HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk telah saya nyatakan dengan benar.
Nama : Muhammad Iqbal NPM : 1006659161 Tanda Tangan :
Tanggal
2 Mei 2014
:
ii
HALAMAN PENGESAHAN
DRAFT SKRIPSI Skripsi ini diajukan oleh Nama NPM Program Studi Judul Skripsi
: : : : :
Muhammad Iqbal 1006659161 Fisika Flux Compactification pada Teori Einstein-BornInfeld 6d
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia.
DEWAN PENGUJI
Pembimbing
:
Handhika Satrio Ramadhan, Ph.D (
)
Penguji 1
:
Prof. Dr. Terry Mart
(
)
Penguji 2
:
Dr. Anto Sulaksono
(
)
Ditetapkan di : Depok Tanggal : 21 Mei 2014
iii
KATA PENGANTAR
Bismillahirrahmanirrahim. Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puja-puji serta syukur kehadirat Allah Subhanahu wa ta’ala atas limpahan rahmat dan petunjuknya kepada penulis sehingga penulis dapat merampungkan skripsi sebagai salah satu syarat kelulusan. Semoga shalawat dan salaam selalu tercurah kepada Nabi Muhammad shallallahu ’alaihi wa salam, yang menjadi telatan dan panutan bagi kita semua dalam mengarungi kehidupan ini. Penulisan skripsi ini ditujukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan pada Program Sarjana Sains, Universitas Indonesia. Saya sadar bahwa dalam perjalanan menempuh kegiatan penerimaan dan adaptasi, belajarmengajar, hingga penulisan skripsi ini, penulis tidak sendirian. Penulis ingin berterima kasih kepada pihak-pihak berikut : 1. Manthani dan Sulastri, ayah dan ibu penulis yang senantia sabar mengasuh, mendidik, dan mendoakan penulis sampai saat ini. Sekalipun ucapan terima kasih ini tak dapat mengimbangi lautan jasa keduanya, namun penulis senantiasa berdoa semoga Allah membalas keduanya dengan balasan kebaikan yang banyak. 2. Kak Handhika, lengkapnya Handhika Satrio Ramadhan, Ph.D, selaku pembimbing skripsi penulis yang begitu sabar mengajarkan kepada penulis hal-hal menarik mengenai alam semesta.
Depok, 17 Juni 2013
Muhammad Iqbal
iv
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama NPM Program Studi Fakultas Jenis Karya
: : : :
Muhammad Iqbal 1006659161 Fisika Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam : Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul: Flux Compactification pada Teori Einstein-Born-Infeld 6d beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyatan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di : Depok Pada tanggal : 2 Mei 2014 Yang menyatakan
(Muhammad Iqbal)
v
ABSTRAK Nama Program Studi Judul
: Muhammad Iqbal : Fisika : Flux Compactification pada Teori Einstein-Born-Infeld 6d
Teori elektrodinamika Born-Infeld merupakan teori nonlinear dari teori elektrodinamika Maxwell. Berangkat dari karakterisitik-karakteristik teori Born-Infeld - diantaranya adalah bahwa harga energi-diri berhingga untuk muatan titik dan bahwa medan elektromagnetik di dunia-volume D-brane dideskripsikan oleh teori ini - dan dipasangkan dengan medan gravitasi Einstein (Teori Abelian Einstein-Born-Infeld 6d) penulis mencoba untuk mendeskripsikan mekanisme kompaktifikasi dimensi ekstra, yaitu flux compactification. Hasil dari mekanisme ini adalah persamaan jarijari ruang dimensi ekstra. Untuk menguji kestabilan ruang dimensi ekstra ini diperlukan penjelasan perspektif 4 dimensi, dimana jari-jari ruang dimensi ekstra dinyatakan oleh sebuah medan dinamik radion dengan potensial stabil. Nilai vakua dari potensial dengan jari-jari dimensi yang terkompaktifikasi ini dapat menunjukkan apakah ruang-waktu 4 dimensi berhubungan dengan ruang-waktu de Sitter, anti de Sitter atau Minkowksi 4 dimensi. Kata Kunci: Teori Einstein-Born-Infeld, flux compactification, dimensi ekstra, radion, vakua, ruang-waktu de Sitter, ruang-waktu anti de Sitter.
vi
ABSTRACT Name Program Title
: Muhammad Iqbal : Physics : Flux Compactification in 6d Abelian Einstein-Born-Infeld Theory
Born-Infeld electodynamics is a nonlinear theory of Maxwell electrodynamics. Based on some properties of this theory - finite electrostatic self-energy of a point particle and electromagnetic field on the world-volume of D-brane are governed by Born-Infeld theory - and coupled it with Einstein Field, called Einstein-Born-Infeld theory, I attempt to describe flux compactification of extra dimension. The result is an equation of radius of extra dimension. The 4d perspective of this theory is needed to describe the stability of size of the extra dimension, where it will be identified by the effective potential. We can determine what the 4 d spacetime is related to, either 4d de Sitter or anti de Sitter spacetime, from the potential vacua of the spacetime. Keywords: Einstein-Born-Infeld theory, flux compactification, extra dimensions, radion, vacua, de Sitter and anti de Sitter spacetime
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
i
LEMBAR PERNYATAAN ORISINALITAS
ii
LEMBAR PENGESAHAN
iii
KATA PENGANTAR
iv
LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH
v
ABSTRAK
vi
Daftar Isi
viii
Daftar Gambar
x
Daftar Tabel
xi
Daftar Kode
xii
1
2
3
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang . . 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian . 1.4 Metode Penelitian .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1 1 2 3 3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
TEORI DASAR 2.1 Relativitas Umum . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Tensor Metrik dan Metrik . . . . 2.1.2 Simbol Christoffel . . . . . . . . 2.1.3 Tensor Kelengkungan Riemann . 2.1.4 Persamaan Medan Einstein . . . . 2.2 Ruang-Waktu de Sitter dan Anti-de Sitter 2.2.1 Ruang-waktu de Sitter . . . . . . 2.2.2 Ruang-waktu Anti de Sitter . . . 2.3 Teori Elektrodinamika Born-Infeld . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
4 . 4 . 4 . 5 . 6 . 7 . 9 . 9 . 10 . 11
PENURUNAN RUMUS 14 3.1 Landscape Teori Abelian Einstein-Born-Infeld . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Sudut Pandang 4 Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
viii
ix 4
5
HASIL DAN PEMBAHASAN ˜ . . . . . . . 4.1 Kasus b2 = Λ 2 6 4.2 Kasus b /M(6) >1 . . . . 2 6 4.3 Kasus b /M(6) < 1 . . . . 4.4 Kasus Potensial Datar . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
22 23 25 27 28
KESIMPULAN DAN SARAN 30 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Daftar Referensi
31
LAMPIRAN
1
LAMPIRAN
2
A LAMPIRAN A.1 Persamaann Medan Einstein dalam Vakum . . . . . . . . . . . . . . A.2 Skalar Ricci Ruang Permukaan Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Flux Compactifications pada Teori Einstein-Maxwell . . . . . . . .
