IDEALIZÁLT STATISZTIKUS SZÁLKÖTEGCELLÁK ÉS ALKALMAZÁSUK SZÁLAS SZERKEZETEK, KOMPOZITOK MODELLEZÉSÉRE

IDEALIZÁLT STATISZTIKUS SZÁLKÖTEGCELLÁK ÉS ALKALMAZÁSUK SZÁLAS SZERKEZETEK, KOMPOZITOK MODELLEZÉSÉRE

Vas László Mihály a műszaki tudomány kandidátusa

MTA Doktori értekezés

Budapest, 2007

KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS

Hálával gondolok vissza gimnáziumi tanáraimra, elsősorban Vasvári László fizika és matematika, valamint Darida Lenke matematika tanáraimra, akik rávezettek a feladatfellelő és megoldó gondolkodásra, továbbá egyetemi oktatóimra, professzoraimra, különösen id. Sályi István professzor élvezetes mechanika, Erdélyi Ferenc professzor szabályozáselméleti, valamint Vetier András és Bártfai Pál professzorok valószínűségelméleti előadásaira emlékezve, és mindazokra, akiktől a mérnöki szemléletet és tudományokat, a matematika alkalmazását tanulhattam. Hálával és tisztelettel tartozom néhai Jederán Miklós professzornak, a Polimertechnika, a korábbi Textiltechnológia és Könnyűipari Tanszék volt vezetőjének, aki a tanszékére meghívott, s így hét évi ipari tevékenység után egyetemi oktató és kutató lehettem. Tisztelettel és köszönettel tartozom Rusznák István professzornak, az MTA Szál- és Rosttechnológiai Bizottság volt elnökének, akitől – a Bizottság titkáraként – szakmailag és emberileg is sokat tanultam. Köszönettel tartozom minden volt és jelen tanszéki kollégámnak, mindenekelőtt néhai Bodor Géza professzornak, akinek segítségével ismereteimet a polimerek szerkezettanában elmélyíthettem, és akinek oktatótársaként egyebekben is sokat tanultam, néhai Geleji Frigyes professzornak, néhai Kóczy Lászlónak és Kocsis Józsefnek, akiktől a szálak, szálfolyamok tudományát tanultam, Havas Ivánnénak, néhai Baranyi Péternek, Iványi Andrásnak, Takács Menyhértnek, Való Gábornak, Halász Gézának, Császi Ferencnek, Rácz Péternek, Koczor Zoltánnak, Gaál Jánosnak, Czvikovszky Tibornak, Nagy Péternek, Halász Mariannának, Czigány Tibornak és a többieknek, munkatársaimnak, Pétery Istvánnénak, Farkasné Csákány Zsuzsannának, Szoboszlai Attilánénak, Szalay Sándornak, Tóth Sándornak, doktoranduszainknak, Balogh Krisztinának, Rácz Zsoltnak, Zsigmond Balázsnak, Nagy Veronikának, Simon Zoltánnak, Gombos Zoltánnak, Ronkay Ferencnek, Pölöskei Kornélnak, továbbá Tamás Péternek és mind másoknak, akikkel együtt dolgozhattam, s akiktől tanulhattam, különösen Czvikovszky Tibor és Czigány Tibor professzoroknak, akik munkámat elősegítették és támogatták. Hálával és tisztelettel gondolok egyházi tanító és kántor nagyapámra, néhai Szász Rudolfra, akitől az ember és a tudás tiszteletét tanultam, szüleimre, elhunyt édesapámra, Vas Tiborra és édesanyámra, özv. Vas Tiborné sz. Szász Magdolnára, akik a fejlődésemet, felnőtté válásomat sokoldalúan lehetővé tették, de a tanulást tartották a legfontosabbnak és egyetemi tanulmányaimat mindvégig támogatták. Hálával és szeretettel tartozom a legfontosabbnak, a családomnak, feleségemnek, Gyulavári Ágnesnek és leányomnak, Krisztinának, akik a munkához és élethosszig tanuláshoz nélkülözhetetlen harmonikus otthoni hátteret, támogatást, megértést, derűt és szeretetet adták. Végül, de nem utolsó sorban, köszönettel tartozom barátainknak, Botyánszki Endrének, Turay Ferencnek, Mészáros Bélának és feleségének, Évinek, Mészáros Sándornak és feleségének, Sacinak, Réső Endrének és feleségének, Tamának, akik az olykor nehéz időkben is mellettem, mellettünk álltak. A kutatásokat az Országos Tudományos Kutatási Alap (OTKA I/3 T821, I/5 T 7651 és T4652, T022077, T038220, M045664, T042775, T049069) támogatta.

a

b

TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS ......................................................................................................................................................... 1 1. SZÁLAS SZERKEZETEK TULAJDONSÁGAI ........................................................................................... 3 1.1. SZÁLAS SZERKEZETEK ALAPJELLEMZŐI ....................................................................................................... 3 1.2. SZÁLAS SZERKEZETEK GEOMETRIAI JELLEMZŐI ........................................................................................... 4 1.2.1. Szálak és szálmodellek ......................................................................................................................... 4 1.2.2. Szálhalmaz és száltér ........................................................................................................................... 7 1.2.3. Textíliák dimenziója és sűrűségjellemzői ............................................................................................. 9 1.2.3.1. Tojástartomány és gömbi környezete ............................................................................................................ 9 1.2.3.2. Dimenzió és sűrűség .................................................................................................................................... 10 1.2.3.3. Egy-, két és háromdimenziós textiltermékek és kompozitok ....................................................................... 13

1.2.4. Szálfolyamok szerkezeti-geometriai jellemzői ................................................................................... 13 1.2.4.1. Szálfolyamok és szálkötegek ....................................................................................................................... 13 1.2.4.2. Keresztmetszeti és szakállhossz eloszlás ..................................................................................................... 16 1.2.4.3. Poisson szálfolyam modell .......................................................................................................................... 18 1.2.4.4. Hosszmenti egyenlőtlenség jellemzői .......................................................................................................... 20

1.2.5. Sodrott szálas szerkezetek egyes szerkezeti jellemzői ........................................................................ 21 1.2.6. Szálas lapszerkezetek ......................................................................................................................... 23 1.3. SZÁLAS SZERKEZETEK STATISZTIKUS MECHANIKAI JELLEMZŐI.................................................................. 26 1.3.1. Szálhalmazok mechanikai jellemzői .................................................................................................. 26 1.3.2. Rideg anyagok statisztikus szilárdsági jellemzői ............................................................................... 28 1.3.2.1. Rideg anyagok, polimer kompozitok törési jellemzői ................................................................................. 29 1.3.2.2. Gyenge láncszem elmélet ............................................................................................................................ 31

1.3.3. Folytonosszálas szálkötegek statisztikus szilárdsága ........................................................................ 33 1.3.3.1. Szálköteg elméletek ..................................................................................................................................... 33 1.3.3.2. Köteglánc elméletek .................................................................................................................................... 39 1.3.3.3. Sodrott szálkötegek statisztikus szilárdsága................................................................................................. 41 1.3.3.4. Szálkötegek élettartama, időfüggő terhelés ................................................................................................. 42 1.3.3.5. Károsodáshalmozódási modellek ................................................................................................................ 43 1.3.3.6. Skálázási törvények, kritikus átmenetek szálköteg-, rács- és hálózatmodellekben ...................................... 45

1.3.4. Rövidszálas szerkezetek statisztikus szilárdsága ............................................................................... 47 1.3.4.1. A terhelésátadás mikromechanikai modelljei .............................................................................................. 47 1.3.4.2. Szálfolyamok szilárdsága ............................................................................................................................ 49 1.3.4.3. Rövidszálas szövedék és kompozit szilárdsága ........................................................................................... 52

1.4. ÖSSZEFOGLALÓ ÉRTÉKELÉS, MEGOLDANDÓ FELADATOK ........................................................................... 54 2. RÖVIDSZÁLAS SZERKEZETEK STATISZTIKUS GEOMETRIAI MODELLJE .............................. 56 2.1. TOJÁSTARTOMÁNY SZÁLKÖRNYEZETE ....................................................................................................... 56 2.1.1. Pont és tojástartomány lineáris környezete ....................................................................................... 56 2.1.2. Száltér egyszerűsített geometriai modellje ........................................................................................ 57 2.2. KÉTDIMENZIÓS RÖVIDSZÁLAS SZERKEZET MODELLEZÉSE .......................................................................... 58 2.2.1. A szálpaplan statisztikus szerkezeti-geometriai modellje .................................................................. 58 2.2.1.1. Rostközéppont-folyamat és a szálpaplan modell ......................................................................................... 58 2.2.1.2. Szálpaplan előállítása szálfolyamok egyesítéseként .................................................................................... 59

2.2.2. Konvex próbatest szálhossz és sűrűség jellemzői .............................................................................. 61 2.2.2.1. Konvex tartományt metsző szálak száma .................................................................................................... 61 2.2.2.2. Konvex tartományt metsző szálak szálhosszeloszlása ................................................................................. 63 2.2.2.3. Konvex tartományt metsző szálak metszeti hosszeloszlása ......................................................................... 65 2.2.2.4. Konvex minta területi sűrűségének statisztikus jellemzői ........................................................................... 67

2.2.3. Szálpaplan egyéb sűrűség és porozitás jellemzői .............................................................................. 72 2.2.3.1. A szálkereszteződések sűrűsége .................................................................................................................. 72 2.2.3.2. Rostközéppontok távolságának jellemzése a vakfolttal ............................................................................... 72 2.2.3.3. Pórusméret eloszlás ..................................................................................................................................... 73

2.3. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ................................................................................................................... 75 3. STATISZTIKUS, IDEALIZÁLT SZÁLKÖTEGCELLÁK ÉS TULAJDONSÁGAIK ........................... 77 3.1. IDEALIZÁLT SZÁLKÖTEGCELLÁK ALAPKONCEPCIÓJA ................................................................................. 77 3.1.1. Statisztikus szálkötegek, mint a szálas-rostos szerkezetű anyagok strukturált modellelemei ............ 77 3.1.2. Egyedi szál alakváltozása és húzóerő-nyúlás kapcsolata .................................................................. 78 3.1.2.1. Egyedi szál alakváltozása szálas szerkezet egytengelyű húzásakor ............................................................. 78

I

3.1.2.2. A szálköteg keresztkontrakciós viselkedése ................................................................................................ 80 3.1.2.3. A kötegszálak erő-nyúlás karakterisztikája és szilárdsági tulajdonságai ..................................................... 81

3.2. IDEALIZÁLT ELASZTIKUS SZÁLKÖTEGCELLÁK ............................................................................................ 81 3.2.1. Idealizált szálkötegcellák ................................................................................................................... 82 3.2.2. Az idealizált kötegszálak erőközvetítése ............................................................................................ 83 3.3. IDEALIZÁLT ELASZTIKUS SÍKKÖTEGEK VÁRHATÓ HÚZÓERŐ-FOLYAMATA ÉS TULAJDONSÁGAI .................. 84 3.3.1. A kötegerők kiszámítása az idealizált síkkötegek esetén .................................................................... 85 3.3.2. Az E-szálköteg várható húzóerő-folyamata ....................................................................................... 85 3.3.2.1. E-köteg húzóerő-szórási folyamata.............................................................................................................. 87 3.3.2.2. Véges számú szálból álló E-köteg várható szakadási nyúlásértékei ............................................................ 89

3.3.3. Az EH-szálköteg várható húzóerő-folyamata .................................................................................... 90 3.3.4. Az ES-szálköteg várható húzóerő-folyamata ..................................................................................... 93 3.3.5. Módosított ES-kötegek várható húzóerő-folyamata........................................................................... 96 3.3.6. Az ET-szálköteg várható húzóerő-folyamata ..................................................................................... 98 3.4. EGYÉB SZÁLKÖTEGCELLÁK ...................................................................................................................... 100 3.4.1. Szálkötegcellák rendszere ................................................................................................................ 100 3.4.2. Lineárisan rugalmas kombinált szálkötegcellák.............................................................................. 101 3.4.2.1. Kombinált kötegek tönkremeneteli viszonyai ............................................................................................ 101 3.4.2.2. Kombinált kötegek várható húzóerőfolyamata .......................................................................................... 104

3.4.3. Lineárisan viszkoelasztikus típusú szálkötegcellák .......................................................................... 106 3.5. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ................................................................................................................. 109 4. SZÁLKÖTEGCELLA HÁLÓZATOK ÉS FENOMENOLÓGIAI ALKALMAZÁSUK ...................... 111 4.1. PÁRHUZAMOSAN KAPCSOLT SZÁLKÖTEGCELLÁK ..................................................................................... 111 4.2. SOROSAN KAPCSOLT SZÁLKÖTEGCELLÁK ................................................................................................ 112 4.2.1. Soros kapcsolás szerkezeti értelmezése ........................................................................................... 112 4.2.2. Szálkötegcellák megbízhatósági függvénye ..................................................................................... 113 4.2.2.1. Szakadó típusú kötegek megbízhatósági függvénye .................................................................................. 114 4.2.2.2. Szakadó-kicsúszó típusú kötegek megbízhatósági függvénye ................................................................... 115

4.2.3. Szálkötegcellák húzó- és megbízhatósági karakterisztikája............................................................. 116 4.2.3.1. Szálkötegcellák várható húzókarakterisztikája .......................................................................................... 116 4.2.3.2. Szálkötegcellák megbízhatósági karakterisztikája ..................................................................................... 118

4.2.4. Szálkötegcellák szálfolyam elvű soros kapcsolása .......................................................................... 119 4.2.4.1. E-szálfolyam .............................................................................................................................................. 119 4.2.4.2. Egyéb szálfolyamok .................................................................................................................................. 120 4.2.4.3. Szálfolyam elvű soros kapcsolások jellemzői ............................................................................................ 122

4.2.5. Szálkötegcellák köteglánc elvű soros kapcsolása ............................................................................ 123 4.2.5.1. Determinisztikus és nagy szálszámú köteglánc ......................................................................................... 123 4.2.5.2. E-köteglánc ................................................................................................................................................ 126 4.2.5.3. Köteglánc várható húzóerőfolyamatának becslése .................................................................................... 128

4.3. MODELLEZŐ RENDSZER FELÉPÍTÉSE ......................................................................................................... 129 4.4. ALKALMAZÁS FENOMENOLÓGIAI MODELLEZÉSRE ................................................................................... 130 4.4.1. Kompozit szálkötegek alkalmazása kísérleti eredmények értelmezéséhez ....................................... 130 4.4.1.1. Üvegroving szakítóvizsgálata .................................................................................................................... 130 4.4.1.2. Szálszalagok tapadásának vizsgálata ......................................................................................................... 131 4.4.1.3. Kötegszakító vizsgálat ............................................................................................................................... 132 4.4.1.4. Rövid fonalszakaszok szakítóvizsgálata .................................................................................................... 134

4.4.2. Mérethatás modellezés köteglánccal ............................................................................................... 135 4.5. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ................................................................................................................. 135 5. EGYIRÁNYÚ SZÁLFOLYAMOK, RÖVIDSZÁLAKKAL ERŐSÍTETT KOMPOZITOK SZAKÍTÓSZILÁRDSÁGA ÉS A SZÁLHOSSZ HATÁSA .......................................................................... 137 5.1. EGYIRÁNYÚ SZÁLFOLYAM SZILÁRDSÁGA................................................................................................. 137 5.1.1. Tönkremenetel jellemzői húzásnál ................................................................................................... 137 5.1.2. Várható húzóerőfolyamat általános esetben.................................................................................... 139 5.2. EGYIRÁNYÚ SZÁLFOLYAM SZILÁRDSÁGA NAGY BEFOGÁSI HOSSZAK ESETÉN .......................................... 140 5.2.1. Erlang eloszlások alkalmazása ........................................................................................................ 141 5.2.2. Egyidejű tönkremenetelek ................................................................................................................ 142 5.2.3. Fokozatos tönkremeneteli folyamat modellezése speciális ES-kötegekkel....................................... 143 5.2.3.1. ES1- és ES2-kötegek alkalmazása szálfolyam-modellezéshez .................................................................. 143 5.2.3.2. Szakítószilárdság ES1-köteg és állandó szálhossz esetében ...................................................................... 144 5.2.3.3. Szakítószilárdság ES2-köteg és állandó szálhossz esetében ...................................................................... 146 5.2.3.4. Az eredmények egyesítése állandó szálhossz esetében .............................................................................. 147

II

5.2.3.5. Szakítószilárdság ES1-köteg és exponenciális szálhosszeloszlás esetén ................................................... 148 5.2.3.6. Szakítószilárdság ES2-köteg és exponenciális szálhosszeloszlás esetén ................................................... 149 5.2.3.7. Általánosított összefüggések a szakítószilárdság és az átlagos szálhossz között ....................................... 151 5.2.3.8. Szakítószilárdság becslése véges szálhossz szórás esetén ......................................................................... 152

5.3. EGYIRÁNYÚ SZÁLFOLYAM VÁRHATÓ HÚZÓERŐ-FOLYAMATA VÉGES BEFOGÁSI HOSSZAK ESETÉN .......... 152 5.4. ALKALMAZÁS LINEÁRIS POLIMER SZÁLAKRA ........................................................................................... 153 5.5. ALKALMAZÁS EGYIRÁNYÚ SZÁLAKKAL ERŐSÍTETT KOMPOZITOKRA ....................................................... 155 5.5.1. Rövidszálas kompozit rudak jellemzői ............................................................................................. 156 5.5.2. Rövidszálas kompozitok várható szakítófolyamata és szilárdsága állandó szálhossz esetén .......... 157 5.5.3. A szálhossz befolyása termoplasztikus mátrix esetén ...................................................................... 158 5.5.4. A száltartalom hatása termoplasztikus mátrix esetén ...................................................................... 159 5.5.5. A túl kicsi mátrixtartalom hatása a szál-mátrix tapadásra.............................................................. 160 5.6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ................................................................................................................. 161 6. SODROTT RÖVID SZÁLKÖTEGEK VÁRHATÓ HÚZÓERŐ-FOLYAMATÁNAK MODELLEZÉSE ............................................................................................................................................................................ 163 6.1. A SODROTT SZÁLKÖTEG MODELL JELLEMZŐI ........................................................................................... 163 6.1.1. Hengerréteges fonalmodell.............................................................................................................. 163 6.1.2. Sugárirányú kontrakció ................................................................................................................... 166 6.1.3. Nyúlásviszonyok a rétegekben és a fonalfelületen ........................................................................... 167 6.2. MODELLEZÉSI EREDMÉNYEK.................................................................................................................... 168 6.2.1. Fonalszakító-folyamatok különböző kontrakciós-függvények esetén............................................... 168 6.2.2. Sodrat hatása a fonalszilárdságra ................................................................................................... 169 6.2.3. Sodrási maradó feszültség hatása a fonalszilárdságra.................................................................... 170 6.3. AZ EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ................................................................................................................. 170 7. EGYIRÁNYÚ FOLYTONOS SZÁLAKKAL ERŐSÍTETT KOMPOZIT RUDAK HAJLÍTÓVIZSGÁLATI FOLYAMATÁNAK MODELLEZÉSE .............................................................. 172 7.1. A KOMPOZIT RÚD RÉTEGMODELLJE .......................................................................................................... 172 7.2. HAJLÍTÓ VIZSGÁLAT ALATTI TÖRÉSI FOLYAMAT MODELLEZÉSE............................................................... 172 7.2.1. A 3P hajlítás fekete doboz modellje ................................................................................................. 172 7.2.2. Szálréteges modell a hajlítási törési folyamathoz ............................................................................ 173 7.2.3. A szálréteg és a kompozit tönkremenetelének feltételei ................................................................... 175 7.2.4. A hajlítóerő és a vastagságváltozás várhatóérték folyamata........................................................... 177 7.2.5. A hajlítóerő négyzetes szórási folyamata......................................................................................... 179 7.3. ALKALMAZÁS KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK LEÍRÁSÁRA ................................................................................ 180 7.3.1. Próbatestek és mérési módszerek .................................................................................................... 180 7.3.2. Hárompontos hajlító vizsgálatok és kiértékelésük ........................................................................... 181 7.3.3. Elméleti és kísérleti eredmények összehasonlítása .......................................................................... 183 7.4. EREDMÉNYEK ÉRTÉKELÉSE ...................................................................................................................... 185 8. ÖSSZEFOGLALÁS ...................................................................................................................................... 186 8.1. AZ EREDMÉNYEK ÖSSZEFOGLALÁSA ........................................................................................................ 186 8.2. TOVÁBBFEJLESZTÉSI KONCEPCIÓ ............................................................................................................. 188 8.3. Hasznosítási eredmények és munkák .................................................................................................. 189 TÉZISEK ........................................................................................................................................................... 191 IRODALOMJEGYZÉK ........................................................................................................................................ I MELLÉKLETEK ................................................................................................................................................ M FÜGGELÉKEK .................................................................................................................................................... 1 F1. FÜGGELÉKEK ....................................................................................................................................... - 2 F1.1. Érintkezési pontok eloszlása szálhalmazokban ................................................................................ - 2 F1.2. Textília lokális sűrűségjellemzői ...................................................................................................... - 3 F1.3. Keresztmetszeti és szakállhosszeloszlások........................................................................................ - 5 F1.4. Kompozitokhoz alkalmazott egyes törési kritériumok ...................................................................... - 9 F1.5. Peirce gyenge láncszem elmélete ................................................................................................... - 11 F1.6. A terhelésátadás unidirekcionális rövidszálas kompozitban .......................................................... - 13 F2. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 14 F2.1. Lineáris környezet térfogata........................................................................................................... - 14 -

III

F2.2. Szálpaplan előállítása generált szálfolyamokkal ........................................................................... - 15 F2.3. Metsző szálak átlagos hossza és szórása ........................................................................................ - 16 F2.4. Konvex paplanminta egyes területi sűrűségjellemzői ..................................................................... - 17 F2.5. Téglalap mintába foglalt szálak hosszeloszlása ............................................................................. - 19 F2.6. Tojástartományt metsző szálak metszeti hosszának feltételes várható értéke ................................ - 23 F2.7. Pórusméreteloszlás és jellemzői ..................................................................................................... - 24 F3. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 27 F3.1. Véges szálú E-köteg várható szakadási pontjai és szakítófolyamata ............................................. - 27 F3.2. Módosított ES-kötegek ................................................................................................................... - 31 F3.3. Kombinált szálkötegek ................................................................................................................... - 32 F3.4. EV-kötegek ..................................................................................................................................... - 43 F4. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 48 F4.1. Szálkötegcellák megbízhatósági függvényei ................................................................................... - 48 F4.2. Szálkötegcellák várható húzókarakterisztikája .............................................................................. - 50 F4.3. Szálfolyam-elvű soros kapcsolás .................................................................................................... - 52 F4.4. Determinisztikus elemű köteglánc .................................................................................................. - 56 F4.5. E-köteglánc .................................................................................................................................... - 59 F5. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 63 F5.1. Aktív szakállhossz eloszlás ............................................................................................................. - 63 F5.2. Véges szálfolyamszakasz várható húzóerő-folyamata .................................................................... - 65 F5.3. ES1-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság .............................................. - 67 F5.4. ES2-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság .............................................. - 70 F5.5. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES1-köteg alkalmazása .......................................................... - 73 F5.6. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES2-köteg alkalmazása .......................................................... - 75 F5.7. Várható húzóerő-folyamat véges befogási hosszak esetén ............................................................. - 77 F5.8. Rövidszálas, egyenirányú kompozit rudak várható húzóerő- folyamata és szilárdsága ................ - 78 F6. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 82 F6.1. A sodrási maradó feszültség modellezése ...................................................................................... - 82 F7. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 83 F7.1. A szálréteg és a kompozit tönkremenetelének feltételei .................................................................. - 83 F7.2. A hajlító erő négyzetének előállítása a különbségerők négyzetösszegeként ................................... - 86 F7.3. Kompozit köteg alkalmazása .......................................................................................................... - 87 -

IV

JELÖLÉSJEGYZÉK a [mm] – az A szakasz hossza a szálpaplan modellben b [mm] – rost szélessége a szálpaplanban; hajlított kompozit rúd szélessége b [-] – normált szálhossz, állandó szálhosszúságú, egyirányú szálas szerkezet esetén bm [-] – a mátrix és a szál szakítónyúlásának hányadosa ca, cb [-] – a hiperbolikus formájú kontrakciós függvény állandói cεo, cε1 – a szál szakítónyúlása és a szálréteg szakítónyúlása közötti lineáris kapcsolat állandói do, df, d [mm] – a szálak körekvivalens átmérője d(p,Q) [mm] – a P és Q pontok távolsága d⊥(β,A) – az A tojástartomány β irányra merőleges vetületi mérete e – a természetes logaritmus alapszáma eo, e [mm] – a szálak irányeltérése terhelés előtt és alatt f [N/tex] – fajlagos húzóerő fb [N/mm] – fajlagos tapadási ellenállás rövidszálas rendszerben g – segédfüggvény az EV köteg várható húzóerejének számításánál h [mm] – a szálak húrhossza ho, h [mm] – hajlított kompozit rúd vastagsága hajlítás előtt és közben k – a textília dimenziószáma lo, l [mm] – a szálak terheletlen, illetve terhelt ívhossza l-, l+ [mm] – a szálak hátsó- és mellső szakállhossza la [mm] – egy- és nullbefogású szálak aktív szakállhossza lm [mm] – a nullbefogású szálak aktív szakállhossza l [mm] – szálak húrhossza lS [mm] – szálak kritikus tapadási hossza rövidszálas rendszerben lc , lkrit [mm] – szálak kritikus hossza rövidszálas rendszerben lr [mm] – a rugó hossza az EV-köteg modelljében lv [mm] – a viszkózus elem hossza az EV-köteg modelljében m, m(A) [g] – tömeg, illetve az A halmaz tömege (tömegmérték) m – a szál-, illetve kötegelemek száma egy szál-, illetve kötegláncban n – a szálak száma egy szálkötegben no, n1 – a karakterisztikus szálszám szálpaplan látszólagos és valós pórusai esetében p, pk [-] – valószínűségérték q [-] – konfidencia intervallum valószínűségi szintje qX(u) – az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye r [mm] – lineáris vagy gömbi környezet sugara; pórussugár s [mm] – ívhossz-koordináta a szál mentén s [1/m] – szálas szerkezet, illetve 1D textília fajlagos sodrata t [s]– idő t [mm] – szálfolyam menti hosszkoordináta u [-] – relatív kötegnyúlás v = u&o [m/s] – a köteg nyújtási sebessége w(u) [-] – segédfüggvény az ES1 és ES2 kötegek várható húzóerejének számításánál wi [-] – az i-edik köteg szálszám-részaránya a kompozit kötegben z [-] – az átlagos szálszakító-nyúlással normált kötegnyúlás A – valós ponthalmaz, vagy tojástartomány A [mm2] – szálak, szálas szerkezetek keresztmetszete

i

B – egy A tartomány lineáris környezetének rövid jelölése C – a szálak húrközéppontja a szálpaplanban C(u1,u2) – köteghúzóerő kovariancia függvénye Daniels, illetve Phoenix modelljében C(α) – állandó, az állandó szálhossz mellett számított szálfolyam szilárdságánál D [mm] – körlap, gömb átmérője D(X) – az X valószínűségi változó négyzetes szórása E [GPa] – húzórugalmassági modulus; kompozitban: Em a mátrixé, Ef a szálaké E(X)= X – az X valószínűségi változó várható értéke E(XB) – a B feltétel melletti feltételes várható érték EXY[a1,…,ar] – (a1,…,ar) paraméterű EXY-szálköteg (X,Y∈{H,S,T}) F, Fi [N] – erő (szálerő, kötegerő) FS [N] – a szálak szakítóereje Fb [N] – a szálak megcsúszási határereje FL, FT – húzásirányú és keresztirányú erő ET-, EHT-, EST- és EHST-kötegnél F1 [N] – egy szálra eső kötegerő F1* [N] – egy szálra eső kötegszakító erő FH [-] –egy szálra eső, az átlagos szálszakító-erővel normált kötegerő FH*=η∞ [-] – a szálköteg normált várható szakítóereje Gl(x) – keresztmetszeti szálhossz eloszlás Gn(x) – n szálból álló köteg szakítóerejének eloszlásfüggvénye G(r,A) – az A halmaz r-sugarú gömbi környezete a valós térben Hn,m(x) – n szálas kötegek m elemű köteglánca szakítóerejének eloszlásfüggvénye H(r,β,A) – az A halmaz r-sugarú, β-irányszögű lineáris-, vagy szálkörnyezete a valós térben I [mm4] – a hajlított kompozit rúd keresztmetszeti tehetetlenségi nyomatéka I – integráloperátor a várható hajlítóerő és szórásnégyzet számításánál J∞ [1/mm2] – a szálkereszteződések várható területi sűrűsége a szálpaplanban ℑA – a szálpaplan adott A tojástartományt metsző szálainak halmaza K [1/mm2] – a szálközéppontok sűrűsége a szálpaplan modellben K [N] – a szálak fajlagos húzómerevsége K – konvex ponthalmaz Ki [-] – az i-edik szál terheléskoncentrációs tényezője a szakadt szál környezetében (LTM) K – konvex tartományok halmaza a tekintett valós térben Lo, L [mm]– szálköteg terheletlen és terhelt hossza M [Nm]– nyomaték, sodrott szálköteg csavarónyomatéka Mx – azon esemény, hogy egy adott szál metszi a szálfolyam x keresztmetszetét MH [-] – egy szálra eső, az átlagos szálszakítóerő nyomatékával normált csavarónyomaték N – a szálak száma az SSTM szálfolyam modellben; a kompozit kötegben a kötegek száma N(xo,m,σ), N(m,σ) – (xo,m,σ), illetve (m,σ) normális eloszlás P(A) – az A esemény valószínűsége P(AB) – az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűsége QX(x) – az X vv. eloszlásfüggvénye QX*(x) – az X vv. komplementer eloszlásfüggvénye R(u) – a szálköteg EM-típusú megbízhatósági függvénye Ro(u) – a szálköteg HM-típusú megbízhatósági függvénye Ro, R [mm] – terheletlen és terhelt, sodrott, hengeres szerkezet külsősugara Rk – k dimenziós valós tér ℜk – tojástartományok halmaza az Rk valós térben S – a szál, mint ponthalmaz, a szálpaplanban SF(x) – szálhossz fibrogrammja

ii

S, SB, SK – egy szálfolyam adott szakaszán mért totális, belső és külső szórás Sl(z), S(z) – szakállhossz eloszlás S*(z) – a komplementer szakállhossz eloszlás T [s] – szál, szálköteg élettartama T [mm2] – terület a szálpaplan modellben To, T=TG [-] – a szálak relatív ferdesége terhelés előtt és alatt U [J] – szálhalmaz rugalmas potenciális energiája V [mm3] – térfogat V(X) – az X valószínűségi változó relatív szórása W – textília váztere W(u) [-] – fajlagos kontrakciós függvény W(xo,x1,β), W(xo,β), – (xo,x1,β), illetve (xo,β) paraméterű Weibull eloszlás X – véletlen szálközéppont-folyamat a szálpaplan modellben 1(t), 1(t) – egységugrás függvény α [rad] – konvex minta, egyenes szakasz, keresztmetszet irányszöge a szálpaplanban α [-] – kicsúszási tényező β [rad] – szálak irányszöge (szálpaplanban, sodrott szerkezetben) β [-] – Weibull eloszlás modulustényezője (kitevő) χA=#A – az A halmazba (tojástartományba) eső szálközepek száma χ(u,X) [-] – az X valószínűségi változó által meghatározott (karakterisztikus) ablakfüggvény δ – a szálpaplan minta (α) és a tekintett EL-szálfolyam szálai (β) irányszögének különbsége ε [-] – a szálak relatív nyúlása εSi* [-] – az εS1,…,εSm szakító nyúlásértékek, mint rendezett minta i-edik eleme ε(u)+ [-] – a relatív szálnyúlás függvény pozitív része εS [-] – a szálak relatív szakítónyúlása εo [-] – a szálak relatív előfeszítése/hullámossága εb [-] – a szálak relatív, megcsúszási határnyúlása εbL [-] – a szálak relatív megcsúszási/kihúzódási útja εL=εb+εbL [-] – a szálak teljes relatív elmozdulása megcsúszásnál/kihúzódásnál εr [-] – a rugó relatív nyúlása az EV köteg modelljében εv [-] – a viszkózus elem relatív nyúlása az EV köteg modelljében εmi [-] – az εSi szakítónyúlás és εbi megcsúszási nyúláshatár minimuma az i-edik szálnál εm [-] – a mátrixanyag relatív szakítónyúlása εC [-] – a szál és mátrix környezete alkotta kompozit elem relatív szakítónyúlása hajlításnál εL [-] – a kompozit elemrétegek relatív szakítónyúlása φ [-] – a szálak tömegaránya a kompozitban γ [-] – kitevő a Peirce-féle formula kiterjesztésében η [-] – szál hullámossági tényezője η∞=FH*[-] – a szálszilárdság kihasználási foka a kötegben ηF [Ns] – EV-kötegben a viszkózus befogás csillapítási tényezője ϕ [-] – szálak térfogataránya a kompozitban κ (A) [-] – az A tartományba eső pontok átlagos száma a Poisson pontfolyamatnál κ (u) [-] – a szál húzókarakterisztikája κ (u) [-] – a szálköteg húzókarakterisztikája κ [-] – a mátrix és a szál húzó-rugalmassági modulusának hányadosa λ [-] – normált átlagos szálhossz, exponenciális szálhosszeloszlású, egyirányú szálas szerkezet esetén

iii

λk – térfogat (általánosabban a Lebesgue) mérték a k-dimenziós valós térben λb – EV-kötegben a viszkózusan befogott szálhossz aránya µ [-] – szál/szál súrlódási tényező a szálas szerkezetben µ [-] – várható fajlagos köteghúzóerő Daniels, illetve Phoenix modelljében ν – az elemi szálak véletlen száma a szálpaplan egy rostjában π – projekciós leképezés θ [-] – Phoenix modelljében a szálhullámosság, mint negatív nyúlás ρ [-] – Weibull eloszlás modulustényezője (kitevő) ρ [mm] – véletlen pórussugár ρL=ρ1 [mg/m], ρT=ρ2 [g/m2], ρ=ρV=ρ3 [kg/m3] – textília lineáris, területi és térfogati sűrűsége ρf [kg/m3] – szálanyag sűrűsége a kompozitban ρm [kg/m3] – mátrixanyag sűrűsége a kompozitban σ [MPa] – mechanikai normálfeszültség σS, σSf [MPa] – a szálak húzószilárdsága a kompozitban σm , σSm [MPa] – a mátrixanyag húzószilárdsága τS [MPa] – a szál/mátrix határfelületi nyírószilárdság τ [s] – várható szál-, illetve kötegélettartam Phoenix modelljében ω∈Ω – elemi esemény ξ – szálkitöltési tényező (ξA), vagy szálsűrűség (ξn) a fonalmodellben ξA – az A halmazt (tojástartományt) metsző szálak véletlen száma ξi – az i-edik rétegszakadás váletlen lehajlás értéke hajlításnál ∆F [N] – hajlítóerő különbség két rétegszakadás között Φ – egy A tojástartományt metsző azon szálak száma, amelyek húrközepe nem esik bele A-ba Γ – szálas szerkezet, vagy textília, mint geometriai vagy tömegpontok halmaza Γ(z) – gamma-függvény Ω – elemi események tere ΨA – az A tojástartományt metsző, közepükkel az A-n kívül eső szálak véletlen száma Különleges műveletek, szimbólumok sup – suprémum, felső határérték ∂A – az A tojástartomány pereme, vagy felülete #A – az A halmaz elemeinek száma ⊂ – halmaz részhalmaza ∪ – halmazok egyesítése (uniója) ∩ – halmazok metszete (közös része) \ – halmazok különbsége ∈ – eleme egy halmaznak ⇒ – következik valamiből → – leképezés ⊕ – (vektor)halmazok Minkowski-féle összeadása ⊥ – merőleges valamire ∼ – aszimptotikusan tart valamihez x – az x vektor euklideszi normája g + – a g függvény pozitív része

iv

Rövidítések exp. – exponenciális szálhosszeloszlás rövidítése formulában konst. – állandó szálhossz rövidítése formulában pill. – pillanatszerű és egyidejű tönkremenetel rövidítése formulában szh. – szálhossz szhe. – szálhossz-eloszlásfüggvény szti. – szerzőtársai vv. – valószínűségi változó E-köteg – elasztikus (lineárisan rugalmas) szálak alkotta, ideális szálkötegcella EH-köteg – elasztikus, hullámos/előfeszített szálak alkotta szálkötegcella EFL – egyenletesen folytonos, lineáris (szálfolyam) EFEL – egyenletesen folytonos, egyszerű, lineáris (szálfolyam) EL – egyszerű, lineáris (szálfolyam) EM – erőközvetítés megbízhatósága ES-köteg – elasztikus, meg- vagy kicsúszó szálakat tartalmazó szálkötegcella ES1, ES2 – speciális ES kötegek ET-köteg – elasztikus, ferde szálakból álló szálkötegcella EHS-köteg – az EH és ES szálkötegcellák kombinációja EHT-köteg – az EH és ET szálkötegcellák kombinációja EHST-köteg – az EH, ES és ET szálkötegcellák kombinációja ETM – egyenletes terhelésmegosztás EV-köteg – viszkoelasztikus befogású, elasztikus szálakból álló szálkötegcella HM – hibamentesség megbízhatósága HPPE – szuperszilárd, vagy szuper nagy molekulatömegű polietilén LE – lineárisan rugalmas (elasztikus) GTM – globális terhelésmegosztás LTM – lokális terhelésmegosztás LVE – lineárisan viszkoelasztikus PEM – peremelemes módszer RTE – reprezentatív térfogati elem SSTM – Spencer-Smith, Todd, Martindale-féle (szálfolyam) UHM – az átlagosnál hosszabb szálak közepes hossza (Upper Half Mean Length) VEM – végeselemes módszer 1D, 2D, 3D – egy-, két-, illetve háromdimenziós (textília, szálas szerkezet)

v

BEVEZETÉS A szálakat, szálas szerkezeteket az ember ősidők óta használja ruházkodás és eszközkészítés céljára. Jelenlegi ismereteink szerint például a Mexikóban talált legkorábbi pamutszövet lelet 7800 éves [K7], i.e. 3000-ben Egyiptomban fejlett lentermesztés [K81], i.e. 2700-ban Indiában gyapottermesztés és feldolgozás volt [K7]. A ruházattal kapcsolatos mennyiségi és minőségi igények kielégítéséhez születtek meg az első fából (fonóorsó, szövőszék), majd fémekből készült gépi eszközök az emberi munka segítésére, termelékenyebbé tételére, majd helyettesítésére. Lényegében ehhez kapcsolódik Európában a 18-19. században lezajlott, történelmi léptékű változásokat hozó ipari forradalom is, amely az első generációs textilgépek kifejlesztéséhez vezetett: pl. 1775-ben Arkwright a hengeres kártológépet, Cartwright 1784-ben az első mechanikus szövőgépet, 1829-ben Thorp a gyűrűsfonógépet, 1845-ben Howe a varrógépet, 1863-ban Lamb a körhurkológépet találta fel [K37,K45,K46,K81]. Az első automatizált gépek, a lyukkártyavezérlésű Jacquard szövőgépek is a textiliparban születtek 1805-ben [K37], messze megelőzve e területen a szerszámgépeket. A textilgépek területén a második ipari forradalom a 19. sz. végén és a 20. első felében a mesterséges szálak megjelenéséhez és elterjedéséhez kapcsolódott. Chardonnet 1891-ben nitrocellulóz gyárat alapított, 1904-től a Courtalauld cég viszkóz műselymet gyártott. 1913ban megjelent az első szintetikus szál, a PVC szál, 1935-ben Carothers feltalálta a nylont (PA) és 1939-ben már a PA műselyem is a piacon volt [K8,K37,K81]. Ezekhez is alkalmazkodva kifejlesztették a textilipari gépek mechanikusan automatizált, majd a 20. sz. második felében az elektronikusan vezérelt változatait. A szálak termelése és felhasználása korunkban is jelentős és folyamatosan nő, követve egyrészt a népességgel lényegében véve arányos ruházati és lakástextília mennyiségi, másrészt az ipar mennyiségi és minőségi igényeinek növekedését. A 2005. év adatai [217] szerint a világ szerves szálasanyag termelése 70,1 millió tonna volt, amelynek 45,9 %-a természetes szál (növényi eredetű: főként pamut, len kender, juta, állati eredetű: gyapjú), 4,7 %-a természetes alapú mesterséges szál (zömében cellulóz alapú: pl. viszkóz, illetve Lyocelltípusú) és 49,4 %-a szintetikus szál (elsősorban 35 %poliészter, másodsorban 13,8 % poliamid, poliakrilnitril, polipropilén, harmadsorban 0,6 % egyéb pl. a nagyszilárdságú műszaki szálak, mint az aramid (pl. Kevlar), HPPE, szénszál és a legújabb szuperszál, a polipara-fenilén bisz-oxazol (PBO) [K11,K33]). A szintetikus szálak aránya az 1950-es évektől fogva folyamatosan nő: egyfelől a népességnövekedés igényeit lényegében véve a természetes szálakat helyettesítő szerves szintetikus szálak termelésnövekedése fedezi, másfelől az egyre olcsóbb, korszerű, szuperszilárd műszaki szálak – köztük a szervetlen üveg-, bazalt- és kerámia szálak – és a velük erősített anyagok mind több területen nyernek alkalmazást. Ehhez csatlakozó új terület az intelligens szálak és textíliák ruházati és műszaki alkalmazásainak fejlesztése, terjedése is [K11,K33]. Ugyanakkor másik tendencia a megújuló anyagforrást jelentő természetes, környezetbarát szerves szálak szintén terjedő műszaki felhasználása, pl. termoplasztikus mátrixú kompozitok erősítő anyagaként [K15,K16,K17,K44,K77,K79]. A műszaki szálak, szálas rendszerek, kompozitok alkalmazásához természetes igény a szerkezet geometriai és szilárdsági tervezhetősége, amit a lényegesen statisztikus geometriájú és szilárdságú rövid szálak, illetve rövid szálas rendszerek (szálpaplan, flísz, fröccsöntött szálerősített anyagok), valamint a jelentős mértékű, véletlen szerkezeti hibák (szálorientáció, szálhullámosság, szálsűrűség, anyaghibák – pl. légbuborékok a mátrixanyagban, szál/mátrix tapadási hibák, stb.) jelentősen megnehezítenek [K32,K61,K69]. Mindezek azt jelentik, hogy a hibák szempontjából a gyártásnál jól kézben tartható, homogén és izotróp rugalmasképlékeny anyagnak tekinthető polikristályos fémekkel szemben – amelyeknél pl. a 1

folyáshatár kis szórással biztosítható, így pl. feszültségcsúcsra jól méretezhetők – a rövidszálas szerkezetek, kompozitok esetében az irreverzibilis szerkezeti változások már viszonylag kis terheléseknél is jelentkezhetnek, így méretezésnél csupán a biztonsági tényező (b.t.) alkalmazása vagy nagy anyagpazarlásra (túl nagy b.t.), vagy idő előtti tönkremenetelre (túl kicsi b.t.) vezethet. Polimerek esetében a viszkoelasztikus viselkedés további nehézséget jelent [K2,K77,S5]. Rövidszálas szerkezetek méretezésénél tehát általában nem elegendők a fémeknél szokásos mechanikai vizsgálatokkal meghatározott rugalmassági állandók és szilárdsági határok ismerete, a terhelési folyamat során bekövetkező tönkremeneteli folyamatok mérésére és/vagy modellezésére és elemzésére is szükség van. A kontinuumoknak tekinthető anyagokra kidolgozott törésmechanika lényegében egy meglévő repedés terjedését vizsgálja és kísérleti úton meghatározható anyagjellemzőket (pl. kritikus feszültségintenzitási tényező, vagy repedésterjesztő erő) vezet be a kritikus repedésterjedés figyelembe vételére [30,K6,K32,K69]. A vonatkozó, mért átlagos anyagjellemző azonban általában nem alkalmas a szálas szerkezetben lévő inhomogenitások, anyaghibák halmazának kezelésére, a kritikus repedés keletkezésének, a tönkremeneteli folyamatnak a leírására. Diszkrét szálakból álló szálas szerkezetek, textíliák tönkremenetelének kezelésére a törésmechanika általában nem ad közvetlenül használható eljárást, ugyanakkor a globális, egyfajta kontinuum-ekvivalens viselkedés jellemzésére gyakran használják polimer kompozitok esetében is [K16,K15,K32]. Számos módszert dolgoztak ki a szerkezeti anizotrópia, illetve az inhomogenitások figyelembe vételére. A numerikus eljárások egyike a végeselemes (VEM) módszer [K13,K40], vagy annak a peremelemes (PEM) változata [231], a tekintett anyagrész hálózását, s ezen belül egyes esetekben – például anizotróp, inhomogén szerkezet esetén – igen sok elem kezelését igényli, ami a számítási igényt erősen megnöveli. A hálózás nélküli módszerek többsége az ún. homogenizálási eljárást követi [38,39,231]. A homogenizálási módszer igen hatékony lehet a folytonos (filament) szálakkal erősített, rétegszerkezetű, sőt a töltött, illetve rövidszálas kompozitok esetében is [38,39,98,196,211]. Az utóbbi esetben hátrány, hogy a terhelés-tönkremeneteli folyamat meghatározása iteratív módon, szimulációs eljárásokkal történik és általában még egyszerű esetekben sem vezet az elemzésekre, illetve a paraméter tartományok tetszőleges belső pontjára, esetleg az aszimptotikus viselkedések becslésére alkalmazható számítási formulákra. A tapasztalatok szerint, szálas rendszerek esetében az egyedi szálak mellett azok statisztikus kollektív viselkedése is figyelembe veendő. Ilyenek például a szálkötegek és szálfolyamok, amelyek egyfajta köztes építőelemként befolyásolják a szálas szerkezet mechanikai viselkedését. Ezen alapulva számos statisztikus elméletet, szálköteg-alkalmazást dolgoztak ki, elsősorban az adott szálas szerkezet szilárdsági jellemzőinek becslésére [215,216,K31], kevés figyelmet fordítva a tönkremeneteli folyamat – mechanikai vizsgálatokkal kísérletileg jól követhető - időbeli alakulására. Az értekezés célja olyan szálas építőelemeken, szálkötegeken és szálfolyamokon alapuló modellezési módszer és egyes alkalmazásainak kidolgozása, amely alkalmas szálas rendszerek statisztikus szerkezeti-geometriai tulajdonságainak, valamint mechanikai vizsgálati folyamatainak közvetlen, hálózást, illetve szimulációs számításokat nem igénylő leírására, modellezésére.

2

1. SZÁLAS SZERKEZETEK TULAJDONSÁGAI 1.1. Szálas szerkezetek alapjellemzői A textilipar szálasanyagokból gyártott termékei a textíliák, míg a textilruházati ipar ezekből ruházati termékeket állít elő, s mindezeket közösen textiltermékeknek nevezhetjük. A textilipari eljárásokkal előállított textíliák diszkrét szálakból felépülő, több szinten, hierarchikusan szervezett struktúrák, amelyek nem töltik ki a rendelkezésre álló teret, továbbá mind a szálak, mind az egyes szerkezeti szinteken található struktúrák általában lényegesen statisztikus jellegűek [K13,K29,K31,K35,K51,K52,K65,K80,S72] (1.1.1. ábra). Ennek megfelelően e szerkezetekre nem, vagy csak erős közelítéssel alkalmazhatók a kontinuum anyagokra kidolgozott tervezési-méretezési módszerek. Az előbbieket érzékelteti az 1.1.1. ábra, mely a textíliák egy lehetséges szerkezeti gráfját [S71,S72] mutatja, ahol a gráf csúcspontjai az egyes szerkezeti (fő- és közbülső) állapotokat, élei a rendezés és egyesítés (összekapcsolás) műveleteivel jellemezhető állapotátmeneteket jelölik. A szerkezeti főállapotok egymástól minőségileg különböző szerkezeteket jelentenek. A gráf alapszintje a szál (1. szint), felső szintje a szálerősített kompozit (4. szint). Az ábra a szál alatti molekuláris és szupermolekuláris szintekre, illetve a kompozitból felépülő szerkezetekre, mint köztes szintekre is utal.

Szálerõsített kompozit

4 3.1 Lapkompozit: Laminált kelme

Textillap: Flísz, szálpaplan, szövet, kötött kelme

3 2.1 Fonalkompozit: Cérna, kötél

Fonal, elõfonal, roving, szálszalag

2 1.1 Szálkompozit: Rost, szálköteg

Szál

1

1.1.1. ábra. Textíliák és szálerősített kompozitok szerkezeti gráfja Az impregnált szálas szerkezetek, illetve a szálerősített kompozitok öröklik a szálas szerkezet tulajdonságait, ugyanakkor a beágyazó mátrixanyag minden szerkezeti szinten kitöltvén a szálak közötti teret, a szálas elemeket összekötve csökkenti, tompítja azok egyébként jelentős, önálló elmozdulási lehetőségeit, így a kompozit – megfelelő szál/mátrix együttdolgozás esetén – a szokásos terhelések esetén speciális, két- vagy többfázisú kontinuum anyagként kezelhető [K13,K16,K23,K40]. Ez esetben elsősorban a tönkremeneteli folyamatok során statisztikus elválásokkal, szakadásokkal önállósuló elemek viselkedésének és a vonatkozó következményeknek a leírása jelent a kontinuumokhoz képest nehézséget [K23,K31,K32,K40,K61]. A szálas rendszereknél fellépő fenti nehézségek kezelésére már a 20. század elejétől [31,166,225,K52,K58,K70,K80] számos statisztikus geometriai és mechanikai modellt, illetve módszert fejlesztettek ki, felhasználva a valószínűségszámítás

3

eszközeit [K5,K20,K24,K38,K55,K59,K76], valamint a sztochasztikus geometria [K1,K64,K68], illetve a statisztikus fizika és mechanika, valamint a mikromechanika eredményeit is [K9,K23,K27]. Megjegyzendő, hogy a textilipari problémák számos új elmélet kialakulását generálták. Például a textiliparban az egy szövőnő által kiszolgált, leálló és várakozó szövőgépek optimális számának meghatározása vezetett a sorbanálláselmélet, illetve általánosabban a tömegkiszolgási és felújítási folyamatok elméletének kifejlődéséhez, amely nagy jelentőségre tett szert a populációk születési és kihalási folyamatainak modellezésében, illetve a telefonvonalak és a megosztott működésű informatikai rendszerek tervezésében [K3,K20,K21,K24,K38,K60]. Noha a műszaki célokat szolgáló egyes textíliák, például kötelek szilárdságával kapcsolatos megfontolásokról már a középkorból is van feljegyzés (da Vinci, ∼1500 [177, K29,K32], Galilei, 1638 [177,K26],), a szálak, szálas szerkezetek tulajdonságainak tudományos igényű vizsgálata lényegében a 19. században, a termelékeny textilgépek [K37] és az ipari méretű mesterséges szálgyártás [K81] kezdetével vált igazán fontossá. A textíliák szerkezeti-geometriai tulajdonságai kutatása területén a legfontosabb alapvető elméleti eredmények 1945 és 1980 között születtek. E tekintetben elsősorban Peirce [166-168], Martindale [52,140-141], Spencer-Smith és Todd [200-201], Breny [12], Townsend és Cox [27,227,228], Zotyikov [K45,K46,K70], Platt és Hamburger [180,181], Riding [187,188,K29], Hannah [77,78], Szevosztyanov [K70], Grosberg [63-69,K29], Hearle [8489,K29-K31], Wegener [239-251], Żurek [K82] és napjainkban Neckař [K51,K52] munkássága emelendő ki. Jelentős alkalmazásokat találtak a sztochasztikus geometria eredményei, elsősorban Matheron, Serra, és Kendall [K68] által kidolgozott modellek és lényegében az ennek alapján kialakult képfeldolgozási módszerek [K1,K64] is. A textíliák mechanikai és szilárdsági tulajdonságai kezdetben a feldolgozás során keletkező igénybevételek elviselése, majd a műszaki alkalmazások és a szálerősített kompozit szerkezetek révén azok tervezhetősége céljából kerültek előtérbe. E téren az alapvető eredmények a determinisztikus mechanikai tulajdonságok szempontjából Van Wyk [237], Platt és Hamburger [180,181], Hearle [84-89,K29-K31], Żurek [268,K82], Cheng és Duckett [23-24], Komori és Makishima [114-117], Kawabata és szerzőtársai (szti) [103-106], Thwaites [224], De Jong és Postle [34-36,183,184], Pan [160-165], míg a statisztikus szilárdsági viselkedés szemszögéből Peirce [166], Weibull [252], Daniels [31], Rosen és Zweben [269,K23], Cox , Kelly és Tyson [K23], Phoenix, [169-175], Harlow, Phoenix és Smith [80-82,], és legutóbb Phoenix és szti [71,95,135,176,177], Duxbury, Leath és szti [44], és Kun és szti [90,124-125] munkái révén születtek. A disszertáció témájának és célkitűzésének megfelelően, a következő fejezetrészekben elsősorban a szabálytalan szerkezetű szálas struktúrák tulajdonságait és modellezési módszereit tekintjük át szakirodalmi források alapján.

1.2. Szálas szerkezetek geometriai jellemzői 1.2.1. Szálak és szálmodellek A textilipar nyersanyaga, bemenő terméke az ún. szálasanyag, amelynek fizikailag – kémiai eljárások nélkül – osztható legkisebb egysége a textilszál, vagy röviden szál [K8,K36,K52]. A szálak hosszú, karcsú, hajlékony, megfelelő szilárdsággal rendelkező képződmények, amelyek keresztmetszete és egyéb tulajdonságai is változhatnak a hossz mentén. A szálak véges (rövidszál, vágott szál), vagy potenciálisan végtelen hosszúságúak 4

(selyem- vagy filament szál) [K8,K36,K52]. Az utóbbi alatt azt értjük, hogy a szál bármely véges hossza a szálgyártás folytatásával folytonosan tovább növelhető. A pamutszálak hossza 10…60 mm, a szokásos gyapjúé 40…250 mm, a fonásra előkészített szállené max. 800 mm [K8,K36]. A mesterséges, vágott szálak hosszát a feldolgozás módja határozza meg. A szokásos szálak átmérője (d), azaz maximális keresztmetszeti mérete 10…100 µm, az ún. mikroszálaké 5…10 µm alatt van [K8,K52], míg az újabban előtérbe került nanoszálaké (pl. szén-nanocsövek) 1 nm nagyságrendű [231]. A textilszálak textilipari eljárásokkal fonallá és más textiltermékké dolgozhatók fel, s a fonhatósághoz a karcsúsági index, azaz a λ=l/d (1.2.1) hossz (l) és átmérő (d) arány 1000…5000… kell legyen [K45,K52]. Kompozitok rövid erősítő szálainál (hosszuk mm vagy µm nagyságrendű) ezen arány lehet kisebb, pl. λ<100 is, ugyanis itt a szál/mátrix tapadás meghatározta erősítő hatás szabja meg a kívánatos szálhosszat [K23]. A szálalak ritkán egyenes, általában hullámos, esetleg az általában hurkokat is tartalmazó göngyölődött forma (1.2.1. ábra).

a.)

c.)

d.)

b.)

1.2.1. ábra. Egyenes (a), hullámos (b), horgas (c) és göngyölődött (d) szálformák [S67] A leggyakrabban használt modell-szemléletben a szálakat vonalszerű, folytonos, tömegpontokból álló – azaz pontjaiba tömeg koncentrált – általában véges objektumoknak tekintik [K29,K82,S72], melyek valós térbeli geometriai reprezentációja – a pontok és számhármasok izomorfiájával – az S⊂R3 geometriai alakzat: S = {P(x,y,z)∈R3: r(s)=(x(s),y(s),z(s))∈Ck, s∈[so,so+lo]} (1.2.2) ahol R3 a háromdimenziós valós tér, P(x,y,z) annak egy pontja, melynek - a vonatkozó izomorfia miatt - megfelel az r(s)=(x,y,z) helyvektor. Ck a legalább k-szor folytonosan differenciálható függvények osztálya, így az előírás szerint r(s) térgörbe az s ívhossz paraméter szerint legalább k-szor – az igények szerint általában k=0,1,2, vagy 3 – folytonosan differenciálható. Az so,lo∈R általában véletlentől függő fázis- és hosszparaméterek a szál kezdőpontját és (ív)hosszát – s az utóbbi által a szál végpontját – jelölik ki. Sokszor úgy választják meg a koordinátarendszert, hogy az s=so=0 által kijelölt Po pont egyúttal a koordinátarendszer origója is. Ha a szál alakja sem szabályos, akkor az r(s) görbe explicit módon is függ a véletlentől. Az utóbbi figyelembe vételével: r(s) = r(s;ω,so(ω),lo(ω)), ω∈Ω (1.2.3) ahol Ω az adott valószínűségi mező alaphalmaza, az elemi események tere. A szál irányvektora az r(s) pontjában: dr v(s) = r'(s) = (1.2.4) ds A szálmodellekben – hasonlóan a láncmolekulák polimerfizikában szokásos jellemzéséhez [K27] – a szálakat gyakran a végpontjait összekötő húrjaikkal helyettesítjük [S72]. Az r(s) szál h húrvektora, mely egyúttal az adott szál v átlagos irányvektorával arányos és az l húrhossz a végpontok euklideszi távolsága

5

h = r( s o + l o ) − r( s o ) =

so + lo

∫ v( s )ds = lo v( so , so + lo ),

l= h

(1.2.5)

so

A többnyire hullámos, esetleg göngyölödött szálakat is tartalmazó szálhalmazokat, szálteret a véletlen szálhullámosság figyelembe vételével modellezhetjük. Az 0<η≤1 hullámossági tényező [88,K48,S72] bevezetésével egy adott szál, vagy szálköteg 0ηo, akkor horgas alakú. ηo>0 a göngyölödöttség száltípustól és a karcsúságtól, függő, - pl. képfelvételekkel, vagy a fonalak, cérnák hurokképződési hajlamának méréséhez [K25,K36,K48] hasonlóan - kísérleti úton meghatározható határhullámossága. Számos más szálalak osztályozást is kialakítottak, sokszor egy adott termékben található szálalakokhoz (pl. kártfátyol, szálszalag, fonal). Például Kašparek (1975) [K62] optikai mérőműszert fejlesztett ki a turbinásfonalban lévő szálalakok vizsgálatára és az eredmények alapján 10 osztályba sorolta őket. l< lo

l= lo C l< l o

C l

C

l1

l

1.2.2. ábra. Különböző alakú szálak ív- és húrhossza, húrközéppontja és vetületi hossza [S72] A rövidszálak ívhosszával adott hossza – s így pl. húrhossza is – véges szórású pozitív valószínűségi változó, amelynek (x>0): Ql o ( x ) = P(lo < x ) (1.2.7) eloszlásfüggvénye helyett a textil vizsgálatokban gyakran használják a komplementerét Ql*o ( x ) = 1 − Ql o ( x ) = P (l o ≥ x )

(1.2.8)

az ún. (normált) számszerinti száldiagramot, vagy stápeldiagramot (1.2.3.a. ábra), ugyanis egy szálminta szálait nagyság szerint rendezve éppen ilyen alakú diagramhoz jutunk [K25,K26,K39,K45,K46,K82,S72]. a.) b.)

Szálak 1

SF(x)

Qlo(x)

1

Qlo*(x) 0

SF*(x)

x x _ _ 0 lo lo 1.2.3. ábra. Szálhossz-eloszlás függvény és száldiagram (a), illetve fibrogram (b) 6

A száldiagram alatti terület éppen az l o átlagos szálhosszat adja. Az elektronikus mérőműszereknél a szálak kontúrszélessége (mérése optikai elven, pl. a Fibrograph-al), vagy rövidszakaszú tömege (kapacitív elv, pl. az Almeter) is szerepet játszik az adott szálnyaláb (stápel) hosszának letapintásánál, így eredményül a szálátmérővel, vagy a lineáris sűrűséggel (ld. alább) súlyozott szálhosszeloszlás (Hauter) adódik [59,60,K26,K39], amely azonban közelítőleg a számszerinti hosszeloszlással egyezik meg, ha a szálátmérők szórása kicsi. Egyes elektronikus szálhosszmérő műszerek, pl. a SpinLab Fibrograph, az ún. fibrogramot (1.2.3.b. ábra), azaz a száldiagram átlagos szálhosszal normált integráljával adott eloszlás komplementerét határozzák meg [K25,K39]:

S *F ( x ) = 1 − S F ( x ) = 1 −

1 lo

∫ (1 − Qlo ( t ))dt ~ 1 − lo , x

x

x→0

(1.2.9)

o

amelynek alapján szemléletesen kapható az átlagos szálhossz, hiszen az (1.2.9) jobboldala szerint, a kezdeti érintő és az abszcissza metszéspontja éppen ennek értékét adja. A szálhossz még a mesterséges, vágott szálak esetében is jelentős ingadozásokat mutat, természetes szálaknál a relatív szórása 40…50% is lehet [K25]. A tömegpontokból álló szál hossza menti integrálásával kapható a szál mo tömege:

mo =

so + l o

so + l o

∫ dm( s ) = ∫ ρ L ( s )ds

so

(1.2.10)

so

ahol ρL a szál hossza mentén gyakran állandónak tekintett lineáris sűrűség, azaz a szál ívhosszegységre eső tömege (mértékegysége 1 tex = 1 mg/m vagy 1 dtex). Ekkor a szál tömege: mo = ρ L l o (1.2.11) A lineáris sűrűség a legfontosabb száljellemzők egyike, amely a szál anyagsűrűségével (ρo) és átlagos keresztmetszetével (A) is megadható: ρ L = ρo A (1.2.12) A szokásos szálak lineáris sűrűség tartománya: 1...10 dtex, mikroszálaké <0,5…1 dtex [K8,K52]. A lineáris sűrűséget ismert anyagsűrűség esetén a szál keresztmetszetéből, illetve a transzverzálisan rezgetett szál amplitúdójából határozzák meg (pl. Lenzing Vibrometer) [K8,K25]. A szál keresztirányú méreteit – az általában szabálytalan keresztmetszet-alak miatt - az ún. ekvivalens átmérővel (do) jellemzik, ami a szálak átlagos keresztmetszeti területével megegyező kör átmérője. A normál szálak átmérői 6…70 µm, a mikroszálaké 1 µm-nél, az ultrafinom és nanoszálaké (pl. szén nanocsövek) 100 nm-nél is kisebb lehet [231,K8,K30,]. A korszerű képfeldolgozási eljárások lehetővé teszik az ekvivalens szálátmérő meghatározását mind a hosszmenti kontúr [S9,S15,S47], mind a keresztmetszeti kép alapján [47,146,261263], valamint a szálkeresztmetszet statisztikai jellemzői mellett, a kerületgörbe Fourier elemzését is [262,262]. Egyes esetekben - például térkitöltési problémák tanulmányozásánál, vagy a szálas szerkezet testmodellezésénél - nem tekinthetünk el attól, hogy a szálaknak véges térbeli kiterjedése van. Ekkor az (1.2.2) vagy (1.2.3) görbe szálközépvonalnak tekinthető.

1.2.2. Szálhalmaz és száltér Egy adott értelemben azonos tulajdonságú szálak összességét szálhalmaznak tekintjük [K26,K31,K52]. Egy térrészt kitöltő Γ szálhalmaz általában alakjukban és a térben elfoglalt helyükben, helyzetükben is különböző S szálai szálteret alkotnak [K52,S72].

7

A száltér szálainak (1.2.2), illetve (1.2.3) alakú leírásánál a szálak relatív térbeli helyzetét egy jellemző pontjuk – például az s=so ívparaméterrel kijelölt Po kezdőpontjuk, vagy a C húrközéppontjuk – adott vagy véletlen eltolása határozza meg. Az eltolással kijelölt pont célszerűen a szálhoz rendelt lokális koordinátarendszer origójának választható. A szálhalmaz vagy száltér homogén, ha tekintett tulajdonságai – például a szálak geometriai, helyzeti jellemzői, egy véges térfogatban meghatározott bizonyos sűrűségjellemzők – nem függnek a térben elfoglalt helytől [K23,K40,K49]. A felismerhető szerkezettel rendelkező, illetve a térben valamilyen felismerhető alakzatot alkotó, vagy ezek köré sűrűsödő szálhalmazokat strukturált száltérnek [S72] nevezzük. A textiltermékek szálas szerkezete strukturált száltérnek tekinthető, amelyekben a szálak, illetve az azokból felépülő magasabbrendű építőelemek rendeződési szabályait az alkalmazott textiltechnológiai műveletek szabják meg. A textiltermék szerkezetelemzésének vagy tervezésének alapvető feladata a szálalak szabályok és a transzformációk rendszerének feltárása, az esetleges statisztikus tulajdonságok tanulmányozása és identifikálása. Egy szál orientációját – a láncmolekuláknál is követett módszer szerint [K27,S5] – a rövid szakaszokra felosztott szálgörbe szakaszvégpontjait összekötő ai=aiei (i=1,…,n) vektorokkal jellemezzük (1.2.4.a. ábra) [K52,S72]. Ezek ei egységvektorait az origóba eltolva, végpontjaik az egységgömbön egy ponthalmazt alkotnak, amelyek eloszlásából következtethetünk az esetleges irányítottságra (1.2.4.b-d. ábrák). Ha nincs kitüntetett irány, az irányvektorok egy gömbfelületen egyenletes eloszlásban jelennek meg (1.2.4.b. ábra). Egyenes szálnál a gömbfelületen két, egy egyenest meghatározó pont adódik. A szokásos esetek ezek között jelentkeznek. Az ai vektorok összege éppen a h húrvektort adja. Nem göngyölödött szálak esetében (η<ηo) a szálhalmaz irányítottságát - a fentiekhez hasonlóan – a ho egység-húrvektorokkal jellemezhetjük.

a2 a1

ai h

an

a.) b.) c.) d.) 1.2.4. ábra. A szálgörbét közelítő vektorpoligon (a) és a szál vagy szálhalmaz irányítottságának jellemzése: nincs orientáció (b), uniaxiális orientáció (c), biaxiális (planáris) orientáció (d) [S5] A szálhalmazt - a gyakorlatnak megfelelően - irányítatlannak, izotrópnak tekintjük, ha a szóbanforgó tulajdonságai – elég nagy térfogati mintákat véve – nem függnek a minta orientációjától (1.2.4.b. ábra) [K23,K40,K49]. Ennek – homogén szálhalmaz esetében – szükséges feltétele, hogy a szálak irányvektorai, például az ho egység húrvektorok végpontjai egyenletes eloszlásúak legyenek az egységgömbön. A geometriai szempontból vett elégségességhez az is kell, hogy a szálak hossza és lineáris sűrűsége orientációjuktól független legyen. Ilyenek például a szövedékek (pl. nemez, flísz, filc) is. Irányított, orientált a száltér, ha nem izotróp és az irányvektorok egy, vagy több diszkrét irány (iránytengely) köré sűrűsödnek (1.2.4.c. és d. ábra). Egytengelyűen irányított (uniaxiális) például a szálak árama valamilyen közegben, vagy a fonal (1.2.4.c. ábra). Kéttengelyű (biaxiális) ideális szálas szerkezetnek tekinthető a szövet, a kötött-, illetve fonatolt kelme. Szabálytalan szerkezetű, de orientált szálbunda esetén a két pólus oldalirányban is deformálódik (1.2.4.d. ábra). A szálak orientációját, hasonlóan a láncmolekulákéhoz, a szálszegmensekhez kötött egység-húrvektorok orientációértékei, a térben – gömbi koordinátákat alkalmazva – két független szögkoordinátától függő q(ϕo,βo)(x,y) 8

(x,y)∈Φ={-π≤x≤π, -π/2≤yo≤π/2} sűrűségfüggvénye definiálja [K52,K61]. A Go=G(0,1) egységgömb ∂Go felületén a dAo=sinxdxdy kis felületelem egy ún. tér-, vagy testszöget definiál, így annak valószínűsége, hogy egy egység-húrvektor ezen infinitezimálisan kicsiny térszögbe esik q(ϕ,β)(x,y)dAo és ezzel a szálorientáció eloszlásfüggvény: x

Q( ϕ o ,β o ) ( x , y ) =

y

∫ ∫ q( ϕ o ,β o ) ( u ,v ) sin ududv

(1.2.13)

−π −π / 2

Ezen eloszlás módosul a szálhalmaz deformációja esetén. Neckář és Ibrahim [K52] szerint, egy 2D-s szálhalmazban az x tengely irányú, egyenletesen eloszló, λ-szoros nyújtás hatásaként, az x-tengelyhez mért βo irányszögek qβo(yo) (-π/2≤yo≤π/2) eredeti iránysűrűségfüggvénye a következő alakot veszi fel (-π/2≤y≤π/2): dy λ (1.2.14) qβ ( y ) = qβ o ( yo ( y )) o = qβ o (arctg( λ ⋅ tg y )) 2 dy λ − λ2 − 1 cos 2 y A szálorientáció, illetve annak hatása geometriai vagy mechanikai mennyiségekre tenzorikus formában is kezelhető, így az orientációt gyakran jellemzik orientációs tenzorral, mint az Advani Tucker tenzor, illetve annak átlagolt elemeivel [2,123,K61]. A szálorientáció mérése, a szálorientációs hisztogram meghatározása általában felületi [S7,S47,S49,S51,S57,S58,S66S70], vagy röntgen képek analízise alapján történik [K17]. Van Wyk (1946) [237,K52] izotróp szálhalmazok érintkezési pontsűrűségét elemző úttörő dolgozatában feltette, hogy a hengeres, d átmérőjű szálak egyenesek, azonos l hosszúságúak és véletlenszerűen vannak elosztva a száltérben, továbbá a szálak érintkezési helyein mindig pontosan 2 szál érintkezik és bármely két szál érintkezése azonos valószínűségű (F1.1. Függelék). Az 1970-es évekig e témával elsősorban kísérleti oldalról foglalkoztak [221]. Komori és Makishima (1977) [114-117] általános megoldást adott anizotróp szálhalmazok érintkezési pont eloszlására. Cheng és Duckett (1979) [23,24] anizotróp szálhalmazok szálkereszteződési pontjainak irányeloszlását határozták meg.

(

)

1.2.3. Textíliák dimenziója és sűrűségjellemzői 1.2.3.1. Tojástartomány és gömbi környezete

Az Rk k-dimenziós (k=1,2,3) valós tér K⊂Rk részhalmaza konvex tartomány, ha bármely két pontját összekötő egyenes szakasz is része K-nak [K68]. Nyilvánvaló tehát, hogy egy pont, vagy egy egyenes szakasz önmagában is konvex tartomány. Az is nyilvánvaló, hogy egy K konvex tartomány egyszeresen összefüggő is, tehát benne bármely zárt poligon pontra zsugorítható, s e pont eleme K-nak. Legyen a tekintett valós tér véges, zárt, konvex részhalmazainak – kompakt konvex halmazok – az ún. tojástartományok halmaza ℜk [K68]. Nyilvánvaló, hogy két A,B∈ℜk tojástartomány közös része szintén tojástartomány: A∩B∈ℜk, viszont egyesítésük már általában nem tojástartomány: A∪B∉ℜk. Egy A∈ℜk tojástartomány peremét, vagy felületét a ∂A szimbólummal jelöljük. A valós tér egy P∈Rk pontjának r-sugarú G(r,P)⊂Rk gömbi környezete a P pont körüli zárt, k-dimenziós gömb (1.2.5.a. ábra): G(r,P) = {Q∈Rk: d(P,Q)≤r} (1.2.15) k ahol d(P,Q) a rP és rQ helyvektorú P,Q∈R pontok euklideszi távolsága: d(P,Q)= PQ = rQ − rP = ( x1,Q − x1,P )2 + ... + ( xk ,Q − x k ,P ) 2

9

(1.2.16)

a.)

b.) 1D

1D

A

P r

r

r

r

2D

2D P r

r

A

1.2.5. ábra. Pont (a) és konvex tartomány (b) gömbi környezete egy-, kétdimenziós térben Az Rk valós tér egy A∈ℜk tojástartományának G(r,A) környezete az A egyes pontjai vonatkozó környezeteinek egyesítéseként állítható elő (1.2.5.b. ábra): G(r,A) = U G( r , P ) (1.2.17) P∈ A

k

Az R valós lineáris tér, így a térpontoknak az izomorf P↔p, Q↔q helyvektoros leírásmódjával bevezethető egy A∈ℜk halmaz c∈R1 valós számmal való cA szorzata, r vektorral vett Ar eltoltja, illetve két A,B∈ℜk halmaz ún. Minkowski-féle összeadása is [K68]: cA = {cp: p∈A} = {Q: q=cp, P∈A } (1.2.18a) Ar = {p+r: p∈A} = {Q: q=p+r, P∈A } (1.2.18b) A⊕B = {p+q: p∈A, q∈B} = {Q: q=p+u, P∈A, U∈B } (1.2.18c) Könnyen belátható, hogy az (1.2.18) összefüggésekkel megadott halmazok mindegyike szintén tojástartomány. Ha a helyvektor rendszer origója az O↔0 pont, akkor az A∈ℜk tojástartomány r-sugarú gömbi környezete az alábbi módon is kifejezhető: G(r,A) = A⊕G(r,O) (1.2.19) Bevezetve az Rk (k=1,2,3) valós tér A∈ℜk tojástartományain értelmezett λk halmazfüggvényt, mint térfogatmértéket (általánosítva, az ún. Lebesgue mértéket), mely k=1,2,3-ra rendre az L(A)=λ1(A) hosszmértéket, T(A)=λ2(A) területmértéket, illetve a V(A)=λ3(A) térfogatmértéket adja [K68,K75]. Hasonlóan – a λk-t egyfajta, görbült térre kiterjesztett értelemben tekintve – k=2 esetén az A kerülete k(A)=λ1(∂A), míg k=3-nál az f(A)=λ2(∂A) az A felületi területe. A fentiek alapján könnyen megadható egy A∈ℜk tojástartomány r-sugarú gömbi környezetének k-dimenziós térfogata (1.2.5. ábra) [K68]: k=1: λ1[G(r,A)] = L(A) + 2r (1.2.20a) 2 k=2: λ2[G(r,A)] = T(A) + k(A)r + πr (1.2.20b) 2 3 4 k=3: λ3[G(r,A)] = V(A) + f(A)r + 2π d 3 ( A) r + 3 πr (1.2.20c) 1.2.3.2. Dimenzió és sűrűség

Legyen К a Γ textíliát befoglaló K⊂R3 (Γ⊂K) konvex, zárt halmazok, azaz tojástartományok halmaza. A Γ textília KΓ konvex burka [K62] a Γ legszűkebb konvex lefedése (1.2.6.a. ábra): KΓ= I K (1.2.21) K ∈Κ

10

Nyilvánvaló ekkor, hogy Γ⊆KΓ. Ha m a tömegmérték, Γ mérhető m-re nézve [K75] és Γ⊂KΓ, valamint 1>ε>0 adott érték, úgy m(Γ) a Γ termék (véges) tömege és legyen KΓε⊂KΓ olyan konvex halmaz, hogy: m(KΓε∩Γ) = (1-ε) m(Γ) (1.2.22) akkor KΓε a Γ textília egy konvex ε-törzse [S72] (1.2.6.b. ábra).

1.2.6. ábra. Textiltermék konvex burka (a), ε-törzse (b) és értelmezésük fonalra (c) [S72] A textíliák felülete nem sima, szálak állnak ki belőle, ezért jól használható a KΓε, amely akkor meghatározott, ha előírt alakú és ε-tól csak a méretei függnek. A KΓε képezhető például a KΓ eróziójával [K1,K64] is a következő módon: van ugyanis olyan δ=δ(ε)>0, hogy a KΓε = KΓ\G(δ,∂KΓ) (1.2.23) halmazra fennáll az (1.2.22), ahol ∂KΓ a KΓ halmaz határa (1.2.6.a. ábra). Ez esetben a KΓε a KΓ határpontjai δ-sugarú környezetének eltávolítása révén kapott halmaz. Lehet azonban KΓε egyszerű alakzat is, például a felületén kiálló szálakat tartalmazó font fonal esetében körhenger, melynek dε-átmérője a fonal ε-törzsátmérője (1.2.6.c. ábra). Textília dimenziója A fentiek alapján, Vas (2000) [S72] az alábbi definíciót fogalmazta meg a textilruházati iparban szokásos értelmezéseket is magába foglaló textília dimenziót illetően. A véges Γ textília dimenziója k≤2, ha éppen k-dimenziós ama legszűkebb W⊂R3 valós altér - a textília váztere -, melyre teljesül: (1) A Γ textília a W váztérre felvágás nélkül rásimítható, azaz a Γ olyan helyzetbe hozható, hogy - W a Γ-nak egyfajta középfelületét alkotva - található olyan a KΓ∩W metszetet lefedő WΓ⊂W konvex halmaz (KΓ∩W⊂WΓ⊂W) és δ>0 valós szám, melyre a WΓ δ/2sugarú G-környezete lefedi a Γ textíliát: Γ⊂G(δ/2, WΓ). (2) A Γ termék W váztér köré sűrűsödik, azaz a besimított Γ textília di(Γ) (i=1,...,k) altérbeli méreteihez képest a δ elhanyagolhatóan kicsi (legalább 1 – szokásosan 2-3 – nagyságrenddel kisebb), azaz: min {d1(Γ), ... ,dk(Γ)} >> δ (1.2.24) A textília háromdimenziós (k=3), ha nem található ilyen W valódi altere R3-nak. Ekkor W=R3. Textília vetületmodellje Az S∈ℑ szálakból felépített k<3 dimenziós Γ- textília W váztere az Rk valós altér. Legyen πk az R3 valós térnek a W=Rk altérbe vett projekciója [K68,K75]: πk: R3 → Rk (1.2.25) Ekkor a Γ-textília ezen W altérbe vett ΓW=πk(Γ) projekcióját vetülettextíliának, vagy termékváznak nevezzük, míg ℑW ={πk(S): S∈ℑ, S⊂Γ} a vetületszáltér és SW=πk(S)∈ℑW a ΓW 11

(vetület)szálait jelenti. A πk mértéktartó leképezés, így az S∈ℑ szál SW∈ℑW vetületének is értelmezhető a tömege: mW(SW) = m(S) (1.2.26) ahol mW a vetület-tömegmérték. Legyen WΓ a ΓW vetülettermék konvex burka a W váztérben. Ekkor az ily módon megszerkesztett WΓ halmazt a Γ textília konvex vázának nevezzük. A Γ termék konvex ε-törzse előállítható, mint az WΓ konvex burok olyan rε-sugarú KΓε=G(rε, WΓ) környezete, melyre teljesül az (1.2.22). A gyakorlatban a textíliák geometriai tulajdonságait pl. szabályos szerkezetek esetében a szerkezeti-, illetve színmintázatok leírását [K36,K74]- a vetület tulajdonságai révén jellemzik. Az alkalmazott modellekben a textília (vetületi) elemiszálait általában azok végpontjait összekötő húrjaikkal helyettesítjük. A sűrűség globális jellemzői A Γ textília ρ(Γ) térfogati sűrűsége a konvex burok térfogatával, míg a ρε(Γ) εtörzssűrűsége a KΓε-al számítható m( K Γε ) ( 1 − ε )m( Γ ) m( Γ ) = (1.2.27) ρ (Γ) = ρ 3 (Γ) = , ρε ( Γ ) = λ 3 ( KΓ ) λ3 ( K Γ ε ) λ3 ( K Γ ε )

A k-dimenziós Γ textília ρk karakterisztikus sűrűsége egyfajta átlagos vetületi sűrűség, mely az (1.2.26) szerint a ΓW vetülettextílián az mW vetületmértékkel is előállítható [S72]: m (Γ ) m( Γ ) (1.2.28) ρk ( Γ ) = = W W λ k ( WΓ ) λ k ( WΓ )

Lényeges termékjellemző a porozitás is, mely megmutatja, hogy az anyag milyen mértékben tölti ki a termék térfogatát. Legyen ρo a textíliát felépítő – itt véges átmérőjű (vastagságú) - szálak anyagsűrűsége. Ekkor, ha a szálak Vo=λ3(Γ)=m(Γ)/ρo össztérfogata, mint a homogén anyaggal kitöltött terméktérfogat, a textília (térfogati) p(Γ) porozitása, illetve ξ(Γ) szálkitöltési tényezője: λ 3( K Γ ) − λ3( Γ ) ρ( Γ ) p( Γ ) = = 1− , ξ ( Γ ) = 1 − p( Γ ) (1.2.29) λ3( K Γ ) ρo Értelmezhető a szűrőtextíliáknál fontos vetületi porozitás (pw) is: λ (Γ ) pW(Γ) = 1 - k W (1.2.30) λ k ( WΓ ) A sűrűség lokális jellemzői A Γ textília (1.2.27-29) szerinti sűrűsége a teljes termékre kiterjedő átlagos sűrűségértékeket szolgáltat. Sok esetben azonban szükség lehet a sűrűség - pl. a váztér pontjainak adott sugarú környezeteiben, esetleg magukban a pontokban értelmezhető - lokális értékeinek ismeretére, vagy azok eloszlására is. Feltéve, hogy az m tömegmérték integrál alakban is előállítható (ekkor az m abszolút folytonos az R3-beli λ=λ3 Lebesgue mértékre [K68,K75] nézve) és ha A⊂R3, illetve a ΓA= Γ∩A≠∅ mérhetők, akkor ΓA termékrész, mint egy kivágott minta tömege és az A halmazba foglalt tömeg megegyezik: m(ΓA) = m(A) = ∫ dm = ∫ ρ λ ( dA ) = ∫ ρ dλ (1.2.31) A

A

A

ahol a ρ=ρ3(x,y,z)=ρ3(r) a Γ textiltermék tömegsűrűség-függvénye, amely Radon-Nikodym deriváltnak [K68] tekinthető. A ρ az egész R3 valós téren értelmezett és értéke abban a pontban zérus, mely a Γ-nak nem pontja. A textíliák geometriai tulajdonságai, s így sűrűsége is, a váztérben statisztikus ingadozásokat mutatnak, így térparaméterezett sztochasztikus folyamatnak kezelhetők, amelyek pl. a kovariancia és a teljesítmény spektrum függvényekkel jellemezhetők (F1.2. Függelék).

12

1.2.3.3. Egy-, két és háromdimenziós textiltermékek és kompozitok

A textiltermékek egyrészt a textilipar termékeit, a textíliákat (1.1.1. ábra), másrészt az ezekből a textilruházati ipar által előállított ruházati termékeket foglalják magukba. Egydimenziós (1D), vagy lineáris textíliák a szálak, fonalak, cérnák, zsinegek, zsinórok és kötelek, de ennek tekinthetők a szálszalagok, szalagok és hevederek is (1.2.7.a. ábra). Ezeket a ρ1(Γ) lineáris sűrűség jellemzi. A szálak lineáris sűrűsége dtex, a fonalaké tex, míg a többié ktex nagyságrendű [K36].

a.)

b.) 1.2.7. ábra. Egy- (a) és kétdimenziós (b) textíliák

Kétdimenziós (2D), vagy lapszerű textiltermékek (1.2.7.b. ábra) közül szabálytalan szerkezetűek a szálbundák, szálfátylak, szálpaplanok és a szövedékek (nemezek, filcek, flíszek), míg szabályos szerkezetűek a szövetek, kötött kelmék, fonatolt lapok és a (csomózott) hálók, illetve ezek kombinációi. A 2D-s textiltermékekre a ρ2(Γ) területi sűrűség jellemző, amelynek e textíliákra jellemző értéktartománya 50…500 g/m2 [K36]. A háromdimenziós (3D) textiltermékek általában ún. szabott, vagy konfekcionált termékek, esetleg szabás nélkül, közvetlenül készülnek. Ilyenek a ruházati termékek többsége, továbbá pl. egyes tető- és kötélszerkezetek, a 3D-s kompozit erősítő szerkezetek. Karakterisztikus sűrűségük a ρ(Γ)=ρ3(Γ) térfogati sűrűség, hiszen ekkor WΓ=KΓ. A polimer szálanyagok térfogati sűrűség értéke 0,9…2,6 g/cm3, a pamuté 1,5 g/cm3 [K8], míg pl. a pamutbáláké 0,15…0,3 g/cm3 [K36], a pamutszalagoké 0,01…,0,03 g/cm3 [K36], a pamutfonalaké 0,47…0,98 g/cm3 [K82] és a pamutszöveteké 0,2…0,8 g/cm3 [K36]. Ha a szálas szerkezet (k=1,2,3) nem csak szálakból épül fel, hanem 2D-s, illetve 3D-s kontinuumnak tekinthető anyagokat (pl. fóliát, bevonatot, vagy impregnáló/beágyazó-, azaz mátrixanyagot) is tartalmaz, akkor laminált textíliának, textilkompozitnak, vagy szálerősített kompozitnak nevezzük. Léteznek például szál-, fonal-, heveder-, lap- és tömlőformájú kompozit anyagok is (1.1.1. ábra).

1.2.4. Szálfolyamok szerkezeti-geometriai jellemzői 1.2.4.1. Szálfolyamok és szálkötegek

Szálfolyamok Szálfolyamot alkot a száltér, ha a szálak hasonló térbeli görbéket – áramvonalakat – követve helyezkednek el, azaz az áramvonalra merőleges síkokat metsző szálak húrvektorai átlagos iránya az áramvonal érintővektora [K45,K46,K52,K70,K82,S72].

13

Vas (2000) [S72] osztályozását követve, az egytengelyű szálfolyam – gyakran röviden szálfolyam – egytengelyűen (uniaxiálisan) orientált (1.2.8.b. és 1.2.9.a. ábra). A lineáris szálfolyam egyirányú (unidirekcionális), azaz minden szál irányvektora párhuzamos (1.2.8.b. ábra). A szokásos szövet síkvetületében például két, egymásra merőleges, lineáris szálfolyam egyesítésének tekinthető.

a.) c.) b.) 1.2.8. ábra. Izotróp (a) és egytengelyűen (b), illetve kéttengelyűen (c) irányított anizotróp szálhalmazok [S72] Az elemi lineáris szálfolyamban az egymást át nem fedő szálhúrok egy egyenesre illeszkednek (1.2.9.c. ábra). A lineáris szálfolyam ilyen, párhuzamos elemi lineáris szálfolyamok egyesítése is lehet. A leggyakrabban használt típus, az egyszerű lineáris szálfolyam, röviden EL-szálfolyam, olyan lineáris szálfolyam, amelyben a szálak húrhossza azonos (1.2.9.d. ábra) [S2].

a.)

c.)

b.)

d.)

f.) g.) h.) e.) 1.2.9. ábra Egytengelyű szálfolyamok (a) speciális típusai: lineáris (b) és elemi lineáris (c), egyszerű lineáris (d), egyenletesen folytonos lineáris (e), elemi folytonos lineáris (f), reguláris (g) és Zotyikov-féle (h) szálfolyam jellegvázlata [S72] Folytonos szálfolyam minden – iránytengelyre merőleges – keresztmetszetét legalább egy szál metszi. Az egyenletesen folytonos szálfolyam minden keresztmetszetét azonos számú szál metszi, amelynek egy változatát, az egyenletesen folytonos lineáris, röviden EFLszálfolyamot (1.2.9.e. ábra) párhuzamos filamentek, vagy folytonos elemi szálfolyamok (1.2.9.f. ábra) is alkothatják. A folytonos elemi szálfolyam olyan elemi lineáris szálfolyam, amelyben az egyenesre illeszkedő szálak (szálhúrok) végeikkel érintkező szálláncot alkotnak. A másik gyakran alkalmazott típus, az egyenletesen folytonos és egyszerű lineáris, rövid jelöléssel EFEL-szálfolyam [K45,K65,K70]. A reguláris szálfolyam egy olyan EFELszálfolyam, amelyben a szálak téglatesteket alkotnak, azaz a szálvégek egyazon

14

keresztmetszetre illeszkednek (1.2.9.g. ábra). A szálfolyam Zotyikov-féle, ha EFEL-típusú és a szálvégek sűrűsége a hossza mentén egyenletes, azaz a szálfolyamot alkotó elemi szálfolyamok egyenletes fáziseltolásúak és így pl. síkszálfolyam esetén a szálvégek speciális, egybevágó romboidokat alkotnak (1.2.9.h. ábra) [K35,K45,K46,K70,K80,K82,S72]. Zotyikov (1945) [K45,K70,K80] ezek segítségével magyarázta a szálfolyam nyújtásakor fellépő egyenlőtlenségeket. Megjegyzendő, hogy az EL szálfolyamot, vagy annak egyes speciális típusait, mint EFEL szálfolyam, az egyenlőtlenség mérésében, leírásában gyakran ideális szálfolyamnak is nevezik [240,248,K35,K45,K65]. A cirkuláris szálfolyam szálai síkban koncentrikus köröket, illetve térben hengerfelületeket követnek. Sodratorientált a szálfolyam, ha szálai a térben egytengelyű csavarvonalszerű görbéket követve helyezkednek el, azaz áramvonalai egytengelyű spirálvonalak. A font fonalak szálai sodratorientált szálfolyamot alkotnak (1.2.10.a. ábra). Száltérben az (1.2.4) szerinti v irányvektorok, vagy az (1.2.5) szerinti h húrvektorok vektorteret alkotnak. A szálteret áramtérnek tekintve, az áramvonalak éppen a szálgörbék, vagy szálpályák, azaz a szálközépvonalak.

a.) b.) 1.2.10. ábra. Fonal (b) és szolenoid (b) mint sodratorientált száltér Az áramláselmélet terminológiája szerint a vektortér szolenoidális, ha örvényes és forrásmentes (1.2.10.b. ábra), ami a folytonos szálakból álló sodrott struktúrákat modellezi és a textiltudományban az ún. helix modell alapja [K29,K82,S72]. A font fonalak alkotta áramtér örvényes, azonban nem forrásmentes, mert a véges hosszúságú, tömegpontokból álló szálak a szálpályáknak csak egy véges részét fedik le, így kezdetük forráspontnak, a végük nyelőpontnak tekinthető. A szálfolyamok nagyon fontos szerepet játszanak a textíliák vizsgálatában és elemzésében, ugyanis számos textília önmagában is szálfolyamnak (szálszalag, kártfátyol, előfonal, fonal), mások szálfolyamokból összetettnek (cérna, kötél, szálpaplan, flísz, szövet, fonatolt szerkezet, kötött kelme) tekinthetők. Szálkötegek A szálköteg általában valamilyen jól definiált kapcsolatban lévő szálak alkotta részhalmaz [K82,S72]. Alapvető típusai az egymással érintkezéses kapcsolatban álló, ún. rostot alkotó szálak (1.2.11.a. és b. ábra), illetve a szálteret metsző síkot, vagy a szálfolyam egy keresztmetszetét, illetve annak egy részét metsző, (kétoldalas) szakállat alkotó (1.2.11.c. és d. ábra), szálak halmaza. a.) c.) d.)

b.)

1.2.11. ábra. Rost típusú szálkötegek egyenhosszúságú (a), vagy különböző hosszúságú (b) egymáshoz tapadt szálakból, és szakáll típusú - egyazon keresztmetszetet metsző párhuzamos (c), illetve nem párhuzamos szálak (d) alkotta szálkötegek [S72]

15

A szálformájú rostot alkotó szálakat elemiszálaknak nevezik. Ilyen fonható textilszálat alkotnak pl. a növényi rostok, mint a lenrost, kenderrost, kókuszrost és a farostok, amelyek elemiszálai a növényi sejtek. Megjegyzendő, hogy Neckář és Ibrahim (2003) [K52] szerint a szálas struktúrákban, a szálkötegek mellett a szálkötegnyaláb (szálkötegek kötege) mint részhalmaz, köztes elem is szerepet játszhat a makrotulajdonságok kialakulásában. A különbség a szálköteg és szálköteg nyaláb között lényegében az, hogy a kötegnyaláb szálkötegei között lazább a (pl. mechanikai) kapcsolat, mint a köteg szálai között. 1.2.4.2. Keresztmetszeti és szakállhossz eloszlás

A fonástechnológia rendező műveletei során a bálák bontásával kapott laza szálfürt halmaz fokozatosan fátyollá, szalaggá, előfonallá és fonallá alakul át, s ennek megfelelően (folytonos) szálfolyamokról és azok kialakult keresztmetszeteiről beszélhetünk (1.2.12. ábra). A térfogati mintavétellel nyert, a teljes szálfolyam összes szálát jellemző szálhosszeloszlás legyen Ql(x)=P(l<x), x>0, átlagértéke l , relatív szórása Vl. A szálfolyamból keresztmetszeti mintavétellel nyerhető szálak statisztikai jellemzői általában eltérnek az adott szálfolyam hosszabb szakaszába foglalt szálhalmaz – térfogati mintavétellel nyert – statisztikai jellemzőitől. Ennek oka az, hogy a szálfolyam szálaira nézve, egy adott x keresztmetszettel való metszés eseménye (jelölje ezt Mx), a szálhalmaz bizonyos tulajdonságú szálait súlyozó feltételként működik. A keresztmetszeti jellemzők vizsgálatához a szálakból rendezéssel egy folytonos lineáris szálfolyamot tekintenek (1.2.12. ábra), amely homogén abban az értelemben, hogy valamely keresztmetszetét metsző szálak hosszeloszlása független a keresztmetszet szálfolyam menti x helyétől [K45,K46,K70,K80,S72]. Szálhalmaz Szálfolyam Szakállhosszak x

x

l l-

Baloldali szálszakáll

x Jobboldali szálszakáll

l+

Baloldali x Jobboldali

1.2.12. ábra. Térfogati minta, mint szálhalmaz, illetve a belőle készült szálfolyam és annak keresztmetszeti szálhosszjellemzői Belátható, hogy a szálfolyam egy tetszőleges keresztmetszetét metsző, egy részhalmazt, szálköteget alkotó szálak (1.2.12. ábra) Gl(z) ún. keresztmetszeti hosszeloszlás függvénye a Ql(z) térfogati eloszlásfüggvény hosszsúlyozásával kapható, illetve, ha léteznek, a gl(z) és ql(z) sűrűségfüggvények hasonló kapcsolatban állnak (z>0) (ld. F1.3. Függelék): z

z

u u Gl ( z ) = Ql (z M x ) = P(l < z M x ) = ∫ dQl ( u ) = ∫ ql ( u )du l l 0

(1.2.32)

0

z g l ( z ) = ql ( z ) (1.2.33) l ahol az Mx metszési eseménnyel a keresztmetszeti szálhosszeloszlás függvény feltételes eloszlásfüggvényként adható meg. Megjegyzendő, hogy a szálak azonos ρLo lineáris sűrűsége

16

esetén az (1.2.33) szerinti hosszsúlyozás a szálak tömegszerinti súlyozásával ekvivalens (m=ρLol). Az l x átlagos keresztmetszeti szálhossz, mint feltételes várható érték számítható ki:

l x = E (l M x ) =

∞ 2

∫

0

(

)

u ql ( u )du = l 1 + Vl2 ≥ l l

(1.2.34)

ahol Vl a térfogati mintavételből számolt számszerinti relatív szórás. Egy x keresztmetszetet metsző szálak ún. kétoldalas szálszakállat alkotnak (1.2.12. ábra), ezért angol nyelvterületen az (1.2.32) eloszlásnak megfelelő száldiagramot ’Barbe’nak is nevezik [K39]. Az x keresztmetszetet metsző szálszakáll két oldalára nyúló szálrészeit mellső és hátsó félszakállnak, szálaik hosszeloszlásait mellső- és hátsó (fél)szakállhosszeloszlásnak nevezik. A szálfolyam x keresztmetszetét metsző pl. l hosszúságú szálat e keresztmetszet két részre, az l+, illetve l- hosszúságú mellső-, illetve hátsó részekre vágja, (1.2.12. ábra), ahol: l = l+ + l(1.2.35) A feltételek és a szimmetria miatt a mellső és hátsó szálrészek hosszcsoportokon belüli, következésképpen az egész szálfolyamra vett hosszeloszlása, tehát a mellső és hátsó szakállhosszeloszlás megegyezik, s a száldiagramjaik egymásnak mintegy középpontos tükörképei, továbbá nem függnek az adott keresztmetszet helyétől. Az irodalomban a szakállhosszeloszlás alábbi alakban szerepel [K82] (F1.2. Függelék) (z>0):

(

)

z

z

u−z u−z Sl ( z ) = P l > z M x = ∫ ql ( u )du = ∫ dQl ( u ) l l +

o

(1.2.36)

o

Parciális integrálással belátható, hogy ha az alábbi feltétel (mint szokásosan) teljesül: uQl ( u ) → 0 (1.2.37) u →∞

úgy a szakállhosszeloszlás az alábbi, az (1.2.36)-nál jobban átlátható alakba írható: z

Sl ( z ) = ∫ 0

1 − Ql ( u ) du l

(1.2.38)

+

Az (1.2.38)-ból nyilvánvaló, hogy az l mellső szakállhossz sl(u) sűrűségfüggvénye: 1 − Ql ( u ) sl(u) = (1.2.39) l Az (1.2.38) komplementere megegyezik az (1.2.9) szerinti SF(x) fibrogrammal, s így könnyen mérhető. Az (1.2.38) segítségével egyszerűen kiszámítható az l+ mellső szakállhossz várható értéke, ami az (1.2.34) várható keresztmetszeti szálhossz értékének éppen a fele (félszakáll): +

∞

E( l ) = ∫ u 0

1 − Ql ( u ) l du = ( 1 + Vl2 ) 2 l

(1.2.40)

A szakálldiagram jelentős szerepet játszik a fonástechnológiában az 1D-ós szálfolyamok (szálszalagok, előfonalak) ellenőrzésénél és a nyújtóművek beállításánál, illetve a velük modellezhető textíliák vizsgálatában is. A szálfolyamok szilárdsági kérdéseinél azonban az l+ és l- szakállhosszak minimuma, az ún. aktív szakállhossz

l m = min( l + ,l − ) (1.2.41) és annak eloszlása, az aktív szakállhosszeloszlás játszik fontos szerepet. Żurek könyvében (1975) [K82: 49-52 oldal], geometriai valószínűségi megfontolások után, a komplementer aktív szakállhosszeloszlásra a következő formula adódott (z>0):

17

S *m ( z ) =

1 l

∞

∫ xql ( x )dx −

2z

2z l

∞

∫ ql ( x )dx

(1.2.42)

2z

ami a (fél)szakállhossz-eloszlás változótranszformáltja (z>0):

Sm ( z ) = P (lm < z M x ) =

2z

∫ 0

1 − Ql ( x ) dx = S ( 2 z ) l

(1.2.43)

Az (1.2.43) természetesen tisztán valószínűségszámítási módszerekkel is megkapható, ha figyelembe vesszük, hogy az l+ és l- nem függetlenek (l=l++l-) (ld. F1.3. Függelék). Az átlagos aktív szálhossz: ∞

∞

1 l E( l m ) = ∫ udS ( 2u ) = ∫ xdS ( x ) = ( 1 + Vl2 ) 2 4 0

(1.2.44)

0

amely szerint az aktív szakáll egyfajta negyedszakállnak tekinthető. 1.2.4.3. Poisson szálfolyam modell

Spencer-Smith és Todd (1941) [200] munkái nyomán alakult ki a Poisson típusú szálfolyam modell, amelyet Martindale (1945) [140,141] a keresztmetszeti egyenlőtlenség meghatározására használt fel, vonatkozási alapot adva a textilipari 1D-ós termékek ellenőrzéséhez és statisztikai minősítéséhez [K35,K36,K65,K70,K73]. Ezért a fenti kutatók névkezdőbetűi nyomán röviden SSTM szálfolyamnak is nevezhetjük. Tekintsünk egy N darab, véletlen l hosszúságú és p lineáris sűrűségű szálból álló szálhalmazt. Rendezzük e halmaz szálait úgy, hogy egy egyenes - az x-tengely - 2L hosszúságú WL=[-L,L] szakasza mentén (véges) szálfolyamot alkossanak (1.2.13. ábra) és legyen χx a szálfolyam x∈[-L, L] keresztmetszetét metsző szálak száma (0≤χx≤N).

x -L

x

0

L

1.2.13. ábra. Véges hosszú, véletlen szálfolyam képzése Legyen továbbá K az egységnyi szálfolyam-hosszra eső szálak átlagos száma: N K= (1.2.45) 2L A K tulajdonképpen pontsűrűség, a szálközéppontok váztérbeli, azaz hosszegységre eső sűrűsége. Az SSTM szálfolyam modell alapfeltevései a következők: (1) A szálak egyenesek, (térfogati) sűrűségük (ρo) a szálak mentén állandó és minden szálra azonos, következésképpen lineáris sűrűségük ρLo =ρoA, ahol A a szálak keresztmetszete. (2) A szálak l hosszai és A keresztmetszetei egymástól független valószínűségi változók, eloszlásfüggvényeik Fl(u) és FA(z) (u,z>0). (3) A szálfolyam képzésekor a szálakat egyenként, egymástól és saját hosszuktól, és egyéb jellemzőiktől is függetlenül, középpontjuknál fogva az [-L,L] szakasz valamely véletlen

18

pontjára helyezzük. (4) Minden szál párhuzamos a szálfolyam tengelyével, azaz a szálak egy véges lineáris szálfolyamot alkotnak. (5) Annak qx valószínűsége, hogy a szálfolyam képzés során egy tetszőleges szál metszi az x∈[-L,L] keresztmetszetet, független a helytől, azaz qx=q. A fentiek alapján a szálfolyam keresztmetszete valószínűségi változó, amelynek várható értékét és szórását Martindale (1945) [140,K45,K82] három lépésben határozta meg. Az első két lépésben – követve Spencer-Smith és Todd (1941) [200] konstruktív, a szálfolyamot részszálfolyamok egyesítésére bontó módszerét – felhasználta a χx eloszlására vonatkozó eredményeiket, majd a harmadik lépésben a szálfolyam keresztmetszetének jellemzőit számította ki. Az első lépésben Spencer-Smith, Todd és Martindale egy egyszerű lineáris (EL) szálfolyamot tekintett, ahol a szálak l hossza állandó. Jelölje a metszési eseményt Mx és tegyük fel, hogy l<
l l λk − λ p = P(Mx) = ≈ P( χ x = k ) = e (1.2.46) 2L + l 2L k! ahol a Poisson eloszlás tulajdonságai miatt fennáll: (1.2.47) E(χx) = D2(χx) = λ= Np = Kl A második lépésben a fent definiált SSTM szálfolyam szálait r számú li (i=1,…,r) osztályközepű, diszjunkt hosszcsoportba sorolták, és ezeknek megfelelően az SSTM szálfolyamot r számú, független EL-szálfolyam egyesítésére bontották. Ezek χx,i keresztmetszeti szálszámai is független Poisson eloszlásúak λi (i=1,…,r) paraméterrel, ezért χx összegük is az, a λ = E( χ x ) = λ1 + ... + λ r = n = Kl (1.2.48) paraméterrel, ahol l az átlagos szálhossz. Végül a harmadik lépésben Martindale egy – véges vagy végtelen hosszú – ideális szálfolyamot tekintett, amelynek tetszőleges x keresztmetszetét metsző χx szálak száma Poisson eloszlású az (1.2.48) várható értékkel, mint paraméterrel. A szálfolyam A keresztmetszete egyenlő a véletlen χx számú szál Ai keresztmetszeteinek összegével, amelynek Martindale kiszámította a várható értékét és szórásnégyzetét χx  E(A) = E  ∑ Ai  = E(χx)E(Ai) = n Ao (1.2.49)   i = 1   2 2 D2(A) = n (σ Ao + Ao2 ) = n Ao2 (1 + V Ao )

(1.2.50)

ahol A a szálkeresztmetszet várható értéke, σAo és VAo a négyzetes szórása és relatív szórása. A szálfolyam keresztmetszet relatív szórása, az ún. Martindale-féle határegyenlőtlenség (Vlim) 2 2 1 + V Ao 1 + V Ao D( A ) 1 Veff ≥ V ( A ) = = = = Vlim ≈ E( A ) n n Kl

(1.2.51)

2 Az (1.2.51) – amelynek értékét, V Ao << 1 miatt, gyakran a jobboldali formulával közelítik - a valós egydimenziós textiltermékek Veff keresztmetszeti relatív szórásának egyfajta alsó határértékét jeleníti meg, ahol a szálak a terméket a hossza mentén véletlenül, egyenként és egymástól függetlenül elhelyezve építik fel. A valós termékek esetében, a gyártás során, ez szálak helyett csak véletlen szálszámú szálkötegekre teljesül, ami – a kötegszálszám szórásától függően – az egyenlőtlenséget jelentősen növeli. Az egyenlőtlenségi index (I) is a

19

valós- és a határegyenlőtlenségek viszonyát fejezi ki [K65,K73,K82]: Veff I= ≥1 (1.2.52) Vlim Az egyenlőtlenségi index szokásos értéke 1,1…2,6 [K82] a szálanyagtól és a terméktechnológiától függően. Megjegyzendő, hogy a Poisson eloszlás textilszerkezetekben és textiltechnológiai folyamatokban játszott fontos szerepére Tippet [225] már 1935-ben felhívta a figyelmet, amit utóbb a tapasztalat oly széleskörűen megerősített [K5,K25,K26,K52,K59,K82,S40,S41], hogy az általános valószínűségelméleti és matematikai statisztika könyvek példáiban is igen gyakran szerepelnek textilipari vonatkozások [K20,K38,K55,K59,K76]. Zeidman, Suh és Batra (1990) [265], illetve Neckář és Ibrahim (2003) [K52] a szálak ferdeségének hatását is elemezte. 1.2.4.4. Hosszmenti egyenlőtlenség jellemzői

Egyenlőtlenség értelmezése A lineáris szálfolyam egyenlőtlensége alatt a szálfolyam X lineáris sűrűségének, vagy keresztmetszetének hosszmenti átlagos ingadozását mérő számot értenek, melyet legtöbbször a folyamat D(X) abszolút, vagy még inkább VX relatív szórásával adnak meg. A szálfolyamok egyenlőtlenségét, keresztmetszeti ingadozásainak típusait és okait Zotyikov [K37,K45,K46], Spencer-Smith [200-201], Foster és Martindale [50], Martindale [140,141], Breny [12], Olerup [158], Grosberg és Palmer [63-66], Townsend és Cox [27,227,228], vizsgálta és igen részletesen elemezte és osztályozta Picard [178], illetve Vass [238], Gangli [55] és Wegener és szti [239-250], továbbá Mandl és Noebauer [137]. A lineáris szálfolyamok X=ρL lokális lineáris sűrűsége – ami állandó ρ sűrűség mellett a keresztmetszettel arányos – a hosszuk (-∞
20

Összetevői az (1.2.54)-el definiált SB(l,L) belső- és az SK(l,L) külső szórás a vizsgált hossz mellett, a rövid szakaszok l hosszától, az ún. vágási hossztól is függnek és hosszvariancia görbéknek nevezik őket. A belső szórás az l hosszú szakaszokon belüli (Within) értékek szórásának átlaga, míg a külső szórás az l hosszú szakaszok átlagértékei közötti (Between) szórás. Az abszolút szórások helyett gyakran az összehasonlításokra alkalmasabb V(l,L) relatív szórásokat használják. A stacionárius és ergodikus X(t) folyamat várható értéke E(X) és szórása D(X), így az L regisztrátum-hosszat minden határon túl növelve, kapjuk: 2 ( l ,∞ ) + S 2 ( l , ∞ ) (1.2.55) x( L )   → E( X ), S 2 ( L )   → S 2 ( ∞ ) = D 2 ( X ) = S B K L →∞

L →∞

Az (1.2.55) összefüggéseket szálfolyamok esetében Cox és Townsend (1951) [27,228] publikálta. Az 1.2.14. ábra a belső és külső hosszvariancia görbék elvi lefutását szemlélteti véges és végtelen hosszú regisztrátumok esetén (0≤l<∞, 0
S (οο) S 2(L) SB2(l,L)= SB2(l,οο) 2

SK(l,L)

2

SK(l,οο) SK(L,οο) 2

l 0

l L 1.2.14. ábra. Véges és végtelen hosszú szálfolyam hosszvariancia görbéi [S72] Olerup (1952) [158] és Breny (1953)[12] szerint egy lo-hosszúságú szálakból felépülő EL-szálfolyam relatív külső szórásnégyzete a következő formában állítható elő: L  1 − 3l , ha L ≤ l o  o V K2 ( L , ∞ ) = V K2 ( 0 , ∞ ) h( l o , L ) = V K2 ( 0 , ∞ )  (1.2.56) l l    o 1 − o  , ha L > l o  L  3L  ahol VK(0,∞) az (1.2.51) Martindale-féle határegyenlőtlenséggel adható meg. Breny (1953)[12], illetve Wegener és Rosemann (1957-1958) [239,240] módszere szerint az (1.2.56)-ban az lo=li (i=1,…,r) szálhossz-osztályközép helyettesítést alkalmazva és az eredményt minden li szálhosszra átlagolva az SSTM szálfolyam hosszvariancia görbéjéhez jutunk: VK2 ( L ,∞ ) = VK2 ( 0 ,∞ )∑ h( li , L ) p( li ) , i

∑ p( li ) = 1

(1.2.57)

i

ahol p (l i ) az i-edik keresztmetszeti hosszcsoport hosszsúlyozott relatív gyakorisága.

1.2.5. Sodrott szálas szerkezetek egyes szerkezeti jellemzői Sodrat értelmezése A sodrás a fonástechnológia, a font fonalak előállításának alapművelete, amelyet nem csak a fonalak előállításánál, hanem a többágú, esetleg összetett cérnák, zsinórok kötelek gyártásánál, a cérnaágak, pászmák összesodrásához is alkalmaznak. Célja a szálfolyam (pl. szálszalag, előfonal) tömörítése és hengeressé alakítása, valamint szilárdítása a tömörítéssel

21

intenzívebbé váló súrlódásos kapcsolatok révén [K45,K46]. A sodrás mértékét a sodratszámok jellemzik. A sodrat értelmezéséhez gyakran használják a rugalmas hengeres rúd csavarásakor fellépő alakváltozást (1.2.15. ábra). z r

dz dϕ β

dl

dz

dl

y 0

r dϕ

x

1.2.15. ábra. Sodrat értelmezése álló (a), illetve haladó (b) hengeres rúdelem csavarásával Ennek alapján a – gyakran csak röviden sodratnak nevezett – s=s(z) fajlagos sodrat(szám), az adott keresztmetszetek hosszegységre eső 2π-elfordulások száma [K37,S17]: 1 dϕ s= (1.2.58) 2π dz Az (1.2.58) sodratszám lokális előjeles érték, amelynek a szálfolyam egy adott hosszára vett integrálja az ún. abszolút sodrat, és ha a keresztmetszetek elfordulása az eredetileg egyenes hengeralkotót jobbemelkedésű görbébe viszi, úgy az előjel pozitív (Z-sodrat), ellenkező esetben negatív (S-sodrat). Jederán és szti (1979) [S17,S19] a sodratot vektorként értelmezte. Sodrott szerkezetek helix modellje A sodrás révén kialakuló sodrott szerkezetben a korábban egyenes és a szálfolyam tengelyével párhuzamos szálak spirális alakot vesznek fel. A sodrott szerkezet leírásához a leggyakrabban az ún. helix modellt használják. Ebben a sodrott szálköteg szálai koncentrikus hengerfelületeken helyezkednek el, ahol a henger sugarától függetlenül azonos és állandó menetemelkedésű, szabályos csavarvonalat alkotnak. Az R sugarú hengerfelületen elhelyezkedő szálgörbe egy P(x,y,z) pontjának ívhosszparaméterezésű (uo≤u≤uo+l) helyvektora:

r(u) = (x(u),y(u),z(u))T = (R cos ϕ (u ), R sin ϕ (u ), z (u ) )T = Re(ϕ(u)) + z(u) k (1.2.59) ahol T a transzponált jele és l a szál hossza, valamint ϕ az xy-síkban elforduló e egységvektor irányszöge. Az R sugárral paraméterezett (1.2.59) szerinti térgörbék egy helix szálteret határoznak meg, melyben a szálak a z-tengely körüli R-sugarú hengerfelületeken, H menetemelkedésű szabályos csavarvonalat leírva helyezkednek el. Szabályos helix szerkezetekben az egyes hengerfelületeken a szálak folytonosan haladnak végig peremtől peremig, valamint az uo ívkoordináta által meghatározott fázis azonos, továbbá a szálak számának sűrűsége bármely hengerfelületen azonos. Ha a fenti jellemzők közül valamelyik szabályos vagy véletlen változást mutat, úgy a száltér módosított vagy statisztikus helix szerkezetet alkot [S72]. A hengerre írt szabályos, H menetemelkedésű csavarvonal esetében a sodrat független a hengerfelület R sugarától, így az egész helix térre nézve állandó [K45]: 1 dϕ 1 s= = (1.2.60) 2π dz H A hengersugártól nem független viszont a szálnak a hengeralkotóhoz, vagy helixközépvonalhoz mért β irányszöge, illetve annak tangense [K45]:

22

rϕ 2π r = = 2π rs ; g = tgβ ( R ) = tgα = 2πRs (1.2.61) z H amelyeknek a fonal felületén (r=R) értelmezett értéke az ún. sodratszög (α=β(R)), illetve az ún. sodratparaméter (g=T=TG). Eltérések a helix modelltől valós fonalak esetében A valós folytonosszálú (filament), illetve különösen a font fonalak szerkezete csak közelítőleg írható le a helix modellel. Budnyikov (1945), Pavlov és Pejszakov (1946), Peirce (1947), Belicsin (1948), illetve Morton és szti (1952-1956) [K29,K62,K82] és mások vizsgálatai szerint (1.2.16. ábra): • A szálak nem egy hengerfelületen helyezkednek el, hanem egyik fonalrétegből átnyúlnak, "átvándorolnak" (migráció) a másikba, esetleg több fonalréteget is átmetszve (1.2.16.a. ábra); • A fonal tengelymetszeti síkjában a szál vetületi képe csillapított és modulált hullámalakot mutat (1.2.16.b. ábra); • A szálak középvonala térbeli és folytonosan változó átmérőjű forgásfelületre illeszkedő, de átlagosan jó közelítéssel állandó menetemelkedésű csavarvonalat írnak le (1.2.16.c. ábra). tgβ ( r ) =

1.2.16. ábra. Szálak alakja és elhelyezkedése a gyűrűsfonalban: tengelyre merőleges vetület (a), tengelymetszeti vetület (b), változó sugarú forgásfelületre illeszkedő csavarvonal (c) A tapasztalatok szerint – a fentiek ellenére – például a gyűrűsfonal számos tulajdonsága jól elemezhető és jó közelítéssel leírható a helix modell különböző változatai segítségével, ami azzal magyarázható, hogy a gyűrűsfonal végül is egy részben rendezett szálfolyam (szálköteg) ideális sodrásával keletkezett, "átlagos" értelemben ideálist közelítő szerkezet.

1.2.6. Szálas lapszerkezetek Szabálytalan szerkezetű textillapok A szabálytalan szerkezetű textillapok lényegében egy véletlen szálhálózatot valósítanak meg. Az ilyen textillapokból elsősorban kárpitok, padlóburkolatok, egyéb lakástextíliák, illetve műszaki textíliák (szűrőbetétek, geotextíliák, kompozit erősítő szálpaplanok) készülnek [K34]. Ennek megfelelően a legfontosabb feladatok egyike a levegő, gőz- és folyadék-áteresztőképességet, illetve gyanta felszívóképességet meghatározó átmenő pórusok átlagos méretének, eloszlásának a becslése, meghatározása. Ezért, a kidolgozott szabálytalan textillapmodellek is elsősorban a pórusleírást, másodsorban a szálorientációt és a vele összefüggő mechanikai tulajdonságok becslését célozzák. Matheron (1970-75) [K64,K68], a modern matematikai morfológia alapjainak egyik megalkotója, – a korábbi eredményeket mintegy összefoglalva és általánosítva – egy általános elméletet dolgozott ki, amely a sztochasztikus geometria objektumait az n-dimenziós tér ún. véletlen, zárt (rész)halmazaiként (VZH) kezeli. Ilyen véletlen halmazok pl. a pontfolyamatok – köztük a Poisson pontfolyamat –, a vonal- és szemcse formájú elemekből álló struktúrák, illetve a véletlen hálók és mozaikok is. Az elmélet továbbfejlesztéséhez jelentősen hozzájárult Choquet, Miles, Harding, Kendall, Cox, Davidson, Hadwiger, Kallenberg és sokan mások

23

(1974-1983) [K68]. Egyik alkalmazásként, elsősorban Serra (1982) munkássága nyomán, alakultak ki a képfeldolgozás alapvető módszerei is [K64,K68] Lombard, Rollin és Wolf (1989) [134] hőkötésű geotextíliák pórusméret eloszlásának becsléséhez Matheron (1971-172) [K68] n-dimenziós izotróp Poisson poliéderhálózat elméletét használták fel. A kétdimenziós változatban véletlen irányú és helyzetű egyenesek hálózzák be a síkot (R2 valós teret) (1.2.17.a. ábra), ahol egy tetszőleges véges egyenes szakaszt metsző egyenesek száma Poisson eloszlású, amelynek λ [1/mm] paramétere a Poisson vonalhálózat sűrűsége. Ezen elmélet szerint a vonalak alkotta poligonokba írható körök sugarának eloszlásfüggvénye és sűrűségfüggvénye (1.2.17.b. ábra): G( r ) = 1 − (1 + πλ r )2 e− 2πλ r ; g ( r ) = 2π 2λ2 r (1 + πλ r )e− 2πλ r (1.2.62) A pórussugár módusza (rmp) és várható értéke ( r ), illetve az érintőmetszékkel meghatározott ’maximális’ pórussugár az 1/λ-val arányos: 1 5 7+4 3 (1.2.63) rM = , r= , rmax = 4πλ πλ 2 2πλ ( 1 + 3 ) g(r)

r 0 a.)

rmax

rmp

b.)

1.2.17. ábra. Poisson vonalhálózat realizációja (a) és a pórussugár sűrűségfüggvénye (b) Felhasználva, hogy Matheron szerint az egységnyi területet metsző vonalak átlagos összhossza µ = πλ [mm/mm2], Lombard, Rollin és Wolf az (1.2.62)-őt úgy alakította át, hogy a geotextília gyártási paraméterei, a ρ2 területi sűrűség, a do szálátmérő, a ρo szálanyagsűrűség és a h vastagság szerepeljenek benne, a textíliát n=h/2do független rétegből állónak tekintve, ahol egy szálréteg vastagsága 2do. Így µ=8ρ2/πhdoρo és az n-rétegű geotextília pórusméret eloszlása: 2n

d  Gn ( r ) = 1 − (1 − G( r ))n = 1 − 1 + πλ  e − π nλ d (1.2.64) 2  Az (1.2.64) eloszlásfüggvény jól illeszthető volt mind a száraz, mind a nedves szitálással mért pórusméret eloszláshoz. A textil alkalmazások elsősorban a fent ismertetett Poisson vonalhálókon alapultak, még a rövidszálas flíszszerkezetek esetében is, amelyek – pl. pórusainak - elemzéséhez általában szimulációs módszerekkel állítottak elő szálas struktúrákat. Abdel-Ghani és Davies (1985) [1] véletlen szerkezetű, nem tűzött szálrétegekből álló szűrőt szimuláltak a Monte Carlo módszer felhasználásával és az elemzések alapján az átlagos pórusterületre (AP), illetve az ekvivalens pórusátmérőre (dP) a következő formulát találták: f d 2π f (1.2.65) AP = P = πd o2 → d P = 2d o 4 1− f ( 1 − f )2 ahol do a szálak átmérője, f a szűrő porozitása.

24

Schoppee (1998) [197] a szövedékképzést, azaz a feltevés szerint azonos hosszúságú szálak lerakását – pontosabban az egy vetületi pontban egymást metsző szálak számát – írta le Poisson eloszlással és a véletlen helyzetű szálak rugalmas tulajdonságai alapján becsülte meg a szövedék nyomás-vastagság összefüggését. Hasonló modellt használt Sampson (2004) [192] is, aki a többrétegű szerkezet közepes fedését és az egy szálra eső érintkezési pontok számát, annak végtelen hosszú szálakra vonatkozó határértékét vizsgálta. Aström, Makinen, Alava és Timonen (2000) [4] olyan állandó szálhosszúságú, egyenes szálakból álló véletlen szálhálózatot generált, amelyben a szálközéppontok koordinátái és a szálak irányszöge egyenletes eloszlású, de az egy szálon lévő érintkezési pontok száma Poisson eloszlású volt. Megállapították, hogy – egységnyi hosszú szálakat véve – a kritikus, területegységre eső szálszámmal megadható geometriai átvezetési (percolation) küszöb értéke Kc≈5,7. Efelett a szövedék folytonos és minden keresztmetszetében képes erőátadásra. Dent (2001) [33] a szálakon található, más szálakkal való metszéspontok közötti távolságot elemezte rövidszálas szövedékekben és papírban. Ehhez Miles (1964) [K68] 2D-ós statisztikus poligon modelljét használta fel, amelyben – Matheron elméletéhez hasonlóan – a síkon véletlen módon fektetett egyenesek hálózata alkotja a végtelen szálas szerkezetet és a metszéspontok száma bármely egyenesen, vagy tetszőleges metszeten λ paraméterű Poisson eloszlású és két metszéspont távolsága λ paraméterű exponenciális eloszlású. A rövidszálas szövedékek és a papír modellezéséhez Dent ilyen véletlen hálózatokat generált az origón átmenő normálisukkal adott irányú és helyzetű egyenesekkel, másrészt a rövid szálakat modellező, a normálistól mért távolsággal meghatározott középpontú, azonos hosszúságú egyenes szakaszokkal. A rövidszálas szerkezet esetében abból indult ki, hogy egy egyenest metsző szálak száma kisebb, mint a végtelen hosszú egyeneseknél, így a hiányzó metszéspontok számát rögzítve, a rövidszálas rendszerben a metszéspont távolságra gammaeloszlást kapott. Megjegyzendő, hogy ez a független exponenciális eloszlású távolságok összegére nézve nyilvánvaló [K55,K59]. Scharcanski, Dodson és Clarke (2002) [195] a Neyman-Scott folyamatot [K68] adaptálta a szövedék szimulációjához. Ennek során egy homogén Poisson szülőfolyamat állította elő az alappontokat a síkon, amelyhez kapcsolódva a szálak, mint véletlen számú utódok, a szülőponthoz képest véletlen távolságban lévő szálközépponttal és véletlen szálhosszal, szálorientációval, illetve szálhullámossággal voltak adottak. A szálorientációt egyenletes, illetve háromszög eloszlásúnak vették. Független szálrétegek szimulációja után, elemezték a pórusméretek és a hullámosság, illetve a szálsűrűség közötti összefüggéseket, amelyek rendre lineárisan, illetve hiperbolikusan csökkenő trendet mutattak. Wu és Dzenis (2005) [259], 2D-s homogén Poisson folyamattal generált középpontú, egyenes szálak alkotta szövedékben az egy szálon lévő érintkezési helyek távolságát exponenciális eloszlásúnak, míg a szálak hosszát és orientációját egyenletes eloszlásúnak tekintette. Aydilek, Oguz és Edil (2005) [5] egy Markov láncot alkalmazó szimulációs méréskiértékelési eljárást dolgoztak ki a nemszőtt geotextíliákban lévő térbeli pórusláncok és kapillárisok legszűkebb keresztmetszeti átmérőjének meghatározására. Lifshutz (2005) [133] véletlen körhúrokkal szimulált egyeneshálózattal modellezte a szövedéket és a nyomtatott kép elemzésével határozta meg a pórusméreteket. Szabályos szerkezetű textillapok A szabályos szerkezetű, kétdimenziós textíliák, más néven kelmék vagy textillapok fonalból és/vagy cérnából elsősorban szövéssel, kötéssel, fonatolással, vagy ezek valamilyen kombinációjával készülnek. A textillapok szerkezetének leírása általában a síkvetületük alapján, síkmintázatként történik, amelyek pontosan 17, két független eltolást megvalósító szimmetriacsoporttal állíthatók elő [S72].

25

1.3. Szálas szerkezetek statisztikus mechanikai jellemzői A szálak, fonalak, textillapok geometriai és szilárdsági tulajdonságai lényegesen statisztikus jellegűek, ezért ezek, illetve a belőlük épített szerkezetek, kompozitok viselkedésének megértéséhez, a tervezhetőség megalapozásához statisztikus mechanikai modelleket dolgoztak ki már a 20. század elejétől kezdve [30,215-216,K31].

1.3.1. Szálhalmazok mechanikai jellemzői A szálhalmazok szerkezeti-mechanikai viselkedését illető elméleti munkák egy része a szálteret kontinuum, vagy struktúrálatlan modellként kezelte, azonban a pontosabb leírások a szálak orientációjának figyelembe vételével dolgoztak ki elméleteket [K13,K31,K52,K82]. Energiamódszer Riding (1959,1964) [187,188], illetve Treolar és Riding (1965) [K29] vezette be, majd Hearle (1969-1989) [85-88] továbbfejlesztette az energiaviszonyokon alapuló összefüggéseket a szálhalmazok feszültség- deformáció kapcsolatának általános leírásához (1.3.1.a. ábra). Szálhalmaz

Deformált szál

B

Deformált szálhalmaz Szálhalmaz

εL

Szál

fT

L

yk

εT Si

lk

θk

εL

fL Deformált szálhalmaz

Fi

a.)

xk

b.)

εT

c.)

