Integrovaná střední škola, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace – matematika v automatizaci
Matematika v automatizaci - pro řešení regulačních obvodů: 1. Komplexní čísla Komplexní číslo – je bod v rovině komplexních čísel. Číslo v komplexní rovině je udáno reálnou složkou, která se vynáší na vodorovnou osu a imaginární složkou, která se vynáší na svislou osu. Vzdálenost komplexního čísla od počátku (amplituda): 2
/ U / = U Re + U Im
2
Zápis komplexního čísla: U = U Re + jU Im
tgϕ =
Goniometrický tvar :
Exponenciální tvar: U = / U / e jϕ
U = / U /(cos ϕ + j sin ϕ ) Imaginární jednotka: jj = j2 = -1 j3 = -j j4 = 1 j5 = j atd.
Im Re
ϕ = arctg
j = −1
Použití v praxi: např: Činný výkon P = U * I * cos ϕ
Jalový výkon Q = U * I * sin ϕ Zdánlivý výkon
S =U *I
Komplexní impedance
Z = R + jω L +
strana 1/5
1 jω C
Im Re
Integrovaná střední škola, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace – matematika v automatizaci 2. Derivace časové funkce Vysvětlíme na příkladu. Máme časovou funkci průběh dráhy na čase. s = s(t), jejíž strmost ukazuje, jak rychle se ujetá dráha měnila v čase. V libovolném okamžiku pak můžeme z grafu vyjádřit okamžitou rychlost. V okolí t1 si zvolíme malý přírůstek času ∆t, jemu odpovídá přírůstek dráhy ∆s. (Provedeme vlastně linearizaci.) Okamžitou ∆s rychlost pak přibližně vyjádříme vztahem v1 ≈ . ∆t Chyba je tím větší, čím je větší zvolený přírůstek. Čím je zvolený přírůstek menší bude chyba menší. Bude-li se přírůstek blížit nule nazýváme ho diferenciálem a výsledek je zcela přesný. Sečna ve zvoleném přírůstku se postupně změnila v tečnu. Čím bude tečna strmější, tím bude okamžitá rychlost větší. Bude-li tečna rovnoběžná s osou x, bude ds rychlost nulová. Matematický zápis se změnil ve tvar: v1 = dt Výraz určuje derivaci dráhy podle času a čteme jej „ds podle dt“ Závěr: - derivace funkce je v podstatě směrnice tečny v daném bodě dané křivky.
tgα =
∆s1 ∆t1
Stoupá – li křivka je derivace kladná, je – li rovnoběžná s osou času pak je rovna nule a když klesá je záporná.
1/ Fyzikální podstatou derivace dráhy podle času je okamžitá rychlost. 2/ Budeme – li derivovat znovu okamžitou rychlost podle času získáme zrychlení.
a1 =
dv d 2 s . = dt dt 2
Zde mluvíme o druhé derivaci. Praktický přístroj je tachometr, ohebný hřídel, který otáčí počítadlem ujetých kilometrů a současně permanentním magnetem. Pomalejší nebo rychlejší otáčení způsobuje menší nebo větší vychýlení ručky tachometru.
strana 2/5
Integrovaná střední škola, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace – matematika v automatizaci 3. Integrál časové funkce – opačná matematická operace k derivaci. Naopak z časového průběhu rychlosti získáme časový průběh fyzikální veličiny. Přírůstek dráhy vykonaný určitou rychlostí je dán vztahem: ∆s ≈ v ⋅ ∆t
Celková délka dráhy vykonaná za čas je dána součtem všech jednotlivých přírůstků dráhy.
