavovacího modulu a informace o stavu MTS, které mají být po zpracování přenášeny dále.

Obr. 1.1 Modulární koncepce mechatronické technické soustavy Komunikační modul zprostředkuje přenosy informací mezi jednotlivými moduly, popisuje, resp. předepisuje jejich hierarchii či časové posloupnosti. Procesorový modul zpracovává informace z měřícího modulu, vstupního modulu, komunikačního modulu a modulu rozhraní. Vstupy reprezentují měřené parametry MTS a požadované parametry řízení, nastavení a rychlosti jednotlivých operací, výstupy z tohoto modulu určují podmínky pro činnost vstupního modulu. Softwarový modul obsahuje všechny algoritmy, definuje algoritmizované pracovní instrukce a požadavky nutné pro modelování činností, vlastností a chování navrhované MTS, pro její kontrolu a řízení, formuluje podmínky pro práci procesorového modulu. Činnost softwarového modulu je úzce spjatá také s moduly procesorovým a rozhraní.

10

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Modul rozhraní (propojení) realizuje přenosy informací mezi „nitrem“ modelované MTS

a vyššími úrovněmi, včetně nezbytných interakcí typu MTS (stroj) a člověk. Pojem „společného rozhraní“, zavedený do analýz povahy funkcí MTS naznačuje, že v zásadě nikdy nejde o izolované objekty, procesy nebo děje, ale o entity, jejichž povaha a funkčnost je vymezena soubory jejich vztahů k okolnímu prostředí, včetně lidského uživatele (jeho možností, kapacity a znalosti cílů). Tato potřeba komplexního pohledu na povahu současného „technického světa“ je stimulována zkušenostmi s nejvyššími úrovněmi soudobé technologie a především s moderními prostředky informačních technologií. Výstupní modul by měl dát potenciálnímu uživateli následující informace a doporučení : • možnosti použití navrhované MTS (stručně užitné vlastnosti), • speciální požadavky na výrobu, provoz a kvalifikační požadavky na obsluhu, • návrhy na zajištění provozní spolehlivosti, na možnosti modernizace či inovace, • návrhy na řešení problémů spojených s očekávanými riziky vlastních funkčních procedur, realizačních obtíží, časových horizontů funkčnosti a morálního opotřebení, likvidace. Máme-li formulovat podklady použitelné pro sestavení matematického modelu MTS, musíme provést „klasickou strukturální dekompozici“.

1.2.2

Strukturální dekompozice mechatronických soustav

Tato dekompozice nám umožňuje poznat stavební strukturní prvky MTS, i funkce, vazby a interakce v nich probíhající. Strukturu MTS můžeme členit na následující subjekty podle jejich složitosti : • Prvky, resp. součástky jsou artefakty vyrobené bez montážních operací (např. mechanické spojovací prvky, elektrické vedení a pod.). • Komponenty jsou jednoduché struktury složené z jednotlivých prvků a elektrických (elektronických) subkomponentů, např. senzory, aktuátory, regulátory, řadiče. • Moduly reprezentují subsoustavy složené z komponent a součástek, které v MTS vykonávají nezávislé funkce a činnosti, např. obecně mikroprocesorové soustavy. • Soustavy představují soubory modulů, komponent a součástek, které vykonávají cílové funkce, např. soustavy ABS u automobilů, autopilot či soustavy „řízení po drátě“ u letadel a pod. • Globální MTS jsou výsledné produkty složené z integrovaných soustav, modulů, komponent a prvků, které představují finální elektronický výrobek realizující množinu požadovaných funkcí a činností. Globální MTS mohou být také „vyměnitelné“, např. u letadel komplexní systémy pro aktivní či pasivní avioniku, systémy řízení palby pro konkrétní výběr zbraňových systémů a pod.


11

Poznámky : Je samozřejmé, že stejně jako u „klasických TS“ i zde detailní strukturní členění závisí na použité rozlišovací úrovni a že můžeme vytvářet „účelová a částečně strukturovaná členění MTS“. U elektrických, resp. elektronických subjektů, např. vedení a drátových spojů, jsou podstatné i jejich elektrické a magnetické vlastnosti, protože vazby mezi nimi jsou funkční. Například nezapouzdřený integrovaný obvod se obvykle řadí do kategorie komponentů. Mechanické komponenty jsou určeny zpravidla svými fyzikálními vlastnostmi, tj. rozměry a hmotností. Jejich účelem nejčastěji je : • zabezpečení cílových funkcí MTS z hlediska tuhosti základní konstrukce, • zabezpečení její stability a odolnosti proti vnějším vlivům, • zabezpečení sekundárních a pomocných funkcí • i vytvoření estetického dojmu a tím i zvýšení prodejnosti výrobku. Elektrické, resp. elektronické komponenty jsou prioritně využívány pro generování, zpracování, akumulaci a přenosy energií a signálů. Právě tyto komponenty umožňují vybavit MTS inteligentními funkcemi. Jejich význam a množství v současných MTS roste závratnou rychlostí. Jejich vliv také bezprostředně a výrazně působí na mechanické subjekty zejména tím, že : • schopnosti elektroniky umožňují zjednodušení mechaniky v tom, že se snižuje počet mechanických součástek, komponent i pohyblivých částí. Toho se dosahuje přenosem složitých funkcí z mechanických na elektrické/elektronické prvky a komponenty. • Elektronika umožňuje realizovat i takové funkce, které by jinak nebylo možné zabezpečit. Příkladem mohou být protiblokovací brzdové systémy ABS či systémy zajištění celkové jízdní stability vozidel, řízení po drátě (fly by wire) v kombinaci s počítačovým řízením letu, které umožňuje dosažení nebývalých letových konfigurací. • Elektronika také různým jiným způsobem ovlivňuje návrhy konstrukcí mechanických komponent a modulů. Jde například o koncentraci elektrických vedení do pramenů, jde o masivní využívání komplexních konektorů jde o speciální podmínky při propojování a integraci různých subsoustav, jde o modulové uspořádání v MTS či o zajištění obslužných funkcí (těsnost, chlazení, elektrická izolace, ...) Softwarové a řídící komponenty a moduly představují další významný aspekt, na který musíme při dekompozici MTS klást důraz. Elektrické stavební prvky kombinované se schopností softwarového vybavení poskytují současným MTS převážnou část inteligentních funkcí a také určují nový pohled na rozhraní člověk – stroj. Při objasnění tohoto aspektu si opět můžeme pomoci příkladem z letecké techniky“ při řízení letadla se můžeme setkat s některou z těchto alternativ : • přímé řízení kormidel a křidélek řídící pákou a pedály přes pákové (resp. lanové) mechanismy, • řízení prostřednictvím servomechanismů s posilovači nebo • tzv. „řízení po drátě“ s využitím počítačů.

12

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Každá z těchto alternativ umožňuje pilotovi řízení letadla, samozřejmě za jistých podmínek,

omezení a s určitým komfortem. Rozhodující proces na úrovni rozhraní člověk – stroj by měl proto zohlednit řadu konkrétních variant řešení a požadované funkce volit podle určených kriterií.

1.2.3

Vzájemné vazby a interakce mezi subjekty mechatronických technických soustav

Nebudeme zde podrobně klasifikovat problematiku vazeb a interakcí mezi subjekty, známou již z analýz „klasických TS“. Uveďme jen že vazba „technický proces – technická soustava“ je základním vztahem i při návrhu i hodnocení MTS. I zde zpravidla vycházíme z koncepce návrhu účelových a částečně strukturovaných modelů, pomocí kterých lze na základě numerického experimentování původně navrženou strukturu upravovat. U MTS se ale setkáváme s některými typickými okolnostmi, které je radno pečlivě zvážit. Především jde o • kritické zhodnocení některých transformací technických procesů, které původně vykonával člověk, resp. člověk spolu s subsystémem řízení TS a které má nyní zabezpečovat MTS sama. Tento proces v konečných důsledcích vede k „vyřazení člověka-operátora“ na řízení těchto soustav. Je nutné pečlivě zkoumat důsledky takových rozhodnutí (viz mnohé technické katastrofy v druhé polovině minulého století). • Na druhé straně ale můžeme očekávat potlačení „slabostí mechanické realizace cílových funkcí základních struktur“ a podstatné zvýšení kvality technických procesů. Tato skutečnost je velmi efektivní a ověřená. Náhradu „mechanického řešení“ lze provést pomocí elektrotechniky a elektroniky a / nebo pomocí softwarového vybavení. Mechatronické řešení bývá navíc jednodušší a tím i provozně spolehlivější. Při promyšlené koncepci původního návrhu lze provádět jeho průběžnou modernizaci (či přizpůsobování novým okolnostem) prostou výměnou původních modulů za nové. • Také vztahy/(vazby) „technická soustava – člověk“ doznávají významných změn a mohou se v současných MTS projevovat například v následujících formách : o zjednodušením procesů v mozku člověka, když některé řídící a pracovní funkce přebírá stroj, o potlačením vlivu a důsledku činnosti MTS na člověka a o existencí – vytvořením přívětivé komunikace mezi člověkem a MTS. Poznámka : Z hlediska hodnocení funkčních procesů v MTS uveďme ještě následující skutečnost. Hlavní účelové funkce u klasických technických soustav představovaly transformace energie a transformace materiálu.


13

U mechatronických technických soustav tyto hlavní funkce zůstávají ale hlavní důraz klademe na procesy řízení těchto soustav. Nejdůležitější z hlavních funkcí se tedy stává transformace informací a jejich zpracování.

1.2.4

Ilustrativní příklad [35]

Pro lepší pochopení předchozích úvah si ukážeme příklad dekompozice MTS, představovanou „Soustavou řízení jízdních vlastností nákladního automobilu“, schematicky znázorněnou na obr. 1.2.

Obr. 1.2 Schéma řízení jízdních vlastností nákladního automobilu Podstatou řízení je úprava činnosti tlumičů a vzduchových pružin, umístěných na hnacích osách automobilu. Údaje o provozním stavu vozidla (tj. cestovní rychlost, velikost zatížení, stav brzdového ústrojí a natočení volantu) spolu s údaji o stavu tlumičů a vzduchových pružin u každého kola hnacích náprav jsou přiváděny do řídícího mikroprocesoru, kde jsou na základě provozních požadavků a doporučení průběžně zpracovávány. Řidič pak volí mezi jízdními režimy : statickým (pro pojíždění a manipulaci s vozidlem na místě), kvazistatickým (při pomalé jízdě a ustálené jízdě po dobré vozovce) a dynamickým (při jízdě po nezpevněné vozovce a v te-

14


rénu). Pro všechny tyto režimy mikroprocesorový modul zpracuje dané informace a stanoví pracovní podmínky pro činnost tlumičů, polohy vzduchových pružin, rychlost vozidla a způsoby jeho manévrování. K přenosu těchto účinků na akční členy dojde prostřednictvím elektrických, elektrohydraulických a elektropneumatických subsoustav. Realizace těchto činností vyžaduje : • sestavení matematických modelů mechanické subsoustavy vozidla pro jednotliví jízdní režimy, • výběr a aplikaci soustavy senzorů pro monitorování okamžitých provozních podmínek, • návrh a realizaci komunikačních soustav, • výběr a aplikace elektrohydraulických a elektropneumatických akčních a regulačních subsystémů, • návrh a zapojení řídícího mikroprocesoru a jeho zapojení do globální soustavy, • výběr numerických integračních formulí pro průběžné simulační experimentování, • návrhy elektrického a mechanického testovacího zařízení způsobu vyhodnocování výsledků, formulování inženýrských závěrů a konkrétních řídících povelů a • realizaci komunikace s řidičem a registraci provozních dat pro pozdější kontrolu.

Obr. 1.3. Konkretizace funkční dekompozice mechatronické soustavy (obr. 1.2)


15

Na základě těchto znalostí již můžeme provést funkční dekompozici řídící soustavy, tak, že k jednotlivým modulům obecného schématu řídící soustavy, znázorněné na obr.1.2 přiřadíme konkrétní činnosti. Výsledek je znázorněný na obr.1.3. Pokud jde o strukturální dekompozici MTS řízení jízdních vlastností vozidla, je situace poměrně jednoduchá. Ze schématu na obr. 1.2. můžeme snadno identifikovat : PRVKY

– mechanické (spojovací elementy, potrubí, ....) – elektrické (elektrická vedení –funkční vazby, ...)

KOMPONENTY

– mechanické (brzdy, tlumiče, vzduchové pružiny, ventily, ...) – elektrické (senzory, aktuátory, regulátory, ...)

MODULY

– mechanické (moduly hnacích os, ventilové moduly, rezervoár vzduchu, ...) – elektrické (řídicí mikroprocesor, softwarový modul, modul expertních vlastností, ...)

Mechatronická soustava (globální) – realizovaná koncepce řízení jízdních vlastností nákladního vozidla

Obr. 1.4. Obsah mechatroniky jako vědní oblasti

16


1.3

Obsah a rozdělení mechatroniky. Další pokus o její definici [4, 8]

Obsahem mechatroniky je integrovaný návrh, analýza, optimalizace, virtuální prototypování a výroba inteligentních a vysoce výkonných elektromechanických ( nebo jiných ) soustav, jejichž hlavními znaky jsou : řízení a vlastní rozhodování, adaptace a učení na základě geneze – a ve vrcholné fázi učení na základě zhodnocení vlastních chyb. K tomu využívají výkonné hardwarové vybavení (senzorové soustavy, akční členy, integrované obvody, mikroprocesory, digitální signálové procesory, prostředky výkonové elektroniky) a inteligentní software (především řídicí algoritmy sestavené na bázi neuronových sítí či genetických algoritmů, inteligentní optimalizační algoritmy a pod.). Vzrůst strukturální komplexnosti a tím i složitosti MTS bohatě vyvažuje jejich výkonnost, vysoká provozní spolehlivost a multidisciplinární inteligentní chování. Zanedbatelná není ani menší energetická náročnost (ve srovnání s tradičními soustavami). Můžeme tedy mechatroniku stručné definovat jako inteligentní integraci mechanických a elektrických věd s výraznou podporou počítačového inženýrství včetně moderních technik modelování a optimalizace. Toto schéma mechatroniky jako vědní oblasti lze znázornit i graficky – viz obr. 1.4. Základní rozdělení mechatroniky pak lze chápat tak, jak je znázorněno na obr. 1.5.Zde navíc ještě uvedeme fundamentální použité teorie :

}

ZÁKLADNI TEORIE :

konvenční mechatronické soustavy klasická mechanika ⇒ mikromechanické soustavy elektromagnetismus

ZÁKLADNI TEORIE :

kvantová teorie ⇒ nanomechatronické soustavy nanomechatronika

}

Obr. 1.5 Rozdělení mechatroniky


17

Problémy, které mechatronika v současné době řeší, lze zhruba rozdělit na : • problémy výpočtové (výpočtová mechatronika), související například s inteligentním řízením mechatronických soustav, s jejich chováním a vlastnostmi za předem daných, zpravidla ne zcela definovaných počátečních podmínek, • problémy konstrukční (konstrukční mechatronika), související s konkrétními návrhy mechatronických soustav, technickými, biomechanickými či obecně komplexními soustavami, • problémy experimentální (experimentální mechatroniky), které souvisí s realizacemi interakcí mezi vstupními senzory aktuátorovými výstupy konkrétních realizací mechatronických soustav. Řízená soustava ještě nemusí být mechatronická soustava Mechatronika je více než „klasická řízená soustava“, pracující podle předem naprogramovaného postupu. Mechatronická soustava, to je synergetická interakce senzorů, aktuátorů, řízených motorů a implementovaných inteligentních řídících algoritmů, vykazující prokazatelně rysy autonomního inteligentního chování.

1.4

Systémové pojetí mechatroniky a mechatronický přístup k projektování [25, 40]

1.4.1

Cíl současného pojetí mechatroniky

Soudobé přírodovědné poznání přináší řadu nových poznatků, které ukazují jak rychle se mění náš obraz světa a některá jeho paradigmata. Jsme uprostřed procesu, kdy se postupně zbavujeme již přežitých představ a způsobů myšlení a přitom nové představy a myšlení nejsou dosud zcela vyjasněny, ba spíše v některých oblastech jen tušeny. Oblastí, ve které toto platí bez jakýchkoliv pochybností, je mechatronika. Dnes se využívání jejich principů, známé jako mechatronický přístup k řešení problémů, promítá nejen do technických věd ale prakticky do všech oblastí lidské činnosti. A jak lze definovat její cíle? V úvodu jsme konstatovali, že o mechatronice můžeme mluvit „jen v plurálu“. Smiřme se tedy s tím, že nevyslovíme ani jednoznačnou definici jejich cílů a omezíme se jen na „cíl současného pojetí mechatroniky“. Základní cíl současného pojetí mechatroniky spatřujeme ve vytváření podmínek pro systematické navrhování nových mechatronických soustav, nových výrobků i výrobních (i jiných) postupů a principů, charakterizovaných optimální funkční vyvážeností mezi základní strukturou a inteligentním řízením. Mechatroniku ale nelze chápat jen jako pouhou integraci strojního (nebo jiného) návrhu, elektrické výzbroj a počítačového řízení. Mechatronika a mechatronický přístup k řešení technických problémů vede ke kvalitativně novým produktům, charakterizovaným vyšší

18


technickou a užitnou hodnotou a dosahovaných často netradičním kombinacemi stávajících i nových technologií.

1.4.2

Mechatronický přístup k projektování

Hlavními rysy mechatronického přístupu k řešení problémů, tady i k projektování nových či inovovaných výrobků,jsou interdisciplinárnost, systémové myšlení, týmová spolupráce a tvůrčí, netradiční přístupy. Elektromechanické pohonové soustavy lze obvykle rozložit do tří základních subsoustav : na mechanickou subsoustavu (mechanika pohonů, technologické zařízení a technologické procesy), na subsoustavy elektrických pohonů (elektrické motory, elektronika, senzory, zpětnovazební řízení na nejnižší úrovni) a na informační subsoustavu (regulační mechanismy, řídicí počítače, software, umělá inteligence). Porovnání rozdílů mezi konvenčním projektování, relativně moderním souběžným projektováním (Concurrent engineering) a mechatronickým projektováním, je zřejmý z obr. 1.6.

Obr. 1.6 Porovnání tradičního, souběžného a mechatronického přístupu k projektování Zatímco tradiční a souběžné přístupy k navrhování nových výrobků charakterizují posloupnosti jednotlivých etap návrhu, mechatronický přístup předpokládá vzájemnou součinnost a ovlivňování při návrhu, vývoji a projekce jak mechanické konstrukce, tak i pohonů, jejich řízení a regulace. Mechatronický přístup k projektování vede k realizaci kompaktních konstrukcí, výrazně méně hmotnějších, s jednoduchými řetězci poháněcích mechanizmů. Řízení je zpravidla víceúrovňové, plně digitální a stále častěji se schopnosti učení. U návrhů elektrických a elektromechanických pohonových soustav můžeme dosáhnout významného zlepšení vlastností a chování, jako je např.: • stabilní a přesná regulace i při změnách parametrů soustavy, • řízení neměřitelných stavových proměnných použitím stavového pozorovatele nebo estimátoru, • eliminace vlivu čidel rychlosti a polohy,


19

• využití adaptivního tlumení kmitání a kompenzace nevývahy, • kompenzace gravitačních a Coriolisových sil při řízení robotů nebo • hlídání bezporuchovosti a detekce poruch výkonové i řídicí části pohonu.

1.5

Co není mechatronika

Mechatronika není simultánní inženýrství Pro simultánní inženýrství je charakteristické, že jednotlivé strukturální komponenty, často různé fyzikální podstaty (tj. mechanické, elektrické, elektronické včetně řídících počítačů) jsou sice navrhovány paralelně ale v podstatě samostatně – v této souvislosti se někdy mluví o tzv. vertikální integraci. Mechatronika pak je promítnutí integrace mechanických, elektrických, elektronických, řídících i počítačových znalostí souběžně s uvážením všech podstatných vzájemných interakcí v návrzích, ve vývoji i výrobě nových technických objektů již od samého počátku pak je tzv. horizontální integrace. Mechatronika není elektromechanika Elektromechanika v oblasti pohonů – to jsou návrhy primárních hnacích subsoustav, například návrhy stejnosměrných, střídavých či krokových motorů, solenoidů, generátorů, dále návrhy řízení těchto motorů (komutace stejnosměrných motorů, soustavy spouštění střídavých motorů), návrhy klasických či řízených převodovek apod. Řízená soustava ještě nemusí být mechatronickou soustavou Mechatronická soustava je více než klasická řízená soustava, pracující podle naprogramovaného algoritmu. Mechatronická soustava je synergetická soustava senzorů, aktuátorů, řízených motorů a inteligentních řídících algoritmů, s uvážením interakcí se základní strukturou (mechanickou, elektrotechnickou, atd.), vykazující prokazatelně rysy autonomního inteligentního chování.

20


MODELOVÁNÍ VLASTNOSTÍ A CHOVÁNÍ MECHATRONICKÝCH SOUSTAV

2

21

Modelování vlastností a chování mechatronických soustav

2.1

Tradiční a mechatronický přístup při návrhu pohonových soustav [1]

Přechod od tradičních přístupů k mechatronickému pojetí návrhů pohonových soustav může probíhat na různých úrovních, různými cestami a s různou intenzitou. Je to jak na struktuře pohonových soustav, především na tzv. „základní soustavu (většinou mechanické nebo elektromechanické), tak i na použitých řídících subsoustavách (jednoduché zpětné vazby, zpětné vazby s uzavřenými nebi násobnými smyčkami, řídící počítače a prostředky kreativního řízení a pod.). Základní rozdíly pak můžeme definovat takto : TRADIČNÍ POHONOVÉ SOUSTAVY • rozměrné soustavy (strukturálně zpravidla soustavy s mnoha stupni volnosti ) • složité převodové mechanismy • tuhé a hmotné prvky základní struktury (ozubená kola, hřídele, spojky, rotory turbin, kotvy elektromotorů a pod) • konstantní pohybové cykly • převážně konstantní rychlosti pohybů • přesnost je určována většinou tolerancemi a mechanismech a ozubených převodech či v uloženích ložisek • manuální, resp. poloautomatická regulace, méně často počítačové řízení. MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • malé, lehké a málo hmotné kompaktní soustavy • zjednodušené mechanismy • proměnlivé (programovatelné) pohybové cykly • různé rychlosti pohybů • elektronická synchronizace pohybů • přesnost je určována zpětnovazebními obvody, resp. reakcí řídících počítačů • automatické programovatelné a perspektivně adaptivní řízení. Pokusme se nyní na konkrétních příkladech ukázat, kdy a jak může mechatronika výrazně ovlivnit strukturu a vlastnosti mechanismů pohonových soustav.

2.1.1

Zkvalitňování vlastností mechanismů

V těchto případech může jít o doplnění mechanické struktury o zpětnovazební elektronické a inteligentní mechatronické komponenty a moduly. Výsledkem je zvýšení provozních parametrů moderních technických soustav (přesnost, flexibility, zvyšování pracovních rychlostí ). Uveďme několik konkrétních skutečností :

22


Aktivní snímače rychlosti kol automobilů Jednou z nových technických inovací při projekci pohonových soustav automobilů je využívání tzv. aktivních snímačů rychlosti kol, známých pod zkratkou ASB (Active Sensor Bearing). Aktivní snímač je na rozdíl od běžných pasivních snímačů elektřinou. Rychlost otáčejícího kola je vypočítávána na základě změny intenzity magnetického pole, kterou snímač zaznamenává a přímo ji předává výpočetní jednotce. Důsledky : větší přesnost a rychlost reakcí brzdových soustav a reakcí soustav zajišťování jízdní stability při současném zvýšení provozní spolehlivosti. Automatické „inteligentní“ převodovky automobilů Na rozdíl od klasických automatických se tyto inteligentní převodovky přizpůsobují okamžitých provozním podmínkám a stylu jízdy řidiče. Díky počítačovému systému, který analyzuje mj. i profil vozovky (zda jde o mírné či prudké stoupání či klesání, zda jde o opakované zatáčky apod.), je volen optimální převod vzhledem k pracovnímu stavu motoru, přičemž se současně sleduje zda je motor studený (při rozjezdu) nebo zda pracuje při extrémních pracovních podmínkách. Sleduje se i „styl jízdy“ konkrétního řidiče i sportovní či plynulá jízda nebo jízda v terénu. Důsledky : zapojení počítačového systému spolu s expertní jednotkou mezi motor a převodová ústrojí zvyšuje plynulost a pohodlí jízdy, snižuje spotřebu až na úroveň soustavy s řaditelnou převodovkou a snižuje zatížení řidiče.

2.1.2

Zjednodušování mechanismů

Řada klasických mechanismů může být výrazně zjednodušena využitím netradičních prvků či subsoustav, zpravidla mnohem jednodušších než mechanických, či subsoustav nebo modulů jiné fyzikální podstaty. Dosažení požadovaných funkcí a předepsané provozní spolehlivosti s dosahuje například využitím senzorů, mikroprocesorů a akčních členů. Elektrický lanový kladkostroj Jde o kompaktní pohonovou jednotku – viz obr. 2.1 – vyznačující se nízkou hmotností a malými rozměry při výrazně vyšší provozní spolehlivosti, což je důsledkem využití progresivních konstrukčních prvků : diferenciální planetové převodovky, uložením hřídele a ozubených kol v kuličkových či jehlových ložiskách, mazáním formou „brodění“ satelitů v olejové lázni a uzavřenou konstrukcí, kdy jsou rám, motor, lanový buben, převodovka i brzda uspořádány v jedné ose. Tyto kladkostroje jsou standardně dodávány s jednorychlostním pojezdem a dvourychlostním řízeným zdvihem. Tam, kde je třeba šetrně uložit břemeno nebo břemeno přesně polohovat, je možné využít mikrozdvihu.


23

Důsledky : stavebnicová konstrukce využitelná jak pro stabilní nebo mobilní soustavu, uzavřená konstrukce zaručující téměř bezúdržbový provoz i v prašném prostředí, řízený provoz, šetrný k okolí.

Obr.2.1 Schéma uspořádání elektrického lanového kladkostroje

Obr.2.2 Softwarová převodovka : typický mechanický převodový subsystém (a), zjednodušený stroj s rozdělenými, synchronizovanými a a programovatelnými činnostmi (tzv. Quin Systems) Příklad tzv. softwarové převodovky Příkladem, jak může mechatronické myšlení ovlivnit návrhy mechanismů, je tzv. softwarová převodovka, užívaná u mechanismů, které mají zajišťovat řízení rychlosti a polohy nebo přestavování či reverzaci pohybů některých prvků technických soustav (jedná se o vačkové mechanismy, mechanismy s ozubenými koly a pod.). Požadovaných funkcí se mechanickou cestou dosahuje jen pomocí složitých mechanismů a to ještě s obtížemi. Softwarové převodovky představují skupinu vzájemně synchronizovaných a programovatelných servomechanismů s možností snadné změny (resp. výměny) příslušného softwaru, určujícího jejich provoz s cílem splnění nejrůznějších požadavků, kladených na činnost stroje. Příkladem může být pohon balících strojů v „pružných výrobních systémech“ – viz. obr. 2.2 – nebo řízené pohybové mechanismy v papírenských strojích.

24

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Důsledky : malé rozměry, snadné přizpůsobení stroje změněným pracovním podmínkám zámě-

nou software, větší přesnost nastavení, větší provozní spolehlivost a možnost inteligentního chování stroje, např. s využitím mechatronických koncových efektorů u robotů.

2.1.3

Náhrady mechanismů

V řadě případů mohou být mechanismy plně nahrazeny a jejich funkce přebírají řízené elektronické soustavy, jejichž základní strukturální prvky představují snímače, budiče, mikroprocesory atd. Elektrické hodinové stroje Součástí přesných mechatronických soustav mohou být i hodinové stroje, které představují vysoce přesné – ale složité mikromechanismy. Ty jsou dnes stále častěji nahrazovány integrovanými obvody doplněnými uživatelskými rozhraními ve formě slabě emitujících diod (LED diody). Jednotlivé komponenty mechanické soustavy mohou být nahrazeny elektrickými resp. elektronickými ekvivalenty. Tak například akumulovaná potenciální energie stlačené pružiny je nahrazena elektrickou energií miniaturní lithiové baterie, setrvačníkové kolo a jeho mechanika může být nahrazena rezonančním krystalem, převodová kola včetně ukazatelů mohou být nahrazeny čítacími obvody a displejem z tekutých krystalů atd. Důsledky : miniaturizace, úspora energie, zjednodušení údržby, zvýšení provozní spolehlivosti. Řízení po drátě (Fly-by wire) – obr. 2.3 Dnes již známý (a stale častěji pronikající i do oblasti pohonových soustav) příklad náhrady klasických servomechanismů (mechanických, hydraulických, pneumatických, …), užívaných při řízení moderních letadel i řízení jejich motorů, ovládání podvozků, atd.). Zde jsou mechanické vazby, například mezi řídící pákou pilota a řídícími plochami letadla nahrazený elektronickými obvody řízenými mikroprocesory a akčními členy umístěnými přímo u ovládané soustavy. U moderních vojenských strojů bývá opuštěna i dosud užívaná aerodynamická konfigurace – tyto stroje jsou konstruovány jako inherentně nestabilní soustavy řízené počítači. Důsledky : snížení hmotnosti ve srovnání s klasickými mechanismy se zálohováním činnosti, z toho vyplývající zvýšení spolehlivosti a bezpečnosti provozu. Ovšem existence „inteligentní vazby“ mezi pilotem a řídícími prvky letadla podstatně modifikuje tradiční vazby, na druhé straně ale umožňuje dosahovat zcela unikátní a dříve neuskutečnitelné letové manévry.


25

Obr.2.3 Schematické uspořádání “ řízení po drátě “ Control surface

Řízený objekt (např. kormidlo, řídítka)

Actuator

Akční člen

Pump

Čerpadlo

Motor

Motor

Power amplifier

Výkonný zesilovač

Controller

Regulátor

Desired angle

Požadovaný úhel θ

Measured angle of surface

Skutečně naměřený (okamžitý) úhel θ(t)

2.1.4

Syntéza mechanismů

Užití integrovaných mikroprocesorových soustav umožňuje “nahradit množinu mechanismů“ relativně jednoduchými strukturami s většími možnostmi. Výsledkem je nesrovnatelně větší množství realizovatelných funkcí ve srovnání s klasickými soustavami při větší provozní spolehlivosti. V oblasti pohonu se jedná o plně automatizované výrobní komplexy jako jsou pružné výrobní systémy, automatizované válcovny, pohony papírnických i textilních strojů apod.

2.1.5

Funkční a prostorová integrace

Mechatronické technické soustavy využívají všech výhod paralelního a sériového konstruování. To umožňuje vytvořit jedinečné konstrukce, které mají s ohledem na přenášené výkony, v podstatě minimální rozměrové a hmotnostní charakteristiky. Toto navíc vede k úsporám energie. Příkladem může být pohonová soustava motor + převodovka znázorněná na obr. 2.4.

26


Obr.2.4 Příklad kompaktní konstrukce soustavy motor + převodovka

2.2

Řízení mechatronických technických soustav

2.2.1

Porovnání řízení klasických a mechatronických soustav

Je přirozené, že u složitých TS hrají otázky sběru a zpracování informací a jejich využití pro řízení stále větší roli. Vyžaduje se zpravidla řízení stále většího spektra složitých situací a požadují se stále větší soubory možných reakcí a předpovědí na složité a očekávané situace. Není proto divu, že se již mnohokrát při vytváření interakcí a řídících subsoustav narazilo na konečné možnosti lidských kapacit nebo na neúměrně dlouhou dobu pro získání rozhodnutí. Tyto skutečnosti vedou ke dvěma důležitým trendům v rozvoji soudobého inženýrského rozhodování, které se výrazně projevuje právě při aplikaci „mechanického přístupu“ k návrhům pohonů mechatronických soustav : • dochází k výběru podstatných ukazatelů a k formulaci podstatných kritérii nutných k zajištění funkčnosti TS, ke kontrole jejich spolehlivosti a k vyloučení vážných rizik, • v maximální míře se využívá automatické kontroly a řízení širokého spektra parametrů, funkcí a stavů TS, včetně stavů blízkých stavům rizikovým či havarijním. Cílem je dosáhnout adaptivního řízení s účelovým využíváním inteligentních řídících a rozhodovacích algoritmů (umělé neuronové sítě, genetické algoritmy).


27

Na soudobé úrovni našich technologických znalostí odpovídají uvedeným skutečnostem následující závěry : • podstatný význam má vždy soubor prostředků regulace a řízení TS. Klíčové místo zde zaujímá vztah lidské kontroly a automatické (sebe)regulace, zahrnující neobyčejně široký soubor zařízení či subsoustav – od jednoduchých regulátorů Wattova typu až po prostředky počítačových regulačních soustav využívajících prostředky umělé inteligence, • vnější prostředí může podstatně ovlivnit strukturu a především chování TS v rámci přípustných intervalů zachování jejich funkčnosti, takže i tyto faktory by měly být kontrolovány. Pole působnosti regulačních a řídících substruktur v pohonových soustavách je v současné době velmi široké a rozmanité. Pokusíme-li se opět o porovnání klasických mechanických a mechatronických pohonových soustav, můžeme dojít k následující sumarizaci : KLASICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • základní soustava strukturálních prvků je zpravidla homogenní, což je z hlediska řízení výhodné, • jednotlivé řídící prvky či subsoustavy jsou relativně samostatné a představují „periferie“ globální soustavy, • globální soustava je u moderních koncepcí pohonů připojena k počítači, • způsoby řízení lze charakterizovat jako programové (využívající počítače) a expertní, • k obsluze stačí obvykle instruktáž, případně zaškolení. MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • základní soustavu tvoří integrované prvky různé fyzikální podstavy s bohatým spektrem vnitřních i vnějších vazem a interakcí, • jednotlivé prvky řídící soustavy (subsoustavy) jsou integrovány přímo v základní struktuře a tvoří její nedílnou část, • i řídící počítač (resp. signálové procesory či mikroprocesory) jsou součásti globální soustavy, • adaptivní způsoby řízení využívají expertní systémy a řídící subsoustavy (vytvořené na bázi prostředků umělé inteligence) a plně využívají schopností „samoučení“. • k obsluze jsou nutné přísnější kvalifikační předpoklady, často se vyžaduje i trénink na simulátorech. Je zřejmé, že problematika řízení moderních TS a samozřejmě i MTS je velmi komplikovaná a obvykle může být realizována více způsoby, Jednou z možností je i popis prvků procesu řízení MTS a jejich vzájemné propojení, uvedené na obr. 2.5.

28


Obr. 2.5 Popis a možné propojení prvků řízení mechatronické technické soustavy

2.2.2

„Inteligence“ mechatronických soustav

Vymezení mechatroniky jako inženýrského oboru, jehož cílem je navrhovat mechatronické výrobky, je spojeno s požadavkem „inteligentního chování“ těchto výrobků. Jak tuto „inteligenci strojů a zařízení“ chápeme? • K základnímu stupni inteligentního chování řadíme programovatelnost a samoregulovatelnost,


29

• k vyššímu stupni pak patří diagnostika vlastních chyb, schopnost přizpůsobovat své chování měnícím se vnitřním i vnějším podmínkám, zlepšování svého chování na základě získaných zkušeností • a ve vrcholné fázi pak schopnost reorganizovat svoji strukturu podle měnících se požadavků. To je ovšem možné pouze na základě integrace vědeckého poznání mnoha vědních oborů, s důsledným využitím systémového přístupu k řešení, s respektováním současných procesů probíhajících změn v metodologickém chápání vědeckého bádání a s využití vědeckých výsledků v reálné inženýrské praxi. Zvyšuje se uplatňování takových metodických přístupů jako jsou analýza chování a vlastností technických soustav již ve stadiu jejich projektování, jejich kvantifikace, matematizace a formalizace praktický celé inženýrské činnosti. Kromě klasických matematických a logických metod a kybernetiky se stále více uplatňují obecná teorie dynamických systémů a rozvíjí se strukturálně genetické myšlení. Výsledkem je využívání inteligentních algoritmů v procesu řízení technických soustav : umělých neuronových sítí, genetických algoritmů, algoritmů tzv. simulovaného žíhání a dalších. Stručně řečeno jde o „definici funkčního určení mechatronických soustav jako metodologického modelu s příslušnými omezeními (jako jsou strukturální složitost, energetický výkon, informační kapacita, atd.) na jedné straně a na straně druhé s jistými neurčitostmi, danými „stupněm inteligentního chování“. Takové soustavy pak vykazují jak požadované cílové funkce tak i funkce informační a řídící a na vyšším stupni i homeostatické. Toto tzv. funkční určení neznamená, že mechatronické soustavy jsou určeny pouze svými funkcemi či projevy. Tyto funkce mohou mít také svého nositele, kterým může být v krajním případě i černá skříňka. Funkční určení mechatronických soustav tedy chápeme jako proces zaměřený na opakované zjišťování obecných charakteristik, principů uspořádání a vývoje obecně složitých systémů, které by se daly alespoň částečně kvantifikovat. Dále je nutné řešit problémy, které souvisejí s formulacemi mezních stavů mechatronických soustav, s problémy jejich symetrie a asymetrie, invariance a zachování souvislostí s charakterem fyzikálních zákonů a jejich vztahu k jiným vědním oborům i řadu jiných problémů. Poznámka Na závěr tohoto odstavce uveďme ještě malou poznámku o integraci, respektive o systémové integraci v mechatronických soustavách. Vzhledem k tomu, že v současné době se tyto pojmy často objevují i ve zcela nesmyslných spojeních (především z úst vládních činitelů), bude účelné vrátit se k sémantice těchto pojmů. Integrace je jak známo sjednocení, spojení částí (prvků) do celku (systému). Systémová integrace pak musí respektovat zákonitosti, platné v teorii systémů Z těchto zákonitostí si připomeňme, že prvky se v rámci systému ovlivňují v synergickém efektu, současně dochází k integraci mezi systémem a okolím a v rámci těchto integrací se realizují poža-

30


dované funkce systému a plní se vytčené cíle. Pro mechatroniku je charakteristické, že zpětně mají tyto integrace dopad na vývoj systémů, jejich mutace, respektive zánik.

2.3

Pohony mechatronických soustav - jejich popis, struktura a řízení

Provést jednoznačnou kategorizace pohonových soustav je prakticky nemožné a jejich hodnocení z různých hledisek by mohlo být náplní samostatné publikace. Je to dáno především tím, že s pohonovými soustavami se setkáváme prakticky ve všech oblastech našeho života, kde plní ty nejrozmanitější funkce. Na jedné straně pohonové soustavy přenášejí extrémně vysoké výkony, například v energetice, na druhé straně se v mikromechatronice setkáváme s miniaturními soustavami, o nanomechatronice nemluvě. Přitom i ty nejvýkonnější pohony lze řadit do kategorie mechatronické, příkladem mohou být letecké motory s integrovanými řídícími subsoustavami.

2.3.1

Obecný popis mechatronických pohonových soustav

Podíváme-li se na pohonové soustavy jako na energetické soustavy, pak jejich základními částmi jsou : • Konvertory – ve kterých se mění formy přenosu energie, i když se v nich energie neshromažďuje. Na příklad přeměna elektrické energie na mechanickou nebo chemické na elektrickou. Přeměna energie není jak známo dokonalá a probíhá vždy s jistou účinností, charakteristickou pro daný přenos. • Motory - zvláštní případ konvertorů, u kterých se vždy přiváděná energie mění na mechanickou práci. • Generátory – konvertory s výstupní energií elektrickou nebo tlakovou (hydraulickou). • Akumulátory – v nich se akumuluje energie po určitou dobu. • Transformátory – nemění druh přiváděné energie, ale mění se vzájemný poměr dvou základních složek výkonu (na příklad moment – úhlová rychlost, proud – napětí, průtok – tlak u tekutin). • Transmise – realizují přenos energie z jednoho místa na druhé beze změny druhu, formy či základních parametrů energie. • Technologické artefakty - resp. pracovní stroje, vykonávající předepsanou činnost. Mohou být různého typu, včetně biologických. • Informační a řídící subsoustavy – zajišťují získávání (snímání) a přenosy informací, jejich třídění, výběr a zpracování pro účely řízení, zajišťují realizaci řízení všech rozhodujících činností v dané soustavě a registraci vyžádaných parametrů a rozhodnutí pro pozdější využití nebo kontrolu. Schématické znázornění pohonové soustavy, členěné podle této specifikace je na obr. 2.6.


31

Obr. 2.6 Obecné schéma řízené pohonové soustavy Pro naše konkrétní účely, zaměřené především na modelování pohonů a hodnocení jejich dynamických vlastností nám plně postačí blokové schéma řízené pohonové soustavy, znázorněné na obr. 2.7.

Obr. 2.7 Blokové schéma řízené pohonové soustavy

32


2.3.2

Modely mechanické struktury pohonových soustav (včetně mechatronických)

Pokud jde o základní strukturu modelů pohonových soustav, je situace podobná jako u jejich základního popisu. Na jedné straně se setkáváme s jednoduchými modely s 1 nebo 2 stupni volnosti (zpravidla u malých pohonů nebo mikropohonů), na straně druhé se setkáváme se složitými strukturami pohonů (spíše u pohonů přenášejících střední a větší výkony). Není to však pravidlem. Při modelování pohonů se tak můžeme setkat s následujícími typy modelů : • s pohony modelovanými jako homogenní tuhá tělesa, • s pohony modelovanými jako tuhá tělesa + rovinné, resp. prostorové mechanismy, • s pohony modelovanými jako diskrétní soustavy se soustředěnými hmotnostmi a nehmotnými pružnými a tlumícími vazbami, • s modely pohonů vytvořenými na bázi MKP, • s modely pohonů se spojitě rozloženými geometrickými a hmotnostními charakteristikami • a s tzv. komplexními integrovanými modely, obsahujícími substruktury různé fyzikální podstaty. Ke každému z těchto modelů mohou být přiřazeny submodely informačních a řídících vazeb a interakcí na různém stupni složitosti, to vše podle účelu a podle toho, jaké funkce má model zajišťovat. Při vytváření vhodného stupně strukturální složitosti, která by vyhovovala přenosu energie, informační kapacity a stupně řízení,využíváme u mechatronických, stejně jako u klasických pohonových soustav, metodiky izomorfie a především homomorfie, tj. vyžaduje se současná funkční totožnost a toleruje se strukturní odlišnost mezi modelem a reálnou soustavou, na které byl model vytvořen. Z toho důvodu vyžadujeme : • vzájemně jednoznačná přiřazení počátečních podmínek a vstupů mezi reálnou soustavou a jejím modelem, • vzájemně jednoznačná přiřazení stavových veličin a • vzájemně jednoznačná přiřazení výstupních parametrů. Navíc musíme uvážit i další okolnosti. Reálné pohonové soustavy (ať klasické nebo mechatronické) mají své funkce cílové, informační, a na vyšším stupni řídící a perspektivně i homeostatické. U modelových soustav pak musíme řešit otázku optimálního výběru těchto funkcí. Funkční určení reálné soustavy i jejího modelu neznamená, že tyto jsou určeny jen svými funkcemi a projevy. Předpokládá se naopak, že tyto funkce mají své nositele – kterými mohou být u modelových soustav i černé skříňky. Doplňme, že funkční určení reálné soustavy a jejího modelu usiluje o zjištění obecných charakteristik, principů a uspořádání, které by se daly alespoň částečně kvantifikovat.


2.4

33

Příklad modelování klasické řízené pohonové soustavy [9, 10, 11]

Příkladem modelování řízené pohonové soustavy může být pohon technologického zařízení, znázorněný na obr. 2.8. Je složen z elektrického stejnosměrného motoru, rozvodovky, řaditelné převodovky a technologického zařízení – stroje. Konstruktér má zpravidla k dispozici : výkonové a kinematické parametry poháněného stroje, typ, výkonové a kinematické parametry motoru a na tomto základě si vytvoří představu o struktuře pohonu – rozhodne o typu převodovky, případně o zařazení rozvodovky – tj. stálého převodu.

Obr. 2.8 Typické schéma klasické pohonové soustavy s řízeným motorem Při modelování pohonu a následných simulačních experimentech doporučujeme postupovat podle následujícího schématu : • sestavení účelového a částečně strukturovaného modelu základní mechanické (resp. jiné) struktury, • formulace návrhu řízení pohonu a sestavení elektrické (elektronické, resp. jiné) subsoustavy řízení, • podrobně definovat zatěžující a budící účinky, záběrové podmínky v ozubení a případně i očekávané poruchy (technologické, poruchy při přenosu výkonu, poruchy řízení, případně i poruchy motoru), U složitějších případů modelování mechatronických soustav můžeme dále sestavit : • model vnějšího prostředí a • navrhnout způsob integrace základních substruktur (mechanické, elektrické, informační a řídící a vnějšího prostředí do globální struktury.

34

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY K tomu, aby mohly být tyto body splněny, je zapotřebí znát nebo sestavit : • matematické modely požadovaných zatěžovacích i parazitních procesů • algoritmizované požadavky na řízení pohonu z hlediska provozu, technologie, energetických požadavků, případně bezpečnosti i ekologie, • matematický model logicko – informačních vazeb. Poznámka : ne ve všech případech musíme řešit všechny tyto kroky. Záleží vždy na konkrét-

ním problému a na volbě rozlišovací úrovně. Musíme ale dbát na to, aby výsledný globální model byl úrovňově vyvážený. Vrátíme se ale k problému modelování pohonové soustavy na obr. 2.8. Nejjednodušší varianta mechanické struktury – po redukci kinematických a výkonových parametrů na hnací hřídel motoru, je model se soustředěnými hmotnostními parametry a nehmotnými pružnými a tlumícími vazbami (diskretizovaný model), znázorněný na obr. 2.9. Uvedený model nám při simulačních výpočtech poskytne požadované frekvenční charakteristiky nutné pro posouzení kinematických odezev i direkční momenty v pružných vazbách, nutné pro dimenzování.

Obr. 2.9 Diskretizovaný model mechanického subsystému pohonu dle obr. 2.8 Pro návrh řízení pohonové soustavy předpokládejme, že požadujeme dodržování konstantní úhlové rychlosti motoru v celém rozsahu rychlostí technologického stroje a při poruchách. V tomto případě máme několik možností, například podle velikosti přenášeného výkonu. Tak například


35

• stacionárně buzený stejnosměrný motor s otáčkovou a proudovou regulací a s tyristorovým měničem. Jde o klasický příklad pohonu pro přenos středních a vyšších výkonů. Blokové schéma elektrického subsystému je na obr. 2.10.

Obr. 2.10 Elektrický subsystém pro řízení otáček stacionárně buzeného DC motoru s otáčkovou a proudovou regulací a tyristorovým měničem • moderní DC motor s cizím buzením vhodný pro přenos malých výkonů. Blokové schéma řízení tohoto typu motoru je na obr. 2.11.

Obr. 2.11 Elektrický subsystém DC motoru s cizím buzením

36


•

nestacionární DC motor s uvažováním změny magnetického toku v cívce budícího vinutí. Motor je vhodný pro přenos malých výkonů a lze ho využít v mechatronických, případně I v mikromechatronických soustavách. Jeho blokové schéma je znázorněno na obr. 2.12.

Obr. 2.12 Model elektrického nestacionárně buzeného DC motoru. K určení modelu pohonové soustavy i na „minimální rozlišovací úrovni“ je nutné stanovit ještě blokové schéma pracovního stroje. Jednou z možných variant řešení je schéma na obr. 2.13.

Obr. 2.13 Blokové schéma pracovního stroje


37

Model logicko – informačních vazeb můžeme vybrat například podle obr. 2.14. Na obr. 2.14a je znázorněno schéma centrálního řízení, kde jsou všechny informace přiváděný nezávisle do řídící jednotky, na obr. 2.14b je schéma přenosu informací se sdílenou sběrnicí a na obr. 2.14c,d jsou některé možnosti přenosu dat se zálohováním, používané u složitějších úloh.

Obr. 2.14 Model logicko-informačních vazeb

2.5

Modelování elektronického řízení mechatronických soustav [2, 7, 8]

Řekli jsme, že obsahem mechatroniky je synergická integrace návrhu elektromechanických soustav, jejich analýza, modelování a simulace dynamických vlastností s využitím výkonného hardwarového a softwarového vybavení, zahrnujícího inteligenci a samostatné rozhodování při řízení pohybů. Uveďme si nyní nejdůležitější elektronické a elektromechanické komponenty

38


a subsoustavy, které řízení mechatronických soustav obvykle obsahuje. Jsou to : prvky (komponenty, subsoustavy) výkonové elektroniky, senzory a akční členy, soustavy (subsoustavy) digitálního řízení a soustavy (subsoustavy) informačních technologií. – viz obr. 2.15.

Obr. 2.15 Základní komponenty elektronického vybavení MTS

Obr. 2.16 Bloková schémata mechatronické/mikromechatronické soustavy s analogovým a digitálním regulátorem


2.5.1

39

Analogové a digitální řízení mechatronických soustav

Prakticky všechny součásti řídících obvodů mají nelineární charakteristiky a jsou extrémně citlivé na počáteční podmínky, budící účinky a často i na změny pracovních podmínek. Přitom prvky jednotlivých skupin musí být vzájemně kompatibilní, to znamená, že prvky výkonové elektroniky musí být navrženy s ohledem na použité senzory a aktivátory a naopak, stejně jako subsoustavy digitálního řízení. Informační technologie musí poskytovat všechny podstatné prostředky zajišťující sběr, úpravy a zpracování datových souborů v mikroprocesorech a v digitálních signálových procesorech, které jsou využívány k realizaci požadavků řízení. Příklady možných blokových schémat mechatronických soustav s analogovými (a) a digitálním regulátorem (b) jsou ukázány na obr. 2.16.

2.5.2

Algoritmy řízení a způsoby řízení MTS

Přestože většina řídících algoritmů, řazených mezi inteligentní řídící algoritmy, má svůj původ v jiných vědních oblastech než je mechanika (resp. mechatronika), existuje díky jejich univerzálnosti v současné době mnoho aplikací těchto algoritmů v oblasti modelování řízení mechatronických soustav. Prosazují se zejména dvě významné skupiny řídících algoritmů : • algoritmy založené na využití umělých neuronových sítí a • algoritmy založené na využití stochastických evolučních principů V dalších odstavcích o těchto algoritmech pojednáme podrobněji. Předtím se ještě zmíníme o způsobech hodnocení přesnosti řízených veličin. Hodnocení přesnosti řízených veličin Vlastní řízení probíhá na základě hodnocení odchylky e(t) mezi výstupní veličinou y(t) a referenční veličinou r(t), tj. e(t ) = y (t ) − r (t )

Následně je odchylka e(t) minimalizována a optimalizována, například pomocí následujících kritérií : ∞

J = min ∫ t ⋅ e ⋅ dt t ,e

0

nebo ∞

J = min ∫ e ⋅ dt e

0

či ∞

J = min ∫ e 2 ⋅ dt e

0

40


Obr. 2.17 Hodnocení výstupní odezvy mechatronické soustavy při r(t) = konst. Mechatronické resp. mikromechatronické soustavy jsou dále hodnoceny na základě veličiny Δy, která odpovídá tzv. času ustálení odezvy – viz obr. 2.17 Δy =

2.6

ymax − ystab ⋅100 ystab

Využití neuronových sítí v regulačních strukturách mechatronických soustav [16, 21, 25, 40]

2.6.1

Charakteristika umělých neuronových sítí

Neuronové sítě (Artificial Neural Network – ANN) jsou systémy zpracování informací, které pracují způsobem analogickým k činnosti mozku. ANN představují poměrně velké množství různých algoritmů, od komplexních simulací jednoho neuronu až po abstraktní modely rozsáhlých sítí. Obecně lze tyto sítě rozdělit podle topologie, tj. způsobu propojení jednotlivých neuronů, následovně : • sítě dopředné – nemají zpětnou vazbu a v technických aplikacích jsou nejčastější, • sítě rekurentní – jejich architektura obsahuje alespoň jednu zpětnou vazbu, • sítě s dynamicky se měnící topologií – počet neuronů není konstantní, mění se v průběhu učení sítě. Hlavními přednostmi ANN ve srovnání s klasickými řídícími strukturami jsou : • schopnost vytvářet (modelovat) obecně nelineární závislosti mezi vstupními a výstupními parametry,


41

• schopnost učení, • paralelní výpočet je rychlejší než klasický, • vetší robustnost při změnách parametrů soustavy • aproximační schopnost a schopnost tolerance chyb Pro modelování dynamických systémů nejsou významné biologické aspekty, proto se zaměříme především na tzv. dopředné sítě typu vícevrstvý preceptor, v literatuře též označovaný jako „vrstvená neuronová síť “. Vícevrstvý preceptor je síť se vstupní vrstvou o rozměru (počtu neuronů) odpovídající dimenzi vektoru ze vstupního prostoru, výstupní vrstvou je síť, která odpovídá rozměru dimenze vektoru z výstupního prostoru a obsahuje r skrytých vrstev, z nichž s má ms neuronů. Neurony sousedních vrstev jsou propojeny systémem každý s každým, v téže vrstvě není propojen žádný neuron s žádným – viz obr. 2.18.

Obr. 2.18 Topologie vícevrstvého preceptoru Základní vlastností vícevrstvého preceptoru je skutečnost, že teoreticky ke každému zobrazení ze vstupního prostoru do výstupního prostoru lze při dostatečné „mohutností sítě“ najít hodnoty parametrů sítě. Jestliže máme vhodnou síť, můžeme najít hodnoty výstupního vektoru tak, že na vstupní vrstvu sítě vložíme vstupní vektor a z výstupní vrstvy odečteme odezvu. Problémem je nalezení parametrů sítě. K hledání parametrů sítě musíme realizovat proces učení sítě – adaptace parametrů sítě (tzv. vah). Problémem je také určení počtu skrytých neuronů (vstupní a výstupní neurony odpovídají zpravidla dimenzím vstupního a výstupního vektoru – jeden neuron pro každý prvek). Vzhledem k nemožnosti interpretace hodnot vnitřních parametrů sítě (vah) neexistuje jednotný způsob, jak určit optimální počet neuronů. Je možné volit počet skrytých neuronů podle doporučení v literatuře (což je součet vstupních s výstupních neuronů dělený dvěma) nebo při potížích s trénováním sítě neurony přidat či při rychlém průběhu tréninku neutrony ubrat. Opti-

42


mální je co nejmenší – ale dostatečný – počet neuronů skryté vrstvy, zlepšuje se tím schopnost generalizace sítě. Sítí tohoto typu je celá řada a liší se podle architektury propojení jednotlivých neuronů. Lze je také dělit na sítě s učitelem a samoučcí sítě. Samoučící sítě se používají především pro účely klasifikace analyzovaných jevů. Sítě s učitelem vyžadují existenci tzv. tréninkové množiny, což je množina párů vstupních a výstupních vektorů, zobrazujících transformace odpovídajících si vstupů a výstupů. Při učení sítě se minimalizuje odchylka mezi odezvou sítě a příslušným výstupním vektorem z tréninkové množiny. Pokud síť odpovídá na tréninková data s požadovanou přesností, má již síť schopnost generalizace – tj. realizuje v praxi „inteligentní“ aproximace výstupních dat. I algoritmů učení existuje celá řada a v zásadě je lze rozdělit na : • metody gradientní – založené na minimalizaci chyby a na • metody stochastické – využívající například genetické algoritmy. Při používání sítí s učitelem má pro kvalitu dosažených výsledků rozhodující význam, kromě algoritmu učení, také tzv. „úplnost tréninkové množiny“. To znamená, že tréninková množina musí poskytovat při minimálním počtu faktů vyčerpávající popis možných řešení dané úlohy. Pokud je „prostor možných řešení“ „rovnoměrně“ či „dostatečně bohatě“ pokryt, je učení úspěšné. Pojmy v uvozovkách označují neschopnost exaktně určit, kolik faktů je nezbytné k úspěšnému učení sítě zapotřebí. Problematika navrhování neuronových regulátorů mechatronických pohonových soustav pozůstává zpravidla z následujících kroků : • identifikace regulované soustavy a vytvoření jejího modelu (analýza soustavy a možnost simulací), • návrhu struktury řízení a algoritmu řízení (syntéza regulátoru). Pro pohonovou soustava, tvořenou například elektrickým motorem spojeným s mechanickou subsoustavou, je možné oba tyto kroky částečně nebo úplně realizovat pomocí neuronových sítí. Problém identifikace obecně nelineární soustavy spočívá v určení nelineárních aproximačních funkcí. Určení neuronové sítě pak spočívá v nalezení příslušných vah jednotlivých synapsí neuronové sítě, konvergujících k minimu kriteriální funkce, představující odchylku mezi výstupy reálné soustavy a neuronového modelu pro všechny přípustné časové průběhy řízení. Princip učení neuronové sítě na modelu soustavy. Neuronové sítě můžeme při modelování dynamických soustav využít v zásadě dvojím způsobem : • jako tzv. přímé modelování soustavy (neuronový model typu „feedforward“) nebo • jako tzv. inverzní modelování soustavy (neuronový model typu „feedback“). Oba tyto modely lze použít jak online tak offline způsobem. Princip učení neuronové sítě na model soustavy je nakreslen na obr. 2.19. Neuronovou síť lze použít jako nelineární regulátor přímo ve zpětnovazební smyčce regulované soustavy (neural feedback control) nebo jako předkorekci ke klasickému zpětnovazebnímu regulátoru (neural feedfor-


43

ward). Při použití neuronové sítě jako zpětnovazebního regulátoru se tento trénuje pomocí neuronového modelu soustavy, trénovacím souborem vstupů a výstupů je obvykle referenční model chování uzavřené smyčky, který bývá zpravidla lineární – viz obr. 2.20.

