ESTIMASI PARAMETER PADA MODEL INTERAKSI DUA POPULASI Trisilowati, Dhevi Yuli S, Ricky Aditya
Abstrak
Estimasi parameter merupakan kunci dari perkembangan model matematika. Suatu
model
matematika tidak dapat diinterpretasikan dengan baik tanpa mengetahui parameter yang terdapat pada model tersebut. Pada penelitian ini akan dibahas metode estimasi parameter pada model interaksi dua populasi dengan menitikberatkan pada metode optimasinya.
Kata kunci: Estimasi parameter, metode optimasi
PARAMETER ESTIMATION ON INTERACTION OF TWO POPULATION MODEL Trisilowati, Dhevi Yuli S, Ricky Aditya
Abstract
Parameter estimation is the key in the development of mathematical models. Mathematical models can not be interpreted well without knowing the parameters. In this research, it will be described the method of parameter estimation of the interaction model of two population with concentrate on optimization method.
Keywords: Parameter estimation, optimization method
1 LATAR BELAKANG Dari tahun ke tahun peranan matematika telah memberikan sumbangan yang sangat besar terhadap kemajuan pengetahuan dan teknologi. Model matematika termasuk salah satu bagian dari perkembangan tersebut, hampir semua permasalahan di dunia nyata dapat diformulasikan ke dalam model matematika. Model interaksi dua populasi pada suatu species merupakan salah satu model yang sangat penting pada bidang biologi. Estimasi parameter merupakan kunci dari perkembangan model matematika. Suatu model matematika tidak dapat diinterpretasikan dengan baik tanpa mengetahui parameter yang terdapat pada model tersebut. Untuk menentukan estimasi parameter dalam suatu model terdapat beberapa teknik matematika yang harus dipelajari antara lain kestabilan model matematika, metode optimasi dan metode pencocokan kurva. Model interaksi dua populasi yang dikenal dengan persamaan Lotka-Volterra atau persamaan Predator-Prey dikenalkan pertama kali oleh Lotka dan Volterra pada tahun 1925 [1 ], dengan persamaan sebagai berikut: dx
(a
by ) x
dt dy
( c
dx ) y
dt
dimana x = populasi dari prey y = populasi dari predator a = laju kelahiran dari populasi prey c = laju kematian dari populasi predator b dan d adalah koefisien interaksi antara predator dan prey
Sampai saat ini persamaan Lotka-Volterra masih menjadi bahan diskusi atau penelitian baik tentang kestabilan, penyelesaian periodik dan lain sebagainya [2], [3], dan [4]. Keseimbangan suatu ekosistem dapat dijaga dengan mengetahui perkembangan spesies yang terdapat pada ekosistem tersebut. Jika prey tidak ada maka predator akan menurun, tetapi tanpa adanya predator prey akan meningkat. Estimasi parameter merupakan kunci dari perkembangan model matematika [5]. Dengan mengetahui parameter pada persamaan Lotka-Volterra yang terdapat pada suatu ekosistem dapat diketahui perkembangan interaksi dua populasi tersebut. Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mengestimasi suatu parameter seperti pada [6] yang menunjukkan bahwa metode Simpleks yang terbaik, tetapi pada [7] dan [8] mengatakan 2
metode Simpleks lebih lambat karena memerlukan lebih banyak perhitungan sedangkan metode estimasi yang menggunakan optimasi Levenberg-Marquardt sangat efisien. Berdasarkan uraian di atas akan diteliti estimasi parameter pada model interaksi dua populasi dengan menitikberatkan pada metode optimasi yaitu menggunakan metode optimasi Nelder-Meade simplex dan Levenberg-Marquardt.
2. METODOLOGI PENELITIAN Untuk mengestimasi parameter pada model interaksi dua populasi terdapat beberapa langkah yang harus dilakukan sebagai berikut: 1. Menentukan kestabilan di sekitar titik equilibrium dari metode interaksi dua populasi seperti yang terdapat pada [1]dan[2]. 2. Menyelesaikan model interaksi dua populasi dengan metode Runga Kutta [7]. 3. Mengestimasi parameter dengan metode kuadrat terkecil yaitu
min
[ y ij
y j ( t , p )]
2
dimana yij adalah komponen data vektor dan yj adalah komponen penyelesaian persamaan diferensial p adalah parameter
untuk meminimumkan fungsi tersebut digunakan metode optimasi
Nelder-Meade
simplex [8]. 4. Mengestimasi parameter dengan metode optimasi Levenberg-Marquardt[7] dan[8]. 5. Menyelesaikan model tersebut menggunakan parameter yang diperoleh. 6. Membandingkan kedua metode tersebut dengan memperhatikan tiga faktor yaitu:
banyaknya jumlah perhitungan
waktu
galat
Paket program Matlab akan digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut.
