Gyakorl´ o feladatok I. a Matematika A1a-Anal´ızis nev˝u t´argyhoz
Sz´amhalmazok jel¨ol´es´ere a k¨ovetkez˝o szimb´olumokat haszn´aljuk: N := {1, 2, . . .},
Z,
Q,
Q∗ ,
R.
Az intervallumokat pedig ´ıgy jel¨olj¨ uk: [a, b],
(a, b),
(a, b],
[a, b),
(−∞, a),
stb.
Aj´ anlott irodalmak: 1. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-f´ele KALKULUS I., TYPOTEX Kiad´o, Budapest, 2006. (Erre a k¨onyvre ´ıgy fogunk hivatkozni: Thomas ) 2. Sydsæter–Hammond: Matematika k¨ozgazd´aszoknak , Aula Kiad´o, 1998. (Erre a k¨onyvre ´ıgy fogunk hivatkozni: S–H )
2015. szeptember
1. Sz´ azal´ eksz´ am´ıt´ asi feladatok F1.
Egy ´arucikk kezdetben 2000 Ft-ba ker¨ ult, majd 5%-kal megemelt´ek az ´ar´at. Mindezek ut´an 5%-kal cs¨okkentett´ek az a´r´at. Mi lett a v´egs˝o a´r?
F2.
Egy term´ek el˝osz¨or a Ft-ba ker¨ ult, majd p%-kal megemelt´ek az ´ar´at. Ezut´an az (´ uj) a´rat p%-kal cs¨okkentett´ek. Mi lett a term´ek v´egs˝o a´ra?
F3.
10000 Ft indul´ot˝ok´evel valaki bet´etsz´aml´at nyitott ´evi 12%-os kamatra. Menynyi lesz a sz´amla egyenlege t ´ev m´ ulva?
F4.
Egy erd˝o fa´allom´anya 3500 m3 . A mindenkori a´llom´any ´evenk´ent 3%-kal gyarapszik, ´es k´et´evenk´ent a meglev˝o a´llom´any 2%-´at kiv´agj´ak. Mennyi fa lesz az erd˝oben 20 ´ev m´ ulva?
F5.
T´ız ´ev alatt minden ´ev elej´en 4000 forintot tesz¨ unk a takar´ekba. T´ız ´ev letelt´evel 4000 forintot vesz¨ unk ki ´evenk´ent. Mennyi p´enz¨ unk lesz a huszadik ´ev v´eg´en, ha v´egig 10%-os a kamat?
2. Egyenletek ´ es egyenl˝ otlens´ egek F6.
Az abszol´ ut ´ ert´ ek fogalma ´ es tulajdons´ agai. Eml´ekeztet¨ unk arra, hogy az x ∈ R val´os sz´am abszol´ ut ´ ert´ ek´ et ´ıgy ´ertelmezz¨ uk: ( x, ha x ≥ 0 |x| := −x, ha x < 0. Bizony´ıtsa be ´es jegyezze meg a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´asokat: (a) |xy| = |x| · |y| (x, y ∈ R); (b) ha a ≥ 0, akkor |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a; (c) ha a ≥ 0, akkor |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a vagy x ≥ a; (d) |x + y| ≤ |x| + |y| (x, y ∈ R) (e) |x| − |y| ≤ |x − y| (x, y ∈ R).
(h´aromsz¨og-egyenl˝otlens´eg);
A k¨oz´episkol´aban tanultak alapj´an el˝osz¨or a´tism´etelj¨ uk az abszol´ ut ´ert´ekes-, a m´asodfok´ u-, a t¨orteket ´es n´egyzetgy¨ok¨ot tartalmaz´o egyenletek ´es egyenl˝otlens´egek megold´asi m´odszereit.
2
F7.
Egyenletek megold´ asa. Oldja meg R-en a k¨ovetkez˝o egyenleteket ´es a megold´ashalmazokat szeml´eltesse a sz´amegyenesen is: (a) |x2 − 16| = 12, 3x + 2 (c) = 3, x−1 √ (e) x + 2 = 4x + 13, √ √ (g) x − 4 = x + 5 − 9,
(b) |x + 3| + |x − 5| = 20, (d) |x + 1| − 2 = |x − 2| + 1 , √ (f) |x + 2| = 4 − x, √ √ (h) x − 4 = 9 − x + 5.
F8.
Egyenl˝ otlens´ egek megold´ asa. Oldja meg R-en a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egeket ´es a megold´ashalmazokat szeml´eltesse a sz´amegyenesen is: x 3x + 4 x−1 (a) + 2 ≤ 3, (b) < , 2 1 − 2x x+1 (c) |2x| + |2x − 6| ≥ 8, (d) 8x2 − 10x + 2 ≤ 2, x x 3x2 + 7x − 4 (f) . > ≤ 2, (e) 2 x+1 x+1 x + 2x − 3
F9.
Egyenletek ´es egyenl˝otlens´egek megold´as´anak ism´etl´es´ere javasolt tov´abbi feladatok: (a) Thomas 15. oldal 3–47. feladatok, (b) S–H 24. oldal 4., 5., 6. ´es 8. feladatok.
F10.
Egyenl˝ otlens´ egek igazol´ asa. Bizony´ıtsa be a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egeket: √ a+b (a) ab ≤ (a, b ≥ 0), 2 1 (b) a + ≥ 2 (a ∈ R \ {0}), a 2 (c) a + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc (a, b, c ∈ R). Mikor van egyenl˝os´eg a fenti egyenl˝otlens´egekben?
3. Halmazok F11.
Legyen A := {2, 3, 4}, B := {2, 5, 6}, C := {5, 6, 2} ´es D := {6}. (a) D¨ontse el, hogy a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok k¨oz¨ ul melyek igazak: 4 ∈ C, 5 ∈ C, A ⊂ B, D ⊂ C, B = C ´es A = B. (b) Hat´arozza meg az A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, (A ∩ B) \ (A ∪ B) halmazokat.
3
F12.
Legyen A := {1, 2, 10}, B := {x ∈ R | x > 1} ´es C := {x ∈ R | x2 ≥ 1}. Bizony´ıtsa be, hogy A ⊂ C, A 6= C, B ⊂ C, B 6= C, A 6⊂ B ´es B 6⊂ A.