1.3.1. ábra. Külső erőknek alávetett szálhalmaz (a), axiális és keresztirányú erők esete (b) és szálelem deformációja (c) Tekintsünk egy, az Fi (i=1,…,n) külső erőhatásokra Si erőirányú elmozdulásokkal válaszoló, N számú rugalmas szálelemből álló, 2D-s szálhalmazt, amelyben az egyes szálelemek deformációja sk, potenciális energiája Uj (k=1,…N). Feltéve, hogy a külső erők kicsit megváltoznak oly módon, hogy csak az i-edik elmozdulás változik dSi-vel, úgy az iedik külső erő munkájára az energiamegmaradás elve alapján kapjuk (1.3.1.a. ábra): Fi dS i =

N

∑ dU k

k =1

⇒ Fi =

N ∂U k

∑ ∂S

k =1

i

=

N ∂U ∂s k k

∑ ∂s j =1

k ∂S i

=

N

∂s

∑ F fk ∂Sk j =1

(1.3.1)

i

ahol Ffk=g(sk) a k-adik szálelemben ébredő erő és g(sk) minden szálelemre érvényes erőnyúlás összefüggés, valamint dUk=Ffkdsk, míg a ∂sk/∂Si értékek geometriai tényezők. Szövedék, szálpaplan, fonal húzása Az erőket és elmozdulásokat axiális (L) és keresztirányúra (T) korlátozva, azaz háromdimenziós monotróp szálhalmaz egytengelyű húzását, vagy kétdimenziós szálhalmaz kéttengelyű húzását modellezve (Si=SL=LεL, Si’=ST=BεT), kapjuk (1.3.1.b. ábra): m Fi m m Fi = FL = ∑ k = ∑ k f L ; FT = ∑ k fT (1.3.2) L (∑ mk ) / L L L 26

a k-adik, lk hosszúságú és mk tömegű szálelemben ébredő nyúlás és erő: F fk m m s k = l k ε k ; F fk = k = k f fk (1.3.3) l k mk / l k lk ahol L és B a száltér hossz- és szélességmérete, fL, fT és ffk a száltérre ható fajlagos (lineáris sűrűségre vonatkoztatott) erő, illetve a k-adik szálban ébredő fajlagos erő, továbbá εL, εT és εk a vonatkozó, a fenti összefüggésekkel definiált relatív nyúlás, amelyek között, egy θk irányszögű szál alakváltozását elemezve és az esetleges szálhullámosságot a Ck>0 hullámossági tényezővel figyelembe véve, az alábbi kapcsolat található (1.3.1.c. ábra): 2

[

]

 1   ( 1 + ε L )2 cos 2 θ k + ( 1 + ε T )2 sin 2 θ k ( 1 + ε k ) =  (1.3.4) C  k Az (1.3.4) Ck=1 esetén például sodrott fonalakra alkalmazható. A szövedékekben viszont a szálak általában íveltek, görbültek az érintkezési, illetve kötési pontok között, ezért Ck>1. Ezekkel, az (1.3.2)-ből, pl. az axiális irányú fajlagos erő súlyozott átlagként adódik. Ha még minden szál azonos tömegű is, úgy számtani átlagot kapunk: 2

∂ε 1 N (1.3.5) fL = f fk k ∑ N k =1 ∂ε L Egy különösen egyszerű eset áll elő, ha a szál Hooke-féle és az Ef fajlagos húzómodulus minden szálra azonos, továbbá az axiális nyúlás kicsi, Ck=1, és az εT keresztirányú deformáció elhanyagolható, ugyanis ekkor a száltér fL fajlagos húzóereje és E húzómodulusa: f fk = E f ε k ; ε k = ε L cos 2 θ k ;

fL = E f ε L

1 N cos 4 θ k ∑ N k =1

E = E f cos 4 θ

(1.3.6)

Hearle szerint az (1.3.6) jól használható a szálferdeség hatásának első becsléseként. Szálhalmazok, szövedékek egyéb mechanikai tulajdonságai Cheng és Duckett (1972) [23], majd Carnaby és Pan (1980-1989) [19,21,160] kidolgozták a szálhalmazok nyíró- és nyomó-deformációjának elméletét, figyelembe véve a szálszegmensek rugalmas hajlítását és súrlódásos csúszását az érintkezési pontokon. Komori és Itoh (1991)[116] a szálak orientációeloszlását, Komori, Itoh és Takaku (1992) [117] a szálak lokális hullámosságát vették figyelembe. Roberts és Beil (2003) [190] szálhalmazok egytengelyű ciklikus nyomását szimulálták. Sodrott szálas szerkezetek keresztirányú kontrakciója A hajlékony fonalak esetében elsősorban szakítóvizsgálatok révén határozzák meg az alapvető szabványos szilárdsági jellemzőket. A fonalak sodratát is általában, a gyors átlagos eredményeket szolgáltató, mechanikus sodratszámláló berendezésekkel mérik, amelyek mind szabad végű (állandó húzóerő), mind gátolt (állandó befogási hossz) sodrást is alkalmazhatnak. Ezekkel kapcsolatban számos, a kontinuum anyagoktól eltérő viselkedés tapasztalható. Ezek közül a fonalak keresztirányú kontrakcióját emeljük ki. A fonalak húzása, illetve gátolt sodrása (rásodrás) során bekövetkező keresztirányú kontrakció kezdetben igen nagymértékű lehet, amikor a nagy légpórusokat tartalmazó szálrétegekben a szálak egymáshoz közeledése és egyre több ponton való érintkezése, valamint a hullámos szálak kiegyenesedése megy végbe (1.3.2. ábra). Nagyobb deformációk a már egymásra fekvő szálak tömörödését, a szálak nyúlását okozzák és a fonal egyre inkább tömör testként viselkedik, ezért az átmérője is a pórusmentes tömör anyag meghatározta értékhez tart. Kilby (1964) [109] a filament fonalakra helix modellt és lineárisan rugalmas, monotróp szerkezetű szálakat feltételezve, a szálak közötti súrlódást elhanyagolva, a kis húzódeformáció során keletkező keresztirányú kontrakciót jellemző Poisson tényezőre a következő kifejezést kapta:

27

ν xy =

kαν f 12 cos α

(1.3.7)

1 + ν f 12 (1 − cos α )[2 /(1 + cos α ) + kα ]

kα = 1 +

1 − ν f 23  arch(1 / cos α )  − 1  ν sin α 

(1.3.8)

f 21

ahol α a fonal sodratszöge, νf12, νf21, νf23 a szálak Poisson tényezői. A bonyolult összefüggés és az általában nagymértékű fonalnyúlások miatt az elméleti és gyakorlati számításoknál is leggyakrabban a mérések alapján identifikált, empirikus kontrakciófüggvényeket használnak. KEZDETI ÁLLAPOT Fonal köpeny

Do Átmérõ DCo

D1 DC1

Test

SZAKADÁS ELÕTT

Doo Mag Additív sodrat

Rásodrás Fonaltest

Fonalmag

0

T+

Tb+

1.3.2. ábra. Fonal tömörödése és kontrakciója a gátolt csavarással végzett rásodrás (additív sodrat) hatására [S46] Pan (1992-1996) [162,163] font fonalak sodrás hatására (’s’ a sodrat) keletkező tömörödését a félempirikusan meghatározott szálkitöltési tényezővel jellemezte:

(

ξ ( s ) = 0 ,7 1 − 0,78e −0 ,195 s

)

(1.3.9) Pontosabb számításokhoz a kontrakciót empirikusan – ha a fonal laza állapotából indulnak ki – általában két kontrakciós függvény összegével írják le. Neckář (2000)[153] az átmérőnyúlás kapcsolathoz két exponenciális függvény összegét alkalmazta (u≥0):

(

)

D = Do a1e −b1u + a 2 e −b2 u , a1 + a 2 = 1 (1.3.10) Textillapok, kompozitok kontinuum-mechanikai modellezése Különösen a kis deformációs viselkedés leírására, gyakran alkalmaznak anizotróp kontinuum-mechanikai modelleket. Fonalakat és textil-, illetve kompozit lapokat lineárisan rugalmas ortotróp kontinuumnak tekintik [K13,K40], illetve felhasználják a kompozit mechanika réteges szerkezetekre kidolgozott módszereit is [K40]. Szövetek és kötött kelmék egy- és kéttengelyű húzására, nyírására és hajlítására Kawabata dolgozott ki nemlineáris szerkezeti-mechanikai elméletet, valamint nemszimmet-rikus rugalmassági mátrixra vezető linearizálási módszert [103-106,K13].

1.3.2. Rideg anyagok statisztikus szilárdsági jellemzői A rideg anyagok szilárdságát illető mérethatást már Leonardo da Vinci (1500 körül) [176,K32] is felismerte, miszerint a fémhuzalok gyengülnek a hosszuk növelésével. Az első ismert publikáció Galileitől [176,K29] származik, aki megjegyezte, hogy geometriailag hasonló szerkezetek szilárdsága csökken, amint méreteik nőnek. Később nyilvánvalóvá vált, hogy mind a szilárdság, mind a méretekkel való összefüggés statisztikus jellegű [K9]. 28

Phoenix (1979) [173] megállapította, hogy a statisztikus mechanikában és a gázdinamikában alkalmazott, az átlagolás koncepciójára alapozott modellek a már részletesen tanulmányozott Gauss és vele kapcsolatos folyamatokhoz vezettek. A szilárdság azonban, tipikusan, inkább a „leggyengébb tartomány” jelenségköréhez tartozik, ezért itt az extrémértékek statisztikája jelentős szerepet játszik. Ennek is tulajdonítható, hogy a gyakran alkalmazott Weibull eloszlás egyike a három (és csak három) aszimptotikus extrémérték eloszlásnak [173,K9]. 1.3.2.1. Rideg anyagok, polimer kompozitok törési jellemzői

Makroszinten a törés, vagy szakadás a szilárd test valamely keresztmetszetben történő szétválása, mely a teherbíró képesség megszűnéséhez vezet. A törés fizikai oka az, hogy az atomos vagy molekuláris kötések külső terhelés, illetve belső mechanikai feszültségek következtében, valamint a környező közeg befolyására, felbomlanak, s ez által szabad felület, repedés keletkezik, amelynek terjedése egységes törési oknak tekintendő [K6]. A szilárdság tehát az anyag, illetve szerkezet ellenállása az irreverzibilis alakváltozással és repedésterjedéssel szemben [K6]. Egy ideálisan rideg anyag növekvő húzóterhelés mellett folyási jelenség, azaz irreverzibilis, maradó deformáció fellépte nélkül törik. Igen alacsony, az üvegesedési átmenet alatti hőmérsékleten így viselkednek általában a polimerek is, amelyeknél a növekvő hőmérséklet hasonló hatású a deformációs sebesség csökkentésével. A felhasználás hőmérsékletén azonban a polimerek általában szívós, vagy szívós-rugalmas viselkedésűek, s a törés előtt többé-kevésbé irreverzibilisen deformálódnak. Függetlenül attól azonban, hogy egy polimer anyag normál feltételek között ridegen (pl. PS), vagy egy bizonyos mértékig szívósan (pl. PVC) viselkedik, a tulajdonképpeni törés maga - még ha ez viszonylag nagyobb deformáció mellett következik is be – lényegében mindig kvázirideg [K6]. Az anizotróp és inhomogén anyagokhoz adaptált törési kritériumokat, mint a maximális igénybevétel (feszültség, nyúlás), Tsai-Hill, Tsai-Wu, Yeh-Stratton kritériumok [K23,K32,K40], gyakran alkalmazzák szálerősített kompozitok esetében is (F1.4. Függelék). A kontinuum anyagok egy kezdeti repedésből kiinduló tönkremenetelével, és az ezen alapuló méretezési elvekkel a törésmechanika foglalkozik [K4,K6,K32,K49,K69]. A lineárisan rugalmas törésmechanika feltételezi, hogy az alkatrész anyaga nagyjából ridegen viselkedik és a képlékeny alakváltozás csak a repedéscsúcs közvetlen környezetében lévő kis anyagmennyiségre korlátozódik. Ha a repedés környezetében a képlékeny alakváltozás aránylag nagy, úgy a nemlineáris, vagy képlékeny törésmechanika elvei alkalmazandók. Ezen elméletek olyan, a repedés méreteitől, a repedésterjedés módjától és a terheléstől függő jellemzőket vezetnek be (feszültségintenzitási tényező, fajlagos repedésterjesztő erő, Jintegrálérték), amelyek, ha az anyagra jellemző kritikus értéket meghaladják, úgy a kérdéses repedés instabil módon kezd terjedni, ami a szerkezet töréséhez vezethet. Ezen elvek a diszkrét szálakból álló textilszerkezetekre általában közvetlenül nem alkalmazhatók, azonban alkalmazási problémák tapasztalhatók más anyagoknál is. Rideg anyagok, mint monolitikus kerámiák, a mikroszinten a valóságban heterogének, gyakran nem egyenletes alak- és méreteloszlású szemcséket tartalmaznak, amelyek határán változatos típusú hibák (üregek, zárványok és mikrorepedések) találhatók. Sok korszerű anyag, mint a szálerősített kompozitok, többfázisú szerkezetű. A törés gyakran ered a lokális kölcsönhatásokból és több kisebb hiba összeolvadásából, sokkal inkább mint egyetlen hiba katasztrofális növekedéséből. Ezért a ’kritikus hiba’ törés utáni azonosítása ezeknél szerfelett problematikus. Sutherland, Shenoi és Lewis (1999) [216] szerint a lineárisan rugalmas törésmechanika módszere, bár számos publikációban megjelenik, nem tűnik alkalmasnak a

29

kompozitok kísérleti adatai leírására, általában csak viselkedés-összehasonlításra alkalmazták. Ennek egyik oka, hogy e módszer valamennyi, a kompozitban lévő repedés geometriai skálázását igényli a próbatest, illetve a komponens méreteivel. Szerintük a polimer kompozit szilárdságát elsősorban a szál vezérli, ezért ez nem elfogadható. Nincs ok arra, hogy egy nagy laminátban a hibáknak miért kellene különbözniük a kisebbekben lévőktől, ha ugyanazon erősítés található mindkettőben. Így e területen a figyelem a tönkremeneteli folyamatok modellezésére fordult. E folyamat kielégítően jó elméleti leírása a különböző hibajellemzők közötti kölcsönhatások mikroszerkezeti és statisztikus részleteiben való elmélyülést igényli. Törési, meghibásodási módok A textíliákban a kapcsolódó szálak, a szálerősítésű polimer kompozitokban a szálak és a mátrix együttműködése révén a szálak – és sűrűn térhálós gyanta mátrix esetében a mátrix – egyébként rideg tulajdonságai általában csak mikroszkopikus szinten nyilvánulnak meg. Ha az egyedi szál, vagy a több szál közötti teret kitöltő mátrix rész eléri nyúlási képessége határát, elszakad ugyan, azonban az így keletkező feszültségcsúcs a szomszédos részek, mint „szerkezeti elemek” segítségével csökken, esetleg leépül, azaz az erő a kapcsolódó szálak, kompozitban a mátrix közvetítésével a legközelebbi szálakra helyeződik át, s a test teherbírása alig változik. Ha folyamatosan növeljük a terhelést, nagyon sok ilyen mikroszkopikus meghibásodás, törés mehet végbe, míg a textília, vagy kompozit test a teherbírása határához ér. Szálerősített polimer kompozitokban az anyaghibák forrásai és főbb típusai: 1. Gyártási hiba: légzárványok, idegen anyagok a mátrixanyagban, a szálak között, illetve a szál/mátrix határfelületen, valamint tapadási egyenlőtlenségek e határfelületen. 2. A terhelés következtében keletkező hibák, irreverzibilis változások (1.3.3. ábra) [K32,K61] • a mátrixanyagban: nyírási és húzási (craze) zónák, ill. mikrorepedések kialakulása; • a szálakban: szálszakadás, illetve a szálak felületi fibrillálódása, hosszmenti felhasadozása, esetleg pikkelyes felrepedezése ismétlődő, koptató igénybevétel esetén (pl. cellulóz, Kevlar szálaknál) [K48]; • a szál/mátrix határfelületen: szál-mátrix elválás a szál palástfelületén vagy a szálvégek homlokfelületén, illetve a szálvég kicsúszása, kihúzódása a környező mátrix-"befogásból". • a szálrétegek között: szétválás (delamináció) a rétegek mentén. Ilyen hibák (1.3.3.a. ábra) együttes hatásaként kialakuló repedéshálózatot mutat be az 1.3.3.b. ábra bemetszett, szálpaplan-erősítésű, egyrétegű UP kompozitlap húzása esetében.

a.) b.) 1.3.3. ábra. Szálszakadás és -kihúzódás, valamint szál-mátrix szétválás szálerősítésű polimer kompozit meghibásodási, repedéskeletkezési folyamata során (a) [K32,S6], üvegpaplan erősítésű UP kompozit bemetszéséből kiinduló, elágazó repedéshálózat (b) [S63,S65] Ezek a hibák csökkentik egyrészt a komponens anyagok átlagos szilárdságát és a szál-mátrix terhelésátviteli kapcsolat (az együttdolgozás) hatékonyságát, másrészt – mint feszültséggyűjtő helyek – veszélyes makrorepedések kiindulópontjai lehetnek.

30

1.3.2.2. Gyenge láncszem elmélet

A fémek, kerámiák nano-, esetleg mikroszinten (szemcsék), a szálas szerkezetek, szálerősítésű polimer kompozitok nano- (láncmolekulák, kristályos részek), mikro- (szálak), és makroszinten (fonalak, rovingok, erősítő lapok) statisztikus geometriai és szilárdsági tulajdonságú szerkezeti elemekből épülnek fel, következésképpen a tekintett szerkezet szilárdsága is statisztikus jellegű. Peirce elmélete A rideg anyagok statisztikus szilárdságleírásának az alapja az ún. gyenge láncszem elmélet, amit elsőnek Peirce (1926) [166] fejtett ki pamutfonalak szilárdságával foglalkozó dolgozatában. Peirce elmélete szerint egy n egyforma lo hosszúságú, Fsi szakítóerejű szakaszból álló, l=nlo hosszúságú fonal Fs(l) szakítóerejét a legkisebb szakítóerejű szakasz – a leggyengébb láncszem – határozza meg: Fs = Fs(l) = min Fsi (1.3.11) Legyenek az Fsi (i=1,…,n) szakítóerők függetlenek és QF1(x) eloszlásfüggvényük azonos. Ekkor a teljes fonalszakasz Fs szakítóerejének eloszlásfüggvénye:

Q F ( x ) = P (Fs < x ) = P (min Fsi < x ) = 1 − (1 − Q F1( x ))n (1.3.12) Az (1.3.12) formulát gyakran ’gyenge láncszem’ szabálynak nevezik az irodalomban.

Peirce feltette, hogy az Fsi szakítóerők azonos N[ Fs (l o ), σ F2 (l o ) ] normális eloszlásúak, melynek alapján a következő eredményeket kapta az nlo hosszú szakasz átlagos szakítóerejére és szakítóerő szórására:

(

)

Fs ( nlo ) ≈ Fs ( l o ) − 4,2 1 − n −1 / 5 σ F ( l o )

σ F ( nl o ) ≈ σ F ( lo )n −1 / 5

(1.3.13)

Az (1.3.13) formulák lehetővé teszik a befogási hossz szilárdságra gyakorolt hatásának elemzését és az ún. mérethatás problémák kezelésének egyik alapmódszerét képviselik. A mérési eredményekkel összevetve (1947-1962) [201, K48] kiderült, hogy a fenti összefüggések erősen alábecslik a szilárdságot. Például Żurek, Frydrich és Krucinska (1987) [268] pamutfonalak esetében, regressziós illesztések alapján, a 4,2 helyett 3,64 és az 1/5 kitevő helyett 1/7-et talált. A Peirce-féle megoldás egyfajta legrosszabb esetet képvisel, ami méretezésnél ugyan a biztonság javát szolgálja, azonban túlméretezéshez, gazdaságtalan megoldásokhoz vezethet. Spencer-Smith (1947) [201], Gnedenko (1952) [K24,K82], valamint Vas és Halász (1994-1995) [S52] ennek érdekében a Peirce-féle formulákat a rövid szakaszok szilárdságai közötti korreláció figyelembe vételével módosította (F1.5. Függelék). Weibull elmélete és a szélsőérték-eloszlások Weibull (1939, 1951) [252,K9] a gyenge láncszem szemléletében – némileg spekulatív alapon – egy speciális eloszlásformát javasolt a σB szilárdság jellemzésére, amit később Weibull eloszlásnak neveztek el. Ennek az ún. háromparaméteres eloszlásfüggvénye (σ≥σo):   σ − σ β  1  Q( σ ) = P (σ B < σ ) = 1 − exp −  (1.3.14)   σ o     ahol σ1≥0 az eltolási vagy küszöbérték, σo>0 a skálaparaméter és β>0 az alakparaméter. Ha σ1=0, úgy kétparaméteres Weibull eloszlásról van szó. β=1 esetén exponenciális eloszlást kapunk. Az (1.3.14)-el számítható várható érték és szórás:

 1 E( σ B ) = σ 1 + σ o Γ1 +   β

  2 1 D( σ B ) = σ o Γ1 +  − Γ 2 1 +   β  β

31

(1.3.15)

Utóbb bebizonyították, hogy az (1.3.14) egy ún. aszimptotikus extrémérték eloszlás a következő feltételek teljesülése esetén [K9]. Ha az (1.3.12)-ben a QF1(x)=0, ha x≤xo, de QF1(x)>0, ha x>xo, és elég kicsi ε>0 mellett, bizonyos c>0, α>0 valós értékekre fennáll a Q F 1( x ) (1.3.16) =c lim α ε →0

ε

feltétel, úgy a minimumértékek (1.3.12) eloszlásfüggvénye nagy ’n’ esetén a α

Q F ( x ) = P (min Fsi < x ) = 1 − (1 − QF 1( x ))n ≈ 1 − e − cn( x − x o ) , x > xo (1.3.17) aszimptotikus eloszlásfüggvénnyel becsülhető, ami éppen a háromparaméteres Weibull-féle eloszlásfüggvény. Megjegyzendő, hogy hasonló tétel igazolható a maximális értékek eloszlására is, ha a vonatkozó valószínűségi változó felülről korlátos [K9]:  − cn( x o − x )α , x < xo n e (1.3.18) P(max Fsi < x ) = (Q F1( x )) ≈  1, x ≥ xo Amennyiben az Fsi valószínűségi változók alulról, vagy felülről nem korlátosak, akkor a fenti aszimptotikus eloszlások nem alkalmazhatók. Ha azonban az Fsi-k N(a,b2) paraméterű normális eloszlásúak, úgy az extrémérték eloszlás mind a minimumok, mind a maximumok esetében az alábbi kettős exponenciális eloszlással írható le [K9]:   x − an     (1.3.19) Q F ( x ) = P ( X < x ) ≈ 1 − exp − exp  b  n   ahol a − b ln n , X = min Fsi πb an =  bn = → 0, n → ∞ (1.3.20) 6 ln n a + b ln n , X = max Fsi Az (1.3.15)-öt – megfelelő jelölésekkel – az (1.3.12)-be helyettesítve, az nl hosszú fonal szilárdságának eloszlásfüggvényével a várható érték és szórás kiszámítható és az (1.3.13)-hoz hasonló alakú összefüggésekhez jutunk, ahol az 1/β kitevő felel meg az 1/5-nek, tehát Weibull eloszlás és β=5 esetében lényegében a Peirce-féle formulákat kapjuk. Megjegyzendő, hogy a Weibull-féle eloszlást gyakran alkalmazzák különböző anyagú (polimer, fém, kerámia) próbatestek térfogat-, illetve méretfüggő szilárdságának leírásához, illetve a mérethatások elemzésére, az anyagtérben egyenletes (homogén) és inhomogén hiba-, valamint feszültségeloszlások esetében is [17,49,91,136,253-256,K9], amihez a következő értelmezés ad alapot. Az (1.3.14) egyenletes feszültségeloszlás esetén érvényes. Tekintsünk egy kis Vo térfogatú elemekből álló V térfogatú anyagot a lánc helyett és integrálva a V felett, ahol σ>σ1, kapjuk [215, K9]: β β    V  σ − σ1   σ − σ1   1        Q( σ ) = 1 − exp − ∫  σ o  dV  = 1 − exp − Vo K S  σ o   (1.3.21)  Vo V ( σ >σ 1 )     ahol KS a feszültségeloszlástól függő tényező és míg a baloldalon a feszültség a helytől függ, addig a jobboldalon rögzített, jellemző értéknek tekintendő. Egyenletes feszültségeloszlás esetében KS=1. V/Vo=n a Vo térfogatú részek (vagy a vonatkozási elemek) száma. Az irodalomban gyakran csak VKS szerepel, ekkor a KS tartalmazza a Vo-t, sőt a VKS/Vo vagy VKS bevonható a skálaparaméterbe is, az (1.3.14) formát szolgáltatva. A Weibull eloszlás alkalmazásának egyik következménye a mérethatás elemezhetősége. Tekintsünk két különböző térfogatú (V1, V2) anyagmintát és feszültségeloszlást (KS1, KS2). A tönkremenetel valószínűségét egyenlőnek véve, az (1.3.21) jobboldala alapján az átlagos feszültségek következő arányához jutunk:

32

1/ β

σ 2  K S1V1   = σ 1  K S 2V2 

(1.3.22)

Ez alátámasztja azt a tapasztalatot, miszerint rideg anyagoknál a húzószilárdság általában kisebb a hajlítószilárdságnál és a nyírószilárdság is kisebb a csavarónál, ami tehát azzal magyarázható, hogy pl. húzásnál a teljes térfogatot terheljük ugyanazon feszültséggel, míg a hajlításnál a térfogatnak csak egy kis részén lép fel a maximális feszültség [K9]. A mérethatásokat számosan, pl. Whitney (1980)[253], Wisnom (1991-1992)[254,255], Wisnom és Atkinson (1997)[256], illetve újabban Rácz [K56], Rácz, Simon és Vas (20042005)[S34-S37,S39] elemezték, főleg a húzó-, illetve hajlítószilárdsági tulajdonságokat illetően. Weibull elméletének egyes kiterjesztései Phoenix (1974)[169] kimutatta, hogy a Weibull-féle elmélet egy általánosabb, az anyaghibák inhomogén Poisson folyamatával leírható elmélet speciális esete. Feltette, hogy az egyenletesen eloszló σ>0 feszültségterhelésen a V térfogatú anyagtérben lévő, σ-nál kisebb vagy vele egyenlő szilárdságú hibák száma VΛ(σ) paraméterű Poisson eloszlást követ, ahol Λ(σ) a hibák térfogategységre eső átlagos száma (Λ(0)=0). Annak valószínűsége, hogy a σ>0 feszültségen a próbadarab tönkremegy, egyenlő annak valószínűségével, hogy a leggyengébb anyaghiba szilárdsága éppen σ: Q( σ ) = 1 − e −VΛ( σ ) (1.3.23) Ha a feszültségeloszlás nem egyenletes, úgy a fenti alak módosul: − ∫ Λ( σ )dV Q( σ ) = 1 − e V (1.3.24) ami láthatóan a Weibull-féle (1.3.21) eloszlás általánosított alakja. Lamon (1991) [126] a Weibull elméletet többtengelyű igénybevételre, Zhou és Xia (2001) [266] több, konkurens hibapopuláció esetére terjesztette ki.

1.3.3. Folytonosszálas szálkötegek statisztikus szilárdsága 1.3.3.1. Szálköteg elméletek

A szálak szakítószilárdsági jellemzőinek meghatározására a szabványok [209,K25,K36] – a jelentős szórások miatt – anyagtól függően min. 30…100 szál szakítását írják elő, ami igen időigényes feladat. Az adatszerzés gyorsításához bevezették az ún. kötegszakítás módszerét (flat bundle test) [74,96,202,205], amely több száz, párhuzamosított szál befogását és egyidejű szakítását jelentette. Voltaképpen hasonló okok miatt alkalmazzák pl. az egyedi szénszál- [209] vagy fonalvizsgálatok [207] helyett a szénszálroving- (tow test) [204], illetve a fonalmatring- (skein test) vagy fonalkötegszakítást (harp test) [185,186] is. A kapott szilárdságértékek azonban kisebbnek bizonyultak az egyedi szálszakításokból kapottaknál, ezért számos vizsgálatot végeztek különböző kötegszakító készülékek eredményei és az egyedi szálszakítási eredmények összehasonlítására, az utóbbiaknak a kötegszakítások alapján való becslésére, és fordítva, különös tekintettel a HVI készülékekre [22,40,45,53,74,96,185,186,S31]. A szálas szerkezetekben egy szál szakadása általában nem jár a teljes szerkezet tönkremenetelével, ugyanis a szakadt szál terhelését az ép szálak veszik át. A lineárisan rugalmas (F=Ku) szálakból álló szálköteg szakítógépeken szokásos nyúlásgerjesztése [S5] esetén a kötegnyúlást növeljük állandó sebességgel ( u = u& o t ). Ekkor a köteg által átvitt, 33

közvetített F erő a mindenkori ép szálakban ébredő – az ép szálak számától független – szálerők összege és az εi* szakítónyúlás értékeknél erőeséseket, majd újra növekedést mutató folyamat az utolsó szál szakadásáig tart (1.3.4. ábra, kék, erőeséseket tartalmazó görbe). Az erőgerjesztés [S5] esetében azonban az erőt növeljük állandó sebességgel ( F = F&o t ) és az aktuális erőterhelés az ép szálak között egyenletesen oszlik el. Ez esetben, a szálszakadás pillanatában (εi*) ugrásszerű kötegnyúlás-növekedés jönnek létre, majd azt követően – a következő szakadásig – a terheléssel együtt folytonosan nő a nyúlás is (1.3.4. ábra, piros, vízszintes szakaszokat tartalmazó görbe). Az F* maximális terhelést elérve, katasztrófaszerű kötegszakadás következik be, hiszen a túlélő szálak e terhelést már nem képesek átvinni. A köteg F* erőmaximumánál adódó u* kötegnyúlás értéke a két terhelési esetben akkor egyezhet meg, ha a terhelési sebességekre teljesül az F&o = Ku& o egyenlőség.

F

Fk=F*

εk∗=u*

Fk F2

n=7 k=3

F1

u=ε 0

u1

u2

uk

ε1∗ ε2∗ εk∗ εk+1∗

εn∗

1.3.4. ábra. Klasszikus szálköteg húzóerő-nyúlás diagramja nyúlás-(kék, u = u& o t ) és erőgerjesztés (piros, F = F& t ) esetén ( F& = Ku& ) o

o

o

A szálkötegek esetében a vizsgálatok elsősorban az F* kötegszilárdság statisztikus jellemzőinek elemzésére és becslésére irányultak. Klasszikus szálköteg Az első szálköteg modellt Daniels (1945) [31, 215-216] javasolta, ami tulajdonképpen a Peirce-Weibull elmélet egyfajta kiterjesztése, azonban itt az elemek párhuzamosan kapcsolt szálak, amelyekben egy szál szakadása nem okozza a köteg szakadását, mivel a terhelés eloszlik a többi szál között. Ezt az ún. klasszikus szálköteget ’n’ számú párhuzamos, ideálisan befogott szál alkotja, ahol a szálak azonos tulajdonságúak, azaz lineárisan rugalmasak állandó K=AE húzómerevséggel, illetve E rugalmassági modulussal és A keresztmetszettel, továbbá a szálak εsi szálszakító nyúlásai, illetve Fsi=Aσsi=Kεsi szálszakító erő- vagy feszültségértékei (i=1,…,n) függetlenek és azonos eloszlásúak, eloszlásfüggvényük Qεs(x), illetve QFs(y): Qε s ( x ) = P(ε s < x ) = P(Fs < Kx ) = Q Fs ( Kx ) = P(σ s < Ex ) = Qσ s ( Ex ) (1.3.25) Az alkalmazott húzóterhelés egyenletesen oszlik szét a szálak között (egyenletes terhelésmegosztás, ETM), így relatív nyúlásuk megegyezik a relatív kötegnyúlással (εi=u). Az i-edik szálban ébredő erő F fi = Kε i = AEε i = Aσ i = Ku (1.3.26) és ezen a terhelésen a szakadt szálak száma ns, a teherviselő ép vagy aktív szálaké na=n-ns, úgy a kötegterhelés három használatos formája, a kötegerő, az egy szálra eső kötegerő, illetve a kötegfeszültség és azok nagy szálszámok esetén érvényes alakjai:

34

(

)

(

)

 n (u ) Fn = nKu 1 − s  ≈ nKu 1 − Qε s ( u ) = nKu 1 − QFs ( Ku ) n    n (u ) F1n = Ku 1 − s  ≈ Ku 1 − Qε s ( u ) = Ku 1 − Q Fs ( Ku ) n  

(

)

(



)

(

)

(

(1.3.27)

)

ns ( u )   ≈ Eu 1 − Qε s ( u ) = Eu 1 − Qσ s ( Eu ) n   A független és azonos eloszlású szálszakítóerők rendezett Fs1*=Kεs1*≤…≤Fsn*=Kεsn* sorozatával a szálkötegben és az ép szálakban ébredő húzóerők kapcsolata (x=Ku) (1.3.4. ábra): x, 0 ≤ x < F* s1  ( n − i )x / n , Fs*,i ≤ x < Fs*,i +1 Fn ( x ) = nF1n ( x ) = n  (1.3.28) i = 1 ,..., n − 1   * 0 , Fsn ≤ x Könnyen belátható, hogy a kötegszilárdság, mint a köteg legnagyobb húzóereje, az alábbi módokon adható meg: n −1 * 1 * n (1.3.29) Fn* = sup{Fn ( x ); x ≥ 0} = n max  Fs*1 , Fs 2 ,..., Fsn  n n n  és érvényes a következő reláció is

σ n = Eu1 −

Fn* ≤

1 n ∑ Fsi n i =1

(1.3.30)

azaz a kötegszilárdság kisebb vagy egyenlő, mint a filamentek szilárdságai összege. Daniels (1945) [31] és Phoenix (1979) [174] az alábbi függvényeket vezették be a várható húzóerő és kovarianciája leírásához (x=Ku): µ ( x ) = x 1 − Q Fs ( x ) , x ≥ 0 (1.3.31)

(

(

)

)

C( x1 , x 2 ) = x1 x 2 Q Fs ( x1 ) 1 − Q Fs ( x 2 ) , x2 ≥ x1 ≥ 0 valamint a

µ max = µ ( x*) = sup{µ ( x ); x ≥ 0}

(1.3.32) (1.3.33)

ahol x*=Ku*-ot a (1.3.33) definálja. Peirce (1926) [168], kimutatta, hogy n→∞ esetén a köteg maximális köteghúzóerővel definiált Fn* kötegszilárdsága az (1.3.33)-al adott nµmax értékhez konvergál, ahol Peirce feltette, hogy x* a µ(u) egyetlen globális maximumhelye. Daniels (1945) [31,215] munkája révén születtek meg a klasszikus szálkötegre vonatkozó legfontosabb alapvető eredmények. Daniels kimutatta, hogy az (1.3.31)-beli µ(x)= µ(Ku) az egy szálra eső várható köteghúzóerő ( F1n ) és a kötegnyúlás (u) közötti összefüggést adja. Bebizonyította, hogy az n szálszám növelésével az Fn* kötegszilárdság - s vele az F1n* egy szálra eső kötegszilárdság – aszimptotikusan normális eloszlású az nµmax várható értékkel és nD(F1n*)= S n szórással: y − µ max   x − nµ max   Gn ( x ) = P Fn* < x = P F1*n < y ≈ Φ  = Φ n (1.3.34)  S    S n  ahol

(

) (

)

F1n = E( F1*n ) = µ max = max Ku (1 − Q( u )) *

u ≥0

35

(1.3.35)

(

)

C( x*, x*) Ku * Qε s ( u*) 1 − Qε s ( u*) =  → 0 (1.3.36) n→∞ n n n ahol Daniels szintén feltette, hogy az (1.3.31)-nek megfelelően egyetlen globális x* maximumhely van. Daniels bizonyítása meglehetősen bonyolult és a központi határeloszlás tételnek nem egy egyszerű alkalmazása. Az viszont könnyen belátható, hogy az (1.3.31) és (1.3.32) a F1n(x) várható értéke és lényegében a kovarianciafüggvénye: E (F1n ( x )) = µ ( x ) = x 1 − Q Fs ( x ) = Ku 1 − Qε s ( u ) , x ,u ≥ 0 (1.3.37) *

D( F1n ) =

S

=

(

)

(

)

(

)

C( x1 , x2 ) x1 x2 = QFs ( x1 ) 1 − QFs ( x2 ) , x 2 ≥ x1 ≥ 0 (1.3.38) n n Az Fn* szórása csökken és 0-hoz tart n→∞-re. Következésképpen Fn*→E(Fn*), n→∞-re. Daniels a numerikus számításokhoz Weibull eloszlást alkalmazott, mivel a fenti formulák ekkor könnyen kiszámíthatók. Platt (1950-1959) [180,181,K29,K31] törtlineáris (rugalmas-képlékeny) k(u) szálerőnyúlás karakterisztikák mellett, az aktív szálak na(u) számát egy, a szálszakító nyúlásértékekre illesztett normális eloszlással becsülve, kiszámította a kötegszakításnál mérhető Fn* maximális erőt, mint kötegszilárdságot, majd azt az n számú szál átlagos Fs szakítóerő összegéhez viszonyítva, bevezette az ún. relatív köteghatékonyságot, vagy szilárdságkihasználási tényezőt: cov(F1n ( x1 ), F1n ( x 2 )) =

FB* ≤1 (1.3.39) nFs Daniels (1945), valamint követői, Rosen (1964), Scope és Argon (1966) [80,81,215] véges, kis szálszámú (1…5 szál) szálkötegek szilárdságeloszlásával is foglalkoztak. Az (1.3.34)-beli Gn(x) kiszámítása ekkor nehézkes, ezért Daniels (1945) [31] egy rekurzív formulát vezetett le, amelyet Suh és szti (1970) [80] bizonyítottak általános esetre (x≥0): n  n  nx  (1.3.40) Gn ( x ) = P S *n < x = ∑ ( −1 )i +1  Q i ( x )Gn −1   n−i i  i =1

ηF =

(

)

ahol Go(x)≡1. Ez megegyezik Daniels eredményével n=1,…,5-re és n=3-ra Scope és Argon formuláját adja. Hogy a Gn(x) milyen közel van az aszimptotikus normális eloszláshoz, numerikus számítások alapján vizsgálták. Phoenix (1979) [173] megállapította, hogy a konvergencia viszonylag lassú; még n=30-ra is a pontos alsó farokrész egy nagyságrenddel az aszimptotikus alatt van, mindazonáltal a normális eloszlás jól használható az ennél több nagyságrenddel nagyobb kötegeknél. Ha az Fs szálszilárdság Weibull eloszlást követ r alak- és xo skálaparaméterrel, úgy Colman (1958) [80] eredményei szerint az Fn* kötegszilárdság aszimptotikusan normális eloszlású a következő várható értékkel és szórásnégyzettel: E( Fn* ) = xo r −1 / r e −1 / r

(1.3.41)

D 2 ( Fn* ) = n −1 xo2 r −2 / r e −1 / r ( 1 − e −1 / r ) (1.3.42) Ezek klasszikus eredmények, melyekkel kapcsolatban Phoenix (1980) [175] a köteg

( )

E Fn* ρ −1 / ρ exp( −1 / ρ ) = (1.3.43) Fs Γ( 1 + 1 / ρ ) szilárdságkihasználási tényezője alapján megállapította, hogy amint a ρ csökken – és a szálszilárdság szórása nő -, a kihasználási tényező csökken, de a ρ tipikus értékei mellett ½ felett marad, azaz a nagy köteg megőrzi az egyes szálelemek szilárdságának zömét.

36

A kis konvergencia sebesség miatt az (1.3.38) közelítés valamilyen javítására, élesítésére volt szükség a gyakorlati szálszámokhoz való alkalmazáshoz. Daniels (1974) [142,215] a kötegszilárdságot újrafogalmazta, egy bizonyos görbe határon át történő, véletlen bolyongást vizsgálva a járványelmélet egy kapcsolódó vonatkozásában, amit Smith (1982) [142,215] vitt tovább. Ennek eredményeképpen az (1.3.34)-re nézve az alábbi, várható érték élesítés született:  x − nµ max − λ1 Bn1 / 3   ≈ Φ x − nµ max  Gn ( x ) = P Fn* < x ≈ Φ (1.3.44)     S n S n     ahol λ1=0,996 állandó szám és B egy harmadik momentum típusú mennyiség (z=Ku):

(

)

dQ Fs d 2 Q Fs z* 4 (Q' ( z*))2 (z * ); Q' ( z*) = (z * ) (1.3.45) B = ; z* = Ku*; Q' ( z*) = 2Q' ( z*) + z * Q" ( z*) dz dz 2 Egy másik módosítást Barbour (1981) [142,215] adott, az aszimptotikus szórásnégyzetet is korrigálva, amelyet az előzőhöz csatlakoztatva, kapjuk az (1.3.34) élesítését:  1/ 3   x − nµ max   x − nµ max − λ1 Bn  * Gn ( x ) = P Fn < x ≈ Φ ≈ Φ  (1.3.46)  S n   nS 2 − λ B 2 n 2 / 3   2   ahol λ1=0,317 állandó szám. McCartney és Smith (1983) [142] 500 szálas kötegre Weibull szálszilárdság eloszlás mellett kapott számítógépes eredményeiket a Daniels-féle aszimptotikus közelítéssel és annak két élesített változatával vetették össze és megállapították, hogy mindkét javított változat jobb az eredeti formulánál, de közülük nem lehet minden szempontból egyértelműen választani. A második módosított változat jelentősen jobb közelítést adott az eloszlás alsó farokrészében. Általánosított szálköteg Általánosított, n szálból álló szálköteget definiált és elemzett Phoenix (1974) [169], amelyben feltette, hogy az i-edik szálban ébredő Fi erő - a kötegnyúlás mellett - egy, a szálak és a befogás tulajdonságait tükröző, θi véletlen paramétervektortól is függ:  f ( u ,θi ), u < ξ i Fi ( u ) =  (1.3.47) 0, u ≥ ξ i 3

(

)

ahol f(u, θ)≥0 folytonos és meredeksége korlátos az u-ban, a szálak megegyező erőkötegnyúlás karakterisztikája és ξi az a véletlen kötegnyúlás érték, amelynél az i-edik szál elszakad. Az f≥0 előírás következményeként a szálak nyomóerőt nem továbbítanak, tehát tökéletesen hajlékonyak. Phoenix feltette, hogy a (ξi,θi) változók sorozata és rendezőik is függetlenek, azonban azonos Q(x,y) együttes eloszlásúak. Az egy szálra vonatkoztatott köteghúzóerő és a kötegszilárdság (F1*): F1( u ) =

1 n ∑ Fi ( u ) n i =1

F1* = sup F ( u ) 0≤u <∞

(1.3.48)

Phoenix szerint, a fenti feltételek mellett és a θ-t egydimenziósnak tekintve, a várható köteghúzóerő és a szálak autokovarianciafüggvénye:

F1( u ) = E (F1( u )) = E (Fi ( u )) =

∞ ∞

∫ ∫ f ( x ,t )dQ( x ,t )

(1.3.49)

−∞ u

C( u1 ,u 2 ) = cov(Fi ( u1 ), Fi ( u 2 )) =

∞

∫

∞

∫ f ( u1 ,t ) f ( u 2 ,t )dQ( x ,t ) − F ( u1 )F ( u 2 )

− ∞ x = max( u1 ,u 2 )

(1.3.50) 37

A fenti szálköteg szilárdságának aszimptotikus eloszlását illetően Phoenix, ill. Phoenix és Taylor [169] végzett részletes elemzést és a Gauss folyamatok és a mértékek gyenge konvergenciájának elméletét felhasználva bebizonyították, hogy az n növekedésével a   wn = n  F * − sup F ( u )  (1.3.51) 0≤u <∞   változó a   w* = sup w( u ), A = u : F ( u ) = sup F ( x ) (1.3.52) u∈ A 0≤ x<∞   valószínűségi változóhoz tart, ahol w(u) egy zérus középértékű Gauss folyamat, amelynek kovariancia függvénye az (1.3.50). Következésképpen az F* aszimptotikusan egy (1.3.49) várható értékű és C(u1,u2)/n kovariancia függvényű Gauss folyamat maximumával egyező eloszlású. Ez fontos eredmény, ami magába foglalja Daniels képleteit is, hiszen ha az A={u*} egyelemű halmaz, úgy az F* aszimptotikusan normális eloszlású F * = F ( u*) várható értékkel és C(u*,u*)/n szórásnégyzettel. Belátható azonban, hogy ugyanakkor ezen eredmény jóval mélyebb állítást fogalmaz meg, mint Danielsé. Phoenix olyan ellenpéldát szerkesztett, amely esetén F* aszimptotikusan a fentiekben leírt Gauss folyamat maximumával azonos eloszlású ugyan, azonban - Daniels állításával szemben – ezen eloszlás nem normális. Az általános szálköteg modell egyik alkalmazásaként, Phoenix [169] laza szálakból álló, lineárisan rugalmas szálak kötegét vizsgálta. A szálakban ébredő feszültség (σi) az u kötegnyúlás hatására a korábbi jelölésekkel:  E ⋅ ( u − θ i ), θ i ≤ u < θ i + ξ i (1.3.53) σi(u ) =  0, egyébként ahol E a húzó rugalmassági modulus és θi≥0 a szállazaság (hullámosság) változója. A várható kötegfeszültség és kovariancia a fentiek alkalmazásával (u1
σ ( u ) = E ∫ ( x − y )(1 − Qξ ( x − y ))dQθ ( y )

(1.3.54)

o u1

(

)

C( u1 ,u 2 ) = E 2 ∫ ( u1 − y )( u 2 − y ) 1 − Qξ ( u 2 − y ) dQθ ( y ) − σ ( u1 )σ ( u 2 )

(1.3.55)

o

A laza köteg szilárdságának aszimptotikus eloszlása a fentieknek megfelelően normális a σ * = σ ( u*) várható értékkel és C(u*,u*)/n szórásnégyzettel. A klasszikus köteghez képest a szállazaság szórásának növekedésével a kötegszilárdság csökken. Phoenix (1979) [173] a szálszakító nyúlást Weibull eloszlásúnak tekintve, megállapította, hogy az η szálszilárdság kihasználási tényező csökken a hullámosság növekedésével és hatása olyan jelentős, mint a szálszilárdság ingadozása. Elemzése szerint a nagy köteg szilárdságvesztése közelítőleg arányos a hullámosság relatív szórásával, amikor a szálszilárdság szórása is nagy. Kis értékű hullámosság hatása kicsi, ha a szálszilárdság szórása nagy. A fentiekhez hasonló módon modellezte Phoenix (1979) [174] sodrott szálkötegben a szálak lazaságát és egyúttal a migrációját is. Phoenix (1974) [169] kimutatta, hogy szálkeverék, azaz többféle száltípusból felépülő szálkötegek esetén a kötegszilárdság általában csökken az azonos szerkezetű homogén kötegekéhez képest. Ezt a problémát általánosított feltételek mellett, empirikus vizsgálatok segítségével elemezte Harlow és Yukich (1993) [82]. Kísérleti vizsgálatok, egyes alkalmazások A szálköteg elméletet sikeresen használta fel Manders és Chou (1983) [215] laza szénés üvegszálkötegek, illetve Dhavan, Bhatt és Radhakrishnan (1984) [40] pamutszálkötegek és 38

egyedi szálak, Zhou és Xia (2001) [266] Al-mátrixú kompozit huzalokban lévő szálak eredeti és in situ, azaz a kompozitból kioldott szálak szakítási eredményeinek kiértékelésében, összevetésében. Frydrich (1995) [53] a klasszikus kötegre alapozott számítási módszert dolgozott ki a kötegszakítással kapott adatokból az egyedi szálak szilárdsági jellemzőinek meghatározására. Ceplak, Thomas, és Färber (1992) [22] a HVI kötegszakítás és az egyedi szálszakítások eredményei között regressziós kapcsolatot állítottak fel. Ghosh, Ishtiaque és Rengasamy (2003) [56] különböző hosszúságú sodratlan szálkötegek szakítási eredményeit használták fel a fonalszilárdságot becslő formula kialakítására. Viszkoelasztikus szálköteg modellek Jin és Ding (2003) [99] azt feltételezték, hogy bimodális Weibull szálszilárdságeloszlású szálak alkotta szálköteg ütésszerű húzóterhelés alatt viszkózus folyadékként viselkedik, és így a húzóerő lefolyást a simított részecskék hidrodinamikája (Smoothed Particle Hydrodynamics) segítségével modellezték. Hidalgo és szti (2004) [90] Kelvin-Voigt modellnek [K1,S5] megfelelő, viszkoelasztikus viselkedésű szálak kötegét tekintették, egyenletes és Weibull eloszlású szálszakító nyúlás mellett és tanulmányozták a köteg kúszó tönkrementelét. 1.3.3.2. Köteglánc elméletek

Peirce (1926) [166] modelljében a sorbakötött rövid fonalelemek egy független elemű láncot alkottak. Daniels (1945) [31,215] Peirce (1926) [166] gyenge láncszem modelljéhez hasonlóan, elemláncot is tekintett, azonban itt az elemek szálkötegek voltak. Egy ilyen szerkezetet kötegláncnak neveznek (1.3.6. ábra). Harlow és Phoenix, ill. Yukich (1978) [80-82] és Phoenix (1979) [173] m elemű kötegláncot tanulmányoztak, amelyben a sorba kapcsolt, független köteg mindegyikét, n számú, δ, ún. hatástalan (ineffektív) hosszúságú, párhuzamos szál alkotta (1.3.5. ábra). 1

2

...

...

F

m F

δ

Szálköteg (n szál)

1.3.5. ábra. Köteglánc szerkezete A hatástalan hossz a d szálátmérő nagyságrendjébe esett és a vizsgált tartomány lényegében 10d≤δ≤106d volt. Feltették, hogy a szálak Fsi>0 (i=1,…,n) szilárdsága minden kötegben független, azonos Q(x), x≥0, eloszlásfüggvényű változó. Az Fnj* (j=1,…,m) kötegszilárdságok független és azonos Gn(x), x≥0, eloszlásfüggvényű változók és a köteglánc Fnm* szilárdságának Hm,n(x) eloszlásfüggvénye így – a gyenge láncszem elméletnek megfelelően:

H m ,n ( x ) = 1 − [1 − Gn ( x )]m (1.3.56) A nagyszámú szálkötegből álló szerkezet a leggyengébb köteg szakadásával megy tönkre. Az (1.3.56) alapján nyilvánvaló, hogy nagy m értékeknél a Gn(x) alsó farokrésze vezérli a H(x) viselkedését a szilárdság lényeges tartományában, azaz a tönkremenetelt kis valószínűségű, izolált szálszakadások indítják el. Mivel a valóságban m nagy (103≤m≤1010), így a Hm,n(x) alsó farokrésze vezérli az eloszlás viselkedését, tehát, binomiális sorfejtést alkalmazva, kis x értékekre kapjuk: 39

H m ,n ( x ) = mGn ( x ) + o[Gn ( x )] (1.3.57) A Gn(x) kötegszilárdság eloszlás alsó farokrészének viselkedését elméleti és numerikus módszerekkel, Scope és Argon (1969) [80], valamint Harlow és Phoenix, ill. Yukich (1978) [80-82], Phoenix és szti (1974-1979, 2001), [156,169-171,173] általában a Weibull eloszlás és egy bizonyos speciális terhelésmegosztás feltételezésével vizsgálták. A kompozitokra is alkalmazott köteglánc, mint soros-párhuzamos rendszer egy aszimptotikus közelítését elsőnek Smith (1982) [215] állította elő. Ezt Phoenix és Smith (1983) fejlesztette tovább. Az irodalmi eredményekből kiindulva, Phoenix (1980) [175] aszimptotikus formulákat alkalmazott, amelyek lehetővé tették a szerkezet statisztikus szilárdságának összehasonlítását az egyedi szálakéval, a mérethatást, szilárdság kihasználást és ingadozást illetően. Phoenix feltette, hogy a szálak független és azonos (Fo, ρ) skála- és alakparaméterű, Weibull eloszlású Fs szilárdsággal rendelkeznek, hosszúságuk δ, a hatástalan hossz. Az átlagos szálszakítóerő: Fs = Fo Γ( 1 + 1 / ρ ) (1.3.58) Egyedi szállánc Ismeretes, hogy egy mδ hosszúságú szál szilárdsága csökken az m-el. Feltéve, hogy ezen szálelemek függetlenek, úgy a gyenge láncszem szabállyal az m hosszú szál Fm* szilárdságának eloszlása:

(

)

Qm ( x ) = 1 − (1 − Q( x ))m = 1 − exp − m( x / Fo ) ρ , x ≥ 0 (1.3.59) -1/ρ Ezzel a száléhoz képest a skálaparaméter változott Fo-ról Fom -ra, s ezzel az átlagérték is:

Fm = Fo m −1 / ρ Γ( 1 + 1 / ρ )   → 0 (1.3.60) m→∞ azonban a relatív szórás változatlan maradt. Phoenix szerint mindez nem jelenti azt, hogy a valóságban minden szál így viselkedik, azonban a Weibull eloszlás kifejezi a szálszilárdság lényegi viselkedését és ez a modell célja. Köteglánc szilárdsága n→∞ és m→∞ esetén Köteglánc esetén nehéz feladat a Gn(x) előállítása a Q(x) segítségével. A köteglánc lehet hosszában (1≤m≤108) és szálszámában is nagy (1≤n≤106), ezért aszimptotikus kifejezések előállítása célszerű. Korábban már láttuk, hogy a kötegek szilárdsága aszimptotikusan normális eloszlású n→∞-re. Ezért megvizsgáljuk azt az esetet, amikor n és m is minden határon túl nő. Tegyük fel, hogy a kötegek Fn,1*,…,Fn,m* szilárdságai független normális eloszlásúak az N(µmax, Φn2=C(x*,x*)/n) paraméterekkel. A köteglánc szilárdságát ezek Fm,n* minimuma adja, amelynek eloszlásfüggvénye nagy m-ekre a vonatkozó (1.3.19) klasszikus extrémérték tétel szerint [K8: 43. old.]:   x − am     , − ∞ < x < ∞ (1.3.61) P Fm* ,n < x ≈ H ( x ) = 1 − exp − exp  b m     Az aszimptotikus bm várhatóérték és am szórás (1.3.20) szerintiek (n helyett itt m). A valóságban azonban a véges kötegek szilárdságai általában nem normális eloszlásúak. Smith (1979) [175] ugyanakkor bebizonyította, hogy a fenti állítás akkor is igaz, ha a kötegek Fn,1*,…,Fn,m* szilárdságai függetlenek, de csak aszimptotikusan normális szilárdságeloszlásúak az (1.3.20) paraméterekkel, amennyiben m=m(n) és n→∞-re m(n)→∞ úgy, hogy:

(

)

n −1 / 3 ln m( n ) → 0 , n → ∞ (pl. ilyen az m(n)=nγ, γ>0) ekkor fennáll, hogy   x − αn P S *m ,n < x = H m ,n ( x )  → H ( x ) = 1 − exp − exp n→∞  βn  ahol

(

)

40

(1.3.62)

   , − ∞ < x < ∞  

(1.3.63)

α n = µmax − 2β n (4 ln m( n ) − ln 4π − ln ln m( n ))

β n = Φ n (2 ln m( n ))−1 / 2

(1.3.64)

A konvergencia Phoenix szerint meglehetősen lassú és a mérethatás is csekély. 1.3.3.3. Sodrott szálkötegek statisztikus szilárdsága

Phoenix (1979) [174] kis nyúlású szálakból álló, sodrott filament szálköteg egy olyan statisztikus szilárdsági modelljét dolgozta ki, amelyhez Daniels (1945) kötegmodelljének az általa laza szálakra általánosított formáját alkalmazta. Feltevései szerint a tökéletesen hajlékony, csak húzóerőt közvetítő filamentek azonos Af keresztmetszetűek és σ=Efε feszültség-nyúlás karakterisztikájúak, ahol Ef a közös rugalmassági modulus. Az n számú szál εs1,…,εsn szakítónyúlásai függetlenek és azonos eloszlásúak Q eloszlásfüggvénnyel. Phoenix feltette továbbá, hogy az ’s’ sodratú, hengeres, R sugarú szálköteg szabályos helix szerkezetet alkot, ami m számú, ri sugarú hengeres szálrétegből áll, rétegenként ni szállal, tehát n=n1+…+nm. A szálak közötti súrlódást elhanyagolta. A szálak εf deformációját – kis nyúlásokat feltételezve – radiális és axiális összetevőkre bontotta, az axiális irányú összetevőben vette figyelembe a θ szállazaságot, míg az εr radiális összetevőt egy effektív ν Poisson tényezővel származtatta az ε kötegnyúlásból. A kis nyúlás feltételezése miatt a rétegeken belül a sodratszög (αi) állandó. Feltételezte végül, hogy a sodrott köteg szálszáma, a szerkezet tulajdonságainak megtartása mellett, nagyra növelhető (n,m→∞) és a szálkitöltéssel kapcsolatban bevezette a ξN(z), [0,1]-ben folytonos, keresztmetszeti, relatív szálszámsűrűséget, amelynek a fonalkeresztmetszetre vett integrálja 1. Ha ξN(z)=1/π, úgy a szálszámsűrűség állandó. Phoenix azonban feltette, hogy a szálak által lefedett, vagy a közöttük lévő pórusterület aránya állandó; ekkor (0≤z≤1):  φ 1 1  ξ N ( z ) = ∞ cos α ( z ) φ∞ = 1 + (1.3.65) 2  sin α ( R )  π A levezetések eredményeképpen, a sodrott köteg húzófeszültségének átlag- és kovariancia függvényére az ε kötegnyúlás függvényében (ε≥0, ε2≥ε1≥0) az alábbi formulákat kapta:

µ∞ ( ε ) =

Ef 1

φ∞

∫ µ f (ε , z )cos α ( z )ξ N ( z )2πzdz

(1.3.66)

o

E 2f 1

C∞ ( ε1 ,ε 2 ) = 2 ∫ C f (ε1 ,ε 2 , z )cos 2 α ( z )ξ N ( z )2πzdz φ

(1.3.67)

∞ o

ahol a z relatív sugarú hengerrétegen lévő szálak nyúlásának átlagfüggvénye:

µ f ( ε , z ) = E (ε f ( ε , z )) =

(

ε 1−ν tg 2α ( z )

)

∫ h( ε ,θ )(1 − Q(h( ε ,θ )))dG( θ , z ) ~

(1.3.68)

o

míg Cf a kovariancia függvénye és ezen szálak nyúlása

((

) )

ε f = h( ε ,θ , z ) = ε 1 − ν tg 2α ( z ) − θ cos 2 α ( z )

(1.3.69)

Feltételezte, hogy a hosszabb filamentek arányosan nagyobb lazaságra hajlamosak, így a szállazaság eloszlásfüggvénye z relatív sugarú hengerrétegben: ~ G( θ , z ) = G θ cos 2 α ( z ) , θ ≥ 0 (1.3.70) Hearle és szti (1969) [K29] szálmigrációval kapcsolatos eredményeit átgondolva, Phoenix feltette, hogy a hengeres szálköteg sodrásakor a szálak helyzetüktől, kinduló állapotuktól és a

(

)

41

köteg feszítésétől függően belazulnak, s ez egyfajta szálmigrációként épül be a sodrott szerkezetbe. A fenti modell esetén, Phoenix és Taylor (1975) eredményei alapján, a sodrott köteg σ *n szilárdsága, az n növekedésével aszimptotikusan normális eloszlású lesz az alábbi várható értékkel és szórással:

( )

( )

E σ *n ≈ sup{µ ∞ ( ε ); ε ≥ 0} = µ ∞ ( ε *); D σ *n ≈ C ∞ ( ε *,ε *) (1.3.71) A szálmigráció és a -lazaság hatásának elemzésével Phoenix megállapította, hogy az ezekből eredő szálhullámosság az igazán fontos jellemző. Kimutatta, hogy a gyenge láncszem elmélet alábecsli a kötélszilárdságot. Morris, Merkin és Rennel (1999) [149] statisztikus szimulációra és kontinuummechanikai módszerekre alapozta rövid szegmensekből felépített fonalmodelljét. 1.3.3.4. Szálkötegek élettartama, időfüggő terhelés

A szálkötegek élettartamával foglalkozó legkorábbi dolgozatot Colman (1957-1958) [171,173] publikálta. Eredményeihez, Phoenix (1979) [173] adott kiindulási hátteret a szálak molekuláris megalapozású élettartamának bevezetésével, egyúttal általánosabb keretbe helyezve Colman összefüggéseit. Phoenix (1979) [173] által vizsgált modell egy szálköteglánc volt. Phoenix szerint, széles körben elfogadott, hogy atomos szinten a véletlen események közötti időtartamok exponenciális eloszlást követnek, következésképpen– Zhurkov (1974) kinetikus szilárdságelméletét is felhasználva – egy adott σ(t), t≥0, terhelési folyamat alatt álló kötés, mint szál T élettartama a következő eloszlással írható le: t   (1.3.72) QT ( t ;σ ) = 1 − exp − α ∫ exp(βσ ( s ))ds  , t ≥ 0  o  Ha σ(t)=σ állandó, úgy exponenciális eloszlás adódik, αexp(βσ) paraméterrel. Egy állandó σ feszültséggel terhelt, n elemű és egyenletes terhelésmegosztású (ETM) szálköteget tekintve, Colman (1957) [173,175] bebizonyította, hogy nagy ’n’-ekre a köteg Tn élettartama aszimptotikusan normális eloszlású, a következő várható értékkel és szórásnégyzettel: E( Tn ) ~ T∞ = α

−1

∞

∫ exp[− βσ exp( w )]dw = α

−1

exp[− βσ ]H ( βσ ,1 ) / βσ

o

(1.3.73)

H ( βσ ,1 ) = 1 − ( βσ )−1 − 2( βσ )− 2 − ...

D 2 ( Tn ) ~ ω n2 = exp( −2βσ ) / 2nα 2 βσ  → 0 n→∞

(1.3.74)

azaz n→∞-re Tn→T∞ eloszlásban (az (1.3.73)-ban a sorfejtést Harlow és Phoenix, ill. Yukich (1978) [80-82] adta meg). Colman (1957) még egy fontos megállapítást tett, miszerint a Tn eloszlásfüggvényének alsó farokrésze, nagy n-ekre hatványalakú: n   n −1 n  n  1 P (Tn < t ) ≈ Λ nt n + o( t n ), Λ n = α n exp  βσ ∑ (1.3.75)  = exp  nβσ ∑  i  i =o n − i    i =1  tehát a Tn eloszlásfüggvénye lényegében Weibull eloszlású, n alak- és Λn-1/n skálaparaméterrel. A kötéseket szálakkal modellezve, egy m tagú, független elemű kötegláncot tekintett, ahol minden köteg n számú, δ hosszúságú szálból áll. A köteg- és köteglánc szilárdságának eloszlásfüggvénye Gn(x) és Hm,n(x), amelyek között a gyenge

42

láncszem szabály ad kapcsolatot. Colman (1957) szerint hasonló igaz a köteg- és köteglánc Tn és Tm,n élettartamára is:

H Tm ,n ( t ) = P(Tm ,n < t ) = 1 − (1 − P(Tn < t ))m = 1 − (1 − GTn ( t ))m (1.3.76) Egy m-tagú, független elemű szállánc (kötéslánc, n=1) Tm,1 élettartamának HTm,1(t) eloszlásfüggvénye Phoenix szerint az (1.3.76)-ból kapható a gyenge láncszem szabállyal, ami újra csak (1.3.72) alakú, de α helyébe mα kerül. Állandó σ terhelés mellett, ennek várható élettartama a szálénak m-edrésze:

τ m = E( Tm ,1 ) = τ / m = ( mα )−1 exp(− βσ ) Független, n elemű kötegekből alkotott m-tagú köteglánc Tm,n (1957) [173] kimutatta, hogy az aszimptotikusan Weibull eloszlású

(

)

QTm ,n ( t ) = P (Tm ,n < t ) ≈ 1 − exp − ( t / t o )r , t ≥ 0

(1.3.77) élettartamára Colman (1.3.78)

amelynek paraméterei (r=n, C=0,577216 az Euler-Mascheroni állandó): n   1 E( Tm ,n ) = ( mΛ n )−1 / n = m −1 / nα −1 exp  − βσ ∑  ≈ m −1 / nα −1n − βσ e − βσ C (1.3.79) i  i =1  Kötegek időfüggő terhelés alatt Az (1.3.72)-beli exponenciális alak helyett, a log-log koordinátarendszerben egyenest szolgáltató hatványformát alkalmazva:

τ = ( σ / σ o )− ρ

(1.3.80) és ezzel az (1.3.72)-t átírva, kapjuk egy szál (kötés) T élettartamának eloszlásfüggvényére a σ(t), t≥0, terheléslefolyás mellett:  t  (1.3.81) QT ( t ;σ ) = P (T < t ) = 1 − exp − ∫ (σ ( s ) / σ o )ρ ds  , t ≥ 0  o  Következésképpen, időben változó terhelés mellett matematikailag kezelhető a köteg is. Phoenix (1976) [171], általánosítva Daniels (1945) [31], Colman (1957-1958) [171,173], valamint Phoenix és szti (1973-1975) [169,171] vonatkozó képleteit, a szálkötegek és kötegláncok élettartam- és szilárdságeloszlásának kezelésére általános, az ún. hazárd funkcionálon alapuló formulákat dolgozott ki. 1.3.3.5. Károsodáshalmozódási modellek

A szálas szerkezetekben egy szál szakadása általában nem jár a teljes szerkezet tönkremenetelével. A klasszikus szálköteg szokásos nyúlásgerjesztése esetén a köteg által átvitt, közvetített F erő a mindenkori ép szálakban ébredő – az ép szálak számától független, a kötegnyúlás meghatározta – szálerők összege. Erőgerjesztés esetében azonban az aktuális erőterhelés az ép szálak között globálisan és egyenletesen oszlik el, a terhelésátvétel az ún. egyenletes terhelésmegosztás (ETM) mellett történik. Laza szálakból álló szálkötegnél a szálak nyúlásállapota különböző, így a terhelés az egy szál szakadása után minden ép szálra globálisan, de nem egyenletesen osztódik szét. Ezt globális terhelésmegosztásnak (GTM) nevezik, ami tehát magába foglalja az ETM-et is. ETM vagy GTM esetén a kötegszakadás helye egyenetlen, kiálló szálvégek jellemzik. Ha a szálak között erős – súrlódásos, vagy mint a kompozitokban, kohéziós – kapcsolat van, úgy a megfigyelések szerint, a szál szakadása után annak terhelése lényegében a maradó folytonossági hiba körüli környezetben osztódik szét, terheléskoncentráció, az ún. lokális terhelésmegosztás (LTM) jön létre. A kötegszakadás helye viszonylag sima, katasztrófaszerű szakadást, vagy kompozitok esetén instabil

43

repedésterjedést jelezve. Noha a legtöbb kompozit alacsony nyúlásértéknél megy tönkre, általában ez valamilyen LTM melletti károsodáshalmozódás után történik. Az ezt kezelő modellek többsége felteszi, hogy az erősítő szálak rideg anyagok. Zweben és Rosen-féle LTM A szálas szerkezetekben fellépő statisztikus károsodáshalmozódás elméletének alapkoncepcióját Zweben és Rosen (1968, 1970) [169,215,269] dolgozta ki. A folyamat leírásához Zweben és Rosen (1970) [269] az N folytonos szálat tartalmazó, L hosszúságú unidirekcionális kompozit mintát M=L/δ vastagságú rétegre bontották. Így a szálelemek száma NM. Feltették, hogy kompozitban az erősítő szálak veszik fel a névleges húzófeszültséget, a mátrixban lényegében csak nyírófeszültségek ébrednek. A szálak rideg anyagként viselkednek, azonban a szakadt vagy törött szálelem környezetében károsodás halmozódási folyamat megy végbe. Ennek során a terhelés a maradó ép szálakon, a szakadások környezetében, nem egyenletesen oszlik meg, hanem a törött szál terhelését – a mátrixanyagban ébredő nyírófeszültségek közvetítése révén – a szomszédos szálak veszik fel. Így feszültségkoncentráció alakul ki a törött szálvégektől kezdődően a szálban az adott terhelésnek megfelelő, σ húzófeszültség kialakulásához szükséges, ún. hatástalan (ineffektív) szálhosszon (δ) (1.3.6. ábra). Mátrix Szálak

σ

σ

σ

σ

σ δ

σmax 1.3.6. ábra Szálterhelés megoszlás a szálszakadás környezetében [269] Nyilvánvaló, hogy a terhelés növelésével egyre több ilyen ilyen elsődleges, izolált szálszakadás (singlet) jelenik meg, amelyek környezetében lévő, feszültségcsúccsal terhelt szálelemek nagyobb valószínűséggel szakadnak. A koncepció szerint, két szomszédos szál szakadási helye kettőst (doublet) alkot. További terhelés növelés mellett még több egyke és kettős alakul ki és megjelennek a hármasok (triplet) is. Modelljük szerint a kompozit azon feszültségen megy tönkre, amelyen megjelenő első i-es már éppen instabil. Az i-esek várható száma a kompozit térfogatával arányos. Zweben és Rosen jó korrelációt tapasztalt a kisméretű unidirekcionális kompozit próbatestek szakítószilárdsága és az elmélettel becsült értékek között, azonban nagyobb, a károsodást jobban tűrő próbatesteknél az elmélet csak óvatos becslésekre volt alkalmas. Vizsgálataik alapján a kritikus i-esnek, mint tönkremeneteli feltételnek, folytonos szálas kompozit esetén ikrit=2, whisker (rövidszálas) típusúnál ikrit=3 értékeket javasoltak. Zweben és Rosen károsodáshalmozódási elméletének számos követője, alkalmazója, továbbfejlesztője lett. Lényegében ennek eredményeként alakultak ki a különböző lokális terhelésmegosztási modellek és annak általánosításai. Terheléskoncentrációs tényezők A lokális terhelésmegosztás esetén (LTM) lényeges ismerni, hogy hogyan oszlik meg a δ hossz mentén változó terhelés a szakadt szál környezetében lévő szomszédos, ép szálakon. A kutatók effektív terheléskoncentrációs tényezőkkel jellemezték e helyzetet és a 44

szálszilárdságot általában Weibull eloszlásúnak tekintették [80]. Zweben (1968), Zweben és Rosen (1970, 1972) a terheléskoncentrációt állandónak vették a δ hossz felett. Scope és Argon (1969), illetve Argon (1972, 1974) feszültségerősítő tényezőket vezettek be a közvetlen szomszédokra, amelyek Zweben és Rosen tényezőjénél kisebbek voltak. Harlow és Phoenix (1978) [80-81] szálköteg modelljében az n számú szál köralakban, egymástól azonos távolságra rendezett volt. Ha pl. az i-edik ép szál közvetlen (kerületi) szomszédságában si=r számú szakadt szál volt található, úgy az ép szál terheléskoncentrációs tényezőjének a K r = Ki ( S ) = 1 + r / 2 (1.3.82) formát tekintették (a szakadté 0), figyelembe véve, hogy ha csak egy túlélő van, akkor az veszi fel a teljes terhelést, azaz Ki(S)=n. Vizsgálataik szerint kis szálszámú (1≤n≤9) szálköteg esetében ETM és LTM ugyanazt a viselkedést adja és a mérethatás jelentősen csekélyebb a köteglánc esetén, mint az egyedi szálaknál. Ennél nagyobb, növekvő szálszámoknál egyre nagyobb eltérés adódott. Harlow és Phoenix [80-81] számítógéppel számították ki a kötegszilárdság Gn(x) eloszlásfüggvényét – az alsó farokrészre fókuszálva – a 10-10….0,9999 valószínűségértékek tartományában. Ebből a Hm,n(x) köteglánc eloszlásfüggvényt a gyenge láncszem szabállyal számolták, azaz bevezették a kötegek Gn(x) szilárdságeloszlásfüggvényének, a következő, a szál-köteg kapcsolat gyenge láncszemes skálázására irányuló transzformációját: Wn ( x ) = 1 − (1 − Gn ( x ))1 / n , x ≥ 0 (1.3.83) Így a Wn(x) virtuális szálszilárdság eloszlásfüggvénnyel és a gyenge láncszem szabállyal számolt eloszlások csak elhanyagolható mértékben különböznek a pontosaktól: ˆ ( x ) = 1 − (1 − W ( x ))n ≈ G ( x ), x ≥ 0 G (1.3.84) n n n

Hˆ m ,n ( x ) = 1 − (1 − Wn ( x ))mn ≈ H m ,n ( x ), x ≥ 0 (1.3.85) Az elemzések alapján arra a sejtésre jutottak, hogy létezik olyan W(x) határeloszlás, amelyre: lim Wn ( x ) = W∞ ( x ), x ≥ 0 (1.3.86) n→∞

azaz az LTM köteglánc lényegében – mn számú, W(x) szilárdságeloszlású elemekből álló – gyenge láncszemes szerkezetként viselkedik. Eredményeiket kis kötegek esetére, amelyeknél 2≤n≤8, grafikus formában mutatták be és megállapították, hogy ezeknél a Hm,n(x) közvetlenül a gyenge láncszem szabállyal számítandó. Lényegében hasonló értelmezésű LTM-t vizsgált, többek között, Phoenix és Beyerlein (2000) [177], Newman és Phoenix (2001) [156], illetve Kim, Kim és Jeong (2005) [111]. A terheléselosztás lokálisan előnyösebb módja alakulhat ki hibrid szálrendszerekben is, ahol az ezt eredményező szilárdságnövekedést szinergetikus, vagy hibrid hatásnak nevezik [215]. Egyfajta általánosított lokális terhelésmegosztást valósítanak meg a hierarchikusan rendezett szálkötegek is, ugyanis az LTM-nél a túlélő szálak hierarchiája szakadásvezérelt, míg a hierarchikus rendszerben, egy előírt rendet követő módon, kapcsolatvezérelt. Ilyen szálkötegeket vizsgált Sornette (1989) [199]. Grubb, Li és Phoenix (1995) [71] a feszültségkoncentrációs tényezőket Raman mikroszondával mért feszültségek alapján határozták meg. 1.3.3.6. Skálázási törvények, kritikus átmenetek szálköteg-, rács- és hálózatmodellekben

Mérethatások A Buckingham (1914) által kidolgozott dimenziónanalízis módszert ad két, méreteiben eltérő, fizikailag hasonló rendszerben (minta és valós rendszer) folyó folyamatok hasonlóságának biztosítására, bizonyos dimenziónélküli változók kapcsolatát előírva [216].

45

A Peirce-féle (1926) gyenge láncszem elvet alkalmazó Weibull (1939, 1951) elmélet a másik lehetőség a mérethatások vizsgálatára [177,216]. A gyenge láncszem elmélet a rideg anyagok tönkremenetelét írja le szabatosan. A (σo,ρ) paraméterű Weibull modellben a szilárdság az (1.3.22)-t követi és algebrai mértékben skálázódik a σ V −1 / ρ szerint [177]. o

A tönkremeneteli folyamat egyik Monte Carlo szimulációs tanulmányozási módja a diszkrét hálózat-, rács-, vagy szálkötegmodellek fejlesztése [124,177]. Ezek méreteit, azaz a skálázás alapjait, a szálszám, illetve elemszám képviseli. A tönkremeneteli modellek gyakran feltételeznek egy sorbakötött, ’m’ számú szálköteg alkotta, köteglánc szerkezetet [80], ahol az egyes ’n’ szálú kötegek hossza a szálak terhelésátvitelével kapcsolatos és néhány szálátmérő méretű. Az anyag tönkremenetele a leggyengébb köteg szakadásakor következik be. Az ETM, illetve GTM modellek a gyengén kötött (kapcsolt) szálas szerkezetekhez inkább alkalmazhatók, mint a szorosan kötött anyagokhoz, amelyek inkább lokalizált törést és hibaérzékenységet mutatnak[177]. A kis kötegek szilárdsága csekély mérethatást mutat [177], amint a szálak ’n’ száma nő, azonban a szilárdság gyorsan konvergál egy véges, nemzérus határértékhez, mivel relatív szórása 1 / n szerint csökken. Hasonlóan, a szerkezet szilárdságának ’m’ növelésére mutatott érzékenysége elenyészik, ha’n’ nő. Az erős, jól kötött, rugalmas mátrixú, szálerősített kompozitok tönkremenetelének tanulmányozása vezetett a LTM típusú hálózat modellekhez [80]. Egy köteglánc váz alkalmazása itt is szokásos. Smith (1980, 1983) [177] bebizonyította, hogy a (σo, ρ) paraméterű Weibull eloszlást és LTM-et követő kötegszálakat illetően, az σ* medián szilárdság erős mérethatást mutatva, zérushoz tart a kötegmérettel (n):

σ* ≈

σ o ρ 21−1 / ρ ln n

(1.3.87)

Kritikus átmenetek, áteresztési elmélet Az anyaghibák áteresztési (percolation) elméletével [124,177] kapcsolatos hálózatvagy rácsmodellek prototípusa a véletlen olvadóbiztosíték-hálózat, amelyet de Arcangelis és szti (1985) [177] vezettek be. Ez egy LxL méretű sík négyzetrács, ahol a vezető elemek p valószínűséggel (olvadó) biztosítékok, vagy szakadások q=1-p valószínűséggel. Mindegyik biztosíték konstans ellenállású, amíg a rendszerre – az elemek hosszanti irányában – kapcsolt feszültség rá eső része kisebb egy kritikus értéknél, de kiolvad és szakadássá válik, ha ezt eléri vagy meghaladja. A pc kritikus, ún. áteresztési (percolation) küszöb felett a nagy hálózat kezdetben vezető. De Arcangelis és szti folytonosan növekvő u=U/L normált feszültségterhelés mellett végzett Monte Carlo szimulációi szerint, különbség mutatkozott a kezdetben ’legforróbb’ biztosítékot kiolvasztó u1 és a katasztrofális végső tönkremenetelt okozó uB feszültség átlagos értékek L2-méretfüggései között. Közel homogén (p≈1) hálózatoknál u1≈uB, mivel ekkor a tönkremeneteli folyamat önfenntartóvá válik az első biztosíték kiolvadáskor. Ilyen, rácsszerű, lineárisan rugalmas szálakból álló, nagyméretű kötegmodelleken végzett vizsgálatokat Duxbury, Leath és Beal (1987) [44], Leath és Duxbury (1994) [132], Laukamis és Harlow (1995) [127], Calard (1998) [18], Phoenix és Beyerlein (2000) [177], Kun, Zapperi és Hermann (2000) [124], Newman és Phoenix (2001) [156], Mahesh, Phoenix és Beyerlein (2002) [135]. Hidalgo, Kun, és Herrmann (2004) [90] egytengelyű állandó húzóterhelésnek alávetett, viszkoelasztikus szálköteg kúszó tönkremenetelét tanulmányozták. Egy új szálköteg modellt vezettek be, ami kombinálja a viszkoelasztikus viselkedést és a szálak nyúlásvezérelt, szakadását. A szálakat Kelvin-Voigt elemekkel modellezték, egyenletes és Weibull eloszlású szakítónyúlás, valamint GTM és LTM terhelésmegosztás mellett. Az analitikus és numerikus számítások, Monte Carlo szimulációk szerint, egy kritikus terhelés felett, a rendszer deformációja monoton nő időben, globális törést okozva egy tf véges idő alatt. A várható

46

átlagos kötegszilárdság, mint kritikus terhelés (σc) alatt a deformáció véges értékhez tart, végtelen élettartamot hozva. Kimutatták, hogy a két tartomány közötti átmenet természete, azaz a tf viselkedése a kritikus σc terhelésnél, erősen függ a terhelésmegosztás tartományától. GTM-nél a tf-nek hatványtörvény szerinti, folytonos divergenciája van egy univerzális 0,5 kitevővel, azonban LTM esetén az átmenet hirtelenné válik: a kritikus terhelésnél tf véges értékre ugrik, rendre hasonlóan a másod- illetve elsőrendű fázisátmenethez. Hasonlóan az előbbihez, Kun, Hidalgo, Herrmann és Pál (2004) [125] kétféle, szimulált szálköteg modell kúszó szakadását tanulmányozták állandó húzóterhelés és GTM mellett. Az egyikben a szálakat véletlen nyúlásértékeknél szakadó Kelvin-Voigt elemmel modellezték, míg másikban a szálakat a véletlen szakítónyúlásuk eléréséig rugóval, azután – figyelembe véve a mátrix és a törött szálak közötti viszkoelasztikus, kapcsolatot – Maxwell elemekkel, kúszó típusú terhelés közvetítőként modellezték. Úgy találták, a két modell ugyan különböző mikroszkopikus viselkedést ír le, mégis a kritikus érték körüli átmeneti tartományban hatványtörvényekkel jellemezhető univerzális viselkedést mutattak.

1.3.4. Rövidszálas szerkezetek statisztikus szilárdsága 1.3.4.1. A terhelésátadás mikromechanikai modelljei

Súrlódásos elmozdulás, erőtovábbítás rövidszálas szerkezetben A szálfolyamok szálai közötti kölcsönhatás leírásához Postle és Ingham (1952) [183] az Amontov-féle súrlódást, Grosberg és Smith (1965) [68] hatványalakú súrlódási törvényt tekintett. Tröger, Schlegl és Schwabe (1993) [229] vizsgálatai szerint, a pamut vagy viszkóz szálak közötti súrlódás vegyes típusú, részben a Coulomb–, vagy Eytelwein (-Euler)-féle száraz, részben a Newton-féle viszkózus súrlódással írható le. Hearle szerint (1980-1989) [8688] az energiamódszer (1.3.1. fejezet) kiterjeszthető a szálak közötti súrlódásos elcsúszásokra is, a dUk=µkFfNkdsk’ típusú energiaveszteségek bevezetésével, ahol µk a súrlódási tényező, FfNk a felületre merőleges nyomóerő, sk’ az érintkezési pont elmozdulása. Merchant (1962) [143] és Hearle (1965-1982) [84-87] vizsgálatai szerint a rövidszálas szálhalmaz húzásánál a húzóerő, ill. -feszültség változik a szálak mentén, mivel a nyúlás is változik a változó ferdeséggel, sőt a szálvégek általában nem befogottak, így zérus feszültségűek kell legyenek. Érintkező szálak közötti kölcsönhatás révén azonban nőhet a húzóerő az első befogott ponttól kezdve egy bizonyos szintig, amelynél nem lép fel csúszás, mert a befogó erők kiegyenlítik a szálban ébredő erőt (1.3.7.a. ábra). a.) b.) Húzóerõ Húzóerõ B B B B A A A A Stabil

Instabil O

O

O

O uc Szálmenti hossz Szálmenti hossz uc 1.3.7. ábra. Csúszás okozta veszteség az erőközvetítésben (a) és ennek linearizált formája (b) Ha az érintkező szálak között τs nyírófeszültség ébred a 2r=df átmérőjű, hengeres, l hosszúságú szál felületén, (1.3.7.b. ábra), úgy a Hearle szerint csúszási ellenállás a szál végétől 0≤u≤uc≤l/2 távolságra és annak egyszerűsített formája, ha τs állandó:

47

u

 2x   u Fs = ∫ 1 − τ s 2π rdx; τ s = áll . : Fs = d f π τ s u1 −  ≈ d f π τ s u l  l   o

(1.3.88)

ahol az (1-2x/l) egy korrekció annak figyelembe vételére, hogy egy szomszédos szál inkább előrejut, minthogy a csúszásnak ellenálljon, ha a vége x-nél közelebb van a dx elemhez. Az (1.3.88) jobboldali, egyszerűsített összefüggésével megkapható az uc kritikus megcsúszási hossz, amely alatt a szál megcsúszása bekövetkezik, továbbá ezzel az energiaarányos területekkel értelmezett (1.3.7.a. ábra), ún. megcsúszási tényező is megadható: d f σ ∞  d f σ ∞ d f σ∞ T l − uc l u c = 1 − 1 − ≈ ; SF = OBBO = ≈ 1− (1.3.89) 2 lτ s  4τ s TOAAO l 4τ s l   ahol σ∞ az a környezet meghatározta húzófeszültség, amely a csúszás nélküli szál mentén végig lenne. Némely esetben a τs vonali nyírófeszültség az adhéziós kötések felszakítási ellenállását modellezi, más esetekben az ellenállás a Coulomb-féle súrlódásból származik, azaz τs=µσN, ahol µ a súrlódási tényező és σN a felületre merőleges nyomófeszültség. Amennyiben a szálban a húzófeszültség eléri a σB szakítószilárdságot, úgy 2uc a kritikus szálhosszat adja:  d f σ B  d f σ B (1.3.90) ≈ lc = l 1 − 1 −  lτ s  2τ s   Unidirekcionális rövidszálas kompozit Rövidszálas kompozitoknál a szálak közötti kapcsolatot, s így a terhelésátvitelt is, a mátrix anyag hozza létre. A terhelésátvitel mikromechanikai vizsgálatához egy ún. reprezentatív térfogati elemet (RTE) definiálnak, ami magába foglal egy szálat és annak bizonyos mátrix környezetét (1.3.8. ábra). Mátrix Kompozit Mátrix Mátrix

l

l

l δ/2

δ/2

Szál Szál a.) b.) c.) 1.3.8. ábra. A Cox modell (a), Rosen modell (b) és a módosított Cox modell (c) reprezentatív kompozit eleme Szál

Cox (1952), illetve Kelly és Tyson (1965) az elemzéseikhez egy egyszerű, izotróp anyagokból álló, mag-köpeny szerkezetű RTE-t tekintett, egy egyszálas mikrokompozitot (shear-lag modell), amelyben a szál térfogat aránya vf. (1.3.8.a. ábra). Kelly és Tyson (1965) [K23] feltette, hogy a szál lineárisan rugalmas Ef húzómodulussal, míg a mátrix anyag ideálisan plasztikus, így a szál-mátrix határfelületen a τ nyírófeszültség mindenütt – ahol deformációkülönbség keletkezik – a τF folyási feszültséggel egyenlő, így állandó. A d átmérőjű és l hosszúságú szálban σf húzófeszültség ébred a kompozit szálirányú húzóterheléséből adódó átlagos σ 1 = v f σ f + ( 1 − v f )σ m (1.3.91) feszültség hatására, amely lineárisan nő a szál végétől kezdve (1.3.9.a. és b. ábrák) Ef 4τ 2τ 2τ σ f = F x ≤ F l ≤ σ f max = F lT ≤ σ f 1 = σ1 d d d Ek

48

(1.3.92)

τ

a.)

b.)

c.)

l
l>lT

l>lT

τF

τ

τF

τ

σ σ<σf1

σ σf1

σ

0

0 lT/2

0

1.3.9. ábra. A szál húzófeszültsége a hossza mentén a Kelly-Tyson modell (a,b) és a Cox modell (b) szerint A növekedés a szál közepéig tart, ha a szál l hossza kisebb az lT ún. terhelésátviteli hossznál, amit hatástalan (ineffective) hossznak is neveznek, mert a szálfeszültség maximuma nem éri el a kompozit σ1 feszültsége megszabta σf1 értéket. Ha l>lT, úgy a szál felveszi a σf1 feszültséget, tehát a terhelésfelvétel szempontjából hasznos elemként működik a kompozitban. A terhelésátvitel másik korlátja a szál σfs szakítószilárdsága, amelyhez tartozó minimális szálhosszat kritikus szálhossznak (lT=lc) nevezik: dσ fs lc = (1.3.93) 2τ F Ha llc esetén előbb a szál szakad. Megjegyzendő, hogy a Kelly-Tyson-féle képlet az (1.3.90) formulával egyező alakú. Hasonlóan járt el Cox (1952) [K23] is, aki azonban a mátrix anyagát is lineárisan rugalmasnak tekintette, Gm nyírómodulussal. Számításai szerint a határfelületi nyírófeszültség és a szál húzófeszültsége a szálhossz mentén a 1.3.9.c. ábrán látható módon változnak (F1.6. Függelék). Rosen (1965) egy módosított, többszálas modellt javasolt, ahol a tekintett szálon kívüli részeket, mint egy átlagos kompozit anyag alkotta környezetet fogta fel (módosított shear-lag modell) (1.3.10.b. ábra) [K23]. A Cox és Rosen modellekben nincs mátrix anyag a szálak végein, ami kimutathatóan eltérésekre vezetett a mért értékekhez képest. Ezt kiküszöbölendő, Hwang és Gibson (1987) egy δ hosszúságú kiegészítéssel módosított Cox modellt javasolt (1.3.8.c. ábra) [K23]. (F1.6. Függelék) Gyantába ágyazott egyszálas mikrokompozitot vizsgált és a fragmentációt elemezte a határfelületi nyírószilárdság meghatározásához Baillie és Bader (1994), Joffe, Varna és Berglund (1995) [215], valamint Hui, Phoenix és Shia (1997) [95]. Hasonló céllal Beyerlein és Phoenix (1996) négyszálas szén/epoxi mikrokompozitot tanulmányozott [215], figyelembe véve a szálátmérő változását is, azonban csak részleges egyezést találtak a kísérleti adatokkal. 1.3.4.2. Szálfolyamok szilárdsága

Sodratlan szálfolyamok szakítószilárdsága A sodratlan szálfolyamok a textiliparban elsősorban a fonáselőkészítésben, így a kártolt, nyújtott, illetve fésült szálszalagok feldolgozásában játszanak fontos szerepet. A feldolgozási műveletek során a szálszalagok ún. tapadási szilárdsága határozza meg a továbbítás közbeni terhelhetőséget, illetve befolyásolja a nyújtóerőt. A tapadási szilárdság a laza, hullámos, bizonyos pontokon érintkező, esetleg egymáson kisebb nagyobb mértékben áthajló szálak, elcsúszási ellenállásából származik, ami elsősorban a szálak hosszától,

49

hullámosságától, orientációjától, a szálak közötti súrlódási tényezőtől, valamint a szálra bontottság mértékétől függ. A tapadási szilárdság elemzéséhez a Zotyikov, Platt, Vasziljev, Spencer-Smith, Grishin, Hannah és Martindale (1945-1955) [K45,K46,K80,K82] által kidolgozott módszert használják. Egy egyenletesen folytonos (minden keresztmetszetét 0
1

L

2 1 0

n12

nS2*(x)

no

1 nS1*(x)

2

no+n1 n

n11 n2

0

0

L a.)

x

b.)

L lmax

1.3.10. ábra. Szálfolyam befogott szakaszán a befogott és úszó szálak száma A befogott mezőben lévő szálak lehetnek két vagy egy végükön, illetve egyik végükön sem befogottak. Az utóbbiakat úszó szálaknak nevezik (1.3.10.a. ábra). Az adott befogási hossz mellett, a 0≤x≤L keresztmetszetet metsző szálak száma eszerint felbontható a mindkét (n2), a bal- (n11), illetve a jobboldalon (n12) befogott és a befogatlan, úszó (no) szálak számának, mint az x helytől függő komponensek összegére: n = no ( x ) + n1( x ) + n2 ; n1( x ) = n11( x ) + n12 ( x ) (1.3.94) Az nS1*(x) és nS2*(x) (x≥0) az x=0, illetve x=L keresztmetszetet metsző szálak jobbra (n11), illetve balra (n12) benyúló részeinek számát adja meg a 0≤x≤L keresztmetszetben. Ezért nyilvánvaló, hogy n2=nS1*(L)=nS2*(0) és pl. n11(x)= n(S1*(x)-S1*(L)). A szálfolyam homogenitása miatt a bal és jobboldali szakállhossz-eloszlások megegyeznek és minden keresztmetszetben ugyanazok. Emiatt S2*(x)=S1*(L-x). Ezek ismeretében az úszó szálak száma is megkapható: no ( x ) = n − n1( x ) − n2 = n[1 − S1 * ( x ) − S1 * ( L − x ) + S1 * ( L )] (1.3.95) Ezeket a meggondolásokat használják a kissodratú szálfolyamok, előfonalak tapadási szilárdságának és a szálszakadást még éppen nem okozó határsodratának elemzéséhez is. Szétváláskor az illető keresztmetszetet metsző szálak két, bal- és jobboldali szálszakállra esnek szét. Hannah (1950) [77,K80] a szálfolyam tapadási szilárdságát, azaz széthúzási ellenállását a jobboldalon befogott szál, baloldalról rányúló szomszédainak gyakoriságával súlyozva és a leggyengébb keresztmetszet környezetében értelmezett félszakállra integrálva állította elő, feltéve, hogy fT a szálhosszegységre eső tapadási ellenállás állandó és L>>lmax:

∫ (1 − S1 ( x ))S 2 ( x )dx = nfT l * x

FT = nFo = nf T min x

*

*

x − l max

ahol az (1.3.96)-al definiált l* egyfajta átlagos tapadási hossz.

50

(1.3.96)

Żurek (1975) [K82: 208-212. old.] a szálfolyam átlagos szilárdságát, a szálak befogását és szálhosszát figyelembe véve kialakított, négy részszálfolyam szakítóereje összegeként számította ki: F = F2 + F1' + F1" + Fo Az L-nél hosszabb, kétbefogású szálak átlagos szakítóereje

(1.3.97)

F2 = n2 ( L )Fn*2 ( L )

(1.3.98)

ahol Fn*2 az n2 számú, L hosszúságú szálból álló köteg átlagos szakítóereje. Az egybefogású szálak átlagos tapadóerejét az L-nél hosszabb, de csak egyik végen befogott szálak F1' , valamint az L/2
F1" + F1' = n

L2 fT 2l

∞

∫ dQl ( x ) + n

L

LfT 2

L

∫ L/2

2x − L dQl ( x ) l

(1.3.99)

ahol Ql(x) a szálhossz eloszlásfüggvénye, l az átlagos szálhossz és fT a szálakra ható, hosszegységre eső adhéziós erő. Végül a maradék úszó szálak erőt legfeljebb a félhosszukon közvetítenek, míg a másik felük egyfajta kapcsolódási felületet ad a többi szálnak. Ezen nullbefogású szálak egyik része 0
nf F  → Fo = T L →∞ 4

∞ 2

∞

o

o

(

)

x l 2 ∫ l dQl ( x ) = nfT ∫ xdSm ( x ) = nfT 4 1 + Vl = FT (1.3.101)

ami tehát az aktív szakállhosszal arányos. Carnaby és Curiskis (1987) [20] rövidszálas szálfolyam húzókarakterisztikáját adott hosszeloszlású és szilárdságú szálak rugóállandóját, valamint a szálcsúszás paramétereit, a keresztirányú nyomást és a súrlódási tényezőt felhasználva számították. A modell a mérési eredményekkel csak közelítő, inkább jelleg szerinti egyezést mutatott. Sodrott szálfolyamok, font fonalak szakítószilárdsága A sodrott szálfolyamok, font fonalak szakítószilárdsága alapvetően függ a szálak szilárdságától, hosszától, a szálak közötti súrlódásos, vagy más mechanikus (áthurkolódás, összeakadás) kapcsolatoktól, továbbá az utóbbiakat döntően befolyásoló fajlagos sodrattól. A szakítóerő és a sodrat összefüggését, mint két összetevő hatás eredőjét, mint jelleggörbéket a 1.3.11.a. ábra mutatja be a font fonalak kísérleti vizsgálati eredményei alapján [88,K29]. Kis sodratok esetében a sodrat növelése, a nagyobb tömörítő és súrlódóerők következtében, progresszíven növeli az átlagos szakítóerőt. Nagyobb sodratértékeknél azonban, a már tömörre sodrott száltestben, egyre inkább érvényesül a szálak átlagosan kedvezőtlenebb helyzete, ami a szálszilárdság kihasználás, ezzel az átlagos szakítóerő csökkenését vonja maga után (ld. 1.3.11. ábra). Ennek megfelelően a sodrat függvényében az átlagos szakítóerőnek maximuma van, amelyhez tartozó s* sodratot kritikus sodratnak nevezik. A sodrat szakítóerő összefüggés alakját erősen befolyásolja a szakítóvizsgálatnál alkalmazott lo szabad befogási hossz és a fonalat alkotó szálak l átlagos hosszának viszonya, ami meghatározza a két-, egy-, vagy null befogású (úszó) szálak arányát a vizsgált fonalszakaszon (1.3.10. ábra). Ha a befogási hossz viszonylag kicsi, azaz az egyik végükön befogott és úszó szálak együttes

51

részaránya elhanyagolhatóan kicsi (1.3.11.a. ábra), akkor a vizsgált rövid fonalszakasz – a szakítás szempontjából – filament fonalnak tekinthető (lo/ l <<1; pamutnál lo<10 mm) és húzásnál a szálak elszakadnak. _

a.) _

Fs(0,oο)

_

b.) _

FS(s,lo)

Fs(0,oο)

FS(s,lo)

lo = οο lo">lo'

_ FSmax _ FS(0, lo ) 0

s

s 0

s*

1.3.11. ábra. Sodrat szakítóerő összefüggés és összetevői font fonalak esetében (a), valamint a befogási hossz és a szálhossz viszonyának hatása a görbék alakjára (b) [S72] A másik véglet a szabványos vizsgálatokhoz előírt helyzet, amikor a befogási hossz nagy (lo/ l >>1; pamutnál lo≥200 mm), azaz az úszó szálaké mellett az egy vagy két végén befogott szálak összaránya elhanyagolható (1.3.11.b. ábra). Ekkor, a kritikusnál kisebb sodrat esetén, a fonal húzásakor a szálak egy része szétcsúszik. 1.3.4.3. Rövidszálas szövedék és kompozit szilárdsága

Véletlen orientációjú szerkezetek rugalmassági modulusa A gyakorlatban alkalmazott szabálytalan szerkezetű rövidszálas textíliák többsége kétdimenziós szövedék, illetve kompozit erősítő (kártolt) szálbunda, vagy szálpaplan. Ezek gyártásánál, vagy rétegezésüknél arra törekednek, hogy a termék izotróp tulajdonságú legyen. Ezért a számításoknál feltételezik, hogy a szálak orientációját tekintve, minden irány egyenlő valószínűségű. Ez csak közelítőleg igaz, mert e szerkezetek a gyártási irányban kissé mindig orientáltak. Az átlagolási koncepciót valószínűleg Cox (1952) [K23] vezette be, aki papírt modellezett folytonos szálak alkotta sík paplanként. Rövidszálas, szabálytalan szerkezetű kompozit húzó rugalmassági modulusa egyszerűen adható meg, a Krenchel (1964) által bevezetett szálorientációs hatástényező segítségével [K12] (f és m a szál és a mátrix indexei): 3 / 8, 2 D E = η f E f V f + EmVm ; η f =  (1.3.102) 1 / 5, 3D Az átlagolt rugalmassági állandók formuláit inkább referenciaként alkalmazzák, mint pontosabb számításokhoz. Számos más hasonló eredmény született, amelyek közül a viszonylag jó becsléseket szolgáltatókra – mint Christensen és Waals (1972, 1976) formulái [K23] – az jellemző, hogy sok, nehézkesen meghatározható rugalmassági állandót használnak, ugyanakkor nem veszik figyelembe a szálhosszat. Sun és szti (1985) [K23] viszont nem csak a szálhosszat, hanem a nem egyenletes szálorientáció eloszlást is számításba vették. 2D-s, véletlen orientációjú, rövidszálas kompozitra kapott formulájukhoz az E1 kompozit modulust egyfajta módosított Cox modellel (1.3.8.c. ábra) (F1.6. Függelék) számították (f és m indexek a szálat és mátrixot jelölik): 2 2Gm th( β l / 2) E1 = E f 1 − β l / 2 v f a f + Em (1 − v f )am β = (1.3.103)   d E f ln( D / d )

52

ahol D az RTE átmérője, af, am VEM számításokkal kapott, ún. nyúláserősítő tényezők. Rövidszálas kompozitok szilárdsága Rövidszálas egyirányú kompozitok törési viselkedését a szálszakadás és a szálkihúzódás dominálja. Állandó szálhosszúság esetében a kompozit szálirányú átlagos szakítószilárdsága (l,d,Vf,σf,lc a szálak hossza, átmérője, térfogati részaránya, szakítószilárdsága és a kritikus szálhossz, τfm a szál/mátrix határfelületi nyírószilárdság, illetve σ’m a szál szakítónyúlásához tartozó mátrixfeszültség értéke) [K12]: l  ' τ cV f d + σ m (1 − V f ), l < lc σ komp =  (1.3.104) l   ' c σ f V f 1 −  + σ m (1 − V f ), l ≥ lc   2l  Az átlagolási technikát az átlagos húzószilárdság becslésére is sikerrel alkalmazzák. Lees (1968), illetve később Chen (1971) [K23] feltette, hogy a kompozit lap szakítószilárdságának szögfüggése leírható a maximális feszültség kritériumával (F1.4. Függelék) és három tönkremeneteli mechanizmussal (σs1 - szálirányú törés, τs12 - szál/mátrix határfelületi elcsúszás és σs2 - szálra merőleges mátrix elválás szilárdsága), ahol a vonatkozó szilárdságjellemzőket állandónak tekintette. Az átlagos szilárdságot – s annak közelítését – ezek és a vonatkozó szögtartományok figyelembe vételével számolta: θ2 π /2 θ  σ s 2σ mfs  τ s12dθ σ s 2 dθ  2τ s12  σ s 2 2  1 σ s1dθ σx = + + ≈ 1 + + ln   (1.3.105) ∫ sin 2 θ  π  σ mfs 2 π  ∫ cos 2 θ ∫ sin θ cosθ τ s 12   θ1 θ2 o  Halpin és Kardos (1978) [K23] maximális deformáció kritériumot alkalmazott hasonló meggondolások mellett a kvázi-izotróp laminátum szilárdságának becsléséhez. A fent említett szerzők elfogadható, vagy jó egyezést tapasztaltak a mért adatokkal. Lényegében ugyancsak átlagolási technikákat alkalmaznak az ún. homogenizációs eljárások is, amelyek az inhomogenitások (pl. rövidszálak) méretei és a környezetükben kialakuló feszültségkoncentráció figyelembe vételével olyan átlagos viselkedésű homogén modellanyag jellemzőit határozzák meg, amelyek megegyeznek az inhomogén anyagéval. Wetherhold (1987) statisztikus elméletet dolgozott ki unidirekcionális rövidszálas kompozitok szilárdságát illetően [215]. Feltette, hogy a kritikus zónában, ahol a mátrix károsodott, az áthidaló szálköteg szilárdsága határozza meg a kompozitét, amelyre – az áthidaló szálak számára alapozva – binomiális eloszlást kapott. Ezután egy feltételes valószínűség alkalmazásával vitte be a szálszilárdság véletlen hatását, amelyről feltette, hogy (σo,m) paraméterű Weibull eloszlású, s így – a szálak számát növelve – aszimptotikusan normális eloszlást kapott a kompozit szakítóerejére (FB): P (FB / bh < x ) = Φ (( x − µ x ) / s x ), x = σ f A f n / bh; A f = d 2f π / 4

(1.3.106)

(1 − exp( −1 / m )) exp( −1 / m ), µ x ( lm ) ahol n, l, df, σf a kötegszálak száma, normált hossza, átmérője és szilárdsága, b és h a kompozit minta szélessége és vastagsága, Φ a standard normális eloszlásfüggvény. Wetherhold modellje szerint a kompozit µx átlagos szilárdsága nő a szálhosszal, míg az sx szórása csökken. Ugyancsak szilárdságcsökkentő hatású a szálszilárdság szórása. Az (1.3.106) formula hiányossága, hogy a szálhossz növekedésével az átlagérték végtelenhez tart, ami nyilvánvalóan nem állja meg a helyét, továbbá nincs figyelembe véve a szál/mátrix adhézió. Wetherhold egy további munkájában (1987) szimulációs vizsgálatokkal kimutatta, hogy ferde szálak esetén a szálkereszteződések kompozitszilárdság növelő hatásúak, mivel egy longitudinális szálban csökken a feszültség egy másik szállal való kereszteződés helyén µ x = nσ o ( lm )

1/ m

−2 / m

s x2 =

53

[215]. A kereszteződések sűrűsége durván a szálhossz négyzetével arányosnak adódott és a szórása csökkent nagyobb szálhosszak esetén.

1.4. Összefoglaló értékelés, megoldandó feladatok A szálas szerkezetek, textíliák és szálerősített kompozitok, sajátos tulajdonságaihoz igazodva speciális elméletek alakultak ki mind a szerkezeti-geometriai, mind a mechanikaiszilárdsági viselkedést illetően. Míg a szabályos szerkezetű, folytonos szálas rendszerek általában matematikailag könnyen kezelhető geometriával rendelkeznek, addig a szabálytalan szerkezetű, többnyire rövidszálas – véges hosszú szálakból felépülő – rendszerek szerkezeti-geometriai tulajdonságainak leírásához statisztikus modelleket dolgoztak ki [1,5,12,27,33,134,140,150, 158,197,200,213,227,232,237,239-243,K68,K70]. Ezek között a Poisson modellek bizonyultak a legsikeresebbnek, mind a szálfolyamok [4,12,140,158,195,197,225,K68,K80, K82], mind a szövedékek esetében [5,33,197,K44,K68]. Hasonlóan sikeres a Poisson folyamat a térbeli hibaeloszlások modellezésében is [225,K5,K9,K24,K55,K59,K76]. Phoenix (2000) [176] szerint az inhomogén Poisson folyamat és a Weibull modell nem csak a rideg erősítő szálak szilárdságának, hanem az ilyen szálakkal erősített kompozitok élettartamának a leírásához is jól bevált. A Poisson típusú, Spencer-Smith, Todd, Martindale (SSTM) szálfolyam modell [140,200] és annak kiterjesztései, mint a Poisson alapú Neyman-Scott folyamat [195, K68], valamint a Matheron-féle folytonos szálas Poisson hálózat és változatai [5,33,134,K68] széleskörű alkalmazást nyertek úgy az 1D-s, mint a 2D-s rövidszálas rendszerek elméleti és kísérleti vizsgálatánál. Míg a szálfolyamok esetében viszonylag részletesen elemezték és feltárták a keresztmetszeti tulajdonságokat, a vonatkozó szálhosszeloszlásokat, addig a 2D-s rövidszálas rendszereknél alkalmazott modellek általában a pórusok és a szálkontaktusok, valamint a nagyobb szálhalmazok mechanikai viselkedésének egy szálkonktaktus környezetére alapozott terhelés-deformáció kapcsolat leírására koncentráltak [6,86,87,119, 150,197,259,K29] és nem foglalkoztak az ilyen struktúrákból kivágott véges minták szilárdságának pontosabb elemzéséhez szükséges perem-, illetve metszeti szálhosszeloszlások meghatározásával. A szálas szerkezetek bonyolult mechanikai-szilárdsági viselkedését egyszerűsített modellekkel tanulmányozzák. A szálköteg modellek, ahol a szálaknak véletlen, a terhelési folyamattól függő élettartamuk van, hasznos eszközök a textíliák – ahol voltaképpen nem az egyedi szálak, hanem a szálkötegek formájában beépülő fonalrészek alkotják a lényeges építőelemeket –, és általában a heterogén anyagok időfüggő tönkremenetelének magyarázatában. A nagyméretű, sokelemű rendszerek, többfázisú anyagok viselkedésének megértéséhez a bonyolultabb hálózatok szilárd alapú közelítő elemzése és interpretációja érdekében az utóbbi időben a figyelem az 1D-s idealizált szálköteg modellekhez fordult [156]. Egyszerűségük ellenére a szálköteg modellek megragadják az anyagkárosodás legfontosabb aspektusait és az analitikus megoldásoknak köszönhetően, elősegítik a törési folyamat mélyebb megértését [124]. A szálerősített kompozitok sikeres mikromechanikai modelljei a szálkötegmodellek módosított változatai, amelyek figyelembe veszik a lokális terhelésátvitelt, a szálak közötti mátrix befolyását és a szálak nemlineáris viselkedését. A kötegviselkedés elemzésénél a vizsgált kötegtípusok, mint a Daniels-féle klasszikus szálköteg [31] és ennek a lokális károsodáshalmozódású LTM változatai [80,81,156,169,171, 177,279], a Phoenix-féle laza szálköteg [169,173], illetve a Kun, Hidalgo és szti [90,124,125] bevezette viszkoelasztikus szálkötegek esetében a kötegszilárdságra és annak skálázási viselkedésére koncentráltak és lényegében nem, vagy alig fordítottak figyelmet a húzóerőnyúlás folyamatban, annak statisztikus jellemzőiben, mint a várható érték és szórásnégyzet

54

folyamatokban rejlő információk elemzésére, a mechanikai vizsgálatokat illető identifikációs lehetőségeire. Sutherland és Guedes Soares [215] szerint, főleg a szálerősített kompozitok esetében tapasztalhatók jelentősebb eltérések a kísérleti és elméleti eredmények között és gyakran az irodalmi eredmények is ellentmondásosak. Lehetséges okokként a modell egyszerűsítéseit (szál elrendeződés, terhelésmegosztás, és átmérő feltételezések), valamint a paraméterbecslések nehézségeit (pl. a hatástalan hossz és a feszültségkoncentrációs tényező) hozzák fel [136]. Sutherland, Shenoi és Lewis [216] vélekedése szerint az elméletek nem veszik számításba, hogy a változásoknak a hibákon kívül más forrása – pl. gyártási paraméterek ingadozása – is van. Mindezen problémák – legalábbis részbeni – feloldásához ad lehetőséget a mechanikai vizsgálati folyamatok elemzése és a modellezett folyamattal való összevetése, valamint összetett, kombinált viselkedésű kötegek alkalmazása. Másfelől, a vizsgált és modellezésre használt szálkötegtípusok lényegében unidirekcionális filament-kötegek, amelyek nem alkalmasak a rövidszálas szálfolyamok szilárdsági viselkedésének tanulmányozására. Nem ismeretes, továbbá, olyan szálkötegtípus sem, amely alkalmas lett volna a szálak közötti relatív elmozdulások, elcsúszások, valamint a szakadási felületből való kicsúszások kezelésére, statisztikus modellezésére. A fentiek alapján az értekezés célja olyan modellezési módszer és alkalmazásainak kidolgozása, amely alkalmas szálas rendszerek statisztikus szerkezeti-geometriai tulajdonságainak, valamint mechanikai vizsgálati folyamatainak (szerkezeti-mechanikai) közvetlen, explicit és a FEM-hez hasonló hálózást, illetve iteratív szimulációs számításokat nem igénylő leírására, modellezésére. Ezzel kapcsolatban kitűzött feladatok: (1) Statisztikus szerkezeti-geometriai modell kidolgozása szálfolyamok és rövidszálas kétdimenziós struktúrákból kivágott minták mechanikai tulajdonságainak elemzéséhez szükséges szerkezeti-geometriai jellemzők (pl. speciális szálhosszeloszlások) meghatározására. (2) A klasszikus, analóg mechanikai elemek (rugó, viszkózus elem, tehetetlenségi elem) mintájára, statisztikus, folytonos és rövidszálas rendszerek szerkezeti-mechanikai modellezésére alkalmas, idealizált, statisztikus szálas modellelemek kidolgozása, különös tekintettel a deformációvezérelt mechanikai vizsgálati folyamatok (pl. szakítóvizsgálat) leírására. (3) Az egyes idealizált szálas modellelemek tulajdonságainak elemzése. (4) Az idealizált szálas modellelemek párhuzamos és soros kapcsolását illetően az alapvető törvényszerűségek feltárása. (5) Egyes alkalmazások kidolgozása szálfolyamok, és egyes textíliák, illetve szálerősített rendszerek (kompozitok) mechanikai vizsgálati folyamatainak fenomenológiai, illetve szerkezeti-szilárdsági leírására, különös tekintettel az egyirányú (unidirekcionális) szerkezetekre.

55

2. RÖVIDSZÁLAS SZERKEZETEK STATISZTIKUS GEOMETRIAI MODELLJE A szálrétegek, mint szerkezeti elemek használata igen elterjedt a szálas szerkezetek modellezésében. A helix fonalmodell és a kompozitmechanikában alkalmazott szokásos modellek is – általában folytonosszálas – szálrétegekből épülnek fel. A rövidszálak alkotta szálfolyamok alkalmazása ugyanakkor megköveteli a különböző metszeti szálhosszeloszlások ismeretét is. Mindezek miatt olyan műveleti eszközök és statisztikus modell kidolgozására van szükség, amelyek alkalmasak az általában ferdeszálas és statisztikus szerkezetű 2D-s textiliákból és szálerősített kompozit lapokból kivágott minták szerkezeti-geometriai jellemzőinek elméleti leírására.

2.1. Tojástartomány szálkörnyezete 2.1.1. Pont és tojástartomány lineáris környezete Az egyedi szálak és a szálas szerkezetből kivágott, vagy kijelölt minta viszonyának jellemzésére – például, hogy egy szál metszi-e a mintát – jól használható fogalmak a környezetek. A gömbi környezet felhasználásával egyszerűen definiálható a P∈Rk (k=1,2,3) pont eo(α,β)-irányítású, r-sugarú H(r,α,β,P)⊂Rk lineáris vagy szálkörnyezete a P pont rsugarú G(r,P) gömbi környezete és egy eo-irányvektorú, P ponton átmenő e(α,β,P) egyenes metszeteként (2.1.1.a. ábra), amely így zárt halmaz [S70,S72]: H(r,α,β,P) = H(r,eo,P) = G(r,P)∩e(eo(α,β),P) (2.1.1) Az α∈[0, 2π]=Iα és β∈[-π/2, π/2]=Iβ az eo egységvektor független irányszögei, azaz végpontjának gömbi koordinátái 3D és 2D esetében: eo = (cosαsinβ, sinαsinβ, cosβ), eo = (cosα, sinα) (2.1.2) b.)

a.)

r Po r r

A r

α

α

2.1.1. ábra. Pont (a) és tartomány (b) irányított környezete a síkban Az A∈ℜk tojástartomány H(r,α,β,A) lineáris környezete, az A egyes pontjai szálkörnyezeteinek egyesítéseként, vagy az A halmaz és az O origó szálkörnyezete Minkowski összegeként (ld. 1.2.3. fejezet)[K63] állítható elő (2.1.1.b. ábra): H(r,α,β,A) = U H ( r ,α , β , P ) = H ( r ,α , β ,O ) ⊗ A (2.1.3) P∈ A

Nyilvánvaló, hogy az irányított környezet része a gömbi környezetnek: H(r,α,β,P) ⊂ G(r,P), H(r,α,β,A) ⊂ G(r,A)

56

(2.1.4)

Egydimenziós térben (k=1) a gömbi és irányított környezet egybeesik. k=2 esetén elég egyetlen irányszög is, pl. az α. Az összes lehetséges irány mellett képezett irányított környezetek egyesítése a gömbi környezetet adja (I=IαxIβ): G (r , A) = U H (r , α , β , A) (2.1.5) (α , β )∈I

Könnyen belátható, hogy egy tojástartomány szálkörnyezete szintén tojástartomány. Legyen ∂A az A⊂Rk pereme, azaz határpontjai összessége! Ekkor az A-halmaz lineáris peremkörnyezete) a H(r,β,∂A) irányított környezet (2.1.2. ábra). Az A-halmaz lineáris külső peremkörnyezete a HK(r,α,β,A) = H(r,α,β,A)\intA (2.1.6) halmaz, ahol intA az A belseje. A B

r Ao r α 2.1.2. ábra. Kétdimenziós tartomány irányított környezetének komponensei Végül az A-tartomány A0(r,α,β,A) lineáris- vagy szálmagja (2.1.2. ábra) ama A0⊂A részhalmaz, melynek bármely pontja szálkörnyezete az A-ba esik: A0(r,α,β,A) = {P∈A: H(r,α,β,P)⊂A} (2.1.7) A szálmag igen gyakran üres; ez utóbbi esetben az LP-környezet az A lineáris környezetével egyezik meg. A (2.1.6) alapján tehát az A tojástartomány H(r,α,β,A) lineáris környezete két halmaz egyesítésére bontható: H(r,α,β,A) = intA∪HK(r,α,β,A) = A∪HK(r,α,β,A) (2.1.8) Az A∈ℜ3 tojástartomány egy r=l/2 sugarú B=H(l/2,α,β,A) lineáris környezetének térfogata az A tartomány VA (VA=0 is lehet) térfogatának és LKP-környezetének térfogatának összege (F2.1. Függelék): VB = VA + VHK = VA + T⊥(α,β,A) l (2.1.9) ahol és T⊥(α,β,A) az A-nak az eo(α,β) irányra merőleges síkra vett vetületének területe. Két-, illetve egydimenziós A tojástartomány esetében a B lineáris környezetének térfogata terület (2.1.1.b. ábra), illetve hossz (2.1.1.b. és 2.2.2. ábra): TB = TA + THK = TA + d⊥(β,A) l (2.1.10) LB = LA + LHK = LA + l (2.1.11) ahol TA, illetve LA az A halmaz területe, illetve hossza (TA=0 is lehet), d⊥(β,A) az A-nak a β irányra merőleges legnagyobb mérete (átmérője).

2.1.2. Száltér egyszerűsített geometriai modellje Legyen az S szál húrközéppontja C, húrhossza l! A C pont r=l/2 sugárral vett lineáris környezete, azaz szálkörnyezete egy véletlen helyzetű és hosszúságú SC=H(l/2, α,β,C) szálhúr geometriai modellje. Egyenes vagy hullámos szálak esetében az SC egyúttal lefedi, vagy legalábbis megközelíti a szálközépvonalat.

57

Ha ismert a C húrközéppontok Φ halmaza, úgy a Γ száltér, mint a tárgyalt egyenes vagy hullámos S(C) szálak egyesítése, a szálhúrok egyesítésével modellezhető: Γ = U S (C ) ≈ U H (l / 2, α , β , C ) (2.1.12) C∈Φ

C ∈Φ

A (2.1.12)-vel adott száltérmodellben, az irányított környezet felhasználásával, számos feladat egyszerű térfogat- vagy területszámításra, illetve statisztikus esetben geometriai valószínűségek meghatározására vezethető vissza.

2.2. Kétdimenziós rövidszálas szerkezet modellezése A szabálytalan szerkezetű textíliák, így a különböző szövedékek, vagy az üvegszálpaplan, mint erősítő textília, statisztikus szerkezeti-geometriai modelljének felállításánál elsősorban a textilszerkezetek leírására használt lineáris szálfolyamok [K82], valamint a 2D-s szálhalmazok [K68] elméletére alapozunk. Feltételezzük, hogy a szálak lényegében egyenes szálkötegek, azaz a szálpaplanokat tekintjük elsődlegesen modellezendőnek.

2.2.1. A szálpaplan statisztikus szerkezeti-geometriai modellje A szálpaplan kétdimenziós textília, azaz egy W sík, az ún. váztér (valós sík) köré sűrűsödő, véletlen helyzetű rostokból felépített szerkezet, melynek eme síkba vett merőleges vetületét tekintjük. A vetületrostokat középvonaluk két végét összekötő húrral helyettesítjük (2.2.1.a. ábra). Szálpaplan esetében a rostok többnyire egyenes alakúak, így a rostközépvonalak és a rosthúrok általában egybeesnek. A ν-számú, qo állandó lineáris sűrűségű (elemi)szálat tartalmazó, l-hosszú, egyenes középvonalú szálat alkotó rost (elemi szálköteg) paplanbeli véletlen helyzetét a C középpontja és a szálak β-irányszöge határozza meg (2.2.1.a. ábra). Itt ν≥1, l>0 és -π/2≤β≤π/2 ismert eloszlású, véges várható értékű és szórású – egymástól függetlennek tekintett valószínűségi változók, melyek eloszlásfüggvényei FZ (Z∈{ν,l,β}). 2.2.1.1. Rostközéppont-folyamat és a szálpaplan modell

A lineáris szálfolyamok SSTM modelljének egyfajta kiterjesztéseként, feltesszük, hogy a C rostközéppontok egy X: Ω→W=Rk (Ω az elemi események tere [K59]) Poisson pontfolyamatot [K68] alkotnak, továbbá az X és a fentebb említett véletlen változók egymástól függetlenek. Így tulajdonképpen egy egyszerűsített Neyman-Scott folyamatot [K68] definiálunk, ahol a szülőfolyamat Poisson típusú, míg az utódok véletlen szálszámú és irányítású szálkötegek. Ekkor a W egy A tojástartományába (2.2.1.b. ábra) eső rostközéppontok χA=#(X∩A) véletlen száma inhomogén [K38,K55,K60] – vagy instacionárius [K3,K60] - Poisson eloszlást mutat: κ( A) k − κ( A ) pk(A) = P(χA=k) = e , k=0,1,2,... (2.2.1) k! ahol κ(A) az A-ba eső szálközepek várható száma, a Poisson pontfolyamat paramétere (κ az ún. várható érték, vagy intenzitás mérték [K63]): κ(A) = E(χA) = D2(χA) (2.2.2) ahol a (2.2.2) jobboldala a Poisson eloszlás ismert tulajdonságát fejezi ki. Az intenzitás mérték a K(x) (x∈W=R2) területi pontsűrűség-függvény integráljaként állítható elő: 58

κ(A) = ∫ K ( x)dx

(2.2.3)

A

l/2 l/2

ν,m

o o o o o o o o o

C

o o o o

o

A oo o o

β b.) a.) 2.2.1. ábra. Szálpaplan rost mint lineáris környezet (a) és egy A tojástartományba eső rostközéppontok halmaza (b) A szálközéppontok homogén (vagy stacionárius) [K68] Poisson folyamatot alkotnak, ha a K pontsűrűség állandó. Ekkor κ(A) =KTA (2.2.4) ahol T(A)=TA az A-síkidom területe. A (2.2.3) alapján az adott A tartományhoz mindig definiálható olyan, az A-ra nézve átlagos, állandó KA érték, hogy κ(A)=KATA legyen: 1 KA = (2.2.5) ∫ K ( x)dx TA A A szálközéppont folyamat az A halmazon lokálisan homogénnek (stacionáriusnak) tekinthető, ha a K(x) az A-n csak kicsit változik, és a (2.2.5) összefüggéssel definiált folyamat segítségével meghatározott jellemzők – valamilyen választott mértékben – szintén csak kicsit térnek el a korrekt értékektől. A C pont 2r=l esetén vett lineáris környezete, azaz szálkörnyezete egy véletlen helyzetű és hosszúságú SC=H(l/2,β,C) rostközépvonal geometriai modellje. A rost q=νqo lineáris sűrűségének figyelembe vételéhez az SC idealizált szálat tömegpontokból állónak tekintjük. A Γ szálpaplan – a (2.1.12) kétdimenziós és statisztikus értelmezésének megfelelően – a tárgyalt véletlen paraméterekkel rendelkező szálak egyesítése: Γ = U H (l / 2, β, C ) (2.2.6) C ∈X

A (2.2.6)-al adott Poisson szálpaplan modell lineáris, egymástól független Poisson szálfolyamok súlyozott egyesítésének tekinthető, így az irányított környezet felhasználásával számos feladat geometriai valószínűségek meghatározására vezethető vissza. 2.2.1.2. Szálpaplan előállítása szálfolyamok egyesítéseként

Legyen a χ egy κ-paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó és p1,...,pn egy diszkrét valószínűség eloszlás (Σpi=1). Ekkor belátható, hogy a χ-számú eseménypontnak a p1,...,pn valószínűségeloszlás szerint egymástól függetlenül elosztott (diszkrét osztályokba sorolt) χ1,...,χn számai κp1,...,κpn paraméterű (ritkított) Poisson eloszlásúak [K20,K38,K59]. Legyen most a Γ (vetület)szálpaplan szálközépfolyamata az X a W-n és a Γ(β,l) szálfolyam a Γ-beli rögzített (β,l)-paraméterű szálak strukturált halmaza, ahol e szálak középpontjait a X(β,l) elemi pontfolyamat állítja elő! Egy Γ(β,l) EL-szálfolyam egy – az adott tojástartományt metsző – részhalmazát például a 2.2.2. ábra szemlélteti.

