Formuleverzameling. Logaritmische en exponentiële functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek

1

Modelvragen ijkingstoets burgerlijk ingenieur en burgerlijk ingenieur-architect

Formuleverzameling √ √ 2 ≈ 1, 41; 3 ≈ 1, 73

Logaritmische en exponenti¨ ele functie e = lim (1 + 1/x)x ≈ 2, 72 x→∞

loga x =a log x = y ↔ x = ay (a ∈ R+ 0 \ {1}) ln x = loge x; exp(x) = ex loga (xy) = loga x + loga y loga xy = loga x − loga y loga (xn ) = n loga x loga b logb c = loga c ax+y = ax ay ; axy = (ax )y

Trigoniometrische functies sin α cos α 1 tg α = tan α = cos α ; cotg α = cot α = sin α = tan α sec α = cos1 α ; cosec α = sin1 α Bgsin x = arcsin x, (|x| ≤ 1) Bgcos x = arccos x, (|x| ≤ 1) Bgtan x = arctg x; Bgcot x = arccot x Bgsec x = arcsec x, (|x| ≥ 1) Bgcosec x = arccosec x (|x| ≥ 1) sin2 α + cos2 α = 1; tan2 α + 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2 α cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β) 2 tan α sin 2α = 2 sin α cos α = 1+tan 2α

cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 2 tan α tan 2α = 1−tan 2α

tgα cotgα 1 sin α

α 0

1−tan2 α 1+tan2 α

α−β α−β α+β sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos 2 ; sin α − sin β = 2 sin 2 cos 2 α−β α+β α−β cos α + cos β = 2 cos α+β 2 cos 2 ; cos α − cos β = −2 sin 2 sin 2 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β) 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β) −2 sin α sin β = cos(α + β) − cos(α − β)

Sinus-en cosinusregel in een driehoek a b c = = sin α sin β sin γ c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

α c

b γ

β a

Verzamelingenleer AT ∪ B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren. A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.

cos α

1

2


Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte (cartesiaans assenstelsel) p Afstand tussen twee punten p1 (x1 , y1 ) en p2 (x2 , y2 ) in het vlak: |p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 |ax0 + by0 + c| √ Afstand van het punt p(x0 , y0 ) tot de rechte L ↔ ax + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) = a2 + b2 ~u · ~v x1 x2 + y1 y2 p Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 ) en ~v (x2 , y2 ) in het vlak: cos α = =p 2 k~uk k~uk x1 + y12 x22 + y22 Afstand p tussen twee punten p1 (x1 , y1 , z1 ) en p2 (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte: |p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 Afstand van het punt p(x0 , y0 , z0 ) tot het vlak γ ↔ ax + by + cz + d = 0 in de ruimte: |ax0 + by0 + cz0 + d| √ d(p, γ) = a2 + b2 + c2 Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 , z1 ) en ~v (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte: ~u · ~v x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z2 p cos α = =p 2 k~uk k~uk x1 + y12 + z12 x22 + y22 + z22

Tweedegraadsvergelijkingen met re¨ ele co¨ effici¨ enten ax2 + bx + c = 0, a 6= 0 D = b2 − 4ac √ D Als D > 0; x1,2 = −b± ; ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) 2a 2 2 Als D = 0, x1 = x2 = −b 2a ; ax + bx + c = a(x − x1 ) Als D < 0, geen reële oplossingen.

Afgeleiden

f (x)

f 0 (x)

f (x)

f 0 (x)

g(x) ± h(x)

g 0 (x) ± h0 (x)

g(h(x))

g(x)h(x) g(x) h(x)

g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x) g 0 (x)h(x) − g(x)h0 (x) (h(x))2

g −1 (x)(inverse)

xq , q ∈ Q

qxq−1

ex

ex

g 0 (h(x))h0 (x) 1 0 −1 g (g (x)) 1 x 1 x ln a 1 √ (|x| < 1) 1 − x2 1 −√ (|x| < 1) 1 − x2 1 1 + x2 1 − 1 + x2 1 √ , (|x| > 1) |x| x2 − 1 1 − √ , (|x| > 1) |x| x2 − 1

a

x

ln x a

log x

Bgsin x

x

a ln a Bgcos x

sin x

cos x

cos x

− sin x

Bgtan x

tan x

sec2 x

Bgcot x

cot x

−cosec 2 x

sec x

tan x sec x

cosec x

− cot x cosec x

Bgsec x Bgcosec x


Primitieven Z f (x)

f (x)dx

g 0 (x)

g(x) + C

1 x,

x 6= 0

ln |x| + C

ln x

x ln x − x + C

√ 1 k2 −x2

Bgsin xk + C √ ln |x + k 2 + x2 | + C x−a 1 ln 2a x+a + C

√ 1 k2 +x2 1 ,a x2 −a2

6= 0

R R 0 (x) dx = Substitutie: f (g(x))g f (u) du R R 0 Partiële integratie: u(x)v (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x) dx