2 2 4 5
Universitas Indonesia
DAFTAR GAMBAR
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
4.6 4.7
Grafik Kasus 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafik Potensial Vakua Tak Stabil . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafik V (ψ) terhadap ψ dengan nilai n = 13, 14, 15 untuk kasus b=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafik V (ψ) terhadap ψ untuk beberapa nilai b . . . . . . . . . . Grafik V (ψ) terhadap ψ untuk kompaktifikasi oleh teori elektrodinamika Maxwell, dengan set parameter yang sama dengan Gambar 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafik V (ψ) terhadap ψ untuk b < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . Grafik Kasus Datar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
. 24 . 25 . 26 . 27
. 27 . 28 . 29
DAFTAR TABEL
4.1
Hubungan konstanta kopling b terhadap jumlah vakua n
xi
. . . . . . 24
DAFTAR KODE
xii
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu tema penting dalam sejarah ilmu fisika adalah masalah penggabungan (unifikasi) teori-teori yang mendeskripsikan fenomena-fenomena di alam. Pada era klasik, para fisikawan mencoba untuk menggabungkan teori-teori yang mendeskripsikan fenomena kelistrikan dan kemagnetan. Awalnya fenomena kelistrikan dan kemagnetan dianggap sebagai fenomena fisis yang terpisah. Pada 1785, Coulomb membuat teori elektrostatik untuk fenomena listrik statis. Berbagai eksperimen selanjutnya membuktikan adanya hubungan fenomena kemagnetan dengan fenomena kelistrikan - arus listrik menghasilkan medan magnet-, seperti eksperimen Oersted (1819), Biot-Savart (1820) dan Ampere (1820-1825). Disusul penemuan Faraday (1831) yang menunjukkan bahwa medan magnet yang berubah dapat menghasilkan medan listrik. Puncaknya adalah ketika Maxwell (1865) mengkonstruksi sekumpulan persamaan yang dapat menjelaskan semua fenomena ini [1]. Pada perkembangan selanjutnya, fisikawan menyimpulkan bahwa ada 4 gaya (interaksi) fundamental di alam ini. Keempat interaksi tersebut adalah ektromagnetik, nuklir kuat, nuklir lemah, dan gravitasi [2]. Pada 1940, Teori Medan Kuantum merupakan kerangka teori yang baik dalam mendeskripsikan kuantisasi interaksi elektromagnetik. Teori ini dinamakan Elektrodinamika Kuantum (Quantum Electrodynamic). Pada akhir 1960, Wienberg-Salam berhasil menyatukan interaksi elektromagnetik dan nuklir lemah dalam sebuah kerangka teori. Karena interaksi nuklir lemah juga dapat dikuantisasi, maka gabungannya dengan teori elektrodinamika kuantum dinamakan teori elektro-nuklir lemah kuantum (Quantum Electroweak Theory) [1][2]. Dan pada awal-awal 1970 telah dipahami bahwa interaksi nuklir kuat juga dapat dikuantisasi teori medan kuantum ini. [2]. Teori yang dihasilkan disebut dengan Teori Kromodinamika Kuantum (Quantum Chromodynamic - QCD ) [1]. Beberapa tahun setelahnya dimunculkan sebuah teori yang dapat mendeskripsikan semua interaksi tersebut -kecuali gravitasi- yang disebut dengan Model Standar [9]. Dengan kata lain, teori elektro-nuklir lemah bersama dengan QCD membentuk teori Model Standar ini [1] Berbeda dengan ketiga jenis interaksi fundamental lainnya, interaksi gravitasi memiliki permasalahan tersendiri, baik dari segi matematis maupun konsep [2][4].
1
2 Dari sisi matematis, persamaan medan Einstein untuk gravitasi lebih kompleks dari persamaan Maxwell dan bersifat nonlinear. Sedang dari sisi konsep, ide bahwa medan gravitasi merupakan kelengkungan ruang-waktu, menjadikan teori ini dihadapkan dengan permasalahan kuantisasi ruang-waktu [4]. Penggabungan gravitasi dan teori kuantum menghasilkan teori medan kuantum yang tak ternormalisasi [2]. Berbagai upaya dilakukan untuk menyatukan bagian yang terpisah ini. Kemudian beberapa ide dimunculkan untuk membuat teori baru yang lebih lengkap. Ide-ide ini meliputi Penyatuan Agung (Grand Unification), ide dimensi ekstra dan supersimetri [2]. Kandidat teori yang paling memungkikan untuk mengakomodasi kesemua interaksi -interaksi fundamental-sekaligus berhubungan dengan ide-ide di atas- adalah Teori String. Teori string adalah sebuah usaha untuk mengkuantisasi gravitasi dan menyatukannya dengan gaya fundamental alam lainnya [5]. Namun teori string memberikan konsekuensi bahwa dimensi-dimensi ekstra haruslah eksis bersamaan dengan dimensi ruang-waktu yang telah kita kenal. Teori String mensyaratkan dimensi ruang-waktu tertentu, yaitu 10 dimensi (4 dimensi tak berhingga-sama dengan Model Standar-dan 6 dimensi ekstra) [2]. Dalam teori Model Standar, informasi mengenai ruang-waktu empat dimensi ’digunakan’ untuk membangun teori ini, bukan ’diturunkan’. Namun dalam teori string, jumlah dimensi ruang-waktu muncul dari hasil kalkulasi (penurunan). Hasilnya adalah bukan empat dimensi, namun sepuluh dimensi [1]. Permasalahan utama yang berkaitan dengan ini adalah munculnya pertanyaan : mengapa dimensi-dimensi ekstra ini tidak kita amati sebagaimana dimensi-dimensi ruang-waktu (3+1) D? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, maka dimunculkanlah ide mengenai kompaktifikasi dimensi ekstra, sekalipun ide kompaktifikasi telah diusulkan oleh Kaluza dan Klein, jauh sebelum teori string ini ada. Kompaktifikasi merupakan sebuah mekanisme yang berfungsi ’menyembunyikan’ dimensi-dimensi ekstra tersebut. Dengan adanya kompaktifikasi ini, dapat dikatakan bahwa ruang-waktu kita terdiri dari empat dimensi ruang-waktu (yang dapat diobservasi) dan enam dimensidimensi ekstra yang berukuran kecil (terkompaktifikasi) [6].
1.2 Perumusan Masalah Dalam skripsi ini akan dibahas sebuah mekanisme kompaktifikasi dimensi ekstra, yaitu flux compactification, pada sebuah model mainan (toy model), yaitu teori abelian Einstein-Born-Infeld 6d, dalam rangka mempelajari mekanisme kompaktifikasi dalam model sederhana dari lanskap teori String.
Universitas Indonesia
3
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah memahami dan mempelajari dimensi ekstra yang terkompaktifikasi dan model sederhana dari lanskap teori String.
1.4 Metode Penelitian Penelitian dari skripsi ini bersifat teoritis. Dari Langrangian model "mainan" Einstein-Born-Infeld Abelian 6 dimensi (6d), persamaan gerak untuk medan skalar dan medan elektromagnetik serta tensor energi momentum dapat dicari. Dengan menetapkan ansatz untuk metrik, besaran-besaran seperti ukuran dimensi ekstra dan konstanta Hubble dapat dicari. Diperlukan penjelasan dari perspektif 4d untuk mengetahui sifat stabilitas dari dimensi ekstra tersebut. Pada perspektif 4d ini akan muncul suku potensial pada Langrangian yang menentukan stabilitas dari dimensi ekstra tersebut.
Universitas Indonesia
BAB 2 TEORI DASAR 2.1 Relativitas Umum 1 2.1.1
Tensor Metrik dan Metrik
Dalam ruang-waktu Riemannian, kita mengenal sebuah tensor yang menggambarkan geometri ruang-waktu, yaitu tensor metrik gµν (x). Tensor metrik adalah tensor simetrik orde-2 yang merupakan fungsi dari koordinat ruang-waktu xµ . Kuadrat dari jarak antara dua titik yang berdekatan dalam ruang-waktu Riemannian dapat diekspresikan dalam bentuk tensor metrik, yaitu ds2 = gµν (x)dxµ dxν Bentuk diatas dikenal dengan elemen garis. Salah satu kasus khusus dari ruang adalah ruang metrik. Sebuah ruang dikatakan sebagai ruang metrik jika kita dapat mendefinisikan jarak skalar antara setiap pasangan titik yang berdekatan. Contoh dari ruang metrik adalah ruang Euclidean 3 dimensi dan ruang-waktu Minkowski 4 dimensi. Dengan menggunakan koodinat Kartesian, elemen garis dalam ruang Eucliedan 3 dimensi dinyatakan oleh ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 Sedangkan untuk ruang-waktu Minkowski 4 dimensi, menggunakan koordinat Cartesian, dinyatakan oleh ds2 = (dx0 )2 − (dx1 )2 − (dx2 )2 − (dx3 )2 dengan x0 = ct, x1 = x, x2 = y, dan x3 = z. Bentuk tensor metrik gµν , dengan indeks Yunani dibawah, adalah bentuk tensor kovarian. Kita dapat mendefinisikan bentuk tensor kontravariannya, yang merupakan invers dari bentuk kovariannya, yaitu 1 Subbab Relativitas Umum ini banyak mengambil dari Classical Field : General Relativity and Gauge Theory karya Moshe Carmeli [7].