Obr. 2.19 Identifikace nelineární soustavy

Obr. 2.20 Princip učení neuronového regulátoru

Obr. 2.21 Neuronový model typu „feedforward“

Obr. 2.22 Neuronový model typu „feedback“

Schéma tzv. přímého modelování soustavy pomocí neuronových sítí, naznačené na obr. 2.21 je založeno na skutečnosti, že vstupy do soustavy jsou současně přiváděny na vstup neuronové sítě. Výstup ze soustavy je srovnán s výstupem sítě a vzniklá odchylka je použita k určení chyby učení sítě. Tréninková množina (páry vstupních a výstupních veličin) může být připravena předem (změřena nebo získána pomocí simulovaných výpočtů – offline), případně může výpočet na soustavě a trénink sítě probíhat současně a tak jsou tréninková data získávaná přímým měřením – online. Natrénovaná síť má tedy pro vstupy z oblasti tréninkových dat (vstupy do soustavy) odezvu odpovídající odezvě soustavy.

44

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Schéma tzv. inverzního modelu modelování soustavy pomocí neuronových sítí je znázorněno

na obr. 2.22. Výstupy ze soustavy jsou přiváděny na vstupní vrstvu neuronové sítě. Vstup do soustavy je porovnáván z výstupem sítě a chyba učení sítě je definována na základě jejich rozdílu. To znamená, že vstupem sítě je výstup ze soustavy a výstupem sítě je vstup do soustavy, síť tak modeluje inverzní chod soustavy. I v tomto případě může být trénink prováděn současně s vlastním výpočtem na soustavě – tj. online, nebo může být tréninková množina změřena čí vypočtena předem (v případě výpočtu vystačíme obvykle s modelem pro přímou úlohu – vypočtené páry vstupních a výstupních veličin jednoduše „přehodíme“) a trénink pak probíhá odděleně – offline. Natrénovaná síť tak má pro vstupy odpovídající výstupům ze soustavy odezvu odpovídající vstupům do soustavy. Inverzní model je možné vytvořit pouze v případě jeho teoretické existence. Poznámka : Podrobněji o této problematice pojednáme v 8. kapitole.

2.6.2

Identifikace dynamické soustavy pomocí neuronové sítě

Problém identifikace odezev modelu obecně nelineární dynamické soustavy spočívá v určení nelineárních aproximačních funkcí. Proces učení neuronové sítě pro identifikaci odezev soustavy může probíhat dvěma způsoby : • pomocí neuronové sítě typu „feedforward“, jejímiž vstupy jsou měřené výstupy reálné soustavy nebo jejího simulačního modelu v několika předcházejících diskretizačních krocích nebo • pomocí rekurentní neuronové sítě typu „feedback“, jejímiž vstupy jsou vlastní (odhadnuté) výstupy v několika předcházejících diskretizačních krocích. Uvažujme model diskrétní nelineární soustavy s jedním vstupem a výstupem. O tomto modelu nemusíme nic víc znát, pouze odhadneme její řád. Obecně lze takový model popsat rovnicí

y( k +1) = f [ y( k ) , y( k −1) ,… , y( k − p +1) , u( k ) , u( k −1) ,… , u( k − q ) ] , kde y( k ) ,… , y( k − p +1) jsou měřené (resp. odhadnuté) výstupy a u( k ) ,… , u( k − q ) jsou hodnoty řízení. Pro neuronový emulátor typu „feedback“ pak platí rovnice y( k +1) = f [ yˆ ( k ) , yˆ ( k −1) ,… , yˆ ( k − p +1) , u( k ) , u( k −1) ,… , u( k − q ) ] ,

kde yˆ ( k ) ,… , yˆ ( k − p +1) jsou všechny hodnoty výstupů získané (vypočtené) v předcházejících ( p + 1) intervalech a u( k ) ,… , u( k − q ) jsou opět všechny hodnoty řízení v předcházejících q intervalech. Poznámka : Podrobněji pojednáme o této problematice v kapitole 8.

2.6.3

Příklad modelování asynchronního elektrického motoru pomocí neuronových sítí [18, 21]

Klasické řízení dynamických soustav, založené na znalosti jejich matematického modelu, se pro některé složité soustavy ukazuje jako obtížně realizovatelné z důvodů implementace těchto


45

modelů do řídících algoritmů číslicových mikropočítačových regulátorů, řídících soustavy v reálném čase. Pro simulaci dynamických procesů v soustavách s elektrickými asynchronními motory existuje několik způsobů vytvoření dostatečně přesného modelu elektromotoru, například pomocí soustavy diferenciálních rovnic v přirozených nebo transformovaných souřadnicí spolu s jejich řešením pomocí některé z numerických metod nebo „přímo“ na základě známého blokového schématu, viz např. schéma na obr. 2.23. Můžeme se také setkat s případy, kdy některé parametry modelu jsou obtížně měřitelné a často i časově invariantní. Model pak je obecně nelineární se všemi nepříjemnými důsledky z toho vyplývajícími. Zcela jiným přístupem k vytváření modelu řízeného asynchronního motoru je použití neuronových sítí. Na základě obecných vlastností umělých neuronových sítí lze vytvořit tzv. neuronový model, viz obr. 2.24. Neuronová síť zde nahrazuje matematický model, čímž je odstraněn také problém identifikace jeho parametrů. Proces vytváření (resp. zpřesňování modelu) je pak uskutečňován procesem učení dané neuronové sítě. Problém návrhu řízení elektrických motorů či servomotorů pak zpravidla vyžaduje identifikaci soustavy a vytvoření jejího modelu, případně návrh stavového pozorovatele a syntézu regulátoru, tj. návrh algoritmu řízení. Pro nelineární soustavy, jakými jsou v postatě elektrické servopohony, spojené s mechanickými subsoustavami, je výhodné pro všechny tyto kroky použít umělé neuronové sítě.

Obr. 2.23 Blokové schéma asynchronního motoru

Obr. 2.24 Neuronový model asynchronního motoru

Příklad : neuronové řízení servopohonů

Neuronové sítě mají schopnost modelovat s libovolnou přesností závislosti mezi vektory vstupních a výstupních hodnot. Tyto závislosti nemusí být nutně vyjádřeny analyticky, protože pro naučení neuronové sítě je dostačující vhodně velká množina párů vstup – výstup (tzv. učících vzorů). Síť je schopna i aproximace průběhů pro vstupní hodnoty, které se mezi učícími vzory nevyskytují. Sítě se tedy osvědčují i tehdy, kdy popis matematický popis soustavy není k dispozici a učící vzory jsou získávány na základě pozorování chování soustavy nebo z měření reálné soustavy. V případě, že síť není vybavena žádnými zpětnými vazbami, je schopna modelovat „pouze statické závislosti“ a hovoříme o statické dopředné neuronové síti (static feedforward neural network). Jedním z nejdůležitějších problémů řízení elektrických servopohonů je tedy získání in-

46


formací o neměřitelných stavových proměnných a v současné době i problém eliminace snímačů některých stavových veličin včetně výstupů. Jako příklady neměřitelných veličin mohou sloužit vektor rotorového magnetického toku asynchronního motoru nebo nelineární zatěžovací moment servopohonu robota, jako příklad eliminace snímače je možné uvést náhradu tachodynama estimátorem rychlosti. Klasickým způsobem řešení, aplikovatelným na lineární soustavy jsou Luenbergerův pozorovatel a Kalmánův filtr. Pro složité soustavy jsou ale tyto algoritmy řízení neprůchodné v reálném čase. Řešením je aplikace umělé neuronové sítě, natrénované jako stavový pozorovatel. V případě, že stačí pozorovat pouze výstup soustavy, lze použít neuronovou síť typu „feedforward“ bez zpětné vazby. Vstupy do neuronové sítě jsou řízení a hodnoty výstupu reálné (nebo simulované) soustavy v několika předcházejících diskretizačních krocích. Pokud pro řízení vyžadujeme i některé další stavové proměnné, na příklad pro stavové zpětnovazební řízení, je nutné použít neuronovou síť typu „feedback“, se zpětnou vazbou, v níž je zařazeno časové zpoždění o jeden diskretizační krok. Vstupy neuronové sítě pak jsou opět řízení a všechny stavové proměnné z předcházejícího diskretizačního kroku. Tuto konfiguraci neuronové sítě lze navíc použít i pro predikci stavových proměnných. Stavový pozorovatel neuronovou sítí představuje neuronovou realizaci Kalmanova filtru. Nelineární spojitou dynamickou soustavu (jakou elektrické servopohony jsou) lze popsat stavovými rovnicemi dx = f (x, u, t ) a y (t ) = g(x, u, t ) . dt

(2.1)

Pro lineární, časově invariantní a diskrétní soustavu lze stavové rovnice přepsat na soustavu algebraických rovnic x(k + 1) = A x(k ) + B u(k ) , y (k + 1) = C x(k ) + Du(k ) .

(2.2)

Vektor stavových veličin v kroku (k + 1) lze určit z vektoru stavových veličin a z vektoru řízení u v kroku (k). Naučíme-li neuronovou síť na správnou odezvu v jednom diskretizačním časovém kroku pro všechny předpokládané kombinace stavových proměnných a řízení, bude se chovat jako model dynamické soustavy. Neuronová síť tedy musí mít počet vstupů, daný součtem prvků vektorů x a u. Výstupy stavových proměnných jsou propojeny s odpovídajícími vstupy zpětnými vazbami se zařazenými zpožďovacími členy zpožděnými o jeden vzorkovací časový interval. Obecné schéma takového neuronového modelu je na obr. 2.25. Neuronovou síť lze použít jako nelineární regulátor přímo ve zpětnovazební smyčce regulované soustavy. Neuronová síť pak představuje inverzní model soustavy. Jinou možností aplikace neuronového řízení je zapojení neuronové sítě jako předkorekce (feedforward) ke klasickému zpětnovazebnímu regulátoru. Neuronová síť v této funkci pak upravuje zejména dynamické


47

chování (inverzní nelineární předkorekce kompenzuje nelinearitu soustavy), zatímco přesnost regulace je zajišťována klasickým regulátorem s integračním charakterem. Dalším výhodným použitím neuronové sítě v regulačních strukturách je její použití v adaptační smyčce pro nastavování adaptivních regulátorů. V tomto případě neuronová síť představuje model soustavy a slouží i její identifikaci a dále k nalezení optimálních parametrů regulátoru – jde tedy o obdobu tzv. self-tuning regulátoru.

Obr. 2.25 Neuronový stavový pozorovatel

2.6.4

Neuronový model stejnosměrného motoru s cizím buzením [17]

Pro vytvoření modelu dynamické soustavy – v našem případě modelu stejnosměrného motoru – je nutné doplnit neuronovou síť zpětnými vazbami. Jako nejjednodušší se jeví možnost zavést vazby ode všech stavových proměnných. Pro soustavu druhého řádu bude tedy mít neuronová síť dvě zpětné vazby, tak jak je to znázorněno na obr. 2.26.

Obr. 2.26 Neuronová síť se dvěmi zpětnými vazbami

Je zřejmé, že tento postup není možný v případech, kdy jsou stavové veličiny neměřitelní a nemohou tudíž vytvořit potřebné učící páry. V takovém případě je někdy možné nahradit chybějící veličiny „zpožděnými“ výstupními veličinami. Vstupní vzory bývají obvykle získávány jako kombinace jejich možných hodnot a výstupní pak výpočtem jako reakce soustavy na ně v dalším kroku. Takový postup ale vyžaduje matematický model (i zjednodušený) dynamické soustavy.

48


Model lineární soustavy

Uvažujme stejnosměrný motor s cizím buzením, s konstantním budícím tokem a s konstantními hodnotami odporu a indukčnosti. Matematický model za těchto podmínek představuje soustava rovnic dia 1 = (ua − Ra ia − c φ ω ) , dt La dω 1 = (c φ ia − mp ) . J dt

(2.3)

Pro vytvoření neuronového modelu použijeme rekurentní neuronovou síť s jednou skrytou vrstvou se sedmi neurony, která má tři vstupy, napětí kotvy ua a zpětné vazby od stavových veličin ia a ω a dva výstupy shodné se stavovými proměnnými – viz obr. 2.27.

Obr. 2.27 Schéma rekurentní neuronové sítě se zpětnými vazbami od stavových proměnných

Protože se jedná o lineární soustavu druhého řádu, byl průběh učení velmi rychlý, počet průchodů sítí (tzv. epoch) byl pouze několik desítek a učících párů bylo asi dvě stě. Bylo již řečeno, že ne vždy jsou hodnoty stavových proměnných dostupné. Ukážeme, k jakým výsledkům vede nahrazení zpětných vazeb neuronové sítě (od stavových veličin) zpožděnými výstupními hodnotami. Konkrétně byla zpětná vazba od proudu nahrazena otáčkami (výstupem) „zpožděnými“ o dva kroky. I v tomto případě byly dosažené výsledky velmi dobré. Konfigurace neuronové sítě byla stejná jako v prvém případě, jen učení bylo asi dvacetkrát delší při osmi stech učících párů. Rozběh motoru vytvořený pomocí neuronového modelu a rozběh získaný řešením matematického modelu (2.3) byl prakticky shodný, suma kvadrátu odchylek se pohybovala na úrovni 10–5, [17]. Model nelineární soustavy

Vstupní veličinou matematického modelu je budící napětí, výstupní veličinou jsou otáčky motoru. Soustava diferenciálních rovnic (2.3) bude proto doplněna rovnicí pro budící obvod. Nelinearity


49

představují dva součiny stavových veličin a magnetizační charakteristika. Soustava diferenciálních rovnic, představující nelineární model stejnosměrného motoru s cizím buzením je tedy dána zápisem : dia 1 = [ua − Ra ia − c φ (ib ) ω ] , dt La dω 1 = [c φ (ib ) ia − mp ] , J dt dib 1 = [ub − Rb ib ) . dt La

(2.4)

Vzhledem k tomu, že závislost otáček na budící napětí je nespojitá v bodě nula, nebude se síť schopná naučit odezvu motoru v celém intervalu od −ub max do +ub max . Z toho důvodu byl interval budícího napětí vybrán od 20 do 120 V. Učící páry byly získávány na základě pozorování odezvy na distribuovaný signál s normálním rozdělením hustoty pravděpodobnosti, přiváděný na vstup. Ze zaznamenaných průběhů chování pak byly vybrány odpovídající páry vstup – výstup. Průběhy budícího napětí a odpovídajících otáček, které byly použity pro získání učících párů jsou znázorněny na obr. 2.28.

Obr. 2.28 Průběhy vstupního a výstupního signálu, užité pro výběr učících párů

Pro modelování nelineárního modelu (2.4) byla opět použita neuronová síť s jednou skrytou vrstvou, ale s devíti neurony. Počet učících se epoch byl 30 tisíc, přičemž bylo dosaženo chyby (suma kvadrátu odchylek) 10–3. Dosažené výsledky jsou znázorněny na obr. 2.29, kde je znázorněn průběh otáček v čase a na obr. 2.30, kde je znázorněn průběh proudu v kotvě motoru v čase, obojí při odbuzení stejnosměrného motoru. Tyto průběhy, získané řešením soustavy rovnic (2.4) i pomocí popsaného neuronového modelu, jsou prakticky totožné – viz výše definovaná chyba. Následujícím krokem by mohlo být vytvoření modelu celého motoru, tj. i se dvěma vstupy od napětí a buzení.

50


Obr. 2.29 Průběh otáček rotoru ss motoru při odbuzení v závislosti na čase

2.6.5

Obr. 2.30 Průběh proudu v kotvě ss motoru při odbuzení v závislosti na čase

Víceúrovňové řízení mechatronických soustav [17, 19]

Princip víceúrovňového řízení je naznačen na obr. 2.31. Dvě nejnižší úrovně se při aplikaci na elektrický pohon týkají známých principů řízení a regulace elektrických pohonů. Nejnižší úroveň, která je současně i dynamicky nejrychlejší regulací, je zpětnovazební řízení (feedback) a předkorekce (feedforward). U pohonů jde o řízení výstupních veličin (momentu, rychlosti, polohy, …). Řízení na nejnižší úrovni může být buď analogové nebo digitální. U analogového řízení se používají převážně PI a PID regulátory, pro digitální řízení s mikropočítačem lze aplikovat kromě diskrétních PID algoritmů i algoritmy nelineární, například řízenou adaptací s pevně nastavenou funkční závislosti regulátoru na měřených nebo rekonstruovaných parametrech soustavy, případně stavový zpětnovazební regulátor doplněný pozorovatelem.

Obr. 2.31 Víceúrovňové řízení mechatronické soustavy


51

Nadřazená úroveň řízení nad zpětnovazebními regulátory je úroveň estimace parametrů regulované soustavy, pozorování stavových proměnných a poruchových veličin a úroveň adaptačních zpětnovazebních smyček. Adaptivní řízení a adaptační zpětnou vazbou se realizuje nejčastěji jako řízení s referenčním modelem (viz obr. 2.32), nebo jako řízení se samonastavujícím se regulátorem, viz obr. 2.33.

Obr. 2.32 Adaptivní řízení s referenčním modelem

Obr. 2.33 Adaptivní řízení se samonastavujícím se regulátorem

Třetí, zpravidla nejvyšší úroveň řízení, zahrnuje generování řídících veličin a trajektorií dle požadavků technologického procesu, učení a trénování jako adaptaci na měnící se prostředí, rozhodování o změně chování, diagnostické rozhodování, strategické řízení procesu a komunikaci s okolím. Prvky umělé inteligence, implementované do nejvyšší úrovně řízení, mohou být : • báze analytických znalostí (algoritmy estimace parametrů, algoritmy návrhu regulátorů při adaptivním řízení a pod.), • báze heuristických znalostí (strom poruch ), • inferenční mechanizmy pro rozhodování (diagnostika, adaptace). Inteligentní mechatronický systém adaptuje regulátor pohonu v závislosti na nelineárním chování řízené soustavy. Podmínkou adaptačních algoritmů pro řízení, optimalizaci, ale i pro detekci poruch, je znalost matematického modelu soustavy. Pro mechatronické soustavy, které sestávají z elektrického motoru, mechanické pohonové, resp. převodové subsoustavy a technologické subsoustavy (včetně algoritmizovaného technologického procesu), mají tyto modely obvykle řadu problémových vlastností : • mechanická subsoustava obsahuje nelinearity (např. vůle v převodech, tření, nelineární spojky apod.), • jak motory, tak i pracovní procesy mohou být nespojité, měnící se skokem, obecně nelineární, • některé z parametrů soustavy či jejího modelu mohou být neznámé (zátěž, tření, tlumení), • komplexní model je obvykle složitý a může obsahovat subsoustavy různé fyzikální podstaty.

52

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Složitost a zejména nelinearity v modelech pohonových soustav a z nich odvozovaných řídi-

cích algoritmů vedou k tomu, že vedle analytických metod modelování se ve stále větší míře využívají metody umělá inteligence a fuzzy logiky. Hlavními přednostmi těchto metod, ve srovnání s klasickými principy řízení, jsou : • přirozená schopnost metod umělé inteligence vytvářet nelineární závislosti mezi vstupními a výstupními parametry, • schopnost učení a trénování, • větší robustnost při změně parametrů modelů, • aproximační schopnosti a schopnost tolerance chyb a • vyšší rychlost výpočtů natrénované neuronové sítě.

2.6.6

Příklady aplikací víceúrovňového řízení v pohonových soustavách [19]

Jedním z klasických problémů, obtížně řešitelných konvenčními metodami regulace je, elektrický pohon s pružnými mechanickými vazbami. Řešením je stavový zpětnovazební regulátor

s pozorovatelem stavových proměnných, kterého je uzavřená proudová smyčka nahrazena členem 1. řádu, viz obr. 2.34.

Obr. 2.34 Stavové řízení s pozorovatelem, integrátorem a feedforwardem.

Jm a Jp jsou momenty setrvačnosti motoru a zátěže, ct a ctl jsou součinitelé tuhosti a tlumení hřídele, rT je vektor stavového regulátoru h je vektor zesílení pozorovatele. Ki a Kff jsou součinitelé zesílení a předkorekce. Řízení nelineární soustavy „inverzním“ nelineárním regulátorem využívá neuronového regulátoru. Jeho trénování se provádí zpravidla pomocí referenčního modelu, který vykazuje požadované dynamické chování regulované soustavy – viz obr. 2.35. Vstupy neuronového regulátoru jsou


53

řízení w(k) a hodnoty všech stavových proměnných x(k), výstupem je akční zásah do řízení motoru, například žádaná hodnota momentu motoru, moment je pak regulován standardní podřízenou proudovou smyčkou.

Obr. 2.35 Trénování neuronového regulátoru

Fuzzy logické řízení se podobá neuronovému řízení a tom, že jej, podobně jako umělou neuronovou síť, můžeme považovat za asociativní paměť mapující nelineární závislosti mezi vstupními a výstupními proměnnými. Příklad aplikace fuzzy regulátoru pro přímé řízení momentu asynchronního motoru je nakreslen na obr. 2.36.

Obr. 2.36 Přímé řízení momentu asynchronního motoru prostřednictvím fuzzy regulátoru

Interní matematický model motoru počítá ze změřených statorových proudů a napětí vektor magnetického toku a moment motoru. Odchylky od žádaných hodnot momentu a amplitudy magnetického toku jsou zpracovány fuzzy regulátorem, jehož výstup přímo generuje sekvenci spínání tranzistorů ve výkonovém stupni napěťového měniče kmitočtu. Za aplikace mechatronického přístupu řešení pohonových soustav, třebaže takto nebývají označovány, můžeme pokládat také problém tlumení kývání břemene jeřábů, řízení pohybu robotických kloubů, fuzzy/neuronový estimátor rotorového odporu pro vektorové řízení asynchronního

54


motoru, fuzzy regulátor účinnosti pohonu s asynchronním motorem, eliminaci snímačů rychlosti a polohy u pohonů s asynchronními, synchronními a reluktančními motory a v neposlední řadě i aplikace těchto principů na pohony a řízení domácích spotřebičů (pračky, vysavače, ledničky), u nichž je dominantní úspora elektrické energie, vody apod.

2.7

Využití stochastických evolučních algoritmů pro modelování dynamických soustav [16, 25, 40]

2.7.1

Přehled vybraných evolučních algoritmů

V současné době jsou pravděpodobně nejznámějšími stochastickými evolučními algoritmy genetické algoritmy, algoritmy tzv. simulovaného žíhání a jejich modifikace a hybridní modely

vycházející z principů těchto algoritmů. Společným znakem uvedených algoritmů je částečně náhodné a částečně řízené prohledávání vícerozměrného prostoru návrhů možných řešení daného problému, motivované některými přírodními zákony. Rozdílné jsou strategie částečného řízení a velikost jejich vlivu na celkovou

činnost algoritmů. Pro genetický algoritmus je typické populační prohledávání prostoru návrhů řešení a uchovávání nejlepších návrhů řešení, zatímco algoritmus simulovaného žíhání pracuje vždy pouze s jedním návrhem, přičemž umožňuje s určitou pravděpodobností také nahrazení lepšího návrhu horším, což v konečném důsledku zabraňuje uváznutí v některém z lokálních minim. Snaha o využití výhod obou algoritmů vede k vytváření hybridních algoritmů. Jedním z nich je tzv. algoritmus paralelního rekombinačního žíhání, jehož pokrok spočívá v implementaci populačních prohledávání a z toho vyplývající paralelizace simulovaného žíhání. Nejznámější modifikací genetických algoritmů je tzv. genetické programování, v tomto případě jsou hledané reálné parametry nahrazeny funkcemi, když pod pojmem funkce rozumíme výrazy proměnné, konstanty, základní aritmetické operátory i elementární funkce.

2.7.2

Genetické algoritmy (GA)

Princip genetického algoritmu vychází se zákonů živé přírody. Darwin vytvořil teorii, uplatňující se ve světě živých organismů, jejímž základem je předpoklad, že přežijí jen ti nejsilnější jedinci. Přitom dochází k vývoji potomků (tedy další generace se liší od generace předešlé) následujícími základními způsoby : • křížením – nový genetický řetězec (potomek) vznikne kombinací dvou původních genetických řetězců (rodičů), • mutací – změny genetického řetězce takovým způsobem, že některý z genů určité sady je nahrazen novou náhodnou hodnotou.


55

Poznámka – podrobněji viz kapitola 9. GA je v podstatě stochastická optimalizační metoda pro hledání neznámých hodnot parametrů známého matematického modelu z předem definovaného oboru hodnot. Algoritmus si během své činnosti uchovává nejlepší dosud nalezené návrhy řešení a na jejich základě z části náhodně a z části řízeně určuje další směr prohledávání prostoru možných řešení. Vstupy do algoritmu představuje zpravidla matematický model analyzovaného problému společně s účelovou funkcí a obory hodnot, kterých mohou hledané parametry nabývat. Výstupem z algoritmu jsou nejlepší nalezené hodnoty hledaných parametrů a dosažená hodnota účelové funkce. V některých případech se jako vstup mohou zadávat přímo. parametry konkrétní, tj. reálné soustavy. GA obsahuje úvodní inicializační část a hlavní pracovní číst. V úvodní části se vygeneruje určité množství náhodných hodnot ze stanovených oborů. V hlavní části jsou tyto návrhy řešení v prvém kroku nejprve hodnoceny pomocí účelové funkce. Dalším krokem je rozdělení ohodnocených návrhů do dvou polovin – lepších a horších podmnožin řešení. Následuje vymazání návrhů horších a jejich nahrazení novými návrhy, vytvořených tzv. rekombinacemi návrhů náležejících do lepší poloviny. Poslední krok realizuje mutace – dochází k náhodné částečné změně některých nově vytvořených návrhů řešení. Uvedené čtyři kroky se opakují dokud není nalezeno řešení s vyhovujícím ohodnocením. V případě nahrazení matematického modelu reálnou soustavou hovoříme o tzv. přístupu „hardware in the loop“. Ve srovnáním s předchozím postupem nedochází ve fázi „hodnocení“ k dosazení daného návrhu do matematického modelu a následnému porovnání dosažených výsledků a výsledky požadovanými, nýbrž příslušná fyzikální podoba návrhu řešení se přivádí na vstup reálné soustavy a změřená odezva je porovnána v algoritmu s požadovanou odezvou. Tento přístup je vhodný například při nastavování parametrů regulátorů.

2.7.3

Algoritmus simulovaného žíhání (ASZ)

Druhou možností, jak simulovat evoluci systémů, je tzv. fyzikální evoluce mikroskopických systémů. Je to případ analogie s procesem žíhání tělesa, které se využívá k odstranění vnitřních materiálových pnutí a defektů. Žíhání se zahájí, jak známo, zahřátím tělesa na vysokou teplotu a postupně se ochlazuje. Zahřátí tělesa umožňuje atomům a molekulám překonat lokální energetické bariéry a dostat se do rovnovážných stavů, takže při konečné teplotě jsou všechny atomy v rovnovážných stavech a těleso již neobsahuje přídavné vnitřní pnutí. Algoritmus simulovaného žíhání, na rozdíl od populačního GA, pracuje v každém pracovním cyklu pouze s jedním návrhem řešení daného problému, které si uchovává nebo jej nahrazuje návrhem novým, vytvořeným na základě několika pravděpodobnostních funkcí. Jedním z hlavních parametrů těchto funkcí je proměnná hodnota tzv. „žíhací teploty T“. Nové návrhy řešení jsou vybírány v různých vzdálenostech od současného aktuálního návrhu. Každý nový návrh řešení je generován v závislosti na dané funkci hustoty pravděpodobnosti prostoru návrhů řešení g ( x, T ) .

56


Nově vybraný návrh je ohodnocen účelovou funkcí, která mu přiřadí číselně vyjádřenou míru úspěšnosti. O nahrazení původního návrhu novým nebo o jeho zamítnutí rozhoduje ASZ na základě dané funkce hustoty pravděpodobnosti „přijetí nového řešení“ h( x, T ) . V obou uvedených pravděpodobnostních funkcích hraje výraznou úlohu hodnota parametrů „žíhací teploty T“. Hodnota tohoto parametru je na počátku řešení nastavena dostatečně vysoko, což dává velkou pravděpodobnost přijetí nového návrhu. V každém cyklu je „ teplota“ snížena o určitou hodnotu dle tzv. „funkce postupu žíhání“, což snižuje pravděpodobnost nahrazení aktuálního návrhu novým, jestliže má nižší míru úspěšnosti. Dle typu funkce žíhání a funkcí g ( x, T ) a h( x, T ) se rozdělují různé typy ASZ. Nejznámější jsou Boltzmannovo žíhání (Boltzmann Annealing), Cauchyho žíhání (Cauchy Annealing) a v současnosti nejvýkonnější adaptivní simulované žíhání (Adaptive Simulated Annealing). Boltzmannovo žíhání představuje vlastně klasickou podobu simulovaného žíhání, využívající Gaussovu funkci hustoty pravděpodobnosti prostoru návrhů řešení, přičemž „teplota“ je snižována podle funkce T (k ) = T0 ln(k ) , Cauchyho žíhání, nazývané také rychlé žíhání (Fast Annealing) používá místo Gaussova rozdělení Cauchyho rozdělení a „teplota“ je snižována podle funkce T (k ) = T0 k , což způsobuje rychlejší činnost algoritmu. Adaptivní simulované žíhání (známé také

pod názvem Simulated RE-annealing) se opět liší použitou distribuční funkcí a funkcí snižování teploty, která je uvažována v exponenciálním tvaru.

2.7.4

Hybridní algoritmy, metody (HA)

Paralelní rekombinační simulované žíhání spojuje výhody GA a ASZ a potlačuje jejich nevýhody. Toho je dosaženo implementací populačního prohledávání a návazné rekombinace do algoritmu ASZ. Algoritmus v úvodní části nejdříve opět nastaví dostatečně vysokou hodnotu žíhací teploty a náhodně vygeneruje prvotní populaci, včetně vyhodnocení jednotlivých návrhů řešení pomocí účelové funkce. V opakující se pracovní části jsou z aktuálních návrhů řešení náhodně vybrány dva návrhy, jejichž rekombinací vzniknou dva nové návrhy, které poté projdou procesem mutace. V dalším kroku se na základě pravděpodobnostní funkce rozhodne o nahrazení původních dvou návrhů novými – či nikoliv. Posledním krokem v popsaném cyklu je snížení žíhací teploty podle žíhacího postupu.

ZÁKLADY MODELOVÁNÍ MECHANICKÝCH ČÁSTÍ POHONOVÝCH SOUSTAV

3

57

Základy modelování mechanických částí pohonových soustav [9, 13]

3.1

Úvodní poznámka

Modelování v mechanice se dnes stává základním problémem inženýrské práce. Výpočetní technika dnes umožňuje pomocí matematického experimentování řešit – již ve stadiu projekce nových technických soustav – problémy, které bylo dříve možné řešit jen na prototypech. Otázkou zůstává jak vhodné modely vytvářet. Vytvářet modely co nejpodrobnější reálným soustavám je zbytečný luxus. Vytvářet modely „co nejjednodušší“ naopak nevede k cíli – žádané podstatné jevy nelze simulovat. Ukazuje se, že vhodnou cestou je vytvářet modely částečně strukturované a účelové – o tom pohovoříme podrobněji v další kapitole. Zatím uveďme jen to, že při jejich konstrukce vycházíme z principů izomorfie a především homomorfie – respektujeme věcnou odlišnost reálné soustavy a jejího modelu, ale vyžadujeme funkční totožnost. Vyžadujeme přitom u reálné soustavy a jejího modelu : • vzájemně jednoznačné přiřazení počátečních stavů • vzájemně jednoznačné přiřazení vstupů a • vzájemně jednoznačné přiřazení výstupů. Pokud se nám to podaří, tak jsme získali model reálné soustavy, který respektuje účel, pro jehož řešení byl vytvořen, odpovídající strukturální složitost a úrovňovou vyváženost i přenos energetického výkonu a informační kapacity. Že nejde o jednoduchý problém, ukážeme na „modelování” základného strukturálního prvku technických soustav, na „tuhém tělese“.

3.2

Modelování tuhých těles

Je zřejmé, že tělesa představují základní strukturální prvky technických soustav, včetně pohonových. Z experimentální zkušenosti víme, že za jistých podmínek se těleso chová : • jako tuhé • nebo jako pružné. Z teorie víme, že nelze přenést zatížení na těleso bez jeho deformace, těleso nemůže mít nekonečně velký modul pružnosti, tudíž absolutně tuhé těleso nemůže existovat. Různé projevy těles souvisí se vzájemným porovnáním jeho vlastních frekvencí a spekter zatěžovacích účinků (spektrem provozních frekvencí), ve kterých má těleso pracovat. Odtud je známo, že : • těleso se chová jako tuhé, když nejvyšší frekvence zatěžujícího provozního spektra leží hluboko pod prvou vlastní frekvencí • těleso se chová jako pružné, když se tato spektra prolínají.

58

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Je-li technická soustava tvořena soustavou těles, vázaných tuhými a tlumícími vazbami, bude

až na výjimky pružnou a mluvíme o pružných (tlumených, resp. netlumených) soustavách. Ty pak modelujeme jako : • pružné lineární kontinuum, charakterizované spojitostí geometrie i pružných, resp. tlumících charakteristik, • diskretizované soustavy, pro které je charakteristické oddělení parametrů hmotnostních, tuhostních resp. tlumících. Jejich spojení „nahrazují“ „nehmotné“ parametry tuhosti a tlumení. Typickým důsledkem takové diskretizace je absence setrvačných vazeb a setkáváme se i s omezením pokud jde o Poissonovo číslo – pro rovinnou napjatost vyhovuje „jen“ μ = 1/3 S rozvojem výpočetní techniky a aplikací MKP se setkáváme s řadou zajímavých skutečností, plynoucí z této „diskretizace“ : • existence setrvačných vazeb se projevuje dodatečnou parazitní tuhostí pružných vazeb, • nejsou žádná omezení pokud jde o Poissonovo číslo, • tzv. dispersní účinky jsou ovlivněny hustotou dělení oblastí méně u statického a podstatně více u dynamického zatížení, kde má homogenita triangulace často rozhodující vliv. Dále velikost prvků mění nejen dispersní vlastnosti, ale výrazně i vlastní frekvence. Při modelování tlumení je dobré si dále uvědomit, že : • materiálové tlumení (vnitřní) více tlumí vyšší frekvence, zatím co • absolutní (vnější) tlumení více tlumí nízké frekvence

3.3

Volba počtu stupňů volnosti diskretizovaného modelu technické soustavy

Jde o zásadní problém, na který neexistuje jednoznačně přesná odpověď. Naštěstí se ukazuje, že existuje velmi jednoduchá formule, která se v inženýrské praxi velmi osvědčila. Počet stupňů volnosti n modelu diskretizované soustavy může být odhadnut podle vztahu n°V = min {2 p, p + 8} ,

kde p je počet vlastních frekvencí, jejichž projevy mají být v modelu respektovány. U komplexních modelů pohonových soustav může být ale tento odhad ovlivněn řadou dalších faktorů, mezi které můžeme zařadit například : • spektra otáčkových frekvencí • spektra zubových frekvencí (u soustav s ozubenými subsoustavami) • požadavky na úrovňovou vyváženost základní struktury a řídících (elektronických), podpůrných (hydraulických, pneumatických, …) substruktur • požadavky vyplývající z modelování technologického procesu a dalších.

KOMPLEXNÍ POHONOVÉ SOUSTAVY

4

59

Komplexní pohonové soustavy

4.1

Úvodní poznámka

S pohonovými soustavami se v inženýrské praxi setkáváme prakticky na každém kroku. Od miniaturních technických soustav, jakými jsou například pohony gyrokompasů, až k mnohatunovým rotorovým soustavám turbosoustrojí. Při technických návrzích takovýchto objektů je nutné na jedné straně respektovat oborové zvyklosti, na straně druhé je vhodné hledat jednotící prvky, tedy to, co jednotlivé konstrukční prvky „spojuje“. Pro všechny objekty je charakteristické, že je lze strukturovat a tyto struktury dále dekomponovat a hierarchicky uspořádat, že existují vazby uvnitř i vně objektu (mezi jednotlivými substrukturami, mezi objektem a jeho okolím, mezi více objekty, apod.), že objekt má konkrétní uspořádanost, organizovanost a vykazuje účelové chování. Poznání těchto skutečností a jejich účelné využívání při konstrukci nových pohonových soustav či inovaci nebo rekonstrukci již existujících pohonů nám usnadňuje systémová metodologie. Dnešní požadavky na konstrukci pohonů i pohonových soustav se diametrálně odlišují od požadavků běžných v minulých letech. V první řadě se objevují požadavky na zahrnutí provozních vlivů již v etapě konstrukčního návrhu. Masivní využívání nejrůznějších počítačových podpor umožnilo nebývalý rozvoj počítačového modelování, často bez odpovídajících teoretických znalostí. Začíná se prosazovat tzv. „komplexní“ modelování, modelování „ve variantách“ s důrazem na hodnocení jejich vlivu na okolí, pevnostní a dynamické analýzy i na velmi solidní úrovni se stávají běžnými rutinami a prioritní roli nabývá zajištění provozní spolehlivosti po předepsanou dobu technického života. V nejbližší době se dá očekávat : • že vedle respektování fyziologických, ekologických, energetických a ekonomických omezení dojde k sociálnímu hodnocení důsledků zavádění nových konstrukcí a technologií v oblasti techniky, • růst humanizace inženýrského vzdělávání a respektování kulturních i etických principů při návrhu technických soustav, včetně pohonů, • že stále s větší naléhavostí bude vystupovat do popředí uvědomování si rizik, která platíme za inicializované technické změny (tzv. „prométheovský komplex soudobé technologie“). Z těchto hledisek se jako nejprogresivnější přístupy jeví různé typy modelování nejen technických soustav samotných, ale i jejich chování, dynamických vlastností a vlivu okolí. Základním krokem při řešení dynamických úloh pomocí kteréhokoliv typu modelování je vytvoření množiny tzv. podstatných veličin, obsahující jak veličiny popisující strukturu, stavy a ovlivňování technických objektu, tak i veličiny charakterizující následky, tzn. jejich projevy

60


a chování. Metody pro vytváření výpočtového modelu pohonových soustav, obecně interaktivních, mohou využívat : • aplikací známých fyzikálních principů k popisu jevů, objevujících se v pohonových soustavách (např. II. Newtonova zákona nebo Kirchhoffových zákonů) nebo • aplikací metod z oblasti mechatroniky, založených na algoritmech umělé inteligence (např. genetické algoritmy, umělé neuronové sítě a další). Rozvoj těchto metod výpočtového modelování vyvolává potřebu vytvoření metodiky kvalitativní analýzy výpočtových modelů, definovaných na bázi teorie systémů *, i vytvoření souborů metod pro jejich kvantitativní zpracování. Zastavme se nyní krátce u pojmů „systém“, „systémový přístup“, „systémové myšlení“ apod., patřících v současné době k velmi frekventovaným pojmům nejen v technické oblasti, které jsou však užívány až příliš často bez uvážení a pochopení jejich obsahového významu. Proto se jen krátce zmíníme o některých těchto pojmech s cílem zamezit případným nejasnostem a nedorozuměním : • Pojem systém je základním pojmem tzv. systémových teorií a přístupů, a proto musíme mít vyjasněn jeho význam. Systém je definován jako abstraktní objekt vytvořený na reálném nebo abstraktním objektu z hlediska řešeného problému. Jeho strukturu tvoří ty formalizované prvky, které jsou na určité rozlišovací úrovni řešení podstatné. Připomeňme, že prvek objektu je ta část jeho struktury, kterou jsme schopni na objektu na daných úrovních vymezit, považujeme jej z různých důvodů již dále nestrukturovatelný a principiálně jej lze od struktury oddělit **. • Systémový přístup chápeme jako „nápovědu“, na jaké podstatné skutečnosti by neměl řešitel při své činnosti zapomenout. Systémový přístup je obvykle chápán v užším pojetí než je jeho skutečný obsah. Nejčastěji se redukuje jen na strukturované vyšetření objektů, na respektování vazeb mezi objekty navzájem, objekty a jejich okolím a na formulování cílového chování. Někdy je za systémový přístup považováno pouhé vytvoření soustavy relevantních veličin.

*

**

Přesné vymezení pojmu teorie systémů je dosud nejednotné a často i protichůdné. Jde o teorii, která má do značné míry formální, logicko-matematickou a metodologickou povahu. Jádrem teorie systémů je soubor abstraktních objektů, nazývaných obecnými systémy, které užíváme v systémové analýze, resp. syntéze, jako stavebnicové prvky, ze kterých sestavujeme modely reálných technických objektů tak, že obecné systémy vhodně modifikujeme, spojujeme a interpretujeme, přičemž tato interpretace musí vždy vycházet z kritického hodnocení použitého obecného systému vzhledem k danému účelu. Při používání pojmu systém, zejména v anglosaské literatuře, můžeme objevit dvě významové oblasti. První oblast, kdy konstatujeme, že „objekt je systémem“, vyjadřuje skutečnost, že objekt má systémové vlastnosti bez ohled na to, zda je reálný nebo abstraktní. Z tohoto hlediska se pak setkáváme s řadou různých typů systémů, např. tlumících, hnacích, řídících, ale také třeba chladících či potrubních. Pro takové případy doporučujeme použít pojmu soustava, jako reálný či abstraktní objekt se systémovými vlastnostmi, který je z určitých hledisek předmětem našeho zájmu. Pojem systém pak chápeme jako abstraktní, který nemůže existovat sám o sobě, ale je vždy jen ve vztahu k soustavě. Složitost struktury systému je vždy menší než složitost soustavy a k dané soustavě je možné obecně vytvořit větší počet systémů. Vytvoření systému tedy není jednoznačné a závisí na mnoha okolnostech, především pak na účelu, pro který jej vytváříme, na znalostech a zkušenostech řešitele a na možnostech jeho vybavení.


61

Kromě nezbytného chápání strukturovanosti objektů doporučujeme alespoň jejich účelové posuzování, tzn. že při výběru prvků struktur, jejich vlastností a projevů, při výběru vazeb a interakcí je zásadní posuzování jejich podstatností. Mezi další atributy systémového přístupu, které doporučujeme respektovat, patří požadavek vyšetřovat objekty jako otevřené (neizolované) soustavy, u nichž existují vazby a interakce s okolím, jako komplexní a interdisciplinární problémy a jako hierarchicky uspořádané struktury. Rovněž orientované vyšetřování, respektující zachování tzv. podstatných relací typu vstup-výstup, příčina-následek či nadřazené řešení-dílčí řešení a dynamické vyšetřování závislé na čase, stejně jako úrovňově vyvážené vyšetřování považujeme za nezbytné, chceme-li pracovat na současné úrovni vědy technicky. O metodách systémové analýzy a syntézy již bylo pojednáno mnoha publikacích, stručný přehled možností je patrný ze schématu na obr. 4.1.

Obr. 4.1 Přehled přístupů k řešení problémů

Zde se omezíme jen na modelování výpočtové, často označované jako matematické. Jeho realizace vyžaduje : • znalost matematické teorie popisující řešení problému, • podmínky matematické řešitelnosti a znalost počátečních podmínek, • výpočtový algoritmus vycházející z matematické teorie, • počítačové vybavení, • vstupní údaje.

62

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Výsledkem výpočtového modelování je odpovídající model, na kterém lze provádět numerické

experimenty již ve stádiu návrhu nových technických soustav za podmínek blízkých skutečným provozním stavům. Je samozřejmé, že modelování konkrétní technické soustavy musí respektovat výše uvedená obecná doporučení a současně musí brát zřetel na zvláštnosti vyplývající z požadavků kladených na konkrétní soustavu a účel, pro který je vyvíjena. U pohonových soustav nutno vycházet z toho, že tyto slouží k pohonu pracovních strojů, a že pohon jako samostatná strukturní subsoustava celé technické soustavy je propojen přinejmenším s řadou dalších subsoustav, které je nutné do odpovídajícího modelu zahrnout. To znamená, že naším cílem bude sestavení řady submodelů : • elektrické, hydraulické či jiné části motoru, • mechanické části (motor, převody, spojky, ...), • pracovního prostředí, • technologických požadavků. Prvé dva submodely tvoří submodel pohonové soustavy, do které vstupují, jako vnější vlivy, požadavky řízení a poruch. Takto vytvořený model nazýváme komplexním modelem. To ovšem znamená, že : • musíme sestavit pohybové rovnice jednotlivých subsoustav pohonu podle jejich fyzikální podstaty, tj. pro část mechanickou, elektrickou, řídicí, apod., • modelovat záběrové podmínky a kinematické buzení u převodových soustav, • modelovat vliv vnějšího prostředí, • modelovat algoritmizovatelné požadavky technologie a řízení a integrovat je do submodelu řízení, • formulovat a modelovat hnací, parazitní a poruchové účinky, • modelovat subsoustavu informačních prvků. Z formulace požadavků na vytvoření počítačových modelů pohonových soustav je samozřejmé, že ne všechny modely budou muset obsahovat všechny tyto části (submodely), protože modely chápeme ve smyslu předchozích úvah jako účelové a částečně strukturované. Jinými slovy, podle účelu, pro který je model vytvářen, se může měnit jeho struktura a samozřejmě i jeho vlastnosti a použití. Snaha o určení vhodného stupně strukturální složitosti je závislá na tom, jaké požadavky má model splňovat, jaké provozní stavy má modelovat, jaké je rozložení přenášeného energetického výkonu a jaká má být jeho informační kapacita. Požadujeme tudíž současnou funkčnost a věcnou odlišnost zkoumaného technického objektu a jeho modelové soustavy. Jedná se o jistý druh analogie, splňující podmínky izomorfie. Pro pohonové soustavy a jejich matematické modely to konkrétně znamená, že musí existovat jednoznačná zobrazení mezi odpovídajícími definičními obory proměnných veličin, mezi počátečními stavy a vstupními a výstupními funkcemi. V praxi se ale někdy setkáváme s tím, že jednomu prvku množiny Θ může být přiřazeno více prvků z množiny Φ, tzn. že se nevyžaduje bezpodmínečná jednoznačnost. Jedná se tedy


63

o vztahy volnější, charakteristické pro homomorfizmus. Homomorfní soustavy tedy nemusí být shodné, postačí, mají-li shodné rysy. Homomorfní soustavy se mohou shodovat, i když jednu z nich (abstraktní) zjednodušíme tak, že její prvky a vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny, což je ve shodě s pojetím účelového a částečně strukturovaného dynamického systému a jeho modelu. Objevují se i další požadavky, řekněme soudobé, které nemusíme vždy plně respektovat, ale které nelze v žádném případě pominout. Jaké jsou zdroje soudobých požadavků na vývoj pohonových soustav? Uveďme alespoň tyto základní : • stále složitější vývojový cyklus, odrážející nové technické, technologické, ekologické a další požadavky, • překrývání jednotlivých fází v průběhu konstrukce, přípravy a zavádění výroby s cílem maximálně zkrátit dobu vývoje nové soustavy, • požadavky na vlastnosti a chování navrhované soustavy se často mění v průběhu vývojové etapy jako důsledek rychlých inovačních cyklů či jako důsledek rozvoje vědy a techniky.

4.2

Modelování komplexních pohonových soustav

Pohonové soustavy jsou dnes chápány především jako interaktivní soustavy, obsahující řadu podsoustav různé fyzikální podstaty : mechanických – základních, elektrických nebo hydraulických, pneumatických a rovněž elektronických – řídicích. Modely těchto složitých soustav pak můžeme charakterizovat jako tzv. „účelové a částečně strukturované“. Modely dílčích podsoustav ovšem mají své typické projevy a vlastnosti, které mohou významně ovlivňovat vlastnosti a chování modelů globální soustavy. Cílem je zachování tzv. funkčního určení modelu – ve srovnání s reálnou soustavou, což neznamená, že model musí být vybaven všemi funkcemi a projevy reálné soustavy. Předpokládá se naopak, že tyto funkce mají svého nositele, kterým může být v limitním případě i černá skříňka. Řízení takových soustav pak stále častěji vyžaduje využití inteligentních řídicích algoritmů, sestavených například na bázi genetických algoritmů nebo umělých neuronových sítí. Systémový přístup v tomto pojetí představuje vývojový proces obecně neukončený. Proces, který dovoluje účelně využívat konkrétní báze znalostí v dané oblasti vědy a techniky, ale také výsledků obecné teorie dynamických systémů [61] s její do jisté míry formální logicko-matematickou a metodologickou povahou. Současně zaručuje aplikovatelnost dosažených výsledků v širší oblasti strojírenství. Předpokládejme, že máme vypracovat zásady pro návrh nového typu pohonových soustav s ozubenými koly. Z hlediska systémového přístupu musí takový návrh splňovat tyto podmínky : • musí obsahovat formulaci cílů, které má plnit, a pokud možno přesnou specifikaci požadavků na konstrukci pohonu, jeho provoz, životnost atd.,

64

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • musí obsahovat návrh struktury, hodnověrné odhady budících účinků včetně účinků parazitních, návrhy zpětných vazeb i informačních soustav, • navrhovatel musí mít přehled o možnostech modelování (modely matematické, počítačové, fyzikální) a o způsobech, jak tyto modely využívat při numerických (fyzikálních) experimentech, • navrhovatel musí umět formulovat inženýrská zobecnění a definovat technicky realizovatelné závěry. V dalších odstavcích se pokusíme tyto zásady konkretizovat a na reálných příkladech ukázat na

problémy, které proces tvorby vhodných modelových soustav doprovázejí. Setkáváme se s řadou různých modelových schémat, z nichž nejčastěji používanými jsou : • pohony modelované jako tuhé soustavy s jedním stupněm volnosti, zatížené hnacím a zatěžujícím momentem, eventuálně i tlumícím vnějším momentem, • pohony modelované jako tuhý rotor + mechanismus s tuhými členy, • diskretizovaný model s nehmotnými pružnými a tlumícími vazbami, • model pohonu, diskretizovaný s využitím MKP, • pohonové soustavy se spojitě rozloženými charakteristikami hmotností (spojitě rozloženými momenty setrvačnosti), tuhostí a případně i tlumení, • modely interaktivních řízených pohonů, obsahujících submodely soustav s různou fyzikální podstatou (mechanickou, elektrickou, hydraulickou apod.), sem patří také modely mechatronických soustav, vykazujících jistý stupeň inteligentního chování. Ve výše uvedeném výčtu možných modelů pohonových soustav se objevují pojmy tuhé těleso, soustava tuhých těles, diskretizované modelové soustavy apod. K jejich správnému pochopení a určení je nutné respektovat další skutečnosti. Sám pojem tuhé těleso a jeho role v dynamice je, mírně řečeno, rozporuplný. Podle definice tuhého tělesa musí být vzdálenost nejméně dvou jeho bodů konstantní. Na druhé straně nelze přenést na těleso jakékoliv zatížení bez jeho deformace – to by znamenalo, že modul pružnosti by musel být nekonečně velký. Těleso, resp. soustav těles, se ale může chovat buď jako tuhé těleso (soustav tuhých těles) nebo jako pružné těleso (soustava pružných těles). Tyto různé projevy přímo závisí na vzájemném vztahu množiny vlastních frekvencí reálné soustavy a spektru zátěžných účinků. U modelové soustavy budou vlastní frekvence záviset přímo na zvoleném strukturálním rozložení, tj. na počtu stupňů volnosti modelové soustavy. Nevhodná volba modelové soustavy může vést k tomu, že její dynamické chování nekoresponduje s chováním reálné soustavy. Kdy se tedy těleso (soustava těles) chová jako tuhé? Jen tehdy, když nejvyšší frekvence spektra zatížení je řádově menší než nejnižší (základní) frekvence modelové soustavy. Ve všech ostatních případech se modelová soustava bude chovat jako soustava pružných těles. Globální pohonovou soustavy (komplexní) si pak můžeme představit podle obr. 4.2.


65

Obr. 4.2 Komplexní model pohonové soustavy

V symbolickém tvaru je možné komplexní model formulovat následovně : KM = {mRS , mMS , mPP, mTP, f v (t ), r (t ), v (t )} ,

(4.1)

kde mRS je model řídicí (regulační) soustavy, mMS je model mechanické části pohonu, mPP je model pracovního prostoru, mTP je model technologického procesu, fv(t) reprezentuje vazby mezi jednotlivými modely, r(t) reprezentuje řídicí funkce a v(t) reprezentuje nezávislé poruchové funkce. Matematicky lze komplexní model definovat ve stavovém prostoru pomocí maticové stavové rovnice

f [x(t ), x(t ), u(t ), t ] = 0 ; f :

w

→

w

(4.2)

doplněné maticovou rovnicí tzv. výstupních relací

y = g[x(t ), t ] .

(4.3)

Vstupní veličiny jsou soustředěny do vektoru u (t ) = [u1 (t ), u2 (t ),..., um (t )]T . Výstupní relace definují výstupní veličiny na množině stavových veličin, které vytvářejí stavový prostor. Stavové veličiny definují stavový vektor ⎡q(t ) ⎤ T = [ x1 (t ),..., xn (t ) ] . x≡⎢ ⎥ ⎣q(t ) ⎦

(4.4)

Jeho složky xi(t), i = 1, ..., n představují časové průběhy tzv. primárních veličin a vektor x = [ x1 (t ),..., xn (t ) ]

T

(4.5)

obsahuje odpovídající časové derivace. Nyní již můžeme uvést matematickou formulaci dynamického systému, definovaného na reálné pohonové soustavě, zapsanou ve tvaru soustavy maticových rovnic x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] , f :

w

→

w

,

y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ] , x(t = 0) = x 0 ,

resp. pro případ tzv. parametrického dynamického systému ve tvaru

(4.6)

66

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY x(t ) = f [x(t ), u(t ), α, t ] , f : y (t ) = g[x(t ), u(t ), α, t ] ,

w

→

w

,

(4.7)

x(t = 0) = x 0 , α (t = 0) = α 0 .

Je zřejmé, že definováním systému na reálné pohonové soustavě jsme získali nejobecnější formulaci matematického modelu – abstraktní systém. Jeho vhodné určení je ale obecně velmi složité a u zpětnovazebných složitých pohonových soustav často i problematické. K usnadnění této inženýrské činnosti můžeme s výhodou využít již zmíněných relací podobnosti. Vyjdeme z podmínky, že určitý matematický systém – model SM – je homomorfní s reálným systémem SR tehdy, když existuje určitá transformace F, která systém SR převádí na systém izomorfní s matematickým systémem SM. Pro dynamické systémy to konkrétně znamená, že musí existovat jednoznačné zobrazení mezi odpovídajícími si definičními obory proměnných, mezi počátečními stavy, vstupními a výstupními proměnnými. Jde-li konkrétně o matematický model reálné pohonové soustavy, můžeme jej definovat zápisem

ϕ : x(t ) = f [t , x(t ), u(t )] , y (t ) = g[t , x(t ), u(t )] , x(t = 0) = x 0 , x(t = 0) = x 0 ,

(4.8)

x = [ x1 , x2 ,..., xn ]T , x ∈ X , y = [ y1 , y2 ,..., yl ]T , y ∈ Y , u = [u1 , u2 ,..., um ]T , u ∈ U ,

kde f je vektorová funkce typu f [t , x(t ), u(t )] = [ f1 (t , x(t ), u(t )), f 2 (t , x(t ), u(t )),...]T , x(t) je stavový vektor, u(t) je vstupní a y(t) je výstupní vektor. Má-li nyní platit, že SR ≡ ϕ1 a SM ≡ ϕ2 , je zapotřebí definovat : • vzájemně jednoznačné zobrazení F1 zobrazení mezi množinami stavů X1 a X2, • vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami vstupních hodnot U1 a U2, • vzájemně jednoznačné zobrazení mezi množinami výstupních hodnot Y1 a Y2. Uvedené transformace obecně platí pro izomorfní systémy

ϕ1

a

ϕ2 . Homomorfismus je ale

vztah volnější – nevyžaduje se v něm bezpodmínečná vzájemná jednoznačnost – např. jednomu prvku yi z množiny Y může být přiřazeno více prvků xj z množiny X. Homomorfní systémy tedy nemusí být shodné. Postačí, mají-li shodné rysy. Homomorfní systémy se mohou shodovat, i když jeden z nich (abstraktní) zjednodušíme tak, že jeho prvky, vazby, vstupy, stavy či výstupy nejsou dokonale rozlišeny – což je v souladu s předpoklady o částečné (účelové) strukturovanosti dynamických systémů.


