Matematick-statistické metody v pojišťovnictví. Prof. RNDr. Bohuslav Sekerka, CSc

Matematick-statistické metody v pojišťovnictví Prof. RNDr. Bohuslav Sekerka, CSc.

Praha listopad 2007

1

Matematick-statistické metody v pojišťovnictví

Autor: Prof. RNDr. Bohuslav Sekerka, CSc., Vydal: Profess Consulting s. r .o. 120 00 Praha 2 Máchova 15

Http://www.e-profess.cz [email protected]

ISBN 80-7259-017-0

2

Obsah

Obsah Úvod..................................................................................................... 4 1. Pojišťovnictví a jeho produkty ........................................................................ 5 1.1. Pojišťovnictví .............................................................................................. 5 1.2. Legislativa pojišťovnictví............................................................................ 7 1.2.1. Zákon o pojišťovnictví a vyhláška........................................................ 8 1.2.1.1. Základní pojmy.............................................................................. 8 1.2.1.2. Podmínky provozování činností v pojišťovnictví ........................ 10 1.2.1.3. Státní dozor v pojišťovnictví ....................................................... 11 1.2.1.4. Povolení k provozování činnosti.................................................. 12 1.2.1.5. Technické rezervy........................................................................ 13 1.2.1.6 Tvorba a použití rezerv ................................................................. 14 1.2.1.7. Skladba a limity finančního umístění .......................................... 20 1.2.1.8. Solventnost pojišťoven a zajišťoven............................................ 21 1.2.1.8.1. Skutečná a minimální míra solventnosti ............................... 21 1.2.1.8.2. Vykazování solventnosti....................................................... 23 1.2.1.9. Odpovědný pojistný matematik ................................................... 32 1.2.1.10. Účetnictví................................................................................... 33 1.2.2. Odvětví a skupiny pojištění ................................................................ 34 2. Životní pojištění .............................................................................................. 37 2.1. Základní pojmy v životním pojištění ......................................................... 37 2.2. Úmrtnostní tabulky.................................................................................... 39 2.2.1.Tvar úmrtnostních tabulek................................................................... 40 2.2.2. Úmrtnostní tabulky v pojištění osob ................................................... 45 2.3. Pojistně-matematické výpočty................................................................... 47 2.3.1. Základní principy................................................................................ 47 2.3.2. Pojistně technická úroková míra, komutační čísla.............................. 48 2.4. Pojistné ...................................................................................................... 50 2.4.1. Jednorázové netto pojistné.................................................................. 50 2.4.2. Běžné netto pojistné............................................................................ 54 2.4.3. Brutto pojistné .................................................................................... 56 2.5. Pojistné rezervy v pojištění osob ............................................................... 57 2.5.1. Netto rezerva....................................................................................... 58 2.5.2. Brutto rezerva ..................................................................................... 61 2.5.3. Výpočty založené na pojistné rezervě................................................. 62 3. Neživotní pojištění .......................................................................................... 65 3.1. Tarifní skupiny a základní ukazatele ......................................................... 65 i

3.2. Škodní tabulka a výlukový řád ze škodního stavu..................................... 67 3.2.1. Škodní tabulka .................................................................................... 67 3.2.2. Výlukový řád ze škodního stavu......................................................... 68 3.3. Pojistné ...................................................................................................... 69 3.3.1. Netto pojistné...................................................................................... 69 3.3.1.1. Obecný vztah pro netto pojistné .................................................. 70 3.3.1.2. Netto pojistné pro různé formy pojištění ..................................... 71 3.3.1.2.1. Výchozí předpoklady............................................................ 71 3.3.1.2.2. Základní formy pojištění....................................................... 72 3.3.1.2.3. Doplňkové formy pojištění (spoluúčast)............................... 74 3.3.2. Netto pojistné pro více období............................................................ 75 3.3.3. Brutto pojistné .................................................................................... 76 3.4. Pojistné rezervy a jejich časové rozlišení .................................................. 78 3.4.1. Přehled rezerv ..................................................................................... 78 3.4.1.1. Rezerva na nezasloužení pojistné ................................................ 78 3.4.1.2. Rezerva na pojistná plnění........................................................... 78 3.4.1.3. Rezerva pojistného neživotních pojištění .................................... 79 3.4.1.4. Vyrovnávací rezerva .................................................................... 79 3.4.2. Časově rozložené rezervy ................................................................... 80 3.4.2.1. Výchozí data ................................................................................ 80 3.4.2.2. Metoda Chain-Ladder .................................................................. 82 3.4.2.3. Metoda získání časových koeficientů .......................................... 84 3.4.2.4. Metoda rozložení plateb podle první platby ................................ 85 3.4.2.5. Metoda rozkladu .......................................................................... 86 3.5. Spoluúčast, bonusy a malusy..................................................................... 88 3.6. Statické modely rizika ............................................................................... 89 3.7. Dynamické modely.................................................................................... 91 3.7.1. Model procesu rizika .......................................................................... 91 3.7.2. Dynamický model rezerv.................................................................... 93 3.7.3. Teorie ruinování ............................................................................... 100 4. Speciální pojištění ......................................................................................... 107 4.1. Penzijní pojištění ..................................................................................... 107 4.1.1. Systémy penzijního pojištění ............................................................ 107 4.1.2. Nefondové penzijní plány................................................................. 108 4.1.3. Fondové penzijní plány - kapitálové financování ............................. 109 4.1.4. Kombinace........................................................................................ 111 4.1.5. Penzijní fondy v České republice ..................................................... 111 4.1.6. Výpočty ............................................................................................ 112 4.2. Zdravotní pojištění................................................................................... 113 5. Zajištění ......................................................................................................... 117 5.1. Pojem zajištění......................................................................................... 117 5.2. Klasifikace zajištění................................................................................. 117 5.3. Proporcionální a neproporcionální zajištění ............................................ 118 5.3.1. Proporcionální zajištění .................................................................... 118 5.3.2. Neproporcionální zajištění................................................................ 119 ii

Obsah

Dodatek Pravděpodobnost a matematická statistika................. 121 1. Náhodné jevy a pravděpodobnost ............................................................... 123 1.1. Náhodné jevy a jevová pole..................................................................... 123 1.2. Definice pravděpodobnosti a její základní vlastnosti .............................. 126 2. Základní pojmy matematické statistiky...................................................... 137 2.1. Definice náhodné veličiny,závislost náhodných veličin ...................... 137 2.2. Distribuční funkce a hustota pravděpodobnosti................................... 137 2.3. Charakteristiky náhodné veličiny ........................................................ 138 2.4. Momentová vytvořující funkce............................................................ 139 2.5. Vybraná rozdělení................................................................................ 140 2.5.1. Rozdělení diskrétních náhodných veličin ..................................... 140 2.5.2. Rozdělení spojitých náhodných veličin ........................................ 142

Literatura ........................................................................................ 147

iii

iv

Úvod

Úvod Tato publikace vznikla na základě poznatků při výuce základů pojišťovnictví pro ekonomicky zaměřené vysokoškolské studenty. Touto publikací sleduji dát čtenářům teoretický a komplexní podklad pro řešení dosti široké třídy praktických úloh z pojišťovnictví. Jde o úvod, v němž jsem shrnul základní postupy používané v praxi. Výklad vyžaduje určité znalosti teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky, které jsem v dodatku též uvedl. Výklad je koncipován tak, aby si čtenář mohl získané poznatky v praxi prohlubovat, aniž by vynakládal značné úsilí. Proto je výklad zaměřen zejména na logickou výstavbu a na rozvoj usuzování. Uváděné vztahy jsou odvozovány a jsou naznačovány postupy formulování vlastních modelů pojišťovnictví. Rozsah publikace nedovolil, ilustrovat modely a postupy na příkladech. Zde odkazuji na běžně dostupnou jinou literaturu. Výklad je též poznamenán snahou v co možná nejkratší době poskytnout čtenářům takový text, aby nebyli odkázáni na vyhledávání jednotlivých poznatků z různých pramenů. Budu vděčný za připomínky, které by přispěly ke zdokonalení této publikace.

V Praze dne 20. října 2007. Autor

5

6

Pojišťovnictví a jeho produkty

1. Pojišťovnictví a jeho produkty 1.1. Pojišťovnictví Pojišťovnictví je jednou z důležitých oblastí národního hospodářství. Z globálního hlediska se účastní zabezpečování bezporuchového fungování národního hospodářství a účastní se finančního zejména kapitálového trhu. Z individuálního pohledu zajišťuje pojistnou ochranu fyzických a právnických osob. Pojišťovnictví má stránku etickou a podnikatelskou. Etická stránka spočívá v solidaritě ostatních pojištěných s postiženým (princip solidarity) a podnikatelská stránka vyplývá z tvorby zisku (jde především o pojišťovny specializující se na životní pojištění). Pojištění lze charakterizovat jako samostatný právní poměr, v němž se jedna strana zavazuje k jednorázové nebo opakujícím se platbám druhé straně uzavírající takové pojistné smlouvy plánovitě a ve velkém počtu, která za to při nastoupení určitých jevů nezávislých na vůli zúčastněných musí poskytnout smluvené protiplnění oprávněnému, a to nejvýše v maximální částce pojištěného rizika1. Pojistné riziko je potenciální možnost vzniku pojistné události, při níž pojišťovna podle sjednané pojistné smlouvy vyplácí pojistné plnění. Předmětem pojištění jsou rizika prokazatelně náhodného charakteru tzv. čistá rizika jako např. doba života, úraz, požár, dopravní havárie. Pojišťovnictví se tedy nezabývá uměle vytvářenými spekulativními riziky jako např. sázková činnost. Pojistná smlouva definuje právní vztah, podle kterého se pojišťovna zavazuje poskytnout finanční plnění (pojistné plnění) v případě, že nastáne určitý náhodný jev (pojistná událost), který předem nelze předpovědět. Definováním pojistné události je určeno riziko, které je příslušnou pojistnou smlouvou kryto. Pojištění pojištěnému slouží jako ochrana proti pojistným rizikům. Pojištěný přenáší svá rizika, jejichž potenciální škodní důsledky jsou z jeho individuálního hlediska velké, na pojistitele (pojišťovnu). Za toto přenesení rizik platí pojistné. Pojistné je tedy cena, za kterou pojišťovna poskytuje pojistnou ochranu.

1

Janko J.: Matematické a statistické základy pojistné techniky. Pojištění životní (2 díly), Vysoká škola speciálních nauk ČVUT Praha 1946

7

Pojišťovna při dostatečně velkém souboru pojistných smluv, které mají podobný charakter s ohledem na riziko (pojistný kmen), je schopna převzatá rizika s využitím inkasovaného pojistného nejen zvládat, ale učinit je předmětem výnosné podnikatelské činnosti.

Pojistná rizika Uvedeme některé typy pojistných rizik. Objektivní riziko určují objektivní faktory, jako např. věk, pohlaví, zdravotní stav a profese pojištěného, charakteristiky pojištěného předmětu a prostředí apod. Subjektivní riziko determinují subjektivní faktory, jako např. snaha pojištěného zachovat své zdraví a život, vyhnout se střetu se zákonem, zachovat pojištěný předmět ve funkčním stavu apod. Morální riziko odpovídá v situaci, kdy pojištěný nepreferuje jednoznačně zabránění škodě. Vyskytuje se často v souvislosti s pojistnými podvody. Osobní riziko je např. riziko předčasné smrti, tělesného poškození, sociální nedostatečnosti při dožití určitého věku apod. Živelní riziko je riziko přímých škod na majetku v důsledku živelních událostí např. požáru, povodně apod. Dopravní riziko je riziko škod vzniklých v souvislosti s dopravním prostředkem (tzv. kaskopojištění, havarijní pojištění) nebo s přepravovaným zbožím (tzv. kargopojištění). Riziko odcizení a vandalství je spojeno se škodou způsobenou krádeží nebo vandalstvím. Jako podmínka pojistného plnění se často klade překonání předepsaných zabezpečovacích opatření při krádeži nebo zjištění pachatele při vandalství. Šomážní riziko je riziko škod vzniklých přerušením provozu nebo výroby v důsledku havárie, výpadku v dodávce energie apod. Do této kategorie patří např. úhyn drůbeže, zkažení zmražených potravin, ušlý zisk či sankce při nedodržení kontraktu. Strojní riziko je riziko havárie či poruchy strojního zařízení v důsledku neodborného zacházení, vady materiálu, chybné technologie apod. Odpovědnostní riziko je riziko škod způsobených v důsledku jednání pojištěného na zdraví a životě jiné osoby nebo na cizím majetku (např. pojištění odpovědnosti za provoz motorového vozidla, za škody způsobené výkonem povolání daňového poradce, odpovědnost za vyrobený léčebný přípravek apod.). Sociálně-politické riziko zahrnuje válečné operace, etnické konflikty, embarga, stávky apod.

8

Pojišťovnictví a jeho produkty Obchodně-finanční riziko vyplývá ze změn ekonomických podmínek a dodavatelsko-odběratelských vztahů na domácím a zahraničním trhu (např. změny cenových relací a kursů, platební neschopnost či neserióznost obchodního partnera). Speciálně do obchodně finančního rizika patří úvěrové riziko spočívající v nebezpečí nesplacení dluhů a devizové riziko spočívající v zabezpečení negativních devizových dopadů. Moderní rizika jsou např. nukleární, ekologické riziko, riziko spojené s provozem kosmických těles, riziko nových nemocí apod.

Složky pojišťovnictví - ekonomie a finance (investiční činnost, účetnictví, daně, marketing, solventnost pojišťovny aj.) - pojistné právo (právní stránka vztahu klient-pojišťovna) - pojistná matematika. Pojistná odvětví Pojistná odvětví jsou - životní pojištění (pojištění osob) - pojištění neživotní např. - pojištění škod na majetku - pojištění odpovědnosti za škodu, pojištění různých finančních ztrát - pojištění úrazu a nemoci - pojištění úvěru a záruky - pojištění právní ochrany - pojištění pomoci osobám v nouzi při cestování nebo pobytu mimo trvalé bydliště. - speciální pojištění - penzijní pojištění - sociální důchodové zabezpečení - zdravotní pojištění. Podrobná specifikace pojistných odvětví životního a neživotního pojištění je uvedena v příloze k zákonu o pojišťovnictví. Tuto specifikaci uvedeme v odstavci popisujícím legislativu týkající se pojišťovnictví.

1.2. Legislativa pojišťovnictví V České republice se pojišťovnictví se řídí zejména zákonem č. 363/1999 Sb., o pojišťovnictví a o změně některých souvisejících zákonů v platném znění (dále „zákon o pojišťovnictví“ nebo „zákon“). Uvedený zákon se nevztahuje na nemocenské pojištění zaměstnanců, důchodové pojištění, sociální zabezpečení a na 9

provádění veřejného zdravotního pojištění, neboť pro tato pojištění a zabezpečení jsou vydány zvláštní právní předpisy. Jde např. o následující zákony ve znění pozdějších předpisů zákon č. 54/1956 Sb., o nemocenském pojištění zaměstnanců zákon č. 155/1995 Sb., o důchodovém pojištění zákon č. 100/1988 Sb., o sociálním zabezpečení. Ministerstvo financí ČR (dále jen „ministerstvo“) jako orgán státního dozoru nad pojišťovnictvím vydává vyhlášky a opatření, např. prováděcí vyhláška Ministerstva financí ČR ze dne 17. března 2000 č. 75/2000 Sb. (dále též „vyhláška“). Pojišťovnictví se dotýkají další zákony a předpisy jako např. obchodní zákoník, občanský zákoník, zákon o daních z příjmů, zákon o cenných papírech a další. Pozornost zaměříme na ustanovení zákona a vyhlášky. Matematický výklad provedeme v dalších kapitolách.

1.2.1. Zákon o pojišťovnictví a vyhláška V tomto odstavci uvedeme ustanovení zákona o pojišťovnictví, která čtenáři poskytnout přehled a význam základních pojmů a která souvisejí s pojistnou matematikou. Dále budou uvedena ustanovení vyhlášky Ministerstva financí ČR ze dne 17. 3. 2000 č. 75/2000 Sb., která upravuje - postup stanovení výše vyrovnávací rezervy, podmínky jejího čerpání, horní mez škodného poměru a maximální hranici tvorby vyrovnávací rezervy, - maximální výši technické úrokové míry a postup, kterým se určí, - limity skladby finančního umístění pojišťovny nebo zajišťovny a - výpočet minimální míry solventnosti pojišťovny nebo zajišťovny, určení hodnoty jejich vlastních zdrojů a způsob vykazování solventnosti.

1.2.1.1. Základní pojmy Pojišťovnou je právnická osoba, které bylo Ministerstvem financí uděleno povolení k provozování pojišťovací činnosti. Pojišťovací činností se rozumí uzavírání pojistných smluv pojišťovnou, správa pojištění a poskytování plnění z pojistných smluv. Součástí pojišťovací činnosti je nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy pojišťovny (dále jen „finanční umístění“), uzavírání smluv pojišťovnou se zajišťovnami o zajištění závazků pojišťovny vyplývajících z jí uzavřených pojistných smluv (pasivní zajištění) a činnost směřující k předcházení vzniku škod a zmírňování jejich následků (zábranná činnost). Zajišťovnou je právnická osoba se sídlem na území České republiky, která provozuje zajišťovací činnost podle zákona nebo právnická osoba se sídlem 10

Pojišťovnictví a jeho produkty v zahraničí, která provozuje zajišťovací činnost v souladu s právní úpravou země svého sídla. Zajišťovací činností2 se rozumí uzavírání smluv, kterými se zajišťovna zavazuje poskytnout pojišťovně ve sjednaném rozsahu plnění, nastane-li nahodilá událost ve smlouvě blíže označená, a pojišťovna se zavazuje platit zajišťovně ve smlouvě určenou část pojistného z pojistných smluv uzavřených pojišťovnou, které jsou předmětem této smlouvy (dále jen „zajišťovací smlouva“), uzavírání zajišťovacích smluv mezi zajišťovnami, správa zajištění a poskytování plnění ze zajišťovacích smluv. Součástí zajišťovací činnosti je nakládání s aktivy, jejichž zdrojem jsou technické rezervy zajišťovny. Činnostmi souvisejícími s pojišťovací nebo zajišťovací činností jsou zprostředkovatelská činnost prováděná v souvislosti s pojišťovací nebo zajišťovací činností, poradenská činnost související s pojištěním fyzických a právnických osob a šetření pojistných událostí prováděné na základě smlouvy s pojišťovnou a další činnosti se souhlasem ministerstva. Zprostředkovatelskou činností v pojišťovnictví je odborná činnost směřující k uzavírání pojistných nebo zajišťovacích smluv a činnosti s tím související. Pojišťovacím agentem je právnická nebo fyzická osoba, která provádí zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví na základě smlouvy s pojišťovnou. Pokud pojišťovna uzavírá smlouvy přímo, může tak činit jen pomocí zaměstnanců, kteří splňují podmínky dané zákonem (bezúhonnost a další podmínky). Pojišťovacím nebo zajišťovacím makléřem je právnická nebo fyzická osoba, která provádí zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví na základě smlouvy s osobou, která má zájem o uzavření pojistné nebo zajišťovací smlouvy. Bezúhonnou osobou je fyzická osoba, která nebyla pravomocně odsouzena pro trestný čin majetkové povahy nebo pro úmyslný trestný čin, nebo jejíž odsouzení pro tyto trestné činy bylo zahlazeno nebo se na ni z jiného důvodu hledí, jako by nebyla odsouzena. Pojistníkem je osoba, která s pojišťovnou uzavřela pojistnou smlouvu. Solventností se rozumí schopnost pojišťovny nebo zajišťovny trvale zabezpečit vlastními zdroji úhradu závazků z pojišťovací nebo zajišťovací činnosti. Správou pojištění se rozumí soubor činností směřujících k udržení a aktualizaci stavu pojistných smluv.

2

Zajišťování je pojištění pojišťovny formou přenesení (cese) části rizik pojišťovnou (prvopojistitelem, cedentem) na jiného pojistitele (zajišťovatele, cesionáře) za cenu odstoupení části inkasovaného pojistného (tzv. zajistné prvopojistitelem zajišťovateli. Zajišťovny (tj. Pojišťovny specializující se na zajišťování se nazývají zajišťovny. Zajišťovny působí obvykle v mezinárodním měřítku a mohou se opřít o velké pojistné kmeny.

11

Pojistným rizikem se rozumí možnost vzniku nahodilé události, se kterou je spojena povinnost pojišťovny uhradit vzniklou škodu nebo vyplatit sjednanou částku. Pojistným kmenem se rozumí soubor uzavřených pojistných smluv; příslušenstvím pojistného kmene jsou práva a povinnosti, které vyplývají z těchto pojistných smluv a finanční prostředky ve výši technických rezerv přiměřených tomuto pojistnému kmeni. Zaslouženým pojistným se rozumí část předepsaného pojistného podle uzavřené pojistné smlouvy, která časově souvisí s probíhajícím účetním obdobím, bez ohledu na to, zda pojistné bylo zaplaceno. Nezaslouženým pojistným se rozumí část předepsaného pojistného podle uzavřené pojistné smlouvy, která časově souvisí s následujícím účetním obdobím, bez ohledu na to, zda pojistné bylo zaplaceno. Splnitelností závazků se rozumí schopnost pojišťovny nebo zajišťovny uhradit v daném okamžiku všechny závazky vzniklé z provozované pojišťovací nebo zajišťovací činnosti včetně závazků splatných v následujících účetních obdobích. Likvidací pojistné události se rozumí soubor činností spojených s vyřizováním pojistné události, který počíná zahájením šetření nutného ke zjištění povinnosti pojišťovny plnit a rozsahu této povinnosti a končí stanovením výše pojistného plnění. Asistenčními službami se rozumí pomoc poskytovaná osobám, které se dostanou do nesnází během cestování, nebo při pobytu mimo místo svého trvalého pobytu. Pojistnými podmínkami se rozumí podmínky zpracované pojistitelem pro uzavírání pojistných smluv pro jednotlivá pojistná odvětví, pro skupiny těchto odvětví nebo pro jednotlivé typy pojištění uzavíraných v rámci pojistného odvětví, zejména všeobecné pojistné podmínky, zvláštní nebo doplňkové pojistné podmínky. Životním pojištěním se rozumí soubor pojistných odvětví uvedených v části A přílohy k zákonu (viz odstavec Odvětví a skupiny pojištění). Neživotním pojištěním se rozumí soubor pojistných odvětví uvedených v části B přílohy k zákonu (viz odstavec Odvětví a skupiny pojištění).

1.2.1.2. Podmínky provozování činností v pojišťovnictví Pojišťovací nebo zajišťovací činnost na území České republiky může provozovat pojišťovna nebo zajišťovna které ministerstvo udělilo povolení. Pojišťovací činnost může za zákonem stanovených podmínek provozovat pojišťovna se sídlem na území České republiky založená pouze jako akciová společnost nebo družstvo. Stanoví-li tak zvláštní právní předpis, může být tato činnost vykonávána i jinou právnickou osobou.

12

Pojišťovnictví a jeho produkty Provozovat zajišťovací činnost může pojišťovna nebo zajišťovna se sídlem na území České republiky založená pouze jako akciová společnost. Na provozování zajišťovací činnosti na území České republiky zajišťovnou nebo pojišťovnou se sídlem v zahraničí se zákon o pojišťovnictví nevztahuje. Pojišťovna může provozovat pouze pojišťovací činnost nebo zajišťovací činnost a činnosti s nimi související, v rozsahu povolení, které jí bylo uděleno ministerstvem financí. Pojišťovna, které bylo uděleno povolení k provozování zajišťovací činnosti, nemůže přebírat do zajištění pojistná rizika, která jsou pojištěna pojistnou smlouvou, kterou sama uzavřela. Zajišťovna může provozovat pouze zajišťovací činnost a činnosti s ní související, a to v rozsahu povolení, které jí bylo uděleno ministerstvem. Nestanoví-li zákon o pojišťovnictví jinak, řídí se právní postavení pojišťovny a zajišťovny obchodním zákoníkem. Pojišťovna založená jako akciová společnost nebo zajišťovna je oprávněna vydávat akcie, s nimiž je spojeno hlasovací právo, pouze v zaknihované podobě. Zahraniční pojišťovny Pojišťovna se sídlem v zahraničí (zahraniční pojišťovna) může na území České republiky provozovat za podmínek stanovených zákonem o pojišťovnictví pojišťovací činnost prostřednictvím své organizační složky. Při udělování povolení k provozování pojišťovací činnosti zahraniční pojišťovně je ministerstvo oprávněno požadovat potřebné informace přímo od orgánu státního dozoru země sídla této pojišťovny a na požádání tohoto dozorčího orgánu poskytovat údaje o činnosti zahraniční pojišťovny na území České republiky prostřednictvím její organizační složky. Nevyplývá-li výměna informací mezi orgány státních dozorů z mezinárodních smluv, je zahraniční pojišťovna povinna na žádost ministerstva zabezpečit získávání potřebných informací od orgánu státního dozoru země sídla pojišťovny. Společenství pojistitelů známé jako Lloyd´s (dále jen „společenství pojistitelů“) považuje za zahraniční pojišťovnu. Vedoucí organizační složky této pojišťovny musí být současně oprávněn zavazovat jednotlivé pojistitele společenství.

1.2.1.3. Státní dozor v pojišťovnictví Státní dozor v pojišťovnictví vykonává zejména v zájmu ochrany spotřebitele ministerstvo. O této své činnosti vypracovává každoročně zprávu, která obsahuje zhodnocení vývoje na pojistném trhu, zejména přehled pojišťoven a zajišťoven, kterým bylo uděleno nebo odejmuto povolení k provozování pojišťovací nebo zajišťovací činnosti, nápravná a sankční opatření přijatá ministerstvem podle zákona o pojišťovnictví, přehled přijatých a připravovaných legislativních změn v oblasti pojišťovnictví a celkové výsledky vývoje pojištění nabízených na pojistném trhu, a uveřejňuje ji ve Finančním zpravodaji nejpozději do 30. září kalendářního roku.

13

Státnímu dozoru v pojišťovnictví podléhají pojišťovny a organizační složky zahraničních pojišťoven, které na území České republiky provozují pojišťovací činnost, tuzemské pojišťovny a zajišťovny provozující zajišťovací činnost a právnické a fyzické osoby, které na tomto území provozují zprostředkovatelskou činnost v pojišťovnictví a další fyzické a právnické osoby, a to v rozsahu stanoveném zákonem o pojišťovnictví. Při výkonu státního dozoru v pojišťovnictví spolupracuje ministerstvo s mezinárodními organizacemi, s orgány státního dozoru jiných států, s ústředními správními orgány a organizacemi působícími v oblasti pojišťovnictví. Každá osoba zúčastněná při výkonu státního dozoru v pojišťovnictví musí splňovat podmínku bezúhonnosti a další podmínky dané zákonem o pojišťovnictví a k výkonu činnosti musí mít odpovídající odborné i kvalifikační předpoklady.

1.2.1.4. Povolení k provozování činnosti Povolení k provozování pojišťovací nebo zajišťovací činnosti na území České republiky uděluje ministerstvo na základě písemné žádosti, která obsahuje náležitosti stanovené zákonem o pojišťovnictví. O této žádosti rozhodne ministerstvo nejpozději do 90 dnů od jejího podání. Povolení nelze udělit, pokud nejsou splněny podmínky stanovené zákonem o pojišťovnictví nebo udělení povolení by bylo v rozporu s mezinárodními smlouvami, kterými je Česká republika vázána a které byly vyhlášeny ve Sbírce mezinárodních smluv. Povolení k provozování pojišťovací činnosti se uděluje podle pojistných odvětví životních pojištění nebo podle pojistných odvětví neživotních pojištění nebo podle skupin neživotních pojištění. Jednou z podmínek udělení povolení k provozování pojišťovací činnosti je zpracování obchodního plánu. Náležitosti tohoto plánu stručně uvedeme.

Obchodní plán obsahuje - pojistné odvětví, popř. skupiny odvětví, pro které má být povolení uděleno včetně pojistných podmínek, - metody výpočtu pojistného, u životních pojištění včetně statistických dat, na kterých je založen tento výpočet, - metody výpočtu technických rezerv, - základní principy pasivního zajištění, - položky, z nichž se sestává minimální garanční fond, - předpokládané náklady na vybudování provozního systému a obchodní sítě a způsob krytí těchto nákladů; v případě provozování pojištění podle odvětví neživotních pojištění (pomoc osobám v nouzi během cestování mimo míst

14

Pojišťovnictví a jeho produkty trvalého pobytu) také finanční zdroje určené na zabezpečení asistenčních služeb, - pro první tři roky - předpokládané výnosy a náklady - předpokládaná výše předepsaného pojistného, nákladů na pojistná plnění a výše tvorby technických rezerv - předpokládaná rozvaha - předpokládané finanční zdroje určené ke krytí závazků z provozované pojišťovací činnosti a ke krytí minimální míry solventnosti.

1.2.1.5. Technické rezervy K plnění závazků z provozované pojišťovací nebo zajišťovací činnosti, které jsou pravděpodobné nebo jisté, ale nejistá je jejich výše nebo okamžik, ke kterému vzniknou, je pojišťovna povinna vytvářet technické rezervy. Je-li provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo více pojistných odvětví životních pojištění, vytváří pojišťovna tyto technické rezervy: a) rezervu na nezasloužené pojistné b) rezervu na pojistná plnění c) rezervu pojistného životních pojištění d) rezervu na prémie a slevy e) rezervu životních pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník f) jiné rezervy. Je-li provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo více pojistných odvětví neživotních pojištění, vytváří pojišťovna tyto technické rezervy: a) rezervu na nezasloužené pojistné b) rezervu na pojistná plnění c) rezervu na prémie a slevy d) vyrovnávací rezervu e) rezervu pojistného neživotních pojištění f) jiné rezervy. Tvorbu jiných rezerv schvaluje ministerstvo na základě žádosti pojišťovny. Součástí žádosti je návrh způsobu tvorby a použití této rezervy. Zahraniční pojišťovna je povinna vytvářet technické rezervy podle zákona o pojišťovnictví k plnění závazků z pojišťovací činnosti provozované na území České republiky prostřednictvím své organizační složky. Společenství pojistitelů prokazuje ministerstvu tvorbu těchto rezerv v souladu s předpisy platnými pro společenství pojistitelů; výkaz o této tvorbě předkládaný ministerstvu musí být potvrzen orgánem státního dozoru země sídla společenství pojistitelů. Zajišťovna je povinna udržovat technické rezervy ve výši odpovídající jejím závazkům vyplývajícím z uzavřených zajišťovacích smluv.

15

O každé technické rezervě se účtuje odděleně od ostatních závazků pojišťovny nebo zajišťovny. Výkaz o tvorbě a výši technických rezerv a skladbě finančního umístění aktiv, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, předkládá pojišťovna nebo zajišťovna ministerstvu vždy k 30. červnu a 31. prosinci běžného roku, a to ve lhůtě do 60 dnů po uvedeném datu. Náležitosti výkazu vyhlašuje ministerstvo ve Finančním zpravodaji. Pojišťovna nebo zajišťovna je povinna ve skladbě finančního umístění aktiv, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, postupovat tak, aby a) jednotlivé složky finančního umístění poskytovaly záruku návratnosti vložených prostředků (zásada bezpečnosti), b) jednotlivé složky finančního umístění zabezpečovaly výnos z jejich držby nebo zisk z jejich prodeje (zásada rentability), c) v závislosti na charakteru provozované pojišťovací nebo zajišťovací činnosti byla část finančního umístění pohotově k dispozici k výplatě pojistných plnění ve lhůtě stanovené občanským zákoníkem (zásada likvidity), d) jednotlivé složky finančního umístění byly rozloženy mezi větší počet právnických osob, mezi nimiž není vztah ovládané a ovládající osoby ani osob, které jednají ve shodě s podle zvláštního právního předpisu (ustanovení obchodního zákoníku) (zásada diverzifikace). Jestliže se zajišťovna podílí na technických rezervách pojišťovny, je pojišťovna povinna uzavřít zajistnou smlouvu tak, aby nebyla ohrožena splnitelnost závazků pojišťovny.

1.2.1.6 Tvorba a použití rezerv Rezerva na nezasloužené pojistné Rezerva na nezasloužené pojistné se tvoří jak u životních, tak i u neživotních pojištění. Výše této rezervy odpovídá části předepsaného pojistného vztahujícího se k budoucím účetním obdobím a stanoví se jako souhrn těchto částí pojistného vypočítaný podle jednotlivých pojistných smluv. Nelze-li rezervu na nezasloužené pojistné stanovit uvedeným algoritmem, použijí se pro stanovení výše rezervy matematicko - statistické metody. U těch pojištění, u kterých se pojistné riziko v průběhu roku opakovaně mění, se pro stanovení výše rezervy použijí matematicko - statistické metody, které k průběhu pojistného rizika přihlížejí.

Rezerva na pojistná plnění Rezerva na pojistná plnění u životních i neživotních pojištění je určena ke krytí závazků z pojistných událostí a) v běžném účetním období vzniklých, hlášených, ale v tomto období nezlikvidovaných,

16

Pojišťovnictví a jeho produkty b) v běžném účetním období vzniklých, ale v tomto období nehlášených. Rezerva na pojistná plnění obsahuje rovněž hodnotu odhadnutých nákladů spojených s likvidací pojistných událostí. Výše rezervy na pojistná plnění podle písm. a) se stanoví jako souhrn nákladů na pojistná plnění vypočítaných pro jednotlivé pojistné události. Nelze-li výši rezervy stanovit uvedeným způsobem, použijí se matematicko - statistické metody. Výše rezervy na pojistná plnění podle písm. b) se stanoví metodou kvalifikovaného odhadu. Rezerva na pojistná plnění se snižuje o odhad předpokládané výše vymahatelných částek, na něž má pojišťovna nárok v souvislosti s pojistnými plněními. Poskytuje-li se u jednotlivých druhů pojištění pojistné plnění formou důchodu, tvoří se rezerva na pojistná plnění na základě pojistně matematických metod. Závazky z pojistných událostí nastalých a ohlášených v běžném účetním období, včetně nákladů na likvidaci těchto událostí, které byly zahrnuty do rezervy pojistného životních pojištění nebo do rezervy pojistného neživotních pojištění, nesmí být zahrnuty do rezervy na pojistná plnění.

Rezerva na prémie a slevy Rezerva na prémie a slevy se tvoří v souladu s pojistnými smlouvami. Tato rezerva se používá ke krytí nákladů na prémie a slevy poskytnuté v souladu s pojistnými smlouvami. Je-li součástí dohodnutého pojistného plnění ze životního pojištění i podíl na výnosech nebo zisku z finančního umístění, zahrnuje tvorba rezervy na prémie a slevy na vrub nákladů i ty částky výnosu nebo zisku určené pro tento účel, které nejsou zahrnuty v rezervě pojistného životních pojištění. Rezerva na prémie a slevy se při provozování zajišťovací činnosti tvoří pouze tehdy, existuje-li pro ni na základě zajistné smlouvy důvod.

Vyrovnávací rezerva Škodným poměrem se rozumí poměr mezi čistým pojistným plněním a čistým zaslouženým pojistným. Skutečný škodný poměr za dané odvětví a sledované období se označuje LQi. Čistým pojistným plněním je ta část pojistných plnění, která připadne na vrub pojistitele, tj. po postoupení zajišťovně části pojistných plnění předepsaných k výplatě, upravené o čistou změnu stavu rezervy na pojistná plnění za sledované období a za příslušná pojistná odvětví.

17

Čistým zaslouženým pojistným je objem předepsaného hrubého pojistného očištěného o částky postoupené zajišťovně za sledované období a příslušná pojistná odvětví, upravený o změnu netto stavu rezervy na nezasloužené pojistné, tj. po odpočtu části postoupené zajišťovně, za tato pojistná odvětví. Sledovaným obdobím se rozumí období nejméně pěti po sobě jdoucích let. Trvá-li činnost pojišťovny méně než 5 let, je sledovaným obdobím celá doba její činnosti. Délka sledovaného období se vyjadřuje v letech a označíme ji m. Výkyvem se rozumí takový stav, kdy za sledované období škodný poměr překročí stanovenou horní mez MALi . Tato horní mez je která je podle vyhlášky ministerstva dána tabulkou Sloupce a Číselné označení podle přílohy k zákonu b Odvětví neživotního pojištění c Horní mez škodného poměru (MALi) a 8c 8d 8e 8f 9 14

Odvětví neživotního pojištění (b) Pojištění škod na majetku jiném než vichřicí Pojištění škod na majetku jiném než přírodními živly jinými než vichřicí Pojištění škod na majetku jiném než jadernou energií Pojištění škod na majetku jiném než sesuvem nebo poklesem půdy Pojištění jiných škod na majetku vzniklých krupobitím nebo mrazem Pojištění úvěru

MALi uvedeném v bodech 3-7, způsobených 0,65 uvedeném v bodech 3-7, způsobených 0,65 uvedeném v bodech 3-7, způsobených 0,25 uvedeném v bodech 3-7, způsobených 0,65 jiném než uvedeném v bodech 3-7, 0,65 0,95

Pro tvorbu rezervy v ostatních odvětvích neživotních pojištění, která v tabulce nejsou uvedena, se použije horní mez škodného poměru stanovená pro to pojistné odvětví, které je danému pojistnému odvětví nejbližší.

