Matematika 1. Ing. Marek Nikod´ ym, Ph.D. Katedra matematiky a deskript´ıvn´ı geometrie ˇ VSB-TU Ostrava
1
FUNKCE A INVERZN´I FUNKCE, GRAF FUNKCE, DERIVACE FUNKCE
Uk´aˇzeme si na konkr´etn´ıch geometrick´ ych pˇr´ıkladech pojmy funkce, inverzn´ı funkce, graf funkce a definujeme pojem derivace funkce, kter´ y n´am hlavnˇe pom˚ uˇze naj´ıt mexima a minima dan´e funkce. Vˇse uk´aˇzeme na mnoha geometrick´ ych a fyzik´aln´ıch pˇr´ıkladech, aby ˇ bylo vidˇet praktick´e pouˇzit´ı. Zaˇcnˇeme nejdˇr´ıve s geometrick´ ym u ´tvarem Ctverec.
1.1
ˇ CTVEREC
ˇ Ctverec je vlastnˇe obd´eln´ık, kter´ y m´a vˇsechny ˇctyˇri strany stejnˇe dlouh´e. Proto staˇc´ı zadat d´elku strany ˇctverce a m´ame tento ˇctverec u ´plnˇe zadan´ y. N´as budou zaj´ımat tˇed’ dvˇe z´akladn´ı chrakteristiky tohoto ˇctverce a to jeho obvod, kter´ y oznaˇc´ıme D jako d´elka a obsah S. Obˇe tyto veliˇciny z´avis´ı na d´elce strany tohoto ˇctverce. Napˇr. mˇejme d´an ˇctverec o velikosti strany 3 cm. Pak jeho obvod je roven 4 kr´at 3 cm a to je 12 cm, protoˇze ˇctverec m´a 4 stejnˇe dlouh´e strany. Tuto z´aleˇzitost m˚ uˇzeme matematicky zapsat takto D(3) = 12. Podobnˇe obsah tohoto ˇctverce bude 3 kr´at 3 a to je 9 cm2 . Tuto ud´alost m˚ uˇzeme matematicky zapsat jako S(3) = 9. Vˇetˇsinou uˇz d´ale nebudeme ps´at, ˇze se jedn´a o centimetry nebo centimetry ˇctvereˇcn´ı a ponech´ame ˇc´ısla jako bezrozmˇern´a. Pro jin´ y ˇctverec napˇr o d´elce strany 8 dostaneme, ˇze jeho obvod je D(8) = 32 a obsah S(8) = 64. Vid´ıme, ˇze veliˇciny obvod a obsah ˇctverce pˇriˇrazuj´ı pro danou d´elku ˇctverce velikost jeho obvodu a obsahu. Tuto situaci m˚ uˇzeme zobecnit a uvaˇzovat obecn´ y ˇctverec o d´elce strany, kterou obecnˇe oznaˇc´ıme x. Je jasn´e, ˇze d´elka strany nem˚ uˇze b´ yt z´aporn´a. M˚ uˇzeme se domluvit, ˇze pro nulovou d´elku strany budeme uvaˇzovat ˇctverec, jehoˇz obvod i obsah jsou nulov´e, tj. D(0) = 0, S(0) = 0. Tedy mus´ı pro naˇsi promˇennou x platit, ˇze x ≥ 0. Tomuto omezen´ı se ˇr´ık´a definiˇcn´ı obor funkc´ı D a S. Veliˇcin´am S a D se ˇr´ık´a v matematice funkce promˇenn´e x. Jelikoˇz z´avis´ı obˇe na jedin´e promˇenn´e, ˇr´ık´a se jim proto funkce jedn´e promˇenn´e. Napˇr. stejn´e funkce obsahu a obvodu u obd´eln´ıku budou z´aviset na dvou promˇenn´ ych. Dalˇs´ı ˇ d˚ uleˇzitou vlastnost´ı, kterou budeme u funkc´ı poˇzadovat je jejich JEDNOZNACNOST. To znamen´a, ˇze funkce m˚ uˇze pro dan´e x pˇriˇradit maxim´alnˇe jednu hodnotu. Napˇr. konkr´etn´ı ˇctverec m˚ uˇze m´ıt pouze jeden obvod a obsah. nem˚ uˇze m´ıt dva r˚ uzn´e obvody a obsahy. ˇ Takˇze poˇzadavek JEDNOZNACNOSTI je pˇrirozen´ y. Tedy m˚ uˇzeme pro obecn´ y ˇctverec o d´elce strany x obecnˇe ps´at, ˇze D(x) = 4x a S(x) = x2 pro x ≥ 0. D´ale n´as bude zaj´ımat vlastnosti tˇechto funkc´ı, v prv´e ˇradˇe jejich grafy. Vytvoˇr´ıme tabulku hodnot x a D(x) pro nˇekter´a x z definiˇcn´ıho oboru a uspoˇr´adan´e dvojice [x, D(x)] vyneseme na osu x a y, x na vodorovnou osu, D na svislou osu. Vznikl´e body pak spoj´ıme ˇcarou. Podobnˇe vˇse provedeme pro druhou funkci S(x). Grafem D(x) je pˇr´ımka, protoˇze D(x) je speci´aln´ım pˇr´ıpadem tzv. line´arn´ı funkce ax+b, kde a = 4 a b = 0. Grafem S(x) je p˚ ulka paraboly, protoˇze S(x) je speci´aln´ım pˇr´ıpadem tzv. kvadratick´e 1
funkce ax2 + bx + c, kde a = 1, b = 0 a c = 0. K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x D(x) = 4x x S(x) = x2
0 1 1.5 2 3.5 4 0 4 6 8 14 16 0 1 1.5 2 3.5 4 0 1 2.25 4 12.25 16
V´ ysledn´e grafy jsou na obr´azku.
20 18 16 14 12 D(x) 10 8 6
S(x)
4 2 0
0
1
2
3
4
5
Funkce 4x a x2 m˚ uˇzeme uvaˇzovat i obecnˇe bez toho aby byly vztahov´any k nˇejak´emu konkr´etn´ımu geometrick´emu u ´tvaru, v naˇsem pˇr´ıpadˇe ˇctverci nebo ˇcemukoliv jin´emu. Pak vˇetˇsinou zapisujeme tyto funkce obecnˇe takto y(x) = 4x a y(x) = x2 . Nyn´ı uˇz jsou tyto funkce definov´any pro vˇsechna re´aln´a x a i jejich grafy nejsou omezeny pouze na kladnou ˇc´ast. Jak je vidˇet na obr´azku. 4 D(x) 3
S(x)
2
1
0
−1
−2
−3
−4 −4
−3
−2
−1
0
2
1
2
3
4
Ted’ n´as bude zaj´ımat jin´a vˇec a to tato. Doted’ jsme uvaˇzovali pro dan´e x funkˇcn´ı hodnotu D(x) nebo S(x). To znamen´a, ˇze napˇr. pro ˇctverc s d´elkou strany 2 jsme mˇeli jeho obvod D(2) = 8 a obsah S(2) = 4. Ale co kdyˇz budu ted’ naopak zn´at tˇreba obvod ˇctverce D, ˇze je napˇr. 7 a budeme cht´ıt vˇedˇet, jak´ y ˇctverec tento obvod m´a? To vede na ˇreˇsen´ı line´arn´ı rovnice, kde do vztahu D = 4x, dosad´ıme za D hodnotu 7 a vypoˇcteme x. Tedy 7 = 4x a odtud x = 7/4 = 1.75, Podobnˇe n´as m˚ uˇze zaj´ımat, jak´ y ˇctverec m´a 2 2 obsah roven 7 cm ? To vede na ˇreˇsen´ √ı kvadratick´e rovnice S = x , kde za S dosad´ıme y pˇr´ıpad, ˇze zn´ame hodnotu 7. Tedy 7 = x2 a odtud x = 7 = 2.65. Uvaˇzujme zase obecn´ obvod D nebo obsah S a chceme vˇedˇet, jak´ y ˇctverec m´a tento obvod nebo obsah, to znamen´a chceme zn´at x. Tento postup vede k urˇcen´ı tzv. inverzn´ıch funkc´ı x(D) a x(S). To znamen´a, ˇze x(D) je inverzn´ı funkce k funkci D(x) a x(S) je inverzn´ı funkce k funkci S(x). Podobnˇe jako pro konkr´etn´ı √ hodnotu 7, odvod´ıme obecnˇe vztahy pro tyto inverzn´ı funkce a to x(D) = D/4 a x(S) = S. Grafy tˇechto funkc´ı vid´ıte na obr´azku. Inverzn´ı funkce je zakreslena ˇcervenˇe. Pokud m´ame vypoˇcten´e funkˇcn´ı hodnoty funkce f (x) v tabulce, pak funkˇcn´ı hodnoty inverzn´ı funkce f −1 (x) z´ısk´ame jednoduˇse tak, ˇze prohod´ıme ˇr´adky v tabulce. D x(D) = 14 x
0 4 6 8 14 16 0 1 1.5 2 3.5 4
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
S √ x(S) = S
1
2
3
4
0 1 2.25 4 12.25 16 0 1 1.5 2 3.5 4
3
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
D˚ uleˇzit´a vlastnost tˇechto graf˚ u je, ˇze grafy nˇejak´e funkce a jej´ı inverzn´ı funkce jsou symetrick´e podle pˇr´ımky y = x. Tato vlastnost plat´ı obecnˇe a umoˇzn ˇuje n´am nakteslit graf inverzn´ı funkce pouze podle grafu p˚ uvodn´ı funkce, aniˇz bychom znali funkˇcn´ı pˇredpis pro inverzn´ı funkci. To plyne i odtud, ˇze taulku funkˇcn´ıch hodnot pro inverzn´ı funkci z´ısk´ame ˇ jednoduˇse prohozen´ım ˇr´adk˚ u p˚ uvodn´ı tabulky. Casto se funkce a inverzn´ı funkce zapisuje jin´ ym zp˚ usobem. Napˇr. v naˇsem pˇr´ıpadˇe se funkce obvodu nap´ıˇse takto y = D(x) = 4x a jej´ı inverzn´ı funkce takto y = D−1 (x) = x/4, kde v prv´em pˇr´ıpadˇe y znaˇc´ı obvod a x d´elku strany, kdeˇzto ve druh´em pˇr´ıpadˇe x znaˇc´ı obvod a y d´elku strany. √ Podobnˇe to bude 2 −1 i v pˇr´ıpadˇe obsahu S. y = S(x) = x a inverzn´ı funkce y = S (x) = x, kde v prv´em pˇr´ıpadˇe y znaˇc´ı obsah a x d´elku strany, ve druh´em pˇr´ıpadˇe y je d´elka strany a x je obsah. Pokud bychom konstruovali inverzn´ı funkci napˇr. k y = x2 kde x ∈ R, tj. k cel´e parabole, pak graf iverzn´ı ”funkce” by byla leˇzat´a parabola, ale tady je probl´em, protoˇze kˇrivka leˇzat´a parabola nen´ı grafem funkce, protoˇze nesplˇ nuje podm´ınku jednoznaˇcnosti pro dan´e x existuj´ı dvˇe r˚ uzn´a y. My poˇzadujeme, aby i inverzn´ı funkce byla jednoznaˇcn´a. ´ K tomu, aby inverzn´ı funkce byla jednoznaˇcn´a, mus´ı p˚ uvodn´ı funkce b´ yt tzv. PROSTA. Funkce y = x2 kde x ∈ R nen´ı prost´a, proto k n´ı neexistuje inverzn´ı funkce. Jednoduˇse ´ jestliˇze kaˇzd´a rovnobˇeˇzka s osou x protne graf t´eto funkce ˇreˇceno, funkce je PROSTA, nejv´ yˇse v jednom bodˇe. Ale u y = x2 kde x ∈ R protne rovnobˇeˇzka s osou x parabolu ve dvou bodech, proto x2 nen´ı prost´a. Ale vidˇeli jsme, ˇze pokud uvaˇzujeme y = x2 pouze pro x ≥ 0, pak rovnobˇeˇzka protne graf pouze v jednom bodˇe a fukce je prost´a a proto √ existuje inverzn´ı funkce y = x. Funkci y = x2 kde x ∈ R mus´ıme rozdˇelit na dvˇe ˇc´asti, kter´e jsou prost´e a ke kaˇzd´e ˇc´asti zvl´aˇst’ urˇcit inverzn´ı funkci. a) f : y = x2 ,
x≥0
f −1 : y =
√
x
4
5
4
3
2
1
0
−1
−2 −4
b) f : y = x2 ,
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
√ f −1 : y = − x
x≤0 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −4
−3
−2
−1
ˇ Cervenˇ e je vyznaˇcen´a inverzn´ı funkce a je vidˇet, ˇze p˚ uvodn´ı i inverzn´ı funkce jsou symetrick´e podle pˇr´ımky y = x.
5
1.2 1.2.1
DERIVACE FUNKCE - u ´ vod Pˇ r´ımka, smˇ ernice pˇ r´ımky
Uvaˇzujme pˇr´ımky y = 2x (ˇcerven´a), y = 5x (modr´a), y= 13 x (zelen´a), grafy jsou na obr´azku 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
ˇ ısla V tomto pˇr´ıpadˇe s rostouc´ım x roste i y, ˇr´ık´ame, ˇze pˇr´ımka roste nebo, ˇze je rostouc´ı. C´ yv´a smˇernice pˇr´ımky a znaˇc´ı se vˇetˇsinou p´ısmenem k. Pokud je toto ˇc´ıslo 2, 5, 13 se naz´ kladn´e, pak pˇr´ımka roste, nav´ıc, ˇc´ım je toto ˇc´ıslo vˇetˇs´ı, t´ım roste prudˇceji. Ze smˇernice m˚ uˇzu vypoˇc´ıtat, jak´ yu ´hel sv´ır´a pˇr´ımka s osou x. Plat´ı totiˇz, ˇze tan(x) = k, napˇr. pro prvn´ı pˇr´ımku y = 2x dostanu, ˇze tan(α) = 2, odtud α = arctan(2) = 63.4 stupˇ n˚ u. Vemme nyn´ı pˇr´ımky y = −2x (ˇcerven´a), y = −5x (modr´a), y = − 31 x (zelen´a) 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Tady jsou vˇsechny smˇernice z´aporn´e, proto pˇr´ımky klesaj´ı, nejprudˇceji kles´a pˇr´ımka y = −5x, protoˇze m´a v absolutn´ı hodnotˇe nejvˇetˇs´ı smˇernici. Pˇri v´ ypoˇctu u ´hlu tan(α) = −5, m´ame α = arctan(−5) = −78.8 stupˇ n˚ u, z´aporn´ y u ´hel znaˇc´ı, ˇze uhel je tˇreba br´at pod osou x s kladnym smˇerem x. Obecnou pˇr´ımku napˇr.y = 2x + 4 dostanu tak, ˇze pˇr´ımku 2x posunu o 4 jednotky nahoru, tedy tato pˇr´ımka 2x+4 roste stejnˇe jako 2x, jenom je 6
posunut´a v prostoru. Tedy u pˇr´ımky ve tvaru y = kx + q je velikost r˚ ustu nebo kles´an´ı ’ d´ana pouze smˇernic´ı k a q na to nem´a vliv. Uved me si jeˇstˇe d˚ uleˇzit´ y vztah a to rovnici pˇr´ımky, kter´a proch´az´a bodem [x0 , y0 ] a m´a smˇernici k, pak jej´ı rovnice vypad´a takto y − y0 = k(x − x0 ) Nyn´ı zamˇeˇrme svoji pozornost na to, jak popsat chov´an´ı libovoln´e obecn´e funkce y = f (x). Potˇrebujeme nˇeco, co n´am ˇrekne, jestli funkce kles´a nebo roste, jestli pomalu nebo rychle. Jak poznat, co se dˇeje v nˇejak´em libovoln´em bodˇe funkce? Tak, ˇze v tom bodˇe setroj´ıme teˇcnu-coˇz je pˇr´ımka, kter´a se dot´ yk´a v dan´em bodˇe grafu funkce a z pˇredchoz´ıho v´ıme, jak poznat co se dˇeje s pˇr´ımkou. Jestli smˇernice teˇcny bude kladn´a, pak teˇcna bude ˇ ım bude smˇernice vˇetˇs´ı rostouc´ı a odtud plyne, i funkce bude v dan´em bodˇe rostouc´ı. C´ ˇc´ıslo, t´ım funkce poroste rychleji. A naopak pokud smˇernice teˇcny bude z´aporn´a, pak funkce v dan´em bodˇe bude klesat a to t´ım prudˇceji, ˇc´ım bude tato smˇernice v absolutn´ı hodnotˇe vˇetˇs´ı ˇc´ıslo. Co kdyˇz ale bude smˇernice teˇcny v nˇejak´em bodˇe nulov´a? No pak tato funkce v dan´em bodˇe nebud´e r˚ ust a a ni klesat. Vˇetˇsinou v tomto pˇr´ıpadˇe nastane situace, ˇze funkce bude m´ıt v dan´em bodˇe tzv. lok´aln´ı maximum nebo minimum. nebo taky m˚ uˇze nastat situace, ˇze funkce tam nebude m´ıt extr´em, ale inflexn´ı bod, to si ale pop´ıˇseme pozdˇeji za jak´ ych podm´ınek nastane jedna nebo druh´a moˇznost. Jak ale urˇcit smˇernici teˇcny v dan´em bodˇe nˇejak´e funkce? To je z´asadn´ı probl´em a ˇreˇsen´ı tohoto probl´emu vede napojem derivace. Ukaˇzme si nejdˇr´ıve nalezen´ı smˇernice teˇcny k funkci y = x2 v bodˇe x0 = 1. Vyjdeme z toho, ˇze sestroj´ıme nejdˇr´ıve pˇr´ımku, kter´a proch´az´ı body [x0 , x20 ] a [x0 + h, (x0 + h)2 ], kde h je nˇejak´e ˇc´ıslo vˇetˇs´ı nez 0, pro x0 = 1 tedy m´ame pˇr´ımku proch´azej´ıc´ı body [1, 1] a [1 + h, (1 + h)2] Smˇernici k t´eto pˇr´ımky v bodˇe x0 = 1 vypoˇcteme pomoc´ı pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka, protoˇze v´ıme, ˇze smˇernice k = tan(α)=protilehl´a/pˇrilehl´a a protilehl´a= (1 + h)2 − 1 = 1 + 2h + h2 − 1 = 2h + h2 , coˇz je rozd´ıl y-ov´ ych souˇradnic a pˇrilehl´a=(1 + h) − 1 = h, coˇz je rozd´ıl x-ov´ ych souˇradnic. Tedy k(1) = (2h + h2 )/h = 2 + h. Je jasn´e, ˇze smˇernice t´eto pˇr´ımky z´avis´ı na hodnotˇe h. Jak se nyn´ı dostaneme od t´eto pˇr´ımky k teˇcnˇe? Tak, ˇze ˇc´ıslo h se bude bl´ıˇzit k nule, pak se pˇr´ımka, kter´a byla obecnˇe seˇcnou- prot´ınala graf, stane teˇcnou-bude se grafu dot´ ykat. Tomuto postupu se v matematice ˇr´ık´a limitn´ı pˇrechod. Protoˇze nem˚ uˇzeme poloˇzit h = 0-to bychom dˇelili nulou a tato operace nen´ı definov´ana. Proto tuto nepˇr´ıjemnost obejdeme tak, ˇze ˇrekneme, ˇze se k nule neomezenˇe bl´ıˇz´ıme a to jeste zprava. Matematicky to zap´ıˇseme takto k(1) = limh→0+ (2 + h) = 2 Tedy smˇernice teˇcny je rovna 2, je kladn´a a tedy funkce x2 je v tomto bodˇe rostouc´ı. Nyn´ı jsme schopni napsat rovnici teˇcny v tomto bodˇe. M´ame x0 = 1, y0 = 0, k = 2 t : y − 1 = 2(x − 1), t : y = 2x − 1 Graf
7
10
8
6
y(x)
4 t
2
A[1,1] 0
−2 −3
−2
−1
0
1
2
3
Teˇcnu v libovoln´em bodˇe x paraboly m˚ uˇzeme zapsat podobnˇe jako v´ yˇse (x + h)2 − x2 x2 + 2xh + h2 − x2 2x + h = lim = lim = lim (2x + h) = 2x h→0 h→0 h→0 h→0 h h h
k(x) = lim
′
Funkce 2x se naz´ yv´a derivace funkce x2 a znaˇc´ı se y graf Z obr´azku vid´ıme, ˇze 2x je z´aporn´a pro x < 0, tedy odtud plyne, ˇze x2 kles´a, nav´ıc ˇc´ım je x bl´ıˇze k 0, t´ım kles´a pomaleji, aˇz se v x = 0 zastav´ı a tam nekles´a ani neroste protoˇze x2 je v x = 0 nulov´a. V tomto bodˇe m´a x2 minimum a pak zase roste, protoˇze derivace 2x je pro x > 0 kladn´a a roste poˇr´ad rycleji, protoˇze se derivace zvˇetˇsuje. Obecnˇe pˇri v´ ypoˇctu derivace libovoln´e funkce f (x) se mus´ı vypoˇc´ıtat tato limita ′
f (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x) h
To je v obecn´em pˇr´ıpadˇe velmi n´aroˇcn´e a ani se tak v praci nepostupuje. T´ımto zp˚ usobem se vypoˇctou pouze derivace element´arn´ıch funkc´ı a odvod´ı se obecn´e vzorce pro v´ ypoˇcet derivace souˇcinu funkc´ı, pod´ılu funkc´ı a derivace sloˇzen´e funkce. S touto znalost´ı jsme pak schopni vypoˇc´ıtat celkem jednoduˇse derivaci libovolnˇe sloˇzit´e funkce. Obecnˇe se d´a odvodit, ˇze derivace funkce xa , kde a je libovoln´a re´aln´a konstanta je a−1 ax napˇr. 2 ′ (x ) = 2x2−1 = 2x1 = 2x ′ (x3 ) = 3x3−1 = 3x2 ′ (x) = 1x1−1 = 1x0 = 1 ³ ´′ 1 x
³
1 x2
´′
= (x−1 ) = (−1)x−1−1 = (−1)x−2 = − x12 ′
= (x−2 ) = −2x−2−1 = −2x−3 = − x23 ′
√ ′ 1 1 1 ′ ( x) = (x 2 ) = 21 x 2 −1 = 12 x− 2 = √ ′ 1 ′ 1 2 ( 3 x) = (x 3 ) = 13 x 3 −1 = 13 x− 3 =
1 1 2 x 12 1 1 3 x 32
=
=
1 √ 2 x 1 √ 3 3 x2 ′
D´ale derivace z konstantn´ı funkce napˇr y = 4 je funkce konstantn´ı rovn´a nule (4) = 0 ′
Jak uˇz bylo naps´ano, pokud je derivace funkce f (x) v nˇejak´em bodˇe x0 nulov´a, pak je velk´a pravdˇepodobnost, ˇze v tomto bodˇe bude m´ıt f (x) maximum nebo minimum, 8
obecnˇe lok´aln´ı extr´em. Lok´aln´ı proto, ˇze toto maximum nemus´ı b´ yt maxim´aln´ı hodnota dan´e funkce v cel´em definiˇcn´ım oboru. Takov´ ych lok´aln´ıch maxim nebo minim m˚ uˇze m´ıt funkce i v´ıc. Nyn´ı si ˇrekneme postaˇcuj´ıc´ı pom´ınku pro to, aby funkce f (x) mˇela v bodˇe x0 extr´em: ′
′′
1)Jestliˇze f (x) = 0 a f (x) < 0, pak f (x) m´a v x0 lok´aln´ı maximum ′ ′′ 2)Jestliˇze f (x) = 0 a f (x) > 0, pak f (x) m´a v x0 lok´aln´ı minimum Napˇr. funkce x3 ma v x = 0 derivaci nulovou, ale nem´a tam ani maximum ani minimum, protoˇze f ,, (0) je taky nula. M´a v tomto bodˇe tzv. inflexn´ı bod, kde pˇrech´az´ı funkce z konk´avnosti-graf funkce je vypoukl´ y nahoru do konvexnosti-graf funkce je vypoukl´ y dol˚ u. Obecnˇe se konk´avnost a konvexnost pozn´a ze znam´enka druh´e derivace ′′
1)Jestliˇze f (x) > 0, pak funkce je v x konvexn´ı ′′ 2)Jestliˇze f (x) < 0, pak funkce je v x konk´avn´ı Funkce m˚ uˇze m´ıt v bodˇe x0 extr´em jeˇstˇe v jin´em pˇr´ıpadˇe neˇz v pˇr´ıpadˇe nulovosti prvn´ı derivace. Napˇr. funkce |x| m´a v x = 0 minimum, ale derivace funkce v tomto bodˇe neexistuje-je tam tzv. hrot a v hrotu nelze sestrojit teˇcnu, jak je vidˇet na obr´azku. 4
3
|x|
2
1
0
−1
−2 −3
−2
−1
0
1
2
3
Proto je tˇreba prozkoumat pˇri hled´an´ı extr´em˚ u nejen nulov´e body prvn´ı derivace, ale i body, ve kter´ ych dan´a funkce derivaci nem´a definovanou. Pokud tam m´a funkce hrot, pak tam m´a i extr´em. 1.2.2
Pravidla pro v´ ypoˇ cet derivace funkce
1. Vytknut´ı konstanty
′
′
(konst · f (x)) = konst · (f (x)) Pˇ r´ıklad ′
′
(5x2 ) = 5(x2 ) = 5 · 2x = 10x
9
2. Derivace souˇctu dvou funkc´ı ′
′
′
(f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) Pˇ r´ıklad ′
′
′
′
(2x2 − 10x + 3) = (2x2 ) + (−10x) + (3) = 2 · 2x − 10 · 1 + 0 = 4x − 10 3. Derivace souˇcinu dvou funkc´ı ′
