BAB
Hukum Coulomb Dan Medan Listrik
Pendahuluan Istilah kelistrikan sudah sering di gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Akan tetapi orang tidak banyak yang memikirkan tentang hal itu. Pengamatan tentang gaya listrik sudah ada sejak zaman Yunani kuno. Pada waktu itu orang-orang Yunani kuno telah mengamati bahwa batu “ambar” yang telah digosok dengan kain Wol, akan menarik benda-benda ringan seperti jerami atau bulu. Pada tahun ±1600 William Gielbert mulai mempelajari berbagai bahan yang mempunyai sifat seperti batu “ambar”. Bahan-bahan ini disebut bersifat elektrik. Kata elektrik berasal dari bahasa Yunani kuno, yaitu electrum yang artinya adalah “batu ambar”. Pada bab ini akan dibahas tentang konsep muatan listrik, tinjauan tentang konduktor dan isolator dan cara memberi muatan pada konduktor, hukum Coulomb, yang menjelaskan gaya tarik atau gaya tolak pada muatan listrik terhadap muatan lainnya, medan listrik yang dapat digambarkan dengan garisgaris medan listrik yang menunjukkan besar dan arahnya, kemudian diakhiri dengan pembahasan tentang perilaku muatan-muatan titik didalam medan listrik. 1.1 Muatan Listrik Untuk menjelaskan tentang gejala kelistrikan orang harus tahu adanya muatan listrik. Berdasarkan hasil percobaan, ada dua jenis muatan listrik. Benyamin Franklin mengusulkan tanda positif dan tanda negative untuk kedua jenis muatan tersebut. Muatan positif adalah muatan-muatan yang sejenis dengan muatan kaca setelah digosok dengan kain sutera. Muatan negative adalah muatan-muatan yang sejenis dengan muatan ebonite setelah digosok dengan kain Wol atau bulu kucing. Muatan listrik dihasilkan ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral sehingga salah satu benda mempunyai kelebihan electron disbanding proton sedangkan benda yang lain mempunyai kelebihan proton dari pada elektron. Elektron bermuatan negative, sehingga apabila benda berkelebihan electron maka benda itu bermuatan negative. Sebaliknya sebuah benda yang kehilangan electron akan bermuatan positif. Satuan dasar muatan dalam system metric disebut Coulomb yang bersesuain dengan 6.25 x 1018 kali jumlah electron atau proton dan dilambangkan dengan huruf C. Muatan satu electron adalah −e = − 1.6 x 10-19 C. Muatan satu proton adalah +e = + 1.6 x 10-19 C. 1
Contoh 1-1 Sebuah lempengan logam mempunyai muatan - 3.0 μC dan sebuah batang logam mempunyai muatan + 2.0 μC. Berapa banyak elektron-elektron yang harus dipindahkan dari lempengan ke batang agar keduanya mempunyai muatan yang sama ? 1 Coulomb adalah 6.25 x 1018 electrons. Penyelesaian: Jumlah kedua muatan : (+2,0 μC − 3,0 μC)/2 = − ½ μC Jumlah electron yang dipindahkan : 3.0 μC − ½ μC = 2,5 μC = 2,5 x 10−6 C = 2,5 x 10−6 x 6.25 x 1018 elektron = 1,5625 x 1013 elektron Karakteristik dasar dari muatan listrik diperlihatkan pada gambar 1-1, yaitu: 1. Muatan yang tidak sama jenisnya, tarik-menarik. 2. Muatan yang sama jenisnya, tolak-menolak.
Dua cara menempatkan muatan listrik pada benda yaitu : 1. Konduksi : Benda yang bermuatan disentuhkan pada benda yang tidak bermuatan. Muatan mengalir dari benda yang bermuatan ke benda yang tidak bermuatan sampai terjadi kesetimbangan elektrostatis dan pada akhirnya keduanya mempunyai muatan yang sama jenisnya. Perhatikan gambar 1-2.
2
Gambar 1-2: (a) Batang ebonite digosokkan pada bola logam yang tidak bermuatan (b) Bola logam menjadi bermuatan negatif
2. Induksi : Benda yang bermuatan didekatkan pada benda yang tidak bermuatan. Ini menyebabkan electron terpisah dari proton.
Gambar 1-3: (a) Batang ebonite bermuatan negative didekatkan pada bola logam yang tidak bermuatan. (b) Bola logam diberi kawat yang dihubungkan ke tanah menyebabkan elektron mengalir ke tanah. (c) Setelah batang ebonite dan kawat dilepas, maka bola logam menjadi bermuatan positif.
Perhatikan gambar 1-3. Sebatang ebonite bermuatan negative didekatkan pada bola logam yang tidak bermuatan. Bola tadi dipasang kawat yang dihubungkan dengan tanah, maka electron segera mengalir menuju tanah. Bila kawat dan batang ebonite dihilangkan, muatan tetap tinggal pada bola dan jenis muatannya 3
berlawanan dengan muatan yang terkandung pada ebonit. Jadi bola logam sekarang menjadi bermuatan positif. 1.2 Hukum Coulomb Perhatikan gambar 1-4. F
q1
q2
−
−
r
F
(a)
F
q1
q2
+
+
r
F
(b) q1
F
F
q2 −
+ r (c)
Gambar 1-4: (a) dan (b) Dua muatan listrik sejenis mengalami gaya tolak-menolak (c) Dua muatan listrik tidak sejenis mengalami gaya tarik-menarik.
