2. gyakorlat 2. Mérési adatok feldolgozása, mérési eredmény megadása. 2.1. Matematikai statisztikai alapismeretek (kiegészítés) A matematikai statisztika tárgya az, hogy a tapasztalati adatokból következtessen a teljes sokaság vagy ellenőrizendő gyártástétel, más esetekben a gyártási (szolgáltatási) folyamat elméleti valószínűségi eloszlásának ismeretlen jellemzőire. Minden mérési eredmény tartalmaz hibát, a „valódi” méretet csak közelítjük, becsüljük több, kevesebb hibával. A mérési eredményt befolyásoló mennyiségek lehetnek például a mérőeszköz hőmérséklete (hosszmérés), a nehézségi gyorsulás (egyes mérlegeknél), frekvencia, légnyomás, portartalom, stb. A várható (valódi) érték becslésénél a sokszor ismételt mérés célja a véletlen hibák csökkentése. A mérések többszöri ismétlésével kapott eredményeket mérési sorozatnak nevezzük. A mérési sorozat elemei – elemi események. A várható (valódi) érték tehát a véletlen hibáktól mentes eredmény. Véges számú mérésnél a „valódi” méretet pontosan nem lehet meghatározni, de lehetséges olyan intervallum (tartomány) megadása, mely tetszőleges valószínűséggel tartalmazza a várható értéket. A változatlan körülmények között mért mérési sorozat n számú mérésből áll. A mért értékeket jelöljük a következőképpen: x1, x2, ….xi, …xn. Az eredmény a várható érték általunk legvalószínűbbnek tartott becslése, valamint körülötte egy intervallum, mely tetszőleges valószínűséggel tartalmazza a várható értéket. A várható érték legjobb becslése a sorozat átlaga, vagy egyes esetekben a medián vagy a módusz. 1 1 n Átlag: x = x1 + x2 + ..... xn = xi , n n i=1 ahol: x - a mérési sorozat átlaga, n - mérések száma, x1, x2, …xn - a mért értékek
Az átlag körüli szóródást véletlen hatások okozzák, rendszeres és durva hiba nem lép fel. Az átlag az a szám, amelytől az egyes mért értékek különbségének összege zérus. Vagyis, ha az átlagtól nagyobb értékek mindegyikéből kivonjuk az átlagot, és a különbségeket összeadjuk, akkor ez a szám egyenlő az átlag és a nálánál kisebb értékek különbségének összegével. Az átlag az a szám, amely biztosítja azt, hogy a tőle vett különbségek négyzetösszege minimális. Emiatt alkalmas az átlag a „valódi” várható érték becslésére, ezért nevezik a legvalószínűbb értéknek. Medián: a sorozat középső eleme (vagy páros számú mért érték esetében a két középső elem számtani közepe), jele: Me. A medián két részre osztja a mintát, az alsó rész mediánja a 25%-os alsó kvartilis, a felső rész mediánja a 75%-os felső kvartilis. Nagyobb mennyiségű adat birtokában meghatározhatók a percentilisek (százalék). A percentilis érték egy olyan százalékos érték, ami kifejezi, hogy a vizsgált egyedeknek legfeljebb mekkora hányadára jellemzõ az adott érték. Módusz: a legnagyobb gyakorisággal (legtöbbször) előforduló elem, jele: Mo.
A mért adatok szóródása. A szóródás leginkább jellemezhető a terjedelemmel (jele: R) vagy a becsült szórással (jele: s vagy ).
Terjedelem: R= x max− x min , ahol:
xmax - a legnagyobb mért érték, xmin - a legkisebb mért érték, R - a terjedelem.