Výkyv ve škodném poměru se kvantifikuje podle tohoto vzorce ELQi = (LQi - MALi) × Pi / m, kde ELQi MALi Pi m

je velikost výkyvu škod v Kč pro jednotlivé (i-té) odvětví pojištění, je horní mez škodného poměru, je čisté zasloužené pojistné je délka sledovaného období (v letech).

Vyrovnávací rezerva se tvoří k jednotlivým odvětvím neživotních pojištění a je určena na vyrovnávání zvýšených nákladů na pojistná plnění, které vznikly z titulu výkyvů ve škodném poměru způsobených skutečnostmi nezávislými na vůli pojišťovny. Celková tvorba rezervy T se stanoví součtem hodnot Ti , které představují tvorbu rezervy pro odvětví i neživotního pojištění, i=1,2, ..., n.

18

Pojišťovnictví a jeho produkty

Určení hodnot Ti . Označme MARi maximální výši vyrovnávací rezervy pro i-té odvětví určená podle vzorce MARi = SMARi × Pi / m , kde SMARi je sazba pro maximální hranici rezervy pro i-té odvětví pojištění stanovaná podle tabulky, ERPsi počáteční stav vyrovnávací rezervy na začátku běžného období, Si sazbu pro tvorbu rezervy pro i-té odvětví, Pi čisté zasloužené pojistné z i-tého odvětví v Kč za běžné období, Hodnota Ti se určí takto : a) platí-li ERPSi + Si × Pi < MARi, potom se tvorba rezervy Ti vypočte ze vzorce Ti = Si × Pi, b) neplatí-li ERPSi + Si × Pi < MARi , potom se Ti vypočte ze vzorce Ti = MARi - ERPSi Veličiny Si a SMARi se pro idvětví neživotního pojištění určují na základě tabulky Sloupce a Číselné označení podle přílohy k zákonu b Odvětví neživotního pojištění c Sazba pro tvorbu rezervy (Si) d Sazba maximální hranice vyrovnávací rezervy (SMARi,) a 8c 8d 8e 8f 9 14

Odvětví neživotního pojištění (b) Pojištění škod na majetku jiném než uvedeném v bodech způsobených vichřicí Pojištění škod na majetku jiném než uvedeném v bodech způsobených přírodními živly jinými než vichřicí Pojištění škod na majetku jiném než uvedeném v bodech způsobených jadernou energií Pojištění škod na majetku jiném než uvedeném v bodech způsobených sesuvem nebo poklesem půdy Pojištění jiných škod na majetku jiném než uvedeném v bodech vzniklých krupobitím nebo mrazem Pojištění úvěru

Si 3-7, 0,03

SMARi, 0,20

3-7, 0,03

0,20

3-7, 0,75

6,00

3-7, 0,03

0,20

3-7, 0,03

0,20

0,12

1,50

Pro tvorbu rezervy v tabulce neuvedených odvětví neživotních pojištění se použije sazba stanovená pro to pojistné odvětví, které je danému pojistnému odvětví nejbližší.

19

Výpočet výše použití vyrovnávací rezervy Výše použití vyrovnávací rezervy pro jednotlivé pojistné odvětví se stanoví jako menší ze dvou veličin, a to z velikosti výkyvu škod v Kč a z velikosti počátečního stavu vyrovnávací rezervy podle vzorce UERi = MIN (ELQi, ERPSi + Ti), kde UERi je částka čerpání vyrovnávací rezervy v Kč pro i-té odvětví pojištění, MIN je označení pro operaci výběru minimální částky ze dvou uvedených. Od další tvorby vyrovnávací rezervy se upustí, dosáhne-li její výše maximální hranice MARi . Od tvorby této rezervy se upustí i u těch pojistných odvětví, jejichž podíl na čistém pojistném za všechna odvětví neživotních pojištění, které pojišťovna provozuje, klesne ve sledovaném období pod 4% a zároveň objem netto pojistného z tohoto pojistného odvětví nepřesáhne ani v jednom roce za sledované období částku 1 000 000 Kč. Vyrovnávací rezerva se při provozování zajišťovací činnosti tvoří pouze tehdy, existuje-li pro ni na základě zajistné smlouvy důvod.

Rezerva pojistného životních pojištění Rezerva pojistného životních pojištění se vypočítává podle jednotlivých smluv životních pojištění a je určena ke krytí budoucích závazků ze životních pojištění. Při výpočtu se používá stejných statistických dat a téže úrokové míry, jichž bylo použito při výpočtu sazeb pojistného. Rezerva pojistného životních pojištění představuje hodnoty závazků pojišťovny vypočtené pojistně matematickými metodami včetně již přiznaných podílů na zisku (podílů na přebytcích pojistného) a rezerv nákladů spojených se správou pojištění, a to po odpočtu hodnoty budoucího pojistného. Záporné hodnoty rezerv pojistného jednotlivých životních pojištění, vznikající v důsledku použití pojistně matematické metody, se nahradí nulovými hodnotami. Maximální výše technické úrokové míry se stanoví v rozsahu částky 60 % průměrné úrokové míry dluhopisů vydaných Českou republikou s dobou splatnosti alespoň pět let. Ke stanovení maximální výše technické úrokové míry se použije průměrná úroková míra dluhopisů vydaných za posledních dvanáct kalendářních měsíců předcházejících roku, od kterého má nově stanovená technická úroková míra vstoupit v platnost. Tato ustanovení se nepoužijí pro pojistné smlouvy a) kde investiční riziko nese zcela pojistník b) nebo s jednorázově zaplaceným pojistným, sjednané maximálně na dobu osmi let

20

Pojišťovnictví a jeho produkty c) nebo bez podílu na zisku d) anebo důchodového pojištění bez nároku na odbytné. Maximální výše technické úrokové míry se stanoví ve výši 4 %. Ministerstvo je oprávněno upravit maximální výši technické úrokové míry, jestliže dojde ke změně úrokové míry dluhopisů vydaných Českou republikou nejméně o 1 procentní bod.

Rezerva na životní pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník Rezerva na životní pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník, je určena na krytí závazků pojišťovny vůči pojištěným u těch odvětví životních pojištění, kdy na základě pojistné smlouvy investiční riziko nese pojistník. Výše rezervy se stanoví jako souhrn závazků vůči pojištěným ve výši hodnoty jejich podílů na umístěných prostředcích pojistného z jednotlivých smluv životních pojištění, a to podle zásad obsažených v pojistných smlouvách. Jestliže životní pojištění, kdy riziko z investování finančního umístění nese pojistník, obsahuje i plnění ve sjednané výši, tvoří se na toto plnění současně rezerva pojistného životních pojištění.

Rezerva pojistného neživotních pojištění Rezerva pojistného neživotních pojištění se vytváří k těm pojistným odvětvím, u kterých se pojistné stanovuje podle vstupního věku, tj. rozdílu mezi kalendářním rokem počátku pojištění a kalendářním rokem narození pojištěného, a pohlaví pojištěného nebo pouze podle vstupního věku pojištěného. Rezerva pojistného neživotních pojištění představuje hodnoty závazků pojišťovny vypočtené pojistně matematickými metodami včetně již přiznaných podílů na zisku (podílů na přebytcích pojistného) nebo smluvních nároků na vrácení pojistného a rezerv nákladů spojených se správou pojištění, a to po odpočtu hodnoty budoucího pojistného. Výše rezervy pojistného neživotních pojištění se vypočítává pojistně matematickými metodami za použití stejných statistických dat a stejných pojistně technických parametrů jako při stanovení pojistného. Záporné hodnoty rezervy pojistného neživotních pojištění vznikající v důsledku použití pojistně matematické metody se nahradí nulovými hodnotami. Na plnění z pojištění odpovědnosti a z pojištění úrazu formou důchodu se vytváří rezerva na pojistná plnění na základě pojistně matematických metod.

21

1.2.1.7. Skladba a limity finančního umístění Ve své skladbě finančního umístění je pojišťovna nebo zajišťovna povinna dodržovat limity pro jednotlivé položky finanční skladby. Finanční umístění a limity jsou uvedeny v následující tabulce. Limit je uveden v procentech z celkových technických rezerv. Následuje-li za lomítkem další číslo, pak toto čísla značí limit týkající se jednoho subjektu např. emitenta cenného papíru nebo v případě písm. h) nemovitosti. Finanční umístění a) dluhopisy vydané Českou republikou nebo Českou národní bankou a dluhopisy, za které převzala záruku Česká republika b) dluhopisy vydané bankami3 c) veřejně obchodovatelné dluhopisy vydané obchodními společnostmi d) pokladniční poukázky e) veřejně obchodovatelné komunální dluhopisy4 f) půjčky, úvěry a jiné pohledávky, jejichž splnění je zajištěno bankovní zárukou g) směnky, jejichž splnění je zajištěno bankovní zárukou h) nemovitosti na území České republiky i) hypoteční zástavní listy j) veřejně obchodovatelné akcie a podílové listy k) depozita a depozitní certifikáty u bank, které mají povolení působit na území České republiky jako banka l) podílové listy otevřených podílových fondů m) předměty a díla umělecké kulturní hodnoty oceněná nejméně dvěma znalci, za podmínky jejich pojištění pro případ poškození, zničení, ztráty nebo odcizení u jiné pojišťovny n) státní dluhopisy, jejichž emitenty jsou členské státy Evropské unie nebo centrální banky těchto států a dluhopisy vydané Evropskou investiční bankou, Evropskou bankou pro obnovu a rozvoj nebo Mezinárodní bankou pro obnovu a rozvoj o) zahraniční cenné papíry, s nimiž se obchoduje na veřejném trhu členských států Evropské unie p) zahraniční cenné papíry, s nimiž se obchoduje na veřejném trhu členských států Organizace pro ekonomickou spolupráci a rozvoj r) deriváty v souvislosti s aktivy výše uvedenými v této tabulce mohou být použity pouze tehdy, přispívají-li ke snižování investičního rizika nebo usnadňují-li účinné řízení portfolia s) půjčky pojištěným, kteří uzavřeli s pojišťovnou smlouvu na životní pojištění

3

Limit 75 50/15 10/5 75 10/5 10 10 20/10 30/15 10/5 50/15 10/5 5

75 50 10/5 10/5 5

5

§ 1 zákona č. 21/1992 Sb., o bankách, ve znění zákona č. 83/1995 Sb., zákona č. 84/1995 Sb., zákona č. 16/1998 Sb. a zákona č. 165/1998 Sb. 4 § 20 zákona č. 530/1990 Sb., o dluhopisech, ve znění zákona č. 84/1995 Sb.

22

Pojišťovnictví a jeho produkty Nejméně 30 % průměrného stavu finančního umístění musí být uloženo v pokladničních poukázkách, dluhopisech vydaných Českou republikou, depozitech, depozitních certifikátech nebo v dluhopisech vydaných bankou nebo pobočkou zahraniční banky, které bylo Českou národní bankou uděleno povolení působit jako banka na území České republiky. Při tom se průměrným stavem rozumí veličina vypočtená vždy k poslednímu dni kalendářního měsíce jako součet stavu finančního umístění k prvnímu dni kalendářního měsíce, za který se průměrný stav zjišťuje, a stavu finančního umístění k poslednímu dni tohoto měsíce, dělený dvěma. Pro skladbu finančního umístění v případě rezervy životního pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník, se použije finanční umístění přiměřeně, přičemž se pojišťovna řídí ustanoveními pojistné smlouvy. Finanční umístění, s výjimkou dluhopisů podle a), pokladničních poukázek písm. d) a zahraničních státních dluhopisů podle písm. n), vztahující se k jednomu subjektu nebo ke skupině subjektů, které jsou v postavení osoby ovládající a ovládané, nesmí překročit 15 % z celkových technických rezerv. Stejný cenný papír lze zahrnout pouze do jedné položky finanční skladby. Jestliže se pojišťovna nebo zajišťovna zavázala k pojistnému plnění v jiné než české měně, je povinna vytvořit aktiva, jejichž zdrojem jsou technické rezervy, v této měně. To neplatí, jestliže by tato aktiva nepřesahovala 7% výše těchto rezerv. Na základě písemné žádosti může ministerstvo udělit pojišťovně nebo zajišťovně souhlas s jinou skladbou finančního umístění, jestliže tím nedochází k porušení zásady návratnosti vložených prostředků, je zabezpečen výnos z jejich držby nebo zisk z jejich prodeje a nejsou porušeny zásady likvidity a diverzifikace. Splnění této podmínky je pojišťovna nebo zajišťovna povinna doložit v žádosti. V případě společenství pojistitelů se skladba finančního umístění řídí předpisy platnými pro tuto zahraniční pojišťovnu.

1.2.1.8. Solventnost pojišťoven a zajišťoven Pod solventností pojišťovny rozumíme schopnost pojišťovny trvale plnit své závazky, tj. trvale zabezpečit z vlastních zdrojů úhradu závazků z pojišťovací činnosti. S pojmem solventnosti souvisí pojem splnitelnosti závazků. Pod splnitelnosti závazků se rozumí schopnost pojišťovny uhradit v daném čase všechny závazky vzniklé z pojišťovací činností včetně závazků, které jsou splatné v následujících obdobích.

1.2.1.8.1. Skutečná a minimální míra solventnosti Pojišťovna nebo zajišťovna je povinna po celou dobu své činnosti mít vlastní zdroje nejméně ve výši minimální míry solventnosti, kterou se rozumí výše vlastních zdrojů vypočítaná způsobem, který stanoví ministerstvo vyhláškou.

23

Hodnota vlastních zdrojů (skutečná míra solventnosti) se určuje z těchto položek a) splacené základní jmění společnosti, kterou je hodnota upsaného splaceného základního jmění, b) hodnota poloviny nesplaceného základního jmění společnosti, kterou je polovina hodnoty upsaného nesplaceného základního jmění, c) kapitálové fondy, kterými jsou emisní ážio, ostatní kapitálové fondy a oceňovací rozdíly z majetkových účastí, v případě záporné hodnoty se tato hodnota odečítá, d) zákonný rezervní fond, kterým je rezervní fond podle zvláštního právního předpisu,5 e) ostatní fondy ze zisku, kterými je výše fondů tvořených ze zisku po zdanění mimo sociální fond, f) nerozdělený zisk z minulých let, g) hospodářský výsledek za účetní období, h) rezervy na ostatní rizika a ztráty, kterými je součet zákonných rezerv, rezerv na kurzové ztráty a ostatních rezerv, i) tiché rezervy z podhodnocení aktiv , kterými je výše rezervy vyplývající z rozdílu hodnoty aktiv na trhu a hodnoty těchto aktiv zapsané v účetnictví, j) jiné položky, kterými jsou položky, odsouhlasené ministerstvem, k) neuhrazená ztráta z minulých let, l) nehmotný majetek, kterým je hodnota tohoto majetku zapsaná v účetnictví, je-li součástí základního jmění. Skutečná míra solventnosti se určí jako součet hodnot následujících položek písm. a) až j), zmenšený o součet hodnot položek podle písm. k) a l). Při stanovení výše hodnot jednotlivých položek vychází pojišťovna z hodnot uvedených v účetní osnově podle zvláštního právního předpisu.6 Minimální míru solventnosti vypočítává pojišťovna zvlášť pro neživotní pojištění a zvlášť pro životní pojištění. Zajišťovna vypočítává minimální míru solventnosti obdobně jako pojišťovna pro neživotní pojištění; ustanovení vyhlášky se na výpočet solventnosti zajišťovny použijí přiměřeně. Pojišťovna, která provozuje zajišťovací činnost, vypočítává minimální míru solventnosti zvlášť pro pojišťovací činnost a zvlášť pro zajišťovací činnost. V neživotním pojištění je minimální mírou solventnosti vyšší hodnota ze dvou hodnot vypočtených z objemu hrubého předepsaného pojistného a z nákladů na pojistná plnění podle výkazu. V životním pojištění se minimální míra solventnosti vypočítává z objemu technických rezerv a z rizikového kapitálu způsobem uvedeným pro vykazování solventnosti. Odděleně od ostatních životních pojištění se vypočítává minimální míra solventnosti u životních pojištění, u kterých je nositelem investičního rizika

5 6

§ 67 zákona č. 513/1991 Sb., obchodní zákoník, ve znění zákona č. 591/1992 Sb. § 4 odst. 2 zákona č. 563/1991 Sb., o účetnictví

24

Pojišťovnictví a jeho produkty pojistník. Je-li provozováno pojištění úrazu nebo nemoci jako připojištění k životním pojištění, vypočítává se minimální míra solventnosti z objemu hrubého předepsaného pojistného podle výkazu.

1.2.1.8.2. Vykazování solventnosti Solventnost vykazuje pojišťovna ministerstvu písemně nebo na technickém nosiči dat v rozsahu a uspořádání, které odpovídá vzoru Vykazování solventnosti. Při tom respektuje legendu k vzoru Vykazování solventnosti. Pojišťovna i zajišťovna je povinna vykazovat ministerstvu svou solventnost do 30 dnů ode dne vydání výroku auditora o ověření účetní závěrky nebo kdykoliv na žádost ministerstva. Zahraniční pojišťovna, s výjimkou pojišťovny se sídlem na území členských států Evropské unie, která provozuje pojišťovací činnost na území České republiky prostřednictvím své organizační složky, je povinna část vlastních zdrojů umístit v České republice. Výše této části finančních zdrojů odpovídá té části minimální míry solventnosti, která se vztahuje k objemu pojišťovací činnosti na území České republiky, nejméně však polovině stanovené hodnoty garančního fondu.

Obsah výkazu solventnosti Ve výkaze položka začínající výrazem nebo je uzavřena v závorkách typu odpovídá hodnotě vykazované položky. Pojišťovna: .......................................................................................... se sídlem: .......................................................................................... VÝPOČET SOLVENTNOSTI k datu: .................. kurs 1 EUR = .................. Kč k uvedenému datu.

SKUTEČNÁ MÍRA SOLVENTNOSTI (SMS) (1) Splacené základní jmění společnosti - uvede se hodnota upsaného splaceného základního jmění podle analytické evidence k účtu 401. (1a) Minimální výše základního jmění pro provozování neživotního pojištění uvede se částka stanovená podle pojistných odvětví neživotního pojištění, které pojišťovna provozuje. (1b) Minimální výše základního jmění pro provozování životního pojištění - uvede se částka stanovená podle § 9 odst. 1 písm. a) zákona, pokud pojišťovna životní pojištění provozuje. (2) Polovina nesplaceného základního jmění - uvede se polovina hodnoty upsaného nesplaceného základního jmění podle analytické evidence k účtu 401. 25

Kapitálové fondy (3a) emisní ážio - zůstatek účtu 402 (3b) ostatní kapitálové fondy - zůstatek účtu 403 (3c) oceňovací rozdíly z majetkových účastí - zůstatek účtu 404; v případě záporné hodnoty se odečítá. (3) = (3a) + (3b) + (3c) . (4) Zákonný rezervní fond - uvede se zůstatek účtu 411, tj. výše rezervního fondu tvořeného podle obchodního zákoníku. (5) Ostatní fondy ze zisku - uvede se výše fondů tvořených ze zisku po zdanění mimo sociální fond, tj. zůstatek účtu 412 po odečtení stavu sociálního fondu. Zisk nebo ztráta (6a) nerozdělený zisk minulých let - zůstatek účtu 413 (6b) neuhrazená ztráta minulých let - zůstatek účtu 414 . Výpočet podle výsledků (7a) výsledek technického účtu k neživotnímu pojištění - zůstatek účtu 712 (7b) výsledek technického účtu k životnímu pojištění - zůstatek účtu 713 (7c) hospodářský výsledek za účetní období - zůstatek účtu 711 (7) = (7c) - (7b) - (7c) . Rezervy na ostatní rizika a ztráty (8a) zákonné rezervy - zůstatek účtu 451 (8b) rezerva na kursové ztráty - zůstatek účtu 452 (8c) ostatní rezervy - zůstatek účtu 459. Pojišťovna uvede v příloze k výpočtu solventnosti jmenovitý seznam a výše jednotlivých rezerv. (8) = (8a) + (8b) + (8c) . (9) Nehmotný majetek, pokud je součástí základního jmění - uvádí se hodnota nehmotného majetku, který je součástí základního jmění. Pojišťovna uvede v příloze k výkazu solventnosti jmenovitý seznam tohoto majetku a výše jednotlivých položek. (10) Tiché rezervy z podhodnocení aktiv - výše rezervy, vzniklé z rozdílu hodnoty aktiv na trhu a hodnoty těchto aktiv zapsané v účetnictví. Uvede se částka schválená ministerstvem. (11) Jiné položky - uvede se jmenovitý seznam a výše jednotlivých položek schválených ministerstvem. Budoucí zisky ze životního pojištění (12a) předpokládaný roční zisk - průměrný zisk ze životních pojištění za posledních 5 let. Uvede se částka schválená ministerstvem.

26

Pojišťovnictví a jeho produkty (12b) průměrná zbývající doba trvání pojistných smluv - průměrná zbývající doba trvání pojistných smluv, je-li nižší nebo rovna 10 letům. v opačném případě se použije hodnota 10 let. Uvede se hodnota schválená ministerstvem. (12) = 0,5 x (12a) x (12b) Částka plynoucí z nezillmerování nebo částečného zillmerování rezerv pojistného životních pojištění - uvádí se v případě, že rezerva pojistného běžně placených pojištění není zillmerovaná nebo je zillmerovaná nižší sazbou, než je sazba počátečních nákladů obsažená v pojistném. (13a) výše rozdílu - pro každou smlouvu se započítá rozdíl mezi výší nezillmerované nebo částečně zillmerované rezervy pojistného a výší rezervy zillmerované sazbou počátečních nákladů obsaženou v pojistném. Uvede se částka schválená ministerstvem. (13b) neamortizované pořizovací náklady v aktivech - uvede se hodnota neamortizovaných pořizovacích nákladů na pojistné smlouvy obsažená v aktivech pojišťovny (analytická evidence účtu 391 - pro životní pojištění). (13) = (13a) + (13b). (14) Předepsané hrubé pojistné neživotního pojištění (P1) - zůstatek účtu 601. (15) Předepsané hrubé pojistné životního pojištění (P2) - zůstatek účtu 621. (16) Předepsané hrubé pojistné celkem (P) = (P1) + (P2). (17) Dílčí výpočet (S) S = (1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6a)+(7)+(8)+(10)+(11)-(1a)-(1b)-(6b)-(9). (18) Skutečná míra solventnosti neživotního pojištění (SMSnp) SMSnp = (P1/P) × S + (1a) + (7a). (19) Skutečná míra solventnosti životního pojištění (SMSzp) SMSzp = (P2/P) × S + (1b) + (7b) + (12) + (13).

MINIMÁLNÍ MÍRA SOLVENTNOSTI NEŽIVOT. POJIŠTĚNÍ (MMSnp) A. Výpočet z objemu pojistného (1) Předepsané hrubé pojistné - zůstatek účtu 601.

27

Veličina κ je kurs pro převedení EUR na Kč uvedený na titulní straně výpočtu solventnosti, tj. 1 EUR = κ Kč. Položky (2a) a (2b) se stanoví následujícím postupem: (2a) Je-li (1) <= 10 000 x κ, uvede se částka (1) x 0,18. Je-li (1) > 10 000 x κ, uvede se částka 10 000 x κ x 0,18. (2b) Je-li (1) > 10 000 x K, uvede se částka [(1) - 10 000 x κ] x 0,16, v opačném případě je hodnota položky (2b) rovna nule. (2) = (2a) + (2b). Korekční koeficient K1 za sledované období (3a) Náklady na pojistná plnění na vlastní vrub - uvede se rozdíl nákladů na pojistná plnění (zůstatek účtu 501) a podílu zajišťoven na nákladech na pojistná plnění (zůstatek účtu 502). (3b) Celkové náklady na pojistná plnění ( zůstatek účtu 501). (K1) = (3a) / (3b). (MMSnp)A Je-li hodnota K1 větší než 0,5, pak (MMSnp)A = (2) x K1 . Je-li hodnota K1 nejvýše rovna 0,5, pak (MMSnp)A = (2) x 0,5 . B. Výpočet z nákladů na pojistná plnění (1) Délka referenčního období - je stanovena na 3 roky; u pojišťoven, které v podstatné míře provozují pojištění úvěru, proti vichřici, krupobití či mrazu, tato doba stanovena na 7 let. u pojišťoven, které provozují pojišťovací činnost kratší dobu, než je předepsaná délka referenčního období, se použije počet celých let, za která jsou potřebné údaje k dispozici. Podstatnou mírou se rozumí dosažení objemu předepsaného pojistného za dané pojistné odvětví ve výši 4 % z celkového předepsaného pojistného za všechna provozovaná odvětví neživotních pojištění alespoň v jednom roce referenčního období a zároveň překročení objemu předepsaného pojistného z tohoto pojistného odvětví částky 1 000 000 Kč za jeden rok nebo za referenční období. (2a) Náklady na pojistná plnění v referenčním období - uvede se výše celkových nákladů na pojistná plnění (tj. včetně podílu zajišťoven) v referenčním období (součet zůstatků účtu 501 vždy ke konci každého roku zahrnutého do referenčního období). (2b) Hrubá výše rezervy na pojistná plnění na konci referenčního období -uvede se stav rezervy na pojistná plnění odpovídající neživotním pojištěním, včetně podílu zajišťoven, ke konci posledního roku zahrnutého do referenčního období (analytická evidence účtu 443 pro neživotní pojištění). (2c) Hrubá výše rezervy na pojistná plnění na začátku referenčního období -uvede se stav rezervy na pojistná plnění odpovídající neživotním pojištěním, včetně podílu zajišťoven, na začátku prvního roku zahrnutého do referenčního období (analytická evidence účtu 443 pro neživotní pojištění). (2) = (2a) + (2b) + (2c). 28

Pojišťovnictví a jeho produkty (3) Průměrná roční hodnota: (3) = (2) / (1). Veličina κ je kurs pro převedení EUR na Kč uvedený na titulní straně výpočtu solventnosti, tj. 1 EUR = κ Kč. Položky (4a) a (4b) se stanoví následujícím postupem: (4a) Je-li (3) <= 7 000 x K, uvede se částka (3) x 0,26 Je-li (3) > 7 000 x K, uvede se částka 7 000 x K x 0,26 (4b) Je-li (3) > 7 000 x K, uvede se částka [(3) - 7 000 x K] x 0,23; v opačném případě je hodnota položky (4b) rovna nule. (4) = (4a) + (4b). (MMSnp)B Je-li hodnota korekčního koeficientu K1 větší než 0,5, pak (MMSnp)B = (4) x K1 nejvýše rovna 0,5, pak (MMSnp)B = (4) x 0,5. (MMSnp) Minimální míra solventnosti neživotních pojištění: MMSnp = max {(MMSnp)A, (MMSnp)B}.

MINIMÁLNÍ MÍRA SOLVENTNOSTI ŽIVOTNÍCH POJIŠTĚNÍ (MMSzp) 1. PRO ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ, KROMĚ ŽIVOTNÍCH JE-LI NOSITELEM INVESTIČNÍHO RIZIKA POJISTNÍK

POJIŠTĚNÍ,

Životní pojištění, kromě životních pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník, jsou životní pojištění, u nichž pojišťovna nese riziko spojené s investováním prostředků rezerv pojistného Do těchto položek se nezahrnují částky příslušející případným připojištěním (pojištění úrazu, nemoci) sjednávaným spolu s životním pojištěním. A. Výpočet z objemu technických rezerv (1) Hrubá výše technických rezerv - uvede se výše technických rezerv životních pojištění (s výjimkou rezerv připadajících na životní pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník) na konci sledovaného účetního období, včetně podílu zajišťoven (účty účtové skupiny 44 v analytické evidenci pro životní pojištění). (2) Čistá výše technických rezerv - uvede se výše technických rezerv životních pojištění (s výjimkou rezerv připadajících na životní pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník) na konci sledovaného účetního období, očištěná od podílu zajišťoven (účty účtové skupiny 44 v analytické evidenci pro životní pojištění).

29

Korekční koeficient K2 za sledované účetní období: (K2) = (2) / (1). (MMSzp)1.A Je-li hodnota K2 větší než 0,85, nejvýše rovna 0,85,

pak (MMSzp)1.A = (1) x K2 x 0,04. pak (MMSzp)1.A = (1) x 0,85 x 0,04.

B. Výpočet z rizikového kapitálu Následující položky (1a) - (1c) Rizikový kapitál pro jednotlivé smlouvy je roven rozdílu částky splatné v případě pojistné události a rezerv vytvořených k dané pojistné smlouvě (včetně podílu zajišťoven). pro výpočet minimální míry solventnosti se uvažují pouze smlouvy, jejichž rizikový kapitál je nezáporný. do položek (1a) - (1c) se uvede vždy úhrn rizikových kapitálů k jednotlivým smlouvám příslušným dané skupině pojištění. (1a) Rizikový kapitál k životním pojištěním s výjimkou dočasných pojištění pro případ smrti s pojistnou dobou nejvýše 5 let. (1b) Rizikový kapitál k dočasným pojištěním pro případ smrti s pojistnou dobou delší než 3 roky a kratší než 5 let. (1c) Rizikový kapitál k dočasným pojištěním pro případ smrti s pojistnou dobou nejvýše 3 roky. (2a) Rizikový kapitál na vlastní vrub - rozdíl částky splatné v případě pojistné události, snížené o podíl zajišťoven, a rezerv vytvořených k dané pojistné smlouvě, po odečtení podílu zajišťoven. Uvede se úhrn pro všechny smlouvy. Celkový rizikový kapitál (2b) = (1a) + (1b) + (1c). Korekční koeficient K3 za sledované účetní období: (K3) = (2a) / (2b) Je-li hodnota K3 větší než 0,5, pak (3a) = (1a) x K3 x 0,003 (3b) = (1b) x K3 x 0,0015 (3c) = (1c) x K3 x 0,001. Je-li hodnota K3 nejvýše rovna 0,5, pak (3a) = (1a) x 0,5 x 0,003 (3b) = (1b) x 0,5 x 0,0015 (3c) = (1c) x 0,5 x 0,001. (MMSzp)1.B = (3a) + (3b) + (3c).

30

Pojišťovnictví a jeho produkty

Minimální míra solventnosti k životním pojištěním podle bodu 1: (MMSzp)1 = (MMSzp)1.A + (MMSzp)1.B .

2. PRO ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ S INVESTIČNÍM RIZIKEM POJISTNÍKA Životní pojištění s investičním rizikem pojistníka -jsou životní pojištění, u nichž pojišťovna nenese riziko spojené s investováním prostředků rezerv pojistného. Do těchto položek se nezahrnují částky příslušející případným připojištěním (pojištění úrazu, nemoci) sjednávaným spolu s životním pojištěním. A. Výpočet z objemu technických rezerv V úvahu se berou pouze pojištění, u nichž doba trvání pojistné smlouvy přesahuje pět let a přirážka na správní náklady obsažená v pojistném je stanovena pevně na dobu nejméně pěti let. (1) Hrubá výše technických rezerv - uvede se výše technických rezerv životních pojištění s investičním rizikem pojistníka na konci sledovaného účetního období, včetně podílu zajišťoven (účty účtové skupiny 44 v analytické evidenci pro životní pojištění). (2) Čistá výše technických rezerv - uvede se výše technických rezerv životních pojištění s investičním rizikem pojistníka na konci sledovaného účetního období, očištěná od podílu zajišťoven (účty účtové skupiny 44 v analytické evidenci pro životní pojištění). Korekční koeficient K4 za sledované účetní období: (K4) = (2) / (1). (MMSzp)2.A Je-li hodnota K4 větší než 0,85, pak (MMSzp)2.A = (1) x K4 x 0,01 nejvýše rovna 0,85, pak (MMSzp)2.A = (1) x 0,85 x 0,01. B. Výpočet z rizikového kapitálu V úvahu se berou pouze pojištění, u nichž pojišťovna kryje riziko úmrtí. Celkový rizikový kapitál a rizikový kapitál na vlastní vrub - vypočte souhrnem pro jednotlivé pojistné smlouvy. (1) Celkový rizikový kapitál. (2) Rizikový kapitál na vlastní vrub. Korekční koeficient K3 za sledované účetní období: (K5) = (2) / (1). (MMSzp)2.B

31

Je-li hodnota K5 větší než 0,5, nejvýše rovna 0,5,

pak (MMSzp)2.B = (1) x K5 x 0,003 pak (MMSzp)2.B = (1) x 0,5 x 0,003.

Minimální míra solventnosti k životním pojištěním podle bodu 2 (MMSzp)2 = (MMSzp)2.A + (MMSzp)2.B .

3. PŘIPOJIŠTĚNÍ K ŽIVOTNÍM POJIŠTĚNÍM (1) Předepsané hrubé pojistné - uvede se výše předepsaného hrubého pojistného připadajícího na připojištění k životním pojištěním. Veličina κ je kurs pro převedení EUR na Kč uvedený na titulní straně výpočtu solventnosti, tj. 1 EUR = κ Kč. Položky (2a) a (2b) se stanoví následujícím postupem: (2a) Je-li (1) <= 10 000 x κ, uvede se částka (1) x 0,18 Je-li (1) > 10 000 x κ, uvede se částka 10 000 x κ x 0,18 (2b) Je-li (3) > 10 000 x κ, uvede se částka [(1) - 10 000 x κ] x 0,16 v opačném případě je hodnota položky (2b) rovna nule. (2) = (2a) + (2b). (3a) Náklady na pojistná plnění na vlastní vrub - uvede se rozdíl nákladů na pojistná plnění a podílu zajišťoven na nákladech na pojistná plnění u připojištění k životním pojištěním. (3b) Celkové náklady na pojistná plnění - náklady na pojistná plnění u připojištění k životním pojištěním včetně podílu zajišťoven na těchto nákladech. Korekční koeficient K6 za sledované účetní období (K6) = (3a) / (3b). (MMSzp)3 Je-li hodnota K6 větší než 0,5, pak (MMSzp)3 = (2) x K6 nejvýše rovna 0,5, pak (MMSzp)3 = (2) x 0,5. Minimální míra solventnosti životních pojištění celkem: (MMSzp) = (MMSzp)1 + (MMSzp)2 + (MMSzp)3 .

ŽIVOTNÍ A NEŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ CELKEM Jedna třetina minimální míry solventnosti tvoří garanční fond. Garanční fond však nesmí být nižší než a) 40 000 000 Kč, jestliže je provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo více pojistných odvětví životních pojištění,

32

Pojišťovnictví a jeho produkty b) 40 000 000 Kč, jestliže je provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo více pojistných odvětví č. 10,11,12,13,14 a č. 15 neživotních pojištění7, c) 30 000 000 Kč, jestliže je provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo více pojistných odvětví č. 1,2,3,4,5,6,7,8, 16 a č. 18 neživotních pojištění, d) 20 000 000 Kč, jestliže je provozována pojišťovací činnost podle jednoho nebo obou pojistných odvětví č. 9 a č. 17 neživotních pojištění. Je-li provozována pojišťovací činnost souběžně a) podle odvětví životních a neživotních pojištění, pak výše minimální garančního fondu je částka, která odpovídá součtu částek stanovených pro provozování pojišťovací činnosti podle pojistných odvětví životních a neživotních pojištění. b) pro více odvětví neživotních pojištění, pak minimální výše garančního fondu je částka, která je stanovena pro provozování pojišťovací činnosti odvětví, kterému odpovídá nejvyšší částka. Ustanovení pro minimální výši garančního fondu se na činnost zajišťovny použijí obdobně, přičemž ministerstvo může na zajišťovně požadovat, v závislosti na rizikovosti provozované zajišťovací činnosti, částky vyšší, nejvýše však pětinásobek stanovených částek. Neživotní pojištění: Skutečná míra solventnosti SMSnp . Minimální míra solventnosti MMSnp . Výše garančního fondu pro neživotní pojištění . Životní pojištění: Skutečná míra solventnosti SMSzp . Minimální míra solventnosti MMSzp . Výše garančního fondu pro životní pojištění.

