Kézirat
a
Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek cím˝u el˝oadáshoz
Dr. Gy˝ori István
NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRAM
1999/2000
1
1. MATEMATIKAI ALAPFOGALMAK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok összességét értjük (nem adunk ennél absztraktabb matematikai definíciót). Ha egy dolog beletartozik a halmazba, azt mondjuk, hogy eleme a halmaznak. Fontos szempont, hogy egy halmaz megadásánál mindig eldönthet˝o legyen, hogy egy dolog eleme-e a halmaznak vagy sem. A halmaz megadható elemeinek felsorolásával vagy valamilyen a halmaz elemeit jellemz˝o tulajdonság megadásával. Példák: A harmadéves középiskolások halmaza, vagy az 1, 2, 3, 4, 5 számok halmaz. A páros számok halmazát megadhatjuk szabállyal és felsorolássl is: 2, 4, 6, 8, ... . A halmazok jelölésére általában a nagybet˝uket, míg elemeik jelölésére a kisbet˝uket szokták használni. Azt, bet˝uvel jelzett halmaznak úgy jelöljük, hogy az szimbólummal jelölt dolog eleme a nagy hogy vagy Ha az halmazt elemei felsorolásával adjuk meg, akkor azt a vessz˝ovel elválasztott elemek és jelek közé írásával jelöljük. Példa: Az 1, 2, 3, 4, 5 számok halmaza = A páros számok halmaza = Másik lehetséges megadási módja a halmaznak, amikor azt írjuk, hogy
! tulajdonság A páros számok halmaza = #"$ % %&"' ( ) *"+ ,- Ha bevezetjük a pozitív egész számok halmazára az . jelölést, akkor A páros számok halmaza "$ % %&"' ) /0.1 Az, hogy egy dolog (röviden ) nem eleme az halmaznak, az 32 vagy 5 4
szimbólummal jelöljük. Nagyon sok esetben a halmazunk valamely másik halmaz elemeinek olyan összessége, amelyek közös tlajdonságúak. Legyen a középiskolás diákok halmaza. az els˝oéves középiskolás diákok halmaza. Ekkor írhatjuk, hogy
" 6 67"' 8 els˝oéves Világos, hogy 6 minden eleme egyúttal eleme az hamaznak is. 1 . Definíció A 6 halmazt az halmaz részhalmazának nevezzük, ha 6 minden eleme egyúttal < ; eleme -nak is. (Jelölésben: 6:9 vagy 6 ). Formális logikai eszközökkel a fenti definíció így is leírható = >6@? (minden -re, amely eleme 6 -nek következik, hogy ). 1 . Megjegyzés -!Világos, hogy bármely halmaz részhalmaza önmagának. A (Jelölésben: 9
- Azt a halmazt amelynek nincs eleme, az üres halmaznak nevezzük, és Ø-val jelöljük. Definíció szerint az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. - A véges sok elem˝u halmaz összes lehetséges részhalmazainak a száma . (Természetesen figyelembe vettük, hogy az üres halmaz és az halmaz is részhalmaza -nak.)Egy halmazban egy adott dolog csak egyszer van felsorolva, így az elemei páronként
F
"B CD EGF
2
különböznek.
6
6
" 6
2 . Definíció Két halmaz és egyenl˝o (jelölés: ) ha az elemeik azonosak. Egyszer˝u belátni azt a tényt, hogy az és a halmazok pontosan akkor egyenl˝oek, ha és .
9 6 6@9
6
6
További kérdések: Lehet-e halmazok között m˝uveleteket végezni, és ha igen hogyan? Halmazok egyesítése (uniója, összege): Az és halmazok egyesítésének azt az halmazt nevezzük, amely a következ˝oképpen van definiálva:
67"' ! vagy >6 6 halmaz elemei mindegyike eleme az és 6 halmazok legalább egyikének eleme.) (Az 6 halmazt Halmazok metszete (közös része): Az és 6 halmazok metszetének azt az nevezzük, amely a következ˝oképpen van definiálva: 67"' ! és >6 6 halmaz minden eleme egyidej˝uleg eleme az és 6 halmaznak is.) (Az 6 " esetben azt Világos, hogy ha az és 6 halmaznak nincsen közös eleme, akkor mondjuk, hogy az és 6 halmazok kizárják egymást (diszjunktak). Az és 6 halmazok különbségének nevezzük azt az 6 -vel jelölt halmazt amely definíciója a következ˝o: 6 "$ ! és +2>6
6 halmaz elemeit azok a dolgok adják, amelyek elemei -nak és ugyanakkor nem (Az elemei 6 -nek.) Halmazok és az azokon végezhet˝o m˝uveletek sematikus ábrázolása.
6 67" 6 "
6 67" 6 6 A
7 6 " 67" 6 6
Az halmaz valamely halmazra vonatkozó komplementer (kiegészít˝o) halmaza alatt azt " feltéve, az szimbólummal jelölt halmazt értjük, amelyre hogy 9 (Tehát az 9 halmaz komplementere az a halmaz, amelynek elemei az halmaznak elemei de nem
elemei -nak). Példa. Végezzünk kísérletet úgy, hogy két pénzdarabot dobunk fel egymás után. Jelöljük -vel ha írás, és -fel ha fej kerül felülre. Ekkor a következ˝o esetek lehetnek:
(i,i) (i,f) (f,i) (f,f)
mindkett˝o írás els˝o írás, második fej els˝o fej, második írás mindkett˝o fej Lehetséges esetek halmaza:
"' A A A A
3
" Lehetséges részhalmazok: A A A A A A A A , A A A A
A A " A két dobás egyforma A # A A két dobás különböz˝o " 6
A A A A két dobás között legfeljebb egy dobás fej #" Feladat:
67" 6 " 7 6 "
" "
"
1.2. Kombinatorika elemei Kérdés mi az általános szabály egy adott feladat típusnál a lehetséges esetek számának megadására. Nézzünk néhány motiváló feladatot:
%
1. Egy tavon át féle hajóból lehet választani, amelyek a két part között oda és vissza sétahajóznak. Hányféleképpen tudja valaki az oda-vissza utat megtenni, ha két különböz˝o hajóval akar utazni. Megoldás: egy hajó van A feladat nem oldható meg, csak ugyanazt a hajót lehet oda és vissza is választani. és hajó oda 2 választás lehetséges oda vissza vissza és hajó 6 választás lehetséges: oda 3 választás, vissza 2 választás Mivel minden oda választáshoz vissza már csak két lehetséges eset van, így a lehetséges választások száma (InÁltalában különböz˝o hajó esetén a lehetséges választások száma dokolja meg!) 2. Négyszín˝u fénnyel m˝uködik egy jelz˝orendszer. Egy jelzéshez egy, két, három vagy négy színt használunk. Hány embert tudunk így értesíteni, ha minden jelkombináció két embernek szól az egyik állandó, a másik felvillanó fénnyel. Megoldás: Minden lámpánál két állapot lehet vagy világít, vagy nem. Ez azt jelenti, hogy ha a felvillanó fényt˝ol eltekintünk, akkor
%&"' %&"' %&"' %
#"'
"% % A
"' #"' "+
eset lehet. Egy esetben egyik lámpa sem ég ezért ezt ki kell zárni. Tehát az értesíthet˝o emberek száma: f˝o. Megjegyzés: jelölje 0 azt az esetet, amikor a lámpa nem ég és jelölje 1 azt az esetet, amikor a lámpa ég. Ekkor a négy lámpára vonatkoztatva a következ˝o lehetséges sorozatokat kapjuk:
0 #"'
4
egyik lámpa sem ég pontosan egy lámpa ég
1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 pontosan két lámpa ég 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 pontosan három lámpa ég 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 négy lámpa ég Kettes számrendszer 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 = 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 1 0 1 5 0 1 1 0 6 = 0 1 1 0 0 1 1 1 7 = 1 0 0 0 8 = 1 0 0 1 9 = 1 0 1 0 10 = 1 0 1 1 11 = 1 1 0 0 12 = 1 1 0 1 13 = 1 1 1 0 14 = 1 1 1 1 15 = Általános eset: Legyen cselekedet, amelyeket gre. Ekkor a teljes cselekvéssorozatot
CC
C
%
C F féleképpen hajthatunk vé"' C F féleképpen hajthatjuk végre.
1.3. Permutáció 1.3.1
Ismétlés nélküli permutáció.
F
Ismétlés nélküli permutációról akkor beszélünk, ha adott különböz˝o elemeket valamilyen más sorrendbe átrendezünk. A lehetséges átrendezések (sorrendek, permutációk) számát -el jelöljük, ha különböz˝o elem van. Kérdés hogyan határozható meg
%
F
Példa: Hány féle sorrendbe írhatók a MA bet˝ui? MA AM két lehetséges sorrend a permutációk száma = 2 = 5
Hány féle sorrendbe írhatók a FEL szó bet˝ui? FEL EFL LFE FLE ELE LEF lehetséges permutációk: 2 2 2
"+ "
Hány féle sorrendbe írhatók a CUKOR szó bet˝ui?
"' #"'
A
A Általában F!" % % % , #" % (% faktoriális)
1.3.2
Ismétléses permutáció
Motiváló példa: Hány féle különböz˝o sorrendbe rendezhet˝ok a KAPA szó bet˝ui? KAPA AKPA PKAA KPAA AA KAAP 3 3!=6 eset 3 eset 12 eset
C C . ..