Szórás becslése, más néven becsült szórás:
σˆ = s = ±
1 n xi x 2 , n 1 i=1
A szórásnégyzet (variancia) becslése: 1 n 2 xi x n 1 i=1 ahol: s vagy σˆ - a becsült szórás (standard eltérés), 1 Az n− 1 tényező nevezője a sorozat szabadságfoka. A szabadságfokot úgy kapjuk meg, hogy a sorozat n tagszámából levonjuk azokat a sorozat elemeiből származtatott tagokat, amelyeket felhasználtunk. A szórás számításánál n elemű mintánál n-1 az osztó, mivel a számítás során az átlagot felhasználtuk. σˆ 2 = s 2 =
Az átlag szórása A különböző időpontokban, vagy más személyek, illetve körülmények között, azonos darabokon végzett mérések átlagértékei általában nem azonosak. Ezért célszerű megadni olyan véletlen helyzetű intervallumot, amely nagy valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt paramétert, pl. normális eloszlás esetében a μ várható értéket. Ennek határai az ún. konfidencia határok. Ezeket azokból az adatokból kell meghatározni, amelyből az átlagot becsülték. Az n számú mérési eredmény középértékének (átlagának) szórása egyenlő az egyes értékek szórásának sx n -ed részével, azaz s x = i , n ahol: s x - az átlagérték szórása sx
- az egyes értékek szórása n - a mérések száma i
Annak valószínűsége, hogy egy x változónak az x átlagtól való eltérése a szórás -szorosánál 1 nagyobb legyen, kisebb, mint λ 2 , azaz 1 P(x x λ s) 2 λ 1 Másképpen fogalmazva: az x ± λ s tartományon belül megtalálható az összes esemény 1 2 λ szerese. Tetszőleges eloszlás esetén például az x ± 3 s intervallumban megtalálható legalább az összes mérés 8/9-ed része, 88,9 %-a. Normális eloszlásnál ez a biztonság nagyobb (99,73%). A normális eloszlást két paraméter határozza meg: a μ várható érték és a σ szórás. Normális vagy más néven Gauss-eloszlásnak nevezünk minden olyan eloszlást, amelynek sűrűségfüggvénye x μ 2 1 f(x) = e 2σ , σ 2π ahol μ - az a várható érték, amely felé az értékek átlaga ( x ) közelít, ha a mérések száma a végtelenhez tart (n ), és σ - szórás, amely felé a ˆ becsült, tapasztalati szórás közelít, ha a mérések száma a végtelenhez tart (n ). A normális eloszlás sűrűségfüggvénye - -től tart + -ig, maximuma a μ várható értéknél van, szimmetrikus, az inflexiós pontok távolsága a μ várható értéktől (a függőleges tengelytől) - σ és + σ . A szórás a várható érték és az eloszlás inflexiós pontja közötti távolsággal egyenlő. Ha a görbe alatti
területet összegezzük, és ezt ábrázoljuk a koordinátarendszerben a - -től indulva, kapjuk a függvény F(x) eloszlásgörbéjét. Az f (x) sűrűségfüggvény alatti terület a (-∞,+∞) intervallumban 1-gyel egyenlő. Ez azt jelenti, hogy F(∞)=1.
A normális eloszlás sűrűségfüggvénye
A normális eloszlás eloszlásgörbéje
A μ várható értékű és σ szórású eloszlást N( μ ,σ) jelöli a szakirodalomban. Az ehhez tartozó F(x) eloszlásfüggvény értékeit táblázatból kell meghatározni. A táblázatot a szakkönyvek tartalmazzák. A táblázatot az un. standardizált normális eloszlásra adják meg, amelynek várható értéke μ = 0, szórása pedig = 1, jelölése N(0,1), eloszlásfüggvényét pedig Φ(x) jelöli. Az N(m,σ) eloszlást úgy vezetjük vissza a standardizált eloszlásra, hogy bevezetjük az u=
xm σ
xm helyettesítést és ekkor F (x) = Φ ,
ez lesz a standardizált normális eloszlás eloszlásfüggvénye. Bármely normális eloszlás esetében ennek táblázatából az eloszlásfüggvény értéke meghatározható. Ebből a táblázatból az is meghatározható, hogy milyen valószínűséggel esik a megfigyelés (mérés) eredménye az (m - k.σ; m + k.σ) szakaszba (k – szorzó tényező). Az x tengely értékeinek függvényében a területeket táblázat tartalmazza épp úgy, mint a normális eloszlás értékeit. A következő ábra szemlélteti ezeket a valószínűségeket; az értékek: k=1-re 0,6826 (68,26%), k=2-re 0,9544 (95,44%), k=3-ra 0,9973 (99,73%).