Hukum Coulomb menyatakan bahwa gaya listrik F ( gaya tolak atau gaya tarik) yang bekerja antara dua titik bermuatan (q1 dan q2) berbanding lurus dengan perkalian besar muatannya dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (r) antara kedua muatan tersebut. Hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut :
q1q 2 r2 Dengan k adalah konstanta coulomb yang besarnya diruang hampa adalah k = 8.9875 x 109 N m2 C-2 . Nilai k juga sering ditulis sebagai F k
k
1 4
0
4
1-1a
dimana 0 disebut sebagai permitivitas di ruang hampa (permittivity of free space) yang mempunyai nilai
0 8 . 8542 x10
12
C 2N
1
m 2
Oleh karena itu F juga boleh ditulis sebagai F
1
q1 q 2
1-1b
4 0 r 2
Bila muatan-muatan itu berada didalam medium tertentu, maka
F
1 q1 q 2 4 r 2
1-1c
dimana ialah permitivitas medium, atau
F
1
q1 q 2
1-1d
4 r 0 r 2
dimana r ialah permitivitas relatif medium. Gaya Coulomb adalah besaran vector karena itu dalam perhitungannya harus diperlakukan sebagai vector. Contoh 1-2 Berapa gaya tolak antara dua electron yang terpisah pada jarak 1 meter di hampa udara ? Berapa gaya gravitasi antara keduanya ? Bandingkan kedua gaya tersebut ! k = 1/ (40) = 9.0 109 N m2 C-2 massa elektron = 9.11 10-31 kg massa proton = 1.67 10-27 kg G = 6.67 10-11 N m2 kg-2
Penyelesaian: F = kq1q2/r2 = (9.0 x 109 x 1.6 x 10-19 x 1.6 x 10-19)/ 12
= 2.3 x 10-28 N
F = Gm1m2/r2 = (6.67 x 10-11 x 9.11 x 10-31 x 9.11 x 10-31)/ 12 = 5.5 x 10-71 N
5
Gaya Listrik/Gaya gravitasi = 2.3 x 10-28 / 5.5 x 10-71 = 4 x 1042 Dari hasil perbandingan ini dapat disimpulkan bahwa : gaya gravitasi bisa diabaikan dibanding gaya elektrostatik. Contoh 1-3 Diketahui tiga buah muatan titik masing-masing adalah Q1= 2µC, Q2= 2µC, dan Q3= -36µC, terletak pada garis lurus seperti gambar dibawah. Hitung gaya yang bekerja pada tiap-tiap muatan. Penyelesaian: Q1
3m
+
Q2 +
Gaya antara muatan Q1 dan Q2 saling tolak menolak. F12 = F21 = k
Q 1Q 2 r122
= (9.0 x 109 x 2.0 x 10-6 x 2.0 x 10-6)/ 32 = 4 x 10-3 N Gaya antara muatan Q1 dan Q3 saling tarik-menarik.. F13 = F31 = k
Q 1Q 3 r132
= (9.0 x 109 x 2.0 x 10-6 x 36.0 x 10-6)/ 62 = 18 x 10-3 N Gaya antara muatan Q2 dan Q3 saling tarik-menarik.. F23 = F32 = k
Q 2Q 3 r 232
= (9.0 x 109 x 2.0 x 10-6 x 36.0 x 10-6)/ 32 = 72 x 10-3 N Keterangan : F21 : gaya pada muatan Q1 akibat muatan Q2 F12 : gaya pada muatan Q2 akibat muatan Q1 Gaya yang bekerja pada muatan Q1 adalah F1 :
6
3m
Q3 −
F21
Q1
F31
Q2
Q3
+
−
+
F1 = F31 – F21 = 18 x 10-3 N – 4 x 10-3 N = 14 x 10-3 N arah kekanan. Gaya yang bekerja pada muatan Q2 adalah F2 : Q1
Q2
+
+
Q3
F32
−
F12 F2 = F32 + F12 = 72 x 10-3 N + 4 x 10-3 N = 76 x 10-3 N arah kekanan. Gaya yang bekerja pada muatan Q3 adalah F3 : Q1
Q2
+
+
Q3
F23
−
F13 F3 = F23 + F13 = 72 x 10-3 N + 18 x 10-3 N = 90 x 10-3 N arah kekiri. Contoh 1-4 Muatan-muatan titik masing-masing besarnya +4 C , +10 C , -6 C dan +5 C terletak di titik A, B, C dan D pada empat persegipanjang seperti gambar dibawah. Hitung gaya resultan yang bekerja pada muatan di titik B dan kemana arahnya ? A
B
4 Cm
1 Cm
C
D
7
Penyelesaian: k = 8.9875 x 109 Nm2C-2 qA= +4 C , qB= +10 C , qC= -6 C , BD = 4 2 12 = 4.123 cm.
