UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I/KALKULUS Selasa, 23 Maret 2004 Waktu : 2 jam
SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10, KECUALI NOMOR 8 1. Diketahui fungsi f dengan f (x) = x turunan, tentukan f 0 (1). 2. Tentukan y 0 dari y =
3. Jika sin y = x
x2 . Dengan menggunakan de…nisi
sin x2 + sin2 x . sin( =6)
x3 , tentukan
y" di titik (1; 0). y0
4. Beberapa buldoser milik PT TSLB (Tukang Sulap Lahan Bersejarah) meraung-raung untuk mengeruk dan meratakan sebuah lapangan olahraga menjadi lahan parkir bus wisata. Tanah yang dihasilkan kemudian diangkut untuk ditimbun di suatu lokasi tak jauh dari lapangan tersebut. Timbunan tersebut membentuk kerucut dengan tinggi (h) yang sama dengan jari-jari (r). Volume timbunan (V ) bertambah dengan laju 4 m3 /menit. Tentukan berapa laju pertambahan tinggi timbunan ketika jari-jarinya 2 meter. (V = 31 r2 h). 5. Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diijinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam. 6. Diberikan f (x) = jxj dan g(x) = sin(x + ). Jika ada, tentukan (a) f 0 (x). d (b) (f (x) + g(x)). dx
1
7. Jika f 000 kontinu pada interval I yang memuat c, f 0 (c) = f 00 (c)=0 dan f 000 (c) > 0, maka tentukan nilai minimum lokal dari f 0 pada I, beserta alasannya. 8. Diketahui fungsi f dengan f (x) = f "(x) =
2 (x
1)3
x2
x+1 0 x2 , f (x) = x 1 (x
2x , dan 1)2
.
(a) Tentukan daerah asal fungsi f . (b) Tentukan selang fungsi f naik dan selang fungsi f turun. (c) Tentukan selang fungsi f cekung ke atas dan selang fungsi f cekung ke bawah. (d) Jika ada, tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot garis miring. (e) Gambar gra…k fungsi f . 9. Diketahui fungsi f dengan f (x) =
x2 + x ; p x x ;
1 x 0 0<x 4
Tentukan : (a) nilai maksimum global dan nilai minimum global fungsi f pada [ 1; 4]. (b) nilai maksimum lokal dan nilai minimum lokal fungsi f pada ( 1; 4). 10. Seorang simpatisan partai politik akan menempel poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi 1 meter. Simpatisan tersebut akan membuat tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Dengan berbekal pengetahuan Kalkulus, bantulah simpatisan partai tersebut untuk menentukan panjang minimum tangga tersebut. Semoga sukses !
2
JAWABAN UTS KALKULUS/KALKULUS 1 2003/2004 SELASA, 23 MARET 2004
1. Cara 1: f (x) f (1) x 1 x x2 x x2 0 = lim = lim = lim x!1 x!1 x x!1 x 1 1 = lim ( x) = 1:
