VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
JEDNOTA ČESKÝCH MATEMATIKŮ A FYZIKŮ, pobočka Ostrava KATEDRA MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE VŠB-TU Ostrava
Sborník z 24. semináře
Moderní matematické metody v inženýrství
1.6. - 3.6. 2015 Horní Lomná
Organizační a programový výbor Předseda:
Radek Kučera, Česká republika
Členové:
Zdeněk Boháč, Česká republika Jarmila Doležalová, Česká republika Milan Doležal, Česká republika Ivan Kolomazník, Česká republika Zygmunt Korban, Polsko Pavel Kreml, Česká republika Zuzana Morávková, Česká republika Viera Záhonová, Slovensko
© Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
ISBN 978-80-248-3843-4
Vážené a milé kolegyně, vážení a milí kolegové, čtyřiadvacátý ročník mezinárodního semináře Moderní matematické metody v inženýrství, česko-polský seminář, proběhl podle tradice: Konal se jako vždy začátkem června, tentokrát od 1. června do 3. června, na obvyklém místě - v Horní Lomné u Jablunkova. Organizaci semináře zajistila již tradičně ostravská pobočka Jednoty českých matematiků a fyziků a Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - TU Ostrava. Ani programový a organizační výbor nedoznal velkých změn. Jen účastníků bylo méně - do Horského hotelu Excelsior jich přijelo 40, z toho 9 zahraničních (7 z Polska a 2 ze Slovenska). Mezi účastníky byli opět v menšině ti dříve narození. Organizátory velmi těší, že o seminář ve stále větší míře projevují zájem mladí pedagogové a vědci a doufají, že brzy převezmou organizaci semináře na svá bedra.. Pan doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. z Matematicko–fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze věnoval letos cyklus tří plenárních přednášek lineární algebře, konkrétně soustavám lineárních rovnic a maticím. Bylo předneseno celkem 20 referátů a komentováno 8 posterů. Odborně zaměřené příspěvky se týkaly matematického modelování, simulace, kódování, statistiky a aplikací matematiky v celé řadě odvětví. Metodicky zaměřené příspěvky seznamovaly s analýzou náročnosti studia matematiky, přijímacími testy nebo úrovní znalostí studentů technických vysokých škol. Tradiční součástí semináře se stal workshop GeoGebra, jehož pokračování se proto předpokládá i v dalších ročnících. V kuloárech pokračoval rovněž kulatý stůl na téma Výuka matematiky na technických vysokých školách s výměnou názorů na obsah a rozsah vysokoškolské matematiky, úroveň vstupních znalostí studentů a jejich pracovní morálku. Živě se vyměňovaly zkušenosti s metodikou výuky. Diskuse se také zabývala plošným testováním na základních školách a státní maturitou z matematiky. Výstupem ze semináře je sborník na CD. Příspěvky byly dodány ve formě camera ready, neprošly tedy odbornou ani jazykovou úpravou. Na závěr si Vás dovolujeme pozvat na příští, již 25. ročník semináře, který proběhne v termínu 30. května – 1. června 2016 opět v Horském hotelu Excelsior v Horní Lomné. Říjen 2015
Za organizační a programový výbor
Jarmila Doležalová
OBSAH ♦
Bluszcz, Anna, PS Gliwice Metody taksonomiczne w ocenie wymiarów zrównoważonego rozwoju ......................... 6
♦
Brodny, Jarosław –Tutak, Magdalena, PS Gliwice Numerical analysis of airflow and methane emitted from the mine face in a longwall heading ............................................................................................................................. 14
♦
Dlouhá, Dagmar – Hamříková, Radka – Doležal, Jiří, VŠB – TU Ostrava Vytvoření multimediálních materiálů pro předmět deskriptivní geometrie ..................... 19
♦
Korban, Zygmunt – Dłutek, Krzysztof, PS Gliwice Application of the multi-criterion assessment method in the selection process of technical equipment for a mining excavation site – case study ................................... 24
♦
Kowalik, Stanisław, Academy of Business, Dąbrowa Górnicza Use LU decomposition matrix for solving systems of linear equations of binary xor operation .................................................................................................................... 29
♦
Krček, Břetislav –Bobková, Michaela, VŠB – TU Ostrava Návrh přibližného výpočtu indexů směrovosti pro kelímkovou pec ............................... 34
♦
Krček, Jiří – Vlček, Jaroslav – Žídek, Arnošt, VŠB – TU Ostrava Numerical solution of boundary integral equations in optical diffraction ....................... 38
♦
Kučera, Radek – Haslinger, Jaroslav – Šátek, Václav – Jarošová, Marta, VŠB – TU Ostrava Stokes problem with friction ............................................................................................ 44
♦
Ludvík, Pavel – Morávková, Zuzana, VŠB – TU Ostrava Teaching of numerical methods by practical examples ................................................... 55
♦
Manowska, Anna, PS Gliwice Ocena ryzyka zagrożenia tąpaniami w wyrobiskach ścianowych – część I .................... 61
♦
Manowska, Anna, PS Gliwice Ocena ryzyka zagrożenia tąpaniami w wyrobiskach ścianowych – część II ................... 67
♦
Mateja-Losa, Elwira – Dłutek, Krzysztof, PS Gliwice Podstawowa analiza statystyczna ankiet na przykładzie medycznym ............................. 76
♦
Matuszewska, Ewa, PS Gliwice Analiza porównawcza zgonów naturalnych i wypadkowych w polskim górnictwie węgla kamiennego ............................................................................................................ 82
♦
Matuszewska, Ewa – Orwat, Justyna, PS Gliwice Korelacja liniowa w wynikach badań ankietowych – analiza przypadku........................ 88
♦
Orwat, Justyna, PS Gliwice Wykorzystanie metody najmniejszych kwadratów do wyznaczenia wartości parametrów teorii wpływów podziemnej eksploatacji górniczej na powierzchnię terenu ................... 93
♦
Přibylová, Lenka, VŠB – TU Ostrava – Pleva, Leopold –Novák, Martin, University Hospital of Ostrava Statistická analýza dat z oblasti úrazové chirurgie ........................................................ 100
♦
Rabasová, Marcela, VŠB – TU Ostrava – Pavlík, Ondřej, Vítkovická nemocnice a.s. Porovnání účinnosti protekčních systémů u karotického stentingu ............................... 105
♦
Smetanová, Dana – Vysoká, Jana, VŠTE České Budějovice Jak studenti vysokých škol vnímají využití matematiky v praktickém životě ............... 110
♦
Štěpánová, Martina, UK Praha Meze pro vlastní císla matice ......................................................................................... 114
♦
Stryja, Jakub, VŠB – TU Ostrava Existence and asymptotic behavior of solutions of singular second order ODE ........... 134
♦
Volná, Jana – Volný, Petr, VŠB – TU Ostrava Interior Euler–Lagrange operator and differential forms ............................................... 140
♦
Záhonová, Viera, STU Bratislava Matematika a iné predmety v prvom semestri štúdia na Strojníckej fakulte STU v Bratislave ............................................................................................................ 145
Příloha: Workshop GEOGEBRA Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie ........................................................ I-III ♦
Volná, Jana – Volný, Petr, VŠB – TU Ostrava První pohled na 3D v GeoGebře ............................................................................. IV-VIII
♦
Schreiberová, Petra, VŠB – TU Ostrava 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II .................................................................... IX-XV
♦
Morávková, Zuzana, VŠB – TU Ostrava Numerická integrace .............................................................................................. XVI-XX
♦
Bělohlávková, Jana, VŠB – TU Ostrava Cyklus for a iterace v GeoGebře ......................................................................... XXI-XXV
♦
Paláček, Radomír, VŠB – TU Ostrava Řezy rotační kuželové plochy ........................................................................ XXVI-XXXI
♦
Dlouhá, Dagmar – Hamříková, Radka, VŠB – TU Ostrava GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii ........................................................ XXXII-XXIV
Obsah ................................................................................................................................XXXV Seznam účastníků .................................................................................................................. 186
Metody taksonomiczne w ocenie wymiarów zrównoważonego rozwoju Anna Bluszcz Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42 – 100 Gliwice, Polska E-mail:
[email protected] Streszczenie: Artykuł dotyczy hierarchizacji liniowej obiektów w wielowymiarowej przestrzeni.
Obiektami taksonomicznymi w analizie są rejony Polski. Wymiar przestrzeni został określony przez 12 zmiennych charakteryzujących obiekty taksonomiczne. Jako zmienne opisujące rejony Polski wybrano cechy określające zrównoważony rozwój w trzech perspektywach: środowiskowej, ekonomicznej i społecznej. W badaniach zastosowano miarę agregatową, jako średnią arytmetyczną ze zmiennych diagnostycznych, które doprowadzono do porównywalności poprzez unitaryzację. Dane do analizy zostały zebrane ze sprawozdań Głównego Urzędu Statystycznego.
Wprowadzenie Zróżnicowanie przestrzenne poziomu rozwoju gospodarczego jest aktualnie istotnym zagadnieniem badań socjoekonomicznych. W przedmiotowym artykule podjęto badania porównawcze dotyczące określenia poziomu zrównoważonego rozwoju rejonów Polski oraz ich uporządkowania w rankingu. Zrównoważony rozwój jest zjawiskiem charakteryzowanym w trzech wymiarach jednocześnie: środowiskowym, ekonomicznym i społecznym, co oznacza, że może być opisany poprzez wiele różnych zmiennych, których liczba dochodzić może nawet do kilkudziesięciu. W tym przypadku prowadzenie analizy porównawczej metodami tradycyjnymi
staje
się
niemożliwe.
Stąd
też
wynika
zastosowanie
w
badaniach
wielowymiarowej analizy porównawczej, której geneza wywodzi się ze stosowania w metodach taksonomicznych pojęcia obiekt wielowymiarowy, który jest jednostką statystyczną, a w przedmiotowym artykule będzie to rejon Polski, który opisany jest przez wiele zmiennych charakteryzujących zrównoważony rozwój rejonu. Wielowymiarowa analiza porównawcza, w skrócie nazywana WAP, zajmuje się metodami i technikami porównywania i analizy obiektów wielocechowych. WAP jest to spójny formalnie zespół metod statystycznych służących celowemu doborowi informacji o elementach pewnej zbiorowości i wykrywaniu prawidłowości we wzajemnych relacjach tych elementów. WAP jest metodą interdyscyplinarną, wykorzystującą osiągnięcia i metody stosowane w innych dziedzinach. Wielowymiarowa analiza porównawcza jest metodą, w której analizy dokonuje się wieloetapowo i wielokierunkowo[2].
-6-
Metody taksonomiczne Nazwa taksonomia pochodzi z greckich słów: taksis (oznacza układ, porządek) i nomos (prawo, zasada) i oznacza dyscyplinę naukową zajmującą się zasadami i procedurami klasyfikacji (inaczej porządkowania, grupowania, dyskryminacji, podziału)[7]. Problematyka różnego rodzaju badań porównawczych polegających na klasyfikacji różnego rodzaju danych jest bardzo często spotykana w badaniach statystycznych i ekonometrycznych. Przyczyną tego zjawiska jest fakt, że większość zjawisk ekonomicznych jest charakteryzowana przez dużą liczbę zmiennych, co uniemożliwia wykorzystanie tradycyjnych metod, dlatego też w tych sytuacjach zastosowanie mają metody taksonomiczne. Analizy taksonomiczne sprowadzają się generalnie do dwóch głównych zadań badawczych. Po pierwsze do grupowania operacyjnych jednostek taksonomicznych oraz do liniowego porządkowania obiektów. Pojęcie klasyfikacji jest wieloznaczne i obejmuje zarówno metodykę segregowania zbioru obiektów, proces klasyfikowania jak i jej rezultat końcowy. Konieczność klasyfikacji wynika z następujących przesłanek[1]: -
metodologicznej
-
sprawdzającej
się
do
uzyskiwania
jednorodnych
przedmiotów analizy, w których łatwiej jest wyodrębnić czynniki systematyczne oraz wyraźniej zaznaczają się związki przyczynowo-skutkowe, -
poznawczej - polegającej na zredukowaniu dużej liczby informacji do kilku
podstawowych kategorii, co upraszcza proces wnioskowania, -
ekonomicznej - pozwalającej na zmniejszenie nakładów pracy poprzez
ograniczenie rozważań do typowych faktów, zjawisk, obiektów przy znikomym błędzie. Szczególnie istotnym zagadnieniem klasyfikacji jest liniowe uporządkowanie obiektów w wielowymiarowej przestrzeni cech, polegające na ich rzutowaniu na prostą. Artykuł dotyczy hierarchizacji liniowej tzn. liniowego porządkowania zbioru obiektów w wielowymiarowych przestrzeniach cech z punktu widzenia pewnej charakterystyki, której nie da się zmierzyć w prosty sposób tj. poziomu zrównoważonego rozwoju. Jako obiekty taksonomiczne w analizie przyjęto regiony Polski. Jako zmienne opisujące rejony Polski wybrano zmienne określające zrównoważony rozwój w trzech perspektywach: środowiskowej, ekonomicznej i społecznej. Dane do analizy zostały zebrane ze sprawozdań Głównego Urzędu Statystycznego. Powiązanie metod taksonometrii z innymi dziedzinami nauki zaprezentowano na rysunku 1.
-7-
STATYSTYKA OPISOWA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Analiza danych
Rozkłady wielowymiarowe
Graficzne metody redukcji wymiarów przestrzeni
EMC
Teoria rozpozna-wania obrazów
TAKSOLOGIA
Analiza czynnikowa Analiza wariancji Analiza dyskryminacyjna Analiza kanoniczna
Topologia
TAKSONOMIA TAKSONOMETRIA
Wielowymiarowa analiza danych
Teoria zbiorów rozmytych
Ekonometria
Teoria grafów
EMC
Teoria ekonomii
Rysunek 1 Powiązanie taksonometrii z innymi dziedzinami Źródło: Grabiński T.: Metody taksonometrii. AE Kraków, Kraków 1992, s. 14.
Pojęcie i założenia zrównoważonego rozwoju Zrównoważony rozwój jest nadrzędną zasadą polityki Unii Europejskiej, w tym polityki ekologicznej Polski. Skuteczna realizacja działań strategicznych na rzecz realizacji zrównoważonego rozwoju wymaga opracowania metod i narzędzi do monitorowania poziomu zrównoważonego rozwoju kraju i jego regionów. Potrzeba regionalnego ujmowania programu zrównoważonego rozwoju warunkowana jest dwiema
przyczynami.
Pierwsza
wiąże
się
-8-
z
oczywistą
integralnością
środowiska
przyrodniczego, którego części składowe są często podzielone pomiędzy jednostki administracyjne. Druga przesłanka wynika z tego, że wiele problemów np.: z tworzeniem systemu terenów chronionych, gospodarką wodną, gospodarką odpadami, ograniczaniem zanieczyszczeń wód i powietrza wykracza poza kompetencje i możliwości pojedynczych jednostek samorządowych. Efektywne ekonomicznie i ekologicznie rozwiązania zależą od współpracy między regionami i muszą być rozwiązywane w większej skali. Dlatego niezwykle ważnym warunkiem skuteczności wprowadzania koncepcji zrównoważonego rozwoju na poziomie regionalnym jest ustalenie i przyjęcie powszechnie akceptowalnych wskaźników. Udzielają one odpowiedzi na pytanie, czy województwo, a zwłaszcza jego gospodarka i sfera społeczna, w istocie podąża w kierunku zrównoważonego rozwoju. Celem artykułu jest ocena poziomu zrównoważonego rozwoju według rejonów Polski. Do oceny został wykorzystany taksonomiczny miernik rozwoju, według którego możliwe jest grupowanie i porządkowanie obiektów, czyli badanych regionów. Metodologia badań W celu porządkowania rejonów Polski pod względem poziomu zrównoważonego rozwoju wykorzystano
popularne
metody
porządkowania
liniowego,
na
podstawie
miernika
rozwojowego (bezwzorcowego). Zmienne – wskaźniki zrównoważonego rozwoju opisujące rejony Polski wyrażone są w różnych jednostkach takich jak np. tys. ton/km; %; m2/ osobę; dm3/mieszkańca; co uniemożliwia ich bezpośrednie porównanie między sobą, należy zatem przeprowadzić ich normowanie. Normowanie ma na celu doprowadzenie zmiennych posiadających różne miary (miana) do wzajemnej porównywalności (addytywności) oraz ujednolicenie charakteru cech, czyli zastąpienie zróżnicowanych zakresów zmienności cech zakresem stałym. Normowanie cech oznacza transformację cech, która polega na przekształceniu danej cechy w inną cechę o pożądanych właściwościach formalnych. Głównym celem normowania jest eliminacja wpływu jednostek miary przez wprowadzenie addytywności w zbiorach cech o różnych mianach, czyli przeliczenie bezwzględnych wartości cech na wartości względne. Prawidłowo przeprowadzone normowanie powinno spełniać następujące postulaty[4]: -
wartości unormowane są liczbami niemianowanymi, niezależnie od rodzaju
cech, których wartości są unormowane, -
wartości unormowane są nieujemne,
-
wartości należą do skończonego, uniwersalnie unormowanego przedziału
liczbowego, -
w miarę wiernie odzwierciedlają zmienność wartości nienormowanej.
Metodologia badań przeprowadzona została według algorytmu przedstawionego na rysunku 2
-9-
eetap1
•Z Zdefiniowaniee macierzy daanych •S Sprawdzenie wpływu w zmiennnnej na analiizowane zjaw wisko, czyli naa poziom zzrównoważon nego rozwoju rrejonu
eetap2
•P Podział zmian nnych na stym mulanty i desty ymulanty •W Wybór metod dy przekształceenia zmiennycch •O Opracowanie macierzy dannych znormaliozwanych
eetap3
•O Obliczenie miiernika rozwoj oju •R Ranking rejon nów ze względdu na poziom miernika - im m wyższa warttość tym wyżsszy ppoziom ekoro ozwoju
Ry ysunek 2 Alggorytm meto odologii bad dań Źróódło: opracowan nie własne
W Wśród zmieennych – wskaźników w opisujących h zrównoważżony rozwój ój rejonów Polski P wyróżniono stym mulanty i deestymulanty. Kryterium podziału staanowił sposóób oddziały ywania ważonego rozzwoju rejonu u. Stymulantty to zmienne ne - cechy, kttórych zmiennnej na stopiień zrównow wzrosst wartości świadczy o pożądanym m rozwoju baadanego zjaw wiska. Destyymulanty to takie zmiennne, którychh spadek warttości świadczzy o pożądan nym rozwoju u badanego zzjawiska [5]. Z Zestaw wskaaźników opiisujących rejjony Polski pod p względeem zrównow ważonego rozwoju zawieera tabela 1. Zrównow ważony rozw wój ocenia poziom rozwoju w tr trzech wymiarach ekonoomicznym, społecznym s i środowiskoowym. W Wymiar ekoonomiczny określają o takiie zmienne jak j przeciętn ne miesięcznne wynagrod dzenie bruttoo w zł oraz produkcja p sprrzedana przeemysłu w mln n zł. JJako wymiarr środowisko owy określająący zrównow ważony rozw wój rejony przzyjęto następ pujące zmiennne: emisja zanieczyszcczeń powietrrza zarówno o pyłowych jak i gazow wych z zakładów szczeególnie uciąążliwych, śccieki przemyysłowe i komunalne, odpady wyttworzone. Liczbę L samoochodów osoobowych prrzypadającycch na 1000 ludności zakwalifikow z wano równieeż do zmiennnych określających wy ymiar środow wiskowy przzez wzgląd na n negatywnny skutek - emisję e spalinn, jednakże czynnik ten mógłby rów wnież być zaakwalifikow wany do wym miaru społecznego okreśślającego pozziom zamożn ności społeczzeństwa i pod dnoszący staandard życia ludności. JJako zmiennne charaktery yzujące wym miar społeczn ny zaklasyfik kowano nasttępujące zmienne: powieerzchnia – obszary o szcczególnych w walorach przy yrodniczych w rejonie; lliczba czyteln ników
- 10 -
bibliotek, liczba lekarzy dostępnych na 10000 mieszkańców oraz przecietna powierzchnia użytkowa mieszkań w m2 na osobę. Dane do obliczeń pochodzą z publikacji GUS dla roku 2013 Tabela1 Zestaw zmiennych opisujących zrównoważony rozwój rejonów w Polsce z podziałem na stymulanty i destymulanty
Lp. w macierzy 1
Destymulanty Emisja zanieczyszczeń pyłowych powietrza z zakładów szczególnie uciążliwych w tys. t
2
Emisja zanieczyszczeń gazowych (bez CO2) powietrza z zakładów szczególnie uciążliwych w tys. t
3
Ścieki przemysłowe i komunalne wymagające oczyszczania hektometr3
4
Odpady
wytworzone
(w
ciągu
roku;
z
wyłączeniem
odpadów
komunalnych) tys. t 6
Samochody osobowe zarejestrowane na 1000 ludności
10
Liczba zgonów Stymulanty
5
Powierzchnia o szczególnych walorach przyrodniczych na 1 mieszkańca
7
czytelnicy bibliotek publicznych na 1000 mieszkańców
8
lekarze i dentyści na 10000 ludzi
9
Przeciętna powierzchnia użytkowa mieszkania m2 na osobę
11
Przeciętne miesięczne wynagrodzenie w zł brutto zł
12
Produkcja sprzedana przemysłu mln zł
Źródło: opracowanie własne na podstawie danych statystycznych GUS W celu normalizacji zmiennych w pracy zastosowano metodę unitaryzacji zerowej, opierającej się na normalizacji cech według formuły: Wzór przekształcenia stymulanty[6]:
z ij maxxij minxij i xij min xij i
i
Wzór przekształcenia destymulanty [6]: z ij
maxxij minxij i max xij xij i
i
Dla i=1,2, …, n, j=1,2, …, m
- 11 -
Tabela2 T Macierzz danych znorm malizowanychh metodą unitaryzacji
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
111
12
0,75558 0,7227 0,6875 0
0,8315 0,1685 0,00000
0,5952 1,0000 0,5289 0,0000 0,00000 1,0000
0,00000 0,0000 0,0000 0
1,0000 0 0,0000 0,66159
1,0000 0,7222 1,0000 0,3087 0,55916 0,7241
0,82256 0,9510 0,9288 0
0,0000 0 1,0000 1,00000
0,2143 0,8000 0,7600 0,4485 1,00000 0,0000
0,69977 0,9378 0,6915 0
0,3308 0,6692 0,00694
0,1429 0,0000 0,7511 0,9288 0,99083 0,3713
1,00000 0,9544 1,0000 1
0,9042 2 0,0958 0,11735
0,4286 0,4111 0,0000 0,0738 0,66401 0,0710
0,86605 1,0000 0,8431 0
0,0634 4 0,9366 0,66444
0,0000 0,3667 0,2756 1,0000 0,88703 0,2088
Ź Źródło: oblicczenia własn ne JJako miernikk rozwojowy y ui przyjęto średnią aryttmetyczną wartości w zmieennych podd danych unitarryzacji dla każdego k rejon nu Polski weedług wzoru [3]
ui
1 m zij, dla i 1,2,..., n m j 1 Tabela3 T Poziom zrów wnoważonego rozwoju rejonó ów Polski wedłuug miernika ro ozwoju
Region Region Region Region Region Region Region
Region połłudniowo-za achodni Region połu udniowy Region centtralny Region półłnocno-zach hodni Region półłnocny Region wscchodni
miernik m 0,4794 0,4969 0,5242 0,5416 0,5891 0,6607
Rysu unek 3 Wykres rozrzutu u według po oziomu zrów wnoważonegoo rozwoju Źródłło: opracowaanie własne
- 12 -
W badanym 2013 roku najwyższy poziom ekorozwoju – zrównoważonego rozwoju osiągnął Rejon wschodni, a jego miernik kształtował się na najwyższym poziomie i wynosił 0,66. Najniższy poziom ekorozwoju osiągnął rejon południowo-zachodni Polski.
Podsumowanie Badania porównawcze stanowią istotne narzędzie w procesie wdrażania idei zrównoważonego rozwoju. Monitorowanie zróżnicowania przestrzennego poziomu rozwoju w ujęciu rejonów Polski stanowi źródło cennych informacji dla wyznaczania działań strategicznych oraz wyznaczaniu przyszłych tendencji. Określenie pozycji badanych rejonów względem siebie umożliwia dokonywanie obserwacji w czasie i tym samym ocenę zachodzących zmian. Na podstawie przeprowadzonych badań należy stwierdzić, że poziom zrównoważonego rozwoju rejonów w kraju charakteryzuje się niskim współczynnikiem zmienności na poziomie 12% czyli zróżnicowanie między rejonami w Polsce jest nieznaczne. Literatura: [1] Grabiński T.: Metody taksonometrii. Wydawnictwo AE Kraków 1992, s. 15. [2] Kęsek M., Ślusarz M.: Wykorzystanie metod wielowymiarowej analizy porównawczej na przykładzie klasyfikacji przodków wydobywczych. Szkoła Ekonomiki i Zarządzania w Górnictwie, Kraków 1997, s. 222. [3] Młodak A.: Analiza taksonomiczna w statystyce regionalnej. Wydawnictwo Difin. Warszawa 2006. s. 119. [4] Przybyła H. Wybrane problemy wielowymiarowej analizy porównawczej w odniesieniu do zagadnień górniczych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Seria Górnictwo z.139, Gliwice 1985, s. 52. [5] Strahl D.: Metody ekonometryczne w programowaniu rozwoju przemysłu. Skrypty Akademii Ekonomicznej Oskara Langego, Wrocław 1984, s. 27. [6] Wiszniewska E.: Taksonomiczna analiza poziomu zrównoważonego rozwoju województw w Polsce. w: Taksonomia 15. Klasyfikacja i analiza danych - teoria i zastosowania. [red.] Jajuga K., Walesiak M. Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu. Wrocław 2008. s. 372-373. [7] Zając E.: Wielowymiarowa analiza porównawcza pracy kopalń węgla kamiennego. Wydawnictwo AGH, Kraków 1992, s. 31.
- 13 -
NUMERICAL ANALYSIS OF AIRFLOW AND METHANE EMITTED FROM THE MINE FACE IN A LONGWALL HEADING Jarosław Brodny, Magdalena Tutak Silesian University of Technology, Zabrze-Gliwice Zabrze 41-800, Roosevelta 26-28 street; Gliwice 44-100, Akademicka 2 street E-mail :
[email protected],
[email protected] Abstract: Ventilation is one of the most common presented problems during the driving exploitation in the longwalls. In a case of its driving exploitation in coal in the methane seam, this heading is endangered to methane emission. In such case process of its ventilation is much more difficult. In the paper there are presented results of numerical analysis of ventilation of longwalls. Flow of methane to the longwall of exposed body of coal and goafs amounted to 10 m3/ min. The calculations were made for the excavation of heading with heading machine. INTRODUCTION Underground coal exploitation is dangerous due to many natural and technological hazards. One of the most common and most dangerous natural hazards is methane hazard [5,6, 9, 10]. In Polish hard coal mining, methane hazard is one of the most commonly present risks. In the years 2005–2014 in Polish mines 28 hazardous events associated with methane hazard took place (inflammation and explosions of methane), of which 20 occurred in a longwalls [4]. Fighting methane hazard in the longwalls is done primarily by preventing the accumulation of dangerous amounts of methane which causes its explosive concentrations. The main aim of this process is to supply to the longwalls such amount of ventilation air that ensures that the methane concentration will not exceed the allowed value. To achieve this aim, stream of fresh air supplied to mine face of driven heading should have proper physical parameters and chemical composition. These parameters should be chosen so that the atmosphere formed in the heading assures demanded parameters necessary for exploitation works. According to [12] velocity of air stream in the headings ventilated by duct lines in methane fields nd in 2 category of methane hazard cannot be less than 0,30 m/s. In non-methane fields and classified in 1st category of methane hazard, this velocity must be at least 0,15 m/s. Simultaneously, velocity of air stream in longwalls does not exceed 5,0 m/s [12]. Therefore, it is appropriate to conduct research in order to determine parameters of the air stream flowing through the longwalls considering methane evolving from the mine face of this heading and goafs. Such research can be carried out in underground conditions as well as with use of simulation methods [2, 7,8, 11]. In recent years, these methods are widely used to analyze the ventilation problems. However, not many researches include three-dimensional analysis considering the methane hazard. Also due to this regard, this paper presents the results of numerical research which aims to analyze the air flow and methane evolution from the mine face longwalls and its goaf.
- 14 -
THE MATHEMATICAL MODEL OF THE FLOW Computational Fluid Dynamics is a simulation method of processes connected with flow of liquids and gases, heat and mass transfer, or chemical reactions [14]. In the study, the physical and chemical parameters of air and methane mixture flowing through longwall were determined using the ANSYS Fluent software. Turbulent flow of a viscous, incompressible fluid is described by Navier-Stokes system of equations, which together with the continuity equation are complete relationship system, which allows determining pressure and the flow velocity field [14]. Problems connecting with fluid transport in this software are solved basing on following fluid mechanics equations [1]: The continuity equation u v w (1) 0 t x y z where u, v, w are components of tle velocity vector (m/s), is denisity (kg/m3) and t – time (s).
The momentum equation ( v ) ( v v ) p ( ) g F t
(2)
where p is static pressure (Pa), - the stress tensor (Pa), g is the gravitational body force (m/s2) and
F - the external body force (N).
Transport equation determining the local mass loss for each component of the mixture and the diffusion equation takes the following form: The species transport eguation ( Y i ) ( v Y i ) J i R i S i t
(3)
where Yi is the local mass fraction of each species, Ji is the diffusion flux of species i (kg/(m2s)), Ri the net rate of production of species i by chemical reaction and Si is the rate of creation by addition from the dispersed phase plus any user-defined sources.
The mass duffusion in turbulent flows
J
i
( D i ,m
t Sc
) Yi
(4) where Di,m is the mass diffusion coefficient for species i in the mixture (m2/s), μ is the viscosity (Pa·s) and Sct is the turbulent Schmidt number (0,7). t
Flow of air stream through the longwall has turbulent character. Turbulence of flow is characterized by three-dimensionality, diffusivity, as well as randomness, cascade and hierarchization of vortices [3, 13]. For the analysis there was used the „k-ε”turbulence model. This model describes components of Reynolds turbulent stress tensor according to Boussinesq hypothesis [7]. In the equation for components of stress tensor, k and ε values occur. In order to their determination there is necessary to introduce two additional transport equations in a form: a) k-transport equation
k x t
j
t k
k tS x j
2
(5)
b) ε-transport equation
t x j
t
x j
C 1 t S k
- 15 -
2
C 2
(6)
where C1ε, C2ε are constans, σk, σε are turbulent Prandtl numbers for k and ε and is S - user-defined source terms.
ANALYSIS OF THE FLOW Exploitation region the longwall (longwall, gaof, sidewalks) was subjected to numerical analysis. It is assumed that the longwall is ventilated operating system is on the „U”of borders. Flow of methane to the longwall of exposed body of coal and goafs amounted to 10 m3 / min. In such a case, the task of the ventilation process, besides providing sufficient amount of oxygen for the operating crew, is to prevent exceeding the permissible methane concentration in the mixture with air. This aim is achieved by providing to the longwall an air stream with specified parameters.
a) The flow model In order to perform an analysis, geometrical model of this heading was developed (fig. 1).
Fig. 1. Models of mining headings (1 – surface emission of methane, 2 - the heading machine, 3 – outlet)
For the model it was assumed that the length of longwall equals to 180 m. It was assumed that heading has width of 3,0 m and 3,0 m of height (S=9,0 m2). Analysis was performed using physical models k – ε standard and species transport. As an “inlet” boundary condition, a constant velocity field a value of 3,71 m/s. For analyzed model, exit was defined as an “outlet” boundary condition, while the walls were defined as impermeable. During modeling of methane emission from the face of mine face and goafs, it was assumed the absolute methane content equals to 10,0 m3/min.
b) The analysis results Based on performed calculations the characteristics of changes of velocity of air and methane mixture stream and distributions of methane concentration in this heading were determined. In Figure 2 there is presented distribution of velocity of mixture stream along longwall heading.
Fig. 2 Distribution of velocity of the mixture stream (v) along longwall heading.
- 16 -
Average velocity of the air stream flowing along longwall gates amounted to 2 m/s. Change of cross-section of heading to which airflow is supplied, causes that velocity at the inlet to the walls reaches value of 3.71 m/s. Velocity of the air and methane mixture in the wall reaches the maximum value at the inlet and outlet of this heading. Changes of velocity on the way of gases mixture flow through the wall are caused by its escapes to rockfall goafs and methane “extrusion” to the longwall. In Figure 3 there are presented changes of oxygen percentage concentration in the air with methane mixture at along the longwall heading.
Fig. 3.Changes of oxygen percentage concentration in the air with methane mixture at longwall heading.
In the operating wall the oxygen concentration in the airstream decreased below the minimum value required by the regulations, between 70 and 80 m and between 119 and 121 m. In Figure 4 there are presented changes of methane percentage concentration in the air mixture at along the longwall heading.
Fig. 4.Changes of methane percentage concentration in the air mixture at longwall heading.
The methane concentration in the wall exceeded the allowable value (2%), between 50 and 65 m and between 145 and 175 m. Increase of methane concentration is caused by "extrusion" of the gas from the goafs to heading space.
CONCLUSIONS Developed and used model allowed to determine distribution of velocity of the mixture stream and methane concentration in heading.
- 17 -
It was found that during the flow of stream mixture of air and methane through the operating wall, their concentrations change (increase of the methane concentration, decrease of oxygen concentration). These changes are caused by the evolution of methane from exposed body of the coal and gobs to the wall surface and migration of airstream to the rockfall goafs on the way of its flow. In the wall there may also occur an exceeding of the minimum oxygen concentration in the airstream. It is connected with local extrusion of methane into the wall space, which causes decrease the oxygen content in this flow. Measurement of methane concentration in the airstream flowing out of the wall is done at the distance of 10 m behind the outlet, in the top gate and cannot exceed the permitted concentration. The analysis showed that at the inflow of methane from gobs and exposed body of the coal to the heading, amounting to 10 m3/min, methane concentration at the measurement point equals 1.8% and its permissible concentrations was not exceeded. Based on obtained results, one can precisely determine the value of fresh air and methane mixture velocity and methane and air concentration at analyzed heading at any point in heading. This has significant meaning during determination of zones in heading, at which methane concentration could exceed allowed value, and oxygen concentration the minimum value.
BIBLIOGRAPHY 1. 2. 3. 4. 5.
6.
7. 8. 9. 10.
11. 12.
13.
14.
Ansys Fluent Theory Guide 14.0., 2011. Branny M.: Computer Simulation of flow of air and methane mixture in the longwall-return crossing zone, Archives of Mining Sciences, 51, Issue 1, 2006. Elsner J. W.: Turbulencja przepływów. Wyd. PWN, Warszawa 1987. Kabiesz J. (red): Raport roczny o stanie podstawowych zagrożeń naturalnych i technicznych w górnictwie węgla kamiennego. Główny Instytut Górnictwa, Katowice 2014. Kryptoń H.: Przegląd i weryfikacja metod prognozowania metanowości bezwzględnej wyrobisk korytarzowych drążonych kombajnami w kopalniach węgla kamiennego. Prace Naukowe GIG Górnictwo i Środowisko, 4/2007. Kurnia J. C., Sasmito A. P., Mujumdar A. S.: Computational study of thermal management in underground coal mines: effect of operating ventilation parameters. Singapore: National University of Singapore, 2012. Kurnia J. C., Sasmito A. P., Mujumdar A. S.: CFD simulation of methane dispersion and innovative methane management in underground mining faces. Applied Mathematical Modelling 38/2014. Kurnia J. C, Sasmito A. P, Mujumdar A. S : Simulation of a novel intermittent ventilation system for underground mines. Tunnelling and Underground Space Technology 42/2014. Pindór T., Preisner L. (red): Zagrożenia naturalne i techniczne a zarządzanie ryzykiem w górnictwie węgla kamiennego. Wydawnictwa AGH, Kraków 2009. Reddy, A. C.: Development of a Coal Reserve GIS Model and Estimation of the Recoverability and Extraction Costs. Master of Science Thesis, Department of Mining Engineering, West Virginia University 2009. Ren T. X., Edwards J. S., Józefowicz R. R.: CFD Modeling of methane flow around longwall faces, Proceedings of 6th International Mine Ventilation Congress, Pittsburg, 1997. Rozporządzenie Ministra Gospodarki w sprawie bezpieczeństwa i higieny pracy, prowadzenia ruchu oraz specjalistycznego zabezpieczenia przeciwpożarowego w podziemnych zakładach górniczych, Dz. U. Nr 139 poz. 1169 z dnia 28 czerwca 2002 r. Sławomirski M. R., Skotniczny P.: Czynniki wpływające na deformację warstwy przyściennej przy statycznym przepływie powietrza nad złożem porowatym oraz ich wpływ na prędkość poślizgu. Część I: Turbulentna warstwa graniczna w sąsiedztwie ścianek chropowatych. Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN, Vol. 14, No. 1-4, 2012. Veersteg K. K., Malalasekera W. An Introduction to Computational Fluid Dynamics. The Finite Volumne Method. Pearson Education 2007.
- 18 -
VYTVOŘENÍ MULTIMEDIÁLNÍCH MATERIÁLŮ PRO PŘEDMĚT DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Jiří Doležal Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava 17. listopadu, 708 33 Ostrava-Poruba E-mail :
[email protected],
[email protected],
[email protected]
Abstrakt: Z našich zkušeností víme, že studenti očekávají studijní materiály, které jsou interaktivní, hýbou se a v ideálním případě na ně mluví. Řada podobných materiálů už je studentům dostupná, ale materiály ve formě komentovaného videa zatím pro předmět Deskriptivní geometrie ještě nejsou vytvořeny. Studenti takové materiály znají z předmětů Bakalářská matematika I, II a velmi si je oblíbili. Plánujeme proto vytvořit webové stránky s virtuálními modely, krokovaným řešením úloh a komentovanými videi. Abstract: From our experience we know that students expect to study materials that are interactive, move and ideally they are talking about. A series of similar materials already available to students, but materials in the form of annotated video yet for the subject Descriptive Geometry still not created. Students such materials familiar subjects Bachelor of Mathematics I, II, and was very popular with them. Therefore, we plan to create a website with virtual models krokovaným problems of solution and annotated videos.
1 Způsob řešení projektu Při tvorbě studijních materiálů budou využity zkušenosti z výuky deskriptivní geometrie na VŠB-TU Ostrava a dále zkušenosti z předchozích projektů, jejichž součástí byla tvorba multimediálních studijních materiálů. Výuka Deskriptivní geometrie až na výjimky probíhá v učebnách, které nejsou vybaveny dataprojektorem s možností připojení notebooku. Proto ve výuce můžeme užívat pouze klasických prostředků - křída, tabule, sešit, rýsovací pomůcky. Studenti jsou tak ochuzeni o možnost naučit se rýsovat s využitím výpočetní techniky. I přes tyto nepříznivé podmínky chceme studenty seznámit nejen s klasickým rýsováním, ale i s možností nahradit ho prací s výpočetní technikou. Student si bude moci zvolit pro něho výhodnější způsob práce.
- 19 -
Při řešenní projektu chceme vyu užít dobrýchh zkušenosttí s možností nahrávat vvidea pomo ocí interakttivní tabule, stříhat je a zvučit pom mocí program mu Camtasiia Studio, ktteré máme již j k dispozicci. Dále buddeme pracov vat ve volněě dostupnýcch programeech GeoGebbra, SketchU Up, Metapost a prostředdí VRML. Vytvořeené materiálly budou um místěny na w webových stránkách s kaatedry, kteréé jsou volněě přístupnné. 2 Cíle řřešení Aktuálnní cílovou skkupinu projektu tvoří sstudenti Stav vební fakultty (pracovišště Ostrava)), Fakultyy metalurgiee a materiálo ového inžennýrství (praccoviště Ostrrava), Horniicko-geolog gické fakulty (pracoviště Ostrava, Most), M Fakullty strojní (p pracoviště Ostrava, O Šum mperk, Uheerský Brod). H Hlavním cíllem je vytvo oření komenntovaných videí v a webo ových stránnek s interak ktivními materiálly, které budeme aktivn ně používatt ve výuce. Pro všecchny studennty i pedago ogy chcemee zajistit lepší dostupnost multimeddiálních studijních materiállů. Vzhledeem k povaze materiálů jsou dostuppné i studen ntům se zdraavotním hanndicapem. 3 Výstu upy Pro potřřebu studenntů vznikají řešené úlohhy v GeoGebře a komen ntovaná viddea. Úloha vvyřešená v programu p GeoGebra G um možňuje stu udentům pro ocházet krokkované řešeení a využít hho k nácvikuu konstrukcce na papíře . Student si volí vlastníí rychlost poostupu, můžže se libovolnně vracet zppět.
Obr. O 1: Konsstrukce ve 2D 2 GeoGebřře.
- 20 -
Pokud tto úloha vyžžaduje, použžíváme inteeraktivní tab buli k nákresu od ruky.
Obr. O 2: Nákrres na interaaktivní tabuli.
Dále mááme možnost využít 3D D nákresny v GeoGebřře a ukázat studentům s jaak vypadá úloha ú vyřešenná v prostoruu. I tento ob brázek se obbjeví ve videu, studentii si ho ale buudou moci prohlížeet přímo v programu p GeoGebra. G
Obr. 3: Náhled na úlohu vee 3D GeoGebře.
- 21 -
Video vvzniká dle náročnosti n úlohy. Jednoodušší konsttrukce využívají pouze postup ve 2D 2 GeoGebbře a hlasovvý komentářř. Složitější úloha je slo ožena z nák kresu na inteeraktivní tab buli, náhleduu ve 3D GeooGebře a naakonec krokkované konsstrukce ve 2D GeoGebřře.
Obr. 4: Ukázka videa. v Sbírka ppříkladů budde doplněnaa o pracovnní listy, na kterých k budee zadání úlooh. Pro studenty budou tyyto pracovnní listy dostu upné ve form rmě, která jiim dovolí měnit m vzhledd stránek.
Obr. 5
- 22 -
Druhým m výstupem budou interraktivní webbové stránk ky, které bud dou obsahoovat krokovaaný postup úúlohy, virtuuální model a video s náávodem, jak k si model vytvořit v v prrogramu Sk ketchUp.
Obr. O 6: Ukázzka práce vee SketchUpu.
m sloužitt nejenom k aktivnímu využití při výuce, ale i k samostattnému Vznikléé materiály mají procvičoování probrrané látky. Zejména Z stuudenti komb binovaného studia z dettašovaných pracoviššť (Most, Uherský U Bro od, Šumperkk), kteří nem mají možnosst okamžitýých konzultaací, velmi vyyžadují poddrobnější stu udijní materriály, na kteeré jsou už zvyklí z z přeedmětů Bakalářská matemaatika I, II.
4 Závěrr Od projjektu si sliibujeme snížení studijjní neúspěššnosti studeentů kombiinovaného studia z důvodů nízké časoové dotace. Předpokláddáme, že taaké dojde k rozšíření a zkvalitněn ní výuky deskripttivní geom metrie prosstřednictvím m vytvořen ných interaktivních pomůcek. Snížení neúspěššnosti studenntů a zejmééna zvýšení kvality studia je v sou uladu s dlouuhodobým záměrem z VŠB-TU U Ostrava. 5 Poděk kování Problem matika je řeešena v projjektu FRVŠ Š 13/2015 Vytvoření V multimediál m álních materriálů pro předmětt deskriptivní geometriie.
