Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti , József

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti , József Lektor : Bischof , Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 „Tananyagfejlesztéssel a GEO-ért” projekt keretében készült. A projektet az Európai Unió és a Magyar Állam 44 706 488 Ft összegben támogatta. v 1.0 Publication date 2010 Szerzői jog © 2010 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Kivonat Ez a modul bevezeti a valószínűség fogalmát. A hallgatók megismerik a valószínűség axiomatikus felépítését, megtanulják kezelni a klasszikus valószínűségszámítási problémákat, és jártasságot szereznek a feltételes valószínűség kezelésében. Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI. törvény védi. Egészének vagy részeinek másolása, felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges.

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom 3. A valószínűségszámítás elemei ...................................................................................................... 1 1. 3.1 Bevezetés ........................................................................................................................ 1 2. 3.2 A valószínűség fogalma .................................................................................................. 1 2.1. 3.2.1 A relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmának bevezetése ...................... 1 2.2. 3.2.2 A relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata: ......................................... 2 2.3. 3.2.3 Kolmogorov-féle axiómák: .............................................................................. 2 3. 3.3 Klasszikus valószínűség .................................................................................................. 5 4. 3.4 Geometriai valószínűség ................................................................................................. 7 5. 3.5 Feltételes valószínűség .................................................................................................... 7 6. 3.6 Események függetlensége ............................................................................................. 13 7. 3.7 Összefoglalás ................................................................................................................ 16 8. ............................................................................................................................................ 18

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

3. fejezet - A valószínűségszámítás elemei 1. 3.1 Bevezetés Jelen modul a Matematika III. tárgy harmadik fejezete, modulja. Az itt következő ismeretek megértéséhez javasoljuk, hogy olvassa el a Tárgy korábbi moduljainál írottakat. Amennyiben ez még nem lenne elég a megértéshez, akkor forduljon a szerzőhöz segítségért. Jelen modul célja, hogy az Olvasó megismerkedjen a Valószínűségszámítás alapvető fogalmaival és módszereivel, és képessé váljon azok összetettebb számítási feladatok megoldásában való felhasználására. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata, törvényszerűségek elemzése matematikai módszerekkel.

2. 3.2 A valószínűség fogalma 2.1. 3.2.1 A relatív gyakoriság és a valószínűség fogalmának bevezetése Probléma: Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy bizonyos A esemény bekövetkezik? Ugyanazon körülmények között, egymástól függetlenül n-szer végezzünk kísérletet az A eseményre. Tegyük fel, hogy az A esemény

-szor következik be.

Definíció: Az

számot az A esemény gyakoriságának nevezzük.

A gyakoriság és a kísérletek n számának nevezzük.

hányadosát az A esemény relatív gyakoriságának

Dobjunk fel egy pénzérmét többször és számoljuk meg, hányszor dobtunk fejet! Példa 1: Egy kísérletsorozat alakulhat így: (Buffon Pearson kísérlete)

n

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

4040

24000

5

9

16

20

22

28

36

41

46

50

2048

12012

0.5

0.45 ...

...

0.5

0.5069 0.5005

Tapasztalat: Másik sorozatot végrehajtva más sorozatot kaphatunk, de a fej dobásának gyakorisága szintén 1/2 körül ingadozik. Ha a kísérletek számát növeljük, akkor az ingadozás egyre kisebb lesz. A tapasztalat azt mutatja, hogy nagyszámú, azonos körülmények között megismételt kísérlete esetén az esemény relatív gyakorisága egy meghatározott számérték körül ingadozik. 1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

A valószínűségszámítás elemei

Definíció: Az A esemény valószínűségének azt a valós számot nevezzük, amely körül a relatív gyakoriság ingadozik. Jele: Például szabályos érmét dobálva a P(fej dobásának valószínűsége) =1/2.

2.2. 3.2.2 A relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata: Az esemény valószínűsége egy meghatározott elméleti számérték, a relatív gyakoriság tapasztalati véletlen mennyiség. A gyakorlatban a valószínűséget a relatív gyakorisággal közelítjük, de egy elméletileg számítással meghatározott mennyiséget a gyakorlatban is használhatunk. Egy esemény valószínűsége tájékoztatást ad arról, hogy nagyszámú, azonos körülmények között megismételt kísérlet esetén az esemény körülbelül hány százalékban következik be. Pl. P(A)=.25 azt jelenti, hogy az A kísérletet nagyon sokszor megismételve az A esemény körülbelül a kísérletek negyed részében következik be. A relatív gyakoriság és a valószínűség két, egymással szoros kapcsolatban álló fogalom. eseményhez hozzárendelünk egy tapasztalattal megegyezzen.

számot úgy, hogy az A esemény elméleti valószínűsége a

1. Ha az A esemény nagyszámú n, azonos körülmények között végrehajtott kísérletének gyakorisága

, ezért

, akkor

.