2.2. Mérési adatok feldolgozása feladat A feladat célja: A mérési adatok feldolgozásának gyakorlása. Elméleti ismeretek A méretet megbízhatóan megbecsülni csak több mérés eredményéből lehet. A kísérletsorozat vagy gyártás eredményének meghatározása kiértékelési feladat, mely matematikai statisztikai feldolgozásra ad lehetőséget. Két módszert használnak:
a kisminták módszerét, melynek legnagyobb mintanagysága 20 db,
a nagyminták módszerét, melynek legkisebb mintanagysága 40 db.
A kisminta módszer szerint meghatározzuk a mérési eredmények statisztikai jellemzőit: 1 n A minta átlaga x = xi n i=1 ahol: x - átlag és n – a minta elemeinek nagysága 1 n 2 A minta szórásnégyzete: s2 = xi x n 1 i=1 ebből a szórás:
s = s2
A megbízhatósági határokat a következőképpen határozzuk meg. A konfidencia-intervallum (megbízhatósági tartomány) a normális eloszlású változó várható értéke körüli tartományt ad meg meghatározott valószínűséggel. Ez azt jelenti, hogy a mért érték megbízhatósági határai mekkorák az előírt megbízhatósági szint esetén. Ha a megbízhatósági korlátokat 1 és 2 –vel jelöljük, és az 1-p jelölést megbízhatósági szintnek (valószínűségnek) nevezzük, akkor Ismert szórás esetén a korlátok: az alsó határ
α1 = x u p
a felső határ
α2 = x + u p
σ N σ
N
, ,
ahol: az ismert szórás értéke és az up tényező értékeit a táblázat tartalmazza: Valószínűségi szint 90 % 95 % 99 % 99,9 %
Hibaarány 10 5 1 0,1
Az up tényező értéke 1,64 1,96 2,58 3,29
Ismeretlen szórás esetén két módon határozhatjuk meg a korlátokat. 1. Ismerjük a tapasztalati szórás (s) értékét, ekkor az „a” ismeretlen várható értékének megfelelő konfidencia intervallum
x az alsó határ
α1 = x
a felső határ
α2 = x +
s n s
s n
t a x+
t
t , n ahol „t” a Student-faktor, nagysága a táblázatban található:
s n
t
A normális eloszlás várható értékének intervallumát az (1-p) megbízhatósági szint és f = n-1 érték függvényében meghatározó Student-faktor
f= n-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1-p 0.90
0,95
0,99
0,999
6.314 12,706 63,657 636,6 2,920 4,303 9,925 31,600 2,353 3,182 5,841 12,922 2,132 2,776 4,604 8,610 2,015 2,571 4,032 6,869 1,943 2,447 3,707 5,959 1,895 2,365 3,499 5,408 1,860 2,306 3,355 5,041 1,833 2,262 3,250 4,781 1,812 2,228 3,169 4,587
f= n-1 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
1-p 0,90
0,95
0,99
0,999
1,782 1,761 1,746 1,734 1,725 1,717 1,711 1,706 1,701 1,697 1,645
2,179 2,145 2,120 2,101 2,086 2,074 2,064 2,056 2,048 2,042 1,960
3,055 2,977 2,921 2,878 2,845 2,819 2,797 2,779 2,763 2,750 2,576
4,318 4.140 4,015 3,922 3,849 3,792 3,745 3,704 3,674 3,646 3,291
2. A mintaterjedelem alapján is meghatározható az 1-p megbízhatósági szinthez az „a” várható érték konfidencia-intervalluma, ha n 12
x q R a x +q R az alsó határ:
α1 = x q R ;
a felső határ:
α2 = x + q R ,
A q tényező értékeit az átlag konfidencia-intervallumának számításához a táblázat tartalmazza. n, a mintanagyság q tényező, ha a megbízhatósági szint
0,95 0,99
n, a mintanagyság q tényező, ha a 0,95 megbízhatósági szint 0,99