- 23 -
APPLICATION OF THE MULTI-CRITERION ASSESSMENT METHOD IN THE SELECTION PROCESS OF TECHNICAL EQUIPMENT FOR A MINING EXCAVATION SITE – CASE STUDY Zygmunt Korban, Krzysztof Dłutek Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42-100 Gliwice, Polska E-mail:
[email protected] Instytut Matematyki, Zakład Analizy i Topologii, Wydział Matematyki Stosowanej, Politechnika Śląska ul. Kaszubska 23, 44-101 Gliwice, Polska E-mail:
[email protected] Abstract: In the decision making processes the application of synthetic benchmarks is becoming more and more popular. Through the application of the said benchmarks, determined basing on the multidimensional statistics methods, we can replace an n-element set describing an object with one variable (so called synthetic variable). When treating the investigated objects as points in the n-dimensional space we can determine the aggregate values as the distances between particular points (objects) from the abstract optimal point (object) – the best solution is obtained for the point (object) for which the said distance has the lowest value. In the paper, basing on an exemplary longwall excavation, a practical application of the multi-criterion assessment method in the selection process of a longwall complex for a newly reinforced mining excavation site has been discussed.
1.
Methods of multi-criterion assessment – introduction
In the complex reality, a rational choice of an appropriate decision-making variant very frequently necessitates the application of suitable research instruments. In terms of practical applications, synthetic benchmarks are becoming popular since through their application we can replace an n-element set of partial features describing the efficiency of an object with one variable being an aggregate (synthetic) quantity, whereby we can rank the objects subjected to assessment, e.g. according to solution goodness [4]. In the method described in the paper the input data is made up by a finite sequence of points
for
i=1,2…m, described with n features (having numerical or descriptive character). The particular steps to be followed in this method can be presented by means of the following stages [1]:
STAGE 1: the change of descriptive quantities into the numerical ones, due to which each of the points
is described with n numbers (each of the points can be treated as
a point in n-dimensional real space)
- 24 -
,
,…,
∈
for i=1, 2,…, m.
,
STAGE 2: defining the optimal point
,…,
according to the
following principles:
max
,
,…,
,
when the k-th feature is a stimulant (stimulant– the feature whose increase of the absolute values is assessed as positive);
min
,
,…,
,
when the k-th feature is a destimulant (destimulant– the feature whose increase of the absolute values is assessed as negative);
for the most advantageous feature, when the k-th feature is neither stimulant nor destimulant .
STAGE 3: normalization of features. For the needs of normalization, the following relations were applied in the paper: ,
,
,…,
,…,
,
,
,…,
when the k-th feature is a stimulant; ,
,
,…,
,…,
,
,
,…,
when the k-th feature is a destimulant;
1
|
,
,…,
| ,
,
,…,
,
when the k-th feature is neither a stimulant nor destimulant. After the normalization all features have the values within the range from 0 (the worst value) to 1 (the best value), maintaining at the same time the proportionality of feature changes).
STAGE 4: defining the weight of particular features. The weight values belong to the interval (0,1] – the higher the values of weight the more significant is the feature for us.
When we have the input data elaborated in this way, we can calculate the distances of particular points
from the optimal point
, with the best solution being the point for which
the measured distance has the lowest value. In order to determine the said distance the following relations were applied in the paper:
- 25 -
distance nr 1:
∑
,
dla k=1,…, m;
distance nr 2:
,
∑
dla k=1,…, m;
distance nr 3
,
max
,…,
dla k=1,…, m.
The first from the above relations is a variation of the classical Euclidean distance and it is applied most frequently. The second relation yields the same results as the first one, but it is simpler in calculations and is most commonly applied in the situation when most of the features have financial character. The third relation is applied when the decision maker wants to maintain the situation where neither of the features stands out too much from the others [1,2,3]. 2.
Exemplary calculation
The assessment involved six longwalls being a part of a longwall excavation complex with the fall-of-roof method being applied (longwall height 1.6-1.9 m, average longitudinal slope of the longwall 90) in the conditions of the 2nd degree methane hazard, 3rd degree outburst hazard and B class coal dust explosion hazard. The features applied to describe the particular variants of technical equipment of the planned excavation heading involved the following: “investment expenditures”, “daily coal output”, “extraction costs”, “the number of operating staff employed to handle a longwall”, “work comfort”, “sense of safety”. The group of stimulants comprised: “daily coal output”, “work comfort” and “sense of safety”, and the group of destimulants comprised: “investment expenditures”, “extraction costs” and “the number of employed staff to handle a longwall”. The describing features in the form of non-normalized quantities are summarized in Table 1, and the normalized quantities are presented in Table 2.
- 26 -
Non-normalized features describing the technical equipment variants of the planned heading – input data Table 1 Investment expenditure PLN
Daily coal output t/d
Extraction costs PLN/t
Number of employed staff item.
Work comfort -
Sense of safety -
Variant 1
35566000
3800
332.7
44
80
60
Variant 2
35418400
4000
334.8
69
80
70
Variant 3
36903680
4000
333.6
46
75
60
Variant 4
35967600
3800
335.6
62
80
60
Wariant 5
33233520
3350
336.8
94
65
40
Variant 6
33088680
3100
341.2
104
70
45
33088680
4000
332,7
44
80
70
Name Unit
Optimal values
Normalized features describing the technical equipment variants of the planned heading – input data Table 2
Variant 1
Investment expenditure 0.35
Daily coal output 0.78
Extraction costs 1.00
Number of employed staff 1.00
Work comfort 1.00
Sense of safety 0.67
Variant 2
0.39
1.00
0.75
0.58
1.00
1.00
Variant 3
0.00
1.00
0.89
0.97
0.67
0.67
Variant 4
0.25
0.78
0.66
0.70
1.00
0.67
Variant 5
0.96
0.28
0.51
0.17
0.00
0.00
Variant 6
1.00
0.00
0.00
0.00
0.33
0.17
Name
Basing on the expert opinion poll, the following feature weights were accepted for the calculations: “investment expenditures” – 0.7; “daily coal output” – 0.6; “extraction costs” – 0.8; number of employed staff” – 0.5’ “work comfort” – 0.6; “sense of safety” – 0.7. Distance measures for each of the variants are presented in Table.3 Distance measures for each variant Table 3 Variant1
Variant 2
Variant 3
Variant 4
Variant 5
Variant 6
Distance nr 1
0.633
0.631
0.923
0.798
1.466
1.638
Distance nr 2
0.818
0.837
1.232
1.310
2.564
2.883
Distance nr 3
0.455
0.427
0.700
0.525
0.700
0.800
- 27 -
3.
Conclusion
Each individual decision making process can be regarded as a process solving one-task or multi-task problem (depending on the situation, the decision maker makes a choice between a particular partial assessment or multi-criterion assessment). In the method presented in the paper decision-making variants are treated as points in multi-dimensional space (the size of the space corresponds to the number of describing features). In the selection process we favor the variants (points) whose distances from the accepted abstract point (viewed as the ideal solution) are the smallest. Taking into account the scope of possible investment expenditures pertaining to the purchase of a particular longwall complex, planned daily coal output, extraction costs, employed staff, level of work comfort and sense of safety, we can state that the variants 1 and 2 are comparable and definitely the most advantageous (the smallest distances). The choice of variant 1 can be dictated by economic calculation, and the choice of variant 2 by the remaining features mentioned above. In the group of the assessed variants, definitely the least advantageous is the variant 6 – with respect to each of the applied benchmarks the distances from the variant to the ideal solution are by far the largest. References 1.
Mynarski S. (red.) - Badania przestrzenne rynku i konsumpcji. Poradnik metodyczny.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1992. 2.
Pisz Z. – Uwagi na temat konstrukcji miar syntetycznych. Prace naukowe Akademii
Ekonomicznej, Wrocław 1979 nr 152. 3.
Pluta W.- Wielowymiarowa analiza porównawcza w badaniach ekonomicznych. PWE,
Warszawa 1976. 4.
Przybyła H., Chmiela A. – Organizacja i ekonomika w projektowaniu wybierania węgla .
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice 2007 r.
- 28 -
USE LU DECOMPOSITION MATRIX FOR SOLVING SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS OF BINARY XOR OPERATION Stanisław Kowalik Academy of Business ul. Cieplaka 1c, 41-300 Dąbrowa Górnicza, Polska E-mail:
[email protected] Abstract: this paper presents a method for the LU decomposition of a binary matrix. L is a lower triangular matrix binary and U is an upper triangular matrix binary also used the decomposition of linear equations solving binary. Operation of addition and subtraction replaced xor operation. So the coefficients of equations and solutions can only take values 0 or 1. 1. Introduction We examine the matrices whose elements are only 0 or 1. The operations of addition and subtraction are replaced xor operation. For xor use the symbol . As a reminder, we give the xor operation for various reasons [5] Table 1. The values for the operation xor p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
pq 0 1 1 0
For xor operation the following relationships are true 1. (a b) b = a. 2. a b = b a. 3. (a b) c = a (b c). 4. a(b c) = ab ac. 5. (a b)(c d) = ac bc ad bc. Matrix A is a square matrix of size nn. The system of equations can be written as follows:
- 29 -
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn . When solving systems of equations with real coefficients and calculating the indicators used in the decomposition of the lower triangular matrix L and an upper U. Then the matrix A can be written as A=L·U. These matrices are calculated using the Gaussian elimination. This method is applied to a matrix of zero-ones-the XOR operation. 2. Gauss elimination - LU decomposition We assume that the matrix A has the form a11 a12 a 21 a22 ( 0) A A a31 a32 an1 an 2
a13 a1n a23 a2 n a33 a3n . (2) an 3 ann We will transform this matrix, so get the upper triangular matrix U [8]. In the first stage the matrix rows 2, 3, ..., n add the first row multiplied by coefficients li1 ai1 . When adding elements we use XOR. Receive matrix A(1), wherein in the first column positions 2 to n are zeros [6]. a11(1) a12(1) a13(1) a1(n1) (1) (1) (1) 0 a22 a23 a2 n (1) (1) A(1) 0 a32 a33 a3(1n) . (3) ( 1 ) ( 1 ) (1) 0 a an 3 ann n2 Then we create a matrix A(2) by adding rows 3, 4, ..., n the second row multiplied by coefficients li 2 ai(21) . This way we get the diagonal zero in the second column. Proceed so on with successive columns until the matrix A(n-1). The resulting matrix A(n-1) is the search upper triangular matrix U [6]. a11( n1) a12( n1) a13( n1) a1(nn1) ( n 1) ( n 1) a22 a23 a2( nn1) 0 ( n 1) U A( n1) 0 0 a33 a3( nn1) . (4) (1) 0 0 0 ann The lower triangular matrix L create the coefficients of lij, which is determined by the formation of matrix U. factors lij are defined only in diagonal ones placed on the diagonal, and the diagonal zero.
- 30 -
Table 2. Calculation of the lij lij aij( j 1)
for
i>j
lij 1
for
i=j
lij 0
for
i<j
Thus, the matrix L is [5] 1 0 l 21 1 L l31 l32 ln1 ln 2
0 0 1 ln 3
0 0 0 . 1
(5)
3. Transformation matrix P
The above algorithm is applicable when the elements lying on the main diagonal a are all ones (0). When aii( i 1) 0 , change the order of the rows to the column in question on the main diagonal was number one. To make the conversion of i-th row of the j-th or exchange the i-th column of the j-th create a transformation matrix P as follows - create a matrix P as a unit E of size n×n , ie. P=E, - we do operations pii=pjj=0, pij=pji=1. In this matrix rows save all the changes. Conversion of the i-th row of the j-th is done by multiplying the A·P and the conversion of the i-th column of the j-th is done by multiplying the P·A. Form the matrix P is as follows [6] i j i 0 1 P (6) j 1 0 A matrix can now be expressed as A=P·L·U and the system of equations as P·L·U·x=b. ( i 1) ii
4. The solution of equations
P is symmetric matrix, and P=P-1. The system of equations P·L·U·x=b is transformed into a L·U·x=P·b. We make the substitution y=U·x, b=P·b. Then we have to solve a system of equations L·y=b. We solve it by using the following instructions Matlab y(1)=b(1); for i=2:n y(i)=0; for k=1:i-1 y(i)=xor(y(i),l(i,k)*y(k)); end
- 31 -
y(i)=xor(y(i),b(i)); end Subsequent values yi are calculated on the basis of the previous. Having known vector y solving the system of equations U·x=y. We do this using the instructions x(n)=y(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=0; for k=i+1:n x(i)=xor(x(i),u(i,k)*x(k)); end x(i)=xor(x(i),y(i)); end Example 1 System of equations to be solved x2 x3 x4 0, x1 x3 0, x3 x4 0,
x2 x3 1. We have here 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 A b . 0 0 1 1 , 0 0 1 1 0 1 First, make replacement of the first line with each other. Transformation matrix P is 0 1 0 0 1 0 0 0 P 0 0 1 0 . 0 0 0 1 We then 1 0 1 0 0 1 1 1 A P 0 0 1 1 0 1 1 0 We will now proceed to the creation of the upper triangular matrix U. This is done using Gaussian elimination. 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 In this case, the matrix U received in a single the fourth row. The matrix L is a
- 32 -
1 0 1 1 U . 1 1 0 1 step by adding a second transition to
1 0 0 0 0 1 0 0 . L 0 0 1 0 0 1 0 1 Now we compute the vector of P·b 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 P b 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 . 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Now we solve the system of equations L·y=P·b. 1 0 0 0 y1 0 0 1 0 0 y 0 . 2 . 0 0 1 0 y3 0 0 1 0 1 y4 1 1 y1 0 y2 0 y3 0 y4 0 y1 0, 0 y1 1 y2 0 y3 0 y4 0 y2 0, 0 y1 0 y2 1 y3 0 y4 0 y3 0, 0 y1 1 y2 0 y3 1 y4 1 y4 1 y2 1 0 1. Then solve the system of equations U·x=y. 1 0 1 0 x1 0 0 1 1 1 x 0 2 0 0 1 1 x3 0 . 0 0 0 1 x4 1 0 x1 0 x2 0 x3 1 x4 1 x4 1, 0 x1 0 x2 1 x3 1 x4 0 x3 x4 1, 0 x1 1 x2 1 x3 1 x4 0 x2 x3 x4 1 1 0, 1 x1 0 x2 1 x3 0 x4 0 x1 x3 1. We received the following solution to the system of equations: x1=1, x2=0, x3=1, x4=1. References
1. J. B. Fraleigh, R. A. Beauregard, Linear Algebra, Addison-Wesley Publishing Company,1995. 2. S. Kowalik, Equations with XOR 3. R. Larson, B. H. Edwards, Elementary Linear Algebra, D.C. Heath and Company, 1991. 4. A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1977 (in Polish). 5. R. Obst, Kryptologia. Budowa i łamanie zabezpieczeń, Wydawnictwo RM, Warszawa, 2002 (in Polish). 6. A. Zalewski, R. Cegieła, Matlab – obliczenia numeryczne i ich zastosowania, Wydawnictwo Nakom, Poznań, 1997 (in Polish).
- 33 -
NÁVRH PŘIBLIŽNÉHO VÝPOČTU INDEXŮ SMĚROVOSTI PRO KELÍMKOVOU PEC Břetislav Krček, Michaela Bobková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB – TU Ostrava E-mail :
[email protected] ,
[email protected]
Abstrakt: V článku je návrh přibližného analytického vyjádření místního indexu směrovosti pro transport tepla radiací v kelímkové peci za obvyklých podmínek. Abstract: Concept of an approximate calculation of view factors for the crucible furnace. This article deals with concept of an approximate analytic expression of local view factor for the radiation heat transfer in the crucible furnace under normal conditions. Keywords: crucible furnace, view factor. Úvod Tento článek se stejně jako článek [1] zabývá transportem tepla radiací v kelímkové peci, tj. transportem tepla mezi kelímkovou pecí a vloženým kelímkem. Transport tepla mezi dvěma tělesy je z matematického hlediska plošný integrál, jehož integrandem je opět plošný integrál. Článek je zaměřen na „vnitřní“ z těchto integrálů a obsahuje návrh na jeho přibližné vyjádření, které je analyticky řešitelným integrálem. Matematická formulace úlohy Výpočet transportu tepla radiací mezi kelímkem a pecí, tj. mezi kelímkem (těleso A ohraničené plochou SA) a pecí (těleso B s vnitřní plochou SB), se dá z matematického hlediska vyjádřit pomocí plošného integrálu po ploše SA, jehož integrandem je plošný integrál po ploše SB. Tento článek se bude zabývat jen obvyklým případem, tj. že kelímek (rotační těleso) je centrálně umístěn do válcové pece, tj. že plochy SA a SB jsou rotační a souosé. Základem výpočtu po ploše SB je tzv. místní index směrovosti (též view factor). Místní index směrovosti je bezrozměrné číslo, které vyjadřuje, jaká poměrná část záření z příslušného elementu dSA plochy SA dopadne na určitou část plochy SB (zbytek dopadá na jiné části plochy SB nebo dopadá na plochu SA sebe samu, pokud je vydutá).
- 34 -
Místní index směrovosti (dále jen index směrovosti) pro záření z elementární plošky dSA na určitou část plochy SB (obr 1) je dán vztahem
, kde dSB je element plochy SB. Úhly αA, αB jsou úhly mezi normálami plošek dSA, dSB a spojnicí obou elementárních plošek, d je vzdálenost plošek. Vnitřkem pece je povrch válce, který se pro potřebu tohoto článku bude nejprve dělit jen na tři dílčí plochy – dno, stěnu a víko. Plochou pro výpočet integrálu však obecně není celá dílčí plocha, ale jen její „viditelná“ část označená SB*. Ploška dSA totiž vyzařuje jen do vnějšího poloprostoru.
Obr. 1. Index směrovosti pro záření z elementární plochy dSA na část dSB plochy SB. Navrhované řešení pro místní index směrovosti V dostupných zdrojích bylo nalezeno jen jediné analytické řešení formulované úlohy (zdroj [2], v rámečku na obr. 2), které je přímo použitelné pouze v případě, že plášť SA kelímku je válcový, přičemž uvedený vzorec pak vyjadřuje index směrovosti elementu dSA na dno, resp. na víko pece. Vzhledem k tomu, že součet indexů směrovosti elementu dSA na dno, stěnu a víko pece je 1, lze pak index směrovosti elementu dSA na stěnu pece snadno dopočítat. Řešení z [2] je tedy pro kelímek jiného než válcového tvaru přímo použitelné jen pro svislé elementy dSA, které jsou na „nejširší“ válcové části tohoto kelímku. Factors From Differential Elements to Finite Areas Element on strip on exterior surface of inner coaxial cylinder to annular end enclosing space between cylinders.
NOTE: In some cases, the argument of the cos-1 terms may be greater than abs(1), giving erroneous results.
Obr. 2. Řešení ze zdroje [2].
- 35 -
V [1] je prezentován nový zjednodušený návrh způsobu výpočtu těchto tří indexů směrovosti pro svislý element dSA. Navrhovaný výpočet vychází ze skutečnosti, že plochy SA a SB jsou rotační a souosé. Na obr. 3, je vodorovný řez plochami SA a SB,
Obr. 3. Vodorovný řez kelímkovou pecí v němž jsou plnou zelenou čarou znázorněny dva elementy dSA, které mají stejnou velikost a jsou ve stejné výšce. Každý z elementů určuje elementární válcovou výseč, které na stěně pece odpovídá stejně velká plocha (na obr. 3 se jeví jako oranžový oblouk). Stejné množství záření, které jeden element dSA poskytuje druhému do jeho „oblouku“ na stěně pece dostává od něj zpět. Množství záření, které určitý element vyzáří na celou viditelnou část stěny pece, je stejné jako kdyby vše vyzářil jen do své výseče (předpoklad první). Stejný předpoklad (předpoklad druhý) byl v [1] nejprve použit i pro viditelnou část dna a víka. Uvedené integrály pro příslušné části elementární výseče byly formálně přepočteny na výseč s úhlem o velikosti 1 a získané výsledky pak byly normovány tak, aby jejich součet byl 1.
Obr. 4. „Prodloužení“ stěny pece
Při srovnávání získaných výsledků s výsledky dle [2] se však ukázalo, že druhý předpoklad vede k neshodám v případě, že element dSA je v blízkosti dna nebo víka pece. Dostatečně přesné výsledky však byly získány jen užitím prvního předpokladu, ovšem vztaženého „na interval (-∞, +∞)“. Základem výpočtu je tedy integrál pro výpočet množství záření na část pláště (elementární) výseče nekonečně dlouhé válcové plochy, která je prodloužením válcové plochy vnitřní stěny pece. Na obr. 4 jsou charakteristické plochy kelímku a pece kresleny jako průhledné, uvedené prodloužení na interval (-∞, +∞) je naznačeno světlejšími čarami. Při výpočtu množství záření na dno, stěnu a víko se pak použije jen integrál pro výpočet na „stěnu“ v intervalu
, a to postupně pro intervaly (-∞, 0>, <0, H> a
- 36 -
pece, je tedy „pohlceno“ odpovídající části dna pece. Obdobně se získá množství záření, které přísluší odpovídající části víka pece. Na základě uvedené myšlenky byl pak dále příslušný integrál z [1] doplněn a upraven tak, aby přímo vyjadřoval index směrovosti elementu dSA, a to nejen pro dno, stěnu a víko pece, ale i pro jakýkoliv podinterval z intervalu <0, H>. Doplněný integrál tedy na intervalu (-∞, +∞) nabývá hodnotu 1 a lze jej vyjádřit ve tvaru 3 ( RB − rA ) ⋅∫ ⋅ dh 2 2 2 π h ((RB − rA ) + (h − hA ) )
2
h2
,
1
kde
RB je poloměr pece, rA, hA jsou souřadnice elementu (poloměr, výška),
a umožňuje přímo počítat indexy směrovosti pro dno pece, víko pece a stěnu pece, resp. jen pro části této stěny mezi výškovými hladinami h1 a h2. Po výpočtu hypotetických mezí h1 a h2 je pak možno počítat i indexy směrovosti pro viditelná mezikruží na dně a víku pece. Analogicky byl navržen i výpočet pro vodorovný element dSA. Zatím však byl ověřen jen zčásti, neboť analytické řešení tohoto problému se v dostupných zdrojích nepodařilo nalézt. Závěr Na rozdíl od výpočtu dle [2] lze navržený způsob výpočtu indexu směrovosti pro kelímkovou pec přímo využít i v případě, že teplota pláště pece není konstantní, ale že závisí na vzdálenosti od dna pece. Pokud se dále podaří úspěšně ověřit navržené výpočty i pro vodorovný element dSA, bude zřejmě možno obdobně počítat index směrovosti i pro „šikmý“ element, což by značně přispělo k dalšímu rozvoji matematického modelování transportu tepla radiací mezi kelímkem a pecí. Literature [1] Krček, B. - Bobková, M.: Radiation heat transfer in the crucible furnace. In: Proceedings of 23rd colloquium Modern Mathematical Methods in Engineering, Horní Lomná, Czech Republic, 2.-4.6. 2014, VŠB-TUO 2014, s. 53-57. (ISBN 97880-248-3610-2) [2] http://www.thermalradiation.net/tablecon.html, section B, B-59 and B-60.
- 37 -
NUMERICAL SOLUTION OF BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS IN OPTICAL DIFFRACTION ˇ ıdek Jiˇ r´ı Krˇ cek, Jaroslav Vlˇ cek, Arnoˇ st Z´
Department of Mathematics and Descriptive Geometry ˇ - Technical University of Ostrava VSB 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava - Poruba, Czech Republic E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract: Optical diffraction on periodical interface belongs to relatively fewer exploited applications of boundary integral equations method. In this paper, we discuss several problems related to numerical implementation of earlier introduced mathematical model based on tangential vector fields.
1
Introduction
Development of optical micro- and nanostructures with periodical ordering takes important place in many branches of integrated optics or nano-technology. Diffraction of optical wave on periodical interface between two different media belongs to one of frequently solved problem. Naturally, theoretical modelling is of great importance to replace less or more complicated experiments. One of possible approaches we have demonstrated in our previous papers [1] and [2], where the boundary integral equations (BIE) for tangential fields have been introduced. The BIE models generally enable effective modelling of near fields in the spatially modulated region in contrast to the usually used rigorous coupled waves algorithm (RCWA) advantageous in the far fields analysis [3].
2
Formulation of the problem
Let S : x3 = f (x1 ) in R3 be a surface which we assume to be smooth with normal vector ν, periodically modulated in the coordinate x1 with period Λ and uniform in
- 38 -
the x2 direction. The interface S defines in R3 two semi-infinite homogeneous regions Ω(1) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x3 > f (x1 )} and Ω(2) = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , x3 < f (x1 )} with constant relative permittivities ε(1) 6= ε(2) , ε(1) ∈ R and ε(2) ∈ C, Re (ε(2) ) > 0, Im (ε(2) ) ≥ 0, and, the relative permeabilities µ(1) = µ(2) = 1 (both materials are magnetically neutral), see Fig.1.
Figure 1: Structure of regions with common periodical boundary
We study optical diffraction problem for monochromatic plane wave with wavelength λ (wave number k0 = 2π/λ) that is incoming from Ω(1) under the angle of incidence θ measured from x3 direction. We aim to determine space-dependent amplitudes E (j) = E|Ω(j) , H (j) = H|Ω(j) of the electromagnetic field intensity vectors E(x1 , x2 , x3 )e−iωt , H(x1 , x2 , x3 )e−iωt , where ω = c/λ and c represents the light velocity in the free space. The intensities to find can be written as (the subscript 0 denotes incident field) (
E=
(1)
E 0 + E (1) in Ω(1) , E (2) in Ω(2) ,
(
H=
(1)
H 0 + H (1) in Ω(1) , H (2) in Ω(2) .
(1)
The vectors E (j) , H (j) , j = 1, 2 then fulfill Maxwell equations ∇ × E (j) = ik0 µH (j) , ∇ · E (j) = 0,
∇ × H (j) = −ik0 ε(j) E (j)
in Ω(j) ,
∇ · H (j) = 0 in Ω(j) ,
(2) (3)
and their tangential components are continuous on the boundary ν × (E (1) − E (2) ) = o ,
ν × (H (1) − H (2) ) = o
on S .
(4)
For the far fields, the well-known Sommerfeld’s radiation conditions at infinity hold that allow to consider the introduced problem on the common interface S only [4]. In the following we attend only to the TM polarization of incident wave for which (j) (j) (j) E (j) = (E1 , 0, E3 ), H (j) = (0, H2 , 0) and the Maxwell’s problem (2),(3) leads (j) to the Helmholtz equations for the scalar components H2 , j = 1, 2.
- 39 -
To formulate boundary integral equations we have to exploit the periodical fundamental solution of the Helmholtz equation and its properties. Denoting x = (x1 , x3 ), y = (y1 , y3 ), this fundamental solution in Ω(j) , j = 1, 2 can be written as [5] Ψ(j) (x, y) =
∞ 1 X Ψ(j) (x, y) , 2iΛ m=−∞ m
Ψ(j) m (x, y) =
1 (j)
βm
(j)
ei(αm (x1 −y1 )+βm |x3 −y3 |) , (5)
(j) where αm , βm are propagation constants defined by the relations
αm = α +
3
√ α = k0 ε(1) sin θ ,
2πm , Λ
2 (j) 2 αm + (βm ) = k02 ε(j) .
(6)
Mathematical model
We formulate the problem (2)–(4) in the form of boundary integral equations for tangential fields J = ν × E (1) = ν × E (2) ,
I = −ν × H (1) = −ν × H (2) ,
(7)
where ν is unit normal vector of the boundary S oriented as shown in Fig.1. Similarly, τ represents unit tangential vector of S. On the boundary we can write J = −J2 e2 , where J2 = τ · E (1) = τ · E (2) ; and, (1) (2) I = Iτ τ , where Iτ = −H2 = −H2 . To simplify calculations we introduce a parametrization π : h0, 2πi → R2 , π(t) = (p(t), q q(t)) of the curve x3 = f (x1 ) having unit normal vector ν(t) with the norm ν(t) = p0 (t)2 + q 0 (t)2 . Resulting system of boundary integral equations for scalar components Iτ and J2 derived in [1] can be written in the following operator form:
V1 − V2 I − V3 I − V4
V5
Iτ J2
=
−J2,0 −Iτ,0
(8)
where I is the identity operator and the operators V` , ` = 1, . . . , 5 can be generally presented as (multiplication constants are omitted for simplification) (V` u)(s) =
Z2π
u(t) c1 Ψ(1) (s, t) − c2 Ψ(2) (s, t) ν(t)dt ,
(9)
0
where c1 , c2 are generally different complex constants and u represents one of scalar components Iτ , J2 or Iτ0 . In the kernels of integral operators, the parametrized periodical Green functions Ψ(j) (s, t), j = 1, 2 of Helmholtz equation play important role. The function c1 Ψ(1) (s, t) − c2 Ψ(2) (s, t) is continuous for c1 = c2 and has singularity of logarithmic type for c1 6= c2 (and s = t). Note, that this property is of key importance, because it enables to split the operators into compact ones with continuous kernel and the other with logarithmic singularity: Ψ(j) (s, t) = Ψ(j) r (s, t) + ψ(s, t)
- 40 -
(10)
with the regular part Ψ(j) r (s, t)
=
(j) Ψ0 (s, t)
Ψ(j) m (s, t)
X
+
m∈Z m 6= 0
1 e−im(s−t) − 2π 2|m|
!
(11)
and the sigular one s − t 1 1 ψ(s, t) = ln 2 sin = 2π 2 2π
4
X m∈Z m 6= 0
e−im(s−t) . 2|m|
(12)
Numerical implementation
To solve the system of boundary integral equations (8) we use collocation method with 2N + 1 equidistant collocation points sj = 2πj , j = 0, . . . , 2N . 2N We seek for discrete solutions Iτ (s) =
2N X
ck φk (s) and J2 (s) =
k=0
2N X
dk φk (s)
(13)
k=0
with interpolation basis {φk }2N k=0 . The choice of the best basis functions system appears to be very important. Usually the system of linear splines (piecewise linear functions) or trigonometric polynomials is used. We prefer the last ones with nodes identical with collocation points (φk (sj ) = δkj ), i.e. N X 2πi`k 1 e− 2N +1 ei`t , φk (t) = 2N + 1 `=−N
k = 0, 1, 2 . . . , 2N .
(14)
Furthermore, we find advantageous to take the order N of boundary discretization equal to the order of diffraction modes truncation in the expansion of periodical Green functions, so that N X
Ψ(j) (s, t) ≈
Ψ(j) m (s, t) ,
j = 1, 2 .
(15)
m=−N
The integral operators (9) in the solved system have to be splitted by (10) into regular (compact) operators with continuous kernels and logarithmic-type singular ones (in the following the subscript ` is omitted) (Vu)(s) = (Ru)(s) + (Su)(s) .
(16)
The regular part (Ru)(s) =
Z2π
u(t) c1 Ψ(1) (s, t) − c2 Ψ(2) (s, t) ν(t)dt+
0 2π X e−im(s−t) c1 − c2 Z u(t) ν(t)dt − 2π 2|m| m∈Z 0
m 6= 0
- 41 -
(17)
can be evaluated in collocation points numerically. We use the trapezodial rule with nodes in collocation points (i.e. tj = sj ) that gives sufficiently accurate results, i.e. P for u(t) = 2N k=0 uk φk (t) and φk (sj ) = δkj we obtain 2N X
(Ru)(sj ) ≈
R1jk uk −
k=0
2N X
R2jk uk ,
j = 0, 1, . . . , 2N ,
(18)
k=0
where R1jk =
2π c1 Ψ(1) (sj , tk ) − c2 Ψ(2) (sj , tk ) ν(tk ) , 2N + 1
and R2jk =
c1 − c2 2π
N X m = −N m 6= 0
e−im(s−t) ν(tk ) , 2|m|
j, k = 0, 1, . . . , 2N (19)
j, k = 0, 1, . . . , 2N .
(20)
The singular part 2π X e−im(s−t) c1 − c2 Z (Su)(s) = ν(t)dt u(t) 2π 2|m| m∈Z 0
(21)
m 6= 0
we solve analytically. With agreement to previous relations we can write (Su)(sj ) ≈
2N X
Sjk uk ,
j = 0, 1, . . . , 2N ,
(22)
k=0
where Sjk
2π c1 − c2 Z = φk (t) 2π 0
N X m = −N m 6= 0
e−im(s−t) ν(t)dt , 2|m|
j, k = 0, 1, . . . , 2N .
(23)
In this moment, the system of trigonometric polynomials (14) is found to be better choice of basis functions than the system of linear splines to ease the analytical integration. A few examples of numerical results received by the presented mathematical model can be found in [2].
5
Conclusion
The result obtained using presented BEM algorithm shows possible applicability of the approach based on tangential fields to the problems, in which the detailed analysis of the diffracted optical field at an interface and/or in the near region is studied. We suppose to exploit this method in future to surface plasmon modelling.
Acknowledgements This work has been partially supported the project National Supercomputing Centre IT4Innovations (CZ.1.05/1.1.00/02.0070).
- 42 -
References ˇ ıdek, A.: Tangential fields in optical diffraction prob[1] Krˇcek, J., Vlˇcek, J. and Z´ lems. Programms and Algorithms of Numerical Mathematics 16, J. Chleboun et al. eds., Institute of Mathematics AS CR, Prague 2013, 124-129. [2] Krˇcek, J. and Vlˇcek, J.: Tangential fields in mathematical model of optical diffraction. Programms and Algorithms of Numerical Mathematics 17, J. Chleboun et al. eds., Institute of Mathematics AS CR, Prague 2015, 112-117. [3] Bao, G., Cowsar, L. and Masters, W.: Mathematical modeling in optical science. SIAM, Philadelphia, 2001. [4] Kleemann, B.H., Mitreiter, A. and Wyrowski, F.: Integral equation method with parametrization of grating profile. Theory and Experiments. J. Mod. Opt. 43 (1996), No. 7, 1323-1349. [5] Linton, C.M.: The Green’s function for the two-dimensional Helmholtz equation in periodic domains. J. Eng. Math. 33 (1998), 377-402. ˇ ıdek, A., Vlˇcek, J. and Krˇcek, J.: Solution of diffraction problems by boundary [6] Z´ integral equations. In: Proc. of 11th International Conference APLIMAT 2012, Febr. 7-9, 2012, Bratislava, Slovak Republic, publ. by Faculty of Mechanical Engineering, Slovak University of Technology, Bratislava 2012, 221-229. [7] Chen, X. and Friedmann, A.: Maxwells equations in a periodic structure. Trans. Am. Math. Soc. 323 (1991), 465-507.
- 43 -
STOKES PROBLEM WITH FRICTION ˇ atek, Marta Jaroˇ Radek Kuˇ cera, Jaroslav Haslinger, V´ aclav S´ sov´ a ˇ VSB-TU Ostrava, 17. listopadu 15/2172, 708 33 Ostrava-Poruba, CZ E-mail: [email protected]
Abstract: The paper deals with the Stokes flow with the threshold slip boundary conditions. A finite element approximation of the problem leads to the minimization of a non-differentiable energy functional subject to two linear equality constraints: the impermeability condition on the slip part of the boundary and the incompressibility of the fluid. The solution to the dual problem is computed by an active set strategy and a path-following variant of the interior-point method. Numerical experiments illustrate computational efficiency.
1
Introduction
Observing a fluid flow along a solid impermeable wall, one can observe in some applications a non-zero tangential velocity of the fluid that may depend on a material of the wall or its shape. Such behaviour of the fluid is usually simulated by slip boundary conditions used for modelling the blood flow, the metal forming processes, the polymer flow, or the hydrodynamics problems; see [15, 2] and references therein. Conditions of this type are used also in contact problems of solid mechanics, where they describe friction laws on common interfaces [9, 1]. Our paper deals with the slip boundary condition analogous to the Tresca friction law. To illustrate difficulties and still to keeping the ideas as clear as possible, we consider the Stokes problem in a planar domain Ω. The existence and uniqueness analysis of a weak solution of the problem is given in [2]. Some numerical results computed by the augmented Lagrangian method are reported in [7]. The aim of this paper is to extend optimization algorithms, which are highly efficient for contact problems to the Stokes problem with the slip boundary condition of the Tresca type.
2
Formulation
Let Ω be a bounded domain in R2 with a sufficiently smooth boundary ∂Ω that is split into three disjoint parts: ∂Ω = γ D ∪ γ N ∪ γ C . We consider the model of
- 44 -
a viscous incompressible Newtonian fluid modelled by the Stokes system with the Dirichlet and Neumann boundary conditions on γD and γN , respectively, and with the impermeability and the slip boundary conditions prescribed on γC : −ν∆u + ∇p = f in Ω, ∇·u = 0 in Ω, u = uD on γD , σ = σN on γN , (1) un = 0 on γC , |σt | ≤ g on γC , |σt (x)| < g(x) ⇒ ut (x) = 0 x ∈ γC , |σt (x)| = g(x) ⇒ ∃k := k(x) ≥ 0 : ut (x) = −kσt (x) x ∈ γC , − pn. Here, u = (u1 , u2 ) is the flow velocity, p is the pressure, where σ = ν du dn f = (f1 , f2 ) represents forces acting on the fluid, ν > 0 is the kinematic viscosity, and uD , σN are given the Dirichlet and Neumann boundary data, respectively. Further n, t is the unit outer normal and tangential vector to ∂Ω, respectively, and un = u·n, ut = u·t is the normal, tangential components of u along γC , respectively. Finally σt = σ · t is the shear stress and g ≥ 0 is the slip bound function on γC . We will assume that γD 6= ∅ and γC 6= ∅. For the sake of simplicity we will suppose that uD = 0. Next we present the weak velocity-pressure formulation of (1). To this end we 2 denote: V (Ω) = {v ∈ (H 1 (Ω)) : v = 0 on γD , vn = 0 on γC } and Z Z a(v, w) = ν ∇v : ∇w dx, b(v, q) = − q(∇ · v) dx, Ω
Z
Ω
Z f · v dx +
l(v) = Ω
Z σN · v ds,
γN
g|vt | ds,
j(v) = γC
where ∇v : ∇w = ∇v1 · ∇w1 + ∇v2 · ∇w2 , v = (v1 , v2 ), w = (w1 , w2 ). The velocity-pressure formulation of (1) reads as follows: Find (u, p) ∈ V (Ω) × L2 (Ω) such that a(u, v − u) + b(v − u, p) + j(v) − j(u) ≥ l(v − u) ∀v ∈ V (Ω),
(2)
b(u, q) = 0 ∀q ∈ L2 (Ω).
The existence and uniqueness of a weak solution is guaranteed by results presented in [2, 6]. To discretize (2) we use mixed finite elements. Let Vh and Wh be finite element approximations of V (Ω) and L2 (Ω), respectively. We will suppose that the pair (Vh , Wh ) satisfies the inf-sup condition [6]. The discretization of (2) reads as follows: Find (uh , ph ) ∈ Vh × Wh such that a(uh , vh − uh ) + b(vh − uh , ph ) + j(vh ) − j(uh ) ≥ l(vh − uh ) ∀vh ∈ Vh ,
b(uh , qh ) = 0 ∀qh ∈ Wh .
- 45 -
(3)
3
Algebraic problems
The finite element approximation (3) together with an appropriate formula approximating j leads to the following algebraic problem: > > > > > n u u A(v − u) + (v − u) B p + g (|Tv| − |Tu|) ≥ l (v − u) ∀v ∈ R , Find (u, p) ∈ Rnu × Rnp such that
q> Bu = 0 ∀q ∈ Rnp ,
(4)
Nu = 0,
where A ∈ Rnu ×nu is a symmetric and positive definite stiffness matrix, B ∈ Rnp ×nu , T, N ∈ Rnc ×nu are full row-rank matrices, l ∈ Rnu , g ∈ Rn+c , and |x| = (|x1 |, . . . , |xnc |)> for x ∈ Rnc ; np is the total number of the nodes of a triangulation contained in Ω, nc is the number of the nodes lying on γ C \γ D , and nu is the dimension of the solution component representing the velocity u. It is easy to show that (4) is equivalent to: Find u ∈ V such that J (u) ≤ J (v) ∀v ∈ V,
(5)
where J (v) = 12 v> Av − v> l + g> |Tv| and V = {v ∈ Rnu : Nv = 0, Bv = 0}. To remove the discrete impermeability condition Nv = 0 and to regularize the last nondifferentiable frictional term in J , we introduce two algebraic Lagrange multipliers λn and λt , respectively, and define the Lagrangian L : Rnu × Λ 7→ R by 1 L(v, λ) = v> Av − v> l + λ> Cv, 2 > > > ∈ Λ, and C = where Λ = {λt ∈ Rnc : |λt | ≤ g} × Rnc +np , λ = (λ> t , λn , p ) (T> , N> , B> )> . The minimization problem (5) is equivalent to the following saddlepoint formulation:
¯ ∈ Rnu × Λ s.t. L(u, λ) ≤ L(u, λ) ¯ ≤ L(v, λ) ¯ ∀(v, λ) ∈ Rnu × Λ. (6) Find (u, λ) ¯ we get the dual problem in Eliminating the velocity component u = A−1 (l − C> λ), terms of λ only: ¯ ∈ Λ such that S(λ) ¯ ≤ S(λ) ∀λ ∈ Λ Find λ
(7)
with S(λ) = 12 λ> Fλ − λ> d, where F = CA−1 C> is symmetric, positive definite and d = CA−1 l.
4
Algorithms
In this section, we introduce main ideas of the used algorithms.
4.1
Active set algorithm
Let N = {1, . . . , 2nc + np } be the set of all indices and A(λ) ⊆ N be its subset containing indices of all active constraints at λ ∈ Λ, i.e., A(λ) = {i ∈ N : |λt,i | = gi }.
- 46 -
Let r(λ) = Fλ − d denote the gradient of S at λ ∈ R2nc +np . The projection PΛ onto Λ at λ is characterized by PΛ (λ) = arg min kµ − λk. µ∈Λ
The reduced gradient of S at λ ∈ Λ for a fixed α > 0 is defined by e r(λ) =
1 (λ − PΛ (λ − αr(λ))). α
¯ Note that the reduced gradient characterizes the optimality criterion to (7), i.e., λ ¯ = 0. Moreover, if λ 6= λ ¯ and α > 0 is sufficiently small, then the solves (7) iff e r(λ) negative reduced gradient −e r(λ) is a descent direction at λ ∈ Λ. We combine the following steps to generate a sequence {λ(k) } that approximates ¯ to (7): the solution λ (i) the expansion and proportioning steps λ(k+1) = λ(k) − αe r(λ(k) ); (k)
(ii) the conjugate gradient step λ(k+1) = λ(k) − αcg p(k) , where the step-length (k) αcg and the conjugate gradient directions p(k) are computed recurrently [8]; the recurrence starts from λ(s) generated by the last expansion or the proportioning step and does not change the active set, i.e., A(λ(k+1) ) = A(λ(k) ). Although the expansion and proportioning steps are given by the same formula, their meaning is different. While the expansion step may preferably add indices to the current active set, the proportioning step may remove them. The conjugate gradient steps are used to carry out efficiently the minimization of S on the face (s) W (λ(s) ) = {λ ∈ Λ : λA = λA , A := A(λ(s) )}. Moreover, a constant Γ > 0 in the proportioning criterion e rA (λ(k) )> rA (λ(k) ) ≤ Γ e rN \A (λ(k) )> rN \A (λ(k) )
(8)
is introduced in order to decide which of the steps will be performed. Algorithm AS: Let λ(0) ∈ Λ, Γ > 0, α ∈ (0, 2kFk−1 ), and ε > 0 be given. For λ(k) , λ(s) known, 0 ≤ s ≤ k, where λ(s) is computed by the last expansion or proportioning step, choose λ(k+1) by the following rules: ¯ = λ(k) ; (i). If ke r(λ(k) )k ≤ ε, return λ (ii). If λ(k) fulfils (8), try to generate λ(k+1) by the conjugate gradient step. If λ(k+1) ∈ W (λ(s) ), accept it, otherwise generate λ(k+1) by the expansion step; (iii). If λ(k) does not fulfil (8), generate λ(k+1) by the proportioning step. This algorithm is a slight modification of the ones studied in [5, 3, 11, 4]. In principle, the same analysis with the same convergence results can be established.
