275
Matematický úvod do unitární teorie pole 1) Základy topologie Vlastnosti prostoru m žeme rozd lit na kvantitativní - metrické (související s m ením vzdáleností, úhl , ploch) - a na kvalitativní topologické. Topologie, která se n kdy též nazývá "kvalitativní geometrie", je velmi zhruba e eno to, co zbude z geometrie, když si z ní odmyslíme všechno co má n jakou velikost (a v tomto smyslu i konkrétní tvar). Topologie studuje takové vlastnosti geometrických útvar , které se p i spojitých deformacích (tj. r zných roztaženích, stla eních nebo zprohýbáních za podmínky že nedochází k žádným roztržením nebo spojením r zných ástí) nem ní. Jinak e eno, topologie systematizuje naše intuitivní p edstavy a zkušenosti o "možném" a "nemožném" v prostoru. Z hlediska topologie jsou kružnice, elipsa, tverec nebo trojúhelník stejné, jsou vzájemn homeomorfní - použitím topologického zobrazení lze deformovat kružnici na elipsu, tverec nebo trojúhelník a naopak. Tím spíše jsou si topologicky ekvivalentní kružnice o r zných polom rech nebo tverce s r znými délkami strany. Podobn koule, elipsoid, krychle a jehlan. Takové vzájemn homeomorfní útvary jsou jen r znými metrickými variantami téže topologické množiny bod . Topologie tedy studuje nejzákladn jší globální vlastnosti prostoru (a geometrických útvar v n m) jako je souvislost, spojitost, po et rozm r , omezenost nebo neomezenost a pod. V tomto smyslu je tedy topologie hlubší a obecn jší než to, co se b žn pokládá ze geometrii. Níže uvidíme p íklady prostor , které mají stejné geometrické (metrické) vlastnosti, avšak zcela odlišné vlastnosti topologické. ást matematiky zvaná topologie, která vznikla p i up es ování intuitivních pojm "spojitost", "blízkost", "limita", se zabývá jakýmsi "místopisem" bodových množin; studuje kvalitativní pojem "blízkosti" jednotlivých bod tím, že specifikuje co se rozumí okolím každého bodu množiny. íkáme, že na množin X je dána topologie,
275
276
je-li ur ena soustava podmnožin U ⊂ X taková, že: a) Pr nik dvou množin z pat í rovn ž do ; b) Sjednocení libovolné soustavy množin z pat í rovn ž do . Množina X (která je rovn ž prvkem ) spolu s danou topologií se nazývá topologický prostor (X, ). Okolím bodu x ∈ X pak rozumíme otev enou množinu U ∈ která bod x obsahuje. Ke vzájemnému porovnávání množin slouží operace zobrazování: zobrazení ϕ : X→Y množiny X do množiny Y znamená, že každému bodu x ∈ X p i adíme ur itý bod
ϕ ( x) ≡ y ∈Y
( 1050 )
Zobrazení ϕ topologického prostoru (X, ) do prostoru (Y, ) se nazývá spojité, jestliže ke každému bodu x ∈ X a ke každému okolí V ∈ bodu ϕ(x) ∈ Y existuje okolí U tak, že ϕ(U) ⊂ V. Vzájemn jednozna né spojité zobrazení ϕ prostoru (X, ) na (Y, ) pro které je i inverzní zobrazení ϕ -1 spojité, se nazývá homeomorfismus (je z ejmé, že ϕ -1 je pak rovn ž homeomorfní zobrazení prostoru Y na X). Homeomorfní zobrazení je tedy takové vzájemn jednozna né zobrazení množin X a Y, p i kterém se blízké body jedné množiny p evád jí na blízké body druhé množiny (otev ené podmnožiny v X a Y tvo ící okolí bod x ∈ X a ϕ(x) ∈ Y jsou ve vzájemn jednozna ném vztahu) - zachovává se p i n m okolí bod . Množiny X a Y, mezi nimiž existuje takový homeomorfismus, se nazývají homeomorfní a považují se z topologického hlediska za ekvivalentní. Homeomorfismus je vyjád ením on ch "spojitých deformací" (stla ení nebo roztažení) zmín ných výše. Topologické pojmy a topologické vlastnosti jsou takové pojmy a vlastnosti, které z stávají zachovány p i homeomorfismu. Nap íklad elektrický obvod je pojem topologický, protože pro jeho innost není podstatné rozmíst ní jednotlivých sou ástek, ale jejich vzájemné propojení (neplatí to tak docela pro vysokofrekven ní techniku, kde se pro r zná rozmíst ní sou ástek mohou r zn uplat ovat jevy elektromagnetické indukce i vyza ování vln).
276
277
Nejnázorn jším p íkladem topologického prostoru je množina reálných ísel R1 s p irozenou topologií danou soustavou podmnožin A ⊂ R1, které spolu s každým svým bodem obsahují vždy i ur itý interval kolem n ho: pro každý bod x ∈ A existují ísla a,b taková, že a < x < b a interval (a, b) ∈ A. Zobecn ním je n-rozm rný Eukleid v prostor Rn všech n-tic reálných ísel (x1,x2,...,xn) p i -∞ < xi < +∞ s obvyklou topologií. A práv dob e známé vlastnosti eukleidovského prostoru, "odkoukané" od chování makroskopických t les, umož ují (pomocí vhodného zobrazení) na jinak amorfním topologickém prostoru zavést dodate né struktury a u init jej tak vhodným nástrojem k modelování fyzikálních d j . Varieta dimenze n (n - rozm rná varieta) n je takový topologický prostor, jehož každý bod má okolí homeomorfní s Rn (s ur itým okolím v Rn). Homeomorfní zobrazení ϕ otev ené (pod)množiny A ⊂ n do Rn p i azuje každému bodu x ∈ A n-tici ísel
ϕ ( x ) = ( x1 , x 2 ,
, xn ) ∈ Rn ,
( 1051 )
které se nazývají sou adnice bodu x. íkáme, že na množin A je zavedena sou adnicová soustava (systém sou adnic) xi. Zvolením jiného homeomorfního zobrazení ϕ' z A ⊂ n do Rn budou jednotlivým bod m x ∈ A p i azeny jiné sou adnice
( x′ , x′ , 1
2
, x′ n ) ∈ R n ,
( 1052 )
p ejdeme k jiné sou adnicové soustav v podmnožin A. Zobrazit celé n do Rn tímto zp sobem však pro mnohé topologické prostory nelze (nap . zobrazení S2 do R2 zavád jící na kulové ploše S2 sférické sou adnice ϑ,ϕ p estává být vzájemn jednozna né na pólech). Obecn tedy m žeme varietu n zobrazit do Rn po ástech vytvá et lokální sou adnicové "mapy" (Aα, ϕα) jednotlivých "domén" (sou adnicových okolí) Aα ⊂ . Soubor map jednotlivých domén Aα ⊂ , pokrývajících (tj. α∪Aα = ), tvo í "atlas" variety .
277
278
Pouze variety topologicky ekvivalentní Rn lze celé pokrýt jedinou mapou ( ,ϕ). Zavedením systému sou adnic ztrácejí body variety svoji "anonymitu" a varieta m že být zkoumána pomocí dob e známých a rozvinutých matematických operací s reálnými ísly.
n Obr.30. V diferencovatelné variet jsou obrazy fα(p) a fβ(p) bodu p z pr niku dvou domén Aα a Aβ svázány spojitými transformacemi v etn derivací do r-tého ádu.
Varieta n se nazývá diferencovatelná t ídy Cr, jestliže je pro ni dán atlas map (Aα, ϕα) jednotlivých domén Aα ⊂ n zobrazovaných vzájemn jednozna nými zobrazeními ϕα na otev ené množiny v Rn spl ující podmínky: a) Aα tvo í pokrytí , tj. α∪Aα = ; b) Mají-li dv domény Aα a Aβ neprázdný pr nik, pak bod m p ∈ Aα ∩ Aβ této p ekrývající se ásti bude zobrazením ϕα p i azena n-tice sou adnic xiα(p) ∈ Rn a zobrazením ϕβ zárove n-tice sou adnic xkβ(p) ∈ Rn tak, že transformace xβi ( p ) = x i xαk ( p )
( 1053 )
jsou v Rn spojité funkce se spojitými derivacemi do r-tého ádu (obr. 30). Aplikujeme-li vlastnost b) na dv domény
( A, ϕ : x → x ( x ) ) i
( 1054 )
a
278
279
( A′, ϕ ′ : x → x′ ( x ) ) i
( 1055 )
takové, že A′ = A = A ∩ A′
( 1056 )
ale
ϕ′ ≠ ϕ ,
( 1057 )
pak p echod od soustavy sou adnic xi k jiné soustav sou adnic x'i bude dán regulární a spojitou transformací
x′i ( x ) = x′i x k ( x )
( 1058 )
r-krát derivovatelnou. V diferenciální geometrii se v tšinou zabýváme lokálními geometrickými vlastnostmi v rámci jedné lokální mapy, zatímco globální geometrie studuje strukturu celé variety.
Aby varieta m la obvyklé lokální vlastnosti (a mohla být použitelná pro klasický popis fyzikálních d j ), kladou se na ni ješt dva dodate né požadavky: Hausdorffovost a parakompaktnost. Prostor se nazývá Hausdorff v, jestliže ke každým dv ma r zným bod m existují r zná jejich okolí. Požadavek parakompaktnosti znamená, že ke každému pokrytí variety soustavou otev ených podmnožin existuje takové jeho zjemn ní, p i n mž každý bod variety má okolí protínající jen kone ný po et podmnožin tohoto zjemn ného pokrytí (tj. toto zjemn ní je lokáln kone né). P i spln ní Hausdorffovosti je parakompaktnost ekvivalentní požadavku, aby m la spo etnou bázi, tj. aby existovala taková spo etná soustava otev ených množin, jejichž sjednocením je libovolná otev ená množina v (prostory, jejichž topologie má spo etnou bázi, se nazývají separabilní). Parakompaktnost umož uje zavedení konexe na (viz níže).
279
280
Obr.31. Souvislost množin (variet). a) Souvislá množina. b) Nesouvislá množina, která je sjednocením dvou disjunktních ástí. c) Jednoduše souvislá množina - všechny spojnice mezi dv ma body jsou topologicky ekvivalentní, každá uzav ená k ivka je homologická nule. d) Dvojnásobn souvislá množina - existují dv t ídy spojnic mezi body, n které uzav ené k ivky (nap . C) nelze smrštit do bodu.
Pod k ivkou ( arou) λ(t) na variet se rozumí zobrazení ur itého 1 úseku R → , tj. množina bod v , které jsou zobrazením bod k ivky xi = xi(t) v Rn parametrizované prom nnou t ∈ R1. Základní topologickou charakteristikou každé množiny (geometrického útvaru) je souvislost. Jako souvislou ozna ujeme takovou varietu, která není tvo ena sjednocením n kolika disjunktních neprázdných ástí; potom každé její dva body lze spojit arou, která je celá sou ástí této množiny (obr. 31a). V opa ném p ípad se jedná o nesouvislou množinu (obr. 31b). Souvislá množina se nazývá jednoduše souvislou, jestliže pro každé dva body A a B jsou všechny spojnice mezi nimi vzájemn topogicky ekvivalentní (homologické); jinak vyjád eno, každou uzav enou k ivku zde m žeme spojit "stáhnout" do bodu (každá uzav ená k ivka je homologická nule) - obr. 20c. Jestliže mezi n kterými body existuje více druh spojnic které nejsou vzájemn topologicky ekvivalentní, jedná se o vícenásobn souvislou množinu (obr. 31d), kde n které uzav ené áry nelze "stla it" do vymizení v bod . P itom "násobnost" souvislosti je definována jako s = c + 1,
( 1059 )
280
281
kde c je po et topologicky nezávislých uzav ených ar, které nelze smrštit do bodu (c je zárove rovno po tu "roz ezání", po kterých se daná množina stává jednoduše souvislou); veli ina s udává, kolika topologicky r znými cestami se lze dostat z jednoho místa variety do druhého místa. n Zobecn ním jednorozm rné k ivky ve variet je p-rozm rná p plocha C (p ≤ n), která je zobrazením p íslušného p-rozm rného podprostoru v Rn. Takovou plochu Cp lze považovat za sou et (sjednocení) elementárních p-rozm rných "rovnob žník ", resp. "krychlí" Kp (které jsou ovšem obecn "k ivo aré")
0 ≤ xα ≤ 1
(α = 1, 2,
, p) .