F13. ´Irja fel az A := {1, 2, 3} halmaz hatv´anyhalmaz´at. F14.
Halmazok egyenl˝ os´ eg´ enek igazol´ asa. Tetsz˝oleges A, B ´es C halmazokra igazolja a k¨ovetkez˝o egyenl˝os´egeket: (a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
F15.
Igazolja a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat: Minden A, B ´es C halmazra (a) A ⊂ B =⇒ A ∪ C ⊂ B ∪ C; (b) A ∪ B = A ∩ B =⇒ A = B. (c) A \ B ⊂ C ⇐⇒ A ⊂ B ∪ C.
F16.
F17.
´ Allap´ ıtsa meg, hogy tetsz˝oleges A, B ´es C halmazokra az al´abbi a´ll´ıt´asok k¨oz¨ ul melyik igaz, melyik hamis. (Azaz vagy bizony´ıtsa be, hogy az a´ll´ıt´as minden A, B, C halmazra teljes¨ ul, vagy adjon meg olyan A, B, C-t, amelyekre nem igaz az ´all´ıt´as.) (a) A \ B = B \ A,
(b) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B,
(c) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A,
(d) A ∩ B = A ∩ C ⇒ B = C,
(e) A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C,
(f) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C.
Igaz-e az, hogy ha az A halmaz r´eszhalmaza a B halmaznak, akkor az A hatv´anyhalmaza is r´eszhalmaza a B hatv´anyhalmaz´anak?
4. Matematikai ´ all´ıt´ asok: sz¨ uks´ eges, el´ egs´ eges, sz¨ uks´ eges ´ es el´ egs´ eges felt´ etelek F18. ´Irja fel logikai jelekkel az al´abbi ´all´ıt´asokat, majd d¨ontse el, hogy azok igazak-e: (a) B´armely x val´os sz´am eset´en az x > 0 felt´etel el´egs´eges ahhoz, hogy x2 > 0 legyen. (b) B´armely x val´os sz´am eset´en az x > 0 felt´etel sz¨ uks´eges ahhoz, hogy x > 0 legyen. 2
(c) Egy n´egysz¨og oldalainak egyenl˝os´ege sz¨ uks´eges ahhoz, hogy az illet˝o n´egysz¨og n´egyzet legyen. (d) Egy n´egysz¨og oldalainak egyenl˝os´ege el´egs´eges ahhoz, hogy az illet˝o n´egysz¨og n´egyzet legyen. (e) Legyen x ´es y val´os sz´am. Annak sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele, hogy az xy szorzat nulla legyen az, hogy vagy x vagy y nulla.
4
F19.
(a) Mi a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy egy val´os sz´am n´egyzete pozit´ıv legyen? (b) Mi a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy k´et val´os sz´am n´egyzete egyenl˝o legyen? (c) Mi a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy k´et val´os sz´am k¨obe egyenl˝o legyen?
F20.
Tekints¨ uk a 2x + 5 ≥ 13 ´all´ıt´ast, ahol x val´os sz´am. (a) Az ´all´ıt´as teljes¨ ul´es´enek az x ≥ 0 felt´etel sz¨ uks´eges, el´egs´eges vagy sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele? (b) V´alaszolja meg ugyanezt a k´erd´est x ≥ 0 helyett x ≥ 50-nel. (c) V´alaszolja meg ugyanezt a k´erd´est x ≥ 0 helyett x ≥ 4-gyel.
F21.
Tekintse az al´abbi hat implik´aci´ot. Mindegyik esetben d¨ontse el, hogy (i) igaz-e az implik´aci´o ´es (ii) igaz-e a megford´ıtott implik´aci´o (x, y ´es z val´os sz´amok). (a) x = 2 ´es y = 5 =⇒ x + y = 7, (b) (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 =⇒ x = 1, (c) x2 + y 2 = 0 =⇒ x = 0 vagy y = 0, (d) x = 0 ´es y = 0 =⇒ x2 + y 2 = 0, (e) xy = xz =⇒ y = z, (f) x > y 2 =⇒ x > 0.
F22. ´Irja az u ¨res t´eglalapba a ⇐⇒ (akkor ´es csak akkor ), =⇒ (ha, akkor ) ´es a ⇐= (csak akkor, ha) szimb´olumok valamelyik´et – ha ez lehets´eges – u ´gy, hogy igaz a´ll´ıt´ast kapjunk. (Ahova ekvivalencia ´ırhat´o, oda csak azt ´ırja.) √ x = 2; (a) x = 4 (b) x2 > 0
x > 0;
(c) x2 < 9
x < 3;
(d) x(x2 + 1) = 0
x = 0;
(e) x(x + 3) < 0
x > −3.
5
5. Bizony´ıt´ asi m´ odszerek: az indirekt bizony´ıt´ as, a teljes indukci´ o. ´ ıt´ • All´ asok tagad´ as´ anak a megfogalmaz´ asa F23.
Pozit´ıv a´ll´ıt´as form´aj´aban fogalmazza meg a k¨ovetkez˝o kijelent´esek tagad´as´at. Egy adott ´ep¨ uletet tekintve: ∀ ablak nyitva van” ; ” ∃ ablak, ami nyitva van” ; ” ∃ emelet, hogy ∀ ablak nyitva van” ; ” ∀ emeleten ∀ ablak nyitva van” . ” Egy adott egyetemet tekintve: ∀ szak ∀ ´evfolyam´an ∃ le´any hallgat´o” ; ” ∃ szak, amelyiknek ∃ ´evfolyama, amelyben ∀ hallgat´o le´any” . ”
F24.
Egy adott ´ep¨ uletre vonatkoz´oan tekints¨ uk a minden ajt´on van kilincs” ki” ´ jelent´est. Irja ezt fel jelek ´es kvantorok seg´ıts´eg´evel, majd pozit´ıv a´ll´ıt´as form´aj´aban fogalmazza meg a tagad´as´at.
F25.