′
′
(f (x) · g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) Pˇ r´ıklad ′ pozn. (sin(x)) = cos(x) ³
´′
x2 sin(x)
′
′
= (x2 ) sin(x) + x2 (sin(x)) = 2x sin(x) + x2 cos(x)
4. Derivace pod´ılu dvou funkc´ı Ã
f (x) g(x)
!′
′
′
f (x)g(x) − f (x)g (x) = (g(x))2
Pˇ r´ıklad ′ pozn. (sin(x)) = cos(x) Ã
x2 sin(x)
!′
′
′
(x2 ) sin(x) − x2 (sin(x)) 2x sin(x) − x2 cos(x) = = (sin(x))2 sin2 (x)
1.2.3
Sloˇ zen´ a funkce a jej´ı derivace √ Pˇr´ıklad sloˇzen´e funkce je 1 − x2 , kter´a se skl´ad´a ze dvou funkc´ı, vnˇejˇs´ı odmocniny a vnitˇrn´ı kvadratick´e funkce. Obecnˇe se sloˇzen´a funkce d´a zapsat ve tvaru f (g(x)), kde v √ naˇsem pˇr´ıpadˇe je f (g) = g vnˇejˇs´ı funkce a g(x) = 1 − x2 je vnitˇrn´ı funkce. Sloˇzen´a funkce se mus´ı derivovat podle tohoto vztahu ′
′
′
(f (g(x)) = f (g) · g (x) Tedy v naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıkladˇe bude derivace vypadat takto: ³√
1 − x2
1.2.4
´′
′ 1 x 1 √ ′ ′ ′ (−2x) = − √ = (f (g)) = ( g) · g (x) = √ · (1 − x2 ) = √ 2 2 g 2 1−x 1 − x2
Konkr´ etn´ı pˇ r´ıklad
Uvaˇzujme funkci y(x) = x3 − 5x2 + x + 3 a urˇceme pomoc´ı jej´ı derivace, kde je funkce rostouc´ı nebo klesaj´ıc´ı a kde m´a lok´aln´ı extr´emy. Urˇceme nakonec glob´aln´ı extr´emy t´eto funkce na intervalu < −2, 5 >. Tato funkce je polynom 3 stupnˇe, proto jej´ı definiˇcn´ı obor je mnoˇzina vˇsech re´aln´ ych ˇc´ısel. K urˇcen´ı extr´em˚ u potˇrebujeme spoˇc´ıtat derivaci t´eto funkce ′
′
y (x) = (x3 − 5x2 + x + 3) = 3x2 − 10x + 1 10
derivace je kvadratick´a funkce, kter´a je zase vˇsude definov´ana. To znamen´a, ˇze dan´a funkce nebude m´ıt hroty. Pokud m´a tedy y(x) extr´emy, pak mus´ı leˇzet v nulov´ ych bodech jej´ı derivace, tj. stacion´arn´ıch bodech. Spoˇctˇeme tedy nulov´e body derivace 3x2 − 10x + 1 = 0 q √ 10 + − (−10)2 − 4 · 3 · 1 10 + − 88 = x1,2 = 2·3 6 x1 = 0.1, x2 = 3.2
Podle druh´e derivace ′′
′
y (x) = (3x2 − 10x + 1) = 6x − 10 zjist´ıme, zda je v bodech x1 = 0.1, x2 = 3.2 extr´em a pokud ano, pak jak´ y ′′
′′
y (x1 ) = y (0.1) = 6 · 0.1 − 10 = −9.4 < 0 ′′ ′′ y (x2 ) = y (3.2) = 6 · 3.2 − 10 = 9.2 > 0 Vid´ıme, ˇze v x1 je lok´aln´ı maximum a jeho velikost je y(x1 ) = y(0.1) = 0.13 − 5 · 0.12 + 0.1 + 3 = 3.1, v bodˇe x2 je lok´aln´ı minimum a jeho velikost je y(x2 ) = y(3.2) = 3.23 − 5 · 3.22 + 3.2 + 3 = −12.2, ′ Nakresleme nyn´ı grafy y(x) a y (x). Nejdˇr´ıve si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x -3 -2 -1 0 0.1 1 2 3 3.2 4 5 y(x) -72 -27 -4 3 3.1 0 -7 -12 -12.2 -9 8 ′ y (x) 58 33 14 1 0 -6 -7 -2 0 9 26 20 y 15
10
5
A[0.1,3.1]
0 x
−5
−10
B[3.2,−12.2] −15 −2
1.3
−1
0
1
2
3
4
5
´ ´IK OBDELN
Uvaˇzujme nyn´ı obd´eln´ık, coˇz je obecnˇejˇs´ı u ´tvar neˇz ˇctverec. Obd´eln´ık m´a obecnˇe dvˇe r˚ uznˇe dlouh´e strany, kter´e oznaˇc´ıme x a y. Obvod D a obsah S budou v tomto pˇr´ıpadˇe funkce dvou promˇenn´ ych tedy D(x, y) = 2x + 2y a S(x, y) = xy, samozˇrejmˇe nem˚ uˇzeme m´ıt 11
z´aporn´e d´elky stran, tedy x > 0, y > 0. Zkoum´an´ım funkc´ı dvou promˇenn´ ych se budeme zab´ yvat v dalˇs´ım semestru v matematice 2. Uvid´ıme, ˇze napˇr. grafem tˇechto funkc´ı nejsou kˇrivky ale plochy v prostoru. Takˇze situace tam bude mnohem sloˇzitˇejˇs´ı. Nˇekter´e u ´lohy, kter´e se vztahuj´ı k obd´eln´ık˚ um m˚ uˇzeme ale zkoumat pomoc´ı funkc´ı jedn´e promˇenn´e. 1.3.1
Obd´ eln´ık, jehoˇ z jedna strana je o 3 delˇ s´ı neˇ z druh´ a
Uvaˇzujme tedy takov´e obd´eln´ıky, jejichˇz jedna strana je o 3 cm delˇs´ı neˇz druh´a strana. Pokud jednu stranu obd´eln´ıka oznaˇc´ıme obecnˇe x, pak drud´a strana je x + 3. Obvod a Obsah takov´eho obd´eln´ıku pak z´avis´ı pouze na jedn´e promˇenn´e x a plat´ı D(x) = 2x + 2(x + 3) = 4x + 6 a S(x) = x(x + 3) = x2 + 3x. Grafy obou funkc´ı je na obr´azku, obvod D je cernˇe, obsah S je modˇre. 30
25
20
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Podobnˇe jako minule u ˇctverce, n´as i nyn´ı budou zaj´ımat inverzn´ı funkce x(D) a x(S). x(D) se urˇc´ı jednoduˇse jako minule vyˇreˇsen´ım line´arn´ı rovnice D = 4x + 6 vzhledem k x. Kdyˇz vyj´adˇr´ıme x z t´eto rovnice dostaneme x = (D − 6)/4. M˚ uˇzeme tedy ps´at x(D) = 0.25D − 1.5, coˇz je zase speci´aln´ı pˇr´ıpad line´arn´ı funkce a grafem je tedy pˇr´ımka. Sloˇzitˇejˇs´ı to bude u funkce x(S). Tady mus´ıme totiˇz ˇreˇsit obecnˇejˇs´ı kvadratickou rovnici ˇ s´ıme neˇz minule u ˇctverce a to S = x2 +3x. Mus´ıme z t´eto rovnice vyj´adˇrit x pomoc´ı S. Reˇ 2 vlastnˇe tuto kvadratickou rovnici x + 3x − S = 0, kde S je parametr, to znamen´a, ˇze pro n´as to nen´ı promˇenn´a, ale konstanta. Nakonec po u ´prav´ach dostaneme x2 + 3x − S = 0 √ −3 + − 9 + 4S x = 2 √ x = −1.5 + −0.5 9 + 4S Nyn´ı mus´ıme vybrat spr´avnˇe + nebo - ve vzorci. Kdybychom vzali -, dostali bychom z´aporn´a x a to nen´ı moˇzn´e, protoˇze d´elka strany x mus´ı b´ yt kladn´a. Proto vezmeme ve vzorci +. Tedy inverzn´ı funkce k obsahu je √ x(S) = −1.5 + 0.5 9 + 4S Obˇe inverzn´ı funkce jsou na obr´azku. Inverzn´ı funkce je vˇzdy nakreslena ˇcervenˇe. 12
14
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
0
2
4
6
8
10
12
14
14
12
10
8
6
4
2
0
1.3.2
Obd´ eln´ıky s konstantn´ım obvodem
Uvaˇzujme nyn´ı jin´ y pˇr´ıklad a to: zaj´ımaj´ı n´as obsahy vˇsech obd´eln´ık˚ u, jejichˇz obvod D je konstatn´ı a je roven 5cm. Jak v´ıme, plat´ı D(x, y) = 2x + 2y a S(x, y) = xy. Za D dosad´ıme do prvn´ı rovnice 5, vyj´adˇr´ıme y a dosad´ıme do vztahu pro obsah. D(x, y) = 2x + 2y S(x, y) = xy 5 = 2x + 2y S(x) = x(2.5 − x) y = 2.5 − x S(x) = 2.5x − x2 Obˇe strany obd´eln´ıku nesm´ı b´ yt z´aporn´e, tedy x > 0, y > 0. Tedy 2.5 − x > 0 odtud x < 2.5 a d´ale x > 0, odtud m´ame x ∈ (0, 2.5). Graf S(x) je na obr´azku.
13
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Vid´ıme, ˇze grafem je ˇc´ast obr´acen´ı paraboly. To znamen´a, ˇze obd´eln´ıky se stejn´ ym obvodem maj´ı r˚ uzn´e obsahy a nˇejak´ y obd´eln´ık m´a obsah maxim´aln´ı. To je takov´ y obd´eln´ık, kter´ y m´a stranu rovnu xmax , ve kter´em m´a parabola vrchol, tj. S(xmax ) = Smax . Obecnˇe bod, ve kter´em leˇz´ı maximum funkce m˚ uˇzeme urˇcit pomoc´ı derivace funkce S(x) a nalezen´ım nulov´eho bodu. To si nyn´ı uk´aˇzeme. Derivace je uvedena v pozdˇejˇs´ı kapitole, ale tady ji uˇz vyuˇzijeme v jednoduch´ ych pˇr´ıkladech. S(x) ′ S (x) ′ S (x) 2.5 − 2x x
= = = = =
2.5x − x2 2.5 − 2x 0 0 1.25
Tedy xmax = 1.25, Smax = S(xmax ) = 2.5 · 1.25 − 1.252 = 1.5625. Odtud tedy plyne, ze funkce S nab´ yv´a hodnoty v intervalu (0, 1.5625). To se naz´ yv´a obor hodnot funkce S. Tedy funkce S m´a definiˇcn´ı obor (0, 2.5) a obor hodnot (0, 1.5625). D´ıky tomu, ˇze grafem je parabola, nav´ıc je symetrick´a na intervalu (0, 2.5), m˚ uˇzeme z toho usoudit bez pouˇzit´ı derivace, ˇze xmax je v polovinˇe tohoto intervalu, tedy v bodˇe 1.25. Vypoˇctˇeme jeˇstˇe druhou stranu tohoto maxim´aln´ıho obd´eln´ıku ymax = 2.5 − xmax = 2.5 − 1.25 = 1.25 Je to tedy ˇctverec o stranˇe 1.25. Tedy mezi vˇsemi obd´eln´ıky s konstantn´ım obvodem D=5 cm existuje jeden, kter´ y m´a maxim´aln´ı obsah a t´ım je ˇctverec o stranˇe 1.25. ˇ Ze tam je maximum vid´ıme z grafu. Pokud bychom graf neznali tˇreba kv˚ uli sloˇzitosti, ′′ ovˇeˇr´ıme maximum ze znam´enka druh´e derivace. Pokud bude S (1.25) z´aporn´e, je tam lok´aln´ı a v naˇsem pˇr´ıpadˇe i glob´aln´ı maximum. ′′
′′
S (x) = −2 < 0 ⇒ S (1.25) = −2 < 0 Tedy je tam opravdu maximum. Jak bude vypadat inverzn´ı funkce x(S)? Tady se n´am objevuje probl´em v tom, ˇze pro dan´ y konkr´etn´ı obsah, oznacme ho S ∗ , pokud je samozˇrejmˇe z oboru hodnot (0, 1.5625), 14
existuj´ı dvˇe hodnoty x, tedy x1 , x2 , tak, ˇze plat´ı S(x1 ) = S ∗ a S(x2 ) = S ∗ . Napˇr. zvolme obsah S = 1.2 cm2 . Pt´ame se, jak´e obd´eln´ıky maj´ı tento obsah? To vede na u ´lohu ˇreˇsit kvadratickou rovnici S = 2.5x − x2 vzhledem k x, kde za S dosad´ıme 1.2. 1.2 = 2.5x − x2 x2 − 2.5x + 1.2 = 0 √ 2.5 + − 2.52 − 4 · 1 · 1.2 x = 2 x1 = 1.852 (+) x2 = 0.648 (−)
Dostali jsme dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 0.648, x2 = 1.852, to znamen´a, ˇze S(0.648) = 1.2 a S(1.852) = 1.2. Inverzn´ı funkce by byla tedy dvojznaˇcn´a a my poˇzadujeme, aby kaˇzd´a funkce byla jednoznaˇcn´a. ˇr´ık´ame tomu, ˇze funkce S(x) nen´ı prost´a na intervalu (0, 2.5). Z grafu to pozn´ame jednoduˇse tak, ˇze existuje pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou x tak, ˇze prot´ın´a graf naˇs´ı funkce ve v´ıce neˇz jednom bodˇe. A to se tady dˇeje. V urˇcit´em intervalu pˇr´ımky rovnobˇeˇzn´e s osou x prot´ınaj´ı parabolu ve dvou bodech. Toho se mus´ıme zbavit a udˇel´ame to tak, ˇze parabolu rozdˇel´ıme na dvˇe ˇc´asti uprostˇred, aby kaˇzd´a ˇc´ast t´eto paraboly uˇz prost´a byla. Mus´ıme tedy rozdˇelit funkci S(x) na dvˇe ˇc´asti a spoˇc´ıtat inverzn´ı funkci pro kaˇzdou ˇca´st zvl´aˇst’. Pak uˇz budou tyto inverzn´ı funkce jednoznaˇcn´e. V naˇsem pˇr´ıpadˇe to znaˇc´ı vz´ıt funkci S(x) na intervalu (0, 1.25) a zjistit inverzn´ı funkci a pak vz´ıt S(x) na intervalu (1, 25, 2, 5) a spoˇc´ıtat druhou inverzn´ı funkci. Ted’ je tˇreba odvodit obecnˇe inverzn´ı funkci x(S) k funkci S(x) na intervalu (0, 1.25). K tomu je tˇreba ˇreˇsit kvadratickou rovnici jako v´ yˇse jen s t´ım rozd´ılem ˇze S je parametr. 2 Tedy ˇreˇs´ıme rovnici 2.5x − x = S vzhledem k x. 1.S = 2.5x − x2 x2 − 2.5x + S = 0 √ 2.5 + − 2.52 − 4S x = 2 √ x = 1.25 + −0.5 6.25 − 4S Ted’ je tˇreba vybrat v tomto vztahu spr´avnˇe + nebo −. Protoˇze jsme omezili S(x) na interval (0, 1.25) mus´ıme vybrat −, aby definiˇcn´ı obor funkce x(S) byl (0, 1.25). Stejnˇe jako jsme spoˇc´ıtali v´ yˇse pro S = 1.2 dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 0.648 a x2 = 1.852, pak x1 jsme spoˇc´ıtali s − a x2 s +. Protoˇze 0.648 padne do intervalu (0, 1.25) mus´ıme vz´ıt n´aˇs vztah s −. Tedy inverzn´ı funkce je √ x(S) = 1.25 − 0.5 6.25 − 4S Na obr´azku je graf S(x) a jej´ı inverzn´ı funkce x(S).
15
2
1.8
1.6 S(x)
1.4
1.2
1
0.8
0.6 x(S) 0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Nyn´ı sestroj´ıme druhou inverzn´ı funkci k S(x), tentokr´at na intervalu (1.25, 2.5). Uˇz ji vlastnˇe m´ame sestrojenou, je to funkce x(S) ale nyn´ı s +. √ x(S) = 1.25 + 0.5 6.25 − 4S 3
2.5
x(S)
2
1.5
1
S(x)
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe ale plat´ı takov´a zaj´ımavost. Pokud si totiˇz ty dva obd´eln´ıky, kter´e jsme vypoˇcetli pro S = 1.2 nakresl´ıte, zjist´ıte, ˇze jsou naprosto totoˇzn´e. Proˇc je tomu tak? Vypl´ yv´a to z toho, ˇze druh´a strana v obd´eln´ıku je y = 2.5 − x. Odtud plyne, ˇze y1 = 2.5−x1 = 2.5−0.648 = 1.852, takˇze prvn´ı obd´eln´ık m´a strany x1 = 0.648, y1 = 1.852. V druh´em obd´eln´ıku dostaneme, ˇze y2 = 2.5 − x2 = 2.5 − 1.852 = 0.648, tedy druh´ y obd´eln´ık m´a strany x2 = 1.852, y2 = 0.648. Tedy oba dva obd´eln´ıky jsou stejn´e, jenom maj´ı prohozen´e strany, coˇz pro n´as nehraje roli. Proto n´am staˇc´ı uvaˇzovat funkci S pouze na intervalu (0, 1.25) nebo pouze na intervalu (1.25, 2.5) a obs´ahneme vˇsechny moˇzn´e pˇr´ıpady. V jin´ ych pˇr´ıpadech ale toto platit nemus´ı a budeme muset uvaˇzovat vˇsechny inverzn´ı funkce.
16
1.3.3
Obd´ eln´ıky s konstantn´ım obsahem
Uvaˇzujme vˇsechny obd´eln´ıky s konstantn´ım obsahem S = 5 cm2 a zaj´ım´a n´as, jak vypadaj´ı obvody tˇechto obd´eln´ık˚ u. Jak v´ıme, plat´ı D(x, y) = 2x + 2y a S(x, y) = xy. Za S dosad´ıme do druh´e rovnice 5, vyj´adˇr´ıme y a dosad´ıme do vztahu pro obsah. D(x, y) = 2x + 2y S(x, y) = xy D(x) = 2x + 2 x5 5 = xy 10 D(x) = 2x + x y = x5 Tedy funkce, kterou budeme nyn´ı zkoumat je 10 x Tato funkce je definov´ana pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla kromˇe nuly, protoˇze nem˚ uˇzeme dˇelit nulou. Ale v naˇsem pˇr´ıpadˇe nem˚ uˇze b´ yt strana obd´eln´ıku x z´aporn´a, proto uvaˇzujeme D(x) pro x > 0. K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot D(x) = 2x +
x 0 1 2 4 5 10 D(x) ∞ 12 9 10.5 12 21
Graf D(x) je na obr´azku. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
2
4
6
8
10
Vid´ıme, ˇze grafem je funkce podobn´a hyperbole a vid´ıme taky, ˇze tato funkce m´a minimum. To znamen´a, ˇze mezi vˇsemi obd´eln´ıky s obsahem 5 cm2 m´a jeden z nich nejmenˇs´ı ′ obvod. Kter´ y, to je urˇc´ıme z derivace D (x). 10 x 10 ′ D (x) = 2 − 2 x ′ D (x) = 0 10 2− 2 = 0 x 2x2 = 10 √ . x = 5 = 2.24 D(x) = 2x +
17
√ √ . Tedy xmin = 2.24, Dmin = D(xmin ) = 2 5 + √105 = 4 5 = 8.94. Odtud tedy plyne, ze funkce D nab´ yv´a hodnoty v intervalu < 8.94, ∞). To je obor hodnot funkce D. Tedy funkce D m´a definiˇcn´ı obor (0, ∞) a obor hodnot < 8.94, ∞). Vypoˇctˇeme jeˇstˇe druhou stranu tohoto minim´aln´ıho obd´eln´ıku ymin =
5 xmin
√ . 5 = √ = 5 = 2.24 5
Je to tedy ˇctverec o stranˇe 2.24. Tedy mezi vˇsemi obd´eln´ıky s konstantn´ım obsahem S = 5 cm2 existuje jeden, kter´ y m´a minim´aln´ı obvod a t´ım je ˇctverec o stranˇe 2.24. ˇ Ze tam je minimum vid´ıme z grafu. Pokud bychom graf neznali tˇreba kv˚ uli sloˇzitosti, ′′ ovˇeˇr´ıme minimum ze znam´enka druh´e derivace. Pokud bude D (2.24) kladn´e, je tam lok´aln´ı a v naˇsem pˇr´ıpadˇe i glob´aln´ı minimum. ′′
D (x) =
20 ′′ ⇒ D (2.24) = 3.99 > 0 2 x
Tedy je tam opravdu minimum. Jak bude vypadat inverzn´ı funkce x(D)? Tady se n´am objevuje probl´em v tom, ˇze pro dan´ y konkr´etn´ı obvod, oznaˇcme ho D∗ , pokud je samozˇrejmˇe z oboru hodnot (8.94, ∞), existuj´ı dvˇe hodnoty x, tedy x1 , x2 , tak, ˇze plat´ı D(x1 ) = D∗ a D(x2 ) = D∗ . Napˇr. zvolme obvod D = 12 cm. Pt´ame se, jak´e obd´eln´ıky maj´ı tento obvod? To vede na u ´lohu ˇreˇsit 10 rovnici D = 2x + x vzhledem k x, kde za D dosad´ıme 12. 10 x 2 2x + 10 0 √ 12 + − 122 − 4 · 2 · 10 4 9.47 (+) x2 = 0.53 (−)
12 = 2x + 12x = 2x − 12x + 10 = 2
x = x1 =
Dostali jsme dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 9.47, x2 = 0.53, to znamen´a, ˇze D(9.47) = 12 a D(0.53) = 12. Inverzn´ı funkce by byla tedy dvojznaˇcn´a a my poˇzadujeme, aby kaˇzd´a funkce byla jednoznaˇcn´a. Funkce D(x) nen´ı prost´a na intervalu (0, ∞). Je tˇreba vz´ıt funkci D(x) na intervalu (0, 2.24) a zjistit inverzn´ı funkci a pak vz´ıt D(x) na intervalu (2.24, ∞) a spoˇc´ıtat druhou inverzn´ı funkci. Ted’ je tˇreba odvodit obecnˇe inverzn´ı funkci x(D) k funkci D(x) na intervalu (0, 2.24). K tomu je tˇreba ˇreˇsit kvadratickou rovnici jako v´ yˇse jen s t´ım rozd´ılem ˇze D je parametr. 10 Tedy ˇreˇs´ıme rovnici D = 2x + x vzhledem k x. 10 x 2x2 + 10 0 √ D + − D2 − 4 · 2 · 10 4 √ 0.25D + −0.25 D2 − 80
D = 2x + Dx = 2x2 − Dx + 10 = x = x(D) =
18
Ted’ je tˇreba vybrat v tomto vztahu spr´avnˇe + nebo −. Protoˇze jsme omezili D(x) na interval (0, 2.24) mus´ıme vybrat −, aby definiˇcn´ı obor funkce x(D) byl (8.94, ∞). Stejnˇe jako jsme spoˇc´ıtali v´ yˇse pro S = 12 dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 9.47 a x2 = 0.53, pak x1 jsme spoˇc´ıtali s − a x2 s +. Protoˇze 0.53 padne do intervalu (0, 2.24) mus´ıme vz´ıt n´aˇs vztah s −. Tedy inverzn´ı funkce je √ x(D) = 0.25D − 0.25 D2 − 80 Na obr´azku je graf D(x) modˇre a jej´ı inverzn´ı funkce x(D) ˇcervenˇe. 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
20
Nyn´ı sestroj´ıme druhou inverzn´ı funkci k D(x), tentokr´at na intervalu (2.24, ∞). Uˇz ji vlastnˇe m´ame sestrojenou, je to funkce x(D) ale nyn´ı s +. √ x(D) = 0.25D + 0.25 D2 − 80 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
20
V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe ale plat´ı takov´a zaj´ımavost, se kterou jsme se uˇz setkali v minul´em pˇr´ıkladu s obd´eln´ıky s konstantn´ım obvodem. Pokud si totiˇz ty dva obd´eln´ıky, kter´e jsme vypoˇcetli pro D = 12 nakresl´ıte, zjist´ıte, ˇze jsou naprosto totoˇzn´e. Proˇc je tomu tak? Vypl´ yv´a to z toho, ˇze druh´a strana v obd´eln´ıku je y = x5 . Odtud 5 = 0.53, takˇze prvn´ı obd´eln´ık m´a strany x1 = 9.47, y1 = 0.53. plyne, ˇze y1 = x51 = 9.47 19
5 = 9.43, tedy druh´ y obd´eln´ık m´a V druh´em obd´eln´ıku dostaneme, ˇze y2 = x52 = 0.53 strany x2 = 0.53, y2 = 9.43. Tedy oba dva obd´eln´ıky jsou stejn´e (odchylka je zp˚ usobena numerick´ ym zaokrouhlov´an´ım), jenom maj´ı prohozen´e strany, coˇz pro n´as nehraje roli. Proto n´am staˇc´ı uvaˇzovat funkci D pouze na intervalu (0, 2.24) nebo pouze na intervalu (2.24, ∞) a obs´ahneme vˇsechny moˇzn´e pˇr´ıpady. V jin´ ych pˇr´ıpadech ale toto platit nemus´ı a budeme muset uvaˇzovat vˇsechny inverzn´ı funkce.
