Kockázati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP ) Michaletzky György Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

Kock´azati folyamatok (jegyzet TEMPUS AC-JEP-13358-98) Michaletzky Gy¨orgy E¨otv¨os Lor´and Tudom´anyegyetem, Budapest Val´osz´ın˝ us´egelm´eleti ´es Statisztika Tansz´ek

Tartalom 1. Bevezet´ es

3

2. Kock´ azati modellek 5 2.1. Egyedi kock´azati modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ¨ 2.2. Osszetett kock´azati modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ¨ 2.3. Osszetett Poisson-eloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ¨ 2.3.1. Osszetett Poisson-kock´azatok kompoz´ıci´oja ´es felbont´asa 9 ¨ 2.4. Osszetett negat´ıv binomi´alis modell . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Kock´ azati folyamatok alapvet˝ o modelljei 13 3.1. Az ¨osszetett Poisson-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1. A Poisson-folyamat dekompoz´ıci´oja . . . . . . . . . . . 19 3.2. Sz¨ ulet´esi folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¨ 4. Osszetett k´ arnagys´ ag ´ es k´ argyakoris´ ag modellek 34 4.1. Eloszl´asok approxim´aci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ¨ 4.2. Osszetett eloszl´asok meghat´aroz´asa rekurzi´oval . . . . . . . . . 42 5. A klasszikus rizik´ ofolyamat 5.1. A cs˝odval´osz´ın˝ us´egre vonatkoz´o Cramer-f´ele integr´alegyenlet 5.2. A cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotikus viselked´ese . . . . . . . . . 5.3. A cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotikus viselked´ese kiemelked˝o egyedi k´arok eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. A Cramer-egyenlet megold´asa speci´alis eloszl´asok eset´en . . 5.5. Az R Lundberg-kitev˝o becsl´ese . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. A cs˝od s´ ulyoss´ag´anak elemz´ese . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. A cs˝od s´ ulyoss´ag´anak elemz´ese kiemelked˝o egyedi k´arok eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Marting´alok alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Ford´ıtott marting´alok alkalmaz´asa . . . . . . . . . . . . . . . 6. Kock´ azati folyamatok fel´ uj´ıt´ asi modelljei 6.1. A cs˝odval´osz´ın˝ us´egre vonatkoz´o integr´alegyenlet . . . . . 6.2. A cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotikus viselked´ese . . . . . . . 6.3. A cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotikus viselked´ese kiemelked˝o rok eset´en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

52 . 52 . 58 . . . .

63 76 81 85

. 91 . 102 . 112

116 . . . 117 . . . 123 k´a. . . 126

´ 7. Altal´ anosabb kock´ azati folyamatok 132 7.1. Cox-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2. A cs˝od val´osz´ın˝ us´ege f¨ ugg˝o n¨ovekm´eny˝ u folyamatokban . . . . 137 8. A cs˝ od val´ osz´ın˝ us´ ege v´ eges id˝ ointervallumon 9. F¨ uggel´ ek 9.1. Poisson-eloszl´as . . . . . . 9.2. Binomi´alis eloszl´as . . . . 9.3. Geometriai eloszl´as . . . . 9.4. Negat´ıv binomi´alis eloszl´as 9.5. Logaritmikus eloszl´as . . . 9.6. Exponenci´alis eloszl´as . . . 9.7. Gamma-eloszl´as . . . . . . 9.8. Pareto-eloszl´as . . . . . . . 9.9. Lognorm´alis eloszl´as . . . 9.10. Eloszl´asok transzform´altjai 9.10.1. Gener´atorf¨ uggv´eny 9.10.2. Momentumgener´al´o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f¨ uggv´eny, Laplace-transzform´alt .

2

142 . . . . . . . . . . . .

149 149 150 150 152 153 154 155 156 157 158 158 159

1.

Bevezet´ es

Jelen jegyzet az ELTE TTK matematikus szak´an m´ar ´evek ´ota foly´o biztos´ıt´asmatematikai ´or´ak anyag´anak a J´ozsef Attila Tudom´anyegyetem Bolyai Int´ezete ´altal vezetett TEMPUS project alatt a JATE, KLTE, BKE ´es ELTE k¨oz¨ott l´etrej¨ott egy¨ uttm˝ uk¨od´ese seg´ıts´eg´evel tov´abbfejlesztett v´altozata. Ez a k¨otet csak a kock´azati modellekkel, kock´azati folyamatokkal kapcsolatos r´eszt ¨oleli fel, ennek megfelel˝oen nem c´elja az, hogy az alapfogalmakt´ol elindulva vezessen be a biztos´ıt´asmatematik´aba. Anyaga azonban j´oval b˝ovebb, mint egy egyf´el´eves, heti k´et ´or´as t´argy sor´an lefedhet˝o anyagr´esz. Olyan matematikai modelleket t´argyalunk ebben a jegyzetben, melyek seg´ıts´eg´evel t¨obb´e-kev´esb´e j´ol modellezhet˝oek egy biztos´ıt´asi u ¨gylet, egy biztos´ıt´oint´ezet m˝ uk¨od´ese sor´an felmer¨ ul˝o p´enz¨ ugyi tranzakci´ok. Hangs´ ulyozni kell azonban, hogy csak t¨obb´e-kev´esb´e, hiszen az e modellekben alkalmazott feltev´esek egy r´esz´ere kifejezetten az´ert van sz¨ uks´eg, hogy a kapott folyamatok matematikailag kezelhet˝oek legyenek. Ezzel p´arhuzamosan, j´ollehet az al´abb bevezetend˝o matematikai objektumok m¨og¨ott mindig valamilyen biztos´ıt´asmatematikai fogalom, probl´ema van, t¨obbnyire nem utalunk expliciten erre a h´att´erre. Ez a nem matematikus olvas´o sz´am´ara neh´ezz´e teheti az itt t´argyalt probl´em´ak megold´asa sor´an bemutatott m´odszerek alkalmaz´as´at, s˝ot megk´erd˝ojelezheti azok fontoss´ag´at is. Azonban – mivel jegyzetet ´es nem monogr´afi´at akartunk ´ırni – mindenk´eppen kellett valamilyen kompromisszumot tal´alni. V´egezet¨ ul m´eg egy megjegyz´es. Sz´amos helyen sz¨ uks´eg¨ unk lesz k¨ ul¨onb¨oz˝o fogalmakra, t´etelekre a val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asb´ol, a sztochasztikus folyamatok elm´elet´eb˝ol, matematikai statisztik´ab´ol. Ez´ert n´eh´any helyen – megszak´ıtva a biztos´ıt´asmatematikai modellek t´argyal´as´at – k¨ozbeiktattunk olyan r´eszeket, melyek ezek elm´elet´et id´ezik fel – t¨obbnyire bizony´ıt´as n´elk¨ ul. A bevezet´est egy biztos´ıt´asi paradoxonnal z´arjuk, mely megtal´alhat´o Sz´ekely G. [36] k¨onyv´eben, ´es amely j´ol p´eld´azza, hogy a biztos´ıt´asi u ¨gyletben k¨ ul¨onb¨oz˝o szeml´elettel r´eszt vev˝o partnerek mindegyike j´ol j´arhat. Tegy¨ uk fel, hogy U t˝ok´enk b-szeres´et biztos´ıtjuk (0 < b < 1) valamely p val´osz´ın˝ us´egi esem´eny ellen. A d´ıj a t˝oke c-szerese. Vizsg´aljuk meg, hogy mi t¨ort´enik n ´ev ut´an. C´elunk persze az, hogy u ´gy v´alasszuk meg b ´es c ´ert´ek´et, hogy min´el t¨obb p´enz¨ unk maradjon az n. ´ev ut´an is. Fontos k´erd´es azonban eld¨onten¨ unk, hogy milyen ´ertelemben akarjuk ezt a v´eletlent˝ol f¨ ugg˝o mennyis´eget maxi3

maliz´alni. Term´eszetesnek t˝ unne azt gondolnunk, hogy a v´arhat´o ´ert´eket vizsg´aljuk. Ez azonban csak akkor a megfelel˝o m´er˝osz´am, ha sz´amtalan biztos´ıt´asi u ¨gyletben vesz¨ unk r´eszt, ´es ezekb˝ol szeretn´enk ´atlagosan min´el t¨obb hasznot h´ uzni. Most azonban csak egyetlen u ¨gyletr˝ol van sz´o (a gyakorlatban egyetlen u ¨gyf´el ritk´an k¨ot 4-5 biztos´ıt´asn´al t¨obbet, ´ıgy akkor sem szabad a v´arhat´o ´ert´ekek alapj´an ¨osszehasonl´ıtani a k¨ ul¨onb¨oz˝o lehet˝os´egeket), ez´ert a pillanatnyi t˝ok´enket, annak hossz´ u t´avon felvett ´ert´ek´et kell alapul venn¨ unk. Matematikailag fogalmazva, ha az X1 , X2 , . . . Xn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok adj´ak meg, hogy az egyes ´evekben bek¨ovetkezett a k´aresem´eny vagy sem, azaz f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, ´es P (Xi = 0) = 1 − p, P (Xi = 1) = p, akkor, ha nincs biztos´ıt´ asunk Uk+1 = Uk (1 − bXk ) , ahol Uk jel¨oli t˝ok´enk ´ert´ek´et a k. ´ev ut´an. Azaz Un = U

n Y

(1 − bXk ) .

1

Mivel E[ln(1 − bXk )] = p ln(1 − b), ez´ert a nagy sz´amok t¨orv´enye alapj´an aszimptotikusan 1 val´osz´ın˝ us´eggel Un ≈ U (1 − b)np . Ugyanakkor, ha van biztos´ıt´ asunk, az n. ´ev ut´an U (1 − c)n a marad´ek t˝ok´enk. Teh´at – nagy n eset´en – sz´amunkra akkor el˝ony¨os biztos´ıt´as, ha U (1 − b)np < U (1−c)n . A biztos´ıt´oint´ezet sz´am´ara – mivel nagysz´am´ u k¨otv´ennyel dolgozik – az ´atlagos nyeres´eg-vesztes´eg a m´ervad´o, ez´ert sz´am´ara el˝ony¨os a biztos´ıt´as, ha c > bp. Teh´at mindk´et f´el sz´am´ara a saj´ at szempontj´ab´ol elfogadhat´o a biztos´ıt´as, ha bp < c < 1 − (1 − b)p . Mivel a jobb oldalon ´all´o mennyis´eg nagyobb, mint bp, ez´ert megv´alaszthat´o c ´ert´eke u ´gy, hogy mindk´et egyenl˝otlens´eg teljes¨ ulj¨on. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy ebben az egyszer˝ u p´eld´aban az alkalmas b, p, c ´ert´ekek nem f¨ uggenek a t˝oke nagys´agt´ol, U -t´ol, ´es n-t˝ol sem.) M´eg egyszer hangs´ ulyozzuk, hogy csak az´ert lehet mindk´et f´el sz´am´ara el˝ony¨os a biztos´ıt´as, mert m´asf´ele krit´eriumok alapj´an d¨ontik el, hogy mi el˝ony¨os sz´amukra, mi nem. 4

2.

Kock´ azati modellek

Az u ´n. klasszikus kock´azati modellekben az egyes biztos´ıt´oint´ezetek m˝ uk¨od´ese sor´an fell´ep˝o p´enzforgalom h´arom fontos elem´et k¨ ul¨onb¨oztetik meg. A biztos´ıt´o ´altal az egyes k´arok kapcs´an kifizetett ¨osszeg, a biztos´ıtottak ´altal befizetett d´ıj ´es a biztos´ıt´oint´ezet kezdeti t˝ok´eje. Mivel ´altal´aban a j¨ov˝oben bek¨ovetkez˝o k´arok id˝opontja ´es nagys´aga el˝ore pontosan nem meghat´arozhat´o, ez´ert sztochasztikus elemeket tartalmaz´o modell seg´ıts´eg´evel tanulm´anyozzuk viselked´es´et. A biztos´ıt´oint´ezet sz´am´ara (bizonyos szempontb´ol a biztos´ıtott sz´am´ara is) gyakorta nem a k´ar t´enyleges nagys´aga, hanem a bejelentett k´ar ´ert´eke a fontos. Ezt k´arig´enynek nevezz¨ uk. Jel¨olje Z1 , Z2 , . . . egy biztos´ıt´ohoz egym´as ut´an befut´o k´arig´enyekkel kapcsolatos kifizet´esek nagys´ag´at. E jegyzetben a k´es˝obbiekben gyakorta a k´arkifizet´es nagys´aga helyett r¨oviden ´es n´emik´eppen pontatlanul k´arnagys´agot fogunk mondani. Ha azonban sz¨ uks´eg¨ unk van arra, hogy ezt a k´et fogalmat elk¨ ul¨on´ıts¨ uk, akkor Z mindig a konkr´et kifizet´es nagys´ag´at jel¨oli majd. Legyen Fj (z) a Zj eloszl´asf¨ uggv´enye, Qj pedig az eloszl´asa. Modelljeinkben t¨obbnyire feltessz¨ uk, hogy ezek egym´ast´ol f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Ezek olyan felt´etelek, amelyek a gyakorlatban csak ritk´an teljes¨ ulnek. Ez´ert megvizsg´aljuk majd, hogyan lehet ezeket a felt´eteleket nem teljes´ıt˝o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggv´enyeinek eloszl´as´at approxim´alni f¨ uggetlenek f¨ uggv´enyeivel.

2.1.

Egyedi kock´ azati modellek

Az u ´n. egyedi kock´ azati modellekben minden egyes egyed (k¨otv´eny, biztos´ıt´as) eset´en csak egyetlen k´arnagys´agot (k´ar´ert´eket) vizsg´alunk (mely lehet t¨obb k´arb´ol sz´armaz´o ¨osszegk´ar). Ha n egyed van a portf´oli´oban, akkor az S=

n X

Zi

i=1

´ırja le a teljes vesztes´eget (kifizet´est). F¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´en az ¨osszeg val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at a sz´oban forg´o eloszl´asok konvol´ uci´oj´anak nevezz¨ uk. (Jele: Q1 ∗ Q2 ∗ · · · ∗ Qn .) Azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´en konvol´ uci´o 5

hatv´anyr´ol besz´el¨ unk. (Jele: Q(∗n) .) Az ¨osszeg val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at gyakran igen bonyolult kisz´amolni. Azonban speci´alis esetben alkalmazni lehet a k´es˝obbiekben t´argyaland´o Panjer-f´ele rekurzi´ot. Tudjuk, hogy v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´en a v´arhat´o ´ert´ekek ¨osszead´odnak, ha ezenfel¨ ul m´eg a sz´or´asn´egyzet¨ uk is v´eges, akkor korrel´alatlans´ag (speci´alisan f¨ uggetlens´eg) eset´en a sz´or´asn´egyzet is addit´ıv, v´egezet¨ ul, ha a v´altoz´oink (sztochasztikusan) f¨ uggetlenek, akkor karakterisztikus f¨ uggv´enyeik, Laplace-transzform´altjaik szorz´odnak. Sz´amos esetben pozit´ıv val´osz´ın˝ us´ege van annak, hogy egy adott k¨otv´enyhez nem kapcsol´odik k´aresem´eny, vagy pedig k´aresem´eny ugyan bek¨ovetkezik, azonban a hozz´a tartoz´o kifizet´es nagys´aga nulla, azaz qj = P (Zj > 0) < 1 . Ekkor Zj eloszl´as´at fel lehet ´ırni k´et eloszl´as kever´ekek´ent, az egyik az azonosan 0 ´ert´ekre koncentr´alt eloszl´as – ennek s´ ulya 1−qj –, a m´asik a Zj felt´eteles eloszl´asa a Zj > 0 felt´etel mellett. Ha δ0 jel¨oli a 0 pontra koncentr´alt eloszl´ast ´es Rj a felt´eteles eloszl´ast, akkor Qj = (1 − qj )δ0 + qj Rj . Az 4.. fejezetben lesz jelent˝os´ege Qj fenti el˝oa´ll´ıt´as´anak. Ebben az esetben az egyes ¨osszeadand´ok v´arhat´o ´ert´eke EQj = qj ERj , sz´or´asn´egyzete pedig 2 2 + qj (1 − qj )ER2 j . = qj D R DQ j j

A momentumgener´al´o f¨ uggv´enyre az LQj (z) = (1 − qj ) + qj LRj (z) ¨osszef¨ ugg´es teljes¨ ul. Vezess¨ uk be a pj = 1 − qj jel¨ol´est. P´ elda Tegy¨ uk fel, hogy a k´arkifizet´es nagys´ag´ at megad´ o Z1 , Z2 , . . . , Zn szigor´ uan pozit´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok eloszl´asa valamilyen param´eteres eloszl´ascsal´ adhoz tartozik, amely csal´ad rendelkezik azzal a tulajdons´aggal, hogy f¨ uggetlen ¨osszegre z´art, ´es ekkor a param´eterek ¨osszead´ odnak. Adjunk P ara k¨ozel´ıt˝ o formul´at. az S = nj=1 Zj eloszl´as´ 6

Jel¨olje Zj eloszl´as´at R(θj ). Ekkor S momentumgener´al´o f¨ uggv´enye LS (z) =

n h Y

i

1 − qj + qj LR(θj ) (z) =

j=1



= 

n Y



pj  

j=1



= 

n Y

n Y

j=1



pj  1 +

j=1

!

qj 1 + LR(θj ) (z)  = pj n X qj j=1

pj

LR(θj ) (z) +

n X n X qj qk j=1 k=1

pj pk



LR(θj +θk ) (z) + . . . 

alakban ´ırhat´o, ahol LR(θ) (z) jel¨oli az R(θ) eloszl´as momentumgener´al´o f¨ uggv´eny´et. A momentumgener´al´o f¨ uggv´eny invert´al´asa ut´an kapjuk, hogy 

QS = 

n Y



pj  δ0 +

j=1

n X qj j=1 pj

R(θj ) +

n X n X qj qk j=1 k=1 pj pk



R(θj + θk ) + . . .  .

Ha a qj sz´amok ´ert´eke kicsiny, akkor elhagyva a t¨obbsz¨or¨os ¨osszegeket tartalmaz´o tagokat, kiel´eg´ıt˝o k¨ozel´ıt´est kaphatunk. A p´elda felt´etel´et kiel´eg´ıt˝o eloszl´ascsal´ad p´eld´aul a Gamma-eloszl´as, ha param´eterk´ent a szabads´agfokot tekintj¨ uk.

2.2.

¨ Osszetett kock´ azati modellek

Az ¨ osszetett kock´ azati modellekben minden egyes egyedhez t¨obb k´aresem´eny tartozhat, ezek sz´ama, N , maga is val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o (melynek ´ert´ekei nemnegat´ıv eg´esz sz´amok). Tov´abb´a feltessz¨ uk, hogy az egyes k´arokkal kapcsolatos kifizet´esek nagys´ag´anak eloszl´asa azonos. Feltessz¨ uk, hogy az ¨osszeadand´ok sz´am´at megad´o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o f¨ uggetlen a k´arkifizet´esek nagys´ag´at megad´o Zi , i = 1, 2, . . . sorozatt´ol. Ha a Zi v´altoz´ok azonos eloszl´as´ uak, v´eges v´arhat´o ´ert´ekkel, ´es N v´arhat´o ´ert´eke is v´eges, akkor az S=

N X

Zi

i=1

¨osszeg v´arhat´o ´ert´eke E(S) = E(N )E(Z) . 7

Ha ezenfel¨ ul a sz´or´asn´egyzetek is v´egesek, ´es a Zi sorozat elemei egym´ast´ol f¨ uggetlenek, akkor D2 (S) = E(N )D2 (Z) + D2 (N )E(Z)2 . S karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, Laplace-transzform´altj´at u ´gy kaphatjuk meg (a f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u esetben), ha N gener´atorf¨ uggv´eny´ebe behelyettes´ıtj¨ uk a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok k¨oz¨os karakterisztikus f¨ uggv´eny´et, ill. Laplace-transzform´alj´at. J´ollehet S eloszl´as´at t¨obbnyire igen bonyolult kisz´amolni, form´alisan fel lehet ´ırni, mint a Zi eloszl´asa konvol´ uci´ohatv´anyainak kever´ekek´ent. Azaz, ha QS jel¨oli S eloszl´as´at, QZ az ¨osszeadand´ok k¨oz¨os eloszl´as´at, akkor QS =

∞ X

(∗k)

P (N = k)QZ

,

k=0

ahol Q(∗0) = δ0 .

2.3.

¨ Osszetett Poisson-eloszl´ as

Fontos speci´alis eset, amikor N eloszl´asa Poisson-eloszl´as, melynek param´etere legyen λ, a Zi , i = 1, 2, . . . sorozat f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okb´ol ´all, melyek f¨ uggetlenek N -t˝ol is. Ekkor S eloszl´asa az u ´n. ¨osszetett Poisson-eloszl´as. Jele: Poisson(λ, Q) [ahol Q = QZ jel¨oli a Zi mennyis´egek k¨oz¨os eloszl´as´at]. ´Igy teh´at QS =

∞ X λk −λ (∗k) e Q . k=0

k!

S momentumgener´al´o f¨ uggv´enye – LS (x) = E(exS ) – fel´ırhat´o Zi megfelel˝o f¨ uggv´enye – LZ (x) = E(exZ ) – seg´ıts´eg´evel az al´abbi alakban LS (x) = eλ(LZ (x)−1) . A v´arhat´o ´ert´ek ´es sz´or´asn´egyzet ennek megfelel˝oen E(S) = λE(Z) D2 (S) = λE(Z 2 ) . Abban az esetben, ha az egyes k´arnagys´agokat le´ır´o ¨osszeadanad´ok maguk is pozit´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u v´altoz´ok, akkor az ¨osszetett Poisson-eloszl´as elemei rekurz´ıvan meghat´arozhat´oak. Ezt mutatja be az al´abbi t´etel. 8

T´ etel 2.1 Tegy¨ uk fel, hogy Z, Z1 , Z2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok, melyek ´ert´ekei pozit´ıv eg´esz sz´amok. Legyen N t˝ ol¨ uk f¨ uggetlen, λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o. Ekkor az P S= N Z eloszl´ a sa az al´ a bbi rekurzi´ o val adhat´ o meg: k=1 j P (S = k) =

k λX jP (Z = j)P (S = k − j) , k = 1, 2, . . . , k j=1

(2.1)

ahol P (S = 0) = e−λ . Bizony´ıt´ as: A Poisson-eloszl´as elemei eleget tesznek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esnek: kP (N = k) = λP (N = k − 1) . 0

Megszorozva mindk´et oldalt az LZ (z)k−1 LZ (z) mennyis´eggel ´es ¨osszegezve k szerint kapjuk, hogy ∞ X

k−1

kP (N = k)LZ (z)

0

LZ (z) = λ

k=1

∞ X

0

P (N = k − 1)LZ (z)k−1 LZ (z) .

k=1

Mivel LS (z) =

P∞

k=0

k

P (N = k)LZ (z) , ez´ert az el˝oz˝o egyenlet 0

0

LS (z) = λLZ (z)LS (z) alakban is ´ırhat´o. A momentumgener´al´o f¨ uggv´enyr˝ol visszat´erve az eloszl´asokra ´es kihaszn´alva, hogy Z ´ert´ekei pozit´ıv eg´esz sz´amok, kapjuk, hogy kP (S = k) = λ

k X

jP (Z = j)P (S = k − j) .

j=1

2 A (2.1) ¨osszef¨ ugg´es a k´es˝obb, a 4.4 t´etelben t´argyaland´o Panjer-rekurzi´o speci´alis esete. 2.3.1.

¨ Osszetett Poisson-kock´ azatok kompoz´ıci´ oja ´ es felbont´ asa

Ebben a r´eszben megmutatjuk, hogy bizonyos term´eszetes m˝ uveletek nem vezetnek ki az ¨osszetett Poisson-eloszl´asok k¨or´eb˝ol. El˝osz¨or azt vizsg´aljuk, hogy mi t¨ort´enik, ha t¨obb olyan portf´oli´ot, melyek eloszl´asa k¨ ul¨on-k¨ ul¨on ¨osszetett Poisson-eloszl´as, ¨ossze¨ont¨ unk. Ezut´an pedig egy adott ¨osszetett Poisson-eloszl´asb´ol az egyes k´arkifizet´esek nagys´aga szerint csoportos´ıtott ´ert´ekekb˝ol sz´armaz´o eloszl´ast vizsg´aljuk meg. L´atni fogjuk, hogy mindk´et esetben az eredm´eny ism´et ¨osszetett Poisson-eloszl´as lesz. 9

¨ T´ etel 2.2 (Osszetett Poisson-eloszl´ asok aggreg´ al´ asa) Vegy¨ unk f¨ uggetlen, ¨osszetett Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ okat, melyek param´eterei rendre (λj , Qj ), j = 1, . . . , n. Legyenek ezek S1 , S2 , . . . , Sn . Ekkor az S = S1 + · · · + Sn v´altoz´ o eloszl´asa Poisson(λ, Q), ahol λ=

n X

λj ,

j=1

n 1X Q= λ j Qj . λ j=1

Bizony´ıt´ as: A f¨ uggetlens´eg miatt S momentumgener´al´o f¨ uggv´enye LS (z) =

n Y

LSj (z) = exp

j=1

 n X 

 

λj (LQj (z) − 1)



j=1

=

   n   X λ j LQj (z) − 1 , = exp λ    λ j=1

bizony´ıtva a k´ıv´ant ´all´ıt´ast, hiszen

n X λj j=1

λ

LQj (z) a

1 λ

Pn

j=1

λj Qj eloszl´as mo-

mentumgener´al´o f¨ uggv´enye. 2 1 Pn Vegy¨ uk ´eszre, hogy az λ j=1 λj Qj eloszl´as nem m´as, mint a Qj eloszl´asok kever´eke. Teh´at S eloszl´asa u ´gy is interpret´alhat´o, hogy az egyes ¨osszeadand´okat az al´abbi szab´aly szerint alak´ıtjuk ki. El˝osz¨or a λλj s´ ulyoknak megfelel˝oen megv´alasztjuk, hogy melyik ”Z” sorozatb´ol v´alasztjuk a k¨ovetkez˝o elemet, majd a kapott sorozat sorrendben k¨ovetkez˝o elem´et vessz¨ uk. ¨ T´ etel 2.3 (Osszetett Poisson-eloszl´ as dekompoz´ıci´ oja) Tekints¨ unk olyan Z1 , Z2 , . . . val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ okat, melyek f¨ uggetlenek, azonos Q eloszl´as´ uak, tov´abb´ a f¨ uggetlenek az N λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u v´altoz´ ouk fel, hogy t´ol. Legyenek az A1 , A2 , . . . , Am ⊂ R halmazok diszjuntak. Tegy¨ Q(Aj ) > 0, j = 1, . . . , m. Ekkor az Nk =

N X

χ{Zj ∈Ak } ,

k = 1, 2 . . . , m

j=1

val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok f¨ uggetlen, λQ(Ak ) param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u v´altoz´ok. Tov´ abb´ a az Sk =

N X

Zj χ{Zj ∈Ak } ,

j=1

10

k = 1, 2 . . . , m

v´altoz´ ok egym´ ast´ol f¨ uggetlen, ¨osszetett Poisson-eloszl´as´ uak. Bizony´ıt´ as: Feltehetj¨ uk, hogy teljes¨ ul a Q(∪m etel, hiszen j=1 Aj ) = 1 felt´ egy´ebk´ent kieg´esz´ıthetn´enk az A1 , . . . , Am rendszert az uni´ojuk komplementer´evel. Ekkor az (N1 , . . . , Nm ) v´altoz´ok egy¨ uttes eloszl´asa ´ıgy ´ırhat´o: P (N1 = k1 , . . . , Nn = km ) = P (N1 = k1 , . . . , Nn = km | N = k)P (N = k) = =

k! λk Q(A1 )k1 · · · Q(Am )km e−λ = k1 !k2 ! . . . km ! k! m Y j=1

"

#

(λQ(Aj ))kj −λQ(Aj ) e , kj !

ahol k = k1 + k2 + · · · + km , bizony´ıtva az els˝o ´all´ıt´ast. A m´asodik ´all´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz vezess¨ uk be a Z1 v´altoz´o Z1 ∈ Aj felt´etel melletti felt´eteles eloszl´as´ara a Qj jel¨ol´est. Azaz Qj (B) = P (Z1 ∈ B | Aj ). Ekkor rendre felt´eteles val´osz´ın˝ us´egeket tekintve, az (N1 , . . . , Nm , S1 , . . . , Sm ) v´altoz´ok egy¨ uttes eloszl´asa ´ıgy ´ırhat´o: P (N1 = k1 , . . . Nm = km , S1 ∈ B1 , . . . , Sm ∈ Bm ) = λk k! = e−λ Q(A1 )k1 · · · Q(Am )km × k! k1 ! · · · km ! (∗k1 )

×Q1 =

m Y

(

m) (B1 ) · · · Q(∗k (Bm ) = m

kj −λQ(Aj ) (λQ(Aj ))

e

j=1

kj !

) (∗k ) Qj j (Bj )

.

¨ Osszegezve N1 , . . . , Nm lehets´eges ´ert´ekei szerint kapjuk, hogy P (S1 ∈ B1 , . . . , Sm ∈ Bm ) =

 m X ∞ Y j=1



kj =0

e−λQ(Aj )

kj

 

(λQ(Aj )) (∗k ) Qj j (Bj ) . kj ! (2.2)

A fenti kifejez´esben az egyes t´enyez˝ok a Qj m´ert´ekek konvoluci´ohatv´anyainak Poisson-eloszl´as szerint vett kever´ek´et ´ırj´ak le. Ez pedig ´eppen az ¨osszetett Poisson-eloszl´as egy lehets´eges jellemz´ese. 11

Mivel az egy¨ uttes eloszl´as szorzatra bomlik, teh´at teljes¨ ul a f¨ uggetlens´eg, tov´abb´a a peremeloszl´asok (λQ(Aj ), Qj ) param´eter˝ u ¨osszetett Poisson-eloszl´asok. 2 Az ´all´ıt´as szerint teh´at, ha ¨osszetett Poisson-eloszl´as ´ırja le a portf´oli´ob´ol sz´armaz´o ¨osszk´ar eloszl´as´at, akkor az egyes k´aresem´enyeket nagys´aguk szerint csoportos´ıtva ´es az egyes csoportokon bel¨ ul k¨ ul¨on tekintve az ¨osszk´ar ´ert´ek´et, ism´et ¨osszetett Poisson-eloszl´asokat kapunk. Ez a tulajdons´ag igen hasznos az olyan esetekben, amikor a k´aroknak nagys´aguk szerinti oszt´alyoz´as´ara van sz¨ uks´eg.

2.4.

¨ Osszetett negat´ıv binomi´ alis modell

Tegy¨ uk fel, hogy valamely r¨ogz´ıtett id˝ointervallumban bek¨ovetkez˝o k´aresem´enyek sz´ama adott param´eter˝ u, Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Azonban a param´eter f¨ ugghet a k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ ulm´enyekt˝ol. Ha egy¨ uttesen k´ıv´anjuk szeml´elni az ´ıgy keletkez˝o k´arsz´ameloszl´ast, melyben a k¨ ul¨onb¨oz˝o k¨or¨ ulm´enyeket elt´er˝o s´ ullyal akarjuk figyelembe venni, akkor Poisson-eloszl´asok kever´eke ad´odik. Legyen teh´at r¨ogz´ıtett θ param´eter´ert´ek mellett N eloszl´asa θ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as. Tegy¨ uk fel, hogy θ maga is val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek eloszl´asa R. Jel¨olje az R eloszl´as v´arhat´o ´ert´ek´et µR , sz´or´asn´egyzet´et σR2 . Ekkor a kever´ekeloszl´as v´arhat´o ´ert´eke µR , sz´or´asn´egyzete pedig µR + σR2 . Teh´at m´ıglen a Poisson-eloszl´as eset´en a v´arhat´o ´ert´ek ´es a sz´or´asn´egyzet megegyezik, Poisson-eloszl´asok kever´eke eset´en a v´arhat´o ´ert´ek – a trivi´alis esett˝ol eltekintve – mindig kisebb, mint a sz´or´asn´egyzet. Ha a kever˝o m´ert´ek Gamma-eloszl´as, akkor a kever´ek eloszl´asa negat´ıv binomi´alis lesz. Val´oban, a gener´atorf¨ uggv´eny Z ∞ 0

eθ(z−1)

λα λα θα−1 −λθ e dθ = = Γ(α) (λ − (z − 1))α −α  1 , = 1 − (z − 1) λ

amely a negat´ıv binomi´alis eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye. Ha a k´arnagys´agok eloszl´asa f¨ uggetlen a θ param´etert˝ol, akkor az ¨osszetett Poisson-eloszl´asok Gamma-eloszl´as szerinti kever´eke ¨osszetett negat´ıv binomi´alis eloszl´as lesz. 12

Negat´ıv binomi´alis, illetve ¨osszetett negat´ıv binomi´alis eloszl´ashoz m´as m´odon is eljuthatunk. Tegy¨ uk fel, hogy valamely biztos´ıt´asi fajta sor´an a biztos´ıt´asi esem´enyeket Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o adja meg, azonban minden biztos´ıt´asi esem´eny sor´an a k´arok sz´ama v´eletlen mennyis´eg, melyet f¨ uggetlen, logaritmikus eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ´ırnak le. Ha ezeket M1 , M2 , . . . jel¨olik, a biztos´ıt´asi esem´enyek sz´am´at pedig N , akkor a P k´arok teljes sz´ama N alva, hogy a logaritmikus j=1 Mj lesz. Ekkor, kihaszn´ eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye log (1 − z(1 − p)) , log p az ad´od´o eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye (

log (1 − z(1 − p)) G(z) = exp λ −1 log p (

=

1 − z(1 − p) p

)

!)

=

λ log p

=

= {1 − β(z − 1)}−r , ahol β = 1−p ´es r = − logλ p , amely ism´et a negat´ıv binomi´alis eloszl´as gep ner´atorf¨ uggv´enye.

3.

Kock´ azati folyamatok alapvet˝ o modelljei

Gyakorta az id˝o f¨ uggv´eny´eben vizsg´aljuk az ¨osszk´ar ´ert´ek´et, ekkor modell¨ unkben a k´arsz´amot megad´o N v´altoz´o az id˝o f¨ uggv´enye, azaz sztochasztikus folyamat. Jel¨olje ezt Nt , t ≥ 0 . Ez m´ask´eppen a k´arig´enyfolyamat. Ekkor az ¨osszk´ar is az id˝o f¨ uggv´enye, St =

Nt X

Zi .

i=1

Ez az u ´n. k´arfolyamat. A kock´azati tartal´ek le´ır´as´anak m´asik k´et fontos eleme a d´ıjbev´etelt megad´o Pt folyamat ´es a kezdeti t˝oke ´ert´eke. Azaz Ut = u + P t − St , 13

ahol teh´at u a kezdeti t˝oke ´ert´eke Pt

a d´ıjbev´etel ´ert´eke a [0,t] id˝ointervallumban St

a k´arfolyamat.

Ut m´ask´eppen az u ´n. rizik´ofolyamat. (Megjegyzend˝o, hogy a rizik´ofolyamat fenti defin´ıci´oj´aban a k¨olts´egeket nem vett¨ uk figyelembe.) Megjegyezz¨ uk, hogy m´ar eddig is, de k´es˝obb is sz´amtalanszor fogjuk haszn´alni a kock´ azat kifejez´est. A k¨ozgazdas´agi szakirodalomban sz´amos defin´ıci´oja szerepel ennek. (L´asd pl. [28].) Ebben a jegyzetben nem k´ıs´erl¨ unk meg valamilyen u ´j meghat´aroz´as´at adni ennek a hallatlanul fontos fogalomnak, a kock´ azat sz´o jelz˝ok´ent szerepel csak. A sz´o h´etk¨oznapi jelent´estartalm´at kihaszn´alva kock´azati folyamatr´ol, kock´azati tartal´ekr´ol, kock´azati modellekr˝ol besz´el¨ unk. E jegyzetben feltessz¨ uk, hogy u ´ert´eke ´alland´o, nem f¨ ugg a v´eletlent˝ol.

3.1.

Az ¨ osszetett Poisson-folyamat

Klasszikus rizik´ofolyamatr´ol besz´el¨ unk abban az esetben, ha Pt = ct , Nt

ahol c ´alland´o

λ param´eter˝ u Poisson-folyamat

Zi , i = 1, 2, . . . f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak. Poisson-folyamat eset´eben, ha a param´eter λ, az Nt − Ns (s ≤ t) n¨ovekm´enyek Poisson-eloszl´as´ uak, melynek param´etere λ(t − s), azaz P (Nt − Ns = k) =

(λ(t − s))k −λ(t−s) e , k = 0, 1, . . . k!

Ugyanakkor diszjunkt id˝ointervallumokhoz tartoz´o n¨ovekm´enyek – k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝otartamokban bek¨ovetkez˝o k´aresem´enyek sz´amai – egym´ast´ol f¨ uggetlenek. M´ask´eppen: a folyamat f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u. N0 = 0. Ekkor az St folyamat, amely teh´at a f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok Poisson-tagsz´am´ u ¨osszege, u ´n. ¨osszetett Poisson-folyamat. 14

Gyakorta homog´en Poisson-folyamatnak nevezik a fenti Nt folyamatot, hangs´ ulyozva, hogy a n¨ovekm´enyek eloszl´as´anak param´etere csak az id˝otartam hossz´at´ol f¨ ugg. Inhomog´en Poisson-folyamatr´ol besz´el¨ unk abban az esetben, ha a n¨ovekm´enyek egym´ast´ol f¨ uggetlenek, Poisson-eloszl´as´ uak, azonban a megfelel˝o param´etert egy λt monoton n¨ovekv˝o f¨ uggv´eny adja meg az al´abbi m´odon: Nt − Ns

eloszl´asa λt − λs param´eter˝ u Poisson-eloszl´as.

[K´es˝obb tal´alkozni fogunk ennek ´altal´anos´ıt´as´aval, mikor a k´aresem´enyek sz´am´at megad´o Poisson-folyamat param´etere – m´ask´eppen intenzit´asa – maga is a v´eletlen f¨ uggv´enye, azaz sztochasztikus folyamat. Az ´ıgy kapott folyamat az u ´n. Cox-folyamat.] Mivel vizsg´al´od´asaink k¨ozponti t´em´aja a rizik´ofolyamat viselked´ese lesz, ez´ert kicsit tov´abb id˝oz¨ unk az e folyamattal kapcsolatos fontos defin´ıci´okn´al, konstrukci´okn´al. A rizik´ofolyamat t pillanatbeli ´ert´eke, Nt , a [0, t] id˝ointervallumon bek¨ovetkezett k´aresem´enyek sz´am´at adja meg, ´ıgy ezen folyamat ´ert´eke, mely teh´at nemnegat´ıv eg´esz sz´am, csak ugr´asszer˝ uen, (azaz nem folytonosan) v´altozhat. Bizonyos enyhe felt´etelek mellett megmutathat´o, hogy v´eges intervallumon csak v´eges sok ugr´as k¨ovetkezhet be (ami term´eszetes elv´ar´as a k´arfolyamat eset´eben), ez´ert – u ´gymond – a folyamat trajekt´ori´ai tiszta ugr´o f¨ uggv´enyek. Az egyes ugr´asok k¨oz¨ott eltelt id˝otartamok maguk is val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, jel¨olje ˝oket ζ1 , ζ2 , . . . . Az n. ugr´as id˝opontja P legyen τn . Teh´at τn = ni=1 ζi . Homog´en Poisson-folyamat eset´en ζi eloszl´asa exponenci´alis eloszl´as, melynek param´etere megegyezik a Poisson-folyamat param´eter´evel. Teh´at P (ζi > x) = e−λx . Ennek megfelel˝oen τn eloszl´asa Gamma-eloszl´as, melynek rendje n, param´etere ugyancsak λ. Ha csak annyit tesz¨ unk fel, hogy a ζ1 , ζ2 , . . . v´altoz´ok f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak, akkor Nt , t ≥ 0 u ´n. fel´ uj´ıt´asi folyamat. Az ehhez kapcsol´od´o kock´azati folyamatok vizsg´alata a 6.. r´eszben t¨ort´enik. K¨onnyen megmutathat´o, hogy ha az Nt folyamat trajekt´ori´ai tiszta ugr´o f¨ uggv´enyek, melyekben az ugr´asok nagys´aga 1, ´es az egyes ugr´asok k¨oz¨ott eltelt id˝otartamok egym´ast´ol f¨ uggetlen, λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, N0 = 0, akkor Nt λ–param´eter˝ u Poisson-folyamat. Az al´abbi t´etel j´ol mutatja, hogy a fentin´el l´atsz´olag enyh´ebb felt´etelek is biztos´ıtj´ak m´ar azt, hogy a folyamat Poisson-folyamat legyen. 15

T´ etel 3.4 Ha az Nt folyamat sztochasztikusan folytonos, trajekt´ ori´ ai tiszta ugr´o f¨ uggv´enyek, melyben az ugr´asok nagys´aga 1 ´ert´ek˝ u, a folyamat n¨ovekm´enyei egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek, N0 = 0, akkor a folyamat Poisson-folyamat. Bizony´ıt´ as: (A folyamatot sztochasztikusan folytonosnak nevezz¨ uk, ha b´armely  > 0 eset´en P (| Ns − Nt |> ) → 0, ha s → t, minden r¨ogz´ıtett t ≥ 0 mellett.) K¨onnyen megmutathat´o, hogy – v´eges intervallumon – a sztochasztikus folytonoss´ag maga ut´an vonja a sztochasztikus egyenletesen folytonoss´agot. Azaz tekints¨ uk a folyamatot egy [0, T ] intervallumon, T < ∞. Legyen most  > 0 tetsz˝oleges sz´am. Ekkor b´armely τ > 0 eset´en l´etezik olyan pozit´ıv δ > 0 sz´am (mely persze f¨ ugghet , τ, T ´ert´ek´et˝ol), hogy b´armely s, t ∈ [0, T ], | s − t |< δ eset´en P (| Nt − Ns |> ) < τ . Azaz konkr´etan fogalmazva, ha a vizsg´aland´o v´eges hossz´ u id˝operi´odusban b´arhol tekint¨ unk is egy igen pici id˝ointervallumot, akkor nagy val´osz´ın˝ us´eggel nem t¨ort´enik k´aresem´eny abban az intervallumban. R¨ogz´ıts¨ unk most egy T < ∞ sz´amot, ´es tekints¨ uk a folyamatot a [0, T ] intervallumon. Azt kell megmutatnunk az Nt folyamatr´ol, hogy az Nt − Ns val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa Poisson-eloszl´as. Ehhez el˝osz¨or a keresett Poisson-eloszl´as param´eter´et hat´arozzuk meg. Mivel λ-param´eter˝ u Poissoneloszl´asban a 0 val´osz´ın˝ us´ege ´eppen e−λ , ez´ert az P (Nt −Ns = 0) val´osz´ın˝ us´egeket vizsg´aljuk el˝osz¨or. A folyamat sztochasztikusan egyenletesen folytonos a [0, T ] intervallumon, ez´ert l´etezik olyan δ > 0 ´ert´ek, hogy P (Nt −Ns = 0) > 0, ha | s−t |< δ. Tetsz˝oleges t > s sz´amokat v´alasztva a [0, T ] intervallumb´ol, el´eg nagy n ´ert´ek mellett (| t − s | /n) < δ, ez´ert a folyamat f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ us´eg´et haszn´alva n P (Nt − Ns = 0) =

Y

P (Nti − Nti−1 = 0) > 0 ,

i=1

ahol s = t0 < t1 < · · · < tn = t, ´es ti − ti−1 =

t−s . n

Legyen teh´at

λt = −logP (Nt = 0) . Mivel {Ns = 0} ⊂ {Nt = 0}, ha s < t, ez´ert λt t monoton n¨ov˝o f¨ uggv´enye. M´asfel˝ol {Ns = 0} ∩ {Nt − Ns = 0} = {Nt = 0}, ha s < t, ´ıgy λt − λs = −logP (Nt − Ns = 0) . 16

Az Nt folyamat sztochasztikus folytonoss´ag´ab´ol k¨ovetkezik, hogy λt folytonos f¨ uggv´enye t-nek. k s) e−(λt −λs ) . Vegy¨ uk Az kell megmutatnunk, hogy P (Nt − Ns = k) = (λt −λ k! az [s, t] intervallum egy egyre finomod´o feloszt´assorozat´at. s = tn,0 < tn,1 < · · · < tn,n = t, maxi (tn,(i+1) − tn,i ) → 0. Legyen Yn,k = Ntn,k − Ntn,(k−1) . El˝osz¨or igazoljuk, hogy n X

P (Yn,k = 1) → λt − λs ,

k=1

´es

n X

P (Yn,k > 1) → 0 .

k=1

(Ez ut´obbi l´enyeg´eben az u ´n. ritkas´agi felt´etel – kicsiny id˝ointervallumokon l´enyeg´eben csak k´et eset van, vagy nincsen ugr´aspont, vagy pontosan egy ugr´aspont van.) Vegy¨ uk ´eszre, hogy X

λt − λs = −logP ( =

X

Yn,k = 0) = −

k

X

log(1 − P (Yn,k ≥ 1)) =

k

P (Yn,k ≥ 1)[1 + O(maxk P (Yn,k ≥ 1))] .

k

´Igy teh´at

X

P (Yn,k ≥ 1) → λt − λs .

k

Ugyanakkor a {maxk Yn,k > 1} esem´enyek monoton zsugorodva az u ¨res halmazhoz tartanak, teh´at lim P (maxk Yn,k > 1) = 0. De a {maxk Yn,k > 1} esem´enyt sz´etbontva aszerint, hogy melyik kis intervallumon k¨ovetkezik be az els˝o ugr´as, kapjuk, hogy P (maxk Yn,k > 1) = ≥ =

n k−1 X Y

P (Yn,j ≤ 1)P (Yn,k > 1) ≥

k=1 j=1 n X

P (Yn,k > 1)

k=1 n X

n Y

P (Yn,j ≤ 1) =

j=1

P (Yn,k > 1)(1 − P (maxj Yn,j > 1)) .

k=1

17

Teh´at

n X

P (Yn,k > 1) → 0 .

k=1 k

s) A P (Nt − Ns = k) = (λt −λ e−(λt −λs ) ¨osszef¨ ugg´est indukci´oval fogjuk k! igazolni. Az {Nt − Ns = k} esem´enyt, teh´at amikor k ugr´as van az (s, t] intervallumon, bontsuk fel aszerint, hogy melyik r´eszintervallumon k¨ovetkezik be el˝osz¨or ugr´as, ´es az milyen nagys´ag´ u. Mivel azon val´osz´ın˝ us´egek ¨osszege is, hogy a kicsiny r´eszintervallumok valamelyik´en egyn´el t¨obb ugr´as k¨ovetkezik be, 0-hoz tart, ´ıgy el´eg arra szor´ıtkoznunk, mikor az els˝o n¨ovekm´eny ´ert´eke 1. Azaz

P (Nt − Ns = k) = = lim n

= lim n

n X

n X

P (Ntn,j−1 − Ns = 0)P (Yn,j = 1)P (Nt − Ntn,j = k − 1) =

j=1

P (Nt − Ntn,j = k − 1)[P (Ntn,j−1 − Ns = 0) − P (Ntn,j − Ns = 0)] =

k=1

=

Z t s

P (Nt − Nv = k − 1)dv e−(λv −λs ) =

(λt − λs )k −(λt −λs ) e , k!

az indukci´os feltev´est haszn´alva. 2 Hasonl´ok´eppen lehet karakteriz´alni az ¨osszetett Poisson-folyamatot is. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul mondjuk ki az al´abbi t´etelt. T´ etel 3.5 Ha az St , t ≥ 0 folyamat sztochasztikusan folytonos, f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u, az ugyanolyan hossz´ us´ ag´ u id˝ointervallumhoz tartoz´o n¨ovekm´enyek azonos eloszl´as´ uak, a folyamat trajekt´ ori´ ai tiszta ugr´o f¨ uggv´enyek, S0 = 0, akkor a folyamat ¨osszetett Poisson-folyamat. Vegy¨ uk ´eszre a fenti k´et t´etel k¨oz¨otti l´enyeges k¨ ul¨onbs´eget. A m´asodik t´etelben nem tessz¨ uk fel, hogy az ugr´asok nagys´aga 1, viszont fel kell tenn¨ unk, hogy a n¨ovekm´enyek eloszl´asa csak az id˝otartam f¨ uggv´enye. Ez tal´an nem t´ uls´agosan meglep˝o, ha belegondolunk abba, hogy a t´etel ´all´ıt´asa azt is tartalmazza, hogy az ¨osszetett Poisson-folyamat defin´ıci´oj´aban szerepl˝o ¨osszeadand´ok egym´ast´ol f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok.

18

3.1.1.