7 8 6,353 1,304 31,828 3,008
2 3 4 6,353 1,304 0,717 31,828 3,008 1,316 9 10 0,717 0,507 1,316 0,843
5 6 0,507 0,399 0,843 0,628 11 12 0,399 0,333 0,628 0,507
Konfidencia intervallum a normális eloszlású változó szórására a tapasztalati szórás alapján. Megadjuk az 1-p megbízhatósági szintet, majd az „s” tapasztalati szórás értékét a mintából kiszámítjuk. Az 4.7 táblázat a tényezőket adja meg a normális eloszlású változó szórásának alsó és felső konfidencia határához az 1 - p megbízhatósági szint és az f = n – 1 függvényében. Az 1 - p és az f = n – 1 értékekhez (szabadságfok) a táblázatból a 1 és 2 tényezőket kikeressük. A tényezők segítségével tudjuk a konfidencia intervallum A alsó és F felső határait a következő képlettel meghatározni:
σ A = s Ψ1
és
σ F = s Ψ 2
A szórásnégyzetekre érvényes konfidencia-intervallumot ezek négyzetre emelésével kapjuk: σ 2 A σ 2 σ 2F
1-p f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120
0,99 1 0,356 0,434 0,483 0,519 0,546 0,569 0,588 0,604 0,618 0,630 0,641 0,651 0,660 0,669 0,676 0,683 0,690 0,696 0,702 0,707 0,712 0,717 0,722 0,726 0,730 0,734 0,737 0,741 0,744 0,748 0,774 0,793 0,808 0,820 0,829 0,838 0,845 0,887
0,98 2 1 159,000 0,388 14,100 0,466 6,470 0,514 4,390 0,549 3,480 0,576 2,980 0,597 2,660 0,616 2,440 0,631 2,277 0,644 2,154 0,656 2,056 0,667 1,976 0,677 1,910 0,685 1,854 0,693 1,806 0,700 1,764 0,707 1,727 0,713 1,695 0,719 1,666 0,725 1,640 0,730 1,617 0,734 1,595 0,739 1,576 0,743 1,558 0,747 1,541 0,751 1,526 0,751 1,512 0,758 1,499 0,762 1,487 0,765 1,475 0,768 1,390 0,792 1,336 0,810 1,299 0,824 1,272 0,835 1,250 0,844 1,233 0,852 1,219 0,858 1,150 0,897
0,95 2 1 79,800 0,446 9,970 0,521 5,110 0,566 3,670 0,599 3,000 0,524 2,620 0,644 2,377 0,661 2,205 0,675 2,076 0,688 1,977 0,699 1,898 0,708 1,833 0,717 1,779 0,725 1,733 0,732 1,694 0,739 1,659 0,745 1,629 0,750 1,602 0,756 1,578 0,760 1,556 0,765 1,536 0,769 1,519 0,773 1,502 0,777 1,487 0,781 1,473 0,784 1,460 0,788 1,448 0,791 1,436 0,794 1,426 0,796 1,417 0,799 1,344 0,821 1,297 0,837 1,265 0,849 1,241 0,858 1,222 0,866 1,207 0,873 1,195 0,878 1,130 0,912
0,90 2 1 31,900 0,510 6,280 0,578 3,730 0,620 2,870 0,649 2,450 0,672 2,202 0,690 2,035 0,705 1,916 0,718 1,826 0,729 1,755 0,739 1,698 0,748 1,651 0,755 1,611 0,762 1,577 0,769 1,548 0,775 1,522 0,780 1,499 0,785 1,479 0,790 1,460 0,794 1,444 0,798 1,429 0,802 1,416 0,805 1,402 0,809 1,391 0,812 1,380 0,815 1,371 0,818 1,361 0,820 1,352 0,823 1,344 0,825 1,337 0,828 1,279 0,847 1,243 0,861 1,217 0,871 1,198 0,879 1,183 0,886 1,171 0,892 1,161 0,897 1,110 0,925
2 15,900 4,400 2,920 2,370 2,090 1,916 1,797 1,711 1,645 1,593 1,550 1,515 1,485 1,460 1,437 1,418 1,400 1,385 1,370 1,358 1,346 1,335 1,326 1,316 1,308 1,300 1,293 1,286 1,279 1,274 1,228 1,199 1,179 1,163 1,151 1,141 1,133 1,106
ÓE BGK AGI Hosszméréstechnika Labor
2. gyakorlati feladatlap
A gyakorlat tárgya: Mérési eredmény megadása, hibaterjedés számítás feladat A gyakorlat időpontja: …………
Név, évf.: ……………………………………...