3

4


Modelvragen 1

Basiswiskunde

Oefening 1.1 Zij f : R → R een afleidbare functie. Gegeven is de grafiek van de afgeleide van f . Welke uitspraak is waar?

(A) De functie f bereikt een lokaal minimum in −3. (B) De functie f bereikt een lokaal minimum in p. (C) De functie f bereikt een lokaal maximum in p. (D) De functie f bereikt een lokaal maximum in q. (E) De functie f bereikt een lokaal maximum in 3.

Oefening 1.2 Hieronder zie je de grafieken van twee reële functies, links van de functie f , rechts van de functie g. De schaal in beide tekeningen is dezelfde. Wat is het verband tussen g en f ? (A) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x + 1).

g

f

(B) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x − 1). (C) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 + 1). (D) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (x/2 − 1).

1

1

1

x

1

x

(E) Voor alle x ∈ R is g(x) = f (2x − 1/2). Oefening 1.3 We noemen twee natuurlijke getallen onderling ondeelbaar als ze geen gemeenschappelijke delers hebben behalve 1. Dan bevat de lijst van de natuurlijke getallen 1, 2, 3, 4, · · · , 2012 precies n getallen die onderling ondeelbaar zijn met 12. Bepaal n. (A) n = 336 (B) n = 503 (C) n = 671 (D) n = 1006 (E) n = 1845

5


Oefening 1.4 Welke van onderstaande mogelijkheden is de afgeleide van de functie met voorschrift f (x) = (A)

1 1−sin(2x)

(B)

cos(2x) 1−sin(2x)

sin(x) cos(x)−sin(x) ?

(C) 1 (D)

− cos(x) sin(x)+cos(x)

(E)

cos(x) sin(x)−cos(x)

Oefening 1.5 Wat is de lengte van de cirkelboog die een hoek θ = 1/5 rad omsluit. De straal R van de cirkel is 5. De figuur dient enkel als principe-tekening; de hoek θ is niet met de juiste grootte getekend. (A)2π (B) 2π (C)1 (D)5π (E)5 5

Oefening 1.6 Een lineair stelsel met 7 vergelijkingen en 3 onbekenden (A) is altijd strijdig. (B) is nooit strijdig. (C) heeft in sommige gevallen precies 4 oplossingen. (D) heeft nooit oneindig veel oplossingen. (E) heeft in sommige gevallen oneindig veel oplossingen.

6


Oefening 1.7 Gegeven een functie f : R → R : x 7→ aebx . Hierin is a, b ∈ R. Hieronder zie je de grafiek van f (x). Wat kan je besluiten over de parameters a en b?

(A) a > 0 en b > 0 (B) a > 0 en b < 0 (C) a < 0 en b < 0 (D) a < 0 en b > 0 (E) b = 0

Oefening 1.8 Bepaal de vergelijking van √ de raaklijn die raakt in het punt (−4, 1) aan de cirkel in het xy-vlak met middelpunt (−2, 0) en straal 5. (A) 2x + y = −8 (B) −2x − y = 7 (C)

1 2x

+ y = −1

(D) −2x + y = 9 (E) − 12 x + y = 3

Oefening 1.9 Als x4 + 4x3 + 6px2 + 4qx +r deelbaar is door x3 + 3x2 + 9x +3 , dan is p(q+r) gelijk aan (A)12 (B)15 (C)18 (D)21 (E)24

7


Oefening 1.10 Een complex getal z kunnen we schrijven als z = a + ib met a en b reële getallen en i2 = −1. Dan zijn er onder de lijst van complexe getallen (1 + i)4 (1 − i)4 (1 + i)2 (1 − i)2 2 , , , ,i 4 4 2 2 precies n die gelijk zijn aan -1. Bepaal n. (A) n = 1 (B) n = 2

(C) n = 3

(D) n = 4

(E) n = 5

Oefening 1.11 Veronderstel dat x en y reële getallen zijn die voldoen aan ex = 3 ey . Wat mag je besluiten over x en y? (A) x = 3y. (B) x = y ln 3. (C) x = 3 + y. (D) x = y + ln 3. (E) x = y 3 .