Mivel az A esemény relatív gyakorisága az A esemény valószínűsége körül ingadozik, ezért valószínűségére fenn kell az alábbi egyenlőségnek állni:

esemény

. 1. A biztos esemény a kísérletek során mindig bekövetkezik, azaz

, és a relatív gyakoriság:

, így

1. Legyen esemény

és

, azaz egymást kizáró események. Ha n számú kísérlet esetén az A

-szor, a B esemény

-szer következik be, akkor az A+B esemény

be, mivel egyszerre nem következhet be. Ezért a relatív gyakoriság pedig

-szer következik , és ekkor

. Az A+B esemény relatív gyakorisága az A+B esemény valószínűsége körül ingadozik, az A és B esemény relatív gyakoriságai pedig az A és B esemény valószínűsége körül ingadozik, ezért azt várjuk el, hogy két egymást kizáró esemény valószínűségére igaz legyen az alábbi összefüggés: .

2.3. 3.2.3 Kolmogorov-féle axiómák: 2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.


Axióma: 1. Az adott eseménytér minden A eseményéhez tartozik egy P(A) szám, melyet az A esemény valószínűségének nevezünk, és erre teljesül, hogy

1. A biztos esemény valószínűsége 1, azaz

1. Ha A és B egymást kizáró események, azaz

,akkor

− additivitás. • Egymást páronként kizáró események összegének valószínűsége az egyes események valószínűségének összegével egyenlő, azaz ha az

eseményekre − teljes additivítás.

Tétel:

Bizonyítás:

Tétel:

Bizonyítás:

Tétel: Ha

, akkor

Bizonyítás: Ha

, akkor

3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

esetén

, akkor


Következmény: Ha

, akkor

Bizonyítás:

Következmény:

Bizonyítás: , Tétel: : Bizonyítás: és Tétel:

Bizonyítás:



3. 3.3 Klasszikus valószínűség Tétel: Ha

események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor

Bizonyítás: Mivel

Tétel: Legyen eseménytér elemi eseményeinek száma n és tegyük fel, hogy mindegyik elemi esemény egyenlő valószínűséggel következik be. Ha egy A esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor

Bizonyítás:

Módszer: Klasszikus valószínűség meghatározásának szabálya: Ha az elemi események száma véges, és minden esemény egyenlően valószínű, akkor az A esemény valószínűségét úgy határozzuk meg, hogy az A eseményt alkotó elemi események számát elosztjuk az elemi események számával.

Definíció: Legyen Ekkor a

. Jelölje számokat az

eseménytér valószínűség-eloszlásának nevezzük.

Állítás:



Bizonyítás:

Példa 1: Két kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy egyenlő számokat dobunk? Megoldás: Összes lehetséges esetek száma: Számunkra kedvező esetek száma:

, azaz

Így Példa 2: Mennyi a valószínűsége, hogy két kockával dobva különböző számokat dobunk? Megoldás:

P( különböző pontszám ) Példa 3: Mennyi a valószínűsége, hogy két kockával dobva a dobott számok összege 10? Megoldás:

P( összeg 10 ) Példa 4: Mennyi a valószínűsége, hogy két kockával dobva a dobott számok összege kisebb vagy egyenlő, mint 10? Megoldás:

Példa 5: Két pénzérmével dobunk, mennyi a valószínűsége, hogy dobunk fejet? Megoldás: Összes lehetséges esetek száma:



Érdekességképp d'Alembert és Leibniz még úgy gondolta, hogy az összes eset száma három:

4. 3.4 Geometriai valószínűség A geometriai valószínűség esetén egy véletlen kísérlet elemi eseményeit egy geometriai alakzat pontjainak kiválasztásával modellezzük. Annak valószínűsége, hogy egy pont egy adott geometriai alakzatba esik, arányos az alakzat területével. Példa 1: Mi a valószínűsége, hogy egy T területű céltáblán egy lövés a t területű síkidomba esik? (A találati pont a céltáblán egyenletesen oszlik el.) Jelölje A azt az eseményt, hogy a találat a t területű síkidomba esik, a síkidom találati valószínűsége arányos a síkidom területével: és Ezért

, és

.

