DIGITÁLIS MODULÁCIÓS ELJÁRÁSOK − TULAJDONSÁGAIK Digitális összeköttetés − általános modell:
Forrás
illesztő
Közeg
⇓
⇓
⇓
⇓
digitális jel
illesztés: mod
illesztő
⇓
Nyelő
⇓
most: rádió vagy vezeték
⇓ dem
Digitális jel definíciója: véges számú (M db) jelalak (si(t)) mindegyik véges ideig tart (T vagy TS) a vevő ismeri őket (így feladata: döntés) (Megjegyzések: • maguk a források: M=2; jelalak: NRZ; • a különböző jelalakok: különböző modulációk.) Minőségi paraméterek (t.k. összesen 2): a döntés hibás, hibaarány; jelenség: s$i (t ) ≠ si (t )
{
}
$ Pr s$i = sk ≠ i | si (hívják BER-nek is) mérőszám: PE = rossz időzítés, jitter vagy dzsitter; jelenség: T$ ≠ T (a jel időtartamát rosszul érzékrljük) mérőszám: J = T$ − T
P− P
Digitális átvitel (egyedülálló) tulajdonsága: mindkettő javítható PE: kódolással; J: jitter-csökkentővel
KO:
Forrás
Kódoló
Jitteres átv. rendszer
Jitter: :
Jitter mentes óra
Dekódoló Nyel õ Rugalmas tár
A két minőségi paraméter, cifrázva: BER helyett BLER (Block ER), csomaghiba, csomag-vesztés továbbá: ES (Errored Seconds), SES (Severly, Errored Seconds), UNAV (Unavailability) Valamint: megengedhető. J; kimenő J; J-átviteli fv.; csúszás (slip) Nagyságrendek: J
s1( t ) = 2 A cosωct ; s2 ( t ) = 0 bináris információ: vivőfr. fázisában, PSK, Phase. Shift Keying:
s1( t ) = 2 A cosωct ; s2 ( t ) = 2 A cos(ωct + π ) = − s1( t ) megjegyzés: az ilyet (s2=-s1) antipodáis jelkészletnek hívják; és még: ez elnyomott vivőjű jel (nincs δ(ω-ωc) összetevő) bináris információ: vivőfr. frekvenciájában, FSK, Frequency Shift Keying:
s1( t ) = 2 A cosωct ; s2 ( t ) = 2 A cos(ωct + δωt ) megjegyzés: ha δω=2π/T: ortogonális jelkészlet. Vektoriális ábrázolás: (Megjegyzés: lehet teljesen általánosan, tetszőleges jelalakokkal; mi − FSK kivételével − csak egyetlen frekv.; de akkor: szokásos fazoros ábrázolás.)
A fenti példák: ASK:
PSK:
FSK:
M>2 példák:
M=4, D=1
QPSK
s1 (t) =
2 A co s ω c t
S2 S3
s 2 (t) =
S1
2 A sin ω c t
s 3 = − s1 ; s 2 = − s 4
S4
MQAM:
si ( t ) = Aa cosω ct − Aq sin ω ct ; a , q = ±
2k − 1 M ; k = 1,3,..., 2 M −1
Egyedülálló jelek additív zajban a. Modell
T n(t) mi SIGN. GEN. +
SOURCE {mi }
^ mi DECISION
SINK
si (t) r(t)=s (t)+n(t)
M-állapotú forrás (m lehetséges üzenet) a-priori valószínűségeket ismerjük (Pi) (Látni fogjuk: M>2-nek is van értelme) mi hatására a jelgenerátor: si(t); i = 1,…,M
mi⇔si(t);
(kölcsönös-egyértelmű kapcsolat)
mindegyik T ideig tart (∈(0,T) T
véges energiájú
2
∫ [ si (t )]
dt = Ei < ∞
0
A zaj: additiv (úgy rajzoltuk) fehér (Sn(ω)=N0/2; N0=F.kBT0); F: zajtényező) 0 várható értékű Gaussi
1 n 2 ( pn ( n) = exp − ; σ n = ? 2πσ n 2 σ n 1
stacionárius (σn=konst.) (Megjegyzés: a zaj spektruma precízen:
hf k BT; << 1;(elektromos) hf k BT Sn (ω ) = hf = ) hf 0; > ( >)1; (optikai) e k B T − 1 k BT b Döntés, döntési szabály, optimális döntési szabály Döntés: csak r(t) alapján végezhetjük − az az egy, amit ismerünk:
decision transmission r(t) modulation s (t) i
^ mi
mi Döntés: minden r(t)-höz egy si(t)⇒mi
∧
Más szóval: a teret felosztani: correct decision n r
s1
erronous decision
kérdés: mi az (opt., azaz legkisebb hibaarányú) döntési szabály? az optimális vevőben mennyi a PE? Kimutatható: ha Pi állandó (=1/M, esetünkben egyelőre 1/2) PE = min, ha a közelebbi (M>2 esetében a legközelebbi) javára döntünk. Pl.: tetszőleges jelvektorok esetén:
(Szaggatott vonalak: döntési tartomány határa) Vagy: mondjuk PSK-nál:
(Ortogonális) FSK-nál:
Megvalósítás: korrelációs vevő
(Ei: i-edik jel energiája, a modellnél láttuk Pi itt P(mi)-nek van jelölve) Korr. vevővel egyenértékű: illesztett szűrős:
(Ha meg akarod mutatni, hogy egyenértékűek:
z(t)
u(t)
h(t)
z(t ) = u(t )∗ h(t ) Nálunk: ∞
T
T
∫ r( t ) si ( t )dt = ∫ r(τ ) si (τ )dτ = ∫ r(τ ) si (T − (t − τ ))dτ 0
0
−∞
t =T
vagyis:
r(t)
si(T-t)
t=T
)
c. Hibaarány az optimális vevőben Helyes döntés valószínűsége: PC=Pr{benne van a megfelelő tartományban};
PC ( si ) =
M
( )
( )
∫ p r| si dv; PC = ∑ Pi ∫ p r| si dv i = 1 (Vi ) (Vi )
felt. val. (si-t adtuk)
teljes val.