4.2
Path-following algorithm
Let the Lagrangian to (7) be defined by > L(λ, µ) = S(λ) + µ> 1 (−λt − g) + µ2 (λt − g),
- 47 -
2nc > > is the Lagrange multiplier associated with two-side where µ = (µ> 1 , µ2 ) ∈ R constraint appearing in Λ. Let z := −∇µ L(λ, µ) be the new variable and introduce the function G : R6nc +np 7→ R6nc +np by
G(w) := (∇λ L(λ, µ)> , (∇µ L(λ, µ) + z)> , e> MZ)> , where w = (λ> , µ> , z> )> ∈ R6nc +np , M = diag(µ), Z = diag(z), and e ∈ R2nc is ¯ to (7) is the first the vector whose all components are equal to 1. The solution λ ¯ >, µ ¯ = (λ ¯ > , z¯> )> , which satisfies component of the vector w G(w) = 0, µ ≥ 0, z ≥ 0,
(9)
since (9) is equivalent to the Karush-Khun-Tucker conditions. To derive the path-following algorithm, we replace (9) by the following perturbed problem: G(w) = (0> , 0> , τ e> )> , µ > 0, z > 0, (10) where τ ∈ R+ . Solutions wτ to (10) define a curve C(τ ) in R6nc +np called the central ¯ when τ tends to zero. We combine the damped path. This curve approaches w Newton method used for solving the equation in (10) with an appropriate change of τ which guarantees that the iterations belong to a neighbourhood N (c1 , c2 ) of C(τ ) defined by N (c1 , c2 ) = {w = (λ> , µ> , z> )> ∈ R6nc +np : µi zi ≥ c1 ϑ, i = 1, . . . , 2nc , µ ≥ 0, z ≥ 0, k∇λ L(λ, µ)k ≤ c2 ϑ, k∇µ L(λ, µ) + zk ≤ c2 ϑ}, where c1 ∈ (0, 1], c2 ≥ 0, and ϑ := ϑ(w) = µ> z/(2nc ). In the k-th iteration, we modify τ := τ (k) by the product of ϑ(k) = ϑ(w(k) ) with the centering parameter c(k) chosen as in [13]. The algorithm uses also the Armijo-type condition (12) ensuring that the sequence {ϑ(k) } is monotonically decreasing. By J(w) in (11), we denote the Jacobi matrix of G at w. The bounds on the parameters mentioned in the initialization section follow from the convergence analysis presented in [12]. Algorithm PF: Given c1 ∈ (0, 1], c2 ≥ 1, 0 < cmin ≤ cmax ≤ 1/2, ω ∈ (0, 1), and ε ≥ 0. Let w(0) ∈ N (c1 , c2 ) and set k := 0. (i). Choose c(k) ∈ [cmin , cmax ]; (ii). Solve J(w(k) )∆w(k+1) = −G(w(k) ) + (0> , 0> , c(k) ϑ(k) e> )> ;
(11)
(iii). Set w(k+1) = w(k) + α(k) ∆w(k+1) with the largest α(k) ∈ (0, 1] satisfying w(k+1) ∈ N (c1 , c2 ) and ϑ(k+1) ≤ (1 − α(k) ω(1 − c(k) ))ϑ(k) ;
(12)
¯ = w(k+1) , if err (k) := kw(k+1) −w(k) k/kw(k+1) k ≤ ε, else set k := k+1 (iv). Return w and go to step (i).
- 48 -
The computational efficiency tems (11) are solved. The Jacobi following block structure: F J(w(k) ) = J> 12 0
depends on the way how the inner linear sysmatrix is non-symmetric and indefinite with the J12 0 0 I , Z M
J12 =
−I I 0 0
.
Eliminating the 2nd and 3rd unknown of ∆w(k+1) , we get the reduced linear system for ∆λ(k+1) with the Schur complement −1 JSC = F + M1 Z−1 1 + M2 Z2 ,
where Z = diag(Z1 , Z2 ) and M = diag(M1 , M2 ). As µ(k) > 0, z(k) > 0, the matrix JSC is symmetric, positive definite and the reduced linear system can be solved by the conjugate gradient method. In order to guarantee its convergence, we use the preconditioner: −1 PSC = D + M1 Z−1 1 + M2 Z2 , where D = diag(F). The eigenvalues of the preconditioned matrix P−1 SC JSC belong to an interval which does not depend on the iteration and the spectral condition number is bounded by (see [12]): κ(P−1 SC JSC ) ≤ κ(D)κ(F). In computations, we approximate D so that A−1 in F is replaced by diag(A)−1 . The conjugate gradient method used in the k-th step of Algorithm PF is initialized and terminated adaptively. The initial iteration is taken as the computed result in the previous iteration and the (inner) iterations are terminated, if the relative residuum is less than the stopping tolerance given by tol (k) = min{rtol × err (k−1) , cfact × tol (k−1) }, where 0 < rtol < 1, 0 < cfact < 1, err (−1) = 1, and tol (−1) = rtol /cfact .
5
Numerical experiments
The problem is approximated by the P1-bubble/P1 [10] and P2/P1 [6] elements on triangular meshes. The frictional term j(vh ) in (3) is evaluated using the numerical integration: Z X j(vh ) = g|vht | ds ≈ ωi g(xi )|vht (xi )| =: g> |Tv|, (13) γC
xi ∈Ncont
where Ncont is the set of integration points and ωi are weights of a quadrature formula. Below we use Ncont given by triangle vertices (nodes) lying on γ C \γ D . In general, γC is approximated by a polygon and ωi are chosen so that (13) represents the trapezoidal rule over this polygon. All codes are implemented in Matlab 2013b. The computations were performed ˇ by ANSELM supercomputer at IT4I VSB-TU Ostrava. We use Algorithm AS
- 49 -
with ε = tol AS × kdk, Γ = 1, α = 1.9kFk and Algorithm PF with c1 = 0.001, c2 = 109 , cmin = 10−12 , cmax = 0.5, ω = 0.01, ε = tol PF , rtol = 0.5, cfact = 0.9. The values of these parameters seem to be optimal, as follows from the results in [5, 3, 11] or from the tests in [12]. The terminating tolerances tol AS and tol PF will be taken differently in order to get the comparable relative residua on the level 10−5 from both Algorithm AS and Algorithm PF, respectively. The symbol ”>number” used in tables below stands for situations, when the terminating tolerance is not achieved for the default maximum number of iterations. Example 1 (square domain). Let Ω = (0, 1) × (0, 1), γD = (0, 1) × {1}, γNleft = {0} × (0, 1), γNright = {1} × (0, 1), γN = γNleft ∪ γNright , and γC = (0, 1) × {0}. The data of problem (1) are defined as follows: f = −ν∆uexp + ∇pexp , ν = 1, uD = 0, σN = σexp|γN , and g = 10, where uexp (x, y) = (− cos(2πx) sin(2πy) + sin(2πy), sin(2πx) cos(2πy) − sin(2πx)) and pexp (x, y) = 2π(cos(2πy) − cos(2πx)). Note that uexp and pexp do not solve (1). The finite element mesh, the velocity, and the pressure field are drawn in Fig. 1.
Figure 1: Mesh (left), velocity field (middle), isobars (right).
The convergence rate of the finite element approximation is evaluated in Tab. 1 and 2 as follows: Err 1 (h) = kuh − uref kL2 (Ω) , Err 2 (h) = kuh − uref kH 1 (Ω) + kph − pref kL2 (Ω) , Ratej (h) = log2 (Errj (h)/Errj (h/2)),
j = 1, 2.
Here, h denotes the length of the largest edge, uh , ph is the corresponding finite element solution, and uref , pref is the reference solution computed on the finest mesh with h = 1/512. Figure 2 left and middle illustrate the distribution of the shear stress along γC for the P1-bubble/P1 and P2/P1 elements, respectively. If the set Ncont for the P2/P1 elements contains also midpoints of the triangular edges lying on γC (that are used for representing the velocity), then the approximation of σt oscillates; see Fig. 2 right. This fact may be due to the non-satisfaction of the infsup stability condition by the Lagrange multipliers in this case. Our choice of Ncont can be viewed as a kind of under-integration of the frictional term (13) resulting in a lower convergence rate as seen from Tab. 2. The slip boundary condition is satisfied in a weak sense.
- 50 -
h 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256
Err 1 (h) 5.424 × 10−2 1.421 × 10−2 3.505 × 10−3 8.381 × 10−4 1.668 × 10−4
Rate 1 (h) Err 2 (h) – 5.624 × 10−1 1.93 1.732 × 10−1 2.02 5.422 × 10−2 2.09 1.778 × 10−2 2.33 6.541 × 10−3
Rate 2 (h) – 1.70 1.68 1.61 1.44
Table 1: Convergence rate for P1-bubble/P1. h 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128
Err 1 (h) 1.638 × 10−1 8.425 × 10−2 4.290 × 10−2 2.161 × 10−2 1.085 × 10−2
Rate 1 (h) – 0.96 0.97 0.98 0.99
Err 2 (h) 1.895 × 100 1.317 × 100 9.237 × 10−1 6.488 × 10−1 4.566 × 10−1
Rate 2 (h) – 0.52 0.51 0.51 0.51
Table 2: Convergence rate for P2/P1.
Example 2 (curved slip boundary). The previous example is modified by changing the slip part of the boundary: γC = {(x, −0.1 sin(2πx)) : x ∈ (0, 1)}; see Fig. 3. On γC we prescribe different values of g in order to illustrate friction effects that are seen in Fig. 4. In Tab. 3 and 4 we show the number of matrix-vector multiplications by F for Algorithm AS with tol AS = 10−5 and Algorithm PF with tol PF = 10−3 . Note that the dual problem (7) contains only nc components (of λt ) subject to constraints, while remaining nc + np components (of λn and p) are unconstrained. This fact influences considerably computational complexity of the algorithms. Since np nc for finer meshes, Algorithm PF is more efficient than Algorithm AS (for non-trivial situation with g = 10).
Acknowledgement Financial and technical support from the project National Supercomputing Centre IT4Innovations (CZ.1.05/1.1.00/02.0070) is gratefully acknowledged.
10
10
10
g
8
g
8
σt
6 4
4
2
4 2
0
0
0
−2
−2
−2
−4
−4
−4
−6
−6
−g
−6
−10
−10 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−g
−8
−g
−8
−10
σt
6
2
−8
g
8
σt
6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 2: P1-bubble/P1 (left), P2/P1 stable (middle), P2/P1 unstable (right).
- 51 -
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figure 3: Mesh (left), velocity field (middle), isobars (right).
1
10
g = σt
0.8 0.6
g
8 6
0.4
4
0.2
2
0
0
−0.2
−2
−0.4
−4
σt
−6
−0.6
−g
−0.8
−g
−8 −10
−1 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
50
0.8
0.9
0
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
g
40 30
σt
20 10 0 −10 −20 −30
−g
−40 −50 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Figure 4: g = 1 (left), g = 10 (middle), g = 50 (right).
slip bound nu /np /nc 544/289/17 2112/1089/33 8320/4225/65 33024/16641/129 131584/66049/257
g=1 g = 10 AS PF AS PF 91 115 250 127 111 117 1094 178 151 113 4993 194 123 170 >5000 259 184 173 >5000 252
g = 50 AS PF 125 157 151 153 205 216 676 180 2090 319
Table 3: P1-bubble/P1 elements: multiplications by F in Alg. AS and PF.
- 52 -
1
slip bound g=1 nu /np /nc AS PF 544/81/9 58 80 2112/289/17 78 97 8320/1089/33 82 96 33024/4225/65 102 105 131584/16641/129 111 116
g = 10 g = 50 AS PF AS PF 128 98 67 93 271 110 85 99 870 119 100 87 3153 107 150 123 >5000 187 273 114
Table 4: P2/P1 elements: multiplications by F in Alg. AS and PF.
References [1] M. Anitescu, F. A. Potra, Formulating dynamic multi-rigid-body contact problems with friction as solvable linear complementarity problems, Nonlinear Dynamics 14 (1997) 231–247. [2] M. Ayad, L. Baffico, M. K. Gdoura, T. Sassi, Error estimates for stokes problem with tresca friction conditions, ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis (accepted 2014). [3] Z. Dost´al, Optimal Quadratic Programming Algorithms: with Applications to Variational Inequalities, SOIA 23, Springer US, New York, 2009. [4] Z. Dost´al, T. Kozubek, An optimal algorithm and superrelaxation for minimization of a quadratic function subject to separable convex constraints with applications, Mathematical Programming 135 (2012) 195–220. [5] Z. Dost´al, J. Sch¨oberl, Minimizing quadratic functions subject to bound constraints with the rate of convergence and finite termination, Computational Optimization and Applications 30 (2005) 23–44. [6] H. C. Elman, D. J. Silvester, A. J. Wathen, Finite Elements and Fast Iterative Solvers with Applications in Incompressible Fluid Dynamics, Oxford University Press, Oxford, 2005. [7] M. K. Gdoura, Probl`eme de stokes avec des conditions aux limites non-lin`eaires: analyse num`erique et algorithmes de r`esolution, Ph.D. thesis, Th`ese en cotutelle, Universit`e Tunis El Manar et Universit`e de Caen Basse Normandie (2011). [8] G. H. Golub, C. F. V. Loan, Matrix Computation, The Johns Hopkins University Press: Baltimore, 1996. [9] J. Haslinger, I. Hlav´aˇcek, J. Neˇcas, Numerical methods for unilateral problems in solid mechanics, Handbook of Numerical Analysis, Volume IV, Part 2, North Holland, Amsterdam 4 (1996) 313–485. [10] J. Koko, Vectorized Matlab codes for the Stokes problem with P1-bubble/P1 finite element, url: http://www.isima.fr/∼jkoko/Codes.html [online] (2012).
- 53 -
[11] R. Kuˇcera, Convergence rate of an optimization algorithm for minimizing quadratic functions with separable convex constraints, SIAM Journal on Optimization 2 (19) (2008) 846–862. ˇ c´ak, An interior point algorithm for [12] R. Kuˇcera, J. Machalov´a, H. Netuka, P. Zenˇ the minimization arising from 3d contact problems with friction, Optimization Methods and Software 6 (28) (2013) 1195–1217. [13] J. Nocedal, A. W¨achter, R. A. Waltz, Adaptive barrier strategies for nonlinear interior methods, TR RC 23563, IBM T.J. Watson Research Center. [14] P.-O. Persson, G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review 46 (2005) 329–345. [15] I. J. Rao, K. Rajagopal, The effect of the slip boundary condition on the flow of fluids in a channel, Acta Mechanica 135 (1999) 113–126. [16] S. J. Wright, Primal-Dual Interior-Point Methods, SIAM, Philadelphia, 1997.
- 54 -
TEACHING OF NUMERICAL METHODS BY PRACTICAL EXAMPLES Pavel Ludv´ık Zuzana Mor´ avkov´ a Department of Mathematics and Descriptive Geometry, ˇ – Technical University of Ostrava VSB E-mails: [email protected], [email protected].
Abstract: Our main goal is to demonstrate that numerical methods can be taught in a way that provides an inspiration for a real life and a contextual view on some (not only) mechanical engineering problems. We are currently preparing study materials on numerical methods that would enrich a little tedious theory with the practical examples. These we also furnish with commented implementations of solutions in the numerical software MATLAB. To give you a flavor of our approach we present one of our worked examples with supplemented comments here.
1
Theoretical Background
First, let us recall several fundamental concepts from linear algebra and a few bits from numerical analysis. A vector v ∈ Cn , with v 6= 0 is an eigenvector of a matrix A ∈ Cn×n associated with the complex number λ if Av = λv. The complex number λ is called eigenvalue of A (see [1, p. 12]). The following theorem is essential for our approach to work correctly. Theorem 1.1 (Perron-Frobenius, see [2, Theorem 2.1] or [3, Theorem 1.4.4]). Let A ∈ Rn×n be a non-negative and irreducible matrix. Then 1. A has a positive eigenvalue equal to its spectral radius ρ(A). 2. To ρ(A) there corresponds and eigenvector x > 0 and there is no other nonnegative eigenvector of A then a multiple of x. 3. ρ(A) is a simple eigenvalue of A.
- 55 -
Now, we provide a tool from numerical analysis to approximate a dominant eigenvalue of a matrix together with its eigenvector. Theorem 1.2 (The Power Method, see [1, Theorem 5.6]). Suppose that A is a square matrix of dimension n, with real entries, and assume that its eigenvalues are ordered as follows |λ1 | > |λ2 | ≥ |λ3 | ≥ . . . ≥ |λn |. Then the eigenvector λ1 with the largest modulus can be computed as a limit of λ(k) and the respective (unit) eigenvector x as a limit of y(k) . If 0 6= x(0) ∈ Rn is arbitrary, y(0) = x(0) /kx(0) k and for k = 1, 2, . . . x(k) = Ay(k−1) ,
y(k) =
x(k) , kx(k) k
λ(k) = (y(k) )T Ay(k) .
When applying the Power Method we need to check several assumptions. For this purpose we recall a very useful connection between irreducible matrices and strongly connected graphs. Remark 1.3 (Irreducible Matrix & Strongly Connected Graph, see [1, Proberty 5.3]). A non-negative matrix A ∈ Rn×n is irreducible iff its associated graph is strongly connected, i.e. for any two vertices vi , vj there exists a path joining vi with vj . For example, let B be a matrix 0 3 0 0 0 0 −1 0 B= 0 0 0 2 0 −4 0 0 and a following graph be its oriented graph (see [1, Section 3.9]):
Then the matrix B is not irreducible because it is not strongly connected since there is no path joining 2 with 1.
2
Problem of Fair Ranking
If you look at the Women’s Tennis Association (WTA) ranking system you can easily question its fairness. It doesn’t take into account who is defeated (if a weak player
- 56 -
wins over a strong one she should be rewarded). It also unjustly (even though not dramatically) favors the players who participate frequently. We will introduce a more suitable ranking system and test it on the real data: In Table 1 and Figure 1 you can find lifetime head to head results of present-day (year 2015) prominent Czech ˇ aˇrov´a, Str´ female tennis players (namely: Kvitov´a, Pl´ıˇskov´a, Saf´ ycov´a, Hradeck´a, Koukalov´a) accompanied with its associated graph. Table 1: All the matches in the group of the tennis players Sij = #matches i won against j ˇ aˇrov´a Str´ Sij Kvitov´a Pl´ıˇskov´a Saf´ ycov´a Hradeck´a Kvitov´a 0 2 6 5 1 Pl´ıˇskov´a 0 0 2 1 2 ˇ aˇrov´a 0 1 0 2 3 Saf´ Str´ ycov´a 1 0 1 0 3 Hradeck´a 1 1 0 1 0 Koukalov´a 2 0 6 3 4
in question. Koukalov´a 2 1 4 3 1 0
Figure 1: A graph of all the matches in the group of investigating tennis players. (If an arrow goes from a player A to a player B and is associated with a number N , it means that the player B has has N wins over the player A.)
2
Pl´ıˇskov´ a
2
6
4
1 5 1
ˇ aˇrov´ Saf´ a
22
1 1
6
1 3 1 3
2
1 2
Kvitov´ a
1 4
3 Str´ ycov´ a
1 1
Hradeck´ a
3
3
Solution
At first, we construct a matrix A = (Aij ) defined by a formula Aij =
Koukalov´ a
# wins of i against j . # matches of i
- 57 -
The matrix A represents the results normed by the number of matches. Note that an i-th row of A carries information about all the wins of i-th player. This modified matrix will suit our purpose better. It is easily seen that that 3 1 1 1 1 0 10 10 4 20 10 0 0 1 1 1 1 5 10 5 10 3 4 2 1 0 25 0 25 25 25 Sij . = Aij = P 1 3 3 1 20 0 20 0 20 20 j Sij + Sji 1 1 1 1 0 17 17 17 0 17 1 3 3 2 0 13 26 13 0 13 Let us denote a ranking vector of our players by xR = (x1R , x2R , . . . , x6R ). We require our ranking to sport the following features: A win against a stronger player (i.e., a player with a higher ranking) counts more significantly. A number of games is irrelevant to the ranking. Now, we suggest to define a ranking of an i-th player, i = 1, . . . , 7, by KxiR = Ai1 x1R + Ai2 x2R + · · · + Ai6 x6R + Ai7 x7R , where K is a positive real constant. It is clear that the formula guarantees both the demanded features. The system of equations that can be equivalently written as KxR = AxR , where K is a positive real constant. After we find a vector xR with non-negative elements together with a positive constant K, we have a solution. If we translate it into the language of linear algebra, our goal is to find a positive eigenvalue with a respective eigenvector such that all its components are non-negative. A matrix A is non-negative and its graph shows it is irreducible as well. Due to the Perron-Frobenius Theorem there exists a simple positive eigenvalue equal to ρ(A) and its non-negative eigenvector. We would like to use the Power Method to find it. A glance at Theorem 1.2 reveals that it is not clear whether the matrix A meets the theorem’s hypothesis. The Perron-Frobenius Theorem guarantees existence of a positive simple eigenvalue of A being equal to its spectral radius ρ(A) and moreover, its eigenvector can be set to be positive. Nevertheless, we need to know that there is no other eigenvalue with the same magnitude. However, if the matrix A is primitive (see [3, Section 1.8]) then it is true. A real square matrix A with non-negative entries is primitive if, for some p ∈ N, Ap has only positive entries (see [3, Theorem 1.8.2]. The notion has also an elegant interpretation in a graph theoretic language. Fortunately, the matrix A from our exercise is primitive since 0.0231 0.0149 0.0556 0.0485 0.1089 0.0984 0.0245 0.0198 0.0281 0.0393 0.0544 0.0588 0.0234 0.0071 0.0489 0.0295 0.0446 0.0231 2 A ≈ 0.0204 0.0158 0.0496 0.0426 0.0316 0.0218 0.0075 0.0059 0.0459 0.0274 0.0326 0.0206 0.0148 0.0260 0.0288 0.0467 0.0488 0.0710
- 58 -
is a matrix with solely positive entries. Now, we can finally proceed without distress to a numerical computation of a dominant eigenvalue and its eigenvector. In a table below we accomplished a computation with an initial vector x(0) = [1, 1, 1, 1, 1, 1]T and a terminating tolerance 10−4 : Table 2: Approximation of an eigenvector respective to a dominant eigenvalue. k 1 2 3 4
λ(k) 0.4256 0.4470 0.4472 0.4473
Kvitov´a(k) Pl´ıˇskov´a
0.6121 0.6254 0.6062 0.6132
0.4591 0.4022 0.4204 0.4166
(k)
ˇ aˇrov´a(k) Str´ ycov´a(k) Hradeck´a(k) Koukalov´a(k) Saf´
0.3060 0.3160 0.3125 0.3170
0.3060 0.3254 0.3309 0.3288
0.1800 0.2502 0.2335 0.2365
0.4414 0.4227 0.4406 0.4312
Our approximation of the ranking vector xR would be: x ˜R = [0.6132, 0.4166, 0.3170, 0.3288, 0.2365, 0.4312]. We could also use MATLAB’s implemented tools (namely command eig) to solve the problem and find an eigenvector xR . Study a following sequence of commands: >> [V,D] = eig(A); % Find eigenvectors (V) and eigenvalues (D) of A. >> diag(D) % The largest eigenvalue is the first one, 0.4469. >> V(:,1)' % Find a correspondent eigenvector. −0.6121 −0.4172 −0.3149 −0.3286 −0.2359 −0.4341
Notice that the largest eigenvalue here is approximately the same as we got by the Power Method and also a respective eigenvector is nearly a (−1)-multiple of the earlier x ˜R . It is a pleasant exercise to check that our results are in agreement with the Perron-Frobenius Theorem.
4
Remark
ˇ aˇrov´a The WTA Singles Ranking for May 25, 2015: Kvitov´a (4), Pl´ıˇskov´a (12), Saf´ (13), Str´ ycov´a (23), Hradeck´a (61) and Koukalov´a (77). It may be of some interest that our new ranking provides a very different order of players.
5
Possible Variants of Problem
A combination of the Perron-Frobenius Theorem and Power Method can be used in various fields of study. For example: Interurban railway network: One can show that components of the eigenvector (of unit length) associated with the maximum eigenvalue (of the adjacency matrix) provide the accessibility rate (which is a measure of the ease of access) to the various cities. Population dynamics, centrality in social networks, Google PageRank, . . .
- 59 -
Acknowledgment The authors gratefully acknowledge support from the grant FRVS2015/158 ”Inovace pˇredmˇetu Numerick´a matematika na Fakultˇe strojn´ı Vysok´e ˇskoly b´an ˇsk´e Technick´e univerzitˇe Ostrava”.
References [1] QUARTERONI, Alfio, Riccardo SACCO and Fausto SALERI. Numerical mathematics. New York: Springer, c2000, xx, 654 p. ISBN 0387989595-. [2] VARGA, Richard S. Matrix iterative analysis. 2nd rev. and expand. ed. Berlin: Springer, 2009, x, 358 p. ISBN 9783642051548. [3] BAPAT, R. B. and T. E. S. RAGHAVAN. Nonnegative matrices and applications. New York: Cambridge University Press, 2009. ISBN 9780521118668.
- 60 -
OCENA RYZYKA ZAGROŻENIA TĄPANIAMI W WYROBISKACH ŚCIANOWYCH – część I Anna Manowska Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42 – 100 Gliwice, Polska E-mail: [email protected] Abstract: The articles discusses a concept of forecasting accident risk during
longwall extraction in crump-risk conditions Polish rock burst hazards in mines, compared with the threats that exist in other mining coal basins in the world, can be described as large. With the increase of the depth of field operated longwall and preparatory work, including drill ancestors pavement, followed by systematic deterioration of geological and mining conditions. Due to the depletion of coal, mines operate more often take the decks, where there is a large number of edges and the remaining decks. Rock burst are still the most dangerous natural hazards are fundamental problem and have the greatest impact on safety in the mining industry. The proposed method for forecasting accidents and losses in people and goods can contribute to improvement of work organization methods and improvements in the mine safety management system.
Wprowadzenie Zagrożenie tąpaniami jest ściśle związane z podziemnym wydobywaniem kopalin. Stanowi ono problem na pięciu kontynentach. Ze względu na gwałtowność przebiegu tąpnięć pozostają one jednym z najniebezpieczniejszych w skutkach zagrożeń naturalnych w polskim górnictwie. Zdecydowana większość kopalń znajdujących się w GZW boryka się z nim na co dzień. Zagrożenie tąpaniami warunkuje sposób prowadzenia robót przez zakłady górnicze, co niejednokrotnie zmusza je do ponoszenia kosztów. Ma ono duży wpływ na stan bezpieczeństwa pracy. Ze względu na zmienianie się warunków geologiczno-górniczych, wraz ze zwiększaniem się głębokości eksploatacji złóż, konieczne jest stosowanie bardziej skutecznych metod profilaktyki oraz przewidywania tego zagrożenia. Dzięki rozwojowi stanu wiedzy oraz technologii stosowanych przez kopalnie, liczba tąpnięć wyraźnie spadła, pozostając jednak nadal poważnym problemem.
- 61 -
Istnieje wiele metod oceny skłonności skał do tąpań. Jednak skomplikowany mechanizm tych zjawisk uniemożliwił stworzenie sposobu całkowicie zaufanego. Narzędzie pozwalające na dokładne przewidywanie czasu tąpnięcia mogłoby w znaczący sposób pomóc służbom bezpieczeństwa kopalni oraz ograniczyć niejednokrotnie katastrofalne skutki tych zdarzeń.
Dotychczasowe metody oceny skłonności do tąpań Metody oceny skłonności skał do tąpań można podzielić na metody analityczne i laboratoryjne
opracowane
na
podstawie
badań
niszczących
w
maszynie
wytrzymałościowej oraz na metody wskaźnikowe. Zostały one opracowane na podstawie pełnej charakterystyki naprężeniowo-odkształceniowej górotworu [1].
Metody analityczne i laboratoryjne oceny skłonności skał do tąpań Metody te opracowano w próbie ściskania w tzw. miękkiej maszynie wytrzymałościowej,
czyli
przedzniszczeniowej
charakterystyki
naprężeniowo-
odkształceniowej. Rozwój metod badawczych dotyczących skłonności skał do tąpań doprowadził do rozpoczęcia stosowania sztywnych maszyn wytrzymałościowych. Wykorzystują one serwomechanizm, czyli urządzenie które umożliwia uzyskiwanie pełnej charakterystyki naprężeniowo-odkształceniowej w części przed i po krytycznej.
Wskaźnikowe metody oceny skłonności do tąpań Wskaźnikowe oceny skłonności skał do tąpań opracowano w polskich ośrodkach naukowych. Niektóre ze wskaźników mają jedynie znaczenie teoretyczne i rzadko są wykorzystywane w przemyśle górniczym. Inne natomiast zostały uszczegółowione, sprecyzowane i weryfikowane w rzeczywistych warunkach geologiczno-górniczych. Przykładem tutaj może być wskaźnik o nazwie „okres dynamicznego rozpadu”. Znalazł on zastosowany do określania podatności skał na obciążenia dynamiczne w aspekcie występowania wstrząsów lub tąpań. Drugim przykładem może być wskaźniki skłonności do tąpań i energii kinetycznej, które wykorzystywane są do prognozowania skłonności górotworu do tąpań [1].
- 62 -
Aktualny stan zagrożenia tąpaniami Tąpania są zjawiskami powszechnie występujące w przemyśle górniczym na całym świecie. Pojawiają się w miejscach wysokiego naprężenia warstw skorupy ziemskiej, o dużej wytrzymałości. Skały te pod wpływem obciążeń ulegają dynamicznemu niszczeniu. [4] Zagrożenie
tąpaniami
i najniebezpieczniejszych
jest
jednym
zagrożeń
w
najtrudniejszych
polskim
górnictwie.
do W
przewidzenia porównaniu
z przemysłami wydobywczymi w innych krajach pozostaje ono na wysokim poziomie. W 2011 roku aż 22 wyrobiska z 29 kopalń GZW zostały zaliczone do zagrożonych tąpaniami. [6]
Rys. 1 Zagrożenie tąpaniami w GZW [5]
- 63 -
Rys. 2 Liczba tąpnięć w kopalniach węgla kamiennego GZW w latach 1949-2011, [6]
Powyżej przedstawiono wykres obrazujący liczbę tąpnięć w kopalniach węgla kamiennego Górnośląskiego Zagłębia Węglowego na przestrzeni lat 1949 – 2011. Zjawiska te wystąpiły około 500 razy w 1949 roku. Ich ilość systematycznie spadała. Obecnie tąpnięcia zdarzają się jedynie kilka razy w roku, pomimo eksploatowania pokładów o większej aktywności sejsmicznej, położonych na coraz większej głębokości. Jednakże bardziej niekorzystne warunki geologiczno-górnicze wymuszają na kopalniach stosowanie innowacyjnych technik i technologii, zmniejszających skalę zagrożenia [6] Prowadzone badania oraz ciągłe monitorowanie poziomu zagrożenia tąpaniami przez kopalnie pozwala na pozyskiwanie dużej ilości danych o zdarzeniach, które miały miejsce. Większość z nich ma charakter statystyczny. Pozwala to na wnioskowanie o przyszłości [2]. Statystyka zatem pozwala na badanie zjawisk masowych w sposób ilościowy.
Metody będące
przedmiotem
jej
badań umożliwiają
pozyskanie,
przedstawienie i przeanalizowanie danych. Wynikiem owej analizy są ogólnikowe informacje pozwalające na wyciąganie wniosków na temat danego zdarzenia. Wykonana analiza statystyczna obejmowała dane zarejestrowane w rejonie E2 kopalni. Celem jej było zbudowanie modelu teoretycznego do prognozowania tzw. czasu bezpiecznego, czyli czasu bezpiecznej pracy górników w wyrobisku. Analizowano dane o 2541 zdarzeniach, które miały miejsce od 25 stycznia 1988 roku do 26 listopada 2010 roku. Jednakże do budowy modelu wykorzystano wyłącznie informacje
- 64 -
o zdarzeniach, które wystąpiły od 21 lutego 2007 roku. Spowodowane to było dużymi odstępami czasu pomiędzy poszczególnymi wstrząsami dla wcześniejszego okresu. Dane, które analizowano zawierały następujące informacje: 1) Datę i czas zaistnienia zdarzenia, 2) Współrzędne geograficzne i głębokość wystąpienia wstrząsu, 3) Energię wstrząsu 4) Nazwę wyrobiska, 5) Pokład w którym wystąpił wstrząs 6) Uwagi, 7) Odległość od frontu ścianowego. Wykreślony został wykres będące mapą energii i głębokości wstrząsów zaistniałych w analizowanym rejonie.
Rys. 3 Wykres powierzchniowy energii zaistniałych wstrząsów [3]
Wszystkie informację, które udostępniono użyto do prognozowania skłonności górotworu do tąpań. Zbudowana prognoza pozwala na właściwy dobór środków i metod profilaktycznych, a tym samym wpływa na poprawę bezpieczeństwa robót górniczych. Załoga ostrzeżona na czas przed nadchodzącym tąpnięciem zostaje wycofana z zagrożonych wyrobisk. W korzystnych sytuacjach istnieje także realna możliwość podjęcia aktywnych środków opanowania zagrożenia i niedopuszczenie do tąpnięcia.
- 65 -
Podsumowanie Tąpania, mimo iż ich ilość spada z roku na rok, pozostają jednym z najbardziej niebezpiecznych zagrożeń naturalnych w górnictwie światowym oraz krajowym. Ze względu na to, że przebiegają bardzo gwałtownie ich skutki są nieprzewidywalne. Stanowią one poważny problem bezpieczeństwa pracy w polskim górnictwie. Ponadto zmuszają kopalnie do ponoszenia kosztów związanych np. z czasowym zaprzestaniem eksploatacji, zniszczeniem sprzętu. Kopalnie położone w GZW, są w większości zakładami prosperującymi od jakiegoś czasu, a co za tym idzie występują tam liczne krawędzie oraz resztki eksploatowanych w przeszłości pokładów. Ponadto zakłady zmuszone są do sięgania po węgiel zalegający na znacznej głębokości, ze względu na wyczerpywanie się zasobów płycej zalegających. Te czynniki sprzyjają występowaniu tąpań. Zawód górnika, jest jednym z najbardziej niebezpiecznych zawodów. Pomimo tego, że katastrofy powodowane przez zagrożenia naturalne nie są główną przyczyną wypadków na kopalniach niezbędne jest gromadzenie informacji o ich stanie i przeciwdziałanie ich skutkom.
Literatura: 1. Bukowska M., „Wskaźnikowe metody skłonności do tąpań skał i górotworu” Prace naukowe GIG Górnictwo i Środowisko, Kwartalnik 2/2005 2. Czaplicki J. M., „Elementy statystki matematycznej i ich zastosowania w inżynierii górniczej i robót ziemnych” Gliwice 2011 3. Halarewicz A.: „Ocena ryzyka zagrożenia tąpaniami w wyrobiskach ścianowych na przykładzie KWK XXX” Praca magisterska wykonana w Katedrze Zarządzania i inżynierii Bezpieczeństwa pod kierunkiem A. Manowskiej, 2015 4. Kidiński A., „Zagrożenie tąpaniami w górnictwie światowym –rozpoznawanie i zapobieganie” Kwartalnik GIG 1/2003 5. Praca zbiorowa pod redakcją Kabiesza J., „Metody oceny stanu zagrożenia tąpaniami wyrobisk górniczych w kopalniach węgla kamiennego”, Katowice 2010 6. Praca zbiorowa pod kierunkiem prof. Dr hab. Inż. Konopko W., „Raport roczny (2011) o stanie podstawowych zagrożeń naturalnych i technicznych w górnictwie węgla kamiennego”, Rozdział 8: Zagrożenie tąpaniami, Katowice 2012
- 66 -
OCENA RYZYKA ZAGROŻENIA TĄPANIAMI W WYROBISKACH ŚCIANOWYCH – część II Anna Manowska Katedra Zarządzania i Inżynierii Bezpieczeństwa, Wydział Górnictwa i Geologii, Politechnika Śląska ul. Akademicka 2, 42 – 100 Gliwice, Polska E-mail: [email protected] Abstract: The articles discusses a concept of forecasting accident risk during
longwall extraction in crump-risk conditions Polish rock burst hazards in mines, compared with the threats that exist in other mining coal basins in the world, can be described as large. With the increase of the depth of field operated longwall and preparatory work, including drill ancestors pavement, followed by systematic deterioration of geological and mining conditions. Due to the depletion of coal, mines operate more often take the decks, where there is a large number of edges and the remaining decks. Rock burst are still the most dangerous natural hazards are fundamental problem and have the greatest impact on safety in the mining industry. The proposed method for forecasting accidents and losses in people and goods can contribute to improvement of work organization methods and improvements in the mine safety management system.
Wprowadzenie Zagrożenie tąpaniami eksploatowanych pokładów w znaczący sposób wpływa na stan bezpieczeństwa pracy oraz prężność eksploatacji. Ze względu na to, że występuje ono w większości kopalń zlokalizowanych w Górnośląskim Zagłębiu Węglowym wprowadzony został surowy wymiar prewencji, który tworzą: [4] system prawa branżowego narzędzia służące do kontrolowania, prognozowania oraz oceny zagrożenia służby prewencyjne system nadzoru górniczego instytucje pełniące funkcje doradczo – usługowe.
- 67 -
Prognozowanie i ocenianie stanu zagrożenia tąpaniami jest oparte na wynikach przeprowadzonych badań i pomiarów, wiedzy ekspertów z tej dziedziny oraz rejestracji objawów występującego zagrożenia. Tworzą one system, który obejmuje: [4]
Rys. 1 Rodzaje informacji niezbędnych do prognozy stanu zagrożenia tąpaniami, [4]
W artykule „Ocena ryzyka zagrożenia tąpaniami w wyrobiskach ścianowych – część I” scharakteryzowano przedmiot badań, w części drugiej artykułu omówiono wyniki wykonanej analizy statystycznej.
Funkcja gęstości wysokoenergetycznego
prawdopodobieństwa
wystąpienia
wstrząsu
Założono, że rozkład Gamma może posłużyć do określenia funkcji gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia wstrząsu wysokoenergetycznego. Jeżeli funkcja gęstości zmiennej losowej X ma postać: [1]
- 68 -
Wówczas zmienna losowa
ma rozkład gamma. ξ jest jej parametrem kształtu,
natomiast v to parametr skali rozkładu. Wartość oczekiwana E(X) wynosi [1]:
gdzie: - parametr kształtu - parametr skali
Natomiast wariancja σ2 jest równa [1]:
Pierwszym krokiem było obliczenie czasu pomiędzy poszczególnymi wstrząsami. Wyniósł on od 1 do 212 dni. Średnia – wartość oczekiwana E (X) przyjęła wartość 23 dni. Wariancja σ2(X) dla analizowanych danych wyniosła 1483. Parametr kształtu ξ i parametr skali zostały obliczone z układu równań na podstawie przytoczonych wzorów i wyniosły: = 0,35673, - 0,01551. Do obliczenia funkcji wartości funkcji gamma
dla poszczególnych posłużyła
funkcja ROZKŁAD.GAMMA arkusza kalkulacyjnego Microsoft Excel. Do opisu rozkładu prawdopodobieństwa posłużył test A. Kołmogorowa, który sprawdza się przy małych próbach. Polega on na porównaniu dystrybuanty teoretycznej oraz dystrybuanty empirycznej. Dystrybuanta empiryczna określa się wzorem [1]:
gdzie: nj – liczba porządkowa elementu próby n – liczebność próby
Za dystrybuantę teoretyczną F0(y) przyjęto obliczone wcześniej wartości funkcji gęstości zmiennej losowej dla rozkładu gamma. Maksymalną różnicę pomiędzy dystrybuantami należy porównać z wartością krytyczną, którą odczytuje się z tablic. Jeśli maksymalny rozstęp jest większy od krytycznego rozstępu określonego w tablicach rozkład teoretyczny i empiryczny nie są takie same, a co za tym idzie dany rozkład nie opisuje danych w sposób zadowalający [1]. Maksymalna różnica pomiędzy dystrybuantami wyniosła -7,5503E-100. Odczytana z tablic wartość krytyczna w teście Kołmogorowa przy przyjętym poziomie istotności α =0,05, dla próby o liczności n = 33 wyniosła 0,18171. Można więc wyciągnąć
- 69 -
wniosek, że rozkład gamma opisuje dane w sposób zadowalający. Pozwoliło to na wykreślenie funkcji gęstości rozkładu pokazanej poniższym na rysunku.
Rys. 2 Funkcja gęstości rozkładu gamma, opracowanie własne
Z powyższego wykresu można wywnioskować, że prawdopodobieństwo, że wstrząs wysokoenergetyczny nastąpi w ciągu kilku dni jest znaczne. Im więcej czasu upłynie, tym mniejsza szansa na wystąpienie tąpnięcia. Kolejnym etapem było zbudowanie modelu teoretycznego.
Model Wintersa Modele szeregu czasowego to narzędzia, pozwalające określić przyszłą wartość prognozowanych zmiennej Y, której prognoza jest wartością funkcji: [5], [6] gdzie: - prognozy zmiennej Y wyznaczone na moment lub okres t, t – 1,...,t – p, – zaobserwowane wartości zmiennej Y w momencie lub okresie t, t – 1, t – p, t – zmienna czasowa, p – wielkość opóźnienia, ξt – składnik losowy
- 70 -
Z danych w postaci niezmienionej nie dało się zbudować modelu. Aby znaleźć regularność skumulowano dane, z których następnie usunięta została tendencja rozwojowa. Powstałe w ten sposób reszty wykazywały sezonowość. Najlepszym modelem do przewidywania ryzyka tąpaniami okazał się model Wintersa. Pozwala on na wygładzenie wykładnicze szeregów czasowych które zawierają zarówno tendencję rozwojową jak i wahania przypadkowe oraz sezonowe [6]. Model Wintersa występuje w dwóch wersjach: addytywnej lub multiplikatywnej. Do pracy wykorzystano addytywną odmianę modelu, której równania mają postać [5] [6]:
gdzie: Ft-1 – ocena wartości średniej w okresie t-1,n St-1 – ocena przyrostu trendu w okresie t-1, Ct-1 – ocena wskaźnika sezonowości dla okresu t-1, L – liczba faz cyklu sezonowego (długość cyklu sezonowego), α, β, γ – parametry modelu z przedziału [0, 1].
Prognoza w wersji addytywnej modelu Wintersa wyznaczana jest z zależności [5] [6]: Tok wyznaczania prognozy ryzyka tąpaniami przy wykorzystaniu modelu wygładzania wykładniczego Wintersa składał się z następujących części [2]: 1) Obliczenie czasu pomiędzy poszczególnymi tąpaniami w dniach, 2) Skumulowanie czasu dla poszczególnych stanów zmiennej Y, 3) Wyznaczenie trendu za pomocą funkcji REGLINW arkusza kalkulacyjnego Excel, 4) Wyznaczenie reszt czyli różnic pomiędzy skumulowaną wartością czasu a trendem, 5) Przyjęcie pierwszej wartości Ft-1 jako średniej z reszt dla stanów zmiennej od 1 do 3 6) Przyjęcie pierwszej wartości Ft-1 jako średniej z reszt dla stanów zmiennej od 1 do 3 7) Przyjęcie pierwszej wartości St-1 jako różnicy pomiędzy resztami dla stanów 2 i1 8) Przyjęcie pierwszej wartości Ct-1 jako średniej z reszt dla stanów zmiennej od 1, 5 oraz 9
- 71 -
9) Obliczenie parametrów modelu α, β, γ przy pomocy dodatku Solver (optymalizacja Simplex) arkusza kalkulacyjnego Excel, wartości początkowe miały wartość 0,5. 10) Obliczenie: a. Ft-1 - oceny wartości średniej b. St-1 – ocena przyrostu trendu c. Ct-1 – ocena wskaźnika sezonowości dla poszczególnych stanów zmiennej 11) Wyznaczenie prognozy poprzez zsumowanie wartości Ft-1, St-1, Ct-1 12) Obliczenie błędów bezwzględnych ex post oraz błędu średniego ex post Zbudowany model teoretyczny zweryfikowano błędem ex post w przedziale weryfikacji, aby sprawdzić dokładność prognozowania, gdyż dokładność prognozy może zostać zdefiniowana po czasie na który została ona wyznaczona. Poziom trafności określa się przy użyciu błędów ex post, dla każdego momentu τ > n. Cykliczne ich analizowanie pozwala na wyciąganie wniosków na temat trafności metody prognozowania. [6]. Wartość błędu prognoz wygasłych wynosiła 1% co oznacza, że model teoretyczny jest istotnie statystycznie dopasowany do skumulowanych danych rzeczywistych.