Általában ha
%
C C " " "' CC "
(
eset
elem van emelyekb˝ol az szer ször
C " %
C F
szer szerepel
akkor az ismétléses permutációk száma
" % A
F
%
" C
1.4. Kombináció
%
B% A
Ismétlés nélküli kombinációról beszélünk, ha elem közül ( elemet úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra és a kiválasztás sorrendje nem számít. A lehetséges ismétlés nélküli kombinációk számát jelöli.
F
Példa. 7 tanuló közül három kiválasztása hány féle képpen lehetséges, ha a kiválasztás sorrendje nem számít (egy tanulót csak egyszer választunk ki). A B C D E F G + jel ha kiválasztott, és - jel ha nem. + + + - - - Ez a + és - jelek ismétléses permutációinak száma, azaz
F " F F " % % A
Jelölés 6
% A " %
C %
A feladat megoldása:
" "
binomiális együttható.
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 1 2 3 4
"+
eset lehetséges!
1.5. Binomiális tétel Tetsz˝oleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nem-negatív egész kitev˝oj˝u hatványa polinommá alakítható a következ˝o módon:
A F " % F % F C , % F % F " % % F % F
% 0. A n=1
A C " #" % " % "'
A " " Mi történik általános esetben # F " F
Pascal-féle háromszög:
C
CC
C
C
C
.
. .
. . . .
7
1.6. Az átlag
F
C , F " " C % % " C % C " C " 4 F " 4 sebesség átlagolására órákkal is! " C F!" C F
"
számtani közép
harmonikus közép
geometriai közép
exponenciális növekedésére
C "'
"' "+ "+ " "' " CC C C C " C " "' " " #"
Példa:
C "'
" %&"+
Példa:
Ismétl˝o feladatok:
"'
"
A '"
1. Hány olyan tízjegy˝ u szám van, amelyben minden számjegy csak egyszer fordul el˝o? Válasz: 2. Hányféle sorrend állítható fel 3 férfi és 4 n˝o között, ha azt akarjuk, hogy a férfiak és a n˝ok felváltva következzenek egymás után. Alapelrendezés ( nem lehetséges eset)
% % % % % % % n˝ok permutációja: férfiak permutációja:
A összes lehetséges "' "+ #"' Van öt golyónk, amelyek mindegyikén van egy sorszám. A páros golyók piros ( ), a páratlanok fekete ( ) szín˝uek: C
3.
Kérdések: (a) Hányféle sorrendjük lehet a golyóknak szín˝ukt˝ol függetlenül?
Válasz: 5! (ismétlés nélküli permutáció) (b) Hányféle sorrendjük lehet a golyóknak ha csak szín˝uk érdekel bennünket?
8
Válasz (ismétléses permutáció):
" " "' 3!
4. Hányféleképpen tölthetjük ki egy 13 kérdést tartalmazó teszt válasz oszlopát, ha 8 választ 1-esre, 2 választ 2-esre és 3 választ 3-asra tippelünk? (ismétléses permutáció!)
C
" "' "+
a lehetséges esetek száma.
5. A lottón 90 számból találomra ötöt húznak ki egymás után oly módon, hogy a már kihúzottakat nem teszik vissza az urnába. (A húzás sorrendje érdektelen). Hány szelvényt kell kitöltenünk, hogy biztosan legyen közöttük öttalálatos? Megoldás (90 elem 5-ödosztályú kombinációja):
" " "
1.7. Ismétléses kombináció
%
"
%
Adott különböz˝o elem közül elemet úgy választunk ki,hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje nem számít. Ekkor elem -adosztályú ismétléses kom binációjáról beszélünk. Jele
F
% F "
%&" *"+ " " " " 7. Írjuk fel az bet˝uk másodosztályú ismétlés nélküli és ismétléses kombinációit! " "' " " " "+ " 6. Példa:
ab b c cd a c b d a d
a a a a
a b b c d b b c c d c b d d
d d
9
˝ 2. VALÓSZÍNUSÉGSZÁMÍTÁS 2.1. Eseményalgebra Véletlen és szükségszer˝u jelenség. Szükségszer˝u jelenségnél a jelenség lefolyása el˝ott tudjuk,hogy mi várható, mi lesz a kimenetele. Véletlen jelenségnél vagy nem tudjuk, vagy tudhatnánk, de a bonyolult körülmények miatt nem tudjuk az ismereteinket egyértelm˝uen alkalmazni (ilyenkor a jelenség lefolyása számunkra el˝ore meg nem jósolható kimenetelhez vezet). Persze a véletlen esemény létrejötte, vagy az általunk elvégzett véletlen kísérlet (továbbiakban véletlen jelenségen és kísérleten ugyanazt fogjuk érteni) vizsgálatánál a lehetséges kimeneteleket ismerjük. A lehetséges kimeneteleket elemi eseményeknek nevezzük. A kísérlet tervezésénél (egy jelenség) vizsgálatánál fontos, hogy az elemi események jól megkülönböztethet˝oek legyenek, ami azt jelenti, hogy a kísérlet elvégzése után eldönthet˝o legyen, hogy melyik következett be. Ugyancsak fontos, hogy a véletlen kísérlet vagy esemény akárhányszor megismételhet˝o, illetve megfigyelhet˝o legyen azonos körülmények között természetesen a lehetséges kimenetelek (elemi események) lehetnek mások és mások. Példa. - Egy fémpénz feldobásánál az eredmény lehet fej vagy írás. A pénz feldobása megismételhet˝o, a lehetséges kimenetelek halmaza egyértelm˝u. - Kocka dobás (6 oldalú). Lehetséges kimenetelek, ha például az oldalakon különböz˝o számú pont van? 1 pont, 2pont, 3 pont, 4 pont, 5 pont, 6 pont. Figyeljük meg, hogy ezekben a példákban a lehetséges elemi eseményeken kívül nincsen más lehet˝oség. A lehetséges elemi események halmazát biztos eseménynek nevezzük, mivel a kísérlet elvégzésénél ennek a halmaznak valamelyik eleme biztosan bekövetkezik. Általában eseménynek a biztos esemény (az összes lehetséges elemi eseményekb˝ol álló halmaz) részhalmazait nevezzük. Figyelem az elemi események alkotják a biztos eseményt ugyanakkor az elemi eseményeket a biztos esemény egy-elem˝u részhalmazainak is tekintjük. Ha egy kísérlet elvégzése után olyan elemi esemény következik be, amely eleme valamely eseményt reprezentáló halmaznak, akkor azt mondjuk, hogy ez az esemény bekövetkezett. Példa. Pénz feldobás egy pénzzel. Lehetséges kimenetelek írás (jele ) és fej (jele ). A biztos esemény Az események a részhalmazai, az az (üres halmaz lehetetlen esemény), és Pénz feldobása. Két pénzünk van. Az els˝o majd a második pénz feldobása, és leesett pénzek helyzetének megfigyelése jelenti a kísérletet. Lehetséges kimenetelek (elemi események) az és bet˝ukb˝ol alkotott párok: (Például jelenti, hogy az els˝o pénz írás a második fej. .....) A biztos esemény , , A lehetséges események A A A A A A
A A A A A A A A A A
2 halmaz.
$ " G #" 0
A A A A "' A A A A C " "$
" $ A A " ' A A "'
"$
C "$ A A A A A CC "$ A A A A A C "' C "'
C "' A A A
10
A
"' A A
"' A A
"'
C "$ AA
AA
A A
C "$
"'
C C C
Kérdés, mely események következnek be, ha mind a két pénzzel írást dobtunk? Válasz az A , A , A , A , A , A , A események. Rövid összefoglalás: A valószín˝uségszámítás véletlen tömegjelenségekkel (sokszor el˝oforduló, akárhányszor megismételhet˝o) foglalkozik. A jelenségek lehetséges kimeneteleiket elemi eseményeknek, az elemi események halmazát biztos eseménynek, az üres halmazt lehetetlen eseménynek, míg a biztos esemény (néha alaphalmaznak is hívjuk) részhalmazait eseményeknek nevezzük. Azt mondjuk, hogy az esemény bekövetkezett ha a jelenség kimenetele (illetve azt reprezentáló szimbólum) eleme az eseményt reprezentáló halmaznak. Ellenkez˝o esetben az esemény nem következett be. 2.2. Relatív gyakoriság és valószínuség ˝ Kérdés, lehet-e tapasztalati úton mondani valamit arról, hogy egy véletlen jelenség milyen kimenetel˝u lesz. A bizonytalanságot az okozza, hogy az esemény kimenetelét meghatározó tényez˝oket nem ismerjük. A lehetséges eljárás, hogy az eseményt többször egymás után megismételjük és a megfigyelt kimeneteleket lejegyezzük. Pl.: Pénzdobásnál a következ˝o sorozatot kapjuk:
A kísérletek száma: 17, ebb˝ol fej 9, és írás 8. Tehát a 17-szer azonos körülmények között megismételt kísérletb˝ol 9 esetben fej és 8 esetben írást kaptunk. Azt mondjuk, hogy a fej bekövetkezésének gyakorisága 9, és az írás bekövetkezésének gyakorisága 8. A gyakoriság önmagában nem sokat mond, viszont sokkal informatívabb a gyakoriság és az elvégzett kísérletek számának hányadosa. Ezt a számot hívjuk relatív gyakoriságnak. A konkrét esetünkben a fej relatív gyakorisága: és az írás relatív gyakorisága
C "
" C Megfigyelés (tapasztalat) azt mutatja, hogy a kísérletek számának növekedésével a relatív
gyakoriság valamely meghatározott szám körül ingadozik egyre kisebb és kisebb kitérésekkel. Ezt a számot nevezzük valószín˝uségnek. A valószín˝uségszámítás tárgya megadni azokat a szabályokat, amik az eseményekre és azok valószín˝uségeire vonatkoznak. Az, hogy a kiindulási valószín˝uségek milyen pontosak, vagy annak a vizsgálata, hogy a relative kevés kísérlet alapján következtetni lehet-e a véletlen esemény természetére, az úgynevezett statisztika vagy matematikai statisztika tárgya. Tehát legyen egy alaphalmazunk és tekintsük az e halmaz részhalmazainak családját amit -val jelölünk. (A olyan halmaz, amely elemei maguk is halmazok.) A elemei az események. Egy kísérletsorozatnál, amely kísérletb˝ol áll jelöli azoknak a kimeneteleknek a számát, amelyek az halmazba tartoznak. Röviden mondva az esemény -szor következik be neve gyakoriság. E kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága:
%
%
! A Az esemény
az a szám, amely körül egyre kisebb kitérésekkel valószín˝usége, jelölése ingadozik a F relatív gyakoriság értéke miközben a kísérletek % száma egyre nagyobb és nagyobb lesz.