qD= +5 C , FDB
A
B
4 Cm
θ
FAB 1 Cm
FCB
C
D
tan = FDB = FAB = FCB =
1 4
; maka = 14.036 0
8 . 9875 x10 9 ( 5 x10 6 )( 10 x10 6 ) 0 . 04123 2 8.9875 x10 9 ( 4 x10 6 )( 10 x10 6 )
= 264.352 N
= 224.688 N
0.04 2 8.9875 x10 9 ( 6 x10 6 )( 10 x10 6 ) = 0.012
5392.500 N
FBD = 264.352 cos (14.036o) i + 264.352 sin (14.036o) j = 256.459i + 64.114j FBA = 224.688i FBC = -5392.500j Resultan gaya, FP = FBD + FBA + FBC = 481.147i – 5328.386j Besar gaya resultan, FP = Arah FP, = tan-1
481.147 2 5328.386 2
5328.386 84.840 0 481.147
8
= 5350.065 N
Contoh 1-5 Dua buah muatan Q1 = 20μC dan Q2 = −300 μC masing-masing terletak pada (0,1,2) m dan (2,0,0)m. Hitung gaya yang bekerja pada muatan Q1. Penyelesaian
R21 = R1 – R2 = (0,1,2) – (2,0,0) = (−2,1,2) = (−2i + j + 2k) m Besar vektor R21 = (2) 2 (1) 2 (2) 2 3 m Vektor satuan dalam arah R21 adalah : 1 a 21 (2i j 2k ) 3
Maka 6 6 Q1Q2 2i j 2k 9 ( 20 x10 )( 300 x10 ) ( 2i j 2k ) F1 k 2 a 21 9 x10 6 2 N 3 3 R21 3
Jadi besar gaya tersebut 6 N, arahnya bersesuaian dengan Q1 yang ditarik oleh Q2. Contoh 1-5 Muatan Q1 = 300μC terletak pada (1,-1,3) m mengalami gaya F1 = (8i – 8j + 4k) N Akibat muatan Q2 di (3,-3,-2). Hitung Q2. Penyelesaian R21 = R1 – R2 = (1, −1,3) – (3, −3, −2) = (−2,2, −1) = (−2i + 2j – k ) m Besar vektor R21 = (2) 2 (2) 2 (1) 2 3 m Vektor satuan dalam arah R21 adalah : 1 a 21 (2i 2 j k ) 3
Maka 9
F1 k
Q1Q2 a 21 R212
(8i 8 j 4k ) N 9 x10 9
(300 x10 6 )Q2 (2i 2 j k ) N 3 32
Ambil salah satu komponen saja, misalnya gaya dalam arah sumbu x, maka (8i ) N 9 x10 9
(300 x10 6 )Q2 (2i ) N 3 32
Q2 = −40 μC. 1.3 Medan Listrik Medan listrik adalah daerah dimana apabila sebuah muatan uji q0 diletakkan ditempat itu, maka gaya coulomb F akan berkerja padanya. Dalam satuan SI medan listrik dinyatakan dalam Newton per Coulomb (N/C). Persamaan untuk menghitung kuat medan listrik adalah E
F q0
1-2
E adalah kuat medan listrik. Karena itu, kuat medan listrik akibat muatan titik q pada jarak r adalah E k
q r2
1-3
Kuat medan listrik total akibat muatan titik q1 , q2 , ……., qn adalah
E E1 E2 ........ En
1-4
Oleh karena kuat medan listrik adalah besaran vector, maka penjumlahan pada persamaan 1-4 harus dilakukan secara vector. 1.4 Garis Gaya Listrik Medan listrik digambarkan dengan cara menggambarkan garis-garis yang arahnya ditunjukkan oleh anak panah. Garis anak panah disebut garis-garis medan atau garis-garis gaya karena garis-garis tersebut juga menunjukkan arah gaya yang dilakukan pada suatu muatan uji positif. Garis gaya listrik adalah garis khayal yang berasal dari muatan positif dan berakhir pada muatan negative atau di takterhingga, atau berasal dari tak terhingga berakhir dimuatan negatif. Tidak ada garis-garis medan yang berpotongan. Arah garis singgung disetiap titik pada garis tersebut menunjukkan arah kuat medan listrik E di titik itu. Jumlah garis 10
gaya listrik yang menembus suatu bidang sebanding dengan kuat medan pada bidang itu dan sebanding dengan luas bidang. Pola yang terbentuk oleh garis medan listrik disebut pola medan listrik seperti pada gambar 1-5.
Gambar 1-5: Pola garis-garis medan yang ditimbulkan oleh muatan positif adalah menjauhi muatan dan yang ditimbulkan oleh muatan negative adalah menuju muatan. Arah medan listrik E di setiap titik menyinggung garisgaris gaya.
Medan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik arahnya radial. Garis-garis medan yang ditimbulkan oleh muatan positif arahnya menjauhi muatan, sedangkan garis-garis gaya yang ditimbulkan oleh muatan negative arahnya menuju muatan. Perhatikan gambar 1-6.
+
−
(a)
+
P
−
P
(b) Gambar 1-6: (a) Garis-garis medan yang ditimbulkan oleh muatan positif dan negative. (b) Arah medan listrik di titik P akibat muatan titik positif dan negatif 11
Contoh 1-6 Dua buah muatan titik masing-masing +25 C dan -25 C terletak pada bidang empat persegi panjang seperti gambar dibawah. Hitunglah besar kuat medan listrik dan arahnya di titik P , Q, R dan S. Q
R
S
4m
4m
3m
3m +
−
P
Q1
Q2
Penyelesaian : Kuat medan listrik di titik P : Q
R
S
4m
4m
E2 +
P
Q1
EP E1
E1 k
Q1 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6 )/ 32 = 25 x 103 N/C r12p
E2 k
Q2 9 -6 2 3 2 = (9.0 x 10 x 25 x 10 )/ 3 = 25 x 10 N/C r2 p
EP = E1 + E2 = 25 x 10 3 N/C + 25 x 10 3 N/C = 5 x 10 4 N/C arah EP dari titik P menuju Q2
12
−
Q2
Kuat medan listrik di titik Q : E1 Q
R
S
θ ER
θ E2
4m
4m 5m
5m
+
Q1
Cosθ = 3/5
θ
θ 3m
P
3m
Sinθ = 4/5
−
Q2
Cos2θ = Cos2θ – Sin2θ
Cos2θ = (3/5)2 – (4/5)2 = - 7/25 E1 k
Q1 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6)/ 52 = 9 x 10 3 N/C r12Q
E2 k
Q2 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6)/ 52 = 9 x 10 3 N/C r22Q
E Q E12 E 22 2 E1 E 2 Cos2 EQ (9000)2 (9000)2 2x9000x9000x(Arah EQ adalah dari titik Q menuju titik S
13
7 ) = 1,08x103 N/C 25
Kuat medan listrik di titik R : E1 ER Q