Rys. 3 Rzeczywisty skumulowany czas bezpieczny w odniesieniu do modelu teoretycznego, źródło [2]
- 72 -
Poddano analizie również sekwencję uzyskanych błędów prognozy, w której zauważono następujące własności, a mianowicie: a) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, głoszącej stacjonarność sekwencji, b) rosnące rozproszenie jest statystycznie nieistotne, c) nie ma autokorelacji reszt. Z rys nr 3 można wywnioskować, że wszystkie parametry oszacowanego modelu są statystycznie istotne, oraz że model w zadowalającym stopniu jest dopasowany do danych rzeczywistych. Model teoretyczny, który określono powyżej, można zatem wykorzystać do prognozowania krótkoterminowego (dwa lub trzy okresy wprzód) czasu bezpiecznego, czyli takiego, w której w sposób bezpieczny górnicy mogą pracować. W celu
wzbogacenia
informacji
dotyczącej
dobroci
zbudowanego
modelu
teoretycznego można wykonać proces uczenia się tegoż modelu, co wpływa na efektywność wnioskowania o przyszłości. Zatem zbudowano prognozy dla kolejnych
Przedział weryfikacji
stanów, które nie były poddane analizie (stan 34-37).
Rys. 4 Prognoza skumulowanego czasu bezpiecznego, źródło [2]
- 73 -
Analizując rys. nr 4 można zauważyć, że model teoretyczny w przedziale weryfikacji dobrze dopasował się do przebiegu rzeczywistego, zatem opracowany model Wintersa określa związek między wstrząsami wysokoenergetycznymi, a czasem bezpiecznym i może zostać wykorzystany do budowania prognoz wspierających pracę służb bezpieczeństwa kopalni.
Podsumowanie Polski system prawny wymusza kontrolę zagrożenia tąpaniami i przeciwdziałania zagrożeniu, ale stosowane dotychczasowe metody oceny ryzyka tąpaniami nie są w pełni skuteczne. Zbudowany model teoretyczny – model Wintersa tzw. czasu bezpiecznego mogłoby z powodzeniem zostać użyty przez służby bhp kopalni. Prognoza pozwoliłaby na zmniejszenie skutków tąpnięć i poprawę warunków bezpieczeństwa. Dzięki znajomości czasu, w którym wystąpi następny wstrząs wysokoenergetyczny ludzie mogliby uniknąć wypadków związanych z omawianym zagrożeniem. Wygenerowana prognoza może więc spełniać funkcję preparacyjną. Prognozowanie skłonności górotworu do tąpań pozwala bowiem na właściwy dobór środków i metod profilaktycznych, a tym samym wpływa na poprawę bezpieczeństwa robót górniczych. Załoga ostrzeżona na czas przed nadchodzącym tąpnięciem zostaje wycofana z zagrożonych wyrobisk. W korzystnych sytuacjach istnieje także realna możliwość podjęcia aktywnych środków opanowania zagrożenia i niedopuszczenie do tąpnięcia.
Literatura: 1. Czaplicki J. M., „Elementy statystki matematycznej i ich zastosowania w inżynierii górniczej i robót ziemnych” Gliwice 2011 2. Halarewicz A.: „Ocena ryzyka zagrożenia tąpaniami w wyrobiskach ścianowych na przykładzie KWK XXX” Praca magisterska wykonana w Katedrze Zarządzania i inżynierii Bezpieczeństwa pod kierunkiem A. Manowskiej, 2015 3. Manowska A.: The method of assessing rock bursting hazard in mining, Manage. Syst. Prod. Eng. 2015 R. 5 nr 2, s. 88-93
- 74 -
4. Praca zbiorowa pod redakcją Kabiesza J., „Metody oceny stanu zagrożenia tąpaniami wyrobisk górniczych w kopalniach węgla kamiennego”, Katowice 2010 5. Zeliaś A, Pawełek B, Wanat S, „Prognozowanie ekonomiczne teoria przykłady zadania” Warszawa 2003 6. Żurowska
J.,
„Prognozowanie
przewozów
Wydawnictwo PK, 2005
- 75 -
modele
metody przykłady”
,
Podstawowa analiza statystyczna ankiet na przykładzie medycznym
Elwira Mateja-Losa, Krzysztof Dłutek Wydział Matematyki Stosowanej, Politechnika Śląska w Gliwicach ul. Kaszubska 23, 44-101 Gliwice E-mail: [email protected], [email protected].
Abstrakt: Jednym z częściej stosowanych metod zbierania danych w statystyce jest ankieta. Ankietę stosujemy zarówno w celu weryfikacji hipotez statystycznych jak i w celu ogólnego badania pewnych zjawisk co do których wcześniej nie stawiano żadnych hipotez. W drugim przypadku należy przeprowadzić analizę wyników ankiety w celu zaobserwowania zachodzących procesów i postawić hipotezy statystyczne. W tym artykule przeprowadzono taką analizę na przykładzie ankiety związanej z medycyną oraz zaprezentowano otrzymane wyniki.
Abstract: On of the most frequently used methods of the data collection in the statistics is a survey. The survey can be used both in order to verify statistical hypotheses as well as to the general study of certain phenomena for which we had not created any hypotheses. In the second case an analysis of the survey’s results should be conducted in order to observe the processes and ultimately put a statistical hypothesis. In this article, such analysis, that is the basis of the medicine, was carried out. Consequently, the final outcomes were presented. Jednym z częściej stosowanym narzędziem badań statystycznych jest ankieta. Ankieta (z francuskiego „enquête, dosłownie zebranie świadectw w celu wyjaśnienia problemów wymagających rozstrzygnięcia”) - technika używana w naukach społecznych posługująca się narzędziem zwanym kwestionariuszem ankiety. Jest specyficzną, pisemną formą wywiadu, należącą do badań skategoryzowanych, które są ściśle określone przez zespół reguł i zasad właściwych dla określonego badania. Ankiety służą do zebrania dużej liczby informacji o zjawiskach występujących w
- 76 -
społeczeństwie przy wykorzystaniu z reguły małych nakładów sił i środków [Sztumski, 1995].
- 77 -
Ankiety dzielimy: 1. Ze względu na dostęp informacji o respondencie na: •
jawne,
•
anonimowe.
2.
Ze względu na częstotliwość przeprowadzenia:
•
jednorazowe (sporadyczne),
•
okresowe (badania panelowe).
3.
Ze względu na sposób przekazywania kwestionariusza ankiety: pocztowa, prasowa, dołączona do kupowanych towarów konsumpcyjnych, telefoniczna, radiowa, telewizyjna, audytoryjna, ogólnodostępna 4. Ze względu na stopień uczestnictwa ankietera: •
nadzorowane,
•
nienadzorowane.
Rodzaje pytań w kwestionariuszu ankiety: •
pytania otwarte – całkowita swoboda wypowiedzi,
•
pytania półotwarte – pozwalają na zaprezentowanie własnej odpowiedzi oprócz innych zaproponowanych wcześniej wariantów dotyczących pytania,
•
pytania zamknięte – rodzaj pytań zaopatrzonych w listę wcześniej przygotowanych możliwości odpowiedzi do wyboru, dostarczających ujednoliconych i zestandaryzowanych odpowiedzi, które w efekcie są łatwe do analizy i skracają czas przeprowadzania badań.
Pytania zawarte w kwestionariuszu ankiety powinny być: •
konkretne, jednoznaczne i zrozumiałe dla respondenta,
•
źródłem do testowania hipotez badawczych,
•
pojedyncze,
•
nie sugerujące odpowiedzi,
•
definiujące najważniejsze pojęcia,
•
logicznie poukładane,
•
skierowane do odpowiednich osób,
•
pozbawione podwójnych zaprzeczeń,
- 78 -
•
pozbawiione fachow wego żargonnu,
•
krótkie i proste skłaadniowo.
Ze w względu na analizę a ankiiety zwykle występują dwie podstaawowe sytuuacje: 11. gdy przeeprowadzający ankietęę przed jej przeprowaadzeniem poostawił hip potezy i ankietaa ma służyć do ich zwerryfikowaniaa, 22. gdy nie postawion no żadnychh hipotez, a celem ankiety a jestt sformułow wanie hipotez. S Sytuacja druuga jest trud dniejsza, acczkolwiek dość d często spotykana, s ponieważ często c ankieety przeproowadzają osoby o nie bbędące biegłymi staty ystykami. W Wielokrotniie po przepprowadzeniiu ankiety następuje zw wrócenie sięę z prośba o jej analizę. W tym artykule przeprowaddzono opraacowanie pewnej p ankkiety zwiąązanej z meedycyną gddy nie postaawiono żaddnych hipottez. Ankieta dotyczyłaa przygotow wania grupyy zawodow wej związan nej z ochrooną zdrowiia do udzieelania poraad dietetyczznych hospitalizowanyym. Część pierwsza p ankkiety to meetryczka z py ytaniami dootyczącymi stażu pracyy, wykształccenia, wyksształcania uuzupełniającce oraz miejjsca pracy. W części drrugiej właścciwej znajddowały się pytania p pozw walające occenić wiedzzę osoby pyt ytanej (17 py ytań). Łączznie dysponoowano 237 wypełnionyymi ankietaami. Krokiem m pierwszym m opracowaania ankiety y był podziaał na klasy i przedstaw wienie wyniików w posttaci tabeli i histogramuu.
Taabela wynikków z podziiałem na klaasy
- 79 -
90 80 70 60 50 Řady1
40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
Sumaryczna ilość poprawnych odpowiedzi 60 50 40 wyksz1 30
wykszt3 wykszt2
20 10 0 1
2
3
4
5
6
Ilość poprawnych odpowiedzi w zależności od wykształcenia W kolejnym kroku badano podstawowe współczynniki dotyczące badanych ankiet między innymi modalną, medianę, wartości średnie, odchylenie standardowe, wariancję, współczynniki skośności. Następnie poszukiwano zależności pomiędzy poszczególnymi czynnikami za pomocą współczynników korelacji. Hipotezy, które można postawić po podstawowej analizie. 1. Studia medyczne (wykształcenie1) oraz licencjat (wykształcenie2) przygotowują na podobnym poziomie, tzn. osoby kończące tego typu studia, prezentują podobny poziom przygotowania do zawodu, zaś osoby kończące studia magisterskie (wykształcenie3) prezentują znacznie wyższy poziom wiedzy (ze względu na badaną wiedzę). Skok jakościowy z 66% do 82%. Ogółem średnia poprawnych odpowiedzi wynosi 67% co można uznać za dobry wynik.
- 80 -
2. Jak należało oczekiwać wraz ze wzrostem okresu stażu pracy następuje stopniowy (z 61%-72% dla osób z najdłuższym stażem) wzrost wiedzy. Należy podkreślić, że zdobyte doświadczenie nie rekompensuje wykształcenia. 3. Z powodu zbyt małej próbki nie można wysnuć natomiast żadnych wniosków na temat wiedzy osób zatrudnionych w miejscach oznaczonych numerem 3-5. Jedynym wnioskiem jest, że osoby zatrudnione w miejscu 2 mają statystycznie wyższą wiedzę (70% poprawnych odpowiedzi w porównaniu z osobami zatrudnionymi w miejscu nr 1 - 62% poprawnych odpowiedzi). 4. Osoby po kursach doszkalających prezentują najniższy poziom przegotowania ( ledwo wystarczający do wykonywania obowiązków 0,54%, po specjalistycznych 68,5% ). Przyczyną tego stanu może być fakt, że na kursy doszkalające idą osoby najgorzej przygotowane, grupa najsłabszych.
Literatura 1. Franksoft-Nachmias C., „Metody badawcze w naukach społecznych”, Wydawnictwo Zysk i S-ka, Poznań 2001 2. Nowak S., „Metodologia badań społecznych”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007 3. Sztumski J., „Wstęp do metod i technik badań społecznych”, Wydawnictwo Śląsk, Katowice 1995 4. Zając K. „Zarys metod statystycznych”, PWE Kraków 1994 5. Koronacki J., Mielniczuk J., „Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, warszawa 2004
- 81 -
KORELACJA LINIOWA W WYNIKACH BADAŃ ANKIETOWYCH – ANALIZA PRZYPADKU Ewa Matuszewska, Justyna Orwat Politechnika Śląska, Wydział Górnictwa i Geologii 44 – 100 Gliwice, ul. Akademicka 2 E-mail: [email protected], [email protected] Abstrakt: Opracowanie zawiera analizę odpowiedzi udzielonych na pytanie z obszaru bezpieczeństwa społeczności lokalnych. Analiza danych pokazała, że pomiędzy przyjętymi zmiennymi (liczbą respondentów w grupie a liczbą poprawnych odpowiedzi) występuje korelacja liniowa. Interpretacji danych dokonano z wykorzystaniem współczynnika korelacji liniowej Pearsona „r“ oraz współczynnika determinacji „R2“. Abstract: This elaboration contains an analysis of answers to the question which was posed in the field of local communities safety. The analysis of data led to draw conclusions that between defined variables (the number of respondents in the group and quantity of correct answers) appears the linear correlation. Interpretation of data was made by use of the Pearson linear correlation coefficient ‘r‘ and the coefficient of determination ‘R2‘. Słowa kluczowe: badania ankietowe, bezpieczeństwo społeczności lokalnych, korelacja liniowa, współczynnik korelacji liniowej Pearsona, współczynnik determinacji Key words: the questionnaire surveys, a local communities safety, the linear correlation, the Pearson linear correlation coefficient, the coefficient of determination 1. Wstęp Artykuł opisuje występowanie korelacji liniowej na wybranym przykładzie pytania ankietowego dotyczącego tematyki bezpieczeństwa społeczności lokalnych. Analizując udzielone odpowiedzi zauważono grupy respondentów, w których najbardziej wiedzą wykazywali się ankietowani w określonym wieku. Założono zatem, że może występować zależność pomiędzy wiekiem respondentów a sposobem udzielania odpowiedzi. Badanie rodzaju i siły tej zależności zostało przeprowadzone przez wyznaczenie funkcji regresji. Następnie obliczono wartości współczynników korelacji liniowej ρ („r“) oraz determinacji ‘R2‘. Powyższe informacje są niezbędnym elementem w zakresie planowania działań poprawy świadomości społecznej w sferze reagowania w sytuacjach kryzysowych, w tym przygotowywania odpowiednich broszur oraz przeprowadzania właściwych szkoleń. Określenie docelowej grupy ich odbiorców wymaga poznania charakterystyki udzielanych
- 82 -
odpowiedzi i możliwie jak najlepszego wyznaczenia występujących relacji, co jest celem niniejszej pracy. 2. Charakterystyka przeprowadzonych badań Badania ankietowe zostały przeprowadzone w ramach części badawczej pracy magisterskiej [3] z wykorzystaniem arkusza składającego się z 15 pytań, na które respondenci udzielali odpowiedzi „tak” lub „nie” oraz 4 pytań opisowych. Arkusz został nazwany „Funkcjonowanie Systemu Wczesnego Ostrzegania”. Ankietowanych było 35 osób zamieszkujących jedną z dzielnic miasta Rybnik, z czego 49% stanowiły kobiety a 51% mężczyźni. Badania zostały przeprowadzone w ciągu 9 dni (od 02.06.2013r. do 10.06.2013r.). Zadawane pytania miały na celu określenie świadomości mieszkańców w zakresie funkcjonowania Systemu Wczesnego Ostrzegania (cel utworzenia, znajomość alarmów i procedur, sposób szkolenia). Szczegółowej analizie poddano pytania, na które respondenci udzielali odpowiedzi twierdzących lub przeczących. Podczas badań zauważono możliwość występowania związku pomiędzy wiekiem a liczbą udzielanych odpowiedzi twierdzących oraz zaobserwowano pewną zależność pomiędzy liczbą respondentów w grupie a typem udzielanych odpowiedzi. Do analizy przypadku wybrano pytanie dotyczące sposobu postępowania w przypadku nadania sygnału (komunikatu). 3. Teoretyczne podstawy analizy wyników badań Przy badaniu populacji generalnej równocześnie ze względu na dwie lub więcej cech mierzalnych, można posłużyć się pojęciami regresji i korelacji. Oba te pojęcia dotyczą zależności między zmiennymi, przy czym korelacja zajmuje się siłą tej zależności, a regresja – jej kształtem [1]. Funkcja regresji pozwala na przewidywanie wartości jednej cechy przy założeniu, że druga cecha przyjęła określoną wartość. Gdy dwuwymiarowy rozkład X i Y jest normalny lub zbliżony do normalnego, to funkcję regresji drugiego rodzaju1 traktuje się jako funkcję liniową o równaniu y = αx + β. Parametry α i β liniowej funkcji regresji wyznacza się tak, by spełniony był warunek: (1) E[Y – (αX + β)]2 = min. Oznacza to, że parametry liniowej funkcji regresji szacuje się za pomocą metody najmniejszych kwadratów [2], [4], którą zastosowano w niniejszym opracowaniu. Oczywiście istnieją także inne metody takie, jak np. metoda największej wiarygodności [5] czy metoda dwupunktowa [5] dające takie same lub bardzo zbliżone wyniki szacunku parametrów liniowej funkcji regresji jak metoda najmniejszych kwadratów. Wyznaczenie (oszacowanie) liczbowych wartości parametrów funkcji regresji pozwala na korzystanie z tej funkcji jako podstawowego narzędzia przy dokonywaniu prognozy wartości jednej zmiennej, gdy znane są wartości drugiej zmiennej. Metoda najmniejszych kwadratów dla liniowej funkcji regresji polega na takim oszacowaniu parametrów α i β, aby dla danych z próby n wartości (xi, yi) osiągnęła najmniejszą wartość funkcja S, określona wzorem: 1
Funkcja regresji drugiego rodzaju [1] jest to taka funkcja określonego typu, której parametry zostały wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów [2], [4] dla zaobserwowanych w próbie wartości badanych zmiennych. Gdy badanie dotyczy dwóch cech, to można mówić o dwóch funkcjach regresji: Y względem X lub X względem Y. Zwykle jednak użyteczna w praktyce bywa tylko jedna z nich: Y względem X, z którą można łączyć związek przyczynowy.
- 83 -
.
(2)
Prowadzi to, po zastosowaniu warunku koniecznego i dostatecznego na istnienie minimum funkcji dwóch zmiennych, do układu dwóch równań liniowych, którego rozwiązanie daje szukane oszacowanie parametrów α i β. Parametr α nosi nazwę współczynnika regresji Y względem X i wyraża średnią zmianę wartości Y, gdy X zmieniła wartość o jedną jednostkę. Ma on w praktyce duże znaczenie na przykład tam, gdzie funkcja regresji wyraża jakiś normatyw. Gdy zależność między dwiema badanymi cechami jest liniowa, to najlepszym miernikiem korelacji między nimi jest tzw. współczynnik korelacji ρ [1], który definiuje się wzorem: ρ=
cov (X,Y) , σx σy
(3)
gdzie cov(X, Y) oznacza kowariancję X i Y. Współczynnik korelacji jest unormowaną miarą korelacji, bo –1 ≤ ρ ≤ 1. Gdy ρ = –1 lub ρ = +1, między zmiennymi X i Y istnieje ścisła zależność w postaci funkcji liniowej. Gdy ρ = 0, zmienne są nieskorelowane. Im | ρ | jest bliższa 1, tym korelacja jest mocniejsza. Do wyznaczenia współczynnika korelacji ρ w populacji generalnej potrzebna jest znajomość dwuwymiarowego rozkładu badanych cech w populacji. W większości przypadków rozkład ten nie jest jednak znany i stąd konieczność szacowania współczynnika korelacji ρ w oparciu o losową próbę. Estymatorem nieobciążonym i zgodnym współczynnika korelacji ρ między dwiema badanymi cechami X i Y w populacji jest współczynnik korelacji z próby r i obliczany z n par (xi, yi) wyników próby według wzoru: r
∑ni ∑ni
1
1
xi ‐x yi ‐y
xi ‐x
2 ∑n i 1
yi ‐y
2
.
(4)
Rozkład estymatora r parametru ρ jest na ogół dla dowolnych rozkładów populacji bardzo skomplikowany. Przy założeniu, że populacja generalna ma dwuwymiarowy rozkład normalny z parametrem ρ = 0, rozkład współczynnika korelacji z próby r jest prostszy i sprowadza się do rozkładu t Studenta. Współczynnik determinacji R2 [6] jest jedną z podstawowych miar jakości dopasowania modelu. Informuje o tym, jaka część zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model. Jest on więc miarą stopnia, w jakim model wyjaśnia kształtowanie się zmiennej objaśnianej. Można również powiedzieć, że współczynnik determinacji opisuje tę część zmienności objaśnianej, która wynika z jej zależności od uwzględnionych w modelu zmiennych objaśniających. Jeśli w modelu występuje wyraz wolny, a do estymacji parametrów wykorzystano metodę najmniejszych kwadratów, to współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0 ; 1]. Dopasowanie modelu jest tym lepsze, im wartość R2 jest bliższa jedności. Wyraża się on wzorem:
- 84 -
R2
∑ ni ∑ ni
1 1
yi ‐y yi ‐y
2 2
,
(5)
gdzie: rzeeczywista wartość w zmieennej Y w m momencie i, waartość teorettyczna zmieennej objaśnnianej (na podstawie p modelu), m śreednia arytmeetyczna emp pirycznych wartości zm miennej objaśnianej. 4. A Analiza wyyników przzeprowadzoonych bada ań Resppondentów podzielono o na 7 grup w wiekowych h w celu sprawdzenia, cczy istnieje związek pomiędzzy wiekiem m ankietow wanego a ttypem udzielanej odp powiedzi. U Udział procentowy twierdząących odpoowiedzi w poszczególn p nych grupacch przedstaawiono na R Rys. 4.1. Najlepszą N znajomoością proceedur (zgodn nie z tym, cco zostało zobrazowaane) wykazaali się ankietowani pomiędzzy 18 a 39 3 rokiem życia, gdyyż udzielilii łącznie 43% poprawnycch < 18 1 lat 3% odpowieedzi, a naajmniejszą respondencci 17% 18 - 28 lat poniżej 18 roku życia – zaaledwie 3% %. 20% Dane tee nie dają jednak j pełn nego obrazuu, 29 - 39 lat 9% gdyż nnie uwzględdniają one liczebnoścci 40 - 49 lat poszczeególnych grrup, dlateg go kolejnym m etapem będzie próba p przeenalizowaniia 50 - 59 lat 17% % 23% udzielonnych oddpowiedzi w cellu 60 - 67 lat wykazaania, czy istnieje zależnośść 11% % pomiędzzy wiekiem m, liczebnośścią grupy a > 67 6 lat liczbą uudzielonych odpowiedzzi. Danne zostały uporządkow wane w takki sposób, że jako zm mienną X przzyjęto liczbbę Rys. 4.11 Udziały proocentowe twie ierdzących od dpowiedzi ej, z podziaałem na grupyy wiekowe reespondentów [3]. responddentów w kategorii wiekowej a jako zmienną Y liczbę udzielonycch odpowieedzi twierddzących. Uttworzono kkorelogram prezentująący wyniki przeprowaadzonego badaniaa (Rys.4.2). Wyznaczon no liniową ffunkcję regrresji o postaaci: y = 0,861x – 1,306, 1
(6)
c . Otrzyman no następu ujące wartoości szacun nkowych którą ooznaczono kolorem czerwonym. błędów średnich:
Δ Δα = ± 0,0885; Δ Δβ = ± 0,4668.
- 85 -
Liczba twierdzących odpowiedzi
7 6 5 4 3 2 1 0 0
2 4 6 8 Liczba a respondentóów w grupie wiekowej
10
Rys. 4.2 Korelogrram dla pyta ania „Czy znaany jest Pani/Panu sposó ób postępowannia po usłyszzeniu sygnaału (komunikaatu)?” [3]
Zalleżność mięędzy badany ymi zmiennyymi jest liniowa, zatem m koniecznyym jest spraawdzenie siły tej zależności za pomocąą współczynnnika korelacji linioweej ρ („r“). O Obliczono wartości składow wych niezbęędnych do wyznaczennia współczynnika – kowariancjję oraz od dchylenia standarddowe badannych zmienn nych: covv (X,Y) = 5,167 σx = 2,449 σy = 2,160 Następnnie obliczonno wartość współczynn w nika korelacj cji liniowej jako: j ρ
5,167 = 0,976 22,449·2,160 0
Zgodnie z tabeelą interprettacji wskaźźnika korelaacji linioweej [1] wartoość większaa od 0,9 świadczzy o tym, że zależność korelacyyjna jest baardzo silna. Silna zaleeżność korrelacyjna w przyppadku analizzowanego pytania p pozw wala stwierrdzić, że pom między wiek ekiem respon ndentów a liczbąą udzielanyych odpow wiedzi twierrdzących nie n istnieje związek lliniowy. Natomiast występuuje powiązzanie liczb by responddentów w grupie a charakteryystyką udzielanych odpowieedzi. Jakoość dopasow wania modeelu określonno za pomoccą współczy ynnika deterrminacji „R2“: R2 = 0,953. Uzyskanny wynik jest bliski jedności, co świadczy o dobrym dopasoowaniu mo odelu do prezentoowanych danych. d Zattem potwieerdza się teeza dotycząca występpowania zaależności liniowejj pomiędzy analizowan nymi zmiennnymi. 5. W Wnioski koońcowe Przeeprowadzonna analiza przypadku p – wybraneg go pytania ankietoweg a go zaprzeczy yła tezie postawiionej we wstępie w mó ówiącej o ttym, iż mo oże istnieć związek ppomiędzy wiekiem w
- 86 -
respondentów a sposobem udzielania przez nich odpowiedzi. Natomiast potwierdziła możliwość występowania korelacji liniowej w wynikach badań ankietowych. Uzyskane rezultaty badania wskazują na istnienie liniowej zależności pomiędzy liczbą ankietowanych w grupie (klasie) a liczbą odpowiedzi pozytywnych. Potwierdzeniem są obliczone wartości współczynnika determinacji „R2“ na poziomie 0,953, co świadczy o dobrym dopasowaniu modelu liniowego do prezentowanych danych oraz współczynnika korelacji liniowej ρ („r“) wynoszącego 0,976. Wartość współczynnika korelacji liniowej bliska jedności potwierdza występowanie bardzo silnego związku korelacyjnego pomiędzy badanymi zmiennymi. Przedstawione wcześniej zależności wykluczają zatem możliwość powiązania sposobu udzielania odpowiedzi z wiekiem respondentów, gdyż liczebność poszczególnych grup była losowa w celu uzyskania jednoznacznych wyników. Wyniki przeprowadzonych badań mogą służyć jako jedna z wytycznych do planowanego programu poprawy świadomości mieszkańców wykorzystującego ulotki informacyjne i broszury (zawierające kompendium wiedzy z zakresu ostrzegania ludności), które będą rozprowadzane w istniejących ośrodkach kulturalno-oświatowych, zakładach pracy, lokalnych mediach i prasie oraz na stronach internetowych. Literatura 1. Greń J.: Statystyka matematyczna – modele i zadania. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1984. 2. Linnik J. W. [tł. Bażańska T.]: Metoda najmniejszych kwadratów i teoria opracowywania obserwacji. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1962. 3. Matuszewska E. [praca magisterska niepublikowana]: Analiza zasad funkcjonowania alarmowej sygnalizacji akustycznej Systemu Wczesnego Ostrzegania oraz ocena umiejętności reagowania mieszkańców po sytuacji nadania informacji o zagrożeniach na przykładzie dzielnicy … miasta Rybnik. Gliwice 2013. 4. Pieriegudow W. [tł. Czerwiński S.]: Metoda najmniejszych kwadratów i jej zastosowanie. Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1967. 5. Rencher A. C., Schaalje G. B.: Linear models in statistics. John Wiley and Sons, Hoboken, NJ 2008. 6. https://www.e-sgh.pl/niezbednik/plik.php
- 87 -
ANALIZA PORÓWNAWCZA ZGONÓW NATURALNYCH I WYPADKOWYCH W POLSKIM GÓRNICTWIE WĘGLA KAMIENNEGO Ewa Matuszewska Politechnika Śląska, Wydział Górnictwa i Geologii 44 – 100 Gliwice, ul. Akademicka 2 E-mail: [email protected] Abstrakt: Artykuł przedstawia problematykę występowania zgonów naturalnych i wypadkowych w polskim górnictwie węgla kamiennego w latach 2009-2013 na podstawie danych statystycznych. Zaproponowano analizę porównawczą z wykorzystaniem wskaźników częstości występowania zdarzeń oraz wybranych metod statystyki opisowej. Abstract: The article presents the problem of the occurrence of natural and accidents deaths in Polish hard coal mining in 2009-2013 on the basis of statistical data. It proposes a comparative analysis using the frequency indexes of events, and selected descriptive statistics methods. 1. Wstęp Kadra menedżerska nowoczesnego przedsiębiorstwa powinna obecnie zwrócić szczególną uwagę na te obszary, które wpływają na poprawę funkcjonowania zakładu oraz kształtują jego pozycję na rynku konkurencyjnym. Sytuacja ekonomiczna przemysłu wydobywczego w Polsce mobilizuje do poszukiwania przyczyn generowanych strat a co za tym idzie określenia działań naprawczych. Obszar dotyczący bezpieczeństwa i higieny pracy jest z pewnością istotny w tej kwestii, gdyż to zasób ludzki – pracownicy są najważniejszym dobrem jakie posiada przedsiębiorstwo. Występowanie niekorzystnych zdarzeń takich jak śmiertelne wypadki przy pracy oraz zgony naturalne powoduje znaczne straty. Podstawową jest utrata wykwalifikowanej oraz doświadczonej kadry, kolejną kwestią jest aspekt ekonomiczny, gdyż właśnie koszty wypadków odgrywają znaczącą rolę w ekonomice przedsiębiorstwa górniczego. Trzeba pamiętać również o aspekcie humanitarnym – w wyniku występowania opisywanych zdarzeń giną ludzie często pozostawiając swoich bliskich wymagających jeszcze opieki [5]. Wszystkie zakłady starają się inwestować w profilaktykę,
- 88 -
lecz często tylko tę narzuconą przez prawo. Obecnie realizacja działań redukujących liczbę zgonów naturalnych w zakładach jest dobrowolna. 2. Cel oraz przedmiot badań Obecnie stosowana jest profilaktyka wypadkowa. Natomiast brak obowiązków prawnych w zakresie zgonów naturalnych. Nie wymusza się na pracodawcy podjęcia działań zapobiegawczych mających na celu poprawę stanu rzeczy w tej kwestii. Analiza ma na celu porównanie parametrów wyznaczonych dla danych dotyczących śmiertelności naturalnej oraz wypadkowości. Powinno to nakłonić pracodawców do podjęcia działań również w zakresie zapobiegania występowaniu zgonów naturalnych w zakładach górniczych. Analizie poddane zostały dane statystyczne dotyczące poszkodowanych zaliczonych do dwóch zbiorów oznaczonych jako zbiór W i zbiór Z. Zbiór W zawiera dane liczbę poszkodowanych w wypadkach śmiertelnych w latach 2009-2013. Jako śmiertelny wypadek przy pracy rozumie się zdarzenie nagłe, wywołane przyczyną zewnętrzną „w wyniku którego śmierć nastąpiła w okresie nieprzekraczającym 6 miesięcy od dnia wypadku“ [7]. Zbiór Z zawiera dane dotyczące zgonów naturalnych definiowanych jako „trwałe, czyli nieodwracalne, ustanie czynności niezbędnych do życia w konsekwencji czego następuje ustanie czynności całego organizmu bez udziału czynników zewnętrznych” [3]. 3. Struktura badanych zjawisk Skale problemu najlepiej obrazuje liczba poszkodowanych w analizowanym pięcioletnim okresie – w wypadkach śmiertelnych zginęło 105 osób, natomiast wskutek zgonów naturalnych zmarło 56. Łącznie za okres 5 lat w kopalniach węgla kamiennego zmarło 161 osób, z czego około 35% wskutek wystąpienia zgonu naturalnego. Składowe każdego ze zbiorów przedstawiono na Rys. 3.1.
40
wypadki śmiertelne (zbiór W)
zgony naturalne (zbiór Z)
Liniowy (wypadki śmiertelne (zbiór W))
Liniowy (zgony naturalne (zbiór Z))
36
30 20 20 8
14
14
21
15 14
13
6
10 0 2009
2010
2011
2012
2013
Rys. 3.1 Zestawienie liczby poszkodowanych w latach 2009-2013 z wyznaczeniem linii trendu [3].
Dla każdego ze zbiorów wyznaczono liniową funkcję regresji postaci: yW = -3,7x + 32,1
(3.1)
yZ = -0,3x + 12,1
(3.2)
Linie trendu naniesiono na Rys.3.1. Zarówno w przypadku liczby poszkodowanych zaliczonych do zbioru W jak również do zbioru Z trend jest malejący, jednak mamy tutaj dane
- 89 -
bezwzględne i nie uwzględniają one redukcji zatrudnienia, które od roku 2009 do roku 2013 zmalało o 11 692 osoby [2]. 4. Wyznaczenie parametrów statystycznych Kolejnym etapem analizy jest wyznaczenie podstawowych miar statystyki opisowej – położenia oraz zmienności. Jako przydatne uznano następujące miary położenia: wartość minimalna i maksymalna zbioru oraz średnia arytmetyczna. Wartość minimalna zbiorów: xminW = 14, xminZ = 6 Wartość minimalna zbioru Z jest dwa i trzy dziesiąte razy mniejsza niż zbioru W. Wartość maksymalna zbiorów: xmaxW = 36, xmaxZ = 15 Wartość maksymalna zbioru W jest dwa i cztery dziesiąte razy większa niż zbioru Z. Średnia arytmetyczna. Wartości średnia arytmetycznej obliczono zgodnie ze wzorem [4]:
̅
∑ni 1 i n
(4.1)
gdzie: xi – warianty cechy mierzalnej, n – liczebność zbioru. Ze względu na charakter prezentowanych danych wartości zaokrąglono do liczb całkowitych z nadmiarem. ̅ W = 21, ̅ Z = 12 Wartość średnia obliczona dla zgonów naturalnych jest jeden i osiem dziesiątych razy mniejsza niż w przypadku śmiertelnych wypadków przy pracy. Wyznaczono również miary zmienności takie jak rozstęp i odchylenie standardowe. Rozstęp. Rozstęp wyznaczono zgodnie ze wzorem [1]: R = xmax - xmin
(4.2)
RW = 22, RZ = 9 Zbiór W charakteryzuje się większym obszarem zmienności, gdyż rozstęp jest około dwa i pół razy większy niż dla zbioru Z. Odchylenie standardowe. Odchylenie standardowe wyznaczono zgodnie ze wzorem [4]:
√ ∑ ̅
(4.3) sW = 9,00, sZ = 3,96
- 90 -
Zbiór W jest bardziej zróżnicowany, ponieważ obliczona wartość odchylenia standardowego jest około dwa i trzy dziesiąte razy większa niż dla zbioru Z. 5. Analiza wskaźnikowa Wypadki śmiertelne oraz zgony naturalne powodują zbliżone skutki – w obu przypadkach dochodzi do zejścia śmiertelnego pracownika na terenie zakładu górniczego co pozostaje w związku z wykonywaną przez niego pracą. Celem porównania skali obu tych zjawisk zaproponowano analizę wskaźnikową w oparciu o wskaźnik częstości wypadków będący stosunkiem liczby zdarzeń do liczby zatrudnionych odniesionym do 1000 zatrudnionych [6]. Wskaźnik ten był stosowany do analizy wypadkowości, natomiast został dostosowany do analizy zgonów naturalnych. Wzór ogólny na wskaźnik częstości występowania zdarzenia (WCZ): (5.1) gdzie: lz – liczba poszkodowanych wskutek zdarzeń, L – wartość odniesienia, mo – mnożnik wynikający z wartości odniesienia. Na podstawie danych statystycznych dotyczących zatrudnienia w górnictwie oraz liczby zaistniałych zdarzeń w poszczególnych latach obliczono wartości wskaźników częstości występowania wypadków na 1000 zatrudnionych (WCZW/1000) oraz częstości występowania zgonów naturalnych na 1000 zatrudnionych (WCZZ/1000) co zestawiono w tabeli 5.1. Tabela 5.1 Wartości wskaźników częstości zdarzeń w latach 2009-2013 w górnictwie węgla kamiennego.
Rok
Zatrudnienie (L)[2]
2009 116140 2010 111911 2011 111032 2012 106103 2013 104448 Suma 549634 Za okres 5 lat
Liczba zdarzeń (lz)[3] zbiór W 36 14 20 21 14 105
zbiór Z 8 14 13 15 6 56
Wskaźnik częstości zdarzeń na 1000 zatrudnionych WCZW WCZZ 0,310 0,069 0,125 0,125 0,180 0,117 0,198 0,141 0,134 0,057 0,191 0,102
W przypadku wskaźnika częstości wypadków śmiertelnych na 1000 zatrudnionych wartości wahają się od wartości 0,310 w roku 2009 do 0,125 w roku 2010, zauważalna jest tendencja spadkowa. Wskaźnik dla zgonów naturalnych najwyższą wartość osiągnął w roku 2012 i było to 0,141 natomiast najniższą w roku 2013 i było to 0,057. W tym przypadku również odnotowuje się tendencję spadkową. Charakterystyczny jest rok 2010 kiedy oba wskaźniki osiągnęły tę samą wartość (0,125). Wartość współczynnika WCZW/1000 obliczona dla całego okresu 5 lat jest 1,9 razy większa od wartości obliczonej dla zgonów naturalnych.
- 91 -
Wskaźnik częstości wypadków śmiertelnych dwa razy osiągnął wartości większe od obliczonej dla okresu 5 lat a wskaźnik częstości zgonów naturalnych 3 razy. Na Rys. 5.1 przedstawiono graficznie obliczone wartości wskaźników częstości wypadków.
0,350
wzskaźnik częstości występowania zgonów naturalnych na 1000 zatrudnionych wartość dla okresu 5 lat - zgony naturalne wskaźnik częstości występowania wypadków śmiertelnych na 1000 zatrudnionych wartość dla okresu 5 lat - wypadki śmiertelne
0,310
0,300 0,250 0,180
0,200
0,191 0,125
0,150
0,141
0,100 0,050
0,198
0,125
0,102
0,117
0,069
0,057
0,000 2009
0,134
2010
2011
2012
2013
Rys. 5.1 Zestawienie wskaźników częstości występowania zdarzeń na 1000 zatrudnionych w górnictwie węgla kamiennego w latach 2009-2013.
6. Podsumowanie Przeprowadzona analiza z wykorzystaniem miar statystyki opisowej oraz wskaźników wypadkowości wykazała, że w zakładach górniczych wydobywających węgiel kamienny koniecznym jest zastosowanie profilaktyki mającej na celu zmniejszenie liczby zejść śmiertelnych podczas pracy. Poszkodowani wskutek zgonu naturalnego stanowią około 53% liczby poszkodowanych w wypadkach śmiertelnych zatem jest to wartość istotna. Również wartości obliczonych miar statystycznych oraz wskaźników oscylują wokół dwukrotnej wartości obliczonych dla wypadków śmiertelnych. Pozytywnym wnioskiem jest wykazanie, że zarówno w przypadku zgonów naturalnych jak i wypadkowych trend w analizowanym okresie był malejący. Zatem wdrażane działania redukujące liczbę zdarzeń ze skutkiem śmiertelnym można uznać za skuteczne co nie zwalnia z konieczności dalszego badania tendencji występowania tych zjawisk oraz wdrażania nowych programów profilaktycznych. Literatura [1] Buga J., Kassyk-Rokicka H.: Podstawy statystyki opisowej, Wyższa Szkoła Finansów i Zarządzania, Warszawa 2008. [2] Opracowanie: Pracujący w gospodarce narodowej, Główny Urząd Statystyczny, Warszawa 2010-2014. [3] Opracowanie: Stan bezpieczeństwa i higieny pracy w górnictwie, Wyższy Urząd Górniczy, Katowice 20102014. [4] Sobczyk M.: Statystyka aspekty praktyczne i teoretyczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii CurieSkłodowskiej, Lublin 2006. [5] Szlązak J.: Wpływ warunków klimatycznych w miejscu pracy i stanu zdrowia pracowników na ocenę ryzyka zawodowego w kopalniach węgla kamiennego, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Tom 8, Zeszyt 4, Gliwice 2013. [6] Studenski R.,Wypadki przy pracy, w: Koradecka D. (red.), Bezpieczeństwo pracy i ergonomia, CIOP, Warszawa, 1999. [7] Ustawa z dnia 30 października 2002 r. o ubezpieczeniu społecznym z tytułu wypadków przy pracy i chorób zawodowych, Dz.U. 2002 nr 199 poz. 1673 z późn.zm.
- 92 -
WYKORZYSTANIE METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW DO WYZNACZENIA WARTOŚCI PARAMETRÓW TEORII WPŁYWÓW PODZIEMNEJ EKSPLOATACJI GÓRNICZEJ NA POWIERZCHNIĘ TERENU Justyna Orwat Politechnika Śląska, Wydział Górnictwa i Geologii 44 – 100 Gliwice, ul. Akademicka 2 E-mail: [email protected] Abstrakt: W artykule przedstawiono sposób wyznaczenia wartości parametrów teorii wpływów W. Budryka – S. Knothego (współczynnika osiadania skał stropowych „a” oraz tangensa kąta β – „tgβ“ określającego promień zasięgu wpływów głównych „r“). Wartości parametrów określono wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów. Metoda ta polega na jak najlepszym dopasowaniu teoretycznych wartości obniżeń terenu górniczego obliczonych wzorem W. Budryka – S. Knothego do ich wartości rzeczywistych uzyskanych na podstawie pomiarów geodezyjnych przeprowadzonych po zakończeniu eksploatacji w pokładach 338/2, 341 i 358/1. Pomiary wykonano na punktach geodezyjnych zastabilizowanych w gruncie w postaci linii obserwacyjnej przebiegającej równolegle do wybiegów wyrobisk ścianowych w pokładzie 338/2. Abstract: In this paper was shown the method of determining of values the Budryk – Knothe theory parameters (‘a’ – a coefficient of roof rocks subsidence and ‘tgβ’ – determining the radius of main impacts range ‘r’). The values of parameters were calculated by using the least squares method. This method is based on the best matching theoretical values of the mining area subsidences defined by the Budryk – Knothe formula to the real values obtained from geodetic measurements which were carried out after the end of exploitation in 338/2, 341 and 358/1 coal beds. The measurements were made on geodetic points stabilized in the ground in form of observation line located parallel to the runs of longwalls in 338/2 coal bed.
- 93 -
Słowa kluczowe: metoda najmniejszych kwadratów, prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej, teoria wpływów Budryka – Knothego, parametry teorii wpływów Budryka – Knothego Key words: the least squares method, prediction of mining exploitation impacts, the Budryk – Knothe theory, parameters of the Budryk – Knothe theory 1.
