Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Kelebihan dan Kekurangan Homotopy Analysis Method (HAM) dan Homotopy Perturbation Method (HPM) Muslim Ansori dan Suharsono S Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampug Email:
[email protected]
Abstrak.
Metode HAM dan HPM pada dasarnya adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial taklinear yang didasarkan pada deret Taylor. Keduanya memberikan hasil aproksimasi yang baik untuk beberapa suku tertentu. HAM tidak memerlukan nilai penduga awal yang baik, berbeda dengan HPM. Juga HAM memiliki parameter semu h, yang berfungsi untuk mengontrol daerah konvergensi deret. Keywords: HAM, HPM, parameter semu, nilai penduga awal.
PENDAHULUAN Akhir- akhir ini banyak muncul peminat aplikasi teknik homotopy dalam memecahkan masalah taklinear. Alasan utama, kenyataannya adalah bahwa metose homotopy lebih mudah dugunakan dalam memecahkan masalah sulit. Pada tahun 1992, Liao [2] memperkenalkan homotopy analysis method (HAM) sebuah tenik mendapatkan solusi analitik persamaan taklinear tanpa menggunakan parameter kecil. Liao sukses menerapkan HAM untuk menghasilkan solusi analitik yang eksplisit, valid seragam dari persamaan Blasius [7] atau persamaan Falkner-Skan [9]. Teori homotopy menjadi perangkat matematika yang sangat berguna ketika sukses digabungkan dengan teori perturbasi [10]. Pada tahun 1998, He [11,12] memperkenalkan homotopy perturbation method (HPM), kemudian dikembangkan lagi [13,14]. Banyak lagi ilmuwan yang turut menerapkannya. Pada bagian selanjutnya akan dibicarakan kekurangan dan kelebihan masing-masing metode ini. TINJAUAN PUSTAKA Liao [1] memperkenalkan sebuah teknik
analisis yang disebut Homotopy Analysis Method (HAM). Validitas dari HAM adalah tidak tergantung pada ada tidaknya parameter kecil dalam persamaan yang sedang diselesaikan. Liao berhasil menerapkan HAM untuk menyelesaikan masalah- masalah taklinear. Zedan dan Adrous [16] mereview secara ringkas teori tentang HAM dan HPM seperti di bawah ini. Pandang persamaan diferensial N[z(h,t)] = 0, (1) Di mana N adalah operator taklinear, h dan t melambangkan peubah bebas, sementara z(h,t) adalah fungsi tak diketahui. Singkatnya, dengan mengabaikan syarat batas dan syarat awal, Liao [1] mengkonstruksi persamaan deformasi ordenol (1 p) L[ (h, t; p) z0 (h, t )] ph N[ (h, t; p)], (2) di mana p [0,1] adalah embedding parameter, h 0 adalah parameter semu taknol, L adalah operator linear semu, z0 (h, t ) adalah nilai penduga awal dari z(h,t) dan (h, t; p) adalah fungsi tak diketahui. Parameter h dan operator L di sini dipilih secara bebas. . Bilamana p 0 dan p 1 , maka masing – masing berlaku: Semirata 2013 FMIPA Unila |361
M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil
(h, t;0) z0 (h, t ) dan (h, t;1) z(h, t ) . (3) Dengan demikian bilamana p bertambah dari 0 ke 1, solusi (h, t; p) bergerak dari nilai awal z0 (h, t ) ke solusi z(h,t). Bila (h, t; p) diperluas dalam deret Taylor terhadap p, maka diperoleh
(h, t; p) z0 (h, t ) zm (h, t ) p m ,
(4)
m 1
di mana
1 m (h, t; p) (5) zm (h, t ) p 0 m! p m Jika operator linear semu L, nilai penduga awal z0 (h, t ) , dan parameter semu h dipilih dengan benar, deret (4) konvergen untuk p=1, sehingga diperoleh
z (h, t ) z0 (h, t ) zm (h, t ) ,
(6)
m 1
yang harus merupakan solusi dari persamaan taklinear awal [1]. Bila h = -1, maka (2) menjadi (1 p) L[ (h, t; p) z0 (h, t )] pN[ (h, t; p)] 0, (7) Bentuk ini banyak digunakan pada metode perturbasi homotopi. Dengan mendiferensialkan (2) m kali terhadap parameter p dan kemudian setting p = 0, lalu bagi dengan m!, selanjutnya diperoleh L [ zm (h, t ) m zm1 (h, t )] h Rm ( zm 1 ) , (8) di mana 1 m1 (h, t; p) (9) Rm ( zm 1 ) p 0 , (m 1)! p m1 0, m 1 m (10) 1, m 1 Di sisi lain, ide dasar Homotopy Perturbation Method adalah kombinasi dari teknik perturbasi klasik dan teknik homotopy, yang mengeliminasi pembatasan metode perturbasi tradisional. Teknik ini memiliki banyak keunggulan dari teknik perturbasi tradisional [13]. Untuk 362| Semirata 2013 FMIPA Unila