Pozit´ıv a´ll´ıt´as form´aj´aban fogalmazza meg a k¨ovetkez˝o kijelent´esek tagad´as´at, ´es d¨ontse el, hogy az ´all´ıt´asok ´es tagad´asuk k¨oz¨ ul melyek igazak. (a) ∃ y ∈ R, hogy ∀ x ∈ R eset´en x < y 2 ; (b) ∃ y ∈ R, hogy ∀ x ∈ R− eset´en x < y 2 ; (c) ∃ x ∈ R ´es ∃ y ∈ R, hogy x2 + y 2 = 1. (d) ∀ x ∈ R ´es ∀ y ∈ R eset´en x2 = 3y.
F26.
Pozit´ıv ´all´ıt´as form´aj´aban fogalmazza meg a k¨ovetkez˝o kijelent´eseket: (a) Az A halmaz nem egyenl˝o a B halmazzal. (b) Az A halmaz nem r´eszhalmaza a B halmaznak.
• Az indirekt bizony´ıt´ asi m´ odszer F27.
Igazolja direkt ´es indirekt m´odon azt, hogy −x2 + 5x − 4 > 0 ⇒ x > 0, ahol x ∈ R.
F28.
Bizony´ıtsa be direkt ´es indirekt u ´ton: Ha az A, B ´es C halmazokra A ⊂ B ⊂ C teljes¨ ul, akkor (A \ B) ∪ (B \ C) = ∅.
6
F29.
Bizony´ıtsa be, hogy nem igaz a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´as: Minden A ´es B hal” mazra A \ B = B \ A”. Van-e olyan A ´es B halmaz, amelyre A \ B = = B \ A? Mi ennek a sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele?
• A teljes indukci´ o T1.
A teljes indukci´ o elve. Tegy¨ uk fel, hogy minden n term´eszetes sz´amra adott egy A(n) ´all´ıt´as, ´es azt tudjuk, hogy (i) A(1) igaz, (ii) ha A(n) igaz, akkor A(n + 1) is igaz. Ekkor az A(n) ´all´ıt´as minden n term´eszetes sz´amra igaz.
Megjegyz´ es. Teljes indukci´oval teh´at minden n term´eszetes sz´amra fenn´all´o a´ll´ıt´asokat bizony´ıthatunk. A fenti t´etel azt mondja ki, hogy ha minden n ∈ N sz´amra adott egy A(n) a´ll´ıt´as (p´eld´aul egy egyenl˝otlens´eg), akkor annak bizony´ıt´as´ahoz, hogy A(1), A(2), A(3), . . . , A(n), . . . mindegyike igaz, el´eg bel´atni a k¨ovetkez˝o k´et dolgot: (i) az A(1) ´all´ıt´as igaz, (ii) ha valamilyen n term´eszetes sz´amra az A(n) a´ll´ıt´as igaz (ezt szoktuk indukci´os felt´etelnek” nevezni), akkor az A(n + 1) ´all´ıt´as is igaz. ” Megjegyz´ es. Ha a teljes indukci´o elv´eben az 1 sz´amot egy m´asik – m-mel jel¨olt – term´eszetes sz´ammal helyettes´ıtj¨ uk, akkor az elv alkalmas annak bizony´ıt´as´ara, hogy a sz´oban forg´o a´ll´ıt´asok m-t˝ol kezdve minden term´eszetes sz´amra igazak. F30.
Teljes indukci´oval igazolja, hogy minden n ∈ N eset´en n(n + 1) ; (a) 1 + 2 + · · · + n = 2 n(n + 1)(2n + 1) (b) 12 + 22 + · · · + n2 = ; 6 2 n(n + 1) (c) 13 + 23 + · · · + n3 = ; 2 n P 1 n (d) = ; n+1 k=1 k(k + 1) n P (e) k(3k + 1) = n(n + 1)2 ; k=0 n Q
2k − 1 1 <√ ; 2k 2n + 1 k=1 n P √ 1 √ ≥ n; (g) k k=1
(f)
(h) Thomas a 303. oldal feladatai.
7
6. Egyenesek, k¨ or¨ ok ´ es parabol´ ak (Koordin´ atageometriai ismeretek o ¨sszefoglal´ asa) F31.
Egyenesekkel kapcsolatos alapfeladatokat illet˝oen l. Thomas 23. oldal 33., 35., 36. ´es 70. oldal 23. feladatait.
F32.
Szeml´eltesse a s´ıkon azon (x, y) pontok halmaz´at, amelyekre a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: (a) |x + y| = 1; (b) |x + y| ≥ 1; (c) |x| + |y| ≤ 1; (d) x − y ≤ 5 ´es x + y ≥ 2; (e) x ≥ 2, y ≤ 4 ´es x + y ≤ 8; (f) 4x + 3y ≥ 24, 5x + 2y ≥ 20, 6x + y ≥ 12, x ≥ 0 ´es y ≥ 0; (g) x − y ≤ 1, x + y ≥ 3 ´es −x + 2y ≤ −1. (h) ´Irjon fel olyan egyenl˝otlens´egrendszert, amelynek megold´ashalmaza az A(0, 0), B(0, 5) ´es C(1, 3) cs´ ucspont´ u h´aromsz¨og belseje.
F33.
K¨ or¨ okkel kapcsolatos alapfeladatokat illet˝oen l. Thomas 24. oldal 41–52. feladatait.
F34.
´ azolja a s´ıkon az al´abbi egyenl˝otlens´egrendszer megold´ashalmaz´at: Abr´ (a) x2 + y 2 − 4x + 2y > 4 ´es x > 2; (b) x2 + y 2 + 6y < 0 ´es y > −3; (c) Thomas 24. oldal 61–66. feladatok.
F35. ´Irjon fel egy olyan egyenl˝otlens´egrendszert, amelyet az orig´o k¨oz´eppont´ u, 2 sugar´ u k¨or¨on k´ıv¨ ul fekv˝o pontok k¨oz¨ ul pontosan azok el´eg´ıtenek ki, amelyek az (1, 3) k¨oz´eppont´ u, az orig´on a´thalad´o k¨or belsej´eben helyezkednek el. F36.
Thomas 24. oldal 69–71. feladatok.
F37.
´ azolja az al´abbi egyenletekkel megadott parabol´akat: Abr´ (a) y = 3x2 + 2x + 5; (b) y = x2 − 2x − 3; (c) Thomas 24. oldal 54–60. feladatok.