Poznámky k výkazu Všechny položky výpočtu solventnosti se uvádějí v tisících Kč, Výsledky výpočtů, s výjimkou výpočtu korekčních koeficientů, se zaokrouhlují na celé jednotky. Korekční koeficienty se zaokrouhlují na dvě desetinná místa, Výpočet solventnosti se doplňuje zvláštním komentářem, který obsahuje jmenovitý seznam a výše jednotlivých položek zahrnutých do bodů 8. písm. c) a 9. v části týkající se výpočtu skutečné míry solventnosti,

7

Viz odst. Odvětví a skupiny pojištění.

33

Zahrnutí položek v bodech 10., 11., 12. a 13. v části týkající se výpočtu skutečné míry solventnosti je podmíněno předchozím písemným svolením ministerstva. Komentář k výpočtu musí v případě zahrnutí těchto položek obsahovat odvolání na čj. dopisu ministerstva, obsahujícího toto svolení.

1.2.1.9. Odpovědný pojistný matematik 1. Pojišťovna je povinna dát odpovědným pojistným matematikem potvrdit správnost - rozdělení výnosů z finančního umístění v životním pojištění mezi pojištěným a pojišťovnou - výpočtu sazeb pojistného - výše technických rezerv - výpočtu minimální míry solventnosti - pojistně matematické metody používané při provozované pojišťovací činnosti. 2. Zajišťovna je povinna nechat odpovědným pojistným matematikem potvrdit správnost - výše technických rezerv - výpočtu minimální míry solventnosti - pojistně matematické metody používané při provozované zajišťovací činnosti. 3. Odpovědný pojistný matematik svým podpisem na výkazu, který předkládá pojišťovna nebo zajišťovna ministerstvu v souvislosti s tvorbou technických rezerv a skladbou finančního umístění, se solventností, nebo na základě písemného požadavku ministerstva, potvrzuje správnost předkládaných údajů. 4. Odpovědným pojistným matematikem podle zákona je fyzická osoba, která je zapsána v seznamu odpovědných pojistných matematiků vedeném ministerstvem. 5. Ministerstvo rozhodne o zápisu do seznamu odpovědných pojistných matematiků do 2 měsíců od doručení písemné žádosti fyzickou osobou, která doloží svoji bezúhonnost a doloží, že nebyla v posledních třech letech členem statutárního orgánu nebo dozorčího orgánu nebo prokuristou právnické osoby, která se dostala do úpadku nebo jí bylo odejmuto oprávnění k podnikání pro porušení činností stanovených legislativními předpisy (např. živnostenský zákon). Dále doloží - doklad o ukončeném vysokoškolském vzdělání v oboru matematiky a nejméně tříleté praxi v oboru pojistné matematiky a - osvědčení k výkonu funkce pojistného matematika vydané organizací pojistných matematiků akreditovanou u Mezinárodní aktuárské asociace. (International Actuarial Association se sídlem v Kanadě). Zahraniční fyzická osoba doloží též úředně ověřenou kopii platného dokladu o povolení k trvalému nebo dlouhodobému pobytu na území České republiky.

34

Pojišťovnictví a jeho produkty 6. Pojišťovna nebo zajišťovna je povinna zabezpečit odpovědnému pojistnému matematikovi trvalý přístup k informacím o její činnosti, které si v souvislosti s plněním povinností podle zákona vyžádá. 7. Odpovědný pojistný matematik je v případě zjištění nedostatků v hospodaření pojišťovny nebo zajišťovny, které souvisí s výkonem jeho činnosti podle tohoto zákona, povinen navrhovat statutárnímu orgánu pojišťovny nebo zajišťovny opatření ke zlepšení situace. Pokud navrhovaná opatření nejsou realizována a další vývoj hospodaření pojišťovny nebo zajišťovny ohrožuje splnitelnost jejích závazků, je odpovědný pojistný matematik povinen o této skutečnosti bezodkladně informovat ministerstvo. 8. Ministerstvo vyškrtne odpovědného pojistného matematika ze seznamu, jestliže poruší zákonem stanovené povinnosti. Takováto osoba nemůže být znovu zapsána do tohoto seznamu až do doby 10 let od data, ke kterému ministerstvo tuto osobu ze seznamu vyškrtlo. Svoje rozhodnutí o vyškrtnutí ze seznamu oznámí ministerstvo písemně do 5 dnů ode dne nabytí právní moci rozhodnutí pojišťovně nebo zajišťovně, pro kterou tato osoba vykonávala činnost odpovědného pojistného matematika. 9. Ministerstvo zveřejňuje seznam odpovědných pojistných matematiků a jeho změny ve Finančním zpravodaji.

1.2.1.10. Účetnictví Pojišťovna nebo zajišťovna je povinna vést účetnictví o stavu a pohybu majetku a závazků, nákladech a výnosech a o hospodářském výsledku podle zákona o účetnictví. Účetní závěrku pojišťovny nebo zajišťovny ověřuje auditor podle zákona o auditorech a Komoře auditorů České republiky a předkládá o ní písemnou zprávu ministerstvu. Pojišťovna nebo zajišťovna je povinna umožnit každému nahlédnout do účetní závěrky a výroční zprávy. Ministerstvo je oprávněno požadovat kdykoliv v průběhu činnosti pojišťovny nebo zajišťovny ověření auditu auditorem, kterého určí ministerstvo, jestliže existují důvody zpochybňující správnost původního auditu nebo to vyžadují zhoršené výsledky hospodaření pojišťovny nebo zajišťovny. Náklady tohoto auditu nese auditor původního auditu; ministerstvo hradí tyto náklady pouze tehdy, jestliže tento audit nepotvrdí důvody, pro které ministerstvo zpochybnilo správnost původního auditu.

35

1.2.2. Odvětví a skupiny pojištění Seznam odvětví a skupin pojištění tvoří přílohu zákona o pojišťovnictví. Tento seznam nyní uvedeme. Část A. Odvětví životních pojištění 1. Pojištění pro případ smrti, pojištění pro případ dožití nebo pojištění pro případ smrti nebo dožití. 2. Svatební pojištění nebo pojištění prostředků na výživu dětí. 3. Důchodové pojištění. 4. Pojištění podle bodu 1 až 3 spojené s investičním fondem. 5. Kapitalizace. 6. Pojištění pro případ úrazu nebo nemoci, je-li doplňkem pojištění podle tříd 1 až 5. Část B. Odvětví neživotních pojištění 1. Úrazové pojištění a) s jednorázovým plněním, b) s plněním povahy náhrady škody, c) s kombinovaným plněním, d) cestujících. 2. Pojištění nemoci a) s jednorázovým plněním, b) s plněním povahy náhrady škody, c) s kombinovaným plněním, d) smluvní zdravotní pojištění. 3. Pojištění škod na pozemních dopravních prostředcích jiných než drážních vozidlech a) motorových, b) nemotorových. 4. Pojištění škod na drážních vozidlech. 5. Pojištění škod na leteckých dopravních prostředcích. 6. Pojištění škod na plavidlech a) vnitrozemských, b) námořních. 7. Pojištění přepravovaných věcí včetně zavazadel a jiného majetku, bez ohledu na použitý dopravní prostředek. 8. Pojištění škod na majetku jiném než uvedeném v bodech 3 - 7, způsobených a) požárem, b) výbuchem, c) vichřicí, d) přírodními živly jinými než vichřicí ( např. blesk, povodně, záplavy), e) jadernou energií, 36

Pojišťovnictví a jeho produkty f) sesuvem nebo poklesem půdy. 9. Pojištění jiných škod na majetku jiném než uvedeném v bodech 3 - 7, vzniklých krupobitím nebo mrazem anebo jinými příčinami (např. loupeží, krádeží nebo škody způsobené lesní zvěří), nejsou-li tyto příčiny zahrnuty v odvětví č. 8, včetně pojištění škod na hospodářských zvířatech způsobených nákazou nebo jinými příčinami. 10. a) Pojištění odpovědnosti za škodu, vyplývající z vlastnictví nebo užití pozemního motorového dopravního prostředku, včetně odpovědnosti dopravce. b) Pojištění odpovědnosti za škodu, vyplývající z vlastnictví nebo užití drážního vozidla, včetně odpovědnosti dopravce. 11. Pojištění odpovědnosti za škodu, vyplývající z vlastnictví nebo užití leteckého dopravního prostředku, včetně odpovědnosti dopravce. 12. Pojištění odpovědnosti za škodu, vyplývající z vlastnictví nebo užití vnitrozemského nebo námořního plavidla, včetně odpovědnosti dopravce. 13. Všeobecné pojištění odpovědnosti za škodu, jiné než uvedené v odvětvích 10 až 12, včetně odpovědnosti za škody na životním prostředí. 14. Pojištění úvěru a) obecná platební neschopnost, b) vývozní úvěr, c) splátkový úvěr, d) hypoteční úvěr, e) zemědělský úvěr. 15. Pojištění záruky (kauce) a) přímé záruky, b) nepřímé záruky. 16. Pojištění různých finančních ztrát vyplývajících a) z výkonu povolání, b) z nedostatečného příjmu, c) ze špatných povětrnostních podmínek, d) ze ztráty zisku, e) ze stálých nákladů, f) z nepředvídaných obchodních výdajů, g) ze ztráty tržní hodnoty, h) ze ztráty pravidelného zdroje příjmu, i) z jiné nepřímé obchodní finanční ztráty, j) ostatních finančních ztrát. 17. Pojištění právní ochrany.

37

18. Pojištění pomoci osobám v nouzi během cestování nebo pobytu mimo místa svého trvalého bydliště. Část C. Skupiny neživotních pojištění a) „Pojištění úrazu a nemoci“ pro odvětví č. 1 a č. 2, b) „Pojištění motorových vozidel“ pro odvětví č. 3, 7 a č. 10, c) „Pojištění požáru a jiných majetkových škod“ pro odvětví č. 8 a č. 9, d) „Letecké pojištění, pojištění vnitrozemské plavby a námořní pojištění a pojištění přepravovaných věcí“ pro odvětví č. 4, 5, 6, 7, 11 a č. 12, e) „Pojištění odpovědnosti za škodu“ pro odvětví č. 13, f) „Pojištění úvěru a záruky“ pro odvětví č. 14 a č. 15, g) „Pojištění jiných ztrát“ pro odvětví č. 16, 17 a č. 18.

38

Životní pojištění

2. Životní pojištění V životním pojištění je náhodného charakteru okamžik vzniku pojistné události. Pojistnými událostmi mohou být např. smrt pojištěného a dožití se určitého věku.

2.1. Základní pojmy v životním pojištění Účastníci pojištění: - pojistitel je provozovatel pojištění (většinou pojišťovna) - pojistník je fyzická nebo právnická osoba, která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a má povinnost platit pojistné - pojištěný (pojištěnec) je fyzická osoba, na jejíž život a zdraví je pojištění sjednáno - oprávněná osoba (obmyšlený) je fyzická nebo právnická osob, která má právo na výplatu pojistného plnění podle pojistné smlouvy (je-li oprávněná osoba ve smlouvě explicitně určena) nebo podle občanského zákoníku (v pořadí: 1. manželka pojištěného, 2. děti, 3. rodiče, 4. osoby, které žily s pojištěným po dobu nejméně jednoho roku před jeho smrtí ve společné domácnosti, 5. dědici). Pojistník, pojištěný a oprávněná osoba mohou být případně tatáž osoba. V rámci pojištění osob lze zejména sjednat: - pojištění pro případ smrti - pojištění pro případ dožití - smíšené pojištění - důchodové pojištění - svatební pojištění - pojištění prostředků na výživu dětí. V pojištění pro případ smrti je pojistnou událostí smrt pojištěného. V pojištění pro případ dožití je pojistnou událostí je dožití sjednaného věku pojištěným. Ve smíšeném pojištění je pojistnou událostí smrt pojištěného nebo dožití sjednaného věku pojištěným. Důchodové pojištění je v podstatě speciálním případem pojištění pro případ dožití s pravidelně se opakujícím pojistným plněním ve formě výplaty důchodu.

39

Podle pojistného plnění v pojištění osob rozlišujeme - jednorázové pojistné plnění - plnění postupné. Jednorázové pojistné plnění se uplatňuje v kapitálovém životním pojištění. Postupné pojistné plnění se uplatňuje v důchodovém pojištění, kdy pojišťovna vyplácí pravidelně sjednaný důchod. S ohledem na placení pojistného rozlišujeme pojistné - jednorázové, které je zaplaceno jednou částkou při uzavření smlouvy - běžné, které se platí opakovaně, a to obvykle v pravidelných pojistných obdobích splátkami stejné výše (pojišťovna může zvýhodnit menší frekvence placení pojistného, např. slevou roční pro pojistné vůči měsíčnímu pojistnému). Při neplacení běžného pojistného pojistníkem obvykle pojištění nezanikne, ale pokračuje do konce sjednané pojistné doby s redukovanou pojistnou částkou nebo redukovaným důchodem. V případě přiznání invalidity pojistníkovi (invalidního důchodu ze sociálního zabezpečení) pojišťovna může při běžném pojištění v době invalidity zprostit pojistníka od placení pojistného. Z hlediska výpočtu pojistného rozlišujeme - netto pojistné, které je vypočteno tak, aby v průměru pojišťovně krylo pojistná plnění - brutto pojistné je netto pojistné rozšířené o složky na pokrytí správních nákladů pojišťovny a případných nepříznivých škodních výchylek formou bezpečnostní přirážky - valorizované pojistné je upravováno s ohledem na vývoj inflace. Při sjednávání některých pojištění lze specifikovat podíl pojištěného na zisku pojišťovny. Jde zpravidla o zisk, který pojišťovna dosahuje na kapitálovém trhu investováním rezerv vytvořených z pojistného nad rámec pojistně-technické úrokové míry. Sazebník pojišťovny uvádí pro jednotlivé pojistné produkty výši pojistného v závislostech na určitých faktorech. Např. se v úvahu bere - pohlaví pojištěného - vstupní věk pojištěného - pojistná doba. Vstupní věk pojištěného se určuje podle různých algoritmů. Vstupní věk lze stanovit jako rozdíl kalendářního roku uzavření pojištění a roku narození pojištěného (praxe zpravidla užívaná v České republice). Např. pojištěný narozený 15. října 1961, který uzavřel pojištění dne 15. ledna 1996, má vstupní věk 1996 - 1961 = 35, i když v okamžiku uzavření pojištění je jeho věk 34 +(3/12). Lze též použít následujícího algoritmu. Přijmeme-li konvenci, že měsíc má 30 dní, potom určíme počet dní, které

40

Životní pojištění uplynou od posledních narozenin ke dni uzavření pojištění. Tento počet dělíme počtem dní v měsíci (konvence 30) a získáme počet měsíců. Je-li výsledem menší než 6 měsíců, pak se bere věk subjektu při posledních narozeninách. V opačném případě se bere věk při příštích narozeninách. Pojistná doba je doba trvání pojištění. Podle pojistné doby rozlišujeme pojištění - na dobu dočasnou (určitou) - na dobu neomezenou (trvalou) - s odkladem. V pojištění na dočasnou dobu je pojistná doba je předem smluvně omezena. V pojištění na neomezenou dobu není pojistná doba předem smluvně omezena. V pojištění s odkladem je povinnost pojistného plnění pojišťovnou odložena o sjednanou dobu (např. odložený důchod, karenční lhůta8). Pojištění více životů je pojištění, u něhož pojistné plnění závisí na životě či smrti dvou nebo i více osob, např. smíšené pojištění dvojic, vdovský a sirotčí důchod apod. Skupinové pojištění je hromadně sjednávané pojištění pro skupinu osob (např. zaměstnavatel hromadně pojistí své zaměstnance). Vzhledem k administrativnímu zjednodušení (např. hromadné placení pojistného přes jednu mzdovou účtárnu) lze obvykle stanovit nižší pojistné a případně ignorovat rozdílné vstupní věky pojištěných. Sdružené pojištění je pojištění více rizik v rámci jedné pojistné smlouvy (např. úrazové připojištění nebo tzv. rodinná pojištění sloužící ke komplexní pojistné ochraně rodiny, jako je např. sdružené pojištění mládeže).

2.2. Úmrtnostní tabulky Kromě finančních instrumentů je úmrtností tabulka základní nástroj pro výpočty v rámci pojištění osob prováděné životní pojišťovnou. Pomocí demografických metod na základě pozorování rozsáhlých populačních souborů (celá populace, pojistné kmeny apod.) lze odhadnout pravděpodobnosti úmrtí pro muže a ženy jednotlivých věků a z toho vyplývající další důležité charakteristiky. Rozlišují se úmrtnostní tabulky úplné, zkrácené, běžné a generační. Úplné tabulky mají jednoleté věkové intervaly, tj. údaje pro stáří jsou 0,1,2,... roků. Zkrácené tabulky mají víceleté věkové intervaly často např.0,1 až 4, 5 až 9, 10 až 14, … roků. Běžné tabulky vycházejí z úmrtnostních zkušeností populace během krátkého časového období obvykle nepřesahujícího 10 let. Generační tabulky představují skutečný záznam průběhu života konkrétní generace (např. ročníku 1900).

8 Zvláštní forma čekací doby. Jde o období mezi nastáním pojistné události a stanoveným počátkem plnění.

41

V pojišťovací praxi se především používají běžné úplné úmrtnostní tabulky.

2.2.1.Tvar úmrtnostních tabulek Jednotlivé sloupce úmrtnostní tabulky obvykle obsahují následující hodnoty Věk x např. x = 0,1, . . . ,ω (poslední věková skupina znamená „ve věku ω let a více“); v pojišťovnách se užívá často x = 15,16, . . . anebo x = 18,19, ... . Pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x+1, tj. pravděpodobnost úmrtí ve věku x, kterou označíme qx . Pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1, tj. pravděpodobnost dožití se věku x, kterou označíme px . Počet jedinců z populace l0 současně narozených jedinců, kteří se dožijí věku x, který označujeme lx . Počet jedinců z l0 současně narozených jedinců, kteří zemřou v dokončeném věku x; tj. počet zemřelých ve věku x, který označíme dx . S přihlédnutím ke zvolenému označení vidíme, že platí následující vztahy9 dx = lx - lx+1 px = lx+1 / lx qx = dx / lx . Poznamenejme, že pro ω je dω = lω , tj. ln = 0 pro n>ω. Odtud dále vidíme, že px =1- qx lx+1 = px lx = (1-qx) lx lx+1 = lx - dx d0 + d1 + … + dx = l0 - lx+1 lx+1 = l0 - (d0 + d1 + … + dx) . Je-li dáno l0 , pak z libovolně zvolené některé z posloupností l1, l2, … d0, d1, d2, … p0, p1, p2, … q0, q1, q2, … lze zbývající posloupnosti pomocí uvedených vzorců dopočítat. Posloupnost l0 ≥ l1 ≥ l2 ≥ … 9 V úmrtnostních tabulkách, které jsou konstruovány na základě statistických pozorování, hodnoty pravděpodobností jsou vlastně odhady těchto pravděpodobností, které s ohledem na rozsáhlost souborů lze pojímat za pravděpodobnosti.

42

Životní pojištění se nazývá dekrementní řád vymírání populace. Dekrementní řád představuje hypotetický snímek života zvoleného počtu jedinců l0, tak jak by vypadal, kdyby se udrželo úmrtnostní chování populace z uvažovaného období. Hodnota l0 se nazývá kořen (radix) úmrtnostní tabulky a obvykle se volí l0 = 100 000. Používají se též jiné volby radixu např. l0 = 1 000 000 (demografie) nebo l15 = 100 000, l18 = 100 000 (pojišťovny).

Někdy se uvažují obecnější pravděpodobnosti. npx

značí pravděpodobnost toho, že jedinec, který je ve věku x, se dožije věku x+n10

nqx

značí pravděpodobnost toho, že jedinec, který je ve věku x, zemře před dosažením věku x+n .

Platí np x nq x npx

= lx+n / lx

= (lx - lx+n) / lx

= px px+1 ... px+n-1 =(1-qx) (1-qx+1) ... (1-qx+n-1) .

Definovali jsme nqx

= (lx - lx+n) / lx .

Z této definice plyne, že 1qx

= qx .

Pro j=0, 1, …, n platí dx+j = lx+j - lx++j+1 . Sečtením lze získat dx + dx+1 + dx+2 + … +dx+n-1 = lx - lx+n , čili nqx

= (lx - lx+n) / lx = (dx + dx+1 + dx+2 + … +dx+n-1 ) / lx .

Uvažujme pravděpodobnost toho, že osoba, která ve věku x žila bude žít ve věku x+j, ale nedožije se věku x+j+1. Tuto pravděpodobnost označíme qx|j . Z významu hodnot dx a lx vidíme, že qx|j = dx+j / lx . Dále vidíme, že platí

10

Poznamenejme, že pravděpodobnosti 0px=1, 1px, 2px, … představují dekrementní řád jedinců, kteří se dožili věku x.

43

nqx

= (lx - lx+n) / lx = dx / lx + dx+1 / lx + dx+2 / lx + … +dx+n-1 / lx ,

čili nqx

= qx|0 + qx|1 + qx|2 + … + qx|n-1 .

Dalšími údaji které jsou uváděny v úmrtnostních tabulkách, nebo je lze z nich odvodit jsou Lx počet let prožitých osobami ve věku x. Tato hodnota značí počet „člověkoroků“, které ve věku x prožije lx osob. Tato hodnota se aproximuje výrazem Lx ≅ lx+1 + ½ (lx - lx+1) = lx+1 + ½ dx = ½ (lx + lx+1). Vzhledem ke zvýšené kojenecké úmrtnosti v prvních týdnech lidského života se může pro x=0 použít jiné aproximace. Např. se užívá L0 ≈ l1 + 0,08 d0 . Tx počet zbylých let života ve věku x. Jde o počet „člověkoroků“, které do konce svého života prožije lx osob, tj. Tx = Lx + Lx+1 + ... . Veličinu Tx lze těž vyjádřit pomocí veličin dx . Za tím účelem vyjděme z vyjádření hodnot Lx+i ≅ ½ (lx+i + lx+i+1) , které sečteme pro i=0,2,…,n-1. Uvažovaný součet označíme Tx . Ihned vidíme, že platí Tx = ½ lx + lx+1 + ... + lx+n-1 + ½ lx+n = ½ [ lx + 2 lx+1 + ... + 2 lx+n-1 + lx+n ] . Výraz v hranatých závorkách můžeme přepsat následovně lx + 2 lx+1 + ... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 lx+1 + 2 lx+2 +... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 (lx+1 - lx+2)+ 5 lx+2 +... + 2 lx+n-1 + lx+n = = (lx - lx+1) + 3 (lx+1 - lx+2)+ 5 lx+2 +... + (2n-1) (lx+n-1 - lx+n) + 2n lx+n = = dx + 3 dx+1 + 5 dx+2 +... + (2n-1) dx+n-1 + 2 n lx+n . Volíme-li n dostatečně veliké (n>ω-x), je lx+n =0 a tedy můžeme psát Tx ≅ ½ (dx + 3 dx+1 + 5 dx+2 +... ) . o

ex střední délka života osoby ve věku x, která značí průměrný počet let, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x, tj. o

ex = Tx / lx .

o

Speciálně e0 je střední délka života osoby, ke které se vztahuje příslušný dekrementní řád. 44

Životní pojištění

Konstrukce úmrtnostních tabulek Uvažujme období, za které se konstruuje úmrtnostní tabulka např. jeden rok. Metody výpočtu hodnot qx , které jsou základem výpočtu úmrtnostních tabulek používají např. vzorce qx = Dx / ( Px + ½ Dx ) = [Dx / Px ] / [1+ ½ Dx / Px ] = mx / [1+ ½ mx ] , kde značí Px střední hodnotu populace ve věku x za období, pro něž se tabulka konstruuje Dx počet úmrtí ve věku x za toto období mx míru úmrtnosti za uvažované období, mx = Dx / Px . Někdy se při konstrukci tabulek uvažují případy migrace obyvatelstva. Označíme Ix počet jedinců ve věku x, kteří do populace vstoupí Ex počet jedinců ve věku x, kteří z populace vystoupí. V tomto případě se pro qx používá vzorce qx = Dx / [( Px + ½ (Dx +Ix - Ex) ] . Někdy se uvedený postup modifikuje. Předpokládejme, že sčítání se uskutečnilo v roce t. Protože pro některá x je počet úmrtí nízký, zavádí se veličina Dx(-t+) , kde k=t-1, t, t+1. Tato veličina značí počet nahlášených úmrtí ve věku x v letech t-1, t a t+1. Dále se zavádí veličina Px(t) , která značí počet prvků populace ve věku x podle sčítání v čase t. Pro výpočet qx se užije vztahu qx = Dx(-t+) / ( Px-1(t) + Px(t) + Px+1(t) + ½ Dx(-t+) ) .

Spojitost Při spojitém případě času se používá intenzity úmrtnosti ve věku x, která je označována µx . Tato intenzita je definována vztahem µx = - [1/lx] [dlx /dx] čili -dlx = µx lx dx . Při tom při dx>0 hodnota µx dx představuje pravděpodobnost úmrtí v časovém intervalu (x,x+dx). Počet dožívajících se věku lx klesne na lx - dlx .

45

Pro interval (x , x+n) se pokládá

lx − lx + n =

x+n

∫ µτ

lτ d τ ,

x

čili

l x+n = l x −

x+n

∫ µτ

lτ d τ ,

x

Výraz -dlx = µx lx dx můžeme přepsat ve tvaru dlx / lx = - µx dx , což dává

ln l x = − ∫ µ x dx − µ x dx lx = k0 e ∫ ,

kde k0 je integrační konstanta. Uvažujeme-li věkový interval (x,x+n) , potom lze psát x+n

lx+n = lx e

−

∫ µτ

dτ

.

x

Dále lze psát

dx =

x +1

∫ µτ lτ dτ , x

Lx =

x +1

∞

∫ lτ dτ ,

T x = ∫ lτ dτ ,

x

x

o

ex =

Tx . lx

Uvažujeme µ t funkci času takovou, že platí x ≤ t < x+1 ⇒ µ t = mx , kde značí mx míru úmrtnosti za uvažované období, mx = Dx / Px Px střední hodnotu populace ve věku x za období, pro něž se tabulka konstruuje Dx počet úmrtí ve věku x za toto období. Potom lze psát -m x

qx = 1 - e

46

.

Životní pojištění

2.2.2. Úmrtnostní tabulky v pojištění osob Úmrtnost mužské a ženské populace Ve vyspělých zemích vykazuje mužská populace prakticky ve všech věkových skupinách větší sklon k úmrtnosti než ženská populace. Vzhledem k této skutečnosti pojišťovny stanovují pojistné (pojistné sazby ve svém sazebníku) - pro muže a ženy odděleně použitím mužských a ženských úmrtnostních tabulek, - bez rozlišení pohlaví použitím smíšených úmrtnostních tabulek nerozlišujících pohlaví (obvykle odvozených z pojistných kmenů pojišťovny), - pro muže a ženy se použije mužských tabulek, přičemž sazby pro ženy se získají vhodným posunutím sazeb pro muže. V České republice převládá poslední postup. Obvykle se používá věkového posunu o 5 let. Např. žena ve stáří 45 let platí stejné pojistné jako muž ve stáří 40 let. Kromě pohlaví se lze použít jiné kriterium rozlišení.

Vyrovnávání úmrtnostních tabulek: Hodnoty qx či lx se určují jako statistické odhady a podléhají tedy náhodnému kolísání. Proto je vhodné oprostit tyto veličiny od nahodilých výkyvů, které nemají racionální vysvětlení. Tato operace se nazývá vyhlazování. Zpravidla se používá - analytické vyrovnávání prokládá vyrovnávanými posloupnostmi matematické křivky, např. Gompertzovy-Makehamovy křivky x

lx = k sx gc , kde k, s, g, c jsou odhadované parametry - mechanické vyrovnávání obvykle používá klouzavých průměrů. Ve Wittsteinově metodě je e

qx = [1/25] [5 qx + 4 (qx-1 + qx+1) + 3 (qx-2 + qx+2) + + 2 (qx-3 + qx+3) + (qx-4 + qx+4) ] = = 0,2 qx + 0,16 (qx-1 + qx+1) + 0,12 (qx-2 + qx+2) + + 0,08 (qx-3 + qx+3) + 0,04 (qx-4 + qx+4) .

47

Ve Spencerova metodě je e

qx = [1/320] [74 qx + 67 (qx-1 + qx+1) + 46 (qx-2 + qx+2) + 21 (qx-3 + qx+3) + + 3 (qx-4 + qx+4) - 5 (qx-5 + qx+5) - 6 (qx-6 + qx+6) -3 (qx-7 + qx+7) ] .

Používá se též jiných metod vyrovnávání např. Woolhouseova, Karupova aj. Volba konkrétní úmrtnostní tabulky je pro pojišťovnu spojena s určitým rizikem, neboť skutečné úmrtnostní chování pojistného kmene se od ní může nepříznivě lišit (např. v důsledku ztráty aktuálnosti tabulky nebo odlišnosti úmrtnostních charakteristik pojistného kmene od celostátního průměru). Proto pojišťovny upravují úmrtnostní tabulky o tzv. bezpečnostní přirážky, tj. o přirážky mající za následek zvýšení pojistného. Zpravidla se používá věkového posunu, popřípadě věkového posunu s modifikací. Jde např. o - věkový posun znamenající umělé zestárnutí o 1 rok v případě rizika smrti (např. hodnota q40 je rovna původní hodnotě q41 před posunem); - věkový posun znamenající umělé omládnutí o 2 roky v případě rizika dožití (např. hodnota q40 je rovna původní hodnotě q38 před posunem); - jiné modifikace, např. v případě rizika smrti qx modif = max (qx+0,0005, qx+1).

Selekční úmrtnostní tabulky zohledňují tzv. princip selekce, kdy např. vzhledem k předepsané lékařské prohlídce závisí úmrtnost pojištěných nejen na jejich věku, ale také na době uplynulé od uzavření pojištění. Pak např. symbol q[39]+1 označuje pravděpodobnost úmrtí ve věku 40 let se vstupem do pojištění před 1 rokem (tj. ve věku 39 let) a např. platí q[40] < q[39]+1 . V některých produktech pojištění osob je pojistné plnění závislé na životě nebo smrti dvou či více osob (např. v rámci vdovského důchodu). Proto se uvažují skupinové úmrtnostní tabulky. Skupinové úmrtnostní tabulky se např. často týkají dvojic (x, y) (muž ve věku x, žena ve věku y), přičemž za předpokladu vzájemné nezávislosti úmrtnostního chování mužské a ženské populace platí pxy = px py qxy = 1 - pxy lxy = lx ly , kde značí pxy pravděpodobnost přežití dvojice (x, y) do stavu (x + 1, y + 1) qxy pravděpodobnost zániku dvojice (x, y) před dosažením stavu (x+1, y+1) (buď smrtí muže před dosažením věku x+1 nebo smrtí ženy před dosažením věku y +1)

48

Životní pojištění lxy

počet přežívajících dvojic (x, y),

při čemž hodnoty px, 1x (resp. žen).

(resp. py, ly) jsou hodnoty z úmrtnostní tabulky mužů

2.3. Pojistně-matematické výpočty 2.3.1. Základní principy Základem pojistně-matematických výpočtů v rámci pojištění osob jsou následující principy princip solidarity princip fiktivního souboru princip ekvivalence. Princip solidarity spočívá v tom, že se pojistné plnění pojistníkovi vyplácí z pojistného všech pojištěných. Princip fiktivního souboru má smysl používat v případech, že při výpočtech neužíváme pravděpodobnosti nastání příslušných jevů. Podle tohoto principu je počet osob uzavírajících ve věku x jistý typ pojištění roven hodnotě lx z používané úmrtnostní tabulky. Tento předpoklad vede ke správným výsledkům, neboť v příslušných vzorcích figurují veličiny typu lx jen ve vzájemných poměrech, tj. jako pravděpodobnosti. Princip ekvivalence požaduje, aby příjmy pojišťovny byly v rovnováze s jejími výdaji při přihlédnutí k časové hodnotě peněz, tj. peněžní toky příjmů a výdajů se vztáhnou diskontováním ke zvolenému počátečnímu času nebo se úročením vztáhnou k zvolenému budoucímu koncovému času. Při diskontování a úročení se používá pojistně technické míry i. Tento princip značí, že současná hodnota pojistného, se musí rovnat současné hodnotě očekávaného pojistného plnění. Použití uvedených principů uveďme na jednoduchém příkladě. Určeme pojistné, které by měla pojišťovna jednorázově požadovat od x letého muže, který s ní uzavírá pojištění na dožití věku x+n let s pojistnou částkou Z, tj. pojišťovna vyplatí pojištěnému tuto částku, jakmile se dožije věku x+n let; při jeho úmrtí před dožitím tohoto věku pojištění zanikne bez náhrady. Přitom pojišťovna používá roční úrokovou míru i a údaje z používaných úmrtnostních tabulek. Podle principu fiktivního souboru pojišťovna kalkuluje s tím, že odpovídající počet x 1etých pojištěných bude lx, z nichž se lx+n dožije věku x+n let. Pojišťovna tedy po uplynutí n let bude vyplácet částku Z lx+n . Součastná hodnota této částky je Z lx+n vn, kde v = 1 / (1+i). Tuto částku zaplatí lx pojištěných. Tedy podle principu ekvivalence čisté (netto) pojistné bez zahrnutí správních nákladů na jedno pojištění je Z lx+n vn / lx = Z lx+n vx+n / (lx vx ) =Z Dx+n / Dx , 49

kde pokládáme Dx+n = lx vn . Uvedenou úlohu vyřešme pomocí pravděpodobnostní úvahy, v níž nebude použito principu fiktivního souboru. Uvažujme náhodnou veličinu ξ která nabývá hodnoty Z vn s pravděpodobnosti npx 0 s pravděpodobností nqx = 1 - npx . Pro střední hodnotu této náhodné veličiny, která podle principu ekvivalence určuje též průměrnou hodnotu čistého pojistného platí Eξ = Z vn npx + 0 nqx = Z vn lx+n / lx = Z Dx+n / Dx . Vidíme, že jsme dospěli v obou případech ke shodným výsledkům. Pomocí druhého přístupu lze navíc stanovit riziko pojištění definované jako směrodatná odchylka σ příslušné náhodné veličiny ξ, které oceňuje možné vychýlení skutečného škodního průběhu od vykalkulované pojistné sazby Eξ . Riziko pojištění σ se určí podle vztahu σ2 = varξ = Eξ2 - (Eξ)2 = Z2 v2n npx + 0 nqx - (Eξ)2 = = Z2 v2n lx+n / lx - (Eξ)2 .

2.3.2. Pojistně technická úroková míra, komutační čísla Pojistně technická úroková míra Úroková míra, kterou používá pojišťovna pro pojistně-matematické výpočty (např. pro výpočet pojistných sazeb), se nazývá pojistně-technická úroková míra. Nízká hodnota úrokové míry zvyšuje pojistné sazby a vysoká míra snižuje pojistné sazby. Tak při nízké úrokové míře se může pojišťovna dostat do potíží s ohledem na konkurenci a při vysoké úrokové míře inkasované pojistné nemusí být postačující pro vytvoření potřebných rezerv pojišťovny. V pojišťovnách působících v České republice je pojistně-technická úroková míra určena vyhláškou ministerstva financí. Označíme v diskontní faktor odpovídající úrokové míře i, tj. položíme v = 1 / (1+i) .

Komutační čísla Komutační čísla jsou pomocné hodnoty, které vznikají finančním diskontováním hodnot z úmrtnostních tabulek při zvolené úrokové míře. Pojišťovny je používají

50

Životní pojištění obvykle v formě tabulek pro zjednodušení a zpřehlednění pojistně-matematických výpočtů.

Nejdůležitější komutační čísla jsou Diskontovaný počet dožívajících se věku x: Dx = lx vx Diskontovaný počet zemřelých ve věku x: Cx = dx vx+1 = (lx - lx+1) vx+1 . Ve vzorci pro Cx se na rozdíl od vzorce pro Dx diskontuje přes x + 1 období, neboť počet zemřelých dx odpovídá stavu až na konci daného roku. Přitom platí Cx = dx vx+1 = (lx - lx+1) vx+1 = Dx v - Dx+1 .