memahami ide dasar metode HPM dalam menyelsaikan persamaan differensial tak linear, pandang persamaan differensial taklinear berikut: (11) A(u) f (r ) 0, r terhadap syarat batas u (12) B u, 0, r n di mana A adalah operator diferensial umum, B adalah operator batas, f® adalah fungsi analitik yang diketahui dan adalah batas dari domain Ω. Operator A dapat dibagi menjadi dua operator linear bagian, sebut L dan N. Karena itu persamaan (11) dapat ditulis menjadi L(u) N (u) f (r ) 0 (13) Dengan teknik homotopy, dikonstruksi homotopy V (r, p) : 0,1 (14) yang memenuhi H (V , p) (1 p) L(V ) L(u0 ) p A(V ) f (r ) 0, p [0,1], r , (15) atau H (V , p) L(V ) L(u0 ) pL(u0 ) p N (V ) f (r ) 0 (16) Di mana p [0,1] adalah embedding parameter dan u0 adalah aproksimasi awal untuk (11) yang memenuhi syarat batas. Selanjutnya dari (14) dan (15) diperoleh H (V ,0) L(V ) L(u0 ), (17) H (V ,1) A(V ) f (r ) . (18) Dengan demikian, proses perubahan p dari nol ke 1 tak lain adalah perubahan v(r , p) dari u0 (r ) ke u (r ) . Dalam topologi, hal ini disebut deformasi. Dengan demikian L(v) L(u0 ) dan A(v) f (r ) adalah homotopik. Sesuai dengan HPM, kita dapat menggunakan parameter p sebagai parameter bernilai kecil, dan asumsikan bahwa solusi (14) dan (15) dapat ditulis sebagai deret pangkat dalam p: (19) V V0 pV1 p 2V2
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Setting p=1 sehingga diperoleh solusi aproksimasi dari (11) (20) u limV V0 V1 V2 p 1
Deret (20) adalah konvergen, namun masih bergantung kepada operator taklinear A(V). He [13] dan Cveticanin [17] menyarankan: 1. Turunan kedua dari N(V) terhadap V haruslah kecin sebab parameter dapat menjadi besar, yaitu p→1. 2. Norm dari L1 N V haruslah lebih kecil daripada 1 sehingga deret konvergen. PEMBAHASAN HPM pada dasarnya merupakan kasus khusus dari HAM, yaitu bilamana h = -1 dan H (r , t ) 1 . Karena itu HAM secara logis pada prinsipnya memuat HPM [2, 10]. Selain itu HPM secara matematis merupakan perumuman dari deret Taylor, meskipun hanya perlu beberapa suku deret. Jadi jika pemilihan nilai awal dan operator linear semu dilakukan dengan benar, hanya perlu beberapa suku agar hasilnya cukup akurat. Beberapa perbedaan HAM dan HPM dapat diungkapkan sebagai berikut. Konvergensi dari solusi deret Liao bergantung kepada empat factor, yaitu nilai awal, operator linear semu, fungsi semu H(r,t) dan parameter semu h. bagaimanapun untuk kasus khusus h = -1 dan H (r , t ) 1 , konvergensi solusi HPM hanya bergantung kepada dua factor, dan HPM tak dapat menyediakan cara lain untuk menjamin konvergensi. Inilah alasan mengapa pemilihan nilai awal dan operator semu harus dilakukan dengan baik [1], sementara rambu-rambu untuk menentukan pilihan tidak tersedia. Di sisi lain , pada HAM tidak disyaratkan seperti demikian. Akibat
pengaruh pemilihan nilai awal pada HPM ini, untuk kasus masalah taklinear yang rumit, seperti penyelesaian persamaan Blasius and Falkner-Skan, He [13] mengabaikan suku sekuler n exp(n ) (menurut He), padah tidak benar-benar sekuler sebab lim n exp(n ) 0, n 1 . n
Sedangkan Liao [2], dengan menggunakan HAM suku ini tetap dipertahankan. Untuk mengeneralisasi suku ini, Liao menyediakan Rule of Solution Expression [2], yang sangat berguna untuk memilih nilai awal, operator linear semu dan fungsi semu. Berbeda dengan HPM, konvergensi solusi deret Liao bergantung kepada empat factor. Meskipun pemilihan nilai awal dan operator linear semu tidak cukup baik, asal rasional, hasilnya tetap bisa konvergen [2], sebab konvergensi pada HAM ditentukan oleh pemilihan nilai parameter h. He [10] juga mengakui bahwa HAM adalah metode deret Taylor yang diperumum, untuk mencari solusi deret takhingga dan daerah konvergensi menjadi lebih luas. Parameter homotopy h harus dipilih sesuai dengan radius konvergensi deret takhingga yang telah diperoleh. Sementara HPM adalah metode perturbasi baru, untuk mencari solusi asimtotik dengan 2 sampai 4 suku, tanpa memerlukan teori konvergensi. Dalam menyelesaikan persamaan evolusi, Liang and Jeffrey [18] menyimpulkan bahwa HPM menghasilkan deret yang divergen untuk semua x dan t, kecuali pada t = 0 ( di nilai awal ), yaitu radius konvergensi solusi HPM adalah nol. Karena itu HPM tidak memberikan hasil pendekatan yang bermanfaat, baik dalam hal deret konvergen atau deret asimtotik. Di sisi lain, metode HAM memberikan hasil solusi konvergen untuk nilai 0, 2 h 1.4 . Semirata 2013 FMIPA Unila |363