A Poisson-folyamat dekompoz´ıci´ oja

Megmutatjuk, hogy a 2.3 t´etel ´altal´anosabban, Poisson-folyamatokra is igaz. P t Tekints¨ uk az St = N t ≥ 0 ¨osszetett Poisson-folyamatot. Tetj=1 Zj , sz˝oleges A ⊂ R eset´en n´ezhetj¨ uk, hogy h´any olyan k´aresem´eny t¨ort´ent a [0, t] id˝ointervallumon, melyben a k´ar ´ert´eke az A halmazba esett. Az ´ıgy kapott NtA

=

Nt X

χ{Zi ∈A}

(3.1)

i=1

folyamat az eredeti Nt folyamat ritk´ıt´asa, hiszen bizonyos, az eredeti k´arig´enyfolyamatban megl´ev˝o id˝opontokat, ugr´aspontokat most nem vesz¨ unk figyelembe – kiritk´ıtjuk a folyamatot. Ha a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ uak, melyek az Nt k´arig´enyfolyamatt´ol is f¨ uggetlenek, ´es p = P (Zi ∈ A), akkor az Nt folyamat minden egyes ugr´as´at egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul p val´osz´ın˝ us´eggel tartjuk meg – mikor Zi ´ert´eke A-ba esik, ´es 1 − p val´osz´ın˝ us´eggel elhagyjuk. T´ etel 3.6 Ha az Nt folyamat λ param´eter˝ u homog´en Poisson-folyamat, me(p) lyet p val´osz´ın˝ us´eggel ritk´ıtunk, akkor a kapott Nt folyamat λp param´eter˝ u Poisson-folyamat lesz. Bizony´ıt´ as: Mivel az eredeti folyamatban is az ugr´asok nagys´aga mindig 1 volt, ez´ert ez a tulajdons´ag a ritk´ıt´as ut´an is megmarad. ´Igy el´eg az ugr´asok k¨oz¨ott l´ev˝o id˝otartam eloszl´as´at vizsg´alni. Jel¨olje az els˝o ugr´as id˝opontj´at ξ. Ekkor ξ ´ert´eke kor´abbi ugr´asok k¨oz¨ott eltelt id˝otartamok ¨osszege – hiszen bizonyos kor´abbi ugr´aspontokat most elhagytunk –, m´egpedig annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy pontosan k darab exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot kelljen ¨osszeadnunk, ´eppen (1 − p)(k−1) p, hiszen k − 1 kor´abbi k´aresem´enyt most nem vesz¨ unk figyelembe, viszont a k.-at m´ar igen. Teh´at P (ξ < x) =

∞ X

(1 − p)(k−1) p

k=1

= λp =

0

(k − 1)!

Z xX ∞ (λz(1 − p))k−1 −λz e dz =

Z x 0

Z x k k−1 λ z e−λz dz =

(k − 1)!

0 k=1

λpe−λpz dz .

19

Azaz ξ eloszl´asa λp param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as. Ugyan´ıgy megmutathat´o a tov´abbi k´aresem´enyek k¨oz¨ott eltelt id˝otartamokr´ol, hogy ex(p) ponenci´alis eloszl´as´ uak, ´es egym´ast´ol f¨ uggetlenek. Ez bizony´ıtja, hogy Nt Poisson-folyamat. 2 Ugyancsak megmutathat´o, hogy – Poisson-folyamat eset´eben – a ritk´ıt´as ut´an kapott folyamat ´es az elhagyott ugr´aspontokb´ol ´all´o folyamat egym´ast´ol f¨ uggetlen folyamatok. T´ etel 3.7 Legyen Nt , t ≥ 0, λ param´eter˝ u Poisson-folyamat. Tekints¨ uk (p) ennek p val´osz´ın˝ us´eg˝ u ritk´ıt´as´ aval ad´od´ o Nt , t ≥ 0 folyamatot. (p) (p) Ekkor az Nt , t ≥ 0, ´es az Nt −Nt , t ≥ 0 folyamatok egym´ ast´ ol f¨ uggetlen sztochasztikus folyamatok. Bizony´ıt´ as: A komplik´altabb sz´amol´asok elker¨ ul´ese v´egett csak azt mu(p) (p) tatjuk meg, hogy adott t ´ert´ek mellett Nt ´es Nt − Nt egym´ast´ol f¨ uggetlenek. Ugyanis (p)

P (Nt

(p)

= i, Nt − Nt

(p)

= j) = P (Nt

i+j

= i, Nt = i + j) = !

(tλ) i+j i = e−tλ p (1 − p)j = (i + j)! i (tλp)i −tλp (tλ(1 − p))j −tλ(1−p) = e e , i! j! ami egyszerre bizony´ıtja a f¨ uggetlens´eget, ´es azt is, hogy az eloszl´as Poisson. 2 Alkalmazva ezt a (3.1) egyenletben defini´alt NtA folyamatokra, azt kapjuk, hogy ezek Poisson-folyamatok, melyek diszjunkt A halmazok eset´en egym´ast´ol f¨ uggetlenek. Az A → NtA hozz´arendel´est vizsg´alva ´eszrevehetj¨ uk, hogy ha A+B A B A ´es B diszjunkt halmazok, akkor Nt = Nt + Nt . Teh´at a hozz´arendel´es addit´ıv. Ha minden egyes A halmazra tudjuk, hogy h´any olyan k´aresem´eny volt, melynek ´ert´eke az A-ba esett, akkor ezekb˝ol kiolvashatjuk, hogy milyen nagys´ag´ uak voltak a k´aresem´enyek, vissza´all´ıthatjuk az eredeti St folyamatot. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul mondjuk ki a megfelel˝o ´all´ıt´ast, mely ezt az ´eszrev´etelt fogalmazza meg matematikailag pontosan, r´amutatva arra, hogy St el˝oa´ll az A 7→ NtA v´eletlen pontfolyamat ´altal meghat´arozott v´eletlen pontm´ert´ek szerinti integr´al alakj´aban.

20

P

t T´ etel 3.8 Legyen St = N osszetett Poisson-folyamat. K´esz´ıts¨ uk el a i=1 Zi ¨ R A dz (3.1) ¨osszef¨ ugg´es alapj´an az Nt folyamatokat. Ekkor St = zNt .

Mag´at az Nt folyamatot is megadhatjuk egy, a fentihez hasonl´o konstrukci´oval. Tekints¨ uk most az id˝ohorizont – a nemnegat´ıv sz´amok halmaz´anak – egy r´eszhalmaz´at. Legyen ez B. Megsz´amolhatjuk, hogy h´any olyan ugr´aspontja van mag´anak az Nt folyamatnak, melynek id˝opontja a B halmazba esik. Teh´at most nem a Zi k´aresem´enyek nagys´aga hat´arozza meg, hogy valamely ugr´aspontot figyelembe vesz¨ unk-e vagy sem, hanem mag´anak az ugr´asnak az id˝opontja. Jel¨olje az ´ıgy kapott v´altoz´o ´ert´ek´et N (B). Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha B = (s, t], akkor N (B) = Nt − Ns . Ha Nt Poissonfolyamat volt, akkor persze az N (B) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok megint Poissoneloszl´as´ uak, diszjunkt halmazok eset´en egym´ast´ol f¨ uggetlenek. Ez tetsz˝oleges, ak´ar inhomog´ en Poisson-folyamat eset´en is igaz. (Ekkor a kapott eloszl´as R param´etere B dλt lesz.) A B → N (B) hozz´arendel´est Poisson-pontfolyamatnak nevezik. (Megjegyz´ es: A fenti gondolatmenet, jel¨ol´es sugallja, hogy a Poissonpontfolyamat defini´al´as´ahoz nem kell feltenni, hogy B ⊂ R+ , tetsz˝oleges ´ alaphalmaz r´eszhalmazai k¨oz¨ ul v´alogathatunk. Erdekess´ egk´ent megjegyezz¨ uk, hogy p´eld´aul ezzel az elj´ar´assal az St k´arfolyamat is pontfolyamatt´a transzform´alhat´o.) Mag´at az ¨osszetett Poisson-folyamatot is sz´etbonthatjuk r´eszekre a k´arig´enyek nagys´aga szerint. Tetsz˝oleges A ⊂ R eset´en n´ezhetj¨ uk, hogy melyek azok a [0, t] id˝ointervallumon bek¨ovetkezett k´aresem´enyek, melyekben a k´ar ´ert´eke az A halmazba esett. Azaz legyen StA =

Nt X

Zk χ{Zk ∈A} .

k=1

Ez most az St folyamat ritk´ıt´asa. Ez is ¨osszetett Poisson-folyamat. Megmutathat´o, hogy diszjunkt A halmazok eset´en a kapott SA (t) folyamatok egym´ast´ol f¨ uggetlenek lesznek. Ez az els˝o pillanatra tal´an meglep˝o ´all´ıt´as – hiszen ugyanazokat a Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat haszn´aljuk mindig az SA folyamatok defini´al´asakor – hihet˝obb´e v´alik, ha ´eszrevessz¨ uk, hogy diszjunkt A halmazok eset´en a k¨ ul¨onb¨oz˝o ritk´ıtott folyamatokban megmarad´o k´arnagys´agok k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o index˝ u Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okb´ol kell, hogy sz´armazzanak, melyek egym´ast´ol m´ar f¨ uggetlenek. 21

Szavakban, ha a k´arig´eny nagys´aga szerint csoportos´ıtjuk az ¨osszetett Poisson-folyamat ugr´asait, egym´ast´ol f¨ uggetlen ¨osszetett Poisson-folyamatokat kapunk.

3.2.

Sz¨ ulet´ esi folyamatok

A k´arsz´amot le´ır´o folyamatnak a Poisson-folyamatn´al ´altal´anosabb modellj´et vizsg´aljuk ebben a r´eszben. Ezen folyamatok, melyeket tov´abbra is Nt , t ≥ 0 jel¨ol majd, mag´at´ol ´ert˝od˝o alaptulajdons´agai, hogy ´ert´ekei nemnegat´ıv eg´esz sz´amok. Tegy¨ uk fel, hogy N0 = 0. Ekkor a folyamatot jellemezhetj¨ uk azzal, hogy megadjuk a fejl˝od´es´et – persze ezt most sztochasztikus ´ertelemben kell tenn¨ unk –, azaz megadhatjuk a folyamat j¨ov˝obeli viselked´es´enek felt´eteles eloszl´as´at, r¨ogz´ıtve, hogy a jelen pillanatig milyen ´ert´ekeket vett fel, vagy m´eg ´altal´anosabban, r¨ogz´ıtve, hogy a jelen pillanatig milyen inform´aci´onk gy˝ ult ¨ossze a folyamattal kapcsolatban. (Elk´epzelhet˝o, hogy k¨ozben egy m´asik folyamat ´ert´ekeit is figyelj¨ uk, mely fontos inform´aci´okat ´arul el az Nt folyamat j¨ov˝obeli alakul´as´ar´ol.) Legyen teh´at adott minden t ≥ 0 eset´en egy Ft σ–algebra – mely az addig felgy¨ ulemlett inform´aci´ot jelzi, persze Nt m´erhet˝o Ft szerint, azaz az Ft inform´aci´ok k¨oz¨ott ott van a folyamat t pillanatbeli ´ert´eke is, Fs ⊂ Ft , ha s < t, ekkor a folyamat fejl˝od´ese jellemezhet˝o az P (Nt = n | Fs ) ,

t≥s

felt´eteles eloszl´asokkal. Defin´ıci´ o 3.1 Az Nt folyamat Markov-folyamat (az Ft , t ≥ 0, σ–algebra folyamat szerint), ha b´armely n ´es t ≥ s eset´en P (Nt = n | Fs ) = P (Nt = n | Ns ) . A pm,n (s, t) = P (Nt = n | Ns = m) mennyis´egek a Markov-folyamat ´atmenetval´osz´ın˝ us´egei. A teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etele adja, hogy s < τ < t eset´en pm,n (s, t) =

X

pm,k (s, τ )pk,n (τ, t) .

k

22

Ezek az u ´n. Chapman–Kolmogorov-egyenletek. Bizonyos enyhe felt´etelek mellett az ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyek a t, s v´altoz´ok deriv´alhat´o f¨ uggv´enyei. Ekkor megkaphatjuk a Chapman–Kolmogorov-f´ele differenci´alegyenleteket – el˝ore halad´o vagy h´atr´al´o, annak megfelel˝oen, hogy t vagy s szerint vessz¨ uk a deriv´altat –, melyek lehet˝ov´e teszik, hogy az adott pillanatban val´o deriv´altakat el˝o´ırva fel´ep´ıts¨ uk az ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyeket. (Meg kell azonban jegyezn¨ unk, hogy j´ollehet az elmondottak nagyon term´eszetesnek t˝ unnek, ´ovatosan kell elj´arnunk, mert l´eteznek patologikus esetek is. El˝ofordulhat p´eld´aul az, hogy k¨ ul¨onb¨oz˝o Markov-folyamatok eset´en egybeesnek az ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyek deriv´altjai.) A k´es˝obbiekben gyakran fogjuk haszn´alni a Markov-folyamatok elm´elet´eben szok´asos terminol´ogi´at, nevezetesen a sz´oban forg´o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ´altal felvehet˝o ´ert´ekek halmaz´at, mely most N0 (a nemnegat´ıv eg´esz sz´amok halmaza), ´allapott´ernek nevezz¨ uk, ´es ha Nt ´ert´eke n, akkor azt mondjuk, hogy a folyamat az n ´allapotban van. A Markov-folyamatok speci´alis oszt´aly´at alkotj´ak az u ´n. sz¨ ulet´esi folyamatok. Defin´ıci´ o 3.2 Az Nt , t ≥ 0 folyamat sz¨ ulet´esi folyamat, ha (i) tetsz˝oleges t > 0 eset´en Nt nemnegat´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o; (ii) az Nt , t ≥ 0 folyamat Markov-folyamat; (iii) N0 = 0; (iv) a qm,n (t, s) = P (Nt+s = n + m | Nt = m) ´ atmenetval´ osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyre teljes¨ ulnek a qm,1 (t, h) = λm (t)h + o(h) , m = 0, 1, . . . ∞ X

qm,n (t, h) = o(h) , m = 0, 1, . . .

n=2

felt´etelek, ahol a λm (t) ≥ 0 f¨ uggv´enyek folytonosak t ≥ 0, m = 0, 1, . . . eset´en, tov´abb´ a a h → 0 eset´en fenn´all´o o(h) nagys´agrend t szerint v´eges intervallumon egyenletesen ´all fenn. 23

´ Erdemes megjegyezni, hogy a homog´en Poisson-folyamat eset´eben qm,n (t, s) =

(λs)n −λs e , n!

teh´at a (iv) felt´etel λm (t) = λ v´alaszt´assal teljes¨ ul. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a kor´abbi jel¨ol´est haszn´alva qm,n (t, s) = pm,m+n (t, t + s) , mivel azonban sz¨ ulet´esi folyamat eset´en Nt ´ert´eke t szerint monoton n˝o, ez´ert az Nt+s − Nt , s > 0 megv´altoz´asnak lehets´eges ´ert´ekei t ´ert´ek´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul a nemnegat´ıv eg´esz sz´amok, ´ıgy a k´epleteket kiss´e ´attekinthet˝obb´e teszi ezen u ´j mennyis´eg haszn´alata. A k¨ovetkez˝o lemma mutatja, hogy sz¨ ulet´esi folyamatok eset´en a h → 0 esetre vonatkoz´o (iv) felt´etelek ´at´ırhat´oak tetsz˝oleges t ≥ 0, s ≥ 0 eset´ere is. Lemma 3.1 Legyen Nt , t ≥ 0 sz¨ ulet´esi folyamat. Ekkor az ´atmenetval´ osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyre teljes¨ ul az al´abbi differenci´ alegyenlet-rendszer. ∂ qm,0 (t, s) = −λm (t + s)qm,0 (t, s) , (3.2) ∂s ∂ qm,n (t, s) = −λm+n (t + s)qm,n (t, s) + λm+n−1 (t + s)qm,n−1 (t, s) , ∂s n≥1. (3.3) A kezdeti felt´etelek qm,0 (t, 0) = 1 , qm,n (t, 0) = 0 , n ≥ 1 . Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk el˝osz¨or t, s, h > 0 eset´en a (3.2) egyenletet. qm,0 (t, s + h) = P (Nt+s+h − Nt = 0 | Nt = m) = = P (Nt+s+h = m | Nt+s = m)qm,0 (t, s) = = (1 − λm (t + s)h) qm,0 (t, s) + o(h) , ahol kihaszn´altuk a Markov-tulajdons´agot. Vonjuk le mindk´et oldalb´ol a qm,0 (t, s) mennyis´eget: qm,0 (t, s + h) − qm,0 (t, s) = −λm (t + s)hqm,0 (t, s) + o(h) . 24

Mivel a marad´ektag v´eges intervallumon egyenletes ´es λm folytonos, ez´ert a qm,0 (t, s) f¨ uggv´eny t, s-szerint korl´atos halmazon egyenletesen folytonos. Osszunk most h-val ´es tekints¨ uk a h → 0, h > 0 hat´ar´atmenetet. Megkapjuk a jobb oldali deriv´altakra a (3.2) egyenletet. Hasonl´ok´eppen 0 < h < s eset´en qm,0 (t, s) − qm,0 (t, s − h) = −λm (t + s − h)hqm,0 (t, s − h) + o(h) . Ism´et kihaszn´alva a marad´ektag egyenletess´eg´et, a λm ´es most a qm,0 f¨ uggv´eny m´ar igazolt folytonoss´ag´at, h-val val´o oszt´as, ´es h → 0, h > 0 hat´ar´atmenet ut´an megkapjuk, hogy a bal oldali deriv´alt is l´etezik ´es eleget tesz a (3.2) egyenletnek. Tekints¨ uk most a (3.3) egyenletet, legyen n ≥ 1. Az el˝oz˝oh¨oz hasonl´oan gondolkodva, h > 0 eset´en qm,n (t, s + h) = P (Nt+s+h − Nt = n | Nt = m) = =

n X

P (Nt+s+h = n + m | Nt+s = m + j)qm,j (t, s) =

j=0

= λm+n−1 (t + s)hqm,n−1 (t, s) + + [1 − λm+n (t + s)h] qm,n (t, s) + o(h) , kihaszn´alva az (iv) felt´eteleket ´es a Markov-tulajdons´agot. Ez´ert qm,n (t, s + h) − qm,n (t, s) = = λm+n−1 (t + s)hqm,n−1 (t, s) − λm+n (t + s)hqm,n (t, s) + o(h) . A marad´ektag egyenletess´ege ´es λm+n , λm+n−1 folytonoss´aga miatt a qm,n f¨ uggv´eny t, s szerint korl´atos halmazon egyenletesen folytonos. h-val t¨ort´en˝o oszt´as ut´an tekintve a h → 0, h > 0 hat´ar´atmenetet, a jobb oldali deriv´altakra megkapjuk a (3.3) egyenletet. A bal oldali deriv´altak vizsg´alata ugyan´ıgy t¨ort´enhet, ennek sor´an azonban ki kell haszn´alni a qm,n , qm,n−1 folytonoss´ag´at is. 2 A (3.2) ´es (3.3) egyenletek szerkezete a sz¨ ulet´esi folyamat k¨ovetkez˝o konstrukci´oj´at sugallj´ak. A folyamat, mint feltett¨ uk, a 0 ´allapotb´ol indul. Ott t¨olt valamennyi id˝ot – nem ´erkezik be k´arig´eny –, ennek hossz´at jel¨olje ζ. Ekkor ζ eloszl´asa a λ0 f¨ uggv´eny alapj´an adhat´o meg, ugyanis a q0,0 (t, h) = (1 − λ0 (t)h) + o(h) 25

egyenlet m´ask´eppen azt mondja, hogy P (ζ > t + h | ζ > t) = (1 − λ0 (t)h) + o(h) . Teh´at Ez´ert

∂ P (ζ > t) = −λ0 (t)P (ζ > t) . ∂t −

P (ζ > t) = e

Rt 0

λ0 (s) ds

.

A ζ id˝o lej´arta ut´an ´atugrik az 1 ´allapotba – be´erkezett az els˝o k´arig´eny. Az ott t¨olt¨ott id˝o eloszl´as´at – mely f¨ ugg ζ ´ert´ek´et˝ol is, teh´at hogy mikor jelentkezett az els˝o ugr´as – most a λ1 f¨ uggv´eny adja meg. Minden egyes ´allapotban elt¨olt¨ott id˝o eloszl´asa att´ol f¨ ugg csak, hogy mikor l´epett a folyamat abba az ´allapotba, ´es hogy milyen az ´allapothoz tartoz´o λ intenzit´asf¨ uggv´eny. A folyamatot stacion´arius ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg˝ u folyamatnak nevezz¨ uk, ha a pm,n (s, t)) ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´enyek az m, n ´es (t−s) f¨ uggv´enyei. Azaz a felt´eteles eloszl´asok csak a k¨ozben eltelt id˝ot˝ol f¨ uggenek, nem a konkr´et id˝opontt´ol. Ebben az esetben az intenzit´asf¨ uggv´enyek nem f¨ uggenek t ´ert´ek´et˝ol. Ilyenkor az egyes ´allapotokban elt¨olt¨ott id˝o exponenci´alis eloszl´as´ u, melynek param´etere ´eppen az adott ´allapothoz tartoz´o λ ´ert´ek. Az al´abbi heurisztikus gondolatmenet mutatja, hogy az intenzit´as´ert´ekek nem szabhat´oak meg tetsz˝olegesen. Stacion´arius ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg˝ u folyamat eset´en minden egyes ´allapotban ´atlagosan 1/λn id˝ot t¨olt a folyamat. Teh´at, P ol indulva v´arhat´oan v´eges id˝o alatt ha a ∞ n=0 1/λn < ∞, akkor a 0-b´ v´egigmegy az ¨osszes rendelkez´esre ´all´o ´allapoton. Megmutathat´o, hogy val´oban a fenti ¨osszeg divergenci´aja a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy l´etezz´ek olyan sz¨ ulet´esi folyamat, melynek intenzit´asai az adott λn sz´amok (l´asd Chung [9]). A (3.2) ´es (3.3) egyenletek szerkezet´eb˝ol j´ol l´atszik, hogy – legal´abbis elvben – egym´as ut´ani integr´al´assal megoldhat´oak, a megold´as egy´ertelm˝ u lesz. Azonban ahhoz, hogy az ´ıgy ad´od´o qm,n (t, s) f¨ uggv´enyek Markov-folyamat ´atmenetval´osz´ın˝ us´egei lehessenek, tov´abbi felt´etelre van sz¨ uks´eg. Az ugyanis k¨onnyen megmutathat´o, hogy az egyenletrendszer megold´asak´ent P etel nem ad´od´o f¨ uggv´enyek nemnegat´ıvak, azonban a ∞ n=0 qm,n (t, s) = 1 felt´ biztos, hogy teljes¨ ul. Az al´abbiakban n´eh´any speci´alis esetben megoldjuk az egyenletrendszert.

26

T´ etel 3.9 Tegy¨ uk fel, hogy az Nt , t ≥ 0 folyamat sz¨ ulet´esi folyamat, melyre a λm f¨ uggv´enyrendszer nem f¨ ugg m ´ert´ek´et˝ ol, azaz λm (t) = λ(t) . Ekkor az Nt , t ≥ 0 folyamat f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u Rlesz, melyben tetsz˝oleges t, s ≥ 0 eset´en az Nt+s − Nt n¨ovekm´eny eloszl´asa tt+s λ(u) du param´eter˝ u Poisson-eloszl´as. Bizony´ıt´ as: Mivel a sz¨ ulet´esi folyamatokra tett felt´eteleink tov´abbra is ´erv´enyben maradnak, teh´at λ(t) felt´etelez´es¨ unk szerint folytonos f¨ uggv´eny. P∞ n Tekints¨ uk a Pm (z, t, s) = n=0 qm,n (t, s)z gener´atorf¨ uggv´enyt. A (3.3) n egyenlet mindk´et oldal´at z -nel szorozva ´es ¨osszeadva, az n = 1, 2, . . . ´ert´ekekre kapjuk, hogy ∂ ∂ Pm (z, t, s) − qm,0 (t, s) = ∂s ∂s = −λ(t + s) [Pm (z, t, s) − qm,0 (t, s)] + λ(t + s)zPm (z, t, s) . Hozz´aadva a (3.2) egyenletet a ∂ Pm (z, t, s) = λ(t + s)Pm (z, t, s)(z − 1) ∂s ¨osszef¨ ugg´eshez jutunk. Mivel qm,0 (t, 0) = 1, ez´ert a (3.3) differenci´alegyenlet megold´asa s ≥ 0 eset´en pozit´ıv marad, teh´at 0 ≤ z ≤ 1 mellett Pm (z, t, s) > 0. Oszthatunk teh´at vele: ∂ ln Pm (z, t, s) = λ(t + s)(z − 1) . ∂s Figyelembe v´eve a Pm (z, t, 0) = 1 kezdeti felt´etelt, a megold´as 

Pm (z, t, s) = exp (z − 1) R

Z s 0



λ(t + u) du

(3.4)

lesz. Ez m ´ert´ek´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul az tt+s λ(u) du param´eter˝ u Poisson-eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye. ´Igy Nt+s − Nt felt´eteles eloszl´asa a felt´etelben szerepl˝o v´altoz´o konkr´et ´ert´ek´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul mindig ugyanaz, teh´at Nt+s − Nt ´es Nt sztochasztikusan f¨ uggetlenek, tov´abb´a Nt+s − Nt felt´etel n´elk¨ uli eloszl´asa is ugyanez a Poisson eloszl´as, bizony´ıtva az ´all´ıt´as mindk´et r´esz´et. 2 A k¨ovetkez˝o p´eld´aban a λm f¨ uggv´eny ´ert´eke m´ar f¨ ugg a pillanatnyi ´allapott´ol. 27

T´ etel 3.10 Tegy¨ uk fel, hogy az Nt , t ≥ 0 folyamat sz¨ ulet´esi folyamat, melyben a λm f¨ uggv´enyekre a λm (t) = λ(t)(a + bm) ,

m = 0, 1, . . . , N

el˝o´ all´ıt´ as teljes¨ ul valamely a > 0, b 6= 0 param´eterekre ´es λ(t) > f¨ uggv´enyre, ahol N ≤ ∞. Ekkor a (3.2), (3.3) egyenletek megold´as´ anak ∞ X

Pm (z, t, s) =

qm,n (t, s)z n

n=0

gener´atorf¨ uggv´eny´ere teljes¨ ul a   Pm (z, t, s) =  

−b

e



R t+s t

 a +m λ(u) du

b

  R t+s  −b λ(u) du

1−z 1−e

(3.5)

t

el˝o´ all´ıt´ as. Bizony´ıt´ as: Az el˝oz˝o t´etel bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan elj´arva a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: ∂ Pm (z, t, s) = −λ(t + s)(a + bm)Pm (z, t, s) − ∂s − λ(t + s)

∞ X

bnz n qm,n (t, s) +

n=1

+ λ(t + s)(a + bm)zPm (z, t, s) + + λ(t + s)

∞ X

b(n − 1)z n qm,n−1 (t, s) =

n=1

= −λ(t + s)(a + bm)Pm (z, t, s) − λ(t + s)bz

∂ Pm (z, t, s) + ∂z

∂ Pm (z, t, s) = ∂z " # ∂ = λ(t + s) (a + bm)(z − 1)Pm (z, t, s) + bz(z − 1) Pm (z, t, s) . ∂z + λ(t + s)(a + bm)zPm (z, t, s) + λ(t + s)bz 2

28

A karakterisztikus egyenletrendszer 0

s = 1, 0 z = −λ(t + s)bz(z − 1) , 0 p = λ(t + s)(a + bm)(z − 1)p . Megoldva az els˝o k´et egyenletb˝ol ´all´o rendszert: Z

Z 1 dz = −bλ(t + s) ds , z(z − 1)

azaz ln(z − 1) − ln z = −b

Z s 0

λ(t + u) du + konst. ,

m´ask´eppen

z −b R s λ(t+u) du e 0 = c1 , 1−z alkalmas c1 konstans mellett. A m´asodik k´et egyenletb˝ol 0

0

z p =− . bz (a + bm)p Teh´at

1 1 ln z + ln p = konst. b (a + bm)

M´ask´eppen

a

pz b +m = c2 , alkalmas c2 konstans mellett. Ez´ert a parci´alis differenci´alegyenlet ´altal´anos megold´asa   z −b R s λ(t+u) du −[ ab +m] 0 Pm (z, t, s) = z f e , 1−z alkalmas, a kezdeti ´ert´ekekt˝ol f¨ ugg˝o f f¨ uggv´eny eset´en. Figyelembe v´eve teh´at a Pm (z, t, 0) = 1 kezdeti felt´etelt, kapjuk, hogy 

f

z 1−z



a

= z b +m .

29

Ezt visszahelyettes´ıtve Rs



Pm (z, t, s) = z

−[ ab +m]



e



=  

 a +m

b z e−b 0 λ(t+u) du 1−z   Rs z 1 + 1−z e−b 0 λ(t+u) du  a +m Rs b −b λ(t+u) du 0



1 − z 1 − e−b

Rs 0

λ(t+u) du

  

=

,

bizony´ıtva a (3.5) el˝oa´ll´ıt´ast. 2 Mivel a (3.5) k´epletben szerepl˝o gener´atorf¨ uggv´ enyre r¨ogz´ ıtett t, s eset´en " # ∂ P (z, t, s) β m alkalmas α, β sz´amokkal teljes¨ ul a ∂z = felt´etel, ez´ert a Pm (z, t, s) 1 − zα megfelel˝o eloszl´as a k´es˝obb bizony´ıtand´o 4.3 t´etel alapj´an Poisson, binomi´alis vagy negat´ıv binomi´alis. b > 0 eset´en (3.5) a negat´ıv binomi´alis eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye. Azaz ekkor qm,n (t, s) =





n Rs + m + n  −b R s λ(t+u) du  ab +m  −b λ(t+u) du   1−e 0 e 0 , Γ ab + m n! n = 0, 1, . . . .

Γ

a b

A 3.10 t´etel fontos speci´alis esete az u ´n. P´olya-folyamat. Ebben a+m , λm (t) = β+t

(3.6)

ahol a pozit´ıv eg´esz sz´am, β > 0. ´ ıt´ All´ as 3.1 Tegy¨ uk fel, hogy az Nt , t ≥ 0 sz¨ ulet´esi folyamatban teljes¨ ul a (3.6) el˝o´ all´ıt´ as. Ekkor az Nt folyamat stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u, melyben !

a+n−1 P (Ns = n) = n

Bizony´ıt´ as: A P´olya-folyamat λ(t) = a 3.10 t´etel felt´eteleit. Mivel Z s 0

β β+s

!a

!n

.

1 , b = 1 v´alaszt´assal kiel´eg´ıti β+t "

1 β+t+s du = ln β+t+u β+t 30

s β+s

#

,

ez´ert !

a+m+n−1 qm,n (t, s) = n

β+t β+t+s

!a+m

β+t 1− β+t+s

!n

. (3.7)

Az m = 0, t = 0 v´alaszt´as mellett megkapjuk Ns eloszl´as´at, a q0,n (0, s) = P (Ns = n) val´osz´ın˝ us´egeket. A stacion´arius n¨ovekm´eny˝ us´eg igazol´asa van h´atra. ∞ X

P (Nt+s − Nt = n) =

P (Nt+s − Nt = n | Nt = m)P (Nt = m) =

m=0

=

∞ X m=0

!

a+m+n−1 n

β+t β+t+s

a+m−1 × m

!

!a+m

β β+t

!a

s β+t+s t β+t

!n

×

!m

=

!

a+n−1 β a sn = × n (β + s)a+n ×

∞ X m=0

!

a+m+n−1 m !

a+n−1 = n

β β+s

!a

t β+t+s s β+s

!m

β+s β+t+s

!a+n

=

!n

,

igazolva, hogy az Nt , t ≥ 0 folyamat stacion´arius n¨ovekm´eny˝ u. 2 Binomi´alis eloszl´as ad´odik a b < 0 mellett, ekkor kell, hogy r = −a/b pozit´ıv eg´esz legyen, ugyanis egy´ebk´ent λm ´ert´eke nagy m mellett negat´ıvv´a v´alna. Ebben az esetben !

r−m P (Nt − Ns = k | Ns = m) = (1 − e−bγ(s,t) )k [e−bγ(s,t) ]r−m−k . k Speci´alisan a 0-b´ol ind´ıtva a folyamatot az ´allapott´er a 0, . . . , r halmaz lesz. L´attuk teh´at, hogy bizonyos tiszta sz¨ ulet´esi folyamatokban a felt´eteles eloszl´asok negat´ıv binomi´alisak lesznek. A k¨ovetkez˝o t´etelben r´amutatunk 31

arra, hogy ugyanakkor Poisson-folyamatokb´ol is sz´armaztathat´oak ezek a folyamatok. A 2.4. r´eszben megmutattuk, hogy a Poisson-eloszl´asb´ol, Poisson-eloszl´asok kever´ekek´ent, megkaphatjuk a negat´ıv binomi´alis eloszl´ast. Alkalmazzuk most id˝ot˝ol f¨ ugg˝o folyamatokra az ottani gondolatmenetet. T´ etel 3.11 Tegy¨ uk fel, hogy az Nt , t ≥ 0 folyamat valamely θ > 0 val´ os param´eter tetsz˝oleges ´ert´eke melletti felt´eteles eloszl´asa θ param´eter˝ u homog´en Poisson-folyamat eloszl´asa szerint alakul. Ha a θ param´etert ”a” szabads´ agfok´ u, β param´eter˝ u Gamma-eloszl´as szerint v´alasztjuk, akkor az Nt , t ≥ 0 folyamat P´olya-folyamat lesz. Bizony´ıt´ as: Tetsz˝oleges t ≥ 0 eset´en P (Nt = m) =

Z ∞ (θt)m −θt β a θa−1 −βθ e e dθ =

m! Γ(a) m a t β = Γ(a + m) , m!Γ(a) (β + t)a+m 0

tov´abb´a s > 0 eset´en P (Nt+s − Nt = n, Nt = m) =

Z ∞ (θs)n −θs (θt)m −θt β a θa−1 −aθ e e e dθ =

n!

m! Γ(a) s t β Γ(a + n + m) . = n!m!Γ(a) (β + t + s)a+n+m 0

n m a

Ez´ert P (Nt+s − Nt = n | Nt = m) =

sn (β + t)a+m Γ(a + n + m) = a+n+m Γ(a + m) n! (β + t + s) !

a+n+m−1 = n

β+t β+t+s

!a+m

β+t 1− β+t+s

!n

,

amely megegyezik a (3.7) el˝o´all´ıt´assal. A folyamat Markov-tulajdons´aga a fentihez hasonl´o sz´amol´assal igazolhat´o. Az ad´odik teh´at, hogy a P´olya-folyamat el˝oa´ll Poisson-folyamatok kever´ekek´ent. 2 Poisson-folyamatok kever´ek´et kaphatjuk, ha tudjuk, hogy valamilyenfajta biztos´ıt´as eset´eben – pl. t˝ uzk´arbiztos´ıt´as – adott ´ep¨ ulet, gy´ar, u ¨zem eset´eben 32

a k´arfolyamat ¨osszetett Poisson-folyamat, melynek intenzit´asa f¨ ugg az ´ep¨ ulet valamilyen jellemz˝oit˝ol, melyet azonban nem tudunk becs¨ ulni. Ekkor egy adott ´ep¨ uletet tekintve mondhatjuk, hogy ezt v´eletlenszer˝ uen v´alasztottuk a sz´obaj¨ov˝o ´ep¨ uletek popul´aci´oj´ab´ol, teh´at a vizsg´aland´o eloszl´as ´ıgy kever´ekeloszl´as lesz. M´as m´odon is eljuthatunk a P´olya-folyamathoz. Tegy¨ uk fel p´eld´aul, hogy g´epj´arm˝ ubiztos´ıt´as sor´an homog´en Poisson-folyamat adja meg a balesetek sz´am´at, azonban az egyes balesetek sor´an t¨obb k´arig´eny jelentkezhet. Azaz ¨osszetett Poisson-folyamatot tekint¨ unk, azonban t¨obbsz¨or¨os k´arig´enyekkel. Ha itt az egyes balesetekhez tartoz´o k´arig´enyek eloszl´asa logaritmikus, akkor a [0, t] id˝ointervallumon bek¨ovetkez˝o k´arig´enyek sz´ama negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u lesz. Ezzel a k´et technik´aval – kever´es, ill. a t¨obbsz¨or¨os k´arig´enyek m´odszere – a folyamatok, ill. eloszl´asok igen b˝o oszt´aly´at el˝o lehet ´all´ıtani. Ez lehet˝os´eget ny´ ujt arra, hogy a konkr´et p´eld´ak sor´an a megfigyelt eloszl´asok k¨ ul¨onb¨oz˝o jellemz˝oit – v´arhat´o ´ert´ek, sz´or´as, ferdes´eg, lapults´ag, . . . – pontosan modellezhess¨ uk ismert, matematikailag kezelhet˝o eloszl´asok seg´ıts´eg´evel. Ennek r´eszleteibe itt most nem megy¨ unk bele, csak utalunk pl. Panjer ´es Willmot k¨onyv´ere (Panjer, Willmot [32]).

33

4.

4.1.

¨ Osszetett k´ arnagys´ ag ´ es k´ argyakoris´ ag modellek Eloszl´ asok approxim´ aci´ oja

Ebben a fejezetben azt vizsg´aljuk els˝osorban, hogy hogyan lehet a k¨ ul¨onb¨oz˝o kock´azati modellekben, p´eld´aul egyedi kock´azati modellek eset´en fell´ep˝o eloszl´asokat k¨ozel´ıteni olyan eloszl´asokkal, melyek az u ´n. rizik´ofolyamatokban, kock´azati folyamatokban keletkeznek. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy Z1 , . . . , Zn adj´ak meg az egyes k¨otv´enyekhez tarPn toz´o k´arok nagys´ag´at, az X = j=1 Zj eloszl´as´at k¨ozel´ıtj¨ uk el˝osz¨or ¨osszetett Poisson-eloszl´assal. Vegy¨ uk k¨ ul¨on a Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okban a 0 nagys´ag´ u k¨ovetel´est. Tegy¨ uk fel, hogy qj = P (Zj > 0) < 1 . Azaz, ha Qj a Zj eloszl´asa, Rj a felt´eteles eloszl´asa a Zj > 0 felt´etel mellett ´es δ0 jel¨oli a 0 pontra koncentr´alt eloszl´ast, akkor Qj = (1 − qj )δ0 + qj Rj . Tegy¨ uk fel, hogy 0 < qj < 1. A Q = Q1 ∗ Q2 ∗ · · · ∗ Qn eloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´enye φ(t) =

n Y

[1 + qj (φj (t) − 1)] ,

j=1

ahol φj (t) = E(eitZj | Zj > 0). Az 1 + x ≈ ex approxim´aci´o – mely kicsiny x ´ert´ekek eset´en (teh´at kicsiny qj s´ ulyok mellett) elfogadhat´o k¨ozel´ıt´es – φ(t) ´ert´ek´et a exp[

n X

j=1



qj (φj (t) − 1)] = exp 

n X j=1



qj  

n X

j=1



qj

Pn

l=1 ql

φj (t) − 1

f¨ uggv´ennyel k¨ozel´ıti, mely ¨osszetett Poisson-eloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´enye. Legyen teh´at n n X X qj Rj . λ= qj , R = j=1 j=1 λ 34

V´egezet¨ ul a λ, R param´eterekkel megadott ¨osszetett Poisson-eloszl´ast jel¨olje ν. Teh´at ∞ X λk −λ (∗k) ν= e R . k=0 k! A ν ≈ Q k¨ozel´ıt´es j´os´ag´at akarjuk vizsg´alni. Legyen N egy λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, az Y1 , Y2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u mennyis´egek k¨oz¨os eloszl´asa legyen R. P V´egezet¨ ul legyen S = N asa az az ¨osszetett Poissonj=1 Yj . Ekkor S eloszl´ eloszl´as, melynek param´eterei ´eppen λ, R. Hasonl´ıtsuk ¨ossze el˝osz¨or az els˝o ´es m´asodik momentumokat. Jel¨olje µj P P az E(Zj ) v´arhat´o ´ert´eket. Ekkor E(X) = nj=1 µj , E(Yj ) = λ1 nj=1 µj , ´ıgy E(S) = λE(Yj ) = E(X). Megmutatjuk, hogy D2 (X) ≤ D2 (S) . Egyfel˝ol D2 (X) = =

n X j=1 n X

D2 (Zj ) = qj E(Zj2 | Zj > 0) −

j=1

n X

qj2 E 2 (Zj | Zj > 0) ,

j=1

ugyanakkor D2 (S) = E(N )D2 (Y1 ) + D2 (N )E(Y1 )2 = =

λE(Y12 )

=

n X

qj E(Zj2 | Zj > 0) .

j=1

Visszat´erve maguknak az eloszl´asoknak az ¨osszehasonl´ıt´as´ara, k´et eloszl´as ”t´avols´ag´at” sokf´ele m´odon lehet m´erni. El´eg csak utalnunk Z. Rachev monogr´afi´aj´ara, mely val´osz´ın˝ us´egi metrik´akr´ol sz´ol (Rachev [34]). Legyen d(ν, Q) = sup | ν(A) − Q(A) | . A

´ ıt´ All´ as 4.1 d(ν, Q) = supA (ν(A) − Q(A)) .

35

(4.1)

Bizony´ıt´ as: Nyilv´anval´oan d(ν, Q) ≥ supA (ν(A) − Q(A)) . Ugyanakkor tetsz˝oleges A esem´eny eset´en ν(A) − Q(A) = −(ν(Ac ) − Q(Ac )) , mivel mindk´et m´ert´ek val´osz´ın˝ us´eg, teh´at a biztos esem´eny m´ert´eke 1. Ez´ert teh´at sup | ν(A) − Q(A) |= sup(ν(A) − Q(A)) . A

A

2 ´ ıt´ All´ as 4.2 Ha Q1 , Q2 , ν1 , ν2 val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ekek, akkor d(Q1 ∗ Q2 , ν1 ∗ ν2 ) ≤ d(Q1 , ν1 ) + d(Q2 , ν2 ) . Bizony´ıt´ as: Tetsz˝oleges A halmaz mellett Z

Q1 ∗ Q2 (A) − ν1 ∗ ν2 (A) =

[Q1 (A − x) − ν1 (A − x)]dQ2 (x) + Z

+

[Q2 (A − x) − ν2 (A − x)]dν1 (x) ≤

≤ d(Q1 , ν1 ) + d(Q2 , ν2 ) . 2 T´ etel 4.1 Legyen Q = ((1 − q1 )δ0 + q1 R1 ) ∗ · · · ∗ ((1 − qn )δ0 + qn Rn ), ν pedig (λ, R) param´eter˝ u ¨osszetett Poisson-eloszl´as, ahol λ=

n X

qj ,

R=

j=1

n 1X qj R j . λ j=1

Ekkor teljes¨ ul a d(ν, Q) ≤

n X j=1

egyenl˝ otlens´eg.

36

qj2

(4.2)

Bizony´ıt´ as: Mivel ν a qj , Rj param´eter˝ u ¨osszetett Poisson-eloszl´asok konvol´ uci´oja, ez´ert az el˝oz˝o ´all´ıt´as alapj´an el´eg az n = 1 esetre igazolni a t´etel ´all´ıt´as´at. Ekkor azonban – elhagyva q index´et – (1 − q)δ0 (A) + qR(A) − e−q

∞ k X q j=0

k!

R∗k (A) ≤

−q

≤ (1 − q)δ0 (A) + qR(A) − e (δ0 (A) + qR(A)) = = (1 − q − e−q )δ0 (A) + q(1 − e−q )R(A) ≤ q 2 . 2 Tekints¨ uk most azt az esetet, mikor az Rj eloszl´asok mind megegyeznek, teh´at R = Rj , j = 1, . . . , n. Jel¨olje B azt az eloszl´ast, melyet akkor kapunk, ha a qj s´ ulyok megtart´asa mellett az R = δ1 eloszl´ast vessz¨ uk. Ekkor teh´at a ´ Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok 0, 1 ´ert´eket vehetnek csak fel. Igy S λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u. Ha a qj s´ ulyok is egybeesnek, akkor X eloszl´asa binomi´alis, ´ıgy teh´at ekkor a klasszikus esettel ´allunk szemben – binomi´alis eloszl´as k¨ozel´ıt´ese Poisson-eloszl´assal. T´ etel 4.2 Legyen Q = [(1 − q1 )δ0 + q1 R] ∗ · · · ∗ [(1 − qn )δ0 + qn R] , B = [(1 − q1 )δ0 + q1 δ1 ] ∗ · · · ∗ [(1 − qn )δ0 + qn δ1 ] , ν (λ, R) param´eter˝ u ¨osszetett Poisson-eloszl´as, νλ pedig λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as, P ahol λ = nj=1 qj . Ekkor fenn´allnak a Pn

qj2 j=1 qj

d(ν, Q) ≤ d(νλ , B) ≤ Pj=1 n

(4.3)

egyenl˝ otlens´egek. Bizony´ıt´ as: A B m´ert´ek n darab olyan f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ¨osszeg´enek az eloszl´asa, melyek a 0, 1 ´ert´ekeket veszik fel. Jel¨olje ezeket ξk , k = 1, . . . , n. (Term´eszetesen P (ξk = 1) = 1 − P (ξk = 0) = qk .) Ez´ert B 37

a δk , k = 0, . . . , n m´ert´ekek kever´eke, azaz l´eteznek olyan bk , k = 0, . . . , n P sz´amok, melyekkel B = nk=0 bk δk . A Q m´ert´eket defini´al´o konvol´ uci´oszorzatot beszorz´as ut´an fel´ırhatjuk az R(∗k) k = 0, . . . , n m´ert´ekek kever´ekek´ent (ahol R(∗0) = δ0 ). Mivel az egy¨ utthat´ok nem f¨ uggenek az R m´ert´ekt˝ol, ez´ert ugyanazokat az egy¨ utthat´okat kapjuk, ha R helyett a δ1 m´ert´eket haszn´aln´ank, ami ´eppen a B m´ert´eket defini´aln´a. Teh´at n X

Q=

bk R(∗k) .

k=0

Legyen pk =

λk −λ e . k!

Ekkor ν=

∞ X

pk R(∗k)

´es νλ =

k=0

∞ X

pk δk .

k=0

Ha most A tetsz˝oleges halmaz, akkor Q(A) − ν(A) = ≤

n X

bk R

(∗k)

k=0 ∞ X

(A) −

∞ X

pk R(∗k) (A) ≤

k=0

(bk − pk )χ{bk >pk } = d(B, νλ ) ,

k=0

ami (4.3) els˝o egyenl˝otlens´ege. A m´asodikat bizony´ıtand´o vegy¨ unk egy tetsz˝oleges A ⊂ N0 halmazt. Ekkor B(A) − νλ (A) = = =

n X k=0 n X k=0 n X k=0

bk (χA (k) − νλ (A)) = "

bk "

bk

#

1 (νλ (A ∩ {k}) − νλ (A)νλ (k)) = pk #

1 (hA (k + 1) − hA (k)) , pk

ahol hA (k) = νλ (A ∩ {0, . . . , k − 1}) − νλ (A)νA ({0, . . . , k − 1}) ,

38

ha k ≥ 1, ´es hA (0) = 0. Mivel 1 pk+1 1 1 (hA (k + 1) − hA (k)) = hA (k + 1) − hA (k) = pk pk pk+1 pk 1 1 hA (k + 1) − k hA (k) , = λ (k + 1)pk+1 kpk kihaszn´alva a λpk = (k + 1)pk+1 egyenl˝os´eget, ez´ert bevezetve a gA (k) =

1 hA (k) kpk

jel¨ol´est kapjuk, hogy n X

B(A) − νλ (A) =

bk [λgA (k + 1) − kgA (k)] =

k=0



= E λgA ( 

n X

=

n X

ξj + 1) −

j=1

n X j=1

E qk gA (

n X



ξj ) =

j=1

ξj + 1) − ξk gA (

j=1

k=1

ξj gA (

n X

n X



ξj ) .

j=1

A k. ¨osszeadand´oban alkalmazzuk a teljes v´arhat´o ´ert´ek t´etel´et ξk ´ert´ekei szerint. ξk csak a 0 ´es 1 ´ert´ekeket veheti fel, ez´ert 

E qk gA (

n X

j=1

ξj + 1) − ξk gA (

n X







ξj ) = qk2 E gA (

j=1

X

ξj + 2) − gA (

j6=k

X

ξj + 1) .

j6=k

El´eg teh´at megbecs¨ ulni a gA (k + 2) − gA (k + 1) ´ert´ek´et. Megmutatjuk, hogy gA (k + 1) − gA (k) ≤

1 . λ

(4.4)

(Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez az egyenl˝otlens´eg csak a λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´asr´ol sz´ol´o ´all´ıt´as.) Felhaszn´alva a gA f¨ uggv´eny defin´ıci´oj´at kapjuk, hogy λ [gA (k + 1) − gA (k)] = χA (k) − νλ (A) + (k − λ)gA (k) .