4
5
g µν =
∆µν g
dengan ∆µν adalah kofaktor dari gµν dan g adalah determinan dari gµν . Dari definisi ini kita mendapatkan hubungan antara tensor kovarian dan kontravarian sebagai berikut gµα g αν = δµν Dengan menggunakan tensor metrik gµν dan g µν , kita dapat menaikkan dan menurunkan indeks dari sebuah tensor : Tµν = gρν Tµ ρ = gρν gσµ T σρ T µν = g µρ Tρ ν = g µρ g νσ Tρσ 2.1.2
Simbol Christoffel
Dari tensor metrik gµν dan inversnya g µν , kita dapat membentuk sebuah ’fungsi’ sebagai berikut 1 Γρµν = g ρσ (gµσ,ν + gνσ,µ − gµν,σ ) 2
(2.1)
dengan ∂gµν ∂xρ Fungsi ini dinamakan simbol Christoffel. Simbol Christoffel ini bersifat simetrik dengan pertukaran indeks dibawahnya. Simbol Christoffel bukanlah besaran tensor karena terhadap transformasi koordinat, simbol Christoffel tidak bertransformasi sebagaimana sebuah tensor bertransformasi. Transformasi koordinat untuk simbol Christoffel adalah sebagai berikut gµν,ρ =
Γλσρ −→ Γ′λ σρ =
∂x′λ ∂xµ ∂xν β ∂x′λ ∂ 2 xβ Γ + ∂xβ ∂x′ρ ∂x′σ µν ∂xβ ∂x′σ ∂x′ρ
(2.2)
Terlihat dari transformasi diatas bahwa terdapat tambahan suku yang tidak linear, tidak seperti transformasi koordinat untuk besaran tensor. Simbol Christoffel digunakan dalam turunan kovarian sebuah tensor. Perhatikan sebuah tensor kontravarian orde-1 (vektor) V µ dan V ′ν berturut-turut dalam sistem koordinat xµ dan x′ν . Hubungan transformasi koordinat kedua vektor ini adalah Vµ =
∂xµ ′ν V ∂x′ν
(2.3)
Universitas Indonesia
6 Turunan parsial dari persamaan (2.3) terhadap koordinat xα adalah ∂V µ ∂xµ ∂x′ρ ∂V ′ν ∂ 2 xµ ∂x′ρ ′µ = + V ∂xα ∂x′ν ∂xα ∂x′ρ ∂x′ν ∂x′ρ ∂ α
(2.4)
Suku pertama pada persamaan (2.4) merupakan suku yang diharapkan sebagai transformasi koordinat dari turunan parsial vektor V µ . Keberadaan suku kedua ’merusak’ transformasi koordinat ini, sehingga turunan parsial sebuah vektor tidak bertranformasi sebagaimana tensor bertransformasi. Dari transformasi simbol Christoffel, kita peroleh µ ∂xκ ∂xλ µ ∂ 2 xµ ′λ ∂x = Γ − Γ ρν ∂x′ν ∂x′ρ ∂x′λ ∂x′ρ ∂x′ν κλ
(2.5)
Subtitusikan persamaan (2.5) ke persamaan (2.4) didapat
∂V µ + Γµαλ V λ ∂xα
∂xµ ∂x′ρ = ∂x′λ ∂xα
∂V ′λ ′ν + Γ′λ ρν V ∂x′ρ
(2.6)
Dengan mendefinisikan turunan kovarian dari vektor kontravarian V µ ∇α V µ =
∂V µ + Γµαλ V λ α ∂x
(2.7)
∂xµ ∂x′ρ ∇ρ V ′λ ∂x′λ ∂xα
(2.8)
maka persamaan (2.6) menjadi ∇α V µ =
Terlihat dari persamaan (2.8) bahwa turunan kovarian dari vektor kontvarian bertransformasi sebagaimana tensor bertranformasi. Dengan cara yang sama, turunan kovarian dari vektor kovarian diberikan ∇α V β = 2.1.3
∂Vβ − Γλαβ Vλ ∂xα
(2.9)
Tensor Kelengkungan Riemann
Jika kita menurunkan tensor ∇β Vα secara kovarian, maka akan diperoleh ∂(∇β Vα ) − Γσβγ (∇σ Vα ) − Γσαγ (∇β Vσ ) ∂xγ ∂Vα ∂Vα ∂ σ ρ σ − Γαβ Vσ − Γβγ − Γσα Vρ = ∂xγ ∂xβ ∂xσ ∂Vσ ρ σ − Γαγ − Γβσ Vρ ∂xβ
∇γ ∇β V α =
(2.10)
Universitas Indonesia
7 Jika persamaan (2.10) kita kurangkan dengan bentuk yang sama namun dengan pertukaran indeks β dan γ, didapat Γραγ,β − Γραβ,γ + Γσαγ Γρβσ − Γσαβ Γργσ Vρ
(∇γ ∇β − ∇β ∇γ )Vα =
= Rρ αβγ Vρ
dengan Γραγ,β =
∂Γραγ ∂xβ
dan Rρ αβγ : Rρ αβγ = Γραγ,β − Γραβ,γ + Γσαγ Γρβσ − Γσαβ Γργσ
(2.11)
Bentuk (2.11) merupakan tensor kelengkungan Riemann. Tensor kelengkungan merupakan tensor yang mendeskripsikan geometri dari ruang-waktu yang melengkung (ruang-waktu Riemannian). Dari tensor kelengkungan Riemann ini kita dapat melakukan kontraksi dengan menyamakan indeks pertama dengan indeks ketiga, yaitu Rµ αµβ = Rαβ Dari persamaan (2.11) didapat bentuk Rαβ , yaitu Rαβ = Γραβ,ρ − Γραρ,β + Γσαβ Γρρσ − Γσαρ Γρβσ
(2.12)
Bentuk (2.12) dinamakan tensor Ricci. Dengan mengkontraksikan semua indeks pada tensor Ricci didapatkan skalar kelengkungan Ricci, R = g αβ Rαβ 2.1.4
(2.13)
Persamaan Medan Einstein
Persamaan medan Einstein diberikan oleh 1 Rµν − gµν R = kTµν (2.14) 2 dengan Tµν merupakan tensor energi-momentum sistem. Persamaan medan Eistein (2.14) ini dapat diturunkan dari aksi berikut S=
Z
√
−g(R − 2κLm )
(2.15) Universitas Indonesia
8 R adalah skalar Ricci (Lagrangian medan gravitasi), Lm adalah Lagrangian untuk selain medan gravitasi, dan κ = 8πG/c4 dimana G adalah kontanta gravitasi Newton dan c adalah kecepatan cahaya. Persamaan gerak dari sebuah aksi disyaratkan δS = 0
(2.16)
sehigga δS = δ
Z
√
−g(R − 2κLm ) = 0
(2.17)
Suku pertama persamaan (2.17) menghasilkan (penurunan diberikan dilampiran A.1) Z Z √ √ 1 4 (2.18) −gRd x = −g Rµν − gµν R δg µν d4 x δ 2 Sedangkan untuk suku kedua persamaan (2.17) menghasilkan δ
Z
√
√ √ ∂ ( −gLm ) µν ∂ ( −gLm ) µν −gLm d x = δg + δg,α d4 x µν ∂g µν ∂g,α √ Z √ ∂ ∂ ( −gLm ) µν ∂ ( −gLm ) µν δg + α δg = µν ∂g µν ∂x ∂g,α √ ∂ ( −gLm ) ∂ µν d4 x (2.19) δg − µν α ∂x ∂g,α Z
4
Suku kedua pada persamaa (2.19) dapat ditulis sebagai integral permukaan yang bernilai nol karena variasi syarat batas bernilai nol, sehingga persamaan tersebut menjadi δ
Z
√
4
−gLm d x =
Z
√ √ ∂ ( −gLm ) ∂ ∂ ( −gLm ) − α δg µν d4 x (2.20) µν ∂g µν ∂x ∂g,α
Jika tensor energi-momentum kita definisikan sebagai Tµν
2 =√ −g
√ √ ∂ ∂ ( −gLm ) ∂ ( −gLm ) − α µν ∂g µν ∂x ∂g,α
(2.21)
maka persamaan (2.20) menjadi δ
Z
√
1 −gLm d x = 2 4
Z
√
−g Tµν δg µν d4 x
(2.22)
Dengan menggunakan persamaan (2.18) dan (2.22), maka kita dapatkan δS =
Z
√
−g
Rµν
1 − gµν R − κTµν 2
δg µν d4 x
(2.23)
Universitas Indonesia
9 Karena integrasi pada persamaan (2.23) berlaku untuk semua variasi δg µν , berdasarkan syarat bahwa variasi aksi haruslah bernilai nol, maka integran pada persamaan (2.23) haruslah bernilai nol. Kita dapatkan 1 Rµν − gµν R = κTµν 2
(2.24)
Persamaan (2.36) tentunya merupakan persamaan medan gravitasi Einstein dengan keberadaan materi.