Wstęp oraz uzasadnienie podjętej tematyki
Aby prawidłowo przewidywać wpływy podziemnej eksploatacji górniczej (przede wszystkim na powierzchni terenu) oraz uczynić ich prognozę jak najbardziej wiarygodną, konieczna jest znajomość poprawnych wartości parametrów teorii wpływów wybranej w prognozowaniu. Należy zaznaczyć, że wartości parametrów nie są stałe i zmieniają się w miarę postępu eksploatacji wraz ze zwiększaniem jej zasięgu i zakresu [5], [7], [9]. Charakteryzują one pewien stan górotworu oraz są właściwe dla danego ośrodka. Wobec tego niezbędne jest ich każdorazowe wyznaczanie po danym etapie eksploatacji, a przed wykonaniem właściwej prognozy wpływów eksploatacji projektowanej w określonym rejonie. W niniejszej pracy zaprezentowano sposób wyznaczenia wartości parametrów geometryczno – całkowej teorii wpływów Budryka – Knothego: współczynnika osiadania skał stropowych „a” oraz tangensa kąta zasięgu wpływów głównych „tgβ” oparty o metodę najmniejszych kwadratów. Metoda ta polega na jak najlepszym dopasowaniu teoretycznych wartości obniżeń terenu górniczego obliczonych wzorem W. Budryka – S. Knothego do ich wartości rzeczywistych uzyskanych na podstawie pomiarów geodezyjnych przeprowadzonych po zakończeniu eksploatacji w trzech pokładach 338/2, 341 i 358/1. Wartości przyjmowane przez te parametry określono w pewnym rejonie w celu późniejszego dokonania prognozy deformacji terenu górniczego, do których może dojść pod wpływem eksploatacji planowanej w kolejnym już w tym rejonie, czwartym pokładzie węgla 364. 2.
Teoretyczne podstawy rozważań – teoria wpływów W. Budryka – S. Knothego1
Podstawowe założenia teorii prognozowania deformacji ciągłych W. Budryka – S. Knothego (z pewnymi rozszerzeniami zaproponowanymi m. in. przez J. Białka w pracy [2]) są obecnie powszechnie stosowane podczas wykonywania prognoz wpływów eksploatacji górniczej na powierzchnię terenu. Teoria ta należy do grupy teorii geometryczno – całkowych, gdyż w zależności (2) opisującej geometryczny ruch obniżeń punktu P o współrzędnych x, y, z w chwili t pod wpływem wyeksploataowania pola o powierzchni dS występują parametry związane z geometrią tego pola: „a“, „g“ i „S“, a także parametr rozproszenia wpływów głównych „r“: r ≈ h / tgβ
(1)
gdzie: h – głębokość eksploatacji, m tgβ – tangens kąta zasięgu wpływów głównych β, –.
1
Teoria W. Budryka – S. Knothego bywa również nazywana teorią S. Knothego, gdyż był on prekursorem tej teorii i jako pierwszy podał wzór opisujący obniżenie. W. Budryk zaproponował natomiast obliczanie przemieszczeń poziomych i odkształceń w oparciu o hipotezę S. G. Awierszyna.
- 94 -
Funkcja wpływów zastosowana przez S. Knothego w opisie geometrycznego ruchu obniżeń punktu P zawiera funkcję Gaussa, a wzór na obliczenie wartości obniżenia w punkcie P jest całką podwójną po powierzchni S: (2) gdzie:
Wk S a g r L
- funkcja wpływów podana przez Knothego w pracy [4] - obniżenie końcowe, m - powierzchnia pola eksploatacyjnego, m2 - współczynnik osiadania skał stropowych, – - grubość eksploatacji (wysokość furty eksploatacyjnej), m - promień zasięgu wpływów głównych, m - odległość punktu P od frontu eksploatacyjnego, m.
Cechą charakterystyczną funkcji wpływów zastosowanej przez Knothego jest pozioma asymptota y = 0, tzn. że dla argumentów x → ± ∞ (czyli x = L) wartości y dążą do 0. Zatem przy znacznych odległościach L punktów od krawędzi frontu eksploatacji wpływy są bliskie zeru. Stosując oznaczenia przyjęte jak na rysunku 1, wzór (2) przyjmuje postać: (3)
L
Rys. 1. Objaśnienie graficzne znaczenia poszczególnych oznaczeń we wzorach (2) i (3) (źródło: [2]) Fig. 1. Graphical explanation meaning of variables in (2) and (3) formulas (source: [2])
- 95 -
3.
Eksploatacja dokonana w omawianym rejonie
Poniżej opisano eksploatację dokonaną w pierwszej dekadzie XXI w. w rejonie eksploatacyjnym znajdującym się w granicach pewnego obszaru górniczego, w którym eksploatowane były trzy pokłady węgla kamiennego: 338/2, 341 oraz 358/1. Pokład 338/2 eksploatowany był jako pierwszy ścianami od B – 1 do B – 4 oraz C – 1 w latach 2001 – 2006 r. systemem podłużnym z zawałem skał stropowych (oznaczony kolorem różowym na rysunku 2). Wysokość furty eksploatacyjnej wahała się od 2,5 m do 3,0 m. Pokład ten zalegał najpłycej (w odniesieniu do pozostałych pokładów) na średniej głębokości wynoszącej około 600 m. Pokład 338/2 zapadał się w kierunku południowo – wschodnim, a średnia wartość kąta nachylenia wynosiła około 5,5°. Pokład 341 w omawianym rejonie eksploatowany był ścianami oznaczonymi od B – 1 do B – 4 również systemem podłużnym z wypełnieniem pustki poeksploatacyjnej skałami zawałowymi (kolor niebieski na rysunku 2). Zasoby węgla kamiennego z tego pokładu pozyskiwane były najpóźniej (w porównaniu ze złożem w pokładach 338/2 i 358/1) w okresie 4 lat od 2007 r. do 2011 r. Pokład 341 zalegał na średniej głębokości równej 635 m – najpłycej położony był w części północno – wschodniej, a najgłębiej w części południowo – wschodniej. Zatem pokład 341 zapadał się w kierunku południowo – wschodnim pod kątem wynoszącym około 5°. Miąższość eksploatacyjna wynosiła tutaj od 2,3 m do 3,0 m. Pokład 358/1 (zaznaczony kolorem zielonym na rysunku 2) w okresie od 2002 r. do 2006 r. eksploatowany był siedmioma ścianami (B – 1 ÷ B – 7) na wysokość od 2,0 m do 2,9 m systemem poprzecznym na zawał z częściowym doszczelnieniem podsadzką hydrauliczną. Pokład ten położony był najgłębiej (w odniesieniu do pokładów 338/2 oraz 341) na średniej głębokości wynoszącej ponad 1000 m. Najpłycej zalegał w części północno – zachodniej, a najgłębiej w części południowo – wschodniej. Upad w kierunku południowo – wschodnim wynosił około 4,5°.
Rys. 2. Krawędzie wyrobisk eksploatacyjnych w pokładach 338/2 (kolor różowy), 341 (kolor niebieski) oraz 358/1 (kolor zielony) oraz linia pomiarowa (kolor czerwony) na tle fragmentu mapy sytuacyjno-wysokościowej (źródło: opracowanie własne) Fig. 2. Edges of longwalls in 338/2 (pink line), 341 (blue line) and 358/1 (green line) coal beds and measurement line (red line) on the background of scrap of the situational – altitude map (source: own study)
- 96 -
4.
Geneza materiału badawczego
Aby możliwe było odtworzenie rzeczywistego profilu niecki obniżeniowej wywołanej eksploatacją pokładów 338/2, 341 i 358/1, konieczne było prowadzenie pomiarów geodezyjnych na punktach obserwacyjnych na stałe zastabilizowanych na powierzchni gruntu tworzących w przybliżeniu prostą lub łamaną. Geodezyjne pomiary obniżeń punktów prowadzono w latach 2001 – 2011 na linii obserwacyjnej położonej w środkowo – wschodniej części rejonu, przebiegającej równolegle do wybiegów ścian B – 1 ÷ B – 4 w pokładzie 338/2 oraz rozciągłości wszystkich pokładów (linię oznaczono kolorem czerwonym na rysunku 2). Linia ta składała się z 28 punktów pomiarowych numerowanych kolejno od 1 do 28 rozmieszczonych średnio co 60 m. Całkowita długość linii wynosiła około 1,638 km. Przemieszczenia pionowe punktów obserwowano metodą niwelacji precyzyjnej ze środka. 5. Wyznaczenie wartości parametrów teorii wpływów metodą najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów [3], [6], [8] jest metodą służącą do wyrównywania empirycznych szeregów statystycznych. Liczby występujące w takich szeregach są z reguły obarczone pewnymi błędami losowymi. Przy pomocy metody najmniejszych kwadratów szeregi statystyczne można „oczyścić“ z błędów losowych. Mając szereg punktów empirycznych (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn) należy a priori ustalić postać funkcji Y = f(x,a,b,c,...), a następnie na ich podstawie tak dobrać wartości parametrów a,b,c,..., aby funkcja Y = f(x,a,b,c,...) możliwie najlepiej „pasowała“ do zaobserwowanych punktów (xi,yi). Rozważania oparte na rachunku prawdopodobieństwa pozwalają uznać za najlepsze takie wartości parametrów a,b,c,..., dla których suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości yi od wartości teoretycznych Yi = f(xi,a,b,c,...) jest możliwie najmniejsza, tzn.: (4) Podstawowym warunkiem przyjęcia przez wyrażenie (4) wartości minimum jest to, aby pierwsze pochodne względem parametrów a,b,c,..., były równe zeru. Korzystając z tych warunków wyznacza się wartości a,b,c,..., zależnie od punktów zaobserwowanych (xi,yi). Wartości parametrów „a” i „tgβ” teorii wpływów W. Budryka – S. Knothego zostały określone metodą najmniejszych kwadratów przy wykorzystaniu pakietu programów komputerowych EDN – OPN służących do prognozowania deformacji terenu górniczego. Program TGB1 dla wszystkich punktów pomiarowych oblicza różnice pomiędzy pomierzonymi na nich wartościami obniżeń Wpom [1] a wartościami obniżeń teoretycznych Wteor obliczonych wzorem (3) z takim przyjęciem wartości parametrów „a” i „tgβ”, by suma tych różnic podniesionych do kwadratu była jak najmniejsza: (5) Wówczas obliczone przez program teoretyczne wartości obniżeń Wteor najbardziej odpowiadają rzeczywistym wartościom osiadań Wpom uzyskanym z pomiarów geodezyjnych.
- 97 -
Dokładność dopasowania modelu teoretycznego do wyników doświadczalnych najlepiej obrazuje współczynnik korelacji „r”. Im bardziej jego wartość bliska jest jedności, tym lepiej wartości teoretyczne odpowiadają empirycznym. Wówczas wnioskować można, że przyjęty model teoretyczny dobrze odwzorowuje sytuację w rzeczywistości i został on dobrany właściwie. Na rysunku 3 przedstawiono dopasowanie teoretycznych wartości obniżeń Wteor obliczonych programem komputerowym (linia czerwona) do wartości obniżeń pomierzonych Wpom (linia zielona) na punktach linii obserwacyjnej.
r = 0,9921
Rys. 3. Dopasowanie obniżeń teoretycznych Wteor - kolor czerwony do pomierzonych Wpom – kolor zielony (źródło: opracowanie własne) Fig. 3. Matching theoretical subsidences Wteor - red line to the measured subsidences Wpom – green line (source: own study)
Wyznaczone w ten sposób wartości parametrów teorii wpływów W. Budryka – S. Knothego wynoszą: współczynnika osiadania skał stropowych „a”: 0,76; tangensa kąta zasięgu wpływów głównych „tgβ”: 3,0. Znając zależność (1) pomiędzy promieniem zasięgu wpływów głównych „r” a tangensem kąta zasięgu wpływów głównych „tgβ”, można obliczyć jego średnią wartość, która wynosi: r ≈ hśr / tgβ ≈ 745 m / 3,0 ≈ 248 m. 6.
Podsumowanie i wnioski końcowe
Z rysunku 3 wynika, że teoretyczne wartości obniżeń obliczone programem komputerowym TGB1 należącym do pakietu programów prognozowania wpływów eksploatacji górniczej EDN – OPN są silnie skorelowane z pomierzonymi wartościami przemieszczeń pionowych punktów obserwacyjnych. Świadczy o tym także wartość współczynnika korelacji „r“ bliska jedności: r = 0,9921. Oznacza to, że model (3) przyjęty do obliczenia teoretycznych wartości osiadań w punktach pomiarowych (teoria wpływów W. Budryka – S. Knothego) dobrze odwzorowuje wyniki badań empirycznych. Należy zatem wnioskować, iż został on dobrany właściwie do obliczenia teoretycznych wartości obniżeń.
- 98 -
Różnice pomiędzy wartościami pomierzonymi a teoretycznymi wynikają przede wszystkim z elementarnych błędów pomiarowych związanych z dokładnością stosowanych przyrządów geodezyjnych (błędy instrumentalne) oraz metod i technik pomiarowych, a także uwarunkowane są indywidualnymi cechami obserwatora (czynnik ludzki). Obliczone wartości parametrów teorii wpływów: współczynnik osiadania skał stropowych „a”: 0,76; tangens kąta zasięgu wpływów głównych „tgβ”: 3,0 (promień zasięgu wpływów głównych „r”: 248 m) zostały określone w możliwie najlepszy sposób i są one estymatorami wartości rzeczywistych wyznaczonymi z największym prawdopodobieństwem uzyskania wartości prawdziwych. Tak obliczone wartości parametrów przyjętej teorii prognozowania wielkości i zasięgu wpływów podziemnej eksploatacji górniczej na powierzchnię terenu zostaną wykorzystane do sporządzenia prognozy wartości deformacji terenu górniczego, do których dojdzie w wyniku eksploatacji czwartego już w tym rejonie pokładu węgla kamiennego 364. Dzięki temu należy spodziewać się, że prognoza będzie wykonana rzetelnie oraz będzie ona obrazować faktyczne wpływy pochodzące od wydobycia zasobów węgla kamiennego z pokładu 364. Adekwatność deformacji prognozowanych do rzeczywistych (poprawność wyznaczenia wartości parametrów przyjętej teorii) będzie można zweryfikować dopiero po zakończeniu prowadzenia eksploatacji w pokładzie 364. Literatura 1. Baran L. W.: Teoretyczne podstawy opracowania wyników pomiarów geodezyjnych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1999. 2. Białek J.: Algorytmy i programy komputerowe do prognozowania deformacji terenu górniczego. Wydawnictwo Pol. Śl., Gliwice 2003. 3. Greń J.: Statystyka matematyczna – modele i zadania. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1984. 4. Knothe S.: Prognozowanie wpływów eksploatacji górniczej. Wydawnictwo „Śląsk”, Cieszyn 1984. 5. Kowalska – Kwiatek J.: Zmienność parametru „tgβ” wraz z rozwojem niecki obniżeniowej. Kwartalnik Górnictwo i Geologia, t. IV, z. 1, Gliwice 2009. 6. Linnik J. W. [tł. Bażańska T.]: Metoda najmniejszych kwadratów i teoria opracowywania obserwacji. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1962. 7. Mielimąka R.: Wpływ kolejności i kierunku eksploatacji prowadzonej frontami ścianowymi na deformacje terenu górniczego. Wydawnictwo Pol. Śl., Gliwice 2009. 8. Pieriegudow W. [tł. Czerwiński S.]: Metoda najmniejszych kwadratów i jej zastosowanie. Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa 1967. 9. Rogusz Z.: Wpływ czynników geologiczno – górniczych na wartość parametru tgβ teorii W. Budryka – S. Knothego w świetle badań terenowych. Praca doktorska, GIG, Katowice 1977.
- 99 -
Statistická analýza dat z oblasti úrazové chirurgie Lenka Přibylová1 , Leopold Pleva2 , Martin Novák3 1
Katedra Aplikované Matematiky, VŠB-TU Ostrava, 2 Traumatologické centrum, FNO, přednosta, 3 Traumatologické centrum, FNO, chirurg E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
Abstract: This contribution concern the application of the statistical analysis of the data of the medicine resort of the traumatic surgery. It was tested using t-test, if expected value of the ratio of the numbers of the mass of the erythrocyte and the blood plasma is equal to one. There were discussed eventually existence of the statistical significant dependence between the length of the artificial pulmonary ventilation, the length of the hospitalization of the patient and the numbers of the mass of the erythrocyte and of the blood plasma which the patient received. Abstrakt: Příspěvek se zabývá aplikací statistické analýzy v oblasti lékařských dat z úrazové chirurgie. Pomocí t-testu bylo testováno, zda je střední hodnota poměru počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy při operacích poúrazových stavů rovna 1 a diskutována existence statisticky významné závislosti mezi délkou umělé plicní ventilace resp. dobou hospitalizace pacienta a počtem mas erytrocytů a krevní plazmy.
1 Charakteristika lékařské studie Lékařská studie z let 2009 - 2013 se zabývala analýzou závislosti délky umělé plicní ventilace a doby hospitalizace pacienta na počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy při operacích poúrazových stavů provedených na traumatologickém oddělení Fakultní nemocnice Ostrava a ověřením vyrovnanosti dodaných poměrů mas erytrocytů a krevní plazmy. Do studie bylo zahrnuto 43 těžce polytraumatizovaných pacientů, jejichž ISS skóre bylo větší než 32. Do studie nebyli zahrnuti pacienti s velmi těžkými poraněními, kterým po přijetí do nemocniční péče podlehli.
- 100 -
2 Úvod do lékařské problematiky Krevní transfúze je proces, během kterého je do krevního oběhu příjemce vpravena krev nebo krevní složky od dárce. Důvodem krevní transfúze při operacích poúrazových stavů bývá často nízká hladina hemoglobinu < 90 g/l, resp. velké krevní ztráty při operaci. O tom, zda pacientovi bude anebo nebude podána krevní transfúze rozhoduje lékař na základě empirických zkušeností, klinického stavu a aktuálních laboratorních výsledků u pacienta. Pokud se při transfúzi u těžce polytraumatizovaných podávají krevní složky, tj. erytrocyty a krevní plazma, je pro ideální průběh léčby žádoucí, aby byl počet dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy vyrovnaný. Umělá plicní ventilace je proces, kdy za pacienta ”dýchá” přístroj. K umělé plicní ventilaci se přistupuje zejména po těžkých úrazech či dlouhých operacích, kdy pacient není schopen sám dýchat anebo kdy je pro pacienta zapojení dýchacích svalů příliš zatěžující a bolestivé např. po operacích v oblasti horní části trávicího traktu, kdy jsou dýchací svaly v oblasti operačního pole narušeny a potřebují se zahojit. O zavedení umělé plicní ventilace a její délce rozhoduje lékař dle klinického stavu pacienta.
3 Statistické zpracování dat Značení proměnných ERY . . . počet dodaných mas erytrocytů (ks/24 h) ČZP . . . počet dodaných mas čerstvě zmrazené krevní plazmy (ks/24 h) UPV . . . délka umělé plicní ventilace pacienta (dny) DH . . . doba hospitalizace pacienta (dny) Základní otázky • Jsou délka umělé plicní ventilace a doba hospitalizace pacienta závislé na počtu dodaných mas erytrocytů a počtu mas krevní plazmy? • Byl dodržen předpoklad vyrovnanosti počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy, tj. ERY : ČZP = 1 ? Struktura řešení problému 1. Zkoumání závislosti délky umělé plicní ventilace na počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy. 2. Zkoumání závislosti doby hospitalizace na počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy. 3. Ověřování vyrovnanosti dodaných počtů mas erytrocytů a krevní plazmy.
- 101 -
Úprava vstupních dat. Jelikož byly zkoumány závislosti, ve kterých figurovaly proměnné ERY a ČZP, byly vyjmuty z datového souboru statistické jednotky, u nichž byla hodnota alespoň jedné z těchto proměnných rovna 0. Původní datový soubor čítající 43 jednotky byl tudíž redukován na datový soubor s 39 statistickými jednotkami.
4. Zkoumání závislosti UPV na ERY a ČZP Pro zkoumání existence závislosti délky umělé plicní ventilace na počtu dodaných mas erytrocytů a počtu dodaných mas krevní plazmy jsme zvolili vícerozměrnou regresní analýzu (multiple regresion models). Metodou vícerozměrné regresní analýzy bylo třeba najít funkci f popisující závislost UPV na ERY a ČZP UPV = f (ERY, ČZP). Nejprve jsme provedli identifikaci vlivných bodů (influental points), které by mohly negativně ovlivnit výsledky. V souboru jsme nalezli 3 vlivné body, které jsme posléze z datového souboru vyjmuli. Poté jsme provedli vícerozměrnou regresní analýzu bez těchto vlivných bodů, tedy pro údaje od 36 pacientů. Dvourozměrnou regresní analýzu jsme zredukovali na jednorozměrnou regresní analýzu (proměnná ČZP byla z analýzy vyjmuta, neboť odpovídající p-value=0,21), kterou jsme postupně zredukovali na tvar UPV = A + B · ERY = 1, 02 · ERY (parametr A bylo možno vypustit, p-value=0,48). Rovnice jednoduché regresní přímky popisující závislost mezi délkou umělé plicní ventilace a počtem mas erytrocytů by za těchto podmínek měla tvar UPV = 1, 02 · ERY. Diskuse splnění předpokladů. Normalita reziduí nebyla zamítnuta (ShapiroWilkův test, p-value=0,10). Durbinova-Watsonova statistika 1,78 (p-value=0,24) nesvědčila o existenci paralelní autokorelace mezi rezidui. Index determinace 0,61 ukazoval, že model vysvětloval 61% variability UPV, což potvrzovalo o dobrou volbu modelu. Korelační koeficient 0,78 ukazoval na poměrně silnou závislost mezi délkou umělé plicní ventilace a počtem mas erytrocytů. Interpretace výsledků. Co tedy bylo dokázáno? Čím více dostane pacient mas erytrocytů, tím déle bude napojen na dýchací přístroj? Proč mu je tedy lékaři dávají? Nebylo by lepší, kdyby se ty červené krvinky vůbec nepodávaly? Zhoršují dodané masy červených krvinek zdravotní stav anebo je háček někde jinde? Závěr 1. Metodou lineární regrese jsme sice nalezli rovnici, která by popisovala závislost UPV na ERY, pokud by mezi UPV a ERY byla nalezena skutečná kauzalita. Z podstaty problému je jasné, že tato neexistuje. Vzniklá falešná závislost je dána existencí skrytého faktoru, který zdánlivou existenci kauzality způsobuje. Skrytým faktorem je zde patrně skutečnost, že u těžších případů je podáváno více mas erytrocytů. Delší UPV je dáno také tím, že se jedná o těžší úrazy.
- 102 -
5. Zkoumání závislosti DH na ERY a ČZP Při hledání funkční závislosti doby hospitalizace na počtu mas erytrocytů a čerstvě zmrazené plazmy DH = f (ERY, ČZP) jsme nalezli vysoké p-hodnoty pro obě proměnné: p-value(ERY)=0,10, p-value(ČZP)=0,94. Nebyla tudíž prokázána existence statisticky významné závislosti mezi těmito proměnnými. Závěr 2. Doba hospitalizace není závislá ani na počtu dodaných mas erytrocytů ani na počtu dodaných mas krevní plazmy.
6. Ověřování vyrovnanosti dodaných poměrů mas erytrocytů a krevní plazmy Posledním úkolem bylo otestovat, zda je střední hodnota podílu počtu dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy rovna 1 H0 : E(ERY/ČZP) = 1. Místo uvedené hypotézy jsme testovali ekvivalentní hypotézu, zda je střední hodnota rozdílu logaritmů uvedených proměnných rovna 0 H0 : E(ln ERY − ln ČZP) = 0. Z testování byl vyjmut jeden pacient, u něhož hodnota rozdílu logaritmů ERY a ČZP ležela od průměru dál než tři směrodatné odchylky (outlier). Shapiro-Wilkovým testem byla otestována normalita rozdílu logaritmů (p-value=0,12). Poté byla jednovýběrovým parametrickým t-testem testována hypotéza nulovosti rozdílu logaritmů ERY a ČZP H0 : E(ln ERY − ln ČZP) = 0. Značně vysoké p-value (0,73) t-testu pro oboustrannou alternativu potvrdilo pravdivost vstupního tvrzení (H0 nelze zamítnout). Závěr 3. Jelikož se střední hodnota rozdílu logaritmů statisticky významně nelišila od 0, můžeme konstatovat, že se střední hodnota podílu ERY/ČZP statisticky významně nelišila od 1. Pro doplnění byly uvedeny příslušné intervalové odhady. 95% intervalový odhad střední hodnoty rozdílu logaritmů ČZP a ERY P (−0, 21 < E(ln ČZP − ln ERY) < 0, 15) = 0, 95. 95% intervalový odhad střední hodnoty podílu ERY/ČZP P (0, 88 < E(ERY/ČZP) < 1, 41) = 0, 95. Poznámka. Alternativním přístupem k ověřování vyrovnanosti počtu erytrocytů a krevní plazmy je dvouvýběrový párový, tzv Friedmanův test, který testuje hypotézu, zda je střední hodnota diferencí rovna 0. Tento test dává srovnatelné výsledky s výše uvedenými.
- 103 -
7. Závěry Lékaři se domnívali, že délka umělé plicní ventilace závisí jak na počtu mas erytrocytů, tak na počtu mas krevní plazmy (čím víc dodaných mas erytrocytů, resp. krevné plazmy, tím kratší se předpokládala doba umělé plicní ventilace). Metodou lineární regrese jsme sice nalezli rovnici, která by popisovala závislost UPV na ERY, pokud by mezi UPV a ERY byla nalezena skutečná kauzalita. Z podstaty problému je jasné, že taková kauzalita neexistuje. Vzniklá falešná závislost je dána existencí skrytého faktoru, který zdánlivou existenci kauzality způsobuje. Závěr 1. Mezi UPV, ERY a ČZP neexistuje smyslupná statisticky významná závislost. Dalším lékařským předpokladem bylo, že doba hospitalizace pacienta závisí jak na počtu mas erytrocytů, tak na počtu mas krevní plazmy. Závěr 2. Nebyla prokázána existence statisticky významné závislosti mezi dobou hospitalizace a počtem dodaných mas erytrocytů resp. krevní plazmy. Třetím úkolem bylo zjistit, zda byl dodržen poměr ERY/ČZP = 1. Závěr 3. Jednovýběrovým t-testem jsme otestovali, že střední hodnota podílu ERY/ČZP se statisticky významně neliší od jedné. Tento výsledek byl doplněn o příslušný intervalový odhad. Počty dodaných mas erytrocytů a krevní plazmy byly vyrovnané, tudíž byl dodržen poměr ERY/ČZP=1.
Literatura 1. Hebák P., Hustopecký J., Malá I. : Vícerozměrné statistické metody I., II., III., Informatorium, Praha 2005 2. Litschmannová M.: Úvod do statistiky, el. skriptum, VŠB-TU, Ostrava, 2012 3. Meloun M., Militký J., Hill M. : Počítačová analýza vícerozměrných dat v příkladech, Academia, Praha 2005 K vypracování byl použit statistický software Statgraphics, version 5.
Poděkování SGS Článek byl vypracován za podpory projektu SGS VŠB-TUO Grant No. SP 2015/84.
- 104 -
POROVNÁNÍ ÚČINNOSTI PROTEKČNÍCH SYSTÉMŮ U KAROTICKÉHO STENTINGU Marcela Rabasová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Tř. 17.listopadu 15, 708 33, Ostrava - Poruba [email protected] Ondřej Pavlík Iktové centrum a neurologické oddělení, Vítkovická nemocnice a.s. Zalužanského 1192/15, 703 84, Ostrava - Vítkovice [email protected]
Abstrakt: Tato monocentrická, randomizovaná, prospektivní studie porovnává účinnost dvou typů protekčních systémů používaných při karotickém stentingu (CAS), který je alternativou karotické endarterektomie (CEA) při léčbě stenotického postižení vnitřní karotické tepny (ICA). Studie ICSS (International Carotid Stenting Study) prokázala signifikantní nárůst v počtu mikroembolizací u CAS ve srovnání s CEA u symptomatických stenóz a vyhodnotila protekční systémy během CAS jako neúčinné. Cílem naší studie je srovnat bezpečnost a účinnost CAS s klasickou distální protekcí filtrem vůči protekci s obrácením toku v karotidě, tzv. Mo.Ma systémem. Abstract: This single-center, randomized, prospective study compares the effectiveness of two types of protective systems used in carotid artery stenting (CAS), which is an alternative to carotid endarterectomy (CEA) in the treatment of stenosis of internal carotid artery (ICA). The ICSS study (International Carotid Stenting Study) showed a significant increase in the number of microembolizations during CAS in comparison with CEA regarding symptomatic stenosis and evaluated protective systems in CAS as ineffective. The aim of our study was to compare the safety and efficacy of CAS with classical distal protection using filter against protection using flow reversal (Mo.Ma system). 1. Karotický stenting Karotida neboli krkavice (latinsky: arteria carotis), či přesněji společná karotida (arteria carotis communis), je největší krční tepna, která zásobuje krví velkou část mozku, hlavy a krku. Pokud má mozek krve nedostatek, může dojít ke vzniku cévní mozkové příhody. Cévní mozková příhoda (CMP, též iktus, mozková mrtvice nebo mozkový infarkt) patří ve vyspělých průmyslových zemích k třetí nejčastější příčině úmrtí a je jednou z hlavních příčin částečné či trvalé invalidizace. Projevuje se ochrnutím či brněním poloviny těla, poruchami řeči či náhle vzniklou poruchou zraku (dočasná slepota). Příčinou nedostatečného prokrvení mozkové tkáně je buď uzávěr mozkové tepny (tzv. ischemická CMP), nebo krvácení z mozkové cévy (tzv. hemoragická CMP). Správná
- 105 -
1
diagnostika typu CMP je velmi důležitá, neboť léčba je v obou případech odlišná a její nevhodná volba by mohla stav nemocného ještě zhoršit. Incidence CMP v České republice se odhaduje na 250-300 na 100000 případů za rok, přičemž převažují ischemické ikty (80%) nad hemoragickými (20%) [1]. Roční výskyt ischemického iktu se v ČR pohybuje v rozmezí 550-570/100000 obyvatel, roční úmrtnost je 70-80/100000 obyvatel, incidence se zvyšuje s věkem [2]. Riziko vzniku ischemické CMP závisí na přítomnosti rizikových faktorů, které můžeme rozdělit na ovlivnitelné (hypertenze, srdeční onemocnění, ateroskleróza, diabetes mellitus, hypercholesterolémie, dyslipoproteinémie, kouření, alkohol, obezita, polycytémie) a neovlivnitelné (věk, pohlaví, genetická predispozice, rasa). Dle různých zdrojů je 40-50% ischemických iktů způsobeno onemocněním velkých cév (makroarteriopatie), zejména stenózou (patologickým zúžením či zhoršením průchodnosti) karotidy [1,2]. Nejčastější příčinou stenózy vnitřní karotické tepny (ICA) je aterosklerotické postižení, mezi vzácnější příčiny patří např. zánětlivé stenózy, fibromuskulární dysplázie či choroba moyamoya [1]. Mezi hlavní rizikové faktory pro vznik stenózy karotidy patří kouření, cukrovka, vysoký krevní tlak, vysoká hladina cholesterolu v krvi, obezita a nedostatek pohybu. Ateroskleróza („kornatění tepen“) je onemocnění cévní soustavy. Projevuje se formou aterosklerotických plátů či plaku (viz Obrázek 1.1), vzniklých nahromaděním tukové hmoty, bílých krvinek a jiných drobných elementů ve stěně tepny. Plaky začínají jako relativně neškodné tukové shluky, pozorovatelné často i u mladých osob. Postupem času v nich však může dojít k vývoji nekrotizujících buněk, hromadění zbytků buněk a cholesterolových krystalů, čímž dochází ke stenóze, která může vést až k infarktu myokardu.
Obrázek 1.1. Aterosklerotický plak v karotidě odstraněný v rámci karotické endarterektomie
V léčbě stenotického postižení karotid se uplatňují tři postupy – konzervativní terapie medikamenty, karotická endarterektomie (CEA) a karotický stenting (CAS). Klasická konzervativní terapie je základem léčby každého stenotického postižení tepen. Spočívá v identifikaci rizikových faktorů aterosklerózy, jejich eliminaci a v trvalém podávání antiagregancií (látek snižujících agregaci krevních destiček). Intervenční metodou v léčbě karotické stenózy je karotická endarterektomie. Principem této operace je odstranění aterosklerotického plátu, který tepnu zužuje v její krční části. Z řezu na boční straně krku se tepna obnaží, v místě aterosklerotického plátu se rozřízne, sklerotický plát se odstraní, vnitřní průsvit se dokonale vyčistí a tepna se zašije s pomocí malé záplaty, která tepnu v místě původního zúžení ještě rozšíří. Alternativou k CEA je karotický stenting. Jedná se o metodu, při níž je vpichem z třísla zaveden do místa zúžení tepny stent (speciální trubička), čímž dojde k roztažení postižené cévy. Tato metoda je miniinvazivní, pro pacienta méně zatěžující a preferuje se zejména u pacientů: 1) u kterých došlo k restenóze (opětovné zúžení již předtím operované karotidy), 2) kteří prodělali v minulosti operaci krku či ozařování nebo u kterých by byla stenóza karotidy při operaci obtížně přístupná,
- 106 -
2
3) ve vyšším věku nebo se závažnými přidruženými chorobami, pro které by operace představovala příliš vysoké riziko. Spolu s rozvojem karotického stentingu dochází i k rozvoji protekčních zařízení, která mají chránit mozek před embolizací (pohybem embolu – vmetku, z místa, kde vznikl, do oblasti, kterou ucpe) z místa stentingu. Protekční systémy se v současné době dělí na dvě skupiny. První skupinou je distální protekce tzv. košíčkem, který se rozvine v intervenované tepně distálně od místa výkonu. V případě uvolnění embolického materiálu je předpoklad, že košíček tvořený membránou s póry řádově v desítkách až stovkách μm tento materiál zachytí a zabrání jeho embolizaci do mozkových tepen. Na konci výkonu je košíček zavřen a vytažen z cévního oběhu i s uvolněným embolickým materiálem. Proximálni protekce (Mo.Ma systém) funguje na principu zastavení a dočasného obrácení toku v intervenované tepně. Pomocí 2 balónků se provede okluze společné karotické tepny (CCA) a zevní karotické tepny (ECA) k vyloučení kolaterálního oběhu. V zastaveném řečišti se provede karotický stenting, po výkonu je aspirací přechodně obrácen tok krve za okluzí CCA (v místě intervence) a případný uvolněný embolický materiál je aspirován a odstraněn z krevního řečiště. 2. Cíl studie a popis souboru Cílem naší studie je porovnat bezpečnost distální protekce filtrem vůči protekci proximální pomocí záchytu nových ischemických lézí na magnetické rezonanci mozku (MRI) po prodělaném karotickém stentingu. Vzhledem k principu obou protekčních zařízení se předpokládalo, že výskyt nových ischemických lézí bude nižší ve skupině Mo.Ma. Ačkoliv jsou protekční zařízení během CAS používána v dnešní době zcela rutinně, je jen málo randomizovaných prací, které by se účinností těchto zařízení zabývaly. Bezpečností CAS a CEA a také efektivitou protekčních systémů se zabývala studie International Carotid Stenting Study (ICSS) [3], ta však vyhodnotila protekční systémy během CAS jako neúčinné. Studie je koncipována jako prospektivní, randomizovaná, monocentrická. Pacienti Vítkovické nemocnice, kteří byli indikační komisí složené z angiologa, cévního chirurga a neurologa indikováni ke karotickému stentingu, byli konsekventně randomizováni do dvou skupin. Skupina první byla stentována s protekcí distální (skupina Filtr), skupina druhá s protekcí proximální (skupina Mo.Ma). Pacienti udělovali souhlas s provedením karotického stentingu a MRI mozku. Studie byla schválena Etickou komisí Vítkovické nemocnice. Od ledna 2012 do poloviny roku 2014 bylo randomizováno 73 pacientů, z nichž 19 bylo z různých příčin (dodatečně zjištěné kontraindikace, odmítnutí výkonu nebo MRI mozku pacientem, komplikace při výkonu, náhlé poruchy MRI přístroje) ze studie vyřazeno. Odstentováno bylo tedy celkem 54 pacientů, z toho 37 ve skupině Filtr a 17 ve skupině Mo.Ma. V analyzovaném souboru bylo 12 žen a 42 mužů, s průměrným věkem 65,9 ± 6,6 let, nejmladší intervenovaný pacient měl 54 let, nejstarší 79. Celkem 89% pacientů mělo v anamnéze hypertenzi, 26% diabetes mellitus, 67% bylo kuřáků či někdy v životě pravidelně kouřilo. Ze sledovaného souboru prodělalo v minulosti 33% cévní mozkovou příhodu, 28% tranzitorní ischemickou ataku a 4% amaurosis fugax. 31% pacientů v souboru bylo léčeno současně pro ischemickou chorobu dolních končetin a 30% pro ischemickou chorobu srdeční. 3. Analýza dat
- 107 -
3
Bezpečnost distální protekce filtrem a protekce proximální byla hodnocena na základě počtu nově zachycených ischemických lézí na magnetické rezonanci mozku (MRI). Ve skupině Filtr (n = 37) byly zachyceny nové ischemické léze u 35% pacientů (n = 13), ve skupině Mo.Ma (n = 17) byl záchyt 24% (n = 4). Tabulka 3.1. Výskyt nových ischemických lézí Počet pacientů
Pacienti s ischémií [%]
Filtr
37
13 (35%)
Mo.Ma
17
4 (24%)
Celkem
54
17 (31%)
K statistickému vyhodnocení významnosti rozdílu mezi výskytem nových ischemických ložisek u skupiny Mo.Ma a Filtr byl použit test homogenity dvou binomických rozdělení [3]. Jelikož tento test vyžaduje větší rozsahy porovnávaných souborů, než máme k dispozici, byl zde zároveň použit test homogenity založený na cyklometrické transformaci stabilizující rozptyl [4], oba testy však vedly ke stejnému závěru. Test homogenity dvou binomických rozdělení Předpokládejme, že pravděpodobnost náhodného jevu A je v pokuse prováděném za podmínek P1 rovna číslu 1 a v pokuse prováděném za podmínek P2 číslu 2. Nechť v sérii 1 pokusů nezávisle opakovaných za podmínek P1 nastal jev A x-krát a v sérii 2 pokusů nezávisle opakovaných za podmínek P2 y-krát. Označme p1 = x/ 1 bodový odhad pravděpodobnosti 1 a p2 = y/ 2 bodový odhad pravděpodobnosti 2. Pro testování hypotézy H0: 1 = 2 používáme testovou statistiku ( p1 p2 ) ( 1 2 ) , T ( X, Y ) p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2 která má za předpokladu platnosti nulové hypotézy přibližně normované normální rozdělení N(0;1). Padne-li pozorovaná hodnota této statistiky do kritického oboru (tzn. p-value < zvolená hladina významnosti), nulovou hypotézu zamítáme. Pro provedení testu musíme mít k dispozici výběry o dostatečných rozsazích, 1 a 2 musí splňovat tyto podmínky: 9 9 . n1 , n2 p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) V případě porušení tohoto předpokladu se doporučuje test homogenity, který využívá transformaci stabilizující rozptyl. Pro testování hypotézy H0: 1 = 2 je pak používána testová statistika n1 .n2 T ( X, Y ) 2 arcsin p1 arcsin p2 , n1 n2 která má také (za předpokladu platnosti nulové hypotézy) přibližně normované normální rozdělení N(0;1).
Výsledky analýzy Test homogenity dvou binomických rozdělení: H0: Výskyt ischemických lézí ve skupině Moma je stejný jako ve skupině Filtr
- 108 -
4
HA: Výskyt ischemických lézí ve skupině Moma je menší než ve skupině Filtr hodnota testového kritéria: 0,897 hladina významnosti: 0,05 p-value: 0,185 Závěr: Na hladině významnosti 5% nelze zamítnout hypotézu o shodném výskytu ischemických lézí v obou skupinách (p > 0,05), rozdíl mezi výskytem ischemických lézí v obou skupinách tedy není statisticky významný. Test homogenity dvou binomických rozdělení - cyklometrická transformace: H0: Výskyt ischemických lézí ve skupině Moma je stejný jako ve skupině Filtr HA: Výskyt ischemických lézí ve skupině Moma je menší než ve skupině Filtr hodnota testového kritéria: 0,874 hladina významnosti: 0,05 p-value: 0,191 Závěr: Hypotézu o shodném výskytu ischemických lézí v obou skupinách nezamítáme (p > 0,05), rozdíl mezi výskytem ischemických lézí v obou skupinách není statisticky významný. 4. Závěr Studie porovnávala bezpečnost dvou protekčních systémů používaných při karotickém stentingu – distální protekce filtrem a proximální protekce. Jako kritérium pro toto porovnání byl zvolen počet nově zachycených ischemických lézí na magnetické rezonanci mozku po prodělaném výkonu. Pomocí testu homogenity dvou binomických rozdělení a jeho variantě využívající cyklometrickou transformaci stabilizující rozptyl, která se doporučuje pro porovnání výběrů s malými rozsahy, byla testována hypotéza o shodném výskytu ischemických lézí ve skupině Mo.Ma (proximální protekce) a Filtr (distální protekce filtrem). Ačkoliv ve skupině Mo.Ma byl zachycen trend k lepším výsledkům, ani jeden z testů neshledal rozdíl mezi výskytem ischemických lézí v obou skupinách statisticky významným. Literatura [1] [2] [3]
[4]
Bednařík, J., Ambler, Z., Růžička, E. a kol. Klinická neurologie. Praha: Triton, 2010. ISBN 978‐80‐7387‐389‐9. Lojík, M., Krajčíková, D., Krajina, A. Stenózy karotických tepen – endovaskulární léčba. Postgraduální medicína, 2008, 2, 143‐148. Bonati, L.H., Jongen, L.M., Haller, S., Flach, H.Z., Dobson, J., Nederkoorn, P.J. et al. New ischaemic brain lesions on MRI after stenting or endarterectomy for symptomatic carotid stenosis: a substudy of the International Carotid Stenting Study (ICSS). The Lancet Neurology, 2010, 9(4), 353‐362. Anděl, J. Statistické metody. Praha: MATFYZPRESS, 2003. ISBN 80‐86732‐08‐8.
Poděkování Práce vznikla díky podpoře grantu The European Development Fund in the IT4Innovations Centre of Excellence, CZ.1.05/1.1.00/02.0070.
- 109 -
5
JAK STUDENTI VYSOKÝCH ŠKOL VNÍMAJÍ VYUŽITÍ MATEMATIKY V PRAKTICKÉM ŽIVOTĚ Dana Smetanová, Jana Vysoká Katedra informatiky a přírodních věd, VŠTE České Budějovice Okružní 517/10, 370 01 České Budějovice E-mail : [email protected], [email protected] Abstrakt: Příspěvek se zabývá otázkou, jakým způsobem studenti tří vysokých škol (kombinované a denní formy studia) vnímají využití matematických poznatků ve svém životě. Soustředily jsme se na rozdíly mezi uvažováním studentů kombinované a denní formy studia. Abstract: This paper describes the results of a research, which was conducted at three schools. With the use of a questionnaire there were investigated attitudes of the students of two different forms of study towards mathematics. Especially, if the students are aware of using their mathematical knowledge in everyday life. The aim of this paper is analyze differences between the two groups. ÚVOD V dnešní době se ve výuce matematiky na vysokých školách stále častěji setkáváme s nepříjemným jevem, který má svůj původ již ve výuce matematiky na základních a středních školách. Na těchto typech škol lze sledovat velký příklon k humanitním vědám na úkor věd přírodních a technických. Tato skutečnost se bohužel projevuje následně i při studiu přírodovědných a technických oborů na vysokých školách. Proto považujeme za velmi důležité zmapovat kvalitu matematických znalostí, se kterými studenti přicházejí na vysoké školy a přistupovat k jejich nápravě ([1], [2], [7], [9]). V dnešní společnosti je bezesporu kvalita života přímo úměrná tomu, jakou měrou využíváme poznatky především z technických a přírodních věd v praxi. Proto je důležité vědět, jakým způsobem studenti vnímají využití přírodovědných a technických oborů v běžném životě. Svůj výzkum jsme zaměřily na to, jak studenti vnímají využití matematiky ve svém životě. Záměrně jsme pro porovnání zvolily dvě různorodé skupiny studentů, na jedné straně studenty kombinované formy s rozvinutou životní zkušeností, na straně druhé studenty denní formy, kteří studují učitelské obory. Zajímalo nás zejména: - zda se tyto skupiny budou v některých a v kterých odpovědích výrazně lišit či shodovat, - zda se v odpovědích projeví větší životní zkušenost u studentů kombinované formy,
- 110 -
- zda odpovědi ovlivní fakt, že studenti denního studia jsou budoucí profesionálové, kteří by měli zvládnout vysvětlování matematických pojmů svým žákům či studentům. POPIS ZKOUMANÉHO VZORKU A METODY VÝZKUMU Do průzkumu byli náhodně vybráni studenti tří vysokých škol (VŠTE v Českých Budějovicích, Univerzita Hradec Králové v Hradci Králové, Univerzita Palackého v Olomouci) viz Obr. 1.