( 1060 )
Vhodným zp sobem se zde zavádí orientace a s ítání, což umož uje studovat souvislosti mezi r znými plochami C a jejich hranicemi ∂C, nap . p i integrování. Orientovaná p-rozm rná krychle Kp má (p–1)-rozm rnou hranici ∂K tvo enou jednotlivými st nami. Tato plocha je uzav ená a proto nemá sama již žádnou hranici, takže (p–2 )-rozm rná hranice (p–1)-rozm rné hranice p-rozm rné krychle je rovna nule: ∂∂K = 0 .
( 1061 )
Plyne to též z konstrukce hranice krychle pomocí sumy tverc tvo ících hranice jednotlivých st n krychle, kde každá strana tverce je zapo ítávána dvakrát s opa nou orientací a proto se zruší. Obecnou plochu S m žeme rozložit na adu krychlí (pat i né dimenze) Ki:
S=
ai Ki .
( 1062 )
i
Potom hranici plochy S definujeme jako sou et hranic "krychlí" z nichž je složena:
281
282
∂S =
a i ∂K i
( 1063 )
i
(ve skute nosti se v tšina t chto p ísp vk z vnit ních oblastí zruší, protože jsou zapo ítávány dvakrát s opa nou orientací podobn jako u b žného odvozování Gaussovy nebo Stokesovy v ty). Jestliže hranice n jaké p-rozm rné plochy S je rovna nule (∂S = 0), jedná se o uzav enou (kompaktní) plochu. Hranice ∂S každé plochy (nejen uzav ené) je uzav ená plocha, která již nemá svou hranici, takže vždy platí ∂∂S = 0 .
( 1064 )
toto se ozna uje jako topologický princip "hranice hranice je rovna nule", který má velký význam pro zákony zachování v obecné teorii pole. Jestliže dv uzav ené plochy Cp1 a Cp2 tvo í hranici (p+1)-rozm rné oblasti v , íkáme, že jsou vzájemn homologické (mohou být spojitou deformací p evedeny jedna v druhou); pokud uzav ená plocha Cp samotná tvo í hranici (Cp = ∂Ap+1) oblasti A ⊂ , nazývá se homologická nule (spojitou deformací m že být stažena do jediného bodu). Homologická t ída {Cpi} sestává ze všech uzav ených p-rozm rných ploch Cp které jsou vzájemn homologické. Po et nezávislých homologických t íd {Cp1}, {Cp2}, … , {CpBp} ploch dimenze p se nazývá p-tým Bettiho íslem variety (nezapo ítává se zde t ída {Cp0} = {0} ploch homologických nule). Veli ina
χ=
n p =0
( −1)
p
Bp
( 1065 )
se nazývá Eulerovou charakteristikou této variety. V Eukleidov prostoru Rn mohou být všechny p-rozm rné (p ≤ n) uzav ené plochy stla eny do bodu, takže všechny jsou homologické nule a pat í do nulové homologické t ídy {Cp0} = {0}.
282
283
Protože mezi plochami Cp je definováno s ítání, tvo í soubor t chto ploch ve variet grupu; množina t íd vzájemn homologických p-rozm rných uzav ených ploch pak tvo í p-rozm rnou grupu homologií daného prostoru. Vztahy mezi množinami a jejich hranicemi tak mohou být studovány algebraickými metodami v tzv. algebraické topologii. D vod vícenásobné souvislosti oblasti podle obr. 31d je z ejmý: ást z je "vy íznuta", takže daná oblast má krom vn jší hranice též vnit ní hranici, p es kterou žádná spojnice nesmí jít. Existují však útvary i celé prostory bez hranic, které jsou vícenásobn souvislé, jak si ukážeme na následujících jednoduchých p íkladech. Vezmeme rovný list papíru, který m žeme považovat za ást Eukleidovské roviny R2 (obr. 32a). Tento list je jednoduše souvislý a platí zde axiomy Eukleidovy geometrie (proto nap . sou et úhl v narýsovaném trojúhelníku bude roven 180°). Sto íme-li tento list papíru a slepíme prot jší strany, tj. ud láme ztotožn ní
( x + a , y ) ≡ ( x, y ) ,
( 1066 )
dostaneme válcovou plochu. Eukleidovský charakter geometrie se tím lokáln nezm nil - vzdálenosti mezi jednotlivými body z staly stejné, nezm nily se úhly ani plochy. Avšak svými globálními topologickými vlastnostmi je tato válcová plocha zcela jiným dvojrozm rným prostorem než byla p vodní Eukleidova rovina. Mezi každými dv ma body existují dv topologicky odlišné t ídy spojnic, uzav enou kružnici obepínající válec nelze nijak stáhnout do bodu, zatímco jiné uzav ené k ivky ano; válcová plocha je dvojnásobn souvislá a v jednom sm ru (rozm ru) kone ná. Bettiho ísla zde jsou B0=1, B1= 1, B2= 1.
283
284
Obr.32. Ke vztahu mezi (geo)metrickými a topologickými vlastnostmi. a) List papíru je ástí Eukleidovy roviny. Jeho sto ením a slepením dostaneme válcovou plochu s lokáln zachovanou Eukleidovou geometrií, ale jinou globální topologií. b) Jestliže se p i sto ení provede navíc p ekroucení o 180°, vznikne Möbi v list (proužek). c) Sto ením a slepením úseku válcové plochy vznikne toroid (anuloid).
Nebo podobn ohnutím, zkroucením o 180° a slepením - tj. ztotožn ním
( x + a , y ) ≡ ( x, − y )
( 1067 )
papírové pásky s p vodn Eukleidovskou geometrií a topologií, dostaneme známý Möbi v proužek (obr. 32b), jehož lokální geometrie se op t neliší od Eukleidovy, ale topologické vlastnosti má jiné. Jedná se o jednostrannou plochu (známý neúsp šný pokus s obarvením "líce" i "rubu" jedním tahem stejnou barvou), na níž nelze zavést orientaci, protože po jednom ob hu "kolem dokola" se to, co bylo vlevo objeví vpravo, sm r "nahoru" se zm ní na "dol " a naopak. Uvedené p íklady ukazují, že pro úplné ur ení charakteru prostoru nesta í jeho (lokální) metrické vlastnosti, ale je t eba vzít v úvahu též jeho (globální) vlastnosti topologické. Krom Eukleidova prostoru Rn, na n mž je pojem variety založen, tedy existují i obecn jší variety s jinými topologickými vlastnostmi. Uve me si n které další p ípady. Jedním z nejd ležit jších typ variety je kulová plocha. Dvojrozm rná kulová plocha (sféra) S2 jednotkového polom ru je jak známo plocha v R3, jejíž body jsou dány rovnicí
284
285
(x ) + (x ) + (x ) 1 2
2 2
3 2
= 1.
( 1068 )
Analogicky n-rozm rná sféra Sn (jako podprostor v Rn+1) je geometrické místo bod v Rn+1 spl ujících podmínku n +1 i =1
(x )
i 2
= 1.
( 1069 )
Sféra Sn je kone ná (kompaktní) jednoduše souvislá varieta. Pro dvojrozm rnou kulovou plochu S2 jsou Bettiho ísla B0=1, B1=1, B2=1 a Eulerova charakteristika χ =1. Sto íme-li dvojrozm rnou válcovou plochu (zhotovenou z elastického materiálu) a slepíme prot jší základny, vznikne toroid (anuloid, obr. 32c), který má na rozdíl od p vodní válcové plochy svou vnit ní geometrii zak ivenou. Tento toroid T2, který vzniká ztotožn ním
( x + a , y + b ) ≡ ( x, y )
( 1070 )
bod v R2, je p íkladem trojnásobn souvislé plochy. Jsou zde dv t ídy uzav ených k ivek - kružnice podél "velkého" a "malého" obvodu toroidu - které nelze smrštit do bodu. Obecn , n-rozm rný toroid Tn je prostor, který vznikne ztotožn ním
(x
i
+ a i ) ≡ ( x i ) , i = 1, 2,
,n ,
( 1071 )
bod v Rn. Dvojrozm rný toroid T2 má Bettiho ísla rovná B0 =1 (odpovídá t íd všech bod - všechny body jsou vzájemn homologické), B1=2 (jsou dv nezávislé t ídy {C11} a {C12} uzav ených k ivek procházejících kolem menšího a v tšího obvodu toroidu), B2=1 (odpovídá samotnému toroidu); Eulerova charakteristika χ(T2)= 0. Z n-rozm rné variety n a m-rozm rné variety m m žeme "kartézským sou inem" sestrojit (n+m)-rozm rnou varietu n× jejíž body jsou dvojicemi (x, y), kde x je libovolný bod z n a y
285
m
,
286
libovolný bod z m. Nap . Eukleid v prostor R3 je sou inem R2 × R1, Rn lze zapsat jako
R n = R1 × R1 ×
× R1
( 1072 )
(kartézský sou in n-koeficient ). Válcovou plochu C2 lze považovat za sou in kružnice a Eukleidovy p ímky, tj.
C 2 = S 1 × R1 .
( 1073 )
Co se tý e toroidu, je p edevším z ejmé, že jednorozm rný toroid T1 a jednorozm rná sféra S1 (kružnice) jsou vzájemn homeomorfní, tj.
T 1 = S1 .
( 1074 )
Proto n-rozm rný toroid Tn je z topologického hlediska kartézským sou inem n kružnic:
T n = S1 × S1 ×
× S1.
( 1075 )
Topologická struktura variety n× m je p irozeným zp sobem dána strukturou n a m: pro libovolné body x ∈ n a y ∈ m mající sou adnicová okolí A ⊂ n a B ⊂ m je bod (x, y) ∈ n × m obsažen v sou adnicovém okolí A × B ⊂ n × m a má tam sou adnice (xi, yj), kde xi jsou sou adnice bodu x v domén A a yj sou adnice bodu y v domén B. n Funkce f (skalární pole) na variet je zobrazení z n do R1. íkáme, že tato funkce je diferencovatelná t ídy Cr v bod p ∈ jestliže je definována v otev eném okolí bodu p a její vyjád ení
f ( x ) = f ( x1 , x 2 ,
, xn )
,
( 1076 )
pomocí sou adnic xi∈Rn v n jaké lokální sou adnicové soustav má spojité derivace do r-tého ádu podle xi. Z této definice plyne, že v
286
287
diferencovatelné variet t ídy Cs je sou adnice xi(x) diferencovatelnou funkcí t ídy Cs. Dalšími geometrickými objekty, které p irozeným zp sobem souvisejí se strukturou variety, jsou tenzory a tenzorová (speciáln též vektorová) pole. Tenzorem r-tého ádu v bod "p" n-rozm rné variety n se rozumí souhrn nr ísel
T i1 j1 i2 j2
iα
jβ
, i1 , i2 ,
, iα , j1 , j2 ,
, jβ = 1, 2,
,n
( 1077 )
s α ≤ r kontravariantními (horními ) a β = r – α kovariantními (dolními) indexy, které se p i transformaci sou adnic
x′i ( p ) = x′i ( x j ( p ) ) ,
( 1078 )
tj.
