MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ STLAČITELNÉ KAPALINY S KAVITACÍ

Konference ANSYS 2009

MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ STLAČITELNÉ KAPALINY S KAVITACÍ Rautová, J., Kozubková, M. VŠB-TU Ostrava, tř, 17. listopadu 15, Ostrava – Poruba, [email protected], [email protected]. Abstract: The article is specialized of the modelling of the fluid compressible liquid with cavitation in the divergent nozzle. Cavitation is not desirable, where pressure may fall blow the saturated vapour pressure and thereby happen to vaporization of the liquid. The bubbles come into being in the section higher pressure suddenly become extinct, it means - behind divergent nozzle – where decrease of the velocity and increase of the pressure. The incurred bubbles are dissolving in the zone of the higher pressure quickly; it is beyond divergent nozzle – where velocity decreases and pressure increase. Fluent offers two possibility of the air entry during modelling of the cavitation. The first variant the air is entry in the cavitation model, where I entry mass fraction of the non-condensable gas. The second variant the air is entry as next (third) phase. Abstrakt: Článek je zaměřen na modelování proudění stlačitelné kapaliny s kavitací v Lavalové dýze. Kavitace je nežádoucí děj, který nastává při poklesu tlaku k hodnotě nasycených par a tím dochází k odpařování kapaliny. Vzniklé bublinky v oblasti vyššího tlaku, tzn. za Lavalovou dýzou – kde se sníží rychlost a zvýší tlak, náhle zanikají. Jako nejjednodušší řešení se nabízí modelovat kavitaci pouze jako směs vody a vodní páry. Významnější, především z hlediska konvergence, je však úlohu řešit také se vzduchem. Fluent nabízí dvě možnosti přístupu zadávání vzduch při modelování kavitace Jednou z možností je zadávání vzduchu v kavitačním modelu kde je zadáván hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu. Další přístup je zadávání vzduchu jako další fáze ve směsi. Keywords: divergent nozzle, cavitation, compressible fluid, Fluent Klíčová slova: Lavalova dýza, kavitace, stlačitelné proudění, Fluent

1. Stlačitelná kapalina Kapalina je stlačitelná z důvodu přítomnosti vzduchu v kapalině a to ve formě rozpuštěného i nerozpuštěného. Vzduch způsobuje dynamické chování proudění. Stlačitelné tekutiny jsou rozpínavé a zaujímají celý objem nádoby. Veličina, která určuje tuto vlastnost kapaliny se nazývá objemová stlačitelnost – vlastnost tekutiny zmenšovat svůj objem při zvyšování tlaku

 ∆p  V 0 = 1 −  K  

(1)

TechSoft Engineering & SVS FEM

kde K je modul objemové stlačitelnosti tekutiny a je definovaný vztahem

K=ρ

dp dρ

(2)

Při stlačování kapaliny se její hmotnost nemění, proto lze psát m = ρ ⋅ V = konst . Diferencováním dostaneme

ρ ⋅ dV + V ⋅ dρ = 0

(3)

z čehož pro objemovou změnu vyplývá

dV dρ + =0 V ρ

(4)

Pro vodu je modul objemové stlačitelnosti definovaný K = 2,1 ⋅10 9 Pa (bez vzduchu). Rozpuštění vzduchu v kapalině se řídí tzv. Henryho zákonem, který vyjadřuje závislost rozpustnosti x plynu v kapalině na jeho tlaku p nad kapalinou při konstantní teplotě

x=

p K

(5)

Henryho konstanta závisí na teplotě, s rostoucí teplotou se snižuje – při zahřívání vody se objevují bublinky, nejedná se o bublinky voní páry, ale o plyny ve vodě rozpuštěné. Stav tekutiny nacházející se v rovnováze může být určen tlakem p , hustotou ρ a teplotou T . Korelaci mezi těmito třemi veličinami určuje stavová rovnice

p

ρ

= r ⋅T

(6)