59

2.2.2. ábra. EL-szálfolyam adott tojástartományt metsző szálhelyzetei A fentieknek megfelelően a Γ szálpaplan ezen – megszámlálhatatlanul sok – EL-szálfolyam egyesítéseként állítható elő. A Γ megközelíthető megszámlálható sok, közelítőleg EL-típusú szálfolyam egyesítésével is. Ehhez osszuk fel az IlxIβ=[0, ∞)x[-π/2, π/2] paraméter tartományt megszámlálható sok (li,βj)-középpontú Iij=IixIj (i=1,...,n; j=1,2,...) diszjunkt részhalmazra, melyek egyesítése kiadja az eredetit! Ekkor e paraméter-tartományokhoz rendelhetők a Γij szálfolyamok, melyekre teljesül: Γ = UΓi j Γij = U Γ(l , β) (2.2.7) (l ,β )∈I i j

i, j

A Γij szálfolyamhoz rendelhető egy Xij szálközép-folyamat, amely a Γij szálfolyam szálközepeit szolgáltatja, és az X pontfolyamat ritkításaként származtatható egy {pij} diszkrét valószínűségeloszlás szerint. Így, ha A egy tojástartomány, a χA,ij=#(Xij∩A) eseményszám egy megfelelő κij(A) paraméterrel (inhomogén) Poisson eloszlású és χA = ΣijχAij (2.2.8) A pij annak valószínűsége, hogy egy szál Γij-beli, s így középpontja Xij-beli: pij = P[(l,β)∈IixIj] = ∆Fl(li)∆Fβ(βj) (2.2.9) ahol Σpij=1, tehát a χAij paramétere: κij(A) = κ(A) pij = κ(A) ∆Fl(li)∆Fβ(βj) (2.2.10) Az {Xij} sorozat elemei függetlenek, így a χA,ij-k is azok, és az összegük Poisson folyamat az E[χA] = Σκij(A)=κ(A) (2.2.11) várhatóérték függvénnyel. Tekintsük most ismét a {Xij} felbontást és legyen {Bij⊂W} egy tetszőleges, nem feltétlenül diszjunkt, de véges, zárt és konvex halmazsorozat, melyre teljesül, hogy: Bij = B(li,βj) (2.2.12) Ekkor, mivel a Xij részpontfolyamatok függetlenek a W-n, függetlenek lesznek ezeknek a Xij∩Bij megszorításai, sőt a belőlük képezett χBij*= #[Xij∩Bij] (2.2.13) valószínűségi változók is. Mindezek alapján, tehát a χBij* változók Poisson eloszlásúak a κij(Bij) = κ(Bij) pij = κ(Bij) ∆Fl(li) ∆Fβ(βj) (2.2.14) paraméterrel. Ha a χBij* változók ξ=ΣijχBij* összege véges várható értékű valószínűségi változó, akkor a tagok függetlensége miatt ξ is Poisson eloszlású a µ ≈ Σijκij(Bij) = Σijκ(Bij) pij = Σijκ(Bij) ∆Fl(li)∆Fβ(βj) (2.2.15) paraméterrel. A (2.2.15) integrálba vihető át:

60

µ = ∫∫ κ( B( x, y ))dFl ( x)dFβ ( y ) = E[κ(B(l,β))]

(2.2.16)

Il x Iβ

vagyis a µ az (l,β)-valószínűségi változóktól függő κ(B(l,β)) várható értéke, azonban a ξ - bár Poisson eloszlású – de általában már nem Poisson pontfolyamat. A (2.2.16) szerint B(l,β) a rögzített l hosszú és β irányszögű szálakból álló Γ(l,β) ELszálfolyamoktól (pontosabban az azokat alkotó szálak hosszától és irányszögétől) függ, és κ(B(l,β)) az ilyen szálakból azok várható száma, melyek középpontjukkal a B(l,β)-be esnek. Ez egyfajta feltételes várható érték, melynek µ a várható értéke a teljes várhatóérték tétel szerint [K59]: µ = E[κ(B(l,β))] = E[E(ξl,β)] (2.2.17) Homogén szálközéppont folyamat esetében a (2.2.17)-ben a (2.2.4)-et alkalmazva kapjuk: µ = E[E(ξl,β)] = E[KT(B(l,β))] = E[KTB(l,β)] = KE[TB(l,β)] (2.2.18) A (2.2.18) konstruktív műveleti utasítás nagy jelentőségű az alkalmazások szempontjából, hiszen a meggondolásokban a szálpaplan EL-szálfolyamokkal helyettesíthető. Megjegyzendő, hogy a fenti ritkítva felbontás, majd egyesítés módszere mellett – a ritkítás és egyesítés műveletét felcserélve – a szálpaplan a teljes szálközéppont folyamaton generált szálfolyamok segítségével is előállítható (F2.2. Függelék).

2.2.2. Konvex próbatest szálhossz és sűrűség jellemzői A fent vázolt homogén, de nem feltétlenül izotróp paplanmodellt alkalmazva meghatározhatók a lineáris szálfolyamoknál is használatos feltételes szálhosszeloszlások, illetve a szálpaplanból kivágott minták egyes kísérletileg ellenőrizhető statisztikus jellemzői. 2.2.2.1. Konvex tartományt metsző szálak száma

Tekintsük azon S szálakat, melyeknek a Γ szálpaplan W-vázán tekintett A tojástartománnyal vett közös része véges hosszúságú! Ezek ℑA halmaza a próbatest méretétől függő hányadban tartalmazhat olyan szálakat is, melyeket az A peremén elvágva, S∩A közös részük az eredeti hossznál rövidebb lehet, illetve tartalmazhat – pl. a (l,β)-paraméterű Γ(l,β)szálfolyamot véve – az S∩A-metszetében az eredeti l-hosszát megtartó szálakat is, ha az A tartomány A0=A0(l/2,β,A) irányított magja – várható értékben – nem zérus területű: TAo=E[T(A0)]≠0 (2.2.2. ábra). Homogén szálközéppont folyamat esetében az A konvex tartományt metsző szálak ξA száma a (2.2.18) módjára számítható. Ekkor B(l,β)=H(l/2,β,A) az A szálkörnyezete a Γ(l,β)szálfolyamra nézve. Következésképpen a ξA Poisson eloszlású az alábbi várható értékkel, mint paraméterrel: E(ξA) = D2(ξA) = KTA + KE(l)E[d⊥(β,A)] (2.2.19) Ha az A egy D=2R átmérőjű körlemez, úgy d⊥(β,A)=2R és TA=R2π, így: E(ξA) = KR2π +K2RE(l) (2.2.20) Egyenes szakaszt metsző szálak száma Az alkalmazásokban fontos jellemző egy adott A⊂W egyenes szakaszt – egy keresztmetszetet – metsző szálak ξA száma és annak eloszlása. Ha az A egy a-hosszú, αirányszögű egyenes szakasz (2.2.3. ábra), úgy TA=0 és (2.2.21) E(ξA) = D2(ξA) = KaE(l)E[sin(α-β)] ugyanis

61

T = l d⊥(β,A) = lasin(α-β) E[d⊥(β,A)]=aE[sin(α-β)]

(2.2.22) (2.2.23)

Szál l/2 l/2

α−β

a

H(l/2,β,A)

A α−β α−β d L(β,A)

β

α

β

2.2.3. ábra. Egyenes szakasz irányított lineáris környezete Izotróp szálpaplanban a β egyenletes eloszlású a [-π/2, π/2] intervallumon, ezért π

E[sin(α-β)] =

1

π

2

2

∫π sin(α − y ) dy = π

−

(2.2.24)

2

ugyanis azsinx π-periodikus, így a (2.2.21) alakja: 2 Ka E(ξA) = D2(ξA) = E(l)

(2.2.25)

π

Lineáris szálfolyam A keresztmetszetét (TA=0, α-β=π/2) metsző szálak száma KE(l), amely megegyezik az SSTM modellben [138] az (1.2.48)-al, ahol azonban K a lineáris szálközéppont-sűrűség. Egy szálat metsző szálak száma A fenti eredmények felhasználhatók adott szálat metsző más szálak számának, azaz az egy szálra vonatkozó ξ kereszteződési pontok számának meghatározására is. Ekkor 'a' egy véletlen α-irányszögű – másoktól független – szál véletlen hossza, melyre E(a)=E(l) és Fα=Fβ, így a (2.2.21)-nek megfelelő várható érték és szórásnégyzet: E(ξ) = D2(ξ) = KE(l)2E[sin(α-β)] ≤ KE(l)2 (2.2.26) ahol a várhatóérték képzés az α és β független valószínűségi változókra egyaránt elvégzendő: E[sin(α-β)] = ∫∫ sin( x − y ) dFβ ( y )dFα ( x ) = Iα xIα

π /2

π /2  x  (2.2.27) sin( x − y ) dF ( y ) − β ∫ ∫ ∫ sin( x − y)dFβ ( y)dFα ( x) −π / 2 − π /2 x  Izotróp szálpaplan esetében a (2.2.24) eredmény tetszőleges α szögre igaz, s ugyanezt kapjuk az újabb várhatóérték képzés után is, tehát a (2.2.26) vonatkozó alakja: 2 E(ξ) = D2(ξ) = KE(l)2 (2.2.28)

=

π

Az egy szálra vonatkozó átlagos szálkereszteződési pontszám – mely a síkmodell miatt a valóságban csak vetületi érintkezéseket ad meg –, a (2.2.28) szerint, megegyezik egy az átlagos szálhossznál kisebb oldalhosszú négyzetbe eső szálközepek átlagos számával. A ξ eloszlása – a fentiekhez hasonlóan – szintén Poisson eloszlás a (2.2.28) paraméterrel. 62

Az egy szálra vonatkozó eredmények kiterjeszthetők egy adott területre jutó kereszteződési pontok számának meghatározására is, mely az adott területet metsző szálak vágási hosszának eloszlásával van kapcsolatban. 2.2.2.2. Konvex tartományt metsző szálak szálhosszeloszlása

A Γ(l,β)- szálfolyamra nézve S∈ℑA, ha a szál metszi az A tojástartományt, vagyis ha az S-szál C középpontja a B=H(l/2,β,A) irányított környezetbe esik, így ezen B halmazt tekinthetjük alaphalmaznak az S∈ℑA szálak Fl(xMA) általánosított (kereszt)metszeti hosszeloszlásának meghatározásánál, ahol MA(l,β)={S∈ℑA, S⊂Γ(l,β)}= {C∈B(l,β)} (2.2.29) a metszési esemény, azaz hogy egy tetszőleges szál metszi az A-t. Általánosabban, a szálpaplan egészére vonatkozóan, az MA metszési feltétel az: MA={S∈ℑA, S⊂Γ} = {S∈ℑA} (2.2.30) alakban fogalmazható meg. Itt ℑA tartalmazhat az A peremét érintő szálakat is. Az Fl(xMA) meghatározásához a 2.2.2.2. fejezetben alkalmazott meggondolásokat követve, írjuk fel az IixIj-beli li-hosszú és βj irányszögű szálakból álló Γij szálfolyamra az Aval metsződő szálak átlagos számát a (2.1.10)-et is felhasználva: ∆KijTBij ≈ K [TA + THKij] ∆F(li)∆F(βj) = K [TA + li d⊥(βj,A)] ∆F(li)∆F(βj) (2.2.31) A (2.2.31) szerinti pozitív várható értékek összege az E(ξA) várható értéket közelíti, így – feltéve, hogy E(ξA) ≠0 – az A-t metsző, Γij szálfolyambeli szálak részaránya: ∆K ij TBij K [ T A + li d ⊥ ( β j , A )] P((l,β)∈IixIJMA) ≈ ≈ ∆F(li)∆F(βj) (2.2.32) ∑ ∆K ij TBij K Ε[ T A + ld ⊥ ( β , A )] ij

A (2.2.32)-ből egyszerűsítés, összegzés és határátmenet után kapjuk az A konvex halmazt metsző szálak hosszának és irányszögének együttes eloszlását: F(l,β)(x,yMA) =

x

T A + u d ⊥ ( w , A) dFβ ( w)dFl (u) T + Ε (l )Ε[d ⊥ ( β , A)] /2 A

y

∫ π∫ 0 −

(2.2.33)

A β eloszlásfüggvénye szerinti integrálás után kapjuk az A konvex halmazt metsző szálak hosszeloszlás függvényét: x T + u Ε[d ⊥ ( β , A)] Fl(xMA) = ∫ A dFl (u) (2.2.34) T + Ε (l )Ε[d ⊥ ( β , A)] 0 A A (2.2.34) a d⊥ méreten keresztül függ az irányszög eloszlástól. Nyilvánvaló az is, hogy növekvő TA esetében a (2.2.34) az Fl(x) eloszlásfüggvényhez tart: Fl(xMA) → Fl(x), TA→∞ (2.2.35) Az A tojástartományt metsző szálak átlagos hosszát és szórását kiszámítva (ld. F2.3. Függelékben), megállapítható, hogy a (2.2.35)-nek megfelelően, mind a feltételes szórásnégyzet, mind a feltételes relatív szórás értéke az l megfelelő paraméteréhez tart, ha TA→∞. Ezek különbsége viszont zérushoz tart, így mód nyílik arra, hogy megbecsüljük azon TA mintaterület nagyságát, melyre nézve a relatív szórás egy adott hibakorlát alatt marad. Egyenes szakaszt metsző szálak hosszeloszlása A (2.2.33)-ból a TA=0 és (2.2.21) figyelembe vételével kapjuk az A-szakaszt metsző szálak (húr)hosszának és irányszögének együttes eloszlásfüggvényét: x y u sin(α − w) F( l , β ) ( x , y M A ) = ∫ ∫ dFβ ( w)dFl (u) (2.2.36) Ε (l )Ε ( sin(α − β ) ) 0 −π /2

63

A metszés egy megszorító feltételt jelent a szálakra nézve. Azonos előfordulási gyakoriságú, de különböző hosszú és irányszögű szálak közül az metszi nagyobb valószínűséggel az adott A szakaszt, amelyik hosszabb és az A-val bezárt szöge közelebb van a derékszöghöz, mert a (2.2.22) szerint az A irányított környezete (B) ekkor nagyobb területű (2.2.3. ábra). Tehát egyfajta hosszsúlyozás érvényesül, melybe beleszól az irányszög is. Az l és β függetlensége miatt – az integrálás után – egyszerű formában kapjuk az Aszakaszt metsző szálak (húr)hossz-eloszlásfüggvényét: x u dFl (u) Fl(xMA) = ∫ (2.2.37) Ε(l ) 0 A (2.2.37) a lineáris szálfolyamok elméletében jól ismert eredmény, az ún. keresztmetszeti szálhosszeloszlás. A (2.2.37) szerinti eloszlásfüggvény független az A-szakasz hosszától, irányszögétől és a szálpaplan szálainak irányszög-eloszlásától is, azonban a szálak (húr)hosszával arányos súlyozást tartalmaz. Ebben – a függetlenség miatt - nem jelenik meg ama tény, miszerint orientált (nem izotróp) szálpaplan esetében az A-szakasz irányától függően a metsző szálak száma változik. A (2.2.37) a szálbunda egy részhalmazára, a metsző szálak halmazára igaz, azon belül írja le a szálak (húr)hosszeloszlását. A (2.2.37) alapján könnyen meghatározhatjuk az A-szakaszt metsző szálak átlagos hosszát és szórását. Az előbbi egy feltételes várható érték és megegyezik az (1.2.34)-el (F2.3. Függelék). Egyenes szakaszt metsző szálak irányszög eloszlása A fentiekhez hasonlóan kapható a (2.2.36)-ból az A-szakaszt metsző szálak irányszögeloszlás-függvénye (-π/2≤ y ≤π/2): y sin(α − u) Fβ(yMA) = ∫ (2.2.38) dFβ (u) α β Ε ( sin( − ) ) −π /2 mely persze függ az α-tól is. Izotróp szálpaplan esetében a β eloszlása egyenletes Iβ-n, így a (2.2.27)-tel a (2.2.38) könnyen kiszámítható (-π/2≤ y,α ≤π/2), s melynek függvényképét (ld. (2.2.39)-et) különböző α értékek mellett a 2.2.4. ábra szemlélteti: Fβ(y MA) α=0 α=π/2 y 0

2.2.4. ábra. Egyenes szakaszt metsző szálak irányszögének eloszlásfüggvénye a szakaszirányszög függvényében, a szálszög értelemben izotróp szálpaplan esetében y

Fβ(yMA)=

1 sin(α − u) du = 2 − π∫/ 2

y  1  sin( α − u )du , y ≤ α  2 −π∫/ 2  1 [sin α + cos( α − y )], y ≤ α  2 = = (2.2.39) y 1 [2 + sin α − cos( α − y )], y > α α 1  2 1  2 ∫ sin( α − u )du − 2 ∫ sin( α − u )du , y > α  −π / 2 α

64

Egy szálat metsző szálak hosszeloszlása Itt is felvethető egy tetszőleges szálat (szálköteget) metsző szálak hossz-eloszlásának és irányszögeloszlásának meghatározása. Ekkor az 'a' és α is véletlen változók, melyek egymástól és az (l,β) -tól függetlenek. Következésképpen, bár a (2.2.32)-nek megfelelő összefüggés jobboldala ∆Fa(ap)∆Fα(αq)-vel is szorzódik, azonban – a függetlenség miatt – az integrálások után, a (2.2.36), (2.2.37) és a (2.2.34)-nek megfelelő összefüggésekben ezek átlagértékeivel egyszerűsíthetünk. Átlagos értelemben tehát a (2.2.37) és (2.2.34) összefüggések tetszőleges paplanszálra is alkalmazhatók. 2.2.2.3. Konvex tartományt metsző szálak metszeti hosszeloszlása

Általános kép Ha S∈ℑA szál vágási (metszeti) hossza lA, azaz lA=λ1(S∩A) (2.2.40) ahol λ1 a hosszmérték, ekkor az FlA(xMA) az A-ra vett általánosított vágási szálhosszeloszlás meghatározása a feladat. Ez tartalmazza az A-ra vonatkozó belső szakállt is, mert az A peremén elvágott szálaknak az A belseje felé eső részeit vesszük figyelembe. Ennek megfelelően az A-ra vett szakállhosszeloszlás lehet külső is, ha a peremen elvágott szálaknak a kifelé eső részeit tekintjük (2.2.5. ábra). A szálfolyamok elméletében a belső a hátsó-, a külső a mellső szakállnak felel meg.

A

2.2.5. ábra. Konvex síkidomot metsző szálak belső (vastag vonal) és külső (vékony vonal) szakállmetszetei A (2.2.40)-el, egy kiszemelt Γ-beli szálra vonatkozó MA általános metszési esemény a következő formában is megfogalmazható: MA = {lA>0}⊂{S∈ℑA} (2.2.41) A (2.2.41) módjára megfogalmazott metszési esemény kizárja az A-t a peremén egy pontban, vagy egy nullmértékű halmazon érintő szálakat. Mivel TA≠0, ezért az lA szálhossz függ attól, hogy az adott szál középpontja milyen közel esik az A pereméhez, illetve magjához. Ennek megfelelően a Γ(l,β) szálfolyamra vonatkozó vágási szálhosszeloszlás keverékeloszlás formájú, melynek – nem zérus területű Ao mag esetében – legalább két tagja van: FlA(xMA(l,β)) = P(UAo) FlA(xMA,UAo) + P(UAo*) FlA(xMA,UAo*) (2.2.42) ahol az (2.2.29) mellett felhasználtuk a teljes valószínűség tételét [K59] is, valamint a következő jelöléseket is: UAo = {C∈A0}, UAo* = {C∈B\A0} (2.2.43) a C szálközéppontnak az A0=A0(l,β) magba esésének eseménye, illetve annak ellentéte. Itt az FlA(xMA,UAo*) az A-ra vett általánosított (belső) szakállhosszeloszlás. A B=B(l,β) halmaznak az A0-on kívüli részei a szakállhosszeloszlás meghatározásához általában több részre – irányított belső-, külső- és sarokperem környezetekre, sőt ezek további részeire –

65

bontandók fel. Legyen tehát {UAo*k}k diszjunkt halmazsorozat az UAo* megfelelő felbontása, ezzel a (2.2.42) vonatkozó alakja: FlA(xMA(l,β)) = P(UAo) FlA(xMA,UAo) + ∑kP(UAo*k) FlA(xMA,UAo*k) (2.2.44) A (2.2.44) - a korábbiakban alkalmazott módon - átlagolandó az (l,β)-szerint, a Γ szálpaplan teljes figyelembe vételéhez: FlA(xMA) = E[FlA(xMA(l,β))] (2.2.45) A feltételezés szerint homogén X szálközéppont folyamat miatt, a Γ(l,β) szálfolyamra vonatkozó beesési valószínűségek kifejezhetők a megfelelő területek arányaként is. Például az A0 magba esés P(UAo) feltételes valószínűsége megegyezik az A0, illetve B halmazba eső szálközepek átlagos számának arányával: Ε( χ Ao ) κ o ( A0 ) K o T Ao T Ao P(UAo) = P(C∈A0(l,β)) = = = = (2.2.46) Ε( χ B ) κ o ( B ) K o TB TB ahol B és A0, illetve κo és Ko a Γ(l,β)-szálfolyamra vonatkozó alap- és maghalmaz, illetve várhatóérték mérték és pontsűrűség. Egyenes mentén vágott szálak hosszeloszlása Egy adott egyenes A szakaszt metsző rögzített l-hosszú és β-irányszögű szálakat a metszéspont két, véletlen hosszúságú l+ és l- részre vágja (2.2.6. ábra). Ezen vágott részek hosszának eloszlása fontos lehet például a szálpaplan tényleges felvágása, vagy az adott vonal menti befogása esetében.

2.2.6. ábra. Egyenes szakaszt metsző szálak metszeti hosszai Az A szakaszt metsző szálak ξA számát a (2.2.21) paraméterű Poisson eloszlás, míg ezen metsző szálak hosszeloszlását a (2.2.37) írja le. Feltéve, hogy az Q-metszéspont mind az A szakasz, mind a C-középpontú metsző szál bármely részén egyenlő valószínűséggel fordulhat elő, úgy az (l,β)-paraméterű metsző szálak lehetséges pozícióit a 2.2.6. ábra szerinti parallelogramma foglalja össze. Ekkor úgy tekinthetjük, hogy az A-szakasz a-hossza a rögzített l=u hosszú metsző szálak gyakoriságával arányos. Így annak valószínűsége, hogy egy ilyen metsző szál (legyen MA a metszési esemény) l+-metszeti hossza az x-nél nem kisebb (0≤x≤l=u) (2.2.6. ábra), itt az alábbi, a β=w értéktől független, vonali hányadosokkal fejezhető ki: a u− x P(l+≥xMA, u≤ l< u+du, w≤ β< w+dw) = x = (2.2.47) a u vagyis, a w-szerint integrálva,

66

P(l ≥xMA) = +

∞

∫

P(l+≥xu≤l
u=0 ∞

= tehát, a (2.2.47)-et is felhasználva (0≤x≤l): ∞

Fl+(xMA) = 1 - P(l+≥xMA) = 1 − ∫

x

u− x dFl (u M A ) u u=0

∫

(2.2.48)

∞

u−x u−x dFl ( u M A ) = 1 − ∫ dFl ( u ) u Ε( l )

(2.2.49)

x

A (2.2.49) átalakítással, majd parciális integrálással és összevonással az alábbi egyszerűbb alakra hozható: x 1 − Fl (u) Fl+(xMA) = ∫ du (2.2.50) Ε ( l ) 0 ami a lineáris szálfolyamok, sőt a pontfolyamatok elméletében szintén ismert eredmény [K82,S72], ahol az előbbiben – az (1.2.38) összefüggésnek megfelelően - félszakáll-, vagy mellső szakállhossz-eloszlásnak nevezik, amelynek várható értéke (1.2.40)-el egyezik meg (F2.3. Függelék). 2.2.2.4. Konvex minta területi sűrűségének statisztikus jellemzői

A szálpaplan területi sűrűségének meghatározása rendkívül fontos a Poisson szálpaplan modell alkalmazhatóságához, ugyanis a területegységre eső szálközepek, vagy szálak átlagos száma nehézkesen mérhető, így az átlagos területi sűrűség kínál kedvezőbb lehetőséget a K pontsűrűség kísérleti meghatározásához. Konvex szálpaplan minta területi sűrűségének sajátosságai Legyen az A (konvex és zárt) tojástartományt a (2.2.41) értelmében metsző S∈ℑA szálak száma ξA (metszeti hosszuk lA=λ1(S∩A)) és az egyes S szálakba, mint rostokba (elemi szálkötegekbe) foglalt elemiszálak száma ν! Ekkor az A halmazba eső ΓA paplanrész tömege: m(ΓA) = ρLo LA (2.2.51) ahol ρLo az elemiszálak állandó (vagy átlagos) lineáris sűrűsége és LA az A-t metsző elemiszálak összhossza: ξA LA = ∑ ν k l Ak (2.2.52) k =1

mellyel az A konvex tartományba, mint kivágott mintába eső szálpaplan területi sűrűsége: ρ Lf m(Γ A ) ρ2(ΓA) = ρT(ΓA) = = LA (2.2.53) λ 2 ( A) TA A (2.2.51) és (2.2.53) szerint a szálpaplanból kivágott A minta tömege és területi sűrűsége is konstans-szorosa az A-ba foglalt LA össz-szálhossznak, ezért a továbbiakban elég ennek statisztikai jellemzőivel foglalkoznunk. A (2.2.52) ún. véletlen tagszámú összeg [K20,K59], ahol a ν elemiszál-szám független a ξA tagszámtól és az lAk összeadandóktól, azonban ξA és az lAk-k általában nem függetlenek, az (l,β)-által meghatározott irányított környezeteken keresztül kapcsolatban vannak. Az X Poisson folyamat ún. független növekményű [K3,K38], ezért a ξA tagszám és így az A-t metsző szálak (2.2.7. ábra) LA összhossza is két független valószínűségi változó összegére bontható: ξA = χA + ΨA LA = LA1 + LA2 (2.2.54) ahol LA1 azon A-t metsző szálak összhossza, melyek szálközepe az A-ba esik (2.2.7. ábra): 67

χA LA1 = ∑ ν k l A1k

ΨA

LA2 = ∑ ν j l A2 j

k =1

(2.2.55)

j =1

míg LA2 azon A-t metsző szálaké, melyek szálközepe A-n kívül, azaz W\A-ba, pontosabban az A külső, irányított peremkörnyezetébe esik (2.2.7. ábra).

2.2.7. ábra. Egy A tojástartományt metsző szálak, valamint ezek közül a közepükkel az A-n kívül esők (C1), az A-ba esők (C2, C3) metszeti hossza A vonatkozó χA és ΨA rost (szálköteg) számosságok is független, Poisson eloszlású valószínűségi változók ekkor, ahol a χA=#(X∩A) Poisson pontfolyamatot ír le a W-n. E számosságok egyik fontos tulajdonsága a (2.2.19) felhasználásával kapható:  E (d ⊥ ( β , A) )  E(ξA) = E(χA + ΨA) = KTA + KE(l)E(d⊥(β,A)) = KT A 1 + E (l ) (2.2.56)  TA   és ha feltesszük, hogy a TA→∞ során a növekvő A tartományok hasonlók, úgy a területük TA = d⊥(β,A) dII(β,A) (2.2.57) alakba írható, ahol dII(β,A) az A-nak β-irányú átlagos metszetszélessége, s ekkor: E(ξA) = E(χA + ΨA) = K(TA+E(l)E[d⊥(β,A)]) ∼ KTA = E(χA), TA→∞ (2.2.58) hiszen TA→∞ esetén d⊥(β,A) →∞ és dII(β,A) → ∞. A (2.2.58) szerint a ΨA a χA-hoz képest várható értékben aszimptotikusan elenyészik. Figyelembe véve, hogy bármely adott rost hossza, illetve metszeti hosszai között fennállnak az alábbi relációk: 0 < lA ≤ l 0 < lA1 ≤ l 0 < lA2 ≤ l/2 (2.2.59) belátható, hogy az lA→l eloszlásban TA→∞-re [K59] (F2.4. Függelék): Fl ( x M A ) = P (l A < x M A )   → Fl ( x ) (2.2.60) TA →∞

Tehát elég nagy TA mellett, az A0 mag mellett a perem hatása elenyészik. A (2.2.60)-ból következik a momentumok konvergenciája is TA→∞ esetén: E(lA)→E(l), E(lA2)→E(l2), D(lA)→D(l) (2.2.61) A fentiekből – itt speciálisan – a négyzetes konvergencia is belátható, ugyanis az lA≤l és a (2.2.61) relációkkal: (2.2.62) E[(lA-l)2] = E(lA2) + E(l2) – 2E(lA l) ≤ E(l2)-E(lA2) → 0, TA→∞ A (2.2.62)-ből következik, hogy lA→l sztochasztikusan is TA→∞ esetén [K59]. 68

A területi sűrűség jellemzői közepükkel a mintába eső szálak esetében A közepükkel az A tojástartományba eső szálak (2.2.55) szerinti metszeti összhossza összetett Poisson folyamatot alkot [K3,K55], hiszen a χA számosság az összeadandóktól független Poisson folyamat. Ennek megfelelően az LA1 ún. karakterisztikus függvénye [K59], kihasználva a ν és lA1 függetlenségét is: ϕLA1(t) = exp [KTA(ϕνlA1(t)-1)] = exp [KTA(ϕν(t)ϕlA1(t)-1] (2.2.63) ahol t valós változó. A (2.2.63)-ból könnyen meghatározható a (2.2.55) összetett Poisson folyamat várható értéke és szórásnégyzete [K3,K55] és – a (2.2.61) figyelembe vételével – azok aszimptotikus értékei is TA→∞ esetén: E(LA1) = KTA E(νlA1) = KTA E(ν)E(lA1) ∼ KTA E(ν)E(l) = E(L’A1) (2.2.64) 2 2 2 2 2 2 2 D (LA1) = KTA E(ν )E(lA1 ) = KTA E (ν)E (lA1)(1+Vν )(1+VlA1 ) ∼ ∼ KTA E2(ν)E2(l)(1+Vν2)(1+Vl2) = D2(L’A1) (2.2.65) ahol kihasználtuk a ν és lA1 függetlenségét. Növekvő mintaterületek mellett, az LA1 relatív szórásnégyzete aszimptotikusan tart az L’A1 relatív szórásnégyzetéhez, s végül mindkettő zérussá válik: ( 1 + Vν2 )( 1 + Vl2 )

( 1 + Vν2 )( 1 + Vl2 ) ∼ = VL2'  → 0 (2.2.66) A1 T A →∞ KTA KTA A területre vonatkozó (2.2.66) kifejezés analóg a lineáris szálfolyamok keresztmetszetének szórását meghatározó (1.2.51) Martindale-féle határértékkel. Megjegyzendő, hogy pl. a (2.2.64) átlagérték – a χA és az összeadandók függetlensége miatt – az ún. Wald azonosság [K59] segítségével is megkapható, mely szerint az LA1 várható értéke: E(LA1) = E(χA) E(νlA1) (2.2.67) A (2.2.64)-(2.2.66) alapján megállapítható, hogy várható értékben és szórásban az LA1→L’A1 a TA→∞ esetén. A szálpaplan átlagos területi sűrűsége Egy véges, konvex (tojástartomány) A paplanminta területi sűrűségjellemzőinek kiszámításához figyelembe kell venni, hogy a (2.2.52) véletlen tagszámú összegben a szálak ξA száma nem független a szálhosszaktól (l) és azok orientációjától (β), az ezen paraméterektől függő lineáris környezet miatt. Rögzítve viszont a szálpaplan egy Γ(l,β) ELszálfolyamát, rögzül a B=H(l/2,β,A) lineáris környezet is. Ekkor, e szálfolyamon belül, a ξAnak megfelel egy χB(l,β) Poisson eloszlású változó, amelynek paramétere KTB(l,β), s amely független a rögzített l hosszúságú, de véletlen pozíciójú szálak lA metszeti hosszától (ld. az F2.4. Függeléket is). Feltehető tehát, hogy – a Γ(l,β) szálfolyamon belül – ilyen feltételes értelemben alkalmazható a Wald azonosság a (2.2.52) véletlen tagszámú összegre: E(LA) = E[E(ξAl,β) E(νlAl,β)] = E(ν) E[K(TA + ld⊥(β,A))E(lAl,β)] (2.2.68) Mivel lA≤l, ezért 1 valószínűséggel igaz ez a feltételes várható értékekre is [K59], melyet a (2.2.68) mellett felhasználva, az A konvex minta várható területi sűrűségére – a mintaterület méretarányos növekedése mellett – egy felső becslést kapunk: E[ρ2(ΓA)] = E[m(ΓA)]/TA = ρLoE[LA)]/TA ≤ 1 ≤ ρLo K E(ν) {E(l) + E(l2)E[d⊥(β,A)]}  → ρLo K E(ν)E(l) =ρT∞ (2.2.69) T A →∞ TA ahol ρT∞ a W síkon végtelen kiterjedésű Γ szálpaplan átlagos területi sűrűsége. A (2.2.69) összefüggés szerint elég nagy TA területű A minta esetén, az A-ba eső közepű szálak közül, az A peremét metsző szálak A-ból kiálló részeinek összege (hosszösszege, össztömege) lényegében megegyezik az A-t metsző, de közepükkel nem A-ba eső szálak A-val közös részei összegével. Másként fogalmazva, az A peremére vonatkozó külső és belső szakállhosszeloszlások aszimptotikusan azonosnak vehetők. VL2 = A1

A1

69

Az F2.5 Függelékben, a mérésekhez leggyakrabban alkalmazott, téglalap alakú szálpaplan mintákra meghatároztuk a Γ(l,β) szálfolyamra vonatkozó, a szálpaplanra nézve feltételes metszeti szálhossz eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvényét, amelynek segítségével kiszámoltuk a metszeti szálhossz feltételes várható értékét és négyzetes középértékét. A (2.2.68) és (2.2.69) összefüggések pontosíthatók, illetve élesíthetők, ugyanis belátható, hogy a téglalap alakú mintára levezetett (F2.5.10) egyenlőség jobboldala, az általános alakú tojástartományokra is érvényes (ld. az F2.6. Függeléket): T A + T A'2 + T A"2 T TAl l= Al= E(lAl,β)] = 1 (2.2.70) TB TB T A + ld ⊥ ( β , A) A (2.2.70)-et a (2.2.68) baloldalába helyettesítve, az A mintába foglalt szálak várható összhossza: (2.2.71) E(LA) = E(ν) E[KTB E(lAl,β)] = KTA E(ν) E(l) S ezzel az A konvex minta várható területi sűrűsége: E[ρ2(ΓA)] = E[m(ΓA)]/TA = ρLo K E(ν) E(l) = ρT∞ = E[ρ2(Γ)] (2.2.72) A (2.2.71) és (2.2.72) fontos összefüggések, melyek lehetővé teszik, hogy a szálpaplan modell K rostközéppont sűrűségét a területi sűrűség mérésével határozzuk meg. Szálpaplan minta területi sűrűségének szórása Az F2.5. Függelékben téglalap alakú mintára végzett számításokból kitűnik, hogy a metszeti eloszlások felhasználásával a területi sűrűség várható értéke viszonylag könnyen, egyszerű formában megkapható, azonban a szórás esetében ez nehézségekbe ütközik. Általános esetben is hasonló a helyzet. Az A-ba eső szálpaplan tömeg szórásának meghatározásához tekintsük az LA össz-szálhossz négyzetértékét: LA2

 ξA =  ∑ ν k l Ak   k =1

2 ξ ξA  A  = ∑ ν 2l 2 + ∑ ν l ν l i Ai k Ak k Ak  k =1 i ,k =1 

(2.2.73)

i≠k

A Γ(l,β) szálfolyamra vonatkozó feltételes négyzetes középérték, a fentiek alapján, a Wald azonossággal számítható:

(

)

(

) (

)

2 E L2A l , β = E (ξ A l , β )E ν i2l Ai l , β + E ξ A2 − ξ A l , β E (ν iν k l Ail Ak l , β ) =

(

)

(

)

2 2 = ν 2 KTB E l Ai l , β + ν 2 K 2TB2 E (l Ail Ak l , β ) = ν 2 KTB E l Ai l , β + ν 2 K 2TB2 E (l Ai l , β )E (l Ak l , β ) (2.2.74) ahol felhasználtuk a Poisson eloszlás (2.2.2) tulajdonságát:

(

)

E ξ A2 − ξ A l , β = D 2 (ξ A l , β ) + E 2 (ξ A l , β ) − E (ξ A l , β ) = E 2 (ξ A l , β ) (2.2.75) A téglalap mintára kapott feltételes négyzetes közép (F2.5.14), illetve az (F2.5.19) formulájához hasonló alakú kifejezést feltételezve az általános esetre is: T 2 E l Ai l , β = A l*A2 (2.2.76) TB ahol az lA* egyfajta metszeti szálhossz és figyelembe véve a (2.2.70) eredményt, a (2.2.74) várható érték:

(

( ) [(

)

)]

( )

E L2A = E E L2A l , β = ν 2 KTA E l*A2 + ν 2 K 2TA2l 2 s ezzel, valamint a (2.2.71)-el az LA szórásnégyzete, illetve relatív szórásnégyzete:

(2.2.77)

D 2 ( LA ) = E L2A − E 2 ( LA ) = ν 2 KTA E l*A2

(2.2.78)

( )

( )

70

2 2 ( ) (1 + Vν )1 + Vl   E (l*A ) 2 ~ (1 + Vν2 )(1 + Vl2 ) → 0

ν 2 KT E l* 2 V 2 ( LA ) = 2 A2 2 A2 = ν K TA l

* A

(2.2.79) T A →∞ KTA  l  hiszen a fentiek alapján feltehető, hogy E(lA*)→ l , TA→∞. A (2.2.79) szerint, nagy mintaterületek esetében, az LA szórása – a várható értékéhez hasonlóan – az L’A1 szórásával közelíthető. Növekvő mintaterületek mellett, az LA relatív szórásnégyzete – hasonlóan az LA’éhez – aszimptotikusan tart az L’A1 relatív szórásnégyzetéhez, majd zérussá válik, alátámasztva, hogy ezen értelemben a területi sűrűség legalábbis első rendben stacionárius és várható értékben ergodikus folyamat [K21]. Az (F2.4.5) a (2.2.65)-el, illetve a (2.2.66) és (2.2.79)-el az LA szórásnégyzetére lényegében alsó becslést ad. Kisebb értékekre egy felső becslés alakítandó ki. Ehhez az első lépésben az LA (2.2.54), illetve (F2.4.3) szerinti független összetevőkre való felbontásából, valamint abból indulunk ki, hogy a (F2.4.3) egyenlőtlenségek alkalmazhatók az összetevők, illetve négyzeteik várható értékeire is. A (2.2.62)-t is figyelembe véve, kapjuk: D2(LA1) ≤ D2(LA) ≤ E(L’A2) - E(LA2) = D2(L’A1) + D2(L’A2) + E2(L’A) – E2(LA) (2.2.80) Figyelembe véve a (2.2.66)-ot, illetve a (2.2.79)-et és a vonatkozó kísérleti eredményeket is, a (2.2.80) alapján, az alábbi egyszerűsített, félempírikus felső becslésre jutottunk az A minta területi sűrűségének V2(ρ2(ΓA)) = V2(LA) relatív szórását és annak aszimptotikus alakját illetően, TA→∞ esetére: (1 + Vν2 )(1 + Vl 2 ) l E [ d ⊥ ( β , A )] V A21 = ≤ V2(LA) ≤ VA21 + Vl2 ≤ V A21 + Vl 2 (2.2.81) TA + l E [ d ⊥ ( β , A )] KT A Ama speciális esetben, amikor az A minta egy D átmérőjű kör, akkor a (2.2.81) alakja: 4

KTA

( 1 + Vν2 )( 1 + Vl2 ) KD 2π

≤ V (LA) ≤ 4 2

( 1 + Vν2 )( 1 + Vl2 ) KD 2π

+ Vl2

4l 4l + Dπ

(2.2.82)

A 2.2.8. ábra egy szálpaplan (ρT∞=266,7 g/m2, ρLo=3,0 dtex, l =48,2 mm, Vl=11,6%, ν =65, Vν=49,2%, K=28,4/cm2) téglalap alakú mintáin méréssel és a (2.2.81) alapján számítással meghatározott területvariancia görbéket szemlélteti, ahol a mért eredményeket

Területi sűr. rel. szórása [%]

közelítő közepes szórásnégyzet értékeket a V 2 ( LA ) ≈ V A21 + c1 /( TA + c2 ) kifejezéssel és a c1, c2 állandók illesztésével (c1=0,0838 dm2; c2=0,808 dm2) becsültük [S69] (M2.1. Melléklet). 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Mérésből Maximum Közepes Minimum

0

10

20

30

40

50

60

70

Terület [dm2]

2.2.8. ábra. Szálpaplan mért területvariancia értékei, valamint annak közelítése, alsó- és felső becslései A (2.2.82) kifejezés módot ad arra, hogy az A-minta szükséges méretére következtessünk, azaz megbecsüljük, mekkora területű A konvex mintát kell kivágni a szálpaplanból ahhoz, hogy ennek alapján mérhető területi sűrűség átlagos relatív hibája egy 71

adott ε>0 korlát alatt maradjon. Ehhez többféle meggondolással is eljuthatunk. Például ama TA értéket keressük, melyre adott p valószínűséggel teljesül az alábbi egyenlőtlenség: t 2p V 2 (m(Γ)) ≤ t 2p V A22 < ε 2

(2.2.83)

ahol tp a vonatkozó kritikus érték, melynek meghatározásához feltehető például, hogy a Student eloszlás táblázatát használhatjuk. D átmérőjű, köralakú minta esetében, a (2.2.82) és (2.2.83) összevetéséből adódó másodfokú egyenletet megoldva, az alábbi átmérőbecsléshez jutunk:  t 2p  2 4l 16l 2 ( 1 + Vν2 )( 1 + Vl2 ) ε 2  D > 2 Vl + Vl4 2 + 4 (2.2.84) π Kπ π 2ε  t 2p   

2.2.3. Szálpaplan egyéb sűrűség és porozitás jellemzői 2.2.3.1. A szálkereszteződések sűrűsége

Egy véletlen α-irányszögű szálat keresztező más, véletlen β-irányszögű szálak száma Poisson eloszlású és várható értéke a (2.2.26)-al számítható, amelyet l -al osztva, az átlagos szálhosszegységre eső metszésszámot kapjuk. A (2.2.71)-et a ν -al osztva, egy A konvex mintát metsző szálak (rostok) átlagos összhosszához jutunk. Feltéve, hogy a kereszteződési pontokban mindig két szál találkozik, az előző két mennyiség szorzatának fele, az A-ba eső szálkereszteződések (2.2.9. ábra) várható számának (J∞) értékét adja: J∞ = 2-1 K2 E2(l)E[sin(α-β)] ≤ 2-1 K2 E2(l) (2.2.85)

A o o

o

o o o o o o

2.2.9. ábra. Egy tojástartományba eső szálkereszteződési pontok A felső becslést a szinusz függvény korlátosságának figyelembe vételével kapjuk. Izotróp esetben az irányszögek egyenletes eloszlásúak, így mindkettőre integrálva a (2.2.27) szerint: E[sin(α-β)]=2/π (2.2.86) s ekkor a (2.2.85) alakja: J∞ = K2 E2(l)/π (2.2.87) 2.2.3.2. Rostközéppontok távolságának jellemzése a vakfolttal

A szálpaplan szálközéppontjainak távolságát, bizonyos mértékig jellemzik az ún. "vakfoltok" méretei, illetve azon körök d=2r átmérője, melyeken belül szálközéppont nem található (2.2.10.a. ábra). Ezek egyfajta ritkulási helyeknek is tekinthetők.

72

a.)

o o

o o

b.)

o o o

fρ(r)

o o

o o

o o

o

r

o

o o

o o

ρD E(ρ)

o o

r

2.2.10. ábra. Vakfolt (a) és a beírt kör sugarának sűrűségfüggvénye (b) Ha ρ ama tetszőleges Qo középpontú körlemez sugara, melyen belülre szálközéppont nem esik, úgy a ρ≥r esemény megegyezik azzal, hogy χGo=0, ahol Go=G(r,Qo). Ezt felhasználva kapjuk a ρ eloszlásfüggvényét (r>0): Fρ(r) = P(ρ
2.2.3.3. Pórusméret eloszlás

A szálbunda szerkezetének fedettségére, vagy inkább egyes ritkulásaira lehet jellemző az ún. pórusméret, amely tulajdonképpen a szálak által nem fedett helyekre beírható legnagyobb kör átmérőjeként adható meg (2.2.11.a. ábra).

2.2.11. ábra. Látszólagos és valós pórus (a) és a beírt kör sugarának sűrűségfüggvénye (b) Ha ρo azon Qo középpontú Go körlemez sugara, melyen belülre szálközép nem esik és szál nem is metszi, továbbá a (l,β)-paraméterű szálakra vonatkozó irányított környezete Ho=H(l/2,β,Go), úgy a ρo≥r esemény megegyezik azzal, hogy χHo=0, Go=G(r,Qo). Ezt 73

felhasználva és a vonatkozó sűrűségeket (l,β)-ra átlagolva, kapjuk a ρo eloszlásfüggvényét (r>0): (2.2.92) Fρo(r) = P(ρo
π

A (2.2.94)-ből látható, hogy rDo≥0, ha no≤1, vagyis no≥1 esetében a domináns sugár zérus, és a sűrűségfüggvény exponenciális eloszlás jellegűvé válik. A várható pórussugár (F2.7. Függelék): K Ε2 ( l )

π

no 2

[

( )]

  Ε( l )  e 1  = 1 − Φ no ~ (2.2.96) 1 − Φ 2 KE( l ) K  K  π σ o  ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény és n→∞ esetében E(ρo) monoton növekedve tart az aszimptotikus értékhez, amely tehát felső határ. A fenti módon vizsgált pórusméretek a valóságban vetületi értelemben vett pórusokat határoznak meg, a paplan vastagságát elhanyagolva, továbbá ezek csak látszólagos vagy rejtett pórusok, hiszen a rostoknak véges szélességük van (2.2.11.a. ábra). A b átlagos szélességű rostok esetén a ρ1 sugarú valós pórusok (2.2.11.a. ábra) eloszlásfüggvényét a látszólagos pórusokéból a ρ0> b /2 feltétel mellett nyerjük: Fρ (r + b / 2 ) − Fρ o (r + b / 2 )  b b (2.2.97) Fρ ( r ) = P(ρ < r ) = P ρo − < r ρ o ≥  = P o ( ) 2 2 F r + b / 2 ρ   o A valós pórussugár eloszlásfüggvénye a (2.2.93) kissé módosult formája (F2.7. Függelék): E(ρo) =

e

Fρ ( r ) = P(ρ

  bπ − K  2r 1+ 2l < r) = 1− e  

  l + r 2π   

Ennek segítségével a valós pórusok átlagos sugara:  b b 1 ρ1 = E( ρ1 ) = E  ρ0 ρ0 ≥  − = G( n1 ) ≤ 2 2 2K ( l + b / 2 )  ahol a módosított karakterisztikus szálszám:

 πb  n1 = no 1 + l  

74

(2.2.98)

(2.2.99)

2

(2.2.100)

2.3. Az eredmények értékelése A 2D-s rövidszálas szerkezetek – elsősorban szálpaplanok – kidolgozott statisztikus geometriai modellje lényegében véve egy Poisson szülőfolyamatra épített Neyman-Scott folyamatot alkalmaz, amelyben a véletlen számú, irányszögű és hosszúságú szálutód egy, a szülőpontra koncentrált, klasszikus szálköteget (rostot) alkot. Ez így önmagában is újszerű elképzelés, amely az itt definiált, lineáris- vagy szálkörnyezet konstruktív fogalmával együtt válik igazán jól használhatóvá. Ez és az SSTM szálfolyamoknál alkalmazott felbontás módszerének adaptálása, azaz a szálpaplan EL-szálfolyamok egyesítésére való felbontása teszi lehetővé, hogy számos – pl. szálmetszési – feladatot geometriai valószínűségekre visszavezetve oldjunk meg. A kidolgozott 2D-s Poisson típusú szálpaplan modell a szálfolyamok SSTM-féle Poisson modelljének egyfajta 2D-s kiterjesztése, amit például az alábbiak támasztanak alá. • Egyenes szakaszt metsző szálak száma a (2.2.21) szerint itt is Poisson eloszlású, mint az SSTM modellben. • Egyenes szakaszt metsző szálak (2.2.37), illetve a félszakállak (2.2.50) hosszeloszlása megegyezik a szálfolyamok (1.2.32) keresztmetszeti, illetve (1.2.38) szakállhosszeloszlásával. • Konvex paplanmintát metsző szálak összhosszának vagy területi sűrűségének (2.2.79) relatív szórása a szálfolyamok keresztmetszetére vonatkozó (1.2.51) Martindale–féle határegyenlőtlenséggel analóg összefüggéshez vezet. A szálpaplan modell 2D-s Poisson folyamatot alkalmaz, és felfogásában jelentősen eltér a Poisson egyeneshálózatos megoldásoktól, mint például a Lombard, Rollin és Wolf [234] által felhasznált Matheron-féle modell. A különbözőség több okból szükségszerű. Egyfelől az utóbbiban alkalmazott egyenesek esetében nem értelmezhető a középpont, így jellemző pontként az origóból húzott merőlegessel való metszéspontot szokás megadni [33,K68]. Másfelől az egyeneshálózatos Poisson modellekben egy tetszőleges egyenesen létrejövő metszéspontok 1D-s Poisson folyamatot alkotnak a modell alapjaként, szemben az itt alkalmazott 2D-s Poisson folyamattal. Modellünkben a szálhossz minden határon túli növelését valamilyen más paraméter, például a területi sűrűség rögzítése mellett célszerű elvégezni, hogy használható modellhez jussunk. Ez a (2.2.71) képlet alapján azt jelenti – a roston belüli átlagos szálszámot is állandónak tekintve –, hogy az átlagos szálhossz növelése az L R∞ = Kl területegységre eső rosthossz állandósága, azaz a K rostközéppontsűrűség egyidejű csökkentése mellett hajtandó végre. Ennek következményeként – a (2.2.25) összefüggés szerint – egy tetszőleges egyenes szakaszt metsző szálak átlagos száma is állandó marad. E metszéspontok bármely egyenes szakasz mentén 1D-s Poisson folyamatot alkotnak az izotróp rövidszálas modellben, amely a szálhossz növelésével Poisson folyamat is marad, a K1 = 2 Kl / π = 2 LR∞ / π paraméterrel, mint hosszegységre eső kereszteződési pontsűrűsséggel. Ezzel a Matheron modellhez hasonló, de nem azonos felépítésű egyeneshálózathoz jutunk. A szálpaplan modell eltér Schoppee [197] és Sampson [192] felfogásától is, akik egy vetületi pontban kereszteződő, állandó hosszúságú szálak számát tekintették Poisson eloszlásúnak. A kidolgozott koncepcióhoz legközelebb Scharcanski, Dodson és Clarke [195] homogén Poisson szülőfolyamatra alapított Neyman-Scott modellje áll, amit azonban szimulációval valósítottak meg. A szálpaplan modell segítségével megoldhatók az 1.4. fejezetben a szálfolyamok, illetve a rövidszálas 2D-s szerkezetekből kivágott minták szerkezeti jellemzői meghatározását illetően kitűzött feladatok. Ezekkel kapcsolatos, a kidolgozott szálpaplan modell alapján kapott fontosabb, újszerű, illetve új eredmények:

75

• Egy konvex mintát (tojástartományt) metsző szálak száma Poisson eloszlású, amelynek (2.2.19) paramétere az átlagos szálhossztól és a minta, szálorientáció eloszlással súlyozott, átlagos átmérőjétől függ. • Egy konvex mintát metsző szálak együttes szálhossz és irányszög-eloszlásfüggvénye a (2.2.33) és annak perem-eloszlásfüggvényei a (2.2.34), illetve a (2.2.38) összefüggésekkel adhatók meg. • Egy egyenest metsző (arra nem illeszkedő) paplanszálak hosszeloszlása, valamint egyik oldalra kinyúló szálrészeik (2.2.50) hosszeloszlása független a metszés szögétől és megegyezik a szálfolyamoknál ismert, hasonló szerepű keresztmetszeti-, valamint szakállhossz-eloszlással. • Egy konvex mintába foglalt szálak tömegével meghatározott területi sűrűség várható értéke a (2.2.72), míg a relatív szórásának nagy mintaterületre vonatkozó, aszimptotikus értéke a (2.2.79) formulával számítható. Ezek elemzése alapján megállapítható, hogy egy minta peremét metsző szálak belógó-, illetve kilógó részeik összegének átlaga a mintaterület növekedésével aszimptotikusan megegyezik, valamint azon szálak hosszának összege, amelyek szálközéppontja a mintába esik, átlagértékben megegyezik a mintába foglalt szálrészek összhosszával. • A területegységre eső szálkereszteződések várható száma a (2.2.85)-el, illetve izotróp szálpaplan esetében a (2.2.87)-el becsülhető. Ezek szerint a szálkereszteződések sűrűsége arányos az átlagos szálhossz négyzetével, hasonlóan van Wyk [237,K52] izotróp szálhalmazra vonatkozó ( F1.1.7) képletéhez. • A véges hosszúságú szálakból álló szálpaplan körpórusainak méreteloszlását, vonalszerű szálak esetén a (2.2.92), míg véges szélességű szálakra a (2.2.98) eloszlásfüggvény írja le, amelyek függnek az átlagos szálhossztól. Kis szálközéppont sűrűségnél – a (2.2.94) szerint K < π / 2l 2 esetén – jellegre hasonlók (unimodálisak), de nem azonosak a Matheron-féle egyenesháló modellből levezetett (1.2.62) eloszlással, míg nagyobb sűrűségértékeknél exponenciális jelleget öltenek. Az (2.2.96) szerinti átlagos pórusméretek – Scharcanski, Dodson és Clarke [195] szimulációs eredményeihez hasonlóan – hiperbolikusan csökkennek a szálközéppontsűrűség növekedésével. A szálpaplan modell alapján kapott szálhossz-eloszlások fontos szerepet játszanak a ferdeszálas szerkezetek szilárdságának meghatározásában, és e modell szolgált kiindulásul a poliészter font fonalak póruseloszlásának kiszámításához [S24-S27,S73,K50], valamint az e fonalakon végzett higanyos porozitásmérés kiértékeléséhez [S27,S28,K50], üvegszálpaplanok gyantafelszívásának elemzéséhez [S11-S14], továbbá – a szálak helyett gömböket tekintve – bazalt szálfejek eloszlásának és hatásának leírásához [K54].

76

3. STATISZTIKUS, IDEALIZÁLT SZÁLKÖTEGCELLÁK ÉS TULAJDONSÁGAIK 3.1. Idealizált szálkötegcellák alapkoncepciója 3.1.1. Statisztikus szálkötegek, mint a szálas-rostos szerkezetű anyagok strukturált modellelemei A textíliák és a lineáris polimer szálanyagok részben rendezett, szálas-rostos szerkezetűek. • Egyrészt tehát, szálszerű elemekből épülnek fel; ilyen elemek úgy a polimer anyagokat alkotó láncmolekulák, hálóágak, mint a fibrillák is, illetve ilyenek az – általában ugyancsak polimer anyagokból készült – szálak is. • Másrészt, a szálas-rostos anyagok eme szálszerű elemei rendezett, illetve rendezetlen részeket alkotnak, s e részekből épül fel az adott anyagra jellemző struktúra. Mikroszkópikus szemléletben a rendezett részekben a szálak/rostok rendezett szálkötegeket alkotnak, melyeket jellegüknél fogva szálcelláknak is nevezhetünk. E szemléletben a rendezetlen részek, illetve az azonos, vagy közel azonos tulajdonságú rendezetlen részek egyesítései is felfoghatók rendezetlen szerkezetű, vagy pszeudórendezett szálkötegeknek, szálköteg-celláknak. Ezt a szemléletet tükrözik például az uniaxiálisan orientált polimerek, jelesül a szálak, kis- és nagyszögű röntgen vizsgálatának eredményei interpretálását szolgáló anyagszerkezeti modellek is (3.1.1. ábra), például a Prevorsek-féle háromfázisú modell [73,K30], ahol a D átlagos kristályos részecskenagyság és az amorf terület T méretének összegeként áll elő az L nagyperiódus. E blokkok így egy pszeudófibrilla „ismétlődő egységeként” két szálköteg-cella sorba kapcsolását adják [73,K30,K48,K77]. Az orientált szálak többségének szerkezete ilyen fibrillakötegekből áll [73].

3.1.1. ábra. Részbenkristályos polimernél mért kristályos részecskenagyság (D), a nagyperiódus (L) és az amorf terület (T) vázlatos értelmezése [73,K30,K48,K77] A szálas/rostos anyagok makroszkópikus, fenomenológikus megközelítésben diszkrét, lineáris (rugó, viszkózus-, illetve tehetetlenségi elem) – esetleg nemlineáris – mechanikai elemek (testek) koncentrált paraméterű hálózatával modellezhetők [K2,K77,S5]. A textíliák mikroszkopikus szálas/rostos felépítését és speciális makroszkópikus viselkedését együttesen és célszerűen olyan párhuzamosan és sorosan kapcsolt elemek hálózata modellezheti, ahol az elemek tipizált és idealizált, struktúrált, statisztikus szerkezetű szálköteg-cellák. Az ilyen szálköteg-cellák párhuzamos kapcsolásával kialakult eredő szálköteget nevezhetjük kompozit szálkötegnek, vagy kompozit szálköteg-cellának. A kompozit kötegen belül, egyes azonos tulajdonságú kötegek sokszorozásával e kötegtípus mennyiségi arányát, súlyát is kifejezhetjük. Az ilyen szerkezetű kompozit kötegek már

77

alkalmasak lehetnek valós szálas szerkezetek kisebb térfogatának, vagy szálak rövidebb szakaszainak közvetlen modellezésére. Hosszabb szakaszok esetén a szerkezet hosszfüggő, vagy hosszmenti változásainak leírásához a kompozit szálkötegek soros kapcsolására, azaz kötegláncra [80,81], vagy a szálfolyamelmélet [K782] alkalmazására lehet szükség. E szemlélet és módszer legegyszerűbben és legközvetlenebbül az erősen orientált szálak, a szálfolyamok és egydimenziós textiltermékek, illetve kétdimenziós lapszerű szerkezetek és azok mátrixanyagba ágyazott változatai, a szálerősített kompozitok szerkezeti-szilárdsági modellezésére alkalmazható.

3.1.2. Egyedi szál alakváltozása és húzóerő-nyúlás kapcsolata Egy szálas szerkezet egytengelyű húzásakor az egyes szálak alakváltozását, illetve erőközvetítését is a szál kiinduló állapota, továbbá a környezettel való kapcsolatának jellege és a környezeti hatások szabják meg. 3.1.2.1. Egyedi szál alakváltozása szálas szerkezet egytengelyű húzásakor

A szálas-rostos szerkezetek rendezett részeiben, az elemiszálak (vagy a molekulaláncok) – az esetleges szálhorog, vagy hajtogatódás miatti visszafordulási helyektől eltekintve – kiegyenesedettek, míg a rendezetlen (amorf) részeken átmenő szakaszai a teljes lánchossznál rövidebbek és bizonyos mértékig szintén kiegyenesedettek. Az általában meglévő amorf orientáció a kiegyenesedettséget még tovább fokozhatja, sőt helyenként kis mértékű feszítettség is keletkezhet. Ilyen körülmények között – összehasonlítva az ideális gumi polimerháló modelljével [K27,K53,K77] – a részben-rendezett szerkezetű anyagok modellezésénél a közel feszített kezdeti állapot és – az entrópiarugalmas alakváltozással szemben – a reverzibilis deformáció másik véglete, az energiarugalmas alakváltozás veendő figyelembe [K27,S5]. Egy ideálisan rendezett – azaz azonos tulajdonságú, párhuzamos és azonos állapotú, ideális befogású szálakból álló – szálkötegnek a szálak irányában végzett nyújtása esetén egy szálának fajlagos alakváltozása, azaz ε-megnyúlása megegyezik a környezetének, a szálkötegnek az u-relatív megnyúlásával. Nem ez a helyzet rendezetlen szálköteg, vagy nem ideális befogás esetén, ahol a szálak eltérő állapotúak és viselkedésűek lehetnek a környezetükhöz képest. Lehetnek különböző mértékben előfeszítettek, sőt lazák, hullámosak is, valamint egymással nem párhuzamosak, illetve kicsúszhatnak – az általában a környezetük adta – befogásból. Ilyenkor a szálköteg, mint környezet nyújtásirányú u-alakváltozásától függ ugyan az adott szál ε-nyúlása, de általában el is tér attól: ε = ε(u) ≠ u (3.1.1) Létezik tehát az egyedi szálra nézve egy, az u→ε leképezés révén érvényesülő környezet-, vagy környezetátviteli hatás, mely meghatározza így a szál tényleges alakváltozását és egyúttal erőhatás közvetítését is. A 3.1.2.a. ábra egy térszálköteg nyújtása során egy tetszőleges, két végén befogott és húrvektorával adott szálának alakváltozását szemlélteti. Az alakváltozás során a szál origóhoz kötött vége helyben marad, míg a másik vége a P0(x0,y0,z0) pontból a P(x,y,z) pontba kerül, miközben a h0 húrvektora a h-ra változik. Ha a szál nyújtatlan hossza lo>0, kezdeti állapotában (a Po-ban) előfeszítése εo, azaz ho=(1+εo)lo és megnyúlt hossza l=h, ahol ho, h >0 a ho, h húrvektorok hossza, úgy a szál fajlagos hosszváltozása:

78

ε=

h l x2 + y2 + z2 − 1 = (1 + ε 0 ) − 1 = (1 + ε 0 ) 2 −1 l0 h0 x0 + y02 + z02

(3.1.2)

a.) b.) 3.1.2. ábra. Tér- (a) és síkszálköteg (b) egy szálának alakváltozása a köteg x-tengely irányú húzása során [S44, S48,S72] A (3.1.2)-ben elvileg 4 véletlen paraméter szerepel: ε0 és x0,y0,z0. A húzásirányt és a kötegbefogást kihangsúlyozandó, legyen a szálköteg húzásirányú kezdeti hossza x0=Lo>0 (tehát a köteg minden szálának szabad befogási hossza az Lo állandó érték), megnyúlása x-x0=∆L=Lo(1+u), relatív megnyúlása u, valamint egy szál irányeltérése, azaz ferdesége kezdeti állapotban eo≥0, amely az u>0 nyúlás során – a nyújtási irányra merőleges, egyfajta determinisztikus kontrakció, vagy nyírás révén – a ∆e(u) értékkel megváltozik, úgy az ’e’ eredő ferdeség az alakváltozás után: eo = y 02 + z 02 e = e(u) = y 2 + z 2 = eo + ∆e(u) (3.1.3) Ha nincs kimondott nyíróhatás, úgy e ferdeségváltozás a nyújtás hatására fellépő, nyújtásirányú orientálódást fejezi ki. A ∆e determinisztikus nyírási ferdeségváltozás segítségével az idealizált kötegek keresztirányú igénybevételét, egyfajta nyírását is leírhatjuk. Ha az uniaxiálisan orientált szálak alkotta szerkezet x szerkezeti főirányára merőleges tulajdonságai irányfüggetlenek (monotróp anyag), úgy az x irányú húzás esetén az y és z irányú kontrakció w relatív mértéke megegyezik (wi=w, i∈{y,z}), s így – feltéve, hogy eo≠0 – az ’e’ irányeltérés és ∆e kontrakciós megváltozása a ∆e = eow(u) e = eo(1+w(u)) = eoW(u) W(u) = 1 + w(u) (3.1.4) szorzatalakba írható. Bevezetve a To kezdeti és a T deformált állapotbeli relatív ferdeséget: e To = tgα o = 0 , T = To + ∆T = tgα = To (1 + w(u )) = ToW (u ) (3.1.5) L0 ahol αo, illetve α a szálhúr x tengelyhez mért irányszöge (3.1.2.b. ábra). Ezekkel az egyedi szál eredő fajlagos megnyúlása:

ε ( u ; ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

( 1 + u )2 + ( To + ∆T ( u )) 2 1 + To2

− 1 = (1 + ε o )

( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) 1 + To2

−1

(3.1.6) A ∆T=∆e/Lo nyírásgerjesztés determinisztikus típusú, amely akkor sem zérus, ha To=0. Determinisztikusnak, azaz eo-tól függetlennek is definiálható a W(u)=1+w(u) is, mint kontrakciós függvény, hiszen ilyenkor a ferdeségváltozás – mint kontrakció – zérus, ha To=0. Következésképpen, monotrópszerű kötegszerkezet húzása esetében csak 2 véletlen paraméter van: εo és To. Ha a kötegszálak mindkét végükön jól megfogottak, akkor a húzás során az eo irányeltérés nem változik (e(u)=eo), tehát u≥0-ra W(u)=1, azaz w(u)=0. Szigorúan véve, síkköteg esetén a szálak minden pontja egyazon síkba esik. Általában síkkötegnek tekintjük

79

azokat a kötegeket is, melyeknél a szálak befogási pontjai – s így a szálhúrok is – egy síkra illeszkednek. Síkkötegnek tekinthetők az előbb tárgyalt, monotróp tulajdonságú kötegszerkezetek is, ahol az egyes szálak alakváltozása az xe-síkban történik (3.1.2.b. ábra). Síkkötegekkel modellezhetők a lapszerű, vagy laminált szálas szerkezetek is. 3.1.2.2. A szálköteg keresztkontrakciós viselkedése

A szálak között légpórusokat tartalmazó szálas szerkezetek húzó igénybevétele jelentős keresztirányú kontrakciót okoz, amelyet gyakran modelleznek gumiszerű, azaz térfogatállandó viselkedéssel [K82]. A 3.1.2. ábra alapján, egy szál két végpontja és a koordinátairányok által meghatározott téglatest x irányú nyújtása során a keresztirányú, azaz y és z irányú méretek általában csökkennek. Gumiszerű viselkedés esetében, az x irányú nyújtás esetén – a térfogatállandóság miatt – fennáll a következő egyenlőség (3.1.2.a. ábra): Vo = xo yo z o = x( u ) y( u )z( u ) = V (3.1.7) Mivel xo=Lo és x=L=Lo(1+u), és feltesszük, hogy a keresztirányú méretek azonos arányban változnak, így írhatjuk: y( u ) z( u ) 1 W(u ) = = ; Vo = Vo ( 1 + u )W 2 ( u ) ⇒ W ( u ) = ~ 1 − 0 ,5u (3.1.8) yo zo ( 1 + u )0 ,5 u →0 Könnyen belátható, hogy kis kötegnyúlások esetében a kontrakció lineáris függvénnyel közelíthető, amelynek alapján a Poisson tényező az ideális gumikra jellemző 0,5 értékre adódik (ld. (3.1.8)). Laza szálhalmazok kis húzódeformációjánál a Poisson tényező 0,5-nél (sőt 1-nél is) nagyobb lehet [K75, S46], nagyobb deformációknál, vagy eleve tömörebb szálas szerkezeteknél azonban a kontrakciós viselkedés a kontinuum anyagokéhoz közelít. Mindezeknek megfelelően a szálkötegek húzásnál mutatott kontrakciós viselkedését a (3.1.8) kifejezés paraméter általánosításával kapható összefüggéssel írjuk le: W ( u ) = ( 1 + cau )−cb ~ 1 − ca cb ( u → 0 ) (3.1.9) A 3.1.3. ábra a (3.1.9) kontrakciós függvény alakját szemlélteti, különböző paraméterértékek mellett, kiemelve a térfogatállandó (ca=Ca=1, cb=Cb=0,5) esetet. Az efelett, de 1 alatt haladó görbék a kontinuum anyagok szokásos viselkedésének felelnek meg, miszerint húzáskor a test térfogata nő. Nem tömör, pórusos anyagok esetében a térfogat csökkenhet húzáskor. 1.2 A=állandó

Normált kontrakció, W(u)

1 Ca=1; Cb=0 0.8

Ca=1; Cb=0,05

V>Vo

Ca=1; Cb=0,2 0.6

Ca=2; Cb=0,25

V=állandó

Ca=1; Cb=0,5 0.4

Ca=0,5; Cb=1 V
Ca=1; Cb=1

0.2

Ca=1; Cb=2

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Kötegnyúlás, u

3.1.3. ábra. A kontrakciós függvény alakja különböző paraméterértékek mellett Ha cacb=0, a keresztmetszet-állandóság valósul meg, Amennyiben cacb=0,5, úgy kis nyúlásoknál közelítőleg teljesül a térfogatállandóság, azonban ez különböző görbemenetek mellett valósulhat meg a ca és cb értékei szerint, így nagyobb deformációknál mindhárom fent tárgyalt eset előfordulhat (3.1.3. ábra).

80

3.1.2.3. A kötegszálak erő-nyúlás karakterisztikája és szilárdsági tulajdonságai

A szálak húzóerő-nyúlás karakterisztikájának előállításához – az ε(t) nyúlást tekintve gerjesztő hatásnak – a lineárisan viszkoelasztikus anyagra érvényes F(t) húzóerő-válaszjel konvolúciós integráljának a Boltzmann-Persoz elv [K72]szerinti módosítását tekintjük: t

t

F = Kf(t) = ∫ κ (t − s, ε ( s ))ε&( s )ds = K ∫ w(t − s, ε ( s ))ε&( s )ds o

(3.1.10)

o

s így, a lineáris esetek mellett, a szálak esetén gyakran előforduló statikusan nemlineáris karakterisztikái is megközelíthetők. Itt a κ(t,ε)=Kw(t,ε) a szál húzómerevség függvénye, w(0,0)=1 és K a kezdeti húzómerevség, és f(t)-t a (3.1.10) definiálja. A szokásos F-ε kapcsolat az F(t) és ε(u(t)) paraméteres egyenletrendszerrel adott. A szakítógépeken szokásos állandó v-sebességű befogómozgás esetén a szálköteg nyúlássebessége u& 0 =v/L0 és a kötegszál nyúlásgerjesztése t>0-ra: ε(u(t)) = ε( u& 0 t) (3.1.11) A t-idő és az u-kötegnyúlás ekkor csak skálázásban különbözik és a (3.1.10) válaszfüggvény független változója u-ra cserélhető, így F(u) az adott szál környezeti befogását is figyelembe vevő erő-kötegnyúlás karakterisztikája. Az F-ε kapcsolat ekkor az F(u) és ε(u) egyenletpárból határozható meg. Eszerint még az általános értelemben lineárisan viszkoelasztikusan viselkedő szálak is – lineárisan növekedő nyúlás esetében – nemlineáris rugóként kezelhetők. A K kezdeti modulust véletlen változónak tekintve, igen könnyen kezelhető, véletlen jellegű erő-nyúlás karakterisztikához jutunk. Ha κ(t,ε)=K állandó, t>0-ra (w(t,ε(t))≡1), úgy a Hookeféle, lineárisan rugalmas anyagra érvényes összefüggést kapjuk (3.1.4.a. ábra): F=Kε (3.1.12)

3.1.4. ábra. Ideálisan rugalmas szál lineáris (a) és nemlineáris (b) húzóerő-nyúlás karakterisztikája és szakítógörbéje, mint annak véges szakasza Ha viszont a κ explicite nem függ a t-től, akkor a κ(ε)=Kw(ε) és az F(ε) nemlineárisan rugalmas anyagot jellemez (3.1.4.b. ábra): ε

F = Kg (ε ) = K ∫ w( z )dz

(3.1.13)

0

Végül, ha κ(t,ε)≡Kw(t), akkor az általános értelemben vett lineárisan viszkoelasztikus (LVE) anyaghoz jutunk, melynek viselkedése a lineáris mechanikai analóg modellelemek (rugó, viszkózus elem és esetleg a tehetetlenségi elem [S5]) egy hálózatával közelíthető.

3.2. Idealizált elasztikus szálkötegcellák A fentiek alapján idealizált tulajdonságú, elasztikus szálakból álló szálkötegek, mint véges modellelemek definiálhatók, az egytengelyű húzás és nyúlásgerjesztés, mint igénybevétel szem előtt tartásával.

81

3.2.1. Idealizált szálkötegcellák Egy részben rendezett, homogén – azonos típusú szálakból álló – szálköteg szálai osztályozhatók a kezdeti állapotuk (ε0 és T0 =0, vagy ≠0) és környezetük tulajdonságai (befogási körülmények) szerint, továbbá – a húzóigénybevételre adott válaszuk kötegszempontú megtartásával – környezetükkel együtt, vagy hasonló környezetbe eltolhatók. Így, az egyazon osztályba sorolt szálak egy (rész-)szálköteget, egy szálkötegcellát alkotnak. Az ilyen módon kapott kötegcelláknak a nyújtás irányával párhuzamosan kapcsolt rendszere ekvivalens az eredeti szálköteggel, vagy – idealizált szálkötegcellák esetén – annak szerkezetét és szilárdságát tekintve, legalábbis jó közelítését, modelljét adja. Az idealizált szálkötegek definiálásához a kötegszálakra – a mechanikai-szilárdsági viselkedésüket tekintve – a következő feltételezéseket tesszük: (1) Tökéletesen hajlékonyak, így nyomást nem, csak húzóerőt vesznek fel, közvetítenek. Tehát, bár lehet ε(u)<0 (hullámos szálállapot), azonban F≥0. (2) A szálak – húzókarakterisztikájukat tekintve – lineárisan rugalmasak, elasztikusak (E), azaz a (3.1.12) szerint F=Kε, K>0 húzómerevség (3.1.4.b. ábra). Az (1) feltételnek megfelelő nemlinearitás a ε+=ε+ az ε pozitív részével vehető figyelembe: ε (u ), ha ε > 0 F = Kε + (u ) = K ε (u ) + = K  (3.2.1) 0, ha ε ≤ 0 (3) A szálak szakadnak és εS>0 szakítónyúlásuk valószínűségi változó, Qεseloszlásfüggvénnyel, véges ε s átlagos szakítónyúlással és Vεs=VE relatív szórással. Az εS>0 szakítónyúlás és az FS szakítóerő kapcsolata (3.1.4. ábra): FS = KεS (3.2.2) (4) A K>0 húzómerevség az εS-től független valószínűségi változó QK eloszlás-függvénnyel, véges K -átlagértékkel és VK=VK relatív szórással. A K lehet állandó érték is. Ha az osztályozást először csak bizonyos kitüntetett alaptulajdonságok szerint végezzük és nem tekintjük eme tulajdonságok kombinációit, úgy a következő – a fenti (1)-(4) tulajdonságú szálakból álló – idealizált kötegcella alaptípusokat kapjuk (itt az E, a tökéletesen rugalmas, elasztikus szálakat jelöli): (I) Jól rendezett, szakadó köteg (E-köteg), melynek szálai függetlenek, a nyújtás irányával párhuzamosak, ideális befogásúak – azaz nem csúsznak ki a befogásból és nem is szakadnak a befogásban – továbbá előfeszítésük zérus, azaz feszültségmentesek, de nem is lazák. Ha K állandó, úgy a Daniels-féle [31] klasszikus szálköteget kapjuk. (II) Előfeszített, szakadó köteg (EH-köteg), melynek szálai függetlenek, befogási pontjaik által meghatározott húrjaikban jól rendezettek, azonban az egyes szálak statisztikusan eltérő εo nyúlásértékkel előfeszítettek (εo>0), illetve lazák, hullámosak (-1<εo<0) lehetnek. Az εo nyúláselőfeszítés, a szálparaméterektől független valószínűségi változó, Qεo eloszlásfüggvénnyel, véges ε o átlagos előfeszítéssel, Vεo relatív szórással. Ez tehát egy véletlen előfeszítésű (hullámos - H) E-kötegnek tekinthető. (III) Csúszó-szakadó köteg (ES-köteg), melynek szálai – vagy a végeiken kötésekkel összekapcsolt szálakból álló szálláncai – függetlenek, jól rendezettek és előfeszítésük zérus (εo=0), de befogásuk nem ideális, vagyis egy véletlen Fb>0 húzóerő értéket elérve befogásukban megcsúsznak, feltéve, hogy addig nem szakadnak el, tehát Fb0 kicsúszási 82

hossz, továbbá az Fb megcsúszási határ, vagy a (3.1.12) alapján átszámolt εb=Fb/K megcsúszási nyúláshatár, egymástól és a szálparaméterektől független valószínűségi változók, QεbL illetve Qεb eloszlásfüggvénnyel, véges ε bL, illetve ε b átlagértékkel és VεbL illetve Vεb relatív szórással. Ha Fb≥FS, azaz εb>εS, úgy a szál megcsúszás nélkül szakad. Az ES-köteg összességében egy statisztikusan megcsúszó E-kötegnek tekinthető. (IV) Ferdeszálú, szakadó köteg (ET-köteg), amelynek szálai függetlenek, egyenesek és előfeszítés-mentesek (εo=0), ideális befogásúak, viszont véletlen kezdeti eo ferdeséggel rendelkeznek. Ez az egyes szálakra nézve a nyújtás irányára merőleges "nyírásnak" tekinthető. Ugyancsak "nyírtnak", nyírt E-kötegnek tekinthető a köteg is, ha átlagos orientációja eltér a nyújtás irányától. Az eo ferdeség, vagy a T0=tgα0 relatív ferdeség, esetleg az α0 ferdeségi szög a szálparaméterektől független valószínűségi változó, QX eloszlásfüggvénnyel, véges X -átlaggal és VX relatív szórással, X∈{e0, T0, α0}.

3.2.2. Az idealizált kötegszálak erőközvetítése Az idealizált szálkötegek tulajdonságainak elemzéséhez tisztázni kell a köteg alakváltozásától függő szál-alakváltozásokat és a szálakban fellépő, az általuk közvetített húzóerőket. Szálkötegek v befogó-sebességű húzása esetében az u=u(t)= u& 0 t kötegnyúlás a gerjesztés, ahol u& 0 =v/L0 a köteg nyúlássebessége. Ennek megfelelően az egyes szálak deformációja a (3.1.6)-al számítható. Az ε(u) alakulása valószínűségi változóin keresztül a véletlentől függ, ezért kétparaméteres sztochasztikus folyamatnak tekinthető. Hasonlóan sztochasztikus folyamatot alkot a (3.1.10)-zel vagy (3.1.12)-vel kiszámítható és értelmezhető F(u) szálhúzóerő is, melyet húzásra, az idealizált alapkötegekre (E-, EH-, ES-, ET-kötegek, 3.2.1. ábra) általánosan érvényesen a következő módon adhatunk meg:  K ε (u ) + , ha − 1 < ε (u ) < min{ε S , ε b }  F(u) =  Fb = Kε b , ha 0 < ε b < ε S és ε b ≤ u < ε bL (3.2.3) 0, egyébként  ahol u= u& 0 t, t>0, monoton növő az időben és a (3.1.6) szálnyúlás a 3.1.2.b. ábra segítségével trigonometrikus függvényekkel is kifejezhető:

ε (u ) = (1 + ε o )

(1 + u )2 + T02W 2 (u ) 1 + T02

− 1 = (1 + ε o )(1 + u )

cos α 0 −1 cos α (u )

(3.2.4)

A húrjaikban jól rendezett E, EH és ET kötegeknél a szálerő az εS<εb (vagy pl. εb=∞) feltétellel kapható a (3.2.3)-ból, amely az ET köteg esetében felbontható az FL kötegtengelyés az FT (rá) merőleges irányú komponensekre az α(u) ferdeségi szög ismeretében: FL(u) = F(u)cosα(u) FT(u) = F(u)sinα(u) (3.2.5) ahol a cosα és sinα értékek a szál vetületi hosszaiból számíthatók. Így a ferde szál húzásirányú összetevője a 3.1.2.b. ábra alapján: L (1 + u ) 1+ u FL(u) = F(u)cosα(u) = F(u) 0 = F(u) (3.2.6) 2 h (1 + u ) + T02W 2 (u ) A (3.1.12) és (3.2.4) felhasználásával az FL(u) is kifejezhető trigonometrikus függvényekkel: FL(u) = K[(1+u)cosα0 - cosα] = K[ucosα0 + cosα0 - cosα] (3.2.7) Ha a kontrakció elhanyagolható, azaz w(u)≈0, u>0, és az α-α0szögváltozás kicsi, úgy a szálnyúlás ε(u) ≈ u és a (3.2.6) közelítő alakja:

83

FL(u) ≈ K u cosα0 (3.2.8) tehát az E-köteghez képest csak a húzómerevség csökken. A 3.2.1. ábra táblázatosan szemlélteti a négy alapköteg jellegzetességeit és a szálak F(u) erőközvetítési jelleggörbéit.

Szálköteg jellegrajza

E

EH

Idealizált szálkötegcellák és nyúlásjellemzőik Szálak relatív nyúlása Véletlen paraméterek ε Szakadás • Szakító nyúlás: εS εS>0 • Kezdeti húzómerevség: K>0 u • Szakítóerő: 0 FS=KεS u S= ε S

ε εS

Szakadás

ε o>0

0

u S< ε S

ε ES

εS εb

ET

ε εS

εS

ε o <0

• Szakító nyúlás: εS>0

u u S> ε S

Szakadás ( ε <_ε ) S b

• Szakító nyúlás: εS>0

Kicsúszás ( ε > ε ) S b

ub u =εS S

• Előterhelés: εo Előfeszítés: εo>0 Hullámosság: -1<εo<0

u= ε uL

• Megcsúszási határ: ub=εb>0 • Relatív kicsúszási hossz: εbL>0 uL=εL=εb+εbL • Szakító nyúlás: εS>0

Szakadás

• Kezdeti relatív ferdeség:

u

To = eo/Lo

ε S u B >ε S 3.2.1. ábra. Lineárisan rugalmas, szakadó szálakból alkotott idealizált szálkötegek jellemzői [S43,S44,S48, S72,S76] 0

3.3. Idealizált elasztikus síkkötegek várható húzóerő-folyamata és tulajdonságai A továbbiakban az idealizált, lineárisan rugalmas (elasztikus - E) típusú szálak alkotta síkkötegek szakítófolyamatának tulajdonságait tárgyaljuk, részletezéssel kiemelve az első három, húrjaikban jól rendezett – azaz párhuzamos szálhúrokkal képezett – köteget.

84

3.3.1. A kötegerők kiszámítása az idealizált síkkötegek esetén Ha a húzással igénybevett, húrjaiban jól rendezett, n számú, azonos tulajdonságú szálakból álló, idealizált köteg i-edik (i=1,…,n) szálában ébredő húzóerő Fi(u), úgy az F(u) kötegerő, illetve annak egy szálra vonatkoztatott változata (F1): n

F (u ) 1 n (3.3.1) = ∑ Fi (u ) n n i =1 i =1 Az egy szálra vonatkoztatott köteghúzóerő várhatóérték folyamata:  F (u )  E(F1(u)) = E  (3.3.2)  = E(Fi(u))  n  mely tehát megegyezik egy tetszőleges kötegszáléval. A szálak, illetve szálláncok függetlenségét is figyelembe véve, az egy szálra vonatkoztatott köteg-húzóerő szórásnégyzet folyamata, amelynek értéke az n szálszám növelésére csökken: 1 2 1 1 D 2 (F1(u ) ) = D (F (u ) ) = D 2 (F1(u ) ) = E Fi2 (u ) − E 2 (Fi (u ) ) (3.3.3) 2 n n n A (3.3.3)-ból – bizonyos feltételezésekkel – a konfidencia intervallum folyamat is számítható. A ferdeszálas ET-köteg esetén természetesen a vetületi szálhúzóerők összegezendők. Az „n” szálszámmal és az FS átlagos szál-szakítóerővel normált várhatóértékek a szálas szerkezetek esetén egyfajta fajlagosított műszaki feszültségnek felelnek meg: u E ( F ( zε s )) E ( Fi ( zε s )) 0 < FH ( z ) = = < 1, z= (3.3.4) nFS Fs εs ahol a z változó az u kötegnyúlásnak az ε S átlagos szálszakító nyúlással normált értéke, és a ’H’ a szálerő kihasználásra, annak hatásfokára utal. Az FH(z) általában kisebb 1-nél és értéke csak azon z értékekre 1, amelyeknél a szálak E-kötegbeli viselkedésűek és nincs szakadás. Az ET köteg esetében a vetületi erők számítandók. Egy idealizált szálköteg várhatóérték folyamata, a (3.2.3) és (3.2.4) által adott feltételek és a teljes várhatóérték tétel, illetve a nem zérus tagok figyelembe vételével, általában például az alábbi módon számítható: 1 FH L ( z ) = E [Fi ( zε S ) cos α ( zε S )] = FS F (u ) = ∑ Fi (u ), F1(u ) =

((

=

)

)

1 E [Kε + ( zε S ) cos α ( zε S ) − 1 < ε < min{ε S , ε b }] P (− 1 < ε < min{ε S , ε b }) + FS +

[

(3.3.5)

]

1 E Kε b cos α ( zε S ) ε b < ε S , ε b < ε < ε bL P (ε b < ε S , ε b < u < ε bL ) FS

3.3.2. Az E-szálköteg várható húzóerő-folyamata Az ideálisan rendezett és ideális befogású, lineárisan rugalmas, szakadó szálú E-köteg és az i-edik szál (n=1,2,...,n) húzóerő-folyamata a 3.2.1. ábrán látható. Az ε0=0 és e0=0 szálak miatt, a szálak ε relatív nyúlása megegyezik a szálköteg u relatív nyúlásával: ε = ε(u) = u (3.3.6) A i-edik, lineárisan rugalmas szál Kiε húzókarakterisztikájából, az alábbi χ ablakfüggvény: 1, 0 ≤ ε < ε si (3.3.7) χ (ε , ε Si ) = 1(ε ) − 1(ε − ε si ) =  0, ε si ≤ ε < ∞

85

segítségével – ahol 1(ε) az egységugrás függvény [K14] és εSi a szál szakítónyúlása –, a (3.3.6)-ot is figyelembe véve, állítjuk elő a szál törtlineáris, véges szakítókarakterisztikáját: Fi(u) = Ki u χ(u, εSi) (3.3.8) Ezek (3.3.1)-nek megfelelő összegfolyamatából, az egy szálra eső kötegerő várható értéke, a várható érték képzés linearitása és az εSi és a Ki húzómerevség függetlensége miatt: (3.3.9) E(F1(u)) = E(Fi(u)) = K u 1 − Qε S ( u ) , u≥0

(

)

Ugyanis P(εSi=0)=0, az εSi eloszlásfüggvénye Qε S ( u ) = P(εSi0-ra: E(χ(u, εSi)) = 0⋅P(χ=0) + 1⋅P(χ=1) = P(χ=1) = P(εSi>u) = 1- P(εSi
(

)

0≤ z <∞

A 3.3.2.a. ábra az E-köteg normált várhatóérték folyamatát mutatja, normális eloszlású szál-szakítónyúlás mellett. A görbesereg paramétere a szál-szakítónyúlás V=Vεs relatív szórása. Jól látható a V növekedésének csúcsértéket csökkentő és a görbe lefutó ágának szélesedését okozó hatása, mely egyúttal a szakadások nyúlás menti szétterülését is jelenti. Változatlan és a szálak átlagos meredekségével egyenlő azonban a kötegfolyamat kezdeti meredeksége. E-köteg - Weibull eloszlás Normált kötegerő, FH

Normált kötegerő, FH

E-köteg - Normális eloszlás 1 N: V=0,05

0,8

N: V=0,1 N: V=0,2

0,6

N: V=0,3 N: V=0,4

0,4

N: V=0,5

0,2 0

W: V=0,05

1

W: V=0,1 W: V=0,2

0.8

W: V=0,3 W: V=0,4

0.6

W: V=0,5 W: V=0,6

0.4

W: V=0,7

0.2

W: V=0,8 W: V=0,9

0

0

1

2

W: V=1,0

0

Normált kötegnyúlás, z

1

2

Normált kötegnyúlás, z

a.)

b.)

3.3.2. ábra. E-szálköteg várható normált húzó-szakító folyamata normális (a), illetve Weibull eloszlású (b) szálszakító-nyúlás különböző relatív szórás értékei (V) mellett [S39,S40,S43,S67] A normális eloszlás negatív értékeken is értelmezett, ezért a szórás növekedésével (V>0,33) egyre nagyobb, az eloszlás csonkításával megszüntethető torzítás lép fel. Weibull eloszlás esetében nincs ilyen torzítási probléma, a szórás tetszőlegesen nagy lehet (3.3.2.b. ábra). Ha a relatív szórás kisebb 0,4-nél, úgy a normális és Weibull eloszlásokkal kapható várható húzóerő-folyamatok csak kicsit térnek el egymástól (3.3.3.a. ábra).

86

Normált kötegszakítóerő (FH*) és szakítónyúlás (z*)

E-köteg N: V=0,05

Normált kötegerő, FH

1

N: V=0,1 0,8

N: V=0,2

0,6

N: V=0,3 N: V=0,4

0,4

W: V=0,05 W: V=0,1

0,2

W: V=0,2 W: V=0,3

0 0

1

2

1 0,8 0,6 0,4 0,2

z* - Weibull

z* - Normális

FH* - Weibull

FH* - Normális

0 0

W: V=0,4

Normált kötegnyúlás, z

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Szálszakító nyúlás rel. szórása, V

a.)

b.)

3.3.3. ábra. E-szálköteg várható normált húzó-szakító folyamata (a), illetve a köteg-szakítóerő és nyúlás értékei (b) normális (N) és Weibull (W) eloszlású szálszakító-nyúlás különböző relatív szórás értékei (V) mellett A 3.3.3.b. ábrán az E-köteg várható húzóerő-folyamata csúcsérték koordinátái (z*, FH*=η∞) láthatók normális és Weibull eloszlású szálszakító nyúlás esetén, azok szórása függvényében. A görbék a VE≤0,4 szórástartományban csak kicsit térnek el egymástól. A kötegszilárdság monoton csökkenő, azonban a z* nyúlás értéke eleinte csökken, majd VE>0,3…0,4 felett növekedve újra eléri (VE=1) és túlhaladja a szálak átlagos szakítónyúlását. 3.3.2.1. E-köteg húzóerő-szórási folyamata E szálköteg esetében egyszerűen meghatározható a négyzetes közép-, s abból a szórásnégyzet folyamat is. Tekintsük ugyanis a (3.3.1) kötegerő négyzetét: 2

F (u) =

n

n

i , j =1

i =1

∑ Fi ( u )F j ( u ) = ∑ Fi2 ( u ) + 2 ∑ Fi ( u )F j ( u )

(3.3.14)

i< j

ahol az i-edik szál négyzetes erőválasza a (3.3.8)-ból: Fi 2 (u ) = K i2 u 2 χ(ε, εSi) (3.3.15) ugyanis a χ négyzete önmaga. Ezekkel a (3.3.14) várható értéke, figyelembe véve az Fi és Fj erők azonos eloszlását és függetlenségét i≠j esetén: E(F2(u)) = nE( Fi 2 (u)) + n(n-1)E2(Fi(u)) (3.3.16) Az egy szálra vonatkoztatott kötegerő (3.3.3) szerinti szórásnégyzete, felhasználva a (3.3.9) és (3.3.10) eredményeket, továbbá a (3.3.15) előállítást:

(

)(

)

K 2 u2 2 u2 [E( K i2 )E(χ) - E2(Ki) E2(χ)] = V K + Qε S ( u ) 1 − Qε S ( u ) (3.3.17) n n ahol VK a véletlentől függő K karakterisztika-meredekség relatív szórása. A (3.3.17) szórásformula VK=0 esetén Daniels [31] eredményét szolgáltatja. A (3.3.17) szerint a szálköteg egy szálra vonatkoztatott szórásmező szélessége, tetszőleges u kötegnyúlás esetén csökken, azaz a 0-hoz tart az n szálszám növekedésével. Ha n elég nagy, akkor rögzített u kötegnyúlás esetén az F(u) kötegerő – az Fi(u) értékek azonos eloszlása és függetlensége miatt – normális eloszlásúnak tekinthető, s így megbecsülhetjük az F(u), illetve F1(u) folyamatok adott 0
(

87

)(

)

A 3.3.4. ábra a konstans (K=áll., azaz VK=0), illetve a VK=VK=30% relatív szórással ingadozó húzómerevségű E-kötegek várhatóérték folyamatát és a köré rajzolt konfidencia intervallumát szemlélteti normális eloszlású, VE=30% relatív szórású szál-szakítónyúlás mellett. Szembetűnő, hogy a jelentős mértékű (VK=30%) meredekség-szórás – ehhez mérten – viszonylag kis mértékben befolyásolja a konfidencia intervallum folyamatot. Ennek oka az, hogy a görbe kezdeti szakaszán az u, később pedig a komplementer eloszlásfüggvény értéke kicsi, így az n1/2-el való osztás miatt a VK hatása mérsékelt. Ugyanakkor nem csak a kezdeti szakaszt befolyásolja, hanem növeli a szórást a csúcserő környezetében is. 1

1

VK=0

VK=0,3

0,8 0,6

0,6

FH

FH

0,8

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0

0

1 z

2

0

a.)

1 z

2

b.)

3.3.4. ábra. VK=0 (a) és VK=30%-os (b) relatív szórású E-kötegek várható, normált húzóerőfolyamata és ezek konfidencia intervalluma q=95% valószínűségi szint és n=100 szál mellett A 3.3.5. ábra diagramba sűrítve szemlélteti a várható szakító folyamat η∞ = FH* = FH(z*) csúcsértékénél mérhető FD*=dF(z*) konfidencia intervallum félszélesség értékek alakulását a VE relatív szakítónyúlás függvényében, VK=áll. mellett. A vizsgált tartományban az egyébként összetartó FD*-VE görbék növekedő jellegét lokális minimummal rendelkező görbébe váltja át a VK növekedése, a várhatóérték és az intervallum határgörbék egymástól egyre jobban eltolódó maximumhelyei miatt.

3.3.5. ábra. E-köteg várható húzóerő-folyamata csúcsértékéhez tartozó FD* konfidencia intervallum félszélesség értékek és a VE szálszakító-nyúlás relatív összefüggése [S404] Az eddigiekben az n-szálú köteg viselkedését a várható érték folyamaton, mintegy a végtelenszálú köteg tulajdonságain keresztül tanulmányoztuk. E folyamatban a szakadások egymást "sűrűn" követik, így a várható érték görbe folytonos, sőt differenciálható is.

88

3.3.2.2. Véges számú szálból álló E-köteg várható szakadási nyúlásértékei A véges – különösen a kis, n<10 – szálszámú kötegek egyik lehetséges kezelési módja a várható szakadási helyeinek meghatározása, azaz, hogy pl. sorrendben az i-edik szakadás * mely kötegnyúlás értéknél következik be várhatóan. Az ε Si várható ugráshelyek a szakítónyúlás eloszlásfüggvényének invertálhatóságát és (m+1)-szeri differenciálhatóságát feltételezve és a rendezett minták elemeinek eloszlását, valamint a Taylor formulát felhasználva, az alábbi módon számíthatók ki [K55, K59, K76] (ld. F3.1. Függelékben): * ε Si

= εˆ n ,i +

d k Qε−1

m

∑

S

k =2

dt k

[

]

E ( ξ n* ,i − ξ n*,i )k ) + Rm ,i k!

( ξ n*,i

(3.3.19)

ahol Rm ,i a maradéktag, míg az alább definiált ξ n* ,i béta eloszlású és εˆ n ,i a várható értékének az inverz transzformáltja:  i  −1 * (3.3.20) ξ n* ,i = Qε S ε *Si , εˆ n ,i = Qε−1   = Qε ξ n ,i S  n + 1 S A 3.3.6. ábrán különböző szálszámú (n) E-kötegek, normális eloszlású és VE=20% relatív szórású szálszakító nyúlás mellett kiszámított húzóerő-folyamata látható (F3.1. Függelék).

( )

( )

Normált kötegerő, F/Fs

25 n=30

20

n=25

15

n=20 n=15

10

n=10 n=5

5

n=3

0

z*

0

1

2

Normált kötegnyúlás, ε/ε s

3.3.6. ábra. Véges szálszámú E-kötegek várható szakítógörbéi (VE=20%) Látható, hogy a szál-szakítónyúlás adott szórásánál (VE=0,2), kis szálszámok (n≤n1=9) esetében az első szál szakadása határozza meg a maximális kötegerőt is. Nagyobb szálszámok esetén a maximális kötegerő több szál elszakadása árán érhető el. A 3.3.7.a. ábrán az első szakadáshoz tartozó erő és a erőcsúcs értékei láthatók a szálszám függvényében. VE=0,2 1

y=0,6741+0,6353x^-1 R^2=0,9984; x=n>8

1

z(n)*, FH 1(n)*, FH (n)*

FH 1(n)*, FH (n)*

1,2

0,8 0,6 Maximum, FH(n)* Első szakadás, FH1(n)* Trend (Max.) Trend (első szak.)

0,4 0,2

-0,137

y=x R2 = 0,9998

5

10

15

FH1(n)* FH*

0,8 0,7 0,6

0 0

FH(n)* z(n)* z*

0,9

20

25

1

30

10

100

1000

Szálszám, n

Szálszám, n

a.)

b.)

3.3.7. ábra. A normált kötegerő értéke az első szálszakadásnál és az erőcsúcsnál (a) a szálszám függvényében kis szálszámokra lineáris lépték (a), illetve a normált erő- és nyúlásértékek nagyobb szálszám-tartományban logaritmikus lépték (b) mellett 89

Nagyobb szálszámoknál (n>n1=9) az erőcsúcs az első szakadáshoz tartozó erőtől a nagyobb értékek felé, az η∞>0 határértékhez tart (a vizsgált esetben n1=9; b2=0,6353; a1=0,1342; a2=1; η∞=0,6741):   n  a2  ηn = FH (n)* = FH ( z*; n) ≈ n1− a1 + b2n1− a2   1  − 1 →η∞ (3.3.21)  n   n →∞   Kis szálszámoknál (n400, akkor a köteg nagy pontossággal végtelen szálszámúnak tekinthető, azonban kielégítő lehet ez a közelítés N>100 esetén is. Ennek megfelelőek például a textil- és műszaki szálak egyedi- és kötegszakító vizsgálatainak szabványelőírásai, illetve gyakorlata is [K25,K36,K48,K81].

3.3.8. ábra. N-szálszámú E-kötegek szálszilárdság kihasználási tényezőinek alakulása a normális eloszlású szálszakító-nyúlás relatív szórásának változása mellett [S43,S44]

3.3.3. Az EH-szálköteg várható húzóerő-folyamata A hullámos (H), vagy előfeszített rugalmas-szakadó (εb=∞) szálköteg, röviden EHköteg (3.3.9. ábra) esetén a köteg u relatív nyúlásával már általában nem egyezik meg az az iedik (i=1,…,n) szál terheletlen hosszára vonatkoztatott εi relatív nyúlás az εoi≠0 előfeszítés

90

(mely <0 esetében hullámosság értelmezésű) miatt. A köteg Lo befogási hosszát csökkentve az εoi értéke akár -1 is lehet (Lo=0-nál), azaz a véges hosszú szál két vége összeér (u>0): -1 < εoi ≤ εi(u) = εoi + (1 + εoi)u < εSi (3.3.22) A 3.3.9. ábrán az i-edik szál (i=1,2,...,n) εi(u) nyúlás alakulása εoi>0 és εoi<0 mellett is látható. u<0 esetén εi=0, valamint uoi és uSi ama kötegnyúlás értékek, melyekre εi(u)=0, ha u≤uoi, illetve εi(uSi)= εSi, tehát az εi is valószínűségi változó, az εoi lineáris transzformáltja, amelynek eloszlásfüggvénye u≥0-ra: x−u   x−u Qεi(x,u) = P(εi(u)<x) = P  ε o < (3.3.23)  = Qε o   1+ u    1+ u  Figyelembe véve, hogy a feltevések szerint εi<0-ra Fi=0, az i-edik szálban ébredő erő: (3.3.24) Fi(u) = Ki |εi(u)|+ ⋅χ(εi(u), εSi) Itt tehát az εi(u) már nem független a χ-től, azonban az εSi-től igen.

3.3.9. ábra. EH-köteg szerkezeti vázlata és egy szálának nyúlása, illetve a benne ébredő húzóerő a kötegnyúlás függvényében [S44] Az (3.3.24) alapján, az egy szálra vonatkoztatott kötegerő várható értéke a teljes várható érték tétellel és a (3.3.10), illetve a (3.3.22) figyelembe vételével (u, x >0): E(F1(u)) = E[E(Ki |εi|+ χ(εi, εSi)εi)] =

(

(

))

∞

(

)

E K ε i + 1 − Qε S ( ε i + ) = ∫ K x + 1 − Qε S ( x + ) dQε i ( x ) = ∞

=

−1

∞

∫ K x + (1 − Qε S ( ))

−1

[

(

)]

 x−u x + dQε o   = K ∫ y( u , x ) + 1 − Qε S y( u , x ) + dQε o ( x )  1+ u  −1

ahol a (3.3.22)-nek megfelelő függvény: y(u,x) = (1+u)(1+x) –1 A FH(z) normált húzóerő-folyamat és a (3.3.25) vonatkozó alakja: FH ( z ) =

(3.3.25)

(3.3.26)

∞

∫ h( z , x ) + [1 − Qε S (h( z , x ) + ε S )]dQε o ( xε S )

(3.3.27)

−1 / ε S

h( z , x ) = [( 1 + zε S )( 1 + xε S ) − 1] / ε S

91

(3.3.28)

Az EH-köteg esetében az εo előfeszítés EH= ε o / ε S relatív átlagértékének és a VH=Vεo=σεo/ ε S fajlagos szórásnak jelentősen különböző a hatása (3.3.10. ábra). A 3.3.10.a. ábrán rögzített VH=20% szórás esetén – a szintén berajzolt, azonos VE=10% szórású Egörbéhez viszonyítva is – jól látható az EH átlagérték z-tengely menti eltoló hatása. Az FH(z) folyamat laposodását, elterülését, a felfutó ág kezdeti görbületét a VH előfeszítési egyenlőtlenség jelenléte okozza (3.3.10.b. ábra).

a.) b.) 3.3.10. ábra. EH-köteg várható húzó-szakító folyamata az EH átlagos előfeszítés (VH=0,2; EH=1; 0,5; 0; -0,5; -1) (a) és az előfeszítés VH fajlagos szórása (EH=-0,5; VH=0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,7) (b) függvényében [S44] A VH előfeszítési egyenlőtlenségnek az η∞ szálszilárdság kihasználási tényezőt csökkentő hatását szemlélteti a 3.3.11. ábra diagramja.

3.3.11. ábra. A szálszilárdság kihasználási tényező a VE szál-szakítónyúlás relatív szórása függvényében E- és EH-kötegekre (a), illetve a VH előfeszítési relatív szórás függvényében EH-kötegre (b) [S44] Az ábra a várható érték folyamat csúcsérték koordinátái (z*, η∞) alakulását (folytonos görbék) a VH szórás függvényében mutatja be EH= -0,5 mellett. VH=0 szórás esetén az E-köteg csúcsérték koordinátáit kapjuk (kis körrel jelölt pontok), míg VH növekedése ezekhez képest csökkenést okoz, mely igen jelentős lehet. A bejelölt pontban η∞≈79% (VH=0), míg a VH=40%-os előfeszítési egyenlőtlenség ezt mintegy megfelezi az η∞≈39%-ra. Az előfeszítési egyenlőtlenség másik jellemző hatása a várható szakítógörbe meredekségét érinti. Míg az Eköteg a szálak átlagos húzómerevségét a kezdeti merevségében megtartja, addig az EH-köteg azt a VH egyenlőtlenséggel növekvő mértékben csökkenti, mint ezt a 3.3.11. ábra görbéi (szaggatott vonalak) jól szemléltetik. Pl. VE=10%, EH=-0,5 és VH≈35% esetén az EH várható görbe maximális meredeksége csak mintegy fele az E-görbe kezdeti (maximális)

92

meredekségének. Mindez rámutat az előfeszítési egyenlőtlenség rendkívüli szerepére a szálszilárdság hasznosulásában, és megerősíti Phoenix [173] ez irányú megállapításait.

3.3.4. Az ES-szálköteg várható húzóerő-folyamata A kicsúszó rugalmas-szakadó (εo=0, e=eo=0), röviden ES-köteg (S a súrlódásos kapcsolat szerepére utal) jól rendezett, azaz szálai mind párhuzamosak a nyújtási iránnyal (eo=0). A szálak ugyanakkor előfeszítetlenek (εo=0) is, azonban a befogásban lévő hosszaiknak megfelelő εbL relatív szálnyúlások, valamint az Fb befogási vagy megcsúszási határerők, illetve az εb=K-1(Fb) szálnyúlások szálról-szálra különbözők, véletlen változók (3.3.12. ábra). Egy adott szál a kötegben elszakad, ha Fb>FS, illetve megcsúszik és az F állandó húzóerő mellett kicsúszik a befogásból, ha Fb
Fb1

FS1

Fb2

FS2

Szakadás

_ b) (F S
FS

Fb3

Kicsúszás

(F S >F b )

Fb u=

ε

ε b + ε bL εb εS a.) b.) 3.3.12. ábra. A szálláncok alkotta ES-köteg vázlata (a) és egy szál húzóereje a kötegnyúlás függvényében (b) A két végén, befogó pofákba befogott szál esetében (3.3.12.a. ábra) az egyes szálvégekre vonatkozó befogási határerők legkisebbike érvényesül a szál húzásakor, azaz: (3.3.31) Fb = min {Fb1, Fb3} és a kicsúszási helyen érvényes εbL lesz az aktuális relatív hossz. Ez kiterjeszthető rövidszálas szálláncokra, azaz elemi szálfolyamokra is a következő módon. Ha az adott szál csak az egyik végén befogott a befogó pofába (mert a kinyúló hossza
Fb = min {Fb,1,…, Fb,m+1} FS = min {FS,1,…, FS,m+1} (3.3.32) Az Fb és FS értékek természetesen a szállánc nem feltétlenül ugyanazon szálához tartoznak. A kötegnyúlást növelve, az Fb megcsúszási erőhatárt, illetve a neki megfelelő εb=ub nyúlást elérve, a kicsúszás ezen erőszinten, állandó relatív nyúlás mellett megy végbe, tehát a kicsúszó szál terheletlen hossza nő. Az εbL=ubL relatív kicsúszási hossz és a szál terheletlen hosszának (lo=Lo) megváltozása (∆lo) között az l(uL) megnyúlt szálhossz segítségével állítható fel összefüggés (uL=ub+ubL): l( u L ) = (lo + ∆lo ( u L ))( 1 + ε b ) = lo ( 1 + ε b + ε bL ) ⇒ ε bL = λbL ( 1 + ε b ) (3.3.33) ∆l ( u ) λbL = o L ; ∆lo ( u ) = 0, 0 ≤ u ≤ ub lo Mind az εbL, mind a λbL=∆lo/lo kezelhető a többitől független valószínűségi változóként és ekkor, a (3.3.33) szerint, az εb ismeretében a másik kiadódik. Az εbL mellett szól, hogy egyrészt egyedi szálak, vagy kis szálszámú kötegek szakítóvizsgálatánál a közvetlenül mérhető kötegnyúlás-változással adható meg, másrészt a bonyolult, szálláncok esetén a minimális tapadási szilárdságú helyen történő szétcsúszásnál a λbL nehezen értelmezhető. Szintetizáló modell kialakításánál a λbL eloszlását célszerűbb megadni, ugyanis ez a szálas szerkezet tulajdonságaiból általában levezethető. Ugyanakkor, ha εb<<1, úgy az εbL és a λbL jó közelítéssel megegyeznek. Méréskiértékelések, elemzések, illetve εb<<1 esetében az εbL megadása célszerűbb független adatként. Az Fb kicsúszási erőhatárolás az εb=g-1(Fb)=Fb/K invertálással nyúláshatárrá alakítható, így – az E-köteghez hasonlóan – alkalmazható itt is egy megfelelő χ(u, εX) ablakfüggvény (3.3.12.b. ábra). Ezzel az i-edik szálban ébredő erő u≥0-ra: Fi(u) = Ki [u χ(u, εmi) + εbi χbL(u) sign(εSi - εmi)] (3.3.34) ahol sign(εSi-εmi) az εbi<εSi feltétellel ekvivalens, míg a χbL(u) speciális ablakfüggvény: χbL(u) = 1(u - εbi) - 1[u - (εbi + εbLi)] (3.3.35) A 3.3.12.b. ábra jelleggörbéje alapján a kicsúszás alatt εb
(

)(

)

(

u

)(

)

E(F1(u)) = K u 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + ∫ K x 1 − Qε S ( x ) 1 − Qε bL ( u − x ) dQε b ( x ) (3.3.36) 0

ugyanis E[χ(u,εmi)] = P[χ(u,εmi)=1] = P[u<εmi] = P[u<εbi, u<εSi] = [1–Qεs(u)][1-Qεb(u)] (3.3.37) E[εbiχbL(u)sign(εSi-εmi)] = E[εbiE[χbL(u)|εbi]E[sign(εSi-εmi)|εbi]] (3.3.38) ahol E[χbL(u)|εbi] = P[χbL(u)=1|εbi] = P[u-x<εbLi|εbi=x] = 1 – QεbL(u-x) (3.3.39) E[sign(εSi-εmi)|εbi] = P[x<εSi)|εbi=x] = 1 – Qεb(x) (3.3.40) Ha az εbL helyett a λbL=∆lo/Lo terheletlen szálhossz megváltozást modellezzük, úgy a (3.3.33)-al a (3.3.39), s ezzel a (3.3.38) várható érték folyamat másik alakja: u − x  u − x E [χ bL ( u ) ε b ] = P[χ bL ( u ) = 1ε b ] = P[u − x < ε bL ε b ] = P  < λbL ε b = x  = 1 − Q λ   bL  1 + x  1+ x  (3.3.41)

(

)(

)

u

(

)

  u − x  E (F1( u )) = K u 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + ∫ K x 1 − Qε S ( x ) 1 − QλbL   dQε b ( x ) 1 + x     0 (3.3.42) A (3.3.36) szerinti várható húzóerő-folyamat erőben és nyúlásban is normált formája:

94

(

)(

)

FH ( z ) = z 1 − Qε S ( zε S ) 1 − Qε b ( zε S ) + +

zε S

[

][

]

∫ w 1 − Qε S ( wε S ) 1 − Qε bL ( zε S − wε S ) dQε b ( wε S )

(3.3.43)

o

Az ES-köteg minden szála vagy elszakad, vagy ki- illetve szétcsúszik a teljes húzószakító folyamat alatt. A várható kötegszakító folyamat matematikai leírása is – ennek megfelelően – két részből áll: a szakadást és a kicsúszást leíró tagokból. Ha az Fb várható értéke jelentősen meghaladja az FS-ét (pl. normális eloszlásoknál ε b − 3σ ε b > ε S + 3σ ε S ), akkor az ES-köteg lényegében egy E-kötegbe megy át, azaz a szálkicsúszás vagy szétcsúszás ritka esemény (3.3.13. és 3.3.14. ábra). Fordított esetben viszont ( ε b + 3σ ε b < ε S − 3σ ε S ) a kötegre a ki- vagy szétcsúszás jellemző, és a szálszakadás a ritka esemény. A várható görbe menetét ezen kívül erősen befolyásolja az Fb (vagyis az εb), illetve az εbL szórása is.

3.3.13. ábra. ES-köteg várható húzó-szakító folyamatának alakulása az Fb kihúzási határerővel ekvivalens, átlagos ES= ε b / ε S szálnyúlás különböző értékei (VE=0,1; ES=0,2; 0,5; 0,75; 1; 1,5; 2; VS=0,1; EL=0,5; VL=0,2) hatására [S44]

a.) b.) 3.3.14. ábra. ES-köteg várható húzó-szakító folyamatának alakulása az EL= ε bL / ε S átlagos kicsúszási hossz (VE=0,1; VS=0,1; VL=0,2) (a), illetve az az Fb kihúzási határerővel ekvivalens, átlagos ES= ε b / ε S =EL szálnyúlás (VE=0,1; VS=0,1; VL=0,2) (b) különböző értékei hatására [S44] A 3.3.13. és 3.3.14. ábrák várható ES-görbéi jól szemléltetik, hogy: • A ki-, illetve szétcsúszás a görbék kezdeti meredekségét nem érinti, mert az megegyezik az E-köteg várható görbéjével; • Az alacsony kicsúszási erőhatás miatt igen jelentős szálszilárdság kihasználási tényező csökkenés lép fel; η∞ értéke akár néhány %-ra is leeshet; • Az Fb szórása (VS= Vε b = σ ε b ε S ) a felfutó ág degresszív görbületét okozza;

95

• FS-ével közel azonos, vagy annál nagyobb Fb-átlagértékek (ES≥1) és kis ε bL érték (EL<0,5) esetén az ES-köteg görbe az E-kötegéhez hasonló, a szakadási folyamat elfedi a kicsúszásokat; • Nagy ε bL (azaz nagy EL) értékek széles, csúcsok nélküli, platós görbéket eredményeznek, ha Fb < FS (ES<1); • Nagy ε bL (EL) és nagy Fb (ES≥1) értékek esetén az ES-köteg görbéje csúcsos és a csúcsot plató követi (pl. a 3.3.14.b. ábrán: EL=1, ES=1). Ez a típus gyakran előfordul termoplasztikus szerkezeti polimereknél. • A kicsúszási hossz szórása (VL= Vε bL = σ ε bL ε S ) határozza meg a várható görbe befejező, 0-hoz tartó szakaszának meredekségét és görbületét is. Megállapítható, hogy az ES-köteg már önmagában kötegviselkedést, illetve húzóerő-folyamatot modellezni.

is

képes

bonyolult

3.3.5. Módosított ES-kötegek várható húzóerő-folyamata A fentiekben definiált és elemzett ES-köteg kicsúszási erőhatára és a kicsúszási hossz függetlenek egymástól. Ez módot ad arra, hogy olyan kötegeket vizsgáljunk, amelyek mindkét végén befogott lényegében filamentekből állnak, és a kicsúszási hossz a szálhossztól független, csak a befogásától függő érték. A rövidszálas szerkezetekben viszont a kicsúszási hosszt a szálak hossza (l) és befogásának módja együttesen határozza meg. Úszó szálak esetén az 1.2.4.2. fejezetben tárgyalt, az (1.2.41)-el definiált és az (1.2.43) eloszlással adott lm aktív szakállhossz határozza meg a kicsúszási hosszat (1.2.12. ábra, F1.3. Függelék). Az ilyen szerkezetekhez az ES-köteg módosítására van szükség. A továbbiakban tegyük fel, hogy a K húzómerevség minden szálra azonos érték. Amennyiben a befogott szálrészekben a szálhosszegységre eső, adhéziós típusú, fb kicsúszási ellenállás állandó, úgy a kicsúszási határerőhöz (Fb) a 3.3.12.a. ábra rövidszálas, szálláncos, de nagy befogási hosszúságú szerkezetében (1.2.12. ábra) az εb szálnyúlás és az lm kicsúszási hossz egymáshoz rendelhető: Fb = Kε b = f b l m (3.3.44) valamint a szálszakítóerőhöz (FS), illetve az εS szakadási nyúláshoz egy lS kritikus tapadási hossz definiálható: FS = Kε S = f b l S (3.3.45) Ha egy adott szálban ébredő erő a Fb kicsúszási határt eléri, e szál erőközvetítése az lm hosszúságú, állandó ellenállású kicsúszás után megszakad. Fb, a (3.3.44)-nek megfelelően az adhéziós típusú kicsúszási ellenállást modellezi, ezért az εbL relatív kicsúszási hosszat is az lm hossz határozza meg a (3.3.44) összefüggésen keresztül, hasonlóan, mint fent. Következésképpen, az εb és εbL relatív nyúlások nem függetlenek egymástól (3.3.20. ábra): f ε bL = αε b = α b l m (3.3.46) K ahol 0≤α≤1 a kicsúszási tényező, amelyre nézve: • α=0 pillanatszerűen történő rideg elválást jelent a teljes befogott szálhossz mentén; • 0<α<1 a befogott szálrész hosszánál rövidebb, véges kicsúszási utat határoz meg; • α=1 a befogott szálrész hosszával megegyező kicsúszási utat biztosít. A fentieknek megfelelően írhatjuk: ε b + ε bL = ( 1 + α )ε b (3.3.47)

96

Ha a kicsúszás alatt a kicsúszási ellenállás nem változik, az Coulomb-súrlódási típusúnak tekinthető (3.15.a. ábra). Az ilyen jellemzőkkel rendelkező idealizált szálköteget röviden ES1kötegnek nevezzük. Számos esetben azonban ezen ellenállás csökken a kicsúszás alatt, ezért az ES1-köteg tovább módosítandó. Az erősen orientált polimerek, ahol a polimer láncok közötti szekunder kötések száma csökken a kicsúszás folyamán, tekinthetők ilyen szerkezeteknek. Például Zilahi [K80: 79. old.] a kicsúszó láncrész menti szekunder kötések felszakadásával és egy egység kicsúszása után eggyel kevesebb számú kötés rekombinálódásával írja le ezt a folyamatot. A tekintett szálas szerkezet húzása során a módosított ES-köteg egy adott befogott hosszúságú (lm) szála kicsúszik, amikor a benne ébredő húzóerő eléri a kicsúszási határerőt (Fb) és a kicsúszási ellenállás folyamatosan csökken és egy bizonyos αlm (0≤α≤1) kicsúszási út után az erőközvetítés megszűnik (3.3.15.b. ábra). Az ilyen tulajdonságú idealizált szálköteget nevezzük röviden ES2-kötegnek. FS

F

F

Fb

Fb

0<α<1

α=1

0<α<1

α=0

FS

α=1

α=0

u 0 εb

u

εS αε b

0 εb

εb

εS αε b εb

a.)

b.)

3.3.15. ábra. Az ES1- (a), illetve ES2- (b) köteg szálainak erő-kötegnyúlás kapcsolata különböző kicsúszási tényezők (α) mellett [76]

ES1-köteg várható húzóerő-folyamata Az ES1-köteg i-edik szálában ébredő húzóerő a következőképpen adható meg:  Kε i ( u ), ha 0 ≤ ε i ( u ) < ε mi = min( ε Si ,ε bi )  Fi ( u ) =  Kε bi , ha ε mi = ε bi és ε bi ≤ u < ( 1 + α )ε bi (3.3.48) 0, egyébként  ahol az egyszerűség kedvéért a szálhossznak a szálszakító nyúlásra (εS) gyakorolt lehető hatását elhanyagoltuk. A (3.3.48) tömör alakja ablakfüggvényekkel kifejezve, u≥0-ra: Fi ( u ) = Kuχ ( u ,ε mi ) + Kε bi χbLi ( u ) sign( ε Si − ε mi ) (3.3.49) azonban, a χbLi ablakfüggvénynek a (3.3.48)-nak megfelelő formája: χ bLi ( u ) = χ ( u ,( 1 + α )ε bi ) − χ ( u ,ε bi ) = 1(u − ε bi ) − 1(u − ( 1 + α )ε bi ) (3.3.50) Az ES1-köteg egy szálra vonatkoztatott várható szakítófolyamata a (3.3.50) várható értékeként számítható (F3.2. Függelék):

(

)(

)

F1( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + K

∫ x(1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

(3.3.51)

u /( 1+α )

A (3.3.44) és (3.3.46) szerint a kicsúszási határnyúlás, s így annak eloszlásfüggvénye is, kicsúszási szálhosszra számítható át: K  f ε b = b l m ⇒ Qε b ( x ) = Ql m  x  (3.3.52) K  fb  amely a (3.3.51)-ben érvényesíthető. Az lm aktív szakállhossz eloszlásfüggvénye, az (1.2.12) szerint, a szálhossz Ql(x) eloszlásfüggvényéből számítható. 97

ES2-köteg várható húzóerő-folyamata Az ES2-köteg i-edik szálában ébredő húzóerő (α>0) eltér az ES1 kötegétől és a következő módon adható meg:  Kε i ( u ), ha 0 ≤ ε i ( u ) < ε mi = min( ε Si ,ε bi )  K (3.3.53) Fi ( u ) =  [(1 + α )ε bi − u ], ha ε mi = ε bi és ε bi ≤ u < ( 1 + α )ε bi α 0, egyébként A (3.3.53) tömöríthető u≥0-ra: K Fi ( u ) = Kuχ ( u ,ε mi ) + [(1 + α )ε bi − u ]χbLi ( u ) sign( ε Si − ε mi ) (3.3.54)

α

ahol χbLi egy ablakfüggvény: χbLi ( u ) = χ ( u ,( 1 + α )ε bi ) − χ ( u ,ε bi ) = 1(u − ε bi ) − 1(u − ( 1 + α )ε bi ) (3.3.55) Az ES2-köteg egy szálra vetített várható szakítófolyamatát a (3.3.55) várható értéke adja (F3.2. Függelék):

(

)(

)

F1( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + −

Ku

α

1+α

α

∫ x(1 − Qε S ( x ))dQε b ( x ) −

u

K

u /( 1+α )

(3.3.56)

∫ (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

u /( 1+α )

Az ES2-köteg (3.3.56) és az ES1-köteg (3.3.51) szakító folyamatát összehasonlítva, látható, hogy az első tag azonos és egy konstanstól eltekintve ez érvényes a második tagra is. A (3.3.56) azonban egy harmadik, a csökkenő kicsúszási ellenállást beszámító tagot is tartalmaz. Könnyen belátható, hogy ha α→0 és α→∞ (formálisan az α>1 érték, azaz akár a végtelen kicsúszási út is értelmezhető) a határkifejezések az ES1- és ES2-kötegek esetében megegyezők (j=1,2): lim F1ESj (u ) = Ku 1 − Qε S (u ) 1 − Qε b (u ) (3.3.57)

(

α →0

(

)(

)(

)

u

)

(

)

lim F1ESj (u ) = Ku 1 − Qε S (u ) 1 − Qε b (u ) + K ∫ x 1 − Qε S ( x) dQε b ( x)

α →∞

(3.3.58)

o

3.3.6. Az ET-szálköteg várható húzóerő-folyamata A ferdeszálas, rugalmas-szakadó (εo=0, εb=∞) szálköteg, röviden ET-köteg (3.3.16. ábra) esetén a (3.2.4) szerint ε(u)≠u, eo≠0, azaz T≠0 miatt, a szálkihajlást, vagy szálhullámosságot okozó ε<0 is bekövetkezhet, ha a w(u)<0 kontrakció túl nagy mértékű az u értékéhez képest. A lineáris rugalmas viselkedést, az εS<εb feltételt, valamint a χ(ε(u),εS) ablakfüggvénnyel kifejezhető szakadást figyelembe véve, a (3.2.3) szálerő: F(u) = K |ε(u)|+ ⋅χ(ε(u),εS) (3.3.59) A (3.2.6)-al a ferdeszálú köteg húzásirányú, egy szálra vonatkoztatott várható húzóereje: ∞

E[F1L(u)] = K

∫

−∞

[

(

h( u , x ) + 1 − Qε S h( u , x ) +

ahol a (3.2.4) alapján:

98

)]

1+ u 2

2

2

(1 + u ) + x W ( u )

dQTo ( x )

(3.3.60)

(1 + u ) 2 + x 2W 2 (u ) -1 (3.3.61) 1+ x2 Zérus várható értékű, elfajult QTo(x) ferdeség eloszlás esetén, a (3.3.60)-ból az E-köteg (3.3.9) kifejezését kapjuk. A normált, L-irányú köteg-húzóerő az y=h/ ε S jelöléssel: h(u,x) =

∞

FHL(z) =

∫ y( zε S , x ) + [1 − Q( y( zε S , x ) + ε S )]

1 + zε S

dQTo ( x ) (3.3.62)

( 1 + zε S ) + x W ( zε S ) A várható keresztirányú erőfolyamat (FHT) a (3.2.5) alapján hasonló módon kapható. 2

−∞

2

2

3.3.16. ábra. ET-köteg szerkezeti vázlata (a) valamint relatív nyúlása és a benne ébredő húzóerő a kötegnyúlás függvényében (b) [S72] A 3.3.17. ábra egy ET-köteg húzás- (FHL) és keresztirányú (FHT) normált várható húzóerőfolyamatának jellegét szemlélteti az E-kötegéhez hasonlítva. Ha a w(u)≈0, u>0-ra és a |α(u)α0| szögváltozás kicsi a szakadásig, úgy a ferde köteg szálai húzóerejére a (3.2.8) kifejezés alkalmazható. Ekkor az egy szálra eső, L-irányú várható húzóerő-folyamat: E[F1L(u)] = K u E (cos α 0 ) 1 − Qε S (u ) (3.3.63)

(

)

AE=0,1; VE=0,2; ET=0,2; ST=0,3; Ca=0; Cb=0 Normált kötegerő; FH-L, FH-T

1 Szálkarakterisztika E-köteg

0,75

ET-köteg (FH-L) ET-köteg (FH-T)

0,5

0,25

0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

3.3.17. ábra. Egy ET-köteg várható FHL húzó- és FHT keresztirányú erőfolyamatának jellege Egyenletes eloszlású α0 ferdeségi szög esetében a cosα0 várható értéke 2/π. Ha az α0 szög N(0, σ α2 ) normális eloszlású, kis értékű σαo szórással, úgy a cosαo várható értéke [K9]: o

∞

1

− σ α2o  x 2  2 E(cosα0) = ∫ cos xexp − dx = e  →1 = cos 0  2σ 2  σ αo →0 αo   −∞ Ekkor a normált várhatóérték folyamat:

99

(3.3.64)

1 − σ α2o FHL(z) = ze 2

(1 − Qε

S

)

( zε S )

(3.3.65)

Összehasonlítva az E-köteg (3.3.12) folyamatát a (3.3.65)-el, megállapítható, hogy csak a felfutó ágak meredekségében különböznek; a ferdeség szórása a meredekséget, azaz a húzómerevséget csökkenti.

3.4. Egyéb szálkötegcellák 3.4.1. Szálkötegcellák rendszere Az ideálisan (lineárisan) rugalmas szálak alkotta idealizált E, EH, ES és ET alapkötegek jelölésében az E tulajdonképpen a szálak alapjellemzőjét (Elasztikus) rögzíti, míg a H, S és T a szálköteg tulajdonságaira utal. E szálak befogása merev (E,EH,ET), vagy súrlódó/adhéziós típusú (ES) is lehet. Az alapkötegek tulajdonságait kombinálva, további idealizált (sík)kötegtípusok kaphatók: ● Előfeszített csúszó köteg (ESH-köteg); az első három, húrjaikban jól rendezett köteg általánosítása. ● Amorf köteg (EHT-köteg), mely előfeszített/hullámos és ferde szálakból áll, így síkbeli rendezetlensége "teljes". ● Csúszó ferde köteg (EST-köteg), melynek ferde, de egyenes szálai megcsúszhatnak. ● Csúszó amorf köteg (ESHT-köteg), mely rendezetlen és szálai meg is csúszhatnak. Megjegyzendő, hogy ha az eo-ferdeség várható értéke nem zérus, de Veo-relatív szórása közelítőleg az, úgy az ET, EHT, EST és EHST-kötegek az E, EH, ES és ESH kötegekből nyírással is származtathatók. A fenti szálköteg rendszer bővíthető, mind a befogását, mind a szál típusát illetően. Gyakran előfordulhat, hogy a kicsúszó szálak befogása nem súrlódó típusú, hanem viszkózus (V) jellegű. Ezt a tényt az S helyett V-vel jelölhetjük (3.4.1. ábra). Másfelől, a polimer szálak maguk, mechanikailag tipikusan viszkoelasztikus (V) jellegűek. A viszkoelasztikus szálak kötegei az elasztikusokhoz hasonló rendszert alkothatnak. A 3.4.1. ábra a jelöléskódok értelmezését szemlélteti, a 3.4.1. táblázat az elasztikus és az általában lineárisan viszkoelasztikus száltípusok rendszerét foglalja össze. JELÖLÉSKÓD XYZ Szálanyag típusa   Kötegtípus E, V H, S / V, T

3.4.1. ábra. A szálkötegcellák jelölésmódja Elasztikus szálak (E) Viszkoelasztikus szálak (V) Párhuzamosak Ferdék Párhuzamosak Ferdék E ET V VT EH EHT VH VHT ES, EV EST, EVT VS, VV VST, VVT EHS, EHV EHST, EHVT VHS, VHV VHST, VHVT 3.4.1. táblázat. Elasztikus és viszkoelasztikus szálak alkotta szálkötegcellák rendszere

100

A lineárisan viszkoelasztikus szálak legegyszerűbb típusait a Maxwell, a Kelvin-Voigt, illetve a Standard-Solid és a Burgers modellek valósítják meg, míg a szálkötegek az előbbi modellek összetett, illetve általánosított változatainak [K2,S5] felelnek meg. Megjegyzendő, hogy az ES, illetve EV típusú szálkötegek szálai ideális befogású elasztoplasztikusnak, illetve viszkoelasztikusnak is tekinthetők.