∂x′i j dx′ = j dx , ∂x i
( 1079 )
transformují v kontravariantních indexech jako sou iny α - diferenciál sou adnic a v kovariantních indexech jako sou iny β - inverzních diferenciál v bod p :
T′
i1 ,i2 , , iα j1 , j2 , , jβ
∂x′i1 ∂x′i2 = k1 k2 ∂x ∂x
∂x′iα ∂x l1 ∂x l2 ∂x k ∂x′ j1 ∂x′ j2
l
∂x β k1 ,k2 , , kα Tl ,l , , l ∂x′ j 1 2 β
( 1080 )
Tyto transforma ní vlastnosti zaru ují, že tenzorové rovnice jsou invariantní (kovariantní) vzhledem k transformacím sou adnic. Pravidla pro aritmetické operace mezi tenzory jsou stejné jako v eukleidovském prostoru Rn. Aby bylo možno porovnávat vektory a tenzory zadané v r zných bodech variety, zavádí se konexe, tj. pravidlo (p edpis) pro paralelní p enos vektor a tenzor mezi r znými body; varieta se tím stává
287
288
prostorem afinní konexe. A zde již m že p ijít ke slovu diferenciální geometrie - po ítání kovariantních derivací tenzorových polí, kvantifikace zak ivení pomocí tenzoru k ivosti, stanovení geodetických ar atd., jak to bylo nastín no v 1. kapitole. Kone n se do variety zavádí metrika, tj. p edpis pro stanovení vzdáleností mezi jednotlivými body, ímž vzniká metrický prostor. Pomocí sou adnic vyjád ená vzdálenost mezi bodem xi a nekone n blízkým bodem xi + dxi je dána diferenciální formou
ds 2 = gik dx i dx k , i, k = 1, 2,
,n ,
( 1081 )
kde gik je metrický tenzor vyjad ující vztah mezi sou adnicemi a skute nými vzdálenostmi. Aby konexe byla slu itelná s metrikou (konexe a metrika jsou obecn nezávislé struktury zavád né do variety), musí se p i paralelním p enosu zachovávat pravidla tenzorové algebry a velikost p enášeného vektoru. Vede to na zákon paralelního p enosu (2.8) a jednozna ný vztah (2.2b) mezi koeficienty konexe a složkami metrického tenzoru. Metrický prostor s konexí (slu itelnou s metrikou) se nazývá Riemann v prostor. Možnost zavedení libovolného tenzorového pole na variet je obecn podmín na topologickými vlastnostmi variety. Nap . každá nekompaktní varieta p ipouští existenci konstantního vektorového pole. Pro existenci konstantního vektorového pole na kompaktní variet je však nutnou a posta ující podmínkou, aby se Eulerova charakteristika χ variety rovnala nule. Nap íklad válec nebo toroid p ipouští konstantní vektorové pole, zatímco kulová plocha nikoli (nelze hladce u esat vlasy na tenisovém mí ku). P edstavme si nyní, že v t írozm rném topologickém prostoru S ud láme dva otvory. Jeden z nich – V1 – bude za ínat a kon it na povrchu tohoto prostoru a druhý – V2 – bude za ínat sice na povrchu, ale kon it n kde uvnit prostoru.
288
289
Obr. 33. Supravodivá oblast S se dv ma víry V1 a V2 . Jádro víru má nesupravodivou válcovou oblast schematicky znázorn nou na obrázku. Vír 1 za íná i kon í na povrchu supravodi e. V prostoru supravodi e existují stažitelné i nestažitelné k ivky (viz obr. 31d). Smy ky typu b nelze na rozdíl od smy ek typu a v objemu supravodi e z víru stáhnout. Vír V2 ovšem kon í v objemu supravodi e a k ivka se z n j dá stáhnout do bodu A. Vír V1 má tedy netriviální topologii.
Je z ejmé, že otvor V1, bude mít netriviální topologii zvanou vírové vlákno. Uzav enou k ivku b, nem žeme v prostoru z vírového vlákna stáhnout (dvojnásobn souvislý prostor). V p ípad otvoru V2 m žeme uzav enou k ivku v prostoru S snadno stáhnout do bodu A. Taková singularita je jednoduše souvislá a vlastn ji nebudeme singularitou v bec nazývat (jedná se o odstranitelnou singularitu). Pokud budeme v dalším hovo it o singularitách, budeme mít vždy na mysli singularity neodstranitelné, jdoucí nap í celým uvažovaným topologickým prostorem, tj. za ínající i kon ící na jeho povrchu. Protože parametr po ádku kvantové kapaliny definujeme jako komplexní skalár
Ψ ( r, t ) = Ψ exp iΘ ( r, t ) ,
( 1082 )
289
290
m žeme v komplexní rovin sledovat zm nu fáze podél uzav ené k ivky Γ. P i ob hu podél Γ se fáze vlnové funkce m že m nit o 2π n, kde n = 1, 2, … . Vírem v kvantové kapalin nazýváme cirkulaci vektoru okolo osy znané jádro víru. Protože u kvantových vír je rychlost vs proud ní blízko jádra nep ímo úm rná vzdálenosti r od jádra,
r −1 ,
vs
( 1083 )
je jasné, že v ose víru by m la dosahovat nekone né velikosti. V ose víru tedy o ekáváme topologickou singularitu. Integrál rychlosti podél k ivky Γ uvnit víru nazýváme cirkulace víru. Pro daný vír je konstantní, ale obecn to v bec nemusí být celé íslo. V p ípad kvantových kapalin však cirkulace víru je kvantována a je rovna 2π n, kde n je celé íslo, nazývané topologický náboj víru, nebo též navíjecí íslo. Nap . v supratekutém 4He je supratekutá rychlost rovna gradientu makroskopické fáze Θ parametru po ádku:
vs =
∇Θ m
( 1084 )
a cirkulace
v s dl =
m
∇Θ dl =
m
dΘ = Γ
2π n nh = . m m
( 1085 )
Ukažme si nyní na jednoduchých p íkladech vektorových polí na ploše zp sob ur ení topologického náboje. Vezm me si rozložení vektor ležících tangenciáln na povrchu koule.
290
291
Obr. 34. Rozd lení vektorového pole tangenciálního k povrchu koule S2. Existují minimáln 2 singulární body S, J, v nichž vektory sm ují do všech stran. Povrch koule s tangenciálním vektorovým polem se nedá „na esat“ bez singularit.
Snadno nahlédneme, že existují 2 zp soby jejich vzájemného uspo ádání, které oba obsahují 2 singularity s navíjecím íslem n = ± 1 (vektor daného tangenciálního pole se p i plném ob hu po kružnici kolem singularity oto í o úhel ± 2π ). Samoz ejm p i této klasifikaci topologických defekt a singularit vzniká celá ada otázek. Jde nap . o stabilitu takových objekt , o jejich srážky, rozpad, slu ování atd. Tak nap . energie víru s n = 2 je v tší, než energie dvou vír s n = 1. Víry s n = 1 a n = –1 mohou p i kolizi anihilovat. Také zákony zachování n kterých topologických invariant , jako nap . topologického náboje, jsou velice silnými zákony. V teorii elementárních ástic se v sou asnosti rozvíjí velmi nad jná teorie strun (vírových vláken), která si klade za cíl sjednocení všech ty interakcí (budeme o ní hovo it v sedmé kapitole). V ní jsou ástice považovány nikoliv za bodové objekty, jak tomu bylo d íve, ale za malé víry i struny s ur itými náboji na koncích a s ur itým topologickým nábojem (navíjecím íslem). Krom singularit ve form jednodimenzionálních linií (strun) existují též singularity bodové (nuladimenzionální), plošné (dvojdimenzionální) a v teorii strun dokonce i vícedimenzionální, tzv. p – brány.
291
292
Nejjednodušším p ípadem dvojdimenzionální singularity je membrána typu doménové st ny (nap . feromagnetické domény reprezentující oblast mezi dv mi magnetizacemi M a –M). Podobné p echodové oblasti nejr zn jšího charakteru nazýváme také solitony. Takový soliton se m že v prost edí relativn voln pohybovat, procházet p es jiný soliton, aniž by anihiloval atd. Bodové singularity nazýváme monopóly. Tyto monopóly p ipomínají osamocený volný magnetický pól, tzv. Dirac v monopól. Setkáváme se s nimi nap . v elektricky neutrální form , u supratekutého 3He. S rozvojem infla ní kosmologie se v posledním desetiletí minulého století za alo pátrat po topologických defektech typu kosmologická struna, doménová st na a magnetický monopol, i v kosmologických m ítkách. Toto pátrání však dosud nebylo úsp šné. 2) Kalibra ní teorie
Když jsme v p edchozích kapitolách vyjád ily vektory E a B s pomocí skalárního a vektorového potenciálu coby
E = −grad ϕ − B = rot A ,
∂A , ∂t
( 1086 )
ihned zpo átku bylo jasné, že dané elektromagnetické pole (E, B) m žeme získat z r zných hodnot skalárního a vektorového potenciálu. To znamená, že potenciály neur ují dané elektromagnetické pole jednozna n . Vezm me nap . nové potenciály ϕ′, A′ ve tvaru
∂Θ , ∂t A′ = A + grad Θ
ϕ′ = ϕ −
( 1087 )
292
293
a dosa me je do vztah ( 1086 ):
∂A′ ∂ grad Θ ∂A ∂ grad Θ = −grad ϕ + − − = ∂t ∂t ∂t ∂t ∂A = −grad ϕ − , ( 1088 ) ∂t B = rot A′ + rot grad Θ = rot A . E = −grad ϕ ′ −
Funkce Θ(r, t) je libovolná skalární funkce, kterou budeme nazývat fází. Zavedení skalárního a vektorového potenciálu nám v ad p ípad umožnilo snadn jší ešení úloh z elektrodynamiky. Co však s jejich nejednozna ností? Fyzikální význam se d íve p ipisoval pouze polím E, B a nikoliv potenciál m A, ϕ . A p ece moderní fyzika ukázala, že tyto potenciály jsou fundamentáln jší charakteristikou elektromagnetického pole než vektory intenzit a indukcí, a že mohou mít pozorovatelné d sledky. Tento jejich význam byl dlouhou dobu urputn diskutován, ale byl posléze ješt podtržen novými, tzv. kalibra ními (cejchovacímy) teoriemi, které mají tu moc sjednotit na první pohled r zné teorie pole do jedné jediné. Ur itou vybranou formu potenciál z jejich nekone ného po tu nazýváme kalibrací a p echod od jedné kalibrace (A, ϕ) k jiné kalibraci (ϕ′, A′) nazýváme kalibra ní transformací. V p edchozí kapitole jsme vid li, že kvantová teorie pole používá striktn jen elektromagnetických potenciál a nikoliv polí. Všechny pokusy formulovat kvantovou elektrodynamiku s poli E a B ztroskotaly na fyzikálních rozporech, k nimž tato formulace vedla. Ale žádná m itelná veli ina nesmí záviset na výb ru té i oné kalibrace, a to ani v klasické, ani v kvantové mechanice. íkáme, že klasická i kvantová mechanika jsou kalibra n invariantní.
293
294
Maxwellovy rovnice jsou samoz ejm invariantní v i kalibraci ( 1087 ). H. Weyl v roce 1919 byl první, kdo pochopil význam kalibra ní invariance pro fyziku.
Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 – 1955)
Zobecn né ideje této invariance jsou dnes ve fyzice zcela dominantní a zdá se, že nám poskytují klí k jednotnému pochopení sil p sobících mezi elementárními ásticemi. V této kapitole se proto budeme t mito idejemi zabývat pon kud podrobn ji. Schrödingerovu rovnici volné ástice bez vn jších elektromagnetických polí m žeme napsat jako
i
∂Ψ ( r, t ) ∂t
=
1 2 ( −i ∇ ) Ψ ( r, t ) . 2m
( 1089 )
Tato rovnice je invariantní v i transformaci vlnové funkce
Ψ → Ψ ′ = Ψ exp ( iΘ0 ) ,
( 1090 )
kde Θ0 je konstanta nezávislá na ase a na sou adnici. Budeme ji nazývat globální fází.