Obr.1. Rozdělení respondentů jednotlivých škol Z VŠTE byli do ankety zahrnuti studenti kombinovaného studia oborů Doprava, Stavitelství, Strojírenství a Ekonomika. Převážná většina z nich (118 osob) byli studenti oboru Ekonomika. Jednalo se celkem o 174 respondentů. Studenti byli zastoupeni v různém věkovém rozmezí. Rozpětí času od maturity bylo v intervalu od 10 měsíců až do 30 let. Anketní průzkum zde proběhl v březnu roku 2014. Na začátku dubna roku 2014 byl realizován průzkum na Univerzitě Hradec Králové mezi studenty denního studia. Ankety se zúčastnilo 50 lidí studujících učitelství matematiky pro ZŠ a SŠ v kombinaci s dalším předmětem. Průzkum proběhl na UP v Olomouci v únoru roku 2015 a zúčastnilo se ho celkem 44 osob studujících denní studium učitelství matematiky pro SŠ v kombinaci s druhým předmětem. Studenti na všech třech vysokých školách byli vybráni náhodně. Vzhledem k vypovídající hodnotě byl dotazník prováděn anonymně. Názory mužů a žen nevykazovaly výrazné rozdíly, proto je nevyhodnocujeme zvlášť Na základě studia odborné literatury ([4], [5], [6]) byl zvolen jako výzkumná metoda anonymní dotazník vlastní konstrukce s osmnácti otázkami. Několik otázek bylo inspirováno výzkumným šetřením PISA [3]. Nebyly však převzaty doslovně, musely být upraveny pro potřeby zkoumání vysokoškolských studentů. Bylo tedy částečně změněno znění dotazů, případně byly připojené další varianty odpovědí, které lépe korespondují s mentalitou zkoumaného vzorku. Vzhledem k rozsáhlosti průzkumu zabývajícího se různými aspekty spjatými s vyučováním matematice a jejím studiem jsme se omezily pouze na otázku týkajících se využití matematiky v běžném životě a souvislosti mezi odpověďmi dvou různorodých skupin – lidí z praxe a studentů učitelství. Vyhodnocení všech odpovědí studentů VŠTE je možné nalézt v článku [8]. Kompletní znění dotazníku je k dispozici u autorek článku. Odpovědi studentů jsou vyhodnoceny v následujícím odstavci.
- 111 -
ODPOVĚDI STUDENTŮ Velmi zajímavým se jeví přístup ve vnímání využitelnosti matematiky v životě. Proto jsme se v tomto článku zaměřily na rozbor otázky, kdy měli studenti uvést nějaký matematický poznatek, který využili v praxi. Odpovědi studentů pak lze rozdělit do několika skupin: - naučené školské fráze a využití v učebním procesu, - využití v práci, - běžný život, - koníčky. Naučené školské fráze používali ve velké míře studenti učitelství na obou dvou školách. Většinou byla uvedena pouze slova bez jakéhokoliv popisu využití, popis využití se objevoval zřídka např. sčítání, odčítání, dělení, násobení, trojčlenka, procenta, Pythagorova věta, derivace, integrály, počítání s celými a přirozenými čísly, zlatý řez v umění. Naučené školské fráze uváděli i studenti kombinované formy, ovšem jejich výskyt byl v menší míře a většinou byly spojeny i s konkrétním využitím např. Pythagorova věta – vyměřování záhonů, trigonometrie při táboření. Část studentů si uvědomuje, že využívají matematiku i pro školní potřeby: vyšší matematika v mikroekonomii, využití determinantů ve fyzikálních problémech vztahujících se k vlnění atd. Z pochopitelných důvodů se využití poznatků v práci objevuje především v dotaznících studentů kombinované formy. Jedná se o výpočty výplat, provizí, výpočet cen, práce ve směnárně, výpočty spotřeby betonu, plánování skladu, výpočty časů výroby, výpočet pohonů atd. Někteří studenti zmínili obecné využití v práci, ale opět bez bližšího upřesnění. V běžném životě se obě skupiny setkávají především s výpočtem vrácených peněz. Studenti učitelství často doučují matematiku, kdežto studenti kombinované formy doučování uvádějí vyjímečně a především v souvislosti s doučováním svých dětí. Obě skupiny se také shodnou na využití nástrojů matematiky při výpočtu spotřeby barvy na vymalování stěn či materiálu při dláždění, zmiňována je také Pythagorova věta v různých souvislostech a aplikace matematických výpočtů během vaření (výpočet množství surovin). Studenti kombinované formy formulovali pestřejší odpovědi, citujme např.: používám vždy a všude, čtu dětem matematické pohádky, přepočítávám si procenta na termínovaném vkladu. Využití matematiky ve volném čase a koníčcích je zmiňováno v obou skupinách, jako příklad je možno uvést vaření, táborové hry (trigonometrie na stavbu pyramidy) a další. ZÁVĚR Při tomto průzkumu nás zajímalo zejména, zda se odpovědi skupin budou lišit či shodovat a zda je způsob vnímání matematiky u tak rozdílných skupin odlišný. Používání naučených školských frází bylo skutečně zastoupeno ve skupině studentů denního studia učitelství ve velké míře, zároveň nebylo nijak rozvedeno ani vysvětleno. Fráze byly používány také studenty kombinované formy, ovšem v menší míře a většinou s upřesněním situace, ve které se mohou aplikovat. Potvrdilo se, že ve skupině studentů kombinované formy hraje velkou roli životní zkušenost, některým z nich uplynulo od maturity dokonce 30 let. Tento fakt se nejvíce projevil v odpovědích na otázky, kde bylo potřeba uvést příklad fyzikální nebo matematické zkušenosti. Zkušenosti byly pestřejší a ve větší míře spojené s každodenním životem.
- 112 -
Překvapivé bylo, že studenti učitelství si v menší míře spojovali naučené dovednosti s běžným životem. Speciálně u budoucích učitelů bychom samozřejmě očekávali intenzívnější propojení naučených frází s běžným životem, ale lze předpokládat, že se tato situace se získanými zkušenostmi změní. LITERATURA 1.
BOHÁČ, Z., DOLEŽALOVÁ, J., KREML, P. Problems of studying in the first year at VSB - Technical university of Ostrava. In APLIMAT 2014: 13th Conference on Applied Mathematics, Proceedings, 34 – 43, 2014, ISBN 978-80-227-4140-8
2.
BOHÁČ, Z., DOLEŽALOVÁ, J., KREML, P. Selected aspects affecting study results in mathematics, In APLIMAT 2015: 14th Conference on Applied Mathematics, Proceedings, 80 – 88, 2015 ISBN 978-80-227-4143-3
3.
ČESKÁ ŠKOLNÍ INSPEKCE 2013. Datové soubory šetření PISA 2012. [online]. Dostupné z: http://www.csicr.cz/Prave-menu/Mezinarodni-setreni/PISA/Datovesoubory-PISA-2012
4.
GAVORA Peter, Úvod do pedagogického výzkumu. 2., rozš. české vyd. Brno: Paido, 2010. 261 s. ISBN 978-80-7315-185-0.
5.
CHRÁSKA, Miroslav. Metody pedagogického výzkumu: základy kvantitativního výzkumu. Vyd. 1. Praha: Grada, 2007. 265 s. Pedagogika. ISBN 978-80-247-1369-4.
6.
MAŇÁK, Josef, ed. a ŠVEC, Vlastimil, ed. Cesty pedagogického výzkumu. Brno: Paido, 2004. 78 s. Pedagogický výzkum v teorii a praxi; sv. 1. ISBN 8073150786.
7.
RICHTÁRIKOVÁ, D., Mathematics preparatory course and its effectivness, In APLIMAT 2015: 14th Conference on Applied Mathematics, Proceedings, 672 – 681, 2015 ISBN 978-80-227-4143-3
8.
VYSOKÁ, Jana a SMETANOVÁ. Vztah studentů k přírodním vědám – matematice a fyzice. In Sapere Aude 2014 : sborník příspěvků. 1. vyd. Hradec Králové: Magnanimitas, 2014. s. 97-104, 8 s. ISBN 978-80-87952-03-0
9.
ZÁHONOVÁ, V., Influence of Students´ Hight School Mathematics Knowledge on Their Success in Subject Mathematics I, In APLIMAT 2015: 14th Conference on Applied Mathematics, Proceedings, 767 – 773, 2015 ISBN 978-80-227-4143-3
- 113 -
MEZE PRO VLASTNÍ ČÍSLA MATICE Martina Štěpánová
Katedra didaktiky matematiky, MFF UK Praha Sokolovská 83, 186 75 Praha 8 E-mail: [email protected]
Abstrakt: Bez důkazů uvedeme některá méně známá tvrzení o mezích pro vlastní čísla libovolné čtvercové matice. Hlavní pozornost budeme poté věnovat stanovení hranic pro spektrální poloměr (a tedy i pro vlastní čísla) nezáporné matice s využitím grafu matice a nakonec alespoň některé z uvedených mezí porovnáme. Abstract: We state without proofs some not very well known results on the bounds for eigenvalues of an arbitrary square matrix. Then we mainly focus on the determination of bounds for the spectral radius (and therefore also for eigenvalues) of a nonnegative square matrix using the graph of the matrix. Finally, we compare at least some of the stated bounds. Řekne-li se pojem kruh v souvislosti s lokalizací vlastních čísel matice, poměrně často se nám v mysli asociují kruhy Geršgorinovy. Připomeňme znění tzv. Geršgorinovy věty a zformulujme několik jejích méně známých modifikací, k nimž můžeme dospět triviálními úvahami. Bez důkazů uvedeme stručný přehled dalších vztahů vymezujících v komplexní rovině kruhy, v nichž leží všechna vlastní čísla matice.1 Kruhy budou mít střed v počátku souřadnicového systému. Omezení pro vlastní čísla nezáporné matice, lze – poněkud překvapivě – odvodit i z grafu uvažované matice. Tímto způsobem stanovíme jak další kruh komplexní roviny, který obsahuje všechna vlastní čísla nezáporné matice, tak také interval, v němž lze nalézt její spektrální poloměr. 1 Značení V příspěvku budeme uvažovat pouze komplexní čtvercové matice. Matici transponovanou k dané matici A budeme značit AT , jednotkovou matici příslušného řádu budeme zapisovat E. Spektrum matice A, tj. množinu {λ1 , λ2 , . . . , λn } všech (ne nutně různých) vlastních čísel matice A, budeme značit symbolem σ(A) a spektrální 1
V textu budeme často využívat bijekce mezi komplexními čísly a body komplexní roviny ke zjednodušenému, ne zcela přesnému vyjadřování: například místo bod komplexní roviny, který je obrazem vlastního čísla matice, leží . . . budeme psát vlastní číslo matice leží . . .
- 114 -
poloměr matice A, tj. maximum z absolutních hodnot vlastních čísel matice A, symbolem %(A). Graf matice A = (aij ), tj. orientovaný graf s vrcholy 1, 2, . . . , n, v němž existuje orientovaná hrana z vrcholu i do vrcholu j právě tehdy, když aij 6= 0, budeme značit G(A). 2 Geršgorinova věta a její modifikace2 Věta 1: Všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti n [
Γ(A) =
Γi ,
i=1
kde Γi , i = 1, 2, . . . , n, je kruh o středu aii a poloměru s0i =
n X
|aij | .
j=1 j6=i
Kruhy Γi se nazývají Geršgorinovy, jejich sjednocení Γ(A) Geršgorinova množina (nebo též Geršgorinova oblast) matice A. Vlastní čísla matice A a matice AT jsou totožná, Geršgorinovu větu tedy lze vyslovit v mírně pozměněné verzi, v níž jsou poloměry jednotlivých kruhů součty absolutních hodnot prvků ve sloupcích. Věta 2: Všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti Γc (A) =
n [
Γcj ,
j=1
kde Γcj , j = 1, 2, . . . , n, je kruh o středu ajj a poloměru c0j =
n X
|aij | .
i=1 i6=j
K další jednoduché obměně Geršgorinovy věty můžeme dospět, využijeme-li známého poznatku, že vlastní čísla podobných matic A a C −1 AC, kde C je libovolná regulární matice příslušného řádu, jsou tatáž. Po volbě matice C získáme využitím Geršgorinovy věty Geršgorinovu množinu matice C −1 AC. Zvolíme-li matice Ci , i = 1, . . . , k, musí vlastní čísla matice A (a také matic C1−1 AC1 , C2−1 AC2 , . . . , Ck−1 ACk )3 ležet v průniku k příslušných Geršgorinových množin. Místo obecných regulárních matic lze pracovat pouze s regulárními reálnými diagonální maticemi D = diag(d11 , d22 , . . . , dnn ). Uvědomíme-li si, že prvky matice D−1 AD jsou aij djj dii 2
V roce 2004 byla publikována monografie [8] plně věnovaná Geršgorinovým kruhům. Nemusíme samozřejmě maticemi Ci , Ci−1 stále násobit původní matici A, ale můžeme pracovat s postupně vznikajícími maticemi a získat tak krok za krokem k následujících matic: C1−1 AC1 , C2−1 C1−1 AC1 C2 , . . . , Ck−1 . . . C2−1 C1−1 AC1 C2 . . . Ck . 3
- 115 -
(speciálně prvky na její diagonále jsou aii ), získáme požadovanou modifikaci Geršgorinovy věty (upozorněme výslovně, že kvůli regularitě matice D musí dii 6= 0 pro všechna i = 1, 2, . . . , n a že není nutné uvažovat záporná čísla dii , neboť při výpočtu poloměrů kruhů pracujeme s absolutními hodnotami prvků matice). Věta 3: Nechť d11 , d22 , . . . , dnn jsou kladná reálná čísla. Všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti Γdiag (A) =
n [
Γdiag , i
i=1
kde Γdiag , i = 1, 2, . . . , n, je kruh o středu aii a poloměru i s00i =
n 1 X djj |aij | . dii j=1 j6=i
Opět lze formulovat „ sloupcovou verzi“ věty: Věta 4: Nechť d11 , d22 , . . . , dnn jsou kladná reálná čísla. Všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti Γcdiag (A) =
n [
Γcdiag , j
j=1
kde Γcdiag , j = 1, 2, . . . , n, je kruh o středu ajj a poloměru j c00j
= djj
n X 1 i=1 i6=j
dii
|aij | .
Kruhy Γi , Γci , Γdiag , Γcdiag příslušné téže matici mají (pro pevně zvolené i) stejné i i středy. Obecně se však středy Geršgorinových kruhů matic A a C −1 AC liší. 3 Další kruhy obsahující všechny prvky spektra matice Existují vztahy určující meze pro spektrální poloměr matice, v nichž figurují současně sumy absolutních hodnot prvků sčítaných jak po řádcích, tak po sloupcích matice. K jednodušší formulaci několika těchto nerovností, v nichž – vzhledem ke geometrické interpretaci absolutní hodnoty čísla4 – budou opět všechny prvky spektra matice lokalizovány v kruzích či v jejich sjednoceních, je výhodné zavést nové značení. Nejprve připomeňme, že jsme již dříve definovali čísla s0i a c0j : s0i =
n X
|aij |
a
j=1 j6=i
c0j =
n X
|aij | .
i=1 i6=j
4
Geometrická interpretace spektrálního poloměru %(A) obecné matice A je poloměr nejmenšího kruhu v komplexní rovině, jehož střed je v počátku souřadnicového systému a který obsahuje ve své vnitřní oblasti či na hraniční kružnici všechna vlastní čísla matice A.
- 116 -
Pro matici A dále označme si =
n X
|aij | ,
s(A) = min {si },
S(A) = max {si },
|aij | ,
c(A) = min {cj },
C(A) = max {cj }.
i
j=1
cj =
n X
i
j
i=1
j
Nyní uveďme přehled několika tvrzení, která jsou při využití právě zavedené symboliky velmi stručná. Věta 5 (Browne, [3]): Pro komplexní čtvercovou matici A platí nerovnost %(A) ≤
S(A) + C(A) . 2
Aritmetický průměr hodnot S(A) a C(A) lze modifikovat a uvedený vztah tak zpřesnit. Věta 6 (Parker, [7]): Pro komplexní čtvercovou matici A platí nerovnost s j + cj . %(A) ≤ max j 2
Jelikož je geometrický průměr hodnot vždy menší nebo roven průměru aritmetickému, můžeme o zpřesnění Věty 5 mluvit i u následujícího poznatku. Věta 7 (Farnell, [4]): Pro komplexní čtvercovou matici A platí nerovnost %(A) ≤
q
S(A)C(A).
Existuje rovněž věta (viz dále Věta 9), v níž je oblast obsahující všechna vlastní čísla matice vyjádřena, stejně jako u Geršgorinovy věty, jako sjednocení n (ne nutně různých) kruhů, jejichž poloměry jsou odmocniny ze součinu čísel s0i a c0i , a lze tedy na tvrzení pohlížet jako na jakési propojení Geršgorinovy věty a Věty 7. Věta 8 (Ostrowski, [6]): Nechť α ∈ h0; 1i. Potom všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti e Γ(A) =
n [
e , Γ i
i=1
e , i = 1, 2, . . . , n, je kruh o středu a a poloměru kde Γ i ii
s0i α c0i 1−α . Speciálním případem Věty 8 (pro α = 1, resp. α = 0) je Věta 1, resp. Věta 2. Dalším speciálním případem Věty 8 (pro α = 21 ) je následující důsledek vymezující poloměry kruhů pomocí výše zmíněné odmocniny:
- 117 -
Věta 9: Všechna vlastní čísla komplexní matice A = (aij ) řádu n leží v oblasti ˘ Γ(A) =
n [
˘ i, Γ
i=1
˘ i , i = 1, 2, . . . , n je kruh o středu aii a poloměru kde Γ q
s0i c0i .
Spektrální poloměr %(A) matice A je nezáporné reálné číslo, a musí tedy ležet na nezáporné části reálné osy x. Zároveň je evidentní, že musí být obsažen v kruhu (viz obrázek; kruh znázorněný nejsvětlejší zelenou) se středem v počátku souřadnicového systému a s poloměrem max {s0i + |aii |} = max i
i
n X
|aij |
= max {si } = S(A). i
j=1
Spektrální poloměr tedy musí ležet na úsečce, která je průnikem zmíněného kruhu a nezáporné části osy x (viz obrázek; oranžová úsečka). y
S(A
)
0
|a
s'i
ii|
si
x
Platí tedy %(A) ≤ S(A). Ze „ sloupcové verze“ Geršgorinovy věty plyne zcela analogicky nerovnost %(A) ≤ C(A), a proto %(A) ≤ min {S(A), C(A)}. Graficky jsme z Věty 1 a Věty 2 dokázali platnost následující věty, která je opět zpřesněním Věty 5. Věta 10 (Brauer, [2]): Pro čtvercovou komplexní matici A platí nerovnost %(A) ≤ min {S(A), C(A)} .
- 118 -
Obdobně plyne z Věty 3, resp. z Věty 4, že n 1 X %(A) ≤ min djj |aij | , max d11 ,...,dnn >0 i dii
j=1
resp. (
(
%(A) ≤
min
d11 ,...,dnn >0
djj
max j
n X 1 i=1
dii
))
|aij |
,
a tedy platí následující věta. Věta 11: Pro spektrální poloměr %(A) komplexní matice A = (aij ) řádu n platí:
( ) n n 1 X X 1 %(A) ≤ min max |aij | djj |aij | , max djj j d11 ,...,dnn >0 i dii dii j=1
i=1
a také
n 1 X
d11 ,...,dnn >0
j=1
%(A) ≤ min
min
max i dii
djj |aij |
(
,
min
d11 ,...,dnn >0
(
max djj j
n X 1 i=1 dii
))
|aij |
.
Pokud bychom uvažovali pouze n-tici d11 = · · · = dnn = 1, dostali bychom znění Věty 10. Věta 11 je tedy jejím zpřesněním. 4 Spektrální poloměr nezáporných čtvercových matic Uvažujme dále pouze nezápornou čtvercovou matici, tj. čtvercovou matici, jejíž prvky jsou nezáporná reálná čísla. Dle tzv. Perronovy-Frobeniovy teorie je spektrální poloměr %(A) nezáporné matice A jejím vlastním číslem. Spektrální poloměr %(A) proto musí ležet alespoň v jednom z Geršgorinových kruhů dané nezáporné matice. Musí tedy ležet v průniku Geršgorinovy množiny matice A a nezáporné části reálné osy x (viz následující obrázek vlevo; oranžová úsečka). Ještě poznamenejme, že středy Geršgorinových kruhů nezáporné matice leží nutně na nezáporné části reálné osy x. Z toho plyne, že pro nezápornou matici nemůže žádný kruh být umístěn tak, jak je naznačeno na obrázku vpravo. y
0
y
x
0
x
Následující tvrzení o mezích pro spektrální poloměr nezáporné matice zformuloval Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) již v roce 1908.
- 119 -
Věta 12 (Frobenius, [5]): Pro nezápornou čtvercovou matici A je s(A) ≤ %(A) ≤ S(A). Tyto meze mají v případě nezáporné ireducibilní5 matice A navíc zajímavou vlastnost. Nastává pro ně právě jedna z následujících možností: buď
s(A) = %(A) = S(A),
nebo
s(A) < %(A) < S(A).
Využitím poznatku σ(A) = σ(AT ) získáme opět „ sloupcovou verzi“ Věty 12. Věta 13: Pro nezápornou čtvercovou matici A platí c(A) ≤ %(A) ≤ C(A). Z Věty 12 a Věty 13 vyplývá následující věta: Věta 14: Pro nezápornou čtvercovou matici A je %(A) ≥ max {s(A), c(A)} . Hranice vymezené Frobeniem (Věta 12) lze zpřesnit pomocí grafu G(A) příslušné matice A. Studium vztahů mezi spektrálním poloměrem nezáporné matice a grafem matice podnítil Jurij Abdullovič Al’pin svým článkem [1] z roku 1995. Uvědomme si, že ve všech výše uvedených vztazích, v nichž figurují hodnoty si , cj (případně s0i , c0j , s(A), c(A), S(A), C(A)), stačí pro nezáporné matice uvažovat přímo součty prvků, nikoli součty absolutních hodnot prvků v řádku či sloupci. Dále tedy nechť si =
n X
aij ,
cj =
n X
aij .
i=1
j=1
Také upozorněme, že v grafu G(A) nezáporné matice A existuje orientovaná hrana z vrcholu i do vrcholu j právě tehdy, když aij > 0. Definice 1: Posloupnost i1 , i2 , . . . , ik vrcholů grafu, ve které jsou každé dva po sobě jdoucí vrcholy spojeny orientovanou hranou, tj. hrany jdou z i1 do i2 , z i2 do i3 atd. až z ik−1 do ik , nazýváme cestou. Smyčkou nazýváme cestu i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 , pro kterou je i1 = ik+1 . Smyčkou rozumíme rovněž cestu il , il . Cestu i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 nazveme jednoduchou, jestliže jsou její vrcholy navzájem různé s výjimkou vrcholů i1 a ik+1 , které mohou (ale nemusí) být stejné.6 5
Matici nazveme ireducibilní (též nerozložitelnou), jestliže ji nelze pomocí simultánních permutací řádků a sloupců převést na tvar K L , O M kde K a M jsou čtvercové matice řádu alespoň jedna a O je nulová matice. Matice je ireducibilní, jestliže její graf je silně souvislý, tj. každý vrchol grafu je „ dosažitelný“ ze všech ostatních vrcholů. Poznamenejme ještě snadno ověřitelnou vlastnost ireducibilní matice, kterou později použijeme: z ireducibility matice A plyne ireducibilita matice D−1 AD, kde D je diagonální regulární matice. 6 Jednoduchá smyčka je tedy cesta i1 , i2 , . . . , ik , i1 s navzájem různými vrcholy i1 , i2 , . . . , ik . Smyčku il , il proto považujeme také za jednoduchou.
- 120 -
Definice 2: Váhou cesty i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 rozumíme součin si1 si2 . . . sik a průměrnou váhou této cesty geometrický průměr 1
(si1 si2 . . . sik ) k . Upozorněme, že při výpočtu váhy, resp. průměrné váhy cesty s k + 1 vrcholy počítáme součin pouze k řádkových součtů. Příklad 1: Nalezněte spektrum σ(A) matice A=
0 0 1 0 0
6 0 5 0 9
0 0 9 0 2
3 4 2 0 7
0 0 8 0 4
.
Příslušná charakteristická matice A − λE má tvar
−λ 6 0 3 0 0 −λ 0 4 0 1 5 9−λ 2 8 0 0 0 −λ 0 0 9 2 7 4−λ
,
˜ a tedy polynom det(A−λE) lze psát ve tvaru −λ·det(A−λE), kde A˜ je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 4. řádku a 4. sloupce. Matice A˜ však má opět nulový řádek. Tento 2. řádek a rovněž 2. sloupec vyškrtneme. Polynom det(A − λE) lze ˆ proto psát ve tvaru λ2 ·det(A−λE), kde Aˆ je matice získaná z matice A vyškrtnutím 4. a 2. řádku a současně 4. a 2. sloupce. Pokud nová matice obsahuje opět nulový řádek, pokračujeme dále s vyškrtáváním řádků a sloupců dokud nedostaneme matici bez nulových řádků. V našem konkrétním případě tak vzniká posloupnost matic
0 0 1 0 0
6 0 5 0 9
0 0 9 0 2
3 4 2 0 7
0 0 8 0 4
,
0 0 1 0
6 0 5 9
0 0 9 2
0 0 8 4
,
0 0 0 1 9 8 , 0 2 4
1 9 0 2
!
a jistě σ(A) = {0, 0, 0} ∪ {1, 2} = {0, 0, 0, 1, 2}, kde {1, 2} je spektrum poslední z uvedených matic. Budeme-li tedy hledat spektrum matice s nulovými řádky, nejprve vyškrtáním nulových řádků a příslušných sloupců získáme matici bez nulových řádků, zjistíme její spektrum a přidáme tolik nul, kolik řádků (resp. sloupců) jsme vyškrtli. Matice bez nulových řádků má pro naše další výpočty důležitou vlastnost, musí totiž nutně obsahovat smyčku. Pro graf matice řádu n bez nulových řádků platí, že z každého vrcholu vychází alespoň jedna orientovaná hrana,7 a proto tyto hrany musí alespoň jednu smyčku vytvořit. 7
Celkem je hran v grafu alespoň n. Je jich přesně tolik, kolik je nenulových prvků matice. Z vrcholu i vychází právě tolik hran, kolik je nenulových prvků v i-tém řádku. Do vrcholu j vchází právě tolik hran, kolik je nenulových prvků v j-tém sloupci.
- 121 -
Nechť A je matice bez nulových řádků. Označme v(A) minimální a w(A) maximální hodnotu z průměrných vah všech jednoduchých smyček grafu G(A). Uvažujme nejdříve případ, kdy w(A) = 1. Vyberme vrchol j a dále některou z cest z něj vycházejících. Pokud tato cesta není jednoduchá, obsahuje jistě jednoduchou smyčku. Protože w(A) = 1, váha této jednoduché smyčky není větší než 1. Pokud tuto smyčku – až na její první (a současně poslední) vrchol – z grafu vymažeme, získáme kratší cestu, jejíž váha nebude menší než váha původní cesty. Pokud nově vzniklá cesta i nadále obsahuje jednoduchou smyčku, postup opakujeme dokud nezískáme jednoduchou cestu. Její váha nebude menší než váha původní cesty. Takto lze pracovat se všemi cestami vycházejícími z vrcholu j a poté pro každý vrchol j nalézt jednoduchou cestu s maximální váhou. Maximální hodnotu ze všech vah jednoduchých cest vycházejících z vrcholu j označme dj . Příklad 2: Nalezněte maximální váhy dj pro všechny vrcholy grafu G(A), kde
1 6
0 1 A= 2 1 8
1 10
1 3
0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 . 1 3 1 0 4 8 4 0 0 25 0
Řádkové součty matice jsou 1 s1 = , 2
s2 = 2,
1 s3 = , 2
1 s5 = . 2
s4 = 1,
Graf G(A) je na dalším obrázku vlevo. Pro některé výpočty však bude výhodné, pokud od orientovaného neohodnoceného grafu přejdeme ke grafu orientovanému ohodnocenému. Každé hraně jdoucí z vrcholu i přiřadíme číslo si (viz následující obrázek vpravo). 1 2
1
1 1 2
1 2
1 2
2
2
1
3
3
2
1
4
4
1
1
5
5
1 2
Při využití tohoto ohodnocení spočítáme hodnoty dj velmi snadno. Pro j = 1 musíme „ vyrazit na cestu“ z vrcholu 1, ve výpočtu váhy cesty se tedy nutně vyskytne činitel s1 . V našem konkrétním případě (v němž skutečně w(A) = 1) nemáme jinou možnost, než „ přijít“ do vrcholu 2 (viz následující obrázek vlevo). Váha dosud „ zdolané“ cesty je s1 = 21 . Ve vrcholu 2 se rozhodneme, zda „ se nám vyplatí“ jít
- 122 -
dále. V našem příkladě půjdeme z vrcholu 2 rozhodně dále, protože hrana vycházející z tohoto vrcholu má ohodnocení 2, čímž zvýšíme váhu cesty. „ Dorazíme“ do vrcholu 4. Dále bychom mohli pokračovat z vrcholu 4 buď do vrcholu 3 nebo 5. „ Odchod“ z vrcholu 4 však není nutný (s4 = 1). A „ odchod“ z vrcholu 3 či 5 (při jakékoliv volbě „ trasy“) by snížil váhu cesty. Proto d1 = s1 s2 (= s1 s2 s4 ) =
1 · 2 = 1. 2
Pro j = 2 obdobným postupem dospějeme k tomu, že d2 = s2 (= s2 s4 ) = 2.
1 2
1 1 2
1 2
1 2
1 2
1 1 2
2
1 2
1 2
1
3
2 1
3 2
1
2
1
4
1
1
1 2
5
4
1
1
1 2
5
Dále 1 d3 = s3 (= s3 s1 s2 = s3 s1 s2 s4 ) = , 2
d4 = s4 = 1.
1 2
1 1 2
1 2
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
1
3
2
1
4
1 1
5
2
1
4
1
1
3
1
1 2
5
- 123 -
1 2
Konečně
1 d5 = s5 (= s5 s1 s2 = s5 s1 s2 s4 ) = . 2 1 2
1 1 2
1 2
1 2
2 1
3
2
1
4
1
1 1 2
5
Pokračujme nyní v obecném výkladu. Pro dané i označme maxi→j {dj } maximum z takových dj , pro které existuje orientovaná hrana z vrcholu i do vrcholu j. Z uvedeného je zřejmé, že di = si max {dj } , i→j
v případě, že maxi→j {dj } ≥ 1, nebo di = si , v případě, že maxi→j {dj } < 1 (jedná se o speciální případ, v němž pouze odejdeme z i-tého vrcholu a jakékoliv pokračování v cestě by snížilo její váhu – viz například d4 v našem konkrétním příkladě). Zcela jistě platí n X
aij dj ≤ si max {dj } . i→j
j=1
Je-li maxi→j {dj } ≥ 1, je tedy n X
aij dj ≤ si max {dj } = di , i→j
j=1
(∗)
a je-li maxi→j {dj } < 1, je n X
aij dj ≤ si max {dj } < si = di . i→j
j=1
Proto je v obou případech
n X
aij dj ≤ di ,
j=1
neboli
n X aij dj j=1
di
≤ 1.
- 124 -
(∗∗)
Uvažujme nyní nezápornou matici A = (aij ), pro niž w(A) = 1, a diagonální matici D, jejíž prvky na diagonále jsou po řadě d1 , d2 , . . . , dn . Potom je aij dj di
−1
D AD =
!
a z poslední uvedené nerovnosti plyne, že řádkové součty nj=1 aijdidj nezáporné matice D−1 AD nepřevýší hodnotu 1 = w(A). Dle Frobeniova tvrzení (Věta 12) jsme tak dokázali, že spektrální poloměr matice D−1 AD, a tedy i matice A, je menší nebo roven w(A), tj. %(A) ≤ w(A). Zatím však máme tuto nerovnost ověřenou pouze pro nezápornou čtvercovou matici A, pro niž w(A) = 1. Je přirozené se ptát, zda tento vztah platí obecně. Nechť A je nezáporná čtvercová matice bez nulových řádků s libovolnou8 hodnotou w(A), nechť si jsou příslušné řádkové součty. Potom pro řádkové součty w si matice w(A)−1 A platí rovnosti P
w si
= w(A)−1 si ,
i = 1, . . . , n,
a proto průměrnou váhu cesty i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 grafu G w(A)−1 A vypočítáme pomocí vztahu 1
( w si1 w si2 . . . w sik ) k = w(A)−k si1 si2 . . . sik
1
k
1
= w(A)−1 (si1 si2 . . . sik ) k .
Tudíž pro matici w(A)−1 A je jistě w w(A)−1 A = 1 a z výše dokázaného plyne, že
spektrální poloměr % w(A)−1 A matice w(A)−1 A není větší než 1. Protože rovnost w(A)−1 Ax = λx, kde x je nenulový sloupcový vektor (vlastní vektor matice w(A)−1 A příslušný vlastnímu číslu λ), je ekvivalentní rovnosti Ax = w(A)λx, spektrální poloměr %(A) matice A není větší než w(A). Obdobně uvažujme nezápornou čtvercovou matici A bez nulových řádků, pro kterou v(A) = 1. Pro každý její vrchol j lze jistě nalézt cestu, která ve vrcholu j začíná a má ze všech cest vycházejících z vrcholu j minimální váhu. Tuto váhu označme fj . Analogicky jako výše pro dané i označme mini→j {fj } minimum z takových fj , pro které existuje orientovaná hrana z vrcholu i do vrcholu j. Potom je fi = si min {fj } , i→j
v případě, že mini→j {fj } ≤ 1, nebo f i = si , v případě, že mini→j {fj } > 1. Dále je vždy
n X j=1
aij fj ≥ si min {fj } . i→j
Je-li mini→j {fj } ≤ 1, je n X
aij fj ≥ si min {fj } = fi ,
j=1 8
i→j
Zřejmě je však číslo w(A) kladné.
- 125 -
a je-li mini→j {fj } > 1, je n X
aij fj ≥ si min {fj } > si = fi . i→j
j=1
Proto je v obou případech
n X
aij fj ≥ fi ,
j=1
neboli
n X aij fj
fi
j=1
≥ 1.
Uvažujme nezápornou matici A = (aij ), pro niž v(A) = 1, a diagonální matici F , jejíž prvky na diagonále jsou po řadě fj . Potom F
−1
aij fj fi
BF =
!
,
a tedy řádkové součty nj=1 aijfifj nezáporné matice F −1 AF nejsou menší než 1 = v(A). Dle Frobeniova tvrzení (Věta 12) spektrální poloměr matice F −1 AF , a tedy i matice A, je větší nebo roven v(A), tj. %(A) ≥ v(A). Nechť A je libovolná nezáporná čtvercová matice bez nulových řádků. Potom v v(A)−1 A = 1. Proto % v(A)−1 A ≥ 1, a tedy %(A) ≥ v(A). Dokázali jsme tak hlavní teorém tohoto textu: P
Věta 15 (Al’pin, [1]): Nechť A je nezáporná čtvercová matice bez nulových řádků, %(A) její spektrální poloměr, v(A) minimální a w(A) maximální průměrná váha jednoduchých smyček grafu G(A) matice A. Potom je v(A) ≤ %(A) ≤ w(A). Jelikož hodnota s(A) není větší než geometrický průměr několika hodnot si a hodnota S(A) není menší než geometrický průměr několika hodnot si , je zřejmě s(A) ≤ v(A) ≤ w(A) ≤ S(A), tj. Frobeniovy meze (Věta 12) jsou obecně méně přesné než Al’pinovy (Věta 15). Ukažme užití Věty 15 na konkrétní matici A z Příkladu 2. V grafu G(A) existuje celkem šest jednoduchých smyček. V jejich následujícím přehledu není uveden poslední vrchol cesty, který je shodný s jejím prvním vrcholem. U každé smyčky je spočítána její průměrná váha (hodnoty jsou zaokrouhleny na dvě desetinná místa). 1
1
•1
(s1 ) 1 = ( 12 ) 1 =
•4
(s4 ) 1 = 1 1 = 1
• 4, 5
(s4 s5 ) 2 = (1 · 12 ) 2 ≈ 0, 71
• 1, 2, 4
(s1 s2 s4 ) 3 = ( 12 · 2 · 1) 3 = 1
• 1, 2, 4, 3
(s1 s2 s4 s3 ) 4 = ( 12 · 2 · 1 · 21 ) 4 ≈ 0, 84
• 1, 2, 4, 5
(s1 s2 s4 s5 ) 4 = ( 12 · 2 · 1 · 21 ) 4 ≈ 0, 84
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
- 126 -
Je tedy 21 ≤ %(A) ≤ 1. Porovnejme tento odhad s Frobeniovými nerovnostmi: 1 ≤ %(A) ≤ 2. Protože sloupcové součty matice A jsou 2 c1 =
107 , 120
1 c2 = , 3
1 c3 = , 4
c4 =
111 , 40
1 c5 = , 4
jsou v případě „ sloupcové verze“ Frobeniových nerovností (Věta 13) tyto meze ještě . „volnější“: 14 ≤ %(A) ≤ 111 40 Zformulujme nyní „ sloupcovou verzi“ Věty 15. Nejprve si uvědomme, že grafy G(A) a G(AT ) se liší pouze orientací hran. Smyčky těchto grafů se liší pouze pořadím svých vrcholů, což však, vzhledem ke komutativitě násobení, nehraje při výpočtu jejich (průměrné) váhy roli. Podstatným rozdílem je skutečnost, že hrany grafů jsou ohodnoceny jinými čísly (hrany grafu G(A) řádkovými součty matice A, hrany grafu G(AT ) řádkovými součty matice AT , neboli sloupcovými součty matice A). Dále definujme dva nové pojmy. Definice 3: Sloupcovou váhou cesty i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 rozumíme součin ci1 ci2 . . . cik a průměrnou sloupcovou váhou této cesty geometrický průměr 1
(ci1 ci2 . . . cik ) k . Nyní již nám nic nebrání vyslovit následující větu.9 Věta 16: Nechť A je nezáporná čtvercová matice bez nulových sloupců, %(A) její spektrální poloměr, v c (A) minimální a wc (A) maximální průměrná sloupcová váha jednoduchých smyček grafu G(A) matice A. Potom je v c (A) ≤ %(A) ≤ wc (A). Uvědomme si, že i pro nezápornou čtvercovou matici A s obecnou hodnotou w(A) je S(D−1 AD) ≤ w(A). Řádkové součty matice D−1 w(A)−1 AD totiž nepřevýší ˇ číslo 1, tedy řádkové součty matice D−1 AD nepřevýší hodnotu w(A). Obdobně −1 lze odvodit, že v(A) ≤ s(F AF ) pro nezápornou čtvercovou matici A s obecnou hodnotou v(A). Platí tedy řada nerovností: s(A) ≤ v(A) ≤ s(F −1 AF ) ≤ %(A) ≤ S(D−1 AD) ≤ w(A) ≤ S(A). Uvedli jsme, že v případě ireducibilních nezáporných matic mají nerovnosti z Věty 12 další vlastnost. Podívejme se, zda pro ireducibilní nezápornou matici A 9
Pokud bychom se chtěli vyhnout zavedení dvou nových pojmů, lze Větu 16 ekvivalentně formulovat takto: Věta 16 B: Nechť A je nezáporná čtvercová matice bez nulových sloupců, %(A) její spektrální poloměr, v(AT ) minimální a w(AT ) maximální průměrná váha jednoduchých smyček grafu G(AT ) matice AT . Potom je v(AT ) ≤ %(A) ≤ w(AT ).
- 127 -
platí obdobné tvrzení i u nerovností z Věty 15, tj. zda z rovnosti w(A) = %(A) (nebo v(A) = %(A)) plyne vztah v(A) = %(A) = w(A). Pracujme opět s případem w(A) = %(A) = 1. Z uvedené řady nerovností plyne, že S(D−1 AD) = 1. Potom pro ireducibilní nezápornou matici D−1 AD je (podle dovětku Věty 12) též s(D−1 AD) = %(D−1 AD) = 1, tj. všechny řádkové součty matice D−1 AD jsou 1, neboli – symbolicky zapsáno – platí n X aij dj = 1. j=1 di Případ, kdy existuje takové i, že maxi→j {dj } < 1, vede ke sporu (viz (∗∗)), neboť by muselo být n n X X aij dj =1 a současně aij dj < di , j=1 j=1 di tj. pro ireducibilní nezápornou matici A, pro kterou w(A) = 1 a existuje alespoň jedno i takové, že maxi→j {dj } < 1, není možné rovnost w(A) = %(A) předpokládat. Zcela analogicky bychom odvodili, že pro ireducibilní nezápornou matici A, pro niž v(A) = 1 a pro niž existuje alespoň jedno i takové, že mini→j {fj } > 1, není možné předpokládat rovnost v(A) = %(A). Při využití triku s maticí w(A)−1 A, resp. v(A)−1 A bychom dospěli k tomu, že pro matici s obecnou největší, resp. nejmenší průměrnou váhou w(A), resp. v(A) je %(A) < w(A), resp. v(A) < %(A). V případě, kdy maxi→j {dj } ≥ 1 pro každé i = 1, 2, . . . , n, je nutně (viz (∗)) n X
aij dj = si max {dj } = di , i→j
j=1
což však nastane právě tehdy, když jsou si všechna dj , pro něž existuje hrana z vrcholu i do vrcholu j, rovna. Tedy maxi→j {dj } = dj a si = di d−1 pro všechna i, j j splňující uvedený předpoklad o existenci hrany z vrcholu i do vrcholu j. Odtud pro průměrnou váhu smyčky i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 = i1 grafu G(A) je 1
1
−1 −1 k (si1 si2 . . . sik ) k = (di1 d−1 i2 di2 di3 . . . dik di1 ) = 1,
tj. každá průměrná váha smyčky grafu G(A) je rovna 1. Z rovnosti %(A) = w(A) = 1 jsme dokázali, že i %(A) = v(A) = 1. V případě obecné nezáporné ireducibilní matice A, pro kterou w(A) nemusí být nutně 1, stačí opět využít triku s maticí w(A)−1 A, abychom ověřili platnost implikace %(A) = w(A) ⇒ %(A) = v(A). Obdobně bychom dokázali, že %(A) = v(A) implikuje %(A) = w(A), kde příslušný graf G(A) splňuje podmínky mini→j {fj } ≤ 1 pro každé i = 1, 2, . . . , n. Protože implikace %(A) = w(A) ⇒ %(A) = v(A) je ekvivalentní implikaci %(A) 6= v(A) ⇒ %(A) 6= w(A) a konečně implikace %(A) = v(A) ⇒ %(A) = w(A) je ekvivalentní implikaci %(A) 6= w(A) ⇒ %(A) 6= v(A), platí následující tvrzení. Věta 17: Nechť A je nezáporná ireducibilní čtvercová matice bez nulových řádků, %(A) její spektrální poloměr, v(A) minimální a w(A) maximální průměrná váha jednoduchých smyček grafu G(A) matice A. Potom je v(A) < %(A) < w(A),
nebo
v(A) = %(A) = w(A).
Speciálně pokud pro graf G(A) existuje alespoň jedno i takové, že maxi→j {dj } < 1, nebo alespoň jedno i takové, že mini→j {fj } > 1, je v(A) < %(A) < w(A).