4.3

67

Formulace stavového prostoru

Pohonové soustavy budeme chápat jako účelové a částečně strukturované interaktivní dynamické systémy, složené z podsystémů různé fyzikální podstaty. K jejich matematickému popisu využíváme různých matematických prostředků. Tak například u mechanických podsystémů využíváme k sestavení pohybových rovnic Lagrangeovy rovnice druhého druhu, u elektrických subsystémů (lineárních) využíváme nejčastěji přenosových funkcí získaných aplikací Laplaceovy transformace, Z-transformace apod. Vytvořit konzistentní matematický popis úplného pohonového systému je v prvé řadě víceznačný a ne jednoduchý proces. Na základě našich zkušeností doporučujeme využít k sestavení globálního modelu pohonové soustavy i jejich strukturálních částí formulace pohybových rovnic ve stavovém prostoru [61]. Stavovou rovnici v implicitním tvaru, která je prakticky vždy nelineární, lze v maticové formě napsat ve tvaru h [ x(t ), x(t ), t ] = 0 , h :

n

→

n

,

(4.9)

s počátečními podmínkami

x(t = 0) = x(t0+ ) = x0 .

(4.10)

Tuto rovnici doplníme maticovou formulací tzv. výstupní relace

y(t ) = g[x(t ), t ] ,

(4.11)

která definuje výstupní veličiny na množině stavových veličin. Stavový vektor x(t ) = [ x1 (t ), x2 (t ), …, xN (t )]T , x ∈ X

(4.12)

obsahuje složky primárních veličin a X je množina přípustných stavů. Vektor

x(t ) =

dx(t ) d = [ x1 (t ), x2 (t ),…, xN (t )]T dt dt

(4.13)

obsahuje derivace primárních veličin. Vektor y (t ) = [ y1 (t ), y2 (t ), …, y N (t )]T , y ∈ Y

(4.14)

obsahuje výstupní veličiny a Y je množina přípustných výstupních veličin. Pro čas t platí t ∈ T , kde T je časová množina. Prostor

n

je n-rozměrný stavový prostor.

Prvky stavového vektoru x(t) pak jsou řešením obecné Cauchyovy úlohy pro problém (4.9) s počátečními podmínkami (4.10). Popis dynamického systému ve standardním explicitním tvaru představuje soustava maticových rovnic

x(t ) = f [x(t ), t ] , x(t = 0) = x(t0+ ) = x0 , y(t ) = g[x(t ), t ] , kde f :

n

→

n

(4.15) (4.16)

. Převedení rovnice (4.9) do tvaru (4.15) není obecně snadnou záležitostí

a v určitých případech není možné vůbec. Tuto skutečnost je vhodné uvážit již při počáteční formulaci výpočtového modelu.

68

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY O množinách relací pojednáme později. Vstupní, resp. výstupní veličiny jsou obsaženy ve

vstupním vektoru u(t ) = u , u ∈ U a výstupním vektoru y(t ) = y , y ∈ Y , kde U a Y jsou množiny přípustných vstupních, resp. výstupních veličin, splňujících relace

U R = {u : u : T → U }

(4.17)

YR = {y : y : T → Y } .

(4.18)

a

Stav systému v každém časovém okamžiku t ∈ T charakterizuje stavový vektor x(t ) = x , x ∈ X , přičemž platí : x(t ) = f [ x 0 , u, t ] , x : T →

n

.

Výstupní relace obsahuje vektorovou funkci g[x(t ), t ] , která je pro h : T × X ×U →

(4.19) n

a pro

t ∈ T , x(t ) ∈ Xz a u(t ) ∈U definována maticovou rovnicí y (t ) = g[ x 0 , u (t ), t ] .

(4.20)

Pokud jde o množinu zpětnovazebních funkcí, vycházíme ze skutečnosti, že pro většinu dynamických systémů je charakteristická existence uzavřených smyček v tzv. orientovaném grafu jejich struktury. Připomeňme, že tyto orientované relace jsou představovány transformací veličin vstupních na veličiny výstupní a respektují kauzální princip. Zpětnovazební smyčky pak realizují vzájemné interakce mezi vstupy a výstupy, typické pro řízené dynamické systémy. Mezi další relace, užívané ve specifikacích obecných systémů i v modelech konkrétních technických soustav, patří také soustavy omezujících podmínek, které můžeme vyjádřit rovněž ve vektorovém tvaru :

Ω(x, y, t ) ≥ 0 ,

(4.21)

kde Ω(x, y, t ) je vektorová funkce proměnných vektorů x, y a t. V systémovém pojetí modelování popisují tyto podmínky například fyzikální omezení pohybu technických soustav. Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počátečních podmínek, musíme ověřit předpoklady řešení a pak teprve pohybové rovnice transformovat do stavového prostoru (vztahy (4.13) a (4.14)). Při řešení konkrétních úloh se obvykle setkáváme také s nelinearitami, především ve strukturálních vazbách. Nejčastěji se příslušné nelineární formulace linearizují, zpravidla s využitím standardních linearizačních procedur. Alternativně se vyšetřují frekvenční přenosy energií mezi jednotlivými strukturálními subsoustavami nebo prvky, včetně přenosů od/do okolí. Velké pohonové soustavy, charakterizované matematickými modely o mnoha stupních volnosti, se pak, pokud je to pro daný účel možné, nahrazují modely redukovanými na menší rozměr (tzv. účelové a částečně strukturované modely).


4.3.1

69

Transformace pohybových rovnic pohonových soustav do stavového prostoru

V dalším budeme předpokládat, že pohonové soustavy, se kterými budeme pracovat, budou tvořeny především mechanickými a elektrickými subsystémy, doplněnými algoritmizovanými množinami požadavků řízení a technologie. Obecně jsou tyto subsystémy modelovány pomocí soustav diferenciálních rovnic (1. a 2. řádu), doplněných soustavami algebraických relací. Až na výjimky je jejich analytické exaktní řešení nemožné. Tak například mechanické subsystémy je možné (po vhodné diskretizaci) popsat soustavou obyčejných diferenciálních rovnic typu

f (q, q, q) = Q(t ) ,

(4.22)

kde q = q(t ) je v případě pohonových soustav zpravidla vektor relativních úhlových výchylek a

Q = Q(t ) je vektor zobecněných budících momentů, který lze rozdělit na subvektor mechanických budících účinků Q m (t ) , na subvektor budících účinků elektrického subsystému Q e (t ) a na poruchové složky Q p (t ) . Tedy Q (t ) = Q m (t ) + Q e (t ) + Q p ( t ) .

(4.23)

Při formulování lineárního, respektive linearizovaného matematického modelu pohonové soustavy lze využít formulace pohybové rovnice ve tvaru

M q(t ) + B q(t ) + K q(t ) = Q(t ) − fn (q, q, t ) ,

(4.24)

kde vektorová funkce fn (q, q, t ) obsahuje nelinearity závislé na řešení. V mnoha případech lze tyto nelineární účinky považovat za aditivní šum. Na rovnici (4.24) pak lze formálně snadno aplikovat Newmarkovu iterační metodu a získat vektor odezev. Ovšem tuto rovnici je možné také transformovat do stavového prostoru, což bude určitě výhodnější, pokud budeme řešit problematiku řízeného pohybu. Zavedeme-li substituci x (t ) = [q (t ), q (t ) ] , T

přejde rovnice (2.54) do tvaru

x(t ) = A x(t ) + b(x, t ) ,

(4.25)

kde jsou matice A a b(x, t ) definovány takto : ⎡ 0 A=⎢ −1 ⎣ −M K

I ⎤ 0 ⎡ ⎤ , b(x, t ) = ⎢ −1 ⎥ . M F x ( , t ) −M −1 B ⎥⎦ ⎣ ⎦

Funkci F(x, t ) získáme transformací vektorové funkce Q(t ) − fn (q, q, t ) po aplikaci substituce (4.25). V případě lineárních modelů platí fn (q, q, t ) = 0 a další výpočty se podstatně zjednoduší.

70

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Doplníme-li soustavu pohybových rovnic (4.25) o rovnici dynamické charakteristiky motoru,

dostáváme již model elektromechanické soustavy, který může poskytnout překvapivě dobré výsledky. S použitím dalších zpětnovazebních relací pak dostaneme matematické modely řízených interaktivních elektromechanických pohonových soustav.

4.3.2

Poznámka k výběru integračních metod [14]

Řešení soustavy rovnic (4.25), která popisuje chování pohonové soustavy ve stavovém prostoru, je prakticky možné získat numerickou integrací. Nebude proto na škodu, charakteristické zvláštnosti numerických řešení stručně připomenout. Přitom musíme respektovat podmínky, které vyplývají : • z existence tzv. silných nelinearit, které se mohou objevit při modelování mechanického, elektrického i jiného subsystému, • z existence stochastických složek v buzení, případně v parametrech, výrazných nespojitostí či rázů, • z prioritního významu simulace přechodových dějů, provozních i poruchových a havarijních, • z požadavků na komplexní řešení problémů, především s uvážením vzájemných interakcí mezi jednotlivými subsystémy různé fyzikální povahy i vnějších interakcí. Potvrzuje se, že komplexní pojetí vede k řešení problémů s výrazně odlišnými časovými konstantami u jednotlivých subsystémů, které se například u mechanického a elektrického subsystému mohou lišit až o 6 řádů. Setkáváme se s tím, že standardní explicitní integrační formule (Eulerova, Runge-Kutta, Adams-Moultonova a jiné) nejsou pro simulační výpočty vhodné jak pro extrémní časové nároky, tak i s ohledem na jejich sklon k numerické nestabilitě, vyplývající z toho, že mají uzavřenou a omezenou oblast absolutní stability, Tyto problémy lze obejít, aplikujeme-li při integraci pohybových rovnic tzv. stiff algoritmy (např. Gearova metoda a její modifikace, Rosenbrockova metoda a další). Základem numerické simulace na matematickém modelu dynamického systému je nalezení numerického řešení soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu, splňujícího podmínky definované na začátku tohoto odstavce. Při aplikaci stiff algoritmů využíváme velmi dobrých stabilitních vlastností těchto metod v kombinaci s vhodnou strategií řízení délky integračního kroku. Nelineární systém dx(t ) = f ( x, t ) , t ∈ I = t 0 , t f , dt x(t = t0 ) = x(t0 ) = x 0 , I ∈ 1 , w ∈ , x(t ) ≡

( x, x 0 ) ∈

w

, f :I×

w

→

w

(4.26)


71

nazveme tuhým (stiff) na intervalu I, jestliže ∀t ∈ I vlastní čísla

{Ω (t ) i

Ω ∈ C , i = 1, 2,…, w}

Jakobiho matice ⎡ ∂f1 ⎢ ∂x ⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎡ ∂f ⎤ ⎢ J f = ⎢ ⎥ = ⎢ ∂x1 ⎣ ∂x ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ∂f w ⎢⎣ ∂x1

∂f1 ∂x2 ∂f 2 ∂x2 ∂f w ∂x2

∂f1 ⎤ ∂xw ⎥ ⎥ ∂f 2 ⎥ ⎥ ∂xw ⎥ , ⎥ ⎥ ∂f w ⎥ ∂xw ⎥⎦

splňují následující podmínky : • Re ( Ωi (t ) ) < 0, i = 1, 2,…, w , • S

1 , kde veličina S je dána výrazem S = max ⎡⎣ Re ( Ω i (t ) ) ⎤⎦ / min ⎡⎣ Re ( Ω i (t ) ) ⎤⎦ ,

i = 1, 2,…, w . Jak vyplývá z definice, v případě nelineárního systému závisí vlastní čísla Ω i (t ) Jakobiho matice J f na vektoru řešení x(t ) . Tuhost systému je tedy určena fyzikální podstatou modelu i jeho řešením. Pro nelineární systém (4.26) lze také vyjádřit hodnotu Lipschitzovy konstanty L L = sup

∀t , N ∈D

∂f ≥ σ (J f ) ∂x

1,

(4.27)

kde σ (J f ) reprezentuje spektrální poloměr Jakobiho matice J f . Ze vztahu (4.27) vyplývá, že tuhost lze také interpretovat jako špatnou podmíněnost funkce f (x, t ) . Podle vztahu (4.27) je tuhý systém charakteristický vysokou hodnotou Lipschitzovy konstanty, tj. platí, že L

1.

Základní podmínku stability číslicové simulace na matematickém modelu dynamického systému (4.25), resp. (4.26) pak můžeme vyjádřit pomocí relace h ω i ∈ Ω , i = 1, 2,…, w ,

(4.28)

kde h je krok numerické simulace (h > 0) , ωi je i-té vlastní číslo matice systému a Ω je oblast absolutní stability numerické metody. Pro stiff-metody je charakteristické, že oblast absolutní stability zahrnuje velkou část roviny komplexních čísel

C − = {h ω | Re(h ω) < 0} . Při výběru vhodných numerických metod se například osvědčil přístup, založený na testování numerických algoritmů na konkrétních typech diferenciálních rovnic. Výsledkem těchto testovacích studií je vzájemné porovnání vybraných numerických metod, stanovení jejich efektivnosti

72


a použitelnosti pro konkrétní specifické aplikace. Ukázalo se ale, že zatímco pro řešení lineárních diferenciálních rovnic je uvedený postup vhodný, při řešení soustav nelineárních diferenciálních rovnic tomu tak vždy není. Nechť je r libovolné přirozené číslo z množiny přirozených čísel r ∈

. Pak můžeme defi-

novat obecný systém nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic řádu r , (r > 2) , definovaný na intervalu I ≡ 〈 t0 , tf 〉 pomocí formule x ( r ) = f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) ,

(4.29)

s vektory počátečních podmínek x(t0 ) = x 0 , x(t0 ) = x 0 , x(t0 ) = x 0 , …, x ( r −1) (t0 ) = x 0( r −1) ,

(4.30)

kde t0 je počáteční a tf je koncový bod časového intervalu řešení. Z hlediska existence a jednoznačnosti řešení předpokládáme, že : • funkce f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) je definována a je spojitá na intervalu I ≡ 〈 t0 , tf 〉 pro libovolné konečné hodnoty komponent vektorů x, x, x,…, x ( r −1) , • funkce f (t , x, x, x,…, x ( r −1) ) splňuje Lipschitzovu podmínku vzhledem k vektorovým argumentům x, x, x,…, x ( r −1) . Při numerickém řešení výše popsaných matematických modelů pohonových soustav a při počátečních podmínkách (4.30) byly zkoumány lineární implicitní vícekrokové metody, které splňovaly požadované stabilitní podmínky, a výsledky byly porovnány s výsledky získanými pomocí standardní explicitní metody Runge-Kutta 4. řádu s automatickou změnou integračního kroku dle Richardsonovy strategie. Jednalo se o následující metody : • skupina semi-implicitních metod řádu r = 3 , • Galahanova metoda, • Michelsonova metoda, • skupina implicitních metod • A-stabilní Crank-Nicholsonova metoda 2. řádu (lichoběžníková), • exponenciálně citovaná Brandonova metoda. Výsledky, získané pomocí výše uvedených numerických metod, ne vždy splňovaly očekávání a vyskytly se obtíže, pokud analyzovaný problém měl větší počet stupňů volnosti. Dobrých výsledků bylo naopak dosaženo s programovými soubory SADYS/DYNAST, MATLAB a Simulink nebo MathCAD Professional. Tyto metodiky nám umožňují počítat nejen základní charakteristiky, jako jsou spektra vlastních frekvencí a tvarů vlastních kmitů, spektra vedlejších rezonancí nebo přenosové či impulsní funkce, ale umožňují řešit i tzv. „vnitřní dynamiku“ odezvových procesů, především nám pak umožňují sledovat průběhy přechodových dějů ve fázových rovinách a vlivy parametrů regulace na průběhy odezev, umožňují identifikaci špičkových hodnot zatěžují-


73

cích procesů nebo deformací, či detailně studovat působení parazitních procesů. To vše je možné získat na modelech pohonových soustav již ve stadiu jejich projektování a provádět paralelní výpočty – tím se naplňují požadavky simulací ve variantách. Výsledkem pak je podstatné zrychlení vývojových prací.

4.4

Matematické modelování mechanických subsoustav a vazeb komplexních pohonových soustav [12]

Modelování prvků, subsoustav a vazeb mezi nimi u technických objektů a technických soustav patří mezi základní problémy, které musíme při projekci nových (inovovaných) technických objektů zvládnout. Právě zde, při nepochopení základních pravidel, mohou vznikat chyby, které následně znehodnotí následné kroky. Důsledkem je, že vytvořený model neodpovídá požadavkům, které na něj byly kladeny. V dalším se nejprve zaměříme na modelování rotujících částí pohonových soustav a pak na vazby mezi jednotlivými subsoustavami rotorů, mezi rotory a skříní, případně okolním prostředím.

4.4.1

Modelování rotujících částí pohonových soustav

Při modelování mechanických částí pohonů vycházíme z jejich diskretizace na konečný počet stupňů volnosti. K matematickému popisu pak můžeme s výhodou použít Lagrangeových rovnic smíšeného typu, které lze vyjádřit ve tvaru d ⎛ ∂Ek ⎜ dt ⎝ ∂q

∂Ep ∂Ed ⎞ ∂Ek ∂f = Q p (t ) − − + λT v , ⎟− ∂q ∂q ∂q ⎠ ∂q

(4.31)

kde Ek , Ep , Ed jsou kinetická, potenciální a disipativní energie, Q p je vektor vnějšího silového působení, q je vektor zobecněných souřadnic, λ je vektor Lagrangeových multiplikátorů a f v je vektorová funkce obsahující vazby mezi závislými souřadnicemi. Pohybovou rovnici (4.31) lze upravit s ohledem na konkrétní problém do více tvarů. Zde uvedeme některé z nich: • Pro pohony s konstantním převodem

∂ ( M q(t ) ) + B q(t ) + K q(t ) + f N (q, q, t ) = Qp ( t , ξ(t ) ) , ∂t

(4.32)

kde M, B, K jsou matice momentů setrvačnosti, torzních tlumení a tuhostí, q je vektor zobecněných souřadnic, fN je vektorová funkce, vyjadřující nelinearity mechanické části pohonu, ξ je vektor náhodných složek buzení. • Pro pohony s nekonstantním převodem

f m [q, q, q, t ] = Q p ( t , ξ (t ) ) , f v [q, q, t ] = 0 ,

(4.33)

74

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY kde fm je vektorová funkce popisující mechanickou část pohonu a fv je vektorová funkce popisující vazební podmínky. Pohybové rovnice mohou být dále doplněny soustavou rovnic popisující vztahy mezi závislými a nezávislými souřadnicemi. • Při modelování elektrické části pohonů využíváme nejčastěji soustav diferenciálních rovnic I. řádu, definovaných pro konkrétní typy elektromotorů a jejich řízení, viz např. [62]. V symbolickém tvaru tyto soustavy můžeme vyjádřit následovně f E [u e (t ), u e (t ), q(t ), q(t ), u(t ), w (t ) ] = 0 ,

(4.34)

kde fE je nelineární vektorová funkce, popisující elektrickou subsoustavu jako celek, ue je vektor elektrických veličin, u je vektor veličin řízení pohonu, w je vektor vnějších poruch elektrického subsystému (šumy). • Při formulaci matematického modelu, reprezentujícího jak mechanickou tak elektrickou část pohonu, můžeme využít např. Lagrangeových-Maxwellových rovnic [63]: ⎡q ⎤ d ⎡ ∂L ⎤ ∂L − = Q p , kde z = ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ dt ⎣ ∂z ⎦ ∂z ⎣κ ⎦

(4.35)

L je tzv. Lagrangeova funkce, q je vektor zobecněných souřadnic a κ je vektor zobecněných souřadnic elektrické subsoustavy pohonu. Stejně tak můžeme při sestavování modelů elektromechanických soustav resp. heterogenních fyzikálních struktur složených z elektrických, mechanických, hydraulických a jiných prvků použít Hamiltonova principu [63].

Obr. 4.3 Rotující hřídel s kotoučem

Je-li struktura pohonové soustavy homogenní, lze k sestavení pohybových rovnic použít modely se spojitě rozloženými hmotovými a materiálovými parametry a s nelineárními okrajovými podmínkami. V těchto případech je možné k získání modelu použít také metodu konečných prvků.


75

Pokud k sestavení modelu postačí využití jednoduchých prvků, například nosníkových (hřídele) a prstencových (disky a kotouče), je sestavení výpočtového modelu poměrně jednoduché. Situace se ale komplikuje, máme-li modelovat chování pohonových soustav s uvažováním vlivu gyroskopického momentu, tj. za předpokladu ohybové deformace rotujících hřídelů s kotouči, viz obr. 4.3. U hřídelového prvku uvažujeme ohybové deformace ve dvou na sebe kolmých rovinách a natočení Β = −∂w / ∂s a Γ = −∂v / ∂s , kde s označuje pozici konečného prvku v axiálním směru vzhledem k počátku globálního souřadnicového systému. Pak má konečný prvek 8 stupňů volnosti a jeho pohybovou rovnici můžeme psát ve tvaru

[MT + MR ] q − Ω G q − [K A + K B ] q = Q(t ) ,

(4.36)

kde l

M T = ∫ μ Ψ T Ψ ds , 0 l

M R = ∫ ED ΦT Φ ds , 0

G = N + NT l

(antisymetrická) , (4.37)

N = ∫ EP Φ Γ Φ Β ds , T

0

l

K A = ∫ P Φ′T Φ′ ds , 0 l

K B = ∫ E I Φ′′T Φ′′ ds . 0

Jednotlivé symboly představují : q vektor deformací (posuvy, natočení), Ω úlovou rychlost hřídele, s pozici prvku vzhledem ke globálnímu souřadnicovému systému, l délku prutu, P axiální sílu v ose prvku, E I ohybovou tuhost prvku, μ hmotnost na jednotku délky prvku a Ψ, Φ ,

ΦΓ , ΦΒ matice tvarových funkcí prvku. Potenciální a disipativní energie, užité ve vztazích (4.37) jsou definovány rovnicemi

dEP =

1 E I {qT Ψ′′T ηΨ′′ q} ds 2

(4.38)

a

1 dED = ηV E I {qT Ψ′′T Ψ′′ q} ds , 2

(4.39)

kde matice materiálového (vnitřního) tlumení je definována 1 + ηH ⎡ ⎢ 1 + η H2 ⎢ η=⎢ ⎛ ⎞ ⎢ − ⎜ 1 + η H + Ωη V ⎟ ⎟ ⎢ ⎜ 1+η 2 H ⎠ ⎣ ⎝

1 + ηH

⎤ + Ωη V ⎥ 1+η ⎥ ⎥ 1 + ηH ⎥ ⎥ 1 + η H2 ⎦ 2 H

(4.40)

76


a η V je koeficient viskózního tlumení a ηH je součinitel hystereze. Nesymetrický prvek matice η můžeme vyjádřit pomocí nekonzervativních zobecněných sil, rovnice (4.36) můžeme upravit do tvaru ⎡ 1+η ⎤ ⎛ 1 +η ⎞ H H + Ω η V ⎟ K C ⎥ q = Q (t ) , KB −K A + ⎜ ⎜ 1 +η 2 ⎟ ⎢ 1 + η H2 ⎥ H ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

[M T + M R ] q + [η V K B − Ω G ] q + ⎢

(4.41)

kde KC je antisymetrická cirkulační matice. Je patrné, že v tomto případě jsme postaveni před řešení mnohem obtížnější úlohy než v případě nosníkového typu s axiálně-torzními deformacemi (4 stupně volnosti), případně i ohybovými deformacemi (až 12 stupňů volnosti), a prstencových prvků s radiálními a tečnými deformacemi (4 stupně volnosti), případně i osovými deformacemi (8 stupňů volnosti). Tuto metodiku nelze z praktických důvodů využít, sestavujeme-li modely pohonových soustav se složitými převodovými strukturami (diferenciály, planetové převodovky). Ve všech uvažovaných případech musíme výše uvedené rovnice doplnit vektory počátečních podmínek a musíme ověřit předpoklady řešení. Prakticky ve všech případech lze tyto rovnice transformovat do stavového prostoru.

4.4.2

Modelování vnějšího prostředí pohonových soustav

Pohonové soustavy v mnoha případech již nelze chápat izolovaně od vnějšího prostředí. Jde například o konečnou tuhost uložení či o přenos parazitních účinků od rotujících částí. Z těchto důvodů byl zaveden pojem pracovní prostor chápaný v dalším jako část struktury stroje, která se přímo nepodílí na přenosu energie v průběhu pracovního cyklu, avšak v důsledku pohybu soustavy v ní dochází k posuvům či deformacím, které mohou výrazně ovlivnit chování systému. Při modelování pracovního prostoru opět vycházíme z diskretizace struktury stroje, nejčastěji s využitím MKP. Zpravidla vzcházíme z lineárního přiblížení, které nám umožní využít jednoduchou maticovou rovnici

Mq(t ) + Bq(t ) + K q(t ) = F(t ) ,

(4.42)

kde M, B, K jsou matice hmotností, tlumení a tuhostí, q(t), F(t) jsou vektory výchylek a buzení, tečky označují derivace podle času. Rovnici (4.42) můžeme upravit do známého tvaru zavedením spektrální matice Ω , ortonormální modální matice V a za předpokladu malého proporcionálního tlumení s využitím relace

q = Vv E v (t ) + 2 δ Ω v (t ) + Ω 2 v (t ) = f mod , f mod = V T f (t ) V ,

(4.43)

kde E je jednotková matice, δ je matice poměrného útlumu a v je vektor hlavních souřadnic. Užitím Laplaceovy transformace pak lze získat relaci mezi vektory hlavních souřadnic a vnějšího zatížení

KOMPLEXNÍ POHONOVÉ SOUSTAVY v( p) = G ( p) f ( p) , kde G ( p ) =

77 VT V , p 2 E + 2 p δ Ω + Ω2

(4.44)

Matice G( p) představuje dynamické poddajnosti v Laplaceově obrazu a reprezentuje přenosové vlastnosti soustavy.

Obr. 4.4 Výsledky modální analýzy

Uvažovaná metodika byla použita při modelování interakcí mechanické soustavy tvořené jednostupňovou převodovkou a „pružnou“ skříní [64]. K modelování byl použit programový soubor ANSYS a osmiuzlové isoparametrické objemové prvky (SOLID 45). Tyto prvky lze redukovat do šestiuzlových, resp. čtyřuzlových tvarů, přičemž každému tvaru náležejí tři stupně volnosti. Výsledky modální analýzy jsou uvedeny na obr. 4.4 (pro 1. a 8. tvar kmitu). Uvedeného postupu může být použito mj. při modelování konstrukčních úprav pracovního prostoru. Tzv. strukturální dynamická modifikace [62] pak spočívá v nalezení spektrální a modální matice upravované konstrukce pouze s využitím matic V a Ω původní konstrukce a známých matic hmotností a tuhostí připojovaných prvků, např. žeber, výztuh a podobně. Uvedená metodika je vhodná spíše k posouzení vlivu „vnitřní struktury“ pohonu na okolí, například na převodovou skříň. Dovoluje však určení deformací v místech uložení rotujících částí a jejich následné využití při analýze pohonu. U pohonových soustav mobilních systémů (automobily, kolejová vozidla) se setkáváme například s transformací účinků od vozovky (resp. kolejí) na pohonové soustavy „přes“ hnací kola. Tato řešení byla ověřena pomocí experimentů. Samostatnou oblast tvoří problematika vázaného kmitání rotorů a statorů. K dispozici je řada metod, využívajících matic komplexních dynamických poddajností aplikovaných například na letecké motory [65, 66], ale i na převodová ústrojí v automobilovém průmyslu – viz například vy-

78


užití metody modální syntézy pro modelování kmitajících soustav se silnými nelinearitami a poddajnými statory [51]. Poznámka : O vlivu pružného uložení hřídelů pohonových soustav a rotorů na jejich dynamické vlastnosti bude pojednáno v následujících odstavcích.

4.4.3

Modelování ložiskových vazeb v pohonových soustavách

V mnoha případech se při modelování vlastností a chování pohonových soustav nevyhneme zahrnutí vlivu vazeb mezi subsoustavami pohonů nebo mezi pohony a jejich okolím do globálního modelu. Při posuzování jednotlivých vazeb vycházíme nejprve z jejich geometrického popisu. Doposud se nejčastěji využívalo linearizovaných modelů vazeb. U pohonových soustav s převodovými ústrojími hrají dominantní roli ložiskové a zubové vazby. Setkáváme se také s jinými druhy vazeb, například s různými druhy spojek, řemenovými variátory či některými typy elektromechanických zařízení. Typická vazba představuje spojení dvou subsoustav. Při modelování složitých pohonových soustav, složených z N podsoustav, lze vektor popisující prostor zobecněných souřadnic definovat takto : T

q ≡ ⎡⎣q1T , q T2 ,… , q TN ⎤⎦ ,

kde N = ∑ s =1 N s . n

Obr. 4.5: Schéma ložiskové vazby [51]

(4.45)


79

Vazby mezi rotujícími částmi pohonů a skříněmi (okolím), resp. mezi rotorovými a statorovými soustavami, se realizují zpravidla prostřednictvím ložisek. Nejčastějšími typy ložisek jsou: a) valivá ložiska, b) kluzná ložiska, c) elektromagnetická ložiska (zejména v poslední době). A: Valivá ložiska Konstrukce valivých ložisek je známá. Valivá ložiska se skládají s valivých prvků (kuličky, válečky, ...) uložených v ložiskových klecích mezi vnitřními a vnějšími kroužky. Geometrie valivých ložisek je patrná z obr. 4.5 [51]. Pomineme nejjednodušší případ, kdy je hřídel uvažován v příčném směru jako tuhý a jeho uložení v ložisku rovněž tuhé. Deformace v místě uložení hřídele pak mohou ovlivňovat frekvenční charakteristiku pohonu. Je známou skutečností, že snížení tuhosti uložení vede ke snížení kritických rychlostí rotoru. Působení pružného uložení v konstrukci pohonu a skříně je ekvivalentní snížení tuhosti hřídele nebo rotoru. V případě pružného uložení se můžeme setkat s novými velmi nízkými kritickými otáčkami, které jsou bez problému překonávány při rozběhu pohonové soustavy v situaci, kdy je působení nerovnovážných silových účinků ještě malé. Hodnota nových kritických otáček (druhých) pak bude mnohem vyšší než hodnota původních kritických otáček rotoru uloženého na tuhých podporách. To je první vážný důsledek vyplývající z existence „pružných“ uložení hřídelů a rotorů. Druhým důsledkem pružných uložení vysokorychlostních hřídelů a rotorů je známý efekt odlehčení ložisek, silové odlehčení v styčných uzlech rotorů a základů (skříně) a v důsledku toho izolování základů od zdrojů vibrací. Skutečně, označíme-li R sílu působící na ložisku „tuhého rotoru“ (tj. rotoru pracujícího při nižších otáčkách než jsou kritické), bude tato rovna výrazu [51] R = λ m ( y + ε )ω 2 ,

(4.46)

a pokud rotor pracuje ve frekvenční oblasti dostatečně vzdálené od R ≈ λ mε ω2 .

(4.47)

Když rotory na pružných podporách, i když jsou samy o sobě tuhé, pracují daleko za prvními kritickými otáčkami (tj. jedná se o „pružné“ rotory), bude pohyb rotoru stabilní a bude přibližně probíhat kolem jeho těžiště. Pak zatížení působící na pružnou podporu bude

R ≈ λ1 k1 ε .

(4.48)

V rovnicích (4.46)–(4.48) m označuje hmotnost rotující soustavy (rotoru, disku), y průhyb v místě těžiště, ε excentricitu těžiště, k1 celkovou tuhost hřídele (rotoru) a pružné podpory, λ , λ1

80


koeficienty závislé na strukturním uspořádání rotující subsoustavy. Například pro hřídel se symetricky umístěným diskem je λ = 1/ 2 , pro disk umístěný na volném konci „za ložiskem“ je λ = 1 . Celkovou tuhost (lineární přiblížení) uložení k1 pak vypočteme ze známého vztahu 1 1 1 , = + k1 k H k L

(4.49)

kde kH je ohybová tuhost hřídele v místě uložení a kL je tuhost ložiskové podpory. Pro případ, kdy je disk umístěn na hřídeli v bezprostřední blízkosti ložiska platí:

R ≈ kL ε .

(4.50)

Zdůrazněme, že z výše uvedených vztahů vyplývá, že u pružných podpor (a pružných rotorů) velikost síly od rotoru působící na ložiska nezávisí na otáčkách. Dále se zaměříme na využití nelineárního modelu pružné vazby, respektujícího vazební vůle a proměnnou kontaktní tuhost elementů valivých ložisek v závislosti na jejich deformaci. Model je popsán v práci [51], zde uvedeme jen nejpodstatnější skutečnosti. Na obr. 4.5 je schématické znázornění ložiskové vazby. Silový přenos probíhá mezi čepem (hřídelem), který je v radiálním směru uvažován jako tuhý, přes vnitřní kroužek a valivé elementy na vnější kroužek, který je obecně považován za součást pružného rámu (statoru). Celková radiálně přenášená síla nechť je ax označena jako Fij , případná axiální síla jako Fij . Polohy těchto sil, působících na konkrétní

δ ij . Radiální a axiální síly, přenášené jednotlivými valivými ele-

valivý element nechť označuje

menty, lze v souladu s Hertzovou teorií kontaktních těles popsat vztahy ni

⎛ Δ ij ⎞ Fij = ⎜ ⎟ H (Δ ij ) , ⎝ Ci ⎠ ax ij

F

⎛ Δ ijax =⎜ ⎜ Ci ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

nijax

(4.51)

H (Δ ) , ax ij

ax kde Δ ij a Δij představují radiální a axiální deformace prvků a parametry ni , Ci , niax , Ciax lze určit

podle typu ložiska, například [51] : • pro kuličková ložiska s průměrem kuliček d platí: n = 3 / 2 , C = 4, 37.10 −7 d −1/ 3 . • pro válečková ložiska s délkou válečku l platí n = 1/ 0, 9 , C = 0, 77.10 −7 l −0,8 . ax Symboly H ( Δ ij ) a H (Δij ) představují Heavisideovy funkce v kontaktních bodech H ij , resp.

Hijax (viz obr. 4.5).


81

Linearizovaný model ložiskové vazby Předpokládejme, že střed čepu hřídele S i v i-tém ložisku má malé výchylky vi , wi vzhledem ke statické rovnovážné poloze. V každém ložisku musí být kontaktní síly Fij v rovnováze s výslednou statickou silou v ložisku Fi , tj. musí být splněny podmínky: pi

pi

Fi cos δ i = ∑ Fij cos δ ij ,

Fi sin δ i = ∑ Fij sin δ ij ,

j =1

(4.52)

j =1

kde pi je počet valivých elementů. Po dosazení výrazů (4.51) do (4.52) a po úpravě pro Δ ij = (Δ ij )st lze získat linearizovanou tuhost valivých elementů

kij =

dFij dΔ ij

H [(Δij )st ] = Δij ≡ ( Δij )st

ni (Δij )stni −1 H [(Δ ij )st ] , Cini

(4.53)

kde ( Δ ij )st = (vij )st cos δ ij + ( wij )st sin δ ij .

Podobně musí být v každém ložisku v rovnováze také axiální síly, tudíž musí platit pi

Fi ax = ∑ Fijax

(4.54)

j =1

a obdobným způsobem jako výše pro Δijax = (Δijax )st dostaneme kijax =

dFijax dΔ

ax ij Δax ≡ ( Δax ) ij ij st

H [(Δ ijax )st ] =

nijax ax i

(C )

nax −1

nijax

(Δ ijax )stij

H [(Δijax )st ] ,

(4.55)

kde

(Δijax )st = (ui )st − (ψ i )st ri cos δij + (ϑi )st ri sin δ ij , (u i ) st je celkový statický axiální posuv ložiska a souřadnice (ψ i ) st a (ϑi ) st popisují natočení

roviny kroužku ložiska kolem příčných os čepu ložiska. Pro linearizované síly ve valivých prvcích platí

Fij = kij Δij

resp. Fijax = kijax Δijax .

(4.56)

Na základě vztahů (4.56) můžeme definovat globální vektor linearizovaných vazbových ložiskových sil

fL (t ) = −K L q(t ) − B L q(t ) + fB (t ) .

(4.57)

82


B: Kluzná ložiska

Kluzná ložiska mají poměrně hojné využití v rotorových soustavách, především u leteckých motorů. Analýza jejich dynamických vlastností a jejich modelování jsou v důsledku uvažování olejového mazacího filmu velmi obtížné a představují samostatný problém pro řešení. Za vyšších teplot se v ložiscích mění i viskózní charakteristiky maziva, a proto je nutné zohlednit také vliv pohybu mazacího filmu uvnitř ložiska. C: Elektromagnetická ložiska

Aktivní magnetická ložiska zamezují kontaktu mezi rotorem a statorem, a proto je můžeme využít tam, kde by byla „klasická ložiska“ nepoužitelná. Mezi výhody patří nízké tření, opotřebení a hlučnost, většinou není třeba mazání. Nevýhodou může být pořizovací cena subsoustavy řízeného magnetického pole. Protože se obecně jedná o nelineární, nestabilní a rychlou soustavu, představuje její řízení složitý problém [59]. Model soustavy rotor + magnetické ložisko

Vyjdeme-li z obr. 4.6 [67], lze model rotoru popsat rovnicí

Mq + Ω G q = Bf + fg + Ω2 Dn (Ω t ) ,

(4.58)

kde q je vektor zobecněných souřadnic

qT = [ x γ

y ϑ] .

(4.59)

M je matice hmotností

M = diag [ m J r

m Jr ] ,

(4.60)

kde m je hmotnost rotoru a J r je moment setrvačnosti rotoru k jeho ose rotace. G je matice popisující vliv gyroskopického momentu ⎡0 0 ⎢0 0 G=⎢ 0 0 ⎢ ⎢⎣0 J a

0 0 ⎤ 0 −Ja ⎥ , 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥⎦

(4.61)

kde J a je moment setrvačnosti rotoru vzhledem k ose kolmé k ose rotace. Ω je rychlost otáčení rotoru, B je matice charakterizující magnetické síly ⎡ 1 ⎢ −l B = ⎢ bA 0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 0 1 lbA

1 lbB 0 0

0 ⎤ 0 ⎥ . 1 ⎥ ⎥ −lbB ⎥⎦

(4.62)

Vektor f zahrnuje síly působící od magnetických ložisek f = ⎡⎣ f xA

f yA

f xB

T

f yB ⎤⎦ ,

(4.63)


83

vektor f g zahrnuje působení gravitačního pole f = [0 0 − m g

0] , T

(4.64)

a matice Dn (Ωt ) popisuje vliv nevyváženosti rotoru D n ( Ω t ) = [ K s cos(Ω t )

K d cos( Ω t + β )

− K d sin(Ω t + β ) ] , T

K s sin( Ω t )

(4.65)

kde K s a K d jsou koeficienty statické a dynamické nevyváženosti a β je okamžitý úhel pootočení od počáteční polohy [68]. Parametry lbA a lbB jsou vzdálenosti elektromagnetů od těžiště rotoru, viz obr. 4.6.

Obr. 4.6 Schéma rotoru aktivního magnetického ložiska

Model magnetické síly působící na rotor Magnetické pole je generováno elektrickým proudem nebo permanentním magnetem. Výsledná magnetická síla je vždy přitažlivá. Pro řízení polohy hřídele je zapotřebí, aby tato síla mohla působit jak směrem k elektromagnetu, tak směrem od něj. Toho se dosáhne pomocí dvou protilehlých elektromagnetů působících proti sobě, viz obr. 4.7. Výsledná magnetická síla je pak dána rozdílem sil od jednotlivých elektromagnetů:

F=

K i22 ⎛d ⎞ ⎜ − x + a⎟ ⎝2 ⎠

2

−

K i12 ⎛d ⎞ ⎜ + x + a⎟ ⎝2 ⎠

2

,

(4.66)

kde K je koeficient závislý na parametrech cívky elektromagnetu a jeho hodnota je různá pro různé typy magnetických ložisek [67], i1 , i2 jsou proudy v elektromagnetech, d je velikost vzduchové mezery mezi rotorem a elektromagnety,

x je velikost výchylky rotoru od rovnovážné

84


polohy v příčném směru a a je korekční konstanta, která zajišťuje, že model odpovídá skutečnosti. Pro praktické realizace se provádí přepočet magnetické síly na řídicí napětí, čímž dostaneme poměrně složité rovnice pro požadované magnetické síly Fp . Naštěstí lze při výpočtech napětí zanedbávat vliv indukčnosti a požadované magnetické síly modelovat pomocí jednoduché diferenciální rovnice [67]

Fp = F + K F ,

(4.67)

kde Fp je požadovaná síla a F je její skutečná hodnota. Výhodou naznačeného postupu je, že výsledná magnetická síla modelu odpovídá realitě v celém pracovním prostoru. Nevýhodou je nutnost provádět při každém akčním zásahu přepočet požadované síly na odpovídající napětí, čímž se prodlužuje reakční doba regulátoru. V současné době se do řídicích podsoustav magnetických ložisek zařazují algoritmy umělé inteligence, které umožňují i při nepřesné znalosti chování a stavu řízené soustavy dosáhnout kvalitního řízení, a navíc se dokáží při provozu přizpůsobit skutečnému chování. O těchto problémech ještě pojednáme v kapitole o řízení pohonových soustav.

Obr. 4.7 Rozložení elektromagnetů pro jednu osu magnetického ložiska

4.4.4

Modelování zubových vazeb

Analýza dynamických vlastností pohonových soustav prošla dlouhým vývojem. Nejsložitějším a stále ještě nedostatečně zvládnutým problémem všech dosud používaných metodik zůstává ozubení se svojí velmi složitou problematikou vnitřního buzení a tlumení, které jsou generovány přímo v záběrech spoluzabírajících párů zubů. Tyto velmi složité jevy – interakce výrobních odchylek či opotřebení, výškové modifikace ozubení, poddajné deformace zubů – jsou dosud v používaných výpočtových modelech zanedbávány. Vnitřní zdroje buzení jsou vesměs zjednodušovány na funkce času, což reálným podmínkám odpovídá jen zčásti.


85

Některé složitosti modelování dynamických jevů v ozubení jsou studovány v práci [69]. Výpočtové metodiky jsou neustále zpřesňovány, objevují se nejen rovinné, ale také prostorové modely záběru ozubených kol vytvářené pomocí MKP. Zohledňují se také základní nelineární jevy v ozubení, způsobené : • existencí bočních zubových vůlí, • proměnlivou tuhostí ozubení v důsledku střídání počtu zubů v záběru, • tlumením v ozubení a • vznikem kinematického buzení. Jednou z efektivních možností, jak modelovat vlivy ozubení na dynamické vlastnosti pohonových soustav nabízí práce [47]. Zde se vychází z lineárního modelu čelního zubového záběru se šikmým ozubením, ve kterém je zubový záběr uvažován jako bodový ve středu šířky ozubení. V záběrovém bodě jsou pak sestaveny vektory zobecněných výchylek, závislé na geometrických parametrech pastorku a kola. Jsou odvozeny matice tuhostí a tlumení v zubových vazbách, jsou sestaveny pohybové rovnice a je přistoupeno k jejich řešení. Nutno ovšem poznamenat, že přesnost výsledků, získaných řešením soustav pohybových rovnic, významně závisí na přesnosti vstupních parametrů. Tyto složité vstupní parametry zahrnují především : celkovou tuhost spoluzabírajícího ozubení, nerovnoměrnost převodu, relativní poddajné deformace, relativní výškové korekce boků zubů a odhady tlumení. Součinitel záběru zubů můžeme považovat za konstantní a je určen prostým geometrickým výpočtem. Je zřejmé, že tyto vlivy lze jen těžko zachytit pomocí lineárních výpočtových modelů, a proto se zohledňují alespoň základní nelinearity v zubových vazbách. A: Boční vůle

Patrně nejdůležitějším nelineárním jevem, kterým se při modelování zubových vazeb zabýváme, je boční vůle v ozubení. Velmi zhruba ji lze popsat následujícím způsobem. Označíme-li deformaci ozubení d z , lze sílu přenášenou v ozubení vyjádřit ve tvaru Fz (t , d z , d z ) = k z d z + bz d z + f z (t , d z ) ,

(4.68)

kde kz a bz jsou koeficienty tuhosti a tlumení v ozubení. Je zřejmé, že první dva členy na pravé straně rovnice (4.68) představují lineární část problému. Nelineární funkce f z (t , d z ) modifikuje průběh síly Fz ve fázích přerušení zubového záběru, viz obr. 4.8. Označíme-li vůli v ozubení uz , můžeme nelineární funkci f z (t , d z ) vyjádřit rovnicí

f z (t , d z ) = −kz (t ) d z H (−d z ) + kz (t ) (d z + uz ) H (−d z − uz ) ,

(4.69)

kde za kz lze v prvním přiblížení dosadit „střední hodnotu“ tuhosti ozubení získanou např. dle [69]. Symbol H ( ) představuje Heavisideovu funkci.

86


Obr. 4.8 Průběh elastické síly v záběru zubu

B: Proměnná tuhost ozubení

Proměnná tuhost ozubení zavádí do výpočtového modelu parametrický zdroj buzení. Tuhost jednoho páru zubů se v průběhu záběru výrazně mění a lze ji definovat jako periodickou funkci s periodou rovnou času trvání záběru příslušného páru zubů. Tato tuhost je ale ovlivněna dalšími faktory: profilem zubu, součinitelem trvání záběru, korekcí boku zubů i hydrodynamickými ději v mazivu. Tyto jevy ani dnešní výpočtové modely plně nerespektují. Byl již zmíněn možný vhodný způsob výpočtu tuhosti ozubení [69]. Jiný způsob předložili Cai a Hayashi [70], kteří navrhli pro odhad tuhosti jednoho páru zubů šikmého ozubení analytický vztah ⎧ ⎡ 1,8 2 ⎤ 1,8 t − tp ) − t − tp ) + 0,55⎥ pro t ∈ tp , tp + T ( ⎪km ⎢ 2 ( εT (ε T ) ⎪ ⎦ k (t ) = ⎨ ⎣ , ⎪0 jinak ⎪⎩

(4.70)

kde km představuje maximální hodnotu tuhosti jednoho páru zubů během jejich záběru, ε je součinitel záběru zubů a T je perioda záběru zubů. Vztah (4.70) aproximuje tuhost zubů v intervalu tp , tp + T , kde t = t p je čas, kdy zuby do záběru vstupují, a t = tp + T je čas, kdy ze záběru vystupují. Pro periodu záběru přitom platí T=

2π , pz ω

(4.71)

kde pz je počet zubů pastorku rotujícího úhlovou rychlostí omega. Průběhy tuhostí ozubení v závislosti na dráze bodu záběru a součiniteli záběru jsou znázorněny na obr. 4.9 [46]. Tyto průběhy byly získány pomocí rovnice (4.70). Slabě vykreslené křivky odpovídají průběhům tuhosti jednotlivých párů zubů do záběru vstupujících a vystupujících, čárkovaně


87

je znázorněna střední tuhost ozubení a tučně zobrazené křivky určují průběhy výsledné tuhosti ozubení. Výslednou tuhost ozubení pak lze vyjádřit následovně k (t ) = ∑ k p (t ) ,

(4.72)

p

kde index p je počet párů zubů, které jsou v čase t právě v záběru.

Obr. 4.9 Průběhy tuhosti ozubení v závislosti na dráze záběru a součiniteli záběru

V technické literatuře se setkáváme i s vyjádřením tuhosti ve tvaru sudé periodické funkce ve tvaru ∞

kz (t ) = kz0 + ∑ kzn cos n pz ω t ,

(4.73)

n =1

kde k z0 je střední tuhost ozubení (na obr. 4.9 znázorněna čárkovaně) a pz ω je zubová frekvence. Amplitudy k zn harmonických složek pak závisí na součiniteli záběru. Tato formulace pomocí periodické funkce byla kriticky zhodnocena v úvodu odstavce.

C: Dodatek Přesnější dynamická analýza kinematických vazeb v ozubení vede k vyšetřování nelineárních soustav s časově proměnnými parametry a například u planetových převodovek i s větvenými toky výkonu. Boční vůle způsobují při dynamických deformacích (větších než jsou staticko-elastické) odskoky, tj. oddělení profilů zubů v průběhu záběru. Mohou se objevit rázy a dochází k porušování záběrových tribologických podmínek. Důsledkem je zvýšení hluku, možnost vzniku samobuzeného kmitání, případně i chaosu. Tyto složité děje je obtížné modelovat pomocí klasických metod. Řešením může být využití simulačních programů, např. programu SADYS/DYNAST. Jeden z možných případů je znázorněn na obr. 4.10 [46]. Zde je analyzováno chování řízené pohonové soustavy v místě rozvodovky (pozice 2), ve které byla uvažována vůle a kinematické

88


buzení. Při zvětšování vůle se ve stavovém prostoru setkáváme s následujícími fázovými obrazy (obr. 4.10d): • rovnoměrný stav periodický s postupně se rozšiřující „šířkou“ odezvy (pozice A), • stav s přeskoky zubů na hranici vůle reprezentovaný parazitními limitními cykly (pozice B), • chaos (pozice C) a • vznik relaxačních samobuzených kmitů (pozice D). Záběrové podmínky mohou být ovlivňovány také deformacemi okolí, což je typické například u leteckých reduktorů. Další komplikace pak představují nedostatečně prozkoumané zákonitosti tlumení. Těmto problémů se věnovali např. Hortel a Škuderová, viz [11].

Obr. 4.10

AUTOMATICKÉ ŘÍZENÍ POHONOVÝCH SOUSTAV

5

89

Automatické řízení pohonových soustav [12] V současné době představují řízené pohonové soustavy drtivou většinu všech nových kon-

strukcí pohonů. Přitom struktura řídicích podsoustav může být diametrálně odlišná. Automatické řídicí subsoustavy vykonávají svoji činnost pomocí předem navržených subsoustav servomechanismů či předem naprogramovaných řídicích algoritmů. V hierarchii řízení představují nejjednodušší řídicí subsoustavy. Dynamické řídicí subsoustavy vyžadují k dosažení cílů řízení nejen informace o požadovaných výstupech, ale i informace o okamžitých stavech řízeného systému a působení jeho okolí. Obecně lze rozlišovat řízení se zpětnou vazbou (resp. více zpětnými vazbami) a bez zpětné vazby. V dalším se budeme zabývat především způsoby řízení se zpětnými vazbami.

5.1

Stavová teorie automatického řízení

Z obecné teorie dynamických systémů vyplývá, že stav systému určují informace o okamžitém chování systému a o minulém působení okolí na systém. Minimální, ale dostačující, počet těchto veličin pak determinuje stavový vektor x(t ) , který pak lze vyjádřit jako sjednocení x(t0 ) ∪ [u (τ )]τ ∈( t0 ,t ) ⇒ x(t ) ,

(5.1)

kde u(t ) je vektor vstupních veličin, x (t 0 ) je vektor stavových veličin v počátečním čase t0 a t je okamžitý čas. Protože u fyzikálních soustav bude vztah (5.1) jednoznačný, lze stav soustavy v čase

t + dt vyjádřit vztahem

x(t + dt ) = x(t ) + dx(t ) = x(t ) + f [x(t ), u(t ), t ]dt , a odtud již bezprostředně vyplývá stavová rovnice soustavy, která má být řízena

x(t ) =

dx(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] , dt

(5.2)

kde f […] je vektorová funkce okamžitých hodnot stavových veličin, vstupních veličin a času. Pro časově invariantní soustavy lze derivace stavových a vstupních veličin rozdělit na nezávislé složky

x(t ) = f1[x(t )] + f 2 [u(t )] .

(5.3)

f1[0] = f 2 [0] = 0 .

(5.4)

Předpokládejme že platí

Rozvineme-li nyní funkce f1 a f 2 do Taylorovy řady a zanedbáme-li vyšší členy, dostaneme s ohledem na (5.4) linearizovanou stavovou rovnici x (t ) = A x (t ) + h 0 (t ) ,

(5.5)

90


kde

A=

∂f1[x(t )] ∂xT x =0

a

h0 (t ) =

∂f2 [u(t )] u(t ) . ∂uT x =0

Obdobným způsobem lze upravit i výstupní rovnici (5.2)

y (t ) = g1[x(t )] + g 2 [u(t )] ,

(5.6)

kterou lze analogicky k předchozímu postupu opět linearizovat y (t ) = C x ( t ) + G 0 u ( t ) ,

(5.7)

kde C je transformační výstupní matice a G 0 se nazývá obecnou převodovou maticí. Vzhledem k tomu, že k dosažení cílů řešení zpravidla postačuje menší počet veličin, než je počet prvků vektoru u(t ) , a navíc tyto redukované vstupní veličiny lze i lineárně kombinovat, můžeme psát

v(t ) = Tu(t ) − d(t ) ,

(5.8)

kde v je vektor redukovaných vstupních veličin, tzv. „akčních“ veličin, u je vektor původních vstupních veličin, d je vektor poruchových veličin (konzistentní s vektorem v ) a T je transformační matice.

5.2

Řízení se zpětnou vazbou

Akční veličiny (seřazené ve vektoru v ) jsou obecně závislé na výstupních veličinách u a na vhodně zvolených parametrech. Tuto skutečnost lze matematicky zapsat ve tvaru L ( v, y , y p , p r ) = 0 ,

(5.9)

kde L(…) je obecně nelineární vektorový diferenciální operátor, y je vektor výstupních veličin, y p je vektor požadovaných výstupních veličin a p r je vektor parametru operátoru L .

Vztah (5.9) se obecně nazývá zákonem řízení a parametry seřazené ve vektoru pr se nazývají parametry řízení. Omezíme-li se na případy, kdy je možné výstupní veličiny volit tak, aby závisely jen na stavových a akčních veličinách, můžeme převodovou matici v rovnici (5.7) vyjádřit ve tvaru G0 = G T ,

(5.10)

kde T je transformační rovnice ze vztahu (5.8) a G je převodová matice. Stavovou rovnici řízené soustavy můžeme nyní zapsat ve tvaru

x(t ) = A x(t ) + B ( v + d) + h(t ) , kde

(5.11)


91

⎛ ⎡ ∂f ⎤ ⎞ h(t ) = ⎜ ⎢ 2T ⎥ − B T ⎟ u(t ) ∂ u ⎦u =0 ⎝⎣ ⎠ a výstupní relace

y(t ) = Cx(t ) + G v .

(5.12)

Dále můžeme „upravit“ označení jednotlivých matic takto : A je matice řízené soustavy, B je vstupní matice, C je výstupní matice, G je převodová matice, x je stavový vektor, y je výstupní vektor, v je vektor akčních veličin, d je vektor poruchových veličin a h(t ) je vektor vnějších účinků. Blokové schéma řízené soustavy, sestavené s ohledem na rovnice (5.11) a (5.12), je na obr. 5.1.

Obr. 5.1 Blokové schéma řízené soustavy

5.2.1

Závislost akčních veličin na regulační odchylce

Vektor regulačních odchylek e vyjadřuje vztah e = y − yp ,

(5.13)

kde y je vektor skutečných a y p požadovaných hodnot výstupních veličin. Zákon řízení (5.9) pak lze přepsat do tvaru

L( v, e, p r ) = 0 .