1.3.4
Obd´ eln´ıky, kter´ e maj´ı co do hodnoty stejn´ y obsah jako obvod
Existuj´ı v˚ ubec nˇejak´e takov´e obd´eln´ıky? A kdyˇz ano, kolik jich je a jakou maj´ı spoleˇcnou vlastnost? Tˇemito probl´emy se nyn´ı budeme zab´ yvat. Jak v´ıme, plat´ı D(x, y) = 2x + 2y a S(x, y) = xy. Pro naˇse obd´eln´ıky mus´ı platit, ˇze D = S. Odtud dostaneme z´avislost jedn´e strany obd´eln´ıka na druh´e. Odvod’me ji. D 2x + 2y 2y − xy y(x − 2)
= = = =
S xy −2x 2x 2x y(x) = x−2
K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x 2 3 4 5 6 y(x) ∞ 6 4 3.3 3 Graf y(x) je na obr´azku. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
0
2
4
6
8
10
Tady je vidˇet, ˇze x mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 2, jinak by y bylo nekoneˇcn´e nebo z´aporn´e. Vˇsechny obd´eln´ıky, kter´e tento vztah splˇ nuj´ı, maj´ı obvod i obsah stejn´ y, oznaˇcme tento spoleˇcn´ y v´ yraz jako novou funkci DS DS(x) = D(x) = 2x + 2
2x 2x2 2x = S(x) = x = x−2 x−2 x−2 20
Tedy funkce, kterou budeme nyn´ı zkoumat je DS(x) =
2x2 x−2
K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x 2 3 4 5 6 DS(x) ∞ 18 16 16.7 54 Graf DS(x) je na obr´azku. 25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
Je vidˇet, ˇze funkce DS m´a minimum DSmin . Urˇceme ho pomoc´ı derivace 2x2 DS(x) = x−2 2x2 − 8x (4x)(x − 2) − 2x2 · 1 ′ = DS (x) = (x − 2)2 (x − 2)2 ′
DS 2x2 − 8x (x − 2)2 2x2 − 8x 2x(x − 4)
= 0 = 0
= 0 = 0 xmin = 4
odtud je
2·4 =4 4−2 To je tedy obd´eln´ık, kter´ y m´a stejn´ y obsah jako obvod a nav´ıc nejmenˇs´ı ze vˇsech a je to ˇctverec o stranˇe 4. S = D = 16. To je tedy minimum funkce DS. DSmin = 16. Odtud je vidˇet, ˇze neexistuje obd´eln´ık, kter´ y by mˇel stejn´ y obvod jako obsah s hodnotou menˇs´ı neˇz 16. Funkce y(x) i DS(x) jsou obecnˇe definov´any pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla kromˇe nuly, ukaˇzme si pro zaj´ımavost jejich grafy. Funkce y(x). ymin = y(xmin ) = y(4) =
21
25 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −25 −10
−5
0
5
10
−5
0
5
10
Funkce DS(x). 25 20 15 10 5 0 −5 −10 −15 −20 −25 −10
1.4 1.4.1
´ VALEC V´ alce, kter´ e maj´ı konstantn´ı objem 1 litr
Uvaˇzujme obecnˇe vˇsechny v´alce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v takov´e, ˇze jejich objem je jeden litr, tj. V (r, v) = 1 dm3 . Zaj´ım´a n´as, jak´e maj´ı takov´e v´alce povrch a zda je mezi nimi takov´ y, kter´ y m´a nejmenˇs´ı povrch P (r, v), pokud takov´ y v´alec v˚ ubec existuje. Pro 2 2 objem plati V (r, v) = πr v a povrch plat´ı P (r, v) = 2πr + 2πrv. Mus´ıme vyj´adˇrit povrch P v z´avislosti pouze na polomˇeru r nebo pouze na v´ yˇsce v. V (r, v) = πr2 v 1 = πr2 v 1 . 0.32 = 2 v = πr2 r
22
Dosad’me nyn´ı v do funkce pro povrch P . P (r, v) = 2πr2 + 2πrv 1 P (r) = 2πr2 + 2πr πr 2 2 . 2 P (r) = 2πr + = 6.28r2 + r r Nakresle nyni graf P (r) pro r > 0. r P (r)
0 0.1 0.3 0.5 ∞ 20.1 7.2 5.6
0.7 1 2 ∞ 5.9 8.3 26.1 ∞
30
25
P(r)
20
15
10
5
0
MIN[0.54,5.53]
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Z grafu je vidˇet, ˇze funkce P (r) m´a v nˇejak´em bodˇe, oznaˇcme ho rmin , minimum´aln´ı hodnotu Pmin . To znamen´a, ˇze opravdu existuje v´alec s podstavou o polomˇeru rmin a v´ yˇsce vmin , kter´ y m´a nejmenˇs´ı povrch mezi vˇsemi v´alci o objemu 1 litr. Naˇs´ım u ´kolem nyn´ı bude hodnoty rmin a Pmin naj´ıt a k tomu vyuˇzijeme pojmu derivace, protoˇze je vidˇet, ˇze rmin bude nulov´ y bod derivace P (r). Spoˇctˇeme tedy derivaci funkce P (r) a najdˇeme jej´ı nulov´ y bod. ¶ µ 2 2 ′ = 12.56r2 − 2 = 0 P (r) = 6.28r2 + r r 2 12.56r = 2 r 2 r3 = 12.56 √ 3 r = 0.16 r = 0.54 = rmin Spoˇctˇeme ted’, jak´ y povrch m´a dan´ y v´alec, jak´ y je minim´aln´ı povrch mezi vˇsemi povrchy. 2 = 5.53 dm2 Pmin = P (rmin ) = P (0.54) = 6.28 · 0.542 + 0.54 Zb´ yv´a jeˇstˇe zjistit pˇr´ısluˇsnou v´ yˇsku tohoto v´alce vmin 0.32 0.32 = 1.1 vmin = 2 = rmin 0.542 23
1.4.2
V´ alce, kter´ e maj´ı konstantn´ı povrch 10 dm2
Uvaˇzujme obecnˇe vˇsechny v´alce o polomˇeru podstavy r a v´ yˇsce v takov´e, ˇze jejich objem 2 je jeden povrch, tj. P (r, v) = 10 dm . Zaj´ım´a n´as, jak´e maj´ı takov´e v´alce objemy a zda je mezi nimi takov´ y, kter´ y m´a extr´emn´ı objem, tj. nejvˇetˇs´ı nebo nejmenˇs´ı. Pro objem plati V (r, v) = πr2 v a povrch plat´ı P (r, v) = 2πr2 + 2πrv. Mus´ıme vyj´adˇrit povrch V v z´avislosti pouze na polomˇeru r nebo pouze na v´ yˇsce v. P (r, v) = 2πr2 + 2πrv 10 = 2πr2 + 2πrv 5 = πr2 + πrv 5 − πr2 v(r) = πr Dosad’me nyn´ı v do funkce pro objem V . V (r, v) = πr2 v 2 2 5 − πr V (r) = πr πr V (r) = r(5 − πr2 ) V (r) = 5r − πr3 Protoˇze objem V mus´ı b´ yt kladn´ y a polomˇer r rovnˇeˇz, mus´ı b´ yt definiˇcn´ı obor objemu V(r) takov´ y, ˇze r ∈ (0, 1.26). Vypl´ yv´a to z t´eto nerovnice. r1 , r2 jsou nulov´e body t´eto nerovnice, dosazen´ım se zjist´ı, ˇze ˇreˇsen´ı je interval r ∈ (0, 1.26). V (r) > 0 5r − πr3 > 0 r1 = 0,
r2 =
s
5 . = 1.26 π
Nakresle nyni graf V (r) pro r ∈ (0, 1.26) r 0 0.5 1 1.26 V (r) 0 2.11 1.86 0
24
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Z grafu je vidˇet, ˇze funkce V (r) m´a v nˇejak´em bodˇe, oznaˇcme ho rmax , maxim´aln´ı hodnotu Vmax . To znamen´a, ˇze opravdu existuje v´alec s podstavou o polomˇeru rmax a v´ yˇsce vmax , kter´ y m´a nejvˇetˇs´ı objem mezi vˇsemi v´alci s povrchem 10 dm2. Naˇs´ım u ´kolem nyn´ı bude hodnoty rmax a Vmax pomoc´ı derivace. 5r − πr3 5 − 3πr2 0 0 s 5 . r = = 0.73 = rmax 3π
V (r) ′ V (r) ′ V 5 − 3πr2
= = = =
Spoˇctˇeme ted’, jakou v´ yˇsku vmax a objem Vmax m´a dan´ y v´alec. vmax
5 − π0.732 = 1.45 = v(rmax ) = v(0.73) = π0.73
Vmax = V (rmax ) = P (0.73) = 5 · 0.73 − π0.733 = 2.43 dm3 Graf funkce V (r) na cel´e re´aln´e ose
25
10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −3
1.4.3
−2
−1
0
1
2
3
V´ alce, kter´ e maj´ı co do hodnoty stejn´ y objem jako povrch
Ot´azka je, zda takov´e v´alce v˚ ubec existuj´ı a pokud ano, kolik jich je a jak´e maj´ı vlastnosti. tedy tyto v´alce mus´ı spˇ novat rovnici V = P . Odtud odvod´ıme jak z´avis´ı v´ yˇska v v´alce na jeho polomˇeru r. V πr v rv rv − 2v v(r − 2)
P 2πr2 + 2πrv 2r + 2v 2r 2r 2r v(r) = r−2 2
= = = = =
Oznaˇcme spoleˇcnou funkci pro povrch P a objem V jako P V . 2r 2πr3 2r = V (r) = πr2 = r−2 r−2 r−2 Tedy funkce, kterou budeme nyn´ı zkoumat je P V (r) = P (r) = 2πr2 + 2πr
P V (r) =
2πr3 r−2
K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot r 2 2.1 3 4 5 6 v(r) ∞ 4.2 6 4 3.33 3 P V (r) ∞ 581.9 169.6 201.1 259.2 339.3 Grafy y(r) ˇcernˇe, P V (r) modˇre jsou na obr´azku.
26
400 350 300 250 200 150 100 50 0
0
1
2
3
4
5
6
Tady je vidˇet, ˇze r mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 2, jinak by y a P V bylo nekoneˇcn´e nebo z´aporn´e. Z grafu je vidˇet, ˇze funkce P V (r) m´a v nˇejak´em bodˇe, oznaˇcme ho rmin , minim´aln´ı hodnotu P Vmin . To znamen´a, ˇze existuje v´alec s podstavou o polomˇeru rmin a v´ yˇsce vmin , kter´ y m´a nejmenˇs´ı objem a povrch a nav´ıc se tento objem a povrch rovnaj´ı co do hodnoty. Naˇs´ım u ´kolem nyn´ı bude hodnoty rmin a P Vmin naj´ıt pomoc´ı derivace. 2πr3 r−2 6πr2 (r − 2)2πr3 · 1 ′ P V (r) = (r − 2)2 P V (r) =
′
PV 2 6πr (r − 2)2πr3 6πr3 − 12πr2 − 2πr3 4πr2 (r − 3) r
= = = = =
0 0 0 0 3 = rmin
Spoˇctˇeme ted’, jakou v´ yˇsku vmin a objem-povrch P Vmin m´a dan´ y v´alec. vmin = v(rmin ) = v(3) =
2·3 =6 3−2
2π33 = 169.6 dm3 P Vmin = P V (rmin ) = P V (3) = 3−2 Grafy funkc´ı V(r) modˇre a v(r) ˇcernˇe na sv´ ych maxim´aln´ıch definiˇcn´ıch oborech
27
400
300
200
100
0
−100
−200 −6
−4
−2
0
2
4
6
Je vidˇet, ˇze funkce P V nem´a v 0 extr´em, ale inflexn´ı bod.
1.5 1.5.1
´ A CYKLOMETRICKE ´ FUNKCE GONIOMETRICKE ´ Uhel
´ Uhel se mˇeˇr´ı ve stupn´ıch nebo radi´anech. Vˇsude d´ale v matematice ve v´ ypoˇctech je tˇreba vˇzdy poˇc´ıtat v radi´anech. Pouze tehdy, pokud je tˇreba lepˇs´ı n´azornosti, uv´adˇej´ı se koneˇcn´e v´ ysledky ve stupn´ıch, protoˇze si ˇclovˇek l´epe dan´ yu ´hel pˇredstav´ı. Jestliˇze α je oznaˇcen´ı α = πx . Odtud ve stupn´ıch a x je oznaˇcen´ı v radi´anech, pak plat´ı tento pˇrevodn´ı vztah 180 x α α(stupne) = π · 180 a x(radiany) = 180 · π Napˇr. mˇejme u ´hel α = 35 stupˇ n˚ u, pak od35 ´hel x = 0, 31 pov´ıdaj´ıc´ı velikost v radianech je x = 180 π = 0.61 radianu. Opaˇcnˇe mˇejme u 0.31 radianu, pak odpov´ıdaj´ıc´ı u ´hel ve stupn´ıch je α = π · 180 = 17.8 stupˇ n˚ u. 1.5.2
Goniometrick´ e funkce a pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık
Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık je takov´ y troj´ uheln´ık, kter´ y m´a jeden u ´hel prav´ y, tj 90 stupˇ n˚ u nebo π = 1.57 radianu. Dvˇ e menˇ s ´ ı strany se naz´ y vaj´ ı odvˇ e sny a znaˇ c ´ ıme je a, b, nejdelˇ s ´ ı strana 2 ´ se naz´ yv´a pˇrepona a znaˇc´ı se c. Uhel u strany a oznaˇc´ıme α, u ´hel u strany b oznaˇc´ıme β. V 2 2 2 pavo´ uhl´em troj´ uheln´ıku . Obvod D(a, b, c) = a + b + c, √ plat´ı Pythagorova vˇeta a + b = c √ 2 2 . ale protoˇze c(a, b) = a + b ,pak m´ame D(a, b) = a + b + a2 + b2 , obsah S(a, b) = a·b 2 Necht’ m´ame pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık o stran´ach a1 , b1 , c1 . Necht’ α je pevn´ y u ´hel, kter´ y nebudeme mˇenit. Vytvoˇrme protaˇzen´ım stran a1 , c1 nov´e pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky o stran´ach a2 , b2 , c2 − a3 , b3 , c3 − .... Tyto troj´ uheln´ıky jsou podobn´e, proto plat´ı ˇze pomˇery b1 = cb22 = cb33 = ... a oznaˇcme v´ ysledek tohoto pomˇeru jako sin(α), to znamen´a jako nˇejakou c1 funkci promˇenn´e α s n´azvem sin-ˇcteme sinus, podobnˇe jako jsme znaˇcili funkci pro obsah S. Pro r˚ uzn´e α dost´av´ame jin´ y pomˇer, tj. jinou hodnotu sin(α), α je samozˇrejmˇe z intervalu (0, 1.57) pokud m´ame jednotky radiany nebo (0, 90) pokud jsou jednotky stupnˇe. Jinak bychom troj´ uheln´ık nesestrojili. Podobnˇe mejme pomˇery ac11 = ac22 = ac33 = ... a oznaˇcme v´ ysledek tohoto pomˇeru cos(α)-ˇcteme kosinus, ab11 = ab22 = ab33 = ... a oznaˇcme v´ ysledek tohoto pomˇeru jako tan(α)-ˇcteme tangens, taky se znaˇc´ı tg. A opaˇcn´ y pomer a1 a2 a3 = b2 = b3 = ... tento pomˇer oznaˇc´ıme cot(α)-ˇcteme kotangens, znaˇc´ı se taky cotg. b1 Grafy jsou uveden´e na obr´azku. 28
2 cotg(x)
1.8
tg(x) 1.6
1.4
1.2 cos(x)
sin(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Uvaˇzujme pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık, kter´ y m´a√ odvˇesny o √ velikosti a = 2 a b = 5. Pak 2 2 pˇrepona c je z Pythagorovy vˇety rovna c = 2 + 5 = 29 = 5.4. Ted’ potˇrebujeme a b √5 vypoˇc´ıtat vnitˇrn´ı u ´hly. Podle pˇredchoz´ıho plat´ı, ˇze sin(α) = protilehl´ pˇrepona = c = 29 = 0.93. M´ame tedy rovnici sin(α) = 0.93 a odtud potˇrebuju spoˇc´ıtat α. K tomu ale potˇrebuju zn´at inverzn´ı funkci k funkci sinus. Obecnˇe, kdyˇz m´am ˇreˇsit rovnici f (x) = y, pak ˇreˇsen´ı x se d´a naj´ıt pomoc´ı inverzn´ı funkce f −1 a to x = f −1 (y). Pokud ale f je vˇsude prost´a, potom rovnice m´a nanejv´ yˇs jedno ˇreˇsen´ı, inverzn´ı funkce je jednoznaˇcn´a. Jestliˇze f nen´ı prost´a, je potˇreba ji rozdˇelit na ˇc´asti, na kter´ ych uˇz bude prost´a a ke kaˇzd´e t´eto ˇc´asti sestrojit zvl´aˇst’ inverzn´ı funkci. To jsme uˇz dˇelali dˇr´ıve v nˇekter´ ych minul´ ych pˇr´ıkladech. Tedy v naˇsem −1 −1 pˇr´ıpadˇe bude platit, ˇze α = sin (0.93), kde sin znaˇc´ı inverzn´ı funkci k sinus. I kdyˇz tuto funkci zat´ım nezn´ame, m˚ uˇzeme na kalkulaˇcce spoˇc´ıtat, ˇze α = 1.19 radianu nebo 68.2 stupˇ n˚ u. Funkce sin−1 se naz´av´a arkussinus a znaˇc´ı se vˇetˇsinou arcsin. Tato funkce se ned´a vyj´adˇrit pomoc´ı n´am zn´am´ ych element´arn´ıch funkc´ı a proto se mus´ı jej´ı hodnoty poˇc´ıtat podobnˇe jako hodnoty funkce sinus na kalkulaˇcce. Jak jsou tyto funkce naprogranov´any na kalkulaˇcce, to uˇz je jin´a ot´azka. Je to pomoc´ı nekoneˇcn´ ych ˇrad, coˇz budeme prob´ırat pozdˇeji. Podobn´ ym zp˚ usobem jsou definovany inverzn´ı funkce k ostatn´ım goniometrick´ ym funkc´ım a to funkce arccos-arkuskosinus jako inverzn´ı ke kosinu, arctan-arcustangens jako inverzn´ı k tangens a arccot=arkuskotangens jako inverzn´ı ke kotengens. Tady jsou jejichm grafy. Tyto inverzn´ı funkce se naz´ yvaj´ı cyklometrick´e funkce.
