HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE

HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE Úvodem · Fyzikální popis induktoru a kapacitoru vede na integrodiferenciální rovnice, jejichž řešení je značně obtížné, zvláště v případě soustav rovnic. Příklad – uvažujme sériovou kombinaci kapacitou C a rezistoru R, napájené harmonickým zdrojem napětí u(t) = Um sin(!t + ¼2 ). Pro obvod dostaneme rovnici Z 1 t u(t) = Ri(t) + i(¿ )d¿ § uC(0+) C 0 Tuto rovnici je potřeba derivovat a následně řešit diferenciální rovnici. Jejím řešením je rovnice "

# ¡t Um Um !C sin(¼ ¡ tan¡1 (!RC)) Um !C p i(t) = ¡ e RC + p sin(!t+¼¡tan¡1(!RC)) 2 2 R 1 + (!RC) 1 + (!RC)

Tímto postupem se budeme zabývat příští semestr.

Co s tím? – vhodnou transformací převést integrály a derivace na násobení a dělení, kdy můžeme použít např. maticový zápis řešení soustavy rovnic (Gauss, Cramér, inverzní matice, …)

Fázor ¡t

Pokud nás nezajímá přechodná složka (člen obsahující e RC , který za velmi : krátkou dobu = 3RC zaniká), pak lze využít Eulerův vzorec: ejx = cos x + j sin x

My potřebujeme nahradit komplexním číslem časový průběh napětí u(t) = Um sin(!t + ')

Funkce sin je imaginární částí polárního tvaru komplexního čísla n o j(!t+') Um sin(!t+') = Im fUm [cos(!t + ') + j sin(!t + ')]g = Im Ume

Grafickou reprezentací je vektor v komplexní rovině, který se otáčí kolem počátku úhlovou rychlostí ! proti směru hodinových ručiček. V čase t je tak

Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 8: Harmonický ustálený stav – fázor, impedance a admitance

-1-

tento vektor otočen proti reálné ose o úhel !t + '. Animaci vektoru si můžete zobrazit programem na adrese http://amber.feld.cvut.cz/vyu/eo1/labs/files/HUS_Demo.ex_. Po stažení soubor přejmenujte na HUS_Demo.exe.

Protože všechny obvodové veličiny se otáčejí stejnou úhlovou rychlostí ! , není nutné neustále opisovat výraz ej!t. Komplexní číslo se tak zjednoduší na tvar Um = Umej'

Toto komplexní číslo nazveme fázor napětí. Značení: · V tištěném textu se obvykle používá velké tučné písmo: U; I; : : : b I; b : : : (lze se setkat i s jinými · V psaném textu akcentovaná kurzíva U; e U; ¹ : : :) typy akcentů U; :

Používáme dva typy fázorů – fázory v měřítku maximálních hodnot a fázory v měřítku efektivních hodnot. Časový průběh je udán amplitudou Um, u elektrické zásuvky nás ale nezajímá, že amplituda sinusovky je 325 V, ale že její efektivní hodnota je 230 V. Jediný rozdíl bude při výpočtu výkonů. Um Um Fázor v měřítku efektivních hodnot U = U ej' = p ej' = p 2 2

Impedance, admitance ODVOZENÍ Mezi napětím a proudem na kapacitoru platí obecný vztah i(t) = C Pro harmonické napětí dostaneme i(t) = C

du(t) dt

d ¼ [Um sin(!t)] = Um C! cos(!t) = Um C! sin(!t + ) dt 2 ¼

Transformací na fázor a s využitím vztahu ej 2 = j Im = UmC!ej 2 = UmC!j. ¼


-2-

Mezi fázorem proudu a fázorem napětí tak dostáváme lineární vztah, který je formálně shodný s Ohmovým zákonem známým z odporových obvodů, kde I = GU, GU kde G je vodivost. Výraz Yc = j!C nazveme v harmonickém ustáleném stavu admitance kapacitoru. ODVOZENÍ Pro napětí na kapacitou můžeme odvodit 2

3

1 Zt Im 4 ¡ cos(!¿ ) 5t u(t) = Im sin(!¿ )d¿ + uC (0) = + uC (0) C 0 C ! 0 Im Im ¼ = [1 ¡ cos(!t)] + uC (0) = [1 ¡ sin(!t + )] + uC (0) !C !C 2

Tento časový průběh obsahuje dva členy – stejnosměrnou složku Im !C + uC (0) a harmonický průběh. Můžeme ho považovat za superpozici dvou nezávislých zdrojů – stejnosměrného a střídavého. Pouze střídavý můžeme transformovat s použitím fázoru:

Um = Výraz ZC =

¡Im j ¼2 ¡jIm Im e = = !C !C j!C

1 nazveme v harmonickém ustáleném stavu impedance j!C

kapacitoru. Obdobně lze odvodit impedanci / admitanci induktoru. Pro jednotlivé obvodové prvky můžeme vše shrnout do tabulky: Obvodový prvek

1 R

R

odpor

R

vodivost

C

impedance

1 j!C

admitance

j!C

L

impedance

j!L

admitance

1 j!L


G=

-3-

Vztah mezi fázory napětí a proudu na obvodových prvcích: Obvodový prvek

R C L

U = RI 1 U= I j!C

I = GU

U = j!LI

I=

I = j!CU 1 U j!L

V uvedených vztazích j představuje fázový posun mezi proudem a ¼ napětím (viz předchozí odvození): j = ej 2 . Fakticky, v časové oblasti, se jedná o posun časový! (¼2 je 14 periody). · Na rezistoru jsou napětí i proud ve fázi. · Na kapacitoru se tak proud předbíhá před napětím o ¼2 , resp. napětí se zpožďuje za proudem – nejdříve proud, pak napětí. Vzpomeňte „cisternový“ model kapacitoru – napětí je výška hladiny vody, proud je přítok vody. Abych měl v nádrži určitou hladinu vody, nejdříve ji tam musím nalít.

· Na induktoru se naopak napětí předbíhá před proudem o ¼2 , resp. proud se zpožďuje za napětím – nejdříve napětí a pak proud. Pokud chci napumpovat vodu, nebo třeba roztlačit vozík, musím nejprve pořádně napnout svaly…

V komplexní rovině je časový (fázový) posun po transformaci reprezentován otočením vektoru proti směru hodinových ručiček, počátkem otáčení (referenční 0) je kladná reálná poloosa – viz fázor. V komplexní rovině pak můžeme uvedené poučky reprezentovat graficky: R C L Im

Im

Im Î

Î 0

Û

Û Re

0

Û Re

0

Re Î


-4-

Častou chybou bývá nepochopení rozdílu mezi časovým průběhem a fázorem. Transformací na fázor (komplexní číslo) jsme se přesunuli do zcela jiného světa. Ze světa funkcí do světa komplexních čísel. U2m sin(!t + '2 ) Výrazy, jako i(t) = j!CU j!CU, P = jsou zcela nesmyslné !!! U1m sin(!t + '1 )

Reaktance Uvažujme následující příklad: Rezistor s odporem R zapojíme do série s induktorem s indukčností L. Připojíme zdroj napětí s efektivní hodnotou U = 230 V. Na rezistoru je napětí UR = 120 V. Jaké napětí je na induktoru?

UL = U ¡ UR = 230 ¡ 120 = 110 V ? Chyba! To by platilo u rezistorů. A co fázový posun? Oběma prvky protéká stejný proud (je to „jedna trubka“). Napětí na rezistoru je ve fázi s proudem, ale u induktoru se před proudem předbíhá o ¼2 . Pokud napětí nakreslíme tak, aby na sebe navazovala stejně, jako součástky v obvodu, dostaneme pravoúhlý trojúhelník: ÛR ÛL

Û Î

Známe přeponu a jednu odvěsnu trojúhelníka. Pomocí Pythagorovy věty můžeme snadno spočítat délku zbývající odvěsny q p 2 2 UL = U ¡ UR = 2302 ¡ 1202 =: 196:2 V .

Díky fázovému posunu tak neplatí jednoduchá „lineární“ matematika a na reaktančních prvcích může být napětí mnohem vyšší, nežli bychom mohli očekávat ze zkušenosti s odporovými obvody.

Pokračujme v našem příkladu dále. Víme, že na rezistoru má být napětí UR = 120 V. Dejme tomu, že tepelný výkon rezistoru má být PR = 600 W. Pavel Máša – ELEKTRICKÉ OBVODY 1 – PŘEDNÁŠKA 8: Harmonický ustálený stav – fázor, impedance a admitance

-5-

Obvodem pak musí téci proud I =

PR UR

=

= 5 A. Jaká musí být velikost

600 120

indukčností, aby na rezistoru bylo požadovaných 120 V? Známe napětí na indukčnosti - UL =: 196:2 V . Víme, že induktorem teče proud 5 A. Mezi napětím a proudem na induktoru platí vztah U = j!LI. j!LI V tomto případě nás ale nezajímá, že se napětí předbíhá před proudem o ¼2 . Mezi velikostí napětí a proudu pak platí vztah

UL = !LI = XLI Výraz

XL = !L nazveme reaktancí induktoru. Její jednotkou je Ð. Odtud pak snadno vypočteme indukčnost L = U!IL =

196:2 100¢¼¢5

: = 0:125 H.