8
7. Polinomok szorzatt´ a alak´ıt´ asa, polinomoszt´ as F38.
Alak´ıtsa szorzatt´a a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket: (a) x2 + 7x + 10; (b) −x2 + 6x − 8; (c) −2x2 + 7x − 3; (d) x4 + x2 + 1.
F39.
V´egezze el a k¨ovetkez˝o m˝ uveleteket (hat´arozza meg a h´anyadost ´es a marad´ekot): (a) (x2 − x − 20) : (x − 5), (b) (x3 − 1) : (x − 1), (c) (2x4 − x2 − 5x + 6) : (x2 − 3x), (d) (x3 − 3x2 − x − 1) : (3x2 − 2x + 1), (e) (x4 + x3 + x2 + x) : (x2 + x), (f) (3x8 + x2 + 1) : (x3 − 2x + 1).
F40.
Igazolja a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat: (a) Ha egy eg´esz egy¨ utthat´os polinomnak az x0 eg´esz sz´am gy¨oke, akkor x0 a polinom a´lland´o tagj´anak oszt´oja. (b) Az eg´esz egy¨ utthat´os p(x) := a0 + a1 x + · · · + an xn (x ∈ R, an 6= 0, n ≥ 1) polinomnak csak olyan u/v (v 6= 0 ´es u, v relat´ıv primek) racion´alis sz´am lehet gy¨oke, amelyre teljes¨ ul az, hogy u az a0 -nak, v pedig az an -nek oszt´oja.
F41.
F42.
F43.
Keresse meg az al´abbi polinomok eg´ esz gy¨okeit: (a) x2 + x − 2 (x ∈ R),
(b) x3 − x2 − 4x + 4 (x ∈ R),
(c) x3 − x2 − 25x + 25 (x ∈ R),
(d) x5 − 4x3 − 3 (x ∈ R).
Hat´arozza meg a k¨ovetkez˝o polinomok valamennyi val´os gy¨ok´et: (a) x3 − 2x + 1;
(b) x3 + x2 − 14x − 24;
(c) x3 + 9x − 26;
(d) x4 − 6x3 + 10x2 − 2x − 3;
(e) x4 − 2x3 + 4x2 + 2x − 5;
(f) x3 − 1.
Hat´arozza meg a b val´os sz´amot u ´gy, hogy a x5 − bx2 − bx + 1 polinomnak (−1) legal´abb k´etszeres gy¨oke legyen!
9
8. Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek (Nevezetes f¨ uggv´ enyek, ´ abr´ azol´ as, m˝ uveletek) • Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek ´ abr´ azol´ asa f¨ uggv´ enytranszform´ aci´ oval F44.
V´azolja az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at: 2x + 3 (a) 2x2 − 5x + 3 (x ∈ R); (b) (x ∈ R \ {1}); x−1 (c) |x + 1| − 7 (x ∈ R); (d) x2 − 5x + 6 (x ∈ R); √ 3x − 1 1 (e) + 1 (x ∈ [ , +∞)); 4 3 π (f) sin x − 4 + 1 (x ∈ R); √ 1 (x ∈ R \ {0}); (h) sin (g) 3 sin x + cos x (x ∈ R); x 1 x+1 (i) 2 · 3x−3 − 5 (x ∈ R); (j) (x ∈ R). 3 Vizsg´alja meg, hogy az elemi tulajdons´agok k¨oz¨ ul melyekkel rendelkeznek a fenti f¨ uggv´enyek.
F45.
V´azolja az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at: (a) log3 (x − 2) (x > 2), (c) log 1 (x − 2) (x > 2),
(b) log3 |x − 2| (x ∈ R \ {2}), (d) log 1 |x − 2| (x ∈ R \ {2}).
3
3
F46.
Thomas 32. oldal 15–20. feladatok.
F47.
Thomas 49. oldal 29–48. feladatok.
F48.
Thomas 50. oldal 61–68. feladatok.
F49.
Thomas 58. oldal 13–26. feladatok.
F50.
Thomas 71. oldal 59–68. feladatok.
• Algebrai m˝ uveletek val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek k¨ oz¨ ott F51.
´ Thomas 43. oldal 1. PELDA.
F52.
Thomas 48. oldal 1–4. feladatok.
10
• Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek kompoz´ıci´ oja (¨ osszetett f¨ uggv´ enye) Defin´ıci´ o. Legyen f ´es g olyan val´os-val´os f¨ uggv´eny, hogy ∃ x ∈ Dg elem, amelyre g(x) ∈ Df . Ebben az esetben az f (k¨ uls˝o) ´es a g (bels˝o) f¨ uggv´eny o ¨sszetett f¨ uggv´ eny´ et (vagy m´as sz´oval f ´es g kompoz´ıci´ oj´ at) az f ◦ g (olv. f k¨or g”) ” szimb´olummal jel¨olj¨ uk, ´es ´ıgy ´ertelmezz¨ uk: f ◦ g : {x ∈ Dg | g(x) ∈ Df } −→ R, F53.
x 7−→ f (g(x)).
´ Thomas 45. oldal 3. PELDA.
F54. ´Irja fel az f ◦ g ´es a g ◦ f kompoz´ıci´ot a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek eset´eben: √ (a) f (x) := 1 − x (x ∈ (−∞, 1]), g(u) := u2 (u ∈ R); √ (b) f (x) := 1 − x2 (x ∈ R), g(u) := u (u ∈ R+ 0 ); p (c) f (x) := |x| (x ∈ R), g(u) := u2 (u ∈ R); 1 (d) f (x) := sin x (x ∈ R), g(u) := (u > 0); u 2 u (e) f (x) := x (x ∈ R), g(u) := 2 (u ∈ R); √ (f) f (x) := sin x (x ∈ R), g(u) := u (u ≥ 0). F55.
Thomas 49. oldal 12–14. feladatok.
F56.
Thomas 71. oldal 55–58. feladatok.
• Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek inverze Defin´ıci´ o. Az f val´os-val´os f¨ uggv´eny invert´ alhat´ o (vagy injekt´ıv), ha az f ´ert´ekk´eszlet´enek minden eleme az ´ertelmez´esi tartom´any´anak pontosan egy elem´ehez van hozz´arendelve, azaz ∀ y ∈ Rf -hez ∃ egyetlen olyan x ∈ Df amelyre y = f (x). Ebben az esetben az Rf −→ Df ,
x 7−→ y, amelyre f (y) = x
f¨ uggv´enyt az f inverz f¨ uggv´ eny´ enek nevezz¨ uk ´es az f −1 szimb´olummal jel¨olj¨ uk. F57.
Jegyezze meg a k¨ovetkez˝oket: Ha az f f¨ uggv´eny invert´alhat´o, akkor (a) az f f¨ uggv´eny ´es az f −1 inverze eset´eben az ´ertelmez´esi tartom´any ´es az ´ert´ekk´eszlet helyet cser´el: Df −1 = Rf
11
´es Rf −1 = Df ,
(b) f −1 f (x) = x (x ∈ Df ) ´es f f −1 (y) = y (y ∈ Df −1 ). (c) Ha az f : (a, b) → R f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n¨oveked˝o (vagy cs¨okken˝o), akkor invert´alhat´o (van inverze). (d) Az f ´es f −1 f¨ uggv´eny grafikonjai egym´asnak az y = x egyenlet˝ u egyenesre vonatkoz´o t¨ uk¨ork´epei. F58.
Bizony´ıtsa be, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek nem invert´alhat´oak: √ (a) R 3 x 7→ x2 , (b) [−3, 3] 3 x 7→ 9 − x2 , (d) R 3 x 7→ |x2 − 7x + 12|.
(c) R 3 x 7→ sin(5x + 1), F59.
´ azolja ugyanabban a koordin´atarendszerben az al´abbi f¨ Abr´ uggv´enyeket ´es az −1 ´ inverz¨ uket. Irja fel mindegyik esetben az f inverzf¨ uggv´enyt is: (a) f (x) := x2 + 1 (x ≥ 0);
(b) f (x) := x2 (x ≤ 0);
(c) f (x) := x3 − 1 (x ∈ R);
(d) f (x) := x2 − 2x + 1 (x ≥ 1);
(e) f (x) := (x + 1)2 (x ≥ −1);
(f) f (x) := x2/3 (x ≥ 0).
F60.
Mutassa meg, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyek invert´alhat´ok, ´es a´ll´ıtsa el˝o az inverz¨ uket: √ (a) R 3 x 7→ 2x − 3; (b) R 3 x 7→ 5 x + 1; √ (c) R 3 x 7→ 3 1 − x3 ; x−2 (d) R \ {−3/2} 3 x 7→ ; 2x + 3 √ (e) R 3 x 7→ (1 − x3 )1/5 + 2; (f) R 3 x 7→ 3 x + 2; 7x − 5 , ha −1 ≤ x < 1 3 (g) f (x) := 2 , ha 1 ≤ x ≤ 2; 1+x ha x < 1 x, 2 (h) R 3 x 7→ x , ha 1 ≤ x ≤ 4 3x + 4, ha 4 < x.
F61.
Igazolja, hogy az al´abbi f¨ uggv´enyeknek van inverz¨ uk ´es adja meg az inverz f¨ uggv´enyeket: (a) R 3 x 7→ x3 + 6x2 + 12x;
(b) R 3 x 7→ x3 − 3x2 + 3x + 4.
12
9. Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek hat´ ar´ ert´ eke Megjegyz´ es. Kiemelj¨ uk az al´abbi – megjegyzend˝o!!! – nevezetes hat´ar´ert´ekeket: o 1 sin x lim = 1. x→0 x 2o K´es˝obb majd megmutatjuk, hogy az f (x) := (1+1/x)x (x > 0) f¨ uggv´enynek (+∞)-ben van hat´ar´ert´eke. Igazolhat´o, hogy ez a hat´ar´ert´ek irracion´alis, s˝ot transzcendens sz´am. Ez ut´obbi azt jelenti, utthat´os polinom, √ hogy nincs olyan eg´esz egy¨ aminek ez a sz´am√gy¨oke lenne. (A 2 sz´am p´eld´aul irracion´alis, de nem transzcendens sz´am, mert 2 gy¨oke az x2 − 2 = 0 egyenletnek.) A sz´oban forg´o hat´ar´ert´eket az e szimb´olummal szok´as jel¨olni (ezt tekintj¨ uk az e sz´am defin´ıci´oj´anak ): x 1 e := lim 1 + . x→+∞ x Az e sz´amot – ami a metematika egyik legfontosabb a´lland´oja – Euler vezette be az 1748-ban megjelent Introductio in Analysin Infinitorum c´ım˝ u munk´aj´aban. Az e teh´at egy v´egtelen, nem szakaszos tizedes t¨ort alakban ´ırhat´o fel. Az els˝o n´eh´any sz´amjegeye: e = 2.71828 . . . . Az e alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enyt (azaz az R 3 x 7→ ex f¨ uggv´enyt) term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´enynek, az e alap´ u logaritmusf¨ uggv´enyt (azaz a loge f¨ uggv´enyt) term´ eszetes alap´ u logaritmusf¨ uggv´ enynek nevezz¨ uk. Ezt a log
vagy az
ln
´ azolja a f¨ szimb´olumokkal szok´as jel¨olni. (Abr´ uggv´enyeket!) F62.
Mit jelent az, hogy (a) lim f (x) = 7;
(b) lim f (x) = −∞;
x→−2
x→2
(c) lim− f (x) = −1;
(d) lim+ f (x) = −1;
(e) lim f (x) = −∞;
(f) lim+ f = +∞.
(g) lim f (x) = −1;
(h) lim f (x) = −1.
(i) lim f (x) = +∞;
(j) lim f (x) = −∞.
(k) lim f (x) = +∞;
(l) lim f (x) = −∞.
x→0
x→0
x→1
x→1
x→+∞
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x→−∞
x→−∞
Mindegyik esetben adjon meg explicit k´eplettel olyan f¨ uggv´enyt, amelyikre teljes¨ ul a sz´oban forg´o rel´aci´o.
13
F63.