294
295
Transformace ( 1090 ) se nazývá globální kalibra ní transformací a dotvrzuje nám, že globální fáze je nem itelnou veli inou a vyjad uje jen jakýsi konstantní posun daných ešení. Budeme nyní požadovat invarianci Schrödingerovy rovnice v i lokální kalibra ní transformaci Θ = Θ(r, t). V každém bodu prostoru budeme p edpokládat jinou hodnotu fáze Θ(r, t). Transformace ( 1009 ) bude nyní zobecn na na
Ψ → Ψ ′ = Ψ exp iΘ ( r, t ) .
( 1091 )
Jak si tená snadno odvodí, dosazením Θ′ z ( 1091 ) do ( 1089 ), není už te Schrödingerova rovnice pro volnou ástici invariantní v i této lokální kalibra ní transformaci, protože výrazy ∆Θ(r,t) a ∂Θ(r,t)/∂t nyní nejsou rovny nule. Ukazuje se, že tato lokální transformace ( 1091 ) vyžaduje p ítomnost nových kompenzujících polí, která by vykompenzovala ony p ír stky ∆Θ(r,t) a ∂Θ(r,t)/∂t. Požadavek lokální kalibra ní invariance tak vede ke vzniku nových kompenzujících polí, která nazýváme kalibra ní pole. Snadno se dá ukázat, že tato invariance nám bude generovat Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole: Napíšeme nyní místo ( 1089 ) Schrödingerovu rovnici pro ástici v elektromagnetickém poli ve tvaru, který vyžaduje tato lokální fázová kalibra ní transformace:
1 ∂Ψ 2 , ( −i ∇ − eA ) Ψ + eΘΨ = i 2m ∂t
( 1092 )
kde e je elementární náboj. Snadno se lze p esv d it, že tato rovnice nezm ní tvar p i kalibra ních transformacích
295
296
A → A′ = A +
ϕ → ϕ′ = ϕ −
e
∇Θ ( r, t ) e ∂Θ ( r, t ) ∂t
Ψ → Ψ ′ ( r, t ) = Ψ ( r, t ) e
,
, i Θ( r ,t )
( 1093 )
.
Potenciály a vlnová funkce se tedy m ní od místa k místu. To je výsledek neoby ejn krásný. Požadavek lokální fázové invariance se tak stal jedním ze základních pilí sou asné isti ové fyziky. Lokální kalibra ní invariance m že generovat i další interakce, jako jsou interakce slabé a silné. Odtud plyne ten ohromný úsp ch sou asných kalibra ních teorií jež jsou základem všech pokus o sjednocení fyzikálních sil – elektromagnetických, slabých, silných i gravita ních. Zatím se úsp šn poda ilo sjednotit elektromagnetické a slabé síly do jediné, tzv. elektroslabé interakce (EW). Za teoretické práce v této oblasti obdrželi v roce 1979 Nobelovu cenu A. Salam, S. Weinberg a S. Glashow. Za fantasticky složité experimentální potvrzení existence intermediálních boson W± a Z0 – prost edník slabé interakce – obdrželi Van der Meer a C. Rubbia Nobelovu cenu v roce 1984. áste n úsp šn se též poda ilo slou it elektroslabou a silnou interakci do jediné síly prost ednictvím tzv. grandunifika ní teorie, která však stále ješt eká na své experimentální potvrzení, jež je nesmírn náro né a stalo se velikou výzvou nastupujícím generacím fyzik . Ke všem t mto zásadním objev m promluvíme v této knize ješt podrobn ji. Nyní však sledujme dále linii našich úvah o lokální kalibra ní invarianci. Fázový faktor Θ(r, t) je možné psát rovn ž jako
Θ ( r, t ) = eχ ( r, t ) .
( 1094 )
296
297
Vztahy ( 1093 ) pak m žeme psát v ekvivalentní podob
A → A ′ = A + ∇χ ,
ϕ → ϕ′ = ϕ −
∂χ , ∂t
Ψ → Ψ ′ = Ψ ( r, t ) exp
( 1095 )
ieχ
,
kde χ má rozm r magnetického toku, kdežto Θ bylo bezrozm rné. Smysl této transformace spo ívá v tom, že v každém bod prostoru si m žeme zvolit jinou sou adnicovou soustavu, v níž bychom ur ili fázový úhel. Ve druhé kapitole jsme si ukázali, že požadavek mít v každém míst jinou sou adnou soustavu není formální v c, ale v celé ad p ípad fyzikální nutnost. H. Weyl cht l spojit fáze v r zných lokálních sou adnicích, a nalezl, že tuto transformaci mohou zajistit elektromagnetické potenciály. Ze srovnání rovnic ( 1089 ) i ( 1092 ) vidíme, že jsme v podstat nahradili prostorovou a asovou derivaci výrazy
−i ∇ → ( −i ∇ − eA ) , ( 1096 )
∂ ∂ −i → −i − eϕ . ∂t ∂t
Tento nový typ derivace dob e známe již z našeho d ív jšího pojednání o fyzice gravita ního pole – obecné teorii relativity. Není to nic jiného, než naše stará známá kovariantní derivace. Nyní se ukazuje, že tato derivace má zásadní d ležitost rovn ž v teorii kalibra ních polí. P edpis pro kalibra ní teorie pak zní: nahra oby ejné derivace kovariantními. V druhé kapitole jsme si ukázali, že kovariantní derivace spojuje geometrii v jednom míst prostoru s geometrií v jiném míst . Také jsme si ukázali, že v nezak iveném prostoru se kovariantní derivace rovná b žné derivaci.
297
298
Prostor vnit ních stup volnosti elektromagnetického pole je tedy zak iven. Nabízející se paralela se zak iveným prostoro asem OTR, jež je východiskem pro genezi gravita ní interakce, se nám snaží nazna it, v jakém sm ru se moderní kalibra ní teorie snaží najít spole ný jazyk. Hmota íká prostoru stav kterak se má zak ivit a zak ivený prostor stav zp tn diktuje hmotným ásticím, jak se mají pohybovat. Nejedná se tedy o nic jiného, než o další a ješt d sledn jší geometrizaci fyziky. Nem itelná vlnová funkce ur itého stavu závisí na kalibraci Ψ ′ → Ψ exp
ieχ ( r, t )
,
( 1097 )
tj. v každém míst prostoru je fázový faktor jiný. Schrödingerova rovnice je kalibra n invariantní, ale nap . hamiltonián ástice v elektromagnetickém poli nikoliv, nebo operátor potenciální energie, na rozdíl od operátoru kinetické energie, kalibra n invariantní není (oba operátory spolu nekomutují). Proto jsme museli p ekalibrovat i vlnovou funkci ( 1097 ), abychom získali kalibra n invariantní Schrödingerovu rovnici. V klasické mechanice a elektrodynamice hraje rozhodující úlohu pojem síly F:
dv , dt F = eE + e ( v × B ) . F=m
( 1098 )
V kvantové mechanice však operujeme s potenciály A a ϕ, nikoli s poli E = grad ϕ, B = rot A, které jsou z nich odvozeny derivacemi. Lorentzova síla se v kvantové elektrodynamice nikde neobjevuje. V kvantové mechanice jsou fyzikáln relevantní pouze potenciály, a to i tehdy, pokud v míst , kde se ástice nachází, neexistují žádná pole, jež by na ástici p sobila.
298
299
Znalost polí E a B je tedy pro kvantovou mechaniku nedosta ující, nebo síla sama má v kvantové mechanice velice nep ímý význam, a potenciál m A, ϕ je zde vyhrazena nová, zásadn jší role. Tuto roli poprvé d kladn ji prozkoumali S. Aharonov a D. Bohm. Ti ukázali, že smysl potenciál není vy erpán tím, že ur ují pole E a B a že za ur itých podmínek v mnohonásobn souvislých oblastech jsou integrály potenciál po uzav ené dráze kalibra n invariantní, tj. nejsou ur eny náhodn a mají tedy fyzikální význam. Jinak e eno
A ′ dl =
A dl ,
ϕ ′ dt =
ϕ dt ,
( 1099 )
protože
d χ = 0.
( 1100 )
Samy potenciály jsou nefyzikální, tj. nem itelné veli iny. Jejich integrály však mají fyzikální d sledky v topologicky netriviálních mnohonásobn souvislých oblastech. Stejn tak i Ψ je nepozorovatelné, ale |Ψ|2 již ano. Nyní budeme rozebírat pouze p ípad statického magnetického pole. M jmež tenký a nekone n dlouhý solenoid s rota ní osou totožnou s osou z, jímž protéká elektrický proud, vytvá ející magnetické pole uvnit solenoidu. Vn solenoidu bude magnetické pole B = rot A rovno nule, nikoliv však potenciál A. Potenciál A kolem osy solenoidu má nenulovou jedinou složku, a to azimutální složku Aϕ , zatímco radiální a z-tové složky jsou nulové. Nabitá ástice obíhající kolem solenoidu po dráze Γ, se tedy nachází v místech, kde silové p sobení od solenoidu je rovno nule. Pohyb ástice v elektromagnetickém poli potenciálu A povede ke zm n fáze vlnové funkce o ur itý fázový faktor δ :
299
300
δ=
2
e
A d l.
( 1101 )
1
Elektromagnetické kvantové jevy závisejí na dráhových integrálech potenciál . Pokud ástice ob hne celou uzav enou dráhu Γ, pak celkový fázový posuv bude ∆0 =
e
A d l.
( 1102 )
Γ
Po ob hu k ivky Γ se dostaneme do stejného místa, takže vlnová funkce po ob hu musí spl ovat požadavek jednozna nosti
Ψ Γ = Ψ 0 e i∆ 0 = Ψ 0 ,
( 1103 )
odkud
ei∆0 = 1,
( 1104 )
ili
∆0 =
e
A d l = 2π n ,
n = 0, 1, 2,
.
( 1105 )
Γ
Celkový fázový faktor po ob hu k ivky Γ tak bude bu roven nule, nebo celistvému násobku 2π . Poznamenejme, že fázový posuv zp sobený potenciálem A na neuzav ené dráze není kalibra n invariantní δ ′ ≠ δ , ale celkový posuv na uzav ené dráze již ano, nebo
300
301
∆′0 =
e
∇χ d l =
Adl− Γ
Γ
e
A d l = ∆0 .
( 1106 )
Γ
Vztah ( 1105 ) m žeme s použitím Stokesovy v ty napsat též jako
∆0 =
e
Adl=
e
Γ
B d S = 2π n ,
n = 0, 1, 2,
.
( 1107 )
S
neboli
Φ=
B dS = S
2π n n = . e e
( 1108 )
kde Φ je magnetický induk ní tok. Formule ( 1108 ) vyjad uje podmínku kvantování magnetického toku a platí pro všechny ekvivalentní k ivky Γ, nestažitelné do bodu. Solenoid nám p edstavuje vzhledem ke k ivkám dvojnásobn souvislou oblast. Kdybychom m li k ivku Γ v jednoduše souvislé oblasti, obdrželi bychom výraz Adl= Γ
B d S,
( 1109 )
S
jehož hodnota není kvantována a m že se pro S = 0 rovnat i nule. V dvojnásobn souvislých oblastech však bude magnetický tok vždy kvantován a pro jeho elementární kvantum Φ0 (tzv. fluxon) bude platit Φ0 = . e
( 1110 )
301
302
Aharonov v – Bohm v jev nám tedy ukázal, že v mnohonásobn souvislé oblasti platí vztah pro kvantování magnetického toku, a to i tehdy, pokud na ástici nep sobí žádná silová pole E a B. Tento jev z eteln ukazuje na kalibra ní p vod elektromagnetismu. Je to skute n paradoxní neklasický jev nesilového a nelokálního p sobení, kdy magnetické pole, v našem p ípad soust ed né v ose solenoidu, ovliv uje chování elektron vn solenoidu, aniž by se jich „dotklo“, jak by vyžadovala Lorenzova síla. My však již víme, že tak iní skrze ovliv ování fáze jejich vlnové funkce. Všechny doposud známé interakce – gravita ní, elektromagnetická, slabá, a silná – jsou v kvantové teorii zprost edkovány vým nou ástic bosonohého charakteru. Odpudivé i p itažlivé síly mezi ásticemi jsou zp sobeny vým nou kvant p íslušného pole mezi ásticemi. Tato kvanta jsou vždy virtuální, tj. existují jen po ur itou dobu b hem níž se díky relacím neur itosti
∆E ∆t ≥
( 1111 )
nezachovává energie. Neur itost v energii ∆E m že existovat jen po dobu
∆t ≈
∆E
.