β
R
S
α E2
4m
4m
52 m
α
+
3m
Q1
3m
P
Cos α = 6/ 52
Cos β = 0
Sin α = 4/ 52
Sin β = 1
−
Q2
(β = 90o)
Cos(α+β) = Cosα. Cosβ − Sin α. Sinβ = 6/ 52 . 0 − 4/ 52 . 1 = − 4/ 52 Q1 9 -6 2 3 2 = (9.0 x 10 x 25 x 10 )/ 4 = 14,0625 x 10 N/C r1 R Q E 2 k 22 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6)/ 52 = 4,33 x 10 3 N/C r2 R
E1 k
Gambarlah titik R secara terpisah : E1
R
E2 Cosα
β α
E2 Sinα E2
14
∑Ex = E2 Cosα = 4,33 x 10 3 x (6/ 52 ) N/C = 3,602 x 10 3 N/C ∑EY = E1 − E2 Sinα = 14,0625 x 10 3 − 4,33 x 10 3 x (4/ 52 ) = 11,66x10 3 N/C Tanθ = ∑EY/∑Ex = 11,66x10 3 / 3,602 x 10 3 = 3,2371
; θ = 72,833o
Jadi arah ER adalah 72,833o terhadap garis RS. Besar ER adalah :
E R E X2 EY2 (3602) 2 (11660) 2 12203,688 N/C Atau bisa dihitung menggunakan persamaan berikut : ER
E 12 E 22 2 E 1 E 2 Cos ( )
4
E R (14062,5)2 (4330)2 2 x14062,5x4330x(-
52
Kuat medan listrik di titik S :
E1 Q
R
) = 12203,688 N/C
S
α β ES
4m
E2
52 m
+
Q1
α
−
3m
P
Cosα = 6/ 52
Cosβ = 0
Sin α = 4/ 52
Sinβ = 1
3m
Q2
(β = 90o)
15
Cos(α+β) = Cosα. Cosβ − Sin α. Sinβ = 6/ 52 . 0 − 4/ 52 . 1 = − 4/ 52 E1 k
Q1 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6)/ 52 = 4,33 x 10 3 N/C r12S
E2 k
Q2 = (9.0 x 109 x 25 x 10-6)/ 42 = 14,0625 x 10 3 N/C r22S
Gambarlah titik S secara terpisah : E1
E1 Sinα S
α β
E1 Cosα
E2
∑Ex = E1 Cosα = 4,33 x 10 3 x (6/ 52 ) N/C = 3,602 x 10 3 N/C ∑EY = E1Sinα − E2 = 4,33 x 10 3 x (4/ 52 ) − 14,0625 x 10 3 = −11,66x10 3 N/C Tanθ = ∑EY/∑Ex = −11,66x10 3 / 3,602 x 10 3 = −3,2371 ; θ = −72,833o Jadi arah ER adalah
−72,833o
terhadap garis RS.
Besar ER adalah :
E R E X2 EY2 (11660) 2 (3602) 2 12203,688 N/C Atau bisa dihitung menggunakan persamaan berikut : ER
E 12 E 22 2 E 1 E 2 Cos ( )
16
E R (4330)2 (14062,5)2 2 x4330x14062,5x(-
4 52
) = 12203,688 N/C
Contoh 1-7 Hitung E di titik (0,0,5) yang diakibatkan oleh muatan Q1 = 0,35 μC di (0,4,0)m dan Q2 = −0,55 μC di (3,0,0)m. Penyelesaian R1 = (0,0,5) – (0,4,0) = (0, −4,5) = (−4j + 5k) m Besar R1 adalah (4) 2 (5) 2 41 m Vektor satuan dalam arah R1 adalah a1 E1 k
4 j 5k 41
6
Q1 0,35 x10 4 j 5k a 9 x10 9 48 j 60k N/C 2 1 41 R1 41
R2 = (0,0,5) – (3,0,0) = (−3, 0,5) = (−3i + 5k) m Besar R2 adalah (3) 2 (5) 2 34 m Vektor satuan dalam arah R2 adalah a 2 E2 k
Q2 0,55 x10 a 2 9 x10 9 2 34 R2
6
3 j 5k 34
3i 5k 74,9i 124,9k N/C 34
E di titik (0,0,5) adalah E = E1 + E2 = (74,9i − 48j − 64,9k) N/C 1.5 Dipol Listrik Dan Momen Dipol Listrik Perhatikan gambar 1-7. Dua buah muatan titik yang tak sejenis q, besarnya sama, dan jaraknya d relative dekat disebut dipole listrik. Perkalian dari salah satu muatan tersebut dengan jarak antara keduanya disebut momen dipole listrik P = q.d yang arahnya dari muatan negative menuju ke muatan positif. Dipol listrik menghasilkan kurva garis-garis medan listrik. 1-5
P qd
17
(a)
(b)
Gambar 1-7: (a) Sebuah dipole terdiri dari dua buah muatn q yang besarnya sama dan
berlawanan jenis yang terpisah pada jarak kecil d. (b) Momen dipole P arahnya dari muatan negative menuju ke muatan positif.
Contoh 1-8 Sebuah muatan +q berada di posisi x = a dan muatan kedua −q berada di posisi x = −a. Carilah medan listrik disumbu x di titik R, yang berjarak sangat besar dibanding jarak pisah kedua muatan itu. -a
+a
−
+
q1
q2
E1
R
E2
x
Penyelesaian : Titik R pada sumbu x berjarak x-a dari muatan positif dan x+a dari muatan negative. Resultan medan listrik di titik R adalah
18
E
kq kq ( x a) 2 ( x a) 2
E kq{
1 1 } 2 ( x a) ( x a) 2
E kq{
( x a) 2 ( x a) 2 } ( x a) 2 ( x a) 2
4ax E kq 2 2 2 (x a )
Untuk x >> a (x jauh lebih besar dari a), a2 dapat diabaikan dibanding x2 pada penyebutnya, karena itu
E kq
4ax x4
E kq
4a x3
1.6 Gerak Muatan-muatan Titik di Dalam Medan Listrik Bila sebuah partikel massanya m, bermuatan listrik q diletakkan di dalam medan listrik E, partikel ini akan mengalami gaya F=qE yang searah dengan medan E bila muatan partikel positif dan berlawanan dengan arah E bila muatannya negatif. Jika hanya gaya ini yang bekerja pada partikel tersebut, partikel akan mempunyai percepatan konstan a
q E m
1-6
Contoh 1-9 Sebuah electron yang dilepas dari keadaan diam, berada dalam medan listrik homogen E=104 N/C yang arahnya vertical keatas hingga menempuh jarak 1 cm. Hitung :
19
a. Gaya yang bekerja pada electron ini dan bandingkan dengan gaya berat electron itu. b. Kecepatan electron saat bergerak sejauh 1 cm. c. Energi kinetiknya. d. Waktu yang dibutuhkan untuk menempuh jarak itu. Penyelesaian: a) F(listrik) = eE = 1.6 x 10-19 C x 104 N/C = 1,6 x 10-15 N F(gravitasi) = mg = 9.11 x 10-31 kg x 9.8 N/kg = 8,9 x 10-30 N Gaya Listrik/Gaya gravitasi = 1,6 x 10-15 N / 8,9 x 10-30 N = 1,8 x 1014 Dari hasil perbandingan ini dapat disimpulkan bahwa : gaya gravitasi bisa diabaikan dibanding gaya elektrostatik. b)
a
F listrik m
1 , 6 x 10 9 ,1 x 10
15 31
N 1 , 8 x 10 kg
15
m/s2.