A C A " C A " A "' Például: Pénzdobásnál "
uségek között els˝onek az eseményekkel Ahhoz, hogy összefüggéseket állítsunk fel a valószín˝ kell foglalkoznunk.
11
E68 CD , 6/C E6
2.3. Események közötti összefüggések
. Feltesszük, Az eseményeket általban nagybet˝ukkel jelöljük: hogy a vizsgált események részhalmazai a biztos eseményeknek. Az üres halmaz is esemény, neve lehetetlen esemény.
A., Ellentétes esemény. Egy esemény ellentétes eseménye alatt azt az eseményt értjük, amelyik csak akkor következik be, ha az esemény nem következik be. Az esemény esetén az ellentétes esemény jele
" ? +2
és
A
B., Események szorzása. Azt mondjuk, hogy két esemény szorzata következik be, ha olyan elemi esemény következik be, amely mindkét eseménynek egyidej˝uleg eleme. Szimbólumokkal, az és események szorzatát jelöli és
6
6
67" 86 azaz 6 ? és >68 C., Események összeadása. Két esemény összege akkor következik be, ha legalább az egyik bekövetkezik. Formulával, az és 6 események összege + 6 ? vagy >68 Néhány következtetés az el˝obbi meghatározások alapján. - A
"
lehetetlen esemény ellentéte az
1"
biztos eseménynek, és fordítva és
" - Az és annak ellentéte egyidej˝uleg nem következhet be: " és " A Ha két esemény egyidej˝uleg nem következhet be, akkor azokat egymást kizáró eseményeknek nevezzük. Formulával felírva: az és 6 események pontosan akkor zárják ki egymást, ha 67" 6 " A és kizárják egymást a és események kizárják egymást, ugyanis " Például " " és " " " - - Az
esemény ellentétének ellentéte önmaga
Az összeadás és szorzás m˝uveletek értelmezve vannak több tagra is:
C F az az esemény, amelyik pontosan akkor következik be, ha az CD F események közül legalább egyik bekövetkezik. C ... F esemény pontosan akkor következik be, ha CD , F mindegyike egyide- -
j˝uleg bekövetkezik.
%
2.4. A valószínuség ˝ matematikai fogalma
F
%
Világos, hogy a relatív gyakoriság nem-negatív és egynél nem nagyobb szám, ugyanis kísérlet elvégzése esetén a bekövetkezések száma legfeljebb lehet. Ez azt jelenti, hogy
12
F '
*A *A '
A
A lehetetlen esemény valószín˝usége 0, " A biztos esemény valószín˝usége egy, és 6 kizárja egymást, Ha két esemény akkor kísérletnél a relatív gyakoriságok: % tartozó " F a 6 -hez tartozó " F az 6 -hez tartozó " F " F Ennek alapján a valószín˝uségszámítás a következ˝o axiómákon alapszik:
3 . Definíció szerint az esemény valószín˝usége olyan valós szám, amely nagyobb vagy egyenl˝o mint 0 és kisebb vagy egyenl˝o mint 1. Jele:
A"
!A
I. Minden egyes véletlen eseményhez hozzá van rendelve egy nem negatív szám: az emény valószín˝usége, amelyet -val jelölünk
F
-hoz
es-
*A '
A " és a lehetetlen esemény valószín˝usége II. A biztos esemény valószín˝ u sége 1, azaz
A 0, azaz " (Az egy valószín˝uség˝u esemény nem szükségképpen a biztos és nulla valószín˝uség˝u nem szükségképpen lehetetlen esemény.)
6 A " !A 6 A III. Ha 67" akkor " " 4 Ekkor IV. Ha az C F , események páronként kizárják egymást, azaz
C F , A " C A F A
(Megjegyzés: a gyakorlatban gyakran vannak olyan esetek, vagy modlelek, amikor a jelenséget végtelen sok (megszhámlálhatóan végtelen sok) elemi eseménnyel lehet leírni. Ekkor az események száma is megszámlálhatóan végtelen.) Az axiómák alapján az eseményekre számos hasznos megállapítást fogalmazhatunk meg:
!A +" eseményre !A " " és így ! A " A "' Ugyanis
!A !A "+ " ? !A +" !A C F események 2. Egymást kizáró események összegének valószín˝ u sége. Ha az " ha " 4 *"+ E% A akkor páronként kizárják egymást, azaz
C F A " C A F A 4 . Definíció Az C , F eseményekr˝ ol azt mondjuk, hogy teljes rendszert alkotnak, ha páronként kizárják egymást és C , F*" 3. Ha az C F események teljes rendszert alkotnak, akkor
C F A " C A F A "+ 4. Tetsz˝oleges és 6 eseményre
6 A " *A 6 A 6 A
1. Ellentétes esemény valószín˝usége: tetsz˝oleges
13
E 68 eseményekre:
6 A " !A 6 A A 6 A A 6 A 6 A esemény mindig maga után vonja a 6 esemény bekövetkezését, azaz 9 68 5. Ha az ! A 6 A és 6 !A " 6 A *A akkor
6 !A A " !A 6 !A " ? 6 A !A " 6 *A A 6. Legyen a véletlen kísérletnek % elemi eseménye CD F amelyek mindegyike egyenl˝o valószín˝uséggel fordul el˝o. Ha ekkor 6 olyan esemény, amelyhez pontosan elemi esemény tartozik (mindegy, hogy melyik darab), ekkor
A" 6 % Tetsz˝oleges
Indoklás: órán. Az összefüggések felhasználása konkrét esetekre.
elemi események azonos valószín˝uséggel. Kockadobás.
" C
DC
CA " A $ " " A "
másrészt
C A A +" "+
A páros szám dobásának a valószín˝usége:
A " A A A " "
2.5. Valószínuségek ˝ kiszámításának klasszikus kombinatorikus módja Egy esemény valószín˝usége egyenl˝o az esemény bekövetkezésére nézve kedvez˝o esetek és az összes lehetséges esetek számának hányadosával, feltéve,hogy a lehetséges esetek (elemi események) egyenl˝oen valószín˝uek. Példa: mi a valószín˝ usége annak, hogy 5-ös találatot érünk el a lottón? 90 számból 5-öt féleképpen lehet kiválasztani. kedvez˝o esetek száma összes esetek száma
" " " " " "
Példa: Három kockával, amelyek megkülönbözhetetlenek, dobunk egyszerre, és a három dobás összegét tekintjük eseménynek. Mik az elemi események? Egész számok és között.
Lehetséges események száma: 16. Ezek összetett események, amelyek elemi eseményekb˝ol állnak. Az elemi események száma
" CC
" C
#"' C "' " " , C "+
#"' "+
Példa: Egy urnában nyolc billiárdgolyó van, öt piros és három fehér. Két golyót találomra kihúzva mi a valószín˝usége annak, hogy különböz˝o szín˝uek lesznek? Két lehet˝oség: (a) els˝onek piros golyót húzunk! 14
" C
Piros valószín˝usége a másodikra húzott fehér valószín˝usége (8 lehetséges, amely
b˝ol 5 kedvez˝o). Annak a valószín˝usége, hogy a két golyó különböz˝o: (b) els˝onek fehér golyót húzunk!
Fehér valószín˝usége a másodikra húzott piros valószín˝usége Szorzat:
C C " " C " C C '"
" C
Mindkét eset megfelel, ezért a keresett valószín˝uség:
Milyen esetekben alkalmazható a valószín˝uségek összeadási, illetve szorzási szabálya? Ha ugyanabban a futamban két lóra fogadok, annak a valószín˝ usége, hogy nyerek, a két lovon külön-külön való nyerés valószín˝uségének összege lesz: o futamban azzal, hogy ha Ha ellenben összetett fogadást kötök, tehát fogadok egy lóra az els˝ nyerek, a nyeremény a második futamban egy másik lóra teszem, akkor annak a valószín˝usége, hogy az összetett fogadást megnyerem, a két ló saját futamában való gy˝ozelem valószín˝uségeinek szorzataként adódik:
C C" C
˝ 3. GEOMETRIAI VALÓSZÍNUSÉG Sok esetben a vizsgált problémához tartozó elemi események egy geometriai alakzat pontjainak és az események valamely geometriai alakzatnak felelnek meg. A geometriai alakzatoknak mértéke (hossza, területe, térfogata) van és ilyenkor feltesszük,hogy az összes eseményt egy jól meghatározott geometriai alakzat foglalja magába. Ez az elemi események alaphalmaza, jele Az halmaz mértéke nagyobb vagy egyenl˝o mint bármely másik az belsejébe lév˝o alakzat mértéke ( egy eseményt reprezentál). Az esemény bekövetkezésének valószín˝usége, ebben a geometriai interpretációban az tartomány mértéke az tartomány mértéke
!A
*A "
!A $ Az üres halmaz mértékét nullának vesszük.