29
2
1.8
1.6 arcsin(x) 1.4
1.2
1 sin(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
1.6
1.8
2
1.8
2
2
1.8
1.6 arccos(x) 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
cos(x)
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
2 tan(x) 1.8
1.6
1.4
1.2
1 arctan(x) 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
1.2
1.4
1.6
2 cotg(x) 1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8 arccotg(x)
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Goniometrick´e funkce se vyskytuj´ı v mnoha dalˇs´ıch situac´ıch, kter´e nemaj´ı s troj´ uheln´ıkem pˇr´ımo nic spoleˇcn´e, napˇr. pˇri popisu kmit´an´ı kyvadla. Proto se tyto funkce pˇrirozen´ ym zp˚ usobem rozˇs´ıˇr´ı ze sv´eho p˚ uvodn´ıho definiˇcn´ıho oboru (0, 1.57) na celo re´alnou osu. Viz. grafy cotg(x)
6
tg(x)
4
2 sin(x)
cos(x)
0
−2
−4
−6 −6
−4
−2
0
31
2
4
6
4
3
arccotg(x)
arccos(x)
2
1
0
−1
arctg(x) arcsin(x)
−2
−3
−4 −4
1.6 1.6.1
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
´ ´ TROJUHELN ´ ´IK PRAVOUHL Y Pravo´ uhl´ e troj´ uheln´ıky, kter´ e maj´ı pˇ reponu rovnou 2
Uvaˇzujme vˇsechny pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı pˇreponu rovnou 2. Zaj´ımaj´ı n´as obvody a obsahy tˇechto troj´ uheln´ık˚ u. Oznaˇcme tedy velikost √ jedn´e odvˇesny jako x, velikost druh´e odvˇesny uˇz plyne z Pythagorovy vˇety a je rovna 4 − x2 . Obvod a obsah m˚ uˇzeme tedy ch´apat jako funkce promˇenn´e x, tj. D(x) jako souˇcet velikost´ı tˇr´ı stran a S(x) podle vztahu pro obsah pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka S = 12 a · b, kde a, b jsou velikosti odvˇesen. √ D(x) = 2 + x + 4 − x2 √ S(x) = 0.5x 4 − x2
Definiˇcn´ı√obory tˇechto funkc´ı plynou z toho, ˇze velikost stran mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz nula, tedy x > 0 a 4 − x2 > 0. Z druh´e nerovnice plyne, ˇze 4 − x2 > 0, protoˇze pod odmocninou nem˚ uˇze b´ yt z´aporn´e ˇc´ıslo a odtud plyne, ˇze |x| < 2, tj. x ∈ (−2, 2), kdyˇz udˇel´ame pr˚ unik s prvn´ı podm´ınkou x > 0, dostaneme definiˇcn´ı obor x ∈ (0, 2) K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x 0 0.5 1 1.5 2 D(x) 4 4.44 4.47 4.82 4 S(x) 0 0.48 0.87 0.99 0 Grafy funkc´ı modˇre D a ˇcervenˇe S jsou na obr´azku
32
6
5
4
y3
2
1
0 0
0,5
1
1,5 x
2
2,5
3
Je vidˇet, ˇze obˇe funkce jak obvod D, tak obsah S maj´ı pro urˇcit´e x maxim´aln´ı hodnotu a vypad´a to, ˇze to je ve stejn´em bodˇe, ale dok´aˇzeme si to pˇresnˇe. V´ ypoˇcet bodu, ve kter´em nab´ yvaj´ı funkce D a S maxima, provedeme jako obvykle pomoc´ı jejich derivac´ı. Nejdˇr´ıve obvod D. √ D(x) = 2 + x + 4 − x2 1 1 x ′ D (x) = 1 + (4 − x2 )− 2 · (−2x) = 1 − √ 2 4 − x2 ′ D (x) = 0 x = 0 1− √ 4 − x2 √ 4 − x2 x = x2 = 4 − x2 2x2 = 4 √ . 2 = 1.41 x = √ Tedy D nab´ yv´a sv´eq ho maxima pro xmax = 2 a jeho hodnota je Dmax = D(xmax ) = √ √ √ √ D( 2) = 2 + 2 + 4 − ( 2)2 ) = 2 + 2 2 = 4.83 Nyn´ı to sam´e provedeme pro funkci S. √ S(x) = 0.5x 4 − x2 √ 1 2 − x2 1 ′ S (x) = 0.5 4 − x2 + 0.5x (4 − x2 )− 2 · (−2x) = √ 2 4 − x2 ′ S (x) = 0 √ f rac2 − x2 4 − x2 = 0 2 − x2 = 0 33
x =
√
. 2 = 1.41
√ 2 a jeho hodnota je Smax = Tedy S nab´ yv´a sv´eho maxima stejnˇ e jako D pro x = max √ q √ √ 2 uhl´ ym troj´ uheln´ıkem je S(xmax ) = S( 2) = 0.5 2 4 − ( 2) ) = 1 Maxim´aln´ım pravo´ √ tedy rovnoramenn´ y pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık s pˇreponou rovnou 2 a odvˇesnami rovn´ ymi 2. Jak vypadaj´ı inverzn´ı funkce x(D) a x(S)? Nejdˇr´ıve zkonstruujeme inverzn´ı funkci k obvodu x(D). Z grafu je vidˇet, ˇze funkce D(x) nen´ı prost´a a proto by inverzn´ı funkce byla dvojznaˇcn´a. Proto mus´ıme rozdˇelit funkci D(x) na dvˇe ˇc´asti, ve kter´ ych uˇz bude prost´a a√pro kaˇzdou ˇc´ast irˇc´ıme jej´ı inverzn´ı funkci. Omez´ıme √ se nejdˇr´ıve na interval pro x ∈ (0, 2). Jako obvykle mus´ıme vyˇreˇsit rovnici D = 2 + x + 4 − x2 vzhledem k x, kde D bereme jako parametr, tj. konstantu. √ D = 2 + x + 4 − x2 √ 4 − x2 D−2−x = (D − 2 − x)2 = 4 − x2 2x2 − 2(D − 2)x + (D − 2)2 − 4 = 0 x = x =
q
(2(D − 2) + − 4(D − 2)2 − 4 · 2((D − 2)2 − 4)) 4 (2D − 4) + − 32 − 4(D − 2)2 ) q
4q x = 0.5D − 1 + −0.5 8 − (D − 2)2
Nyn´ı mus´ıme zjistit, jestli pro naˇsi inverzn´ı funkci vyhovuje + nebo −. To udˇel´ame nejl´epe zkusm´ ym v´ ypoˇctem pro nˇejakou konkr´etn´ı hodnotu. Funkce D(x) nab´ yv´a hodnot z intervalu (4, 4.828). Zvolme napˇr. hodnotu D = 4.5 a zjistˇeme pro kter´a x plat´ı D(x) = 4.5. Dosad’me D = 4.5 do vztahu pro x = ..., dostaneme dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 0.59 pro pouˇ zit´ı − ve vztahu a x2 = 1.91 pro pouˇzit´ı + ve vzorci. My ale uvaˇzuje x z intervalu √ (0, 2) = (0, 1.41), do tohoto intervalu n´aleˇz´ı pouze x1 = 0.59, tedy pro n´aˇs pˇr´ıpad mus´ıme ve vztahu pro inverzn´ı funkci pouˇz´ıt −. Tvar inverzn´ı funkce je tedy takov´ y q
x(D) = 0.5D − 1 − 0.5 8 − (D − 2)2 pro D ∈ (4, 4.828) Tady jsou grafy D(x) a x(D)
34
5 4.5
D(x)
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 x(D) 0.5 0
0
1
2
3
4
5
√ Nyn´ı sestroj´ıme inverzn´ı funkci k druh´e ˇc´asti funkce D(x) na intervalu x ∈ ( 2, 2). Staˇc´ı pouze vz´ıt n´aˇs odvozen´ y vzorec s +. Inverzn´ı funkce m´a tedy tvar q
x(D) = 0.5D − 1 + 0.5 8 − (D − 2)2 pro D ∈ (4, 4.828). Tady jsou zm´ınˇen´e grafy. 5 D(x) 4.5 4 3.5 3 2.5 x(D) 2 1.5 1 0.5 0
0
1
2
3
4
5
Podobnˇe se bude odvozovat inverzn´ı funkce pro obsah x(S). Zase √ √ S nen´ı prost´a funkce, proto provedeme omezen´ı na interval (0, 2). Z rovnice S = 0.5x 4 − x2 je tˇreba vyj´adˇrit x v z´avislosti na S, tj. x(S)¨ √ S = 0.5x 4 − x2 √ S 2 = 0.25x 4 − x2 4S 2 = 4x2 − x4 x4 − 4x2 + 4S 2 = 0
35
Po u ´pravˇe dostaneme rovnici ˇctvrt´eho stupnˇe x4 − 4x2 + 4S 2 = 0, kterou je tˇreba ˇreˇsit substituc´ı x2 = t. Dostaneme kvadratickou rovnici t2 − 4t + 4S 2 = 0 √ 4 + − 16 − 16S 2 t = √2 t = 2 + −2 1 − S 2 Vr´at´ıme se zp´atky k promˇenn´e x. x=
√
t=
q
√ 2 + −2 1 − S 2
Nyn´ı je tˇreba zase rozhodnout, zda se pouˇzije + nebo −. To je tˇreba zjistit zkusmo. Vemme napˇr. S = 0.5 a hledejme x tak, aby S(x) = 0.5. Pouˇzit´ım vzorce dostaneme √ dvˇe ˇreˇsen´ı x1 = 0.52 a x2 = 1.93. Ale pouze hodnota x2 = 1.93 padne do intervalu (0, 2) a ta byla vypoˇctena s pomoc´ı −. Proto pro funkci √ √ S(x) = 0.5x 4 − x2 , x ∈ (0, 2) je jej´ı inverzn´ı funkce x(S) = Grafy jsou na obr´azku.
q
2−
√
1 − S 2,
x ∈ (0, 1)
2 1.8 1.6 1.4 x(S) 1.2 1 S(x)
0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
Pro funkci
0.5
1
√ S(x) = 0.5x 4 − x2 ,
1.5
√ x ∈ ( 2, 2)
dostaneme inverzni funkci x(S) =
q
2+
√
1 − S 2,
Grafy na obr´azku
36
x ∈ (0, 1)
2
2.5
x(S)
2
1.5
1 S(x)
0.5
0
1.6.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Pravo´ uhl´ e troj´ uheln´ıky, kter´ e maj´ı odvˇ esnu rovnou 2
Uvaˇzujme vˇsechny pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı odvˇesnu rovnou 2. Zaj´ımaj´ı n´as obvody a obsahy tˇechto troj´ uheln´ık˚ u. Oznaˇcme velikost druh´e odvˇesny jako x, velikost √ 2 pˇrepony uˇz plyne z Pythagorovy vˇety a je rovna 4 + x . Obvod a obsah m˚ uˇzeme tedy ch´apat jako funkce promˇenn´e x, tj. D(x) jako souˇcet velikost´ı tˇr´ı stran a S(x) podle vztahu uˇze pro pro obsah pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka S = 12 a · b, kde a, b jsou velikosti odvˇesen. M˚ n´as b´ yt uˇziteˇcn´e i studovat samostatnˇe funkci Pr, kter´a bude ud´avat velikost pˇrepony. √ D(x) = 2 + x + 4 + x2 S(x) = x √ 4 + x2 P r(x) =
Definiˇcn´ı obory tˇechto funkc´ı plynou z toho, ˇze velikost stran mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz nula, √ tedy x > 0 a 4 + x2 > 0. Tato nerovnice je splnˇena pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla. Dostaneme definiˇcn´ı obor x ∈ (0, ∞) K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x D(x) S(x) P r(x)
0 0.5 1 2 3 10 4 4.56 5.24 6.83 8.61 22.20 0 0.5 1 2 3 10 2 2.06 2.24 2.83 3.61 10.20
Grafy funkc´ı modˇre D, ˇcervˇenˇe S a ˇcernˇe P r jsou na obr´azku
37
20
15
10
5
0 0
2
6
4
8
10
x
Je vidˇet, ˇze vˇsechny funkce jsou na sv´em definiˇcn´ım oboru rostouc´ı a nemaj´ı ˇz´adn´e lok´aln´ı extr´emy. Sv´ ych minim´aln´ıch hodnot nab´ yvaj´ı v bodˇe 0, ˇc´ımˇz troj´ uheln´ık degeneruje v u ´seˇcku. Vˇsechny tyto funkce jsou obecnˇe definov´any pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla. Pod´ıvejme se pro zaj´ımavost na jejich grafy
20 15 10 5 0 -10
-5
0 -5
5
10
x
-10
Jak vypadaj´ı inverzn´ı funkce x(D) a x(S)? Nejdˇr´ıve zkonstruujeme inverzn´ı funkci k obvodu x(D). Z grafu je vidˇet, ˇz√ e funkce D(x), x ∈ (0, ∞) je prost´a. Jako obvykle mus´ıme vyˇreˇsit rovnici D = 2 + x + 4 − x2 vzhledem k x, kde D bereme jako parametr, 38
tj. konstantu. √ 2 + x + 4 + x2 √ 4 + x2 4 + x2 4 + x2 4 + x2 4D − D2 4D − D2 , D ∈ (4, ∞) x(D) = 4 − 2D
D D−2−x ((D − 2) − x)2 (D − 2)2 − 2(D − 2)x + x2 D2 − 4D + 4 + (4 − 2D)x + x2 (4 − 2D)x
= = = = = =
Tady jsou grafy D(x) a x(D) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
0
5
10
15
20
Inverzn´ı funkce pro obsah x(S) je u ´plnˇe jednoduch´a a nen´ı tam co odvozovat, protoˇze je totoˇzn´a s funkc´ı S(x). Tedy S(x) = x x(S) = S
1.6.3
Pravo´ uhl´ e troj´ uheln´ıky, kter´ e maj´ı konstantn´ı obvod roven 5
Uvaˇzujme vˇsechny pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı obvod roven 5. cme odvˇesny √ Oznaˇ 2 pravo´ uhl´eho troj´ uheln´ıka x a y. Pˇrepona je z Pythagorovy vˇety rovna x + y 2 . Pro obvod √ 2 a obsah plat´ı tyto vztahy y) = x + y + x + y 2 a S(x, y) = 0.5xy. Oznaˇcme jeˇstˇe √ 2 D(x, 2 pˇreponu P r(x, y) = x + y . Za D dosad´ıme do prvn´ı rovnice 5, vyj´adˇr´ıme y a to pak dosad´ıme do vztahu pro obsah S i do vztahu pro pˇreponu Pr. a dosad´ıme do vztahu pro obsah. D(x, y) = x + y + 5 = x+y+ ((5 − x) − y)2 = x2 + y 2 39
q
q
x2 + y 2 x2 + y 2
(5 − x)2 − 2(5 − x)y + y 2 = x2 + y 2 25 − 10x + x2 + (2x − 10)y = x2 (2x − 10)y = 10x − 25 10x − 25 y(x) = 2x − 10
S(x, y) = 0.5xy 10x − 25 S(x, y) = 0.5x 2x − 10 5x2 − 12.5x S(x, y) = 2x − 10
P r(x, y) = P r(x, y) =
q
x2 + y 2
s
x2 +
µ
10x − 25 2x − 10
¶2
> 0 Obˇe odvˇesny troj´ uheln´ıku nesm´ı b´ yt z´aporn´e, tedy x > 0, y > 0. Tedy 10x−25 2x−10 odtud x ∈ (0, 2.5) a x > 5, ale pro x > 5 nem´ame zachovanou podm´ınku, aby obvod byl roven 5. Proto mus´ı b´ yt pouze x ∈ (0, 2.5). K nakreslen´ı grafu si vypoˇcteme nˇekolik funkˇcn´ıch hodnot x y(x) P r(x) S(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 2.5 2.22 1.88 1.43 0.83 0 2.5 2.28 2.13 2.07 2.17 2.5 0 0.56 0.94 1.07 0.83 0
Grafy y(x) ˇcervenˇe, Pr(x) ˇcernˇe a S(x) modˇre na intervalu < 0, 2.5 > jsou na obr´azku.
40
2,5
2
1,5
1
0,5
0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
x
Vid´ıme, ˇze obsah S(x) m´a na intervalu < 0, 2.5 > maximum. Najdˇeme ho pomoc´ı derivace. 5x2 − 12.5x 2x − 10 (10x − 12.5)(2x − 10) − (5x2 − 12.5x)2 ′ S (x) = (2x − 10)2 S(x) =
′
S (x) 20x2 − 100x − 25x + 125 − 10x2 + 25x 10x2 − 100x + 125 2x2 − 20x + 25
= = = =
0 0 0 0 √ 20 + − 202 − 4 · 2 · 25 x = 4 x1 = 1.46, x2 = 8.54
Z intervalu < 0, 2.5 > je hodnota xmax = 1.46. Vypoˇctˇeme velikost druh´e odvˇesny ymax = y(xmax ) = y(1.46) = 10·1.46−25 = 1.46 a hodnota maxim´aln´ıho obsahu je Smax = 2·1.46−10 5·1.462 −12.5·1.46 S(xmax ) = S(1.46) = = 1.07. Vid´ıme tedy, ˇze se jedn´a o rovnoramenn´ y 2·1.46−10 pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık. Funkce jsou definov´any obecnˇe pro vˇsechna re´aln´a ˇc´ısla kromˇe 5. Tady jsou pro zaj´ımavost jejich grafy
41
50 40 y
30 20 10 0
-10
-5
0
10
5
15
x
-10 -20
1.7
´ TROJUHELN ´ ´IK OBECNY
Z´akladn´ı vztahy pro obecn´ y troj´ uheln´ık 1) obvod D = a + b + c 2) α + β + γ = 180stupnu = 3.14radianu q 3) oznaˇcme s = (a + b + c)/2, pak obsah S = (s(s − a)(s − b)(s − c) toto je tzv. Heron˚ uv vzorec. Pokud zn´ame dvˇe strany a u ´hel jimi sevˇren´ y, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat obsah S = 0.5a · b · sin(γ) = 0.5b · c · sin(β) = 0.5a · c · sin(β) 4) strany a u ´hly jsou sv´azan´e Sinovou vˇetou b c a = = = 2 · ro sin(α) sin(β) sin(γ) kde ro je polomer kruznice opsane trojuhelniku. a Kosinovou vˇetou a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β) c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) 5) tˇeˇznice (ta , tb , tc )- je u ´seˇcka veden´a z vrcholu troj´ uheln´ıka do stˇredu protˇejˇs´ı strany v´ yˇska (va , vb , vc ) je u ´seˇcka kolm´a na danou stranu a proch´azej´ıc´ı protˇejˇs´ım vrcholem 6) tˇeˇziˇstˇe T -je to pr˚ useˇc´ık tˇeˇznic, ortocentrum V -je to pr˚ useˇc´ık v´ yˇsek 7) kruˇznice opsan´a Ko -m´a stˇred So v pr˚ useˇc´ık˚ u os stran, coˇz jsou pˇr´ımky oa , ob , oc , kolm´e k dan´e stranˇe a jdouc´ı jej´ım stˇredem, jej´ı polomˇer ro je pak d´an vzd´alenost´ı jej´ıho stˇredu od vrcholu troj´ uheln´ıka. Je to tedy kruˇznice, kter´a proch´az´ı vrcholy troj´ uheln´ıku. kruˇznice vepsan´a Kv -m´a stˇred Sv v pr˚ useˇc´ıku os vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u, coˇz jsou pˇr´ımky oα , oβ , oγ kter´e rozdˇeluj´ı dan´e u ´hly na dva stejn´e u ´hly, jej´ı polomˇer rv je roven vzd´alenosti stˇredu a bodu dotyku ka stranˇe troj´ uheln´ıku. Body T, V, So , Sv jsou obecnˇe r˚ uzn´e.
42
1.7.1
Obecn´ y troj´ uheln´ık, kter´ y m´ a strany x, 2x, 3x-4
Uvaˇzujme vˇsechny troj´ uheln´ıky, jejichˇz strany nab´ yvaj´ı velikosti a = 2x, b = 3x−4, c = x, kde x je re´aln´e ˇc´ıslo, napˇr. pro x = 3 dostaneme troj´ uheln´ık o stran´ach a = 6, b = 5, c = 3 a takov´ y troj´ uheln´ık existuje. Nejdˇr´ıve n´as budou zaj´ımat funkce obvodu D(x) a obsahu S(x). Obvod je souˇctem velikost´ı vˇsech tˇr´ı stran, tedy D(x) q = 2x + (3x − 4) + x = 6x − 4. K urˇcen´ı obsahu pouˇzijeme Heron˚ uv vzorec S = s(s − a)(s − b)(s − c), kde s = (a + b + c)/2 = D(x)/2 = (6x − 4)/2 = 3x − 2 q
S(x) =
q
S(x) =
(3x − 2)(3x − 2 − 2x)(3x − 2 − (3x − 4))(3x − 2 − x) (3x − 2)(x − 2)2(2x − 2)
q
S(x) =
(3x − 2)(2x − 4)(2x − 2)
Dale je tˇreba urˇcit definiˇcn´ı obory obou funkc´ı. Je jasn´e, ˇze vˇsechny strany nesm´ı m´ıt z´aporn´e d´elky stran, tj. 2x > 0, 3x − 4 > 0, x > 0. Pro funkci S(x) m´ame omezen´ı dalˇs´ı a to, ˇze pod druhou odmocninou nem˚ uˇzeme m´ıt z´aporn´e ˇc´ıslo (3x − 2)(2x − 4)(2x − 2) ≥ 0 M´ame tedy ˇreˇsit nerovnici. Vlevo m´ame souˇcin tˇr´ı v´ yraz˚ u a ten m´a b´ yt kladn´ y. To m˚ uˇze nastat tehdy, kdyˇz vˇsechny tˇri ˇcleny budou kladn´e +++ nebo budou pr´avˇe dva z´aporn´e a pr´avˇe jeden kladn´ y, tedy –+,-+-,+–. K tomu, abychom urˇcili, kdy je nˇejak´ y ˇclen kladn´ y nebo z´aporn´ y, staˇc´ı urˇcit jeho nulov´ y bod, kde doch´az´ı ke zmˇenˇe znam´enka, v naˇsem pˇr´ıpadˇe jso to body 23 , 1, 2seˇrazen´e od nejmenˇs´ıho po nejvˇetˇs´ı. M´ame tedy ˇctyˇri intervaly ych n´aˇs v´ yraz nemˇen´ı znam´enko. Zkusm´ ym dosa(−∞, 32 ), ( 23 , 1), (1, 2), (2, ∞), na kter´ zen´ım nˇejak´eho bodu z kaˇzd´eho intervalu zjist´ıme, ˇze n´aˇs v´ yraz je z´aporn´ y na intervalech (−∞, 23 ) a (1, 2) a kladn´ y na intervalech ( 32 , 1) a (2, ∞) Tedy definiˇcn´ı obor funkce S(x), kterou bychom uvaˇzovali jako funkci bez vztahu k naˇsemu geometrick´emu pˇr´ıkladu, je Def (S(x)) =< 23 , 1 > ∪ < 2, ∞) Na obr´azku je graf S(x)
7 6 5 4 3 2 1 0 0
0,5
1
1,5 x
2
2,5
3
Protoˇze se ale jedn´a o troj´ uheln´ıky, mus´ı b´ yt strany troj´ uheln´ıka kladn´e, tedy 2x > 0, 3x − 4 > 0, x > 0 odtud plyne, ˇze x > 4/3 = 1.33 43
Ale pro trj´ uheln´ıky pro x ∈ (1.33, 2) bychom nemohli pouˇz´ıt v´ yˇse odvozen´ y vzorec pro obsah, napˇr pro x = 1.8, ale m˚ uˇzeme si zkusit, ˇze pro tyto hodnoty troj´ uheln´ıky v˚ ubec neexistuj´ı, protoˇze s tˇemito stranami nejdou sestrojit, nejsou totiˇz splnˇen´e troj´ uheln´ıkov´e nerovnosti, totiˇz ˇze souˇcet libovln´ ych dvou stran v troj´ uheln´ıku mus´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz tˇret´ı strana x + 2x > 3x − 4, 2x + (3x − 4) > x, (3x − 4) + x > 2x resenim dostaneme 0 > −4, x > 1, x > 2, Prvn´ı nerovnost je identicky splnˇena a pr˚ unikem dvou dalˇs´ıch m´ame koneˇcn´ y definiˇcn´ı obor pro n´aˇs pˇr´ıklad a to Def (S(x)) = (2, ∞) Na obr´azku jsou grafy obvodu a obsahu 20 18 D(x) 16 14 12 10
S(x)
8 6 4 2 0
0
1
2
3
4
5
Napˇr. pro x = 3 troj´ uheln´ık existuje, jak je uvedeno v´ yˇse a m´a strany 6, 5, 3. K v´ ypoˇctu jeho obvodu aqobsahu pouˇzijeme v´ yˇse odvozen´e funkce. Obvod D(3) = 6 ∗ 3 − 4 = 14 a √ obsah S(3) = (3 · 3 − 2)(2 · 3 − 4)(2 · 3 − 2) = 7 · 2 · 4 = 7.483 Inverzn´ı funkci o obvodu x(D) nen´ı probl´em urˇcit, udˇel´a se to jako u pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u, horˇs´ı to je u inverzn´ı funkce k obsahu x(S). Ta samozˇrejmˇe existuje, ale nejsme schopni ji vyj´adˇrit pomoc´ı vzorce, protoˇze bychom museli ˇreˇsit obecnˇe rovnici 3. stupnˇe a k tomu nem´ame potˇrebn´ y vzorec jako je tomu u rovnice 2. stupnˇe tj. kvadratick´e. Uk´aˇzeme ´ si ale jak vypadaj´ı vnitˇrn´ı u ´hly v naˇsich troj´ uheln´ıc´ıch. Uhly α, β i γ budou samozˇrejmˇe z´aviset na promˇenn´e x. K urˇcen´ı tˇechto funkc´ı pouˇzijeme kosinovou vˇetu, protoˇze zn´ame d´elky vˇsech 3 stran. a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) 2bc cos(α) = b2 + c2 − a2 ! à b 2 + c 2 − a2 α = arccos 2bc ! à (3x − 4)2 + x2 − (2x)2 α(x) = arccos 2(3x − 4)x à ! 3x2 − 12x + 8 α(x) = arccos 3x2 − 4x Graf funkce je na obr´azku.