( 1112 )
Za tuto dobu m že ástice prob hnout maximáln dráhu
l = c∆t ≈
c = , ∆E mc
( 1113 )
což je tzv. Comptonova délka ur ující dosah interakce. Na této dráze m že dle poruchové teorie existovat virtuální kvantum o hmotnosti m.
302
303
Takové interakce, jako gravita ní, i elektromagnetická, které jsou zprost edkovány ásticemi, jejichž klidová hmotnost je rovna nule, mají dosah interakce l → ∞ . Jinak tomu ovšem bude pro p ípad interakce slabé a silné. Ty jsou zprost edkovány vým nou hmotných kvant. Objasn ní nenulové hmotnosti t chto kvant se stalo jedním z vrchol kalibra ních teorií. Mechanismus stvo ení hmot si ukážeme nejprve na nejjednodušším p ípad elektromagnetické interakce. Z Maxwellovy teorie plyne, že vektorový potenciál je ur en klasickou vektorovou rovnicí ( 814 ) s ešením
A
exp ( ikr − iωt ) ,
( 1114 )
kde mezi vlnovým vektorem k a úhlovou frekvencí omega platí vztah
ω =c k = 2
2
2
c 2p 2 2
.
( 1115 )
Pro energii fotonu z ( 146 ) dostáváme
E = cp = ω .
( 1116 )
Chceme-li popsat skalární pole ϕ , které je kvantováno kvanty s nenulovou klidovou hmotností, musíme použít celý vztah ( 146 ). Relativistické vyjád ení vztahu mezi ω a k pro hmotnou ástici je tedy jiný, než de Broglie v vztah ( 1113 ). Je jím dob e známá Klein – Gordonova relativistická vlnová rovnice ( 812 ) pro skalární pole ϕ . V roce 1933 zjistili W. Meissner a R.Ochsenfeld, že supravodivé materiály vytla ují magnetickou indukci B ze svého vnit ku. Je pon kud kuriózní, že tento jev byl objeven až tak pozd . D vodem byla topologie použitého vzorku. P i m ení vlastností vodi e p i nízkých teplotách se používaly totiž z úsporných d vod vzorky ve tvaru tenkého prstence, namísto plného válce.
303
304
P itom se n jak pozapomn lo na fakt, že se jedná o r znou topologii. P i snižování teploty tak nedošlo k vypuzení magnetického pole z celého objemu válce, ale jen z objemu supravodi e tvo ícího st ny válce. Šlo tedy o malou zm nu která byla snadno p ehlédnuta. Toto drobné opomenutí zp sobilo, že tento d ležitý jev byl odhalen až o desítky let pozd ji, když Meissner a Ochsenfeld použili pro sv j experiment monokrystal cínu a olova, tedy topologicky jednoduše souvislou oblast. V p ípad , že máme vodivý prstenec p i T > Tc vložen do magnetického pole, pak p i poklesu teploty pod Tc dojde k redistribuci magnetického toku v prstenci. Z oblasti supravodi e bude magnetický tok vytla en a p i odstran ní vn jšího pole se v prstenci zachytí magnetický tok Φ = BS ,
( 1117 )
kde B je indukce v dí e prstence a S je plocha, kterou prstenec obepíná. Hodnota Φ v prstenci musí být kvantována, jak jsme si již ukázali výše. Platí pro ni
Φ = BS = n Φ 0 ,
n = 1, 2,
,
( 1118 )
kde
Φ0 =
h q
( 1119 )
je fluxon a q je elementární náboj nosi tzv. stínícího proudu. Ze standardní kvantové mechaniky víme, že proudová hustota vyvolaná ásticí hmoty m s nábojem q je dána v p ítomnosti elektromagnetického pole kalibra n invariantním výrazem
304
305
q q2 2 ∗ ∗ j= Ψ ( −i ∇Ψ ) + Ψ ( −i ∇Ψ ) − Ψ A. 2m m
( 1120 )
Tento výraz se dá pro vlnovou funkci ( 1082 ) kde Θ(r, t) je fáze, napsat také jako
j=
q 2 Ψ ( ∇Θ − qA ) . 2m
( 1121 )
proudovou hustotu si pak rozložíme na
j = j p + jd ,
( 1122 )
kde první len odpovídá transportnímu proudu a je úm rný gradientu makroskopické fáze Θ(r, t) kondenzátu supravodivých nosi
js =
q 2 Ψ ∇Θ , 2m
( 1123 )
jehož asová derivace
∂ ∇Θ ∂t
E
( 1124 )
je hnací silou transportního proudu. Vytvo íme-li ve vzorku gradient fáze, pote e v supravodi i proud. Bude-li ∇Θ = konst. bude js na ase nezávislým proudem. Druhý len v ( 1121 ) nám udává stínící diamagnetický proud úm rný potenciálu A
q2 2 jd = − Ψ A. 2m
( 1125 )
Podle Maxwellových rovnic platí, že pro statické magnetické pole
305
306
rot B = rot rot A = grad div A − ∇ 2 A = µ0 j .
( 1126 )
Pro vybranou kalibraci div A = 0 platí
∇ 2 A = − µ0 j .
( 1127 )
Srovnáním ( 1127 ) a ( 1125 ), dostaneme pro j ≡ jd rovnici
∇ A= 2
µ0 q 2 2m
2
Ψ A=λ A= 2 L
2 2
c M
2
A.
( 1128 )
kde
λL =
µ0 q Ψ 2
2
− 12
( 1129 )
2m
je tzv. Londonova hloubka vniku magnetického pole do supravodi e, a
M=
( 1130 )
λL c
bylo interpretováno jako zhmotn ní fotonu v prost edí supravodi e. Hustota supravodivých nosi náboje |Ψ|2 ≈ 1028 m-3. Vidíme, že statické magnetické pole nevnikne do supravodi e, protože foton, mající ve vakuu hmotnost M = 0, získá v supravodi i hmotnost M ≠ 0. Pro typickou hodnotu λL = 10-7 m, iní hmotnost fotonu v supravodi i ádov 10-36 kg. Za p edpokladu B = rot A, div B = 0, ∇2 (rot A) = rot (∇2A), m žeme rovnici ( 1128 ) p epsat na tvar
306
307
∇ B=λ B= 2
−2 L
2
c2 M 2
B.
( 1131 )
Rovnice ( 1131 ) je slavnou vektorovou rovnicí vniku statického a hmotného magnetického pole do supravodi e. V jednorozm rném p ípad lze rovnici ( 1131 ) p epsat jako
d 2B ( x) dx 2
=
B( x)
λL2
.
( 1132 )
ešením bude exponenciela
B ( x ) = B ( 0 ) exp −
x
λL
,
( 1133 )
kde B(0) = B je vn jší magnetické pole. Hranice mezi normální fází i vakuem a supravodi em tedy není ostrá, alebrž rozmazaná na vzdálenosti λL . Pokud je však vn jší magnetické pole dostate n silné, za ne pronikat do nitra supravodi e ve form tzv. vírových vláken. Každé toto vlákno má normální nesupravodivé jádro, jímž proniká magnetický tok až zhruba do vzdálenosti λL od jádra, tvo ícího tak v supravodi i topologickou singularitu. Tok pole jednotlivým vírem je rovný práv jednomu fluxonu Φ0 . Nosi i náboje v supravodi i jsou tzv. dielektrony, ili Cooperovy páry. Jedná se o bosony tvo ené kondenzovaným stavem dvojice elektron plovoucích voln ve Fermiho mo i. Tento pár bude mít nejvyšší stabilitu, jestliže vlnové vektory a spiny obou elektron budou antiparalelní. Podstatou Cooperova jevu je nestabilita Fermiho mo e vzhledem k tvorb Cooperových pár . Z kvantové mechaniky víme, že každou interakci si lze znázornit jako vým nu virtuálních boson existujících po dobu ∆t, která je slu itelná s principem neur itosti ( 1111 ).
307
308
V p ípad Cooperova párování jsou on mi bosony kvazi ástice zvané fonony. Fonony se pohybují rychlostí zvuku v daném prost edí, s energií ω a impulsem k . V této teorii chápeme intenzitu vlnového pole u(r, t), která je závislá na prostorových sou adnicích r, jako nekone nou množinu sou adnic spojité kvantov -mechanické soustavy. Jestliže zavedeme zobecn né impulsy odpovídající t mto sou adnicím, a požadujeme, aby pro n platily obvyklé komuta ní relace kvantové mechaniky, m žeme d sledn vytvo it kvantovou teorii takovýchto polí. Jedná se tedy o b žné druhé kvantování, jaké jsme použili již na elektromagnetické pole ve 3. kapitole, kdy se sou adnice u(r, t) stávají op t operátory, nebo nekomutují s p íslušnými zobecn nými impulsy. ˆ } reprezentaci se tak stávají operátory i komplexní normální V {Q sou adnice a j ( k ) . Jak je naším zvykem z d ív jška, budeme je zna it aˆ −j ( k ) .
Komplexn sdružené sou adnici a∗j ( k ) odpovídá hermitovsky
sdružený operátor aˆ +j ( k ) . Snadno ukážeme, že hermitovský oprátor:
ˆ (k ) . aˆ +j ( k ) aˆ −j ( k ) = N j
( 1134 )
má všechny vlastnosti operátoru po tu fonon je stavu (j, k) a má tudíž vlastní hodnotu n j ( k ) . ˆ (k ) , P sobíme-li operátorem aˆ − ( k ) na vlastní funkci operátoru N j
j
ˆ ( k ) , ale s vlastní dostaneme op t vlastní funkci operátoru N j hodnotou n j ( k ) − 1 .
aˆ −j ( k ) má tedy vlastnosti anihila ního operátoru.
308
309
Analogické úvahy nás p ivedou k poznání, že aˆ +j ( k ) zvyšují vlastní hodnotu operátoru po tu fonon o 1 a mají tedy všechny atributy krea ního operátoru. Podstatným rysem každého energetického kvanta je jeho úm rnost frekvenci. Vysokofrekven ní fonony mohou zvyšovat svoji frekvenci jen po relativn velkých skocích. Pravd podobnost, že mód s frekvencí ω bude v bec vybuzen je dána Boltzmannovým faktorem
w = exp −
ω
.
k BT
( 1135 )
A proto módy s ω k BT budou již zanedbateln p ispívat k celkové energii. Jak teplota stoupne nad absolutní nulu, bude se zv tšovat po et užite ných mód (t ch s ω ≤ k BT ). Po et p ispívajících mód pak bude
n (T ) ≈
V 6π 2 v 2
3
k BT
,
( 1136 )
(srov. UTU ( 575 )), odkud obdržíme tzv. Debeyovu teplotu
θD =
ω kB
=
6π n V 2
1 3
kB
v=
6π a3
2
1 3
kB
v,
( 1137 )
kde a je m ížková konstanta. U fonon se tedy jedná se o kolektivní excitace krystalové m íže, jež mají v m ížce jisté spektrální rozd lení a sv j maximální kmito et daný vztahem
309
310
ν max =
kbθ D h
( 1138 )
Vyšší frekvence již nemají smysl, nebo by jejich vlnová délka byla menší, než vzdálenost mezi atomy. Elektrony si tedy mohou vym ovat s m ížkou fonony o kmito tu 0 až νmax . Na obrázku 35 je znázorn n Feynman v diagram tohoto procesu. Elektron s vlnovým vektorem k vyzá í b hem své dráhy fonon s vlnovým vektorem q a zm ní sv j vektor na k – q. P i tomto procesu musí platit zákon zachování hybnosti a energie. Vyzá ený fonon bude poté absorbován dalším elektronem s vlnovým vektorem –k.