2.2 Ruang-Waktu de Sitter dan Anti-de Sitter 2.2.1
Ruang-waktu de Sitter
Persamaan medan Einstein dengan konstanta kosmologi Λ diberikan oleh Rµν − Λgµν = κ(Tµν − T gµν )
(2.25)
Jika ditinjau alam semesta yang kosong (tanpa materi), maka Tµν = 0, sehingga persamaan (2.25) menjadi Rµν = Λgµν (2.26) Solusi metrik dari persamaan (2.26) adalah 2
ds =
M 1 2 1− − Λr dt2 − r 3 1−
M r
1 dr2 − r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ) (2.27) − 13 Λr2
Parameter M berhubungan q dengan masa sumber di pusat koordinat. Jika M = 0 dan kita definisikan l ≡ Λ3 , metrik ini akan menjadi metrik statik de Sitter 2
ds =
r2 1− 2 l
dt2 −
1 2 2 2 2 2 2 dr − r (dθ + sin θdφ ) 1 − rl2
(2.28)
Dengan menggunakan transformasi koordinat berikut r = ρeτ /l t = τ−
l ln −l2 + ρ2 e2τ /l 2
(2.29)
metrik (2.28) menjadi metrik koordinat irisan datar (flat slicing coordinates) ds2F = dτ 2 − e2τ /l dρ2 + ρ2 (dθ2 + sin2 θdφ2 )
(2.30)
Universitas Indonesia
10 Suku kedua dari metrik ini dapat dilihat sebagai bagian spasial dari ruang-waktu. Terlihat bahwa dengan meningkatnya waktu τ , bagian spasial ini akan meningkat dengan faktor eksponesial e2τ /l . Oleh karena itu metrik ini menggambarkan model ruang waktu dari alam semesta yang mengembang. Metrik statik (2.28) dapat dinyatakan dalam metrik Minkowksi berikut ds2M = −dx20 + dx21 + dx22 + dx23 + dx24
(2.31)
dengan menggunakan parameter-parameter x0 x1 x2
√
t − sinh = − l √ t = − l2 − r2 cosh l = r cos θ l2
r2
x3 = r sin θ cos φ x4 = r sin θ sin φ Ruang dari metrik ini adalah ruang Minkowski 5 dimensi berikut −x20 + x21 + +x22 + x23 + x24 = l2
(2.32)
Oleh karena itu ruang de Sitter adalah sebuah hiperboloid [8]. 2.2.2
Ruang-waktu Anti de Sitter
Dengan menggunakan analogi pada ruang-waktu de Sitter, ruang-waktu anti de Sitter dapat digambarkan secara geometri sebagai hiperpoloid −x20 + x21 + x22 + x23 − x24 = −l2
(2.33)
yang dilukiskan dalam sebuah ruang 5 dimensi berikut −dx20 + dx21 + dx22 + dx23 − dx24 = −l2
(2.34)
Universitas Indonesia
11 p dengan l = −3/Λ. Koordinat-koordinat yang menggambar sebuang ruang hiperboloid tersebut adalah t l = l sinh r cos θ
x0 = l cosh r sin x1
x2 = l sinh r sin θ cos φ x3 = l sinh r sin θ sin φ t x4 = l cosh r cos a Dengan menggunakan koordinat-koordinat statik ini, maka metrik anti de Sitter dapat dinyatakan sebagai berikut [11] ds2 = − cosh2 rdt2 + l2 dr2 + sinh2 r(dθ2 + sin2 θdφ2 )
(2.35)
2.3 Teori Elektrodinamika Born-Infeld Persamaan Maxwell menjadi dasar elektromagnetik klasik dan menjadi titik awal untuk formulasi elektrodinamika kuantum. 4 persamaan Maxwell pada kasus keberadaan material adalah sebagai berikut ~ ~ = − 1 ∂B ∇×E c ∂t ~ = 0 ∇.B
(2.36) (2.37)
untuk persamaan tanpa sumber medan, dan ~ = ρ ∇.D ~ ~ ~ = j + 1 ∂D ∇×H c c ∂t
(2.38) (2.39)
untuk persamaan dengan sumber medan. Untuk dialektrik linear berlaku hubun~ = ǫE. ~ Sedangkan untuk material magnetik linear berlaku hubungan gan D ~ = µH. ~ Namun untuk beberapa material yang lebih kompleks hubungan ini B menjadi tidak linear, sehingga persamaan-persamaan Maxwell diatas memberikan sebuah teori elektrodinamika nonlinear. Permasalahan lain dalam teori elektrodinamika Maxwell adalah energi-diri elektrostatik untuk muatan titik bernilai tak hingga [1]. Prinsip keberhinggaan menyatakan bahwa teori yang sesuai haruslah terhindar dari kuantitas fisika yang tidak berhingga [10]. Dengan menerapkan prinsip ini Universitas Indonesia
12 terhadap kecepatan, maka didapatkan asumsi bahwa adanya batas maksimal dari kecepatan v sebuah partikel v, yaitu kecepatan cahaya c. Oleh karena itu kita mengganti fungsi Aksi dari sebuah partikel bebas 1 2 mv 2
(2.40)
dengan mc
2
r
1−
v2 1− 2 c
!
(2.41)
Rapat Langrangian teori elektrodinamika Maxwell diberikan sebagai berikut 1 LM = (E 2 − B 2 ) 2
(2.42)
Dengan menerapkan prinsip keberhinggaan ini akan mengarahkan kita kepada asumsi bahwa nilai maksimum dari kekuatan medan E dan B, sehingga persamaan (2.42) dapat diganti dengan bentuk [10] : LBI = b2
1−
r
(E 2 − B 2 ) 1− b2
!
(2.43)
b adalah konstanta kopling untuk teori elektrodinamika Born-Infeld. Terlihat bahwa untuk harga medan-medan E dan B yang kecil sekali, LBI berubah menjadi LM Bentuk lain rapat Lagrangian Born-Infeld. Teori elektrodinamika Born-Infeld merupakan teori nonlinear elektrodinamka yang mencoba untuk ’memperbaiki’ teori elektrodinamika. Dalan teori Born-Infeld ini terlihat bahwa energi-diri untuk muatan titik bernilai berhingga. Bentuk kovarian dari persamaan (2.43) adalah sebagai berikut L = b2
1−
r
1+
1 Fµν F µν 2b2
!
(2.44)
Secara formal kita dapat menggunakan postulat aksi invarian untuk mencari bentuk Lagrangian Born-Infeld, yaitu [10] :
L = b 2 1 −
s
1+
1 Fµν F µν − 2b2
1 ˜ Fµν F µν 2b2
2
(2.45)
dengan F˜µν = ǫαβµν F αβ merupakan tensor dual dari Fµν . Persamaan (2.45) dapat
Universitas Indonesia
13 ditulis, secara elegan, sebagai berikut [1] L = b2
1−
s
−det gµν
1 + Fµν b
!
(2.46)
Universitas Indonesia
BAB 3 PENURUNAN RUMUS 3.1
Landscape Teori Abelian Einstein-Born-Infeld
Aksi yang dipakai untuk teori abelian Einstein-Born-Infeld 6 dimensi adalah sebagai berikut : S=
Z
d6 x˜
p
−˜ g
(
4 M(6)
2
r
1 1 + 2 FM N F M N − 1 2b
˜ (6) − b2 R
!
˜ −Λ
)
(3.1)
dengan indeks M, N = 0, 1, 2, 3, 5, 6 adalah koordinat 6 dimensi1 , g˜ adalah deter4 ˜ (6) adalah minan dari tensor metrik g˜M N , M(6) adalah massa Planck 6 dimensi, R skalar Ricci untuk 6 dimensi, b adalah konstanta kopling Born-Infeld, FM N adalah ˜ adalah konstanta kosmologi 6 dimensi. tensor Maxwell, dan Λ Kita dapat mencari persaman gerak yang berhubungan dengan medan Maxwell, AM , dan medan gravitasi. Untuk persamaan gerak medan Maxwell kita menggunakan persamaan Euler-Lagrange berikut ∂L − ∂N ∂AM
∂L ∂(∂M AN )
=0
(3.2)
Didapatkan persamaan gerak untuk medan AM berikut
√
MN
1 −˜ gF √ ∂N q −˜ g 1+ 1 F 2b2
AB
F AB
=0
(3.3)
Untuk persamaan medan gravitasi didapatkan persamaan medan Einstein didapat ˜ (6) = 1 TM N ˜ (6) − 1 g˜M N R R MN 4 2 M(6) dengan tensor energi momentum TM N untuk teori ini dapat dicari dengan TM N
2 = −√ −˜ g
√ √ ∂ ( −gLm ) ∂ ( −gLm ) − ∂A ∂˜ gM N ∂˜ g M N ,A
1
(3.4)
indeks 4 tidak digunakan, sehingga total berjumlah 6 dimensi. Hal ini hanya untuk mempermudah penggambaran akan 6 dimensi
14
15 dengan Lm merupakan Lagrangian yang berasal dari selain Lagrangian gravitasi, yiatu !
Lm = −b2
r
1 1 + 2 FM N F M N − 1 2b
= −b2
r
1 1 + 2 g˜M A g˜N B FM N FAB − 1 2b
˜ −Λ
(3.5) !