3.4.2. Lineárisan rugalmas kombinált szálkötegcellák Az alapkötegek tulajdonságait kombináló ESH, EHT, EST és ESHT szálkötegcellák esetében a szálnyúlás-kötegnyúlás kapcsolat – az alapkötegekéhez képest – jelentősen bonyolultabb lehet, továbbá a tönkremeneteli feltételek is összetettebbé válhatnak a különböző tönkremenetel-típusok között fellépő kölcsönhatások miatt. 3.4.2.1. Kombinált kötegek tönkremeneteli viszonyai

A kombinált szálkötegek esetében a (3.1.6) szerinti ε(u;εo,To) szálnyúlás–kötegnyúlás összefüggés alkalmazandó, amely egyfajta szálnyúlás karakterisztikának tekintendő, hiszen nem veszi figyelembe a tönkremenetel miatti korlátozásokat, s emiatt az erőközvetítés megszakadását. A húzás esetén a (3.1.9) hiperbolikus, kétparaméteres W(u) kontrakciós függvényt célszerű választani. A 3.4.2. ábra a (3.1.6) összefüggés alakját szemlélteti különböző előfeszítés (-1<EH=εo), relatív ferdeség (-∞0): 1 ca cb ≥ (3.4.1) To2 1,4 EH=0,2; To=0; Cb=1 1,2

EH=0.2; To=1; Cb=1

Szálnyúlás, (u)

1

EH=0,2; To=1; Cb=5 EH=0; To=0; Cb=1

0,8 0,6

EH=0; To=1; Cb=1 EH=0; To=1; Cb=5

0,4

EH=-0,2; To=0; Cb=1 EH=-0,2; To=1; Cb=1

0,2

EH=-0,2; To=1; Cb=5

0 -0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Ca=1

-0,4

Kötegnyúlás, u

3.4.2. ábra. Szál- és kötegnyúlás kapcsolata különböző előfeszítés (EH), relatív ferdeség (To) és kontrakciós függvény állandó (Cb) értékek mellett Általános esetben, EHST kötegnél, az εo, To véletlen paraméterek és a ca, cb állandók zérustól különbözők. A tökéletesen hajlékony szál negatív szálnyúlás (laza szál) mellett erőt nem közvetít, így a szálnyúlás függvénynek csak a pozitív része érvényesül. Ha εo<0, úgy a szálnyúlás függvény pozitív része minden esetben monoton növő és invertálható, így mind a szálszakadás, mind a szálkicsúszás események kezelése az alapkötegeknél követett módon történhet. Hasonló a helyzet εo<min(εb,εS) esetében is. Ha azonban εo≥min(εb,εS) és fennáll a

101

(3.4.1), akkor a minimumhely előtti (0,u*) szakaszon a nyúlásfüggvény monoton csökkenő lehet, és ez esetben a tönkremenetel részletesen elemezendő. Amennyiben εb>εo≥εS, az adott szál az előfeszítéskor elszakad (3.4.3.a. ábra). Más a helyzet a szálkicsúszással. Feltehető, hogy az előfeszítés hatására kialakuló nyúlásviszonyok a kötegszakítás kezdetére egyensúlyi állapotba jutnak. Következésképpen az εS>εo≥εb reláció fennállása esetén az adott szál már előfeszítéskor felveszi a megcsúszási határnyúlást (εb) és azt – az előfeszítés végrehajtásától függően – esetleges kicsúszással, a megfelelő lo terheletlen szálhossz kialakulásával rögzíti. Ez azt jelenti, hogy a szál kezdeti, εo nyúlása nem lehet nagyobb εb-nél (az εo≤εb korlátozás érvényesül), s így εS>εo≥εb esetén előfeszítésként εo=εb, azaz általánosan a min(εo,εb) valósul meg. A kötegnyúlás növelésekor, az εb értéket elérve, a szál kicsúszással tartja fenn ezt a nyúlásállapotot – miközben a szál lo terheletlen hossza nő -, amíg az ε(u, εo, To)≥εb reláció fennáll, vagy a kicsúszási út végére nem ér (3.4.3.a. és 3.4.3.b. ábra). Ha eközben a szálnyúlás a megcsúszási határ alá esik, a kicsúszás leáll és csak akkor folytatódik, amikor a szálnyúlás ismét eléri és meghaladja a kicsúszási határt (3.4.3.b. ábra, εb=ES=EH=εo). 1,4

1,4

1,2

1,2

1

Szálnyúlás, ε(u)

Szálnyúlás, ε(u)

Szál nyúláskarakterisztikája

EH=0,4; EL=0,3; To=0,5 Ca=1; Cb=1 Szál nyúláskarakterisztikája Kicsúszó szál nyúlása, ES=0,6 Kicsúszó szál nyúlása, ES=0,4

0,8 ES>EH 0,6 ES=EH 0,4 0,2

Kicsúszó szál nyúlása, ES=0,6 Kicsúszó szál nyúlása, ES=0,4

1

EH=0,4; EL=0,3; To=1; Ca=1; Cb=5 0,8

ES>EH 0,6

ES=EH 0,4 0,2

0

0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Kötegnyúlás, u

Kötegnyúlás, u

a.)

b.)

3.4.3. ábra. Ferde szál nyúláskarakterisztikája, illetve nyúlása nagy előfeszítés (EH=εo), kis kontrakció és szálkicsúszás (a), illetve erősen ferde szál, nagy előfeszítés (EH), erős kontrakció és szálkicsúszás (b) esetén a kötegnyúlás függvényében különböző megcsúszási szintek (εb=ES) és állandó kicsúszási út (EL=εbL) mellett Amennyiben viszont -1<εo<εb<εS, úgy a viszonyok lényegében hasonlók a 3.4.3.a. és 3.4.3.b. ábrákon bemutatott ES>EH esetekhez, figyelembe véve, hogy negatív szálnyúlás, azaz laza szál esetén erőközvetítés nem lehetséges. A statisztikus kötegszál-jellemzők permutálásával előállított lehetséges relációit és az ezekből következő deformációs és tönkremeneteli módokat a 3.4.2. táblázat foglalja össze. Ennek alapján megállapítható, hogy lényegében kétféle, azonosan zérustól különböző, nyúláslefolyás különböztethető meg (I.1. és I.2. típusok), hiszen a II.1. és II.2. típusoknál az L hosszra történő, ε(0,εo,To)=εo értékű előfeszítéskor beáll az εb nyúlásállapot, s innentől a nyúláslefolyás nem különböztethető meg az I.2. típusétól. Következésképpen, a lényeges állapotok az I.1. (εo<εS≤εb) és az I’.2. (εo≤εb<εS) módosított (εo<εb helyett εo≤εb) nyúlásállapot. A fentiek alapján a tönkremenetelt, vagy erőközvetítést is figyelembe vevő εF effektív szálnyúlás a következőképpen adható meg:  ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < ε S ≤ ε b , 0 ≤ u < u S  ε F ( u ) =  min{ε b , ε (u , min( ε o ,ε b ),To )} + , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , 0 ≤ u < u L (3.4.2)  0 , egyébként ahol az uS és uL a szálszakadáshoz, illetve a szálkicsúszás végéhez tartozó kötegnyúlás értékek. Az εS>εo esetben az uS-t a következőképpen definiálhatjuk:

102

u S = min{u ≥ 0 : ε (u ,ε o ,To ) = ε S } (3.4.3) Az uL a kötegnyúlással megadott ubL kicsúszási hossz és a megcsúszás kezdetéhez tartozó ub összegeként állítható elő: u L = ub + ubL , ub = max{u ≥ 0 : ε ( u ,ε o ,To ) = ε b } (3.4.4) ahol ub a szálnyúlás függvény és az εb nyúlásszint lehetséges legnagyobb u-értékű metszéspontja, amely lehet zérus. Permutált relációk

Ekvivalens relációk

1.

εo<εS≤εb

εo<εS ≤εb

2.

εo<εb<εS

εo<εb <εS

1.

εb<εo<εS

2.

εb<εS<εo

Típuskód

I.

II. III.

Deformáció és tönkremenetel

Előfeszítés, nyúlás, majd – esetleg belazulás és újra nyúlás után – szakadás Előfeszítés, nyúlás, majd – esetleg belazulás és újra nyúlás után – kicsúszás Előfeszítéskor megcsúszás, majd – esetleg belazulás és újra nyúlás után – kicsúszás

εo=εb <εS

1. εS≤εb≤εo Előfeszítéskor szakadás εo=εS ≤εb 2. εS≤εo≤εb 3.4.2. táblázat. Általános helyzetű és befogású kötegszál statisztikus viszonyai és tönkremeneteli módjai (bekeretezve: a tönkremenetelt meghatározó reláció)

Az ubL és a ∆lo(ubL) kicsúszó terheletlen szálhossz kapcsolatának feltárásához tisztázni kell a szálhossz, s ezen belül a terheletlen szálhossz változását a kötegnyúlás növekedése során (3.4.4. ábra), ahol ’e’ a (3.1.3) szerinti ferdeségi eltérés, amely a kontrakció miatt csökken. Ennek kiindulópontjaként rögzíthető, hogy a terheletlen szálhossz monoton nemcsökkenő, ugyanis, az irreverzibilis szálkicsúszás miatt, a szálnyúlás csökkenése esetén nem léphet fel rugalmas visszahúzódás a befogásba. eo e(u b) e(uL)

0

Szál e(u)

l=l(0) l(ub)

l(uL)

Lo u=0

L(u b) u=ub

L(u L) u=uL

3.4.4. ábra. A szálhelyzet, valamint a szálhossz és a köteghossz alakulása a szakítás során Az elvégzett elemzések alapján (F3.3. Függelék), a kicsúszott terheletlen szálhossz relatív értékének két, a kezdeti terheletlen szálhosszhoz (lo), illetve a köteg befogási hosszához (Lo) viszonyított formája: ∆lo ( ubL ) ε ( u L ,ε o ,To ) − ε b = (3.4.5) lo 1+ εb

1 + To2 ε ( u L ,ε o ,To ) − ε b ∆lo ( ubL ) = Lo 1+ εo 1 + εb

103

(3.4.6)

ahol az ε(u,εb,To)-nek itt nincs effektív nyúlásfunkciója, csak a terheletlen szálhosszváltozás leírásához alkalmazott segédfüggvényként szerepel. A (3.4.3)-hoz hasonlóan, adott εbL esetén, az uL kötegnyúlás értéke az alábbi egyenlet megoldásaként kapható (uL>ub≥u*): (3.4.7) u L : ε ( u L ,ε b ,To ) = ε L = ε b + ε bL amivel a (3.4.4) alapján, a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás-változás értéke: (3.4.8) ubL = u L − ub A (3.4.5), (3.4.6) szerinti relatív terheletlen szálhosszváltozások valamelyikének, vagy a (3.4.8) szerinti ubL-nek – mint az εS, εo, εb és To-től független relatív kicsúszási útnak, illetve annak vetületének – az eloszlásfüggvényét célszerű megadni (miáltal az ötödik, a szabad paraméter értéke természetesen meghatározottá válik). A (3.4.5) és (3.4.8) alapján, speciális esetként, az ES köteg esetében εo=0, To=0, így ε(u,εo,To)=u, tehát a kicsúszási hossznak megfelelő relatív elmozdulás: ∆l ( u ) (3.4.9) ubL = ε bL = o bL ( 1 + ε b ) lo ami megegyezik a korábbi, (3.3.34) értelmezéssel. 3.4.2.2. Kombinált kötegek várható húzóerőfolyamata

A legáltalánosabb kombinált szálkötegcella az EHST-köteg, amelynek várható húzóerőfolyamatából – egyszerűsítésekkel – az EHS, EHT és EST kötegeké is megkapható. EHST-kötegek Az EHST köteg szálainak nyúláskarakterisztikája azonos az EHT kötegével (εo≠0, To≠0): ( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) −1 (3.4.10) 1 + To2 tehát nagy kontrakció esetén lehet lokális minimuma és negatív értékű szakasza is. Az utóbbi hullámos szálaknál is megtalálható (3.4.5. ábra).

ε ( u ,ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

1,2 Szál nyúlás-karakterisztikája Effektív szálnyúlás, EH=0,1 Effektív szálnyúlás, EH=-0,1

Szálnyúlás, (u)

1 0,8

AE=0,5; ES=0,4; EL=0,2

0,6

To=0,5; Ca=1; Cb=8

0,4 0,2 0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,2

Kötegnyúlás, u

3.4.5. ábra. EHST kötegszálak nyúláskarakterisztikája és effektív nyúlásmenete εo<εS esetén (AE=εS; EH=εo; ES=εb; EL=εbL;) Hasonlóan az EHS és EHT kötegekhez, ha εo≥εS, a szál az előfeszítéskor elszakad, azaz uS=0, míg εo<εS esetében a szakadás (u=uS) mindig az esetleges minimumhelyen túl, a monoton növő és invertálható nyúláskarakterisztika szakaszra kerül. Ennek megfelelően egy általános helyzetű és állapotú szál effektív nyúlása:

104

 ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < min( ε b ,ε S ), 0 ≤ u < u m  ε F ( u ) = ε b , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként  ahol az um kötegnyúlás (εo<min(εb,εS)=εm):

(3.4.11)

um : Fm = min( Fb , FS ) = K min( ε b ,ε S ) = Kε ( um ;ε o ,To ) ⇒ um = ε −1( ε m ) (3.4.12) ugyanis azon u tartományban, ahol ε(u,εo,To)-εo>0, a nyúláskarakterisztika monoton növő és invertálható, s a vonatkozó ub illetve uS abszcisszájú metszéspontok erre a szakaszra esnek. Ennek megfelelően, ha εm=εb, úgy um=ub, és a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás változás: u bL = u L − u b = ε −1( ε L ) − ε −1( ε b ) = ε −1( ε b + ε bL ) − ε −1( ε b )

(3.4.13)

ε L = ε ( u L ,ε o ,To ) = ε b + ε bL

A (3.4.11) alapján az i-edik kötegszál által közvetített húzóerő:  Ki ε ( u ,ε oi ,Toi ) + , ha ε oi < ε mi , 0 ≤ u < umi  Fi ( u ) = K iε Fi ( u ) =  Fbi = K iε bi , ha max( ε oi ,ε bi ) < ε Si , umi = ubi ≤ u < u Li (3.4.14) 0, egyébként  Az i-edik szálban ébredő húzóerő összeg alakban: Fi ( u ) = K i ε i ( u ,ε oi ,Toi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ,Toi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) + (3.4.15) + ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi ))] ahol χbL(u) az alábbi ablakfüggvény χ bL ( u ) = 1(u − ubi ) − 1(u − ( ubi + ubLi )) (3.4.16) ahol az εMi értéke: ε Mi = max( ε oi ,ε bi ) (3.4.17) Az i-edik, β irányszögű szálban ébredő húzóerő vetülete, mint a kötegerő összetevője: 1+ u FLi ( u ) = Fi ( u ) cos β i ( u ,Toi ) = K i ε F i ( u ) (3.4.18) ( 1 + u )2 + Toi2 W 2 ( u ) A (3.4.15)-öt is figyelembe véve, a (3.4.18) szálhúzóerő várható értéke, mint az EHST-köteg egy szálra vonatkoztatott várható vetületi húzóerő-folyamata (F3.3. Függelék): E (F1L ( u )) =

[

=K

∞ ∞

∫

− ∞ −1

+K

(

(

(

(

))(

(

∫ ε ( u , x , y ) + 1 − Qε S ε ( u , x , y ) + 1 − Qε b ε ( u , x , y ) +

∞ ∞ ε ( u ,x , y ) +

∫ ∫

∫

− ∞ −1 max( 0 ,x )

))(

))( 1 + u )dQε2 ( x )2dQ2T ( y ) + o

(1 + u ) + y W ( u )

)( 1 + u )dQε

z 1 − Qε bL ε ( u , x , y ) − z + 1 − Qε S ( z )

o

b

( z )dQε o ( x )dQTo ( y )

( 1 + u )2 + y 2W 2 ( u )

(3.4.19) ami a (3.3.44)-nek az u→ε(u,x) transzformációval és az εo(=x), illetve a To(=y) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja. EHS-kötegek Az EHS köteg esetében a párhuzamos szálhúrú (To=0), hullámos/előfeszített szálak szakadók, vagy kicsúszók lehetnek. A kötegszál nyúláskarakterisztikája lineáris: ε ( u ,ε o ) = ε o + ( 1 + ε o )u = u + ( 1 + u )ε o ≥ ε o (3.4.20)

105

A To ferdeség eloszlásfüggvény elfajult, az egységugrás-függvénnyel adható meg. Végül, az EHS-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata (F3.3. Függelék): ∞

(

))(

(

))

(

E (F1( u )) = K ∫ ε ( u , x ) + 1 − Qε S ε ( u , x ) + 1 − Qε b ε ( u , x ) + dQε o ( x ) + +K

−1 ∞ ε ( u ,x )

(3.4.21)

∫ z (1 − Qε bL (ε ( u , x ) − z ) + )(1 − Qε S (z ))dQε b ( z )dQε o ( x )

∫

−1max( 0 ,x )

ami – mivel a kicsúszás szakaszán az ε(u,x) monoton az u-ban – a (3.3.43)-nak az u→ε(u,x) transzformációval és az εo(=x) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja.

EHT-kötegek Az EHT köteg szálainak nyúláskarakterisztikája (εo≠0, To≠0): ( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) −1 (3.4.22) 1 + To2 amelynek nagy kontrakció esetén lehet lokális minimuma és hullámos szálaknál negatív értékű szakasza is. Kicsúszás nincs, azaz εb>εS minden esetben teljesül, tehát εb=∞ vehető. Ennek megfelelően a (3.4.19) második integrálja zérus. Az egy szálra eső köteghúzóerő várható értéke (F3.3. Függelék): E (F1L ( u )) = E [F (FLi ( u ) ε o ,To )] =

ε ( u ,ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

∞ ∞

[

( (

= K ∫ ∫ ε ( u , x , z ) + 1 − Qε S max x , ε ( u , x , z ) +

))]( 1 + u )dQT2o ( z 2)dQ2ε o ( x )

(3.4.23)

(1 + u ) + z W ( u ) amely az ET kötegétől lényegében csak az εo hullámosság szerinti átlagolással különbözik. EST-kötegek Az EST köteg szálai ugyan egyenesek (εo=0), azonban ferdék (To≠0), így nyúláskarakterisztikájuk: −1 − ∞

ε ( u ,To ) =

( 1 + u )2 + To2W 2 ( u )

−1 (3.4.24) 1 + To2 s az EST-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata (F3.3. Függelék): ∞ ( 1 + u )dQTo ( x ) E (F1L ( u )) = K ∫ ε ( u , x ) + 1 − Qε S ε ( u , x ) + 1 − Qε b ε ( u , x ) + + 2 2 2 ( 1 + u ) + x W ( u ) −∞

(

+K

∞ ε ( u ,x ) +

∫

−∞

∫

(

(

(

))(

))(

))

(

)( 1 + u )dQε2 ( z 2)dQ2T ( x )

z 1 − Qε bL ε ( u , x ) − z + 1 − Qε S ( z )

o

b

o

(1 + u ) + x W ( u )

(3.4.25) ami a (3.3.44)-nek az u→ε(u,x) transzformációval és a To(=x) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja.

3.4.3. Lineárisan viszkoelasztikus típusú szálkötegcellák A fentiekben tárgyalt szálkötegcellák esetében a szálak lineárisan rugalmasak voltak, a környezettel való kapcsolatuk merev (E,EH,ET), vagy súrlódásos (ES) típusú volt. Lineárisan

106

viszkoelasztikus (LVE) típusú szálkötegcellák esetében a szálak, vagy a környezettel való kapcsolatuk, esetleg mindkettő LVE típusú. Itt elsősorban a második lehetőséggel, az EV köteggel foglalkozunk, ugyanis ekkor a szakadó szálak lineárisan rugalmasak, s így az EV az ES köteg – illetve, egyúttal a V köteg – egy speciális változatának tekinthető. Az EV-köteg értelmezésében hasonló az ES-köteghez, tulajdonságaiban azonban jelentősen eltérő. A szálak lineárisan rugalmasak, így modelljük egy véletlen εS szakítónyúlás értéknél elszakadó rugó. A környezetükkel való kapcsolatukat, azaz befogásukat, egy viszkózus elem modellezi, ahol a viszkózus folyadékot tartalmazó hengerbe nyúló ’dugattyú’ a szál befogott (a hengerbe ’rejtett’), véges, terheletlenül lb hosszúságú része. Feltételezzük, hogy lb véges szórású valószínűségi változó. A 3.4.6. ábrán a viszkózus elem lv ’hossza’ a környezetből viszkózusan kihúzódott szálrész hosszát jelképezi.

ηF

K

lv

lr

∆L=vt o F

L

3.4.6. ábra. Az EV-köteg szálainak mechanikai modellje A szálkötegcella húzása során egy adott szál - a véletlen paraméterek értékeitől függően – vagy elszakad, vagy kihúzódik a viszkózus befogásból, s erőközvetítése megszakad. A terheletlenül Lo hosszú szálköteget egyenletesen növekvő nyúlással igénybe véve, a köteg hossza L-re nő. Egy terheletlen állapotban ugyancsak Lo hosszú kötegszál hosszváltozása két részből, az Lo hosszú szálrész megnyúlásából (∆lr), illetve a viszkózus befogásból kihúzódott (lvo) és az aktuális húzóerőnek megfelelően megnyúlt szálrészből (lv=lvo+∆lv) áll. Az Lo hosszú szálrész (a rugó: εr) és a befogott szálrész (viszkózus elem: εv) Lo-ra vonatkoztatott megnyúlásai összege a kötegnyúlást adja: l ∆l u = r + v = εr + εv (3.4.26) Lo Lo Az egyes szálrészek és a szál saját terheletlen hosszukhoz viszonyított relatív megnyúlása, azonos szálhúzóerő mellett, nyilván megegyezik, amivel az ε szál- és u kötegnyúlás közötti kapcsolat is adódik: ∆l ∆l ∆l εr = r = v = = ε = u − εv ⇒ ε ( u ) = u − εv( u ) (3.4.27) Lo lvo lo A (3.4.27) alapján világos, hogy egy kötegszál akkor szakad, ha ε(t)=εr(t)≥εS és a kihúzódott szálrész terheletlen hossza (lvo) rövidebb a viszkózusan befogott lb hossznál. Egyébként a szál erőközvetítése a viszkózus kihúzódással szűnik meg. A 3.4.6. ábra modellelemeiben ébredő erők kiszámításához a rugóra a Hooke törvényt, a viszkózus elemre a Newton törvényt az alábbi formában alkalmazzuk [K2,K53,S5]: Fr = Kε r , Fv = η F ε&v (3.4.28) ahol a pont idő szerinti deriválást jelöl. Figyelembe véve, hogy a húzóerők az elemeken megegyeznek, a (3.4.28) formuláit megfelelő formában a (3.4.26)-ba helyettesítve, majd differenciálva az idő szerint, kapjuk (F=Fr=Fv): F& F u& = + (3.4.29) K ηF A (3.4.29) differenciálegyenlet zérus kezdeti feltételek melletti megoldása (F3.4. Függelék):

107

  u  η   → Ku&oτ = Kε ∞ , τ = F (3.4.30) F = Kε ( u ) = Ku&oτ 1 − exp −  K  u&oτ   u →∞  ahol u&o a kötegnyúlási sebesség, τ időállandó és ε ∞ = u&oτ az aszimptotikus nyúlás értéke, feltéve, hogy nincs tönkremenetel. A (3.4.30) alapján elemezhető a szakadás és kicsúszás feltétele. Ha ε ∞ = u&oτ < ε S (3.4.31) akkor a szál nem szakad el ennél a terhelési sebességnél, csak kicsúszik, ellenkező esetben elszakadhat. A kicsúszás akkor következik be, ha lvo≥lb, ami tehát tetszőleges terhelési sebességnél létrejöhet. A kicsúszás határfeltétele az εv-re is megfogalmazható. A kicsúszás addig folytatódik, amíg fennáll a következő reláció (F3.4. Függelék): l l ε v ( u ) = u − ε ( u ) < (1 + ε ( u )) b = (1 + ε ( u ))λb , λb = b (3.4.32) Lo Lo ahol λb a viszkózusan befogott szálhosszarány. A használt összefüggések monotonitása miatt a kritikus szál-, illetve kötegnyúlások segítségével, azonos relációkkal különböztethetők meg a szakadás és kicsúszás, mint tönkremeneteli módok feltételei (F3.4. Függelék):

u S : ε S = ε ( u S ), u S = ε −1( ε S ) u − ε ( ub ) lb u b : g ( ub ) = b = = λb , ub = g −1 (λb ), ε b = ε ( ub ) 1 + ε ( ub ) Lo Tehát a szál erőközvetítése megszakad, ha ε ( u ) ≥ ε m = min( ε S ,ε b ) ⇔ u ≥ um = min( uS ,ub )

ε m = ε ( um )

(3.4.33) (3.4.34)

(3.4.35)

Az EV-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata (F3.4. Függelék):

F1( u ) =

∞∞



y 

 

y   

 

y  

∫ ∫ xε  u; x 1 − Qε S  ε  u ; x   1 − Qλb  g  u; x   dQK ( x )dQη F ( y )

(3.4.36)

o o

Ha a K szálhúzómerevség és a szálak környezettel való kapcsolatát meghatározó ηF csillapítási tényező is állandó, úgy integrálásra nincs szükség:   η      η    η  F1( u ) = Kε  u ; F  1 − Qε S  ε i  u ; F   1 − Qλb  g  u ; F   (3.4.37)  K    K      K   A szálak FS átlagos szakítóerejével és ε S átlagos szakítónyúlásával a húzóerőt, illetve a kötegnyúlást és annak végértékét normálva, u u& τ u& η F z= , Zo = o = o F = v (3.4.38) εS εS Kε S FS amellyel (3.4.30)-ból az ε szálnyúlás, a (3.4.34) szerinti g függvény és a (3.4.37) új alakja:   z  zε − h( z ; Z o ) g( z ; Z o ) = S (3.4.39) ε = h( z ; Z o ) = ε S Z o 1 − exp −   Z 1 + h ( z ; Z ) o o     FH ( z ) =

1

εS

[

][

]

h( z ; Z o ) 1 − Qε S (h( z ; Z o )) 1 − Qλ b ( g ( z ; Z o ))

(3.4.40)

A Zo nagy értékei nagy kötegnyúlási sebességnek és/vagy nagy viszkozitásnak, azaz nagy befogási ellenállásnak, illetve kis húzómerevségnek és/vagy kis átlagos szakítónyúlásnak, azaz kis átlagos szakítóerőnek felelnek meg. A 3.4.7. ábra diagramjai az EV-köteg (3.4.40)-el, normális eloszlások esetében számolt várható szakítófolyamatát szemléltetik.

108

A Zo kis értékeinél (Zo<1) a várható szakítófolyamat alakját a (3.4.39) szerinti viszkoelasztikus szálnyúlás karakterisztika és tönkremenetel (kihúzódás) határozza meg és a Zo növelésével nő az erőcsúcs értéke (3.4.7.a. ábra). A Zo további növelése mellett (Zo>1) a görbealak tart az elasztikus típusú E-kötegéhez, a tönkremenetelt a szakadások dominálják, azonban a csúcserő állandósul (3.4.7.a. és 3.4.7.b. ábrák). E tekintetben a Zo=1 határesetként működik, ami – lévén ekkor az átlagos szakítóerő egyenlő az átlagos kicsúszási ellenállással – megfelel a modell szemléletének. A gyakorlatilag állandó szakítónyúlás (VE=0,001) esetében, a Zo növelésével a szakítógörbe úgy tart az E-kötegéhez, hogy a normált csúcserő már Z=1,5-nél gyakorlatilag eléri az 1 értéket, azaz a közel 100%-os szálszilárdság kihasználást (3.4.7.b. ábra). EV-szálköteg 1 Normált köteghúzóerő, FH

Normált köteghúzóerő, FH

EV-szálköteg 1 Szálkarakt. Z0=4

0,8

Z0=2 Z0=1,5 Z0=1 Z0=0,6

0,6 0,4

Z0=0,4

0,2 0

Szálkarakt. Z0=5 Z0=3 Z0=2 Z0=1,5 Z0=1,2 Z0=1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

1

2

3

4

0

1

Normált kötegnyúlás, z

2

3

4

Normált kötegnyúlás, z

a.) b.) 3.4.7. ábra. EV-köteg várható szakítófolyamata különböző Zo értékek mellett (AE= ε S =0,1; VE=V(εS)=0,2; E(λb)=0,1; V(λb)=0,1) (a), illetve közel állandó szakítónyúlás mellett (AE= ε S =0,1; VE=V(εS)=0,001; E(λb)=0,1; V(λb)=0,1) (b) Amennyiben Zo≤1, úgy a görbealak jelentősen változik, nő az effektív nyúlástartomány, az EL= E(λb) várható kicsúszási hossz növelésére (3.4.8. ábra). A görbealak egyre kevésbé reagál erre, a Zo növekvő értékeinél, összhangban a 3.4.7.a. ábrán tapasztaltakkal. Szálkarakt. Z0=1; EL=0,15 Z0=1; EL=0,1 Z0=1; EL=0,05 Z0=0,6; EL=0,15 Z0=0,6; EL=0,1 Z0=0,6; EL=0,05

EV-szálköteg Normált köteghúzóerő, FH

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

1

2

3

4

Normált kötegnyúlás, z

3.4.8. ábra. EV-köteg várható szakítófolyamata különböző Zo és EL=E(λb) értékek mellett (AE= ε S =0,1; VE=V(εS)=0,2; V(λb)=0,1) Az EV köteg segítségével tehát tanulmányozhatók a viszkoelasztikus befogás tulajdonságai és a kötegszakítás sebességének hatása.

3.5. Az eredmények értékelése

109

A 3. fejezetben bevezetett idealizált szálkötegcellák mindegyike vagy kiterjesztése egy már ismert szálkötegtípusnak, vagy újszerű kötegkoncepciót képviselő típus. Az egyes kötegek várható húzóerő-folyamatának kiszámítását jelentősen megkönnyítették a bevezetett ablakfüggvények, amelyek az egyes működésmódokhoz tartozó kötegnyúlás intervallumok karakterisztikus függvényei, és lehetővé tették a szálak rugalmas, véletlen paraméterektől függő húzó-karakterisztikájának és a tönkremenetelt meghatározó véletlen paraméterek szorzatfüggvényszerű szétválasztását. Az E-köteg a Daniels-féle klasszikus kötegtől [31] abban tér el, hogy a szálak húzómerevsége is lehet véletlen változó. Ezt Phoenix általánosított kötegmodellje [169] lényegében tartalmazza, azonban az általánosítás pusztán formális volt, hiszen a paramétereket csak a laza köteg esetében értelmezte és csak a laza köteget elemezte. A (3.3.9) várható érték és a (3.3.17) szórásformula állandó szálhúzó-merevség (VK=0) esetén Daniels [31] eredményeit szolgáltatják. A korábbi eredményekhez képest új(szerű) a kis szálszámú klasszikus szálkötegek várható ugráshelyeinek számítása, s így a várható lépcsős köteghúzóerő lefutás meghatározása is (3.3.6. ábra és F3.1. Függelék). Ennek segítségével – Phoenix és szti [80,81,169-171,173], illetve Daniels [31], Suh és szti [80] módszeréhez képest, akik a kis szálszámú klasszikus kötegek globális erőmaximumának eloszlását vizsgálták – újszerűen elemezhető a kis kötegek viselkedése és meghatározható azon n1 szálszám, amelynél nem nagyobb kötegek a gyenge láncszem viselkedést követik, és azon n2(>n1) szálszám, amely felett a nagy kötegekre jellemző viselkedésűek. E módszert alkalmazva, részletes analitikus vizsgálatok végezhetők az átmeneti viselkedések szórásfüggését illetően. Az EH-köteg a Phoenix-féle [169] laza szálkötegnek egyrészt kiterjesztése az előfeszítésre, másrészt pontosítása is, hiszen Phoenix az (1.3.53) szerint a szálak nyúlását a köteg befogási hosszához viszonyította, nem véve figyelembe, hogy véletlen lazaság mellett a szálak terheletlen hosszai is eltérnek egymástól, véletlen értékek. Ez könnyen belátható, ha az (1.3.53)-ban a θi≥0 hullámosságot az εoi=-θi-vel helyettesítjük. Ekkor az alkalmazott lineáris rugalmasság miatt az i-edik szál nyúlása εi=u+εoi. Ezt összehasonlítva a (3.3.23)-al, látható, hogy Phoenixnél az u kötegnyúlás és a szálnyúlás azonos szálhosszakra lett vonatkoztatva. Következésképpen az EH-köteg a valós szálkötegek ilyen értelmű viszonyait nyilvánvalóan jobban megközelíti, mint a Phoenix-féle laza köteg. Az ES-köteg és annak módosított változatai, az ES1 és ES2 kötegek, új kötegkoncepciót jelentenek, amelyek alkalmazása a kötegmodellezés lehetőségeit meglehetősen kitágítja, főleg a rövidszálas szerkezeteknél. Az ET-köteg, mint nyírt klasszikus, illetve laza szálköteg, Phoenix [174] kis nyúlású szálakra kidolgozott, ugyanakkor számos tényezőt figyelembe vevő, sodrott szálköteg modelljében is szerepel, ahol a hengerrétegekben a sodrás miatt elferdült, rétegenként azonos ferdeségű szálakat modellezte vele. Ugyanakkor az ET-köteg és a szálferdítéssel létrehozott EHT köteg a Phoenix féle ferde és laza szálköteg kiterjesztései véletlen ferdeségre. További kiterjesztéseket jelent az EHS, EHT, EST és EHST kombinált kötegek, valamint az EV viszkoelasztikus befogású kötegek bevezetése. A kúszó tönkremenetel viszkoelasztikus köteg-modellezésében viszont Kun, Hidalgo és szti [90, 125] jutottak tovább, akik ehhez Kelvin-Voigt típusú szálakat, illetve fémmátrixú kompozitok esetében szakadó elasztikus szálakat és kúszó Maxwell elemeket alkalmaztak.

110

4. SZÁLKÖTEGCELLA HÁLÓZATOK ÉS FENOMENOLÓGIAI ALKALMAZÁSUK A szálkötegcellákat – az analóg mechanikus modellelemek módjára – párhuzamosan, illetve sorosan kapcsolva, hálózatok alakíthatók ki, amelyekkel bonyolult anyagviselkedések, és/vagy bonyolult szálas rendszerek modellezhetők. Ennek érdekében feltárandók a szálkötegcellák párhuzamos és soros kapcsolásának műveleti módjai és törvényszerűségei.

4.1. Párhuzamosan kapcsolt szálkötegcellák A kiemelten alkalmazott nyúlásgerjesztés esetén a szálkötegek párhuzamos kapcsolása igen egyszerűen kezelhető, hiszen a kötegek húzóerő-nyúlás összefüggései pontonként összegezhetők. Egy N-tagú, párhuzamosan kapcsolt, általános esetben komponensenként különböző szálakból álló kötegek (4.1.1. ábra) normált várható húzóerő-folyamata tehát a részfolyamatok összege, amely a normált várható húzóerő-folyamatok súlyozott összegeként is kifejezhető, ahol a súlyok az átlagos szálszakító erők ( FSk ) és a szálszámok (nk) szorzatai: F(u ) =

N

N

k =1

k =1

 u    Sk 

∑ Fk ( u ) = ∑ nk FSk FH k  ε

(4.1.1)

4.1.1. ábra. Párhuzamosan kapcsolt szálkötegcellák [S76] A (4.1.1)-ben a kötegnyúlás normálása a kötegszálak átlagos szakítónyúlásával ( ε Sk ) történt. Az eredő, ún. kompozit köteg normálását úgy végezhetjük, mintha az eredő köteg egyetlen, különböző szálak keverékéből álló köteg lenne. Következésképpen a (4.1.1)-beli súlyok összegével osztva, kapjuk: ∑ Fk ( zε S ) N F ( zε ) N  ε  F ( zε S ) S FH ( z ) = = k =∑ k = ∑ wk FH k  z S  (4.1.2) N FSk n k n F ε ∑ S Sk   k =1 k =1 ∑ FSk nk k k =1

ahol wk =

FS =

N ϕ k FSk nk FSk F n = = ϕ k Sk , ϕ k = k , n = ∑ nk FS n ∑ nk FSk ∑ ϕ k FSk k =1 k N

∑ ϕ k FSk ,

k =1

k

εS =

N

∑ ϕ k ε Sk ;

k =1

u = zε S = z k ε Sk

111

⇒

(4.1.3)

ε zk = z S

ε Sk

Ha a kötegszálak azonos típusúak, csak a kötegtípusok különböznek, úgy ε Sk = ε S és FSk = FS (k=1,…,N), így a (4.1.2) eredő normált kötegerő: FH ( z ) =

N

∑ wk FH k ( z ),

k =1

n wk = ϕ k = k n

(4.1.4)

szálszámokkal súlyozott átlagérték. Egy kompozit köteg tehát a fenti kötegek súlyozott párhuzamos kapcsolásaként értelmezhető, ahol – a kötegparaméterek mellett – a súlyok fejezik ki a modellezett köteg, vagy szálas termék szerkezetét. Ha ezek nem ismertek és a meghatározásuk a cél, akkor a valós szálas szerkezet – az utolsó szál szakadásáig végzett – szakítóvizsgálatából kapott szakítógörbe elemzéséből, dekomponálásából, a modell kompozit köteg szakítógörbéjének valamilyen értelemben vett legjobb illesztéséből kaphatjuk meg.

4.2. Sorosan kapcsolt szálkötegcellák Nyúlásgerjesztés esetében a szeparált szálkötegek soros kapcsolása – a párhuzamos kapcsoláshoz képest – nehézséget okoz, ugyanis, még ha mindenben azonos tulajdonságú kötegekről van is szó, minden szálszakadás után megváltozik a vonatkozó köteg húzómerevsége, s így új nyúlásmegosztás, azaz új terhelésmegosztás jön létre a sorba kapcsolt kötegek között. Ugyanakkor a kötegeken belül az egyes szálak terhelése csak a kötegnyúlástól és az adott szál állapotától függ, de független az ép szálak számától. Erőgerjesztésnél viszont az egyes kötegek erőterhelése a rendszerével azonos, független az egyes kötegek állapotától, azonban a kötegeken belül minden szál szakadása után új terhelésmegosztás jön létre, az elszakadt szál terhelése az épen maradtakon elosztódik. A következőkben a polimerek szakítógépes húzóvizsgálatánál túlnyomó többségben alkalmazott nyúlásgerjesztést, azaz nyúlásvezérelt terhelésnövekedést feltételezve vizsgáljuk a soros kapcsolás tulajdonságait.

4.2.1. Soros kapcsolás szerkezeti értelmezése Az azonos Lo hosszúságú E, EH, ES, és ET kötegcellák soros kapcsolása a kötegek kapcsolódásának jellege szerint többféle módon értelmezhető. Textilszerkezeteknél a szálköteg gyakran egy egydimenziós textília – szálszalag, roving, fonal – egy szakasza, amely esetben a kötegszálak átnyúlnak a szomszédos kötegekbe és az ezáltal összekötött szomszédos kötegek esetén e szálak egyetlen szálként, illetve szálláncként működnek, akkor a soros kapcsolással előállított szerkezet egyfajta szálfolyamot, vagy szállánc-köteget alkot. A szálfolyam lehet folytonos (filament) szálakból, illetve véges hosszú, rövid szálakból álló (4.2.1. ábra). Mindkét esetben feltesszük, hogy a szálkötegek azonos számú szálból, illetve szálláncból állnak.

112

a.) 1

2

...

3

m

b.) Lo mLo

4.2.1. ábra. Sorosan kapcsolt szálkötegek, mint folytonos (a) és rövidszálas (b) szálfolyamok A szálkötegcellák egymástól elkülönített elemekből álló kötegláncot alkotnak, ha a szálak nem nyúlnak át a szomszédos kötegekbe, illetve ha át is nyúlnak, a részeik különálló, szeparált szálakként működnek (4.2.2. ábra). Az impregnált, vagy mátrixanyagba ágyazott folytonos szálak, a részeik együttdolgozása miatt, általában inkább köteglánccal modellezhetők. A publikált tanulmányok többsége független elemű kötegláncokkal foglalkozott, az Lo köteghosszat igen rövidnek, szálátmérő nagyságrendű, ún. hatástalan (ineffective) hosszal azonosnak tekintve [80,81,173,269]. 1

2

...

3

m

Lo mLo

4.2.2. ábra. Kötegláncot alkotó soros szálkötegek

4.2.2. Szálkötegcellák megbízhatósági függvénye Általában a rendszerek, s így a szálkötegcellák soros kapcsolásának elemzéséhez és szintéziséhez is jól használható eszköz a megbízhatóság fogalma és a megbízhatósági függvény (R) [K24]. Egy rendszer megbízhatóságát az adott terhelés melletti hibamentes működés valószínűsége, vagy több egyidőben – párhuzamosan – működő elem (n) esetében az ép elemek (n1) részaránya határozza meg (4.2.3. ábra) [K24]. n1(u)/n 1

u

εSi 4.2.3. ábra. Az ép szálak relatív száma a kötegnyúlás függvényében 0

Szálkötegek esetében a megbízhatóság többféle tönkremeneteli móddal kapcsolatban is értelmezhető, aszerint, hogy mit értünk hibamentes működés, illetve ép szálak alatt. A szálak működésmódja az erőközvetítés. Szigorúan véve, a kötegszál addig tekinthető épnek, ameddig a kezdetivel megegyező típusú erőközvetítésre képes. A szálak épek, amíg el nem szakadnak, vagy a befogásuk nem sérül, pl. megcsúszással. A szálkötegek ’ép szál és ép befogás’ alapú, hibamentes működésének megbízhatósága (HM) bármiféle meghibásodást tönkremenetelnek kezel. Másrészt, a megcsúszott szál – a teljes kicsúszásig – erőközvetítésre képes marad, azonban az erőközvetítés minősége megváltozott, alacsonyabb minőségi szinten teljesül. Így értelmezhető az erőközvetítés megbízhatósága (EM) is, azon az alapon, hogy a 113

szál működőképes, amíg erőt tud közvetíteni. A fentieknek megfelelően, szálkötegeknél értelmezhető a hibamentesség (Ro), illetve az erőközvetítés (R) megbízhatósági függvénye is. 4.2.2.1. Szakadó típusú kötegek megbízhatósági függvénye

A szálszakadással tönkremenő E, EH, ET kötegek alaptípusa az E-köteg. Egy n szálas E köteg esetében a tönkremenetel a szakadás, így a meghibásodás és az erőközvetítés megbízhatósága egybeesik (R=Ro) és az ép szálak száma az ablakfüggvények összegével adható meg (4.2.3. ábra), amelynek relatív értéke: n (u ) 1 n Rn ( u ) = 1 = ∑ χ ( u ,ε Si ) → R( u ) = Ro ( u ) n →∞ n n i =1 amelynek várható értéke: n 1 − Qε S ( u ) 1 n E (Rn ( u )) = ∑ E (χ ( u ,ε Si )) = = 1 − Qε S ( u ) = P(ε S ≥ u ) = R( u ) n i =1 n

(

)

(4.2.1)

(4.2.2)

Megbízhatósági függvény, R(z)

Tehát egy E-kötegbeli szál húzásra vonatkozó megbízhatósági függvénye, R(u)=Ro(u), annak valószínűségét adja meg, hogy a szál az u relatív kötegnyúlás mellett még ép, erőközvetítésre alkalmas marad, azaz nem szakad el, s mivel ez megegyezik az u kötegnyúlásnál épen maradó szálak számarányával, következésképpen a köteg megbízhatósági függvénye megegyezik a szálakéval. Az E-köteg megbízhatósági függvénye 4.2.4. ábrán látható módon változik a szálnyúlás relatív szórásával: növekvő szórásértékeknél a megbízhatóság az átlagos szálszakító-nyúlásnál kisebb kötegnyúlásoknál csökken, míg a nagyobb kötegnyúlásoknál nő. 1

VE=0,05 VE=0,1 0,5

VE=0,2 VE=0,3 VE=0,4

0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

4.2.4. E-köteg megbízhatósági függvénye normális eloszlású szálszakító nyúlás és különböző relatív szálszakító nyúlások (VE) mellett Egy tetszőleges EH, ET, vagy EHT szálkötegcella szálait tekintve, azok ε(u; ξ) nyúlása a kötegnyúlás mellett egyéb véletlen paraméterektől, így az előfeszítéstől és a ferdeségtől (ξk∈{εo, To}, k=1,2) is függ, így a szál, s ezzel az EH és ET (4.2.4. ábra), valamint az EHT szálkötegcella húzásra vonatkozó, a meghibásodásra és erőközvetítésre azonos megbízhatósági függvénye (R(u)=Ro(u)) (F4.1. Függelék): EH : R( u ) = Ro ( u ) = E (χ (ε ( u ;ε o ),ε S ) = ET : R( u ) = Ro ( u ) = E (χ (ε ( u ;To ),ε S )) = EHT : R( u ) = E (χ (ε ( u ;ε o ,To ),ε S )) = ahol ξ a véletlen paraméterek vektora és

∞∞

∞

∫ (1 − Qε S ( y( u ; x1 ) + ))dQε o (x1 )

−1 ∞

∫ (1 − Qε S ( y( u; x2 ) + ))dQTo (x2 )

114

(4.2.4)

−∞

∫ ∫ (1 − Qε S ( y( u; x ) + )dQTo (x2 )dQε o (x1 )

−1− ∞

(4.2.3)

(4.2.5)

( 1 + u )2 + x22W 2 ( u ) y( u ; x ) = ε ( u ; x1 , x 2 ) = ( 1 + x1 ) −1 2 1 + x2

(4.2.6)

4.2.2.2. Szakadó-kicsúszó típusú kötegek megbízhatósági függvénye

A szálszakadás és szálkicsúszás révén tönkremenő ES, ESH, EST és ESHT kötegek alaptípusa az ES-köteg, amelynél az erőközvetítés megbízhatósági (EM) függvénye – a húzóerő-folyamathoz hasonlóan – két részből áll és nem azonos a HM függvényével. A megcsúszásnál megváltozik az erőközvetítés típusa (lineárisan növekvőből állandósulóba vált), így a szál környezettel vett kapcsolata sérül. A (3.3.34) és (3.3.35) alapján, az i-edik (i=1…,n) szál erőközvetítési ablakfüggvénye (εmi=min(εSi,εbi), u≥0): 1, 0 ≤ u < ε mi + ε bLi sign( ε Si − ε mi ) (4.2.7) χi ( u ) = χ ( u ,ε mi ) + χbL ( u )sign( ε Si − ε mi ) =  0, egyébként A (3.3.37)-(3.3.40) alapján belátható, hogy az ES-köteg megbízhatósági függvénye a (4.2.7) várható értéke. A (4.2.7) első tagja a szálak ’szakadása vagy kicsúszása’ események ablakfüggvénye, így várható értéke a hibamentesség megbízhatósági (HM) függvénye: Ro ( u ) = E (χ ( u ,ε m )) = 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) (4.2.8)

(

)(

)

Az erőközvetítés megbízhatósági (EM) függvénye a (4.2.7) várható értéke: u

(

)(

)

R( u ) = E (χ ( u )) = Ro ( u ) + ∫ 1 − Qε S ( x ) 1 − Qε bL ( u − x ) dQε b ( x )

(4.2.9)

0

A (4.2.5) szerinti megbízhatósági függvény normált kötegnyúlás-változóval: RH ( z ) = Ro ( zε S ) +

zε S

∫ [1 − Qε S ( wε S )][1 − Qε bL ( zε S − wε S )]dQε b ( wε S )

(4.2.10)

o

A 4.2.5. ábra egy ES-köteg HM és EM típusú megbízhatósági függvényeit mutatja. Megbízhatósági fv.

ES-köteg: AE=0,1; VE=0,2; ES=1; VS=0,1; EL=1; VL=0,1 1 HM típus (Ro)

0,8

Kicsúszások: R-Ro EM típus (R)

0,6 0,4 0,2 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

4.2.5. ES-köteg hibamentességi (HM) és erőközvetítési (EM) megbízhatósági függvénye normális eloszlású paraméterek esetén A fentiekhez hasonlóan kapható az ESHT-köteg EM függvénye (F4.1. Függelék): R( u ) =

∞ ∞

∫ ∫ (1 − Qε S ( y( u ; x ) + ))(1 − Qε b ( y( u ; x ) + ))dQε o (x1 )dQTo (x2 ) +

− ∞ −1 u ∞ y( u ; x )

+∫

∫

∫ (1 − Qε S ( z ))(1 − Qε bL ( y( w; x ) − z + ))dQε b (z )dQε o (x1 )dQTo ( x2 )

0 −1max( 0 ,x1 )

A (4.2.11)-ből kapható a szálcsúszást is tönkremenetelnek tekintő, HM függvény:

115

(4.2.11)

Ro ( u ) =

∞ ∞

∫ ∫ (1 − Qε S ( y( u ; x ) + ))(1 − Qε b ( y( u ; x ) + ))dQε o (x1 )dQTo (x2 )

(4.2.12)

− ∞ −1

A (4.2.11) és (4.2.12) összevetéséből megállapítható, hogy a szemléletnek megfelelően, fennáll a két megbízhatósági függvénytípus között várható reláció: (4.2.13) Ro ( u ) ≤ R( u ) Az EHS (To=0) és EST (εo=0) kötegek megbízhatósági függvényei a (4.2.11), illetve a (4.2.12) speciális eseteiként kaphatók (F4.1. Függelék).

4.2.3. Szálkötegcellák húzó- és megbízhatósági karakterisztikája Az E-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata a (3.3.9) szerint az R(u)=E(χ(u)) megbízhatósági függvény és az E(κ(u)) várható húzókarakterisztika szorzata: E (F1( u )) = E (κ ( u )χ ( u )) = E (κ ( u ))E (χ ( u )) = E (κ ( u ))R( u ) (4.2.14) így az E-köteg megbízhatósági függvénye a várható húzóerő-folyamat és a várható húzókarakterisztika hányadosaként állítható elő: E (F1( u )) R( u ) = (4.2.15) E (κ ( u )) A (4.2.15) összefüggés formálisan értelmezhető más szálkötegcellákra is, és egyfajta megbízhatósági karakterisztikaként (MK) szintén jellemzi a szálköteg megbízhatóságát: E (F1( u )) RF ( u ) = (4.2.16) E (κ ( u )) Ekkor egy tetszőleges köteg várható húzóerő-folyamata az E(κ) várható húzókarakterisztika és a (4.2.16)-el definiált RF(u) megbízhatósági karakterisztika szorzataként állítható elő. Annak elemzéséhez, hogy azon kötegeknél, ahol a E(F1) várható húzóerő-folyamat nem állítható elő a (4.2.14) szerinti szorzatalakban, az EM típusú RF(u) és R(u) eltérése milyen okokra vezethető vissza, tekintsük a κ szálhúzó-karakterisztika és az χ(u) megbízhatóságot jellemző ablakfüggvény kovariancia függvényét: cov( κ , χ ) = E (κχ ) − E( κ )E( χ ) = E( F1 ) − (E( F1 ) − E( κχ )) − E( κ )E( χ ) (4.2.17) A (4.2.17)-ből kifejezve a várható köteghúzóerőt, majd osztva az E(κ)-val, kapjuk: E( F1 ) = E( κ )E( χ ) + cov( κ , χ ) + (E( F1 ) − E( κχ )) (4.2.18) E( F 1 ) cov( κ , χ ) E( F1 ) − E( κχ ) RF ( u ) = = R( u ) + + (4.2.19) E( κ ) E( κ ) E( κ ) Az RF(u) megbízhatósági karakterisztika és az R(u) erőközvetítési megbízhatósági függvény lehetséges eltérését tehát egyrészt a szálkarakterisztika és az ablakfüggvény esetleges sztochasztikus kapcsolata, korreláltsága okozhatja (cov(κ,χ)≠0), másrészt az, ha az egy szálra eső kötegerő nem állítható elő az előbbiek szorzataként (E(F1) ≠E(κχ), pl. az ES-kötegnél). E-köteg esetében RF(u)=R(u). Más kötegeknél azonban, nagyobb kötegnyúlásoknál többé-kevésbé eltérő eredményt adhatnak. Abban viszont megegyeznek, hogy hasonló módon jellemzik az adott szálkötegcella megbízhatóságát a nyúlásterhelés függvényében.

4.2.3.1. Szálkötegcellák várható húzókarakterisztikája A szálköteg várható húzókarakterisztikáját kétféle módon értelmezhetjük. A szigorú értelmezés szerint, azt a hibamentes, azaz szakadó és meg- vagy kicsúszó szálakat nem

116

tartalmazó köteg várható húzóerő-nyúlás összefüggése adja, amely akkor kapható, ha mind a szálszakító nyúlást, mind a kicsúszási határt végtelen nagynak tekintjük. A szálak tehát egyenesek, hullámosak, és/vagy ferdék lehetnek, azonban a húzókarakterisztika szerinti erőközvetítésük tetszőlegesen nagy kötegnyúlás mellett is hibamentes. A fenti, az Ro(u) HM megbízhatóságnak megfelelő értelmezés mellett az E-köteg várható húzókarakterisztikája megegyezik a szálakéval: E (κ ( u )) = K ε ( u ) = K u (4.2.20) valamint az ES kötegé megegyezik az E-kötegével. Az átlagos szálhúzó-merevséggel normált köteghúzó-karakterisztika: κH ( u ) = E (κ ( u )) / K = u (4.2.21) Ennek megfelelően a legáltalánosabb köteg, az EHST köteg húzókarakterisztikája megegyezik az EHT kötegével és az EST kötegé az ET kötegével, vagyis elég az EHT köteget tekinteni, amelynek húzókarakterisztikája és annak az u→∞ esetére számított aszimptotája (F4.2. Függelék): E (κ L ( u )) =

    1   (4.2.22)   ~ K ( 1 + u ) ( 1 + E ( ε ) ) E − 1 o ∫∫  2 2 2 2    (1 + u ) + z W ( u ) −1− ∞  1 + To    Ennek speciális esete az EH köteg: ∞ ∞     − u  E (κ ( u )) = K ∫ ε ( u , x ) + dQε o ( x ) = K u 1 − Qε o  ( 1 u ) xdQ ( x ) + +   ∫ ε o  ~ (4.2.23)   1 + u    −1 −u /( 1+ u )   ~ K [u + ( 1 + u )E( ε o )] = K [E( ε o ) + (1 + E( ε o ))u ], u → ∞ illetve az ET kötegé:  ∞    ( 1 + u )dQTo ( z ) 1   − 1 (4.2.24) E (κ L ( u )) = K ∫ ε ( u , z ) + ~ K  ( 1 + u )E   1 + T 2   ( 1 + u )2 + z 2W 2 ( u ) u →∞  −∞ o    =K

∞∞

ε ( u, x,z ) +

( 1 + u )dQTo ( z )dQε o ( x )

A 4.2.6. ábrán az E, ES, EH és ET kötegek szálhúzómerevséggel normált húzókarakterisztikái láthatók, amelyek jól megjelenítik, hogy a szálaknak az E-, illetve ES-kötegével megegyező húzókarakterisztikájához képest az ET kötegé kisebb meredekségű, míg az EH kötegé - a szálak hullámosság okozta, kezdeti, szerkezeti nyúlása és a kismértékű meredekségváltozás miatt - eltolt jellegű. Kötegek normált húzókarakterisztikái

H(z)

1

0,5 E, ES-kötegek ET-köteg EH-köteg

0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

4.2.6. Az E, ES, EH és ET kötegek szigorú értelmezésű, normált húzókarakterisztikája normális eloszlású előfeszítés és ferdeség esetében

117

A másik, az R(u) EM megbízhatóságnak megfelelő, megengedő értelmezés szerint, a köteg várható húzókarakterisztikájának definíciójában csak azt írjuk elő, hogy az egy olyan szálköteg húzóerő-nyúlás összefüggése, amelyben a szálak erőközvetítése sosem szakad meg, úgy a végtelen úthosszúságú kicsúszást megengedjük. Ez esetben, a szálszakító nyúlás mellett, a kicsúszási utat tekintjük végtelen nagynak. Ekkor a (3.3.36) átalakításával az ES köteg várható kicsúszásos húzókarakterisztikája, azaz inkább a várható húzóerő-folyamat monoton növekedő burkoló karakterisztikája és ennek aszimptotikus értéke:

(

)

u

u

(

)

E (κ B ( u )) = K u 1 − Qε b ( u ) + K ∫ xdQε b ( x ) = K ∫ 1 − Qε b ( x ) dx → K ε b o

o

u →∞

(4.2.25)

ahol a második lépésben komplementer eloszlásfüggvényt és parciális integrálást alkalmaztunk. A (4.2.25) egy olyan köteg burkoló karakterisztikája, amelyben minden szál szükségszerűen megcsúszik, és ez végtelen hosszú kicsúszással folytatódik. Ugyanakkor, a burkoló karakterisztika kezdeti része a szálkarakterisztikához illeszkedik, így ennek alapján is megállapítható, hogy a szálcsúszást kizáró köteghúzó-karakterisztika az elsődleges, az általánosabb hatókörű. A szálcsúszást megengedő ES, EHS, EST és EHST kötegek esetében mindkét karakterisztika értelmezhető (F4.2. Függelék).

4.2.3.2. Szálkötegcellák megbízhatósági karakterisztikája A különböző szálkötegcellák megbízhatósági karakterisztikája a (4.2.16) szerint a várható húzóerő-folyamat és a húzókarakterisztika hányadosaként számítható. Ez E-kötegnél megegyezik a megbízhatósági függvénnyel, a többinél eltérések lehetségesek. A idealizált alapkötegek (3.3.9), (3.3.25), (3.3.36) és (3.3.60) várható húzóerő-folyamatai, illetve a (4.2.20), (4.2.22) és (4.2.23) (szigorú) köteghúzó-karakterisztikái hányadosaként számított megbízhatósági karakterisztikáját a 4.2.7. ábra egyazon diagramban szemlélteti. Megbízhatósági karakterisztikák

RF(z)

1

0,5 E-köteg EH-köteg ES-köteg_1 ES-köteg_2 ET-köteg 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

4.2.7. Az alapkötegek megbízhatósági karakterisztikája normális eloszlású paraméterek esetén (VE=0,2; EH=-0,2; VH=0,2; ES=0,5 és 1; VS=0,2 és 0,1; EL=1; VL=0,1; ET=0,2; VT=0,1) A diagramban az ES-köteg_1 jelű görbénél (ES=0,5; VS=0,2) a kicsúszás, míg az ESköteg_2-nél (ES=1; VS=0,1) a szakadás dominanciája érvényesül, miközben a másik tönkremenetel sem elhanyagolható szerepű. Megállapítható, hogy mind a szálhullámosság, mind a szálferdeség növeli a szálköteg fenti értelmű megbízhatóságát. A szálkicsúszás szintén növeli, amennyiben a szálszakadás marad a domináns, azaz a kicsúszási erőhatár nem nagyon alacsony. Ha a szálkicsúszás a domináns, akkor csökken az előbbihez képest a megbízhatóság mértéke, ugyanakkor azonban a nagy kötegnyúlások tartományában az E, EH, illetve ET kötegekhez képest nőhet.

118

4.2.4. Szálkötegcellák szálfolyam elvű soros kapcsolása 4.2.4.1. E-szálfolyam E-szálfolyam esetében a sorbakapcsolt, n-szálas, Lo hosszúságú, független E-kötegek (számuk m≥1) eredője egy ugyancsak n számú, folytonos szálból, illetve szálláncból álló, mLo hosszúságú szállánc-köteg, amelynek egymás utáni szakaszainak kezdeti, terheletlen hossza Lo=lo, és kezdeti nyúlásuk zérus (4.2.1.a. ábra), azonban húzómerevségük és szakadási nyúlásuk szálanként és szálszakaszonként is lehet eltérő (Kij, εSij; i=1,…,m;.j=1,…,n). A párhuzamos szálak, mint folytonos szálláncok alkotta szálfolyam hosszúsága a húzódeformáció-gerjesztés révén nő. A j-edik szál terhelt hossza (Σilij) az E-szálfolyamban megegyezik az egyes kötegekbe foglalt megnyúlt részek összhosszával, valamint a szálfolyam relatív nyúlása (u) megegyezik az egyes szálakéval (uj):

(

m

)

∆L 1 n (4.2.26) = ε j ( u j ) = u j = ∑ uij mL m o i =1 i =1 A j-edik szálban ébredő Fj húzóerő megegyezik e szál egyes szakaszaiban ébredőkkel (Fij): Fj F j = K j u j = Fij = K ij uij ⇒ u ij = (4.2.27) K ij

∑ lij = mLo 1 + u j

u=

Tegyük fel, a leggyakoribb esetnek megfelelően, hogy az egyes szálak mentén a húzómerevség állandó (Kj=Kij, uj=uij)! Az mLo hosszúságú j-edik szál akkor szakad, ha a szálfolyam nyúlása révén benne keletkező erő eléri a szál véletlen FSj szakítóerejét vagy εSj szakítónyúlását, ami az egyes szakaszok szakítóerőinek, illetve szakítónyúlásainak minimuma: F j = K j u ≥ FSj = min FSij = K j min ε Sij = K jε Sj ⇔ u ≥ ε Sj = min ε Sij (4.2.28) i

1≤i ≤ n

i

Ezzel – és az alábbi χ ablakfüggvény segítségével – a szálfolyam húzóerő-folyamata visszavezethető egy egyszerű E-kötegére: F=

n

∑ Fj = j =1

(

n

)

(

n

∑ K jε ( u )χ u ,ε Sj = u ∑ K j χ u ,ε Sj j =1

j =1

)

(4.2.29)

Feltesszük, hogy a Kj-k és εSij-k egymástól független valószínűségi változók, és eloszlásaik az i és j-től függetlenül azonos, véges várható értékekkel és szórásokkal. Az azonos eloszlásfüggvények miatt a j indexet elhagyva, a (4.2.29) folyamat várható értéke:   F ( u ) = E (F ) = nuK 1 − Qε S ( u ) = nuK P ε S = min ε Si ≥ u  = nuK 1 − Qε S1 ( u ) m (4.2.30) 1≤i ≤ m   ahol QεS1 az egyes E-kötegekbe foglalt szálrészek szakító nyúlásának eloszlásfüggvénye. Az extrémértékek határeloszlása tétel értelmében az εS eloszlása aszimptotikusan Weibull eloszlású [K9] (1.3.2.2 fejezet). Az egy szálra vetített, várható szakítófolyamat: E (F ) E (F1( u )) = = K u 1 − Qε S ( u ) = K u 1 − Qε S1 ( u ) m (4.2.31) n Az n szakaszból álló E-típusú szálfolyam húzókarakterisztikája: E (κ ( u )) = K u (4.2.32) Ennek megfelelően az E-szálfolyam megbízhatósági függvénye az egyes – független – Ekötegek megbízhatósági függvényeinek (RE) szorzata:

(

)

(

(

)

(

)

(

RE ,m ( u ) = 1 − Qε S1 ( u ) m = REm ( u )

119

)

)

(4.2.33)

Az egy szálra vetített, az mLo hosszú szálak átlagos szálszakító erejével normált várható húzóerő-folyamat: E (F ) FH ( z ) = = z 1 − Qε S1 ( zε S ) m (4.2.34) nFS

(

)

ahol ( K j = K , ε Sj = ε S ): 1 n 1 n   FS = ∑ FSj = ∑ K jε Sj = K ε S (4.2.35) ε S = ε Sj = E  min ε Sij  n j =1 n j =1 1≤i ≤ m  Az m szakaszból álló E-szálfolyam (4.2.34) szakítófolyamata csak az m kitevőben és az átlagos szakítónyúlás értelmezésében különbözik az egyszerű E-köteg (3.3.9) szakítófolyamatától. Az E-szálfolyam tehát tulajdonképpen egy olyan E-köteggel ekvivalens, amelynek szálai mLo hosszúságúak, húzómerevségük a szálláncon belül állandó (Ki=K) és szakítónyúlásuk a (4.2.28) szerinti érték (az E-köteg megadása a szálparaméterekkel: E[.]): {E[ε Si , Ki ], i = 1,...,m} → E ε S , K (4.2.36)

[

]

A 4.2.8. ábra különböző elemszámú (m) szálláncok alkotta E-kötegek normált húzóerőfolyamatát szemlélteti, ahol a normálás a szálelemek ε S1 és FS1 átlagos szakítónyúlásával és szakítóerejével normált, így a diagram a szálelemek húzóerő-kihasználását mutatja be. Köteglánc, VE=0,2 Normált kötegerő, FH

1

Szálkarakt. m=1 m=2 m=3 m=5 m=10 m=30 m=50 m=100 m=500 m=1000 m=10000

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

0,5

1

1,5

2

2,5

Normált kötegnyúlás, z

4.2.8. E-szálfolyam, mint szállánc köteg szálelemre normált várható húzóerő-folyamata normális eloszlású szálszakító nyúlás és különböző láncelem-számok (m) esetén

4.2.4.2. Egyéb szálfolyamok

EH-szálfolyam Független EH kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása (4.2.1.a. ábra) eredményeképpen, m számú, hullámos vagy előfeszített, Lo=(1+εoi)loi hosszú, független részekből álló folytonos szálak, illetve szálláncok keletkeznek, amelyekben a részek loi terheletlen hosszai (i=1,…,m) összegeződve adják az lo eredő terheletlen hosszat. Az egyes szálrészek lazasága (εo<0), illetve előfeszítése (εo>0) tehát reciprok alakban előjelhelyesen összegződik, ami egy εo eredő hullámossággal fejezhető ki és ha εoi<<1 teljesül minden szálrészre (i=1,…,m), úgy az átlag-közelítés alkalmazható (F4.3. Függelék):

εo =

l − lo mL mL 1 1 m = m o −1 = m o −1 = − 1 ≈ ∑ ε oi lo m i =1 Lo 1 m 1 ∑ loi ∑1 + ε ∑ m i =1 1 + ε oi oi i =1 i =1

120

(4.2.37)

Következésképpen, EH kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolásának eredményeképpen szintén EH-köteget kapunk, amelyben a szálak húzómerevsége a szálláncon belül azonos (K=Ki), míg a szakítónyúlást a (4.2.28) minimumérték adja: {EH[ε Si , Ki ,ε oi ], i = 1,...,m} → EH[ε S , K ,ε o ] (4.2.38) Az egymástól független, azonos eloszlású, véges szórású εoi valószínűségi változók Qεo1(x) eloszlásfüggvénye ismeretében és a (4.2.37) segítségével az eredő εo hullámosság Qεo(x) eloszlásfüggvénye is számítható. ES-szálfolyam ES kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása – a nem ideális befogások miatt – lényegében kétféleképpen értelmezhető. Az egyik szerint a soros kapcsolás folytonos szálakat, illetve szálláncokat eredményez (4.2.1.a. ábra), amelyek független részei E-kötegszálak, kivéve a végeken lévő, első és utolsó szálrészeket, amelyek befogott végei kicsúszhatnak a befogásból. Ekkor az eredeti ESköteggel ekvivalens köteghez jutunk, amelyben a mLo hosszú szálak εb megcsúszási nyúlásszintje és εbL normált kicsúszási hossza az eredetivel azonos eloszlású, hiszen εb ugyanúgy két független, azonos eloszlású nyúlásérték minimuma és εbL a hozzá tartozó érték, míg a szálak szakítónyúlása a (4.2.28) minimumértékkel adott. {ES[ε Si , Ki ,ε bi ,ε bLi ], i = 1,...,m} → ES[ε S , K ,ε bi ,ε bLi ] (4.2.39) A másik értelmezés szerint a soros kapcsolás révén rövidszálas szálfolyam jön létre (4.2.1.b. ábra), amelynek Lo hosszúságú szakaszai különálló, de a végeiken megcsúszó kötésekkel összekapcsolt szálak, illetve szálláncok. A megcsúszó kötések εbi nyúláshatárainak minimuma adja a szállánc megcsúszási határát, s az ehhez tartozó εbL relatív kicsúszási hosszat: ε b = min ε bi (4.2.40) 1≤i ≤ m

Ennek megfelelően a ES-szálfolyam paramétereinek mindegyikét a kötegparaméterek összességéből számíthatjuk: {ES[ε Si , Ki ,ε bi ,ε bLi ], i = 1,...,m} → ES[ε S , K ,ε b ,ε bL ] (4.2.41) ET-szálfolyam ET-szálfolyam esetén a szálláncot alkotó szálak orientációja lehet azonos (4.2.9.a. ábra), illetve általában kötegről-kötegre változó (4.2.9.b. ábra). ei

Lo

e

Lo mLo

mLo

a.) b.) 4.2.9. ábra. ET szálfolyam állandó (a) és változó (b) ferdeségű szállánc-alakjai Az azonos irányszögű szálelemekből ferde folytonos szál keletkezik a kötegek összekapcsolásakor, így a ferdeség – és a húzómerevség – változatlan marad, csak a szakítónyúlás változik a (4.2.28)-nak megfelelően a kötegekhez képest: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → ET[ε S , K ,Toi ] (4.2.42) A különböző irányszögű szálelemekből képződő szállánc a szálelemek irányváltásai miatt hullámossággal és eredő ferdeséggel rendelkezik. A szállánc eredő ferdeségét a szálelemferdeségek átlagaként kapjuk (4.2.9. b. ábra):

121

eo 1 m 1 m (4.2.43) = e = ∑ oi m ∑ Toi mLo mLo i =1 i =1 A szállánc hullámossága annak h húrhosszából számítható (4.2.8.b. ábra) (F4.3. Függelék): To =

1 m  m 1 + To2 h − lo εo = = m − 1 = 1 +  ∑ Toi  m  lo 2  i =1  1 + T ∑ oi

2

1 m   ∑ 1 + Toi2  m   i =1 

−1

−1 ≤ 0

(4.2.44)

i =1

A fentiek alapján, folytonos szálakat alkotó szálláncok esetében egy EHT-szálfolyamot kapunk: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → EHT[ε S , K ,ε o ,To ] (4.2.45) Különleges esetként, az egyes eltérő orientációjú kötegszálak az összekapcsolás után megcsúszó kapcsolatba is kerülhetnek, így a különböző irányszögű szálelemekből hullámos, ferde, rövidszálas szállánc képződik (4.2.10. ábra), amelynek elemei kicsúszók lehetnek, és a megcsúszási határ a (4.2.40)-el kapható, de ’m’ helyett csak ’m-1’ megcsúszó kapcsolattal: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → EHST[ε S , K ,ε o ,ε b ,ε bL ,To ] (4.2.46) ei

Lo mL o

4.2.10. ábra. ET szálfolyam rövidszálas változata

EHST-szálfolyam EHST kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása – a fentiek alapján – hatféle értelmezésű lehet az eredő folytonos szál, vagy rövidszálas szállánc, valamint az eredő paraméterek képzése szerint. Ez esetben a kötegszálak hullámossága és ferdesége együtt képezi az eredő hullámosságot (F4.3. Függelék): 2

−1

m 1+ T 2  1 oi  (4.2.47)  m ∑ 1 + ε  − 1 oi  i =1  A (4.2.47) eredő érték lehet előfeszítés (εo>0), illetve hullámosság is (εo<0). A rövidszálas EHST szálfolyam szállánc-paraméterei általános esetben: {EHST[ε Si , Ki ,ε oi ,ε bi ,ε bLi ,Toi ], i = 1,...,m} → EHST[ε S , K ,ε o ,ε b ,ε bL ,To ] (4.2.48)

1 m  h − lo = 1 +  ∑ Toi  εo = m  lo  i =1 

4.2.4.3. Szálfolyam elvű soros kapcsolások jellemzői

A szálfolyam elvű soros kapcsolások elemzése alapján megállapítható, hogy • A kötegelemek alkotta szálfolyam egy új, hosszabb szálakból álló köteggel adható meg. • A homogén kötegláncokból kialakuló szálfolyamok öröklik a kötegelemek tulajdonságait, sőt, az ET kötegeknél szálhullámosság is generálódhat. • A húzókarakterisztikát meghatározó eredő szálparaméterek (K, εo, To), mint valószínűségi változók a vonatkozó kötegszál-paraméterek X∈(K, εoi, Toi) függvényeinek (f(.)) aritmetikai (a), vagy harmonikus (h) átlagolásával kaphatók, esetleg az átlag(ok) egy további függvényeként (g(.,.)).

122

• A tönkremenetelt meghatározó eredő szálparaméterek (εS, εb) a kötegszál-paraméterek (εSi, εbi) minimumaként állíthatók elő. Vegyes elemű kötegláncból keletkező szálfolyam esetében minden kötegelem EHST kötegnek tekinthető, amelynek egyes szálparaméterei egyszerűbb kötegeknél állandóknak vehetők, és a fentiekben kapott összefüggések használhatók az eredő szálparaméterek, mint valószínűségi változók meghatározására. Például egy E-köteg megadása speciális EHSTkötegként: E[ε Si , K i ] = EHST[ε Si , K i ,ε oi = 0 ,ε bi = ∞ ,ε bLi = 0 ,Toi = 0] (4.2.49) Az M4.1. Melléklet a különböző típusú kötegelemekből előállítható szálfolyam típusokat és azok (4.2.49) formában megadott statisztikus paramétereit és azok meghatározási módjait táblázatosan foglalja össze. A szálfolyam-paraméterekre kapott összefüggések alapján kiszámíthatók az eloszlásfüggvények is, így meghatározható a szálfolyammal ekvivalens szálköteg F ( u ) várható húzóerő-folyamata, ahol ’u’ az mLo kezdeti hosszúságú szálfolyam relatív nyúlása, nyúlásgerjesztésnél a vezérelt paraméter (u=vt), valamint a vonatkozó húzókarakterisztika, illetve a megbízhatósági függvény és karakterisztika. A szálfolyam ekvivalens kötegének megfelelő normálása az mLo hosszúságú szálak mért vagy becsült ε S átlagos szakítónyúlásával és FS = K ε S átlagos szakítóerejével történhet. Az Lo hosszúságú szálak átlagos szilárdságjellemzői és azok szórása ismeretében a becslés az (1.3.13) Peirce-féle formulával, vagy annak Vas és Halász [S52] által módosított formájával végezhető (F1.5. Függelék). Ha az Lo hosszúságú szálakon egy nagyobb méréssorozat történt (mérések száma≥5m), úgy Vas és Halász [S52] szerint a független elemű mérésadat sorozat egymás utáni m-számú elemein végzett (mozgó) minimumképzésekkel és a kapott értékek átlagolásával becsülhetjük az mLo hosszúságú szálak szilárdsági adatait. A tapasztalat szerint mindkét említett módszer, a mértekhez képest, többé-kevésbé alábecsli a szálak átlagos szakítóerejét [K48,S52]. Amennyiben a szálkötegek sorba kapcsolásával adódó szálfolyamot, mint összetett szerkezetet tekintjük és a kötegszálak szilárdságának hasznosulását vizsgáljuk, úgy a normálás az Lo hosszúságú szálelemek ε S1 átlagos szakítónyúlásával és FS1 = K1ε S1 átlagos szakítóerejével is végezhető.

4.2.5. Szálkötegcellák köteglánc elvű soros kapcsolása 4.2.5.1. Determinisztikus és nagy szálszámú köteglánc

Determinisztikus elemű köteglánc Ha kötegeken belüli szálszámok (ni) elég nagyok, akkor a szakítófolyamatuk csak kicsit tér el a várható szakítófolyamatuktól, s a belőlük képezett köteglánc determinisztikus eleműnek is tekinthető. Ekkor a kötegek Fi ( u ) (i=1,…,m), illetve a köteglánc F ( u ) várható szakítófolyamatára felírható a következő relációlánc: F ( u ) ≤ min sup Fi ( u i ) = min Fi* = Fν* = Fν ( uν* ) = sup F ( u ) = F ( u*) = F * (4.2.50) i 0≤ ui < ∞

0≤u < ∞

i

ahol uν* az Fν* csúcserőhöz tartozó kötegnyúlás értéke a legkisebb csúcserejű, ν-edik kötegben. Tegyük fel, hogy az egyes kötegek várható szakítófolyamatai egyetlen maximumhellyel rendelkező függvények, amelyek folytonosan differenciálhatók, esetleg a maximumhely kivételével, ahol legalábbis folytonosak! A várható szakítófolyamatok – az Ekötegekéhez hasonlóan – az ui* csúcshelyig monoton növők, s ez után – plató nélkül zérushoz

123

tartva - monoton csökkenők. Jelölje az i-edik köteg várható szakítófolyamatának két ágát fi és gi az alábbiak szerint:  fi ( ui ) = ni FSi FH i ( ui / ε Si ), 0 ≤ ui < u*i (4.2.51) Fi ( ui ) =   gi ( ui ) = ni FSi FH i ( ui / ε Si ), u*i ≤ ui Ekkor az fi-1 és gi-1 inverz ágfüggvények is folytonosan differenciálhatók az értelmezési tartományuk belső pontjaiban, továbbá az ui* csúcshelyen az erőértékek megegyeznek. Hasonló módon, a köteglánc várható szakítófolyamatának két ágát f és g-vel jelöljük. Első közelítésként tegyük fel továbbá, hogy a kötegek az erőcsúcs alatti fi(ui) szakaszon ciklikus terheléskor determinisztikus, nemlineáris rugóként viselkednek, azaz a fel- és leterhelési görbék egybeesnek, azonban az ui* csúcshelyet elérve, a gi(ui) lefutó ág veszi át az erő-nyúlás karakterisztika szerepét, erőcsökkenés esetében is (4.2.11. ábra)! A köteglánc várható szakítófolyamatát a ν-edik kötegé vezérli a köteglánc nyúlásának növekedése közben. Feltéve, hogy csak egyetlen köteg esetén valósul meg a minimális erőcsúcs, az uν* elérésekor a köteglánc F* erőmaximumot kijelölő u* nyúlása:  1 u* =  uν* + ∑ ui  , ui < u*i , i ≠ ν (4.2.52)  m  i ≠ν  A köteglánc nyúlásának további növekedésekor (u>u*) a ν-edik köteg szakadozása egyre intenzívebbé válik, miközben a közvetített húzóerő csökken. Ennélfogva a többi köteg nyúlása csökken, amit a szakadozó köteg nyúlásának kell kompenzálnia. A folytonos szakadozás tehát addig tud végbe menni, azaz a köteglánc tönkremeneteli folyamata a csúcserő után addig folytonos, amíg fennáll a következő egyenlőség (ahol ∆ui<0, i≠ν) (F4.4. Függelék):  1 0 < ∆u = u − u* =  ∆uν + ∑ ∆ui  (4.2.53)  m  i ≠ν  F

F F2*

F 1*

F 2*

u1* 0

u12

u1

0

u 2*

u2

4.2.11. ábra. Kételemű determinisztikus köteglánc kötegeinek erő-nyúlás viselkedése Mihelyt a (4.2.53) jobboldala ∆u-nál kisebbé válik, a ν-edik köteg katasztrófaszerű szakadása következik be. Ez az esemény a köteglánc uS szakadási nyúlását határozza meg: u* ≤ u S = u * + ∆u S (4.2.54) Az uS-t csökkenti a ν-edik köteg szakítófolyamata erőcsúcs utáni lejtésének növekedése, illetve a köteglánc elemszámának növelése. A (4.2.53) feltétel az ágfüggvények segítségével differenciális formába írható (F4.4. Függelék):

dgν−1( F ) df i−1( F ) < −∑ dF dF i ≠ν

(4.2.55)

A köteglánc várható szakítófolyamatát, az u* és uS ismeretében, az alábbi módon szerkeszthetjük meg. Az f(u) felfutó és a g(u) lefutó ág pontjait az u nyúlásgerjesztés növekvő értékei, valamint azon erőértékek határozzák meg, amelyekre fennáll a vonatkozó reláció:

124

 f ( u ), 0 ≤ u < u *  F ( u ) =  g( u ), u* ≤ u < uS 0, u ≤ u S 

1 F = f (u ): 0 ≤ u = m ∑ fi−1( F ) < u * i

(4.2.56)  −1  1 − 1 g (F )+ F = g ( u ) : u* ≤ u = m ∑ fi ( F )  < uS  ν i ≠ν   A (4.2.56) kifejezésben az uS jelenléte fejezi ki a sorbakapcsolás megbízhatóságot csökkentő hatását, hiszen ha n nő, uS→u*, így a szakadási folyamat lefolyása egyre intenzívebbé válik, egyre kisebb nyúlástartományban megy végbe. • E-kötegeket tekintve, ha a szálszámokon kívül, a várható húzóerő-folyamatokat ugyanazon eloszlású paraméterek határozzák meg, úgy az i-edik E-köteg várható húzóerőfolyamata (i=1,…,m): Fi ( ui ) = ni F1( ui ) = ni K ⋅ FH ( ui / ε S ) (4.2.57) Ekkor a köteglánc tönkremenetelét a legkisebb szálszámú köteg szakadási folyamata vezérli. Ha minden szál húzómerevsége ugyanazon Ko=Kij=Ki érték és az E-kötegek szálszámai megegyeznek (n=ni), akkor egyrészt K=nKo, másrészt minden E-köteg esetében ugyanazt a várható szakítófolyamatot kapjuk ( Fi ( u i ) = F1( u1 ) , i=1,…,m). Következésképpen a csúcserők és azokhoz tartozó nyúlások is megegyeznek, tehát mindegyik köteg egy időben megy tönkre, azaz uS az utolsó szál szakadásához tartozó köteglánc nyúlásérték. Ekkor a (4.2.56) szerint a köteglánc szakítófolyamata megegyezik az E-kötegével. Tehát, ha a várható szakítófolyamatokkal dolgozunk, úgy egyező elemek esetében nem fejeződik ki a sorbakapcsolás megbízhatóságot csökkentő hatása. • Egy másik egyszerű esetként tekintsük a 4.2.12. ábrán látható, törtlineáris várható húzóerőfolyamatú, kételemes kötegláncot és határozzuk meg a köteglánc szakítófolyamatát! a.) b.) F F F2* F2* F* F* F1* F1*

uS

uS2

u

u

uS2 u1* u* u1* u*=uS u2* 0 0 4.2.12. ábra. Kételemes, törtlineáris karakterisztikájú elemekből álló köteglánc szakítófolyamata fokozatos (a) és hirtelen (b) szakadásokkal A kötegek felfutó és lefutó ágfüggvénye és a csúcserők (i=1,2): f i ( u i ) = K i ui , Fi* = K i u*i

(4.2.58)

u Si − ui = H i ( u Si − ui ) (4.2.59) u Si − u*i ahol uSi az utolsó szálszakadáshoz tartozó nyúlás, és Hi a lefutó ág meredekségének abszolút értéke. A 4.2.12. ábrának megfelelően ν=2. A köteglánc esetében a fokozatos szálszakadások (4.2.12.a. ábra) feltétele az, hogy teljesüljön (F4.4. Függelék): u S > u * ⇔ H 2 < K1 (4.2.60) Ha H2≥K1, úgy az u* nyúlást elérve, a szakadások egy időben, robbanásszerűen mennek végbe (4.2.12.b. ábra). g i ( ui ) = Fi*

125

Nagy szálszámú köteglánc A lineárisan rugalmas szálakból álló szálköteg húzóerő-nyúlás kapcsolata minden egyes szálszakadáskor megváltozik, azonban a maradék ép, lineárisan rugalmas szálak révén – ugyan kisebb meredekségű, de – lineáris marad. Nagy szálszám esetében az egyes szakadások az eredő görbületének változásaként észlelhetők, azonban az erőcsúcs alatt, a terhelés csökkenése esetén, a szálköteg erő-nyúlás kapcsolatát az addig elért terhelési és a kezdeti pontok meghatározta húr adja, hiszen ekkor nem lép fel újabb szakadás (1.3.4. és 4.2.13. ábra). Az erőcsúcsot elérve, az erő-nyúlás kapcsolatot – a fentiekkel egyezően – a lefutó ág gi(ui) összefüggése határozza meg. F

F F1*

F2*

F2*

u1* 0

u12

u1

0

u2*

u2

4.2.13. ábra. Kételemű köteglánc nagy szálszámú kötegeinek erő-nyúlás viselkedése A nem szakadó kötegek erő-nyúlás kapcsolata erőcsökkenés esetén (i≠ν): Fi*

Fν* Fν* (4.2.61) u < F = f ( u ) = u = u ≤ fi' ( 0 )ui i i i i * i −1 * i u ui fi ( Fν ) iν A csúcspont utáni ( F = F ( u ) < F*, u > u * ) folyamatos erőváltozás (4.2.55) feltétele ez esetben a következő alakot veszi fel: dgν−1( F ) df −1( F ) f −1( F* ) 1 1 (4.2.62) < −∑ i = − ∑ i * ν = − * ∑ f i−1( Fν* ) = − * ∑ uiν dF dF F F F ν i ≠ν ν ν i ≠ν i ≠ν i ≠ν A köteglánc várható szakítófolyamata – az u* és uS ismeretében – most is a (4.2.56)-al adható meg, ahol az f(u) felfutó ág pontjait a (4.2.56) szerinti értékpárok (0≤u
A köteglánc esetében az E-kötegek szerkezetileg a sorba fűzés után is megmaradnak, így nem az egyes szálak, hanem a kötegek nyúlásai összegeződnek, és a kötegek közvetítik a húzóerőt. A köteglánc megnyúlt hossza és relatív nyúlása (u): m

∑ Li = mLo (1 + u )

u=

i =1

126

∆L 1 m = ∑ ui mLo m i =1

(4.2.64)

Itt az egyes E-kötegekben a szálak száma különböző lehet (ni; i=1,..,n). Az i-edik E-kötegben ébredő húzóerő (Fi) megegyezik a kötegláncéval: F F = Ku = Fi = ni Kiui ⇒ ui = ; Ki = ni Ki (4.2.65) ni Ki ahol Ki az i-edik köteg szálainak átlagos húzómerevsége. Ezek alapján a köteglánc eredő (kezdeti) K húzómerevsége a köteg-húzómerevségek harmonikus átlagaként adódik (F4.5. Függelék): −1

1 m 1   K = ∑ (4.2.66)  m ni Ki   i =1  Ha az E-kötegek megegyezők, úgy n=ni és K=Ki, és ezekkel a köteglánc húzómerevsége megegyezik a kötegelemekével (K=nKo). Elemi szakadási folyamatok Az egyes szálak egymást követő szakadásainak folyamatának elemzéséhez tekintsünk egy kételemes E-kötegláncot (m=2)! A szálszakadásokat ablakfüggvények segítségével figyelembe véve, a köteglánc F húzóereje egyfajta – növekvő-csökkenő – egyensúlyi érték, amely bármely u≥0 köteglánc nyúlásértéknél, azaz bármely t≥0 időpontban kielégíti a következő egyenleteket: n1

(

)

n2

F = u1( u ) ∑ K1 j χ u1( u ), ε S1 j = u2 ( u ) ∑ K 2k χ (u2 ( u ), ε S 2k ) j =1

(4.2.67)

k =1

1 ( u + u ) = u = u& t 2 o 2 1

(4.2.68)

ahol u& o a köteglánc nyúlássebessége. Tegyük fel, hogy a t1 időpillanatig a húzófolyamat szakadásmentes volt, és az első szálszakadás t1+0 időpillanatban lépett fel. A (4.2.67) t1-ben érvényes alakja és ennek alapján pl. az u1 értéke, felhasználva, hogy u2=2u-u1: n1 n2 ∑ K1 j ∑ K 2k F1 = u1 ∑ K1 j = u2 ∑ K 2k ⇒ u1 = 2u , u 2 = 2u (4.2.69) K + K K + K ∑ ∑ 1 j 2 k ∑ ∑ 1 j 2 k j =1 k =1 Az a szál szakad elsőként, amelynek szakadási nyúlását a kötegnyúlás – növekedése során – előbb éri el, azaz a két kötegben a legkisebb szakadási nyúlású szálak versenyeznek, és a szakadás azon időpillanatban következik be, amikor fennáll a következő egyenlőség: min(ε S1( t ) − u1( t ), ε S 2 ( t ) − u 2 ( t )) = 0 ε Si = ε Si (t ) = min ε Sij , i = 1,2 (4.2.70) j

amely szintén időfüggő, hiszen a szóba jövő szálak száma csökken az időben. Két szakadás között a (4.2.70) baloldali kifejezésének értéke >0. A (4.2.69) és a (4.2.70) alapján meghatározhatók a köteglánc-nyúlás 1. és 2. kötegre vonatkozó kritikus értékei: ε ∑ K1 j + ∑ K 2 k ε ∑ K1 j + ∑ K 2 k (4.2.71) u S1 = S1 uS 2 = S 2 2 2 ∑ K 2k ∑ K1 j A szálszakadás t időpillanatában: u( t ) = min( u S1 ,u S 2 ) = θ12 ( t )

∑ K1 j + ∑ K 2k , 2

 ε S1 ε , S2  ∑ K 2k ∑ K1k

θ12 ( t ) = min

  (4.2.72)  

tehát e folyamatot a θ12(t) valószínűségi változó alakulása vezérli. Tegyük fel, hogy elsőként a j=1 indexű szál szakad az 1. kötegben! A szakadás után, a t=t1+0 időpillanatban az 1. köteg húzómerevsége csökken, ezért nyúlása megnő ∆u1-el, ugyanakkor a 2. köteg nyúlása ugyanilyen mértékben csökken a (4.2.68) értelmében (∆u2=-∆u1), és ezzel a köteglánc húzóerő ugrásszerű ∆F1 csökkenése is adott (F4.5. Függelék):

127

K11 ∆F1 = F2 − F1 = −∆u1K11 (4.2.73) u1 ∑ K1 j + ∑ K 2k − K11 E változások igen kicsik, ha a szálak száma nagy. A (4.2.70) és (4.2.68) együtt adják meg a szakadások feltételét a kételemű kötegláncban. Az első szakadás után a vonatkozó köteg nyúlása nő, így sok szál esetében nagyobb a valószínűsége, hogy a következő szakadás is ebben a kötegben fog bekövetkezni. Ekkor annak is nagy lehet a valószínűsége, hogy a szakadások többsége, sőt mindegyike itt következik be. A váltakozó helyű szálszakadások esetében a (4.2.70)-ben szereplő εS1 és εS2 valószínűségi változók nem függetlenek, valamint a kötegnyúlások időbeli növekedése visszaesésekkel tarkított, véletlen folyamat. E tulajdonságok a köteglánc szakadási folyamatának matematikai leírását jelentősen megnehezítik a szálfolyam modellhez képest. Ennek ellenére az irodalomban a köteglánc elemeket függetlennek tekintve alkalmazzák a ’gyenge láncszem’ elvet [80-82, 173, 175]. Két, n1 és n2 szálból álló, soros szálköteg, mint rendszer, a (ν1(t), ν2(t))=(j,k) (j=0,1,…,n1; k=0,1,…,n2) vektorváltozóval, mint szakadt szálszámokkal jellemzett állapotai a tj+k szakadási időpontokban Markov láncot, illetve általánosságban Markov folyamatot alkotnak [K21,K38,K60], ugyanis a rendszer bármely állapota csak a rendszer előző állapotától függ (F4.5. Függelék). ∆u1 =

4.2.5.3. Köteglánc várható húzóerőfolyamatának becslése

A fentiek alapján megállapítható, hogy nyúlásgerjesztés esetén a köteglánc bonyolultabb, nehezebben kezelhető viselkedést mutat a szálfolyam elvű soros kapcsoláshoz képest. Figyelembe véve, hogy a megbízhatóság-elmélet szerint a független elemek soros kapcsolásával előállított rendszer megbízhatósága az elemek megbízhatóságának szorzatával adható meg [K24], egy ehhez hasonló modellel a kötegláncra közelítő megoldások kaphatók. Legyen tehát az m-elemű, tetszőleges köteglánc várható húzóerő-folyamata F ( u ) , u≥0! Ez az (4.2.16) szerint felbontható a κ ( u ) várható húzókarakterisztika és az RH(u) megbízhatósági karakterisztika szorzatára, amely viszont – a sorosan kapcsolt független elemek megbízhatóságának mintájára egy független elemű modell-láncot tekintve – a kötegelemek RHi(u) (i=1,…,m) megbízhatósági karakterisztikáinak szorzatával becsülhető: F(u ) = κ(u )

m m F (u ) F(u ) = κ ( u )RH ( u ) ≈ κ ( u ) ∏ RH i ( u ) = κ ( u ) ∏ i κ(u ) i =1 i =1κ i ( u )

(4.2.74)

A köteglánc κ ( u ) várható húzókarakterisztikája a szálkötegek szálfolyam elvű soros kapcsolásánál kapott elvek és eredmények felhasználásával szerkesztett eredő húzókarakterisztikával becsülhető. A kötegelemek jellemzőiben a köteglánc relatív nyúlása szerepel, ami annak a feltételezésnek felel meg, miszerint a modell-kötegláncban a kötegnyúlás egyenletesen oszlik meg a kötegelemeken. Amennyiben a (4.2.74) homogén, azaz azonos típusú és szálszámú elemekből álló kötegláncot ír le, úgy az E-szálfolyam várható húzóerő-folyamatának (4.2.30) alakjához hasonlóan, a köteglánc megbízhatósági karakterisztikája egy komplementer eloszlásfüggvény (Q) hatványával adható meg:

F ( u ) = κ ( u )RH ( u ) ≈ κ ( u )[RH1( u )]m = κ ( u )[1 − Q( u )]m (4.2.75) A (4.2.75)-beli Q eloszlásfüggvényhez - amely általában egy eloszláskeverék - található egy olyan εSL valószínűségi változó, amelynek Q éppen az eloszlásfüggvénye. Az εSL a köteglánc ekvivalens szálszakító-nyúlásának nevezhető. Ezzel a vizsgált kötegláncot egy modellszálfolyammal is azonosítjuk. A (4.2.74) vagy a (4.2.75) ugyan csak becslések, azonban

128

megjelenítik a köteglánc alapvető tulajdonságait, így a mérethatásokat (skálázódási törvényeket) is, ezért jól alkalmazhatók a kötegláncok globális tulajdonságainak, főleg a különböző típusok viselkedéskülönbségeinek tanulmányozására, továbbá velük meg lehet becsülni a vegyes elemű kötegláncok viselkedését is. Megjegyzendő, hogy a (4.2.75) szerinti felbontás bizonyos mértékig analóg a Harlow és Phoenix, ill. Phoenix [80,81,173] által a köteglánc-kötegelemek szakítószilárdságának eloszlásfüggvényéhez alkalmazott, (1.3.56), illetve (1.3.85) szerinti felbontási koncepcióval.

4.3. Modellező rendszer felépítése A várható húzóerő, illetve szórásfolyamatok numerikus kiszámításához, a mechanikai vizsgálatok során mért folyamatok fenomenológiai modellezéséhez, s ezzel pontosabb anyagmodellek készítéséhez, anyagparaméterek meghatározásához programcsomag készült: • Először C64 Commodore Basic nyelven, amelynek eredményeit számos publikációban tettük közzé [S43-S48]. A kereskedelmi programcsomagok akkori gyér hozzáférési lehetőségei miatt, a modellező program egy adatbázis szerkesztő és kezelő, statisztikus jellemzők és regressziós kapcsolatok meghatározására alkalmas, valamint mérőprogramokat – többek között jelanalizáló programot – is tartalmazó, saját fejlesztésű (rövid nevén AMS) programrendszer részeként, saját és OTKA kutatás, illetve a mérőprogramokat illetően diplomatervek keretében készült el (programozó és vezető programozó: Vas L.M) [S54]. • Követve a későbbi bővülő hardver/szoftver lehetőségeket, az OTKA 821 (1991-1994) tsz. kutatás során a modellező programnak elkészült egy egyszerűsített változata PC/XT GW Basic (programozó: Vas L.M.), majd PC/AT Pascal nyelven (programozó: Huszár G.) [S54]. • Legutóbb, az OTKA T038220 (2002-2004) tsz. kutatás keretében MS Windows alatt MS Excel Visual Basic környezetben készültek a számításokhoz szükséges rutinok (programozó: Vas L.M.) [S79], illetve az OTKA T049069 (2005-2008) témaszámú kutatás részeként Borland Delphi 7 nyelven készül egy átfogó koncepció alapján fejlesztett programcsomag (programozó: Tamás P.) [S81]. A legutóbbi program menürendszerét az eddig megvalósult és a következő lépésben tervezett menüpontokkal a 4.3.1. ábra szemlélteti. Szálköteg szimuláció

File OpenXls

Beállítás SaveXls

Száltípus

Eloszlás

Exit

E

EH EHT

ES EHS

ET EST

EHST

Kompozit

Import

Köteglánc

Keres

Hálózat

4.3.1. ábra. Kötegmodellező program menürendszere (folytonos vonal – megvalósult menüpontok, szaggatott vonal – a következő lépésben tervezett menüpontok) Az E, EH, ES és ET menüpontokban az alap szálkötegcellák várható húzóerő-folyamatai állíthatók elő, tetszőleges paraméterek mellett, E-kötegre a konfidencia intervallum is, minden változót egyelőre normális vagy csonkított normális eloszlásúnak tekintve. A paraméterek 129

listaszerű megadásával görbeseregek kaphatók (E-köteg), így tanulmányozható a paraméterváltozások hatása. A Kompozit menüben a kompozit kötegek szerkeszthetők meg, a súlyarányokat tetszőlegesen változtatva. Az eredménygörbék .xls kiterjesztésű Excelfájlokként menthetők el, illetve a mért szakítógörbék MS Excel táblázatokból importálhatók. A Kompozit menüben hívható Keresés révén a kompozit-köteg várható húzóerőfolyamata illeszthető a mért szakítógörbéhez, ahol a kompozit köteg képviseli a vizsgált szálas szerkezet fenomenológiai úton előállított kötegmodelljét. Az illesztést a program automatikusan végzi, miközben a kompozit köteg komponenseinek mind súlyait, mind a komponensek paramétereit (várható értékek és relatív szórások) úgy változtatja, hogy a modellezési tartományban adódó négyzetes eltérés minimális legyen. Az illesztés e programban, valamint az exportált fájlok révén az MS Excelben, manuálisan is elvégezhető.

4.4. Alkalmazás fenomenológiai modellezésre 4.4.1. Kompozit szálkötegek alkalmazása kísérleti eredmények értelmezéséhez A síkkötegek – definíció szerint – olyan szálakból állnak, amelyek húrjai egy síkra – a váztérre – illeszkednek, így közvetlenül alkalmazhatók szerkezeti-szilárdsági modellezésre minden olyan szálköteg esetén is, amelynek szálai az igénybevétel szempontjából ekvivalensek. Ilyen eset például egy tetszőleges, de egymástól független szálakból álló szálköteg húzása, ahol a szálak igénybevétele nem függ a térbeli helyüktől (homogén), így eltolással és a húzásirány, mint tengely körüli elforgatással ekvivalens síkköteggé rendezhetők. Amennyiben az igénybevétel függ a szálak térbeli helyétől (inhomogén terhelés vagy szerkezet), akkor a homogén síkköteggel történő modellezés lényegében fenomenológiai, azaz jelenségleíró jellegű lehet, azonban – a kompozit köteg identifikált részarányai révén – módot adhat bizonyos globális szerkezeti jellemzők meghatározására. 4.4.1.1. Üvegroving szakítóvizsgálata

Az üvegroving párhuzamos, impregnálással egymáshoz ragasztott üvegfilament szálakból álló, szalagszerű textiltermék. A 4.4.1. ábra Vertan EC13, 140x18=2520 tex lineáris sűrűségű, 6750 szálat tartalmazó üvegroving lo=30 mm-es befogási hosszak mellett mért, valamint a síkköteges rovingmodell vonatkozó szakítógörbéit szemlélteti. A jól rendezett roving mért szakítógörbéje (4.4.1.a. ábra) lényegében az éles csúcs és a meredek esés (szakadó szálak) után, csak a lefutó ágban látható jellegzetes platóban különbözik az üvegszál jó közelítéssel lineáris szakítógörbéjétől, ami a befogásból kicsúszó, vagy a befogásban megcsúszó szálak jelenlétére utal. Ennek megfelelően a 4.4.1.b. ábra ESkötege (VE=0,1; ES=1; VS=0,1; EL=0,6; VL=0,2) alakilag előállítja a roving húzó-szakító folyamatát, ahol a modellben az átlagos megcsúszási határerő megegyezik az átlagos szakítóerővel (ES=1), mely utóbbi szórása kicsi (10%) és az átlagos megcsúszási hossz az átlagos szakító nyúlás 60%-a, szórása 20%. A 4.4.1. táblázat az üvegroving mért és modellezett szakítógörbéjének csúcsérték-koordinátáit, valamint az üvegszálak ezen csúcsértékekből számolt átlagos szakítóerejének és szakítónyúlásának értékeit tartalmazza.

130

Üvegroving (2.52 ktex)

Üvegroving (2.52 ktex)

800

1

700

Szakítógörbe

Modellezett

Mérési pontok

500

Mért

0.75

Átlagos egyedi szál

FH [-]

Húzóerő [N]

600

400

0.5

300

0.25

200 100

0

0 0

1

2

3

4

0

0.5

1

1.5

2

z [-]

Nyúlás [mm]

a.) b.) 4.4.1. ábra. Üvegszál és üvegroving mért (a), valamint az ES rovingmodell (b) számított szakítógörbéi [S44,S80,S81] A mérésből meghatározott száladatok kiszámításának szokásos módja feltételezi, hogy a szálak tökéletesen befogottak és szakítónyúlásaik megegyeznek: Fcsúcs ,roving ∆lcsúcs ,roving FS ,szál = ; ε S ,szál = ucsúcs ,roving = (4.4.1) nszál lo E feltételek nyilván nem teljesülnek, hiszen a véges szálszakító-nyúlás szórás miatt legalábbis E-kötegre van szükség, sőt az illesztett modell típusa azt bizonyítja, hogy a befogás sem ideális. Mindezek miatt a modell alapján a szálaknak a normált köteghúzóerő-folyamat csúcsértékéből (FH*=FH(z*)) az alábbi módon számolt, Fcsúcs ,roving ucsúcs ,roving FS ,szál = ; ε S ,szál = (4.4.2) nszál FH * z* a kötegtulajdonságokkal korrigált, az előbbieknél jelentősen nagyobb értékű szakítószilárdsági adatai közelebb állnak az egyedi szálszakításokkal kapható értékekhez, így a vonatkozó mérési hibák ilyen módon csökkenthetők, vagy kiküszöbölhetők. Meghatározás Üvegroving Üvegszálak módja Csúcserő Nyúlás Átlagos Átlagos szakítóerő szakítónyúlás FS=740 N Mért ∆l=0,79 mm FS =110 mN ε S =2,6 % FH*=78,6 % z*=81,8 % Modell alapján FS =139 mN ε S =3,2 % számolt/korrigált 4.4.1. táblázat. Az üvegroving és az üvegszálak mért és a modellből számolt normált (FH*), illetve a normáltból visszaalakított ( FS ) szakítószilárdsági jellemzői 4.4.1.2. Szálszalagok tapadásának vizsgálata

A szálszalagok szakítóvizsgálata sok értékes ismeretet adhat a szalagszerkezetre, a szálak egymás közötti kapcsolatára, tapadására nézve. Pamut kártszalag (5 ktex) szakítóvizsgálatánál a felső, álló befogást egy csavaros szorítót szorosan követő, 5 mm belső átmérőjű, lT=20 mm hosszúságú tölcsér képezte, amely az átvezetett szalagot oly módon tömörítette össze, hogy a szálak közötti súrlódó-tapadó erők lehetővé tették az egyes – csak a

131

tölcsérben megfogott – szálak befogásból való kihúzódását (4.4.2.a. ábra). A mozgatott alsó, hullámos betétes befogó csavaros szorítással rögzítette a befogott szalagvéget. A tölcsér alsó homlokfelülete és az alsó befogó széle között értelmezett lo szabad befogási hossz és a tölcsér hosszának összege képezte lényegében a vizsgált teljes szalaghosszat (L=lT+lo=20+lo mm).

(a) (b) 4.4.2. ábra. Kártolt szálszalag szakítógörbéi speciális, egy oldalon tölcséres befogás és különböző szabad befogási hosszak (lo) mellett (a), ES-köteg várható szakítógörbéi különböző átlagos kicsúszási erőhatárértékek mellett (ES=0,2; 0,5; 0,75; 1,0; 1,5; 2,0) (b), [S44] A vizsgált szalag 5-5 mérésből átlagolt szakítógörbéi láthatók a 4.4.2.a. ábrán, ahol a görbesereg paramétere a szabad befogási hossz (lo=2,5…150 mm). A kis befogási hosszak esetében (lo<30 mm) a teljes vizsgálati hossz kisebb lehet a pamutszálak hosszánál, így annak valószínűsége, hogy egy szál mindkét csavaros szorítású befogóban megfogott, nem elhanyagolható. A mindkét végen megfogott szálak húzáskor elszakadnak. A szakadó szálak hányada azonban rohamosan csökken az lo növekedésével, és mind inkább a szálak szétcsúszása dominál, először, mintegy átmenetként – közepes befogási hosszaknál (30≤lo<60 mm) – a tölcsértorokban összetömörített szálak súrlódó befogásából, majd – nagyobb befogási hosszaknál (lo≥60 mm) – az úszó szálak tapadása adta környezeti kapcsolatból, amiket a görbék ellaposodása is jelez (4.4.2.b. ábra). A szakadó szálak mellett, a szalagszétcsúszás befogásból való kicsúszással modellezhető, hiszen ekkor a szálak "egymás közé" befogottak, mint azt a 4.4.2.b. ábra ES kötegekre vonatkozó – az ES= ε b átlagos kicsúszási erőhatár növekedésével egyre laposabb – szakítógörbe alakok tanúsítják [S44]. 4.4.1.3. Kötegszakító vizsgálat

A korszerű, nagyteljesítményű szálvizsgáló (HVI) rendszerek egyedi szálvizsgálatok helyett - az általában több mint 400 párhuzamosított szálból álló - rendezett szálkötegek szakítóvizsgálatát, az ún. kötegszakító vizsgálatot alkalmazzák. A 4.4.3. ábra a SpinLab 900 HVI szálvizsgáló rendszer szálhosszeloszlás mérésére és kötegszakításra alkalmas Fibrograph készülékét és a befogott pamutszálköteget mutatja (pamutszálak lineáris sűrűsége 1,9 dtex, UHM=27,2 mm) míg a 4.4.4. ábrán a szálkötegen, lo=1/8”=3,175 mm befogási hossz mellett végzett szakítás (flat bundle test) eredménye és a modellezett szakítógörbe alakja látható. A kötegmodell (VE=0,1; EH=-0,2; VH=0,1; ES=1,25; VS=0,2; EL=1,25; VL=0,2) három részköteg szakítógörbéjének súlyozott összegeként állítja elő a mért szakítógörbének megfelelő alakú eredőt. 132

a.) b.) 4.4.3. ábra. A Fibrograph készülék (a) és a befogott pamutszálköteg (b) Az ideálisan befogott szálakat 10% E-köteg, a kis meredekségű görbefelfutást egy 20% részarányú laza EH-köteg, míg a szálak zömét és a görbevégi alacsony szintű platót egy 70% súlyú kicsúszó-szakadó ES-köteg modellezi. A 4.4.2. táblázat a kötegszakítással meghatározott és a modellezett szakítógörbe csúcsérték koordinátáit, valamint a pamutszálak ezen csúcsértékekből a (4.4.1), illetve (4.4.2) összefüggésekkel számolt átlagos szakítóereje és szakítónyúlása értékeit tartalmazza. Pamutszálak kötegszakítása 1

Modellezett Kötegszakítás Átlagos egyedi szál

0.75

E-köteg: 10%

FH [-]

EH-köteg: 70% ES-köteg: 20%

0.5

0.25

0 0

0.5

1

1.5

2

z [-]

a.) b.) 4.4.4. ábra. Pamutszálköteg mért és mintavett szakító görbéje (a), illetve annak kompozit köteg modellje (b) [S44,S80,S81] Meghatározás módja Mért

Pamutszálköteg Csúcserő Nyúlás

FS=135,1 N

∆l=0,25 mm

Pamutszálak Átlagos fajlagos Átlagos szakítóerő szakítónyúlás FS =20,9 cN/tex ε S =7,24 %

FH*=70,2 % z*=92 % Modellből FS =29,8 mN ε S =7,87 % számolt 4.4.2. táblázat. A pamutszálköteg és a pamutszálak mért és a modellből számolt szakítószilárdsági jellemzői

133

A kötegszakítás során, az ideális befogástól és szálhelyzetektől eltérő viszonyok miatt keletkező, jelentős pamutszilárdság mérési hiba, az illesztett kompozit köteg segítségével végzett korrekció révén, ez esetben is kompenzálható. 4.4.1.4. Rövid fonalszakaszok szakítóvizsgálata

A fonalak sodrott szálfolyamok, amelyekben a szálak többé-kevésbé forgásfelületre illeszkedő spirális alakúak, így például egy fonalszakasz húzásánál az egyes szálak igénybevétele – a benne ébredő erők – függ az adott forgásfelület középvonaltól mért távolságától (átmérőviszonyok), azaz a térbeli helyzettől. Ennek ellenére a síkköteg modellek alkalmasak lehetnek a fonal globális szerkezeti viszonyainak tanulmányozására. A 4.4.5. ábra 67%PES/33%pamut 16,7 tex gyűrűs keverékfonal szálainak és egy rövid fonalszakasz lo=10 mm befogási hossz mellett végzett szakítóvizsgálatának, valamint az akalmasan kialakított síkköteg modell eredményeit szemlélteti. Látható, hogy a modell szakítógörbe alakilag lényegében megfelel a mért görbe átlagos menetének. A modell két ideális E-kötegből áll, amelyek – a valós szálak húrmodulusainak megfelelően – különböző húzómerevségű és szakítónyúlású szálakból állnak. A 67% részarányú alapköteghez (PES szál modell) egy 33% súlyú, az előbbihez viszonyítva kétszer akkora húzómerevségű, de fele akkora átlagos szakító nyúlású köteg (pamut modell) társul. Az alapköteg esetében a szálak szakítónyúlás szórása 5%, míg a kiegészítő kötegnél ez 30%. A szálak nyúlásjellemzőinek arányai a síkköteg modell és a valós sodrott szerkezet esetében nem egyeznek meg az alaki hasonlóság érdekében.

a.) b.) 4.4.5. ábra. Pamut és poliészter szálak (a), a belőlük gyártott gyűrűsfonal (b) és a fonalmodell szakítógörbéje [S44,S48] A 4.4.6. ábra pamut turbinás (BD) fonal és egy szálának szakítógörbéit mutatja be egyaránt 10 mm-es szabad befogási hosszak mellett. A turbinás fonal általában eltérő szerkezetű magés köpeny részének megfelelően, az alkalmazott fonalmodell két, eltérő merevségű szálköteget használ az eredő előállításához: • egy nagyobb merevségű, jól rendezett E-köteg (E’, 75%), amely az első, éles csúcsot adja; • egy kisebb húzómerevségű (lazább) szálköteg (összesen 25%), amely szintén két részből áll: - jól rendezett E-köteg (E, 15%), ami a második csúcsot szolgáltatja; - nagy hullámosságú EH-köteg (10%), ami a folyamat végi „lapályt” állítja elő. Az ilyen eltérő szerkezetű (hullámosságú) részek jelentősen csökkenthetik a szálak szilárdság kihasználását egy homogénebb szerkezethez képest.

134

a.) b.) 4.4.6. ábra. Pamut szál (a), a pamut turbinás fonal (b) és a fonalmodell szakítógörbéje [S44,S48]

4.4.2. Mérethatás modellezés köteglánccal A szálláncok alkotta E-kötegeknek a 4.2.8. ábrán bemutatott, szálelemre normált várható kötegerő folyamatának erőcsúcsértékei és a hozzá tartozó kötegnyúlás értékek láncelem-szám szerinti változása az 1≤m≤1000 tartományban egyszerű hiperbolával írható le, azaz a mérethatás hatványfüggvényt követ, a kötegszilárdság algebrai skálázású (4.4.7. ábra). Normált kötegerő és nyúlás

E-szálfolyam 1 Szakítóerő Szakítónyúlás Erőtrend Nyúlástrend

0,8 0,6

y = 0,7782x -0,1422 R2 = 0,9992

0,4 y = 0,6814x -0,1481 R2 = 0,9988

0,2 0 0

200

400

600

800

1000

Láncelemek száma

4.4.7. E-szálfolyam, mint szállánc-köteg szálelemre normált várható húzóerő csúcsértéke és nyúlása a láncelem-számok (m) függvényében Az erő és a nyúlás hatványkitevői csak kicsit különböznek (0,148 és 0,142), azonban kisebbek a Peirce-féle kitevőértéknél (0,2) (1.3.2.2. fejezet).

4.5. Az eredmények értékelése A 4. fejezet a szálkötegcella hálózatok alapformáival, a párhuzamos és soros kapcsolás értelmezésével és törvényszerűségeivel foglalkozik. A kompozit köteg és annak kötegmodellezésre való alkalmazása új koncepció, amelynek első közreadása 1989-ben, Drezdában a XX. Textiltechnikai Konferencián [S43] történt, s az előadás cikkformában a Magyar Textiltechnikában jelent meg [S43]. Később, számos más publikációban is be lett mutatva [S44-S48, S50, S76, S80,S81].

135

A kötegek soros kapcsolásának szálfolyamként, s vele ekvivalens szálkötegként való kezelése újszerű, és noha a szálfolyam-elméletben is megjelenik a szálköteg-fogalom [K82], valamint a klasszikus elemi szálláncot lényegében Peirce [166], illetve Phoenix [175] is vizsgálta, azonban szállánc-köteg szerepkörben a szálkötegek, főleg a bevezetett ES, EH és ET szálkötegcellák, illetve azok kombinált változatai, nem nyertek alkalmazást. Ugyancsak újszerű a szálkötegek megbízhatósági függvényének, valamint a hibamentességet, illetve erőközvetítést illető változatainak értelmezése és alkalmazása, amelyekről belátható volt, hogy az adott működésmódnak megfelelő kötegnyúlás intervallumon értelmezett ablakfüggvény várható értékeként számíthatók, illetve a megbízhatósági karakterisztikák bevezetése és ezen utóbbiakra alapozva a kötegláncok várható húzóerő-folyamatának becslési módszere. Nem találni a szálkötegek várható húzókarakterisztikáit elemző publikációkat sem. A szálkötegekkel foglalkozó szakcikkek többsége a klasszikus kötegekből alkotott kötegláncokat vizsgálta [31,80,81,168,173]. Ezek elsősorban a szakítóerő-eloszlás becslésére irányultak, annak skálázási tulajdonságait elemezték részben analitikus, részben szimulációs eszközökkel. A nagy szálszámú, ezért a várható húzóerő-folyamatot megvalósító kötegláncok gyenge láncszemének és a köteglánc erőcsúcs utáni lefutó ágának a nyúlástartalék szerinti vizsgálata, továbbá a katasztrófaszerű szakadás vonatkozó feltétele sem lelhető fel az értekezésben kidolgozott formában az irodalomban. Viszonylag kevés dolgozat vizsgálta magát a húzóerő-folyamatot [31,169,174], esetleg csak mellékesen, a szilárdság, illetve a viselkedés-leírás szempontjából merült fel ennek az igénye [18,80,81,90,124,125]. Ennek megfelelően a méréseredmény elemzésre és anyagmodell kialakításra alkalmas kötegmodellező program is újszerű koncepciót valósít meg, és újszerűek a fenomenológiai kötegmodellezés eredményei is.

136

5. EGYIRÁNYÚ SZÁLFOLYAMOK, RÖVIDSZÁLAKKAL ERŐSÍTETT KOMPOZITOK SZAKÍTÓSZILÁRDSÁGA ÉS A SZÁLHOSSZ HATÁSA

5.1. Egyirányú szálfolyam szilárdsága A lineáris szálfolyamok, illetve a hozzájuk hasonló szerkezetű szuperszilárd, lineáris polimer szálak (pl. a HPPE) rendezettségi foka igen magas – s így gyakran 100% parakristályos szerkezetűnek tekinthetők –, ugyanakkor erősen orientáltak [K61]. Egy ilyen polimer minta, vagy szálas szerkezet szilárdságát az aktuális szakadási keresztmetszetben lévő szálak száma, azok hosszeloszlása és a szálak szilárdsága (láncok primer kötései kohéziós ereje), valamint a szálak közötti kötések (láncok közötti szekunder kötések), a tapadás szilárdsága szabja meg [K36,S5].

5.1.1. Tönkremenetel jellemzői húzásnál Befogott szálfolyamszakasz szerkezeti jellemzői Az egyirányú vagy unidirekcionális szálas szerkezet egy szálfolyamot alkot, amelynek egy véges, Lo hosszúságon befogott szakaszán a szálak két-, egy- és null-befogásúak, azaz úszószálak lehetnek (5.1.1. ábra). 1" 0

n

1' 2 0

Lo

x

Lo

5.1.1. ábra. Egyirányú szálfolyam szálai véges befogási hossz esetében: két-befogásúak (2), egy-befogásúak (1’ és 1”) és null-befogásúak, azaz úszószálak (0) Egy tetszőleges keresztmetszetet metsző, különböző befogású szálak számát – az 1.3.4.2. fejezetben tárgyaltak szerint – az S1*(x) jobb- és S2*(x) baloldali, azaz a mellső- és hátsó komplementer szakállhossz-eloszlások segítségével adhatók meg: n = no ( x ) + n1( x ) + n2 ( x ); n1( x ) = n11( x ) + n12 ( x ) (5.1.1) ahol no(x), n1(x), és n2(x) a null-, egy- és kétbefogású szálak száma az x keresztmetszetben, valamint n11 és n12 a baloldalon, illetve a jobboldalon befogott szálak száma. E szálszámok tehát az egyébként szimmetrikus szakállhosszeloszlásokkal megadva:

(

n2 ( x ) = nS1* ( Lo ) = nS*2 ( 0 )

)

(

) ( n1( x ) = n(S1* ( x ) + S1* ( Lo − x ) − 2S1* ( Lo )) no ( x ) = n (1 − S1* ( x ) − S1* ( Lo − x ) + S1* ( Lo ))

)

n11( x ) = n S1* ( x ) − S1* ( Lo ) ; n12 ( x ) = n S*2 ( x ) − S*2 ( 0 ) = n S1* ( Lo − x ) − S1* ( Lo )

137

(5.1.2) (5.1.3) (5.1.4)

Amennyiben a lehetséges maximális szálhossz (lmax) véges – mint ez a gyakorlatban teljesül is –, úgy az adott keresztmetszetet (0≤x≤Lo) metsző szálak befogásának jellege és eszerinti száma az Lo és az lmax viszonyától függ (5.1.2. ábra). lmax

a.)

1

nS2*(x) n12

0

n nS1*(x) 0

1 Lo

c.)

nS2*(x)

n

no

0

n12 1

0

no nS1*(x) 1

nS1*(x) 1

n2

lmax

Szál

nS2*(x)

n

n11 2

n12 1

0

no

x Lo

lmax

Szál

b.)

Szál

lmax

lmax

0

Lo n 11

x

x

lmax

Lo

Lo

Lo

5.1.2. ábra. Egyirányú szálfolyam véges szakaszán egy 0<x0. Ekkor három lényegesen eltérő eset különböztethető meg: (a) Lo0). (b) lmax0; n2=0), és a belső, (2lmax-Lo) hosszúságú szakaszon (Lo-lmax<x0). (b) 2lmax0; n2=0), ahol a belső (Lo-2lmax) hosszúságú szakaszon (lmax<x0; n1, n2=0) találhatók. Szálak szakadása és kicsúszása A szálfolyamszakasz végein ideális befogásokat feltételezve és egyenletesen növekvő nyújtást alkalmazva, a két-befogású szálak biztosan elszakadnak, míg az egy- vagy nullbefogású szálak – a hosszuktól és a környezetükhöz való tapadásuktól, adhéziójuktól függően – vagy kicsúsznak a környezeti befogásukból, vagy szintén elszakadnak. Az egy- és nullbefogású szálak adhéziója eltérő lehet, ha azt például a környezeti, szálra merőleges nyomás és súrlódó erők képviselik. Mátrixba ágyazott szálak, vagy kristályos részekben szekunder kötésekkel rögzített molekulaláncok esetében viszont az adhézió e befogási típusra megegyezőnek tekinthető. Legyen tehát fb1 és fbo (fbo≤fb1) az egy- és null-befogású szálak fajlagos, hosszegységre eső tapadási ereje! Ekkor a szálak lSi kritikus tapadási (adhéziós) hossza az lkrit,i kritikus szálhossz fele, amelyet az átlagos szálszakító erő (FS=fbilSi) határoz meg, s melyek a null- és egy-befogású szálakra (i=0,1): l F lSi = krit ,i = S , i = 0, 1 (5.1.5) 2 fbi Annak feltételét, hogy az egy- vagy null-befogású szálak elszakadnak vagy kicsúsznak az x keresztmetszetben, azt a metszeti viszonyaik meghatározta mellső (l+), illetve hátsó (l-) szakállhosszaik, illetve az ezek aktív hossza (la) határozzák meg (5.1.3. ábra). ll-

l-

l+

n 1 0

l-+x-Lo

0

l+-x

l+

l+ 1

Lo-x x

Lo

x

x

Lo

5.1.3. ábra. Egy- és null-befogású szálak metszeti viszonyai

138

• Az egybefogású szálak esetében az l+, illetve l- félszakállhossznak az x keresztmetszeten a befogott szakasz belsejébe nyúló része a nemnegatív aktív szálhossz (xB a befogott keresztmetszet) (5.1.3. ábra): l + − x , x = 0 B (5.1.6) 0 ≤ la =  − l + x − Lo , xB = Lo amelynek eloszlásfüggvénye az S1 félszakállhossz-eloszlással adható meg, kihasználva, hogy S2(x)=S1(Lo-x):  P l + < x + z , xB = 0 S1( x + z ), xB = 0 S1( x + z ), xB = 0 P(la < z ) =  = =  P l − < Lo + z − x , xB = Lo S 2 (Lo + z − x ), xB = Lo S1( x − z ), xB = 0 (5.1.7) x± z 1 − Ql ( u ) S1( x ± z ) = ∫ du , 0 ≤ x ± z ≤ Lo l

( (

)

)

o

• A nullbefogású szálaknál a befogott keresztmetszet xB=x és az l+, illetve l- félszakállhosszak kisebbike határozza meg a szál tönkremeneteli módját (5.1.3. ábra): la = lm = min( l − ,l + ) (5.1.8) Az lm aktív szakállhossz Sm eloszlásfüggvényét az (1.2.43) szerint az S eloszlásfüggvény változótranszformáltjaként számíthatjuk:

Sm ( z ) = P(lm < z ) = S1( 2 z ) =

2z

∫ o

1 − Ql ( u ) du l

(5.1.9)

Ennek Żurek-étól [K82: 49-52. old.] eltérő bizonyítása az F5.1. Függelékben található. Az lai aktív szálhosszak és az lSi kritikus tapadási hosszak ismeretében meghatározható az x keresztmetszetet metsző, i-befogású (i=0, 1) szál tönkremeneteli módja és feltétele: lai < lSi ⇒ a szál kicsúszik (5.1.10) lai ≥ lSi ⇒ a szál elszakad Az x keresztmetszetet metsző szálak nyújtással szembeni ellenállásainak összege a szálfolyam ellenállását adja az x helyen. Nyilvánvaló, hogy a szálfolyam gyenge helye a középkeresztmetszetben (x=L/2) található, ahol a nyújtással szemben a legkisebb ellenállást mutató úszó szálak száma maximális. Az 5.1.2.c. ábrán ez a teljes belső lmax<x
5.1.2. Várható húzóerőfolyamat általános esetben Legyen Bx,i (i=0,1,2) azon esemény, hogy a véges L befogási hosszú szálfolyam egy x belső keresztmetszetét metsző szál éppen i-befogású! Általános esetben a két-befogású szálak száma nem elhanyagolhatóan kicsi, a várható húzóerő-folyamat három részből áll: E( F ( u , x )) = E F ( u , x ) Bx ,2 P (Bx ,2 ) + E F ( u , x ) Bx ,1 P(Bx ,1 ) + E F ( u , x ) Bx ,o P (Bx ,o )

(

)

(

)

(

)

(5.1.11) ahol ’u’ a szálfolyam relatív nyúlása, amely függhet az x-től, és P(Bx,i)=ni(x)/n az i-befogású szálak részaránya e keresztmetszetben. Az x keresztmetszetet metsző kétbefogású szálak egy n2(x) számú, Lo hosszúságú szálból álló E-köteget alkotnak, míg az egy- és nullbefogásúak speciális ES-kötegeket, azaz ES1- vagy ES2-kötegeket határoznak meg, mert a megcsúszási határ és a szálak szakítószilárdsági jellemzői nem függetlenek. Ennek megfelelően részletezve az (5.1.11) egyes tagjait, a szálfolyam x keresztmetszetét metsző szálak eredő húzóellenállása (F5.2. Függelék):

139

 u E( F ( u , x )) = nFS ( Lo ) FH E ( , L )(1 − S1( Lo )) + εS o  u u + FH ES ,11( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( x )) + FH ES ,12 ( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( Lo − x )) + (5.1.12)

εS

εS

 , x , Lo )(S1( x ) + S1( Lo − x ) − S1( Lo )) εS  ahol FS=FS(Lo) az Lo hosszú szálak átlagos szakítóereje. Az (5.1.12)-ből látható, hogy – a szimmetria miatt – a befogott szálfolyamszakasz közepén a húzóellenállás értéke:  u E( F ( u , Lo / 2 )) = nFS ( Lo ) FH E ( , Lo )(1 − S1( Lo )) + ε S  + FH ES ,o (

u

u Lo L    ) + FH ES ,o ( , , Lo ) 2 S1( o ) − S1( Lo )  εS 2 2    (5.1.13) E középkeresztmetszetben maximális a nullbefogású, s így kis húzóellenállású szálak aránya, egyúttal minimális az egybefogásúak aránya, tehát minimális a véges szálfolyam húzószilárdsága. Véges maximális szálhossz esetében, ha Lo>2lmax (5.1.2.c. ábra), úgy – mivel S1(Lo/2)= S1(Lo)=1 – az (5.1.13) 1-valószínűséggel csak a nullbefogású szálak ellenállását tartalmazza:  u L  E( F ( u , Lo / 2 )) = nFS ( Lo )FH ES ,o  , o , Lo  (5.1.14)  εS 2  + 2 FH ES ,11(

u Lo L  , , Lo ) S1( Lo ) − S1( o εS 2 2 

5.2. Egyirányú szálfolyam szilárdsága nagy befogási hosszak esetén Feltesszük, hogy a szerkezet hossza, mint befogási hossz sokkal nagyobb az átlagos szálhossznál és tapadóerők hatnak a szálak között, valamint a rendszer növekvő húzóterhelésnek (nyújtásnak) van alávetve, továbbá a szakadási felület egy sík keresztmetszet. Ez utóbbi nem megy az általánosság rovására, hiszen a feltételezett igénybevétel egytengelyű tiszta húzás és a szakadó, vagy kicsúszó szálak keresztmetszeti környezetének húzással párhuzamos eltolásával szerkeszthető sík keresztmetszet és az eredeti, a szálvégek és egyéb, relatíve minimális ellenállású, környezeti gyenge helyek által vezérelten kialakuló szakadási felület, illetve nem sík keresztmetszet húzásra merőleges vetülete megegyezik (5.2.1. ábra). Szakadási keresztmetszet

5.2.1. ábra. A szakadási keresztmetszet síkba szerkesztése. A szakítóvizsgálat során a szakadási keresztmetszetet metsző szálak az (5.1.10) szerint elszakadnak, vagy kicsúsznak a környező szálak alkotta befogásból (5.2.2. ábra).