[ ]

kde V je objem kapaliny m 3

r je měrná plynová konstanta, jenž závisí od druhu tekutiny ( r = 267,1 J ⋅ kg −1 ⋅ K −1 ). Směs kapaliny (vody) a vzduchu (stlačitelného) se může vytvářet uvolňováním rozpuštěného vzduchu z kapaliny (při změně tlaku, rychlosti, teploty), přisátím vzduchu netěsnostmi vedení, především při špatně navržené sací výšce čerpadla. Směs bude mít jiné fyzikální vlastnosti, především pak modul objemové pružnost kapaliny. Stlačitelnost se především projeví u hydraulického rázu a nebo při kavitaci, a mohla by upřesnit použité matematické modely. (Hružík, 2007; Kozubková, 2006).

2. Kavitační modely ve Fluentu 12 Pro řešení kavitace je v literatuře (Ansys, 2009; Kozubková, 2008; Singhal, 2002) doporučený dvourovnicový k-ε model. Pro nízká Reynoldsová čísla (při řešení varianty 12 se pohybujeme


Re = (110400 ÷ 219600) ) je vhodné užívat RNG k-ε model, který je odvozený z Navier-Stokes rovnice. Mixture model je zjednodušený více fázový model, který může být použitý při modelování homogenního vícefázového proudění jestliže se jednotlivé fáze pohybují rozdílnou rychlostí. Vazba mezi jednotlivými fázemi by měla být silná. Mixture model může být také použitý při výpočtech s nenewtonskou kapalinou. Typické aplikace zahrnují usazování, vírové proudění, proudění s nízkým zatížením a proudění s bublinami, kde objemový zlomek plynu zůstává nízký. Mixture model může modelovat n- fází (proudění nebo částice), řeší momentovou rovnici, rovnici spojitosti a rovnici energie pro směs, rovnici objemového zlomku pro druhou fázi a algebraické vyjádření relativní rychlosti. (Kozubková, 2003). Z důvodu zjednodušení je modelována proudící kapalina – voda jako nestlačitelná fáze, avšak pára popř. vzduch jsou modelovány jako stlačitelné a jejich hustota je počítána ze stavové rovnice (6), viz tab. 1. 2.1

Teorie kavitace

Nechť pracovní tekutina je směsí kapaliny a páry. Standardní řídící rovnice v modelu směsi a turbulentním modelu popisuje tok a zodpovídá za efekt turbulence. Transportní rovnice pro páru určuje hmotnostní zlomek páry f vap z rovnice

(

(

)

)

∂ ∂ ∂ ρf vap + ρf vap u vap j = ∂t ∂x j ∂x j

 ∂f vap  γ  + Re − Rc  ∂x j   

(7)

Zdrojové členy zahrnující vznik a kondenzaci páry jsou odvozena z Rayleigho - Plessetovy rovnice a zohledňují limitní velikost bublinky (rozhraní plocha povrchu na jednotkový objem páry). Tyto členy jsou funkcí okamžitého lokálního statického tlaku a jsou dány vztahy pro p < p sat

Re = C e

Vch

ρ l ρ vap

pro p > p sat

Rc = C c

Vch

ρl ρl

σ

σ

2( p sat − p ) 1 − f vap 3ρ l

(

2( p − p sat ) f vap 3ρ l

)

(8)

(9)

kde Vch je charakteristická rychlost, která je aproximována z lokální intenzity turbulence (např.