310
311
Obr. 35. Feynmanovy diagramy pro emisi (a), absorpci (b) a vým nu fononu q mezi dv ma elektrony (c) s vlnovými vektory (k, -k). P evládne-li tato p itažlivá interakce (c) nad coulombovskou odpudivou interakcí v kovové m ížce, vznikne supravodivý stav.
311
312
Zatímco ve vakuu, kde žádné fonony nejsou, se elektrony pouze elektrostaticky odpuzují, v krystalové m ížce kovu se mohou i p itahovat. Je to podobná p itažlivá síla, která p sobí mezi lo kami na rozvln né hladin . Když se k sob p iblíží, vznikne mezi lo kami "stín", který omezuje ší ení vln kratších vlnových délek, protože ty nedokáží ob lodi tak dob e "obcházet". V kone ném d sledku je mezi lod mi hustota vln nižší a energie okolních vln stla uje ob lodi k sob . Staré námo nické p íru ky dokonce obsahovaly zákaz vplouvání více lodí do p ístavu za rozbou eného po así sou asn . P itažlivá síla by totiž mohla vzr st p i p iblížení lodí natolik, že by se navzájem rozt íštily. Obr. 36
Náboj supravodivých nosi (dielektron ) je tedy ve skute nosti q = 2e a jejich hmotnost m = 2me . Hybnost dielektron je dána výrazem
2me v s = ∇Θ − 2eA .
( 1139 )
protože 2
Ψ =ρ=
n , 2
( 1140 )
312
313
bude
j = ns ev s = 2eρ v s =
ns e ∇Θ ens 2eA ns e ( ∇Θ − 2eA ) − = . ( 1141 ) 2me 2me 2me
nyní si zvolme v supravodi i n jakou uzav enou dráhu Γ Obepínající vírové vlákno, jíž protéká magnetický tok Φ = BS , kde B je magnetická indukce v jád e a S plocha vymezená k ivkou Γ. Z rovnice ( 1060 ) plyne, ∇Θ =
2me j + 2eA . ns e
( 1142 )
Pak dráhový integrál tohoto kanonického momentu po uzav ené k ivce Γ bude
∇Θ d l = Γ
dΘ= Γ
Γ
2me j d l + 2e ens
A d l = nh ,
( 1143 )
Γ
neboli
Ψc =
2e
∇Θ d l = Γ
nh = nΘ0 . 2e
( 1144 )
výraz ( 1144 ) se nazývá fluxoid, Vidíme také, že pro fluxoid zavedený vztahem ( 1144 ) platí:
Θ0 =
h . 2e
( 1145 )
P i ob hu kolem magnetického vírového vlákna se m ní fáze vlnové funkce.
313
314
Z kvantové mechaniky víme, že fyzikáln pozorovatelné jevy jsou dány pouze bilineární kombinací funkce Ψ a funkce k ní hermitovsky sdružené Ψ∗, tj. kvadrátem normy 2
ΨΨ ∗ = Ψ .
( 1146 )
Nyní ale vidíme, že i samotná vlnová funkce, ur ující neklasické vlnové chování, bude mít v netriviální topologii pozorovatelné d sledky ekvivalentní Aharonovovu – Bohmovu jevu. Kvantování fluxoidu nezávisí na k ivce Γ, pokud ji m žeme spojit deformovat v objemu supravodi e na jinou Γ′. Víme již, že spojité transformace (homotopie) nem ní topologii. V p ípad magnetického toku to ovšem neplatí, nebo kdybychom k ivku Γ deformovali tak, že by ležela v hloubce λL , kde existuje magnetické pole a proudy, pak by Φ ≠ Φ0 a museli bychom vzít v úvahu i integrál t chto proud p es k ivku Γ, tj. fluxoid. P esn se tedy kvantuje fluxoid, nikoliv tok. Odtud název fluxon pro jeho elementární kvantum, které nyní již m žeme spojit se zhmotn lým fotonem magnetického pole po fázovém p echodu z vodi e na supravodi . Byli jsme tedy sv dky toho, kterak se p i poklesu teploty pod jistou kritickou hranici rozpadá elektromagnetická interakce na interakci elektrickou, zprost edkovanou i nadále nehmotným fotonem, a interakci magnetickou, zprost edkovanou nyní již zhmotn lou verzí fotonu – fluxonem. Stále by tedy za h ích pokusit se náš postup obrátit a položit si otázku, zda by nemohl vésti naopak ke sjednocení n kterých ze 4 nám dob e známých interakcí. Jak jsme již nazna ili výše, skute n se toto sjednocení již poda ilo u interakce elektromagnetické a slabé.
314
315
P ehled grup
Mezi obvyklé symboly pro grupy pat í: • •
• •
Sn, grupa všech permutací n-prvkové množiny (má n! prvk ). n! An, její normální podgrupa všech sudých permutací (má 2 prvk pro n > 1). ∆n, podgrupa Sn, grupa všech symetrií pravidelného n-úhelníka (2n prvk ). nám již známé aditivní komutativní grupy Z, Zn.
To byly grupy diskrétní (nespojité) a v prvých t ech p ípadech kone né. Další položky budou grupy Lieovy:
GL, SL, O, SO, U, SU …
( 1147 )
Pro tená e, kte í zatím nebudou íst níže uvedený text, uvádíme telegraficky nejd ležit jší informace. GL je grupou všech regulárních matic, SL je podgrupou všech matic s determinantem jedna, O je grupou všech tzv. ortogonálních matic; pojem ortogonální matice m žeme definovat nejmén t emi ekvivalentními zp soby: •
•
• •
Matice, jejichž ádky mají normu jednotkovou a jsou vzájemn kolmé. Matice, pro které platí vztah A = A −1 . Jinými slovy, AA = 1 (což je ekvivalentní se vztahem A A = 1). (Tato vlastnost se nejlépe hodí k d kazu uzav enosti na komposici a inversi). Matice, které zachovávají skalární sou in: bˆ ( x, y ) = bˆ ( Ax, Ay ) . Matice, které zachovávají velikost vektoru.
Kone n , grupou SO rozumíme grupu všech ortogonálních matic, jejichž determinant má hodnotu jedna. Grupy U a SU tzv. unitárních matic jsou analogií grup O a SO jsou užite né v komplexních prostorech. Pojem unitární matice lze op t definovat n kolika ekvivalentními zp soby: unitární matice
315
316
zachovávají skalární sou in v komplexním prostoru a další ekvivalentní podmínky lze formulovat analogicky jako naho e. Cartan ve své disertaci provedl klasifikaci prostých kompaktních spojitých grup a odpovídajících algeber. (Grup íkáme kompaktní, pokud každá posloupnost jejích prvk obsahuje konvergentní podposloupnost; v p ípad grup matic lze íci, že kompaktní grupy jsou grupy matic, jejichž prvky jsou matice se stejn omezenými složkami a navíc jsou tyto grupy uzav ené jako podmnožiny pat i ného vektorového prostoru. V dalším uvádíme n která základní data o tom, jak mohou obecn vypadat kompaktní grupy matic; uvedené výsledky i (gotická) ozna ení pocházejí od Cartana. Použité indexy ozna ují tzv. rank grupy, což je (podobn jako dimenze grupy) pojem, který zavedeme podrobn ji až v kapitole o Lieových algebrách. Zhruba e eno, rank grupy udává, kolik vzájemn komutujících a nezávislých kružnic (''kružnicí'' rozumíme jednoparametrickou podgrupu) jsme schopni v grup objevit - zatímco dimense grupy je íslo, které udává, do kolikadimensionálního euklidovského prostoru jsme schopni danou grupu lokáln vzájemn jednozna n a hladce zobrazit. Rank grupy všech oto ení v E3 (tuto grupu dále zna íme jako SO(3)) je roven jedné, tzn. neexistují dv r zná oto ení prostoru podle neidentických os, která by komutovala. •
Algebra
( l + 1)
l
a jí odpovídající grupa SU ( l + 1) mají dimensi
2
− 1 ; grupa obsahuje všechny unitární unimodulární komplexní matice A rozm ru ( l + 1) × ( l + 1) , to jest matice, spl ující
AA* = 1 , •
det A = 1
( 1148 )
Algebra l a jí odpovídající grupa SO(2l + 1, ) mají dimensi (2l+1)l; grupa obsahuje reálné matice rozm ru ( 2l + 1) × ( 2l + 1) spl ující
316
317
AA = 1 , •
det A = 1
( 1149 )
Algebra l a jí odpovídající grupa Sp(2l ) mají dimenzi l(2l+1); grupa obsahuje komplexní unitární symplektické matice rozm ru 2l × 2l, tj. matice spl ující
AA* = 1 ,
AKA = K
( 1150 )
kde K je n jaká regulární antisymetrická matice (antisymetrická matice lichého rozm ru je vždy singulární, proto 2l). Ani v tomto p ípad ne iní potíže ukázat, že jde o grupu (konkrétn ''unitární grupu nad t lesem kvaternion ''). Na rozdíl od p edchozích grup s jasnou geometrickou interpretací jejich prvk , pojem symplektické grupy lze motivovat jen tená i s alespo minimální znalostí analytické mechaniky: •
•
• • •
• •
Algebra l a odpovídající grupa SO(2l, ) mají dimenzi (2l – 1)l. Další jsou Cartanovy vy até grupy, u nichž uvádíme dimensi a po et rozm r fundamentální representace E6 má komplexní fundamentální representaci a k ní sdruženou, ostatní mají jen reálné representace). 6 a grupa E6, dimenze 78, fund. 27 / 27 . 7a
grupa E7, dimenze 133, fund. 56.
grupa E8, dimenze 248, fund. 248. (Fundamentální representace této grupy splývá s p idruženou). 4 a grupa F4, dimenze 52, fund. 26. 8a
2
a grupa G2, dimenze 14, fund. 7. (Jde o grupu symetrií
Oktonion jakožto algebry nad , které dostaneme jako ješt v tší ''t leso'' (dimense osm) než jsou kvaterniony, nepožadujeme-li u ''t lesa'' asociativitu násobení.)
317
318
Nejen kompaktními grupami živa je teorie grup. (A koli kompaktní grupy mají nesporné p ednosti; mají ''kone ný objem'', tzn. takzvané invariantní integrování po grup (Haarova míra) g∈G
f ( g ) dµ =
g∈G
f ( gh ) d µ =
g∈G
f ( hg ) d µ
( 1151 )
lze normovat na jednotkový integrál z jednotkové funkce, o emž nem že být e i u nekompaktních grup a což nap . zaru uje, že každá lineární representace kompaktní grupy se dá rozepsat jako p ímý sou et nerozložitelných podprostor .) •
GL(n, / )jsou všechny regulární reálné/komplexní matice
•
n × n; zkratka “general linear”. Reálná dimense je n2 v reálném p ípad , dvojnásobná v komplexním. SL(n, / )je podgrupa t ch, které mají determinant roven jedné (tzv. unimodulárních); zkratka “special linear”. Reálná dimense je n2 – 1 v reálném a dvojnásobná v komplexním p ípad . O(n, / ) je grupa všech ortogonálních matic A (spl ujících
•
A -1 = A ); zkratka “orthogonal”. Dimense je n(n – 1)/2 v reálném a dvojnásobná v komplexním. SO(n, / ) je pr nik SL a O; z toho plyne zkratka. Dimense je
•
•
jako u O. Pro t leso je grupa kompaktní a zajímav jší než v komplexním p ípad , kde je lepší studovat kompaktní grupy unitární (viz dále); neudáme-li tedy t leso, míníme tím SO(n, ). Spin(n), což je grupa tém isomorfní s SO(n), ale každému prvku grupy SO(n) odpovídají dva prvky grupy Spin(n), nap . jednotkovému prvku SO(n) p ísluší prvky, které nazveme ''rotace o 0°'' a ''rotace o 360°''. V sekci o spinorech ujasníme, pro rozeznáme rotaci o 2π od rotace o 0°. P íklad: Spin(3) je isomorfní SU(2).