44
3
2.5
alfa(x)
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
2
1 Pro n´aˇs uk´azkov´ y troj´ uheln´ık pro x = 3 m´ame α(3) = arccos( 3·33·3−12·3+8 2 −4·3 ) = arccos(− 15 ) = 1.638radianu = 93.8stupnu Taky v´ ypoˇcet obsahu pomoc´ı dvou stran a u ´hlu jimi sevˇren´eho m´ame S(3) = 0.5 · 3 · 5 · sin(1.638) = 7.483, tedy v´ ypoˇcet souhlas´ı s pˇredchoz´ım v´ ypoˇctem obsahu. D´ale si uk´aˇzeme jak vypadaj´ı polomˇery kruˇznic opsan´ ych naˇsim troj´ uheln´ık˚ um. Ze Sinov´e vˇety plat´ı pro polomˇer kruˇznice opsan´e
ro = ro (x) =
a 2 sin(α) 2x ³
2 sin arccos x
ro (x) = r
1−
³
³
3x2 −12x+8 3x2 −4x
3x2 −12x+8 3x2 −4x
´´
´2
q
kde jsme pouzili sin(t) = 1 − (cos(t))2 , tedy sin(arccos(∗)) = √ 1 − ∗2 , kde ∗ je zlomek v arccosinu. Graf ro (x) je na obrazku
q
1 − (cos(arccos(∗)))2 =
12
10
8
ro(x)
6
4
2
0
0
1
2
3
4
45
5
6
7
8
1.8 1.8.1
´ ´I A LOGARITMICKA ´ FUNKCE EXPONENCIALN Rozpad radioaktivn´ı l´ atky
Mˇejme tuto fyzik´aln´ı situaci. M´ame nˇejakou radioaktivn´ı l´atku o hmotnosti m0 , ta se samovolnˇe v ˇcase rozpad´a, takˇze je ji st´ale m´enˇe a m´enˇe. Doba, za kterou n´am z p˚ uvodn´ıho mnoˇzstv´ı m0 zbyde polovina tedy 0.5m0 se naz´av´a poloˇcas rozpadu a znaˇc´ı se T . Hmotnost m l´atky se mˇen´ı v ˇcase, je tedy funkc´ı ˇcasu m(t), ˇcas se znaˇc´ı vˇetˇsinou mal´e t. Bylo zjiˇstˇeno, ˇze hmotnost m se mˇen´ı podle urˇcit´eho pravidla a to je formulov´ano t´ımto vztahem t
m(t) = m0 · 0.5 T Poloˇcas rozpadu r´adia je 183 sekund, tj. T = 183. Necht’ m´ame na zaˇc´atku 5 kilo l´atky tj. m0 = 5. Pt´ame se, jak se bude mˇenit hmotnost v ˇcase? t
m(t) = 5 · 0.5 183 Graf
10 8 6 y 4 2 0 0
100
200
300
400
x
500
Jak vypad´a inverzn´ı funkce t(m)? Napˇr. v jak´em ˇcase budeme m´ıt toho Radia 1 kg? t Dosad’me tedy do rovnice m(t) = 5 · 0.5 183 za m=5 a najdˇeme t: t
1 = 5 · 0.5 183 t 1 = 0.5 183 | ln 5 ³ ´ t ln(0.2) = ln 0.5 183 t ln(0.5) ln(0.2) = 183 ln(0.2) t = 183 ln(0.5) t = 424.9 s 46
Obecnou inverzn´ı funkci dostaneme, poku tento postup provedeme obecnˇe, m´ısto 5 budeme br´at m. t
m = 5 · 0.5 183
t 1 m = 0.5 183 | ln 5 ³ ´ t ln(0.2m) = ln 0.5 183 t ln(0.2m) = ln(0.5) 183 183 ln(0.2m) t = ln(0.2) t(m) = −264.01 ln(0.2m)
Graf
500 400 300 200 100 0 0
2
4
6
8
1.9
x DERIVACE FUNKCE - pokraˇ cov´ an´ı
1.9.1
Grafy element´ arn´ıch funkc´ı a jejich derivac´ı
10
Graf funkce bude vˇzdy nakreslen modˇre a graf jej´ı derivace bude vˇzdy nakreslen ˇcervenˇe. Obecnˇe pro mocninnou funkci y(x) = xa , kde a je libovolne re´aln´e ˇc´ıslo je jej´ı derivace y , (x) = axa−1 Napˇr. √ 1. y(x) = x a jej´ı derivace y , (x) = 2√1 x
47
5
4
3 y 2
1
0 0
1
2
3 x
48
4
5
2. y(x) = x a jeji derivace y , (x) = 1
4
2
0 -4
-2
0
2
4
2
4
x -2
-4
3. y(x) = 3 a jeji derivace y , (x) = 0
4
2
y 0 -4
-2
0 x -2
-4
49
4. y(x) = x3 a jeji derivace y , (x) = 3x2
15
10
5 y 0 -4
-2
0 x -5
2
4
2
4
-10
5. y(x) =
√ 3
x a jeji derivace y , (x) =
3
1 √ 3 2 x
4 y
-4
-2
2 0 0 -2 -4
50
x
6. y(x) =
1 x
a jeji derivace y , (x) = − x12
4
2
y 0 -4
-2
0
2
4
2
4
x -2
-4
7. y(x) =
1 x2
a jeji derivace y , (x) = − x23
4
2
y 0 -4
-2
0 x -2
-4
51
Goniometrick´ e a Cyklometrick´ e funkce a jejich derivace , 8. y(x) = sin(x) a jeji derivace y (x) = cos(x)
2
y 1
-6
-4
-2
0 0
2
4
6
4
6
x -1
-2 9. y(x) = cos(x) a jeji derivace y , (x) = − sin(x)
2
y 1
-6
-4
-2
0 0
2 x
-1
-2
52
10. y(x) = tan(x) a jeji derivace y , (x) =
³
1 cos(x)
´2
6 4 y 2
-6
-4
0 0
-2
2
4
6
4
6
x
-2 -4 -6 11. y(x) = cot(x) a jeji derivace y , (x) = −
³
1 sin(x)
´2
6 4 y 2
-6
-4
-2
0 0 -2 -4 -6
53
2 x
12. y(x) = arcsin(x) a jeji derivace y , (x) =
√ 1 1−x2
4 3 y
2 1
-2
-1
0 0 -1
1
2
x
-2 -3 1 13. y(x) = arccos(x) a jeji derivace y , (x) = − √1−x 2
4
y 2
-2
-1
0 0
1 x
-2
-4
54
2
14. y(x) = arctan(x) a jeji derivace y , (x) =
1 1+x2
3 2 y 1
-4
0 0
-2
2
4 x
-1 -2 -3 1 15. y(x) = arccot(x) a jeji derivace y , (x) = − 1+x 2
4 3 y 2 1
-4
-2
0 0 -1 -2
55
2
4 x
Exponenci´ aln´ıa Logaritmick´ e funkce a jejich derivace Obecnˇe pro exponenci´aln´ı funkci y(x) = ax , kde a > 0 je re´aln´e ˇc´ıslo je jej´ı derivace y , (x) = ax ln(x) Napˇr. 16. y(x) = 2x a jeji derivace y , (x) = 2x ln(2)
4 3 y 2 1
-4
0 0
-2
2
4 x
-1 -2 17. y(x) = ex a jeji derivace y , (x) = ex
4 3 y 2 1
-4
-2
0 0 -1 -2
56
2
4 x
18. y(x) = 0.5x a jeji derivace y , (x) = 0.5x ln(0.5
4 3 y
2 1
-4
0 0 -1
-2
2
4 x
-2 -3 Obecnˇe pro exponenci´aln´ı funkci y(x) = loga (x), kde a > 0 je re´aln´e ˇc´ıslo je jej´ı derivace 1 y , (x) = x ln(a) Napˇr. 1 19. y(x) = log2 (x) a jeji derivace y , (x) = x ln(2)
4 3 y
2 1 0 0 -1
1
2
3 x
-2 -3
57
4
5
20. y(x) = ln(x) a jeji derivace y , (x) =
1 x
4 3 y
2 1 0 0 -1
1
2
3
4
5
3
4
5
x
-2 -3 21. y(x) = log(x) a jeji derivace y , (x) =
1 x ln(10)
4 3 y
2 1 0 0 -1
1
2 x
-2 -3
1.9.2
Derivace obecn´ e exponenci´ aln´ı funkce
Pomoc´ı vzorc˚ u pro derivov´an´ı element´arn´ıch funkc´ı a vzorc˚ u pro derivov´an´ı souˇcinu, pod´ılu funkc´ı a sloˇzen´ ych funkc´ı, m˚ uˇzeme zderivovat vˇsechny moˇzn´e funkce, ale napˇr. 58
funkci xx nezderivujeme. Nem˚ uˇzeme nyn´ı pouˇz´ıt ani vzroce pro derivaci xa , ani vzox rec pro derivaci a , protoˇze ted’ m´ame nezn´amou jak v z´akladu tak v exponentu. Tento probl´e³m obejdeme mal´ ym trikem. Vyuˇzijeme toho, ˇze x = eln(x) , proto m˚ uˇzeme napsat ´x x ln(x) x = e , a nyn´ı uˇz m˚ uˇzeme tuto funkci derivovat jako funkci sloˇzenou x
′
(x )
=
³³
´ ´, ln(x) x
e
´ x ln(x) ,
= e
= xx (ln(x) + 1)
1.9.3
³
x ln(x)
=e
µ
1 1 · ln(x) + x · x
¶
Dr´ aha, rychlost, zrychlen´ı
Uvaˇzujme tˇeleso, kter´e se pohybuje pˇr´ımoˇcaˇre a za ˇcas t uraz´ı dr´ahu s(t), dr´aha s je tedy funkc´ı ˇcasu t. Napˇr. necht’ se tˇeleso pohybuje tak, ˇze dr´ahu kterou uraz´ı za ˇcas t, m˚ uˇzeme ˇ popisujeme v sekund´ach s a dr´ahu v metrech m. Napˇr. dr´aha, napsat s(t) = t3 + 4t. Cas kterou tˇeleso urazilo za 2 sekundy je s(2) = 23 + 4 · 2 = 16 m, za 3 sekundy tˇeleso urazilo dr´ahu s(3) = 33 + 4 · 3 = 39 metr˚ u. Ptejme se ted’, jakou pr˚ umˇernou rychlost mˇelo tˇeleso mezi 2 a 3 sekundou? V´ıme, ˇze rychlost se defiluje jako uraˇzen´a dr´aha lomeno ˇcas, bˇehemˇz nˇeho tato dr´aha byla uraˇzena, tedy rychlost=dr´aha/ˇcas, v naˇsem pˇr´ıpadˇe v(2, 3) =
s(3) − s(2) 39 − 16 = = 23 m · s−1 3−2 1
Uvaˇzujme pr˚ umˇernou rychlost mezi 2 a 2.1 sekundou, pak m´ame
s(2.1) − s(2) 17.661 − 16 = = 16.61 2.1 − 2 0.1 16.02 − 16 s(2.001) − s(2) = = 16.006 v(2, 2.001) = 2.001 − 2 0.0011 v(2, 2.1) =
Vid´ıme, ˇze v´ ysledn´a hodnota se bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 16 a tato v´ ysledn´a hodnota nen´ı nic jin´eho neˇz okamˇzit´a rychlost tˇelesa v ˇcase 2 sekundy. Tento proces v´ ypoˇctu okamˇzit´e rychlosti ve 2 sekundˇe m˚ uˇzeme zapsat pˇrasnˇeji pomoci limity takto s(2 + h) − s(2) , h→0 h lim
ale to nen´ı nic jin´eho neˇz v´ ypoˇcet derivace funkce s(t) v bodˇe t = 2. Kdyˇz vypoˇcteme derivaci funkce s(t) podle zn´am´ ych pravidel, dostaneme ′
³
´
′
s (t) = t3 + 4t = 3t2 + 4 tedys (2) = 3 · 22 + 4 = 16 Obecnˇe tedy vypoˇcteme okamˇzitou rychlost tˇelesa jako derivaci jeho dr´ahy ′
v(t) = s (t) Stejnˇe je tomu s okamˇzit´ ym zrychlen´ım tˇelesa, kter´e je rovno derivac´ı jeho okamˇzit´e rychlosti nebo druh´e derivaci jeho dr´ahy ′
′′
a(t) = v (t) = s (t) ′
′
V naˇsem pˇr´ıkladˇe bude a(t) = v (t) = (3t2 + 4) = 6t Zrychlen´ı napˇr. v ˇcase t = 2 sekundy bude a(2) = 6 · 2 = 12 m · s−2 . Grafy dr´ahy, rychlosti a zrychlen´ı jsou na obr´azku. 59
80
70 s(t) 60
50
40
v(t)
30
20
10
0
a(t)
s(2)=v(2)=16
a(2)=12
0
0.5
1
1.5
2
60
2.5
3
3.5
4
2
´ GEOMETRIE V ROVINE ˇ ANALYTICKA
Analytick´a geometrie je vlatnˇe geometrie, kde se nekresl´ı prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem, ale kde se vˇsechno poˇc´ıt´a. Bod v rovinˇe je urˇcen dvˇema souˇradnice mi x a y [x, y]. Napˇr. A[2, 3.5], B[−3.2, 4], C[−1, −3.4], D[3, −1.7] Vzd´alenost dvou bod˚ u v rovinˇe A[xA , yB ] a B[xB , yB ] vypoˇc´ıt´ame podle vztahu |AB| =
q
(xA − xB )2 + (yA − yB )2
V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe bude vzd´alenost bod˚ u A a B, tedy velikost u ´seˇcka AB d´ana |AB| =
q
(2 − (−3.2))2 + (3.5 − 4)2 =
Souˇradnice stˇredu u ´seˇcky AB vypoˇcteme SAB =
q
(5.2)2 + (−0.5)2 =
q
(27.29 = 5.22
xA + x B yA + yB A+B =[ , ] 2 2 2
Pro n´aˇs pˇr´ıpad m´ame SAB =
2.1
2 + (−3.2) 3.5 + 4 A+B =[ , ] = [−0.6, 3.75] 2 2 2
VEKTOR
~ znaˇc´ı, ˇze z´aleˇz´ı na poˇrad´ı bod˚ Orientovan´a u ´seˇcka AB u a bod A je prvn´ı a bod B je ~ pˇriˇrad´ıme jej´ı souˇradnice t´ımto zp˚ druh´ y. Orientovan´e u ´seˇcce AB usobem ~ = B − A = (xB − xA , yB − yA ) AB Pro n´aˇs pˇr´ıpad m´ame ~ = B − A = (−3.2 − 2, 4 − 3.5) = (−4.2, 0.5) AB Zaj´ımav´a vˇec je ta, ˇze vˇsechny stejnˇe dlouh´e, stejnˇe orientovan´e a rovnobˇeˇzn´e u ´seˇcky maj´ı stejn´e souˇradnice. Tato jejich vlastnost vede na pojem vektoru. Vektor je definov´an jako uspoˇr´ad´ana dvojice souˇradnic. Je tedy u ´plnˇe totoˇzn´ y s definic´ı bodu, to je taky uspoˇr´adan´a dvojice souˇradnic. Abychom tyto dva objekty od sebe odliˇsili, budeme body ps´at do hranat´ ych z´avorek, kdeˇzto vektory budeme zapisovat do kulat´ ych z´avorek. Vektory m˚ uˇzeme ’ n´asobit re´aln´ ym ˇc´ıslem, sˇc´ıtat a odˇc´ıtat. Uved me si z´akladn´ı vztahy pro vektory. Pro obecn´e vektory ~u = (u1 , u2 ), ~v = (v1 , v2 ) a re´aln´e ˇc´ıslo c plat´ı 1) c · ~u = (cu1 , cu2 ) 2) ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 ) 3) ~u − ~v = (u1 − v1 , u2 − q v2 ) 4) velikost vektoru |~u| = u21 + u22 5) skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u ~u · ~v = u1 v1 + u2 v2 6) kaˇzd´e dva vektory sv´ıraj´ı u ´hel, pro jehoˇz velikost plat´ı tento vztah cos(α) =
~u · ~v |~u| · |~v |
speci´alnˇe plat´ı, ˇze nenulov´e vektory jsou kolm´e, pr´avˇe kdyˇz jejich skal´arn´ı souˇcin je roven nule, to znamen´a ~u · ~v = 0. Toto budeme ˇcasto pouˇz´ıvat. 61
2.2
ˇ ´IMKA PR
V´ıme z pˇredchoz´ıho, ˇze pˇr´ımka je v rovinˇe pops´ana rovnic´ı y = kx + q. To znamen´a, ˇze body o souˇradnic´ıch [x, y] = [x, kx + q] tvoˇr´ı v rovinˇe pˇr´ımku. Napˇr. rovnice y = −2x + 5 popisuje nˇejakou pˇr´ımku v rovinˇe. Body [x, −2x + 5] leˇz´ı na pˇr´ımce, napˇr. jsou to body [−3, 11], [0, 5], [1, 3] a dalˇs´ı. Tyto body jsme dostali dosazen´ım x = −3, 0, 1. Toto vyj´adˇren´ı pˇr´ımky se naz´ yv´a explicitn´ı (otevˇren´e) nebo se taky pouˇz´ıv´a n´azvu smˇernicov´e vyj´adˇren´ı. Obecnˇe kaˇzd´e vyj´adˇren´ı nˇejak´e kˇrivky rovnic´ı y = f (x) se naz´ yv´a explicitn´ı. Kaˇzdou kˇrivku ale m˚ uˇzeme popsat jeˇstˇe jin´ ym zp˚ usobem, kter´ y je v mnoha pˇr´ıpadech vhodnˇejˇs´ı. Tento druh´ y zp˚ usob se naz´ yv´a parametrick´e vyj´adˇren´ı. Vyjdˇeme z toho, ˇze pˇr´ımka je jednoznaˇcnˇe urˇcena bodem A[a1 , a2 ], kter´ ym proch´az´ı a vektorem ~s = (s1 , s2 ), se kter´ ym je rovnobˇeˇzn´a. Tento vektor se naz´ yv´a smˇ erov´ y vektor. Pak obecn´ y bod M [x, y], kter´ y leˇz´ı na t´eto pˇr´ımce, m´a svoje souˇradnice pops´any tˇemito rovnicemi x = a1 + s 1 · t y = a2 + s 2 · t kde t je parametr, tj. libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Napˇr. parametrick´e rovnice pˇr´ımky y = −2x + 5 jsou x=1+t y = 3 − 2t Jak ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou to opravdu parametrick´e rovnice t´eto pˇr´ımky? Tak, ˇze je pˇrevedeme na explicitn´ı tvar y = f (x). Z prvn´e rovnice vyj´adˇr´ıme t pomoc´ı x, tj. t = x−1 a dosad´ıme to do druh´e rovnice, tj. y = 3 − 2(x − 1) = 3 − 2x + 2 = −2x + 5, coˇz je rovnice naˇs´ı pˇr´ımky. Ale napˇr. parametrick´e rovnice x = 2 − 2t y = 1 + 4t vyjadˇruj´ı rovnˇeˇz pˇr´ımku y = −2x + 5. Opravdu, t = (2 − x)/2 a dosazen´ım do druh´e rovnice dostaneme y = 1 + 4(2 − x)/2 = 1 + 4 − 2x = −2x + 5. Parametrick´ ych rovnic, kter´e vyjadˇruj´ı naˇs´ı pˇr´ımku je dokonce nekoneˇcnˇe mnoho. Tedy explicitn´ı vyj´adˇren´ı konkr´etn´ı pˇr´ımky je pr´avˇe jedno, ale parametrick´ ych vyj´adˇren´ı je nekoneˇcnˇe mnoho. Pak staˇc´ı si vybrat libovoln´e jedno a s n´ım d´al pracovat, v´ ysledky jsou vˇzdycky stejn´e. Kaˇzd´ y vektor, kter´ y je kolm´ y ke smˇerov´emu vektoru ~s pˇr´ımky se naz´ yv´a norm´ alov´ y vektor ~n, tj. plat´ı ~s · ~n = 0. Je jasn´e, ˇze jako je smˇerov´ ych vektor˚ u dan´e pˇr´ımky nekoneˇcnˇe mnoho, je nekoneˇcnˇe mnoho i norm´alov´ ych vektor˚ u. Pokud tedy ~s = (s1 , s2 ) je smˇerov´ y vektor, pak norm´alov´ y vektor m´a tvar napˇr. takov´ y ~n = (s2 , −s1 ) protoˇze ~s · ~n = (s1 , s2 ) · (s2 , −s1 ) = s1 s2 − s2 s1 = 0. Pˇr´ımku lze zapsat jeˇstˇe v tzv. obecn´e rovnici, je to vlastnˇe mal´a u ´prava explicitn´ı rovnice na tvar ax + by + c = 0. Tento tvar je d˚ uleˇzit´ y z hlediska sv´e pˇr´ıbuznosti obecn´e rovnici roviny v prostoru, kter´a m´a tvat ax + by + cz + d = 0. Rovinou se budeme zab´ yvat pozdˇeji v analytick´e geometrii v prostoru. V tomto tvaru m´a norm´alov´ y vektor souˇradnice ~n = (a, b). Tedy pro naˇsi pˇr´ımku y = −2x+5 je jej´ı obecn´a rovnice takov´ato 2x+y −5 = 0 a odtud norm´alov´ y vektor je ~n = (2, 1). Pokud je pˇr´ımka d´ana smˇernicov´ ym tvarem y = k1 x + q1, pak pˇr´ımka kolm´a k t´eto pˇr´ımce m´a smˇernici k2 = − k11 . Pro velikost ostr´eho u ´hlu ϕ, kter´ y sv´ıraj´ı dvˇe pˇr´ımky maj´ıc´ı smˇernice k1 a k2 plat´ı ¯ ¯ ¯ k −k ¯ 2 ¯ ¯ 1 tan(ϕ) = ¯ ¯ ¯ 1 + k1 k2 ¯
62
pokud k1 k2 = −1, potom jsou pˇr´ımky kolm´e, tj. sv´ıraj´ı u ´hel 90 stupˇ n˚ u. Vzd´ alenost bodu od pˇ r´ımky Pokud je pˇr´ımka d´ana imlicitn´ı rovnic´ı ax + by + c = 0 a bod A[xA , yA ], potom vzd´alenost d bodu A od pˇr´ımky je d´ana |axA + byA + c| √ d= a2 + b 2 Pˇ r´ıklad a)Najdˇete parametrick´e rovnice pˇr´ımky p, kter´a proch´az´ı body A[−1.5, 2.2] a B[4, 0.8] b)Urˇcete d´ale explicitn´ı rovnici t´eto pˇr´ımky. c)Zjistˇete, zda na t´eto pˇr´ımce leˇz´ı body C[2.3, −1.15] a D[−5.9, 3.32]. d)Napiˇste rovnici pˇr´ımky q, kter´a proch´az´ı bodem M [2, 4] a je kolm´a k pˇr´ımce p. ˇ reˇ sen´ı a)K tomu, abychom napsali parametrick´e rovnice pˇr´ımky, mus´ıme zn´at jeden bod, kter´ ym tato pˇr´ımka proch´az´ı a d´ale smˇerov´ y vektor ~s t´eto pˇr´ımky, tj. libovoln´ y vektor, se kter´ ym je tato pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a. Body zn´ame dokonce dva, takˇze si jeden vybereme, napˇr. bod ~ mohli bychom pouˇz´ıt i vektor A[−1.5, 2.2]. Jako smˇerov´ y vektor ~s si vezmeme vektor AB, ~ ~ BA. takˇze s~p = AB = B −A = (4−(−1.5), 0.8−2.2) = (5.5, −1.4) Takˇze pˇr´ımka p je d´ana bodem A a smˇerov´ ym vektorem s~p , coˇz zapisuje symbolicky p(A, s~p ) a jej´ı parametrick´e rovnice jsou x = −1.5 + 5.5t y = 2.2 − 1.4t, t ∈ R b)Explicitn´ı rovnici pˇr´ımky z´ısk´ame z parametrick´ ych rovnic pˇr´ımky vylouˇcen´ım parametru t. Z prvn´ı rovnice zjist´ıme, ˇze t = (x+1.5)/5.5, dosad´ıme do druh´e rovnice a dostaneme y = 2.2 − 1.4(x + 1.5)/5.5. Po u ´pravˇe m´ame explicitn´ı rovnici pˇr´ımky y = −0.25x + 1.82. c)Abychom zjistili, zda nˇejak´ y bod leˇz´ı nebo neleˇz´ı na pˇr´ımce, mus´ıme dosadit jeho souˇradnice x, y do parametrick´ ych rovnic pˇr´ımky. Pokud existuje parametr t tak, ˇze obˇe rovnice jsou splnˇeny, pak bod na pˇr´ımce leˇz´ı, pokud takov´ y parametr neexistuje, pak neleˇz´ı. Pro bod C[2.3, −1.15] m´ame tyto rovnice 2.3 = −1.5 + 5.5t odtud t = (2.3 + 1.5)/5.5 = 0.7 −1.15 = 2.2 − 1.4 · 0.7 odtud −1.15 = 1.64 a to neplat´ı ani pˇribliˇznˇe. Protoˇze jsme v´ ypoˇcty zaokrouhlovali, pˇri mal´e nerovnost bychom museli poˇc´ıtat s pˇresn´ ymi nezaokrouhlen´ ymi ˇc´ısly. Tady to ale nen´ı tˇreba. Je jasn´e, ˇze bod C na pˇr´ımce neleˇz´ı. pro bod D[−5.9, 3.32] m´ame tyto rovnice −5.9 = −1.5 ∗ 5.5t odtud t = (1.5 − 5.9)/5.5 = −0.8 3.32 = 2.2 − 1.4 · (−0.8) odtud 3.32 = 3.32 odtud je vidˇet, ˇze existuje parametr t = −0.8, tak, ˇze obˇe rovnice jsou splnˇeny, tedy bod D na pˇr´ımce leˇz´ı. K ovˇeˇren´ı m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i explicitn´ı rovnici pˇr´ımky, v´ ypoˇcet v tomto pˇr´ıpadˇe je rychlejˇs´ı. Dosad´ıme souˇradnice bodu x, y do rovnice y = −0.25x + 1.82. Pro bod C[2.3, −1.15] dostaneme −1.15 = −0.25 · 2.3 + 1.82 odtud −1.15 = 1.25 a to nen´ı pravda, tedy C neleˇz´ı na pˇr´ımce p. Pro bod D[−5.9, 3.32] dostaneme 3.32 = −0.25 · (−5.9) + 1.28 odtud 3.32 = 3.29 to m˚ uˇzeme povaˇzovat za rovnost, rozd´ıl vznikl d´ıky zaokrouhlov´an´ı, tedy bod D na pˇr´ımce p leˇz´ı. d)M´ame sestrojit pˇr´ımku q kolmou k p a proch´azej´ıc´ı bodem M [2, 4]. Potˇrebujeme tedy zjistit smˇerov´ y vektor pˇr´ımky q sq . Protoˇze q je kolm´a k p, je smˇerov´ y vektor s~q z´aroveˇ n 63
norm´alov´ ym vektorem pˇr´ımky p n~p , tj. s~q = n~p . Protoˇze s~p = (5.5, −1.4), m˚ uˇzeme poloˇzit n~p = (−1.4, −5.5) = s~q . Tedy pˇr´ımka q je d´ana bodem M [−2, 4] a smˇerov´ ym vektorem s~q = (−1.4, −5.5) a jej´ı parametrick´e rovnice jsou tyto x = −2 − 1.4t y = 4 − 5.5t, t ∈ R
2.3
ˇ KRUZNICE
Kruˇznici m˚ uˇzeme ch´apat jako hranici kruhu. O kruhu jsme dˇr´ıve uvaˇzovali z hlediska jeho obvodu a obsahu. Nyn´ı se zamˇeˇr´ıme na kruˇznici jako nˇejakou kˇrivku a budeme cht´ıt vˇedˇet, jak´a rovnice tuto kˇrivku popisuje. Kruˇznice je v rovinˇe jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ ym stˇredem S[x0 , y0 ] a polomˇerem r. Jak vypad´a kruˇznice vˇsichni v´ıme, probl´em je v tom, ˇze ˇz´adn´a explicitn´ı funkce y = f (x) nem˚ uˇze popsat celou kruˇznici. Je to proto, ˇze pro dan´e x dostanu dvˇe r˚ uzn´a y, kromˇe dvou bod˚ u na kraji a funkce mus´ı b´ yt jednoznaˇcn´a a ne dvojznaˇcn´a. Celou kruˇznici m˚ uˇzu ale popsat tzv. imlicitn´ı rovnic´ı. Zkoumejme mnoˇzinu bod˚ u o souˇradnic´ıch [x, y], kter´e splˇ nuj´ı tuto rovnici x2 + y 2 = 4 . Najdˇeme vˇsechna ˇreˇsen´ı t´eto rovnice. Napˇr. kdyˇz dosad´ım do t´eto rovnice x = 0 a y = 2 dostanu x2 + 22 = 4 tedy [0, 2] je bod, kter´ y leˇz´ı na zm´ınˇen´e kˇrivce. Podobnˇe zjist´ım, ˇze i body [2, 0], [−2, 0], [0, −2] rovnˇeˇz splˇ nuj´ı danou rovnici. Kdyˇz za x dosad´ım 1, dostanu √ 2 2 2 3 rovnici pro√y a tu vyˇreˇs´ım 1 √ + y = 4, tedy y = 3 a odtud m´ a m dvˇ e ˇ r eˇ s en´ ı y = 1 √ a y2 = − 3. Tedy body [1, 3] a [1, − 3] leˇz´ı na kˇrivce. Kdybych ale zvolil x = 3, pak ˇz´adn´e y tuto rovnici nespln´ı, protoˇze y 2 = −5 nem´a re´aln´e ˇreˇsen´ı. M˚ uˇzu tedy zvolit x ∈< −2, 2 > a spoˇc´ıtat y a rovnˇeˇz m˚ uˇzu zvolit y ∈< −2, 2 > a spoˇc´ıtat x. Pokud vynesete vˇsechna ˇreˇsen´ı [x, y] do grafu, vypln´ı v´am celou kruˇznici, jej´ıˇz stˇred je v poˇc´atku O[0, 0] a polomˇer r je roven 2.