- 128 -
Jak jsme již uvedli, je vždy s(A) ≤ v(A) ≤ w(A) ≤ S(A), tj. Al’pinovo tvrzení využívající smyčky (Věta 15) může poskytnout lepší hranice pro spektrální poloměr než Frobeniovy nerovnosti využívající jen řádkové součty (Věta 12). Existují příklady, v nichž obě vymezení splývají. Například když všechny diagonální prvky nezáporné čtvercové matice A budou kladné, je v grafu G(A) kolem každého vrcholu i smyčka i, i, její průměrná váha je si , a tedy jistě s(A) = v(A) a w(A) = S(A). Rovněž pokud uvažujeme řádkově (resp. sloupcově) stochastickou matici, tj. nezápornou matici A, jejíž řádkové (resp. sloupcové) součty jsou rovny 1, budou obě omezení stejná, dokonce je s(A) = S(A) = v(A) = w(A) = %(A) = 1. Totéž platí i pro m-násobek stochastické matice, kdy je s(A) = S(A) = v(A) = w(A) = %(A) = m. Je také evidentní, že hledání hranic pomocí smyček je vhodné u matice, která má „ relativně hodně“ nulových prvků, neboť poté příslušný graf obsahuje „ relativně málo“ smyček. Výpočet je rychlý, pokud matice A obsahuje smyčku jedinou. V tomto případě dostáváme navíc jednoznačnou hodnotu spektrálního poloměru: %(A) = v(A) = w(A). Této rovnosti však může být dosaženo i při více smyčkách (nejen například pro výše zmíněnou stochastickou matici s více smyčkami, ale také pro obecnou matici s více smyčkami – viz následující jednoduchý příklad). Příklad 3: Najděte meze pro spektrální poloměr matice A=
0 0 0 0 5 0
0 0
0 0 0 0 25 0 1 0 0 0 3 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25
1 0 0 0 0 0
.
Frobeniovy nerovnosti (jak dle „ řádkové“, tak dle „ sloupcové verze“) dávají hranice velmi široké: 1 ≤ %(A) ≤ 25. 3 Pokusme se nerovnosti zpřesnit pomocí smyček grafu. Graf G(A) matice A obsahuje dvě smyčky: 1 2
3 4 5
6
- 129 -
Vypočítáme jejich průměrné váhy: 1
1
• 1, 6, 5
(s1 s6 s5 ) 3 = (1 · 25 · 5) 3 = 5,
• 2, 4, 3
(s2 s4 s3 ) 3 = (25 · 15 · 13 ) 3 = 5,
1
1
a tedy 5 ≤ %(A) ≤ 5, tj. %(A) = 5. 5 Porovnání stanovených mezí na konkrétním příkladu Nakonec uveďme přehledné srovnání některých mezí, které stanovily výše formulované věty, na konkrétní matici A z Příkladu 2. Omezíme se na ta tvrzení, která vymezovala kruh (nikoliv sjednocení kruhů) v komplexní rovině, v němž leží všechny prvky spektra σ(A). Na níže uvedených obrázcích je tento kruh zobrazen barevně. Jestliže je vybarven dvěma barvami, je tmavší barvou zobrazena oblast, v níž nalezneme spektrální poloměr matice. Ten leží v průniku této tmavší oblasti a nezáporné části reálné osy x. Navíc přidáme obrázek příslušný Větě 14, v níž je kružnice „ dolní mezí“ pro oblast obsahující spektrální poloměr nezáporné matice. Spektrální poloměr matice je v tomto případě nutné hledat na polopřímce. Raději však výslovně upozorněme, že Věta 14 polohu vlastních čísel nevymezuje. Pokud jsou dále uvedeny přibližné hodnoty, jsou, není-li výslovně napsáno jinak, opět zaokrouhlené na dvě desetinná čísla. Připomeňme, že 1 6
0 1 A= 2 1 8
1 10
1 3
0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 , 1 3 1 0 4 8 4 2 0 0 5 0
1 s1 = , 2
s2 = 2,
1 s3 = , 2
s4 = 1,
107 , 120
1 c2 = , 3
1 c3 = , 4
c4 =
c1 =
111 , 40
1 s5 = , 2 1 c5 = , 4
a proto 1 s(A) = , 2
S(A) = 2,
1 c(A) = , 4
- 130 -
C(A) =
111 . 40
Dále je 167 s 1 + c1 = , 2 240
s 2 + c2 7 = , 2 6
s 3 + c3 3 = , 2 8
s 4 + c4 151 = , 2 80
s 5 + c5 3 = . 2 8
Také jsme již určili, že 1 v(A) = , 2
w(A) = 1.
Obdobně lze vypočítat, že s
v c (A) =
4
11877 , 57600
wc (A) =
111 . 40
Nyní uvedeme přehledně výsledky uvažovaných tvrzení: • Věta 5:
%(A) ≤
191 80
≈ 2, 39
• Věta 6:
%(A) ≤
151 80
≈ 1, 89
• Věta 7:
%(A) ≤
• Věta 10:
0, 5 = 1 4
0, 25 =
• Věta 14:
1 2
≈ 2, 36
0, 5 = 0, 67 ≈
q 4
≤ %(A) ≤ 2
≤ %(A) ≤
0, 5 =
• Věta 15: • Věta 16:
111 20
%(A) ≤ 2
• Věta 12: • Věta 13:
q
11877 57600
1 2
1 2
111 40
= 2, 775
≤ %(A)
≤ %(A) ≤ 1
≤ %(A) ≤
111 40
= 2, 775
Nejlepší dolní, resp. horní odhad spektrálního poloměru %(A) q dané matice A tedy poskytuje Věta 16, resp. Věta 15. Konkrétně platí 0, 67 ≈ 4 11877 ≤ %(A) ≤ 1. 57600 Na následujícím obrázku jsou v první řadě zleva znázorněny meze určené pomocí Věty 5, Věty 6 a Věty 7, v druhé řadě zleva meze určené pomocí Věty 10, Věty 12 a Věty 13 a ve třetí řadě zleva meze určené pomocí Věty 14, Věty 15 a Věty 16.
- 131 -
y
y
y
1
1
1
1
0
x
2
2
x
0
1
2
1
2
1
2
x
y
y
y
1
1
1
1
0
1
0
2
x
1
0
2
x
0
x
y
0
y
y
1
1
1
2
x
0
1
1
2
x
0
x
Z obrázku je zřejmé, že nejpřesnější horní mez pro vlastní čísla dává pro danou matici Al’pinova Věta 15. Nakonec odtajněme hodnoty vlastních čísel matice A, a tedy i jejího spektrálního poloměru. Program Mathematica dává uživateli následující přibližné hodnoty (zaokrouhlené na pět desetinných míst), které se skutečně nacházejí uvnitř kruhu se středem v počátku souřadnicového systému a poloměrem 1 (viz Věta 15 – horní mez): λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
y
= %(A) ≈ 0, 84508, ≈ 0, 06406 + 0, 51971 i, ≈ 0, 06406 − 0, 51971 i, ≈ −0, 43155, = 0.
1 0
- 132 -
1 x
Literatura [1] Al’pin, Yu. A.: Bounds for the Perron root of a nonnegative matrix involving the properties of its graph, Mathematical Notes 58(1995), 1121–1123. [2] Brauer, A.: Limits for the characteristic roots of a matrix, Duke Mathematical Journal 13(1946), 387–395. [3] Browne, E. T.: The characteristic roots of a matrix, Bulletin of the American Mathematical Society 36(1930), 705–710. [4] Farnell, A. B.: Limits for the characteristic roots of a matrix, Bulletin of the American Mathematical Society 50(1944), 789–794. [5] Frobenius, F. G.: Über Matrizen aus positiven Elementen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1908), 471–476. [6] Ostrowski, A.: Über das Nichtverschwinden einer Klasse von Determinanten und die Lokalisierung der charakteristischen Wurzeln von Matrizen, Compositio Mathematica 9(1951), 209–226. [7] Parker, W. V.: The characteristic roots of a matrix, Duke Mathematical Journal 3(1937), 484–487. [8] Varga, R. S.: Geršgorin and His Circles, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
- 133 -
Existence and asymptotic behavior of solutions of singular second order ODE Jakub Stryja ˇ Katedra matematiky a deskriptivn´ı geometrie, VSB-TU Ostrava 17. listopadu 15/2172, 708 33 Ostrava-Poruba E-mail: [email protected]
Abstrakt: Budeme se zab´ yvat existenc´ı a asymptotick´ ym chov´an´ım ˇreˇsen´ı rovnice 0
(p(t)u0 (t)) + q(t)f (u(t)) = 0 na polopˇr´ımce [ 0; ∞) za poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek u(0) = u0 ,
u0 (0) = 0.
Funkce f je spojit´a a m´a tˇri nulov´e body.R Funkce p, q jsou spojit´e na [0; ∞), kladn´e 1 ds m˚ uˇze b´ yt divergentn´ı, coˇz zp˚ usobuje na (0; ∞) a d´ale plat´ı p(0) = 0. Integr´al 0 p(s) singularitu v t = 0. Abstract: We investigate the singular differential equation 0
(p(t)u0 (t)) + q(t)f (u(t)) = 0,
t>0
with the initial conditions u(0) = u0 ,
u0 (0) = 0.
The function f is continuous and has three simple zeros. The functions R 1 ds p, q are continuous on [ 0; ∞ ), positive on (0; ∞) and p(0) = 0. The integral 0 p(s) may be divergent which yields the time singularity at t = 0.
1
Motivation
Our singular boundary value problem is motivated by some models used in the nonlinear field theory or in the Cahn-Hilliard theory in hydrodynamics. If ρ is the
- 134 -
density, µ(ρ) the chemical potential of a non-homogeneous fluid and the motion of the fluid is zero, then the state of the fluid in RN is described by the equation γ∆ρ = µ(ρ) − µ0 , where γ and µ0 are suitable constants. When we search for a solution with the spherical symmetry, the equation is reduced to the ordinary differential equation, which describes the formation of microscopic bubbles in a fluid, in particular, vapor inside liquid. Let N = 3. In the simplest model of a non-homogeneous fluid, the problem is reduced to the form 0 t2 u0 = 4λ2 t2 (u + 1)u(u − ξ), u(∞) = ξ, u0 (0) = 0, (1) where λ ∈ (0; ∞) and ξ ∈ (0; 1) are parameters. Many important physical properties of the bubbles depend on the existence of an increasing solution of the problem with just one zero. In particular, the gas density inside the bubble, the bubble radius and the surface tension.
2
Formulation of problem
We investigate a generalization of the problem (1). We study the equation 0
(p(t)u0 (t)) + q(t)f (u(t)) = 0,
t>0
(2)
u0 ∈ [L0 , L],
(3)
with the initial conditions u(0) = u0 ,
u0 (0) = 0,
where L0 < 0 < L, f ∈ C(R), p ∈ C[0, ∞),
f (L0 ) = f (0) = f (L) = 0,
xf (x) > 0 for x ∈ (L0 , L) \ {0}, p(0) = 0,
q ∈ C[0, ∞),
p(t) > 0 for t ∈ (0, ∞),
q(t) > 0 for t ∈ (0, ∞).
The simplest real model is given by the equation (2) with p(t) = q(t) = t2 and f (x) = kx(x − L0 )(L − x) with a positive parameter k.
Figure 1: Example of a function f .
- 135 -
R 1 ds Remark 1. Let us note that the integral 0 p(s) may be divergent and, due to the assumption p(0) = 0, the equation (2) has a singularity at t = 0. Existence and properties of solutions of the problem (2), (3), where p ≡ q, have been studied in [4–9, 11] and their numerical simulations are presented for example in [2, 3]. At the beginning, we specify smoothness of solutions that we are interested in. Further, we define different types of solutions according to their asymptotic behaviour. Definition 2. Let c ∈ (0; ∞). A function u ∈ C 1 [0; c] with pu0 ∈ C 1 [0; c] which satisfies the equation (2) for every t ∈ [0, c] and which satisfies the initial conditions (3) is called a solution of the problem (2), (3) on [0; c]. If u is solution of the problem (2), (3) on [0, c] for every c > 0, then u is called a solution of the problem (2), (3). Definition 3. A solution u of the problem (2), (3) is said to be oscillatory if u 6≡ 0 in any neighborhood of ∞ and if u has a sequence of zeros tending to ∞. Otherwise, u is called nonoscillatory. Definition 4. Consider a solution of the problem (2), (3) with u0 ∈ (L0 ; L) and denote usup = sup{u(t) : t ∈ [0, ∞)}. If usup = L, then u is called a homoclinic solution of the problem (2), (3). If usup < L, then u is called a damped solution of the problem (2), (3). Definition 5. Let u be a solution of the problem (2), (3) on [0, c], where c ∈ (0, ∞). If u satisfies u(c) = L, u0 (c) > 0, then u is called an escape solution of the problem (2), (3) on [0; c].
Figure 2: Three types of solutions. The aim of the paper is to find additional conditions for functions f , p and q which guarantee that the problem (2), (3) has all three types of solutions from the Definitions 4 and 5. The existence of damped oscillatory solutions of the problem
- 136 -
(2), (3) has been proved in [10]. Here, we get such type of solutions under the more general assumptions. In addition, we show the existence of escape and homoclinic solutions.
3
Existence and asymptotic behavior of solutions
In this section, we generalize and extend results of [10]. First we state assumptions: Z t 1 lim q(s)ds = 0, (4) t→0+ p(t) 0 f ∈ Lip [L0 ; L] , Z B¯ Z ¯ there exists B ∈ (L0 ; 0) : f (x)dx = 0
(5) L
f (x)dx,
(p(t)q(t))0 > 0 for t ∈ (0, ∞), 0
lim
t→∞
Z
(p(t)q(t)) = 0, q 2 (t)
∞
ds < ∞, p(s)
1
Z
lim inf t→∞
lim inf + x→0
p(t) > 0, q(t)
f (x) > 0, x
t→∞
lim inf − x→0
Z
2
(7)
lim inf q(t) > 0,
∞
∞
` (s)q(s)ds = ∞, where `(t) = 1
t
Z 1
∞
ds = ∞, p(s)
(6)
0
f (x) > 0, x 1 ds, p(s)
lim inf p(t) > 0. t→∞
(8) (9) (10) (11)
Now we formulate theorems, which describe the behavior of solutions. Theorem 6. Let the assumption (4) hold. Then for every u0 ∈ [L0 ; L] there exist c > 0 and a function u such that u is a solution of the problem (2), (3) on [0; c]. If moreover the assumption (5) is fulfilled, then u is a unique solution of the problem. ¯ L the Theorem 7. Let the assumptions (4)–(7) hold. Then for each u0 ∈ B; problem has a solution. This solution is damped. Theorem 8. Let the assumptions (4)–(8) and either both assumptions (9), (10) or assumption (11) be fulfilled: • then there exists at least one homoclinic solution. Every homoclinic solution is increasing. • then there exists a constant c ∈ (0; ∞) and a function u such that u is an escape solution on [0; c]. Every escape solution is increasing. • then for u0 ∈ (L0 ; 0) ∪ (0; L) every damped solution is oscillatory. Proofs of this assertions can be found in [1].
- 137 -
4
Example
Example 9. Consider the initial problem 0 √ t2 u0 (t) + t3 u(t)(1 − u(t))(u(t) + 4) = 0,
t > 0,
u(0) = u0 ∈ [−4; 1] , u0 (0) = 0. √ √ ¯ = 6 − 3, f (x) = x(1 − x)(x + 4), p(t) = t2 , q(t) = t3 . Here L0 = −4, L = 1, B ¯ L there exists a unique damped solution u, which is oscillatory For each u0 ∈ B; for u0 6= 0. Further, there exists at least one homoclinic solution and infinitely many escape solutions u on [0; c], where c can be different for different solutions.
Acknowledgment Financial and technical support from the project National Supercomputing Centre IT4Innovations (CZ.1.05/1.1.00/02.0070) is gratefully acknowledged.
References [1] J. Burkotov´a, M. Rohleder, J. Stryja: On the existence and properties of three types of solutions of singurar IVPs, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 29(2015), 1-25. [2] G. Kitzhofer, O. Koch, P. Lima, E. Weinm¨ uller, Efficient numerical solution of the density profile equation in hydrodynamics, J. Sci. Comput. 32(2007), 411–424. [3] P. M. Lima, N. V.Chemetov, N. B. Konyukhova, A. I. Sukov: Analyticalnumerical investigation of bubble-type solutions of nonlinear singular problems, J. Comp. Appl. Math. 189(2006), 260–273. [4] I. Rach˚ unkov´a, L. Rach˚ unek: Asymptotic formula for oscillatory solutions of some singular nonlinear differential equation, Abstract and Applied Analysis, 2011(2011), Article ID 981401, 1-9. [5] I. Rach˚ unkov´a, L. Rach˚ unek, J. Tomeˇcek: Existence of oscillatory solutions of singular nonlinear differential equations, Abstract and Applied Analysis, 2011(2011), Article ID 408525, 1-20. [6] I. Rach˚ unkov´a, J. Tomeˇcek: Homoclinic solutions of singular nonautonomous second-order differential equations, Boundary Value Problems, 2009(2009), Article ID 959636, 1-21. [7] I. Rach˚ unkov´a, J. Tomeˇcek: Buble-type solutions of nonlinear singular problems, Mathematical and Computer Modelling, 51(2010), 658-669. [8] I. Rach˚ unkov´a, J. Tomeˇcek: Strictly increasing solutions of a nonlinear singular differential equation arising in hydrodynamics, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 72(2010), 2114-2118.
- 138 -
[9] I. Rach˚ unkov´a, J. Tomeˇcek, J. Stryja: Oscillatory solutions of singular equations arising in hydrodynamics, Advances in Difference Equations, 2010(2010), Article ID 872160, 1-13. [10] M. Rohleder: On the existence of oscillatory solutions of the second order nonlinear ODE, Acta Univ. Palacki. Olomouc., Fac. rer. nat., Mathematica 51,2(2012), 107–127. [11] J. Vampolov´a: On existence and asymptotic properties of Kneser solutions to singular second order ODE, Acta Univ. Palacki. Olomouc., Fac. rer. nat., Mathematica 52,1(2013), 135–152.
- 139 -
INTERIOR EULER–LAGRANGE OPERATOR AND DIFFERENTIAL FORMS1 Jana Volná, Petr Volný Dept. of Mathematics and Descriptive Geometry, VŠB-TU Ostrava 17. listopadu 15, 708 33 Ostrava-Poruba E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract: We present the concrete application of the interior Euler-Lagrange operator on the differential forms in mechanics. Abstrakt: Prezentujeme konkrétní aplikaci vnitřního Eulerova–Lagrangeova operátoru na diferenciální formy v mechanice.
1. Introduction Interior Euler-Lagrange operator plays the important role in the theory of variational sequences. In the variational sequence the key role take the classes of differential forms. But it is in general difficult to work with classes. The operator can be used to find out special representatives of such classes. Some of these representatives can be interpreted as the well known forms, Lagrangian, Euler–Lagrange and Helmholtz–Sonin forms in the variational sequence. The operator [3, 4] is a finite modification of interior Euler operator introduced by Anderson [1] in the context of the variational bicomplex which is based on infinite dimensional jets. In [2] one can find the geometrical background of the finite order variational sequences.
2. Basic structures We present only a brief collection of basic objects. For details we refer to [2]. Let π : Y → X, dim X = 1, dim Y = m + 1, be a fibred manifold with standard and well-known fibred coordinate systems. We denote by (t), (t, q σ ) fibred coordinates on X and Y respectively. Denote by π r : J r Y → X the r-jet prolongation of the 1
This work was supported by the European Development Fund in the IT4Innovations Centre of Excellence project CZ.1.05/1.1.00/02.0070. Authors appreciate support of their department.
- 140 -
fibred manifold π : Y → X with the coordinates (t, q σ , qjσ ), 1 ≤ j ≤ r. The canonical jet projections are π r,s : J r Y → J s Y , r > s and π r,0 : J r Y → Y , dim J r Y = N = 1 + m(r + 1). The standard theory of differential forms and vector fields is used [2]. For any open set V ⊂ Y we denote by Ωrq V the Abelian group of differential forms defined on V r and by Θrq V the Abelian group of contact forms (q ≤ 1), resp. strongly contact forms (q ≥ 2) defined on V r . These groups form the de Rham sequence 0 → R → Ωr0 → Ωr1 → · · · → ΩrM → · · · → ΩrN −1 → ΩrN → 0,
(1)
of sheaves of Abelian groups on J r Y and its contact subsequence, 0 → Θr1 → Θr2 → · · · → ΘrM → 0,
(2)
the arrows have the meaning of the exterior differentiation d, and M = mr + 1. Both sequences are exact and form the exact quotient sequence 0 → R → Ωr0 → Ωr1 /Θr1 → . . . · · · → ΩrM /ΘrM → ΩrM +1 → · · · → ΩrN −1 → ΩrN → 0
(3)
We call the quotient sequence the r-th order variational sequence. The quotient mapping E : Ωrq /Θrq → Ωrq+1 /Θrq+1 is defined by E([ρ]) = [dρ]. In the case q = 1 we have the Euler-Lagrange mapping and in the case q = 2 we have the Helmholtz-Sonin mapping.
3. Interior Euler–Lagrange operator For a representation of the variational sequence a variational projector I is used [3, 4]. P Let ρ be a 1-contact 2-form on J r+1 Y , ρ = rj=0 Ajσ ωjσ ∧ dt, then I1 ρ is 1-contact ω σ -generated 2-form I1 ρ = Bσ ω σ ∧ dt,
Bσ =
p p=0 (−1)
Pr
dp p A , dtp σ
(4)
σ dt, and dtd is the total derivative. where ω σ = dq σ − q1σ dt, ωjσ = dqjσ − qj+1 Let k > 1, let ρ be a k-contact (k + 1)-form on J r+1 Y , Ξ1 , Ξ2 , . . . , Ξk be a π˜ s = J 2r+1 Ξs and Ξ ˆ s = J r+1 Ξs be their prolongations. vertical vector fields on Y and Ξ We define a k-contact (k + 1)-form Ik ρ on J 2r+1 Y by
iΞ˜ k. . . iΞ˜ 2 iΞ˜ 1 Ik ρ =
1 k
iΞ˜ k. . . iΞ˜ 3 iΞ˜ 2 Ik−1 (iΞˆ 1 ρ) − iΞ˜ k. . . iΞ˜ 3 iΞ˜ 1 Ik−1 (iΞˆ 2 ρ)
−. . . − iΞ˜ k iΞ˜ 1 iΞ˜ k−2. . . iΞ˜ 2 Ik−1 (iΞˆ k−1 ρ) − iΞ˜ 1 iΞ˜ k−1. . . iΞ˜ 2 Ik−1 (iΞˆ k ρ) .
(5)
Let ρ be an arbitrary (k + 1)-form on J r Y . Using the previous definition we set Iρ = Ik pk ρ.
(6)
A R-linear mapping I : Ωrk+1 → Ω2r+1 k+1 , defined by (6), is called the variational projector (or interior Euler-Lagrange operator [4]). The form Iρ is called the canonical representative of ρ. For any open set W and for every form ρ ∈ Ωrk+1 W , Iρ belongs to the same class as (π 2r+1,r )∗ ρ. The kernel of the mapping I coincides with the Abelian group Θrk+1 W , and I satisfies, up to the canonical jet projection, I ◦ I = I.
- 141 -
It is possible to extend this definition to the case of the 1-forms and 0-forms, it means functions. In this case the operator I has the meaning of the horizontalisation, Iρ = hρ for ρ ∈ Ωr1 W or ρ ∈ Ωr0 W .
4. Examples 4.1 Differential 2-forms Let ρ ∈ Ω12 V be an arbitrary differential form, σ ν ρ = aσ ω σ ∧ dt + b1σ dq1σ ∧ dt + cσν ω σ ∧ ω ν + d1σν dq1σ ∧ ω ν + e11 σν dq1 ∧ dq1
(7)
with the following properties cσν = −cνσ ,
11 e11 σν = −eνσ .
(8)
At first we compute pull-back of the differential form ρ to get the form ρ expressed in the terms ωjσ and dt, (π 3,1 )∗ ρ = + = − = −
aσ ω σ ∧ dt + b1σ (ω1σ + q2σ dt) ∧ dt + cσν ω σ ∧ ω ν σ σ ν ν d1σν (ω1σ + q2σ dt) ∧ ω ν + e11 σν (ω1 + q2 dt) ∧ (ω1 + q2 dt) aσ ω σ ∧ dt + b1σ ω1σ ∧ dt + cσν ω σ ∧ ω ν + d1σν ω1σ ∧ ω ν σ ν 11 ν σ 11 σ ν d1σν q2σ ω ν ∧ dt + e11 σν ω1 ∧ ω1 + eσν q2 ω1 ∧ dt − eσν q2 ω1 ∧ dt ν σ aσ ω σ ∧ dt − d1νσ q2ν ω σ ∧ dt + b1σ ω1σ ∧ dt + e11 σν q2 ω1 ∧ dt ν σ σ ν 1 σ ν 11 σ ν e11 νσ q2 ω1 ∧ dt + cσν ω ∧ ω + dσν ω1 ∧ ω + eσν ω1 ∧ ω1 .
Then the 1-contact part can be easily separated, p1 ρ = (Pσ ω σ + Pσ1 ω1σ ) ∧ dt,
(9)
where Pσ = aσ − d1νσ q2ν ,
σ Pσ1 = b1σ + 2e11 σν q2 .
(10)
Finally, we get the concrete representative Iρ of the class [ρ], !
d Iρ = I1 p1 ρ = Pσ − Pσ1 ω σ ∧ dt dt ! d 1 1 ν 11 σ = aσ − dνσ q2 − (bσ + 2eσν q2 ) ω σ ∧ dt dt ! d d σ σ = aσ − d1νσ q2ν − b1σ − 2q2σ e11 − 2e11 σν q3 ω ∧ dt. dt dt σν
(11)
4.2 Differential 3-forms Let ρ ∈ Ω13 V be an arbitrary differential form, σ ν ρ = aσν ω σ ∧ ω ν ∧ dt + b1σν dq1σ ∧ ω ν ∧ dt + c11 σν dq1 ∧ dq1 ∧ dt + dσντ ω σ ∧ ω ν ∧ ω τ + e1σντ dq1σ ∧ ω ν ∧ ω τ 11 111 + fσντ dq1σ ∧ dq1ν ∧ ω τ + gσντ dq1σ ∧ dq1ν ∧ dq1τ
- 142 -
(12)
with the following properties aσν = −aνσ ,
c1σν = −c1νσ ,
e1σντ = −e1στ ν ,
11 11 fσντ = −fνστ ,
dσντ = −dνστ = −dστ ν = −dτ νσ , 111 111 111 111 = −gστ = −gνστ gσντ ν = −gτ νσ .
We proceed similarly as in the preceding case of differential 2-form, (π 3,1 )∗ ρ = + + + + = + + + + + +
aσν ω σ ∧ ω ν ∧ dt + b1σν (ω1σ + q2σ dt) ∧ ω ν ∧ dt σ σ ν ν c11 σν (ω1 + q2 dt) ∧ (ω1 + q2 dt) ∧ dt dσντ ω σ ∧ ω ν ∧ ω τ + e1σντ (ω1σ + q2σ dt) ∧ ω ν ∧ ω τ 11 (ω1σ + q2σ dt) ∧ (ω1ν + q2ν dt) ∧ ω τ fσντ 111 (ω1σ + q2σ dt) ∧ (ω1ν + q2ν dt) ∧ (ω1τ + q2τ dt) gσντ aσν ω σ ∧ ω ν ∧ dt + b1σν ω1σ ∧ ω ν ∧ dt σ ν σ ν τ c11 σν ω1 ∧ ω1 ∧ dt + dσντ ω ∧ ω ∧ ω e1σντ ω1σ ∧ ω ν ∧ ω τ + e1σντ q2σ dt ∧ ω ν ∧ ω τ 11 ν σ 11 q2 ω1 ∧ dt ∧ ω τ ω1σ ∧ ω1ν ∧ ω τ + fσντ fσντ 11 σ q2 dt ∧ ω1ν ∧ ω τ fσντ 111 σ 111 τ σ gσντ ω1 ∧ ω1ν ∧ ω1τ + gσντ q2 ω1 ∧ ω1ν ∧ dt 111 σ τ 111 ν σ gσντ q2 ω1 ∧ dt ∧ ω1 + gσντ q2 dt ∧ ω1ν ∧ ω1τ .
(13)
The 2-contact part of the form ρ take the form
If
p2 ρ = (aσν + e1τ σν q2τ )ω σ ∧ ω ν ∧ dt 11 τ σ ν + (b1σν − 2fστ ν q2 )ω1 ∧ ω ∧ dt 111 τ σ ν + (c11 σν + 3gσντ q2 )ω1 ∧ ω1 ∧ dt.
(14)
p2 ρ = Pσν ω σ ∧ ω ν ∧ dt 1 + (Pσν − Pνσ1 )ω1σ ∧ ω ν ∧ dt 11 σ + Pσν ω1 ∧ ω1ν ∧ dt,
(15)
then
!
1 d 1 Iρ = I2 p2 ρ = Pσν − Pνσ + (Pνσ − Pσν1 ) ω σ ∧ ω ν ∧ dt 2 dt ! 1 d 1 1 11 11 Pσν − Pνσ1 + Pνσ − Pσν1 − (Pσν − Pνσ ) ω1σ ∧ ω ν ∧ dt + 2 dt 1 11 11 − (Pσν − Pνσ )ω2σ ∧ ω ν ∧ dt, 2 respectively Iρ = aσν + e1τ σν q2τ −
(16)
1d 1 1 d 11 11 (bσν − b1νσ ) + q2τ (fστ ν − fντ σ ) 4 dt 2 dt
!
1 11 11 τ σ ν + (fστ ν − fντ σ )q3 ω ∧ ω ∧ dt 2 1 1 d 11 11 11 τ + (bσν + b1νσ ) − (fστ c ν + fντ σ )q2 − 2 dt σν ! τ d 111 111 τ −3q2 gσντ − 3gσντ q3 ω1σ ∧ ω ν ∧ dt dt 11 111 τ q2 )ω2σ ∧ ω ν ∧ dt. − (cσν + 3gσντ
- 143 -
(17)
Reference [1] I.M. Anderson, The Variational Bicomplex, Utah State University, Technical Report, 1989. [2] D. Krupka, Variational sequences in mechanics, Calc. Var. 5 (1997) 557–583. [3] D. Krupka, J. Šeděnková: Variational sequences and Lepage forms, in: Differential Geometry and its Applcications, Proc. conf. Prague, August 30 – September 3, 2004, Charles University, Prague (Czech Republic) 2005, 617–627. [4] D. Krupka, Z. Urban, J. Volná: Variational Projectors in Fibred Manifolds, Miskolc Mathematical Notes 14 2 (2013) 503–516.
- 144 -
MATEMATIKA A INÉ PREDMETY V PRVOM SEMESTRI ŠTÚDIA NA STROJNÍCKEJ FAKULTE STU V BRATISLAVE Viera Záhonová Ústav matematiky a fyziky, SjF STU Námestie slobody 17, 812 31 Bratislava, Slovenská republika E-mail: [email protected] Abstrakt: Vedomosti a zručnosti študentov z matematiky, ktorí prichádzajú študovať na Strojnícku fakultu STU v Bratislave nie sú na dostatočnej úroni. To im robí problémy s ukončením predmetu Matematika I, ktorý majú v prvom semesti, aj napriek veľkému úsiliu pedagógov. Za akademický rok 2014/15 sme urobili podrobnú analýzu úbytku študentov počas semestra na predmete Matematika I a porovnali ho súčasne aj s celkovým úbytkom študentov v ostatných predmetoch prvého semestra. Abstract: Knowledge and competences of students of mathematics, who come to study at Faculty of Mechanical Engineering of Slovak Technical University do not attain a required level. This is the main problem for them to conclude subject Mathematics I in the first semester succesfully in spite of great effort of teachers. In Mathematics I the detailed analysis of the decrease of the number of students in the year 2014/15 is carried out and comparison with allover decrease of the number of students in other subjects of first semester is given in the turn. 1. Úvod Na strojníckej fakulte STU v Bratislave venujeme veľkú pozornosť úspešnosti študentov v predmete Matematika I. Je známe, že počet hodín matematiky na stredných priemyslových a odborných školách výrazne poklesol, niekde zo 14 hodín na 6 hodín týždenne počas celého štúdia. Na Strojníckej fakulte SjF STU v Bratislave študuje okolo 50% študentov práve z týchto škôl. V poslednej dobe začal stúpať už aj záujem o maturitu z matematiky, ale technické vzdelanie na Slovensku je ešte stále niekde v pozadí. Absolventi stredných škôl si vyberajú väčšinou humanitné zamerania, a tak na technické vysoké školy prichádzajú študenti, ktorým chýbajú niekedy základné vedomosti a zručnosti z matematiky. V školskom roku 2010/2011 po prvýkrát si študenti na SjF STU zapísali do indexov povinne voliteľný predmet Doplnkové cvičenia z Matematiky I, ktorý je ukončený zápočtom. Na základe výsledkov vstupného testu, niektorí študenti získajú hneď zápočet, pre ostatných je tento predmet povinný. Obsah týchto cvičení je cielený, dopĺňajú sa stredoškolské vedomosti z tých častí matematiky, ktoré sú nevyhnutné, aby študent dokázal zvládnuť predmet Matematika I. Keďže
- 145 -
vyrovnanie vedomostí pomocou absolvovania tohto predmetu sa osvedčilo [1], v tomto predmete sa naďalej pokračuje. Na Ústave matematiky a fyziky Strojníckej fakulty STU v Bratislave sme v akademických rokoch 2012/13 a 2013/14 v jednej z troch paraleliek vyskúšali experiment, pomocou ktorého sme chceli naučiť našich študentov systematicky pracovať počas celého semestra. Tento experiment však nepriniesol očakávané výsledky. Popis experimentu a jeho vyhodnotenie je v článkoch [3,4 ]. Je však zrejmé, že návšteva prednášok, systematická práca počas celého semestra a dobrý základ stredoškolskej matematiky sú istým predpokladom úspešného zvládnutia nosného predmetu prvého semestra – Matematiky I. 2. Vedomosti študentov z matematiky po príchode na Strojnícku fakultu Vedieť upraviť jednoduchý algebrický výraz, vyriešiť jednoduchú rovnicu, kvadratickú rovnicu v množine reálnych čísel, poznať definičný obor a vlastnosti elementárnych funkcií a poznať základy analytickej geometrie v rovine, to by malo byť základom, na ktorom sa dá stravať výučba matematiky v prvom semestri. Práve preto, od akademického roka 2008/09 na začiatku prvého semestra študenti píšu veľmi jednoduchý test za 14 bodov [1,2,5]. Každý maturant by ho mal zvládnuť na 100%. Aká je však realita, ukazujú naledujúce dva grafy. Vstupný test 60
Percentá
40 30
51
48
46
50
42
41
35
31
26
23
27
26
32
29
24
23
22
39
35
31
36 33
0-5 bodov 6-9 bodov 10-14 bodov
20 10 0
2008/09
2009/10
2010/11
2011/12
2012/13
2013/14
2014/15
Akademický rok
Percentá
Správne odpovede vo vstupnom teste 80 70 60 50 40 30 20 10 0
65
63
60 50
69
66 67 55
68
62 62 63 48
41 44
45
42 40 45 42
2008/09 2012/13 2013/14 2014/15
výrazy
rovnice
kvadr. rov. Jednotky učiva
- 146 -
funkcia
anal.geometria
Kým v prvých troch akademických rokoch bolo maximálne percento študentov, ktorí získali 6 – 9 bodov, v ďalších rokoch sa počet študentov v jednotlivých bodových kategóriách začína vyrovnávať, a to určite má vplyv aj na výsledky skúšky z Matematiky I. Ak rozdelíme správne odpovede podľa jednotiek učiva, dostávame výsledky, s ktorými nemôžeme byť spokojní. Bohužiaľ, nemáme spracované 3 roky (2009/10, 2010/11, 2011/12), ale aj tak sme získali zaujímavý graf. Najhošie na tom sú vedomosti z analytickej geometrie a vedomosti o elementárnych funkciách. 3. Úspešnosť v predmete Matematika I Nedostatočné vedomosti študentov z matematiky a nesystematický prístup k príprave počas semestra spôsobili, že výsledky z matematiky nie sú adekvátne vynaloženému úsiliu učiteľov. Počas semestra snažíme sa študentov usmerniť, no bohužiaľ ukončenie predmetu Matematika I sa pohybuje na veľmi nízkej hranici, Keď porovnáme za ostatné roky výsledky úspešnosti dostaneme nalsedujúci graf. Úspešnosť na skúške 60
51
50
Percentá
50
46
42
35
40
46
37
30 20 10 0
2008/09 2009/10 2010/11 2011/12 2012/13 2013/14 2014/15 Akademický rok
Úspešnosť pod 50% v posledných rokoch je zarážajúca. Je pravda, že študenti najskôr musia získať zápočet a až potom môžu ísť na skúšku. V akademickom roku 2014/15 sme sa bližšie pozreli, ako je to s úbytkom študentov počas semestra. Kým na začiatku akademického roka bolo 337 študentov, k 1.11.2015 sa ich počet znížil o 40. K 1.12.2015 ubudlo ešte ďalších 27 študentov. Teda zápočet z Matematiky I mohlo získať 270 študentov. Keďže všetci nesplnili pomienky na získanie zápočtu počas semestra, 47 študentov sa mohlo zúčastniť náhradného termínu zápočtu v skúškovom období. Na náhradný termín došlo iba 30 študentov, z ktorých 8 zápočet získalo. Teda 231 študentov malo možnosť zúčastniť sa skúšky. Úbytok študentov v percentách je na nasledujúcom grafe. Úbytok študentov v predmete Matematika I Percentá
120
100
100
88
80
80
68,5
60
46
40 20 0
22.9.
1.11.
1.12.
zápočet
skúška
Ak porovnáme úspešnosť študentov, ktorí získali zápočet, výsledok je už trochu lepší. Úspešnosť v tomto prípade je 73,6%. Však ani tento výsledok nie je uspokojivý.
- 147 -
Podotknime, že 27 študentov nevyužilo všetky možnosti zúčastniť sa skúšky, z toho 7 študentov na skúšku z Matematiky I vôbec neprišlo. Nasledujúci graf udáva v percentách výsledky tých, ktorí získali zápočet. Pokiaľ by boli úspešní aj tí, ktorí nevyužili všetky možnosti, tak 85,3% je už celkom slušný výsledok. Zápočet a skúška z Matematiky I Percentá
120
100 73,6
100 80 60 40
14,7
8,7
3
3xFX
nevyužité možnosti
nezúčastnil sa skúšky
20 0
zápočet
4.
úspešní
Matematika I a ostatné predmety 1. semestra štúdia
Keďže výsledky z Matematiky I vôbec nie sú uspokojivé, pozreli sme sa aj na ostatné predmety prvého semestra. Študenti, ktorí vystupujú v kolónke bez ukončenia, sú tí, ktorí už odišli počas semestra, resp. na konci semestra nezískali zápočet alebo nevyužili všetky možnosti ukončenia predmetu. Nasledujúce grafy porovnávajú úspešnosť v jednotlivých predmetoch a tiež aj percentuálne zvládnutie resp. nezvládnutie jednotlivých predmetov
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Úspešne ukončení Neúspešne ukončení
Telesná výchova
Doplnkové cvičenia z Matematiky I
Dejiny techniky
Technická chémia
Základy strojného inžinierstva
Technická fyzika I
Programovanie
Bez ukončenia Matematika I
Percentá
Úspešnosť v predmetoch 1. semestra AR 2014/15
Úspešnosť v predmetoch 1. semestra AR 2014/15 Matematika I
Percentá
100 80
Programovanie
60
Technická fyzika I
40
Základy strojného inžinierstva
20
Technická chémia Dejiny techniky
0 Úspešne ukončení
Neúspešne ukončení
Bez ukončenia
Doplnkové cvičenia z Matematiky I Telesná výchova
- 148 -
Najväčší počet úspešných študentov je v predmete Dejiny techniky, jeho ukončením je klasifikovaný zápočet, Doplnkové cvičenia z Matematiky I, Telesná výchova, ktoré končia zápočtom, potom nasleduje programovanie – klasifikovaný zápočet. Ostatné predmety končia skúškou a ich poradie je Technická chémia, Základy strojného inžinierstva, Matematika I a Technická fyzika I. Je zarážajúce, že počet študentov bez ukončenia v predmete Matematika I a Telesná výchova je skoro ten istý. Rozdiel je 3,29%. Najmenšie percento študentov bez ukončenia je predmete Programovanie. Tu však je potrebné podotknúť, že tento predmet u väčšiny študentov beží v prvej polovici semestra, kde ešte nie je až taký veľký úbytok študentov ako ku koncu semestra. 5. Záver Predmet Matematika I je nosným predmetom v zimnom semestri prvého ročníka. Počet kreditov za ukončenie tohto predmetu je 10, na postup v prvom ročníku do letného semestra je potrebných 15 kreditov. Študenti, ktorí úspešne absolvujú Matematiku I nemajú problémy s potupom do druhého semestra a vo väčšine už nemajú problémy s matematikou v druhom semestri. Pri porovnaní s ostatnými predmetmi vzniká otázka, či naozaj len matematika a fyzika robí problémy študentom alebo je to skôr fakt, že niektorí študenti nemajú predpoklady pre štúdium na vysokej škole a štúdium ukončia už v priebehu prvého semestra. Dokonca sa stáva aj to, že po zápise po získaní potvrdenia o návšteve školy, študent na vlastnú žiadosť ukončí štúdium. Literatúra [1] ZÁHONOVÁ, V.: Môžu študenti zvládnuť Matematiku na SjF STU v Bratislave? Sborník z 20. semináře Dolní Lomná, 30.5. - 1. 6. 2011. - Ostrava : VŠB-Technická univerzita Ostrava, 2011. - ISBN 978-80-248-2517-5. - s. 132-136 [2] ZÁHONOVÁ, V. Úspešnosť študentov v predmete Matematika I na SjF STU v Bratislave. In: Moderní matematické metody v inženýrství [elektronický zdroj]: Sborník z 21. semináře. Horní Lomná, 4.6. - 6.6. 2012. - Ostrava : Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, 2012. - ISBN 978-80-248-2883-1. s. 148152. [3] ZÁHONOVÁ, V. Ako zapojiť študentov do systematickej práce počas semestra. In: Moderní matematické metody v inženýrství [elektronický zdroj] : Sborník z 22. semináře. Horní Lomná, 3.6.-5.6. 2013. - Ostrava : Vysoká škola báňská Technická univerzita v Ostravě, 2013. - ISBN 978-80-248-3233-3. - CD ROM, s. 221-226. [4] ZÁHONOVÁ, V. Ako zapojiť študentov do systematickej práce počas semestra 2. časť. In: Moderní matematické metody v inženýrství [elektronický zdroj] : Sborník z 23. semináře. Horní Lomná, 2.6.- 4.6. 2014. - Ostrava : Vysoká škola báňská - Technická univerzita v Ostravě, 2014. - ISBN 978-80-248-3611-9. - CD ROM, s. 272 -276. [5] ZÁHONOVÁ, V.: Vedomosti študentov zo stredoškolskej matematiky a ich vplyv na úspešnosť v predmete Matematika I. In: Aplimat 2015 [elektronický zdroj]: Zborník zo 14. medzinárodnej konferencie o aplikovanej matematike Bratislava, 3.2. – 5.2.2015 Bratislava: Slovenská technická univerzita v Bratislave, 2015, ISBN 978-80-227-4143-3. - CD ROM s. 767 – 773.