˜ −Λ
(3.6)
suku kedua dari persamaan (3.4) bernilai 0 karena Lm tidak bergantung terhadap turunan tensor metrik (˜ gM N,A ). Sehingga didapat TM N
! # " r p 2 1 ∂ ˜ −b2 −˜ = −√ g 1 + 2 g˜CA g˜DB FCD FAB − 1 − Λ gM N 2b −˜ g ∂˜ " √ r g ∂ −˜ 1 = −b2 1 + 2 FAB F AB M N ∂˜ g 2b ! r p ∂ 1 CA DB + −˜ g MN 1 + 2 g˜ g˜ FCD FAB ∂˜ g 2b ∂ p 2 ˜ −˜ g (b − Λ) ∂˜ gM N r 1 g˜CD FM C FN D = −˜ gM N b2 1 + 2 FAB F AB + q 2b 1 + 1 F F AB 2b2
AB
˜ −˜ gM N (b2 − Λ)
(3.7)
Persamaan (3.7) merupakan tensor energi-momentum untuk 6 dimensi (6d). Kita dapat mencari tensor energi-momentum untuk 4 dimensi (Tµν ) biasa dan 2 dimensi ekstra (Tij ). Indeks Yunani (µ, ν, ...) berjalan dari 0,1,2, dan 3. Sedangkan indeks Latin (i, j, ...) berjalan dari 5,6 (lebih spesifik indeks ini mengacu kepada dimensi θ dan φ pada ruang dimensi ekstra). Kita akan mencari solusi dari model ini dengan menggunakan metrik ds2 = g˜M N dxM dxN = g˜µ dxµ dxν + R2 (dθ2 + sinθdφ2 )
(3.8)
dengan R adalah jari-jari ruang dimensi ekstra. Kita akan melihat solusi dari model ini dengan metrik yang mengandung ruang simetrik maksimal 4d dengan kelengkungan ruang yang konstan, yaitu R(4) = 12H 2 , dan ruang dimensi ekstra S 2 (permukaan bola) statik dengan radius tertentu (R).
Universitas Indonesia
16 Tensor Maxwell 6d FM N didefinisikan sebagai F M N = ∂ M A N − ∂ N AM
(3.9)
dengan AM adalah medan Maxwell abelian. Ansatz medan Maxwell yang konsisten dengan simetri metrik yang kita pakai adalah konfigurasi monopole-like pada ruang dimensi ekstra S 2 [12, 13]: Aφ = −
n (cosθ ± 1) 2e
(3.10)
dengan n adalah bilangan bulat, e adalah muatan listrik dan θ, φ adalah koordinat ruang dimensi ekstra. Dengan bentuk AM seperti ini, maka tensor Maxwell kovarian yang bersesuaian adalah Fθφ = −Fφθ =
n sinθ 2e
(3.11)
sedangkan bentuk kontravariannya adalah F θφ = −F φθ = g˜θθ g˜φφ Fθφ n 1 = 4 2eR sinθ
(3.12)
Dari persamaan (3.7), kita bisa mencari untuk bentuk Tµν dan Tij . Untuk bentuk Tµν adalah Tµν = −˜ gµν b2
r
1+
˜ −˜ gµν (b2 − Λ)
g˜ρσ Fµρ Fνσ 1 AB + q F F AB 2b2 1 + 2b12 FAB F AB
Suku kedua bernilai 0 karena Fµν = 0 dan FAB F AB = (3.13) menjadi Tµν = g˜µν
−b2
r
1+
n2 4b2 e2 R4
n2 . 2e2 R4
˜ + b2 − Λ
!
(3.13)
Sehingga bentuk
(3.14)
Universitas Indonesia
17 Sedangkan untuk bentuk Tij 2
Tij = −b g˜ij
r
1+
˜ +˜ gij (b2 − Λ) r
= g˜ij −b2
1 g˜lm Fil Fjm MN + q F F M N 2b2 1 + 2b12 FM N F M N 2
1+
1 n n2 q + 4b2 e2 R4 4e2 R4 b2 1 +
n2 4b2 e2 R4
˜ (3.15) − b2 − Λ
˜ M N , diberikan Selanjutnya kita akan mencari tensor Einstein G ˜ (6) = R ˜ (6) − 1 g˜M N R(6) G MN MN 2 Untuk ruang-waktu 4d, tensor Einstein menjadi
(3.16)
˜ (6) ˜ (6) 1 ˜µν R(6) G µν = Rµν − g 2
(3.17)
(6) ˜ µν ˜ (6) adalah pernjumlahan dengan tensor Ricci R = 3H 2 g˜µν dan skalar Ricci R skalar Ricci 4d dan skalar Ricci ruang dimensi ekstra [lihat lampiran A.2], yaitu
˜ (6) = R ˜ (4) + R ˜ (2) R 2 = 12H 2 + 2 R
(3.18)
Persamaan (3.17) menjadi ˜ (6) G µν
= −˜ gµν
1 3H + 2 R 2
(3.19)
˜ (6) Sedang tensor Einstein untuk ruang dimensi ekstra G ij ˜ (6) = −6H 2 g˜ij G ij
(3.20)
Dari persamaan (3.4), bentuk persamaan medan Einstein 4 dimensinya adalah ˜ (6) = G µν
1 Tµν 4 M(6)
(3.21)
dengan mesubtitusikan persamaan (3.4) dan persamaan (3.19) didapat : 4 −3H 2 M(6) −
4 M(6)
R2
= −b2
r
1+
n2 ˜ + b2 − Λ 4b2 e2 R4
(3.22)
Universitas Indonesia
18 Sedangkan komponen dimensi ekstranya didapat ˜ (6) = G ij
1 Tij 4 M(6) r
4 −6H 2 M(6) = − b2
1+
˜ + b2 − Λ
1 n2 n2 q + 2 2 4 2 4 4b e R 4e R b2 1 +
n2 4b2 e2 R4
(3.23)
Dari persamaan (3.22) dan (3.23) didapatkan hubungan antara H 2 dan R2 H2 =
n2 1 1 q − 4 2 2 4 3R 12e R M(6) b2 1 +
(3.24) n2 4b2 e2 R4
Dengan mensubtitusi persamaan (3.24) ke persamaan (3.22) didapat persamaan untuk mencari jari-jari ruang ekstra dimensi, R2 : 4 2M(6)
R2
˜ +b −Λ 2
!r
n2 n2 2 1+ 2 2 4 =b + 2 4 4b e R 2e R
(3.25)
3.2 Sudut Pandang 4 Dimensi Sejauh ini kita belumlah menyinggung sifat stabilitas dari ruang dimensi ekstra, yaitu apakah ruang 2 dimensi ekstra ini stabil terhadap gangguan osilasi yang kecil. Pada subbab ini kita akan melihat mekanisme kompaktifikasi dimensi ekstra dari sudut pandang ruang-waktu 4 dimensi. Pada perspektif 4 dimensi, jari-jari ruang dimensi ekstra dinyatakan oleh sebuah medan radion ψ dengan potensial yang stabil. Kita mulai dari persamaan aksi 6 dimensi, yaitu persamaan (3.1). Asumsikan ansatz metrik 6 dimensi sebagai berikut [12]: ds2 = g˜M N dxM dxN = e−ψ(x)/Mp gµν dxµ dxν + eψ(x)/Mp R2 dΩ2
(3.26)
Skalar Ricci 6 dimensi pada persamaan (3.1) merupakan penjumlahan skalar Ricci pada ruang-waktu 4 dimensi dan skalar Ricci pada ruang-dimensi ekstra,
Universitas Indonesia
19 yaitu: ˜ (6) = g˜M N R ˜M N R ˜ µν + g˜ij R ˜ ij = g˜µν R ˜ (4) + R ˜ (2) = R
(3.27)
˜ (4) dan R ˜ (2) adalah skalar Ricci untuk ruang-waktu 4 dimensi dan 2 didengan R mensi ekstra, berturut-turut, dalam perspektif 6 dimensi. Dengan menggunakan ˜ (4) dan R ˜ (2) . ansatz diatas didapatkan R ˜ (4) Mencari R ˜ (4) = g˜µν R ˜ R µν ˜A = g˜µν Γ
˜A ˜A ˜B ˜A ˜B µν,A − ΓµA,ν + Γµν ΓAB − ΓµB ΓνB
= g˜µν Γρµν,ρ −
1 µν g˜ ∂µ ∂ν ψ Mp
1 1 µν ρσ g˜ g ,ρ gµν ∂σ ψ + g ρσ gµν,ρ ∂σ ψ + g ρσ gµν ∂ρ ψ 2 Mp 1 µν g˜ ∂µ ∂ν ψ − g˜µν Γρµρ,ν + Mp 1 µν ρ 1 µν 1 µν ρ g˜ Γµν ∂ρ ψ + g˜ Γµρ ∂ν ψ − g˜ ∂µ ψ∂ν ψ + g˜µν Γρµν Γσρσ − Mp Mp Mp 1 µν ρ − g˜µν Γρµσ Γσνρ + g˜ Γµν ∂ρ ψ Mp 1 σ 1 µν Rµν + Γ ∂ν ψ − 2 ∂µ ψ∂ν ψ = g˜ Mp µν Mp 1 1 ψ/Mp e 4g ρσ,ρ ∂σ ψ + g µν g ρσ gµν,ρ ∂σ ψ + 4g ρσ ∂ρ ∂σ ψ (3.28) + 2 Mp +
Universitas Indonesia
20 ˜ (2) Mencari R ˜ (2) = g˜ij R ˜ R ij ˜A − Γ ˜A + Γ ˜AΓ ˜B − Γ ˜A Γ ˜B = g˜ij Γ ij,A iA,j ij AB iB jB 1 1 1 ρσ 1 1 ψ/Mp ρσ = g˜ij − 2 g˜ρσ g˜ij ∂ρ ψ∂σ ψ − g ,ρ g˜ij ∂σ ψ − e g˜ g˜ij ∂ρ ∂σ ψ Mp 2 Mp 22 1 1 ρλ 1 1 1 ρλ g˜ g˜ij ∂ρ ψ∂λ ψ g˜ g˜ij ∂λ ψΓσρσ + 2 g˜ρλ g˜ij ∂λ ψ∂ρ ψ − − 2 Mp Mp 2 Mp2 2 1 1 σλ g˜ g˜ij ∂σ ψ∂λ ψ + 2 e−ψ/Mp + 2 2 Mp R 1 ψ/Mp ρσ 1 ρλ σ 1 ρσ = − e g˜ ∂ρ ∂σ ψ − g˜ Γρσ ∂λ ψ g ,ρ ∂σ ψ − Mp Mp Mp 2 (3.29) + 2 e−ψ/Mp R Subtitusi persamaan (3.28) dan (3.29) pada persamaan (3.27), sehingga didapat 1 (6) µν ˜ Rµν − 2 ∂µ ψ∂ν ψ R = g˜ Mp √ 1 1 2 √ ∂µ + −gg µν ∂ν ψ eψ(x)/Mp + 2 e−ψ(x)/Mp Mp −g R
(3.30)
Suku kedua pada persamaan di atas bernilai nol setelah diintegralkan terhadap ruang-waktu 4 dimensi (pada Aksi S). Dengan demikian, aksi dalam sudut pandang 4 dimensi menjadi (
4 M(6)
r
1 ˜ (6) + b2 R S = d6 x˜ −˜ g 1 − 2 FM N F M N − 1 2 2b 2 Z Mp (4) 1 √ 4 µ = d x −g R − ∂µ ψ∂ ψ − V (ψ) 2 2 Z
p
!