3
2
1
0
−1
−2
−3 −3
−2
−1
0
1
2
3
Obecnˇe plat´ı, ˇze kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem r je d´ana touto rovnic´ı x2 + y 2 = r 2
nebo 64
x2 y 2 + 2 =1 r2 r
To znamen´a, ˇze pokud ˇc´ısla x a y jsou ˇreˇsen´ım t´eto rovnice, potom bod [x, y] leˇz´ı na t´eto kruˇznici. A obr´acenˇe, pokud x a y nejsou ˇreˇsen´ım t´eto rovnice, pak bod [x, y] neleˇz´ı na t´eto kruˇznici. Vidˇeli jsme u pˇr´ımky, ˇze kromˇe explicitn´ıho vyj´adˇren´ı, existovalo i parametrick´e vyj´adˇren´ı pˇr´ımky. Tak je tomu u vˇsech kˇrivek a tud´ıˇz i u kruˇznice. Parametrick´e rovnice kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a polomˇerem r jsou takov´e x = r cos(t) y = r sin(t), t ∈< 0, 2π > Jin´e parametrick´e vyj´adˇren´ı kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a s polomˇerem r je: 1 − t2 1 + t2 2t y = r , 1 + t2
x = r
t ∈ (−∞, ∞)
Pokud stˇred kruˇznice nen´ı v poˇc´atku, ale v bodˇe S[x0 , y0 ], potom je rovnice kruˇznice takov´a: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 a parametrick´e rovnice jsou takov´eto: x = x0 + r cos(t) y = y0 + r sin(t), t ∈< 0, 2π > Pˇ r´ıklad: Mˇejme napˇr´ıklad kruˇznici o stˇredu S[−2, 3] a polomˇeru r = 4, pak implicitn´ı rovnice t´eto kruˇznice je (x + 2)2 + (y − 3)2 = 16 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Parametrick´e rovnice t´eto kruˇznice jsou x = −2 + 4 cos(t) y = 3 + 4 sin(t), t ∈< 0, 2π > Jak jsme uˇz napsali, cel´a kruˇznice se ned´a vyj´adˇrit explicitnˇe jako y = f (x), ale z imlicitn´ı 65
rovnice kruˇznice m˚ uˇzeme pˇrece jen osamostatnit na jedn´e stranˇe (y −y0 )2 = r2 −(x−x0 )2 . Po odmocnˇen´ı dostaneme dvˇe rovnice jednu s + a druhou s −. Prvn´ı rovnice vyjadˇruje horn´ı p˚ ulkruˇ q znici y = y0 + r2 − (x − x0 )2 q
y = y0 − r2 − (x − x0 )2 a druh´a rovnice vyjadˇruje doln´ı p˚ ulkruˇznici. Pro n´aˇs konkr´etn´ı pˇr´ıklad budou tyto rovnice p˚ ulkruˇznic vypadat takto y =3+
q
16 − (x + 2)2
7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −7
−6
−5
−4
−3
y =3−
q
−2
−1
0
1
2
3
1
2
3
16 − (x + 2)2
7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −7
2.4
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
ELIPSA
Kruˇznice se stˇredem v poˇc´atku a s polomˇerem r m´a rovnici x2 + y 2 = r 2 66
coˇz se d´a pˇrepsat do tvaru
x2 y 2 + 2 =1 r2 r Pokud m´ame rovnici, kde ve jmenovateli m´ape r˚ uzn´a ˇc´ısla, dosteneme rovnici elipsy(ˇsiˇsat´a kruˇznice) se stˇredem v poˇc´atku x2 y 2 + 2 =1 a2 b kde a, b jsou poloosy elipsy. Pˇ r´ıklad: Elipsa se stˇredem v poˇc´atku a s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici x2 y 2 + =1 16 4 3
2
1
0
−1
−2
−3 −6
−4
−2
0
2
4
6
Obecnˇe elipsa se stˇredem v bodˇe [x0 , y0 ] m´a rovnici (x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2 Explicitn´ı vyj´adˇren´ı dostaneme zase jako u kruˇznice vyj´adˇren´ım y z rovnice (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = 1 a2 b2 b2 (x − x0 )2 + a2 (y − y0 )2 = a2 b2 a2 (y − y0 )2 = a2 b2 − b2 (x − x0 )2 b2 (y − y0 )2 = b2 − 2 (x − x0 )2 a 2 b (y − y0 )2 = 2 (a2 − (x − x0 )2 ) a bq 2 a − (x − x0 )2 y = y0 + − a Parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy: x = x0 + a cos(t) y = y0 + b sin(t),
67
t ∈< 0, 2π >
Pˇ r´ıklad: Elipsa se stˇredem v bodˇe S[−1, 3] s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici (x + 1)2 (y − 3)2 + =1 16 4 6
5
4
3
2
1
0 −6
−4
−2
0
2
4
2
4
Horn´ı ˇc´ast elipsy se d´a vyj´adˇrit explicitnˇe jako funkce y =3+
1q 16 − (x + 1)2 2
6
5
4
3
2
1
0 −6
−4
−2
0
Podobnˇe doln´ı ˇc´ast elipsy je y =3−
1q 16 − (x + 1)2 2
68
6
5
4
3
2
1
0 −6
−4
−2
0
2
4
Parametrick´e vyj´adˇren´ı elipsy: x = −1 + 4 cos(t) y = 3 + 2 sin(t), t ∈< 0, 2π >
2.5
HYPERBOLA
Uk´aˇzeme si hyperboly, kter´e jsou pops´any 3 typy rovnic, nejdˇr´ıve se stˇredem v poˇc´atku a) Hyperbola 1. druhu s poloosami a, b m´a rovnici x2 y 2 − 2 =1 a2 b explicitn´ı vyj´adˇren´ı:
b√ 2 −a + x2 a Pro parametrick´e vyj´adˇren´ı si zavedeme Hyperbolick´e funkce, hyperbolick´ y sinus sinh(x) a hyperbolick´ y kosinus cosh(x) y =+−
sinh(x) =
ex − e−x , 2
cosh(x) =
zde jsou grafy, modˇre je sinh(x) a ˇcervenˇe cosh(x)
69
ex + e−x 2
10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
pak m˚ uˇzeme ps´at parametrick´e rovnice hyperboly x = + − a cosh(t) y = b sinh(t), t ∈ (−∞, ∞) kde + je prav´a vˇetev hyperboly a - lev´a vˇetev. jin´a moˇznost, jak parametricky vyj´adˇrit hyperbolu je n´asleduj´ıc´ı: x = +−a
1 cos(t) π π t ∈ (− , ) 2 2
y = b tan(t),
kde + je prav´a vˇetev hyperboly a - lev´a vˇetev. Pˇ r´ıklad Hyperbola 1. druhu s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici x2 y 2 − =1 16 4 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
70
2
4
6
8
explicitn´ı vyj´adˇren´ı horn´ı ˇc´asti hyperboly √ y = 0.5 −16 + x2 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
4
6
8
explicitn´ı vyj´adˇren´ı doln´ı ˇc´asti hyperboly √ y = −0.5 −16 + x2 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
parametrick´e vyj´adˇren´ı prav´e vˇetve hyperboly x = 4 cosh(t) y = 2 sinh(t),
71
t ∈ (−∞, ∞)
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
parametrick´e vyj´adˇren´ı lev´e vˇetve hyperboly x = −4 cosh(t) y = 2 sinh(t), t ∈ (−∞, ∞) 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
b) Hyperbola 2. druhu se stˇredem v poˇc´atku a poloosami a, b m´a rovnici −
x2 y 2 + 2 =1 a2 b
Tedy liˇs´ı se t´ım, ˇze u x je - a u y je +. explicitn´ı vyj´adˇren´ı: y =+−
b√ 2 a + x2 a
parametrick´e rovnice hyperboly x = a sinh(t) y = + − b cosh(t), 72
t ∈ (−∞, ∞)
Pˇ r´ıklad Hyperbola 2. druhu se stˇredem v poˇc´atku s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici −
x2 y 2 + =1 16 4
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
4
6
8
explicitn´ı vyj´adˇren´ı horn´ı ˇc´asti hyperboly √ y = 0.5 16 + x2 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
explicitn´ı vyj´adˇren´ı doln´ı ˇc´asti hyperboly √ y = −0.5 16 + x2
73
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
parametrick´e vyj´adˇren´ı prav´e vˇetve hyperboly x = 4 sinh(t) y = 2 cosh(t),
t ∈ (−∞, ∞)
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
parametrick´e vyj´adˇren´ı lev´e vˇetve hyperboly x = 4 sinh(t) y = −2 cosh(t),
74
t ∈ (−∞, ∞)
8
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
c) Hyperbola 3. druhu se stˇredem v poˇc´atku a koeficientem k m´a rovnici k x Pˇ r´ıklad Hyperbola 3. druhu se stˇredem v poˇc´atku s k = 2 m´a rovnici 2 y= x y=
8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Pˇrejdˇeme nyn´ı k vyj´adˇren´ı hyperboly, kter´a m´a stˇred obecnˇe v bodˇe S[x0 , y0 ]. a) Hyperbola 1. druhu se stˇredem v S[x0 , y0 ] a poloosami a, b m´a rovnici (x − x0 )2 (y − y0 )2 − =1 a2 b2 explicitn´ı vyj´adˇren´ı:
bq 2 −a + (x − x0 )2 a Pˇ r´ıklad Hyperbola 1. druhu se stˇredem v bodˇe S[−1, 3] s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici (x + 1)2 (y − 3)2 − =1 16 4 y = y0 + −
75
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
15
Horn´ı ˇc´ast hyperboly se d´a vyj´adˇrit explicitnˇe jako funkce y =3+
1q −16 + (x + 1)2 2
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
Podobnˇe doln´ı ˇc´ast hyperboly je y =3−
1q −16 + (x + 1)2 2
76
10
15
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
15
b) Hyperbola 2. druhu se stˇredem v S[x0 , y0 ] a poloosami a, b m´a rovnici −
(x − x0 )2 (y − y0 )2 + =1 a2 b2
Tedy liˇs´ı se t´ım, ˇze u x je - a u y je +. explicitn´ı vyj´adˇren´ı: y = y0 + −
bq 2 a + (x − x0 )2 a
Pˇ r´ıklad Hyperbola 2. druhu se stˇredem v bodˇe S[−1, 3] s poloosami a = 4, b = 2 m´a rovnici (x + 1)2 (y − 3)2 − + =1 16 4 10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
Horn´ı ˇc´ast hyperboly se d´a vyj´adˇrit explicitnˇe jako funkce 1q −16 + (x + 1)2 y =3+ 2
77
15
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
15
10
15
Podobnˇe doln´ı ˇc´ast hyperboly je y =3−
1q −16 + (x + 1)2 2
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
Dalˇs´ı obr´azek ukazuje obˇe hyperboly najednou, ˇcerven´a je hyperbola 1. druhu a modr´a hyperbola 2. druhu.
78
10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
15
Obˇe maj´ı spoleˇcn´e asymptoty y = 12 x + 3.5 a y = − 21 x + 2.5 - zelen´e pˇr´ımky. 10
8
6
4
2
0
−2
−4
−15
−10
−5
0
5
10
15
c) Hyperbola 3. druhu se stˇredem v S[x0 , y0 ] a poloosami a, b m´a rovnici y − y0 =
k x − x0
Pˇ r´ıklad Hyperbola 3. druhu se stˇredem v bodˇe S[−1, 3] s k = 2 m´a rovnici y−3=
79
2 x+1
8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−1
0
1
2
3
Asymptoty jsou pˇr´ımky y = 3 a x = −1. 8 7 6 5 4 3 2 1 0 −1 −5
2.6
−4
−3
−2
PARABOLA
M´ame dva druhy parabol a) Parabola 1. druhu s vrcholem V [x0 , y0 ] m´a rovnici y − y0 = a(x − x0 )2 Pˇ r´ıklad Parabola 1. druhu s vrcholem V [−2, 1] s a = 0.8 m´a rovnici y − 1 = 0.8(x + 2)2 coˇz se d´a upravit na tvar y = 0.8x2 + 3.2x + 4.2
80
30
25
20
15
10
5
0 −8
−6
−4
−2
0
2
4
b) Parabola 2. druhu s vrcholem V [x0 , y0 ] m´a rovnici x − x0 = a(y − y0 )2 Je to leˇzat´a parabola a jej´ı explicitn´ı vyj´adˇren´ı je takov´e: s
y = y0 + −
c − x0 a
Pˇ r´ıklad Parabola 2. druhu s vrcholem V [−2, 1] s a = 0.8 m´a rovnici x + 2 = 0.8(y − 1)2 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4
−2
0
2
4
explicitn´ı tvar horn´ı ˇc´asti m´a tvar y =1+
s
81
x+2 0.8
6
8
5
4
3
2
1
0
−1
−2 −4
−2
0
2
4
6
8
4
6
8
explicitn´ı tvar doln´ı ˇc´asti m´a tvar y =1−
s
x+2 0.8
5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4
−2
0
2
82
3
´ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKA
Nyn´ı se pˇresuneme do prostoru. Analytickou geometrii v rovinˇe jsme vybudovali v Matematice 1. Mnoho vˇec´ı v prostoru je podobn´a jako v rovinˇe, na v´ yznamn´e rozd´ıly zvl´aˇstˇe upozorn´ıme.