39

Ugyanakkor k > λ eset´en kpk gA (k) = νλ (A ∩ {0, . . . , (k − 1)}) − νλ (A)νλ ({0, . . . , (k − 1)}) ≤ ∞ X λm k! ≤ νλ (A)νλ ({k, k + 1, . . . }) ≤ νλ (A)pk ≤ m=0 (m + k)! k . ≤ νλ (A)pk k−λ Amib˝ol (4.4) ad´odik k > λ eset´ere. k ≤ λ eset´en haszn´aljuk fel, hogy (k − λ)gA (k) ≤

λ−k νλ (A)νλ ({0, . . . , (k − 1)}) . kpk

Teljes indukci´oval igazoljuk, hogy (λ − k)νλ ({0, . . . , (k − 1)}) ≤ kpk . k = 1 eset´en (λ − 1)e−λ ≤ λe−λ . Ugyanakkor [λ − (k + 1)]νλ ({0, . . . , k}) ≤ (λ − k)νλ ({0, . . . , k}) = = (λ − k)[νλ ({0, . . . , (k − 1)}) + pk ] ≤ ≤ kpk + (λ − k)pk = (k + 1)pk+1 az indukci´os feltev´es szerint. ´Igy (4.4) teljes¨ ¨ ul k ≤ λ eset´en is. Osszegezve teh´at azt kaptuk, hogy B(A) − νλ (A) ≤

n X k=0

qk2

1 , λ

ami a bizony´ıtand´o ¨osszef¨ ugg´es volt. 2 Megjegyz´es: A 4.2 t´etel speci´alis eset´ehez jutunk, amikor a qk sz´amok egybeesnek, azaz R binomi´alis eloszl´as. Ad´odik teh´at, hogy a B(n, p) binomi´alis eloszl´as ´es az np param´eter˝ u Poisson-eloszl´as d t´avols´aga becs¨ ulhet˝o fel¨ ulr˝ol 2 a min{np , p} mennyis´eggel. Megjegyezz¨ uk, hogy az ¨oszetett Poisson-eloszl´assal val´o k¨ozel´ıt´es alapja, azaz az ex ≈ 1 + x approxim´aci´o finom´ıt´as´aval m´as, pontosabb k¨ozel´ıt´eseket kaphatunk. Ez az u ´n. Kornya-approxim´aci´o. Legyen teh´at Q = (1−q)δ0 +qR valamely eloszl´as. Tegy¨ uk fel, hogy 0 < q < 1/2. Ennek karakterisztikus 40

f¨ uggv´enye φ(t) = [1 + q(φ(t) − 1)], ahol φ(t) az R eloszl´ashoz tartoz´o karakterisztikus f¨ uggv´eny. Ekkor a log f¨ uggv´eny sorfejt´es´et haszn´alva # "∞ X (−1)(k+1) k k q (φ(t) − 1) . φ(t) = exp

k

k=1

(A q < 1/2 felt´etel biztos´ıtja a sor konvergenci´aj´at.) A v´egtelen sort v´eges r´eszlet¨osszeg´evel becs¨ ulve k¨ozel´ıthetj¨ uk a φ karakterisztikus f¨ uggv´enyt: "M # X (−1)(k+1) k k φ(t) ≈ exp q (φ(t) − 1) .

k

k=1

Az M = 1 v´alaszt´as az ¨osszetett Poisson-approxim´aci´ora vezet. Azonban meg kell jegyezn¨ unk, hogy M 6= 1 eset´en a kapott approxim´al´o f¨ uggv´eny ´altal´aban nem karakterisztikus f¨ uggv´eny. Ez´ert a neki megfelel˝o m´ert´ek nem eloszl´as, hanem el˝ojeles m´ert´ek. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ezt a fajta k¨ozel´ıt´est nem lehet haszn´alni, hiszen ha a k´erd´es csak az, hogy bizonyos funkcion´alokat sz´amoljunk ki – v´arhat´o ´ert´ek, sz´or´as, . . . –, akkor ezeket lehet k¨ozel´ıteni el˝ojeles m´ert´ekek hasonl´o integr´aljaival. Annyit azonban mindenk´eppen jelent, hogy nem tudunk olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat defini´alni, melyek eloszl´asa ´eppen az adott m´ert´ek. Az ´ıgy kapott approxim´aci´onak megfelel˝o m´ert´eket k´et l´ep´esben lehet megkapni. El˝osz¨or is a kitev˝o M X (−1)(k+1) k q (φ(t) − 1)k k=1

P

k

(k+1)

(−1) k¨onnyen invert´alhat´o, a M q k (R − δ0 )(∗k) kever´eket kapjuk. (Ez k=1 k m´ar esetleg el˝ojeles m´ert´ek.) Tov´abb´a tetsz˝oleges Q0 m´ert´ek eset´en exp(Q0 ) az exponenci´alis f¨ uggv´eny szok´asos sor´aval defini´alhat´o:

exp(Q0 ) =

∞ X 1 k=0 k!

Q0

(∗k)

.

Alkalmazva ezt Q0 hely´ebe az R − δ0 m´ert´ek konvol´ uci´ohatv´anyaib´ol k´epzett M tag´ u kever´ekre az eredeti Q m´ert´ek k¨ozel´ıt´es´et kapjuk.

41

4.2.

¨ Osszetett eloszl´ asok meghat´ aroz´ asa rekurzi´ oval

Az el˝oz˝o fejezetben ¨osszetett Poisson-eloszl´as seg´ıts´eg´evel k¨ozel´ıtett¨ uk f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszeg´enek eloszl´as´at. Most azt vizsg´aljuk meg, hogyan lehet az ´ıgy kapott eloszl´as elemeit meghat´arozni rekurz´ıv u ´ton. El˝osz¨or a diszkr´et eloszl´as eset´et vizsg´aljuk. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy alkalmas h > 0 mellett az L eloszl´as a {0, h, 2h, . . . } halmazra koncentr´al´odik, azaz a megfelel˝o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o r´acsos eloszl´as´ u. Az ¨osszetett Poisson-eloszl´as az L(∗k) konvol´ uci´ohatv´anyok kever´eke a Poisson-eloszl´asb´ol sz´armaz´o s´ ulyokkal. Egyel˝ore azonban ne tegy¨ uk fel, hogy a kever˝o eloszl´as Poisson, hanem tekints¨ unk valamilyen ´altal´anos pk , k ≥ 0, kever˝o eloszl´ast. Legyen ∞ X

ν=

pk L(∗k) .

k=0

A ν m´ert´ek is a {0, h, 2h . . . } sz´amokra koncentr´al´odik. Tekints¨ uk a megfelel˝o eloszl´asok elemeib˝ol k´epzett hatv´anysorokat. Azaz legyen f (z) = g(z) = h(z) =

∞ X k=0 ∞ X k=0 ∞ X

ν(kh)z k , L(kh)z k , pk z k .

k=0

Ekkor h(g(z)) =

∞ X

k

pk g (z) =

k=0

= p0 +

∞ X

pk

k=0 ∞ X

∞ X

L(∗k) (jh)z j ) =

j=0

ν(jh)z j = f (z) .

j=1

Mivel ezek a hatv´anysorok konvergensek a (−1, 1) intervallumon, ´ıgy ott ak´arh´anyszor deriv´alhat´oak is. Ha feltessz¨ uk, hogy p0 > 0, akkor a (0, 1) intervallumon f, h ´ert´eke pozit´ıv, teh´at k´epezhetj¨ uk a logaritmikus deriv´altat. ´ Atrendez´es ut´an kapjuk, hogy f 0 (z) = f (z)g 0 (z) 42

h0 (g(z)) . h(g(z))

(4.5)

h0 (g(z)) hatv´anysor´anak egy¨ utthat´oit, akkor az el˝oz˝o h(g(z)) egyenlet jobb ´es bal oldal´an ´all´o z hatv´anyokat ¨osszehasonl´ıtva rekurz´ıvan ki tudn´ok sz´amolni f egy¨ utthat´oit, azaz a ν eloszl´as elemeit. A 4.4 t´etel speci´alis h hatv´anysorok eset´en expliciten megadja a rekurzi´ot. Miel˝ott kimondan´ok azonban, el˝obb le´ırjuk a megfelel˝o eloszl´asok oszt´aly´at.

Ha ismern´enk g 0 (z)

0

B , B 6= 0 ´es h gener´ atorf¨ uggv´eny, akkor az ´altala T´ etel 4.3 Ha hh = 1−Az meghat´ arozott eloszl´as vagy binomi´alis, vagy (esetleg t¨ortrend˝ u) negat´ıv binomi´alis vagy Poisson-eloszl´as. Megford´ıtva, az felsorolt eloszl´asok gener´atorf¨ uggv´enyeire teljes¨ ul a fenti ¨osszef¨ ugg´es.

Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel el˝osz¨or, hogy a gener´atorf¨ uggv´enyre teljes¨ ul a fenti ¨osszef¨ ugg´es. Ekkor mivel h pozit´ıv, h0 nemnegat´ıv, B 6= 0 miatt nem azonosan nulla a (0, 1) intervallumon, ´ıgy a jobb oldal sem v´althat el˝ojelet ott, teh´at A ≤ 1. A felt´etel alapj´an teh´at (1 − Az)h0 (z) = Bh(z) ,

ha 0 < z < 1 .

Ez´ert a h hatv´anysor egy¨ utthat´oira az (n + 1)pn+1 − Anpn = Bpn ¨osszef¨ ugg´es teljes¨ ul, mely az al´abbi rekurzi´ot adja: 



pn+1 = pn A +

B−A . n+1

(4.6)

Esetsz´etv´alaszt´as m´odszer´evel adjuk meg a fenti rekurzi´ot kiel´eg´ıt˝o eloszl´asokat. Vegy¨ uk ´eszre, hogy p0 > 0, hiszen egy´ebk´ent pn = 0 teljes¨ ulne minden n-re. p0 = 1. Ekkor A, B = 0 kell teljes¨ ulj¨on, melyet kiz´artunk. 0 < p0 < 1. Ekkor p1 > 0, teh´at B > 0. Ha emellett A = 0, akkor a B param´eter˝ u Poisson-eloszl´ast kapjuk. B−A Ha A < 0, akkor az n n¨ovekedt´evel A + n+1 el˝ojelet v´alt, teh´at pn el˝ojelsorozat a 0 ´ert´eket is felveszi. v´alt´asa csak u ´gy ker¨ ulhet˝o el, ha az A + B−A n+1 Azaz B/A eg´esz sz´am kell legyen, ´ıgy ekkor a pk sorozatnak csak v´eges sok eleme nem nulla. K¨ozvetlen sz´amol´as adja, hogy ez a (−B/A)-adrend˝ u, A/(A − 1) param´eter˝ u binomi´alis eloszl´asra vezet. 43

-adrend˝ u, A param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis Ha 0 < A < 1, akkor a B A eloszl´ast kapjuk, ugyanis ekkor a (4.6) formula jobb oldal´ara u ´jra ´es u ´jra alkalmazva a rekurzi´ot a Qk k

pk = p0 (−A) k´eplet ad´odik, mely a

P∞

k=0

B−A j=1 (− A

− j)

k!

pk = 1 azonoss´ag felhaszn´al´as´aval a p0 = (1 − A)(B/A)

¨osszef¨ ugg´esre vezet, ´ıgy !

B −B A (1 − A) A (−A)k . pk = k

2 Ism´et megjegyezz¨ uk, hogy a negat´ıv binomi´alis eloszl´as beletartozik az ¨osszetett Poisson-eloszl´asok csal´adj´aba. S˝ot, m´eg ´altal´anosabban, ha M redrend˝ u p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o 0 < p < 1, a Zk , k ≥ 1 v´altoz´ok f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak, akkor a M X

Zk

eloszl´asa ¨osszetett Poisson-eloszl´as .

k=0

Mivel P (M = k) =



−r k



(1 − p)r (−p)k , k ≥ 0, ez´ert M gener´atorf¨ uggv´enye 1−p 1 − pz

!r

.

Teh´at a v´eletlen tagsz´am´ u ¨osszeg karakterisztikus f¨ uggv´enye φ(t) =

1−p 1 − pψ(t)

!r

,

ahol ψ(t) a Zk mennyis´egek k¨oz¨os karakterisztikus f¨ uggv´enye. Ekkor !#

"

log(1 − pψ(t)) −1 φ(t) = exp −rlog(1 − p) log(1 − p) 44

.

Ez formailag az ¨osszetett Poisson-eloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´enye. Ehhez log(1−pψ(t)) azonban meg kell mutatnunk, hogy log(1−p) is karakterisztikus f¨ uggv´eny. P

k

p k Azonban a log(1 − pz) = − ∞ es felhaszn´al´as´aval, mely konk=1 k z sorfejt´ vergens a (0, 1) intervallumon, ad´odik, hogy ∞ X log(1 − pψ(t)) 1 pk = ψ(t)k . log(1 − p) −log(1 − p) k=1 k

Ez v´eletlen tagsz´am´ u ¨osszeg karakterisztikus f¨ uggv´enye, melyben az ¨osszeadand´ok ´eppen a Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, a tagsz´amot meghat´aroz´o val´opk sz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at a −klog(1−p) , k ≥ 1 adja, amely a logaritmikus eloszl´as. T´ etel 4.4 (Panjer-rekurzi´ o). Tegy¨ uk fel, hogy az L eloszl´as a {0, h, 2h, . . . } sz´amokra koncenrt´ al´ odik. Legyen ν=

∞ X

pk L(∗k) ,

k=0

P

k ahol a pk , k ≥ 0 sz´ amok ´altal defini´alt eloszl´as h(z) = ∞ atork=0 pk z gener´ h0 B f¨ uggv´eny´ere teljes¨ ul a = , B 6= 0 ¨osszef¨ ugg´es. Ekkor a ν eloszl´ as h 1 − Az elemeinek meghat´ aroz´ as´ ara a n X 1 ν(nh) = ν((n − j)h)L(jh)(jB + A(n − j)) (4.7) n(1 − AL(0)) j=1

ν(0) = h(L(0))

(4.8)

rekurz´ı´ o alkalmazhat´o. Bizony´ıt´ as: A 4.3 t´etel adja, hogy A < 1, teh´at a (4.5) k´eplet alapj´an fenn´all az (1 − Ag(z))f 0 (z) = Bg 0 (z)f (z) egyenlet. A bal oldalon a z n−1 egy¨ utthat´oja (1 − AL(0))nν(nh) −

n−1 X

AL(jh)(n − j)ν((n − j)h) ,

j=1

45

a jobb oldalon pedig

n X

BjL(jh)ν((n − j)h) .

j=1

´ Ezek teh´at egyenl˝oek. Atrendez´ es ut´an – kihaszn´alva, hogy AL(0) < 1 – a ν(nh) =

n X 1 ν((n − j)h)L(jh)(jB + (n − j)A) n(1 − AL(0)) j=1

bizony´ıtand´o ¨osszef¨ ugg´est kapjuk. 2 Speci´alisan, az ¨osszetett Poisson-eloszl´as eset´eben (A = 0) a rekurzi´o igen egyszer˝ u, n BX ν(nh) = jL(jh)ν((n − j)h) . n j=1 Folytonos eloszl´asok eset´eben a Panjer-f´ele rekurzi´o alkalmaz´as´anak lehets´eges v´altozata, ha a folytonos eloszl´ast el˝osz¨or diszkretiz´aljuk, ´es a folytonos eloszl´as konvol´ uci´ohatv´anyainak kever´ek´et k¨ozel´ıtj¨ uk a diszkretiz´alt v´altozat´ab´ol ad´od´o kever´ek eloszl´assal. Jel¨olje megint pk , k ≥ 0 a kever˝o eloszl´ast. Tegy¨ uk fel, hogy L most tetsz˝oleges eloszl´asf¨ uggv´eny. V´alasszunk valamilyen h > 0 sz´amot, ´es diszkretiz´aljuk eszerint az adott eloszl´asunkat. ¯ = L((k + 1)h) , L(t) ´es ν¯(t) = ν(t) =

ha kh < t ≤ (k + 1)h , ∞ X

k=0 ∞ X

¯ (∗k) (t) , pk L pk L(∗k) (t) .

k=0

(Most ν ´es L az eloszl´asf¨ uggv´enyeket jel¨oli.) ´ ıt´ All´ as 4.3 Tetsz˝ oleges t eset´en teljes¨ ulnek az al´abbi egyenl˝ otlens´egek: 0 ≤ ν¯(t) − ν(t) ≤ CL (h)

∞ X

kpk ,

k=0

ahol CL (h) jel¨oli az L eloszl´as koncentr´ aci´ oj´ at, azaz CL (h) = sup(L(t + h) − L(t)) . t

46

Bizony´ıt´ as: Nyilv´anval´oan ¯ − L(t) ≤ CL (h) . 0 ≤ L(t) A konvolv´alt eloszl´asok t´avols´ag´at az al´abbi m´odon becs¨ ulhetj¨ uk. Az ¯ (∗(k+1)) (t) − L(∗(k+1)) (t) = L

Z ∞ −∞

+

¯ (∗k) (t − s) − L(∗k) (t − s)]dL(s) ¯ [L + Z ∞ −∞

¯ − s) − L(t − s)]dL(∗k) (s) [L(t

´atalak´ıt´asb´ol r¨ogt¨on ad´odik indukci´oval, hogy ¯ (∗(k+1)) (t) − L(∗(k+1)) (t) ≤ (k + 1)CL (h) . 0≤L Behelyettes´ıtve ezt a ν, ill. ν¯ eloszl´asf¨ uggv´enyeket defini´al´o kever´esbe, azonnal kapjuk a bizony´ıtand´o egyenl˝otlens´egeket. 2 Azonban a Panjer-f´ele rekurzi´o k¨ozvetlen¨ ul is ´atfogalmazhat´o folytonos eloszl´asokra, ott persze az ¨osszegz´es helyett integr´al´ast kell alkalmazni. Ez teh´at majd integr´alegyenletet jelent a kevert eloszl´asra, melynek megold´as´at szukcessz´ıv approxim´aci´oval lehet k¨ozel´ıteni. T´ etel 4.5 Tegy¨ uk fel, hogy az R eloszl´asf¨ uggv´eny eset´en R(0) = 0. A pk kever˝o eloszl´asra teljes¨ ulj¨ on a 4.3 t´etel felt´etele, azaz tegy¨ uk fel, hogy fenn´all speci´ alisan a " # b pk pk+1 = a + k+1 rekurzi´ o, ahol most a + b > 0. Ekkor a ν = a 

Z

ν(t) = p0 χ{−∞,0} (t) +

u+v
P∞

k=0

pk R(∗k) mennyis´egre fenn´all 

v a+b dR(v)dν(u) u+v

(4.9)

egyenl˝ os´eg. Bizony´ıt´ as: El˝osz¨or sz´amoljuk ki az Ez nem m´as, mint

R

v (∗k) (u) u+v
Z1 χ Pk+1 E Z1 + · · · + Zk+1 { j=1 Zj
!

,

integr´alt.

ahol a Z1 , . . . Zk+1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk R. Mivel ekkor Zi > 0, ´ıgy a fenti v´arhat´o ´ert´ek l´etezik. Szimmetriamegfontol´asok miatt ez meg kell, hogy egyezz´ek a Zl E χ Pk+1 Z1 + · · · + Zk+1 { j=1 Zj
!

v´arhat´o ´ert´ekkel b´armely sz´oban forg´o l ´ert´ekre, de ezek ¨osszege 

E ´Igy teh´at

Z u+v


= R(∗(k+1)) (t).

χ{Pk+1 Zj
v 1 dR(v)dR(∗k) (u) = R(∗(k+1)) (t) . u+v k+1

Ez´ert Z





v a+b dR(v)dν(u) = u+v ! u+v
=

pk R(∗k) (t) ,

k=1

amib˝ol a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as r¨ogt¨on k¨ovetkezik. 2 Tov´abb alak´ıthatjuk az egyenlet¨ unket felt´etelezve, hogy l´etezik az R eloszl´asf¨ uggv´eny s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. T´ etel 4.6 Tegy¨ uk fel, hogy az R abszol´ ut folytonos Reloszl´asf¨ uggv´eny eset´en R(0) = 0. Jel¨olje r a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt. R(t) = 0t r(s)ds. A pk kever˝ o eloszl´as eleget tesz a " # b pk+1 = a + pk k+1 P∞

rekurzi´ onak, ahol a + b > 0. Ekkor a ν˜ = abszol´ ut folytonos, melynek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f˜(t) =

∞ X

k=1

pk rk (t) ,

k=1

48

pk R(∗k) eloszl´asf¨ uggv´eny is

ahol rk jel¨oli R(∗k) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et. Tov´ abb´ a f˜ kiel´eg´ıti az al´abbi Volterrat´ıpus´ u integr´ alegyenletet: 1Z t ˜ f (t) = p1 r(t) + (at + bs)r(s)f˜(t − s)ds . (4.10) t 0 Ezen egyenlet megold´ asa egy´ertelm˝ u az integr´ alhat´ o f¨ uggv´enyek k¨or´eben, ha r korl´atos s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, ill. a n´egyzetesen integr´ alhat´ o f¨ uggv´enyek k¨or´eben, ha r n´egyzetesen integr´ alhat´o. Hangs´ ulyozzuk, hogy a fenti t´etelben f˜ defin´ici´oj´aban a ¨osszegz´es 1-t˝ol indul. Ez nem meglep˝o, hiszen k = 0 eset´en R 0-dik konvol´ uci´ohatv´any´at kellene tekinteni, ami defin´ıci´o szerint a δ0 m´ert´ek, ´es ez pozit´ıv s´ ulyt tenne a nulla pontba, hiszen p0 pozit´ıv. Teh´at a kor´abbi t´etelben szerepl˝o ν eloszl´asf¨ uggv´enynek van diszkr´et komponense, a 0-ban p0 s´ uly. ´Igy a fenti t´etel ν abszol´ ut folytonos komponens´enek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´er˝ol sz´ol. ˜ Bizony´ıt´ as: Az f s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny l´etez´ese ´es alakja mag´at´ol ´ert˝od˝o, hiszen a konvol´ uci´o csak sim´ıt, ´es a kever´es sor´an a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyeket is keverni kell. Tekints¨ uk teh´at a (4.10) egyenletet. A jobb oldal´an ´all´o integr´alt ´ırjuk ´at az el˝oz˝o t´etel bizony´ıt´as´ahoz hasonl´oan m´as alakba, kihaszn´alva a pk val´osz´ın˝ us´egekre vonatkoz´o rekurzi´ot. Az el˝oz˝o t´etel bizony´ıt´asa sor´an bevezetett Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok seg´ıts´eg´evel ´ırhatjuk, hogy Z t 0





sr(s)rk (t − s)ds = E

Z1 χ{Pk+1 Zj
.

Ism´et szimmetriamegfontol´asok alapj´an kapjuk, hogy ennek ´ert´eke ´eppen P 1 P ( Zj < t). Teh´at k+1 "

#

1Z t b pk (at + bs)r(s)rk (t − s)ds = pk a + rk+1 (t) = t 0 k+1 = pk+1 rk+1 (t) . Behelyettes´ıtve (4.10) jobb oldal´aba azonnal kapjuk, hogy f˜ kiel´eg´ıti az egyenletet. Term´eszetesen f˜ integr´alhat´o – hiszen s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny – b´armely, az r R 2 f¨ uggv´enyre tett felt´etel n´elk¨ ul. Ha r n´egyzetesen integr´alhat´o, r ≤ M , akkor a Cauchy–Bunjakovszkij-egyenl˝otlens´eg alkalmaz´as´aval kapjuk, hogy rk , k ≥ 2 eset´en m´ar korl´atos, rk (t) ≤ M . Ez´ert f˜(t) ≤ p1 r(t) + M . ´Igy f˜(t)2 ≤ f˜(t)(p1 r(t) + M ) ≤ p21 r(t)2 + p1 M r(t) + M f˜(t) , 49

teh´at f n´egyzetesen integr´alhat´o. A megold´as egy´ertelm˝ us´ege ugyan j´ol ismert a Volterra-t´ıpus´ u integr´alegyenletek elm´elet´eb˝ol, azonban a teljess´eg kedv´e´ert r¨oviden felid´ezz¨ uk. Vezess¨ uk be az al´abbi oper´atort: Kg(t) =

1Z t (at + bs)r(s)g(t − s)ds . t 0

Ekkor, mint l´attuk, pk Krk (t) = pk+1 rk+1 (t) . Ez´ert iter´aci´oval ad´odik, hogy f˜(t) − K n f˜(t) =

n X

pk rk (t) .

(4.11)

k=1

El´eg teh´at igazolnunk, hogy K n f˜ → 0, ha n → ∞. Ehhez megbecs¨ ulj¨ uk a n K oper´atort. R Ha r korl´atos, ´es g integr´alhat´o, (r(t) ≤ M , | g |≤ C), akkor | Kg(t) |≤

Z t 0

s | a + b | M | g(t − s) | ≤ t ≤ (| a | + | b |)M C .

Azaz Kg m´ar korl´atos. Rekurz´ıven folytatva – a K oper´atort defini´al´o integr´alban az r ´es K n−1 g f¨ uggv´enyeket az ´eppen aktu´alis fels˝o becsl´es¨ ukkel helyettes´ıtve –, a | K n g(t) |≤ CM n (| a | + | b |)n

t(n−1) (n − 1)!

becsl´eshez jutunk, mely null´ahoz tart minden t ≥ 0 helyen. Teh´at a megold´as egy´ertelm˝ u Raz integr´alhat´o f¨ uggv´ enyek k¨or´eben. Ha r ´es g n´egyzetesen integR r´alhat´oak ( 0∞ r2 (t)dt ≤ M , 0∞ g 2 (t)dt ≤ C), akkor Z t s | a + b |2 r2 (s)ds g 2 (t − s)ds ≤ t 0 0 2 2 2 ≤ (| a | + | b |) M C .

| Kg(t) |2 ≤

Z t

Azaz Kg m´ar korl´atos. Ugyancsak rekurz´ıven folytatva a " n

n

| K g(t) |≤ CM (| a | + | b |) 50

n

t(n−1) (n − 1)!

#1/2

becsl´est kapjuk, mely null´ahoz tart minden t ≥ 0 helyen. Teh´at a megold´as egy´ertelm˝ u a n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek ter´eben is, felt´eve, hogy l´etezik n´egyzetesen integr´alhat´o megold´as, melyet – mint l´attuk – r n´egyzetesen integr´alhat´os´aga biztos´ıt. Ugyanez a gondolatmenet lehet˝ov´e teszi, hogy az f˜ megold´ast – mindk´et felt´etel mellett – approxim´aci´oval el˝o´all´ıtsuk. Nevezetesen az f1 (t) = p1 r(t) ,

fn (t) = p1 r(t) + Kfn (t)

rekurzi´oval defini´alt f¨ uggv´enysorozat eset´en k¨onnyen l´athat´o, hogy f˜(t) − fn (t) = K n f˜(t) , mely teh´at pontonk´ent exponenci´alisn´al gyorsabb sebess´eggel tart null´ahoz. 2

51

5.

A klasszikus rizik´ ofolyamat

Az egyik alapvet˝o k´erd´es, melyet kock´azati folyamatokkal kapcsolatban vizsg´alni fogunk az, hogy mi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy valamely t id˝opillanatban az ¨osszt˝oke nagys´ag´at megad´o Ut folyamat ´ert´eke negat´ıvv´a v´alik. Ezt az id˝opontot a k´es˝obbiekben r¨oviden a t¨onkremen´es id˝opontj´anak, mag´at az esem´enyt cs˝odnek fogjuk nevezni. Term´eszetesen nem k¨ozgazdas´agi, jogi ´ertelemben haszn´aljuk ezeket az elnevez´eseket, voltak´eppen ezek csak metafor´ak. A felvetett k´erd´esnek sz´amos m´as v´allfaja is van. Milyen val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik ez be egy adott [0, T ] id˝ointervallumon? Mennyire s´ ulyos a cs˝od? Legyen Ψ(u) = P (l´etezik olyan t ≥ 0, melyre Ut < 0) , Φ(u) = P (Ut ≥ 0 minden t ≥ 0, eset´en) . Ezek teh´at megadj´ak annak val´osz´ın˝ us´eg´et, hogy u kezd˝ot˝oke eset´en valamikor a j¨ov˝oben cs˝od k¨ovetkezik be, ill. hogy v´egig a v´egtelen id˝ohorizonton elker¨ ulj¨ uk azt, hogy t˝ok´enk ´ert´eke negat´ıv legyen.

5.1.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ egre vonatkoz´ o Cramer-f´ ele integr´ alegyenlet

Ebben a fejezetben a klasszikus rizik´ofolyamat eset´en pr´ob´aljuk megv´alaszolni ezeket a k´erd´eseket. Legyen teh´at Ut = u + ct − St ,

(5.1)

ahol u, c ´alland´oak, St pedig ¨osszetett Poisson-folyamat. Megmutatjuk, hogy ha c > λµ, ahol – mik´ent kor´abban m´ar bevezett¨ uk – c jelenti az id˝oegys´egre es˝o d´ıjbefizet´es ´ert´ek´et, λ a Poisson-folyamat param´etere, teh´at az id˝oegys´egre es˝o k´aresem´enyek ´atlagos sz´ama, ´es µ jel¨oli a Zi v´altoz´ok k¨oz¨os v´arhat´o ´ert´ek´et (melyr˝ol feltessz¨ uk, hogy v´eges), akkor λµ , c lim eRu Ψ(u) = K , u→∞ Ψ(0) =

Ψ(u) ≤ e−Ru , 52

(5.2) (5.3) (5.4)

ahol R az u ´n. Lundberg-kitev˝o, vagy illeszked´esi egy¨ utthat´o, K v´eges pozit´ıv ´alland´o. (Az els˝o azonoss´agot el˝osz¨or Cramer, ill. Lundberg bizony´ıtott´ak. A m´asodikat Cramer–Lundberg-approxim´aci´onak nevezik, v´egezet¨ ul a harmadik a Lundberg-egyenl˝otlens´eg.) A tov´abbi fejezetekben, bonyolultabb folyamatok eset´en is, el˝osz¨or azt vizsg´aljuk meg, hogy a fenti k´epletekhez hasonl´o eredm´enyek mennyiben maradnak igazak. K¨onnyen l´athat´o, hogy c ´es λµ viszony´at´ol alapvet˝oen f¨ ugg a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´ege. Ugyanis a nagy sz´amok t¨orv´enye alapj´an limt→∞ (ct − St )/t = c − λµ 1 val´osz´ın˝ us´eggel. (Ezt a kor´abban tanultak alapj´an azonnal csak abban az esetben tudjuk, ha t az eg´esz sz´amokon ´at tart a v´egtelenhez, vagy ´altal´anosabban, t = kδ, k → ∞ eset´en, ahol δ > 0 tetsz˝oleges. K¨onnyen igazolhat´o azonban a fent megfogalmazott alakban is.) Ez´ert c < λµ eset´en Ut 1 val´osz´ın˝ us´eggel el˝obb vagy ut´obb negat´ıv lesz, ´ıgy b´armely u kezd˝ot˝oke mellett Φ(u) = 0. Ha c = λµ, akkor a hat´ar´ert´ek 0. Ekkor a Chung–Fuchst´etel szerint (l´asd [8]) ct − St fluktu´aci´oja igen nagy, tetsz˝oleges nagy pozit´ıv, ill. negat´ıv ´ert´ekeket is t´ uln˝o 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Teh´at megint csak Φ(u) = 0 . A fenti eredm´eny c < λµ esetben nem meglep˝o, hiszen ha az id˝oegys´egre es˝o ´atlagos befizet´es kisebb, mint a kifizet´es, akkor el˝obb-ut´obb tetsz˝olegesen nagy kezd˝ot˝ok´et felem´eszt a folyamat. Azt l´atjuk azonban, hogy ez m´eg akkor is bek¨ovetkezik, ha a folyamat kiegyens´ ulyozottabb, ha c = λµ. El˝osz¨or egy, a Φ(u) f¨ uggv´enyre vonatkoz´o, integr´alegyenletet vezet¨ unk le. Jel¨olje F (z) a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´eny´et. T´ etel 5.1 Klasszikus rizik´ofolyamat eset´en Φ(u) kiel´eg´ıti az al´abbi integr´ alegyenletet: λZ u Φ(u) = Φ(0) + Φ(u − z)(1 − F (z))dz . c 0

(5.5)

Bizony´ıt´ as: A legegyszer˝ ubb, ´es sz´amos m´as esetben is haszn´alhat´o elj´ar´as a kis megv´altoz´ as m´odszere, melyet H. Cramer [10] is haszn´alt. Ugyan ez matematikailag nem pontos, hiszen eleve felteszi, hogy az ismeretlen Φ f¨ uggv´eny deriv´alhat´o, azonban m´egis megism´etelj¨ uk itt, mert sz´amos esetben szolg´alhat arra, hogy megsejts¨ uk a v´egs˝o eredm´enyt, melyet azt´an esetleg m´as eszk¨oz¨ok haszn´alat´aval bizony´ıtunk. 53

Tekints¨ unk teh´at egy r¨ovid (0, t] intervallumot, ´es k¨ ul¨onb¨oztess¨ uk meg az al´abbi eseteket: (1.)

nem fordul el˝o k´aresem´eny a (0, t] id˝ointervallumban,

(2.)

pontosan egy k´aresem´eny fordul el˝o, azonban a k´ar nagys´aga nem okoz cs˝od¨ot,

(3.)

pontosan egy k´aresem´eny fordul el˝o, ´es a k´ar ´ert´eke nagyobb, mint az addig felhalmozott t˝oke,

(4.)

legal´abb k´et k´aresem´eny k¨ovetkezik be.

Felt´etelezve, hogy Φ deriv´alhat´o, ´es megbecs¨ ulve az egyes lehet˝os´egek val´osz´ın˝ us´egeit, ad´odik, hogy Φ(u) = (1 − λt + o(t))Φ(u + ct) + + (λt + o(t))

Z u+ct 0

Φ(u + ct − z)dF (z) + (λt + o(t))0 + o(t) =

= (1 − λt)Φ(u + ct) + λt

Z u+ct 0

0

Φ(u + ct − z)dF (z) + o(t) =

= Φ(u) + ctΦ (u) − λtΦ(u) + λt

Z u 0

Φ(u − z)dF (z) + o(t)

t → 0 eset´en ad´odik, hogy λ λZ u Φ (u) = Φ(u) − Φ(u − z)dF (z) . c c 0 0

(5.6)

Mint eml´ıtett¨ uk, ezen gondolatmenet hi´anyoss´aga, hogy eleve felhaszn´alja – bizony´ıt´as n´elk¨ ul – a Φ(u) f¨ uggv´eny deriv´alhat´os´ag´at. Annyi azonban nyilv´anval´o, hogy a Φ f¨ uggv´eny legal´abbis monoton n˝o. (Nagyobb kezd˝ot˝oke eset´en kisebb a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy valamikor cs˝od k¨ovetkezik be.) T´etel¨ unkre egy, a fel´ uj´ıt´aselm´eletben gyakran haszn´alt m´odszer alkalmaz´as´aval adhatunk egzakt bizony´ıt´ast. Ennek alap¨otlete, hogy mivel a k´aresem´enyeket le´ır´o folyamat homog´en Poisson-folyamat, ´ıgy az egyes k´aresem´enyek id˝opontjai k¨oz¨ott eltelt id˝otartamok – ezeket jel¨olt¨ uk ζi -vel – f¨ uggetlen, azonos – exponenci´alis – eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, ´es a k´ar nagys´ag´at is egy f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u sorozat ´ırja le. Ez´ert az els˝o k´aresem´eny id˝opontj´at ´es a k´ar nagys´ag´at r¨ogz´ıtve, ´es onnan vizsg´alva a folyamatot, 54

ugyanolyan param´eter˝ u ¨osszetett Poisson-folyamat adja meg a tov´abbi k´arokat, mint kezdetben, ´es ez f¨ uggetlen ζ1 ´es Z1 ´ert´ek´et˝ol. (Speci´alisan Nt maga fel´ uj´ıt´asi folyamat.) (L´asd Feller [21].) Alkalmazva a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et, kapjuk, hogy Φ(u) = E(Φ(u + cζ1 − Z1 )) = =

Z ∞ 0

#

"Z

λe

−λs [0,u+cs]

Φ(u + cs − z)dF (z) ds .

Alkalmazzuk az x = u + cs v´altoz´ocser´et: " Z ∞ λ λu/c −λx/c Z e e

Φ(u) =

c

u

#

[0,x]

Φ(x − z)dF (z) dx

(5.7)

Mivel a fenti egyenlet jobb oldal´an u csak az integr´al´asi hat´arban ´es az exponenci´alis mennyis´eg kitev˝oj´eben jelenik meg, ez´ert Φ monotonit´asa biztos´ıtja, hogy a jobb oldal folytonos f¨ uggv´eny, teh´at Φ folytonos, s˝ot az integr´alel˝o´all´ıt´asb´ol ad´od´oan abszol´ ut folytonos is. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha tudjuk, hogy a Φ f¨ uggv´eny deriv´alhat´o, akkor az (5.7) egyenletet u szerint deriv´alva kapjuk az (5.6) egyenletet. 0 Az ´altal´anos esetben jel¨olje Φ a Radon–Nikodym-deriv´altat. Vegy¨ uk a (5.7) egyenlet mindk´et oldal´anak integr´alj´at a [0, u] intervallumon. Fubini t´etel´enek alkalmaz´as´aval ad´odik, hogy Z u 0

Φ(t) dt = =

Z ∞ Z min(x,u) λ 0

Z ∞ 0

0 λ

e− c x =

c

Z [0,x]

Z ∞ u

+

e

λ (t−x) c

[0,x]

Φ(x − z)dF (z) dt dx = 



λ

Φ(x − z) dF (z) e c min(x,u) − 1 dx = Z

λ

e c (u−x) Z uZ 0

Z

[0,x]

[0,x]

Φ(x − z) dF (z) dx +

Φ(x − z) dF (z) dx − −

Z ∞ 0

λ

e− c x

Z [0,x]

Φ(x − z)dF (z)dx .

Mindk´et oldalt szorozva a λc mennyis´eggel ´es kihaszn´alva az (5.7) el˝o´all´ıt´ast, ´atrendez´es ut´an ad´odik, hogy λZ uZ λZ u Φ(u) − Φ(0) = Φ(x − z)d(1 − F (z))dx + Φ(t)dt . c 0 [0,x] c 0 55

Az jobb oldal els˝o tagj´aban parci´alis integr´al´ast alkalmazva a Φ(u) − Φ(0) =



=

λZ u [Φ(0)(1 − F (x)) − Φ(x)] dx + c 0 Z  λZ u x 0 + Φ (x − z)(1 − F (z)) dz dx + c 0 0 λZ u Φ(t) dt = + c 0



Z u Z u Z u λ Φ(0) (1 − F (x)) dx + (1 − F (z)) Φ0 (x − z )dx dz = c 0 0 z   Z u Z u λ (1 − F (z))(Φ(u − z) − Φ(0)) dz = Φ(0) (1 − F (x)) dx + c 0 0

¨osszef¨ ugg´eshez jutunk. Teh´at Φ(u) = Φ(0) +

λZ u Φ(u − z)(1 − F (z))dz . c 0

Ez a bizony´ıtand´o ¨osszef¨ ugg´es.

(5.8) 2

Vegy¨ uk a fenti egyenletben az u → ∞ hat´ar´atmenetet. Mivel a Φ(u) f¨ uggv´eny monoton, ez´ert a jobb oldalon felcser´elhet˝o az integr´al´as ´es a hat´ar´ert´ekk´epz´es sorrendje, teh´at Φ(∞) = lim Φ(u) = Φ(0) + u→∞

λµ Φ(∞) . c

[Megjegyezz¨ uk, hogy az (5.8) egyenletb˝ol kiindulva is megmutathat´o, hogy c ≤ λµ eset´en Φ(u) = 0. Ugyanis r¨ogt¨on ad´odik – felhaszn´alva, hogy Φ(0) ≤ Φ(∞) –, hogy Φ(0) = 0. Teh´at ekkor Φ(u) =

λZ u Φ(u − z)(1 − F (z))dz . c 0

Kihaszn´alva, hogy 1 − F (z) ≤ 1, kapjuk, hogy Φ(u) ≤

λZ u Φ(u − z)dz . c 0

56

(5.9)

De Φ(u) ≤ 1, ´ıgy Φ(u) ≤ λc u. Ezt behelyettes´ıtve, ´es iter´alva a λu c

Φ(u) ≤

!n

1 n!

becsl´eshez jutunk. Mivel a jobb oldal null´ahoz tart n → ∞ eset´en, ´ıgy Φ(u) = 0.] Tegy¨ uk fel most, hogy c > λµ. Ekkor ct−St → ∞ 1 val´osz´ın˝ us´eggel, teh´at valamelyv´eletlent˝ol f¨ ugg˝o id˝opont ut´an ´ert´eke nemnegat´ıv lesz. Ugyanakkor P∞ mivel P at addig az id˝opontig 1 val´osz´ın˝ us´eggel csak j=1 ζj = ∞ = 1, teh´ v´eges ugr´asa lehet az Nt Poisson-folyamatnak. Mivel ct − St ´ert´eke csak ezekben az ugr´aspontokban, azaz a k´aresem´enyek id˝opontjaiban cs¨okkenhet, teh´at inf {t>0} (ct − St ) v´eges val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ez´ert limu→∞ Φ(u) = 1. Behelyettes´ıtve azt kapjuk, hogy Φ(0) = 1 − λµ , azaz c λµ . (5.10) c Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez a val´osz´ın˝ us´eg nem f¨ ugg az F eloszl´as k¨ozvetlen alakj´at´ol, csak a v´arhat´o ´ert´ek´et˝ol. Vissza´ırva ezt az (5.8) egyenletbe, kapjuk, hogy λµ λ Z u Φ(u) = 1 − + Φ(u − z)(1 − F (z))dz. c c 0 Vezess¨ uk be az α = λµ jel¨ol´est. Felt´eve, hogy α < 1, az egyenlet c megold´asa fel´ırhat´o Ψ(0) =

Φ(u) = (1 − α) alakban, ahol F0 (u) =

Z u 1

∞ X

(∗k)

αk F0

(u)

(5.11)

k=0

(1 − F (z))dz. Ez egyszer˝ uen bel´athat´o, ha µ a jobb oldalon szerepl˝o Φ(u − z) f¨ uggv´enyre alkalmazzuk az egyenletb˝ol ad´od´o alakot, az ´ıgy kapott kett˝os integr´alban felcser´elj¨ uk az integr´al´asok sorrendj´et, ´es ezt az elj´ar´ast iter´aljuk. A konvergenci´at az α < 1 felt´etel biztos´ıtja. Az (5.11) ¨osszef¨ ugg´es voltak´eppen nem m´as, mint a t¨omegkiszolg´al´as elm´elet´eben ismert Pollaczek–Hincsin-formula. A biztos´ıt´asmatematikai irodalom gyakran Beekman-f´ uci´os k´epletnek nevezi. Z ∞ele konvol´ Vegy¨ uk ´eszre, hogy F0 (u)du = 1. 0 A fenti v´egtelen sor alkalmas arra, hogy annak v´eges szelet´et tekintve approxim´aljuk az ismeretlen Φ(t) ´ert´eket. 0

57

5.2.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ eg aszimptotikus viselked´ ese

´ T´erj¨ unk vissza az (5.8) egyenlethez. Altal´ anos F f¨ uggv´eny eset´en z´art explicit alakban nem lehet fel´ırni a megold´ast, azonban a kapott integr´alegyenlet alkalmas arra, hogy megvizsg´aljuk, hogy kezd˝ot˝oke emel´ese – azaz u −→ ∞ – eset´en milyen sebess´eggel konverg´al null´ahoz a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´ege. Ehhez el˝obb r¨ovid kit´er˝ot kell tenn¨ unk – fel´ uj´ıt´aselm´eleti fogalmakat, t´eteleket tekint¨ unk ´at. Mint m´ar eml´ıtett¨ uk, fel´ uj´ıt´asi folyamathoz jutunk, ha tekintj¨ uk f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ζi , i = 1, 2, . . . sorozat´at [jel¨olje az eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uket G(z)]. Ezeket egy folyamat egym´as ut´ani ugr´asai k¨oz¨ott eltelt id˝otartamnak tekintj¨ uk. Azaz legyen P ˜t = min{n ≥ 1 : τn > t}. Poisson-folyamatot kapunk τn = ni=1 ζi ´es N akkor, ha a ζj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok exponenci´alis eloszl´as´ uak. ˜t ) , t ≥ 0. Ekkor H(t) kiel´eg´ıti az al´abbi egyenletet: Legyen H(t) = E(N Z

H(u) = 1 +

[0,u]

H(u − t)dG(t) .

(5.12)

˜ t = 1 + P∞ Ez k¨onnyen l´athat´o abb´ol, hogy N ert n=1 χ{τn ≤t} , ez´ H(t) = 1 +

∞ X

G(∗n) (t) ,

n=1

ami val´oban eleget tesz a fenti egyenletnek. Ezen egyenlet ´altal´anos´ıt´asa az u ´n. fel´ uj´ıt´ asi egyenlet. Tegy¨ uk fel, hogy f (t) r¨ogz´ıtett f¨ uggv´eny. A Z

h(u) = f (u) +

[0,u]

h(u − z)dG(z)

(5.13)

egyenletet fel´ uj´ıt´asi egyenletnek nevezik. Ennek megold´asa fel´ırhat´o a kor´abban bevezetett H(u) f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. T´ etel 5.2 Ha az f¨ uggv´eny f (t) lok´alisan korl´atos, akkor az (5.13) fel´ uj´ıt´ asi egyenletnek l´etezik egy´ertelm˝ u megold´ asa a lok´alisan korl´atos f¨ uggv´enyek k¨or´eben, ´es ez fel´ırhat´ o Z

h(u) =

[0,u]

f (u − t)dH(t)

alakban. 58

A megold´asok aszimptotikus viselked´es´evel kapcsolatosak az al´abbi t´etelek. T´ etel 5.3 (Elemi fel´ uj´ıt´ asi t´etel) Ha E(ζi ) = m v´eges, akkor H(t) 1 = . t→∞ t m lim

(5.14)

E t´etel szeml´eletes jelent´ese nyilv´anval´o. Ha ´atlagosan m id˝ok¨oz¨onk´ent j¨onnek a fel´ uj´ıt´asi pontok, akkor a [0, t] intervallumon nagy t ´ert´ek mellett ´atlagosan 1/m fel´ uj´ıt´as lesz. Ehhez hasonl´o ´all´ıt´ast lehet megfogalmazni tetsz˝oleges – r¨ogz´ıtett hossz´ us´ag´ u – intervallum eset´en is. Ebb˝ol a szempontb´ol azonban meg kell k¨ ul¨onb¨oztetn¨ unk az eloszl´asok k´et nagy csoportj´at. Azt mondjuk, hogy a ζ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o r´ acsos eloszl´as´ u, ha l´etezik olyan δ > 0 ´ert´ek, hogy ζ pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel csak kδ alak´ u ´ert´eket vehet fel, ahol k ≥ 0, eg´esz sz´am. A legnagyobb ilyen tulajdons´ag´ u δ ´ert´ek a r´ acs´ alland´o. T´ etel 5.4 Tegy¨ uk fel, hogy m v´eges. (i) Ha ζi nem r´acsos eloszl´as´ u, akkor lim

t→∞

1 H(t + s) − H(t) = . s m

(5.15)

(ii) Ha ζi r´ acsos eloszl´as´ u, ´es δ a r´acs´ alland´o, akkor lim

n→∞

H(nδ + δ) − H(nδ) 1 = . δ m

(5.16)

A fel´ uj´ıt´asi egyenlet megold´as´anak aszimptotik´aj´at vizsg´alja az al´abbi t´etel. T´ etel 5.5 Tegy¨ uk fel, hogy m v´eges. (i) Ha ζi nem r´acsos eloszl´as´ u, ´es f korl´atos, monoton f¨ uggv´eny, mely integr´ alhat´ o a [0, ∞) halmazon, akkor lim h(t) =

t→∞

59

1 Z∞ f (t) dt . m 0

(5.17)

(ii) Ha ζi r´ acsos eloszl´as´ u, δ a r´acs´ alland´o, akkor lim h(nδ + s) =

n→∞

δ X f (kδ + s) , m k≥0

(5.18)

felt´eve, hogy a jobb oldalon ´all´o sor abszol´ ut konvergens. T´erj¨ unk vissza az (5.8) egyenlethez. Mivel limu→∞ Φ(u) = 1, ez´ert az aszimptotikus viselked´es elemz´ese sor´an c´elszer˝ ubb a Ψ(u) = 1 − Φ(u) f¨ uggv´enyt vizsg´alni. Mint l´attuk, a megfelel˝o egyenlet: λZ u λZ ∞ Ψ(u) = (1 − F (z))dz + Ψ(u − z)(1 − F (z))dz . c u c 0

(5.19)

λZ ∞ λ Mivel (1 − F (z))dz = µ ´ert´eke nem felt´etlen¨ ul 1, ez´ert ez nem c 0 c tiszta fel´ uj´ıt´asi egyenlet. Bizonyos felt´etelek mellett azonban ´atalak´ıthat´o fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e. Defin´ıci´ o 5.1 Legyen h(r) =

R ∞ rz 0 e dF (z) − 1 .