140

l-

l+ l

a.) b.) c.) 5.2.2. ábra. A szakadási keresztmetszetet metsző úszó szálak szakadás előtt (a) és után (b), illetve egy a szakadási keresztmetszetet metsző szál kinyúló részei (c) A szálak szakadása, vagy kicsúszása attól függően következik be, hogy a keresztmetszet két oldalára nyúló szálhosszak, azaz félszakáll-hosszak (l-, l+) minimuma (la=lm) nagyobb-e lS-nél vagy nem (5.2.2.c. ábra). Az egyirányú szálas szerkezetek szakítószilárdsági modellje két alapvető károsodási módra, a pillanatszerű és egyidejű, illetve a fokozatos károsodások eseteire lett kidolgozva. Egyszerű formulák előállítása érdekében a számítások az Erlang eloszláscsalád két véglete mellett, az állandó szálhossz (lo) és exponenciális szálhosszeloszlás esetére történtek, feltételezve, hogy a szálak szakítónyúlása (εS), húzómerevsége (K) és szakítóereje (FS) állandó.

5.2.1. Erlang eloszlások alkalmazása Az n-edrendű Erlang eloszlás egy speciális gamma-eloszlás (5.2.3. ábra), amelynek tetszőleges n érték mellett azonos m = l várható értéket biztosító sűrűségfüggvénye [K39]: n −1

x

− nn 1 x ql ( x ) = e m , 0
4

n=1

fn(x/m)

n=2 n=3

3

n=5 n=10

2

n=20 n=50 Exponenciális

n=100

1

n=végtelen

0 0

1

2

x/m [-]

5.2.3. ábra Az Erlang eloszláscsalád konstans várható érték mellett (fn helyett qn!!!) Ezen értelemben mind az exponenciális eloszlás, mind a konstans szálhossz egyfajta szélső esetet valósít meg (5.2.3. ábra). A szálhossz relatív szórása (V=Vl) a gyakorlati esetek többségében 1-nél kisebb, így az Erlang eloszlások jól használhatók elméleti leírásra. Ha V>1, akkor Erlang eloszlások keveréke alkalmazható. Az M5.1. Melléklet a két szélső esetre, az állandó szálhossz (szh.) és az exponenciális szálhossz-eloszlás (szhe.) eseteire foglalja össze a következőkben használandó szálhossz 141

eloszlások – a térfogati, a szakállhossz és az aktív szakállhossz eloszlások – jellemzőit, mint az eloszlásfüggvény, a várható érték és a négyzetes szórás.

5.2.2. Egyidejű tönkremenetelek Ez esetben, egyfajta extrém károsodási módként, feltettük, hogy a szálkicsúszások (rideg szétválás a szál és környezet között) és szálszakadások mindegyike pillanatszerűen és egyidejűleg megy végbe. Ekkor, a szakadási keresztmetszetet metsző n számú szál ellenállása, azaz az 0≤nS≤n számú szakadó szál szakítóereje és az nb=n-nS számú kicsúszó szál teljes kicsúszási ellenállása összegeződik. A szálrendszer egy szálra eső átlagos húzóereje: nb n n  n f b n n  F1 = nS FS + f b ∑ lmi = n  S FS + b b ∑ lmi  = n  S FS + b fblm  ≤ nFS (5.2.2) n n n n n     b i =1 i =1   ahol fb az állandó értékű fajlagos kicsúszási erő, illetve FS, εS, és K a szálak ugyancsak állandó szakítóereje, szakítónyúlása, és húzómerevsége. Az (5.2.2)-nek megfelelően az egy szálra eső várható szakítóerő a következőképpen határozható meg, a teljes várhatóérték tétel [K55,K59] és az aktív szakállhossz-eloszlás felhasználásával: lS

F1 =E[F1RS|lm
Az (5.2.3)-at FS=fblS-el normálva, kapjuk: F1 1 = FS lS

lS

∫ xdSm ( x ) + 1 − Sm ( lS )

(5.2.4)

o

Állandó szh. esetében a szálfolyam (5.2.4) normált szakítóereje (5.2.4. ábra l=l0): l l l  l0   l0 , o < 2 0 , o < 2 , o <2   lS lS lS F1(l0 / lS )  4lS   4lS = + =    →1 lo / l S →∞ FS l l 2 l l l l S o S o S o  , ≥ 2 1 − , ≥ 2 1 − , ≥2  lo   lo lS lo lS lS Exponenciális szhe.-nál, az (5.2.4) a következő formulát adja (5.2.4. ábra l= l ): 2l 2x 2x l  − − S  F1(l0 / lS ) 1 S 2 − l l  = x e dx + e l = 1 − e l     →1 l / l S →∞ FS lS ∫ l 2lS   o  

(5.2.5)

(5.2.6)

Normált szakítóerő, (F*/Fs)

Pillanatszerű és egyidejű károsodás 1 0,8 0,6 0,4 Exp. szhe.

0,2

Állandó szh.

0 0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, (l/ls)

5.2.4. ábra. A szálrendszer normált átlagos szakítószilárdsága és a normált szálhossz kapcsolata pillanatszerű tönkremenetel esetében [S82]

142

Az aszimptotikus érték mindkét görbe esetén 1, míg véges szálhosszakra ( 0 < l / l S < ∞ ) az exponenciális szhe. nagyobb értékeket ad a konstans szh.-nál, ami azzal magyarázható, hogy exponenciális szhe.-nál tetszőleges véges várhatóérték esetén is van szálszakadás, míg konstans szh.-nál csak akkor, ha a szálhossz nagyobb a kritikusnál. A maximális különbség közöttük mintegy 19 %, ami l / l S = 1.2 -nél mérhető. Mindez azt jelenti, hogy pillanatszerű és egyidejű károsodások esetén a pozitív szórás előnyös az egyirányú szálrendszer szakítószilárdsága szempontjából.

5.2.3. Fokozatos tönkremeneteli folyamat modellezése speciális ESkötegekkel Húzóterhelés esetén a szálkicsúszások és -szakadások fokozatosan, egymás után mennek végbe, egyfajta, a mért húzóerő változásaival jellemzett károsodási vagy szakadási folyamatot határozva meg. A kicsúszási határerő (Fb) arányos egyrészt az lm aktív szálhosszal megegyező kicsúszási hosszal (Fb=fblm), másrészt a határnyúlással (εb), mint relatív kicsúszási hosszal: Fb = f blm = Kε b (5.2.7) ahol K a szálak húzómerevsége. E viselkedés az ES-köteggel, pontosabban annak speciális változataival írható le, mivel az eredeti ES-kötegben a kicsúszási erő és hossz függetlenek, míg a tárgyalt esetben ezek kapcsolatban vannak az (5.2.7) szerint. Egy szál kicsúszása során az ellenállás lehet állandó (Coulomb súrlódás – ES1-köteg) vagy csökkenhet (mint a szekunder kötések a láncmolekulák között – ES2-köteg). Ennek megfelelően, kétfajta ES-köteg definiálható (3.3.5. fejezet), ahol mindegyik szál vagy szakad vagy kicsúszik az αlm relatív kicsúszási úthosszon, ahol 0≤α≤1 a kicsúszási tényező, az lm kicsúszási szálhossz azon részaránya ahol a szál ellenáll a kihúzásnak. 5.2.3.1. ES1- és ES2-kötegek alkalmazása szálfolyam-modellezéshez

Modellezés ES1-köteggel ES1-köteggel modellezve a szakadási keresztmetszetet metsző szálak viselkedését, a szálas szerkezet egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata a (3.3.52) szerint a következő egyenlettel írható le:

(

)(

)

F1ES1( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + K

∫ x(1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

u 1+α

(5.2.8)

ahol εb, a szálak relatív kicsúszási hosszának eloszlásfüggvénye a nullbefogású szálakra az (5.1.8) aktív szálhosszéval adható meg az (5.1.9), (5.2.7) és (3.3.53) alapján:  K  K  f  Qε b ( x ) = P(ε b < x ) = P b lm < x  = P lm < x  = Sm  x  (5.2.9) fb  K    fb  Figyelembe véve, hogy az (5.1.5)-el FS = fblS = Kε S (5.2.10) valamint a (5.2.7) és (5.2.10) várható értékeit tekintve, a következő arányegyenlőség adódik:

143

Fb lm ε b = = (5.2.11) FS lS ε S A feltevés szerint a kritikus tapadási hossz (lS), illetve a szakadási nyúlás (εS) állandó értékű, így a megfelelő elfajult eloszlással, valamint a kicsúszási határ (5.2.9) eloszlásfüggvényével, a null-befogású szálakból álló ES1-köteg várható húzóerő-folyamata: u   K  K    F1( u ) = Kuχ (u ,ε S )1 − S m  u   + K ∫ xχ (u ,ε S )dS m  x   fb    fb   u /( 1+α )

(5.2.12)

Modellezés ES2-köteggel ES2-köteg alkalmazása esetében a (3.3.57) várható húzóerő-folyamat:

(

)(

)

F1ES 2 ( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) +

∫ [( 1 + α )x − u ](1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

K

α

(5.2.13)

u 1+α

Az εS állandó szakadási nyúlást és az (5.2.9) eloszlásfüggvényt az (5.2.13)-ban figyelembe véve, az ES2-köteg modellezte szálfolyam várható húzóerő-folyamata: u

u

1+α

1+α

  Kx  Ku  Kx   Ku   1 + α   +   −   ( ) ( ) F1( u ) = Kuχ (u ,ε S )1 − Sm  K x χ u , ε dS χ u , ε dS S m S m ∫ ∫  α α f f f b b b         u u (5.2.14) A szálas szerkezet szakítószilárdságát mindkét kötegnél a húzóerő várható értékének a szakítás során fellépő maximuma definiálja. 5.2.3.2. Szakítószilárdság ES1-köteg és állandó szálhossz esetében

Az (5.1.9) aktív szálhossz eloszlásfüggvény állandó szálhosszra vonatkozó formáját (M5.1. Melléklet táblázata), az (5.2.12)-be helyettesítve és az eredményt normálva a szálszakító erővel (FS=K ε S ), valamint a kötegnyúlást (u) a szálszakító nyúlással ( ε S ), az ES1-köteg egy szálra eső, normált várható húzóerő-folyamatát kapjuk (F5.3. Függelék):   z 1 + (1 + α ) 2   z 1 − , 0 ≤ z < min(b,1)    b 2(1 + α ) 2   2 F1(u )  1   FH ( z ) = =  (min(b,1) )2 − z (5.2.15) , FS 2  2b  (1 + α )   min(b,1) ≤ z < (1 + α ) min(b,1)  0, egyébként  ahol α a kicsúszási tényező (3.3.5. fejezet), z a normált kötegnyúlás, b a normált szálhossz és εbM az lbM=lo/2 maximális kicsúszási hossznak megfelelő nyúlás: ε l u f f z= b = bM = 0 ε bM = b lbM = b lo (5.2.16) K 2K εS εS 2l S Az 5.2.5. ábra a (5.2.15)-szerinti normált várható húzóerő-folyamatot szemlélteti különböző b és α értékek mellett. A szaggatott vonalak a rideg egyidejű kicsúszásokat, míg a folyamatosak a véges kicsúszási utak eseteit demonstrálják.

144

ES1-köteg, állandó szálhossz

Normált kötegerő, FH

0,8 alfa=1; b=2

0,7

alfa=0; b=2

0,6

alfa=1; b=1

0,5

alfa=0; b=1

0,4

alfa=1; b=0.7 alfa=0; b=0.7

0,3 0,2 0,1 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

5.2.5. ábra. ES1-köteggel modellezett szálas szerkezetek normált várható szakítófolyamata állandó szálhossz, illetve különböző kicsúszási tényezők (α) és normált szálhosszak (b) mellett [S83] Katasztrófaszerű esés látható b>1 (itt b=2) esetében a szakadó szálak nagy aránya miatt. A szálfolyam várható szilárdságának a várható húzóerő-folyamat csúcsértéke tekinthető, amely b>1 esetében a z=1 helyre esik. Az így definiált szilárdság meghatározását szakaszonkénti szélsőérték kereséssel és maximumképzéssel elvégezve egyszerű kifejezést kaptunk a normált szakítóerőre a normált szálhossz függvényeként (0≤α≤1) (F5.3. Függelék): ε ( 1 + α )2 ( 1 + α )2 l0 l0 1 + ( 1 + α )2 2 = , <  bM 2 lS 1 + ( 1 + α )2 4lS ( 1 + α )2 F1* F1*  2ε S 1 + ( 1 + α ) (5.2.17) = = Kε S fblS  ε S 1 + ( 1 + α )2 1 + ( 1 + α )2 lS 1 + ( 1 + α )2 l0 =1− , 2 ≤ 1 − ε 2 lS ( 1 + α )2 l0 ( 1 + α )2 bM 2( 1 + α )  Az (5.2.17) két szakasza illeszkedik a szakaszhatáron, így – hasonlóan az egyidejű tönkremenetelre kapott eredményhez – folytonos görbét állít elő (5.2.6. ábra). Az α tényező értékétől függetlenül, a normált görbék értéke a szakaszhatáron 0.5.

Normált szakítóerő, F/Fs

ES1-köteg, állandó szálhossz 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Pill. Alfa=1 Alfa=0.75 Alfa=0.5 Alfa=0.25 Alfa=0

0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, L/Ls

5.2.6. ábra. Az ES1-köteggel modellezett szálas szerkezet szilárdsága állandó szálhossz és különböző kicsúszási tényezők (α) mellett [S83] Az 5.2.6. ábra a szimultán károsodó, ridegen szakadó és elváló szálakból álló szerkezet (5.2.5) szerinti, illetve az ES1-köteg (5.2.17) által meghatározott szilárdságát reprezentálja a szálhossz függvényében. Jól látható az ábrán, hogy a növekvő α tényező mellett az ES1-köteg

145

szilárdsága tart a szimultán károsodó szálakból álló rideg szerkezetéhez. Ennek oka, hogy az egyre hosszabb kicsúszási utak révén a kicsúszási ellenállás értékei mindinkább összeadódnak, ezért egyre közelebb kerülnek a pillanatszerűen károsodó szerkezet szilárdságához. Az (5.2.17) összefüggés és az 5.2.6. ábra alapján megállapítható, hogy konstans kicsúszási ellenállás mellett a szálas szerkezet szilárdsága nő a kicsúszási hosszal. 5.2.3.3. Szakítószilárdság ES2-köteg és állandó szálhossz esetében

Az ES1-kötegnél követett módon az (5.2.14)-et, az állandó szálhossz figyelembevételével kiszámítva, majd normálva, az ES2-köteg egy szálra vonatkoztatott, normált várható húzóerő-folyamata (F5.4. Függelék):   z 2 +α   , 0 ≤ z < min( b ,1 )  z 1 − b 2 ( 1 + ) α     2 (5.2.18) FH ( z ) = 1 + α min( b ,1 ) − z  , 1 + α   α 2b   min( b ,1 ) ≤ z < ( 1 + α ) min( b ,1 )  0 , egyébként Az 5.2.7. ábrán az (5.2.18) szerinti normált húzóerő-folyamat várható értéke látható különböző b és α értékek mellett. Az 5.2.7. ábrán a szaggatott és folytonos görbék rendre a rideg kicsúszást és a véges úthosszú kicsúszást modellezik. Az ES1-köteghez hasonlóan (5.2.5. ábra), a kötegszilárdságot meghatározó csúcserő a húzóerő-folyamat első szakaszában található és b>1 (itt b=2) esetén egy katasztrófaszerű erőesés is létrejön. A csökkenő kicsúszási ellenállás – az ES1-köteghez viszonyítva – szilárdságcsökkenést eredményez, valamint itt a húzóerő-folyamat görbe második szakasza alulról konvex. ES2-köteg, állandó szálhossz

Normált kötegerő, FH

0,7 alfa=1; b=2

0,6

alfa=0; b=2

0,5

alfa=1; b=1

0,4

alfa=0; b=1 alfa=1; b=0.7

0,3

alfa=0; b=0.7

0,2 0,1 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

5.2.7. ábra. Az ES2-köteg várható szakítófolyamata különböző kicsúszási tényezők (α) és normált szálhosszak (b) mellett [S83] A maximális várható húzóerővel meghatározott normált várható szilárdság (F5.4. Függelék): l 2+α  ε bM 1 + α 1 + α l0 , 0 <2 =  lS 1+α F1* F1*  2ε S 2 + α 2 + α 4lS = = (5.2.19) Kε S f blS  2 + α lS 2 + α l0 εS 2 + α 1− , 2 =1− ≤  ε bM 2( 1 + α ) 1 + α l0 1 + α lS

146

Az (5.2.19) szerinti görbe két része – az (5.2.17)-hez hasonlóan – szintén folytonosak a szakaszhatáron (5.2.8. ábra). A szakaszhatáron a görbe ordináta értéke 0,5 függetlenül az αtól. Az 5.2.8. ábra együtt szemlélteti az (5.2.5) egyenlettel modellezett pillanatszerűen károsodó szálakból felépülő szerkezet szilárdságát és az ES2-köteg (5.2.19)-el számolt szilárdság értékeket a normált szálhossz függvényében.

Normált szakítóerő, F/Fs

ES2-köteg, állandó szálhossz 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Pill. Alfa=1 Alfa=0.75 Alfa=0.5 Alfa=0.25 Alfa=0

0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, L/Ls

5.2.8. ábra.ES2-köteggel modellezett erősen orientált szálas szerkezetek normált szilárdsága a normált szálhossz függvényében különböző kicsúszási tényezők mellett [S83] Az ES2-köteg 5.2.8. ábrán és az ES1-köteg 5.2.6. ábrán látható görbéit összehasonlítva megállapítható, hogy a várakozásoknak megfelelően az előbbiek által képviselt szilárdsági értékek α>0 esetében kisebbek az utóbbiakénál, és megegyeznek, ha α=0. Ezért az előbbi görbék összességükben kisebb tartományt fednek le, mint az utóbbiak. 5.2.3.4. Az eredmények egyesítése állandó szálhossz esetében

Az állandó szálhosszakra vonatkozó elemzés szerint a tárgyalt esetekben a normált kötegszakító erő és normált szálhossz összefüggés egyszerű formulákkal adható meg az (5.2.17) és (5.2.19) szerint. Mindegyik görbe két szakaszból áll, és a szakaszhatáron az ordináta értékük 0,5 függetlenül a kicsúszási tényező értékétől (α). Az (5.2.5) szerinti, a szimultán rideg szakadások és elválások esetére vonatkozó szilárdság – szálhossz összefüggés is ilyen formájú. Az alábbi szilárdság-szálhossz összefüggés minden tárgyalt károsodási módra érvényes általános formája és a vonatkozó állandó a következő módon adható meg: pillanatszerű szak . / kics. 1,  (α = ∞) l l0 2   C( α ) 0 , <  2  4lS lS C ( α ) F1* F1*  = = (5.2.20) C (α ) =  (1 + α ) , ES1 − köteg 2 FS f bl S  1 lS 2 l0 1 + (1 + α ) 1− , ≤   C( α ) l0 C( α ) lS 1 + α , ES 2 − köteg  2 + α Megjegyzendő, hogy a szimultán károsodás állandója (C(α)=1) a következő határátmenettel is megkapható mind az ES1, mind az ES2 kötegek esetében: (5.2.21) C( α )   → 1 α →∞ ami jó közelítést is ad az α elég nagy értékeinél. Ezen konvergencia látható az 5.2.6. és 5.2.8. ábrák görbéin is. Ilyen értelemben az α tényező értéktartománya kiterjeszthető a [0, ∞)

147

intervallumra is. Ennek megfelelően az α=0 és α=∞, azaz a C(α)=½ és C(α)=1 esetekhez tartozó görbék az alkalmazott modellekre érvényes tartományok határait képezik. Megjegyzendő, hogy az (5.2.20) állandóban az α kifejezések viszonylag gyorsan tartanak az 1 határértékhez: az eltérés kisebb, mint 1%, ha α>9 az ES1-kötegnél, vagy α>100 az ES2kötegnél. Az (5.2.20) kifejezés könnyen identifikálható, illetve illeszthető a szakítószilárdság és szálhossz mért adatai közötti összefüggéshez. 5.2.3.5. Szakítószilárdság ES1-köteg és exponenciális szálhosszeloszlás esetén

A fokozatos károsodások exponenciális szálhosszakat alkalmazó modellezéséhez is az ES1- és ES2-kötegeket, valamint az (5.2.8) és (5.2.14) formulákat alkalmaztuk. Az ES1kötegre az (5.2.8) formulát és annak kiszámítása után az átlagos szálszakító erővel, illetve szálszakító nyúlással való normálásokat alkalmazva kapjuk (F5.5. Függelék): 2z   2z  − −   λ 2 z   λ ( 1+α ) − e λ , 0 ≤ z ≤ 1  2 1 + λ ( 1 + α ) e       F1ES1( z )  (5.2.22) FH1( z ) = = 2z FS 2   − 2 z  λ ( 1+α )  2  −λ   λ 1 +  e 1 − +  e  , 1 < z ≤ 1 + α  2  λ ( 1 + α )   λ    0 , 1 + α < z  ahol a normált átlagos szálhossz: f l l λ= = b (5.2.23) lS FS Az 5.2.9. ábrán a számított, normált átlagos húzóerőfolyamat látható a normált kötegnyúlás függvényében, különböző kicsúszási tényezőértékek (α) és szálhosszak mellett. Exponenciális szálhosszeloszlás - ES1-köteg

Normált kötegerő, FH

0,6 0,5

α=1; λ=2 α=0; λ=2 α=1; λ=1 α=0; λ=1 α=1; λ=0.7 α=0; λ=0.7

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

5.2.9. ábra. A normált átlagos húzóerő és a normált kötegnyúlás összefüggése exponenciális szhe., különböző kicsúszási tényezők és átlagos szh.-ak mellett ES1-köteg esetében [S82] Ha a szálhossz (l) nagyobb a kritikus értéknél (lcrit=2lS) a szakadó szálak miatt erőesés jelentkezik a húzóerőben az átlagos szálszakító nyúlás (z=1) elérésekor. Az erőesés mértéke nő az átlagos szálhossz növekedésével és így hat a kicsúszási tényező is a húzóerőre.

148

ES1-köteg és exponenciális szhe. esetében, a szálrendszer várható húzóerő-maximumával definiált szakítószilárdsága és az átlagos szálhossz közötti összefüggés (F5.5. Függelék): x* ( α )    − 2  λ 1 + x * ( α ) e 1+ α − e − x* ( α )  , λ <  2   x* (α ) 1+α     FH1* = FH1( z*) =  (5.2.24) 2 2 −  λ  −  λ ( 1+ α ) 2 2 λ , λ ≥  1 + e − e  x* (α )  2  λ ( 1 + α )     ahol az x*=x*(α) az alábbi egyenlet megoldása, és annak egy jó közelítése (F5.5. Függelék): α

α (1 + α )  1 + α a1  1 + 4a2 −1 (5.2.25)  α 2a2  a12  Figyelembe véve, hogy 0≤α≤1, az inverz közelítés maximális abszolút hibája 0,016-ra, míg az α=1-hez tartozó maximális értékhez (0,853) viszonyított relatív hiba 1,89%-ra adódott. Megjegyzendő, hogy α→∞ esetében az (5.2.24) mindkét ága a pillanatszerű, egyidejű tönkremenetel (5.2.6) formulájához tart, azonban a λ≥0-ra az alsó ág értelmezett. Az 5.2.10. ábra a szálas szerkezet (5.2.24) szerinti normált szakítószilárdságának grafikus alakját szemlélteti, különböző kicsúszási tényezők (α) mellett mind az exponenciális szhe., mind a konstans szh. esetében, együtt a pillanatszerű totális tönkremenetelre vonatkozó görbékkel. Látható, hogy a fokozatos károsodás görbéi kisebb szilárdsági értékeket szolgáltatnak, mint a pillanatszerű tönkremenetelre vonatkozók, és a szilárdsági értékek csökkennek a kicsúszási tényezővel meghatározott kicsúszási hossz csökkenésével. Másrészről, azonos károsodási módokat tekintve a szilárdsági értékek nagyobbak az exponenciális szhe. esetében, mint a konstans szh.-nál, ha 0 < l / l S < ∞ . x

=e (1 + α ) 2

−x

1+α

⇒

x* = x * (α ) ≈

ES1-Köteg

Normált szakítóerő, (F*/Fs)

1 0,8 0,6 Pill. - Exp. Pill. - Konst. Alfa=1 - Exp.

0,4

Alfa=1 - Konst.

0,2

Alfa=0 - Exp. Alfa=0 - Const.

0 0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, (l/ls)

5.2.10. ábra. Az ES1-köteggel modellezett normált szakítóerő a közepes szálhossz függvényében, különböző kicsúszási tényező értékeknél, exponenciális szhe. és állandó szh. esetében [S82] 5.2.3.6. Szakítószilárdság ES2-köteg és exponenciális szálhosszeloszlás esetén

Az ES1-köteghez hasonlóan, az ES2-köteg vonatkozó várható, normált húzóerő-folyamata (F5.6. Függelék):

149

F (z) = FH 2 ( z ) = ES 2 FS

 2z   − 2z −  λ ( 1+ α )  + 1 α λ  λ , 0 ≤ z ≤1 − e e    α 2      (5.2.26)   = 2  − 2z  1 + α λ e λ ( 1+ α ) − 1 + 2 1 − z  e − λ  , 1 < z ≤ 1 + α   λ  1+ α    α 2        0 , 1 + α < z  A 5.2.11. ábra görbéi az ES2-kötegre számított átlagos húzóerő-folyamatok. A csúcsérték után egy alulról konkáv szakaszt tartalmaznak, ami a csökkenő kicsúszási ellenállás következménye. Exponenciális szálhosszeloszlás - ES2-köteg

Normált kötegerő, FH

0,5 α=1; λ=2 α=0; λ=2 α=1; λ=1 α=0; λ=1 α=1; λ=0.7 α=0; λ=0.7

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,5

1

1,5

2

Normált kötegnyúlás, z

5.2.11. ábra. Normált húzóerő a normált kötegnyúlás függvényében különböző kicsúszási tényező és átlagos szh. értékek mellett az ES2-köteg esetében [S82] A szálrendszer ES2-vel modellezett átlagos szakítóereje (F5.6. Függelék): FH 2* = FH 2 ( z*) = 1   − x* ( α )  − 2 2  ( 1 + α ) λ  e 1+ α − e − x* ( α )  = λ ( 1 + α ) α , λ < =   1+ α  α 2 x* (α )  2    ln( 1 + α ) α (5.2.27)  = 2 ( 1 + )  − 2 − 2 2 α λ  ( 1 + ) λ α  e − e λ , λ ≥ =   1+ α  α 2 x* (α )      ln( 1 + α ) α Ahol az x*=x*(α) a következő egyenlet könnyen kiszámítható megoldása: x* (1 + α )e1+α = e x*

⇒

x* = x * ( α ) =

1+α

α

ln( 1 + α )

(5.2.28)

Az 5.2.12. ábrán az (5.2.27) összefüggés grafikus reprezentációja látható. A ES2-kötegre vonatkozó folyamatos vonalú görbepár (α=0 és α=1) egy hasonló, de keskenyebb tartományt zár közre és kisebb szilárdsági értékeket szolgáltat, mint az ES1-kötegre vonatkozók a csökkenő kicsúszási ellenállás miatt. α→∞ esetében az (5.2.27) mindkét ága a pillanatszerű, egyidejű tönkremenetel (5.2.6) formuláját adja, de a λ≥0-ra az alsó ág értelmezett.

150

ES2-köteg Normált szakítóerő, (F*/Fs)

1 0,8 0,6

Pill. - Exp. Pill. - Konst.

0,4

Alfa=1 - Exp. Alfa=1 - Konst.

0,2

Alfa=0 - Exp. Alfa=0 - Konst.

0 0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, (l /ls )

5.2.12. ábra Az ES2-köteggel modellezett normált szakítóerő a közepes szálhossz függvényében különböző kicsúszási tényező értékek mellett exponenciális szhe. és állandó szh. esetében [S82] 5.2.3.7. Általánosított összefüggések a szakítószilárdság és az átlagos szálhossz között

A szakítóerő és szálhossz összefüggés általánosított alakja Az eredmények alapján exponenciális SZHE esetén is az (5.2.20)-hoz hasonló, mind az ES1, mind az ES2-re érvényes általános formula adható meg. A normált várható húzóerőfolyamat általánosított formája (ES1: i=1, ES2: i=2):  λ  2z   2 f i1  λ ,α  , 0 ≤ z ≤ 1     FH i ( z ) =  (5.2.29)  λ f  2 z , 2 ,α  , 1 < z ≤ 1 + α  2 i2  λ λ   0 , 1 + α < z ahol fij az értelmezési tartományukon belül differenciálható szakaszfüggények. A szálrendszer átlagos szakítóereje: 2  λ  2z *  λ  2 f i1  λ ,α  , z* < 1  2 f i1 ( x * ( α ),α ), λ < x * ( α )     FH i * = FH i ( z*) =  = (5.2.30) 2 2 λ 2 λ      f  ,α  , z* ≥ 1  f  ,α  , λ ≥  2 i1  λ   2 i1  λ  x* (α ) ahol λ = l / l S és x* = 2 z * / λ a következő, csak α-tól függő egyenlet megoldása: df i1( x ) x* = x * ( α ) : =0 (5.2.31) dx Nyilvánvaló, hogy az (5.2.30)-al adott folytonos és differenciálható görbe első része egy egyenes szakasz bármely esetben, míg a második szakasz 1-hez tart λ→∞ esetén. Figyelembe véve az állandó szh.-ra vonatkozó (5.2.20) hasonló összefüggéseket is, az (5.2.30) mind az állandó szh.-ra (konst.), mind az exponenciális szhe.-ra (exp.) érvényes formában általánosítható (i=1, 2):

151

2 λ  2 Gi ( α ), λ < µ ( α )  (5.2.32) FH i * = f i ( λ ,α ) =   H ( λ ,α ), λ ≥ 2  i µ( α ) Ahol a Gi(α) és Hi(α) (i=1,2) szakaszfüggvények és a µ(α) állandó: ∞, pill., exp λ  λ  α f , , exp .     2 i1 2 (α → ∞ )  f ( x * (α ),α ), exp .     µ (α ) =  Gi (α ) =  i1 H i (λ , α ) =  C (α ), konst. 1 − 1 , konst.  x * (α ), ESi, exp .  C (α )λ C (α ), konst. (5.2.33)

5.2.3.8. Szakítószilárdság becslése véges szálhossz szórás esetén Feltételezzük, hogy a szálhossz várható értéke ( E( l ) = l ) és négyzetes relatív szórása (Vl) véges értékek, de a szálhossz-eloszlás függvény ismeretlen. Láttuk, hogy az állandó szh. ( l = l o , Vl = 0 ) és az exponenciális szhe. ( Vl = 1 ) az azonos várható értékű Erlang eloszlások extrém eseteiként tekinthetők, továbbá az egyirányú szálrendszer szakítószilárdságát ( f ) exponenciális eloszlással számítva ( f exp ) egy adott károsodási mód (ES1 vagy ES2, és α) esetén nagyobb értékeket szolgáltat az állandó szh.-al ( f const )

számoltnál, ha a normált szálhossz véges ( 0 < λ = l / l S < ∞ ). A szilárdsági értékek megegyeznek, ha λ=0 vagy λ→∞. Nyilvánvaló, hogy a két eredmény konvex lineáris kombinációja, mint egyfajta súlyozott átlagérték, lehetőséget ad arra, hogy megbecsüljük a szálrendszer szilárdságát 0 < Vl < 1 esetén is:

F1* ( λ ,α ) = w( α ) f exp ( λ ,α ) + (1 − w( α )) f const ( λ ,α ) (5.2.34) FS ahol 0≤w(α)≤1 a súlyozó tényező. Egyéb információ hiányában, például az ismert relatív szórás használható súlyozó tényezőként: 0 ≤ w( α ) = Vl ≤ 1 (5.2.35) és ezzel a becslő formula: f ( λ ,α ) = Vl f exp ( λ ,α ) + (1 − Vl ) f const ( λ ,α ) (5.2.36) f ( λ ,α ) =

5.3. Egyirányú szálfolyam várható húzóerő-folyamata véges befogási hosszak esetén Véges befogási hosszaknál az l átlagos szálhossz összemérhető mértékű az Lo befogási hosszal, azaz a tekintett szálfolyam szakasszal. Ilyen esetekre vonatkozik az (5.1.13) általános összefüggés, amely a null-, egy- és két-befogású szálakat is figyelembe véve adja meg a szálfolyam várható húzóerő-folyamatának alapformuláját, az Lo/2 koordinátájú középkeresztmetszetet tekintve a tönkremenetel helyének. Ekkor – az (5.1.6.) és (5.1.7) alapján – mind a null-, mind az egybefogású szálak esetében is, általánosan az la aktív szálhossz és az lS kritikus tapadási hossz (5.1.10) viszonya szabja meg a tönkremenetel módját, ahol: 152

l + − Lo / 2 , egybefogású szál (5.3.1) la =  lm = min( l − ,l + ), nullbefogású szál A kicsúszás és szakadás viszonylatát az ES1-, illetve ES2-kötegek automatikusan, valószínűségi alapokon kezelik, így a vonatkozó (5.2.8) és (5.2.13) összefüggések használhatók mind null-, mind az egy-befogású szálak részkötegeinél is, amelyeknél csak az εb kicsúszási határnyúlás eloszlásfüggvénye különbözik. Az (5.2.10) összefüggés idevágó alakja: Fb = fbla = Kε b (5.3.2) Az (5.3.1) alapján a null-befogású szálakra az εb eloszlásfüggvénye az lm aktív szálhosszal adható meg az (5.2.9) szerint, míg az egy-befogásúakra az l+ szakállhosszal fejezhető ki az (5.3.1) és (5.3.2) segítségével (S1=S):  f (l + − L / 2)   L L Kx  Kx  f l  o  = S  o +  Qε b ( x) = P(ε b < x ) = P b a < x  = P b < x  = P l + < o +   K 2 f 2 f  K  b b       (5.3.3) A fentiek alapján, a véges Lo befogási hosszúságú, egyirányú szálfolyamot illetően, ESköteggel a két-, illetve a null- és egybefogású szálak részkötegeit például ES1 kötegekkel (az (5.2.8) formulába az (5.3.3)-at behelyettesítve) modellezve – figyelembe véve, hogy a fajlagos tapadási ellenállás általában különbözik a null- és egy-befogású szálaknál (fbo≤fb1) –, az egy szálra és a szálfolyam gyenge helyére (x=L/2) vonatkozó, várható húzóerő-folyamat az (5.1.13) részletezésével kapható (S=S1) (F5.7. Függelék): F1(u , Lo / 2) = K u 1 − Qε S (u ) (1 − S ( Lo ) ) +

[(

)

    u   Lo Ku    Lo Kx   L    + ∫ x 1 − Qε ( x) dS    S ( Lo ) − S ( o )  + + 2 u 1 − Qε S (u ) 1 − S  + + S   fb1   u fb1   2   2  2    1+α        u    2 Ku    2 Kx   Lo         +  u 1 − Qε S (u ) 1 − S  + x 1 − Qε S ( x) dS   2 S ( ) − S ( Lo )  fbo   u∫ fbo   2        1+α    (5.3.4) Az (5.3.4)-nek az 5.2. fejezetben tárgyalt, nagy befogási hosszakra vonatkozó esethez hasonló elemzésével feltárható a befogási hossznak és az átlagos szálhossznak, továbbá a szálak közötti adhéziónak a véges szálfolyam szilárdságára gyakorolt hatása.

(

(

)

)

(

)

(

)

5.4. Alkalmazás lineáris polimer szálakra Az eredmények alkalmazhatóságának bemutatásához tekintsünk molekulaláncokból – mint egyfajta elemiszálakból – felépülő orientált polimereket! Egy, rendezett részben szekunder kötésekkel befogott molekulalánc kihúzásakor a kötések száma fokozatosan csökken, ezért e folyamat ES2-köteggel modellezhető (5.4.1. ábra). Az 5.4.2. ábrán izotaktikus polipropilén (PP) szálakon Geleji [K22] által különböző – lényegében a lánchosszal arányos – számszerinti átlagos molekulatömegek (Mn) mellett mért szakítószilárdsági értékek, valamint az állandó szálhosszra (5.4.2.a. ábra), illetve

153

exponenciális szálhossz eloszlásra (5.4.2.b. ábra) vonatkozó elméleti, ezen adatokhoz illesztett ES2-görbe látható a pillanatszerű károsodások és az ES2-köteg (α=0 and α=1) görbéi által bezárt tartományban. Molekula lánc

Kihúzódás

Szekunder kötés

5.4.1. ábra. Egy molekulalánc kicsúszása a környezetéből

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

ES2-köteg: Ms=14100; Qs=13.80 cN/dtex

Normált szilárdság (F*/Fs=Q*/Qs)

(F*/Fs=Q*/Qs)

Normált szilárdság

E S 2 köteg: M s= 9660; Fs= 12,707 cN / dtex

Mérés Áll. egyidejű ES2: alfa=1 ES2: alfa=0,36 ES2: alfa=0

0

2

4

6

8

10

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Mért Pill. - Exp. Alfa=1 - Exp. Illesztve: Alfa=0.32 - Exp. Alfa=0 - Exp. Illesztve: Alfa=0.36 - Konst.

0

2

4

6

8

10

Normált molekula tömeg (L/Ls=M/Ms)

Normált molekulatömeg (L/Ls=M/Ms)

a.) b.) 5.4.2. ábra. PP szálak normált szakítószilárdsága a normált molekulatömeg függvényében és az illesztett ES2-görbe állandó szh. (a) és exponenciális szhe. (b) esetén [S82] Az (5.2.19) és (5.2.27) összefüggések illesztéséből meghatároztuk a normáló tényezőket, azaz a molekulaláncok kritikus tapadási hosszát, illetve tömegét (MS), a kritikus molekulatömeget (Mcrit=2MS) és az átlagos fajlagos szakítószilárdságot, valamint a kicsúszási tényezőt (5.4.1. táblázat). A normáló tényezők a modellrendszer alapjellemzői. A közelítő ES2-görbék a legkisebb négyzetek módszerével voltak illesztve. Az illesztés jósága R2=0.92, illetve R2=0.91 volt az állandó szh., illetve az exponenciális szhe. esetében.

Szerkezeti jellemzők

Modellparaméterek Állandó SZH Exponenciális SZHE Kritikus adhéziós tömeg, MS 9660 14100 Kritikus molekulatömeg, Mcrit 19320 28200 Fajlagos szilárdság, QS [cN/dtex] 12.71 13.80 0.36 0.32 Kicsúszási tényező, α 5.4.1. táblázat. Az ES2-köteg jellemzőinek a PP szálak szakítószilárdsági adataihoz való illesztéséből kapott modellparaméterek A mért adatok és a kapott normáló tényezők egy modellrendszert határoznak meg, ami a vizsgált PP szálak átlagos jellemzőit modellezi. Az FS identifikált értéke kb. 127…138 km szakítóhossznak felel meg, ami jelentősen túlhaladja a PP szálak szokásos szilárdságát (32-72 km [K8]), azonban sokkal kisebb a PP láncok elméleti szilárdságánál (≈1290 km [K81]). Mindez mégis reálisnak minősíthető, mivel a modellrendszer ama tényt reprezentálja, hogy sem a vizsgált PP szálak nem tökéletes kristályok, sem a molekulaláncok nem egyirányúak. Az illesztésből kapott paraméterek segítségével a következő összefüggés adható meg a mérés eredeti koordináta rendszerében állandó szh. esetén:

154

2M S C( α )  Q S 4 M M n , M < C( α ) S 1+α  (5.4.1) Qc * =  ; C( α ) = + α 2   M 2 M S S Q 1 − , M ≥  S  C( α )M n  C ( ) α  illetve exponenciális szhe. esetén:  (1 + α )−1 / α M , M < 2M S Q S n 2M S µ( α )   2M S  Qe * =  ; µ( α ) = ln(1 + α )( 1+ α ) / α  − 2M S −   2M S  QS 1 + α M n  e ( 1 + α )M n − e M n  , M ≥  2M µ( α )   S α     (5.4.2) Az (5.4.1) és (5.4.2) egyenletek lineáris kombinációja egy adott súlyozó tényezővel (w): Q* = wQe * +( 1 − w )Qc * (5.4.3) Az 5.4.3. ábrán a Vf=0 és Vf=1 relatív szórásokra vonatkozó (5.4.1) és (5.4.2) összefüggéseket szemléltető szaggatott görbék egymáshoz közel haladnak. Ez azt jelzi, hogy a w=0.5 súlyozó tényezővel számolt konvex lineáris kombinációjuk (folyamatos görbe) jól használható egy valós 0
ES2 illesztése PP száladatokhoz 12 10 8 6 4

Mért Exp. szhe., Alfa=0.32 Konvex Lin. Kombináció, Fi=0.5 Állandó szh., Alfa=0.36

2 0 0

2

4

6

8

10

12

Átlagos molekulatömeg (Mn*10^4)

5.4.3. ábra. PP szálak mért fajlagos szakítószilárdsága az átlagos molekulatömeg függvényében és az illesztett ES2-görbék állandó SZH, illetve exponenciális SZHE esetén, valamint ezek konvex lineáris kombinációja [S82] A (0, 120000) molekulatömeg tartományban kapott legnagyobb értékhez viszonyított maximális differencia a két illesztett görbe között kb. 3.6%-ra adódott. Következésképpen ezen különbség az illesztett görbék és lineáris kombinációjuk között 1,8%-ra tehető.

5.5. Alkalmazás egyirányú szálakkal erősített kompozitokra Polimer mátrixok erősítő anyagaként olyan szálakat választanak, amelyek szakítószilárdsága (σS) – általában jelentősen – nagyobb a mátrixénál (σm). Ugyanakkor a nagyobb szilárdság általában kisebb szakító nyúlást von maga után. Másrészt kívánatos, ha az erősítő szál állandó szakító nyúlása (εS= ε S ) kisebb a mátrixénál (εm), mivel a szálak szakítószilárdsága ez esetben használható ki teljes mértékben nyúlás típusú terhelés esetén. Rövidszálas kompozitoknál ezen kihasználás csak részleges.

155

5.5.1. Rövidszálas kompozit rudak jellemzői Az 5.5.1. ábra egy rövidszálas kompozit rúd egy szakaszát, A keresztmetszetét és a szokásos szál/mátrix modelljét, valamint egy szál és mátrix környezete (burka) alkotta, szálszerű kompozit elem, mint reprezentatív térfogati elem Ao keresztmetszetét szemlélteti. Tegyük fel, hogy n számú, A1 átlagos keresztmetszetű szál metszi a rúd bármely keresztmetszetét: A A AI = nA1 , A = AI + AII = nA1 + AII , Ao = = A1 + II = A1 + A2 (5.5.1) n n ahol AII és A2 a mátrix keresztmetszete a rúdban, illetve a kompozit elemben. Szálak Kompozit elem

AI

A1 A0 A

Mátrix

A2

AII A

5.5.1. ábra. Rövidszálas kompozit rúd modellje és kompozit eleme [S83] Az L hosszúságú kompozit rudat általában a szál és mátrix részek párhuzamos kapcsolásának tekintik, amelyek egészen a szétválásig vagy törésig együttdolgoznak, ezért a kompozit rúdra ható F húzóerő, illetve σ húzófeszültség is ezen két résznek megfelelő komponensekre bontható mind a kompozitban, mind annak elemében: F F A F A σ = = I I + II II = ϕ I σ I + ϕ II σ II = ϕ1σ1 + ϕ2σ 2 (5.5.2) A AI A AII A ahol ϕi a szálak és a mátrix térfogati részaránya (i∈{I, II} vagy i∈{1, 2}), amely a kompozitban és a kompozit elemben – a fenti elemdefiníció miatt – azonos, így például: V AL A A ϕ I = I = I = I = 1 = ϕ1 ϕ1 + ϕ2 = 1 (5.5.3) V AL A Ao Az előbbiekhez hasonlóan, célszerű normálni a kompozitban ébredő feszültségeket, de ez esetben az állandó szakítóerejük (FS) helyett a szálak állandó szakítószilárdságával (σS): σ σ F1 F Kε f F = ϕ1 + (1 − ϕ2 ) 2 , σ S = S = S = b lS , σ1 = 1 (5.5.4) σS FS σS A1 A1 A1 A1 ahol F1 az egy szálra vonatkoztatott, az erősítő szerkezetre ható várható húzóerő, valamint fb a szál hosszegységére eső kicsúszási ellenállás és lS a kritikus tapadási szálhossz. Szálerősített kompozitnál az fb, az (1.3.93) Kelly-Tyson egyenlet alapján – pl. d átmérőjű, kör keresztmetszetű szálakra – a τS szál/mátrix határfelületi tapadási szilárdsággal arányos: lS σ S 4τ 4A = ⇒ σ S = S lS ⇒ fb = 1 τ S = dπτ S (5.5.5) d 4τ S d d Megjegyzendő, hogy a szokásos Kelly-Tyson egyenlet [K16,K23] értelmében a kritikus szálhossz lcrit=2lS. Az (5.5.4) baloldali egyenlete célszerűen kombinálja a normált erőt és feszültséget, mivel – a korábbi eredmények felhasználását illetően – a szálakra az egy szálra vetített, míg a mátrixra a keresztmetszetre vonatkoztatott fajlagos erő alkalmazása előnyös.

156

5.5.2. Rövidszálas kompozitok várható szakítófolyamata és szilárdsága állandó szálhossz esetén Legyen az állandó lo hosszúságú szálak (alsó index: S) és a mátrix (alsó index: m) állandónak tekintett szakító nyúlása és szilárdsága rendre εS<εm és σS>σm, valamint a mátrix húzókarakterisztikája lineárisan rugalmas és az állandó értékű Em húzómodulussal adott: σ 2 ( u ) = Emu (5.5.6) Feltéve, hogy a kompozit nyúlás (u) megegyezik a szálakéval és a mátrixéval, az egyirányú rövidszálas kompozit várható húzófeszültség-folyamata az (5.5.4)-el írható le a kompozit nyúlás függvényében: σ (u ) σ (u ) F1(u ) F1(u ) E u = ϕ1 + (1 − ϕ1 ) 2 = ϕ1 + (1 − ϕ1) m (5.5.7) σS FS σS FS Kε S Modellezzük az erősítő szálak rendszerét egy ES2-köteggel, így az (5.2.18) szerinti húzóerő-folyamatot behelyettesítve az (5.5.7)-be, majd az (5.2.16) jelöléseket alkalmazva kapjuk (F5.8. Függelék):   ϕ1 z 2 + α   , 0 ≤ z < min( b ,1 )  z  ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − b 2 ( 1 + ) α     2 ϕ 1 + α  min( b ,1 ) − z  + ( 1 − ϕ )κz , 1   1 1 + α  (5.5.8) σH ( z ) =  α 2b  1 1 1 min( b , ) ≤ z < min ( b , ( + ) min( b , ) ) α  m   ( 1 − ϕ1 )κz , min(bm , ( 1 + α ) min( b ,1 )) ≤ z < bm  0 , egyébként ahol b a normált szálhossz (lM a maximális aktív szálhossz) és bm a szál/mátrix szakítónyúlás arány: ε l l ε b = bM = M = 0 bm = m > 1 (5.5.9) εS εS lS 2l S továbbá az EmA1 szorzat a mátrix átlagos szálkeresztmetszetre számolt húzómerevsége, így a szálmátrix merevségi arány egyenlő a szál-mátrix modulus aránnyal (κ): E A E (5.5.10) κ= m 1= m K Ef míg Ef a szál húzórugalmassági modulusa és K=EfA1. A fentiekkel a szál-mátrix szilárdság arány is kifejezhető: σm E A = κbm = m 1 bm (5.5.11) σS K Az 5.5.2. ábrán a szakítófolyamat (5.5.8) összefüggés szerinti, az egyirányú rövidszálas kompozitokat jellemző – az 5.2. fejezet eredményeire alapozott – elvi, nem normált alakja látható.

157

σ

σc σsz

σ

Kompozit

σc

ES-szálfolyam Mátrix

Kompozit ES-szálfolyam

σsz

Mátrix

σm

σm

u 0

εbM εs

u 0

εm

εs εbM

εm

a.) b.) 5.5.2. ábra. Egyirányú rövidszálas kompozit elvi húzóerő-folyamata εbM<εS (a), illetve εS<εbM (b) esetén (σm, σsz és σc rendre a mátrix, az erősítő szerkezet és a kompozit szilárdsága)[K83] Az ES2-köteghez hasonlóan, a kompozit köteg szakítószilárdsága (σC) az (5.5.8) első szakaszának szuprémuma és a második és harmadik szakasz csúcsértékei maximumával adható meg (F5.8. Függelék): 2    bm  1+α    max sup σH I ( z ), ϕ1 b + − b min( , 1 ) − ( 1 ) ϕ κ 1 m   1 + α  α 2b     σ C  (5.5.12) = 1 < bm < (1 + α ) min(b,1) σS  bm ≥ max (1, (1 + α ) min(b,1) ) max (sup σH I ( z ), (1 − ϕ1 )κbm ),    Amelyből látható, hogy kis száltartalom (ϕ1) esetén a mátrix szilárdsága dominál.

5.5.3. A szálhossz befolyása termoplasztikus mátrix esetén A szén-, len-, üveg- és aramid szálak átlagos szakadási nyúlása rendre 1-1,8%; 3-4%; 3-4,8%, és 3-5%, míg a telítetlen poliészter (UP) és az epoxi gyanta mátrix anyagoké rendre 2% és 3%, valamint a termoplasztikus PP mátrixé szálgyártáshoz 15-90% és tömbanyagok gyártásához 150% [K8,K16]. Ezért, termoplasztikus mátrixú kompozitok esetén világos, hogy bm>2, így 0≤α≤1-re az is igaz az (5.5.12) alapján, hogy:

ε bm = m > 2 ≥ max(1, ( 1 + α ) min( b ,1 )) εS

(5.5.13)

Ez azt jelenti, hogy mivel egy szálerősített rendszerben a mátrix szilárdsága kisebb, mint a szálaké, így ezt az (5.5.13)-al összevetve kapjuk, hogy a modulus arány ki kell elégítse a következő feltételt: E A E 1 1 σm = κbm < 1 ⇒ κ = m 1 = m < < (5.5.14) σS K E sz bm 2 Következésképpen, termoplasztikus mátrixú kompozitoknál elegendő az (5.5.13) egyenlőtlenségnek megfelelő bm értékeket (bm>2) tekinteni az (5.5.14) egyenlet alkalmazásánál. Az (5.5.12)-ben a maximum létezésének szükséges feltétele, az alább definiált B(ϕ1,α) kifejezésre vonatkozó egyenlőtlenség fennállása (F5.8. Függelék): 2 +α ϕ1 2 +α 1+α = B (ϕ1, α ) ≤ max(b,1) < (5.5.15) ϕ1 + (1 − ϕ1)κ 1+α

158

Belátható, hogy a (5.5.15) feltétel a 0≤ϕ1B≤ϕ1≤1 intervallumban teljesül, ahol ϕ1B az α és κ paraméterektől és a b szálhosszaránytól függő alsó száltartalom határ (F5.8. Függelék). Egyébként a görbe ezen ága monoton növekedő lesz és a tartományi maximum a felső intervallumhatárra tolódik (5.5.2.b. ábra). A fentiek alapján az (5.5.12) kifejezhető a normált szálhossz függvényeként (F5.8. Függelék):   [ϕ + (1 − ϕ )κ ]2 1 + α l  1 0 , (1 − ϕ )κb , l0 < 2 B (ϕ ,α ) max 1 1 m  1  ϕ1 2 + α 4lS lS σC    = (5.5.16) σS     α 2 l l + 0 S max ϕ1 + (1 − ϕ1)κ − ϕ1 1 + α l  , (1 − ϕ1)κbm , l ≥ 2 B (ϕ1,α ) 0 S    A 5.5.3. ábra a kompozit (5.5.16) szerinti várható szakítószilárdságát szemlélteti a normált szálhossz függvényében, rögzített száltartalom (ϕ1=60%), kicsúszási tényező (α=1), merevség arány (κ=0,02) és szakítónyúlás-arány (bm=10) esetére. Kompozit (ϕ1=0.6; α=1; bm=10; κ=0.02) Normált szilárdság, σ/σs

1

Szálas szerkezet I. szakasz Szálas szerkezet II. szakasz Mátrix Kompozit

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

2

4

6

8

10

Normált szálhossz, L/Ls

5.5.3. ábra. Rövidszálas kompozit szálszilárdsághoz viszonyított szakítószilárdsága a normált szálhossz függvényében rögzített száltartalom mellett [K83] A mátrix szilárdsága dominál kis szálhosszaknál. Nagyobb szálhosszak esetén a normált szilárdság, mint relatív szám, a száltartalom értékéhez tart.

5.5.4. A száltartalom hatása termoplasztikus mátrix esetén Az (5.5.16) szerinti normált kompozit szilárdságot itt a száltartalom (0≤ϕ1≤1) függvényének tekintjük rögzített szálhosszarány (b) mellett:    2 +α 1  , (1 − ϕ1 )κbm , 0 ≤ ϕ1 ≤ ϕ1B max ϕ1 + (1 − ϕ1 )κ − ϕ1  1 + α 2b      σC  (5.5.17) =  [ϕ + (1 − ϕ )κ ]2 1 + α b  σS  1 max 1 , (1 − ϕ1 )κbm , ϕ1B < ϕ1 ≤ 1    2 + 2 ϕ α 1     ahol a ϕ1B szakaszhatárt a rögzített b, α és κ határozzák meg (F5.8. Függelék). Az 5.5.4. ábra a kompozit szilárdságát a száltartalom függvényében mutatja az (5.5.17) összefüggésnek megfelelően rögzített szálhosszarány (b=1,4), kicsúszási tényező (α=1), merevségarány (κ=0,02) és nyúlásarány (bm=10) mellett.

159

Kompozit (b=1.4; α=1; bm=10; κ=0.02) Normált szilárdság, σ/σ s

0,5 Szálas szerkezet I. szakasz Szálas szerkezet II. szakasz Mátrix Kompozit

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Száltartalom, ϕ1

5.5.4. ábra. Rövidszálas kompozitok egy szálra vonatkoztatott szilárdsága és a száltartalom kapcsolata rögzített szálhossz mellett [K83] Az adott paraméterek mellett a szakaszhatár-száltartalomra ϕ1B=22% adódik. A minimális szilárdság ϕ1o=28% száltartalomnál található, míg a kompozit szilárdsága ϕ11=40% száltartalom felett lépi túl a mátrixét. Ezen esetben a szokásos kompozitok szilárdságváltozását a szálrendszer szilárdság-függvényének első szakasza alig befolyásolja.

5.5.5. A túl kicsi mátrixtartalom hatása a szál-mátrix tapadásra Némely esetben a szál-mátrix határfelületi tapadás hatékonysága erősen csökken, amikor a mátrixtartalom egy bizonyos határ (Φ m) alá megy. Ez azzal magyarázható, hogy a mátrixtartalom egy bizonyos minimuma szükséges ahhoz, hogy minden szál felületén egy minimális vastagságú bevonat képződjön a megfelelő tapadás biztosításához. Ha ez a bevonat egy molekula vastagságú, és ez mindenütt biztosítható, úgy ezen hatás elhanyagolható. Másfelől, a kompozit technológia hibái okozhatják, hogy egy bizonyos mátrixtartalom alatt az nem tudja biztosítani a megfelelő mátrix vastagságot minden szál teljes hossza mentén. Egyre több szál, mind több és nagyobb helyen maradhat mátrixbevonat nélkül. E hatás modellezéséhez a levezett formulák jól alkalmazhatók. Tegyük fel, hogy a tapadási hatékonyság csökkenése a ϕ1m=1-Φ m száltartalom felett ekvivalens az fb fajlagos tapadóerő csökkenésével, és ha ϕ1→1 azaz fb az fbo≥0 határértékhez tart, ami egy szálas, mátrixanyag nélküli rendszerben a szál-szál tapadást jelenti. A megfelelő kapcsolat a következő hiperbolikus formulával írható le:  f bo , ϕ1 → 1 f Φ + f b1 ( 1 − ϕ1 ) 1 + βΦ m − ϕ1 f b = bo m = f b1 → (5.5.18) Φ m + 1 − ϕ1 1 + Φ m − ϕ1  f bc , ϕ1 → 0 ahol fb1 a szál-mátrix tapadás egyfajta ideális értéke, míg fbc a reális szál-mátrix tapadás elegendően nagy mátrix tartalomnál és β a tapadáscsökkenés mértéke a mátrix nélküli állapotban: f Φ + f b1 1 + βΦ m f f bc = bo m = f b1 ≤ f b1 0 ≤ β = bo ≤ 1 (5.5.19) Φm +1 1+ Φm f b1 Az (5.5.18) összefüggés az (5.5.17) egyenletben a b relatív szálhossz módosításával valósítható meg. A tapadás változásával a kritikus tapadási hossz (lS) a következőképpen módosul: 1 + Φ m − ϕ1 F F 1 + Φ m − ϕ1 lS = S = S = l Sc (5.5.20) 1 + βΦ m − ϕ1 fb f b1 1 + βΦ m − ϕ1 így a b kifejezése: 160

1 + βΦ m − ϕ1 l l 1 + βΦ m − ϕ1 b= 0 = 0 = bc 2l S 2l Sc 1 + Φ m − ϕ1 1 + Φ m − ϕ1

(5.5.21)

ahol

FS l bc = 0 (5.5.22) f b1 2l Sc A fent tárgyaltak alapján az (5.5.17) módosított formája:   [ϕ + (1 − ϕ )κ ]2 1 + α bc 1 + β Φ m − ϕ1  1 max 1 , (1 − ϕ1 )κbm , ϕ1 > ϕ1B   ϕ1 2 + α 2 1 + Φ m − ϕ1     σC = σS  max ϕ + (1 − ϕ )κ − ϕ 2 + α 1 1 + Φ m − ϕ1 , (1 − ϕ )κb , 0 ≤ ϕ ≤ ϕ 1 1  1 m 1 1B  1  1 + α 2bc 1 + β Φ m − ϕ1     (5.5.23) Az 5.5.5. ábra a szilárdság és száltartalom összefüggését szemlélteti az 5.5.4. ábrán bemutatott kompozitra nézve, amikor az (5.5.23) szerinti tapadáscsökkenés hat. l Sc =

Normált szilárdság, σ/σ s

(bc=1.4; β=0.3; Φ m=0.05; α=1; bm=10; κ=0.02) 0,5

Szálas szerkezet I.szakasz Szálas szerkezet II. s zakas z Mátrix Kompozit

0,4 0,3 0,2 0,1 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Száltartalom, ϕ1

5.5.5. ábra. Rövidszálas kompozitok szilárdsága a száltartalom függvényében a tapadáscsökkentő hatás esetén [K83] Az 5.5.5. ábrán, a tapadáscsökkenés hatásaként, a minimum utáni, eredetileg egyenes szakasz alulról konkávvá válik és egy lokális maximum képződik. Az adott paraméter értékek mellett, ez 86% száltartalomnál valósul meg és e maximum értéke (33%) jelentősen kisebb az 5.5.4. ábrán a 100% száltartalomhoz tartozó maximumnál.

5.6. Az eredmények értékelése Az 5. fejezetben kidolgozott modell az egyirányú szálas szerkezetek szilárdságát és az átlagos szálhossztól való függését írja le különböző tönkremeneteli módok esetén, felhasználva egyrészt az irodalomban elterjedt szemléletű pillanatszerű törés modellt, másrészt az ES-köteg speciális változatait a fokozatos károsodás újszerű leírásához, tetszőleges szálhossz-, illetve szálszakító nyúlás eloszlások és véletlen szálhúzó merevség mellett. Állandó szálszakító nyúlás, húzómerevség és szálszakító erő feltételezésével, állandó szálhossz és exponenciális szálhosszeloszlás eseteire meghatározott várható húzóerőfolyamatok alapján, egyszerű, a tárgyalt tönkremeneteli módok mindegyikére, azaz a pillanatszerű és egyidejű, valamint az ES1, illetve ES2 típusú tönkremeneteli módokra érvényes, analitikus formulákat vezettünk le az átlagos szakítószilárdság és az átlagos

161

szálhossz összefüggésének leírására. Amennyiben a szálhossz relatív szórása 0 és 1 közé eső érték, úgy újszerű becslésként az állandó szálhosszra, illetve exponenciális szálhosszeloszlásra kapott megoldások konvex lineáris kombinációjának alkalmazása javasolható. Az eredmények gyakorlati alkalmazhatóságát PP szálak szakítószilárdsága és átlagos molekulatömege közötti összefüggés identifikációjával mutattuk be, ami további mérések nélkül lehetővé tette az effektív kritikus molekulatömeg és a molekulaláncok effektív szilárdságának becslését. A rövidszálas szálfolyamokra kapott eredmények alapján egyszerűen kezelhető formulákat vezettünk le az egyirányú, állandó hosszúságú szálakkal erősített kompozitok szilárdságának és a túl kicsi mátrixtartalom esetén fellépő tapadáscsökkenés hatásának becslésére. Az (5.5.16) eredményhez hasonló formulák szerepelnek az irodalomban is [215, K12, K23, K42], ezek azonban valójában a pillanatszerű és egyidejű szálszakadások és kicsúszások feltételezésével születtek, mint például a Callister [12] könyvében ajánlott (1.3.104) összefüggés, és nem veszik figyelembe a károsodás fokozatos vagy speciális (α) jellegét, így az (5.2.5) formula alkalmazásának tekinthetők. Más szemléletű modellre alapozott Wetherhold [215] (1.3.106) eredménye, amely szerint a rövidszálas kompozit átlagos szilárdsága hatványfüggvény szerint nő az állandónak tekintett szálhosszal. E formula nem veszi figyelembe a szál/mátrix adhéziót és szálkicsúszást, valamint e szerint a szilárdság minden határon túl nő, ha a szálhossz tart a végtelenbe, ami nyilván nem lehetséges.

162

6. SODROTT RÖVID SZÁLKÖTEGEK VÁRHATÓ HÚZÓERŐFOLYAMATÁNAK MODELLEZÉSE

6.1. A sodrott szálköteg modell jellemzői A sodrott szálköteget helix szerkezetűnek tekintjük, ahol a szabályos csavarvonal alakú szálak hengerrétegeket alkotnak.

6.1.1. Hengerréteges fonalmodell A sodrott szálkötegek helix típusú, hengerréteges modellszerkezetének előállítását a 6.1.1. ábra illusztrálja.

6.1.1. ábra. Helix típusú fonalszerkezet előállítása kompozit sík-szálkötegekből [S50] A helix típusú fonalszerkezet kialakítása hengerrétegenként történik. Az egyes rétegek kiinduló állapotukban általában véve kompozit síkkötegek (ld. 4. fejezet), melyeket nyírás és hengerréteggé hajlítás után egyesítünk réteges helix struktúrává. Az egyes rétegek nyírási szögét a modellezendő helix struktúra adott sugarához tartozó rétegsodrat határozza meg, paraméterezi. Itt az ε szálnyúlás (3.1.6) kifejezése kibővíthető a fonás során alkalmazott

163

sodrásból származó maradékfeszültség figyelembe vételéhez, feltéve, hogy az egy E-, vagy EH-szálköteg sodrásából származik (F6.1. Függelék): 2

 e + ∆e   ( 1 + u ) +  o Lo  l ( 1 + u )2 + To2W 2 ( u )  ε ( u ) = − 1 = (1 + εo ) − 1 = (1 + εo ) − 1 (6.1.1) 2 2 2 lo 1 + p T   e o 1 + p 2  o   Lo  2

amelyben tehát lo a nyújtatlan szál hossza, előfeszítése εo=0 (a fonás előtt), az Lo befogási hosszúságú szálköteg relatív nyúlása u=∆L/Lo. Az ’e’ ferdeség az eo kezdeti, a fonás révén kialakult részből, amelynek PM=(1-p)-ed részén (0≤p≤1) rugalmas maradó nyúlás keletkezett, valamint a nyújtás során létrejött ∆e ferdeségváltozásból (kontrakció) áll. A 6.1.2. ábra szemlélteti az egyedi szál helyzetét a fonás előtt és után, illetve a hengerrétegben.

6.1.2. ábra. Sík szálköteg, illetve hengerréteg köteg egy szálának helyzete, alakváltozása és a szálerő összetevői [S48] A számítási modellben – az egyszerűség kedvéért – a mindkét végén befogott szálakból álló ferde E-kötegeket, azaz determinisztikus ferdeségű ET-kötegeket alkalmazunk, ahol az εo=0, valamint eo és e=eo+∆e paraméterezett – a hengerréteg r sugarától függő – ferdeség- vagy nyírásérték, amelyek fajlagosan a helix modellben a e e T = tgβ ( r ) = = 2rπs , To = tgβ ( ro ) = o = 2roπs , TG = 2 Roπs = tgβ ( Ro ) (6.1.2) Lo Lo sodratparaméterrel adhatók meg, ahol ’s’ a fajlagos sodrat az (1.2.58) szerint és ro a hengerréteg, míg Ro a hengeres fonal sugara nyújtás előtt. Ennek megfelelően, e modell a sodrott filamentfonalak, vagy a font fonalak olyan rövid szakaszainak modellezésére alkalmas, amelyekben az egy- vagy null-befogású szálak részaránya elhanyagolhatóan kicsi a két-befogásúakéhoz képest. Feltesszük, hogy a szálak lineárisan rugalmasak, a K húzómerevségük állandó, de a véletlen εS szakítónyúlás értéknél elszakadnak. Az ET-köteg (3.3.60) formulájának megfelelően, az egyes szálakban ébredő húzóerő: F ( u , r , ro ,T ) = K ε ( u ,r ,ro ,T ) + χ (ε ( u , r , ro ,T ),ε S ) (6.1.3) Az F szálerő felbontható az FY kötegtengely- és az FT tangenciális irányú komponensekre az r sugártól függő β=β(r) sodrási vagy nyírási szög ismeretében: FY = Fcosβ; FT = Fsinβ (6.1.4) ahol a cosβ és sinβ értékek a szál vetületi hosszaiból számíthatók (3.2.2. fejezet). Ugyancsak kiszámítható a szálerő okozta csavaró nyomaték is: (6.1.5) M = rFT

164

Ezeket felhasználva, a sodrott modellköteg (f = fonaltest) eredő, egy szálra, vagy anyagkeresztmetszetre átlagolt húzóereje, illetve nyomatéka: R

F f ( u , Ro ,T ) =

1 E[FY ( u , r , ro ,T )]dΛ f ( r ) Λf (R)∫

(6.1.6)

0 R

M f ( u , Ro ,T ) =

1 rE [FT ( u ,r ,ro ,T )]dΛ f ( r ) Λf (R)∫

(6.1.7)

0

ahol u a kötegnyúlás, Ro és R, illetve ro és r a sodrott köteg külső-, illetve egy belső sugara a húzás előtt és közben (6.1.3. ábra), továbbá dΛf(r) – az alapértelmezés szerint - az r sugarú hengerrétegben található szálak száma: (6.1.8) dΛf(r) = ξn(r)dA(r) = ξn(r)2rπdr és ξn(r) a szálszám-sűrűség. Ekkor a fonalkeresztmetszetet metsző szálak száma: R

n = Λ f ( R ) = ∫ ξ n ( r )dA( r )

(6.1.9)

o

6.1.3. ábra. Helix szálköteg alakváltozása húzáskor [S48] A másik átlagoló értelmezés szerint dΛf(r) az r sugarú hengerréteg szálakkal kitöltött keresztmetszete: dΛf(r) = ξA(r)dA(r) = ξA(r)2rπdr (6.1.10) ahol 0<ξA(r)≤1 a fonalkeresztmetszet differenciális szálkitöltési tényezője, azaz szálkitöltési sűrűség, vagyis a körkeresztmetszet (r, r+dr), (0
165

R

A f ( R ) = ∫ ξ A ( r )dA( r ) = o

R

A

∫ cos βo( r ) ξn ( r )dA( r ) = nAszál ( R )

(6.1.14)

o

R

Aszál ( R ) =

Ao 1 ξ n ( r )dA( r ) ∫ n cos β ( r )

(6.1.15)

o

A fentiek alapján, ha akár a ξ(r) szálszám-sűrűség, akár a ξA(r) szálkitöltési sűrűség állandó, úgy a (6.1.6) és (6.1.7) integrálok henger-keresztmetszeti átlagolásokba mennek át. A következőkben – a szálkötegek korábbi kezelésének megfelelően – szálszám szerinti átlagolásokat tekintünk, következésképpen a (6.1.6) és (6.1.7) integrálok egy szálra vonatkozó várható húzóerő, illetve csavaró nyomaték folyamatoknak tekintendők. Ezek az FS átlagos szálszakító erővel, illetve az RFS nyomatékkal és a (3.3.4) szerint normált formái:

FH ( z ) = MH ( z ) =

F f ( zε S , Ro ,T ) FS

M f ( zε S , Ro ,T ) RFS

R

1 = E [FY ( zε S ,r ,ro ,T )]dΛ f ( r ) FS Λ f ( R ) ∫

(6.1.16)

0

R

1 = rE [FT ( zε S ,r ,ro ,T )]dΛ f ( r ) RFS Λ f ( R ) ∫

(6.1.17)

0

A következőkben, a numerikus számításokat állandó szálszám-sűrűség mellett végeztük el.

6.1.2. Sugárirányú kontrakció A húzás során (x=u) fellépő keresztmetszet változást a két részből álló térfogatváltozási függvény írja le, amelynek egyik része a viszonylag lazán elhelyezkedő szálak közötti pórusok alkotta szabad térfogat csökkenését, míg a másik a szálak, s így az anyagtérfogat deformációját, valamint az egymásra fekvő szálak közötti kis pórusok csökkenését veszi figyelembe (1.3.2. ábra). Kimutattuk, hogy a térfogat-változási függvény két hiperbolikus kifejezés lineáris kombinációjával adható meg mind húzás, mind gátolt sodrás esetén [S51]. A laza szálak közötti szabad térfogat viszonylag kis húzóerő hatására is jelentősen lecsökken, a maradék hatása már beleolvad az érintkező szálak alkotta térfogat változásába, így a következőkben csak ezen utóbbi hatását vesszük figyelembe. Így a keresztirányú kontrakció az alábbi, egyszerűsített sugár-kontrakciós függvénnyel írható le, ahol α a kontrakciós kitevő (6.1.4. ábra): ro 1 1 r= ⇒ T = 2πr( u )s = ToW ( u ) = 2πro s ⇒ W( u ) = (6.1.18) α α (1 + u ) (1 + u ) ( 1 + u )α

6.1.4. ábra. Helix szálköteg sugárirányú és térfogati kontrakciós viselkedése a modellben [S48]

166

Az α kontrakciós kitevő 0,5 értéke a gumiszerű viselkedést, azaz a térfogat-állandóságot modellezi, míg kis kötegnyúlás értékek esetében a sugárirányú Poisson tényezőnek feleltethető meg. Ha a kontrakció túl nagy mértékű, a külső rétegben lévő szálak – a sodrattól függően – belazulhatnak. Belátható, hogy a fonalfelületi szálbelazulás határesete a TG=tgβ(Ro) sodratparaméterrel az alábbi kapcsolatban van [S50]: 1 α krit = (6.1.19) TG 2

6.1.3. Nyúlásviszonyok a rétegekben és a fonalfelületen A gyakorlatban a fonalak gyakran tartalmaznak a fonás után visszamaradt – rugalmas szálnyúlással tárolt – maradó feszültséget. Ennek arányát a sodratban – egyfajta rugalmas sodratként – a PM=1-p tényezővel modellezve (ld. a (6.1.1) kifejezést), a 6.1.5. ábra mutatja be a rugalmas szálnyúlás eloszlást a sodrott szálköteg átmérője mentén (6.1.5.a. ábra), ahol az egymás feletti görbék növekvő kötegnyúlás értékekre (u) vonatkoznak (6.1.5.b. ábra).

6.1.5. ábra. Szálnyúlás elvi (a) és modellezett (b) eloszlása a szálköteg keresztmetszetében [S50] Ha PM>0, úgy kezdeti állapotban (u=0) a rugalmas nyúláseloszlás egy alulról konvex parabolára hasonlít, ugyanis a sodrás a nagyobb sugarú rétegekben okoz nagyobb nyúlásokat. A szálköteg húzásakor a magbeli – közel egyenes – szálak relatív nyúlása nagyobb, mint a külső rétegekbeli nagyobb átmérőjű spirálist leíró szálaké. Feltéve tehát, hogy a szálak még nem szakadnak, az ilyen szálköteg húzásakor az elég nagy kötegnyúlás kompenzálhatja a maradó nyúlást, így az eloszlás előbb – mintegy határesetként – egyenletessé, majd alulról konkávvá válhat (6.1.5.b. ábra).

167

6.2. Modellezési eredmények A fentiek szerint, a sodrott szálkötegek, rövid fonalszakaszok viselkedésének leírására kidolgozott fonalmodell az alábbiak tanulmányozására alkalmas [S48,S50]: • A fonalkeresztmetszetben fellépő szálnyúlás-eloszlás alakulása a húzás során. • A húzás során fellépő várható húzóerő, illetve nyomaték alakulása egészen az utolsó szál szakadásáig. • A sodratnak, a kontrakciós kitevőnek és a szálkitöltésnek a szálszilárdság kihasználási tényezőre, a köteg húzómerevségére és nyúlására gyakorolt hatása. • A sodrás (a rétegek nyírása) után maradó feszültség befolyása. • Mag-köpeny felépítésű fonalak szerkesztése és viselkedése. • A kisodrott fonal, mint EH-köteg viselkedése.

6.2.1. Fonalszakító-folyamatok különböző kontrakciós-függvények esetén A 6.2.1. ábra szálaknál igen kicsinek számító, Vε S =0,5%-os szálszakító nyúlás relatív szórás, PM=1-p=0 (sodrási maradó feszültség zérus) és a TG=tgβ sodratparaméter, valamint az α kontrakciós kitevő változó értékei mellett mutatja a sodrott köteg egy szálra eső FH(z) várható húzóerő-folyamatokat.

6.2.1. ábra. Helix szálköteg modell normált várható szakítókarakterisztikái különböző paraméterek mellett [S50] Látható, hogy a sodrat növekedése, illetve a kontrakciós viselkedés jellemzői, jelentősen befolyásolhatja a szakító karakterisztika alakját és a maximuma által meghatározott az η=FH* szálszilárdság kihasználási tényező nagyságát is. Itt az α=TG-2 azt a határesetet állítja elő minden sodratparaméter értéknél, amikor a sodrott szálköteg húzásakor, egyes – éppen csak a külső felületen lévő – szálak

168

meglazulhatnak. A kisodrott szálköteg olyan fonaldarab, amelyet a teljes kisodrás módszerével [K25] sodrunk ki szakítóvizsgálat előtt, így – ideális esetben – szálai annak megfelelően egyre hosszabbak, azaz lazábbak, minél külsőbb rétegében voltak találhatók a sodrott szerkezetben.

6.2.2. Sodrat hatása a fonalszilárdságra A 6.2.2.ábra a sodratlan (E-köteg) és sodrott köteg húzására vonatkozó normált FH(z) várható húzóerő, illetve a hasonló lefolyású MH(z) várható nyomaték folyamatokat szemlélteti néhány paraméter-kombináció mellett, az összehasonlításhoz a sodratlan E-kötegét is feltüntetve. A sodrási maradó feszültség jelenléte (6.2.2.b. ábra) láthatóan a kötegszálak egyfajta előfeszítését okozza a feszültségmentes esethez képest (6.2.2.a. ábra).

a.) b.) 6.2.2. ábra. Helix szálköteg modell szakítására vonatkozó normált várható húzóerő- és nyomaték folyamatok sodrási maradó feszültség nélkül (a) és annak jelenlétében (b) [S50] A 6.2.3. ábra Vε S =20% szálnyúlás szórás és zérus maradó feszültség (PM=0) mellett meghatározott η=FH* szálszilárdság kihasználási tényező, illetve a köteg normált húzómerevsége (DF) és a sodratparaméter összefüggését szemlélteti egy viszonylag nagy tartományban.

6.2.3. ábra. Helix szálköteg modell szálszilárdság kihasználási tényezője (a) és normált húzómerevsége (b) a sodratparaméter függvényében [S50] A 6.2.3. ábrából megállapítható, hogy a sodrott kötegben a szálak a sodrat növekedésével – a köteg szempontjából átlagosan is - egyre kedvezőtlenebb helyzetbe kerülnek, amit a szálszilárdság és a szál húzómerevség egyre rosszabb kihasználása jelez. A csúcserőhöz tartozó kötegnyúlás viszont ugyan kezdetben kisebb a szál átlagos szakítónyúlásánál (z*<1), azonban nagyobb sodratértékeknél meg is haladhatja azt. A kisodrott fonal egy olyan speciális EH-köteggel egyenértékű, amelyben – a köteg kisodrás

169

előtti helix szerkezetének megfelelően – a szálak hullámossága a vonatkozó hengerréteg sugarával nő, ami nagyobb sodratoknál láthatóan igen nagy szilárdságvesztéssel jár. Ugyancsak jelentős szilárdságcsökkenést okoz az α kontrakciós kitevő nagy, vagy kritikus értéke (α=TG-2) is. A kontrakciós viselkedés globális paraméterének (a kontrakció kitevő) változtatásával különböző szerkezetű – különböző fonási eljárásokkal készült – fonalak is modellezhetők [S48,S50]. Az eredményeket a 4.4.1.4. fejezetben síkkötegként modellezett pamut/poliészter gyűrűsfonal és pamut turbinásfonal rövid szakaszaira kapott átlagos szakítóerőkkel összevetve, megállapítható, hogy a kidolgozott hengerréteges fonalmodell a szakítóerőt kissé felülbecsli, azonban eredményei irányadó becslésekként jól használhatók [S45,S46,S50].

6.2.3. Sodrási maradó feszültség hatása a fonalszilárdságra A 6.2.4. ábra diagramjai a szálszilárdság kihasználási tényező alakulását mutatják be a sodratparaméter (TG) és a rugalmas maradó feszültség tényezője (PM=1-p) függvényében.

6.2.4. ábra. A szálszilárdság kihasználás és a sodratparaméter (a), illetve a rugalmas maradó sodrat arányának (b) összefüggése [S50] Megállapítható, hogy a nem túl nagy maradó feszültség – a fonaltest keresztmetszetében egyenletesebb feszültségeloszlás révén – a nagyobb sodratértékek tartományában javíthatja a szálszilárdság kihasználást a zérus maradó feszültségi állapothoz (PM=0) képest. A 6.2.4.b. ábrán az adott kontrakciós kitevő mellett (α=0,5) ez akkor valósul meg, ha a maradó feszültséget okozó rugalmas sodrat aránya 5…15% tartományba esik (0,050,6. Ilyenkor a sodrási maradó feszültség – az előfeszített betonszerkezetekhez hasonlóan – terheléseloszlást javító előfeszítésként működik.

6.3. Az eredmények értékelése A sodrott szálas szerkezetek körében mindezidáig Phoenix statisztikus filament fonalmodellje [174] (1.3.3.3. fejezet) a legteljesebb, a figyelembe vett tényezők körét (lineárisan rugalmas szálak szakadása, szálhullámosság, szálszámsűrűség, kontrakció, szálmigráció) illetően. Ugyanakkor Phoenix a nagyszilárdságú és a szokásos textilszálakhoz (pl. poliészter szál) képest kisnyúlású aramid (Kevlar) szálakat helyezte előtérbe, ezért feltette, hogy a szálak szakadási nyúlása olyan kicsi, hogy a sodrott köteg nyújtásakor a hengerrétegekben a szálak orientációja nem változik, továbbá a sugárirányú kontrakciót egy állandó Poisson tényezővel vette figyelembe.

170

Ehhez képest a 6. fejezetben kidolgozott fonalmodell kiterjesztett hatókörű, hiszen tetszőleges szálnyúlásra értelmezett, továbbá a nagy kontrakciók leírására is alkalmas, a kötegnyúlástól függő kontrakciós függvényt alkalmaz, sőt a különböző típusú kontrakciós függvények jelentősen eltérő viselkedésű struktúrák modellezését is lehetővé teszik. A nagyobb hatókör ellenére – a kompaktabb deformáció leírás miatt – a modell egyszerűbben kezelhető. Phoenix a szálszámsűrűség állandósága helyett a fonal keresztmetszetében a szálak által lefedett terület, azaz a szálkitöltési sűrűség állandóságát tekintette. Ez, mint láttuk a 6.1. fejezetben, nem jelent lényegi különbséget, hiszen a (6.1.16) összefüggésben erre is lehetőség van, továbbá a számításokban – az állandó szálszám-, illetve szálkitöltési sűrűség miatt – az egy szálra való normálás ekvivalens az anyagkeresztmetszetre való vetítéssel. Phoenix a szálmigrációt is a sodrás során keletkező szállazasággal, azaz a rétegsugártól függő, azzal növekvő hullámossággal hozta kapcsolatba. A (6.1.1) szálnyúlás formula alkalmas az ilyen értelmezésű szálmigráció, mint a szálrétegeken sugárirányban szabadon áthatoló szálhullámosság figyelembe vételére is, noha a numerikus számításokban a szálhullámosságot általában zérusnak tekintettük. Kivétel a kisodrott köteg, ahol éppen a sodrásból adódó, a nagyobb sugarú hengerrétegeken található hosszabb szálszakaszok révén kialakuló, a köteg keresztmetszetében szabályosan változó hullámosságot modelleztünk. Újszerű viszont a sodrási maradó feszültség modellezése, amellyel kapcsolatban kimutattuk, hogy nagyobb sodratoknál – az egyenletesebb terhelésmegosztás révén, az előfeszített vasbeton szerkezetekhez hasonlóan – a szálszilárdság-kihasználás jelentős növekedése érhető el. A (6.1.1) általános szálnyúlás kifejezése további kiterjesztési lehetőséget ad a kombinált szálkötegek alkalmazásához, ezen belül a sodrat által generált determinisztikus szálorientációhoz adódó statisztikus – esetleg rétegfüggő – ingadozások (ET-köteghatás), továbbá a szálkicsúszás vagy szakadás figyelembe vételével (ES-köteghatás) egy sodratorientált, rövidszálas szálfolyamot alkotó font fonalmodell kialakításához.

171

7. EGYIRÁNYÚ FOLYTONOS SZÁLAKKAL ERŐSÍTETT KOMPOZIT RUDAK HAJLÍTÓVIZSGÁLATI FOLYAMATÁNAK MODELLEZÉSE

7.1. A kompozit rúd rétegmodellje A 7.1.1. ábra egy impregnált szálrétegekből felépülő, szálerősített kompozit szerkezeti szintjeit szemlélteti a statisztikus modellezési módszer megközelítésében. A szálak az egyirányúan erősített kompozit próbatest középvonalával párhuzamosak. A vékony szálrétegek tulajdonképpen egymástól független síkkötegek. A függetlenség itt azt jelenti, hogy nincs szálmigráció a rétegek között, és az egyes rétegek jellemzői statisztikailag függetlenek. Kompozit próbatest Kompozit rétegek

Szál

Mátrix hi

hi-1

∆hi

ho

Szálkötegcellák Mátrix

b

Szálak

b.)

a.)

7.1.1. ábra. Kompozit próbatest szerkezeti szintjei (a) és keresztmetszeti rétegszerkezete (b) [S76]

7.2. Hajlító vizsgálat alatti törési folyamat modellezése A szokásos felhasználások mellett, például a szénszálak minőségét is gyakran minősítik 3-pontos (3P) hajlítás segítségével, ahol a mintadarab egy gyantával impregnált rovingköteg. Az eredményekből megítélhető a roving, s így a szálak szilárdsága, valamint a szálak és a beágyazó gyanta közötti tapadás minősége.

7.2.1. A 3P hajlítás fekete doboz modellje A 7.2.1. ábrán a rúd alakú minta méretei és a 3-pontos hajlítás elvi vázlata látható. F[u(t)] u(t)

ho b F/2

l

F/2

7.2.1. A 3P hajlító vizsgálat elrendezése [S76]

172

Tekintsünk egy téglalap keresztmetszetű próbatestet és tegyük fel, hogy az homogén és állandó ho vastagságú és b szélességű a hossza mentén! Ez esetben a keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka [K49]: bho3 I= (7.2.1) 12 Rendszertechnikai szemléletben az u(t) elmozdulás, azaz a lehajlás tekinthető gerjesztésnek, ami állandó v sebességgel nő, másrészről, az F(u) hajlítóerő a próbatest, mint rendszer válaszaként kezelhető (7.2.2. ábra).

u(t)

Próbatest

F[u(t)]

7.2.2. ábra. A 3P hajlító vizsgálat rendszertechnikai modellje [S76] Feltéve, hogy a változások lassúak, a klasszikus hajlítás-elmélet alapján [K49] érvényes lineáris összefüggés az elmozdulás, mint gerjesztés és az erő, mint válasz között [K14]: 48 IE 4bE 3 ho u( t ) u( t ) = vt → F ( u ) = u( t ) = (7.2.2) 3 l l3 Ha a pillanatnyi vastagság h=h(u(t)) és szélső, húzott réteg nyúlása (ε) eléri a szakadási nyúlás értékét, úgy ez egy részleges törést, e réteg szakadását okozza, és az ezek közötti összefüggés: 6h h (7.2.3) ε max = ε   = ε S = 2 u( t ) 2 l

7.2.2. Szálréteges modell a hajlítási törési folyamathoz Az egyirányúan erősített kompozit rúd gyanta mátrix-szal impregnált szálrétegekből épül fel a 7.1.1. ábra szerint. Első lépésként az egyes rétegek szálait E-kötegnek tekintjük. A mechanikai modellben a mátrix párhuzamosan kapcsolt a szálakkal, biztosítva az együttdolgozást, azaz a szálak és mátrix megegyező deformációját. Egy szálréteg, vagy az egész kompozit húzó rugalmassági modulusát a szálaké (Ef) és a mátrixé (Em), valamint a szálak térfogati részaránya (ϕ) határozza meg a párhuzamos kapcsolásra vonatkozó keverékszabályt alkalmazva [K16,K23,K40]: E = ϕE f + (1 − ϕ ) E m (7.2.4) A kompozitban ébredő eredő erő, illetve fajlagos erő, azaz feszültség a szálakban (Ff) és a mátrixban (Fm) ébredők összege, illetve súlyozott átlaga (7.2.3. ábra): F ( u( t )) = F f ( u( t )) + Fm ( u( t )) ⇒ σ ( u( t )) = ϕσ f ( u( t )) + ( 1 − ϕ )σ m ( u( t )) (7.2.5) Tegyük fel, hogy egy kompozit réteg törését a szálak szakadása dominálja, és egy bizonyos számú szálszakadás a törési helyek, mint repedések robbanásszerű terjedését okozza a szálréteg keresztmetszetében! Itt kompozit elemnek tekintjük az egy szál és annak mátrixkörnyezete együttesét. Mindez azt jelenti, hogy a szálak szakadása és a mátrix törése a szálak között az adott rétegben lényegében egy időben történik, azaz a szálak (εS) és a kompozit elem (εC) szakadási nyúlása közelítőleg megegyezik (7.2.3. ábra). Nyilvánvaló, hogy egy réteg εL szakadási nyúlása meghatározott az εC≈εS relációval. E kérdést a következő fejezetben tárgyaljuk részletesebben.

173

Az i-edik (i=1,2,…,n) réteg szakadását illető kritikus erő (Fi) a kritikus elmozdulásból (ui=u(ti)) számítható a (7.2.2) és (7.2.4) segítségével:

(

)

l2 4b 3 4bE 3 u Fi = FS ( ui ) = ϕE f + ( 1 − ϕ )Em hi −1ui = hi −1ui = ε Li (7.2.6) i 6hi −1 l3 l3 ahol hi-1=h(ui-1)=h(ui-0) a kompozit (i-1)-ik törés pillanatától az i-edik törésig létező vastagsága, és a rugalmassági modulus a (7.2.4) egyenlettel számítható. ui és εLi a kritikus véletlen értékek két, lényegében merőleges elmozduláshoz. Itt εLi-k független változók, következésképpen ui-k is azok.

σ

Szál σ f(ε(u)) Ef

Mátrix (1-ϕ)E m

σ =σ c

σ m(ε(u))

Em E

εSm

εSf =ε S

0

σ

ε(u)

σ =σ c E

Kompozit elem E=ϕE f+(1-ϕ)E m

0

ε(u)

εc ∼~ εS

7.2.3. ábra. Egy szál és mátrix környezete elvi fajlagos erő-nyúlás összefüggése [S76] A 7.2.4.a. ábra egy hajlított rúd elmozdulás-erő és vastagság összefüggésével jellemzett, folyamatos és fokozatos törési folyamatát szemlélteti. A változások diszkrét lépésenként keletkeznek a véges vastagságú rétegek törésével társulva. A folyamatos változások görbéje a lépcsős folyamat egyfajta burkológörbéjét alkotja. Feltéve, hogy a teljes törési folyamat n lépésben megy végbe és a ’0-dik to=0-ban történik, az (i-1)-dik és i-dik törések közötti erő nő az elmozdulással, mialatt a vastagság állandó (ti-1≤t
u i −1 ≤ u (t ) < u i ,

ε i (u ) =

6hi −1 l2

u i = u (t i ) =

u (t )

l 2 ε Li 6hi −1

(7.2.7) (7.2.8)

2bE 2 4bE 3 hi −1ε i (u ) = hi −1u (t ) (7.2.9) 3l l3 ahol Fi(u) az i-dik komponens folyamat. F(u)-nak ui-1≤u(t)
Fi (u; u i −1 , u i ) = Fi (u )[χ (u , u i ) − χ (u , u i −1 )]

(7.2.11)

n

F (u ) = ∑ Fi (u; u i −1 , u i ) i =1

174

(7.2.12)

A (7.2.11)-ben χ egy, az ui, s így az εLi. véletlen paraméterektől függő ablakfüggvény (i=1,2,…,n) (7.2.4.b. ábra): 1, ha 0 ≤ u( t ) < ui χ ( u ,ui ) =  ; 0 ≤ u( t ) < ∞ (7.2.13) 0, egyébként F h=h o F1 F2

F

F B (u)

F B (u)

h=h 1

F i(u)

h=h i

F 3 h=h 2

∆F i(u)

u u1 u2

0 h

u

u3

ho

h1

χ

h B (u)

h2

1

ui

u

0 χ(u,u i )

u 0

u1 u2

u

u3

u

0

ui

a.) b.) 7.2.4. ábra. Elmozdulás-erő (u-F) folyamat és a vastagság (h) lépcsős, illetve folyamatos csökkenése a hajlító vizsgálat során (a), valamint az i-edik rétegfolyamat ablakfüggvénye (b) [S76] Ezáltal a teljes vastagságot (ho) n véges részre osztottuk, amelyek vastagsága lehet valószínűségi változó. Itt az egyetlen véletlen paraméter a rétegek szakadási nyúlása (εL), amelynek eloszlásfüggvényét (QεL(z)) ismertnek tételezzük fel. A fent definiált ablakfüggvény (χ) felhasználásával a hajlítóerő-folyamat független rétegfolyamatok (∆Fi(t)) összegeként írható le, amelyek a komponens folyamatok különbségei (7.2.4.b. ábra). n

F (u ) = ∑ ∆Fi (u ) i =1

∆Fi (u ) =

4bE

(

(7.2.14)

)

u (t ) hi3−1 − hi3 χ (u , u i )

(7.2.15) l Az i-edik ablakfüggvény az i-edik törés előtt létező (ép) (n-i+1) szálréteg válaszát – köztük az i-edik rétegét is – határolja le. 3

7.2.3. A szálréteg és a kompozit tönkremenetelének feltételei Mint fent tárgyaltuk, a hajlító vizsgálatnál a nyomótest mozgása a gerjesztés, aminek elsődleges következménye a kompozit rúd lehajlása. Modellünk szerint a kompozit rúd mátrixba ágyazott szálak alkotta kompozit elemekből álló rétegekből épül fel. Tegyük fel, hogy egy réteg szálai E-köteget alkotnak és az egy réteget alkotó kompozit elemek is Ekötegnek tekinthetők! Tételezzük fel továbbá, hogy a kompozit rúd tönkremenetelét a húzott oldali rétegek szakadása okozza! Ezért nagyon fontos megfelelő összefüggést találni a kompozit elemek (εC≈εS) és a rétegek (εL) szakadási nyúlása, valamint a kompozit rúd törési lehajlása (ξ) között, figyelembe véve a köztes szerkezeti szinteket is (7.2.5. ábra). 175

A szálak szintjéről indulva, a kompozit elemek εC szakítónyúlásának eloszlásfüggvénye, (7.2.16) QεC(x)≈QεS(x)=P(εS<x)=p(x) (0≤x<∞) közelítőleg annak valószínűségét adja meg, hogy egy kompozit elem elszakad az x nyúlásnál, ami egyúttal egy E-kötegben a szakadt elemek részaránya is. A globális réteg-tönkremenetelt okozó nyúlásérték meghatározása érdekében legyen Vo egy kis, no számú kompozit elemet tartalmazó kritikus térfogat a V-ben, amelyben ha a szakadások száma elér egy kritikus ko értéket, úgy az egész réteg elszakad (7.2.5. ábra) (F7.1. Függelék). Réteg = elemköteg Mátrix

Kompozit elem Szál

hi

hi-1

∆hi

ho

b

7.2.5. ábra. Építőelemek a kompozit rúd keresztmetszetében [S76] A ko számú elem egyfajta részköteget alkot, amelynek tönkremenetele az egész köteg, azaz a szálréteg tönkremenetelét okozza. Legyen εSB egy virtuális változó, amit a kérdéses részköteg szakító nyúlásának tekintünk, következésképpen, Qε SB (x) annak valószínűségének tekinthető, hogy egy kis Vo térfogatban lévő kompozit elemek ezen részkötege tönkremegy az x nyúlásértéknél. Ha egy réteg tönkremenetele éppen akkor megy végbe, amikor a kis Vo térfogatok bármelyikében éppen k számú szakadás jön létre, úgy ennek pL valószínűsége az alábbi módon, egy m független elemből felépülő rendszer leggyengébb láncszem típusú szilárdságaként értelmezhető. Definiáljuk az εL rétegszakító nyúlást, mint e szilárdságot reprezentáló változót, amelynek így a fenti gondolatmenettel meghatározott QεL(x) eloszlásfüggvénye:

[

]

pL = P( ε L < x ) = Qε L ( x ) = 1 − 1 − Qε SB ( x ) m

(7.2.17)

Végül, a (7.2.7) összefüggés lineáris kapcsolatot ad az εL rétegszakító nyúlás és az ui kritikus lehajlás érték között, amelyben az ui megvalósult értékekhez tartozó valószínűségi változót ξi-vel jelöltük, amelynek eloszlásfüggvénye változó-transzformációval kapható:  u   6h  l2 ξ i = C i ε Li = ε Li Qξi (u ) = P(ξ i < u ) = Qε L   = Qε L  i −1 u  (7.2.18) 6hi −1  l2   Ci  A 7.2.6. ábra a fenti eredményeket és a kompozit rúd különböző szerkezeti szintjei közötti kapcsolatokat szemlélteti. A számítások egyszerűsítéséhez tegyük fel, hogy az εL véletlen nyúlás az εB polinomjával becsülhető (F7.1. Függelék):

ε L ≈ co + c1ε Sb

(7.2.19) Ha b<1, azaz ko>1, akkor egyfajta károsodás-halmozódási modellt tekintünk. Ha b=1, úgy ko=1, ami azt jelenti, hogy az egyetlen kritikus hiba elvét alkalmazzuk. ε L ≈ co + c1ε S (7.2.20) A (7.2.20) alapján és a co, c1 ismeretében, az εL rétegszakító nyúlás eloszlásfüggvénye a szálak εS szakítónyúlásának eloszlásfüggvényével becsülhető: 176

 x − co   Qε L ( x ) = P( ε L < u ) ≈ P( co + c1ε S < x ) = Qε S   c1  V=nVL

(7.2.21)

Réteg-köteg ξi=CiεLi,

Kompozit rúd

i=1,...,n

u Qξi(u)≅QεL[ C

i

]

KE-köteg VL=mVo

εL=fL(εSB)≅co+c1εbS

Réteg

Vo=koVe

x-c QεL(x)=1-[1-QεSB(x)]m≅QεS[( c o )1/b] 1 ko=1/b KE-részköteg

Kritikus térfogat

εSB≅fo(εS) QεSB(x)=[QεS(x)]ko[1-g(QεS(x),ko)]

Ve

Szál és mátrix környezete εC≅εS

Kompozit elem (KE)

εSm

QεC(x)≅ QεS(x)

Szál Mátrix

Szál

εSf=εS

QεS(x)=P(εS<x)

7.2.6. ábra. Az elemek szakítónyúlásával jellemzett tönkremeneteli feltételek a kompozit rúd különböző szerkezeti szintjein [S76] Mivel co megválasztható – némely esetben és egy bizonyos mértékig – ez alkalmas illesztés révén kompenzálhatja a becslési pontatlanságot az egyszerűsített modellben.

7.2.4. A hajlítóerő és a vastagságváltozás várhatóérték folyamata Tegyük fel, hogy h(u) folytonosan differenciálható, ezért a (7.2.12) összeg várható értéke egy integrálközelítő összegbe alakítható át:

E (F (u ) ) =

4bE

h 3 (u t −1 ) − h 3 (u i ) E[χ (u (t ), u i )]∆u i u − u i i − 1 i =1 n

u (t )∑

l3 Figyelembe véve (7.2.7)-et és (7.2.6)-ot, a (7.2.22) összeg tovább alakítható: n h3 − h3 i i −1

(7.2.22)

u (t )∑ E [χ (u (t ), u i )]∆hi (7.2.23) h − h l3 i − 1 i i =1 A χ ablakfüggvény várható értéke könnyen meghatározható a (7.2.8) és (7.2.13) alapján:  6u( t )  E( χ ) = 0 ⋅ P( χ = 0 ) + 1 ⋅ P( χ = 1 ) = 1 − Qε L  2 hi −1  (7.2.24)  l  A vastagság-felosztást finomítva, azaz max∆hi→0, és felhasználva a (7.2.24) összefüggést, a (7.2.23)-ból kapjuk: E (F (u ) ) =

4bE

177

E (F (u ) ) = F (u (t ) ) =

4bE

 6u (t )  d (x3 )  1 − Qε L  2 x  dx  l  0 dx 

ho

u (t ) ∫

(7.2.25) l3 A deriválás után a következő integrál-kifejezés adódik: ho   6u (t )  4bE E (F (u ) ) = F (u (t ) ) = u (t ) ∫ 3x 2 1 − Qε L  x  dx (7.2.26) l3  l2   0 ahol a QεL(z) eloszlásfüggvényt folytonosnak tekintjük. A 7.2.7.a. ábra a rétegszakító nyúlás egy rögzített átlagértékénél (Eps0= ε L) és különböző szórásértékeknél (Eps1=σεL) (7.2.26) szerint kiszámított várható érték folyamatok alakulását mutatja. E számításokat a Visual Basic-kel támogatott Microsoft Excel segítségével végeztük el, normális eloszlású rétegszakító nyúlás alkalmazásával. Parciális integrálással a (7.2.26) egy kéttagú összegbe alakítható át:  3  6u (t )   ho 3  6u (t )  4bE  E (F (u ) ) = F (u (t ) ) = u (t ) ho 1 − Qε L  ho   + ∫ x dQε L  x  (7.2.27) l3  l2  0  l2    Az első tag egy egytengelyű húzással terhelt E-köteg várható húzóerő-folyamatához hasonló, míg a második tag a hozzáadódó, az infinitezimálisan vékony rétegekben végbemenő törési folyamatot írja le, ami a hajlításnál fellépő nem egyenletes nyúlás-, illetve feszültségeloszlás révén jön létre. (7.2.7.b. ábra). Eps0=0,0068

700

Eps0=0,068; Eps1=0,0014

600

Hajlító karakt.

500

Eps1= 0,0014 500

Hajlítóerő, F[N]

Hajlító erő, F [N]

600

Eps1=0,0002

Eps1=0,0022

400 300 200

Húzóerő komp. 400

Várható érték Hajlító törés

300 200 100

100

0

0 0

2

4

6

8

0

10

2

Lehajlás, u [mm]

4

6

8

10

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.2.7. ábra. Várható hajlítóerő folyamat különböző szálszakító-nyúlás szórásoknál (Eps0= E(εS), Eps1=D(εS)) (a) és a folyamat komponensei hajlításkor (b) [S76] A (7.2.26)-ból nyilvánvaló, hogy a várható erőfolyamat az alábbi integrál operátorral (I) kapható: 4bE E (F (u ) ) = F (u (t ) ) = u (t ) I 3 x 2 , u (t ) (7.2.28) 3 l ho   6u (t )  I 3x 2 , u (t ) = ∫ 3x 2 1 − Qε L  x  dx (7.2.29) 2 l     0 A (7.2.2), (7.2.9) és (7.2.28) kifejezéseket összevetve, a (7.2.28)-ból, a törési folyamatot jellemző, az ép rész (ligament) vastagságának változását leíró függvény számítható:

(

(

)

[(

)]

)

1/ 3

 F (u( t ))l 3  1/ 3 h(u( t )) =  = I 3 x 2 , u( t ) (7.2.30)   u( t )4bE  A 7.2.8.a. ábrán a vastagság (7.2.30) szerinti alakulása látható különböző rétegszakító nyúlás értékek mellett.

178

Eps0=0,0068

2

Hajlítóerő, F [mm]

Ligament vastagság, h [mm]

Eps0=0,0068; Eps1=0,0014; n=1

Eps1=0,0002 Eps1=0,0014 Eps1=0,0022

2,5

1,5 1 0,5 0 0

2

4

6

8

Várható érték Alsó szór. határ

0

10

Felső szór. határ

800 700 600 500 400 300 200 100 0 2

4

6

8

10

Lehajlás, u [mm]

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.2.8. ábra. Az ép rész vastagságának változása hajlítás során a rétegszakító nyúlás különböző szórásértékeinél (Eps0= E(εS), Eps1=D(εS)) (a) és a hajlítóerő várható érték és konfidencia intervallum folyamata tq=1 és n=1 esetében (b) [S76]

7.2.5. A hajlítóerő négyzetes szórási folyamata Az erőfolyamat négyzetes szórása a következő formulával számítható:

(

)

D 2 (F (u ) ) = E F 2 (u ) − E 2 (F (u ) ) (7.2.31) Egy n-lépéses törés esetén az erő (7.2.9) összefüggéséhez hasonlóan az erőnégyzet is nő az elmozdulással, mialatt a vastagság állandó (ti-1≤t
F 2 (u ) = Fi2 (u ) =

16b 2 E 2 6 2 hi −1u (t ) l6

(7.2.32)

ahol ∆Fi2 ( u ) az erőnégyzet i-dik rétegfolyamata az ui-1≤u(t)
n n  F (u ) =  ∑ ∆Fi (u ) = ∑ ∆Fi2 (u ) i =1 i =1  2

ahol ( 0 ≤ u( t ) < ∞ ) és

[

]

(

(7.2.33)

)

16b 2 E 2 2 u (t ) hi6−1 − hi6 χ (u, u i ) (7.2.34) 6 l A korábbiakhoz hasonlóan, a (7.2.33) összeg várható értéke az alábbi integrálközelítő összegbe alakítható át: n h6 − h6 16b 2 E 2 2 i 2 E F (u ) = u (t )∑ i −1 E [χ (u (t ), u i )]∆hi (7.2.35) h − h l6 i i − 1 i =1 Amennyiben max∆hi→0, és felhasználjuk a (7.2.24) összefüggést, a (7.2.35)-ből a következőhöz jutunk:  6u (t )  16b 2 E 2 2 ho d ( x 6 )  E F 2 (u ) = F 2 (u (t ) ) = u (t ) ∫ x  dx (7.2.36) 1 − Qε L   2 dx l6 l     0 Deriválás után a (7.2.29) segítségével kapjuk:  6u (t )  16b 2 E 2 2 ho 5  16b 2 E 2 2 E F 2 (u ) = F 2 (u (t ) ) = u (t ) ∫ 6 x 1 − Qε L  x  dx = u (t ) I 6 x 5 , u (t ) 6 2 6 l l  l   0 (7.2.37) ∆Fi2 (u ) = Fi2−1 (u ) − Fi2 (u ) χ (u, u i ) =

(

(

(

)

)

)

(

179

)

A (7.2.28) és (7.2.37) eredményeket a (7.2.31)-be helyettesítve, a hajlítóerő szórásnégyzet folyamata:

[(

) (

)]

16b 2 E 2 2 u (t ) I 6 x 5 , u (t ) − I 2 3x 2 , u (t ) (7.2.38) 6 l A szórás ismeretében egyfajta konfidencia intervallum számítható több mérés átlagára nézve, amelynek félérték szélessége a q valószínűségi szinten (pl. q=95%): (F − d F ,n , F + d F ,n ): d F ,n = d (F (u) ) = t q D(F (u )) (7.2.39) n ahol tq a q-hoz és a mérések n számához tartozó kritikus érték. Az erőfolyamat pontjai normális eloszlásúnak tekinthetők [31,80,81,169,171,173], így a tq Student táblázatból vehető [K76]. A 7.2.8.b. ábra egy várható érték görbét és annak egyszeres szórásmezejét (tq=1) szemlélteti. Ez az egyedi mérések (n=1) esetének tekinthető. Normál eloszlásnál ez egy q=68.3 % valószínűségi szinthez tartozó konfidencia intervallumnak feleltethető meg Megjegyzendő, hogy kompozit köteget alkalmazva, pl. a várható érték folyamat kiszámítására, a (7.2.15) szerinti ∆Fi(u) i-edik rétegfolyamat több részfolyamat eredőjeként kapható a kompozit köteget alkotó szálkötegcelláknak megfelelően (F7.3. Függelék). D 2 (F (u ) ) =

7.3. Alkalmazás kísérleti eredmények leírására 7.3.1. Próbatestek és mérési módszerek Az egyirányú kompozit próbatesteket epoxi gyantával (CIBA LY556, CIBA HY2954 térhálósító) impregnált szénszál rovingokból (Zoltek PANEX PX33TW–0048–131, epoxi irezés: 2,0±0,25 %) állítottuk elő a DIN 65071/1 szabvány szerint [S77]. Az alkalmazott szénszálak és epoxi mátrix geometriai, illetve szilárdsági jellemzői jellemzőit a 7.3.1. táblázat foglalja össze. A szénszál roving lineáris sűrűsége 3,4 ktex = 3,4 g/m volt. Az átlagos, rovingokon mért száladatokat a Zoltek Zrt. szolgáltatta, kivéve a szálak szakítónyúlás értékeit, amelyeket 25 mm-es befogási hossz mellett végzett 138 egyedi szakítás alapján határoztunk meg. A vonatkozó elemzések szerint a szálszakító nyúlás mért eloszlása 95% valószínűségi szinten normális eloszlással jól leírható [S77]. Az epoxi gyanta adatait a [K16] kézikönyvből vettük. Adat Szénszálak Epoxi gyanta * * Típus df Ef Em ρf σSf εSf ρm σSm εSm [GPa] [MPa] [g/cm3] [µm] [%] [g/cm3] [GPa] [MPa] [%] 1,78 7,4 228 3600 1,50 1,2 3 50 3 Átlag 0,28 N.Szór. 7.3.1. táblázat. A szénszálak és az epoxi gyanta jellemzői (f = szál, m = mátrix; N.Szór. = Négyzetes szórás) (*roving szilárdsági értékek) [S77] A házi fejlesztésű impregnáló berendezésen [K56,S32-S35] előállított, impregnált roving darabokat párhuzamosítva egy présszerszámba helyeztük. A felesleges gyanta kipréselése után (kb. 10 MPa, 20 perc szobahőmérsékleten) a kompozit próbatest térhálósítását – azonos nyomás mellett – kemencében 80oC-on 60 percig, majd 150oC-on 240 percig tartó hőkezeléssel végeztük [K56, S77]. A próbatestek vastagsága (ho), szélessége (b) és hossza (L) rendre 2 vagy 4,7 mm, 10 mm és 150 mm volt.

180

Egy korszerű, számítógéppel integrált, ZWICK Z005/T1–FR005TH.A50 típusú szakítógép és egy CCD kamerás képfeldolgozó rendszer alkotta mérőrendszert alkalmaztunk a szálerősített kompozit próbatestek hajlítóerő-lehajlás viszonyainak, valamint törési folyamatának szimultán optikai és mechanikai vizsgálatára [S32,S77]. A maximális terhelés 5 kN, azonban a rendszer 20 N terhelhetőségű mérőcellája és a megfelelő befogó lehetővé teszik egyedi szálak és rovingok vizsgálatát is [S32,S49,S55,S59].

7.3.2. Hárompontos hajlító vizsgálatok és kiértékelésük A 3-pontos hajlító, illetve rétegközi szilárdság vizsgálatok során három különböző támaszközt alkalmaztunk (l = 80, 64, illetve 10 mm) tekintettel DIN 29971 szabvány előírásaira. A nyomótest sugara 2 mm (l=80 és 10 mm) és 5 mm (l=64 mm) volt, közelítőleg a próbatest vastagságokkal megegyező érték, míg sebessége állandó volt: v = 10 mm/min l=80 és 10 mm támaszköznél, illetve 1 mm/min l=64 mm-nél. A lehajlás- és erőértékek regisztrálása mellett képsorozatot vettünk fel mindegyik próbatest hajlítása során. A 7.3.1. ábra a 80 és 10 mm támaszközök mellett kapott erő-lehajlás diagramokat szemléltetik. 3P_Hajlítás: L= 80 mm, h= 2 mm

3P_Hajlítás: L= 10 mm, h= 2 mm Hajlító erő, F [N]

Hajlítóerő, F [N]

600 500 400 300 200 100 0 0

5

10

15

1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 0

20

2

4

6

8

10

Lehajlás, u [mm]

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.3.1. ábra. Erő-lehajlás diagram 80 mm (a) és 10 mm-es (b) támaszköznél A 7.3.2.a. ábra a hajlító vizsgálat közben (l=80 mm), illetve a 7.3.2.b. és c. ábrák a törésnél (l=80 és 10 mm) felvett képeket mutatják.

a.) b.) c.) 7.3.2. ábra. A hajlítás alatt és a törésnél felvett képek (l = 80 mm) (a,b) (l = 10 mm) (c) [S77] Az eredmények szerint a 80 mm-es támaszköz esetében a normál feszültségek dominálják a próbatest károsodási folyamatát, következésképpen az erősítő szénszálak húzószilárdsága határozza meg a hajlító szilárdságot. A törés általában a külső, húzott szálréteg szakadási sorozataként megy végbe, lényegében rétegszétválás (delamináció) nélkül (7.3.2.b. és 7.3.3.a. ábra).

181

a.) b.) 7.3.3. ábra. Delamináció nélküli törés l=80 mm esetén (a), illetve delaminációs törési típus l=10 mm-nél (b)[S77] A 10 mm-es támaszközzel végzett hajlítás esetében a próbatestben a nyomótest alatt keletkező feszültségek inkább nyíró típusúak, ezért a tönkremenetelt a rétegek szétválása, a delamináció határozza meg, indítja, amit a szétvált rétegek törése követ. Ilyen rövid támaszközöknél végzett hajlítás tulajdonképpen a rétegközi szilárdság vizsgálatára szolgál [K56], és az eredmények a szál-mátrix adhéziós kapcsolatának szilárdságát jellemzik. A 7.3.4. ábrán 64 mm támaszköz mellett kapott 5 mérési eredmény és azok pontonkénti átlaga látható. A próbatestek átlagos vastagsága 4.69 mm volt. A hajlítás sebessége csak egy tizede (1 mm/min) volt az előzőeknek. Az észlelt tönkremeneteli mód hasonló volt a 80 mm-es támaszköznél tapasztaltakhoz, azonban több esetben a belső nyomott oldalon a nyomótest alatti szálréteg kihajlása okozta törés volt megfigyelhető a külső oldalon húzott rétegek szakadása előtt. E különbség oka – mint azt a későbbi részletesebb vizsgálatok is igazolták [K56] – a nagyobb próbatest vastagság és nyomótest sugár és az adódó, viszonylag kicsi L/ho érték volt, de szerepet játszott a kisebb hajlító sebesség is.

7.3.4. ábra. Erő-lehajlás regisztrátumok és azok átlaga 64 mm-es támaszköznél [S77] A próbatestek tömegmérése (m) után számítható volt a szálak tömeg- (φ) és térfogat(ϕ) aránya, felhasználva a szénszál roving ismert lineáris sűrűségét (qr = 3,4 g/m), valamint a szálak (ρf) és a mátrix (ρm) térfogati sűrűségét (7.3.1. táblázat), a próbatestekbe foglalt rovingok számát (nr = 7 pl. a 2 mm-es vastagságnál), és a próbatestek hosszát (L = 150 mm). n q L φρ m ρ (7.3.1) φ= r r ϕ= φ= φρ m + ( 1 − φ )ρ f ρf m ahol ρ=m/V és V a kompozit sűrűsége és térfogata. A mérések szerint a vizsgált próbatestek tömeg szerinti száltartalma 75 %, míg térfogataránya 62,2 % volt. A mérési adatokból a hajlítómodulust (Eh), a hajlítószilárdságot (σh) és a rétegközi szilárdságot (τh) a DIN 29971 szabvány előírásai szerint számoltuk (7.3.2. táblázat). Eh =

l 3 ∆F 4bho3∆u

σh =

182

3lFh 2bho2

τh =

3Fh 4bho

(7.3.2)

ahol ∆F/∆u az erő-lehajlás görbe kezdeti meredeksége. Geometriai jellemzők Mérése Átlagos szilárdsági értékek k száma L R b ho L/ho N Eh σh τh [mm] [mm] [mm] [mm] [-] [GPa] [-] [MPa] [MPa] 80 2 10 2 40 1 136 1470 18,4 10 2 10 2 5 1 3,59 483 48,3 64 5 10 4,69 13,65 5 68,1 860 31,5 7.3.2. táblázat. Egyirányú kompozit próbatestek hajlítószilárdsági jellemzői [S77]

7.3.3. Elméleti és kísérleti eredmények összehasonlítása A kompozit átlagos húzó rugalmassági modulusát a 7.3.1. táblázat adatai alapján a (7.2.4) keverékszabállyal becsülve 143 GPa adódott (7.3.3. táblázat). Ezen érték mintegy 5%al nagyobb, mint a 80 mm-es támaszköznél mért adatokból számolt hajlító modulusé (136 GPa), és sokkal nagyobb, mint a kisebb támaszközöknél mért érték. A becsült átlagos húzóés mért egyedi hajlító modulus közötti különbség egyrészt azzal magyarázható, hogy a két igénybevételi mód annál inkább eltér egymástól, minél kisebb a támaszköz és a próbatest vastagságának aránya (7.3.2. táblázat) [215,253-256]. Másrészről, az egyéb mérethatások mellett, nagy eltérések lehetségesek az átlagos és egyedi értékek között mind a szálakat (roving és egyedi szál), mind a kompozitot illetően. A hajlító vizsgálat itt alkalmazott modelljénél feltesszük, hogy a deformáció kicsi és a nyírófeszültségek elhanyagolhatók. Azonban, az alkalmazott modellparaméterek, mint másodlagos adatok (X') különbözhetnek a szálakon vagy a mátrixon mért, illetve a kompozitra számolt elsődlegesektől (X). A rétegek szakítónyúlás-adatainak hiányában, csak a szálak szakítónyúlására vonatkozólag állnak rendelkezésre mért értékek. Ezért, az elméleti eredmények és a mérések illesztéséhez, illesztő konstansokat alkalmaztunk a modell legfontosabb szilárdsági paramétereihez. Ez az alábbi leképezést valósítja meg: X → X ' = c Xo + c X 1 X (7.3.3) ahol 0
E → cE E

ε → cε o + cε 1ε = ε 0 = Eps0

σ ε → cε 1σ ε = ε 1 = Eps1

(7.3.4)

Az alkalmas modellparaméterek meghatározásánál azon meggondolást követtük, miszerint a modellválasz várható értékének főleg a mért görbe kezdeti emelkedő szakaszához kell jól illeszkednie egészen a csúcsig, míg az eső rész egyfajta középvonalként haladhat az ingadozások között olyan jól követve a hiperbolaszerű csökkenést, amennyire lehetséges. Mindez megfelel ama ténynek, hogy az elmélet infinitezimálisan vékony rétegekkel számol, míg a valóságban véges vastagságú rétegek törnek, szakadnak. A modellgörbéket Microsoft Excel-lel számítottuk, felhasználva néhány, Visual Basic-ben írt makrót. A szálréteg szakadási nyúlás eloszlásának leírásához normális eloszlásokat alkalmaztunk. A 7.3.5.a. ábra a várható érték folyamatot és az egyszeres szórásmezőt, valamint egy 80 mm támaszköznél végzett hajlítás eredményét mutatja. A 7.3.5.b. ábra diagramja a mért és modellezett hajlítóerő (F) és lehajlás (u) értékekből az alábbi, a (7.2.30)-nek megfelelő összefüggéssel számolt 183

vastagságváltozási görbéket és az egyszeres szórásmezőt szemlélteti. A mért egyedi görbék az egyszeres szórásmezőn belül haladnak, amely – normális eloszlást tekintve – az egyedi mérésekre 68.3 %-os valószínűségi szinten konfidencia tartománynak tekinthető [K76]. Eps0=0,0132; Eps1=0,0023; n=1 600 500 400 300 200 100

2 1,5 1 0,5

0 0

5

10

15

Felső szór. határ Középérték Alsó szór. határ Mért értékek

2,5

Ligament vastagság, h [mm]

H ajlítóerő, F [mm]

Eps0=0,0132; Eps1=0,0023; n=1

Felső szór. határ Középérték Alsó szór. határ Mért értékek

700

0

20

0

5

Lehajlás, u [mm]

10

15

20

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.3.5. ábra. Az erő-lehajlás (a) és a vastagságváltozási (b) görbe modellezése és egy 80 mm-es támaszköznél (L/ho=40) mért eredmény (Eps0= E(εS), Eps1=D(εS)) [S77] Az előző esettel ellentétben a 10 mm-es támaszköznél (7.3.6.a. ábra) nagyobb különbségek tapasztalhatók a kísérleti és modellezett folyamatok között, mint az várható is volt a jelentős nyírófeszültségek és a delamináció, illetve a mérés alatti geometria-változás hatása miatt. Ez esetben a mért egyedi erőfolyamat a kétszeres szórásmezővel, mint a 95,5 %os valószínűségi szintű konfidencia tartománnyal fedhető le (7.3.6.a. ábra), míg a mért vastagváltozási folyamathoz az egyszeres szórásmező is elegendő (7.3.6.b. ábra). Egészében véve, az alkalmazott módszer ez esetben a várható érték durva modellezésére alkalmas. Hajlítóerő, F [mm]

2500 2000

Felső 2*Szór. határ Felső 1*szór. határ Középérték Alsó 1*szór. határ Alsó 2*Szór. határ Mért értékek

1500 1000 500 0

Eps0=0,24; Eps1=0,07; n=1

Ligament vastagság , h [mm]

Eps0=0,24; Eps1=0,07; n=1 3000

Felső szór. határ Középérték Alsó szór. határ Mért értékek

2,5 2 1,5 1 0,5 0

0

2

4

6

8

10

0

Lehajlás, u [mm]

2

4

6

8

10

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.3.6. ábra. Az erő-lehajlás (a) és a vastagságváltozási (b) görbe modellezése és egy 10 mm-es támaszköznél (L/ho=5) mért eredmény (Eps0= E(εS), Eps1=D(εS)) [S77] A 7.3.7.a. és 7.3.7.b. ábrákon 5, 64 mm-es támaszköznél végzett mérés átlaga és a modellezett várható érték, valamint a 95%-os valószínűségi szintű konfidencia tartomány látható. Ez esetben az alkalmazott modellfolyamat jól követi a mért hajlítóerő-átlaggörbét és a vastagságot a 0…4 mm-es lehajlás-tartományban. Nagyobb lehajlásoknál a károsodási folyamat gyorsabb a modellezettnél, és a mért görbék elhagyják a konfidencia tartományt. A 7.3.3. táblázat a két egyedi és az átlagolt mérések modellezéséhez alkalmazott paramétereket és illesztő tényezőket tartalmazza. A 80 mm-es támaszköznél a modellben használt (és a mérttel azonos) kompozit modulus közelítőleg megegyezett a becsülttel, míg a többi esetben – a nyírófeszültségek és a mérethatások miatt – a modellezéshez ennél kisebb, a támaszközzel csökkenő, ún. látszólagos modulus értékekre [K56] volt szükség.

184

Felső szór. határ Középérték Alsó szór. határ Mért értékek

Hajlítóerő, F [mm]

2500 2000 1500 1000 500

Eps0=0,015; Eps1=0,0025; n=5 6

Ligament vastagság , h [mm]

Eps0=0,015; Eps1=0,0025; n=5 3000

0

5

Felső szór. határ Középérték Alsó szór. határ Mért értékek

4 3 2 1 0

0

2

4

6

0

Lehajlás, u [mm]

2

4

6

Lehajlás, u [mm]

a.) b.) 7.3.7. ábra. Az erő-lehajlás (a) és a vastagságváltozási (b) görbe modellezése és egy 64 mm-es támaszköznél (L/ho=13,65) mért eredmény (Eps0= E(εS), Eps1=D(εS)) [S77]

TámaszKompozit modulus Modellezés köz Becsült Mért Szálnyúlás Illesztő tényezők l [mm] E [GPa] E [GPa] c [-] ε0 [%] ε1 [%] cε0 [%] cε1 [-] E 143 136 1.32 0.23 0.95 0.88 0.82 80 143 3.6 24 7 0.03 16 25 10 143 68 1.5 0.25 0.48 1.00 0.89 64 7.3.3. táblázat. Mért és számított adatok, és illesztő tényezők a modellezéshez [K56,S77] A 80 és 64 mm támaszközök esetében az illesztő tényezők elfogadhatók, talán a 64 mm-es támaszközhöz tartozó cE kivételével, ami túl kicsinek tűnik. Nagyobb különbségek és fordított relációk figyelhetők meg a 10 mm-es támaszköz esetében, a pontosabb modellezéshez a módosítás szükségességét jelezve.