3
3. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dibahas tentang titik kesetimbangan dari model interaksi dua populasi, bagaimana pengaruh dari nilai awal disekitar titik kesetimbangan ini. Akan diuraikan juga bagaimana mengestimasi parameter menggunakan metode Nelder Meade Simplek dan Levenberg Marquatd. Pada akhir sub bab ini akan dibandingkan kedua metode tersebut. Model yang digunakan pada penelitian ini adalah: dx
(0,2
0 , 005 y ) x
dt dy
( 0 ,5
(2)
0 , 01 x ) y
dt
dimana x(0) = x0, y(0) = y0, semuanya konstanta positif.
3.1 Titik Kesetimbangan Model Interaksi Dua Populasi Titik kesetimbangan dari persamaan (1) dicapai bila (a c
by ) x
0
dx ) y
0
()
sehingga diperoleh titik kesetimbangan (0,0) dan
c
,
d
a
dengan demikian persamaam (2)
b
akan memiliki titk kesetimbangan di (0,0) dan (50,40). Dengan menggunakan teorema kestabilan [1], titik kesetimbangan (0,0) dari sistem (2) adalah takstabil, sedangkan titik kesetimbangan (50,40) adalah center-stabil. Trayektori dan titk kesetimbangan dari persamaan (2) dapat dilihat pada Gambar 3.1.1. Sedangkan Gambar 3.1.2 merupakan penyelesaian dari sitem (2) dengan nilai awal x(0) = 70 dan nilai awal y(0) = 40. 70
65
60
55
predator
50
45
x
40
35 y 30
25
20 30
35
40
45
50
55
60
65
70
p re y
Gambar 3.1.1 Trayektori dan titik kesetimbangan persamaan (2) 4
70
65
60
55
p re y d a n p re d a to r
50
45
x
40
35 y 30
25
20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
t
Gambar 3.1.2 Penyelesaian persamaan (2) 3.2 Estimasi Parameter Untuk mengestimasi parameter pada persamaan (2) dilakukan dengan mencocokkan persamaan (2) pada data. Pencocokan kurva yang dibahas pada bab ini menggunakan metode kuadrat terkecil, yaitu meminimumkan fungsi [ y ij
y j ( t , p )]
2
dimana yij adalah komponen data vektor dan yj adalah komponen penyelesaian persamaan diferensial Sistem persamaan (2) diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta, penyelesaian implisit ini dicocokkan terhadap data dengan metode kuadrat terkecil,kemudian diminimumkan. Iterasi dihentikan setelah diperoleh hasil yang dianggap tepat atau telah konvergen. Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data yang dibangkitkan dari sistem (2) untuk persamaan predator saja, dengan nilai awal x(0) = 70 dan y(0) = 40 (lihat Gambar 3.2). Untuk mengestimasi parameter dilakukan dengan mencoba beberapa parameter yang dekat dengan parameter sesungguhnya maupun yang jauh dari yang akan diduga. Untuk meminimumkan fungsi di atas digunakan metode optimasi Nelder Meade Simplek dan metode Levenberg-Marquatd yang akan dibahas pada sub bab berikut di bawah ini.