Komutační čísla vyšších řádů: Nx = Dx + Dx+1 + ... Mx = Cx + Cx+1 + ... Sx = Nx + Nx+1 + ... Rx = Mx + Mx+1 + ... . Pro výpočet komutačních čísel jsou vhodné tabulkové procesory.

Poznámky Jestliže existuje ω tak, že pro všechna n>ω je ln = 0, potom též pro n>ω jsou nulová uvedená komutační čísla. Je zřejmé, že uvedený předpoklad je pro lidskou populaci splněn. Pro libovolná komutační čísla Z a Y taková, že platí Zx = Yx + Yx+1 + ... lze odvodit Yx + Yx+1 + … +Yx+n-1 = Zx - Zx+n . S ohledem na první poznámku lze zjistit, že pro n → ∞ Zx+n → 0 .

51

2.4. Pojistné 2.4.1. Jednorázové netto pojistné Jednorázové netto pojistné je dána současnou hodnotou očekávaných částek, které pojišťovna bude muset v rámci pojištění vyplatit. Očekávané částky se určují na základě přijaté úmrtnostní tabulky a diskontování se provádí pomocí přijaté pojistně-technické úrokové míry k okamžiku uzavření pojištění. Současná hodnota pojištění je podle principu ekvivalence zároveň jeho jednorázovým netto pojistným a představuje základ pro výpočet jakéhokoli pojistného. Jednotková současná hodnota pojištění je současná hodnota pojištění pro jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod (tj. důchod s jednotkovými platbami). Uvedeme přehled jednotkových současných hodnot vybraných druhů pojištění. Pojištění pro případ dožití Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku, jestliže se osoba pojištěná ve věku x dožije konce sjednané doby n let. Při úmrtí pojištěného před koncem pojistné doby pojištění zanikne bez náhrady. Jednotková současná hodnota tohoto pojištění je nEx

= lx+n vn / lx = lx+n vx+n / lx vx = Dx+n / Dx .

Pojištění pro případ úmrtí Uvažujme pojištění pro případ úmrtí (smrti) osoby, které uzavřela pojištění ve věku x let. Trvání pojištění je omezeno na sjednanou pojistnou dobu n let (n může být ω, tj. doba trvání není omezena). Povinnost pojistného plnění je odložena o dobu odkladu (čekací dobu, karenční dobu) k let k=0,1,2, … . Pojišťovna tedy vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci roku, který je stanoven rokem, v němž osoba pojištěná ve věku x let zemře zvětšeným o velikost odkladu k. V tomto případě platí k|Ax n

= (dx+k vk+1 + dx+k+1 vk+2 + ... + dx+k+n-1 vk+n ) / lx = = (dx+k v x+k+1 + dx+k+1 vx+k+2 + ... + dx+k+n-1 vx+k+n ) / lx vx = = (Cx+k + Cx+k+1 + ... +Cx+k+n-1) / Dx = (Mx+k - Mx+k+n) / Dx .

Je-li k=0 a n=ω , tj. Mx+k+n =0, mluvíme o pojištění pro případ smrti. Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře. V tomto případě je pokládáme Ax = 0|Ax ω . 52

Životní pojištění Je-li k=0 a n< ω mluvíme o pojištění pro případ smrti v době trvání pojištění n let. Tohoto typu se využívá především jako tzv. pojištění úvěru pro případ smrti dlužníka (úvěrové pojištění), které uzavírá klient v okamžiku, kdy mu nějaká banka poskytla časově omezený úvěr (často se přímo jedná o povinnou podmínku pro poskytnutí úvěru, přičemž pojišťovna bývá dceřinnou společností příslušné banky). Pojišťovna po inkasování jednorázového pojistného přebírá odpovědnost za příslušný úvěr v případě smrti pojištěného během umořování dluhu. V tomto případě je pokládáme Ax n = 0|Ax n . Je-li k>0 a n=ω mluvíme o odloženém pojištění pro případ smrti. V tomto případě je pokládáme k|Ax

= k|Ax ω .

Smíšené pojištění Jedná o nejběžnější a nejprodávanější druh kapitálového pojištění osob („klient při něm o nic nepřijde“). Uvažujme pojištění, které uzavřela osoba ve věku x. Zemře-li pojištěná osoba ve před dosažením věku x+n pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku α na konci pojistného roku, v němž osoba zemře. Pokud se osoba dožije věku x+n, pojišťovna vyplatí sjednanou částku β. Pro toto pojištění platí Ax n = [α (Cx + Cx+1 + ... +Cx+n-1) + β Dx+n)] / Dx = = [(α (Mx - Mx+n) + β Dx+n)] / Dx . V praxi se užívají případy, kdy jeden z parametrů α, β je jednotkový. Je-li β=1, jde o smíšené pojištění s α násobnou pojistnou částkou v případě smrti, ve kterém „jednotkovou pojistnou částkou“ se zde rozumí α v případě smrti a 1 Kč v případě dožití. Je-li α=1 jde o smíšené pojištění s β násobnou částkou v případě dožití, ve kterém „jednotkovou pojistnou částkou“ se zde rozumí 1 Kč v případě smrti a β Kč v případě dožití.

Pojištění s pevnou dobou výplaty (pojištění á terme fixe): Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci sjednané pojistné doby n bez ohledu na to, zda pojištěný žije nebo mezitím zemřel. Tento druh pojištění se uzavírá za běžné pojistné, přičemž v případě smrti pojištěného během pojistné doby přestává povinnost placení pojistného (pojišťovna tedy doplácí pojistné do konce pojistné doby sama, což odlišuje tento pojistný produkt od klasického spoření). Jednotková současná hodnota pojištění s pevnou dobou výplaty je vn. Tohoto typu se využívá především jako tzv. stipendijní pojištění nebo pojištění věna (rodič je pojištěným a dítě oprávněnou osobou). 53

Pojištění důchodu V pojištění důchodu je, na rozdíl od jistého důchodu ve financích, životní důchod vázán na život pojištěného a (nejpozději) v případě jeho smrti končí. Předlhůtný důchod Uvažujme případ, ve kterém osoba ve věku x let uzavře pojištění, podle kterého pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku (předlhůtný důchod), po dobu n let nebo pokud pojištěná osoba žije (n→∞ resp. n=ω), přičemž výplata důchodu je odložena o k let, k=0,1,2, … . Jednotková současná hodnota tohoto pojištění (tj. současná hodnota jednotkového důchodu) je k|äx n

= (lx+k vk + lx+k+1 vk+1 + ... + lx+k+n-1 vk+n-1 ) / lx = = (lx+k v x+k + lx+k+1 vx+k+1 + ... + lx+k+n-1 vx+k+n-1 ) / lx vx = = (Dx+k + Dx+k+1 + ... +Dx+k+n-1) / Dx = (Nx+k - Nx+k+n) / Dx .

Je-li k=0 a n=ω mluvíme o pojištění doživotního důchodu. Pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku, pokud pojištěná osoba žije. V tomto případě je pokládáme äx = 0|äx ω . Je-li k=0 a n<ω mluvíme o pojištění dočasného důchodu , ve kterém se omezuje trvání důchodu nejvýše na sjednanou pojistnou dobu n let. V tomto případě je pokládáme äx n = 0|äx n . Je-li k>0 a n=ω mluvíme o pojištění odloženého doživotního důchodu se odkládá první výplatu důchodu o k let. V tomto případě je pokládáme k|äx

= k|äx ω .

Polhůtný důchod Kromě předlhůtních důchodů se uvažují polhůtní důchody s platbami vždy na konci pojistného roku. Pro tyto důchody platí k|ax n

= (lx+k vk+1 + lx+k+1 vk+2 + ... + lx+k+n-1 vk+n ) / lx = = (lx+k v x+k+1 + lx+k+1 vx+k+2 + ... + lx+k+n-1 vx+k+n ) / lx vx = = (Dx+k+1 + Dx+k+2 + ... +Dx+k+n) / Dx = (Nx+k+1 - Nx+k+n+1) / Dx .

54

Životní pojištění

Področní důchody V praxi se zpravidla nevyplácejí důchody ročně, ale v m dílcích obdobích roku stejné délky (např. při měsíčním vyplácení je m = 12). V tomto případě lze použít složeného úročení s tím, že úroková míra odpovídá délce dílčího období. Je-li úroková míra pro jednotkové období i, můžeme např. úrokovou míru pro dílčí období definovat jako i/m nebo (1+i)1/m - 1. Běžný postup spočívá v následujícím postupu. Uvažujme doživotní předlhůtný důchod, který je vyplácen m-krát ročně vždy na počátku dílčího období délky 1/m. Pro tento případ definujeme jednotkovou počáteční hodnotu področního předlůtného důchodu äx(m) . Při výpočet äx(m) se použije aproximace äx(m) ≅ [1/m] ∑k

[k/m]|äx

,

kde se sčítá přes hodnoty k=0, 1, …, (m-1) a kde [k/m]|äx značí jednotkovou počáteční hodnotu doživotního důchodu odloženého o k m-tin roku. Protože platí 0|äx

= äx ,

1|äx

= äx - 1 ,

užije se lineární aproximace [k/m]|äx

= äx - [k/m] .

Tak dostaneme äx(m) ≅ äx - [1/m] [0/m + 1/m + … + (m-1)/m] = äx - [(m-1)/(2m)]

Analogicky lze odvodit jednotkovou počáteční hodnotu področního polůtného důchodu ax(m) ve tvaru ax(m) ≅ ax + [(m-1)/(2m)]

Pro dočasné důchody se používá aproximace äx n(m) ≅ äx n - [(m-1)/(2m)] (1-nEx) ax n(m) ≅ ax n + [(m-1)/(2m)] (1-nEx) a pro odložené důchody se používá dalších korekcí. k|äx

≅ k|äx - [(m-1)/(2m)] kEx

(m) k|ax

≅ 0|ax + [(m-1)/(2m)] kEx ,

(m)

kde sEx = lx+s vs / lx .

55

Pojištění s proměnným pojistným plněním Proměnná pojistná plnění se v praxi objevují např. v případě indexové valorizaci důchodů (tj. při zvyšování důchodů v závislosti na cenových indexech (inflaci)), v případě úvěrového pojištění s postupně umořovaným dluhem apod.

2.4.2. Běžné netto pojistné V praxi často dává pojistník přednost běžnému pojistnému. Budeme uvažovat klasickou situaci s pravidelnými stejnými splátkami11. V běžném pojištění si chce pojistník zajistit splátkami pojistného jednorázovou jednotkovou částku nebo jednotkovou výplatu důchodu. Předpokládejme, že pravidelnými splátkami ve výši nPx si hodlá osoba, která ve věku x uzavřela pojištění zajistit ve věku x+n jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod. Splátky se platí vždy na počátku jednotkového období (roku). Z teoretického hlediska lze na částky placené pojistníkem dívat jako na důchod, který pojistník platí pojistiteli. Uvedeme výpočet pomocí pravděpodobností. Připomeneme, že np x

značí pravděpodobnost, že x letá osoba se dožije stáří x+n qx|j značí pravděpodobnost toho, že osoba, která ve věku x žila bude žít ve věku x+j, ale nedožije se věku x+j+1 q značí pravděpodobnost, že x letá osoba se nedožije stáří x+n . n x npx = lx+n / lx qx|j = dx+j / lx nqx = 1 - npx .

11

Některé pojišťovny nabízejí možnost proměnných splátek běžného pojistného (americký pojistný produkt Universal Life)

56

Životní pojištění Pojištění pro případ dožití Osoba ve stáří x se zaváže, že na počátku každého období po n následujících období zaplatí pojišťovně částku nPx pokud bude žít. Pojišťovna se zaváže, že na konci období n zaplatí pojistníkovi, pokud bude žít, jednotkovou částku. Při výpočtu se použije úrokové míry i a položí se v=1/(1+i). Označme čas počátku pojištění jako 0. Průměrná současná hodnota postupně zaplacených částek nPx je dána výrazem nPx

( 0px + 1px v + 2px v2 + … + n-1px vn-1) ,

kde äx n = 0px + 1px v + 2px v2 + … + n-1px vn-1 . Tak platí, že průměrná současná hodnota postupně zaplacených částek nPx je dána výrazem nPx äx n . Průměrná současná hodnota jednotkové částky je dána výrazem nEx

= npx vn .

Obě hodnoty se musí rovnat, tj. nPx äx n = nEx . Odtud pro hledané nPx dostaneme nP x

= nEx / äx n .

Poznamenejme, že pojištění pro případ dožití za běžné pojistné se v praxi většinou doplňuje tzv. výhradou, podle níž pojišťovna při předčasném ukončení tohoto pojištění smrtí pojištěného vrací oprávněným osobám podstatnou část doposud zaplaceného pojistného.

Pojištění pro případ smrti Osoba ve stáří x se zaváže, že na počátku každého období po n následujících období zaplatí pojišťovně částku nPx pokud bude žít. Pojišťovna se zaváže, že na konci období v němž pojistitel zemře zaplatí oprávněným jednotkovou částku, pokud pojištěný zemře před dosažením věku x+n. Označme čas počátku pojištění jako 0. Průměrná současná hodnota postupně zaplacených částek nPx je dána výrazem nPx äx n . Průměrná hodnota částek vyplacených pojišťovnou 1Ax n je dána výrazem 1

Ax n = qx|0 v + 1qx|1 v2 + qx|2 v3 + … + qx|n-1 vn .

Tedy hledaná hodnota Z je rovna nP x

= 1Ax n / äx n .

Analogicky lze postupovat při smíšeném pojištění, při pojištění s pevnou dobou výplaty a při odkladu výplat pojišťovnou. 57

Ve všech těchto pojištěních je chování pojistníka stejné a proto je i stejná hodnota äx n . Hodnota v čitateli, tj. nEx , 1Ax n závisí na pojistném produktu. Pokud je běžné pojistné placeno v m dílčích obdobích stejné délky, z nichž sestává jednotkové období je nutno tuto skutečnost vzít v úvahu při stanovení současné hodnoty.

2.4.3. Brutto pojistné Brutto pojistné je netto pojistné rozšířené o složky na pokrytí správních nákladů pojišťovny a případně o bezpečnostní přirážku12. Uvedeme typy správních nákladů pojišťovny: Počáteční jednorázové náklady (získávací náklady) α Počáteční jednorázové náklady (získávací náklady) α představují zaváděcí náklady spojené s prodejem pojistného produktu (provize pojišťovacím agentům), vstupní lékařskou prohlídku apod. Tyto náklady se určí jako α násobek pojistné částky nebo ročního důchodu. Pořizovací náklady (nebo jejich podstatná část) jsou zpravidla hrazeny v prvním roce pojištění. Proto se rozdělují na celou dobu trvání pojištění, pomocí metody nazývané zillmerování. Běžné správní náklady (koeficient β) Běžné správní náklady (koeficient β) představují každoročně se opakující náklady během trvání pojištění spojené s jeho udržováním (administrativa, provoz výpočetní techniky, korespondence s klientem apod.). Někdy se rozlišují běžné správní náklady během celého trvání pojištění (koeficient β1) a běžné správní náklady během placení pojistného (koeficient β2). Při tom platí β = β1 + β2 .Tyto náklady se určí jako β (resp. β1, β2) násobek pojistné částky nebo ročního důchodu. Inkasní náklady (koeficient γ) Inkasní náklady (koeficient γ) představují náklady spojené s inkasem pojistného (týkají se často jen pojistných produktů s běžným pojistným). Tyto náklady se určují jako γ násobek z ročního (příp. jednorázového) brutto pojistného. Náklady při výplatě důchodu (koeficient δ) Náklady při výplatě důchodu (koeficient δ) týkají se pouze pojistných produktů s výplatou důchodu. Tyto náklady se určí jako δ násobek ročního důchodu.

12

Bezpečnostní přirážka se většinou zahrnuje do pojistného implicitně uplatněním příslušných věkových posunů v úmrtnostní tabulce.

58

Životní pojištění

Jednotná správní přirážka (koeficient ε) Jednotná správní přirážka (koeficient ε) slučuje v sobě všechny předchozí typy správních nákladů. Tyto náklady se většinou určí jako ε násobek brutto pojistného. Při výpočtu nákladů je nutno rozlišovat jednorázové brutto pojistné a běžné brutto pojistné.

Uveďme příklad pojištění, že se osoba ve věku x dožije věku x+n . Jednorázové netto pojistné je na jednotkovou pojistnou částku je nEx . Počáteční jednorázové náklady α a běžné správní náklady β1 (při jednorázovém pojištění se neuplatní běžné náklady β2) , představují podíl z pojistné částky. V případě jednotkového pojištění stačí tyto náklady přičíst, tj. dostaneme nБx

= nEx + α + β1 äx n .

V případě běžného brutto pojistného platí nBx

äx n = nEx + α + β äx n + γ nBx äx n .

Odtud dostaneme nBx

=[ nEx + α + β äx n ] / [(1-γ) äx n ] = [ nPx + α / äx n + β ] / (1-γ) .

2.5. Pojistné rezervy v pojištění osob Přirozené pojistné je pojistné vykalkulované tak, že pokryje pojištěné riziko na jeden rok dopředu; na konci tohoto roku je příslušné pojistné inkasované od souboru pojištěných beze zbytku spotřebováno, neboť odpovídá pravděpodobnosti, že v daném roce nastane pojistná událost. Přirozené pojistné je obvyklé např. v úrazovém pojištění nebo v pojištění majetku. Přirozené pojistné je nepřípustné u většiny typů pojištění osob (např. u smíšeného pojištění by pojišťovna nejprve vyžadovala malé pojistné pokrývající roční riziko úmrtí, toto pojistné by však postupně narůstalo, až v posledním roce by naskočilo téměř na hodnotu pojistné částky). Proto se splátky běžného pojistného volí konstantní s tím, že pojišťovna z nich musí vytvářet rezervu. Pojistná rezerva představuje částku, kterou pojišťovna musí nashromáždit z přebytků prvních let pojištění a odpovídajících úroků, aby v pozdějších letech byla schopna plnit své závazky. Podle toho, zda do pojistné rezervy nejsou či jsou zahrnuty správní náklady, se rozlišuje netto rezerva či brutto rezerva.

59

Dá se zjistit, že některá pojištění vytvářejí téměř zanedbatelnou netto rezervu ve srovnání s pojistnou částkou a ve srovnání s jinými pojištěními. Např. dočasné pojištění pro případ smrti vytváří zanedbatelnou netto rezervu ve srovnání s pojistnou částkou a ve srovnání s netto rezervou smíšeného pojištění. Z tohoto hlediska se rozlišují: - rezervotvorná pojištění, která vytvářejí pojistnou rezervu (např. smíšené pojištění, pojištění důchodu) - riziková pojištění, která pojistnou rezervu nevytvářejí (např. úrazové pojištění) nebo ji vytvářejí v zanedbatelné výši (např. dočasné pojištění pro případ smrti za běžné pojistné).

2.5.1. Netto rezerva Uvažujme pojištění osoby se vstupním věkem x a pojistnou dobou n, které za roční netto pojistné nPx placené na počátku roku zaručuje pojistné plnění ve výši at , dožije-li se pojištěná osoba konce roku t a pojistné plnění ve výši bt při úmrtí pojištěné osoby během roku t. Hodnota t odpovídá roku, v němž je osoba pojištěná, tj. t = 1, 2, …, n . Netto rezerva představuje rozdíl mezi výdaji a příjmy pojišťovny. Jde o částku, která je nashromážděná do konce roku t uvažovaného pojištění, kde t = 1, 2 , ..., n. Při tom pokládáme 0Vx n = 0. Roční netto pojistné nPx je kalkulováno podle některého ze vztahů nPx

∑j:1,n

nPx

∑j:1,n lx+j-1 vx+j-1 = ∑j:1,n (aj lx+j vx+j + bj dx+j-1 vx+j ) , nPx

nPx

j-1px

vx+j-1 = ∑j:1,n (aj jpx vx+j + bj qx|j-1 vx+j ) ,

∑j:1,n Dx+j-1 = ∑j:1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1) ,

[∑j:1,n Dx+j-1] / Dx= [∑j:1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1)] / Dx ,

kde ∑j:1,n představuje součet přes j = 1, …, n. Připomeňme, že qx|j = dx+j / lx značí pravděpodobnost toho, že osoba, která ve věku x žila bude žít ve věku x+j, ale nedožije se věku x+j+1. Ze vztahu nPx

∑j:1,n Dx+j-1 = ∑j:1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1) ,

dostaneme

60

Životní pojištění nPx

∑j:1,t Dx+j-1 + nPx ∑j:t+1,n Dx+j-1= = ∑j:1,t (aj Dx+j + bj Cx+j-1) + ∑j:t+1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1),

což dává nPx

∑j:1,t Dx+j-1 - ∑j:1,t (aj Dx+j + bj Cx+j-1) = = ∑j:t+1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1) - nPx ∑j:t+1,n Dx+j-1 .

Označíme τVx n netto rezervu pro uvažované pojištění na konci roku τ. Platí vztah (τ-1Vx n + nPx) lx+τ-1 (1+i) = τVx n lx+τ + (aτ lx+τ + bτ dx+τ-1) . Platnost tohoto vztahu plyvá z významu příslušných hodnot. Hodnota (τ-1Vx n + nPx) lx+τ-1 je částka, kterou má pojišťovna k dispozici na začátku roku τ . Hodnota τVx n lx+τ je částka, kterou má k dispozici na konci roku τ po provedení pojistného plnění (aτ lx+τ + bτ dx+τ-1) . Vynásobíme-li uvedený vztah veličinou vx+τ dostaneme (τ-1Vx n + nPx) lx+τ-1 vx+τ-1 = τVx n lx+τ vx+τ + (aτ lx+τ vx+τ + bτ dx+τ-1 vx+τ ) (τ-1Vx n + nPx) Dx+τ-1 = τVx n Dx+τ + (aτ Dx+τ + bτ Cx+τ-1) τ-1Vx n

Dx+τ-1 + nPx Dx+τ-1 = τVx n Dx+τ + (aτ Dx+τ + bτ Cx+τ-1)

Uvažujme nyní postupně τ = 1, …, t dostaneme 0Vx n

Dx + nPx Dx = 1Vx n Dx+1 + (a1 Dx+1 + b1 Cx)

1Vx n

Dx+1 + nPx Dx+1 = 2Vx n Dx+2 + (a2 Dx+2 + b2 Cx+1)

2Vx n

Dx+2 + nPx Dx+2 = 3Vx n Dx+3 + (a3 Dx+3 + b3 Cx+2) ...

t-1Vx n

Dx+t-1 + nPx Dx+t-1 = tVx n Dx+t + (at Dx+t + bt Cx+t-1) .

Sečtením uvedených vztahů dostaneme 0Vx n

Dx + nPx ∑j:1,t Dx+j-1 = tVx n Dx+t + ∑j:1,t (aj Dx+j + bj Cx+j-1) .

Protože se pokládá 0Vx n = 0, dostáváme tVx n

= [1/ Dx+t] [ nPx ∑j:1,t Dx+j-1 - ∑j:1,t (aj Dx+j + bj Cx+j-1) ] .

Tato rezerva byla vypočtena na základě údajů, které odpovídaly času t a časům předcházejícím. Proto mluvíme o retrospektivním výpočtu netto rezervy. Pro vyznačení, že jde retrospektivní výpočet budeme psát tVx n (retro) .

61

Protože platí nPx

∑j:1,t Dx+j-1 - ∑j:1,t (aj Dx+j + bj Cx+j-1) = = ∑j:t+1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1) - nPx ∑j:t+1,n Dx+j-1 ,

vidíme, že tVx n

= [1/ Dx+t] [ ∑j:t+1,n (aj Dx+j + bj Cx+j-1) - nPx ∑j:t+1,n Dx+j-1 ] .

V tomto případě se používá k výpočtu údajů, které následují po hodnotě t. Proto hovoříme o prospektivním výpočtu netto rezervy. Pro vyznačení, že jde prospektivní výpočet budeme psát tVx n (pro) . Dále vidíme, že platí tVx n

(retro)

= tVx n (pro) .

Vraťme se ke vztahu t-1Vx n

Dx+t-1 + nPx Dx+t-1 = tVx n Dx+t + (at Dx+t + bt Cx+t-1) .

Vydělíme-li tento vztah hodnotou Dx+t-1 , dostaneme t-1Vx n nPx

+ nPx = tVx n Dx+t / Dx+t-1 + (at Dx+t + bt Cx+t-1) / Dx+t-1.

= tVx n Dx+t / Dx+t-1 - t-1Vx n+ (at Dx+t + bt Cx+t-1) / Dx+t-1..

Uvědomíme-li si, že platí13 Dx+t = Dx+t-1 v - Cx+t-1 , Dx+t / Dx+t-1 = v - Cx+t-1 / Dx+t-1 , můžeme psát nP x

= tVx n v - t-1Vx n + [at Dx+t + (bt - tVx n) Cx+t-1] / Dx+t-1 .

Položíme nPx(ukládací

v roce t)

= tVx n v - t-1Vx n

nPx(riziková

v roce t)

= [at Dx+t + (bt - tVx n) Cx+t-1] / Dx+t-1 .

Tak máme nPx

= nPx(ukládací v roce t) + nPx(riziková v roce t) .

Částka nPx(ukládací v roce t) je částka, kterou musí pojišťovna přidat k netto rezervě t-1Vx n , aby po zúročení dávala tVx n .

13

Platí definice Dx = lx vx , Cx = dx vx+1 , dx = lx - lx+1 . Z těchto definic plyne Cx = (lx - lx+1) vx+1 = Dx v - Dx+1.

62

Životní pojištění Částka nPx(riziková v roce riziko v roce pojištění t.

t)

je částka, která v průměru pokrývá pojistné plnění, tedy

Např. přirozené pojistné je pojistné, které sestává pouze z rizikové části. Jeho ukládací část je nulová.

Uvedeme netto rezervy pro některá pojištění osob za běžné pojistné na jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod. Definujeme pomocnou veličinu Ψ = [(Nx+t - Nx+n) / (Nx - Nx+n)] . Pojištění pro případ dožití: tVx

= [Dx+n / Dx+t ] [ (Nx - Nx+t) / (Nx - Nx+n)] .

Tento vzorec se získá, jestliže se v obecném vztahu pro použije aj = 0, bj = 0 s výjimkou an = 1 a Z odpovídá uvažovanému pojištění. Pojištění pro případ smrti tVx

= 1 - [Dx / Dx+t ] . [Nx+t / Nx]

tVx

= [(Mx+t - Mx+n) / Dx+t ] - Ψ [(Mx - Mx+n) / Dx+t] .

Smíšené pojištění tVx

= 1 - Ψ [Dx / Dx+t ] .

Pojištění s pevnou dobou výplaty tVx

= vn-t - vn Ψ [Dx / Dx+t ] .

Pojištění odloženého doživotního důchodu tVx

= [Nx+k / Dx+t] [(Nx - Nx+t) / (Nx - Nx+k)] pro t < k ,

tVx

= Nx+t / Dx+t

pro t ≥ k .

V předchozích vzorcích se neodečítal člen obsahující běžné pojistné.

2.5.2. Brutto rezerva Brutto rezerva je netto rezerva se započtenými správními náklady. Pro konstrukci brutto rezervy z netto rezervy platí následující pravidla: - Při běžném pojistném se od netto rezervy se odečte člen odpovídající α násobku pojistné částky nebo ročního důchodu. Mluví se o tzv. zillmerování rezervy s následující interpretací: Počáteční jednorázové náklady a musí pojišťovna vynaložit hned při uzavření smlouvy, i když je dostane zpět postupně v jednotlivých splátkách běžného pojistného; aby se pojišťovna 63

nestala věřitelem pojistníka, odečte tuto nesplacenou část pojistníkova dluhu z jeho pojistné rezervy. Brutto rezerva se proto v případě běžného pojistného také někdy nazývá zillmerovaná rezerva a může být v několika prvních letech pojištění záporná. - Při jednorázovém pojistném se k netto rezervě přičte člen vypočtený pomocí koeficientu β1, který se někdy nazývá rezerva běžných správních nákladů.

2.5.3. Výpočty založené na pojistné rezervě Odbytné U rezervotvorných pojištění se většinou v případě zrušení pojištění pojistníkem, pokud ještě nedošlo k pojistnému plnění, vrací podstatná část pojistné rezervy, vytvořené u tohoto pojištění do daného okamžiku, ve formě tzv. odbytného. Velmi často podíl takto vrácené rezervy rovněž závisí na době od uzavření pojištění. Např. se pokládá tOx

= 0,090 e tVx(brutto)

pro t ≤ 3

tOx

= (0,885 + 0,005 t) tVx(brutto)

pro 3 < t < 19

tOx

= 0,098 tVx (brutto)

pro t ≥ 19 ,

kde tOx

značí odbytné na jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod, na které má pojistná nárok na konci t-tého roku pojištění.

Redukce při neplacení běžného pojistného U rezervotvorných pojištění se v případě neplacení běžného pojistného (např. šest měsíců po předepsaném termínu včetně zaslání upomínky) automaticky redukuje pojistná částka nebo důchod (méně častěji pojistná doba). Přitom odbytné odpovídající okamžiku takové redukce se obvykle považuje za jednorázové pojistné zaplacené pro zbytek pojistné doby. Změny v pojistných hodnotách Během pojištění lze na přání pojistníka (nebo na základě návrhu pojišťovny podléhajícího schválení pojistníkem) provádět určité změny v pojistných hodnotách, jako je např. požadované zvýšení pojistného (pak je nutné spočítat odpovídající zvýšení pojistné částky nebo důchodu (pak je nutné spočítat odpovídající zvýšení pojistného) apod. Např. při požadovaném zvýšení pojistné částky v čase t z původní hodnoty S na novou hodnotu S' (S < S') lze postupovat tak, že v okamžiku změny se jednorázově doplatí brutto rezerva, aby se dostala na úroveň odpovídající nové pojistné částce S', 64

Životní pojištění a zároveň se zvýší původně placené běžné pojistné B na hodnotu B'. Jednorázový doplatek brutto rezervy a nové běžné pojistné B' je nutné dopočítat.

Podíl na zisku Skutečně dosahované výsledky hospodaření životní pojišťovny se většinou od kalkulovaných hodnot liší ve prospěch pojišťovny. Důvody mohou být následující - skutečná úmrtnost v kapitálových (resp. důchodových) pojištěních je nižší (resp. vyšší) než kalkulovaná - skutečné správní náklady jsou nižší než kalkulované - míra zisku i´ skutečně dosahovaná investováním na kapitálovém trhu je podstatně vyšší než kalkulovaná pojistně-technická úroková míra i. Tato skutečnost je zdrojem zisku, jehož podstatná část se formou tzv. podílu na zisku distribuuje zpět mezi klienty (buď přímo podle zákona nebo z konkurenčních důvodů). Např. podíl na zisku připadající na dané pojištění za t-tý rok může pojišťovna přislíbit ve formě vzorce 0,85 (i´-i) [ t-1Vx(brutto) + tVx(brutto) ] / 2 , tj. pojišťovna vrací 85% zisku, který vyprodukuje nad rámec pojistně-technické úrokové míry ze zprůměrované brutto rezervy.

Formy zpětné distribuce podílu na zisku klientům mohou být různé. Uveďme příklady zpětné distribuce podílu na zisku klientům: - přímá každoroční výplata - sleva na běžném pojistném - zvláštní prémie vyplácená spolu se sjednaným pojistným plněním - pravidelné úročené spoření ve prospěch klienta s vklady z podílu na zisku - zkrácení pojistné doby umožněné navýšením pojistné rezervy podíly na zisku - další pojištění s pojistným placeným právě z podílů na zisku.

65

66

Neživotní pojištění

3. Neživotní pojištění Ve většině odvětví neživotního pojištění je náhodného charakteru okamžik vzniku pojistné události a výše pojistného plnění. Tak lze výši pojistného plnění považovat za realizaci nezáporné náhodné veličiny ξ. Veličina ξ se též nazývá rizikem. Do této veličiny se zahrnují též náklady na likvidaci pojistné události. Neživotní pojištění zahrnuje pojištění majetku, pojištění odpovědnosti za škody a další pojištění např. úrazové, zdravotní atd. Pojištění majetku Pojištění majetku zahrnuje např. pojištění pro případ - poškození nebo zničení věci živelní událostí - poškození nebo zničení věci vodou z vodovodních zařízení - poškození, zničení, odcizení nebo ztráty věci při vnitrostátní dopravě (pojištění kargo) - poškození, zničení nebo odcizení motorového vozidla (havarijní pojištění, pojištění kasko) - odcizení věci (vloupáním nebo loupežným přepadením) - úmyslného poškození nebo zničení věci. Pojistit lze věc jednotlivě určenou (např. stavbu, motorové vozidlo) nebo soubor věcí (např. pojištění domácnosti). Na rozdíl od pojištění osob nemusí rozsah škod odpovídat sjednané pojistné částce. Je-li např. skutečná škoda vyšší (resp. nižší) než sjednaná pojistná částka, vyplatí pojišťovna nejvýše tuto pojistnou částku (resp. nejvýše skutečnou výši škody). Je-li sjednaná pojistná částka nižší než hodnota pojištěných věcí (tzv. podpojištění, snižuje se často pojistné plnění v poměru pojistné částky vůči hodnotě věcí. Pojištění odpovědnosti za škody V tomto pojištění má pojištěný právo, aby pojistitel místo něho nahradil škodu vzniklou někomu jinému na zdraví nebo usmrcením nebo poškozením, zničením nebo ztrátou věci.

3.1. Tarifní skupiny a základní ukazatele Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojištěné riziko přibližně stejné. Každá tarifní skupina odpovídá určité rizikové úrovni tarifních proměnných.

67

Pro jednotlivé tarifní skupiny se v jednotlivých letech zjišťují zejména tyto statistické údaje: Nt St

počet pojištění v roce t celková pojistná částka v roce t.

Pojistné Vt Před Vt Přij Vt PřijZasl Vt PřijNezasl

celkové předepsané pojistné v roce t celkové přijaté pojistné v roce t celkové přijaté zasloužené pojistné v roce t celkové přijaté nezasloužené pojistné v roce t.

Zasloužené pojistné je pojistné příslušné danému účetnímu období; představuje část pojistného, která se započítávaná do stávajícího roku. Nezasloužené pojistné je pojistné příslušné budoucímu účetnímu období; představuje část pojistného, která je započítávaná do budoucího roku.

Vt

celkové pojistné v roce t použité při výpočtu, např. Vt Přij

Škody nt počet pojistných událostí (škod) v roce t Rt celkové pojistné plnění (škoda) v roce t Rt max maximální pojistné plnění (škoda) v roce t. Ze statistického i účetního hlediska se většina uvedených údajů rozděluje na poměrné části odpovídající jednotlivým kalendářním rokům. Např. pojištění uzavřené 1. července roku t s pojistnou částkou 100 000 Kč a ročním pojistným 1 000 Kč přispěje do Nt hodnotou 0,5, do St hodnotou 50 000 Kč a do Vt hodnotou 500 Kč.

Výpočtové ukazatele v roce t ŠFt PPČt PPPt PŠt PSt ŠSt ŠPt ŠStt

Škodní frekvence Průměrná pojistná částka Průměrné pojistné plnění Průměrná škoda Pojistná sazba Škodní sazba Škodní průběh (kvóta) Škodní stupeň (rozsah)

q1t = nt/Nt St/Nt Rt/Nt Rt/nt Vt/St Rt/St Rt/Vt q2t = [Rt/nt]/[St/Nt] = [Rt/nt][Nt/St] = PŠt/PPČt .

68

Neživotní pojištění

3.2. Škodní tabulka a výlukový řád ze škodního stavu 3.2.1. Škodní tabulka Škodní tabulky přehledně popisují rozdělení četností výše škod pro danou tarifní skupinu. Jednotlivé škodní stupně jsou v ní uváděny s příslušnými četnostmi. Škodní tabulky lze chápat jako jistou analogii úmrtnostních tabulek pro neživotní pojištění. Uvažujme 10 000 pojistných událostí. Každá pojistná událost je zařazena do jedné z k tříd, které jsou určeny podle toho, kolik procent pojistné částky v rámci příslušné pojistné smlouvy představuje skutečné pojistné plnění (pojistná částka se zde chápe jako maximálně možné pojistné plnění St ). Uvažujme dále sjednanou pojistnou částku ve výši 1 000,- Kč. Do první třídy náleží všechny pojistné události, u nichž pojistné plnění nepřesáhlo např. 10% sjednané pojistné částky. Do druhé třídy náleží všechny pojistné události, u nichž pojistné plnění přesáhlo 10% a nepřesáhlo např. 20% sjednané pojistné částky. Pokračujeme takto dokud nevyčerpáme celou pojistnou částku. Třídí se tedy vlastně podle velikosti pojistného plnění jednotlivých pojistných událostí. Škodní tabulku lze získat na základě statistických pozorování stejně jako úmrtnostní tabulku, v životním pojištění. Škodní tabulka představuje hypotetický snímek škodního chování pro uvažovanou tarifní skupinu. Označme k počet škodních intervalů i škodní stupeň pojistné události (škodní interval (zi-1,zi>) i=1, 2, …, k zi-1 dolní mez intervalu pro škodní stupeň i (z0 = 0) zi horní mez intervalu pro škodní stupeň i Hodnoty zi lze standardizovat tak, že z0 = 0 a zk = 1.

