MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK. Tartalomjegyzék

2

MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK

Tartalomjegyzék.

1./Bevezetés...........................................................................3 2./Néhány nevezetes eloszlástípus ......................................3 2.1./Normális eloszlás ........................................................ 3 2.2./A logaritmikus normális eloszlás .............................. 5 2.3./Weibull eloszlás .......................................................... 7

3./Speciális matematikai statisztikai eszközök................11 3.1/Numerikus módszerek .............................................. 11 3.1.1./Normális és lognormális eloszlás........................ 11 3.1.2./Weibull eloszlás.................................................... 11

3.2/Grafikus eljárások..................................................... 11 3.2.1./A tapasztalati s rüség és eloszlásfüggvény ....... 12 3.2.2./Az eloszlásfüggvény grafikus becslése ............... 13

4./Példa fárasztóvizsgálat kiértékelésére.........................15 4.1./Kiértékelés a Weibull eloszlás hipotézise alapján ................................................... 16 4.2./Kiértékelés a normális eloszlás hipotézise alapján ................................................... 20 4.3./Kiértékelés a lognormális eloszlás hipotézise alapján ................................................... 20

Géptervezés I.

Márialigeti:Mat. Stat.(1994)

3/23

MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK

1. Bevezetés. Mind a gépjárm , mind az építô- és anyagmozgató gépek méretezés szempontjából legszembet nôbb tulajdonsága az, hogy a berendezéseket illetve annak alkatrészeit érô üzemi terhelések (F) mint idôfüggvények rendkívül tág határok között váltakozhatnak. Egy-egy konkrét egyed (pl. egy adott autóbusz, daru stb.) esetén pedig nem is láthatjuk elôre, hogy milyen tényleges terhelésfüggvény fog érvényre jutni. A terhelések vonatkozásában így a valószín ségelmélet és a matematikai statisztika eszközeivel kell dolgoznunk. Ismeretes továbbá, hogy váltakozó igénybevétel hatására szerkezeti anyagainkban az un. kifáradási folyamat indul meg és a tönkremenetelig tartó élettartam, még azonos alkatrész és terhelésváltakozás esetén is rendkívül nagy szórást mutat. Gyakorlatilag használható eredményekhez itt is csak a valószín ségszámitás és matematikai statisztikia eszközeivel juthatunk. A továbbiakban néhány, a fenti tudományterületeken alkalmazott speciális eloszlástípust és matematikai statisztikai módszert tárgyalunk.

2. Néhány nevezetes eloszlástípus. Mind a terhelésanalízis, mind az élettartam vizsgálatok esetén célunk az, hogy a kísérleti eredmények (statisztikai minta) alapján a vizsgált jelenség valószín ségi viselkedését leírjuk. A tapasztalatok arra mutatnak, hogy a fenti területek nagy részének valószín ségi tulajdonságait három, folytonos eloszlástípussal tudjuk jól közelíteni: a normál, lognormál és Weibull (exponenciális) eloszlásokkal.

2.1. Normális eloszlás. A valószín ségi változó normális eloszlású, ha s rüségfüggvénye az alábbi alakú:

f(x)

ahol m a várható érték,

1 2

e

x m2 2 2

x

(1)

>0 a szórás, az eloszlás két paramétere.

4/23


Géptervezés I.

Az eloszlásfüggvény:

x

F x

P

1

x

e

2

t m2 2 2

dt

x

(2)

Az (1) egyenletbe bevezetve az u=(x-m)/ standard normális eloszlású, standardizált változót, mivel x= u+m és dx/du= , a (u) s rüségfüggvény és a (u) eloszlásfüggvény az alábbi alakú:

1

u

u

e

2

1 2

u

e

u2 2

(3)

t2 2 dt

ahol (u) az m=0 várható érték , =1 szórású N(0,1) standard normális eloszlás. A normális eloszlás s rüségfüggvénye -val normált ordinátájú koordinátarendszerben az 1. ábra szerinti, míg a különbözô szórásokhoz tartozó függvények a 2. ábrán láthatók.