7.4. Eredmények értékelése A 7. fejezetben kidolgozott, a klasszikus hajlítás-elméletet, beágyazott E-kötegekből, mint szálrétegekből felépített szerkezetet, valamint a húzott oldali rétegszakadásokat, mint tönkremeneteli módot és a szálrétegeken belül az egyetlen kritikus meghibásodás elvét alkalmazó modell összességében újszerű, a hajlítóerő várható értékére és négyzetes szórására, valamint a vastagságváltozási folyamatokra levezetett formulákhoz hasonlók nem ismeretesek az irodalomban. E modell segítségével számolt várható érték és konfidencia intervallum alkalmas a vizsgált egyirányú szénszálakkal erősített, epoxi mátrixú kompozit rudak mért hajlítóerő-lehajlással jellemzett törési folyamatának trendszerű leírására. Az egyirányú szénszál/epoxi kompozit rudakon végzett mérésekhez illesztett elméleti összefüggés jól követi az erő-lehajlás görbe felfutó részét, és a tekintett egyedi vagy átlagolt görbék lefutó ágát a törési folyamat trendjeként írja le. A vizsgálatok szerint, amennyiben a támaszköz és lehajlás viszonya, L/h=40, a tönkremenetel megfelelt a modellezett húzott oldali rétegek szakadásának, azonban a 10
8. ÖSSZEFOGLALÁS 8.1. Az eredmények összefoglalása Az értekezés 1. fejezetében, a szakirodalmi áttekintés után megfogalmazott célkitűzésnek megfelelő feladatok kidolgozását a 2.-7. fejezetek foglalják össze. A 2. fejezetben kidolgoztuk a 2D-s rövidszálas szerkezetek – elsősorban szálpaplanok – statisztikus geometriai modelljét, amely lényegében az SSTM szálfolyam Poisson modelljének egyfajta 2D-s kiterjesztése. A modell lényegében egy Poisson szülőfolyamatra épített Neyman-Scott folyamatot alkalmaz, amelyben a véletlen számú, irányszögű és hosszúságú szálutód egy, a szülőpontra koncentrált, klasszikus szálköteget (rostot) alkot. Bevezettük a lineáris- vagy szálkörnyezet konstruktív fogalmát, amely – a szálpaplan ELszálfolyamok egyesítésére való felbontásának módszerével együtt – lehetővé teszi, hogy számos (pl. szálmetszési) feladatot geometriai valószínűségekre visszavezetve oldjunk meg. A szálpaplan modell segítségével megoldhatók a szálfolyamok, illetve a rövidszálas 2D-s szerkezetekből kivágott minták szerkezeti jellemzőit illetően kitűzött feladatok. Ezekkel kapcsolatosan kapott fontosabb eredmények: • Konvex mintát (tojástartományt) metsző szálak számának eloszlása. • Konvex mintát metsző szálak hosszának és irányszögének eloszlásfüggvényei. • Egyenes szakaszt metsző paplanszálak, valamint metszeti szálrészeik hosszeloszlása. • Konvex minta területi sűrűségének várható értéke és relatív szórásának nagy mintaterületre vonatkozó, aszimptotikus értéke. • Területegységre eső szálkereszteződések várható száma. • Szálpaplan körpórusainak méreteloszlása vonalszerű és véges szélességű szálakra. A 3. fejezetben bevezetett idealizált szálkötegcellák a szálas szerkezetet alkotó, azonos tulajdonságú, statisztikusan szakadó szálak osztályozásának koncepcióján alapulnak. E tulajdonságok a szálhelyzet, az előfeszítési állapot és a kapcsolat a környezettel, amelyek leírásához véletlen paramétereket alkalmaztunk. A kötegerők meghatározásához tisztázni kellett a kötegszálak nyúlása és a kötegnyúlás közötti kapcsolatot, valamint a szálak erőközvetítésének megváltozását a tönkremenetelek során. Az egyes idealizált tulajdonságokat megjelenítő E, EH, ES és ET alapkötegek lineárisan rugalmas (E - elasztikus) szálakból állnak, amelyek – az elemzések szerint – már önmagukban is alkalmasak viszonylag bonyolult viselkedések modellezésére. A kötegviselkedés a várható húzóerőfolyamattal jellemezhető, amelynek kiszámításához bevezettük a működési intervallumokhoz definiált ablakfüggvények módszerét, amellyel szorzat alakban szétválaszthatóvá vált a rugalmas viselkedést leíró karakterisztika és a tönkremenetelt jellemző paraméterek hatása. Az összes idealizált tulajdonság kombinálódik a bevezetett ESHT-kötegben, amelynek várható húzóerő-folyamatából annak alesetei, az ESH, EHT, EST-kötegeké is megkaphatók. További kiterjesztésként definiáltuk és elemeztük a viszkoelasztikus befogású (EV), valamint a viszkoelasztikus anyagviselkedésű (V) szálakból álló szálkötegcellákat is, amelyek az E típusúakhoz hasonló rendszert alkotnak (V, VH, VS, VT, VHS, VHT, VST, VHST), és amelyekkel a terhelési sebesség hatása is tanulmányozható. A 4. fejezet a szálkötegcella hálózatok alapformái, a párhuzamos és soros kapcsolás értelmezésével és törvényszerűségeivel foglalkozik. A kompozit köteget alkotó párhuzamos kapcsolás elemzése mellett tisztáztuk, hogy a kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása egy új szálköteget eredményez, míg a másik értelmezési lehetőség a szeparált kötegekből álló

186

köteglánc. A kötegláncok esetén kimutattuk, hogy független elemű kötegláncként való kezelésük csak közelítő jelleggel történhet. Az ilyen kötegláncok várható húzóerőfolyamatának becsléséhez értelmeztük a kötegek megbízhatósági függvényét, amely az ablakfüggvény várható értékeként számítható, valamint a kötegek húzó-karakterisztikáját és megbízhatósági karakterisztikáját. Az utóbbit, mint a megbízhatósági függvény közelítését, a várható húzóerő-folyamat és a várható húzó-karakterisztika hányadosaként definiáltuk. Ezzel, a független elemű köteglánc várható húzóerő-folyamata a kötegek megbízhatósági karakterisztikáinak és az eredő várható húzó-karakterisztika szorzatával becsülhető. Elemeztük a nagy szálszámú, ezért a várható húzóerő-folyamatot megvalósító kötegláncok gyenge láncszemének és a köteglánc erőcsúcs utáni lefutó ágának a nyúlástartalékát és meghatároztuk a katasztrófaszerű szakadás feltételét. Kidolgoztuk a méréseredmények elemzésére és anyagmodellek kialakítására alkalmas kötegmodellező program koncepcióját, és bemutattuk a megvalósított változattal végzett fenomenológiai kötegmodellezés egyes eredményeit. Az 5. fejezetben kidolgozott modell az egyirányú szálas szerkezetek várható húzóerőfolyamatát, illetve szilárdságának az átlagos szálhossztól való függését írja le különböző tönkremeneteli módok esetén, felhasználva egyrészt az irodalomban elterjedt szemléletű pillanatszerű törés modellt, másrészt az ES-köteg speciális változatait a fokozatos károsodás újszerű leírásához tetszőleges szálhossz-, illetve szálszakító nyúlás eloszlások és véletlen szálhúzó merevség mellett. Állandó szálszakító nyúlás, húzómerevség és szálszakító erő feltételezésével, állandó szálhossz és exponenciális szálhosszeloszlás eseteire meghatározott várható húzóerő-folyamatok alapján, egyszerű, a tárgyalt tönkremeneteli módok mindegyikére, azaz a pillanatszerű és egyidejű, valamint az ES1, illetve ES2 típusú tönkremeneteli módokra érvényes, analitikus formulákat vezettünk le az átlagos szakítószilárdság és az átlagos szálhossz összefüggésének leírására. Amennyiben a szálhossz relatív szórása 0 és 1 közé eső érték, úgy újszerű becslésként az állandó szálhosszra, illetve exponenciális szálhosszeloszlásra kapott megoldások konvex lineáris kombinációjának alkalmazása javasolható. Az eredmények gyakorlati alkalmazhatóságát PP szálak szakítószilárdsága és átlagos molekulatömege közötti összefüggés identifikációjával mutattuk be, ami további mérések nélkül lehetővé tette az effektív kritikus molekulatömegnek és a molekulaláncok effektív szilárdságának becslését. A rövidszálas szálfolyamokra kapott eredmények alapján egyszerűen kezelhető formulákat vezettünk le az egyirányú, állandó hosszúságú szálakkal erősített kompozitok szilárdságának és a túl kicsi mátrixtartalom esetén fellépő tapadáscsökkenés hatásának becslésére. A 6. fejezetben kidolgozott hengerréteges, helix-típusú, a keresztmetszetben változó szálszám-sűrűségű, filament fonalmodell tetszőlegesen nagy szálnyúlások és a kísérleti vizsgálatok alapján kialakított, kötegnyúlástól függő kontrakciós függvény alkalmazása révén nagy sugárirányú kontrakciók leírására is alkalmas, amely jelentősen eltérő viselkedésű struktúrák modellezését is lehetővé teszi. A szálnyúlás formula alkalmas a szálrétegeken sugárirányban szabadon áthatoló szálhullámossággal értelmezett szálmigráció figyelembe vételére, valamint a sodrási maradó feszültség modellezésére is. A várható húzóerő- és csavarónyomaték folyamatok elemzése mellett kimutattuk, hogy nagyobb sodratoknál viszonylag kis mértékű (10%) sodrási maradó feszültség jelenlétében – az egyenletesebb terhelésmegosztás révén, az előfeszített vasbeton szerkezetekhez hasonlóan – a szálszilárdságkihasználás jelentős növekedése érhető el. A mért eredményekkel összevetve megállapítható volt, hogy a fonalmodellel kapható várható szakítóerő az adott fonalak esetében kissé felülbecsült. A 7. fejezetben egyirányú, folytonos szálakkal erősített kompozit rudak hajlítóvizsgálatának elemzéséhez és a hajlítóerő lefolyás leírásához egy, a klasszikus hajlítás-

187

elméletet, beágyazott E-kötegekből, mint szálrétegekből felépített szerkezetet, valamint a húzott oldali rétegszakadásokat, mint tönkremeneteli módot és a szálrétegeken belül az egyetlen kritikus meghibásodás elvét alkalmazó modellt dolgoztunk ki. E modell alapján meghatározott formulákkal számolt várható hajlítóerő-folyamat és konfidencia intervalluma alkalmas az egyirányú kompozit rudak mért egyedi, vagy átlagolt hajlítóerő-lehajlással jellemzett törési folyamatának trendszerű leírására. Az egyirányú szénszál/epoxi kompozit rudakon végzett mérésekhez illesztett elméleti összefüggés jól követte az erő-lehajlás görbe felfutó részét, és a tekintett egyedi vagy átlagolt görbék lefutó ágát a törési folyamat trendjeként írja le. A vizsgálatok szerint, amennyiben a támaszköz és lehajlás viszonya L/ho=40, a tönkremenetel megfelelt a modellezett húzott oldali rétegek szakadásának, azonban a hajlító vizsgálat 10
8.2. Továbbfejlesztési koncepció A szálas szerkezetek statisztikus szálkötegcellákon alapuló, szerkezeti-szilárdsági modellezésének átfogó, a továbbfejlesztési feladatokat is magába foglaló koncepcióvázlatát a 8.2.1. ábra szemlélteti. SZÁLAS SZERKEZET

Textília

Szálfolyam

Véges befogási hossz (2,1,0-befogású szálak)

E, EH, ES, EHS

Kompozit

Köteglánc

Végtelen befogási hossz (0-befogású szálak)

Ferdeszálas

Textília

Szálfolyam

Véges befogási hossz és szélesség (2,1,0-befogású szálak)

ET, EHT, EST, EHST

Kompozit

Köteglánc

Végtelen befogási hossz és véges szélesség (0-befogású szálak)

Egyirányú 1D 2D 3D

8.2.1. ábra. A statisztikus szerkezeti szilárdsági modellezés koncepciója Ennek alapján a legfontosabb továbbfejlesztési feladatok: • Az egyirányú szálas rendszerek esetében a befogási hossz hatásának, valamint a megbízhatósági függvények és karakterisztikák tulajdonságainak analitikus és numerikus elemzése, a soros kapcsolás további törvényszerűségeinek feltárása. • A ferdeszálas szerkezetekre, felhasználva a kidolgozott szálpaplan modell révén kapható szálhossz-eloszlásokat, a véges és végtelenül nagy befogási hosszúságú minták várható húzóerő-folyamatának, továbbá szilárdságának és a befogási hossz, az átlagos szálhossz, illetve a mintaszélesség függvénykapcsolatának meghatározása állandó szálhossz és exponenciális szálhosszeloszlás mellett. • Ferde, rövidszálakkal erősített kompozit réteg várható húzóerő-folyamatának és szilárdságának meghatározása kis és nagy befogási hosszak esetében.

188

• Az eredmények alkalmazása szálrétegekből felépített (laminált) hengeres és négyszög keresztmetszetű rudak elmozdulás-gerjesztés melletti, kvázistatikus húzó-, hajlító- és csavaróvizsgálati viselkedésének leírására. • Az elemzések végrehajtása és a vonatkozó összefüggések meghatározása kvázistatikus erő- vagy nyomaték-gerjesztések esetére. • Kiterjesztések a periódikus és dinamikus terhelésekre. • A mérnöki tervezésekhez használt végeselemes programokhoz statisztikus szálkötegcella alapú, kompozit anyagmodellek kidolgozása. A következőkben ezeknek a hasznosítások során megvalósult, illetve kidolgozás alatt lévő egyes elemeit mutatjuk be.

8.3. Hasznosítási eredmények és munkák Hasznosítási eredmények A szálpaplan modellen, illetve a szálkötegcella módszeren alapuló, különböző, PhD és MTA doktori disszertációkban hasznosult eredmények, alkalmazások témakörei: (1) A kritikus szálhossz meghatározásának új módszere unidirekcionális rövidszálas kompozitokban A rövidszálas kompozit szálfolyam modellje és az aktív szálhossz alkalmazása (Mts.: Ronkay F., Czigány T.) [K63] (2) Unidirekcionális, rövidszálas hibrid kompozitok szilárdsága Hibrid szálfolyam és beágyazott változata (Mts.: Czigány T.) [K15,S84] (3) Szálfejek hatáskörnyezetének statisztikus modellezése bazaltszálerősítésű PP kompozitokban Szálpaplan modell alkalmazása (Mts.: Pölöskei K., Czigány T.) [K54] (4) Pórusméreteloszlás font fonalakban Szálpaplan modell alkalmazása hengerréteges font fonal keresztirányú pórusai, kapillárisai méreteloszlásához (rétegpórusok lánca) (Mts: Nagy V.) [K50] (5) Folyadékfelszívás szálkötegben Kapilláris köteg alkalmazása a fonalköteg szálai közötti multikapilláris rendszer leírásához (Mts.: Nagy V., Koštakova E.) [K50] (6) Kötegmodell alkalmazása unidirekcionális rúd hajlításához Alkalmazás kidolgozása unidirekcionális szénszál/epoxi rudak 3P hajlításához (Mts.: Rácz Zs. és Nagy P.) [K56] (7) Poliészter próbatestek húzóvizsgálatánál fellépő erőoszcillációs folyamat modellezése Determinisztikus EH-köteg viszkoelasztikus beágyazásban (Mts.: Ronkay F.) [K63] (8) Fonatolt erősítésű kompozit cső húzása Determinisztikus ferdeségű ET és EHT kötegek alkalmazása (Mts.: Zsigmond B.) [K83] Folyamatban lévő hasznosítási munkák: (1) Polimerek és kompozitok fáradási folyamatának modellezése Viszkoelasztikus beágyazású Maxwell szálköteg alkalmazása (Mts.: Borbás L. és Pető I.) (2) Ferdeszálas lap és vele erősített kompozitok szilárdsága • Szálpaplanból, illetve a vele erősített kompozit lapból kivágott próbatestek szilárdsága, a tönkremeneteli probléma kötegelvű megfogalmazása, a kivágási irány hatása (anizotrópia), valamint a próbatest szélességének és befogási hosszának hatása. (Mts.: Balogh K., Simon Z.L., Gombos Z., Tábi T.) • Szabályos textilszerkezetek és velük erősített kompozit lapok szilárdsága (Mts.: Simon Z.L., Gombos Z.) 189

(3) Maximális pórus méreteloszlása a szálpaplan mintában A szálpaplan modell alapján a buborékmérésekhez kiértékelés módszer kidolgozása (Mts.: Gombos Z.) (4) Kötegmodellező szoftver fejlesztése A szálkötegcellák, illetve azok párhuzamos és soros kapcsolása révén szerkeszthető hálózatok kezelését, tanulmányozását és valós szerkezeteken mért eredmények modellezését lehetővé tevő szoftver fejlesztése (Mts.: Tamás P.) [S80,S81]

190

TÉZISEK 1. Tézis. Kidolgoztunk egy kétdimenziós rövidszálas, statisztikus szerkezeti-geometriai modellt, amelyben a rostok húrközéppontjait a síkon egy Poisson pontfolyamat állítja elő, és a rostokat, mint elemiszál-kötegeket a középpontjuk véletlen paraméterű lineáris környezete modellezi. Kimutattuk, hogy a modell jól alkalmazható a szálpaplanok szabálytalan szerkezetének leírására, a kivágott mintával, illetve a ferde szálakkal kapcsolatos metszeti feladatok megoldására. Bebizonyítottuk, hogy homogén, K pontsűrűségű Poisson pontfolyamat és tőle, illetve egymástól is független, véletlen szálhossz (0
F(l,β)(x,yMA) =

y

∫ ∫

0 −π / 2

TA + ud ⊥ ( w, A) dFβ ( w)dFl (u ) TA + l Ε[d ⊥ ( β , A)]

(T1.2)

ahol Fβ és Fl a szálak irányszögének és hosszának eloszlásfüggvénye. Az A-t metsző szálak hossz-, illetve irányszög-eloszlásfüggvénye a (T1.2) peremeloszlásfüggvényeként kapható. Az előbbi megegyezik a szálfolyamok keresztmetszeti hossz-eloszlásfüggvényével. Egy A egyenes szakaszt (TA=0) metsző szálak egyoldali metszeti részeinek eloszlásfüggvénye megegyezik a szálfolyamokra érvényes szakállhossz-eloszlásfüggvény formulájával: x

S(x) = Fl+(xMA) = lim F(l , β ) ( x, y M A ) = ∫ y →π / 2 T A →0

0

1 − Fl (u ) du l

(T1.3)

1.3. Egy A tojástartomány, mint kivágott minta ρTA területi sűrűségének várható értéke: E(ρTA) =ρLo K ν l (T1.4) ahol ν a rostok elemi szálainak átlagos száma. A ρTA területi sűrűség relatív szórása az alábbi egyenlőtlenséggel becsülhető (1 + Vν2 )(1 + Vl 2 ) l E [ d ⊥ ( β , A )] V A21 = ≤ V2(ρTA) ≤ VA21 + Vl2 (T1.5) TA + l E [ d ⊥ ( β , A )] KT A és a TA növekedésével V(ρTA) aszimptotikusan tart a VA1 alsó korláthoz. 1.4. A b átlagos szélességű rostok közötti pórusokba írható körök, mint valós körpórusok ρ sugarának eloszlásfüggvénye:   bπ − K  2r 1+ 2l Fρ (r ) = 1 − e  

  l + r 2π   

(T1.6)

amelyből b = 0 esetén a látszólagos körpórusméret eloszlásfüggvényét kapjuk. A tézishez kapcsolódó publikációk: [S7,S11,S12,S14,S26,S27,S66-S70,S72]

2. Tézis. Kidolgoztuk a szálhelyzet, az előfeszítési állapot és a környezettel való kapcsolat jellege alapján definiált és idealizált, statisztikus szálkötegcellák rendszerét, és kimutattuk,

191

hogy a szálkötegcellák alkalmasak a szálas szerkezetekben az elasztikus (E) vagy viszkoelasztikus (V) típusú, szakadó szálak mechanikai vizsgálatok során mutatott kollektív viselkedésének modellezésére, a szálhullámosság, a szálferdeség, a kontrakció, a szálkicsúszás és a szálszakadás hatásának vizsgálatára. A kötegviselkedést jellemző várható húzóerő-folyamat kiszámításához bevezettük a működési intervallumokhoz definiált ablakfüggvények módszerét, és nyúlásvezérelt húzóigénybevétel esetében bebizonyítottuk, hogy az egyes szálkötegcellák esetében az alábbi formulák alkalmazhatók (u≥0): 2.1. Az E-köteg egy szálra eső húzóerő-folyamatának négyzetes szórása: Ku (T2.1) D (F1(u ) ) = VK2 + Qε S (u ) 1 − Qε S (u ) n ahol u≥0 a relatív kötegnyúlás, n a kötegszálak száma, K és VK a K szálhúzó-merevség átlaga és relatív szórása, QεS az εS szakítónyúlás eloszlásfüggvénye. 2.2. A hullámos vagy előfeszített szálú EH-köteg egy szálra eső várható húzóerő-folyamata:

(

F1( u ) = K

)(

)

∞

∫ y( u , x ) + [1 − Qε S ( y( u , x ) + )]dQε o ( x ) ,

y(u,x) = (1+u)(1+x) –1

(T2.2)

−1

ahol εo a relatív nyúláselőfeszítés (εo<0 hullámosság) és Qεo az eloszlásfüggvénye, valamint y( u , x ) + .az y(u,x) függvény pozitív része. 2.3. A befogásból állandó ellenállás mellett kicsúszó szálakat is tartalmazó ES-kötegek (ES, ES1, ES2) egy szálra eső várható húzóerő-folyamata:

(

)(

)

(

u

)(

)

F1(u ) = K u 1 − Qε S (u ) 1 − Qε b (u ) + K ∫ x 1 − Qε S ( x) 1 − Qε bL (u − x) dQε b ( x)

(T2.3)

0

ahol Qεb és QεbL az εb kicsúszási határnyúlás és a tőle független εbL relatív kicsúszási hossz eloszlásfüggvénye. Amennyiben a kicsúszási hossz arányos a kicsúszási határnyúlással (εbL=αεb), úgy az állandó kicsúszási ellenállású ES1-köteg vagy az egyenletesen csökkenő kicsúszási ellenállású ES2-köteget kapjuk, amelyeknek állandó K szálhúzó-merevség esetén az egy szálra vonatkozó várható húzóerő-folyamata, rendre:

(

)(

)

F1(u ) = Ku 1 − Qε S (u ) 1 − Qε b (u ) + K

(

)(

)

∫ x(1 − Qε S ( x) )dQε b ( x)

u

u /(1+α )

(

u

F1(u ) = Ku 1 − Qε S (u ) 1 − Qε b (u ) + K

(T2.4)

)

Ku  1+ α x−   1 − Qε S ( x) dQε b ( x) (T2.5) α α   u /(1+α )

∫

2.4. A ferdeszálas ET-köteg húzásirányú (L), egy szálra eső várható húzóerő-folyamata: F1L ( u ) = K

∞

∫

−∞

[

(

h( u , x ) + 1 − Qε S h( u , x ) +

)]

1+ u ( 1 + u )2 + x 2W 2 ( u )

dQT0 ( x )

(T2.6)

ahol W(u) a keresztkontrakciós függvény és h(u , x) =

(1 + u )2 + x 2W 2 (u )

−1 (T2.7) 1 + x2 2.5. Az EHST-kötegben kombinálódnak az alapkötegek tulajdonságai, ezért a húzásirányú, egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő-folyamata és a szálnyúlás-függvény (u≥0):

192

F1L ( u ) = K

∞ ∞

∫ ∫ ε ( u , x , y ) + (1 − Qε S (ε ( u , x , y ) + ))(1 − Qε b (ε ( u , x , y ) + ))

− ∞ −1

+K

∞ ∞ ε ( u ,x , y ) +

∫ ∫

∫

− ∞ −1 max( 0 ,x )

(

))(

(

)( 1 + u )dQε

z 1 − Qε bL ε ( u , x , y ) − z + 1 − Qε S ( z )

b

( 1 + u )dQε o ( x )dQTo ( y ) 2

2

2

(1 + u ) + y W ( u )

( z )dQε o ( x )dQTo ( y )

( 1 + u )2 + y 2W 2 ( u ) (T2.8)

ε ( u ,x, y ) = (1 + x )

( 1 + u )2 + y 2W 2 ( u )

−1 (T2.9) 1 + y2 amelyből speciális esetként mind az E, EH, ES és ET alapkötegek, mind azok kombinációi, az EHS-, EHT-, és EST-kötegek húzóerő-folyamata is megkapható. 2.6. A viszkoelasztikus befogású EV-köteg várható húzóerő-folyamata:

F1( u ) =

∞∞



y 

 

y   

 

y  

∫ ∫ xε  u; x 1 − Qε S  ε  u ; x   1 − Qλb  g  u; x   dQK ( x )dQη F ( y )

(T2.10)

o o

ahol K a szálak húzómerevsége, ηF a befogás viszkózus csillapítása, λb a viszkózusan befogott szálhossz aránya a terheletlen befogási hosszhoz viszonyítva és QX az X∈{K, ηF, λb} változó eloszlásfüggvénye, u&o a kötegnyúlás sebessége és

 y  u − ε (u ; y / x ) g u;  =  x  1 + ε (u ; y / x )  o   A tézishez kapcsolódó publikációk: [S43-S48,S50,S54,S76,S78-S83]

 u x  y y  ε ( u , ) = u&o 1 − exp − x x u& y  

(T2.11)

3. Tézis. A szálkötegcellák párhuzamos és soros kapcsolási módjainak elemzése és az elvégzett alkalmazhatósági vizsgálatok alapján, valamint a kidolgozott megbízhatósági függvényeket és megbízhatósági karakterisztikát illetően kimutattuk: 3.1. Kísérleti vizsgálati eredmények és a leírásukhoz szerkesztett kötegmodellek segítségével bebizonyítottuk, hogy a kompozit kötegek, mint szálkötegcellák szálszámokkal súlyozott párhuzamos kapcsolása, jól alkalmazhatók különböző típusú szálas szerkezetek mért húzóerő-folyamatának fenomenológiai modellezésére és a szerkezeti jelleg, valamint a szálszilárdság kihasználásának meghatározására, elemzésére. 3.2. Bebizonyítottuk, hogy különböző típusú szálkötegcellák szálfolyam elvű, soros kapcsolásának eredménye általában egy EHST-köteggel leírható szállánc köteg. 3.3. Kimutattuk, hogy szálkötegcellák megbízhatósági függvénye az ép szálak várható részarányával értelmezhető, és a vonatkozó tönkremenetel-mentes működés ablakfüggvényének várható értékeként számítható ki. A megbízhatósági függvény az adott szálkötegcella várható húzóerő-folyamatának és a várható húzókarakterisztikájának hányadosával definiált megbízhatósági karakterisztikával becsülhető. 3.4. Kimutattuk, hogy a független elemű szálköteglánc várható húzóerő-folyamata a kötegek megbízhatósági karakterisztikáinak és a köteglánc eredő húzó-karakterisztikájának szorzatával becsülhető. A tézishez kapcsolódó publikációk: [S43-S45,S48,S50,S71,S76,S78-S81] 4. Tézis. Kimutattuk, hogy egy véges befogási hosszúságú, húzóigénybevétellel terhelt, egyirányú rövidszálas szerkezet esetében az E-köteg, valamint az ES1- vagy ES2-köteg alkalmas a különböző befogású szálak kezelésére és a várható húzóerő-folyamat 193

+

meghatározására. Bebizonyítottuk, hogy nagy befogási hosszak (az úszó szálak mellett a két-, illetve egy-befogású szálak aránya elhanyagolhatóan kicsi), valamint állandó szálhúzómerevség és szálszakító-nyúlás esetében a következő számítási formulák és módszerek alkalmazhatók: 4.1. Az állandó szálhossz, illetve exponenciális szálhosszeloszlás, valamint az egyidejű, illetve a fokozatos, ES1-, vagy ES2-típusú tönkremenetelek esetére is érvényes összefüggés az egyirányú szálas szerkezet szakítószilárdsága és a szálhossz között a következő, két görbeszakaszt leíró formulákkal adható meg (ES1: i=1, ES2: i=2): 2 λ  2 Gi (α ), λ < µ (α )  (T5.1) FH i * = fi (λ , α ) =  2  H (λ ;α ), λ ≥ i µ (α )  ahol α≥0 a kicsúszási tényező, λ = l / l S fajlagos szálhossz ( l az átlagos szálhossz és lS az állandó kritikus tapadási hossz), λGi(α)/2 és Hi(λ,α) szakaszfüggvények és a µ(α) állandó (az állandó szálhosszat a ’konst.’, míg az exponenciális szálhosszeloszlást az ’exp.’, valamint a pillanatszerű és egyidejű tönkremenetelt a ’pill.’ rövidítés jelöli): ∞, pill., exp λ  λ  fi1 ;α , exp .   (α → ∞ )  f ( x * (α );α ), exp .  2  2  µ (α ) =  Gi (α ) =  i1 H i (λ ,α ) =  C (α ), konst. 1 − 1 , konst.  x * (α ), ESi, exp .  C (α )λ C (α ), konst. (T5.2) továbbá x* a következő egyenletnek csak α-tól függő megoldása, míg C(α) állandó: x  pill., konst. 1, − 1 + x e 1+α − e− x , i = 1  (α → ∞)  1+α   fi1( x;α ) =   (1 + α )2 1 + α − x α , C ( ) =  , ES1 − köteg (T5.3) 2  e 1+α − e − x , i = 2 ( )  α 1 + 1 +  α  dfi1 ( x) 1 + α , ES 2 − köteg x* = x * (α ) : =0  2 + α dx A fenti összefüggés, 1-nél nem nagyobb relatív szálhossz szórás esetében, az állandó szálhosszra és az exponenciális szálhosszeloszlásra vonatkozó formulák konvex lineáris kombinációjával adható becslésekre a szálhosszeloszlás ismerete nélkül is alkalmazható. Kimutattuk továbbá, hogy erősen orientált, lineáris láncmolekulákból felépülő polimer szálak esetében a fenti formulákkal a várható szakítóerő és az átlagos molekulatömeg közötti összefüggés becsülhető. 4.2. Kimutattuk, hogy állandó szálhossz esetében az alábbi összefüggés alkalmazható a termoplasztikus mátrixú, egyirányban erősített, rövidszálas polimer kompozitok σC szakítószilárdsága és a szálhossz (lo>0), valamint a száltartalom között (0≤ϕ1≤1): 2+α  ϕ 2 1    [ϕ + (1 − ϕ1)κ ] 1 + α lo , (1 − ϕ )κb , lo < 2 B(ϕ ,α ) = 1+α max 1  m  1 1  σC  2 + 4 l l + ( ϕ α ϕ S S 1 1 1 − ϕ1)κ   = σS    lo 2 + α lS  , max ϕ1 + (1 − ϕ1)κ − ϕ1 , ( 1 − ϕ ) κ b m 1    l ≥ 2 B (ϕ1, α ) α 1 + l  o S     (T5.4)

194

ahol σS a szálak szakítószilárdsága, α a kicsúszási tényező, valamint κ, illetve bm a mátrix és a szálak húzómodulusának, illetve szakítónyúlásának hányadosa, továbbá lo az állandó szálhossz és lS az állandó kritikus tapadási hossz. A tézishez kapcsolódó publikációk: [S71,S80-S84]

5. Tézis. Kidolgoztunk egy, hengeres szálrétegekből, mint párhuzamosan kapcsolt, sodratparaméterezett, változó szálszámsűrűségű ET-kötegekből felépített statisztikus modellt, amelyről kimutattuk, hogy alkalmas a nagy nyúlású, szakadó szálakból sodrott, rövid filament fonalszakaszok várható húzóerő- és csavarónyomaték folyamatának leírására és a sugárirányú kontrakciós viselkedés, illetve a sodrási maradó feszültség hatásának elemzésére. Numerikus elemzéseink alapján megállapítottuk: 5.1. Az alkalmazott hiperbolikus kontrakció mértékének növekedése, a TG>0,2 sodratparaméter tartományban, jelentősen csökkenti a szálszilárdság kihasználást és a fonal húzómerevségét. 5.2. A PM=10% maradó feszültség tényezővel adott sodrási maradó feszültség jelenléte, a TG>0,5 sodratparaméter tartományban és a térfogatállandóságnak megfelelő kontrakció mellett, jelentősen (10…20%-al) növeli a szálszilárdság kihasználási tényezőjét. A tézishez kapcsolódó publikációk: [S45,S48,S50,S71,S80,S81] 6. Tézis. A klasszikus hajlításelméletre alapozva kidolgoztunk egy, E-köteg rétegekből felépített próbatest hárompontos hajlítása során a húzott oldali rétegek szakadását feltételező, statisztikus kötegmodellt, amelynek alapján kapott formulák segítségével leírható és tanulmányozható, illetve fenomenológiai alapon modellezhető az egyirányú szálakkal erősített kompozitok hajlítóerő-lehajlás összefüggésének trendje. Bebizonyítottuk, hogy a várható hajlítóerő-folyamat, valamint a szórásnégyzet folyamat az alábbi formulákkal számítható: 6.1. A várható hajlítóerő-folyamat (u≥0, t≥0): ho  6u (t )  4bE 2 2  F (u (t ) ) = u (t ) I 3 x 2 , u (t ) I x u t = x − Q x  dx (T7.1) 3 , ( ) 3 1  ∫ ε L 2 l3 l    0 ahol u≥0 a nyomótest elmozdulása, t≥0 az idő, b és ho a próbatest szélessége és vastagsága, l a támaszköz, E a kompozit hajlító modulusa, I integrál operátor, QεL a beágyazott szálrétegek εL szakító nyúlásának eloszlásfüggvénye. A vizsgálatok szerint az εL a szálak εS szakítónyúlásának elsőfokú polinomjával közelíthető, amelynek együtthatói – fenomenológiai alkalmazás esetében – a mért folyamat segítségével illeszthetők. 6.2. A hajlítóerő szórásnégyzet-folyamata (u≥0, t≥0):

(

)

(

)

[(

) (

)]

16b 2 E 2 2 D (F (u ) ) = u (t ) I 6 x 5 , u (t ) − I 2 3x 2 , u (t ) (T7.2) 6 l aminek segítségével a várható hajlítóerő folyamat köré konfidencia intervallum szerkeszthető. A tézishez kapcsolódó publikációk: [S76,S77,S80,S81] 2

195

IRODALOMJEGYZÉK Folyóiratcikkek, konferencia kiadványok, szabványok 1. 2. 3.

4. 5. 6. 7. 8.

9.

10.

11.

12.

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Abdel-Ghani M.S., Davies G.A. (1985) Simulation of Nonwoven Fibre Mats and the Application to Coalescens. Chemical Engineering Science 40. (1) 117-129. Advani S., Tucker C. (1987) The Use of Tensors to Describe and Predict Fiber Orientation in Short Fiber Composites. Journal of Rheology 31. (8) 751-784. Alagha M.J., Oxenham W., Iype C. (1994) The Use of an Image Analysis Technique for Assessing the Structural Parameters of Friction Spun Yarns. Journal of The Textile Institute Part I. 85. (3) 383-388. Åström J.A., Mäkinen J.P., Alava M.J., Timonen J. (2000) Elasticity of Poissonian Networks. Physical Review E. 61. (5) 5550-5556. Aydilek A.H., Oguz S.H., Edil T.B. (2005) Constriction Size of Geotextile Filters Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering 131. (1) 28-38. Bais-Singh S., Goswami B.C. (1995) Theoretical Determination of the Mechanical Response of Spun-bonded Nonwovens. Journal of The Textile Institute 86. (2) 271-288. Barry P.W. (1978) The Longitudinal Tensile Strength of Unidirectional Fibrous Composites. Journal of Materials Science 13. 2177-2187. Baxevanis T., Dufour F., Pijaudier-Cabot G. (2005/6) Interface Crack Propagation in Porous and Time-Dependent Materials Analyzed with Discrete Models. International Journal of Fracture 141. 3-4. (10) 561-571. Baxter B.P., Brims M.A., Taylor T.B. (1993) Description and Performance of the Optical Fibre Diameter Analyser (OFDA). Journal of The Textile Institute 83. (4) 507526. Bažant Z.P. (2001) Probabilistic Modeling of Quasibrittle Fracture and Size Effect Structural Safety and Reliability, Corotis et al. (eds), Swets & Zeitinger, ISBN 90 5809 197 X, 1-30. http://64.233.183.104/search?q=cache:YwJeeKRGidUJ:wwww.civil.northwestern.edu/ Bažant Z.P., Pang S.D., Vořechovský M., Novák D., Pukl R. (2004) Statistical Size Effect in Quasibrittle Materials: Computation and Extreme Value Theory. Fracture Mechanics of Concrete Structures Proceedings FraMCoS-5, 5th Int. Conf. on Fracture Mech. Of Concrete and Concr. Structures, Vail, Colorado. Vol.1. 189-196. Breny H. (1953) The Calculation of the Variance-Length Curve from the Length Distribution of Fibers. Part I. Journal of The Textile Institute Proceedings 44. (1) P1-P9, Part II: 44. (1) P10-P14. Brody H. (1979) The Breakage of Staple Yarns. Textile Research Journal 49. (9) 516522. Broughton R.M., El Mogahzy Y., Hall D.M. (1992) Mechanism of Yarn Failure. Textile Research Journal 62. (3) 131-134. Brunk N., Steinert A. (1990) Garnstrukturuntersuchungen an OE-Friktionsgarnen Textiltechnik 40. (1) 13-20. Budnyikov V.I. (1969) O verojatnosztyi obrüva prjazsi. Haucsna-iszledivatyelszkije trudü MTI, t. XXII. Moszkva, izd-vo “Legkaja indusztrija”. 106-109. Bullock R.E. (1974) Strength of Composite Materials in Flexure and in Tension. Journal of Composite Materials 8. (4) 200-206. Calard V. (1998) Ultimate Failure of Fibre Bundles and Influence of Load Sharing Conditions. In: Approches statistiques – probabilistes du comportement méchanique des I

19.

20. 21. 22.

23. 24. 25. 26.

27. 28. 29. 30. 31. 32.

33. 34.

35. 36.

37.

composites á matrice céramique. PhD Thesis Universite Sciences et Technologies, Bordeaux. http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/30/71/ Deposited by V. Calard on 01 July 2003. Carnaby G.A. (1980) The Compression of Fibrous Assemblies, with Applications to Yarn Mechanics. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 99-112. Carnaby G.A., Curiskis J.I. (1987) The Tangent Compliance of Staple-fibre Bundles in Tension. Journal of The Textile Institute 78. (4) 294-305. Carnaby G.A., Pan N. (1989) Theory of the Compression Hysteresis of Fibrous Assemblies. Textile Research Journal 59. (5) 275-284. Ceplak M., Thomas H., Färber C. (1992) Bestimmung der Festigkeit und Dehnung von Chemiefasern nach dem Einzelfaser- und Bündelverfahren als Grundlage zur Entwicklung einer Prüfmethode für High-Volume-Instrumente. Melliand Textilberichte 73. (2) 113-116. Cheng C.C., Duckett K.E. (1972) Energy Loss within Sheared Fiber Assemblies. Textile Research Journal 42. (1) 51-60. Cheng C.C., Duckett K.E. (1979) The Direction Distribution on Cross-Contact Points in Anisotropic Fiber Assemblies. Textile Research Journal 49 (7) 379-384. Cherif C., Achnitz R. und Wulfhorst B. (2000) Einfluss der Haft-Gleit-Eigenschaften von Faserbändern auf das Verzugsverhalten. Melliand Textilberichte 81. (1-2) 37-39. Chou T.-W., Ishikawa T. (1989) Analysis and Modeling of Two-dimensional Fabric Composites. In: Textile Structural Composites. (edited by Chou, Tsu-Wei and Ko, Frank. K.) Composite Materials Series 3. Chapter 7. Elsevier, New York, 209-263. Cox D.R., Townsend M.W. (1951) The Use of Correlograms for Measuring Yarn Irregularities. Journal of the Textile Institute Proceedings 42. P145-P151. Cybulska M. (1999) Assessing Yarn Structure with Image Analysis Methods Textile Research Journal 69. (5) 369-373. Cybulska M., Goswami B.C. (2001) Tensile Behaviour of Staple Yarns. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 26-37. Cotterell, B. (2002). The Past, Present, and Future of Fracture Mechanics. Engineering Fracture Mechanics 69. 533-553. Daniels H.E. (1945) The Statistical Theory of the Strength of Bundles of Threats. Proceedings of the Royal Society of London. A183. 405-435. Dastoor P.H., Ghosh T.K., Batra S.K., Hersh S.P. (1994) Computer-assisted Structural Design of Industrial Woven Fabrics. Part III: Modelling of Fabric Uniaxial/Biaxial Load-Deformation. Journal of The Textile Institute 85. (2) 135-157. Dent R.W. (2001) Inter-fiber Distances in Paper and Nonwovens. Journal of The Textile Institute Part I. 92. (1) 63-74. De Jong S. and Postle R. (1977) An Energy Analysis of Woven Fabric Mechanics by Means of Optimal-control Theory. Part I: Tensile Properties. Journal of The Textile Institute 68. 350-361. Part II: Pure-bending Properties. 68. 362-369. De Jong S., Postle R. (1978) A General Energy Analysis of Fabric Mechanics Using Optimal-control Theory. Textile Research Journal 48. 127-135. De Jong S., Postle R. (1980) Energy Optimisation Methods in Fabric Mechanics. In: (edited by Hearle, J.W.S., Thwaites, J.J., and Amirbayat, J.) (1980) Mechanics of Flexible Fibre Assemblies. (NATO ASI Series), Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, Netherlands. 227-242. de Malatinszky P., Grosberg P. (1955) The Medium- and Long-term Variations of a

II

38.

39.

40.

41. 42. 43.

44. 45.

46. 47. 48. 49.

50. 51. 52.

53. 54. 55. 56.

57.

Yarn II. Journal of the Textile Institute Transactions 46. No.6. T310-T316. de Miranda Boari, Z., Monteiro, W. A., de Jesus Miranda, C. A. (2005): Mathemathical Model Predicts the Elastic Behavior of Composite Materials. Materials Research, 8. No. 1. Sao Carlos, Jan./Mar., 1516-1439 (13 pages). Downloaded from http://www.scielo.br/ Desrumaux, F., Meraghni F., Benzeggagh, M.L. (2000): Generalised Mori-Tanaka Scheme to Model Anisotropic Damage Using Numerical Eshelby Tensor. Journal of Composite Materials, 35. (07) 603-624. Dhavan K., Bhatt H.H., Radhakrishnan T. (1984) Estimation of Tensile Properties of Single Cotton Fibers from Load-Elongation Curves of Bundles. Textile Research Journal 44. (8) 549-551. Driscoll R.H., Postle R. (1988) Modelling the Distribution of Fibres in a Yarn. Journal of The Textile Institute 79. (1) 140-143. Dutta A. (1989) Estimating the Variability of PET Spun Fiber Properties Using Computer Simulation Textile Research Journal 59. (7) 411-415. Dweib M.A., Vahlund C.F., Ó Bradaigh C.M. (2000) Fiber Structure and Anisotropy of Glass Reinforced Thermoplastics. Composites Part A: Applied Science and Manufacturing. 31. 235-244. Duxbury P.M., Leath P.L., Beale P.D. (1987) Breakdown Properties of Quenched Random Systems: the Random –Fuse Network. Physical Review B. 36. 367-380. El Mogahzy Y.E. and Broughton R.M. (1992) “Regressional” Observations of HVI Fiber Properties, Yarn Quality, and Processing Performance of Medium Staple Cotton. Textile Research Journal 62 (4) 218-226. El-Shiekh A. and Backer S. (1972) The Mechanics of Fiber Migration Part I: Theoretical Analysis. Textile Research Journal 42. (3) 137-146. Eördögh I., Verő B., Szász K. (1996) Szemcseméret-eloszlás mérése törési felületen képanalízis segítségével. Műszerügyi és Méréstechnikai Közlemények 58. 33-36. Felix E. (1955) Bestimmung mechanischer Fehler der Spinnerei mit Hilfe des Wellenlängenspektrums. Melliand Textilberichte 36. 698-702. Fiedler B., Hojo M., Ochiai S., Schulte K., Ando M. (2001) Failure Behavior of an Epoxy Matrix under Different Kinds of Static Loading. Composites Science and Technology 61. 1615-1624. Foster G.A.R., Martindale J.G. (1946) The Form and Length of the Drafting Wave in Cotton Rovings. Journal of The Textile Institute Transactions. 37. (1) T1-T12. Foster G.A.R. (1950) The causes of the Irregularity of Cotton Yarns. Journal of The Textile Institute Proceedings 41. (7) P357-P375. Foster G.A.R., Tyson A. (1956) The Amplitudes of Periodic Variations Caused by Excentric Top Drafting Rollers and their Effect on Yarn Strength. Journal of The Textile Institute Transactions. 47. (7) T385-T393. Frydrich I. (1995) Relation of Single-Fiber and Bundle Strengths of Cotton. Textile Research Journal 65. (9) 513-521. Gabrielov A.M., Newman W.I. (1990) Failure of Hierarchical Distributions of Fiber Bundles. II. http://www.math.purdue.edu/~agabriel/fiber2.pdf (January 23, 1990) 1-11. Gangli B. (1962) A fonodai termékek egyenlőtlenségei, összefüggéseik és kihatásaik. Pamutfonás-Szövés (konferencia különszám). TMTE Budapest 23-34. Ghosh A., Ishtiaque S.M., Rengasamy R.S. (2003) A Generalized Mathematical Approach to Predict the Strength of Different Spun Yarns. 5th International Conference TEXSCSI’03 Textile Science 2003 June 16-18. Liberec, CR, Proceedings 321-322. Glasbey C.A., Hitchcock D., Russel A.J.F., Redden H. (1994) Towards the Automatic Measurement of Cashmere-fibre Diameter by Image Analysis Journal of The Textile Institute 85. (3) 301-307.

III

58.

59. 60. 61. 62. 63. 64.

65. 66.

67. 68. 69.

70. 71.

72.

73.

74.

75. 76. 77.

Gong R.H. and Newton A. (1996) Image-analysis Techniques Part II: The Measurement of Fibre Orientation in Nonwoven Fabrics Journal of The Textile Institute Part I 87. (2) 371-388. Grignet J. (1979) Die Messung der Faserlänge – Bedeutung und Anwendung. Melliand Textilberichte 60. 119-122, 372-377, 457-460. Grignet J. (1980) Die Vollautomatische Faserlängenanalyse zur Produktionsoptimierung in der Spinnerei. ITB International Textile Bulletin 27. (4) 479-483. Grishanov, S.A., Harwood, R.J., and Bradshaw, M.S. (1999). A Model of Fibre Migration in Staple-fibre Yarn. Journal of the Textile Institute Part I. 90. (3): 298-321. Grishin P.F. (1954) A Theory of Drafting and its Practical Application. Journal of The Textile Institute Transactions. 45. (3) T168-T266. Grosberg P., Palmer R.C. (1954) On the Determination of the B-L Curve by Cutting and Weighing. Journal of the Textile Institute Transactions 45. (6) T291-T302. Grosberg P., Palmer R.C. (1954) Comparison of the Variance-Length Curves Given by the Zellweger Instrument and by Cutting and Weighing. Journal of the Textile Institute Transactions 45. (6) T303-T309. Grosberg P. (1955) The Medium- and Long-term Variations of a Yarn I. Journal of the Textile Institute Transactions 46. (6) T301-T309. Grosberg P. (1955) The Medium- and Long-term Variations of a Yarn III: The Shape of the B-L Curve for Large Value of L. Journal of the Textile Institute Transactions 46. (6) T317-T321. Grosberg P. (1963) The Strength of Twistless Slivers. Journal of The Textile Institute Transactions 54. (6) T223-T233. Grosberg P., Smith P.A. (1965) The Strength of Slivers of Relatively Low Twist Journal of the Textile Institute Transactions 56. (1) T15-T23. Grosberg P., Park, B.J. (1966) The Mechanical Properties of Woven Fabrics. Part IV: The Initial Modulus and The Frictional Restraint in Shearing of Plain Weave Fabrics. Textile Research Journal 36. (5) 420-431. Grover G., Lord P.R. (1992) The Measurement of Sliver Properties on the Drawframe. Journal of the Textile Institute 83. (4) 560-572. Grubb D.T., Li Z-F., Phoenix S.L. (1995) Measurement of Stress Concentration in a Fiber Adjacent to a Fiber Break in a Model Composite. Composites Science and Technology 54. 237-249. Gupta B.S. (1972) Fiber Migration in Staple Yarns. Part III: An Analysis of Migration Force and the Influence of the Variables in Yarn Structure. Textile Research Journal 42. (3) 181-196. Gupta V.B. (1995) The Nature of Coupling between the Crystalline and Amorphous Phases and its Effect on the Properties of Heat-set Poly(ethylene terephthalate) Fibres Journal of The Textile Institute 86. (2) 299-313. Hadwich F. (1967) Die Bestimmung der Bündelfestigkeit von Baumwolle mit dem Pressley-Tester und dem Stelometer bei Einspannlänge 0 und bei Einspannlänge 3,2 mm (=1/8”). Textil-Praxis Int. 22. (10) 692-697. Haftgleittest an Faserbändern (1999) Interne Prüfanleitung LAA. P.02. In: Leistungkatalog von Schlafhorst TexLab, Mönchengladbach Hahn H. (1991) Vorausberechnung der Schußfadenbruch-Wahrscheinlichkeit. Melliand Textilberichte 72. (8) 612-615. Hannah M. (1950) The Theory of High Drafting. Journal of The Textile Institute Transactions. 41. (3) T57-T123.

IV

78.

79. 80.

81.

82. 83. 84. 85. 86.

87.

88.

89. 90.

91. 92. 93. 94.

95.

96. 97.

Hannah M., Rodden S. (1956) Variance-Length Relations in a Yarn with Restricted Variation in Fibre Position. Journal of The Textile Institute Transactions. 47. (7) T402T412. Hansmann J. (1970) Glas und Glasfaservliese. Textil Praxis Int. 25. (Juli) 396-399. Harlow D.G., Phoenix S.L. (1978) The Chain-of-Bundles Probability Model for the Strength of Fibrous Materials I: Analysis and Conjectures. Journal of Composite Materials 12. (6) 195-214. Harlow D.G., Phoenix S.L. (1978) The Chain-of-Bundles Probability Model for the Strength of Fibrous Materials II: A Numerical Study of Convergence. Journal of Composite Materials 12. (7) 314-334. Harlow D.G., Yukich J.E. (1993) Empirical Process Methods for Classical Fiber Bundles. Stochastic Processes and their Applications. 44. 141-158. Hättenschwiler P., Pfeiffer R., Schaufelberger J. (1984) Die Zugfestigkeit von Garnen – neue Erkenntnisse aus der Praxis. Melliand Textilberichte 65. (1) 23-26. (2) 98-107. Hearle J.W.S. (1965) Theoretical Analysis of the Mechanics of Twisted Staple Fiber Yarns. Textile Research Journal 35. (12) 1060-1071. Hearle J.W.S. (1972) A Theory of the Mechanics of Needled Fabrics. In: Needle-Felted Fabrics (edited by Lennox-Kerr P.). The Textile Trade Press, Manchester, UK. 52-97. Hearle J.W.S. (1980) The Mechanics of Dense Fibre Assemblies. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 51-86. Hearle J.W.S., Ozsanlav V. (1982) Studies of Adhesive-bonded Non-woven Fabrics Part IV: A Comparison of Theoretical Predictions and Experimental Observations. Journal of The Textile Institute 73. (1) 1-12. Hearle J.W.S. (1989) Mechanics of Yarns and Nonwoven Fabrics. In: Textile Structural Composites. (edited by Chou T.-W. and Ko F. K.) Composite Materials Series 3. Chapter 2. Elsevier, New York, 27-66. Hearle J.W.S. (2001) Modelling Fabric Mechanics. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 53-69. Hidalgo, R.C., Kun F., and Herrmann H.J. (2004) Creep Rupture of Viscoelastic Fiber Bundles. http://arXiv:cond-mat/0103232v1 10 mar 2001. PACS number(s): 46.50.+a, 62.20.Mk. (July 10, 2004) 1-5. Hitchon J.W., Phillips D.C. (1978) The Effect of Specimen Size on the Strength of CFRP. Composites 9. (4) 119-124. Holdaway H.W. (1959) Distribution of Twist in Rovings of Variable Diameter Journal of the Textile Institute Transactions 50. (5) T373-T392. Holdaway H.W. (1965) A Theoretical Model for Predicting the Strength of Singles Worsted Yarns. Journal of the Textile Institute Transactions 57. (3) T121-T144. Holdaway H.W. and Robinson M.S. (1965) Strength and Extensibility of Singles Worsted Yarns as Determined by Twist, Linear Density, and Wool Fineness Journal of the Textile Institute Transactions 57. (3) T168-T178. Hui C.-Y., Phoenix S.L., Shia D. (1997) The Single-Filament-Composite Test: A New Statistical Theory for Estimating the Interfacial Shear Strength and Weibull Parameters for Fiber Strength. Composites Science and Technology 57. 1707-1725. HVI Test Results and Their Interpretation. (1993) Motion Control Inc., Dallas, TX. USA. Ikiz Y., Rust J.P., Jasper W.J. (2001) Fiber Length Measurement by Image Processing Textile Research Journal 71. (10) 905-910.

V

98.

99.

100. 101. 102.

103.

104.

105.

106. 107. 108. 109.

110.

111.

112. 113.

114. 115.

Jao Jules, E., Tsujikami, T., Lomov, S.V., Verpoest I. (2004): Effect of Fibres Length and Fibres Orientation on the Predicted Elastic Properties of Long Fibre Composites. (10 pages). Downloaded from http://www.mtm.kuleuven.ac.be/Research/C2/poly/index.htm Jin H., Ding X. (2003) Model to Simulate Performances of Fiber Bundle under Tensile Impact. 5th International Conference TEXSCSI’03 Textile Science June 16-18. Liberec, CR, Proceedings 57-59 Jirsak O., Lukas D., Charvat R. (1993) A Two-dimensional Model of the Mechanical Properties of Textiles. Journal of The Textile Institute. 84. (1) 1-15. Kambo N.S., Aziz E.S. (1977) A Probability Model for Tuft Breakages. Textile Research Journal 58. (April) 302-308. Karmokar A.K., Kabeya H., Tanaka Y. (1996) Shearing and Friction in the Pullout Behavior of Woven Geotextiles for Reinforcement Applications. Journal of The Textile Institute. 87. (3) 586-531. Kawabata S., Niwa M., Kawai H. (1973) The Finite-Deformation Theory of PlainWeave Fabric. Part I: The Biaxial-Deformation Theory. Journal of The Textile Institute 64. (1) 21-46., Part II: The Uniaxial-Deformation Theory. 64. (2) 47-61., Part III: The Shear-Deformation Theory. 64. (2) 62-85. Kawabata S. (1980) Examination of Effect of basic Mechanical Properties of Fabrics on Fabric Hand. In: (edited by Hearle, J.W.S., Thwaites, J.J., and Amirbayat, J.) (1980) Mechanics of Flexible Fibre Assemblies. (NATO ASI Series), Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, Netherlands. 405-417. Kawabata S. (1989) Nonlinear Mechanics of Woven and Knitted Materials. In: Textile Structural Composites. (edited by Chou, Tsu-Wei and Ko, Frank. K.) Composite Materials Series 3. Chapter 3. Elsevier, New York, 67-116. Kawabata S., Inoue M., Niwa M. (1992) Non-linear Theory of the Biaxial-Deformation Of a Triaxial-weave Fabric. Journal of The Textile Institute 83. (1) 104-119. Keefe, M., Edwards, D.C., Yang, J. (1992) Solid Modeling of Yarn and Fiber Assemblies. Journal of The Textile Institute. 83. (2) 185-196. Kilby, W.F. (1963) Planar Stress-Strain Relationships in Woven Fabrics. J. Text. Inst. 54. (1) T9-T27. Kilby W.F. (1964) The Mechanical Properties of Twisted Continuous-Filament Yarns Part I. Journal of the Textile Institute Transactions 55. (12) T589-T621, Part II: Experimental Study of the Effect of Lubrication on Yarn Properties. 55. (12) T621T632. Kim H.S. (2004) Relationship between Fiber Orientation Distribution and Mechanical Anisotropy of Thermally Point-Bonded Nonwovens. Fibers and Polymers 5. (3) 177181. Kim D.-H., Kim B.J., Jeong H. (2005) Universality Class of Fiber Bundle Model on Complex Networks Physical Review Letters 94. (21 January) DOI: 10.1103/PhysRevLett.94.025501, 025501/1-4. Kim Y.K., E-Shiekh A. (1984) Tensile Behaviour of Twisted Hybrid Fibrous Structures Part I: Theoretical Investigation Textile Research Journal 54. (8) 526-543. Koehl L., Zeng X., Ghenaim A., and Vasseur C. (1998) Extracting Geometrical Features from a Continuous-filament Yarn by Image-processing Techniques. Journal of The Textile Institute Part I., 89. (1) 106-116. Komori T., Makishima K. (1977) Numbers of Fiber-to-Fiber Contacts in General Fibrous Assemblies. Textile Research Journal 47. (1) 13-17. Komori T., Makishima K. (1978) Estimation of Fiber Orientation and Length in the Fiber Assemblies. Textile Research Journal 48. (5) 309-314.

VI

116. Komori T., Itoh M. (1991) A New Approach to the Theory of the Compression of Fiber Assemblies. Textile Research Journal 61 (7) 420-428. 117. Komori T., Itoh M., Takaku A. (1992) A Model Analysis of the Compressibility of Fiber Assemblies. Textile Research Journal 62 (10) 567-574. 118. Konrad M., Chudoba R., Butenweg C., Bruckermann O. (2005) Textile Reinforced Concrete Part II: Multi-level Modeling Concept. http://www.e-pub.uniweimar.de/volltexte/2005/335 119. Kothari V.K., Das A. (1993) The Compressional Behavior of Spunbonbed Nonwoven Fabrics Journal of The Textile Institute 84. (1) 16-21. 120. Krause H.W. (1979) Über die Wahrscheinlichkeit von Fadenbrüchen. Melliand Textilberichte 60. (7) 551-553. 121. Krause H.W., Soliman H.A. (1990) Theoretical Study of the Strength of Single Jet False Twist Spun Yarns. Textile Research Journal 60. (6) 309-318. 122. Krause H.W., Soliman H.A., Tian J.L. (1991) Untersuchung zur Festigkeit des Spinndreiecks beim Ringspinnen. Melliand Textilberichte 72. (7) 499-504. 123. Krucinska I., Krucinski S. (2000) Tensor Analysis of Fibre Orientation in Fibrous Tissue. Fibres & Textiles in Eastern Europe. 8. (1) (January/March) 49-51. 124. Kun F., Zapperi S., Herrmann H.J. (2000) Damage in Fiber Bundle Models. The European Physical Journal B 17. 269-279. 125. Kun F., Hidalgo R.C., Herrmann H.J., Pál K.F. (2004) Scaling Effects of Creep Rupture of Fiber Bundles. http://arXiv:cond-mat/0209308v1 03 Sept 2002. PACS number(s): 46.35.+z, 46.50.+a, 62.20.Mk. (July 8, 2004) 1-9. 126. Lamon J. (1991) Probabilistic Fracture Analysis of Unidirectional Long-Fiber Composites. Fatigue of Advanced Materials. Proceedings of the Engineering Foundation, International Conference, Santa Barbara California. January 13-18, 1991. 111-130. 127. Laumakis P.J., Harlow D.G. (1995) Probability Failure Modeling of Woven Fiber Networks. Textile Research Journal 65. (5) 254-264. 128. Leaf G.A.V. (1995) The Friction Couple in Yarns Bending. Journal of The Textile Institute 86. (1) 45-54. 129. Leaf G.A.V., Tandon S.K. (1995) Compression of a Helical Filament under Distributed Forces. Journal of The Textile Institute 86. (2) 218-231. 130. Leaf G.A.V. (2001) Analytical Plain Weave Fabric Mechanics and the Estimation of Initial Shear Modulus. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 70-79. 131. Leaf G.A.V. (2003) The Mechanics of Plain Woven Fabrics. INTEDEC 2003 International Textile Design and Engineering Conference, 22nd-24th Sept., Heriot-Watt University, Edinburgh, UK. Book of Proceedings Section 4/1. 1-8. 132. Leath P.L., Duxbury P.M. (1994) Fracture of Heterogeneous Materials with Continuous Distribution of Local Breaking Strength. Physical Review B 49. (21) 14905-14917. 133. Lifshutz N. (2005) On the ‘Mean Flow’ Pore Size Distribution of Microfiber and Nanofiber Webs. International Nonwovens Journal 14. (1) 18-24. 134. Lombard G., Rollin A., and Wolf C. (1989) Theoretical and Experimental Opening Sizes of Heat-Bonded Geotextiles. Textile Research Journal 59. (4), 208-217. 135. Mahesh S., Phoenix S.L., Beyerlein I.F. (2002) Strength Distribution and Size Effects for 2D and 3D Composites with Weibull Fibers in Elastic Matrix. International Journal of Fracture 115. (1, May) 41-85. DOI:10.1023/A:101572607223. 136. Manders W., Chou T.W. (1983) Variability of Carbon and Glass Fibers and the Strength of Aligned Composites. Journal of Reinforced Plastics and Composites. 2. 43-59 137. Mandl G., Noebauer H. (1977) The Influence of Cotton-Spinning Machinery on the Random Irregularity of Slivers and Yarns Part I: Theoretical Considerations. Journal of

VII

138. 139.

140.

141. 142. 143. 144. 145. 146.

147.

148.

149. 150. 151.

152. 153. 154. 155. 156. 157.

The Textile Institute. 68. (12) 387-393; Part II: Experimental Investigations. 68. (12) 394-406. Mandl G. (1981) Reißkraft und Gleichmäßigkeit von Garnen. Melliand Textilberichte 62. (1) 33-34. Marissen R., van der Drift L.T., and Sterk J. (2000) Technology for Rapid Impregnation of Fibre Bundles with a Molten Thermoplastic Polymer. Composites Science and Technology 60. 2029-2034. Martindale J.G. (1945) A New Method of Measuring the Irregularity of Yarns with some Observations on the Origin of Irregularities in Worsted Slivers Yarns. Journal of the Textile Institute Transactions 36. (1) T35-T47. Martindale J.G. (1950) A Review of the Causes of Yarn Irregularity. Journal of The Textile Institute Proceedings 41. (7) P340-P356. McCartney L.N., Smith R.L. (1983) Statistical Theory of the Strength of Fiber Bundles. Journal of Applied Mechanics 50. 601-608. Merchant V.B. (1962) The Fundamentals of Roving Twist. Journal of The Textile Institute Transactions 53. (1) T58-T68. Militký J., Rubnerová J. and Klička V. (2000) Application of Image Analysis for Nonwovens Visual Irregularity Evaluation. Vlákna a Textil 7. (2) 119-125. Militký J., Bajzík V. (2001) Surface Roughness and Fractal Dimension. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 91-113. Militký J., Chovanová A., Kremenáková D. (2003) Fibre Cross-Sectional Shape Indices 5th International Conference TEXSCSI’03 Textile Science June 16-18. Liberec, CR, Proceedings 86-89. Moghe S.R. (1980) From Fibres to Vowen Fabrics. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 159-174. Moghe S.R. (1989) Design of Fabric Reinforced Composites. In: Textile Structural Composites. (edited by Chou, Tsu-Wei and Ko, Frank. K.) Composite Materials Series 3. Chapter 11. Elsevier, New York, 355-377. Morris P.J., Merkin J.H., R.W. Rennel (1999) Modelling of Yarn Properties from Fibre Properties. Journal of The Textile Institute Part I. 90. No.3. 322-335 Mueller D.H., Kochmann M. (2004) Numerical Modeling of Thermobonded Nonwovens. International Nonwovens Journal 13. (1) 56-62. Neckář B., Ježek H. (1991) Zusammenhang zwischen der Struktur von Polyester-Ringund –Rotorgarnen und den Eigenschaften von Bekleidungstextilien. Melliand Textilberichte 72. (6) 412-417. Neckář B. (1997) Compression and Packing Density of Fibrous Assemblies. Textile Research Journal 67. (2) 123-130. Neckář B. (2000) The Mechanical Structure Modeling of Staple Yarn. Vlakna a Textil Vol. 7. (2). 82-89. Neckář B. (2003) Theory of Yarn Packing Density. 5th International Conference TEXSCSI’03 Textile Science 2003 June 16-18. Liberec, CR, Proceedings 170-174. Nosek S. (1958) Mathematische Analyse der Kollektiv-Beanspruchung von Garnen. Faserforschung und Textiltechnik 9. (12) 551-557. Newman W.I., Phoenix S.L. (2001) Time Dependent Fiber Bundles with Local Load Sharing. Physical Review E, 63. DOI: 10.1103/PhysRevLett.63.021507, 021507/1-20. Niwa M., Inamura A., Inoue M., Yamashita Y. (2001) Validity of the ‘Linearizing Method’ for Describing the Biaxial Stress-Strain Relationship of Textiles. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 38-52.

VIII

158. Olerup H. (1952) Calculation of the Variance-Length Curve for an Ideal Sliver. Journal of The Textile Institute Proceedings 43. P290-P293. 159. Page D.H., Seth R.S., De Grâce J.H. (1980) The Elastic Modulus of Paper – The Controlling Mechanism. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 419-432. 160. Pan N., Carnaby G.A. (1989) Theory of the Shear Deformation of Fibrous Assemblies. Textile Research Journal 59. (5) 285-291. 161. Pan N., Zeronian S.H., Ryu H-S. (1993) An Alternative Approach to the Objective Measurement of Fabrics. Textile Research Journal 63 (1) 33-43. 162. Pan N. (1992) Development of a Constitutive Theory for Short Fiber Yarns: Mechanics of Staple Yarn Without Slippage Effect. Textile Research Journal 62. (12) 749-765. 163. Pan N. (1993) Theoretical Modeling and Analysis of Fiber-pull-out Behaviour from a Bonded Fibrous Matrix: The Elastic-bond Case. Journal of The Textile Institute 84. (3) 472-485. 164. Pan N. (1996) Development of a Constitutive Theory for Short-fiber Yarns - Part IV: The Mechanics of Blended Fibrous Structures. Journal of the Textile Institute 87. Part 1 (3), 467-483. 165. Pan N., Yoon M.Y. (1996) Structural Anisotropy, Failure Criteria, and Shear Strength of Woven Fabrics. Textile Research Journal 66. 238-244. 166. Peirce F.T. (1926) The Weakest Link, Theorem on the Strength of Long and Composite Specimens. Journal of The Textile Institute Transactions 17. (7) T355-T368. 167. Peirce F.T. (1937) The Geometry of Cloth Structure. Journal of The Textile Institute Transactions 28. (3) (March) T45-T96. 168. Peirce F.T. (1947) Geometrical Principles Applicable to the Design of Functional Fabrics. Textile Research Journal 17. (3) (March) 123-147. 169. Phoenix S.L. (1974) Probabilistic Concepts in Modeling the Tensile Strength Behavior of Fiber Bundles and Unidirectional Fiber/Matrix Composites. Composite Materials: Testing and Design (Third Conference), ASTM Technical Publication STP 546, Vol. 30. American Society for Testing and Materials, 130-151. 170. Phoenix S.L. (1975) Statistical Analysis of Flaw Strength Spectra of high Modulus Fibers. Composite Reliability, ASTM STP 546, American Society for Testing and Materials, 77-89. 171. Phoenix S.L. (1976) Stochastic Models for the Tensile Strength, Fatigue Stress-Rupture of Fiber Bundles. NASA Technical Reports ID 19770003304 N (77N102469), NASA Langley Res. Center Advan. in Eng. Sci. 1. 167-181. 172. Phoenix S.L. (1978) Mechanical Response of a Tubular Braided Cable with an Elastic Core. Textile Research Journal 48. (2) 81-91. 173. Phoenix S.L. (1979) Statistical Aspects of Failure of Fibrous Materials. Composite Materials: Testing and Design (Fifth Conference), ASTM STP 674, S.W. Tsai, Ed., American Society for Testing and Materials, 455-483. 174. Phoenix, S.L. (1979). Statistical Theory for Strength of Twisted Fibre Bundles with Applications to Yarns and Cables. Textile Research Journal, 49. (7) 407-423. 175. Phoenix S.L. (1980) Statistical Models for the Tensile Strength of Yarns and Cables. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 113-141.

IX

176. Phoenix, S.L. (2000). Modeling the Statistical Lifetime of Glass Fiber/polymer Matrix Composites in Tension. Composite Structures 48. 19-29. 177. Phoenix S.L., Beyerlein I.J. (2000) Distributions and Size Scalings for Strength in a One-Dimensional Random Lattice with Load Redistribution to Nearest and Next-nearest Neighbors. Physical Review E 62. (2) (August) 1622-1645. 178. Picard H.C. (1951, 1952, 1953) The Irregularity of Slivers. Part I: Journal of The Textile Institute Transactions. 42. (12) T503-T509. Part II: 43. (6) T251-T261. PartIII: 44. (7) T307-T316. 179. Plate D.E.A., Robinson G.A., Rottenbury R.A. (1987) The Effect of Staple Strength and Position of Weakness of Greasy Wool on Worsted Spinning. Journal of The Textile Institute 78. (4) 269-279. 180. Platt M.M. (1950) Mechanics of Elastic Performance of Textile Materials III. Some Aspects of Stress Analysis of Textile Materials. Textile Research Journal 20. (1) 1-15. Part IV: Some Aspects of Stress Analysis of Textile Structures – Staple-Fiber Yarns 20. (8) 519-538. Part VI: Influence of Yarn Twist on Modulus of Elasticity 20. (10) 665667. 181. Platt M.M., Klein W., Hamburger W.J. (1952) Mechanics of Elastic Performance of Textile Materials Part IX: Factors Affecting the Translation of Certain Mechanical Properties of Cordage Fibers into Cordage Yarns. Textile Research Journal 22. (10) 641-667. 182. Popper P., Dent R.V. (1989) Nonwovens. In: (edited by Hearle, J.W.S., Thwaites, J.J., and Amirbayat, J.) (1980) Mechanics of Flexible Fibre Assemblies. (NATO ASI Series), Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, Netherlands. Discussen II. 543-548. 183. Postle L.J., Ingham J. (1952) The Measurement of Inter-Fiber Friction in Slivers. Journal of the Textile Institute Transactions 43. (3) T77-T90. 184. Postle R. (2001) Structural Mechanics of Knitted Fabrics for Apparel and Composite Materials. Journal of The Textile Institute Part 3. 92. 80-90. 185. Reinfeld N. (1955) Das Harfenreißgerät von Dr. Schumacher. Melliand Textilberichte 36. (1) 16-19. 186. Reinfeld N. (1955) Neue Erkenntnisse mit dem Dr. Schumacher-Harfenreißgerät. Melliand Textilberichte 36. (11) 988-991. 187. Riding G. (1959) An Experimental Study of the Geometrical Structure of Single Yarns. Journal of The Textile Institute Transactions 50. (7) T425-T442. 188. Riding G. (1964) Filament Migration in Single Yarns. Journal of The Textile Institute Transactions 55. (1) T9-T17. 189. Rieke I. (1999) Schwachstellenanalyse an Rotorgarnen. Melliand Textilberichte 80. (1112) 902-904. 190. Roberts, W.W. Jr., Beil, N.B. (2003) Fibrous Assemblies: Modeling/Computer Simulation of Compressional Behavior. INTEDEC 2003 International Textile Design and Engineering Conference, 22nd-24th Sept. Heriot-Watt University, Edinburgh, UK. Book of Proceedings Section 4/3. 17-24. 191. Rong G.H., Slater K., Fei R.C. (1994) The Use of Cluster Analysis for grading Textile Yarns. Journal of the Textile Institute, 85. (3) 389-396. 192. Sampson W.W. (2004) A Model for Fibre Contact in Planar Random Fibre Networks. Journal of Materials Science 39. 2775-2781. 193. Sato N., Kurauchi T., Kamigaito O. (1985) In Situ SEM Observation of Fracture Process of Carbon-Fiber-Reinforced Epoxy Resin Composite. Journal of Materials Science Letters 4. 1095-1098.

X

194. Scardino F. (1989) An Introduction to Textile Structures and Their Behavior. In: Textile Structural Composites. (edited by Chou, Tsu-Wei and Ko, Frank. K.) Composite Materials Series 3. Chapter 1. Elsevier, New York, 1-26. 195. Scharcanski J., Dodson C.T.J., Clarke R.T. (2002) Simulating Effects of Fiber Crimp, Flocculation, Density, and Orientation on Structure Statistics of Stochastic Fiber Networks. Simulation, 78. (6) 389-395. 196. Schjodt-Thomsen J., Pyrz R. (2000): Stress-Strain Modelling of Micro Cellular Materials. Proceedings of the 3rd Nordic Meting on Materials and Mechanics 8.-11. May 2000, Rebild Bakker Conference Center, Institute of Mechanical Engineering, Aalborg University, Denmark. 1-12. 197. Schoppee M.M. (1998) A Poisson Model of Nonwoven Fiber Assemblies in Compression at High Stress. Textile Research Journal 68. (5) 371-384. 198. Sippel A. (1959) Zur Abhängigkeit der Reißfestigkeit von Fäden von der Einspannlänge. III. Eine neue Kenngröße und ihr Wert bei den verschiedenen Fadenarten. Faserforschung und Textiltechnik 10. (8) 369-371. 199. Sornette D. (1989) Elasticity and Failure of a Set of Elements Loaded in Parallel. J. Phys. A: Math. Gen. Letter to the Editor, 22. L243-L250. 200. Spencer-Smith J.L., Todd H.A.C. (1941) A Time Series Met within Textile Research. J. Roy. Statist. Soc. Supplement B.7. 131-135. 201. Spencer-Smith J.L. (1947) The Estimation of Fibre Quality Journal of The Textile Institute Proceedings 38. (7) P257-P271. 202. Standard ASTM D1445: Standard Test Method for Breaking Strength and Elongation of Cotton Fibers (Flat Bundle Test) 203. Standard ASTM D3039-00: Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials. 204. Standard ASTM D4018-93: Standard Test Method for Properties of Continuous Filament Carbon and Graphite Fiber Tows. 205. Standard ASTM D4605: Standard Test Method for Measurement of Cotton Fibers by High Volume Instruments (HVI) 206. Standard DIN 53 817-T02: Bestimmung der Ungleichmäßigkeit an Faserbändern; kapacitives Messverfahren 207. Standard DIN 53 834-T01: Einfacher Zugversuch an Garnen und Zwirnen im klimatisierten Zustand 208. Standard DIN 53 857-T01: Einfacher Zugversuch an textilen Flächengebilden; Streifenzugversuch 209. Standard JIS R 7601:1986: Testing Methods for Carbon Fibers. 210. Stearn A.E. (1971) The Effect of Anisotropy in the Randomness of Fiber Orientation of Fiber-to-Fiber Contacts. Journal of The Textile Institute Transactions 62. No.6. T353T360. 211. Srikanath, N., Saravanaranganathan, D., Gupta, M., Lu, L., Lai, M.O. (2000): Modelling and Determination of Dynamic Elastic Modulus of Magnesium Based Metal Matrix Composites. Materials Science and Technology, 16. (3), 309-314. 212. Stein W. (1975) Schwachstellen in Garnen. Melliand Textilberichte 56. (3) 177-180. 213. Suh M.W. (1976) Probabilistic Assessment of Irregularity in Random Fiber Arrays – Effect of the Fiber Length Distribution on “Variance-Length Curve”. Textile Research Journal 46. (4) 291-298. 214. Sust A., Barella A. (1964) Twist, Diameter, and Unevenness of Yarns – A New Approach. Journal of The Textile Institute Transactions 55. (1) T1-T8.

XI

215. Sutherland L.S., Guedes Soares G. (1997) Review of Probablistic Models of the Strength of Composite Materials. Reliability Engineering and System Safety 56. 183196. 216. Sutherland L.S., Shenoi R.A., Lewis S.M. (1999) Size and Scale Effects in Composites: I. Literature Review. Composites Science and Technology 59. 209-220. 217. Sz.N. (2006). Global Textile Fiber Production More than 70 Million Tons. Industry News. Melliand International No.1. (3) 6-7. 218. Tandon S.K., Carnaby G.A., Kim S.J., and Choi F.K.F. (1995) The Torsional Behaviour of Singles Yarns Part I: Theory. Journal of The Textile Institute 86. (2) 185-199. 219. Tandon S.K., Kim S.J., Choi F.K.F. (1995) The Torsional Behaviour of Singles Yarns Part II: Evaluation. Journal of The Textile Institute 86. (2) 200-217. 220. Tarfaoui M., Akesbi S. (2000) Numerical Study of the Mechanical Behavior of the Textile Structures. 3rd Int. Conf. Innovation and Modelling of Clothing Engineering Processes – IMCEP 2000. (Oct. 11-13.), Maribor, Slovenia. 221. Taylor D.S. (1956) The Determination of Contacts between the Constituents of Fibre Assemblies. Journal of The Textile Institute Transactions. 47. (3) T141-T146. 222. Taylor R.A., Brown R.S., Godbey L.C. (1992) Reducing HVI Strength Variability by Sensing Humidity. Textile Research Journal 62 (2) 80-86. 223. Theocaris P.S., Papanicolaou G.C. (1980) An Introduction in the Mechanics of FiberReinforced Composites. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 433-459. 224. Thwaites J.J. (1980) A Continuum Model for Yarn Mechanics. In: Mechanics of Flexible Fibre Assemblies (edited by Hearle J.W.S., Thwaites J.J., and Amirbayat J.) NATO Advanced Study Institutes Series. Series E: Applied Sciences – No. 38. Sijthoff & Nordhoff, Alphen aan de Rijn, The Netherlands; Germantown, ML. USA. 87-112. 225. Tippet L.H.C. (1935) Statistical Methods in Textile Research Part 2 – Uses of the Binomial and Poisson Distributions. Journal of The Textile Institute Transactions 26. (1) T13-T50. 226. Toney M.M. (2000) Computer Modeling of Fibrous Structures. Journal of The Textile Institute Part 3. 91. 133-139. 227. Townsend M.W. (1949) The Assessment of Yarn Irregularity. Journal of The Textile Institute Proceedings 40. P566-P581. 228. Townsend M.W., Cox D.R. (1951) The Analysis of Yarn Irregularity. Journal of the Textile Institute Proceedings 42. P107-P113. 229. Tröger J., Schlegl E., Schwabe B. (1993) Einfluß von Vorverzugshöhe und Streckwerksgeschwindigkeit auf das Haft-Gleitverhalten von Faserbändern im Hochverzugsstreckwerk. Melliand Textilberichte. 74. (1) 11-16. 230. Tsai I-S., Chu W.-C. (1996) A New Photoelectric Device for the Measurement of Yarn Diameter and Yarn Evenness Part I: Improvement of the Variance of Radiant Intensity by Using the Area-compensation Method (ACM) Journal of the Textile Institute Part I. 87. (3) 484-495. Part II: The Measurement of Yarn Diameter and the Effect of Shapeerror Factor (SEF) on the Measurement of Yarn Evenness 87. (3) 496-508. 231. Valavala, P.K., Odegard, G.M. (2005): Modeling Techniques for Determination of Mechanical Properties of Polymer Nanocomposites. Review of Advanced Materials 9., 34-44. 232. Vanden Abeele A.M. (1951) Contribution to the Study of Irregularity of Yarns, Rovings and Slivers Journal of the Textile Institute Proceedings 42. P162-P168.

XII

233. Vangheluwe L. (1992) Influence of Strain Rate and Yarn Number on Tensile Test Results. Textile Research Journal 62. (10) 586-589. 234. Van Issum B.E., Chamberlain N.H. (1959) The Free Diameter and Specific Volume of Textile Yarns. Journal of The Textile Institute Transactions 50. (11) T599-T623. 235. Van Luik C.J., Carr A.J., Carnaby G.A. (1984) Finite-Element Analysis of Yarns Part I: Yarn Model and Energy Formulation. Journal of The Textile Institute 75. (5) 342-353. 236. Van Luik C.J., Carr A.J., Carnaby G.A. (1984) Finite-Element Analysis of Yarns Part II: Stress Analysis. Journal of The Textile Institute 75. (5) 354-362. 237. Van Wyk C.M. (1946) Note on the Compressibility of Wool. Journal of The Textile Institute Transactions 37. (3) T286-T292. 238. Vass Gy. (1962) A pamutfonodai félkész- és késztermék egyenlőtlensége keletkezésének okai, az egyenlőtlenségek vizsgálatának módszerei és műszerei. Pamutfonás-Szövés (konferencia különszám). TMTE Budapest 1-22. 239. Wegener W., Rosemann W. (1957) Die statistische und geometrisch-analytische Definition der Längenvariationskurve. Melliand Textilberichte 38. (12) 1340-1345. 240. Wegener W. (1958) Aufstellung und Vergleich von Variance-within- und Variancebetween-Kurven von Garnen, die nach verschiedenen Spinnverfahren hergestellt werden. Forschungsberichte des Wirtschafts- und Verkehrsministeriums NordheinWestfalen. Heft 632. Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen. 241. Wegener W., Guse R. (1970) Die experimentelle Bestimmung des Leistungsdichtespektums von Faserverbänden. Textil-Praxis Int. 25. (2) 89-92; (3) 154159. 242. Wegener W. und Ehrler P. (1970) Die Faseranzahl-Verteilung realer Faserbände und der Ungleichmäßigkeits-Index K. Melliand Textilberichte 51. No. 5. 509-514.; No. 6. 629634.; (7) 746-750. 243. Wegener W., Guse R. (1970) Die auf einem Computer durchgeführte Berechnung des Leistungsdichtespektrums von Faserverbänden. Textil-Praxis Int. 25. Heft. 5. (Mai) 282286; (6) 346-349. 244. Wegener W., Guse R. (1970) Die Leistungsdichtespektren simulierter Faserverbände. Textil-Praxis Int. 25. (7) 405-409; (8) 469-471. 245. Wegener W., Feier G. (1971) Die Autokorrelationsfunktion tatsächlicher Faserbände. Melliand Textilberichte 52. 1132-1137. 246. Wegener W. (1975) Verzugswellen. Chemiefasern/Textil-Industrie. 25/77. (11) 10531055. 247. Wegener W., Lünenschloß J. (1975) Vezugswellen II. Chemiefasern/Textil-Industrie. 25/77. (11) 1134-1137. 248. Wegener W., Heß V. (1980) Beitrag zur Ungleichmäßigkeit der Faseranzahl in Modellfaserverbändern. Mitteilungen aus dem Institut für Textiltechnik der Rhein.Westf. Technischen Hochschule Aachen. Band 29. Lenziger Berichte 1-6. 249. Wegener W. (1980) Die Bestimmung der Ungleichmäßigkeit von Mischgarnen. Textilbetrieb. 98. Heft 1+2. Sonderdruck in Mitteilungen aus dem Institut für Textiltechnik der Rhein.-Westf. Technischen Hochschule Aachen. Band 29. 1-6. 250. Wegener W., Heß V. (1980) Statistische Analyse zweikomponentiger Modellfaserverbände. Melliand Textilberichte 61. 660-665. 251. Wegener W. (1980) Beschaffenheit, Bildung und Reduzierung der Nissen und Noppen. Textil Praxis International 35. (2) 130-135. 252. Weibull W. (1951) A Statistical Distribution Function of Wide Applicability. Journal of Applied Mechanics 18. (9) 293-297. 253. Whitney J.M., Knight M. (1980) The Relationship Between Tensile Strength and Flexure Strength in Fiber-reinforced Composites Experimental Mechanics 211-216.

XIII

254. Wisnom M.R. (1991) Relationship between Strength Variability and Size Effect in Unidirectional Carbon Fibre/Epoxy. Composites 22. (1). 47-52. 255. Wisnom M.R. (1992) The Relationship between Tensile and Flexural Strength of unidirectional Composites. Journal of Composite Materials 26. (8) 1173-1180. 256. Wisnom M.R., Atkinson J.W. (1997) Reduction in Tensile and Flexural Strength of Unidirectional Glass Fibre-Epoxy with Increasing Specimen Size. Composite Structures 38. (1-4) 405-411. 257. Wu H.-C. (1992) An Energy Approach for Rope-strength Prediction. Journal of The Textile Institute. 83. (4) 542-549. 258. Wu W-L., Hamada H., Maekawa Z-I. (1994) Computer Simulation of the Deformation of Weft-Knitted Fabrics for Composite Materials. Journal of The Textile Institute 85. (2) 198-214. 259. Wu X.-F., Dzenis Y.A. (2005) Elasticity of Planar Fiber Networks. Journal of Applied Physics 98. 093501-1-9. 260. Xie Y., Oxenham W., Grosberg P. (1986) A Study of the Strength of Wrapped Yarns Part I: The Theoretical Model Journal of the Textile Institute 77. (5) 295-304. Part II: Computation and Experimental 77. (5) 305-313. Part III: The Relationship between Structural Parameters and Strength 77. (5) 314-326. 261. Xu B., Pourdeyhimi B., Sobus J. (1993) Fiber Cross-Sectional Analysis Using Image Processing Techniques Textile Research Journal 63 (12) 717-730. 262. Xu B., Ting Y.-L. (1996) Fiber-image Analysis Part I: Fiber-image Enhancement Journal of The Textile Institute Part I 87. (2) 274-283. Part II: Measurement of General Geometric Properties of Fibers 87. (2) 284-295. 263. Xu B., Wang S., Su J. (1999) Fiber-image Analysis Part III: A New Segmentation Algorithm for Autonomous Separation of Fiber Cross-section Journal of The Textile Institute Part I 90. (3) 288-297. 264. Yeh H.Y., Kim Ch.H. (1994) Effects of Interaction Component of the Generalized YeStratton Criterion. Journal of the Reinforced Plastics and Composites. 13. (9) 793-802. 265. Zeidman M., Suh M.W., Batra S.K. (1990) A New Perspective on Yarn Unevenness: Components and Determination of General Unevenness. Textile Research Journal 60. (1) 1-6. 266. Zhou Y., Xia Y. (2001) In Situ Strength Distribution of Carbon Fibers in Unidirectional Metal-Matrix Composites-Wires. Composites Science and Technology 61. 2017-2023. 267. Zugprüfungen an Filamentgarnen. (1984) Uster News Bulletin 32. (July). 268. Żurek W., Frydrich I., Krucinska I. (1987) A száltulajdonságok, mint fonalminőségi kritériumok. Magyar Textiltechnika. 40. (12) 611-616. 269. Zweben C., Rosen B.W. (1970) A Statistical Theory of Material Strength with Application to Composite Materials. Journal of the Mechanical Physics of Solids. 18. 189-206.

K. Könyvek, jegyzetek, tanulmányok K1. Álló G., Főglein J., Hegedűs Gy.Cs., Szabó J. (1993) Bevezetés a számítógépes képfeldolgozásba. Kézirat. BME Mérnöktovábbképző Intézet. Budapest. K2. Aklonis J.J., MacKnight W.J., Shen M. (1972) Introduction to Polymer Viscoelasticity. Wiley-Interscience J.Wiley et. Sons, New York. K3. Arató M., Knuth E. (1970) Sztochasztikus folyamatok elemei. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest. Bárány T. (2004) A termoplasztikus poliészterek öregedésének meghatározása lényegi K4. törésmunka módszerrel. PhD értekezés. BME, Budapest.

XIV

K5. Besdudny F.F. (1976) Mathematische Methoden in der Textilindustrie. VEB Fachbuchverlag Leipzig. K6. Blumenauer H., Pusch G. (1987) Műszaki törésmechanika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K7. Bobeth, W. (Hrsg) (1986) Textile Faserstoffe Lehrbriefe Dresdener Universität, Dresden. K8. Bobeth, W. (Hrsg) (1993) Textile Faserstoffe - Beschaffenheit und Eigenschaften. Springer-Verlag, Berlin. K9. Bolotin V.V. (1970) Statisztikai módszerek a szerkezetek mechanikájában. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K10. Bronstejn I.N., Szemengyajev K.A. (1987) Matematikai zsebkönyv mérnökök és mérnökhallgatók számára. 6. átdolgozott kiadás. Műszaki Könyvkiadó Budapest. K11. Bunsell A.R. (1988) Fibre Reinforcements for Composite Materials. Elsevier Science Publishing Company Inc., New York. K12. Callister W.D. (1991) Materials Science and Engineering. An Introduction. 2nd Edition. John Wiley&Sons, Inc. New York, K13. Chou T.-W., Ko F. K. (edited by) (1989) Textile Structural Composites. Composite Materials Series 3. Elsevier, New York. K14. Csáki F., Bars R. (1972) Automatika. Tankönyvkiadó, Budapest. K15. Czigány T. (2004) Bazaltszálas hibridkompozitok. MTA Doktori disszertáció, Budapest. K16. Czvikovszky T., Nagy P. és Gaál J. (2000). A polimertechnika alapjai, Műegyetemi Kiadó, Budapest. K17. von Diest K. (1995) Prozeßsimulation und Faserorientierungserkennung von GMTBauteilen. Doktor-Dissertation. Shaker Verlag, Aachen. K18. Douglas K. (edited by) (1991) Measurement of the Quality Characteristics of Cotton Fibres. Uster News Bulletin No.38. (July). (1-31) K19. Ehrenstein G.W. (1978) Polymer-Werkstoffe. Struktur und mechanisches Verhalten. Carl Hanser Verlag, München K20. Feller W. (1978) Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K21. Frey T. (1975) Sztochasztikus folyamatok. Kézirat. Tankönykiadó Budapest. K22. Geleji F. (1970) Vegyiszálak tulajdonságai. Kézirat. Ve. 155. Tankönyvkiadó, Budapest. K23. Gibson, R.F. (1994) Principles of Composite Material Mechanics. McGraw-Hill, New York. K24. Gnyegyenko, B.V., Beljajev, J.K., Szolovjev, A.D. (1970) A megbízhatóságelmélet matematikai módszerei. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K25. Gyimesi J. (1968) Textilanyagok fizikai vizsgálata. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K26. Hajmásy T. (1970) Szálmechanikai vizsgálati módszerek. Kézirat. Tankönyvkiadó Budapest. K27. Halász L., Zrínyi M. (1989) Bevezetés a polimerfizikába. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K28. Hättenschwiler P., Bühler M. (heausg.) (1973) Häufige Fehler in der Baumwollspinnerei (Zellweger Uster AG) 3. erweiterte Auflage. Verlag Melliand Textilberichte, Heidelberg. K29. Hearle J.W.S., Grosberg P., Backer, S. (1969) Structural Mechanics of Fibers, Yarns, and Fabrics. Vol.1. Interscience, New York. K30. Hearle J.W.S., Greer R. (1970) Fibre Structure. Textile Progress Vol. 2. No. 4. The Textile Institute, Manchester.

XV

K31. Hearle J.W.S., Thwaites J.J., Amirbayat J. (editors) (1980) Mechanics of Flexible Fibre Assemblies. (NATO ASI Series), Sijthoff & Noordhoff, Alphen aan den Rijn, Netherlands, Germantown, Maryland, U.S.A. K32. Hertzberg R.W. (1989) Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials. 3rd Edition. John Wiley & Sons, New York. K33. Hongu T., Phillips G.O. (2001) New Fibers. Reprinted second edition. Woodhead Publishing Ltd., Cambridge, England. K34. Horrocks A.R. S.C. Anand (edited by) Handbook of Technical Textiles. The Textile Institute. Woodhead Publishing Ltd. Cambridge, UK. K35. Jackowski T., Chylewska B. (1999) Przedzalnictwo – Budowa i technologia przedz. Politechnika Lódzka, Lódz. K36. Jederán M., Tárnoky F. (szerk.) (1979) Textilipari kézikönyv. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K37. Jederán M., Kocsis J. (1985) Könnyűipari technológia I. Tankönyvkiadó Budapest. K38. Karlin S., Taylor H.M. (1985) Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Könyvkiadó, Budapest. K39. Klein W. (1988) The Technology of Short-staple Spinning. The Textile Institute, Manual of Textile Technology, Manchester. K40. Kollár L.P., Springer G.S. (2003) Mechanics of Composite Structures. Cambridge University Press, Cambridge, New York Mark, R.E. (edited by): (1983) Handbook on Physical and Mechanical Testing of Paper and Paperboard. Marcel Dekker, Inc. New York. K41. Korn G.A., Korn T.M. (1975) Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K42. Kovács L. (szerk.) (1979) Műanyag zsebkönyv. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K43. Lennox-Kerr P. (edited by) (1972) Needle-Felted Fabrics. The Textile Trade Press. Manchester, W.R.C. Smith Publishing Co., Atlanta. K44. Mark, R.E. (edited by) (1983) Handbook of Physical and Mechanical Testing of Paper and Paperboard. Marcel Dekker, Inc. New York. K45. Merényi G. (1964) A fonástechnológia alapműveleteinek elmélete. I.-II. Kézirat. G.35., G.45. BME MTKI. Tankönyvkiadó, Budapest. K46. Merényi G. (1974) Fonástechnológia I. Elméleti rész. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest. K47. Mortenson M.E. (1997) Geometric Modelling. 2nd edn.; Wiley, New York. K48. Morton W.E., Hearle J.W.S. (1985??) Physical Properties of Textile Fibres. The Textile Institute Butterworths, Manchester & London. K49. Muttnyánszky, A. (1981). Szilárdságtan. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K50. Nagy V. (2006) Examination and Modeling of Porosity in Polyester Twisted Fibrous Structures. PhD Thesis. BME, Budapest. K51. Neckář B. (2001) Morfologie a strukturní mechanika obecnych vlákennych útvaru. Technická Univerzita v Liberci. Fakulta Textilní. Liberec CZ. K52. Neckář B., Ibrahim S. (2003) Structural Theory of Fibrous Assemblies and Yarns. Part 1. Structure of Fibrous Assemblies. Technical University of Liberec, Liberec CZ. K53. Osswald T.A., Menges G. (1996) Materials science of polymers for engineers. Hanser Publishers, Munich - New York. K54. Pölöskei K. (2006) A szálgyártás során keletkező bazaltszálfejek hatása a polimer kompozitok mechanikai tulajdonságaira. PhD értekezés. BME, Budapest. K55. Prékopa, A. (1972). Valószínűségelmélet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K56. Rácz Zs. (2006) Egyirányban erősített kompozit rudak hajlító karakterisztikájának és tönkrementelei folyamatának elemzése. PhD értekezés. BME, Budapest.

XVI

K57. Raheel M. (edited by) (1996) Modern Textile Characterization Methods. Marcel Dekker, Inc. New York. K58. Rejtő S. (1923) Az elméleti mechanikai technológia alapelvei és a szálasanyagok technológiája. Németh J. technikai könyvkereskedő bizománya, Budapest. K59. Rényi A. (1966) Valószínűségszámítás. 2. kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest. K60. Reimann J.: Bevezetés a sztochasztikus folyamatok elméletébe. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. K61. Retting W. (1991) Mechanik der Kunststoffe. C. Hanser Verlag, München. K62. Rohlena, V. et al. (1975) Open-End Spinning. Elsevier Sc., Publishing Co. New York. K63. Ronkay F. (2006) PET palackok anyagának fizikai újrahasznosítása. PhD értekezés. BME, Budapest. K64. Schalkoff, R.J. (1989) Digital Image Processing and Computer Vision. J. Wiley&Sons, Inc. New York. K65. Slater K. (1986) Yarn evenness. Textile Progress Vol.14. No.3/4. The Textile Institute. Manchester. K66. Schnell L. (főszerk.) (1985) Jelek és rendszerek méréstechnikája. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K67. Sommer H., Winkler F. (1960) Die Prüfung der Textilien. Handbuch der Werkstoffprüfung Fünfter Band. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin. K68. Stoyan D., Mecke J. (1983) Stochastische Geometrie - eine Einführung. AkademieVerlag, Berlin. K69. Szekrényes A. (2005) Theoretical and Experimental Investigations on the Delamination of Composite Specimens. PhD Thesis. BME, Budapest K70. Szevosztyanov, A.G. (1962) Metodü iszledovanyija nyerovnotü produktov prjagyenyija. (Harakterisztiki szlucsajnüj funkcij i ih primenyenyije) Izdatyelsztvo HaucsnoTehnicseszkoj Literaturü RSzFSzR Rosztehizdat, Moszkva. K71. Tao X. (edited by) (2001) Smart Fibres, Fabrics and Clothing. Woodhead Publishing Ltd. Cambridge, UK. K72. Urzsumcev Ju.Sz., Makszimov R.D. (1982) A műanyagok alakváltozása - Prognosztika a hasonlósági elvek alapján. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K73. Uster Statistics (1997) Uster News Bulletin No. 40, May 1997. K74. Vékássy A. (1973) Kötött-hurkolt kelmék geometriai elemzése. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest. K75. Vetier A. (1991) Szemléletes mérték- és valószínűségelmélet. Tankönyvkiadó, Budapest. K76. Vincze, I. (1975). Matematikai statisztika műszaki alkalmazásokkal. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. K77. Ward I.M., Hadley D.W. (1993) An Introduction to the Mechanical Properties of Solid Polymers. J.Wiley et. Sons, Chichester- New York. K78. Weston H. (1974) Physical Testing and Quality Control. Textile Progress Vol. 6. No. 4. The Textile Institute, Manchester. K79. Wulfhorst, B. (1998) Textile Fertigungsverfahren. Eine Einführung. Carl Hanser Verlag, München. K80. Zilahi M. (1951) A szálasanyagok nyújtásának elmélete. Akadémiai Kiadó, Budapest. K81. Zilahi M. (1953) A textilipar nyersanyagai. Tankönyvkiadó, Budapest. K82. Żurek W. (1975) The structure of yarn. 2nd revised edition. Warsaw (Poland), Springfield (Virginia, USA). K83. Zsigmond B. (2005) Modeling of Braided Reinforced Composites Crosslinked by Electron Beam. PhD Thesis. BME, Budapest.

S. Szerző közleményei és tanulmányai a disszertáció témakörében

XVII

S1. Aschner G., Vas L.M., Józsa Bné: (1987) Számítógépes módszerek alkalmazása az anyag-vizsgálatban és a minőségszabályozásban. Magyar Textiltechnika XL. (5) (p 254263) S2. Balogh K., Vas L.M. , Csorba A., Nagy P., Gaál J. (2000) Testing glass reinforced polyester composite sheets by using image processing systems. GÉPÉSZET’2000 2nd Conference on Mechanical Engineering Budapest, 2000. május 25-26. Proceedings Vol.2. Springer Budapest 711-715. S3. Balogh K., Vas L. (2002) Examining Fracture Processes of Glass Fiber Reinforced Composites with the Help of Image Processing. GÉPÉSZET’2002. 3rd Conference on Mechanical Engineering Budapest, May 30-31, 2002. Proceedings Vol.1. Springer Budapest 99-103 S4. Baranyi P., Fehér J., Geleji F., Kóczy L., Vas L. (1984) Nemfémes szerkezeti anyagok. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest. S5. Bodor G., Vas L.M. (1995) Polimer anyagszerkezettan. (2. átdolgozott kiadás, 2000) Műegyetemi Kiadó, Budapest. S6. Bodor G., Vas L.M. (1999) Polimer anyagtudomány. Szilárd polimerek szerkezete és mechanikai viselkedése. Előadásjegyzet. Kézirat. BME Polimertechnika Tanszék, Budapest. S7. Császi F., Takács Á., Vas L.M. (1994) A szálbunda szerkezetének és szálorientációjának modellezése és kísérleti vizsgálata képfeldolgozó eljárással. Magyar Textiltechnika XLVII. (1) 14-19. S8. Császi F., Vas L.M., Halász G., Nagy P., Eördögh I., Szász K., Olasz I., Méder E., Takács Á. (1996) Különleges anyagú szálasanyagok sodratának kialakulása. Kézirat. OTKA I/5. T7651. témaszámú kutatás zárójelentése. Budapest. S9. Eördögh I., Halász G., Szász K., Vas L.M. (1993) Képfeldolgozó rendszer textilszálak és fonalak lokális vizsgálatához. Anyagvizsgálók Lapja 3. (3) 79-83. S10. Gaál J., Takács M., Vas L. (1985) Segédlet a "Nemfémes szerkezeti anyagok" című tárgyhoz. Kézirat. Tankönyvkiadó, Budapest. S11. Gombos Z., Nagy V., Vas L.M., Gaál J. (2005) Investigation of pore size and resin absorbency in chopped strand mats. Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng. 49. (2) 131-148. S12. Gombos Z., Vas L.M. (2005) Üvegszálpaplanok pórusméretének meghatározása statisztikus szerkezeti szálpaplanmodell alapján. Magyar Textiltechnika, 58. (4) 89-91. S13. Gombos Z., Nagy V., Kostalkova E., Vas L.M. (2006) Absorbency Behavior of Vertically Positioned Nonwoven Glass Fiber Mats in Case of Two Different Resin Viscosities. Macromolecular Symposia. Special Issue: Advanced Polymer Composites and Technologies. 239. (1) 227-231. (IF=0,691; 2005) S14. Gyivicsán P., Gombos Z., Vas L.M. (2006) Üvegszálpaplan pórusméret eloszlásának vizsgálata képfeldolgozó rendszer segítségével. Magyar Textiltechnika., 59. (5) 146149. S15. Halász G., Takács M., Vas, L.M. (1994) Image Processing System for Measuring Geometrical Properties of Fibres and Yarns. Fibres & Textiles in Eastern Europe. 2. (1) 30-33. S16. Jederán M., Kocsis J., Vas L., Császi F. (1979) Zusammenhänge zwischen Fadenbeanspruchung, Fadenfestigkeit und den morphologischen Kennwerten des Fadens. Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng. 23. (2-3)131-160. S17. Jederán M., Császi F., Vas L. (1979) A sodráselmélet és gyakorlati alkalmazása. Magyar Textiltechnika XXXII. (9) 474-478.

XVIII

S18. Jederán M., Kocsis J., Vas L., Császi F. (1979) Fonaligénybevétel, fonalszilárdság és a fonal morfológiai jellemzői közötti kapcsolat. Magyar Textiltechnika XXXII. (6) 273281. S19. Jederán M., Császi F., Vas L. (1979) Theorie der Drehungsgebung und ihre praktische Anwendung. Periodica Polytechnica SEr. Mech. Eng. Vol.23. (No.2-3.)169-184. S20. Jederán M., Fehér J., Kocsis J., Vas L., Andai Gy., Császi F. (1982) A nyersanyagfonástechnológia-fonal alaki hibái közötti összefüggések, különös tekintettel a szövödei felhasználási körülményekre. I. Kézirat. Kutatási zárójelentés I. rész. Budapest. S21. Jederán M., Vas L.M., Császi F., Rácz P., Való G., Takács M., N. Tóth J. (1986) Korszerű műbőrhordozók termék- és technológia fejlesztése II. Műszaki műbőrök szilárdsági tulajdonságainak vizsgálata és az ortogonálisan ekvivalens szilárdságú hordozó és műbőr jellemzőinek meghatározása. Kézirat. Kutatási zárójelentés II. rész. Budapest. S22. Jederán M., Vas L.M. (1992) Műbőrök gumimembrán nélküli hidraulikus repesztése. TESTOR Bt. Anyagvizsgálók Lapja 2. (2) 44-46. S23. Meggyes G., Gombos Z., and Vas L. M. (2006) Analysing the Orientation and Size Effects in Composite Sheets in Tensile Tests. GÉPÉSZET 2006, 5th Conf. on Mech. Eng. Budapest, May 25-26, 2006. Proceedings (CD – Full-text) ISBN 963 593 465 3. S24. Nagy V., Vas L.M., Nagy P., Lázár A., Dévényi L. (2002) Comparative Testing of Spun yarns Manufactured from Polyester Fibers of Different Cross Sections. IN-TECHED’ 02 4. International Conference Budapest, April 25-26, 2002. Proceedings 61-66. S25. Nagy, V., Kostakova, E., Vas, L.M. (2003) Investigation of Porosity in Polyester Staple Yarns. 5th International Conference TEXSCSI’03 Textile Science 2003 June 16-18. Liberec, CR, Proceedings 164-167. S26. Nagy, V., Vas, L.M. (2003) Intrayarn Porosity and Pore size in Polyester Yarns. Fibrous Assemblies at the Design and Engineering Interface. International Textile Design and Engineering Conference INTEDEC 2003. Edinburgh, UK, September 22nd -24th 2003. Book of Proceedings (Session 8B 1-7) 201-208. S27. Nagy V. and Vas L. M. (2004) Investigation of Porosity in Polyester Spun Yarns. GÉPÉSZET 2004, 4th Conference on Mech. Eng. Budapest, May 27-28, 2004. Proceedings 146-150. S28. Nagy V., Vas L.M. (2005) Pore Characteristic Determination with Mercury Porosimetry in Staple Yarns. Fibers and Textiles in Eastern Europe 13. (3) (July-Sept.) 21-26. IF = 0,397 S29. Nagy V., Vas L.M. (2005) Poliészter fonalak vizsgálata túlsodrással, következtetés a pórusméretre. I. rész. Magyar Textiltechnika LVIII. (1) 1-3., II. rész. LVIII. (2) 26-27. S30. Nagy V., Vas L.M. (2005) 3P gyanták nedvességfelvételi vizsgálata. Műanyag és Gumi, 42. (5) 190-194. S31. Olasz I., Vas L.M., Brucker A. (1996) HVI szálparaméterek a pamutipar szolgálatában (A TMTE IV. és V. Nemzetközi Nyersanyag Konferencia előadásanyagai) Magyar Textiltechnika XLIX. (2) 55-64. S32. Rácz Zs., Vas L.M., Nagy P. (2002) CCD Camera Tensile Tester and its Application for Testing Fiber Reinforced Composites. GÉPÉSZET’2002 3rd Conference on Mechanical Engineering Budapest, May 30-31, 2002. Proceedings of the Vol.2. Springer Budapest (p 812-816) S33. Rácz Zs., Vas L. M. (2004) Failure Analysis of Unidirectional Reinforced Composite Structure. GÉPÉSZET 2004, 4th Conf. on Mech. Eng. Budapest, May 27-28, 2004. Proceedings, 161-165.

XIX

S34. Rácz Zs., Simon Z. L., Vas L.M. (2004) Analyzing the Flexural Strength Properties of Unidirectional Carbon/Epoxy Composites. GÉPÉSZET 2004, 4th Conf. on Mech. Eng. Budapest, May 27-28, 2004. Proceedings, 166-169. S35. Rácz Zs., Simon Z.L., Vas L.M.: (2004)Analysing the Flexural Strength Properties of Unidirectional Carbon/Epoxy Composites. COMPTEST 2004. 2nd International Conference on Composites Testing and Model Identification. 21-23 September 2004. University Bristol, UK. (Poster paper, CD) S36. Rácz Zs., Vas L.M. (2005) Relationship Between Flexural Strength and Size Effects in Unidirectional Carbon/Epoxy. Composite Interfaces 325-339; IF = 0,353 S37. Simon Z.L., Vas L.M. (2005) Vákuuminjektálásos eljárással készült réteges szerkezetű kompozitok hajlító tulajdonságainak elemzése. Anyagvizsgálók Lapja 15. (4) 119-121. S38. Simon Z., Szabó L., Vas L. M. (2006) Determination of Flexular Modulus by Image Processing. GÉPÉSZET 2006, 5th Conf. on Mech. Eng. Budapest, May 25-26, 2006. Proceedings (CD – Full-text) ISBN 963 593 465 3. S39. Simon Z.L., Vas L.M. (2007) Relationship between Bending Modulus and Test Sizes of Laminated Glass/Polyester Composites. Materials Science Forum 537-538. 71-79. (IF=0,399; 2005) S40. Vas L.M. (1982) Felújítási folyamatok egyesítésének vizsgálata. ELTE TTK Szakdolgozat. Budapest, 1982. S41. Vas L.M. (1983) A véletlen, rendszeres és eredő leállási eseményfolyamat elemzése keresztcsévélés esetén Magyar Textiltechnika I: 36. (2) 72-77., II: 36. (3) 130-136., III: 36. (4) 177-179. S42. Vas L.M., Aschner G., Józsa E. (1988) Erfahrungen bei der Anwendung rechnergestützten Methoden in der Materialprüfung und Qualitätskontrolle. Formeln, Faserstoffe, Fertigware 10. (2) 12-33. S43. Vas L.M. (1990) A statisztikus szálkötegszilárdság és felhasználása a szál- és fonalvizsgálatokban. (XX. Textiltechnische Tagung, Dresden, 1-2. Dez.1989. előadás cikkváltozata) Magyar Textiltechnika 43. (4) 165-185. S44. Vas L.M. (1992) Újabb eredmények a síkban rendezett szál- és fonalkötegek szakítási elméletében. (XXXIV. Nemzetközi Textilipari Műszaki Konferencia Budapest, 1991. jún. 4-6. előadás cikkváltozata) Magyar Textiltechnika, XLV. I: (3) 71-75., II: 45. (5-6) 137-142., III: 45. (7-8) 187-191. S45. Vas L.M., Császi F. (1992) Application of the Part-Fibre-Bundle Theory and Fibre Testing to Analysis of Cotton Yarns. 21st International Cotton Conference Bremen 1214. March. Manuscripts (edited by H.Harig, S.A.Heap) 249-268. S46. Vas L.M. (1992) Maradó feszültség hatása a sodrott szálköteg szilárdságára. MTA Szálés Rostfizikai Albizottság "Rendezett és rendezetlen struktúrájú szálas, rostos anyagok mechanikai és geometriai jellemzői" c. vitaülése. Budapest, 1992. dec.8. S47. Vas L.M., Halász G. (1993) Textilszálak és fonalak lokális vizsgálata képfeldolgozással és a kötegszilárdság becslése. Magyar Textiltechnika 46. (1) 29-35. S48. Vas L.M., Császi F. (1993) Use of Composite-bundle Theory to Predict Tensile Properties of Yarns. Journal of the Textile Institute, 84. (3) 448-463. S49. Vas, L.M., Halász, G., Takács, M., Eördögh, I., Szász, K.: (1994) Measurement of Yarn Diameter and Twist Angle with Image Processing System. Periodica Polytechnica Mech. Eng. 38. (4) 277-296. S50. Vas L.M., Halász G.: (1994) Modelling the Breaking Process of Twisted Fibre Bundles and Yarns. Periodica Polytechnica Mech. Eng. 38. (4) 325-350. S51. Vas, L.M., Halász, G. (1994) Untersuchungen der Veränderungen in Fadensdiameter und Drehungswinkel bei der Zugs- und Drehungsbeanspruchung Periodica Polytechnica Mech. Eng. 38. (4) 297-324.

XX

S52. Vas L.M., Halász G. (1994) Összefüggések különböző szerkezetű fonalak geometriai és szilárdsági jellemzői között. 1. Rövidszakaszú lokális jellemzők. Magyar Textiltechnika XLVII. (5) 179-186. S53. Vas L.M., Halász G. (1994) Összefüggések különböző szerkezetű fonalak geometriai és szilárdsági jellemzői között. 2.Hosszabbszakaszú lokális jellemzők I. Magyar Textiltechnika XLVII. (6) 192-201, II. rész: XLVIII. (1) 1-4. S54. Vas L.M., Eördögh I., Császi F., Halász G., Szász K., Takács M., Huszár G., Nguyen Q.H., Olasz I. (1995) Szálkötegek, szálfolyamok és fonalak számítógéppel segített szerkezeti és szilárdsági modellezése. OTKA I/3. 821. tsz. kutatás zárójelentése. Budapest. S55. Vas L.M., Eördögh I., Halász G., Juhász Gy., Nagy P., Szász K. (1995) Textillapok deformációjának vizsgálata számítógépes képfeldolgozó rendszer segítségével. Kézirat. OTKA I/5. T7652. témaszámú kutatás zárójelentése. Budapest. S56. Vas L.M., Nagy P. (1995) Cérnasodrat összehasonlító vizsgálata. Kézirat. Szakértői jelentés. Budapest. S57. Vas L.M., Halász G., Eördögh I., Szász K. (1996) Fonalmechanikai vizsgálatok képfeldolgozó rendszer segítségével. Anyagvizsgálók Lapja 6. (1) 9-13. S58. Vas L.M., Halász G., Eördögh I., Szász K. (1996) Fonalátmérő és sodratszög mérés képfeldolgozó rendszer segítségével. Magyar Textiltechnika 49. (2) 73-81. S59. Vas L.M., Halász G., Nagy P., Eördögh I., Juhász Gy. és Szász K. (1996) Textillapok deformációjának vizsgálata számítógépes képfeldolgozó rendszer segítségével. Anyagvizsgálók Lapja 6. (4) 111–116. S60. Vas L.M., Halász G., Nagy P., Eördögh I., Juhász Gy., Szász K. (1997) Textillapok deformációjának vizsgálata számitógépes képfeldolgozó rendszer segítségével. Magyar Textiltechnika L. (1) 19-25. S61. Vas L.M., Olasz I., Császi F., Sándor B. (1997) A fonástechnológia egyes műveletei és a fonal a szálasanyag- és termékvizsgálat tükrében. Magyar Textiltechnika, L. (2) 61-72. S62. Vas, L.M., Császi, F., Halász, G., Nagy, P., Balogh, K., Eördögh, I., Szász, K. (1998) Application of image processing system to testing textile materials. GÉPÉSZET'98 1st Conference on Mechanical Engineering TU Budapest, May 28-29. 1998 Proceedings Springer Hungarica Kiadó, 281-285. S63. Vas, L.M., Balogh, K., Csorba, A., Bodor, G., Nagy, P., Eördögh, I., Szász, K. (1998) Testing polymer composites with image processing system. GÉPÉSZET'98 1st Conference on Mechanical Engineering TU Budapest, May 28-29, 1998. Proceedings Springer Hungarica Kiadó, 276-280. S64. Vas L.M., Nagy P., Balogh K., Császi F., Halász G., Eördögh I., Szász K. (1998) Számítógépes képfeldolgozó rendszer alkalmazása a textilanyagok vizsgálatában. Műanyag és Gumi. 35. (7) 191-199. S65. Vas L.M., Balogh K., Csorba A., Bodor G., Nagy P., Eördögh I., Szász K. (1998) Polimer kompozitok vizsgálata számítógépes képfeldolgozó rendszer segítségével. Műanyag és Gumi. 35. (7) 200-208. S66. Vas L.M., Balogh K., Nagy P., Gaál J. (1998) Üvegszálpaplan szerkezeti modellezése és vizsgálata. Magyar Textiltechnika 51. (In-Tech-Ed’98 Konferencia különszám Bp. 1998 okt.) 67-71. S67. Vas L.M., Balogh K., Nagy P., Gaál J., Eördögh I., Szász K. (1999) (Structural modelling and testing of glass mats with the aid of image processing system 7..Nemzetközi Nyersanyag Konferencia, 1999. máj. 18-19. Budapest. Proceedings 164168. Vas L.M., Balogh K., Csorba A., Nagy P., Gaál J., Eördögh I., Szász K. (2000) S68. Statistical modeling and testing of glass mats by using image processing system.

XXI

S69.

S70.

S71. S72. S73.

S74.

S75.

S76.

S77.

S78.

S79.

S80.

S81.

S82.

S83.

GÉPÉSZET’2000 2nd Conference on Mechanical Engineering Budapest, 2000. május 25-26. Proceedings Vol.2. Springer Budapest 779-783. Vas, L.M., Balogh K. (2000) Testing fiber orientation and its effect on glass mats by using image processing system. VI. International Textile Conference IMTEX’2000. Lodz, June 5-6, 2000. Proceedings (Zeszty Naukowe No.845. Wlókiennictwo No.58.) 69-78. Vas L.M., Czvikovszky T., Gaál J., Nagy P., Halász M., Balogh K., Csorba A., Eördögh I., Szász K. (2000) Szabálytalan szerkezetű, szálerősítésű kompozit lapok szerkezeti és szilárdsági modellezése. OTKA I/9. T022077 tsz. kutatás zárójelentése. Budapest. Vas L.M. (2000) Textil nyersanyagok – Szerkezet, előállítás és tulajdonságok. Előadásjegyzet. Kézirat. BME Polimertechnika Tanszék, Budapest. Vas L.M. (2000) Textiltermékek tervezése – Szerkezeti és makrotulajdonságok. Előadásjegyzet. Kézirat. BME Polimertechnika Tanszék, Budapest. Vas L.M., Nagy P., Dévényi L., Lázár A., Nagy V. (2001-2002) Fundamentals of Comfort – Analysis of Fiber Packing of Yarns. Manuscript. Supported by Du Pont European University Support Program. Summary 1. Budapest, Nov. 2001., Summary 2. Budapest, Feb. 2002., Summary 3. Budapest, May 2002., Final report. Budapest, July 2002. Vas, L.M., Nagy V, Nagy P., Lázár A., Dévényi L. (2002) Testing the Bulk of Polyester Staple Yarns and their Change by Twisting. GÉPÉSZET’2002 3rd Conference on Mechanical Engineering Budapest, May 30-31, 2002. Proceedings Vol.1. Springer Budapest 297-301. Vas, L.M., Balogh, K. (2002) Investigating Damage Processes of Glass Fiber Reinforced Composites Using Image Processing. Journal of Macromolecular Sciences Part B – Physics, Vol. B41. (4-6) 977-989. IF = 0,677 Vas L.M., Rácz Zs. (2004) Modeling and Testing the Fracture Process of Impregnated Carbon-fiber Roving Specimens During Bending: Part I – Fiber Bundle Model. Journal of Composite Materials 38. (20) 1757-1785. IF=0,604 Vas L.M., Rácz Zs. (2004) Modeling and Testing the Fracture Process of Impregnated Carbon-fiber Roving Specimens During Bending: Part II – Experimental Studies. Journal of Composite Materials 38. (20) 1787-1801. IF=0,604 Vas L.M. (2005) Statistical Modeling of Uniaxially Oriented Fibrous Structures. 8th International Symposium on Polymers for Advanced Technologies 13-16 Sept. 2005, Budapest. (CD: Oral presentation, Section B). Vas L.M., Czvikovszky T., Gaál J., Halász M., Nagy P., Tamás P., Rácz Zs., Nagy V., Simon Z., Zsigmond B. (2005) Üveg- és szénszálerősítésű kompozit szerkezetek modellezése és vizsgálata a képfeldolgozás módszerével. Kézirat. OTKA I/9. T038220 tsz. kutatás zárójelentése. Budapest, 2005. június. Vas L.M. (2006) Idealizált szálkötegek és alkalmazásuk szálas szerkezetek modellezésére. MTA Szál- és Kompozittechnológiai Bizottság tudományos vitaülése, Budapest, 2006. febr. 28. Vas L. M., Tamás P. (2006) Fiber-Bundle-Cells Method and its Application to Modeling Fibrous Structures. GÉPÉSZET 2006 5th Conf. on Mech. Eng. Budapest, May 25-26, 2006. Proceedings (CD – Full-text) ISBN 963 593 465 3. Vas L.M. (2006) Statistical Modeling of Unidirectional Fiber Structures. Macromolecular Symposia. Special Issue: Advanced Polymer Composites and Technologies. 239. (1) 159-175 (IF=0,913; 2005) Vas L.M. (2006) Strength of Unidirectional Short Fiber Structures as a Function of Fiber Length. Journal of Composite Materials 40. (19) 1695-1734 (IF=0,671; 2005)

XXII

S84. Vas L.M., Czigány T. (2006) Strength Modeling of Two-Component Hybrid Fiber Composites in Case of Simultaneous Fiber Failures. Journal of Composites Materials 2006 40. (19) 1735-1762. (IF = 0,671; 2005) S85. Zsigmond B., Vas L.M. (2005) Fonatolt, szénszál erősítésű kompozit csövek húzása. Műanyag és Gumi, 42. (12) 488-491. S86. Zsigmond B., Vas L.M. (2006) Examination of the Tensile State of Fibers in Braided Fiber Reinforced Composite Tubes. Periodica Polytechnica Ser. Mech. Eng., 50. (1) 6776.

XXIII

MELLÉKLETEK

M

M2. Mellékletek M2.1. Melléklet. Üvegszálpaplanon végzett kísérleti vizsgálatok eredményei Névleges adatok: Területi sűrűség: Szélesség: Rosthossz:

270 g/m2 110 cm 50 mm

Vizsgált jellemzők Üvegszál (egyedi) • Szálátmérő (d) • Szakítóerő (Fs) • Szakító nyúlás (εs) Üvegrost (egyedi) • Hossz (l<45mm: 8%) • Szélesség (b) • Vastagság (h) • Tömeg (m) • Szálszám (ν) • Szálrétegek száma • Szakítóerő (Fs) • Szakító nyúlás (εs) Egyedi rost helyzeti-geom.-i jellemzői • Irányszög (β) • Korreláció R(β,l) R(l,ν) R(ν,β) Szálorientáció (paplan, mint halmaz) • Szálirányszög (β) Paplan geometriai jellemzői • Szélesség (B) • Vastagság (H) • Területi sűrűség (Q) • Rostrétegek száma • Porozitás (P) Kompozit geom.i jellemzői • Szélesség (B) • Vastagság (H) • Területi sűrűség (Q) • Térfogati sűrűség (ρ) • Üvegtartalom – tömeg (ϕm) - térfogat (ϕV)

Mérések száma

Átlagérték

Relatív szórás

690 604 604

12,24 µm 175 mN 3,07 %

11,6 % 40,8 % 38,4 %

1969 110 130 523 523 --

48,2 mm 220 µm 20 µm 0,99 mg 65 2

11,6 % 37 % 51 % 49,5% 49,2 % --

100 100

8,73 N 4,65 %

47 % 19,8 %

960 523 523 523

85,4o 0,0714 0,0020 0,0458

54,4 % ----

40 (10)

87o (89o)

64% (58%)

-480 480 ---

110 cm 693 µm 266,7 g/m2 35 85 %

-11,1 % 7,56 % ---

-360 360 360 ---

110 cm 1,05 mm 1383 g/m2 1,33 g/cm3 19,3 % 9,83 %

-10,7 % 9,6 % 4,3 % ---

N

M4. Mellékletek M4.1. Melléklet. Kötegelemekből előállított szálfolyamok és paramétereik képzési módja KÖTEGJELLEMZŐK (i=1,…,m) Típus ESHT-paraméterek E ESHT[Ki, εSi, 0, ∞, 0, 0] EH ESHT[Ki, εSi, εoi, ∞, 0, 0]

SZÁLFOLYAMJELLEMZŐK Típus Működő paraméterek E K =< K i > h , εS=minεSi EH K =< K i > h , εS=minεSi,

ε o =< 1 + ε oi > h −1 ES

ESHT[Ki, εSi, 0, εbi, εbLi, 0]

ES

ET

ESHT[Ki, εSi, 0, ∞, 0, Toi]

EHT

K =< K i > h , εS=minεSi, εb=minεbi=εbk, εbL=εbLk, K =< K i > h , εS=minεSi,

εo =

To =< Toi > a ,

1 + (< Toi >a )2 −1 2 1 + Toi a

EHS EHT

ESHT[Ki, εSi, εoi, εbi, εbLi, 0] ESHT[Ki, εSi, εoi, ∞, 0, Toi]

EHS

K =< K i > h , εS=minεSi, εb=minεbi=εbk,

EHT

εbL=εbLk, ε o =< 1 + ε oi > h −1 K =< K i > h , εS=minεSi, To =< Toi > a ,

εo = EST

ESHT[Ki, εSi, 0, εbi, εbLi, Toi]

EHST

1 + (< Toi > a )2 1 + Toi2

/ (1 + ε oi )

−1 a

K =< K i > h , εS=minεSi, εb=minεbi=εbk, εbL=εbLk,

εo =

To =< Toi > a ,

1 + (< Toi >a )2 −1 2 1 + Toi a

EHST ESHT[Ki, εSi, εoi, εbi, εbLi, Toi]

EHST

K =< K i > h , εS=minεSi,

εo =

1 + (< Toi > a )2 1 + Toi2

/ (1 + ε oi )

−1 a

εb=minεbi=εbk, εbL=εbLk, To =< Toi > a A táblázatban <Xi>a és <Xi>h az X1,…,Xn változó sorozat aritmetikai és harmonikus átlagát jelöli.

O

M5. Mellékletek M5.1. Melléklet. Szálhosszjellemzők speciális Erlang eloszlások esetében Szálhossz-jellemző

Szálhosszeloszlás

Szakállhossz -eloszlás

Ql ( x ) = P (l < x ) E(l) D(l)

E(l)

0 , x ≤ 0  x x min( ,1 ) =  , 0 < x < lo lo  lo 1, x ≥ lo lo / 2

D(l)

( lo / 2 ) / 3

x

1 − Q( u ) S( x ) = ∫ du l o

Aktív szakállhossz -eloszlás

Speciális Erlang eloszlás Állandó szálhossz Exponenciális eloszlás x 1, x ≥ lo − 1 − 1( x − lo ) =  l 1− e , x ≥ 0 0, egyébként lo l 0 l

E(l)

0 , x ≤ 0  2x l  2x min( ,1 ) =  , 0 < x < o lo 2  lo 1, x ≥ lo / 2 lo / 4

D(l)

( lo / 4 ) / 3

Sm ( x ) = S ( 2 x )

A táblázatban 1(x) az egységugrás függvény.