v 2 v o2 2 aX
v 2 0 2 2 x1,8 x1015 ms 2 x10 2 m
v 6x10 6 m/s c) EK = ½ mv2 = 1,6x10-17 Joule d) t
v 3,3 x10 9 a
s.
1.7 Distribusi Muatan Kontinu 1.7.1 Fluks Listrik (Electric Flux) Fluks listrik atau rapat garis gaya listrik ialah jumlah garis medan elektrik yang menembus permukaan. Perhatikan suatu medan listrik seperti gambar 1-8 dibawah. Garis medan listrik menembus permukaan segiempat yang luasnya A yang sejajar dengan medan itu. Jumlah garis gaya persatuan luas adalah medan listrik. Karena itu, jumlah garis yang menembus luasan A adalah hasil kali EA. Hasil kali kuat medan listrik E dengan luas permukaan A yang sejajar medan itu disebut fluks listrik, : EA
1-7 20
Luas A
E Gambar 1-8: Medan listrik menembus permukaan yang arahnya sejajar dengan Medan listrik
Bila normal bidang permukaan tidak sejajar dengan medan listrik, maka fluks listrik yang menembus luas A adalah E.A.cos 1-8
Gambar 1-9: Medan listrik melalui permukaan pada sudut terhadap normal bidang permukaan
Jika permukaan luasan tidak datar maka perhitungan Fluks Φ adalah : E. cos .dA
1-9
Gambar 1-10: Medan listrik melalui permukaan yang luasannya tidak datar pada sudut terhadap normal permukaan.
21
1.7.2 Hukum Gauss Perhatikan gambar 1-11. Medan listrik melewati sebuah permukaan tertutup. Hukum Gauss menyetakan bahwa : Fluks total yang melewati setiap bagian permukaan tertutup sama dengan jumlah muatan total didalam permukaan tertutup dibagi dengan permitivitas.
Gambar 1-11: Fluks melewati sebuah permukaan tertutup
Secara matematis hukum Gauss dapat dinyatakan sebagai berikut.
En dA
qtotal
1-10
o
En adalah besar medan listrik yang sejajar dengan normal dari elemen luas permukaan dA atau tegak lurus dengan elemen luas permukaan dA. 1.8 Perhitungan Medan Listrik Berdasarkan Hukum Coulomb Berdasarkan hukum Coulomb kuat medan listrik E di sembarang titik di luar muatan dapat dihitung sebagai berikut: E k
dq r2
1-5
Contoh 1-10 : Medan Listrik E di dekat muatan garis tak hingga Sekarang kita mempunyai kawat panjang bermuatan yang panjangnya 2L terletak pada sumbu y dan membawa muatan per satuan panjang λ. Perhatikanlah gambar 1-12.
22
Gambar 1-12: Medan Listrik E di dekat muatan garis tak hingga
Kita akan menghitung medan listrik yang disebabkan oleh kawat di titik P, yang berjarak r dari tengah-tengah kawat. Bagilah kawat menjadi segmen-segmen kecil dy yang membawa segmen muatan dq= λ dy. Jarak s dari setiap segmen di y ke titik P adalah
Medan listrik dE di titik P akibat segmen ini adalah
Untuk mendapatkan medan listrik total di titik P kita harus mengintegralkan untuk seluruh segmen. Oleh karena komponen y simetris maka komponen y saling meniadakan. Sehingga yang diintegralkan hanya komponen x saja, yaitu
Jika L>>r ( L jauh lebih besar dari r atau panjang kawat dianggap takhingga) maka r dapat diabaikan dibanding L, jadi
23
Contoh 1-11 : Medan Listrik E Pada Sumbu Sebuah Cincin Bermuatan Sebuah konduktor berbentuk cincin berjari-jari a membawa muatan total Q. Perhatikan gambar 1-13.
Gambar 1-13: Medan Listrik E Pada Sumbu Sebuah Muatan Cincin
Akan dihitung medan listrik di titik x dari pusat cincin sepanjang garis yang tegak lurus cincin. Pertama bagilah cincin menjadi bagian-bagian kecil yang berukuran ds karena kita akan mengintegralkan sepanjang cincin ini. Muatan segment ds adalah dQ, yaitu bagian kecil dari muatan total. Elemen muatan ini menyebabkan terjadinya medan listrik dE yang besarnya adalah
Bila dE diuraikan menjadi komponen-komponen x dan y, maka komponen y akan saling meniadakan, hal ini dikarenakan sifat simetris dari komponen y. Hal ini berarti kita tinggal menghitung komponen x saja yang besarnya
Untuk mendapatkan jumlah total seluruh komponen x, integralkan :
24
Oleh karena x dan a konstan, maka hasil integralnya adalah
Contoh 1-12 : E Pada Sebuah Cakram Bermuatan Secara Seragam Perhatikan gambar 1-14. Medan listrik E di titik P dapat di hitung sebagai berikut:
EZ
θ
θ Ex
E
Gambar1-14: E Pada Sebuah Cakram yang dimuati Secara Seragam
A = πR2 ; dA =2 πR’dR’ ; Elemen muatan dq = σdA = 2πR’σdR’. Pada contoh 1-8 telah diperoleh bahwa
Maka
25
Contoh 1-13 : E di Dekat Muatan Bidang Takhingga Muatan positif terdistribusi merata di seluruh bidang-xy dengan kerapatan muatan per satuan muatan. Akan dihitung medan listrik di titik P yang berjarak a dari bidang. Perhatikan gambar 1-15.