(5.14)

Pro případ, kdy je diferenciální operátor L(.) lineární vzhledem k vektoru v , lze chování regulátoru popsat lineární diferenciální rovnicí analogickou k rovnici (5.5)

x r (t ) = A r (p r ) x r (t ) + h r (e, p r ) ,

(5.15)

92


kde xr je stavový vektor regulátoru, A je matice (soustavy) regulátoru, hr je vektorový diferenciální operátor závislý na parametrech řízení a reprezentující účinky regulační odchylky na regulátor. Podle charakteru činnosti lze regulátory dělit na : • proporcionální – h r závisí jen na regulační odchylce, • derivační – hr závisí na derivacích regulačních odchylek podle času, • integrační – hr závisí na časové integraci regulačních odchylek.

5.3

Lineární proporcionální regulátor

S ohledem na rozsah kapitoly (i celé práce) se omezíme pouze na analýzu chování a vlastností jednoduchých způsobů regulace pohonových soustav. Stavovou rovnici regulátoru můžeme napsat ve tvaru x r (t ) = A r (p r ) x r (t ) + B r (p r ) e ,

e = y − yp ,

(5.16)

kde B r je vstupní matice regulátoru. Výstupem z regulátoru je vektor akčních veličin v , který lze vyjádřit jako lineární kombinaci stavových veličin regulátoru xr (analogie s rovnicí (5.7)):

v = Cr (p r ) x r .

(5.17)

Matici Cr nazýváme výstupní maticí regulátoru. Kombinací rovnic (5.11), (5.12), (5.15), (5.16) a (5.18) a po úpravě lze získat stavové rovnice řízené soustavy ve tvaru [71] x(t ) = A x(t ) + B Cr x r (t ) + B d + h (t ) , x r (t ) = A r x r (t ) + B r ( C x + G Cr x r ) − B r y p .

(5.18)

Zavedeme-li stavový vektor globální řízené soustavy x Σ = [ x, x r ]T ,

(5.19)

můžeme zapsat stavovou reprezentaci globální řízené soustavy ve zjednodušeném tvaru

xΣ (t ) = A Σ x Σ (t ) + B Σ d Σ + h Σ (t ) , y Σ (t ) = CΣ x Σ (t ) ≡ y (t ) viz (5.12) , kde matice globální řízené soustavy je B Cr ⎡ A ⎤ AΣ = ⎢ ⎥, − B C A B G C ⎣ r r r r⎦

vstupní matice globální řízené soustavy je 0 ⎤ ⎡B , BΣ = ⎢ ⎣ 0 −B r ⎥⎦

výstupní matice globální řízené soustavy je

(5.20)


93

CΣ = [C G Cr ] , vektor veličin, ovlivňující činnost regulátoru (porucha řízení + požadovaný výstup) je d Σ = ⎡⎣d y p ⎤⎦

T

a vektor vnějších účinků (které regulátor bezprostředně neovlivňují) je

hΣ = [h(t ) 0] . Vektor výstupních veličin z globální řízené soustavy y Σ je roven výstupnímu vektoru „řízení se zpětnou vazbou“ – viz rovnice (5.12).

5.4

Lineární proporcionální regulátor bez zpoždění

Pro tento typ regulátoru je charakteristické, že akční veličiny jsou lineárními funkcemi regulační odchylky. Tudíž platí v = F (y − y p ) = F e ,

(5.21)

kde F představuje matici výstupní zpětné vazby, jejíž prvky odpovídají „zesílení“. Dosadíme-li za y z rovnice (5.12), dostaneme v = F (C x + G v ) − F y p ,

resp. (I − F G ) v = F (C x − y p ) .

(5.22)

Za předpokladu, že matice (I − FG) je regulární, dostaneme po dosazení za v do rovnice (5.11) a po úpravě stavovou reprezentaci globální řízené soustavy (s proporcionálním regulátorem bez zpoždění) ve tvaru

x(t ) = A Rz x(t ) + B Rz d Rz + h(t ) , y (t ) = C x(t ) + G v ,

(5.23)

kde matice řízené soustavy se zpětnou vazbou je A Rz = A + B (I − F G ) −1 F C ,

(5.24a)

matice vstupů řízené soustavy se zpětnou vazbou je B Rz = B ⎡⎣ I

(I − F G ) −1 F ⎤⎦

(5.24b)

a vektor veličin ovlivňujících regulátor (porucha řízení + požadovaný výstup) je T

d Rz = ⎡⎣d y p ⎤⎦ .

(5.24c)

Vektory h , x a y jsou definovány stejně jako v rovnicích (5.11) a (5.12). Hlaví výhoda relací (5.20)–(5.24) spočívá v tom, že při návrhu řízení jsou využity stejné postupy jako při řešení pohybu lineární dynamické soustavy bez řízení. Této skutečnosti využijeme

94


hned v dalším, kdy budeme studovat podmínky pozorovatelnosti, řiditelnosti a stability řízených pohonových soustav.

5.5

Řiditelnost, pozorovatelnost a robustnost řízených pohonových soustav

Při posuzování kvality navrhovaných řešení řízených pohonových soustav jsou dalšími sledovanými parametry pozorovatelnost, řiditelnost a robustnost. Ty dovolují formulovat vhodná kriteria pro posuzování stavu a vlastností navrhovaných řídicích subsoustav. Vyjdeme ze stavové rovnice řízené soustavy (5.11), kterou lze při zanedbání všech vnějších účinků upravit do tvaru

x(t ) = A x(t ) .

(5.25)

Řešení této rovnice je známé ve tvaru x (t ) = Φ (t , t 0 ) x (t 0 ) .

(5.26)

kde x (t 0 ) je stavový vektor v počátečním čase t = t 0 a matice Φ (t , t0 ) je tzv. přechodová matice, definovaná ∞

1 n A (t − t0 ) n . n =1 n !

Φ(t , t0 ) = e A ( t − t0 ) = I + ∑

(5.27)

Dynamické vlastnosti linearizované matice řízené soustavy x (t ) = A x (t ) + h 0 (t )

– viz rovnice (5.5) – reprezentují vlastní hodnoty λk a vlastní vektory w k matice A , vyhovující rovnicím ( A − λk I ) w k = 0 ,

k = 1, 2,… , n ,

(5.28a)

resp. det[ A − λ I ] = 0 , λ ≡ λk ,

k = 1, 2,… , n ,

(5.28b)

Vlastní čísla λk umožňují sestavit diagonální spektrální matici λ , vlastní vektory w k umožňují sestavit modální matici W λ = diag [ λ1 λ2 W = [ w1 w 2

λn ] ,

wn ] ,

(5.29)

splňující podmínky W −1 A W = λ ,

W − 1 W = W W −1 = I .

(5.30)

Pomocí modální a spektrální matice lze řešení (5.26) převést na lineární kombinaci partikulárních řešení. Zavedeme-li substituci

x(t ) = Wξ(t ) ,

(5.31)


95

kde ξ je vektor modálních souřadnic, a dosadíme-li (5.31) do rovnice (5.26), po vynásobení maticí

W−1 zleva dostaneme ∞ 1 ⎛ ⎞ W −1 W ξ (t ) = W −1 Φ(t ) W ξ (t0 ) = W −1 ⎜ I + ∑ A n t n ⎟ W ξ (t0 ) , n =1 n ! ⎝ ⎠

odkud vyplývá ∞ 1 ⎛ ⎞ ξ (t ) = ⎜ I + ∑ λ n t n ⎟ ξ (t0 ) = eλt ξ (t0 ) , n =1 n ! ⎝ ⎠

a v případě, že všechny vlastní hodnoty jsou různé, lze řešení (5.26) upravit do tvaru x(t ) = W ξ (t ) = W e λt ξ (t0 ) = ∑ w k ξ k (t0 ) eλk t ,

(5.32)

k

kde

ξ k (t0 ) je hodnota k-té modální souřadnice v čase t = t 0 (a současně integrační konstanta

v rovnici (5.32). Poznámka I V případě, že je některé z vlastních čísel spektrální matice (5.29) vícenásobné, budeme muset hledat modální matice ve tvaru takové transformační matice, pro kterou bude mít spektrální matice tzv. kanonickou formu ⎡ λ1 ⎢ λ=⎢0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0

0 λi 0

0⎤ ⎥ 0⎥, ⎥ ⎥ λ r ⎥⎦

⎡ λk ⎢0 λ i = ⎢⎢ ⎢0 ⎢⎣ 0

λk

1

0 1

0 0

0 0

0 0

λk 0

0⎤ 0⎥ ⎥, ⎥ 1⎥ λk ⎥⎦

kde λ i jsou tzv. Jordanovy bloky a r je jejich největší možný počet. V případě násobných vlastních čísel platí pro odpovídající sloupce modální matice W vztah

(A − λk I) j wij = 0 ,

j = 1, 2,…, m ,

i kde λk je k-té vlastní číslo, w j je sloupec modální matice W odpovídající i-tému Jordanovu

bloku a m je jeho rozměr. Poznámka II Bylo řečeno, že vlastní čísla a vlastní vektory každé soustavy typu (5.5) reprezentují její dynamické vlastnosti. Jedná-li se o řízenou soustavu s lineárním regulátorem (5.20), resp. (5.23), jsou matice AΣ , resp. A Rz , funkcemi parametrů řízení pr (viz (5.15)). Tedy i vlastní čísla a vlastní vektory matic AΣ , resp. A Rz , budou funkcemi parametrů řízení. Této skutečnosti lze efektivně využít při návrhu řízení pomocí metod „root-locus“. Nejjednodušší typ této metody vychází z numerického výpočtu vlastních čísel pro předem vybrané parametry řízení a z následných konstrukcí parametrických „root-loci“ křivek [71].

96

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Pojmy řiditelnost a pozorovatelnost řízených soustav se primárně vztahují na takové stavy

x(t ) , na které působí účinky z vnějšku globální soustavy.Vyjdeme tedy ze stavové formulace soustavy (5.11) a (5.12) bez poruchy řízení:

x(t ) = A x(t ) + B v(t ) , y (t ) = Cx(t ) + G v(t ) .

5.5.1

(5.33a) (5.33b)

Podmínky řiditelnosti soustavy

Soustavu (5.33) považujeme za řiditelnou, pokud jsou řiditelné všechny její stavy. Konkrétní stav soustavy x(t ) pak je řiditelný, pokud existuje ohraničený vektor akčních veličin v schopný v konečném čase přenést systém do libovolného jiného stavu. Matematicky je možné řiditelnost vyjádřit jako požadavek plné hodnosti matce R , definované prostřednictvím matice soustavy A a vstupní matice B . Tedy: h(R ) = N ,

R = ⎡⎣ B

AB

A N −1 B ⎤⎦ ,

(5.34)

kde symbolem h(R) označujeme hodnost matice R , a N je rozměr matice A , tj. počet stavových veličin. Splnění rovnice (5.34) představuje podmínku nutnou a postačující. Z rovnice (5.34) vyplývá, že řiditelnost soustavy nezáleží na volbě stavových veličin. S podmínkou řiditelnosti (5.34) je rovnocenná podmínka tzv. modální řiditelnosti. Dospějeme k ní tak, že rovnici (5.33a) vynásobíme modální matici W zleva a dosadíme substituci (5.31). Dostaneme ξ (t ) = λ ξ (t ) + Γ v (t ) , Γ = W −1 B .

(5.35)

Zde je opět λ spektrální matice a symbol Γ označuje tzv. matici modálních vstupů. Výhodou formulace (5.35) je, že uvažujeme nejen kvalitativní, ale i kvantitativní posouzení řiditelnosti analyzované soustavy. Vhodný výběr hodnot prvků matice Γ může být využit jako kritérium při hledání optimálního rozmístění akčních členů. Pokud budou vlastní čísla matice A v rovnici (5.33a) navzájem různá, bude soustava řiditelná tehdy a jen tehdy, bude-li každý prvek matice Γ obsahovat aspoň jeden nenulový prvek. To znamená, že každá modální souřadnice je ovlivněna aspoň jednou akční veličinou. Pokud budou vlastní čísla matice A ve stavové rovnici (5.33a) násobná, bude podmínka řiditelnosti, která by byla rovnocenná podmínce (5.34), komplikovanější. V tomto případě musí být minimálně počet k řízení nutných nezávislých vstupů vi roven počtu Jordanových bloků spektrální matice λ (viz Poznámka I na str. 95).

5.5.2

Podmínky pozorovatelnosti řízené soustavy

Soustavu (5.33) nazveme pozorovatelnou, pokud budou pozorovatelné všechny stavy soustavy. Stav x (t 0 ) soustavy (5.33) bude pozorovatelný tehdy, když ho budeme moci určit pomocí výstupních veličin y(t ) v konečném časovém intervalu (t0 , t ) .


97

Nutnou a postačující podmínkou pozorovatelnosti je opět podmínka plné hodnosti matice pozorovatelnosti P definované pomocí matice soustavy A a výstupní matice C h(P ) = N , P = ⎡⎣CT

A T CT

T

( A N −1 )T CT ⎤⎦ ,

(5.36)

kde symbol h(P ) označuje hodnost matice P a N je počet stavových veličin. Analogicky k určení podmínky modální řiditelnosti můžeme stanovit podmínku modální pozorovatelnosti. Dosadíme substituci (5.31) do výstupní rovnice soustavy (5.33b) a dostaneme

ξ ( t ) = Θ ξ ( t ) + G v (t ) , Θ = C W ,

(5.37)

kde matice Θ se nazývá maticí modálních výstupů. Podmínku modální pozorovatelnosti můžeme nyní definovat jako požadavek, aby každá modální souřadnice měla vliv alespoň na jednu výstupní veličinu, tzn. aby v každém sloupci matice Θ byl alespoň jeden nenulový prvek. Prvky matice Θ mohou být opět využity při hledání optimálního rozmístění snímačů prostřednictvím vhodně zvoleného funkčního kriteria.

5.5.3

Robustnost řízených pohonových soustav

Z pohledu automatického řízení jde o relativní pojem, který se může týkat jak řízené soustavy jako celku, tak samotného procesu řízení. Nelze ale definovat jednoznačné matematické podmínky typu (5.34) a (5.36). Řízenou soustavu považujeme za robustní, pokud je málo citlivá (případně necitlivá) na změny vybraných parametrů soustavy nebo parametrů řízení. U lineárních soustav lze robustnost kvantifikovat pomocí vlastních čísel matice soustavy závislých na parametrech řízení (nebo soustavy jako celku), přičemž citlivost příslušného vlastního čísla je úměrná jeho parciální derivaci podle vybraného parametru. Mluvíme-li o robustním řízení, myslíme tím malou citlivost uzavřeného regulačního obvodu na změny vybraných parametrů (řízení nebo soustavy) s ohledem na dosažení cílů řízení. Za parametry soustavy můžeme volit ty, které nejlépe reprezentují chyby vznikající při modelování, případně i vlastní čísla matice soustavy ležící mimo frekvenční pásmo, které nás při řízení zajímá.

5.6

Digitální řízení

Jsou-li zásahy do řízení pohonových soustav generovány jen v definovaných časových okamžicích, považujeme takové řízení za digitální. Takový způsob řízení je typický pro řízení pomocí počítačem řízených regulátorů (obr. 5.2). V dalším budeme předpokládat, že : • akční zásahy jsou synchronizované a intervaly mezi nimi jsou konstantní, • akční působení v rámci jednoho intervalu je konstantní a je realizováno pomocí A/D převodníků.

98


Obr. 5.2 Zapojení digitálního regulátoru

Diskrétní řídicí veličiny v časové oblasti můžeme definovat jako postupné Diracovy impulzy a popsat rovnicí ∞

ud (t ) = ∑ u ( k h) δ (t − k h) ,

(5.38)

k =0

kde ud je diskrétní řídicí veličina, h je konstantní délka intervalu řízení, k je počet intervalů od počátku a δ (.) je Diracova funkce. Po Laplaceově transformaci vztahu (5.38) dostaneme ∞

L [ud (t ) ] = U d ( s ) = ∑ ud (k h) e − k h s ,

(5.39)

k =0

kde L[.] je Laplaceův operátor a s je komplexní proměnná.

Obr. 5.3 Konformní

z → s zobrazení

Nyní zavedeme komplexní proměnnou z pomocí substituce

z = eh s ,

(5.40)

a dosadíme ji do rovnice (5.39). Dostaneme známou Z-transformaci digitálního signálu ∞

Z [ud (t ) ] = U d ( z ) = ∑ ud ( k h) e − k .

(5.41)

k =0

Zde symbol Z[.] je operátorem Z-transformace, která má obdobné vlastnosti jako Laplaceova transformace (obr. 5.3), tj. je to lineární transformace, lze definovat větu o počáteční a konečné hodnotě, je možné definovat vztah pro případ časového posunu atd. – viz [12, 72].


99

Vyjděme nyní z definice dynamické soustavy (5.33) a definujme vektory diskrétních stavových a výstupních veličin podle (5.38) a neuvažujme matici G . Můžeme psát: ∞

xd (t ) = ∑ x(k h) δ (t − k h) , k =0 ∞

y d (t ) = ∑ y (k h) δ (t − k h) = C xd .

(5.42)

k =0

Za předpokladu, že pro akční veličiny v d bude platit v (t ) = v d ( k h ) = konst. pro

k h ≤ t < ( k + 1) h ,

(5.43)

můžeme zapsat soustavu (5.33) v diskrétní formě takto xd [(k + 1) h] = A d (h) xd (k h) + B d (h) v d (k h) , y d ( k h ) = C x d ( k h) ,

(5.44)

kde A d (h) = e A h = I + A Ψ ( h) ,

(5.45a)

B d (h) = e A h = Ψ (h) B ,

(5.45a)

a h

∞

1 n −1 n A h , n =1 n !

Ψ ( h ) = ∫ e A t dt n = ∑ 0

n

(5.45c)

kde A d a B d jsou matice soustavy a vstupní matice diskrétní soustavy. Z rovnice (5.44) vyplývá, že diskrétní stavový popis lineární dynamické soustavy představuje lineární diferenciální rovnice s koeficienty závislými na velikosti kroku h. To znamená, že i další vlastnosti řízené soustavy, jako jsou řiditelnost či pozorovatelnost, budou závislé na hodnotě h. Stabilita řízené soustavy je na diskretizaci nezávislá, platí tedy stejná kriteria jako v případě spojitého času. Transformací s → z (viz rovnice 5.40) se levá polorovina s-roviny zobrazí v z-rovině na vnitřek jednotkové kružnice se středem v počátku, jak je patrno z obrázku 5.4. Podmínkou asymptotické stability pak je, aby všechny póly diskrétního přenosu měly velikost menší než 1. Budeme-li znát vlastní čísla matice soustavy A (spojitý čas), můžeme vlastní čísla matice A d (diskrétní čas) získat přímo z rovnice (5.45a), tj.

Ad = eA h ⇒ λd i = eλi h ,

(5.46)

kde λd i jsou vlastní čísla matice A d a λi jsou vlastní čísla matice A . Stabilita uzavřené globální řízené soustavy bude, na rozdíl od stability řízené soustavy, na velikosti kroku h závislá. K zajištění stability globální řízené soustavy s využitím digitálního regulátoru postupujeme následovně: • vypočítáme diskrétní přenos regulátoru vhodnou transformací spojitého přenosu, • zvolíme velikost kroku h.

100


Prakticky nejužívanější transformací je Tustinova bilineární transformace, kdy

s=

h z +1 , 2 z −1

(5.47)

která transformuje levou polorovinu komplexní s-roviny na vnitřek jednotkové kružnice v z-rovině, čímž jsou dynamické vlastnosti regulátoru zachovány. Velikost kroku h pak rozhodne o tom, bude-li zachována i stabilita uzavřené globální soustavy. Dolní hranici hodnoty h určuje technické vybavení řešitele. V případě, že v některé z větví globální řízené soustavy dochází k výraznému časovému zpožďování, může snižování hodnoty h vést k destabilizaci regulace. Horní hranice hodnoty h bývá určována z přípustného fázového zkreslení výstupů ze soustavy. Pokud jsme ochotni připustit maximální fázové zkreslení φmax signálu s hraniční frekvencí f max , bude maximální délka intervalu

hmax =

φmax . π f max

(5.48)

Když dynamické vlastnosti globální řízené soustavy hodnotíme podle odezvy na jednotkový skok akční veličiny, používáme pro výpočet h vztah

h = (0,1 ÷ 0, 25) Tn .

(5.49)

kde Tn je čas (doba) náběhu přechodové charakteristiky. Poznámka Aby nedocházelo k amplitudovým zkreslením vlivem zdánlivosti (aliasing), doporučujeme odfiltrovat nežádoucí signály s frekvencí vyšší než polovina vzorkovací frekvence ještě v analogové formě.

5.7 5.7.1

Stabilita řízených soustav [9, 12, 15] Úvodní poznámka

Pro stabilitu řízených pohonových soustav je rozhodující pochopení zásad stabilitní analýzy, přesněji Ljapunovské stability dynamických systémů, se kterými se nyní stručně seznámíme. Uvažujeme model obecné (nelineární) dynamické soustavy definované rovnicí (5.3), u které zanedbáme vnější účinky

x(t ) = f (t , x) , kde x = [ x1

x1

xn ]T je stavový vektor a f (t , x) maticová funkce.

(5.50)


101

Spolu se studiem stabilitních vlastností soustavy (5.50) budeme sledovat také Cauchyovu úlohu pro tuto soustavu, kterou můžeme vyjádřit

x(t ) = f (t , x) , x(τ ) = ξ ,

(5.51)

kde veličinu τ nazveme počátečním okamžikem, vektor ξ = [ξ1 ξ1

ξ n ]T počáteční hodno-

tou a rovnost x(τ ) = ξ počáteční podmínkou Cauchyovy úlohy. Budeme předpokládat, že soustava x(t ) = f (t , x) má triviální řešení, které označíme O , takže platí f (t , O) = O .

5.7.2

Ljapunovská stabilita triviálního řešení

Nechť má diferenciální rovnice (5.38) následující vlastnosti: • Existuje reálné číslo α a oblast H ⊂

n

, kde prostor

torový prostor, obsahující počáteční stav O ∈

n

n

chápeme jako normovaný vek-

.

• Maticová funkce f (.) je spojitá v oblasti (α , ∞) × H a pro každý bod (τ , ξ) v této oblasti je Cauchyova úloha (5.51) řešitelná.

• Předpokládáme, že f (t , O) = O pro všechna t > α , takže Cauchyova úloha (5.51) má pro

ξ = O triviální řešení O(t ) = O . Nyní budeme formulovat následující tvrzení: I. Můžeme říci, že triviální řešení O soustavy

x(t ) = f (t , x)

(5.52)

je podle Ljapunova stabilní právě tehdy, když ke každému času τ > α a každému číslu

ε > 0 existuje číslo δ = δ (τ , ε ) > 0 takové, že pro všechny počáteční hodnoty ξ ∈ H s normou ξ < δ a pro všechna t ≥ τ splňuje řešení Cauchyovy úlohy (5.51) nerovnost

x(t ,τ , ξ) < ε .

(5.53)

Jinými slovy, triviální řešení soustavy (5.52) je stabilní, jestliže po malém počátečním vychýlení z tohoto stavu zůstane trajektorie pohybu soustavy v ε-okolí triviálního řešení, viz obr. 5.4. II. Pro všechny autonomní soustavy

x = f (x) ,

(5.54)

kde funkce f nezávisí na čase, platí, že když triviální řešení O soustavy (5.54) je Ljapunovsky stabilní, pak je stejnoměrně Ljapunovsky stabilní. III. Jsou-li splněny podmínky Ljapunovy stability triviálního řešení, bude triviální řešení O soustavy (5.52) asymptoticky stabilní, když: (i) je Ljapunovsky stabilní a

102

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY (ii) existuje číslo Δ > 0 takové, že pro každé ξ ∈ H s normou ξ < Δ a každé τ > α platí

lim x(t ,τ , ξ ) = O . t →∞

(5.55)

Obr. 5.4 Průběh trajektorie stabilní a nestabilní soustavy

5.7.3

Ljapunovova stabilita rovnovážných (klidových) stavů

Vyjdeme z definice autonomní soustavy (5.54) a budeme formulovat následující tvrzení: I. Rovnovážný stav O soustavy x = f (x) bude stabilní podle Ljapunova tehdy, když ke každému ε > 0 existuje takové δ = δ (ε ) > 0 , že každá kladná polotrajektorie soustavy (5.54), která vychází z libovolného bodu ξ ležícího v δ-okolí bodu O, leží celá v ε-okolí bodu O, obr. 5.3.

Obr. 5.3 Zobrazení rovnovážného stabilního (a) a nestabilního (b) stavu

II. Rovnovážný stav O soustavy x = f (x) je asymptoticky stabilní podle Lajpunova, když: (i) je Ljapunovsky stabilní a (ii) existuje číslo β > 0 takové, že každá kladná polotrajektorie soustavy (5.54), která vychází z libovolného bodu ξ ležícího v β-okolí bodu O, konverguje pro t → ∞


103

k bodu O, tj. platí lim x (t ) = O . t →∞

(5.56)

III. Nechť je rovnovážný stav O autonomní soustavy x = f (x) asymptoticky stabilní. Množinu všech bodů ξ ∈

n

, pro které je lim x (t ) = O , t →∞

nazveme oblastí přitažlivosti rovnovážného stavu O. Pak můžeme říci, že rovnovážný (klidový) stav O soustavy (5.54) je globálně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova.

5.7.4

Stabilita lineárních soustav podle Ljapunova

Nejprve uvedeme věty (tvrzení), pomocí kterých můžeme vyšetřovat stabilitu lineárních soustav i bez znalostí jejich konkrétního řešení. Lineární soustavy uvažujeme ve tvaru rovnice

x = A(t ) x ,

(5.57)

ve které předpokládáme, že A(t ) je matice typu (n × n) spojitá pro všechna t ≥ 0 . I. Za výše uvedených předpokladů můžeme říci, že triviální řešení homogenní lineární soustavy (5.57) je stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, když pro každý bod (τ , ξ ) ∈ (0, ∞ ) ×

n

je řešení c(t ,τ , ξ) Cauchyho úlohy

x = A(t ) x ,

x(τ ) = ξ

(5.58)

omezené pro všechna t ≥ τ . II. Nechť je matice A(t ) v rovnici (5.57) spojitá pro všechna t ≥ 0 . Pak triviální řešení soustavy x = A(t ) x je asymptoticky stabilní podle Ljapunova právě tehdy, když pro každý bod (τ , ξ ) ∈ (0, ∞ ) ×

n

splňuje řešení c(t ,τ , ξ) Cauchyho úlohy (5.58) podmínku

lim c(t ,τ , ξ ) = O . t →∞

(5.59)

III. Nechť je A čtvercová matice s konstantními prvky. Pak triviální řešení (rovnovážný klidový stav) autonomní lineární soustavy

x = Ax

(5.60)

bude : (i) stejnoměrně stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, když všechny charakteristické hodnoty matice A mají nekladné reálné části, přičemž charakteristickým hodnotám s nulovými reálnými částmi přísluší vesměs jednoduché řetězce zobecněných charakteristických vektorů, (ii) stejnoměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova právě tehdy, když všechny charakteristické hodnoty matice A mají záporné reálné části.

104


IV. Nechť je A konstantní čtvercová matice s reálnými prvky typu (n × n) a B(t ) je čtvercová matice s reálnými prvky spojitá v otevřeném intervalu t ∈ (α , ∞) . Pak platí: (i) je-li triviální řešení autonomní soustavy x = A x stabilní ve smyslu Ljapunova a platí-li ∞

∫

B (t ) d t < ∞ ,

(5.61)

α

pak také triviální řešení neautonomní soustavy

x = [A + B(t )] x

(5.62)

bude stabilní ve smyslu Ljapunova; (ii) je-li triviální řešení autonomní soustavy x = A x asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova a platí-li

lim B(t ) = 0 ,

(5.63)

t →∞

bude triviální řešení neautonomní soustavy (5.62) asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova. V. Nechť jsou A 0 , A1 ,… , A m konstantní matice typu (n × n) s reálnými prvky a nechť všechny charakteristické hodnoty matice A m mají záporné reálné části. Pak bude triviální řešení lineární soustavy s polynomiálními koeficienty x = [A0 + A0 t +

+ Am t m ] x

(5.64)

asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova. VI. Nechť je A(t ) čtvercová matice typu (n × n) s reálnými prvky, spojitá na celé časové ose a periodická s periodou T . Pak bude triviální řešení soustavy

x = A(t + T ) x

(5.65)

(i) stabilní ve smyslu Ljapunova tehdy, když pro všechny multiplikátory ρ matice

A(t ) platí ρ ≤ 1 , (ii) asymptoticky stabilní právě tehdy, když pro všechny multiplikátory ρ matice A(t ) platí ρ < 1 . Předchozí tvrzení umožnila přenést vyšetřování stability triviálního řešení autonomní i neautonomní soustavy lineárních rovnic na vyšetřování znaménka reálných částí kořenů charakteristické rovnice polynomu det[ A − λ I ] = a0 + a1 λ + a2 λ 2 +

+ an λ n ,

(5.66)

resp. na určování podmínek, pro které budou reálné části vlastních čísel matice soustavy záporné, tj. řešíme problém vlastních čísel matice soustavy


105

( A − λ I) = 0 .

(5.67)

Řešení triviálního řešení rovnice x = A(t ) x bude stabilní, bude-li platit že všechna vlastní čísla matice soustavy mají reálné části záporné, tj. Re{λi } < 0 , i = 1, 2, … , n .

(5.68)

Řešení problémů (5.66) resp. (5.67) pak umožňují známá kriteria stability.

5.7.5

Vybraná kritéria stability lineárních soustav

V zhledem k tomu, že tato kritéria jsou v analýzách dynamických vlastností technických soustav obecně známa, uvedeme pouze základní informace o dvou kritériích, Hurwitzově kritériu a Michajlovově kritériu.

Hurwitzovo kriterium stability Toto kritérium patří mezi algebraická kritéria a je možné ho využít pouze pro dynamické systémy, jejichž charakteristická rovnice je algebraická. Nelze s ním například řešit otázky stability u dynamických soustav s dopravním zpožděním (charakteristická rovnice je v těchto případech transcendentní), což je v případě analýzy vlastností řízených soustav vážné omezení. Při použití Hurwitzova kritéria na analýzu kořenů polynomu (5.66) nejprve sestavíme Hurwitzovu matici

⎡ a1 ⎢ a H=⎢ 3 ⎢ ⎣⎢ a2 n −1

a0 a2

0 a1

0 a0

a2 n − 2

a2 n − 3

a2 n − 4

0⎤ 0⎥ ⎥ . ⎥ an ⎦⎥

(5.69)

Všechny kořeny polynomu (5.66) budou mít záporné reálné části. Tzv. triviální řešení autonomní soustavy x = A x bude stejnosměrně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova, budou li splněny následující podmínky: a0 > 0 , a1 > 0 , a a0 ⎤ ⎡ >0, det ⎢ 1 ⎣ a3 a2 ⎥⎦ . ⎡ a1 a0 0 ⎤ det ⎢ a3 a2 a1 ⎥ > 0 , ⎢a a a ⎥ 4 3⎦ ⎣ 5

(5.70)

det H > 0 .

Nutnou (nikoliv však postačující) podmínkou stability soustavy je, aby všechny koeficienty charakteristického polynomu byly kladné.

106


Michajlovovo kritérium stability Toto kritérium patří mezi frekvenční kritéria stability. Z hlediska jeho aplikace na analýzu dynamických vlastností řízených soustav je jeho hlavní výhodou to, že je možné kritérium použít i pro dynamické soustavy s dopravním zpožděním, kdy charakteristická rovnice (5.66) není algebraická, ale např. transcendentní. Michajlovovo kritérium stability využívá rozložení nulových bodů polynomu + an −1 z n −1 + an z n

f ( z ) = a0 + a1 z +

(5.71)

v komplexní rovině. Dosadíme li do této rovnice a proměnnou z = i ω , kde 0 ≤ ω ≤ ∞ , přejde polynom do tvaru f (i ω ) = a0 + a1 i ω +

+ an −1 (i ω ) n −1 + an (i ω ) n .

(5.72)

Budeme-li dosazovat za ω hodnoty od 0 do +∞ a zobrazíme-li hodnoty funkce f (i ω ) v komplexní rovině, dostaneme tzv. hodograf funkce f (i ω ) . Platí přitom následující věty: I. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít záporné reálné části tehdy, když se vektor f (i ω ) při změně ω od 0 do +∞ bude otáčet v kladném smyslu o úhel n π / 2 , kde n je

stupeň charakteristického polynomu (5.59). II. Všechny kořeny polynomu (5.59) budou mít reálné části záporné (tj. triviální řešení autonomní soustavy x = A x bude stejnosměrně stabilní ve smyslu Ljapunova) tehdy, když hodograf funkce f (i ω ) pro ω měnící se od 0 do +∞ bude začínat na reálné ose a projde postupně v kladném smyslu

5.7.6

n kvadrantů komplexní roviny.

Kritéria stability nelineárních soustav

V tomto odstavci budeme analyzovat stabilitu triviálního řešení nelineárních rovnic

x(t ) = f (t , x)

(5.73a)

a stabilitu rovnovážného stavu autonomní soustavy

x(t ) = f (x) .

(5.73b)

Stabilitu budeme chápat ve smyslu Ljapunova a budeme předpokládat, že se jedná o slabě nelineární soustavy, pro které lze využít kritéria definovaná v předchozím textu. Analyzujeme tedy soustavu

x = A x + g(t , x) ,

g(t , O) = O ,

(5.74)

kde A je konstantní čtvercová matice typu (n × n) s reálnými prvky a g(t , x) je reálná vektorová funkce (spojitá v oblasti G = (α , ∞) × H , kde α ∈

1

,O∈H ⊂

n

), která splňuje podmínku

AUTOMATICKÉ ŘÍZENÍ POHONOVÝCH SOUSTAV g (t , x )

lim

=0,

x

x →0

107

(5.75)

pro všechna t ≥ α . Pro tyto podmínky platí následující tvrzení: I. Mají-li všechna vlastní čísla matice A záporné reálné části, je triviální řešení soustavy (5.74) asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova. II. Má-li alespoň jedno vlastní číslo matice A reálnou část kladnou, je triviální řešení soustavy (5.74) nestabilní. Podmínka (5.75) je splněna tehdy, když pro všechna t ≥ α a všechna x z libovolně malého okolí bodu O platí nerovnost g (t , x ) ≤ K x

r +1

,

(5.76a)

kde K a r jsou kladné reálné konstanty. Tuto podmínku lze nahradit dalšími podmínkami: I. Existuje číslo k > 0 takové, že pro všechna t ≥ α a pro všechna x ∈ H blízká bodu O platí

g(t , x) ≤ k x

(5.76b)

nebo II. ke každému ε > 0 existuje δ > 0 a T > α takové, že pro všechna t > T , x ∈ H a x < δ platí

g(t , x) ≤ ε x .

(5.76c)

Tyto podmínky splňují např. rovnice popisující řízenou soustavu:

x = A x + B(t ) x + h(t , x) ,

(5.77)

kde funkce B(t ) konverguje k nulové matici pro t → ∞ a h(t , x) splňuje podmínku (5.75). Analyzujme nyní nelineární autonomní soustavu

x = f (x) a předpokládejme, že funkce f (x) je spojitá v oblasti H ⊂

(5.78) n

obsahující nulové řešení 0 a je

současně v tomto bodě diferencovatelná. To znamená, že platí

f (x) = f (0) + f ′(0) x + r (x)

(5.79)

pro všechna x ∈ H a dále platí lim

x →0

r (x) x

=0 .

Konstantní matice f ′(0) je Jacobiho matice funkce f (x) v bodě 0, tj.

(5.80)

108

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY ⎡ ∂f1 (x) ⎢ ∂x 1 ⎢ ⎢ ∂f 2 (x) A = f ′(0) = ⎢ ∂x1 ⎢ ⎢ ⎢ ∂f n (x) ⎢ ∂x 1 ⎣

∂f1 (x) ∂x2 ∂f 2 (x) ∂x2 ∂f n (x) ∂x2

∂f1 (x) ⎤ ∂xn ⎥ ⎥ ∂f 2 (x) ⎥ ∂xn ⎥ . ⎥ ⎥ ∂f n (x) ⎥ ∂xn ⎥⎦

(5.81)

Je-li stav 0 rovnovážným stavem, přejde soustava (5.78) do tvaru

x = A x + r(x) ,

(5.82)

kde matice A je definovaná rovnicí (5.81). Nyní můžeme vyslovit následující tvrzení: Mají-li všechna vlastní čísla Jakobiho matice f ′(0) funkce f (x) v bodě 0 všechny reálné části záporné, je rovnovážný stav 0 soustavy (5.78) asymptoticky stabilní. Má-li alespoň jedno číslo reálnou část v bodě 0 kladnou, je rovnovážný stav soustavy (5.78) nestabilní. U nelineárních soustav můžeme kromě zjištění stability rovnovážného (klidového) stavu určovat i tvary trajektorie v blízkém okolí těchto rovnovážných stavů. Využíváme k tomu náhradní soustavu, kterou získáme linearizací původní soustavy.

BIFURKACE A CHAOS V POHONOVÝCH SOUSTAVÁCH

6

109

Bifurkace a chaos v pohonových soustavách [9, 12, 16]

6.1

Úvodní poznámka

S chaosem se můžeme setkat v pohonových soustavách se silnými nelinearitami. Typickým příkladem jsou převodové skříně, představující jednu ze základních strukturálních částí pohonových soustav vozidel. Převodové skříně lze z hlediska dynamiky charakterizovat jako soustavy tuhých těles (ozubených kol) s poddajnými nelineárními vazbami (vůlemi v ozubeních či drážkových spojích, spojky s nelineárními charakteristikami). Tímto způsobem máme definovánu strukturu soustavy. Pro sestavení účelového, částečně strukturovaného modelu, musíme dále definovat vnější účinky. Při řešení konkrétních inženýrských problémů se setkáváme s velmi různorodými podmínkami. Například u elektromechanických pohonů se stejnosměrnými motory s nezávislým buzením (otáčky jsou řízeny tyristorovým měničem v obvodu kotvy) a s impulsním čidlem otáček (příp. s číslicovou korekcí nadřazenou analogovému regulátoru) má dosažitelná přesnost úhlové rychlosti vyhovovat podmínce Δω

ωM

⋅100 < 0,1[%]

(6.1)

a poměr maximální odchylky úhlové rychlosti Δω max k nominální hodnotě úhlové rychlosti ω N představuje řádově procenta. Na rozdíl od tohoto případu je úhlová rychlost na vstupním hřídeli převodovky u pohonových soustav vozidel výrazně proměnná. Problematiku si ukážeme na konkrétním problému modelování dynamických vlastností převodové skříně osobního automobilu, řešeném v rámci projektu SPZV č. III-4-1/0503, [46]. Schéma převodové skříně je zobrazeno na obr. 6.1a. Otáčky vstupního hřídele se mění od volnoběžných otáček nv = 850 min −1 do maximálních provozních nmax = 5000 min −1 při výrazném kolísání nastavených úrovní otáček. Uvažovanými nelinearitami jsou vůle v ozubení a v drážkovém spojení lamely spojky a vstupního hřídele. V uvedeném příkladu se omezíme jen na některé s dosažených výsledků – na analýzu dynamických vlastností převodovky při volnoběhu. K vytvoření počítačového modelu převodovky byl použit programový soubor DYNAST, který umožňuje pomocí tzv. makromodelů známých mechanických, elektrických, elektronických, regulačních aj. substruktur vytvořit globální model soustavy – obr. 6.1b. Vstupním (budícím) účinkem byla porucha úhlové rychlosti ϕ1P (t ) na vstupním hřídeli převodovky, superponovaná na otáčky volnoběžného provozního stavu, viz obr. 6.1c. Na témže obrázku jsou znázorněny také časové průběhy relativních úhlových výchylek ϕ 2R (t ) a ϕ 3R (t ) , odpovídajícím uzlům 2 a 3 na obr. 6.1a. Znázorníme-li průběhy těchto odezev ve fázové rovině, vidíme typické projevy chaosu – zdvojení periody a přechod k chaosu (obr. 6.1d) a typický chaotický stav,

110


charakterizovaný neuzavřenou trajektorií (obr. 6.1e). Experimenty, simulační i reálné, provedené v rámci výše zmíněného projektu ukázaly, že „plochy“ fázových portrétů přímo odpovídaly hlukovým hladinám převodovky – čím byly větší (rozsáhlejší), tím vyšší hladiny hluku nastaly. Uvedený příklad byl jedním z prvních případů, kdy jsme se setkali (neplánovaně) s projevy chaosu, a jedním z důvodů, proč jsme se problematikou chaosu dále zabývali.

Obr. 6.1 Převodová skříň


6.2

111

Chaos a jeho možný vznik [47, 48]

Pro chaotické chování dynamické soustavy je charakteristické, že musí jít o nelineární deterministickou soustavu, u které již malá změna některého ze vstupů (počáteční podmínky, parametry soustavy, metodika řešení) může vést k výrazně odlišným výsledkům. Chaotické řešení je tedy odrazem nestabilního pohybu v omezené oblasti fázového prostoru. Původně blízké trajektorie pohybu se lokálně exponenciálně vzdalují a zároveň globálně, z hlediska tzv. chaotických atraktorů (podivných limitních množin), zůstávají stále v určité blízkosti díky efektu, známému jako folding (přehýbání). To znamená, že nepřítomností určitého řádu tyto struktury netrpí. Naopak se zdá, že forma uspořádání chaotických atraktorů je v jistém smyslu formou určitého řádu [50]. S ohledem na skutečnost, že chaotické chování dynamických soustav (nejen technických) je silně nestabilní, je „jednoduché“ rozhodování o stabilitě numerických metod, použitelných pro řešení odezev modelů technických soustav, často problematické i přes současný rozvoj počítačové techniky. Zvláštní chování analyzovaných modelů, simulované na počítačích, sice umožňuje jejich zkoumání, avšak paradoxně se setkáváme s tím, že i vysoce výkonné počítače nedokáží s dostatečnou přesností simulovat děje, které probíhají v některých, na první pohled jednoduchých, modelech technických soustav. Naštěstí mají chaotické soustavy jistou vlastnost, kterou lze nazvat „soběpodobnost“ – některé typické projevy a vlastnosti se v nich zachovávají nezávisle na měřítku. Ve zdánlivém chaosu se tak objevuje překvapující řád, jehož grafickým znázorněním jsou fraktály. Tyto ve fázovém prostoru tvoří atraktory, které jsou extrémně závislé na počátečních podmínkách a jsou nepředvídatelné. Typickým příznakem „blížícího se chaosu“ je opakované zdvojování period řešení – projevy extremní nestability, kdy jedna situace má dvě a více vzdalujících se řešení. Fázové trajektorie ale zůstávají uzavřené. Pro chaos je naopak typické, že fázové trajektorie nejsou uzavřené a zdánlivě nahodile vymezují ve fázovém prostoru ohraničenou oblast.

6.3

Atraktory dynamických systémů [51]

Atraktor dynamického systému chápeme jako množinu stavů, do kterých systém směřuje s časem t > t 0 . Jinak řečeno, jedná se o množinu hodnot odezev, kterých bude stavový vektor nabývat v průběhu dostatečně dlouhého časového úseku (od chvíle inicializace, označené t0 ). U linearizovaných soustav, obsahujících nějakou disipativní subsoustavu, dojde po odeznění přechodové odezvy k ustálenému stavu. Mohou nastat následující základní případy:

• Je-li buzení konstantní, reprezentuje ustálený stav pevný bod ve stavovém prostoru (singulární bod), obr. 6.2a.

• Je-li buzení harmonické nebo periodické, reprezentuje ustálený stav ve fázovém prostoru uzavřená křivka, obr. 6.2b.

• Stav chaosu reprezentuje chaotický atraktor, což je velmi složitá limitní množina bodů, zpravidla nekompaktní, která se vyznačuje nestabilním chováním, obr. 6.2c.

112


• Můžeme se setkat také s tzv. „podivným atraktorem“ (strange attractor), např. známý Lorenzův * atraktor, reprezentovaný složitým útvarem rozloženým „symetricky“ podle fiktivní osy, obr. 6.2d.

Obr. 6.2 Možné typy atraktorů dynamických soustav

6.4

Tzv. bazény přitažlivosti

Množina všech bodů ve fázovém prostoru, pro které platí, že trajektorie jimi procházející jsou „zachyceny“ danou limitní množinou, se nazývají bazény přitažlivosti dané množiny. Tyto bazény představují oblasti možných počátečních stavů soustavy (počátečních podmínek), nutných pro dosažení zvolené limitní množiny odezev.

6.5

Deterministický chaos a bifurkační analýza dynamických soustav [45, 49, 51]

Termínem deterministický chaos můžeme označit takový stav dynamické soustavy, při kterém nelze vypočítat jeho budoucí stav. Bylo již řečeno, že chaotické stavy lze očekávat u takových dynamických soustav, které vykazují extrémně velkou citlivost na změny počátečních podmínek nebo některého z parametrů soustavy. Zde se dva „nekonečně“ blízké počáteční stavy exponenciálně rozcházejí – odezva má více řešení – a budoucí stav nelze předpovědět. Termínem bifurkace označujeme jev, při kterém dochází ke změnám stavu soustavy při nepatrných změnách počátečních podmínek. Bifurkaci lze také chápat jako náhlou změnu stability, *

E. Lorenz použil soustavu 3 rovnic, popisujících zvláštní druh proudění (konvenci), při simulaci vývoje počasí (1693).


113

která bezprostředně souvisí s chaosem – předchází mu. Jinými slovy, chaos nastává v případě, kdy v soustavě začíná docházet k velkému množství na sebe navazujících bifurkací. Proto je studium podmínek, za kterých se bifurkace mohou objevit, důležitou součástí analýzy nelineárních jevů v dynamických soustavách.

Obr. 6.3 Typy bifurkací

6.6

Typy bifurkací [45, 51]

Při spojité změně vybraného parametru, který původně odpovídal rovnovážnému stav, může dojít ke ztrátě stability, která se může v mechanických soustavách projevit jako :

114


• bifurkace statického stavu (obr. 6.3a), • bifurkace dynamického stavu, • Hopfova bifurkace (obr. 6.3b), • bifurkace zdvojením periody (obr. 6.3c), • superkritická (vidličková) bifurkace (obr. 6.3d), • hysterezní smyčka (obr. 6.3e), • kaskády bifurkací (obr. 6.3f).

6.7

Feigenbaumova konstanta

M. Feigenbaum objevil (v 70. letech minulého století) konstantu, která ukazuje na univerzálnost chaosu a není závislá ne generující soustavě. Zjistil, že délka intervalu mezi po sobě následujícími bifurkačními body kaskády bifurkací tvoří konvergující posloupnost. Podíl délek dvou po sobě následujících intervalů je roven číslu lim t →∞

ai − ai −1 = 4, 66292 ≡ δ . ai +1 − ai

(6.2)

Toto číslo se nazývá Feigenbaumovo číslo. Protože kaskáda bifurkací předchází vzniku chaosu, lze jeho existenci předvídat již po zjištění tohoto poměru.

6.8

Bifurkace a chaos v mechatronických pohonových soustavách

Mechatronické pohonové soustavy jsou charakteristické svými malými rozměry, až extrémně malými přenášenými výkony a tím, že jsou interdisciplinární – zpravidla elektronicko- nebo elektricko-mechanické. Jejich malé rozměry a hmotnosti spolu s elektronickými prvky vedou k tomu, že jsou až na výjimky nelineární. To vede k následujícím skutečnostem :

• neplatí princip superpozice, • proto je nutné sestavit frekvenční přenosy, definovaných a základě vstupních a výstupních harmonických kmitů,

• odezva nelineárního obvodu (který je součástí řídicích struktur pohonové soustavy) na skokovou změnu je necharakterizuje, neboť není nezávislá na velikosti skoku,

• u některých nelineárních obvodů může změna velikosti vstupního skoku zapříčinit přechod do nestabilní oblasti jejich chování. Tyto skutečnosti výrazně komplikují klasické metody řešení odezev a příčinné analýzy dynamických vlastností a chování zkoumaných soustav. Proto se využívají simulační systémy, v našich podmínkách především MATLAB+Simulink, které obsahují vhodné knihovny (toolboxy) z mnoha oborů. Zkoumaný problém pak představuje globální soustavu, reprezentovanou blokovým schématem sestavené z prvků těchto toolboxů.


115

Nečekaně užitečnými se v případě analýzy bifurkací možnosti vzniku chaosu stávají grafické metody – především znázornění chování soustav ve fázové rovině. Znázornění chování dynamických soustav pomocí bifurkačního diagramu se stává jednou z efektivních možností, jak možnost vzniku bifurkačních jevů a chaosu sledovat. Pro ilustraci výše uvedených tvrzení využijeme toho, že mezi soustavy, vykazující „klasické chaotické chování“, patří i typické „pohonové soustavy“, např. stejnosměrný motor napájený z jednokvadrantního pulsního měniče [52]. K analýze chování stejnosměrného motoru s permanentními magnety lze využít matematický model [53], sestavený v programovém systému MATLAB, jehož blokové schéma je znázorněno na obr. 6.4.

Obr. 6.4 Schematické znázornění řízeného stejnosměrného motoru

Celá soustava je složena z modelu stejnosměrného motoru, regulačních smyček a výkonových prvků s napájením. Řídicí část soustavy obsahuje podřízenou smyčku proudu (blok A2 se zesílením gi ) a nadřízenou smyčku otáček (blok A1, zesílení gω ). Rychlostní a proudový signál pak může být definován vztahy

vω (t ) = g ω [ωref − ω (t )] , d vi (t ) = gi i (t ) ,

(6.3)

kde i(t ) je proud na kotvě stejnosměrného motoru, ω (t ) je úhlová rychlost rotoru a ω ref je referenční hodnota úhlové rychlosti stejnosměrného motoru. Oba signály jsou přivedeny na komparátor K, jehož výstup je veden do členu R-S, který je nastavován hodinovými impulsy o periodě T. Výstupní signál R-S členu řídí přepínání snímače S. Parametry modelu stejnosměrného motoru byly nastaveny podle [53]. Pro ilustraci chování pohonu se stejnosměrným motorem byly využity jak průběhy otáček a proudu tak trajektorie ve stavovém prostoru [52]. Časové průběhy otáček jsou znázorněny pro stabilní stav na obr. 6.5a, stav

116


s dvojnásobnou periodou obr. 6.5b a chaos obr. 6.5c. Časové průběhy proudu jsou obdobné, mají jen ostřejší špičky. Názornější představu o chování analyzované soustavy ve výše zmíněných stavech nám dají trajektorie ve fázové rovině (ω, I ) , viz obr. 6.6.

Obr. 6.5 Časové průběhy otáček

Obr. 6.6 Fázové trajektorie analyzované soustavy

Nejlepší představu o chování analyzované soustavy ale získáme pomocí výše zmíněného bifurkačního diagramu.

6.9

Konstrukce bifurkačního diagramu

Bifurkační diagram je často využíván k vyjasnění vlivu změn určitého parametru soustavy na její chování. Nejjednodušším způsobem, jak tyto změny zobrazovat, je využití osciloskopu s pamětí. Pro zobrazení bifurkačního diagramu musíme sestavit obvod, který bude generovat potřebné signály pro osciloskop [52, 54]. Typický bifurkační diagram obsahuje horizontální osu, na kterou vynášíme malé změny vybraného parametru, a vertikální osu, na kterou vynášíme navzorkované ustálené hodnoty proměnné zkoumaného modelu soustavy. K zobrazení bifurkačního diagramu je nutné přivést potřebné signály na vstupy osciloskopu X a Y. K jejich získání musíme: • realizovat změnu parametru zkoumané soustavy odpovídající pomalé změně napěťové pily přivedené na vstup X osciloskopu,


117

• vzorkovat zvolený signál zkoumané soustavy a zasílat získané vzorky na vstup Y osciloskopu. Tyto činnosti musí být dobře sladěny a přírůstek napěťové pily musí být relativně malý. Systém realizující konstrukci bifurkačního diagramu je zobrazen na obr. 6.7. Uvedeným způsobem byl sestaven bifurkační diagram pro úlohu popsanou v předchozím odstavci. Na bifurkačním diagramu (obr. 6.8) jsou jasně patrny stabilní oblast, oblast s dvojnásobnou a čtyřnásobnou periodou a oblast chaosu.

Obr. 6.7 Blokový diagram pro získání bifurkačního diagramu pomocí osciloskopu

Obr. 6.8 Bifurkační diagram

Další možnosti konstrukcí bifurkačního diagramu nabízí výpočetní technika. Z nich zejména metoda využívající tzv. CHAOS-MODUL [55] je velmi efektivní.

118


6.10 Příklad analýzy globálního chování modelu disipativní soustavy [56] Při výzkumu dynamických vlastností řízených pohonových soustav nemůžeme opomenout stabilitní analýzy. V případě nelineárních soustav a jejich modelů můžeme navíc očekávat i vznik chaotických pohybů. Přístup k analýze možností jejich vzniku ale bude odlišný, analyzujeme-li modely s jedním nebo málo stupni volnosti a modely reálných technických soustav.

6.10.1 Vznik chaosu v disipativních soustavách a jeho modelování Disipativní dynamické soustavy lze stručně charakterizovat jako soustavy, jejichž chování se s rostoucím časem asymptoticky blíží k rovnovážným stavům, pokud není z vnějšku dodávána energie. Jejich popis je možný pomocí relativně jednoduchých pohybových nelineárních rovnic. Pro určité hodnoty parametrů těchto rovnic jejich řešení nekonvergují vždy k očekávaným hodnotám, ale chaoticky oscilují. Objevuje se také silná závislost na malých změnách počátečních podmínek. V případě analýzy takových jevů může být jejich matematická podstata spojována s existencí tzv. „podivného atraktoru“ ve fázové rovině. Možný vznik chaosu pak lze spatřovat v opakovaných bifurkacích řešení. S tzv. bodem kumulace, za kterým se podivný atraktor generuje. Fázový obraz řešení soustavy pak přechází od stabilní množiny trajektorií k nové nestabilní, chaotické množině. Zásadní význam zde má sestavení globálních obrazů trajektorií. Pokud se to podaří, je popsáno asymptotické chování modelu soustavy.

6.10.2 Globální chování pohonové soustavy Problémy analýzy pohonových soustav patří k velice často diskutovaným problémům v inženýrské praxi. Je zde celá řada koncepčních a metodických otázek, které vyžadují hlubší porozumění a vysvětlení. Jednou z nich je existence deterministického chaosu. Tyto soustavy s nelinearitami mohou být extrémně citlivé na malé změny počátečních podmínek nebo vybraných konstrukčních parametrů. Typickým příkladem mohou být soustavy s vůlemi. V případě chaotického chování se soustava nachází v nestabilním stavu a přechází do nového stavu, který je také nestabilní a diametrálně odlišný. V případě předložených numerických výsledků ve fázové rovině se vyskytuje přechod ze stabilní množiny trajektorií do zcela nového stavu, nestabilní množiny chaotických trajektorií. Je zřejmé, že je extrémně důležité poznat parametry, za kterých chaotické chování může nastat, obzvláště v řízených soustavách a v soustavách, které zahrnují subsoustavy s rozdílným fyzikálním popisem.

6.10.3 Model mechanické části pohonové soustavy Byla vybrána jednoduchá pohonová soustava pro verifikaci teoretických závěrů uvedených v předchozí kapitole. Model soustavy je vyobrazen na obrázku 6.9 tato soustava reprezentuje pohonovou soustavu, která se skládá z pohonového stroje a pracovního stroje navzájem spojených pomocí spojky. Charakteristika spojky je nelineární a je uvedena na obrázku 6.9.