f 0 (1)
=
lim
x!1
x (x 1) x 1
x!1
Cara 2: f 0 (x)
= =
lim
h!0
lim
f (x + h) f (x) h h i 2 (x + h) (x + h)
x
x2
h x+h x + 2xh + h2 x x2 lim h!0 h x + h x2 2xh h2 x + x2 lim h!0 h h 2xh h2 h (1 2x h) lim = lim = lim (1 h!0 h!0 h!0 h h 1 2x: h!0
2
= = = =
Jadi f 0 (1) = 1 2. y =
2 (1) = 1
2=
2x
h)
1:
sin x2 + sin2 x sin x2 + sin2 x = = 2 [sin x2 + sin2 x]: Jadi sin ( =6) 1=2 y0 = 2
cos x2
(2x) + 2 sin x cos x = 4x cos x2 + 4 sin x cos x:
3. sin y = x x3 : Jika kedua ruas diturunkan secara implisit terhadap x diperoleh (cos y) y 0 = 1 3x2 ; sehingga y0 =
1
3x2 cos y
(1)
Jika kedua ruas persamaan (1) diturunkan secara implisit terhadap x maka akan diperoleh: y 00 =
( 6x) (cos y)
1
3x2 ( sin y) y 0 2
(cos y)
3
:
Dari persamaan (1) diperoleh nilai y 0 di titik (1; 0) adalah 2; sedangkan nilai y 00 di titik (1; 0) adalah 6 (cos 0)
(1 (cos 0)
Jadi
3) ( sin 0) 2
6
=
( 2) (0) 2
(1)
y 00 di titik (1; 0) adalah y0
=
1 3 2 = = cos 0 1
6:
6 = 3: 2
1 2 4. Volume timbunan yang berbentuk kerucut adalah V = r h: Diketahui 3 r = h; sehingga rumus volume menjadi V =
1 3 h : 3
Jika persamaan ini diturunkan secara implisit terhadap t diperoleh dV dh = h2 : dt dt Diketahui
dV = 4 m3 /menit, maka pada saat h = 2 diperoleh: dt 2
4= Jadi
(2)
dh : dt
1 dh = m/menit. dt
5. Misalkan f (x) menyatakan jarak yang ditempuh (dalam satuan km). Menu3 rut Teorema Nilai Rata-rata, terdapat c 2 0; sehingga 2 f 0 (c) =
f (3=2) f (0) 156 0 = = 104: 3=2 1; 5 3 sehingga kecepatan mobil Badrun 2 Jadi kecepatan mobil Badrun pernah
Jadi terdapat waktu di antara 0 dan pernah mencapai 104 km/jam. melebihi 100 km/jam. 6. Misalkan f (x) = jxj =
x; untuk x 0 x; untuk x < 0
dan g (x) = sin (x + ) :
(a) Pada selang-selang bukanya 1; untuk x > 0 : 1; untuk x < 0
f 0 (x) = 4
Di titik x = 0; f 0 (x) harus diperiksa dengan menggunakan de…nisi turunan. f (x) x f (x) lim x x!0+ lim
x!0
f (0) 0 f (0) 0
x 0 x = lim = lim ( 1) = x 0 x x!0 x!0 x 0 x = lim = lim = lim 1 = 1: 0 x!0 x x!0 x!0+ x =
lim
f (x) f (x) f (0) 6= lim x 0 x x!0+ f 0 (0) tidak ada. Jadi:
f (0) f (x) ; maka lim x!0 0 x
Karena lim x!0
f (0) = 0
1; untuk x > 0 : 1; untuk x < 0
f 0 (x) =
(b)
1;
x!0
d (f (x) + g (x)) = f 0 (x) + g 0 (x) : Sedangkan g 0 (x) = cos (x + ) : dx Jadi: 1 + cos (x + ) ; untuk x > 0 1 + cos (x + ) ; untuk x < 0
f 0 (x) + g 0 (x) = f 0 (x) = 7. f 00 (c) = 0 dan c 2 I
!