1.ábra. A normális eloszlás s rüségfüggvénye. Annak az eseménynek a valószín sége, hogy egy normális eloszlású változó a várható értéke körüli szimmetrikus intervallumba esik, a következô módon számítható:

Géptervezés I.


m

Pm

1

m

2

m

e

t m2 2 2

5/23

dt

(4) 1 2

e

u2 2 du

2

1

( ) néhány értékét az alábbi táblázatban foglaltuk össze: [ (- )=1- ( )] 1.táblázat ( )

2 ( )-1

0

0,5

1

0,8413

0,6826

2

0,9772

0,9544

3

0,9987

0,9974

3,4

0,9996

0,9992

2.ábra. A normális eloszlás s rüségfüggvénye különbözô szórások esetén.

2.2. A logaritmikus normális eloszlás. Egy valószín ségi változó lognormális (vagy logaritmikus normális) eloszlású, ha a logaritmusa normális eloszlású, azaz ha az =ln transzformált változó normális eloszlású.

6/23


Jelölje lna és

az

Géptervezés I.

változó eloszlásának a paramétereit, ekkor :

Lx

P

x

P ln

ln x

P

ln x (5)

ln x

1

e

2

t ln a 2 2

2

dt

x0

ahonnan differenciálással a s rüségfüggvényt kapjuk:

1

l( x )

2

ln x ln a

e

x 2

2

(6)

x0

2

A lognormális eloszlás származtatását a 3. ábrán mutatjuk be, a jobb áttekinthetôség érdekében olyan lognormális eloszlású változóra, amelynek logaritmusa speciálisan a standard normális eloszlás. Az l(x) a standard normális eloszlású változó [ln(x)-ln(a)]/ helyettesítéssel : 1 x

l x

s rüségfüggvényével, az

ln x ln a

(7)

A 3. ábrán az N(0,1) standard normális eloszlású változó és a =e logaritmikus normális eloszlású változó (y), L(x) eloszlás és (y), l(x) s rüségfüggvényeit ábrázoltuk. -ra lna=0, így a=1 és =1. Az eloszlásfüggvények közötti kapcsolat a diagram alapján közvetlenül adódik, míg a változó s rüségfüggvényét a normális eloszlású változó s rüségfüggvénye alapján számolhatjuk, a (7) összefüggés felhasználásával. A lognormális eloszlású változó paraméterei, ha az normális eloszlás, az alábbi összefüggésekkel számítható:

N(lna, ) paraméter

2

M

ae

2

;

D2

a2e

2

e

10-es alapú logaritmussal dolgozva, ha =lg és akkor:

l x M

0 ,4343 x 1,1513

a10

2

1

(9)

N(lga, ) normális eloszlású,

lg x lg a (10) 2

;

D

2

2

a 10

2 ,3026

2

10

2 ,3026

2

1

Géptervezés I.


7/23

3.ábra. A logaritmikus normális eloszlás származtatása.

2.3.Weibull eloszlás. Egy valószín ségi változó Weibull eloszlású, ha eloszlásfüggvénye az alábbi alakú: x x0 b

F x

P

x

1 e

három paraméteres függvény. A s rüségfüggvénye:

x

x0

(11)

8/23


dF x dx

f x

b x

x0

Géptervezés I.

x x0 b

b 1

e

x

x0

(12)

x0 > 0 helyparaméter > 0 skálaparaméter, b > 0 alakparaméter. A s rüségfüggvény alakja a 4. ábra szerinti, ahol az x=x0 + F(x0 + )=1-e-1 = 0,632.

helyettesítéssel

Az x0 és b paraméterek különbözô értékeire néhány jellegzetes eloszlástípus adódik: x0 = 0 esetén x b

F x

(13)

1 e

a kétparaméteres Weibull eloszlás, (5./a. ábra) b = 1 esetén x x0

F x

1 e

(14)

a kétparaméteres exponenciális eloszlás, 5/b. ábra. b = 1 és x0 =0 esetén x

F x

1 e

az exponenciális eloszlás, 5/c. ábra.

(15)

Géptervezés I.


9/23

4.ábra. A W(x0 , , b) Weibull eloszlás s rüség és eloszlásfüggvénye.

5.ábra a./ Kétparaméteres Weibull, b./ kétparaméteres exponenciális, c./ Exponenciális eloszlás s rüségfüggvényei. A Weibull eloszlás fontos tulajdonsága, hogy x0 =0 esetén az = ln valószín ségi változó az u.n. kettôs exponenciális eloszlásba megy át, amelynek az extrém értékek eloszlásában, valamint a Weibull eloszlás "linearizálásában" igen nagy jelentôsége van. Legyen > 0 W( , b ) kétparaméteres Weibull eloszlású valószín ségi változó és legyen = ln . Legyen továbbá E(y) az változó eloszlásfüggvénye.