119

Obr. 6.9 Model pohonové soustavy

Systém pohybových rovnic, které popisují dynamické chování může být popsán následujícím způsobem: I M ϕ1 + k M ϕ1 + f (ϕ1 , ϕ 2 ) + bM ϕ1 + bp (ϕ1 − ϕ 2 ) = M M + M 1M cos(ω t ) , I P ϕ 2 − f (ϕ1 , ϕ 2 ) + bP (ϕ1 − ϕ 2 ) = M P − M 1P cos(ω t −ν ) ,

(6.4)

kde nelineární funkce f (ϕ1 , ϕ2 ) je popsána následujícím předpisem

f (ϕ1 , ϕ2 ) = k (ϕ1 − ϕ2 ) pro

(ϕ1 − ϕ2 ) < a f (ϕ1 , ϕ2 ) = 0 pro a < (ϕ1 − ϕ2 ) < b f (ϕ1 , ϕ2 ) = k (ϕ1 − ϕ2 ) pro (ϕ1 − ϕ2 ) > b

(6.5)

Analyzujme případ symetrické vůle, kdy a = b = a . Pak pro ϕ1 − ϕ2 ≤ a je soustava popsána následujícími rovnicemi I M ϕ1 + k1 ϕ1 + bM ϕ1 + bP (ϕ1 − ϕ 2 ) = M M + M 1M cos(ω t ) , I P ϕ 2 + bP (ϕ1 − ϕ 2 ) = M P − M 1P cos(ω t −ν )

(6.6)

a pro ϕ1 − ϕ2 > a je popsána těmito rovnicemi I M ϕ1 + k1 ϕ1 + k (ϕ1 − ϕ 2 ) + bM ϕ1 + bP (ϕ1 − ϕ 2 ) = M M + M 1M cos(ω t ) , I P ϕ 2 + k (ϕ1 − ϕ 2 ) + bP (ϕ1 − ϕ 2 ) = M P − M 1P cos(ω t −ν ) .

(6.7)

Pro tuto soustavu jsem provedli řadu výpočtových simulací. Hlavním cílem těchto simulací bylo ověřit možnost výskytu chaotického chování nebo najít bifurkační stavy, tak jak jsou popsány v kapitole 6.10.3. Pro řešení byl vybrán výpočetní systém MATLAB – Simulink, protože implementace rovnic (6.1) - (6.4) je v něm poměrně jednoduchá a algoritmy používané pro simulaci dynamických soustav v Matlabu jsou robustní a sofistikované. Dlouholetá a dobrá zkušenost s používáním tohoto výpočetního systému byl další důvod pro jeho využití.

120


Výsledky simulačního řešení

Pro soustavu uvedenou na obrázku 6.1 a popsanou rovnicemi (6.4)–(6.7) byly vybrány následující parametry – viz. tabulka 6.1. Veličina IP

Hodnota 1,5 1,25

Jednotka kg.m2 kg.m2

M 1M

25

N.m

Dynamický moment na pohonové části

P 1

55

N.m

Dynamický moment na pracovní části

1519 565 1,73 1,43 15000 1000 45

N.m N.m N/m.s N/m.s N/m N/m °

IM

M

MM MP bP bM kP kM

ν

Popis Moment setrvačnosti pohonové části Moment setrvačnosti pracovní části

Statický moment na pohonové části Statický moment na pracovní části Tlumení v pohonové části Tlumení v pracovní části Tuhost v pohonové části Tuhost v pracovní části Fáze mezi budícími složkami působícími na pohonovou a pracovní část

Tab. 6.1 Parametry pohonové soustavy

Tyto parametry byly získány z katalogů MAXON MOTOR. DC motory reprezentují jako pohonovou část, tak i pracovní část. Numerické simulace byly provedeny s těmito hodnotami. Úhlová rychlost buzení byla vybrána jako parametr, který byl měněn i intervalu od 1 rad/s do 200 rad/s. Natočení a úhlová rychlost soustavy byly vypočítávány pro vykreslování ve fázové rovině a pro kreslení atraktorů. Pro kreslení atraktorů muselo být vypočítáváno i zatížení ve spojce. Pro natočení i relativní natočení bylo vykresleno pro zobrazení ve fázové rovině. Poincarreho mapy a atraktory pro relativní pohyb byly také propočítané. Další z možností analýzy je převedení vypočítaného natočení do frekvenční domény a provedení analýzy zde, jak je opět popsáno v kapitole 6.10.3. FFT pro relativní natočení byla vypočítaná a analyzovaná. Následující obrázky ukazují všechny výše uvedené analýzy pro úhlovou rychlost buzení ω = = 18.93 rad/s, ω = 110 rad/s a ω = 140 rad/s. Tyto úhlové rychlosti byly vybrány jako reprezentativní hodnoty. Změny, kterými prochází dynamická soustavy závisí na vybraném parametru, který je variován. Je to velice dobře viditelné na spektru relativního natočení. Ačkoliv se nemění struktura soustavy a úhlová frekvence buzení je jediný měnící se parametr, ve spektru je možno vidět mnoho vlastních frekvencí. Tyto vlastní frekvence vznikají a zanikají se změnami úhlové frekvence ω. Ve fázové rovině také dochází ke změnám tvarů. Poincarreho mapy jsou velice zajímavé pro analýzu. Můžeme zde nalézt typické diagramy známé z teoretických studii, jako např. stabilní jádro pro ω = 110 rad/s. Soustava se blíží chaotickému chování pro ω = 18.93 rad/s.


121

Vysoké tlumení zabraňuje, aby soustava přešla do plně chaotického stavu a projeví se pouze relaxační kmity.

Obr. 6.10 Fázová rovina pro natočení φ1 pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.11 Fázová rovina pro natočení φ2 pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.12 Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.13 Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.14 Spectrum relativního natočení pro ω = 18,93 rad/s

Obr. 6.15 Atraktor pro relativní natočení pro ω = 18,93 rad/s

122


Obr. 6.16 Fázová rovina pro natočení φ1 pro ω = 110 rad/s


Obr. 6.18 Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.19 Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.20 Spectrum relativního natočení pro ω = 110 rad/s

Obr. 6.21 Atraktor pro relativní natočení pro ω = 110 rad/s


123



Obr. 6.24 Fázová rovina pro relativní natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.25 Poincareho mapa relativní natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.26 Spektrum relativního natočení pro ω = 140 rad/s

Obr. 6.27 Atraktor pro relativní natočení pro ω = 140 rad/s

124


6.10.4 Dílčí poznatky Chaos se v posledních letech stal fenoménem řady inženýrských problémů. Proto jsme se na jeho sledování zaměřili i při analýzách pohybových soustav. Na základě provedených rozborů si dovolíme stanovit následující doporučení: • při hodnocení vlastností a chování dynamických soustav definovat takové parametry modelů, které mohou ovlivňovat výskyt parazitních pohybů včetně chaosu (kolísání počátečních podmínek, vůle ve vazbách, parametry řízení), • sledovat evoluce odezev ve fázových rovinách v závislosti na změnách vybraných parametrů a identifikovat typické projevy chaosu, • objeví-li se tyto projevy, vyhodnotit Fourierovská spektra odezev. Chaotickým pohybům odpovídají širokopásmová spektra, i když budící spektra jsou úzkopásmová. Respektováním uvedených doporučení lze identifikovat oblasti možných výskytů chaosu v technických soustavám s využitím matematického modelování poměrně snadno. Výše popsaným alternativním přístupem ale nechceme znehodnocovat analytické přístupy.

6.10.5 Závěrečná poznámka Je zřejmé, že bifurkace rovnovážných stavů dynamických soustav bezprostředně navazují na ztrátu jejich stability. K vyšetřování stability rovnovážného stavu lze v zásadě použít dvou přístupů: • nalezení tzv. Ljapunovovy funkce soustavy, která je pozitivně definitní a současně její derivace podle času je negativně definitní, nebo • využití tzv. charakteristických exponentů. První z možností má výhodu v tom, že je obecná, a podaří-li se nám tuto funkci pro zkoumanou soustavu (resp. její matematický model) sestavit, bude rovnovážný stav dané soustavy asymptoticky stabilní. Nevýhodou této metody je, že neexistuje obecný návod k sestavení Ljapunovovy funkce. Z hlediska praktické použitelnosti je důležité vědět, že podmínky stability určené podle přímé Ljapunovovy metody jsou pouze postačujícími podmínkami, nikoliv nutnými a postačujícími. To znamená, že meze parametrů určené na základě Ljapunovovy funkce zaručují stabilitu rovnovážného stavu. Neznamená to, že budou-li tyto meze překročeny, bude rovnovážný stav nestabilní. Druhý přístup, metoda charakteristických exponentů, je často využívaný v technické praxi. Je použitelný prakticky pro všechny soustavy s analytickými nelinearitami, vyhovujícími podmínce lim

x →0

g (t , x ) x

=0,


125

kde x je stavový vektor a g(t , x) je vektor nelineárních funkcí soustavy. Pro určení charakteristických (Ljapunovovských) exponentů existuje několik metodik a výpočtových programů [??? 37]. Ovšem ani tato metoda nemusí vést k úspěšnému určení podmínek, za kterých dojde k chaosu. V takovém případě je nezbytné využít bifurkační teorie. Aplikace této teorie je sice náročná, především na čas, umožňuje ale vymezit oblasti parametrů, které vedou k nestabilním projevům, jak bude naznačeno v následující kapitole. Vyžaduje průběžné sledování odezev při změnách vybraných parametrů ve fázové rovině. Tak je možné odhalit počátky bifurkací, zdvojování period následně chaotický stav, vyznačující se složitou a neuzavřenou trajektorií. Provedeme-li pro časové průběhy frekvenční rozklad, zjistíme, že získaná spektra jsou velmi bohatá a vizuálně blízká náhodným dějům.

126


PŘÍKLAD BIFURKAČNÍ ANALÝZY MODELU ELEKTROMECHANICKÉ SOUSTAVY

7

127

Příklad bifurkační analýzy modelu elektromechanické soustavy [9, 15]

7.1

Sestavení pohybové rovnice

Uvažujme pohonovou soustavu znázorněnou na obr. 7.1, která představuje pohon „klasického uspořádání“: motor – spojka – převodový mechanismus – pracovní stroj. Vezmeme-li dále v úvahu skutečnost, že v etapě projekce pohonové soustavy, kdy máme pouze informace o typu pracovního stroje (tj. o momentové charakteristice zatížení), nám jde především o návrh vhodného typu hnacího motoru, pak lze považovat spojovací a převodové prvky pohonu za tuhá tělesa. MOTOR

SPOJKA

PŘEVODOVKA

PRACOVNÍ STROJ

Obr. 7.1 Schématické znázornění pohonové soustavy klasického uspořádání

I red

ϕ, MM

MZ

Obr. 7.2 Jednoduchý model pohonové soustavy

Za tohoto předpokladu lze pro model pohonu použít soustavu s tuhými členy, jejíž schématické znázornění je uvedeno na obr. 7.2.

128

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY Pohybové rovnice, popisující vztah mezi změnou pohybu a momentovými účinky, mají při

využití momentové charakteristiky motoru následující tvar 1 dI red 2 ϕ = M M (t ) − M Z (ϕ , ϕ ) , 2 dϕ τ M M M (t ) + M M (t ) = M MS (ϕ , ϕ ), I red ϕ +

kde I

red

(7.1)

je moment setrvačnosti redukovaný na hřídel motoru, MM hnací moment motoru, MMS

statická charakteristika motoru, MZ zatěžují moment od rotační pece redukovaný na hřídel motoru,

ϕ úhlová výchylka, τM časová konstanta motoru. V převážné většině technických aplikací jsou závislosti I red (ϕ ) , M MS (ϕ , ϕ ) a M Z (ϕ , ϕ ) periodickými funkcemi úhlu natočení ϕ s periodou 2π . Za tohoto předpokladu lze závislosti I red (ϕ ) , M MS (ϕ , ϕ ) a M Z (ϕ , ϕ ) vyjádřit pomocí Fourierových řad I red (ϕ ) = Iˆred + I red (ϕ ) , M MS (ϕ , ϕ ) = Mˆ MS (ϕ ) + M MS (ϕ , ϕ ) , M Z (ϕ , ϕ ) = Mˆ Z (ϕ ) + M Z (ϕ , ϕ ) ,

(7.2)

tzn. jako součet centrovaných a poruchových (oscilujících) složek, pro které platí 1 Iˆred = 2π

2π

∫I

m

red

0

red (ϕ ) dϕ , I red (ϕ ) = ∑ Ared j cos jϕ + B j sin jϕ , j =1

2π

m 1 Mˆ MS (ϕ , ϕ ) = M MS (ϕ , ϕ ) dϕ , M MS (ϕ , ϕ ) = ∑ AMj cos jϕ + B Mj sin jϕ , ∫ 2π 0 j =1 2π m 1 Mˆ Z (ϕ , ϕ ) = M Z (ϕ , ϕ ) dϕ , M Z (ϕ , ϕ ) = ∑ AZj cos jϕ + B Zj sin jϕ , 2π ∫0 j =1

(7.3)

přičemž pro Fourierovy koeficienty jednotlivých řad platí 2π

2π

1 1 I red (ϕ ) cos jϕ dϕ , B red = I red (ϕ ) sin jϕ dϕ , j ∫ 2π 0 2π ∫0 2π 2π 1 1 M ϕ ϕ ϕ ϕ AM M j B = M MS (ϕ , ϕ ) sin jϕ dϕ , ( , ) cos d , j = j MS 2π ∫0 2π ∫0 2π 2π 1 1 Z ϕ ϕ ϕ ϕ AZj = M j B = M Z (ϕ , ϕ ) sin jϕ dϕ . ( , ) cos d , j Z 2π ∫0 2π ∫0 Ared = j

(7.4)

Dosadíme-li nyní výrazy (7.2) do vztahů (7.1) a převedeme-li centrované, resp. poruchové složky parametrů na levou, resp. stranu, dostaneme rovnice 1 dI red (ϕ ) 2 Iˆred ϕ + Mˆ Z (ϕ ) = M M − I red (ϕ ) ϕ − ϕ − M Z (ϕ , ϕ ) , 2 dϕ τ M M M + M M − Mˆ MS (ϕ ) = M MS (ϕ , ϕ ) ,

(7.5)

Uvážíme-li však, že také hnací moment motoru M M obsahuje dvě složky, potom ho lze s ohledem na řešení oscilující kolem rovnovážného stavu


ϕ0 = ω0 t → ϕ0 = ω0

129

→ ϕ0 = 0

(7.6)

zapsat také jako součet centrované a poruchové složky, tj. ve tvaru M M = Mˆ M (ω0 ) + M M (t ) → M M = M M (t ) .

(7.7)

Dosazením vztahů (7.6) a (7.7) do pohybových rovnic (7.5), položením poruchových složek rovných nule a po elementárních úpravách obdržíme výraz Mˆ MS (ω0 ) = Mˆ Z (ω0 ) ⇒ ω0 .

(7.8)

jehož analytickým nebo numerickým řešením obdržíme úhlovou frekvenci ω0 rovnovážného stavu pohonové soustavy na obr.7.2. Výraz (7.8) má fyzikální význam, protože představuje podmínku rovnováhy zatěžovacích a hnacích momentů v průběhu jednoho pracovního cyklu. Zároveň nám rovnice (4.8) představuje hledanou matematickou formulaci definice rovnovážného stavu pohonové soustavy. Podle této definice je tedy rovnovážný stav pohonové soustavy definován jakožto průsečík centrované složky statické charakteristiky motoru a centrované složky zatěžujícího momentu pracovního stroje,viz. obr. 7.3. M MZ MM MM(ω0)

P1

P2

MM(ω0)

ω0

ω0

ω

Obr. 7.3 Grafické znázornění rovnice (7.8) určující rovnovážný stav pohonové soustavy.

Řešení pohybových rovnic (7.5) hledáme ve tvaru

ϕ 0 = ω0 t + ψ → ϕ 0 = ω0 + ψ → ϕ 0 = ψ , M M = Mˆ M (ω0 ) + M M (t ) → M M = M M (t ) .

(7.9)

přičemž využijeme metody postupných aproximací, tj. dosadíme do pravých stran soustavy (7.5) řešení (7.6), (7.7) a do levých stran řešení (7.9), tím obdržíme

130

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY 1 dI red 2 Iˆred ψ − Mˆ Z (ω0 ) + Mˆ Z (ω0 + ψ ) − M M = − ω0 − M Z (ω0 t , ω0 ) , 2 dϕ0 τ M + Mˆ (ω ) − Mˆ (ω + ψ ) + M = M (ω t , ω ) , M

M

M

0

MS

0

M

MS

0

(7.5)

0

Další postup spočívá v tom, že si centrované složky momentových charakteristik motoru a pracovního stroje, tj. funkce Mˆ Z (ω0 + ψ ) a Mˆ MS (ω0 + ψ ) , za předpokladu, že jsou spojité a hladké, nahradíme v okolí rovnovážného stavu ω0 polynomickými závislostmi ve tvaru n

Mˆ Z (ω0 + ψ ) = Mˆ Z (ω0 ) = ∑ β kZ (ω0 )ψ k ,

(7.11a)

k =1

n

Mˆ MS (ω0 + ψ ) = Mˆ MS (ω0 ) = ∑ β kM (ω0 )ψ k ,

(7.11b)

k =1

kde koeficienty polynomů β kZ (ω0 ) a β kM (ω0 ) určíme některým z následujících postupů : • Rozvinutím funkcí Mˆ Z (ω0 + ψ ) a Mˆ MS (ω0 + ψ ) do Taylorových řad v okolí rovnovážného stavu ω0 . V tomto případě jsou koeficienty β kZ (ω0 ) a β kM (ω0 ) definovány výrazy

β kZ (ω0 ) =

1 ⎡ d k M Z (ϕ ) ⎤ 1 ⎡ d k M MS (ϕ ) ⎤ M ⎥ , ⎢ ⎥ , β k (ω0 ) = ⎢ k k ! ⎣ dϕ k ! ⎣ dϕ k ⎦ ω0 ⎦ω0

(7.12)

které vlastně představují strmosti k-tého řádu momentových charakteristik pracovního stroje a hnacího motoru. • Koeficienty β kZ (ω0 ) , resp. β kM (ω0 ) stanovíme z podmínek totožných hodnot momentových charakteristik pracovního stroje, resp. hnacího motoru a jejich polynomických závislostí ve vybraných funkčních bodech. Nyní si uvedeme obecné výrazy pro koeficienty polynomů β kZ (ω0 ) , resp. β kM (ω0 ) za předpokladu, že známe směrnici tečny momentové charakteristiky pracovního stroje, resp. hnacího motoru v rovnovážném stavu ω0 a hodnoty momentových charakteristik pracovního stroje, resp. hnacího motoru ve dvou funkčních bodech ω! a ω2 , což bývá nejčastějším případem ve strojírenské praxi. Nechť má momentová charakteristika strojního zařízení (pracovního stroje nebo hnacího motoru) závislost na úhlové frekvenci ω znázorněnou na obr. 7.3. Ze vztahů (7.11) tedy plyne, že momentovou charakteristiku daného strojního zařízení lze psát v následujícím tvaru n

Mˆ (ω0 + ψ ) = Mˆ (ω0 ) = ∑ β k (ω0 )ψ k = Mˆ Z (ω0 ) + F (ψ ) ,

(7.13)

k =1

kde funkce F (ψ ) je náhradní polynomická závislost (bez absolutního členu). Jelikož máme v našem případě k dispozici tři hodnoty o průběhu momentové charakteristiky


131

daného stroj-ního zařízení v okolí rovnovážného stavu ω0 (tj. v okolí ψ = 0 ), musí funkce F (ψ ) obsahovat tři neurčené koeficienty β1 , β 2 , β 3 . ˆ (ω ) M

ˆ (ψ ) M

ˆ (ψ ) M

ˆ (ω ) M 1

ˆ (ψ ) M 1

ˆ (ω ) M 0

ψ2

ψ

ψ1

ˆ (ω ) M 2

0

ψ

ˆ (ψ ) M 2 0

ω1

ω0

ω2

ω ≡ ω0 +ψ

b)

a)

Obr. 7.4 Momentová charakteristika a), průběh momentové charakteristiky v okolí

To tedy znamená, že funkce F(dψ/dt) je polynomem třetího stupně, který lze zapsat ve tvaru 2

3

dψ ⎛ dψ ⎞ ⎛ dψ ⎞ ⎛ dψ ⎞ + β2 ⎜ F⎜ ⎟ = β1 ⎟ + β3 ⎜ ⎟ , dt ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

(7.14)

přičemž neznámé koeficienty stanovíme z podmínek stejných funkčních hodnot původní a náhradní funkce ve dvou funkčních bodech ω1 a ω2 a z podmínky totožné směrnice tečny původní a náhradní funkce v rovnovážném stavu ω0. Matematicky lze výše uvedené podmínky vyjádřit v následujícím tvaru:

ω = ω0 : F ′(0) = Mˆ ′(ω0 ) ,

(7.15a)

ω = ω1 : F ′(ψ 1 ) = Mˆ (ω0 + ψ 1 ) − Mˆ (ω0 ) ,

(7.15b)

ω = ω2 : F ′(ψ 2 ) = Mˆ (ω0 + ψ 2 ) − Mˆ (ω0 ) ,

(7.15c)

kde výraz F ′(0) , resp. Mˆ ′(ω0 ) nám označuje derivaci funkce F (ψ ) podle proměnné ψ v bodě ψ = 0 , resp. derivaci funkce Mˆ (ω ) podle proměnné ω v bodě ω = ω0 . Podmínky (7.15a) až (7.15c) představují soustavu tří lineárních algebraických rovnic, jejichž řešením pro koeficienty β1 , β 2 , β 3 obdržíme výrazy ⎡ dMˆ (ω ) ⎤ ⎥ , ⎣ dω ⎦ω0

β1 = Mˆ ′(ω0 ) = ⎢

(7.16)

132


β2 =

3 ΔM 1 ω20 − ΔM 2 ω103

β3 =

ω21 ω ω 2 10

2 20

ω21 ω ω 2 10

ω10 + ω20 ⎡ dMˆ (ω ) ⎤ ⎢ ⎥ , ω10 ω20 ⎣ dω ⎦ω

(7.17)

⎡ dMˆ (ω ) ⎤ ⎢ ⎥ , ω10 ω20 ⎣ dω ⎦ω 0

(7.18)

0

ΔM 2 ω − ΔM 1 ω 3 10

−

3 20

2 20

+

1

ve kterých bylo pro zjednodušení zápisu zavedeno následující označení ΔM 1 = Mˆ (ω1 ) − Mˆ (ω0 ) , ΔM 2 = Mˆ (ω2 ) − Mˆ (ω0 ) , ω10 = ω1 − ω0 , ω20 = ω2 − ω0 , ω21 = ω2 − ω1 .

(7.19)

Nutno poznamenat, že efektivita naznačeného postupu s rostoucím stupněm polynomu velmi výrazně klesá, takže se pro polynomy šestého a vyššího stupně prakticky neužívá. • V ostatních případech, tj. v případech kdy závislost momentové charakteristiky strojního zaří-zení (pracovního stroje, nebo hnacího motoru) na úhlové frekvenci máme určenu tabulkou na základě experimentálních, resp. provozních měření, lze k určení náhradní funkce s výhodou využít postupu založeného na metodě nejmenších čtverců. Metoda nejmenších čtverců dává aproximační (náhradní) funkci, při níž součet čtverců odchylek funkčních hodnot náhradní funkce od experimentálně naměřených hodnot je nejmenší, přičemž náhradní funkcí může být v podstatě libovolná funkční závislost. V praktických aplikacích se však v převážné většině případů za náhradní funkci volí polynomická závislost. ˆ (ω ) M

ΔM

Δ M −a

M −a

M0

ψ −a

ψ0

ψb ψ

ΔMb

Mb

0

0 Δ M0

ω−a

ω0

ωb

ω

a)

b)

Obr. 7.5 Momentová charakteristika a), průběh momentové charakteristiky po transformaci (7.21) b).

Nyní si odvodíme obecně platné vztahy pro výpočet koeficientů náhradní funkce, která má tvar polynomu m-tého stupně, tj. je vyjádřena funkční závislostí m

F (ψ ) = ∑ β k (ω0 )ψ k = β1 ψ + β 2 ψ 2 + k =1

+ βm ψ m ,

(7.20)


133

kde β1 , β 2 ,… , β m jsou neurčené koeficienty, které stanovíme metodou nejmenších čtverců. Mějme tedy momentovou charakteristiku strojního zařízení (pracovního stroje nebo hnacího motoru) jejíž průběh v okolí rovnovážného stavu máme popsán tabulkou získanou na základě experimentálních, resp. provozních měření (viz. obr. 7.5a), která může vypadat např. takto

ω

ω− a

ω− a +1

ω0

ωb −1

ωb

Mˆ (ω )

M −a

M − a +1

M0

M b −1

Mb

Zavedeme-li si následující substituci (viz. obr. 7.5b) ΔM j = Mˆ (ω j ) − Mˆ (ω0 ) , ψ j = ω j − ω0 ,

(7.21)

pak tabulka naměřených hodnot o průběhu momentové charakteristiky v okolí rovnovážného stavu bude vypadat takto

ψ

ψ −a

ψ − a +1

ψ0

ψ b −1

ψb

ΔM

ΔM − a

ΔM − a +1

ΔM 0

ΔM b −1

ΔM b

Definujme součet čtverců odchylek funkčních hodnot od experimentálních dat výrazem S= =

b

∑ ⎡⎣ Mˆ (ω ) − F (ψ j

j =− a b

∑ ⎡⎣ ΔM

j =− a

j

2

j

) ⎤⎦ =

− β1 ψ j − β 2 ψ −

(7.22)

2

− β m ψ ⎤⎦ .

2 2

m m

Koeficienty β1 , β 2 ,… , β m pak určíme z podmínky nejmenšího součtu čtverců odchylek. Aby byl součet čtverců odchylek co nejmenší, tj. aby funkce S nabývala minimální hodnoty, musí být jednotlivé parciální derivace funkce S podle koeficientů β1 , β 2 ,… , β m rovny nule, tj. ∂S ∂S ∂S = = = ∂β1 ∂β 2 ∂β 3

=

∂S =0 . ∂β m

(7.23)

Provedeme-li příslušné parciální derivace funkce S podle koeficientů β1 , β 2 ,… , β m , pak po dosazení do (7.23) obdržíme následující soustavu lineárních algebraických rovnic b

b

j =− a b

j =− a b

β1 ∑ ψ 2j + β 2 ∑ ψ 3j +

+ βm

β1 ∑ ψ 3j + β 2 ∑ ψ 4j +

+ βm

j =− a

b

j =− a b

β1 ∑ ψ mj +1 + β 2 ∑ ψ mj + 2 + j =− a

j =− a

b

∑ψ

m +1 j

=

∑ψ

m+2 j

=

j =− a b

j =− a

+ βm

b

∑ψ

j =− a

2m j

b

∑ ΔM

j

ψj ,

∑ ΔM

j

ψ 2j ,

j =− a b

j =− a

=

b

∑ ΔM

j =− a

j

ψ mj ,

(7.24)

134

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY jehož řešením obdržíme vztahy pro neznámé koeficienty β1 , β 2 ,… , β m . Výpočet koeficientů β1 , β 2 ,… , β m se zjednoduší, platí-li a = b a je-li splněna podmínka b

∑ψ j =−1

2 k +1 j

= 0 , k = 1, 2,… , m ,

(7.25)

která vyjadřuje skutečnost, že vzdálenost mezi dvěma po sobě jdoucími hodnotami měření

ω j a ω j +1 je konstantní, tzn. že platí ω j +1 − ω j = konst. pro j = −a, −a + 1,… , a − 1 . Vraťme se však zpět k problematice sestavení pohybových rovnic modelové soustavy pohonu. Dosazením vztahů (7.3) a (7.11) do (7.10), zavedením substituce ω = ψ a s uvážením, že v rovnovážném stavu ω0 platí Mˆ Z (ω0 ) = Mˆ MS (ω0 ) = Mˆ M (ω0 ) , obdržíme následující systém rovnic n

Iˆred ω + ∑ β kZ (ω0 ) ω k − M M = PI (t ) + PZ (t ) , k =1

n

I M M M − ∑ β kM (ω0 ) ω k + M M = PM (t ) ,

(7.26)

k =1

který je výpočtovým modelem pohonu s tuhými členy, a kde poruchová funkce momentu setrvačnosti PI (t ) , resp. zatěžovacího momentu PZ (t ) , resp. hnacího momentu PM (t ) je dána výrazem PI (t ) =

ω02 2

m

∑jA j =1

red j

sin j ω0 t − j B red j cos j ω0 t ,

(7.27)

resp. výrazem m

PZ (t ) = −∑ AZj (ω0 ) cos j ω0 t − B Zj (ω0 ) sin j ω0 t ,

(7.28)

j =1

resp. výrazem m

M PM (t ) = ∑ AM j (ω0 ) cos j ω0 t − B j (ω0 ) sin j ω0 t .

(7.29)

j =1

7.2

Kritérium použitelnosti mechanické části pohonu

Modelovou soustavu pohonu s tuhými členy, vhodnou pro etapu projekce pohonové soustavy, lze však použít i jiných praktických případech. Pro stanovení podmínek praktické použitelnosti modelové soustavy pohonu s tuhými členy, jakožto výpočtového modelu reálných pohonových soustav, vyjdeme z kvalitativního rozboru chování dynamického systému o jednom stupni volnosti pod účinkem harmonicky proměnného signálu, který je popsán obyčejnou lineární diferenciální rovnicí 2.řádu ve tvaru q + 2 δ q + Ω02 q = Q cos ω t ,

(7.30)


135

kde q je výstupní signál, δ součinitel doznívání, Ω0 vlastní úhlová frekvence netlumeného kmitání, Q amplituda vstupního harmonicky proměnného signálu a ω úhlová frekvence vstupního harmonicky proměnného signálu. Z teorie lineárních diferenciálních rovnic je známo, že obecné řešení rovnice (7.30) se skládá z řešení homogenní rovnice (s nulovou pravou stranou) a z řešení partikulárního : q = qH + qP .

(7.31)

Omezíme-li se na v praxi nejčastěji vyskytující se případ podkritického tlumení, kdy platí

δ < Ω0 , lze obecné řešení (7.31) diferenciální rovnice (4.30) psát ve tvaru q = C e−δ t sin(Ω t + ϕ0 ) + A sin(ω t + ϕ ) ,

(7.32)

kde C , ϕ0 jsou integrační konstanty, které se určí z počátečních podmínek, a kde Ω 2 = Ω02 − δ 2 je vlastní úhlová frekvence tlumeného kmitání. Amplitudu A a fázový úhel ϕ ustáleného vynuceného kmitání určíme ze vztahů : A 1 = , 2 2 AST (1 − η ) + (2 br η ) 2

ϕ = arctg

2 br η , 1 −η 2

(7.33a) (7.33b)

kde součinitel kritického útlumu br a činitel naladění η jsou definovány následujícími výrazy br =

δ Ω0

, η=

ω Ω0

.

Obr. 7.6 Průběh amplitudových frekvenčních křivek definovaných rovnicí (7.33a)

(7.34)

136


Ze vztahu (7.32) vyplývá, že pro δ > 0 se první výraz na pravé straně s rostoucím časem zmenšuje k nule, tzn. že po určité dostatečně dlouhé době je obecné řešení (7.32) diferenciální rovnice (7.30) prakticky určenou pouze partikulárním integrálem. Znázorníme-li si nyní graficky rovnici (7.33a), obdržíme křivku znázorněnou na obr. 7.6 (tučná přerušovaná čára je pro systém s tlumením, tučná plná čára potom pro systém bez tlumení) která se nazývá amplitudová frekvenční charakteristika. Z průběhu amplitudových křivek je zřejmé, že v blízkém okolí nulové hodnoty činitele naladění η se chování dynamického systému s pružnými a tlumícími vazbami prakticky neliší od chování systému bez pružných a tlumících vazeb. Zabývejme se proto nyní otázkou sestavení určitého kvantitativního kriteriálního vztahu, který by nám sloužil k posouzení praktické použitelnosti dynamického systému bez pružných a tlumících vazeb jako modelu reálného dynamického systému. Za tím účelem si upravme výraz (7.33a) pro amplitudovou frekvenční charakteristiku do tvaru A + ΔA A 1 ≡ ST ≡ 1+ ε = , 2 2 AST AST (1 − η ) + (2 br η ) 2

(7.35)

kde veličina ε vyjadřuje procentuální odchylku amplitudy A ustálených vynucených kmitů vzhledem ke statické výchylce AST . Uvážíme-li navíc, že přítomnost tlumení v systému má za následek snížení amplitudy A ustálených vynucených kmitů, pak nejméně příznivé okolnosti, vzhledem k velikosti procentuální odchylky ε při dané frekvenci buzení ω pro systém bez tlumení a s tlumením, nastávají u systému bez tlumení (tj. pro br = 0 ), jak je také patrné z obr. 7.6. Z toho tedy plyne, že místo rovnice (7.35) budeme analyzovat rovnici AST + ΔA 1 ≡ 1+ ε = . AST (1 − η 2 ) 2

(7.36)

Úpravou rovnice (4.36) obdržíme bikvadratickou rovnici pro činitel naladění η ve tvaru 2

⎡ 1 ⎤ ⎥ =0 , ⎣1 + ε ⎦

η 4 − 2η 2 + 1 − ⎢

jejímž řešením obdržíme pro činitel naladění η následující výraz (zajímá nás pouze řešení, které se nachází v blízkém okolí nuly)

η=

ε 1+ ε

,

(7.37)

který závisí pouze na velikosti procentuální odchylky ε . Dosadíme-li nyní do této rovnice za činitel naladění η výraz (7.34), pak po elementární úpravě obdržíme vztah mezi frekvencí buzení ω , velikostí procentuální odchylky ε a vlastní úhlovou frekvencí netlumeného kmitání Ω0 ve tvaru


ω Ω0

=

ε 1+ ε

⇒ ω = Ω0

ε 1+ ε

.

137

(7.38)

Odtud pak obdržíme podmínku praktické použitelnosti modelu dynamického systému bez pružných a tlumících vazeb, pro danou velikost procentuální odchylky ε , v následujícím tvaru

ω Ω0

≤

ε 1+ ε

⇒ ω ≤ Ω0

ε 1+ ε

.

(7.39)

Vezmeme-li, ve strojírenské praxi běžný požadavek, maximálně 5-ti procentní chybu (tj.

ε = 0,05 ), pak po dosazení do (7.39) dostaneme pro velikost budící frekvence podmínku ω=

Ω0

0,22 Ω0 ≈

21

Ω0 , 5

(7.40)

která nám vlastně představuje hledané kritérium praktické použitelnosti modelu dynamického systému bez pružných a tlumících vazeb. Zcela analogicky lze ukázat, že pro dynamický systém o n-stupních volnosti s vlastními úhlovými frekvencemi netlumeného kmitání Ω1 < Ω 2 < … < Ω n , na který působí m harmonicky proměnných signálů s budícími frekvencemi ω1 < ω2 < … < ωm , platí kritérium (4.11) ve tvaru Ω1 , 5

ωm ≤ 0,22 Ω1 ≈

(7.41)

Na základě výše uvedeného rozboru lze vyslovit následující tvrzení o praktické použitelnosti modelové soustavy pohonu s tuhými členy : Modelovou soustavu pohonu s tuhými členy lze prak-ticky použít nejen pro modelování reálné pohonové soustavy v etapě jejího návrhu, ale ve všech případech, kdy nejvyšší frekvence budících účinků, které jsme se rozhodli ještě respektovat, je více jak pětkrát menší než nejnižší (základní) vlastní úhlová frekvence netlumeného kmitání pohonové soustavy.

7.3

Stabilita a bifurkace rovnovážných stavů

Jelikož obecně platí, že podmínky stability rovnovážného stavu vlivem poruch počátečních podmínek bývají totožné s podmínkami stability rovnovážného stavu vlivem poruchových funkcí, omezíme se v dalším na zkoumání podmínek stability rovnovážného stavu vlivem poruch počátečních podmínek, tj. budeme vyšetřovat stabilitu rovnovážného stavu soustavy n

Iˆred ω + ∑ β kZ (ω0 ) ω k − M M = 0 , k =1

n

I M M M − ∑ β (ω0 ) ω + M M = 0 , k =1

M k

k

při odchylkách počátečních podmínek od nuly, tj.

(7.42)

138


ω (0) = ω0 ≠ 0 , M M (0) = M 0 ≠ 0 .

(7.43)

K vyšetřování stability rovnovážného stavu lze v zásadě použít dvou rozdílných přístupů. První přístup, nazývaný také přímá Ljapunovova metoda, spočívá v nalezení tzv. Ljapunovovy funkce systému, která je pozitivně definitní a zároveň její časová derivace je negativně definitní. Podaří-li se nám takovou funkci pro soustavu (7.42) sestrojit, potom rovnovážný stav dané soustavy je asymptoticky stabilní, přičemž je třeba zdůraznit skutečnost, že nepodaří-li se nám Ljapunovovu funkci systému sestrojit, pak to nutně neznamená, že rovnovážný stav soustavy (7.42) je nestabilní, ale můžeme pouze konstatovat, že pokus o sestrojení Ljapunovovy funkce systému se nezdařil. Hlavní výhoda přímé Ljapunovovy metody určování stability rovnovážného stavu leží v její obecnosti, protože omezení na funkce vystupující v pohybových rovnicích jsou velmi slabá (existence a jednoznačnost řešení pohybových rovnic). Nevýhodou této metody pak je, že neexistuje obecný návod pro sestrojení Ljapunovovy funkce. Z hlediska praktické použitelnosti je však nejdůležitější skutečnost, že podmínky stability podle přímé Ljapunovovy metody, jsou pouze postačujícími pod-mínkami stability, nikoli nutnými a postačujícími. To má při praktické aplikaci za následek to, že i když se nám podaří sestrojit Ljapunovovu funkci systému a na základě této funkce stanovit mezní parametry zaručující stabilitu rovnovážného stavu, pak to neznamená, že pro parametry překračující tyto meze bude rovnovážný stav nestabilní. Z tohoto důvodu bude k posouzení stability rovnovážného stavu soustavy (7.42) použito druhého přístupu, nazývaného první Ljapunovova metoda, resp. metoda charakteristických exponentů. Tento přístup, velmi často používaný v technické praxi, je použitelný prakticky pro všechny soustavy s analytickými nelinearitami vyhovující podmínce lim

|| x||→ 0

|| g(t , x) || =0 , || x ||

(7.44)

kde g (t , x) je reálná vektorová funkce, tj. vektor nelineárních funkcí soustavy. Princip první Ljapunovovy metody, spočívá v linearizaci nelineárních diferenciálních pohybových rovnic v okolí rovnovážného stavu. Pro linearizovaný systém pohybových rovnic pak sestavíme charakteristickou rovnici a podle povahy kořenů charakteristické rovnice pak usuzujeme na stabilitu rovnovážného stavu soustavy, přičemž platí následující tvrzení: Rovnovážný stav soustavy (7.42) je asymptoticky Ljapunovsky stabilní, resp. Ljapunovsky nestabilní tehdy a jen tehdy mají-li všechny kořeny charakteristické rovnice záporné, resp. kladné reálné části. V případě kořenů s nulovou reálnou částí nelze o stabilitě rovnovážného stavu na základě první Ljapunovovy metody rozhodnout. V tomto případě lze o stabilitě rovnovážného stavu rozhodnout na základě bifurkační teorie. Hlavní výhodou první Ljapunovovy metody záleží v tom, že její použití pro posouzení stability rovnovážného stavu je poměrně velmi jednoduché, protože pro posouzení povahy kořenů charakteristické rovnice byla vypracována celá řada efektivních algebraických


139

kritérií (Hurwitzovo kritérium nebo Routhovo-Shurovo kritérium stability) nebo frekvenčních kritérií (Nyquistovo kritérium nebo Michajlovovo kritérium stability) bez nutnosti řešení dané charakteristické rovnice. Nevýhodou výše uvedeného postupu pak je, že ho lze použít pouze pro spojité a hladké nelineární funkce vyhovující podmínce (7.44), přičemž získané výsledky mají lokální charakter, tzn. že platí v dostatečně blízkém okolí rovnovážného stavu. Podle první Ljapunovovy metody, nazývané také metoda charakteristických exponentů, je tedy rovnovážný stav soustavy (7.42) asymptoticky Ljapunovsky stabilní tehdy, jestliže vlastní čísla cha-rakteristické rovnice linearizovaného systému pohybových rovnic mají záporné reálné části. Zabývejme se proto nyní problematikou sestavení podmínek stability rovnovážného stavu podle první Ljapunovovy metody pro modelovou soustavu pohonu s tuhými členy, jejíž pohyb je popsán sou-stavou diferenciálních rovnic (7.42). Za tím účelem si zavedeme nové proměnné y1 = ω ,

y2 = M M ,

(7.45)

pomocí kterých si převedeme soustavu pohybových rovnic (7.42), ve kterých se omezíme na členy prvního až třetího řádu (tj. položíme n = 3 ) *), do následujícího tvaru y = B y + f (y ) ,

(7.46)

kde jednotlivé matice jsou dány vztahy ⎡ β1Z ⎢− ˆ I ⎡y ⎤ y = ⎢ 1 ⎥ , B = ⎢ Mred y ⎢ β ⎣ 2⎦ 1 ⎢ τ ⎣ M

⎡ β 2Z 2 β 3Z 3 ⎤ 1 ⎤ ⎢ − ˆ y1 − ˆ y1 ⎥ ⎥ I I red ⎥ Iˆred ⎥ . , f (y ) = ⎢ Mred ⎢ β 2 2 β 3M 3 ⎥ 1 ⎥ − ⎥ ⎢ ˆ y1 + ˆ y1 ⎥ τM ⎦ I red ⎢⎣ I red ⎥⎦

Nejdříve vyšetříme linearizaci soustavy (7.46) v okolí počátku (rovnovážného stavu). Matice linearizace B má vlastní čísla 2

⎡ Iˆ + τ β Z ⎤ β Z − β1M Iˆ + τ β Z λ1 = − red M 1 − ⎢ red M 1 ⎥ − 1 , 2τ M Iˆred τ M Iˆred ⎢⎣ 2τ M Iˆred ⎦⎥ 2

⎡ Iˆ + τ β Z ⎤ β Z − β1M Iˆ + τ β Z , λ2 = − red M 1 + ⎢ red M 1 ⎥ − 1 2τ M Iˆred τ M Iˆred ⎢⎣ 2τ M Iˆred ⎦⎥

(7.47)

se zápornou reálnou částí tehdy a jen tehdy, jsou-li splněny následující podmínky Iˆred + τ M β1Z Iˆ > 0 ⇒ − β1Z > − red , τM 2τ Iˆ M

β1Z − β1M > 0 ⇒ β1Z > β1M , ˆ τ M I red

*)

(7.48a)

red

(7.48b)

Na tomto místě je využito prakticky ověřené skutečnosti, že momentové charakteristiky pracovního stroje a hnacího motoru, lze v okolí rovnovážného stavu ω0 v poměrně širokém intervalu hodnot úhlové rychlosti aproximovat velmi přesně polynomem třetího stupně.

140


Obr. 7.7 Oblast asymptotické Ljapunovské stability rovnovážného stavu podle první metody Ljapunova.

které lze poměrně jednoduše znázornit graficky, jak je patrné z obr. 7.7. Z matematického vyjádření podmínek stability rovnovážného stavu (7.48) je zřejmá vzájemná provázanost mezi základními vlastnostmi jednotlivých strukturních jednotek pohonové soustavy a vlastností pohonové soustavy jako celku, přičemž : • podmínka stability (7.48a) omezuje hodnotu strmosti momentové charakteristiky pracovního stroje β1Z (ω0 ) v závislosti na centrované složky redukovaného momentu setrvačnosti Iˆred , která vyjadřuje odpor pohonové soustavy jako celku proti změně jejího pohybového stavu, a na časové konstantě motoru τ M , která reprezentuje dynamické vlastnosti motoru, • podmínka stability (7.48b) omezuje hodnotu strmosti statické momentové charakteristiky hnacího motoru β1M (ω0 ) v závislosti na hodnotě strmosti momentové charakteristiky pracovního stroje β1Z (ω0 ) . Grafického znázornění v systému souřadnic β1Z a β1M , kterého jsme použili ke znázornění podmínek stability rovnovážného stavu (7.48), lze také využít k vyznačení oblastí různých typů vlastních čísel matice linearizace B (viz. obr. 7.8), na jejichž základě lze usuzovat na kvalitativní charakter přechodového děje. Tyto oblasti jsou vzájemně od sebe odděleny křivkou C (na obr. 7.9 vyznačenou tučnou čarou) o rovnici 2

⎡ Iˆred − τ M β1Z (ω0 ) ⎤ ⎦ , C : β (ω0 ) = − ⎣ 4τ M Iˆred M 1

(7.49)


141

která je v souřadnicích β1Z , β1M rovnicí paraboly. Je známou skutečností, že reálným vlastním číslům odpovídá aperiodický přechodový děj, kdežto komplexně sdruženým vlastním číslům odpovídá periodický přechodový děj. Jelikož je periodický přechodový děj z provozních důvodů většinou nežádoucí, je v těchto případech nutné, aby vlastní čísla matice linearizace B byly reálné záporné. Toho lze dosáhnout tak, při dané hodnotě strmosti momentové charakteristiky pracovního stroje β1Z (ω0 ) , že vybereme motor jehož hodnota strmosti momentové charakteristiky β1M (ω0 ) bude ležet v intervalu 2

⎡ Iˆred − τ M β1Z (ω0 ) ⎤ ⎦ < β M (ω ) < β Z (ω ) , −⎣ 1 0 1 0 4τ M Iˆred

(7.50)

tj. mezi body P1 a P2 na přímce ξ (viz. obr. 7.8).

Obr. 7.8 Oblasti aperiodického a periodického přechodového děje

7.4

Možnosti vzniku bifurkací rovnovážných stavů pohonu Vyšetřeme nyní podmínky stability rovnovážného stavu nelineární pohonové soustavy na

hranicích oblastí stability, zobrazených na obr. 7.7 křivkami Γ1 a Γ2, kdy některé z vlastních čísel matice linearizace B má nulovou reálnou část, tj. budeme vyšetřovat zda na hranicích oblastí stability dochází k bifurkaci rovnovážného stavu, která má za následek kvalitativní změnu v chování dané nelineární pohonové soustavy. Jak je patrné z obr. 7.7, který znázorňuje oblasti stabilního

142


a nestabilního chování nelineární pohonové soustavy v blízkém okolí rovnovážného stavu, přicházejí v úvahu následující tři možnosti : • Hranice oblasti stability Γ1 : tato možnost nastává ve všech případech kdy platí (viz. např. bod A1 na obr. 7.7)

β1Z (ω0 ) > −

Iˆred

τM

, β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ,

(7.51)

což po dosazení do vztahů (7.47) pro vlastní čísla značí, že vlastní číslo λ1 je záporné reálné, kdežto vlastní číslo λ2 je nulové. • Hranice oblasti stability Γ2 : tato možnost nastává ve všech případech kdy platí (viz. např. bod A2 na obr. 7.7)

β1M (ω0 ) < −

Iˆred

τM

, β1Z (ω0 ) = −

Iˆred

τM

,

(7.52)

což po dosazení do vztahů (7.47) pro vlastní čísla značí, že komplexně sdružená vlastní čísla mají nulovou reálnou část, tzn. že platí Re λ1 = Re λ2 = 0 . • Průsečík hranic Γ1 a Γ2 oblastí stability : tato možnost nastává ve všech případech, kdy jsou splněny následující podmínky (viz. bod A3 na obr. 7.7)

β1Z (ω0 ) < −

Iˆred

τM

, β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ,

(7.53)

což po dosazení do vztahů (7.47) pro vlastní čísla značí, že obě vlastní čísla jsou nulové, tzn. že platí λ1 = λ2 = 0 . Jelikož současné splnění podmínek (7.53) je v praktických aplikacích velmi nepravděpodobné, omezíme se dále pouze na podrobný rozbor podmínek stability rovnovážného stavu na hranicích oblastí stability Γ1 a Γ2, kdy parametry soustavy vyhovují podmínkám (7.52) a (7.53).

7.4.1

Reálná bifurkace rovnovážného stavu pohonu

Jak již bylo řečeno, na hranici oblasti stability Γ1, kde platí podmínky 7.51), má jedno vlastní číslo nulovou reálnou část a může tedy docházet k reálné bifurkaci rovnovážného stavu, která se projevuje kvalitativní změnou v chování dané nelineární pohonové soustavy. Otázkou vzniku a typu bifurkace rovnovážného stavu pro tento případ se budeme zabývat v tomto odstavci. Dosazením podmínek (7.51) do vztahů pro výpočet vlastních čísel (7.47) dostaneme pro jednotlivá vlastní čísla matice linearizace B následující vztahy

λ1 = −

Iˆred + τ M β1Z (ω0 ) , λ2 = 0 . τ Iˆ M

red

(7.54)


143

Vlastní vektory v i , i = 1, 2 , příslušející vlastním číslům λi , i = 1, 2 , jež stanovíme řešením

rovnic (B − λi E) v i = 0 , i = 1, 2 , jsou ⎡τ ⎤ ⎡ 1 ⎤ v1 = ⎢ ˆM ⎥ , v1 = ⎢ Z ⎥ . − I ⎣ β1 (ω0 ) ⎦ ⎣ red ⎦

(7.55)

Nyní si převedeme pomocí transformační matice ⎡τ v 2 ] = ⎢ ˆM ⎣ − I red

P = [ v1

1 ⎤ β (ω0 ) ⎥⎦ Z 1

a následující substituce y = P x , x = P −1 y ,

soustavu diferenciálních rovnic (7.46) do tvaru, x = A x + g ( x) ,

(7.56)

kde matice A = P −1 B P má reálný Jordanův kanonický tvar (tomuto procesu transformace soustavy diferenciálních rovnic na normální tvar se v matematické literatuře říká normalizace) Iˆred + τ M β1Z (ω0 ) 0⎤ , kde = α 0 ⎥⎦ τ Iˆ

(7.57)

⎡ −δ (τ x + x ) 2 − δ 3 (τ M x1 + x2 )3 ⎤ g ( x ) = P −1 f ( P x ) = ⎢ 2 M 1 2 2 , 3⎥ ⎣ −γ 2 (τ M x1 + x2 ) − γ 3 (τ M x1 + x2 ) ⎦

(7.58)

τ M β1Z (ω0 ) β 2Z (ω0 ) + Iˆred β 2M (ω0 ) β 2Z (ω0 ) − β 2M (ω0 ) , , γ = 2 τ M Iˆred [ Iˆred + τ M β1Z (ω0 )] Iˆred + τ M β1Z (ω0 ) τ β Z (ω ) β Z (ω ) + Iˆred β3M (ω0 ) β3Z (ω0 ) − β3M (ω0 ) , . δ3 = M 1 0 3 0 γ = 3 τ M Iˆred [ Iˆred + τ M β1Z (ω0 )] Iˆred + τ M β1Z (ω0 )

(7.59)

⎡A− A=⎢ ⎣ 0

0 ⎤ ⎡ −α = A 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

M

red

a kde vektorová funkce g (x) má tvar

přičemž platí

δ2 =

Jak je patrné z tvaru matice A , soustava diferenciálních rovnic (7.46) se po transformaci y = P x rozpadá na soustavu dvou rovnic, které jsou při linearizaci vzájemně nezávislé, tj.

x − = A − x − + g − ( x) , x 0 = A 0 x 0 + g 0 ( x) ,

(7.60)

x − = x1 , g − (x) = −δ 2 (τ M x1 + x2 ) 2 − δ 3 (τ M x1 + x2 )3 , x0 = x2 , g 0 (x) = −γ 2 (τ M x1 + x2 ) 2 − γ 3 (τ M x1 + x2 )3 .

(7.61)

přičemž platí

Z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic však vyplývá, že soustava rovnic (7.60) je lokálně topologicky orbitálně ekvivalentní v počátku se soustavou

144

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY x − = −x − , x0 = A 0 x0 + g 0 (h(x0 ), x0 ) .

(7.62)

Z věty o invariantních varietách a z věty o redukci na centrální varietu dále plyne : je-li rovnovážný stav druhé rovnice v soustavě (7.62) Ljapunovsky stabilní, potom rovnovážný stav soustavy (7.60) je také Ljapunovsky stabilní. K efektivnímu rozhodnutí o stabilitě rovnovážného stavu potřebujeme znát zobrazení x − = h ( x 0 ) , které nám určuje centrální varietu, což bývá velmi obtížné. Pro praktické aplikace nám však stačí znát pouze dostatečně přesnou aproximaci zobrazení, kterou nalezneme pomocí následujícího operátoru (M u)(x0 ) = u′(x0 ) ⎡⎣ A 0 x 0 + g 0 (u(x0 ), x 0 ) ⎤⎦ − A − u(x0 ) − g − (u(x 0 ), x0 ) ,

(7.63)

který má po dosazení za jednotlivé veličiny tvar (M u )( x2 ) = −u ′( x2 ) ⎡⎣γ 2 (τ M u ( x2 ) + x2 ) 2 + γ 3 (τ M u ( x2 ) + x2 )3 ⎤⎦ + α u ( x2 ) + + δ 2 (τ M u ( x2 ) + x2 ) 2 + δ 3 (τ M u ( x2 ) + x2 )3 .

(7.64)

Za funkci u ( x2 ) zvolme u ( x2 ) = −

δ 2 x22 α

→ u ′( x2 ) = −

2 δ 2 x2

α

,

(7.65)

tím ve výrazu (7.64) odstraníme nejnižší mocninu (tj. δ 2 x22 ) a dostáváme 3

τ M δ 22 ⎛ τ M δ 2 ⎞ 3 ⎛ τ δ ⎞ x2 ⎟ x2 + δ 3 ⎜1 − M 2 x2 ⎟ x23 + ⎜2− α ⎝ α α ⎠ ⎝ ⎠ 2 2δ2 ⎛ τ M δ2 ⎞ ⎡ ⎛ τ M δ 2 ⎞⎤ + 1− x2 ⎟ ⎢γ 2 + γ 3 ⎜1 − x2 ⎟ ⎥ = O( x23 ) , α ⎜⎝ α α ⎠ ⎣ ⎝ ⎠⎦

(M u )( x2 ) = −

(7.66)

takže pro zobrazení h ( x2 ) obdržíme výraz h( x2 ) = u ( x2 ) + (M u )( x2 ) = −

δ 2 x22 + O( x23 ) . α

(7.67)

Dosazením výrazu (7.67) do druhé rovnice soustavy (4.60) dostáváme x2 = −γ 2 x22 [1 + O( x2 )] .

(7.68)

Stabilita nulového rovnovážného stavu soustavy (7.60) je tedy podle věty o invariantních varietách určena stabilitou nulového rovnovážného stavu rovnice (7.68). Pro γ 2 ≠ 0 je člen O( x2 ) v okolí počátku menší než jedna, a proto nemá na stabilitu rovnovážného stavu vliv, takže ho můžeme vynechat, tzn. že budeme vyšetřovat stabilitu nulového rovnovážného stavu rovnice x2 = −γ 2 x22 , γ 2 ≠ 0 .

(7.69)


145

Jestliže γ 2 < 0 , potom pro x2 < 0 platí x2 > 0 a pro x2 > 0 platí x2 > 0 . Fázový portrét rovnice (7.45) v okolí počátku pro γ 2 < 0 je znázorněn na obr. 7.9a. Z tohoto obrázku je zřetelně vidět, že pro x2 < 0 je rovnovážný stav stabilní, kdežto pro x2 > 0 nestabilní. Jestliže γ 2 > 0 , potom pro x2 < 0 platí x2 < 0 a pro x2 > 0 platí x2 < 0 . Fázový portrét rovnice (7.69) v okolí počátku pro γ 2 > 0 je znázorněn na obr. 7.9b. Z tohoto obrázku je ihned zřejmé, že pro x2 < 0 je rovnovážný stav nestabilní, kdežto pro x2 > 0 stabilní.

Obr. 7.9 Fázový portrét rovnice (7.69) v okolí počátku pro γ 2 < 0 a), γ 2 > 0 b)

Nakreslíme-li si nyní, na základě výše uvedeného rozboru rovnice (7.69), průběh trajektorií veličiny x2 v blízkém okolí počátku (rovnovážného stavu) v závislosti na hodnotě parametru γ 2 , obdržíme situaci znázorněnou na obr. 7.10.

Obr. 7.10 Průběh řešení rovnice (7.69) v závislosti na hodnotě parametru γ2

Aby rovnovážný stav nelineární pohonové soustavy byl na hranici oblasti stability Γ1 (viz. obr. 7.7) stabilní, je nutné aby pro x2 < 0 bylo γ 2 < 0 a pro x2 > 0 bylo γ 2 > 0 (viz. obr. 7.10), což po dosazení za jednotlivé veličiny dává podmínky y2 < − y2 > −

Iˆred

τM Iˆred

τM

y1 , resp. M 0 < − y1 , resp. M 0 > −

Iˆred

τM Iˆred

τM

ω0

pro β 2Z (ω0 ) < β 2M (ω0 ) ,

(7.70a)

ω0

pro β 2Z (ω0 ) > β 2M (ω0 ) ,

(7.70b)

z nichž je zřejmá závislost stability rovnovážného stavu na počátečních podmínkách, což je známá skutečnost z kvalitativní teorie diferenciálních rovnic.