Oefening 1.12 Bereken, indien mogelijk, volgende limiet: 4x3 − 3x + 1 · x→1/2 4x3 − 4x2 + x lim

(A) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 0. (B) Deze limiet bestaat en is gelijk aan 1. (C) Deze limiet bestaat en ligt in het interval [2, 2012]. (D) Deze limiet bestaat en is gelijk aan +∞. (E) Deze limiet bestaat niet.

8


2

Wiskundige combinatievragen

Oefening 2.1 De functie x = f (y) is gedefinieerdRvia het verband yxn = C met n en C constant. Als y stijgt van 1 tot 100 100, daalt x van 10 tot 1. Bereken 1 2f (y)dy. (A) 99

(B)360

(C) 396

(D) 891

(E) 9999

Oefening 2.2 Bepaal de afgeleide van de functie f : R → R met voorschrift f (x) = (A) f 0 (x) =

1 1 + cos(2x)

(B) f 0 (x) =

− sin x cos x 1 − 2 sin(2x)

(C) f 0 (x) =

cos(2x) 1 − 2 sin(2x)

(D) f 0 (x) =

sin x cos x[−1 − cos(2x) + 2 sin(2x)] [1 + cos(2x)]2

(E) f 0 (x) =

sin(2x) [1 + cos(2x)]2

sin x cos x . 1 + cos(2x)

Oefening 2.3 We definiëren f (x) met volgend meervoudig voorschrift:    f (x) = 0 als x ≤ 0   f (x) = x als x > 0 Onderstaande figuur geeft de grafiek van g(x) = a0 f (x) + a1 f (x − 1) + a2 f (x − 2) + a3 f (x − 3) + a4 f (x − 4) + a5 f (x − 5) Bepaal a3 .

(A)-2

(B)-1

(C)0

(D)1

(E)2


9

Oefening 2.4 De grafiek van de functie f : R → R is gegeven in onderstaande figuur.

Definieer drie functies, α, β, γ : R → R, met voorschriften • α(t) = f (cos t) • β(t) = f (2 cos(t/2)) • γ(t) = f (3 cos(t/3)) waarbij t ∈ R. Als a het maximum is van de functie α, b het maximum van de functie β en c het maximum van de functie γ, welk van de volgende uitspraken is dan geldig: (A) a = b = c (B) a > b > c (C) a < b < c (D) a = b 6= c (E) a 6= b = c

Oefening 2.5 Bekijk onderstaande figuren met daarin de functies f (x) en g(x). Welke waarde is een benadering van de volgende uitdrukking (f ◦ g)0 (6)? We noteren met f ◦ g de functie van R naar R gegeven door (f ◦ g)(x) = f (g(x)) (voor x ∈ R).

(A)-2

(B)-1

(C)0

(D)1

(E)2

10


Oefening 2.6 1 . 1 + a ex Hierin is a ∈ R. Wat kan je op basis van de grafiek besluiten over a? Hier zie je de grafiek van de functie f : R → R : x 7→ 1

1/2

0

1

(A) a ≤ 1/2 (B) 1/2 < a < 1 (C) a = 1 (D) 1 < a < 2 (E) a ≥ 2

Oefening 2.7 Welke van volgende integralen is strikt positief? Z π sin x (A) dx 2 1 −π + x Z π cos x (B) dx 2 1 −π + x Z π (C) x4 sin x dx −π

Z

π

(D)

x4 cos x dx

−π

Z (E) 0

π

(x − π/2)2 cos x dx


11

Oefening 2.8 Bepaal de x-coördinaat van de vector ~v3 = ~v1 + ~v2 in het xy-vlak als je weet dat • ~v1 een lengte 2 heeft en een hoek van 30◦ maakt met de positieve x-as. • ~v2 geöriënteerd is volgens de x-as • ~v3 een hoek α maakt met de positieve x-as (A) cos α (B) tan α (C) cot α √ (D) 3 cos α √ (E) 3 + cos α

Oefening 2.9 De functie f : R → R heeft als voorschrift f (t) = a e−t/τ , met a en τ constant. Verder weten we dat f (0) = e en f (2) = 1. Bereken Z