318
319 •
• •
Grupa U(n) všech ko mplexních unitárních matic A rozm ru n × n, spl ujících A −1 = A* ≡ A ; zkratka ''unitary''. Dimense je n2. Grupa SU(n) všech unitárních unimodulárních matic. Grupa O ( m, n ) (a odpovídající unimodulární SO ( m + n ) ) reálných pseudoortogonálních matic A rozm ru ( m + n ) × ( m + n ) , spl ujících
AGA = G
( 1152 )
kde G je matice nulová krom diagonály, na níž leží m jednotek a n minus jednotek. Vidíme, že SO ( m, 0 ) ≡ SO ( m ) , a také
grupa SO ( m, n ) má touž dimensi jako SO ( m + n ) . Kup íkladu
grupa O ( 3, 1) neboli O (1, 3) je známá Lorentzova grupa oto ení relativistického asoprostoru, fixující Minkowského tverec normy vektoru c 2t 2 − x 2 − y 2 − z 2 (za c si p edstavte jednotku, jak iní i teoreti tí fyzici). Desetirozm rná Lorentzova grupa obohacená o libovolná posunutí nese jméno dalšího relativistického prince: grupa Poincaré. Mnozí se rádi dov dí, že konformní grupa obsahuje všechny (i nelineární) transformace zachovávající úhly. (Ve dvou dimensích je nekone n rozm rná, zobrazení odpovídají holomorfním funkcím komplexní prom nné a práv tato skute nost povyšuje struny nad vícerozm rné objekty.) Všimn me si, že i taková grupa SO ( 3, 1) je nesouvislá; skládá se ze dvou komponent s maticemi s a 4 4 < 0 resp. a 4 4 > 0 (transformace p evracející budoucnost na minulost resp. budoucnost). Komplexní analogii nemá smysl uvažovat, nebo by vedla ke grup isomorfní SO(m + n, ): matici A lze zastoupit podobnou maticí B dle vztahu A = CBC−1 , kde matici C získáme z G
319
320
náhradou -1 za i, takže platí CGC = 1 a dosazením za A získáme BB = 1. •
Zato má smysl uvažovat o grup U ( m, n ) a SU ( m, n ) komplexních pseudounitárních matic
AGA* = G
( 1153 )
Grupy transformací, kalibra ní grupy
Pro lepší pochopení n kterých níže používaných pojm a ozna ení, typických pro unitární teorie pole, bude užite né vložit sem krátkou matematickou vsuvku s nastín ním popisu transformací pomocí teorie grup. Grupa je taková (neprázdná) množina G, mezi jejímiž prvky je definována binární operace "•" p i azující každým dv ma prvk m a, b ∈ G nový prvek c = a • b ∈ G,
( 1154 )
který je rovn ž prvkem G. Tato binární transformace je asociativní: (a • b) • c = a • (b • c),
( 1155 )
má jednotkový prvek i ∈ G: a • i = i • a = a
( 1156 )
pro každý prvek a ∈ G, a ke každému prvku a ∈ G existuje prvek inverzní a-1 ∈ G: a • a-1 = a-1 • a = i.
( 1157 )
320
321
Nejobvyklejším p íkladem grupy je množina všech kladných racionálních ísel p i obvyklé operaci násobení ("•" = "."). Jestliže binární operace "•" je komutativní, tj. a•b=b•a
( 1158 )
pro každé prvky a, b ∈ G, nazývá se G Abelova grupa. Po et prvk g grupy G se nazývá ád grupy. Jestliže je g nekone né, ale spo etné, nazývá se G nekone ná diskrétní grupa. Pokud prvky grupy tvo í kontinuální množinu, ád grupy již není použitelný. Zato lze do spojité množiny prvk grupy zavést ur ité topologické vlastnosti definující varietu pop . i metriku. Shora zavedenou binární operaci c = a • b, definující grupu, lze pak zapsat jako funk ní vztah c = f(a, b).
( 1159 )
Jestliže všechny tyto grupové operace (indukující zobrazení grupy G samé na sebe) jsou spojité, množina G tvo í topologickou grupu. Topologická grupa, která je varietou, se nazývá Lieova grupa. Typickým p íkladem Lieovy grupy je Eukleid v prostor Rn. Rovn ž množina spojitých transformací tvo í Lieovu grupu. Práv grupy transformací, p i nichž se zachovávají ur ité veli iny, hrají d ležitou úlohu ve fyzice polí a ástic. Unitární grupa U(N) je definována jako grupa všech transformací x'α = Aαβ xβ (α, β = 1, 2, .... , N),
( 1160 )
která zachovává invarianci unitární délky vektoru |x| = x*αxα ,
( 1161 )
tj. pro transforma ní matici platí vztah A*αβAβα = 1
( 1162 )
321
322
(hv zdi ka* zna í složku komplexn sdruženou). Platí-li další omezení det A = 1, jedná se o tzv. unimodulární podgrupu SU(N) grupy U(N). Grupy ve fyzice
Ve fyzice našly grupy své první uplatn ní v krystalografii, kde se pomocí nich vyjad ují vlastnosti symetrie krystalové m ížky pevných látek. V relativistické fyzice se poprvé grupy objevily již v práci H.Poincaré, který ukázal, že transformace prostorových a asových sou adnic mezi inerciálními vztažnými soustavami (které nazval Lorentzovy) tvo í (Lieovu) grupu; tato grupa obecných Lorentzových transformací (nehomogenních, v etn translací) se nazývá Poincarého grupa. P i dalším rozvoji speciální a zvlášt obecné teorie relativity se však s použitím grup m žeme setkat jen ojedin le a okrajov . Teorie grup se od konce 20. a za átku 30.let za ala více uplat ovat v kvantové mechanice p i analýze víceelektronových konfigurací atom a v kvantové chemii. Grupy unitární symetrie
Nové obzory pro aplikaci grup se od 40. a 50.let let otev ely v jaderné fyzice p i popisu vlastností elementárních ástic. Velký po et elementárních ástic, které byly objeveny p i vysokoenergetických interakcích, p irozen vedl ke snahám o jejich systematiku a zavedení unitariza ních schémat. P edevším, každému baryonu a leptonu je p i azeno baryonové íslo B a leptonové íslo L ( ástice +1, anti ástice -1), které se zachovávají p i všech interakcích. Byly zjišt ny výrazné podobnosti a symetrie mezi n kterými elementárními ásticemi, p edevším hadrony. Odhlédneme-li od elektrického náboje, lze nap . protony a neutrony považovat za dva stavy (dublet) jedné ástice - nukleonu. Podobn piony π+,πo,π- tvo í triplet podobných ástic. P i studiu samotných silných interakcí, které jsou nábojov nezávislé, m žeme od náboje odhlédnout. Pro popis t chto podobností a symetrií byla zavedena nová veli ina izotopický spin neboli izospin T. Nukleony mají
322
323
izospin T = 1/2, p i emž projekce izospinu T = +1/2 odpovídá protonu a T = -1/2 neutronu. Pion m se p ipsal izospin T = 1, s projekcemi 1,0,+1 pro π-,πo,π+. V soustav interagujících nukleon a pion pak platí zákon zachování izospinu. Pro vyjád ení t chto symetrií vznikla grupa SU(2) - speciální, unitární (unimodulární) grupa v komplexním 2-rozm rném prostoru; tato grupa je lokáln izomorfní grup rotací O(3) v 3-prostoru, vyjad ující izotropii prostoru - symetrii v i prostorovým rotacím, vedoucí k zákonu zachování momentu hybnosti. Vyšlo se z formální analogie s oby ejným spinem, kde ástice se spinem 1/2 se vyskytuje ve dvou stavech s pr m tem spinu -1/2, +1/2 a ástice se spinem 1 ve t ech stavech s pr m ty spinu -1,0,+1. Izospin T je vektorem v myšleném (pomocném) "izotopickém prostoru". Obecn ástice s izospinem T se m že vyskytovat v (2 T + 1) stavech s projekcemi izospinu na vztažnou osu:
−T , ( −T + 1) , ( −T + 2 ) ,
, −1, 0, 1,
, (T − 2 ) , (T − 1) , T .
( 1163 )
Dalším d ležitým krokem byl objev n kterých "podivných" (ne ekaných) vlastností interakcí meson K a hyperon p i jejich sdružené párové produkci, které vedly k zavedení pojmu podivnosti, popsaného kvantovým íslem S ("Strange"). Pozd ji bylo zavedeno obecn jší kvantové íslo zvané hypernáboj Y = B + S, dané sou tem baryonového ísla B a podivnosti S. Ukázalo se, že p i silných interakcích se zachovává jak izospin T, tak hypernáboj Y. To p ivedlo k hledání grupy SU(2) × Y, popisující rozší ené vlastnosti symetrie hadrom . V r.1964 navrhli M.Gellman a E.Neeman použít minimální Lieovu grupu, obsahující SU(2) × Y jako podgrupu - grupu unitární symetrie SU(3). Tato rozší ená symetrie vedla k sestavení multipletu baryon - dekupletu (3/2+), v n mž však v té dob chyb lo jedno místo; byl tak p edpov zen hyperon Ω, který byl zanedlouho skute n objeven. Grupa symetrií hadron je 4-parametrická grupa zachování izospinu a hypernáboje. Další analýza unitární symetrie ukázala, že systematiku hadron lze velmi dob e vysv tlit hypotézou, že hadrony jsou složeny ze sub ástic - tripletu kvark . Vznikla tak kvantová chromodynamika jakožto teorie silných interakcí - grupy symetrií U(1), SU(2), SU(3),
323
324
....., SO(...), .... , Lieovy algebry, ... . V terminologii teorie grup unitárních symetrií lze íci, že ástice jsou reprezentacemi grupy symetrií. P esn ji, komponenty báze ireducibilní reprezentace grupy symetrie ztotož ujeme (interpretujeme, p i azujeme) s množinou fyzikálních stav ásticemi (pop . jejich ecxitovanými stavy, rezonancemi). Lorentzova grupa
Hendrik Antoon Lorentz (1853 – 1928)
Sv tobod Q je v pevn zvolené inerciální soustav ur en okamžikem t a polohovým vektorem r. Jinými slovy e eno, sv tobod Q je ur en ty vektorem q, jehož kontravariantní komponenty q µ ≡ {ct , r} ,
( 1164 )
tj.
q 0 ≡ ct ,
( 1165 )
a
q 0 ≡ r ⋅ ek
( 1166 )
je projekce vektoru r na k-tou sou adnou osu.
324
325
Sou adnice q′µ téhož sv tobodu v libovolné jiné inerciální sou adné soustav souvisejí s qµ lineární transformací
q′µ = Λ µν qν + b µ .
( 1167 )
Interval mezi dv ma sv tobody x, y je veli ina, invariantní, tj. musí platit
(x
− yµ ) ( x µ − y µ ) = ( xµ′ − yµ′ ) ( x′µ − y′µ ) ≡ ( x − y ) , 2
µ
( 1168 )
kde kovariantní komponenty xµ ≡ g µν xν .
( 1169 )
Požadavek ( 1168 ) je spln n práv tehdy, když reálné parametry transformace ( 1167 ) vyhovují podmínce g µν Λσ ν Λ µ ρ = gνρ .
( 1170 )
Všechny takovéto transformace tvo í Poincarého grupu. Nejprve se omezíme pouze na vyšet ování Lorentzovy grupy, která je tvo ena t mi z uvažovaných transformací, pro n ž je bµ =0, tj transformace
x′µ = Λ µν xν .