c titik stasioner dari f 0 :
f 000 (x) kontinu pada selang I; dan f 000 (c) > 0; maka dari Uji Turunan Kedua diperoleh kesimpulan bahwa f 0 (c) merupakan nilai minimum lokal dari f 0 : Karena diketahui f 0 (c) = 0; maka 0 adalah nilai minimum lokal dari f 0 :
8. f (x) =
x2
x+1 =; x 1
f 0 (x) =
x2
2x
(x
2
1)
=
x (x (x
2) 2
1)
;
f 00 (x) =
2 (x
(a) Df = fxjx 6= 1g :
(b)
Tanda f 0
+++
(0) 0
( ) 1
(0) 2
+++
Jadi f naik pada selang ( 1; 0] dan [2; 1); sedangkan f turun pada selang [0; 1) dan (1; 2]: Dapat ditambahkan, bahwa f (0) = 1 adalah nilai maksimum lokal, dan f (2) = 3 adalah nilai minimum lokal fungsi f: (c) Tanda f 00
( ) 1
+++
f cekung ke bawah pada selang ( 1; 1) dan cekung ke atas pada selang (1; 1) : 5
3
1)
(d) Karena x2
lim
x!1
lim+
x!1
x2
x+1 x 1
=
x+1 x 1
=
1 2 2
x
lim
x
x!1
lim+
1 2
+
1 2
1 1 2 2
x x
x!1
+
1
=
1; atau
=1
maka garis x = 1 merupakan asimtot tegak dari fungsi f: x2 x + 1 1 Karena f (x) = =x+ dan x 1 x 1 lim [f (x)
1
x] = lim
x!1
x!1
x
1
=0
maka garis y = x merupakan asimtot miring dari fungsi f: Karena lim f (x) =
x!1
lim f (x)
x! 1
=
lim
x!1
lim
x! 1
x+
1 x
x+
= +1; dan
1 1 x
1
maka f tidak mempunyai garis asimtot datar. (e) Gambar gra…k fungsi f :
9. f (x) =
x2 + x; jika 1 x 0 p x x; jika 0 < x 4 6
=
1
(a) Titik-titik (bilangan) kritis dari fungsi f ditentukan dengan cara sebagai berikut: 8 < 2x + 1; jika 1<x<0 1 f 0 (x) = 1; jika 0 < x < 4 : p 2 x
Turunan pertama f di x = 0 diperiksa dengan cara sebagai berikut: f (x) x x!0 f (x) lim x x!0+ lim
f (0) 0 f (0) 0
= =
lim
x!0
lim
x2 + x p ( x
02 + 0 x
x!0
2
x)
0 +0 x
x!0+
= lim (x + 1) = 1; 1 p x
= lim x!0
tidak ada. Jadi f 0 (0) tidak ada. Ini berarti bahwa x = 0 merupakan titik (bilangan) kritis fungsi f: 1 1 , jadi x = merupakan titik kritis f 0 (x) = 0 untuk x = 2 2 fungsi f: Titik ujung selang: x = x 1 0 1 2 4
f (x) 2 ( 1) + 1 = 2 02 + 0 = 0 2 1 1 3 + = 2 2 4 p 4 4= 2
(b) f 0 (x) = Tanda f 0
1; dan x = 4: Keterangan 2 adalah nilai maksimum mutlak fungsi f
2 adalah nilai minimum mutlak fungsi f
8 <
2x + 1; jika 1<x<0 1 1; jika 0 < x < 4 : p 2 x +++
1 2
( ) 0
Dari Uji Turunan Pertama, nilai minimum lokalnya adalah f 0; dan f tidak mencapai nilai maksimum lokal. 10.
7
4 1 2
=
1
Misalkan l adalah panjang tangga. Dari segitiga sebangun diperoleh y 8+x = 1 x 8+x x
2
l2 = y 2 + (8 + x) =
2 2
+ (8 + x) =
8 +1 x
2 2
+ (8 + x) :
Misalkan p (x) = l2 ; maka 2
p (x)
8 2 + 1 + (8 + x) x 1 2x + 3 ( 16x 128) + 16 x 2x4 16x 128 + 16x3 x3 2 (x + 8) x3 8 x3
=
p0 (x) = = =
p0 (x) = 0 untuk x = 8 (tidak memenuhi karena negatif) atau x = 2: 2(16x + x4 + 192) Karena p00 (x) = ; maka p00 (2) > 0; sehingga dari Uji x4 Turunan Kedua diperoleh bahwa p minimum di x = 2: Jadi 10 =5 2 2 l2 = y 2 + (8 + x) = 125 p p l = 125 = 5 5 meter. p Jadi panjang tangga minimum adalah 5 5 meter. y
=
8