2

f (t)dt· 0

(A) e-1

(B) 2e-2

(C) 2e

(D) 2-2/e

(E) 1

Oefening 2.10 Beschouw de kromme K bepaald door de vergelijking y = x3/2 in het vlak met cartesiaans assenstelsel xy. Welk punt van deze kromme ligt het dichtst bij het punt met coördinaten (1/2, 0)? (A) (0, 0) (B) (1/2, 1/23/2 ) (C) (1/3, 1/33/2 ) (D) (1/4, 1/43/2 ) (E) (1, 1)

12


Oefening 2.11 Onderstaande figuur geeft de grafiek weer van de functie f : R+ → R met als voorschrift f (t) = e1−t/τ cos(2πt/T ), waarbij T en τ constant zijn. Bepaal T /τ . (A) T /τ = 0.1 (B) T /τ = 0.2 (C) T /τ = 1/e (D) T /τ = e (E) T /τ = 5 Oefening 2.12 Definieer de functie f : R → R met als voorschrift f (x) = n als n ≤ x < n + 1 met n een geheel getal, m.a.w. n ∈ Z. Z Bepaal (A) 4

4

f (x)dx 0

(B) 6

(C) 8

(D) 10

(E) 12


3

13

Toepassingen

Oefening 3.1 De grafiek stelt de snelheid voor van een bal die een rechtlijnige beweging uitvoert:

Op welke(e) tijdstip(pen) is de bal het verst verwijderd van zijn positie op het tijdstip t = 0 s? (A) t = 2 s. (B) t = 3 s. (C) t = 4 s. (D) t = 5 s. (E) t = 2 s en t = 4 s.

Oefening 3.2 De letter F uit onderstaande figuur is opgebouwd uit 7 vierkanten met elk zijde 2. Elk vierkant heeft dezelfde massa m. Het zwaartepunt van elk vierkant is gelegen in het midden van elk vierkant. Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de volledige letter. Tip: de coördinaten van het zwaartepunt van een object dat samengesteld is uit twee objecten A en B is mA xA + mB xB mA yA + mB yB gegeven door ( , ). Hierbij zijn mA en mB de massa’s van respectievelijk het mA + mB mA + mB object A en het object B. (xA , yA ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object A; (xB , yB ) zijn de coördinaten van het zwaartepunt van object B. y

(A) (3, 4) (B) (7/4, 5) (C) (12/7, 5) (D) (15/7, 5) 1 0

(E) (15/7, 33/7) 1

x

14


Oefening 3.3 Onderstaande figuur geef het tijdsverloop aan van een wagen die vanuit rust met een constante versnelling vertrekt. Op de horizontale as staat de tijd in het kwadraat t2 . De grootte van de versnelling van de wagen is dan

(A) 0,25 m/s2 (B) 1,5 m/s2 (C) 2,5 m/s2 (D) 5 m/s2 (E) 10 m/s2

Oefening 3.4 Een auto rijdt aan 95 km/u en haalt een 1.10 km lange trein in die in dezelfde richting rijdt op een spoor dat parallel loopt met de weg. Als de trein een snelheid van 75 km/u heeft, hoelang doet de auto er dan over om de trein in te halen? En welke afstand zal de auto in die tijd afgelegd hebben? (A) minder dan 2.5 min en minder dan 2.5 km (B) minder dan 2.5 min en meer dan 2.5 km (C) meer dan 2.5 min en minder dan 7.5 km (D) meer dan 2.5 min en meer dan 7.5 km (E) Geen van voorgaande antwoorden is correct


15

Oefening 3.5 Schip A bevindt zich 65 km ten westen van schip B in open zee. Om 9 uur ’s morgens begint schip A naar het zuiden te varen aan 15 km/u, en begint schip B naar het westen te varen aan 10 km/u. Op welk tijdstip zijn beide schepen het dichtst bij elkaar? (A) Om 10 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (B) Om 10u30 zijn de schepen het dichtst bij elkaar (C) Om 11 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (D) Om 12 uur zijn de schepen het dichtst bij elkaar (E) Om 12u30 zijn de schepen het dichtst biji elkaar