Ti počet pojistných událostí ve škodním intervalu i n celkový počet pojistných událostí (škod). Platí n = T1 + T2 + … +Tk . Hodnota n se zpravidla se standardizuje např. tak, že n=100 000.

ti relativní počet pojistných událostí (škod) ve škodním intervalu i; ti =Ti /n zi střed škodního intervalu. Zpravidla se pokládá zi=½(zi-1+zi) Yi vážená výše škod (průměrné pojistné plnění) ve škodním intervalu i; Yi= ti zi bm kumulativní relativní výše škod v intervalech 1,2, …,m≤k bm = t1 + t2 + … +tm . Gm kumulativní relativní výše škod v intervalech 1,2, …, m≤k Gm = Y1 + Y2 + … +Ym .

69

Uveďme příklad škodní tabulky Interval (zi-1, zi> zi zi 1 (0, z1 > z1 z1 2 (z1, z2 > z2 z2 3 (z2, z3 > z3 z3 … … … … k-1 (zk-2, z1k-1 > zk-1 zk-1 k (zk-1, zk > 1 zk Součet

Ti T1 T2 T3 … Tk-1 Tk n=100000

ti t1 t2 t3 … tk-1 tk 1

Yi Y1 Y2 Y3 … Yk-1 Yk Gk

bi b1 b2 b3 … bk-1 bk=1

Gi G1 G2 G3 … Gk-1 Gk

Z tabulky ihned vyplývá, že lze zpřesnit odhad škodního stupně (střední škodní stupeň) pomocí vztahu q2 = ∑i ti zi = ∑i Yi = Gk , kde ∑i značí součet přes všechna i=1, …, k .

3.2.2. Výlukový řád ze škodního stavu Výlukový řád ze škodního stavu se používá v situacích, kdy výše pojistného plnění (škody) závisí na době trvání následků pojistné události. Délku trvání následků v rámci období jednotkové délky měříme vhodně zvolenou částí období jednotkové délky. Je-li např. obdobím jednotkové délky rok, můžeme za jednotku měření části vzít měsíc, týden nebo den. Tato volba závisí na charakteru pojištění. Označme k maximální počet částí jednotkového intervalu trvání následků pojistné události vyžadujících pojistné plnění i pořadové číslo časového intervalu (zi-1,zi> trvání následků pojistné události i=1, 2, …, k zi-1 dolní mez intervalu pro dobu trvání následků pojistné události (z0 = 0) zi horní mez intervalu pro dobu trvání následků pojistné události Hodnoty zi se standardizují tak, že z0 = 0 a zk odpovídá konci období jednotkové délky

zi střed časového intervalu (zi-1,zi> Zpravidla se pokládá zi=½(zi-1+zi)

Vi počet pojistných událostí (škod), jejichž důsledky v okamžiku zi trvají i=0, 1, 2, … . Hodnota k se volí tak, že Vk-1 > 0 a Vk = 0 . Údaje Vi se standardizují tak, že V0 je rovno vhodnému číslu n, např. 10000. Ui počet pojistných událostí (škod), jejichž důsledky v intervalu (zi-1, zi> přestaly trvat; Ui = Vi-1-Vi . ui relativní počet pojistných událostí (škod), jejichž důsledky v intervalu

(zi-1, zi> přestaly trvat; ui = Ui/n .

70

Neživotní pojištění Uveďme příklad tabulky výlukového řádu i 1 2 3 … k-1 k Součet

(zi-1, zi> (0, z1 > (z1, z2 > (z2, z3 > … (zk-2, zk-1 > (zk-1, zk >

zi z1 z2 z3 … zk-1 zk

zi z1 z2 z3 … zk-1 zk

Vi-1 V0 = n V1 V2 … Vk-2 Vk-1

Ui=Vi-1-Vi U1 U2 U3 … Uk-1 Uk n

ui=Ui/n u1 u2 u3 … uk-1 uk 1,00

ui zi u1 z1 u2 z2 u3 z3 … uk-1 zk-1

uk zk d

Střední délka škodního období d se určí pomocí vzorce d = ∑i ui zi .

3.3. Pojistné Pojistné je cena, za kterou pojišťovna poskytuje pojistnou ochranu. Netto pojistné (ryzí pojistné) slouží ke krytí rizika ξ, je v daném období střední hodnotou náhodné veličiny ξ . Připomeňme některé pojmy. Předepsané pojistné je pojistné, které podle pojistných smluv má být inkasováno v daném účetním období. Protože platnost předepsaného pojistného příslušného ke smlouvě může přesáhnout účetní období, uvažuje se též jeho část, která odpovídá účetnímu období. Tato část se nazývá zasloužené pojistné. Nezasloužené pojistné je část předepsaného pojistného, která odpovídá období, které následuje po daném účetním období. Protože předepsané pojistné nemusí být celé inkasováno v daném účetním období používá se termínu přijaté pojistné pro úhrn pojistného, které bylo skutečně inkasováno.

3.3.1. Netto pojistné Uvažujme výpočet netto pojistného P za období jednotkové délky (v praxi jeden rok). Pojistné P se obvykle vztahuje k vhodně zvolené pojistné jednotce. Touto jednotkou může být a) jednotková pojistná částka (příp. zvolená suma, např. 1000 Kč pojistné částky) P = ŠSt = Rt/St b) jedno pojištění P = Rt/Nt= PPPt c) jednotková pojistná částka a jedno pojištění.

71

3.3.1.1. Obecný vztah pro netto pojistné Zvolme nějakou tarifní skupinu a předpokládejme, že - jednotkou,na kterou se vztahuje jedno pojištění je pojistná částka S - každá z N pojistek má stejnou pojistnou částku S, takže průměrná pojistná částka PPČ je rovna S - příjmy z pojistného a výdaje na pojistná plnění n pojistných událostí jsou během jednotkového časového období rozloženy rovnoměrně. Z předpokladu rovnoměrného rozdělení příjmů z pojistného a výdajů na pojistná plnění plyne, že úrokový výnos z pojistného se vztahuje k polovině časového období. Je-li i pojistně technická úroková míra, pak výnos z peněžní jednotky je charakterizován hodnotou ½ i . Z principu ekvivalence musí mezi příjmy z pojistného a výdaji na pojistná plnění platit vztah N P (1+ ½ i) = R N P (1+ ½ i) = n R/n N P (1+ ½ i) = n PŠ . Výpočtem zjistíme P = P = (1+ ½ i)-1 (n/N) PŠ = ν (n/N) PŠ , kde pokládáme ν = (1+ ½ i)-1 . Úpravou získáme P = ν (n/N) (PŠ/PPČ) PPČ P = ν q1 q2 PPČ , kde q1 = ŠF = n/N q2 = ∑i ti zi = ∑i Yi = Gk .

a PPČ je průměrná pojistná částka. V případě, že použijeme výlukový řád, dostaneme netto pojistné pomocí vztahu P = ν q1 q2 d S , kde d = ∑i ui zi značí střední délku škodního období.

72

Neživotní pojištění

3.3.1.2. Netto pojistné pro různé formy pojištění 3.3.1.2.1. Výchozí předpoklady Intenzitou pojistné ochrany I rozumíme poměr pojistného plnění ke škodě. Zavedeme následující veličiny s tímto významem M H S P x y

největší možná škoda pojistná hodnota pojistná částka netto pojistné škoda, pro kterou platí 0 ≤ x ≤ M pojistné plnění.

I když v praxi jsou možné případy, že M≠H, budeme předpokládat M=H . Aby nemohlo dojít k nezákonnému obohacení14 musí pro intenzitu pojistné ochrany platit 0 ≤ I ≤1 . Z našich předpokladů plyne 0 ≤ y/x ≤1 0≤y≤x≤M=H. Někdy lze požadovat, aby velikost škody byla v intervalu <0,1>. Tento požadavek je např. použit v konstrukci škodní tabulky. V tomto případě používáme normalizovanou škodu x = x / H. Pojistné plnění y se může vyskytovat jako - jednorázové proplacení pojistné částky - časové rozložení pojistné částky do několika stejných plateb - zproštění od placení pojistného. S ohledem na tuto poznámku veličina y představuje současnou hodnotu pojistného plnění.

14

V případě, že by platilo I>1, by bylo y>x a tedy pojistné plnění by bylo větší než škoda.

73

Před dalším výkladem připomeňme základní veličiny škodní tabulky zi

Ti

standardizovaná hodnota odpovídající škodnímu stupni pojistné události i=1, 2, …, k; pokládáme z0 = 0, zk = 1. počet pojistných událostí ve škodním intervalu (zi-1,zi> Platí T1 + T2 + … +Tk = n, kde n je celkový počet pojistných událostí (škod). Hodnota n se zpravidla se standardizuje např. se pokládá n=100 000.

ti

relativní počet pojistných událostí ve škodním intervalu (zi-1,zi>; ti =Ti /n

zi

střed škodního intervalu (zi-1,zi>. Zpravidla se pokládá zi=½(zi-1+zi)

Yi

vážená výše škod (průměrné pojistné plnění) ve škodním intervalu i, tj. pokládáme Yi= ti zi

bm

kumulativní relativní výše škod v intervalech 1,2, …,m≤k, bm = t1 + t2 + … +tm .

Gm kumulativní relativní výše škod v intervalech 1,2, …, m≤k Gm = Y1 + Y2 + … +Ym .

V neživotním pojištění se uvažují základní a doplňkové formy pojištění.

3.3.1.2.2. Základní formy pojištění Pojištění nezávisející na škodě Jde o pojištění na pojistnou částku, které se též nazývá obnosové pojištění nebo sumové pojištění. Pojistné plnění závisí pouze na vzniku pojistné události. Intenzita pojistné ochrany se neurčuje. V tomto pojištění pojistné plnění nezávisí na výši škody. Platí vztahy y=S P = ν q1 S .

74

Neživotní pojištění Pojištění závisející na škodě V pojištění závisejícím na škodě (škodové pojištění) výše pojistného plnění závisí na výši škody. Jde o formu, která se užívá zejména v majetkových pojištěních a při pojištění odpovědnosti. Toto pojištění má následující typy:

Ryzí zájmové pojištění V ryzím zájmovém pojištění není uvažována pojistná částka. Používá se tam, kde lze určit pojistnou hodnotu H resp. maximální škodu M. Předpokládá se M = H. V této formě je intenzita pojistné ochrany rovná jednotce. Platí y =x P = ν q1 q2 H .

Pojištění na plnou hodnotu V tomto druhu pojištění jde o implicitní spoluúčast, při které S = s H, kde pokládáme s = S / H < 1. Z uvedeného plyne S < H. Platí y=sx P = ν q1 q2 S = ν q1 q2 s H .

Pojištění na první riziko Někdy se hovoří o omezeném ryzím zájmovém pojištění. Toto pojištění se používá tehdy, jsou-li typické malé škody, chce-li pojištěný pojistit jen část celkové pojistné hodnoty, v případě odpovědnosti za škody apod. Položíme s = S/H. Veličina s značí škodní stupeň v příslušné škodní tabulce. Pro pojistné plnění y platí 0≤x≤S⇒y=x S<x≤H⇒y=S. Použijeme-li normalizovanou škodu, lze psát 0≤x≤s⇒y=x s<x≤1⇒y=S. Pro pojistné platí P = ν q1 [Gs H + (1-bs) S] =ν q1 [Gs + (1-bs) s] H . Poznamenejme, že Gs H (1-bs) S

značí střední výši poj. plnění pro škody do škodního stupně s značí střední výši poj. plnění pro škody nad škodním stupněm s. 75

Kvótové pojištění V tomto případě zvolíme U>S. Odtud lze definovat kvótu t výrazem S/U, tj. platí t∈<0,1>. Dále definujeme α=U/H. Pro pojistné plnění y platí 0 ≤ x ≤ S/α ⇒ y = α x S/α < x ≤ H ⇒ y = S . Použijeme-li normalizovanou škodu, lze psát 0 ≤ x ≤ s/α ⇒ y = α x s/α < x ≤ 1 ⇒ y = S . Pro pojistné platí P = ν q1 [Gt U + (1-bt) S] =ν q1 [Gt + (1-bs) t] U .

3.3.1.2.3. Doplňkové formy pojištění (spoluúčast) Spoluúčast (franšíza) je doplňková forma pojištění, kdy pojištěný se explicitním způsobem podílí na úhradě škody. Franšíza se vždy kombinuje se základními formami pojištění. Rozlišujeme různé typy spoluúčasti. Jde o procentní (podílovou) spoluúčast, excendentní (odečtenou) spoluúčast a o integrální spoluúčast.

Procentní (podílová) spoluúčast Tato spoluúčast se např. vyskytuje spolu s ryzím zájmovým pojištěním. Pojistné při této spoluúčasti Psp se určí pomocí vztahu Psp = [(100-p)/p] P , kde P = ν q1 q2 H a p je velikost spoluúčasti vyjádřená v procentech. Excendentní (odečtená spoluúčast) Při této spoluúčasti se sjednává hodnota Fo . Pojištěný nese při škodě x ≤ Fo tuto škodu a při škodě x > Fo nese na svůj vrub částku Fo . Položíme fo = Fo/H. Pojistné kombinace pojistného na první riziko s excendentní spoluúčastí lze určit ze vztahu P = ν q1 [Gs + (1-bs) s - Gfo - (1-bfo) fo] H .

76

Neživotní pojištění

Integrální spoluúčast Při integrální spoluúčasti pojištěný nese na svůj vrub částku nepřesahující sjednanou hodnotu Fi a při škodě x > Fi se na úhradě škody nepodílí. Položíme fi = Fi/H. Při kombinaci s nějakou základní formou pojištění někdy mluvíme o pojištění s výhradou drobných škod. Pojistné kombinace pojistného na plnou hodnotu s integrální spoluúčastí lze určit ze vztahu P = ν q1 (q2 - Gfi) S . Uvědomíme-li si, že q2 = G1,00 , můžeme psát P = ν q1 (G1,00 - Gfi) S .

3.3.2. Netto pojistné pro více období Při uvažování pojistného pro více období je nutno přihlížet k možnosti stornování (ukončení) pojistné smlouvy. K ukončení pojistné smlouvy může dojít - z rozhodnutí pojištěného (dobrovolné (bezdůvodné) storno) - v důsledku zániku pojistného rizika nebo pojistného zájmu (přirozené storno) - po škodě (pojistné události), když pojistná smlouva po pojistné události podle všeobecných pojistných podmínek zaniká (mnohdy jde o přirozené storno) . Předplacené pojistné U předplaceného pojistného si pojištěný předplatí pojistné na více období. Při tom pojišťovna - přiznává úrok z předplacených částek ve výši pojistně technické úrokové míry i - při předčasném stornu pojišťovna vrací nespotřebované pojistné. Předplacené netto pojistné na n období (n>0) označené nP se určí podle vztahu nP

= P + (1+i)-1 P + … + (1+i)-(n-1) P ,

kde P je netto pojistné pro jedno období. Částka určená k vrácení po k obdobích (n>k) je zřejmě n-kP.

Jednorázové pojistné U jednorázového pojistného si pojištěný předplatí pojistné na více období. Při tom pojišťovna 77

- přiznává úrok z předplacených částek ve výši pojistně technické úrokové míry i - při stornu pojišťovna nevrací nespotřebované pojistné. V tomto případě se nemusí brát v úvahu storno z rozhodnutí pojištěného (dobrovolné (bezdůvodné) storno), protože pojištěný je si vědom, že pojistné se nevrací a proto nebude pojistku předčasně rušit. Označíme a pravděpodobnost přirozeného storna a q1 pravděpodobnost storna po škodě (škodní frekvence). Jednorázové netto pojistné na n období (n>0) označené nP se určí podle vztahu nP

= P + (1+i)-1 (1-a) (1- q1) P + … + (1+i)-(n-1) (1-a)(n-1) (1- q1)(n-1) P ,

kde P je netto pojistné pro jedno období.

3.3.3. Brutto pojistné Roční brutto pojistné B je roční netto pojistné15 rozšířené o bezpečnostní přirážku a složky na pokrytí správních nákladů a zisku pojišťovny. Netto pojistné Netto pojistné značí střední hodnotu náhodné veličiny ξ, která znamená velikost škody. Bezpečnostní přirážka Netto pojistné se zvyšuje o bezpečnostní přirážku, která zabezpečuje ochranu proti nepříznivému škodnímu průběhu v případě, že realizace náhodné veličiny ξ je větší než její střední hodnota Eξ. Bezpečnostní přirážka se zpravidla stanovuje podle následujících postupů: P = (1+α) Eξ P = Eξ + β1 σ P = Eξ + β2 σ2

princip střední hodnoty, princip směrodatné odchylky, princip rozptylu,

kde parametry α a βi i=0,1 jsou kladné hodnoty a kde σ = (var ξ)½. Zřídka se bezpečnostní přirážka kalkuluje kombinací uvedených principů, tj. užije se vzorce P = (1+α) Eξ + β1 (var ξ)½ + β2 var ξ , kde některý z parametrů může být nulový.

15 Poznamenejme, že není jednotná terminologie. Někteří autoři netto pojistné nazývají rizikové pojistné a pod termínem netto pojistné rozumějí rizikové pojistné s bezpečnostní přirážkou.

78

Neživotní pojištění Do netto pojistného se dále zahrnuje přirážka na pokrytí správních nákladů a zisku. Vzniklá hodnota se nazývá brutto pojistné. Určení bezpečnostní přirážka pomocí princilu směrodatné odchylky. Pro určitou tarifní skupinu uvažujme škodní sazby ŠSt = st / Ut v obdobích t, t+1, t+2, t+k-1. Předpokládejme, že roční netto pojistné je navrhováno ve výši aritmetického průměru uvažovaných škodních sazeb, který označíme ϕ=P. Směrodatnou odchylku σ určíme podle vztahu ½

σ = { [1/k] [(ŠSt - P)2 + (ŠSt+1 - P)2 + … + (ŠSt+k-1 - P)2]} Směrodatná odchylka σ určuje určitý poměr pojistné částky.

Netto pojistné, ke kterému je přičtena bezpečnostní přirážka označíme PR. Správní náklady. Správní náklady se zpravidla dělí na nezávislé náklady Cf a na závislé náklady označené Cz . Při tom - nezávislé náklady Cf nezávisejí na výši pojistného resp. pojistné částky - závislé náklady Cz závisejí na výši pojistného resp. pojistné částky. Poznamenejme, že závislé náklady rostou s růstem pojistného resp. pojistné částky. Správní náklady se člení na jednotlivé nákladové složky jako např. na náklady získávací, organizační, správní ve vlastním slova smyslu, inkasní, stornovací, likvidační. Předpokládejme, že - nezávislé správní náklady jsou dány veličinou Cf - závislé správní náklady představují v průměru Cz = β B - kalkulovaný zisk Z = γ B. Bruto pojistné Podle výkladu brutto pojistné B splňuje vztah B = PR + Cf + Cz + Z = PR + Cf + β B + γ B . Odtud dostaneme vztah B = (PR + Cf) / (1- β - γ).

79

3.4. Pojistné rezervy a jejich časové rozlišení 3.4.1. Přehled rezerv Stejně jako v pojištění osob hrají i v neživotním pojištění pojistné rezervy důležitou roli. Problematiku rezerv jsme zmínili při zmínili v textu pojednávajícím o legislativě v pojišťovnictví nyní rozvedeme některé výpočty, týkající se rezerv na časově zpožděné nebo rozložené platby.

3.4.1.1. Rezerva na nezasloužení pojistné Označíme T Pi Ui tij

čas, ke kterému se vyjadřuje výše rezervy předepsané pojistné vztahující se ke smlouvě i velikost rezervy na nezasloužené pojistné generované smlouvou i datumy splatnosti pojistného podle smlouvy i takové, že platí, ti0 ≤ T ≤ ti1 .

Rezerva se počítá podle vztahů T < ti0 ⇒ Ui = Pi , T > ti1 ⇒ Ui = 0 , ti0 ≤ T ≤ ti1 ⇒ Ui = [(ti1 - T) / (ti1 - ti0)] Pi .

3.4.1.2. Rezerva na pojistná plnění Libovolná pojistná událost i prochází od určitými etapami, které jsou vymezeny časovými okamžiky ti0 vznik pojistné události ti1 ohlášení pojistné události ti2 plné uhrazení pojistného plnění. Pojistná událost i, která se nachází v intervalu (ti0 , ti1> je neohlášená pojistná událost (IBRN incurred but not reported), které odpovídá rezerva na pojistná plnění z neohlášených pojistných událostí. Tato rezerva se vypočítává matematicko-statistickými metodami (např. Chain-Ladder) na základě statistických dat z událostí obdobného druhu, která vypovídají o velikosti platby a o době mezi vznikem a hlášením pojistné události, nebo se určuje kvalifikovaným odhadem. (ti1 , ti2> je ohlášená pojistná událost, ale dosud nevypořádaná pojistná událost. 80

Neživotní pojištění Někdy se rozlišuje a) nevyřízená pojistná událost, které odpovídá rezerva na pojistná plnění z nevyřízených pojistných událostí. Tato rezerva se označuje RBNS (Reported but not settled). U této rezervy není známa výše plateb. Rezerva se vypočítává matematicko-statistickými metodami (např. Chain-Ladder) na základě statistických dat o pojistné události, která vypovídají o velikosti a časovém rozložení dílčích plateb nebo se určuje kvalifikovaným odhadem. b) vyřízená, ale neuhrazená pojistná událost, které odpovídá rezerva na pojistná plnění vyřízených, ale neuhrazených pojistných událostí. Jde o pojistné události, u nichž jsou již definitivně stanoveny platby pojistného plnění, ale platby jsou z nejrůznějších důvodů odloženy na další pojistná období. U této rezervy je tedy známa výše plateb. Rezerva se určí součtem příslušných plateb. (ti3 , ∞> je ohlášená pojistná událost, u které je plnění zcela uhrazeno (pojistná událost vyřízená). Rezerva se v tomto případě neurčuje.

3.4.1.3. Rezerva pojistného neživotních pojištění Pojistné po celou dobu pojištění zůstává zpravidla stejné. Očekávané výše pojistných plnění mohou u některých produktů (tarifů) růst s dobou trvání pojištění např. s věkem pojištěného. Proto se vytváří rezerva pojistného neživotního pojištění. Závisí-li výše této rezervy na věku pojištěného, nazýváme ji rezerva na stáří.

3.4.1.4. Vyrovnávací rezerva Tato rezerva je určena na vyrovnávání zvýšených nákladů na pojistná plnění, která vznikají z titulu výkyvů ve škodovém poměru, které jsou způsobeny skutečnostmi nezávislými na pojišťovně. Výše této rezervy se zpravidla určuje procentem (promilí) z čistého zaslouženého pojistného.

81

3.4.2. Časově rozložené rezervy Jde především o odhad potřebných budoucích rezerv, neboť zjištění konečné výše škody zde může trvat i několik let. Vystupují zde přitom především následující typy pojistných rezerv: - rezerva pro vzniklé, ale doposud nehlášené pojistné událostí rezerva = Incurred But Not Reported);

(tzv. IBNR

- rezerva pro hlášené, ale doposud nevyřízené pojistné události (tzv. RBNS rezerva = Reported But Not Settled); - rezerva pro vyřízené, ale doposud neproplacené pojistné události (někdy jsou již definitivně stanovené platby pojistného plnění z nejrůznějších důvodů odloženy až na další pojistná období).

3.4.2.1. Výchozí data Předpokládejme, že v období t+s došlo k pojistné události a v tomto období bylo vyplaceno pojistné plnění xs,0 , V následujícím období s+1 bylo vyplaceno xs,1 , atd., až poslední částka byla vyplacena v období s+T ve výši xs,T , kde T je maximální počet období, ve kterých je vypláceno pojistné plnění. Tak časové rozložení vyplácených částek v obdobích vzniku pojistné události a následujících obdobích po vzniku je popsáno hodnotami xs,0 , xs,1 , xs,2 , …, xs,T , kde s = 0, 1, 2, …, T. Platba hodnoty xs,i se uskuteční v období t+s+i. Protože období je určité délky vyjadřujeme hodnotu plateb v dohodnutém okamžiku v rámci období. Zpravidla je tímto okamžikem střede období. Hodnoty je též nutné převézt na hodnotu k datu, ke kterému se počítá velikost rezerv.

82

Neživotní pojištění Posloupnost plateb můžeme v jednotlivých obdobích znázornit schématem Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

t x0,0 …

t+1 x0,1 x1,0 …

t+2 x0,2 x1,1 x2,0 …

… … … …

t+T-1 x0,T-1 x1,T-2 , x2,T-3 … xT-1,0

t+T x0,T x1,T-1 x2,T-2 … xT-1,1, xT,0

t+T+1

t+T+2

t+T+3

x1,T x2,T-1 … xT-1,2 xT,1

x2,T … xT-1,3 xT,2

… xT-1,4 xT,3

Na konci období t+T jsou známa data uvedená sloupcích t, t+1, t+2, …, t+T-1, t+T. Protože v této tabulce jsou ve sloupcích uvedené hodnoty, které odpovídají obdobím, ve kterých se uskutečňují platby, je tato tabulka vhodná např. k úpravě hodnot přihlížejících k inflaci. Uvedené hodnoty upravíme do trojúhelníkového schématu, v němž jsou celková doposud vyplacená pojistná plnění uspořádána do tabulky podle roku vzniku příslušné pojistné události a zároveň podle počtu let, která od vzniku pojistné události uplynula. Tak získáme následující tabulku Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 x0,0 x1,0 x2,0 … xT-1,0 xT,0

1 x0,1 x1,1 x2,1 … xT-1,1

2 x0,2 x1,2 x2,2 …

… … … … … … …

T-2 x0,T-2 x1,T-2 x2,T-2 …

T-1 x0,T-1 x1,T-1

T x0,T

…

…

Hodnoty ve sloupcích 0, 1, 2, …, T uvedené tabulky odpovídají částkám, které jsou vypláceny v obdobích v obdobích od vzniku pojistné události, tj. . vznikla-li pojistná událost v období t+s , potom částka xs,j , kde i splňuje 0≤ j ≤ T-s značí částku vyplacenou v období t+s+j. Z tabulky dále vidíme, že v období t+T se vyplatí částka xT,0 , xT-1,1 , xT-2,2 , …, x0,T .

83

Ze získané tabulky vytvoříme kumulovanou tabulku (kumulované trojúhelníkové schéma) Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 y0,0 y1,0 y2,0 … yT-1,0 yT,0

1 y0,1 y1,1 y2,1 … yT-1,1

2 y0,2 y1,2 y2,2

… … … … … … …

T-2 y0,T-2 y1,T-2 y2,T-2 …

T-1 y0,T-1 y1,T-1

T y0,T

…

…

kde pokládáme yi,0 = xi,0 pro i=0, 1, …, T y0,2 = y0,1 + x0,2 y1,2 = y1,1 + x1,2 y2,2 = y2,1 + x2,2 … yT-2,2 = yT-2,1 + xT-1,2

y0,1 = y0,0 + x0,1 y1,1 = y1,0 + x1,1 y2,1 = y2,0 + x2,1 … yT-21 = yT-2,0 + xT-2,1 yT-1,1 = yT-1,0 + xT-1,1 atd.

V následujícím výkladu popíšeme vybrané metody užívané pro odhad budoucích pojistných rezerv na základě známých údajů.

3.4.2.2. Metoda Chain-Ladder Uvedeme nejjednodušší variantu jedné z nejpoužívanějším metod, která se nazývá Chain-Ladder (stupňová metoda) Z tabulky kumulovaných hodnot vytvoříme „indexy“ Období t t+1 t+2 … t+T-2 t+T-1

1/0 a0,1 a1,1 a2,1 … aT-2,1 aT-1,1

2/1 a0,2 a1,2 a2,2 … aT-2,2

3/2 a0,3 a1,3 a2,3 …

84

… … … … … … …

(T-1)/(T-2) a0,T-1 a1,T-1

T/(T-1) a0,T

…

…

Neživotní pojištění Pro jednotlivé sloupce získáme průměry, které se využijí při dopočítávání předpokládaných hodnot v budoucnosti vyplácených. Období Průměr

1/0 a1/0

2/1 a2/1

3/2 a3/2

(T-1)/(T-2) a(T-1)/(T-2)

T/(T-1) aT/(T-1)

Získané průměry použijeme pro odhad údajů pod hlavní diagonálou tabulky Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 y0,0 y1,0 y2,0 … yT-1,0 yT,0

1 y0,1 y1,1 y2,1 … yT-1,1

2 y0,2 y1,2 y2,2 …

… … … … … … …

T-2 y0,T-2 y1,T-2 y2,T-2 …

T-1 y0,T-1 y1,T-1

T y0,T

…

…

y1,T = aT/(T-1) y1,(T-1) y2,T-1 = a(T-1)/(T-2) y2,(T-2) y2,T = aT/(T-1) y2,(T-1) y3,T-2 = a(T-2)/(T-3) y2,(T-3) y3,T-1 = a(T-1)/(T-2) y3,(T-2) y3,T = aT/(T-1) y3,(T-1) atd. S využitím rekonstruovaných hodnot lze vyčíslit odhad dosud nezaplaceného pojistného plnění, které vyjadřuje výši netto rezerv, které je nutno vytvořit. Rekonstruujeme-li hodnoty v posledním sloupci, dostaneme y1,T = aT/(T-1) y1,(T-1) = kT-1 y1,(T-1) y2,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) y2,(T-2) = kT-2 y2,(T-2) y3,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) a(T-2)/(T-3) y3,(T-3) = kT-3 y3,(T-3) … yT,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a1/0 yT,0 = k0 yT,0 , kde koeficienty ks , s=0,1,2,…,T-1 jsou definovány pomocí vztahů kT-1 = aT/(T-1) kT-2 = a(T-1)/(T-2) kT-1 = a(T-1)/(T-2) aT/(T-1) kT-3 = a(T-2)/(T-3) kT-2 = a(T-2)/(T-3) a(T-1)/(T-2) aT/(T-1) k1 = a2/1 k2 = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a2/1 k0 = a1/0 k1 = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a1/0 .

85

Po odečtení diagonálních hodnot od posledního sloupce doplněného trojúhelníkového schématu a po sečtení těchto rozdílů se získá hledaný odhad rezervy. Označíme-li rs rezervu pro pojistné události, které vznikly v období s, vidíme, že platí r0 = 0 r1 = (kT-1-1) y1,(T-1) r2 = (kT-2-1) y2,(T-2) r3 = (kT-3-1) y3,(T-3) … rT = (k0-1) yT,0 . Celkovou rezervu získáme součtem hodnot rs . Modifikace této metody zohledňují předpokládaný vývoj inflace (zpravidla je-li uvažovaným jednotkovým obdobím rok) a další aspekty např. přidání sloupce T+1, který obsahuje odhadnuté budoucí platby.

3.4.2.3. Metoda získání časových koeficientů Vyjdeme z tabulky kumulovaných dat Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 y0,0 y1,0 y2,0 … yT-1,0 yT,0

1 y0,1 y1,1 y2,1 … yT-1,1

2 y0,2 y1,2 y2,2 …

… … … … … … …

T-2 y0,T-2 y1,T-2 y2,T-2 …

T-1 y0,T-1 y1,T-1

T y0,T

…

…

Budeme předpokládat, že hodnoty yi,j pro j=0,1,…,T-1, i=0,1,…,T-j-1 splňují vztahy yi,j+1 = cj yi,j , kde cj j=0,1,…,T-1 jsou neznámé parametry. Naším úkolem je odhadnout hodnoty neznámých parametrů. K tomu použijeme metody nejmenších čtverců. Budeme uvažovat výraz

F =

T −1 T − j −1

∑ ∑ (y j=0

i=0

i , j +1

86

− c j yi , j ) 2 .

Neživotní pojištění Uvažujme libovolný přípustný sčítanec si,j = (yi,j+1 - cj yj,j )2 . Pro parciální derivace platí [∂si,j/∂cj] = -2 (yi,j+1 - cj yi,j ) yi,j . Výpočtem zjistíme T − j −1 ∂F = − 2 ∑ ( yi , j +1 − c j yi , j ) yi , j . ∂c j i=0

Položíme vypočtené derivace rovny nule. Dostaneme T − j −1

∑ (y i=0

i , j +1

Odtud dostaneme

− c j yi, j ) yi, j = 0 .

T − j −1

cj =

∑

y

yi, j

i, j +1 i=0 T − j −1

∑

i=0

.

yi, j

2

Po získání hodnot cj j=0,1,…,T-1 postupujeme analogicky jako u metody ChainLadder. Dopočítáme nejprve hodnoty yi,j i=1,2,…,T j=T-i+1, …,T a poté určíme hledanou rezervu součtem hodnot (yi,T - yi,T-i) pro i=1,2,…,T.

3.4.2.4. Metoda rozložení plateb podle první platby Vyjdeme z tabulky nekumulovaných dat Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 x0,0 x1,0 x2,0 … xT-1,0 xT,0

1 x0,1 x1,1 x2,1 … xT-1,1

2 x0,2 x1,2 x2,2 …

… … … … … … …

T-2 x0,T-2 x1,T-2 x2,T-2 …

T-1 x0,T-1 x1,T-1

T x0,T

…

…

Budeme předpokládat, že hodnoty xi,j pro j=1,…,T, i=0,1,…,T-j-1 splňují vztahy xi,j = dj xi,0 , kde dj j=1,…,T jsou neznámé parametry. Naším úkolem je odhadnout hodnoty neznámých parametrů. K tomu použijeme metody nejmenších čtverců.

87

Budeme uvažovat výraz

F =

T

T−j

∑ ∑ (x j =1

i=0

− d j xi , 0 ) 2 .

i, j

Uvažujme libovolný přípustný sčítanec si,j = (xi,j - dj xj,0 )2 . Pro parciální derivace platí [∂si,j/∂dj] = -2 (xi,j - dj xi,0 ) xi,0 . Výpočtem zjistíme T−j ∂F = − 2 ∑ ( xi , j − d j xi , 0 ) xi , 0 . ∂d j i=0

Položíme vypočtené derivace rovny nule. Dostaneme T−j

∑ (x i=0

i, j

− d j xi , 0 ) xi , 0 = 0 . T−j

Odtud dostaneme

dj =

∑x i =0 T−j

i, j

xi , 0 .

∑x i=0

2

i ,0

Po získání hodnot dj j=1,…,T dopočítáme hodnoty xi,j i=1,2,…,T, j=T-i+1, …,T a poté určíme hledanou rezervu součtem dopočítaných hodnot .

3.4.2.5. Metoda rozkladu Vyjdeme z dat, která jsou uvedena v následující tabulce Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 x0,0 x1,0 x2,0 … xT-1,0 xT,0

1 x0,1 x1,1 x2,1 … xT-1,1

2 x0,2 x1,2 x2,2 …

… … … … … … …

T-2 x0,T-2 x1,T-2 x2,T-2 …

T-1 x0,T-1 x1,T-1

T x0,T

…

…

Hodnoty ve sloupcích 0, 1, 2, …, T uvedené tabulky odpovídají částkám, které jsou vypláceny v obdobích v obdobích od vzniku pojistné události, tj. . vznikla-li pojistná událost v období t+s , potom částka xs,j , kde i splňuje 0≤ j ≤ T-s značí částku vyplacenou v období t+s+j.

88

Neživotní pojištění Budeme předpokládat, že existují hodnoty aj j= 0,1, …, T , yi i=0,1, …,T takové, že teoretické hodnoty xi,j = yi aj . Tento předpoklad nedává záruku jednoznačnosti hodnot yi aj , neboť teoretické hodnoty xi,j by mohly být vyjádřeny též vztahem xi,j = (k yi ) (aj/k) , kde k je libovolná konstanta. Z tohoto důvodu se přidává dodatečný požadavek, aby hodnoty aj j= 0,1, …,T byly nezáporné a jejich součet byl roven jedné. Našim úkolem je odhadnout hodnoty aj , yi . K tomu použijeme metody nejmenších čtverců. Po jejím vyřešení získané hodnoty upravíme tak, aby platily uvedené podmínky pro hodnoty aj j= 0,1, …,T. Budeme uvažovat výraz

F =

T

T −i

∑ ∑ (x i=0

j =0

i, j

− yi a j ) 2 =

T− j

T

∑ ∑ (x j =0

i=0

i, j

− yi a j ) 2 .