Gambar1-15: E di Dekat Muatan Bidang Takhingga
Bagilah bidang ini menjadi lembaran-lembaran kecil dengan lebar dx, yang sejajar sumbu y. Luas setiap lembaran yang panjangnya L adalah Ldx, dan muatan dq dari lembaran ini adalah dq = σLdx Muatan per satuan panjang adalah Berdasarkan hasil dari perhitungan kawat panjang takhingga diketahui bahwa dE dalam bidang xz adalah Sekarang kita gunakan sifat simetri dan perhatikan bahwa semua komponen x saling meniadakan dan yang ada hanya komponen dalam arah sumbu z saja. Sehingga resultan medan listrik di titik P adalah dalam arah sumbu z dan besarnya adalah dEz = dE sin karena dE' ada pada kedua sisi, maka interal dilakukan dari - sampai + yaitu
26
Contoh 1-14: E di Dalam dan di Luar Pelat Sejajar Bermuatan Seragam Jika diketahui dua buah pelat logam datar (yaitu lembaran 1 dan 2) mutannya terdistribusi merata keseluruh bagian luar permukaan. Ini seperti dua lembaran bidang takhingga bermuatan. Jika kedua pelat mempunyai muatan yang sejenis : (pehatikan gambar 1-16)
Gambar 1-16 : Kedua pelat mempunyai muatan yang sejenis
Medan listrik diluar pelat adalah
Medan listrik didalam pelat adalah nol , karena di dalam pelat arah medan listrik berlawanan sehingga saling meniadakan. Jika kedua pelat mempunyai muatan berlawanan : (pehatikan gambar 1-17)
Gambar 1-17 : Kedua pelat mempunyai muatan yang berlawanan
Medan listrik didalam pelat adalah
Medan listrik diluar pelat adalah nol , karena di luar pelat arah medan listrik berlawanan sehingga saling meniadakan.
1.9 Perhitungan Medan Listrik Dengan Menggunakan Hukum Gauss 27
Contoh 1-15: E Di dekat Muatan Titik Perhatikan gambar 1-18.
Medan listrik muatan titik Q dapat diperoleh dengan menggambar permukaan Gauss berbentuk bola berjari-jari r. Pada permukaan ini medan listrik mempunyai besar yang sama di setiap titik bola dan arahnya radial keluar, sehingga di setiap titik pada permukaan Gauss, E sejajar dengan normal permukaan atau tegak lurus terhadap permukaan. Karena itu Fluks listrik Ф sama dengan medan listrik E dikali dengan luas permukaan bola 4πr2.
Gambar 1-18: E Di dekat Muatan Titik
Jika muatan lain q di tempatkan di r ( tepat di permukaan Gauss), maka ia akan mengalami gaya sebesar
Ini konsisten dengan hukum Coulomb. Contoh 1-16: E di dekat Muatan Bidang Takhingga Perhatikan gambar 1-19. Untuk muatan di bidang takhingga, permukaan Gauss dibuat berbentuk silinder. Dalam hal ini medan listrik yang ada hanya yang tegak lurus terhadap permukaan ujung silinder. Sedangkan permukaan silinder
Gambar 1-19: E di dekat Muatan Bidang Takhingga
28
yang lengkung medan listrik.
tidak
dilalui
Jumlah muatan total didalam permukaan Gauss Q=σA, dengan σ adalah jumlah muatan persatuan luas permukaan dan A adalah luas total permukaan. Oleh karena luas total permukaan adalah 2A (bagian atas dan bawah), maka Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali dua kali luas permukaan 2A.
Contoh 1-17: E di dekat Muatan Garis Takhingga Perhatikan gambar 1-20.
Gambar 1-20: E di dekat Muatan Garis Takhingga
Medan listrik dari garis panjang takhingga bermuatan dengan kerapatan muatan linier uniform bisa diperoleh dengan membuat permukaan Gauss berupa silinder dengan jari-jari r. Pada permukaan ini, medan listrik mempunyai besar sama di setiap titik dan arahnya keluar. Dalam hal ini medan listrik hanya melalui permukaan lengkung silinder dan tidak melalui ujung-ujung silinder. Karena itu Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan lengkung silinder 2πrL.
29
Contoh 1-18: E di dalam dan di Luar Kulit Muatan Silindris Perhatikan gambar 1-21.
Medan listrik dari konduktor silinder takhingga berjari-jari R dengan muatan per satuan panjang λ dapat dicari dengan membuat permukaan Gauss berupa silinder dengan jari-jari r. Pada konduktor silinder, muatan hanya terdistribusi di permukaan silinder saja. Sehingga di dalam silinder tidak ada muatan ( Q = 0 ). Untuk titik-titik yang berada didalam silinder ( r < R ) tidak ada medan listrik E, karena didalam silinder ini tidak ada muatan. Sedangkan untuk titik-titik di luar silinder ( r > R ), jumlah Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan lengkung silinder 2πrL. Untuk titik-titik di dalam Silinder ( r < R ) : E = 0 Untuk titik-titik di luar Silinder ( r > R ) : Maka
30
Contoh 1-19: E di Dalam dan di Luar Silinder Padat bermuatan dengan panjang Takhingga
Perhatikan gambar 1-22.