Világos, hogy és Példa. Egy 20 cm sugarú kör alakú céltáblára lövéseket adunk le és az alapfeltevésünk, hogy a táblán kijelölt alakzat eltalálásának valószín˝usége arányos az alakzat területével. Ekkor, -val jelölva az alakzatot, területe területe ahol a 20 cm sugarú körlap. területe így területe Legyen
!A "
!A "
egy sugarú kör, amely középpontja ugyan az mint a 20 cm sugarú köré. Ekkor
!A " "
'
Példa. Két ember megbeszéli, hogy egy adott helyen találkozik 10 és 11 óra között. A találkozó helyére véletlenszer˝uen érkeznek. Mekkora a valószín˝usége annak, hogy a korábban érkez˝o legfeljebb negyedórát vár a kés˝obb érkez˝ore? A modell: Legyen az a négyzet, amely végpontjai lásd az és ábrát.
A A A A
ábra 15
Az egyik ember , a másik órával érkezik 10 után. Tehát a kérdéses esemény (azaz legfeljebb negyed órát vár az els˝onek érkez˝o a másodikra) akkor következik be, ha (óra) és A kérdéses eseményt tehát az
'
'"$ A
halmaz reprezentálja. pontosan akkor teljesül, ha és vagy ezzel ekvivalens módon és Így "$ A és Lásd a rajzot. "' "+ " Az területe: C C egységnégyzet). Az halmaz területe 1 (az Így
!A " " Mi a válasz akkor, ha a következ˝ot kérdezzük: Mi a valószín˝usége annak, hogy az els˝onek
érkez˝o nem vár többet félóránál? Ekkor
$" A A és
!A "+ "+ "
!A " a várakozás valószín˝usége egyenl˝o a nem várakozás valószín˝uségével, azaz
!Mikor A " lesz
A
! A " "' "+ A így
A " Ezért " azaz "+ C ' " . Ha tehát a várakozási id˝ot körülbelül percnek ( óra) vesszük, akkor annak a valószín˝usége,
hogy az els˝onek érkez˝o nem vár többet 20 percnél, 0,5 körül van.
4. MINTAVÉTEL Egy halmazból találomra kihúzott elemek összességét véletlen mintának nevezzük. A találomra húzáson egy olyan eljárást értünk, amelynek során minden minta kiválasztása egyforma valószín˝uséggel történik. Ezt az eljárást véletlen mintavételnek nevezzük. Két típusa: visszatevéses, visszatevés nélküli. 4.1. Visszatevéses mintavétel A mintavétel tárgyalása el˝ott tekintsünk egy egyszer˝ubb példát. Bernoulli-kísérlete Vizsgáljuk azt a kísérletet, amelynek két lehetséges kimenetele van: és . Ekkor és Így azaz Jelölje az valószín˝uséget a valószín˝usége ekkor Végezzük el a kísérletet -szer
A
!A A 67" * '" 6 6 '"
!A A
*" 6 6 A " +" ! A A 16
6
7 6 " " %
6
6
6
azonos körülmények között. Ekkor az és bet˝uk valamely sorozatát kapjuk feltéve, hogy -t írunk valahányszor az esemény következik be és valahányszor a esemény következik be bet˝ut írunk. Például a
6 6 6 6 6 sorozatot kaphatjuk feltéve, hogy a kísérletet % " -szer végeztük el. Ennek a sorozatnak a valószín˝usége a kísérletek függetlensége miatt , ugyanis esetben , míg esetben 6 volt a kísérlet kimenetele. Kérdés: mi a valószín˝usége annak, hogy kísérlet elvégzése esetén esetben , míg esetben 6 következik be. Az ilyen sorozatok száma annyi, ahányféleképpen a bet˝u közül, amelyek és 6 , bet˝u kiválasztható. Ez a szám Így annak a valószín˝usége, hogy kilenc elvégzett kísérletnél pontosan négy esetben és pontosan esetben 6 kimenetel adódik Általános eset: % kísérletet végzünk, és az a kérdés, hogy mennyi a valószín˝usége annak, hogy esetben és % esetben 6 következik be. Jelölje ezt az eseményt Ez olyan sorozat bekövetkezésének a valószín˝usége, amelyben db és % darab 6 van: F Ilyen sorozat annyi van, ahányféleképpen az % elemb˝ol kiválasztható, azaz % Tehát az összes lehetséges sorozat valószín˝usége, amelyben darab és % darab 6 van, azaz esemény valószín˝usége
A " % F *" , %
A " F F " F C A " F C F C " % A F C F A " FF F " F Világos, hogy F A F % F #" "
Most térjünk rá a visszatevéses mintavételre. Legyen diákunk közülük lány és fiú tanuló. Nevük egy-egy cédulára van felírva. Az urnából véletlenszer˝uen húzunk ki cédulákat miután jól elkevertük azokat. Feltesszük, hogy minden cédulának ugyanaz a valószín˝usége (esélye). Ekkor egy adott cédula kihuzásának esélye Annak , és hogy fiué Világos, az esélye, hogy a cédulán lány neve lesz hogy Végezzünk el húzást úgy, hogy minden húzás után visszadobjuk a kihúzott cédulát és jól elkeverjük azt a többi közé. Ezt az eljárást nevezzük visszatevéses mintavételnek. Jelölje azt, hogy egy lány nevét húztuk és ,hogy egy fiú nevét. Ekkor az el˝oz˝oek alapján és azaz és A bevezet˝o tárgyalásban (Bernoulli kísérletében) láttuk, hogy annak a valószín˝usége, hogy a kísérletben -szor (azaz lány nevét húztuk ki) következik be és -szor (azaz a kihúzott
C
!A "
*"'
%
6 A "
"
6 " !A /" 6 A
17
"
%
6
%
név fiúé) következik be:
Tehát
%
F
( véletlen visszatevéses mintavétel eredménye olyan tanuló közösségb˝ ol, amelynek lány és ,
F
F
*" E%
18
egy % F fiú kiválasztása F "
leány és fiú van) =
C " C
Példa: Legyen az osztály létszáma 40 f˝o, közülük 10 fiú és 30 lány. Ekkor egy véletlen választásnál annak valószín˝usége, hogy fiút választunk és annak valószín˝usége, hogy a véletlen választás után (feltéve lányt Tehát és Annak valószín˝usége, hogy kiválasztható) hogy a kiválasztott újra fiú van és lány:
" C 0" % Legyen %&"+ "+ C "
F
% !" , %
" "
4.2. Visszatevés nélküli mintavétel
"+ " %
Ebben az esetben is legyen diákunk, amelyek közül véletlenszer˝u diákot választunk ki. Az -diákból lány, és fiú. Az számú diák véletlenszer˝u kiválasztásánál a már kiválasztott diák nevét jelz˝o cédulát nem tesszük vissza az urnába. Ezt a kiválasztást visszatevés nélküli mintavételnek nevezzük. A kiválasztáshoz eljuthatunk két különböz˝o módon is. Egyik mód: az urnából egymás után cédulát húzunk úgy, hogy egyiket sem dobjuk vissza. Másik mód: az urnából egyidej˝uleg kiveszünk darab cédulát. A két módszer ugyanarra az eredményre vezet, ezért csak a második esetet vizsgáljuk. Tehát vegyünk ki cédulát egyszerre. Ezt az cédulából
%
%
%
%
%
%
%
féleképpen tehetjük meg. Most vizsgáljuk, hogy az cédulán számú lány és számú lánynevet tartalmazó fiú neve van. A számú lány nevét tartalmazó cédulát az összesen cédulából míg az fiú nevét tartalmazó cédulákat az fiú nevet tartalmazó cédula közül féleképpen lehet kiválasztani. Így tehát a választásnál a lány és fiú nevet tartalmazó cédulák kiválasztása
F
%
%
F
%
módon valósulhat meg. Ezek a számunkra kedvez˝o esetek száma. Az összes lehetséges kiválasztások száma és így annak valószín˝usége, hogy a visszatevés nélküli választásnál pontosan lány és fiú neve került kiválasztásra
% F " , % F
%
%
Egy fontos megjegyzés: A visszatevés nélküli és a visszatevéses mintavétel kapott valószín˝uségek közötti különbség egyre csökken ha az és értékét az -hez képest egyre nagyobbnak választjuk. Gyakorlatban ezt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy számú sokaságból kis számú 19
%
mintát véve nem számít, hogy visszatevéssel vagy visszatevés nélkül járunk-e el. Min˝oség ellen˝orzés mintavétel alapján. Tanulók tudását szeretnénk ellen˝orizni, véletlen mintavétellel. Az eljárásunk a következ˝o: minden 100 elégtelennél jobban vizsgázott diákcsoportból véletlenszer˝uen 10-et kiválasztunk és megvizsgáljuk a tudásukat. Azt mondjuk, hogy az els˝o vizsga korrekt volt ha az általunk kiválasztott tizes mintában legfeljebb egy diák nem felel meg a kívánalmaknak. Ellenkez˝o esetben a vizsgáztatás min˝oségét megkérd˝ojelezzük. Kérdés: szigorúnak tekinthet˝o-e az ellen˝orzés alapján hozott ítéletünk? A kérdés megválaszolásához ismerni kéne azoknak az arányát, akik a 100-as csoportból úgy mentek át, a megérdemelten hogy nem felelt meg a tudásuk. Jelölje ezt az arányt és átmentek aránya. Milyen esetekben nyilvánítjuk az ellen˝orzésünk alapján megfelel˝onek a vizsgáztatást? Akkor ha legfeljebb egy olyan diákot találunk a 10-b˝ol akinek a teljesítménye a mi megítélésünk szerint nem felelt meg. Tehát sikeresen levizsgázott, diákból veszünk mintát amelyek között de a tudása nem megfelel˝o és pedig megérdemelten ment át. Tizes mintát veszünk véletlenül, az . Annak a valószín˝usége,hogy mind a 10-nek megfelel˝o a tudása (azaz és
3 A *"'
"
/ "+ " %&"' F " C C C C C F Annak a valószín˝usége, hogy a kiválasztott %'"7 megfelel˝o F " C C F
"
% !"' A
*"
C CC " C C -b˝ol "7 nem megfelel˝o és % 0" C C C C Tehát annak a valószín˝usége, hogy a vizsgáztató helyet a mintavételünk alapján nem találjuk megfelel˝onek: C C C C C C C " C C C C
Számítógépes számolással a következ˝ot kapjuk:
=a vizsgálatban kapott megfelel˝o min˝osítés
-ból A
-ból A ..