Szeml´eltesse az al´abbi f¨ uggv´enyek grafikonj´at. Hat´ar´ert´ekekkel fejezze ki a f¨ uggv´eny x0 pont k¨or¨ uli viselked´es´et: (a) hatv´anyf¨ uggv´enyek, x0 = +∞, illetve x0 = −∞; (b) a term´eszetes alap´ u exponenci´alis f¨ uggv´eny, x0 = +∞, illetve x0 = −∞; (c) a term´eszetes alap´ u logaritmusf¨ uggv´eny, x0 = 0+ , illetve x0 = +∞; (d) a tangensf¨ uggv´eny, x0 = π2 . ´ Utmutat´ as. (a) Minden n = 1, 2, . . . sz´amra lim xn = +∞; x→+∞
( +∞, ha n p´aros lim xn = x→−∞ −∞, ha n p´aratlan. (b) lim ex = +∞ ´es lim ex = 0. x→+∞
x→−∞
(c) lim ln x = +∞ ´es lim+ ln x = −∞. x→+∞
d
x→0
lim + tg x = −∞ ´es x→( π 2)
lim
−
tg x = +∞.
x→( π 2)
F64.
Thomas 111. oldal 2. feladat.
F65.
Thomas 100. oldal 57. feladat.
F66.
A defin´ıci´o alapj´an igazolja, hogy √ √ (a) lim x = 2;
1 = +∞; x→2 (x − 2)4
(b) lim
x→2
3x2 = 3; x→−∞ 1 + x2
(d) Thomas 99. oldal 34. feladat.
(c) lim F67.
A hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o t´etelek (valamint a szorzatra bont´as vagy a gy¨oktelen´ıt´es cselek”) felhaszn´al´as´aval sz´am´ıtsa ki az k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ekeket: ”
1 3 (a) lim − ; x→1 x − 1 x3 − 1 √ x−1−2 ; (c) lim x→5 x−5 √ √ 1 + x − 1 − x2 √ (e) lim ; x→0 1+x−1
1 2 (b) lim − ; x→1 x − 1 x3 − 1 √ 1 + x + x2 − 1 (d) lim ; x→0 x √ (f) lim x x2 + 1 − x ; x→+∞
(g) Thomas 90. oldal 17–36. feladatok.
14
´ Utmutat´ as. (a) A m˝ uveletek ´es a hat´ar´ert´ek kapcsolat´ara vonatkoz´o t´eteleink most nem haszn´ alhat´ ok (egyik tagnak sincs hat´ar´ert´eke; mi´ert?) Ilyen esetekben az adott kifejez´es alkalmas” ´ atalak´ıt´ as´ aval igyeksz¨ unk olyan, az eredetivel egyenl˝o kifejez´est kapni, amelyre ” ´ az eml´ıtett t´etelek m´ ar alkalmazhat´ok. (Altal´ anos m´odszer nincs, n´eh´any t´ıpusp´eld´at ismerjenek meg.) Ebben az esetben az alkalmas” ´atalak´ıt´as: ” 3 3 (x − 1) − 3(x − 1) 1 mivel x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) = − = x − 1 x3 − 1 (x − 1)(x3 − 1) (x − 1)(x2 + x + 1) − 3(x − 1) x2 + x − 2 = = = (x − 1)(x − 1)(x2 + x + 1) (x − 1)(x2 + x + 1) x+2 (x − 1)(x + 2) = 2 . = (x − 1)(x2 + x + 1) x +x+1 Az utols´ o kifejez´es x → 1 eset´en nyilv´an 1-gyel egyenl˝ o.
1+2 1+1+1
= 1-hez tart, ez´ert a k´erdezett hat´ar´ert´ek
u kifejez´esr˝ ol van sz´o (a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is 0-hoz tart, ha x → 0). Az (d) Most 00 t´ıpus´ alkalmas” ´ atalak´ıt´ as ebben – ´es a hasonl´o jelleg˝ u – esetben a gy¨ oktelen´ıt´es: ” √ √ √ 1 + x + x2 − 1 1 + x + x2 − 1 1 + x + x2 + 1 = ·√ = x x 1 + x + x2 + 1 x + x2 1+x = √ =√ . 2 x 1+x+x +1 1 + x + x2 + 1 Itt a sz´ aml´ al´ o 1-hez, a nevez˝ o 2-h¨oz tart, ha x → 0, ez´ert az utols´o t¨ort (k¨ovetkez´esk´eppen az eredeti kifejez´es) hat´ ar´ert´eke x → 0 eset´en 12 . (f ) Ez is kritikus hat´ ar´ert´ek (a m˝ uveleti t´eteleink nem haszn´alhat´ok, mi´ert?). Az alkalmas” ” atalak´ıt´ ´ as: √ p p x2 + 1 + x x x2 + 1 − x = x x2 + 1 − x · √ = x2 + 1 + x x 1 1 → , ha x → +∞. =√ =q 2 2 2 x +1+x 1+ 1 +1 x
F68.
A lim
x→0
sin x x
= 1 ¨osszef¨ ugg´es felhaszn´al´as´aval sz´am´ıtsa ki az al´abbi h´ar´ert´ekeket: 1 − cos x ; x2 sin x − sin a (d) lim (a ∈ R); x→a x−a
sin 7x ; sin 3x tg x − sin x ; (c) lim x→0 x3
(b) lim
(a) lim
x→0
x→0
(e) Thomas 112. oldal 29–32. feladatok. ´ Utmutat´ as. (a)
0 0
t´ıpus´ u kifejez´esr˝ol van sz´o (mi´ert?). Az alkalmas” ´atalak´ıt´as: ” sin 7x sin 7x 3x 7 7 sin 7x 1 = · · = · · sin 3x . sin 3x 7x sin 3x 3 3 7x 3x
15
Mivel
sin 7x sin 3x = lim = 1, x→0 3x 7x ez´ert a m˝ uveletek ´es a hat´ ar´ert´ek kapcsolat´ara vonatkoz´o t´etelek alapj´an lim
x→0
lim
x→0
sin 7x 7 = . sin 3x 3
u kifejez´esr˝ ol van sz´o (mi´ert?). Az alkalmas” ´atalak´ıt´as el˝ott most egy u ´j (d) 00 t´ıpus´ ” v´ altoz´ ot vezet¨ unk be: Legyen x − a =: t. Ekkor x=a+t
x→a
´es
⇔
t → 0.