Azaz h(r) a Z1 , Z2 , . . . v´altoz´ok k¨oz¨os momentumgener´al´o f¨ uggv´eny´enek 1-gyel cs¨okkentett ´ert´eke. F (z) nemnegat´ıv val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´enye, ez´ert r ≤ 0 eset´en h(r) biztosan v´eges. h(0) = 0. Ugyanakkor vegy¨ uk ´eszre, hogy h(r) szigor´ uan konvex f¨ uggv´eny, ez´ert a h(r) = cr/λ egyenletnek legfeljebb egy pozit´ıv gy¨oke lehet. Az 5.5 t´etel alkalmaz´as´aval bizony´ıthatjuk a k¨ovetkez˝o t´etelt. T´ etel 5.6 (Cramer–Lundberg-approxim´ aci´ o) Tegy¨ uk fel, hogy a c h(r) = λ r egyenletnek l´etezik pozit´ıv megold´ asa. Jel¨olje ezt R. Tegy¨ uk fel, hogy h(r) v´eges R valamely pozit´ıv sugar´ u k¨ornyezet´eben. Ekkor lim eRu Ψ(u) =

u→∞

60

c − λµ . λh0 (R) − c

(5.20)

Bizony´ıt´ as: Mivel

c h(R) = , λ R ez´ert parci´alis integr´al´assal kapjuk, hogy λ Z ∞ Rz e (1 − F (z))dz = 1 . c 0 Megszorozva az (5.19) egyenlet mindk´et oldal´at eRu -val, a eRu Ψ(u) =

λ Ru Z ∞ λ Z u R(u−z) e (1 − F (z))dz + e Ψ(u − z)eRz (1 − F (z))dz c c u 0

fel´ uj´ıt´asi egyenletre jutunk, melyben az egym´as ut´ani fel´ uj´ıt´asi pontok k¨ozti λ Rz id˝o eloszl´as´at az e (1−F (z)) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny˝ u abszol´ ut folytonos eloszl´as c adja meg, ez´ert alkalmazhatjuk az (5.5) t´etelt. Ad´odik, hogy K1 , K2 λ Z ∞ Ru Z ∞ = e (1 − F (z))dzdu c 0 u λ Z ∞ Rz = ze (1 − F (z))dz . c 0

lim eRu Ψ(u) =

u→∞

ahol

K1 K2

(5.21) (5.22) (5.23)

Megmutatjuk, hogy K1 ´es K2 ´ert´eke pozit´ıv ´es v´eges. Parci´alis integr´al´assal ad´odik, hogy λ Z∞ λ Z ∞ 1 Rz (1 − F (z))dz + e (1 − F (z))dz = cR 0 c 0 R ! 1 λµ = 1− . R c

K1 = −

Ugyanakkor, mivel h(r) v´eges R pozit´ıv k¨ornyezet´eben, ez´ert ott deriv´alhat´o R ∞ Rz 0 is, ´es h (R) = 0 ze dF (z) . Mivel a zeRz (1 − F (z)) f¨ uggv´eny nem azonosan nulla, ez´ert K2 6= 0. Feltev´es¨ unk szerint l´etezik olyan pozit´ıv , melyre h(R + ) < ∞ , 61

´ıgy ez(R+/2) (1 − F (z)) exponenci´alis sebess´eggel tart null´ahoz, teh´at Z ∞ 0

zeRz (1 − F (z))dz < ∞ ,

azaz K2 v´eges. h Felhaszn´alva, hogy Rz − igazolhat´o, hogy Z

K2

1 R2



eRz

i0



= zeRz , ism´et parci´alis integr´al´assal 

∞ λ z 1 1 = − 2 eRz dF (z) + 2 c" 0 R R# R 0 λ h (R) c = − . c R λR



=

Ezeket ¨osszevetve a lim eRu Ψ(u) = u→∞

(1 − λµ ) c c λ 0 (h (R) − λ ) c

¨osszef¨ ugg´est kapjuk, ami a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as. 2 ´Igy teh´at e−Ru adja meg a pontos konvergenciasebess´eget a Ψ(u) → 0 ¨osszef¨ ugg´esben. R-et szok´as Lundberg-kitev˝ onek, vagy illeszked´esi egy¨ utthat´onak nevezni. P´ elda: Exponenci´alis eloszl´as´ u k´arig´enyek eset´en 1 Z ∞ rz −z/µ µr h(r) = . e e dz − 1 = µ 0 1 − µr Ez´ert

λ 1 R=− + . c µ K¨ozvetlen sz´amol´as adja ugyancsak, hogy λµ K1 = . K2 c A 5.4. alfejezetben a Cramer-egyenlet megold´as´at vizsg´aljuk speci´alis eloszl´asok eset´en. L´atni fogjuk, hogy exponenci´alis eloszl´as´ u k´arig´enyek eset´en a Cramer–Lundberg-approxim´aci´o a pontos ´ert´eket adja. 62

5.3.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ eg aszimptotikus viselked´ ese kiemelked˝ o egyedi k´ arok eset´ en

A cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´enek aszimptotik´aj´at le´ır´o 5.6 t´etel, amely a fel´ uj´ıt´asi egyenletek elm´elet´et haszn´alja, alapfeltev´ese, hogy alkalmas transzform´aci´oc h(r) val az (5.19) egyenlet fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e alak´ıthat´o, azaz a = egyenλ r letnek l´etezik pozit´ıv megold´asa. Tegy¨ uk fel most, hogy a k´ar nagys´ag´at megad´o Z val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok Pareto-eloszl´as´ uak. (L´asd 9.8. alfejezet.) Megmutathat´o, hogy ekkor az 5.19 egyenlet nem alak´ıthat´o ´at fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e. Val´oban, ekkor tetsz˝oleges r > 0 eset´en " #α Z ∞ β rz e dz = ∞ , β+z 0 teh´at erre az esetre az exponenci´alis sebess´eg´et biztos´ıt´o Cramer–Lundbergbecsl´es nem alkalmazhat´o. Ebben a r´eszben azt vizsg´aljuk meg, hogyan lehet m´asfajta gondolatmenet alkalmaz´as´aval olyan k´arig´enyeloszl´asok eset´en is vizsg´alni a cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotik´aj´at, melyekben P (Z1 > x) x → ∞ eset´en nem exponenci´alis sebess´eggel tart null´ahoz, azaz a kiemelked˝o k´ar val´osz´ın˝ us´ege nagyobb, mint p´eld´aul az exponenci´alis eloszl´as eset´en. A kiindul´o pont az (5.11) el˝o´all´ıt´as lesz. Mindk´et oldal´at levonva az P k azonosan 1 f¨ uggv´enyb˝ol, Ψ(t) el˝oa´ll´ıt´as´at kapjuk meg. Mivel ∞ k=0 α = −1 (1 − α) , ez´ert az al´abbi alakhoz jutunk:

Ψ(t) = (1 − α)

∞ X



(∗k)

αk 1 − F0



(t) .

(5.24)

k=0

Kiemelked˝o k´arok eset´en a teljes k´arnagys´ag ´ert´ek´et l´enyeg´eben az egy-k´et nagy k´ar ´ert´eke hat´arozza meg. Ennek pontosabb kifejt´es´ehez tegy¨ uk fel, hogy ξ1 , ξ2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´enye G. P Jel¨olje Xn = nk=1 ξk a r´eszlet¨osszeg-sorozatot, Mn = maxk=1,...,n ξk pedig

63

a maximumok sorozat´at. Ekkor P (Mn ≥ x) = 1 − P (Mn < x) = = =

n X k=1 n X

P (ξk ≥ x)P ( max

j=1,...,k−1

ξj < x) =

(1 − G(x)) Gk−1 (x) .

k=1

Mivel x → ∞ eset´en G(x) → 1, ez´ert, ha 1 − G(x) > 0 minden v´eges x eset´en, akkor lim x→∞

P (Mn ≥ x) →1. n (1 − G(x))

(5.25)

Ugyanakkor P (Xn ≥ x) = 1−G(∗n) (x). Ennek ¨osszevet´ese az (5.25) ¨osszef¨ ugg´essel indokolja a k¨ovetkez˝o defin´ıci´ot. Defin´ıci´ o 5.2 Legyen G olyan eloszl´asf¨ uggv´eny, melyre G(0) = 0 ´es G(z) < 1 tetsz˝ oleges z eset´en. Ha tetsz˝oleges n ≥ 2 eset´en teljes¨ ul a 1 − G(∗n) (z) =n z→∞ 1 − G(z) lim

(5.26)

¨osszef¨ ugg´es, akkor G u ´n. szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny. Vegy¨ uk ´eszre, hogy mivel a nemnegat´ıv sz´amok koncentr´alt eloszl´asok eset´en G(∗n) (z) ≤ G(z)n , ez´ert

n 1 − Gn (z) X 1 − G(∗n) (z) ≥ = G(k−1) (z) . 1 − G(z) 1 − G(z) k=1

Teh´at tetsz˝oleges nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´eny´ere fenn´all a lim inf z→∞

1 − G(∗n) (z) ≥n 1 − G(z) 64

(5.27)

egyenl˝otlens´eg. A szubexponenci´alis eloszl´as konvol´ uci´ohatv´anyainak kever´ekek´ent el˝o´all´ıthat´o eloszl´asok tulajdons´agaira ´es kapcsolataikra mutat r´a a k¨ovetkez˝o t´etel. T´ etel 5.7 (L´asd Embrechts, Kl¨ uppelberg, Mikosch [20]) Legyen pk , k = 0, 1, . . . adott val´osz´ın˝ us´egeloszl´ as, melyre valamely ε > 0 eset´en ∞ X

pk (1 + ε)k < ∞

k=1

teljes¨ ul. (M´ask´eppen fogalmazva a pk , k ≥ 0 ´ altal meghat´ arozott eloszl´as gener´ator f¨ uggv´enye az 1 valamely jobboldali k¨ornyezet´eben is v´eges.) Legyenek tov´abb´ a G, H adott eloszl´asf¨ uggv´enyek, G(0) = 0, H(0) = 0 ´es H=

∞ X

pk G(∗k) .

(5.28)

k=0

Ekkor, (i) ha G szubexponenci´ alis eloszl´asf¨ uggv´eny, akkor limz→∞

∞ 1 − H(z) X = kpk . 1 − G(z) k=1

(5.29)

(ii) Megford´ıtva, ha (5.29) teljes¨ ul ´es valamely l ≥ 2 eset´en pl > 0, akkor G szubexponenci´ alis. (iii) Ha G szubexponenci´ alis ´es valamely l ≥ 1 eset´en pl > 0, akkor H is szubexponenci´ alis eloszl´asf¨ uggv´eny. Bizony´ıt´ as: (i) Az (5.28) el˝o´all´ıt´as alapj´an ∞ 1 − G(∗k) (z) 1 − H(z) X = pk . 1 − G(z) k=0 1 − G(z)

A k´es˝obb bizony´ıtand´o 5.1 Lemma alapj´an l´etezik olyan K, melyre 0≤

1 − G(∗k) (z) ≤ K (1 + ε)k , 1 − G(z) 65

(5.30)

tetsz˝oleges z ≥ 0 eset´en. Ez´ert az (5.30) jobb oldal´an ´all´o sor egyenletesen konvergens [0, ∞) halmazon, teh´at – kihaszn´alva a szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny tulajdons´ag´at – a z → ∞ hat´ar´ert´ek tagonk´ent vehet˝o, ez´ert (5.29) teljes¨ ul. (ii) Legyen l ≥ 2 olyan ´ert´ek, melyre pl > 0. Ekkor ∞ X 1 − G(∗l) (z) 1 − H(z) 1 − G(∗k) (z) pl = − . pk 1 − G(z) 1 − G(z) k=0, k6=l 1 − G(z)

A jobb oldal els˝o tagj´ara az (5.29) felt´etelt, a m´asodik tagra pedig a Fatoulemm´at alkalmazva (5.27) alapj´an pl lim sup z→∞

1 − G(∗l) (z) ≤ pl l . 1 − G(z)

pl pozitivit´asa ´es a 5.1 lemma (ii) pontja alapj´an teh´at G szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny. 1 − H (∗2) (z) (iii) Az ´all´ıt´as bizony´ıt´as´ahoz az 5.1 Lemma alapj´an el´eg a 1 − H(z) h´anyados viselked´es´et vizsg´alni. Az (5.28) el˝o´all´ıt´as alapj´an ∞ X k 1 − H (∗2) (z) X 1 − G(∗k) (z) = pj pk−j . 1 − G(z) 1 − G(z) k=0 j=0

Ez´ert – bevezetve az l = k − j v´altoz´ocser´et – limz→∞

∞ X k X 1 − H (∗2) (z) = pj pk−j k = 1 − G(z) k=0 j=0

=

∞ X ∞ X j=0 l=0 ∞ X

= 2

pj pl j +

∞ X ∞ X

pj pl l =

j=0 l=0

kpk .

k=1

A hat´ar´ert´ek ´es az ¨osszegz´es felcser´elhet˝os´ege az (i) pontban k¨ovetetthez hasonl´oan igazolhat´o. 66

Felhaszn´alva az (i) pont ´all´ıt´as´at, ´es hogy a feltev´es alapj´an kapjuk, hogy 1 − H (∗2) (y) →2. 1 − H(z)

P∞

k=1

kpk 6= 0,

´Igy az 5.1 lemma alapj´an H is szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny.

2

Lemma 5.1 Legyen G olyan eloszl´asf¨ uggv´eny, melyre G(0) = 0. Ekkor, (i) ha G szubexponenci´ alis, akkor 1 − G(z − y) =1, z→∞ 1 − G(z) lim

(5.31)

ahol a konvergencia y szerint v´eges intervallumon egyenletesen teljes¨ ul; (ii) ha valamely k ≥ 2 eset´en lim supz→∞

1 − G(∗k) (z) ≤k, 1 − G(z)

(5.32)

akkor G szubexponenci´ alis; (iii) ha G szubexponenci´ alis ´es ε > 0, akkor l´etezik olyan K, melyre 1 − G(∗k) (z) ≤ K (1 + )k , 1 − G(z) minden k ≥ 2 ´es z ≥ 0 eset´en. (iv) ha G szubexponenci´ alis ´es H olyan eloszl´asf¨ uggv´eny, melyre limx→∞

1 − H(z) =c, 1 − G(z)

ahol 0 < c < ∞, akkor H is szubexponenci´ alis eloszl´asf¨ uggv´eny. Bizony´ıt´ as: (i) Feltehetj¨ uk, hogy y > 0. Legyen z > y. Mivel Z (∗2)

G

(z) =

[0,z)

G(z − t) dG(t) ,

67

(5.33)

ez´ert Z 1 − G(∗2) (z) 1 − G(z − t) =1+ dG(t) . 1 − G(z) 1 − G(z) [0,z)

(5.34)

B´ar a fenti egyenl˝otlens´eg az (5.35) speci´alis esete k¨ ul¨on bizony´ıtjuk, mert ennek igazol´asa nem ig´enyli a k´es˝obb alkalmazand´o bonyolultabb gondolatmenetet. Az integ´alt kett´ebontva a [0, y), illetve [y, z) szakaszokra, a [0, y) tartom´anyon 1 − G(z − t) 1 − G(z − t) 1 − G(z − y) az ≥ 1, az [y, z) tartom´anyon a ≥ 1 − G(z) 1 − G(z) 1 − G(z) becsl´est alkalmazva kapjuk, hogy 1 − G(∗2) (z) 1 − G(z − y) ≥ 1 + G(y) + (G(z) − G(y)) . 1 − G(z) 1 − G(z) Mivel G ´ert´eke sehol sem 1, ez´ert r¨ogz´ıtett y eset´en l´etezik olyan z > y, ´ melyre G(z) > G(y). Atrendez´ es ut´an teh´at 1 − G(z − y) 1≤ ≤ 1 − G(z)

!

1 − G(∗2) (z) − 1 − G(y) (G(z) − G(y))−1 . 1 − G(z)

z → ∞ eset´en a jobb oldal 1-hez tart. A k¨oz´eps˝o tag y szerinti monotonit´asa biztos´ıtja az egyenletes konvergenci´at v´eges intervallumon. (ii) Tetsz˝oleges m eset´en Z (∗(m+1))

1−G

(∗m)

(z) = 1 − G

(z) +

[0,z)

(1 − G(z − t)) dG(∗m) (t) ≥

≥ 1 − G(∗m) (z) + (1 − G(z)) G(∗m) (z) . Osztva az 1 − G(z) mennyis´eggel ´es v´eve a lim sup ´ert´ek´et, kapjuk, hogy 1 − G(∗(m+1)) (z) 1 − G(∗m) (z) lim sup ≥ lim sup +1. 1 − G(z) 1 − G(z) Rekurz´ıven alkalmazva a lim sup

1 − G(∗2) (z) ≤2 1 − G(z)

¨osszef¨ ugg´est kapjuk. El´eg teh´at k = 2 eset´en bizony´ıtani az ´all´ıt´ast. 68

Mivel G(∗2) (z) ≤ G2 (z), hiszen G nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´enye, ez´ert, ha k = 2 mellett (5.32) teljes¨ ul, akkor 1 − G(∗2) (z) =2. z→∞ 1 − G(z) lim

Indukci´oval megmutatjuk, hogy ekkor (5.26) tetsz˝oleges k eset´en teljes¨ ul. Tegy¨ uk fel, hogy k = m eset´en m´ar teljes¨ ul, ´es haszn´aljuk fel a 1 − G(∗(m+1)) (z) G(z) − G(∗(m+1)) (z) = 1+ = 1 − G(z) 1 − G(z) Z 1 − G(∗m) (z − t) = 1+ dG(t) 1 − G(z) [0,z)

(5.35)

¨osszef¨ ugg´est. Bontsuk fel az integr´al´asi tartom´anyt k´et r´eszre: [0, z) = [0, z − y) ∪ [z − y, z) . Mivel 0 ≤ t < z − y eset´en y < z − t ≤ z, teh´at tetsz˝oleges ε > 0 eset´en y ´ert´ek´et el´eg nagyra v´alasztva el´erhet˝o, hogy 1 − G(∗m) (z − t) ≤m+ε 1 − G(z − t) teljes¨ ulj¨on, mid˝on 0 ≤ t < z − y. Ugyanakkor az (5.34) ¨osszef¨ ugg´esb˝ol Z [0,z−y)

1 − G(z − t) G(z) − G(∗2) (z) dG(t) = − 1 − G(z) 1 − G(z) Z 1 − G(z − t) − dG(t) 1 − G(z) [z−y,z)

ad´odik. Tov´abb´a r¨ogz´ıtett y eset´en 1 − G(∗m) (z − t) ≤ K(y) , 1 − G(z − t) ha z − y ≤ t < z, azaz ha 0 < z − t ≤ y, alkalmas K(y) konstans eset´en.

69

Teh´at (5.35) ´ıgy ´ırhat´o: !

1 − G(∗(m+1)) (z) G(z) − G(∗2) (z) ≤ 1 + (m + ε) G(z − y) + 1 − G(z) 1 − G(z) Z 1 − G(z − t) + dG(t) [K(y) − (n + ε)] . 1 − G(z) [z−y,z) Ugyanakkor Z

0≤

[z−y,z)

1 − G(z − t) G(z) − G(z − y) dG(t) ≤ →0 1 − G(z) 1 − G(z)

(5.36)

z → ∞ eset´en, a m´ar bizony´ıtott (i) alapj´an. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen tetsz˝oleges ε > 0 mellett lim sup z→∞

1 − G(∗(m+1)) (z) ≤1+m+ε, 1 − G(z)

bizony´ıtva az indukci´os l´ep´es helyess´eg´et. 1 − G(∗k) (z) (iii) Legyen αk = sup . (5.35) alapj´an tetsz˝oleges T < ∞ 1 − G(z) z≥0 eset´en Z

1 − G(∗m) (z − t) dG(t) = 1 − G(z) 0
αm+1 = 1 + sup

1 − G(∗2) (z) G(z) − G(∗2) (z) = − 1, ez´ert T ´ert´ek´et el´eg nagyra v´a1 − G(z) 1 − G(z) lasztva el´erhet˝o, hogy ez 1 + ε alatt maradjon. Teh´at ezen T mellett

Mivel

αm+1 ≤ 1 +

1 + αm (1 + ε) . 1 − G(T ) 70

Iter´alva az

1 αn ≤ 1 + 1 − G(T )

!

(1 + ε)n ε

egyenl˝otlens´eghez jutunk, igazolva az (iii) ´all´ıt´ast. Vegy¨ uk ´eszre, hogy (iii) bizony´ıt´asa sor´an a szubexponencialit´ast karakteriz´al´o hat´ar´ert´ekek k¨oz¨ ul csak a k = 2 esetnek megfelel˝ot haszn´altuk. (iv) Az (ii) r´esz ´all´ıt´as´at akarjuk haszn´alni k = 2 eset´en. Legyen y > 0 r¨ogz´ıtett sz´am. Ha most ξ ´es η tetsz˝oleges val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor z > 2y eset´en {ξ + η ≥ z} = {ξ < y, ξ + η ≥ z} ∪ {η < y, ξ + η ≥ z} ∪ ∪ {y ≤ ξ < z − y, ξ + η ≥ z} ∪ {ξ ≥ z − y, η ≥ y} . Teh´at Z Z 1 − H(z − t) 1 − H (∗2) (z) = 2 dH(t) + 1 − H(z) 1 − H(z) [0,y)

+

[y,z−y)

1 − H(z − t) dH(t) + 1 − H(z)

1 − H(z − y) (1 − H(y)) . 1 − H(z)

Az els˝o integr´al becsl´es´ehez vegy¨ uk ´eszre, hogy 1≤

1 − H(z − t) 1 − H(z − y) ≤ , 1 − H(z) 1 − H(z)

ha 0 ≤ t < y, ´es mivel az (1 − H)/(1 − G) h´anyados ´ert´eke aszimptotikusan c, ez´ert az 1 − H mennyis´eget a fels˝o becsl´es nevez˝oj´eben ´es sz´aml´al´oj´aban is 1 − G-re cser´elve, az (i) pont alapj´an kapjuk, hogy az integr´al hat´ar´ert´eke H(y). Ugyan´ıgy a harmadik tag hat´ar´ert´eke 1 − H(y). A m´asodik integr´al becsl´es´ehez legyen 0 < ε < c. L´etezik olyan z0 < ∞ ´ert´ek, melyre z ≥ z0 eset´en c−ε≤

1 − H(z) ≤c+ε. 1 − G(z)

Teh´at, ha y el´eg nagy ´es y ≤ t < z − y, akkor 1 − H(z − t) ≤c+ε, 1 − G(z − t) 71

1 − H(z) 1 ≤ . 1 − G(z) c−ε

´Igy az ezen fels˝o becsl´esek alkalmaz´asa ut´an a H f¨ uggv´eny ´altal gener´alt m´ert´ekr˝ol az 1 − H f¨ uggv´eny ´altal gener´altra ´att´er´es ut´an elv´egzett parci´alis integr´al´as, t 7→ z − t v´altoz´ocsere, majd az 1 − G f¨ uggv´enyr˝ol a G f¨ uggv´eny visszat´er´es ´es ism´et az el˝oz˝o fels˝o becsl´es felhaszn´al´asa ut´an kapjuk, hogy Z [y,z−y)

1 − H(z − t) c+εZ 1 − G(z − t) dH(t) ≤ dH(t) = 1 − H(z) c − ε [y,z−y) 1 − G(z) =

c+ε c−ε

1 − G(z − y) 1 − G(y) (1 − H(y)) − (1 − H(z − y)) − 1 − G(z) 1 − G(z) !

Z

≤

1 − H(z − t) d (1 − G(t)) ≤ − 1 − G(z) (y,z−y] 1 − G(z − y) 1 − H(z) 1 − H(z − y) (1 − H(y)) − (1 − G(y)) + 1 − G(z) 1 − G(z) 1 − H(z)

c+ε c−ε

!

Z

+ (c + ε)

(y,z−y]

1 − G(z − t) dG(t) 1 − G(z)

A Z (y,z−y]

1 − G(∗2) (z) 1 − G(z − t) dG(t) = −1− 1 − G(z) 1 − G(z) Z Z 1 − G(z − t) 1 − G(z − t) dG(t) − dG(t) − 1 − G(z) 1 − G(z) (z−y,z) [0,y]

¨osszef¨ ugg´es alapj´an, kihaszn´alva, hogy G szubexponenci´alis, tov´abb´a a m´ar bizony´ıtott (i) r´eszt ´es az (5.36) becsl´est, kapjuk, hogy Z

lim

z→∞ (y,z−y]

Z 1 − G(z − t) dG(t) = 1 − dG(t) 1 − G(z) [0,y]

Teh´at Z

lim sup z→∞

[y,z−y)

1 − H(z − t) dH(t) ≤ 1 − H(z) ≤

c+ε ((1 − H(y)) − c(1 − G(y)) + (c + ε)(1 − G(y))) . c−ε 72

´Igy 1 − H (∗2) (z) ≤ 2H(y) + 1 − H(z) c+ε + ((1 − H(y)) − c(1 − G(y)) + (c + ε)(1 − G(y))) + c−ε + (1 − H(y)) → 2 ,

lim sup z→∞

v´eve az y → ∞ hat´ar´ert´eket. A m´ar bizony´ıtott (ii) tulajdons´ag alapj´an ez igazolja, hogy H szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny. 2 Alkalmazzuk az 5.7 t´etelt a cs˝odval´osz´ın˝ us´eget megad´o (5.24) ¨oszef¨ ugg´esre. Az al´abbi k¨ovetkezm´enyt fogalmazhatjuk meg. K¨ ovetkezm´ eny 5.1 (L´ asd Embrechts, Kl¨ uppelberg, Mikosch [20].) A k´arnagys´agot le´ır´ o Z1 , Z2 , . . . val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok k¨oz¨ os eloszl´asf¨ uggv´enye legyen F . Tegy¨ uk fel, hogy teljes¨ ul a λµ < c egyenel˝ otlens´eg. 1Zz (i) Ha az F0 (z) = (1 − F (t)) dt ¨osszef¨ ugg´essel defini´alt eloszl´asf¨ uggµ 0 v´eny szubexponenci´ alis, akkor lim u→∞

λµ ψ(u) = . 1 − F0 (u) c − λµ

lim

ψ(u) λµ = , 1 − F0 (u) c − λµ

(5.37)

(ii) Ha u→∞

akkor F0 szubexponenci´ alis. Bizony´ıt´ as: Az (5.11) el˝oa´ll´ıt´as mutatja, hogy az 5.7 t´etel alkalmazhat´o. λµ Mivel eset¨ unkben pk = (1 − α) αk , ahol α = , ez´ert az (i) ´all´ıt´asban ad´od´o c α lesz. hat´ar´ert´ek 1−α Az (ii) ´all´ıt´as azonnali k¨ovetkezm´enye az 5.7 t´etel (ii) r´esz´enek. 2 Megmutathat´o, hogy ha G szubexponenci´alis, akkor tetsz˝oleges ε > 0 eset´en eεz (1 − G(z)) → ∞ , 73

ha z → ∞, teh´at az el˝oz˝o k¨ovetkezm´eny alkalmazhat´os´aga kiz´arja ψ(z) exponenci´alis sebess´eg˝ u konvergenci´aj´at. Megjegyzend˝o, hogy ha F a Pareto-, lognorm´alis-, Weibull(0 < τ < 1)-, loggamma-eloszl´asok valamelyik´enek eloszl´asf¨ uggv´enye, akkor alkalmazhat´o az 5.1 k¨ovetkezm´eny. Kiss´e ´altal´anosabban az al´abbi t´etel fogalmazhat´o meg, melyet bizony´ıt´as n´elk¨ ul k¨ozl¨ unk. T´ etel 5.8 Legyen F a f¨ uggetlen k´arnagys´ agok k¨oz¨ os eloszl´asf¨ uggv´enye, toR v´abb´ a F0 (z) = µ1 0z (1 − F (t) dt. (i) Ha F v´ arhat´ o ´ert´eke v´eges ´es lim sup z→∞

1 − F (z) <∞, 1 − F (2z)

akkor F0 szubexponenci´ alis. (ii) Tegy¨ uk fel, hogy F abszol´ ut folytonos, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye f . Ha lim sup z→∞

f (z) <∞, 1 − F (z)

akkor F0 szubexponenci´ alis. Az 5.7 t´etel nemcsak a cs˝odval´osz´ın˝ us´eg aszimptotikus viselked´es´enek vizsg´alat´ara alkalmazhat´o, hanem az adott intervallumon bek¨ovetkez˝o ¨osszk´ar nagys´ag´anak elemz´es´ere is. Nevezetesen az al´abbi t´etel teljes¨ ul. T´ etel 5.9 Tegy¨ uk fel, hogy a Z1 , Z2 , . . . f¨ uggetlen, nemnegat´ıv ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok k¨oz¨ os eloszl´asf¨ uggv´enye szubexponenci´ alis. Legyen S=

N X

Zk ,

k=0

ahol N a Z sorozatt´ ol f¨ uggetlen, nemnegat´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u v´altoz´ o, melyre valamely ε > 0 eset´en ∞ X

(1 + )k P (N = k) < ∞ .

k=0

74

Ekkor

P (S ≥ z) → E(N ) , P (Z1 ≥ z)

ha z → ∞. Speci´ alisan, ha N λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u, akkor a hat´ar´ert´ek λ, . ha N n-edrend˝ u, p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u, akkor pedig n 1−p p Bizony´ıt´ as: A 5.7 t´etel alkalmazhat´o, hiszen S eloszl´asa el˝oa´ll Z eloszl´asa konvol´ uci´ohatv´anyainak kever´ekek´ent, ahol a kever´ekeloszl´ast ´eppen N P eloszl´asa adja. A hat´ar´ert´ek ∞ k=1 kP (N = k) = E(N ) lesz. A Poisson-eloszl´asra ´es a negat´ıv binomi´alis eloszl´as eset´ere vonatkoz´o ´all´ıt´as csak ezen eloszl´asok v´arhat´o ´ert´ek´enek konkr´et alakj´at haszn´alja fel. 2 A fenti felt´etelek mellett jel¨olje M = supk=0,...,N Zk a maximum ´ert´ek´et. Ekkor P (M ≥ z) = =

∞ X k=0 ∞ X





P Zk+1 ≥ z, max Zj < z, N > k = j=1,...,k

P (Zk+1 ≥ z)P ( max Zj < z)P (N > k) = j=1,...k

k=0

= P (Z1 ≥ z)

∞ X

P (Z1 < z)k P (N > k) ,

k=0

kihaszn´alva a v´altoz´ok feltett f¨ uggetlens´eg´et. Mivel lim

z→∞

ez´ert azaz

∞ X

k

P (Z1 < z) P (N > k) =

k=0

∞ X

P (N > k) = E(N ) ,

k=0

P (M ≥ z) → E(N ) , P (Z1 ≥ z) P (S ≥ z) =1. z→∞ P (M ≥ z) lim

Azaz szubexponenci´alis esetben az ¨osszk´ar ´ert´eke u ´gy tud nagy lenni, ha bek¨ovetkezett k´arok valamelyik´enek ´ert´eke kiugr´oan nagy lesz.

75

5.4.

A Cramer-egyenlet megold´ asa speci´ alis eloszl´ asok eset´ en

T´erj¨ unk vissza az (5.8) egyenlethez. A megold´as aszimptotikus viselked´ese helyett most annak t´enyleges el˝o´all´ıt´as´at vizsg´aljuk. Megmutatjuk, hogy bizonyos speci´alis esetekben expliciten megoldhat´o. A legegyszer˝ ubb eset, mikor a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok exponenci´alis eloszl´as´ uak. Ekkor param´eter¨ uk 1/µ, hiszen EZi = µ. Behelyettes´ıtve az 1 − F (z) = e−z/µ ´ert´eket az (5.8) egyenletbe, deriv´al´as ut´an kapjuk, hogy λ λ Zu Φ (u) = Φ(u) − Φ(z)e−(u−z)/µ dz . c µc 0 0

´ Ujra deriv´alva λ 0 λ 1 Φ (u) = Φ (u) − Φ(u) + c µc µ ! λ 1 = Φ0 (u) . − c µ 00

Kihaszn´alva, hogy Φ(0) = 1 −

λµ c

Ψ(u) =

λ Φ(u) − Φ0 c

!

=

´es Φ(∞) = 1, ad´odik, hogy a megold´as

λµ − c−λµ e µc u . c

Ez mutatja teh´at, hogy exponenci´alis eloszl´as´ u k´arok eset´en a CramerLundberg approxim´aci´o pontos ´ert´eket ad. Megjegyezz¨ uk, hogy ehhez hasonl´o elj´ar´assal meg lehet hat´arozni Φ(u) explicit ´ert´ek´et olyan k´areloszl´asok eset´en, melyek exponenci´alis eloszl´asok kever´ekei, teh´at F (z) =

k X

(1 − e−zβk )pk

1

(l´asd Gerber [23]), s˝ot v´egtelen kever´ek eset´en is F (z) =

Z ∞ 0

(1 − e−zβ )dV (β) ,

ahol V (β) alkalmas kever˝o eloszl´as. Ebbe az oszt´alyba m´ar sz´amos j´ol ismert eloszl´as beletartozik, pl. a Pareto-eloszl´as, bizonyos Γ-eloszl´asok, lognorm´alis 76

eloszl´as. Megmutathat´o, hogy ebben az esetben a Φ(u) f¨ uggv´eny szint´en exponenci´alis f¨ uggv´enyek kever´eke. Vizsg´aljuk kicsit r´eszletesebben a v´eges sok exponenci´alis eloszl´as kever´ek´enek eset´et. Tegy¨ uk fel teh´at, hogy 1 − F (z) =

n X

pk e−zβk , ahol pk > 0,

X

pk = 1 .

k=1

P

Kisz´amolva ennek v´arhat´o ´ert´ek´et, kapjuk, hogy k pk /βk = µ. Tegy¨ uk fel, hogy c > µλ. Rendezz¨ uk a kitev˝ok egy¨ utthat´oit n¨ovekv˝o sorrendbe: 0 < β1 < · · · < β n . ´Irjuk ´at az (5.8) egyenletet a Ψ(u) f¨ uggv´enyre. Kapjuk, hogy Ψ(u) =

λZ ∞ λZ u (1 − F (z))dz + Ψ(u − z)(1 − F (z))dz . c u c 0

(5.38)

P

Keress¨ uk az ismeretlen f¨ uggv´enyt Ψ(u) = nk=1 qk e−rk u alakban. Behelyettes´ıtve 1 − F (z) ´es Ψ(u) felt´etelezett alakjait, a X

"

qk e−rk u

Z u X Z ∞ λ XX −βi z−rk (u−z) = p i qk e dz + pi e−βi z dz c i k 0 u i

#

egyenletet kapjuk. Ezek az integr´alok kisz´amolhat´oak: Z u 0

e−βi z−rk (u−z) dz = Z ∞

e−βi u − e−rk u , rk − βi

e−βi z . βi u Ezeket be´ırva a fell´ep˝o exponenci´alis f¨ uggv´enyek egy¨ utthat´oinak ¨osszehasonl´ıt´as´ab´ol kapjuk, hogy (a qk e−rk u f¨ uggv´enyt figyelembe v´eve) e−βi z dz =

1=

λ X pi , c i βi − r k

illetve (a pi e−βi z egy¨ utthat´oi alapj´an) X 1 qk = . βi k βi − r k

77

Az els˝o egyenlet alkalmas az ismeretlen rk kitev˝ok meghat´aroz´as´ara. Ezek teh´at gy¨okei a X pi c − =0 λ i βi − r ´ egyenletnek. Atszorozva a nevez˝okkel, a feladat n-edfok´ u polinom gy¨okhelyeinek megkeres´es´ere vezet, melynek pontosan n gy¨oke van. Mivel a 0-ban a bal oldal ´ert´eke ´eppen µ − c/λ, mely negat´ıv, ´es minden egyes βi helyen a bal oldali hat´ar´ert´ek ∞, a jobb oldali pedig −∞, ez´ert a (0, β1 ), (βi , βi+1 ), i = 1, . . . n − 1 intervallumok mindegyik´eben el˝ojelet v´alt a jobb oldal, teh´at – mivel itt a f¨ uggv´eny folytonos – ezek mindegyik´eben l´etezik gy¨ok. Azaz 0 < r 1 < β 1 < r 2 < β2 < · · · < r n < β n . Az rk gy¨ok¨ok ismeret´eben a qk mennyis´egekre line´aris egyenletrendszer ad´odik (l´asd [6]). L´etezik az eloszl´asoknak egy enn´el b˝ovebb oszt´alya, melyre megadhat´o expliciten a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´ege. (Pontosabban fogalmazva expliciten fel´ırhat´o a Ψ(u) f¨ uggv´eny, ez azonban m´eg nem jelenti azt, hogy r¨ogz´ıtett u eset´en egyszer˝ u kisz´amolni az ´ert´ek´et.) Ez az eloszl´asoszt´aly az u ´n. f´azis t´ıpus´ u eloszl´asok oszt´alya. Legyen d > 0 eg´esz sz´am. Tekints¨ unk egy folytonos param´eter˝ u ξt , t ≥ 0 Markov-l´ancot, melynek ´allapottere a {0, . . . , d} halmaz. Tegy¨ uk fel, hogy a 0 elnyel˝o ´allapot, az {1, . . . , d} elemek ´atmenetiek, az intenzit´asm´atrix T¯ =

0 0 t0 T

!

(5.39)

alak´ u, ahol t0 elemei nemnegat´ıvak, ´es t0 nem azonosan nulla. (B´ar Markov-folyamatokr´ol k´es˝obb b˝ovebben lesz sz´o, az olvas´o kedv´e´ert megeml´ıtj¨ uk, hogy a T¯ intenzit´asm´atrixhoz tartoz´o Markov-l´anc hogyan konstru´alhat´o meg. A T¯ m´atrix elemei legyenek T¯i,j , i, j = 0, . . . d. Ekkor P T¯i,i ≤ 0, ugyanakkor T¯i,j ≥ 0, ha i 6= j. Tov´abb´a dj=0 T¯i,j = 0. A ξt folyamat ´ert´ekeit a {0, . . . , d} halmazb´ol veszi fel. Ha valamely id˝opontban ´ert´eke 0, akkor ezen id˝opont ut´an is ´ert´eke 0 marad. Azaz 0 elnyel˝o ´allapot. Ha valamely id˝opontban az i ∈ {1, . . . , d} ´allapotban van a folyamat, akkor (−T¯i,i ) param´eter˝ as´ u id˝otartamot m´eg az adott ´allapot alis eloszl´ u exponenci´ ¯ ¯ us´eggel a j ´allapotba megy ´at, j 6= i. ban t¨olt, majd −Ti,j /Ti,i val´osz´ın˝ 78

Az 1, . . . , d ´allapotok ´atmeneti volta azt jelenti, hogy bel¨ol¨ uk a folyamat 1 val´osz´ın˝ us´eggel v´eges id˝o alatt a 0 ´allapotba megy ´at.) (Megmutathat´o, hogy a T¯ m´atrixra kir´ott felt´eteleinkb˝ol k¨ovetkezik, hogy T invert´alhat´o. Ugyanis ha T saj´at´ert´ekei k¨oz¨ott a nulla is szerepelne, akkor 1 ¯ saj´at´ert´eke lenne eT s -nek. Az eT s m´atrix elemei nemnegat´ıvak, ´es a sor¨osszeg rendre 1, azaz sztochasztikus m´atrix. Ezen m´atrix sorai a ξt+s -nek ξt -re vonatkoz´o felt´eteles eloszl´as´at adj´ak meg, tetsz˝oleges t ≥ 0 eset´en. Ez´ert eT s elemei ugyancsak nemnegat´ıvak, a sor¨osszeg rendre legfeljebb 1. ´Igy tetsz˝oleges saj´at´ert´ek´enek abszol´ ut ´ert´eke legfeljebb 1. Ha 1 saj´at´ert´eke, akkor ˝o egyben maxim´alis abszol´ ut ´ert´ek˝ u, pozit´ıv saj´at´ert´ek, ´ıgy a Perron– Frobenius-t´etel alapj´an l´etezik hozz´a tartoz´o nemnegat´ıv elem˝ u saj´atvektor. Jel¨olje Q = (qi,j )i,j=1,...,d az eT s m´atrixot valamely r¨ogz´ıtett s mellett, ´es tegy¨ uk fel, hogy az 1 saj´at´ert´eke, x a megfelel˝o nemnegat´ıv elem˝ u saj´atvektor. P Azaz j qi,j xj = xi . Legyen J = {i : xi = max xj }. Ekkor i ∈ J eset´en P ulj¨on, azaz az ¨osszes t¨obbi elem a megfelel˝o sorban j∈J qi,j = 1 kell teljes¨ 0 ´ert´ek˝ u. Ez´ert a J halmazbeli elemekb˝ol indulva s id˝o m´ ulva ugyancsak J halmazbeli ´allapotban lesz¨ unk, ´ıgy nem lehet ´atl´epni a 0 elnyel˝o ´allapotba, ezek az elemek teh´at nem mind ´atmeneti elemek. Ez ellentmond annak a felt´etelnek, hogy minden 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o elem ´atmeneti. Teh´at 1 nem lehet Ts saj´at´ert´eke az e m´atrixnak, m´ask´eppen T invert´alhat´o m´atrix.) Jel¨olje π valamely tetsz˝oleges kezdeti eloszl´asnak az {1, . . . , d} halmazra es˝o r´esz´et (melyet sorvektornak tekint¨ unk) ´es e0 a csupa 1-et tartalmaz´o oszlopvektort. Defin´ıci´ o 5.3 Az F eloszl´asf¨ uggv´eny f´azis t´ıpus´ u, ha l´eteznek olyan d, T, π mennyis´egek, hogy a bel˝ ol¨ uk az el˝obb le´ırt m´odon fel´ep´ıthet˝ o Markov-l´ancban a0´ allapotba val´o elnyel˝od´esig sz¨ uks´eges id˝o eloszl´asf¨ uggv´enye ´eppen F . Az ´ıgy kapott eloszl´ast jel¨olje (π, T, d). (R´eszletesebben l´asd Neuts [29], Asmussen [2].) Alapvet˝o ¨osszef¨ ugg´es, hogy ekkor 1 − F (x) = πeT x e0 ,

(5.40)

µ = −πT −1 e0 . Ennek alapj´an tetsz˝oleges f¨ uggv´enyt f´azis t´ıpus´ unak mondunk, ha fel´ırhat´o (5.40) alakban.

79

T´ etel 5.10 Tegy¨ uk fel, hogy a klasszikus rizik´ofolyamatban Zi > 0 ´es eloszl´asuk f´azis t´ıpus´ u, melynek param´eterei (π, T, d). Ekkor Φ is f´azis t´ıpus´ u f¨ uggv´eny, a (π+ , Q, d) param´eterekkel, ahol λ π+ = − πT −1 . c

Q = T + t0 π+ ,

Bizony´ıt´ as: Mivel felt´etel¨ unk szerint Z1 > 0, ez´ert eloszl´asuknak a null´aban nincsen diszkr´et komponense, ´ıgy a megfelel˝o Markov-l´anc kezdeti eloszl´asa szerint a 0 ´allapot val´osz´ın˝ us´ege 0. M´ask´eppen fogalmazva πe0 = 1 . Ugyanakkor Z ∞ 1 − F (x) z

µ

Z ∞

dx =

z

πeT x e0 dx

1 = µ

1 −1 T z = πT e e0 . µ R

Mivel − µ1 πT −1 e0 = 1, ´es a −πT −1 = 0∞ eT z dz vektor nem negat´ıv elem˝ u, ez´ert az F0 eloszl´asf¨ uggv´eny is f´azis t´ıpus´ u eloszl´ast defini´al, melynek repre1 −1 zent´ansa (− µ πT , T, d). P

(∗k)

k Megmutatjuk, hogy ∞ is f´azis t´ıpus´ u eloszl´as. Ezt tal´an legk=1 α F0 egyszer˝ ubben a Markov-l´ancok szerkezet´et haszn´alva lehet megmutatni. Ha a Markov-l´anc intenzit´asm´atrixa T¯, akkor a Markov-l´anc fejl˝od´ese a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o le. Az i ´allapotban exponenci´alis eloszl´as´ u id˝ot t¨olt, melynek ¯ param´etere −Tii , majd ennek eltelt´evel ´atugrik valamely m´as ´allapotba. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a j ´allapotot v´alasztja (felt´eve, hogy az i ´allapotban ¯ volt), −Tij /T¯ii . Adott α mellett m´odos´ıtsuk a Markov-l´ancot u ´gy, hogy abban az esetben, ha az i > 0 ´allapotb´ol a 0 – elnyel˝o – ´allapotba ugrana a Markov-l´anc, akkor α val´osz´ın˝ us´eggel azonnal visszaugrik az 1, . . . , d 1 ´allapotok valamelyik´ebe, ´eppen a − µ πT −1 kezdeti eloszl´as szerint v´alasztva azokat. Elk´epzelhet˝o, hogy eredetileg az i ´allapotb´ol ugorva a 0 ´allapotba, onnan ism´et az i ´allapotba pattan vissza azonnal, ´ıgy az i ´allapotban t¨olt¨ott id˝o eloszl´asa megv´altozik, α val´osz´ın˝ us´eggel u ´jabb (−Tii ) param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u id˝ot t¨olt ott ´es ´ıgy tov´abb – ez pontosan az a konstrukci´o, mikor a Poisson-folyamatot ritk´ıtjuk –, ennek megfelel˝oen v´egeredm´enyk´eppen az i ´allapotban t¨olt¨ott id˝o ism´et exponenci´alis lesz, melynek param´etere most 1 1 T¯i0 (− πT −1 )i ) = −Tii − αT¯i0 (− πT −1 )i . −Tii (1 − α −Tii µ µ

80

Az i ´allapotban t¨olt¨ott id˝o lej´arta ut´an eredetileg (−Tij /Tii ) val´osz´ın˝ us´eggel ugrott a j > 0 ´allapotba a Markov-l´anc, azonban itt u ´jra figyelembe kell venni, hogy elk´epzelhet˝o, hogy u ´jabb ´es u ´jabb exponenci´alis eloszl´as´ u id˝oket t¨olt a Markov-l´anc az i ´allapotban – annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy k darab ilyen peri´odus ut´an k¨ovetkezik be egy t´enyleges i → j ugr´as (

T¯i0 1 1 Tij T¯i0 +α (− πT −1 )j )[α (− (πT −1 )i )]k , −Tii −Tii µ −Tii µ

´ıgy ¨osszegezve k = 1, 2, . . . szerint kapjuk, hogy a megfelel˝o ugr´as val´osz´ın˝ us´ege Tij T¯i0 + α −T (− µ1 πT −1 )j Tij + αT¯i0 (− µ1 πT −1 )j −Tii ii = . T¯i0 −Tii − αT¯i0 (− µ1 πT −1 )i 1 − α −T (− µ1 πT −1 )i ii

´Igy a m´odos´ıtott Markov-l´anc intenzit´asm´atrix´aban az 1, . . . , d ´allapotoknak megfelel˝o r´esz 1 T − αt0 πT −1 µ lesz. Teh´at az ´ıgy kapott eloszl´as is f´azis t´ıpus´ u, melynek param´eterei λ c 1 (− πT −1 , T − t0 πT −1 , d) = ( π+ , T + t0 π+ ) . µ c λµ Az (5.11) el˝oa´ll´ıt´asban a k = 0-nak megfelel˝o tagot u ´gy kaphatjuk meg – ez 1−(λµ)/c s´ ulyt jelent a nulla pontban –, ha m´odos´ıtjuk a kezdeti eloszl´ast. c Az {1, . . . , d} halmazra es˝o r´esz csak λµ/c legyen. Teh´at a λµ π+ kezdeti λµ eloszl´ast ki kell cser´elni annak c -szeres´ere. Azaz a kapott reprezent´aci´o Φ(u) ∼ (π+ , T + t0 π+ , d) . 2

5.5.