-ból . A
=az igazságtalanul teljesítettek aránya
valószín˝usége
˝ 5. FELTÉTELES VALÓSZÍNUSÉG 5.1. Feltételes valószínuség ˝ és események függetlensége
6 6
6
6
Motiváló példa. Tekintsük a középiskolás lányok és fiúk egy csoportját. Jelölje azt az eseményt a tanulók közösségéb˝ol véletlen kiválasztott lány és azt, hogy fiú (Világos, hogy a ellentétes eseménye és a biztos esemény.).Jelölje azt az eseményt, hogy a kiválasztott diák els˝o évfolyamos és jelölje azt, hogy nem els˝os. (Világos ellentéteseménye -nak és a biztos esemény.)
6 6
20
!A
6 A
6 A
A vizsgált csoport összetételét a következ˝o táblázat mutatja: évfolyam nem lány fiú összesen els˝os 10 20 30 nem els˝os ( 41 31 70 összesen 50 50 100
!A
Véletlen kiválasztásnál (mindegyik tanuló kiválasztásának ugyan az az esélye), a következ˝o valószín˝uségek adódnak:
!A " C "
!A " C "
6 A " C "
6 A " C " A lehetséges szorzat valószín˝uségek:
6 A " C C " (els˝os lányt választunk ki) =
6 A " C " (els˝os fiút választunk ki) =
6 A " C " (nem els˝os lányt választunk ki) =
6 A " C " (nem els˝os fiút választunk ki) =
(els˝ost választunk ki) = (nem els˝ost választunk ki) = (lányt választunk ki) = (fiút választunk ki) =
5.2. A lehetséges feltételes valószínuségek ˝ Feltételes esemény például az, ha tudjuk, hogy a kiválasztott lány és arra vagyunk kiváncsiak, hogy ekkor milyen valószín˝uséggel lesz annak, hogy a kiválasztott diák els˝o éves. Ennek az eseménynek a valószín˝uségét -vel jelöljük. Kiolvasva: annak az esemény valószín˝usége feltéve, hogy a esemény bekövetkezett.
6
6 A
6 A
A" " 6 C "
A " " (a kiválasztott diák fiú feltéve, hogy az els˝o évesek közül választunk) " 6
A" (a kiválasztott diák lány feltéve, hogy nem az els˝o évesek közül választunk) " 6 "
A" (a kiválasztott diák fiú feltéve, hogy nem az els˝o évesek közül választunk) " 6 " További lehetséges feltételes valószín˝uségek (az olvasóra bízom a szöveges megfogalmazást):
6 A " C " 6 A " " 6 A " " 6 A " " Tehát a lehetséges feltételes események a példánkban: (a kiválasztott diák lány feltéve, hogy az els˝o évesek közül választunk)
A " 6 !!A A 6 A " 6 !!A A 6 A " 6 !!A A 6 0A " 6 !!A A
A
A
A A " 6 A 6 A " 6 A 6 A " 6 A 6 A " 6A A 6 6 6 6
Figyeljük meg a következ˝o összefüggéseket:
6
6
21
A
A esemény 4" akkora a eseményre
A fent elmondottak alapján két tetsz˝oleges és eseményre a vonatkozó feltételes valószín˝uségét -vel jelöljük és ha
A"
AA
összefüggéssel definiáljuk. Definíció szerint azt mondjuk, hogy a esemény független a eseményt˝ol ha a eseménynek a eseményre vonatkoztatott feltételes valószín˝usége egyenl˝o a esemény valószín˝uségével. Képletben kifejezve, ha
A " A
A " 4 esetén Ez utóbbi azonban
A " A A azaz
A " A A alakba írható. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy
A " A A " A A " A A A " A
és így a esemény független a eseményt˝ol. Végs˝o megállapítás: A esemény pontosan akkor független a emény független a eseményt˝ol, és a valószín˝uségekre teljesül a
es-
A " A A összefüggés. és 6 amelyek valószín˝usége nem 2 . Megjegyzés Ha van két eseményünk, mondjuk
!A 4 A " 4 A és a két esemény kizárja egymást, azaz a szorzatuk a lehetetlen nulla " A 6 esemény
67" ekkor ez a két esemény nem lehet független. Valóban, ha és 6 független lenne, akkor
6 A " !A 6 A " 4
6 A " A " lenne, ami ellentmondás. teljesülne ugyanakkor mivel 67" ezért
*A
6 A akkor a két - Ha az esemény része a 6 eseménynek, és esemény nem lehet független. Ugyanis függetlenségük esetén
6 A " !A 6 A és így 6 A " !A Összevetve a két teljesülne. ugyanakkor 96 miatt 6 " összefüggést
!A " !A 6 A
A "' Ez ellentmond a 6 A + feltételünknek. adódik, ami azt jelenti, hogy 6 és 6 események Vizsgáljuk meg, fennáll-e a függetlenség a Táblázatban szerepl˝o között. Ehhez használjuk a táblázat adatait:
6 A " C C !A " C 6 A " C
A"
eseményt˝ol, ha a
22
6 A " " " 4 !A 6 A " " Ez azt mutatja, hogy az és 6 esemény nem független egymástól. Töltsük ki a következ˝o táblázatot úgy, hogy az és 6 függetlensége A táblázatban az úgy nevezett
!A " fennálljon! marginális valószín˝uségek adottak:
!A " 6 A " 6 A " Tehát
.
els˝os (
évfolyam nem
!A
) nem els˝os ( összesen
6
lány ( )
6
fiú ( )
els˝os (
összesen évfolyam nem
!A
) nem els˝os ( összesen
6
fiú ( )
6
összesen
lány ( )
3 . Megjegyzés 1. 2. Az egyetlen lehetséges kitöltés:
CEC " #" C " #" C " #" " " írandó. Ekkor teljesül az és 6 és 6 , és 6 valamint az és 6 események függetlensége. Igaz a következ˝o: Az és 6 , és 68 és 6 valamint az és 6 események egyidej˝ uleg függetlenek. Ugyanis ha és 6 független, könny˝ u megmutatni, hogy és 6 is 6 "$6 akkor független. Valóban egyrészt 6 másrészt az 6 és 6 események kizárják egymást, és így
6 6 A " 6 A és 6 6 A " 6 A 6 A is igaz. Tehát
A " 6 A 6 A 6
6 A " !A 6 A és ezért Mivel és 6 független,
A " 6 A *A 6 A 6 Átrendezés után
6 A " 6 A !A 6 A " !A A 6 A " !A 6 A ami pontosan azt jelenti, hogy és 6 független. Valószín˝uségek szorzási szabálya:
6 A " 6 A 6 A " 6 A *A
A " 4 és !A " 4 feltéve, hogy 6 az els˝o sor és az els˝o oszlop találkozásához az els˝o sor és a második oszlop találkozásához a második sor és az els˝o oszlop találkozásához a második sor és a második oszlop találkozásához
23
5.3. Általános eset (teljes valószínuség ˝ tétele):
6/CD E6 F
6/C , 6 F " A 6 A
!A " F 6 A 6 A C Példa. Egy iskolában három párhuzamos osztályban (jelöljük ezeket vel) íratják ugyanazt a dolgozatot. Az összes megírt dolgozatok 40 % íródott az és 30-30 %-a a illetve osztályokban. Az osztályban írt dolgozatok 5 %-a, a osztályban írt dolgozatok 7 6 CD E6 F
olyan események, teljes eseményrendLegyen a biztos esemény és amelyek szert alkotnak ( páronként kizárják egymást és és (i=1,2,...,n). Ekkor bármely eseményre az eseménytérb˝ol
%-a, a osztályban írt dolgozatok 10 %-a lett elégtelen. A három osztályban írt dolgozatok összességéb˝ol találomra kiválasztunk egyet. Mekkora a valószín˝usége, hogy ez a dolgozat nem elégtelen? Jelölje azt az eseményt, hogy a kiválasztott dolgozat nem elégtelen. és rendre jelölje azt, hogy a dolgozat olyan tanulóé, aki az illetve osztályba jár. Tehát a kérdés Az adatok alapján tudjuk,hogy
6 6
!A
6 A " , 6 A " , 6 A " továbbá
A " , 6 A " , 6 A " . 6 Tehát a teljes valószín˝uség tétele alapján:
!A " 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A 6 A " " "
6
(Ez lényegében a 0,95 , 0,93 és 0,9 valószín˝uségek súlyozott átlaga.) Egy, az el˝oz˝o problémával rokon kérdés merül fel akkor, ha arra vagyunk kiváncsiak, hogy az esemény bekövetkezésében mekkora valószín˝uséggel játszik közre egy teljes eseményrendszer valamely eseménye. Legyen a teljes eseménytér és a teljes eseményrendszer ( páronként kizárják egymást, és és Ekkor bármely az -hoz tartozó pozitív valószín˝uség˝u eseményre igaz a következ˝o:
6/C , 6#F 6/CD E6 F 6/C 6 F/" A 6 A "$ , %
6 0A " F 6 A 6 A *"+ , % A
6 A 6 A C Ezt az összefüggést Bayes-tételnek hívjuk. A -t ”a posteriori” Elnevezések: (tapasztalaton alapuló, tapasztalati) valószín˝uségnek, 6
A a 6 -t ”a priori” (tapasztalatot megel˝oz˝o, tapasztalat el˝otti) valószín˝uségnek nevezzük. Példa: Az el˝oz˝o példa módosítása. Három és osztályban írják ugyanazt a dolgozatot. Tudjuk, hogy az osztályba a tanulók 40 %-a és a illetve osztályban a tanulók 30-30 %-a jár. A dolgozatokat összekeverték és véletlenszer˝uen választunk. Kérdés, mi a valószín˝usége annak, hogy az ( vagy ) osztályból való a dolgozat feltéve, hogy annak osztályzata nem elégtelen.