´Igy sin x − sin a sin(a + t) − sin a sin a cos t + cos a sin t − sin a = = = x−a t t sin t 1 − cos t sin t 2 sin2 2t = cos a · − sin a · = cos a · − sin a · = t t t t sin t sin t t − sin a · t 2 · sin . = cos a · t 2 2 Ebben az alakban m´ ar alkalmazhatjuk a m˝ uveletek ´es a hat´ar´ert´ek kapcsolat´ara vonatkoz´o all´ıt´ ´ asainkat. Mivel t sin t = lim 2 t = 1 t→0 sin t→0 t 2
lim
´es
lim sin
t→0
t = 0, 2
ez´ert az utols´ o kifejez´es hat´ ar´ert´eke cos a, teh´at lim
x→a
sin x − sin a = cos a. x−a
F69.
A kifejez´esek alkalmas” a´talak´ıt´asa ut´an a hat´ar´ert´ekre vonatkoz´o t´etelek ” felhaszn´al´as´aval sz´am´ıtsa ki az k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ekeket: 2x2 + 1 ; x→+∞ 3x2 − 2x + 5 x5 + 3x2 + 1 (c) lim 2 ; x→−∞ x − 10x + 1
x2 − 2x + 1 ; x→+∞ x3 + 1000 √ √ 3 x− 5x √ ; (d) lim √ x→−∞ 3 x + 5 x (b) lim
(a) lim
(e) Thomas 112. oldal 47–62. feladatok. ´ Utmutat´ as. (a)
2 + x12 2x2 + 1 2 = lim = . x→+∞ 3x2 − 2x + 5 x→+∞ 3 − 2 + 52 3 x x lim
x2 − 2x + 1 = lim x→+∞ x3 + 1000 x→+∞
(b) lim
1 x
− x22 + x13 = 0. 1 + 1000 x3
x3 + 3 + x5 + 3x2 + 1 = lim 2 x→−∞ x − 10x + 1 x→−∞ 1 − 10 + x
(c) lim
1 x2 1 x2
16
= −∞.
10. Val´ os-val´ os f¨ uggv´ enyek folytonoss´ aga F70.
Kiterjeszthet˝o-e az f (x) = x sin x1 (x ∈ R\{0}) f¨ uggv´eny a 0 pontban folytonosan? ´ Utmutat´ as. Az f f¨ uggv´eny az x0 = 0 pontban nincs ´ertelmezve, de ebben a pontban f -nek van hat´ ar´ert´eke: 1 lim x sin = 0, x→0 x ui. −|x| ≤ x sin x1 ≤ |x| (x ∈ R \ {0}) ´es lim |x| = 0, ez´ert a k¨ozrefog´asi elvb˝ol k¨ovetkezik, x→0
hogy a fenti hat´ ar´ert´ek val´ oban 0. K¨ ovetkez´esk´eppen az F (x) :=
( x sin x1 , ha x ∈ R \ {0} 0,
ha x = 0
f¨ uggv´eny folytonos a 0 pontban; ´es ez f folytonos kiterjeszt´ese.
F71.
Hat´arozza meg az al´abbi f¨ uggv´enyek szakad´asi helyeit ´es azok fajt´aj´at: 2 x − 5x + 6 , ha x ∈ R \ {2, 5} (a) f (x) := x2 − 7x + 10 0, ha x = 2, x = 5; sin x , ha x ∈ R \ {0} |x| (b) f (x) := 1, ha x = 0; ( e−1/x , ha x ∈ R \ {0} (c) f (x) := 1, ha x = 0. ´ Utmutat´ as. (a) Mivel x2 − 7x + 10 = (x − 2)(x − 5), ez´ert 2 ´es 5 a nevez˝o z´erushelye. Racion´ alis t¨ ortf¨ uggv´eny az ´ertelmez´esi tartom´any´anak minden pontj´aban folytonos, ez´ert f az R \ {2, 5} halmaz minden pontj´aban folytonos. A tov´abbi vizsg´alatokhoz alak´ıtsuk ´at a hozz´ arendel´esi utas´ıt´ ast: x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) x−3 2 = = =1+ x2 − 7x + 10 (x − 2)(x − 5) x−5 x−5
(x ∈ R \ {2, 5}).
Legyen x0 = 2. A fentiek alapj´ an lim f (x) = lim
x→2
x→2
x−3 1 = 6= f (2) = 0, x−5 3
ez´ert az x0 = 2 pont az f f¨ uggv´enynek megsz¨ untethet˝ o szakad´ asi helye. Legyen most x0 = 5. Ekkor lim f (x) = −∞
x→5−
´es
lim f (x) = +∞
x→5+
17
(mi´ert?),
ami azt jelenti, hogy az x0 = 5 pont az f f¨ uggv´enynek m´ asodfaj´ u szakad´ asi helye. (b) f a 0-t´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontokban folytonos (mi´ert?). Az x0 := 0 pontban megvizsg´ aljuk az egyoldali hat´ar´ert´ekeket: sin x = 1, x x→0 x→0 sin x = −1. lim f (x) = lim− − x x→0− x→0 lim+ f (x) = lim+
Ezek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ ok, ez´ert f nem folytonos a 0 pontban. Itt ugr´ asa (vagy els˝ ofaj´ u szakad´ asi helye) van. (c) f a 0-t´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pontokban folytonos (mi´ert?). Az x0 := 0 pontban megvizsg´ aljuk az egyoldali hat´ar´ert´ekeket: 1
lim+ f (x) = lim+ e− x = lim+
x→0
x→0
x→0
1 e1/x
(a t :=
1
lim f (x) = lim e− x = (a t := −
x→0−
x→0−
A 0 pont teh´ at m´ asodfaj´ u szakad´ asi hely.
F72.