Példa 2: Egy megállóban a buszok 10 percenként érkeznek. Mi a valószínűsége, hogy legfeljebb 3 percet kell várakoznunk?

5. 3.5 Feltételes valószínűség Ismert a valószínűségszámításban eddig tanultakból, hogy tetszőleges

esemény valószínűségét

alapján becsülhetjük Probléma: Mekkora az A esemény valószínűsége, ha egy B esemény már bekövetkezett? Ez a körülmény befolyásolhatja az A esemény bekövetkezésének valószínűségét. Ekkor a körülményekhez hozzávesszük B esemény bekövetkezését is, ezzel az eseményeket leszűkítjük. Példa 1: Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Kétszer fehéret húztunk. Mi a valószínűsége, hogy harmadikra is fehéret húzunk? A: 3. húzás fehér B: első kettő fehér P(első kettő fehér után a 3. húzás is fehér)=3/8. Definíció: Legyen

, melyre

.

Az A eseménynek a B feltétel melletti feltételes valószínűségén a 7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.


hányadost értjük. Jelentése: Az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, feltéve, hogy B bekövetkezett. Példa 2: Egy gép az első napon 200 darab terméket készített, ebből 10 selejt. A második napon 250 darab termék készült 15 selejttel. Kiválasztunk egy terméket. Feltéve, hogy a kiválasztott termék selejt, mennyi a valószínűsége, hogy az első napon készült? Megoldás: Jelölje A: a selejt az első napon készült B: a kiválasztott termék selejt.

Példa 3: Két kockadobás összege 7. Mekkora a valószínűsége, hogy van hatos a két dobás között? Megoldás: Jelölje A: van hatos, B: összeg 7.

Összes lehetőség a 7 összegre:

Példa 4: Adott két pont. Mi a valószínűsége, hogy mind a kettő a 0-hoz van közelebb, ha egymástól vett távolságuk kisebb

-nál.



Tétel: A feltételes valószínűségre érvényesek a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómái. 1.

2. Ha 3.

, ezért

, mivel

, akkor

.

biztos esemény,

, mivel

megszámlálhatóan végtelen sok egymást kizáró esemény, akkor

Következmény: 1. mivel

, és

1.

Példa 5: Egy üzemben dolgozó szakképzett férfiak (A) és nők (B) gyakorisági-táblája:



Tétel: Legyen és . Az A és B események együttes bekövetkezésének valószínűsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségnek és a B esemény valószínűségének szorzatával

Tétel: Legyen

, melyekre

Ekkor

Speciális eset n=3:

Példa 6: Egy futóversenyen 5 osztrák, 8 magyar és 3 szlovák versenyző vesz részt. Mennyi a valószínűsége, hogy elsőnek egy osztrák, másodiknak egy magyar és harmadiknak egy szlovák futó ér a célba? Megoldás: Jelölje

: elsőnek egy osztrák,

: másodiknak egy magyar, : harmadiknak egy szlovák futó ér a célba.



Ekkor Példa 7: Mennyi a valószínűsége, hogy egy 32 lapos magyar kártyacsomagból elsőre egy ászt húzunk, másodikra egy királyt és harmadikra ismét ászt húzunk? Megoldás: Jelölje

: első húzás ász,

: második húzás király, : harmadik húzás ász.

Ekkor Tétel: Teljes valószínűség tétele: események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor

Ha

esetén:

Bizonyítás:

Példa 8: Egy urnában 5 piros és 4 fehér, egy másik urnában 4 piros és 3 fehér golyó van. Mi a valószínűsége, hogy pirosat húzunk

?

Megoldás:

. Példa 9: Sikeres matek vizsgát az erdőmérnökök 60%-a, a közgazdászok 80%-a tett. A hallgatók 15%-a erdőmérnök. Egy hallgatót kiválasztunk, mennyi a valószínűsége, hogy sikerül a vizsgája (A)? Megoldás:



Jelölje

: erdőmérnök, ekkor

: közgazdász, ekkor

, .