M. Adi Sidauruk dkk: Karakteristik Pendugaan Emperical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP) Pada Pendugaan Area Kecil
Untuk masalah purely nonlinear fin-type, Chowdhury et al [15] menyimpulkan bahwa penggunaan HAM memberikan hasil yang lebih akurat dan perhitungan suku-sukunya lebih mudah dibandingkan dengan HPM. Pemilihan nilai h juga dapat dilakukan dengan tepat. Dibandingkan dengan metode dekomposisi dan solusi eksak, metode HAM merupakan metode yang sangat menjanjikan untuk mendapatkan pendekatan solusi analitik bagi masalahmasalah taklinear yang sangat rumit. KESIMPULAN Berdasarkan dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa metode HAM lebih baik dan lebih mudah diaplikasikan untuk menyelesaikan masalah taklinear. Metode HPM, di samping agak rumit, juga kurang akurat. Menurut penilaian Liao, HPM masih memuat beberapa kesalahan dan memerlukan dasar matematika yang rasional. Di samping itu pula, perlu diperumum dan diverifikasi untuk menyelesaikan masalah-masalah taklinear yang rumit. DAFTAR PUSTAKA S J Liao, Homotopy Analysis Method: A new Analytic Method for Nonlinear Problems, Applied Mathematics and Mechanics, English Edition, Vol. 19, No. 10,(1998) 957 – 962. S
J Liao, Beyond Perturbation: Introduction to Homotopy Analysis Method, Chapman &Hall/ CRC Press, Boca Raton, 2003.
S J Liao, A kind of approximate solution technique which does not depend upon small parameters – II. An application in fluid mechanics, Int. J. Non-Linear
364| Semirata 2013 FMIPA Unila
Mech, 32 (5) (1997) 815 – 822. S J Liao, Homotopy Analysis Method, a kind of nonlinear analytical technique not depending on small parameters. J. Shanghai Mech. 18. (3) (1997(). 196 – 200 ( in Chinese) S J Liao, Homotopy Analysis Method, A new Analytic Method for Nonlinear Problems without small parameters, in The 3rd International Conference on nonlinear Mechanics, Shanghai, 1998, pp. 829 – 833. S J Liao. An Explicit, totally analytic solution of laminar viscous flow over a semi infinite flat plate. Comm. Nonlinear Sci Numer Simulat. 3.(2) (1998) 53 – 57. S J Liao. An Explicit, totally analytic approximation solution for Blasius viscous flow problems. Int. J. Nonlinear Mech. 34 (1999) 759 - 778. S J Liao. A uniformly valid analysis solution of two dimensional viscous flow over a semi infinite flat plate. J. Fluid Mech. 385 (1999) 101 – 128. S J Liao. A non-iterative numerical approach for 2_D viscous flow prpblems governed by the Falkner-Skan equation. Int. J. Numer. Methods Fluids. 35 (5) (2001) 495 - 518. J
H He, Comparison of Homotopy perturbation Methods and Homotopy Analysis Method, Appl. Math. Comput. 156 (2004) 527 – 539.
J H He. An approximate solution technique depending upon an artificial parameter. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 3 (2) (1998) 92 – 97. J H He. Newton-like Iteration Method for solving algebraic equations. Comm. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 3 (2)
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
(1998) 106 – 109. J H He. Homotopy Perturbation Technique. Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 178 (3/4) (1999) 257 – 262. J H He. A Coupling Method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. Int. J. Nonlinear Mech. 35 (1) (2000) 37 – 43. M. S. H. Chowdhury, I. Hashim, O. Abdulaziz. Comparison of Homotopy perturbation Methods andHomotopy Analysis Method for purely nonlinear fin-type problems. Comm. In nonlinear science and Numerical Simulation. 14. (2009), 371 – 378. H. A. Zedan and E. El Adrous, The
Application of the Homotopy Perturbation Method and the Homotopy Analysis Method to the Generalized Zakharoz Equations. Hindawi Publishing Corporation, Abstract and Applied Analysis, Vol 2012. Article ID 561252, 19 pages. L. Cveticanin. Homotopy Perturbation Method for pure nonlinear differential equations. Chaos, Soliton & fractals. Vol. 30 (2006) no. 5. 1221 – 1230. S Liang and D.J. Jeffrey. Comparison of Homotopy analysis method and homotopy perturbation method through an evolution equation. Comm Nonlineaqr Sci Numer Simulat. 14 (2009) 4057 – 4064.
Semirata 2013 FMIPA Unila |365