Uvažujme libovolný přípustný sčítanec si,j = (xi,j - yi aj )2 . Pro parciální derivace platí [∂si,j/∂yi] = -2 (xi,j - yi aj ) aj [∂si,j/∂aj] = -2 (xi,j - yi aj ) yi . Výpočtem zjistíme T−j ∂F = − 2 ∑ ( xi , j − y i a j ) y i , ∂a j i=0

T −i ∂F = − 2 ∑ ( xi , j − y i a j ) a j . ∂y i j =0

Položíme vypočtené derivace rovny nule. Dostaneme T− j

∑ (x i=0

i, j

− yi a j ) yi = 0 ,

Odtud dostaneme

T −i

∑ (x j=0

aj =

i=0 T−j

∑x

yi

i, j

∑y i=0

− yi a j ) a j = 0 .

T −i

T−j

∑x

i, j

yi =

, 2 i

j=0 T −i

∑a j=0

89

aj

i, j

. 2 j

Uvedenou soustavu vztahů řešíme iterační metodou. Vyjdeme z počáteční aproximace hodnot. Vyjdeme např. z počáteční aproximace hodnot (0)yi i=0,1,…,T a aplikujeme iteraci T −i

T−j (n)

aj =

∑

xi, j

(n)

i=0 T−j

∑

i=0

∑x

yi

( n +1)

, (n)

yi

2

yi =

j=0 T −i

∑

j=0

(n) i, j

aj .

(n)

aj

2

Po dosažení požadované přesnosti určíme hodnoty aj tak, aby byly nezáporné a jejich součet byl roven jedné. Upravených hodnot aj se použije k výpočtu hodnot yi . Po získání hodnot aj, yi se provede rekonstrukce hodnot xi,j podle vztahu xi,j = yi aj . Na základě rekonstruovaných hodnot se určí hledaná rezerva.

3.5. Spoluúčast, bonusy a malusy Spoluúčast (franšíza) znamená, že pojištěný sdílí část pojištěného rizika. Důvodem spoluúčasti je snaha pojistitele redukovat náklady spojené s likvidací drobných škod a motivovat pojištěného k zábraně škod. V praxi se používají různé formy spoluúčasti, které se liší stanovením následujících hodnot: Předpokládejme, že vznikly pojistné nároky ve výši x. Označme R(x) část pojistných nároků, které hradí pojistitel (pojišťovna). To znamená, že x-R(x) představuje zbytek škody přenechaný v rámci spoluúčasti na vrub pojištěného Uvedeme používané typy spoluúčasti. Podílová spoluúčast (kvótová spoluúčast) Veličina q je předem stanovená kvóta (0 < q < 1), tj. pojistitel hradí předepsaný podíl R(x) =q x vzniklé škody. Na vrub pojištěného jde zbytek škody ve výši. Excedentní spoluúčast Veličina a je předem stanovená konstanta (a > 0).Pojistitel hradí tu část škody, která přesáhla hodnotu a, tj. x≤a ⇒ R(x)= 0 x>a ⇒ R(x)= x-a . Integrální spoluúčast Veličina a je předem stanovená konstanta (a>0). Pojistitel hradí uhradí celou část škody přesáhla-li její výše hodnotu a, tj. x≤a ⇒ R(x)= 0 x>a ⇒ R(x)= x .

90

Neživotní pojištění

Ručení pojistitele na první riziko Veličina a je předem stanovená konstanta (a>0). Pojistitel hradí jen tu část škody, která nepřesáhla hodnotu a (jedná se o analogii excedentní spoluúčasti, ale s obrácenými rolemi pojištěného a pojistitele). x≤a ⇒ R(x) = x x>a ⇒ R(x) = a . Kombinace excedentní spoluúčasti a ručení pojistitele na první riziko: V kombinace excedentní spoluúčasti a ručení pojistitele na první riziko jsou předem stanoveny konstanty a1 a a2, kde 0< a1a2 ⇒ R(x) = a2 - a1 . S principem spoluúčasti úzce souvisejí tzv. bonusy a malusy využívané především v havarijním pojištění motorových vozidel. Bonusy jsou smluvně zaručené slevy základního pojistného podle počtu minulých bezškodních roků. Malusy jsou přirážky k základnímu pojistnému podle počtu a výše uplatněných pojistných nároků v minulosti.

3.6. Statické modely rizika V modelech se rozlišuje individuální a kolektivní riziko.

Individuální riziko se vztahuje k pojistným smlouvám. Předpokládejme, že pro daný tarif je uzavřeno m pojistných smluv. Označme ζi náhodnou veličinu, které představují výši škod v uvažovaném období pro smlouvu i, kde i = 1, 2, …, m . Σ náhodnou veličinu, které představují výši škod pro všechny smlouvy v uvažovaném období. Předpokládáme, že ζi jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny. V kolektivním riziku se předpokládá, že pro daný tarif je soubor smluv homogenní s ohledem na výši škodních nároků. Proto lze předpokládat, že výše škodních nároků z jednotlivých pojistných událostí jsou stejně rozdělené náhodné veličiny.

91

Označme N náhodnou veličinu, představující počet pojistných událostí v uvažovaném období Xi náhodnou veličinu, která představuje výši škod v uvažovaném období pro pojistnou událost i, kde i=1,2,… Y náhodnou veličinu, která představuje výši škod pro všechny pojistné události v uvažovaném období.

Budeme předpokládat, že náhodné veličiny Xi jsou stejně rozložené a jsou vzájemně nezávislé náhodná veličina ν nabývající hodnot 0,1,2, … nezávisí na náhodných veličinách Xi i=1,2, … . Rozdělení náhodné veličiny Y za uvedených předpokladů nazýváme složené rozdělení. Pro určení složeného rozdělení náhodné veličiny Y je nutné předpokládat rozdělení náhodné veličiny N rozdělení náhodných veličin Xi i=1,2, … . Jsou-li náhodné veličiny N, Xi i=1,2, … vzájemně nezávislé a mají-li omezené střední hodnoty a rozptyly, při čemž náhodné veličiny Xi i=1,2, … jsou stejně rozdělené, potom pro náhodnou veličinu Y = X1 + X2 + … + XN se složeným rozdělením platí

16

EY = EN × EX DY = EN × DX + DN × (EX)2 , kde pro náhodnou veličinu X EX značí její střední hodnotu a DX značí její rozptyl. Připomeňme, že platí DX = EX2 - (EX)2 . Momentová vytvořující funkce pro náhodnou veličinu Y je definována vztahem MY(r) = E erY .

16

Symbolu × se někdy používá pro přehlednost k označení operace násobení.

92

Neživotní pojištění Označíme Pi(x) distribuční funkce náhodných veličin Xi , i=1, 2, … a uvažujme momentové vytvořující funkce

M

Xi

(r ) =

∞

∫e

r x

dPi ( x ) .

0

Z definice náhodné veličiny Y, z předpokladu, že náhodné veličiny Xi i=1,2, … jsou vzájemně nezávislé stejně rozložené náhodné veličiny, které mají omezené střední hodnoty a rozptyly dostaneme P(x) = Pi(x) , i=1, 2, … . Odtud plyne MY(r) = E[E erY | N ] , čili MY(r) = ∑n P(N=n) E er[X1+X2+ … +Xn] = ∑n P(N=n) [M(r)]n , kde se sčítá pro hodnoty n = 0, 1, 2, … .

3.7. Dynamické modely 3.7.1. Model procesu rizika Popis modelu Uvažujme náhodné veličiny ξi výši i tého pojistného nároku τi doba, která uplynula od uplatní (i-1) ního pojistného nároku do uplatnění i tého pojistného nároku ϕi čas uplatnění pojistného nároku i , kde i=1,2, … . Předpokládá se, že veličiny τi , ξi i=1,2, … jsou vzájemně nezávislé. Z uvedeného plyne, že ϕi = τ 1 + τ 2 + … + τ i . Uvažujme časový interval (0, t) a označme νt počet pojistných nároků do času t Σt celkovou výši pojistných nároků v období (0,t>, tj. do času t.

93

Z uvedeného plyne, že Σt = ξ1 + ξ2 + … + ξνt .

Speciální případ Předpokládejme, že náhodné veličiny τi mají exponenciální rozdělení s hustotou t λ e-λ . Střední hodnota těchto veličin je 1/λ . Uvažujme náhodnou veličinu νt, která značí počet pojistných nároků do času t. Dá se dokázat, že v tomto případě má náhodná veličina νt Poissonovo rozdělení s parametrem λt . Tak platí P(νt = k) = [(λt)k / k!] e-λ . t

Z vlastností poissonova rozdělení plyne, že platí Eνt = λt Dνt = λ t . Uvažujme náhodné veličiny ξi, které značí výši pojistných nároků a náhodnou veličinu Σt, která značí celkovou výši pojistných nároků do času t. Předpokládejme, že náhodné veličiny ξi jsou vzájemně nezávislé a mají stejné rozdělení s distribuční funkcí F. Potom náhodná veličina Σt má složené rozdělení, pro které platí EΣt = Eνt Eξ DΣt = Eνt Dξ + Dνt (Eξ)2 . S ohledem na předpoklad o rozdělení náhodné veličiny νt můžeme psát EΣt = λt Eξ DΣt = λt Dξ + λt (Eξ)2 . Vzhledem ke vztahu Dξ = Eξ2 - (Eξ)2 dostaneme DΣt = λt Eξ2 . Má-li náhodná veličina νt, která značí počet pojistných nároků do času t, Poissonovo rozdělení a mají-li vzájemně nezávislé náhodné veličiny ξi stejné rozdělení s distribuční funkcí F a tyto veličiny nezávisejí na νt, potom složené rozdělní náhodné veličiny Σt , která představuje celkovou výši pojistných nároků, nazýváme složené Poissonovo rozdělení.

94

Neživotní pojištění

3.7.2. Dynamický model rezerv Uvažujme diskrétní čas t nabývající celočíselných hodnot. Obdobím t budeme rozumět časový interval (t-1,t> . Předpokládejme, že t=0 je čas, který předchází bezprostředně simulovanému období. Dále předpokládejme, že po sobě následujících simulovaných období je n (časový horizont modelu). Označíme Bt´ inkasované brutto pojistné zmenšené o částku zajistného v období t Bt

netto pojistné, do kterého je zahrnuta bezpečnostní přirážka, zmenšené o částku zajistného v období t

Yt

celkové náklady na pojistná plnění v období t zmenšené o částku plněnou zajišťovnou

Nt

ostatní náklady v období t Zpravidla se určují lineárním vztahem v závislosti na výnosech.

Vt

výnosy v období t , které plynou z finančního umístění aktiv

At

částku, která v čase t představuje v aktivech finanční umístění pasivních položek odpovídajících rezervám St, Tt, Ut

St

rezervu na nezasloužené pojistné v čase t (ke konci období t)

Tt

rezervu na pojistná plnění v čase t (ke konci období t)

Ut

rezervu v čase t (ke konci období t), která není vázána na známé závazky (riziková rezerva). Této rezervě zhruba odpovídá míra solventnosti, vykazovaná orgánům dohledu.

Uvedené veličiny jsou vázány vztahy Ut = Ut-1 + Bt + Vt - Yt - Nt At = St + Tt + Ut . Veličina Bt´ se zpravidla určuje na základě počáteční hodnoty B0´ a tempa růstu, které může být rozdílné pro t<0 a t≥0. Jestliže od Bt´ odečteme podíl nákladové složky v pojistném χ dostaneme vztah Bt = (1-χ) Bt´ .

95

Veličina Bt se vztahuje k období t. Označíme-li její jednotlivé platby Btj v období t vztahující se k časů tj . které jsou měřeny od počátku období, tj. 0 < tj ≤ 1, potom lze pro budoucí hodnotu plateb Btj ke konci období t psát Bt1 (1+i)1-t1 + Bt2 (1+i)1-t2 + …+ Btn (1+i)1-tn = Bt (1+i)1-βt , kde Bt = Bt1 + Bt2 + …+ Btn . Veličina βt se určí ze vztahu wt1 (1+i)1-t1 + wt2 (1+i)1-t2 + …+ wtn (1+i)1-tn = (1+i)1-βt , kde wtj =Btj / Bt jsou nezáporné váhy jejichž součet je roven jedné. Veličina βt značí průměrnou dobu rozložení plateb pojistného v období t. Veličina Yt se vztahuje k období t. Stejnou úvahou lze získat veličinu γ, která značí průměrnou dobu rozložení plateb pojistného plnění v období t. Tak můžeme psát At = At-1 (1+i) + Bt (1+i)1-βt - Yt (1+i)1-γt .

V dalším nebudeme index t u veličin β, γ uvádět.

Veličina Bt značí netto pojistné zmenšeného o částku zajistného v období t, do kterého je zahrnuta bezpečnostní přirážka,. Uvažujeme-li bezpečnostní přirážku založenou na principu střední hodnoty, můžeme psát Bt = (1+θ) EYt , kde θ je kladný parametr a EYt značí střední hodnotu celkový nákladů na pojistná plnění v období t zmenšené o částku plněnou zajišťovnou.

Pod platební schopností pojišťovny rozumíme schopnost pojišťovny dostát v libovolném čase svým splatným závazkům. Tato schopnost je dána velikostí příslušných rezerv. Důležitou úlohou je nalezení minimální výše rizikové rezervy potřebné k udržení platební schopnosti pojišťovny ve zvoleném dostateční velkém období. Proto se hovoří o dynamickém testování solventnosti.

96

Neživotní pojištění Rezerva na nezasloužené pojistné. Předpokládejme, že individuální platby netto pojistného P očištěné od zajistného jsou placeny na období jednotkové délky. Individuální platby P se uskutečňují během celého období, proto část zaplaceného pojistného zP (zasloužené pojistné) se vztahuje k danému období a doplňková část nP (nezasloužené pojistné) se vztahuje k období následujícímu. Součet všech jednotlivých hodnot P v období t dá hodnotu Bt z P v období t dá hodnotu zBt n P v období t dá hodnotu nBt . Platí Bt = zBt + nBt . Budeme předpokládat z

B = (1-α) Bt B = α Bt .

n

Rezerva na nezasloužené pojistné se určí vztahem St = nBt . Uvedené hodnoty se považují v modelech za dané deterministické scénáře. Rezerva na pojistná plnění Uvažujme nekumulativní trojúhelníkové schéma Období t t+1 t+2 … t+T-1 t+T

0 x0,0 x1,0 x2,0 … xT-1,0 xT,0

1 x0,1 x1,1 x2,1 … xT-1,1

2 x0,2 x1,2 x2,2 …

… … … … … … …

T-2 x0,T-2 x1,T-2 x2,T-2 …

T-1 x0,T-1 x1,T-1

T x0,T

…

…

Hodnoty ve sloupcích 0, 1, 2, …, T uvedené tabulky odpovídají částkám, které jsou vypláceny v obdobích od vzniku pojistné události, tj . vznikla-li pojistná událost v období t+s , s=0,1,…,T, potom částka xs,j , kde i splňuje 0≤ j ≤ T-s značí částku vyplacenou v období t+s+j. Budeme předpokládat, že xs,j = dj (xs,0 + εs,j)

j=1,2, … .

Koeficienty dj jsou získány metodou nejmenších čtverců na základě hodnot výše uvedené tabulky.

97

Pro hodnoty xi,0 zavedeme jiné označení. Částky vyplacené v období t, které je obdobím vzniku pojistné události označíme xt . Indexu t budeme též používat pro všechny hodnoty v řádku výše uvažované tabulky. Tak uvedený vztah můžeme přepsat ve tvaru xt,j = dj (xt + εt,j)

j=1,2, … ,

kde t=1,2, …, n. Pro j>T je dj =0. Veličiny xt , εt,j jsou náhodné veličiny. Budeme předpokládat, že náhodné veličiny εt,j jsou vzájemně nezávislé a že jsou nezávislé na náhodných veličinách xt . Předpokládáme dále, že E εt,j =0 D εt,j = δ2 Dxt . a že šikmost náhodných veličin εt,j je nulová. Budeme dále předpokládat, že náhodné veličiny xt jsou vzájemně nezávislé. V období t je celkem vyplaceno Yt = xt,0 + xt-1,1 + xt-2,2 + … + xt-T,T . S ohledem na předpoklad xt,j = dj (xt + εt,j) lze psát Yt = xt + d1 (xt-1 + εt-1,1) + d2 (xt-2 + εt-2,2) + … + dT (xt-T + εt-T,T) , čili Yt = xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T + + d1 εt-1,1 + d2 εt-2,2 + … + dT εt-T,T . Položíme-li Zt = d1 εt-1,1 + d2 εt-2,2 + … + dT εt-T,T , dostaneme Yt = xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T + Zt .

98

Neživotní pojištění

Určeme očekávané platby v obdobích t+1,t+2, …, t+T za pojistná plnění škod vzniklých v obdobích t, t-1, …, t-(T-1). Dostaneme tabulku Období t t-1 t-2 … t-(T-2) t-(T-1)

t+1 d1 xt d2 xt-1 d3 xt-2 … dT-1 xt-(T-2) dT xt-(T-1)

t+2 d2 xt d3 xt-1 d4 xt-2 … dT xt-(T-1)

… … … … … … …

t+T-2 dT-2 xt dT-1 xt-1 dT xt-2 …

t+T-1 dT-1 xt dT xt-1

t+T dT xt

…

…

Rezerva D1 xt D2 xt-1 D3 xt-2 DT-1 xt-(T-2) DT xt-(T-1)

Hodnoty ve sloupcích t+1, t+2, …, t+T jsou očekávané platby v o v příslušných obdobích. Vzniká otázka, zda se tyto platby mají diskontovat k času t. Při diskontování uvedených hodnot použijeme úrokové míry ι. Tato úroková míra může být nulová, v případě, že hodnoty nebudou diskontovány. Vezmeme-li v úvahu, že v rámci období jsou platby časově rozloženy, potom toto rozložení vezmeme též v úvahu. Tomuto rozložení odpovídá částka ke konci příslušného období určená násobením uvedené částky faktorem (1+ι)1-γ . Pro zjednodušení zavedeme koeficienty Dk = [dk(1+ι)-1+ dk+1(1+ι)-2 + … + dk+(T-k) (1+ι)-(T-k+1)] (1+ι)1-γ . Příslušné hodnoty rezervy jsou uvedeny v posledním sloupci uvedené tabulky. Pro rezervu na pojistná plnění v čase t (ke konci období t) Tt můžeme psát Tt = D1 xt + D2 xt-1 + D3 xt-2 + … + DT xt-(T-1) . Počítejme pro další použití rozdíl Tt - Tt-1 . Platí Tt = D1 xt + D2 xt-1 + D3 xt-2 + … + DT xt-(T-1) . Tt-1 = D1 xt-1 + D2 xt-2 + … + DT-1 xt-(T-1) + DT xt-T . Odtud máme Tt - Tt-1 = D1 xt - (D1 -D2) xt-1 - … - (DT-1 -DT) xt-(T-1) - DT xt-T .

Hledejme vyjádření veličiny Ut . Připomeňme vztah At = At-1 (1+i) + Bt (1+i)1-β - Yt (1+i)1-γ .

99

Dosadíme-li do tohoto vztahu dostaneme At = At-1 (1+i) + Bt (1+i)1-β - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ- Zt (1+i)1-γ . Pomocí vztahů At = St + Tt + Ut St = nBt dostaneme n

Bt + Tt + Ut = (nBt-1 + Tt-1 + Ut-1) (1+i) + Bt (1+i)1-β -

- (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ- Zt (1+i)1-γ . Úpravou dostaneme Ut = Ut-1 (1+i) + nBt-1 (1+i) + Tt-1 (1+i) + Bt (1+i)1-β - nBt - Tt - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ- Zt (1+i)1-γ Ut = Ut-1 (1+i) + Tt-1 (1+i) + Bt - Tt - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ- Zt (1+i)1-γ Ut = Ut-1 (1+i) + Bt -(Tt - Tt-1) + i Tt-1 - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ- Zt (1+i)1-γ Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ - (D1 xt - (D1 -D2) xt-1 - … - (DT-1 -DT) xt-(T-1) - DT xt-T ) + + i (D1 xt-1 + D2 xt-2 + … + DT-1 xt-(T-1) + DT xt-T) - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ , kde jsme položili Bt = nBt-1 (1+i) + Bt (1+i)1-β - nBt . Uvažujme výraz - (D1 xt - (D1 -D2) xt-1 - … - (DT-1 -DT) xt-(T-1) - DT xt-T ) + + i (D1 xt-1 + D2 xt-2 + … + DT-1 xt-(T-1) + DT xt-T) - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ . Tento výraz upravíme tak, abychom vyjádřili koeficienty u veličin xt .

100

Neživotní pojištění Platí [(-D1 - (1+i)1-γ ] xt + + [(D1-D2) +i D1- d1 (1+i)1-γ ] xt-1 + + [(D2-D3) +i D2- d2 (1+i)1-γ ] xt-2 + … + [(DT-0) +i DT- dT (1+i)1-γ ] xt-T . Položíme a0 = -[D1 + (1+i)1-γ] ak = (1+i) Dk-Dk+1 - dk (1+i)1-γ , kde DT+1 = 0 a k=1,2, …, T. Potom lze vztah Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ - (D1 xt - (D1 -D2) xt-1 - … - (DT-1 -DT) xt-(T-1) - DT xt-T ) + + i (D1 xt-1 + D2 xt-2 + … + DT-1 xt-(T-1) + DT xt-T) - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ . přepsat do tvaru Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ - (D1 xt - (D1 -D2) xt-1 - … - (DT-1 -DT) xt-(T-1) - DT xt-T ) + + i (D1 xt-1 + D2 xt-2 + … + DT-1 xt-(T-1) + DT xt-T) - (xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T) (1+i)1-γ . Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ + a0 xt + a1 xt-1 + … + aT xt-T . Položíme-li ι=i v definici veličin Dk, potom vidíme, že platí Dk = [dk(1+i)-1+ dk+1(1+i)-2 + … + dk+(T-k) (1+i)-(T-k+1)] (1+i)1-γ . (1+i) Dk = [dk+ dk+1(1+i)-1 + … + dk+(T-k) (1+i)-(T-k) ] (1+i)1-γ Dk+1 = [dk+1(1+i)-1 + dk+1(1+i)-2 + … + dk+(T-k) (1+i)-(T-k-1) ] (1+i)1-γ (1+i)Dk - Dk+1 = dk (1+i)1-γ . Vzhledem ke vztahu dostaneme ak = (1+i) Dk-Dk+1 - dk (1+i)1-γ

k=1,2,…,T .

Pro koeficienty ak tedy platí ak = 0. Za uvedeného předpokladu lze psát Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ + a0 xt .

101

Tak jsme získali autoregresní model pro rezervu Ut . Tohoto modelu využijeme pro řešení pravděpodobnosti ruinování. Při simulaci se usuzuje na pravděpodobnost výskytu záporné hodnoty Ut t=1,2,…,n. Při tom se hledá taková hodnota u=U0 , aby pro všechna Ut platilo P(Ut ≥ 0) = 1-ε , kde ε je zvolená kladná hodnota.

3.7.3. Teorie ruinování Budeme-li abstrahovat od výnosů, můžeme položit úrokovou míru rovnou nule. Za tohoto předpokladu lze vztah pro Ut Ut = Ut-1 (1+i) + Bt - Zt (1+i)1-γ + a0 xt . přepsat do tvaru Ut = Ut-1 + Bt - Zt + a0 xt . Při i=0 je koeficient a0 roven hodnotě a0 = -[D1 + 1] . Tak veličina Zt + (1+D1) xt představuje celkové náklady na pojistná plnění v období t zmenšené o částku plněnou zajišťovnou. Tuto hodnotu jsme označili Yt 17 . Tak máme Ut = Ut-1 + Bt - Yt . Ut = Ut-1 - (Yt - Bt) . Zaměřme pozornost na veličinu Bt . Podle její definice je Bt = nBt-1 (1+i) + Bt (1+i)1-β - nBt , což za předpokladu i=0 dává Bt = nBt-1 + Bt - nBt . Bt = nBt-1 + zBt .

17

V souladu z dříve uvedeným vztahem Yt = xt + d1 xt-1 + d2 xt-2 + … + dT xt-T + Zt . a za předpokladu xt = xt-1 = … =xt-T dostaneme Yt = xt (1 + d1 + d2 + … + dT ) + Zt = xt (1 + D1 ) + Zt.

102

Neživotní pojištění

Za předpokladu Bt-1 = Bt můžeme položit Bt = Bt = B. Tak dostáváme Ut = Ut-1 - (Yt - B) . Předpokládejme, že veličiny Yt jsou vzájemně nezávislé se stejným rozdělením pravděpodobností. Proto budeme ve vztazích místo Yt psát pouze Y. Podle definice veličiny B platí B = (1+θ) EY . Označme MY(r) momentovou vytvořující funkci náhodných veličin Y = Yt . Zavedeme náhodnou veličinu W = Y-B. Její střední hodnota je rovna - θ EY, tedy je záporná. Rozptyl této veličiny je stejný s ohledem na invarianci rozptylu vzhledem k posunu jako rozptyl náhodné veličiny Y. Ze vztahu Ut = Ut-1 - (Yt - B) s přihlédnutím k u = U0 dostaneme Ut = u + B t - (Y1 + Y2 + … + Yt) Ut = u - (Y1 -B) - (Y2 -B) - … - (Yt -B) Ut = u - (W1 + W2 + … + Wt ) , kde pokládáme Wi = Yi -B .

Pravděpodobnost ruinování Pravděpodobnost ruinování ψ(u) je definována vztahem ψ(u) = P(Ut < 0 pro nějaké t) . Ukazuje se, že pravděpodobnost ruinování lze aproximovat vztahem -r u

ψ(u) ≅ K e

,

kde K je konstanta a K ≤ 1, tj. pravděpodobnost ruinování ψ(u) splňuje nerovnost -r u

ψ(u) ≤ e

,

u → +∞ ,

kde r je kladné řešení rovnice e-B r MY(r) = 1 . Uvedená nerovnost se nazývá Lundbergova nerovnost a číslo r se nazývá adjustační koeficient (Lundbergova konstanta). Veličina r určuje rychlost poklesu

103

pravděpodobnosti ruinování v závislosti na výši počáteční rezervy. Naznačíme důkaz uvedené nerovnosti. ve třech krocích. Nejprve budeme zkoumat existenci řešení rovnice e-B r MY(r) = 1 . Potom uvedeme Esscherovu transformaci a nakonec naznačíme vlastní důkaz. Existence řešení rovnice e-B r MY(r) = 1 Vyjděme z momentové vytvořující funkce MY(r) . Snadno nahlédneme, že platí MW(r) = e-B r MY(r) = MY-B(r) . Předpokládejme, že momentová vytvořující funkce MW(r) existuje v určitém intervalu (0,β), kde β může být nevlastní. a že platí limita r→β- ⇒ MW(r)→+∞ . Z vlastností momentové vytvořující funkce a ze vztahu B = (1+θ) EY, kde θ>0 plyne MW(0) = 1, MW´(0) = E(Y-B) = - θ EY < 0 MW´´(r) = E(Y-B)2 er (Y-B) > 0 . Protože MW(0)<0, funkce MW(r) klesá v bodě 0 a protože platí MW´´(r) > 0 , je MW(r) konvexní v (0,β). Podle předpokladu je r→β- ⇒ MW(r)→+∞ . Tedy vidíme, že musí existovat r>0 takové, že MW(r) = 1. Esscherova transformace Uvažujme distribuční funkce F(w) náhodné veličiny W. Zvolme libovolné r a položme w

Fr ( w) = M W ( r ) −1 ∫ e r z dF ( z ) . −∞

Funkce Fr(w) má vlastnosti distribuční funkce. Uvedeným vztahem jsme provedli transformaci funkce F(w) s parametrem r na funkci Fr(w). Tato transformace se nazývá Esscherovu transformace. Označíme Wr náhodnou veličinu s distribuční funkcí Fr(w). Z uvedené transformace vyplývá, že momentová vytvořující funkce veličiny Wr splňuje MWr(t) = MW(r+t) / MW(r) . Odpovídá-li distribuční funkci F(w) hustota pravděpodobností f(w) a distribuční funkci Fr(w) odpovídá hustota pravděpodobností fr(w). Buď M(r) momentová vytvořující funkce příslušná distribuční funkci F(w). Potom z definičního vztahu plyne 104

Neživotní pojištění fr(w) = M(r)-1 erw f(w) , což dává f(w) = M(r) e-rw fr(w) . Platí

∞

−r z ∫ e f r ( z ) dz = 1 − w

w

∫e

−r z

f r ( z ) dz = 1 − F ( w) .

−∞

Tak dostáváme ∞

1 − F ( w) = M (r ) ∫ e − r z f r ( z ) dz . w

Uvedený vztah slouží pro přibližné určení hodnoty F(w).

Naznačení důkazu Lundbergovy nerovnosti Buď F(w) distribuční funkce náhodné veličiny W = Y-B. Pro r>0 řešící e-B r MY(r) = 1 položíme F*(w) = Fr (w). Z dříve uvedeného plyne, že f(w) = e- r w f *(w) . Funkce F*(y) definovaná vztahem y

F ∗ ( y ) = ∫ e r z dFW ( z ) −∞

je tedy distribuční funkce. Platí ∞

∗ ∫ y dF ( y) =

−∞

∞

∫ye

ry

dF ( y ) = M ´Y − B (r ) > 0 .

−∞

Označme Cn(u) = {(x1,x2,…,xn); ∑k xi ≤ u, k=1,…,n-1 , ∑n xi > u } , kde ∑k značí součet xi pro i = 1,2,…,k . Vidíme, že platí (Y1-B, Y2-B, … , Yn-B) ∈ Cn(u) , čili (W1, W2, … , Wn) ∈ Cn(u) . To plyne ze skutečnosti, že pro i=1,2,…,n-1 platí Ui = u - [ W1 + W2 + … + Wi ] ≥0

105

a že Un = u - [ W 1 + W 2 + … + W n ] < 0 . Podle dřívějšího lze psát ∞

∞

ψ (u ) = ∑ ∫ .. ∫ dF ( w1 )...dF ( w n ) = ∑ ∫ .. ∫ e n =1

n =1

Cn (u )

−r

n

∑ wi i =1

dF ∗ ( w1 )...dF ∗ ( w n ) ≤

Cn (u )

∞

≤ e − r u ∑ ∫ .. ∫ dF ∗ ( w1 )...dF ∗ ( w n ) . n =1

Cn (u )

Položme

∞

ψ * (u) = ∑ ∫ .. ∫ dF ∗ (w1 )...dF ∗ (wn ) . n =1

Cn ( u )

Veličina ψ*(u) je pravděpodobnost jevu, že součet W1 + W2 + … + Wn překročí u. Protože F*(w) má kladnou střední hodnotu, vidíme, že ψ*(u) = 1. Tak dostáváme ψ(u) ≤ e- r u .

Příklad výpočtu veličiny r V předcházejícím výkladu jsme odvodili Ut = u + B t - (Y1 + Y2 + … + Yt) . Položíme St = Y 1 + Y 2 + … + Y t . Nebereme-li v úvahu zpoždění při výplatách škod, veličiny St představují úhrny škod za jednotková období t=0,1,2, … . Při řešení rovnice e-B r MY(r) = 1 , budeme předpokládat, že rozdělení veličin St , které označujeme pomocí veličiny S, je složené Poissonovo rozdělení. Veličina S má složené Poissonovo rozdělení s parametrem δ>0, jestliže P(N=t) = [δt / t!] e-δ , kde t=0, 1, 2, …. Pro momentovou vytvořující funkci veličiny S obecně platí MS(r) = E (E eS r | N ) = ∑t P(N=t) E er(Y1+Y2+… +Yt) = ∑t P(N=t) MY(r)t .

106

Neživotní pojištění V případě Poissonova složeného rozdělení platí MS(r) =∑t {[δ MY(r)]t / t!} e-δ = eδ (MY(r)-1) , kde ∑t značí součet pro t = 0, 1, 2, … . Z uvedeného vyplývá, že

MS(r) = eδ (MY(r)-1) B = (1+θ) δ p1 p1 = EY .

Rovnice e-B r MY(r) = 1 , má tvar

e-B r + δ (MY(r)-1) = 1 ,

neboli δ + B r = δ MY(r) . Po dosazení za B máme δ + (1+θ) δ p1 r = δ MY(r) . Po vydělení δ dostaneme 1 + (1+θ) p1 r = MY(r) . Je-li rozdělení škod exponenciální, tj. P(y) = 1 - e-µ y , dostáváme, že p1 = 1/µ a po dosazení máme 1 + (1+θ) [1/µ] r = µ/(µ-r) . Odtud máme 1 + (1+θ) [r/µ] = 1/(1- [r/µ]) {1 + (1+θ) [r/µ]} (1- [r/µ]) = 1 1 + (1+θ) [r/µ] - [r/µ] - (1+θ) [r/µ]2 = 1 (1+θ) [r/µ] - [r/µ] - (1+θ) [r/µ]2 = 0 (1+θ) - 1 - (1+θ) [r/µ] = 0 θ - (1+θ) [r/µ] = 0 θ µ- (1+θ) r = 0 . Tak dostáváme kladné řešení r = θ µ / (1+θ) .

107

Odhad pravděpodobnosti ruinování - Poissonův proces rizika Položme U0 = u . Předpokládejme, že platí Ut = u + B t - St , kde rezerva Ut přibývá vzhledem k inkasovanému pojistnému lineárně s časem a kde St = Y 1 + Y 2 + … + Y t . Pravděpodobnosti ruinování je dána vztahem ψ(u) = P(Ut <0 pro nějaké t≥0) Je-li proces rizika τi ξi i=1,2, … Poissonovým procesem s intenzitou λ , který má stejné rozdělení pojistných nároků s distribuční funkcí F, pak podle Lundbergovy nerovnosti platí -r u

ψ(u) ≤ e

,

kde r je Lundbergův koeficient určený jako jednoznačné kladné řešení rovnice ∞

∫ (1 − F ( y)) e

ry

dy =

0

B

λ

.

Používá se také zejména Lundbergova aproximace ruinování ve tvaru

B

ψ (u) ≈

∞

λ

− EY

r ∫ y(1 − F ( y)) erydy 0

108

e−r u .

Speciální pojištění

4. Speciální pojištění 4.1. Penzijní pojištění Penzijní pojištění je důchodové pojištění větších populačních skupin, které jsou často určitým způsobem vymezeny: např. zaměstnanci koncernu či profesního sdružení (penzijní pokladny), obyvatelé celého regionu či státu (sociální důchodové zabezpečenu spod. (často se zde také mluví o penzijních plánech). Pro penzijní pojištění různých typů je společné, že za příslušné pojistné (příspěvky, contributions) se pojišťuje riziko sociální nedostatečnosti a invalidity s pojistným plněním (dávkami, benefits) většinou ve formě různých penzí: - starobní penze po dosažení stanoveného věku - výsluhová penze po uplynutí stanoveného počtu let účasti v pojištění - invalidní penze po nastoupení plné nebo částečné invalidity - pozůstalostní penze (především vdovská a sirotčí penze) - jednorázové vyrovnání místo některých z předchozích penzí.

4.1.1. Systémy penzijního pojištění Systémy penzijního pojištění se podle způsobu výpočtu příspěvků a dávek dělí na příspěvkové a na dávkové. Příspěvkové penzijní plány (defined contribution plan) vycházejí z toho, že výše dávky závisí na úhrnu zaplacených příspěvků a na úhrnu podílu pojištěného na výnosech hospodaření penzijního plánu. Dávkové penzijní plány (defined benefit plan) vycházejí z předem stanovené dávky a podle určitých pravidel se stanovuje příspěvek. Tyto plány jsou základní povinné systémy sociálního pojištění většiny států. Podle způsobu financování se penzijní plány dělí na fondové a na nefondové (průběžně financované, pay-as-you-go). V dalším výkladu budeme vycházet z klasifikace penzijních plánů podle způsobu financování. Ve fondovém penzijním plánu se vytváří fondy (rezervy) značných objemů ke krytí pozdějších závazků. Tyto rezervy musí zabezpečit v každém okamžiku vyrovnání všech závazků v plné výši.