5
70 65 60 55
Predator
50 45 40 35 30 25 20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
t
Gambar 3.2 Data yang dibangkitkan dari persamaan (2)
3.3 Estimasi Parameter Menggunakan Metode Nelder Meade Simplek Nelder Meade Simplek adalah suatu metode optimasi untuk multivariabel yang tidak melibatkan turunan suatu fungsi. Function fmins pada paket program Matlab digunakan untuk menyelesaiakan estimasi parameter. Data yang telah dibangkitkan akan dicocokkan pada model interaksi dua populasi (persamaan (1)) dengan mengambil nilai parameter a = 0.2, b = 0.005, c = 0.4 dan d = 0.01. Hasil estimasi adalah a = 0.2118, b = 0.0053, c = 0.4730 dan d = 0.0096. Tampak bahwa meskipun pencocokan nilai awal estimasi terhadap data cukup jauh (Gambar 3.3.1), namun hasil estimasi terhadap data sangat dekat(Gambar 3.3.2). Untuk estimasi ini diperlukan waktu 7.69 detik, iterasi sebanyak 71 dan banyaknya fungsi yang dihitung adalah 135. 90
80
70
60
50
40
30
20
10 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.1 Pencocokan nilai awal estimasi terhadap data 6
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.2 Pencocokan hasil estimasi terhadap data
Sedangkan untuk nilai awal estimasi menggunakan a = 0.2, b = 0.005, c = 0.48 dan d = 0.01. Hasil estimasi adalah a = 0.20, b = 0.005, c = 0.5 dan d = 0.01. Waktu yang diperlukan untuk estimasi adalah 14.34 detik, itersi sebanyak 147 iterasi dan banyaknya fungsi yang dihitung adalah 387. Meskipun pencocokan nilai awal estimasi terhadap data cukup dekat ( Lampiran 1) namun iterasi yang dilakukan lebih banyak dibandingkan dengan estimasi menggunakan nilai awal dengan parameter a = 0.2, b = 0.005, c = 0.4 dan d = 0.01. Untuk pencocokan nilai awal estimasi yang terlalu jauh terhadap data, hasil estimasi tidak akurat lagi lihat Lampiran 2. 3.4 Estimasi Parameter Menggunakan Levenberg Marquardt Dasar dari metode Levenberg Marquadt adalah persamaan Chi-Square, jika
2
diekspansikan ke dalam deret Taylor disekitar a 0 , diperoleh 2
2
a
dimana
T
(a0 ) a
( a ). a
2 a
(a0 )
1
(3)
T
a .H . a
2
a0 2
dan matriks H adalah matriks Hessian yang didefinisikan sebagai H ij
Jika
2 a
2
2
) / ai a j
pada persamaan (3) diekspansikan ke dalam deret Taylor diperoleh
(a0 )
a
(
(a )
2 a
Gradient di titik dimana
(a 0 )
2
H. a
...
minimum adalah nol sehingga diperoleh
a m in
a0
a
7
Dengan
a
a
a
1
H
(a 0 )
2
.
a
(a 0 )
2
. Sedangkan untuk metode Steepest Descent digunakan
Dengan melibatkan metode Steepest Descent digunakan matriks
Hessian sebagai berikut: H
H .I (1
)
Dengan jelas tampak bahwa untuk meminimumkan suatu fungsi multivariabel dengan menggunakan metode Levenberg Marquadt akan melibatkan turunan parsial. Untuk nilai awal estimasi a = 0.2, b = 0.005, c = 0.4 dan d = 0.01. Tidak diperoleh hasil estimasi karena pada iterasi pertama diperoleh hasil parameter yang bernilai negatif, yang mengakibatkan penyelesaian model interaksi dua populasi tak terbatas. Sehingga optimasi tidak tercapai. Sedangkan untuk nilai awal estimasi a = 0.2, b = 0.005, c = 0.48 dan d = 0.01 diperoleh hasil a = 0.2214, b = 0.0055, c = 0.4531 dan d = 0.0094, dengan hasil pencocokan terhadap data lihat Gambar 3.4. Waktu iterasi 6,76 dek, banyak iterasi 4 dan banyak fungsi yang dihitung adalah 25.