6 A " A A 6 A A 6 AA A A " 6 6 6 6 6 6
24
" "
A " " 6
0A " " 6 Módosítsuk a példát úgy, hogy
6 A " , 6 A " , 6 A " . Ekkor
6 A " A A 6 A A 6 AA A A " 6 6 6 6 6 6 " " " " " "
6 A " "
6 A " "
6 A " , 6 A " , 6 A " .
A " , 6 A " , 6 A " . Legyen 6 Ekkor
6 A " A A 6 A A 6 AA A A " 6 6 6 6 6 6 " "
6 A " "
6 A " "
25
˝ 6. VALÓSZÍNUSÉGI VÁLTOZÓ Sok esetben nem is annyira a kísérlet lehetséges kimenetelei, hanem valamely, a kimenetelekhez rendelt számok értékei érdekelnek bennünket. Például: az eseménytér elemi eseményeihez valós számokat rendelünk. Tehát -hoz valamely -val jelölt valós számot. Ekkor a függvényt valószín˝uségi változónak hívjuk. Példa. Tekintsük 100 diák osztályzattal ellátott dolgozatát, amelyek közül véletlenszer˝uen választunk egyet. Ekkor az elemi események halmaza a 100 dolgozatból álló halmaz, amely elemi eseményei az egyes dolgozatok. Annak a valószín˝usége, hogy egy adott dolgozatot húzunk ki Az egyes dolgozatokon szerepl˝o osztályzat lehetséges értéke: 1, 2, 3, 4, 5. Tehát minden elemi eseményhez hozzá van rendelve egy szám az halmazból a következ˝o szabály szerint: értéke az adott dolgozaton szerepl˝o jegy. A függvény valószín˝uségi változó. Tegyük fel, hogy a 100 dolgozat közül 10 jeles, 20 jó, 45 közepes, 15 elégséges, 10 elégtelen van. Ekkor annak a valószín˝usége, hogy a kihúzott dolgozathoz tartozó osztályzat elégtelen:
A
CC
A
"' A " " elégséges:
"+ A " " közepes:
"+ A " " jó:
" A " " jeles:
"' A "
A alakú számpárok Példa. Két kockával dobunk. Az elemi események halmaza az a dobott számok halmaza, ahol
A valószín˝uségi változó jelentése
A összegét:
" A lehetséges értékei: (lásd ......
táblázat).
A dobott számpár (elemi események)
A
A A
A A A
A A A A
A A A A A
A A A A A A
A A A A A
A A A A
A A A
A A
A
A valószin˝uségi változó értékei 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
26
Az adott érték el˝ofordulásának valószín˝usége P P P P P P P P P P P
'" A "+ 2
"' A +" 2
" A "+ 2
"' A " 2
"' A "+ 2
" A "+ 2
"' A "+ 2
A
"+" A " "' 2 2
"+ A "' 2
"+ A "' 2
Táblázat A függvény szemléltetése grafikonon:
Egy adott valószín˝uségi változóval kapcsolatban számos esemény definiálható:
A esemény definíciója ( adott valós szám): Azoknak az elemi eseményeknek összességét, amelyekhez valószín˝uségi változó
A azjelöléssel
A aesemény -nél kisebb értéket rendel, a illetjük. A tehát
A "' A
összefüggéssel adott.
A esemény definíciója ( adott valós szám): - A " Azoknak ez elemi eseményeknek a valószín˝uségi változó
A az-el összességét,
amelyekhez A esemény -szel egyenl˝o értéket rendel " jelöljük. A " tehát
" A "' A "
- A
- A következ˝o események definícióját szavakban az olvasó könnyen megadhatja az el˝oz˝oek alapján, ezért csak formálisan adjuk meg azokat:
A '"
A
A "$"' Tetsz˝
oleges A " és
A"
AA "
"
A " A " A
AA "
AA "
AA
" "
A valós számokra AA
AA A A A A
A " A "
Világos, hogy Eloszlásfüggvény: Tekintsük azt a függvényt, amely tetsz˝oleges esemény valószín˝uségét jelöli:
Az
A"
A
valós számhoz a
A
függvényt a valószín˝uségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. A sur ˝ uségfüggvény ˝ tulajdonságai:
A " és A "+ ugyanis AA "
a lehetetlen esemény)= A A "
" a biztos esemény)= "' (2) a valós számok halmazán monoton növekv˝o függvény, azaz C A Ugyanis
C A 9 A C esetén, és így CA "
CA A " A (1)
27
esetén
CA
Példa. Két kockával dobásnál legyen a valószín˝uségi változó értéke a két dobás összege, ahogy ezt az el˝oz˝o példában tekintettük. Ekkor
A"
A "
'
esetén,
ugyanis nincs olyan eset amikor az összeg kisebb lenne 2-nél.
A"
2 22 22 2 2 2 2 2 2
A"
' ' ' '
'
' ' '
Diszkrét eloszlásról beszélünk, ha a valószín˝uségi változó csak véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok (izolált) értéket vehet fel. (Ez az eset állt fenn azt el˝oz˝o példában.) Legyen diszkrét valószín˝uségi változó az lehetséges értékekkel. Ekkor a valószín˝uségi változó eloszlása alatt a
C " " C A
CD F " " A F!" " F A
valószín˝uségek összességét értjük. Világos, hogy
C "' Másrészt a valószín˝uségeloszlás segítségével megadható az eloszlásfüggvény is: A" " A" A "
ahol az összegzést olyan indexekre kell venni, amelyekhez tartozó értékek kisebbek
-nél. Mi van akkor, ha a valószín˝uségi változónak a lehetséges értékei nem izoláltak, például bármely valós szám lehet. Ilyen eset állhat el˝o például akkor, ha a tanulók testmagasságát, testnevelésb˝ol egy adott távon a táv lefutásához szükséges id˝ot, olvasás elemzésnél egy adott szöveg elolvasásához, megtanulásához szükséges id˝ot mérjük. Ekkor ugyancsak véges pontosságra mérünk, mégis célszer˝u olyan modellt használni, amelyben a mérés eredménye (ez a valószín˝uségi változó értéke) tetsz˝oleges valós szám lehet. Ezek a modellek általában olyan valószín˝uségi változót eredményeznek, amelyeknél annak a valószín˝usége, hogy a valószín˝uségi változó értéke beleesik egy intervallumban bármely rögzített esetén közelít˝oleg arányos a nagyságával: (Olvasd:
A A
A A minden elég kicsi -ra. A közelít˝oleg egyenl˝o A -val.)
28
Az arányossági tényez˝o függ az -t˝ol, tehát az arányossági tényez˝o a valós számok halmazán egy nem-negatív érték˝u függvény. intervallum a számegyenesen. Példa. Legyen adva a Feladat: tegyünk egy pontot a intervallumba véletlenszer˝uen, és legyen a valószín˝uségi változó értéke a pontnak a -tól való távolsága. Mivel a pontot a intervallumba tesszük, és Tegyük fel, hogy annak a valószín˝usége, hogy a pont a intervallum valamely részintervallumába esik, arányos a részintervallum hosszával, azaz esetén
2 A "
' A "+
' A "
Mi van ha
A A A " A " A 9
adott állandó. Kérdés mi a értéke. Mivel egyrészt így kell, hogy legyen. Tehát
ahol
" C
Ekkor
A" A"
A" A"
eloszlásfüggvény az
G
A "
$ A
Tehát az
A" A"
A A
A"
' A "< másrészt
esetén.
A " '
A "'
'
összefüggéssel adott, amely grafikonja a következ˝o:
ábra
Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiszámolni a
értéket, és Tekintsük az
esetén.