Medan listrik dari silinder padat berjari-jari R bermuatan dengan panjang takhingga diperoleh dengan membuat permukaan Gauss berupa silinder dengan jari-jari r. Untuk r > R, besar medan listrik sama di setiap titik permukaan silinder dan arahnya keluar. Karena itu jumlah Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan lengkung silinder 2πrL. Untuk r ≥ R
Untuk r ≤ R
Jumlah muatan total Q=λL. Perbandingan jumlah muatan total yang dilingkupi oleh permukaan Gauss dengan jumlah muatan total adalah Q ' VGauss r 2 L r 2 Q V R 2 L R 2
Atau r2 r2 Q ' 2 Q 2 L R R
31
Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan lengkung silinder 2πrL. E 2rL
Q'
o
r 2 L E 2rL 2 R o E
r 2 o R 2
Contoh 1-20: E di Dalam dan di Luar Kulit Muatan Bola Pada sebuah bola berongga bermuatan akan dihitung medan listrik di titik-titik yang berada di dalam bola dan di luar bola. Untuk titik-titik di dalam bola ( r < R ) : Perhatikan gambar 1-23
Pada konduktor bola berongga, muatan hanya terdistribusi di permukaan bola saja. Sehingga di dalam bola tidak ada muatan ( Q = 0 ). Karena didalam bola tidak ada muatan, maka didalam bola ( r < R ) tidak ada medan listrik atau E = 0. .
32
Untuk titik-titik di luar bola ( r > R ) : Perhatikan gambar 1-24
Untuk titik-titik di luar bola ( r > R ), jumlah Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan bola 4πr2.
Jelaslah bahwa, medan listrik di dalam bola berongga adalah nol dan di luar bola berbanding terbalik dengan kuadrat jarak r. Gambar 1-25 adalah grafik medan listrik didalam dan di luar bola berongga bermuatan.
33
Contoh 1-21: E di Dalam dan di Luar Bola Padat Bermuatan Seragam Perhatikan gambar 1-26 bawah ini.
Untuk titik-titik diluar bola padat bermuatan seragam ( r ≥ R ), permukaan Gauss dibuat berbentuk bola, sehingga medan listrik di setiap titik pada permukaan Gauss besarnya sama dan arahnya radial keluar. Jumlah Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan bola 4πr2.
Untuk titik-titik di dalam Bola ( r ≤ R ) : (Perhatikan gambar 1-27)
Jumlah muatan total Q. Perbandingan jumlah muatan total yang dilingkupi oleh permukaan Gauss dengan jumlah muatan total adalah Atau
34
Jumlah Fluks total Ф sama dengan medan listrik E di kali luas permukaan bola 4πr2.
Jelaslah bahwa, medan listrik di dalam bola berbanding lurus dengan jarak r dan untuk di luar bola berbanding terbalik dengan kuadrat jarak r. Gambar 1-28 adalah grafik medan listrik didalam dan di luar bola padat bermuatan.
35
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Tiga muatan masing-masing 10, 9 dan -9 (dalam C) terletak sedemikian sehingga membentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi 30 cm. Berapa gaya yang dialami oleh titik bermuatan 10 C. Gambarkan pula vector gayanya. 2. Ditentukan dua muatan q1=10 μC dan q2=-5 μC dan berjarak 3 cm. Muatan q3 terletak pada garis jarak q1q2=1cm dari q1. Maka q3 mengalami gaya F=2 N yang arahnya ke q2. Tentukan besar muatan q3. 3. Diketahui tiga buah muatan titik masing-masing adalah Q1= −2µC, Q2= −2µC, dan Q3= 36µC, terletak pada garis lurus sehingga jarak Q1Q2 =3 m dan jarak Q2Q3 =4 m. Hitung gaya yang bekerja pada tiap-tiap muatan. 4. Muatan-muatan titik masing-masing besarnya −4 C , +10 C , +6 C dan −5 C terletak di titik A, B, C dan D pada bujur sangkar yang panjang sisinya 2m. Hitung gaya resultan yang bekerja pada muatan di titik A dan kemana arahnya ? 5. Dua buah muatan Q1 = −20μC dan Q2 = +300 μC masing-masing terletak pada (0,1, −2) m dan (2, −4,7)m. Hitung gaya yang bekerja pada muatan Q1. 6. Muatan Q1 = 300μC terletak pada (1, −5,3) m mengalami gaya F1 = (8i – 8j + 4k) N Akibat muatan Q2 di (3, 6, −2). Hitung Q2 7. Muatan Q1 = 300μC terletak pada titik pusat koordinat dan Q2 = 500μC terletak pada sumbu x dengan x = 4m. (a) Hitung gaya yang bekerja pada Q1 . (b) Hitung pula gaya yang bekerja pada Q2 . (c) bandingkan hasil pada (a) dan (b), bagaimana kesimpulannya ? 8. Tiga muatan titik berada pada sumbu x ; Q1 = –3μC pada x = 3m, Q2 = 4μC pada x = 3m dan Q3 = –3μC pada titik pusat koordinat. Hitung gaya yang bekerja pada Q1 . 9. Dua muatan yang sama besar yaitu Q = 2μC terletak pada sumbu y, yang satu terletak pada sumbu koordinat dan yang lain pada y = 3m. muatan ketiga Q3 = 4μC terletak pada sumbu x dengan x = 4m. Hitung gaya yang bekerja pada Q3 . 10. Suatu muatan –300μC terletak pada sumbu y dimana y = 4 cm dan muatan kedua 400 μC juga berada pada sumbu y dengan y = – 4m. Hitung gaya pada muatan ketiga 500 μC yang terletak pada sumbu x dengan x = 3m. 11. Diketahui muatan q1=5.10-9 C. Ditanyakan : a) Berapa kuat medan (E) pada jarak 30 cm dari muatan tersebut. b) Berapa gaya (F) pada muatan 4.10-9 Coulomb pada kedudukan dalam soal a. 12. Dua muatan sama besar tetapi berlawanan jenisnya dari 2.10-7 C dan berjarak 15 cm. Jika sebuah titik P terletak ditengah-tengah jarak kedua muatan tersebut, maka tentukan : a) Kuat medan di titik P dan kemana arahnya. b) Jika di titik tersebut diletakkan sebuah elektron yang bermuatan -1,6.10-19 C, tentukan besar dan arah gaya yang bekerja pada elektron tersebut.