1 1 u ´j v´altoz´oval) = lim t = 0. t→+∞ e x
1 u ´j v´altoz´oval) = lim et = ∞. t→+∞ x
Az α ∈ R param´eter mely ´ert´ekei eset´en lesz minden¨ utt folytonos a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´eny: ( αx2 + 4x − 1, ha x ≤ 1 (a) f (x) := −x + 3, ha 1 < x; ( x2 − α2 , ha x < 4 (b) f (x) := αx + 20, ha x ≥ 4; 1 , ha x > 0 1 (c) f (x) := ex+ x −2x + α, ha x ≤ 0; ( αx − 1, ha x ≤ 1 (d) f (x) := 3x2 + 1, ha 1 < x. ´ Utmutat´ as. (a) Az f f¨ uggv´eny minden x0 ∈ R \ {1} pontban folytonos. Az x0 = 1 pontban l´etezik a jobb oldali- ´es a bal oldali hat´ar´ert´ek is, ´es lim f (x) = lim+ (−x + 3) = 2,
x→1+
x→1
lim− f (x) = lim− (αx2 + 4x − 1) = α + 3,
x→1
x→1
ez´ert ebben az esetben a f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor folytonos, ha ezek a hat´ar´ert´ekek megegyeznek, azaz pontosan akkor, ha α = −1.
18
(c) Az elemi f¨ uggv´enyek folytonoss´ag´ara, valamint a folytonoss´ag ´es a m˝ uveletek kapcsolat´ ara vonatkoz´ o t´etel¨ unkb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy az f f¨ uggv´eny a 0-t´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o pontokban folytonos. Az x0 = 0 pontban el˝ osz¨ or az egyoldali hat´ar´ert´ekeket sz´am´ıtjuk ki. Vil´agos, hogy lim f (x) = lim− (−2x + α) = α.
x→0−
Mivel
lim
x→0+
1 x+ x
x→0
= +∞
ez´ert lim+ f (x) = lim+
x→0
lim ey = +∞,
´es
x→0
y→+∞
1 1 ex+ x
= 0.
A f¨ uggv´eny a 0 pontban akkor ´es csak akkor folytonos, ha a bal- ´es a jobb oldali hat´ar´ert´ekek megegyeznek, azaz pontosan akkor, ha α = 0.
F73.
Adjon p´eld´at olyan olyan, az eg´esz R-en ´ertelmezett f¨ uggv´enyre, amelyik (a) sehol sem folytonos; (b) csak a 0 pontban folytonos. ´ Utmutat´ as. Gondolja meg a k¨ovetkez˝oket: (a) Az f : R → R,
( 1, ha x racion´alis f (x) := −1, ha x irracion´alis;
´ azolja a f¨ f¨ uggv´eny sehol sem folytonos. (Abr´ uggv´eny grafikonj´at!) (b) Az ( f : R → R,
f (x) :=
x, −x,
ha x racion´alis ha x irracion´alis
´ azolja a f¨ f¨ uggv´eny csak az x0 = 0 pontban folytonos. (Abr´ uggv´eny grafikonj´at!)
F74.
Legyen f ´es g val´os-val´os f¨ uggv´eny. (a) Lehet-e az f +g, f g, f /g f¨ uggv´eny folytonos az x0 ∈ Df ∩Dg pontban, ha az f ´es a g f¨ uggv´enynek az x0 pont szakad´asi helye? (b) Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos, a g f¨ uggv´enynek pedig szakad´asa van az x0 ∈ Df ∩ Dg pontban. Lehet-e az f + g, f g, f /g f¨ uggv´eny folytonos x0 -ban? ´ Utmutat´ as. (a) Legyen ( f (x) :=
1, ha x ∈ Q −1, ha x ∈ Q∗ = R \ Q
19
´es g := −f . Ezek a f¨ uggv´enyek az ´ertelmez´esi tartom´anyuk egyetlen pontj´aban sem folytonosak (mindegyik pont m´ asodfaj´ u szakad´asi hely), ugyanakkor az f + g, f g, f /g ´es f 2 f¨ uggv´eny mindegyike minden¨ utt folytonos. (b) Ha az x0 ∈ Df ∩ Dg pontban f folytonos ´es g-nek szakad´asa van, akkor az f + g f¨ uggv´enynek is szakad´ asa van az x0 pontban. Az ellenkez˝o esetben ui. az (f + g) − f = g f¨ uggv´eny is folytonos lenne x0 -ban. Az f g lehet folytonos x0 -ban. Legyen p´eld´aul f (x) := x (x ∈ R), ( 0, ha x ∈ R \ {0} g(x) := 1, ha x = 0 ´es x0 := 0.
F75.
Bizony´ıtsa be, hogy minden p´aratlan foksz´am´ u, val´os egy¨ utthat´os polinomnak van val´os gy¨oke. ´ Utmutat´ as. Legyen p(x) := α2n+1 x2n+1 + · · · + α0 (x ∈ R) egy p´aratlan foksz´am´ u val´os egy¨ utthat´ os polinom, ´es tegy¨ uk fel, hogy α2n+1 > 0. Ekkor lim p(x) = −∞ ´es
x→−∞
lim p(x) = +∞.
x→+∞
(Mi´ert?)
Ez´ert l´eteznek olyan x1 < 0 < x2 sz´amok, amelyekre p(x1 ) < 0 < p(x2 ) teljes¨ ul. A p f¨ uggv´eny folytonos az [x1 , x2 ] intervallumon (is), ez´ert Bolzano t´etel´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy van olyan ξ ∈ [x1 , x2 ] ⊂ R pont, amelyre p(ξ) = 0.
F76.
Igazolja, hogy az ex = 2 − x egyenleteknek van megold´asa. ´ Utmutat´ as. Tekints¨ uk az f (x) := ex − 2 + x (x ∈ R) f¨ uggv´enyt. f (0) = −1 ´es f (1) = e − 1 > 0. Mivel f folytonos R-en, ez´ert folytonos a [0, 1] intervallumon is, ´ıgy Bolzano t´etele alapj´ an van olyan ξ ∈ (0, 1) pont, amelyre f (ξ) = 0, azaz eξ = 2 − ξ teljes¨ ul.
F77.
Bizony´ıtsa be, hogy az x3 + x − 1 polinomnak pontosan egy val´os gy¨oke van, ´es sz´am´ıtsa ki ezt a gy¨ok¨ot 10−1 pontoss´aggal.
20