Az R Lundberg-kitev˝ o becsl´ ese

A gyakorlatban t¨obbnyire nem ismerj¨ uk sem az Nt Poisson-folyamat param´eter´et, sem a k´arig´enyek nagys´ag´at le´ır´o Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´as´at. ´Igy az R Lundberg-kitev˝o ´ert´ek´et sem tudjuk pontosan meghat´arozni. Ebben a r´eszben az R becsl´es´evel fogunk foglalkozni. 81





jel¨ol´est, ahol h(r) = E erZ1 − 1. Mivel Vezess¨ uk be a g(r) = h(r) − cr λ tudjuk, hogy R a g(r) = 0 egyenlet egyetlen pozit´ıv gy¨oke, ez´ert a g(r) f¨ uggv´enyt becs¨ ulj¨ uk el˝osz¨or, ´es ennek gy¨ok´et keress¨ uk meg. Ahhoz, hogy az ´ıgy kapott gy¨ok konverg´aljon g(r) gy¨ok´ehez, nem el´eg azt tudni, hogy a becsl˝o f¨ uggv´enysorozat minden pontban konverg´al a g f¨ uggv´enyhez, kell, hogy g deriv´altja a gy¨okhelyen pozit´ıv legyen. Legyen   NT NT −1 1 X rZk e − 1 − cr , GT (r) = NT k=1 T

ha NT > 0. (R¨ogz´ıtett T mellett GT csak az {NT > 0} halmazon ´ertelmes, azonban mivel NT → ∞ 1 val´osz´ın˝ us´eggel, ´ıgy az Ut kock´azati folyamat majdnem minden trajekt´ori´aja eset´en el˝obb vagy ut´obb ´ertelmes lesz GT (r) defin´ıci´oja.) T´ etel 5.11 Tegy¨ uk fel, hogy a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok 1-n´el kisebb val´osz´ın˝ us´eggel vehetik csak fel a 0 ´ert´eket, ´es c > λµ. (i) Ha h(r) v´eges R egy pozit´ıv sugar´ u k¨ornyezet´eben, akkor a GT (r) = 0 egyenletnek 1-hez tart´o val´osz´ın˝ us´eggel egyetlen pozit´ıv gy¨oke l´etezik. Jel¨ olje ezt RT . Ekkor RT → R 1 val´ osz´ın˝ us´eggel. √ (ii) Ha h(2R) v´eges, akkor T (RT − R) → N (0, σ 2 ) eloszl´asban, ahol σ 2 = g(2R)/[λ(g 0 (R))2 ] . Bizony´ıt´ as: A nagy sz´amok er˝os t¨orv´eny´enek v´eletlen tagsz´am´ u ¨osszegre val´o ´altal´anos´ıt´asa alapj´an minden r¨ogz´ıtett r ´ert´ek mellett, ahol h(r) v´eges, GT (r) → g(r), 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Ugyancsak, ha E(Z1 erZ1 ) < ∞, akkor G0T (r) → g 0 (r), 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Ha NT > 0, ´es a Zi , i = 1, . . . NT val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ak´armelyike nem nulla, akkor a GT (r) f¨ uggv´eny r-ben szigor´ uan konvex, r → ∞ eset´en szint´en a v´egtelenbe tart. Ugyanakkor, mivel a g f¨ uggv´eny deriv´altja a nulla helyen negat´ıv, ez´ert a GT (r) = 0 egyenletnek 1-hez tart´o val´osz´ın˝ us´eggel egyetlen pozit´ıv gy¨oke van. (i) Mivel R a g szigor´ uan konvex f¨ uggv´enynek a nullhelye, ugyanakkor c 0 0 g(0) = 0 ´es g (0) = µ − λ < 0, ez´ert g (R) > 0, ´ıgy alkalmas  > 0 eset´en g(R − ) < 0 ´es g(R + ) > 0 . 82

A GT f¨ uggv´eny pontonk´ent 1 val´osz´ın˝ us´eggel konverg´al a g f¨ uggv´enyhez, ez´ert 1-hez tart´o val´osz´ın˝ us´eggel a GT (r) = 0 egyenletnek az (R − , R + ) intervallumon van gy¨oke, mivel – mint l´attuk – a gy¨ok egy´ertelm˝ u, ez´ert RT → R 1 val´osz´ın˝ us´eggel. e ∈ [R, R ] ´ (ii) A k¨oz´ep´ert´ekt´etel szerint alkalmas R ek mellett T ert´ GT (RT ) − GT (R) e . = G0T (R) RT − R e → R, ´ıgy teh´ T → ∞ eset´en nyilv´anval´oan R at – kihaszn´alva, hogy G0T (r) monoton n¨ov˝o f¨ uggv´enye r-nek – kapjuk, hogy

GT (R) → −g 0 (R), 1 val´osz´ın˝ us´eggel . RT − R Ahhoz teh´at, hogy RT − R hat´areloszl´as´at meghat´arozzuk, sz¨ uks´eg¨ unk van GT (R) hat´areloszl´as´ara. ´Irjuk fel a GT (R) mennyis´eget az al´abbi alakban: √ T GT (R) = s  NT   T 1 X 1 T − τNT √ √ = eRZk − 1 − h(R) − cR(ζk − ) − cR T . NT NT k=1 λ NT Itt NT /T → λ, 1 val´osz´ın˝ us´eggel, T −τNT pedig eloszl´asban λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´ashoz tart. Ez ut´obbi ´all´ıt´as k¨ozvetlen sz´amol´assal kaphat´o a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´enek alkalmaz´as´aval az {NT = k}, k = 1, 2, . . . lehet˝os´egek figyelembev´etel´evel. Val´oban, P (T − τNT > z) = P (ζ1 > T )χ{T >z} +

∞ X

P (τk ≤ T − z, τk+1 > T ) =

k=1

= e−λT χ{T >z} +

∞ Z T −z X λk uk−1 −λu −λ(T −u) e e du =

(k − 1)!

k=1 0

= e−λT χ{T >z} + e−λT

Z T −z h

0

λeλu du = i

= e−λT χ{T >z} + e−λT eλ(T −z) − 1 .

83

A T → ∞ hat´ar´atmenetet alkalmazva kapjuk, hogy limT →∞ P (T − τNT > z) = e−λz . h



i

us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek, A eRZk − 1 − h(R) − cR(ζk − λ1 ) val´osz´ın˝ azonos eloszl´as´ uak, a h(2R) < ∞ felt´etel biztos´ıtja, hogy sz´or´asuk is v´eges.  2 [A sz´or´asn´egyzet¨ uk ´ert´eke h(2R) + 1 − (h(R) + 1)2 + cR = g(2R) .] Az λ ¨osszeadand´ok sz´ama ugyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, amely azonban aszimptotikusan konstans ´ert´ek˝ u, azaz NT /T → λ 1 val´osz´ın˝ us´eggel (el´eg lenne itt a sztochasztikus konvergencia is), ez´e√rt a centr´alis hat´areloszl´as-t´etel R´enyif´ele ´altal´anos´ıt´as´ab´ol ad´odik, hogy T GT (R) hat´areloszl´asa nulla v´arhat´o ´ert´ek˝ u, λ1 g(2R) sz´or´asn´egyzet˝ u norm´alis eloszl´as. Mivel a Cramer–Sluckij-lemma alapj´an, ha eloszl´asban konvergens val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ot olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okkal m´odos´ıtunk (hozz´aadjuk vagy szorozzuk vele), melyek sztochasztikusan konstanshoz tartanak, akkor a hat´areloszl´as a megfelel˝o konstansokkal line´arisan transzform´al´odik, ez´ert √ T (RT − R) → N (0, σ 2 ) , ahol σ 2 =

g(2R) λ(g 0 (R))2

.

2 Megjegyezz¨ uk, hogy σ 2 ´ert´ek´ere – mely t¨obbnyire ugyancsak nem ismert GT (2RT ) – konzisztens becsl´est ad a NT 0 ´ert´eke. Ez lehet˝ov´e teszi k¨ozel´ıt˝o 2 (G (R )) T T T konfidencia-intervallumok konstru´al´as´at R ´ert´ek´ere. Ha Ψ(u) ´ert´ek´et akarjuk becs¨ ulni, akkor sz¨ uks´eg¨ unk van az 5.6 t´etel bizony´ıt´as´aban bevezetett K1 , K2 konstansok becsl´es´ere. K1 (c − λµ) cT − ST Mivel = , ennek term´eszetes becsl´ese . Legyen 0 K2 (λg (R)) NT G0T (RT ) teh´at cT − ST −RT u e . ΨT (u) = NT G0T (RT ) R¨ogt¨on l´atszik, hogy a felt´etelek, melyek a Cramer–Lundberg-approxim´aci´ot biztos´ıtj´ak, elegend˝oek ahhoz, hogy a ΨT (u) → Ψ(u) 1 val´osz´ın˝ us´eggel 84

teljes¨ ulj¨on minden r¨ogz´ıtett u eset´en, ha T → ∞. Gyakorlatban, ha T ´ert´eke j´oval nagyobb, mint a vizsg´alni k´ıv´ant u ´ert´ek, akkor ΨT (u) pontosan becs¨ uli a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´eg´et. Ha azonban v´eges megfigyel´es-intervallum eset´en akarjuk nagyon nagy u ´ert´ekek mellett is becs¨ ulni a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´eg´et, akkor ´ovatosabban kell elj´arnunk. A k¨ovetkez˝o t´etel igaz: T´ etel 5.12 Ha h(2R) v´eges, ´es u → ∞, T → ∞ oly m´odon, hogy u √ → u˜ , T akkor

ΨT (u) log Ψ(u)

!

g(2R) → N 0, u˜ λ(g 0 (R))2

!

2

eloszl´asban. Az R Lundberg-kitev˝o becsl´es´enek norm´alis hat´areloszl´as´at biztos´ıt´o felt´etel a h(2R) mennyis´eg v´egess´ege volt. Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez nem egyszer˝ uen csak a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´as´anak gyors lecseng´es´ere adott felt´etel, mivel R ´ert´eke f¨ ugg c ´es λ ´ert´ek´et˝ol is. P´eld´aul abban az egyszer˝ u esetben is, mikor a k´arig´enyek exponenci´alis eloszl´as´ uak, a h(2R) < ∞ felt´etel azt jelenti, hogy c < 2λµ. ´Igy teh´at, ha c ´ert´eke t´ ul nagy az id˝oegys´egre es˝o ´atlagos k´ar ´ert´ek´ehez k´epest, akkor a√fenti norm´alis hat´areloszl´as-t´etel nem ´all fenn. Megmutathat´o, hogy ekkor a T helyett m´as norm´al´ast kell v´alasztani; a T (λµ)/c (RT − R) val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´onak van nemtrivi´alis hat´areloszl´asa (l´asd Feller [21]), mely u ´n. c/(c − λµ) kitev˝oj˝ u stabilis eloszl´as. Az 5.11 t´etelben R becsl´es´et a GT (r) f¨ uggv´eny gy¨okhelye seg´ıts´eg´evel hat´aroztuk meg. Ha T ´ert´eke v´altozik, akkor a GT f¨ uggv´eny is v´altozik, ´ıgy u ´jra meg kell hat´arozni a gy¨ok¨ot. Term´eszetes elgondol´as, hogy valamilyen rekurz´ıv s´em´at konstru´aljunk R becsl´es´ere, mely a kor´abbi becsl´es ´es az u ´j megfigyel´esek f¨ uggv´enyek´ent adja meg az u ´j becsl´est. Ilyen sztochasztikus approxim´aci´os m´odszert t´argyal Herkenrath [25] cikke.

5.6.

A cs˝ od s´ ulyoss´ ag´ anak elemz´ ese

Ebben az alfejezetben nemcsak azt vizsg´aljuk, hogy milyen val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik az, hogy a rizik´ofolyamat ´ert´eke negat´ıvv´a v´alik, hanem azt is, hogy mekkora lesz ´ert´eke, mikor el˝osz¨or ´atugrik a pozit´ıv tartom´anyb´ol negat´ıvba. 85

Mivel felt´etelez´es¨ unk szerint u ≥ 0, c > 0, ez´ert az ´atl´ep´es csak valamelyik k´aresem´eny jelentkez´esekor t¨ort´enhet, az ¨osszetett Poisson-folyamat valamelyik ugr´as´anak id˝opontj´aban. Legyen Tu = inf {t : Ut < 0} (az u ¨res halmaz infimuma legyen ∞). Ez teh´at a cs˝od id˝opontja. Legyen Ψ(u, y) = P (Tu < ∞, UTu > −y) ,

(5.41)

teh´at annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t¨onkremen´es pillanat´aban a hi´any ´ert´eke nem nagyobb, mint y. Bowers–Gerber–Hickman–Jones–Nesbitt [6] k¨onyv´eben szerepel, hogy ekkor Ψ(0, y) =

Z y λ 0

c

(1 − F (x))dx .

(5.42)

Ezen eredm´eny felhaszn´al´as´aval Gerber ´es Goovaerts [24] igazolt´ak, hogy Ψ(u, y) kiel´eg´ıti az al´abbi integr´alegyenletet: λZ u λ Z u+y Ψ(u, y) = Ψ(u − z, y)(1 − F (z))dz + (1 − F (z))dz . c 0 c u (y = ∞ eset´en visszakapjuk az (5.19) egyenletet.) Gerber ´es Goovaerts gondolatmenete felhaszn´alja az (5.42) eredm´enyt. Az egyenlet fel´ır´as´ahoz u kezd˝ot˝oke mellett aszerint haszn´alja a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et, hogy mikor k¨ovetkezik be el˝osz¨or az, hogy a pillanatnyi t˝oke ´ert´eke a kezd˝o´ert´ek al´a zuhan, ´es ekkor mennyivel kisebb ann´al. Most egy olyan bizony´ıt´as´at adjuk a t´etelnek, mely az 5.6 t´etel bizony´ıt´as´aban haszn´alt gondolatmeneten alapul. T´ etel 5.13 Az (5.41) k´epletben defini´alt Ψ(u, y) f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti a Ψ(u, y) =

λZ u λ Z u+y Ψ(u − z, y)(1 − F (z))dz + (1 − F (z))dz c 0 c u

(5.43)

integr´ alegyenletet. Tegy¨ uk fel, hogy c > λµ. Legyen R a h(r)/r = λ/c egyenlet pozit´ıv gy¨oke. Ha h(r) v´eges R egy pozit´ıv k¨ornyezet´eben, akkor e−Ru adja meg Ψ(u, y) konvergenciasebess´eg´et. Ekkor Ru

lim e Ψ(u, y) =

u→∞

λ R ∞ Ru R u+y (1 − F (z))dzdu e u c 0 h i λ 0 (R) − c h cR λ

86

.

(5.44)

Az 5.13 t´etel m´asodik ´all´ıt´asa az u → ∞ felt´etel melletti aszimptotik´at t´argyalja azon felt´etelez´es mellett, hogy az R Lundberg-kitev˝o l´etezik, speci´alisan teh´at, hogy a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´asa exponenci´alis sebess´eggel cseng le. Az enn´el s´ ulyosabb farokeloszl´assal rendelkez˝o Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okra vonatkoz´o ´all´ıt´asokat, azok bizony´ıt´as´anak terjedelmess´ege miatt, k¨ ul¨on r´eszben, az 5.6.1. szakaszban t´argyaljuk. Bizony´ıt´ as: ζ1 , az els˝o k´aresem´eny id˝opontja ´es Z1 , a k´ar nagys´aga szerint alkalmazva a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et, kapjuk, hogy Ψ(u, y) = E (Ψ(u + cζ1 − Z1 , y)) = =

Z ∞ 0

λe

−λs

Z u+cs 0

Ψ(u + cs − z, y)dF (z) +

Z u+cs+y u+cs



dF (z) ds .

Az x = u + cs v´altoz´ocsere ut´an a Ψ(u, y) =

Z x  Z ∞ Z x+y λ λu/c −λx/c e e Ψ(x − z, y)dF (z) + dF (z) dx . u

c

0

x

(5.45)

Mivel megint a fenti egyenlet jobb oldal´an u csak az integr´al´asi hat´arban ´es az exponenci´alis mennyis´eg kitev˝oj´eben jelenik meg, ez´ert Ψ(u, y) u-ban vett monotonit´asa biztos´ıtja, hogy a jobb oldal u folytonos f¨ uggv´enye, teh´at Ψ(u, y) folytonos, s˝ot abszol´ ut folytonos is. Hat´arozzuk meg az u v´altoz´o szerinti s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt, majd azt integr´aljuk a (0, t) intervallumon. Parci´alisan integr´alva a jobb oldalon, kapjuk, hogy Ψ(t, y)−Ψ(0, y) =



λ Z t Z u+y λZ tZ u Ψ(u−z, y)d(1−F (z))du− dF (z)du + c 0 0 c 0 u λZ t + Ψ(u, y)du = c 0 

Z u λZ t = Ψ(0, y)(1 − F (u)) − Ψ(u, y) + Ψ0 (u − z)(1 − F (z))dz du − c 0 0 λ Z t Z u+y λZ t − dF (z)du + Ψ(u, y)du = c 0 u c 0 λZ t = (1 − F (z))(Ψ(t − z, y) − Ψ(0, y))dz − c 0 Z t λ Z t Z u+y λ − dF (z)du + Ψ(0, y) (1 − F (u))du . c 0 u c 0

87

Teh´at Ψ(u, y) = Ψ(0, y) +

λZ u λ Z u Z t+y Ψ(u − z, y)(1 − F (z))dz − dF (z)dt . c 0 c 0 t (5.46)

A c > λµ felt´etelt haszn´alva, ism´et csak ad´odik, hogy limu→∞ Ψ(u, y) = 0. Tekintve most aR fenti egyenletben is az u → ∞ hat´ar´atmenetet, ´es kihaszn´alva, hogy 0∞ (1 − F (z))dz = µ < ∞, kapjuk, hogy λ Z ∞ Z t+y λZ y Ψ(0, y) = dF (z)dt = (1 − F (z))dz . c 0 t c 0 Ezt visszahelyettes´ıtve a λ Z u+y λZ u Ψ(u, y) = (1 − F (z))dz + Ψ(u − z, y)(1 − F (z))dz c u c 0

(5.47)

egyenlethez jutunk. Ez a bizony´ıtand´o (5.43) ¨osszef¨ ugg´es. Az (5.43) egyenlet ism´et nem teljes fel´ uj´ıt´asi egyenlet. Mivel ez az (5.19) egyenlett˝ol csak a konstans tagban k¨ ul¨onb¨ozik, ez´ert ugyanazt a m´odszert alkalmazhatjuk, azaz ugyanolyan feltev´esek mellett, ugyanolyan m´odszerrel alak´ıthatjuk ´at fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e. Ez a felt´etel az R Lundberg-kitev˝o l´etez´ese volt. Az ´ıgy ad´od´o fel´ uj´ıt´asi egyenletre m´ar haszn´alhatjuk az 5.5 t´etelt. A hat´ar´ert´eket le´ır´o t¨ort nevez˝oje term´eszetesen megegyezik a kor´abbi K2 ´alland´oval. Ez´ert Ru

lim e Ψ(u, y) =

u→∞

λ R ∞ Ru R u+y e (1 − F (z))dzdu u c 0 h i λ 0 (R) − c h cR λ

.

2 A kor´abbi – Ψ(u)-ra vonatkoz´o – hat´ar´ert´ekt´etelben a sz´aml´al´o ´ert´ek´et egyszer˝ ubb alakra tudtuk hozni. Ennek nagys´ag´ara (1/R)(1 − (λµ)/c) ad´odott. Most ism´et parci´alis integr´al´ast alkalmazva megmutathat´o, hogy !

1 λµ λ Z ∞ Ru Z u+y (1 − F (z))dzdu = e 1− + c 0 R c u  Z ∞ Z ∞ λ Rz −Ry e (1 − F (z))dz . + (1 − F (z))dz − e cR y y 88

Ez y f¨ uggv´ eben exponenci´alis sebess´eggel (mivel h(R + ) < ∞) tart az  eny´ λµ 1 1 − c ´ert´ekhez. R Megjegyz´ es: A bizony´ıt´as k¨ozben megkaptuk, hogy 0 kezd˝ot˝oke eset´en annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t¨onkremen´ es pillanat´aban a folyamat ´ert´eke yR n´al nagyobb, ´eppen Ψ(0, y) = λc 0y (1 − F (z))dz. Ez mutatja, hogy Ψ(0, y) az y v´altoz´o deriv´alhat´o f¨ uggv´enye. Ugyancsak bizony´ıthat´o, hogy tetsz˝oleges u eset´en Ψ(u, y) y-szerint deriv´alhat´o. Megjegyz´ es: Az (5.43) egyenlet ´altal´anos esetben nehezen megoldhat´o. Azonban bevezetve a Z ∞ ¯ Ψ(r, y) = eru Ψy (u, y)du 0

transzform´altat, ahol Ψy (u, y) jel¨oli az y szerinti deriv´altat, ennek ´ert´eke kisz´amolhat´o. Ugyanis tekintve az (5.43) egyenlet mindk´et oldal´anak transzform´altj´at, ´es a jobb oldalon az x = u−z v´altoz´o transzform´aci´ot v´egrehajtva a Z ∞ Z ∞ λ ¯ y) = λ Ψ(r, ¯ y) Ψ(r, erz (1 − F (z))dz + e−ry erz (1 − F (z))dz c c 0 y egyenletet kapjuk, melyb˝ol ¯ y) = Ψ(r,

λ −ry R ∞ rz e y e (1 − F (z))dz i hc R 1 − λc 0∞ erz (1 − F (z))dz

.

¯ y) invert´al´asa nem minA teljess´eg kedv´e´ert meg kell jegyezn¨ unk, hogy Ψ(r, dig egyszer˝ u feladat. Megjegyz´ es: Az (5.43) integr´alegyenlet m´as alakban is ´ırhat´o. R¨ogz´ıts¨ uk le y ´ert´ek´et. Legyen f (z) = χ(−y,0) ´es g(u) = E[f (u + cTu − STu )] ,

u ∈ R eset´en.

Vegy¨ uk ´eszre, hogy ez ´eppen a Ψ(u, y) f¨ uggv´eny mint u f¨ uggv´enye, melyr˝ol tudjuk, hogy u szerint abszol´ ut folytonos. A (5.43) integr´alegyenlettel ekvivalens Ψ(t, y) − Ψ(0, y) = λZ t λZ tZ u = Ψ(u, y)du + Ψ(u − z, y)d(1 − F (z))du − c 0 c 0 0 λ Z t Z u+y − dF (z)du c 0 u 89

egyenlet mindk´et oldal´anak u szerinti s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et v´eve kapjuk, hogy g 0 (u) =

λ λZ u λ Z u+y g(u) − g(u − z)dF (z) − dF (z) . c c 0 c u

Mivel g(u) = 0, ha u ≤ −y, ´es g(u) = 1, ha −y < u < 0, ez´ert ezt ´ıgy is ´ırhatjuk: λZ ∞ (g(u − z) − g(u))dF (z) . g (u) = − c 0 0

(5.48)

Megmutatjuk, hogy ez az fenn´all akkor is, ha az f f¨ uggv´enyt egy el´eg b˝o oszt´alyb´ol v´alasztjuk. T´ etel 5.14 Legyen f a negat´ıv val´os sz´amokon ´ertelmezett, korl´atos, m´erhet˝o f¨ uggv´eny, ´es g(u) = E[f (u + cTu − STu )]. Ekkor g abszol´ ut folytonos, ´es 0 Radon–Nikodym-deriv´ altja, melyet g jel¨ol, kiel´eg´ıti a λZ ∞ g (u) = − (g(u − z) − g(u))dF (z) c 0 0

(5.49)

egyenletet. Bizony´ıt´ as: (Megjegyz´es: a Markov-folyamatok nyelv´en az ´all´ıt´as u ´gy is megfogalmazhat´o, hogy a jobb oldalon szerepl˝o oper´ator a Pt − St Markovfolyamat gener´atora.) A bizony´ıt´as a megszokott approxim´aci´os gondolatmeneten alapul. Azon f f¨ uggv´enyek oszt´alya, mely eleget tesz az egyenletnek, z´art a line´aris kombin´aci´ora. Megmutatjuk, ha tetsz˝oleges nemnegat´ıv f f¨ uggv´enyt monoton n¨ovekedve k¨ozel´ıt¨ unk l´epcs˝os f¨ uggv´enyekkel, akkor a hat´ar´atmenet az egyenlet mindk´et oldal´an elv´egezhet˝o. Ehhez el˝osz¨or vegy¨ uk az (5.49) mindk´et oldal´anak integr´alj´at u < v k¨oz¨ott: g(v) − g(u) = −

λZ vZ ∞ (g(s − z) − g(s)dF (z)ds . c u 0

(5.50)

Mivel az f = χ{−y,0} alak´ u f¨ uggv´enyekre teljes¨ ul (5.50), ez´ert l´epcs˝os f¨ uggv´enyekre is. Ha most 0 ≤ f ≤ K ´es az fn nemnegat´ıv l´epcs˝os f¨ uggv´enyek monoton n¨ovekedve tartanak f -hez majdnem minden¨ utt, akkor gn (u) → g(u) ´es 0 ≤ gn (u) ≤ K. Ez´ert a fenti egyenlet mindk´et oldal´an elv´egezhet˝o a 90

hat´ar´atmenet, ´es kapjuk, hogy a hat´ar´ert´ek g f¨ uggv´eny is kiel´eg´ıti az egyenletet. Azonban tetsz˝oleges korl´atos f fel´ırhat´o k´et nemnegat´ıv f¨ uggv´eny k¨ ul¨onbs´egek´ent, teh´at ´ıgy korl´atos f f¨ uggv´enyekre is igaz az egyenlet. Mivel a jobb oldalon v csak az integr´al´as hat´arak´ent jelenik meg, ez´ert a kapott g f¨ uggv´eny abszol´ ut folytonos, ´es a Radon–Nikodym-deriv´altja kiel´eg´ıti az (5.49) egyenletet. 5.6.1.

A cs˝ od s´ ulyoss´ ag´ anak elemz´ ese kiemelked˝ o egyedi k´ arok eset´ en

Az 5.13 egyenlet levezet´es´ehez a k´ar nagys´ag´at megad´o Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´as´ar´ol keveset kellett feltenn¨ unk. Azonban a cs˝od s´ ulyoss´aga aszimptotikus viselked´es´enek le´ır´as´ahoz m´ar kihaszn´altuk, hogy bizonyos felt´etelek mellett a kapott integr´alegyenlet fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e alak´ıthat´o ´at. Ebben a r´eszben olyan Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´en vizsg´aljuk meg ezt a k´erd´est, melyekre ez az ´atalak´ıt´as nem v´egezhet˝o el, melyek eloszl´asa lassan cseng le. Nem az integr´alegyenletb˝ol ad´od´o v´egtelen sor el˝oa´ll´ıt´asb´ol indulunk ki, hanem azokat az id˝opontokat vizs´aljuk, ahol a t˝oke pillanatnyi ´ert´eke a megel˝oz˝o id˝ointervallumon vett minimuma al´a cs¨okken. Az els˝o ilyen az az id˝opont lesz, amikor a t˝oke ´ert´eke a kezdeti u ´ert´ek al´a esik; vagy m´ask´eppen fogalmazva, amikor 0 kezd˝ot˝oke eset´en cs˝od k¨ovetkezik be. Ezt az id˝opontot jel¨olte T0 , ´es ebben az id˝opontban v´eve a t˝oke pillanatnyi ´ert´ek´et, annak eloszl´asf¨ uggv´eny´et Ψ(0, y) adja meg. Pontosabban fogalmazva P (T0 < ∞, ST0 − cT0 < y) = Ψ(0, y) . Ugyanakkor az (5.42) egyenlet alapj´an Ψ(0, y) = αF0 (y) , ahol α = ez´ert

λµ 1Zy , F0 (y) = (1 − F (z)) dz. Mivel Ψ(0) = P (T0 < ∞) = α, c µ 0 P (ST0 − cT0 < y | T0 < ∞) = F0 (y) .

91

Defini´aljuk teh´at rekurz´ıvan az al´abbi id˝opontokat: τ+ (0) = 0 , τ+ (1) = T0 ,

n

o

τ+ (k + 1) = inf t > τ+ (k) | St − ct > Sτ+ (k) − cτ+ (k) . Vegy¨ uk ´eszre, hogy mivel az St − ct folyamat ´ert´eke csak a k´arsz´amot megad´o Nt folyamat ugr´asainak id˝opontj´aban n¨ovekedhet, ´ıgy a τ+ (k) id˝opontok ´ert´ekei is ezek k¨oz¨ ul ker¨ ulnek ki, teh´at a τj , j = 0, 1, . . . halmazb´ol. A megfelel˝o indexeket jel¨olje ν1 , ν2 , . . . . Azaz τ+ (j) = τνj . Vezess¨ uk be a κ1 = Sτ+ (1) − cτ+ (1) κj =









Sτ+ (j) − cτ+ (j) − Sτ+ (j−1) − cτ+ (j − 1) , j = 2, 3, . . . ,

jel¨ol´eseket azzal a megk¨ot´essel, hogy a κj mennyis´eget csak a τ+ (j) < ∞ r´eszhalmazon ´ertelmezz¨ uk. Ekkor teh´at P (κ1 < y | τ+ (1) < ∞) = F0 (y) , y ≥ 0 . A k¨ovetkez˝o lemm´aban a κj mennyis´egek egy¨ uttes eloszl´as´at jellemezz¨ uk. Lemma 5.2 Tegy¨ uk fel, hogy λ > 0, µ > 0. Ekkor P (τ+ (j) < ∞) > 0 tetsz˝oleges j ≥ 0 eset´en. Ezen t´ ulmen˝ oen, P (τ+ (j) < ∞) = P (τ+ (1) < ∞)j . h



i

Tov´ abb´ a a κ1 , . . . , κj , (St − ct) − Sτ+ (j) − cτ+ (j)

t≥τ+ (j)

mennyis´egek

a τ+ (j) < ∞ esem´enyre vonatkoz´oan felt´etelesen f¨ uggetlenek, ´es eloszl´asuk megegyezik κ1 -nek a τ+ (1) < ∞ szerinti felt´eteles eloszl´as´ aval (ezt j-szer v´eve), illetve az (St − ct)t≥0 folyamat eloszl´as´ aval. Bizony´ıt´ as: Ha c ≤ λµ, akkor Ψ(u) = 1, ha pedig c > λµ, akkor az > 0. Teh´at P (τ+ (1) < ∞) > 0. (5.10) egyenlet alapj´an Ψ(0) = λµ c 92

Ha megmutatjuk a τ+ (1) < ∞ esem´eny szerinti felt´eteles eloszl´asokra vonatkoz´o ´all´ıt´ast, akkor az St −ct folyamat τ+ (1) ut´ani n¨ovekm´eny´ere megint alkalmazhatjuk, hogy annak ´ert´eke pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel 0 f¨ol´e n˝o, teh´at az eredeti folyamatra P (τ+ (2) < ∞) > 0. Teljes indukci´ot alkalmazunk teh´at. Tegy¨ uk fel, hogy P (τ+ (j) < ∞) > 0, ´es vizsg´aljuk a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eget. Mivel a kock´azati folyamat ´ert´eke line´arisan v´altozik az ugr´aspontok k¨oz¨ott, ez´ert a vizsg´aland´o v´altoz´ok eloszl´as´at az ugr´asok nagys´aga ´es a k¨oz¨ott¨ uk eltelt id˝o hat´arozza meg. Ez´ert vezess¨ uk be az Yj = Zj − ζj , Xk =

k X

Yj , X 0 = 0

j=1

jel¨ol´eseket. Ekkor κj = Xνj − Xνj−1 . Tov´abb´a legyen α = min(λµ/c, 1). Legyenek f1 , . . . fj korl´atos, egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek, m´ıg g korl´atos lv´altoz´os f¨ uggv´eny, ahol l ≥ 1 r¨ogz´ıtett sz´am. Ekkor 

E f1 (κ1 ) · · · fj (κj )g(Yνj +1 , . . . , Yνj +l ) | τ+ (j) < ∞





=

=

j X Y 1 E  fi (Xki − Xki−1 )× P (τ+ (j) < ∞) 0=k0


× g(Ykj +1 , . . . , Ykj +l )χ{ν1 =k1 ,...,νj =kj } = 1 = j α

j h Y

X

0=k0


E fi (Xki − Xki−1 )χ{νi −νi−1 =ki −ki−1 } 

i

×



× E g(Ykj +1 , . . . , Ykj +l ) , ahol kihaszn´altuk az egyes t´enyez˝ok f¨ uggetlens´eg´et ´es a P (τ+ (j) < ∞) ´ert´ek´ere vonatkoz´o indukci´os feltev´est. Mivel azonban az Y1 , Y2 , . . . sorozat azonos eloszl´as´ u, f¨ uggetlen v´altoz´okb´ol ´all, ez´ert tov´abb ´ırhatjuk, hogy 



E f1 (κ1 ) · · · fj (κj )g(Yνj +1 , . . . , Yνj +l ) | τ+ (j) < ∞ 

=

 j   Y 1 = E fi (Xν1 )χ{ν1 <∞}  E (g(Y1 , . . . , Yl )) . i=1

α

93

Alkalmazva ezt az ¨osszef¨ ugg´est rendre u ´gy, hogy egyetlen fi , illetve g f¨ uggv´enyt˝ol eltekintve a t¨obbit az azonosan egy ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enynek v´alasztjuk, kihaszn´alva, hogy P (τ+ (1) < ∞) = P (ν1 < ∞) = α, kapjuk, hogy E (fi (κi ) | τ+ (j) < ∞) =

 1  E fi (Xν1 )χ{ν1 <∞} = α

= E (fi (Xν1 ) | τ+ (1) < ∞) = = E (fi (κ1 ) | τ+ (1) < ∞) , 



E g(Yνj +1 , . . . , Yνj +l ) | τ+ (j) < ∞

= E (g(Y1 , . . . , Yl )) ,

bizony´ıtva az indukci´os l´ep´est, ´es ezzel az ´all´ıt´ast. 2 A k¨ovetkez˝o t´etel kiemelked˝o egyedi k´arok eset´en vizsg´alja az esetleg bek¨ovetkez˝o cs˝od s´ ulyoss´ag´anak eloszl´as´at. T´ etel 5.15 Tegy¨ uk fel, hogy a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok F eloszl´ asf¨ uggv´enye alapj´an elk´esz´ıtett 1Zz F0 (z) = (1 − F (t)) dt µ 0 eloszl´asf¨ uggv´eny szubexponenci´ alis. Legyen Q0 a megfelel˝ o eloszl´as. (u) Jel¨ olje Q0 ezen eloszl´as u feletti ´ert´ekei u-hoz k´epesti elt´er´es´enek azon felt´etel szerint vett felt´eteles eloszl´as´ at, hogy a v´altoz´ o ´ert´eke nagyobb, mint u. Azaz F0 (u + z) − F0 (u) (u) Q0 ((0, z)) = . 1 − F0 (u) Tov´ abb´ a jel¨olje R(u) a cs˝od s´ ulyoss´ ag´ anak felt´eteles eloszl´as´ at. Teh´ at R(u) (B) = P ((STu − cTu − u) ∈ B | Tu < ∞) , ahol Tu az az id˝opont, amikor u kezd˝ ot˝ oke mellett a t˝oke pillanatnyi ´ert´eke negat´ıvv´ a v´alik. Tu = inf{t ≥ 0 | Ut < 0}. Ekkor – λµ < c eset´en – 

(u)

limu→∞ d R(u) , Q0 ahol a d t´avols´ agot (4.1) defini´alja. 94



=0,

(5.51)

Bizony´ıt´ as: Az Ut folyamat ´ert´eke a kor´abbi minimuma al´a csak a τ+ (j) id˝opontokban cs¨okkenhet, teh´at a cs˝od is csak ezekben az id˝opontokban k¨ovetkezhet be. Legyen n

Ku = inf k | Sτ+ (k) − cτ+ (k) > u

o

.

Ekkor Tu = τ+ (Ku ) . Az u kezd˝ot˝oke mellett a cs˝od s´ ulyoss´ag´at a κ1 + · · · + κKu − u mennyis´eg (u) adja meg. Teh´at a R (B) = P ((κ1 + · · · + κKu − u) ∈ B | Tu < ∞) . Vezess¨ uk be az Ak (u) = {κ1 + · · · + κk−1 ≤ u, κ1 + · · · + κk > u} ´es az Aek (u) = {κk > u} jel¨ol´eseket – bele´ertve azt, hogy Ak (u) ⊂ {τ+ (k) < ∞} ´es Aek (u) ⊂ {τ+ (k) < ∞}, hiszen ez sz¨ uks´eges ahhoz, hogy κ1 , . . . , κk mind ´ertelmezve legyenek. Ekkor R(u) (B) = ∞ X 1 = P ((κ1 + · · · + κk − u) ∈ B, τ+ (k) < ∞, Ku = k) = P (Tu < ∞) k=1 = =

∞ X 1 P ((κ1 + · · · + κk − u) ∈ B, Ak (u), τ+ (k) < ∞) = P (Tu < ∞) k=1 ∞ X 1 P ((κ1 + · · · + κk − u) ∈ B, Ak (u) | τ+ (k) < ∞) × P (Tu < ∞) k=1 ×P (τ+ (k) < ∞) .

Megmutatjuk, hogy az Ak (u) esem´enyeket az Aek (u) esem´enyekkel helyettes´ıtve, a hiba aszimptotikusan elhanyagolhat´o lesz. Ehhez vegy¨ uk ´eszre, hogy a κ1 , . . . , κk v´altoz´ok nem negativit´asa miatt Ak (u) ◦ Aek (u) ⊂ {κ1 + · · · + κk > u, max (κ1 , . . . , κk ) ≤ u} ∪ ∪ {κ1 + . . . κk−1 > u, κk > u} , ahol ◦ a halmazok szimmetrikus differenci´aj´at jel¨oli. Ez´ert 



P Ak (u) ◦ Aek (u) | τ+ (k) < ∞

≤

≤ P (κ1 + · · · + κk > u | τ+ (k) < ∞) − − P (max (κ1 , . . . , κk ) > u | τ+ (k) < ∞) + + P (κ1 + · · · + κk−1 > u | τ+ (k) < ∞) P (κk > u | τ+ (k) < ∞) . 95

Az Ak (u) → Aek (u) csere sor´an elk¨ovetett hiba a "

∞ 1 − F0 (u) X P (κ1 + · · · + κk > u | τ+ (k) < ∞) αk − P (Tu < ∞) k=1 1 − F0 (u)

P (max (κ1 , . . . , κk ) > u | τ+ (k) < ∞) + 1 − F0 (u) # P (κk > u | τ+ (k) < ∞) + P (κ1 + · · · + κk−1 > u | τ+ (k) < ∞) 1 − F0 (u) −

mennyis´eggel becs¨ ulhet˝o, hiszen P (τ+ (k) < ∞) = αk . Az 5.2 lemma alapj´an a κ1 , . . . , κk mennyis´egeknek a τ+ (k) < ∞ felt´etel szerinti felt´eteles eloszl´asf¨ uggv´enye F0 , teh´at a feltev´es szerint szubexponenci´alis. Minden egyes ¨osszeadand´o harmadik tagj´aban l´ev˝o t¨ort ´ert´eke ´eppen 1, tov´abb´a a szubexponenci´alis eloszl´asf¨ uggv´eny defin´ıci´oj´at kihaszn´alva l´atszik, hogy r¨ogz´ıtett k mellett, u → ∞ eset´en az ¨osszeadand´ok null´ahoz tartanak. Emellett az ¨osszeadand´ok els˝o tagj´ara az 5.1 lemma alapj´an a K(1 + ε)k , a harmadik tagra 1 fels˝o becsl´es adhat´o. Mivel a negat´ıv el˝ojel˝ u m´asodik tag abszol´ ut ´ert´ekben kisebb,h mint az els˝o, iez´ert azt elhagyva a sor tagjait u szerint egyenletesen az αk K(1 + ε)k + 1 becs¨ uli, amely kicsi ε eset´en ¨osszegezhet˝o. Lebesgue-t´etele teh´at alkalmazhat´o, az ¨osszeg null´ahoz tart. Ugyanakkor az 5.1 t´etel alapj´an az els˝o szorz´o hat´ar´ert´eke 1−α , azaz az α elk¨ovetett hiba – a B halmaz szerint egyenletesen – null´ahoz tart. A t´etel bizony´ıt´as´ahoz a ∞ 1−α X P ((κ1 + . . . κk − u) ∈ B, κk > u | τ+ (k) < ∞) αk α k=1 1 − F0 (u)

(5.52)

mennyis´eg aszimptotik´aj´at kell elemezn¨ unk. A τ+ (k) < ∞ felt´etel mellett a κ1 , . . . , κk v´altoz´ok f¨ uggetlenek, eloszl´as´ f¨ uggv´enny¨ uk F0 . Igy speci´alisan 1 − F0 (u) = P (κk > u | τ+ (k) < ∞) . Teh´at az egyes ¨osszeadand´okban szerepl˝o t¨ort P ((κ1 + · · · + κk − u) ∈ B | κk > u, τ+ (k) < ∞) 96

(u)

alakban is ´ırhat´o. A kapott eloszl´as nem m´as, mint Q0 -nak k − 1-szeres (∗(k−1)) (u) konvol´ uci´oja a Q0 eloszl´assal, azaz Q0 ∗ Q0 . Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges G eloszl´as eset´en 

(u)

(u)

d Q0 ∗ G, Q0



→0,

(5.53)

ha u → ∞.

1 − F (u + z) (u) (u) Val´oban, jel¨olje f0 (z) = R ∞ ur˝ us´egf¨ ugga Q0 eloszl´as s˝ (1 − F (t)) dt u (u) v´eny´et. (Ha z ≥ 0. A z < 0 tartom´anyon pedig f0 (z) = 0.) Ekkor B ⊂ (0, ∞) eset´en Z ∞ Z    (u) (u) (u) (u) Q0 ∗ G(B) − Q0 (B) = f0 (z − t) − f0 (z) dy dG(t) ≤ 0 B Z ∞ Z   (u) (u) dG(t) = ≤ f (z − t) − f (z) dy 0 0 0 B  Z ∞ Z t Z ∞  (u)

=

0

0

f0 (z) dz + = 2 = 2

(u)

(u)

f0 (z − t) − f0 (y) dz

t

Z ∞ Z t (u) 0

0

f0 (z) dz dG(t) =

Z ∞ F0 (t + u) − F0 (u)

1 − F0 (u)

0

dG(t) =



dG(t) ,

(u)

ahol a harmadik l´ep´esben kihaszn´altuk az f0 f¨ uggv´eny monotonit´as´at. Mivel a kapott becsl´es nem f¨ ugg a B halmazt´ol ´es u → ∞ eset´en az integrandus az 5.1 lemma alapj´an pontonk´ent null´ahoz tart, ´ıgy Lebesgue t´etel´enek alkalmaz´as´aval ad´odik, hogy (5.53) teljes¨ ul. Alkalmazva az (5.53) ¨osszef¨ ugg´est az (5.52) sor minden egyes tagj´aban, ´es kihaszn´alva, hogy a d t´avols´ag ´ert´eke legfeljebb 1, ad´odik, hogy (u)

Q0 (B) − − (1 − α)

∞ X

αk−1 P ((κ1 + · · · + κk − u) ∈ B | κk > u, τ+ (k) < ∞) → 0 ,

k=1

ha u → ∞, a B halmaz szerint egyenletesen. Ez igazolja a t´etel ´all´ıt´as´at. 2 P´ elda (Pareto-eloszl´ as) Tegy¨ uk fel, hogy a Zi val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok eloszl´asa Pareto-eloszl´ as, azaz 

P (Zi > z) = 1 + 97

z θ

−α−1

,

z > 0 eset´en, ahol θ > 0, α > 0. Ekkor 



1 Z∞ t −α−1 1+ dt = E(Z1 ) z θ   θ z −α = 1+ , E(Z1 )α θ

1 − F0 (z) =

ez´ert



1 − F0 (u + z) z = 1+ 1 − F0 (u) θ+u

(u)

1 − F0 (z) = (u)

−α

,

(u)

ahol F0 a Q0 eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´enye. Az a(u) = θ+u sk´ a l´ a z´ o f¨ u ggv´ e nyt v´alasztva kapjuk, hogy α 

(u)

1 − F0 (a(u)z) = 1 +

z α

−α

.

K¨ovetkez´esk´eppen 

lim P (STu

u→∞

z − cTu − u > a(u)z | Tu < ∞) = 1 + α

−α

.

P´ elda (Weibull-eloszl´ as) Tegy¨ uk fel, hogy a Zi val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok eloszl´asa Weibull-eloszl´as, azaz α

P (Zi > z) = e−z , z > 0 eset´en, ahol 0 < α < 1. Ekkor 1 Z ∞ −tα 1 − F0 (z) = e dt . E(Z1 ) z Mivel

d t1−α −tα − e dt α

!





1 − α −α −tα α = 1− t e < e−t , α

ugyanakkor tetsz˝oleges ε > 0 eset´en el´eg nagy t ´ert´ekekre a k´et oldal h´anyadosa legfeljebb 1 + ε, teh´at 1 − F0 (z) 1 z 1−α e−zα E(Z1 )α 98

→1,

(u)

z → ∞ eset´en. Ennek megfelel˝ oen 1 − F0 (z) = szimptotikusan megegyezik

1 − F0 (u + z) ´ert´eke a1 − F0 (u)

(u + z)1−α −(u+z)α +uα e u1−α ´ert´ek´evel. Az a(u) = limu→∞

u1−α sk´al´ az´ of¨ uggv´enyt v´alasztva α (u + a(u)z)1−α −(u+a(u)z)α +uα e = u1−α   z 1−α −uα [(1+ αuzα )α −1] = limu→∞ 1 + e = αuα = e−z .

Teh´ at limu→∞ P (STu − cTu − u > a(u)z | Tu < ∞) = e−z .

P´ elda (lognorm´ alis eloszl´ as) Tegy¨ uk fel, hogy a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok eloszl´asa lognorm´ alis. Ekkor 1 − F0 (z) =

2 1 (ln x−µ) 1 1 Z ∞Z ∞ √ e− 2 σ2 dx dt = E(Z1 ) z t 2πσx

2 1 Z ∞ x − z − 12 (ln x−µ) σ2 = √ e dx . x 2πσ z

V´alasszuk az a(u) =

σ2 u ln u−µ

sk´al´ az´ ot´enyez˝ ot. Kihaszn´alva, hogy 0

limu→∞ a (u) = 0 , a(u) = 0, limu→∞ u

99

kapjuk, hogy 



(u)

limu→∞ 1 − F0 (a(u)z)

1 − F0 (u + a(u)z) = 1 − F0 (u)

= limu→∞

R∞

= limu→∞

x−u−a(u)z − 12 (ln x−µ) σ2 e u+a(u)z x

R ∞ x−u e u x

(ln x−µ)2 − 12 σ2

0

= limu→∞

(−1 − a (u)z) − 

0

(

2

dx

=

dx 2 1 (ln x−µ) σ2

R∞

1 −2 u+a(u)z x e

R∞ 1 u xe

= limu→∞ 1 + a (u)z

2

(ln x−µ)2 − 21 σ2

dx

=

dx

u × u + a(u)z

1 (ln(u + a(u)z) − µ)2 1 (ln u − µ)2 × exp − + 2 σ2 2 σ2  



"

1 σ2z = limu→∞ exp − 2  ln u − µ + ln 1 +  2σ ln u − µ

#!2

)

=

  − (ln u − µ)2  = 

= e−z , ahol a harmadik ´es a negyedik egyenl˝ os´eg sor´an a L’Hospital-szab´alyt alkalmaztuk. Mivel ln u/(ln u − µ) → 1, ez´ert a(u) helyett a σ 2 u/ ln u sk´ al´ az´ of¨ uggv´eny is megfelel˝ o, teh´at !

limu→∞ P STu

σ2u − cTu − u > z | Tu < ∞ = e−z . ln u

Jelen szakasz befejez´esek´eppen a Ku val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o aszimptotikus eloszl´as´at vizsg´aljuk meg. Eml´ekeztet¨ unk arra, hogy Ku adja meg annak a τ+ (j) meg´all´asi id˝onek az index´et, amely cs¨okken´esi id˝opontban a pillanatnyi t˝oke ´ert´eke negat´ıvv´a v´alik, azaz Tu = τ+ (Ku ). ´ ıt´ All´ as 5.1 Defini´alja a Ku mennyis´eget a Tu = τ+ (Ku ) 100

azonoss´ag, ahol Tu a cs˝od id˝opontja, felt´eve, hogy a t˝oke kezd˝o´ert´eke u volt, ´es τ+ (j), j ≥ 0 sorozat adja meg azokat az id˝opontokat, amikor a pillanatnyi t˝oke ´ert´eke a kor´abbi minimuma al´a zuhan. Ha a Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok k¨oz¨ os F eloszl´ asf¨ uggv´enye alapj´an elk´esz´ıtett 1 Zz F0 (z) = (1 − F (t)) dt E(Z1 ) 0 eloszl´asf¨ uggv´eny szubexponenci´ alis, akkor limu→∞ P (Ku = n | Tu < ∞) = (1 − α)αn−1 ,

(5.54)

λµ , felt´eve, hogy a c > λµ felt´etel teljes¨ ul. c Bizony´ıt´ as: A {Tu < ∞} esem´enyen bel¨ ul a {Ku = n} esem´enyt az An (u) = {κ1 + · · · + κn−1 ≤ u, κ + · · · + κn > u, τ+ (n) < ∞} jel¨oli ki. Ez´ert ahol α =

P (Ku = n | Tu < ∞) = P (An (u), τ+ (n) < ∞ | Tu < ∞) = P (An (u) | τ+ (n) < ∞) P (τ+ (n) < ∞) . P (Tu < ∞)

=

Haszn´aljuk ki, hogy az el˝oz˝o t´etel sor´an megmutattuk, hogy 



P An (u) ◦ Aen (u) | τ+ (n) < ∞ 1 − F0 (u)

→0,

ha u → ∞, ahol Aen (u) = {κn > u}. Mivel



P (Tu < ∞) → 1, − F0 (u))

α (1 1−α

P Aen (u) | τ+ (n) < ∞



= 1 − F0 (u) ,

P (τ+ (n) < ∞) = αn , ez´ert



limu→∞ P (Ku = n | Tu < ∞) = limu→∞



P Aen (u) | τ+ (n) < ∞ αn P (Tu < ∞)

=

= (1 − α)αn−1 , bizony´ıtva az ´all´ıt´ast.