A"
függvényt, amely grafikonja:
C
A
3
grafikon
Figyeljük meg, hogy az
függvénynek az 29
helyen vett értéke a vízszintes koordináta
tengely, az grafikonja és az pontba állított függ˝oleges egyenes által határolt alakzat területével egyenl˝o, a következ˝o ábrákon a megfelel˝o alakzatot ferdén bevonalaztuk:
ábra
A"
A"
A"
az adott terület
az adott terület
az adott terület
"
" C " C "+
5 . Definíció Egy valószín˝uségi változót folytonosnak nevezünk, ha van olyan amely legfeljebb izolált pontokban nincsen definiálva és
függvény,
1., nemnegatív minden olyan pontban, ahol definiálva van. 2., Az grafikonja és a vízszintes koordináta tengely által bezárt alakzat területe egyenl˝o eggyel. 3., Bármely -re a valószín˝uség egyenl˝o az , illetve pontokba állí tott függ˝oleges vonalak, az függvény grafikonja és a vízszintes koordináta tengely által határolt alakzat területével (lásd az ábrán a besatírozott területet).
A
Az ábrán besatírozott területet a matematikai elméleti meggondolások (itt eltekintünk a részletekt˝ol) alapján az függvény -n vett integráljának nevezik és
jelöléssel jelölik. Az Tehát
alatti teljes terület jele
A
1"
vagy
A " A A "
A"
30
A A
(1)
A "' Az (1) összefüggés alapján a matematikai elméletben az függvény a A
A hányadosának (vagy deriváltjának is) hívják. Jelölésben " és
A "
A"
függvény differenciál-
Összefoglalva:
(a) A diszkrét valószín˝uségi változót az általa felvett véges vagy végtelen sok lehetséges értéke az azokhoz tartozó valószín˝uségekb˝ol álló valószín˝uségeloszlás, és a szakaszonként állandó értékeket felvev˝o eloszlásfüggvény jellemzi:
C
A A C " " C
" "
C C "+ A A" A "
(b) A folytonos valószín˝uségi változót az s˝ur˝uségfüggvénye és jellemzi: > és A "
eloszlásfüggvénye
˝ ADATAI ˝ 7. A VALÓSZÍNUSÉGI VÁLTOZÓK JELLEMZO Példa. Egy osztály létszáma 40 f˝o és tudjuk, hogy a dolgozatok 10 %-a jeles, 20 %-a jó, 35 %-a közepes, 25 %-a elégséges, 10 %-a elégtelen. Kérdés mi a jegyek átlaga az osztályban? 10 % azaz 4 f˝o jeles 20 % azaz 8 f˝o jó Válasz: 35 % azaz 14 f˝o közepes 35 % azaz 10 f˝o elégséges 10 % azaz 4 f˝o elégtelen A jegyek összege A jegyek száma 40, így az átlag
C C C " " " " "+
Fogalmazzuk át a feladatot. Mi a valószín˝usége annak, hogy a tanulókhoz rendelt valószín˝uségi változó értéke 1,2,3,4 vagy 5? Tehát diszkrét valószín˝uségi változó a következ˝o jellemz˝okkel:
C "'
A C " +" " " "
"' "'A " " "' " " A A " " "' "
31
"+"' A "
A valószín˝uségi változó várható értéke:
A "C C
" C "'
.
7.1. A várható érték általános definíciója: (a) A diszkrét valószín˝uségi változó, amely lehetséges értékei és valószín˝uségeloszlása a következ˝o
C C
várható értéke az
A " C C
"
szám feltéve, hogy ez véges. (b) A folytonos valószín˝uségi változó, amelynek
A a s˝ur˝uségfüggvénye, várható értéke az
függvény görbéje és a vízszintes tengely közötti terület feltéve, hogy ez a terület létezik. Jelölése
A"
A
7.2. A várható érték tulajdonságai
A" A
A A
1. Ha egy valószín˝uségi változó, és adott szám, akkor is egy valószín˝uségi változó, amely várható értékére teljesül. 2. Ha és két valószín˝uségi változó, akkor a összeg valószín˝uségi változó várható értékére teljesül. 3. Általánosabban a 2. a következ˝o formában is igaz egy összeg várható értéke egyenl˝o a tagok várható értékeinek összegével:
A"
C F A " C A F A 4. Egy valószín˝uségi változónak a saját vérható értékét˝ol való eltérésének a várható értéke nulla:
A A " (Megjegyzés: ha a valószín˝uségi változó várható értéke megadja azt a számot, ami közül a valószín˝uségi változó ingadozik. Azt, hogy milyen mértékben ingadozik a valószín˝uségi változó, a várható értéke körül az úgynevezett szórás adja meg.
7.3. A szórás A szórás jele:
A és képletben kifejezett definíciója:
A "
AA A 32
AA A
AA A
AA " Mivel
AA A " azaz
A"
a valószín˝uségi változó és annak várható értéke közötti négyzetes ahol eltérés várható értéke. Ennek így a neve szórásnégyzet, jele Képletben
A A
A
A , ezért
AA "
A"
A
A "
A A A
A
7.4. A szórás néhány tulajdonsága
CD diszkrét valószín˝uségi változó a CD valószín˝uségi eloszlással,
1., Ha akkor
A"
AA "
A " A emlékeztet˝oül
>" ahol
A " A A
2., Legyen és két olyan valószín˝uségi változó amelyekre számok. Ekkor
és adott valós
(Megjegyzés: egy állandó hozzáadása egy valószín˝uségi változóhoz nem változtatja meg a szórást.) 3., Legyen és két független valószín˝uségi változó, azaz
A " A A minden -re. Ekkor
A" A A
A " A A minden esetben teljesül (a függetlenség (emlékeztet˝oül nélkül is!) 4., Ha a C , F valószín˝uségi 4 változók páronként függetlenek, azaz és független min den olyan esetben, amikor " akkor
F F A " C C A F F A C C 5., Ha C A , F páronként független valószín˝uségi változók, és ugyanaz a szórásuk, " C "$ " F A akkor A C F " % és
C F A " % A Medián. Valamely valószín˝uségi változó mediánja, jele
az a valós szám, amelyre
A A A A ha diszkrét és
A A " A A " A A "+ A A " ha folytonos.
Ha a valószín˝uségi változó eloszlása szimmetrikus, akkor a medián egyenl˝o a várható értékkel. Terjedelem. A valószín˝uségi változót korlátosnak mondjuk, ha van olyan és M valós
33
A
szám, hogy (A lehetséges értékei valamely véges intervallumba esnek.) A terjedelem annak a legkisebb intervallumnak a hossza, amelybe a valószín˝uségi változó egy valószín˝uséggel beleesik. Módusz. Diszkrét valószín˝uségi változó esetén azt az értékét a valószín˝uségi változónak, amelyet nagyobb valószín˝uséggel veszi fel mint a többit (feltéve, hogy van ilyen) a valószín˝uségi változó móduszának nevezzük. Folytonos esetben a valószín˝uségi változó módusza az a hely, ahol a s˝ur˝uségfüggvény felveszi a maximumát (feltéve, hogy van ilyen). Példa. Két kockával dobunk és a valószín˝uségi változó a két kockán felül látható pontok összege. Ekkor
C "' "' " "+ "+ " "+
" C "+ C "' CC "+
"
" " " C " C"
" " " "
C
CC " A valószín˝uségi változó jellemz˝oi Várható
A "'érték: C C C CC C
" " "+ Szórásnégyzet:
A A AA " A "
C
"
+
C " Szórás
A" A" "
A ' és a legkisebb intervallum amelybe Terjedelem: #"' , ugyanis
beletartozik a minden lehetséges értéke. Medián: és
A A C
A A C A " Világos,
A hogy " C " C Másrészt
A " C " C
" C változó mediánja 7,
Így a mediánja a valószín˝ u ségi A " " ugyanis " A Módusz: Módusz
34
" C C
C A" " A '" 4
7.5. A szórás szemléletes jelentése Markov és Csebisev eredményei alapján Legyen olyan valószín˝uségi változó, amelynek létezik a várható értéke és a szórása. Ekkor tetsz˝oleges esetén a következ˝o ábrán szemléltetettek állnak fenn:
C
legalább annak a valószín˝usége, hogy a valószín˝uségi változó értéke ebbe az intervallumba esik
C
legfeljebb annak a valószín˝usége, hogy a valószín˝uségi változó értéke a nyilak irányába es˝o intervallumok valamelyikébe esik
ábra A fenti alkalmazása akkor el˝onyös, ha az el˝ozetes ismeretek alapján csak a valószín˝uségi változó várható értékét és szórását ismerjük. Példa: Tapasztalati adatokból tudjuk, hogy egy adott típusú feladat megoldásához egyénenként más-más id˝otartam kell. Jelölje valószín˝uségi változó ezt az id˝otartamot véletlen választás esetén. Tudjuk, hogy perc, és perc. Adjunk becslést annak , intervallumba esik a valószín˝uségére, hogy egy véletlen kísérlet esetén a értéke a azaz
A "
valószín˝uség becslését keressük! , felírható úgy is, hogy Mivel kell olyan -t, hogy
,
ezért a becsléshez találnunk
A " " "' + A $ "' "+ "
"
teljesüljön. Azaz
Tehát
A " + A
Ez úgy is megfogalmazható, hogy ha 100 diákkal oldatjuk meg ezt a feladatot, akkor várhatóan 56 közülük és perc közötti id˝o alatt oldja meg.
35
8. NEVEZETES DISZKRÉT ELOSZLÁSOK
8.1. A karakterisztikus eloszlás
C
Legyen tetsz˝oleges esemény. Ehhez az eseményhez rendelhetünk két elemi eseményt: amely azt jelenti, hogy bekövetkezett és , amely azt jelenti,hogy nem következett be azaz következett be. A eseménytéren értelmezzünk egy valószín˝uségi változót, amely csak a 0 és az 1 értéket veheti fel, mégpedig:
"5 CD
C A "' azaz +" ha bekövetkezik és
A " azaz " ha nem következik be. Eut a vaszín˝uségi változót az eseményhez tartozó karakterisztikus, vagy más szóval az esemény indikátorváltozójának nevezzük.