146


Obr. 7.11 Fázový portrét soustavy (7.56) v okolí počátku (rovnovážného stavu)

Nakreslíme-li si průběhy fázových trajektorií kanonických souřadnic x1 a x2 v blízkém okolí počátku (rovnovážného stavu) pro pevně zvolenou hodnotu β1Z (ω0 ) , vyhovující podmínce (7.48a), a pro různé hodnoty parametru β1M (ω0 ) , obdržíme výsledek znázorněný na obr. 7.11, který si nyní podrobně analyzujme : • obr. 7.11a znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty

parametru β1M (ω0 ) vyhovující nerovnosti β1M (ω0 ) < P2 , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (7.49). V tomto případě je rovnovážný stav stabilním ohniskem. • obr. 7.11b znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro

hodnotu parametru β1M (ω0 ) vyhovující rovnici β1M (ω0 ) = P2 , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (7.49). V tomto případě je rovnovážný stav stabilním uzlem. • obr. 7.11c znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty

parametru β1M (ω0 ) vyhovující vztahu P2 < β1M (ω0 ) < P1 = β1Z (ω0 ) , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (7.49). V tomto případě je rovnovážný stav opět stabilním uzlem.

• obr. 7.11d znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro

hodnotu parametru β1M (ω0 ) na hranici oblasti stability Γ1 (tj. pro β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ) a pro případ kdy γ 2 = β 2Z (ω0 ) − β 2M (ω0 ) > 0 . V tomto případě je rovnovážný stav pro x2 < 0 nestabilním sedlem a pro x2 > 0 stabilním uzlem.

• obr. 7.11e znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnotu

parametru β1M (ω0 ) na hranici oblasti stability Γ1 (tj. pro β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ) a pro případ


147

kdy γ 2 = β 2Z (ω0 ) − β 2M (ω0 ) < 0 . V tomto případě je rovnovážný stav pro x2 < 0 stabilním uzlem a pro x2 > 0 nestabilním sedlem.

• obr. 7.11f znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty

parametru β1M (ω0 ) vyhovující nerovnici β1M (ω0 ) > P1 = β1Z (ω0 ) . V tomto případě je tedy rovnovážný stav nestabilním sedlem. Na základě výše uvedeného rozboru lze konstatovat, že na hranici oblasti stability Γ1 (viz. obr. 7.7), kde platí β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) , dochází k reálné bifurkaci rovnovážného stavu, tzn. že neexistuje takové blízké uzavřené okolí rovnovážného stavu ve kterém by nedocházelo, pro libovolně zvolenou hodnotu parametru γ 2 = konst. ≠ 0 , ke kvalitativní změně fázového portrétu, jenž se projevuje kvalitativní změnou v chování dané nelineární pohonové soustavy. Vzhledem k tomu, že při malé změně kanonické souřadnice x2 se mění charakter rovnovážného stavu (viz. obr. 7.11d a obr. 7.11e) ze stabilního uzlu na nestabilní sedlo nebo naopak (což závisí na tom, zda je nebo není splněna nerovnost β 2Z (ω0 ) < β 2M (ω0 ) ), bývá tento typ bifurkace v odborné matematické literatuře označován jako reálná bifurkace typu sedlo – uzel. Jestliže platí γ 2 = 0 (tj. pro β 2Z (ω0 ) − β 2M (ω0 ) = 0 ), nelze pomocí rovnice (7.69) o stabilitě rovnovážného stavu rozhodnout. V tomto případě musíme hledat přesnější aproximaci zobrazení h( x2 ) než je (4.67). Za tím účelem hledejme funkci u ( x2 ) ve tvaru u ( x2 ) = −

δ 2 x22 2δ x + v( x2 ) → u ′( x2 ) = − 2 2 + v′( x2 ) , α α

(7.71)

který dosadíme do vztahu (7.64), tím dostaneme pro operátor (M u )( x2 ) následující výraz 2 ⎞ ⎡ ⎛ δ 2 x2 − τ v ⎟⎢ M ⎜ α ⎠⎣ ⎝

3

⎤ ⎞ ⎛ δ 2 x22 ⎞ + + x α ⎟ 2⎥ ⎜v − ⎟+ α ⎠ ⎠ ⎝ ⎦ 2 3 ⎡ ⎛ δ x2 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ δ x2 ⎞ ⎤ + δ 2 ⎢τ M ⎜ v − 2 2 ⎟ + x2 ⎥ + δ 3 ⎢τ M ⎜ v − 2 2 ⎟ + x2 ⎥ . α ⎠ α ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ ⎣ ⎝ ⎦

2δ x ⎛ (M u )( x2 ) = −γ 3 ⎜ v′ − 2 2 α ⎝

(7.72)

Za funkci v( x2 ) zvolme ⎡δ 2τ δ 2 ⎤ v( x2 ) = − ⎢ 3 − M2 2 ⎥ x23 α ⎦ ⎣α

⎡δ 2τ δ 2 ⎤ → v′( x2 ) = −3 ⎢ 3 − M2 2 ⎥ x22 , α ⎦ ⎣α

(7.73)

tím ve výrazu (7.72) odstraníme nejnižší mocninu (tj. ⎡⎣δ 3 − 2τ M δ 22 / α ⎤⎦ x23 ) a dostáváme ⎡ ⎛ δ 2τ δ 2 (M u )( x2 ) = δ 2 ⎢τ M ⎜ 3 − M2 2 α ⎣ ⎝α

takže pro zobrazení h( x2 ) obdržíme výraz

⎞ δ2 ⎤ 4 4 ⎟ x2 − ⎥ x2 + … = O( x2 ) , α ⎠ ⎦

(7.74)

148


h( x2 ) = u ( x2 ) + (M u )( x2 ) = −

δ 2 x22 ⎛ δ 3 2τ M δ 22 ⎞ 3 4 −⎜ − ⎟ x2 + O( x2 ) . 2 α α α ⎝ ⎠

(7.75)

Dosazením výrazu (7.75) do druhé rovnice soustavy (7.60) dostáváme x2 = −γ 3 x23 [1 + O( x2 )] .

(7.76)

Stabilita nulového rovnovážného stavu soustavy (4.60) je tedy, pro případ kdy platí γ 2 = 0 , podle věty o invariantních varietách určena stabilitou nulového rovnovážného stavu rovnice (7.76). Pro γ 3 ≠ 0 je člen O( x2 ) v okolí počátku menší než jedna a proto nemá na stabilitu rovnovážného stavu vliv, takže ho můžeme vynechat, tzn. že vyšetřujeme stabilitu rovnovážného stavu rovnice x2 = −γ 3 x23 , γ 3 ≠ 0 .

(7.77)

Jestliže γ 3 < 0 , potom pro x2 < 0 je x2 < 0 a pro x2 > 0 platí x2 > 0 . Fázový portrét rovnice (7.77) v okolí počátku pro γ 3 < 0 je znázorněn na obr. 7.12a. Z tohoto obrázku je ihned vidět, že pro γ 3 < 0 je rovnovážný stav nestabilní. Jestliže γ 3 > 0 , potom pro x2 < 0 je x2 > 0 a pro x2 > 0 je x2 < 0 . Fázový portrét rovnice (7.77) v okolí počátku pro γ 3 > 0 je znázorněn na

obr. 7.12b. Z tohoto obrázku je ihned zřejmé, že pro γ 3 > 0 je rovnovážný stav stabilní.

Obr. 7.12 Fázový portrét rovnice (7.77) v okolí počátku pro γ3 < 0 a), γ3 > 0 b)

Obr. 7.13 Průběh řešení rovnice (7.77) v závislosti na hodnotě parametru γ3

Nakreslíme-li si nyní, na základě výše uvedeného rozboru rovnice (7.77), průběh trajektorií veličiny x2 v blízkém okolí počátku (rovnovážného stavu) v závislosti na hodnotě parametru γ 3 , obdržíme situaci znázorněnou na obr. 7.13.


149

Aby rovnovážný stav nelineární pohonové soustavy byl na hranici oblasti stability Γ1 (viz. obr. 7.7) stabilní, je nutné aby parametr γ 3 (pro případ kdy platí γ 2 = 0 , tj. pro

β 2Z (ω0 ) − β 2M (ω0 ) = 0 ) splňoval nerovnici γ 3 > 0 , což po dosazení za jednotlivé veličiny dává podmínku

γ3 =

β 3Z (ω0 ) − β 3M (ω0 ) > 0 ⇒ β3Z (ω0 ) > β 3M (ω0 ) . Iˆred + τ M β1Z (ω0 )

(7.78)

Z podmínky stability (7.78) rovnovážného stavu na hranici oblasti stability Γ1 je zřejmé, že tato je nezávislá na hodnotách počátečních podmínek, resp. poruchových funkcí. Nakreslíme-li si průběhy fázových trajektorií kanonických souřadnic x1 a x2 v blízkém okolí počátku pro pevně zvolenou hodnotu β1Z (ω0 ) , vyhovující podmínce (7.48a), a pro různé hodnoty parametru β1M (ω0 ) , obdržíme výsledek znázorněný na obr. 7.14, který si podrobně analyzujme : • obr. 7.14a znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty parametru β1M (ω0 ) vyhovující nerovnosti β1M (ω0 ) < P2 , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (4.49). V tomto případě je rovnovážný stav stabilním ohniskem. • obr. 7.14b znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnotu parametru β1M (ω0 ) vyhovující rovnici β1M (ω0 ) = P2 , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (7.49). V tomto případě je rovnovážný stav stabilním uzlem. • obr. 7.14c znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty parametru β1M (ω0 ) vyhovující vztahu P2 < β1M (ω0 ) < P1 = β1Z (ω0 ) , kde souřadnici bodu P2 určíme z rovnice (7.49). V tomto případě je rovnovážný stav opět stabilním uzlem.

• obr. 7.14d znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnotu parametru β1M (ω0 ) na hranici oblasti stability Γ1 (tj. pro β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ) a pro případ kdy platí β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) = 0 a β 3M (ω0 ) − β3Z (ω0 ) > 0 . V tomto případě je rovnovážný stav opět stabilním uzlem. • obr. 7.14e znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnotu parametru β1M (ω0 ) na hranici oblasti stability Γ1 (tj. pro β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) ) a pro případ kdy platí β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) = 0 a β 3M (ω0 ) − β 3Z (ω0 ) < 0 . V tomto případě je rovnovážný stav nestabilním sedlem. • obr. 7.14f znázorňuje průběh fázových trajektorií v okolí rovnovážného stavu pro hodnoty parametru β1M (ω0 ) vyhovující nerovnici β1M (ω0 ) > P1 = β1Z (ω0 ) . V tomto případě je tedy rovnovážný stav nestabilním sedlem.

150


Obr. 7.14 Fázový portrét soustavy (7.56) v okolí počátku (rovnovážného stavu)

Z výše uvedeného rozboru vyplývá závěr, že na hranici oblasti stability Γ1 (viz. obr. 7.7), kde platí β1M (ω0 ) = β1Z (ω0 ) , γ 2 = 0 (tj. β 2M (ω0 ) = β 2Z (ω0 ) ) a γ 3 > 0 (tj. β 3Z (ω0 ) − β 3M (ω0 ) > 0 ) nedochází ke vzniku reálné bifurkace rovnovážného stavu, tj. na hranici oblasti stability Γ1 nedochází k porušení stability rovnovážného stavu pohonové soustavy, projevující se kvalitativní

změnou v chování dané nelineární pohonové soustavy.

7.4.2

Komplexní bifurkace rovnovážného stavu pohonu

Jak již bylo řečeno, na hranici oblasti stability Γ2, kde platí podmínky (7.52), mají komplexně sdružená vlastní čísla nulovou reálnou část a může tedy docházet ke vzniku tzv. komplexní (Hopfovy) bifurkace rovnovážného stavu, kdy se od rovnovážného stavu odvětví periodické řešení. V reálných pohonových soustavách se tento typ bifurkace projevuje vznikem samobuzených oscilací, tzv. limitního cyklu. Otázkou vzniku tohoto typu bifurkace rovnovážného stavu se budeme zabývat v tomto odstavci. Vlastní čísla matice linearizace B (viz rov. (7.46)) Γ2 jsou v okolí hranice oblasti stability (viz. např. bod A2 na obr. 7.7) komplexně sdružená, jak je také zřejmé z obr. 7.8, na kterém jsou vyznačeny oblasti různých typů vlastních čísel. Pro další řešení je výhodné tato komplexní vlastní čísla vyjádřit v následujícím algebraickém tvaru

λ1 = α ( β1Z ) − i Ω(β1Z ) , λ2 = α ( β1Z ) + i Ω(β1Z ) , kde veličiny α ( β1Z ) a Ω( β1Z ) jsou dány následujícími výrazy

(7.79)

PŘÍKLAD BIFURKAČNÍ ANALÝZY MODELU ELEKTROMECHANICKÉ SOUSTAVY Iˆ + τ β Z α ( β ) = − red M 1 , Ω( β1Z ) = 2τ Iˆ Z 1

M

red

151

2

β1Z − β1M ⎛ Iˆred + τ M β1Z ⎞ −⎜ ⎟ . τ M Iˆred ⎜⎝ 2τ M Iˆred ⎟⎠

(7.80)

Kritická hodnota parametru β1Z , při které se veličina α ( β1Z ) rovná nule (tzn. že reálné části vlastních čísel (7.79) jsou nulové) je

α ( β1Z ) ≡ −

Iˆred + τ M β1Z Iˆ = 0 ⇒ ( β1Z ) krit = − red , τM 2τ Iˆ M

(7.81)

red

což je v plné shodě s rovnicí (4.52). Nyní musíme ověřit předpoklady použitelnosti algoritmu pro vyšetřování vlastností Hopfovy bifurkace, které mají v našem případě tvar

α krit = 0, α krit ≠ 0, Ω krit ≠ 0 .

(7.82)

Derivací vztahů (7.80) podle proměnné β1Z dostáváme

α≡

dα 1 dΩ , Ω≡ =− = Z ˆ dβ1 dβ1Z 2 I red

1− 2τ M Iˆred

Iˆred + τ M β1Z 2 Iˆred

β1Z − β1M ⎛ Iˆred + τ M β1Z ⎞ − ⎜⎜ ⎟⎟ ˆ τ M Iˆred ⎝ 2τ M I red ⎠

2

.

(7.83)

Dosadíme-li nyní do vztahů (7.80) a (7.83) za parametr β1Z jeho kritickou hodnotu, definovanou rovnicí (7.52), resp. rovnicí (7.81), obdržíme následující výrazy

α krit = 0, α krit = −

1 2 Iˆ

, Ω krit = −

red

Iˆred + τ M β1M τ 2 Iˆ M

(7.84)

red

Porovnáme-li vztahy (7.84) s podmínkami (7.82) vidíme, že předpoklady použitelnosti algoritmu pro vyšetřování vlastností Hopfovy bifurkace jsou v našem případě splněny. Vlastní vektor matice linearizace B , odpovídající vlastnímu číslu λ1 = α − i Ω , který stanovíme řešením rovnice (B − λ1 E) v = 0 , je

τM 0 ⎡ ⎤ ⎡ τM ⎤ ⎡ ⎤ v=⎢ ⎥ = ⎢ ˆ ⎥+i⎢ ⎥ . ˆ ˆ ˆ ⎣ − I red − i τ M I red Ω krit ⎦ ⎣ − I red ⎦ ⎣ −τ M I red Ω krit ⎦

(7.85)

Nyní si převedeme pomocí transformační matice ⎡ τM P = [ Re v Im v ] = ⎢ ˆ ⎣ − I red

0 ⎤ ⎥ −τ M Iˆred Ω krit ⎦

(7.86)

a následující substituce y = P x ⇒ x = P −1 y

soustavu diferenciálních rovnic (7.46) do tvaru

(7.87)

152

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY x = A x + g ( x) ,

(7.88)

kde matice A = P −1 C P má reálný Jordanův kanonický tvar ⎡ Re λ1 A=⎢ ⎣ Im λ2

Im λ1 ⎤ ⎡ 0 = Re λ2 ⎥⎦ krit ⎢⎣ Ω krit

−Ω krit ⎤ 0 ⎥⎦

(7.89)

a kde vektorová funkce g (x) má tvar ⎡ g ( x , x ) ⎤ ⎡ −γ x 2 − γ x3 ⎤ g (x) = P −1 h(P x) = ⎢ 1 1 2 ⎥ = ⎢ 2 12 3 13 ⎥ , ⎣ g 2 ( x1 , x2 ) ⎦ ⎣ −δ 2 x1 − δ 3 x1 ⎦

(7.90)

přičemž platí

δk =

β kZ − β kM Iˆred Ω krit

τ Mk − 2 , γ k =

β kZ

Iˆred

τ Mk −1 , k = 2,3 .

(7.91)

Nyní si stanovíme všechny parciální derivace funkcí g1 ( x1 , x2 ) a g1 ( x1 , x2 ) , v bodech x1 = x2 = 0 a β1Z = ( β1Z ) krit , až do třetího řádu včetně ∂ 2 g1 = −2 γ 2 , ∂x12

∂ 2 g1 ∂ 2 g1 = =0, 2 ∂x2 ∂x1 ∂x2

∂ 3 g1 = −6 γ 3 , ∂x13

∂ 3 g1 ∂ 3 g1 ∂ 3 g1 = = =0, ∂x23 ∂x12 ∂x2 ∂x1 ∂x22

∂ 2 g2 = −2 δ 2 , ∂x12

∂ 2 g2 ∂ 2 g2 = =0, ∂x22 ∂x1 ∂x2

∂3 g2 = −6 δ 3 , ∂x13

∂3 g2 ∂3 g2 ∂3 g = = 2 2 =0 3 2 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

(7.92)

a vypočteme následující pomocné veličiny G11 =

γ 2 + iδ2 1 ⎡ ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 ⎛ ∂ 2 g 2 ∂ 2 g 2 ⎞ ⎤ , ⎢ 2 + 2 + i ⎜ 2 + 2 ⎟⎥ = − ∂x2 ∂x2 ⎠ ⎦ 4 ⎣ ∂x1 2 ⎝ ∂x1

G02 =

⎛ ∂2 g ∂2 g ∂2 g2 ∂ 2 g1 ⎞ ⎤ γ 2 + iδ2 1 ⎡ ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 + i ⎜ 22 − 22 + 2 , ⎢ 2 − 2 −2 ⎟⎥ = − ∂x1 ∂x2 ⎝ ∂x1 ∂x1 ∂x2 ⎠ ⎦ 4 ⎣ ∂x1 2 ∂x2 ∂x2

(7.93)

⎛ ∂2 g ∂2 g2 ∂2 g ∂ 2 g1 ⎞ ⎤ γ 2 + iδ2 1 ⎡ ∂2 g ∂2 g + i ⎜ 22 − 22 − 2 , G20 = ⎢ 21 − 21 + 2 ⎟⎥ = − ∂x2 ∂x1 ∂x2 ⎝ ∂x1 4 ⎣ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ⎠ ⎦ 2 ⎛ ∂3 g γ + i δ3 ∂ 3 g1 ∂3 g ∂3 g ∂3 g2 ∂3 g ∂3 g ⎞⎤ 1 ⎡ ∂3 g + 2 2 + 32 + i ⎜ 32 + + 2 1 + 31 ⎟ ⎥ = −3 3 . G21 = ⎢ 31 + 2 2 8 ⎣ ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x2 4 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x x x ⎝ 1 1 2 1 2 2 ⎠⎦

Zavedeme novou komplexní funkci Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) vztahem Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) =

i 2 Ω krit

G21 1 2 2⎤ ⎡ ⎢G20 G11 − 2 G11 − 3 G02 ⎥ + 2 , ⎣ ⎦

(7.94)


153

který přejde, po dosazení za jednotlivé veličiny, do následujícího tvaru Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) = −

2 δ 2 γ 2 + 3 γ 3 Ω krit 10 δ 22 + 4 γ 22 + 9 δ 3 Ω krit −i . 8 Ω krit 24 Ω krit

(7.95)

Pomocí funkce Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) si nyní definujeme následující parametry pomocí výrazů b2 ≡ 2 Re Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) ,

μ2 ≡ −

τ2 ≡ −

Re Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 )

α krit

,

Im Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) + μ2 Ω krit , Ω krit

(7.96a) (7.96b)

(7.96c)

z nichž po dosazení obdržíme pro tyto parametry vyjádření 2 δ 2 γ 2 + 3 γ 3 Ω krit , 4 Ω krit

(7.97a)

2 δ 2 γ 2 + 3 γ 3 Ω krit ˆ I red , 4 Ω krit

(7.97b)

10 δ 22 + 4 γ 22 + 9 δ 3 Ω krit 2 δ 2 γ 2 + 3 γ 3 Ω krit − . 24 Ω 2krit 8τ M Ω3krit

(7.97c)

b2 = −

μ2 = −

τ2 = −

Pomocí parametrů b2 , μ2 můžeme vyšetřit kvalitativní vlastnosti Hopfovy bifurkace (tj. typ bifurkace a stabilitu odvětvených periodických řešení), platí následující tvrzení : jestliže platí α krit < 0 , tj. dvojice imaginárních vlastních čísel λ1 , λ2 = λ1 matice linearizace C přechází přes imaginární osu zprava doleva, a je-li μ2 > 0 (tj. superkritická Hopfova bifurkace), potom b2 > 0 a odvětvená periodická řešení jsou orbitálně nestabilní. Jestliže α krit < 0 a μ2 < 0 (tj. subkritická Hopfova bifurkace), potom b2 < 0 a odvětvená periodická řešení jsou orbitálně stabilní. Jestliže platí

α krit > 0 , tj. dvojice imaginárních vlastních čísel λ1 , λ2 = λ1 matice linearizace C přechází přes imaginární osu zleva doprava, a je-li μ2 > 0 (tj. superkritická Hopfova bifurkace), potom b2 < 0 a odvětvená periodická řešení jsou orbitálně stabilní. Jestliže α krit > 0 a μ2 < 0 (tj. subkritická Hopfova komplexní bifurkace), pak b2 > 0 a odvětvená periodická řešení jsou orbitálně nestabilní. Jelikož v našem konkrétním případě, jak je zřejmé ze vztahu (7.83), vždy platí α krit < 0 , může na hranici oblasti stability Γ2 (viz. obr. 7.7 – bod A2 ) dojít buď k superkritické Hopfově bifurkaci (tj. pro μ2 > 0 , tzn. při přecházení parametru β1Z přes kritickou hodnotu, definovanou podmínkami (7.52), zleva doprava), při níž jsou odvětvená periodická řešení orbitálně nestabilní ( b2 > 0 ), nebo může dojít k subkritické Hopfově bifurkaci (tj. pro μ2 < 0 , tzn. při přecházení parametru β1Z

154


přes kritickou hodnotu, definovanou podmínkami (7.52), zprava doleva), při níž jsou odvětvená periodická řešení orbitálně stabilní ( b2 < 0 ). Vidíme tedy, že v našem konkrétním případě může dojít k odvětvení orbitálně stabilních periodických řešení. Proveďme si nyní podrobný rozbor podmínek vzniku subkritické Hopfovy bifurkace ( μ2 < 0 ), kdy se od rovnovážného stavu odvětví orbitálně stabilní ( b2 < 0 ) periodické řešení. Podmínka stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu lze vyjádřit výrazem Re Ψ (δ 2 , γ 2 , δ 3 , γ 3 ) < 0 ,

který po dosazení a elementárních úpravách přejde v kvadratickou nerovnici v proměnné β 2Z , jenž má následující tvar 3 2 ( β 2Z ) 2 − β 2M β 2Z − τ M Iˆred Ω krit β3Z < 0 , 2

která je splněna tehdy a jen tehdy, pokud absolutní hodnota parametru β 2M vyhovuje podmínce

β 2M (ω0 ) > β 2Z (ω0 ) − K

β 3Z (ω0 ) , β 2Z (ω0 )

(7.98)

kde konstanta K je dána následujícím výrazem 3 3 Iˆ + τ β M (ω0 ) 2 , = − red M 1 K = τ M Iˆred Ω krit τM 2 2

(7.99)

z něhož je zřejmé, že konstanta K je vždy kladná, tj. K > 0 . Znázorníme-li si podmínku stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu (7.98) v souřadnicích β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) , obdržíme situaci uvedenou na obr. 7.15, přičemž obr. 7.15a, resp. obr. 7.15b platí pro hodnotu parametru β 3Z (ω0 ) < 0 , resp. β 3Z (ω0 ) > 0 . Z obr. 7.15 je ihned patrné, že podmínka (7.98) rozděluje oblast parametrů β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) na dvě podoblasti, a to na oblast stabilní subkritické Hopfovy bifurkace (na obr. 7.15 je vyznačena tečkovaně) a na oblast nestabilní superkritické Hopfovy bifurkace, přičemž tyto dvě podoblasti jsou v rovině

β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) od sebe vzájemně odděleny hraniční křivkou C o rovnici C : β 2M (ω0 ) = β 2Z (ω0 ) − K

β 3Z (ω0 ) , β 2Z (ω0 )

(7.100)


155

která je rovnicí zobecněné hyperboly (na obr. 7.15 je křivka C znázorněna tučnou červenou čárou), jenž má asymptotu ξ danou výrazem *

ξ : β 2M (ω0 ) = β 2Z (ω0 ) ,

(7.101)

který popisuje přímku se sklonem 45 a procházející počátkem soustavy souřadnic. Ze znázornění podmínky (7.98) v souřadnicovém systému β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) , viz. obr. 7.15, je dále patrné, že kvalitativní i kvantitativní průběh hraniční křivky C , která od sebe vzájemně odděluje oblasti stabilní subkritické a nestabilní superkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu, je velmi výrazně závislý na hodnotě parametru β 3Z (ω0 ) pracovního stroje : • Jestliže parametr β 3Z (ω0 ) vyhovuje podmínce β 3Z (ω0 ) < 0 , potom hraniční křivka C , definovaná rovnicí (7.100), nabývá dvou extrémních hodnot (viz. obr. 7.15a), jejichž polohu stanovíme z podmínky extrému funkce, tj. z rovnice

βZ dβ 2M ≡ 1 + K Z3 2 = 0 , Z dβ 2 (β2 )

(7.102)

3 ( β 2Z )ex = − K β 3Z = − τ M Iˆred Ω 2krit β3Z . 2

(7.103)

jejímž řešením obdržíme

Extrémní hodnoty, kterých nabývá hraniční křivka C v bodech ± ( β 2Z )ex , pak určíme ze vztahu (7.100), do kterého dosadíme za parametr β 2Z (ω0 ) výraz (7.103), tím dostaneme 2 ( β 2Z )ex = 2 − K β 3Z = −6τ M Iˆred Ω krit β 3Z .

(7.104)

Ze vztahu (7.100) pro křivku C , ve kterém položíme její levou stranu rovnu nule, tj. C : β 2M (ω0 ) ≡ β 2Z (ω0 ) − K

β 3Z (ω0 ) =0 , β 2Z (ω0 )

(7.105)

je ihned zřejmé, s ohledem na předpoklad β 3Z (ω0 ) < 0 , že neexistuje reálné řešení dané rov-nice vzhledem k proměnné β 2Z (ω0 ) . Z toho tedy vyplývá, že hraniční křivka C nemá žádný společný bod se souřadnicovou osou β 2Z (ω0 ) , tj. nikde ji neprotíná.

*

Obecná rovnice asymptoty je dána výrazem ξ : β 2M = a β 2Z + b , kde koeficienty a, b určíme z následujících vztahů

⎡ dβ 2M βZ ⎤ 1 + K Z3 2 ⎥ , = lim ⎢ Z Z β 2 →∞ dβ β 2 →∞ (β2 ) ⎦ 2 ⎣

a = lim Z

, ⎡ dβ 2M Z 2 K β 3Z M⎤ − = β β b = lim lim . 2 2 ⎢ ⎥ Z 2 Z β 2Z →∞ dβ Z ⎣ 2 ⎦ β2 →∞ ( β 2 ) Z těchto vztahů pak po provedení limitních operací pro koeficienty vyplývá, že a = 1 a b = 0 , což po dosazení do obecné rovnice asymptoty dává tento výraz ξ : β 2M (ω0 ) = β 2Z (ω0 )

156


Obr. 7.15 Oblasti stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu pro β 3Z < 0 a), β 3Z > 0 b)

• Jestliže parametr β 3Z (ω0 ) vyhovuje podmínce β 3Z (ω0 ) > 0 , potom za vztahu (7.105) plyne, že existují dvě řešení dané rovnice vzhledem k proměnné β 2Z (ω0 ) , které lze zapsat pomocí jediného vztahu takto ( β 2Z )0 = K β 3Z =

3 2 τ M Iˆred Ω krit β3Z , 2

(7.106)

což znamená, že hraniční křivka C má dva společné body se souřadnicovou osou

β 2Z (ω0 ) , tj. protíná ji ve dvou bodech. Z podmínky extrému funkce (7.102) dále vyplývá,


157

s ohledem na předpoklad β 3Z (ω0 ) > 0 , že daná rovnice nemá žádné řešení v oboru reálných čísel. To tedy znamená, že výraz na levé straně rovnice (7.102) nemění pro libovolnou hodnotu parametru β 2Z (ω0 ) svoje znaménko, takže hraniční křivka C má monotónní průběh (tj. nikde nenabývá žádného lokálního extrému), který je patrný z obr. 7.15b. • Jestliže parametr β 3Z (ω0 ) vyhovuje podmínce β 3Z (ω0 ) = 0 , potom hraniční křivka C splývá s asymptotou ξ , jak je patrné z porovnání vztahu (4.100), do kterého dosadíme

β 3Z (ω0 ) = 0 , se vztahem (7.101). To znamená, že hraniční křivka C je přímkou se sklonem 45 , jenž prochází počátkem souřadnicové soustavy β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) , jak je znázorněno na obr. 7.16.

Obr. 7.16 Oblast stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu pro β 3Z = 0

Na základě výše uvedeného podrobného kvalitativního i kvantitativního rozboru vzniku stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu na hranici oblasti stability Γ2 lze konstatovat několik základních skutečností : a) Jestliže hodnota parametru β 3Z (ω0 ) je záporná, tj. platí-li β 3Z (ω0 ) < 0 , potom jestliže absolutní hodnota parametru β 2M (ω0 ) vyhovuje následující nerovnici (viz. obr. 7.15a) 2 ( β 2M )ex < 2 − K β 3Z = −6τ M Iˆred Ω krit β3Z ,

pak na hranici oblasti stability Γ2 (viz. obr. 7.7) dojde vždy ke vzniku nestabilní superkritické Hopfovy bifurkaci rovnovážného stavu. To tedy znamená, že při překročení hranice oblasti stability Γ2 se od rovnovážného stavu odvětví periodické řešení, které je však

158

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY orbitálně nestabilní, takže sebemenší rušivý účinek způsobí přechod soustavy do nějakého jiného i velmi vzdáleného rovnovážného stavu. b) Tvar a velikost oblasti stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu v souřadnicovém systému β 2M (ω0 ) − β 2Z (ω0 ) je velmi výrazně závislý na hodnotě parametru

β 3Z (ω0 ) pracovního stroje, jak je patrné z tvarů oblastí jednotlivých typů Hopfovy bifurkace znázorněných na obr. 7.15 a obr. 7.16, přičemž platí : • pro danou pohonovou soustavu je při záporné hodnotě parametru β 3Z (ω0 ) oblast stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu vždy menší než při kladné hodnotě parametru β 3Z (ω0 ) , jak se lze snadno přesvědčit vzájemným porovnáním obr. 7.15a a obr. 7.15b, • pro danou pohonovou soustavu dochází při rostoucí kladné, resp. klesající záporné hodnotě parametru β 3Z (ω0 ) ke zvětšování, resp. zmenšování oblasti stabilní subkritické Hopfovy bifurkace rovnovážného stavu.

PŘÍKLADY UŽITÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ V MECHATRONICKÝCH TECHNICKÝCH SOUSTAVÁCH

8

159

Příklady užití neuronových sítí v mechatronických technických soustavách

8.1

Neuronové sítě v řízení elektrických pohonů [20, 21]

Umělé neuronové sítě představují významnou část oboru umělé inteligence. S jejími výhodami a základními vlastnostmi jsme si již seznámili v kapitole 2, v odstavcích 2.5.3 až 2.5.6. Nyní o některých aspektech jejich využití pojednáme podrobněji. Bylo řečeno, že problematika navrhování elektrických motorů a regulátorů elektrických servopohonů obsahuje zpravidla tyto po sobě následující kroky: • identifikaci regulované soustavy a vytvoření jejího modelu (analýza soustavy), • návrh struktury soustavy a algoritmu jejího řízení (syntéza regulátoru). Pro nelineární soustavu, tvořenou elektrickým servopohonem, spojeným s mechanickou strukturou, je možné oba tyto kroky částečně nebo i zcela realizovat pomocí neuronové sítě.

Obr. 8.1 Identifikace nelineární soustavy

Obr. 8.2 Princip učení neuronového regulátoru

Problém identifikace nelineární soustavy spočívá v určení nelineárních aproximačních funkcí. Učení neuronové sítě spočívá v nalezen příslušných vah jednotlivých synapsí neuronové sítě, konvergující k minimu kriteriální funkce, představující odchylku mezi výstupy reálné soustavy a neuronového modelu pro všechny přípustné časové průběhy řízení. Princip učení neuronové sítě na model soustavy je nakreslen na obr. 8.1. Neuronovou síť lze použít jako nelineární regulátor přímo ve zpětnovazební smyčce regulované soustavy (neural feedback control), nebo jako předkorekci ke klasickému zpětnovazebnímu regulátoru (neural feedforward). Při použití neuronové sítě jako zpětnovazebního regulátoru se tento trénuje pomocí neuronového modelu soustavy, renovacím souborem vstupů a výstupů je obvykle referenční model chování uzavřené smyčky, který bývá zpravidla lineární viz obr. 8.2.

160


Inverzním modelem soustavy je neuronový feedforward. Jeho trénování ne naznačeno na obr. 8.3. Většinou postečí tzv. statický inverzní model, což je model dynamické soustavy v ustáleném stavu. U složitější soustavy můžeme uvažovat pouze jeden – dominantní výstup pro všechny přípustné kombinace vstupů a výstupů. Blokové schéma řízení s neuronovým feedforwardem ja na obr. 8.4 a bude aplikováno v regulační struktuře řízení pohybu robotické osy.

Obr. 8.3 Princip učení inverzního modelu

8.2

Obr. 8.4 Struktura s neuronovým feedforwardem

Robustní řízení robotické osy

Nyní uvedeme jednu z „klasických“ aplikací neuronových sítí v robotice. Pro návrh polohových servomechanizmů vycházíme z řešení Lagrangeovy diferenciální rovnice II. druhu d ⎛ ∂L ⎞ ∂L =T , ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂q ⎠ ∂q

(8.1)

v níž q je vektor souřadnic robotické osy a L je Lagrangián, definovaný rovnicí L(q, q) = K (q, q) − P (q) =

1 T q M (q) q − P (q) , 2

(8.2)

K (q, q) kinetickou energii a P(q) potenciální energii, T je vektor zobecněných vnějších sil

a M(q) matice hmotností, resp. hmotných momentů setrvačností. Z Lagrangeovy rovnice lze odvodit pro tuhou robotickou osu pohybovou rovnici T = M (q) q + N (q, q) ,

(8.3)

v níž N(q, q) představuje vektorovou funkci obsahující všechny nelineární funkce, dostředivé, Coriolisovy, gravitační i třecí síly. Uvažujme jednoduchý případ robotnického ramene se dvěma stupni volnosti a se dvěma polohovými servopohony, znázorněný na obr. 8.5. Hmotnost břemene nechť je m, délka ramene l a úhel natočení ramene ϕ. Zanedbáme-li hmotnost samotného ramene a třecí účinky, budou mít pohybové rovnice tvar


161

M = m l 2 ϕ + 2 m l ϕ l + m g l cos ϕ ,

(8.4)

F = m l − m l ϕ 2 + m g sin ϕ ,

(8.5)

kde M je moment k ose otáčení a F je síla, která vysouvá rameno.

Obr. 8.5 Robotická osa sa dvěma stupni volnosti

Obr. 8.6 Polohové řízení robotické osy s neuronovým feedforwardem (a) a srovnání přesnosti polohy osy bez (1) a s feedforwardem (2)

162


Pro návrh servopohonu působícího na osu otáčení vyjdeme z nelineární rovnice (8.4). Cílem robustního řízení je kompenzace vlivu nelinearit, pak je možné navrhnout zpětnovazební řízení stejným způsobem jako u lineární soustavy. Jednou z výhodných možností, je použití neuronové sítě jako feedforwardu v klasické polohové regulaci s PID regulátorem, viz obr. 8.6a. Neuronový feedforward představuje inverzní model soustavy v ustáleném stavu a kompenzuje pouze vliv gravitační síly. Porovnání vlivu neuronové předkorekce na přesnost sledování polohy, pro sinusový řídící signál, je znázorněn na obr. 8.6b. Použití neuronové sítě je výhodné zejména pro složitější soustavy, protože naučená neuronová síť je rychlejší než analytický výpočet v reálném čase. Trénovací soubor vstupních a výstupních hodnot lze získat buď analyticky z matematického modelu soustavy nebo pomocí simulací s využitím neuronového modelu soustavy.

8.3

Řízení servopohonu robota s neuronovou předkorekcí [31]

Pro návrh robota využijeme rovnic (8.1) až (8.3). Pro robot se dvěma otočnými klouby, znázorněný na obr. 8.7, poháněný dvěma servopohony, jejichž pohyby definují úhlové souřadnice q1 a q2, mají rovnice (8.3) tvar : T1 = m2 l22 ( q1 + q2 ) + m2 l1 l2 cos q2 ( 2 q1 + q2 ) + ( m1 + m2 ) l12 q1 − 2 m2 l1 l2 sin q2 q1 q2 − −m2 l1 l2 sin q2 q22 + ( m1 + m2 ) l1 g cos q1 + m2 l2 g cos ( q1 + q2 ) ,

(8.6)

T2 = m2 l1 l2 cos q2 q1 + m2 l22 ( q1 + q2 ) + m2 l1 l2 sin q2 q12 + m2 l2 g cos ( q1 + q2 ) .

(8.7)

a

V těchto rovnicích označuje T1 moment v ose Q1 a T2 moment v ose Q2, g označuje gravitační zrychlení a význam ostatních symbolů je zřejmý z obr. 8.7.

Obr. 8.7 Robot se dvěma otočnými klouby

Pro návrh servopohonu v ose Q1 můžeme vyjít přímo z rovnice (8.6). Cílem robustního řízení je kompenzace vlivu nelinearity. Pak je možné navrhnout zpětnovazební řízení stejně jako u nelineární soustavy. Pro simulaci pohybu robotické osy Q2 je zapotřebí rovnici (8.6) přepsat do tvaru

PŘÍKLADY UŽITÍ NEURONOVÝCH SÍTÍ V MECHATRONICKÝCH TECHNICKÝCH SOUSTAVÁCH q1 =

1 ⎡T1 − q2 ( m2 l22 + m2 l1 l2 cos q2 ) + q1 q2 2 m2 l1 l2 sin q2 + q22 m2 l1 l2 sin q2 − A⎣ − ( m1 + m2 ) l1 g cos q1 − m2 l2 g cos ( q1 + q2 ) ⎦⎤ ,

163

(8.8)

kde A = m2 l22 + 2 m2 l1 l2 cos q2 + ( m1 + m2 ) l12 ,

(8.9)

Model celé mechanické soustavy dle rovnic (8.6) a (8.7) v prostředí SIMULINK je na obr. 8.8.

Obr. 8.8 Simulační model pohybu kolem osy Q1

Obr. 8.9 Regulační struktura pro kompenzování

Obr. 8.10 Generování trénovacích vektorů vlivu gravitace inverzního modelu

164


Návrh regulační struktury

Pro kompenzaci nelineárního vlivu gravitace byla použita umělá neuronová síť jako feedforward ve standardní struktuře zpětnovazebního řízení s PD, resp. PID regulátorem polohy bez podřízené rychlostní smyčky, jak je to naznačeno na obr. 8.9 Neuronový feedforwared představuje inverzní model soustavy a ustáleném stavu a kompenzuje pouze vliv gravitace. Generování trénovacích vektorů pro učení neuronové sítě je patrné z obr. 8.10, kde symboly Pmt a Tmt označují matice vstupních a výstupních vektorů neuronové sítě. Získání všech přípustných kombinací vstupních vektorů bylo docíleno přibližně desetinásobnou frekvencí sinusového vstupního signálu q2 vzhledem k q1. % nstate.m

trénováni neuronové sítě

Pm=Pmt';

vstupní vektor

Tm=Tmt';

výstupní vektor

Sl=8;

počet neuronů ve skryté vrstvě

[wl,bl,w2,b2]=initff(Pm,Sl,'tansig',Tm,'purelin'); konfigurace neuronové sítě df=5;

cyklus výpisů chyby při učení

me=5000;

max. počet cyklů učení

eg=0.00l;

přípustná chyba po naučeni

tp=[df me eg];

parametry učeni

[wl,bl,w2,b2,ep,tr]=trainlm(wl,bl,'tansig',w2,b2,'purelin',Pm,Tm,tp); příkaz učeni neuronové sítě ploterr(tr,eg);

vykreslení chyby v průběhu učeni

save nstatea wl bl w2 b2;

uloženi vah naučené sítě do souboru

disp('end');

Tab. 8.1 Výpis programu pro trénování neuronové sítě v Neural Toolboxu

Obr. 8.11 Průběh učení neuronové sítě


165

Pro takto získaný trénovaní soubor byla vybrána neuronová síť se dvěma vstupy (q1, q2) v jedním výstupem – kompenzačním momentem uff servopohonu v ose Q1, který kompenzuje vliv gravitace a s počtem 8 neuronů ve skryté vrstvě. Výpis programu v Neural Toolboxu je uveden v tabulce 8.1. Průběh učení s výpisem střední kvadratické chyby po jednotlivých cyklech je vidět na obr. 8.11. Je patrné, že neuronová síť dosáhla potřebné přesnosti po 3501 cyklech učení, přičemž pro učení byla použita metoda Levenberg-Marquardtova, která je aproximací Newtonovy metody. Jako polohový regulátor byl použit konvenční PD, resp. PID regulátor, navržený klasickým způsobem, s podřízenou momentovou (proudovou) smyčkou, jejíž časová konstanta byla zanedbána.

Obr. 8.12 Simulace polohování s neuronovým feedforwardem

Obr. 8.13 Výsledky simulace s neuronovou předkorekcí (a) a bez neuronové předkorekce (b)

Simulace polohování robotické osy

Na obr. 8.12 je znázorněno schéma pro simulaci polohování osy Q1 v SIMULINKU. Žádanou hodnotou je sinusový průběh úhlu q1 osy Q1, parametrem je úhel q2 kolem osy Q2, který se mění rovněž sinusově, avšak s jinou frekvencí než q1. Výsledky simulace jsou uvedeny na obr. 8.13,

166


nakterém ja znázorněno sledování s neuronovou předkorekcí (obr. 8.13a) i sledování bez neuronové předkorekce (obr. 8.13b). Použití neuronové sítě ve struktuře řízení robotických servopohonů zlepšuje statické i dynamické vlastnosti uzavřené polohové smyčky. Další předností naučené neuronové sítě je vyšší rychlost výpočtů ve srovnání s klasickým analytickým výpočtem v reálném čase.

8.4

Řízení inverzního kyvadla [20]

Nyní uvedeme další známou úlohu optimálního řízení z oblasti dynamiky – řízení převráceného kyvadla, umístěného na vozíku, na který působí vodorovná síla F – viz obr. 8.14. Hmotnost vozíku nechť je M, hmotnost kyvadla m, délky kyvadla l a úhel natočení ramene kyvadla od svislé osy α..

Obr. 8.14 Parametry inverzního kyvadla

Pohybové rovnice lze opět sestavit v využitím Lagrangeových rovnic II. druhu. Zanedbáme-li tření, dostaneme soustavu rovnic pro posuvné a úhlové zrychlení ve tvaru x=

α=

1 ( F + m l α 2 sin α − m g sin α cos α ) , M + m sin 2 α

1 M + m sin 2 α

(8.10)

⎧1 ⎫ 2 ⎨ ⎡⎣( M + m ) g sin α − F cos α ⎤⎦ − m α sin α cos α ⎬ . ⎩l ⎭

(8.11)

Klasické řešení úlohy pomocí stavového regulátoru je známé pro linearizovanou soustavu v okolí α → 0. V tomto případě lze soustavu pohybových rovnic zapsat ve stavovém tvaru x = A x + bu , y = Cx ,

x = [x

⎡ T x α α ] , b = ⎢0 ⎣

1 M

⎡0 ⎢ T ⎢0 1 ⎤ ⎢ A 0 − , = ⎥ ⎢0 M l⎦ ⎢ ⎢0 ⎣

(8.12) 1 0 0 0

0 m − g M 0 M +m g Ml

1⎤ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ , u = F . ⎥ 0⎥ ⎦


167

Pro linearizovanou soustavu (8.12) lze najít zpětnovazební regulátor r pomocí pólů λi charakteristické rovnice 4

det[ p I − A + b r ] = ∏ ( p − λi ) ,

(8.13)

i =1

jejichž polohu odhadneme podle požadované odezvy uzavřené smyčky. Lze také navrhnout tzv. optimální řízení s lineárním kvadratickým regulátorem (LQR), který by splnil požadovanou kriteriální funkci J = ∫ ( x T Q x + u T R u ) dt

(8.14)

v níž Q a R jsou pozitivní symetrické matice. (Poznámka : pro simulaci byly tyto matice voleny takto : Q = diag (1 1 1 1) , R = [1] ) Takto navržený regulátor je ale použitelný jen pro malé výchylky úhlu α, způsobené malým impulsem síly F. Pro větší impuls síly je odezva výrazně horší, než odezva linearizované soustavy a od určité velikosti impulsu je odezva systému nestabilní. Lze ale navrhnout řešení, které vychází z možnosti kompenzace nelinearity soustavy jejím tzv. inverzním modelem. Jako inverzní model lze volit „pouze“ model statický, kompenzující vliv gravitačních sil na kyvadlo působením dodatečné síly na vozík [22]. Struktura takové regulační soustavy je nakreslena na obr. 8.15a. Použitím naznačené neuronové kompenzace se odezva úhlové rychlosti kyvadla blíží lineárnímu modelu (za cenu zvětšení výchylky vozíku při vyregulování poruchy, což je způsobeno zvětšením síly působící na vozík – vzhledem k omezení maximální síly působící na vozík je ale tato kompenzace možná jen do určité velikosti úhlové výchylky). Výsledky této simulace jsou znázorněny na obr. 8.15b, na kterém jsou porovnány odezvy úhlu α a polohy vozíku x na impuls síly Alternativně pro nekorigovanou soustavu a soustavu s neuronovou korekcí.

Obr. 8.15a Schéma LGR řízení inverzního kyvadla s neuronovou korekcí

168


Soustavu s optimálním lineárně kvadratickým regulátorem lze doplnit například o PID řízení polohy vozíku – pak jde o tzv. sledovací servomechanizmus – viz obr. 8.16a. Rozdíl mezi odezvou na skok řízení soustavy s neuronovou kompenzací a bez kompenzace pak je zřejmá z pohledu na obr. 8.16b.

Obr. 8.15b Porovnání odezvy soustavy na impuls síly u korigované a nekorigované soustavy

Obr. 8.16a Schéma řízení polohy vozíku inverzního kyvadla s neuronovou korekcí

Obr. 8.16b Porovnání vlivu neuronové korekce na odezvu na skok řízení


8.5

169

Identifikace nelineárních dynamických systémů pomocí neuronových sítí [24]

Problematiku identifikace dynamických systémů pomocí neuronových sítí jsme vzpomenuli v odstavci 2.5.4. Při jejich používání ale existuje stále řada omezení a problémů. Například je poměrně obtížné vybrat optimální parametry sítě, především její topologii a algoritmus učení, neboť je možné použít velké množství různých architektur, schémat učení a dalších parametrů [23]. Připomeňme si, že identifikace dynamických soustav je určení systému na základě vstupů a výstupů ve specifikované třídě tak, aby vytvořený systém byl na základě testu ekvivalentní se zkoumanou soustavou (L. A. Zadeh). Identifikací tedy rozumíme vytvoření matematického modelu identifikované soustavy. Základní algoritmus identifikace můžeme popsat následujícími kroky : 1. provedení experimentu a získání vstupních a výstupních dat, 2. zpracování těchto dat – odstranění trendu, filtrace, transformace, … . 3. volba vhodné struktury modelu (parametrický či neparametrický model) a oblasti identifikace (časová resp. Frekvenční oblast), 4. výpočet parametrů modelu, 5. testování a hodnocení modelu. Pokud model nevyhovuje návrat k bodu 3. Identifikaci lze dále rozdělit na on-line a off-line identifikaci. V prvním případě se nejdříve zvolí struktura modelu a pak se body 2 a 4 výše popsaného algoritmu provádějí ihned po získání vstupních a výstupních dat. Při off-line identifikaci se nejdříve získávají všechna vstupní a výstupní data a dále se pokračuje podle uvedeného algoritmu (podle znalostí o struktuře někdy rozlišujeme tzv. bílé, šedé či černé skříňky). Setkáváme se také s pojmem adaptivní identifikace, což je případ, kdy na začátku identifikace nejsou známy všechny parametry soustavy nebo její vlastnosti a upřesňují se až v procesu jejího ověřování.

8.5.1

Některé modely používané při identifikaci soustav

Uvažujme nelineární systém podle obr. 8.17.

Obr. 8.17 Schéma lineárního dynamického systému

Obecný matematický model tohoto systému popisuje rovnice nu ⎡ B ( z) ⎤ ⎡ C ( z) ⎤ A( z ) y (t ) = ∑ ⎢ i ⎥ ui (t − nki ) + ⎢ ⎥ e(t ) ( ) F z i =1 ⎣ i ⎣ D( z ) ⎦ ⎦

(8.15)

170


kde ui je i-tý vstup, y je výstup, A, Bi, C, D, Fi jsou polynomy s operátorem posunutí v čase (z) a nki je časové zpoždění. Pak můžeme odvodit následující modely : ARX :

A( z ) y (t ) = B( z ) u (t − nk ) + e(t )

(8.16)

ARMAX 8.17:

A( z ) y (t ) = B( z ) u (t − nk ) + C ( z ) e(t )

(8.17)

Output-Eror :

⎡ B( z ) ⎤ A( z ) y (t ) = ⎢ ⎥ u (t − nk ) + e(t ) ⎣ F ( z) ⎦

(8.18)

Bos-Jenkins :

⎡ B( z ) ⎤ ⎡ C ( z) ⎤ A( z ) y (t ) = ⎢ ⎥ u (t − nk ) + ⎢ ⎥ e(t ) ⎣ F ( z) ⎦ ⎣ D( z ) ⎦

(8.19)

V mnoha případech můžeme použít „klasický“ popis soustavy ve stavovém prostoru : x(t + 1) = A x(t ) + B u (t ) + K e(t ) , y (t ) = C x(t ) + D u (t ) + e(t ) .

(8.20)

K hodnocení těchto lineárních modelů se používá zejména index FPE (Akaike’s Final Prediction Error) nebo AIC (Information Theoretic Criterion). Tyto indexy jsou definovány vztahy (8.21) resp. (8.22). n ⎛ ⎜ 1+ N FPE = ⎜ ⎜⎜ 1 − n N ⎝

⎞ ⎟ ⎟V , ⎟⎟ ⎠

⎡⎛ 2 n ⎞ ⎤ AIC = log ⎢⎜1 + ⎟V , N ⎠ ⎥⎦ ⎣⎝

(8.21)

(8.22)

kde n je počet odhadovaných parametrů, N je rozměr vektoru a V je suma čtverců odchylek.

8.5.2

Identifikace nelineárních soustav

Neuronové sítě jsou vhodné především pro popis chování silně nelineárních soustav. Schéma identifikace soustav pomocí neuronové sítě ( blok označený ANN ) je ukázáno na obr. 8.18.

Obr. 8.18 Schéma identifikace nelineárních soustav, sériově-paralelní identifikace (a), paralelní identifikace (b)


171

V sériově-paralelní konfiguraci je zpětná vazba vedena ze systému, v případě paralelní konfigurace vychází přímo z neuronové sítě. Za předpokladu, že identifikace je „typu BIBO“ (bounded input-boundedoutput), je sériově-paralelní identifikace výhodnější, protože všechny signály, použité pro identifikaci, jsou omezené. Naproti tomu u paralelní identifikace není zaručena (díky zpětné vazbě vycházející z modelu) stabilita. Obecně se dá říci, že problémy při identifikaci dynamických soustav, jsou následující : • volba vhodné topologie sítě (počet vrstev a počet neuronů v těchto vrstvách a jejich přenosové funkce), • volba počtu minulých hodnot vstupů a výstupů systému, tzn. rozměry vektorů u(t) a y(t). Při velkém počtu skrytých neuronů dochází ke špatné generalizaci a rozkmitání výstupu neuronového modelu identifikované soustavy. Na schopnost generalizace má také vliv délka učení – při překročení určité optimální doby (těžko definované) dochází ke zhoršení přesnosti výsledků. Výhodou použití neuronových sítí pro identifikační úlohy je ale to, že není nutno znát matematický model soustavy (v případě pohonových soustav se jedná například o součinitele tlumení a vůlí v subsoustavách s ozubenými převody). Další výhodou je možnost použití pro soustavy se silnými nelinearitami.

8.5.3

Využití neuronové sítě při identifikaci parametrů mechanické soustavy – příklad ([2], kapitola 34)

Je známa řada identifikačních procedur, často dobře ověřených technickou praxí. Jsou ale také známy omezující faktory, které použití těchto procedur znesnadňují, například předpoklad linearity soustav, stacionarity, případně normality procesů, které v těchto soustavách probíhají apod. Neuronové sítě nabízejí další možnost, kterou lze pro identifikaci využít. A na tu se nyní podíváme. Na mechanické soustavě, kterou představovala převodová skříň automobilu s možným záběrem pěti rychlostních stupňů, viz tabulka 8.2, obr. a), bylo proměřováno frekvenční spektrum torzních kmitů hřídele. Frekvenční spektrum obsahovalo vždy 512 spektrálních čar (tabulka očekávaných frekvencí a jejich spektrum jsou znázorněny na obrázcích v tabulce 8.3).Spektrální čára byly zlogaritmovány, čímž se dosáhlo zvýšení informační kvality spekter (vzhledem k charakteru použité nelinearity aktivačních funkcí neuronů síť nemůže dobře reagovat na vektory stimulů s příliš velkým rozsahem hodnot v jednotlivých složkách). Měření bylo provedeno celkem 360× pro různé variace hodnot parametrů tuhosti K a tlumení B, nastavené úrovně tuhosti, tlumení a vůle v ozubení jsou vyznačeny na obr. a) v tabulce 8.2. Budící frekvence byla proměnná ve dvou variantách : • v rozsahu od 2.5 Hz do 14 Hz s krokem 0.5 Hz a • v rozsahu od 14 Hz do 40 Hz s krokem 1 Hz. Měřící systém a vyhodnocování veličin byly řízeny počítačem, vzorkovací frekvence byly f1 = 512 Hz a f2 = 1024 Hz.