Oefening 3.6 Een mier legt een afstand van 10,0 cm over de x−as af in 2,00 s. Daarna draait ze naar links over een hoek van 30, 0◦ en loopt nog eens 10,0 cm in 1,80 s in een rechte lijn. Tenslotte draait ze nog een draai van 70, 0◦ naar links en legt weer 10,0 cm af langs een rechte lijn, deze keer in 1,55 s. Bepaal de x− en y−component van de eindpositie van de mier. (A) x > 15 en y > 15 (B) x > 15 en y < 15 (C) x < 15 en y > 15 (D) x < 15 en y < 15 (E) Geen van voorgaande antwoorden is correct

Oefening 3.7 De breedte b, de lengte l en de hoogte h van een balkvormig voorwerp zijn op een bepaald ogenblik respectievelijk 10 cm, 5 cm en 3 cm. De breedte en de hoogte groeien allebei op dat ogenblik met een snelheid van 2 cm/s. De lengte neemt af met een snelheid van 1 cm/s. Hoe snel groeit het volume van het voorwerp op het gegeven ogenblik? (A) 4 cm3 /s. (B) 35 cm3 /s. (C) 95 cm3 /s. (D) 100 cm3 /s. (E) 160 cm3 /s.

16


Oefening 3.8 Een glijbaan moet bekleed worden met een gladde folie. In de onderstaande figuur wordt een doorsnede van de glijbaan getoond. Het eerste stuk, AB, is een recht stuk van 6m lang dat een hoek maakt van 60◦ met de horizontale. Het tweede stuk is een cirkelboog die in B raakt aan het eerste stuk, en die in C raakt aan de horizontale. Het hoogteverschil tussen B en C bedraagt 2 m. Het laatste stuk is een horizontaal stuk van lengte 1 m. Hoe lang (uitgedrukt in m) moet de folie zijn? A

(A) 7 + 4π/3 √ (B) 7 + 4 2π/3 √ (C) 7 + 2π √ (D) 7 + 2 2π/3

6m

60◦ B 2m C

(E) 11

D 1m

Samengestelde oefening 1 Je plaatst een ladder van 5 meter lengte op een horizontale vloer tegen een verticale muur. Als de ladder onderaan op de vloer steunt op een afstand van xv meter van de muur, steunt hij bovenaan op een hoogte van ym meter tegen de muur. Vraag 3.9 Zoek de functie f die ym uitdrukt in functie van xv (dus ym = f (xv )). Bepaal f (3). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Vraag 3.10 Bereken de afgeleide van f in xv = 3. (A) -1/8 (B) -1/4 (C) -1/2

(D) -3/4

(E) -1

Vraag 3.11 De ladder schuift uit en de positie van het steunpunt xv hangt af van de tijd t, xv = g(t). Hierdoor is ook de hoogte ym tijdsafhankelijk: ym = f (g(t)) = h(t). Op tijdstip t0 is xv = g(t0 ) = 3 en is de afgeleide g 0 (t0 ) = 4 Bereken de afgeleide h0 (t0 ). (A) -16/3 (B) -3 (C) 12 (D) 3t0 (E) 4t0


17

Samengestelde oefening 2 De schepbak van een kleine graafmachine is verbonden aan de hefarm ACDE, die roteert rond het punt A. Een zuiger BC is met scharnieren verbonden aan het frame van de machine (in het punt B) en aan de arm van de schepbak (in het punt C). De schepbak wordt opgetild door de lengte van de zuiger BC te vergroten. De linkerhelft van de figuur toont de machine met de hefarm in de rusttoestand. De rechterhelft van de figuur toont een andere stand van de machine. De stand van de schepbak hangt af van de geöriënteerde hoek α tussen de positieve x-as en de lijn AC. Dit betekent dat stand1 1 (linkerfiguur) α < 0 en voor stand 2 (rechterfiguur) α > 0. E D

C A

A α

B

C

α

B

D E

y x

y x

Vraag 3.12 De baan die het punt C volgt om van stand 1 (linkerfiguur) naar stand 2 (rechterfiguur) te bewegen is (A) een cirkelboog met centrum in A (B) een cirkelboog met centrum in B (C) een stuk van een parabool (D) een stuk van een ellips (E) een lijnstuk Vraag 3.13 De raaklijn aan de baan uit vorige vraag in het punt C voor stand 1 (linkerfiguur) (A) is vertikaal (B) is horizontaal (C) maakt een hoek α met de horizontale x-as (D) maakt een hoek α met de vertikale y-as (E) maakt een hoek van 45◦ met de horizontale x-as Vraag 3.14 De eenheidsvector evenwijdig met de raaklijn uit vorige vraag is gegeven door (A) (1, 0) √ √ (B) ( 2/2, 2/2) (C) (cos α, sin α) (D) (cos α, − sin α) (E) (− sin α, cos α)

18

4


Ruimtelijk inzicht

Toelichting vragen ruimtelijk inzicht De toets bevat vragen die je ruimtelijk inzicht meten. Er wordt gebruik gemaakt van enkele begrippen die hier kort toegelicht worden.