Példa 10: Egy üzemben három héten át ugyanazt a terméket gyártják. A termelés az egyes heteken: 30%, 25%, 45%. A selejtszázalék: 7%, 6%, 8% az egyes heteken. Mi a valószínűsége, hogy egy termék selejt? Megoldás: Jelölje

: a terméket az i-edik héten gyártják.

Ekkor

Tétel: Bayes tétel: Ha

teljes eseményrendszert alkot, akkor bármely

eseményre igaz:

Bizonyítás:

Példa 11: Tekintsük a 8-as példában szereplő urnákat! Tegyük fel, hogy pirosat húztunk. Mennyi a valószínűsége, hogy az első urnából húztuk? Megoldás:

Példa 12: Tíz termék közül selejt lehet egyforma valószínűséggel. Visszatevéses mintavétellel 4 termékből 1 selejtest találunk. Hány selejtes lesz a legnagyobb valószínűséggel? Megoldás:



Jelölje

4 termékből 1 selejt, a selejtek száma.

, ahol

, ahol

Példa 13: Kilenc urnában 4 fehér és 4 kék, a tízedikben 5 fehér és 1 kék rágógumi van. Legyen

: i. urnából húzunk.

. Mennyi a valószínűsége, hogy a tizedikből húztunk, ha fehér ? Megoldás: Jelölje A: fehér rágógumit húztunk. Ekkor

6. 3.6 Események függetlensége Két esemény független, ha nem befolyásolja egyik esemény bekövetkezése sem a másik esemény bekövetkezését. Definíció: Legyen

. Az A és B egymástól független események, ha

Mit jelent a függetlenség?

nem függ B-től.



nem függ A-tól. Példa 1: Ketten lőnek egymástól függetlenül egy kör alakú céltáblára. A találatok valószínűségei

és

. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább az egyik lövő eltalálja a céltáblát? Megoldás: . Példa 2: Három kockával egymástól függetlenül dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy mindhárom kockán legalább ötöt dobunk? Megoldás: Jelölje A: legalább 5-öt dobunk.

Példa 3: Legyen A = 1,2,3,4, B= 3,4,5,6 C= 3,4,7,8 Ekkor P(A) = P(B) = P(C) = 4 / 8 = 0,5 P(AB) = P(BC) = P(AC) = 2 / 8 = 0,25 P(ABC) = 2 / 8 = 0.25 0.53= P(A)P(B)P(C) Példa 4: Annak valószínűsége, hogy az egyik szövőgép egy órán belül meghibásodik P(A)=0,2, hogy egy másik egy órán belül elromlik P(B)=0,15. Mi a valószínűsége, hogy egy óráig mindkettő üzemképes? Megoldás:

Tétel: Ha A és B független események, akkor

is függetlenek. Bizonyítás: Legyen 14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.


, ekkor

Legyen , ekkor

Definíció: Legyen

.

Ezen események páronként függetlenek, ha

Példa 5: Egy piros kockával és egy fekete kockával dobunk. Tekintsük a következő eseményeket: A: pirossal páratlan számot dobunk B: feketével páratlan számot dobunk C: az összeg páratlan.

Ekkor

,

,

,

,

,

azaz az A, B és C események páronként függetlenek. Ugyanakkor Definíció: Az események teljesen függetlenek, ha bárhogyan választunk ki ezek szorzatának valószínűsége egyenlő az egyes események valószínűségeinek szorzatával. Speciálisan

teljesen független események, ha

Tétel:


eseményt,


Ha események függetlenek, akkor függetlenek azok az események is, amelyeket ezekből úgy nyerünk, hogy közülük néhányat, − akár mindet − a komplementerükre cseréljük. Tétel: események függetlenek, akkor

Ha

Bizonyítás: De Morgan azonosság alapján:

Speciális est: Ha

,

akkor Tétel: Ha események függetlenek és pontosan k következik be közülük:

,

, akkor annak valószínűsége, hogy

.

Bizonyítás: : pontosan k esemény következik be

Pontosan k esemény bekövetkezésének valószínűsége:

.

Tétel: Bernoulli tétel: Ha n számú független kísérletet végzünk, és csak az érdekel bennünket, hogy egy esemény bekövetkezik-e, akkor annak a valószínűsége, hogy pontosan k-szor következik be:

valószínűségű A

7. 3.7 Összefoglalás 1. Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Annak valószínűsége, hogy egy golyót kihúzva, az fehér vagy fekete golyó lesz: 0.6, hogy piros vagy fekete színű lesz: 2/3. Hány fehér és fekete golyó van az urnában?