P

x 1− e l , −

x≥0

l l 2x 1− e l ,

−

l /2 l /2

x≥0

FÜGGELÉKEK

TARTALOMJEGYZÉK

F1. FÜGGELÉKEK ....................................................................................................................................... - 2 F1.1. Érintkezési pontok eloszlása szálhalmazokban ................................................................................ - 2 F1.2. Textília lokális sűrűségjellemzői ...................................................................................................... - 3 F1.3. Keresztmetszeti és szakállhosszeloszlások........................................................................................ - 5 F1.4. Kompozitokhoz alkalmazott egyes törési kritériumok ...................................................................... - 9 F1.5. Peirce gyenge láncszem elmélete ................................................................................................... - 11 F1.6. A terhelésátadás unidirekcionális rövidszálas kompozitban .......................................................... - 13 F2. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 14 F2.1. Lineáris környezet térfogata........................................................................................................... - 14 F2.2. Szálpaplan előállítása generált szálfolyamokkal ........................................................................... - 15 F2.3. Metsző szálak átlagos hossza és szórása ........................................................................................ - 16 F2.4. Konvex paplanminta egyes területi sűrűségjellemzői ..................................................................... - 17 F2.5. Téglalap mintába foglalt szálak hosszeloszlása ............................................................................. - 19 F2.6. Tojástartományt metsző szálak metszeti hosszának feltételes várható értéke ................................ - 23 F2.7. Pórusméreteloszlás és jellemzői ..................................................................................................... - 24 F3. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 27 F3.1. Véges szálú E-köteg várható szakadási pontjai és szakítófolyamata ............................................. - 27 F3.2. Módosított ES-kötegek ................................................................................................................... - 31 F3.3. Kombinált szálkötegek ................................................................................................................... - 32 F3.4. EV-kötegek ..................................................................................................................................... - 43 F4. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 48 F4.1. Szálkötegcellák megbízhatósági függvényei ................................................................................... - 48 F4.2. Szálkötegcellák várható húzókarakterisztikája .............................................................................. - 50 F4.3. Szálfolyam-elvű soros kapcsolás .................................................................................................... - 52 F4.4. Determinisztikus elemű köteglánc .................................................................................................. - 56 F4.5. E-köteglánc .................................................................................................................................... - 59 F5. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 63 F5.1. Aktív szakállhossz eloszlás ............................................................................................................. - 63 F5.2. Véges szálfolyamszakasz várható húzóerő-folyamata .................................................................... - 65 F5.3. ES1-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság .............................................. - 67 F5.4. ES2-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság .............................................. - 70 F5.5. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES1-köteg alkalmazása .......................................................... - 73 F5.6. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES2-köteg alkalmazása .......................................................... - 75 F5.7. Várható húzóerő-folyamat véges befogási hosszak esetén ............................................................. - 77 F5.8. Rövidszálas, egyenirányú kompozit rudak várható húzóerő- folyamata és szilárdsága ................ - 78 F6. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 82 F6.1. A sodrási maradó feszültség modellezése ...................................................................................... - 82 F7. FÜGGELÉKEK ..................................................................................................................................... - 83 F7.1. A szálréteg és a kompozit tönkremenetelének feltételei .................................................................. - 83 F7.2. A hajlító erő négyzetének előállítása a különbségerők négyzetösszegeként ................................... - 86 F7.3. Kompozit köteg alkalmazása .......................................................................................................... - 87 -

-1-

F1. FÜGGELÉKEK F1.1. Érintkezési pontok eloszlása szálhalmazokban Van Wyk (1946) [237,K52], Stearn (1971) [210], Komori és Makishima (1977) [114117], valamint Cheng és Duckett (1979) [23,24] összefoglalólag kezelt eredményei szerint – amelyeknél van Wyk és Stearn izotróp, egyenletes orientációeloszlású szálhalmazokra vonatkozó eredményeit indexben E jelöli – a V térfogatban található, nagyszámú (N), hengeres, d átmérőjű szálból álló szálhalmazban – feltéve, hogy a szálak érintkezési helyein mindig pontosan 2 szál érintkezik és bármely két szál érintkezése azonos valószínűségű – az egy szálon lévő érintkezési pontok átlagos száma (ψ a (ϕo,βo) és (ϕ,β)∈Φ irányok bezárta szög): π dΛ f 2dl 2 ( N − 1 ) m1( ϕ o , β o ) = I1( ϕ o , β o ) ≈ 2dlΛ f I1( ϕ o , β o ) ≤ m1E = l (F1.1.1) V 2 I1( ϕ o , β o ) = ∫∫ sinψ ( x , y ,u , v )q( ϕ o ,β o ) ( u , v ) sin ududv ≤ I1E = Φ

π

4

(F1.1.2)

cosψ = cos ϕ o cos ϕ + sin ϕ o sin ϕ cos( β o − β ) (F1.1.3) ahol a térfogategységre eső szálhossz: Nl Λf = (F1.1.4) V Egy adott szál egységnyi hosszára jutó érintkezési pontok n1 száma: π dΛ f m n1( ϕ o , β o ) = 1 = 2dΛ f I1( ϕ o , β o ) ≤ n1E = (F1.1.5) l 2 míg a szálhosszegységre eső érintkezési pontok átlagos száma nem függ az orientációeloszlástól: ∫∫ n1( x , y ) sin xdxdy n1 = Φ

∫∫ sin xdxdy

= n1E =

π

2

dΛ f

(F1.1.6)

Φ

A térfogategységre eső érintkezési pontok átlagos száma: n = dΛ2f I ≤ n E =

π

4

dΛ2f , I = ∫∫ I1( x , y )q( ϕ o ,β o ) ( x , y ) sin xdxdy

(F1.1.7)

Φ

A szomszédos érintkezési pontok közötti átlagos távolság: Nl 4 δ = = nV π dΛ f

(F1.1.8)

Kimutatták tehát, hogy a kereszteződési vagy érintkezési pontok térbeli eloszlása és sűrűsége a szálszegmensek irányeloszlásától függ és az egyenletes eloszlású szálhalmaz olyan szerkezetű, amelyben a hosszegységre, illetve térfogategységre eső érintkezési pontok száma maximalizálódik, amelynek bármely deformációja során az érintkezési pontok száma csökken. Megjegyzendő, hogy ugyanakkor az érintkezési helyek hossza nőhet. A van Wyk modellben annak valószínűsége, hogy két, egymással egy rögzített ψ szöget bezáró szál érintkezik:

-2-

P1 =

2dl 2 sinψ V

(F1.1.9)

és ugyanez két tetszőleges szál esetében

P = ∫∫ P1q( ϕ o ,β o ) ( u ,v ) sin ududv = Φ

π dl 2 2dl 2 I1( ϕ o , β o ) ≤ PE = V 2V

(F1.1.10)

Következésképpen egy szálon lévő érintkezési pontok száma (N-1,P)-paraméterű binomiális eloszlást követ, ami nagy N esetében Np paraméterű Poisson eloszlással közelíthető. Neckář (1997) [152], illetve Neckář és Ibrahim (2003) [K52] rámutatott, hogy az egy szálon létrejövő érintkezési pontok m maximális számát a két érintkezési pont közötti minimális távolság, az ún. szabad hossz (lf) szabja meg: l=mlf. Kimutatták, hogy az egy szálon keletkező érintkezési pontok száma ekkor (m,Pm) paraméterű binomiális eloszlást követ, ahol ( N −1 )P m Pm = 1 − e −

(F1.1.11)

Ennek figyelembe vételével a fentebb bemutatott kifejezések is módosulnak.

F1.2. Textília lokális sűrűségjellemzői A Γ textília (1.2.41) és (1.2.28) szerinti sűrűsége a teljes termékre kiterjedő átlagos sűrűségértékeket szolgáltat. Sok esetben azonban szükség lehet a sűrűség – pl. a váztér pontjainak adott sugarú környezeteiben, esetleg magukban a pontokban értelmezhető – lokális értékeinek ismeretére, vagy azok eloszlására is. Feltéve, hogy az m tömegmérték – vagy annak mW vetületmértéke – integrál alakban is előállítható (ekkor az m abszolút folytonos a R3-beli λ=λ3 Lebesgue mértékre [K68,K75]) és ha A⊂R3, illetve a ΓA= Γ∩A≠∅ mérhetők, akkor ΓA termékrész, mint egy kivágott minta tömege és az A halmazba foglalt tömeg megegyezik (F1.2.1. ábra): m(ΓA) = m(A) = ∫ dm = ∫ ρ λ( dA ) = ∫ ρ dλ (F1.2.1) A

A

A

ahol a ρ=ρ3(x,y,z)=ρ3(r) a Γ textiltermék tömegsűrűség-függvénye, amely Radon-Nikodym deriváltnak [K68] tekinthető. A ρ az egész R3 valós téren értelmezett és értéke abban a pontban zérus, mely a Γ-nak nem pontja. Amennyiben a Γ textília szálai tömegpontokból álló absztrakt objektumok, úgy ρ a Dirac-deltához [K14] hasonló, általánosított függvényként értelmezhető, amelynek értéke a tömegpontokat kivéve, mindenütt zérus, viszont egy szálszakaszt tartalmazó térrészre vett integrálja a vonatkozó tömeget adja. W

ΓA

Γ=ΓW

A

F1.2.1. ábra. Textiltermékből kivágott minta értelmezése

-3-

Az (F1.2.1) a Γ textília W vázterére és a ΓW vetületre is értelmezhető az mW vetületmérték segítségével. Legyen most A⊂W és a ΓA=ΓW∩A mérhető, ekkor az (F1.2.1)hez hasonlóan: mW(ΓA) = mW(A) =

∫ dm = ∫ ρ W

A

k

dλ k

(F1.2.2)

A

ahol λk a k-dimenziós W váztéren (k=1,2,3) értelmezett Lebesgue mérték [K75]. A fentiekkel az A halmaz átlagos karakterisztikus tömegsűrűsége: m ( A) 1 1 ρk ( A ) = W = dmW = ρ dλ (F1.2.3) ∫ λk ( A ) λk ( A ) λk ( A ) ∫ k k A

A

A textíliák geometriai tulajdonságai, s így sűrűsége is, a váztérben statisztikus ingadozásokat mutatnak, így térparaméterezett sztochasztikus folyamatoknak kezelhetők. E változások belső dinamikájának leírásához gyakran használják a sztochasztikus folyamatok más műszaki tudományágakban is használatos jellemzőit, mint pl. a kovariancia és a teljesítmény spektrum függvényeket. Legyen a k-dimenziós Γ⊂R3 textília váztere a W⊂R3 altér és a tömegsűrűség a W-ben ρ=ρk. Tegyük fel – az általános esetnek is megfelelően -, hogy a ρ=ρ(ω,r), ω∈Ω, r∈W, azaz a ρ tömegsűrűség paraméteres valószínűségi változó, vagyis sztochasztikus folyamat. A ρ folyamat legyen legalább másodrendben stacionárius [K21,K60], melynek várható értéke E(ρ) és négyzetes szórása D(ρ) véges, állandó értékek, ahol E és D a várható érték és a szórás funkcionálok, illetve a szórásnégyzet a várható értékkel a következő módon adható meg:

[

]

D2(ρ) = E ( ρ − E ( ρ ) )2 = E ( ρ 2 ) − E 2 ( ρ ) (F1.2.4) A ρ folyamat Cρρ autokovariancia függvénye [K21,K60,K66] csak az u=r2-r1 helykülönbségtől függ: Cρρ(u) = Cρρ(r2-r1) = ( E [( ρ (r1 ) − E ( ρ ) )( ρ (r2 ) − E ( ρ ) )] = Rρρ(u) - E2(ρ) (F1.2.5) ahol Rρρ a ρ folyamat autokorrelációs függvénye: Rρρ(u) = E[ρ(r1)ρ(r1+u)] (F1.2.6) Az (F1.2.4) és (F1.2.5) alapján nyilvánvaló, hogy: Cρρ(0) = D2(ρ) (F1.2.7) ezért érdemes bevezetni a κρρ(u) szórásnégyzettel normált autokovariancia (autokorrelációs tényező) függvényt, amit - a rövidség kedvéért - gyakran szintén autokorrelációs függvénynek neveznek: C ρρ (u) κρρ(u) = (F1.2.8) C ρρ (0) Az (F1.2.5) kovariancia függvény Fourier transzformáltja a Gρρ ún. auto-teljesítmény spektrum [K66] (du=du1…duk): Gρρ(f) = ₣[Cρρ(u)](f) =

∫ C ρρ (u)e

−i 2π

du

(F1.2.9)

W

ahol f=(f1,…,fk)T térfrekvencia vektor (dimenziója pl. 1/cm), az u és f vektorok skaláris szorzata. A teljesítményspektrum (térspektrum) inverz Fourier transzformáltja a térkovariancia függvény (df=df1…dfk): Cρρ(u) = ₣-1[Gρρ(f)](u) =

∫ G ρρ (f )e

i 2π

df

(F1.2.10)

W

Az (F1.2.9) és (F1.2.10) összefüggések szerint a térspektrum és a térkovariancia függvény Fourier transzformációs párok.

-4-

F1.3. Keresztmetszeti és szakállhosszeloszlások A térfogati mintavétellel nyert, a teljes szálfolyam összes szálát jellemző szálhosszeloszlás legyen Ql(x)=P(l<x), x>0. A keresztmetszeti jellemzők vizsgálatához a szálakból rendezéssel egy egyenletesen folytonos lineáris (EFL) szálfolyamot állítanak elő, amely homogén abban az értelemben, hogy valamely keresztmetszetét metsző szálak hosszeloszlása független a keresztmetszet szálfolyam menti helyétől [K45,K46,K70, K80,S72]. Az F1.3.1. ábra egy N számú párhuzamos szálból álló, a fenti feltételeknek megfelelően rendezett, végeikkel egymáshoz csatlakozó szálakból felépített Lo hosszúságú, n
n

N Nk

xo+Lo

Szálfolyam

nk lk Lo

lk

xo F1.3.1. ábra. Szálfolyam és keresztmetszeti szálhosszdiagram szerkesztése [S72]

A szálfolyam szerkesztése a teljes szálhalmazt jellemző, térfogati szálhosszeloszlás hisztogramos száldiagram formája alapján történik, ahol a k-adik hosszcsoport szálainak száma Nk=Nqk (N=ΣKk), relatív gyakorisága qk és átlagos szálhossza lk (k=1,..,r). Feltéve, hogy az lk szálhosszak egy kis hosszmérték egységgel kifejezett egész számok és az Lo az lk értékek legkisebb közös többszöröse, az egyes szálcsoportok szálaiból reguláris részszálfolyamokat építünk fel úgy, hogy kitöltik az Lo hosszat. Így a k-adik hosszcsoport szálaiból nk=ngk (n=Σnk) számú egyenletesen folytonos és egyszerű lineáris (EFEL) elemi szálfolyam alkotta, ugyancsak EFEL-típusú rész-szálfolyamot kapunk, ahol a gk a teljes, eredő, EFL-típusú szálfolyam egy x keresztmetszetét metsző lk hosszú szálak relatív gyakorisága. A fentiekkel - felhasználva a tömegmegmaradás elvének itt megfelelő összhossz megmaradás elvét - a térfogati és a keresztmetszeti minták közötti alapösszefüggések egyszerűen megkaphatók. A teljes szálhalmazra és a k-adik hosszcsoportra fennáll: Nl N = nLo , N k l k = nk Lo ,

lN =

r

∑ lk qk

(F1.3.1)

k =1

ahol lN a térfogati minta számszerinti átlagos hossza. A fentiekkel az x keresztmetszetet metsző lk-hosszú szálak, azaz a k-adik szálcsoport számaránya: n l N l g k = k = k k = k qk (F1.3.2) n lN N lN Az (F1.3.2) szerint a gk keresztmetszeti szálhossz gyakoriságok a qk térfogati gyakoriságok hosszsúlyozott értékei, azaz a hosszabb szálak nagyobb gyakorisággal metszik a szálfolyam adott keresztmetszetét, mint a rövidebbek. Az osztályfelosztás finomításával az lN átlagos hossz az l várható értékhez tart, így az (F1.3.2) súlyozás a Gl(z) keresztmetszeti és Ql(z) -5-

térfogati eloszlásfüggvények – illetve, ha léteznek, a gl(z) és ql(z) sűrűségfüggvények kapcsolatára is érvényes (z>0): z

z

u u Gl ( z ) = Ql (z M x ) = P(l < z M x ) = ∫ dQl ( u ) = ∫ ql ( u )du l l 0

(F1.3.3)

0

z ql ( z ) (F1.3.4) l ahol az Mx metszési eseménnyel a keresztmetszeti szálhosszeloszlás függvény a térfogati feltételes eloszlásfüggvényeként adható meg. Megjegyzendő, hogy a szálak azonos po lineáris sűrűsége esetén az (F1.3.4) szerinti hosszsúlyozás a szálak tömegszerinti súlyozásával ekvivalens (m=qol). Az l x átlagos keresztmetszeti szálhossz, mint feltételes várható érték számítható ki, s mint könnyen belátható: gl ( z ) =

l x = E (l M x ) =

∞ 2

∫

0

(

)

u ql ( u )du = l 1 + Vl2 ≥ l l

(F1.3.5)

ahol Vl a térfogati mintavételből számolt számszerinti relatív szórás. A megszerkesztett EFL-szálfolyam tulajdonságai nem változnak, ha elemi szálfolyamait önmagukban, akár véletlen értékekkel is, eltoljuk (F1.3.2.a. ábra). Egy xo keresztmetszetét metsző szálak ún. kétoldalas szálszakállat alkotnak (F1.3.2.a. ábra). Az xo keresztmetszetet metsző szálszakáll két oldalára nyúló szálrészeit mellső és hátsó félszakállnak, szálaik hosszeloszlásait mellső- és hátsó (fél)szakállhossz-eloszlásnak nevezik. a.) xo b.) xo

l+

ll

xo xo F1.3.2. ábra. EFL-szálfolyam xo keresztmetszetét metsző szálak alkotta kétoldalas szálszakáll (a) és egy szálának mellső és hátsó része (b) A szálfolyam xo keresztmetszetét metsző pl. l hosszúságú szálat e keresztmetszet két részre, a l+ hosszúságú mellső és l- hosszúságú hátsó részekre vágja, (F1.3.2.b. ábra), ahol: l = l+ + l(F1.3.6) + Az l és l szálhosszak eloszlásának, azaz a szakállhossz-eloszlások meghatározásához a F1.3.1. ábrán látható EFEL-szálfolyamokat egyenletes nyírással Zotyikov-féle szálfolyamba alakítjuk át. Ennek során, a hátsó végeikkel a tekintett keresztmetszethez illeszkedő szálak alkotta egyes szálcsoportok szálait, a legfelső száltól kezdve, egymáshoz képest egyenletesen csúsztatjuk el balra (hátrafelé) úgy, hogy most a csoport legalsó szálának elülső vége érintkezzen az adott keresztmetszeti vonallal (F1.3.3. ábra). Ekkor az egyes szálcsoportok eredetileg téglalap alakú elrendeződése olyan romboidba megy át, melynek rövidebbik átlója merőleges a szálakra, s így illeszkedik az adott keresztmetszet vonalára, azaz egyenletes szálvég-sűrűségű, Zotyikov-féle részszálfolyamokat kapunk, amelynek keresztmetszeti diagramja megegyezik az eredeti szálfolyaméval [K45,K70,K80, K82,S72].

-6-

xo gk lk

lk

xo F1.3.3. ábra. EFEL-szálfolyam átalakítása Zotyikov-féle szálfolyammá egyenletes nyírással Ekkor például a k-adik rész-szálfolyam egyik szálromboidjának rövidebbik átlójára illeszkedő keresztmetszetét metsző szálak az összes lehetséges metszési szálhelyzetet előállítják. Ugyanilyen szálelrendeződéshez jutunk, ha az F1.3.2.a. ábra véletlen szálelrendeződésű szálfolyamának x keresztmetszetét metsző szálakat – a szálfolyam tengelyére merőleges eltolásokkal – pl. a mellső részeik hosszai szerint rendezzük. Feltehető, hogy minden metszési helyzet egyenlő valószínűségű, így a metszési valószínűségek területarányokkal adhatók meg. A feltételek és a szimmetria miatt a mellső és hátsó szálrészek hosszcsoportokon belüli, következésképpen az egész szálfolyamra vett hosszeloszlása, tehát a mellső és hátsó szakállhosszeloszlás megegyezik, s a száldiagramjaik egymásnak mintegy középpontos tükörképei, továbbá nem függnek az adott keresztmetszet helyétől. Az Sl*(z) szakálldiagram annak valószínűségét adja meg, hogy az adott x keresztmetszetet metsző szálak l+ hosszú mellső részei metszik az x+z keresztmetszeten is: Sl*(z) = P(l+≥zMx) = 1- Sl(z) = 1- Ql+(zMx) (F1.3.7) Ennek kiszámításához tekintsük a keresztmetszeti diagram gk relatív gyakoriságú, lk hosszúságú szálakból álló, téglalap alakú k-adik hosszcsoportját (k=1,…,r) és annak a mellső szakálldiagrambeli, háromszög alakú képét (F1.3.4. ábra). x

lk-z

z

sk

lk

gk

lk

x F1.3.4. ábra. Összefüggés a keresztmetszeti és szakálldiagramok k-adik hosszcsoportja között Ha 0≤z
ak mennyiségek összege 1. Az sk feltételes gyakoriságok mindama k indexekre való összegezésével, melyekre teljesül lk>z, közelítőleg a szakálldiagram z helyen vett értékét kapjuk: l −z (F1.3.9) S* ( z ) ≈ ∑ k fk l l >z N k

A (F1.3.9) szerint a szakálldiagram értékei a térfogati száldiagram gyakoriságaiból kapható az Mx metszési feltétel és u≤l0) fennállása esetében. Figyelembe véve, hogy q k ≈ ql ( u )∆u ≈ ∆Ql ( u ) (F1.3.10) s ezzel, a [0,∞)-re értelmezett ql(u) sűrűségfüggvénnyel az (F1.3.9) integrálformája (u>0): S l* ( z ) =

∞

∞

u−z u−z ∫ l ql ( u )du = ∫ l dQl ( u ) z

(F1.3.11)

z

Az irodalomban általában az (F1.3.9), illetve (F1.3.11) alakú formulákkal lehet találkozni [10,180,K41]. Zurek könyvében (1975) [K75, 208 old.] az alábbi alak szerepel: S *m ( z ) =

∞

∞

1 2z xql ( x )dx − ql ( x )dx ∫ l l ∫ z

(F1.3.12)

z

amelyről könnyen kimutatható az (F1.3.11)-el való azonosság. Parciális integrálással belátható, hogy ha α≥1-re teljesül az alábbi feltétel (s ez a műszaki gyakorlatban használatos, (0,∞)-en értelmezett eloszlásoknál általában teljesül is):

u α Ql ( u )  → 0 u →∞

(F1.3.13)

úgy a szakállhossz-eloszlás az alábbi, az (F1.3.11)-nél jobban átlátható alakba írható (u>0): z

Sl(z) = 1- Sl* (z) = Ql+(zMx) =

∫ 0

1 − Ql ( u ) du l

(F1.3.14)

Az (F1.3.14)-ből nyilvánvaló, hogy az l+ mellső szakállhossz sl(u) sűrűségfüggvénye az alábbi alakú: 1 − Ql ( u ) sl(u) = (F1.3.15) l Az (F1.3.14) komplementere megegyezik az (1.2.9) szerinti SF(x) fibrogrammal, s így könnyen mérhető. Az (F1.3.14) segítségével egyszerűen kiszámítható az l+ mellső szakállhossz várható értéke, ami – a félszakáll szemléletnek megfelelően – az (F1.3.5) várható keresztmetszeti szálhossz értékének éppen a fele. ∞

E( l + ) = ∫ u 0

1 − Ql ( u ) l du = ( 1 + Vl2 ) 2 l

(F1.3.16)

A szakálldiagram jelentős szerepet játszik a fonástechnológiában az 1D-s szálfolyamok (szálszalagok, előfonalak) ellenőrzésénél és a nyújtóművek beállításánál, illetve a velük modellezhető textíliák vizsgálatában is. A szálfolyamok szilárdsági kérdéseinél, az erőtovábbításban, azonban az l+ és l- szakállhosszak minimuma, az ún. aktív szakállhossz l m = min( l + ,l − ) (F1.3.17) és annak eloszlása, az aktív szakállhosszeloszlás játszik fontos szerepet. Ennek meghatározása pl. Żurek könyvében (1975) [K82: 49-52. oldal] található, ahol az F1.3.5. ábrán bemutatott szerkesztés alapján, a k-adik rész-szálfolyam aktív szálhosszaira vonatkozó

-8-

– végeredményben a (fél)szakállhossz-eloszlásnál is követett - geometriai megfontolások után, a komplementer aktív szakállhossz-eloszlásra következő formula adódott (z>0): 1 l

S *m ( z ) =

∞

∫ xql ( x )dx −

2z

xo

2z l

∞

∫ ql ( x )dx

(F1.3.18)

2z

lk/2 lk/2-z

z

sm,k

gk lk

lk

xo F1.3.5. ábra. Aktív szakállhossz Megjegyzendő, hogy az (F1.3.18) formula tovább alakítható és egy egyszerű formára hozható (z>0): S *m ( z ) =

∞

∫

2z

x − 2x dQl ( x ) = S * ( 2 z ) l

(F1.3.19)

Az aktív szakállhossz-eloszlás tehát a (fél)szakállhossz-eloszlás változótranszformáltjaként kapható, amelynek az (F1.3.14)-el képzett formája: 2z

Sm ( z ) =

∫ 0

1 − Ql ( x ) dx = S ( 2 z ) l

(F1.3.20)

Az (F1.3.20) természetesen tisztán valószínűségszámítási módszerekkel is megkapható, ha figyelembe vesszük, hogy az l+ és l- nem függetlenek (l=l++l-). Az átlagos aktív szálhossz: ∞

∞

1 l E( l m ) = ∫ udS ( 2u ) = ∫ xdS ( x ) = ( 1 + Vl2 ) 2 4 0

(F1.3.21)

0

amely szerint az aktív szakáll egyfajta negyedszakállnak tekinthető.

F1.4. Kompozitokhoz alkalmazott egyes törési kritériumok A szálak orientációja általában eltér a terhelés irányától. Az F1.4.1.a. ábra egy, a terhelés irányával φ szöget bezáró szálat tartalmazó, a szálátmérővel egyező vastagságú, Ao keresztmetszetű kompozit anyagrészt mutat, melyre F húzóerő, azaz σ=F/A0 feszültség hat [K32].

-9-

Törési határok, feltételek

φ

F1

A2 A1

φ Szál

Szilárdság [MPa]

F2 Ao

60

F

Szálszakadás Sz/M elválás Szálcsúszás Min-feltétel Tsai-Wu felt. Yeh-Stratton felt.

φA

50 40 30 20

φB

10 0 0

15

30

45

60

75

90

φ [fok] a.) b.) F1.4.1. ábra. Húzóerő felbontása szál- és rá merőleges irányokban (a), száliránytól függő kompozit szilárdság, törési feltételek és tartományok (b) (σf= 50 MPa, σN= 2 MPa, τm= 4 MPa; φA=4,6o; φB=26,6o; B12= -5) A kompozit elemet terhelő erőt szálirányú és rá merőleges komponensekre bontva és kiszámítva a vonatkozó feszültségeket, úgy a σf a szál szakítószilárdsága, σN a szál-mátrix kapcsolat szálra merőleges irányú szilárdsága és τm szál-mátrix közötti nyírószilárdsága ismeretében, meghatározhatók a σ feszültségterhelés mellett érvényes egyes törési módok és határgörbék: 1. 0o ≤ φ ≤ φA (szálszakadás):

σ=

2. φA ≤ φ ≤ φB (nyíró törés):

σ=

3. φB ≤ φ ≤ 90o (szál-mátrix szétválás):

σf

cos 2 φ

τm sin φ cos φ σN σ= sin 2 φ

(F1.4.1) (F1.4.2) (F1.4.3)

Az F1.4.1.b. ábrán a vonatkozó határfeszültségek alakulása látható - a szimmetria miatt - a 0o≤φ≤90o szögtartományban, ahol a φA és φB szögek, mint a határgörbék metszéspontjai által elválasztott szögtartományok felett különböző törésmódok valósulnak meg. A tekintett kompozit minta szilárdságát, az adott φ irányszög mellett aktuálisan leggyengébb komponens, illetve kapcsolat szilárdsága határozza meg, azaz a tekintett φ orientációjú kompozit elem a kompozitban ébredő σ feszültséget elviseli, ha fennáll  σ f τm σ N  , , (F1.4.4) σ < σ K ( φ ) = min    cos 2 φ sin φ cos φ sin 2 φ  E feltétel voltaképpen az ún. maximális feszültség kritériumnak felel meg. A leggyakrabban a kvadratikus törési kritériumokat alkalmazzák [K23,K40,K49]. Ezek egyik típusa a Tsai-Wu (1971) kritérium, amelynek egyszerűsített formája [K19]: 2

2 2  σ1    +  σ 2  +  τ 12  = 1 (F1.4.5) σ  τ  σ f   N  m   ahol σ1 a szálirányú, σ2 a szálra merőleges, míg τ12 a megfelelő csúsztató feszültség. Az (F1.4.5) egy ellipszoidot határoz meg.

- 10 -

Az utóbbi időben dolgozták ki kompozit anyagokra az egyes komponensek kölcsönhatásának (együttdolgozásának) figyelembe vételéhez például az ún. általánosított Yeh-Stratton-féle kritériumot (1993) [S6], melyet a következő mezőfüggvény formájában állítottak fel az egyes i-j síkokra (i,j = 1,2,3): fij = Aiσi + Ajσj + Bijσiσj + Cij τ ij2 = 1, i≠j (F1.4.6) ahol Ai,Aj,Bij és Cij kísérletileg meghatározandó állandók, amelyek - a Bij kölcsönhatási együtthatót kivéve - például lehetnek a vonatkozó szilárdságok reciprok értékei is. Az ismételt indexek szerint a tagok itt nem összegezendők, így az (F1.4.6) kifejezés 3 egyenletet (i-j síkonként 1-1) határoz meg, melyeknél a nyírófeszültség előjelváltozása hatástalan. Az F1.4.1.b. ábra alapján, az (F1.4.3) minimumfeltétel és az (F1.4.5) Tsai-Wu, illetve az (F1.4.6) Yeh-Stratton feltétel – a (F1.4.1)-( F1.4.3) kifejezések behelyettesítése és a terhelő feszültség kifejezése után kapott - határgörbéjét összehasonlítva, megállapítható, hogy a φA és φB tartományhatárok környezetében, különösen a szálszakadás és a szálkihúzódás határán, az utóbbiak jelentősen alábecsülnek, miközben a Yeh-Stratton kritérium – az adott szilárdságértékek és a választott kölcsönhatási állandó érték (B12=-5>B12min= -6,25) mellett – jobb közelítést ad a Tsai-Wu feltételnél. A törési kritériumok többségének az a hátránya, hogy általában csak az első meghibásodást veszi figyelembe [K40], noha a kompozit még tovább terhelhető, másrészt valamilyen rögzített szilárdságértékekkel dolgoznak, elhanyagolva azok statisztikus jellegét.

F1.5. Peirce gyenge láncszem elmélete Peirce elmélete A rideg anyagok statisztikus szilárdságleírásának az alapja az ún. gyenge láncszem elmélet, amit elsőnek Peirce (1926) [166] fejtett ki pamutfonalak szilárdságával foglalkozó dolgozatában. Peirce elmélete szerint egy n egyforma lo hosszúságú, Fsi szakítóerejű szakaszból álló, l=nlo hosszúságú fonal Fs(l) szakítóerejét a legkisebb szakítóerejű szakasz – a leggyengébb láncszem – határozza meg: Fs = Fs(l) = min Fsi (F1.5.1) Legyenek az Fsi (i=1,…,n) szakítóerők függetlenek és QF1(x) eloszlásfüggvényük azonos. Ekkor a teljes fonalszakasz Fs szakítóerejének eloszlásfüggvénye: Q F ( x ) = P (Fs < x ) = P (min Fsi < x ) = 1 − (1 − Q F1( x ))n (F1.5.2) Az (F1.5.2) formulát gyakran ’gyenge láncszem’ szabálynak nevezik az irodalomban.

Peirce feltette, hogy az Fsi szakítóerők azonos N[ Fs (l o ), σ F2 (l o ) ] normális eloszlásúak, melynek alapján a következő eredményeket kapta az nlo hosszú szakasz átlagos szakítóerejére és szakítóerő szórására (F1.5.1.a. ábra):

(

)

Fs ( nlo ) ≈ Fs ( l o ) − 4,2 1 − n −1 / 5 σ F ( l o )

σ F ( nlo ) ≈ σ F ( lo )n −1 / 5

(F1.5.3)

Az (F1.5.3) formulák lehetővé teszik a befogási hossz szilárdságra gyakorolt hatásának elemzését és az ún. mérethatás problémák kezelésének egyik alapmódszerét képviselik. A mérési eredményekkel összevetve (1947-1962) [201, K48] kiderült, hogy a fenti összefüggések erősen alábecslik a szilárdságot. Például Żurek, Frydrich és Krucinska (1987) [268] pamutfonalak esetében, regressziós illesztések alapján, a 4,2 helyett 3,64 és az 1/5 kitevő helyett 1/7-et talált. A Peirce-féle megoldás egyfajta legrosszabb esetet képvisel, ami méretezésnél ugyan a biztonság javát szolgálja, azonban túlméretezéshez, gazdaságtalan megoldásokhoz vezethet.

- 11 -

a.)

b.)

F(l)

_ FS(lo) σF(lo) _ Fs(oo)

_ _

Fs +σF

Fs

o

_ FS(oo)

o

o

_

Fs - σ F

X(l/lo)

l 0

_ FS(0)

0 (l = oo) X=0

lo

( l = lo) (l = 0) X=X o X=1

F1.5.1. ábra. A szakítóerő átlagértékének és szórásának kapcsolata Peirce (a) és a kiterjesztett összefüggés (b) szerint

Kiterjesztési módszerek Spencer-Smith (1947) [201], illetve Gnedenko (1952) [K24,K82] ennek érdekében a Peirce-féle formulákat a rövid szakaszok szilárdságai közötti korreláció figyelembe vételével módosította, azonban a kapott összefüggés – akkoriban, számítógépek nélkül - meglehetősen kezelhetetlen volt: Fs ( nlo ) = Fs ( lo ) − (Fs ( lo ) − Fmin ( l o ))R( n ) (F1.5.4) ahol Fmin ( l o ) az lo-hosszú fonalszakaszok minimális szilárdságának átlaga és R(n) a rövidszakaszú szilárdságértékek sorozatán számított, egyfajta autokorrelációs függvény: ∑ Fs ,k Fs ,k + i n −1  1  k R( n ) = (F1.5.5) n( n − 1 ) − 2 ∑ ( n − i )ri  ; ri = 2 2 2 n  F F i =1  ∑ s ,k ∑ s ,k + i k

k

Kisebb mértékben ugyan, de Spencer-Smith módszere is alábecslésre vezetett [K48]. Vas és Halász (1994-1995) [S52] abból indultak ki, hogy egy, a fonalra érvényes 0
1 Fmin ( nlo ) ≈ Fˆs ( nlo ) ≈ ∑ min Fsi ( lo ) r k =1( k −1 )n +1≤i ≤ kn

(F1.5.7)

Pamut és poliészter szálak, valamint a belőlük készült gyűrűs és turbinás fonalak kísérleti vizsgálata alapján a Peirce-féle formula egy egyszerű – a zérus befogási hossz mellett véges szilárdságot szolgáltató – általánosítását javasolták: - 12 -

γ   c +1 Fs (nl o ) ≈ Fs (l o ) 1 − aV F (l o ) + bV F (l o )  c + n 

  

(F1.5.8)

γ

 c +1  (F1.5.9)  c+n ahol a,b,c,γ>0 állandók. A vizsgált fonalak mért szilárdságértékeire végzett illesztések azt mutatták, hogy a≈b≈4,2f, és általában c=0,1 és γ=0,2 vehető. A turbinás fonalra f=0,95 , míg a gyűrűs fonalra f=0,68 adódott, tehát az ilyen értelemben vett függőség vagy korreláció a tömörebb szerkezetű gyűrűsfonalnál igen jelentős (R(n)=32%) volt. A fenti összefüggések az

σ F ( nl o ) ≈ σ F ( l o )

γ

l  c + 1 X ( n) = X ( ) =  (F1.5.10)   c + n lo változó bevezetésével linearizálhatók, továbbá a becslés minden 0≤l<∞ értékre kiterjeszthető (F1.5.1.b. ábra). Az (F1.5.8) és (F1.5.9) összefüggések egyszerűen és hatékonyan alkalmazhatók a kelmegyártó gépeken kialakuló, változatos hosszúságú és igénybevételű fonal- illetve cérnapálya szakaszok szilárdságának vagy megengedhető igénybevételének ellenőrzésére.

F1.6. A terhelésátadás unidirekcionális rövidszálas kompozitban

A terhelésátvitel mikromechanikai vizsgálatához Kelly és Tyson (1965) módszeréhez hasonlóan járt el Cox (1952) [K23] is, aki azonban a mátrix anyagát is lineárisan rugalmasnak tekintette, Gm nyírómodulussal. Számításai szerint a szál húzófeszültsége a szálhossz mentén (1.3.9.c. ábra): σ  cosh β ( l / 2 − x )   (F1.6.1) σ f = m 1 − α  cosh( β l / 2 ) 

α=

Em 2 , β= Ef d

2Gm E f ln( D / d )

(F1.6.2)

Kelly (1973) rámutatott, hogy a nyírófeszültség az alábbi módon számítható (1.3.9.c. ábra): σ sinh β ( l / 2 − x ) τ = dβE f m (F1.6.3) E m cosh( β l / 2 ) A szálerősítés egyfajta mértéke az átlagos szálfeszültség értéke: σ  th( β l )  σ σ  → m = E f m (F1.6.4) σ f = m 1 − α  β l  l →∞ α Em ami a szálhossz növelésével a mátrixdeformációval számolható szálfeszültséghez tart. Megjegyzendő, hogy a terhelésátviteli, vagy hatástalan szálhossz értelmezése természetesen megegyezik a súrlódásos kapcsolatban lévő szálak alkotta textíliáknál bevezetett hasonló fogalommal. A papírt is kompozitnak tekintik a vizsgálatokban, ahol a szálak véletlen irányítottságúak és véletlen a más szálakkal való kereszteződések száma is. Perkins (1980) [K44] meghatározta két érintkezési pont közötti szálszegmens egyensúlyi egyenletét, amit a lineárisan rugalmas szálszegmens nyúlására megoldva, Cox (1.3.190) eredményéhez hasonló formához jutott.

- 13 -

Rosen (1965) egy módosított, többszálas modellt javasolt, ahol a tekintett szálon kívüli részeket, mint egy átlagos kompozit anyag alkotta környezetet fogta fel (módosított shear-lag modell) (1.3.8.b. ábra) [K23]. A szál húzó- és a határfelületi nyírófeszültségek számítása megegyezik a Cox modellével, azonban az α értéke itt a kompozit modulusára vonatkozó hányadost jelöl: E (F1.6.5) α = 1 , E1 = v f E f + ( 1 − v f )E m Ef A Cox és Rosen modellekben nincs mátrix anyag a szálak végein, ami kimutathatóan eltérésekre vezetett a gyakorlati adatokkal való összehasonlításban. Ezt kiküszöbölendő, Hwang és Gibson (1987) egy módosított Cox modellt javasolt (1.3.8.c. ábra), amelynek alapján az (1.3.194)-ben szereplő kompozit modulus módosítandó a δ hosszúságú kiegészítéssel [K23]: −1

 l /( l + δ ) δ /( l + δ )   (F1.6.6) E M 1 =  + E1 Em   A rövidszálas kompozitok szálirányú húzómodulusának becslésére egy másik lehetőséget a Halpin által módosított Halpin-Tsai egyenletek kínálnak [K23]: 1 + ξηv f ( E f / Em ) − 1 E1 = E m , η= , ξ ≈ 2l / d (F1.6.7) 1 − ηv f ( E f / Em ) + ξ ahol a ξ tulajdonképpen egy görbeillesztő paraméter. Megjegyzendő, hogy a Halpin-Tsai formulákat az E2 becslésére is alkalmazzák.

F2. FÜGGELÉKEK F2.1. Lineáris környezet térfogata Az irányított környezet képzése során az A tartomány minden egyes pontjához egy, az adott iránnyal párhuzamos, 2r hosszúságú, középpontjával az adott ponthoz illeszkedő egyenes szakasz helyezünk, amelyek révén egy sajátos, három részből összetett, zárt felülettel határolt alakzat jön létre. Ezen alakzat burkolófelülete egy, az A-t érintő, s az adott iránnyal párhuzamos alkotójú hengerfelület, amelynek - általában szabálytalan keresztmetszetét az Anak az adott irányra merőleges síkra vett vetülete képezi (F2.1.1. ábra). A burkolóhenger és az A tartomány folytonosan („rés” nélkül, „dugószerűen”) érintkezik. Az A határpontjai – e szakaszok végpontjai – az adott irányban történt ±r mértékű eltolások által megkettőződve – két süvegfelületet alkotnak, melyek a burkolóhengerből egy alkotóiban 2r hosszúságú hengerfelület-darabot vágnak ki, s egyúttal annak két végét lezárják. A két, határponteltolásokkal létrejött záró süvegfelület együttesen (összetolva) éppen az A felületét adja ki, s így térfogatösszegük is megegyezik az A tartomány térfogatával. Ha tehát az A∈ℜk tojástartomány egy r=l/2 sugarú lineáris környezete (szálkörnyezete) B=H(l/2,α,β,A), akkor a fentiek alapján nyilvánvaló, hogy k=3-ra a B térfogata (F2.1.1. ábra): VB = VA + VHK = VA + T⊥(α,β,A) l, VHK = T⊥(α,β,A) l (F2.1.1) ahol VA az A tartomány térfogata (VA=0 is lehet) és T⊥(α,β,A) az A-nak a eo(α,β) irányra merőleges síkra vett vetületének területe, és VHK az A tartomány LKP-környezetének térfogata. Ha az A kétdimenziós tojástartomány, akkor az (F2.1.1) a B területét adja (2.1.2. ábra): - 14 -

TB = TA + THK = TA + d⊥(β,A) l, THK = d⊥(β,A) l (F2.1.2) ahol TA az A halmaz területe (TA=0 is lehet), d⊥(β,A) az A-nak a β irányra merőleges legnagyobb mérete (átmérője), s THK az A LKP-környezetének területe. B

r

A

r e(α,β) peA

F2.1.1. ábra. Háromdimenziós tojástartomány lineáris környezete és vetülete Egydimenziós A tartomány B=H(l/2,A) irányított környezetének LB, s ezen belül LKP-környezetének LHK hossza (1.1.5.b. ábra): LB = LA + LHK = LA + l LHK = l (F2.1.3)

F2.2. Szálpaplan előállítása generált szálfolyamokkal Generált szálpaplan alkalmazása Az (2.2.16) és (2.2.17) összefüggések alapján a szálközéppont-folyamat egy – a 2.2.2.2. fejezetben tárgyalt, szálfolyamokra való felbontásától eltérő szemléletű – előállítása is értelmezhető. A Γ szálpaplan A-ba eső szálközepű szálai alkotta része egyszerű lineáris szálfolyamok szálközép-számra vett súlyozott összegeként is előállítható. Itt minden rögzített (l,β)-ra olyan független Γ*(l,β) EL-szálfolyamokat, az ún. generált szálfolyamokat tekintünk, melyek szálközéppontjait az {X} független – az eredeti X-el azonos tulajdonságú pontfolyamatok szolgáltatják. Ekkor minden ilyen szálfolyam szálainak "száma" - azaz szálközéppont folyamata - megegyezik a Γ szálpaplan szálainak "számával", szálaik tehát "csak" hosszukban és irányszögükben különböznek. Legyen a Γ*(l,β) szálfolyam A-ba eső szálközepű szálai száma χA=#(X∩A); ez Poisson folyamat a (2.2.3) szerinti κ(A) paraméterrel. A Γ*(l,β) szálfolyamok - a dF(l,β)(x,y)=dFl(x)dFβ(y) valószínűségek révén - egyfajta "súlyozással ritkított" változatait egyesítve a Γ szálpaplanhoz, illetve annak az A-val meghatározott részéhez jutunk; ennek szálközéppontjait a (2.2.11) összefüggéssel adott paraméterű Poisson pontfolyamat szolgáltatja. Ugyanezzel a szemlélettel a már bevezetett {Bij} (Bij⊂W) konvex és véges, nem feltétlenül diszjunkt halmazsorozatra is értelmezhető a fentiekben végigvitt gondolatmenet.

- 15 -

Ekkor a többitől független Γij* szálfolyam – hozzá választott, szálai jellemzőitől függő – Bij-be eső szálközepű szálai száma χBij=#(X∩Bij); s ez, a többiektől szintén független Poisson folyamat a κ(Bij) paraméterrel. A Γij* szálfolyamoknak a dF(l,β)(li,βj)=dFl(li)dFβ(βj) valószínűségekkel, mint "súlyozással ritkított" változatait egyesítve, egyfajta összetett, származtatott szálpaplanhoz jutunk, melynek a {Bij} sorozatra vonatkozó szálközéppontjai szálszámai összegét a (2.2.16) összefüggéssel adott paraméterű Poisson eloszlás szolgáltatja. A két szemlélet összehasonlítása Az előző módszer esetében a Γij rész-szálfolyam szálközepeit az Xij ritkított pontfolyamat szolgáltatja, melyek Bij-halmazokba eső pontjainak χBij*= #[Xij∩Bij] száma κij(Bij)-paraméterű, Poisson eloszlású, ezek összege a µ-paraméterű valószínűségi változó. Ez utóbbi esetben a Γij* egy generált szálfolyam, melynek szálközepeit az X (vagyis vele azonos tulajdonságú) pontfolyamat adja, melyek Bij-halmazokba eső pontjainak χBij=#(X∩Bij) száma κ(Bij)-paraméterű, Poisson eloszlású, ezek pij-kel ritkított χBij* változatai összege a µparaméterű valószínűségi változó. Tehát, míg az első esetben az X pontfolyamat pij-k szerinti Xij ritkításaival dolgozunk és ezeknek a Bij-kre vett megszorításait egyesítjük, addig az utóbbi esetben az X független többszörözéseit tekintjük egy adott feladat meggondolásaiban (ezek (li,βj)-ktől és Bij-ktől is függetlenek így), majd ezeknek a Bij-kre vett megszorításait pij-kkel ritkítva egyesítjük. A különbség lényegében a ritkítási művelet és a Bij-kre vett megszorítás felcserélésében jelentkezik. E kétféle szemlélet bizonyos alkalmazásokban jelentős különbséget, s ezáltal számítási könnyebbséget jelenthet.

F2.3. Metsző szálak átlagos hossza és szórása A tojástartományt metsző szálak átlagos hossza és szórása A (2.2.34) eloszlásfüggvény és az (1.2.34) összefüggés alapján, könnyen meghatározható az A tojástartományt metsző szálak átlagos hossza: ∞

E(lMA) = ∫ udFl ( u M A ) = Ε( l ) 0

T A + Ε( l )Ε[ d ⊥ ( β , A )]( 1 + Vl2 ) T A + Ε( l )Ε[ d ⊥ ( β , A )]

→ E(l), TA→∞ (F2.3.1)

ahol Vl=D(l)/E(l) az l-változó relatív négyzetes szórása vagy variációs együtthatója (textíliáknál Vl=CV=coefficient of variation). Az A-t metsző szálak középértéknégyzete: ∞ T Ε (l 2 ) + Ε (l 3 )Ε (d ⊥ ) E(l2MA) = ∫ u 2 dFl ( x M A ) = A (F2.3.2) Ε Ε T + ( l ) ( d ) ⊥ A 0 Felhasználva a és az l-szálhossz γl3 harmadik centrális momentumát, illetve annak Wl relatív értékét: γl3 = E[(l-E(l))3] = E(l3)-E3(l)[1+3Vl2] Wl = γl /E(l) (F2.3.3) az (F2.3.2) további átalakításával a szórásnégyzet: 3 2 2 2 2 2 2 2 l d ⊥ [ TA + l d ⊥ ]Wl + [( TA + l d ⊥ ) − l d ⊥ Vl ]Vl D (lMA) = l → D2(l), TA→∞ (F2.3.4) 2 [ TA + l d ⊥ ] s ezzel végül az A-t metsző szálak hosszának relatív szórása: V(lMA) =

l d ⊥ [TA + l d ⊥ ]Wl 3 + [(TA + l d ⊥ ) 2 − l 2 d ⊥2Vl 2 ]Vl 2 TA + l d ⊥ (1 + Vl 2 )

- 16 -

→ Vl , TA→∞

(F2.3.5)

Egyenes szakaszt metsző szálak hosszeloszlása A (2.2.37) alapján könnyen meghatározhatjuk az A-szakaszt metsző szálak átlagos hosszát, mely egy feltételes várható érték: ∞ u2 Ε (l 2 ) Ε 2 (l ) + D 2 (l ) E(lMA) = ∫ dFl (u) = = = Ε (l ) 1 + Vl 2 ≥ E(l) (F2.3.6) Ε ( l ) Ε ( l ) Ε ( l ) 0 Az A szakaszt metsző szálak hosszának négyzetes középértéke: ∞ u3 Ε (l 3 ) γ l3 + Ε 3 (l )[1 + 3Vl 2 ] dFl (u) = = = Ε 2 (l ) 1 + 3Vl 2 + Wl 3 (F2.3.7) E(l2MA) = ∫ Ε ( l ) Ε ( l ) Ε ( l ) 0 Végül a (F2.3.6) és (F2.3.7) alapján az A szakaszt metsző szálak hosszának szórásnégyzete: D2(lMA) = E(l2-E(l)MA) = E2(l)[Wl3+Vl2(1-Vl2)] (F2.3.8) valamint relatív szórása:

(

)

(

D( l M A )

)

Wl 3 + Vl 2 (1 − Vl 2 )

(F2.3.9) = Ε (l M A ) 1 + Vl 2 Egyenes mentén vágott szálak átlagos hossza és szórása A várható értékre és a négyzetes középre átalakításokkal és parciális integrálással, feltéve, hogy uk(1-Fl(u))→0, u→∞, (1≤k≤3) akkor: ∞ u(1 − Fl (u)) Ε (l ) 1 + E(l MA) = ∫ du = E(lMA) = 1 + Vl 2 (F2.3.10) Ε ( l ) 2 2 o V(lMA) =

(

)

∞

3 u 2 (1 − Fl (u)) 1 Ε (l ) du = = 13 Ε (l 2 M A ) = 13 Ε 2 (l )[1 + 3Vl 2 + Wl 3 ] 3 ∫0 Ε (l ) Ε (l ) + majd az l szórásnégyzete: Ε 2 (l ) D2(l+MA) = E(l+2-E(l)MA) = [1 + 3Vl 2 (2 − Vl 2 ) + 4Wl 3 ] 12 valamint relatív szórása:

E(l+2MA) =

V(l MA) = +

1 + 3Vl 2 (2 − Vl 2 ) + 4Wl 3

(F2.3.11)

(F2.3.12)

(F2.3.13)

(1 + Vl 2 ) 3

F2.4. Konvex paplanminta egyes területi sűrűségjellemzői A metszeti szálhossz sztochasztikus konvergenciája Figyelembe véve, hogy bármely adott rost hossza, illetve metszeti hosszai között fennállnak az alábbi relációk: 0 < lA ≤ l 0 < lA1 ≤ l 0 < lA2 ≤ l/2 (F2.4.1) Az (F2.4.1) relációval az LA (2.2.54) felbontása az alábbi egyenlőtlenségekkel egészíthető ki: LA1 ≤ LA = LA1 + LA2 ≤ L’A1 + L’A2 = L’A (F2.4.2) ahol az L’A összetevő, az L’A1 és L’A2 szintén függetlenek: χA ΨA LA1 ≤ L’A1 = ∑ν k l k LA2 ≤ L’A2 = ∑ ν j l j (F2.4.3) k =1

j =1

Az (F2.4.2) a várható értékekre is fennáll: E(LA1) ≤ E(LA) = E(LA1) + E(LA2) ≤ E(L’A1) + E(L’A2) = E(L’A) (F2.4.4) Az LA1 és LA2 függetlensége miatt az LA szórásnégyzete is kéttagú összegre bontható: D2(LA1) ≤ D2(LA) = D2(LA1) + D2(LA2) (F2.4.5)

- 17 -

Belátható, hogy az lA→l eloszlásban TA→∞-re [K59], ugyanis, a (2.2.42) és (2.2.46) szemléletében az lA metszeti szálhossz eloszlásfüggvénye: FlA(x|MA) = P(lA<x|MA) = P(lA=l|MA) P(lA<x|MA, lA=l) + P(lA
- 18 -

E[ρ2(ΓA)] = E[m(ΓA)]/TA = ρLo K E(ν) {E(lA) +

1 E[ld⊥(β,A)E(lAl,β)]} ≤ TA

1 E(l2)E[d⊥(β,A)]}  → ρLo K E(ν)E(l) =ρT∞ (F2.4.16) T A →∞ TA A fentiek szerint, ρT∞ a W síkon végtelen kiterjedésű Γ szálpaplan átlagos területi sűrűsége. Az (F2.4.16) összefüggés szerint elég nagy TA területű A minta esetén, az A-ba eső közepű szálak közül, az A peremét metsző szálak A-ból kiálló részeinek összege (hosszösszege, össztömege) lényegében megegyezik az A-t metsző, de közepükkel nem A-ba eső szálak A-val közös részei összegével. Másként fogalmazva, az A peremére vonatkozó külső és belső szakállhossz-eloszlások aszimptotikusan azonosnak vehetők. ≤ ρLo K E(ν) {E(l) +

F2.5. Téglalap mintába foglalt szálak hosszeloszlása Első lépésként az a,b oldalhosszúságú, α irányszögű A téglalapra (F2.5.1. ábra) vonatkozó metszeti szálhossz feltételes eloszlásfüggvényét határozzuk meg. Legyen d(x, δ, A) az A téglalap egy xy koordinátarendszerében, ahol x a szálirányra merőleges, y a szálírányú koordinátatengely, az A-nak δ-val párhuzamos metszete az x helyen (F2.5.1. ábra), 0≤x≤d⊥(δ,A)= d⊥(δ), s ennek x-menti maximumát jelölje a d(δ) = max d(x, δ, A) (F2.5.1) Legyen továbbá: l0 = min (l,d(δ)) (F2.5.2) melyre érvényes, hogy 0 ≤ lA ≤ l0 (F2.5.3)

F2.5.1. ábra. Téglalap minta jellemző méretei és metszetei, valamint egy irányított környezete Ekkor az lA-nak a Γ(l,δ) szálfolyamra vonatkozó feltételes eloszlásfüggvénye az alábbi feltételes területfüggvényekből határozható meg (0≤x≤l0): T (l A < x l , δ ) TA ( x l , δ ) P(lA<xMA, l,δ) = FlA(xl,δ) = = (F2.5.4) TB TB ahol az MA={lA>0} metszési eseményt (feltételt) az lA itt alkalmazott definíciója (lA>0) tartalmazza, így ennek a jelölésétől itt a továbbiakban eltekintünk. A fentieket és a téglalap speciális tulajdonságait felhasználva felírható az (F2.5.4) részletes alakja (F2.5.2. ábra):

- 19 -

 2 x[d ⊥ (δ ) + l g (δ )] − 3x 2 g (δ ) , ha 0 ≤ x < l0 = l0 (δ )  FlA(xl,δ) =  TA + l d ⊥ (δ ) 1 , ha x > l = l (δ ) 0 0 

(F2.5.5)

F2.5.2. ábra. Téglalap idomot metsző szálak hosszának feltételes eloszlásfüggvénye Az (F2.5.5)-nek ugrása van az x=l0 helyen. Az (F2.5.5) (általánosított) differenciálásával megkaphatjuk a vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényt is a 0≤x≤l0 intervallumon (F2.5.2. ábra): 2[d ⊥ (δ ) + l g (δ )] − 6 xg (δ ) (l1 − l0 )[d ⊥ (δ ) − m(δ ) − l0 g (δ ) flA(xl,δ) = + δ ( x − l0 ) (F2.5.6) TA + l d ⊥ (δ ) TA + l d ⊥ (δ ) ahol δ(x-l0) a megfelelő Dirac-delta függvény, valamint: l1 = max (l,d(δ)) (F2.5.7) m(δ) = min {asinδ, bcosδ} (F2.5.8) m(δ ) g(δ) = (F2.5.9) = sin δ cos δ = 21 sin 2δ d (δ ) A metszeti szálhossz feltételes várható értéke Az (F2.5.6) feltételes sűrűségfüggvénnyel kiszámíthatjuk a vágási szálhossz feltételes várható értékét: l0

lTA + l0 (l − l0 )(l0 g − m) TA TA = = l (F2.5.10) TA + ld ⊥ T A + l d ⊥ (δ ) TB (l ,δ ) 0 ugyanis az (F2.5.10), (F2.5.8) és (F2.5.9)-el: (l - l0)(l0g - m) =0 (F2.5.11) Megállapítható, hogy téglalap próbatest esetében a metszeti szálhossz - ideális szálfolyamot modellező - feltételes várható értéke nemcsak az l-szálhossztól, hanem a δirányszögtől is függ és értéke a lT A lT A al bl = (F2.5.12) és = T A + lb a + l T A + lD b2 b + l 1+ a2 minimális és maximális értékek között ingadozik, ahol D a téglalap átlóhossza (F2.5.3. ábra): E(lAl,δ) =

∫ xf lA ( x l , δ )dx =

D = max d⊥(δ), = max d(δ) = a 2 + b 2

- 20 -

(F2.5.13)

E(lA l,δ) TA =a b

δ

TA D x 0 F2.5.3. ábra. Téglalap mintát metsző szálak hosszának feltételes várható értéke a szálhossz és a szálirányszög függvényében A metszeti szálhossz négyzetének feltételes várható értéke A fentiekhez hasonlóan az (F2.5.6) sűrűségfüggvénnyel a metszeti szálhossz feltételes négyzetes középértékét is meg határozhatjuk:  1 l  ml  1 l  TA1 − 0  − 0 1 − 0  l0 3 l1  3  2 l1  (F2.5.14) l0l E(l2Al,δ) = ∫ x 2 f lA ( x l ,δ )dx =  TA + l d ⊥ 0

ahol d⊥=d⊥(δ) egyszerűsített jelölés. Az (F2.5.14) formából könnyen állíthatók elő a speciális esetek. Ha l0=d
- 21 -

  1 d  md  1 d   T A 1 − 3 l  − 3 1 − 2 l     dl , l = d < l   o TA + l d ⊥  2 E(l Al,δ) =  (F2.5.19) T 1 − 1 l  − ml 1 − 1 l   A 3 d  3  2 d  2 l , lo = l ≤ d  TA + l d ⊥  A metszeti szálhossz feltételes szórása Az (F2.5.10) és (F2.5.14) feltételes várható értékeket felhasználva, kiszámítható a vonatkozó feltételes szórásnégyzet, valamint a megfelelő formulákkal annak aszimptotikus értéke is. Az utóbbiak közül a TA→∞ esetet tekintve: D2(lAl,δ) = E(lA2l,δ) - E2(lAl,δ) ∼ l2 - l2 = 0 (F2.5.20) ugyanakkor l→∞ mellett: 2 m  m  −  2 2 1 TA − 3 md TA 2TA − md TA  3 d ⊥  d ⊥ 2 D (lAl,δ) ∼ d− 2 = md = 2 (F2.5.21) 2 d⊥ 3d ⊥2 d⊥ d⊥  m 1 −   d⊥ 

Az (F2.5.21) kifejezés minimumértéke zérus (ha δ=kπ/2, k=±0,±1,...), valamint ha δ=γ, akkor a D2/12 értéket, míg δ=π/2-γ esetében a 2a 2 − b 2 4 b (F2.5.22) 3D 2 a 2 értéket veszi fel. A b→a mellett az utóbbi - megegyezően a D2/12 értékkel - a2/6-ot ad, s mivel b≤a, továbbá mindkét kifejezés monoton növő a b/a függvényében, így a2/6 lényegében a (F2.5.21) azon maximális értéke, mely négyzet alakú próbatest esetében jelentkezik. Megállapítható, hogy az EL-szálfolyamokat modellező feltételes szórás értéke a δirányszögtől erősen függ és annak változásával lényegében a 0 és a D2/12 értékek között ingadozik. Téglalap mintát metsző szálak összhosszának várható értéke és szórása A mintába foglalt szálak várható összhosszát a (2.2.68) és az (F2.5.7) felhasználásával számíthatjuk:  T  E( LA ) = E (E (ξ A l , β )E (vl A l , β )) = ν E  KTB A l  = KTAν l (F2.5.23) TB   Az össz-szálhossz négyzetes középértéke a (2.2.74) és az (F2.5.14) alapján: 2 E E L2A l , β = E ν 2 KTB E l Ai l , β + ν 2 K 2TB2 E (l Ai l , β )E (l Ak l , β ) =  

((

))

(

)

   1 l  ml  1 l    = ν 2 KE  TA1 − 0  − 0 1 − 0  l0l  + ν 2 K 2TA2 E [E (l Ai l , β )E (l Ak l , β )] = (F2.5.24)  3  2 l1       3 l1     1 l  ml  1 l   = ν 2 KTA E   1 − 0  − 0 1 − 0  l0l  + ν 2 K 2TA2l 2   3 l1  3TA  2 l1      Végül az össz-szálhossz relatív szórásnégyzete egyre növő mintaméretek (lo=l és TA→∞) mellett:

- 22 -

V 2 (LA ) =

D 2 (L A )

=

(1 + Vν2 )E 1 − 13 ll0  − 3mlT 0 1 − 12 ll0 l0l   

1



A

1



=

E (L A ) KTAl    1 l  ml  1 l   2  ml  2  2  1 + Vν2 E   1 − − 1 −  l  1 + Vν E  1 −  l  2 2 d T d T 3 3 2 3     A A      1 + Vν 1 + Vl  ~  ~ = KTA KTAl 2 KTAl 2 (F2.5.25)

(

)

2

2

(

)

(

)(

)

F2.6. Tojástartományt metsző szálak metszeti hosszának feltételes várható értéke Az F2.6.1. ábra egy ilyen A síkidom, mint 2D-s tojástartomány e szempontból vett lényeges adatait szemlélteti a Γ(l,β) szálfolyamra nézve. Itt d(x)=d(x;β,A) az A-nak a β irányszögű metszetének méretét jelöli röviden az x helyen.

F2.6.1. ábra. Tojástartomány irányított környezetének metszetjellemzői Az F2.6.2. ábra diagramja egy ilyen metszetben egy tetszőleges metsző szál z=lA(x,y) metszeti hosszának alakulását mutatja be a C szálközéppont y helyének függvényében:  y, 0 ≤ y < l 0 l , l ≤ y < l + d ( x) − l 0 0 0 (F2.6.1) z = lA(x,y) =  l + d ( x) − y, l + d ( x) − l 0 ≤ y < l + d ( x) 0, egyébként ahol az lo definíciója és a jellemző x koordinátaértékek tulajdonságai: l0 = min (l, d(x)) (F2.6.2) d(x’1) = d(x”1) = l d(x’2) = d(x”2) = 2l (F2.6.3) d(x’0) = d(x”0) = l/2

- 23 -

F2.6.2. ábra. Tojástartomány irányított környezetének egy metszetében a metsző szál hosszának alakulása középpont-helyzetének függvényében Az lo (F2.6.2) definíciója alapján nyilvánvaló, hogy a F2.6.2. ábrán az l+d(x)-2lo≥0. Az (F2.6.1) segítségével az lA feltételes várható értéke viszonylag könnyen kiszámítható:  1 1  z ( x , y ) dydx = + (F2.6.4) E(lAl,β)] =   z ( x, y )dydx TB ∫B TB  B∫1 B∫2  Ahol B1 a B-nek az [x’1, x”1] intervallum feletti, míg B2=B’2∪B”2 az ezen kívül eső része, mely utóbbiban B’2 az [0, x’1), B”2 az (x”1, d⊥(β,A)] feletti rész. Legyenek A1 és A2, valamint A’2 és A”2 az előbbieknek megfelelő A-részek. Az egyes integrálokat kiszámítva: x1′′ l x1′′ d ( x) l + d ( x)    ∫ z ( x, y)dydx = ∫ ∫ ydy + ∫ ldy + ∫ (l + d ( x) − y )dy dx = l ∫ d ( x)dx = lT A1 (F2.6.5) B1 x1′  0 l d ( x) x1′  x1′  d ( x ) x1′ l + d ( x) l  ∫ z ( x, y)dydx = ∫  ∫ ydy + ∫ d ( x)dy + ∫ (l + d ( x) − y )dy  dx = l ∫ d ( x)dx = lT A'1 (F2.6.6) B2′ 0 0 d ( x) l 0  d ⊥ ( β , A)

∫ z ( x, y)dydx = l ∫ d ( x)dx = lT A′′

B2′′

x1′′

2

(F2.6.7)

majd az (F2.6.4)-be behelyettesítve kapjuk: T A + T A'2 + T A"2 T T Al E(lAl,β)] = 1 l= Al= (F2.6.8) TB TB T A + ld ⊥ ( β , A ) Az (F2.6.8) megadja egy tojástartományt metsző szálak metszeti hosszának feltételes várható értékét rögzített szálhossz és irányszög esetére-

F2.7. Pórusméreteloszlás és jellemzői A (2.2.92) pórusméret-eloszlás sűrűségfüggvénye (2.2.11.b. ábra): fρo(r) = 2K[E(l)+πr] exp[-K(2E(l)r+πr2)] (F2.7.1) Az (F2.7.1) maximum helye az rDo domináns pórussugár, melyet az fρo'(rDo)=0 feltételből határozunk meg (a domináns pórusméret dDo=2rDo):

- 24 -

2π − 2Ε(l ) K

rDo =

2π K

=

1 − no

(F2.7.2)

2π K

ahol no a 2E2(l)/π=rH2π területű, egyfajta hatáskörbe eső szálközéppontok száma, a karakterisztikus szálszám: no = 2KE2(l)/π (F2.7.3) ahol a hatáskör rH sugara: 2 rH = E(l) (F2.7.4)

π

A (F2.7.2)-ből látható, hogy rDo≥0, ha no≤1, vagyis no≥1 esetében a domináns sugár zérus és a sűrűségfüggvény exponenciális eloszlás jellegűvé válik. A 2E(ρo) várható pórusméret meghatározása kissé nehézkesebb. A várható pórussugár meghatározásához abból indulunk ki, hogy pozitív, véges szórású valószínűségi változó várható értéke előállítható az alábbi alakban is: ∞

E(ρo) = ∫0 [ 1 − Fρo ( u )] du majd - a teljes négyzetre átalakítás után - standardizált változót vezetünk be: ∞

(

)

2 E( ρ o ) = ∫ e − K 2Ε( l )u + πu du = e

KΕ2( l )

∞

π

2π σ o ∫

1

o 2π σ o

o KΕ2( l )

=

−

e

π

x2 − ∞ e 2

K

2π

∫

mo

e

no 2

π

[

( u + mo ) 2 2σ o2

du (F2.7.6)

dx

ahol mo és σo a formálisan bevezetett normális eloszlás paraméterei: Ε( l ) 1 σo = mo = , π 2πK és x=(u+mo)/σo. Az (F2.7.6)-ból közvetlenül kapjuk: KΕ2( l )

(F2.7.5)

(F2.7.7)

)]

  Ε( l )  e  = 1 − Φ no (F2.7.8) 1 − Φ π σ K K   o   ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. Az (F2.7.8) alapján néhány érdekes megállapítás tehető. Zérus várható értékű szálhosszak – l>0 miatt tulajdonképpen zérus szálhosszak – esetében no=0, s ekkor: 1 2E(ρo) → , ha E(l)→0 (F2.7.9) K reláció érvényesül. Tehát a várható pórusméret – az (F2.7.6)-al összevetve, a várakozásnak megfelelően – a várható szálközéppont távolsággal egyezik meg zérus szálhosszak esetében a modell szemléletének is megfelelően. A másik kérdés az, hogyan változik az E(ρo) növekvő szálhossz várható érték esetében. Az (F2.7.6) alapján – az integrandus tényezők nemnegativitását és ≤1 tulajdonságát felhasználva – egyszerű felső becslés kapható E(ρo)-re: E(ρo) =

e

∞

E(ρo) ≤ ∫ e − 2 K Ε( l )u du = o

- 25 -

(

1 2 K Ε( l )

(F2.7.10)

Az (F2.7.10)-ből látható, hogy E(ρo)→0, ha K→∞, vagy E(l)→∞. Másfelől határátmenettel és a L’Hospital szabály alkalmazásával belátható, hogy az (F2.7.10) felső korlát egyúttal aszimptotikus érték, azaz felső határ is, no→∞ esetében: 1 1 = E(ρo) ~ (F2.7.11) 2πKno 2 K Ε( l ) Az (F2.7.8)-ban x=no1/2-et helyettesítve, majd deriválva, kapjuk:

G(x) = E(ρo) =

x2 e 2

x2 e 2

[1-Φ(x)] G'(x) = [x{1-Φ(x)}-ϕ(x)] (F2.7.12) K K ahol ϕ a standard normális sűrűségfüggvény. A (2.2.127) jobboldalából látható, hogy a G(x) monoton csökkenő függvény és: G'(0) = - (2πK)-1/2 (F2.7.13) 1/2 A kezdeti érintő abszcissza metszéke x*=(π/2) , amiből az x*-nak megfelelő szálhossz átlagérték: E(l)* =

π

(F2.7.14) 2 K Megjegyzendő, hogy az x*-nak megfelelő karakterisztikus szálszám (no*=π/2≈1,57) meglehetősen alacsony érték. A fenti módon vizsgált pórusméretek a valóságban vetületi értelemben vett pórusokat határoznak meg, a paplan vastagságát elhanyagolva, továbbá ezek látszólagos vagy rejtett pórusok csak, hiszen a rostoknak véges szélességük van (2.2.11.a. ábra). A b átlagos szélességű rostok esetén a ρ1 sugarú valós pórusok (2.2.11.a. ábra) eloszlásfüggvényét a látszólagos pórusokéból a ρ0> b /2 feltétel mellett nyerjük:   b b b b Fρ ( r ) = P(ρ < r ) = P ρo − < r ρo ≥  = P ρo < r + ρo ≥  = 2 2 2 2   b b b b   P ≤ ρo < r +  Fρ o  r +  − Fρo  r +  2 2 2 2   =  = b b     P ρ o ≥  Fρo  r +  2 2   Az (F2.7.6)-ot figyelembe véve, a valós pórussugár eloszlásfüggvénye:   b   b 2   b b2  − K  2 r + l + r +  π  − K 2 l + π  4    2   2    2 1− e  −1+ e  Fρ ( r ) = P(ρ < r ) = =  b b2  − K 2 l + π  4   2 1−1+ e 

(F2.7.15)

(F2.7.16)

  b   b 2 b b2    bπ  2  − K  2 r + l + r +  π − 2 l − π  − K  2r 1+ l + r π  2 4    2   2   = 1 − e   2l   =1− e

Ennek segítségével a valós pórusok átlagos sugara:  b b 1 ρ1 = E( ρ1 ) = E  ρ0 ρ0 ≥  − = G( n1 ) ≤ 2 2 2K ( l + b / 2 )  ahol

- 26 -

(F2.7.17)

 πb  n1 = no 1 + l  

2

(F2.7.18)

F3. FÜGGELÉKEK F3.1. Véges szálú E-köteg várható szakadási pontjai és szakítófolyamata Az n-szálú E-köteg várható szakadási helyei az egyes szálak szakítónyúlás értékeiből alkotott rendezett sorozat várható értékeivel adhatók meg. Legyen tehát εSi az εS1, εS2,…, εSn pozitív, független, de azonos, invertálható Qε S ( u ) eloszlásfüggvényű szálszakító

{ }n

nyúlásokból alkotott ε *Si i =1 rendezett sorozat i-edik tagja. Ekkor a rendezett minták elmélete szerint az ε *Si >0 eloszlásfüggvénye [K76]:

(

)

[

] [

]

 n − 1 x *  ∫ Qε S ( u ) i −1 1 − Qε S ( u ) n − i dQε S ( u ) Q * ( x ) = P ε Si < x = n ε Si  i − 1 o

(F3.1.1)

A szálköteg eredő húzóerő-folyamata a rendezetlen és a rendezett mintákkal is megadható: n

F ( u ) = ∑ Fi ( u )χ (u ,ε Si ) = i =1

∑ Fk ( u )χ (u ,ε *Sk ) n

(F3.1.2)

k =1

A rendezett mintákkal képezett összeg várható értéke az (F3.1.1) és a binomiális tétel felhasználásával – kicsit több számolással, felhasználva a binomiális eloszlás tulajdonságait – a (3.3.9)-el azonos eredményre vezet: n   F ( u ) = K u ∑ 1 − Q * ( u )  = ε Sk  k =1  n u  n − 1    Qε ( x ) k −1 1 − Qε ( x ) n − k dQε ( x ) = = K u  n − ∑ n ∫  S S S  k =1 o  k − 1   u n  n − 1   Qε ( x ) k −1 1 − Qε ( x ) n − k dQε ( x ) = = nK u 1 − ∫ ∑  S S S  o k =1 k − 1 

(

) (

(

)

) (

[

)

]

(F3.1.3)

 u  = nK u 1 − ∫ dQε S ( x ) = nK u 1 − Qε S ( u )  o  Ugyanakkor az (F3.1.1) arra is felhasználható, hogy az (F3.1.3)-tól eltérően, a szálköteg szakítófolyamatát nem az egyes szálak szakítófolyamatai erőösszegeként, hanem az összegfolyamat egyes lépcsőinek a kötegnyúlás tengelyen ablakozott részei összegeként állítsuk elő:

- 27 -

n

F ( u ) = ∑ Fi ( u )χ (u ,ε Si ) = i =1 n

=

∑ ∑ Fi ( u )[χ (u ,ε *S ,k ) − χ (u ,ε *S ,k −1 )] = n

n

k =1i = k

(F3.1.4)

∑ [χ (u ,ε *S ,k )− χ (u ,ε *S ,k −1 )]∑ Fi ( u ) n

k =1

i =k

Ennek várható értéke:

[((

n

)]

) ((

F ( u ) = K u ∑ ( n + 1 − k ) E χ u ,ε *S ,k − E χ u ,ε *S ,k −1 = k =1 n

ahol Q

ε *S ,o

(F3.1.5)

  = K u ∑ ( n + 1 − k )Q * ( u ) − Q * ( u ) ε ε S ,k  S ,k −1  k =1

( u ) ≡ 1.

A várható lépcsős-folyamat ugrásai a rendezett mintaelemek várható értékeinél jelentkeznek, amelyek a Qε S ( u ) invertálható eloszlásfüggvény segítségével az alábbi módon számíthatók:

( )

 n − 1 ∞

[

] [

]

* = E ε * = n i −1 1 − Q ( u ) n − i dQ ( u ) = ε Si Si εS εS  i − 1  ∫ u Qε S ( u )  o

 n − 11 −1  ∫ Q ( t )t i −1[1 − t ]n − i dt = n  i − 1 o ε S amiből nyilvánvaló, hogy a (i=1,…,n)

( )

ξ *n ,i = Qε S ε *Si

(F3.1.6)

(F3.1.7)

valószínűségi változók béta-eloszlásúak (i, n-i+1) paraméterekkel [K76], amelyek várható értéke, szórásnégyzete és k-adik momentuma (k=1,2,…) rendre:

( ) ( ( )

 n − 1 ∞  ∫ Qε S ( u ) i 1 − Qε S ( u ) n − i dQε S ( u ) = E ξ *n ,i = E Qε S ε *Si = n i −1 o

][

]

 n − 1 1 i i  ∫ t [1 − t ]n − i dt = = n n+i  i − 1 o ( n + 1 − i )i D 2 ξ *n ,i = D 2 Qε S ε *Si = ( n + 1 )2 ( n + 2 )

( )

( )

[

( ( )

(F3.1.8)

(F3.1.9)

k  Γ( i + k )Γ( n + 1 )  ( i + k − 1 )( i + k − 2 )...( i + 1 )i E  ξ *n ,i  = = (F3.1.10) Γ ( n + 1 + k ) Γ ( i ) ( n + k ( n + k − 1 )...( n + 2 )( n + 1 )   Az összegfolyamat az (F3.1.6) várható értékekkel a fentiekhez hasonlóan írható le:

( )

[(

)]

) (

n n n ~ * * * F ( u ) = ∑ Fi ( u )χ u ,ε Si = ∑ χ u ,ε S ,k − χ u ,ε S ,k −1 ∑ Fi ( u ) i =1

k =1

(F3.1.11)

i =k

Az (F3.1.11)-ben az ablakfüggvények nem függnek a véletlentől, így a lépcsős összegfolyamat várható értéke:

(

)

( )

[(

) (

n n ~ * E F ( u ) = K u ∑ χ u ,ε Si = K u ∑ ( n + 1 − k ) χ u ,ε S* ,k − χ u ,ε S* ,k −1

(

)

i =1

k =1

ahol χ u ,ε S* ,o ≡ 0 .

- 28 -

)]

(F3.1.12)

Az (F3.1.12) alapján látható, hogy a várható lépcsős húzóerő-folyamat szintén a K u átlagos húzókarakterisztika és az

[(

( )

)]

) (

n n (n) * = ( n + 1 − i ) χ u ,ε * − χ u ,ε * ( u ) = ∑ χ u ,ε Si (F3.1.13) ∑ S ,i S ,i −1 εS i =1 i =1 közelítő, lépcsős, komplementer eloszlásfüggvény szorzata ( ε S* ,o = 0 ). Az (F3.1.8) lépcsős

ˆ 1− Q

eloszlásfüggvény érdekes tulajdonságaként - az (F3.1.3)-at felhasználva - belátható, hogy a várható ugráspontokkal közelítő és a közelített eloszlások várható értékei megegyeznek: ∞ ∞ n n∞ ˆ ( n ) ( u ) du = 1 ∑ ε i* = 1 ∑ ∫ 1 − Q * ( u ) du = ∫ 1 − Qε ( u ) du = E (ε S ) E (εˆ S ) = ∫ 1 − Q   S ε Si εS n i =1 n i =1o   o o (F3.1.14) valamint fennáll a következő, határátmeneti reláció (u≥0): ˆ ( n ) ( u ) = Qε ( u ) (F3.1.15) lim Q

[

n→∞

εS

]

S

A várható ugráshelyek ismeretében a véges szálszámú köteg átlagos szilárdsága is meghatározható: n −1 * 2 1 *  n (F3.1.16) Fn* = nK max  ε S*1 , ε S 2 , ... , ε S* ,n −1 , ε Sn  n n n n  A várható ugráshelyek becsléséhez, figyelembe véve az (F3.1.8) várható értékeket, az  i  −1 * (F3.1.17) εˆ n ,i = Qε−1   = Qε ξ n ,i S  n + 1 S durva becslést nyerhetjük, melyet korrigálva kapjuk a keresett érték becslését:

( )

( )

* = E ε* ≈ ε ε Si ˆ n ,i + ∆ε n ,i Si

(F3.1.18) A korrekció helyett, a várható ugráshely értékét az (F3.1.6) segítségével - és feltételezve, hogy Q-1 (m+1)-szer folytonosan differenciálható - az inverzfüggvény ξ n*,i = i /( n + 1 ) körüli Taylor polinómjával számíthatjuk ki: 1 * = n n − 1 Q −1 ( t )t i −1 [1 − t ]n − i dt = ε Si i −1 ∫ ε S  o (F3.1.19) k Q −1   * )k d 1 m ( t − ξ n − 1    εS n ,i   ∫  ∑ = n ( ξ n*,i ) + Rm ,i ( t ) t i −1 [1 − t ]n − i dt k!  i − 1 o  k = 0 dt k   ahol a maradéktag a Taylor formulával adott (0<αi<1, 0≤t≤1) [K9]: Rm ,i ( t ) =

d m +1Q −1 εS

)

(

( t − ξ n*,i )m +1 * α i ξ n ,i + ( 1 − α i )t

(F3.1.20) ( m + 1 )! dt m +1 Figyelembe véve az (F3.1.9)-et, a kiszámítandó centrális momentumok az (F3.1.7) szerinti, béta eloszlású valószínűségi változó momentumai, így az (F3.1.19) a következő alakba írható: k −1 m d Qε

[

]

E ( ξ n* ,i − ξ n*,i )k + Rm ,i (F3.1.21) k k ! dt k =2 hiszen az első centrális momentum zérus. A várható ugráshelyet háromtagú polinommal becsülve és a maradéktagot a becslés hibájának tekintve, kapjuk: * =ε ε Si ˆ n ,i + ∑

S

( ξ n*,i )

- 29 -

* ≈ε ε Si ˆ n ,i +

[

k −1 3 d Qε

∑

k =2

dt

S ( ξ * ) E ( ξ n ,i − ξ n ,i ) n ,i k k!

+

*

*

k

] = εˆ n,i − q'ε

S

( εˆ n ,i )

2q 3 ( εˆ n ,i ) εS

3q' 2 ( εˆ n ,i ) − q"ε S ( εˆ n ,i )qε S ( εˆ n ,i ) εS 6q 5 ( εˆ n ,i ) ε

[

]

E ( ξ *n ,i − ξ n*,i )2 +

[

E ( ξ *n ,i − ξ n*,i )3

]

S

(F3.1.22) ahol a qεs a szálnyúlás sűrűségfüggvénye, míg az (F3.1.22)-ben kijelölt szórás az (F3.1.9)-el adott és a harmadik centrális momentum az (F3.1.10)-el számítható: i  ( i + 1 )( i + 2 ) i( i + 1 ) i2  * * 3 E ( ξ n ,i − ξ n ,i ) = −3 +2 (F3.1.23)   n + 1  ( n + 2 )( n + 3 ) ( n + 1 )( n + 2 ) ( n + 1 )2 

[

]

N( ε S ,σ 2 ) paraméterű, normális eloszlású ( ε S ≥ 3σ ε s ) szálszakító nyúlás esetén a εs következő standardizált összefüggést kapjuk a várható ugráshelyek becsléséhez (i=1,…,n):

ε n*,i − ε S εˆ n ,i − ε S ≈ −π σε s σεs  εˆ n ,i − ε S 1 + 2  σε s  + 6( 2π ) − 3 / 2

 εˆ n ,i − ε S  ˆε n ,i − ε S  σ ε s e

σεs

2

  3  εˆ n ,i − ε S  2 σ  e  εs

2

    p i ,o 1 − pi ,o

(

)

1 + n+2 (F3.1.24)

2

   2  p i ,o pi ,1 pi ,2 − 3 pi ,o pi ,1 + 2 pi ,o

[

]

ahol

i+k (F3.1.25) n +1+ k Az F3.1.1. ábra a várható ugráshelyeket kijelölő, rendezett minta standardizált várható értékeinek az (F3.1.24) szerint számított, egy-, két- és háromtagú becsléseit mutatja a helysorszámok függvényében. A sorszámozás a standard normális eloszlás szimmetriáját követően, a zérus várható értéktől kiindulóan balra negatív és jobbra pozitív. Látható, hogy a becslések csak a szálszakító nyúlás átlagértékétől való távolabbi ugráshelyek esetében térnek el lényegesen az egytagú alapbecsléstől. Következésképpen, nagyobb szálszámoknál (pl. n>10) a kötegszilárdságot meghatározó ugráshely – s így annak értéke is – jól becsülhető az egytagú formulával. pi ,k =

( )

* ablakfüggvények A fentiek alapján, a 3.3.6. ábrán látható módon – a χ u ,ε Si felhasználásával – szerkeszthető meg az n-szálú E-köteg speciális, várható lépcsős szakadási folyamata, melynek a várható szakadási helyeken van ugrása. A várható húzóerő-folyamatok ábrázolásánál, a normálással előállított z kötegnyúlás

használva, az N( 1,V 2 ) paraméterű normális eloszlást alkalmazzuk. Az (1.3.14) szerinti εs Weibull típusú, de csak két, (xo,β) paraméterű (x1=0) szakítónyúlás eloszlás – figyelembe véve a várható érték és szórás (1.3.15) összefüggéseit – a (zo,β) paraméterűre módosul: xo = ε S z o , z o = [Γ(1 + 1 / β )]−1

- 30 -

(F3.1.26)

Szálak száma: n=30 2.5

Várható ugráshely standardizált értéke

2

-20

1.5 1 0.5 0 -15

-10

-5

-0.5

0

5

10

15

20

-1 Egytagú becslés

-1.5

Kéttagú becslés -2

Háromtagú becslés

-2.5

Ugráshely sorszáma, k

F3.1.1. ábra. Várható ugráshelyek standardizált nyúlásértékei a helysorszám függvényében egy-, két- és háromtagú becslések mellett Ezen Weibull eloszlásnál a β kitevőt a Vεs relatív szórás határozza meg, az alábbi inverz összefüggés szerint: Γ(1 + 2 / β ) Vε S = −1 (F3.1.27) Γ 2 (1 + 1 / β )

F3.2. Módosított ES-kötegek ES1-kötegek várható húzóerő-folyamata Az ES1-kötegre az egy szálra vonatkoztatott várható szakítófolyamat a (3.3.50) várható értékeként számítható: F ( u ) = KuE [χ ( u , ε m )] + KE [ε b χ bL ( u )sign( ε S − ε m )] (F3.2.1) Az első tagot részletezve E [χ ( u ,ε m )] = P[χ ( u ,ε m ) = 1] = P[u < ε m ] = P[u < ε m , u < ε b ] = (F3.2.2) = 1 − Qε S ( x ) 1 − Qε b ( x ) majd a második tagot E [ε b χ bL ( u )sign( ε S − ε m )] = E [E [ε b χ bL ( u )sign( ε S − ε m ) ε b ]] = (F3.2.3) = E [ε b χ bL ( u )E [sign( ε S − ε m ) ε b ]] ahol E [sign( ε S − ε m ) ε b ] = P[x < ε S ε b ] = 1 − Qε S (x ε b ) (F3.2.4)

[

][

]

valamint E [ε b χ bL ( u )E [sign( ε S − ε m ) ε b ]] = E ε b χ bL ( u ) 1 − Qε S ( x ε b =

[

(

=

)]

∫ x (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

(F3.2.5)

u /( 1+ α )

a χbL(u) ablakfüggvény másik interpretációja (εb=x): u  < x
- 31 -

(F3.2.6)

Végül az ES1-köteg várható szakítófolyamata:

(

)(

)

F ( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + K

∫ x (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

(F3.2.7)

u /( 1+ α )

A (3.3.44) szerint a kicsúszási határnyúlás, s így annak eloszlásfüggvénye is, kicsúszási szálhosszra számítható át: K  f ε b = b l m ⇒ Qε b ( x ) = Ql m  x  (F3.2.8) K  fb  amely az (F3.2.7)-ben érvényesíthető. Az lm aktív szálhossz eloszlásfüggvénye az (1.2.43) szerint a szálhossz Ql(x) eloszlásfüggvényéből számítható. ES2-köteg várható húzóerő-folyamata Az ES2-köteg egy szálra vetített várható szakítófolyamatát a (3.3.55) várható értéke adja: K F ( u ) = KuE [χ ( u , ε m )] + E [[(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u )sign( ε S − ε m )] (F3.2.9)

α

Az első tagban a várható érték az (F3.2.2)-vel egyezik meg: E [χ ( u ,ε m )] = P[χ ( u ,ε m ) = 1] = 1 − Qε S ( x ) 1 − Qε b ( x )

[

][

]

(F3.2.10)

Az (F3.2.9) második tagjában a várható érték: E [[(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u )sign( ε S − ε m )] =

= E [E [[(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u )sign( ε S − ε m ) ε b ]] = = E [[(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u )E [sign( ε S − ε m ) ε b ]] ahol az (F3.2.4) szerinti feltételes várható érték: E [sign( ε S − ε m ) ε b ] = P[x < ε S ε b ] = 1 − Qε S (x ε b )

(F3.2.11)

(F3.2.12)

és az (F3.2.4)-et a jelen esetre értelmezve, továbbá az (F3.2.3)-at is felhasználva, kapjuk: E [[(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u )E [sign( ε S − ε m ) ε b ]] =

[

)]

(

= E [(1 + α )ε b − u ]χ bL ( u ) 1 − Qε S ( x ε b = =

= (1 + α )

∫ [(1 + α )x − u ](1 − Qε S ( x ))dQε b ( x ) =

u

u /( 1+ α )

∫ x(1 − Qε S ( x ))dQε b ( x ) − u

(F3.2.13)

∫ (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

u

u /( 1+ α ) u /( 1+ α ) A fenti eredményekkel az ES2-köteg várható szakító folyamata:

(

)(

)

F ( u ) = Ku 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) + −

Ku

1+α

α

∫ x (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x ) −

u

K

u /( 1+ α )

∫ (1 − Qε S ( x ))dQε b ( x )

u

(F3.2.14)

α u /( 1+ α )

F3.3. Kombinált szálkötegek Kombinált kötegek tönkremeneteli viszonyai A kombinált szálkötegek esetében a (3.1.6) szerinti szálnyúlás–kötegnyúlás összefüggés

- 32 -

ε ( u ; ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) 1 + To2

−1

(F3.3.1)

A húzásra vonatkozó W(u) kontrakciós függvény célszerű alakja (ca,cb≥0): 1 W(u ) = (F3.3.2) (1 + ca u )cb Bizonyos paraméterkombinációknál a nyúlásfüggvény az u≥0 tartományban már nem monoton növekedő, minimumhely léphet fel, azaz a kötegnyúlás növekedésével az adott szál belazulhat (3.4.2. ábra). A nyúlásfüggvény deriváltjának akkor van egy nemnegatív zérushelye (u*), ha teljesül az alábbi feltétel (ca,cb,To>0): 1 1 ≤ ( 1 + u*)( 1 + c a u*)2cb +1 = ca cbTo2 ⇒ u* ≥ 0 , ha ca cb ≥ (F3.3.3) To2 Általános esetben, EHST kötegnél, az εo, To véletlen paraméterek és a ca, cb állandók zérustól különbözők. A fentiek alapján a tönkremenetelt, vagy erőközvetítést is figyelembe vevő εF effektív szálnyúlás:  ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < ε S ≤ ε b , 0 ≤ u < u S  ε F ( u ) =  min{ε b , ε (u , min( ε o ,ε b ),To )} + , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , 0 ≤ u < u L (F3.3.4)  0 , egyébként ahol az uS és uL a szálszakadáshoz, illetve a szálkicsúszás végéhez tartozó kötegnyúlás értékek. Az εS>εo esetben az uS-t a következőképpen definiálhatjuk: u S = min{u ≥ 0 : ε (u ,ε o ,To ) = ε S } (F3.3.5) Az uL a kötegnyúlással megadott ubL kicsúszási hossz és a megcsúszás kezdetéhez tartozó ub összegeként állítható elő: u L = u b + u bL (F3.3.6) u b = max{u ≥ 0 : ε ( u ,ε o ,To ) = ε b } ahol ub a szálnyúlás függvény és az εb nyúlásszint lehetséges legnagyobb u-értékű metszéspontja, amely lehet zérus. Az ubL és a kicsúszó terheletlen szálhossz kapcsolatának feltárásához tisztázni kell a szálhossz, s ezen belül a terheletlen szálhossz változását a kötegnyúlás növekedése során (3.4.4., vagy F3.3.1. ábra). Ennek kiindulópontjaként rögzíthető, hogy a terheletlen szálhossz monoton nemcsökkenő, ugyanis az irreverzibilis szálkicsúszás miatt, a szálnyúlás csökkenése esetén nem léphet fel rugalmas visszahúzódás a befogásba. eo e(u b) e(u L)

0

Szál e(u)

l=l(0) l(u b)

l(u L)

Lo u=0

L(u b ) u=u b

L(u L) u=u L

F3.3.1. ábra. A szálhossz és a köteghossz alakulása a szakítás során

- 33 -

• ub=0 esetén a szálkicsúszás, s ezzel az lo terheletlen szálhossz ∆lo(u) növekedése – állandó εb=εo szálnyúlás állapot mellett - már a kötegszakítás kezdetétől folyik (3.4.3. ábra). Ekkor a nyúláskarakterisztika monoton növő u>0-ra (3.4.3. ábra, ES=EH). • Ha ub>0, úgy a terheletlen szálhossz csak a ub
(F3.3.8) (F3.3.9)

Lo 1 + To2 ε ( u L ,ε o ,To ) − ε b (F3.3.10) 1+ εo 1+ εb A kicsúszott szálhossz relatív értékének két, a kezdeti terheletlen szálhosszhoz (lo), illetve a köteg befogási hosszához (Lo) viszonyított formája: ∆lo ( ubL ) ε ( u L ,ε b ,To ) − ε b = (F3.3.11) lo 1 + εb ∆l o ( ubL ) =

2

1 + To ε ( u L ,ε b ,To ) − ε b ∆lo ( ubL ) = (F3.3.12) Lo 1+ εo 1 + εb ahol az ε(uL,εb,To)-nak – ez esetben – nincs effektív nyúlásfunkciója, csak a terheletlen szálhosszváltozás leírásához alkalmazott segédfüggvényként szerepel. A másik, εo=εb esetben, már u=0-nál kialakul a kicsúszáskori nyúlás, majd csökken a belazulás hatására és ub-nél lép fel a kicsúszási nyúláshatár. Ennek megfelelően az (F3.3.7)(F3.3.12) formulákban az εo=εb egyenlőség érvényesítendő. Az (F3.3.4)-et figyelembe véve, εb<εS esetén az (F3.3.11)-et a szálnyúlásra átrendezve, kapjuk: ∆l ( u ) ε ( u L ,ε b ,To ) = ε b + o bL ( 1 + ε b ) = ε b + ε bL (F3.3.13) lo ahol a relatív kicsúszási szálhossz, relatív szálnyúlásként definiálható ∆l ( u ) ∆l ( u ) ( 1 + ε o )( 1 + ε b ) (F3.3.14) ε bL = ε ( u L ,ε b ,To ) − ε b = o bL ( 1 + ε b ) = o bL lo Lo 1+ T 2 o

Az (F3.3.12) alapján az uL kötegnyúlás értéke az alábbi egyenlet megoldásaként kapható (uL>ub≥u*): (F3.3.15) ε ( u L ,ε b ,To ) = ε b + ε bL amivel a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás-változás értéke: (F3.3.16) ubL = u L − ub Az (F3.3.11), (F3.3.12), vagy (F3.3.14) szerinti relatív terheletlen szálhosszváltozások valamelyikének, vagy az (F3.3.16) szerinti ubL-nek – mint az εS, εo, εb és To-től független relatív kicsúszási útnak, illetve annak vetületének – az eloszlásfüggvényét célszerű megadni (miáltal az ötödik, a szabad paraméter értéke természetesen meghatározottá válik). Az (F3.3.14) és (F3.3.16) alapján, speciális esetként, az ES köteg esetében εo=0, To=0, így ε(u,εo,To)=u, tehát a kicsúszási hossznak megfelelő relatív elmozdulás:

- 34 -

∆l o ( u bL ) (F3.3.17) (1 + ε b ) lo ami megegyezik a korábbi, (3.3.33) értelmezéssel. A Függelékben a kombinált kötegek várható húzóerő-folyamatait előbb az egyszerűbb EHS, EHT és EST kötegekre, majd a legösszetettebb EHST kötegre határozzuk meg. EHS-kötegek Az EHS köteg esetében a párhuzamos szálhúrú (To=0), hullámos/előfeszített szálak szakadók, vagy kicsúszók lehetnek. A kötegszál nyúláskarakterisztikája lineáris (F3.3.2. ábra): ε ( u ,ε o ) = ε o + ( 1 + ε o )u = u + ( 1 + u )ε o ≥ ε o (F3.3.18) ubL = ε bL =

1,4 Szál nyúlás-karakterisztikája Effektív szálnyúlás Effektív szálnyúlás

1,2

Szálnyúlás, ε(u)

1

AE=0,6; ES=0,4; EL=0,2;

0,8

EH=0,15

0,6

EH=-0,15

0,4 0,2 0 -0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,4

Kötegnyúlás, u

F3.3.2. ábra. EHS kötegszálak nyúláskarakterisztikája és effektív nyúlásmenete εo<min(εb,εS) esetén (AE=εS; EH=εo; ES=εb; EL=ubL) amellyel a (F3.3.4) effektív szálnyúlás vonatkozó alakja:  ε ( u ,ε o ) + , ha ε o < ε S ≤ ε b , 0 ≤ u < u S  ε F ( u ) =  min{ε b , ε (u , min( ε o ,ε b ))} + , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , 0 ≤ u < u L =  0 , egyébként

(F3.3.19)  ε ( u ,ε o ) + , ha ε o < min( ε b ,ε S ), 0 ≤ u < u m  = ε b , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként  ahol az um kötegnyúlás (εo<min(εb,εS)=εm): u m : Fm = min( Fb , FS ) = K min( ε b ,ε S ) = Kε ( u m ,ε o ) = K [ε o + ( 1 + ε o )u m ] (F3.3.20) F / K − εo εm − εo ⇒ um = m = , ε m = min( ε b ,ε S ) 1+ εo 1+ εo Ennek megfelelően, ha εm=εb, úgy um=ub és a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás változás: ε ( u L ,ε o ) − ε o ε ( ub ,ε o ) − ε o ε L − ε b ε ubL = u L − ub = − = = bL (F3.3.21) 1+ εo 1+ εo 1+ εo 1+ εo Az (F3.3.19) alapján egy kötegszál által közvetített húzóerő:  K ε ( u ,ε o ) + , ha ε o < ε m , 0 ≤ u < u m  (F3.3.22) F ( u ) = Kε F ( u ) =  Fb = Kε b , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként 

- 35 -

Az ε=0–t elérve a hullámos szál is egyenes, ezért az (F3.3.11) és (F3.3.16) mellett, az ESköteg összefüggései itt is használhatók. Az i-edik szálban ébredő húzóerő összeg alakban: Fi ( u ) = K i ε i ( u ,ε oi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) + (F3.3.23) + ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi ))] ahol χbL(u) a (3.3.35)-nek megfelelő speciális ablakfüggvény χ bL ( u ) = 1(u − ubi ) − 1(u − ( ubi + ubLi )) (F3.3.24) ahol ubi és ubLi a z(F3.3.20) és (F3.3.21) összefüggésekkel adott kötegnyúlás érték, valamint az εMi értelmezése: ε Mi = max( ε oi ,ε bi ) (F3.3.25) Az (F3.3.23) első tagjának várható értéke (u≥0): E K i ε i ( u ,ε oi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) =

[

[

]

∞z

=K∫ =K

∫ ε ( u , x ) + χ (ε ( u , x ), z )dQ( ε o ,ε m ) ( x , z ) =

o −1 ∞ ∞

∫

∫ ε ( u , x ) + χ (ε ( u , x ) + , z )dQε m ( z )dQε o ( x ) =

(F3.3.26)

−1max( 0 , x )

=K =K

∞

∫ ε ( u , x ) + (1 − Qε m (ε ( u , x ) + ))dQε o ( x ) =

−1 ∞

∫ ε ( u , x ) + (1 − Qε S (ε ( u , x ) + ))(1 − Qε b (ε ( u , x ) + ))dQε o ( x )

−1

Más megközelítésként, a teljes várható érték tételt alkalmazva: E K i ε i ( u ,ε oi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) =

[

]

[

]

= K E ε i ( u ,ε oi ) + E (χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) ε oi ) Az (F3.3.27)-beli feltételes várható érték: E (χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) ε oi ) = = P(ε i ( u ,ε oi ) < ε mi , ε oi < ε mi ε oi ) = P(ε i ( u ,ε oi ) < ε mi ε oi ) = = P(ε i ( u , x ) < ε Si ε oi = x )P(ε i ( u , x ) < ε bi ε oi = x ) =

(

(

))(

(

= 1 − Qε S ε ( u , x ) + 1 − Qε b ε ( u , x ) +

(F3.3.27)

(F3.3.28)

))

ahol felhasználtuk az (F3.3.18) jobboldali relációját is. Az (F3.3.28)-at az (F3.3.27)-be helyettesítve és a várható értéket kiszámolva az (F3.3.26)-al azonos eredményre jutunk. Az (F3.3.23) második tagjának várható értéke (u≥0): E [K i ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi ))] =

= K E [ε bi E (χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε o ,ε b )] = = K E [ε bi E (χ bL (u ) ε o ,ε b )E (sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε o ,ε b )] Az (F3.3.29)-beli egyik feltételes várható érték:

- 36 -

(F3.3.29)

E (χ bL ( u ) ε o ,ε b ) = P(χ bL ( u ) = 1 ε o ,ε b ) = P(u b < u < u b + u bL ε o ,ε b ) =

  ε − εo ε = P(u − u b < u bL ε o ,ε b ) = P u − b < bL ε o ,ε b  = 1+ εo 1+ εo   = P(u( 1 + x ) + x − z < ε bL ε o = x , ε b = z ) = P(ε ( u , x ) − z ε o = x , ε b = z ) =

(F3.3.30)

= 1 − Qε bL (ε ( u , x ) − z )

Az (F3.3.29)-beli másik feltételes várható érték: E (sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε oi ,ε bi ) = P(max( ε oi ,ε bi ) < ε Si ε oi ,ε bi ) = = P(max( x , z ) < ε Si ε oi = x , ε bi = z ) = 1 − Qε S (max( x , z ))

(F3.3.31)

Az (F3.3.30) és (F3.3.31) eredményekkel az (F3.3.29) várható érték: E [K i ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi ))] = ∞z

(

(

))(

)

= K ∫ ∫ z 1 − Qε bL ε ( u , x ) − z + 1 − Qε S (max( x , z )) dQε o ( x )dQε b ( z ) = =K

o −1 ∞ ε ( u ,x )

∫

∫ z (1 − Qε bL (ε ( u , x ) − z + ))(1 − Qε S (z ))dQε b ( z )dQε o ( x )

−1max( 0 , x )

(F3.3.32) Végül, a fentiek összegzéseképpen, az EHS-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő folyamata: E (F1( u )) = K +K

∞

∫ ε ( u , x ) + (1 − Qε S (ε ( u , x ) + ))(1 − Qε b (ε ( u , x ) + ))dQε o ( x ) +

−1 ∞ ε ( u ,x )

∫

∫ z (1 − Qε bL (ε ( u , x ) − z + ))(1 − Qε S (z ))dQε b ( z )dQε o ( x )

(F3.3.33)

−1max( 0 , x )

ami – figyelembe véve, hogy a kicsúszás szakaszán az ε(u,x) monoton az u-ban – a (3.3.36)nek az u→ε(u,x) transzformációval és az εo(=x) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja. EHT-kötegek Az EHT köteg szálainak nyúláskarakterisztikája (εo≠0, To≠0):

ε ( u ,ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

( 1 + u )2 + To2W 2 ( u )

−1 (F3.3.34) 1 + To2 amelynek nagy kontrakció esetén lehet lokális minimuma és hullámos szálaknál negatív értékű szakasza is (F3.3.3. ábra). Amennyiben εo≥εS, a szál az előfeszítéskor elszakad, azaz uS=0, míg εo<εS esetében a szakadás mindig az esetleges minimumhelyen túl, a monoton növő és invertálható nyúláskarakterisztika szakaszra kerül: u S = min{u ≥ 0 : ε ( u ,ε o ,To ) = ε S } (F3.3.35) Az (F3.3.4) szerinti effektív szálnyúlás:  ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < ε S , 0 ≤ u < uS (F3.3.36) εF(u ) =  0 , egyébként

- 37 -

1,2 Szál nyúlás-karakterisztikája

Szálnyúlás, ε (u)

1

Effektív nyúlás, EH=0,1 Effektív nyúlás, EH=-0,1

0,8

AE=0,5; To=0,5; Ca=1; Cb=8 0,6 0,4 0,2 0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,2

Kötegnyúlás, u

F3.3.3. ábra. EHT kötegszálak nyúláskarakterisztikája és effektív nyúlásmenete εo<εS esetén (AE=εS; EH=εo) Ezzel az egy kötegszál által közvetített, szálirányú húzóerő:  K ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < ε S , 0 ≤ u < u S (F3.3.37) F ( u ) = Kε F ( u ) =  0 , egyébként amelynek szorzat alakja: F ( u ) = Kε F ( u ) = K ε ( u ,ε o ,To ) + χ ε ( u ,ε o ,To ) + ,ε S sign(ε S − min( ε o ,ε S )) (F3.3.38)

(

)

ahol a vonatkozó ablakfüggvény:

(

)

1, ha 0 ≤ u < u S 0, egyébként

χ ε ( u ,ε o ,To ) + ,ε S = 

(F3.3.39)

Az i-edik, β irányszögű szálban ébredő húzóerő vetülete, mint a kötegerő összetevője: 1+ u FLi ( u ) = Fi ( u ) cos β i ( u ) = K i ε F i ( u ) (F3.3.40) 2 2 2 ( 1 + u ) + ToiW ( u ) A várható kötegerő kiszámításához tekintsük az (F3.3.40) rögzített εo és To melletti feltételes várható értékét: E (FLi (u ) ε o , To ) = E (Fi (u ) ε o , To )cos βi (u, To ) (F3.3.41) A szálerő feltételes várható értéke: E (Fi (u ) ε o , To ) =

[( ) = K ε (u , ε o , To ) + E [χ (ε (u , ε o , To ) + , ε S )ε o , To ; ε o < ε S ] = = K ε (u , ε o , To ) + P(max (ε o , ε (u , ε o , To ) + ) < ε S ) = = K ε (u , ε o , To ) + [1 − Qε (max (ε o , ε (u , ε o , To ) + ))]

]

= K ε (u , ε o , To ) + E χ ε (u , ε o , To ) + , ε S sign(ε S − min(ε o , ε S ) )ε o , To =

(F3.3.42)

S

Az egy szálra eső kötegerő várható értéke a (3.3.78) mintájára: E (F1L (u ) ) = E [E (FLi (u ) ε o , To )] = =K

∞∞

∫∫

[

( (

ε (u, x, z ) + 1 − Qε S max x, ε (u, x, z ) +

))](1 + u)dQ2T ( z)2dQ2ε o

o

( x)

(F3.3.43)

(1 + u ) + z W (u ) ami az ET köteg (3.3.62) formulájától lényegében csak az εo hullámosság szerinti átlagolással különbözik. −1− ∞

- 38 -

EST-kötegek Az EST köteg szálai ugyan egyenesek (εo=0), azonban ferdék (To≠0), így nyúláskarakterisztikájuk (F3.3.4. ábra):

ε ( u ,To ) =

( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) 1 + To2

−1

(F3.3.44)

1,4 Szál nyúlás-karakterisztikája Effektív szálnyúlás, To=0,3 Effektív szálnyúlás, To=0,9

1,2

Szálnyúlás, (u)

1

AE=0,4; ES=0,35; EL=0,2; Ca=1; Cb=3

0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,2

Kötegnyúlás, u

F3.3.4. ábra. EST kötegszálak nyúláskarakterisztikája és effektív nyúlásmenete (AE=εS; ES=εb; EL=εbL) amellyel az (F3.3.4) effektív szálnyúlás ide vonatkozó alakja:  ε ( u ,To ) + , 0 ≤ u < u m  ε F ( u ) = ε b , ha ε b < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként  ahol az um kötegnyúlás (εo<min(εb,εS)=εm): u m : Fm = min( Fb , FS ) = K min( ε b ,ε S ) = Kε ( u m ,To )

(F3.3.45)

(F3.3.46) ⇒ u m = ε −1( ε m ), ε m = min( ε b ,ε S ) ugyanis a nyúláskarakterisztika pozitív része ≥0 és εb,εS>0, így a vonatkozó metszéspontok a nyúláskarakterisztika monoton növő és invertálható szakaszára esnek. Ennek megfelelően, ha εm=εb, úgy um=ub és az (F3.3.11) és (F3.3.12) alapján a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás változás: u bL = u L − u b = ε −1( ε L ) − ε −1( ε b ) = ε −1( ε b + ε bL ) − ε −1( ε b ) ε L = ε ( u L ,To ) = ε b + ε bL Az (F3.3.4)-el, egy tetszőleges kötegszálban ébredő húzóerő:  K ε ( u ,To ) + , 0 ≤ u < u m  F ( u ) = Kε F ( u ) =  Fb = Kε b , ha ε b < ε S , u m = u b ≤ u < u L 0 , egyébként  Az i-edik szál húzóereje összeg alakban: Fi ( u ) = K i ε i ( u ,Toi ) + χ (ε i ( u ,Toi ),ε mi ) + ε bi χ bL (u )sign(ε Si − ε mi ))]

[

(3.4.47)

(F3.3.48)

(F3.3.49)

ahol χbL(u) a (3.3.35)-nek megfelelő speciális ablakfüggvény χ bL ( u ) = 1(u − ubi ) − 1(u − ( ubi + ubLi )) (F3.3.50) ahol ubi és ubLi az (F3.3.20) és (F3.3.21)-nek megfelelő összefüggésekkel adott kötegnyúlás érték. Az i-edik, β irányszögű szálban ébredő húzóerő vetülete, mint a kötegerő összetevője: - 39 -

FLi ( u ) = Fi ( u ) cos β i ( u ,To ) = K i ε F i ( u )

1+ u

(F3.3.51)

( 1 + u )2 + Toi2 W 2 ( u )

Az (F3.3.49)-et figyelembe véve, az (F3.3.51) vetületi szálerő első tagjának várható értéke (u≥0) az (F3.3.26)-hoz hasonlóan: E K i ε i ( u ,ε oi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ),ε mi ) cos β ( u ,To ) =

[

]

=K =K =K

∞ ∞

∫ ∫ ε ( u , x ) + χ (ε ( u , x ), z )cos β ( u , x )dQε m ( z )dQTo ( x ) =

−∞ o ∞

∫ ε ( u , x ) + (1 − Qε S (ε ( u , x ) + ))(1 − Qε b (ε ( u , x ) + ))cos β ( u , x )dQTo ( x ) =

−∞ ∞

∫

−∞

(

))(

(

(

ε ( u , x ) + 1 − Qε S ε ( u , x ) + 1 − Qε b ε ( u , x ) +

))

(F3.3.52)

( 1 + u )dQTo ( x ) ( 1 + u )2 + x 2W 2 ( u )

Az (F3.3.51) második tagjának várható értéke (u≥0): E [Kiε bi χbL (u )sign(ε Si − ε mi )cos β i (u , To )] =

= K E [ε bi cos βi (u , To ) E (χbL (u )sign(ε Si − ε mi ) )To , ε b )] =

= K E [ε bi cos βi (u , To ) E (χbL (u )To , ε b )E (sign(ε Si − ε mi ) )To , ε b )] A (3.4.53)-ban az első feltételes várható érték: E (χbL (u ) To , ε b ) = P(χ bL (u ) = 1To , ε b ) = P(ub ≤ u < ub + ubL To , ε b ) =

(F3.3.53)

= P ε −1 (ε b )≤ u < ε −1(ε b + ε bL ) To , ε b  = P(ε b ≤ ε (u , To ) < ε b + ε bL To , ε b ) = (F3.3.54)   = P(ε (u , x) − z < ε bL ε b = z , To = x ) = 1 − Qε bL ε (u , x) − z +

(

)

ahol kihasználtuk, hogy az ε(u,To) nyúláskarakterisztika invertálható az ub≤u
=K

∞ ∞

∫ ∫ z (1 − Qε bL (ε (u, x) − z + ))(1 − Qε S (z ))cos βi (u, x)dQε b ( z )dQTo ( x) =

(F3.3.56)

−∞ o

Végül, figyelembe véve, hogy az (F3.3.45)-ben, illetve az (F3.3.48)-ban szereplő, ub-ra vonatkozó megkötés az εb-re is átöröklődik és az ε(u,To) invertálható az ub≤u esetén: ub ≤ u ⇒ ε −1( ε b ) ≤ u ⇒ ε b ≤ ε ( u ,To ) (F3.3.57) így az EST-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő folyamata: ∞ (1 + u )dQTo ( x) E (F1L (u ) ) = K ∫ ε (u , x) + 1 − Qε S (ε (u , x) ) 1 − Qε b (ε (u , x) ) + 2 2 2 (1 + u ) + x W (u ) −∞

(

+K

∞ ε (u , x ) +

∫

−∞

∫

(

)(

)

)(

) (1 + u)dQ2ε

z 1 − Qε bL (ε (u , x) − z ) 1 − Qε S ( z )

o

- 40 -

b

( z )dQTo ( x)

(1 + u ) + x 2W 2 (u )

(F3.3.58) ami a (3.3.36)-nak az u→ε(u,x) transzformációval és az To(=x) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja. EHST-kötegek Az EHST köteg szálai nyúláskarakterisztikája megegyezik az EHT kötegével (εo≠0, To≠0): ( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) −1 (F3.3.59) 2 1 + To tehát nagy kontrakció esetén lehet lokális minimuma és negatív értékű szakasza is. Az utóbbi hullámos szálaknál is megtalálható (F3.3.5. ábra).

ε ( u ,ε o ,To ) = ( 1 + ε o )

1,2 Szál nyúlás-karakterisztikája Effektív szálnyúlás, EH=0,1 Effektív szálnyúlás, EH=-0,1

Szálnyúlás, (u)

1 0,8

AE=0,5; ES=0,4; EL=0,2

0,6

To=0,5; Ca=1; Cb=8

0,4 0,2 0 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-0,2

Kötegnyúlás, u

F3.3.5. ábra. EHST kötegszálak nyúláskarakterisztikája és effektív nyúlásmenete εo<εS esetén (AE=εS; EH=εo; ES=εb; EL=εbL;) Hasonlóan az EHS és EHT kötegekhez, ha εo≥εS, a szál az előfeszítéskor elszakad, azaz uS=0, míg εo<εS esetében a szakadás (u=uS) mindig az esetleges minimumhelyen túl, a monoton növő és invertálható nyúláskarakterisztika szakaszra kerül. Ennek megfelelően egy általános helyzetű és állapotú szál effektív nyúlása:  ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < min( ε b ,ε S ), 0 ≤ u < u m  (F3.3.60) ε F ( u ) = ε b , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként  ahol az um kötegnyúlás (εo<min(εb,εS)=εm): u m : Fm = min( Fb , FS ) = K min( ε b ,ε S ) = Kε ( u m ,ε o ,To ) (F3.3.61) ⇒ u m = ε −1( ε m ), ε m = min( ε b ,ε S ) ugyanis a nyúláskarakterisztika azon u kötegnyúlás tartomány feletti része, ahol ε(u,εo,To)εo>0, a nyúláskarakterisztika monoton növő és invertálható, s a vonatkozó ub illetve uS abszcisszájú metszéspontok erre a szakaszra esnek. Ennek megfelelően, ha εm=εb, úgy um=ub, és a kicsúszási hossznak megfelelő kötegnyúlás változás: u bL = u L − u b = ε −1( ε L ) − ε −1( ε b ) = ε −1( ε b + ε bL ) − ε −1( ε b ) ε L = ε ( u L ,ε o ,To ) = ε b + ε bL Az (F3.3.60) alapján egy kötegszál által közvetített húzóerő:

- 41 -

(F3.3.62)

 K ε ( u ,ε o ,To ) + , ha ε o < ε m , 0 ≤ u < u m  (F3.3.63) F ( u ) = Kε F ( u ) =  Fb = Kε b , ha max( ε o ,ε b ) < ε S , u m = ub ≤ u < u L 0 , egyébként  Az i-edik szálban ébredő húzóerő összeg alakban: Fi ( u ) = K i ε i ( u ,ε oi ,Toi ) + χ (ε i ( u ,ε oi ,Toi ),ε mi )sign(ε mi − min( ε oi ,ε mi )) +

[

+ ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi ))]

(F3.3.64) ahol χbL(u) az alábbi ablakfüggvény χ bL ( u ) = 1(u − ubi ) − 1(u − ( ubi + ubLi )) (F3.3.65) ahol ubi és ubLi az εb nyúlásszintnek, illetve a (3.4.13)-nak megfelelő kötegnyúlás érték, továbbá εMi: ε Mi = max( ε oi ,ε bi ) (F3.3.66) Az i-edik, β irányszögű szálban ébredő húzóerő vetülete, mint a kötegerő összetevője: 1+ u FLi ( u ) = Fi ( u ) cos β i ( u ,Toi ) = K i ε F i ( u ) (F3.3.67) ( 1 + u )2 + Toi2 W 2 ( u ) Az (F3.3.64)-et is figyelembe véve, az (F3.3.67) szerinti vetületi szálhúzóerő első tagjának várható értéke: E Ki ε i (u , ε oi , Toi ) + χ (ε i (u , ε oi , Toi ), ε mi )sign(ε mi − min(ε oi , ε mi ) )cos βi (u , Toi ) =

[

=K =K =K

]

∞ ∞z

∫ ∫ ∫ ε (u, x, z ) + χ (ε (u, x, z), y )cos βi (u, z )dQ(ε o ,ε m ,To ) ( x, y, z ) =

− ∞ o −1 ∞ ∞

∫ ∫ ε (u, x, z ) + (1 − Qε m (ε (u, x, z ) + ))cos βi (u, z)dQε o ( x)dQTo ( z ) =

− ∞ −1 ∞ ∞

∫ ∫ ε (u, x, z ) + (1 − Qε S (ε (u, x, z) + ))(1 − Qε b (ε (u, x, z) + ))

− ∞ −1

(1 + u )dQε o ( x)dQTo ( z ) (1 + u ) 2 + z 2W 2 (u ) (F3.3.68)

Az (F3.3.67) második tagjának várható értéke (u≥0): E [K i ε bi χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) cos β i ( u ,Toi )] =

= K E [ε bi cos β i ( u ,Toi )E (χ bL (u )sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε oi ,ε bi ,Toi )] = = K E [ε bi cos β i ( u ,Toi )E (χ bL (u ) ε oi ,ε bi ,Toi )E (sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε oi ,ε bi ,Toi )] (F3.3.69) Az (F3.3.69)-ben az első feltételes várható érték: E (χbL (u ) ε oi , ε bi , Toi ) = P(χbL (u ) = 1ε oi , ε bi , Toi ) = P(ubi ≤ u < ubi + ubLi ε oi , ε bi , Toi ) =

= P ε −1 (ε bi )≤ u < ε −1 (ε bi + ε bLi ) ε oi , ε bi , Toi  =   = P(ε bi ≤ ε (u , ε oi , Toi ) < ε bi + ε bLi ε oi , ε bi , Toi ) =

(

= P(ε (u , x, z ) − y < ε bL ε o = x, To = y, ε b = z ) = 1 − Qε bL ε (u , x, y ) − z +

)

(F3.3.70) ahol kihasználtuk, hogy az ε(u,εo,To) nyúláskarakterisztika invertálható az ub
Az (F3.3.69)-beli másik feltételes várható érték: E (sign(ε Si − min( ε Si ,ε Mi )) ε oi ,ε bi ,Toi ) = P(max( ε oi ,ε bi ) < ε Si ε oi ,ε bi ,Toi ) =

= P(max( x , z ) < ε Si ε oi = x , ε bi = z ) = 1 − Qε S (max( x , z )) Az (F3.3.69) és (F3.3.70) eredményekkel az (F3.3.68) várható érték: E [Kiε bi χbL (u )sign(ε Si − min(ε Si , ε Mi ) )cos βi (u, Toi )] =

=K

∞ ∞z

∫ ∫ ∫ z (1 − Qε bL (ε (u, x, y) − z + ))(1 − Qε S (max( x, z )))

(1 + u )dQε o ( x)dQε b ( z )dQTo ( y )

− ∞ o −1

=K

∞ ∞ ε (u , x , y ) +

∫ ∫

∫

(

(

(1 + u ) + y W (u ) 2

)(1 + u)dQε

))(

(F3.3.71)

z 1 − Qε bL ε (u, x, y ) − z + 1 − Qε S (z )

b

2

2

=

( z )dQε o ( x)dQTo ( y )

(1 + u ) 2 + y 2W 2 (u ) (F3.3.72) A fentiekben végrehajtott tartomány-transzformációnál figyelembe vettük, hogy z≤ε(u,x) kell teljesüljön, továbbá max(x,z)=z, ugyanis ha εo=x>εb=z lenne, akkor az előfeszítés pillanatában megcsúszna a szál és egy εb=z nyúlásállapotot venne fel, azaz ennél nem lehet nagyobb az előfeszítés. Egyébként max(0,x)=x+ is írható. Végül, az EHST-köteg egy szálra vonatkoztatott várható húzóerő folyamata: E (F1( u )) = − ∞ −1 max( 0, x )

=K

∞ ∞

∫ ∫ ε ( u , x , y ) + (1 − Qε S (ε ( u , x , y ) + ))(1 − Qε b (ε ( u , x , y ) + ))

− ∞ −1

+K

∞ ∞ ε ( u ,x , y ) +

∫ ∫

∫

(

(

))(

( 1 + u )dQε o ( x )dQTo ( y ) (1 + u ) + y W ( u )

)( 1 + u )dQε

z 1 − Qε bL ε ( u , x , y ) − z + 1 − Qε S ( z )

2

b

2

2

+

( z )dQε o ( x )dQTo ( y )

( 1 + u )2 + y 2W 2 ( u ) (F3.3.73) ami a (3.3.36)-nak az u→ε(u,x) transzformációval és az εo(=x), illetve a To(=y) szerinti várható értékképzéssel átalakított alakja. − ∞ −1 max( 0 , x )

F3.4. EV-kötegek Az EV-köteg szálai lineárisan rugalmasak és tökéletesen rugalmasak, így modelljük egy véletlen εS szakítónyúlás értéknél elszakadó rugó. A környezetükkel való kapcsolatukat, azaz befogásukat, egy viszkózus elem modellezi, ahol a viszkózus folyadékot tartalmazó hengerbe nyúló ’dugattyú’ a szál befogott, véges, terheletlenül lb hosszúságú része (3.4.6., ábra). Feltételezzük, hogy lb véges szórású valószínűségi változó. A 3.4.6. ábrán a viszkózus elem lv ’hossza’ a környezetből viszkózusan kihúzódott szálrész hosszát jelképezi. A szálkötegcella húzása során egy adott szál – a véletlen paraméterek értékeitől függően – vagy elszakad, vagy kihúzódik a viszkózus befogásból, s erőközvetítése megszakad. A terheletlenül Lo hosszú szálköteget egyenletesen növekvő nyúlással igénybe véve, a köteg hossza L-re nő. Egy terheletlen állapotban ugyancsak Lo hosszú kötegszál hosszváltozása két részből, az Lo hosszú szálrész megnyúlásából (∆lr), illetve a viszkózus befogásból kihúzódott (lvo) és az aktuális húzóerőnek megfelelően megnyúlt szálrészből (∆lv) áll. (F3.4.1) L = Lo + ∆L = Lo + ∆l r + lv = Lo + l vo + ∆l r + ∆l v = l o + ∆l ahol - 43 -

l v ( t ) = l vo ( t ) + ∆l v ( t ) , l o ( t ) = Lo + l vo ( t ) , ∆l( t ) = ∆l r ( t ) + ∆l v ( t ) (F3.4.2) és lo a kihúzódott szálrésszel megnőtt szál terheletlen hossza. Nyilvánvaló, hogy lvo(0)=0. A terheletlen hosszak kiemelésével relatív hosszváltozások képezhetők az (F3.4.2) egyenletben:  ∆l  ∆L   ∆l  ∆l  l  l  ∆l    = Lo (1 + u ) = Lo 1 + r + v  = Lo 1 + r + vo 1 + v   = l o 1 +  L = Lo 1 +   Lo  Lo Lo  Lo Lo  lvo      lo   (F3.4.3) ahol az Lo hosszú szálrész (a rugó: εr) és a befogott szálrész (viszkózus elem: εv) Lo-ra vonatkoztatott hosszváltozásai összege a kötegnyúlást adja: l ∆l u = r + v = εr + εv (F3.4.4) Lo Lo Az lv hossz a rugalmasan megnyúlt szál hossznövekménye, ezért célszerű szintén relatív nyúlásként kezelni. Az egyes szálrészek és a szál saját terheletlen hosszukhoz viszonyított relatív megnyúlása, azonos szálhúzóerő mellett, nyilván megegyezik: ∆l ∆l ∆l εr = r = v = =ε (F3.4.5) Lo lvo lo Az ε szál- és u kötegnyúlás közötti kapcsolat az (F3.4.3), (F3.4.4) és (F3.4.5) alapján többféle módon is megadható: l u − vo L Lo ε ( u ) = o (1 + u ) − 1 = = u − εv (F3.4.6) l vo lo 1+ Lo ahol l vo ε u −ε = v = (F3.4.7) Lo 1 + ε 1 + ε Az (F3.4.5) alapján világos, hogy egy kötegszál akkor szakad, ha ε(t)=εr(t)≥εS és a kihúzódott szálrész terheletlen hossza (lvo) rövidebb a viszkózusan befogott lb hossznál. Egyébként a szál erőközvetítése a viszkózus kihúzódással szűnik meg. A 3.4.6. ábra modellelemeiben ébredő erők kiszámításához a rugóra a Hooke törvényt, a viszkózus elemre a Newton törvényt az alábbi formában alkalmazzuk [K2,K53,S5]: Fr = Kε r , Fv = η F ε&v (F3.4.8) ahol a pont idő szerinti deriválást jelöl. Figyelembe véve, hogy a húzóerők az elemeken megegyeznek, az (F3.4.8) formuláit megfelelő formában az (F3.4.4)-be helyettesítve, majd differenciálva az idő szerint kapjuk (F=Fr=Fv): F& F u& = + (F3.4.9) K ηF Az (F3.4.9) differenciálegyenlet általános megoldása a (0,t) időintervallumon [S5]: −

t

t −

F ( t ) = F ( 0 )e τ + K ∫ e

t−s

τ du( s )

(F3.4.10)

o

ahol a τ időállandó:

η τ= F K

Figyelembe véve, hogy F(0)=0 és

- 44 -

(F3.4.11)

u=

v v t ; u& o = Lo L

(F3.4.12)

az (F3.4.10) megfelelő alakja: t  −  F = u& oη F 1 − e τ   A szál, mint rugó relatív nyúlása:

u   −   u& τ  = Ku& oτ 1 − e o    

    

(F3.4.13)

u   −   F ε ( u ) = ε r ( u ) = = u& oτ 1 − e u& oτ   → ε ∞ = u& oτ (F3.4.14) u →∞ K     Ha ε∞≤εS, akkor a szál nem szakad el ennél a terhelési sebességnél, csak kicsúszik, ellenkező esetben elszakadhat. Az e tekintetben kritikus terhelési sebesség az ε∞=εS egyenlőségből:

ε u& oc = S

(F3.4.15)

τ

Az (F3.4.8) és (F3.4.12)-vel a viszkózus befogásból kihúzódó, megnyúlt, relatív szálhossz: u    −   u &  (F3.4.16) − 1 − e u oτ   → ∞ ε v = u − ε ( u ) = u& oτ  u →∞ u& oτ       Az (F3.4.7)-el a kicsúszott szálrész terheletlen hossza is kiszámítható: u    −  u  &  u& oτ  − 1 − e u oτ   u& τ    o l vo εv u − ε( u )    = = = (F3.4.17) u Lo 1 + ε 1 + ε ( u )   −  &  1 + u& oτ 1 − e u oτ      Kis, illetve nagy kötegnyúlások esetén az (F3.4.17) a következő aszimptotikus formákra egyszerűsíthető:  u2 , u→0  l vo  2u& oτ (F3.4.18) ≈ Lo  u − u& oτ , u→∞  1 + u& τ o  A kicsúszás akkor következik be, ha lvo≥lb, ami tehát tetszőleges terhelési sebességnél létrejöhet. A kicsúszás határfeltétele az εv-re is megfogalmazható. A kicsúszás addig folytatódik, amíg fennáll a következő reláció: l ε v ( u ) = u − ε ( u ) < (1 + ε ( u )) b (F3.4.19) Lo A fentiek alapján két kritikus szál- (εS,εb) és kötegnyúlás (uS,ub) érték definiálható, amelyek – a vonatkozó összefüggések invertálhatósága miatt – egymásból számíthatók (F3.4.1. ábra): u S : ε S = ε ( u S ), u S = ε −1( ε S )

- 45 -

(F3.4.20)

u − ε ( ub ) lb u b : g ( ub ) = b = = λb , ub = g −1 (λb ), ε b = ε ( ub ) 1 + ε ( ub ) Lo

ε

u-uvb 1+u vb ε(u)

ε=u

εoo εb εS

(F3.4.21)

o o

u 0 -uvb 1+uvb

uS uvb=lb/Lo

<

ub

F3.4.1. ábra. Szakadás vagy kicsúszás feltétele ahol bevezettük a λb viszkózusan befogott szálhosszarányt. A használt összefüggések monotonitása miatt a kritikus szál-, illetve kötegnyúlások segítségével azonos relációkkal különböztethetők meg a szakadás és kicsúszás, mint tönkremeneteli módok feltételei: Szakadás : ε S ≤ ε b ⇔ u S ≤ u b (F3.4.22) Kicsúszás : ε S > ε b ⇔ u S > u b Tehát a szál erőközvetítése megszakad, ha ε ( u ) ≥ ε m = min( ε S ,ε b ) ⇔ u ≥ u m = min( u S ,ub ) (F3.4.23) ε m = ε ( um ) így az n szálszámú EV-köteg eredő húzóereje könnyen kifejezhető a megfelelő ablakfüggvények segítségével: n

n

n

i =1

i =1

i =1

F = ∑ Fi = ∑ K i ε i ( u )χ (ε i ( u ),ε mi ) = ∑ K i ε i ( u )χ (u ,u mi ) = u  u  (F3.4.24)   − −     n u τ u τ = ∑ K i u& oτ i 1 − e & o i  χ (u ,u mi ) = u& o ∑η Fi 1 − e & o i  χ (u ,u mi ( τ i ))     i =1 i =1     Itt a Ki, ηFi és τi általában - i-től függetlenül azonos eloszlású és véges szórású - valószínűségi változók, amiktől mind az uSi, mind az ubi, s ezáltal az umi is függ, tehát a χ ablakfüggvény nem független a többi szorzótényezőtől. A várható húzóerő-folyamat ezért a teljes várhatóérték tétel segítségével számítható ki, figyelembe véve az (F3.4.11)-et is: F ( u ) = E( F ) = nE (K i ε i ( u ,τ i )χ (ε i ( u ,τ i ),ε mi ( τ i ))) = n

= nE [K i ε i ( u ,τ i )E (χ K i ,η Fi )] = nE [K i ε i ( u ,τ i )P(ε i ( u ,τ i ) ≥ ε mi ( τ i ) K i ,η Fi )] = ∞∞   y    y  = n ∫ ∫ xε  u ;  1 − Qε m  ε  u ;   dQK ( x )dQη F ( y ) x    x   o o 

(F3.4.25)

- 46 -

Tekintetbe véve az εm (F3.4.23) és az εb (F3.4.21) szerinti definícióját, valamint, hogy az εS és εb függetlenek, az (F3.4.25) tovább részletezhető: ∞∞

F ( u ) = E( F ) = n ∫



y 

 

y   

 

y  

∫ xε  u ; x 1 − Qε S  ε  u ; x   1 − Qε b  ε  u; x   dQK ( x )dQη F ( y ) =

o o ∞∞

= n∫

y 



 

y   

 

y  

∫ xε  u ; x  1 − Qε S  ε  u ; x   1 − Qλb  g  u; x   dQK ( x )dQη F ( y )

o o

(F3.4.26) A várható szakítófolyamat (F3.4.26) kifejezése valamelyest egyszerűsödik, ha a szálak K húzómerevsége állandó érték: ∞  y  F ( u ) = E( F ) = nK ∫ ε  u ;  1 − Qε S  K  o

  y      y    ε  u ;   1 − Qλb  g  u ;   dQη F ( y ) (F3.4.27)   K      K  

Végül, ha még a szálak környezettel való kapcsolatát meghatározó ηF csillapítási tényező is állandó, úgy integrálásra nincs szükség:   η      η    η  (F3.4.28) F ( u ) = E( F ) = nKε  u ; F  1 − Qε S  ε i  u ; F    1 − Qλb  g  u ; F     K    K      K   Sajnos, azonban az ε(u;τ) (F3.4.14) és a g(u;τ) (F3.4.21) kifejezése még a legegyszerűbb (F3.4.28) összefüggést is jelentősen bonyolítja, ezért a viszkoelasztikus környezetkapcsolatok modellezése csak a sebességfüggés figyelembe vétele esetében célszerű. A szálak n számával, FS átlagos szakítóerejével és ε S átlagos szakítónyúlásával a húzóerőt, illetve a kötegnyúlást normálva, az (F3.4.26) és (F3.4.28) összefüggések a következő alakot veszik fel ( z = u / ε S ): FH ( z ) = =

∞∞

y  x 

 ∫ ∫ Kε S  o o x

   

y    x   

y   x  

   

ε  zε S ;  1 − Qε S  ε  zε S ;   1 − Qλb  g  zε S ;   dQ K ( x )dQη F ( y ) (F3.4.29)

FH ( z ) =

1



ε  zε S ;

εS 

η F 

  η  1 − Qε S  ε  zε S ; F K  K  

  η      1 − Qλb  g  zε S ; F K     

      

A normált kötegnyúlásnak (z) és a (F3.4.30) formulának megfelelően bevezetve a u& τ u& η F Zo = o = o F = v εS Kε S FS összevont állandót, amellyel a (F3.4.14) ε szálnyúlás és a (F3.4.21) szerinti g illetve a (F3.4.29) új alakja: z   −   zε − h( z ; Z o ) ε = h( z ; Z o ) = ε S Z o 1 − e Z o  g( z ; Z o ) = S 1 + h( z ; Z o )     1 FH ( z ) = h( z ; Z o ) 1 − Qε S (h( z ; Z o )) 1 − Qλ b ( g ( z ; Z o ))

εS

[

][

- 47 -

]

(F3.4.30)

(F3.4.31) függvény,

(F3.4.32)

(F3.4.33)

A Zo nagy értékei nagy kötegnyúlási sebességnek és/vagy nagy viszkozitásnak, azaz nagy befogási ellenállásnak, illetve kis húzómerevségnek és/vagy kis átlagos szakítónyúlásnak, azaz kis átlagos szakítóerőnek felelnek meg.