Ekkor :

10/23


E y

P

y

P ln

y

P

Géptervezés I.

ey

b

ey

(16)

1 e

Bevezetve az eu = és

= 1/b paramétereket és (16)-ot átrendezve: y u

E y

1 e

a kettôs exponenciális, KE( u, változót, y = z + u, így a

E z

e

(17)

y

) eloszlás. Bevezetve a z=(y - u) / standardizált

1 e

ez

(18)

z

KE(0,1) standard kettôs exponenciális eloszláshoz jutunk, amelynek paraméterei tehát: u=0 és = 1.

Ha 10-es alapú logaritmussal dolgozunk, a transzformációs egyenletek az alábbiak:

P

y

P lg 1 e

y e

E y

y u, ,

(19)

ahol a kétparaméteres Weibull eloszlású eloszlásfüggvényének b és paramétereire

b

,

1 ln 10

;

eu

,

ln 10

valószín ségi

változó

(20)

Géptervezés I.


11/23

3.Speciális matematikai statisztikai eszközök. Mind a terhelésanalízis, mind az élettartamvizsgálatok esetén célunk az, hogy a kísérleti eredmények-statisztikai minta- alapján a jelenséget leíró analitikus eloszlásfüggvény paramétereit meghatározzuk. Illeszkedés vizsgálatra -mely eloszlásfüggvény típus írja le jobban a jelenséget - fôleg kifáradási vizsgálatok esetén az általában kis mintaelemszám ( n« 50 ) miatt nincs mód, így itt egy bizonyos eloszlástípust a-priori elfogadunk. Grafikus eljárások alkalmazása esetén azonban némi tájékozódást errôl is nyerhetünk. Ebben a részben a paraméterbecslések néhány speciális módjának ismertetésére szorítkozunk, megjegyezve hogy természetesen minden, a matematikai statisztikában ismert eljárás is alkalmazható.

3.1.Numerikus módszerek. 3.1.1.Normális és lognormális eloszlás. Ismeretes, hogy normális eloszlás esetén a mintaelemek átlaga a várható érték, míg a korrigált tapasztalati szórásnégyzet a szórásnégyzet torzítatlan becslése. Legyen a 1 , 2, ..... n normális eloszlásból vett n elem minta. Ekkor az N( m, ) normális eloszlás paramétereire :

m 2

1 n i ni 1 1 n n 1i 1

(21)

2 i

*2 n

3.1.2.Weibull eloszlás. A Weibull eloszlás paramétereinek numerikus becslésére az ismert eljárások (maximum likelihood módszer, momentumok módszere stb.) alkalmazható és általában tekintélyes mennyiség számitási munkával jár, ezért számítógép alkalmazáse célszer . Ezzel itt nem foglalkozunk.

3.2.Grafikus eljárások. Speciális grafikus eljárások alkalmazásával a paraméterek becslését sok esetben gyorsan és egyszer en megkaphatjuk, függetlenül az esetleges pontosabb gépi kiértékeléstôl. A továbbiakban egy speciális eljárást, a valószín ségi koordinátarendszer (papír) fogalmát és használatát ismertetjük, röviden összefoglalva elôször a mintáról való tájékozódás szokásos grafikus eszközeit.

12/23


Géptervezés I.