( 1171 )
Povšimn me si, že díky relaci ( 1170 ) je poslední formule ekvivalentní vztahu
x µ = Λν µ x′ν .
( 1172 )
Pro další bude výhodné, transformaci ( 1171 ) zapsat v maticovém tvaru jako
325
326
x′ = x ,
( 1173 )
kde jednosloupcová matice
x0 x1 x≡ 2 x
( 1174 )
x3 a elementy tvercové matice Λ jsou definovány jako ( µ ,ν )
= Λνµ ,
( 1175 )
kde závorkou zd raz ujeme, že na levé stran nejde o tenzorové indexy, ale o indexy íslující maticové elementy. Zavedeme-li ješt tvercovou matici g jejíž elementy g( µ ,ν ) ≡ g µν ,
( 1176 )
m žeme podmínku ( 1170 ) vyjád it v maticovém tvaru jako
g = g,
( 1177 )
což je ekvivalentní s −1
=g
g.
( 1178 )
Porovnáním determinant obou stran této rovnosti dostáváme
( det )
2
=1 .
( 1179 )
Komponentu (0, 0) maticové rovnosti ( 1177 ) lze p epsat do tvaru
326
327
(
( 0,0 )
)
2
3
= 1+ i=1
(
), 2
( i ,0 )
( 1180 )
z n hož vidíme, že
(
( 0,0 )
)
2
≥1 .
( 1181 )
Na základ formulí ( 1179 ), ( 1181 ) m žeme všechny elementy Lorentzovy grupy rozd lit do ty podmnožin: Elementy, pro n ž platí
det
=1,
( 0,0 )
≥1 ,
( 1182 )
tvo í tzv. vlastní Lorentzovu grupu SO(m,n), což je grupa vlastních Lorenzových transformací v m + n dimenzionálním Minkowského prostoru, v n mž as je n dimenzionální. My budeme prozatím operovat pouze ve ty rozm rném prostoro asu, tj. na grup SO(3,1). Ostatní podmnožiny již nep edstavují podgrupy, avšak z SO(3,1) je obdržíme velice snadno: Libovolný element Lorentzovy grupy, pro který platí
det
= −1 ,
( 0,0 )
≥1 ,
( 1183 )
= −1 ,
( 0,0 )
≤1 ,
( 1184 )
≤ −1 ,
( 1185 )
resp. det resp. det
=1,
( 0,0 )
327
328
M žeme vyjád it jako sou in n jakého elementu SO(3,1) s prostorovou inverzí P ≡ Λ(P):
1
−1
P=
,
−1
( 1186 )
−1 resp. asovou inverzí T ≡ Λ(T):
1
T=
−1
,
−1
( 1187 )
−1 resp. asoprostorovou inverzí P ≡ Λ(PT) ≡ Λ(P) Λ (T):
−1
PT =
−1
.
−1
( 1188 )
−1 Libovolný element SO(3,1) lze získat složením speciální Lorentzovy transformace s pooto ením sou adných os. Pooto ení sou adné soustavy o úhel ϕ kolem osy ur ené jednotkovým vektorem n je popsáno transforma ní maticí
( n,ϕ ) = exp ( iϕnM ) ,
( 1189 )
kde
328
329
⋅ ⋅ M1 = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , ⋅ −i i ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ M2 = ⋅ ⋅ ⋅ −i
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ i , ⋅ ⋅
⋅ ⋅ M3 = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −i ⋅ i ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( 1190 )
jsou generátory rotací kolem p íslušných sou adných os. Všechna možná pooto ení sou adné soustavy tvo í grupu SO(3), která je samoz ejm podgrupou grupy SO(3,1). P echodu k sou adné soustav , která se v i výchozí pohybuje rychlostí v ve sm ru jednotkového vektoru n, odpovídá transforma ní matice
( n, v ) = exp ( iunN ) ,
( 1191 )
kde parametr
v 1 c+v u = argtgh = ln c 2 c−v
( 1192 )
nazýváme rapidita, a matice
⋅ i N1 = ⋅ ⋅
i ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ , ⋅ ⋅
⋅ ⋅ N2 = i ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
i ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ , ⋅ ⋅
⋅ ⋅ N3 = ⋅ i
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
i ⋅ ⋅ ⋅ ( 1193 )
jsou generátory speciálních Lorenzových transformací podél p íslušných sou adných os. Tento pohyb budeme nazývat boost. Kompozicí dvou boost podél stejné osy p edstavuje op t boost podél téže osy, ale transformace vzniká složením boost v r zných sm rech již bosostem být nemusí, tj. všechny možné boosty (na rozdíl od rotací) grupu netvo í.
329
330
Matici odpovídající libovolné vlastní Lorentzov transformaci lze jednozna n ur it pomocí šesti reálných parametr tak, že
( a1 ,
, a6 ) = exp i
3
(a M j
j =1
j
+ a j +3 N j ) .
( 1194 )
SO(3,1) je šestiparametrickou nekompaktní Lieovou grupou. Odpovídající Lieova algebra je determinována komuta ními relacemi mezi generátory ( 1190 ), ( 1193 ):
M j , M k = iε jkl M l , N j , N k = −iε jkl M l ,
( 1195 )
N j , M k = M j , N k = iε jkl N l . definujeme-li
I jk ≡ −I kj ≡ ε jkl M l ,
I 0 k ≡ −I k 0 ≡ N k ,
( 1196 )
m žeme komuta ní relace ( 1195 ) zapsat jako I µν , I ρσ = i ( g µσ Iνρ − g µρ Iνσ + gνσ I µσ − gνσ I µρ ) .
( 1197 )
Zavedeme-li parametry
ωkl ≡ −ωlk ≡ ε kli ai ,
ω0l ≡ −ωl 0 ≡ al +3 ,
( 1198 )
m žeme matici ( 1194 ) zapsat jako
i (ω ) = exp ωαβ Iαβ 2
.
( 1199 )
330
331
Snadno se lze p esv d it, že transformace, pro které ωj0 = 0, tvo í podgrupu vlastní Lorentzovy grupy, jíž je pochopiteln grupa SO(3) generovaná generátory t írozm rných rotací R, jíž jsme se dostate n v novali již v UTU. Odpovídající matice mají kvazidiagonální tvar
1 0 0 0 0 . ( R) = 0 R 0
( 1200 )
Porovnáním s formulí ( 1189 ), resp. ( 1191 ) vidíme, že nato ení o úhel ϕ kolem osy n odpovídají parametry
ω0 k = 0 ,
ω jk = ϕε jkl nl ,
( 1201 )
resp., že posouvání rychlostí v ve sm ru n odpovídají parametry
ω0 k = unk ,
ω jk = 0 .
( 1202 )
Z formulí ( 1190 ), ( 1193 ), ( 1196 ) nalezneme, že elementy matic Iαβ mají tvar
( I )( αβ
µ ,ν )
= Iαβ ,µν ,
( 1203 )
kde na pravé stran vystupují elementy invariantního tenzoru 4. ádu
Iαβ ,µν ≡ i ( g αµ gνβ − gνα g βµ ) .
( 1204 )
povšimn me si, že platí
Iαβ ,µν = −I βα ,µν = −Iαβ ,νµ = I µν ,αβ .
( 1205 )
331
332
Z formulí ( 1199 ) až ( 1204 ) vidíme, že v p ípad infinitesimálních transformací nabývá vztah ( 1171 ) tvaru
x′µ = x µ − ωνµ xν .
( 1206 )
Na základ komuta ních relací ( 1197 ) snadno zjistíme, že matice
1 ˆ 2 −N ˆ2, I µν I µν = M 2 1 µνρσ ˆ ⋅N ˆ ε I µν I ρσ = M 2
( 1207 )
komutují se všemi generátory SO(3,1). T mto veli inám jsou v libovolné ireducibilní reprezentaci SO(3,1) p i azeny násobky operátoru identity. Hodnoty t chto násobk je možno využít ke klasifikaci ireducibilních reprezentací. Ireducibilní reprezentace SO(3,1) se však ast ji specifikují zadáním hodnot jiných parametr . K tomu zave me veli iny
1 ( M l + iN l ) , 2 1 ≡ ( M l − iN l ) . 2
J l(1) ≡ l
J (1)
( 1208 )
Komuta ní relace ( 1195 ) jsou pak ekvivalentní relacím
J (j1) , J (k1) = iε jkl J (l1) , J (j2) , J (k2) = iε jkl J (l 2) ,
( 1209 )
J (j1) , J (k2) = 0 .
332
333
Veli iny Jˆ (1) , Jˆ ( 2) tedy m žeme formáln identifikovat jako dva nezávislé impulsmomenty. Ireducibilní reprezentace SO(3,1) pak ur ujeme zadáním velikostí t chto impulsmoment . Tj. D (j, j′ ) ozna uje (2j + 1) (2j′ + 1) rozm rnou ireducibilní reprezentaci SO(3,1), v níž veli in Jˆ (21) , resp. Jˆ (22) je p i azena
jednotková matice vynásobená faktorem j(j + 1), resp. j′(j′ + 1). Všechny kone n rozm rné ireducibilní reprezentace obdržíme, když necháme parametry j, j′ nezávisle probíhat všechny nezáporné celé a polocelé hodnoty. P itom každá z veli in Jˆ (21) , Jˆ (22) je reprezentována hermitovskou
maticí. Z definice ( 1208 ) pak vidíme, že v libovolné kone n rozm rné reprezentaci jsou p i azeny generátor m Ml matice hermitovské, ale matice odpovídají generátor m Nl se od hermitovských liší faktorem i. Tedy s výjimkou triviální reprezentace D (0,0), žádná kone n rozm rná reprezentace SO(3,1) není unitární. Jde o p ímý d sledek nekompaktnosti SO(3,1): Až na triviální jednorozm rnou reprezentaci jsou všechny ireducibilní unitární reprezentace libovolné nekompaktní grupy nekone n rozm rné. Z definice ( 1208 ) dostáváme
1 Jˆ (21) = 4 1 Jˆ (22) = 4
( Mˆ
2
( Mˆ
2
)
ˆ 2 + 2iM ˆ ⋅N ˆ , −N ( 1210 )
)
ˆ 2 + 2iM ˆ ⋅N ˆ . −N
Z formule ( 1207 ) pak vidíme, že vektorová reprezentace je ( 1,1 )
ireducibilní reprezentací D 2 2 . Omezíme-li se v libovolné reprezentaci grupy SO(3,1) pouze na operátory odpovídající element m z její podgrupy SO(3), obdržíme reprezentaci grupy SO(3). Z definice ( 1208 ) dostáváme pro generátory této grupy vyjád ení
333
334
ˆ = Jˆ + Jˆ . M (1) ( 2)
( 1211 )
ˆ p edstavuje celkový Z komuta ních relací ( 1209 ) vidíme, že M impulsmoment, obdržený komposicí dvou nezávislých impulsmoment Jˆ (1) , Jˆ ( 2) . Z pravidel o skládání impulsmoment je pak z ejmé, že ireducibilní reprezentace D (j, j′ ) grupy SO(3,1) p edstavuje z hlediska grupy SO(3) direktní sou et j + j′
⊕ D(
J)
( 1212 )
J = j − j′
jejích ireducibilních reprezentací. Nep ehlédn te, že žádná ireducibilní reprezentace grupy SO(3) není v ireducibilní reprezentaci grupy SO(3,1) zastoupena více než jednou. Nakonec ješt uve me vztahy mezi maticemi odpovídajícími istému nato ení, resp. boostu a maticemi odpovídajícími jednotlivým druh m inverze: P P T T
( n, ϕ ) P = ( n, ϕ ) , ( n, v ) P = ( −n, v ) ,
( 1213 )
( n, ϕ ) T = ( n, ϕ ) , ( n, v ) T = ( −n, v ) .
( 1214 )
334