172


Tab. 8.2 Využití neuronové sítě při identifikaci parametrů mechanické dynamické soustavy

Naměřené hodnoty jsme použili k natrénování neuronové sítě, vytvořené pro odhady parametrů tuhosti, tlumení a případně i vůle v ozubení hlavní hřídele převodovky. Úlohu jsme formulovali takto: z daného frekvenčního amplitudového spektra torzních kmitů hřídele odhadnout odpovídající velikosti hodnot parametrů K, B, případně V (tj. rozpoznat, o jaké


173

nastavení parametrů soustavy se jedná). Hodnoty těchto parametrů jsou ale z velmi malých diskrétních množin. Proto byly úloha přeformulována na úlohu klasifikace spekter podle 7 atributů, každý atribut pak odpovídá jedné z možných kombinací hodnot parametrů K a B. Tabulka očekávaných frekvencí Oblast nízkých kmitočtů Provozní frekvence (PF) (otáčková)

Interharmonické frekvence (IHF)

Vlastní frekvence (VF)

Kombinované frekvence (KF)

Zubové frekvence (ZY) {ZF = z.PF}

PF 2 × PF 3 × PF 0,5 × PF 1,5 × PF 2,5 × PF I. VF 0,5 × I. VF 2 × I. VF II. VF 0,5 × II. VF 2 × II. VF 2 × PF + 0,5 × I. VF PF + I. VF 2 × PF + I. VF 2 × PF + 2 × I. VF 1. převodový stupeň 2. převodový stupeň 3. převodový stupeň 4. převodový stupeň

[Hz] do 5,0 14,16 28,32 42,48 7,08 21,25 35,42 43,91 21,96 87,82 322,1 161,1 644,2 50,28 58,07 72,23 116,1 184,1 325,7 424,9 580,6

Tab. 8.3 Využití neuronové sítě při identifikaci parametrů mechanické dynamické soustavy

174


Použitá neuronová síť byla popsána pomocí orientovaného grafu s ohodnocenými hranami a uzly, síť se dynamicky měnila v čase. Uzly grafu reprezentovaly neurony, popsané množinou {1,..., n}. Tato množina, spolu s množinami hran grafu, tvořenou uspořádanými dvojicemi (i, j) udává topologii sítě, viz tabulka 8.2 obr. b). Popsaná neuronový model vykazoval velmi dobrou úspěšnost při ověřování testovacími množinami spekter. Síť byla naučena několikrát pro různé náhodné výběry testovacích faktů. Při testování jednotlivých případů – viz obr. d) v tabulce 8.2, byly reakce sítě úspěšné v 85 až 90 % případech. V aktivním režimu je navíc pro dané frekvenční spektrum k dispozici odhad hodnot parametrů tuhosti K a tlumení B již za několik sekund. Popisovaný neuronový model mechanické soustavy lze hodnotit jako prakticky použitelný. Poznámka : Jako softwarového nástroje bylo při uvedených experimentech užito programu BrainMaker Professional, verze 2.0 fy California Scientific Software.

8.6

Automatizovaný návrh neuronové sítě pro řízení nelineární dynamické soustavy

8.6.1

Úvodní poznámka

Klasické řízení dynamických soustav je založeno na znalosti matematických modelů řízených soustav, buď ve formě soustavy přenosových funkcí nebo ve formě stavových rovnic. Takové modely mohou být v případě nelineárních soustav velmi komplikované a řešení v reálném čase může být velmi problematické. Naproti tomu neuronová síť matematický model nepotřebuje, i když její použití přináší také celou řadu problémů. Navržený koncept přímého neuronového řízení umožňuje realizovat řídící jednotku jako dopřednou umělou neuronovou síť (ANN) a relativně jednoduše ji off-line natrénovat na datech získaných přímo z řízené soustavy. V tomto pojetí je úlohou zásadního významu úloha identifikace soustavy pomocí neuronové sítě. Dobře natrénovaná neuronová síť je robustní, odolná proti šumu, má velmi krátkou dobu odezvy a nevyžaduje vytvoření matematického modelu řešené soustavy. Použití neuronových sítí pro řešení reálných úloh ale také naráží na problémy. Především na značnou výpočetní náročnost v tréninkové fázi, obtížnou verifikovatelnost výstupu sítě a na určení optimální topologie sítě. Proto byla pozornost zaměřena na automatické vytváření topologie sítě spolu s jejím trénováním, založeným na genetickém algoritmu (viz paragraf 2.6 a Kapitola 9) a vychází z prací [29] a [30]. Poznámka : některé pojmy, užité v následujícím textu, jsou definovány v paragrafu 9.1.


175

Optimalizace topologie ANN

Při návrhu topologie ANN se nejčastěji vychází z empirie. Využívají se konstruktivistické přístupy, tzn. že počáteční topologie může být během každé iterace modifikována přidáním nebo eliminací neuronů nebo přidáním jejich propojení. V každé iteraci je přidán nebo odebrán neuron, případně synoptické propojení. I když je tímto umožněno jisté zlepšení topologie, vychází tato metodika z jistého počátečního řešení, které nemusí být optimální. Konstruktivistické algoritmy ale nemohou generovat modulární strukturu sítě a negenerují ANN složené z různých funkčních jednotek. Druhou možností je práce s kódem, který topologii popisuje. Topologie ANN může být kódována různými způsoby, které jsou založený na třech základních třídách metod : • přímé kódování – kóduje se datová struktura grafu, například matice propojení sítě. Tento způsob není příliš efektivní, protože pro kódování sítě o n neuronech je třeba chromozomu o délce n2. Mohou se objevit i další problémy – provádění rekombinace přímo na propojeních může vytvářet nefunkční sítě. • Parametrizované kódovaní – kóduje se seznam vhodně zvolených parametrů, například počet vrstev, velikost vrstev a způsob, jak jsou tyto vrstvy propojeny. Volba parametrizace ale omezuje rozsah kódovatelných architektur. • Gramatické kódování – kóduje se tzv. přepisovací gramatika, která může být chápána jako rekurzivní. Při vytváření ANN podle daného chromozomu se vychází z počáteční datové struktury, která je přepisována postupnou aplikací pravidel gramatiky zakódovaných v chromozómu. Po vyčerpání pravidel může struktura dostat výslednou podobu pomocí jednoduché transformace. Takový způsob kódování dovoluje generovat skupinu příbuzných neuronových sítí. Cílem je optimalizovat pravidla gramatiky místo optimalizace ANN. Celulární kódování

Celulární kódování ANN představuje druh gramatického kódování. Pravidel gramatiky je zde užito na uzly orientovaného grafu s uspořádanými hranami, tzv. buňky. Každá buňka může číst celulární kód, V závislosti na přečteném symbolu se buňka může dělit nebo měnit své vnitřní parametry, až se nakonec stane neuronem. Nově vzniklé buňky opět mohou číst symboly, které tak představují instrukce pro vývoj topologie. Pořadí čtení symbolů buňkami lze vyjádřit graficky. Pokud se buňka po přečtení určitého symbolu rozdělí na dvě nové buňky, z nichž každá je připravena číst nové symboly, lze to chápat tak, že nově čtené symboly budou následníky původního symbolu. Protože jsou symboly čteny vždy na odlišných místech, nemohou následníci splynout. Protože obě nové buňky musí mít jednoznačně přiřazeny polohy symbolů ke čtení, musí mít vyvíjená síť grafické vyjádření ve formě celulárního kódu, tj. musí mít uspořádané hrany a musí být definováno přiřazení konkrétního symbolu konkrétní buňce. Během jednoho kroku

176


vývojového procesu provádí buňka instrukci definovanou symbolem, který si přečte a připraví se na čtení symbolu posunutého ve stromovém grafu směrem dolů.

Obr. 8.19 Příklad vývoje sítě

Vývoj ANN začíná s tzv. prvotní buňkou, propojenou s buňkami indikátoru vstupu a výstupu. Indikátorové buňky nemohou číst žádný symbol. V počátečním kroku vývojového procesu je čtení prvotní buňky umístěno na kořen stromového grafu. Jak je buňka v dalších krocích opakovaně dělena, umožňuje vznik dalších buněk, které se jednou musí stát neurony a vytvářejí tak ANN. Jakmile se buňka stane neuronem, nemůže už číst žádný symbol a její vývoj je ukončen. Na konci


177

vývoje je buňka indikátoru vstupu spojena s množinou vstupních neuronů a buňka indikátoru výstupu je spojena s množinou výstupních neuronů. Po ukončení vývoje jsou buňky indikátorů zrušeny. Příklad vývoje ANN je znázorněn na obr. 8.19. Použité symboly celulárního kódování

Pro vývoj topologie ANN jsou zásadní následující symboly: • symbol sériového dělení SEQ vytváří dvě buňky z jedné. První vzniklá buňka dědí vstupní hrany, druhá dědí výstupní hrany původní buňky. První buňka je propojena s druhou buňkou hranou s náhodnou vahou. • Symbol paralelního dělení PAR vytváří opět dvě buňky z jedné. Obě vzniklé buňky ale dědí jak vstupní tak i výstupní propojení původní buňky. • Symbol prořezání CUT odstraní z generované sítě hranu předepsanou parametrem buňky. • Čekací symbol WAIT zpožďuje zpracování dalšího symbolu (jeho uzel má výstupní aritu rovnu 1). Příprava na zpracování dalšího symbolu je stejná jako u symbolu CUT. • Ukončovací symbol END znamená, že buňka ztrácí možnost čtení a stává se neuronem. • Symbol polosériového dělení TRIG vytváří dvě buňky z jedné (jeho uzel má výstupní aritu rovnu 2). První buňka dědí vstupní i výstupní hrany a je propojena s druhou buňkou hranou a náhodnou vahou. Druhá buňka je propojena opět hranou s náhodnou vahou s buňkou, do které z první buňky směřuje hrana předepsaná parametrem symbolu. Do každého z genů jsou kromě symbolů kódovány ještě : • parametry určující profil nové buňky (zejména typ aktivační a signálové funkce budoucího neuronu, PAR, SEQ, TRIG), • parametr symbolu (TRIG, CUT), • reference na hodnoty vah vstupních a výstupních, i výstupních hran, které nově vznikly zpracováním symbolů (PAR, SEQ, TRIG). Takto se archivují dosažené hodnoty vah pro použití v dalším jedinci,

8.6.2

Evoluční ANN

Pro manipulaci se zakódovanou topologií je použit genetický algoritmus se zobecněnými genetickými operátory. Alelou je množina symbolů uzlů, jako geny jsou chápány uzly (pod)stromů a stromy jsou chápány jako chromozomy (výklad pojmů viz paragraf 9.1). Použité zobecněné genetické operátory:

Mezi použité zobecněné operátory se především řadí následující : • operátor vytvoření • operátor selekce

178

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • operátor křížení • operátor mutace.

Operátor vytvoření

Operátor vytvoření sítě představuje vlastně dva operátory. První, který náhodně vytváří strom chromozomu, vychází z kořenového uzlu (viz obr. 8.19, pozice 1) sestavovaného stromu, resp. podstromu. Přidávají se další uzly (přímí následníci), symboly uzlů jsou generovány náhodně. Poté se kontroluje, může-li takto vytvořený strom (resp.podstrom) popisovat síť s požadovaným počtem vstupních a výstupních neuronů (resp. s přírůstky neuronů) a s celkovým počtem neuronů nepřekračujícím daný limit. Pokud tomu tak není, jsou opraveny symboly naposledy vygenerovaných uzlů (v jistých mezích náhodně) tak, aby bylo limitnímu kritériu vyhověno. Přidávání uzlů je ukončeno v okamžiku, kdy je naplněn požadovaný počet vstupních a výstupních neuronů. Jde-li o operátor populace, je kořenový uzel vždy SEQ, je-li o operátor jedince, je symbol kořenového uzlu získám náhodně. Je-li pravděpodobnost výskytu symbolů v (pod)stromu stejná, má (pod)strom tendenci předepisovat (pod)síť s malým počtem hran. Protože v navržené množině symbolů generují hrany pouze symboly PAR, SEQ a TRIG, je vhodné posílit pravděpodobnost jejich výskytu v (pod)stromu. Symbol PAR je nejvýraznějším generátorem hran, jeho provedením vzniká nová buňka a nejméně dvě nové hrany. Na rozdíl od toho, symboly SEQ i TRIG vytvářejí novou buňku a vždy dvě nové hrany. Symbol CUT přímo likviduje hranu a symbol END nepřímo také, protože ukončuje vývoj buňky. Symbol TRG ale předepisuje lineární přenos mezi vzdálenými vrstvami ANN. Zdá se proto, že je výhodné provádět konstrukci náhodně generovaných chromozomů s použitím symbolů a pravděpodobnostmi výskytu přibližně v pořadí – od nejvyšší k nejnižší – PAR, TRIG, SEQ, END, WAIT, CUT. Operátor selekce

Operátor selekce je operátorem populace. Setřídí individua populace podle úspěšnosti. Pak jsou zničena individua méně úspěšné poloviny populace, provede se křížení, případně mutace a podle získaného chromozomu je vytvořena ANN. Pro zlepšení vlastností je tato ANN trénována obvyklým způsobem gradientním algoritmem. Trénování se obvykle omezuje jen na několik desítek iterací algoritmu. Pro každou novou ANN se průběhy odezvy srovnávají s testovacím příkladem. Úspěšnost je posuzována podle dosažení minimální globální chyby. Operátor křížení

Operátor křížení je rovněž operátorem populace. Používá se křížení s jedním nebo dvěma potomky. Při křížení s jedním potomkem se náhodně vyberou dva rodiče, vzniká jedno nové individuum (potomek) s chromozomem prvního rodiče, ve kterém je nahrazen náhodně vybraný podstrom


179

náhodně vybraným podstromem chromozomu druhého rodiče. Výběr podstromu chromozomu druhého rodiče je náhodný a opakuje se až do okamžiku, kdy jsou splněny následující omezující podmínky : • podstrom nemění ani počet vstupních neuronů ani výstupních neuronů potomka, • celkový počet neuronů sítě nepřesáhne stanovený limit, • topologie sítě potomka se v populaci ještě nevyskytuje Není-li úspěšně nalezen podstrom chromozomu druhého rodiče během povoleného počtu pokusů, provede se nový náhodný výběr podstromu chromozomu prvního rodiče a postup s hledáním podstromu chromozomu druhého rodiče se opakuje. Vyčerpá-li se limit opakování náhodných výběrů podstromů chromozomu prvého rodiče a výsledek je negativní, má se za to, že jsou rodiče nekřížitelní a provede se nový výběr rodičů. Pokud selže i párování všech potenciálních rodičů, je celá populace považována za nekřížitelnou. Při křížení se dvěma potomky se postupuje obdobně. První potomek má chromozom prvního rodiče, druhý potomek má chromozom druhého rodiče, přičemž v obou chromozomech jsou prohozeny náhodně vybrané podstromy. Náhodné výběry podstromů se provádějí stejným způsobem jako v případě křížení s jedním potomkem.

Obr. 8.20 Příklad použití operátorů křížení

180


Rozdíl vlivu křížení s jedním a dvěma potomky na evoluci není markantní. Křížení s jedním potomkem ale umožňuje snadnější realizaci omezujících podmínek, kladených na náhodný výběr podstromů. Příklad použití operátorů křížení je znázorněn na obr. 8.20. Operátor mutace

Operátor mutace je operátorem jedince. Setkáváme se s tzv. mutací povrchní, mutací prohloubenou a mutací hlubokou. Všechny typy mutací se provádí tak, aby nebyly změněny počty vstupních a výstupních neuronů, aby celkový počet neuronů v síti nepřesáhl stanovený limit a aby se topologie sítě individua v populaci ještě nevyskytovala (společné podmínka pro všechny typy mutací). Povrchní mutace náhodně vybere gen chromozomu a náhodně změní jeho symbol tak, aby měl

totožnou aritu s původním symbolem a aby bylo vyhověno společným podmínkám, kladeným na operátory mutace. Prohloubená mutace pracuje stejně jako předešlá s výjimkou mutace symbolu genu END,

který je možné nahradit genem s jakýmkoliv symbolem různým od END, který má jako přímé následníky pouze geny se symbolem END. Je-li provedena náhrada symbolem TRIG nebo CUT, je náhodně nastavena také hodnota parametru určujícího hranu. Hluboká mutace používá na individuu operátoru vytvoření. Nahradí v chromozomu podstrom

náhodně vybraného genu, včetně tohoto genu, podstromem získaným pomocí operátoru vytvoření tak, aby bylo vyhověno společným podmínkám operátorů mutace. Ani povrchní, ani prohloubená mutace nemají na populaci zásadní vliv. Pozitivní je pouze vliv hluboké mutace, která je ale jen řídce prováděná (cca max. 5 % jedinců populace). Detektory genetických defektů

Určité typy geneticky vadných chromozomů mohou mít na populaci velmi negativní vliv. Za geneticky vadné chromozomy považujeme : • chromozom o nadměrné velikosti, který obsahuje vetší počet symbolů než určuje limit, • řídký chromozóm, který vytváří sítě obsahující ve skryté nebo výstupní vrstvě neurony se vstupní i výstupní aritou rovnou 1. Zachycení genetických vad umožňují tzv. detektory genetických vad. Tyto prostředky umožňují jedince z dalšího zpracování vyloučit. Pozitivní vliv na nižší počet genetických efektů má použití více generátorů pseudonáhodných posloupností, které příznivě ovlivňuje rozmanitost chromozomů jedinců populace, což obecně zlepšuje dosahované výsledky.


8.6.3

181

Použitý koncept řízení

Využijeme schématu přímého řízení, ve kterém je řídící jednotka koncipována tak, aby se chovala inverzně vzhledem k řízené soustavě (tj.jednotka vzniklá prohozením vstupů a výstupů řízené soustavy). Uvažujme tedy přímé adaptivní řízení soustavy se vstupně-výstupní reprezentaci y p (k + 1) = f p [y p (k ), y p (k − 1),… , y p ( k − np + 1), u( k ), u( k − 1),… , u( k − mp + 1)] ,

(8.23)

s řídící jednotkou u(k + 1) = fc [u(k ), u(k − 1),… , u(k − nc + 1), r (k ), r (k − 1),… , r ( k − mc + 1)]

(8.24)

a s referenčním modelem y r (k + d ) = r (k ) ,

kde y p (…) , u(…) , y r (…) , r (…) jsou členy diskrétní časové posloupnosti. Po řadě označují výstupní vektor soustavy, řídicí vstupní vektor soustavy, výstupní vektor referenčního modelu a řídicí vstupní vektor referenčního modelu. Pro lim[y p (k ) − y r (k )] = 0 , což je triviálně splněno například v případě kdy y p (k ) = y r (k ) , přejde rov. (8.23) do tvaru

r (k − d + 1) = f p [r (k − d ), r (k − d − 1),… , r (k − d − np + 1), u(k ), u(k − 1),… , u(k − mp + 1)] .

(8.25)

Volbou d = 0 , mc = np − 1 , nc = mp − 1 , dostaneme

r (k + 1) = f p [r (k ), r (k − 1),… , r (k − np + 1), u(k ), u(k − 1),… , u(k − mp + 1)] ,

(8.26)

u(k ) = fc [u(k − 1), u(k − 2),… , u(k − mp + 1), r (k − 1), r (k − 2),… , r (k − np + 1)]

(8.27)

přičemž (podle Zaratha) fc[...] existuje při dostatečně velkých hodnotách mp a np. Budeme-li znát dostatečný počet dvojic dostatečně dlouhých posloupností vstupů řízené soustav {u(t)}k a dostatečně dlouhých posloupností výstupů soustavy {r(t)}, lze odhadnout funkci fc[...] bez znalosti funkce fp[...] jako řešení problému identifikace dynamického systému dopřednou ANN (Zaratha). Trénink i testování je možné provádět off-line na hodnotách vektorů {r (t )}i a {u(t )}i pro různá k, k

k

ať již tyto hodnoty získáme měřením řízené soustavy nebo výpočtem na jejím simulačním modelu. Získané výsledky aplikací na řadě nelineárních soustav ukázaly, že popsaný postup automatického navrhování struktur ANN je použitelný. Přitom geneticky generované ANN šetří asi 30 % neuronů a až 60 % propojení oproti standardní topologii při stejném – nebo i lepším chování (globální chyby). Takto získané topologie mají navíc zpravidla lepší generalizační vlastnosti, což se projevuje například velmi malou citlivostí chování soustavy vůči změnám parametrů řízené soustavy. Nevýhodou popsaného postupu zůstává jeho vysoká výpočetní náročnost. Pro její snížení lze ale využít skutečnosti, že genetické programování je ideální k paralelním implementacím, především ve fázi používání zobecněných genetických operátorů.

182


GENETICKÉ ALGORITMY A GENETICKÉ PROGRAMOVÁNÍ

9

183

Genetické algoritmy a genetické programování [25] Genetický algoritmus je v podstatě stochastická optimalizační metoda, umožňující částečně ná-

hodné a částečně řízené prohledávání prostoru možných řešení a uchování dosud nejlepších nalezených řešení. Základem je využití analogie mezi optimalizací vlastností živých objektů (popsané Darwinovou evoluční teorií), Mendlovými zákony genetiky a optimalizací parametrů technických objektů.

Vstupy do algoritmu představují : • matematický model zkoumané soustavy, • účelová funkce soustavy a • obory hodnot hledaných parametrů.

Výstupy z algoritmu představují :

množina hledaných parametrů systému a míra splnění

účelové funkce.

Obecná struktura genetického algoritmu obsahuje : • datovou strukturu, • inicializační část a • pracovní část, tj. vyhodnocení, výběr, rekombinace a mutace.

9.1

Biologické kořeny genetických algoritmů [25]

Teorie genetických algoritmů byla odvozena na základě analogie s teorií evoluce (G. Mendel). Pro lepší pochopení této problematiky je vhodné znát alespoň základní pojmy a zákony genetiky. Soubor dědičných informací (genů) je z převážné části soustředěn v buněčném jádře, kde jsou geny vázány na zvláštní útvary – chromozomy. Genetická proměnlivost vzniká v důsledku buněčného dělení. Existují dva druhy buněčného dělení : mitóza a meióza. Při mitóze proběhne dělení chromozómů tak, že každá dceřiná buňka dostává úplnou sadu genů. Složitější pochod dělení, který probíhá u pohlavních buněk, je meióza. Soubor všech genů, které má organismus k dispozici, se nazývá genotyp. Soubor všech pozorovatelných vlastností a znaků se nazývá fenotyp a ten vzniká v důsledku projevů genotypu. Na konkrétním fenotypu a jeho projevech se podílejí i vlivy okolního prostředí, v němž se daný organismus nachází. Proto jedinci téhož genotypu mohou mít poněkud rozdílný fenotypový projev. Rozdílnost fenotypového projevu blízce příbuzných jedinců je podmíněna také uplatněním rozdílných forem totožných genů. Různé formy jednoho a téhož genu se nazývají alely. Každý gen může existovat nejméně ve dvou formách a to buď jako funkční nebo nefunkční alela. Pojem gen je proto zapotřebí chápat jako obecné označení, například gen pro určitou vlastnost, zatímco alela je konkrétní označení funkčního stavu, v jakém se daný gen nachází. Tatáž vlastnost může být

184


geneticky podmíněna buď párem funkčně shodných alel – tzv. homozygotním genotypem nebo párem funkčně rozdílných alel – heterozygotním genotypem. Fenotypový projev dané vlastnosti u heterozygotního organismu závisí na tom, jaký je mezi rozdílnými aleami vztah. Nejčastěji funkce jedné z alel překrývá ve fenotypu projev druhé alely. Takový vztah se nazývá vztahem dominance a recesivity. Heterozygotní organismus má v tomto případě stejný genotyp jako orga-

nismus, který je pro převládající alelu homozygotní. Moderní genetika je primárně založena na existenci tří zákonů (Mendel): 1. zákon o jednotnosti první generace kříženců – při vzájemném křížení homozygotů vzniká potomstvo, které je jednotné svým genotypem i fenotypem, 2. zákon o štěpení (segregaci) alel a jejich kombinací ve druhé generaci kříženců – při vzájemném křížení heterozygotů vzniká potomstvo, které je genotypově i fenotypově různorodé, přičemž poměrné zastoupení homozygotů a heterozygotů v tomto potomstvu je pravidelné a stálé, 3. zákon o nezávislých kombinacích alel různých alelových párů – při vzájemné křížení heterozygotních jedinců ve více genových párech vzniká genotypově a fenotypově různorodé potomstvo v němž je pravidelné a stálé zastoupení genotypů všech možných kombinací mezi rozdílnými alelami všech heterozygotních alelových párů.

9.2

Matematický popis genetického algoritmu

Mějme j-tý gen G j a množinu hodnot, kterých může nabývat, označme DG j = {g j1 ,… , g jm } , kde m > 0 a j = 1, 2, 3,… . Dále označíme i-tou posloupnost genů jako genetický řetězec GR a zapíšeme jej ve tvaru GR i = {G1 , G 2 ,… , G p } , kde p > 0 je počet hledaných parametrů a i = 1, 2,3,… , n je počet řetězců populace. Populaci, která je konečnou posloupností n genetických řetězců, potom můžeme zapsat ve tvaru P = {GR1 , GR 2 ,… , GR n } , kde n musí být větší než 4 z důvodů proveditelnosti rekombinace. Dále definujme kriteriální funkci f (GR i ) , která každému GR v populace P přiřadí reálnou hodnotu chyby. Tato chyba jednoznačně odpovídá míře úspěšnosti řešení, které daný GR představuje. Základní čtyři kroky GA, které se během výpočtů cyklicky provádějí, lze matematicky formulovat následovně :

A : Ohodnocení Spočívá v postupném dosazování genetických řetězců GR i do účelové funkce f (GR i ) pro i = 1, 2,3,… , n . Během ohodnocení se každému GR i přiřadí funkční hodnota chyby genetického

řetězce ε(GR i ) ε(GR i ) = f (GR i ) .


185

B : Výběr Populaci rozdělíme na dvě poloviny : • na lepší polovinu GR k , kde k = 1, 2,… , n / 2 a • na horší polovinu GR i , kde i = n / 2 + 1, n / 2 + 2,… , n . Procedura „výběr“ provádí uspořádání genetických řetězců podle jejich kvality, která byla určena v předcházejícím kroku funkční hodnotou účelové funkce. Po uspořádání musí pro každý GR platit, že f (GR k ) ≤ f (GR i ) , kde f (GR k ) je funkční hodnota GR v lepší polovině populace a f (GR i ) funkční hodnota v horší polovině populace.

C : Křížení Křížení spočívá v nahrazení horší poloviny i-té populace, kterou tvoří GR s většími chybami, novými GR vytvořenými křížením lepší poloviny i-té populace. Tím je vytvořena (i+1)-vá populace. Křížení se provádí vždy se dvěmi náhodně vybranými GR z lepší poloviny populace. Tak vzniknou dva nové genetické řetězce GR, které nahradí dva GR z horší poloviny populace. Existují dva způsoby, pomocí kterých lze křížení realizovat : 1. Křížení řízené rekombinačním indexem „c“ Ze dvou GR (rodičů) GR i a GR j , které jsou vybrány z lepší poloviny populace Pk , jsou vybrány dva nové GR (potomci) GR ′i a GR ′j a ty jsou vloženy do nové populace Pl . Nové GR jsou tedy vytvořeny záměnou genů od G c +1 až do konce podle následujícího předpisu : GR ′i = {(G1 )i , (G 2 )i ,… , (G c )i , (G c +1 ) j , (G c + 2 ) j ,… , (G n ) j } , GR ′j = {(G1 ) j , (G 2 ) j ,… , (G c ) j , (G c +1 )i , (G c + 2 )i ,… , (G n )i } .

2. Křížením náhodně vybraných genů Ze dvou GR (rodičů) GR i a GR j , které jsou vybrány z lepší poloviny populace Pk , jsou vytvořeny dva nové GR (potomci) GR i′ , GR ′j , které jsou opět vloženy do nové poloviny populace, která nahradí předcházející horší polovinu populace Pl . Nové GR jsou nyní vytvořeny záměnou náhodně vybraných genů gen etického řetězce podle vztahů GR ′i = {(G1 )i , (G 2 ) j , (G 3 )i , (G 4 )i , (G 5 ) j , (G 6 )i ,… , (G n ) j } , GR ′j = {(G1 ) j , (G 2 )i , (G 3 ) j , (G 4 ) j , (G 5 )i , (G 6 ) j ,… , (G n )i } .

D : Mutace Představuje nahrazení hodnot některých genů nových genetických řetězců, které vznikly křížením, novými odlišnými hodnotami z definovaných oborů hodnot.

186


Obr 9.1 Genetické algoritmy – evoluce a možná uspořádání

E: Doba výpočtů (rychlost evoluce) Nejrychleji probíhá rychlost výpočtů případě, kdy se struktura algoritmu nachází na hranici mezi chaosem a uspořádanou oblastí řešení, viz obr. 9.1a [42]. Na tuto hranici evoluční proces tlačí z oblasti chaosu kladná selekce (darwinovský přírodní výběr), dále kladná mutace (zlepšující se úspěšnost řešení), křížení genů s kladným účinkem a tzv. sexuální výběr. Naopak z uspořádané (a těžko proměnné) struktury na hranici chaosu tlačí evoluční proces do chaosu záporná mutace (mutace se zhoršující se kvalitou), záporná selekce, křížení genů s negativním výsledkem a neu-


187

trální mutace se zpožděným účinkem. Doba výpočtu algoritmu je závislé na rychlosti evolučního procesu. Aplikujeme-li genetické algoritmy na nelineární systémy, musíme počítat s tím, že se i malá změna počátečních podmínek projeví odlišným chováním, takže predikce jejich chování je pro dlouhé časové úseky nemožná. Složité nelineární systémy mají svoji historii, ale z daného aktuálního okamžiku nelze získat ani dlouhodobou předpověď chování systému ani vypočítat stav systému v minulosti. U složitých systémů se často jedná o síť s velkým počtem tzv. agentů, které pracují paralelně [43], (např. v lidském mozku je takovým agentem nervová buňka). Každý agent je součástí prostředí na které působí a které jej také ovlivňuje. Jedná se o vzájemné interakce mezi agenty, v důsledku čehož často dochází ke vzniku emergenčních vlastností (tj. anomálií), které může skupina agentů vytvořit jen kolektivně. To samostatný agent učinit nemůže. Evoluce tedy pracuje paralelním způsobem a probíhá formou postupné změny v paralelně se vyvíjejících podsystémech, které v důsledku vzájemného ovlivňování mohou přejít (v důsledku kladných zpětných vazeb) lavinovým skokem z jednoho stabilního stavu do druhého.

9.3

Modifikace a praktické aplikace genetických algoritmů [26]

Základní modifikace GA Genetické algoritmy, použité na řešení složitějších případů v kombinaci s neuronovými sítěmi, vykazují řadu omezení. Nejzávažnějším nedostatkem je, že geny jsou vytvořeny na úrovni bytů. Při křížení na bitové úrovni dochází k půlení genů, čímž se produkuje mnoho nekvalitních genetických řetězců a výpočet je zbytečně dlouhý. Proto byl gen zobecněn a je možné jej volit ve formě bitu, slabiky, slova nebo reálného čísla.Dále bylo zavedeno křížení více úseků genového řetězce, každý gen má stanoveny své meze, ve kterých se může vyskytovat nebo se pro zkrácení výpočtů používá také funkce zoom, která redukuje obor hodnot hledaných parametrů na blízká okolí nejlepšího řešení. Podstatnou inovací GA je důsledné rozdělení každé populace na dvě části – lepší a horší, resp. na rodiče a potomky. Nejlepší rodiče neustále přežívají v jedné polovině a mohou být nahrazeni pouze nejlepšími potomky druhé poloviny. Významným zlepšením GA je zavedení další fáze do metodiky vyhodnocování – migrace. Ta urychluje proces nalezení globálního minima řešené úlohy. Úloha, řešená pomocí GA, je rozdělena na nezávislá řešení v několika malých populacích, z nichž nejlepší jedinci předávají své genetické informace do společné populace a vytvářejí tak bohatý genofond. Další výhodou je, že úloha může být paralelně řešena na více počítačích, zapojených do počítačové sítě. Jednotlivé počítače reprezentují izolované malé populace, v nichž probíhá náhodně generovaný vývoj nezávisle. Nejlepší potomci jsou prostřednictvím počítačové sítě posíláni do centrálního počítače, který obsahuje spo-

188


lečnou populaci nejlepších jedinců. Tak lze dosáhnout podstatného urychlení výpočtů při omezených paměťových možnostech jednotlivých PC.

Praktické aplikace GA Nejčastěji jsou GA nasazovány na problematiku optimalizace parametrů neznámé soustavy, jejíž matematický popis je buď velice komplikovaný nebo jej neznáme. V takovém případě obvykle stačí znát tzv. cenovou funkci, která označuje „cenu každého jedince v populaci“. Touto cenou bývá obvykle chyba daného řešení při náhodně zvolených parametrech během činnosti GA. Kromě řešení optimalizačních úloh jsou GA nasazovány v kombinaci s neuronovými sítěmi. Zde se GA využívají zejména v následujících případech: pro nalezení vhodných vah neuronové sítě a při optimalizaci struktury neuronové sítě, t,j, při výběru algoritmu, počtu vstupních neuronů, počtu neuronů ve skrytých vrstvách, při výběru počtu skrytých vrstev apod. Velmi efektivní je optimalizace parametrů genetického algoritmu (tj. výběr velikosti populace, počet křížení, rozsah a četnost mutací) pomocí genetického algoritmu (optimalizace času výpočtu kdy čas výpočtu je cenovou funkcí GA). Genetické algoritmy byly také použitý v elektrotechnických úlohách, např. při identifikaci parametrů náhradních schémat asynchronních motorů.

Paralelní genetické algoritmy [44] Paralelní genetické algoritmy (PGA – Paralel Genetic Algorithms) jsou výkonné stochastické prohledávací strategie inspirované přírodou, které dovolují řešit větší a složitější problémy, často rychleji než „klasické“ aplikace GA. Používají se tři modely PGA: farmářský model (farming model), migrační model a difusní model. Poslední dva modely jsou také známy pod názvem distribuované genetické algoritmy (DGA). Paralelní genetický algoritmus pracuje s nezávislými podmnožinami v nichž probíhá evoluce částečně izolovaně (dále jen podpopulace). Pojem paralelní nebo sekvenční se vztahuje k populačním strukturám, nikoliv k hardwaru, na která jsou genetické algoritmy implementovány. Při simulaci PGA mohou být procesy nad podpopulacemi prováděny současně v procesorech multiprocesorové soustavy nebo multiplexně v programových blocích počítače s jedním procesorem. Výše jsme definovali migraci jako smísení určité populace s jinou populací. Jejím důsledkem je zařazení cizích alel do genového fondu původní populace. Migrace může být jak jednosměrná, tak i obousměrná (u sousedních populací), jednorázová, periodická nebo trvalá. Kombinací migrace, selekce, a genového posunu může v populaci nastat genetická rovnováha se stálým rozdělením genotypových četností. Jednotlivé migrační modely se liší strukturou propojení jednotlivých populací. Struktury migračních modelů tak mohou být s centralizovaným, hierarchickým, kruhovým, kruhovým centralizovaným, mřížkovým (maticovým) i toroidním uspořádáním. Velmi dobrých výsledků lze dosáhnout u toroidních struktur, protože zde má každá populace stejný počet sousedů a neexistují zde migrační problémy u okrajových populací. Je také známo, že při použití víceúrovňových hierarchických struktur se může dosáhnout významného zkrácení doby výpočtu, zvětšuje-li se


189

počet úrovní. Každý hierarchický víceúrovňový systém uspořádání je složen z jednodušších podsystémů, které mohou být vytvořeny z dalších podsystémů nižšího řadu, tyto z dalších podsystémů, atd. Vztahy uvnitř hierarchického systémů pak lze rozdělit n horizontální a vertikální, viz obr. 9.1b. Horizontální vztahy jsou vztahy mezi podsystémy definovanými na stejné úrovni. Vertikální vztahy jsou vztahy mezi podsystémy na různých úrovních. Definování různého charakteru vztahů na různých organizačních úrovních (hladinách) má zásadní význam, protože se zvyšující se vertikální organizovaností se objevují nové vztahy, které na nižších organizačních hladinách neexistují. To znamená, že se objevují i kvalitativně nové vlastnosti, které nemají podsystémy. Hierarchické uspořádání umožňuje uplatnění tzv. stavebnicového principu, charakterizovaného tím, že z prvků, užitých v různých vztazích, můžeme vytvořit systémy kvalitativně odlišné. Jiná struktura organizace hierarchických systémů je ukázána na obr 9.1c. Pro různé organizační úrovně je nutné použít metody, které jsou pro dané hladiny adekvátní. Tvorba složitě organizovaných hierarchických systémů probíhá stupňovitě postupným vytvářením relativně stabilních, stále vyšších celků. Doba k vytvoření konečného celku se zkrátí a navíc, při postupné výstavbě je možné eliminovat chyby vznikající náhodně na úrovni nějakého podsystému. Pravděpodobnost, že vznikne systém o správné konečné struktuře, se tak podstatně zvyšuje. Pro řízení pohonových soustav má zásadní význam pro hierarchické struktury pro popis regulačních obvodů. Regulační podsystém, ležící na vyšší úrovni, je vždy nadřazen podsystémům nižšího řadu. Nejvyšší řídící centrum získává pak zpravidla omezené množství informací, ale právě ty, které jsou pro řízení globální soustavy a pro zajištění její stability nezbytné.

9.4

Závěrečná doporučení

Genetické algoritmy překvapivě dobře fungují při řešení problémů, kde téměř všechny ostatní algoritmy selhávají v důsledku neúplných dat a informací o řešených úlohách. Některá doporučení : počet řetězců v populaci se doporučuje volit 32 až 160, počet mutovaných genů 25 % z nově vytvořené poloviny, maximální velikost mutace na počátku 100% a postupní snižování na 10 %. Nevýhodou jsou značné časové nároky. Nemá smysl používat GA u relativně jednoduchých, optimalizovaných funkcí nebo u funkcí pro které existují speciální algoritmy pro jejich popis.

190


VYUŽITÍ FUZZY LOGIKY V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH

191

10 Využití fuzzy logiky v mechatronických soustavách [25] 10.1 Úvodní poznámka Fuzzy regulátory se v současnosti uplatňují jako nelineární regulátory v soustavách elektrických pohonů i v mechatronických soustavách. Využívají se především k řízení a regulaci servopohonů v obráběcích centrech, u střídavých regulovaných pohonů (s asynchronním motorem, synchronním motorem, apod.), kde se objevují značně komplikované algoritmy řízení. Jde zejména o vektorové řízení, které umožňuje řídit nezávisle magnetický tok ψ a moment stroje M, podobně jako u stejnosměrného motoru. U střídavých motorů se využívá pulzně šířkové napájení z frekvenčních měničů. V řídících algoritmech se hodně využívá principu stavového řízení s pozorovatelem stavových i poruchových veličin. Cílem těchto algoritmů e dosažení co nejlepších dynamických vlastností a co největších úspor energie,) spotřebované v pohonu. Uplatnění fuzzy logiky ve zmíněných algoritmech vede k jejich zefektivnění. Fuzzy logika umožňuje formalizovat některé dříve používané intuitivní postupy, dovoluje zjednodušit nelineární modely či adaptační principy v případech, kdy jsou soustavy s řízením s přímou vazbou stabilní nebo stabilizované. Pro návrh fuzzy logického řízení postačuje znát základní zákonitosti mezi vstupními a výstupními veličinami soustavy v nejjednodušším smyslu, například: zvětšení i-tého vstupu způsobí vždy zmenšení j-tého výstupu,a to bez znalosti poměrů mezi vstupem a výstupem, přičemž tyto poměry mohou být časově závislé nebo i nelineární.

10.2 Regulace rychlosti pohonů s využitím fuzzy logiky Návrhy parametrů klasických regulátorů rychlosti dávají uspokojivé výsledky v těch režimech, pro které byly regulátory navrženy. Při změnách zátěžného momentu nebo změnách momentu setrvačnosti pohonu se však vlastnosti regulace často výrazně zhoršují. Řešení tohoto problému umožňuje využití fuzzy logického řízení. V případě regulace rychlosti jsou vstupními proměnnými regulační odchylka e a její derivace podle času e′ = de / dt , výstupní veličinou pak je změna žádané hodnoty momentu motoru. Sestavování fuzzy pravidel se provádí intuitivně na základě zkušeností nebo je nutné tato pravidla ladit pomocí simulací nebo pomocí měření na reálné soustavě. Pro analýzu a návrh fuzzy regulátorů se využívá metod přímo pracujících s lingvistickými pojmy. Na základě blokového schématu je vytvořen jeho lingvistický model. Ve srovnání s klasickými regulátory jsou fuzzy regulátory robustnější a jsou schopné řídit i soustavy s relativně velkými změnami parametrů. Při překročení velkých odchylek parametrů se ale může stát soustava nestabilní. Pro tyto případy se využívají tzv. pružně fuzzy regulátory, (elastic fuzzy logic control).

192


Principy návrhu regulátorů : 1. jestliže je odchylka e(k) a její změna e´(k) nulová, měl by být žádaný regulační zásah (akční veličina či její derivace) nulová, 2. jestliže odchylka e(k) klesá k nule s postačující rychlostí, je vhodné změnit hodnotu akční veličiny, 3. jestliže se odchylka e(k) nekoriguje sama, pak regulační zásah je nenulový a záleží na znaménku a velikosti e(k) a e´/k).

Příklad fuzzy logického řízení stejnosměrného motoru Chování stejnosměrného motoru popisují rovnice U a = Ra ia + La Mi = J

dia +kω , dt

dω + Mz , dt

kde Ua, ia, Ra, La jsou napájecí napětí a proud, elektrický odpor a indukčnost kotvy motoru, Mi a J jsou moment motoru a moment setrvačnosti kotvy motoru, Mz zatěžující moment, ω je úhlová rychlost motoru a k je konstanta „tuhosti“ motoru. Na základě těchto rovnic je vytvořen simulační model regulované soustavy. – viz obr. 10.1.

Obr. 10.1 Simulační model regulované soustavy

Můžeme použít jak linearizovaný tak i nelineární model. Pro návrh fuzzy regulátoru je využit regulátor Mamdaniho typu. Regulovanou veličinou je regulační odchylka a její časová změny. Akční veličinou je změna napájecího napětí motoru. Pro řešený případ byl vybrán fuzzy regulátor „trojúhelníkového typu“ – viz tabulka na obr. 10.2 – se třemi lingvistickými proměnnými.

NL ZE PL

NL NL NL NL

ZE ZE ZE ZE

PL PL PL PL

Obr. 10.2 Báze pravidel fuzzy regulátoru


193

Rozsahy jazykových proměnných pokrývají symboly : NL – negativně velká změna, ZE – nulová změna, PL – pozitivně velká změna. Průběh úhlové rychlosti při regulaci fuzzy regulátorem pak je znázorněn na obr. 10.3

Obr. 10.3 Průběh úhlové rychlosti při regulaci fuzzy regulátorem.

Poznámka: o regulátoru Mamdaniho typu pojednáme podrobněji v následujícím paragrafu. Reálné soustavy jsou velmi časti nelineární a ustálené stavy se v nich nevyskytují příliš často. Jednou z výhod tzv. nestandardních metod ( jako jsou fuzzy regulátory a neuroregulátory ) je schopnost řízení takových nelineárních soustav. V dalších odstavcích se stručně zmíníme o řízení nelineárního dynamického systému pomocí fuzzy regulátoru a neuroregulátoru, které byly použity pro řízení úhlové rychlosti elektromechanické soustavy s nelineárním řízením. Výsledky budou porovnány s výsledky, dosaženými při řízení s s klasickým PI regulátorem.

10.3 Návrh fuzzy regulátoru Mamdaniho typu [27] Prvním krokem návrhu regulátoru je výběr proměnných a jejich tzv. fuzzifikace. V tomto případě jsou zvoleny jako vstupní hodnoty regulační odchylka a její změna v čase. Akční veličinou je změny napájecího napětí motoru v intervalu −2, +2 . Na základě provedených experimentů byly pro jednotlivé proměnné zvoleny trojúhelníkové funkce příslušnosti a pět lingvistických proměnných, jejichž průběh je patrný z obr. 10.4.

194


Obr. 10.4 Průběhy funkcí příslušnosti

Dalším krokem je vytvoření báze pravidel. Tato báze v daném případě obsahuje 25 tvrzení typu : jestliže odchylka je nulová a změny odchylky je nulová (antecedent, (AND) ), pak napětí je nulové (konsekvent). Použitá báze pravidel je uvedena v tabulce na obr. 10.5.

VZCH MZCH NCH MKCH VKCH

VZZCH MZCH NN MKN VKN VKN

MZZCH MZN NN NN VKN VKN

NZCH VZN MZN NN MKN VKN

MKZCH VZN VZN NN NN MKN

VKZCH VZN VZN MZN NN MKN

VZCH – velká záporná chyba, MZCH – malá záporná chyba, NCH – nulová chyba, MKCH – malá kladná chyba, VKCH – velká kladná chyba, VZZCH – velká záporná změna chyby, MZZCH – malá záporná změna chyby, NZCH – nulová změna chyby, MKZCH – malá kladná změna chyby, VKZCH – velká kladná změna chyby, VZN – velká záporná změna napětí, MZN – malá záporná změna napětí, NN – nulová změna napětí, MKN – malá kladná změna napětí, VKN – velká kladná změna napětí

Obr. 10.5 Báze pravidel

Nakonec uvedeme přehled algoritmů použitých pro implementaci návrhového procesu : 1. Fuzzifikace vstupů – tj. určení stupně příslušnosti jednotlivých proměnných k odpovídajícím funkcím příslušnosti, empiricky. 2. Aplikace fuzzy operátorů (tzv. T – operátorů) – pokud se antecedent skládá z více částí, je nutné použít fuzzy operátor k získání jen jedné hodnoty reprezentující výsledek antecedentu. Pro operátor ADN byla použita metoda minima. 3. Implikace – vstupem implikace na jedno číslo (určené antecedentem) a výstupem je fuzzy množina. Byla použita metoda minima (Mamdaniho implikace), která „ořeže“ výstupní fuzzy množinu. 4. Sjednocení výstupních množin – v tomto kroku se spojí výstupy ze všech pravidel. Byla použita metoda maxima.


195

5. Defuzzikace výstupu – v tomto kroku se převádí fuzzy množina na vstupu na jediné číslo na výstupu. Defuzzifikovaná ostrá hodnota odpovídá „těžišti plochy“, kterou vytvářejí sjednocené výstupní fuzzy množiny – tzv. metoda centroidu. Jistou nevýhodou tohoto přístupu je rozdílná účinnost T – operátorů (min, max, probabilistic or, produkt). Tuto nevýhodu odstraňuje nahrazení funkce těchto operátorů neuronovou sítí – neuro-fuzzy regulace – viz následující odstavec.

10.4 Návrh neuro-fuzzy regulátoru Neuro-fuzzy regulátor je obdobou fuzzy-regulátoru, avšak báze pravidel je v tomto případě uložena v neuronové síti. Vstupem do sítě jsou fuzzifikované hodnoty regulační odchylky a její změny, výstupem ze sítě je fuzzy množina změny napětí, která se defuzzifikuje metodou centroidů. Každé pravidlo v bázi pravidel představuje jeden trénovaní vzor. Trénovaní množina pro neuronovou síť byla vytvořena následujícím způsobem: universum každé fuzzy proměnné bylo rozděleno na 11 diskrétních hodnot v intervalu

−1,1 . Na takto

diskretizované množině se pro každý bod určil stupeň příslušnosti, například lingvistická proměnná VKCH – velká kladná chyba je reprezentována vektorem [ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6,1] nebo NZCH – nulovou změnu chyby reprezentuje vektor

[0, 0, 0, 0, 2, 0, 6, 0, 2, 0, 0, 0] .

Tyto

vektory pak tvoří celkem 22 vstupů neuronové sítě. Byla použita třívrstvá dopředná síť topologie CMP (complete multilayer perceptron, 22-8-11), z 22 vstupních neuronů je 11 použito pro regulační odchylku (označovanou jako chyba) a 11 pro její změnu (označenou jako změna chyby). Ve skryté vrstvě byla použita jako přenosová funkce neuronů logistická sigmoida, ve výstupní vrstvě byla použita lineární funkce. Pro trénování sítě byla použita Levenberg-Marquardtova modifikace algoritmu backpropagation – podrobnosti viz [27] a [28].

10.5 Výsledky numerické simulace Pro provedení simulačních výpočtů byl v SIMULINKU vytvořen model nelineárního dynamického systému. Pro návrh fuzzy regulátoru byl využit Fuzzy Logic toolbox. Pro trénování neuronové sítě byla využita knihovna funkcí Neural Network toolbox a pro simulaci byla použita metoda integrace ode3 (Bogacki-Shampine) s pevným krokem integrace 0,02 [s]. Pro konkrétní simulaci byl použit model servomotoru s následujícími parametry : odpor kotvy Ra = 1 Ω, indukčnost kotvy La = 0,05 H, moment setrvačnosti motoru J = 0,1 kgm2, jmenovité napájecí napětí ua = 440 V, napájecí proud ia = 24 A a jmenovité otáčky nn = 1420 min–1. Výsledky simulací s různými typy regulátorů jsou uvedeny na následujících obrázcích : • průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci PI regulátorem – obr. 10.6,

196


Obr. 10.6 Průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci PI regulátorem

Obr.10.7 Průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci fuzzy regulátorem

Obr.10.8 Průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci neuro-fuzzy regulátorem


197

• průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci fuzzy regulátorem – viz obr. 10.7, • průběh úhlové rychlosti servomotoru při regulaci neuro-fuzzy regulátorem – viz obr. 10.8.

Srovnání dosažených výsledků • Doba rozběhu u věch typů regulace byly přibližně stejná. PI regulátor ale generuje výrazné překmity, které jsou nevhodné s ohledem na doprovodné zvýšené dynamické namáhání soustavy. • Doba ustálení je při aplikaci fuzzy regulátoru delší. Lze ji ovlivnit omezujícími podmínkami pro maximální změnu napájecího napětí – výstupu z fuzzy regulátoru. • Po dosažení požadovaných otáček jsou srovnatelné výsledky opět u PI regulátoru a neurofuzzy regulátoru, Při použití neuro-fuzzy regulátoru není dosaženo ustálené odchylky – rozdíl činí 1,5 %, tento regulátor ale nejlépe reaguje na nelineární zatížení motoru. • Na nelineární zatížení motoru nejhůře reaguje fuzzy regulátor, což může být způsobeno tvarem funkcí příslušností, zvoleným univerzem nebo bází pravidel. Při srovnání s neurofuzzy regulátorem se zřejmě projevuje především vliv T operátorů ve fuzzy regulátoru. Výsledky numerických simulací ukazují, že pro danou třídu řešených úloh lze použít v podstatě všech pří typů regulátorů. Z hlediska regulace nelineárního zatížení nejlepší chování vykazoval neuro-fuzzy regulátor. Na druhé straně výhodou fuzzy regulátoru je jeho jednodušší syntéza, neexistují ale exaktní metody pro vytvoření báze pravidel. Výhodou neuro-fuzzy regulátoru je především odstranění vlivu T- operátoru, větší variabilita při navrhování regulátoru (různé parametry sítě-topologie, přenosové funkce, metody učení) bez nutnosti zásahu do báze pravidel. Další výhodou je možnost trénování již naučené sítě – problémem ale může být optimalizace topologie.

198


POLOHOVÉ ŘÍZENÍ VÍCEOSÝCH SERVOPOHONŮ MECHATRONICKÝCH SOUSTAV

199

11 Polohové řízení víceosých servopohonů mechatronických soustav [31, 32] 11.1 Úvodní poznámka Polohové řízení, tj. nastavování prostorových souřadnic nebo sledování prostorové trajektorie víceosých mechanických, resp. mechatronických soustav, jakými jsou například číslicově řízené výrobní stroje, manipulační a technologické roboty a v neposlední řadě vojenské, letecké i kosmické servosystémy, se provádí vektorovým skládáním pohybů tzv. osových servopohohonů, jejichž počet odpovídá počtu stupňů volnosti mechanické subsoustavy. Řízení polohy může být podle účelu použití dané mechanické soustavy buď „cílové (PTP – point to point)“ nebo „sledovací (CP – continuous path)“. My se přednostně budeme zabývat sledovacími systém, jejichž základním principem je „přesné“ sledování zadané trajektorie. Vzhledem k tomu, že obecná trajektorie je vytvářena vektorovým skládáním pohybů servopohonů v jednotlivých souřadnicových osách, lze formulovat základní požadavek na osový servopohon takto : servopohon musí sledovat řídící signál s minimální chybou a to jak při ustáleném pohybu, tak i při změnách rychlosti. V technické praxi se vyskytují převážně dva typy mechatronických soustav, u nichž se používá víceosého polohového řízení. Je to jednak „tuhý mechanismus“ s minimální vůlí v převodu a s vysokou tuhostí hřídele (posuvy obráběcích a tvářecích strojů nebo kreslící stoly apod.), jednak jsou to „poddajné mechanismy“, u kterých nižší tuhost vyplývá z konstrukčních principů, tak je tomu například u robotů a manipulátorů. Vysoká tuhost a vymezené vůle tuhých mechanismů umožňuje navrhovat a realizovat přesné a dynamicky kvalitní pohonové servomechanismy pomocí klasických prostředků lineární regulace, s návrhy regulátorů ve frekvenční oblasti s využitím optimalizačních metod. Výsledky jsou pro většinu aplikací vyhovující. Dosažení vyšší přesnosti a lepší dynamiky u poddajných mechanismů, s nižší tuhostí, lze při vymezení vůlí dosáhnout pomocí zpětnovazebního řízení, jsou-li měřitelné všechny stavové veličiny, případně pomocí stavového řízení s pozorovatelem, který rekonstruuje stavové proměnné, pokud nejsou měřeny, z měření výstupní hodnoty regulované soustavy. Přesné řízení rychlosti vyžaduje uzavřenou polohovou vazbu. Pro sledovací servomechanismy se nejčastěji používá kaskádní struktura regulačních smyček, v níž je polohová smyčka nadřazena rychlostní smyčce. Odchylka mezi žádanou a skutečnou polohou je vyhodnocována proporcionálním regulátorem polohy, jehož výstupem je žádaná hodnota rychlosti pro podřízený regulátor rychlosti.Pohon tedy sleduje zadávanou polohu s určitou odchylkou, přímo úměrnou rychlosti sledování. Za předpokladu, že polohové smyčky všech souřadných os mají stejná zesílení, sleduje

200


koncový bod při ustálené rychlosti zadávanou trajektorii (teoreticky) bez geometrické chyby. Princip polohového řízení ve dvou osách se znázorněn na obr. 11.1. Pohyb každé osy je řízen samostatným servopohonem v polohové vazbě, podřízená rychlostní smyčka je nahrazena kmitavým členem s vlastní frekvencí ωov, mechanická soustava obsahuje pružná spojení, vůli v převodu a je rovněž charakterizována kmitavým členem s nejnižšími rezonančními kmitočty ve směru os x a y tj. ωox a ωoy.

Obr. 11.1 Princip polohového řízení ve dvou osách

V dalším budeme analyzovat dynamické odchylky při změnách rychlosti a ukážeme je na příkladu sledování kružnice konstantní obvodovou rychlostí s alternativním uvažováním tuhého a pružného spojení rotoru se zátěží, s případnou vůlí v převodech a zhodnotíme také vliv různého zesílení v jednotlivých osách na deformaci tvaru objížděné kružnice.

11.2 Přímé a nepřímé odměřování při řízení polohy Tzv. přímé a nepřímé odměřování polohy rozlišujeme podle umístění polohy snímače. Při přímém odměřování se používají lineární snímače, je-li výsledný pohyb translační nebo rotační

snímače, je-li výsledný pohyb rotační. Nelinearity mechanického převodu jsou uvnitř polohové smyčky. Přesnost řízení polohy je vyšší při srovnání s nepřímým odměřováním, mohou však vzniknout potíže při nastavování dynamiky procesu. Rychlost sledování při jednotkové odchylce skutečné polohy od polohy zadané nse nazývá rychlostní konstantou polohové smyčky Kv. Čím vyšší je hodnota Kv, tím menší je chyba sledování polohy při dané rychlosti sledování. Zesílení proporcionálního regulátoru polohy v ose x, označeného Kvx je poměr rychlosti vx k polohové odchylce, tj. K vx = vx ( x * − x) −1 .

(11.1)

Zadávání trajektorie sledování se u soustav s přímým řízením provádí obvykle formou posloupnosti elementárních přírůstků dráhy v jednotlivých osách. Při nepřímém odměřování polohy je rotační snímač polohy připojen přímo na hřídel motoru. Výhoda spočívá v tom, že nelinearity mechanických převodů jsou vně uzavřené polohové smyčky,


201

což má příznivý vliv na kvalitu řídícího procesu a usnadňuje nastavování. Na druhé straně ale tyto nelinearity mechanického převodu způsobují dodatečnou chybu řízení polohy, kterou nelze pomocí regulace odstranit.