!A akkor " !A " Ha az esemény bekövetkezésének a valószín˝usége " annak a valószín˝usége, hogy nem következik be. Így
"' A " és " A " "' A A karakterisztikus valószín˝uségi változó jellemz˝o adatai: Várható érték: Szórásnégyzet:
A "'
A "+
azaz Szórás:
"
" "
A "
A " (
A "
8.2. Az egyenletes eloszlás Legyen olyan valószín˝uségi változó, amely lehetséges értékei az felvehet˝o véges számú értékei mindegyikének egyenl˝o a valószín˝usége:
" CA $ " " " F A " %
CD F
számok és a
Ezt a valószín˝uségi változót egyenletes eloszlású valószín˝uségi változónak nevezzük (magát az eloszlást egyenletes eloszlásnak nevezzük). Várható érték:
C , F
A" F % C
(Az számok számtani átlaga) Szórásnégyzet:
A " F
% C
AA " F % C
F
% C
Példa. Dolgozatot íratunk és a dolgoaztokat 1, 2, 3, 4, 5 érdemjeggyel értékeljük. Ha azt tesszük fel, hogy az egyes jegyek ugyanolyan valószín˝uséggel fognak el˝ofordulni, akkor milyen 36
átlag jegyre számíthatunk és milyen szórással? Tehát el˝ozetes feltevésünk alapján olyan valószín˝uségi változóval van dolgunk, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 értékeket veheti fel a
"' A " '" A " '" A " " A " +" A "
valószín˝uséggel. Ekkor ennek az egyenletes eloszlású valószín˝uségi változónak a várható értéke:
A"
és a szórása:
A " A '" A " #"'
A válasz: az átlag jegynek 3 körül kell lennie a 1,41 szórással. 8.3. Binomiális eloszlás
, %
A valószín˝uségi változót binomiális eloszlásúnak mondjuk, ha a lehetséges értékei és ezeket az értékeket a
" A " % F "+ A " % F C " % A " % F % azaz tetsz˝oleges / E% esetén
"$ A " % F " valószín˝uséggel veszi fel, ahol 3 és *"' . A binomiális eloszlású valószín˝uségi változó várható értéke:
A " % Szórása
A " %
Példa. Diákok egy csoportját vizsgáljuk úgy, hogy 6 elem˝u mintát veszünk visszatevéssel. A diákok csoportja a vizsgálat szempontjából két részre oszlik (pl.: kit˝un˝o tanulók és nem kit˝un˝ok
elégtelent írók és nem azok egy tárgy iránt érdekl˝od˝ok, illetve e tárgy ireánt nem érdekl˝od˝ok
...) Tegyük fel, hogy az általunk érdekl˝odésre számot tartó részcsoport aránya 0,3 , azaz ha az általunk érdekl˝odésre számot tartók száma, a teljes létszám, akkor Jelentse a visszatevéses véletlen mintavételben lév˝o általunk érdekesnek tartott esetek számát. Ekkor lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Továbbá a visszatevéses mitnavételnél tanultak alapján:
"
" $" A "
*" %&"' A
Így számolással azt kapjuk, hogy
" "
A várható értéke:
C " " " "
A "' #"'
37
"
A " " #" Tehát véletlenszer˝uen visszatevéses mintavétellel választva kett˝o kerüli lesz az általunk érdekl˝odésre számot tartó tanulók száma szórással. A szórása:
8.4. Poisson-eloszlás Azt mondjuk, hogy a valószín˝uségi változó Poisson-eloszlású, ha a lehetséges értékei a 0, 1, 2, ..., n, ... egész számok és ezeket az értékeket
A " " % "
*"
valószín˝uséggel veszi fel. A Poisson-féle eloszlás, tehát az egyetlen paraméter által van meghatározva. Várható értéke:
A"
A"
Szórása:
%
Mikor adódik Poisson-eloszlás. Az egyik eset, amikor a binomiális eloszlásban a lehetséges értékek száma elegend˝oen nagy, akkor a binomiális eloszlás közelíthet˝o a paraméter˝u Poisson-eloszlással. A Poisson-eloszlás egy konkrét modellje lehet a következ˝o: Számítógépeket kapnak az iskolák, nem pályázat hanem véletlen elosztás alapján. Legyen az elosztandó gépek száma, és az iskolák száma. A gépb˝ol véletlenszer˝uen iskolák nulla (nem kap gépet), és gépet (minden gépet egy iskola kap meg) kaphatnak. Annak a valószín˝usége, hogy egy meghatározott iskola pontosan gépet kap (azaz a véletlen elosztásnál fellép˝o valószín˝uségi változó értéke ) a következ˝o:
" %
%
%
%
F
A %
!" E% " '" " Ha az iskolák száma és a gépek száma is igen nagy, akkor a fenti valószín˝uség közelít˝oleg F Poisson eloszlású lesz a " paraméterrel. Tehát F
A % " "$ "
*" ,
A tapasztalat azt mutatja, hogy a következ˝o esetekben a Poisson-eloszlás jól alkalmazható: 1. A binomiális eloszlás közelítésére a fentiek szerint 2. Olyan esetekben, amikor bizonyos egymás után következ˝o id˝opillanatokban események történnek és mindegyik esemény megtörténtét egyetlen id˝opont jelzi. Ekkor valamely id˝ointervallumban bekövetkez˝o események száma közelít˝oleg Poisson-eloszlású. (Pl.: telefonközpontba beérkez˝o hívások száma, az iskolai hiányzások száma (persze leszámítva a járványos id˝oszakokat), egy id˝oszak alatt meghibásodó számítógépek száma). 3. A sajtóhibák számának eloszlása egy könv lapjain jó közelítéssel Poisson-eloszlást követ.
" C C "
Példa. Legyen 1000 iskola és közöttük véletlenszer˝uen 100 gépet osztunk el. Ekkor paraméter˝u Poisson-eloszlással közelítjük a valószín˝uségi változó eloszlását.
38
jelöli azt, hogy egy iskola hány gépet kap.A lehetséges értékei:
Ugyanakkor a Poisson-eloszlásnál a lehetséges értékei:
E%
azaz bármely nem-negatív egész lehet, a
A " '" "
" C *" valószín˝uséggel.
A A fentiek alapján Kérdés, mi a valószín˝usége annak, hogy
A " C C C , F C C C %
Tehát abban az esetben, ha Poisson eloszlással közelítünk, gyakorlati szempontból nem követünk el hibát ugyanis annak a valószín˝usége, hogy 100-nál több gépet kap egy iskola, a Poisson-eloszlás szerint praktikusan nulla, megegyezésben azzal a ténnyel, hogy ez elméletileg sem lehetséges hiszen a szétosztható gépek száma 100.
" A " C " C "
"' A " C
"' A " C
9. NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK A folytonos eloszlású valószín˝uségi változók jellemzése az eloszlásfüggvény vagy a s˝ur˝uségfüggvény megadásával történik. Emlékeztetünk rá, hogy annak a valószín˝usége, hogy egy folytonos eloszlású valószín˝uségi változó egy adott értéket felvesz, nulla. Így a diszkrét esethez képest, a folytonos valószín˝uségi változóknál az egyes intervallumokba esés valószín˝usége az, amely információt ad a valószín˝uségi változóról. 9.1. Egyenletes eloszlás
s˝C ur˝uségfüggvénye az A " haegyébként
Azt a valószín˝uségi változót, amely
A
szabállyal adott az intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezzük. Az egyenletes elos zlású valószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye az
szabállyal adott. Várható értéke:
A"
C A
A" 39
ha ha ha
A "
Szórása:
9.2. Exponenciális eloszlás Azt a valószín˝uségi változót, amely
A"
C
s˝ur˝uségfüggvénye az
ha ha
szabállyal van megadva exponenciális eloszlású valószín˝uségi változónak nevezzük. Itt adott valós szám, amelyet az exponenciális eloszlás paraméterének nevezzük. Az exponenciális valószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye az
A"
szabállyal adott. Várható értéke:
A"
A"
Szórása:
ha ha
Tehát a várható érték és a szórás egyenl˝o egymással. 9.3. Normális eloszlás A valószín˝uségi változót normális eloszlásúnak nevezzük, ha az
A"
s˝ur˝uségfüggvénye az
szabállyal adott, ahol tetsz˝oleges valós szám és tetsz˝oleges pozitív szám. Azt, hogy a valószín˝uségi változó eloszlása normális a paraméterekkel úgy jelöljük, hogy valószín˝uségi változó eloszlású. Várható értéke: ! Szórása: " # $ Tehát azt is mondhatjuk, hogy a valószín˝uségi változó várható érték˝u és szórású normális eloszlású. Azt mondju„ hogy a valószín˝uségi változó standard normális eloszlású valószín˝uségi változó, ha a várható értéke nulla és a szórása egy, azaz % & (' eloszlású. Legyen ) az % eloszlású valószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye és legyen * az % & +' , azaz a standard normális eloszlású valószín˝uségi változó eloszlásfüggvénye. Ekkor az
.-
), * szabály adja meg a közöttük lév˝o kapcsolatot. Így elegend˝o a * függvény értékeit táblázatba foglalni. Egy fontos szabály a normális eloszlású valószín˝uségi változóra: annak a valószín˝usége, 40
hogy a valószín˝uségi változó értéke az - intervallumba esik 0,65 , annak a valószín˝usége, hogy az - intervallumba esik 0,95 , és annak a valószín˝usége, hogy az - intervallumba esik 0,99 .
41