3.2.1.A tapasztalati s r ség és eloszlásfüggvény. Legyen 1 , 2 , ..... n n elem minta, a kísérletek véletlen sorrendjében, és legyen *1 , *2 , * n a nagyság szerint sorba rendezett n elem rendezett minta. Tekintsük egy adott mintavételezés (kísérlet,mérés) során azok megvalósult konkrét, *1 = x1 , *2 = x2 , *n = xn értékeit. A gyakorisági és s rüséghisztogram, mint a tényleges s rüségfüggvény minta alapján adódó becslése (közelítése) szemléletes képet ad az adatok szóródásáról, elhelyezkedésérôl. Legyen a < xi < b az ábrázolandó intervallum két végponja és osszuk fel az [ a;b ] intervallumot az a< y0 < y1 <....< yr =b osztópontokkal r részre. Legyen az (yj1,yj ) intervallumba esô xi mintaelemek száma g j , j = 1,2,....,r , az abszolút gyakoriság. Rajzoljunk minden (yj-1,y j ) intervallum fölé olyan téglalapot, amelynek magassága g j / ( y j- yj-1 ). Ekkor a téglalapok területe arányos az j-edik intervallumba esô elemek g j számával és a teljes területösszeg n. Ez a gyakorisági hisztogram. Ha a téglalapok magasságát g j j/ n( yjj - yj-1 ) értékre vesszük, a s r ség hisztogramot kapjuk, ahol f j = g j / n a relatív gyakoriság. A tapasztalati eloszlásfüggvényt hasonló módon szerkeszthetjük meg úgy, hogy az egyes y jj osztópontokhoz az Fj = k=0...j f k relatív összeggyakoriság értékét mérjük. Kimutatható, hogy n növekedésével F j F, ahol F az eloszlásfüggvény.

6.ábra A tapasztalati eloszlás és s rüségfüggvény ábrázolása. Megjegyzés:

Géptervezés I.


13/23

1./Szokás az eloszlásfüggvény becslését a G j= k=0...j g k összeggyakoriság értékkel is megrajzolni, ami az F j függvénytôl csak léptékben különbözik. 2./Az Fi összeggyakoriság adott definiciója esetén F k= 1, ami gyakorlatilag nem információ az eloszlásra vonatkozóan. Kis mintaelemszám esetén ezen egy adat megmentése is fontos, ezért ekkor másképp járunk el. A kis mintaelemszám miatt a mintaelemek intervallumokba való osztályozása sem valósítható meg. Ezért ekkor a tapasztalati eloszlásfüggvény megrajzolásánál a *i rendezett mintaelemek értékeihez mérjük fel közvetlenül a tapasztalati eloszlásfüggvény ordinátáinak Fi=i/(n+1) korrigált értékeit, ami a tényleges eloszlásfüggvény adott *i értékhez tartozó ordinátájának közelítését adja, azaz Fi = i/(n+1) F( *i ). Az eloszlásfüggvény grafikus megjelenítése a statisztikai sokaság eloszlásfüggvényének jellegére vonatkozóan kevéssé karakterisztikus. Ezért is van nagy jelentôsége az -egy-egy konkrét eloszlásfüggvényhez tartozó - speciális valószín ségi koordinátarendszereknek (vagy valószín ségi papíroknak) amelyekben az eloszlásfüggvény egyenesként jelenik meg. Ilyen speciális koordinátarendszerben ábrázolva a tapasztalati eloszlásfüggvényt, az egy egyenes közelítéseként jelenik meg, feltéve hogy a statisztikai sokaság keresett eloszlásának típusa tényleg megegyezik a választott valószín ségi koordinátarendszerhez tartozó eloszlással. Az egyeneshez való illeszkedés jósága vizuálisan is megítélhetô és a pontokhoz jól illeszkedô egyenes grafikusan is behúzható. Az így kapott kiegyenlítô egyenes paraméterei alapján meghatározhatók a keresett eloszlás paramétereinek becslései is. 3.2.2. Az eloszlásfüggvény grafikus becslése. Valószín ségi koordinátarendszer minden olyan kétparaméteres eloszlástípushoz rendelhetô, amelynek változója standardizálható. A valószín ségi koordinátarendszer elvét a normális eloszlás példáján mutatjuk be. Legyen N(m, ) paraméter , F(x) eloszlásfüggvény normális eloszlású valószín ségi változó. Ekkor az =( -m)/ standardizált változó, mint ismeretes, (y) eloszlásfüggvény , N(0,1) standard normális eloszlású és ez az eloszlásfüggvény ismert.(l.2.1. fejezet.) A és változók között lineáris függvénykapcsolat áll fenn, igy azt x~y koordinátarendszerben ábrázolva egyenest ad y = x/ - m/ egyenlettel, ahol 1/ és m/ az egyenes paraméterei. Ábrázoljuk ismert N(m, ) eloszlásfüggvény esetén az y~x ( ~ ) függvényt, amely egy egyenes, 7. ábra. Ábrázoljuk az y tengely mint független változó tengelyhez a (y) N(0,1) ismert eloszlásfüggvényt, értelemszer en 900 fokkal elforgatva. Ha most a (y) értékeket a hozzájuk tartozó y értékekhez visszavetítjük, az y tengelyen egy u.n. valószín ségi skálát kapunk (az y tengelyt átskáláztuk) és így az x~y egyenes egyben az F(x) eloszlásfüggvény, ebben a speciális, valószínôségi koordinátarendszeben. Tekintsünk ugyanis egy tetszésszerinti x értéket, az x tengelyen Ekkor:

14/23


Géptervezés I.