Pl.: BPSK, antipodális (Közvetlenül lehet, nem kell előbb PC)
0
PE =
∫ −∞
erfc x =
r− E 1 exp − N0 πN 0
(
2
π
∞
2
−u ∫ e du ~
x
1 x π
PE=1-PC
)2 dr = 1 erfc
e− x
2
2
Pl. PE=10-6⇒E/N0≈10,5 dB; 1dB/nagyságrend
E N0
Más jelkészletnél: integrálni a döntési tartományokra Általános közelítés 2D (egyetlen vivőfrekvenciás) jelkészletnél:
dmin
Meghatározó: dmin; így felső korlát: PE ≈
d 1 erfc min 2 N0
d. A vivőfrekvenciás átvitel speciális problémái
Eddig nem vettük figyelembe: a vivőnek 3 paramétere:
v( t ) = A. m( t ) cosω ct + ϑ ( t ) + Φ Jelalak (komplex burkolója) m(t )e
jϑ ( t )
− persze ismerjük;
A: változik − de szabályozható, u.n. AGC:
A(t)
AGC (nagy A: G-t vissza; kis A: nagy G; erősítő kimenő jele állandó − vagyis ismert, A-tól függetlenül) ωc változik − ha elég stabil: fázissal együtt kezelhető, l. lent: Φ: változik − szabályozzuk, koherens
vagy nem: nem-koherens Nem koh.: egyszerűbb, de a fázis nem hordozhat információt (PSK; QAM; kivéve: FSK, ASK) Koh.: ismerni kell a fázist- vagyis átvinni:
T F
Jelgen.
Φ
Nyelő
Döntő
Ha koherens - kicsit konkrétabb felépítés; Pl. QAM (16-QAM) co s ω c t
sin ω c t
T
∫
1 ± ,± 1 3
co s ω c t
1 ± ,± 1 3
sin ω c t
dt
Qn
0
Log T
∫
dt
Qn
0
e. Optimális jelkészlet
PE csökken ha a jeleket messzebb így − persze − E-t növelve PE csökken Nem-triviális optimalizálás: hogyan legmesszebb ha Emax adott? Ha (egyetlen) vivőfrekvenciás jel:
M=2
M=4 (QPSK)
M=6
de, ha M=7
Vagyis: M>6 esetén: amplitúdó és fázis modulálva; Optimális: egyenlőoldalú háromszög-rács (méhsejt) Nem sokkal rosszabb: négyzetes rács (vagyis QAM) f. Az elfoglalt frekvenciasáv (W)− ennek csökkentése
Véges idejű jel által (gyakorlatilag) elfoglalt frekvenciasáv: kb = 1/T Rádióban: W a legdrágább - sokszor csökkenteni kell. ehhez: T-t növelni; de ha a forrás minden T-ben kiad egy újat, egyetlen módszer: n bitet − egy szimbolumba
(Tn=n.T); akkor: M=2n és Wn=Wn=1/n Ha M>2: azonos E-nél a pontok közelebb
így megnő PE
Vagy hogy ne nőjön: E-t meg kell növelni Pl. QAM
2dn
2d1 En
dn =
En
(
d1 = E1
)
M −1 2
dn=d1 ⇒
En
(
)
M −1 2
= E1 , vagy
Pn = P1
(
)
2 2 n/ 2 − 1 n
2
és
Wn 1 = W1 n
(azaz: W lineárisan csökkenthető − tetszőlegesen − mialatt P közel exponenciálisan nő) És még:
(C N )n Pn ( N 0 .1 nT ) nPn En ≈ = = (C N )1 P1 ( N 0 .1 T ) P1 E1 Spec: n=2 (2QAM=QPSK)
(
)
1 Pn 2 2 − 1 W = = 1; n = 1 / 2 : W a fele lett, ingyen 2 P1 W1