1.feladat A feladat célja: A mérési eredmény megadás gyakorlása A feladat leírása: –
Állítsuk össze mérőhasábból a ……………….méretet a legkevesebb elem felhasználásával a táblázat adatainak felhasználásával! Írjuk be a táblázatba a méret összeállításához felhasznált mérőhasábok névleges méreteit (N), ha ismerjük a rendszeres hibákat (H) és a mérőhasábok megengedett eltéréseit a táblázat felhasználásával (U a „valódi” hossz bizonytalansága, a helyes érték bizonytalansága)!
Ni [mm] HNi UNi –
N1 =
N2 =
N3 =
N4 =
N5 =
Számítsuk ki a mérőhasáb-kombináció rendszeres hibáját, a hosszát és a hossz bizonytalanságát!
A mérőhasáb-kombináció rendszeres hibája: HN = HN1 + HN2 + HN3 + HN4 + HN5 =………… A „valódi” hosszt helyettesítő „helyes” érték, vagy a korrigált érték: x = (N1 + N2 + N3 + N4 + N5) + HN = ………………….. A korrigált érték bizonytalansága a hibaterjedési törvény szerint számítva: U= ± U
N12
+U
N2 2
+U
N32
+U
N4 2
+U
N5 2
= ……………………………
A mérőhasábok megengedett eltérései a középmérettől és a párhuzamosságtól Névleges 0. méret [mm]
1.
2.
3.
pontossági osztályú mérőhasáb megengedett eltérése [m] felett
-ig
Középmérettől
Párhuzamosságtól
Középmérettől
Párhuzamosságtól
Középmérettől
Párhuzamosságtól
Középmérettől
Párhuzamosságtól
0,1
10
0,12
0,10
0,2
0,2
0,4
0,3
0,8
0,3
10
25
0,14
0,10
0,3
0,2
0,6
0,3
1,2
0,3
25
50
0,20
0,10
0,4
0,2
0,8
0,3
1,6
0,3
50
75
0,25
0,12
0,5
0,2
1,0
0,4
2,0
0,4
75
100
0,30
0,12
0,6
0,2
1,2
0,4
2,5
0,4
–
Adjuk meg a mérőhasáb-kombináció összeállításának eredményét a mértékegység feltüntetésével!
X = x U = ………………………………
2. feladat Módszer: különbség mérés Elv: optomechanikus Mérés módja: érintkezéses Mérőeszköz: optiméter (1 m) A mérési folyamat leírása
A munkadarab L méretének megállapítása közelítő méréssel, kengyeles mikrométerrel.
A közelítő méret ismeretében mérőhasáb-kombináció összeállítása.
A mérőeszköz nullára állítása a mérőhasáb-kombináció segítségével.
Az összeállított mérőhasáb-kombináció mérése 10-szer. A mért értékek a következők: 0; 1; 0; -1; 1; 1; 1; 0; -1; 0 m.
A munkadarab L méretének mérése 10-szer. A mért értékek a következők: 2; 3; -1; 1; -3; 0; 2; 3; 1; 3 m.