F(x)= P( <x) = P(
(22)

A hozzárendelést a 7. ábrán ábrázoltuk. A könnyebb áttekinthetôség érdekében az y és F(x) tengelyeket külön is ábrázoltuk. Tegyük fel, hogy *k egy, az F(x) eloszlásfüggvény statisztikai sokaságból vett n elem rendezett minta k-adik eleme, és legyen a tapasztalati eloszlásfüggvény ezen elemhez rendelt értéke Fk = k/(n+1). A * k , Fk pontot az x~ (y) (x~y) koordinátarendszerben ábrázolva, elméletileg egy, az egyenesre illeszkedô pontot kellene kapnunk. A minta végessége miatt természetesen az illeszkedés 0 valószín ség , a statisztikai ingadozások miatt csak az egyeneshez többé kevésbé közeli pontot fogunk kapni. A teljes mintát így ábrázolva, egy az egyenes körül ingadozó ponthalmazt fogunk kapni, amelyre illesztett egyenes tekinthetô tehát az eloszlásfüggvény becslésének.

7.ábra. A valószín ségi skála szerkesztése. Az így adódó egyenes y=ax - b alakú egyenletébôl az F(x) eloszlásfüggvény paraméterei az a=1/ és b= m/ alapján =1/a és m=b/a, így N(m, )=N(b/a,1/a). Tekintettel arra, hogy N(0,1) standard normális eloszlás ismert, az u.n. normál valószín ségi papír minden további nélkül megszerkeszthetô. Egy véletlen

Géptervezés I.


15/23

mintavételezésbôl származó rendezett minta tapasztalati eloszlásfüggvényét ebben a koordinátarendszerben felrajzolva egyeneshez jól illeszkedô ponthalmazra jutunk, ha az alapsokaság ténylegesen normális eloszlású volt. Ellenkezô esetben az alapsokaság normalitására vonatkozó hipotézis megkérdôjelezhetô. Ilyen értelemben alkalmas ez a módszer a paraméterek meghatározása elôtt közelítô illeszkedésvizsgálatra is. Természetesen minél kisebb a mintaelemszám, annál kevésbé lesz döntésünk megbízható. Megjegyzések. 1./Mivel a valószín ségi változó akkor lognormális eloszlású ha az =lg normális, a normál valószín ségi koordinátarendszer vízszintes tengelyén logaritmikus skálát alkalmazva, a változó eloszlásfüggvénye ebben a koordinátarendszerben egyenes lesz. Így a normális valószín ségi papír a lognormális eloszláshoz is használható. 2./A 2.3 fejezet (16..18) összefüggéseivel kimutattuk, hogy a kétparaméteres W( ,b) Weibull eloszlású valószín ségi változó logaritmikus transzformáltja kettôs exponenciális eloszlású, amely szintén standardizálható.Így arra is szerkeszthetô u.n. Weibull valószín ségi papír. A Weibull eloszlású sokaságból vett minta kiértékelésére így itt is kézenfekvôen adódik a grafikus út.E lehetôség a 3 paraméteres, W(x0 , , b) Weibull eloszlás esetén is járható, mivel ha x W(x0 , , b) elooszlású, akkor az y=x-x0 változó W( , b) eloszlású. 4.Példa fárasztóvizsgálat kiértékelésére. Egy a =320 MPa, m =0 feszültségszinten, bemetszett acél próbatesten végzett fárasztóvizsgálat a 2. táblázat (2) sorszámú oszlopában lévô törési ciklusszámokat adta, a tényleges, véletlen sorrendben. Összesen 22 db. próbatest került vizsgálatra, így n=22. A ciklusszámot a továbbiakban N -el jelöljük, F( N ) a keresett élettartameloszlás, ahol az élettartamot ciklusszámban mérjük.Az F( N ) élettartameloszlás függvény megadja annak a valószín ségét, hogy egy adott próbatest élettartama, vagyis a törési ciklusszáma milyen valószín séggel lesz egy adott N ciklusszámnál kisebb, azaz P(
4.1.Kiértékelés a Weibull eloszlás hipotézise alapján.