109

4.1.2. Nefondové penzijní plány Nefondové penzijní plány jsou založeny na tom, že příspěvky daného roku pokryjí objem dávek v daném roce. Při tomto způsobu financování se nevytvářejí fondy velkých objemů. Mohou se však vytvářet sekundární podružné fondy jako např. rezervy na pokrytí nepříznivých výkyvů. Nefondové penzijní plány s průběžným systémem financování jsou značně závislé na dynamice vývoje populace. Většina penzijních plánů organizovaných státem je financována průběžně. Důvodem je, že by při fondovém způsobu stát mohl dospět k rozhodujícímu vlastnictví domácí ekonomiky. Při průběžném financování jsou výdaje na dávky vyplacené v daném účtovacím období hrazeny z příspěvků pracujících resp. zaměstnavatelů zaplacených v tomto období. Tento způsob je založen na mezigenerační solidaritě. Závislost na dynamice populace Nefondové penzijní plány s průběžným systémem financování jsou značně závislé na dynamice vývoje populace. Při promítnutí demografických podmínek, kdy se prodlužuje průměrná délka života a klesá fertilita se vyskytuje problém, že příspěvky nestačí krýt dávky. Často se používá podíl počtu osob v poproduktivním věku k počtu osob v produktivním věku jako míra závislosti na demografických vlivech nazývaná též důchodové břemeno. Parametry a jejich nastavení Základními parametry, kterými lze nastavit systém jsou - velikost příspěvků - velikost dávek - doba nároku na dávky. Pro zachování příslibů a dosavadního standardu při „stárnutí“ populace je nutné zvýšit tok příjmů nebo snížit tok výdajů nebo udělat kombinaci obojího. Jde však vesměs o nepopulární opatření - zvýšit příspěvky - snížit dávky - redukovat počet příjemců např. odsunutím doby nároku na dávky. Problémy, výhody, nevýhody a rizika Výhody - pracující populace je pokryta - dávky mohou být zavedeny bez časového zpoždění - není nutno přihlížet k časové hodnotě peněžních toků - náklady na zavedení systému jsou relativně nízké, avšak stoupají později.

110

Speciální pojištění

Nevýhody - po přijetí tohoto systému, je velmi obtížné zavézt systém kapitálového financování, neboť jedna generace by musela platit jak do systému průběžného financování, tak do systému kapitálového financování - nutno anticipovat změny ve výplatě dávek, neboť ovlivňují závazky stávající aktivní generace - existují rizika politická, neboť při změně vlády, nová vláda nemusí respektovat opatření vlády předchozí - při „stárnutí“ populace klesá podíl plátců a roste podíl příjemců - existují nezáměrné mezigenerační transfery. Rizika - dávky se upravují podle okamžitých potřeb - dávky jsou nevhodně indexovány s ohledem na inflaci a se zpožděním - využívání problémů k politickým cílům (neuvážené sliby a pod.) - nemotivuje k hledání doplňkových příjmů - nivelizuje a zakládá nebezpečí růstu počtu chudých. Problémy nefondových penzijních plánů mají vliv na trh práce (vznikají nemzdové náklady práce, odchod do šedé ekonomiky mající za následek neplacení daní a tedy tlaky na jejich zvýšení při menší základně) dostupnost a strukturu kapitálu (odstraňuje motiv spořivosti, snižuje kapitálovou výbavu země) kapitálové trhy, které zprostředkují alokaci kapitálu a vytvářejí dlouhodobé zdroje na investice financování veřejných statků (důchody vytlačují investice do infrastruktury, deficit výpůjčního kapitálu, zvyšování reálných úrokových sazeb). Nezavedení státních fondů vytváří skrytou akumulaci dluhu nazývanou implicitní dluh důchodového zabezpečení. Zavedení státních rezervních fondů nezabezpečuje optimální alokaci aktiv, což vede až k záporné „výnosovosti“. Preferují se investice do státních dluhopisů, nebonitních státních podniků a bytové výstavby (vliv na mezigenerační transfery).

4.1.3. Fondové penzijní plány - kapitálové financování Fondové penzijní plány jsou založeny na kapitálově-rezervním způsobu financování. Jejich úkolem je akumulace úspor pro potřeby penzijního pojištění. Tyto plány vycházejí z klasických pojistně technických výpočtů analogických postupům výpočtů při životním pojištění. Tím se vytvářejí fondy velkých objemů. Konstrukce je dělána tak, aby se fond vyrovnal v plné výši se všemi oprávněnými osobami, tj. nechal beze změn doběhnout všechny přiznané starobní důchody vč. důchodů pro 111

pozůstalé a aktivním osobám v produktivním věku vyplatil ekvivalent jejich dosavadních příspěvků do fondu. Takto pojaté penzijní fondy mohou představovat vedoucí finanční sílu ve státě a mají rozhodující podíl v různých investičních fondech. Výnosy jejich hospodaření se mohou vynaložit ve prospěch pojištěných nebo mohou představovat zdroj zisku pro organizátory. V řadě států je legislativně povolena jen první alternativa. Penzijní fondy mohou s ohledem na svoji sílu ovlivňovat stabilitu finančních trhů. Fondové penzijní plány jsou spíše záležitostí individuálního pojištění. Osoba je investorem. V závislosti na objemu zaplacených příspěvků a výnosů z těchto investic jsou počítány její důchodové nároky. Problémy, výhody, nevýhody a rizika Výhody - relativně menší citlivost na demografický vývoj - nezávislost na státním rozpočtu - silnější vazba příspěvky - dávky - prodlužování průměrného věku, tlak na pozdější odchod do důchodu - nejsou nezáměrné mezigenerační transfery - známé a transparentní náklady - dochází k akumulaci dlouhodobých úspor, růst investic má za následek akcelerační růst HDP - vede k vyšším důchodům. Nevýhody - existují ekonomická rizika spočívající v citlivosti na znehodnocování měny (inflace), v citlivosti na situaci kapitálového trhu, který je odrazem makroekonomické rovnováhy či nerovnováhy, nestabilitě ekonomických vztahů, volatilitě ekonomických veličin - nutná garance státu jako pojistka - nutná vládní kontrola resp. regulace velkých objemů kapitálu - při velké akumulaci majetku bude existovat soustavný tlak na zvyšování dávek - rizikovost v turbulentním prostředí ekonomické transformace - politická rizika, neboť v prostředí nestability právních norem nelze přijímat při řízení fondů opatření dlouhodobého charakteru - obtížnost při zavedení, neboť jedna generace by musela platit jak do systému průběžného financování, tak do systému kapitálového financování. Jsou-li příslušné fondy investovány do státních dluhopisů, pak mohou být zdrojem deficitního financování a stávají se stimulem deficitních výdajů; jsou-li investovány do soukromého sektoru, pak plně kapitálově krytý systém důchodového pojištění by musel mít taková aktiva, kterými by kontroloval převážnou část emisí akcií země. Nezanedbatelným problémem je, kdo rozhoduje o příslušných investicích tak velkého kapitálu a jak zabezpečit, aby systém byl nezávislý na politických vlivech ovlivňujících ekonomiku. 112

Speciální pojištění

Rizika (příklady) - dlouhodobý kapitál, nesoucí s ním spojená rizika (pojistné fondy existovaly i v minulosti, byly zestátněny, ale nebyly nikdy vráceny původnímu účelu) - nekvalifikované rozhodování o alokaci fondů - neoprávněné nakládání a zneužití.

4.1.4. Kombinace V současnosti má formu penzijního připojištění. Penzijní připojištění pomáhá státu čelit rostoucímu důchodovému břemenu, tj. míře závislosti populace v poproduktivním věku na populaci v produktivním věku. Populace u nás stejně jako v celé západní Evropě postupně stárne. Penzijní připojištění je většinou fondového typu organizované různými penzijními fondy. Plná a kombinace přístupů je však dlouhodobým procesem v časovém horizontu jedné generace. Při tom je nutno vzít v úvahu, že kombinace může přinést nevýhody obou systémů. Při ní by bylo nutno dořešit - zachování úrovně dávek, včetně vlivu inflace a zabezpečit pro to příslušné zdroje - změnit strukturu státního rozpočtu v jeho přerozdělovací funkci - zprůhlednit a stabilizovat kapitálový trh - zvládnout tento proces po legislativní a organizační stránce - respektovat mezinárodní úmluvy. Současný zájem na fondově orientované financování vyjadřuje snahu minimalizovat solidaritu a snížit míru odpovědnosti státu za své občany.

4.1.5. Penzijní fondy v České republice Penzijní připojištění u nás se řídí zákonem o penzijním připojištění se státním příspěvkem, a svou podstatou se jedná o důchodový systém charakterizovaný jako doplňkový, dobrovolný a individuální. Podle zákona je toto penzijní připojištění fondového typu s příspěvkově definovanými penzijními plány. Jeho organizátory jsou penzijní fondy zakládané jako akciové společnosti, které musí v rámci své investiční činnosti se svěřenými prostředky účastníků penzijního připojištění včetně státních příspěvků dodržovat řadu zákonných ustanovení na ochranu účastníků připojištění (především akcionáři penzijního fondu mají nárok maximálně na 10% vykázaného zisku)

113

Státní příspěvek závisí na výši měsíčního příspěvku účastníka, přičemž během prvních dvou let je státní příspěvek ještě v zvýšen o 25% . Státní příspěvky se připisují vždy najednou za celé kalendářní čtvrtletí. Penzijní připojištění v této podobě je v podstatě spoření jednotlivých účastník se státním příspěvkem, kdy postupně kumulované osobní konto účastníka zvyšované o příslušné podíly na zisku se v okamžiku nároku na penzi rozpočte do příslušné anuity způsobem, který si každý fond určí ve svém penzijním plánu.

4.1.6. Výpočty Průběžně financovaný penzijní plán Uvažujme dávkově definovaný a průběžné financovaný penzijní plán v rámci stacionární populace, tj. populace, v níž - se každoročně rodí stejný počet dětí lo - úmrtnost pro jednotlivé věky zůstává v čase konstantní - neexistuje zde imigrace a emigrace. Tento penzijní plán vyplácí roční dávku stejné výše ϕ každému žijícímu účastníkovi ve věku x+n a více. Roční příspěvek má být stanoven jednotným procentem p% z ročního příjmu každého výdělečně činného účastníka ve věkovém rozsahu od x do n-1 let. Tabulka udává - podíl výdělečně činných účastníků ki a - jejich průměrné roční příjmy účastníků Φi rozdělené podle tří věkových kategorií. Určete výši procenta p pro stanovení příspěvku v tomto penzijním plánu. n 1 2 3

Věková kategorie od x1 do x2 - 1 od x2 do x3 - 1 od x3 výše

ki k1 k2 k3

Φi Φ1 Φ2 Φ3

Údaje pro penzijní plán (n=3)

114

Speciální pojištění

Ze zadání vidíme, že platí [p/100] [ k1 Φ1 (lx1 + ... + lx2-1) + k2 Φ2 (lx2 + ... + lx3-1) + + k3 Φ3 (lx3 + ... + ln-1) = ϕ (ln + ln+1 + . . .) , kde na levé straně vztahu jsou uvedeny příspěvky do pojištění a na pravé straně vztahu výplaty z pojištění. Z uvedeného vztahu snadno odvodíme hledanou hodnotu p.

Osobní konto v penzijním připojištění V rámci penzijního připojištění každý účastník má osobní konto ke kterému se připisují - měsíční příspěvek účastníka - měsíční státní příspěvek diferencovaný podle výše příspěvku účastníka a délky pojištění - výnosy hospodaření fondu vyjádření mírou zisku. Při výpočtech se předpokládaná určitá roční míra zisku. Např. některý fond uvádí nějakou roční míru i, aniž tento předpoklad zdůvodní. Musíme si být vědomi, že pro počáteční období existence fondu a pro období, kdy bude fond plnit své závazky ve vzdálené budoucnosti jde o velmi těžko stanovitelnou veličinu. Je-li stanovena roční výnosová míra i, potom existují dva způsoby, stanovení míry výnosů pro každé z m období, z nichž sestává jednotkové roční období. Označíme-li K0 na začátku období délky 1/m, a K1/m jistinu na konci tohoto období, potom prvním případě pokládáme K1/m = K0 (1+i/m) a ve druhém případě pokládáme K1/m = (1+i)1/m . Je-li definována hodnota osobního konta v době nástupu do penze, potom pomocí uvedených při pojištění důchodu vypočteme vyplácený důchod. Jednorázové pojistné představuje výše osobního konta.

4.2. Zdravotní pojištění Pojistné matematiky lze využít v soukromém zdravotním pojištění. Při tom se stejně jako v pojištění osob vychází z principu ekvivalence mezi současnou hodnotou očekávaných pojistných nároků a současnou hodnotou očekávaného pojistného.

115

Přitom se podle typu pojistných nároků se ve zdravotním pojištění rozlišuje především - pojištění pro případ nemoci (náklady spojené s léčbou často včetně profylaxe) - pojištění pobytu v nemocnici (vyjma, nákladů spojených se stacionární léčbou, které jsou zahrnuty v předchozím případě) - pojištění nemocenských dávek v případě pracovní neschopnosti - pojištění nadstandardní péče (jedno - či dvojlůžkový pokoj v nemocnici, použití dražších (dovozových) léků a materiálů aj.). Zdravotní pojišťovny navíc obvykle používají podrobnějšího dělení, např. - náklady účtované lékařem při domácím ošetření - náklady účtované lékařem při ambulantním ošetření; náklady na léky a obvazový materiál; - náklady na operativní zákroky; - náklady na zubní ošetření a protetiku; - náklady spojené s těhotenstvím a porodem. Odhad očekávaných pojistných nároků je ve zdravotním pojištění poměrně obtížný. Kromě objektivních důvodů zde hrají určitou roli subjektivní faktory. Např. při zvýšení sazeb za určité výkony dochází k nárůstu počtu těchto výkonů, které lékaři a nemocnice účtují. To má dopad na zvýšení odpovídajících nákladů, apod. Uvedený příklad naznačuje, že náklady jsou v čase značně proměnlivé. Ukážeme jeden z možných přístupů stanovení nákladů.

Metoda průměrných nákladů Pro každou složku zdravotního pojištění (např. ambulantní ošetření) se sledují průměrné roční náklady na osobu podle věku a pohlaví. Zvolíme-li pevně složku zdravotního pojištění a pohlaví, můžeme označit průměrné roční náklady na osobu ve věku x veličinou Kx . Označíme základní náklady na osobu G = Kx0, kde x0 je určitý zvolený věk (v praxi se často voli x0 = 28 nebo x0 = 43). Profilem rozumíme normované náklady na osobu kx . Tyto náklady jsou definovány vztahem kx = Kx / G . Přechodem k profilu se potlačí mimo jiné závislost nákladů zdravotního pojištění na používaných sazbách pojistného zmíněná v předchozím textu a při relativně neměnném profilu kx v čase stačí pro popis nákladů na osobu Kx pro danou složku zdravotního pojištění jediné číslo G. Platí Kx = kx G . Zavedeme dekrementní řád pojištěných

116

Speciální pojištění lx+1 = lx (1 - qx - wx ) , kde značí lx počet pojištěných (pojištěnců) ve věku x qx pravděpodobnost úmrtí ve věku x wx pravděpodobnost výstupu ze zdravotního pojištění ve věku x, která se často odhaduje pomocí matematických křivek. Současná hodnota očekávaných pojistných nároků v uvažované složce zdravotního pojištění pro osobu pojištěnou ve věku x je dána výrazem Ax = (Kx lx + Kx+1 lx+1 v + … ) / lx = = G (kx lx vx + kx+1 lx+1 vx+1 + … ) / lx vx = = G (Ox + Ox+1 + … ) / Dx = G Ux / Dx , kde Dx = lx vx Ox = kx Dx Ux = Ox + Ox+1 + … jsou komutační čísla konstruovaná z dekrementního řádu pojištěných. Roční netto pojistné uvažované složce zdravotního pojištění pro osobu pojištěnou ve věku x: Z = Ax / ax , kde ax

je současná hodnota jednotkového doživotního důchodu konstruovaná z dekrementního řádu pojištěných ax = Nx / Dx = ( Dx + Dx+1 + …) / Dx .

V České republice existuje povinné všeobecné zdravotní pojištění podle zákona o pojistném na všeobecné zdravotní pojištění, organizované Všeobecnou zdravotní pojišťovnou a dalšími zdravotními pojišťovnami.

117

118

Zajištění

5. Zajištění 5.1. Pojem zajištění Zajištění je převod (postoupení, cese) části rizika, které pojistitel (prvopojistitel, cedent) převzal od pojištěných na jiný pojišťovací subjekt (zajišťovna, cesionář). Cedovaná (postoupená) část rizika je zpravidla shora omezená tzv. limitem zajistitele. Část rizika, kterou si nechá prvopojistitel se označuje jako priorita (vlastní vrub). Za převzetí rizika zajistitelem Pojišťovna zaplatí zajistiteli tím, že postoupí část inkasovaného pojistného. Tato část se nazývá zajistné. Poznamenejme, že zajišťovna se může zajistit převodem části svých rizik na jinou zajišťovnu. Tak lze vytvořit různé úrovně zajištění. Protože zajišťovny jsou vlastně pojišťovny pojišťoven, dochází k tomu, že pojišťovny mohou získávat od zajišťoven provize, tak, jako je vyplácejí pojišťovny při uzavírání pojistek prostřednictvím svých zástupců. Zajištění přináší pojišťovnám určité výhody. Mezi výhody patří - homogenizace pojistných kmenů - větší množství možných klientů - možnost zavádět pojistné produkty bez vlastních statistických dat - spolupráce se zajišťovnami a získání jejich zkušeností - finanční důvody (daně, finanční leasing apod.).

5.2. Klasifikace zajištění Zajištění může být podmíněno souhlasem pojištěného (otevřené zajištění) nebo nemusí být podmíněno souhlasem pojištěného (skryté zajištění). S ohledem na chování zajistitele se rozlišuje - obligatorní zajištění, které znamená, že na základě smluvních podmínek má zajistitel právo a zároveň povinnost převzít příslušnou část rizika - fakultativní zajištění, kdy se zajistitel rozhoduje případ od případu - kombinace předchozích. Při zajištění na rizikové bázi se postupuje zajišťovně jen příslušná část čistého rizika, ale veškerá odpovědnost (správa pojistky, vytváření pojistných rezerv apod.) zůstává na pojišťovně. Při zajištění na normální bázi se postupují zajišťovně v určitém poměru všechny náležitosti pojistné smlouvy.

119

Při zajištění na modifikované bázi se postupují zajišťovně v určitém poměru všechny náležitosti pojistné smlouvy s tím, že zajistitel musí převzatou část rezerv deponovat u prvopojistitele (zajistitel nenese investiční riziko, ale může se podílet na výnosu z deponovaných rezerv). Spolupojištění a poolové zajištění Situace, v níž se několik pojistitelů podílí na krytí jednoho velkého rizika, které přesahuje pojistnou kapacitu jednotlivých pojistitelů se nazývá spolupojištění. Zpravidla se uzavírá jedna pojistná smlouva ve shodě s pojistnými podmínkami jednoho (řídícího) pojistitele. Každý z pojistitelů ručí za část rizika, kterou převzal, ale neručí za plnění ostatních pojistitelů. Dohoda více pojistitelů o vzájemném zajištění se nazývá poolové zajištění. Toto zajištění se užívá pro oblasti velkých rizik. Pojistitelé vnášejí jako prvopojistitelé do poolu všechna svá pojištění daného druhu. Tak vznikne velký pojistný kmen. Z tohoto kmene dostanou jako zajistitelé přiděleny určité podíly. Tyto podíly odpovídají zpravidla jejich přínosu. Pro správu poolu pojistitelé zpravidla vytvářejí společnou administrativní jednotku (poolová kancelář). Škody různých pojistných rizik mohou být tak veliké, že je nelze obsáhnout uvedenými formami zajištění. Proto se někdy pojistná rizika přeměňují na cenné papíry (sekurizace pojistného rizika), které se obchodují na specializovaných burzách. Dále rozlišujeme zajištění proporcionální a neproporcionální

5.3. Proporcionální a neproporcionální zajištění 5.3.1. Proporcionální zajištění V různých typech proporcionálního zajištění se pojistná částka, pojistné plnění a pojistné dělí mezi pojišťovnu a zajišťovnu v smluvně sjednaném poměru. Při tom se respektuje limit zajistitele. Při proporcionálním zajištění odpovídá podíl na pojistném (zajistné) podílu na pojistném ručení. Nejvíce používané typy proporcionálního zajištění jsou kvótové zajištění a excendentní zajištění eventuelně jejich kombinace. Označíme S pojistnou částku y pojistné plnění P pojistné. U uvedených částek indexem P označíme pojišťovnu a indexem Z označíme zajišťovnu. Můžeme tedy psát S = SP + SZ ,

y = yP + yZ , 120

P = PP + PZ .

Zajištění Kvótové zajištění Hodnoty S, y, P se u všech zajištěných pojistek dělí mezi pojišťovnu a zajišťovnu ve stejném sjednaném poměru q který se nazývá kvótou. Tak platí SP = (1-q) S ,

yP = (1-q) y ,

SZ = q S ,

yZ = q y ,

PP = (1-q) P PZ = q P .

Výhodou tohoto zajištění je administrativní jednoduchost. Nevýhodou je, že postup platí pro všechny pojistky a nemůže dojít k homogenizaci pojistného kmene a uplatňuje se i pojistek, které není ze strany pojišťovny nutno zajišťovat. Excendentní zajištění U tohoto zajištění zajistitel přebírá u každé smlouvy tu část pojistné částky, která přesahuje smluvně sjednanou hranici nazývanou excendent. Excendent označíme A. Hodnota A se určuje v násobcích vlastního vrubu pojistitele. Pro toto zajištění platí: Je-li S ≤ A, potom SP = S , SZ = 0 ,

yP = y , yZ = 0 ,

PP = P PZ = 0 .

Je-li S > A, potom SP = A , SZ = S-A ,

yP = α y , yZ = (1-α) y ,

PP = α P PZ = (1-α) P .

kde α = A/S.

5.3.2. Neproporcionální zajištění V různých typech neproporcionálního zajištění je podstatná výše skutečných škod. Proto též o těchto způsobech zajištění hovoříme jako o škodovém zajištění. U tohoto zajištění zajistitel plní jen když škoda přesáhne prvopojistitelův vlastní vrub, přičemž zajistitel plní vlastním vrubem do sjednaného limitu zajistitele. Vlastní vrub se proto nazývá škodní objem. Zajistitelé při kalkulaci zájistného využívají statistické údaje prvopojistitele o škodním průběhu uvažovaného pojištění nebo pokud tyto údaje nejsou k dispozici, využije zajistitel jiné statistické údaje ze známého produktu a vezme v úvahu specifika zajišťovaného pojištění. Uvedeme vybrané typy neproporcionálního zajištění Zajištění škodního nadměrku Zajištění škodního nadměrku jednotlivých rizik chrání prvopojistitele před dopadem jednotlivých velkých škod. Aplikuje se na každou pojistnou smlouvu zvlášť.

121

Označíme-li A vlastní vrub prvopojistitele, pak z pojistného plnění y v rámci pojistné smlouvy se pojistné plnění y postupuje na zajistitele podle postupu: Je-li y ≤ A, potom yP = y, yZ = 0 , je-li y> A, potom yP = A, yZ = y - A . Zajištění škodního nadměrku katastrofické události chrání prvopojistitele před kumulovaným dopadem většího počtu škod vzniklých v důsledku jedné katastrofické události. Označíme A vlastní vrub prvopojistitele. Pojistné plnění y sestává ze součtu pojistných plnění yi , která se vztahují ke jednotlivým smlouvám i, kde i=1,…,n. Na zajistitele se postupuje částka yZ podle postupu: Je-li y ≤ A, potom yP = y, yZ = 0 , je-li y > A, potom yP = A, yZ = y - A . Zajištění ročního nadměrku Toto zajištění chrání prvopojistitele před kumulací škod v důsledku nepříznivého roku, ve kterém byl zvýšený škodní průběh. Zajistitel většinou podmiňuje svoji účasti na plnění podmínkou, že prvopojistiteli nestačí pojistné pokrýt pojistné plnění a své náklady. Zajištění LCR(p) (largest claims reinsurence) Soubor škod uspořádáme podle velikosti tak, že platí yi1 ≥ yi2 ≥ yi3 ≥ … ≥ yip ≥ … ≥ yin . Zajistitel ze souboru škod yi případě pokládáme

i=1,2,…,n hradí p (p
yP = yip+1 + yip+2 + … + yin yZ = yi1 + yi2 + … + yip . Zajištění ECOMOR(p) (excédent du count moyen relatif) Soubor škod uspořádáme podle velikosti tak, že platí yi1 ≥ yi2 ≥ yi3 ≥ … ≥ yip ≥ … ≥ yin . Zajistitel ze souboru škod yi i=1,2,…,n hradí části škod, které přesáhly p-tou největší škodu (p
122

Pravděpodobnost a matematická statistika

Dodatek Pravděpodobnost a matematická statistika

123

Pravděpodobnost a matematická statistika

124

Náhodné jevy a pravděpodobnost

1. Náhodné jevy a pravděpodobnost 1.1. Náhodné jevy a jevová pole Uvažujme nějaký komplex podmínek M a s tímto komplexem podmínek spojený určitý jev, který označíme A. V praxi se mohou vyskytnout případy, kde při každém uskutečnění komplexu podmínek M nastane jev A, nebo kdy při každém uskutečnění komplexu podmínek M nikdy nenastane jev A a konečně při uskutečnění komplexu podmínek M někdy jev A nastane, jindy nenastane. V prvním případě říkáme, že jev A je jistý, v druhém případě že jev A je nemožný a ve třetím případě říkáme, že jev A je obecně náhodný. Náhodným jevem budeme tedy rozumět jev, u něhož má smysl vyšetřovat, zda při uskutečnění nějakého komplexu podmínek nastal či nenastal. Z tohoto hlediska lze za náhodný jev považovat i jev jistý a jev nemožný. Uvažujeme množinu E všech možných výsledků, které mohou nastat při daném komplexu podmínek M . Předpokládejme, že při daném komplexu podmínek M nastane právě jeden, tj. jeden a jen jeden z možných výsledků. Jednotlivé možné výsledky se nazývají elementární náhodné jevy. Množina E se nazývá množinou elementárních jevů nebo výběrovým prostorem. Obecně můžeme náhodný jev A interpretovat jako množinu elementárních náhodných jevů. Je-li elementární jev e prvkem A označujeme to e∈A. O náhodném jevu A říkáme, že nastal při uskutečnění nějakého komplexu podmínek, jestliže nastal některý z elementárních jevů e∈A. Množina E odpovídá jistému jevu, neboť při daném komplexu podmínek musí nastat, alespoň jeden elementární jev e∈E. Jev nemožný můžeme považovat za prázdnou množinu elementárních jevů. Nemožný jev označíme ∅. Náhodné jevy lze tedy interpretovat jako množiny elementárních náhodných jevů a přitom využít znalostí z teorie množin. Operace s náhodnými jevy Jestliže při každém uskutečnění komplexu podmínek M , při kterém nastal jev A, nastane i jev B, pak říkáme, že jev A má za následek jev B a značíme A⊂B resp. B⊃A . Symbol ⊂ se nazývá inkluze.

125

Pravděpodobnost a matematická statistika Jevy A a B jsou rovnocenné, když při každém uskutečnění komplexu podmínek M nastane jev A, právě když nastane jev B. Rovnocennost značíme A = B. Označíme-li {x∈X: W (x)} množinu všech x∈X majících vlastnost W(x), pak můžeme zavést operaci sjednocení ∪ a operaci průniku ∩ takto A∪B= {e∈E; e∈A nebo e∈B} A∩B= {e∈E; e∈A a e∈B}. Obecně buď J množina indexů j. Každému j ∈J přiřadíme Aj⊂E.

Υ Aj = {e∈E; e náleží alespoň do jednoho Aj} j

Ι

Aj ={e∈E; e náleží do všech Aj}.

j

Snadno se přesvědčíme, že operace sjednocení a průniku jsou operace komutativní a asociativní. Dále platí distributivní zákony Α∪(Β∩C) = (A∪B)∩A∪B)

A∩(Β∪C) = (Α∩Β)∪(Α∩C).

Rozdíl jevů definujeme vztahem A – B = {e∈E; e∈A a e∉B}. Doplněk jevu A, který označujeme A´ definujeme vztahem A´ = {e∈E; e∉Α}. Z definice rozdílu a doplňku ihned plyne A´ = E-A a z definice průniku dostáváme A – B = A∩B´ . Navíc lze dokázat A∩Β = Α∪Β - [(Α-Β)∪(Β-Α)] , což značí, že operaci průniku lze odvodit z operace sjednocení a rozdílů. Poslední vztah dokážeme 1. Nechť e∈Α∩Β. Z toho vyplývá, že e∈Α a současně e∈Β, tedy e nemůže být prvkem A-B a nemůže být prvkem B-A, tedy e nemůže být prvkem (A-B) ∪ (B-A). Čili platí e∈Α∪Β e∉(Α-Β)∪(B-A). Podle definice rozdílu je e∈Α∪Β - [(Α−Β)∪(Β−Α)]. 126

Náhodné jevy a pravděpodobnost 2. Nechť e∈Α∪Β−[(Α−Β)∪(Β−Α)]. Podle definice rozdílu je e∈Α∪Β a e∉(Α−Β) (B −Α) . Odtud plyne, že e∉(Α−Β) a e∉(Β−Α). Ze vztahu e∈Α∪Β plyne, že musí nastat jeden ze tří případů l. e∈Α e∉Β;

2. e∉Α e∈Β;

3. e∈A e∈Β .

První případ nemůže nastat vzhledem k tomu, že e∉(Α−Β), druhý případ nemůže nastat vzhledem k tomu, že e∉(Β−Α). Odtud vyplývá, že musí nastat třetí případ, který však říká , že e∈Α∩Β. Pole náhodných jevů V předcházejícím výkladu jsme zavedli elementární jev. Libovolný jev A jsme považovali za určitou množinu elementárních jevů. Může se však vyskytnout úloha opačná. Máme nějaký náhodný jev, který chceme rozložit na částečné jevy. Touto problematikou se budeme nyní zabývat. Uvažujme dva jevy A a B takové, že A∩Β=∅.V tomto případě říkáme, že se tyto jevy vylučují, nebo že jsou disjunktní. Uvažujme nyní jev C. Jestliže lze určit jevy A≠∅ a Β≠∅ takové, že C=Α∪Β a Α∩Β=∅, pak říkáme, že jev C se rozkládá na částečné jevy ( případy) A a B. Poznamenejme, že rozklad jevu C na částečné jevy nemusí být definován jednoznačně. Uvedenou úvahu můžeme zobecnit na více jevů. Uvažujme jevy A1, A2 , …, .An, které se po dvou vylučují, tj. pro i,j=1, 2, …, n, i≠j platí Ai ∩ Aj=∅. Jestliže platí C = A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An, pak řekneme, že jev C se rozkládá na částečné jevy Ai, i= 1,2……,n Řekneme, že skupinu jevů A1, A2,…..,An , je úplná, když alespoň jeden z jevů Ai nutně nastane, tj. n

Υ A =E. i

i =1

Obdobně lze definovat rozklad na částečné jevy a úplnou skupinu jevů i v případě nekonečného počtu množin Ai∈ i∈ I, kde I je nějaká nekonečná množina indexů. Při řešení určitých problému se zabýváme určitým systémem náhodných jevů, které jsou nutné k řešení dané úlohy. Potřebujeme takový systém, který vedle elementárních jevů bude obsahovat sjednocení, průnik, rozdíly, doplňky náhodných jevů. Takový systém nazveme jevové pole.

Jevové pole lze též definovat axiomaticky. Uvažujme systém A náhodných jevů. Předpokládejme, že pro náhodné jevy je definována inkluse a všechny operace, které jsme výše uvedli. Systém se nazývá jevové pole, jestliže pro A∈A , B∈A platí 1. E ∈ A

127

Pravděpodobnost a matematická statistika 2. A∪B ∈ A 3. A-B ∈ A. Poznamenejme, že z uvedených vlastností plyne A´∈A ,

A∩B∈A,

∅∈A.

V teorii množin se systému, který splňuje vlastnosti l až 3, říká množinová algebra, proto budeme někdy místo jevové pole užívat názvu algebra jevů. V případech, kdy množina elementárních jevů má nekonečně mnoho prvků, nevystačíme s definicí jevového pole tak, jak jsme ji uvedli. Požadavek 2 bude nutno poněkud zesílit. Za tím účelem uvažujme posloupnost jevů An∈A n = l,2, … . Je přirozené požadovat, aby platil požadavek ∞

2σ.

Υ A ∈A n

n=1

V teorii množin se systému, který splňuje požadavky l, 2σ , 3, říká σ-algebra, proto budeme někdy hovořit o σ-algebře jevů. Poznamenejme, že je-li systém σ-algebrou, pak též průnik množin Ai∈A i = 1,2, … je v A. Z požadavku 2σ plyne požadavek 2 a tedy σ-algebra je též algebrou.

1.2. Definice pravděpodobnosti a její základní vlastnosti V předešlém výkladu jsme definovali náhodný jev. Prosté tvrzení o náhodnosti určitého jevu pokud nejde o jev jistý nebo nemožný) má omezený poznávací význam. Ukazuje totiž na to, že uvažovaný komplex podmínek neodráží úplnou množinu nutných a postačujících podmínek pro uskutečnění příslušného jevu. Takový přístup může být pobídkou pro další zkoumání, ale sám o sobě neposkytuje další poznání. Existuje však široký okruh jevů, kdy při mnohonásobném uskutečnění komplexu určitých podmínek podíl případů, v nichž se vyskytne studovaný jev, na celkovém počtu uskutečnění daných podmínek kolísá kolem určité hodnoty. V takovém případě je možné konstatovat nejen náhodnost uvažovaného jevu, ale dát též kvantitativní odhad možnosti jeho výskytu. V těchto případech se náhodnému jevu, řekněme A, přiřazuje nějaké číslo P(A), které se nazývá pravděpodobností. Poznamenejme, že jestliže jsme zjistili, že při daném komplexu podmínek je jev A náhodný, pak z toho nevyplývá, že by existovala jeho pravděpodobnost. Existenci pravděpodobnosti je nutno přijímat jako pracovní hypotézu, kterou je nutno prověřovat. Definici pravděpodobnosti je věnována obsáhla literatura. K této definici se přistupuje buď klasicky nebo statisticky anebo axiomaticky. Jednotlivé přístupy budou v následujícím výkladu rozebrány.

128

Náhodné jevy a pravděpodobnost Před dalším výkladem upozorněme na přístup, v němž se pravděpodobnost pojímá jako kvantitativní ohodnocení „stupně důvěry“ určité skutečnosti. Je-li pravděpodobnost ohodnocením stupně důvěry, pak má vztah jen ke stavu poznávajícího subjektu a tedy všechny důsledky pravděpodobnostních soudů objektivně ztrácejí obsah nezávisející na poznávajícím subjektu. Vyjadřují-li pravděpodobnostní soudy objektivní vlastnosti studovaných jevů, pak toto pojetí je nepřijatelné.

Klasická definice pravděpodobnosti Uvažujme úplnou skupinu vzájemně se vylučujících jevů E={El , … En}, které lze tedy interpretovat jako elementární jevy. Předpokládáme, že libovolný jev A lze rozložit na částečné případy Eij∈E j = 1,2,…, r, kde r≠n. Nemožný jev ∅ je jev nelze rozložit na částečný případ. Pomocí jevů Ei i = 1,2,…, n vytvořme algebru jevů A , tj. pro A∈A, B∈ A platí E∈A,

A∪B∈A,

A-B∈A.

Podle dříve uvedeného též platí ∅∈A,

A´∈A,

A´∪B∈A.

Klasická definice pravděpodobnosti Nyní uvedeme klasickou definici pravděpodobnosti Předpokládáme že jevy Ei∈E jsou pro všechna i = l,2,…, n stejně možné. Nechť jev A∈A nastane v m částečných případech Eij∈E j = 1,2,…, m. Potom pravděpodobnost jevu A, kterou označujeme P(A), pokládáme rovnou výrazu P(A)=m / n . Při definici pravděpodobnosti lze též použít jiné terminologie. K objasnění otázky, zda nastal či nenastal jev A je nutno udělat příslušný pokus, tj. navodit příslušný komplex podmínek. Úplná skupina vylučujících se jevů, které se při takovém pokusu mohou objevit, se nazývá skupinou možných výsledků pokusu. Ty z možných výsledků pokusu, na které se rozpadá jev A, se nazývají výsledky pokusu příznivé jevu A. Pravděpodobnost P(A) jevu A je pak v klasické definicí pravděpodobnosti rovna poměru počtu výsledků pokusu příznivých jevu A k počtu všech možných výsledků pokusu.