Vch = k ) a Ce a Cc empirické konstanty, standardně C e = 0 ,02 , C c = 0 ,01 , p sat je tlak nasycených par v kapalině při dané teplotě. 2.2

Rovnice pro nekondenzující plyn

Předpokládáme, že proudící kapalina bude směs vody, páry a nekondenzujícího plynu. Hustota směsi se vypočítá jako

1

ρ

=

f vap

ρ vap

+

fg

ρg

+

1 − f vap − f g

ρl

(10)


Hustota nekondenzujícího plynu ρ g je dána výpočtem

ρg =

V⋅p r ⋅T

(11)

Objemový zlomek nekondenzujícího plynu a kapaliny je upravený na tvar

αg = fg

ρ ρg

(12)

α 1 = 1 − α vap − α g

(13)

Jestli-že uvažujeme účinek nekondenzujícího plynu, je modifikována rovnice (7), a při dosazení za

Vch proměnnou

Re = Ce

Rc = C c

k

σ k

σ

k můžeme psát

ρ l ρ vap

ρl ρl

2( p sat − p ) 1 − f vap − f g 3ρ l

(

)

2( p sat − p ) f vap 3ρ l

(14)

(15)

3. Proudění Lavalovou dýzou Je řešená kavitace v Lavalové dýze. Energetický ústav, Odbor fluidního inženýrství Viktora Kaplana, Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně provedl experimentální měření, se kterým lze naměřená data srovnávat. Obvod experimentu se skládal z cirkulačního čerpadla WILO, snímačů tlaků (na vstupu a výstupu), průtokoměru, Lavalovy dýzy, nádrže, uzavíracího ventilu a hadic. Proudící médium byla voda. Detail Lavalovy dýzy je na obr. 1.

Obr. 1. Geometrie Lavalovy dýzy


Řešené varianty A.

voda+ para – Singhalův kavitační model

B.

voda+para+vzduch – Singhalův kavitační model

C.

voda+para+vzduch – Schnerr and Sauer model

Při řešení modelování v programu Fluent 12 byla použitá čtvercová sít vytvořená v programu Gambit. Síť měla 9228 buněk, bylo však provedeno zjemnění na vstupu a síť má 9660 buněk. Jedná se o osově souměrnou úlohu, detail sítě a popis je uveden na obr. 2.

Obr. 2. Síť pro numerický výpočet 3.1

Fyzikální vlastnosti proudícího média

Teplota vody je konstantní a předpokládá se 20°C (tj. 293,15K). Je počítána varianta bez vzduchu. Dále jsou počítány dvě varianty se vzduchem, kde v jednom případě je vzduch zadáván v Singhalově kavitačním modelu, jako hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu. V druhém případě je vzduch zadáván jako třetí fáze (Schnerr and Sauer model). Voda Pára Vzduch

Hustota [kg.m-3] 998.2 hustota je počítána ze stavové rovnice uživatelsky definovaná - hustota je počítána ze stavové rovnice*

Dynamická viskozita [Pa.s] 0,000985 8,854.10-6 1,789.10-5

Tab.1 Fyzikální vlastnosti * systém Fluent 12 nedovoluje definovat dvě fáze, kde hustota je počítána ze stavové rovnice, proto musela být u vzduchu použita uživatelsky definovaná funkce. V případě kavitace je třeba uvažovat další parametry: povrchové napětí

σ = 0,0717 N ⋅ m −1

tlak nasycených par

p N = 2338 Pa

hmotnostní zlomek vzduchu

0–2%

množství bublin

nb = 1,5.1014


3.2

Okrajové podmínky

A B C

Hmotnostní průtok vody [kg.s-1] 1,71592 1,71592 1,67824

Hmotnostní průtok vzduchu [kg.s-1] -* 4.10-5 **

Tlak na výstupu [Pa] 113847 113847 113847

Tab.2 Okrajové podmínky * Varianta B hmotnostní zlomek nekondenzujícího plynu

f A = 1,24 ⋅10 −5 , (tj. 1% vzduchu)