n
s = ∆s1 + ∆s 2 = + ∆s 3 + .... + ∆s n = v1 ∆ t + v 2 ∆ t + v 3 ∆ t + .... + v n ∆ t = ∑ v i ∆ t i =1
Řecké písmeno sigma zde čteme „suma“. Chyba způsobená volbou zvolených přírůstků se bude zmenšovat se zmenšujícím se zvoleným přírůstkem. Zmenšíme-li ∆t až k nule změní se opět ∆ na d suma na značku určitého integrálu. t2
s ( t ) = ∫ v(t ) dt t1
Jedná se o určitý integrál od dolní meze t1 do horní meze t2 . Geometrický výraz integrálu – součet všech ploch pod křivkou v určitém intervalu
Někdy je třeba i počáteční podmínku s0 :
t2
s ( t ) = s 0 + ∫ v ( t ) dt t1
V praxi Pittotova trubice – měří přímo letovou rychlost, kterou je třeba integrovat aby pilot měl informaci o vykonané dráze. Mechanický integrátor může být mechanické počítadlo spřažené s vrtulkou poháněnou proudem vzduchu. Velmi často se integruje a derivuje pomocí operačních zesilovačů. Matematicky je to složité, proto : - derivaci - řešíme graficky, použijeme směrnici tečny ke křivce. - integrál – řešíme graficky, vyčíslíme počet čtverečků na rastru přiloženého průsvitného papíru.
strana 3/5
Integrovaná střední škola, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace – matematika v automatizaci 4. Diferenciální rovnice – je základním vyjádřením dynamických vlastností nějakého členu. Vstupním signálem členu je x1(t) a výstupním signálem je x2(t) . Proměnné v čase. a1
dx 2 ( t ) dt
+ a 0 x 2( t ) = x1( t ) toto je diferenciální rovnice 1. řádu (řád určuje stupeň derivace)
a 0 x 2 (t ) = x1(t ) a2
d 2 x2 (t ) dt 2
+ a1
toto je diferenciální rovnice 0. řádu (lineární rovnice) dx 2 ( t ) dt
+ a 0 x 2 ( t ) = x1( t )
toto je diferenciální rovnice 2. řádu
5. Laplaceova transformace
Laplaceova transformace je pomocný matematický aparát, který umožňuje nahradit obtížné derivování a integrování jednoduchým násobením a dělením tzv. operátorem – p. Složité procesy v automatizační technice jsou popisovány diferenciální rovnicí (derivace) a pokud je nutné matematicky je řešit použije Laplaceova transformace. Obecné schéma řešení problémů pomocí transformace:
Jednotlivé funkce nahrazujeme novými funkcemi (obrazy) F(p). Obrazem derivování je v Laplaceově transformaci násobení operátorem p. Obrazem integrování je dělení operátorem p.
df ( t ) dt
∫f
= pF( p )
(t )
dt =
1 ⋅ F( p ) p
Jednotkový skok
f(t)
0
t
Základní používanou časovou funkcí je jednotkový skok l(t) (skoková funkce). V čase menším než nula je hodnota funkce rovná nule. V čase rovném nebo větším než nula je hodnota funkce rovna jedné.
originál - l(t) obraz – 1/ p Výhodou je jednoduchá elektronická realizace.
strana 4/5
Integrovaná střední škola, Kumburská 846, Nová Paka Automatizace – matematika v automatizaci Lineární funkce
Její symbolické označení t(t) vyjadřuje skutečnost, že její funkční hodnotě v kladném čase rovná tomuto času. Pro čas menší než nula je hodnota funkce nulová. t(t) = 1/p * 1/p = 1/p
f(t) 2 1 0
1 2
originál – t(t)
t(s) obraz – 1/p
Tato funkce vzniká integrací jednotkového skoku. Dirakův (jednotkový) impuls
f(t)
0 originál - δ(t)
t(s)
V čase menším i větším než nula je hodnota nulová. V čase 0 se velikost impulsu blíží k nekonečnu a jeho šířka se blíží k nule. Plocha impulsu se rovná jedné. δ(t) = p*1/p = 1
obraz - 1
Dirakův impuls je derivace jednotkového skoku. Tabulky pro Laplaceovu transformaci a Zpětnou transformaci Z jsou v učebnici – Automatizace a automatizační technika 2 - str. 202 Diferenciální rovnice po transformaci má tvar algebraické rovnice ( Laplaceovým operátorem p):
a1 px 2( p ) + a 0 x 2( p ) = x1( p ) Po aritmetickém řešení pomocí násobení a dělení se provede Zpětná transformace opět dle tabulek. Často však není potřebné tuto zpětnou transformaci provádět, protože forma obrazů je výhodná pro svoji přehlednost a snadnost konstrukce frekvenčních charakteristik. Srovnání: dx 2 ( t ) a1 + a 0 x 2( t ) = x1( t ) dt a1 px 2( p ) + a 0 x 2( p ) = x1( p )
strana 5/5