Můžeme napsat U = I(R + XL )? Ne, nejsme u odporových obvodů. Tento výraz tvrdí, že na cívce je 110 V. My ale už víme, že to není pravda. Jak je to tedy správně? U = I(R + jXL ) = I(R + ZL )

Jak se převádí složkový tvar komplexního čísla na exponenciální?

U=

p

ImfUg

(Re fUg)2 + (Im fUg)2 ¢ ej arctan RefUg . Ano, zde se skrývá potřebná

Pythagorova věta!

Použít reaktanci pro vyjádření velikosti napětí a proudu má smysl pouze na jednom reaktančním prvku (induktor, kapacitor), ne na jejich kombinaci s odporem. Reaktance je imaginární část impedance. Terminologie: R = Re fZg G = Re fYg

reaktance, konduktance,


X = Im fZg B = Im fYg

reaktance, susceptance -6-

Obvodový prvek

C L

reaktance X ¡1 !C

susceptance B

!L

!C ¡1 !L

Tak, jako jsme u odporů mohli vypočítat celkový odpor sériového a / nebo paralelního spojení odporů, v harmonickém ustáleném stavu můžeme vyjádřit celkovou impedanci Z = R + jX. jX Fázor proudu, který teče naším obvodem, je I=

U 230 = = 2:606 ¡ 4:264j = 5 e¡1:02j A, R + j!L 24 + j ¢ 100 ¢ ¼ ¢ 0:125

a fázory napětí na rezistoru a na induktoru jsou UR = RI = 24 ¢ 5 e¡1:02j = 120 e¡1:02j V, V UL = j!L ¢ I = j 100¼ 0:125 ¢ 5 e¡1:02j = 196:25 e0:549j V .

Elementární obvody – dělič napětí

U1

· 2 nebo více pasivních obvodových prvků zapojených sériově · společná obvodová veličina – proud U1 I= R + jX I U1 R U2 = jX ¢ I = jX R + jX jX

U2

U2 = U1


jX R + jX

-7-

Snadno lze rozšířit pro N prvků:

Uk = U1

jXk , M N X X Rm + jXn

m=1

na reaktančním prvku, resp.

Uk = U1

n=1

Rk M N X X Rm + jXn

m=1

n=1

na rezistoru.

– dělič proudu

· 2 nebo více pasivních obvodových prvků zapojených paralelně · společná obvodová veličina – napětí U = ZI =

I I1

I1 =

R

jX U

R ¢ jX I R + jX

U R ¢ jX 1 =I R R + jX R

I1 = I

jX R + jX

Rozšíření pro N obvodových prvků je komplikovanější – Ã M !¡1 Ã M !¡1 N N X 1 X X X 1 Z= + = Gm + jBn R jX m n m=1 n=1 m=1 n=1 Připadají Vám vzorce pro oba děliče povědomé? – měly by, od těch odporových se liší pouze tím, že zde počítáme s komplexními čísly. Obdobné je to se všemi metodami a teorémy platnými pro odporové obvody – metodou postupného zjednodušování, Kirchhofovými zákony, Théveninovým a Nortonovým teorémem, …


-8-

Co když spojíme dva zdroje sériově, nebo paralelně? Spojit paralelně dva ideální zdroje napětí, nebo sériově dva ideální zdroje proudu o různé velikosti je samozřejmě nesmysl (jak by to asi dopadlo?). Můžeme ale spojit dva zdroje napětí sériově: u1 (t) = U1m sin(!1 t) u2 (t) = U2m sin(!2 t + ').

Jaké bude výsledné napětí? · Pokud bude !1 6= !2 a platí TT12 =

k1 k2 ,

!1 =

2¼ T1 ,

!2 =

2¼ T2 ,

pak to bude

nesinusový časový průběh, který se bude opakovat s periodou T = k2T1 = k1T2 . · Pokud bude !1 = !2 = !, pak dostaneme opět sinusový průběh. Buď můžeme použít součtové vzorce pro funkci sin, a pracně dojít k výsledku, nebo využít fázory a jednoduše je sečíst. ¼ Př.: u1(t) = 20 sin(100t), u2(t) = 30 sin(100t + ). 4 ¼ U1 = 20 V, U2 = 30ej 4 V. ¼ U = U1 + U2 = 20 + 30ej 4 = 41:213 + 21:213j = 46:352 ej0:475 u(t) = 46:352 sin(100t + 0:475) V

Sčítat můžeme pouze fázory napětí (nebo proudů) se stejnou frekvencí w!


-9-

HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE

Recommend Documents