16/23


Géptervezés I.

A 2. táblázatban lévô Fi és * i értékeket Weibull valószín ségi papiron ábrázoljuk, azaz feltesszük, hogy a mintaelemek kétparaméteres, W( ,b) Weibull modellt követnek. A Weibull valószín ségi koordinátarendszer vízszintes tengelyén a logaritmikus skálát alkalmazzuk, mivel a Weibull eloszlású változó logaritmusa kettôs exponenciális eloszlású.(2.3 fejezet, (13) egyenlet). (8. ábra.) A kapott pontok határozottan alulról homurú görbét mutatnak, ami arra utal, hogy N 0 (=x0 ) 0, azaz háromparaméteres, W( x0 , ,b) paraméter modell feltételezhetô. A görbe extrapolálásával N 0 = =180000 feltételezhetô elsô közelítésben. Bevezetve az * i = * i - N 0 változót, amely, ha N 0 a tényleges helyparaméter jó becslése, a G(L) eloszlásfüggvény , kétparaméteres W( ,b) eloszlású Weibull eloszlást követi.

8.ábra. A kísérleti adatok ábrázolása Weibull valószín ségi koordinátarendszerben.

2.táblázat. 1

2

3

4

5

Géptervezés I.

Sorszám i


Törési ciklusszám i

Törési ciklusszám * i

Fi Gi

17/23

* i - N0 (N0=1,8.105)

1

8,95 .105

2,1 .105

0,043

0,3 .105

2

5,9 .105

2,3

0,086

0,5 .105

3

3,1 .106

2,8

0,13

1

4

2,8 .105

3,7

0,173

1,9 .105

5

4,1 .105

4,1

0,217

2,3 .105

6

6

.105

4,6

0,26

2,8 .105

7

9

.105

5,1

0,304

3,3 .105

8

1,4 .106

5,9

0,347

4,2 .105

9

7,05 .105

6

0,39

4,3 .105

10

6,2 .106

7,05

0,435

5,35 .105

11

4,5 .106

8

0,478

6,2 .105

12

2,2 .106

8,95

0,52

7,15 .105

13

1,9 .106

9

0,565

7,2 .105

14

3,7 .105

1,05 .106

0,608

8,7 .105

15

5,1 .105

1,1

0,65

9,2 .105

16

1,1 .106

1,4

0,695

1,22 .106

17

4,6 .105

1,55

0,739

1,37 .106

18

8

.105

1,9

0,782

1,72 .106

19

1,55 .106

2,2

0,826

2,02 .106

20

1,05 .106

3,1

0,869

2,92 .106

21

2,3 .105

4,5

0,913

4,32 .106

22

2,1 .105

6,2

0,956

6,02 .106

.105

* A táblázat 5. oszlopában szereplô és a 4. oszlopban szereplô Fi =Gii i összetartozó értékpárokat ismételten Weibull valószín ségi koordinátarendszerben ábrázoljuk, a kapott ponthalmaz jó közelítéssel egy egyenes mentén rendezôdik, így az N 0 =180 000 értéket és a Weibull eloszlás hipotézisét elfogadjuk.

Határozzuk meg elôször a W( ,b) kétparaméteres eloszlás paramétereit. Behúzva a kiegyenl1tô egyenest, elôször ennek paramétereit határozzuk meg, az egyenes két kiválasztott pontja segítségével. A Weibull koordinátarendszer származtatásánál láttuk, hogy az valójában a (19) egyenlet szerinti, KE(u, ) paraméter kettôs exponenciális eloszláshoz tartozik, a W( ,b) kétparaméteres

18/23


Géptervezés I.

Weibull eloszlás logaritmikus transzformálásával azonban ilyen eloszlásfüggvény változóhoz jutunk. Legyen tehát a =lg a H(y) eloszlásfüggvény , KE(u, ) pa- raméter valószín ségi változó. Így elôször a KE(u, ) eloszlás u, paramétereit határozzuk meg.