**(tj. 2% vzduchu.)

4. Výsledky řešení

Obr. 3 Velikost kavitační oblasti v Lavalové dýze – experiment (měření 12)

minimum A B C Obr. 4 Množství páry vyjádřené pomocí objemového zlomku

maximum


Tlak

Rychlost

A

B

C

Obr. 5 Průběhy tlaků a rychlostí

Při monitorování rychlosti na výstupu z Lavalovy dýzy, bylo zjištěno, že rychlost pulzuje a tudíž se také významně mění velikost oblasti páry. Na obr. 6 jsou zaznačeny body ve kterých byla velikost oblasti páry snímána. Provedeme srovnání velikosti kavitační oblasti a rychlosti, dle obr. 5 a obr. 6. Můžeme srovnat bod 2 a bod 8 (obr. 5), kde rychlost proudění média je přibližně stejná. Z obr. 6 je však patrné, že velikost kavitační oblasti při této rychlosti se výrazně liší. Je patrné, že v bodě 8 dosahuje pára svého maxima, což by se dalo očekávat v bodě 7, kde je maximální rychlost.


Obr. 6 Pulsace rychlosti na výstupu z Lavalovy dýzy

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Obr. 7 Množství páry

5. Závěr Všechny úlohy jsou řešeny jako osově souměrné, vícefázové proudění (voda, pára popř. vzduch), časově závislé (je očekávána pulsace toku). Jsou definovány stejné fyzikální vlastnosti všech fází a okrajové podmínky, jednotlivé varianty se liší v kavitačním modelu, tzn. v zadávání vzduchu při výpočtu. Varianta A nekonverguje.


Obsah vzduchu byl určený ve srovnání s fyzikálním experimentem. Vzduch má důležitý vliv na řešení a z výsledků je patrné, že varianta A bez vzduchu není srovnatelná s experimentem (viz obr. 4). Srovnáním obr. 3 a obr. 4 je patrné, že varianta B a C odpovídají experimentu. Také hmotnostní průtok na vstupu a výstupu u varianty A je velmi rozdílný, avšak hmotnostní průtok u varianty B a C je přibližně stejný (což je patrné z obr. 5 – průběhy rychlostí). Z obr. 5 (průběhy tlaků) je zřejmé, že tlak na vstupu je ve všech variantách přibližně stejný. Varianta B předpokládá homogenní rozložení vzduchu ve vodě, to však není vhodné pro všechny úlohy s rozpuštěným vzduchem ve vodě, především pak pro úlohy se složitější geometrií. U varianty C je vzduch modelován jako další (třetí) fáze. Vznik a vývoj páry závisí na velikosti rychlosti, avšak při maximální rychlosti pára nedosahuje svého maxima, viz obr. 6 a 7. GA ČR č. 101/09/1715 Kavitující vírové struktury vyvolané rotací kapaliny.

6. Reference 1. Ansys Fluent Inc. Fluent 12.16– User’s guide. [Online]. c2009. Dostupné z: . 2. Kozubková M., Numerické modelování proudění – FLUENT I. [Online]. c2003. Ostrava: VŠB – TUO, 116 s, poslední revize 6.1.2005, Dostupné z: . 3. Kozubková M., Modelování proudění tekutin FLUENT, CFX. Ostrava: VŠB-TU, 2008, 154 s., ISBN 978-80-248-1913-6, (Elektronická publikace na CD ROM) 4. Kozubková M., Drábková S., Modelování proudění oleje jako stlačitelné kapaliny (hydraulický ráz). In 12. uživatelská konference FLUENT 2006, 7. – 9. březen 2006. Hrotovice: TechSoft Engineering, 2006, s. 153-160. ISBN 80-239-7211-1. 5. Singhal A.K., Athavale M. M., Li H., Jiang Y., Mathematical Basis and Validation of the Full Cavitation Model. In Journal of Fluids Engineering, Vol. 124, 2002, p. 617-624. 6. Hružík L., Simulation of Pressure Response in Pipe. Acta Hydraulica et Pneumatica, 2007, (3), č.1, s. 38 – 42. ISSN 1336-7536.


MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ STLAČITELNÉ KAPALINY S KAVITACÍ

Recommend Documents