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.4 Pencocokan nilai awal estimasi terhadap data dengan metode Levenberg Marquadt
8
3.5 Perbandingan metode Nelder Meade Simplek dan Levenberg Marquardt
Nelder Meade Simplek adalah suatu metode optimasi untuk multivariabel yang tidak melibatkan turunan suatu fungsi, sedangkan metode Levenberg Marquadt melibatkan turunan parsial yaitu pada matriks Hessian. Untuk estimasi parameter dengan nilai awal estimasi adalah a = 0.2, b = 0.005, c = 0.4 dan d = 0.01 (Gambar 3.3.1), dengan metode Nelder Meade Simpleks hasil estimasi cukup dekat dengan data sesungguhnya, sedangkan dengan metode Levenberg Marquadt iterasi gagal atau tidak konvergen. Untuk estimasi parameter dengan nilai awal estimasi adalah a = 0.2, b = 0.005, c = 0.48 dan d = 0.01, kedua metode menunjukkan hasil estimasi yang cukup dekat dengan data sesungguhnya, tetapi waktu iterasi jumlah iterasi dan banyak fungsi yang dihitung untuk metode Levenberg Marquadt lebih sedikit dibandingkan dengan metode Nelder Meade Simpleks. Meskipun demikian dapat dilihat bahwa kesalahan metode Nelder Meade Simpleks lebih kecil dibandingkan dengan kesalahan pada metode Levenberg Marquadt (Gambar 3.5.1 dan Gambar 3.5.2). -4
x 10 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.5.1 Kesalahan untuk metode Nelder Meade Simpleks
9
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.5.2 Kesalahan untuk metode Levenberg Marquadt
Untuk pencocokan nilai awal estimasi yang terlalu jauh terhadap data lihat Lampiran 2, kedua metode tidak relevan lagi. Berdasarkan dari beberapa simulasi nilai awal disekitar titik kesetimbangan yang bersifat center stabil, tidak terdapat masalah, tetapi jika diambil disekitar titik kesetimbangan yang bersifat tak stabil maka estimasi akan gagal.
4. KESIMPULAN
1. Nilai awal estimasi parameter disekitar titik kesetimbangan berpengaruh pada estimasi paramater. 2. Metode Nelder Meade Simplex adalah metode optimasi tanpa menggunakan turunan, sedangkan metode Levenberg Marquatdt menggunakan turunan parsial kedua, sehingga memerlukan perhitungan yang cukup rumit (turunan fungsi implisit). 3. Secara umum metode Simplex lebih baik dalam hal galat, tetapi diperlukan waktu perhitungan dan iterasi yang lebih banyak dibandingkan metode Levenberg marquatdt. 10
4. Metode Levenberg Marquatdt memerlukan tebakan awal yang cukup dekat dengan parameter sesungguhnya, sedangkan metode Nelder Meade Simpleks pada umumnya tidak.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
E.B. William,R.C. DiPrima,1992, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,John Wiley & Sons,Inc, New York
[2]
M.S. Winarko,2002, Stabilitas Global pada Model Interaksi Predator Prey di dalam Chemostat, Jurnal Natural Volume 6 (Edisi Khusus)
[3]
F.R. Giordano, M.D.Weir, W.P. Fox, 2003, A First Course in Mathematical Modeling, Brooks/Cole, USA.
[4]
Rui Xu, M.A.J. Chaplain, F.A. Davidson, 2004, Periodic Solution of a Delayed Predator-Prey Model with Stage Structure for Predator, Journal of Applied Mathematics, Volume 3 hal 255-270
[5]
Lin Y., Stadtherr M.A., 2005, Global Optimization for Parameter Estimation in Dynamic Systems, http://aiche.confex.com/aiche/2005/techprogram/P15751.HTM
[6]
N. Yildirim,F. Akcay, H.Okur, D. Yildirim,2003, Parameter Estimation of Nonlinear Models in Biochemistry: a Comparative Study on Optimization Methods, Applied Mathematics and Computation, volume 140, hal 29-36
[7]
G.J. Borse,1997, Numerical Methods with Matlab,PWS Publishing Company, Boston
[8]
H.P. William, T.V. William,S.A. Teukolsky, B.P. Flannery, 1992, Numerical Recipes in Fortran, Cambridge University Presss, USA
11
LAMPIRAN 1.
80
70
60
50
40
30
20
10 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.3 Pencocokan nilai awal estimasi dengan a= 0.2, b = 0.005, c = 0.4 dan d = 0.01 terhadap data
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.4 Hasil estimasi terhadap data
12
LAMPIRAN 2.
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.5 Pencocokan nilai awal estimasi dengan a= 0.2, b = 0.005, c = 0.1 dan d = 0.01 terhadap data
70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Gambar 3.3.6 Hasil estimasi terhadap data 13
14
[8] J. Timmer, W. Horbelt, M. Bunner, R. Meucci dan M. Ciofini, Estimating Parameters in Differential Equations with Application to Laser Data, …………………….untuk laporan
15