2. Zsebrádiómon három magyar adót, a Sopront, a Slágert, és a Petőfit lehet fogni. 0,5 valószínűséggel a Sopront, 0,25; ill. 0,25 valószínűséggel a másik két adót szoktam hallgatni. Annak valószínűsége, hogy ezeken az adókon zene megy és nem próza, rendre 1/3; 0,5; ill. 0,75. Bekapcsolom a rádiómat, zene megy, de nem tudom, melyik adóra van éppen beállítva. Mi a valószínűsége, hogy a Sopront hallgatom? 3. Egy kikötőbe két hajó fog befutni valamikor éjfél és dél között. Az egyik 2 órát rakodik és elmegy, a másik 5 órát rakodik majd elhajózik. Mekkora a valószínűsége annak, hogy nem találkoznak a kikötőben? 4. Legyen x egy véletlenszerűen választott egész szám a [-10,10] intervallumból. Mekkora a valószínűsége,

hogy az

determináns pozitív?

5. Mi a valószínűsége annak, hogy az egyenlet gyökei komplex számok, feltéve, hogy az együtthatók egyenletes eloszlású valószínűségi változók (0, 4)-ben? 6. Két dobókockát feldobva, az A esemény akkor következik be, ha a dobott számok összege legalább kilenc, a B pedig akkor, ha a dobások között a különbség pontosan kettő. Független-e a két esemény egymástól? 7. Mekkora a valószínűsége, hogy két kockával négyszer egymás után dobva legalább egyszer 10 lesz a dobott számok összege? 8. Egy kockát kétszer feldobnak. a. Mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz? b. Ha az első dobás eredményéül páros szám adódik, mi a valószínűsége, hogy a két dobás összege 7 lesz? 9. Egy 4 tagú társaságban sorsolással döntik el, hogy ki kit ajándékozzon meg. Ezért mindenkinek a nevét egyegy cédulára írják, a cédulákat egy kalapba beteszik, és a kalapból mindenki kihúz egy nevet. a. Mi a valószínűsége annak, hogy lesz olyan ember, aki a saját nevét húzza ki? b. Feltéve, hogy van olyan ember, aki a saját nevét húzza ki, mi a valószínűsége annak, hogy pontosan egy ilyen ember van? 10. Két urnánk van, az egyikben két fehér és öt piros, a másikban három fehér és négy piros golyó van. Valaki véletlenszerűen kiválaszt mindkét urnából egy-egy golyót, és átteszi azt a másik urnába - egyidejűleg, majd húz az első urnából. a. Mi a valószínűsége, hogy piros golyót húzunk? b. Feltéve, hogy piros golyót húzunk, mi a valószínűsége, hogy azonos színű golyókat cseréltünk? 11. Egy urnában 6 golyó van: 4 fehér és 2 piros. A golyók számozottak, az 5-ös és 6-os számú piros. Két golyót húzunk ki egymás után. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a. mindkettő fehér lesz; b. mindkettő egyező színű? 12. Két kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve hogy a dobott számok összege páratlan?

13.

Legyen

14.

Számítsuk ki a

;

. Határozza meg

;

a.


értékét!


b. i. a. valószínűségeket, ha P(A)=1/2, P(B)=1/3 és P(AB)=1/4!

1. Igazolja, hogy ha

és

, akkor

.

Irodalomjegyzék Csanády V., Horváth R., Szalay L. : Matematikai statisztika , EFE Matematikai Intézet , Sopron , 1995 Csernyák L. : Valószínűségszámítás , Nemzeti Tankönyvkiadó , Budapest , 1990 Obádovics J. Gy : Valószínűségszámítás és matematikai statisztika , Scolar Kiadó , Budapest , 2003 Reimann J. - Tóth J. : Valószínűségszámítás és matematikai statisztika , Tankönyvkiadó , Budapest , 1991 Rényi A. : Valószínűségszámítás , Tankönyvkiadó , Budapest , 1966 Solt Gy. : Valószínűségszámítás , Műszaki Könyvkiadó , Budapest , 1971 Denkinger G. : Valószínűségszámítás , Nemzeti Tankönyvkiadó , Budapest , 1978


Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Recommend Documents