F4. FÜGGELÉKEK F4.1. Szálkötegcellák megbízhatósági függvényei Szakadó típusú E, EH, ET, EHT kötegek Egy tetszőleges EH, ET, vagy EHT szálkötegcella szálait tekintve, azok ε(u; ξ) nyúlása a kötegnyúlás mellett egyéb véletlen paraméterektől, így az előfeszítéstől és a ferdeségtől (ξk∈{εo, To}, k=1,2) is függ, így a szál, s ezzel az EHT szálkötegcella húzásra vonatkozó, a meghibásodásra és erőközvetítésre azonos megbízhatósági függvénye: R( u ) = Ro ( u ) = P (ε S ≥ ε ( u ;ξ )) = = ∫ P (ε S ≥ ε ( u ; x ) x k ≤ ξ k < x k + dx k , k = 1,2 )P ( x k ≤ ξ k < x k + dxk , k = 1,2 ) =

=

∞ ∞

∫ ∫ (1 − Qε S ( y( u ; x ) + ))dQTo (x2 )dQε o (x1 )

−1− ∞

(F4.1.1) ahol ξ a véletlen paraméterek vektora és y( u ; x ) = ε ( u ; x1 , x 2 ) = ( 1 + x1 )

( 1 + u )2 + x22W 2 ( u ) 1 + x 22

−1

(F4.1.2)

Az EH (εo=0) illetve ET (To=0) kötegekét az (F4.1.1) speciális eseteként kapjuk (4.2.4. ábra): EH − köteg : R( u ) = ET − köteg : R( u ) =

∞

∫ (1 − Qε S ( y( u; x1 ) + ))dQε o (x1 )

(F4.1.3)

∫ (1 − Qε S ( y( u ; x2 ) + ))dQTo (x2 )

(F4.1.4)

−1 ∞

−∞

Végül, a szakadással tönkremenő kötegek alaptípusa, az E-köteg megbízhatósági függvénye az (F4.1.1)-ből az εo=0, To=0 figyelembe vételével, a (4.2.2)-vel egyező alakban kapható: E − köteg : R( u ) = 1 − Qε S (u ) (F4.1.5)

Szakadó-kicsúszó típusú ES, ESH, EST, EHST kötegek A szálszakadás és szálkicsúszás révén tönkremenő ES, ESH, EST és EHST kötegek alaptípusa az ES-köteg, amelynél az erőközvetítés megbízhatósági (EM) függvénye – a húzóerő folyamathoz hasonlóan – két részből áll és nem azonos a HM függvényével. A (3.3.34) és (3.3.35) alapján, az i-edik (i=1…,n) szál erőközvetítési ablakfüggvénye (εmi=min(εSi,εbi), u≥0): 1, 0 ≤ u < ε mi + ε bLi sign( ε Si − ε mi ) (F4.1.6) χi ( u ) = χ ( u ,ε mi ) + χbL ( u )sign( ε Si − ε mi ) =  0, egyébként A (3.3.30)-(3.3.40) alapján belátható, hogy az ES-köteg megbízhatósági függvénye az (F4.1.6) várható értéke. Az (F4.1.6) első tagja a szálak ’szakadása vagy kicsúszása’

- 48 -

események ablakfüggvénye, így várható értéke a hibamentesség megbízhatósági (TM) függvénye: Ro ( u ) = E (χ ( u ,ε m )) = 1 − Qε S ( u ) 1 − Qε b ( u ) (F4.1.7)

(

)(

)

Az erőközvetítés megbízhatósági (EM) függvénye a (F4.1.6) várható értéke: u

(

)(

)

R( u ) = E (χ ( u )) = Ro ( u ) + ∫ 1 − Qε S ( x ) 1 − Qε bL ( u − x ) dQε b ( x )

(F4.1.8)

0

Az (F4.1.8) szerinti megbízhatósági függvény normált kötegnyúlás-változóval:

RH ( z ) = R( zε S ) = Ro ( zε S ) +

zε S

∫ [1 − Qε S ( wε S )][1 − Qε bL ( zε S − wε S )]dQε b ( wε S )

(F4.1.9)

−∞

Felhasználva az EHST köteg várható húzóerő-folyamatára vonatkozó (3.4.14) összefüggés kiszámításánál kapott közbenső eredményeket is, az EHST köteg EM függvénye: R( u ) = P( AbS ∪ AbL ) = P (AbS {ε m ≥ ε ( u ; ξ )}∪ {ε b ≤ u < ε b + ε bL , ε m = ε b }) = = ∫ P (AbS ∪ AbL x k ≤ ξ k < x k + dx k , k = 1,..., n )P( x k ≤ ξ k < x k + dx k , k = 1,..., n ) =

=

∞ ∞

∫ ∫ (1 − Qε S ( y( u ; x ) + ))(1 − Qε b ( y( u ; x ) + ))dQε o (x1 )dQTo (x2 ) +

−∞ −1 u ∞ y( u ; x )

+∫

∫ (1 − Qε S ( z ))(1 − QεbL ( y( w; x ) − z + ))dQε b (z )dQε o (x1 )dQTo ( x2 )

∫

0 −1max( 0 ,x1 )

(F4.1.10) ahol AbS és AbL a szálak megcsúszása vagy szakadása által, illetve a megcsúszó szálak teljes kicsúszásával meghatározott események, továbbá ε m = min( ε S ,ε b ) (F4.1.11) Az (F4.1.10)-ből kapható a szálcsúszást is tönkremenetelnek tekintő, szigorú értelmezésű, HM függvény: Ro ( u ) = P( AbS ) = P (AbS {ε m ≥ ε ( u ; ξ )}) = =

∞ ∞

∫ ∫ (1 − Qε ( y( u ; x ) + ))(1 − Qε ( y( u ; x ) + ))dQε S

−∞ −1

b

(x )dQTo (x 2 ) o 1

(F4.1.12)

Az (F4.1.10) és (F4.1.12) összevetéséből megállapítható, hogy fennáll a két megbízhatósági függvénytípus között várható reláció: (F4.1.13) Ro ( u ) = P( AbS ) ≤ P( AbS ∪ AbL ) = R( u ) Az EHS és EST kötegek megbízhatósági függvényei az (F4.1.10), illetve az (F4.1.12) speciális eseteiként kaphatók. Az EHS köteg esetében: Ro ( u ) =

R( u ) = Ro ( u ) +

∞

∫ (1 − Qε S ( y( u ; x1 ))(1 − Qε b ( y( u ; x1 ))dQε o (x1 )

(F4.1.14)

−1 ∞ y( u ;x1 )

∫

∫ (1 − Qε S ( z ))(1 − QεbL ( y( w; x1 ) − z + ))dQεb (z )dQε o (x1 )

(F4.1.15)

−1max( 0 ,x1 )

és az EST kötegre: Ro ( u ) =

∞

∫ (1 − Qε S ( y( u ; x2 ) + ))(1 − Qεb ( y( u ; x2 ) + ))dQTo (x2 )

−∞

- 49 -

(F4.1.16)

∞ y( u ; x )

R( u ) = Ro ( u ) +

∫ ∫ (1 − Qε S ( z ))(1 − Qε bL ( y( w; x2 ) − z + ))dQε b (z )dQTo ( x2 ) (F4.1.17)

−∞

o

F4.2. Szálkötegcellák várható húzókarakterisztikája Az Ro(u) HM-típusú megbízhatóságnak megfelelő értelmezés mellett az E-köteg várható húzókarakterisztikája megegyezik a szálakéval: E (κ ( u )) = K ε ( u ) = K u (F4.2.1) valamint az ES kötegé megegyezik az E-kötegével. A K szálhúzó-merevséggel normált köteghúzó-karakterisztika: κH ( u ) = E (κ ( u )) = u (F4.2.2) Ennek megfelelően a legáltalánosabb köteg, az EHST kötegé megegyezik az EHT kötegével és az EST kötegé az ET kötegével, s így elég az EHT kötegét tekinteni, amelynek húzókarakterisztikája és aszimptotája a (3.4.23) és (3.1.6) alapján: ∞ ∞ ( 1 + u )dQTo ( z )dQε o ( x ) E (κ L ( u )) = K ∫ ∫ ε ( u , x , z ) + ~ 2 2 2 (1 + u ) + z W ( u ) −1 −∞ (F4.2.3)      1   ~ K  ( 1 + u )(1 + E( ε o ))E  −1 , u → ∞  1 + T 2    o     Ennek speciális esete az EH kötegé: ∞

∞

−1

−u /( 1+u )

E (κ ( u )) = K ∫ ε ( u , x ) + dQε o ( x ) = K

∫ ( 1 + x )( 1 + u ) − 1 + dQε o ( x ) =

 ∞ − u  ~ + ( 1 + u ) xdQ ( x )   ∫ εo 1 u +       −u /( 1+u ) −u /( 1+u )   ~ K [u + ( 1 + u )E( ε o )] = K [E( ε o ) + (1 + E( ε o ))u ], u → ∞ (F4.2.4) illetve az ET kötegé: ∞ ( 1 + u )dQTo ( z ) E (κ L ( u )) = K ∫ ε ( u , z ) + = 2 + z 2W 2 ( u ) ( 1 + u ) −∞

=K



∞

  ∫ (u + x( 1 + u ))dQε o ( x ) = K u1 − Qε o 

∞

( 1 + u )2 + z 2W 2 ( u )

−∞

1 + z2

=K ∫

( 1 + u )dQTo ( z )

−1 +

( 1 + u )2 + z 2W 2 ( u )

(F4.2.5)

     1    ~ K  ( 1 + u )E −1 , u → ∞  1 + T 2    o     A másik, az R(u) erőátviteli megbízhatóságnak megfelelő, megengedő értelmezés szerint, a köteg várható húzókarakterisztikájának definíciójában csak azt írjuk elő, hogy az egy olyan szálköteg húzóerő-nyúlás összefüggése, amelyben a szálak erőközvetítése sosem szakad meg, úgy a végtelen úthosszúságú kicsúszást megengedjük. Ez esetben, a szálszakító

- 50 -

nyúlás mellett, a kicsúszási utat tekintjük végtelen nagynak. Ekkor a (3.3.36) átalakításával az ES köteg várható kicsúszásos húzókarakterisztikája és aszimptotikus értéke:

(

)

u

u

(

)

E (κ ( u )) = K u 1 − Qε b ( u ) + K ∫ xdQε b ( x ) = K ∫ 1 − Qε b ( x ) dx → K ε b o

u →∞

o

(F4.2.6)

ahol a második lépésben komplementer eloszlásfüggvényt és parciális integrálást alkalmaztunk. Az (F4.2.6) egy olyan köteg karakterisztikája, amelyben minden szál szükségszerűen megcsúszik és ez végtelen hosszú kicsúszással folytatódik. Ugyanakkor, a kicsúszás karakterisztikájának kezdeti része a szálkarakterisztikához illeszkedik, így ennek alapján is megállapítható, hogy a szálcsúszást kizáró köteghúzó-karakterisztika az elsődleges, az általánosabb hatókörű. A szálcsúszást megengedő ES, EHS, EST és EHST kötegek esetében mindkét karakterisztika értelmezhető. Az EHS köteg szálkicsúszásos húzókarakterisztikája és annak aszimptotikus értéke a (3.4.21) átalakításával kapható: ∞ ∞ ε ( u ,x ) + E (κ b ( u )) = K ∫ ε ( u , x ) + 1 − Qε b (ε ( u , x )) dQε o ( x ) + K ∫ ∫ zdQε b ( z )dQε o ( x ) =

(

−1

)

−1 max( 0 ,x )

ε ( u ,x ) +   = K ∫ ε ( u , x ) + 1 − Qε b (ε ( u , x )) + ∫ zdQε b ( z ) dQε o ( x ) =  −1  max( 0 ,x )  ε ( u ,x ) +  ∞  = K ∫ max( 0 , x ) 1 − Qε b (max( 0 , x )) + ∫ 1 − Qε b ( z ) dz  dQε o ( x ) →  −1  max( 0 ,x )  ∞

(

)

(

)

(

)

∞ max( 0 ,x )   = → K ε b − ∫ Q (max( 0 , x )) − Q ( z ) dz dQ ( x ) ∫ εb εb εo   −1 o

(

)

∞x   = K ε b − ∫ ∫ Qε b ( x ) − Qε b ( z ) dzdQε o ( x ) ≤ K ε b , u → ∞   oo

(

)

(F4.2.7) Az EST kötegé a (3.4.25)-ből állítható elő: E (κ Lb ( u )) = ∞

(

( 1 + u )dQTo ( x )

)

= K ∫ ε ( u , x ) + 1 − Qε b (ε ( u , x )) −∞

∞ 

(

( 1 + u )2 + x 2W 2 ( u )

)

= K ∫  ε ( u , x ) + 1 − Qε b (ε ( u , x )) +  −∞  ∞ ε ( u ,x ) +

=K ∫

−∞

∫ (1 − Qε b ( z ))dz

o

∞ ε ( u ,x ) + ( 1 + u )dQ ( z )dQ ( x ) T ε

+K ∫

−∞

∫

o

z

b

( 1 + u )2 + x 2W 2 ( u )

ε ( u ,x ) +  ( 1 + u )dQ ( x ) To = ∫ zdQε b ( z ) 2 2 2 o  ( 1 + u ) + x W ( u )

( 1 + u )dQTo ( x ) ( 1 + u )2 + x 2W 2 ( u )

 → K ε b u →∞

( F4.2.8) Végül, az EHST kötegé a (3.4.19) alapján kapható:

- 51 -

o

=

∞ ∞

)( 1 + u )dQε2o ( x 2)dQ2To ( y ) +

(

E (κ Lb ( u )) = K ∫ ∫ ε ( u , x , y ) + 1 − Qε b (ε ( u , x , y )) −∞ −1

(1 + u ) + y W ( u )

∞ ∞ ε ( u ,x , y ) + ( 1 + u )dQ ( x )dQ ( z )dQ ( y ) T ε ε

+K ∫ ∫

∫

o

z

b

o

( 1 + u )2 + y 2W 2 ( u )

−∞ −1 max( 0 ,x )

=

ε ( u ,x , y ) +  ( 1 + u )dQ ( x )dQ ( y ) To εo  = K ∫ ∫ ε ( u , x , y ) + 1 − Qε b (ε ( u , x , y )) + zdQε b ( z ) = ∫   2 + y 2W 2 ( u ) ( 1 + u ) −∞ −1  max( 0 ,x )  ε ( u ,x , y ) +  ( 1 + u )dQ ( x )dQ ( y ) ∞ ∞ To εo  = K ∫ ∫ max( 0 , x ) 1 − Qε b (max( 0 , x )) + 1 − Qε b ( z ) dz  ∫   2 2 2 −∞ −1  max( 0 ,x )  ( 1 + u ) + y W ( u ) ∞ ∞

(

)

(

)

(

)

∞x    → K ε b − ∫ ∫ Qε b ( x ) − Qε b ( z ) dzdQε o ( x ) ≤ K ε b u →∞   oo

(

)

(F4.2.9)

F4.3. Szálfolyam-elvű soros kapcsolás E-szálfolyam E-szálfolyam esetében a sorbakapcsolt, n-szálas, Lo hosszúságú E-kötegek (számuk m≥1) eredője egy ugyancsak n számú, folytonos szálból, illetve szálláncból álló, nLo hosszúságú szállánc-köteg, amelynek egymás utáni szakaszainak kezdeti, terheletlen hossza Lo=lo és kezdeti nyúlásuk zérus (4.2.1.a. ábra), azonban húzómerevségük szálanként és szálszakaszonként is lehet eltérő (Kij; i=1,…,m;.j=1,…,n). A párhuzamos szálak, mint folytonos szálláncok alkotta szálfolyam hosszúsága a húzódeformáció-gerjesztés révén nő. A j-edik szál terhelt hossza (Σlij) az E-szálfolyamban megegyezik az egyes kötegekbe foglalt megnyúlt részek összhosszával: m m  ∆L j   1 m ∆lij    = mLo 1 + u j l L l mL 1 (F4.3.1) = + ∆ = + = mLo 1 + ∑ ij ∑ o ij ∑ o  m L mL o o   i =1 i =1 i =1   ahol a szálfolyam relatív nyúlása (u) megegyezik az egyes szálakéval (uj): ∑ lij − mLo ∆L 1 m ∆l 1 n ∆L j ij u= = ε j( u j ) = u j = i = = ∑ = ∑ uij (F4.3.2) mLo mLo mLo m i =1 Lo m i =1

(

)

(

)

A j-edik szálban ébredő húzóerő Fj, ami természetesen megegyezik e szál egyes szakaszaiban ébredőkkel: F j = K j u j = Fij = K ij uij (F4.3.3) azaz u ij =

Fj

(F4.3.4)

K ij

és így az (F4.3.2)-vel kapjuk: u =uj =

Fj Kj

=

1 m 1 m Fj Fj m 1 uij = ∑ = ∑ ∑ m i =1 m i =1 Kij m i =1 Kij

- 52 -

(F4.3.5)

amiből a j-edik szál eredő húzómerevsége a rész-húzómerevségek harmonikus átlagaként adódik: m Kj = m (F4.3.6) 1 ∑K i =1 ij Az mLo hosszú szálak Kj húzómerevségének eloszlásfüggvénye az (F4.3.6) és a Kij eloszlásfüggvénye alapján számítható. A szálfolyam eredő húzóereje a szálakban ébredő erők összege az első szakadásig: F=

n

∑ Fj = j =1

n

n

∑ K jε j ( u j ) = u ∑ K j j =1

(F4.3.7)

j =1

Az egyes szálak szakadási nyúlása az E-kötegen belül különböző, sőt különbözők az egyes egymás utáni szálkötegekbe foglalt szálszakaszoké is: εSij; i=1,…,m; j=1,…,n. Az mLo hosszúságú j-edik szál akkor szakad, azaz szűnik meg az erőközvetítő képessége, ha a szálfolyam nyúlása révén benne keletkező erő eléri a szál véletlen FSj szakítóerejét, ami az egyes szakaszok szakítóerőinek legkisebbike: F j ≥ FSj = min FSij = min K ij ε Sij (F4.3.8) i

i

Tehát a szálfolyam szakadási folyamatát – a szálfolyam növekvő nyúlása révén – az egyes szálakban ébredő erők vezérlik. F( u ) =

n

(

) ∑ K jε ( u )χ (K jε ( u ), FSj ) = u ∑ K j χ (K ju , FSj )

∑ F j ( u )χ F j ( u ), FSj = j =1

n

n

j =1

(F4.3.9)

j =1

A szálfolyam szakítóerejét a teljes szakadási folyamat során keletkező legnagyobb húzóerő adja: (F4.3.10) Fmax = sup F ( u ) 0≤u < ∞

Ha feltesszük, hogy az egyes szálak mentén a húzómerevség állandó – ami gyakran előforduló eset –, úgy az (F4.3.8) szakadási feltétel a szál szakító nyúlásával adható meg, ami nyilvánvalóan az egyes szakaszaira vonatkozó értékek minimuma: F j = K j u ≥ FSj = min FSij = K j min ε Sij = K jε Sj ⇔ u ≥ ε Sj = min ε Sij (F4.3.11) i

1≤i ≤ n

i

amivel – és az alábbi χ ablakfüggvény segítségével – a szálfolyam szakítófolyamata visszavezethető egy egyszerű E-kötegére: F=

n

∑ Fj = j =1

(

n

)

n

(

∑ K jε ( u )χ u ,ε Sj = u ∑ K j χ u ,ε Sj j =1

j =1

)

(F4.3.12)

hiszen az egyes kötegekben keletkező eredő húzóerő nyilvánvalóan azonos a szálfolyaméval. Feltesszük, hogy a Kj-k és εSij-k egymástól független valószínűségi változók és eloszlásaik az i és j-től függetlenül azonos, véges várható értékekkel és szórásokkal. Az azonos eloszlásfüggvények miatt a j indexet elhagyva, az (F4.3.12) folyamat várható értéke:

(

)

(

)

F ( u ) = E (F ) = unK 1 − Qε S ( u ) = unK 1 − Qε S1 ( u ) m

(F4.3.13)

ahol   Qε S ( u ) = P ε S = min ε Si < u  1≤i ≤ m  

- 53 -

(F4.3.14)

1 n 1 n K = (F4.3.15) ∑ j n ∑ E( K j ) n j =1 j =1 Az extrémértékek határeloszlása tétel értelmében az (F4.3.14) szerinti eloszlás aszimptotikusan Weibull eloszlású [K9] (1.3.2.2. fejezet). Az egy szálra vetített, várható szakítófolyamat: E (F ) = K u 1 − Qε S ( u ) = K u 1 − Qε S1 ( u ) m (F4.3.16) E (F1( u )) = n ahol QεS1 az egyes E-kötegekbe foglalt szálrészek szakító nyúlásának eloszlásfüggvénye. Az n szakaszból álló E-típusú szálfolyam karakterisztikája: E (κ ( u )) = K u (F4.3.17) Ennek megfelelően az E-szálfolyam megbízhatósági függvénye az egyes – független – Ekötegek megbízhatósági függvényeinek (RE) szorzata: K=

(

)

(

(

)

)

RE ,m ( u ) = 1 − Qε S1 ( u ) m = REm ( u ) (F4.3.18) Az egy szálra vetített, az mLo hosszú szálak átlagos szálszakító erejével normált várható szakító folyamat: E (F ) u FH ( u ) = = 1 − Qε S1 ( u ) m (F4.3.19) nFS εS ahol

(

)

1 n 1 n FS = ∑ FSj = ∑ K jε Sj = K ε S n j =1 n j =1

(F4.3.20)

  (F4.3.21) 1≤i ≤ m  Az E-szálfolyam egy olyan E-köteggel ekvivalens, amelynek szálai mLo hosszúságúak és húzómerevségük a szálláncon belül azonos (Kij=Kj), szakítónyúlásuk eloszlása a (4.2.45) szerinti (az E-köteg megadása a szálparaméterekkel: E[.]): {E[ε Si , Ki ], i = 1,...,m} ≡ E ε S , K (F4.3.22)

ε S = ε Sj = E  min ε Sij 

[

]

EH-szálfolyam Független EH kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása (4.2.1. ábra) eredményeképpen, m számú, hullámos vagy előfeszített, Lo hosszú, független részekből álló folytonos szálak, illetve szálláncok keletkeznek, amelyekben a részek loi terheletlen hosszai (i=1,…,m) összegeződve adják az lo eredő terheletlen hosszat: Lo = ( 1 + ε oi )loi

m

m

Lo 1 + ε oi i =1

⇒ lo = ∑ loi = ∑ i =1

(F4.3.23)

Az egyes szálrészek lazasága (εo<0), illetve előfeszítése (εo>0) tehát az (F4.3.23) szerinti reciprok alakban előjelhelyesen összegződik, ami egy εo eredő hullámossággal fejezhető ki: l − lo mL mL 1 εo = = m o −1 = m o −1 = −1 (F4.3.24) m lo Lo 1 1 ∑ loi ∑1+ ε ∑ m i =1 1 + ε oi oi i =1 i =1 Ha εoi<<1 teljesül minden szálrészre (i=1,…,m), úgy az alábbi közelítés alkalmazható: 1 1 1 1 m εo = −1 ≈ −1 = − 1 ≈ ∑ ε oi (F4.3.25) m i =1 1 m 1 1 m 1 m 1 − ∑ ε oi ∑ ∑ (1 − ε oi ) m i =11 + ε oi m i =1 m i =1

- 54 -

Következésképpen, EH kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolásának eredményeképpen szintén EH-köteget kapunk, amelyben a szálnyúlás és a kötegnyúlás összefüggése: ε ( u ) = ( 1 + ε o )( 1 + u ) − 1 (F4.3.26) és a szálak húzómerevsége a szálláncon belül azonos (K=Ki), míg a szakítónyúlását a (4.2.40) minimumérték adja: {EH[ε Si , Ki ,ε oi ], i = 1,...,m} → EH[ε S , K ,ε o ] (F4.3.27) ES-szálfolyam ES kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása – a nem ideális befogások miatt – lényegében kétféleképpen értelmezhető. Az egyik szerint a soros kapcsolás folytonos szálakat, illetve szálláncokat eredményez (4.2.1.a. ábra), amelyek független részei E-kötegszálak, kivéve a végeken lévő, első és utolsó szálrészeket, amelyek befogott végei kicsúszhatnak a befogásból. Ekkor az eredeti ESköteggel ekvivalens köteghez jutunk, amelyben a mLo hosszú szálak εb megcsúszási nyúlásszintje és εbL normált kicsúszási hossza az eredetivel azonos eloszlású, hiszen εb ugyanúgy két független, azonos eloszlású nyúlásérték minimuma és εbL a hozzá tartozó érték, míg a szálak szakítónyúlása a (4.2.44) eloszlásfüggvénnyel adott. {ES[ε Si , Ki ,ε bi ,ε bLi ], i = 1,...,m} → ES[ε S , K ,ε bi ,ε bLi ] (F4.3.28) A másik értelmezés szerint a soros kapcsolás révén rövidszálas szálfolyam jön létre (4.2.1.b. ábra), amelynek Lo hosszúságú szakaszai különálló, de a végeiken megcsúszó kötésekkel összekapcsolt szálak, illetve szálláncok. A megcsúszó kötések εbi nyúláshatárainak minimuma adja a szállánc megcsúszási határát, s az ehhez tartozó εbL relatív kicsúszási hosszat: ε b = min ε bi (F4.3.29) 1≤i ≤ m

Ennek megfelelően a ES-szálfolyam paramétereinek mindegyikét a kötegparaméterek összességéből számíthatjuk: {ES[ε Si , Ki ,ε bi ,ε bLi ], i = 1,...,m} → ES[ε S , K ,ε b ,ε bL ] (F4.3.30) ET-szálfolyam ET-szálfolyam esetén a szálláncot alkotó szálak orientációja lehet azonos (4.2.9.a. ábra), illetve általában kötegről-kötegre változó (4.2.9.b. ábra). Az azonos irányszögű szálelemekből ferde folytonos szál keletkezik a kötegek összekapcsolásakor, így a ferdeség változatlan marad, csak a szakítónyúlás és a szállánc húzómerevsége változik az (F4.3.14), illetve az (F4.3.6)-nek megfelelően a kötegekhez képest: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → ET[ε S , K ,Toi ] (F4.3.31) A különböző irányszögű szálelemekből képződő szállánc a szálelemek irányváltásai miatt hullámossággal és eredő ferdeséggel rendelkezik. A szállánc eredő ferdeségét a szálelemferdeségek átlagaként kapjuk (4.2.9. b. ábra): m

∑ eoi

eo 1 m = i =1 = ∑ Toi (F4.3.32) mLo mLo m i =1 A szállánc hullámosságának kiszámításához tekintsük a szállánc h eredő húrhosszát (4.2.9.b. ábra): To =

1 h = (mLo )2 + eo2 = mLo 1 + To2 = mLo 1 +  m 

és a szállánc terheletlen hosszát:

- 55 -

 ∑ Toi  i =1  m

2

(F4.3.33)

m

m

m

i =1

i =1

i =1

2 =L 2 lo = ∑ loi = ∑ L2o + eoi o ∑ 1 + Toi

(F4.3.34)

s ezekkel a szállánc kezdeti hullámossága, mint negatív előfeszítés: 2

2 h − lo m 1 + To = εo = m lo ∑ 1 + Toi2 i =1

1 m  1 +  ∑ Toi  m   i =1  −1 = −1 ≤ 0 1 m 2 ∑ 1 + Toi m i =1

(F4.3.35)

A fentiek alapján, folytonos szálakat alkotó szálláncok esetében egy EHT-szálfolyamot kapunk: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → EHT[ε S , K ,ε o ,To ] (F4.3.36) Különleges esetként, az egyes eltérő orientációjú kötegszálak az összekapcsolás után megcsúszó kapcsolatba is kerülhetnek, így a különböző irányszögű szálelemekből hullámos, ferde, rövidszálas szállánc képződik (4.2.9. ábra), amelynek elemei kicsúszók lehetnek, s a megcsúszási határ az (F4.3.19)-el kapható, de ’m’ helyett csak ’m-1’ megcsúszó kapcsolattal: {ET[ε Si , Ki ,Toi ], i = 1,...,m} → EHST[ε S , K ,ε o ,ε b ,ε bL ,To ] (F4.3.37) EHST-szálfolyam EHST kötegek szálfolyam elvű soros kapcsolása – a fentiek alapján – hatféle értelmezésű lehet az eredő folytonos szál, vagy rövidszálas szállánc, valamint az eredő paraméterek képzése szerint. Ez esetben a kötegszálak hullámossága és ferdesége együtt képezheti az eredő hullámosságot, ugyanis ekkor az (F4.3.34) szerinti terheletlen szálhossz számításánál az előfeszítést, illetve hullámosságot is figyelembe kell venni az (F4.3.23)-al: 2 m 1+ T 2 L2o + eoi oi lo = ∑ loi = ∑ = Lo ∑ i =1 i =1 1 + ε oi i =1 1 + ε oi amivel az (F4.3.35) ez esetre érvényes alakja: m

εo =

m

h − lo = lo

1 m  1 +  ∑ Toi  m   i =1  2 1 m 1 + Toi ∑ m i =1 1 + ε oi

(F4.3.38)

2

−1

(F4.3.39)

Az (F4.3.39) eredő érték lehet előfeszítés (εo>0), illetve hullámosság is (εo<0). A rövidszálas EHST szálfolyam szállánc-paraméterei általános esetben: {EHST[ε Si , Ki ,ε oi ,ε bi ,ε bLi ,Toi ], i = 1,...,m} → EHST[ε S , K ,ε o ,ε b ,ε bL ,To ] (F4.3.40)

F4.4. Determinisztikus elemű köteglánc Ha kötegeken belüli szálszámok (ni) elég nagyok, akkor a szakítófolyamatuk csak kicsit tér el a várható szakítófolyamatuktól, s a belőlük képezett köteglánc determinisztikus eleműnek is tekinthető. Ekkor a kötegek Fi ( u ) (i=1,…,m), illetve a köteglánc F ( u ) várható szakítófolyamatára felírható a következő relációlánc: F ( u ) ≤ min sup Fi ( u i ) = min Fi* = Fν* = Fν ( uν* ) = sup F ( u ) = F ( u*) = F * (F4.4.1) i 0≤ ui < ∞

0≤u < ∞

i

- 56 -

ahol uν* az Fν* csúcserőhöz tartozó kötegnyúlás értéke a legkisebb csúcserejű, ν-edik kötegben. Tegyük fel, hogy az egyes kötegek várható szakítófolyamatai egyetlen maximumhellyel rendelkező függvények, amelyek folytonosan differenciálhatók, esetleg a maximumhely kivételével, ahol legalábbis folytonosak! A várható szakítófolyamatok – az E-kötegekéhez hasonlóan – az ui* csúcshelyig monoton növők, s ez után – plató nélkül zérushoz tartva – monoton csökkenők. Jelölje az i-edik köteg várható szakítófolyamatának két ágát fi és gi az alábbiak szerint:  fi ( ui ) = ni FSi FH i ( ui / ε Si ), 0 ≤ ui < u*i (F4.4.2) Fi ( ui ) =   gi ( ui ) = ni FSi FH i ( ui / ε Si ), u*i ≤ ui Ekkor az fi-1 és gi-1 inverz ágfüggvények is folytonosan differenciálhatók az értelmezési tartományuk belső pontjaiban, továbbá az ui* csúcshelyen az erőértékek megegyeznek. Hasonló módon, a köteglánc várható szakítófolyamatának két ágát f és g-vel jelöljük. Első közelítésként tegyük fel továbbá, hogy a kötegek az erőcsúcs alatti fi(ui) szakaszon ciklikus terheléskor determinisztikus, nemlineáris rugóként viselkednek, azaz a fel- és leterhelési görbék egybeesnek, azonban az ui* csúcshelyet elérve, a gi(ui) lefutó ág veszi át az erő-nyúlás karakterisztika szerepét, erőcsökkenés esetében is (4.2.10. ábra). A köteglánc várható szakítófolyamatát a ν-edik kötegé vezérli a köteglánc nyúlásának növekedése közben. Feltéve, hogy csak egyetlen köteg esetén valósul meg a minimális erőcsúcs, az uν* elérésekor a köteglánc F* erőmaximumot kijelölő u* nyúlása:  1 u* =  uν* + ∑ ui  , ui < u*i (F4.4.3)  m  i ≠ν  A köteglánc nyúlásának további növekedésekor (u>u*) a ν-edik köteg szakadozása egyre intenzívebbé válik, miközben a közvetített húzóerő csökken. Ennél fogva a többi köteg nyúlása csökken, amit a szakadozó köteg nyúlásának kell kompenzálnia (abszolút értékekkel kihangsúlyozva az előjeleket):  1 u = u * + ∆u =  uν* + ∆uν + ∑ (ui − ∆ui ) (F4.4.4)  m  i ≠ν  azaz a folytonos szakadozás addig tud végbemenni, azaz a köteglánc tönkremeneteli folyamata a csúcserő után addig folytonos, amíg fennáll a következő egyenlőség:  1 ∆u = u − u* =  ∆uν − ∑ ∆ui  (F4.4.5)  m  i ≠ν  Mihelyt az (F4.4.5) jobboldala ∆u-nál kisebbé válik, a ν-edik köteg katasztrófaszerű szakadása következik be. Ez az esemény a köteglánc uS szakadási nyúlását határozza meg: u* ≤ u S = u * + ∆u S (F4.4.6) Az uS-hez tartozó köteglánc-erőt FKS-el jelöljük. Az uS-t csökkenti a ν-edik köteg húzóerőfolyamatának erőcsúcs utáni lejtő meredekségének növekedése, illetve a köteglánc elemszámának növelése. Az (F4.4.4) az ágfüggvények segítségével is felírható (∆F<0):  1 u = g −1( F ) = g −1( F * + ∆F ) =  gν−1( F * + ∆F ) + ∑ fi−1(F * + ∆F ) (F4.4.7)  m  i ≠ν  A csúcspont utáni ( F = F ( u ) < F*, u > u * ) folyamatos erőváltozás feltétele az inverzmeredekségekkel is megadható:

- 57 -

dg −1( F ) 1  dg −1( F ) df −1( F )  dF =  ν +∑ i dF > 0  dF m  dF dF i ≠ν  Mivel dF<0, az (F4.4.8) zárójelén belüli kifejezés is <0 kell legyen: du =

dgν−1( F ) df −1( F ) < −∑ i dF dF i ≠ν

(F4.4.8)

(F4.4.9)

A köteglánc várható szakítófolyamatát, az u* és uS ismeretében, az alábbiak szerint szerkeszthetjük meg.  f ( u ), 0 ≤ u < u *  (F4.4.10) F ( u ) =  g( u ), u* ≤ u < uS 0, u ≤ u S  Az f(u) felfutó ág pontjait az u nyúlásgerjesztés növekvő értékei, valamint azon erőértékek határozzák meg, amelyekre fennáll (0≤u
m

∑ fi−1( F )

(F4.4.11)

i

A g(u) lefutó ág pontjait azon (u, F) értékpárok adják, amelyekre az (F4.4.8) teljesül, azaz u*≤u
- 58 -

(F4.4.14) (F4.4.15)

ahol uSi az utolsó szálszakadáshoz tartozó nyúlás és Hi a lefutó ág meredekségének abszolút értéke. A 4.2.11. ábrának megfelelően ν=2. A felfutó ágak inverze: F (F4.4.16) u i = f i−1( F ) = Ki így az (F4.4.11) összefüggést alkalmazva kapjuk a köteglánc felfutó ágfüggvényét: 1 1  ⇒ F = f ( u ) = Ku , K =  ∑   2 i K i 

F 1 u = ∑ fi ( F ) = ∑ 2 i Ki i A lefutó ágak inverze: 1 2

−1

g i−1( F ) = u Si −

F Fi*

(uSi − u*i )

−1

(F4.4.17)

(F4.4.18)

Az (F4.4.12)-vel a köteglánc lefutó ágfüggvénye: F F  u S 2 F  u S 2 u*22 F2*  1 1 u = g 2−1( F ) + f1−1( F ) =  u S 2 − u S 2 − u*2 + = − − − 2 2  K1  2 2 2 K1  F2* F2*  2

(

)

(

⇒ F = g( u ) =

F2*

)

uS − u uS 2 F2* , uS = , u* = uS − u * 2 K

(F4.4.19) ahol felhasználtuk, hogy a köteglánc inverz ágfüggvénye szintén (F4.4.18) szerinti alakú. A köteglánc esetében a fokozatos szálszakadások (4.2.11.a. ábra) feltétele az, hogy teljesüljön: u S 2 F2* > 2 K

uS 2

K2 K (F4.4.20) > 1 + 2 ⇒ H 2 < K1 H2 K1 Ha H2≥K1, úgy az u* nyúlást elérve, a szakadások egy időben, robbanásszerűen mennek végbe (4.2.11.b. ábra). uS > u * ⇒

⇒

u*2

= 1+

F4.5. E-köteglánc A köteglánc esetében az E-kötegek szerkezetileg a sorba fűzés után is megmaradnak, így nem az egyes szálak, hanem a kötegek nyúlásai összegeződnek és a kötegek közvetítik a húzóerőt. A köteg megnyúlt hossza: m m m   ∆Li  1 m ∆Li  ∆L   ∑ Li = ∑ (Lo + ∆Li ) = Lo ∑ 1 + L  = mLo 1 + m ∑ L  = mLo 1 + nL  = mLo (1 + u ) o  o  i =1 i =1 i =1  i =1 o   (F4.5.1) ahol a szálfolyam relatív nyúlása (u) az egyes kötegek relatív nyúlásának átlaga (ui): ∆L ∑ Li − mLo 1 m ∆Li 1 m (F4.5.2) u= = = ∑ = ∑ ui mLo mLo m i =1 Lo m i =1 Itt az egyes E-kötegekben a szálak száma különböző lehet (ni; i=1,..,n). Az i-edik E-kötegben ébredő húzóerő (Fi) megegyezik a kötegláncéval: F = Ku = Fi = ni K oiui (F4.5.3) ahol Koi az i-edik köteg szálainak átlagos húzómerevsége. Az (F4.5.3)-ból következik, hogy: F ui = ; Ki = ni K oi (F4.5.4) ni K oi és így az (F4.5.2)-vel kapjuk:

- 59 -

F 1 m 1 m F F m 1 = ∑ ui = ∑ = ∑ (F4.5.5) K m i =1 m i =1ni K oi m i =1ni K oi amiből a köteglánc eredő (kezdeti) húzómerevsége a köteg-húzómerevségek harmonikus átlagaként adódik: m K= (F4.5.6) m 1 ∑ i =1ni K oi u=

Ha az E-kötegek megegyezők, úgy n=n és K=K, s ezekkel a köteglánc húzómerevsége megegyezik a kötegelemekével: K = nK o (F4.5.7) Elemi szakadási folyamatok Az E-szálfolyam eredő húzóereje a kötegszálakban ébredő erők összege az első szakadásig: ni

ni

ni

j =1

j =1

j =1

F = Ku = Fi = Kiui = ∑ Fij = ∑ Kijε ij ( ui ) = ui ∑ K ij ; i = 1,..., m

(F4.5.8)

ahol Kij és εij az i-edik köteg j-edik szála húzómerevsége és szakadási nyúlása, valamint - a bevezetésének megfelelően - az i-edik köteg (Ki) és szálainak (Koi) átlagos húzómerevsége: ni

Ki = ni K oi = ∑ Kij ; K oi = j =1

1 ni ∑ Kij ni j =1

(F4.5.9)

Az (F4.5.8) szerinti F=Ku összefüggés a köteglánc – egy szálra vonatkoztatott húzókarakterisztikája. A várható húzókarakterisztika: E (κ ( u )) = uE( K ) (F4.5.10) Az egyes szálak szakadási nyúlása az E-kötegen belül különböző: εSij; i=1,…,m; j=1,…,n. Az egyes szálak egymást követő szakadásainak folyamatának elemzéséhez tekintsünk egy kételemes kötegláncot (m=2). A szálszakadásokat ablakfüggvények segítségével figyelembe véve, a köteglánc F húzóereje egyfajta – növekvő-csökkenő - egyensúlyi érték, amely bármely u≥0 köteglánc nyúlásértéknél, azaz bármely t≥0 időpontban kielégíti a következő egyenleteket, n1

(

)

n2

F = u1( u ) ∑ K1 j χ u1( u ), ε S1 j = u2 ( u ) ∑ K 2k χ (u2 ( u ), ε S 2k ) j =1

1(u 2 1

(F4.5.11)

k =1

+ u 2 ) = u = u& o t

(F4.5.12)

ahol u& o a köteglánc nyúlássebessége. Tegyük fel, hogy a t1 időpillanatig a húzófolyamat szakadásmentes volt és az első szálszakadás t1+0 időpillanatban lépett fel. Az (F4.5.11) t1-ben érvényes alakja: n1

n2

F1 = u1 ∑ K1 j = u2 ∑ K 2k j =1

k =1

Az (F4.5.12) és (F4.5.13) alapján pl. az u1 értéke, felhasználva, hogy u2=2u-u1: ∑ K 2k u1 = 2u ∑ K1 j + ∑ K 2k u 2 = 2u

(F4.5.13)

∑ K1 j ∑ K1 j + ∑ K 2 k - 60 -

(F4.5.14) (F4.5.15)

Az a szál szakad elsőként, amelynek szakadási nyúlását a kötegnyúlás - növekedése során előbb éri el, azaz a két kötegben erre a legkisebb szakadási nyúlású szálak versenyeznek és a szakadás azon időpillanatban következik be, amikor fennáll a következő egyenlőség: min(ε S1( t ) − u1( t ), ε S 2 ( t ) − u 2 ( t )) = 0 (F4.5.16) ahol ε Si = ε Si ( t ) = min ε Sij (F4.5.17) j

ami szintén időfüggő, hiszen a szóba jövő szálak száma csökken az időben. Két szakadás között az (F4.5.16) baloldali kifejezésének értéke >0. Az (F4.5.14), (F4.5.15) és az (F4.5.16) alapján meghatározhatók a kötegláncnyúlás 1. és 2. kötegre vonatkozó kritikus értékei: ε ∑ K1 j + ∑ K 2 k u S1 = S1 (F4.5.18) 2 ∑ K 2k

ε uS 2 = S 2 2

∑ K1 j + ∑ K 2 k ∑ K1 j

(F4.5.19)

A szálszakadás időpillanatában: t : u( t ) = min( u S1 ,u S 2 ) =

∑ K1 j + ∑ K 2k , ε S 2 ∑ K1 j + ∑ K 2k  =  2 ∑ K 2k ∑ K1k   ε S1  ∑ K1 j + ∑ K 2 k ε = min , S2  ∑K  2 2 k ∑ K1k  

ε = min S1  2 

(F4.5.20)

tehát e folyamatot a  ε S1 ε , S2  ∑ K 2k ∑ K1k

  (F4.5.21)   valószínűségi változó alakulása vezérli. Tegyük fel, hogy a j indexek a rendezett εSij-k növekvő értékei szerint növekednek és az első szálszakadás a t1 időpillanatban az 1. kötegben történik. Ekkor az (F4.5.21)-ből következően:

θ12 ( t ) = min

ε S( 1o ) ε S( o2 )

<

∑ K 2k ∑ K1 j

(F4.5.22)

és

ε S( o1 ) = ε S1( t1 ) → ε S1( t1 + 0 ) = ε S( 11)  ε (1 )  (F4.5.23) ε S( o2 )   S1 θ12 ( t1 ) = → θ12 ( t1 + 0 ) = min ,  K K − K11  ∑ K 2k  ∑ 2k ∑ 1 j  Ha a további szakadások is az 1. kötegben következnek be a tr időpillanatokban, úgy egymásután teljesül r=0,1,…,n1-re:

ε S( o1 )

ε S( 1r )

< ε S( o2 ) n1

∑ K 2k r

(F4.5.24)

∑ K1 j − ∑ K1 j j =1

j =1

Ez persze az εSi-k elegendően kicsi eltérései esetében is igaz lehet, pl. ha n1, n2→∞, miközben (n2-n1)/min(n1,n2)→0. Speciális esetben Kij=Ko, így a fenti feltétel az alábbira módosul:

- 61 -

ε S( 1r ) ε S( o2 )

<

n2 n1 − r

(F4.5.25)

Ha még az εS1j=εS2j j=1,…,n1
(F4.5.28)

E változások viszonylag igen kicsik, ha a szálak száma nagy. Az (F4.5.16) és (F4.5.12) együtt adják meg a szakadások feltételét a kételemű kötegláncban. Az első szakadás után a vonatkozó köteg nyúlása nő, így sok szál esetében nagyobb a valószínűsége, hogy a következő szakadás is ebben a kötegben fog bekövetkezni. Ekkor annak is nagy lehet a valószínűsége, hogy a szakadások többsége, sőt mindegyike itt következik be. A váltakozó helyű szálszakadások esetében az (F4.5.16)-ban szereplő εS1 és εS2 valószínűségi változók nem függetlenek, valamint a kötegnyúlások időbeli növekedése visszaesésekkel tarkított véletlen folyamat. E tulajdonságok a köteglánc szakadási folyamatának matematikai leírását jelentősen megnehezítik a szálfolyam modellhez képest. Markov folyamat modell Két, n1 és n2 szálból álló, soros szálköteg, mint rendszer, a (ν1(t), ν2(t))=(j,k) (j=0,1,…,n1; k=0,1,…,n2) vektorváltozóval, mint szakadt szálszámokkal jellemzett állapotai a tj+k szakadási időpontokban Markov láncot, illetve általánosságban Markov folyamatot alkotnak [K21,K38,K60], ugyanis a rendszer bármely állapota csak a rendszer előző állapotától függ (F4.5.1. ábra). Feltéve, hogy az állapotváltozások során mindig éppen egy szál szakad, a rendszer pjk(t) állapotvalószínűsége a kezdeti állapotban: poo ( 0 ) = P(ν1( 0 ) = 0 ,ν 2 ( 0 ) = 0 ) = 1 (F4.5.29) A rendszer lehetséges végállapotai (n1,k) (k
NS=1

m=2; n=2 NS=0

(0,0)

(1,0)

(0,1)

NS=1

(0,0)

(1,0)

NS=2 (2,0)

NS=3

(0,1)

(1,1)

(2,1)

(0,2)

(1,2)

F4.5.1. ábra. Kételemű (m=2) köteglánc szakadt szálak számára (NS=ν1+ν2) vonatkozó állapotgráfja egy- (n=1), illetve kétszálas (n=2) kötegek esetében - 62 -

Ha a rendszer a (j,k) állapotban van a tj+k időpillanatban és j
(

)

p jj+,k1,k = P ν1( t j +1+ k + 0 ) = j + 1,ν 2 ( t j +1+ k + 0 ) = k ν1( t j + k ) = j ,ν 2 ( t j + k ) = k = j  k  n1   n2  = P ε S( 1j )  ∑ K1r − ∑ K1r  < ε S( k2 )  ∑ K 2 s − ∑ K 2 s  ;      r =1 s =1  r =1   s =1  

j + 1 ≤ n1 , k ≤ n2

(

)

p jj,,kk +1 = P ν1( t j + k +1 + 0 ) = j ,ν 2 ( t j + k +1 + 0 ) = k + 1ν1( t j + k ) = j ,ν 2 ( t j + k ) = k = j  k  n1   n2  = P ε S( 1j )  ∑ K1r − ∑ K1r  ≥ ε S( k2 )  ∑ K 2 s − ∑ K 2 s  ;      r =1 s =1  r =1   s =1  

j ≤ n1 , k + 1 ≤ n2

(F4.5.30) ahol az (F4.5.30)-ban definiált két valószínűség összege 1. A rendszer nyújtása során az állapotváltozás befejeződik, azaz a rendszer állandósult (stacionárius) végállapotba kerül, ha νi(t)=ni bármelyik i-re. Kizárva az (n1,n2) állapotot, az 1 lehetséges, (0,0) kezdőállapot mellett n1+n2 lehetséges végállapota van a rendszernek. A Chapman-Kolmogorov összefüggést [K38] alkalmazva a lehetséges átmeneti utakra, a végállapotok valószínűségei meghatározhatók.

F5. FÜGGELÉKEK F5.1. Aktív szakállhossz eloszlás A szálfolyamok elméletéből ismeretes, hogy egy egyirányú szálfolyam ’A’ keresztmetszetét metsző szálak hosszeloszlása, az ún. keresztmetszeti hosszeloszlás, (F1.2.1. ábra) a következő feltételes eloszlásfüggvénnyel adható meg [K82: 48. old.]: x

Q Al ( x ) = P(l < x M A ) = ∫ 0

u dQl ( u ) l

(F5.1.1)

ahol MA a metszési esemény, miszerint egy adott szál metszi az A keresztmetszetet – azaz a a szálnak és a keresztmetszetnek van pontosan egy közös pontja, ami lehet a szál belső, vagy végpontja is –, valamint Ql(x) és l a szálak hosszeloszlás-függvénye és átlagos hossza. A keresztmetszet két oldalán kiálló l+ és l- hosszúságú szálrészek az ún. szálszakállakat alkotják, amelyeknek a QAl(x)-el számítható – a szimmetria miatt közös - hosszeloszlását szakállhosszeloszlásnak nevezik [K45,K82,S72]: ∞

∞

x

1 − Ql ( u ) u−x u−x S ( x ) = P l + < x M A  = 1 − ∫ dQ Al ( u ) = 1 − ∫ dQl ( u ) = ∫ du   u l l x

x

+

(F5.1.2)

0

-

A szálfolyam szilárdságát az l és l szakállhosszak minimuma, az ún. aktív szakállhossz határozza meg (F1.2.2. ábra) (5. fejezet)

(

l m = min l + ,l −

- 63 -

)

(F5.1.3)

ahol l+ + l− = l (F5.1.4) és l az A keresztmetszetet metsző szál hossza. Zurek monográfiájában [K82: 2.8. fejezet, 49-52. old.] az aktív szálhosszt és annak eloszlásfüggvényét geometriai valószínűségi alapokon értelmezik, ahol a szálakat szálhossz csoportokba sorolják és a lehetséges aktív szálhosszak tartományát az adott szálszakállszálcsoport alkotta parallelogramma területtartó nyírásával származtatják (F1.2.3. és F1.2.4. ábrák). Végül, a szálcsoportok révén kapott eredmények összegzése révén, a következő formula vezethető le: ∞ u − 2x

Sm ( x ) = 1 − ∫

2x

l

∞ 1− Q (u ) l dQl (u ) = 1 − ∫ du = S ( 2 x ) l 2x

(F5.1.5)

Az alábbiakban egy egyszerűbb és rövidebb utat mutatunk be az aktív szálhossz eloszlásfüggvényének meghatározásához. Az lm mint változóminimum eloszlásfüggvényének (Sm(x)) levezetéséhez tekintsük a következő esemény valószínűségét x≥0-ra:

(

) (

) (

)

P(lm ≥ x M A ) = P l + ≥ x , l − ≥ x M A = P l + ≥ x , l − l + ≥ x M A = P x ≤ l + ≤ l − x M A =

(

∞

)

= ∫ P x ≤ l + ≤ u − x M A , u ≤ l < u + du P(u ≤ l < u + du M A ) = 2x ∞

∞ u = ∫ [So ( u − x ) − So ( x )]dQ Al (u ) = ∫ [So ( u − x ) − So ( x )] dQl (u ) l 2x 2x

(F5.1.6) ahol So(x) a rögzített, azaz állandó szálhosszak (l=állandó) esetére vonatkozó – itt feltételes – szakállhossz-eloszlás (x≥0): x / l , 0 ≤ x < l So ( x ) = min(1, x / l ) =  (F5.1.7) 1 , l ≤ x  Az (F5.2.7)-et az (F5.2.6)-ba helyettesítve, kapjuk: ∞

u S m ( x ) = P(lm < x M A ) = 1 − ∫ [So ( u − x ) − So ( x )] dQl (u ) = l 2x 2x u − x − x u

= ∫

0

u

l

2x u − 2x

dQl (u ) = ∫

0

l

2 x 1 − Q (u ) l dQl (u ) = ∫ du = S ( 2 x ) l 0

(F5.1.8)

Könnyen belátható, hogy (F5.2.8) az l+/2 eloszlásfüggvényével azonos, ugyanis l+  P < x M A  = P l + < 2x M A = S( 2x ) (F5.1.9)  2    Állandó szálhossz Ha a szálhossz állandó (lo), akkor a szálhossz eloszlás elfajult: Ql ( x ) = 1( x − lo ) (F5.1.10) ahol 1(x) az egységugrás függvény, amelynek deriváltja a Dirac delta függvény (δ(x)) [K14]. Ez esetben az (F5.1.2) szerinti hosszeloszlás függvény a következő formájú (x≥0): x1 − Q ( u ) x 1 − 1( u − l ) l o du = min1, x  =  x / lo , 0 ≤ x < lo So ( x ) = ∫ du = ∫ (F5.1.11)  l  1, l ≤ x l l o o o    0 0 Az (F5.1.8) szerinti aktív szakállhossz eloszlás (x≥0):

(

)

- 64 -

2 x 1 − 1( u − l ) o du = min1, 2 x  = 2 x / lo , 0 ≤ x ≤ lo / 2  l  1, l / 2 < x lo o  o  0

S mo ( x ) = ∫

(F5.1.12)

Az F5.1.1.a. ábra a szakállhossz és aktív szakállhossz eloszlásfüggvényeket mutatja állandó szálhossz esetére. 1

Eloszlásfüggvény, S(x)

Eloszlásfüggvény, S(x)

1

0,75

0,5

0,25

Sm(x/L)

S(x/L)

0,75 0,5 0,25

Sm(x/L)

S(x/L)

0

0 0

0,5

1

1,5

0

2

0,5

Relative szálhossz, x/L

1

1,5

2

Relative szálhossz, x/L

a.) b.) F5.1.1. ábra. A szakállhossz és az aktív szakállhossz eloszlásfüggvények állandó szálhossz (a) és exponenciális szálhosszeloszlás (b) esetén (L= l =lo)

Exponenciális szálhossz eloszlás Amennyiben a szálhossz exponenciális eloszlású l várható értékkel, úgy könnyen belátható, hogy az (F5.1.2) szerinti szakállhossz eloszlás megegyezik vele: −

x l

Ql ( x ) = S ( x ) = 1 − e , x ≥ 0 és az (F5.1.8) szerinti aktív szakállhossz eloszlásfüggvény (F5.1.1.b. ábra):

(F5.1.13)

2x Sm ( x ) = S ( 2 x ) = 1 − e l , x ≥ 0

−

(F5.1.14)

F5.2. Véges szálfolyamszakasz várható húzóerő-folyamata Legyen Bx,i (i=0,1,2) azon esemény, hogy a véges L befogási hosszú szálfolyam egy x belső keresztmetszetét metsző szál éppen i-befogású. Általános esetben, azaz, ha a kétbefogású szálak száma nem elhanyagolhatóan kicsi, a várható húzóerő-folyamat három részből áll: E( F ( u , x )) = E F ( u , x ) Bx ,2 P (Bx ,2 ) + E F ( u , x ) Bx ,1 P(Bx ,1 ) + E F ( u , x ) Bx ,o P (Bx ,o )

(

)

(

)

(

)

(F5.2.1) ahol ’u’ a szálfolyam relatív nyúlása, amely függhet az x-től és P(Bx,i) az i-befogású szálak részaránya e keresztmetszetben: n (x) P (Bx ,i ) = i (F5.2.2) n Az x keresztmetszetet metsző két-befogású szálak egy n2(x) számú, Lo hosszúságú szálból álló E-köteget alkotnak, így az (5.1.6) és (5.1.2) alapján: u u E F ( u , x ) Bx ,2 P (Bx ,2 ) = n2 ( x )FS ( Lo )FH E ( , Lo ) = nFS ( Lo )FH E ( , Lo )(1 − S1( Lo ))

(

)

εS

εS

(F5.2.3)

- 65 -

ahol FS=FS(Lo) az Lo hosszú szálak átlagos szakítóereje. Ezt használjuk vonatkozási alapként a továbbiakban is. Az egy- és null-befogásúak speciális ES-kötegeket, azaz ES1- vagy ES2kötegeket határoznak meg, mert a megcsúszási határ és a szálak szakítószilárdsági jellemzői nem függetlenek. A bal- és jobboldali egybefogású szálakra: u E F ( u , x ) Bx ,11 P(Bx ,11 ) = n11( x )FS ( Lo )FH ES ,11( , Lo ) =

(

)

= nFS ( Lo )FH ES ,11( = nFS ( Lo )FH ES ,11(

(

)

u

εS u

εS

(

εS

)

, x , Lo ) S1* ( x ) − S1* ( Lo ) = , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( x ))

E F ( u , x ) Bx ,12 P(Bx ,12 ) = n12 ( x )FS ( Lo )FH ES ,12 ( = nFS ( Lo )FH ES ,12 ( = nFS ( Lo )FH ES ,12 (

u

εS u

εS

(F5.2.4)

(

u

εS

, Lo ) =

)

, x , Lo ) S1* ( Lo − x ) − S1* ( Lo ) =

(F5.2.5)

, x , Lo )(S1( Lo ) − S1( Lo − x ))

Az egybefogású szálak várható húzóereje, a fentiek összege: E F ( u , x ) Bx ,1 P(Bx ,1 ) =

(

)

  u u = nFS ( Lo ) FH ES ,11( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( x )) + FH ES ,12 ( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( Lo − x )) εS εS   (F5.2.6) Végül, a null-befogású szálak várható húzóellenállása: u E F ( u , x ) Bx ,o P(Bx ,o ) = no ( x )FS ( Lo )FH ES ,o ( , x , Lo ) =

(

)

= nFS ( Lo )FH ES ,o ( = nFS ( Lo )FH ES ,o (

u

εS u

εS

εS

(

)

, Lo ) 1 − S1* ( x ) − S1* ( Lo − x ) + S1* ( Lo ) =

(F5.2.7)

, Lo )(S1( x ) + S1( Lo − x ) − S1( Lo ))

A fenti részeredményekkel a szálfolyam x keresztmetszetét metsző szálak eredő húzóellenállása:  u E( F ( u , x )) = nFS ( Lo ) FH E ( , L )(1 − S1( Lo )) + εS o  u u + FH ES ,11( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( x )) + FH ES ,12 ( , x , Lo )(S1( Lo ) − S1( Lo − x )) + (F5.2.8)

εS

εS

 , x , Lo )(S1( x ) + S1( Lo − x ) − S1( Lo )) εS  Az (F5.2.8)-ból látható, hogy – a szimmetria miatt – a befogott szálfolyamszakasz közepén a húzóellenállás értéke: + FH ES ,o (

u

- 66 -

 u E( F ( u , Lo / 2 )) = nFS ( Lo ) FH E ( , L )(1 − S1( Lo )) + εS o  u Lo L    ) + FH ES ,o ( , , Lo ) 2 S1( o ) − S1( Lo )  εS 2 2    (F5.2.9) E középkeresztmetszetben maximális a null-befogású, s így kis húzó-ellenállású szálak aránya, egyúttal minimális az egybefogásúak aránya, tehát minimális a véges szálfolyam húzószilárdsága. Véges maximális szálhossz esetében, ha Lo>2lmax (5.1.3.c. ábra), úgy – mivel S1(Lo/2)= S1(Lo)=1 – az (F5.2.9) 1-valószínűséggel csak a null-befogású szálak ellenállását tartalmazza:  u L  E( F ( u , Lo / 2 )) = nFS ( Lo )FH ES ,o  , o , Lo  (F5.2.10) ε 2  S  + 2 FH ES ,11(

u Lo L  , , Lo ) S1( Lo ) − S1( o εS 2 2 

F5.3. ES1-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság Felhasználva az (5.1.9) állandó szálhosszra vonatkozó hosszeloszlás-függvény formáját (M5.1. Melléklet), amelynek sűrűségfüggvénye a (0, lo/2) intervallumban pozitív, az (5.2.11)-el az ES1-köteg egy szálra vonatkoztatott várható szakítófolyamatát kapjuk:  2K   1 − Q x  2 Ku / f w ( u ) l   b 2 1 f 1 Q ( t ) − K    b  dx l F1(u ) = Kuχ (u , u SM )1 − ∫ dt  + x (F5.3.1) ∫ f l l   b 0 w 2 (u )   ahol εbM az lbM=lo/2 maximális kicsúszási hossznak megfelelő nyúlás: f f ε bM = b lbM = b lo (F5.3.2) K 2K és a vonatkozó határérték: f l  (F5.3.3) u SM = min( ε bM ,ε S ) = min b 0 ,ε S   2K  w1( u ) = min( u /( 1 + α ), u SM ) (F5.3.4) w2 ( u ) = min( u , u SM ) A vonatkozó paraméterek mellett az (F5.3.1) szakítófolyamat csak a szálak hosszeloszlásától függ. Ennek megfelelően, az első integrál a (F5.3.1)-ben, ami nem tűnik el a 0≤u≤εbM tartományban, a következő alakú: f l  2 Ku , 0 ≤ u < b 0 = ε bM 2 Ku / f b  1 − Ql ( t ) 2K f l (F5.3.5) dt =  b 0 ∫ l0 f l  b 0 0 1, u ≥ = ε bM  2K amivel az (F5.3.1) első tagjára az alábbi kifejezést kapjuk:  2 Ku / f b 1 − Q (t )   Ku 1 − 2 Ku , 0 ≤ u < min(ε , ε )    bM S l F11 (u ) = Kuχ (u , u SM )1 − ∫ dt  =   f b l 0  l0    0   0, egyébként (F5.3.6) Hasonlóan, az (F5.3.1) második integrálja: - 67 -

w2 ( u )

∫

w1 ( u )

 2K 1 − Ql   fb x l0

 f b l0   x   w2 ( u ) 1 − 1 x − w22 ( u ) − w12 ( u ) 2K    dx = x dx = (F5.3.7) ∫ l0 2l0 w1 ( u )

Itt, a minimumképzés miatt a wi(u) (i=1, 2) kifejezések részletezendők: min(ε bM , ε S )  2 2 c i u , u < ci  wi2 (u ) = [min (ci u , u SM )]2 =  min(ε bM , ε S ) min(ε , ε S ), u ≥ bM  ci ahol 1 /( 1 + α ), i = 1 ci =  i=2 1, ezért az (F5.3.10)-et az (F5.3.7) és (F5.3.8)-al kapjuk:  2 (1 + α ) 2 − 1 , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S ) u (1 + α ) 2   2  2 2 w2 (u ) − w1 (u ) = [min(ε bM , ε S )]2 − u ,  (1 + α ) 2  min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, (1 + α ) min(ε bM , ε S ) ≤ u

(F5.3.8)

(F5.3.9)

(F5.3.10)

Az (F5.3.2)-( F5.3.3) és (F5.3.7)-( F5.3.9) összefüggések alkalmazásával az (F5.2.1) második tagja:  K 2 u 2 (1 + α ) 2 − 1 , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S )  2  f b l 0 (1 + α )  K 2 w22 (u ) − w12 (u )  K 2  u2  2 F12 (u ) = 2 = (F5.3.11) (min(ε bM , ε S ) ) − , 2 fb 2l 0 f l  b 0  (1 + α )    min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S ) 0, (1 + α ) min(ε , ε ) ≤ u bM S  Végül, az ES1-köteg állandó szálhosszra érvényes várható szakítófolyamatát az (F5.3.10) és (F5.3.11) összege adja:   Ku 1 + (1 + α ) 2   Ku 1 − , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S ) f b l 0 (1 + α ) 2     2   2  (F5.3.12) F1(u ) = F11 (u ) + F12 (u ) =  K (min(ε , ε ) )2 − u , bM S 2  f b l 0  (1 + α )   min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, (1 + α ) min(ε , ε ) ≤ u bM S 

Az (F5.3.12) folyamatot normálva a szálszakító erővel (FS=K ε S ) és a kötegnyúlást (u) a szálszakító nyúlással (εS), kapjuk:

- 68 -

u  ε u ε S 1 + (1 + α ) 2  u   1− , 0≤ < min( bM ,1) 2   εS εS  ε S  ε S ε bM 2(1 + α )   2    u        2 ε S     ε ε   S bM F1(u )  ,1)  −  min( , =  2ε ε (1 + α ) 2  bM  S  FS        ε ε u  min( bM ,1) ≤ < (1 + α ) min( bM ,1)  εS εS εS  0, egyébként Az (F5.3.13) formálisan egyszerűsíthető a normált kötegnyúlás (z) u z=

εS

és a normált szálhossz (b) bevezetésével

l ε b = bM = 0 εS 2l S

(F5.3.13)

(F5.3.14)

(F5.3.15)

Ezért:

  z 1 + ( 1 + α )2   z 1 − , 0 ≤ z < min( b ,1 )   b 2( 1 + α )2     z2  FH ( z ) =  1 (min( b ,1 ))2 − (F5.3.14) , 2  2b  ( 1 + α )    min( b ,1 ) ≤ z < ( 1 + α ) min( b ,1 )  0 , egyébként  A maximális várható húzóerővel definiált szakítószilárdság meghatározásához, szakaszonként kiszámítva az (F5.3.12) szerinti folyamat deriváltját, kapjuk:   2 Ku 1 + (1 + α ) 2   K 1 − , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S ) f b l 0 (1 + α ) 2     '  2 Ku K (F5.3.16) F1 (u ) = − ,  f b l0 (1 + α ) 2  min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, (1 + α ) min(ε bM , ε S ) ≤ u könnyen látható, hogy az (F5.3.12) első (I) szakaszában lokális maximum van az (1 + α ) 2

(F5.3.17) ε bM < min(ε bM , ε S ) 1 + (1 + α ) 2 helyen. Az (F5.3.17) alapján – mivel u1*<εbM és 0≤α≤1 – ezen maximumhely mindig a 0≤u≤εbM intervallumba esik, míg a második (II) szakasz monoton csökkenő (5.2.6. ábra). Ideiglenesen visszatérve az (F5.3.2) jelöléshez és figyelembe véve (F5.3.17)-őt is, az I és II szakaszok szuprémuma: u1 * =

- 69 -

 Kε bM (1 + α ) 2 1 + (1 + α ) 2 F 1 ( u *) = , < ε εS  1 bM 2 1 + (1 + α ) 2 (1 + α ) 2  sup F1I (u ) =   ε S 1 + (1 + α ) 2  1 + (1 + α ) 2   F 1 ( − 0 ) = K 1 − , ≤ ε bM ε ε ε S S S  2  2 ε 2 ( 1 + ) ( 1 + ) α α bM    (F5.3.18)  (1 + α ) 2 − 1 F 1 ( + 0 ) = K , ε bM < ε S ε ε  bM bM 2(1 + α ) 2  sup F1II (u ) =  (F5.3.19) 2 ε S (1 + α ) − 1  , ε S ≤ ε bM  F1(ε S + 0) = Kε S ε 2 bM 2(1 + α )  A két szuprémum közül a nagyobb tekinthető a vizsgált szálas szerkezet szakítószilárdságának: F1* = max sup F1I (u ), sup F1II (u ) = sup F1I (u ) (F5.3.20) A (F5.3.15) alkalmazásával egyszerű kifejezést kapunk a normált szakítóerőre a normált szálhossz függvényeként (0≤α≤1):  ε bM (1 + α ) 2 l (1 + α ) 2 l 0 1 + (1 + α ) 2 = , 0 <2  2 lS (1 + α ) 2 1 + (1 + α ) 2 4l S F1 * F1 *  2ε S 1 + (1 + α ) = = (F5.3.21) Kε S fblS  ε S 1 + (1 + α ) 2 1 + (1 + α ) 2 l S 1 + (1 + α ) 2 l 0 = 1− ≤ , 2 1 − ε 2 2 l 2 lS + + + 2 ( 1 α ) ( 1 α ) ( 1 α ) 0 bM 

(

)

F5.4. ES2-köteg és állandó szálhossz esetén a várható szakítószilárdság Az (5.1.9) állandó szálhosszra vonatkozó hosszeloszlás (M5.1. Melléklet), (0, lo/2) intervallumban nem zérus sűrűségfüggvényével, az ES2-köteg (5.2.17) egy szálra vonatkoztatott várható szakítófolyamata:  2K   1 − Q x  w ( u ) l  2 Ku / f b 1 − Q (t )  1 2 f 1 + K α   b   dx − l x F1(u ) = Kuχ (u , u SM )1 − ∫ dt  + 2 ∫ α fb l l   0 w 2 (u ) (F5.4.1  

−

Ku

α

2 Kw 2 (u ) / f b

∫

2 Kw1 (u ) / f b

1 − Ql (t ) dt l

) ahol az uSM, w1(u) és w2(u) mennyiségeket az (F5.3.1)-(F5.3.2) definiálja. Az (F5.4.1) folyamat első tagja megegyezik az (F5.3.6)-al:  2 Ku / f b 1 − Q (t )   Ku 1 − 2 Ku , 0 ≤ u < min(ε , ε )    bM S l F11 (u ) = Kuχ (u , u SM )1 − ∫ dt  =   f b l 0  l0    0   0, egyébként (F5.4.2) míg a második tag csak egy állandó tényezővel különbözik az (F5.3.9)-től:

- 70 -

1 + α K 2 u 2 (1 + α ) 2 − 1 , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S )  f b l0 (1 + α ) 2  α  2  2   (F5.4.3) F12 (u ) = 1 + α K (min(ε bM , ε S ) )2 − u , 2 α f l  (1 + α )  b 0    min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S ) 0, egyébként  ahol az εbM-et (F5.3.2) definiálja. A harmadik tag kiszámításához célszerűen a (F5.3.4) definíciót és az (F5.3.6) eredményt használjuk fel:

F13 (u ) = 2

Ku

α

Kw2 (u ) / f b

∫

Kw1 (u ) / f b 2 2

1 − Ql (t ) K 2u dt = 2 (w2 (u ) − w1 (u ) ) = αf b l 0 l0

 K u α , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S ) 2  αf b l 0 1 + α (F5.4.4)  2 = 2 K u min(ε bM , ε S ) − u  ,  1 + α   αf b l0   min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, egyébként A (F5.4.2)-(F5.4.4) kifejezések összegezése az ES2-köteg szakítófolyamatát adja állandó szálhosszakra: F1(u ) = F11 (u ) + F12 (u ) − F13 (u ) =   Ku 2 + α  , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S )  Ku 1 − α f l 1 + b 0     2 2  =  (1 + α ) K  min(ε , ε ) − u  , bM S 1 + α   αf b l 0   min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, egyébként

(F5.4.5)

Az (F5.4.5)-öt az átlagos szálszakító erővel (FS=KεS), az u kötegnyúlást az átlagos szálszakító nyúlással (εS) normáljuk: u  ε u εS 2+α  u , 0 ≤ < min( bM ,1)  1 − εS εS  ε S  ε S ε bM 2(1 + α )   2   F1(u )  (1 + α )ε S min( ε bM ,1) − u 1  , (F5.4.6) =  α 2ε εS εS 1+α  bM  FS  ε ε u  min( bM ,1) ≤ < (1 + α ) min( bM ,1)  εS εS εS  0, egyébként A (F5.3.14)-hez hasonlóan az ES2-köteg (F5.4.6) szerinti húzóerő egyszerűbb alakba írható az (F5.3.14) szerinti normált kötegnyúlás (z) és az (F5.3.15) szerinti normált szálhossz (b) bevezetésével:

- 71 -

  z 2 +α   , 0 ≤ z < min( b ,1 )  z 1 −   b 2( 1 + α )   2 (F5.4.7) FH ( z ) = 1 + α min( b ,1 ) − z  ,   α α 2 b 1 +     min( b ,1 ) ≤ z < ( 1 + α ) min( b ,1 )  0 , egyébként A várható szakítószilárdság meghatározásához (F5.4.5) folyamat deriváltja szakaszonként számítandó:   2 Ku 2 + α  , 0 ≤ u < min(ε bM , ε S )  K 1 − α f l 1 + b 0     2 '  F1 (u ) = − 2 K  min(ε bM , ε S ) − u  , (F5.4.8)  1 + α   αf b l 0   min(ε bM , ε S ) ≤ u < (1 + α ) min(ε bM , ε S )  0, egyébként Az (F5.4.8) első szakaszának (I) maximumhelye: 1+ α u1* = ε bM < ε bM (F5.4.9) 2 +α és ha 0 ≤ α ≤1 – a (F5.4.9) alapján – ez mindig a 0 ≤ u ≤ εbM intervallumba esik, míg a második szakasz (II) monoton csökkenő (5.2.8. ábra). Az I és II szuprémuma az (F5.3.18)-(F5.3.19)-hez hasonlóan kapható: Kε bM 1 + α 2+α  εS F 1 ( u *) = , ε bM < 1  2 2 +α 1+α  sup F1I (u ) =  (F5.4.10)   ε α α 2 + 2 + S  F1(ε S − 0) = Kε S 1 − , ε S ≤ ε bM  ε  1+α bM 2(1 + α )   1   F1(ε bM + 0) = Kε bM 2(1 + α ) , ε bM < ε S  sup F1II (u ) =  (F5.4.11) ε 1 S  F1(ε + 0) = Kε , ε S ≤ ε bM S S  ε bM 2(1 + α ) A két szuprémum nagyobbika tekinthető a szálas szerkezet szakítószilárdságának: F1* = max sup F1I (u ), sup F1II (u ) = sup F1I (u ) (F5.4.12) Végül, az (F5.3.2)-vel az (F5.3.21)-hez hasonló egyszerű kifejezés formájában kapjuk a normált várható szakítóerőt a normált szálhossz és a kicsúszási tényező (0 ≤ α ≤ 1) függvényében: l0 2 +α  ε bM 1 + α 1 + α l0  2ε 2 + α = 2 + α 4l , l < 2 1 + α F1 * F1 *  S S S = = (F5.4.13) εS 2 +α Kε S fblS  2 + α lS 2 + α l0 1− = 1− , 2 ≤  ε bM 2(1 + α ) 1 + α l0 1 + α lS

(

)

- 72 -

F5.5. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES1-köteg alkalmazása Exponenciális szálhosszeloszlás alkalmazása A fokozatos károsodások exponenciális szálhosszakat alkalmazó modellezéséhez is az ES1- és ES2-kötegeket, valamint az (5.2.8) és (5.2.14) formulákat alkalmaztuk. A számításokat egyszerűsítendő, az (5.2.8) és (5.2.14)-ben is szereplő integrálokat számítsuk ki először: 2K  − 2K u uS u − u S   f l α ,S f l (F5.5.1) I1 = ∫ u 1 − Qε S ( x ) dQε b ( x ) = u ∫ dQε b ( x ) = u  e b −e b    u uα ,S  

(

)

1+ α

ahol u S = min( u ,ε S ); uα ,S = min(

u ,ε S ) 1+α

(F5.5.2)

továbbá

I2 =

u

uS

u 1+ α

uα ,S

∫ x(1 − Qε S ( x ))dQε b ( x ) = ∫ xdQε b ( x ) =

2K 2K   f b l   2 Kuα ,S  − f b l uα ,S  2 Ku S  − f b l u S  e e = − 1 +  1 +  2 K   f b l  f b l      Szakítószilárdság ES1-köteg és exponenciális szálhosszeloszlás esetében Az ES1-kötegre az (5.2.8) formulát, valamint az (F5.5.3) integrált alkalmazva kapjuk:

F1ES1 (u ) = Ku[1 − 1(u − ε S )]e

−

2 Ku fbl

(F5.5.3)

+ KI 2 =

2 Ku 2 Ku    − −   f l 2 Ku u  b   f b l (1+ α ) < u ≤ εS − e f b l ,  2 1 + f l (1 + α ) e α 1 + b      (F5.5.4)   = 2 Kε S  2 Ku  − −      fbl  2 Kε S 2 Ku u  1 + e f b l (1+ α ) − 1 + e f b l  , ≤ εS < u       1+α f b l (1 + α )  fbl    2       u
εS

Az (5.2.10), (F5.5.5) és (F5.5.6) segítségével az (F5.5.4) változói az átlagos szálszakító erővel (FS), illetve szálszakító nyúlással (εS) normált alakban adhatók meg:

- 73 -

2z   2z  − −   λ 2 z   (1+ α ) λ − e λ , 0 ≤ z ≤ 1  2 1 + λ (1 + α ) e       F1ES1 ( z )  FH1 ( z ) = (F5.5.7) = 2z FS 2   − −  λ 1 + 2 z e λ (1+ α ) − 1 + 2 e λ  , 1 < z ≤ 1 + α   2  λ (1 + α )   λ     0, 1 + α < z  A szálrendszer szilárdsága a húzóerő várható értékének maximumával definiálható, ami szélsőérték számítással határozható meg. Az (F5.5.7) szerint a várhatóérték folyamat első szakaszában (0
λ

az (F5.5.8) egyszerűbb formába írható:

x

−x

α 1+α

=e (F5.5.10) ( 1 + α )2 Megjegyzendő, hogy az (F5.5.10) független a λ-tól, ezért megoldása (x*) csak α-tól függ: x*=x*(α). Ezzel az (F5.5.8) megoldása a következő alakú:

λ

x* (α ) (F5.5.11) 2 Az (F5.5.10) egyenlet egyszerű, közelítő megoldásának érdekében vezessük be a következő jelölést: α 2z α (F5.5.12) y=x = 1+α λ 1+α Az (F5.5.12) új változóval az (F5.5.10) alakja: z* =

ye y = α ( 1 + α ) (F5.5.13) Az α normál tartománya [0, 1], ezért az (F5.5.13) jobboldalára igaz, hogy: (F5.5.14) 0 ≤ α (1 + α ) ≤ 2 Az (F5.5.13) baloldala közelíthető egy könnyen invertálható négyzetes polinommal:

α ( 1 + α ) = ye y ≈ ao + a1 y + a 2 y 2

(F5.5.15) ahol ao=0 nyilvánvalóan. A legkisebb négyzetek módszerével R =0,9994 korrelációs tényező négyzet mellett kapjuk, hogy a1=0,7419 és a2=1,8567 (F5.5.1.a. ábra). 2

- 74 -

Inverz összefüggés

Implicit összefüggés 1

y = 1,856696x 2 + 0,741919x R2 = 0,999447 1

y

y*e^y=a(1+a)

2

0,5 Korrekt

Korrekt

Közelítés

Közelítés 0

0 0

0,5

1

y

0

1

2

y*e^y=a(1+a)

a.) b.) F5.5.1. ábra. Az (F5.5.13) szerinti (a) és a korrekt inverz (b) összefüggés, valamint a közelítésük A közelítés maximális abszolút hibája 0,032-re adódott, ami a maximális értékhez (2 az α=1nél) viszonyítva 1,6% relatív hibát jelent. Az (F5.5.12)-őt figyelembe véve, az (F5.1.3) közelítő megoldása az (F5.5.15) négyzetes egyenlet megoldásával kapható:   1+α 1 + α a1  α (1 + α )  x* = x * ( α ) = y* ≈ 1 + 4 a − 1 (F5.5.16) 2  α α 2a 2   a12   Az (F5.5.16)-al számolt inverz összefüggés látható az F5.5.1.b. ábrán. Az inverz közelítés maximális abszolút hibája 0,016-ra, míg az y maximális értékéhez (0,853) viszonyított relatív hiba 1,89%-ra adódott. Az x*-ból az (F5.5.11)-al kapható z* adja meg a maximum helyét az átlagos húzóerő folyamat első szakaszában. Ha z*>1 egy esés jelentkezik a második szakasz kezdetén, úgy a maximum ekkor a két szakasz határán (z*=1) található. λ  x * ( α ), 0 ≤ z* < 1 λ  (F5.5.17) z* =  2 = min x * ( α ), 1 2  1, 1 ≤ z * Az (F5.5.17)-et az (F5.5.7)-be helyettesítve kapjuk a szálrendszer szakítószilárdsága és az átlagos szálhossz közötti összefüggést ES1-kötegre. x* ( α )    − x * ( ) 2 λ α   − x* ( α )    1 + α 1 + e −e , λ<   2   1+α  x* (α )    FH1* = FH1( z*) =  (F5.5.18) 2 2 −  λ  −  λ ( 1+ α ) 2 2 λ , λ ≥  1 + e − e   x* (α )  2  λ( 1 + α )    

F5.6. Exponenciális szálhosszeloszlás és ES2-köteg alkalmazása Az (5.2.14), (F5.5.1), (F5.5.3) és (F5.5.4) összefüggések alapján az ES2-kötegre vonatkozó átlagos húzóerő könnyen felírható:

- 75 -

F1ES 2 (u ) = F1ES1 (u ) −

K

α

( I1 − I 2 ) =

2 Ku    − 2 Ku −   (1 + α ) f b l u f b l (1+ α ) fbl  e − e < u ≤ εS  ,  2α   1+α     2 Kε S 2 Kε S  2 Ku   − − (F5.6.1)  (1 + α ) f b l  − f b l (1+ α )   ε 2 K u fbl fbl  S   e − e − 1 − e , =   2α f b l  ε S (1 + α )        u  ≤ εS < u  1+α  0, ε < u < u S  1+α Az ES1-köteghez hasonlóan normálva az (F5.6.1)-et: F (z) FH 2 ( z ) = ES 2 = FS

 2z   − 2z −  1 + α λ  λ ( 1+ α ) λ , 0 ≤ z ≤1 e − e    α 2      (F5.6.2)   = 2  − 2z  −   α λ + 1 2 z     λ α ( 1 + )  − 1 + 1 − e  e λ  , 1 < z ≤ 1 + α  α 2  λ  1+ α     0 , 1 + α < z  Az ES2-kötegnél hasonlóan járhatunk el, mint az ES1-nél. A maximum szükséges feltétele az (F5.6.2) első szakaszában: 2z  2z  − 2 2 2 −λ  λ α ( 1 + ) 0 = FH ′( z ) = − e + e (F5.6.3)  λ  λ( 1 + α ) λ    Az (F5.5.9)-el vagy (F5.5.11)-al az (F5.6.3) összefüggés átalakítható: x* ( 1 + α )e 1+α = e x*

Az (F5.6.4) könnyen megoldható: x* = x * ( α ) =

1+α

α

(F5.6.4) ln( 1 + α )

(F5.6.5)

Az (F5.6.5)-öt az (F5.6.2)-be helyettesítve a szálrendszer ES2-vel modellezett átlagos szakítóereje számítható:

- 76 -

FH 2* = FH 2 ( z*) = 1   − x* ( α )  − 2 2  ( 1 + α ) λ  e 1+ α − e − x* ( α )  = λ ( 1 + α ) α , λ < =   1+ α  α 2 x* (α )  2    ln( 1 + α ) α (F5.6.6)  = 2  − 2  − α λ ( 1 + ) 2 2  λ α ( 1 + )  e − e λ , λ ≥ =  1+ α  α 2 x* (α )      ln( 1 + α ) α

F5.7. Várható húzóerő-folyamat véges befogási hosszak esetén Az (5.3.3)-al az egy-befogású szálak egy szálra eső várható húzóerő folyamatát az ES1-köteg (5.2.8) formulájából kapjuk:

(

)

u

(

)

 L L Ku   Kx   + K ∫ x 1 − Qε ( x ) dS  o +  F1ES1,1 (u ) = Ku 1 − Qε S (u ) 1 − S  o + S   2 f 2 f b b       u 1+ α

(F5.7.4) illetve az ES2-kötegre vonatkozó (5.2.13) összefüggés alkalmazásával: F1ES 2,1 (u ) = F1ES1,1 (u ) −

K

α

 Lo Kx  ∫ [u − x](1 − Qε S ( x) )dS  2 + f b 

u

(F5.7.5)

u 1+ α

A fentiekkel – figyelembe véve, hogy a fajlagos tapadási ellenállás általában különbözik a null- és egy-befogású szálaknál (fbo≤fb1) – a véges Lo befogási hosszúságú, egyenirányú szálfolyam egy szálra és a befogott szálfolyamszakasz gyenge helyére (Lo/2) vonatkozó várható húzóerő folyamata, ES-köteggel a két-, illetve ES1 kötegekkel a null- és egy-befogású szálak részkötegeit modellezve, az (5.1.13) részletezésével kapjuk: F1(u , Lo / 2) = K u 1 − Qε S (u ) (1 − S ( Lo ) ) +

[(

)

    u   Lo Ku    Lo Kx   L     + ∫ x 1 − Qε ( x) dS    S ( Lo ) − S ( o )  + + 2 u 1 − Qε S (u ) 1 − S  + + S f b1   f b1   2   2  2  u   1+ α  

(

)

(

)

      u   2 Ku    2 Kx   Lo       2 S ( ) − S ( Lo )   + ∫ x 1 − Qε ( x) dS  +  u 1 − Qε S (u ) 1 − S  S f bo   f 2  bo      u    1+ α   

(

)

(

)

(F5.7.7) A véges szálfolyam várható húzóerő-folyamata, a null- és egy-befogású szálak részkötegeit ES2-kötegekkel modellezve:

- 77 -

   L Ku    + F1(u , Lo / 2) = K u 1 − Qε S (u ) (1 − S ( Lo ) ) + 2 u 1 − Qε S (u ) 1 − S  o +   2 f  b1     

(

)

(

)

   Lo Kx   L  (1 + α ) x − u   S ( Lo ) − S ( o )  + + ∫ + 1 − Qε S ( x ) dS  α 2  f b1    2 u  1+ α 

(

u

)

      u   2 Kx    2 Ku   Lo (1 + α ) x − u      + ∫   2 S ( ) − S ( Lo )  +  u 1 − Qε S (u ) 1 − S  1 − Qε S ( x ) dS   α f bo   f 2  bo      u    1+ α    (F5.7.8)

(

)

(

)

F5.8. Rövidszálas, egyenirányú kompozit rudak várható húzóerőfolyamata és szilárdsága Várható húzóerő- folyamat Feltéve, hogy a kompozit nyúlás (u) megegyezik a szálakéval és a mátrixéval, az egyirányú rövidszálas kompozit várható húzóerő-folyamata az (5.5.4)-el írható le a kompozit nyúlás függvényében: σ (u ) σ (u ) F1(u ) = ϕ1 + (1 − ϕ1 ) 2 (F5.8.1)

σS

σS

FS

Egyszerűsített jelöléseket alkalmazva, a szálak (alsó index: S) és a mátrix (alsó index: m) állandónak feltételezett átlagos szakító nyúlása és szilárdsága rendre ε S = ε S < ε m = ε m

és σ S = σ S > σ m = σ m . Legyen a mátrix húzókarakterisztikája lineárisan rugalmas és a húzómodulussal (Em) adott: σ 2 ( u ) = Emu (F5.8.2) Modellezzük az erősítő szálak rendszerét egy ES2-köteggel, így az (5.2.18) és (F5.8.2) szerinti húzófolyamatokat behelyettesítve a (5.5.17)-be, kapjuk: u  E m A1 ε u εS 2 +α  u , 0 ≤ − ϕ1 < min( bM ,1)   ϕ1 + (1 − ϕ1 ) K ε S ε bM 2(1 + α )  εS εS ε S   2 E m A1 u ε bM u 1   (1 + α )ε S  ,1) − ,  min(  + (1 − ϕ1 ) ϕ1 α 2ε K εS εS εS 1+α  bM   σ (u )  ε  ε ε u = min( bM ,1) ≤ < min m , (1 + α ) min( bM ,1)  σS εS εS εS   εS     ε  u E A u ε ε (1 − ϕ1 ) m 1 , min m , (1 + α ) min( bM ,1)  ≤ < m K εS εS   εS  εS εS  0, egyébként (F5.8.3)

- 78 -

ahol az EmA1 szorzat a mátrix átlagos szálkeresztmetszetre számolt húzómerevsége, így a szálmátrix merevségi arány egyenlő a szál-mátrix modulus aránnyal (κ): E A E (F5.8.4) κ= m 1= m K Ef míg Ef a szál húzórugalmassági modulusa és K=EfA1. Az (5.2.16) egyenleteket, valamint az (F5.8.4) jelölést alkalmazva, az (F5.8.3) a következő formába írható:   ϕ1 z 2 + α   , 0 ≤ z < min( b ,1 )  z  ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − b 2( 1 + α )     2 ϕ 1 + α  min( b ,1 ) − z  + ( 1 − ϕ )κz , 1   1 1 + α  (F5.8.5) σH ( z ) =  α 2b  min( b ,1 ) ≤ z < min(bm , ( 1 + α ) min( b ,1 ))    ( 1 − ϕ1 )κz , min(bm , ( 1 + α ) min( b ,1 )) ≤ z < bm  0 , egyébként ahol b a normált (maximális aktív) szálhossz: ε l l b = bM = M = 0 (F5.8.6) εS lS 2l S és bm a szál/mátrix szakítónyúlás arány:

ε bm = m > 1 εS

(F5.8.7)

A szakítószilárdság meghatározásához a (F5.8.5) szerinti folyamat deriváltja szakaszonként számítható: ϕ1 z 2 + α  ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − b 1 + α , 0 ≤ z < min( b ,1 )  − ϕ1  min( b ,1 ) − z  + ( 1 − ϕ )κ , 1  αb  1 + α   u (F5.8.8) σH' ( z ) =  min( b ,1 ) ≤ < min(bm , ( 1 + α ) min( b ,1 ))  εS   ( 1 − ϕ )κ , min(b , ( 1 + α ) min( b ,1 )) ≤ z < b 1 m m  0 , egyébént Az első szakaszban a maximum helye: ϕ + ( 1 − ϕ1 )κ z1* = 1 b < min( b ,1 ) (F5.8.9) 2 +α ϕ1 1+ α Az (F5.8.9) reláció a maximum létezésének feltételét adja a 0
- 79 -

ahol a B(ϕ1,α) kifejezést az (F5.8.10) relációban szereplő egyenlet definiálja. Amikor a maximum létezik az (F5.8.10) reláció a b és ϕ1 értékeire a T(b, ϕ1) tartományt határozza meg: T ( b ,ϕ1 ) = {( b ,ϕ1 ) : max( b ,1 ) < B( ϕ1 ,α )} (F5.8.11) Amikor az (F5.8.9) egyenlőtlenség nem teljesül, a maximum eltolódik a 0 ϕ1b = = (F5.8.12) κ 2 + α min(b,1) = ϕ11 , b > 1  −1+ κ 1 − (1 + α )(b − 1) +κ  b 1+α  (1 + α )b Természetesen, egy korrekt ϕ1B határra, 0≤ϕ1B≤1 kell teljesüljön, ezért az (F5.8.12) pontosítandó. Az (F5.8.12) formulában a nevező zérushelye: 2+α b∞ = >1 (F5.8.13) (1 − κ )(1 + α ) és b>b∞-re ϕ1B<0. Könnyen belátható, hogy (F5.8.12)-ben 0<ϕ10<1, másrészt, mivel min(b,1)/b≤1, a száltartalom korlátozott az (F5.8.12) jobboldalán és b1-re lehet érvényes, amelynek értéke: 2+α b1 = (F5.8.15) 1+α mialatt ϕ1B>1 a b1 ϕ1B = max(0, min(1, ϕ1b ) ) =  +κ  (1 + α )b  b1 ≤ b ≤ b∞ 1, 0, b∞ < b  A fent tárgyaltak alapján, az első szakaszban (I) a szuprémum értéke:  [ϕ + ( 1 − ϕ )κ ]2 1 + α b 1  1 , max( b ,1 ) < B( ϕ1 ,α ) ϕ1 2+α 2   sup σH I ( z ) =  (F5.8.17)   min( b , 1 ) α 2 +   min( b ,1 ), ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − ϕ1 2( 1 + α ) b     max( b ,1 ) ≥ B( ϕ1 ,α ) Az (F5.8.3) és (F5.8.5) felhasználásával, az ES2-köteghez hasonlóan, belátható, hogy a kompozit köteg szakítószilárdsága (σC) az (F5.8.5) első szakaszának szuprémuma és a második és harmadik szakasz csúcsértékei maximumával adható meg:

- 80 -

2    b E A max sup σH ( z ), ϕ1 1 + α  min(b,1) − m  + (1 − ϕ1 ) m 1 bm  I   1+α  K α 2b      σC  = 1 < bm < (1 + α ) min(b,1) σS  max sup σH ( z ), (1 − ϕ1 ) E m A1 bm , bm ≥ max(1, (1 + α ) min(b,1) ) I  K    (F5.8.18) ahol a szál-mátrix szilárdság arány: σm E A = κbm = m 1 bm (F5.8.19) K σS ugyanis kis száltartalom (ϕ1) esetén a mátrix szilárdsága dominál. A szálhossz befolyása termoplasztikus mátrix esetén A szén-, len-, üveg- és aramid szálak átlagos szakadási nyúlása rendre 1-1,8%; 3-4%; 3-4,8%, és 3-5%, míg a telítetlen poliészter (UP) és az epoxi gyanta mátrix anyagoké rendre 2% és 3%, valamint a termoplasztikus PP mátrixé szálgyártáshoz 15-90% és tömbanyagok gyártásához 150% [K8,K16]. Ezért, termoplasztikus mátrixú kompozitok esetén világos, hogy bm>2, így 0≤α≤1-re az is igaz, hogy:

ε bm = m > 2 ≥ max(1, ( 1 + α ) min( b ,1 )) εS

(F5.8.20)

Ez azt jelenti, hogy mivel egy szálerősített rendszerben a mátrix szilárdsága kisebb, mint a szálaké, azaz:

σm = κbm < 1 σS

(F5.8.21)

így az (F5.8.20) és (F5.8.21) összehasonlításából következik, hogy a modulus arány ki kell elégítse a következő feltételt: E A E 1 1 κ= m 1= m < < (F5.8.22) K E sz bm 2 Következésképpen, termoplasztikus mátrixú kompozitoknál elegendő az (F5.8.20) egyenlőtlenségnek megfelelő bm értékeket (bm>2) az (F5.8.18) egyenlet alkalmazásánál:   [ϕ + ( 1 − ϕ )κ ]2 1 + α b  1 max 1 , ( 1 − ϕ1 )κbm  ,   ϕ1 2+α 2     σC  b < B( ϕ1 ,α ) = σS    2 + α min( b ,1 )  min( b ,1 ), ( 1 − ϕ1 )κbm  , max ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − ϕ1  2( 1 + α ) b      b ≥ B( ϕ1 ,α )  (F5.8.23) Az (F5.8.12)-őt figyelembe véve, a ϕ1B≤ϕ1≤1 intervallumban rögzített száltartalomra, az (F5.8.23) kifejezhető a normált szálhossz függvényeként:

- 81 -

  [ϕ + ( 1 − ϕ )κ ]2 1 + α l0  l 1 max 1 , ( 1 − ϕ1 )κbm  , 0 < 2 B( ϕ1 ,α )   lS 2 + α 4l S ϕ1 σ C    = σS    l0 2 + α lS  ≥ 2 B( ϕ1 ,α ) max ϕ1 + ( 1 − ϕ1 )κ − ϕ1  , ( 1 − ϕ1 )κbm  , 1 + l l α  0 S     (F5.8.24)

F6. FÜGGELÉKEK F6.1. A sodrási maradó feszültség modellezése A sodrási maradó feszültség leírásához [S46] tekintsük a 6.1.2. ábrát, ahol a baloldali rajz a szál sodrás előtti, közbeni és utáni, valamint a nyújtás közbeni állapotát ábrázolja. A feltételezés szerint az ro sugarú hengerrétegbe kerülő, PQ húrhelyzetű szálak egy EH-köteget alkotnak sodrás előtt és ekkor a hosszúságuk: lo' = lo ( 1 + ε o ) (F6.1.1) ahol lo a szálak terheletlen hossza, εo a kezdeti hullámosság (εo<0), vagy előfeszítés (εo>0) relatív mértéke. Tegyük fel, hogy az L hosszúságú, ro sugarú hengerrétegben a szálak sodrás során kialakult ferdesége a nyújtás előtt eo. Gátolatlan sodrás során a szálköteg hossza nincs rögzítve, így hosszirányú rövidülést, kontrakciót szenved, ezért szálaiban rugalmas maradó feszültség nem keletkezik. A gátolt sodrás során viszont a szálköteg hossza rögzített, így a ferde helyzet felvételekor a szálak megnyúlnak, s bennük – az εo értékétől függő – rugalmas nyúlás keletkezhet. A valóságban azonban a sodrás futó szálfolyamon történik, ezért a rövidszálas font fonalak esetében feltehető, hogy a sodrás első szakaszában, amikor a kis sodrat miatt a tömörítő erők kicsik, a szálak elcsúszhatnak egymáson, így gátolatlan sodrás valósulhat meg. Ezen első szakaszban kialakult eo’ szálferdeség és az eo végső ferdeség értékének aránya legyen p, amivel megadható a PC helyzetű szál eddig változatlan lo’ húrhossza is, az (F6.1.1)-et is figyelembe véve: e'o = peo , lo' = lo ( 1 + ε o ) = L2o + p 2eo2 = Lo 1 + p 2To2 (F6.1.2) A sodrás második szakaszában a szálvégek már rögzítettek, így gátolt sodrás jön létre. Ennek végén, a nyújtás előtt (u=0) a PB helyzetű szálak húrhossza l(o), a nyújtás után – a kontrakcióval egyelőre nem foglalkozva, de a lehetőségét az e=eo jelöléssel fenntartva – a PA helyzetű szálaké l(u): l( u ) = lo ( 1 + ε ) = L2o ( 1 + u )2 + e2 = Lo ( 1 + u )2 + T 2 (F6.1.3) Az (F6.1.2)-ből az lo terheletlen szálhosszat kifejezve és az (F6.1.3)-ba behelyettesítve, megkapható a nyújtott szál relatív nyúlása: l( u ) L2 ( 1 + u )2 + e2 ( 1 + u )2 + To2W 2 ( u ) − 1 = (1 + εo ) o 2 − 1 = ( 1 + ε ) − 1 (F6.1.4) o lo Lo + p 2eo2 1 + p 2To2 A PM=1-p a sodrás során kialakult, maradó rugalmas nyúlás arányát adja meg. Ha PM=1 (p=0), úgy teljes sodrás gátolt volt, míg PM=0 (p=1) esetében végig gátolatlan sodrás valósult meg.

ε(u ) =

- 82 -

F7. FÜGGELÉKEK F7.1. A szálréteg és a kompozit tönkremenetelének feltételei Feltéve, hogy a kompozit rúd tönkremenetelét a húzott oldali rétegek szakadása okozza, megfelelő összefüggés keresendő a kompozit elemek (εC≈εS) és a rétegek (εL) szakadási nyúlása, valamint a kompozit rúd törési lehajlása (ξ) között, figyelembe véve a köztes szerkezeti szinteket is (7.2.3., 7.2.5. és 7.2.6. ábrák). A szálak szintjéről indulva, az εC eloszlásfüggvénye, QεC(x)≈QεS(x)=P(εS<x)=p(x) (0≤x<∞) (F7.1.1) közelítőleg annak valószínűségét adja meg, hogy egy kompozit elem elszakad az x nyúlásnál, ami egyúttal egy E-kötegben a szakadt elemek részaránya is. Egy N független kompozit elemből álló réteg szakadt elemeinek száma (κ) binomiális eloszlású, ami egy Poisson eloszláshoz tart, ha N→∞ és Np=λV állandó [5, 8]: N (λV )k e − λV P(κ = k ) =   p k (1 − p) N − k   → P(κV = k ) = (F7.1.2) N →∞ k! k  ahol λ az εB nyúlás általa meghatározott szakadások (szakadt elemek) sűrűsége a V térfogatban, így a szakadt elemek átlagos száma: E( κ ) = NQε S ( x ) = Np( x ) = λ( x )V = E( κV ) (F7.1.3) A λ szakadási sűrűség egy állandóhoz tart, ha x→∞: NQε S ( x ) λ = λ( x ) = = λoQε S ( x ) → λo (F7.1.4) x →∞ V és λo kompozit elemek sűrűsége a V-ben: N λo = (F7.1.5) V A globális réteg-tönkremenetelt okozó nyúlásérték meghatározása érdekében legyen Vo egy kis, no számú kompozit elemet tartalmazó kritikus térfogat a V-ben, amelyben ha a szakadások száma elér egy kritikus ko értéket, úgy az egész réteg elszakad (7.2.5. és 7.2.6. ábra). A szakadások e lokális halmozódásának valószínűsége: N N  no  p o = p o ( x) = P(κ o = k o , κ ≥ k o ) =   p ko (1 − p ) no −ko ∑   p i (1 − p ) N −i =  ko  i≥k  i  o

ko  N     no  (F7.1.6) =   p ko (1 − p ) no −ko 1 − ∑   p i (1 − p ) N −i   ko   i =0 i   Vo-t csökkentve, amíg ko=no, az (F7.1.6)-ra kapjuk: ko  N    (F7.1.7) p o = p o ( x) = p ko 1 − ∑   p i (1 − p ) N −i   i =0 i   Az F7.1.6) kifejezés annak valószínűsége, hogy a V térfogat legalább ko szakadást tartalmaz és kiválasztva ko=no=λoVo kompozit elemet a V-ben, mindegyikük szakadt. Az ellentétes esemény szerint vagy ko-nál kevesebb szakadás van a V-ben, vagy no-nál kevesebb szakadás van a Vo-ban. Nyilvánvaló, hogy a szóban forgó kritikus esetben a ko elem egyfajta részköteget alkot, amelynek tönkremenetele az egész köteg, azaz a szálréteg tönkremenetelét

- 83 -

okozza. A p=p(x)=QεS(x) függvény egy eloszlásfüggvény, ugyanis belátható, hogy po(x) folytonos és monoton növő, po(0)=0, és po(x)→1, ha x→∞, így po(x) szintén teljesíti egy Qε SB ( x ) -el jelölt eloszlásfüggvény feltételeit [K55, K59]:

 ko  N   k Qε SB ( x ) = Qε S ( x ) 1 − ∑   Qε B ( x ) i ( 1 − Qε S ( x )) N −i  = Qε o ( x ) 1 − g Qε S ( x ),ko S  i =0  i   (F7.1.8) ahol εSB egy virtuális változó, amit a kérdéses részköteg szakító nyúlásának tekintünk, és g-t az (F7.1.7) vagy (F7.1.8) határozza meg. Következésképpen, Qε SB (x) annak

(

)

ko

(

[ (

)

)]

valószínűségének tekinthető, hogy egy kis Vo térfogatban lévő kompozit elemek egy részkötege tönkremegy az x nyúlásértéknél. Feltéve, hogy a V térfogat m (m≤N) kis térfogatból áll, azaz V = mVo (F7.1.9) amelyek függetlenek egymástól, úgy annak valószínűsége, hogy a kritikus számú szakadás (ko) éppen s-számú kis térfogatban jön létre, az alábbi binomiális eloszlással adható meg:  m P(ν = s ) =   p os (1 − p o ) m− s (F7.1.10) s  Ha egy réteg globális tönkremenetele akkor megy végbe, ha a kis térfogatok bármelyikében éppen ko szakadás jön létre, úgy ennek valószínűsége (pL) az alábbi módon számítható: p L = p L ( x) = P(ν > 0) = 1 − P(ν = 0) = 1 − (1 − p o ( x) )m

(F7.1.11)

A po(x)= Qε SB (x) egy eloszlásfüggvény, így pL(x) is annak tekinthető. Következésképpen, az (F7.1.11) kifejezés egy m független elemből felépülő rendszer leggyengébb láncszem típusú szilárdsága eloszlásfüggvényeként értelmezhető [166,K9,K48]. Definiáljuk az εL rétegszakító nyúlást, mint e szilárdságot reprezentáló változót, amelynek így az (F7.1.11)-el meghatározott QεL(x) eloszlásfüggvénye:

[

]

p L = P(ε L < x) = Qε L ( x) = 1 − 1 − Qε SB ( x) m

(F7.1.12)

Végül, a (7.2.7) összefüggés lineáris kapcsolatot ad az εL rétegszakító nyúlás és az ui kritikus lehajlás érték között, amelyben az ui megvalósult értékekhez tartozó valószínűségi változót ξi-vel jelöltük:

l2 ε Li (F7.1.13) 6hi −1 A ξi eloszlásfüggvénye változó-transzformációval kapható:  u   6h  Qξi (u ) = P(ξ i < u ) = Qε L   = Qε L  i −1 u  (F7.1.14)  l2   Ci  A 7.2.6. ábra a fenti eredményeket és a kompozit rúd különböző szerkezeti szintjei közötti kapcsolatokat szemlélteti. Annak érdekében, hogy egyszerű összefüggést találjunk a Qε S ( x ) és Qε L (x)

ξ i = C i ε Li =

eloszlásfüggvények között, tekintsük az εL-t, a gyakran alkalmazott esetek szerint, Weibull eloszlásúnak [252,K9]: 0 , x ≤ xo Qε B ( x) =  (F7.1.15) α 1 − e − a ( x − xo ) , x > xo ahol ’a’ és ’α’ a skála- és alak-paraméterek.

- 84 -

Az extrém szilárdságjellemzők tanulmányozásához fontos, eloszlás-farok viselkedésre fókuszálva, tekintsük az alulról szintén korlátos Qε SB (x) -t, és az (F7.1.8) és (F7.1.15) összefüggéseket alkalmazva belátható [K9], hogy a Qε SB (x) xo környezetbeli viselkedése az alábbi módon jellemezhető: lim

δ →0

Qε SB ( x o + δ )

= a1

(F7.1.16)

a1 = a k o

(F7.1.17)

δ α1

ahol

α 1 = k oα ,

Bebizonyították [K9], hogy a fent tárgyalt feltételek mellett a p1(x)= Qε SB (x) eloszlás esetén az (F7.1.11) a következő, Weibull típusú, extrém érték eloszláshoz vezet (m→∞): 0 , x ≤ xo Qε L ( x) = 1 − 1 − Qε SB ( x) m ∝  α2 1 − e − a 2 ( x − xo ) , xo < x ahol

(

)

(F7.1.18)

a2 = ma1 = ma ko = ma k o −1a , α 2 = α1 = koα , xo 2 = xo (F7.1.19) A számítások egyszerűsítéséhez tegyük fel, hogy az εL véletlen nyúlás az εS polinómjával becsülhető:

ε L ≈ co + c1ε Sb

(F7.1.20)

Következésképpen, az εL eloszlásfüggvénye az εS-ével becsülhető ( z > co + c1 xob ): α

1     z −c  b  o − a − x   1 o       c1    z − c b  o     =1− e

Qε L ( z ) ≈ Qε S     c1     Az xo=0 választás a következő alakra vezet (z>co)

(F7.1.21)

α

1  z − co  b α  α  − − a  z − c b  c − a( c1 ) b ( z −co ) b o 1   Qε L ( z ) ≈ Qε S   =1− e (F7.1.22)   = 1− e   c1     és e formulát az (F7.1.19)- és (F7.1.20)-szerintiekkel összehasonlítva, nyilvánvaló, hogy itt a következő leképezés valósul meg: −

α

α a → a2 = a( c1 ) b , α → α 2 = , xo = 0 → xo 2 = co b Az (F7.1.19) és (F7.1.23) összevetéséből kapjuk: 1  αk o

(F7.1.23)

 1 1 , c1 =  (F7.1.24)  ko  ma k o −1  és co egy kötetlen paraméter, amelynek megválasztása további követelményeket elégíthet ki. A ’co’ és ’c1’ paraméterek az (F7.1.20)-ban becsülhetők, pl. a modell várható erő-lehajlás folyamatának a méréshez való illesztéséből. Fordítva, ha ismerjük az ’a’ és ’α’ paramétereket, úgy az (F7.1.24) egyenletek és a ’b’ és ’c1’ becslések felhasználhatók a kompozit rúd b=

- 85 -

tönkremeneteli viselkedésének elemzésére és jellemzésére a ko és m értékek meghatározása révén. 1 1 ko = , m= (F7.1.25) αk b c o a k o −1 1

Ha b<1, azaz ko>1, akkor egyfajta károsodás-halmozódási modellt tekintünk. Ha b=1, úgy ko=1, ami azt jelenti, hogy az egyetlen kritikus hiba elvét alkalmazzuk. ε L ≈ co + c1ε B (F7.1.26) Ez esetben az α kitevő változatlan, de az xo eltolás megváltozik. Mivel co megválasztható – némely esetben és egy bizonyos mértékig – ez alkalmas illesztés révén kompenzálhatja a változatlan α hatását az egyszerűsített modellben. Ezen fent tárgyalt közelítés alkalmazható akkor is, amikor Qε B (x) pl. az N(m,σ2,xo) paraméterekkel adott, xo≥0 (m-xo>3σ) értéknél csonkított normális eloszlás, amelyhez egy Weibull W(a,α,xo) eloszlás illeszthető. Ez esetben a két eloszlás paraméterei identifikálhatók, pl. a várható értékek (m) és a négyzetes szórás (σ) illesztésével. Például, ha xo ismert, úgy ezek egyenlőségéből a Weibull paraméterek (a,α) meghatározhatók: −

1

1

− 1 2 1    m ≈ E( ε B ) = xo + a α Γ1 +  , σ ≈ D( ε B ) = a α Γ1 +  − Γ 2 1 +   α  α  α ahol Γ(x) a gamma függvény [K9,K41].

(F7.1.27)

F7.2. A hajlító erő négyzetének előállítása a különbségerők négyzetösszegeként A (7.2.33) egyenlőség belátásához tekintsük a (7.2.34) összefüggést: 2

n n  F (u ) =  ∑ ∆Fi (u ) = ∑ ∆Fi2 (u ) i =1 i =1  2

[

]

(F7.2.1)

(

)

∆Fi2 (u ) = Fi2−1 (u ) − Fi2 (u ) χ (u, u i ) = c 2 u 2 hi6−1 − hi6 χ i 0 ≤ u( t ) < ∞

(F7.2.2) (F7.2.3)

ahol

c2 =

16b 2 E 2

(F7.2.4)

l6 χ i = χ (u, u i ) Először részletezzük az összegfolyamat négyzetét:

(F7.2.5)

(

2

)(

)

n n n  F (u ) =  ∑ ∆Fi (u ) = ∑ ∆Fi (u )∆F j (u ) = c 2 u 2 ∑ hi3−1 − hi3 h 3j −1 − h 3j χ i χ j (F7.2.6) i , j =1 i , j =1 i =1  A (7.2.13) definícióból nyilvánvaló, hogy 2

χ i2 = χ i χ i χ j = χ min(i, j ) ezért pl. χ1χj=χ1 (j=1,…,n). Következésképpen, az (F7.2.6) részletesebb alakja:

- 86 -

(F7.2.7)

2

n n n  F (u ) =  ∑ ∆Fi (u ) = ∑ [∆Fi (u )]2 + ∑ ∆Fi (u )∆F j (u ) = i =1 i , j ≠1 i =1  2

(

)

(

) (

)

n 2  = c 2 u 2  χ1 h03 − h13 + 2 χ1 h03 − h13 ∑ h 3j −1 − h 3j + i =2 

(

)

(

) (

)

n 2 + χ 2 h13 − h23 + 2 χ 2 h13 − h23 ∑ h 3j −1 − h 3j + j =3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(

)

(

) (

)

n 2 + χ i hi3−1 − hi3 + 2 χ i hi3−1 − hi3 ∑ h 3j −1 − h 3j + j =i +1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(

)

(

) (

)

n 2 + χ n−1 hn3−2 − hn3−1 + 2 χ n −1 hn3− 2 − hn3−1 ∑ h 3j −1 − h 3j +

(

j =n

)

2 + χ n hn3−1 − hn3  

(F7.2.8) Most tekintsük az (F7.2.8) egyenlet i-edik sorát: n   χ i hi3−1 − hi3 hi3−1 − hi3 + 2 ∑ h 3j −1 − h 3j  =   j =i +1

(

)

(

)

( )[ ( ) ( ) ( )] = χ i (hi3−1 − hi3 )[hi3 + hi3 − 2hn3 ] = χ i (hi3−1 − hi3 )(hi3−1 + hi3 ) = χ i (hi6−1 − hi6 )

= χ i hi3−1 − hi3 hi3−1 − hi3 + 2 hi3 − hi3+1 + 2 hi3+1 − hi3+ 2 + ... + 2 hn3−1 − hn3 = (F7.2.9) ahol figyelembe vettük, hogy hn=0. Végül, felhasználva az (F7.2.9) eredményt, folytassuk az (F7.2.8)-at: 2

n  F (u ) =  ∑ ∆Fi (u ) = i =1  2

{ (

)

(

)

(

)

(

)

}

= c 2 u 2 χ1 h06 − h16 + χ 2 h16 − h26 + ... + χ i hi6−1 − hi6 + ... + χ n−1 hn6−2 − hn6−1 + χ n hn6−1 =

(

)

n n = c 2 u 2 ∑ hi6−1 − hi6 χ i = ∑ ∆Fi2 (u ) i =1

i =1

(F7.2.10) ami éppen a kérdéses eredmény.

F7.3. Kompozit köteg alkalmazása Kompozit köteget alkalmazva, pl. a várható érték folyamat kiszámítására, a (7.2.15) szerinti ∆Fi(u) i-edik rétegfolyamat több részfolyamat eredőjeként kapható a kompozit köteget alkotó szálkötegcelláknak megfelelően. Ezen erőátvitel megértéséhez tekintsük az i-edik réteg FLi(εi) eredő erejét, mint az u lehajlás okozta εi(u) hatását:

- 87 -

FLi (ε i (u, x)) = ∑ w j FLij (ε i (u, x))

(F7.3.1)

j

ahol l/2≤x≤l/2 a kérdéses keresztmetszet helye a hajlított rúd mentén, wj a j-dik szálkötegcella súlya és FLij az e cellában ébredő eredőerő. Ugyanez érvényes az egy kompozit elemre vonatkoztatott rétegerőre is: F1Li (ε i (u, x)) = ∑ w j F1Lij (ε i (u , x)) (F7.3.2) j

Legyen N és ψ a kompozit elemek száma és sűrűsége a rúd keresztmetszet mentén. Az utóbbit az N-nek a keresztmetszet (A) szerinti deriváltja definiálja: dN ψ= (F7.3.3) dA Tiszta hajlítás esetében a rúd keresztmetszetében a normál feszültségek eredője zérus [K49]: ho − zo R

ho

0 = ∫ σdA = ∫ F1 L dN = ∫ F1 LψdA = ∫ F1 L (ε ( z , u , x) )ψbdz = bR ∫ F1 L ( y )ψdy A

A

A

(F7.3.4)

z − o R

0

ahol z és zo adja meg a szóban forgó réteg és a semleges réteg helyét a keresztmetszetben (itt, i-t z helyettesíti), valamint R=R(zo,u,x) a semleges réteg görbületi sugara a támaszköz közepén (7.2.1. ábra). Végül, a nyúlás (ε) az adott réteg relatív nyúlása [K49]: z − z o (u , x) ε ( z, u , x) = (F7.3.5) R ( z o , u , x) Ha F1 és ψ adott és R ismert érték, a zo számítható a (F7.3.4)-ből. A (F7.3.4)-ből nyilvánvaló, hogy a feszültség és a kompozit elem erő egyszerű összefüggésben áll egymással: σ = ψ F1L (F7.3.6) A hajlított rúd másik egyensúlyi egyenlete a hajlító nyomatékot adja: ho

M = ∫ ( z − z o )σdA = ∫ ( z − z o ) F1 LψdA = ∫ ( z − z o ) F1L (ε ( z , u , x) )ψbdz = bR 2 A

A

ho − zo R

∫ yF1L ( y )ψdy

z − o R

0

(F7.3.7) Ha ψ állandó, úgy σ=Eε és E a hajlító modulus, ekkor – a klasszikus hajlítás-elméletnek megfelelően [K49] – a (F7.3.5)-ből kapjuk, hogy zo=ho/2, mialatt a (F7.3.7) az alábbi alakot veszi fel: IE M (u , x) = (F7.3.8) R( z o , u, x) Másrészről, a hajlító nyomaték a hajlítóerőből is kiszámítható (7.2.1. ábra): F (u )(l − x) M = M (u , x) = (F7.3.9) 4 A (F7.3.8) és (F7.3.9) kifejezéseket egyenlővé téve, egy differenciálegyenlethez vezet, amelynek kis lehajlásokra (u≤0,1l) érvényes megoldása a következő összefüggést adja a görbület és lehajlás között [K49]: 12u (l − x) 1 = (F7.3.10) R( z o , u, x) l3 A z koordinátájú réteg nyúlását a (F7.3.2) és (F7.3.7) egyenletek határozzák meg: 2 z − ho ε ( z, u , x) = 6 (l − x)u (F7.3.11) l3 - 88 -

A hajlítóerő, azaz lehajlás-gerjesztésre adott válasz – az első tönkremenetelig -, a szálkötegcellák válaszai súlyozott összegeként adódik: F (u ) =

ho

2

4 4bR ( z − z o )∑ w j F1 Lj (ε ( z , u , x) )ψbdz = ∑wj ∫ l 0 l j j

ho − zo R

∫ yF1Lj ( y )ψdy

(F7.3.12)

z − o R

A z, R, és a (wj) súlyok ismeretében a válaszerő várható értéke az egyes szálkötegcellák várható erőire vonatkozó formulák felhasználásával számítható.

- 89 -