3.1
´ ˚ VZDALENOST BODU
Bod v prostoru je urˇcen tˇremi souˇrednicemi souˇradnicemi [x, y, z]. Napˇr. A[2, −3, −1], B[5, 2, 0], Vzd´alenost dvou bod˚ u v prostoru A[xA , yA , zA ] a B[xB , yB , zB ] vypoˇc´ıt´ame podle vztahu |AB| =
q
(xA − xB )2 + (yA − yB )2 + (zA − zB )2
V naˇsem konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe bude vzd´alenost bod˚ u A a B, tedy velikost u ´seˇcky AB d´ana |AB| =
q
(2 − 5)2 + (−3 − 2)2 + (−1 − 0)2 =
q
(−3)2 + (−5)2 + (−1)2 =
√
9 + 25 + 1 = 5.92
Souˇradnice stˇredu u ´seˇcky AB vypoˇcteme SAB =
xA + xB yA + yB zA + zB A+B =[ , , ] 2 2 2 2
Pro n´aˇs pˇr´ıpad m´ame SAB =
3.2
A+B 2 + 5 −3 + 2 −1 + 0 =[ , , ] = [3.5, −0.5, −0.5] 2 2 2 2
VEKTOR
~ znaˇc´ı, ˇze z´aleˇz´ı na poˇrad´ı bod˚ Orientovan´a u ´seˇcka AB u a bod A je prvn´ı a bod B je ~ druh´ y. Orientovan´e u ´seˇcce AB pˇriˇrad´ıme jej´ı souˇradnice t´ımto zp˚ usobem ~ = B − A = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) AB Pro n´aˇs pˇr´ıpad m´ame ~ = B − A = (5 − 2, 2 − (−3), 0 − (−1)) = (3, 5, 1) AB Zaj´ımav´a vˇec je ta, ˇze vˇsechny stejnˇe dlouh´e, stejnˇe orientovan´e a rovnobˇeˇzn´e u ´seˇcky maj´ı stejn´e souˇradnice. Tato jejich vlastnost vede na pojem vektoru. Vektor je definov´an jako uspoˇr´ad´ana dvojice souˇradnic. Je tedy u ´plnˇe totoˇzn´ y s definic´ı bodu, to je taky uspoˇr´adan´a dvojice souˇradnic. Abychom tyto dva objekty od sebe odliˇsili, budeme body ps´at do hranat´ ych z´avorek, kdeˇzto vektory budeme zapisovat do kulat´ ych z´avorek. Vektory m˚ uˇzeme n´asobit re´aln´ ym ˇc´ıslem, sˇc´ıtat a odˇc´ıtat. Uved’me si z´akladn´ı vztahy pro vektory. Pro obecn´e vektory ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) a re´aln´e ˇc´ıslo c plat´ı 1) c · ~u = (cu1 , cu2 , cu3 ) 2) ~u + ~v = (u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 ) 3) ~u − ~v = (u1 − v1 , u2 − q v 2 , u3 − v 3 ) 4) velikost vektoru |~u| = u21 + u22 + u23 83
5) skal´arn´ı souˇcin vektor˚ u ~u · ~v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 6) kaˇzd´e dva vektory sv´ıraj´ı u ´hel, pro jehoˇz velikost plat´ı tento vztah cos(α) =
~u · ~v |~u| · |~v |
speci´alnˇe plat´ı, ˇze nenulov´e vektory jsou kolm´e, pr´avˇe kdyˇz jejich skal´arn´ı souˇcin je roven nule, to znamen´a ~u · ~v = 0. Toto budeme ˇcasto pouˇz´ıvat. Tyto pojmy byly definov´any i v rovinˇe. V prostoru nav´ıc zav´ad´ıme jeˇstˇe Vektorov´ y souˇcin, znaˇc´ı se ×. ¯ ¯ ~i ~j ¯ ~u × ~v = ¯¯¯ u1 u2 ¯ v1 v2
~k u3 v3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ) ¯ ¯
D´ale definujme sm´ıˇsen´ y souˇcin tˇr´ı vektor˚ u ~u, ~v , w: ~ ¯ ¯ u ¯ 1 ¯ ~u · (~v × w) ~ = ¯¯ v1 ¯ w1
u2 u 3 v2 v3 w2 w3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
D˚ uleˇzit´e vlastnosti vektorov´eho a sm´ıˇsen´eho souˇcinu: 1) v´ ysledkem vektorov´eho souˇcinu je vektor, kter´ y je kolm´ y k obˇema vektor˚ um 2) velikost vektorov´eho souˇcinu je ˇc´ıselnˇe roven obsahu rovnobˇeˇzn´ıka, kter´ y vytvoˇr´ı dan´e vektory 3) velikost sm´ıˇsen´eho souˇcinu je ˇc´ıselnˇe roven objemu rovnobˇeˇznostˇenu, kter´ y vytvoˇr´ı dan´e vektory
3.3
ˇ ´IMKA PR
V´ıme z M1, ˇze pˇr´ımka je v rovinˇe pops´ana explicitn´ı rovnic´ı y = kx + q. Probl´em v prostoru je ten, ˇze rovnice z = kx + qy + r nen´ı rovnice pˇr´ımky v prostoru, ale je to rovnice roviny v prostoru. Explicitn´ı vyj´adˇren´ı pˇr´ımky v prostoru NEEXISTUJE. V rovinˇe jsme pˇr´ımku jeˇstˇe popisovali jin´ ym zp˚ usobem a to parametricky. Pokud je pˇr´ımka urˇcena bodem A[a1 , a2 ], kter´ ym proch´az´ı a vektorem ~s = (s1 , s2 ), se kter´ ym je rovnobˇeˇzn´a. Tento vektor se naz´ yv´a smˇ erov´ y vektor. Pak obecn´ y bod M [x, y], kter´ y leˇz´ı na t´eto pˇr´ımce, m´a svoje souˇradnice pops´any tˇemito rovnicemi x = a1 + s 1 · t y = a2 + s 2 · t kde t je parametr, tj. libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Napˇr. parametrick´e rovnice pˇr´ımky y = −2x + 5 jsou x=1+t y = 3 − 2t Jak ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou to opravdu parametrick´e rovnice t´eto pˇr´ımky? Tak, ˇze je pˇrevedeme na explicitn´ı tvar y = f (x). Z prvn´e rovnice vyj´adˇr´ıme t pomoc´ı x, tj. t = x−1 a dosad´ıme to do druh´e rovnice, tj. y = 3 − 2(x − 1) = 3 − 2x + 2 = −2x + 5, coˇz je rovnice naˇs´ı pˇr´ımky. Ale napˇr. parametrick´e rovnice x = 2 − 2t 84
y = 1 + 4t vyjadˇruj´ı rovnˇeˇz pˇr´ımku y = −2x+5. Opravdu, t = (2−x)/2 a dosazen´ım do druh´e rovnice dostaneme y = 1 + 4(2 − x)/2 = 1 + 4 − 2x = −2x + 5. Parametrick´ ych rovnic, kter´e vyjadˇruj´ı naˇs´ı pˇr´ımku je dokonce nekoneˇcnˇe mnoho. Tedy explicitn´ı vyj´adˇren´ı konkr´etn´ı pˇr´ımky je pr´avˇe jedno, ale parametrick´ ych vyj´adˇren´ı je nekoneˇcnˇe mnoho. Pak staˇc´ı si vybrat libovoln´e jedno a s n´ım d´al pracovat, v´ ysledky jsou vˇzdycky stejn´e. Podobnˇe m˚ uˇzeme popsat pˇr´ımku v prostoru. Pokud je pˇr´ımka urˇcena bodem A[a1 , a2 , a3 ], kter´ ym proch´az´ı a vektorem ~s = (s1 , s2 , s3 ), se kter´ ym je rovnobˇeˇzn´a. Tento vektor se naz´ yv´a smˇ erov´ y vektor. Pak obecn´ y bod M [x, y, z], kter´ y leˇz´ı na t´eto pˇr´ımce, m´a svoje souˇradnice pops´any tˇemito rovnicemi x = a1 + s 1 · t y = a2 + s 2 · t z = a3 + s 3 · t kde t je parametr, tj. libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Pˇ r´ıklad: Napiˇsme parametrick´e rovnice pˇr´ımky, kter´a proch´az´ı body A[2, −3, 1] a B[−4, 5, 6]. Potˇrebujeme ~ = B − A = (−6, 8, 5), pak urˇcit smˇerov´ y vektor dan´e pˇr´ımky, coˇz m˚ uˇze b´ yt vektor AB parametrick´e rovnice vypadaj´ı takto: x = 2 − 6t y = −3 + 8t z = 1 + 5t
3.4
ROVINA
Rovina m˚ uˇze b´ yt pops´ana dvˇema zp˚ usoby, podobnˇe jako pˇr´ımka v rovinˇe. 1) Parametrick´e rovnice roviny - to je vlastnˇe zobecnˇen´ı parametrick´ ych rovnic pˇr´ımky v prostoru. Pˇr´ımka byla d´ana bodem A[a1 , a2 ], kter´ ym proch´az´ı a smˇerov´ ym vektorem ~s = (s1 , s2 ), se kter´ ym je rovnobˇeˇzn´a. Rovina bude d´ana stejnˇe jako pˇr´ımka bodem A[a1 , a2 , a3 ], kter´ ym proch´az´ı a na rozd´ıl od pˇr´ımky dvˇema smˇerov´ ymi vektory ~u = (u1 , u2 , u3 ) a ~v = (v1 , v2 , v3 ), se kter´ ymi je dan´a rovina rovnobˇeˇzn´a. Na rozd´ıl od pˇr´ımky se v tˇechto rovnic´ıch objev´ı ne jeden, ale dva parametry t a s. Parametrick´e rovnice vypadaj´ı takto: x = a 1 + u1 · t + v 1 · s y = a 2 + u2 · t + v 2 · s z = a 3 + u3 · t + v 3 · s Pˇ r´ıklad: Napiˇsme parametrick´e rovnice roviny ̺, kter´a proch´az´ı body A[−5, 2, 2], B[3, 4, −7] a C[4, 0, 6]. Potˇrebujeme urˇcit dva smˇerov´e vektory t´eto roviny, napˇr. to m˚ uˇzou b´ yt vektory ~ ~ AB = B − A = (8, 2, −9) a AC = C − A = (9, −2, 4). Rovina je napˇr. urˇcena bodem A a ~ a AC. ~ Toto jsou parametrick´e rovnice roviny: smˇerov´ ymi vektory AB ̺ : x = −5 + 8t + 9s 85
y = 2 + 2t − 2s z = 2 − 9t + 4s,
t, s ∈ R
2) Obecn´a rovnice roviny. Uˇz jsme si ˇrekli, ˇze rovnice z = kx + qy + r vyjadˇruje rovinu v prostoru. Pokud to zap´ıˇseme trochu jinak, dostaneme obecnou rovnici roviny ax + by + cz + d = 0. takˇze vˇsechny body x, y, z, kter´e splˇ nuj´ı danou rovnici tvoˇr´ı v prostoru rovinu. D˚ uleˇzit´e je, ˇze vektor ~n = (a, b, c) je kolm´ y k dan´e rovinˇe a naz´ yv´a se norm´alov´ y vektor. Pˇ r´ıklad: Napiˇsme obecnou rovnici roviny z pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. M˚ uˇzeme pouˇz´ıt dva zp˚ usoby, uk´aˇzeme si oba dva: a) vyj´adˇr´ıme z parametrick´ ych rovnic parametry a t´ım dostaneme obecnou rovnici roviny. M´ame tedy 3 rovnice. Nejl´epe bude vyj´adˇrit z druh´e a z tˇret´ı rovnice parametry s a t pomoc´ı x, y, z. A ty pak dosadit do prvn´ı rovnice. y = 2 + 2t − 2s z = 2 − 9t + 4s 2s = 2 + 2t − y z = 2 − 9t + 2(2 + 2t − y) s = 1 + t − 0.5y z = 6 − 5t − 2y s = 1 + 1.2 − 0.4y − 0.2z − 0.5y 5t = 6 − 2y − z s = 2.2 − 0.9y − 0.2z t = 1.2 − 0.4y − 0.2z
Dosad’me nyn´e do prvn´ı rovnice vypoˇcten´e parametry t a s: x x x x + 11.3y + 3.4z − 24.4
= = = =
−5 + 8t + 9s −5 + 8(1.2 − 0.4y − 0.2z) + 9(2.2 − 0.9y − 0.2z) 24.4 − 11.3y − 3.4z 0
Obecn´a rovnice roviny je tedy takov´a: x + 11.3y + 3.4z − 24.4 = 0
b) druh´ y zp˚ usob spoˇc´ıv´a v tom, ˇze si vypoˇc´ıt´ame norm´alov´ y vektor ~n pomoc´ı vektorov´eho ~ ~ souˇcinu AB a AC. T´ım hned dostanem a, b, c v obecn´e rovnici roviny a d spoˇc´ıt´ame dosazen´ım souˇradnic nˇejak´eho bodu, kter´ y v t´e rovinˇe leˇz´ı napˇr. bodu A. ¯ ¯ ¯ ~i ~k ¯¯ ~j ¯ ¯ ~ × AC ~ = ¯¯ 8 ~n = AB 2 −9 ¯¯ = (−10, −113, −34) ¯ ¯ 9 −2 4 ¯
M´ame tedy rovnici roviny ̺ : −10x − 113y − 34z + d = 0. Dosad’me nyn´ı do t´eto rovnice souˇradnice bodu A[−5, 2, 2]. −10(−5) − 113 · 2 − 34 · 2 + d = 0 d = 244 Rovnice roviny ̺ je −10x − 113y − 34z + 244 = 0
Vydˇelen´ım −10 dosteme stejn´ y tvar jako v a)
x + 11.3y + 3.4z − 24.4 = 0 86
3.5
KVADRIKY
Stejnˇe jako jsme mˇeli v M1 v rovinˇe kuˇzeloseˇcky - kruˇznice, elipsa, hyperbola a parabola, coˇz jsou kˇrivky 2. stupnˇe, podobnˇe m´ame v prostoru plochy 2. stupnˇe - kvadriky - koule, elipsoid, hyperboloid, paraboloid, kuˇzelov´a plocha, v´alcov´e plochy. 3.5.1
Koule
Podobnˇe jako m´a kruˇznice v rovinˇe se stˇredem v poˇc´atku a s polomˇerem r rovnici x2 +y 2 = r2 , m´a koule se stˇredem v poˇc´atku s polomˇerem r rovnici: x2 + y 2 + z 2 = r 2
x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 r2 r r
nebo
-3
-2
-1
0
1
y
3
87
2
1
0
2 -1 x
-3 -23
3.5.2
Elipsoid
Pokud jmenovatele u rovnice koule liˇs´ı, pak se koule zdeformuje a dostaneme obecn´ y elipsoid x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c Jestliˇze se a = b = c, pak m´ame kouli. Jestliˇze se dva ˇc´ısla z ˇc´ısel a, b, c rovnaj´ı, pak se jedn´a o rotaˇcn´ı elipsoid. Napˇr. pokud a = b, m´ame rotaˇcn´ı elipsoid, kter´ y m´a osu rotace v ose z. Jestliˇze a = b < c, pak n´am vznikne prot´ ahl´ y elipsoid - vaj´ıˇ cko. Jestliˇze a = b > c, pak vznikne zploˇ stˇ el´ y elipsoid - disk. Rotaˇcn´ı elipsoid vznikne rotac´ı elipsy kolem nˇejak´e osy. Jestliˇze jsou vˇsechny 3 ˇc´ısla r˚ uzn´a, pak m´ame nerotaˇcn´ı elipsoid, ten nem˚ uˇze vzniknout rotac´ı elipsy. Pˇ r´ıklad: Vaj´ıˇ cko x2 y 2 z 2 + + =1 4 4 9 Toto je rovnice rotaˇcn´ıho elipsoidu, protoˇze a = b = 2 s osou rotace osou z. A protoˇze c = 3 > 2 = a = b, jedn´a se o prot´ahl´ y elipsoid - vaj´ıˇcko.
-3 -2 -1
y 0 1 2 3 -3 -2 -1 0
1 2 3
88
x
Pˇ r´ıklad: Disk x2 y 2 z 2 + + =1 4 4 2 Toto je taky√rovnice rotaˇcn´ıho elipsoidu, protoˇze a = b = 2 s osou rotace osou z. Ale y elipsoid - disk. protoˇze c = 2 < 2 = a = b, jedn´a se o zploˇstˇel´
3 2
-3
1
-2
-1
0
z0 -1
1
y
-2 -3
3
89
2
1
0
2 -1 x
3 -3 -2
3.5.3
Hyperboloid
1) Jednod´ıln´ y hyperboloid x2 y 2 z 2 + 2 − 2 =1 a2 b c Jestliˇze se dva ˇc´ısla z ˇc´ısel a, b, c rovnaj´ı, pak se jedn´a o rotaˇcn´ı hyperboloid. Napˇr. pokud a = b, m´ame rotaˇcn´ı hyperboloid, kter´ y m´a osu rotace v ose z. Jestliˇze jsou vˇsechny 3 ˇc´ısla r˚ uzn´a, pak m´ame nerotaˇcn´ı hyperboloid, ten nem˚ uˇze vzniknout rotac´ı hyperboly. Pˇ r´ıklad: x2 y 2 z 2 + − =1 4 4 9
10 5
z
0 -5
-10 -10
-10 -5
-5 y
0
0 5
5 10
10
90
x
2) Dvoud´ıln´ y hyperboloid −
x2 y 2 z 2 − 2 + 2 =1 a2 b c
−
x2 y 2 z 2 − + =1 4 4 9
Pˇ r´ıklad:
10 5 z 0 -10
-5
0
-5 y -10
10
91
5
5 0 x
-10 10 -5
3.5.4
Paraboloid
1) Eliptick´ y paraboloid z=
x2 y 2 + 2 a2 b
Pˇ r´ıklad: z = x2 + y 2
-10
-5
10
92
0 5
5
y 0 x
-510
-10
2) Hyperbolick´ y paraboloid z=
x2 y 2 − 2 a2 b
Pˇ r´ıklad: z = x2 − y 2
100 50 0 -50 -100 -10
-5
y 0
5
10
10
93
5
0 x
-5
-10
3.5.5
Kuˇ zelov´ a plocha z2 =
x2 y 2 + 2 a2 b
Pˇ r´ıklad: z 2 = x2 + y 2
-3
-2
-1
0 y
3
94
2
1
1
2 3 -3 -2 -1 0 x
3.5.6
V´ alcov´ e plochy
1) Eliptick´a v´alcov´a plocha x2 y 2 + 2 =1 a2 b Pˇ r´ıklad:
y2 =1 =x + 4 2
-2 -1 0 1
y
2 -2 -1 0
1 2
95
x
2) Hyperbolick´a v´alcov´a plocha x2 y 2 − 2 =1 a2 b Pˇ r´ıklad: x2 −
y2 =1 4
10 5 z
0 -5
-10 -10
-10 -5
-5 0
0 y
5
5 10
10
96
x
3) Parabolick´a v´alcov´a plocha y = ax2 Pˇ r´ıklad:
x = by 2
1 y = x2 4
10 5 0 z -5 -10 -10 -10
-5 -5
0 0 y
5
5 10
97
10
x
4
ALGEBRA
Z´akladn´ım c´ılem je umˇet vyˇreˇsit soustavu line´arn´ıch rovnic.
4.1
ˇ ROVNICE DVE
Zaˇcnˇeme soustavou dvou rovnic pro dvˇe nezn´am´e. Napˇr. −2x + 3y = 7 4x − y = −2 ˇ sen´ı najdeme napˇr. dosazovac´ı Hled´ame tedy ˇc´ısl x a y, tak aby obˇe rovnice platily. Reˇ 3 7 metodou. Z prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ıme x = − 2 + 2 y = −3.5 + 1.5y a dosad´ıme do druh´e rovnice. Dostaneme −2x = 7 − 3y 7 x = − + 2 7 x = − + 2
7 3 4(− + y) − y = −2 2 2
3 y − 14 + 6y − y = −2 2 3 12 1 12 = = 0.1 y= = 2.4 2 5 10 5
ˇ sen´ım je bod v rovinˇe [0.1, 2.4] V´ıme z pˇredchoz´ıho, ˇze obˇe rovnice vyjadˇruj´ı pˇr´ımku. Reˇ Prvn´ı y = − 23 x + 37 , druh´a y = 4x + 2. Obˇe pˇr´ımky z naˇseho pˇr´ıkladu se prot´ınaj´ı pr´avˇe v bodˇe [0.1, 2.4]. 15
10
5 [0.1,2.4]
0
−5
−10 −3
−2
−1
0
1
Napˇr. soustava −2x + 3y = 7 4x − 6y = −14
98
2
3
m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Vypl´ yv´a to z toho, ˇze druh´a rovnice vznikla vyn´asoben´ım prvn´ı rovnice −2. Z prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ıme x = − 27 + 23 y = −3.5 + 1.5y a dosad´ıme do druh´e rovnice. Dostaneme 4(−3.5 + 1.5y) − 6y = −14 a odtud −14 = −14. To je trivi´aln´ı pravda a znamen´a, ˇze y m˚ uˇze b´ yt libovoln´e. Zavedeme proto parametr t a poloˇz´ıme y = t, kde t je libovoln´e re´aln´e ˇc´ıslo. Promˇenn´a x ale nem˚ uˇze b´ yt libovoln´e ˇc´ıslo, ale z´avis´ı na parametru t jednoduˇse tak, ˇze v rovnici x = −3.5 + 1.5y poloˇz´ıme m´ısto y parametr t. ˇ sen´ı vypad´a takto [x, y] = [−3.5 + 1.5t, t], t ∈ R. Tedy x = −3.5 + 1.5t. Reˇ Napˇr. t = −2 : [x, y] = [−6.5, −2] t = 0 : [x, y] = [−3.5, 0] t = 1 : [x, y] = [−2.5, 1]
Geometricky to znamen´a, ˇze obˇe pˇr´ımky jsou totoˇzn´e. 4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 −3
−2
−1
0
1
2
3
Abychom uvedli nˇejakou soustavu, kter´a nebude m´ıt ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı, staˇc´ı vz´ıt v minul´e soustavˇe m´ısto ˇc´ısla −14 libovoln´e jin´e ˇc´ıslo a soustava pak nebude m´ıt ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı. Napˇr. −12 −2x + 3y = 7 4x − 6y = −12 Zase z prvn´ı rovnice vyj´adˇr´ıme x = − 72 + 23 y = −3.5 + 1.5y a dosad´ıme do druh´e rovnice. Dostaneme 4(−3.5 + 1.5y) − 6y = −14 a odtud −14 = −12. Coˇz je nesmysl a ostud plyne, ˇze ˇz´adn´e y neexistuje a tedy neexistuje ˇz´adn´e x. Geometricky to znamen´a, ˇze pˇr´ımky jsou rovnobˇeˇzn´e a neprot´ınaj´ı se.
99
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0 −3
4.2
−2
−1
0
1
2
3
ˇ ROVNICE TRI
Pˇri ˇreˇsen´ı soustavy tˇr´ı rovnic pro tˇr´ı nezn´am´e se d´a postupovat dosazovac´ı metodou jako minule. Z jedn´e rovnice vyj´adˇr´ıme jednu promˇennou pomoc´ı ostatn´ıch a dosad´ıme do zb´ yvaj´ıc´ıch dvou rovnic a dostaneme dvˇe rovnice pro dvˇe nezn´am´e a to uˇz um´ıme ˇreˇsit. Mˇejme takovou to soustavu −x1 + 2x2 + x3 = 1 2x1 − x2 − 3x3 = −2 3x1 + x2 + x3 = 2 Z prvn´ı rovnice napˇr. vyj´adˇr´ıme x1 = −1 + 2x2 + x3 a dosad´ıme do zb´ yvaj´ıc´ıch dvou rovnic a po u ´pravˇe dostaneme dvˇe rovnice pro dvˇe nezn´am´e. 2(−1 + 2x2 + x3 ) − x2 − 3x3 3(−1 + 2x2 + x3 ) + x2 + x3 −2 + 4x2 + 2x3 − x2 − 3x3 −3 + 6x2 + 3x3 + x2 + x3 3x2 − x3 7x2 + 4x4
= = = = = =
−2 2 −2 2 0 5
x3 = 3x2 7x2 + 4x3 = 5 15 x3 = 19 = 0.79 7x2 + 4 · 3x2 = 5 19x2 = 5 5 x2 = 19 = 0.26 x1 = −1 + 2x2 + x3 15 5 x1 = −1 + 2 + 19 19 6 x1 = = 0.32 19 100
T´ımto zp˚ usobem m˚ uˇzeme vyˇreˇsit i soustavu ˇctyˇr rovnic pro ˇctyˇri nezn´am´e, ˇze vylouˇc´ıme z jedn´e rovnice jednu nezn´amou, dosad´ıme do zb´ yvaj´ıc´ıch tˇr´ı a dostaneme soustavu tˇr´ırovnic pro t´ yi nezn´am´e atd. Takto m˚ uˇzeme postupovat i pro libovolnˇe vˇetˇs´ı soustavy, ale pracnost tohoto z˚ usobu bude obrovsk´a. Proto budeme pouˇz´ıvat jin´ y zp˚ usob u ´pravy a to tzv. element´arn´ı u ´pravy. 1) pˇriˇcten´ı libovoln´eho n´asobku nˇejak´e rovnice k jin´e rovnici 2) vyn´asoben´ı rovnice libovoln´ ym nenulov´ ym ˇc´ıslem 3) v´ ymˇena poˇrad´ı rovnic 4) vynech´an´ı rovnice, kter´a m´a vˇsechny ˇcleny nulov´e Po proveden´ı nˇejak´e t´eto u ´pravy dostaneme soustavu, kter´a m´a stejn´e ˇreˇsen´ı jako p˚ uvodn´ı soustava. C´ılem bude z´ıskat soustavu, ve kter´e bude jedna rovnice pouze s jednou nezn´amou, kterou budeme moci potom vypoˇc´ıtat. Uk´aˇzeme si to na naˇsem pˇr´ıkladu. −x1 + 2x2 + x3 2x1 − x2 − 3x3 3x1 + x2 + x3 −x1 + 2x2 + x3 3x2 − x3 7x2 + 4x3 −x1 + 2x2 + x3 3x2 − x3 19 x3 3
= = = = = = = =
1 −2, k t´eto rovnici pˇriˇcteme 2-n´asobek prvn´ı rovnice 2, k t´eto rovnici pˇriˇcteme 3-n´asobek prvn´ı rovnice 1 0 5, k t´eto rovnici pˇriˇcteme − 37 -n´asobek druh´e rovnice 1 0
= 5
Ze tˇret´ı rovnice dostaneme 19 x3 = 5 3 15 x3 = 19 dosazen´ım do druh´e rovnice m´ame 3x2 − x3 = 0 15 3x2 − = 0 19 5 x2 = 19 a dosazen´ım do prvn´ı rovnice dostaneme −x1 + 2x2 + x3 = 1 5 15 −x1 + 2 + = 1 19 19 6 x1 = 19 Cel´ y tento postup si jeˇstˇe zjednoduˇs´ıme tak, ˇze nebudeme poˇr´ad opisovat promˇenn´e x1,x2 atd, ale pouze koeficienty u tˇechto promˇenn´ ych. K tomu zavedeme pojem matice, coˇz je 101
zobecnˇen´ım pojmu vektor. Matice soustavy se skl´ad´a z koeficient˚ u u promˇenn´ ych
−1 2 1 2 −1 −3 A= 3 1 1
Matice A m´a 3 ˇr´adky a 3 sloupce, to se zapisuje takto A(3x3). Pokud m´a matice stejn´ y poˇcet ˇr´adk˚ u a sloupc˚ u, ˇr´ık´ame, ˇze je ˇctvercov´a a poˇcet ˇr´adk˚ u(nebo sloupc˚ u) ˇctvercov´e matice se naz´ yv´a jej´ı ˇr´ad. Kaˇzd´ y prvek v matici m˚ uˇzu identifikovat dvˇema indexy. Napˇr. ˇc´ıslo −3 leˇz´ı ve druh´em ˇr´adku a tˇret´ım sloupci, to nap´ıˇsu takto a2,3 = −3. Vektor (a1,1 , a1,2 , a1,3 ) = (−1, −1, 1) se naz´ yv´a hlavn´ı diagon´ala. Matice, kter´a je ˇctvercov´a, m´a na hlavn´ı diagon´ale jedniˇcky a zbytek jsou nuly, se naz´ yv´a jednotkov´a matice a znaˇc´ı se I. Jednotkov´a matice I(3x3) vypad´a takto
1 0 0 A= 0 1 0 0 0 1
Na prav´e stranˇe m´am sloupcov´ y vektor
1 ~b = −2 2
coˇz je vlastnˇe matice typu ~b(3x1) Jeˇstˇe zavedeme vektor nezn´am´ ych
x1 ~x = x2 x3
coˇz je taky matice typu ~x(3x1). Mus´ıme proto rozliˇsovat mezi ˇr´adkov´ ym a sloupcov´ ym vektorem, coˇz jsou jin´e objekty. Pro naˇsi potˇrebu ˇreˇsen´ı soustavy rovnic zavedeme jeˇstˇe tzv. rozˇs´ıˇrenou matici soustavy
−1 2 1| 1 ~ (A|b) = 2 −1 −3| −2 3 1 1| 2
Au ´plnˇe stejn´e u ´pravy, kter´e jsme prov´adˇeli minule na naˇs´ı soustavˇe, budeme prov´adˇet na rozˇs´ıˇren´e matici soustavy.