129

Pravděpodobnost a matematická statistika

Z uvedené definice pravděpodobnosti bezprostředně nahlédneme, že pro libovolné jevy A∈A, B∈A platí Vl. P(A) ≥ 0 V2. A∩B = ∅⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) V3. P(E) = l . Další vlastnosti pravděpodobnosti rozebereme až po výkladu zbývajících definic.

Mnohdy se vyskytne úloha, kdy je nutno určovat pravděpodobnost jevu B za předpokladu, že se stane jistým jev A. Tak se dostáváme ke klasické definici podmíněné pravděpodobnosti. Předpoklad, že jev A se stal jistým, porušuje úplnou skupinu vylučujících se jevů, neboť nelze pokládat jevy dané skupiny za stejně možné. Možnými budou jen ty jevy, na které se rozpadá jev A. Ostatní jevy budou nemožné. Nechť jev A se skládá z m takových jevů, kde m>0. Uvažujme nyní jev B. V nové skupině nezůstaly jako částečné případy všechny původní jevy, ale jen ty, které zůstaly možnými, tj. jevy, z nichž se skládá jev A. Jinými slovy jde o jevy, které jsou částečnými případy jevu A∩B. Nechť se tento jev rozpadá na r jevů. Tak se dostáváme k definici pravděpodobnosti jevu B za předpokladu, že jev A se stal jevem jistým, kterou označujeme P(B|A). Podle výše uvedeného lze definovat P(B|A) = r/m = [r/n ] / [m/n] = P(A∩B) / P(A) . Klasická definice je použitelná pouze při konečné množině stejně možných elementárních jevů. Tento nedostatek se někteří autoři snažili překlenout takzvanými geometrickými pravděpodobnostmi, které si přiblížíme na příkladě. Uvažujme nějakou rovinnou oblast U mající plochu m(U). V této oblasti uvažujme určitou její část u, jež má plochu m(u). Budeme-li náhodně „ostřelovat“ oblast U, naskýtá se otázka zavedení pravděpodobnosti zásahu oblasti u . Tato pravděpodobnost se klade poměru uvedených ploch, tj. číslu m(u)/m(U). Uvedená klasická definice pravděpodobnosti je prakticky aplikovatelná, neboť jde o vhodný prostředek pro určování pravděpodobnosti. Z hlediska matematického však jde o tautologii. Předpokládali jsme totiž, že jevy Ei∈E i=1,2,…, n jsou stejně možné, což v podstatě znamená, že jsou stejně pravděpodobné. Někdy se tento problém snaží překlenout definicí stejné možnosti např. tak, že řekneme, že dva jevy jsou stejně možné, jestliže nebude žádných důvodů pro to dát jednomu přednost před druhým. Tím se však dostáváme do subjektivistické pozice.

130

Náhodné jevy a pravděpodobnost Statistická definice pravděpodobnosti Statistická definice pravděpodobnosti vychází z možnosti libovolného navozování komplexů podmínek a sledování příslušných výsledků. Naznačme si tuto definici poněkud podrobněji. Uvažujme nějaký komplex podmínek (pokus, experiment) M, který můžeme libovolněkrát uskutečňovat. Při jeho uskutečnění dostaneme nějaký výsledek. Označme E množinu všech a priori možných výsledků a uvažujme A∈E. Jestliže při konkrétním uskutečnění (pokusu) získáme výsledek e∈E a jestliže e∈A, pak řekneme, že nastal jev A. Uskutečněme nyní nezávisle n krát uvažovaný pokus a zjišťujeme, zda nastává či nenastává jev A. Ukáže-li se, že jev A nastal v mn případech, pak zlomek mn/n při rostoucím n vykazuje tendenci nabývat více méně stálou hodnotu. Tuto hodnotu nazveme pravděpodobností jevu A a označíme ji P(A). Z uvedeného vidíme, že mn/n může představovat míru hromadnosti náhodného jevu, kterou jsme dostali jako výsledek našeho pozorování. P(A) může představovat míru hromadnosti náhodného jevu, nezávislou na našich pokusech. Snadno nahlédneme, že i při této definici pravděpodobnosti platí vlastnosti V1 až V3 uvedené v předcházejícím odstavci. Podmíněnou pravděpodobnost jevu B za předpokladu, že nastal jev A v případě, že P(A)>0 lze definovat vztahem P(B|A) = rn/mn = [rn/n] / [mn/n]= P(A∩B) / P(A) , kde n

značí počet provedených pokusů

mn značí počet pokusů, v nichž nastal jev A rn značí počet pokusů, v nichž nastal současně jev B a jev A. Problém této definice, která též dává návod k počítání, spočívá v tom, že využívá nekontrolovatelného předpokladu limn→∞ [mn/n] = P(A) . Nejde totiž udělat nekonečně mnoho pokusů. Charakter konvergence lze brát ve smyslu zákonů velkých čísel, ale i tak se dostáváme k tautologiím. Axiomatická definice pravděpodobnosti Klasická definice pravděpodobnosti selhává v těch případech, kdy nelze sestrojit úplnou skupinu elementárních jevů sestávající z konečného počtu stejně pravděpodobných a vylučujících se jevů. Uvažujme nyní obecně nějakou množinu elementárních jevů. Pomocí těchto jevů vytvoříme σ-algebru jevů A, tj. systém jevů, který splňuje požadavky 1, 2σ a 3 z 131

Pravděpodobnost a matematická statistika předchozí kapitoly. Je-li množina elementárních jevů konečná, pak dříve požadavky uvedené 2 a 2σ jsou rovnocenné. Zaveďme axiomy A1. Pro každé A∈A existuje reálné číslo P(A) ≥ 0 A2. Ai ∩ Aj = ∅ i,j = 1,2,… i≠j ⇒ P(

∞

∞

Υ A ) = ∑ P(A ) i

i

i=1

i=1

A3. P(E) = 1. Číslo P(A) splňující axiomy A1 až A3 nazveme pravděpodobností jevu A. Axiomy A1 a A3 jsou dříve uvedené vlastnosti V1 a V3. Axiom A2 se nazývá axiom σ-aditivnosti a je silnější než dříve uvedená vlastnost V2 . Podmíněná pravděpodobnost P(B|A) jevu B za předpokladu, že jev A se stal jistým, se pro P(A)>0 definuje axiomaticky vztahem P(B|A) = P(A∩B) / P(A) . Tato pravděpodobnost není definována v případě, že P(A) = 0 . Dokážeme, že podmíněné pravděpodobnosti splňují axiomy A1 až A3. Splnění axiomu A1 je evidentní. Axiom A3 plyne ze vztahu E∩A=A . Zbývá tedy dokázat pro podmíněné pravděpodobnosti axiom A2. ∞

Položme B = Υ Bi , kde Bi∩Bj = ∅ ,

i,j=1,2,…

i =1

i≠j . Z distribučních zákonů

plyne ∞

∞

i =1

i =1

B∩A=( Υ Bi) ∩ A= Υ (Bi∩A) . Při tom je (Bi∩A) ∩ (Bj∩A) = ∅ i,j = 1,2,… i≠j . Tedy podle axiomu A2 pro nepodmíněné pravděpodobnosti máme ∞

P(B∩A) =

∑ P(B ∩A) . i

i=1

Po vydělení posledního vztahu pravděpodobnosti P(A)>0, podle definice podmíněné pravděpodobnosti získáváme ∞

P(B|A) =

∑ P(B |A) , i

i=1

132

Náhodné jevy a pravděpodobnost což jsme chtěli dokázat. Tedy pro podmíněné pravděpodobnosti platí axiom A2. Z uvedeného vyplývá, že všechny vlastnosti pravděpodobností vyplývajících z axiomů A1 až A3 platí i pro podmíněné pravděpodobnosti. Závěrem ukážeme, že axiomatické zavedení pravděpodobnosti je zobecnění klasické definice. Uvažujme úplnou skupinu E elementárních stejně pravděpodobných jevů Ei i = 1,2,…,n . Pomocí těchto jevů vytvoříme jevové pole A a uvažujme jev A, pro který platí m

A=

ΥE j=1

Eij∈E .

ij

Dá se dokázat, že z axiomů A1 a A2 vyplývá vlastnost V2. Z axiomu A3 a vlastnosti V2 vyplývá n

1 = P(

n

Υ E ) = ∑ P(E ) . i

i

i=1

i=1

Protože P(Ei) = P(Ej) i,j = 1,2,…, n , dostáváme P(Ei) = 1/n . m

P(A) = P(

Υ j=1

m

Eij) =

∑ P(E ) = m / n , j=1

ij

což jsme chtěli dokázat. V dalším výkladu budeme hovořit o pravděpodobnostním prostoru, jestliže je dán výběrový prostor E, σ–algebra A náhodných jevů obsahující podmnožiny E a jestliže je definována pravděpodobnost P(A) pro libovolný náhodný jev A∈A. Tento pravděpodobnostní prostor je σ-aditivní a budeme ho symbolicky označovat (E, A, P). Jestliže pro libovolné A∈ A je určeno P(A), pak řekneme, že je dáno rozdělení pravděpodobností.

Základní vlastnosti pravděpodobnosti Při zkoumání základních vlastností pravděpodobnosti vyjdeme z axiomů A1 až A3. Dokážeme nejprve tvrzení o monotónnosti pravděpodobnosti V4

A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B) .

133

Pravděpodobnost a matematická statistika Z A ⊂ B vyplývá, že A1 = A, A2 = B-A, Ai =∅ i= 3,4,… . jsou jevy splňující ∞

předpoklady axiomu A2 a že B =

ΥA . i

i=1

Tedy platí ∞

P(B) = P(A) + P(B-A) +

∑ P(∅) . i=3

Vzhledem k axiomu A1 dostáváme tvrzení V4. Nechť A∩B = ∅. Položíme A1 = A, A2 = B, Ai =∅ i= 3,4,… . Snadno nahlédneme, že jsou splněny předpoklady axiomu A2 a tedy platí ∞

P(A∪B)=P(A)+P(B)+

∑ P(∅) . i=3

∞

Dokážeme, že

∑ P(∅) = 0 . Nechť tomu tak není. P(∅)= ε >0 a tedy je uvažovaná i=3

řada nekonečně velká, což je spor s axiomem A3, neboť musí vzhledem ke vztahu (A∪B)⊂E platit P(A∪B)≤P(E)=1. Tedy dostáváme tvrzení o aditivnosti pravděpodobnosti V2

Α∩Β=∅⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) .

K důkazu monotónnosti pravděpodobnosti by stačila, jak snadno nahlédneme, tvrzení V1 až V3. Z tvrzení V4 ihned vyplývá tvrzení Α = Β ⇒ P(A) = P(B) . Vzhledem k tomu, že pro libovolný jev A mámeΑ∩Α´=∅ a A∪A´=E podle V2 a A3 dostáváme P(A) + P(A´) = P(E) = 1, což dává V5

P(A)´=1-P(A) .

Položíme-li ve V5 A=E, dostáváme P(∅)=0 .

134

Náhodné jevy a pravděpodobnost Tento výsledek jsme též získali při důkazu aditivnosti a axiomů A1 až A3. Z uvedeného vyplývá, že pro libovolné A∈A platí 0 ≤ P(A) ≤ 1 , neboť je ∅ ⊂ Α∪∅ = Α = (Α∩Ε) ⊂ Ε

Nezávislost jevů V tomto odstavci definujeme nezávislost jevů. Přímo z definice podmíněné pravděpodobností P(B|Α), plyne vztah P(A∩B) = P(A) P(B|A) , kde P(A) >0. Je-li též P(B)>0 snadno nahlédneme, že platí P(A) P(B|A) = P(A∩Β) = P(B) P(A|B) . s

Úplnou indukcí lze dokázat, že pro libovolné jevy A1,…, As takové, že P(

Ι

Ai) > 0

i=1

platí s

P(

Ι

Ai) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1∩A2) … P(As|A1 ∩A2 ∩…∩ As-1) .

i=1

Řekneme, že jev B nezávisí na jevu A, když buď P(B|A)=P(B), kde P(A)>0, nebo když P(A)=0. Dá se dokázat, že nezávisí-li jev B na jevu A, nezávisí jev A na jevu B a opačně. Důkaz plyne z následující úvahy: Nechť jev B nezávisí na jevu A. Potom podle definice platí P(B|A)=P(B) při P(A)> 0 nebo P(A)=0. V prvním případě máme P(A∩Β) = Ρ(Β|Α) P(A)=P(A) P(B) ; ve druhém případě, vzhledem ke vztahu A∩B⊂A, máme též P(A∩B)= P(A) P(B) . Nyní mohou nastat dva případy: Buď P(B)>0 nebo P(B)=0 Je-li P(B)=0, nezávisí podle definice jev A na jevu B. Je-li P(B)>0, dostáváme P(A) = P(A∩B)/P(A) = P(A|B) a tedy podle definice jev A nezávisí na jevu B. Stejně se dokáže i opak.

135

Pravděpodobnost a matematická statistika Tak vidíme, že lze hovořit o vzájemné nezávislosti dvou jevů. Z uvedeného důkazu vyplývá, že dva jevy A a B jsou nezávislé, právě když platí P(A∩B) = P(A) P(B) .

Uvažujme nyní nějakou skupinu jevů A1, A2, …, As . Řekneme, že jevy Ai i = 1,2, …, s jsou po dvou nezávislé, když libovolná dvojice Ai, Aj i≠j tvoří dvojici nezávislých jevů. Řekneme, že jevy Ai i = 1,2, …, s jsou nezávislé, když pro libovolný jev Ai a libovolné další různé jevy Aik k= 1, … , p jsou nezávislé jevy p

Ι

Ai a

k=1

Aik .

Dá se dokázat, že nezávislost jevů Ai i=1, …, s je ekvivalentní s podmínkou s

P(

Ι

Ai) = P(A1) P(A2) … P(As) .

i=1

Vzorec pro úhrnnou pravděpodobnost a Bayesovy vzorce. Uvažujme úplnou skupinu vzájemně disjunktních náhodných jevů Ai i=1,2,...,s , které mají kladné pravděpodobnosti P(Ai). Uvažujme jev B. S ohledem na úplnost a disjunktnost soustavy jevů Ai i=1,2,...,s platí s

P(B) =

∑ P(B ∩A ). i

i=1

Protože pro i=1,2, …, s platí P(B∩Ai) = P(Ai) P(B|Ai) dostáváme vzorec s

P(B) =

∑ P(A ) P(B|A ) , i

i

i=1

který se nazývá vzorcem pro úhrnnou pravděpodobnost.

136

Náhodné jevy a pravděpodobnost

Budeme předpokládat, že P(B) je kladná hodnota. Pak pro libovolné Aj j=1,…,s P(B∩Aj) = P(Aj) P(B|Aj) = P(B) P(Aj|B) , kde P(B|Aj) je pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev Aj a P(Aj|B) je pravděpodobnost jevu Aj za podmínky, že nastal jev B, dostaneme s

P(Aj|B) = P(Aj) P(B|Aj) / P(B) = P(Aj) P(B|Aj) /

∑

P(Aj) P(B|Aj).

j=1

Pravděpodobnosti P(Aj) se nazývají „a priori“ a pravděpodobnosti P(Aj|B) se nazývají „a posteriori“. Poslední vztah se nazývá Bayesův-Laplaceův vzorec. Provádějme pokusy, takové že při každém pokusu může nastat právě jeden ze skupiny jevů Ai , i=1,…,s. Označíme Ai(n) nastání jevu Ai při n tém pokusu. Jevy Ai(n), i=1,…,s tvoří úplnou skupinu disjunktních jevů a tedy jev Aj(n+1) lze rozložit na disjunktní jevy Aj(n+1) ∩Ai(n), i=1,…,s. Aplikací vzorce pro úhrnnou pravděpodobnost dostaneme s

P(Aj(n+1)) =

∑ P(A (n)) P(A (n+1)|A (n)) i

j

i

i=1

Pravděpodobnosti P(Aj(n+1)|Ai(n)) se nazývají pravděpodobnosti přechodu.

Posloupnost nezávislých pokusů Uvažujme takový komplex podmínek, při jehož uskutečnění může nastat jev A nebo A´. Předpokládejme,, že pravděpodobnost jevu A je p a pravděpodobnost jevu A´je q=1-p. Provádějme postupně n nezávislých pokusů, tj. výsledek v jednom pokuse neovlivní výsledek jiného pokusu. Hledejme pravděpodobnost, že při n pokusech nastane jev A právě m krát. Tuto pravděpodobnost označme Pn(m). Uvažujme nejprve posloupnost n výsledků, v níž se jev A vyskytl právě m krát. Pravděpodobnost takové posloupnosti je pm (1-p)n-m = pm qn-m . Počet takových posloupnosti je určen počtem kombinací m-tého řádu z n prvků. Tento počet je roven výrazu n!/[m! (n-m)!] , kde k! značí součin čísel od 1 do k.

137

Pravděpodobnost a matematická statistika

Tedy pravděpodobnost Pn(m) je dána výrazem Pn(m) = n!/[m! (n-m)!] pm (1-p)n-m . kde m může nabývat hodnot 0,1,2,…, n . Uvedený vzorec se nazývá Bernoulliova formule. Tento vzorec je východiskem řady teoretických úvah a často je využíván při aplikacích.

138

Základní pojmy matematické statistiky

2. Základní pojmy matematické statistiky 2.1. Definice náhodné veličiny,závislost náhodných veličin Náhodnou veličinou ξ = x(ω), kde ω∈Ω a kde ω je prvkem množiny elementárních jevů Ω, budeme rozumět takovou veličinu, která nabývá číselných hodnot, pro kterou je definována pravděpodobnost F(x) = P(ξ< x) = P(ω; x(ω)< x) , kde x je libovolné číslo. Je-li ω pevně dáno, pak náhodná veličina ξ nabývá určité konkrétní hodnoty z množiny možných hodnot. Uvažujme náhodné veličiny ξi i=1,2,…,n pro které jsou definovány funkce Fi(xi) = P(ξi < xi). Uvažujme náhodný vektor ξ=(ξ1, ξ2, …, ξn) a funkci F(x1, x2, …, xn) = P(ξ1<x1, ξ2<x2, …, ξn<xn) . Řekneme, že náhodné veličiny jsou vzájemně nezávislé, platí-li F(x1, x2, …, xn) = F1(x1) F2(x2) … Fn(xn) .

2.2. Distribuční funkce a hustota pravděpodobnosti Funkce F(x) = P(ξ< x) se nazývá distribuční funkcí náhodné veličiny18. Tato funkce má následující vlastnosti, které plynou z vlastností pravděpodobnosti: 0≤F(x)≤1 x1 < x2 ⇒ F(x1) ≤ F(x2) x→x0- ⇒ F(x)→F(x0) (spojitost zleva19)

18 19

Poznamenejme, že lze distribuční funkci též definovat jako pravděpodobnost P(ξ≤x). Definuje-li se distribuční funkce vztahem F(x) = P(ξ ≤ x) , pak je spojitá zprava.

139

Pravděpodobnost a matematická statistika x→-∞ ⇒ F(x)→0 x→∞ ⇒ F(x)→1 . Pokud existuje derivace distribuční funkce, pak náhodná veličina je spojitá. Tato derivace se nazývá hustotou pravděpodobností.

2.3. Charakteristiky náhodné veličiny Náhodná veličina ξ je plně určena množinou všech možných hodnot, kterých může nabývat a distribuční funkcí. Často však není zákon rozdělení znám a my se musíme spokojit s určitými číselnými charakteristikami, které globálně charakterizují náhodnou veličinu. Jindy zase, i když známe distribuční funkci, postačí při daném zkoumání globální popis náhodné veličiny. Kvantily Kvantily jsou charakteristiky, které se vztahují přímo k distribuční funkci F(x). Uvažujme libovolné číslo α ∈ (0,1) . α - kvantilem nazveme nejmenší hodnotu xα ,

pro kterou platí F(x) = α .

Je-li α = 0,5, mluvíme o mediánu, je-li α=0,25, mluvíme o dolním kvartilu, je-li α=0,75, mluvíme o horním kvartilu. Modus Další charakteristikou je modus. Jde o hodnotu, která je nejpravděpodobnější, nebo v ní nabývá hustota pravděpodobnosti maxima. Střední hodnota Uvažujme jednorozměrnou náhodnou veličinu ξ s distribuční funkcí F(x). Střední hodnotu této náhodné veličiny označíme Eξ a určíme ji ze vztahu pomocí Stieltjesova integrálu20

Eξ =

∞

∫ x dF (x) .

−∞

Poznamenejme, že v případě spojité náhodné veličiny s hustotou f(x) lze psát

Eξ =

∞

∫x

f ( x ) dx .

−∞

kde poslední integrál je integrál v Riemanově smyslu.

20

Stieltjesův integrál je určen limitou výrazu Σi f(ξi)[ F(xi)-F(xi-1)],

pro n→∞ , kde symbol Σi značí součet pro i od 0 do n, hodnoty xi pro i=0,...,n tvoří rostoucí posloupnost takovou, že(xi -xi-1)→0 pro n→∞ a ξi ∈(xi-1,xi).

140

Základní pojmy matematické statistiky Momenty náhodné veličiny Obecný moment k-tého řádu (k je přirozené číslo) náhodné veličiny ξ , který označíme µk´(ξ) je definován vztahem

µ k´ (ξ ) =

∞

∫x

k

dF ( x ) .

−∞

Místo označení µ´1 budeme užívat Eξ. Veličina Eξ představuje střední hodnotu náhodné veličiny ξ. Kromě obecných momentů se zavádí centrální momenty. Centrální moment k-tého řádu (k je přirozené číslo) náhodné veličiny ξ , který označíme µk(ξ) je definován vztahem ∞

µ k (ξ ) = ∫ ( x − Eξ ) k dF ( x ) . −∞

Pro jednoduchost zápisu budeme pro obecné a centrální momenty psát µk' a µ k. Poznamenejme, že µ2 se nazývá rozptyl náhodné veličiny ξ a označuje se σ 2 nebo Dξ. Veličina µ3/σ3 se nazývá šikmost a veličina µ4/σ4 -3 se nazývá špičatost. Centrální momenty se počítají zpravidla pomocí obecných momentů. Proto využijeme binomické věty na výraz E(ξ - µ)k , kde pokládáme Eξ = µ . Pro k=1, 2, 3 a 4 dostaneme µ1 = 0 µ2 = µ2' - µ µ3 = µ3' - 3 µ2' µ + µ2 µ4 = µ4' - 4 µ3' µ + 6 µ2' µ2 - 3 µ4 . Druhý centrální moment náhodné veličiny se nazývá rozptyl Dξ nebo σ2. Kladná odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná odchylka. Šikmostí se nazývá výraz µ3 / σ3 a špičatostí se nazývá výraz [µ4/σ4] - 3 .

2.4. Momentová vytvořující funkce Momentová vytvořující funkce je pro náhodnou veličinu ξ s distribuční funkcí F(x) definována pomocí vztahu ∞

M ξ (t ) = E e t ξ = ∫ e t x dF ( x ) . −∞

Počítejme k tou derivaci vytvořující funkce. Mξ(k)(t) . Výpočtem zjistíme, že platí

Mξ

(k )

∞

(t ) = ∫ x k e t x dF ( x ) . −∞

141

Pravděpodobnost a matematická statistika

Vidíme, že Mξ(k)(0) je k-tým obecným momentem náhodné veličiny ξ. Pro náhodnou veličinu g(ξ) platí ∞

M g (ξ ) (t ) = E e t g (ξ ) = ∫ e t g ( x ) dF ( x ) . −∞

Speciálně pro g(ξ)= a0 +a1 ξ platí a t

Mg(ξ)(t) = e 0 Mξ(a1 t) . Pro vzájemně nezávislé náhodné veličiny ξi i=1,2,…,n s momentovými vytvořujícími funkcemi Mξi(t) uvažujeme náhodný vektor ξ = (ξ1, ξ2, …, ξn). Pro vytvořující funkci tohoto vektoru platí Mξ(t1, t2, … tn) = Mξ1(t1) Mξ2(t2) … Mξn(tn) . Speciálně pro ξ = a0 +a1 ξ1 + a2 ξ2 + … + an ξn , kde ξi i=1,2,…, n jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, platí a t

Mξ(t) = e 0 Mξ1(a1 t1) Mξ2(a2 t2) … Mξn(an tn) . Dá se dokázat, že existuje vzájemně jednoznačný vztah mezi momentovou vytvořující funkcí a rozdělením náhodné veličiny.

2.5. Vybraná rozdělení V tomto odstavci uvedeme vybraná rozdělení používaná v pojistných modelech. Nejprve se zaměříme na diskrétní náhodné veličiny. Příkladem takové veličiny je počet pojistných událostí v nějakém časovém období. Poté se zaměříme na rozdělení spojitá. Příkladem náhodných veličin se spojitým rozdělením jsou např. velikosti škod, objemy rezerv apod.

2.5.1. Rozdělení diskrétních náhodných veličin Diskrétní náhodnou veličinou rozumíme náhodnou veličinu, která nabývá isolovaných hodnot. Těchto hodnot může být konečný počet nebo nekonečný, ale (spočetný) počet. Budeme předpokládat náhodnou veličinu ν , která nabývá celočíselných nezáporných hodnot.

142

Základní pojmy matematické statistiky Binomické rozdělení Uvažujme posloupnost n nezávislých pokusů, v nichž může nastat nějaký jev A (příznivý jev, zdar) s pravděpodobností p>0. Pravděpodobnost, že náhodný jev A nastal v sérii n nezávislých pokusů právě k krát k=0,1, …, n je dána výrazem P(ν=k) = [ n! / (k! (n-k)!) ] pk (1-p)n-k . Platí Eν = n p Dν = n p (1-p) . Pólyovo rozdělení Uvažujme posloupnost nezávislých pokusů, v nichž může nastat nějaký jev A (příznivý jev, zdar) s pravděpodobností p>0, a jev opačný jevu A (nepříznivý jev, nezdar) s pravděpodobností (1-p). Předpokládejme, že je dané přirozené číslo m. Náhodnou veličinou ν je počet nepříznivých jevů před uskutečněním m tého příznivého jevu. Před m tým příznivým jevem bylo uděláno m-1+ k pokusů. Pravděpodobnost, že v těchto pokusech je náhodnou veličinou počet nepříznivých pokusů před m tým nastáním jevu A . [(m-1+k)! / (k! (m-1)!) ] pm-1 (1-p)k . Další pokus musí být příznivý. Tak dostáváme [(m-1+k)! / (k! (m-1)!) ] pm (1-p)k . Platí Eν = m (1-p) / p Dν = m (1-p) / p2 . Poissonovo rozdělení Předpokládejme, že je dán parametr λ>0. Předpokládejme že náhodná veličina ν má rozdělení P(ν=k) = [λk / k!] e-λ . Platí Eν = λ Dν = λ . Dokážeme, že Poissonovo rozdělení je limitním rozdělením binomického rozdělení. Předpokládejme, že při provádění n pokusů je pravděpodobnost příznivého jevu pn . Předpokládejme dále, že n pn = λn a že posloupnost hodnot λn konverguje k nějakému číslu λ . V tomto případě pravděpodobnosti pn konvergují k nule. Pravděpodobnost, že v posloupnosti n pokusů nastane jev A právě k krát je rovna [ n! / (k! (n-k)!) ] pnk (1-pn)n-k . 143

Pravděpodobnost a matematická statistika Úpravou tohoto vztahu dostaneme {[n (n-1) … (n-k+1)] / k! } pnk [(1-pn)n] / [(1-pn)k ] {[n (n-1) … (n-k+1)] / k! } [λn/n]k [(1-λn/n )n] / [(1-λn/n )k] {[1 (1-1/n) … (1-(k+1)/n)] / k! } [λn]k [(1-λn/n )n] / [(1-λn/n )k] . Limitujeme-li poslední výraz pro n→∞, vidíme, že dostaneme [λk / k!] e-λ , neboť za našich předpokladů platí n→∞ ⇒ (1-λn/n )n→ e-λ .

Poissonovo rozdělení s náhodným parametrem Předpokládejme, že v Poissonově rozdělení je parametr λ náhodnou veličinou s hustotou rozdělení f(λ). Rozdělení ∞

P(ν = k ) = ∫ e −λ

λk

0

k!

f (λ ) dλ

se nazývá smíšené Poissonovo rozdělení.

2.5.2. Rozdělení spojitých náhodných veličin Spojitou náhodnou veličinou rozumíme náhodnou veličinu, která nabývá hodnot z nějakého intervalu. Tento interval může být i neomezený. Spojitou veličinu budeme označovat ξ.

Normální (Gausovo) rozdělení Uvažujme náhodnou veličinu ξ, která nabývá hodnot z intervalu (-∞, ∞) a má hustotu 2

g ( x) =

1 2π σ

e

−

( x−µ ) 2σ 2

,

kde µ , σ jsou reálné parametry, takové, že µ ∈ (-∞, ∞) a σ>0 a π je Ludolfovo číslo. Střední hodnota tohoto rozdělení Eξ je rovna Eξ = µ a rozptyl Dξ je roven Dξ = σ2 .

144

Základní pojmy matematické statistiky Veličinu σ nazýváme směrodatnou odchylkou. Má-li náhodná veličina ξ normální rozdělení s parametry µ , σ , pak budeme říkat, že veličina ξ má rozdělení N(µ , σ). Distribuční funkce náhodné veličiny ξ , která má normální N(0,1), je dána integrálem

N ( x) =

x

1 2π

∫e

−

z2 2

dz ,

−∞

Hodnoty tohoto integrálu jsou tabelovány. Poznamenejme, že platí vztah N(-x) = 1 - N(x) . Pro výpočet momentů rozdělení N(0,1) využijeme vzorce pro derivaci součinu dvou funkcí u a v, z něhož vyplývá metoda integrace per partes (u v)' = (u' v) + (u v') . Zvolíme-li 2 u=xk , v=e-½x , 2 u'=k xk-1 , v' = - x e-½x ,

vidíme, že platí vztah µk(ξ)' = k µk-1' - µk+1', čili µk+1' = k µk-1' - µk' . Pro náhodnou veličinu s rozdělením N(0,1) postupnou volbou k=0,1,2,3,4,... můžeme zjistit µ0'=1,

µ1'=0,

µ2'=1,

µ3'=-1,

µ4'=4 .

Logaritmicko-normální rozdělení Uvažujme náhodnou veličinu ξ , která nabývá hodnot z intervalu (0, ∞) a má hustotu

g ( x) =

1

σ x 2π

e

−

(ln x − µ ) 2 2σ 2

kde parametry µ, σ splňují µ∈(−∞,+∞), σ>0 . Střední hodnota tohoto rozdělení Eξ je rovna Eξ = eµ + ½σ 145

2

,

Pravděpodobnost a matematická statistika a rozptyl Dξ je roven 2 2 Dξ = (Eξ) [eσ - 1] .

Rozdělení χ2 Rozdělení χ2 (chí-kvadrát) s n stupni volnosti je rozdělení součtu čtverců n náhodných veličin majících rozdělení N(0,1). Toto rozdělení má pro y > 0 hustotu rovnou výrazu [2½ n Γ(½ n)]-1 y½ n -1 e-½ y a pro y ≤ 0 je hustota rovna nule. Toto rozdělení má střední hodnotu rovnou n a rozptyl roven 2n.

Gama rozdělení Gama funkce (Eulerova funkce druhého řádu) Γ(x) je definována určitým integrálem od 0 do +∞ funkce proměnné t tvaru e-t tx-1 , kde x je obecně komplexní číslo, jehož reálná část je kladná. Platí Γ(x+1) =x Γ(x) . Je-li x přirozené číslo, pak platí Γ(n+1) = n! . Toto tvrzení vyplývá ze skutečnosti, že Γ(1) = Γ(2) = 1 a ze vztahu Γ(x+1) =x Γ(x). Rozdělení náhodné veličiny ξ nabývající hodnot z intervalu <0,∞) s hustotou [ab / (Γ(b)] xb-1 e- a x , kde a>0, b>0 se nazývá gama rozdělení a značí se Γ(a,b). Pro gama rozdělení platí Eξ = b / a Dξ = b / a2 .

Exponenciální rozdělení Položíme-li v gama rozdělení a=µ, b=1 dostaneme pro odpovídající náhodnou veličinu ξ nabývající hodnot z intervalu <0,∞) rozdělení s hustotou µ e- µ x .

146

Základní pojmy matematické statistiky Tak dostaneme hustotu exponenciálního rozdělení. Pro náhodnou veličinu ξ mající exponenciální rozdělení platí Eξ = 1 / µ Dξ = 1 / µ2 .

Beta rozdělení Funkce beta (Eulerův integrál prvního druhu) B(p,q) je definována určitým integrálem od 0 do 1 funkce xp-1 (1-x)q-1 , kde p>0, q>0. Platí B(p,q) = B(q,p) B(p,q) = [Γ(p) Γ(q)] / Γ(p+q) . Rozdělení náhodné veličiny ξ nabývající hodnot z intervalu <0,1> s hustotou xp-1 (1-x)q-1 / B(p,q) kde p>0, q>0 se nazývá beta rozdělení. Pro beta rozdělení platí Eξ = p / (p+q) Dξ = pq / [(p+q)2 (p+q+1)] . Předpokládejme náhodnou veličinu ζ , která je definována transformací ζ = a + (b-a) ξ , kde ξ je náhodná veličina definována na intervalu <0,1> mající rozdělení beta a a a má rozdělení s hustotou [(z-a)/(b-a)]p-1 [1-(z-a)/(b-a)] q-1 / [(b-a) B(p,q)] Platí Eζ = a + (b-a) Eξ = a + p/(p+q) Dζ = (b-a)2 Dξ = (b-a)2 pq / [(p+q)2 (p+q+1)] .

Rozdělení Weibullovo Hustota tohoto rozdělení je dána výrazem 147

Pravděpodobnost a matematická statistika β, α β xβ-1 e-α x kde x>0 a parametry α a β splňují α > 0 a β ≥ 0. Střední hodnota tohoto rozdělení je dána výrazem α-1/β Γ (1+1/β) a rozptyl je dán výrazem α-2/β [ Γ (1+2/β) - Γ2 (1+1/β) ] . Speciálním případem je exponenciální rozdělení. V tomto případě je β=1.

Paretovo rozdělení Rozdělení náhodné veličiny ξ nabývající hodnot z intervalu 0, b>0 se nazývá Paretovo rozdělení a značí se Par(a,b). Pro Paretovo rozdělení platí b>1 ⇒ Eξ = a b / (b-1) b>2 ⇒ Dξ = a2 b / [(b-1)2 (b-2)] .

148

Literatura

Literatura Cipra, T.: Finanční matematika v praxi, HZ 1993, str. 166 Cipra, T.: Pojistná matematika v praxi, HZ 1994, str. 274 Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou, HZ 1995, str. 320 Cipra, T.: Pojistná matematika teorie a praxe, Ekopress 1999, str. 398 Cipra, T.: Matematika cenných papírů, HZ 2000, str. 241 Červený - Řehořovský: Technický průvodce, Praha 1921, str. 316 Dolinski, M.: Algebra und Politische Arithmetik, Carl Fromme 1908, str. 340 Jílek, J.: Finanční trhy, Grada Publishing 1997, str. 528 Jílek, J.: Finanční rizika, Grada Praha 2000, str. 635 Koutský, K.: Přehled matematiky, Brno 1938, str.134 Mandl, P. - Mazurová, L.: Matematické základy neživotního pojištění, Matfyzpress vydavatelství MMF UK, Praha 1999, str. 114 Radová, J. - Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého, Grada Publishing 1997, str. 223 Revenda, Zb. a kol.: Peněžní ekonomie a bankovnictví, Management Press Praha 1997, str. 620 Sekerka, B.: Základy statistických metod, SPN, Praha 1977, str. 292 Sekerka, B.: Cenné papíry a kapitálový trh, Profess Praha 1996, str.179 Sekerka, B.: Banky a bankovní produkty, Profess Consulting, Praha 1997, str.532 Sekerka, B.: Řízení bankovních rizik, Profess Consulting, Praha 1998, str.203 Sekerka, B.: Matematické a statistické metody v controllingu, Profess Consulting, Praha 1999, str.216

149

Literatura

150