2 101

5.7.

Marting´ alok alkalmaz´ asa

Ebben a fejezetben a marting´alelm´elet eszk¨ozeinek seg´ıts´eg´evel vizsg´aljuk a kock´azati folyamatokat. El˝osz¨or r¨oviden ismertetj¨ uk a marting´alelm´elet alapfogalmait, csak olyan szinten, amilyenre a t¨onkremen´es-probl´ema elemz´es´ehez sz¨ uks´eges. Legyen (Ft ), t ≥ 0 σ-algebr´ak monoton n¨oveked˝o csal´adja. Az Ft σalgebra reprezent´alja azt az inform´aci´ot, melyet a t-id˝opontig ¨osszegy˝ ujt¨ott¨ unk. Az Ft -be tartoz´o esem´enyekr˝ol a folyamataink [0, t] intervallumon felvett ´ert´ekei alapj´an el tudjuk d¨onteni, hogy bek¨ovetkeztek-e vagy sem. Defin´ıci´ o 5.4 Az Yt , t ≥ 0 sztochasztikus folyamatot adapt´altnak nevezz¨ uk, ha Yt m´erhet˝ o az Ft σ-algebr´ara n´ezve. (Azaz Yt ´ert´eke az inform´aci´ oinkat meghat´ aroz´ o folyamatok [0, t] intervallumon felvett ´ert´ekei alapj´an megmondhat´o.) Defin´ıci´ o 5.5 Az Mt , t ≥ 0 sztochasztikus folyamatot az Ft , t ≥ 0-re vonatkoz´oan marting´alnak (szubmarting´alnak, szupermarting´ alnak) nevezz¨ uk, ha minden t ≥ 0 eset´en Mt m´erhet˝ o az Ft σ-algebr´ara n´ezve, ´es (i) E(| Mt |) < ∞ , (ii) E(Mt | Fs ) = Ms , s ≤ t eset´en, ha marting´alr´ ol van sz´o; (E(Mt | Fs ) ≥ Ms , s ≤ t szubmarting´al eset´en; E(Mt | Fs ) ≤ Ms , s ≤ t szupermarting´ al eset´en). R¨oviden marting´alnak (szubmarting´alnak, szupermarting´ alnak) nevezz¨ uk az Mt , t ≥ 0 folyamatot, ha az Ft = σ (Ms , s ≤ t), t ≥ 0 σ-algebra folyamra n´ezve marting´al (szubmarting´al, szupermarting´ al). Vegy¨ uk ´eszre, hogy egy marting´al v´arhat´o ´ert´eke ´alland´o. (Szubmarting´alok eset´en a v´arhat´o ´ert´ek n¨ovekszik, szupermarting´alok eset´en cs¨okken.) A kock´azati folyamatainkban az az id˝opont, amikor el˝osz¨or megy a folyamat ´ert´eke 0 al´a, a v´eletlent˝ol f¨ ugg. Ugyanakkor a folyamat [0, t] intervallumon felvett ´ert´ek´eb˝ol pontosan eld¨onthet˝o, hogy bek¨ovetkezett-e m´ar ez az esem´eny – m´ask´eppen sz´olva, ez az id˝opont u ´n. meg´all´asi id˝o. Defin´ıci´ o 5.6 A ν val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot meg´ all´asi id˝onek nevezz¨ uk (az Ft σalgebr´ara n´ezve), ha ´ert´ekei a [0, ∞] halmazb´ol ker¨ ulnek ki, ´es b´armely t eset´en {ν ≤ t} ∈ Ft . 102

Teh´at a t pillanatig felgy¨ ulemlett inform´aci´o alapj´an eld¨onthet˝o, hogy a t id˝opontig meg´allunk-e vagy sem. A k´es˝obbiekben gyakran haszn´alni fogjuk, hogy meg´all´asi id˝ok minimuma, maximuma is meg´all´asi id˝o. A k¨ovetkez˝o t´etel, mely karakteriz´alja a marting´alokat, mutatja, hogy mi´ert term´eszetes ´es hasznos a marting´alok haszn´alata a t¨onkremen´esi probl´em´akban. T´ etel 5.16 Az Mt , t ≥ 0 adapt´ alt sztochasztikus folyamat marting´al, ha b´armely ν korl´atos meg´ all´asi id˝o eset´en E(Mν ) = E(M0 ) .

Ez a t´etel lehet˝ov´e teszi, hogy v´eletlen id˝opontokban vizsg´aljuk folyamataink k¨ ul¨onb¨oz˝o funkcion´aljait. A fenti tulajdons´ag´ u meg´all´asi id˝ok halmaza b˝ov´ıthet˝o – nemcsak korl´atos meg´all´asi id˝o eset´en lehet a v´arhat´o ´ert´ek ugyanannyi, mint kezdetben –, err˝ol sz´ol a Wald-t´etel (l´asd Neveu [31]). Marting´alok 1 val´osz´ın˝ us´egi konvergenci´aj´ar´ol sz´ol az al´abbi t´etel. T´ etel 5.17 Ha az Mt , t ≥ 0 marting´alra teljes¨ ul, hogy supt≥0 E | Mt |< ∞, akkor a marting´al 1 val´osz´ın˝ us´eggel konvergens. Megjegyz´ es: A marting´al abszol´ ut ´ert´eke v´arhat´o ´ert´ek´enek korl´atoss´ag´aval ekvivalens a pozit´ıv r´esze v´arhat´o ´ert´ek´enek korl´atoss´aga. Azonnali k¨ovetkezm´enye ennek, hogy minden nemnegat´ıv marting´al 1-val´osz´ın˝ us´eggel konvergens. Az Ut folyamat maga ´altal´aban nem marting´al. Bemutatunk n´eh´any olyan transzform´aci´ot, melyek seg´ıts´eg´evel a folyamat marting´all´a tehet˝o. Az egyik legegyszer˝ ubb transzform´aci´o akkor alkalmazhat´o, ha a folyamat v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u ´es f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u. Mivel a klasszikus rizik´ofolyamatban St ilyen, ´es ´ıgy az Ut folyamat is, r¨ogt¨on ezen mutatjuk be a m´odszer alkalmaz´as´at. ´ ıt´ All´ as 5.2 Az Ut , t ≥ 0 folyamat a c > λµ felt´etel eset´en szubmarting´al. Az Ut − (c − λµ)t folyamat marting´al.

103

Bizony´ıt´ as: Gener´alj´ak az Ft σ-algebr´at az Us folyamat [0, t] intervallumon felvett ´ert´ekei. Ekkor E(Ut | Fs ) = E(Ut − Us + Us | Fs ) = Us + E(Ut − Us ) = Us + (c − λµ)(t − s), mivel Ut − Us f¨ uggetlen az Fs σalgebr´at´ol, teh´at felt´eteles v´arhat´o ´ert´eke maga a v´arhat´o ´ert´ek. Ez egyszerre bizony´ıtja mindk´et ´all´ıt´ast. 2 (Az ´all´ıt´as bizony´ıt´asa mutatja, hogy v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u, f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u folyamatok eset´en, ha a v´arhat´o ´ert´eket helyreigaz´ıtjuk, marting´alt kapunk.) Tekints¨ uk most u kezd˝ot˝oke eset´en a cs˝od bek¨ovetkez´es´enek Tu id˝opontj´at. Ez meg´all´asi id˝o a folyamat ´altal gener´alt σ-algebr´akra n´ezve. Eddig azt vizsg´altuk, hogy mikor lesz a pillanatnyi t˝oke ´ert´eke negat´ıv. V´alasszunk most valamilyen u˜ > u ´ert´eket. K´erdezhetj¨ uk, hogy mi a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy el˝obb el´erj¨ uk a k´ıv´ant u˜ szintet, mintsem negat´ıvv´a v´alik a pillanatnyi t˝oke ´ert´eke. Ehhez tekints¨ uk folyamatunkat addig a pillanatig, am´ıg negat´ıvv´a nem v´alik, vagy t´ ull´epi az u˜ szintet. Jel¨olje ezt az id˝opontot T˜u . Ez is meg´all´asi id˝o. T´ etel 5.18 Ha c ≥ λµ, akkor P (UT˜u = u˜) ≥

u . u˜

Ha c = λµ ´es ezenfel¨ ul m´eg a Zi val´ osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok korl´atosak, mondjuk Zi ≤ K, akkor K +u P (UT˜u = u˜) ≤ . K + u˜ Bizony´ıt´ as: Vegy¨ uk ´eszre, hogy mivel a folyamat trajekt´ori´ai line´arisan n¨ovekv˝o szakaszokb´ol (ct, ha nincs k´aresem´eny) ´es negat´ıv ugr´asokb´ol (−Zi , ha egy k´aresem´eny k¨ovetkezik be) ´allnak, ez´ert felfel´e az u ˜ ´ert´ek´et nem ugorhatja ´at a folyamat. Tekints¨ uk most az Ut szubmarting´alt a T˜u id˝opontig. Azaz legyen Vt = Ut , ha t < T˜u , illetve UT˜u , ha t ≥ T˜u . Nyilv´an Vt → UT˜u 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Ugyanakkor Vt ≤ u˜, ´ıgy a Fatoulemma alapj´an E(UT˜u ) ≥ lim E(Vt ) ≥ E(U0 ) = u . t→∞

104

Azonban UT˜u ´ert´eke vagy u˜ – amikor el˝obb ´erte el a folyamat az u˜ ´ert´eket – vagy negat´ıv, amikor el˝obb k¨ovetkezett be a cs˝od. Ez´ert – a negat´ıv ´ert´ekeket elhagyva n¨ovelj¨ uk a v´arhat´o ´ert´eket – E(UT˜u ) ≤ u˜P (UT˜u = u˜) . Ezt ¨osszevetve az el˝oz˝o egyenl˝otlens´eggel, kapjuk az els˝o bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast. Abban az esetben, ha Zi ≤ K ´es c = λµ, akkor a Vt marting´al korl´atos a ˜ Tu id˝opontig, hiszen nem lehet nagyobb, mint u˜, ´es mikor esetleg lefel´e el˝osz¨or negat´ıvv´a v´alik, akkor az abban a pillanatban bek¨ovetkez˝o ugr´as el˝ott nem negat´ıv volt, ´es az utols´o k´aresem´eny tette negat´ıvv´a, de a k´ar nagys´aga legfeljebb K. Ez´ert ekkor E(UT˜u ) = E(U0 ) = u . M´asfel˝ol megint figyelembe v´eve UT˜u lehets´eges ´ert´ekeit, ad´odik, hogy u = E(UT˜u ) ≥ u˜P (UT˜u = u˜) − K(1 − P (UT˜u = u˜)) . ´ Atrendezve kapjuk, hogy P (UT˜u = u˜) ≤

K +u . K + u˜

2 Egy m´asik lehets´eges elj´ar´as, melynek seg´ıts´eg´evel f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u folyamatb´ol marting´alt lehet konstru´alni, az exponenci´alis marting´alok haszn´alat´an alapul. Nevezetesen az erSt folyamat eset´eben a k¨ ul¨onb¨oz˝o id˝opontokban felvett ´ert´ekek h´anyadosa lesz f¨ uggetlen a kor´abbi ´ert´ekt˝ol. ´Igy – ha az erSt v´arhat´o ´ert´eke v´eges – megint k¨onnyen sz´amolhat´o a felt´eteles v´arhat´o ´ert´ek. Ahhoz, hogy marting´alt kapjunk, az kell, hogy a v´arhat´o ´ert´ek ´alland´o legyen. V´alasszunk teh´at olyan r ´ert´eket, melyre E(erZ1 ) < ∞. Tekints¨ uk az e−r(u+ct−St ) folyamatot. Ekkor E(e−r(u+ct−St ) ) = e−r(u+ct) E(erSt ). Ez ut´obbi t´enyez˝o St momentumgener´al´o f¨ uggv´enye az r helyen, melyr˝ol tudjuk, hogy ´ert´eke az Z1 momentumgener´al´o f¨ uggv´enye behelyettes´ıtve az ¨osszeadand´ok sz´am´at le´ır´o Nt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o gener´atorf¨ uggv´eny´ebe. A konkr´et esetben teh´at E(e−r(u+ct−St ) ) = e−r(u+ct) et(λh(r)) . 105

Bevezetve a g(r) = λh(r) − rc jel¨ol´est, az Mt =

e−r(u+ct−St ) etg(r)

folyamat marting´al lesz, mivel E(Mt | Fs ) = Ms E(Mt /Ms | Fs ) = Ms E(e−r[c(t−s)−(St −Ss )] )e−(t−s)g(r) a f¨ uggetlens´eg miatt. g(r) defin´ıci´oja alapj´an teh´at E(Mt | Fs ) = Ms . Tekints¨ uk most a Tu meg´all´asi id˝ot, a t¨onkremen´es id˝opontj´at. Ez ´altal´aban nem korl´atos meg´all´asi id˝o, ´ıgy az 5.16 t´etelt nem lehet k¨ozvetlen¨ ul alkalmazni. Vegy¨ unk azonban egy ρ ´ert´eket, ´es vizsg´aljuk a min(Tu , ρ) meg´all´asi id˝ot. Erre m´ar lehet alkalmazni a marting´alok karakteriz´aci´os t´etel´et, ´ıgy e−ru = E(M0 ) = E(Mmin(Tu ,ρ) ) . Figyelembe v´eve a lehet˝os´egeket: e−ru = E(Mmin(Tu ,ρ) | Tu ≤ ρ)P (Tu ≤ ρ) + + E(Mmin(Tu ,ρ) | Tu > ρ)P (Tu > ρ) ≥ ≥ E(MTu | Tu ≤ ρ)P (Tu ≤ ρ) .

(5.55) (5.56) (5.57)

Ebb˝ol becsl´est kaphatunk P (Tu ≤ ρ) nagys´ag´ara. A kapott egyenl˝otlens´eg azonban tartalmazza MTu felt´eteles v´arhat´o ´ert´ek´et a Tu ≤ ρ felt´etel mellett. Ezt durv´an becs¨ ulhetj¨ uk annak felhaszn´al´as´aval, hogy a Tu id˝opontban a folyamat ´ert´eke negat´ıv, ´ıgy az Mt defin´ıci´oj´aban szerepl˝o h´anyados sz´aml´al´oja 1-n´el nagyobb. Ezt 1-gyel becs¨ ulve a P (Tu ≤ ρ) ≤

e−ru E(e−Tu g(r) | Tu ≤ ρ)

(5.58)

egyenl˝otlens´eghez jutunk. Az exponenci´alis ´ert´ekeket a sz´oban forg´o intervallumon felvett maximumukkal becs¨ ulve a P (Tu ≤ ρ) ≤ e−ru sup etg(r) 0≤t≤ρ

106

(5.59)

becsl´es ad´odik. ρ → ∞ eset´en, ha g(r) ≤ 0, a szupr´emum ´ert´eke 1, egy´ebk´ent ∞. Teh´at a v´egtelen id˝ohorizonton val´o t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´eg´ere ann´al jobb becsl´est kapunk, min´el nagyobb r ´ert´eket v´alasztunk a g(r) ≤ 0 felt´etel mellett. (Vegy¨ uk ´eszre, hogy az eddigi gondolatmenet sor´an nem haszn´altuk ki teljesen azt, hogy klasszikus rizik´ofolyamatr´ol van sz´o, csak azt, hogy erSt az e−tg(r) szorz´oval tehet˝o marting´all´a. Ehhez el´eg annyi is, hogy a folyamat f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u, ´es a momentum gener´al´o f¨ uggv´eny v´eges az r helyen.) Speci´alisan a klasszikus rizik´ofolyamat eset´en, az R = sup{r | g(r) ≤ 0} defin´ıci´o a h(r)/r = c/λ egyenlet pozit´ıv gy¨ok´et adja, azaz egybeesik a Lundberg-kitev˝ovel. M´ask´eppen fogalmazva, ez az egyszer˝ u marting´alelm´eleti gondolatmenet – a levezet´ese sor´an alkalmazott durva becsl´esekkel – megadja a Ψ(u) ≤ e−Ru Lundberg-egyenl˝otlens´eget, melyben szerepl˝o kitev˝o a Cramer–Lundberg-f´ele approxim´aci´os t´etel alapj´an a legjobb kitev˝o. Egyszer˝ u meggondol´assal a g(R) = 0 esetben finomabb´a tehetj¨ uk becsl´es¨ unket. Ekkor Mt = e−r(u+ct−St ) maga marting´al lesz. T´erj¨ unk vissza az (5.57) egyenl˝otlens´eghez. Az el˝oz˝oekben egyszer˝ uen elhagytuk a m´asodik tagot. Azonban ´eszrev´eve, hogy a {Tu > ρ} esem´enyen 0 ≤ Mt ≤ 1, ´es Ut → ∞ a nagy sz´amok er˝os t¨orv´enye miatt a c > λµ felt´etel mellett, ez´ert E(Mmin(Tu ,ρ) | Tu > ρ)P (Tu > ρ) → 0 ,

ha ρ → ∞ .

Teh´at ekkor Ψ(u) =

e−Ru . E(e−RUTu | Tu < ∞)

(5.60)

[Megjegyz´ es: Ha a klasszikus rizik´ofolyamat helyett olyan Ut = u + Yt folyamat eset´en alkalmazzuk ezt a gondolatmenetet, mely nem ugorhatja ´at a 0 ´ert´eket, ekkor teh´at UTu = 0, ha Tu < ∞, akkor ´ıgy a Ψ(u) = e−Ru ¨osszef¨ ugg´eshez jutunk. M´ask´eppen fogalmazva, ekkor az − inf t≥0 Yt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o R param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u. (Z´ar´ojelben jegyezz¨ uk meg, hogy ez p´eld´aul teljes¨ ul az Yt = ct+Wt , ahol c > 0, Wt Wiener-folyamat, eset´eben.)] 107

Tekints¨ unk most olyan klasszikus rizik´ofolyamatot, melyben a k´aresem´enyek nagys´ag´at le´ır´o Zi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´asa speci´alis. Defin´ıci´ o 5.7 Az F (z) eloszl´ asf¨ uggv´eny az NBU (new better than used) eloszl´ascsal´ adba tartozik, ha F (0) = 0, ´es tetsz˝oleges x, y > 0 eset´en 1 − F (y + x) ≤ 1 − F (x) . 1 − F (y) Defin´ıci´ o 5.8 Az F (z) eloszl´ asf¨ uggv´eny az NWU (new worse than used) eloszl´ascsal´ adba tartozik, ha F (0) = 0, ´es tetsz˝oleges x, y > 0 eset´en 1 − F (y + x) ≥ 1 − F (x) . 1 − F (y) Teh´at NBU esetben az eloszl´as ¨oreged˝o, NWU esetben fiatalod´o. (Az exponenci´alis eloszl´as mindk´et csal´adnak eleme – ¨or¨okifj´ u.) T´ etel 5.19 Tekints¨ uk a klasszikus rizik´ofolyamatot, ´es tegy¨ uk fel, hogy l´etezik az R Lundberg-kitev˝ o. Ekkor, (i) ha F (z) NBU eloszl´as, akkor Ψ(u) ≥

λ e−Ru , λ + Rc

(5.61)

λ e−Ru . λ + Rc

(5.62)

(ii) ha F (z) NWU eloszl´as, akkor Ψ(u) ≤

(V¨o. 5.4 egyenl˝otlens´eggel.) Bizony´ıt´ as: Az (5.60) ¨osszef¨ ugg´esben szerepl˝o felt´eteles v´arhat´o ´ert´eket becs¨ ulj¨ uk. Az E(e−RUTu | Tu < ∞) felt´eteles v´arhat´o ´ert´ek fel´ırhat´o h´anyados alakban: E(e−RUTu χ{Tu <∞} ) −RUTu . E(e | Tu < ∞) = P (Tu < ∞)

108

El˝osz¨or vizsg´aljuk a nevez˝ot. Mivel t¨onkremen´es csak az ugr´asok pillanat´aban – teh´at valamelyik τk pillanatban – t¨ort´enhet, ez´ert P (Tu < ∞) =

∞ X

P (Tu = τk ) .

k=1

Azonban a Tu = τk esem´eny azt jelenti, hogy a kor´abbi ugr´asok alkalm´aval az Ut folyamat ´ert´eke m´eg nem negat´ıv volt, de a τk pillanatig ¨osszegy˝ ult t˝oke Uτk−1 + cζk nem el´eg a Zk kifizet´es fedez´es´ere. Ha Uτk−1 + cζk felt´eteles eloszl´asf¨ uggv´eny´et – azon felt´etel mellett, hogy Tu > τk−1 – Gk (x) jel¨oli, akkor teh´at Z ∞ (1 − F (x))dGk (x) , P (Tu = τk ) = 0

hiszen Zk f¨ uggetlen az Uτk−1 + cζk v´altoz´ot´ol ´es a {Tu > τk−1 } esem´enyt˝ol. Ugyanakkor E(e−RUTu χ{Tu <∞} ) is felbonthat´o aszerint, hogy melyik ugr´as alkalm´aval k¨ovetkezik be a t¨onkremen´es, ´es ism´et kihaszn´alva az el˝obb eml´ıtett f¨ uggetlens´eget, kapjuk, hogy E(e−RUTu χ{Tu <∞} ) =

∞ Z ∞Z ∞ X k=1 0

x

e−R(x−z) dF (z)dGk (x) .

A bels˝o integr´al parci´alis integr´al´assal tov´abb alak´ıthat´o: Z ∞ x

−R(x−z)

e

dF (z) = −

Z ∞ x

e−R(x−z) d(1 − F (z)) =

= (1 − F (x)) +

Z ∞ 0

[1 − F (x + s)]ReRs ds .

Att´ol f¨ ugg˝oen, hogy F az NBU vagy a NWU oszt´alyba tartozik, 1 − F (x + s) fel¨ u lr˝ o l, illetve alulr´ol becs¨ ulhet˝o az (1 − F (x))(1 − F (s)) szorzattal. Mivel R ∞ Rs ert kapjuk, hogy Ψ(u) becs¨ ulhet˝o a 0 e (1 − F (s))ds = c/λ, ez´ P∞ R ∞ Rc Rc k=1 0 (1 + λ )(1 − F (x))dGk (x) =1+ P∞ R ∞ k=1 0

(1 − F (x))dGk (x)

λ

´ert´ekkel. M´egpedig az NBU esetben ez fels˝o becsl´es, NWU esetben als´o. 2 A marting´alelm´elet mindk´et eddigi alkalmaz´as´aban az alapvet˝o kiindul´opont az volt, hogy a vizsg´aland´o folyamat valamely alkalmas f¨ uggv´eny´et megfelel˝o normaliz´al´assal marting´all´a tett¨ uk. Az els˝o p´eld´aban mag´ab´ol a folyamatb´ol csin´altunk determinisztikus f¨ uggv´eny levon´as´aval marting´alt, a 109

m´asodikban pedig az exponenci´alis f¨ uggv´enybe helyettes´ıtett¨ uk be a folyamatot ´es azt normaliz´altuk alkalmasan v´alasztott szorz´o seg´ıts´eg´evel. Felvethetj¨ uk ezt a k´erd´est ´altal´anosan is. Tekints¨ uk az St folyamat valamely G(t, St ) f¨ uggv´eny´et. Hogyan lehet ezt u ´gy normaliz´alni, hogy marting´al legyen bel˝ole? Mivel marting´alok eset´en a n¨ovekm´enyek felt´eteles v´arhat´o ´ert´eke 0, ez´ert a G(t, St ) folyamat n¨ovekm´eny´et kell vizsg´alni. Ez – heurisztikusan sz´olva – kicsiny intervallumon a G f¨ uggv´eny deriv´altj´aval ´es az St folyamat megv´altoz´as´aval ´ırhat´o le. A sztochasztikus Taylor-formula – az u ´n. Ito-formula – egy speci´alis eset´et mondja ki a k¨ovetkez˝o t´etel. R

T´ etel 5.20 Legyen H(u, x) olyan k´etv´ altoz´ os f¨ uggv´eny, melyre 0t H(u, x)du l´etezik minden r¨ogz´ıtett x mellett. Adott G(0, x) m´erhet˝ o f¨ uggv´eny eset´en legyen Z G(t, x) = G(0, x) +

t

0

H(u, x)du .

Tekints¨ uk az St ¨osszetett Poisson-folyamatot. Ekkor az Mt = G(t, St ) −

Z t 0

H(u, Su )du − λ

Z tZ 0

[G(u, Su + y) − G(u, Su )]dF (y)du (5.63)

kifejez´essel defini´alt Mt folyamat marting´al, felt´eve, hogy Z ∞ 0

E | G(u, Su + y) | dF (y) < ∞ .

Bizony´ıt´ as: A bizony´ıt´asban egyszer˝ uen nyers er˝ovel kisz´amoljuk a felt´eteles v´arhat´o ´ert´eket. E(Mt | Fs ) = Ms − G(s, Ss ) + E(G(t, St ) | Fs ) − −λ

Z t s

E(G(u, Su + y) | Fs ) dF (y) du + λ

Z t s

Z t s

E(H(u, Su ) | Fs ) ds − E(G(u, Su ) | Fs ) ds .

Mivel H(u, Su ) = H(u+Ss +(Su −Ss )) ´es Su −Ss f¨ uggetlen az Fs σ-algebr´at´ol, ez´ert a felt´eteles v´arhat´o ´ert´eket megkapjuk, ha a H(u + Ss + x) f¨ uggv´enyt integr´aljuk x-ben az Su −Ss val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa szerint. Ez ut´obbi P (∗k) eloszl´as az F konvol´ uci´ohatv´anyok (a ki=1 Zi eloszl´as´anak) kever´eke a Poisson-eloszl´asb´ol sz´armaz´o (λ(u − s))k /(k!)e−λ(u−s) s´ ulyok szerint. Teh´at Z t s

E(H(u, Su ) | Fs )du = +

∞ Z tZ ∞ X k=1 s

0

Z t s

H(u, Ss )P (Nu = Ns ) + #

H(u, Ss + x)dF 110

(∗k)

(x)P (Nu − Ns = k) du .

Parci´alisan integr´alva az egyes tagokban, kapjuk, hogy Z t s

H(u, Ss )e−λ(u−s) du = G(t, Ss )e−λ(t−s) − G(s, Ss ) + +

Z t s

G(u, Ss )λe−λ(u−s) du ,

illetve k ≥ 1 eset´en Z t

[λ(u − s)]k −λ(u−s) e du = k! s [λ(t − s)]k −λ(t−s) = G(t, Ss + x) e − k!" # Z t λk (u − s)k−1 λk+1 (u − s)k −λ(u−s) − e du . − G(u, Ss + x) (k − 1)! k! s H(u, Ss + x)

¨ Osszegezve ezeket a tagokat k szerint, ´es csoportos´ıtva ˝oket a Z t s

E(H(u, Su ) | Fs )du = λ

Z t s

E[G(u, Su ) | Ft )du − G(s, Ss ) +

+ E(G(t, St ) | Fs ) − λ

Z t s

E(G(u, Su + x) | Fs )dF (x)du

k´eplethez jutunk, mely (5.64)-ba helyettes´ıtve bizony´ıtja a t´etel ´all´ıt´as´at. 2 Megjegyz´ es: Felh´ıvjuk a figyelmet az (5.49) ´es (5.63) k¨oz¨otti szembesz¨ok˝o hasonl´os´agra. P´ elda: A G(u, x) = e−au+rx f¨ uggv´enyt kapjuk a H(u, x) = −ae−au+rx , rx G(0, x) = e v´alaszt´assal. Ekkor −at+rSt

Mt = e

+

−λ

Z t

Z t 0

0

ae−au+rSu du −

(e−au+r(Su +x) − e−au+rSu )dF (x)du =

= e−at+rSt + (a − λh(r))

Z t 0

e−au+rSu du

a megfelel˝o marting´al. Speci´alisan, a = λh(r) eset´en maga e−at+rSt lesz marting´al. P´ elda: Bizony´ıt´as n´elk¨ ul eml´ıtj¨ uk meg, hogy a fenti marting´al-konstrukci´o seg´ıts´eg´evel megv´alaszolhat´o p´eld´aul az al´abbi k´erd´es. Tegy¨ uk fel, hogy 111

nem a t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´eg´et akarjuk meghat´arozni, hanem azt, hogy a folyamat mikor l´ep ´at egy adott g¨orb´et. P´eld´aul, a > u, b val´os sz´amok eset´en tekinthetj¨ uk a T = inf {t ≥ 0 | u + ct − St > a + bt} meg´all´asi id˝ot. Tegy¨ uk fel, hogy c−λµ−b > 0, ekkor a nagy sz´amok t¨orv´enye alapj´an limt→∞ (u + ct − St − bt) = ∞, ez´ert T v´eges 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Megmutathat´o, hogy E(T ) =

5.8.

a−u . c − b − λµ

Ford´ıtott marting´ alok alkalmaz´ asa

A marting´alt ford´ıtott marting´alnak nevezz¨ uk, ha a vele egy¨ utt megadott σ-algebrafolyam cs¨okken˝o. Azaz tegy¨ uk fel, hogy adottak a Gt σ-algebr´ak, ahol s < t eset´en Gs ⊃ Gt . Az Mt folyamat ford´ıtott marting´alt alkot, ha elemei integr´alhat´oak, ´es teljes¨ ul a marting´altulajdons´ag, azaz E(Ms | Gt ) = Mt , ha s < t . P

t Tekints¨ uk most a klasszikus rizik´ofolyamatot. Ut = u+ ct − St , St = N k=0 Zi , c > 0. Legyen Gt az Ss , s ≥ t val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ´altal gener´alt σ-algebra.

´ ıt´ All´ as 5.3 (l´asd Delbaen ´es Haezendonck [15]) Tetsz˝ oleges u ≥ 0 eset´en az Z ∞ Ss St u Mt = + ds u + ct s (u + cs)2 t

(t > 0) ford´ıtott marting´alt alkot a Gt σ-algebr´ ak szerint. Bizony´ıt´ as: Tekints¨ uk el˝osz¨or az u = 0 esetet. Mivel a Gt σ-algebr´at az St v´altoz´o ´es a Sr − St , r > t n¨ovekm´enyek gener´alj´ak, ez ut´obbiak viszont f¨ uggetlenek Ss -t˝ol, ha s < t, ez´ert el´eg az E( 1s Ss | St ) felt´eteles v´arhat´o ´ert´eket vizsg´alni. Tegy¨ uk fel el˝osz¨or, hogy s/t racion´alis sz´am: s/t = p/q, ahol p, q eg´esz sz´amok. Tekints¨ uk az S folyamat 1/q hossz´ us´ag´ u intervallumokon val´o n¨ovekm´enyeit, azaz legyen ξi = S i t − S i−1 t , i = 1, . . . , q. q

q

112

Az ¨osszetett Poisson-folyamat tulajdons´agai miatt a ξi val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek ´es azonos eloszl´as´ uak. Legyen most A ⊂ R tetsz˝oleges Borelhalmaz. Ekkor 

1 E Ss χA (St ) s









p q X q X   = E ξi χA ξj  = pt i=1 j=1







q X q   = E ξ1 χA ξj  = t j=1







q q X 1X   = E ξi χA ξj  = t i=1 j=1





= E

1 St χA (St ) t





.

Ez´ert teh´at 

E



1 1 1 Ss | Gt = E Ss | St = St , s s t

(5.65)

ha s/t racion´alis. Ha s/t nem felt´etlen racion´alis, akkor r¨ogz´ıts¨ uk s ´ert´ek´et, ´es k¨ozel´ıts¨ uk a t id˝opontot olyan monoton cs¨okken˝o tn sorozattal, melyre s/tn racion´alis. Mivel ekkor a Gtn σ-algebrasorozat monoton n¨ovekv˝o, ´ıgy alkalmazhatjuk az (5.65) baloldal´an ´all´o mennyis´egre a marting´alkonvergencia t´etelt, a jobboldalon ´all´ora pedig a St folyamat jobbr´ol folytonoss´ag´at. Kapjuk, hogy (5.65) tetsz˝oleges s, t > 0 p´arra teljes¨ ul. Ha u > 0 ´es s < t, akkor 







Z t Ss u Sr E(Ms | Gt ) = E | Gt + | Gt dr + E u + cs r (u + cr)2 s Z ∞ Sr u dr = + r (u + cr)2 t s St St Z t u = + dr + u + cs t t s (u + cr)2 Z ∞ Sr u + dr = r (u + cr)2 t = Mt ,

ami igazolja, hogy Mt ford´ıtott marting´al. 113

2

Adott u kezd˝ot˝oke mellett tekints¨ uk most a cs˝od bek¨ovetkez´es´enek pillanat´at – ezt jel¨oli Tu . R¨ogz´ıts¨ unk most valamely t id˝opontot ´es legyen Rt az utols´o olyan id˝opont t el˝ott, melyben a t˝oke ´ert´eke negat´ıv volt. Azaz Rt = sup{s ≤ t : u + cs − Ss < 0} . (Ha egyetlen s ≤ t ´ert´ek mellett sem negat´ıv a t˝oke, akkor legyen Rt = 0.) Mivel c ´ert´eke pozit´ıv, ez´ert az Rt < t esem´enyen a folyamat ´ert´eke az Rt pillanatban 0. Hasonl´oan, ha St ≤ u + ct, akkor u + cRt = SRt . Vegy¨ uk ´eszre, hogy Rt nem meg´all´asi id˝o az Ft σ-algebr´ak szerint, hiszen Rt ´ert´eke a folyamat j¨ov˝obeli viselked´es´et˝ol f¨ ugg. Ugyanakkor {Rt > s} ∈ Gs . T´ etel 5.21 Ha u ≥ 0 ´es t > 0, akkor "

P (Tu > t) = E

St 1− u + ct

+ #

Z

+

Z t Sr

{St ≤u+ct}

u drdP . r (u + cr)2 (5.66)

Rt

Megjegyz´ es: Az u = 0 esetben a t´etel ´all´ıt´asa azt mondja ki, hogy "

P (T0 > t) = E

St 1− ct

+ #

.

Ezt a t´etelt Tak´acs [37] bizony´ıtotta el˝osz¨or kombinatorikai meggondol´asokat haszn´alva. Bizony´ıt´ as: (A teljes r´eszletess´eg˝ u bizony´ıt´as helyett csak egy lehets´eges gondolatmenet pill´ereit adjuk meg.) Tekints¨ uk el˝osz¨or az u > 0 esetet. Kihaszn´alva, hogy Mr ford´ıtott marting´al, ´es az {St ≤ u + ct} esem´eny benne van a Gt σ-algebr´aban, ez´ert alkalmazhatjuk a marting´altulajdons´agot az Rt v´eletlen id˝opontban. (Ennek ´ert´eke sohasem nagyobb, mint t.) Eszerint Z {St ≤u+ct}

Z Z ∞ St Sr u dP + drdP = u + ct r (u + cr)2 {St ≤u+ct} t Z Z Z ∞ SRt Sr u = dP + drdP . {St ≤u+ct} u + cRt {St ≤u+ct} Rt r (u + cr)2

114

A jobb oldal els˝o tagja ´eppen a P (St ≤ u+ct, 0 < Rt ) val´osz´ın˝ us´eg. Mivel P (Tu > t) = P (St ≤ u + ct, Rt = 0), ´ıgy azt kapjuk, hogy Z

P (Tu > t) = P (St ≤ u + ct) − Z

{St ≤u+ct}

Z t Sr

St dP + u + ct

u drdP = {St ≤u+ct} Rt r (u + cr)2   Z St = 1− dP + u + ct {St ≤u+ct} Z Z t Sr u + drdP . {St ≤u+ct} Rt r (u + cr)2 +

Az ´all´ıt´ast az u = 0 nulla esetben hat´ar´atmenet seg´ıts´eg´evel igazolhatjuk, megmutatva, hogy a jobb oldal m´asodik tagja 0-hoz tart, az els˝o tag hat´ar´ert´eke pedig "  # St + . E 1− ct 2 Mivel P (T0 = ∞) = 1 − (λµ)/c, ez´ert r¨ovid sz´amol´as adja, hogy 1Z ∞ P (t < T0 < ∞) = P (St > u)du . t t Ugyancsak igazolhat´o, hogy ! Z min(T0 ,t) λ P (T0 ≤ t) = E (1 − F (cr − Sr ))dr . c 0

Ezen k´et egyenl˝os´eg adja az alapj´at annak a t´etelnek, mely szerint E(T0k χ{T0 <∞} ) < ∞ akkor ´es csak akkor, ha E(Z1k+1 ) < ∞ . (L´asd Delbaen [16].)

115

6.

Kock´ azati folyamatok fel´ uj´ıt´ asi modelljei

Ebben a fejezetben a klasszikus rizik´ofolyamathoz hasonl´o szerkezet˝ u kocPNt k´azati folyamatokat fogunk vizsg´alni: Ut = u + ct − St , ahol St = i=0 Zi , azonban most Nt nem homog´en Poisson-folyamat, hanem fel´ uj´ıt´asi folyamat. Ekkor teh´at Nt trajekt´ori´ai tov´abbra is tiszta ugr´o f¨ uggv´enyek, az ugr´asok nagys´aga 1, azonban az ugr´asok k¨oz¨otti id˝otartamok nem exponenci´alis eloszl´as´ uak, j´ollehet tov´abbra is f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. A kor´abban bevezetett jel¨ol´eseket haszn´alva teh´at ζ1 , ζ2 , . . . mennyis´egek f¨ uggetlenek, azonos eloszl´as´ uak. Jel¨olje a k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´enyt K(t). Legyen tov´abbra is a v´arhat´o ´ert´ek 1/λ. Feltessz¨ uk term´eszetesen, hogy c > 0. Ism´et a t¨onkremen´es esem´eny´et, val´osz´ın˝ us´eg´et vizsg´aljuk. Fel´ uj´ıt´asi folyamat eset´en az Nt folyamat n¨ovekm´enyei ´altal´aban nem f¨ uggetlenek. [Ugyanis ´altal´aban m´eg csak nem is Markov-folyamat, hiszen az egy adott ´allapotban elt¨olt¨ott id˝o – k´et ugr´as k¨oz¨otti id˝otartam – nem exponenci´alis eloszl´as´ u; m´arpedig Markov-folyamatok eset´en annak kell lennie (l´asd Karlin–Taylor [26]).] ´Igy a klasszikus rizik´ofolyamat vizsg´alata sor´an alkalmazott m´odszerek minden v´altoztat´as n´elk¨ ul nem vihet˝oek ´at a fel´ uj´ıt´asi folyamatok eset´ere. Azonban, mivel az Ut folyamat trajekt´ori´ai tov´abbra is olyan szerkezet˝ uek, mint a klasszikus rizik´ofolyamat eset´en, ez´ert a t¨onkremen´es csak valamelyik k´aresem´eny pillanat´aban, a folyamat ugr´asakor j¨ohet l´etre. Azaz, ha a P v´egtelen id˝ohorizonton vizsg´aljuk a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´et, el´eg a τk = ki=1 ζi id˝opontokban venni a folyamat ´ert´ek´et. Legyen teh´at Yk = Zk − cζk . Ezek f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. c E(Yk ) = µ − . λ Az n Xn =

X

Yk

k=1

sorozat bolyong´ast defini´al – f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok r´eszlet¨osszegei hat´arozz´ak meg –, melyre Ψ(u) = P (u + ct − St < 0 , valamely t ≥ 0 eset´en) = P (max Xn > u) . n≥1 (6.1) 116

Teh´at az ´ıgy kapott diszkr´et param´eter˝ u folyamat m´ar f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u. Ism´et a nagy sz´amok er˝os t¨orv´eny´et alkalmazva, 1 c Xn → µ − , n λ ´ıgy, ha c < λµ, akkor Xn → ∞, teh´at Ψ(u) = 1 b´armely u kezd˝ot˝oke eset´en. Mik´ent kor´abban m´ar eml´ıtett¨ uk, a Chung–Fuchs-t´etel alapj´an szint´en 1 val´osz´ın˝ us´eggel bek¨ovetkezik a cs˝od, ha c = λµ ´es az Yk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek ekkor nulla v´arhat´o ´ert´ek˝ uek, nem azonosan null´ak. Ez ut´obbi, mivel Zk ´es ζk f¨ uggetlenek, csak akkor lehetne, ha Zk = 0 ´es ζk = 0. Feltehetj¨ uk, hogy nem ezen trivi´alis esettel ´allunk szemben.

6.1.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ egre vonatkoz´ o integr´ alegyenlet

Megk´ıs´erelj¨ uk a klasszikus rizik´ofolyamat elemz´ese sor´an alkalmazott m´odszereket most is felhaszn´alni. Teh´at egyfel˝ol alkalmasan v´alasztott v´eletlen mennyis´egek szerinti felt´etelesval´osz´ın˝ us´eg-t´etel seg´ıts´eg´evel valamilyen egyenletet fel´ırni a Ψ(u) val´osz´ın˝ us´egre mint u f¨ uggv´eny´ere, m´asfel˝ol pedig megfelel˝o transzform´aci´oval marting´all´a alak´ıtani a folyamatot. Kezdj¨ uk ez ut´obbival. Az exponenci´alis marting´al m´odszer´et akarjuk alkalmazni. Ekkor a v´arhat´o ´ert´eket valamilyen szorz´o seg´ıts´eg´evel ´all´ıtjuk be ´alland´ora. Ehhez az E(erY1 ) v´arhat´o ´ert´eket kell alkalmas r mellett kisz´amolni. ´ ıt´ All´ as 6.1 Legyen g(r) = E(erY1 ). Ha c > λµ, akkor pontosan egy olyan pozit´ıv R ´ert´ek l´etezhet, melyre g(R) = 1 .

(6.2)

Ha tov´abb´ a P (Y1 ≤ 0) < 1 ´es g(r) minden r ≥ 0 ´ert´ekre v´eges, akkor l´etezik a (6.2) egyenletnek gy¨oke. Bizony´ıt´ as: g(r) nyilv´anval´oan folytonos f¨ uggv´enye r-nek azon a tartom´anyon, ahol v´eges ´ert´ek˝ u, hiszen pozit´ıv x mellett erx r szerint monoton n¨ov˝o, negat´ıv x mellett monoton cs¨okken˝o folytonos f¨ uggv´eny. Emellett uggv´eny szigor´ uan g(0) = 1 ´es g 0 (0) = E(Y1 ) = µ − λc < 0. Ugyanakkor a g f¨ rx konvex, hiszen ennek ´ert´eke a szigor´ uan konvex e (r > 0 eset´en) f¨ uggv´enyek (mint x f¨ uggv´enyei) kever´eke az Y1 eloszl´asf¨ uggv´enye szerint, mely k¨ ul¨onb¨ozik 117

az azonosan nulla val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asf¨ uggv´eny´et˝ol. Teh´at a (6.2) egyenletnek egyetlen pozit´ıv gy¨oke lehet csak. Ha tov´abb´a P (Y1 ≤ 0) < 1 teljes¨ ul, akkor l´etezik olyan pozit´ıv x0 sz´am, melyre P (Y1 ≤ x0 ) < 1, ´es ´ıgy E(erY1 ) ≥ erx0 [1 − P (Y1 ≤ x0 )] → ∞, ha r → ∞. ´Igy teh´at pontosan egy pozit´ıv megold´asa l´etezik a g(R) = 1 egyenletnek. 2. Megjegyezz¨ uk, a fenti ´all´ıt´as r´eszbeni megford´ıt´asa is igaz. Ha a g(r) = 1 egyenletnek l´etezik pozit´ıv gy¨oke, akkor P (Y1 ≤ 0) < 1. Ugyanis, ha ezzel ellent´etben P (Y1 ≤ 0) = 1 teljes¨ ulne, akkor az erY1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ert´ekei r > 0 eset´en nem nagyobbak, mint 1, ´es mivel Y1 nem azonosan nulla, pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel az ´ert´eke kisebb 1-n´el. Ez´ert v´arhat´o ´ert´eke g(r) < 1. A tov´abbiakban feltessz¨ uk, hogy az el˝oz˝o t´etel felt´etelei teljes¨ ulnek. A k¨ovetkez˝o t´etel ´all´ıt´asa Sparre Andersent˝ol sz´armazik (Sparre Andersen [35]), j´ollehet Sparre Andersen bizony´ıt´as´aban m´as utat k¨ovet. T´ etel 6.1 Legyen R a (6.2) egyenlet pozit´ıv megold´ asa. Ekkor a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´ere az al´abbi becsl´es adhat´o: Ψ(u) ≤ e−Ru . Bizony´ıt´ as: V´alasszunk olyan r > 0 ´ert´eket, ahol g(r) v´eges. Ekkor az Pn

e−r(u− i=1 Yk ) Mn = g(r)n folyamat marting´al. Legyen Ku = inf{n : Xn > u} . Ez meg´all´asi id˝o. Tetsz˝oleges k mellett min(Ku , k) m´ar korl´atos meg´all´asi id˝o, ´ıgy E(Mmin(Ku ,k) ) = E(M0 ) = e−ru . Az els˝o tagban szerepl˝o v´arhat´o ´ert´eket sz´etbontva aszerint, hogy Ku vagy k vesz fel kisebb ´ert´eket, majd elhagyva megint a k < Ku -nak megfelel˝o tagot, az e−ru ≥ E(MKu | Ku ≤ k)P (Ku ≤ k) 118

becsl´es ad´odik. Mivel a Ku pillanatban u − XKu < 0, ´ıgy az Mn marting´alt defini´al´o t¨ort sz´aml´al´oja 1-n´el nagyobb. Ez´ert a k → ∞ hat´ar´atmenet ut´an kapjuk, hogy P (Ku < ∞) ≤ e−ru sup g(r)n . n≥0

Ez tetsz˝oleges olyan r mellett igaz, amelyre g(r) < ∞ teljes¨ ul. Az r = R ´ert´eket v´alasztva a bizony´ıtand´o Ψ(u) = P (Ku < ∞) < e−Ru egyenl˝otlens´eghez jutunk. 2 Tekints¨ uk most a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et alkalmaz´o elj´ar´ast. Term´eszetes ¨otlet, hogy a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´ere annak figyelembev´etel´evel ´ırjunk fel egyenletet, hogy mekkora az Y1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ert´eke. Jel¨olje G(u) az Yk v´altoz´ok k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´eny´et, melyet most jobbr´ol folytonosnak vesz¨ unk. Azaz G(u) = P (Y1 ≤ u) . Ez −ζ1 ´es Z1 eloszl´asf¨ uggv´eny´enek konvol´ uci´oja. Ha u kezd˝ot˝oke mellett Y1 ´ert´eke u-n´al nagyobb – ennek val´osz´ın˝ us´ege (1 − G(u)), akkor m´ar az els˝o ugr´as pillanat´aban – a folytonos idej˝ u folyamatot tekintve a ζ1 id˝opontban – bek¨ovetkezik a cs˝od. Ha Y1 ´ert´eke nem nagyobb, mint u, akkor az u − Y1 ´ert´ek´et tekinthetj¨ uk kezd˝ot˝ok´enek, ´es innen tov´abb kell a cs˝od bek¨ovetkez´es´et vizsg´alni. K´epletben teh´at Z

Ψ(u) = [1 − G(u)] +

(−∞,u]

Ψ(u − s)dG(s) .