9. ábra. A kétparaméteres Weibull eloszlás paramétereinek meghatározása . Legyen a két kiválasztott pont: L* 1 = 2.105 és L* 2 = 3.106 . A G(L) eloszlásfüggvény e pontokhoz tartozó értékeit a függôleges tengelyen közvetlenül le tudjuk olvasni , mig az y változó megfelelô értékei a kiválasztott L értékek logaritmusai. A megfelelô értékek: L*1 = 2.105

G( L*1 )= 0,21

y*1 =lgL*1 = 5,3

L*2 = 3.106

G( L*2 )= 0,88

y*2 =lgL*2 = 6,477

A behúzott kiegyenlító egyenes valójában az y, KE(u, ) eloszláú változónak a z, KE(0,1) eloszlású standard kettôs exponenciális eloszlású változóvá való transzformálását ábrázolja. Legyen a z eloszlásfüggvénye E(z). A

Géptervezés I.


19/23

transzformációs egyenlet: y = z + u, lásd (17, 18) egyenletek. A kiválasztott y*1 és y*2 pontokhoz tartozó z*1 , z*2 pontokat vagy a redukált változó tengelyen tudjuk leolvasni, vagy a (18) egyenlet invertálásával adódó alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg: z*i

ln ln 1 E lgL*i

(23)

A megfelelô értékek: z* 1 =-1,445, z* 2 = 0,7515. Ezen adatokkal a két ponton átmenô egyenes egyenletét meghatározva a redukált változóra az alábbi összefüggést kapjuk: z=(y-6,077)/0,5359

(24)

Ez egyben azt is jelenti, hogy u=6,077, és =0,5359, azaz a kettôs exponenciális eloszlású változó KE(6,077 ; 0,5359) alakú. A (20) transzformációs összefüggéseket felhasználva, a kétparaméteres W( ,b) egyenlet paraméterei:

b

1 0, 5359 ln 10

0, 81

e 6,077 ln10

;

1193 988

(25)

azaz G(L)=W(1 193 988 ; 0,81). Igy az

változó kétparaméteres eloszlásfüggvénye

GL

és a

1 e

N 1193988

0 ,81

(26)

változó, vagyis az élettartam W (x0 , ,b) alakú eloszlásfüggvénye:

F N

1 e

N 180000 1193988

0 ,81

(27)

A (26) eloszlásfüggvény alapján kiszámítható már bármely cikluszámhoz a törési valószín ség, vagy fordítva. Legyen egy adott, p százalékban kifejezett törési valószín séghez tartozó ciklusszám N p , azaz P( < N p )= 0,01.p (=p%). Két nevezetes pont értéke: N 1 = 184 079, N 50 = 939 430.

20/23


Géptervezés I.

4.2.Kiértékelés a normális eloszlás hipotézise alapján. Ehhez olyan normális valószín ségi koordinátarendszert alkalmazunk, amelynek a vízszintes tengelye lineáris skálájú. Ugyan azon *i,Fi értékpárokat ábrázolva, a pontok elhelyezkedése határozott görbületet mutat, ami egyértelm en arra utal, hogy a normális eloszlás mint megfelelô elméleti modell nem fogadható el az adott sokaság leírására. (10. ábra.)

10.ábra. Kiértékelés normál valószín ségi koordinátarendszerben.

4.3.Kiértékelés a lognormális eloszlás hipotézise alapján. A valószín ségi koordinátarenszer tárgyalásánál láttuk, (3.3.2. fejezet) hogy a normál valószín ségi papír alkalmas lognormális eloszlású változó kezelésére is, ha a valószín ségi változó tengelyén logaritmikus skálát alkalmazunk. A logaritmikus normális eloszlású változónak ugyanis a logaritmusa normális eloszlású, tehát ha a mintaelemek logaritmusát mérjük fel, az ad egyenest a normális valószín ségi koordinátaredszerben. Ezt könnyíti meg a logaritmikus skála alkalmazása.

Géptervezés I.