˜ −Λ
) (3.31)
dengan potensial untuk ukuran dimensi eksternalnya adalah 4 V (ψ) = 4πM(6)
b2 R 2 4 M(6)
r
n2 e−2ψ/Mp −ψ/Mp e − e−2ψ/Mp 4b2 e2 R4 ! ˜ 2 (b2 − Λ)R − e−ψ/Mp 4 M(6) 1+
(3.32)
dengan kita menggunakan definisi [12] 4 4 Mp2 = VS 2 M(6) = 4πR2 M(6)
(3.33)
Universitas Indonesia
21 dimana VS 2 = 4πR2 merupakan luas permukaan S 2 dengan jari-jari R. Terlihat bahwa pada sudut pandang 4 dimensi, Langrangian sistem tersusun dari Lagrangian gravitasi dengan tambahan suku kinetik medan ψ dan suku potensialnya.
Universitas Indonesia
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan (3.25) merupakan persamaan untuk jari-jari ruang dimensi. Berikut diberikan persamaannya 4 2M(6)
R2
˜ + b2 − Λ
!r
1+
n2 n2 2 = b + 4b2 e2 R4 2e2 R4
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut 8 n2 M(6)
b2 e 2
n4 − 4 4e
!
+
4 ˜ n2 M(6) (b2 − Λ)
b2 e 2
!
R2
! 2 2 ˜ 2 b2 n 2 n (b − Λ) 8 + 4M(6) + − 2 R4 4b2 e2 e 4 ˜ R6 + (b2 − Λ) ˜ 2 − b4 R 8 = 0 + 4M(6) (b2 − Λ)
(4.1)
Solusi dari persamaan di atas disubtitusi ke persamaan potensial V (ψ) pada persamaan (3.32), yaitu 4 V (ψ) = 4πM(6)
b2 R 2 4 M(6)
r
n2 e−2ψ/Mp −ψ/Mp e − e−2ψ/Mp 4b2 e2 R4 ! ˜ 2 (b2 − Λ)R − e−ψ/Mp 4 M(6) 1+
Suku pertama potensial V (ψ) di atas merupakan suku yang berasal fluks elektromagnetik. Suku ini berhubungan dengan potensial yang menyebabkan ruang spasial dimensi ekstra untuk mengembang. Sedangkan suku kedua adalah suku yang berasal dari kelengkungan ruang dimensi ekstra sehingga suku ini bersifat ’menarik’. Dengan kata lain suku ini bersifat melawan suku potensial fluks elektromagnetik. Adapun suku ketiga merupakan suku yang mengandung kostanta kosmologi 6 dimensi, suku ini bersifat mendorong ruang-waktu untuk mengembang jika bernilai positif dan sebaliknya akan menarik ruang-waktu jika bernilai negatif. Kita akan memeriksa apakah vakua dari potensial ini bersifat stabil atau tidak stabil terhadap gangguan yang kecil. Selain itu juga apakah vakua tersebut berhubungan dengan vakua dengan ruang-waktu 4 dimensi Minkowski, de Sitter 22
23 atau anti de Sitter. Kita lihat bahwa persamaan jari-jari ruang dimensi ekstra (4.1) pada teori ini mempunyai bentuk persamaan polinomial orde-8. Solusi dari persamaan ini sulit untuk dideskripsikan secara analitis karena sangat kompleks sehingga lebih menguntungkan jika kita menganilisis kompaktifikasi dimensi ekstra dari perspektif 4 dimensi. Namun pada bab ini akan dibahas beberapa pendekatan, ˜ b2 /M 6 > 1, b2 /M 6 < 1 dan potensial datar. yaitu kondisi ketika b2 = Λ, (6) (6)
˜ 4.1 Kasus b2 = Λ Kita tinjau kasus dimana nilai kuadrat konstanta kopling Born-Infeld sama dengan ˜ Persamaan (4.1) menjadi konstanta kosmologi 6d, b2 = Λ. 8 n2 M(6)
b2 e 2
n4 − 4 4e
!
+
8 4M(4)
b2 n 2 − 2 e
R 4 − b4 R 8 = 0
(4.2)
b2 M 8 n 2 e2
(4.3)
dengan solusi R2 sebagai berikut 2 R±
=
s
2M 8 n2 1 − ± 4 4 2 2 b 2b e b
r
4M 16 −
Persamaan potensial ruang dimensi ekstra dimensi 4 V (ψ) = 4πM(6)
b2 R 2 4 M(6)
r
n2 e−2ψ/Mp −ψ/Mp e − e−2ψ/Mp 1+ 4b2 e2 R4
!
√ Dengan menggunakan set nilai e = 2 ; M(6) = 1 ; Mp = 1 ; b = 0.1, dan 2 mensubtitusikan nilai R2 (nilai yang dipakai adalah R+ ), maka didapatkan grafik potentsial V (ψ, n) terhadap medan radion ψ untuk beberapa nilai n. Lihat Gambar 4.1
Universitas Indonesia
24 VHy,nL 600 000
400 000
V Hy, 1L 200 000
V Hy, 9L V Hy, 16L
y -6
-4
-2
2
-200 000
-400 000
Gambar 4.1: Grafik Kasus 1
Nilai n menunjukkan vakua ke-n dari potensial V (ψ) 4 dimensi. Dengan set parameter e, M(6) dan Mp yang sama pada Gambar 4.1, jumlah vakua yang ada berbeda-beda untuk nilai b yang berbeda. Lihat Tabel 4.1. Terlihat bahwa semakin kecil nilai b maka jumlah vakua yang ada akan semakin banyak. Tabel 4.1: Hubungan konstanta kopling b terhadap jumlah vakua n 3 b (dalam satuan M(6) )
Jumlah vakua (n)
2 1 0.1 0.01 0.001
1 2 28 282 2828
Dari grafik pada Gambar 4.1, untuk semua nilai n hanya terdapat satu keadaan vakua yang bersifat tidak stabil terhadap gangguan kecil untuk jari-jari ruang dimensi ekstra yang terkompaktifikasi. Dari grafik tersebut terlihat bahwa potensial V (ψ) menuju nol untuk nilai medan radion ψ yang besar. Daerah ini disebut dengan ruang tak terkompaktifikasi (dekompaktifikasi). Lihat Gambar 4.2. Dengan gangguan kecil, vakua tak stabil ini dapat menjadi tidak terdekompaktifikasi (ke kanan) atau meluruh ke kiri menjadi kondisi dimana tidak ada ruang-waktu (nothing)[14].