11.3 Dynamické vlastnosti polohového řízení Standardní strukturu polohového servomechanismu představuje uzavřená polohová smyčka s podřízenou rychlostní smyčkou. Další podřízenou smyčkou rychlostní smyčky bývá smyčka proudová nebo momentová. Proudová smyčka slouží k ochraně motoru před přetížením a k omezení maximálního momentu, který motor přenáší na mechanickou soustavu. Vzhledem k tomu, že je velmi rychlá, můžeme ji nahradit přenosem Fwi ( p) = K i (1 + p τ i ) −1 ,

(11.2)

kde Ki je zesílení proudové smyčky a τi je tzv. náhradní časová konstanta proudové smyčky, která bývá u pohonů napájených z tranzistorových měničů okolo 1 ms. Blokové schéma „klasického“ polohového řízení je patrné z obr. 11.2.

Obr. 11.2 Struktura regulačních smyček osového servopohonu

Použijeme-li pro regulaci rychlosti proporcionálně-integračního regulátoru, je přenos řízení otevřené rychlostní smyčky ve standardním tvaru Foω ( p) =

K R (1 + p 4τ i ) , p 2 (1 + p τ i )

(11.3)

kde KR zesílení rychlostní smyčky. Přenos řízení uzavřené otáčkové smyčky je Fwω ( p ) =

1 + p 4τ i . 2 1 3 τi 1 + p 4τ i + p +p KR KR

(11.4)

Kvalitu rychlostní smyčky lze posoudit z průběhu frekvenční charakteristiky nebo z přechodové funkce (odezva na jednotkový skok řízení).Charakteristickým parametrem uzavřené smyčky je tzv. pásmo frekvenční propustnosti, které udává mezní propustnou frekvenci při poklesu amplitudy o 3 dB nebo při fázovém posunu o 90°. Polohová regulační smyčka je nadřazená rychlostní smyčce, výstup polohového regulátoru je tedy žádanou hodnotou otáček. Charakteristickým znakem uzavřené polohové smyčky je její inte-

202


grační charakter. Parametrem, který určuje kvalitu polohové regulace, je rychlostní konstanta Kv. Z blokového schématu regulační struktury lze odvodit přenos otevřené polohové smyčky: Foϕ ( p ) =

Kv K Fwω ( p ) = v p p

1 + p 4τ i . τ 1 1 + p 4τ i + p 2 + p3 i KR KR

(11.5)

Přenos řízení uzavřené polohové smyčky je Fwϕ ( p) =

Foϕ ( p )

1 + Foϕ ( p)

=

Kv p

1 + p 4τ i ⎛ τi 1 ⎞ 1 2 4τ i 1 + p ⎜ 4τ i + + p3 + p4 ⎟+ p Kv ⎠ Kv KR Kv KR Kv ⎝

.

(11.6)

Uvedené přenosové funkce platí pro lineární soustavy s tuhou mechanickou vazbou mezi motorem a strojem. Uvažujeme-li vůle v převodech, případně poddajnosti mechanických vazeb, můžeme využít k popisu simulačních programů Matlab/Simulink. Blokové schéma polohového servomechanismu jedné souřadnicové osy s uvažováním pružného spojení mezi servomotorem a zátěží je ukázáno na obr. 11.3.

Obr. 11.3 Polohové řízení soustavy servomotor plus zátěžový mechanismus

Význam jednotlivých symbolů: moment servomotoru MM, zatěžovací moment ML, moment setrvačnosti rotoru servomotoru Jm, moment setrvačnosti zátěže JL, konstanta tuhosti pružné vazby ct konstanta tlumení pružné vazby ctl.

11.4 Dynamická odchylka při sledování polohy. Obecné trajektorie pohybu v prostoru lze získat složením parciálních pohybů ve směru souřadnicových os. Při použití proporcionálních regulátorů polohy ve směru jednotlivých os vzniká při změně pohybu dynamická odchylka mezi skutečnou a zadanou trajektorií. Pomocí programu Matlab/Simulink byly provedeny simulace objíždění kružnice o poloměru r rovině (x,y) z klidu a obvodovou rychlostí v. Byly použity dva osové servomotory, jejichž řídícími signály byly funkce :

POLOHOVÉ ŘÍZENÍ VÍCEOSÝCH SERVOPOHONŮ MECHATRONICKÝCH SOUSTAV x = r sin

vt r

y = r sin

vt r

203

a

viz obr. 11.4. Postupně byly uvažovány polohové servomechanismy tuhé, poddajné, tuhé s vůlí v převodu a poddajné s vůlí v převodu. K tomu byly vytvořeny pomocné subsystémy, označené „OSA X“ a „OSA Y“. Na obr. 11.5 je schéma osového servopohonu s tuhou mechanickou vazbou a nezvůle v převodu. Obrázky 11.6a,b ukazují výsledky simulací objíždění kružnice při různých Kv obou osách.

Obr. 11.4 Simulace objíždění kružnice

Obr. 11.5 Polohový servomechanismus s tuhou vazbou, bez vůle v převodu

Obr. 11.6 Objíždění kružnice při různém Kv rychlostí 9 m/min a 18 m/min

204


Na obr. 11.6 a je simulace objíždění kružnice o poloměru r = 30 mm obvodovou rychlostí 9 m/min, z klidu. Je zřejmé zkreslení tvaru kružnice a současné zmenšení jejího poloměru, které závisí na rychlosti sledování, jak je patrné z obr. 11.6b (zde byly : Kvx = 10 s–1 a Kvy = 15 s–1 ). Na obr.11.7 je schéma osového servopohonu s přímým odměřováním polohy, s tuhou vazbou a s vůlí v převodu. Obrázky 11.8 a,b pak ukazují výsledky simulací objíždění kružnice při různých obvodových rychlostech.

Obr. 11.7 Osový servomotor s vůlí v převodu a s přímým odměřováním polohy

Obr. 11.8 Objíždění kružnice pomocí servopohonu s vůlí v převodu a pří přímém odměřování polohy

Na obr. 11.8a je simulace objíždění kružnice o poloměru r = 19 mm obvodovou rychlostí 3,6 m/min a na obr. 11.8b je simulace objíždění stejné kružnice s obvodovou rychlostí 101 m/min. Vůle v převodu byla zvolena 0.02 rad. I v těchto případech je patrné zmenšení poloměru při vyšší rychlosti.

Obr. 11.9 Osový regulátor s vůlí v převodu a při nepřímém odměřování polohy


205

Obr. 11.10 Objíždění kružnice pomocí servopohonu s vůlí v převodu při různých rychlostech a při nepřímém odměřování polohy

Při nepřímém odměřování polohy je vůle v převodu vně uzavřené polohové smyčky, viz obr. 11.9. Na obr. 11.10a,b pak jsou ukázány výsledky simulací objíždění stejné kružnice jako v případě s přímým odměřováním. Z porovnání obrázku 11.8 a 11.10 vyplívá, že při přímém odměřování a respektování vůle v převodu je zkreslení kružnice menší než při nepřímém odměřování polohy. Na obr. 11.11 je blokové schéma servopohonu s prožnou vazbou a při nepřímém odměřování, kdy je snímač polohy umístěn přímo na motoru. Na obr. 11.12a,b, jsou výsledky simulací objíždění kružnice o poloměru r = 30 mm při obvodových rychlostech 3.6 m/min (a) a 7.2 m/min (b). Ostatní parametry jsou uvedený přímo v blokovém schématu. Z obr. 11.12 lze usuzovat, že při použití klasické regulační struktury polohového řízení lze dosáhnout u dvouhmotové soustavy s pružnou vazbou téměř vyhovujícího výsledku pokud jde o tvar kružnice. Zmenšení poloměru kružnice s rostoucí rychlostí objíždění je ale výrazné.

Obr. 11.11 Servopohon s pružnou vazbou a nepřímým odměřováním polohy

206


Obr. 11.12 Simulace objíždění kružnice u servomotoru s pružnou vazbou, při nepřímém odměřování polohy a při různých rychlostech

Obr. 11.13 Servomotor s pružnou vazbou mezi motorem a zátěží a s přímým odměřováním polohy.

Obr. 11.14 Simulace objíždění kružnice u soustavy s pružnou vazbou, při přímém odměřování a při různých rychlostech


207

Na obr. 11.13 je blokové schéma servopohonu s pružným spojením a přímým odměřováním polohy, tj. se snímačem polohy umístěným na polohovaném zařízení (např. s lineárním snímačem umístěným na suportu obráběcího stroje). Parametry objíždění kružnice jsou shodné s předchozím případem. Výsledky simulací jsou na obr. 11.14a,b a prakticky se neliší od předešlého případu. Proto se nabízí stejný závěr : pro řízení polohy vícehmotových soustav (soustav s více stupni volnosti) je výhodnější než klasický regulátor stavové zpětnovazební řízení. Blokové schéma servopohonu s pružnou vazbou a vůlí v převodu a s nepřímým odměřováním polohy je znázorněno na obr.11.15.

Obr. 11.15 Servomotor s pružnou vazbou, vůlí a při nepřímém odměřování polohy

Obr. 11.16 Simulace objíždění kružnice u soustavy s pružnou vazbou, s vůlí a při nepřímém odměřování

Na obr. 11.16 pak jsou výsledky simulací při obvodové rychlosti 3,6 m/s (a) a při rychlosti 7.2 m/s (b). Vůle v převodu byla 0.003 rad tuhost 1.104 Nm/rad. Výsledky simulace ukazují, že takové soustavy nelze řídit pomocí klasických prostředků regulace. Možným řešením je minima-

208


lizovat vůle a pak již lze soustavu s pružnými vazbami řídit pomocí stavového zpětnovazebního regulátoru, podobně jako v předchozím případě s převodem bez vůle. Posledním případem, kterým se budeme zabývat, je servopohon s pružným převodem, s vůlí v převodu a s přímým odměřováním polohy. Jeho blokové schéma je znázorněno na obr. 11.17. Všechny parametry jsou stejné, jako na obr. 11.15.

Obr. 11.17 Servomotor s pružnou vazbou, s vůlí a při přímém odměřování polohy

Obr. 11.18 Simulace objíždění kružnice u soustavy s pružnou vazbou, s vůlí a při přímém odměřování polohy.

Výsledky simulace jsou ukázány na obr. 11.18. Na obr. (a) pro obvodovou rychlost objíždění 3,6 m/s a na obr. (b) pro rychlost 7,2 m/s.Výsledky jsou výrazně horší než u nepřímého odměřování, což je důsledkem toho, že nelinearita – vůle v převodu – je uvnitř uzavřené polohové smyčky. Z tohoto faktu rovněž plyne, že pro zkvalitnění řízení je nutné vůli vymezit a pak lze soustavu opět řídit pomocí stavového regulátoru.


209

11.5 Simulace odezvy polohového řízení na skok řízení a na skok poruchy – zatěžovacího momentu Regulační struktura polohového řízení se stavovým regulátorem s pozorovatelem na skok řízení a na skok zatěžovacího momentu (poruchy momentu) je znázorněna na obr. 11.19. Regulační struktura je doplněna o integrační člen se ziskem Kt pro eliminaci ustálené chyby způsobené poruchovými veličinami a o tzv. feedforward (předkorekci) se ziskem Kff, který upravuje relaci mezi vstupem a výstupem.

Obr. 11.19 Stavové řízení polohy pružné soustavy s pozorovatelem, integrátorem a feedforwardem

Stavové řízení s pozorovatelem Pro dvouhmotovou soustavu s pružnou vazbou lze napsat soustavu pohybových rovnic ve tvaru d ωM + ct (ϕM − ϕ L ) + ctl (ωM − ωL ) = M M , dt d ωL JL + ct (ϕ L − ϕ M ) + ctl (ωL − ωM ) = M L dt JM

(11.7)

nebo ve stavové rovině x = Ax + bu , , y = cT x ,

kde jednotlivé matice jsou ⎡ ctl ⎢− J ⎢ M c A = ⎢ tl ⎢ JL ⎢ 1 ⎢ ⎣⎢ 0

ctl JM c − tl JL 0 1

−

ct JM ct JL 0 0

ct ⎤ ⎡ 1 ⎤ JM ⎥ ω ⎡ ⎤ ⎡0⎤ M ⎢J ⎥ ⎥ ⎢ ωL ⎥ ⎢0⎥ ct ⎥ ⎢ M⎥ , B=⎢ ⎥, b=⎢ 0 ⎥, c=⎢ ⎥ , − ϕ 1 ⎥ JL ⎢ M⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ϕ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ L⎦ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 0 ⎦⎥

(11.8)

210


je-li měřenou výstupní veličinou poloha hřídele motoru ϕM. Pro uzavřenou smyčku se stavovým regulátorem platí x = ( A − b rT ) x + b u ,

(11.9)

kde vektor koeficientů stavového regulátoru r T = [ r11

r12

r13

r14 ]

(11.10)

lze vypočítat z předem odhadnuté (požadované) dynamiky regulace například pomocí volby rozložení pólů charakteristické rovnice uzavřené smyčky n

det ⎡⎣ p I − A + b r T ⎤⎦ = ∏ ( p − λsi ) .

(11.11)

i =1

Nejsou-li stavové proměnné měřitelné, lze použít pro jejich rekonstrukci pozorovatele, jehož rovnice jsou xˆ = A xˆ + b u + h (y − yˆ ) , yˆ = cT xˆ .

(11.12)

Vektor zesílení pozorovatele je dán zápisem h = [ h11

h21

h31

h41 ]

T

(11.13)

a lze jej určit opět metodou rozložení pólů charakteristické rovnice uzavřené smyčky pozorovatele. Póly se zpravidla volí se zápornější reálnou částí než póly soustavy uzavřené smyčky. Odezva na skok řízení a na skok poruchy – zatěžovacího momentu, pro jednu sledovanou osu je ukázána na obr. 11.20. Simulace objíždění kružnice zadanou obvodovou rychlostí, při rozjezdu z klidu, realizovanou současným pohybem servopohonů v osách x a y je ukázána na obr. 11.21. Na obr. 11.22 je stejná situace avšak za předpokladu, že počáteční podmínky pozorovatele neodpovídají počátečním podmínkám soustavy – v tomto případě byla u pozorovatele nepřesně nastavena počáteční hodnota polohy v ose y. Na obr. 11.23 je pro úplnost znázorněna také frekvenční charakteristika regulační soustavy.

Obr. 11.20 Odezva na skok řízení a skok poruchy v jedné ose u soustavy s pozorovatelem

Obr. 11.21 Objíždění kružnice při polohovém řízení s pozorovatelem


Obr. 11.22 Objíždění kružnice při nesouhlasných počátečních podmínkách pozorovatele soustavy

211

Obr. 11.23 Frekvenční charakteristika regulační s pozorovatelem

212


VYUŽITÍ LEVITAČNÍCH ELEKTROMAGNETŮ V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH

213

12 Využití levitačních elektromagnetů v mechatronických soustavách 12.1 Úvodní poznámka Magnetická levitace se stále častěji využívá například při konstrukcích magnetických vysokootáčkových ložisek (radiálních i axiálních – až 120 tisíc ot/min) a v dopravních soustavách, kde se s jejich pomocí dosahuje vyšší výkonnosti, provozní spolehlivosti a v neposlední řadě možnosti využití ve ztížených klimatických podmínkách (výrobci uvádějí rozmezí provozních teplot od –180 do +450°C. V dalším stručně naznačíme základní problémy tři návrhu soustav s levitačními elektromagnety“ • výpočet elektromagnetu s ohledem na optimalizaci jeho hmotnosti a objemu a • návrh polohové regulace levitačního elektromagnetu a magnetických ložisek.

12.2 Optimalizace tvaru elektromagnetu Optimalizační výpočet vychází z předpokladu, že všechny lineární konstrukční rozměry elektromagnetu jsou vyjádřeny jako násobek tzv. délkového modulu, viz např. lit. [33, 34]. To umožňuje vzájemně srovnávat užitné vlastnosti různě velkých magnetů. Geometrický náčrt rozměrů elektromagnetu je na obr. 12.1. Předpokládáme jeho čtvercový průřez o ploše S Fe = a 2 ,

(12.1)

kde a je charakteristický rozměr – délkový modul elektromagnetu. Délky stran pak jsou k1, resp. k2 násobky a. Pak bude plocha „okna“ pro uložení vinutí elektromagnetu rovna So = k1 k2 a 2 .

(12.2)

Nyní již můžeme metodou variace určit, že pro dosažení minimálního objemu elektromagnetu (VFe + VCu) musí být hodnoty k1 a k2 rovny

k1 =

So ⎛ S ⎞ 2 ⎜1+2 o ⎟ S Fe ⎠ ⎝ , a

(12.3a)

respektive

k2 =

⎛ S ⎞ 2 So ⎜ 1+2 o ⎟ S Fe ⎠ ⎝ a

(12.3b)

214


nebo poměr obou násobků ⎛ S ⎞ k2 = 2 ⎜ 1+2 o ⎟ . k1 S Fe ⎠ ⎝

(12.4)

Konstatujme, že podmínka (12.4) je jen velmi těžko realizovatelná. Obvykle vychází, zvláště pro větší vzduchové mezery l (více než 5 mm) větší plocha okna vzhledem k průřezu železa. Tak například při rovnosti obou ploch je poměr k2/k1 = 6, což se ukazuje nevhodné z hlediska rozptylu magnetických siločar i z důvodů konstrukčních – z hlediska minimálních hysterezních a vířivých ztrát má být magnet napříč nikoliv podélně ve směru pohybu. Proto se spokojíme s požadavkem minimálního objemu železné kostry magnetu, kterého dosáhneme při poměru násobků k2 =2 . k1

(12.5)

Variace na minimum mědi (Cu-vinutí) nemá význam, protože vede na nekonečně dlouhé okno při nulové výšce. Hodnotu (12.5) lze považovat proto za rozumnou, aniž je nutné ji striktně dodržovat. Je však dobrým vodítkem pro inženýrské návrhy.

Obr. 12.1 Rozměrový náčrtek jádra elektromagnetu

12.3 Návrh magnetického obvodu Magnetické napětí podél magnetické siločáry, odpovídající ploše okna elektromagnetu a při zanedbání rozptylu na okraji vzduchových mezer je NI =

lFe ⎤ 2 B l B ⎡ , ⎢2 l + ⎥= μo ⎣ μFe ⎦ μo

(12.6)

kde jednotlivé symboly představují : B magnetickou indukci, l, lFe jsou rozměry patrné z obr.12.1 a μo a μFe jsou magnetické permeability v okně a v železe. Při výpočtech se uvažují i další para-


215

metry, tzv.činitel plnění vodiče kPl a proudová hustota σ. Plochu zaplněného okna pak můžeme také vyjádřit pomocí vztahu So =

2Bl . μo σ kPl

(12.7)

Průřez železa je dán požadovanou mechanickou sílou F, kterou musí přenášet. Síle ale vzniká v obou mezerách současně, proto musí platit F=

B 2 S Fe

μo

, repektive S Fe =

F μo . B2

(12.8)

Rovnice (12.6), (12.7) případně (12.8), v součinnosti s uvedeným optimalizačním doporučením (k2/k1 = 2), již umožňují realizovat inženýrský návrh elektromagnetu. Je zřejmý kladný vliv vyšší magnetické indukce B na velikost a hmotnost magnetu, sycení je však shora omezeno vířivými a hysterezními ztrátami v materiálu. U případných supravodivých vinutí je zapotřebí dosadit do vzorce (12.7) proudovou hustotu σ, která je s rezervou menší než tzv. kritická proudová hustota supravodiče σkrit (u niobu přibližně 50 A/mm2).

12.4 Užitné vlastnosti elektromagnetu Kvantifikační kriteria, pomocí kterých lze vzájemně srovnávat různé magnety, se mohou týkat parametrů statických i dynamických. Lze vzpomenout především tato kriteria : • Elektrický odpor vinutí : RCu =

2 (k1 + 1) N 2 ρ Cu μo a . Bl

(12.9)

• Indukčnost vinutí L při jmenovité mezeře l : L = N 2 μo

SFe . 2l

(12.10)

• Časová konstanta vinutí :

τ=

L . RCu

(12.11)

• Srtmost změny proudu : U měniče max ⎛ di ⎞ . ⎜ ⎟ = L ⎝ dt ⎠ max

(12.12)

• Ztrátový výkon ve vinutí : PCu = ρCu σ 2 Vvinutí kPl = RCu I 2 .

(12.13)

216

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY • Měrná síla vztažená na ztrátový výkon ve vinutí : F τ = . PCu 2 l

(12.14)

• Měrná síla vztažená na půdorysnou délkujádra magnetu : F B2 a = . lP μo (k2 + 2)

(12.15)

• Měrná síla vztažená na půdorysnou ploch jádra magnetu : F B2 = . S P μo (k2 + 2)

(12.16)

12.5 Návrh regulace elektromagnetu Pro návrh regulace elektromagnetu je zapotřebí znát přenos modelu elektromagnetu, který lze získat zpravidla řešením stavových rovnic linearizované soustavy. Jsou možné dva základní případy : • Řešení pro matematický model dynamického chování levitačního elektromagnetu s lineárním magnetickým obvodem. Přenosová funkce má zpravidla tvar FLM ( p) =

A1 p 2 + A2 p + A3 . B1 p 3 + B2 p + B3

(12.17)

• Řešení pro matematický model dynamického chování levitačního elektromagnetu s nelineárním magnetickým obvodem. Přenosová funkce má opět tvar FNM ( p) =

C1 p 2 + C2 p + C3 , D1 p 3 + D2 p + D3

(12.18)

kde Ai, Bi, Ci, Di, i = 1, 2, 3 jsou konstanty. Z charakteru těchto přenosů vyplývá, že tyto soustavy jsou nelineární a třetího řádu. Rozdíly při využití obou přístupů jsou patrné z porovnání základních charakteristik – z průběhů logaritmických fázových a frekvenčních charakteristik, viz obr. 12.2 a nejsou příliš výrazné (konkrétní příklad řešení je uveden v lit. [34]). Grafy vlevo odpovídají případu s lineárním magnetickým obvodem a grafy vpravo odpovídají případu s nelineárním magnetickým obvodem. Z přenosů, fázových charakteristik a frekvenčních charakteristik lineárního i nelineárního modelu elektromagnetu vyplývá, že máme co činit se statickou nelineární soustavou třetího řádu, která je jen obtížně regulovatelná. S ohledem na tuto skutečnost byla zvolena regulační struktura dle obr. 12.3. Regulační struktura je tvořena polohovou smyčkou s podřízenou rychlostní smyčkou a s podřízenou proudovou smyčkou. Blokové schéma dále obsahuje stejnosměrný pulsní měnič a obsluhou řízený elektromagnet.


217

Obr. 12.2 Logaritmická fázová a frekvenční charakteristika lineárního (a) a nelineárního (b) modelu magnetu

Obr. 12.3 Blokové schéma regulované soustavy

Matematický model stejnosměrného plsního měniče lze popsat rovnicí FPM ( p ) =

K PM , τ PM p + 1

(12.19)

K CI τ CI p + 1

(12.20)

K CP . τ CP p + 1

(12.21)

přenos čidla proudu definuje vztah FCI ( p) =

a přenos čidla proudu je analogicky FCP ( p) =

Při návrhu kaskádních regulátorů se postupuje obdobně jako u kaskádní polohové regulace stejnosměrného motoru, tj. podřazené smyčky se pro syntézu regulátorů nahrazují statickým čle-

218


nem druhého řádu a určujeme funkce přenosu regulátoru proudu, regulátoru rychlosti a regulátoru polohy.

12.6 Regulace magnetického ložiska Jako příklad uvažujme radiální magnetické ložisko, uspořádané podle obr. 12.4 s parametry : síla v elektromagnetu F = 125 N, tloušťka vzduchové mezery l = 0.2 mm, magnetická indukce B = 1.3 T.

Obr. 12.4 Konstrukční uspořádání radiálního magnetického ložiska

Schéma regulace tohoto ložiska je ukázáno na obr. 12.5. Regulátor polohy a rychlosti je společný pro oba elektromagnety. Výstup regulátoru, tj. žádanou hodnotu proudu, musíme pro jeden elektromagnet vypustit. Výkonové obvody (stejnosměrné tranzistorové pulsní měniče) jsou dvoukvadrantové s reverzací napětí. To znamená, že v ustáleném stavu je v činnosti vždy jen jeden elektromagnet. Návrh regulátorů je obdobný jako v předchozím paragrafu.

Obr. 12.5 Blokové schéma regulace magnetického ložiska


219

Na obr. 12.6a,b jsou ukázány některé výsledky simulací provedené na modelu magnetického ložiska. Je simulován začátek působení magnetického ložiska pro svislé uložení páru ložisek, kdy se uplatňuje vliv gravitace. Na obr. (a) je znázorněna změna velikosti vzduchové mezery mezi ložiskem a hřídelem od počátku pohybu. Je zřejmé, že se hřídel nastaví do pracovní polohy poměrně rychle (cca 0,035 s) jen s poměrně malým překmitem. Na obr. (b) je znázorněna změna proudu horního elektromagnetu (HM – viz obr. 12.5), který v ustáleném stavu není nulový (drží hřídel).

Obr. 12.6 Změny polohy rotoru (a) a průběhu proudu v magnetu (b) při rozběhu soustavy

Při prováděných simulačních experimentech se ukázalo, že modely elektromagnetů i návrh regulační struktury byla zvoleny vhodně. Elektromagnety vždy dokázaly vrátit v krátkých časových intervalech (0,3 sec) rotor do rovnovážné polohy i při vlivu rušivých sil.

220


MIKROPROCESORY A JEJICH VYUŽITÍ V MECHATRONICKÝCH SOUSTAVÁCH

221

13 Mikroprocesory a jejich využití v mechatronických soustavách [3, 5, 8, 35, 38] 13.1 Úvodní poznámka Základními prostředky pro programování, kontrolu činností a zpracování dat a informací u mechatronických soustav jsou mikroprocesory a mikroprocesorové soustavy. Výhody mikroprocesorů jsou dány řadou faktorů, z nichž patrně nejdůležitější jsou: • Paměťové programové řízení (Stored programme control). Mikroprocesor je základní počítačový systém s jednoduchou strukturou (viz obr. 13.1), který je schopný provádět požadované činnosti s vysokou rychlostí podle programu uloženého v paměti. Uložené programy představují logické sekvence deterministických a opakovatelných činností s využitím matematických a logických algoritmů. • Digitální zpracování (Digital processing). Informace jsou v mikroprocesorech reprezentovány binárními čísly. Ta nejsou zatížená analogovými šumy a podle požadovaných aplikací mohou mít různé významy. • Rychlost zpracování (Speed of operation). I když je typický mikroprocesor navržen k provádění operací v sekvenčním řádu, je rychlost jejich provádění dostatečně vysoká pro použití k řízení provozu strojů a většiny zařízení. • Adaptabilita (Design flexibility). Mikroprocesory a mikroprocesorové systémy dovolují vykonávat velké množství funkcí samostatně i ve skupinách (se stejným hardware). Schopnost jejich vzájemné komunikace a komunikace s operátorem je srovnatelná se základní formou inteligence. • Integrované mikroprocesorové systémy. Mikroprocesory jsou většinou integrovány do řízených soustav, kde zajišťují řadu činností, převážně kontrolních. Příkladem mohou být soustavy řízení v automobilových či leteckých motorech, automatizované inteligentní převodovky, řízení a kontrola činnosti strojů ve výrobních linkách a pod.

Obr. 13.1 Obecné schéma mikroprocesoru

222


13.2 Struktura mikroprocesorů Obecné schéma mikroprocesoru je ukázáno na obr. 13.1, schéma mikroprocesoru pro mechatronické aplikace je na obr. 13.2. Adresová sběrnice (Address bus) přenáší signály, které indikují data, která je třeba nalézt, do kterých paměťových sekcí nebo vstupních, resp. výstupních sekcí je uložit a pod. Sběrnice dat (Data bus) je určena k přenosu dat do paměti a mezi pamětí, centrální počítačovou jednotkou nebo vstupními resp. výstupními rozhraními. Sběrnice řídících dat (Control bus) umožňuje výběr a přenos řídících signálů užitých k synchronizaci činností mezi počítačem a rozhraními. Základními bloky mikroprocesoru dále jsou centrální počítačová jednotka (CPU), programové a datové paměti a různá vstupní a výstupní zařízení (input/output, I/O) propojující mikroprocesor se sběrnicemi. Tyto základní bloky pak jsou doplněny komunikačními prvky (I/O), displeji a analogovými bloky pro úpravu signálů (A/D).

Obr. 13.2 Schéma typického mikroprocesoru pro mechatronické aplikace

Na obr. 13.2 je také ukázáno propojení mikroprocesoru s řízenou soustavou – robotickým ramenem. Propojení je realizováno po mocí analogových a digitálních bloků, obsahujících snímače, převodníky a akční členy. U robotických ramen je pohyb ve směru každé z os x, y, z řízen


223

elektrickým motorem jejichž rychlosti jsou řízeny digitálními daty na výstupu z mikroprocesoru. Působení ramen na obráběný (resp. uchopený, ...) předmět je zjišťována pomocí tlakových snímačů jejichž analogové výstupy a jsou užity jako vstupy do mikroprocesoru.

13.3 Digitální komunikační systémy Řízené soustavy s mikroprocesory mohou pracovat buď individuálně nebo ve skupinách – pak se setkáváme s hierarchickým systémem řízení, například pro řízení průmyslových aplikací. V tomto případě je důležitou složkou řízení digitální komunikační systém, který rozděluje proces řízení do několika úrovní a současně mezi nimi zajišťuje přenos dat, informací a rozhodování. Takový systém řízení má zpravidla hierarchickou strukturu a je schematicky znázorněn na obr. 13.3.

Obr. 13.3 Hierarchické řízení technických objektů

Konkrétní ukázkou hierarchického systému řízení je příklad řízení výrobního procesu na obr. 13.4. Jsou zde znázorněny tři úrovně řízení s využitím standardních komunikačních předpisů, známých pod názvy „výrobní automatizované protokoly“ (MAP – Manufacturing automated protocol) a „výrobní automatizován protokoly se zlepšenou účinností“ (MAP/EPA – manufacturing automated protocol/Enhanced performance architecture) a doplněné ještě tzv. komunikačními standardy pro aplikaci nejnižších úrovní řízení v hierarchickém systému, známých pod zkratkou FIELDBUS – viz obr. 13.4.

224


Obr. 13.4 Příklad řízení výrobního procesu

Obr. 13.5 Blokový diagram mikroprocesorové soustavy

13.4 Mikroprocesorové soustavy Mikroprocesorové soustavy mohou být posuzovány na různých úrovních složitosti. Nejjednodušší formou popisu je opět jejich blokové schéma. Každá mikroprocesorová soustava opět obsahuje centrální počítačovou jednotku, programové a datové paměti, vstupní a výstupní bloky a soustavy sběrnic a rozhraní. Typická mikroprocesorová soustava je ukázána na obr. 13.5. Pamě-


225

ťová sekce obsahuje energeticky nezávislou paměť (ROM), závislou datovou paměť (RAM). Každá z pamětí je doplněna řadou dalších zařízení : vymazatelné permanentní paměti, polovodičové statické nebo dynamické datové paměti, různé vstupně-výstupní jednotky, atd. Analogový vstupní panel obsahuje A/D převodník a je užit k propojení s analogovými senzory. Analogový výstupní panel opět obsahuje A/D převodník a může bát využit ke spojení s akčními členy řídících subsystémů, například k řízení motorů. Paralelní vstupní a výstupní jednotky jsou s okolím propojeny celou řadou sběrnic. Vstupní módy jsou naprogramována tak, aby realizovaly příkazy zapínání, přepínání a vypínání, tj. k zajištění logických úrovní 1 nebo 0 pro aktivaci binárních zařízení realizujících povely ano/ne. Zajišťují také komunikaci s jinými mikroprocesory a s operátorem. Na obr. Jsou také ukázány periferní obvody s tzv. přerušovací řídící jednotkou (ICU), programovatelnou počítačovou časovou jednotkou a přímou paměťovou přístupovou jednotkou (DMA), která zajišťuje přímé propojení s řízenou jednotkou.

Obr. 13.6 Experimentální čtyřnohý kráčející robot

13.5 Příklady mikroprocesorových soustav 13.5.1 Čtyřnohý experimentální robot * Na obr. 13.6 je ukázán experimentální kráčející robot. Jeho konstrukce je sestavena z duralových profilů, spojených šroubovými spoji. Pro pohon robota jsou použity modelářská serva Hitec. Řídící jednotka využívá mikroprocesory Atmel AVR, které mezi sebou komunikují po lince *

Autoři návrhu experimentálního robota: Ing.Robert Grepl, Ph.D. a Ing. Milan Bezdíček, ÚMTMB, FSI, VUT v Brně

226


RS 485. Robot je schopen samostatné chůze po rovině (je řízen pomocí umělé neuronové sítě)

a složitější manévry mohou být řízeny dálkově z nadřazeného počítače PC, komunikace probíhá přes rozhraní Bluetooth. Blokové schéma řídící jednotky složené z několika mikroprocesorů Atmel AVR je na obr. 13.7 a celkový pohled na rotor řízený pomocí počítače (s využitím prostředí Matlab/Simuling) je na obr. 13.8.

Obr. 13.7 Blokové schéma řídící jednotky

Obr. 13.8 Experimenty s přímým řízením robota z počítače


227

13.5.2 Autonomní všesměrový mobilní robot OMR III [38, 39] Mobilní robot je počítačem řízená mobilní soustava, schopná rovinného nebo prostorového pohybu v okolním prostředí – včetně interakce s tímto prostředím, s využitím prostředků umělé inteligence v souladu s instrukcemi nadřazeného řízení. Robot využívá všesměrového podvozku se třemi koly originální patentované konstrukce, viz obr. 13.9. Speciální všesměrová kola umožňují pohyb kolmý na osu rotace a současně pohyb rovnoběžný s osou rotace [38]. Robot tak může v každém časovém okamžiku změnit směr jízdy, aniž by se musel otáčet či složitě manévrovat. Tříkolový podvozek má navíc tu výhodu, že kola jsou neustále v záběru. Schéma možných pohybů robota je na obr. 13.10.

Obr. 13.9 Uspořádání robota OMR III

Obr. 13.10 Schéma možných pohybů robota

Nejnižší úroveň řízení je tvořena řídícím podsystémem lokomoce. Tento podsystém řídí pohyb lokomoční elektromechanické pohonové soustavy, zpracovává data inkrementálních nestacionárních senzorů a předává informace o ujeté dráze do vyšší úrovně řízení, která se zobrazí jako aktuální poloha robota ve vnitřní globální mapě okolního prostředí. Všechny tyto funkce plní mikroprocesorový modul TOS-CPU-3.0 firmy UNIS, který je osazen mikroprocesorem Toshiba TMP96C141AF a dalšími podpůrnými obvody. Blokové schéma tohoto modulu je znázorněno na

obr. 13.11. Procesor má výkonné jádro TLCS900 a jeho architektura je navržena pro vyšší programovací jazyky. Na čipu mikroprocesoru jsou dále implementovány I/O porty, čítače/časovače, systém přerušení a dva sériové kanály. Modul je dostatečně výkonný na to, aby v reálném

228


čase prováděl interpolaci žádaného pohybu pomocí tří (či dvou nebo jednoho) motorů. Je řešen tak, aby jej bylo možné doplňovat o další periferní obvody a tím jej okamžitě bez hardwarových problémů použít v libovolné aplikaci. Pohonový subsystém (kromě zdrojů), tvoří tři stejnosměrné motory s permanentními magnety typu MGM 14437 firmy Pittman, napájené třemi pulsními měniči vlastní konstrukce. Signál pro vhodný typ PWM modulace je programově vytvářen přímo v mikroprocesorovém modulu.

Obr. 13.11 Blokové schéma modulu TOS-CPU-3.0

Vyšší (střední) úroveň řízení, v podstatě jde o plánovací subsystém, řešící problém lokalizace mobilního robota při globální navigaci a při jeho udržení na plánované trase podle vnitřní globální mapy prostředí a dále lokalizaci a strategii objíždění statických i dynamických překážek. Vytváří se tak nová lokální mapa, která se porovnává s lokální referenční mapou a tím se získává nový odhad okamžité polohy robota, který se porovnává s polohou udávanou řídícím subsystémem. Podrobnosti o stavu a vlastnostech robota OMR III jsou uvedeny v lit. [39] a [40]. Nejvyšší úroveň řízení představuje externí procesní podsystém – nadřazený počítač, (případně operátor). Jeho prostřednictvím lze řídit robot v případě, že algoritmy umělé inteligence nedokáží vyřešit danou situaci nebo kdy má bát operátor „pouze“ informován o stavu robota a plnění zadané úlohy. Tento podsystém komunikuje s robotem obousměrným radiovým přenosem.


229

13.5.3 Příklad složité multiprocesorové soustavy [35, 41] Na závěr kapitoly, pojednávající o mikroprocesorech a mikroprocesorových soustavách, uveďme ukázku extrémně složité soustavy. Jako příklad mám poslouží ilustrace problému řízení letu experimentálního letounu EAP konsorcia BAe. Jde o vysoce výkonný letový demonstrátor stíhacího letounu, tzv. IV+ generace (projekt tzv. „evropského stíhacího letounu“). Letadlo je ukázáno na obr. 13.12, má tzv. nestabilní letovou konfigurací a řízení „po .drátě“ (Fly by wire). Silně zjednodušená architektura řízení je naznačena na obr. 13.13. V dalším se omezíme jen na systém řízení letu (Flight control system).

Obr. 13.12 EAP Demonstrator, zkušební a výzkumný letoun konsorcia BAe [41]

Obr. 13.13 Zjednodušená základní architektura řízení

230


O složitosti tohoto problému se pak můžeme přesvědčit z pohledu na soubor základních ovládacích činností kontroly letu, realizovaných zálohovanými mikroprocesorovými subsoustavami – viz obr. 13.14.

Obr. 13.14 Schéma činností pro návrh řízení letadla

Uvědomíme-li si dále, že jsme zde nastínili jen problém kontroly letu a skutečné letadlo obsahuje nejen systém aktivní ale i pasivní avioniky, zbraňové systémy, komunikační systémy včetně družicové komunikace, komunikace s okolními letouny,systémy kontroly řízení motorů, havarijní systémy (opuštění letadla), prakticky všechny navíc zálohované, přičemž všechny tyto systémy jsou plně interaktivní, pak teprve tehdy si můžeme vytvořit představu o tom, čeho jsou dnešní mechatronické soustavy schopny.

MÍSTO ZÁVĚRU: PROBLÉMY ROZVOJE MECHATRONIKY

231

14 Místo závěru: problémy rozvoje mechatroniky 14.1 Současný stav mechatroniky Připomeňme si, že v současné době se setkáváme : • s výrazným rozvojem mechatronika v řadě nejprogresivněji se rozvíjejících a atraktivních vědních, hospodářských i společenských oblastí: v mikrotechnologii a nanotechnologii, v komunikační technice a radiotechnice, v letectví, v biologii a biomechanice, kosmonautice a automobilové a dopravní technice, v robotice, strojírenství i spotřební a domácí elektronice a také v oblasti vojenství, bankovnictví a marketingu, • s novými možnostmi vývoje tzv. učících se robotů schopných samoučení i učení od učitele i jiných robotů, • s intenzivními výzkumy v oblasti komunikace strojů-robotů, strojů a člověka. Zkoumají se soustavy, tvořené inteligentními roboty, superpočítači a hustou internetovou sítí, na kterou může být napojen i člověk. A jaké jsou současné a blízké možnosti soužití strojů a člověka : • například byla realizována pasivní forma – miniaturní sonda implantovaná do ruky umožňuje při napojení na počítač identifikovat a lokalizovat pokusnou osobu v definovaném prostředí a automatizovat některé úkony (např. otvírání dveří v budově, přivolání výtahu apod.), • podařilo se propojení nervového systému přímo na počítač, pacientovi, který byl paralyzován mrtvicí byl do mozku implantován čip pomocí kterého mohl ovládat kurzor svého počítače, v jiném případě mohl s využitím speciálního programu „mluvit“ s okolím, • dnes se již nejeví nereálná ani představa, že osoby s implantáty, lokalizované na vzdálených místech, se budou moci pomocí počítače a celosvětoví internetové sítě domlouvat pomocí myšlenek, • v současné době se ve velké míře využívá inteligentních podpor člověka-operátora při řešení složitých situací. Například řidič nebo pilot se může spoléhat na řadu podpůrných prostředků jako jsou inteligentní brzdové soustavy, soustavy řízení stability jízdy vozidel, inteligentní autopiloti ale i inteligentní zbraňové systémy, systémy nouzového opuštění letadel a systémy přežití v neznámém prostředí apod. Jsou známy obdobné algoritmy v bankovním, finančním a obchodním světě. Moderní přístroje, stroje i celé provozy dnes mají převážně interdisciplinární charakter, to znamená, že jejich prvky, subsoustavy či celky realizují činnosti s využitím zákonitostí z různých vědních oblastí. Tyto činnosti byly a jsou ale doprovázeny mnoha problémy a úskalími nejen technického charakteru a ani v budoucnu tomu nebude jinak. Lze tedy očekávat jak problémy

232


sociálního hodnocení důsledků pokroku v oblasti vědy a techniky a větší důraz na optimalizaci nových technických soustav podle přísných kritérií – již nejen ekologických či fysiologických, ale i růst požadavků na humanizaci inženýrského vzdělávání a respektování kulturních a etických principů při navrhování nových děl.

14.2 Co nás čeká v budoucnosti Inženýrské myšlení bude nuceno pod tlakem okolního světa stále častěji nuceno spojovat tradiční znalosti a hodnoty z různých vědních oblastí s hodnotami z neinženýrských a humanitních oblastí a rozhodování a řídící činnosti chápat v mnohem širším měřítku než dosud. Příkladem z dneška může již mohou být návrhy a rozhodování „ve variantách“, které perspektivně umožňují „překračování zažitých horizontů“ současného stavu, realizaci nových cest a sledování působení nových technických děl na životní prostředí a lidské osudy. A co nás čeká konkrétně? Při překotném rozvoji vědních disciplin a jejich technických aplikací je na tuto otázku těžká odpověď. Mohou to být například technické soustavy vytvářené při řešení konkrétních technických problémů a aplikací, včetně problémových. Příkladem mohou být společné kosmické projekty na průzkum Měsíce a Marsu, projekty na omezení skleníkového efektu. Mohou to být také projekty medicínské a biomechatronické, vývoj a výroba inteligentních protéz a odminovacích robotů. Ale může to být i projekt robota, který podrobně zkoumal prostory uvnitř sarkofágu nad reaktorovou halou v Černobylu (společný projekt odborníků z Ruska a Ukrajiny a odborníků z NASA a Carnegie Mellon University). A pochopitelně to může být vývoj a výroba tzv. komplexních inteligentních systémů, které představují další integrační krok – spojení mezi mechatronikou v současném pojetí a tzv. smart materiály.

A jak se budou v této situaci chovat lidé? Snad se bude stále více a více prosazovat spoluzodpovědnost za vznik, vývoj a činnost nových inteligentních technických objektů. A co na straně „strojů“? Inteligentní technické soustavy se mohou nejen vzájemně doplňovat, ovlivňovat a podmiňovat svoji činnost, ale nemusí být daleko doba, kdy se možnosti vzájemné komunikace spojí „s přispůsobivostí k okolnímu prostředí a se schopností přežít“. A s různou intenzitou se budou

do tohoto procesu promítat i energetické dimenze. S určitou nadsázkou lze uvažovat i o biologických metaforách při popisu inteligentních technických soustav (J. Elul, 1963). Dr. Kevin Warwick, profesor robotiky a umělé inteligence na univerzitě v britském Readingu tvrdí, „… že stroje současnosti disponují inteligencí plže a do pěti let by měly mít inteligenci kočky. Za půl století by mohla jejich inteligence převýšit inteligenci člověka. Pokud tomu tak skutečně bude, staneme se pro stroje tím, čím jsou pro nás často zvířata – pouhou hračkou“. Naplní se nakonec přece jen vize Karla Čapka či A. C. Clarka (romány RUR a Vesmírná odysea 2001)? V každém případě proto vystupuje do popředí již vícekrát zmiňovaný „prométheovský komplex soudobé filosofie“, tj. uvědomění si rizik, která musíme zaplatit za inicializované technické změny (L. Tondl, 1998).

OBSAH

233

Použitá literatura [1] Kratochvíl, C.; Huufek, M.; Procházka, F.; Houfek,L.: Mechatronické pohonové soustavy, ISBN: 80-214-3319-1, vyd. Centrum mechatroniky ÚT AV ČR, Brno 2006 [2] Bischop, R.H.: The Mechatronics Handbook, CRC Press LLC, Boca Raton, Washington D.C., New York, 2002 [3] Bolton, W.: Mechatronics – Electronics Control Systéms in Mechanical Engineering, Langmann Scientific & Technical, Essex, 1995 [4] De Silva,C.V.: Mechatronics – An Tntegrated Approach, CRC Press, London, New York, 2005 [5] Onwubolu, G.C.: Mechatronics – Principles and Applications, Elsevier Bookland International, Amsterdam, Boston, Tokyo, 2005 [6] Parushew, P.; Konev, P..: State of the art and close prospects for the development of mechatronics, Inženýrská mechanika č.2, ročník 1993, pp. 2–13, ISSN: 1210-2717, Brno, 1993 [7] Bishop, R.H.: Modern Control Systéms Analysis and Design using MATLAB and Simulink, AddiSon-Weslwy, Menlo Park, Kalifornia, 1997 [8] Giurgiutin, V.; Lyshevski, S.E.: Micromechatronics – Modeling, Analysis and Design with Matlab, CRC Press LLC, Boca Raton, Washington,D.C., 2004 [9] Procházka, F.; Kratochvíl, C.: Úvod do matematického modelování pohonových soustav, vyd. CERN Brno, 2002 [10] Kratochvíl, C.; Březina, T.: Modeling and analysis of dynamic properties of small electromechanical drive systems, 9th Tnt. Seminar of Special Mechanics, pp. 88–91, Polytechnika Slazka, Wisla, 2005 [11] Kratochvíl,C.,Pulkrábek,V.,Půst,L.,Hortel,M.: Analysis of Complex Drive Systems, IT ACS Prague and Brno, ISBN: 80-214-3206-3, vyd.MLOK s.r.o. Brno, 2006 [12] Kratochvíl, C.; Houfek, L.: Komplexní pohonové soustavy, ÚT AVČR Praha a Brno, ISBN: 978-80-214-3508-7, vyd. MLOK s.r.o. Brno, 2007 [13] Kratochvíl, C.; Procházka, F.: Výpočtové modelování pohonových soustav, ÚMTMB FSI VUT v Brně, ISBN:80-214-2850-3, vyd.MLOK s.r.o. Brno 2004 [14] Kratochvíl, C.; Naď, M.; Houfek, L.; Houfek, M.: Dynamické systémy – Obyčejné diferenciální rovnice, ÚT AVČR Praha a Brno, ISBN: 978-80-2147-3507-0, vyd. MLOK s.r.o. Brno, 2008-11-06 [15] Procházka, F.: Úvod do ljapunovské teorie stability rovnovážných stavů dynamických systémů, výzk. zpráva ÚMTMB FSI VUT v Brně, 2002 [16] Kratochvíl, C.; Březina, T.; Skalický, J.; Ondrůšek, Č.:Mechtaronické soustavy II, výzk. zpráva z řeš. projektu MŠMT č. VS 96 122, Brno, 1997

234


[17] Navrátil, M.: Neuronový model stejnosměrného motoru s cizím buzením, - viz [16], str. 114–118, Brno, 1997 [18] Skalický, J.:Mechatronika a elektrické pohony, - viz [16], str.94-99, Brno, 1997 [19] Skalický, J.: Motion Control of Robotic Joints Applying Neural Network, 2th Int. Conf. Mechatronics and Robotícs, ISBN. 80-214-0604-6, Brno, Czech Republic, 1999 [20] Skalický, J.: Neuronové a fuzzy řízení v elektrických pohonech, Seminář EPVE, VUT-FEI Brno, str. 67–74, Brno, 1994 [21] Skalický, J.: O některých aplikacích neuronových sítí v elektrických pohonech, symp. SYMEP 96, VUT-FEI Brno, str. 39–44, Brno, 1996 [22] Demunth, H.; Beale, M.: Neural Network Toolbox. Userś Guide, The Mathworks, Inc. 1994 [23] Hagan, M.T.; Demuth, H.; Beale, M.: NeuralNetwork Design, PWS Publishing, Boston, 1996 [24] Handlíř, J.; Beránek, L.: Identofikace a umělá intelligence, vydavatelství VUT Brno, 1992 [25] Kratochvíl, C.; Skalický, J. a další : Mechatronické soustavy III, výzk. zpráva z řešení projektu MŠMT č. VS 96 122, Brno 1998 [26] Březina, T.; Krejsa, J.; Kratochvíl, C.: Neural Nets Evolued by GA – Simulation and Control of Dynamics Systéms, 19th Computers in Engineering Konference, Alexis Park Resort and Spa, (CD – ROM), Las Vegas, Nevada, 1999 [27] Vysoký, P.: Fuzzy řízení, vyd. ČVUT Praha, 1996 [28] Šíma, J.; Neruda, R.: Teoretické otázky neuronových sítí, Matfyzpres, Praha, [29] Březina, T.; Krejsa, J.; Kratochvíl, C.: The Automatized Design of Neurocontrolers Using Genetic Algorithm, EIS´ 98 Symposium, Tenerife, Spain, 1998 [30] Březina, T.; Krejsa, J.; Kratochvíl, C.: Modeling of Dynamic Systems Using Neural Networks Generated by Genetic Algorithms, Mechanics in Design´98, Nottingham, UK, 1998 [31] Skalický J.: Principy polohového řízení viceosých servosystémů, Inženýrská mechanika č. 1, ročník 1994, str. 45–52, 1994 [32] Skalický, J.: Dynamické chyby sledování dráhy viceosých servopohonů mechatronických soustav, publikováno ve výzk. zprávě Mechatronické soustavy IV, z řešení úkolu MŠMT č. VS 96 122, Brno, 1999 [33] Knöll, H.: Power-Convertors for MAGLEV – Systéms, Proc. of 37th Conf. Motorcun, 1992 [34] Čerovský, Z.; Pavelka, J.: Nosnost magnetického ložiska,. Sborník SYMEP´98, Ostrava 1998 [35] Bradley D.A. a další : Mechatronics –Elecrtonics in Products and Procesising, Champman & Hall, London, 1994 [36] Rafiquzzaman, M.: Microprocessors, Prentice.Hall, 1992

OBSAH

235

[37] Bolton, W.: Mechatronics, Longman Group Limited, Essex, 1995 [38] Singule, V.; Ošmera, P.: Autonomous Mobile Robot- Electrical, Senzor, Control and Navigation Systems, Proc. of 13th Int. Conf. Electrical Drives and Power Electronics, pp. 235–240, Stará Lesná, 1999 [39] Ošmera, P.:Used Sample No CY 7671U1 “The vehicle with tree ommidirectional wheels, 1998 [40] Kratochvíl, C. a další: Mechatronické soustavy IV, výzk, zpráva z řešení projektu MŠMT č. VS 96 122, Brno, 1999 [41] Propagační materiály Konsorcia BAe, Farangborough, 2004 [42] Ošmera, P.: Evoluční diagramy a jejich aplikace, Knižnice profesorských přednášek FS ČVUT Praha č.7, Praha, 2008 [43] Kauffman, S.A.: The Origin of Order Self-organization and Selection in Evolution, Oxford University Press, New York, Oxford, 1993 [44] Ošmera, P.: Evolution of Komplexity, in “ Integration of Fuzzy Logic and Chaos Theory (Li,Z., Halang,W.A. and Chen,G.)“, pp. 527–578, Springer, 2006 [45] Kratochvíl, C. a další: Bifurkace a chaos v technických soustavách a jejich modelech, ÚT AVČR–Centrum mechatroniky v Beně a IA ČR v Praze, vyd. MLOK s.r.o. Brno, 2008, v tisku [46] Kratochvíl C. a další: Výpočtové modelování řízených pohonových soustav, výzk. zpráva č. 1583/91-1 vypracovaná v rámci řešení SPZV č.III-4-1/0503, Kat. mechaniky těles, FS VUT v Brně, 1991 [47] Kratochvíl, C.; Houfek, L. a další: Bifurcation and Chaos in Drive Systems Simulation Modeling of Mechatronic Systems II, pp. 167–1872, ISBN: 80-214-3341-8, Brno, 2007 [48] Kratochvíl, C.; Houfek, M. a další: Chaos in Drive Systems, Appl and Computional Mechanics 1, (2007), pp. 121–126, Plzeň-Nečtiny, 2007 [49] Kratochvíl, C.; Houfek, L. a další: Bifurcation and Chaos in Technical systems, 11th Int. Scienfic Seminar on Developments in Mechinery Design and Control, Červený Kláštor, 2007 [50] Frantík, P.: Nelineární projevy mechanických konstrukcí, disert.práce FAST VUT v Brně, 2004 [51] Byrtus, M.: Kmitání převodových ústrojí se silnými nelinearitami ve vazbách, disert.práce Kat. Mechaniky FAV ZČU v Plzni, 2006 [52] Nykodým, P.: Electric Drive as Nonlinear Complex Dynamics System, M.Sc. Thesis, FEKT, VUT v Brně, 2004 [53] Chan, J.H.: Analysis of Chaos in Current-Node Controled DC Drive Systéms, IEEE Trans. and Indstr. Electronics, Vol. 47, No. 1, 2000

236


[54] Kříž, R.: Chaos v komplexních dynamických systémech, dipl. práce FEKT – VUT v Brně, 2006 [55] Honzák, A.: Komplexní nelineární dynamický system se změnami parametrů, dipl. práce FEKT, VUT v Brně, 2001 [56] Houfek, L.; Kratochvíl, C.; Houfek, M.: Bifurcation and Chaos in Drive Systems, Engineering Mechanics, 2008, v tisku [57] Mc. Lean, M.: MECHATRONICS – Developments in Japan and Europe, Frances Printer (Publ.) London, 1983 [58] Proceedings of the International Conference on Advanced Mechatronics, JSME, Tokyo, 1989 [59] Schweitzer, G.: Mechatronics – A Concept with Examples in Active Magnetics Bearings, Mechatronics (G:B.), Vol. 2, No 1, pp.65-74, 1992 [60] Stojanov, B.; Eajkov, P.: Mechatronics / Characteristics and Features, Report on the 4th Int. Symp. on Foundation of Robots, ISFR´90, Holzhou, Germany, 1990 [61] Kalous, J.; Kratochvíl, C.; Heriban P.: Dynamika rotačních elektromechanických pohonů, ISBN 80-214-3340-X, Brno, 2007 [62] Kratochvíl C. a kol.: Některé problémy dynamiky řízených systémů pohonů, Závěrečná zpráva SPZV č. M-9/90, Brno, 1990 [63] Szklarski, L.; Jaracz, K.; Horodecki, A.: Electric Drive Systems Dynamics, Elsevier Amsterdam, ISBN 83-01-08584-3, Warszawa, 1990 [64] Šácha, P.: Výpočtové modelování vyzařování hluku z jednostupňové mechanické převodovky MKP, diplomová práce, ÚMT FS VUT v Brně, 1994 [65] Skubačevskij, G.S.: Izgibnyje kolebanija dětalej gazoturbinnych avidvigatělej, GIOP, Moskva 1959 [66] Prigorjev, N.V.: Nelinejnyje kolebanija elemetov mašin i sodružij, GNTIML, Moskva 1961 [67] Turek, M.: Inteligentní řídicí člen aktivního magnetického ložiska, Disertační práce, FSI VUT v Brně, 2006 [68] Krämmer, E.: Dynamics of Rotors and Foundations, Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1993 [69] Doležal, Z.: Vztahy pro výpočty a kreslení progresivních tvarů čelních zubů a ozubení. Zpráva VZLÚ Praha, 1992 [70] Cai, Y., Hayashi T.: The linear approximated equation of vibration of a pair of spur gears (theory and experiment), Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, Vol. 116, pp. 558–564, 1994 [71] Fenin, Š.: Využitie piezoelektrického materiálu v potláčaní kmitania, Disertační práce, STU Bratislava, 2006 [72] Kuo, B.C.: Automatic Control Systems, Prentice Hall, 1982

MECHATRONICKÉ POHONOVÉ SOUSTAVY

Recommend Documents