−1 2 1| 1 −1 2 1| 1 −1 2 1| 1 ~ (A|b) = 2 −1 −3| −2 = 0 3 −1| 0 = 0 3 −1| 0 0 0 19 0 7 4| 5 3 1 1| 2 | 5 3
T´eto u ´pravˇe si ˇr´ık´a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda, jde o to, vytvoˇrit pod hlavn´ı diagon´alou matice soustavy sam´e nuly tak, jak jen to jde. V´ ysledn´a upraven´a rozˇs´ıˇren´a matice se pak zap´ıˇse do rovnic a vyˇreˇs´ı. Je to stejn´e jako minule, ale pro jistotu to zde uvedeme. 19 x3 = 5 3 15 x3 = 19 102
dosazen´ım do druh´e rovnice m´ame 3x2 − x3 = 0 15 = 0 3x2 − 19 5 x2 = 19 a dosazen´ım do prvn´ı rovnice dostaneme −x1 + 2x2 + x3 = 1 15 5 = 1 −x1 + 2 + 19 19 6 x1 = 19
4.3
DETERMINANT
Tento pojem je velmi d˚ uleˇzit´ y a vyskytuje se v mnoha oblastech matematiky. Je to ˇc´ıslo, kter´e je urˇcit´ ym zp˚ usobem pˇriˇrazen´e kaˇzd´e ˇctvercov´e matici A a znaˇc´ı se bud’ det(A) nebo |A| a je definov´an rekurz´ıvn´ım zp˚ usobem, to znamen´a, ˇze determinat matice n-t´eho ˇr´adu je definov´an pomoc´ı determinant˚ u matic (n-1) ˇr´adu. Matice prvn´ıho ˇr´adu je tvoˇrena jedn´ım ˇc´ıslem a jej´ı determinant je roven pˇr´ımo tomuto ˇc´ıslu. Zaved’me si nejdˇr´ıve jeˇstˇe pojem submatice a subdeterminant. Submatice Ai,j vznikne z matice A tak, ˇze v n´ı vynech´ame i-t´ y ˇr´adek a j-t´ y sloupec. Subdeterminant |Ai,j | je determinant ze submatice Ai,j . Tedy matice A m´a prvky ai,j a je ˇr´adu n, pak determinant matice A je definov´an tzv. rozvojem podle i-t´eho ˇr´adku (podobnˇe se d´a definovat rozvoj podle j-t´eho sloupce). |A| =
n X
j=1
(−1)(i+j) ai,j |Ai,j |
ˇ ıslo Ai,j = (−1)(i+j) |Ai,j | se naz´ C´ yv´a algebraick´ y doplnˇek, pak m˚ uˇzeme tento vzorec napsat v takov´emto tvaru |A| =
n X
ai,j Ai,j
j=1
Z tohoto obecn´eho vzorce se d´a odvodit, ˇze determinant matice ˇr´adu 2 je ¯ ¯ a b ¯ ¯ ¯ c d
¯ ¯ ¯ ¯ = ad − bc ¯
Pro determananty matic vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚ u pouˇzijeme obecn´ y rozvoj podle nˇekter´eho ˇr´adku nebo sloupce. Ukaˇzme si rozvoj podle 1. ˇr´adku pˇri v´ ypoˇctu determinantu naˇs´ı matice soustavy. V naˇsem vzorci poloˇz´ıme n=3, i=1. ¯ ¯ ¯ −1 2 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 1 ¯
=
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 −3 ¯ ¯ 2 −3 ¯ ¯ 2 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (−1)(−1)(1+1) ¯¯ ¯ + 2(−1)(1+2) ¯ ¯ + 1(−1)(1+3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 3 1 3 1 ¯
= −(1 + 3) − 2(2 + 9) + (2 + 3) = −4 − 22 + 5 = −19 103
Ukaˇzme si, ˇze stejn´ y v´ ysledek dostanu, kdyˇz k v´ ypoˇctu pouˇziju rozvoj podle 2. ˇr´adku, tj. i=2. ¯ ¯ ¯ −1 2 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 1 ¯
=
¯ ¯ ¯ −1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ + (−3)(−1)(2+3) ¯ ¯ 3 1 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 ¯ 2 ¯ ¯ (3+3) ¯ −1 (2+3) ¯ −1 2 ¯ ¯ ¯ + 1(−1) ¯ ¯ + (−3)(−1) ¯ ¯ 2 −1 ¯ 3 1 ¯ ¯ 3 1 ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ 2 1 2(−1)(2+1) ¯¯¯ 1 1
¯ ¯ ¯ −1 ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)(−1)(2+2) ¯ ¯ 3 ¯
1 1
= (−2)(2 − 1) − (−1 − 3) + 3(−1 − 6) = −2 + 4 − 21 = −19
Ukaˇzme si rozvoj taky podle nˇejak´eho sloupce napˇr. 1. sloupce. ¯ ¯ ¯ −1 2 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 1 ¯
(1+3)
= 1(−1)
= (2 + 3) + 3(−1 − 6) + (1 − 4) = 5 − 21 − 3 = −19
Je vidˇet, ˇze naz´aleˇz´ı na v´ ybˇeru ˇr´adku nebo sloupce. Je v´ yhodn´e proto volit takov´ y ˇr´adek nebo sloupec, kter´ y obsahuje nejv´ıce nul, v´ ypoˇcet je potom jednoduˇsˇs´ı.
4.4
´ ´I MATIC NASOBEN
Libovolnou matici m˚ uˇzu vyn´asobit re´aln´ ym ˇc´ıslem tak, ˇze vyn´asob´ım t´ımto ˇc´ıslem kaˇzd´ y prvek v matici, to je stejn´e jako u vektor˚ u. Matice stejn´eho typu m˚ uˇzu sˇc´ıtat a odˇc´ıtat podobnˇe jako u vektor˚ u. U matic se d´ale definuje operace n´asoben´ı t´ımto specifick´ ym zp˚ usobem. Jestliˇze matice A m´a prvky ai,j a je typu mxn a matice B m´a prvky bi,j a je typu nxp, pak matice C = A · B je typu mxp a m´a prvky ci,j =
n X
k=1
ai,k · bk,j
To znamen´a, ˇze prvek v matici C, kter´ y leˇz´ı v i-t´em ˇr´adku a j-t´em sloupci z´ısk´ame tak, ˇze vezmeme i-t´ y ˇr´adek v matici A a j-t´ y sloupec v matici B a tyto dva vektory skal´arnˇe vyn´asob´ıme. Proto mus´ıme poˇzadovat, aby matice A mˇela stejn´ y poˇrˇcet sloupc˚ u jako m´a matice B ˇr´adk˚ u, jinak bychom nemohli tyto dva vektory skal´arnˇe vyn´asobit, protoˇze by mˇeli r˚ uzn´ y poˇcet prvk˚ u. Napˇr. Ã ! 32 −5 −9 8 2 5 1 0 −2 4 = 23 −4 −2 −4 −1 4 · 6 −1 −1 0 18 −3 −3 0 0 3
Prvn´ı matice je typu 3x2 a druh´a matice je typu 2x4, proto je m˚ uˇzeme vyn´asobit a v´ ysledn´a matice je typu 3x4. Napˇr. prvek c2,3 jsme dostali tak, ˇze jsme vzali 2. ˇr´adek prvn´ı matice (−1, 4) a 3. sloupec druh´e matice (−2, −1) a tyto dva vektory jsme skal´arnˇe vyn´asobili (−1, 4) · (−2, −1) = (−1)(−2) + 4(−1) = −2, proto c2,3 = −2. Vˇsimnˇete si, ˇze nem˚ uˇzeme tyto matice vyn´asobit v opaˇcn´em poˇrad´ı. Napˇr. ˇctvercov´e matice stejn´eho ˇr´adu m˚ uˇzeme n´asobit libovolnˇe, ale obecnˇe plat´ı, ˇze A · B 6= B · A.
4.5
INVERZN´I MATICE
Z re´aln´ ych ˇc´ısel v´ıme, ˇze rovnice 3 · x = 1 m´a ˇreˇsen´ı pro x = 3−1 = 13 , toto ˇc´ıslo m˚ uˇzeme ch´apat jako ˇc´ıslo inverzn´ı-opaˇcn´e k ˇc´ıslu 3. Analogickou situaci budeme nyn´ı ˇreˇsit pro matice. Jednotkov´a matice, jak jsme ji definovali, se chov´a podobnˇe jako jedniˇcka v re´aln´ ych 104
ˇc´ıslech. V´ıme, ˇze cokoliv vyn´asob´ıme jedniˇckou, tak to nezmˇen´ıme. Podobnˇe plat´ı pro matice, ˇze A · I = A a plat´ı to i opaˇcnˇe I · A = A, samozˇrejmˇe pokud je n´asoben´ı v˚ ubec moˇzn´e. Mˇejme nyn´ı nˇejakou ˇctvercovou matici A. Zaj´ım´a n´as, zda existuje matice, oznaˇcme j´ı A−1 takov´a, ˇza plat´ı A · A−1 = I i naopak A−1 · A = I. Pokud takov´a matice A-1 existuje, nazvˇeme ji inverzn´ı matic´ı k matici A. A d´ale, pokud takov´a inverzn´ı matice bude existovat, pt´ame se, jak ji m´ame sestrojit. Odpovˇed’ na prvn´ı ot´azku je takov´a, ˇze jestliˇze determinant |A| je r˚ uzn´ y od nuly, pak existuje pr´avˇe jedna inverzn´ı matice A−1 a plat´ı-pro matici ˇr´adu 3. A−1
T
A A1,2 A1,3 1 1,1 · A2,1 A2,2 A2,3 = |A| A3,1 A3,2 A3,3
Je vidˇet, ˇze inverzn´ı matice se setroj´ı tak, ˇze sestroj´ıme matici algebraick´ ych doplˇ nk˚ u, tuto matici transponujeme-to znamen´a, ˇze prohod´ıme ˇr´adky a sloupce a v´ yslednou matici vyn´asob´ıme pˇrevr´acenou hodnotou k determinantu. Pro naˇsi konkr´etn´ı matici soustavy dostaneme
A−1 =
¯ ¯ ¯ −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 1 ¯ ¯ − ¯¯¯ · 1 1 ¯¯ −19 ¯ ¯ 2 1 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 −3 ¯
¯ ¯ 2 −3 − ¯¯¯ 1 ¯ 3 ¯ −1 1 ¯ ¯ ¯ 3 1 ¯ ¯ −1 1 − ¯¯¯ 2 −3 T
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯ 2 −1 ¯ ¯ ¯ 1 ¯ 3 ¯ −1 2 − ¯¯¯ 3 1 ¯ ¯ −1 2 ¯ ¯ ¯ 2 −1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
T
2 −11 5 2 −1 −5 1 1 7 = · −1 −4 · −11 −4 −1 =− −19 19 −5 −1 −3 5 7 −3
=
2 − 19
11 19 5 − 19
1 19 4 19 7 − 19
5 19 1 19 3 19
−0.11 0.05 0.26 0.21 0.05 = 0.58 −0.26 −0.37 0.16
D˚ ukaz spr´avnosti v´ ypoˇctu inverzn´ı matice je ten, ˇze mus´ı platit A · A−1 = I To znamen´a, ˇze
1 0 0 −0.11 0.05 0.26 −1 2 1 0.21 0.05 = 0 1 0 2 −1 −3 · 0.58 0 0 1 −0.26 −0.37 0.16 3 1 1
Vrat’me se k naˇs´ı soustavˇe rovnic. Pomoc´ı operace n´asoben´ı matic m˚ uˇzeme soustavu rovnic, kter´a m´a matici soustavy A, vektor nazn´am´ ych ~x a vektor prav´ ych stran ~b napsat takto A · ~x = ~b Pokud je determinant matice soustavy |A nenulov´ y, v´ıme, ˇze existuje inverzn´ı matice A−1 . −1 Vyn´asobme zleva naˇs´ı rovnici inverzn´ı matic´ı A , dostaneme A−1 · A · ~x = A−1~b I · ~x = A−1~b ~x = A−1~b
105
Tedy ˇreˇsen´ı soustavy rovnic m˚ uˇzeme naj´ıt pomoc´ı inverzn´ı funkce na to tehdy, pokud determinant matice soustavy je nenulov´ y, odtud taky plyne, ˇze soustava m´a pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı. Tedy i pro naˇsi soustavu plat´ı, ˇze ˇreˇsen´ı x je d´ano souˇcinem inverzn´ı matice A-1 a vektoru prav´ ych strav b
1 x1 −0.11 0.05 0.26 0.21 0.05 · −2 x2 = 0.58 2 −0.26 −0.37 0.16 x3
0.31 x1 x2 = 0.26 0.8 x3
a to souhlas´ı s pˇredchoz´ım v´ ypoˇctem.
4.6
ˇ ˇ ROVNICE CTY RI
Uk´aˇzeme si jeˇstˇe ˇreˇsen´ı soustav rovnic, z nichˇz prvn´ı nem´a ˇreˇsen´ı, druh´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı z´avisl´e na jednom parametru a tˇret´ı nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı z´avisl´e na dvou parametrech. Pˇ r´ıklad 1. 2x1 + x2 − x3 + x4 x1 − x2 + x3 − x4 −x1 + x2 − 2x3 2x1 + x2 + 2x4
2 1 −1 1| 0 1 −1 1 −1| 3 −1 1 −2 0| −2 2 1 0 2| 3
1 −1 1 −1| 3 0 3 −3 3| −6 = 0 0 −1 −1| 1 0 0 1 1| 3
=
= = = =
0 3 −2 3
1 −1 1 −1| 3 2 1 −1 1| 0 −1 1 −2 0| −2 2 1 0 2| 3
1 −1 1 −1| 3 0 3 −3 3| −6 0 0 −1 −1| 1 0 0 0 0| 4
=
1 −1 1 −1| 3 0 3 −3 3| −6 0 0 −1 −1| 1 0 3 −2 4| −3
´ Upravy byly n´asleduj´ıc´ı: 1) Nejdˇr´ıve jsme napsali rozˇs´ıˇrenou matici soustavy. 2) Vymˇenili jsme mezi sebou prvn´ı a druh´ y ˇr´adek, abychom mohli n´asobit cel´ ym ˇc´ıslem a ne zlomkem. 3) V prv´em sloupci pod jedniˇckou jsme chtˇeli z´ıskat nuly, to se provedlo tak, ˇze k druh´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -2 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku, k tˇret´ımu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli prvn´ı ˇr´adek a ke ˇctvrt´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -2 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku. 4) Ve druh´em sloupci pod 3 potˇrebujeme dostat nuly, jedna uˇz tam je, takˇze staˇc´ı ke ˇctvrt´emu ˇr´adku pˇriˇc´ıst -1 n´asobek druh´eho ˇr´adku. 5) Zb´ yv´a dostat nulu pod ˇc´ıslem -1 ve tˇret´ım sloupci, pˇriˇcteme tedy ke ˇctvrt´emu ˇr´adku tˇret´ı ˇr´adek a vynuluje se n´am ale cel´ y posledn´ı ˇr´adek, kromˇe prav´e strany. Posledn´ı ˇr´adek pˇrep´ıˇseme do rovnice 0 · x4 = 4, je jasn´e, ˇze ˇz´adn´e takov´e x4 nem˚ uˇze existovat, odtud plyne, ˇze nem˚ uˇze existovat ani ˇreˇsen´ı p˚ uvodn´ı soustavy. 106
=
Pˇ r´ıklad 2. 2x− 3x2 − 2x3 + x4 x1 − x2 − x3 − x4 x1 − 2x2 − x3 + 2x4 x1 + x2 + x4
= = = =
3 2 1 3
1 −1 −1 −1| 2 2 −3 −2 1| 3 = 1 −2 −1 2| 1 1 1 1 0| 3
2 −3 −2 1| 3 1 −1 −1 −1| 2 1 −2 −1 2| 1 1 1 1 0| 3
1 −1 −1 −1| 2 1 −1 −1 −1| 2 0 −1 0 3| −1 0 3| −1 = 0 −1 0 0 0 0| 0 0 0 2 7| −1 0 0 2 7| −1
=
1 −1 −1 −1| 2 0 −1 0 3| −1 = 0 −1 0 3| −1 0 2 2 1| 1
´ Upravy byly n´asleduj´ıc´ı: 1) Nejdˇr´ıve jsme napsali rozˇs´ıˇrenou matici soustavy. 2) Vymˇenili jsme mezi sebou prvn´ı a druh´ y ˇr´adek, abychom mohli n´asobit cel´ ym ˇc´ıslem a ne zlomkem. 3) V prv´em sloupci pod jedniˇckou jsme chtˇeli z´ıskat nuly, to se provedlo tak, ˇze k druh´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -2 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku, k tˇret´ımu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -1 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku a ke ˇctvrt´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -1 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku. 4) Ve druh´em sloupci pod -1 potˇrebujeme dostat nuly, ke tˇret´ımu ˇr´adku pˇriˇcteme -1 n´asobek druh´eho ˇr´adku a ke ˇctvrt´emu ˇr´adku pˇriˇcteme 2 n´asobek druh´eho ˇr´adku. 5) Cel´ y tˇret´ı ˇr´adek se vynuloval, proto ho vynech´ame. D´ale uˇz nelze matici upravovat. Rovnice m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı a my mus´ıme zvolit jedni promˇennou jako parametr a ostatn´ı vyj´adˇrit pomoc´ı toho parametru. Napˇr. zvol´ıme x4 = t,
t∈R
Posledn´ı ˇr´adek pˇrep´ıˇseme do rovnice 2x3 + 7x4 = −1 2x3 = −1 − 7x4 x3 = −0.5 − 3.5t
−x2 + 3x4 = −1 −x2 = −1 − 3x4 x2 = 1 + 3t
x1 − x2 − x3 − x4 = 2 107
x1 = 2 + x2 + x3 + x4 x1 = 2 + (1 + 3t) + (−0.5 − 3.5t) x1 = 2.5 + 0.5t
Tedy ˇreˇsen´ı naˇs´ı soustavy vypad´a takto: x1 x2 x3 x4
~x =
=
2.5 + 0.5t 1 + 3t −0.5 − 3.5t t
,
t∈R
Konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı pro t=0, t=1, t=-2:
~x(0) =
2.5 2 −0.5 0
~x(1) =
3 4 −4 1
~x(−2) =
1.5 −5 6.5 −2
Pˇ r´ıklad 3. x1 − 2x2 + x3 − 3x4 x1 + x2 − 2x3 + 2x4 5x1 − x2 − 4x3 2x1 − x2 − x3 − x4
Ã
= = = =
−3 5 9 2
1 −2 1 −3| −3 1 −2 1 −3| −3 1 −2 1 −3| −3 1 1 −2 2| 5 0 3 −3 5| 8 0 3 −3 5| 8 = = = 5 −1 −4 0| 9 0 9 −9 15| 24 0 0 0 0| 0 2 −1 −1 −1| 2 0 3 −3 5| 8 0 0 0 0| 0
1 −2 1 −3| −3 0 3 −3 5| 8
!
´ Upravy byly n´asleduj´ıc´ı: 1) Nejdˇr´ıve jsme napsali rozˇs´ıˇrenou matici soustavy. 2) V prv´em sloupci pod jedniˇckou jsme chtˇeli z´ıskat nuly, to se provedlo tak, ˇze k druh´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -1 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku, k tˇret´ımu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -5 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku a ke ˇctvrt´emu ˇr´adku jsme pˇripoˇcetli -2 n´asobek prvn´ıho ˇr´adku. 3) Ve druh´em sloupci pod 3 potˇrebujeme dostat nuly, ke tˇret´ımu ˇr´adku pˇriˇcteme -3 n´asobek druh´eho ˇr´adku a ke ˇctvrt´emu ˇr´adku pˇriˇcteme -1 n´asobek druh´eho ˇr´adku. 4) Cel´ y tˇret´ı a ˇctvrt´ y ˇr´adek se vynuloval, proto je vynech´ame. D´ale uˇz nelze matici upravovat. Rovnice m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, ale na rozd´ıl od minul´e soustavy mus´ıme zvolit dva parametry za dvˇe promˇenn´e a ostatn´ı vyj´adˇrit pomoc´ı toho parametru. Napˇr. zvol´ıme x4 = t,
x3 = s t, s ∈ R 108
Posledn´ı ˇr´adek pˇrep´ıˇseme do rovnice 3x2 − 3x3 + 5x4 = 8 3x2 = 8 + 3x3 − 5x4 5 8 + x3 − x4 x2 = 3 3 x2 = 2.7 + s − 1.7t
x1 − 2x2 + x3 − 3x4 = −3 x1 = −3 + 2(2.7 + s − 1.7t) − s + 3t x1 = 2.4 + s − 0.4t Tedy ˇreˇsen´ı naˇs´ı soustavy vypad´a takto:
~x =
x1 x2 x3 x4
=
2.4 + s − 0.4t 2.7 + s − 1.7t s t
,
t∈R
Konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı pro t=0, s=0 a pro t=-2, s=3:
~x(0,0) =
2.4 2.7 0 0
~x(−2,3) =
6.2 9.1 3 −2
Obsah 1 FUNKCE A INVERZN´I FUNKCE, GRAF FUNKCE, DERIVACE FUNKCE ˇ 1.1 CTVEREC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 DERIVACE FUNKCE - u ´vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Pˇr´ımka, smˇernice pˇr´ımky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Pravidla pro v´ ypoˇcet derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Sloˇzen´a funkce a jej´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Konkr´etn´ı pˇr´ıklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ ´IK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 OBDELN 1.3.1 Obd´eln´ık, jehoˇz jedna strana je o 3 delˇs´ı neˇz druh´a . . . . . . . . . 12 1.3.2 Obd´eln´ıky s konstantn´ım obvodem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.3 Obd´eln´ıky s konstantn´ım obsahem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Obd´eln´ıky, kter´e maj´ı co do hodnoty stejn´ y obsah jako obvod . . . 20 ´ 1.4 VALEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 V´alce, kter´e maj´ı konstantn´ı objem 1 litr . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 V´alce, kter´e maj´ı konstantn´ı povrch 10 dm2 . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.3 V´alce, kter´e maj´ı co do hodnoty stejn´ y objem jako povrch . . . . . 26 ´ ´ 1.5 GONIOMETRICKE A CYKLOMETRICKE FUNKCE . . . . . . . . . . . 28 ´ 1.5.1 Uhel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.2 Goniometrick´e funkce a pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık . . . . . . . . . . . . 28 109
1
1.6
1.7 1.8 1.9
´ Y ´ TROJUHELN ´ ´IK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PRAVOUHL 1.6.1 Pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı pˇreponu rovnou 2 . . . . 1.6.2 Pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı odvˇesnu rovnou 2 . . . . 1.6.3 Pravo´ uhl´e troj´ uheln´ıky, kter´e maj´ı konstantn´ı obvod roven 5 ´ TROJUHELN ´ ´IK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OBECNY 1.7.1 Obecn´ y troj´ uheln´ık, kter´ y m´a strany x, 2x, 3x-4 . . . . . . . ´ ´ ´ FUNKCE . . . . . . . . . EXPONENCIALNI A LOGARITMICKA 1.8.1 Rozpad radioaktivn´ı l´atky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DERIVACE FUNKCE - pokraˇcov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 Grafy element´arn´ıch funkc´ı a jejich derivac´ı . . . . . . . . . 1.9.2 Derivace obecn´e exponenci´aln´ı funkce . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 Dr´aha, rychlost, zrychlen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ GEOMETRIE V ROVINE ˇ 2 ANALYTICKA 2.1 VEKTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ´IMKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 PR ˇ 2.3 KRUZNICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 ELIPSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 HYPERBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 PARABOLA . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
32 32 37 39 42 43 46 46 47 47 58 59
. . . . . .
61 61 62 64 66 69 80
´ GEOMETRIE V PROSTORU 3 ANALYTICKA ´ 3.1 VZDALENOST BOD˚ U. . . . . . . . . . . . . . 3.2 VEKTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ´IMKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 PR 3.4 ROVINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 KVADRIKY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Koule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Kuˇzelov´a plocha . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6 V´alcov´e plochy . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
83 83 83 84 85 87 87 88 90 92 94 95
4 ALGEBRA ˇ ROVNICE . . . 4.1 DVE ˇ 4.2 TRI ROVNICE . . . 4.3 DETERMINANT . . ´ ´I MATIC 4.4 NASOBEN 4.5 INVERZN´I MATICE ˇ ˇ ROVNICE . 4.6 CTY RI
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
98 98 100 103 104 104 106
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
110
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