- 149 -
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Workshop na konferenci 3µ 2015 Horní Lomná, 1. – 3. cˇ ervna 2015
ˇ Jana Belohlávková Dagmar Dlouhá Radka Hamˇríková Zuzana Morávková Radomír Paláˇcek Petra Schreiberová Jana Volná Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
GeoGebra je multiplatformní matematický software, ˇ který umožnuje každému získat neobvyklý rozhled, který nám dává matematika. ˇ e. ˇ Poskytuje špiˇckový software a materiály do rukou uˇcitelu˚ a studentu˚ po celém svet
Co je GeoGebra? ˇ GeoGebra je dynamický matematický software pro všechny úrovneˇ vzdelávání, který spojuje geometrii, algebru, tabulkový procesor, grafy, statistiku a analýzu do jednoho snadno použitelného balíˇcku. GeoGebra je rychle rostoucí komunita milionu˚ uživatelu˚ žijících prakticky ve všech zemích ˇ sveta. GeoGebra se stala špiˇckovým poskytovatelem dynamického matematického softwaru podpoˇ rujícího vedu, technologii, inženýrství a matematiku (STEM). ˇ Strucný pˇrehled • Geometrie, algebra a tabulkový procesor vzájemneˇ dynamicky propojené. • Snadno použitelné ovládání, mnoho užiteˇcných funkcí. • Nástroj na tvorbu interaktivních výukových materiálu˚ v podobeˇ webových stránek. ˇ ˇ e. ˇ • V Ceštin eˇ a mnoha dalších jazycích, pro miliony našich uživatelu˚ po celém svet • Open source software volneˇ dostupný nekomerˇcním uživatelum. ˚
http://www.geogebra.org
ˇ matematiku hmatatelnou. GeoGebra propojuje geometrii a alStudenti ji milují, protože... delá ˇ a zažít na vlastní gebru novým, vizuálním zpusobem. ˚ Studenti mohou koneˇcneˇ matematiku videt dotyk.
ˇ ˇ Ucitelé ji milují, protože... umožnuje uˇcitelum ˚ pokraˇcovat v uˇcení. GeoGebra nenahrazuje uˇciˇ to, co umí nejlépe – uˇcit. tele. Pomáhá jim delat
Školy ji milují, protože... ˇ motivací = Studenti s lepšími výsledky. Studenti používající GeoGebru = Studenti s vetší II
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
ˇ Co se naucíte na našem workshopu? První pohled na 3D v GeoGebˇre Jana Volná, Petr Volný ([email protected], [email protected]) V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je noveˇ v GeoGebˇre obsažen. 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová ([email protected]) ˇ V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urˇcitého integrálu a funkci ˇ ˇ problémy si pˇredstavit rotaˇcní teleso ˇ dvou promenných. Studentum ˚ obˇcas delá vzniklé rotací ˇ rovinného útvaru cˇ i graf funkce dvou promenných, pˇríp. teˇcnou rovinu. GeoGebra poskytuje nᡠstroj k vizualizaci techto problému. ˚ Numerická integrace Zuzana Morávková ([email protected]) Ukážeme si práci s objektem seznam. Dále užití pˇríkazu Posloupnost pro vytvoˇrení seznamu ˇ jednoho prvku ze seznamu a pˇríkazu Vyber, který hodnot, pˇríkazu Prvek, který slouží k výberu vybere cˇ ást ze seznamu. Cyklus for a iterace v GeoGebˇre ˇ Jana Belohlávková ([email protected]) V Geogebˇre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje pˇrímá podpora pro cyklus. Standardneˇ se nabízí dva zpusoby, ˚ jak se vypoˇrádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvoˇrit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusob ˚ u˚ není zcela uspokojující, protože ani ˇ v jednom nemužeme ˚ zadat poˇcet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky „naklikat ruˇcne“ ˇ nebo „ruˇcneˇ roztáhnout tabulku“. Pˇríspevek popisuje jiný zpusob, ˚ který tento nedostatek odstraˇ ˇ nuje a nahrazuje tím chybející pˇríkaz pro cyklus for. ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Radomír Paláˇcek ([email protected]) Prostˇrednictvím vytvoˇreného apletu se seznámíme s ˇrezy na rotaˇcní kuželové ploše. K jeho tvorbeˇ využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebˇre noveˇ k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde muže ˚ nápomoci ke zdokonalení prostorové pˇredstavivosti studentu˚ a zlepšení pochopení dané problematiky. GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamˇríková, Dagmar Dlouhá ([email protected], [email protected]) Pro zájemce jsme pˇripravily 2 jednoduché úlohy jak zaˇcít ve 3D GeoGebˇre.
III
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 První pohled na 3D v GeoGebˇre Jana Volná, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V rámci první lekce našeho workshopu se seznámíme s 3D modulem, který je noveˇ v GeoGebˇre obsažen.
Od páté verze GeoGebra obsahuje 3D modul, který je plneˇ propojen se všemi ostatními cˇ ástmi GeoGebry. V rámci 3D zobrazení je možné používat veškeré manipulace s nákresnou tak, jak ˇ je to možné realizovat s nákresnou pro 2D zobrazení. Objekty ve 3D lze zadávat bud’ výberem pˇríslušného nástroje z menu aplikace, nebo s využitím pˇríkazového ˇrádku. ˇ ˇ ríme pˇredevším na seznámení se s 3D modulem. Na naši úvodní V našem pˇríspevku se zameˇ ˇ ˇ reny na konkrétní problémy ve 3D. lekci pak naváže série lekcí, z nichž nekteré již budou zameˇ Pracujeme s GeoGebrou verze 5.0.119.0-3D.
ˇ Autoˇri dekují za podporu svému pracovišti.
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Pˇri otevˇrení aplikace GeoGebra na vašem poˇcítaˇci na vás vyskoˇcí úvodní okno s nabídkou modulu. ˚ Vybereme modul 3D grafika. Pokud nabídka zmizí, je možné zapnout 3D zobrazení volbou z menu aplikace: Zobrazit→Grafický náhled 3D.
• Otevˇrete 2D okno: Zobrazit→Nákresna • Zkuste pˇrepínat mezi 2D a 3D zobrazením prostým kliknutím myši do prostoru˚ jednotlivých ˇ nabídka v menu. Pro každý modul, at’ už 2D nebo 3D je k dispooken a pozorujte, jak se mení zici odpovídající sada nástroju. ˚
J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
V
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
Pˇríklad 1: Schodišteˇ ˇ ˇ Pomocí transZadání: Sestrojte trojboký hranol s podstavnou stenou ležící v pudorysné ˚ rovine. ˇ lace a rotace hranolu vytvoˇrte toˇcité schodište. Konstrukce 1.
Klikneme myší do 2D okna - nákresny.
2.
Pomocí tohoto nástroje posuneme nákresnu podle potˇreby.
3.
Zadáme tˇri body: A=(0,0), B=(2,-3) a C=(3,-2).
4.
Sestrojíme trojúhelník ABC.
5.
Vytvoˇríme posuvník; Název: vyska, Interval: od 0.1 do 1, Krok: 0.1.
6.
Klikneme do 3D okna. Zvolíme nástroj Vytažení do hranolu nebo válce - klikneme na trojúhelník ve 3D zobrazení a poté do dialogového okna zapíšeme hodnotu danou posuvníkem, zapíšeme tedy hodnotu vyska.
• Skryjeme 2D nákresnu. Zrušíme popisy hran a vrcholu˚ hranolu. V algebraickém okneˇ postupneˇ klikáme pravým tlaˇcítkem myši na Bod → Zobrazit objekt; Hranol → Zobrazit popis; Úseˇ cka → Zobrazit popis. 3D pohledem je možné otáˇcet pomocí nástroje Otoˇ cit Grafický náhled 3D a Pohybovat s nákresnou . Rozklikneme nabídku Graˇ podle výberu ˇ fický náhled 3D (Pˇ repnout formátovací panel). Tato nabídka se mení konkrétního nástroje nebo objektu.
• Vyzkoušejte jednotlivé ikony, které nabídka nabízí. My se soustˇredíme nejdˇríve na ikonu pro roVI
J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
tace - Zaˇ cít nebo zastavit otᡠcení panelu - . Po rozkliknutí nabídky Zaˇ cít nebo zastavit otᡠcení panelu je možné nastavit na lišteˇ rychlost rotace a její orientaci, bud’ ve ˇ anebo proti smeru ˇ chodu hodinových ruˇciˇcek. Poznamenejme, že je také možné otáˇcet smeru pohledem, pokud na 3D nákresnu klikneme a pˇridržíme pravé tlaˇcítko myši. • Další položkou je ikona pohledu - Smˇ er pohledu - . Po kliknutí na tuto ikonu se pohled pˇrenastaví na defaultní nastavení. Po rozkliknutí nabídky máme možnost zvolit základní pohledy v poˇradí - pudorys ˚ - nárys - bokorys . Konstrukce
2.
ˇ Zmeníme barvu hranolu na zelenou. Klikneme na hranol v Algebraickém okneˇ a z nabídky (lišta v horní cˇ ásti 3D okna) vybereme zelenou barvu. Zobrazíme 2D nákresnu: Zobrazit → Nákresna.
3.
ˇ ríme úhel α =BAC. Zmeˇ
4.
Vytvoˇríme posuvník; Název: pocet, Interval: od 1 do 20, Krok: 1.
5.
Posloupnost[Posun[Rotace[d,n*α],Vektor[(0,0,n*vyska)]],n,1, pocet-1].
1.
ˇ u kterého je možné menit ˇ Vytvoˇrili jsme schodište, poˇcet a výšku schodu. ˚ Pomocí nástroje Pohybovat s nákresnou pˇresuneme pudorysnou ˚ rovinu úplneˇ dolu. ˚ Horizontální vs. ˇ vertikální posun meníme kliknutím levého tlaˇcítka myši na pudorysnou ˚ rovinu. ˇ rotovat a využívat ruzné ˇ pohybu. • Zkuste schodištem ˚ smery
J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
VII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
ˇ ješteˇ vyzkoušíme jedno velmi zajímavé zobrazení 3D objektu. Na záver ˚ Jedná se o anaglyˇ fické zobrazení, které umožnuje pomocí speciálních 3D brýlí simulovat prostorový vjem. Volíme položku Vyberte typ promítání → Promítání pro anaglyfické brýle.
VIII
J. Volná, P. Volný, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II Petra Schreiberová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava ˇ Abstrakt: V rámci kurzu Matematika II se venujeme geometrickým aplikacím urˇcitého integrálu ˇ ˇ problémy si pˇredstavit rotaˇcní teleso ˇ a funkci dvou promenných. Studentum ˚ obˇcas delá vzniklé ˇ rotací rovinného útvaru cˇ i graf funkce dvou promenných, pˇríp. teˇcnou rovinu. GeoGebra poskyˇ tuje nástroj k vizualizaci techto problému. ˚
První úloha ˇ Ukážeme si zpusob, ˚ jak lze využít 3D GeoGebru k vizualizaci a tvorbeˇ rotaˇcního telesa.
Druhá úloha ˇ Využijeme GeoGebru k pochopení pojmu teˇcné roviny ke grafu funkce dvou promenných.
ˇ Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
ˇ Pˇríklad 2: Rotaˇcní teleso Zadání: Zakreslete rovinný útvar ohraniˇcený grafy funkcí f (x) = x3 − 2x + 1, h(x) = x − 1. ˇ Vytvoˇrte rotaˇcní teleso vzniklé rotací tohoto útvaru kolem osy x. ˇ Rešení: 1. 2.
Otevˇreme GeoGebru. Vykreslíme grafy funkcí, které ohraniˇcují daný rovinný útvar. Klikneme do vstupu a zadáme pˇríkaz.
3.
Do vstupu zadáme pˇredpis funkce f (x).
4.
Do vstupu zadáme pˇredpis funkce h(x).
V menu Zobrazit zvolíme možnost Grafický náhled 3D. 5.
Nalezneme pruseˇ ˚ cíky obou funkcí.
Pruseˇ ˚ cík lze nalézt i klikem na ikonu pruseˇ ˚ cík ˇ kresne.
a následným klikem na obeˇ funkce v ná-
ˇ Z grafu˚ funkcí si necháme znázornené pouze cˇ ásti omezující rovinný útvar. 6.
Vykreslíme graf funkce f (x) v mezích x(A), x(B).
7.
Vykreslíme graf funkce h(x) v mezích x(A), x(B).
ˇ V algebraickém okneˇ zmeníme viditelnost funkcí f (x) a h(x). X
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Vzniklý rovinný útvar zaˇcneme rotovat kolem osy x. Potˇrebujeme vytvoˇrit úhel rotace. Toto proˇ vedeme využitím posuvníku v Nákresne.
8.
9.
Klik na ikonu posuvníku, následneˇ na nákresnu a vytvoˇríme si posuvník pro úhel α - interval zvolíme s krokem 1◦ .
Dáme použít.
Navolíme osu rotace. 10.
Do vstupu zadáme pˇredpis y = 0.
Zaˇcneme rotovat. Nejdˇríve si musíme vyjádˇrit dané kˇrivky parametricky.
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XI
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
11.
Zadáme do vstupu pˇríkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je p(x), úhel α a osou je objekt a.
12.
Zadáme do vstupu pˇríkaz Rotace[objekt,úhel,osa], kde objekt je r(x), úhel α a osou je objekt a.
Pomocí posuvníku volbou úhlu zaˇcne rovinný útvar rotovat. ˇ telesa, ˇ Pro znázornení které touto rotací vznikne, musíme zaškrtnout u parametrických kˇrivek volbu stopa zapnuta a v posuvníku zvolíme animace zapnuta (pravým klikem na objekty v algeˇ braickém okne).
13.
XII
Pro lepší názornost lze v grafickém náhledu odstranit rovinu xy.
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
Pˇríklad 3: Teˇcná rovina ˇ rovnici teˇcné roviny ke grafu Zadání: Zakreslete graf funkce f (x, y) = 0.5x2 + 2y 2 a naleznete ˇ Teˇcnou rovinu znázornete. ˇ funkce v daném bode. ˇ Rešení: Otevˇreme GeoGebru a zobrazíme grafický náhled 3D. V 3D náhledu pomocí vinu xy.
skryjeme ro-
Znázorníme graf funkce zadáním pˇredpisu do vstupu.
1.
Zvolíme bod na ploše. 2.
Volbou bod na objektu a následným klikem na osu x a y dostaneme 2 body A, B.
3.
Vytvoˇríme bod v rovineˇ xy se souˇradnicemi [x(A), y(B)].
4.
Znázorníme bod na ploše [x(A), y(B), f (x(A), y(B))].
V 3D náhledu pomocí
grafu
se
souˇradnicemi
lze pootoˇcit graf.
ˇ posunutím bodu˚ A, B. Bod na ploše lze dynamicky menit
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XIII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
Pro nalezení rovnice teˇcné roviny a normály je potˇreba urˇcit normálový vektor, tzn. parciální ˇ derivace funkce. Do vstupu zadáme pˇríkaz Derivace[funkce, promenná].
5.
Získáme parciální derivaci podle x.
6.
Získáme parciální derivaci podle y.
ˇ Nalezené parciální derivace schováme a vytvoˇríme smerové vektory (pˇríkaz Vektor[poˇcáteˇcní bod,koncový bod]). 7.
ˇ Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle x v bodeˇ D.
8.
ˇ Smerový vektor odpovídající parciální derivaci podle y v bodeˇ D.
ˇ tloušt’ku a barvu smerových ˇ Pro lepší pˇrehlednost mužeme ˚ zmenit vektoru˚ (pravý klik na objekt vektoru˚ a zvolit možnost Vlastnosti).
Pomocí vektorového souˇcinu ⊗ urˇcíme normálový vektor. 9.
10.
Normálový vektor v bodeˇ D.
Znázorníme teˇcnou rovinu, bod je D a vektor n.
Nalezli jsme rovnici teˇcné roviny. XIV
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Postˇrehy a poznámky Pˇri tvorbeˇ bodu˚ lze zápis zpˇrehlednit volbou a = x(A), b = y(B) a následneˇ C = (a, b), D = (a, b, f (a, b)).
P. Schreiberová, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XV
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Numerická integrace Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Ukážeme práci s objektem seznam. Dále užití pˇríkazu Posloupnost pro vytvoˇrení ˇ jednoho prvku ze seznamu a pˇríkazu seznamu hodnot, pˇríkazu Prvek, který slouží k výberu Vyber, který vybere cˇ ást ze seznamu. ˇ Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem ˇ Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí.
ˇ Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem ˇ Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu složeným lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
ˇ ˇ Numerická matematika Pˇríspevek vznikl za podpory projektu FRVS2015/158 Inovace pˇredmetu ˇ ˇ na Fakulteˇ strojní Vysoké školy bánské-Technické univerziteˇ Ostrava. Autorka také dekuje za podporu svému pracovišti.
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
ˇ Pˇríklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem ˇ Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí.
Obrázek 1: Náhled na aplikaci
Konstrukce Nejprve si vytvoˇríme textová pole pro zadání integrované funkce a mezí. 1.
Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)
2.
Vytvoˇríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).
3.
Zadáme integraˇcní mez: a=1 Vytvoˇríme textové pole pro integraˇcní mez s popisem a= a propojíme s objektem a.
4. 5.
Zadáme integraˇcní mez: b=2
6.
Vytvoˇríme textové pole s popisem b= a propojíme s objektem b.
ˇ délku. viz. Vlastnosti - Styl. Poznámka: Textovým polím pro zadání integraˇcních mezí lze zmenit
Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XVII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
Integrovanou funkci na intervalu ha, bi interpolujeme lineární funkcí. Hodnotu urˇcitého integrálu ˇ a f (x) dx tedy nahradíme obsahem lichobežníku.
Rb
7.
Zadáme body: A=(a,f(a)) a B=(b,f(b))
8.
Vytvoˇríme úseˇcku: Usecka[A,B]
9.
Zadáme body: C=(b,0) a D=(a,0)
10.
ˇ Vytvoˇríme lichobežník urˇcený body ABCD. Klikneme postupneˇ na jednotlivé body a zadávání ukonˇcení kliknutím na první bod.
11.
ˇ Obsah lichobežníku je pˇribližnou hodnotou urˇcitého integrálu.
ˇ Pˇríklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem ˇ Zadání: Sestrojíme aplikaci na výpoˇcet pˇribližné hodnoty urˇcitého integrálu složeným lichobežníkovým pravidlem. Aplikace umožní uživateli zadat funkci a integraˇcní meze pomocí textových polí. Dále je k dispozice posuvník, kterým lze volit hodnotu n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .
Obrázek 2: Náhled na aplikaci
XVIII
Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Popis metody . Na intervalu ha, bi vytvoˇríme ekvidistantní sít’ xi = a + ih pro i = 0, 1, . . . , n, kde h = b−a n Integrovanou funkci na každém intervalu hxi−1 , xi i, i = 1, . . . , n interpolujeme lineární funkcí. Oznaˇcme hodnoty funkce v uzlech yi = f (xi ), i = 0, . . . , n. Pak pˇribližná hodnota integrálu je: n−1 X h h h h h y0 + 2 yi + yn (?) I ≈ (y0 + y1 ) + (y1 + y2 ) + (y2 + y3 ) + · · · + (yn−1 + yn ) = 2 2 2 2 2 1
!
Konstrukce Nejprve si vytvoˇríme textová pole pro zadání integrované funkce a integraˇcních mezí.
1.
Zadáme funkci: f(x)=exp(x^2)
2.
Vytvoˇríme textové pole s popisem f(x)= a propojíme s objektem f(x).
3.
Zadáme integraˇcní mez: a=1
4.
Vytvoˇríme textové pole s popisem a = a propojíme s objektem a.
5.
Zadáme integraˇcní mez: b=2
6.
Vytvoˇríme textové pole s popisem b = a propojíme s objektem b.
ˇ ˇ Promenná n urˇcující poˇcet dílu, ˚ na který rozdelíme interval ha, bi, bude nabývat hodnot n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . 7.
Zadáme: r=6
8.
Vytvoˇríme posuvník pro celá cˇ ísla. Název má k a jeho hodnoty jsou od 1 do r.
9.
Budeme poˇcítat s prvními r prvky z posloupnosti {1, 2, 4, 8, 16, 32, . . .}. Tedy pomoci pˇríkazu Posloupnost vytvoˇríme seznam hodnot {2j−1 }r1 : nn=Posloupnost[2^(j-1),j,1,r]
10.
Nastavíme hodnotu n jako k-tý prvek ze seznamu nn pomocí pˇríkazu Prvek: n=Prvek[nn,k]
ˇ Nyní mužeme ˚ postupovat dvema zpusoby. ˚
Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XIX
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
ˇ První možnost je sestrojit lichobežníky a seˇcíst jejich obsahy. 11.a
ˇ Vypoˇcítáme krok delení: h=(b-a)/n
12.a
Vytvoˇríme body (xi , f (xi )) i = 0, . . . n ležící na grafu funkce (viz Obrázek 3): F=Posloupnost[(a+i*h,f(a+i*h)),i,0,n] A vytvoˇríme lomenou cˇ áru procházející body Fj (viz Obrázek 3): lomena=Posloupnost[Usecka[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1]],j,1,n]
13.a 14.a
Vytvoˇríme body (xi , 0) i = 0, . . . n ležící na ose x (viz Obrázek 3): X=Posloupnost[(a+i*h,0),i,0,n]
15.a
ˇ A vytvoˇríme lichobežníky urˇcené body Fj Fj+1 Xj+1 Xj , j = 1, . . . , n: lich=Posloupnost[Mnohouhelnik[Prvek[F,j],Prvek[F,j+1], Prvek[X,j+1],Prvek[X,j]],j,1,n]
16.a
ˇ Seˇcteme obsahy lichobežník u: ˚ I=Suma[lich]
Fj+1
Fj yi+1 f
yi
f h a
h
Xj Xj+1
b
a
Obrázek 3
xi xi+1
b
Obrázek 4
Druhá možnost je vypoˇcítat pˇribližnou hodnotu integrálu podle vzorce (?). 11.b
ˇ Vypoˇcítáme krok delení: h=(b-a)/n
12.b
Vytvoˇríme hodnoty xi = a + ih, i = 0, . . . , n (viz Obrázek 4): xx=Posloupnost[a+i*h,i,0,n]
13.b
A vypoˇcítáme funkˇcní hodnoty f (xi ) (viz Obrázek 4): yy=f(xx)
14.b
Podle vzorce (?) spoˇcítáme pˇribližnou hodnotu urˇcitého integrálu: II=h/2*(Prvek[yy,1]+2*Suma[Vyber[yy,2,n]]+Prvek[yy,n+1])
XX
Z. Morávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 Cyklus for a iterace v GeoGebˇre ˇ Jana Belohlávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: V GeoGebˇre (5.0.106.0-3D, May 2015) neexistuje pˇrímá podpora pro cyklus. Standardneˇ se nabízí dva zpusoby, ˚ jak se vypoˇrádat s opakujícími se konstrukcemi. Bud’ vytvoˇrit tzv. nástroj, nebo použít tabulku. Ani jeden z výše uvedených zpusob ˚ u˚ není zcela uspokojující, protože ani v jednom nemužeme ˚ zadat poˇcet opakování a jsme nuceni bud’ jednotlivé kroky ˇ nebo „ruˇcneˇ roztáhnout tabulku“. Pˇríspevek ˇ „naklikat ruˇcne“ popisuje jiný zpusob, ˚ který tento ˇ ˇ nedostatek odstranuje a nahrazuje tím chybející pˇríkaz pro cyklus for.
ˇ Autorka dekuje za podporu svému pracovišti.
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
Pˇríklad 6: Seznámení s pˇríkazy ˇ ˇ jejich poˇcet. Zadání: Vytvoˇrte n bodu˚ (i,i) s názvem Ai tak, aby se se zmenou hodnoty n menil Než pˇristoupíme k ˇrešení pˇríkladu, seznamme se s pˇríkazy, které budeme potˇrebovat. Pˇríkazy zadáváme do vstupního pole. • Posloupnost[,,,] vytvoˇrí seznam objektu˚ definovaných výrazem a promennou. • Vykonat[<Seznam text˚ u>] vykoná seznam pˇríkazu˚ vložených jako text. Názvy pˇríkazu˚ musí být anglicky. • Smazat[] smaže objekt. Jeho anglická verze je Delete[]. Vyzkoušejte si: • • • • • • •
S0={1,4,5} S1={"n=5","A=(1,3)","k=Circle[A,n]"} Vykonat[S1] Vykonat[{"Delete[k]"}] S3=Posloupnost[(i,i),i,1,n] S4=Posloupnost["A_{i}=(i,i)",i,1,n] S5=Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]
Konstrukce 1.
Vytvoˇríme posuvník n od 0 do 50 s krokem 1.
2.
Do dialogového okna posuvníku n v záložce Skriptování, Po aktualizaci vložíme pˇríkazy Vykonat[Posloupnost["A_{"+i+"}=("+i+","+i+")",i,1,n]] Vykonat[Posloupnost["Delete[A_{"+i+"}]",i,n+1,50]] podle Obrázku 1.
Obrázek 1: Dialogové okno pro skriptování
XXII
ˇ J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Pˇríklad 7: Regula-falsi Zadání: Zobrazte n iterací metody regula-falsi.
Obrázek 2: Regula falsi Pˇríkazy, které budeme potˇrebovat: • Spoj[<Seznam seznam˚ u>] spojí seznam seznamu˚ v jeden seznam. ˇ podmínka, definuje objekt jako • Kdyz[,<Pak>,<Jinak>] pokud je splnena ˇ Pak, není-li splnena jako Jinak. Anglická verze If[,<Pak>,<Jinak>]. • NastavitPodminkuZobrazeni[,] nastaví podmínku viditelnosti daného objektu. • Usecka[,] vytvoˇrí úseˇcku, anglická verze Segment[,]. Vyzkoušejte si: • S1={{"n=5","A=(1,3)"},{"B=(2,4)","C=(5,1)"}} • Vykonat[S1] Ohlásí chybu. • S2=Spoj[S1] • Vykonat[S2] • u=Kdyz[n>3,Usecka[A,B], Usecka[A,C]] • NastavitPodminkuZobrazeni[A,n>0] Máme-li více pˇríkazu v jedné iteraci, bude výsledný pˇríkaz sestaven takto: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{"prikaz1","prikaz2","prikaz3"},i,0,n]]]
ˇ J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXIII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
V našem pˇrípadeˇ budou v jedné iteraci tyto pˇríkazy: Ai=(ai,f(ai)) Bi=(bi,f(bi)) ui=Usecka[Ai,Bi] ci=ai-(bi-ai)/(f(bi)-f(ai))*f(ai), a(i+1)=If[sgn(f(ai))==sgn(f(ci)),ci,ai] b(i+1)=If[sgn(f(bi))==sgn(f(ci)),ci,bi] Ri=(ci,0)
Konstrukce 1.
Vytvoˇríme posuvník n od 0 do 10 s krokem 1.
2. 3. 4. 5.
f(x)=2*xˆ3-4*xˆ2+3*x a0=-1 b0=1 Tlacitko[] Do dialogového okna tlaˇcítka v záložce Sriptovaní, Po kliknutí vložíme pˇríkaz: Vykonat[Spoj[Posloupnost[{ "A"+i+"=(a"+i+",f(a"+i+"))", "B"+i+"=(b"+i+",f(b"+i+"))", "u"+i+"=Segment[A"+i+",B"+i+"]", "c"+i+"=a"+i+"-(b"+i+"-a"+i+")/(f(b"+i+")-f(a"+i+"))*f(a"+i "a"+(i+1)+"=If[sgn(f(a"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",a"+i+"]", "b"+(i+1)+"=If[sgn(f(b"+i+"))==sgn(f(c"+i+")),c"+i+",b"+i+"]", "R"+i+"=(c"+i+",0)"}, i,0,n]]] viz. Obrázek 3. Podmínky viditelnosti nastavíme pˇridáním pˇríkazu: ˚ Vykonat[Posloupnost["SetConditionToShowObject[A"+i+",n>="+i+"] ",i,0,n]] A podobneˇ pro body Bi,Ri a úseˇcky ui.
6.
7.
Obrázek 3: Pozor na správné vložení pˇríkazu
XXIV
ˇ J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Poznámky Další pˇríkazy, které by mohly být užiteˇcné: • NastavitStylBodu[,<ˇ Císlo>] • NastavitVelikostBodu[, <ˇ Císlo> ] • NastavitBarvu[,""] • ZobrazitPopis[, ] • NastavitTloustkuCary[<ˇ Cára>,<ˇ Císlo>] • NastavitStylCary[<ˇ Cára>,<ˇ Císlo>]
Zdroj https://wiki.geogebra.org/en/Main_Page
ˇ J. Belohlávková, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXV
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Radomír Paláˇcek Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB-TU Ostrava
Abstrakt: Prostˇrednictvím vytvoˇreného apletu se seznámíme s ˇrezy na rotaˇcní kuželové ploše. K jeho tvorbeˇ využijeme 3D grafický náhled, který je v GeoGebˇre noveˇ k dispozici. Aplet je možné použít také ve výuce, kde muže ˚ nápomoci ke zdokonalení prostorové pˇredstavivosti studentu˚ a zlepšení pochopení dané problematiky.
ˇ ˇ kuželové plochy Rezy rotacní Vytvoˇrte aplet, který bude demonstrovat ˇrezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou.
ˇ Autor dekuje za podporu svému pracovišti.
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
ˇ Pˇríklad 8: Rezy rotaˇcní kuželové plochy Zadání: Vytvoˇrte aplet, který bude demonstrovat rˇezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou.
Obrázek 4: Náhled na aplet ˇ Rezem rotaˇcní kuželové plochy rovinou muže ˚ být elipsa, parabola, hyperbola a další singulární kuželoseˇcky. Oznaˇcme rovinu ˇrezu ρ. Dále oznaˇcme α odchylku roviny ˇrezu ρ od roviny libovolné povrchové kružnice kuželové plochy a β oznaˇcíme odchylku povrchových pˇrímek plochy od roviny povrchové kružnice. Dále oznaˇcme V vrcholem kuželové plochy. Pokud se jedná o tzv. eliptický ˇrez kuželové plochy, má rovina protnout všechny její površky. To nastane práveˇ tehdy, když α < β, viz obrázek 5 a), kde je nárys dané situace. Její ohniska jsou dotykové body vepsaných sfér do kuželové plochy, které se také dotýkají roviny ρ . Je-li navíc rovina kolmá k ose této plochy (α = 0), pak je ˇrezem kružnice jakožto speciální pˇrípad elipsy. R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXVII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
V pˇrípadeˇ tzv. parabolického ˇrezu musí nastat rovnost odchylek, tedy α = β. Situace je znázorˇ nena na obrázku 5 b). Poslední možností je tzv. hyperbolický ˇrez a to, když α > β, obrázek 5 c).
ˇ Obrázek 5: Rezy rotaˇcní kuželové plochy rovinou ρ. ˇ Na obrázku 5 jsou dále u každého rˇezu ješteˇ znázorneny rˇezy vrcholovými rovinami ρ0 , které ˇ jsou rovnobežné s rovinami ρ. Výsledkem jsou potom singulární kuželoseˇcky: • bod - vrchol kuželové plochy, • pˇrímka procházející vrcholem kuželové plochy - jedna její površka, ˇ • dveˇ ruznob ˚ ežné pˇrímky se spoleˇcným bodem - vrcholem kuželové plochy.
XXVIII
R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Konstrukce ˇ na dveˇ cˇ ásti. Nejprve vytvoˇríme ovládací prvky a rovinu ˇrezu, Celou konstrukci mužeme ˚ rozdelit poté budeme konstruovat samotný kužel. K vytvoˇrení apletu budeme potˇrebovat Nákresnu a Grafický náhled 3D. Ovládací prvky budou ˇ v nákresne, ˇ kužel a rovina ˇrezu v Grafickém náhledu 3D. umísteny
1.
ˇ „Rezy rotaˇcní kuželové plochy“.
2.
Do nákresny vložíme bod A.
3.
Vytvoˇríme cˇ tverec a pojmenujeme ho poly. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[A+(-2,-2), A+(-2,2), A+(2,2), A+(2,-2)].
4.
Dovnitˇr cˇ tverce vložíme bod B (velikost 9, styl +).
5.
6.
7.
V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme bod C, který vznikne tak, že pˇriˇcteme k bodu (1,1,1) vektor urˇcený body A a B. Do vstupu zapíšeme Posun[(1, 1, 1), Vektor[A, B]]. Vytvoˇríme mnohoúhelník v Grafickém náhledu 3D a pojmenujeme ho poly1. Do vstupu zapíšeme Mnohouhelnik[C+(-5,-5), C+(-5,5), C+(5,5), C+(5,-5)]. Vytvoˇríme posuvníky pro úhly ˇ • α od 0◦ do 180◦ (vodorovne), • β od 0◦ do 360◦ (svisle).
8.
9.
10.
11.
V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme rotací mnohoúhelníku poly1 okolo osy x o úhel α mnohoúhelník poly2. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly1, α, OsaX]. (Rovinu poly1 dáme nezobrazovat). V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme rotací mnohoúhelníku poly2 okolo osy z o úhel β mnohoúhelník poly3. Do vstupu zapíšeme Rotace[poly2, β, OsaZ]. (Rovinu poly2 dáme nezobrazovat). ˇ osy z Vytvoˇríme posuvník pro posun roviny poly3 ve smeru • h od -5 do 5 (svisle). V Grafickém náhledu 3D vytvoˇríme posunutím roviny poly3 o hodnotu h rovinu poly4. Do vstupu zapíšeme Posun[poly3, Vektor[(0, 0, h)]]. (Rovinu poly3 dáme nezobrazovat, popisek: $\rho$ ).
Nyní pˇrejdeme ke konstrukci samotného kužele. R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXIX
3µ 2015
12.
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie Vytvoˇríme posuvník, jehož hodnota bude definovat úhel, který bude svírat kužel ˇ s kladným smerem osy z. ˇ popisek: úhel kužele). • uhel od 0◦ do 90◦ (vodorovne,
13.
Do vstupu zapíšeme NekonecnyKuzel[(0, 0, 0), OsaZ, uhel].
V tomto okamžiku nás bude zajímat prunik ˚ kužele s rovinou ˇrezu. V našem pˇrípadeˇ je rovina reˇ ˇ prunik prezentována mnohoúhelníkem. Bohužel, GeoGebra neumožnuje udelat ˚ mnohoúhelníku s takto konstruovaným kuželem pˇrímo, ale musíme nejdˇríve proložit našim mnohoúhelníkem pomocnou rovinu.
14. 15.
Do vstupu zapíšeme Rovina[poly4]. Zaklikneme Prunik ˚ dvou ploch a klikneme na kužel a rovinu z bodu 14). Výsledˇ kem bude Pruniková ˚ cˇ ára k techto objektu. ˚
ˇ GeoGebra nám v tomto pˇrípadeˇ také umožnuje vytvoˇrit samostatné okno, které pˇredstavuje ˇ rovinný pohled na prunik ˚ daných objektu. ˚ To lze udelat napˇríklad tak, že v Algebraickém okneˇ klikneme pravým tlaˇcítkem na výsledek pruniku ˚ a z nabídky vybereme Vytvoˇrit 2D náhled z k (viz. obr. 6)
Obrázek 6: Náhled na nabídku prunikové ˚ cˇ áry.
XXX
R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Do noveˇ vytvoˇreného okna umístíme texty, které budou slovneˇ charakterizovat vzniklé ˇrezy kužele a roviny ρ.
Do nákresny umístíme pˇres sebe následující texty a nastavíme u každého z nich podmínky pro zobrazení objektu: • Kružnice podmínky:
(α = 0◦ ) ∨ (α = 180◦ ),
• Elipsa podmínky:
(0◦ < α < 90◦ -uhel) ∨ (90◦ +uhel< α < 180◦ ),
• Parabola podmínky:
(α = 90◦ -uhel) ∨ (α = 90◦ +uhel),
16.
• Hyperbola podmínky: 90◦ -uhel< α < 90◦ +uhel. ˇ Dále, ve vlastnostech všech textu, ˚ v záložce Pro pokroˇcilé, v kolonce Umístení musí být zatrhnuto Extra Views.
Zdroj 1. http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vera.setmanukova.dp/?page=qdvK& pqdv=1
R. Paláˇcek, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXXI
Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie 3µ 2015 GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii Radka Hamˇríková, Dagmar Dlouhá Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava Abstrakt: Pro zájemce jsme pˇripravily 2 jednoduché úlohy jak zaˇcít ve 3D GeoGebˇre.
Konstrukce teˇcné roviny kulové plochy ve 3D Geogebˇre. Motivaˇcní úloha: ukázat studentum ˚ princip konstrukce úlohy, kterou dále ˇrešíme v kótovaném promítání nebo v Mongeoveˇ projekci.
ˇ Autorky dekují za podporu svému pracovišti.
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
Pˇríklad 9: Teˇcná rovina ˇ Zadání: Je dána kulová plocha stˇredem S = (0, 3.5, 5) a polomerem r = 3cm. V bodeˇ T = (2, 2, ?) sestrojte teˇcnou rovinu. ˇ programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Po spuštení
Konstrukce 1.
stˇred kulové plochy, zadáme v souˇradnicích do pˇríkazového ˇrádku S = (0, 3.5, 5)
2.
ˇ zvolíme tlaˇcítko ,koule stˇredem a polomerem‘, klikneme na bod S a zadáme ˇ 3 polomer
3.
zadáme pudorys ˚ bodu T , napˇr. Q = (2, 2, 0) (ideálneˇ napsat do pˇríkazového ˇrádku)
4.
bodem Q vedeme pˇrímku b kolmo k pudorysn ˚ eˇ
5.
najdeme pruseˇ ˚ cíky pˇrímky b a kulové plochy - pˇrejmenujeme je na T a T 0
6.
spojíme stˇred S s bodem T a pak S s bodem T 0
7.
teˇcná rovina v bodeˇ T je kolmá k ST , teˇcná rovina v bodeˇ T 0 je kolmá k ST 0
R. Hamˇríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXXIII
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
ˇ Ukázka otáˇcení roviny do prum ˚ etny ve 3D Geogebˇre. Motivaˇcní úloha: ukážeme studentum ˚ princip otáˇcení, dále ho mužeme ˚ využít v kótovaném promítání nebo v Mongeoveˇ projekci.
Pˇridáme si nová tlaˇcítka do nabídky okna 3D grafika: nástroje - nastavit panel nástroju˚ - grafický náhled 3D kolmice - vložit - použít posuvník - vložit - použít
XXXIV
R. Hamˇríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
3µ 2015
ˇ Pˇríklad 10: Otoˇcení bodu do prum ˚ etny Zadání: Je dána rovina α body A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2). Otoˇcte bod C do pru˚ ˇ metny. ˇ programu si vybereme z nabídky 3D grafika. Dále si pˇridáme nákresnu - zobrazit Po spuštení nákresna.
Konstrukce 1.
rovina je dána tˇremi body, zadáme v souˇradnicích do pˇríkazového ˇrádku A = (4, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 2)
2.
zvolíme tlaˇcítko ,rovina tˇremi body‘ a klikneme postupneˇ na body A, B, C
3.
najdeme stopu roviny jako pruseˇ ˚ cnici zadané roviny a pudorysny, ˚ pˇrímku pˇrejmenujeme na p
4.
vedeme spádovou pˇrímku s bodem C kolmo ke stopeˇ p
5.
najdeme stopník spádové pˇrímky jako pruseˇ ˚ cík stopy a spádové pˇrímky stˇred otáˇcení
R. Hamˇríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
XXXV
3µ 2015
Workshop: Využití GeoGebry ve výuce matematiky a geometrie
6.
nakreslíme kružnici, která prochází bodem C a její osa je stopa roviny p
7.
ˇ pruseˇ ˚ cíky kružnice z bodu 6 a prum ˚ etny D, E odpovídají otoˇcenému bodu C
8.
spojíme body D, E a dostaneme pˇrímku d
9.
ˇ ríme úhel mezi pˇrímkami s a d α = 39, 81◦ a dopoˇcítáme si úhel β = zmeˇ 180◦ − 39, 81◦ = 140, 19◦
10.
posuvník β v rozmezí 0◦ − 140, 19◦
11.
rotuje bod C o úhel −β, u bodu zatrhneme ,stopa zapnuta‘
ˇ jeho pudorys. Vyzkoušejte si: Sestrojte v rovineˇ α cˇ tverec nad úhlopˇríˇckou BC. Najdete ˚
XXXVI
R. Hamˇríková, D. Dlouhá, Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, VŠB - TU Ostrava
Obsah První pohled na 3D v GeoGebˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 1: Schodišteˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3D GeoGebra ve výuce Matematiky II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 2: Rotaˇcní teleso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 3: Teˇcná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerická integrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 4: Numerická integrace lichobežníkovým pravidlem . . . . . . ˇ Pˇríklad 5: Numerická integrace složeným lichobežníkovým pravidlem Cyklus for a iterace v GeoGebˇre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 6: Seznámení s pˇríkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 7: Regula-falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ ˇ kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rezy rotacní ˇ Pˇríklad 8: Rezy rotaˇcní kuželové plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . GeoGebra 3D v deskriptivní geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇríklad 9: Teˇcná rovina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ Pˇríklad 10: Otoˇcení bodu do prum ˚ etny . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XXXVII
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . IV . . V . . IX . . X . . XIII . . XVI . . XVII . . XVIII . . XXI . . XXII . . XXIII . . XXVI . .XXVII . .XXXII . XXXIII . . XXXIV .
Seznam účastníků Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc.
KDM MFF UK Praha
[email protected]
Mgr. Jana Bělohlávková
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Jiří Bouchala, Ph.D.
FEI VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Zdeněk Boháč, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Dagmar Dlouhá, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Dr. Krzysztof Dłutek
PS Gliwice
[email protected]
RNDr. Milan Doležal, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Hana Doležalová, Ph.D.
ÚGN AV ČR Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Jarmila Doležalová, CSc. KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Vanda Dubáčová
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Radka Hamříková
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Jana Hoderová, Ph.D.
ÚM FSI VUT Brno
[email protected]
Doc. Dr. Mgr. Ivan Kolomazník
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Dr. Inž. Zygmunt Korban
PS Gliwice
[email protected]
Dr. Hab. Inž. Stanisław Kowalik, prof.
WSB Dąbrowa Górnicza
[email protected]
Ing. Leszek Kowalik
PS Gliwice
Mgr. Jiří Krček
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Břetislav Krček, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Pavel Kreml, CSc.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. RNDr. Radek Kučera , Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Pavel Ludvík, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Dr. Inż. Ewa Matuszewska
PS Gliwice
[email protected]
Dr. Inż. Elwira Mateja-Losa
PS Gliwice
[email protected]
Mgr. Zuzana Morávková, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Doc. Ing. Luděk Nechvátal, Ph.D.
ÚM FSI VUT Brno
[email protected]
Mgr. Zdeněk Opluštil, Ph.D.
ÚM FSI VUT Brno
[email protected]
- 186 -
Dr. Inż. Justyna Orwat
PS Gliwice
[email protected]
RNDr. Radomír Paláček, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Lenka Přibylová
FEI VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Marcela Rabasová, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Ing. Petra Schreiberová, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Dana Smetanová, Ph.D.
VŠTE České Budějovice
[email protected]
Mgr. Jakub Stryja, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Mgr. Martina Štěpánová , Ph.D.
MFF UK Praha
[email protected]
Mgr. Inž. Magdalena Tutak
PS Gliwice
[email protected]
RNDr. Jana Volná, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
RNDr. Petr Volný, Ph.D.
KMDG VŠB - TU Ostrava
[email protected]
KNDr. Petra Vondráková, Ph.D.
FEI VŠB - TU Ostrava
[email protected]
Lubomír Záhon
SjF STU Bratislava
[email protected]
RNDr. Viera Záhonová, CSc.
SjF STU Bratislava
[email protected]
- 187 -
Název:
Sborník z 24. semináře Moderní matematické metody v inženýrství, česko-polský seminář
Místo, rok, vydání:
Ostrava, 2015, I. vydání
Počet stran:
186
Vydala:
VŠB - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA
Katedra:
matematiky a deskriptivní geometrie
Náklad:
50 ks
Neprodejné ISBN 978-80-248-3843-4