A mérési eredmény megadása.
A munkadarab közelítő mérete kengyeles mikrométerrel mérve: L = …………….. mm.
A szükséges mérőhasáb-kombináció mérete: N = ………………….mm. A mérőhasáb-kombináció tagjai: N1 = …………………..mm, N2 = …………………..mm, N3 = …………………..mm, N4 = …………………..mm, N5 = …………………..mm.
Írja be az alábbi táblázatba a mért értékeket, eltéréseket a beállított 0-tól m
Mérések száma (k)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Átlag
xN
Mérőhasáb eltérés a 0 helyzettől Munkadarab eltérés a 0 helyzettől
xL
A mért értékek statisztikai feldolgozása
A mérőhasáb-kombináció mért értékeinek szórásnégyzete sN 2
1 10 x Ni x N 2 k 1 i 1
A munkadarab mért értékeinek tapasztalati szórásnégyzete sL 2
1 10 xLi xL 2 k 1 i 1
Az egyes bizonytalanságok jellegük részbizonytalanságokat tartalmaznak.
U U L U N U mh 2
ahol
2
szerint
rendszeres
2
UL – a munkadarab mérésének bizonytalansága, UN – a mérőhasáb-kombináció mérésének bizonytalansága, Umh – a mérőhasáb-kombináció méretének bizonytalansága.
és
véletlen
hibák,
melyek
U L2 K L2 2 és
U N2 K N2 2
ahol
- a mérőműszer (optiméter) legnagyobb bizonytalansága a műszerhez tartozó használati leírás alapján a teljes mérési tartományban, = 0,2 m;
valamint
KL és KN a munkadarab, illetve a mérőhasáb mérés megbízhatósági (konfidencia) intervalluma:
KL t
s L2 k
KN t
s N2 k
ahol
t a Student eloszlás paramétere, (k-1) = 9 szabadsági fokszám esetén értéke 2,262; 95%-os valószínűségi szinten.
Tehát
U L2
U N2
2 U mh H N2 U T2
ahol
HN2 = HN12 + HN22 + HN32 + HN42 + HN52 ahol: HN12 = EN12 + FN12 = ……………………………………….. HN22 = EN22 + FN22 = ……………………………………….. HN32 = EN32 + FN32 = ……………………………………….. HN42 = EN42 + FN42 = ……………………………………….. HN52 = EN52 + FN52 = ………………………………………..
Jelölések:
HN – a mérőhasáb-kombináció bizonytalansága (hibakorlátja), melyet a gyárilag megadott két bizonytalanság (EN és FN) alapján számítunk EN – a mérőhasáb megengedett eltérése a középmérettől, (ld. . oldal) FN – a mérőhasáb megengedett eltérése a párhuzamosságtól (ld. . oldal)
Tehát
H N2
valamint
UT – a hőmérséklet eltérésből adódó hiba, ha a munkadarab és a mérőhasáb hőtágulási együtthatói, ill. hőmérsékletei nem azonosak. Számítása: UT = N . T . N
ahol
T a 20 oC-tól mért különbség, N különbség a hőtágulási együtthatók között. Példánkban UT elhanyagolható mértékű. 2 U mh
Tehát
U U L U N U mh 2
2
2
A mérési eredmény: X = N + xL x N U = ………………………………………………………… ……………………………………
……………………………………
hallgató aláírása gyakorlatvezető aláírása
Összefoglaló kérdések 1. Mi a sokszor ismételt mérés célja? 2. Mi a mérési sorozat? 3. Tartalmaz-e véletlen hibát a „valódi” érték? 4. Véges számú mérésnél mi tartalmazza a várható értéket? 5. A várható érték becslésének módszerei. 6. Mit jelent: kvartilis? 7. Mit jelent percentilis? 8. Mivel jellemezhető a szórás? 9. Hogyan becsüljük a varianciát? 10. Hogyan összegezzük a rendszeres hibákat, ha ismerjük nagyságukat és előjelüket?