(6.3)

Ez azonban, j´ollehet formailag nagyon hasonl´o az (5.19) egyenlethez, m´egsem fel´ uj´ıt´asi egyenlet, hiszen az integr´al als´o hat´ara −∞, pontosabban a c > λµ felt´etel mellett Y1 eloszl´asa az E(Y1 ) < 0 tulajdons´ag miatt nem korl´atoz´odik a nemnegat´ıv sz´amokra. Ez´ert nem alkalmazhatjuk a fel´ uj´ıt´asi t´eteleket. Ehhez olyan val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ert´ekei szerint kellene a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et haszn´alni, mely nem negat´ıv ´ert´ek˝ u. Ilyen mennyis´eget kapunk, ha tekintj¨ uk az Xn folyamat ´ert´ek´et abban a v´eletlen id˝opontban, mikor el˝osz¨or pozit´ıvv´a v´alik. Ez ´eppen a K0 pillanat. Legyen teh´at κ1 = XK0

´es A(y) = P (κ1 ≤ y, K0 < ∞) . 119

A K0 = ∞ halmazon nem defini´aljuk κ1 ´ert´ek´et. A(y) l´enyeg´eben κ1 eloszl´asf¨ uggv´enye, azonban megv´altoz´asa nem 1, hiszen K0 nem felt´etlen¨ ul v´eges. Vegy¨ uk ´eszre, hogy A(∞) = limy→∞ A(y) = Ψ(0). A teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et akarjuk alkalmazni κ1 ´ert´ekei szerint, kihaszn´alva, hogy a folyamat id˝or˝ ol id˝ore meg´ ujul. Teh´at a K0 id˝opont ut´an ugyan´ ugy viselkedik, mint eredetileg, a 0 id˝opontt´ol kezdve. Ennek igazol´as´ahoz a fel´ uj´ıt´aselm´elet egy fontos konstrukci´oj´at, az u ´n. l´etraindexeket kell haszn´alnunk. Ez a konstrukci´o l´enyeg´eben megegyezik azzal, amit az 5.6.1. szakaszban haszn´altunk, b´ar ott a folyamat folytonos param´eter´et megtartottuk, a jel¨ol´eseket a jelen szakasszal ¨osszhangban vezett¨ uk be. Azonban az egyes szakaszok r´eszleges ¨on´all´os´aga miatt, tov´abb´a tekintettel arra, hogy most nincsen sz¨ uks´eg a konstrukci´o ugyanolyan r´eszletes ki´ep´ıt´es´ere, a sz¨ uks´eges elemeket megism´etelj¨ uk. Legyen X0 = 0 ´es tekints¨ uk az Xk , k ≥ 0 folyamatot. Defin´ıci´ o 6.1 Az m ≥ 0 index l´etraindex, ha Xm > Xj , j = 0, . . . , (m − 1) eset´en. Az els˝o l´etraindex azonosan 0. A (k + 1). l´etraindexet jel¨olje νk . Ezeket rekurz´ıvan is lehet defini´alni: ν0 = 0 , n o νn = inf m > ν(n−1) : Xm > Xj , 0 ≤ j ≤ (m − 1) . Elk´epzelhet˝o, hogy ν(n−1) ut´an m´ar nincsen olyan index m, mely pillanatban Xm nagyobb lenne, mint minden kor´abbi ´ert´ek. Ekkor nem defini´aljuk a k¨ovetkez˝o ´es a tov´abbi l´etraindexeket. (Matematikailag ugyan´ ugy kiel´eg´ıt˝o lenne azt mondani, hogy ekkor νn = ∞. Azonban tal´an a szeml´eletes k´epnek jobban megfelel, ha ilyenkor nem defini´aljuk a tov´abbi l´etraindexeket.) Vegy¨ uk ´eszre, hogy ν1 = K0 . Defini´aljuk a k¨ovetkez˝o esem´enyeket: Ak = { pontosan k l´etraindex l´etezik} , Bk = { legal´abb k l´etraindex l´etezik} . Ekkor Ak = Bk − B(k+1) . Az A1 esem´enyen pontosan 1 l´etraindex van (amely defin´ıci´o szerint a 0 id˝opont), azaz itt Xk ≤ 0 b´armely k ≥ 1 eset´en. Ez´ert P (A1 ) = Φ(0) . 120

A B2 esem´enyen szeretn´enk κ1 ´ert´ekei szerint a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et alkalmazni. Tekints¨ uk teh´at a ξj = Yν1 +j v´eletlen mennyis´egeket, melyeket a B2 esem´enyen defini´alunk. Azaz az els˝o l´etraindext˝ol kiindulva u ´jrasz´amozzuk a folyamatot. Jel¨olje Q a B2 esem´eny szerinti felt´eteles val´osz´ın˝ us´eget. (Mivel P (Y1 > 0) > 0, ez´ert P (B2 ) > 0.) T´ etel 6.2 A ξk , k ≥ 1 sorozat (a Q val´ osz´ın˝ us´eg szerint) f¨ uggetlen az Xν1 val´osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol ´es Q szerinti egy¨ uttes eloszl´asa megegyezik az Xk , k ≥ 1 sorozat (P szerinti) egy¨ uttes eloszl´as´ aval. (Ez az 5.2 lemma ´all´ıt´as´anak r´eszbeni megism´etl´ese.) Bizony´ıt´ as: Legyen f tetsz˝oleges k-v´altoz´os, g pedig 1-v´altoz´os korl´atos f¨ uggv´eny. Ekkor E(f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk )g(Xν1 ) | B2 ) = ∞ 1 X E(f (Yj+1 , . . . , Yj+k )g(Xj )χ{ν1 =j} ) = = P (B2 ) j=1 ∞ X 1 = E(f (Y1 , . . . , Yk )) E(g(Xν1 χ{ν1 =j} )) = P (B2 ) j=1

= E(f (Y1 , . . . , Yk ))E(g(Xν1 ) | B2 ) felhaszn´alva, hogy Yj+1 , Yj+2 , . . . Yj+k sztochasztikusan f¨ uggetlen (a P val´osz´ın˝ us´eg szerint) az Xj , {ν1 = j} mennyis´egekt˝ol. Ez egyszerre bizony´ıtja a t´etel mindk´et ´all´ıt´as´at, hiszen a g = 1 f¨ uggv´enyt v´alasztva az E(f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) | B2 ) = E(f (Y1 , Y2 , . . . , Yk )) egyenlethez jutunk. Ez´ert teh´at tetsz˝oleges g mellett E(f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk )g(Xν1 ) | B2 ) = E(f (ξ1 , ξ2 , . . . , ξk ) | B2 )E(g(Xν1 ) | B2 ) igaz. 2 Alkalmazzuk teh´at a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et a B2 esem´eny ´es a κ1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ert´ekei szerint a Ψ(u) = P (Ku < ∞) mennyis´egre. H´arom eset van. B2 komplementer´en – teh´at ahol K0 ´ert´eke v´egtelen, azaz az 121

Xk sorozat v´egig nempozit´ıv marad – a felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg 0. A m´asodik eset, mikor a B2 esem´enyen Xν1 = κ1 ´ert´eke u-n´al nagyobb, teh´at ekkor az els˝o l´etrafok pillanat´aban bek¨ovetkezik a cs˝od (u kezd˝ot˝oke eset´en). Ennek val´osz´ın˝ us´ege A(∞) − A(u). V´egezet¨ ul, mikor 0 < κ1 ≤ u. ´Igy teh´at a 6.2 T´etel alapj´an a Z

Ψ(u) = A(∞) − A(u) +

(0,u]

Ψ(u − y)dA(y)

(6.4)

egyenlethez jutunk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a levezet´es k¨ozben csup´an azt a felt´etelt haszn´altuk ki, hogy P (Y1 > 0) > 0, ami ekvivalens azzal, hogy P (B2 ) > 0, m´ask´eppen ν1 pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel v´eges. (Ezen felt´etel n´elk¨ ul m´eg nulla kezd˝ot˝oke eset´en is nulla a val´osz´ın˝ us´ege annak, hogy cs˝od k¨ovetkezik be, teh´at ekkor Ψ(u) = 0, u ≥ 0 eset´en.) ´ Erdemes fel´ırni a Φ(u) = P (Tu = ∞) f¨ uggv´enyre vonatkoz´o egyenletet is. Z

Φ(u) = P (K0 = ∞) + Z

= 1 − A(∞) +

(0,u]

(0,u]

Φ(u − y) dA(y) =

Φ(u − y) dA(y) = Z

= 1 − A(∞) + A(∞)

(0,u]

Φ(u − y)

1 dA(y) . A(∞)

(6.5) (6.6)

¨ Osszevetve ezt az (5.42) ¨osszef¨ ugg´essel l´athatjuk, hogy ez az (5.5) egyenlet megfelel˝oje fel´ uj´ıt´asi folyamatokra. Ebb˝ol – az (5.11) egyenlethez hasonl´oan Φ(u) = (1 − A(∞))

∞ X

(∗k)

A(∞)k A0 (u) ,

(6.7)

k=0

1 A a κ1 normaliz´alt eloszl´asa: A0 (y) = P (κ1 ≤ y | K0 < ∞). A(∞) Megjegyz´ es: Ha a (6.4) egyenletben az u → ∞ hat´ar´atmenetet vessz¨ uk, akkor – mivel Ψ(u) ism´et monoton cs¨okkenve tart Ψ(∞)-hez – ´atrendez´es ut´an a Ψ(∞)(1 − A(∞)) = 0 ¨osszef¨ ugg´esre jutunk, vagy m´ask´eppen ahol A0 =

Ψ(∞)(1 − Ψ(0)) = 0 . Azaz, ha Ψ(∞) > 0, akkor Ψ(0) = 1, m´ask´eppen, ha Ψ(0) < 1, akkor Ψ(∞) = 0. 122

A (6.4) egyenlet megold´as´at ´altal´anos esetben megint nem egyszer˝ u meghat´arozni. Azonban f´azis t´ıpus´ u eloszl´asok eset´en fel´ırhat´o olyan egyenlet, melynek megold´asa szukcessz´ıv approxim´aci´oval k¨ozel´ıthet˝o. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul id´ezz¨ uk az al´abbi t´etelt. (L´asd Asmussen ´es Rolski [4].) T´ etel 6.3 Jel¨olje K az egyes k´arig´enyek k¨oz¨ otti id˝otartam eloszl´asf¨ uggv´eny´et. Tegy¨ uk fel, hogy a k´arnagys´ ag eloszl´asa f´azis t´ıpus´ u, melyet (π, T, d) hat´aroznak meg. Ekkor a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´et le´ır´ o Ψ(u) f¨ uggv´eny is f´azis t´ıpus´ u, melyet (π+ , Q, d) defini´ alnak, ahol Q megold´ asa az al´abbi egyenletnek: Q = T + t0 π

Z ∞ 0

eQs dK(s) ,

(t0 = −T e0 , e0 a csupa 1-t tartalmaz´o oszlopvektor), ´es π+ = eT0 (Q − T )/eT0 t0 . 2

6.2.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ eg aszimptotikus viselked´ ese

Hasonl´oan a klasszikus rizik´ofolyamat eset´eben k¨ovetett gondolatmenethez, a (6.4) egyenlet bizonyos esetben ism´et normaliz´al´as seg´ıts´eg´evel alak´ıthat´o fel´ uj´ıt´asi egyenlett´e. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik olyan ρ ´ert´ek, melyre Z ∞ 0

eρy dA(y) = 1 .

(6.8)

Ekkor az ρu

ρu

e Ψ(u) = e [A(∞) − A(u)] +

Z u 0

eρ(u−y) Ψ(u − y)eρy dA(y) (6.9)

m´ar fel´ uj´ıt´asi egyenlet. R

T´ etel 6.4 Tegy¨ uk fel, hogy r 7→ 0∞ ery dA(y) v´eges ρ egy pozit´ıv k¨ornyezet´eben. Ekkor, ha az A(y) f¨ uggv´eny ´altal meghat´ arozott m´ert´ek nem r´acsos, akkor l´etezik a

lim eρu Ψ(u) hat´ ar´ert´ek,

u→∞

123

(6.10)

´es ρu

lim e Ψ(u) =

u→∞

1 (1 − A(∞)) ρ R∞ ρy 0 ye dA(y)

.

(6.11)

Bizony´ıt´ as: El¨olj´ar´oban megjegyezz¨ uk, hogy (6.11) nevez˝oj´eben szerepl˝o mennyis´eg a feltev´eseink miatt v´eges ´es pozit´ıv. Parci´alis integr´al´assal kapjuk, hogy Z ∞ 0

ρu

ρu

e (A(∞) − A(u))du = [e (A(∞) −

A(u)]∞ 0

1 1 Z ∞ ρu + e dA(u) = ρ ρ 0

1 (1 − A(∞)) . ρ

=

Ez´ert az 5.5 t´etel k¨ozvetlen¨ ul adja a bizony´ıtand´o ´all´ıt´ast.

2

T´ etel 6.5 Legyen R a (6.2), ρ pedig a (6.8) egyenlet pozit´ıv megold´ asa. Ekkor ρ=R. Bizony´ıt´ as: Az R mennyis´eg defin´ıci´oja lehet˝ov´e teszi, hogy az Yk , k ≥ 1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok helyett tekints¨ unk olyan Y¯k , k ≥ 1 f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat, melyekre P (Y¯k ≤ y) =

Z y −∞

eRs dG(s) .

Pn

¯ ¯n = Legyen X k=1 Yk . ¯ n → ∞ 1 val´osz´ın˝ Ekkor E(Y¯k ) = g 0 (R) > 0. Ez´ert X us´eggel. Speci´alisan ¯ n > 0) = 1 . P (sup X n≥0

Teh´at

Z ∞ 0

eRy dA(y) = = E(eRY1 χ{Y1 >0} ) +

∞ X



E eRXn χ{Xn >0,Xk ≤0,

 k=1,...,(n−1)}

=

n=2

= P (Y¯1 > 0) +

∞ X

¯ n > 0, X ¯ k ≤ 0, k = 1, . . . , (n − 1)) = P (X

n=2

¯ n > 0) = 1 . = P (sup X 124

2 Teh´at a marting´alos megk¨ozel´ıt´essel levezetett Lundberg-f´ele approxim´aci´oban szerepl˝o kitev˝o pontos, eRu Ψ(u) hat´ar´ert´eke pozit´ıv ´es v´eges. Term´eszetesen fel´ uj´ıt´asi folyamatok eset´en is felvethet˝o a k´erd´es, hogyan kell az R Lundberg-kitev˝ot becs¨ ulni. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul eml´ıtj¨ uk meg az al´abbi konstrukci´ot (l´asd Cs¨org˝o ´es Steinbach [12]). Vegy¨ uk az Yk = Zk −cζk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okat, g(r) = E(erY1 ). Legyen M0 = 0 ´es Mn = [Mn−1 + Yn ]+ . T´ etel 6.6 Tegy¨ uk fel, hogy g(r) v´eges a 0 egy jobb oldali ny´ılt k¨ornyezet´eben, g 0 (0) < 0, ´es legyen R > 0 a g(r) = 1 megold´ asa. Ekkor Mk 1 = n→∞ 1≤k≤n logn R lim max

1 val´osz´ın˝ us´eggel .

Tekints¨ uk most azokat az id˝opontokat – pontosabban a megfelel˝o k´aresem´enyek indexeit –, melyek sor´an a t˝oke ´ert´eke a kor´abbi maximum´at meghaladja: νe1 = inf{n ≥ 1 : Mn = 0} , νek = inf{n > νek−1 : Mn = 0} . Ezek az u ´n. cs¨okken˝o l´etraindexek. N´ezz¨ uk meg, hogy k¨ozben az Mj sorozat milyen maxim´alis ´ert´eket ´ert el. Azaz legyen Vk =

max

νk−1 <j≤νk

Mj .

R¨ogz´ıtett n mellett vegy¨ uk a V1 , . . . , Vn mennyis´egeket ´es rendezz¨ uk ˝oket nagys´ag szerinti sorrendbe: V1,n < V2,n < · · · < Vn,n . T´ etel 6.7 Tegy¨ uk fel, hogy teljes¨ ulnek az el˝oz˝ o t´etel felt´etelei, ´es legyen kn olyan sz´amsorozat, melyre kn /n → 0. Ekkor lim n→∞

1 Vn−kn +1,n = log(n/kn ) R

1 val´osz´ın˝ us´eggel .

Az el˝oz˝o t´etel lehet˝os´eget ad arra, hogy R ´ert´ek´et az u ´n. bootstrap-m´odszerrel becs¨ ulj¨ uk (l´asd Embrechts ´es Mikosch [19]). 125

6.3.

A cs˝ odval´ osz´ın˝ us´ eg aszimptotikus viselked´ ese kiemelked˝ o k´ arok eset´ en

uggv´eny szubexponenci´alis, akHa az A0 (y) = P (κ1 ≤ y | K0 < ∞) eloszl´asf¨ kor az (6.7) ¨osszef¨ ugg´esre alkalmazhatjuk a 5.7 t´etelt. Ekkor az 5.1 k¨ovetkezm´eny megfelel˝oj´et kapjuk. K¨ ovetkezm´ eny 6.1 Legyenek Y1 , Y2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ ok, melyekre E(Y1 ) < 0 ´es P (Y1 ≤ 0) < 1. Legyen Xn = Pn es i=1 Yi ´ K0 = inf {n : Xn > 0} Tegy¨ uk fel, hogy a ν1 = K0 els˝o l´etraindex pillanat´aban tekintett κ1 = XK0 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o felt´eteles eloszl´asf¨ uggv´enye A0 (y) = P (XK0 ≤ y | K0 < ∞) szubexponenci´ alis. Ekkor lim

u→∞

P (K0 < ∞) ψ(u) = . 1 − A0 (u) 1 − P (K0 < ∞)

(6.12)

Bizony´ıt´ as: A (6.7) el˝oa´ll´ıt´asra alkalmazhatjuk az 5.7 t´etelt. Az ad´od´o hat´ar´ert´ek X

k (1 − P (K0 < ∞)) P (K0 < ∞)k =

k=1

P (K0 < ∞) , 1 − P (K0 < ∞)

bizony´ıtva az ´all´ıt´ast. 2 A t´etel alkalmazhat´os´ag´ahoz sz¨ uks´eg van arra, hogy az A0 eloszl´asf¨ uggv´eny tulajdons´ag´at ismerj¨ uk. Az 5.1 lemma (iv) pontja alapj´an a szubexponancialit´as igazol´as´ahoz el´eg az 1 − A0 (z) aszimptotikus viselked´es´et ismerni. A 6.8 t´etelben ezt az Y1 eloszl´asf¨ uggv´eny´enek aszimptotik´aj´aval hozzuk kapcsolatba. Ehhez egy el˝ok´esz´ıt˝o lemm´ara van sz¨ uks´eg¨ unk. Legyen K0− = inf {n ≥ 1 : Xn ≤ 0} , tov´abb´a





A− (y) = P XK0− ≤ y, K0− < ∞ . 126

K0− az els˝o cs¨okken˝o (gyenge) l´etraindex. Fontos ´eszrevenn¨ unk, hogy m´ıg az A ´altal meghat´arozott m´ert´ek a pozit´ıv sz´amokra, addig az A− ´altal meghat´arozott m´ert´ek a nemnegat´ıv sz´amokra koncentr´al´odik. Az E(Y1 ) < 0 felt´etel mellett A− val´osz´ın˝ us´egi m´ert´eket hat´aroz meg. Lemma 6.1 Az Y1 eloszl´ asf¨ uggv´enye ´es a K0 , K0− l´etraindexekhez tartoz´o XK0 ´es XK − v´ altoz´ ok eloszl´asf¨ uggv´enyei k¨oz¨ ott az 0

G = A + A− − A ∗ A−

(6.13)

¨osszef¨ ugg´es ´all fenn. Bizony´ıt´ as: Vezess¨ uk be az al´abbi jel¨ol´eseket: Ae =

∞ X

A(∗k)

(6.14)

k=0

Aen (C) = P (Xn > Xk , k = 0, . . . , n − 1, Xn ∈ C) , ha C ⊂ R . (6.15) Vegy¨ uk ´eszre, hogy Aen (C) = P (Xk > 0, k = 1, . . . , n, Xn ∈ C) ,

(6.16)

kihaszn´alva, hogy az Y1 , Y 1 + Y2 , . . . , Y 1 + · · · + Yn ´es Yn , Yn + Yn−1 , . . . , Yn + · · · + Y1 egy¨ uttes eloszl´asa megegyezik. Tov´abb´a Ae =

∞ X

Aen .

(6.17)

n=0

Ha C ⊂ (−∞, 0], akkor 



P XK − ∈ C, K0− = n 0

= P (Xn ∈ C, Xk > 0, k = 1, . . . , n − 1) = = Aen−1 ∗ G(C) . 127

Ha pedig C ⊂ (0, ∞), akkor Aen (C) = P (Xk > 0, k = 1, . . . , n, Xn ∈ C) = = Aen−1 ∗ G(C) . ¨ Osszeadva ezeket tetsz˝oleges C ⊂ R eset´en, kapjuk, hogy 



Aen (C) + P XK − ∈ C, K0− = n = Aen−1 ∗ G(C) . 0

Majd ¨osszegezve n szerint az Ae + A− = Ae ∗ G + δ0

(6.18)

egyenlethez jutunk, ahol δ0 a 0 pontra koncentr´alt val´osz´ın˝ us´egeloszl´as. K´epezz¨ uk az A ´altal meghat´arozott m´ert´ekkel konvol´ uci´ot: Ae ∗ A + A− ∗ A = Ae ∗ G ∗ A + A = Ae ∗ G − G + A , ahol az Ae ∗ A = Ae − δ0 azonoss´agot haszn´altuk. Levonva ebb˝ol a (6.18) egyenletet ´es ism´et haszn´alva az el˝oz˝o ¨osszef¨ ugg´est, a −A− + A− ∗ A = −G + A egyenlethez jutunk, amely az bizony´ıtand´o ´all´ıt´assal ekvivalens.

2

Alkalmazzuk a (6.13) egyenletet C = (z, ∞) ⊂ (0, ∞) r´eszhalmaz eset´en. Z

1 − G(z) = A(∞) − A(z) −

(−∞,0]

(A(∞) − A(z − t)) dA− (t) . (6.19)

T´ etel 6.8 Legyenek Y1 , Y2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, melyek k¨oz¨ os (jobbr´ol folytonosnak vett) eloszl´asf¨ uggv´enye G. Tegy¨ uk P fel, hogy E(Y1 ) < 0 ´es P (Y1 ≤ 0) < 1. Legyen Xn = ni=1 Yi ´es K0 az els˝o l´etraindex, azaz K0 = inf {n ≥ 1 : Xn > 0} . Legyen A(y) = P (XK0 ≤ y, K0 < ∞) .

128

Ha a

R∞

(1 − G(z)) dz →1, (1 − G(z)) dz

Ru+s ∞ u

(6.20)

ha u → ∞, tetsz˝oleges s eset´en tulajdons´ag teljes¨ ul, akkor A(∞) − A(u) 1 →R . − u (1 − G(z)) dz (−∞,0] A (t) dt

R∞

Bizony´ıt´ as: Integr´aljuk a (6.19) ¨osszef¨ ugg´es mindk´et oldal´at u-t˝ol ∞-ig, ahol u > 0. Z ∞ u

(1 − G(z)) dz = − =

Z ∞Z u

Z ∞ Z

−

u

(−∞,0]

Z ∞

(A(∞) − A(z)) dz −

u

(A(∞) − A(z − t)) dA− (t) dz =

(A(∞) − A(z)) dz − Z ∞

(−∞,0]

u



(A(∞) − A(z − t)) dz dA− (t) .

Alkalmazzunk parci´alis integr´al´ast az utols´o tagban: Z ∞ u

Z ∞

(1 − G(z)) dz =

u

(A(∞) − A(z)) dz −

Z ∞

−

u

−

t=−∞

Mivel

Z ∞ u

−

(−∞,0]

+

(A(∞) − A(z − t)) dz × A (t)

Z

+

!

0

A (t) dt

(A(∞) − A(z − t)) dz =

Z ∞ u

Z ∞ u−t



(A(∞) − A(z − t)) dz

.

(A(∞) − A(y)) dy ,

´es Z ∞ u

ez´ert az

−

0

(A(∞) − A(z − t)) dz × A (t)

= t=−∞

Z ∞ u

Z ∞ u

(A(∞) − A(z)) dz ,

Z

(1 − G(z)) dz =

(−∞,0]

A− (t) (A(∞) − A(u − t)) dt

129

¨osszef¨ ugg´eshez jutunk. Ennek alapj´an Z

(A(∞) − A(u))

(−∞,0]

A− (t) dt ≥

Z

(A(∞) − A(u + s))

−

(−s,0]

A (t) dt ≤

Z ∞ u

(1 − G(z)) dz ,

(6.21)

(1 − G(z)) dz ,

(6.22)

Z ∞ u

ahol s > 0 r¨ogz´ıtett sz´am. Alkalmazva az els˝o egyenl˝otlens´eget u helyett az u + s pontban a R∞

(1 − G(z)) dz R ≤ A(∞) − A(u + s) ≤ − (−∞,0] A (t) dt

u+s

Ha teh´at a

R∞ u

(1 − G(z)) dz . − (−s,0] A (t) dt

R

R∞

(1 − G(z)) dz →1, u (1 − G(z)) dz ha u → ∞ felt´etel teljes¨ ul, akkor Ru+s ∞

A(∞) − A(u) 1 1   , = →R − E −XK0− (−∞,0] A (t) dt u (1 − G(z)) dz

R∞

ami a bizony´ıtand´o ´all´ıt´as. ´Igy teh´at a fenti t´etel felt´eteleinek teljes¨ ul´ese eset´en az 1 − A0 (y) = 1 −

2

1 A(u) A(∞)

f¨ uggv´eny aszimptotikusan megegyezik az 1



A(∞)E −XK −



Z ∞ u

(1 − G(z)) dz

(6.23)

0

f¨ uggv´ennyel. Alkalmazva az (6.16) ´es (6.17) ¨osszef¨ ugg´eseket a C = R halmaz eset´ere, az ∞ e A(R) =

X

P (Sk > 0, k = 1, . . . , n) = E(K0− )

n=0

azonoss´aghoz jutunk. Ugyanakkor (6.14) alapj´an e A(R) =

1 . 1 − A(∞) 130

Tov´abb´a, mivel az Xn sorozat f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok r´eszlet¨osszegeib˝ol ´all, teh´at tetsz˝oleges v´eges v´arhat´o ´ert´ek˝ u meg´all´asi id˝o eset´en alkalmazhat´o a Wald-azonoss´ag (l´asd Neveu [31]), azaz E(−XK − ) = −E(Y1 )E(K0− ) . 0

Behelyettes´ıtve ezeket a (6.12) ¨osszef¨ ugg´esbe, kapjuk, hogy ha a 6.1 k¨ovetkezm´eny ´es a 6.8 t´etel felt´etelei teljes¨ ulnek, speci´alisan ha az XK0 v´altoz´onak a K0 < ∞ felt´etel melletti felt´eteles eloszl´asf¨ uggv´enye, melyet A0 jel¨olt, szubexponenci´alis, ´es teljes¨ ul a (6.20) felt´etel, akkor ψ(u) = P (Ku < ∞) aszimptotikusan ekvivalens az Z ∞ A(∞) A(∞) 1 (1 − A0 (u)) ∼ (1 − G(z)) dz = 1 − A(∞) 1 − A(∞) A(∞)E(−XK − ) u 0 Z ∞ 1 = (1 − G(z)) dz −E(Y1 ) u

mennyis´eggel. Ezen t´ ulmen˝oen a (6.20) felt´etel mellett AZ0 szubexponancialit´as´at a 6.8 t´etel ´es az 5.1 lemma (iv) alkalmaz´as´aval a f¨ uggv´eny aszimptotikus viselked´ese d¨onti el.

131

∞

u

(1 − G(z)) dz

7. 7.1.

´ Altal´ anosabb kock´ azati folyamatok Cox-folyamatok

A Cox-folyamatok a Poisson-folyamatok ´altal´anos´ıt´asai. Homog´en Poissonfolyamat eset´en az intenzit´as ´alland´o, a folyamat t hossz´ us´ag´ u intervallumhoz tartoz´o n¨ovekm´enye λt param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u. Inhomog´en Poissonfolyamat eset´en a n¨ovekm´enyek tov´abbra is f¨ uggetlenek, azonban az eloszl´ast az intenzit´asm´ert´ek – intenzit´asf¨ uggv´eny – adja meg: Nt −Ns eloszl´asa λt −λs param´eter˝ u Poisson-eloszl´as. A Cox-folyamatok eset´en az intenzit´asm´ert´ek megv´alaszt´asa is a v´eletlent˝ol f¨ ugg, maga is sztochasztikus folyamat. Legyen teh´at Λt , t ≥ 0 monoton n¨ov˝o trajekt´ori´aj´ u sztochasztikus folyamat, Λ0 = 0. Tegy¨ uk fel, hogy az Nt , t ≥ 0 folyamat felt´eteles eloszl´asa adott Λt , t ≥ 0 mellett inhomog´en Poisson-folyamat, melynek intenzit´asf¨ uggv´enye ´eppen a Λt folyamat r¨ogz´ıtett trajekt´ori´aja. Ennek pontosabb megfogalmaz´asa ´erdek´eben legyen F Λ az intenzit´asfolyamat ´altal gener´alt σ-algebra. Defin´ıci´ o 7.1 Az Nt , t ≥ 0 folyamat Cox-folyamat, ha diszjunkt id˝ointervallumok eset´en a folyamat n¨ovekm´enyei felt´etelesen f¨ uggetlenek az F Λ σalgebr´ara n´ezve, ´es P (Nt − Ns = k | F Λ ) =

(Λt − Λs )k −(Λt −Λs ) e . k!

Bizony´ıt´as n´elk¨ ul jegyezz¨ uk meg Mecke t´etel´et (Mecke [27]), mely szerint egy pontfolyamat akkor ´es csak akkor kaphat´o meg b´armely p ∈ (0, 1) mellett p val´osz´ın˝ us´eg˝ u ritk´ıt´assal m´as pontfolyamatokb´ol, ha a folyamat maga Coxfolyamat. Ebben a fejezetben speci´alis Cox-folyamatokkal fogunk csak foglalkozni. Feltessz¨ uk, hogy a Cox-folyamat intenzit´asfolyamata v´eges ´allapot´ u Markovfolyamat. Jel¨olje a Markov-folyamatot ξt , t ≥ 0, ´allapotter´et I. Tegy¨ uk fel, hogy a folyamat stacion´arius ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg˝ u, teh´at P (ξt+s = j | ξs = i) = pi,j (t) az ´atmenetval´osz´ın˝ us´eg-f¨ uggv´eny, melyr˝ol tegy¨ uk fel, hogy a nulla pontban jobbr´ol deriv´alhat´o, ´es limt→0+ pi,j (t) = δi,j . Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a deriv´alt minden t pontban l´etezik. Elrendezve a pi,j (t) elemeket egy m´atrixba 132

– jel¨olje ezt P (t) – a Chapman–Kolmogorov-egyenletek adj´ak, hogy P (t)P (s) = P (t + s) . A deriv´alhat´os´ag miatt l´etezik olyan A m´atrix, melyre P (t) = eAt . Mivel P (t) sor¨osszege 1, ez´ert A sor¨osszege 0. Az A m´atrix elemei, a f˝oa´tl´obelieket kiv´eve, mind nemnegat´ıvak, ez´ert teh´at a f˝oa´tl´oban nempozit´ıv elemek u ¨lnek. Vezess¨ unk be k¨ ul¨on jel¨ol´eseket ezekre: ai,j ηi = −ai,i q(i, j) = , ha i 6= j . ηi Ekkor a Markov-folyamat fejl˝od´ese a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o le. Ha ´eppen az i ´allapotban van, akkor ott t¨olt¨ott ideje exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, melynek param´etere ηi , ezut´an a q(i, j) val´osz´ın˝ us´egek szerint ugrik ´at valamelyik m´asik j ´allapotba. Mivel a Markov-folyamat v´eges ´allapotter˝ u, ez´ert l´etezik stacion´arius eloszl´as, azaz olyan pi , i ∈ I eloszl´as, melyre ha P (ξ0 = i) = pi , akkor P (ξt = i) = pi , b´armely t ≥ 0 eset´en. M´ask´eppen, ha a p sorvektor elemei a pi val´osz´ın˝ us´egek, akkor pP (t) = p ,

vagy m´ask´eppen pA = 0 .

Legyen adott egy λ : I → R+ f¨ uggv´eny. Ez adja meg az Nt Poissonfolyamat ξt pillanatnyi ´allapot´at´ol f¨ ugg˝o intenzit´as´at. Pontosabban, tegy¨ uk fel, hogy az Nt . t ≥ 0 folyamat felt´eteles eloszl´asa a ξs , s ≥ 0 folyamat szerint Poisson-folyamat, melynek intenzit´asf¨ uggv´enye λ(ξt ), t ≥ 0. PNt Az Ut = u + ct − k=1 Zk kock´azati folyamat eset´en akarjuk elemezni a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´et, ahol a Zk val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok f¨ uggetlenek (a ξ, ill. N folyamatt´ol is) ´es azonos eloszl´as´ uak. A k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´enyt megint F jel¨oli. Tegy¨ uk fel, hogy a v´arhat´o ´ert´ek v´eges, legyen ez µ. Legyen Φi (u) Ψi (u) Φ(u) Ψ(u)

= = = =

P ( Ut ≥ 0 P ( l´etezik P ( Ut ≥ 0 P ( l´etezik

b´armely t ≥ 0 eset´en | ξ0 = i) , olyan t ≥ 0 , melyre Ut < 0 | ξ0 = i) , b´armely t ≥ 0 eset´en) , olyan t ≥ 0 , melyre Ut < 0) . 133

(7.1) (7.2) (7.3) (7.4)

A klasszikus rizik´ofolyamat elemz´ese sor´an le´ırt m´odszer megfelel˝o v´altoztat´as´aval olyan egyenlethez jutunk, melynek a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´et le´ır´o f¨ uggv´enyek megold´asai. T´ etel 7.1 A Φi (u) f¨ uggv´enyek eleget tesznek az al´abbi integr´ alegyenletnek: 1Z u λ(i)Φi (u − z)(1 − F (z))dz c 0   X 1Z u  + ηi Φi (s) − q(i, j)Φj (s) ds . c 0 j6=i

Φi (u) = Φi (0) +

Ha ξ0 eloszl´asa a Markov-folyamat stacion´arius eloszl´asa, pi = P (ξ0 = i), akkor az al´abbi egyenlet teljes¨ ul: !

1Z u X Φ(u) − Φ(0) = pi λ(i)Φi (u − z) (1 − F (z))dz . c 0 i∈I

(7.5)

Bizony´ıt´ as: Tegy¨ uk fel, hogy a ξ Markov-folyamat kezdetben az i ´allapotban van. Jel¨olje a folyamat els˝o ugr´as´aig sz¨ uks´eges id˝otartamot κi . Ennek eloszl´asa ηi param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as. Legyen ζ1 az Nt Coxfolyamat els˝o ugr´as´anak id˝opontja. Am´ıg a ξs folyamat az i ´allapotban van, Nt nem m´as, mint λ(i) param´eter˝ u homog´en Poisson-folyamat, ez´ert min(ζ1 , κi ) eloszl´asa megegyezik k´et f¨ uggetlen exponenci´alis eloszl´as´ u v´altoz´o minimum´anak eloszl´as´aval, teh´at maga is exponenci´alis eloszl´as´ u, melynek param´etere λ(i) + ηi . Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy el˝obb k¨ovetkezik be a Markov-folyamatban ugr´as, mint az els˝o k´aresem´eny, ´eppen ηi /(ηi + λ(i)). Alkalmazzuk megint a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et a min(ζ1 , κi ) ´ert´eke szerint a {ζ1 < κi } halmazon, figyelembe v´eve m´eg Z1 ´ert´ek´et is. ´Igy teh´at azt vessz¨ uk figyelembe, hogy mikor k¨ovetkezik be az els˝o ugr´as – ak´ar a Markov-, ak´ar a Cox-folyamatban. Ha a Markov-folyamatban k¨ovetkezett be el˝obb az ugr´as, akkor hogy milyen u ´j ´allapotba ugrott a ξ folyamat ´ert´eke, ha pedig a Coxfolyamatban k¨ovetkezett be el˝obb, akkor hogy mekkora a Z1 val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o – az els˝o k´arnagys´ag – ´ert´eke. Φi (u) = 

Z ∞ 0

(λ(i) + ηi )e−s(λ(i)+ηi ) × 

X λ(i) Z u+cs ηi  q(i, j)Φj (u + cs) + Φi (u + cs − z)dF (z) ds . × λ(i) + ηi j6=i λ(i) + ηi 0

134

Beszorz´as ut´an, elv´egezve az r = u + cs v´altoz´ocser´et, kapjuk, hogy Φi (u) abszol´ ut folytonos, ´es Radon-Nikodym-deriv´altja kiel´eg´ıti a 



Z u X λ(i) + ηi 1 Φ0i (u) = Φi (u) − ηi q(i, j)Φj (u) + λ(i) Φi (u − z)dF (z) c c 0 j6=i

egyenletet. Integr´alva 0 ´es u k¨oz¨ott, majd a jobb oldalon parci´alisan integr´alva –hasonl´ok´eppen, mint az (5.8) egyenlet levezet´esekor tett¨ uk – kapjuk, hogy Φi (u) = Φi (0) +









Z u X 1 Zu q(i, j)Φj (s) ds . +  λi Φi (u − z)(1 − F (z))dz + ηi Φi (s) − c 0 0 j6=i

Ez az els˝o bizony´ıtand´o egyenl˝os´eg. Ha most ξ0 eloszl´asa pi , i ∈ I, a Markov-folyamat stacion´arius eloszl´asa, akkor a pA = 0 alapj´an pi ηi =

X

pj ηj q(j, i) .

j6=i

Teh´at  X i∈I

pi ηi (Φi (s) −

X j6=i

q(i, j)Φj (s)) =

X



Φi (s) pi ηi −

i∈I

X

pj ηj q(j, i) = 0 .

j6=i

P

Ez´ert a Φ(u) = i∈I pi Φi (u) ¨osszef¨ ugg´est kihaszn´alva a Markov-folyamatb´ol sz´armaz´o tag kiesik, ´es kapjuk, hogy !

1Z u X Φ(u) = Φ(0) + pi λi Φi (u − z) (1 − F (z))dz . c 0 i∈I

(7.6) 2

Marting´alok seg´ıts´eg´evel is vizsg´alhatjuk a folyamat viselked´es´et. K´etf´ele megk¨ozel´ıt´est is t´argyalunk. El˝osz¨or olyan Mt marting´alt konstru´alunk, mely ξ ´es FtS ´altal gener´alt Ft σ-algebra (t ≥ 0) szerint marting´al. Teh´at az F∞ az Ft σ-algebr´at az intenzit´ast meghat´aroz´o folyamat teljes hist´ori´aja ´es az 135

P

s o t¨ort´enelme gener´alja. Ugyan n´emi Ss = N k=1 Zk folyamat t pillanatig tart´ rossz ´erz´es¨ unk t´amadhat amiatt, hogy a t pillanatig t´enylegesen ¨osszegy˝ ult inform´aci´ok k¨oz¨ott nincsen a ξ Markov-folyamat eg´esz t¨ort´en´ese – j¨ov˝obeli is –, de ez csak annyit jelent, hogy cs´ınj´an kell b´anni azzal az elnevez´essel, hogy Ft a t pillanatban rendelkez´esre ´all´o inform´aci´ot jelenti. Ft csak egy matematikai eszk¨oz, mely seg´ıt abban, hogy a cs˝od val´osz´ın˝ us´eg´et becs¨ ulj¨ uk. Az´ert ξ tett¨ uk be az F∞ σ–algebr´at Ft -be, mert a ξ folyamat r¨ogz´ıtett trajekt´ori´aja mellett az Nt , t ≥ 0 Cox-folyamat felt´eteles eloszl´asa inhomog´en Poissonfolyamat, teh´at olyan marting´alokat is haszn´alhatunk, melyek a Poissonfolyamatnak alkalmas f¨ uggv´enyei. Legyen teh´at e−r(u+ct−St ) Mt = (ξt h(r)−trc) . e R Eml´ekeztet¨ unk h(r) defin´ıci´oj´ara: h(r) = 0∞ erz dF (z) − 1. Mivel r¨ogz´ıtett ξs , s ≥ 0 eset´en ez pontosan az a marting´al, melyet kor´abban vizsg´altunk, ez´ert a fent defini´alt Ft σ-algebr´ara n´ezve Mt marting´al. Legyen

Tu = inf {t ≥ 0 : Ut < 0} a t¨onkremen´es id˝opontja, mely meg´all´asi id˝o. ´Igy – a szok´asos gondolatmenet alapj´an – E(Mmin(Tu ,t) | F0 ) = E(E(Mmin(Tu ,t) | min(Tu , t), F0 ) | F0 ) ≥ ≥ E(E(MTu | min(Tu , t), F0 )χ{Tu ≤t} | F0 ) ≥ ≥

inf e−ξs h(r)+rcs P (Tu ≤ t | F0 ) .

0≤s≤t

´ Atrendezve: P (Tu ≤ t | F0 ) ≤ e−ru sup e−ξs h(r)+rcs . 0≤s≤t

Vegy¨ uk a t → ∞ hat´ar´atmenetet ´es a v´arhat´o ´ert´eket: Ψ(u) ≤ e−ru E(sup e−ξs h(r)+rcs ) . s≥0

Ez a becsl´es csak akkor ad ´ertelmes fels˝o becsl´est, ha a benne szerepl˝o v´arhat´o ´ert´ek v´eges. Jel¨olje C(r) a sups≥0 e−ξs h(r)+rcs v´arhat´o ´ert´ek´et, ´es legyen R = sup{r : C(r) < ∞} . 136

Ekkor teh´at Ψ(u) ≤ C(R − )e−(R−)u b´armely pozit´ıv  < R eset´en. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul mondjuk ki az al´abbi t´etelt (l´asd Bj¨ork ´es Grandell [7]): T´ etel 7.2 Tegy¨ uk fel, hogy I legal´ abb k´et elem˝ u, ´es a ξt Markov–l´anc irreducibilis, azaz b´armely ´allapot´ ab´ ol b´armelyik m´asikba el lehet jutni (esetleg t¨obb l´ep´es alatt) pozit´ıv val´osz´ın˝ us´eggel. Jel¨olje D azt a diagon´alis m´atrixot, melynek f˝o´ atl´ obeli elemei rendre ηi /(−h(r)λi + ηi + rc). Ugyanakkor a Q m´atrix elemei legyenek a q(i, j) val´osz´ın˝ us´egek, q(i, i) = 0. Ekkor R = sup{r : ρ(DQ) < 1} , ahol ρ(.) jel¨oli a spektr´ alsugarat, azaz a saj´at´ert´ekek abszol´ ut ´ert´ek´enek maximum´at.

7.2.

A cs˝ od val´ osz´ın˝ us´ ege f¨ ugg˝ o n¨ ovekm´ eny˝ u folyamatokban

Ebben a fejezetben nem folytonos idej˝ u sztochasztikus folyamatokat vizsg´alunk, hanem diszkr´et idej˝ ueket. Mindig csak az ´ev v´eg´en (vagy valamilyen peri´odus v´eg´en) n´ezz¨ uk meg, hogy aktu´alisan milyen nagys´ag´ u t˝oke ´all rendelkez´esre. Klasszikus rizik´ofolyamat eset´en – mivel ekkor diszjunkt id˝ointervallumokon a t˝oke megv´altoz´asa sztochasztikusan f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okkal ´ırhat´o le, melyek eloszl´asa az id˝ointervallum hossz´anak f¨ uggv´enye – az n. ´ev ut´an a t˝oke nagys´aga f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszeg´enek tekinthet˝o. Most a k¨ovetkez˝o modellt fogjuk vizsg´alni. Jel¨olj¨on un valamilyen determinisztikus (teh´at nem a v´eletlent˝ol f¨ ugg˝o) sorozatot. A ξn f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okb´ol ´all´o sorozat h´att´ersorozatot jelent, mely meghat´arozza, hogy az n. ´evben mennyit v´altozik a t˝oke ´ert´eke. Jel¨olje Un a t˝oke nagys´ag´at az n. ´ev ut´an. Tegy¨ uk fel, hogy az Un =

n−1 X

cn,i ξn−i + un

(7.7)

i=0

egyenlet ´ırja le a pontos kapcsolatot. Itt a cn,i , i = 1, . . . , n−1; n = 1, 2, 3, . . . egy¨ utthat´ok ´alland´ok. Tegy¨ uk fel, hogy 137

(i) l´etezik olyan C ´alland´o, melyre | cn,i |≤ C minden n, i ´ert´ek mellett, (ii) l´etezik olyan  > 0, hogy el´eg nagy n eset´en m´ar teljes¨ ul az an >  egyenl˝otlens´eg, ahol X 1 n−1 an = cn,i , n i=0 (ii) l´etezik olyan K ´alland´o, melyre | un |≤ K minden n ´ert´ek mellett. P´ elda: Jel¨olje u a kezd˝ot˝ok´et, Xn az n. ´evben a t˝oke megv´altoz´as´at. Azaz Un = u + X1 + · · · + Xn . Tegy¨ uk fel, hogy Xn =

∞ X

bi ξn−i ,

i=0

ahol bi r¨ogz´ıtett sorozat, a fenti ¨osszegben a negat´ıv index˝ u ξl ´ert´ekre valamilyen determinisztikus kezd˝o´ert´eket v´alasztva: ξl = xl , l = 0, −1, −2, . . . . P Legyen sn = n−1 i=0 bi . Ekkor a cn,i = si , kn = u +

∞ X

(sn+i − si )x−i

i=0

v´alaszt´assal megkapjuk a (7.7) modellt. Ha b=

∞ X

bi > 0 ´es

i=0

∞ X

| xi |< ∞ ,

i=0

akkor k¨onnyen l´athat´o, hogy a (7.2.) felt´etelek teljes¨ ulnek. Jel¨olje F a ξn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´eny´et, ´es legyen h(r) =

Z ∞ −∞

e−rz dF (z) − 1 = E(e−rξ1 ) − 1 .

A Lundberg-kitev˝o l´etez´es´et akarjuk biztos´ıtani. Ehhez a h(r) = 0 egyenlet pozit´ıv megold´asait kell keresn¨ unk. Szok´asos felt´etelrendszer, mely biztos´ıtja a megold´as l´etez´es´et, a k¨ovetkez˝o: legyen ν = sup{r : h(r) < ∞}, tegy¨ uk fel, hogy E(ξ1 ) > 0 ´es r→ν lim h(r) = ∞ . Ekkor h(0) = 0, h0 (0) = −E(ξ1 ) < 0, ´es a (0, ν) intervallumon h00 (r) pozit´ıv. ´Igy h(r) szigor´ uan konvex, ´es mivel minden hat´aron t´ uln˝o, ez´ert valamikor 138

k¨ozben felveszi a 0 ´ert´eket is, hiszen kicsiny pozit´ıv r eset´en h(r) ´ert´eke negat´ıv. A konvexit´as biztos´ıtja, hogy a megold´as egy´ertelm˝ u. Jel¨olje ezt a szokott m´odon R. h(R) = 0, R > 0. Vegy¨ uk ´eszre, hogy h0 (R) > 0. 0 ∗ Legyen µ = h (R). Jelent˝osen leegyszer˝ us´ıti a k´es˝obbiekben a sz´amol´ast, ha bevezet¨ unk egy u ´j eloszl´ast. Jel¨olje ezt F ∗ . F ∗ (z) =

Z z −∞

e−Rs dF (s) .

Ha ezen eloszl´asf¨ uggv´eny szerint vessz¨ uk a sz´oban forg´o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´oink v´arhat´o ´ert´ek´et vagy valamilyen ´altaluk meghat´arozott esem´eny val´osz´ın˝ us´eg´et, azt E ∗ , ill. P ∗ fogja jel¨olni. P´eld´aul E ∗ (ξ1 ) = −µ∗ . T´ etel 7.3 (l´asd Promislow [33]) Legyen T olyan meg´ all´asi id˝o (a ξn sorozat ´altal meghat´ arozott σ-algebr´ara n´ezve), melyre a {T > n} esem´enyen Un > 0. Legyen n X Uˆn = ξi + uˆ , i=1

ahol uˆ tetsz˝oleges ´alland´o. Ekkor P (T < ∞) =

e−Rˆu . E(e−RUˆT | T < ∞)

(7.8)

ˆ Bizony´ıt´ as: Mivel e−RUn marting´al, hiszen Uˆn f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u ´es −Rξn E(e ) = 1, R defin´ıci´oja miatt, ez´ert a kor´abban m´ar sokszor alkalmazott gondolatmenet adja, hogy ˆ

ˆ

e−Rˆu = E(e−RUn | T ≤ n)P (T ≤ n) + E(e−RUn | T > n)P (T > n) . ´Igy a t´etel bizony´ıt´as´ahoz el´eg megmutatni, hogy a m´asodik tag 0-hoz tart, ha n → ∞. Azonban Z

ˆ

E(e−RUn | T > n)P (T > n) =

ˆ

{T >n}

e−RUn dP =

Z

=

{T >n} ∗

e−Rˆu

n Y i=1

= P (T > n) .