Universitas Indonesia
25 VHyL
Vakua Tak Stabil
400 000
200 000
Dekompaktifikasi -8
-6
-4
y
-2
2
4
-200 000 -400 000 -600 000
Kondisi Nothing
-800 000 -1 ´ 106
Gambar 4.2: Grafik Potensial Vakua Tak Stabil
6 >1 4.2 Kasus b2 /M(6) 6 Kita tinjau kasus dimana b2 /M(6) > 1. Kita dapat melakukan ekspansi faktor akar pada potensial V (ψ). Pada kasus ini kita hanya meninjau dari perspektif 4 dimensi. Jika diambil 4 suku pertama ekspansi, bentuk (3.32) menjadi
V (ψ) =
4 4πM(6)
(
R2 4 M(6)
n4 e−4ψ/Mp n6 e−6ψ/Mp n2 e−2ψ/Mp − + 8e2 R4 128b2 e4 R8 1024b4 e6 R12 ) ˜ 2 ΛR −e−2ψ/Mp + 4 e−ψ/Mp M(6)
e−ψ/Mp (4.4)
n −2 ˜ Dengan mengambil set nilai beR ; Mp = 1; M(6) = 1, didapat 2 = 0.5 ; Λ = 10 grafik V (ψ) terhadap ψ untuk nilai beberapa nilai n :
Universitas Indonesia
26 VHyL
0.04
n = 20
n = 15 0.02
n = 14 y 2
3
4
5
6
Vakua Stabil -0.02
n = 13
Gambar 4.3: Grafik V (ψ) terhadap ψ dengan nilai n = 13, 14, 15 untuk kasus b = 2
Grafik pada Gambar 4.3 adalah pada n = 13, 14, 15. Pada semua nilai n terdapat satu vakua yang stabil dengan jari-jari ruang dimensi ekstra yang terkompaktifikasi. Vakua dengan n = 13 dan n =15 berhubungan dengan vakua dengan ruang-waktu Anti de Sitter dan de Sitter 4 dimensi, secara berturut-turut. Terlihat bahwa semakin besar nilai n, nilai potensial vakua akan semakin positif atau suku fluks potensial akan semakin besar dibandingkan suku-suku yang lainnya. Oleh karenanya ruang dimensi ekstra akan semakin mengembang, mengalahkan ’gaya tarik’ yang berasal dari suku kelengkungan dan konstanta kosmologi 6 dimensi. Selanjutnya kita akan melihat grafik potensial V (ψ) terhadap perubahan nilai b. Dengan set parameter yang sama dengan Gambar 4.3, kecuali nilai b yang akan kita variasikan, didapatkan grafik pada Gambar. 4.4. Terlihat pada gambar tersebut bahwa dengan nilai b = 2, 3, 4, ... grafik V (ψ) sudah berhimpit. Artinya dengan nilai-nilai b ini, kompaktifikasi dimensi ekstra oleh teori elektrodinamika BornInfeld sudah mendekati kompaktifikasi oleh teori elektrdinamika Maxwell. Lihat Gambar 4.5
Universitas Indonesia
27 VHy,bL 0.14 0.12
V Hy, 1L
0.10
V Hy, 3L
0.08
V Hy, 5L
0.06
V Hy, 9L
0.04
V Hy, 1000L
0.02 y 0
2
4
6
8
Gambar 4.4: Grafik V (ψ) terhadap ψ untuk beberapa nilai b
VHyL 4
3
2
1
y 2
4
6
8
Gambar 4.5: Grafik V (ψ) terhadap ψ untuk kompaktifikasi oleh teori elektrodinamika Maxwell, dengan set parameter yang sama dengan Gambar 4.4
6 <1 4.3 Kasus b2 /M(6) 6 Kita akan menganalisis untuk kasus dengan nilai b2 /M(6) < 1. Untuk kasus ini kita akan menggunakan bentuk potensial yang lengkap (tanpa ekspansi). Set parameter 6 yang digunakan sama dengan kasus b2 /M(6) > 1. Grafiknya diberikan pada Gambar 4.6 untuk nilai b = 0.2, 0.3, 0.9. Terlihat bahwa terdapat vakua yang stabil untuk masing-masing nilai b.
Universitas Indonesia
29 VHyL 0.6
0.4
n = 21
n = 20 0.2
-4
y
-2
2
4
6
n = 19 -0.2
Gambar 4.7: Grafik Kasus Datar
Penjelasan untuk kasus dengan n = 19 sudah dibahas pada Subbab 4.1. Kita lihat pada kasus dengan potensial datar. Hal yang menarik adalah bahwa pada potensial datar ini menggambarkan keadaan metastabil. Dalam sudut pandang ruangwaktu 4 dimensi, keadaan metastabil ini menunjukkan alam semesta yang mengalami inflasi. Namun kondisi ini tidak menggambarkan alam semesta kita sekarang ini karena grafik potensial langsung asimtotik pada sumbu ordinat, sehingga tidak ada vakua potensial stabil dengan dimensi ekstra yang terkompaktifikasi.
Universitas Indonesia
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Kita dapat menyimpulkan beberapa hal dari apa-apa yang telah kita deskripsikan pada bab-bab sebelumnya, yaitu mekanisme flux compactification untuk dimensi ekstra pada teori Einstein-Born-Infel 6d menghasilkan persamaan radius ruang dimensi ekstra yang terkompaktifikasi. Hal ini ditandai dengan nilai potensial efektif vakua yang stabil. Terlihat juga bahwa pada nilai konstanta kopling Born-Infeld b yang besar (kasus kopling lemah), kompaktifikasi pada teori ini mendekati kompaktifikasi pada teori Einstein-Maxwell 6d. Vakua yang berhubungan dengan ruang dimensi ekstra yang terkompaktifikasi dapat berhubungan dengan ruang-waktu 4 dimensi di Sitter, anti de Sitter atau Minkowski. Hal yang awalnya penulis harapkan adalah bahwa dengan menggunakan teori Einstein-Born-Infeld (bersifat nonlinear) ini akan didapatkan grafik potensial dengan beberapa vakua stabil untuk satu set parameter. Namun sejauh ini grafik yang didapatkan tidak jauh dari apa yang digambarkan oleh teori Maxwell. Sekalipun begitu, pada teori ini terdapat parameter tambahan (b) dalam membentuk vakua potensial.
5.2 Saran Berikut adalah sarat-saran yang penulis kemukakan yang berhubungan dengan skripsi ini. 1. Untuk semua nilai n yang mempunyai vakua stabil memiliki potensial yang akan menuju nol pada nilai radius yang sangat besar. Artinya untuk vakua dengan energi positif dapat meluruh dengan cara menembus potensial penghalang menuju ruang yang tak terkompaktifikasi. Kita dimungkinkan untuk mempelajari efek penembusan (quantum tunelling)dalam teori EinsteinBorn-Infeld ini. 2. Kita dapat mempelajari kompaktifikasi dengan menggunakan teori medan lainnya, misalnya medan Yang-Mill dan lain-lainnya.
30
DAFTAR REFERENSI
[1] Barton Zwiebach. A First Course in String Theory. Cambridge University Press, United Kingdom, 2004. [2] Joseph Polchinski. Superstring Theory and Beyond String Theory. Cambridge University Press. Cambridge University Press, United Kingdom, 2005. [3] David Griffth. Introduction to Elementary Particles. WILEY-VCH. WILEYVCH, Jerman, 2008 [4] Lewis Ryder. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. Cambridge University Press, United Kingdom, 2001. [5] Niklas Beisert. Introduction to String Theory. ETH Zurich. Lecture Note. [6] Bintoro A. Subagyo Zulfi dan Asep Y. Wardaya Freddy P. Zen, Bobby E. Gunara. Kompaktifikasi dari Teori Superstring dan Teori-M. Indonesia Journal of Physics, 2003 [7] Moshe Carmeli. Classical Field : General Relativity and Gauge Theory. John Wiley and Son, USA, 1982. [8] A.C. Ripken. Coordinate Systems in de Sitter Spacetime. 2004. Bachelor Thesis. [9] David Griffth. Introduction to Elementary Particles. WILEY-VCH. WILEYVCH, Jerman, 2008. [10] M. Born dan L. Infeld. Foundations of the New Field Theory. The Roya Society, London, 2008. [11] Jiri Podolsky dan Jerry B. Griffiths. Exact Space-Times in Einstein’s General Relativity. Cambridge University Press, United Kingdom, 2009. [12] Jose-J. Blanco-Pillado, Delia Schwartz-Perlov, dan Alexander Vilenkin. A Quantum Tunneling in Flux Compactification. arXiv:0904.3106v2 [heoth].2009.