Een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen De figuur hieronder links toont een object dat opgebouwd is uit kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Rechts zie je de dezelfde figuur, waarbij de grenzen tussen vlakken van kubussen die in elkaars verlengde liggen niet meer getekend worden.

Isometrische voorstelling Een isometrische voorstelling is één van de manieren om een driedimensioneel object in twee dimensies weer te geven. Wat dit is wordt verder toegelicht. De figuur hieronder links geeft een beeld van een kubus met de schaduw op het vlak waarop hij rust. Randen die enkel zichtbaar zijn als de vlakken doorzichtig zijn, worden voorgesteld in stippellijn. De figuur rechts geeft een ’isometrische’ voorstelling: verticale randen lopen van boven naar onder op het tekenblad en randen die in de ruimte weg van de waarnemer lopen worden getekend onder 30◦ ten opzichte van een lijn van links naar rechts op het blad. Het hoekpunt vooraan-boven en onderaan-achter valt samen bij deze voorstelling.


19

De figuur hieronder bevat links een ’isometrische’ voorstelling van de kubus, zonder schaduw en met ondoorzichtige vlakken. Een dikke lijn geeft de grens aan van het object met de omgevende lucht vanuit de waarnemer gezien. Hieronder rechts wordt de isometrische voorstelling van een object getoond dat bekomen werd door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen.

Doorsnedes We beschouwen nu een doorsnede van een object. Hiertoe wordt een doorzichtig snijvlak aangegeven en een kijkrichting: • De letters ’AB’ bevinden zich in het snijvlak en zijn vanuit het standpunt van de waarnemer normaal leesbaar • De streepjes aan de hoeken van het vlak bevinden zich achter het snijvlak vanuit de waarnemer gezien Bij de voorstelling van de snede gelden volgende conventies: • Delen van het object die gesneden worden hebben een dikke rand en zijn grijs ingekleurd • Delen waarop men kijkt hebben een dunne rand en zijn niet ingekleurd • Delen voor het snijvlak (ten opzichte van de waarnemer) hebben een streepjeslijn als grens en zijn niet ingekleurd Een dikke lijn heeft voorrang op een dunne, die op zijn beurt voorrang heeft op een streepjeslijn. Onderstaande figuren tonen een voorbeeld. Links wordt een object getoond dat bekomen werd door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 kubussen. De doorsnede AB is rechts getekend.

20


Oefening 4.1 Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht. Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de isometrie.

(C)

(A)

(B)

(D)

(E)

Oefening 4.2 Bij deze vraag dien je gebruik te maken van de toelichting vragen ruimtelijk inzicht. Het object uit de figuur is bekomen door het samensmelten van kleine kubussen in een ruimte van maximaal 5 bij 5 bij 5 identieke kubussen. Kies op basis van de ruimtelijke isometrische voorstelling in de figuur boven links welke voorstelling van de snede correct is. De positie van de letters ’AB’ in de snedetekening heeft enkel tot doel om de kijkrichting aan te geven en heeft geen verband met de positie van de letters in de isometrie.

(C)

(A)

(B)

(D)

(E)


Oefening 4.3 Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?

Oefening 4.4 Welk object kan je openplooien tot bijgevoegde figuur?

21

22


Correcte antwoorden 1.1 E 1.2 B 1.3 C 1.4 A 1.5 C 1.6 E 1.7 C 1.8 D 1.9 A 1.10 C 1.11 D 1.12 C 2.1 B 2.2 A 2.3 E 2.4 E 2.5 B 2.6 D 2.7 B 2.8 C 2.9 B 2.10 C 2.11 B 2.12 B 3.1 A 3.2 E 3.3 D


3.4 C 3.5 C 3.6 B 3.7 D 3.8 A 3.9 D 3.10 D 3.11 B 3.12 A 3.13 D 3.14 E 4.1 E 4.2 C 4.3 D 4.4 D

23

Formuleverzameling. Logaritmische en exponentiële functie. Trigoniometrische functies. Sinus-en cosinusregel in een driehoek

Recommend Documents