139

e−Rξi dP =

Ugyanakkor ∗

E (Un ) = −µ

∗

n−1 X

cn,i + kn = −µ∗ nan + kn ,

i=0

D∗2 (Un ) = σ 2

n−1 X

c2n,i ≤ nσ 2 C 2 ,

i=0 2

∗

ahol σ jel¨oli az F eloszl´asf¨ uggv´enyhez tartoz´o sz´or´asn´egyzetet. Mivel kn korl´atos sorozat, an > , ha n el´eg nagy, ez´ert E ∗ (Un ) < 0 , ha n el´eg nagy, ´es

D∗ (Un ) → 0 , ha n → ∞ . E ∗ (Un )

Ez´ert

E ∗ (Un ) ). 2 Ez ut´obbi viszont a Csebisev-egyenl˝otlens´eg alapj´an null´ahoz tart. P ∗ (T > n) ≤ P ∗ (Un ≥ 0) ≤ P ∗ (Un ≥

2

P´ elda: Legyen most Tu a cs˝od id˝opontja: Tu = inf{n : Un < 0}. Tegy¨ uk fel, hogy Un+1 = Un + c − Wn+1 , ahol teh´at c az ´eves d´ıjbefizet´es, Wn az ¨osszk´arkifizet´es ´ert´eke az (n + 1). ´evben. Feltessz¨ uk, hogy Wn = Yn + aWn−1 , ahol −1 < a < 1, ´es az Yn sorozat f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, v´eges sz´or´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okb´ol ´all. (M´ask´eppen, Wn u ´n. AR(1) folyamatot alkot.) Tegy¨ uk fel, hogy U0 = u, W0 = w. Az el˝oz˝o t´etel alkalmaz´as´ahoz l´etre kell hoznunk most egy f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u folyamatot. Ez megtehet˝o oly m´odon, hogy kifejezz¨ uk Wn ´ert´ek´et v´egtelen sok Yn−i line´aris kombin´aci´ojak´ent, Wn =

∞ X

ai Yn−i ,

i=0

´es alkalmazzuk a t´etel el˝otti p´eld´aban szerepl˝o konstrukci´ot. Egyszer˝ u sz´aa−an+1 i+1 mol´as ut´an ad´odik, hogy cn,i = 1 − a , kn = u + (c − w) 1−a . Ezekre teljes¨ ulnek a t´etel felt´etelei. 140

Azonban k¨ozvetlen¨ ul is meg lehet hat´arozni az Uˆn sorozatot. Legyen 1 Yn , 1−a a uˆ = u − w . 1−a Szeml´eletesen ξn az Yn val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ob´ol ad´od´o ¨osszes vesztes´eg (teh´at a k´es˝obbi ´evekben jelentkez˝o hat´as´at is figyelembe v´eve) lesz´am´ıtolt ´ert´eke a jelen pillanatra. Hasonl´ok´eppen, uˆ a kezdeti t˝oke – a kezdeti vesztes´eg ¨osszes hat´asa. a Ekkor Uˆn = Un − 1−a Wn . Ez indukci´oval k¨onnyen bizony´ıthat´o. ξn = c −

n = 0 eset´en uˆ defin´ıci´oja miatt igaz. Tegy¨ uk fel most, hogy n-re m´ar igaz, mutassuk meg, hogy ekkor n + 1-re is igaz: a 1 Wn + c − Yn+1 = 1−a 1−a a Wn+1 = = Un + c − Wn+1 − 1−a a = Un+1 − Wn+1 . 1−a

Uˆn+1 = Uˆn + ξn+1 = Un −

1 a a M´ask´eppen Uˆn = 1−a Un − 1−a Un−1 − 1−a c. Alkalmazzuk az el˝oz˝o t´etelt. Ahhoz, hogy haszn´alhat´o becsl´est kaphassunk, a nevez˝o ´ert´ek´et k¨ozel´ıteni kell. Tegy¨ uk fel, hogy a > 0. Ugyan nem tett¨ uk fel, hogy Wn ≥ 0, azonban a Tu pillanatban, mivel ekkor v´alik el˝osz¨or negat´ıvv´a a folyamat ´ert´eke, W ´ert´eke negat´ıv kell legyen. Teh´at

UˆTu ≤ UTu . ˆ

Ez azonnal adja, hogy e−RUtu ≥ 1, teh´at a a

P (Tu < ∞) ≤ e−Rˆu = e−R(u− 1−a w) Lundberg-approxim´aci´ot kapjuk. Ha kihaszn´aljuk azt is, hogy a Tu el˝otti pillanatban Un ´ert´eke m´eg nema c, akkor a negat´ıv volt, teh´at UˆTu ≤ − 1−a a

P (Tu < ∞) ≤ e−R(u+ 1−a (c−w)) becsl´est kapjuk. 141

8.

A cs˝ od val´ osz´ın˝ us´ ege v´ eges id˝ ointervallumon

Ebben a fejezetben annak val´osz´ın˝ us´eg´et akarjuk majd megvizsg´alni, hogy egy adott v´eges hossz´ us´ag´ u id˝ointervallumon milyen val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik be cs˝od, azaz teh´at, hogy a rizik´ofolyamat ´ert´eke nulla al´a cs¨okken. Mivel az alkalmazand´o technika egyforma a klasszikus rizik´ofolyamat ´es a fel´ uj´ıt´asi folyamatok eset´eben, ez´ert r¨ogt¨on feltessz¨ uk, hogy az Nt k´arig´enyfolyamat fel´ uj´ıt´asi folyamatot alkot. Jel¨olje K(t) az egyes k´aresem´enyek k¨oz¨otti id˝otarR tam eloszl´asf¨ uggv´eny´et, K(0) = 0. 0∞ tdK(t) = 1/λ < ∞. A k´ar nagys´ag´at le´ır´o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok – Zj , j ≥ 0 – f¨ uggetlen azonos eloszl´as´ uak, k¨oz¨os eloszl´asf¨ uggv´eny¨ uk F (z). E(Z1 ) = µ. Nem tessz¨ uk most fel, hogy Zj ´ert´ekei nemnegat´ıvak. Ez tal´an ellentmond annak, hogy k´arnak, k´arkifizet´esnek nevezz¨ uk ˝oket, de k¨onny˝ u olyan biztos´ıt´asi u ¨gyleteket tekinteni, melyekben a v´eletlen id˝opontokban bek¨ovetkezett k´ aresem´enyek val´oj´aban nem kifizet´eseket jelentenek. P´eld´aul j´arad´ekfizet´es eset´en a fizet´esi k¨otelezetts´eg megsz˝ un´ese, ´ıgy az addigi sz¨ uks´eges tartal´ek felszabad´ıt´asa valamilyen v´eletlen esem´eny – pl. az u ¨gyf´el elhal´aloz´asa – miatt. P t Legyen teh´at Ut = u + ct − St , ahol St = N aljuk a cs˝odk=0 Zk . Defini´ val´osz´ın˝ us´eget v´eges id˝ohorizonton. Ψ(u, t) = P ( l´etezik olyan 0 ≤ s ≤ t, melyre Ut < 0 ) , Φ(u, t) = P ( minden 0 ≤ s ≤ t eset´en Ut ≥ 0 ) . Tegy¨ uk fel, hogy c > 0. Ekkor cs˝od csak a k´aresem´enyek id˝opontjaiban t¨ort´enhet. Az els˝o fel´ uj´ıt´asi id˝opont ´es Z1 ´ert´eke szerint alkalmazva a teljes val´osz´ın˝ us´eg t´etel´et, kapjuk, hogy Φ(u, t) =

Z t Z u+cs 0

−∞

Φ(u + cs − x, t − s)dF (x)dK(s) + 1 − K(t) . (8.1)

Ez az (5.8) egyenlet v´altozata v´eges id˝ointervallumra. Most azonban m´as technik´at alkalmazunk arra, hogy a megold´as viselked´es´et elemezz¨ uk. A bizony´ıt´ast nem k¨ovetj¨ uk v´egig a legapr´obb r´eszletekig, csak a m´odszer l´enyeg´et akarjuk bemutatni (l´asd Thorin [38]). Az u ´n. Wiener–Hopf-f´ele elj´ar´as sor´an az ismeretlen f¨ uggv´eny k¨ ul¨onb¨oz˝o transzform´altjait haszn´aljuk. Legyen 142

Φ(u, 0−) = 0, Φ(u, 0) = 1, ha u ≥ 0 ´es ¯ z) = Φ(u, illetve

Z ∞ 0−

ezt Φ(u, dt),

Re(z) ≤ 0, u ≥ 0 ,

¯ z) = 0, ha Re(z) ≤ 0, u < 0 . Φ(u,

Ekkor ¯ z) = Φ(u,

Z ∞ 0

zs

(1 − e )dK(s) +

Z ∞ 0

zs

e

Z u+cs −∞

¯ + cs − x, z)dF (x)dK(s) . Φ(u (8.2)

Defini´aljuk a Wiener–Hopf-technik´aban szok´asos kieg´esz´ıt˝o f¨ uggv´enyt is:

¯ z) = Ω(u,

R ∞ zs   0 (1 − e )dK(s) +     R ∞ zs R u+cs 

+

      

0

e

−∞

¯ + cs − x, z)dF (x)dK(s) , ha u < 0, Φ(u (8.3) egy´ebk´ent .

0,

Ekkor minden val´os u ´es Re(z) ≤ 0 eset´en ¯ z) + Ω(u, ¯ z) = Φ(u, +

Z ∞ 0

Z ∞ 0

(1 − ezs )dK(s) + zs

e

Z u+cs −∞

¯ + cs − x, z)dF (x)dK(s) . (8.4) Φ(u

Vezess¨ uk be a kett˝os Laplace-transzform´altakat is: φ(s, z) = ω(s, z) =

Z ∞ 0−

Z 0 −∞

¯ esu Φ(du, z) ,

Re(s) ≤ 0 ´es Re(z) ≤ 0, vagy z = 0 .

¯ esu Ω(du, z) ,

Re(s) ≥ 0 ´es Re(z) ≤ 0, vagy z = 0 .

¯ z) mint s f¨ Megmutathat´o, hogy φ(s, uggv´enye korl´atos ´es folytonos a Re(s) ≤ 0 tartom´anyon, s˝ot analitikus a Re(s) < 0 tartom´anyon. Hasonl´oan, ω ¯ (s, z) korl´atos ´es folytonos, ha Re(s) ≥ 0, analitikus, ha Re(s) > 0. A (8.4) egyenlet alapj´an ¯ z) + ω φ(s, ¯ (s, z) =

Z ∞ 0

¯ z)f (s) = ez−cs)v dK(v) φ(s,

¯ z) , = k(z − cs)f (s)φ(s, 143

(8.5)

ahol f, k jel¨oli az F, K f¨ uggv´enyek transzform´altjait, azaz f (s) = k(z) =

Z ∞ −∞

Z ∞ 0

esz dF (z) , Re(z) ≤ 0 , ezs dK(s) , Re(s) = 0 .

´ Atalak´ ıtva a fenti egyenletet: ¯ z)(1 − k(z − cs)f (s)) = −¯ φ(s, ω (s, z) , Re(s) = 0 .

(8.6)

A Wiener–Hopf-elj´ar´as l´enyege, hogy u ´gy oldjuk meg a fenti egyenletet, hogy faktoriz´aljuk az (1−k(z−cs))f (s) szorzatot B(s, z)/A(s, z) alakban (Re(s) = 0), olyan A, B f¨ uggv´enyeket keresve, melyre l´etezik a B(s, z), ill. 1/B(s, z) f¨ uggv´enyeknek korl´atos ´es folytonos kiterjeszt´es¨ uk a jobb f´els´ıkra (Re(s) ≥ 0), mely analitikus a ny´ılt f´els´ıkon, ill. az A(s, z) 1/A(s, z) f¨ uggv´enyeknek hasonl´o kiterjeszt´es¨ uk a bal f´els´ıkra. Ehhez legyen Re(s) = 0 eset´en H(s, z) = − ln (1 − k(z − cs)f (s)) =

∞ X 1 n k (z − cs)f n (s) . n=1

n

Kifejtve ezt az F, K eloszl´asf¨ uggv´enyek szerint ∞ X 1 Z ∞ (z−cs)v (∗n) Z ∞ sy (∗n) H(s, z) = e dK (v) e dF (y) = n=1

= =

n

0

∞ X

n=1 n

Z ∞

−∞

−∞

1Z∞ −∞

esx dx

Z ∞ 0

ezv F (∗n) (x + cv)dK (∗n) (v) =

∞ X 1 Z ∞ zv (∗n) e (F (x + cv) − 1)dK (∗n) (v) = e dx sx

n=1

n

0

= ahol

Z ∞ −∞

esx M (dx, z) , (8.7)

∞  X 1 Z ∞ zv  (∗n) e F (x + cv) − 1 dK (∗n) (v) . M (x, z) = n=1

n

0

Megmutathat´o, hogy olyan r¨ogz´ıtett z mellett, melyre Re(z) < 0, M (x, z) x-nek korl´atos v´altoz´as´ u f¨ ugv´enye. 144

A keresett dekompoz´ıci´o: Z ∞



1 esx M (dx, z) + (M (0+, z) − M (0−, z)) , (8.8) 2 0+  Z 0−  1 sx B(s, z) = exp − e M (dx, z) − (M (0+, z) − M (0−, z)) .(8.9) 2 −∞ A(s, z) = exp

A, B nyilv´anval´oan kiel´eg´ıtik a k´ıv´ant folytonoss´agi ´es analitikuss´agi k¨ovetelm´enyeket. Tov´abb´a, ha Re(s) = 0, akkor 



Z ∞ B(s, z) = exp − esx M (dx, z) = A(s, z) −∞ = exp(−H(s, z)) = 1 − k(z − cs)f (s) .

(8.10)

Behelyettes´ıtve ezt a (8.6) egyenletbe, kapjuk, hogy ¯ z) φ(s, ω ¯ (s, z) =− , Re(s) = 0 . A(s, z) B(s, z) Azonban a bal oldal – mint s f¨ uggv´enye – analitikus a ny´ılt bal f´els´ıkon, folytonos ´es korl´atos a z´arton, a jobb oldal analitikus a ny´ılt jobb f´els´ıkon, folytonos ´es korl´atos a z´arton, ´es egybeesnek az imagin´arius tengelyen. Ez´ert a Liouville-t´etel szerint k¨oz¨os ´ert´ek¨ uk konstans kell legyen. (Persze ez a ´ konstans ´ert´ek f¨ ugghet z-t˝ol.) Igy teh´at ¯ z) ¯ z) φ(0, φ(s, = . A(s, z) A(0, z) ¯ z) = Φ(∞, ¯ Azonban a defin´ıci´o szerint φ(0, z), ugyanakkor ¯ z) = −z Φ(u,

Z ∞ 0−

ezs Φ(u, s)ds .

¯ Mivel minden v´eges s eset´en Φ(u, s) → 1, ha u → ∞, ez´ert Φ(∞, z) = 1. Azonnal kapjuk, hogy ¯ z) = A(s, z) , Re(s) ≤ 0, Re(z) < 0 . φ(s, A(0, z) 145

(8.11)

Vegy¨ uk ´eszre, hogy a c − λµ ´ert´ek´ere tett k¨ ul¨on felt´etel n´elk¨ ul siker¨ ult meg¯ hat´arozni φ(s, z) ´ert´ek´et. Ebb˝ol a keresett val´osz´ın˝ us´eget k´et egym´as ut´ani inverzi´oval lehet meghat´arozni. A legt¨obb esetben ezt numerikusan kell v´egrehajtani. A v´eges id˝ointervallumokon val´o cs˝odval´osz´ın˝ us´egekb˝ol hat´ar´atmenettel meg lehet kapni a v´egtelen id˝ohorizonton bek¨ovetkez˝o t¨onkremen´es val´osz´ın˝ us´eg´et. Nyilv´anval´oan Φ(u) = lim Φ(u, t) . t→∞

A

Z ∞

¯ z) = Φ(u,

0−

ezs Φ(u, ds)

defin´ıci´ob´ol – (itt Re(z) ≤ 0) – ad´odik, hogy lim

z→0, Re(z)≤0

Hasonl´oan

=

Z ∞ 0−

¯ z) = lim φ(s,

z→0−

Φ(u, ds) = Φ(u) . Z ∞ 0−

esu dΦ(u) .

P´ elda: Tegy¨ uk fel, hogy a Zj val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eloszl´asa, ´es az egym´as ut´an bek¨ovetkez˝o k´aresem´enyek k¨oz¨otti id˝otartam eloszl´asa is exponenci´alis eloszl´asok kever´eke. Azaz n X

F (z) =

aj (1 − e−αj z ) ,

j=1

K(z) =

m X

bj (1 − e−βj z ) ,

j=1

Pn

ahol aj > 0, j=1 aj = 1 ´es bj > 0, k¨ozvetlen sz´amol´as adja, hogy f (s) = k(s) =

Pm

j=1 bj

= 1. Legyen c > 0. Ekkor

aj , j=1 1 − s/αj

(8.12)

n X

m X

bj . j=1 1 − s/βj

(8.13)

(J´ollehet az f (s), ill. k(s) mint az F, K eloszl´asf¨ uggv´enyek transzform´altjai nem l´eteznek minden komplex sz´am eset´en, hiszen p´eld´aul nagy pozit´ıv val´os 146

sz´amok eset´en az e f¨ uggv´enyeket defini´al´o integr´al nem konvergens, azonban az f, k f¨ uggv´enyekre fent megadott k´eplet csak v´eges sok komplex helyen nem ´ertelmes. A tov´abbiakban ezekkel a k´epletekkel megadott f¨ uggv´enyeket fogjuk haszn´alni.) Mint l´atni fogjuk, ennek akkor lesz jelent˝os´ege, ha z → 0− eset´en akarjuk venni a k(z − cs)f (s) hat´ar´ert´eket. A kor´abban ismertetett Wiener–Hopf-f´ele elj´ar´as l´enyege az 1 −k(z −cs)f (s) f¨ uggv´eny faktoriz´aci´oja. A jelen p´eld´aban ez s ´es z racion´alis t¨ortf¨ uggv´enye. ´Igy a faktoriz´aci´ohoz ennek gy¨okeit, p´olusait kell sz´etv´alogatni. R¨ogz´ıts¨ uk z ´ert´ek´et (Re(z) < 0), ´es faktoriz´aljunk s szerint. Az 1−k(z−cs)f (s) f¨ uggv´eny p´olusai a Re(s) > 0 f´els´ıkon az αj , a Re(s) < 0 f´els´ıkon a (z − βl )/c ´ert´ekek. Mivel ln[1 − k(z − cs)f (s)] f¨ uggv´enynek olyan C g¨orb´en vett s szerinti k¨orintegr´alja, mely egy el´eg nagy sugar´ u, a bal f´els´ıkon fekv˝o f´elk¨orb˝ol ´es annak a k´epzetes tengelyen l´ev˝o ´atm´er˝oj´eb˝ol ´all, nulla, ez´ert a bal f´els´ıkon l´ev˝o p´olusok ´es gy¨ok¨ok sz´ama megegyezik. Hasonl´o okfejt´es igazolja, hogy a jobb f´els´ıkon is egyenl˝o sz´am´ u gy¨ok ´es p´olus van. A k´epzetes tengelyen nincsen gy¨ok ´es p´olus. Ez´ert Qm j=1 (s − s2,j (z)) j=1 (s − s1,j (z)) Qn Qm z−βj j=1 (s − αj ) j=1 (s − c )

Qn

1 − k(z − cs)f (s) =

(8.14)

alakban ´ırhat´o, ahol s1,j (z) az Re(s) < 0 f´els´ıkon l´ev˝o gy¨ok¨oket, s2,j (z) a Re(s) > 0 f´els´ıkon l´ev˝o gy¨ok¨oket jel¨oli. Ez alapj´an faktoriz´alva A(s, z) =

B(s, z) =

n Y

s − αj , j=1 s − ss,j (z) m Y s − s1,j (z) j=1

Teh´at

s−

z−βj c

.

n 1 − αsj Y A(s, z) ¯ φ(s, z) = = . A(0, z) j=1 1 − s2,js(z)

Abban az esetben, ha a nevez˝o gy¨okei mind k¨ ul¨onb¨oz˝oek, akkor parci´alis ¯ z) f¨ t¨ortekre bont´as ut´an elv´egezhet˝o az invert´al´as, megkaphatjuk a Φ(u, uggv´enyt. 147

¯ z) = g0 (z) + φ(s,

n X j=1

¯ z) = 1 − Φ(u,

n X

gj (z)

1 1−

s s2,j (z)

,

gj (z)e−uss,j (z) , u ≥ 0 .

j=1

A v´egtelen id˝ohorizonton val´o cs˝od eset´en a z → 0− hat´ar´atmenetet kell elv´egezni, ekkor az 1 − k(z − cs)f (s) gy¨okei konverg´alnak az 1 − k(−cs)f (s) gy¨okeihez, melyek val´osak. (Itt l´enyeges az a meg´allapod´as, hogy most f, k a megfelel˝o racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyeket jel¨oli.) Bevezetve az Rj = lim s2,j (z) z→0−

¯ jel¨ol´eseket, a kapott Φ(u) f¨ uggv´eny inverz transzform´altja meghat´arozhat´o: Φ(u) = 1 −

n X

gj (0)e−Rj u .

j=1

Megmutathat´o, hogy az Rj sz´amok mindegyike pozit´ıv, ha c > λµ teljes¨ ul. Ebb˝ol kiolvashat´o a Lundberg-kitev˝o is, ez ´eppen min(Rj : j = 1, . . . , n). ¨ Osszehasonl´ ıtva az itt kapott eredm´enyt a negyedik fejezet eredm´enyeivel, l´athatjuk, hogy k(−cs)f (s) ´eppen az ott haszn´alt g(s) f¨ uggv´eny, a g(s) = 1 egyenlet legkisebb pozit´ıv gy¨oke pedig a Lundberg-kitev˝o. Ez teljes m´ert´ekben megegyezik az ott levezetett t´etellel. Most azonban azt is l´athatjuk, hogy a Φ(u) f¨ uggv´eny exponenci´alisok line´aris kombin´aci´oja, ez´ert a most levezetett alak alkalmas annak elemz´es´ere, hogy az eloszl´asok esetleges megv´altoztat´as´aval hogyan v´altozik a Lundberg–kitev˝o, hogyan lehet elmozd´ıtani a valamilyen okb´ol kedvez˝otlen¨ ul kicsiny R ´ert´eket.

148

9.

F¨ uggel´ ek

Fontos eloszl´ asok ´ es transzform´ aci´ ok A f¨ uggel´ekben n´eh´any olyan fontos param´eteres diszkr´et ´es folytonos eloszl´as alapvet˝o tulajdons´agait mutatjuk be, melyek sz´amos esetben felhaszn´alhat´oak a biztos´ıt´asi esem´enyek, kock´azati folyamatok sor´an fell´ep˝o v´eletlen jelens´egek modellez´es´ere. Folytonos eloszl´asok els˝osorban a k´arig´enyek nagys´ag´anak modellez´es´ere, diszkr´et eloszl´asok pedig a k´arsz´am le´ır´as´ara alkalmazhat´oak.

9.1.

Poisson-eloszl´ as

A nemnegat´ıv eg´esz sz´am ´ert´ek˝ u X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa Poissoneloszl´as, melynek param´etere λ > 0, ha P (X = k) =

λk −λ e . k!

Az eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye G(z) =

∞ X k=0

zk

λk −λ e = eλ(z−1) . k!

Ebb˝ol az u ´n. faktori´alis momentumok 1 k¨onnyen meghat´arozhat´oak deriv´al´as seg´ıts´eg´evel: d µ(k) = k G(z)|z=1 = λk . dz ´Igy a v´arhat´o ´ert´ek ´es a sz´or´asn´egyzet is azonnal ad´odik: E(X) = λ D2 (X) = µ(2) + µ(1) − µ2(1) = λ . Azaz a Poisson-eloszl´as v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete megegyezik. Ha X ´es Y f¨ uggetlen – λ, illetve µ – param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, akkor X +Y is Poisson-eloszl´as´ u, melynek param´etere λ+µ. A centr´alis hat´areloszl´as-t´etelt alkalmazva kapjuk, hogy nagy √ lambda u ´ert´ekek eset´en a Poisson-eloszl´as k¨ozel´ıthet˝o λ v´arhat´o ´ert´ek˝ u, λ sz´or´as´ norm´alis eloszl´assal. 1

Az X k. faktori´alis momentuma az E (X(X − 1) · · · (X − k + 1)) ´ert´ek.

149

9.2.

Binomi´ alis eloszl´ as

Az X v´altoz´o, melynek lehets´eges ´ert´ekei a 0, 1, . . . , n sz´amok, binomi´alis eloszl´as´ u, melynek param´etere 0 < p < 1, ha !

n k P (X = k) = p (1 − p)n−k . k Gener´atorf¨ uggv´enye G(z) =

n X

!

n k p (1 − p)n−k = (1 + p(z − 1))n . k

zk

k=0

A faktori´alis momentumok: µ(k) = n(n − 1) · · · (n − k + 1)pk . Ez´ert v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asn´egyzete: E(X) = np , D2 (X) = np(1 − p) . Azonos p param´eter˝ u f¨ uggetlen binomi´alis eloszl´as´ u v´altoz´ok ¨osszege is binomi´alis eloszl´as´ u. A centr´alis hat´areloszl´as-t´etelb˝ol ad´odik teh´at,qhogy nagy n eset´en a binomi´alis eloszl´as k¨ozel´ıthet˝o np v´arhat´o ´ert´ek˝ u, np(1 − p) sz´or´as´ u norm´alis eloszl´assal. Ugyanakkor nagy n ´es kicsi p ´ert´ek eset´en az eloszl´ast Poisson-eloszl´assal is lehet approxim´alni, melynek param´etere λ = np. Ez ad´odik abb´ol, hogy n → ∞, p → 0, np → λ eset´en a binomi´alis eloszl´as gener´atorf¨ uggv´eny´enek hat´ar´ert´eke  !n

n

lim (1 + p(z − 1)) = lim

n→∞

9.3.

n→∞

1 λ 1 + (z − 1) + o n n

= eλ(z−1) .

Geometriai eloszl´ as

A nemnegat´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa geometriai eloszl´as, melynek param´etere 0 < p < 1, ha P (X = k) = p (1 − p)k , k = 0, 1, . . . 150

Gyakorta az X eloszl´asa helyett az X +1 v´altoz´o eloszl´as´at nevezik geometriai eloszl´asnak. Ekkor ´ert´ekk´eszlete az 1, 2, . . . sz´amok halmaza lesz. Ugyanakkor a p param´eter helyett sz´amos esetben a β = p1 − 1 > 0 param´etert haszn´alj´ak. Az eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye G(z) =

∞ X

z k p (1 − p)k =

k=0

1 p = , 1 − z(1 − p) 1 − β(z − 1)

1 felt´eve, hogy |z| < 1−p , illetve m´ask´eppen |z| < A faktori´alis momentumok

1+β β

.

µ(k) = β k k! . ´Igy a v´arhat´o ´ert´ek ´es sz´or´asn´egyzet: E(X) = β =

1 −1, p

D2 (X) = β(1 + β) =

1−p . p2

Geometriai eloszl´ast kapunk akkor, ha a Poisson-eloszl´as λ param´eter´et v´eletlenszer˝ uen, exponenci´alis eloszl´as szerint v´alasztjuk meg. Pontosabban fogalmazva, legyen Y adott θ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, ´es tegy¨ uk fel, hogy X-nek az Y = λ felt´etelre vonatkoz´o felt´eteles eloszl´asa λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as. Ekkor X (felt´etel n´elk¨ uli) eloszl´as´anak gener´atorf¨ uggv´enye 



G(z) = E z X = = =

Z ∞ 0

Z ∞ 0





E z X | Y = λ θe−θλ dλ =

eλ(z−1) θe−θλ dλ =

1 θ = , 1 θ − (z − 1) 1 − θ (z − 1)

ami β = 1θ param´eter˝ u geometriai eloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye. A geometriai eloszl´as az u ´n. negat´ıv binomi´alis eloszl´as egyik speci´alis esete. 151

9.4.

Negat´ıv binomi´ alis eloszl´ as

Ezen eloszl´as ism´et a nemnegat´ıv eg´esz sz´amokra koncentr´al´odik. X eloszl´asa n-edrend˝ u, p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as, ha !

n+k−1 n p (1 − p)k , P (X = k) = n−1

k = 0, 1, . . . ,

´altal´anosabban, ha n nem eg´esz sz´am, a P (X = k) =

Γ(n + k) n p (1 − p)k Γ(n)k!

formul´at haszn´alhatjuk. (Jegyezz¨ uk meg, hogy eg´esz n eset´en a negat´ıv binomi´alis eloszl´ast gyakorta az itt tekintett eltoljak´ent defini´alj´ak. Ekkor az eloszl´as az n, n + 1, . . . sz´amokra koncentr´al´odik.) Ennek gener´atorf¨ uggv´enye G(z) = =

∞ X Γ(n + k) n p [(1 − p)z]k = k=0 ∞ X k=0 n

Γ(n)k! !

−n n p [−z(1 − p)]k = k

= p (1 − z(1 − p))−n = #n " p . = 1 − z(1 − p) ´ erve a β = Att´

1 p

− 1 param´eterre "

1 G(z) = 1 − β(z − 1)

#n

.

A faktori´alis momentumok µ(k) = n(n − 1) · · · (n + k − 1)β k . A v´arhat´o ´ert´ek ´es a sz´or´asn´egyzet pedig E(X) = nβ D2 (X) = nβ(1 + β) . 152

Teh´at a sz´or´asn´egyzet ´ert´eke nagyobb a v´arhat´o ´ert´ekn´el. K¨oz¨os p (illetve β) param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u, f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszege is negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u, melynek rendje az ¨osszeadand´ok rendj´enek ¨osszege. Ez´ert nagy n eset´en az eloszl´as norm´alis eloszl´assal k¨ozel´ıthet˝o. Ugyanakkor nagy n ´es kicsiny p eset´en a Poisson-eloszl´as is j´o k¨ozel´ıt´est ad. A negat´ıv binomi´alis eloszl´as sz´armaztathat´o a Poisson-eloszl´asb´ol, ha annak param´eter´et Gamma-eloszl´as szerint v´alasztjuk meg.

9.5.

Logaritmikus eloszl´ as

Az X v´altoz´o eloszl´asa 0 < p < 1 param´eter˝ u logaritmikus eloszl´as, ha P (X = k) =

(1 − p)k , −k ln p

k = 1, 2, . . . .

A gener´atorf¨ uggv´eny G(z) =

∞ X k=1

zk

(1 − p)k ln(1 − z(1 − p)) = . −k ln p ln p

A faktori´alis momentumok: µ(k) =

(1 − p)k (k − 1)! β k (k − 1)! = , [− ln p] pk ln(1 + β)

ahol ism´et β = p1 − p. A logaritmikus eloszl´as el˝oa´ll´ıthat´o csonk´ıtott negat´ıv binomi´alis eloszl´as hat´ar´ert´ekek´ent. Legyen ugyanis Y r-edrend˝ u, p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Tegy¨ uk fel, hogy X eloszl´asa az Y v´altoz´onak az Y > 0 felt´etel melletti eloszl´as´aval egyezik meg. Teh´at P (X = k) = P (Y = k | Y > 0) =

Γ(r+k) r p (1 Γ(r)k!

− p)k

1 − pr Γ(r + k) r pr = (1 − p)k . Γ(r + 1)(k − 1)! k 1 − pr

153

=

Tekints¨ uk az r → 0 hat´ar´atmenetet. Kapjuk, hogy 1 rpr (1 − p)k lim = r→0 1 − pr k 1 1 = (1 − p)k , k − ln p

lim P (X = k) =

r→0

amely a p param´eter˝ u logaritmikus eloszl´as megfelel˝o eleme. M´as oldalr´ol, az n-edrend˝ u p param´eter˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as gener´atorf¨ uggv´eny´et az al´abbi alakban is fel´ırhatjuk: "

G(z) =

p 1 − z(1 − p)

#n

=

"

!#

ln(1 − z(1 − p)) = exp −n ln p −1 ln p

.

Teh´at az n-edrend˝ u negat´ıv binomi´alis eloszl´as el˝o´all´ıthat´o f¨ uggetlen logaritmikus eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok −n ln p param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u tagsz´am´ u ¨osszegek´ent.

9.6.

Exponenci´ alis eloszl´ as

Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa λ > 0 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye (

f (x) =

λe−λx , 0,

ha ha

x>0 x≤0.

Ennek eloszl´asf¨ uggv´enye x > 0 eset´en F (x) = 1 − e−λx . Az eloszl´as momentumgener´al´o f¨ uggv´enye L(z) =

Z ∞ 0

ezx λe−λx dz =

λ , λ−z

amely z < λ eset´en v´eges. Ebb˝ol ad´od´oan az exponenci´alis eloszl´as momentumai: E(X k ) =

k! dk L(z)|z=0 = k . k dz λ 154

Speci´alisan 1 λ 1 . D2 (X) = λ2 Vegy¨ uk ´eszre, hogy ha X exponenci´alis eloszl´as´ u, akkor tetsz˝oleges a > 0 eset´en aX is exponenci´alis eloszl´as´ u lesz, melynek param´etere λ/a. E(X) =

9.7.

Gamma-eloszl´ as

F¨ uggetlen, azonos param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszege Gamma-eloszl´as´ u v´altoz´ot ad. Ennek s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye (

f (x) =

λα xα−1 −λx e Γ(α)

,

0,

ha ha

x>0 x≤0,

ahol α az ¨osszeadand´ok sz´ama, m´ask´eppen az eloszl´as u ´n. szabads´agfoka. Vegy¨ uk ´eszre azonban, hogy a fenti k´eplet tetsz˝oleges α > 0 eset´en is s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt ad. Speci´alisan, λ = 12 ´es α = 12 n eset´en, ahol n eg´esz sz´am, az n szabads´agfok´ u χ2 -eloszl´ast kapjuk. A Gamma-eloszl´as momentumgener´al´o f¨ uggv´enye L(z) =

Z ∞ 0

e

zx λ

α α−1

x e−λx dx = Γ(α)

λ λ−z

!α

z<λ.

Ad´odnak a momentumok is: α(α + 1) . . . (α + k − 1) Γ(α + k) E(X k ) = = . λk Γ(α)λk Speci´alisan, a v´arhat´o ´ert´ek ´es a sz´or´asn´egyzet: α E(X) = λ α 2 . D (X) = λ2 K¨ ul¨onb¨oz˝o szabads´agfok´ u, de azonos param´eter˝ u, f¨ uggetlen Gamma-eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszege ism´et Gamma-eloszl´as´ u lesz, melyben a szabads´agfokok ¨osszead´odnak. Ez´ert a nagy szabads´agfok´ u Gamma-eloszl´as a centr´alis hat´areloszl´as-t´etel alapj´an norm´alis eloszl´assal k¨ozel´ıthet˝o. 155

9.8.

Pareto-eloszl´ as

Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa α ´es λ param´eterekkel rendelkez˝o Pareto-eloszl´as, ha s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: αλα f (x) = , (λ + x)α+1 ha x > 0, egy´ebk´ent pedig ´ert´eke 0. Pareto-eloszl´ashoz jutunk, ha az exponenci´alis param´eter´et Gamma-eloszl´as szerint v´alasztjuk meg. Ugyanis az ´ıgy ad´od´o kever´ekeloszl´as s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye x > 0 eset´en: f (x) = =

Z ∞ 0

ze−xz

λα z α−1 −λz e = Γ(α)

αλα . (λ + x)α+1

Ezt az ´all´ıt´ast m´ask´eppen u ´gyis fogalmazhatjuk, hogy ha X 1 param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as, Y pedig α szabads´agfok´ u, λ param´eter˝ u Gammaeloszl´as, tov´abb´a X ´es Y f¨ uggetlenek, akkor XY −1 Pareto-eloszl´as´ u lesz. A Pareto-eloszl´as eloszl´asf¨ uggv´enye k¨onnyen meghat´arozhat´o: Z x

αλα α+1 dz = 0 (λ + z) !α λ = 1− , x>0. λ+x

F (x) =

A Pareto-eloszl´as momentumai: k

E(X ) = =

Z ∞ 0

xk

αλα dx = (λ + x)α+1

" Z ∞ αxk 0

λ

156

λ λ+x

#α+1

,

amely az y = λ (λ + x)−1 v´altoz´ocser´evel (azaz x = k

E(X ) =

λ y

− λ) ´ıgy ´ırhat´o:

#k Z 1 " α λ(1 − y) λ y α+1 2 dy = 0

λ

= αλk

Z 1 0

y

y

y α−k−1 (1 − y)k dy =

Γ(α − k)Γ(k + 1) = αλk = Γ(α + 1) Γ(α − k) = λk k! , Γ(α) felt´eve, hogy α > k. A Pareto-eloszl´asnak a t¨obbi eloszl´assal val´o tov´abbi at mutatja,  kapcsolat´  X hogy az eloszl´as param´eterei alapj´an elv´egzett ln 1 + λ transzform´aci´o eredm´enye exponenci´alis eloszl´as´ u v´altoz´o lesz. Val´oban   X P (ln 1 + < y) = P (X < λ(ey − 1)) = λ !α λ = = 1− λ + λ(ey − 1) = 1 − e−αy .

9.9.

Lognorm´ alis eloszl´ as

Az X val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o eloszl´asa lognorm´alis eloszl´as, ha X el˝oa´ll X = eY alakban, ahol Y norm´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ennek megfelel˝oen Y ∼ N (µ, σ 2 ) eset´en X s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye: 2 1 (ln x−µ) d 1 ln x = √ e− 2 σ2 . dx 2πσx Az eloszl´as momentumai ad´odnak a norm´alis eloszl´as momentumgener´al´o f¨ uggv´eny´eb˝ol. Ugyanis

f (x) = φ(ln x)

E(X k ) = E(ekY ) = eµk+

σ 2 k2 2

Speci´alisan E(X) = eµ+ D2 (X) = e

σ2 2

2µ+σ 2

157

,

h

2

i

eσ − 1 .

.

K¨onnyen l´athat´o, hogy tetsz˝oleges a, b > 0 eset´en aX b is lognorm´alis eloszl´as´ u marad. A centr´alis hat´areloszl´as-t´etel k¨ovetkezm´enyek´ent tetsz˝oleges f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, pozit´ıv ´ert´ekeket felvev˝o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok szorzat´anak eloszl´asa – a megfelel˝o momentumfelt´etelek teljes¨ ul´ese eset´en – lognorm´alis eloszl´assal k¨ozel´ıthet˝o.

9.10.

Eloszl´ asok transzform´ altjai

9.10.1.

Gener´ atorf¨ uggv´ eny

Legyen X nemnegat´ıv eg´esz ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. Ekkor a G(z) = E(z X ) =

∞ X

z k P (X = k)

k=0

mennyis´eget az X v´altoz´o gener´atorf¨ uggv´eny´enek nevezz¨ uk. Gyakorta a GX (z) jel¨ol´est haszn´aljuk. Tetsz˝oleges val´osz´ın˝ us´egeloszl´as gener´atorf¨ uggv´enye konvergens a komplex sz´ams´ık z´art egys´egk¨orlemez´en. A P (X = k) =

1 dk G(z)|z=0 k! dz k

k´eplet mutatja, hogyan lehet a gener´atorf¨ uggv´eny ismeret´eben meghat´arozni az eloszl´as elemeit, teh´at speci´alisan az eloszl´as ´es a gener´atorf¨ uggv´eny k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak egym´ast. Ha a gener´atorf¨ uggv´eny a z´art egys´egk¨orlemez valamely ny´ılt k¨ornyezet´eben is konvergens, m´ask´eppen fogalmazva, alkalmas  > 0 eset´en G(1 + ) < ∞, akkor az 1 helyen vett deriv´altak az u ´n. faktori´alis momentumokat adj´ak meg. K´epletben µ(k)

dk = E (X(X − 1) · · · (X − k + 1)) = k G(z)|z=1 . dz

F¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszeg´enek gener´atorf¨ uggv´enye a gener´atorf¨ uggv´enyek szorzata. A gener´atorf¨ uggv´eny fontos szerepet j´atszik ¨osszetett eloszl´asok k¨ ul¨onb¨oz˝o transzform´altjainak meghat´aroz´asa sor´an. Legyen ugyanis X nemnegat´ıv 158

eg´esz ´ert´ek˝ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o, tov´abb´a Z1 , Z2 , . . . f¨ uggetlen, azonos eloszl´as´ u, az X-t˝ol is f¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok. Jel¨olje G az X gener´atorf¨ uggv´eny´et, φ pedig a Z v´altoz´ok eloszl´as´anak valamilyen k¨oz¨os transzform´altj´at (mint p´eld´aul karakterisztikus f¨ uggv´eny, momentumgener´al´o f¨ uggv´eny, ...). Ekkor a X X

Zk

k=0

v´altoz´o eloszl´as´anak ugyanolyanfajta transzform´altj´at a G◦φ ¨osszetett f¨ uggv´eny adja meg. P´eld´aul, ha X λ param´eter˝ u Poisson-eloszl´as´ u v´altoz´o, akkor az ´ıgy ad´od´o ¨osszetett Poisson-eloszl´as karakterisztikus f¨ uggv´eny´et az eλ(φ−1) k´eplet adja meg. 9.10.2.

Momentumgener´ al´ o f¨ uggv´ eny, Laplace-transzform´ alt

Folytonos eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok eset´en a gener´atorf¨ uggv´eny szerep´et a momentumgener´al´o f¨ uggv´eny veheti ´at. Tetsz˝oleges X v´altoz´o momentumgener´al´o f¨ uggv´enye az z ∈ R 7→ gX (z) = E(ezX ) f¨ uggv´eny. B´armely eloszl´asra gX (0) = 1. Ha a momentumgener´al´o f¨ uggv´eny v´eges valamely z0 pontban, akkor tetsz˝oleges olyan pontban is v´eges, amely 0 ´es z0 k¨oz´e esik. Ha gX v´eges a 0 valamely kis k¨ornyezet´eben, akkor ott ak´arh´anyszor deriv´alhat´o is, ´es a 0 pontban vett deriv´altak az X momentumait adj´ak meg. K´epletben 

(k)

gX (0) = E X k



.

´ Innen sz´armazik a momentumgener´al´o f¨ uggv´eny elnevez´es. Erdemes megjegyezni, hogy ha gX argumentum´at tiszt´an k´epzetesnek v´alasztjuk, akkor X karakterisztikus f¨ uggv´eny´et kapjuk. Ha gX valamely pozit´ıv z helyen v´eges ´ert´eket vesz fel, akkor X + , azaz X pozit´ıv r´esz´enek tetsz˝oleges momentuma v´eges. Ha pedig valamely z < 0 159

eset´en gX (z) < ∞, akkor X − , azaz X negat´ıv r´esz´enek tetsz˝oleges momentuma v´eges. Ha a val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ´ert´ekei nemnegat´ıv sz´amok, akkor gX (z) tetsz˝oleges z ≤ 0 eset´en v´eges. Ha ezen t´ ulmen˝oen X m´eg abszol´ ut folytonos eloszl´as´ u is, s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye fX , akkor gX (z) =

Z ∞ 0

ezx fX (x) dx ,

z≤0,

amely nem m´as, mint az fX f¨ uggv´eny Laplace-transzform´altj´anak (−z) helyen felvett ´ert´eke. Ugyanis a nemnegat´ıv sz´amokra koncentr´alt f s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny Laplace-transzform´altja Lf (z) =

Z ∞ 0

e−zx f (x) dx .

A k¨ovetkez˝o t´abl´azat a Laplace-transzform´alt n´eh´any fontos tulajdons´ag´at foglalja ¨ossze. s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny Laplace-transzform´alt f (x)

Lf (z)

e−ax f (x)

Lf (z + a)

f (ax) a > 0

1 L (z) a f a

d f (x) dx

zLf (z) − f (0)

xf (x)

d L (z) dz f

F¨ uggetlen val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok ¨osszeg´enek momentumgener´al´o f¨ uggv´enye megegyezik a momentumgener´al´o f¨ uggv´enyek szorzat´aval. P´ elda Legyenek Z1 , Z2 , . . . k¨oz¨os λ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as´ u val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ok, ´es a t˝ol¨ uk f¨ uggetlen X v´altoz´o eloszl´asa legyen geometriai, melynek param´etere p. Ekkor a Z v´altoz´ok k¨oz¨os momentumλ gener´al´o f¨ uggv´enye LZ (z) = λ−z . Az Y =

X X k=0

160

Zk

v´eletlen tagsz´am´ u ¨osszeg momentumgener´al´o f¨ uggv´enye λ−z p =p = 1 − gZ (z)(1 − p) λp − z pλ = p + (1 − p) , pλ − z

gY (z) = GX (gZ (z)) =

amely mutatja, hogy az ad´od´o eloszl´asnak p s´ uly´ u diszkr´et komponense van a nulla pontban, ´es 1 − p s´ uly´ u abszol´ ut folytonos komponense, melynek eloszl´asa pλ param´eter˝ u exponenci´alis eloszl´as.

Irodalom [1] S. Asmussen, Approximation for the probability of ruin within finite time, Scand. Actuarial J. 1984, 31–57. [2] S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Wiley and Sons, New York, 1987 [3] S. Asmussen, Risk theory in Markovian environment, Scand. Actuarial J. 1989, 66–100. [4] S. Asmussen, T. Rolski, Computational methods in risk theory: A matrixalgorithmic approach, Insurance: Mathematics and Economics, 10, 1992, 259–274. [5] S. Asmussen, C. Kl¨ uppelberg, Large deviation results for subexponential tails, with applications to insurance risk Stoch. Proc. and their Applic., 64, 1996, 103–125. [6] N.L. Bowers, H.U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, 1987 [7] T. Bj¨ork, J. Grandell, Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case, Scand. Actuarial J. 1988, 77–111. [8] Y.S. Chow, H. Teicher, Independence, Interchangeability, Martingales, Springer Verlag, 1978

161

[9] K.L. Chung, Markov Chains with Stationary Transition Probabilities, Springer Verlag, 1967 [10] H. Cramer, On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1930 [11] H. Cramer, Collective Risk Theory, Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 1955 [12] M. Cs¨org˝o ´es J. Steinebach, On the estimation of the adjustment coefficient in risk theory via intermediate order statistics, Insurance: Mathematics and Economics,10, 1991, 37–50. [13] D. Daley, D. Vere-Jones, An Introduction to the Theory of Point Processes, Springer Verlag, 1988 [14] F. Delbaen, J. Haezendonck, Martingales in Markov processes applied to risk theory, Insurance: Mathematics and Economics, 1986, 201–215. [15] F. Delbaen, J. Haezendonck, Inversed martingales in risk theory, Insurance: Mathematics and Economics 4, 1985, 201–206. [16] F. Delbaen, Moments of ruin time, Insurance: Mathematics and Economics 9, 1990, 121–126. [17] F. De Vylder, Martingales and ruin in a dynamical risk process, Scand. Acturial J. 1978, 114–119 [18] P. Embrechts, C. Kl¨ uppenberg, Some aspects of insurance mathematics, Teorija Verojatnosztyej (oroszul), 1993, 374–416. [19] P. Embrechts, T. Mikosch, A bootstrap procedure for estimating the adjustment coefficient, Insurance:Mathematics and Economics, 10, 1991, 181–190. [20] P. Embrechts, C. Kl¨ uppelberg, T. Mikosch, Modelling Extremal Events Springer Verlag, 1999 [21] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, 2nd ed. Wiley and Sons, New York, 1971 162

[22] H.U. Gerber, Martingales in risk theory, Mitt. Ver. Schweiz. Vers. Math. 73, 1973, 205–216. [23] H.U. Gerber, An Introduction to Mathematical Risk Theory, S.S. Heubner Found. 8, Philadelphia, 1979 [24] H.U. Gerber, M.J. Goovaerts, R. Kaas, On the probability and severity of ruin, Astin Bulletin, 17, 1987, 151-163. [25] U. Herkenrath, On the estimation of the adjustment coefficient in risk theory by means of stochastic approximation procedures, Mathematics and Econimics 5, 1986, 305–313. [26] S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes, Academic Press, New York, 1975 [27] J. Mecke, Eine charakterische Eigenschaft der doppelt stochastischen Poissonischen Prozesse, Zeitschrift Wahrschein. und Verw. Geb. 11, 1968, 74–81. [28] Forg´acsn´e Kov´acs Erzs´ebet: A kock´azatelemz´es alapvet˝o fogalmai ´es m´odszerei, P´enz¨ ugyi ´es Biztos´ıt´ asi Esettanulm´anyok, szerk. Mesz´ena Gy¨orgy, Budapest, 1995 [29] M.F. Neuts, Matrix-geometric Solutions in Stochastic Models, John Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1981 [30] M.F. Neuts, Structured Stochastic Matrices of the M/G/1 type and their Applications Marcel Dekker, New York, 1989 [31] J. Neveu, Discrete-Parameter Martingales American Elsevier, New York, 1975

North-Holland, Oxford;

[32] H.H. Panjer, G.E. Willmot, Insurance Risk Models, Society of Actuaries, 1992 [33] S.D. Promislow, The probability of ruin in a process with dependent increments, Insurance: Mathematics and Economics, 10, 1991, 99–108. [34] Z. Rachev, Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models, Wiley and Sons, New York, 1991 163

[35] E. Sparre Andersen, On the collective theory of risk in the case of contagion between the claims, Transaction XV-th Int. Congress of Actuaries, 1957, 219–229. [36] Sz´ekely, J. G.: Paradoxonok a v´eletlen matematik´aj´ aban, K¨onyvkiad´o, Budapest, 1986

M˝ uszaki

[37] L. Tak´acs, Introduction to the Theory of Queues, Oxford Univ. Press, New York, 1962 [38] O. Thorin, Probabilites of ruin, Scand. Actuarial J. 1982, 65–102.

164