21/23

11.ábra. Kiértékelés a lognormális eloszlás hipotézise alapján. Így a rendezett mintaelemek számértékeivel és a hozzájuk tartozó Fi értékekkel mint koordinátákkal adódó pontokat ábrázolva megállapítható, hogy a pontok itt is, fôleg a széleken, egyenestôl való eltérést mutatnak, azonban a " jól" kiegyenlítô egyenes megadható. (11. ábra) A behúzott kiegyenlítô egyenest tehát elfogadjuk, mint a lognormális eloszlású sokság F(N) eloszlásfüggvényének a becslését. Feladatunk az eloszlásfüggvény paramétereinek a meghatározása. Ehhez elôször az =lg transzformációval adódótt, N(lga, ) paraméter G(y) eloszlásfüggvény normális eloszlás paramétereit határozzuk meg. Legyen z=(y-lga)/ az y standarduzált alakja, E(0,1) eloszlásfüggvénnyel. A kiegyenlítô egyenes egyenletét tehát ebben a formában keressük. Vegyünk fel a kiegyenlítô egyenesen a G( y* 1 )=0,05 és G(y* 2 )=0,95 ordinátájú pontokat. Az ezekhez tartozó N*1 =150 000 és N*2 =5 400 000 leolvasással adódik, az y változók értékei pedig ezek logaritmusai: y*1=lg N*1=5,176 és y*2 =lgN*2 = =6,73. A z redukált változó értékeit a felvett G( y* i ) értékekhez a redukált változó tengelyén tudjuk leolvasni, vagy standard normális változó táblázatból kivenni. Esetünkben az értékek: z*1=-1,65 és z*2 =1,65, így az egyenes egyenlete (a [-1,65; 5,176] és [1,65;6,73] pontokkal)

22/23


Géptervezés I.

z=(y-5,94)/0,4716 tehát a G(y) eloszlásfüggvény N(5,94;0,4716) paraméter . Igy a N változó lognormális eloszlásának várható értéke és szórásnégyzete a (10) egyenlet alapján:

10 5 ,94 .101,1513.0 ,4716

M N D2 N

10

5 ,94 2

2

1570566 2

.10 2 ,3026.0 ,4716 .10 2 ,3026.0 ,4716

2

1

5,55.1012

Az a értéke a lognormális eloszlás mediánja, itt ugyanis a várható érték nem esik egybe a mediánnal. A tapasztalati eloszlásfüggvény grafikonja alapján bármely ciklusszámhoz le tudjuk olvasni a törés bekövetkezésének valószín ségét vagy bármely törési valószín séghez tartozó ciklusszámot. Az összehasonlítás kedvéért a 3. táblázatban összefoglaltuk a kétféle kiértékeléssel adódott, egyes törési valószín ségekhez tartozó ciklusszámok értékeit. Ezen értékek leolvasással vagy -az eloszlásfüggvények paramétereinek ismeretében- számítással is meghatározhatók, az eloszlásfüggvények invertálásával. 3. táblázat Törési valószín ség

Törési ciklusszám

[%]

Lognormális eloszlás

Weibull eloszlás (3 par)

0

0

180 000

1

66 000

184 079

2

91 000

189 658

3

115 000

196 034

5

150 000

210 512

50

870 963

939 430

Megjegyzés. 1./A 3. táblázatból is látható, hogy a lognormális eloszlás alapján történô kiértékelés a Weibull kiértékeléshez képest konzervatívabb

Géptervezés I.


23/23

eredményeket ad. Ez az eloszlásfüggvények jellege alapján nem meglepô. 2./A lognormális eloszlás grafikus ábrázolása alapján megállapítható, hogy a kísérleti adatok az elméleti eloszlástól, különösen a kis törési valószín ségeknél, a nagyobb élettartamok felé szóródnak. Ez arra utal, hogy a lognormális eloszlás alapján adódó értékek a ténylegesen várható élettartamoknál kisebbek. 3./A három paraméteres Weibull modell alapján adódó eredmények a kis törési valószínôségeknél a kisérleti adatok jobb illeszkedését mutatják, ami a Weibull eloszlás elfogadása mellett szól. Figyelembe kell azonban azt is venni, hogy 22 mintaelem valójában kis mintának számit, ami az eredmények statisztikai megbízhatóságát csökkenti. Ez alapján az N 0 = =180000 ciklusszám mint biztosan törésmentes élettartam kielégítô biztonsággal nem fogadható el. Így a kis törési valószín ség zónában a két adat közötti élettartamértékek valószín síthetôek. A lognormális kiértékelés adatai a várható élettartamok alsó becsléseinek tekinthetôk.

MATEMATIKAI STATISZTIKAI ESZKÖZÖK. Tartalomjegyzék

Recommend Documents