36
13. Dua buah bola yang pusatnya M dan N, masing-masing berjari-jari 1 cm, berturutturut mempunyai muatan +16 C dan +36 C. Jarak antara kedua pusat bola itu 20 cm. Sebuah titik P yang berada di dalam medan listrik yang ditimbulkan oleh kedua bola itu mempunyai kuat medan nol. Dimanakah letak titik itu? 14. Hitung E di titik (0,4,5) yang diakibatkan oleh muatan Q1 = 5 μC di (3,4,0)m dan Q2 = −5 μC di (3,0,4)m. 15. Dua muatan masing-masing sebesar 4 μC berada pada sumbu x, satu terletak pada x = 8 m dan yang lain pada x = −4m. Hitunglah medan listrik pada sumbu x pada (a) x = −3m, (b) x = 3m (c) x = 10m (d) pada titik mana medan listriknya nol ? 16. dua muatan positif yang sama besar Q1 = Q2 = 8 C berada pada sumbu y pada y = 3 m dan y = −3m. (a) tentukan besar dan arah medan listrik pada titik yang terletak pada sumbu x dengan x = 4m. (b) berapa besar gaya pada muatan uji Q1 = 15 C yang terletak pada sumbu x dengan x = 4m ? 17. Dua muatan +3Q dan −7Q dipisahkan dengan jarak yang kecil. Gambarkan garis-garis medan listrik untuk system muatan ini. 18. Tiga muatan titik masing-masing diletakkan pada titik-titik sudut suatu segitiga sama sisi. Gambarkan garis-garis medan listrik pada bidang segitiga tersebut. 19. Dua muatan titik Q1 = +5 μC dan Q2 = −5 μC dipisahkan dengan jarak 2μm. (a) berapa momen dipole dari kedua pasangan muatan tersebut (b)gambarkan dipole tersebut dan tunjukkan arah dari momen dipolnya. 20. Sebuah electron mempunyai kecepatan 2x106 m/s pada arah sumbu x. electron tersebut memasuki medan listrik E = (400 N/C) j , yang mempunyai arah dalam sumbu y. (a) carilah percepatan electron (b) berapa waktu yang dibutuhkan electron untuk menempuh jarak 10 cm pada arah sumbu x didalam medan tersebut. (c) seberapa jauh dan kemana arah electron dibelokkan setelah menempuh 10 cm pada arah sumbu x didalam medan tersebut ? Perhitungan Medan Listrik menggunakan Hukum Coulomb 21. Muatan garis seragam dengan densitas muatan linier λ = 3,5 nC/m, bertambah panjang dari x = 0 menjadi x = 5 m. (a) Berapakah muatan totalnya? Carilah medan listrik pada sumbu x di (b) x = 6 m, (c) x = 9 m, dan (d) x = 250 m. (e) Carilah medan di x = 250 m, dengan menggunakan pendekatan bahwa muatan adalah muatan titik di titik asal, dan bandingkan hasil anda dengan hasil yang didapat melalui perhitungan pada bagian (d). 22.Dua bidang muatan vertikal takhingga sejajar satu sama lain dan terpisah sejauh d = 4 m. Carilah medan listrik di kiri bidang-bidang tersebut, di kanannya, dan di antara keduanya apabila (a) masing-masing bidang memiliki densitas muatan 37
permukaan seragam σ = +3 µ C / m 2 dan (b) bidang kiri memiliki densitas muatan permukaan seragam σ = +3 µ C / m 2 dan bidang kanan 6= -3 µC/m 2. Gambarlah garis-garis medan listrik untuk masing-masing kasus. 23. Muatan 2,75 µC terdistribusi seragam pada cincin berjari-jari 8,5 cm. Carilah medan listrik pada sumbunya di (a) 1,2 cm, (b) 3,6 cm, dan (c) 4,0 m dari pusat cincin tersebut. (d) Carilah medan di 4,0 m dengan menggu nakan pendekatan bahwa cincin adalah muatan titik di titik asal, dan bandingkan basil anda dengan basil bagian (c) 24. Cakram berjari-jari 2,5 cm membawa densitas muatan permukaan seragam sebesar 3,6 µC/m 2. Dengan menggunakan pendekatan yang masuk akal, Carilah medan listrik di sumbu tersebut pada jarak (a) 0,01 cm, (b) 0,04 cm. (c) 5 m, dan (d) 5 cm. 25. Muatan garis seragam bertambah panjang dari x = -2,5 cm menjadi x = +2,5 cm dan memiliki densitas muatan linier λ = 4,5 nC/m. (a) Carilah muatan totalnya. Carilah medan listrik di sumbu y pada (b) y = 4 cm. (c) y = 12 cm, dan (d) y = 4,5 m. (e) Carilah medan pada y = 4,5 m dengan menganggap muatan tersebut sebagai muatan titik, dan bandingkan hasil anda dengan hasil bagian (d). Perhitungan Medan Listrik menggunakan hukum Gauss 26. Kulit bola berjari jari 6 cm membawa densitas mu atan permukaan seragam σ= 9 nC/m2. (a) Berapakah muatan total pada kulit tersebut? Carilah medan listriknya pada (b) r = 2 cm. (c) r = 5.9 cm, (d) r = 6,1 cm, dan (e) r = 10 cm. 27. Bola berjari-jari 6 cm membawa densitas muatan permukaan seragam σ = 9 nC/m2. (a) Berapakah muatan total bola tersebut? Carilah medan listriknya pada (b) r = 2 cm, (c) r = 5,9 cm, (d) r = 6,1 cm, dan (e) r = 10 cm. 28.Kulit silindris sepanjang 12 m berjari-jari 6 cm membawa densitas muatan permukaan seragam σ = 9 nC/m2. (a) Berapakah muatan total pada kulit tersebut? Carilah medan listriknya pada (b) r = 2 cm, (c) r = 5,9 cm, (d) r = 6,1 cm, dan (e) r = 10 cm.
38