31
32 [13] S. Randjbar-Daemi, Abdus Salam, J. Strathdee. Spontaneous Compactification in Six-Dimensional Einstein-Maxwell Theory. Nuclear Physic B214 (1983) 491-512 [14] Handhika Satrio Ramadhan. Higher Dimensional Defect in Cosmology. Disertasi S3
Universitas Indonesia
LAMPIRAN
APPENDIX A LAMPIRAN A.1
Persamaann Medan Einstein dalam Vakum
Kita mulai dari Aksi berikut S=
Z
√
−gRd4 x
(A.1)
dengan g adalah determinat tensor metrik gµν dan R adalah skalar Ricci. Dengan memvariasikan aksi diatas kita akan mendapatka persamaan medan Einstein dalam vakum. Anggap variasinya mengikuti gµν → gµν + δgµν Sehingga didapat variasi dari simbol Christoffel Γλµν berikut 1 δΓλµν = −g λκ δgκρ Γρµν + g λσ [(δgµσ ),ν + (δgνσ ),µ − (δgµν ),σ ] 2
(A.2)
Dari turunan kovarian kita dapatkan (δgµσ );ν = (δgµσ ),ν − Γρµν δgρσ + Γρσν δgρν
(A.3)
sehingga (δgµσ ),ν + (δgνσ ),µ − (δgµν ),σ = (δgµσ );ν + (δgνσ );µ − (δgµν );σ + 2Γρµν δgρσ (A.4) Sehingga persamaan (A.2) menjadi δΓλµν = [(δgµσ );ν + (δgνσ );µ − (δgµν );σ ]
(A.5)
Bentuk turunan kovarian dari persamaan (A.5) adalah (δΓλµν );κ = (δΓλµν ),κ − Γρµκ δΓλρν − Γρνκ δΓλρµ + Γλρκ δΓρµν
2
(A.6)
3 Dengan mengkontraksikan indeks ν dan λ didapatkan (δΓλµλ );κ − (δΓλµκ );λ = (δΓλµλ ),κ − (δΓλµκ ),λ − Γρµκ δΓλρλ + Γλρκ δΓρµλ + Γρµλ δΓλρκ − Γλρλ δΓρµκ
(A.7)
Disisi lain jika kita mencari variasi dari tensor Ricci (lihat persamaan 2.12), yaitu δRµκ = (δΓλµκ ),λ − (δΓλµλ ),κ + Γρµκ δΓλρλ + Γρµκ δΓλρλ − Γλρκ δΓρµλ − Γρµλ δΓλρκ
(A.8)
Dengan melabel ulang indeks-indeks di atas, kita dapatkan δRµκ = (δΓλµκ );λ − (δΓλµλ );κ
(A.9)
Dengan memvariasikan persamaan (A.1) maka δ
√
−gR
√ = δ −gg µν Rµν √ √ √ = −gRµν δg µν + R(δ −g) + −gg µν δRµν
(A.10)
Lihat suku ketika dari persamaan (A.10), dengan mensubtititusikan persamaan (A.9), akan menjadi √
−gg µκ δRµκ =
√
−g (g µκ δΓλµκ );λ − (g µκ δΓλµλ );κ
(A.11)
Catatan : (g µν );λ = 0. Dengan menggunakan persamaan 1 √ V;µµ = √ ( −gV µ ),µ −g
(A.12)
maka √
−gg µκ δRµκ =
√
−g (g µκ δΓλµκ );λ − (g µκ δΓλµλ );κ = ∂λ (g µκ δΓλµκ );λ − (g µκ δΓλµλ );κ
≡ ∂λ W λ
(A.13)
Dengan menggunakan persamaan (A.10) dan(A.13), maka persamaan variasi Aksi menjadi δS = δ
√
−gR = κ
Z
√
µν
−gδg (Rµν
1 λ − gµν R) + ∂λ W d4 x 2
(A.14)
Universitas Indonesia
4 Dengan menggunakan teorema Gauss, hasil integral dari suku ketiga pada persamaan di atas bernilai nol karena pada syarat batas berlaku δgµν = 0. Karena δS = 0 maka didapat 1 Rµν − gµν R = 0 (A.15) 2 Persamaan (A.15) merupakan persamaan medan Einstein pada ruang vakum.
A.2
Skalar Ricci Ruang Permukaan Bola
Metrik untuk permukaan bola (S 2 ) adalah ds2 = R2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 ), dengan R adalah jari-jari permukan bola. Tensor metrik gij untuk ruang tersebut adalah gij =
R2 0 0 R2 sin2 θ
!
(A.16)
Dengan tensor metrik diatas maka didapat nilai-nial simbol Christoffel [lihat persamaan 2.1]berikut Γ111 = Γ111 = Γ121 = 0 , Γ211 = Γ222 = 0 ,
Γ122 = − sin θ cos θ
Γ212 = Γ221 = 0
Maka komponen tensor Ricci R22 diberikan oleh R22 = Γ122,1 − Γ121,2 + Γ1i1 Γi22 − Γ1i2 Γi21 ∂ (− sin θ cos θ) − Γ122 Γ221 = sin2 θ = ∂θ
(A.17)
Sedangkan komponen yang lain, yaitu R11 , dapat dihitung i 2 1 R11 = R1i1 = R121 = g 22 R2121 = g 22 g11 R212
= g 22 g11 R22 1 2 2 = 2 .R . sin θ = 1 2 R sin θ
(A.18)
Maka kelengkungan skalar Ricci R adalah R = g 11 R11 + g 22 R22 =
1 1 2 + = R2 R2 R2
(A.19)
Universitas Indonesia
5
A.3
Flux Compactifications pada Teori Einstein-Maxwell
S=
Z
d6 x˜
p
−˜ g
4 M(6)
˜ ˜ (6) − 1 FM N F M N − Λ R 2 4
!
(A.20)
dimana M, N = 0, 1....5 menunjukkan koodinat 6 dimensi, M(6) adalah massa ˜ adalah konstanta kosmologi 6 dimensi. Persamaan medan dari Plank 6d, dan Λ aksi di atas adalah ˜ (6) − 1 g˜M N R ˜ (6) = 1 TM N R MN 4 2 M(6) dan
(A.21)
p 1 MN √ ∂M −˜ gF =0 −˜ g
(A.22)
dengan tensor energi momentum TM N sebagai berikut
1 ˜ TM N = g˜LP FM L FN P − g˜M N F 2 − g˜M N Λ (A.23) 4 Kita akan melihat solusi dari model ini dengan metrik ruang-waktu yang mempunyai kelengkungan konstan dengan ruang simetrik maksimal 4 dimensi, yaitu R(4) = 12H 2 , dan ekstra dimensi S 2 statik dengan radius tertentu (fiks), dengan metriknya berbentuk ds2 = g˜M N dxM dxN = g˜µν dxM dxN + R2 dΩ22
(A.24)
dengan ansatz ini, kita memperoleh komponen tensor Einstein 6d berikut 1 (6) 2 ˜ Gµν = − 3H + 2 g˜µν R (6) ˜ G = −6H 2 g˜ij ij
(A.25) (A.26)
Ansatz untuk medan Maxwell adalah Aφ = −
n (cos θ ± 1) 2e
(A.27)
Dengan menggunakan persamaan (A.23), (A.25) dan (A.26) kita akan mendapatkan
Universitas Indonesia
6 2 persamaan berikut Tµν Tij
n2 ˜ = −˜ gµν +Λ 8e2 R4 2 n ˜ −Λ = g˜ij 8e2 R4
sehingga kita dapat mencari ukuran jari-jari dimensi ekstra dan parameter Hubble berikut s ! 4 2Λ ˜ M 3n (6) R2 = 1∓ 1− 2 8 ˜ 8e M(6) Λ 4 ˜ 8e2 M(6) 2Λ H2 = − 4 9M(6) 27n2
1±
s
˜ 3n2 Λ 1− 2 8 8e M(6)
!
Kita dapat memahami mekanisme kompaktifikasi dari perspektif dimana jarijari ruang dimensi ekstra dinyatakan oleh potensial yang stabil. Kita dapat mengasumsikan bentuk metrik 6 dimensinya sebagai berikut ds2 = g˜M N dxM dxN = e−ψ(x)/Mp gµν dxµ dxν + eψ(x)/Mp R2 dΩ2
(A.28)
Dengan menggunakan bentuk metrik di atas, bentuk aksi 4d dari pada persamaan (A.20) adalah S=
Z
4
√
d x −g
1 2 (4) 1 M R − ∂µ ψ∂ µ ψ − V (ψ) 2 p 2
(A.29)
dengan potensial V (ψ) 4 V (ψ) = 4πM(6)
˜ n2 R2 Λ −3ψ/Mp −2ψ/Mp e−ψ/Mp e − e + 4 8e2 R2 M(6) M64
!
(A.30)
Universitas Indonesia
